Текст
СПРАВОЧНАЯ КНИГА ,
ПО MATEMAIИЧЕСКОЙ ЛОГИК
СПРАВОЧНАЯ
КНИГА
ТЕОРИЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
СПРАВОЧНАЯ
КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКЕ
В ЧЕТЫРЕХ ЧАСТЯХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
ДЖ. БАРВАЙСА
Часть TV
ТЕОРИЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
И КОНСТРУКТИВНАЯ
МАТЕМАТИКА
Перевод с английского
Г. В. Давыдова
Г. Е. Минца
Под редакцией
В. П. Оревкова
МОСКВА «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИИО-МАТЕМА ГИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 983
ScanAAW
22.12
С 74
УДК 512.8
HANDBOOK
OF
MATHEMATICAL LOGIC
J. BARWISE (ED.)
NORTH-HOLLAND
PUBLISHING COMPANY
AMSTERDAM NEW YORK OXFORD
1977
Справочная книга по математической логике: В 4-х частях/Под ред.
Дж. Барвайса.— Ч. IV. Теория доказательств и конструктивная математика:
Пер. с англ. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литера-
туры, 1983 г, — 392 с,
© North-Holland
Publishing Company 1977
1702020000—052 _
С 0%2Т-83~"ПоАПИС"°а
© Перевод на русский язык,
Издательство «Наука>.
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1983
ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Последний том «Справочной книги по математиче-
ской логике» содержит обзоры по наиболее современ-
ным направлениям теории доказательств и конструк-
тивной математики. Эти обзоры не претендуют на
полное описание новейших достижений теории дока-
зательств. Это было бы очень трудно сделать в
рамках одной книги. Составители ограничились обзо-
рами небольшого числа тех областей теории доказа-
тельств, которые в последнее время активно развива-
лись и которые тесно переплетаются с другими обла-
стями математической логики, алгебры и топологии.
В худшем положении оказалась конструктивная ма-
тематика. В посвященной ей главе 5, написанной
А. С. Трулстрой, термин «конструктивная матема-
тика» трактуется очень широко: по А. С. Трулстре
конструктивная математика включает в себя интуи-
ционизм. Поэтому в главе 5 уделяется много внима-
ния различным современным вариантам интуицио-
низма, а некоторые важные специфические понятия и
результаты собственно конструктивной математики не
затронуты.
При переводе было дано несколько добавлений.
Они посвящены следующим темам: доказательству
теоремы Г. С. Цейтина о непрерывности конструктив-
ных отображений, теореме Эрбрана, построению уни-
версального дерева поиска вывода в арифметике с
co-правилом, ступенчатой семантике А. А. Маркова,
иерархии способов пониманий математических сужде-
ний, разработанной И?. А. Шаниным, и теореме
Л. Э. Я. Брауэра о,неподвижной точке для конструк-
тивных отображений квадрата в себя. Все эти добав-
ления затрагивают важные направления и результаты
конструктивной математики и теории доказательств.
ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
которые или не были изложены в оригинале, или были
изложены недостаточно полно.
В процессе перевода без специальных оговорок и
примечаний были исправлены некоторые опечатки и
неточности, имевшиеся в оригинале. Все эти по-
правки, за исключением исправлений мелких опеча-
ток, были согласованы с авторами. При переводе в
списки литературы были добавлены новые работы.
Все они отмечены знаком *.
В. 77. Оревков
ВВЕДЕНИЕ
Математик строит доказательства. Специалист по теории
доказательств рассматривает сами доказательства как мате*
матические объекты и изучает их с помощью инструментов со*
временной математики.
Теория доказательств началась с программы Гильберта,
Идея Гильберта состояла в том, чтобы использовать конкрет*
ную, финитистскую природу доказательств для обеспечения про-
стого обоснования математики. Теоремы Гёделя о неполноте на-
несли этой программе ошеломляющий удар. Эти теоремы при-
надлежат к числу наиболее важных в логике и рассматриваются
в первой главе, написанной Сморинским.
Разумный выбор тем из теории доказательств оказался бо-
лее трудным, чем для других областей логики, так как данная
область расходится по многим разнообразным направлениям.
Мы пытались выбрать вопросы, иллюстрирующие те части тео-
рии доказательств, которые хорошо разработаны и имеют от-
ношение к другим частям логики и математики. Читая получив-
шиеся главы, мы можем четко видеть проходящие сквозь них
нити, которые кажутся главными заботами нынешней теории
доказательств. Мы упомянем две из них.
Одна из важнейших нитей, связывающих теорию доказа-
тельств воедино, — это вопрос: «Насколько больше мы знаем
об истинном суждении после того, как стало известно, что оно
доказуемо в конкретной теории или имеет доказательство, на-
ходящееся в некоторой нормальной форме?» Другая — поиск со-
отношений между принципами, формулируемыми в математиче-
ских терминах и в терминах теории доказательств.
Оба эти аспекта теории доказательств красиво иллюстри-
рует вторая глава, принадлежащая Швихтенбергу. Он показы-
вает читателю, как генценовский метод устранения сечения мо-
жет быть использован для широкого спектра таких исследо-
ваний.
Первая из упомянутых выше нитей является центральной для
третьей главы, написанной Стетменом. Он излагает пример, по-
казывающий, насколько больше можно узнать из прямого
8
ВВЕДЕНИЕ
доказательства теоремы в формальном исчислении равенств,
чем мы узнаем из непрямого доказательства.
Четвертая глава, принадлежащая Феферману, рассматривает
некоторые формальные теории математических объектов высших
типов, функций на натуральных числах, множеств таких функ-
ций и т. д. Эти теории должны быть неполны, согласно тео-
реме Гёделя, но эмпирический опыт показывает, что они вопло-
щают естественные математические принципы и достаточно
сильны для того, чтобы формализовать в них большие куски
математики. Феферман изучает как упомянутые вопросы, так и
относительную силу различных теорий с помощью результатов
о независимости.
В пятой главе Трулстра изучает конструктивные понятия' до-
казательства. Рассмотрим, например, доказательство формулы
ср V ф («<р или ф»). Математик-классик примет доказательство
формулы <р V ф, даже если оно не говорит ему, которая из двух
формул в действительности верна. (Возьмем, например,
tpV~l<p.) Конструктивист требует большего. Для него доказа-
тельство формулы ф V ф должно содержать либо доказатель-
ство формулы ф, либо доказательство формулы ф, и он должен
быть в состоянии сказать, какая из этих альтернатив имеет ме-
сто. Однако за такими простыми соображениями скрываются
чрезвычайно проблематичные вещи. Изучение конструктивных
доказательств порождает несколько конкурирующих и взаимно
несравнимых взглядов на конструктивную математику, причем
интуиционизм — один из наиболее известных среди них.
В шестой главе Фурман обсуждает соотношение между ин-
туиционизмом и понятием топоса, происходящим из теории ка-
тегорий. В главе 8 «Теории моделей», написанной Коком и Рейе-
сом, представлен взгляд специалиста по теории категорий на
некоторые части логики. Здесь мы получаем взгляд логика на
некоторые части теории категорий. В написанной Барендрегтом
седьмой главе обсуждается недавний прогресс в ста'рых по-
исках последовательной теории самоприменимых функций.
Данная книга заканчивается драматическим финалом в виде
восьмой главы, принадлежащей Парису и Харрингтону, которая
обсуждает истинное утверждение из конечной комбинаторики,
недоказуемое в арифметике Пеано,
А. С. Трулстра
Глава 1
ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Л. Сморинский
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Программа Гильберта...........................................9
§ 2. Теоремы Гёделя...............................................13
2.1. Предварительные сведения (14). 2.2. Доказательство теоремы
о неполноте (15). 2.3. Что будет (17).
§ 3. Кодирование..................................................17
3.1. Примитивно рекурсивное кодирование конечных последователь-
ностей (19). 3.2. Примитивно рекурсивное кодирование синтаксиса (23).
3.3. Теорема Россера (29). *3.4. Теория рекурсии *) (29). *3.5. Иерар-
хия формул (31).
§ 4. Метаматематические свойства, отличные от непротиворечивости . . 32
4.1. Принципы рефлексии (33). *4.1а. Соображения иерархии (37).
*4.2. ©-непротиворечивость (40). 4.3. Свойства полноты (42). *4.3а.
Теорема Кента (43).
§ 5. Два приложения..............................................44
5.1. Теорема о неподвижной точке (44). 5.2. Результаты о консерва-
тивности (47).
§ 6. Формализованная теорема о полноте...........................48
*6.1. Теорема Гильберта — Бернайса о полноте (48). *6.2. Теоремы
о неполноте (49). *6.3. Комментарии (53).
Литература.......................................................53
§ 1. Программа Гильберта
На рубеже столетия математику преследовали различные
трудности, начиная с антиномий и парадоксов и кончая проти-
воречиями как формальными, так и личными. Трудности встре-
чались в математике и раньше, но их удавалось устранить или
обойти. Древние греки в конце концов пожали плечами и при-
няли иррациональные числа; специалисты в области математи-
ческого анализа избежали парадоксов, связанных с бесконечно
малыми величинами, когда сумели, наконец, выделить и строго
ввести понятия предела и непрерывности. Даже в теории
*) В параграфах и пунктах, отмеченных звездочкой, рассматриваются
менее элементарные вопросы.
10
ГЛ. 1. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
множеств Цермело предложил решение проблемы парадоксов
еще в 1908 г. Прежде чем аксиоматизировать некоторую область
математики, мы должны знать, о чем говорим. Поэтому вместо
того, чтобы взять в качестве аксиом теории множеств некото-
рые интуитивно очевидные свойства конечных множеств, неко-
торые очевидные свойства множества всех подмножеств дан-
ного множества и еще несколько очевидных свойств какой-ни-
будь третьей сущности — процесс, который почти гарантирует
противоречие, — Цермело сначала описал кумулятивную иерар-
хию, а затем перечислил аксиомы для этой единственной сущ-
ности. До последних работ по большим кардиналам все ак-
сиомы, добавленные позднее, были просто очередными свой-
ствами, очевидным образом истинными для этой иерархии, но
формально невыводимыми.
Ситуацию, которая возникла затем, социологи описали бы
в терминах «культурной отсталости». Несмотря на наличие не-
противоречивой теории множеств, математики продолжали бес-
покоиться о непротиворечивости. Некоторые сомневались даже
в непротиворечивости самой арифметики! Ситуацию еще более
ухудшали гротескные попытки Л. Э. Я. Брауэра превратить
математику в религию.
Когда в 1920 г. Герман Вейль попал в сети брауэровского
безумия, Давид Гильберт решил вмешаться. Он заметил (Рид
(1], с. 155 (с. 202 русского перевода)): «То, что делают Вейль
и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кронекера!
Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт все, что
причиняет беспокойство... Они крушат и рубят науку. Если бы
мы приняли такую реформу, которую они предлагают, мы под-
верглись бы риску потерять большую часть наших самых цен-
ных сокровищ!»
Неистовство, с которым Гильберт сделал это заявление, весь-
ма легко можно понять, если вспомнить, что Гильберт составил
себе имя использованием неконструктивных приемов. Его реше-
ние проблемы Гордана в теории инвариантов (Рид [1], гл. V)
вызвало у Гордана обвинение в «теологии». Кронекер отказы-
вался верить, что эта теорема, утверждавшая существование
рбъекта, удовлетворяющего некоторому условию, действительно
доказана, так как эти объекты не были явно построены. Лин-
деман называл эти приемы «unheimlich» (жуткими). Поэтому
неудивительно, что Гильберт продолжал (Рид [1], с. 157
(с. 204 русского перевода)): «Я уверен, что насколько у Кроне-
кера было мало шансов упразднить иррациональные числа, ...
настолько же маловероятен успех Брауэра и Вейля. Брауэр
Не представляет собой революцию, как это считает
Йейль, — только повторение попытки организовать Putsch
^лутч)».
§ 1. ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
11
Даже если Гильберт и верил в теорию множеств Цермело,
он не мог ее использовать: ведь он должен был не обеспечить
математику, а остановить путч. Поэтому Гильберт предложил
программу сохранения: чтобы оправдать использование аб-
страктных методов, он хотел показать как можно более про-
стыми средствами, что абстрактные методы консервативны, т. е.
что любое конкретное утверждение, которое мы можем вывести
посредством таких абстрактных методов, выводимо и без них.
Чтобы разъяснить эти вопросы, мы введем некоторое коли-
чество гильбертовского жаргона, точное значение которого Гиль-
берт никогда четко не разъяснял. Во-первых, в области кон-
кретной математики имеются финитно осмысленные утвержде-
ния и финитные средства доказательства. Финитно осмыслен-
ные утверждения называются реальными утверждениями и они
являются (скажем) тождествами вида
Vx (fx = gx),
где f, g— достаточно простые функции (например, примитивно
рекурсивные). Финитные доказательства соответствуют, грубо
говоря, вычислениям или комбинаторным манипуляциям. Более
сложные утверждения лишь идеальны и как таковые не имеют
смысла, однако ими можно манипулировать абстрактно — точно
так же, как i не является вещественным числом, но с ним мож-
но оперировать алгебраически, свободно используя тот факт,
что i2 = —1. Гильберт считал, что точно так же, как использо-
вание символа i не ведет к новым алгебраическим тождествам,
использование идеальных утверждений и абстрактных рассуж-
дений о них не позволит вывести каких-либо новых реальных
утверждений, т. е. таких, которые не были бы уже выводимы
финитно. Чтобы опровергнуть Вейля и Брауэра, Гильберт тре-
бовал, чтобы последнее свойство консервативности было фи-
нитно доказуемо.
Чтобы идеальные утверждения и абстрактные рассуждения
допускали финитную трактовку, их нужно было бы закодиро-
вать в некоторой формальной системе. Тогда абстрактные рас-
суждения кодировались бы простыми комбинаторными манипу-
ляциями, и аналогичные простые комбинаторные манипуляции
можно было бы использовать для доказательства этой консер-
вативности.
Сейчас' можно было бы попытаться проанализировать при-
чины, по которым. Гильберт считал, что это может быть сде-
лано, или допущения, необходимо лежащие в основе такой про-
граммы. Автор не находит эти вопросы особенно интересными,
поэтому мы обойдем их.
Вероятно, в мозгу читателя возник вопрос: «Все это очень
хорошо, но причем здесь непротиворечивость?» Ведь, как
12
ГЛ. Т. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
известно всем, предполагается, что эта глава написана о непро-
тиворечивости. Гильбертовская программа установления непро-
тиворечивости является естественным отпрыском и наследницей
гильбертовской программы установления консервативности. На
это есть две причины.
(i) Непротиворечивость — это утверждение о том, что неко-
торая цепочка символов невыводима. Так как выводы — это
простые комбинаторные конфигурации, то это утверждение фи-
нитно осмыслено и оно должно обладать финитным доказатель-
ством.
(п) Доказательство непротиворечивости формальной систе-
мы, кодирующей абстрактные понятия, уже устанавливает ре-
зультат о консервативности.
Причина (i) непосредственно очевидна, и мы не обсуждаем
ее. Причина (и) особенно важна, и нам придется прокоммен-
тировать ее. Пусть R обозначает формальную систему, кодирую-
щую реальные утверждения и их финитные доказательства, а
I — формальную систему, кодирующую идеальные утверждения
и абстрактные рассуждения о них. Пусть ф — реальное утверж-
дение \fx(fx *=* gx). Если теперь 1Нф, то имеется вывод d ут-
верждения ф в I. Но выводы — это конкретные объекты, и для
некоторой реальной формулы Р(х, у), кодирующей выводы в I,
имеет место
RHP(d, ГФП),
где гфп — некоторый код утверждения ф. Если бы ф было
ложно, мы имели бы f(a)^g(a) для некоторого а, и, следо-
вательно,
R |-Р(е, Г~1ФП)
для некоторого с. В действительности мы имели бы более силь-
ное утверждение
R Н fx дх -> Р (сх, г-| ср"1)
для некоторого сх, зависящего от х. Но если в R доказуема не-
противоречивость I, то мы видим, что
R Н П (Р (d, гф“») А Р (с, П ф-|)),
откуда R Н fх = gx со свободной переменной х, т. е.
RH Vx(fx = gx).
Приведенное выше рассуждение несколько расплывчато и
изобилует дополнительными предположениями. Чтобы сделать
его строгим, нам пришлось бы снизойти до элементарных основ
кодирования, а это больше, чем мы собираемся сделать в этом
параграфе. Предположения о предикате Р выявлены в §§ 2 и 3.
§ 2. ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ
13
Формальный вариант приведенного выше рассуждения описан
в § 4.
Рассуждение из предшествующего абзаца очевидным обра-
зом подстрекало Гильберта к формулировке его программы
установления непротиворечивости: разработать финитные сред-
ства доказательства непротиворечивости различных формаль-
ных систем, кодирующих абстрактные рассуждения с идеаль-
ными утверждениями.
Так как программа установления непротиворечивости была
не уже, чем общая программа установления консервативности,
и так как она выглядела более доступной, Гильберт сосредото-
чился на ней, утверждая следующее (Мешковский [ 1 ], с. 56):
«Если произвольно заданные аксиомы не противоречат друг
другу через свои следствия, тогда они истинны, тогда объекты,
определяемые этими аксиомами, существуют. Это для меня —
критерий истины и существования».
Резюмируем: гцльбертовская программа установления не-
противоречивости имела своей целью доказательство непротиво-
речивости сильных систем финитными средствами. Это решение
полностью оправдало бы использование абстрактных понятий.
Доказательство успешно отмело бы нападки Брауэра и снова
вернуло бы Вейля в строй.
Стыд и позор, что программа не смогла сработать.
§ 2. Теоремы Гёделя
В 1930 г., когда ему не было и 30 лет, Курт Гёдель объявил
важный результат: гильбертовская программа установления не-
противоречивости не может быть проведена в жизнь. Действи-
тельно, он доказал две теоремы, которые тогда считались уме-
ренно разрушительными, и до сих пор вызывают ночные кош-
мары у нетвердых духом. Приблизительная формулировка этих
теорем такова.
Первая теорема о неполноте. Пусть Т — формаль-
ная теория, содержащая арифметику. Тогда имеется предложе-
ние ф, которое утверждает свою собственную непротиворечи-
вость и таково, что\
(i) если Т непротиворечива, то Т^-ф;
(И) если Т (^-непротиворечива, то Т К~| ф.
Вторая теорема о неполноте. Пусть Т — непроти-
воречивая формальная теория, содержащая арифметику. Тогда
Т рг Сопт,
где Сопт — предложение, выражающее непротиворечивость тео-
рии Т.
14
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Вторая теорема очевиднььм образом разрушает программу
установления непротиворечивости. Действительно, если в R
нельзя доказать даже ее собственную непротиворечивость, то
почему можно надеяться, что она докажет непротиворечивость
системы I? (R и I описаны в § 1.) Даже первая теорема дает
аналогичный эффект, так как: (1) утверждение ф реальное; (2)
легко видеть, что ф истинно. ((1) требует изучения построения ф;
(2) усматривается из того, что ф утверждает свою недоказуе-
мость и действительно недоказуемо.) Таким образом, первая
теорема показывает, что программа установления консерватив-
ности не может быть проведена, а значит, то же верно и для
программы установления непротиворечивости.
Рассмотрим доказательства этих замечательных теорем.
2.1. Предварительные сведения. Условия в обеих теоремах,
предусматривающие, что Т содержит арифметику, — это просто
средство избавиться от непосредственной формулировки требо-
ваний, которые должны быть выполнены. Это — требования на
возможность кодирования, а как показал Гёдель, можно про^
делать очень большой объем кодирования, используя натураль-*
ные числа. Мы отложим до § 3 рассмотрение того, как осу-
ществляется кодирование, и обсудим здесь, что и где нужно
кодировать.
Во всей этой главе Т обозначает некоторую фиксированную,
но произвольную формальную теорию. Из соображений удоб-
ства мы будем считать, что кодирование происходит в некото-
рой фиксированной формальной теории S и что Т содержит S.
Мы не конкретизируем S: обычно в качестве S берут некоторую
формальную арифметическую систему, хотя зачастую более
удобна слабая теория множеств. Смысл выражения «S содер-
жится в Т» лучше пояснить на примере, чем определить. Если S
есть некоторая формальная арифметическая система, а Т есть,
скажем, ZF, то Т содержит S в том смысле, что есть хорошо
известное вложение или интерпретация теории S в Т. Мы будем
иметь в виду вложение именно такого типа.
Так как кодирование должно происходить в S, мы должны
иметь большой запас констант и замкнутых термов, которые
будут использованы в качестве кодов. (Например, в формаль-
ной арифметике мы имеем 0, 1, ...) S будет также содержать
некоторые функциональные символы, описываемые ниже.
Каждой формуле ф в языке теории Т ставится в соответствие
замкнутый терм гфп, называемый кодом ф.
[N. В. Если фх — формула со свободной переменной х, то
гфх”1 — замкнутый терм, кодирующий формулу фХ, причем х
рассматривается как синтаксический объект, а не как параметр.]
Логическим связкам и кванторам соответствуют функциональ-
ные символы neg, imp и т. д. такие, что для всех формул ф, ф
§ 2. ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
15
имеет место S Hneg(rq)n)=l |фп, S Himp(rq)”l> гфя) = гф->
->фп и т. д. Особенно важен оператор подстановки, представ-
ленный функциональным символом sub. Для формулы фх и тер-
ма / с кодом г/п
S Н8иЬ(гфхп, г/’,) = гфГ.
Итерация операции sub дает возможность определить subs,
sub4, ... такие, что
S Н subn (гфХ! ... х^, , Пп->) = ГфЛ ...
Наконец, мы закодируем также выводы и имеем бинарное
отношение Ргоут(х, у) (читается: «х доказывает у» или «х есть
доказательство для у») такое, что для замкнутых термов /2
соотношение S Н Ргоут(Л, h) верно тогда и только тогда, когда
/1 есть код вывода в Т формулы с кодом t2. Отсюда следует, что
ТНф тогда и только тогда, когда S Н Ргоут(Л ГФП) для некото-
рого замкнутого терма t.
Если мы положим
Ргт (у) Зх Ргоут (х, у),
то получим предикат, утверждающий доказуемость. Однако
Т Нф тогда и только тогда, когда S НРгт(гФп), (*)
верно, только если S действительно корректна (этот термин бу-
дет определен позднее). Причина в том, что квантор существо-
вания в Ргт делает это суждение существенно идеальным: в то
время как в непротиворечивой теории не могут быть доказуемы
ложные реальные суждения Vx (fx = gx), в ней могут быть до-
казуемы ложные экзистенциальные суждения 3x(fx = gx). Та-
ким образом, (*) может опровергаться.
Однако описанное выше кодирование можно провести таким
образом, что следующие важные условия выполнены для всех
предложений ф:
D1 Th-ф влечет 8нРгт(гФп).
D2 S Н Ргт (ГФП) -> Ргт (гРгт (ГФПГ).
D3 S Н Ргт (ГФП) А Ргт (ГФ ->Ргт (ГФП).
Условия D1—D3 называются условиями на отношение вы-
водимости (короче, условиями выводимости).
2.2. Доказательство теоремы о неполноте. Теорема о непол-
ноте зависит от следующего утверждения.
2.2.1. Теорема (лемма о диагонализации). Пусть фХ —
формула в языке теории Т, и все ее свободные переменные ука-
заны явно. Тогда имеется предложение ф такое, что
S нф«->ф(гфп).
16
ГЛ. Т. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
[N. В. Если ф или ф не принадлежат языку теории S, то мы
имеем в виду, что эквивалентность доказана в теории S', язык
которой тот же, что у Т, а нелогические аксиомы те же, что в S.
Теория S' консервативна над S.]
Доказательство. Для данной фх пусть 0х
ф (sub (х, х)) — диагонализация формулы ф. Пусть т = г0х“1
и ф = 0дп. Тогда мы утверждаем, что
S Н ф <-> ф(гф"1).
Действительно, в S мы видим, что
ф <->0дич->ф(8иЬ(ли, т))
<->ф(зиЬ (г0х“|, т)) (так как ли = г0х“|)
ф(г0/и“|) <-> ф(гфп). □
Мы применим 2.2.1 к формуле ПРгт(х).
2.2.2. Теорема (первая теорема о неполноте). Пусть
Т Н ф "1 Ргт (ГФП). Тогда:
(О Т|/-Ф;
(и) при некотором дополнительном предположении ТИ-Пф.
Доказательство, (i) Заметим,__ что ТНф влечет
Т Н РгтГф"1) в силу D1, что влечет TH 1ф вопреки непротиво-
речивости теории Т.
(ii) Упомянутое дополнительное предположение — это уси-
ление обращения D1, а именно: из Т |-Ргт(гФп) следует Т Нф.
Мы имеем Т Н ф, следовательно, Т Ргт(гФп), так
что Т н Ргт (ГФП) и, ввиду дополнительного предположения,
Т Н Ф снова вопреки непротиворечивости теории Т. □
2.2.3. Теорема (вторая теорема о неполноте). Пусть Сопт
обозначает “]Ргт(гЛп), где А —любое удобное противоречивое
утверждение. Тогда
Т [т4- Сопт.
Доказательство. Пусть ф удовлетворяет условию тео-
ремы 2.2.2. Мы покажем, что S Н-ф*->Сопт.
Заметим, что S Нф->1 Ргт(гФп) влечет S Н ф-> ~] Ргт(гАп),
так как Th Л->ф влечет S |—Ргт(гЛ—>фп) в силу D1, что
влечет S h-Ргт(гЛ“|)->Ргт(гф'1) по D3.
Но ф-> ~| Ргт(гА”1) — это как раз ф—>Сопт, и мы доказали
половину эквивалентности.
Обратно, в силу D2, S Н Ргт(гф“,)->Ргт(гРгт(гфп)"1), что
влечет S h-Ргт(гФп)-> Ргт(г П фп) в силу DI, D3, так как
Ф*-> П Ргт(гФп). Это дает
S Н Ргт(гф“|)-> Ргт(гФ Л Фп) в силу DI, D3
и средств логики, что ^лечет S Н Ргт(гФп)->Ргт(гЛ“1) в силу
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
17
DI, D3 и средств логики. С помощью контрапозиции получаем
S Н “] Ргт (ГЛ“|) -> П Ргт (гф"1), а это дает S Ь Сопт~> Ф в силу
определений. □
2.2.4. Следствие. S Н Сопт~>Сопт+псопт.
Доказательство. В силу доказательства теоремы 2.2.3:
(i) S нСопт->~1 Ргт(гФп),
(ii) S Н Сопт Ф«
С помощью D2, D3 отсюда следует, что S Н Сопт
—> “] Ргт(гСоптп), так что
S Н Сопт “1 Ргт (г “1 Сопт -> А"1),
что дает S Н Сопт—> Сопт+псопт. □
Следствие 2.2.4 — это формализованная вторая теорема о не-
полноте.
Мы завершим изложение этих доказательств двумя замеча-
ниями.
2.2.5. Замечание. В процессе доказательства второй тео-
ремы о неполноте установлено, что рефлексивное (т. е. содержа-
щее упоминание о себе самом) предложение, утверждающее
собственную недоказуемость, эквивалентно предложению, ут-
верждающему, что рассматриваемая система непротиворечива.
Следовательно, это предложение единственно с точностью до
доказуемой эквивалентности.
2.2.6. Замечание. Если читатель сравнит нестрогую фор-
мулировку первой теоремы о неполноте, приведенную в начале
§ 2, с формулировкой 2.2.2 (ii), он заметит, что мы устранили
упоминание о ю-непротиворечивости. Мы рассмотрим это поня-
тие в 4.2.
2.3. Что будет. Чтобы завершить доказательство теоремы о
неполноте, осталось рассмотреть только технику кодирования.
Поэтому здесь, видимо, уместно вставить короткое описание
оставшейся части главы.
В § 3 мы рассматриваем кодирование и некоторые близкие
вопросы. В § 4 касаемся метаматематических свойств, отличных
от непротиворечивости; там также излагаются обобщения тео-
рем о неполноте. В § 5 мы приводим два приложения понятий и
результатов §§ 2 и 4. Теоремы о неполноте получаются путем
формализации синтаксиса; в § 6 мы посмотрим, что получится,
если формализовать семантику.
§ 3. Кодирование
Увлекательно разрабатывать подробности кодирования, но
их скучно читать. Автор написал этот параграф ради собствен-
ной пользы и ничуть не обидится, если читатель его пропустит.
18
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
В популярных изложениях мы часто заменяем точные утверж-
дения неточными или даже точными, но ложными. Пример по-
следней ситуации — распространенное утверждение о том, что
доказательство второй теоремы о неполноте получается путем
формализации доказательства первой. Правильнее было бы ска-
зать, что мы формализуем D1 и D2, а затем сводим вторую тео-
рему к первой. В п. 2.1 мы схитрили в двух местах:
(i) в расплывчатой формулировке того, в каком смысле си-
стема Т содержит S;
(ii) в нашем замечании о функции sub.
Мы рассмотрим (i) сейчас, a (ii) в 3.2.2.
В 2.1 мы, походя, заметили, что Т содержит S в том смысле,
что имеется Некоторое вложение S в Т того же типа, что вложе-
ние арифметики в теорию множеств. В обычной математической
практике могут быть важны подробности вложения, например
непрерывность или гомоморфность. То же верно и здесь.
Мы должны знать, например, что подразумевается под
Ргт(гРгт(гФпГ), где ф — формула в языке системы Т, а Ргт —
формула в языке системы S.
Мы предлагаем избавиться от всех этих затруднений, введя
более сильные допущения:
(i) язык системы S содержится в языке Т;
(ii) аксиомы системы S являются аксиомами Т.
Допущения (i) и (ii) облегчают жизнь вообще, а при рассмотре-
нии D2 будут действовать буквально как смазка.
Популярные примеры не удовлетворяют этим условиям. Од-
нако если мы определим Т' как консервативное расширение си-
стемы Т, получаемое добавлением символов и аксиом системы
S, то обычно можно показать
S f-Vx[PrT (%)*-> PrrU)], (*)
сводя таким образом рассматриваемый случай к обсуждаемому
здесь. Теории, для которых (*) неверно, представляют собой
патологию, и мы ими не интересуемся.
После того как эти проблемы решены, мы сделаем несколько
несущественных дополнительных предположений. Они нужны
лишь для того, чтобы уменьшить число случаев, которые при-
дется рассматривать при определении различных функций, пред-
ставляющих синтаксические операции (ср. 3.2). Вот эти предпо-
ложения:
(i) Логические связки и кванторы — это в точности П, V.
(ii) S и Т содержат в качестве констант только цифры 0;
I; ... ; 15; ...
(iii) Имеются только числовые переменные.
(iv) Т содержит бесконечно много n-местных функциональ-
ных и предикатных символов для каждого п.
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
19
Таким обра.зом, в языке системы Т имеются:
цифры: 0; 1; ... ; 15; ... ;
числовые переменные: и0, Vi, ... ;
п-местные функциональные символы: ft, ft, ...;
п-местные предикатные символы: /?о, Вл, ...;
связки: ~,
квантор: V.
Другие связки и квантор В считаются сокращениями.
Мы считаем, что в S имеется спаривающая функция <,> с
обратными к ней функциями лл, л2. Используя их, мы следую-
щим образом, поставим в соответствие всем основным синтакси-
ческим объектам их коды, которые будут замкнутыми термами:
/н-><0, /), П^(4, 4),
Vi ь-* <Т, I), -> (5, 5),
ft^(2,(n, Г}), Vh->(6, 6>.
<3, (п, Г»,
Термы и формулы — это конечные последовательности таких
символов, а выводы — конечные последовательности формул. Та-
ким образом, в S должна быть обеспечена возможность коди-
рования конечных последовательностей и оперирования с ними.
В следующих пунктах мы введем один симпатичный класс функ-
ций и рассмотрим их использование для такого кодирования.
В 3.2 мы предположим, что эти функции «содержатся в S», и
закончим кодирование синтаксиса. В 3.3, 3.4 и 3.5 обсуждаются
обобщения первой теоремы о неполноте, которые мы можем до-
казать, если хорошо представляем себе имеющиеся возможности
кодирования.
3.1. Примитивно рекурсивное кодирование конечных после-
довательностей. Примитивно рекурсивные функции — это, грубо
говоря, те функции от натуральных чисел, которые могут
быть получены путем рекурсии. Конечно, они должны быть по-
лучены рекурсией из чего-то, а во избежание мелких неприят-
ностей этот класс должен быть замкнут относительно явных оп-
ределений.
3.11. Определение. Функция f от натуральных чисел при-
митивно рекурсивна, если ее можно получить за конечное число
шагов посредством следующих правил:
(i) f (х) = 0; Нуль
(ii) f (х) = х + 1; Следование
(iii) f(x)=x^; Проекция
20
ГЛ. 1. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
(iv) f{x) = g(hi(x).....йт(х));
( f(0, X) = g (х),
V I f(x+ 1, x) = h(f(x, x), x, x).
Суперпозиция
Рекурсия
3.1.2. Определение. Отношение R примитивно рекур-
сивно, если его представляющая функция
( 0, если R (х),
%/?(*) = { если
примитивно рекурсивна.
Чтобы облегчить рассмотрение кодирования конечных после-
довательностей, мы установим несколько простых свойств замк-
нутости для классов примитивно рекурсивных функций и отно-
шений. Чтобы сделать это, нам нужно несколько функций. На-
чиная с функции «нуль» и итерируя суперпозицию функции
«следование», мы тривиальным образом видим, что все кон-
стантные функции примитивно рекурсивны. Элементарная
школьная математика подсказывает нам, что, итерируя «рекур-
сию», можно показать примитивную рекурсивность сложения,
умножения и возведения в степень. Вычитание выводит нас
за пределы области натуральных чисел, однако усеченное вы-
читание
( х — у, если х^у,
х~У=\ п
(0, если х < у,
примитивно рекурсивно. Действительно, мы можем определить
его по схеме «рекурсия» равенствами
х —0 = х, х~(у+ l) = pd(x — у),
где pd определяется по «рекурсии» равенствами
pd(O) = O, pd(*+ 1) = х.
Более удобны в обращении функция знака sg и ее дополне-
ние sg:
sg(0) = 0, sg(x+l)=l;
sg(0)=l, sg(x+l) = 0.
3.1.3. Лемма (определение разбором случаев). Для прими-
тивно рекурсивных gi, g2, h определим функцию f равенствами
( gi(x), если й(х)=0,
* | g2 (х), если h (х) =/= 0.
Тогда f примитивно рекурсивна.
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
21
Доказательство. f(x) = gi(x)-sg(ft(x)) -f- g2(x) •
•sg(ft(x)). □
3.1.4. Следствие. Отношение равенства примитивно ре-
курсивно.
Доказательство. Положим h (х, у) = | х — у | = (х —
-^ {/) + («/—я). □ _
Отметим, что функции sg и sg использовались в предшест-
вующем доказательстве в несколько логическом стиле. Чтобы
проиллюстрировать это далее, допустим, что %R, %s — представ-
ляющие функции отношений 7?, S. Заметим следующее:
X-1R(x) = sg(%s(*))>
ХЛ л S (*) = sg (Xr(*) + Xs (*)),
XrVs(*) = Xr(*)-%s(*)-
Если мы определим ограниченные кванторы Зу^.х, Xfy^x,.
то для отношения R (у, х) имеем
X^xrU- *)= П Xr(1/> *)-
у < х
'Х'ХГУ^хЦ “ %п х 1
3.1.5. Лемма, (i) Пусть функция g(x, х) примитивно ре-
курсивна. Тогда примитивно рекурсивны функции и f2 такие,
что
fl(x, х) = £ g(y, х), f2(x, х) = П g(y, *).
У<х у^х
(ii) Если R (у, х) —примитивно рекурсивное отношение, то
примитивно рекурсивны также отношения S, Т такие, что
S(x, х)*->3у ^.xR(y, х), Т(х, х) *-+Vy t^.xR(y, х).
Доказательство этой леммы предоставляется читателю.
3.1.6. Определение (ограниченного ц-оператора). Пусть
g(y,x)—некоторая функция. Определим функцию
f(x, х) = ру <x[g(y, х) = 0],
полагая f(x, х) равным наименьшему у < х такому, что
g(y, х) = 0, если такой у существует, и f(x, х) = х в противном
случае.
3.1.7. Лемма. Если g(y,x) примитивно рекурсивна, то та-
кова же и ру < x[g(y, х) = 0].
Доказательство. Положим по определению
0, если 3y^x\g(y, х) = 0],
1, если “|3i/<x[g(iz, *) = 0].
f 1 (х, х) =
22
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
/1 примитивно рекурсивна, и мы можем определить функцию
f(x, х) = £ ft (у, х). □
у<х
Теперь у нас достаточно инструментов для установления
примитивной рекурсивности известной спаривающей функции
(х, у} = 4((х + У? + Зх + у)
и обратных к ней функций. Мы просто используем ограничен-
ный ц-оператор:
<х, у} = цг<(х + у)2 + 3х + у+ 1 [2z = (х + у)2 + Зх + у],
щг = fix < z + 1 [3# < z «х, у) = г)],
л2г — ру < г + 1 «л^, у) = z]
и тот факт, что х, у ^<х, у).
Для кодирования конечных последовательностей мы исполь-
зуем основную теорему арифметики, согласно которой любое
натуральное число ^2 имеет единственное представление
в виде
« = Р?о° • • • Р/*>
где pt-0, ..., Pik~ различные простые числа и все и/ положи-
тельны. Мы имеем следующие определения:
(i) x|y*->3z<y(xz = t/);
(ii) х < у 3z < у (у = х + z + 1);
(iii) х — простое число *-*-х =/= О А х =/= 1 AVz^x[z|y-*z =
= х V z— 1];
(iv) рп = п-му простому числу: ро = 2,
Pn+i = рх <рп1 + 1[рп<х Дх простое];
(v) а е Seq*->a= 1 V а > 1 A Vx<a[px+1\а-*рх |а];
{О, если аф Seq V а = 1,
цх^а[рх|а A px+t К а], если ае Seq А а¥=1;
(vii) (а)х = ру < х + 1 [Р?+‘ | а А рух+21 а];
(viii) a*b =
а • П РЙнх+P если а =/= 1 А & ¥= 1,
1П (О)
а, если &=lAa=/=l,
b, если а=1.
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
23-
Мы прокомментируем (v) — (viii). Seq обозначает множе-
ство номеров последовательностей, т. е. чисел, у которых нет
пробелов в списке их простых делителей. Для таких чисел мы.
имеем
а= П Р,о)/+*.
i <lh(a)
Если а, b — номера последовательностей, кодирующие соот-
ветственно (а0, •••, am), -(bo, ...» Ьп), то а*Ь— это номер по-
следовательности, кодирующий их соединение («о, .... ат,
Ьо> • • •, Ьп)
Мы пишем (оо> •••> ап) вместо 2e°+1 • ... ’p“n+i. В частно-
сти, (a) = 2a+1 и ( )=»1.
Непосредственное применение этих понятий дает следующее
утверждение.
3.1.8. Лемма (о возвратной рекурсии). Пусть g, h прими-
тивно рекурсивны, a f определена равенствами
f(0, x) = g(x), f(x+ 1, x) = h(f(x, x), x, x),
где f(x,x) = {f(Q,x), ..., f(x, x)) — возвратная функция, свя-
занная c f. Тогда f примитивно рекурсивна.
Доказательство. Заметим, что f примитивно рекурсивна:
J (0, х) = 2е {х}, f (х + 1, х) = f (х, x)*(h (f (х, х), х, х)).
Но f(x,x) — (f(x,x))x. □
Мы применим эту лемму в следующем пункте, чтобы завер-
шить рассмотрение кодирования.
3.2. Примитивно рекурсивное кодирование синтаксиса. Пока
что у нас есть коды для основных синтаксических объектов (пе-
ременных, цифр и т. д.) .и примитивно рекурсивный метод коди-
рования конечных последовательностей. Теперь мы соберем то,
что имеем, чтобы закодировать более сложные синтаксические
объекты.
3.2.1. Определение. Мы следующим образом порождаем
коды для сложных термов и формул:
(i) Если /ь ..., tn имеют коды ..., то
= V..............ГС).
r«(,...// = (rW, V...........го,
где —коды, определенные в начале § 3.
(ii) Если ср, 'ф имеют соответственно коды rqP, гф“1, то
Г-)фП = (Г-]П> Гф-1), Гф^фП = ГфП,
24
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
(iii) Если <р имеет код f’tp"1 и vt — переменная, то
гу0/(р-1 = (гу1, r^-i, Гф-1).
Замечание. Это дает нам функции neg, imp такие, что
neg(x) = (r“]’1, х), imp(x, y) = (r_+-it х, уу
Мы теперь покажем, что сложные синтаксические понятия
примитивно рекурсивны.
(i) Представляющая функция для множества термов опреде-
ляется возвратной рекурсией
' 0, если 3t х [х = (О, i) V х = (1, :)],
О, если х е Seq А Зп хЗг х [(х)0 = (2, <п, [))
Т W = A lh(x) = пЛУу < п (Г ((х)?+1) = 0)],
< 1 в противном случае.
(ii ) Аналогично определяется представляющая функция для
формул:
Г(х) =
0, если х <= Seq A Bn хЗ/ х [(х)0 = (3, (п, /))
A lh (х) = п А У у < п (Т ((х)„+1) = 0)],
О, если хе Seq A (х)о = ' Р AF((x)i) = 0 A lh(x)= 1,
0, если х е Seq А (х)0 = г—>-1
A F ((х),) = F ((х)2) = 0 A Ih (х) = 2,
О, если х е Seq А (х)0 == гV"1 А Зг х ((x)t = (1, i})
AF((x)2) = 0 A lh(x) = 2,
1 в противном случае.
3.2.2. Sub. В 2.1 мы говорили о некотором операторе или
функции подстановки. В действительности нам нужно две такие
функции: одна — для подстановки вместо (кода некоторой) сво-
бодной переменной (кода некоторого) терма, а другая для под-
становки вместо (кода некоторой) свободной переменной (кода
некоторой) цифры, которая якобы обозначает то же самое чис-
ло, которое обозначает данный терм. Первая из этих функций
нужна, например, для распознавания аксиом вроде Vx(px-xp/.
Обе они могут быть использованы в лемме о диагонализации,
но вторая нужна, если мы хотим иметь бескванторную форму
леммы о диагонализации. Другие приложения трудно описать
здесь, и мы предоставим функции «говорить самой за себя»,
когда мы будем применять ее в дальнейшем. Мы определяем
первую синтаксическую функцию подстановки с помощью воз-
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
25
вратной рекурсии, рассматривая сначала термы, а затем фор-
мулы:
sub^u,-1, i, у) = у,
subff’t»/'1, i, у) = го/-1,
sub (rf"/1.. I, у) = (rff\ sub i,y),..., sub i, у)),
sub ...tn'1, i, у) = sub (r/In, i, у),..., sub (’/„’, i, у)),
sub (’ | ф"1, i, z/) = C 1“*, sub(rq)“I, i, y)),
sub (гф-* ф"1, z, z/) = (r->“*, sub(r<pn, z, z/), sub (н-ф"1, Z, y)),
sub^Vtw"1, Z, y) — HV^cp"1,
sub^Vu/p"1, Z, y) = (rW\ rV/n, sub(r<p“I, Z, y)), j Ф i,
sub(x, Z, z/) = 0, если x не имеет ни одного из
предшествующих видов.
При таком определении легко видеть, что для любого терма t
sub(rqvP, Z, ^) = гф/п.
Если мы заметим, что Vi входит свободно в ф тогда и только
тогда, когда 8иЬ(гф“1, Z, (0, /))=/= ГФП, то мы можем прими-
тивно рекурсивно определить функцию sub, о которой говори-
лось в 2.1, разбором случаев:
' sub(x, Z, у),
если Z = р/ < х [ vf входит свободно в х],
х, если Z не существует.
sub (х, у) =
Функции sub3, sub4 и т. д. определяются путем итерации.
Вторая, важная функция подстановки — это
s(x, z/) = sub(x, (0, z/>).
Она удовлетворяет следующему условию: если в фУ/ входит
свободно только Vi, a t — замкнутый терм, обозначающий чис-
ло п, то 5(гфиР, /)=гф“1, где формула ф эквивалентна фп.
(Чтобы доказать ф <-> фп, нам нужно лишь показать, что t = п,
так как в этом случае подстановочность равенства дает
Ь гфп“* = гфп.) Более того, если ф содержит свободно только
Vi, то 5(гфп, х) формально является кодом некоторого предло-
жения. Мы часто будем писать’’фу'1 вместо 5(гфх“*, у).
3.2.3. ProvT. Следующий шаг — определение предиката
Ptovt(x, у). Вывод формулы ф — это последовательность фор-
мул такая, что каждый элемент этой последовательности яв-
ляется либо аксиомой системы Т, либо логической аксиомой,
либо следствием предшествующих членов этой последователь-
26
ГЛ Т. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
ности по некоторому логическому правилу. Можно считать, что
логические аксиомы примитивно рекурсивны в том смысле, что
примитивно рекурсивно множество кодов таких аксиом. Мы
предоставляем читателю проверить это для его любимой аксио-
матики. Далее, если умело подобрать аксиомы, то можно счи-
тать, что единственное правило вывода — это модус поненс
мр -—til
ч>
Мы предполагаем, что множество (кодов) аксиом системы Т
примитивно рекурсивно. Таким образом, мы получаем
ProvT (х, //) Seq А V/ lh(х) [(х\ — логическая аксиома
V (х)/ — аксиома системы Т
А 3/ < iBk < i ((x)ft = imp ((x)z, (x)J)] A у = (x)lh <x>;
PrT (у) Эх ProvT (x, у).
3.2.4. S, I: нумерическая представимость. Говорят, что отно-
шение R N" нумерически представляется или нумеруется фор-
мулой ф в системе S, если мы имеем для всех 1щ, ..., пгп
Rm\ ... mn истинно тогда и только тогда, когда S Н cpmi ... гпп-
Формула ф бинумерует отношение R, если мы имеем также
Rm\ ... mn ложно тогда и только тогда, когда S Н ... inn.
Мы предполагаем, что S бинумерует любое примитивно ре-
курсивное отношение. Чтобы проверить это свойство, достаточно
для любой примитивно рекурсивной функции f найти такую
формулу фЬ что доказуемы все числовые примеры определяю-
щих уравнений для f, записанных через фЬ Например, если f
определяется из g, h по схеме «рекурсия>, то для любых гп\, ...
..., пгп, m должно выполняться
S Ь- 3!хф| (0, /пь ..., тп, х)
А Ух[фД0, ..., tnn, х)-^ф5(гп1, ..., tnn, х)],
S Н3!хф^(т+ 1, пг{, ..., tnn, х) A Vxy [фДт, пг{, ..пгп, у)
A <Pf(^+ 1, tni9 ..tnn, x)-+<ph(y, tn, tnx, ..mn, x)J.
Тогда метаматематическая индукция по числу шагов порожде-
ния f (и по величине первого аргумента f в случае определения-
по рекурсии) показывает, что ф^ бинумерует график функции f.
Из того, что S бинумерует все примитивно рекурсивные функ-
ции (и, следовательно, все примитивно рекурсивные отношения),
следует, что бинумеруются все примитивно рекурсивные коди-
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
27
рующие функции, в частности neg, imp, sub, s и Pfovt. Этот по-
следний факт позволяет нам проверить D1:
Т H<p<=>S Ь-Pfovt ГФП) для некоторого замкнутого терма t
=>S Ь- Ргт(гфп).
Быстрый просмотр доказательства первой теоремы о непол-
ноте показывает, что для ее установления нам не были нужны
D2 и D3. Итак, мы привели (за исключением небольших неточ-
ностей) полное доказательство этой теоремы.
3.2.5. S, II: D2 и D3. Вторая теорема о неполноте получается
не так дешево. Чтобы установить D3, мы должны показать
S Н Pfovt {а, rqpn) Л Pfovt (6, гф -► ф"1) —> Provi (а * b * (гфп), гфп)
со свободными переменными а, Ь. этого требуется много
больше, чем просто бинумеруемость примитивно рекурсивных
отношений: их представления должны быть доказуемо кор-
ректны со свободными-переменными. Для этого S должна дока-
зывать не только каждый частный случай определяющих ра-
венств для данной примитивно рекурсивной функции, но и сами
эти равенства со свободными переменными. Необходимо также,
чтобы S доказывала индукцию по примитивно рекурсивным от-
ношениям.
Последнее станет ясно, если рассмотреть D2. Условие D2 —
это формальный вариант следующего усиления условия D1: если
/ примитивно рекурсивна, то
fтх ... тп = т => Т Н fth{ ... tnn = fn
=> S I- Pfovt (d (rnif ..., fnn), rfntl ... mn — tn1) (*)
для некоторой примитивно рекурсивной функции d. Чтобы убе-
диться, что такая d существует, заметим, что доказательство
равенства fm = т (в S, а следовательно, и в Т) — это почти вы-
числение, оно будет задано последовательностью равенств и
импликаций равенств. Поэтому существование функции d, удов-
летворяющей соотношению (*), не слишком удивительно; не-
удивительно и то, что мы утверждаем истинность импликации
S Н fx = у -> Pfovt (rfx, rf х = у“*). (♦♦)
Ее доказательство, слишком длинное для того, чтобы воспро-
изводить его здесь*)*, проходит с помощью метаматематической
индукции по числу шагов, нужных для порождения /, а также
(когда используется схема рекурсии) формальной индукции по
•) См., например, Добавление I в книге Клини С. К. Введение в мета
математику. — М'.: ИЛ, 1957. — Прим, перев.
28
ГЛ. Т. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
примитивно рекурсивному отношению (* **). Как только (**J
принято, примитивная рекурсивность предиката Pfovt дает
S Ь-Ргоут(х, у)-*Ргт(гРго¥т(х, г/р),
и нужно только применить DI, D3 к верной формуле qpx ->3xqpA:,
чтобы заключить, что D2 верно.
3.2.6. S, III: выбор системы S. В силу предыдущих рассмот-
рений мы можем адекватно закодировать синтаксис в системе
S, если S допускает представление примитивно рекурсивных
функций, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) определяющие равенства для примитивно рекурсивных
функций доказуемы со свободными переменными;
(ii ) доказуема индукция по примитивно рекурсивным отно^
шениям;
(ii i) вычисления почти являются выводами тех равенств, ко-
торые они устанавливают.
Мы перечислим три примера таких теорий:
(a) PRA-—примитивно рекурсивная арифметика. PRA со-
держит цифры 0, 1, ..., и для любой примитивно рекурсивной
функции (точнее, для любого определения согласно нашим пра-
вилам порождения таких функций) в PRA имеется функцио-
нальный символ. Кроме некоторых тривиальных аксиом, отно-
сящихся к константам и функции следования, аксиомами PRA
являются определяющие равенства и индукция по бесквантор-
ным формулам *).
(Ь) РА — арифметика Пеано. Константами РА также яв-
ляются натуральные числа, но она имеет функциональные сим-
волы только для функции следования, сложения и умножения.
Аксиомы состоят из тривиальных аксиом, относящихся к кон-
стантам и функции следования, рекурсивных равенств для сло-
жения и умножения, а также индукции для всех формул языка.
Даже доказательство того, что РА бинумерует примитивно ре-
курсивные функции, требует еще одного кодировочного трюка.
Наиболее известный прием использует для кодирования конеч-
ных последовательностей китайскую теорему об остатках. Усло-
вия (i) и (ii) доказываются путем формализации использования
кодирования конечных последовательностей и оказываются не-
тривиальными, поскольку лишь немногие учебники приводят под-
робности**). Условие (iii) можно обойти, заметив, что представ-
ление ПР (примитивно рекурсивной) функции можно записать
в виде Зл?ф, где <р гораздо проще в синтаксическом отношении,
♦) Подразумевается, что язык PRA содержит кванторы. Поэтому рас-
сматриваемая система является расширением (хотя и консервативным) бес-
кванторных формулировок PRA. — Прим, перев.
**) См. Добавление II в книге Клини С. К. Введение в метаматема-
тику.— М.: ИЛ, 1957. — Прим, перев.
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
29
чем соответствующая примитивно рекурсивная функция. Напри-
мер, в силу теоремы Матиясевича в качестве ф можно взять ра-
венство между двумя многочленами. Таким образом, формали-
зация импликации фх->Ргра(гФ^п) более проста.
(с) ZF — теория множества Цермело — Френкеля. Этот при-
мер' и хорош, и плох. Он плох, поскольку проблема кодирования
в целом решается в теории множеств легче, чем в арифметиче-
ской теории. По той же причине это хороший пример.
3.3. Теорема Россера. В силу 3.2 бинумеруемость примитивно
рекурсивных отношений в S достаточна (как условие на S) для
первой теоремы о неполноте. Необходимо еще предположить
кое-что относительно Т:
(i) Т содержит S;
(ii) Т непротиворечива;
(iii) (для второй половины теоремы) все теоремы теории Т,
имеющие вид Ргт(гФп), истинны.
Теорема Россера позволяет с помощью модификации преди-
ката Pfovt опустить последнее условие корректности, налагае-
мое на Т. Положим по определению
Prov?(x, у) ProvT (х, у)
Л Vz < x\fw < х [Ргоут (-г, w) -+ у ф neg (ш) А ш =£ neg (у)],
Рг? (у) Зх Prov? (х, у),
Con? П Ргт
3.3.1. Теорема Россера. Пусть Т Ь- ф«-> *1 Рг?(гфп).
Тогда*.
(О ТРгф;
(ii) Тренер;
(iii) Т Н Con?.
Доказательство, (i) Ввиду непротиворечивости теории
Т формулы ProvT и Prov? бинумеруют одно и то же отношение.
Следовательно, верно DH, т. е. Т Н ф => Ь- Рг? (гф"1). Таким об-
разом, доказательство первой половины теоремы о неполноте
дает искомый результат.
(ii) Это следует из (iii).
(iii) Мы предоставляем это читателю, ограничившись заме-
чанием, что Т непротиворечива иТН iA. □
*3.4. Теория рекурсии. (Мы отсылаем читателя к главе 1
«Теории рекурсии» за полным изложением теории рекурсии.)
Исторически теория рекурсии развилась из теорем непол-
ноты. После того как мы узнали кое-что из теории рекурсии,
естественно оглянуться назад.
30
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
3.4.1. Определение. Множество S N натуральных чи-
сел рекурсивно перечислимо (р.п.), если для некоторого прими-
тивно рекурсивного отношения 7? имеет место
Sx <=> 3yRxy.
Эквивалентное определение таково.
3.4.2. Определение. Множество S^N является р. п,
если S — 0 или S = rang(f) — области значений f для некото-
рой примитивно рекурсивной функции f.
Другое полезное понятие дается следующим определением.
3.4.3. Определение. Множество S^N рекурсивно, если
как S, так и N — S являются р. п. Функция f: N -> N рекурсивна,
если ее график (рассматриваемый как подмножество множества
N с, помощью примитивно рекурсивной спаривающей функции)
рекурсивен.
Теоретико-рекурсивный аналог первой теоремы о неполноте
таков.
3.4.4. Теорема. Имеется р.п. множество, не являющееся
рекурсивным. \.
Мы доказываем это с помощью построения нумерации
1F1, ... всех р. п. множеств и рассмотрения р. п. множества К\
такого, что
Vxz/ «х, у) е о х е Wy).
Тогда множество K = {xi <х, x>eXi} является р.п. множе-
ством, дополнение которого не р. п. Затем мы доказываем пер-
вую теорему о неполноте, устанавливая, что К может быть ну-
мерически представлено в Т. Если Т достаточно корректна, это
не слишком сложно — мы используем нумерическое представ-
ление множества К в S, которое получается из бинумерации
того примитивно рекурсивного отношения, проекцией которого
является К. Если Т не очень корректна, то нумерическое пред-
ставление множества К в S может не быть таковым в Т, так как
Т может доказывать принадлежность множеству К для боль-
шего количества чисел. Обычно трудности, связанные с нумери-
ческими представлениями в некорректных теориях, обходят с
помощью следующего определения.
3.4'.5 . Определение. Пусть Л, В s N — дизъюнктные р.п.
множества. А и В эффективно' неотделимы, если имеется рекур-
сивная функция f такая, что для любых р. п. множеств Wi, W/
из
ю wif]Wl=0‘,
(ii) А s W'i, Bs=W}
следует f (i, j) Wi U W/.
§ 3. КОДИРОВАНИЕ
81
3.4.6. Теорема. Эффективно неотделимые р. п. множества
существуют.
Мы примем это на веру.
Чтобы доказать ту часть теоремы Россера, которая соответ-
ствует первой теореме о неполноте, мы строим формулы ф, ф,
которые нумерически представляют соответственно множества А
и В в S и для которых
S Н Vx И (<рх Д фх). (*)
Тогда, если Т — непротиворечивая формальная теория, то
можно показать, что множество кодов ее теорем р. п., и мы по-
лагаем по определению
ITf = {n: Т|-фп}, = Т 1— "] фп}.
В силу (*) W< (]Wj= 0. Так как Т содержит S и ф нуме-
рует А в S, отсюда следует, что А г Wh В f и nQ — f (/, /) ф
ф Wi U Wf. Следовательно, Тр^фп0, ~| <р/г0.
*3.5. Иерархия формул. Главная цель этого пункта — зафик-
сировать терминологию для нескольких следующих ниже пунк-
тов, где обсуждаются более тонкие вопросы.
Напомним, что по предположению S содержит для каждой
примитивно рекурсивной функции f некоторую формулу cpf, пред-
ставляющую f в строгом смысле из 3.2.5. Формулы ф^ назы-
ваются примитивно рекурсивными формулами или ПР-форму-
лами.
3.5.1. Определение. Формула ф является (соответст-
венно Щ-) формулой, если для некоторой ПР-формулы ф
<г = Chx, . . . <Хх„ф,
где Q! = B (coo ветственно V) и соседние кванторы различны.
Мы употребляем запись ср е Еп(Пл) в двух смыслах: она может
означать, что ф является (соответственно Пя-) формулой или
эквивалентна (в S) такой формуле. Класс Ел-(Пл-) формул обо-
значим через (соответственно Щ).
Таким образом, мы имеем включения
3.5.2. Теорема. Имеется Ъп-определение истинности для
Ъп-формул. Иными словами, для каждого п имеется формула
32
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Тг2ле2„, содержащая свободно только числовую переменную
х и такая, что для (рхе
S Н фх Тг2д (гфх-1).
Аналогичный результат верен для Пл.
Мы опустим доказательство, но отметим
3.5.3. Следствие. Формула Trsn(s(х, х)) принадлежит
классу Srt, но не Пп.
Доказательство предоставляется читателю в качестве лег-
кого упражнения.
Отсюда следует, что все указанные выше включения соб-
ственные. Таким образом, мы имеем настоящую иерархию.
С нашей точки зрения имеется два приложения этой иерар-
хии. Во-первых, так как это — иерархия, то мы можем использо-
вать ее для измерения сложности формул или множеств формул.
Такое приложение приведено в § 4. Второе приложение исполь-
зует не иерархию как таковую, а теорему 3.5.2. Многие теоре-
тико-множественные доказательства можно было бы провести
в арифметике, если бы имелось определение истинности. Теоре-
ма Тарского утверждает, что невозможно определение истин-
ности для языка в целом [докажите в качестве упражнения].
По теореме 3.5.2 имеются частичные определения истинности
Тго, Тгь ... такие, что Тгл работает до n-го уровня иерархии
включительно. Это позволяет формализовать в арифметике оп-
ределенные конструкции, которые выглядят теоретико-множе-
ственными. Одно приложение рассматривается в § 6.
Перед тем, как идти дальше, стоит отметить следующее.
3.5.4. Факт (доказуемая Si-полнота). Если ф е Si, то
S Н фХ -> Ргт (гфх“1).
Это следует из обсуждения теоремы 3.2.5.
§ 4. Метаматематические свойства, отличные
от непротиворечивости
В метаматематическом отношении непротиворечивость — ми-
нимальное предположение о теории. Можно желать, чтобы име-
ли место более сильные свойства, например со-непротиворечи-
вость. Если Т — теория, говорящая о некоторой конкретной
алгебраической системе в том смысле, в каком РА говорит о по-
лукольце натуральных чисел, мы можем хотеть даже большего,
например корректности (все доказуемое истинно) или полноты
(для любого суждения доказуемо оно само или его отрицание,
следовательно, всё истинное доказуемо),
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
33
В данном параграфе мы обсуждаем эти свойства. В 4.1 мы
рассматриваем схему корректности, называемую принципом реф-
лексии, а а>-непротиворечивость рассматривается в 4.2, где вы-
явлено соотношение между ней и более близким интуиции прин-
ципом рефлексии. Полнота, которая, как мы знаем, не имеет
места, порождает тем не менее непротиворечивые схемы. Они
обсуждаются в 4.3.
4.1. Принципы рефлексии. Первая теорема о неполноте дока-
казывается путем рассмотрения предложения, утверждающего
свою собственную недоказуемость. При минимальных предполо-
жениях ясно, что это предложение должно быть истинным и,
следовательно, недоказуемым. Но как обстоит дело с предложе-
нием, утверждающим свою собственную доказуемость? Истинно
оно или ложно? Именно эта проблема привела к следующей
важной теореме, характеризующей доказуемые частные случаи
принципа рефлексии.
4.1.1. Теорема Лёба. Пусть ср замкнута. Тогда
Т Н Ргт(г<р"1)-><р в том и только в том случае, когда Т Ьф.
Доказательство. Импликация в одну сторону оче-*
видна. Чтобы доказать вторую импликацию, допустим тр^ф.
Тогда Т + ~ф непротиворечива, и мы можем сослаться на вто-
рую теорему о неполноте и заключить, что Т + ~]ф не влечет
Сопт+пф, т. е. формулу ~] Ргт (’ |ф->Л“1). Итак,
Т + фРг ~1 PftCV1).
Контрапозиция дает Т Р^ Ргт (Иф”1)-* ф- □
Как сказано выше, это решает задачу о предложениях, ут-
верждающих свою собственную доказуемость, — такие сужде-
ния доказуемы (и, следовательно, эквивалентны между собой,
см. также 5.1). Это также обращает наше внимание на следую-
щие схемы.
Локальный принцип рефлексии
Rfn(T): Ргт(ф)—>Ф, Ф замкнута.
Первый равномерный принцип рефлексии
RFN(T): УхРгт(гфх“1)->Ухфх, ф содержит свободно только х.
Второй равномерный принцип рефлексии
RFN'(T): Ух[Ргт(гфх“1)->фх], ф содержит свободно только х.
[Здесь следует вставить одно ограничение. Запись гфхп
указывает, что область значений переменной х состоит из эле-
ментов, которые могут быть поименованы с помощью констант.
Таким образом, мы требуем, чтобы х в равномерных вариантах
2 Справочная книга, ч. IV
34
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
принципа рефлексии была числовой переменной (т. е. перемен-»
ной для натуральных чисел). В действительности, мы будем счи-
тать ниже, что все указанные явно переменные числовые, хотя
допускается, чтобы в формулы входили не указываемые явно
нечисловые переменные.]
Ясно, что принципы рефлексии — это схематические утверж-
дения о корректности: все доказуемое истинно. Как таковые, они
немедленно влекут за собой непротиворечивость, и, таким обра-
зом, мы видим, что они невыводимы в Т. Конечно, теорема 4.1.1
говорит нам еще больше: она характеризует доказуемые част-
ные случаи схемы Rfn(T). Тем не менее может быть поучитель-
но переформулировать первую и вторую теоремы о неполноте
в терминах принципов рефлексии.
4.1.2. Первая теорема о неполноте. Для некоторой
истинной и недоказуемой ф
ТРгРгтГф^-хр.
4.1.3. Вторая теорема о неполноте. Для любой оп-
ровержимой <р
Т Ь-Ргт(гФ'1)->Ф.
Проверим, что эти утверждения эквивалентны более изве-
стным вариантам. Первая теорема о неполноте не представит
трудностей, если мы укажем конкретнее, что истинное недока-
зуемое утверждение, которое мы имеем в виду, — это предложе-
ние, утверждающее свою собственную недоказуемость. Тогда
теорема 4.1.1 дает просто
Т РгРгт (ф)->Ф тогда и только тогда, когда Т ф,
где левая и правая части эквивалентности — это просто вариан-
ты первой теоремы о неполноте. Для получения второй теоремы
о неполноте заметим, что для опровержимых ф следующие че-
тыре формулы:
Ргт Гф-1)-* Ф, "1 Ргт (ГФ-1), "1 Ргт С’А”’), Сопт
эквивалентны*относительно Т. Теорема 4.1.1 снова дает эквива-
лентность двух вариантов.
Таким образом, теорема Лёба является обобщением теорем
О неполноте. Хотя уже одно это оправдывает более пристальное
внимание к принципам рефлексии, возможно стоит упомянуть
еще одну мотивировку. Напомним, что одним из главных стиму-
лов гильбертовской программы установления непротиворечи-
вости был тот факт, что непротиворечивость эквивалентна кор-
ректности относительно реальных утверждений. Теперь мы мо-
жем выразить это так:
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
35
4.1.4. Теорем а. Следующие утверждения эквивалентны от*
носительно S:
(i) Сопт;
(ii)Rfnn,(T);
(iii) RFNn.(T);
(iv) RFNn,(T),
где нижний индекс П1 указывает, что формулы <р в схеме огра-
ничены классом Пь
Доказательство. Импликации (iv)—>-(iii)->(ii) довольно
очевидны. Импликация (ii)->(i) следует из сделанного выше
наблюдения о том, что Сопт *-* (Ргт (ГФП)—>ф) для любой опро«
вержимой формулы ф, надо только выбирать <р е Пр
(i)->(iv). Пусть <р е П1 содержит свободно только х. Тогда
f]<px е 2] и ввиду доказуемой 21-полноты (см. 3.5)
S Н “I Ф*-> Ргт (' |фхп). (*)
Но
S+ Сопт I- Ргт (гфх"1) “1 Ргт (' I фх-1), (**)
так что (*) и (**) в сочетании дают
S + Сопт I— Ргт (гфх‘|) ->фх. □
Мы отсылаем заинтересованного читателя к 5.2, где приво-
дятся некоторые приложения теоремы 4.1.4. В данный момент
мы используем ее просто как второе оправдание нашего инте-
реса к принципам рефлексии: непротиворечивость эквивалентна
ограниченному принципу рефлексии.
Решив, что принципы рефлексии достойны изучения, мы мо-
жем и начать. Во-первых, заметим, что схемы сформулированы
в полной общности. С одной стороны, мы должны ограничиться
схемами, так как предложение
Vx [Ргт (гфх“>)-> Тг (гфхЧ)],
где Тг (гф"1) утверждает, что «ф истинна», не может быть сфор-
мулировано в Т. Действительно, по теореме Тарского об опреде-
лениях истинности невозможно определение истинности для Т
внутри самой Т (ср. 3.5). С другой стороны, дополнительные
переменные в каждом из вариантов равномерной схемы могут
быть слиты с помощью спаривающей функции, что сводит об-
щую схему к двум указанным. Гибридные формулировки, напри-
мер Vx[Vy Ргт (гфх//"1)-> Vz/фху]. очевидным образом следуют
из второго равномерного принципа рефлексии с несколькими пе-
ременными. Наконец, мы имеем следующую теорему,
2*
36
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
4.1.5. Теорема (Феферман). RFN(T) и RFN'(T) эквива-
лентны относительно S.
Доказательство. Очевидно, что частный случай
УхРгт(гфх“1)-> Vxcpx схемы RFN(T) следует из соответствую-
щего частного случая схемы RFN'(T). Обратная импликация
требует небольшой (но зачастую полезной) леммы.
4.1.6. Лемма. S Н PrT(rProvT(y, гф^",)->фх"1).
Доказательство, (а) В силу D1 и D3 имеем
S НРгОУтО/, ГфХ"1)->РГт(ГфХ“,)->РГт(ГРГ0¥т(У, ГфХ^)->фХ^).
(Ь) Так как ~| Prov е ПР, мы аналогично имеем
S НПРгоутО/, гфх“,)->Ргт(| |Ргоут(У, ГфХ“1)“1)
-> Ргт (гРго¥т (у, ГфХ“1)->фХ"1).
Сочетание (а) и (Ь) дает лемму.
Для завершения доказательства теоремы 4.1.5 возьмем ф и
заметим, что
S Н Ух[Ргт(гфх”1)->фх] <-> Vxz/«[ProvT (у, гфх"1)->фх].
Но правая часть этой эквивалентности выводима в S
[+ RFN (Т) в силу леммы 4.1.6. □
Перед тем, как идти дальше, интересно отметить следующий
доказуемый частный случай рефлексии:
S Н Эу Ргт (гРгоут (у, гФ-1Р)->ЗуРгоут(у, ГФП), (*)
т. е. S НЭ//Ргт(гРгоУт(у, гф“1)“1)->Ргт(гф“|). Утверждение (*)
непосредственно следует из леммы 4.1.6 и условия D3, и мы пре-
доставляем его вывод читателю. В силу теоремы 4.1.4 и второй
теоремы о неполноте переменная у в правой части (т. е. в за-
ключении) импликации (*) не может в общем случае обозначать
тот же код вывода, что и у слева. Мы можем установить это
также, сославшись на следующую форму теоремы Лёба со сво-
бодными переменными.
4.1.7. Теорема. Пусть ср содержит свободно только х.
Тогда
Т Н Vx [Ргт (гфхп) фх] в том и только
в том случае, когда Т Н Ухфх.
Мы опустим доказательство.
До сих пор мы видели, что использование принципов реф-
лексии позволяет обобщить теоремы о неполноте, что Сопт эк-
вивалентно ограничению схем рефлексии и что RFN (Т) имеет
ту же общность, что RFN'(T) и дальнейшие схемы с добавоч-
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА'
37
ными переменными. Мы должны задать себе простой вопрос:
насколько рефлексия усиливает непротиворечивость? Очевидно,
что из непротиворечивости не следует корректность; например,
Т = РА + П Сопра непротиворечива, но не корректна, так кай
“] Сопра является ложной теоремой теории Т. (Однако для
той же самой Т верно Т + Сопт I— RFN (Т), так как Т |— “] Сопт.)
Первый шаг представляет собой следующая простая лемма.
4.1.8. Л е м м а. Пусть <р замкнута. Тогда;
(i) Т + ф + Rfn (Т) Н Rfn (Т + Ф);
(ii) Т + Ф + RFN (Т) Н RFN (Т + ф).
Доказательство. Заметим, что для любой ф мы имеем
относительно S следующее:
S Ь- Ргт+ф СФ'1) *-► Ргт (гф -> Ф'1). □
4.1.9. Следствие. Пусть ф замкнута.
(i) Пусть Т + ф непротиворечива. Тогда Т + ф)\- Rfn(T).
(ii) Пусть Т' — непротиворечивое конечное расширение Т,
Тогда T'R-Rfn(T).
(iii) Если Т + Сопт непротиворечива, то Т + Сопт BrRfn(T)
*4.1а. Соображения иерархии. В силу следствия 4.1.9 ни
Rfn(T), ни RFN(T) не следуют ни из какого конечного множе-
ства аксиом, совместимого с Т. Мы посвятим оставшуюся часть
этого пункта обсуждению одного полезного улучшения этого ре-
зультата в равномерном случае. С этой целью нам придется ис-
пользовать понятия и символику иерархии формул (обсуждав-
шейся в 3.5). Этот материал излагается менее подробно, и при
первом чтении его можно опустить.
Пусть RFNnfe(T) обозначает ограничение схемы RFN(T)
фермулами из класса Щ. Аналогично мы определяем
RFN2ft(T), RFNnft(T) и RFN2ft(T). Первый результат таков.
4.1.10. Теорема. Следующие схемы эквивалентны относи-
тельно S (для k 0):
(i) RFN2ft(T);
(ii) RFNnft+1 (Т);
(ia) RFN^(T);
(iia) RFNnft+l (T).
Эквивалентности (x)«->(xa), где x есть I или ii, получаются
путем более тщательного рассмотрения доказательства тео-
ремы 4.1.5. Импликации (ii)->(i), (iia)->(ia) тривиальны, так
38
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
как S* £Щ+1. Для получения обратных импликаций мы исполь-
зуем доказуемую замкнутость относительно подстановки чисел:
S Н PRT(rVx<px’’)-> УхРгтГфх-1).
В терминах рассматриваемой иерархии можно переформули-
ровать лемму 4.1.8.
4.1.11. Теор е м а. Пусть <р — замкнутая формула из класса
Щ, и пусть n~^k. Тогда
(i) S + Ф + RfnS/, (Т) Н RfnSn (Т + ф);
(ii) S + ф + RFNsn (Т) Ь RFN2„ (Т + ф).
Это усматривается из того, что если ф е 2Я, то (ф->-ф)е
Используя Щ-определение истинности для Щ-формул, можно
показать, что RFNnA. (Т) можно записать в виде единого Щ-пред-
ложения. Имея это в виду, мы получаем такое утверждение.
4.1.12. Следствие, (i) Т + RFNS. .. (Т) Н RFNS. ,, (Т +
Ят1 /v”rl X
+ RFNnA+I (Т)), А>>0.
(ii) Т + RFNnft+1 (Т) Н RFNnft+1 (Т + RFNnfe (Т)), k > 1.
(iii) Если Т + RFNnft (Т) непротиворечива, то Т + RFNnfe(T)
h-RFNSft(T), fe>l.
(iii') Если Т + Сопт непротиворечива, то
Т + Сопт Ру RFNs, (Т).
Доказательство. Утверждения (i) и (ii) следуют из
теорем 4.1.10 и 4.1.11. Утверждения (iii) и (iii') — простые при-
ложения теорем о неполноте в виде теорем 4.1.2 и 4.1.3.
В силу следствия 4.1.12 схема RFN не следует ни из какого
(непротиворечивого) множества своих частных случаев. Сле-
дующая теорема Крайзеля и Леви необычайна усиливает это
утверждение.
4.1.13. Т ео р е м а о существенной неограничен-
ности. Пусть дано п, и пусть U — р. п. теория (не обязательно
содержащая S) в языке теории Т. Если Т |— RFN (U), то ни в ка-
ком непротиворечивом расширении теории U множеством Д, со-
стоящим из 'En-предложений, не выводимы все теоремы теории
Т. В частности, Т не может быть аксиоматизирована над U ни-
каким множеством 'Яп-аксиом.
Доказательство. Пусть Тг„ — 2п-определение истин-
ности для Sn-формул. Определим ф, согласно 2.2.1, так, чтобы
выполнялось
S 1- ф *-> Vx [Tr„ (х) -> "] Pru (imp (х, гф'1))].
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
89
С интуитивной точки зрения тр выражает свою невыводимость
из любого истинного Sn-предложения.
(а) Из того, что Т Н RFN(U), следует
Т Н Vx [Pru (imp (х, г^))^(Тгл(х)->1|))].
Таким образом,
Т Н ~1 г|)-> Vx [П Тгп (х) V П Pru (imp (х, гг|Р))]
-► Vx [Тг„ (х)Pru (imp (х, гф'1))]->ф.
Следовательно, Т Н ф.
(b) Допустим, что Д s и U + Д— расширение теории Т.
Тогда U + Д Н ф. Мы покажем теперь, что отсюда следует про-
тиворечивость системы U + Д- Из того, что U + Д Н ф, следует
U + X Н ф для некоторого конечного X s Д. Пусть <р = Л X. То-
гда U Нф—>ф. Но отсюда следует
(i) Т Н Pru(r<p->i|>’1).
Так как Т Н ф, мы имеем
(ii) Т }-Рги(г<р-> ip) ->~|ТГп СфЧ).
Но фЕ Ел и
(iii) Т Нф^Тг„Гф->),
так что (i) — (iii) дают Т|— ~1ф. □
Теорема о существенной неограниченности — полезный ин-
струмент для доказательства теорем неограниченности, т. е. ре-
зультатов вида: аксиоматизация Ti над Т2 требует сколь угодно
сложных формул. Самый основной пример — тот, где Т2 = PC
(исчисление предикатов).
4.1.14. Определение. Теория Т называется рефлексивной,
если THRFN(PC), где PC обозначает исчисление предикатов
(сформулированное в языке теории Т).
Мы заметим, что по лемме 4.1.8 из рефлексивности Т сле-
дует, что TH RFN(U) для всех конечных подсистем U теории Т,
В частности, Т Н Сопи для таких U.
4.1.15. Теорема рефлексивности. РА и ZF рефлек-
сивны.
Обычное доказательство этой теоремы слишком длинно для
Того, чтобы приводить его здесь. Для ZF мы можем дать сле-
дующее простое доказательство. С помощью формализованной
Индукции по длине вывода получаем
ZF |— Vx [Ргрс (гфх-1) —> Va [Trans (а) Д х е а —> ф(а)х] ],
Где ф<а> обозначает релятивизацию ф по множеству а, и
40
ГЛ. Т. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Trans (а) утверждает, что а транзитивно. В силу теоретико-мно-
жественного принципа рефлексии имеем
ZF Н Vx[И фх—>Ва [Trans(а)Дхеа Д "] <р(а)(х)]],
откуда
ZF Н Vx [Ргрс (гфх-1) -> <рх].
В качестве следствий мы получаем, что (i) схема индукции
в РА не следует ни из какого ограниченного множества своих
частных случаев и (ii) нельзя ограничить все схемы в ZF.
*4.2. ^-непротиворечивость. Понятие со-непротиворечивости
было введено Гёделем с целью сформулировать предположения,
нужные для первой теоремы о неполноте, со-непротиворечивость
теории Т не является ни оптимальным, ни самым интуитивно по-
нятным достаточным условием для этой теоремы. Тем не менее
ее использование в этом месте столь твердо закреплено в лите-
ратуре, что мы обязаны прокомментировать этот вопрос.
Говоря неформально, со-непротиворечивость — это условие,
которое имеет место для Т, если следующие два условия не вы-
полняются вместе ни для какой формулы ср:
(i) Т Н Эхфх;
(ii) Т Н И ф0, П фТ, ...
Формально со-непротиворечивость можно представить (с раз-
личной степенью общности) посредством (модификаций) сле-
дующей схемы.
4.2.1. Ргт(гВхфх“|)->Эх ~] Ргт (' 1ФХ-1).
Пусть 1-Сопт обозначает ограничение схемы 4.2.1 форму-
лами ф е PR, содержащими только одну свободную перемен-
ную.
4.2.2. Формализованная теорема о неполноте.
Пусть ф есть ПРгт(гф’1). Тогда:
• (i) Т + Сопт ЬПРгтГф”1);
(ii) Т +1-Сопт НПРгт(гПф1).
Доказательство. Утверждение (i) было установлено в
процессе доказательства второй теоремы о неполноте.
Чтобы установить (ii), допустим, что ф = Ухфх, ф е PR. Тогда
Т+ 1-Сопт Н PrT (“1 ф) -> Вх И Ргт (гфх-1) -> Эх И фх
в силу доказуемой Si-полноты (3.5.4). Таким образом,
Т + 1-Сопт Н Ргт (' I Фп) -> П ф, (*)
Т -Г 1-Сопт 4“ Ргт (ГП ф"1)~> Ргт (^ф"1)* (♦♦)
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
41
Но 1-Сопт влечет Сопт, так как утверждает недоказуемость
чего-то. Поэтому в силу (i) имеем
Т+ 1-Сопт НПРгтГф"1),
что вместе с (**) дает (ii). □
Вероятно, самое важное обстоятельство, которое следует от-
метить в связи с предыдущим доказательством, состоит в том,
что 1-Сопт была использована только для вывода формулы (*):
РгтС |ф"1)->~]ф для замкнутой ф е Пь т. е. 1-Сопт была ис-
пользована только для вывода Rfns^T). Обратно, схему Rfnst(T)
можно использовать для вывода 1-Сопт:
S + Rfn21 (Т) н Ргт (г3хфх“1) -> Зхфх -> Зх ~] Ргт (’ 1 фх-1),
так как верно “] фх «-* Ргт (’ I фх-1) ввиду доказуемой PR-пол-
ноты и того факта, что RfnsXT) влечет Сопт.
В силу предыдущего абзаца Rfns^T) и 1-Сопт эквивалент-
ны. Следствие 4.1.12 показывает, что такого поведения можно
ожидать лишь в некоторых весьма специальных случаях, ибо
легко видеть, что формулировка со-непротиворечивости в 4.2.1
принадлежит классу S2-
4.2.3. Определение. Мы определим следующие формаль-
ные схемы, представляющие со-непротиворечивость.
Локальная ^-непротиворечивость
<о-Сопт: Ргт (г3хфх“*) -> Зх Ргт (' I фх"1), ф содержит
свободно только х.
Равномерная ^-непротиворечивость
<o-CONT: Vz/[PrT(r3xq)xz/“,)->3x“] PrT (! 1 фх*/"1)], Ф содержит
свободно только х, у.
Глобальная ^-непротиворечивость
<o-CON?: Уф[Ргт (г3хфхп) ->Зх Ргт (г~| фх"1)],
где Уф обозначает квантор по кодам формул, содержащим
только одну свободную переменную,
Мы спешим подчеркнуть, что, в отличие от ситуации с прин-
ципами рефлексии, здесь мы имеем глобальное представление
данного понятия наряду с локальным и равномерным представ-
лениями. Причина просто в том, что в 4.2.1 мы используем ф
только в виде кода, а не в качестве подформулы некоторой боль-
шой формулы, как это было в случае рефлексии. Поэтому в дан-
ном контексте мы можем применить квантор по ф.
Нетрудно видеть, что в S имеет место <o-CON? F<o-CONtH
J-<o-ConT. С локальными схемами обычно трудно работать, и
42
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
потому мы игнорируем со-Сопт. Таким образом, мы интересуемся
схемами co-CON?, co-CONT и их иерархическими ограничениями.
4.2.4. Определение. Пусть &^1. Ограничение схемы
co-CONt формулами <р <= 2^ называется &-CONt, а соответ*
ствующее неформальное понятие — ^-непротиворечивостью.
Заметим, что, используя S^-определение истинности для
2*-формул, можно установить эквивалентность схемы (k + 1)-
CONT и соответствующего ограничения схемы co-CONt (V<pi—>
i—>V<peS*). Далее, аналогично теореме 4.1.10, схема й-CONr
эквивалентна соответствующему ограничению для <р е Щ.
Следующая теорема характеризует эти понятия в терминах
интуитивно более ясных принципов рефлексии.
4.2.5. Теорема. Относительно системы S мы имеем:
(i) £-CONt RFNn,+1 (Т) (k = 1, 2);
(ii) £-CONT <-> RFNnc (T + RFNn* (T)) (k 2);
(iii) ®-CON?^>RFNn3(T + RFN(T));
(iii7) ©-CON? *-* RFNn,(T + o-CONT).
Доказательство довольно длинное, и мы опускаем его. Неко-
торые родственные результаты рассмотрены в главе 2.
В качестве отступления мы хотели бы упомянуть следующее.
Иерархия формул может быть в качестве очевидного приложе-
ния использована для получения количественных уточнений раз-
личных результатов, см., например, 4.1а. Теорема 4.2.5 дает при-
ложение другого порядка. Выявление ^-непротиворечивости в
виде принципа рефлексии (iii) предполагает понимание выра-
жения «П3». Иными словами, мы должны знать кое-что об
иерархии формул уже для того, чтобы сформулировать соотно-
шение между со-непротиворечивостью и корректностью.
4.3. Свойства полноты. Первая теорема о неполноте утвер-
ждает, грубо говоря, что непротиворечивые сильные формаль-
ные теории неполны. Тем не менее имеются непротиворечивые
схемы, утверждающие полноту. Мы рассмотрим только локаль*
ные варианты (и этого достаточно).
Синтаксическая полнота
SynCompT: Ргт(гФп) V РгтС I ф"1) Для замкнутых ф.
Семантическая полнота
SemCompT: ф->Ргт(гф"*) для замкнутых ф.
(ь-полнота
со-Сотрт! УхРгт(гфхп)->Ргт(гУхфх’1) для ф, содержащих
свободно только х.
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
43
Без долгих разговоров формулируется
4.3.1. Теорема. Относительно S эквивалентны следующие
утверждения'.
(i) П Сопт;
(ii) SynCompT;
(iii) SemCompT;
(iv) co-CompT.
Доказательство. Очевидно, что (i)->(ii), (iii), (iv).
(ii)->(i) Мы обращаемся к формализованной теореме Рос-
сера. Если <р есть "1Рг^(гф"1), то
S + Сопт Н “1 Ргт (ГФ“|), П Ргт (ГП ф"1),
откуда
S + Syn CompT Н ~1 Сопт.
(iii)->(i) Здесь мы полагаем ф = Сопт и применяем вторую
теорему о неполноте. Мы опускаем подробности, чтобы уделить
внимание следующему случаю.
(iv)-*(i) Полагаем фх = ""] РгоУт(х, ГЛ“*).
По лемме 4.1.6 имеем
S Н VxPrT(r”|ProvT(x, rA"»P),
откуда
S + о-Сотрт Н Ргт (г Vx П Ргоут (х, ГЛПР)
Н Ргт (гРгт ГЛ"1) -> Л"1) Н Ргт (ГЛ"|)
в силу формализованной теоремы Лёба: S Н Ргт (гРгт(гф'1)->
~>ф-1)_>Ргт(Гф-«).
*4. 3а. Теорема Кента. По теореме 4.3.1 (iii) схема ф->Ргт(гф"1)
эквивалентна формуле ~| Сопт и, следовательно, невыводима
не только в общем случае, но и при ограничении tpelli (а имен-
но, для ф=Сопт). Мы знаем также из 3.5.4, что подсхема
<рх->Ргт(гфх"1), фе2ь выводима. Следующая теорема Кента
показывает, что ситуация даже еще более сложна.
4.3.2. Теорема. Для любого п имеется такое предложение
Ф, ЧТО'.
(О S Н Ф-> Prs (г<рп);
(ii) ни для какого предложения ф <= не имеет места
S ф ф.
Доказательство. Прежде всего, пусть % таково, что ни
для какого ф е Sn, совместимого с S (т. е. такого, что SK-Дф),
мы не имеем
S + ф Ь % или S + ф Н “I %.
44
ГЛ. 1. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Для построения такого % мы воспользуемся приемом из тео-
ремы о существенной неограниченности и положим
%*-> Vx[Trn(x)->~] Prs(imp(x, (*)
где Тгн — это 2л-определение истинности для 2л-формул. Повто-
ряя доказательство теоремы Россера, мы видим, что (*) опро-
вергается для всех ф е 2Я, совместимых с S.
Пусть теперь ср будет формулой % A Pts (Л). Очевидно, что
имеет место (i). Чтобы установить (ii), допустим,что S Н ср Ф
для ф е Тогда S Н ф -> ср, так что S Н Пф, иначе (*) верно,
Так как Пер есть П (z A Prs (ГЛП)) и S h "| ф, то S h Prs (ГЛ“1) ->
-> П х, что противоречит И (*), так как S + Prs (ГЛП) непроти*
воречива. □
§ 5. Два приложения
5.1. Теорема о неподвижной точке. С помощью диагонали*
зации легко найти предложения ф, % такие, что
S ь Ф 1 Ргт (rf), S н х *-> Ргт (гх-1).
Доказательства второй теоремы о неполноте и теоремы
Лёба устанавливают то интересное обстоятельство, что и х
не только единственны, но и определимы явно:
S Н -ф «-> Сопт *-> “| Ргт (ГЛ-1),
S Hx — t,
где t — истина. Более старое доказательство теоремы Лёба ис-
пользует неподвижную точку
е<_>(Ргт(ге->)_>ф)
для любой данной формулы <р. Несложные алгебраические ма-
нипуляции скоро обнаруживают, что
0^(РГт(ГфЛ)->ф),
откуда формула 6 снова определима явно, на этот раз через
остающуюся переменную. Оказывается, что это не изолирован-
ные примеры, а частные случаи общего результата.
Чтобы получить простую формулировку этого результата, мы
рассмотрим пропозициональный язык с пропозициональными
переменными р, q, г, ..., обычными связками Л, У, ~1, про-
позициональными константами t, f (истина и ложь) и модаль-
ным оператором □, который будет обозначать доказуемость.
Это будет интерпретированная, а не дедуктивная система. По
данному соответствию р <рр предложений .пропозициональным
§ 5. ДВА ПРИЛОЖЕНИЯ
45
переменным мы получаем перевод фа для каждой формулы а
нашего пропозиционального языка:
Фаор = Фа 0 Фр> ” = A,V,->;
Ф-1а = "1 Фа’’ Фо а = Ргт (V)-
Если а(рь рп) — формула пропозиционального языка и
мы ставим предложения ф, в соответствие переменным pi, то
мы будем записывать в виде а(фь фи) предложение
фа(Р1 р у т- е- результат подстановки каждого ф/ вместо со-
ответствующей pi и Ргт вместо □.
5.1.1 (теорема де Йонга о неподвижной точке1))- Пусть
a(p,q) такова, что р встречается только в области действия □.
Тогда для некоторой $(q) и всех предложений фь ..., фл языка
теории Т
S Н Р (ф) *-’• а (Р (ф), ф).
Кроме того, с точностью до доказуемого изоморфизма, р(ф) —
единственная неподвижная точка формулы а.
Доказательство этого утверждения слишком сложно для
того, чтобы воспроизводить его здесь. Однако мы можем дока-
зать следующий частный случай.
5.1.2. Т е о р е м а. Пусть а(р, q) = a'(fjy (р, q), q), где в
формуле а/(х,у) переменная х не встречается в области дей-
ствия □ . Тогда неподвижные точки формулы а параметрически
определяются формулой
р(ф) = а'[Пу(а'(1, q), q), q].
Доказательство. Хотя мы заинтересованы в установ-
лении результата, где переменные q заменены предложениями
ф, пропозициональная запись более удобна. Выражение |— 8(q)
.<-> 6'(q) понимается соответствующим образом.
Так как имеет место лемма о диагонализации, можно счи-
тать, что у нас есть р такое, что \-p+-+a(p,q). Отсюда будет
следовать, что р р(^).
5.1.3. Лемма. Для всех г, t, 6 имеем г .<-> t, □(г*->/)Н
Нб(г)-> 6(0-
Это получается из условий выводимости индукцией по длине
формулы 6. Мы опускаем доказательство.
Чтобы доказать теорему 5.1.2, мы покажем сначала
Н □ Y (р, q) □ Y (a' 0, Ч), Ч)- (*)
9 Теперь доказательство теоремы 5.1.1 опубликовано Самбином [1]»
46
ГЛ. Т. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Поскольку р—неподвижная точка, то F~p а'(Пу(р,
q),q). Теперь, так как Пу(р, q) не входит в а' в область дей-
ствия □, имеем
□ Y(p, Я) Н □ y(P, q)+-+t,
На'(П Y, p)*-*a'(t, Я) Hp«->a'(t, q). (**)
Условия выводимости дают
□ Y (р, Я) Н □ □ Y (р, Я) Н □ (р *-* а' (t ?))• (***)
Применяя лемму к (**), (***), мы немедленно получаем
□ Y(P. Я) Н □ Y(a'(t. Я), Я),
т. е. половину утверждения (*).
Чтобы установить обратную импликацию, допустим Пу(р,
Я) А Пу (р, я) • Тогда получаем
□ Y (Р, Я) А 1 Y (Р> Я) Н 1 Y (a' (t, я), Я)
с помощью тех же рассуждений, что и выше. Контрапозиция
дает
Y (t Я)> Я) Н □ Y (р, Я) -> Y (Р. ?)>
откуда
□ Y(a'(t, Я)> Я)~* □ (□ Y(P, ?)-*Y(P, р))-> □ у(р, Я)-
По формализованной теореме Лёба имеем
S Н Ргт Г рГт Г фП)^ <р->)рГт Гф->),
что завершает доказательство утверждения (*).
Для завершения доказательства заметим, что в силу (*)
р (q) = а' [ □ y (a' (t, q), q), р] *-> а' (□ У (р, q), q)
++р.
Последняя эквивалентность верна согласно выбору р. □
5.1.4. Пример. Мы приводим в таблице (i)a(p, р);
\U)a,'(p,q); (iii)y(p, q); (iv)Qy(a'(t, p), p); (v)P(p) и (vi) ре-
зультат окончательного упрощения формулы из (v):
(a) (b) (c) (d)
(i) nap □ p □ p- >P D(p->P)
(ii) Пр p p- ► p p
(iii) p p p р-^я
(iv) □ nt □t □ (t- >q) D(t->p)
(v) П ant □t □ (t^p)- ->p D(t-*p)
(vi) not t □ p- ->p Dp
§ 5. ДВА ПРИЛОЖЕНИЯ
47
5.2. Результаты о консервативности. В этом пункте мы изло-
жим некоторые результаты о консервативности, принадлежащие
Крайзелю.
Напомним, что гильбертовская программа установления кон-
сервативности требовала доказательства того, что использова-
ние идеальных утверждений и абстрактных умозаключений не
приводит к новым реальным теоремам. Хотя теоремы о непол-
ноте показали, что это невозможно в общем случае, они не
исключают возможности успеха в специальных случаях. В дей-
ствительности мы даже воспользуемся второй теоремой о не-
полноте для установления одного результата о консерватив-
ности.
Сначала мы изложим главный результат.
5.2.1. Теорема о консервативности. Пусть <р е Щ.
Тогда Т Н ф => S + Сопт Н ф.
Доказательство. Пусть ф е Щ и допустим, что ТЬф.
Условие D1 дает S Н Ргт(ф). Но по теореме 4.1.4 Сопт экви-
валентна Rfnni(T) относительно S, откуда S + ConT Нф. □
Два результата, приводимые ниже, являются следствиями
из 5.2.1.
5.2.2. Теорема. Пусть ф е Пь Тогда Т + ~] Сопт Н Ф=>Т Нф.
Доказательство.
Т + ~]СоптНф=>Т + Сопт+~]сопт Ь Ф по теореме 5.2.1
=>Т + Сопт Н Ф
согласно формализованной второй теореме о неполноте (2.2.4).
Но мы имеем
Т + Сопт Н Ф, Т + ~] Сопт Н Ф, откуда Т 1— ф. □
5.2.3. Теорема. Пусть Т, Т' содержат S, и пусть
Т Н Vx [ProvT'(x, гф“1)->Ргоут(/х, rtp)] (*)
для некоторого примитивно рекурсивного терма t. Тогда
S НРгТ'(гФ“1)->Ргт(г'Ф“1).
Доказательство. По теореме о консервативности
S + Сопт Н (*) Н П Ргт (ГФП) -> ~1 РгТ' (ГФП)
/
с помощью контрапозиции. Теперь поглотим Сопт с помощью
ПРгт(г'Ф"1) и снова сделаем контрапозицию. □
5.2.4. Следствие (теорема об относительной непротиворе-
чивости) . Пусть Т, Т' содержат S, и пусть
Т н Vx [Provr (х, гЛ^РгоуН/х, гЛ-1)]
для некоторого примитивно рекурсивного терма /. Тогда
S I— Сопт СопТ'.
48
ГЛ. 1. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Это следствие заслуживает комментариев. Согласно второй
теореме о неполноте мы не можем доказывать непротиворечи-
вость сильных теорий внутри слабых теорий. Иногда непротиво-
речивость сильной теории действительно вызывает сомнения, и
мы можем доказать результат об относительной непротиворе-
чивости, например
ConZF -> ConzF+псн. (♦*)
От гильбертовской программы установления непротиворечи-
вости нам осталось в наследство требование, чтобы доказатель-
ство утверждения (**) проводилось в такой слабой системе, в
какой это вообще возможно. С эпистемологической точки зрения
нет нужды проводить доказательство утверждения (**), скажем,
в PRA. Действительно, ценность (**) целиком зависит от при-
нятия системы ZF, и мы можем с тем же успехом доказать (**)
в последней теории, что технически проще. Однако мы можем
избежать философской перебранки, так как в силу следствия
5.2.4, если это вообще сделано, отсюда автоматически следует,
что (**) может быть доказано в более слабой теории, а именно
в PRA. Таким образом, здесь не о чем спорить.
В предыдущем абзаце мы указали, как один из результатов
о консервативности заставил исчезнуть потенциальную фило-
софскую проблему. Обычно ценность результатов о консерватив-
ности состоит в том, что они позволяют нам использовать более
сильный аппарат для сокращения доказательств и сохранять
нашу энергию. Мы отсылаем читателя к главе 3 за количествен-
ной информацией.
*§ 6. Формализованная теорема о полноте
Имеется несколько дальнейших вопросов, которые можно
было бы рассмотреть. Тесные связи между принципами индук-
ции и принципами рефлексии (часто носящие неправильное на-
звание «доказательства непротиворечивости») обсуждаются
в главе 2. Можно рассмотреть попытки пополнения формально
неполной теории путем повторного добавления принципов реф-
лексии. Другой круг вопросов составляют приложения прин-
ципов рефлексии в теории доказательств.
Мы рассмотрим формализованную теорему о полноте и при-
меним ее, чтобы дать теоретико-модельные доказательства тео-
рем о неполноте.
В § 6 мы полагаем S = РА.
*6.1. Теорема Гильберта — Бернайса о полноте. Формализа-
ция в РА генкинского доказательства полноты исчисления пре-
дикатов дает следующее утверждение.
§ б. ФОРМАЛИЗОВАННАЯ ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
49
6.1.1. Теорема Гильберта — Бернайса о пол-
ноте. Пусть теория U имеет примитивно рекурсивное множе-
ство аксиом. Тогда имеется множество Тгм формул из класса Д2
такое, что в РА + Сопи можно доказать, что это множество
определяет модель теории U:
РА + Сопи Н Vx (Рги (х) -> Тгм (х)).
Поясним это. Говорят, что формула ср принадлежит классу
Дл, если ее можно записать и в виде 2Я-, и в виде Щ-формулы.
Теорема 6.1.1 утверждает, что с точностью до Сопи мы можем
доказать в РА существование модели для U, определение истин-
ности для которой принадлежит классу Д2.
Смысл всего этого лучше всего виден из описания доказа-
тельства, которое является просто арифметизацией соответ-
ствующего теоретико-множественного доказательства. Мы до-
бавляем к языку теории U бесконечное примитивно рекурсивное
множество новых констант с0, Сь ... и аксиомы
Эхфх —> ф (сГф”1) (*)
для каждой формулы ф. Затем мы перечисляем все предложения
фо, Фь ... этого расширенного языка и определяем полную тео-
рию, исходя из U и добавляя на n-м шаге фя или ~|фя в зависи-
мости от того, совместима фя с тем, что было выбрано до этого
момента, или нет. Эту конструкцию легко описать внутри РА.
В предположении Сопи мы можем также доказать, что она ни-
когда не обрывается. Результирующее множество предложений
образует полную теорию, которая в силу аксиом (*) образует
модель теории U. Непосредственное рассмотрение показывает,
что определение истинности для этой модели принадлежит
классу Д2.
6.2. Теоремы о неполноте. Скотт первым заметил, что можно
дать теоретико-модельное доказательство первой теоремы о не-
полноте.
6.2.1. Первая теорема о неполноте. Имеется пред-
ложение ф такое, что (i) РА |-\-ф и (ii) РАр^-Пф.
Доказательство. Допустим, что РА полна. Тогда, так
как все теоремы РА верны, РА Н Сопра, и мы можем применить
теорему 6.1.1 для получения формулы Тгм, которая дает опре-
деление истинности для некоторой модели теории РА. Выберем ф
так, чтобы выполнялось
РА I-ф ТгЛ1(гф"1).
Мы утверждаем, что РА Pv ф, РАР^Пф. Действительно, если
РА Н ф, то РА I— Тгм(гф’л), следовательно, РАНПф. Аналогии,
но РА Н ~1ф влечет РА J— ф. □
50
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
Мы обсудим это доказательство несколько позже. Сначала
мы хотим доказать вторую теорему о неполноте. Для этого нам
нужна кое-какая терминология.
6.2.2. Определение. Пусть да, 91— модели теории РА.
Если да определима в 91 (даже в том слабом смысле, что ато-
марные отношения модели да определимы в Л), то мы пишем
SW <d9l.
Теорема Гильберта — Бернайса о полноте немедленно дает
следующий факт. Если SR |= РА + СопРа, то имеется да такая,
что да -< d9t
Полезность этого понятия иллюстрируется следующим утвер-
ждением.
6.2.3. Лемма. Пусть да, 3? — модели РА и да<(а^. Тогда да
является (и притом определимым образом) концевым расшире-
нием модели 91, т. е. имеется единственное ^-определимое изо-
морфное вложение модели 91 в да как начального сегмента мо-
дели №.
Доказательство проходит непосредственно. очевидно»
отображается на 0^. Продолжаем это отображение, скажем F,
с помощью соотношения
F (S^x) = (Fx),
где S с нижним индексом обозначают функцию следования в со-
ответствующей модели. Рекурсивные равенства в да и индукция
в 91 позволяют проверить, что F — изоморфизм модели 91 на на-
чальный сегмент модели да.
Используя эту лемму, мы изложим принадлежащее Край-*
зелю доказательство следующего утверждения.
6.2.4. Вторая теорема о неполноте. РА|-\-Сопра.
Доказательство. Пусть фо, ерь ... — перечисление пред-
ложений языка, описанного в доказательстве теоремы 6.1.1. На
это доказательство можно смотреть как на попытку выбрать
бесконечный непротиворечивый путь через следующее дерево:
Фд чфз Ф2
Фг ^Фя
ф2 "Wa
§ 6. ФОРМАЛИЗОВАННАЯ ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
51
Мы можем предположить для определенности, что выби-
рается самый левый непротиворечивый путь. Выберем формулу
Ф такую, что»РА Н Ф Тг^ (гфп), для определения истинности
Трэд в рассматриваемой модели. Пусть ф = фПо в упомянутом
перечислении. Наше дерево до уровня п0 абсолютно, т. е. оно
одно и то же в любой модели. (Замечание. Это неверно
для бесконечного дерева просто из-за того, что любая нестан-
дартная модель ЗЛ будет кодировать уровни для формул <pv,
у которых N является нестандартным целым числом. Но конеч-
ные деревья фиксированы.)
Допустим, что РА 1- Сопра. Пусть 9101= РА. Тогда имеется
модель 911, определимая в 910, т. е. такая, что 9^ << а^о. Но 9h —
также модель для Сопра и имеется Повторяя этот про-
цесс, мы получаем бесконечную последовательность
9%х*аЭД1 ^>а^2^>а ...
такую, что (скажем)
[= ф , 9?1 [= И ф , 1= ф , ...
О 1 • По’ 1 1 1 • Мо 2 • По7
Мы сейчас используем эту конструкцию, чтобы вывести
противоречие. Для данной модели 97z пусть Ф* = (фоо/, Ф*1*, ...
..., Ф^) обозначает часть пути, использованную при построе-
нии модели ЭТ/+1, где ф? = фр ф} = ~) ф, и {0, 1}. Напомним,
что ф* —- самый левый непротиворечивый путь (с точки зрения)
модели
Используя либо тот факт, что Ргра принадлежит классу St
и Si-предложения сохраняются при концевых расширениях, либо
главу 2 и тот факт, что
РА + Сопра Н Уф (Ргра (ГФП) ->Тгм (ГФП)),
мы видим, что фж никогда не лежит левее, чем ф*. Действи-
тельно, как только 91/ скажет, что некоторая последовательность
противоречива, так и каждая результирующая 91/ также будет
утверждать ее непротиворечивость. Иначе говоря, большие мо-
дели могут давать возможность новых доказательств (даже для
противоречий), например, с помощью нестандартных аксиом, за-
кодированных с помощью бесконечных натуральных чисел, но
они не могут стирать старых доказательств.
Итак, ф*+1 не может лежать левее ф*. Далее, ф*+1 #= <р‘, ибо
1*4-1 = i <_> феЛо, i
^По *
Таким образом, путь ф‘+1 лежит правее ф*.
Но дерево, определенное формулами ф0, ..., фПо, конечно, и
имеется только 2По+1 различных путей через это дерево. Это
52
ГЛ. I. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ
противоречит допущению РА Н СопРА, исходя из которого мы
получим бесконечную последовательность путей ф°, ф1, ... □
*6.3. Комментарии. Получив теоремы 6.2.1 и 6.2.4-, мы прошли
полный круг: мы вернулись к результатам, с которых мы на-
чали эту главу. Новые доказательства несколько отличаются от
первоначальных, и стоит провести несколько сравнений.
Сначала обсудим вид независимых предложений, которые по-
лучаются из двух доказательств первой теоремы о неполноте.
«То» предложение, которое утверждает свою собственную недо-
казуемость:
(i) единственно с точностью до доказуемой эквивалентности;
(ii) принадлежит классу П1 и, следовательно, истинно.
«То» предложение, которое утверждает свою ложность в по-
строенной модели:
(iz) не единственно, так как, если ф<-> П ТгЛ1(гфп), то
ПФ —ТгмГПф-»);
(iiz) принадлежит классу Дг, и в силу (i') нет очевидного
способа решить, истинно оно или ложно.
Ситуацию (iiz) можно обойти следующим образом. Одно из.
предложений ф, П<р истинно. Пусть ЗхУу^ху — 22-форма того
из них, которое истинно. Тогда для некоторого п истинно х ==
= Уу^пу. Но PA|-Yx> так как тогда мы имели бы РАН
Н ЗхУу^ху. Но РА|НПХ» так как X истинно.
Данное здесь теоретико-модельное доказательство первой
теоремы о неполноте аналогично классическому доказательству,
ибо, как только мы предложим полноту, Тгм совпадает с РгРА.
Теоретико-модельное доказательство второй теоремы о непол-
ноте радикально отличается от классического, и мы отметим не-
которые различия в типе информации, которую они дают.
(i) Классическое доказательство сразу дает формализован-
ный вариант РА I— Сопра -> Сопра+псопра- Далее, оно непосред-
ственно применимо к более слабым теориям вроде PRA.
(ii) В то время как "классическое доказательство дает су-
ществование некоторой модели, в которой опровергается СопРА,
теоретико-модельное доказательство показывает, что для лю-
бого представления генкинской конструкции (заданного кодиро-
ванием, перечислением ф0, фь ... и т. д.) имеется число m та-
кое, что для любой модели SB? системы РА последовательность
5R>d%>d (*)
определенная данным представлением, должна оборваться после
менее чем ш шагов на модели, в которой СопРА ложна. (Ра-
зумеется, в силу классического доказательства имеется пред-
ставление генкинской конструкции с очень короткой последовав
ЛИТЕРАТУРА
63
тельностью (*) — надо просто положить ф0 = *1СопрА, Приве-
денное доказательство работает для всех нумераций ф0, •••)
Ниже приводится очень субъективная выборка из многих
статей по теме этой главы. Она включает несколько статей, со-
держание которых не рассматривалось.
ЛИТЕРАТУРА
Гёдель (Godel К.)
1. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und ver-
wandter Systeme, I. — Monatsh. Math. Phys., 1931, 38, S. 173—198.
Гильберт и Берна й c (Hilbert D., Bernays P.) "
1. Grundlagen der Mathematik, I. — 2nd ed. — Berlin: Springer, 1970.
[Русский перевод: Гильберт Д., БернайсП. Основания матема-
тики: Логические исчисления и формализация арифметики. — М.:
Наука, 1983.]
Е р о с л о в (Jeroslow R. G.)
1. Redundancies in the Hilbert — Bernays derivability conditions for Go-
del’s second incompleteness theorem’ — J. Symbolic Logic, 1973, 38,
p. 359—367.
Кент (Kent C. F.)
1. The relation of A to Prov ГАП in the Lindenbaum sentence algebra.—
J. Symbolic Logic, 1973, 38, p. 295—298.
Крайзель и Леви (Kreisel G., Levy A.)
1. Reflection principles and their use for establishing the complexity of
axiomatic systems.— Z. math. Logik Grundl. Math., 1968, 14, S. 97—142.
Крайзель и Такеути (Kreisel G., Takeuti G.)
1. Formally self-referential propositions in cut-free classical analysis and
related systems. — Dissertationes Math., .1974, 118, p. 1—50.
Лёб (Lob M. H.)
1. Solution of a problem of Leon Henkin. — J. Symbolic Logic, 1955, 20,
p. 115—118.
Мешковский (Meschkowski H.)
1. Hundert Jahre Mengenlehre. — Munchen: Deutscher Taschenbuch Verlag,
1973.
Рид (Reid C.)
1. Hilbert. — Berlin: Springer, 1970. [Русский перевод: Рид К. Гиль-
берт.— М.: Наука, 1977.]
Россер (Rosser J. В.)
1. Extensions of some theorems of Godel and Church. — J. Symbolic Lo-
gic, 1936, 1, p. 87—91.
С а м б и н (Sambin G.)
1. An effective fixed-point theorem in intuitionistic diagonalizable alge-
bras.— Studia Logica, 1976, 35, p. 345—361.
С м op инский (Smorynski C.)
1. co-consistency and reflection. — In: Colloque international de logique,
Clermont-Ferrand, 1975. CNRS, 1978, p. 167—181.
Соловей (Soloway R.)
1. Provability interpretations of modal logic. — Israel J. Math., 1976, 25,
p. 287—304.
Фефер м а н (Feferman S.)
1. Transfinite recursive progressions of axiomatic theories. — J. Symbolic
Logic, 1962, 27, p. 259—316.
Хазенъегер (Hasenjaeger G.)
1. Eine Bemerkung zu Henkin’s Beweis fur die Vollstandigkeit des Pradi-
katenkalkiils der ersten Stufe. — J. Symbolic Logic, 1953, 18, p. 42—48.
Глава 2
ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ:
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УСТРАНЕНИЯ СЕЧЕНИЯ
Гельмут Швихтенберг
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение.............................................. ... 54
§ 2. Устранение сечения для логики первого порядка...............58
§ 3. Трансфинитная индукция.................................... 63
§ 4. Оценки, получаемые из доказательств теорем существования . 71
§ 5. Трансфинитная индукция и принципы рефлексии 80
Литература...................................................83
§ 1. Введение
1.1. Теория доказательств началась с программы Гильберта,
которая предусматривала элементарные доказательства непро-
тиворечивости для формализованных математических теорий S.
Эквивалентным образом (при весьма общих условиях, обсуж*
даемых в главе 1) эту программу можно сформулировать еле*
дующим образом. Если дана формализация в S некоторого
абстрактного доказательства для некоторого элементарного ут*
верждения (р (например, доказательство в аксиоматической тео-
рии множеств формулы п + m = m + п, где m, п— переменные
для натуральных чисел), всегда ли отсюда можно получить эле-
ментарными средствами, что ф истинно? Или, точнее, можно ли
дать элементарное доказательство схемы
Эх Ders (х, гф"1) -> <р, (*)
где Ders(s •) — каноническое представление предиката выво-
димости в S, а ф пробегает формулы, соответствующие элемен-
тарным утверждениям? Согласно хорошо известной второй тео-
реме Гёделя о неполноте, обсуждавшейся в главе 1, схема (*)
невыводима в S, если S достаточно сильна. Так как мы ожи-
даем, что сильная теория S содержит по крайней мере форма-
лизацию «элементарных» доказательств, можно по справедли-
вости сказать, что это опровергает программу Гильберта в ее
первоначальной форме. Однако мы можем также пытаться обоб-
щить (первоначально весьма расплывчатую) концепцию элемен-
тарного доказательства, а затем искать такое доказательство
утверждения (*), не формализуемое в S. В действительности та*
§ Т. ВВЕДЕНИЕ
65
кова была реакция Гильберта на результат Гёделя (ср. введе
ние в книге Гильберта и Бернайса [1]). Мы не будем
здесь рассматривать исследования по программе Гильберта в
этом направлении (ср., например, Шютте [1]), а сосредото-
чимся вместо этого на менее тонких вопросах, которые
тесно связаны с программой Гильберта и возникли в связи
с ней.
1.1.1. Теория S называется консервативной над теорией Г,
если любая формула из L(T) (языка теории Т), выводимая в S,
выводима уже в Т. Отметим, что это было бы (при весьма об-
щих условиях) следствием выводимости схемы (*) в Т. Имеются
многочисленные важные и нетривиальные примеры теорий S,
консервативных над подтеорией Т. Некоторые из них обсуж-
даются в главах 4 и 5. Мы дадим здесь очень простой пример и
покажем, что логика первого порядка консервативна над своей
частью, которая использует только формулы ограниченной слож-
ности (ср. 2.8).
1.1.2. Схема (*) (в которой ср считается теперь произволь-
ной) дает, в общем случае, собственное расширение S. Однако
(*) имеет метаматематический характер, и о ее математической
силе судить трудно. Поэтому можно интересоваться эквивалент-
ной формулировкой схемы (*), имеющей ясный математический
смысл. Ответ на этот вопрос был дан для широкого многообра-
зия теорий S. Мы ограничимся здесь базисным примером, а
именно, классической арифметикой Z, и докажем, что в этом
случае (некоторый вариант схемы) (*) эквивалентен схеме
трансфинитной индукции до е0-
1.2. Нашим вторым исходным пунктом является, вопрос, ко-
торый лишь сравнительно недавно привлек внимание специали-
стов по теории доказательств (Крайзель [2]): «Насколько
больше мы знаем, доказав теорему ограниченными средствами,
чем в случае, когда известно лишь, что она истинна?» Опять-
таки мы ограничимся обсуждением базисного примера, когда
«ограниченные средства» обозначают средства, формализуемые
в арифметике Z. Мы получим полный ответ на этот вопрос, при-
надлежащий Крайзелю [1]. Для некоторых подсистем ана-
лиза мы также можем получить удовлетворительные ответы на
вопросы обсуждавшегося выше типа: мы отсылаем читателя
к главе 4.
1.3. С более технической точки зрения мы даем обзор неко-
торых элементарных приложений одного из основных средств
теории доказательств — метода устранения сечения. Этот метод
принадлежит Генцену и был позднее развит, в частности,
щ ютте [1] йТ ей том [1]. Другие методы, часто используе-
мые в теории доказательств, достаточно освещены в других гла-
вах этого тома. Особенно важен принадлежащий Гёделю [1]
56
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
метод функциональной интерпретации, который рассматривается
& главе 5.
1.4. Теперь мы подробно опишем содержание этой главы.
В § 2 мы доказываем теорему об устранении сечения для ло-
гики первого порядка. В качестве следствия мы получаем ре-
зультат о консервативном расширении, упомянутый выше. До-
казательство основной теоремы об устранении сечения построено
таким образом, что его можно легко обобщить на многие дру-
гие случаи, где применяется устранение сечения, в частности на
все случаи, рассмотренные здесь.
В § 3 мы обсуждаем для арифметики Z доказуемость и не-
доказуемость начальных случаев трансфинитной индукции. Ре-
зультат (принадлежащий Генцену [1]) хорошо известен: если
Дано естественное вполне упорядочение по типу ео, то по от-
ношению к < трансфинитная индукция доказуема до любого
ординала <ео, но не до самого ео.
Невыводимость в Zo трансфинитной индукции до ео будет
следовать также из второй теоремы Гёделя о неполноте вместе
с тем фактом, что трансфинитной индукции до ео хватает, чтобы
доказать принцип рефлексии для Z и, следовательно, непроти-
воречивость Z (ср. § 5). Здесь мы даем прямое доказательство
этого результата о невыводимости, использующее устранение
сечения. В техническом отношении это дает легкий и убедитель-
ный пример полезности бесконечных (инфинитарных) выводов
и силы метода устранения сечения в применении к инфинитар-
ным выводам.
В § 4 мы беремся за вопрос из п. 1.2. Сначала мы рассмат-
риваем частный случай VB-формул. Допустим, что VnBzn(p(n, m)
с бескванторной <p(n, т) выводима в Z. Мы покажем, что тогда
мы можем найти функцию F, удовлетворяющую Vnqp(n, F(n)),
которая имеет несколько ограниченную скорость роста: F можно
определить с помощью примитивно рекурсивных операций и
а-рекурсии для а < е0.
Затем мы обращаемся к общему случаю произвольных Z-
формул. На первый взгляд обобщение результата для
УЗ-формул кажется невозможным, так как Nn3iriVk(T(п, п, k)-*-
->Т(п, n, т)) выводимо (в классической логике, а следова-
тельно, и) в Z, но нет рекурсивной функции F, удовлетворяю-
щей УпУ£(Г(п, n, k)->T(n, n, F (п)), так как это противоречило
бы рекурсивной неразрешимости 3kT (п, где Т — клиниев-.
ский Т-предикат. Однако такое обобщение имеется: это так на-
зываемая интерпретация отсутствием контрпримера, введенная
Крайзелем [1]. Чтобы объяснить ее, рассмотрим сначала
формулу указанного выше вида, т. е. ф = Vn3mV£<p(n, m &),
где <p(n, mt k)— бескванторная формула. Ее отрицание эквива-
лентно формуле 3riVm3k <р(/г, tn, k), а следовательно (с ис-
§ I. ВВЕДЕНИЕ
57
пользованием аксиомы выбора), также и ЭпЭ/V/n П ф (ft, /ft, f ('ft));
можно считать, что такие n, f дают контрпример к данной фор-
муле ф. Поэтому один из способов выразить содержание ф —
это сказать, что такого контрпримера нет, т. е. что для любых
n, f мы имеем Зту(п, т, (эта формула — эрбрановская
нормальная форма формулы ф), т. е. имеется функционал F
такой, что имеет место Vn\ffq> (п, F (п, f), f (F (n'f f))). Добавоч-
ная информация, которую мы получаем из того факта, что ф вы-
водима в Z, состоит в том, что можно найти такой функционал
F, имеющий несколько ограниченную сложность: F может быть
определен с помощью примитивно рекурсивных операций
(в смысле Клини [2]) и а-рекурсий для некоторого
а < е0 или, как мы будем говорить, Е является <е0-рекур-
сивным.
В общем случае пусть ф— произвольная формула, и пусть
фн = Втф н(л, т,/)—ее эрбрановская нормальная форма, ко-
торая выводима в Z тогда и только тогда, когда выводима ф.
(Мы используем f для обозначения конечных последовательно-
стей функциональных переменных, а л, т — для конечных после-
довательностей числовых переменных.) Результат теперь состоит
в том, что из выводимости ф в Z мы можем заключить, что
имеются <е0-рекурсивные функционалы F, удовлетворяющие
УлУ/фн (л, F(n, /),/). Мы докажем также, что этот результат
неулучшаем в том смысле, что никакой меньший класс функ-
ционалов не достаточен.
Это доказательство содержит новое обстоятельство: оно ис-
пользует тот факт, что процедура устранения сечения для бес-
конечных выводов является эффективной операцией. Точнее, мы
показываем, что для естественного кодирования бесконечных
выводов процедура устранения сечения может быть задана при-
митивно рекурсивной функцией.
В § 5 мы возвращаемся к вопросу, заданному в 1.1.2, и до-
казываем сформулированный там результат (принадлежащий
Крайзелю и Леви [1]). Доказательство состоит в форма*
лизации рассуждения из § 4, т. е. устранения сечения для ко-
дов бесконечных выводов.
Благодарности. Часть этого параграфа основана на других
источниках, включая Тейт [1] (доказательство теоремы об
устранении сечения в §2) и Шютте [1] (приводимое в § 3
доказательство невыводимости в Z трансфинитной индукции до
е0). Я хотел бы также поблагодарить С. Фефермана, Г. Край;
зеля, Р. Стетмена и А. Трулстру за многочисленные полезные
комментарии и предложения; в частности, идея доказательства
интерпретации отсутствием контрпримера с помощью устране-
ния сечения принадлежит Г. Крайзелю.
68
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
§ 2. Устранение сечения для логики первого порядка
Мы доказываем базисную теорему об устранении сечения
принадлежащим Генцену методом, который оказывается цен-
тральным в нашей дальнейшей работе: почти все результаты,
упомянутые в § 1, будут получены с помощью обобщений этого
метода. В техническом отношении мы будем весьма близко сле-
довать Тейту [1], за единственным исключением: мы всегда
будем избегать бесконечных формул (и позднее будем исполь-
зовать бесконечные выводы только там, где они кажутся су-
щественными).
2.1. Мы используем обычный язык логики первого порядка
в следующем упрощенном варианте: формулы строятся из ато-
марных формул и их отрицаний посредством A,V,Vx, Зх.
Отрицание ~|ф формулы гр — это по определению формула, по-
лучаемая из ф так:
(i) перед каждой атомарной формулой вставляется Л;
(ii) знаки A, V, Vx, Зх заменяются соответственно на V,
А, Зх, Vx;
(iii) двойные отрицания стираются.
Такая трактовка отрицания возможна из-за того, что мы
везде принимаем классическую логику. Заметим, что "Пф со-
впадает с ф, П |ф = ф. Мы определяем ф->ф обычным образом
как ПфУ.ф и ф <-> ф как (фф)7\.(фф). Определим |ф[
(длину ф) следующим образом:
(i) | ф | = | ~| ф | = 0 для атомарных ф;
(ii ) IФ А Ф 1 = 1 ф V Ф | = sup(| ф |, | ф |) + 1;
(iii ) I Vxф(x)| = |3xф(x)| = |ф(x)|+ 1-
Отметим, что |Пф| = |ф|.
2.2. Логические правила. Мы будем выводить конечные мно-
жества формул, обозначаемые через Г, Д, Г (а),... Подразуме-
ваемый смысл Г — дизъюнкция формул из Г. Мы используем
обозначения
Г, ф для Г U {ф},
Г, Д для гид.
(i) Нормальные правила:
А Г, ф, ~]ф, если ф — атомарная формула;
А Г, ф Г, ф
Г, ф Д ф ’
Г, ф Г, ф
Vo— Г, ф V Ф ’ V1= Г, ф v Ф ;
w Г, ф (х) . _ .
V -- ~—гт» если к не входит свободно в Г (х называется
Г, Vxф(x)
§ 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ ДЛЯ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
59
собственной переменной правила V);
Г>Ф(з)
Г, Зхф(х) ’
(ii) Правило сечения-.
Г, <р Г, "]ф
сечение -------“-------.
Главные формулы (г. ф.) в аксиоме А — это ф и ~ф. В A, Vi,
V, 3 г. ф. суть фАф, фУф, Ухф(х), Зхф(х) соответственно.
Сечение не имеет г. ф. Малая формула (м. ф.) в посылке Г, Ф
правила ГД* есть ф, а в посылке Г, ф — это ф. В посылке пра-
вил Vo, iVi, V и 3 м. ф. суть ф, ф, ф(х) и ф(«) соответствен-
но. М. ф. в посылке Г, ф сечения есть ф, а в посылке Г, ~1ф
есть ~|ф. Поэтому любое правило (точнее, применение правила)
имеет вид
Г, фг для всех i < k . .
. । # ।
Г, A
(0^fe^2), где А состоит из г. ф., a qpt есть м. ф. из i-й по-
сылки. Формулы из Г называются боковыми формулами (б. ф.)*)
правила (*).
Выводы строятся в форме дерева обычным образом. Точнее,
они определяются следующей индукцией. Рассмотрим правило
(*) указанного выше типа и допустим, что даны выводы di его
посылок Г, ср/. Тогда d = ((dz)z<fe, ((pz)/<fe, А, Г) есть вывод за-
ключения Г, А правила (*). Это правило называется последним
правилом (точнее, применением правила) в d. Выводы di назы-
ваются прямыми подвыводами d. Мы пишем d Н Г, если d есть
вывод (множества формул) Г, и НГ, если имеется вывод для Г.
Длина |d| вывода d индуктивно определяется как
supz<fe(l di |+ 1), если di, i < k,— прямые подвыводы d. Следо-
вательно, |d| = 0, если d не имеет прямых подвыводов. Ранг
сечений p(d) вывода d также определяется индуктивно. Пусть
di, i < k, — прямые подвыводы d. Если последнее правило в d
есть сечение с м. ф. ср и “1<р, то полагаем p(d) = sup( |(р| + 1,
supp(df)). В противном случае p(d)=supp(dz). Заметим, что
i< k i<k
p(d) = 0, если d свободен от сечений.
Удобно воспользоваться понятиями свободного и связанного
вхождения переменной в выводы. Свободное вхождение пере*
*) В литературе распространен и другой вариант терминологии: м. ф«
называется боковой формулой, а б. ф. — параметрическими формулами»
Прим. ред.
60
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
менной х внутри некоторого вхождения формулы в вывод d на-
зывается связанным в d, если «ниже» этого вхождения х ис-
пользуется как собственная переменная некоторого применения
правила V; в противном случае это вхождение х называется
свободным в d. Мы используем обозначения d, d(x), ... для
выводов, причем подразумевается, что могут быть и другие сво-*
бодные переменные, отличные от указанных явно.
2.3. Пусть d, Г получается из вывода d путем добавления Г
к боковым формулам всех применений правил в d. Легко ви-
деть, что d, Г — снова вывод при условии, что никакая свобод-
ная переменная из Г не связана в d. Можно считать, что по-
следнее условие всегда выполнено, если мы отождествим вы-
воды, различающиеся лишь заменой связанных переменных. Та-
ким образом, имеет место
2.3.1. Лемма об уточнении. Если d Н Д, то d, Г Н Г, Д,
причем | d, Г | = | d |, р (d, Г) = р (d).
2.4. Пусть d(s) обозначает результат подстановки s вместо
всех свободных вхождений х в d(x) (отметим, что могут быть
нужны некоторые замены связанных переменных в d(x))- Тогда,
очевидно, справедлива
2.4.1. Лемма о подстановке. Если d(х)Н Г(х), то
d(s)\~ Г($), причем \d(s) | = |d(x) | и p(d(s)) = p(d(x))*).
2.5. Лемма об обращении. (|) Если d Н Г, фо^’фь
то можно найти di Н Г, ф/ (Z = 0,1), причем | di | | d | up (di)
(ii) Если di Н Г, Ухф(х), то можно найти
dQ Н Г, ф (х), причем | dQ | < | d | и р (d0) < Р (^).
Доказательство. Доказательства (i) и (ii) проводятся
почти одинаково индукцией по |d|. Ограничимся (ii). Пусть ф
есть Ухф (х). Мы можем предполагать ф ф Г, так как иначе до-
статочно применить утончение, взяв d, ф(х).
Случай 1. ф не является г. ф. последнего правила в d. Это
правило имеет вид
Л, ф, ф/ для всех / < k
Л, ф, Д
с м.ф. ф/, б.ф. Д и Г = Л, Д. По индукционному предположе-
*) Здесь подразумевается, что в случае возникновения коллизий про-
исходит переименование связанных переменных как в обычном смысле, так
и в смысле п. 2.2. В первом случае выводимая секвенция может измениться,—?
Прим. ред.
§ 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ ДЛЯ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 61
нию НА, -ф(х), ф/ для всех j < k с длиной < |d| и степенью
сечений ^p(d). Результат следует отсюда по правилу
Л, ф (х), -ф/ для всех j < k
Л, ф (х), Д
Случай 2. <р есть г. ф. последнего правила в d. Заменяя d
в случае необходимости на d, ф, мы можем считать, что ф есть
б. ф. в последнем правиле d. Итак, это правило имеет вид
Г, ф, ф (х)
Г,ф
с м. ф. ф (х), г. ф. ф и б. ф. Г, ф. По индукционному предположе-
нию НГ, ф(х) с длиной <р| и рангом сечений ^p(d). Это
завершает доказательство. □
2.6. Лемма о редукции. Пусть d0 Н Г, ф и d\ |— Д, Пф
оба с рангами сечений р(й,)^|ф|. Тогда можно найти d Н Г, Д
с | d\«С | d0| +1 di | и р(</)^|ф|.
Разумеется, мы могли бы вывести Г, Д применением правила
сечения, но тогда результатирующий вывод имел бы ранг се-
чений |ф| + 1.
Доказательство. Доказательство проводится индук-
цией по |do| + |di|. Так как |ф| = |~1ф| и “] 1ф == ф, то лемма
симметрична по отношению к двум данным выводам.
Случай 1. Либо ф не есть г. ф. в последнем правиле из do,
либо Пф не есть г. ф. в последнем правиле из di. Ввиду симмет-
рии допустим первое. Тогда последнее правило в do имеет вид
А,ф, ф; для всех i <k
А, ф, ©
с м. ф. ф/, г. ф. 0, б. ф. А, ф и Г = А, 0. По индукционному пред-
положению НА, Д, ф; для всех i<.k с длиной <|do| + |^i| и
рангом сечения | ф |. Нужный результат получается теперь по
правилу
A, At фг для всех i <k
А, Д, 0
Случай 2. ф есть г. ф. в последнем правиле из do, и ~1ф есть
г. ф. в последнем правиле из di.
Случай 2.1. ф или ~|ф — атомарная формула. Тогда послед-
ние (и единственные) правила в do и d\ — применения пра-
вила А и, следовательно, Г, Д — также применение правила А.
Случай 2.2. ф или |ф есть дизъюнкция фоУфь По симмет-
рии мы будем считать, что такова ф, так что ~1ф есть ~1фо'Л ~1ф1<
62
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
Заменяя в случае необходимости d0 на d0, Ф, мы можем считать,
что ф есть б. ф. последнего правила в d0. Поэтому это правило
имеет вид
Г, Ф, <Pz
Г,ф *
По индукционному предположению НГ, Д, ф/ с длиной
< |d0| + \ d\ | и рангом сечений ^ф. По лемме обращения НА,
Пф< с длиной ^.di < |d0| + |di| и рангом сечений | ф|. Ре-
зультат следует отсюда_ путем применения правила сечения.
Случай 2.3. ф или |ф имеет вид Зхф(х). Снова мы можем
допустить первое (так что 1ф есть а также что ф
есть г. ф. последнего правила в dQ. Таким образом, это правило
имеет вид
г, Ф, Ф(з)
г,ф •
По индукционному предположению Н Г, A, ф(«) с длиной
< l^ol + |^iI и рангом сечений |ф|. По лемме об обращении
НА, 1-ф(а) с длиной | di| и рангом сечений ^|<р|. По лемме
о подстановке НА, ~1ф(з) также с длиной ^|di| и рангом се-
чений ^|<р|. Нужный результат следует отсюда путем приме»
нения правила сечения. □
2.7. Теорема об устранении сечения. Если d Н Г
и p(d)>0, то мы можем найти d' Н Г с p(d')<Zp(d) и |d'|^
< 2idL
Доказательство. Доказательство проводится индук»
цией по |d|. Мы можем считать, что последнее правило в d —
сечение
Г, ф Г, ~]Ф
Г
с |<р| + 1 = p(d), так как иначе нужный результат получается
по индукционному предположению (с использованием того фак»
та, что наши правила имеют конечное число посылок). Итак, до»
пустим это. Пусть do Н Г, ф и di Н Г, ~|ф — прямые подвы-
воды d. По индукционному предположению мы имеем do I- Г, ср и
d\ I- Г, ~] ф, оба с рангом сечений р (d'i) | ф | и длиной |d{|^
^2^1. Нужный результат следует теперь по лемме о редукции,
так как
Idol+ ldf|<2sup(ld)l’,dll)+1 = 2'4 □
Пусть 2| = g, 21+i =22\
§ 3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
63
2.7.1. Следствие. Если d Н Г, то мы можем найти сво-
бодный от сечения d* Н Г с | d* | <12^J).
2.8. В этом и следующем пунктах мы докажем два важных
следствия теоремы об устранении сечения.
Определим отношение «ф есть подформула ср» как наимень-
шее транзитивное и рефлексивное отношение со свойствами:
(i) Фо, Ф1 — подформулы формул фо^Фь ФоУфг,
(iij ф($) — подформула формул Ухф(х), Зхф(х).
Следующее утверждение очевидно.
2.8.1. Свойство подформульност и. Пусть d — сво-
бодный от сечения вывод множества Г. Тогда любая формула,
встречающаяся в d, является подформулой какой-то формулы
из Г.
Следовательно, из теоремы об устранении сечения мы можем
заключить, что для любого d Н Г мы можем найти d* Н Г, со-
держащий только подформулы формул из Г.
2.9. Теорема Эрбрана*). Пусть d Н Зхф (х) с бескван-
торной ф(х). Тогда мы можем найти термы $о, ♦ *., srt_i и вывод
do Н Ф($о), , ф(>«-1).
Доказательство. Можно считать, что d свободен от
сечения. Следовательно, в силу свойства подформульности лю-
бое применение правила 3 в d имеет г. ф. Зхф(х). Пусть
So, и», Sn~i — все термы такие, что ф($<) является м. ф. такого
применения 3. Добавим теперь ф($0), ..., <p(szl_i) к боковым
формулам любого применения правила в d и вычеркнем из d
все вхождения Зхф(х). Легко видеть, что полученный объект-^
это (по существу) требуемый вывод. □
§ 3. Трансфинитная индукция
В этом и следующем параграфах мы будем рассматривать
классическую арифметику Z. Мы начнем с обсуждения транс-
финитной индукции, в частности с вопроса о том, какие началь-
ные случаи трансфинитной индукции выводимы в Z. С помощью
обобщения метода устранения сечения из § 2 мы покажем, что
трансфинитная индукция до 80 невыводима в Z. Это дает точ-
ную границу, так как легко видеть, что для любого а < 80 транс-
финитная индукция до а доказуема в Z (ср. Шютте [1] или
главу 4).
3.1. Чтобы уточнить обозначения, мы опишем наш вариант
арифметики Z, который в действительности представляет собой
Обычную арифметику плюс свободные переменные для множеств
*) В действительности теорема Эрбрана дает выводимое множество бес-
кванторных формул по любой (а не только чисто экзистенциальной) формуле.
См. Добавлейие 2. — Прим, перев.
64
ГЛ. 2 УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
и функций. Итак, мы имеем переменные для чисел (числовые
переменные), для множеств, и при каждом п > 0 — переменные
для п-местных функций (счетное множество для каждого
сорта,. Они обозначаются соответственно посредством ky ту пуру
посредством X, У Z и посредством Д g, h. Термы системы Z
строятся из константы 0 (для числа 0) и числовых переменных
с помощью функционального символа S (для функции следова-
ния), + • и функциональных переменных. Атомарные формулы
системы Z имеют вид s — ty s < t или s e X, где s, t — термы,
a X — переменная для множеств. Формулы строятся из них
обычным образом с использованием кванторов только по чис-
ловым переменным.
Аксиомы системы Z — это обычные аксиомы для 0, S, <
("|п < 0, w <Sn<r->(m <п V т~п))у +, •> равенства и схема
индукции
Ф (0) A Vn (ф (п) -> ф (Sn)) -> Vmp (n),
где ф(п)—произвольная формула языка, возможно, содержа-
щая добавочные переменные. Теоремы Z — это формулы, выво-
димые из аксиом с помощью классической логики.
Различные множества и функции, о которых нам хотелось бы
говорить в арифметике, можно вводить в расширениях Z с по-
мощью определений (которые, тем самым, консервативны).
Имеется один из типов таких определений, в котором мы осо-
бенно заинтересованы, а именно так называемые рекурсивные
расширения Z. Такое расширение происходит, когда:
(1) мы вводим новый символ М для множества с определяю-
щей аксиомой п е М ф(л), где ф(/г) — бескванторная форму-
ла или
(ii) мы вывели Эгар(п, ту f) с бескванторной ф(л, m,f) и за-
тем вводим новый функциональный символ F с определяющими
аксиомами
<р (я, F (п, f), f), m<F (я, f) -> и Ф (я, m, f).
Система Zz называется рекурсивным расширением Z, если
она получается из Z конечной последовательностью таких рас-
ширений с помощью определений. Рекурсивные расширения си«
стемы Z также будут обозначаться через Z.
Можно показать, что любая примитивно рекурсивная функ-
ция может быть введена в рекурсивном расширении Z (ср.
Шенфилд [1]). Обратно, любая такая функция наверняка
рекурсивна. Мы точно выясним в § 4, какие рекурсивные функ-
ции могут быть введены в рекурсивных расширениях Z.
Очевидно, что Z является консервативным расширение^
своей части, не содержащей переменных для функций или для
множеств или тех и других. Эти подсистемы также будут обо-
значаться через Z.
§ 3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
65
3.2. Естественные вполне упорядочения порядкового типа во.
Как хорошо известно, ординалы <ео могут быть построены из О
посредством ординальных функций а + 0 и <оа. Это построение
однозначно, если пользоваться канторовской нормальной фор-
мой (ср. Бахман [1], Такеути [1]). Следовательно, орди-
налы <80 можно рассматривать как финитные объекты и они
могут быть закодированы натуральными числами. Легко вы-
брать эти коды таким образом, что:
(i) кодирование дает взаимно однозначное отображение
а ординалов <е0 на натуральные числа;
(ii) отношение п т, соответствующее отношению «мень-
ше» между ординалами <ео, примитивно рекурсивно;
(iii) теоретико-числовые функции, соответствующие орди-
нальным функциям а + р, <оа и их обращениям, примитивно
рекурсивны. (Ср. Крайзель [4], Приложение I. — Прим,
перев,)
Очевидно, что любые два кодирования со свойствами (i) —
.(iii) будут примитивно рекурсивно изоморфны. Любое из со-
ответствующих ^-отношений между натуральными числами на-
зывается естественным вполне упорядочением порядкового типа
80. Мы выберем одно из них, обозначим его через << и зафикси-
руем его для дальнейшего. Мы пишем п^ш вместо п m V
5/ п = т.
3.3. Пусть Prog(X) («X прогрессивен») обозначает формулу
Vn (Vm (tn -< п -> т е X) -> п е X).
Аксиома трансфинитной индукции до ео — это формула
TI£o(X) Prog(X)->Vn(neX).
Здесь т^п обозначает <m, n> е М, где <•, •> — одна из обыч-
ных примитивно рекурсивных спаривающих функций и М —
символ для примитивно рекурсивного множества номеров пар
<т, м> таких, что имеет место т << п.
3.3.1. Теорема (Генцен [1]). Т18ДХ) невыводима в ариф-
метике Z.
Доказательство этой теоремы займет оставшуюся часть § 3.
В общих чертах оно проходит следующим образом. Сначала мы
погружаем Z в «полуформальную» систему Zoo, в которой ин-
дукция заменяется правилом с бесконечным, числом посылок,
так называемым ^-правилом'.
Г, А(/о, ..., ik x) для всех /0, ..., < со
Г, Д(по, nft_i)
где i — i-я цифра, т. е. S‘0. С помощью небольшого обобщения
рассуждения из § 2 мы получаем теорему об устранении сечения
3 Справочная книга, ч. IV
66
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
для Zoo, которая дает границу на длину свободного от сечения
вывода в терминах длины и ранга сечений вывода, с которого
мы начали. В частности, если мы начали с (образа в Zoo) неко-
торого Z-вывода, то эта длина будет <80. Затем мы расширим
Z еще одним инфинитарным правилом, так называемым прави-
лом прогрессивности, которое ввел Шютте:
Г, / е X для всех i < /
Pros ------------------------------------
где s — замкнутый терм с числовой величиной j. Легко видеть,
что в Zoo + Prog можно дать вывод Prog(X) и что этот вывод
имеет конечную длину. И снова теорема об устранении сечения
с теми же ординальными границами верна для Zоо + Prog. До-
пустим теперь, что Т1е, (у) выводима в Z. Так как Prog(X) вы-
водима в Zoo -f- Prog с выводом конечной длины, мы можем за-
ключить, что формула п е X (с переменной п) выводима без
сечения в ZM + Prog с длиной а < е0 (т. е. с выводом длины а).
Следовательно, га+1"1еХ также выводима в Zоо 4-Prog с
длиной а. Но это — противоречие, так как из вида правил си-
стемы Zoo + Prog немедленно следует, что любой вывод без се-
чения формулы грп е X имеет длину 0.
3.4. Устранение сечения для Z«>
3.4.1. Описание Zoo. Язык системы Zoo тот же, что у Z. Мы
можем считать здесь, что у нас нет функциональных перемен-
ных. Мы используем обозначения § 2 для понятий, связанных
с выводами.
Конечное множество А формул называется Т^-аксиомой,
если А состоит из атомарных формул или их отрицаний, не со-
держащих числовых переменных, причем VA (дизъюнкция фор*
мул из А) является тавтологическим следствием*) частныхслу*
чаев бескванторных аксиом системы Z.
Нормальные правила Zoo — это
А Г, А, если А есть Z^-аксиома,
правила Д, Vo> Vi, V, Э, перечисленные в § 2, и со-правило
Г, А (г) для всех i
Г, А (л)
Далее, имеем в Zoo правило сечения, сформулированное в § 2.
Отметим, что в co-правиле мы разрешаем, чтобы список п
был пустым. Допускается также, чтобы в А (л) ни одна пере-
менная из п в действительности не входила свободно. В этих
♦) То есть имеются частные случаи аксиом Д1, ..., Ап такие, что
Л At -* УД является тавтологией. —Прим, перев.
§ 3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
67
случаях заключение (о-правила совпадает с посылкой (посыл-
ками). Такое применение ©-правила называется несобственным.
Главными формулами (г. ф.) в А являются все формулы из
Д. В (о-правиле г. ф. являются все формулы из Д(п). Малыми
формулами_(м. ф.) в i-й посылке (о-правила являются все фор-
мулы из Д(г). Поэтому любое применение правила имеет теперь
вид
Г, Д/ для всех I < а , ч
—,-------------------- (*)
Г, Д
(О а со), где Д состоит из г. ф., а Д/ состоит из м. ф. в Z-й
посылке. Формулы из Г снова называются боковыми формулами
(б. ф.) правила (*).
Выводы теперь будут бесконечными; они определяются так
же, как в 2.2. (В случае (о-правила мы должны добавить ин-
формацию о переменных п.) Также и другие понятия, введен-
ные в 2.2, в частности длина |d| и ранг сечений p(d) вывода d,
переносятся на бесконечные выводы с теми же самыми опреде-
лениями. Отметим, что |d| теперь — счетный ординал, a p(d)^
со. Мы ограничимся выводами с конечным числом свободных
и связанных переменных. Множество переменных, свободных
в выводе d, обозначается через Var(d).
3.4.2. Лемма о вложении. Для любой формулы <р, вы-
водимой в Z, имеем Zoo-вывод d Н ср с длиной |d|<(d-2 и ран-
гом сечений p(d) < со.
Это свойство легко усмотреть для аксиом системы Z (в слу-
чае индукции нужно использовать со-правило*)) и оно сохра-
няется при применении логических правил.
*) Если ввести обозначения
Prg = Уп (“I <р (n) V ф (Sn)), I = “I (ф (0) Д Prg) V Ушр (м),
def def
то вывод аксиомы индукции Z в Z«> будет иметь вид
dj
~1 (ф (0) A Prg), ф (Z)
I, qp (Z) для всех i
Г Ф (п)
ДУпф(п)
(О
П Ф (0, Ф (0 П Ф (SQ, ф (Slj
di* Пф(0) v ПPrg, ф(7) “1 ф МЛ Prg, ф(si) V
__ сеч
П Ф (0) у ~1 Prg, “1 Ф (0), ~1 Prg, Ф (SZ)
1 ф (0) V “1 Prg, ф (SZ) °’ь
“1 Ф (0), ф (0)
-|v(0)vn-Prg, q> (0) Vo> а dl+l пРиведен0 ^-Прим.
где d0 есть вывод
пер ев.
3*
68
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
3.4.3. Мы обобщим теперь на Zoo доказательство теоремы об
устранении сечения, данное в § 2 для логики первого порядка.
Очевидно, имеет место
Лемма об утончении. Если d Н Д, го d, Г |— Г, Д, при-
чем |d,r| = |d|, p(d,r) = p(d) и Var(d, Г) = Var(d)U V, где
V — множество переменных, свободных в Г.
Заметим, что любой замкнутый терм s имеет числовое зна-
чение (величину) Z, причем s = i есть Zoo-аксиома.
Лемма об оценке. Пусть s, t — замкнутые термы, имею-
щие одно и то же значение I. Если d Н Г($), то мы можем найти
d0\-V(t) с |do| = |d|, p(d0)=d « Var (d0) = Var (d).
Легко видеть, что это верно для частных случаев правила А
и сохраняется другими правилами.
Лемма о подстановке. Если d(n)HT(n), то d(s)H
НГ(в), причем |d(s) | |d(n) |, p(d(s)) p(d(n)) и
Var (d(s))s (Var (d)—{n})(J V, где V — множество переменных,
свободных в s.
Доказательство проводится индукцией по |d(n)|. Единствен-
ный случай, требующий специального рассмотрения, — это слу-
чай, когда последним правилом в d(n) является ©-правило вида
Г (п, т, р), Д (/, /, р) для всех :, У
Г(п, т, р), Д(п, т, р)
где т, р содержат все переменные, свободные в s = s (m, р) (но
Г(п, т, р), &(п,т,р) могут содержать свободные переменные,
отличные от указанных явно). По индукционному предположе-
нию
Н Г (Z, т, k), Д (i, у, k) для всех I, ], k
с длиной <|d(n)| и рангом сечений ^p(d(n)). Из части этих
выводов мы получаем по лемме об оценке
НГ($ (/, k), т, k), &(s(j, k), j, k) для всех У, k,
не увеличивая длины или ранга сечений. Нужный результат
получается отсюда применением ©-правила. □
Лемма об обращении, (i) Если df—Г, фоАфь го мы
можем найти diH.t, <pi (i = 0,l) с |dz| |d|, p(d,)^p(d) и
Var (di) <= Var (d).
(ii) Если d I-Г, ¥пф(п), го мы можем найти d0 Н Г, ф(п),
причем I d0 К | d |, р (d0) < р (d) и Var (d0) = Var (d) U {«}•
Доказательства утверждений (i) и (ii) почти одинаковы, оба
они проводятся индукцией по |d|. Ограничимся (ii). Единствен-
ный подслучай, не встречавшийся в 2.5, — это случай, когда по-
§ 3. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
69
следним в d применяется ©-правило. Тогда это применение пра-
вила имеет вид
Л (т), ф (ш), Д (Q, <р (Q для всех i
Л(т), Д(т), ф(п»)
с м. ф. А (О, ф(0> г. ф. А(т), ф(*п), б. ф. Л(т), ф(т) и Г(т)=а
е= Л(т), Л(т), ф s ф(т). Два применения индукционного
предположения дают
I- Л (т), ф (п, т), A (О, ф (n, О для всех I
с длиной <|d| и рангом сечений <:p(d). Нужный результат
получается отсюда применением ©-правила.
Лемма о редукции. Пусть dh~ Г, ф и d\ Н А, ~|ф, при-
чем для обоих выводов ранг сечений p(di) =^|ф|. Тогда можно
найти d\~ Д, Г такой, что р (d) | ф |,
IrfKIrfol^Mil и Var(d)s Var(d0)UVar(d1).
Здесь # обозначает натуральную (или гессенберговскую
сумму ординалов*) (ср. Бахман [1]). Операция # строго
монотонна по обоим аргументам.
Доказательство проводится индукцией по | do | # | di |. Снова
единственный (под) случай, не встречающийся в 2.6, — это слу-
чай, когда ф — г. ф. последнего правила в do, Пф— г. ф. послед-
него правила в d\, и последнее правило в do или d\ — примене-
ние ©-правила. Ввиду симметрии допустим первое. Мы можем
также, заменяя в случае необходимости do на do, ф, считать, что
Ф есть б. ф. последнего правила в do. Таким образом, это пра-
вило имеет вид
Л(т), ф(т), 0(0, ф(р для всех i
Л(т), 0(т), ф(т)
с м. ф. ©(£), ф(0, г. ф. 0(т), ф(т), б. ф. Л (tn), ф(т) и Г(т) =
= Л(т), 0(т), ф == ф(т). По лемме о подстановке НГ(0, ф(0'
для _всех i с_ длиной < | do | и рангом сечений ^|ф|, а также
НД(0, Пф(0 для всех i с длиной ^|di| и рангом сечений
^|ф|. По индукционному предположению НГ(0, Д(0 для
всех i с длиной < |do|#|d\| и рангом сечений |ф|. Нужный
результат получается применением ©-правила. Это завершает
доказательство леммы.
*) Еслиа = ©“‘+ ... +<о“п, ₽=®“"+,+ ... +e>“m,
а/1
а«+1> ... >ат, то а#Р = о * + ... + о где (ilt ..., im) — пере-
становка (1, .tn) такая, что aq>a/2> ... >a/m. — Ярилг. перев.
70
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
Пусть е(а) — это а-е 8-число *).
Теорема об устранении сечения, (i) Если d \~ Г
и p(d) = £+l> то можно найти d' Н Г такой, что p(d')^t,
| d' | sC и Var (d') = Var (d).
(ii) Если dH Г и p(d)=tD, то можно найти d'f—Г такой,
что p(d') = 0, |d'|^e(|d|) и Var(d')<= Var(d).
Доказательство, (i), как в 2.7.
(ii) Индукцией по |d|. Мы можем предположить, что по-
следнее правило в d — сечение
Г, <р Г, ~]<Р
Г
так как в противном случае нужный результат получается по
индукционному предположению. Итак, предположим это. По ин-
дукционному предположению имеем do Н Г, ф и d1 |— Г, ~1ф, при-
чем оба вывода свободны от сечений и имеют длины | di | <
•< e(|d|). Нужный результат получается тогда путем |ф|-крат-
ного применения (i).
Следствие. Если d Н Г, то можно найти свободный от се-
чения d* Н Г с | d* | 2pfJ), если р (d) < <о, ы | d* | г (| d |), если
p(d) = <о.
3.5. Теорема об устранении сечения для Zoo 4- Prog. Мы до-
бавляем к Zoo следующее правило прогрессивности:
V,i^X для всех i^j
V,s(=X
для замкнутого терма $ со значением /.
Г. ф. в Prog является s е X, а м. ф. в i-й посылке является
i е X. Теперь все определения, леммы и доказательства из п. 3.4
переносятся почти дословно. Нужно лишь несколько расширить
часть доказательства леммы редукции, относящуюся к случаю,
когда ф есть г. ф. последнего правила в do, ~1ф есть г. ф. послед-
него правила в d\ и ф атомарна. Пусть это последнее правило
есть Prog в do и А в di. Мы можем считать, что ф есть б. ф,
последнего правила в do, следовательно, оно имеет вид
Г, se X, Z е X
Г,
для всех i -< j
-----------—, s — замкнутый терм
со значением /.
Последнее (и единственное) правило в di есть применение
Д, "1(se X) правила А. Теперь легко видеть, что либо ,(i) t е X
*) Р называется 8-числом, если ®^ = р.— Прим, пер ев.
§ 4. ОЦЕНКИ
71
содержится в А для некоторого замкнутого терма t со значе-
нием /, либо
(ii) уже само Д есть применение правила А.
В последнем случае результат получается применением
утончения. В первом случае мы имеем по индукционному пред-
положению |—Г, Д, /еХ.ТеХ для всех i</ с длиной <|й0|
и рангом сечений 0. Нужный результат получается с помощью
правила Prog.
3.6. Невыводимость TL0 (X) в Z.
3.6.1. Лемма. В Z«, + Prog можно вывести Prog(X) с ко-
нечной длиной и рангом сечений.
Мы приведем неформальное рассуждение, которое можно
легко преобразовать в вывод в ZM 4- Prog.
Напомним, что Prog(X)=s Vn(Vm(/n-</i-»-/nsX)->-/ieX).
Для любого i-^j имеем \fm(m / -+m е X)->t е X. Следова-
тельно, по правилу прогрессивности, VmХ)->/еХ,
Отсюда Prog(X) получается по и-правилу. —
3.6.2. Лемм а. Пусть d — свободный от сечеумя^ввСвод мно-
жества формул f'ppeX......... rpftneX в Z^-f-Prog. Тогда
d имеет длину min (Pi, .... IM-
Это непосредственно следует из вида правил системы Z«,
,4-Prog с помощью индукции по |й|. Весь вывод должен cd*
стоять из применений правила Prog и несобственных примене-
ний (о-правила.
3.6.3. Допустим теперь, что Т1ео(Х) выводима в Z. Напом-
ним, что TIEo(X)sProg(X)-»-Vrt(rt s X). В силу 3.4.2 и 3.6.1 мы
имеем тогда Z» + Prog-вывод формулы п е X (с перемен-
ной п) с длиной <©-2 и конечным рангом сечений. По теореме
об устранении сечения для Zoo 4- Prog мы получаем вывод без
сечений формулы п е X в Zoo 4- Prog с длиной а < ео. Следо-
вательно, по лемме подстановки мы имели бы также вывод без
сечения формулы Га4-1П^Х в Zoo 4-Prog с длиной а. Это
противоречит 3.6.2.
§ 4. Оценки, получаемые из доказательств теорем
существования
Мы переходим теперь к вопросу: «Насколько больше мы
знаем, если доказали теорему ограниченными средствам^, чем
в случае, когда нам известно только, что она истинна?» Как и
раньше, мы ограничимся арифметикой Z, где можно получить
удовлетворительный ответ. Резюме результатов см. в п. 1.4. Ис-
пользуя терминологию п. 3.1, мы можем суммировать резуль-
таты также следующим образом. Мы покажем, что функционал F
72
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
уровня ^2 (т. е. имеющий числа и функции в качестве аргу-
ментов) может быть введен в рекурсивном расширении Z
тогда и только тогда, когда F является <ео-рекурсивным, т. е.
F можно определить с помощью примитивно рекурсивных схем
(в смысле Клини) и а-рекурсий для а < во.
4.1. <8о-рекурсивные функционалы. Функционал F уровня
^2 называется примитивно рекурсивным в смысле Клини
тогда и только тогда, когда его можно определить посредством
приводимых ниже схем (i) — (v). Здесь п = п0, ..., пр-\— по-
следовательность числовых переменных и f = fo, .... fq-i — по-
следовательность переменных для функций.
(i) (тождество) F(n, f)= п,- (для i < р).
(ii) (применение функции к аргументу) F (n, f)=fz^n/, J
для i<qm j0, .... jk_i <p.
(iii) (функция следования) F(n, f) = n>-f- 1 (для/<р).
(iv) (подстановка) F(n, f) = G(H0(n, f), ..., /7fe_i(n, f),
Ko(-,n,f), .... Kf-1(-,«,/)).
(v) (примитивная рекурсия) F(0, m, f) = G(tn, f),
F(n-\-l, tn, f) = H(F(n, m, f), n, m, f).
В (iv) Kj (•, n, f) означает hxKj (x, n, f). Заметим, что F (n, f) —
всегда натуральное число.
Пусть а — ординал <е0, и пусть -< — естественное вполне
упорядочение порядкового типа ео (ср. 3.2). Под а-рекурсией
понимаем следующую схему:
(vi) (а-рекурсия). Для п гап
F (п, m, f) = G (п, т, (F f п) (•, т, f), f),
где
( F(i, т, f), если
(Г Г «)(», т, f) = < п
I 0 в противном случае.
Для га"*<п полагаем F (п, т, f) = 0.
Функционал F уровня ^2 называется <ео-рекурсивным
тогда и только тогда, когда F можно определить посредством
примитивно рекурсивных операций (i) — (v) и а-рекурсий для
а < ео- Класс <е0-рекурсивных функционалов уровня ^2 обо-
значается через Rec<eo.
4.2. Теорема (Крайзель [1]). Если \fnBm<p(n, т) вы-
водима в Z, причем у(п, т)—бескванторная формула и не
имеет свободных переменных, кроме тех, что указаны явно, то
можно найти функцию F s Rec>8e такую, что имеет место
Vn<p(n, F (п)).
§ 4. ОЦЕНКИ
73
4.2.1. Мы сначала наметим доказательство. Пусть дан вывод
формулы Vn3ffiq>(ra, т), или, эквивалентным образом, 3/пф(п, т).
Следуя 3.4.2, мы можем преобразовать этот Z-вывод в беско-
нечный Zoo-вывод d(n)l-3m<p(n, т) длины |d(n) | < ©-2 и ко-
нечного ранга сечений. Далее, следуя 3.4.3, мы можем преобра-
зовать d(n) в свободный от сечений Zoo-вывод d*(n) I— Зт<р(га, т)
с длиной |d*(п)|< е0. По лемме о подстановке из 3.4.3 мы
получаем для любого i некоторый Zoo-вывод d* (i) I- 3m<₽ (г, m)
также с длиной |d*(i) | d(n) < е0. Теперь из вида нормаль-
ных правил системы Zoo ясно, что_ d* (i) содержит только под-
формулы (ср. 2.8) формулы Эпир (г, т). Мы можем считать, что
d*(i) не содержит свободных переменных (иначе подставим О
вместо всех переменных, свободных в d*(i)). Следовательно, все
применения ©-правила в d*(i) должны быть несобственными
(ср. 3.4.1), и поэтому их можно с тем же успехом вычеркнуть.
Это дает свободный от сечения вывод d** I- 3/«ф (I, т), который
не содержит ©-правила. К d** мы применим то же рассуждение,
что и в доказательстве теоремы Эрбрана 2.9,_и получим замкну-
тые термы «о, .... Sft-i и вывод множества ф(«, So), .... ф(t, $*-1).
Хотя бы одна из этих формул должна быть истинна. Значением
функции F, которую мы должны построить, для аргумента i бу-
дет (например) наименыпее_из числовых значений тех 5/, для
которых истинна формула ф(1,$/).
Остается еще показать, что F является <ео-рекурсивной.
Для этого мы воспользуемся «эффективным» вариантом введен-
ной выше конструкции, где мы работаем с кодами Zoo-выводов
вместо использования самих Zoo-выводов.
4.2.2. Коды Zoo-выводов. Эти коды будут натуральными чис-
лами. Они определяются индуктивно, соответственно индук-
тивному построению Zoo-выводов. Это индуктивное определение
тривиально для финитных (конечных) правил A, A, Vo, Vi, V,
3, сечение. Однако в случае ©-правила возникает трудность,
так как в общем случае мы имеем бесконечно много посылок.
Идея состоит в том, чтобы предположить, что коды посылок
можно перечислить с помощью примитивно рекурсивной функ-
ции и использовать код (или примитивно рекурсивный индекс)
такой перечисляющей функции для построения кода вывода в
целом. Другое существенное требование состоит в том, чтобы
наши коды содержали достаточную информацию о кодируемом
выводе. В частности, если число и кодирует вывод d, то мы
должны иметь возможность примитивно рекурсивно получить
из и следующие данные:
(i) название последнего правила в d, его г. ф., м. ф. и б. ф.
(а следовательно, и его заключение);
74
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
(ii) границу на длину |d|;
(iii) границу на ранг сечений p(d);
(iv) границу на (конечное) множество переменных, свобод-
ных в d.
Соответствующие примитивно рекурсивные функции мы обо-
значим через Rule(n), p.f.(u), m.f.(u), s.f.(u), End(n), |м|,
Rank(u) и Var(и). Мы не будем выписывать все пункты индук-
тивного определения предиката и е Code (и есть код некоторого
Zoo-вывода), а приведем два примера, соответствующих правилу
сечения и ©-правилу.
Сечение. Если и, v е Code, End (и) = ГГ, 2?, End (v) = ГГ, ср"1
и | и |, |и|<^а, то ССечение"1, гд>“1, Т"1, а, и, v) е Code.
©-правило. Если для любого i [е] (i) — и, е Code, End («<)==,
= ГГ, Д(г)"1, Ш<(а, Rank(UfXZ& и Var(uf)S*Z>, то С©-1,
ГД (пр, W, Т-1, a, k, b, е) е Code.
Здесь [е] обозначает примитивно рекурсивную функцию, ко-
дируемую числом е, г обозначает, как обычно, естествен-
ный код финитного объекта ... ; отношению S# соответствует
(при подходящем кодировании конечных множеств переменных)
отношение S; <хо, •••, x;-i>— примитивно рекурсивное кодиро-
вание конечных последовательностей натуральных чисел с при-
митивно рекурсивными обращениями (х)<, т. е. «хо, •••
...., х/-1>)( = х(- для i < I. Мы также опустим (тривиальные)
примитивно рекурсивные определения функций Rule (и).........
упомянутых выше.
4.2.3. Легко видеть, что все Zoo-выводы, получаемые при вло-
жении Z в Zoo (ср. 3.4.2), могут быть закодированы, и что лю-
бой такой код имеет длину |м| < ©-2.
4.2.4. Мы покажем теперь, что операциям на Zoo-выводах,
описанным в 3.4.3 (утончение, подстановка и т. д.), соответ-
ствуют примитивно рекурсивные функции на кодах. Это будет
следовать из очевидного применения теоремы Клини [1] о
примитивной рекурсии. Леммы формулируются в том порядке,
в котором их можно доказать. Мы наметим доказательство
только для одной из них (типичный пример).
Лемма об утончении. Мы имеем примитивно рекур-
сивную функцию Weak такую, что для любого и е Code и лю-.
бого Г справедливо следующее:
(i) Weak (и, гГ'1) = и0 е Code;
(ii) End(«o) = rr, Дп, если End(«) = rAn;
(iii) | «о 1 = 1«I:
(iv) Rank (uq) = Rank (u);
(v) Var (uo) = Var(M)U *V#,
где V — множество переменных, свободных в Г,
$ 4. ОЦЕНКИ
75
Лемма об оценке. Мы имеем примитивно рекурсивную
функцию Eval такую, что для любого и е Code, любых Г(п)’,
переменной п и замкнутых термов s, t с одинаковым значением
верно следующее:
(i) Eval(«, гГ(пр, 'nnj г/п) = „0 s Code;
(ii) End (ио) = ГГ (O'*, если End (и) = T (s)-1;
(iii) I «о | = | и I;
(iv) Rank(uo) = Rank(«);
(iv) Var(uo) = Var(«).
Лемма о подстановке. Мы имеем примитивно рекур-
сивную функцию Sub такую, что для любого и е Code, любой
переменной п и терма s верно следующее:
(i) Sub (и, гп'1, rsn) = щ е Code;
(ii) End(«o) = ГГ (s)"1, если End(iz) = fT(„)-i,
(iii) |«ol<l«l;
(iv) Rank («oX Rank (m);
(v) Var («о) £= * (Var (и) - *{«}*) U *V*.
где V — множество переменных, свободных в s.
Для доказательства следует построить (опять с помощью тео-
ремы о примитивной рекурсии) примитивно рекурсивную функ-
цию, соответствующую замене связанных переменных в Zoo-вы-
воде.
Лемма об обращении. (1) Мы имеем примитивно ре-
курсивные функции Invf (i = 0, 1) такие, что для любого ие
е Code и конъюнкции <р0 ’Асрх верно следующее:
(i) Invz(u, гфо А Фр) = Ut е Code;
(ii) End(«/) = rr, <рР, если End(«) = rr, Фо А фр,
где фоАфх не принадлежит Г;
(iii) | И/|<| «|;
(iv) Rank («J^ Rank (и);
(v) Var (u{) s *Var («).
(2) Мы имеем примитивно рекурсивную функцию Inv такую,
что для любого и <= Code и формулы\/п^(п) верно следующее:
(i) Inv (и, гУгаф (п)'1) = «о s Code;
(ii) End(«0) = rr, ф(пР, если End(«) = T, Vni|>(nP,
причем Упф(п) не принадлежит Г;
(iii) |«ol<l«l;
(iv) Rank («о) Rank (и);
(v) Var (u0) s *Var («) (J *{«}*.
7в
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
Лемма о редукции. Мы имеем примитивно рекурсив-
ную функцию Red такую, что для любых «о, ui е Code и фор-
мулы <р такой, что Rank (и,) | ф | (i = О,1), имеет место сле-
дующее:
(i) Red («о, иь гфп) = и е Code;
(ii) End(«)==rr, Д'*, если End(Mo) = rr, ф"1,
где ф не принадлежит Г, и End(«i) = rA, Пф"1, причем “]ф не
принадлежит Д;
(iii) Дапк(«)<|ф|;
(iv) IwICgo#?!, если | ut |=^;
(v) Var (и) s *Var («0) U *Var («i).
Теорема об устранении сечения. Мы имеем при-
митивно рекурсивную функцию Elim такую, что для любого
ие Code такого, что Rank (и) = 4-1, верно следующее:
(i) Elim (и) = и' е Code;
(ii) End («') = End (ы);
(iii) |и'Кг25'1, где rY’=|u|;
(iv) Rank (и')
(v) Var («') s *Var(w).
Доказательство. По теореме о примитивной рекурсии
мы можем следующим образом определить примитивно рекур-
сивную функцию Elim с кодом е.
Случай 1. Rule(zz) = гсечение"1. Пусть м. ф. (ы) = {ф, ~]ф}*-
Подслучай 1.1. |ф| + 1 < Rank(tz). Положим Elim(«) =
= <(«)o,(«)i, («)2, Г2И, Elim ((«)4)> ЕПш((«)5)), гдег^ = (Ы)3.
Подслучай 1.2. | Ф1+ 1 = Rank (и). Положим Elim (м) =
= Red (Elim ((м)4), ЕНт((м)5), '•ф'1).
Случай 2. Rule (и) = г<о"1. Положим ЕИт(м) = ((ы)0.(и)3,
г2’’1, k, (и)6, е'\ где rg’’ = (u)4 и е' = е'(е, и)— код последова-
тельности Elim([(«)?] (п)) как примитивно рекурсивной функ-
ции от л; е’ примитивно рекурсивна как функция от е и и. Дру-
гие случаи рассматриваются аналогично. С помощью -<-индук-
ции по |и\ можно легко доказать, что Elim(u) обладает требуе-
мыми свойствами. □
4.2.5. Теперь мы докажем теорему 4.2, следуя наброску в
4.2.1. Итак, пусть дан Z-вывод формулы Этф(л, /и) и пусть
и — код соответствующего Zoo-вывода (ср. 4.2.3). Следовательно,
|« |= rg’1 < гсо • 2"1. С помощью конечного числа применений
теоремы об устранении сечения из 4.2.4 мы получаем код и*
свободного от сечения Zoo-вывода формулы 3/иф (п, т), причем
§ 4. ОЦЕНКИ
77
u* < r2^Rank(«)• Тогда Sub («*, rnn, rZn)—код некоторого Zoo-
вывода формулы Зтф(/, т). Мы можем считать, что Var(Sub
(и*, гпп, rfn)) = 0# (в противном случае применяем
Sub (•, т, 0) к каждой переменной me# Var (Sub («*, гпп, г/п)).
Следовательно, Zoo-вывод, кодируемый числом Sub (и*, гп\
г Z1), содержит только несобственные применения со-правила,
которые можно вычеркнуть. Однако функция Fo, соответствую-
щая этому вычеркиванию, не примитивно рекурсивна, а лишь
;<ео-рекурсивна: в случае Rule (и) = гсоп мы должны положить
Fo (и) = Fq ([ (и) 6] (0)), а нам известно лишь, что | [ (и)6] (0) |< | v |.
Теперь из кода F0(Sub(u*, гпп, г/"1)) мы легко можем прими-
тивно рекурсивно получить все (замкнутые) термы s0, • • •, s^-i,
используемые в применениях правила 3 в соответствующем
выводе. Мы знаем, что по крайней мере одна из формул ф(г, S/)
должна быть истинна, так как мы получаем вывод множества
ф(/, So), <р(с Sk-1) с помощью того же рассуждения, что
и в доказательстве теоремы Эрбрана 2.9. Это завершает дока-
зательство теоремы 4.2.
4.3. Мы обратимся теперь к обобщению теоремы 4.2 на про-
извольные Z-формулы. Для того чтобы сформулировать резуль-
тат, нам нужно понятие эрбрановской нормальной формы фя
формулы ф, которое мы и введем.
Общее определение фя в достаточной мере разъясняется
следующим примером. Пусть ф^ЗмУтЗ/гУрф (n, m, k, р). То-
гда фя ЭпЗ&ф(лг, f(n), k, g(n, k)) с функциональными пере-
менными Д g. Легко показать, что ф->фя выводима (чисто ло-
гическими средствами, а значит, и) в Z, а также что если фя
выводима в Z, то и ф выводима (ср. Шенфилд [1]).
В общем случае для произвольной предваренной формулы ф
эрбрановская нормальная форма фя получается из ф путем
(i) вычеркивания всех кванторов всеобщности в префиксе ф и
(ii) замены каждой переменной т, связанной в ф квантором все-
общности, на f(n), где п — список всех переменных, предшест-
вующих т в префиксе формулы ф и связанных кванторами
существования, a f — новая функциональная переменная. Сле-
довательно, фя имеет вид Зтфя, где фя — бескванторная фор-
мула, и в общем случае содержит новые функциональные пере-
менные. И снова ф->фя выводима (логическими средствами,
а значит, и) в Z, и если фя выводима в Z, то и ф выводима.
4.4. Теорема (Крайзель [1]). Пусть ф — формула, вы-
водимая в 1 и не содержащая переменных для множеств. Пусть
Фя = — ее эрбрановская нормальная форма.
Тогда мы можем найти ^^-рекурсивные функционалы G та-
кие, что для любых функций F и чисел i верно фя (F,i, G(F, 0).
78
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
Доказательство. Для простоты будем считать, что
Фя s 3mq>H (f, п, т), где <pff — бескванторная формула и не со-
держит свободных переменных, отличных от указанных явно.
Так как ф, по предположению, выводима в Z, мы знаем, что и
<р« выводима в Z. Мы должны построить функцию GeRec<e
такую, что для любой функции F и числа I верно <pH(F, i, G(F, i)).
Доказательство совершенно аналогично доказательству тео-
ремы 4.2; нам нужно только релятивизировать его по данной
функции F.
Мы введем сначала релятивизацию Z«>(F) системы Zoo. Язык
системы Zoo(F) — это язык Z без переменных для множеств, со-
держащий ровно одну выделенную функциональную перемен-
ную f. Конечное множество Д 'формул называется Zoo (F)-аксио-
мой, если Д состоит из атомарных формул и их отрицаний, не
содержит числовых переменных, причем УД является тавтоло-
гическим следствием частных случаев_бескванторных аксиом си-
стемы Z и дополнительных аксиом = F для всех /, k таких,
что F(j) — k. Правила системы Zoo (Г) те же, что и правила си-
стемы Zoo.
Рассмотрение устранения сечения для Zoo в 3.4 переносится
на Zoo(F) почти без изменений. Для леммы об оценке нужно
лишь заметить, что любой терм s(f) без числовых переменных
имеет числовое значение I при оценке fi—>F и s(f)=i есть
Zoo (F)-аксиома. Теперь доказательство теоремы 4.2 можно при-
способить к нашему случаю почти буквально, сделав лишь два
изменения.
(1 ) В определении кодов для Zoo (F) -выводов мы заменяем
[е] (i) на [е] (F, i); теперь [е] обозначает е-й примитивно рекур-
сивный функционал (в смысле Клини).
2) Функции Weak, Eval, Sub, Invt-, Inv, Red, Elim, ,Fq сле-
дует заменить функционалами с дополнительным аргументом F,
Это завершает доказательство теоремы 4.4. □
4.5. Мы сформулируем теперь обращение теоремы 4.4 (а сле-
довательно, и теоремы 4.2) и наметим его доказательство.
Теорема. Пусть F—<_ео-рекурсивный функционал. Тогда
F можно ввести в некотором рекурсивном расширении Z.
4.5.1. Для доказательства нам нужно одно вспомогательное
понятие: модуль непрерывности функционала F. Мы сейчас вве-
дем это понятие.
Во-первых, заметим, что <ео-рекурсивный функционал
F(n,f) является непрерывным в том смысле, что он зависит
только от конечной части значений своих аргументов, являю-
щихся функциями (функциональных аргументов). Эквивалент-
ным образом F непрерывен в дискретной топологии на N и соот-
ветствующей топологии произведения на пространствах-произ*
§ 4. ОЦЕНКИ
79
ведениях. Это легко установить индукцией по построению
<ео-рекурсивных функционалов. Функционал Mf называется
модулем непрерывности для F тогда и только тогда, когда для
любых n, f значение Мг(п, f) кодирует некоторое конечное мно-
жество S натуральных чисел такое, что для любых двух набо-
ров функций f и f, совпадающих на (J Skf имеем F(n, f)=F(n, f').
4.5.2. Мы докажем следующее обобщение теоремы 4.5.
Теорема. Пусть F— <Лъ-рекурсивный функционал. Тогда
мы можем построить <Яо-рекурсивный модуль непрерывности
MF для F, причем как F, так и М можно ввести в некотором ре-
курсивном расширении системы L.
Замечание. Тот факт, что <8о-рекурсивный функцио-
нал F имеет <8о-рекурсивный модуль непрерывности, был впер-
вые доказан Крайзелем в лекциях (1971/72 г.); другие до-
казательства имеются у Трулстры [1] и Швихтен-
берга [1].
Доказательство проводится индукцией по построению <80-ре-
курсивных функционалов. Мы рассматриваем только случай
а-рекурсии, так как остальные случаи либо проще, либо вообще
тривиальны. Итак, пусть
F (п, m, f) = G (п, т, (F \ п)(-, т, f), f).
По индукционному предположению мы можем считать, что
уже введены (в некотором рекурсивном расширении Z) функ-
ционал G и модуль непрерывности MG для G.
Мы покажем сначала, как можно ввести F. Основной прием
состоит в том, чтобы ввести сначала не сам F, а другой функ-
ционал, который ставит в соответствие аргументу п, т, f неко-
торое вычисление и функционала F для этого аргумента. Здесь и
называется вычислением функционала F для аргумента n, m, f,
если имеет место следующее:
(i) и — финитная функция с областью определения {а0, ai,...
..., ak-i}, где #о "К “К • • • "К ak—i — и\
(ii) u(ai)= G(ai, т, (и Г at), f) для i < kt ₽де u\ai опреде-
ляется соотношением
( и(х),
(и|'а/)(х) = | 0
если х — а/ для некоторого / <z,
в противном случае;
(iii) M0(alt tn, f)(] {x| x <aj <= {a0..для
i < k.
Заметим, что все условия (i) — (iii) бескванторные и не содер-
жат F. Теперь в Z можно доказать утверждение VnVmV/Bu
(ц есть вычисление F для аргумента п, tn, f) с помощью «-ин-
дукции по п. Чтобы усмотреть это, заметим, что добавление к Z
арифметической аксиомы выбора и логики второго порядка (но
80
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
не схемы индукции для логики второго порядка) дает консер-
вативное расширение Z. Это можно доказать либо непосред-
ственно, используя метод, намеченный в 5.5.1 главы 4, либо вы-
вести из гораздо более сильного результата в 8.7 главы 4. Сле-
довательно, можно ввести соответствующий функционал, даю-
щий и как функционал от п, т, f, а исходя из него, легко опре-
делить F явно. Далее, из условий (i) — (iii) и того факта, что Ма
есть модуль непрерывности для G, можно вывести (в Z) опре-
деляющие равенства для F.
Теперь Мр можно определить через F с помощью следующей
а-рекурсии:
МР(п, т, f) = S# U* U МР (а, т, f),
а<п
asS
где
S* = MQ(n, tn, (Ftn)(-, т, f), f).
Следовательно, в силу только что приведенного рассужде-
ния, Мр тоже можно цвести. С помощью а-индукции по п можно
показать в Z, что Мр есть модуль непрерывности для F, если
использовать определяющие равенства для F и тот факт, что Мо
есть модуль непрерывности для G.
§ 5. Трансфинитная индукция и принцип рефлексии
5.1. Теперь мы рассмотрим Z без переменных для множеств
и функций. Равномерный принцип рефлексии для Z — это схема
RP Der(x, гф(п)’|)-*-ф(п),
где Der(x, у) — примитивно рекурсивный предикат, который ве-
рен тогда и только тогда, когда х кодирует некоторый Z-вывод
d Н ф и г/ = гф"1, а гф(п)’1— примитивно рекурсивная функция
от п, значением которой является код формулы, получаемой из
Ф (п) подстановкой цифр п вместо переменных п, т. е. гф (я)"1 ~
= Subst СфСп)"1, rfi\ Num(п)) для очевидных примитивно ре-
курсивных функций Subst и Num. Далее мы будем считать, что
х не входит свободно в ф(п). Отметим, что из RP тривиально
следует непротиворечивость Z, т. е. формула Vx-] Der (х,г0= 1"1).
Схема трансфинитной индукции до ео в Z — это
TU Vn (V/n (tn < n -> ф (m)) -* ф (n)) Упф (n).
5.2. Теорема (Крайзель и Леви [1]). Z вместе со
схемой RP эквивалентна Z вместе со схемой Т1ег
§ 5. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ и ПРИНЦИП РЕФЛЕКСИИ
81
Доказательство. Мы начнем с более легкой части и
покажем, что Т!^ выводима в Z + RP. Итак, пусть дана ф(л).
Обозначим через ф(&) формулу
Vn(Vm(m л-*-ф(/п))->ф(л))-*Уп(л •< F (&)-*• ф(я))>
где F(k) — r<>>k'y, ®0= 1, coz+1 = <о“г. Так как Zf-Vm3km<F(k),
то достаточно вывести ф(й) в Z-f- RP. Теперь из доказательства
трансфинитной индукции до ш* в Z, данного Генценом [1]
(или Добавление VI в книге К л и н и С. К. Введение в метамате-
матику.— М.: ИЛ, 1957), можно извлечь примитивно рекурсив-
ную функцию G такую, что Z Н УйОег(б(^),гф(й)'1). Отсюда
и из RP мы получаем ф (k), что и требовалось.
Доказательство обратного утверждения займет оставшуюся
часть этого пункта. Мы должны показать, что RP выводим в
Z + Т1»о. Поэтому допустим Der(x, ф(л)). Следующая лемма
выводима в Z (ср. 4.2.3 и 5.2.2).
Лемма о вложении. Мы имеем примитивно рекурсив-
ную функцию Emb такую, что для любых х, у, удовлетворяющих
Der (х, у), имеет место:
(i) Emb (х) = их е Code;
(ii) End (их) = у;
(iii) |Mj<r®.2'*.
Кроме того, теорема об устранении сечения из 4.2.4 выво-
дима в Z + TU (ср. 5.2.2). Следовательно, мы можем доказать
в Z + TI&,, что имеется их е Code (зависящее примитивно ре-
курсивно от х) такое, что End (uj) = гф (л)"1 и Rank (их) — 0.
В 5.2.1 мы дадим внутри Z частичное определение истинности
Тг9, обладающее следующим характеристическим свойством: для
любой формулы ф(л) с глубиной гнездности*) кванторов
QD (ф (л)) sg q мы можем доказать в Z
Тгд(гф(л)"')*->Ф(я).
Далее, следующая лемма очевидным образом верна (исполь-
зовать -«^-индукцию по | м|) и выводима в Z + TIa, (ср. 5.2.2).
Лемма об истине. Для любого и е Code такого, что
Rank(u) = 0 и End (м) = гфп, где QD (ф) </, мы имеем Тг<7(гф"1).
Конкретизируя это для и = их, получаем Тг?(гф(л)"1)
в Z-f-TIa, и, следовательно, Нф(л).
5.2.1. Мы определим для любого q 0 множество Тг?, кото-
рое должно давать частичное определение истинности для всех
Z-формул ф с глубиной гнездности кванторов QD (ф) q.
*) Глубина гнездности — это максимальное число вложенных подформул,
начинающихся с кванторов. — Прим, перев.
82
ГЛ. 2. УСТРАНЕНИЕ СЕЧЕНИЯ
Отметим сначала, что мы легко можем ввести (в рекурсив-
ном расширении Z) функцию Vai такую, что для любого терма
s(n) в Z выводимо Vai (rs (л)"1) = s (n).
Определение. Тгв определяется следующим образом:
(i) Tr„(rPs0(«) ... Sp-! (л)-1) — Р (Vai (rs0 (лр) , ...
. .., Vai (rsp_i (л)"1)), если Р — предикатный символ или пере-
менная для множеств.
(ii) Тг, (гф0 А Ф1"’)'*->Тг(7(гФо"’) А Тг9(гф1'1), если QDfo)<<7.
Аналогично для у.
(iii) Тгд(гУпф(л)"’)*->УпТг<?_1(гф(л)’1), если <7^1 и
QD(\p(n))^<7 — 1. Аналогично для 3.
Лемма. Тг? (гф (п)"1)*->ф (л) выводимо в Z, если 0О(ф(л))<<7.
Доказательство, использующее индукцию по |ф(л) |, очевидно.
5.2.2. Мы покажем теперь, что лемма о вложении и лемма об
истине, сформулированные в 5.2, а также леммы в 4.2.4 до тео-
ремы об устранении сечения включительно выводимы в Z + Tig,.
Единственное обстоятельство, нуждающееся в проверке, — это
возможность сформулировать все эти леммы в языке Z. После
этого формализация доказательств — рутинная задача. Един-
ственное возможное препятствие на пути к такой формулиров-
ке — наличие индуктивно определяемого понятия кода Zoo-вы-
вода (ср. 4.2.2) во всех этих элементах. Мы покажем сейчас,
как это понятие можно представить в чисто универсальной фор-
ме (т. е. в видеУ*ф(х)с примитивно рекурсивной ф(х)).
Бесконечные Zoo-выводы можно рассматривать как фундиро-
ванные деревья, в каждом узле которых либо вообще нет ветв-
ления (например, в самом нижнем узле) и приписано правило А,
либо имеется 1-кратное ветвление (соответствующее правилам
V/, V, 3), либо 2-кратное ветвление (соответствующее прави-
лам 7V, сечение), либо со-кратное ветвление (соответствующее
to-правилу). Тогда можно считать, что любой код и Zoo-вывода
d получается индуктивно путем приписывания кода соответ-
ствующего подвывода каждому узлу дерева, соответствующего
d. Следовательно, свойство и е Code эквивалентно наличию у
и такого фундированного генеалогического дерева. Но послед-
ний факт легко записать в чисто универсальной форме. Нужно
выразить, что в любом узле (номере конечной последователь-
ности) п это дерево локально корректно, т. е. что код ип, припи-
санный этому узлу (tin можно легко определить индукцией по п),
и все его предшественники Z = 0, 1, 2, удовлетво-
ряют отношению, приведенному в определении кодов Zoo-выво-
дов. Фундированность тогда получается автоматически, так как
потребовано, в частности, |мл*<о|-<|и|, а отношение •<( есть
вполне упорядочение.
ЛИТЕРАТУРА
83
ЛИТЕРАТУРА
Бахман (Bachmann Н.)
1. Transfinite Zahlen. — Berlin: Springer, 1955.
Г e н ц e н (Gentzen G.)
1. Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfalien der transfiniten
Induktion in der reinen Zahlentheorie. — Math. Ann., 1943, 119, S. 140—
161.
Гёдель (Godel K.)
1. Uber eine bisher noch nicht benutzte Erweiterung des finiten Stand’
punkts. — Dialectica, 1958, 12, p. 280—287. [Русский перевод: Г ё -
дель К. Об одном еще не использованном расширении финитной
точки зрения. — В кн.: Математическая теория логического вывода.
М.: Наука, 1967, с. 299—310.]
Гильберт, Бернайс (Hilbert D., Bernays Р.)
1. Grundlagen der Mathematik, I.— Berlin: Springer, 1934. [Русский пере-
вод: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логиче-
ские исчисления и формализация арифметики. — М.: Наука, 1983.]
Клини (Kleene S. С.)
1. Extension of an effectively generated class of functions by enumera-
tion.— Colloq. Math., 1958, 7, p. 67—78.
2. Recursive functionals and quantifiers of finite type I. — Trans. Amer.
Math. Soc., 1959, 91, p. 1—52.
Крайзель (Kreisel G.)
1. On the interpretation of non-finitist proofs II.— J. Symbolic Logic,
1952, 17, p. 43—58.
2. Mathematical significance of consistency proofs.— J. Symbolic Logic,
1958, 23, p. 155—182.
3. A survey of proof theory. — J. Symbolic Logic, 1968, 33, p. 321—388.
4. Wie die Beweistheorie zu ihren Ordinalzahlen kam und kommt.—
Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 1977, 78, № 4, S. 177—223.
Крайзель и Леви (Kreisel G., Levy A.)
1. Reflection principles and their use for establishing the complexity of
axiomatic systems. — Z. math. Logik Grundl. Math., 1968, 14, p. 97—142.
T а к e у т и (Takeuti G.)
1. Proof theory. — Amsterdam: North-Holland, 1975. [Русский перевод:
Такеути Г. Теория доказательств. — М.: Мир, 1978.]
Тейт (Tait W. W.)
1. Normal derivability in classical logic. — In: The syntax and semantics
of infinitary languages/Ed. J. Barwise. Berlin: Springer, 1968, p. 204—
236.
Tp ул стр a (Troelstra A. S., ed.)
1. Metamathematical Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Ana-
lysis. — Berlin: Springer, 1973.
Швихтенберг (Schwichtenberg H.)
1. Einige Anwendungen von unendlichen Termen und Wertfunktionalen:
Habilitationsschrift. — Munster, 1973.
2. Elimination of higher type levels in definitions of primitive recursive
functionals by means of transfinite recursion.—In: Logic Colloqium 73/
Ed. H. E. Rose and J. C. Shepherdson. Amsterdam: North-Holland, 1975,
p. 279—305.
Ш e н ф и л д (Shoenfield J. R.)
1. Mathematical Logic.— N. Y.: Addison-Wesley, 1967. [Русский перевод:
Шенфилд Дж. Математическая логика. — М.: Мир, 1975.]
Шютте (Schutte К.)
1. Beweistheorie. — Berlin: Springer, I960,
Глава 3
ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ГЕНЦЕНОВСКОЕ ПОНЯТИЕ
ПРЯМОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Ричард Стетмен
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение......................................................84
§ 2. Предварительные соображения...................................87
§ 3. Прямые вычисления ............................................91
§ 4. Заключение....................................................98
Литература.....................................................99
§ 1. Введение
1.1. Чтобы объяснить результаты и методы, характерные для
теории доказательств, мы рассмотрим здесь заново один част-
ный случай приводимого ниже следствия теоремы о полноте.
Теорема. Если G (хь ..., хп) — бескванторная формула
логики предикатов и формула ЗХ] ... xnG(xb ..., хп) общезна-
чима, то имеются термы. tlj для 1 i m и 1 п такие,
что общезначима V @ vi’• • • > *п)-
Этот результат известен в литературе как теорема Эрбрана
для экзистенциальных формул; см., например, теорему 2.9 гла-
вы 2.
1.2. Имеется рекурсивный метод перехода от любого вывода
формулы ЗХ] ... xnG(Xi, ..., х„) в исчислении предикатов к
списку термов и выводу формулы V G (/гр ..., /*). Суще-
ствование этого метода, а также частично рекурсивного метода,
не зависящего от вывода, следует из корректности и полноты
правил. Несуществование рекурсивного метода, зависящего толь-
ко от формулы, следует из рекурсивной неразрешимости про-
блемы общезначимости.
1.3. Структурная теория доказательств использует эти сооб-
ражения как общеориентирующие, а для получения более удов-
летворительных результатов вводит различия следующих типов.
(i) Рассматриваются не произвольные бескванторные G, а
лишь некоторые подклассы. Например, в языке полугрупп мы
выбираем те формулы, которые естественным образом выра-
жают условие равенства двух слов (термов) в определенной ко*
§ I. ВВЕДЕНИЙ
85
нечно порожденной конечно представленной полугруппе с сокра-
щением. Более общо, если Ль Ар — фиксированные простые
(атомарные) формулы, а /ь ..., Iq — фиксированные имплика-
тивные формулы такие, что 7/ = Р{—>(... ...) для
простых Pi и С1, то мы рассматриваем совокупность L фор-
мул G вида ( Д А{ Д Д /, А Д ВА-*Вот+1, где В,—
М<«<р 1<й<т /
простые формулы, не содержащие хь ..., хп.
(ii) Рассматриваются не произвольные корректные и полные
правила, а только правила, приспособленные к математическому
содержанию совокупности L. В только что приведенном примере,
если /?1....Rm — определяющие соотношения, то равенство
w\ — если оно верно, выводимо из Rit , Rm, аксиом ассо-
циативности ((ab)c) = (a(bc)) и аксиомы тождества а = а с
помощью правила подстановки равных термов вместо друг друга
вместе с законами сокращения
(а6) = (ас) (6а) = (са)
и - .
Ь = с Ь = с
Более общо, если 3*1 ... хп0(х1г ..., хп) общезначима для
формулы G из L, то Bm+i выводима по правилам
ев?... е#(/)
ос1
из Вь Вт вместе с аксиомами 0Л* для каждой подстановки
6 вместо Xi, хп. Это — простое следствие теоремы Генцена
об устранимости сечения.
(iii) Рассматривается не только сложность термов но
и соотношение между длинами выводов и выбором соответствую-
щих
В частности, ставятся следующие вопросы.
(а) Какие подстановки 0 нужны, чтобы вывести Вт+Х из
jBl, . .. , Вт?
(Ь) Как длина вывода формулы Bm+i из Вь ..., Вт связана
со сложностью соответствующих 0?
(с) Каков наиболее эффективный порядок применений пра-
вил?
Следует отметить, что (а), (Ь) и (с) ни в коем случае не
являются тривиальными, даже если общезначимость формул из
L рекурсивно разрешима. Для изучения эффективности разре-
шающих процедур используются методы теории доказательств.
1.4. Главная цель структурной теории доказательств — сде-
лать объектом изучения различия между доказательствами, о
которых раньше судили согласно «эстетическим критериям
86 ГЛ. 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
элегантности или удобства». Одно из таких различий, привлек-
шее большое внимание, связано с «прямотой». Для наших целей
доказательство прямое, если оно не содержит более сложных тер-
мов, чем те, которые встречаются в доказываемой теореме. Если
прямые правила формализуемы в приведенной выше системе
правил для L, то уже этот факт дает ответ на вопрос (а). В ча-
стности, такие прямые доказательства могут быть результатами
работы некоторой полной процедуры поиска вывода, похожей
по типу на так называемые семантические таблицы.
В 1961 г. Крайзель и Тейт [1] сформулировали исчис-
ление равенств для формализации понятия вычисления, исходя-
щего из равенств, которые определяют значения теоретико-чис-
ловых функций. Это исчисление К связано указанным выше
образом с некоторым множеством J аксиом (изящную формули-
ровку см. в книге Крайзеля и Кривина [1], упражне-
ние 8, с. 48). Используя эту связь, Крайзель и Тейт показали,
что К полно в том смысле, что если общезначима импликация
(Е\ А ... где Ei— равенства, то выводимо
из Ei, ..., Ет. Мы попытаемся ответить на вопросы (а), (Ь) и
(с) для К. Одна из вещей, которые докажем, — формализуе-
мость в К прямых «вычислений».
1.5. Крайзель и Тейт в действительности дали два доказа-
тельства полноты, и оба эти доказательства поучительны. Пер-
вое, теоретико-модельное, доказательство упомянуто выше. Рас-
смотрим двусортный язык первого порядка, соответствующий
алгебраическим системам <N, F, =,0, $>, где N — множество
натуральных чисел, a F — совокупность теоретико-числовых
функций, содержащая функцию, тождественно равную 0, функ-
цию следования s и замкнутая относительно явных определений
(%-абстракции). Пусть / — следующая совокупность аксиом:
(1) х = х,
(2) (fx = gx /\x = y)-+fy = gy,
(3) (fx = gx /\y = x)-+fy = gy,
/4) sx>=sy-+x = y,
(5) 0 = SX->Z/ = 2,
(6„) x = snx-+y = z,
где s* = s и sft+1 = ssk. Члены совокупности /, очевидно, обще-
значимы на совокупности алгебраических систем <N, F, = ,0, s>.
Кроме того, если мы рассматриваем общие модели (т. е. мо-<
дели в обычном смысле) совокупности /, и (£j А ... А Ет)->-
не общезначима, то она имеет контрмодель вида <N, F,
=, 0, s>. В частности, входящие в переменные для функций
можно интерпретировать как финитные функции (равные О
всюду вне некоторого конечного множества); таким образом, мы
имеем для К разрешимость и полноту.
§ 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
87
1.6. Второе доказательство проходит путем формализации
в К. особенно элементарной разрешающей процедуры для обще-
значимости импликаций (Е1 А ... £<Em)-*Em+i. Эта формали-
зация приводит к полной процедуре поиска вывода, а анализ
доказательства дает ответ на вопросы (а) и (с), а именно:
а) Если (Ei'A ••• AEm)->£m+i общезначима и Z?i А ...
... /\Ет выполнима, то имеется прямое вычисление равенства
Em+i из системы Е\, ..., Ет, имеющее длину где р — ко-
личество вхождений нелогических символов в (Ei А ... АЕт)->
(если Ei Л ... '7\Ет невыполнима, то верен аналогич-
ный результат, но не обязательно для Ет+\).
(с) Общезначимость импликации (Ei А ... AEm->E,„+i)
можно распознать на детерминированной машине Тьюринга за
полиномиальное время (полиномиальное число шагов от длины
кода этой формулы).
Здесь следует отметить, что граница 2kp относится к вычис-
лениям, представленным как деревья, в узлах которых распо-
ложены равенства; если отождествлять разные вхождения од-
ного и того же равенства, то вычисления можно закодировать
как последовательности равенств, что дает границу kp2.
Мы изложим второе доказательство Крайзеля и Тейта.
1.7. Чтобы дать ответ на вопрос (Ь), мы проанализируем вы-
числения в К по аналогии с генценовским рассуждением об
устранении сечения. В частности, мы покажем, что если отдель-
ные применения правил в данном выводе «вполне проанализи-
рованы», то эти применения можно переставить так, чтобы по-
лучить прямое вычисление. Точнее, мы докажем следующее:
(Ь) Если в вычислении Т равенства Em+i (исходя) из си-
стемы Ei, ..., Ет'.
(i) правила, соответствующие аксиомам (5) и (6Я), не ис-
пользуются вообще;
(ii) каждое применение правила подстановки равных вместо
равных (соответствующего аксиомам (2) и (3)) заменяет не
более одного вхождения,
то имеется прямой вывод длины ^.kp2 равенства Ет+1 из Ei, ...
..., Ет. Здесь р — длина *) Т.
§ 2. Предварительные соображения
2.1. Мы рассматриваем равенства Е между индивидными
термами а, Ь, с, ..., возможно, содержащими функциональные
переменные, и конечные системы S таких равенств.
2.2. Символика. Мы записываем в виде [...] (di/xi, ...
..., ап/хп) операцию одновременной подстановки термов at
вместо Xi в [...]. Подстановки 0 могут подставлять функиио-
*) То есть число вхождений символов в Т. — Прим. ред.
88
ГЛ. 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
нальные термы \х\ ... хпа вместо «-местных функциональных
переменных f согласно определениям0(fai ... ап) = (0f) (0ai)...
... (0а„) и (Kxi ... xna)bi ... bn = a(bi/xi.bn/xn).
2.3. Определение. Функция M из множества термов в
неотрицательные целые числа называется мерой, если М (а)
М(Ь)=5> М(с(а/х)) sg М(с(Ь/х)), причем, если х действи-
тельно входит в с, то М (а) М (с(а/х)).
Если М — мера, то мы полагаем М (а — b) =df М (а) + М (Ь)
и = 2 А4(Е). Длина является мерой: здесь lha равна по
Е е 3
определению числу вхождений символов в а.
2.4. Определение. Подстановка 0 называется непроек-
тивной, если из 0f = Xxi ... хпа следует, что каждая из Xi дей-
ствительно входит в а.
Отметим, что если М — мера и 0 непроективна, то функция
М*, определенная равенством М*(а) = M(Qa), является мерой.
2.5. Определение. Система равенств S называется про-
стой, если каждое равенство в S имеет один из видов х = О,
Х1 = Х2, XI — SX2 ИЛИ Xm+l = fxi ... Xm-
2.6. Определение. Исчисление К Крайзеля и Тейта со*
стоит из аксиом а = а, правила подстановки равных
. Е (а/х) а==Ь
( } Е(Ь/х)
где а = b обозначает как а = Ь, так й b = а, а также правил:
(2)
а = Ь
(3) 0 = sa b = с
(4„) а = s а Ь = с
Исчисление, состоящее только из правила (1), будет казн*
ваться Н. Оно соответствует аксиомам (1), (2) и (3) системы/.
2.7. Определение. Вычисления в К и Н — это бинарные
деревья равенств, построенные из допущений и аксиом согласно
правилам. Читателю понятно, что такое К,- или //-вычисление
равенств Е (исходя) из системы S.
2.8. Определение. Длина вычисления Т — это количе-
ство вхождений равенств в Г.
2.9. Определение. Т называется сингулярным, если для
каждого применения правила (1) в Т переменная х входит в Т
ровно один раз.
§ 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
89
2.10. Определение. Пусть дано вычисление Т. Тогда
переброс — это замена подвычисления
Т1 Tt
Е(а/х,Ь/у) а = с т3
Е (с/х, b/y) b^=d
Е (с/х, d/y)
Tt Тъ
Е(а/х, b/y) b=^=d Тг
E(a/x, d/у) a ^==c
E (с/х, d/y)
а сдвиг — это замена подвычисления
Тх Т2 Т2 Т3
Е(а/х) a=±c(b/y) Т3 Тх a=*=c(b/y) b = d
E(c(b/y)/x) b = d на Е(а/х)а с (d/y)
E(c(d/y)/x) E(c(d/y)/x)
ИЛИ
Тх Т2 Т3 Т2
E(b(a/x)/y) а = с Т3 Тх b (с/х) = d с=^=а
E(b(c/x)/y) b(c/x) = d на Е (Ь (а/х)/у)b (а/х) = d
E(d/y) E(d/y)
Движение — это переброс или сдвиг, и мы говорим, что Т\
сводится к Тг, если Т2 получается из Л в результате последо-
вательности движений.
2.11. Отметим, что если 1\ сингулярно, и 7\ сводится к Т2
или Т2 сводится к Ть то:
(i) Т2 сингулярно и, сверх того,
(ii) любая комбинация двух применений правил в Ть сгруп-
пированная влево*), подпадает под определение движения;
(iii) любая комбинация двух применений правил в Л, сгруп-
пированная вправо, возникает из какого-либо пункта определе-
ния сдвига.
Отметим далее, что если Т сингулярно, то:
(а) имеется TR такое, что Т сводится к TR и любая последо-
вательность движений, начинающаяся с TR, есть последователь-
ность перебросов;
(Ь) имеется TL такое, что TL сводится к Т и каждая после-
довательность движений, кончающаяся TL, есть последователь-
ность перебросов.
Это можно усмотреть, измеряя «левость» вычисления Т п-кой
'(^1, ..., kn)t где ki — длина i-го (слева направо) максимального
пути в Т при их лексикографическом упорядочении. Последова-
тельность перебросов, за которой следует сдвиг, всегда умень-
шает левость, если все они применяются к правилам «на» самом
*) Точнее говоря, левая посылка одного применения правила является
заключением другого. — Прим. ред.
90
ГЛ. 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
левом пути некоторого подвычисления в Т. Вычисление TR мож-
но получить, итерируя эту процедуру при каждой возможности.
TL можно получить, обращая ее (минус перебросы) при каждой
возможности.
2.12. Если Т — сингулярное //-вычисление, то любое подвы-
числение, входящее в TR, имеет вид
Тх
Е(ах/хх, ..ап/хп) at = fti
..., йп/хп)
: тп
E{bt!xx.....ап/хп) ап = Ьп
Е(Ьх/хх, bn/xn)
a TL имеет вид
/1/-2
Еп En+i
Еп+2
Если Т — сингулярное //-вычисление, то это применимо к
тем максимальным фрагментам вычислений TR и Tl, которые
являются //-вычислениями. Эти максимальные фрагменты на-
зываются Н-фрагментами.
2.13. Определение. Если М — мера, то мы говорим, что
вычисление Т равенства Е, исходя из S, является М-прямым,
если для любого терма Ь, входящего в Т, имеется терм с, входя-
щий в Е или S, такой, что М (b) М(с).
2.14. Соглашение. Мы считаем, что индивидные пере-
менные пробегают натуральные числа, а функциональные пере-
менные— теоретико-числовые функции. Ohs обозначают соот-
ветственно нуль и функцию следования.
2.15. Определение. Говорят, что импликацияД8—
аналитическая, если она общезначима, а Д S выполнима.
Конечно, если Д S невыполнима, следует ожидать не нали-
чия lh-прямых вычислений для всех Е, исходя из S, а лишь та-
ких вычислений для некоторого частного случая посылки в (3)
или (4Я), т. е. для 0 = st или t = snt. Возьмем, например,
S«==df{xi = sxn- *2 = sxi.= н £=dt0 = s0-
§ 3. ПРЯМЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
91
Имея это в виду, мы ограничимся системой К без правил
(3) и (4Л), по-прежнему обозначая эту систему через К. К полна
в том смысле, что если Д S~>£ аналитична, то Е выводимо из£.
§ 3. Прямые вычисления
3.1. Предложение. Допустим, что S проста и М есть
мера. Тогда:
(i) если Д S ->х = у аналитична, то имеется М-прямое вы-
числение равенства х = у из S длины ^23k, где k — число пе-
ременных, входящих в S;
(ii) если Д S невыполнима, то имеется М-прямое вычисление
равенства х = spx (или 0 = sx) из S длины ^24k, где р
^card(S), k — число переменных, входящих в S, и х входит
в S.
Доказательство. Мы действуем по индукции, строя на
стадии п некоторую совокупность Сп вычислений членов некото-
рого множества Sn, исходя из S, и некоторое вычисление Тп. Вы-
числения, принадлежащие Сп, используются для построения Тп>
которое имеет вид
*1 = У\ Л
Х2 = У2
Хп Уп Тп
Хп+\ Уп+1
где каждое из Т} — это вычисление, исходя из S. Это конструк-
ция должна остановиться при некотором По, не превосходящем
числа переменных, входящих в S.
Стадия 1. Положим Si = dfSJ{* = х : х входит в S}, Ci =
= df5i, Xi = dfX, yi = dfi/ и T\ = dfX = у.
Стадия п +1. Случай 1. В Sn имеются а = с и b = с такие,
что переменная а отлична от b и М(а)^Л1(&). Выбираем из Сп
вычисления Та и Ть равенств а = с и b = с соответственно. По-
лагаем
5Л+1 —df (я/^), хп+! —df хп (a/b)9 уп+ j —df уп (а/Ь),
т*____ Т*ь Та
1 п df * ’
о = а
( Т Т*
: Т есть вывод Е из S в Сп
n+1 dfl Е(а/Ь)
92
ГЛ. 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Случай 2. Случай 1 не имеет места, но в Sn есть равенства
с = sa и с = sb такие, что переменная а отлична от b и М(а)^
^М(Ь). Выберем из Сп вычисления Та и Ть равенств c = sa и
с = sb соответственно. Положим
5Л+1 df sn хп+1 df хп уп+1 —df Уп
Та____П
sb = sa
( Т Т*п
: Т есть вычисление Е из S в Сп
n+1 "1 Е(а/Ь)
Тп Т\
Предположим сначала, что fcS-+x = y аналитична. ТогдаSn,
имеет следующие свойства:
(i) Если fzi ... zm входит в Sn„ то имеется ровно один
терм z такой, что z = fz\ ... zm принадлежит
(iii) Если szi входит в Sn,, то имеется ровно одна перемен-
ная г такая, что z = szi принадлежит Sn,.
(iii ) Если 0 входит в Sn,, то имеется ровно одна перемен-
ная z такая, что z = 0 принадлежит Sn..
(iv ) Если Z\ — z2 принадлежит Sn„ то z{ совпадает с z2*).
(v) Если z — szi и z — sz2 принадлежат Sn,, то zi совпа-
дает с z2.
(vi) Нет переменных Z\ и z2 таких, что zi = sz2 и zi = 0 при-
надлежат Sn,.
(vii) Нет переменных zi, ..., zm таких, что Zi = szm, z2 =
= SZI Zm — SZm-l принадлежат Sn,.
*) Чтобы получить свойство (iv) нужно на стадии п + 1 рассмотреть
случай, когда случаи 1 и 2 не имеют места, но в S„ есть равенство а = Ь та-
кое, что переменная а отлична от переменной Ь. — Прим. ред.
§ 3. ПРЯМЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
93
Таким образом, из системы равенств можно получить
выполняющую ее интерпретацию, а затем продолжить ее до ин-
терпретации, выполняющей S. В частности, эта интерпретация
не выполняет хП9 = У^, кроме случая, когда х^ есть уПо. Теперь
из структуры легко усмотреть, что Л 5 = У\ =
= следовательно, есть у^. Поэтому мы можем взять
% Пр У Пр__^По-1
, = уп .
Ло — 1 V Пр — 1
Х3 — У2 Т1
Х1=У1
в качестве искомого М-прямого вычисления равенства х = у из
S. Его длина ^23*, где k — число переменных, входящих в S,
так как максимальная длина путей в Т! не превосходит 3/.
Допустим теперь, что Д S невыполнима. Тогда, так как Sn,
удовлетворяет условиям (i) — (v), должно нарушаться либо (vi)
(с zi, отличным от Z2), либо (vii). В первом случае искомое вы-
числение очевидно. Во втором случае выберем zi таким образом,
чтобы Л1(2/) была максимальной. Тогда для любого q m мы
имеем М (spZj) М (smzt), и подходящее вычисление равенства
zt — smzt из S легко построить из вычислений, входящих вСПо. □
3.2. Предложение. Если М — мера, то:
(i) если /\S->a — b аналитична, то имеется М-прямое вы-
числение равенства а — b из S длины 29<lh(S)+lh(a=b));
(ii) если AS невыполнима, то имеется М-прямое вычисление
равенства а = spa (0 = sa) из S длины ^212 lh(S), где р lh (S)
и а входит в S.
Доказательство, (ii) устанавливается совершенно ана-
логично (i) с использованием соответствующего утверждения
предложения 3.1, поэтому мы докажем только (i). Каждому
вхождению t терма в импликацию Д5->а = 6 поставим в со-
ответствие новую переменную Xt. Пусть
=df {Xtl ~ Х(2~У’ xst3 = sh>
— вхождение символа 0, /2 —вхождение символа у, st3
и fft ... tm — вхождения},
и положим
S2 =df {xtj — xtt: tx = t2 принадлежит S}.
94
ГЛ. 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Теперь мы применим предложение 3.1 к A A $2)-+ха = хь
для меры М*9 определенной соотношением: М* (с) — М(с(..<
□
3.3.1. Определение. Мы говорим, что вычисление Г.ра-
венства Е из системы равенств S обладает слабым свойством
подтермности, если для каждого применения правила (2) в Г
термы sa и sb входят в S. Вычисление Т обладает свойством
подтермности, если оно обладает слабым свойством подтерм-
ности и для каждой входящей в него аксиомы а = а терм а вхо-
дит в Е или S. Сингулярные вычисления, обладающие свойством
подтермности, связаны с М-прямыми вычислениями через сво-
димость.
3.3.2. Предложение. Если М — мера и Т — сингулярное
вычисление со свойством подтермности, то Т сводится к некото-
рому М-прямому вычислению Тм,
Доказательство. Применяя к TR последовательность
перебросов, построим вычисление Тм таким образом, чтобы
оно не содержало подвычислений вида
Л Т2
Е(а/х, с/у) а = Ь Т3
Е (b/x, с/у) c = d
E(b/x9 d/у)
где М(а)<М(Ь) и M(d)^:M(c). Так как Тм сингулярно и
обладает свойством подтермности, нетрудная индукция по (дли-
не) Тм показывает, что оно М-прямое. □
3.4. Предложение. Если Т — сингулярный вывод равен-
ства Е из системы S, обладающий слабым свойством подтерм-
ности, то имеется сингулярное вычисление Ts равенства Е из
системы S, обладающее свойством подтермности и имеющее
длину ^lh(T).
Доказательство. С помощью серии перебросов по-
строим из Tl вычисление, не содержащее //-фрагментов, в кото-
рых никакое применение правила вида
g1 = &i(c1/xi) cx^=dx
ах = bx (di/xx)
не предшествует применению правила вида
^2 (С2/Х2)^2 ^2 d%
02 (d^x2) = 62
§ 3. ПРЯМЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
95
Каждый Я-фрагмент этого вычисления имеет вид
tip ==: Ьр Е\
Й2 -- Ьд Ер-1
Oj = bq Ер
«1 = bq_i
Д] — 62 Ep+q-2
ai = bi
Если ap и bq входят в S (или в £), то с этим фрагментом не
нужно делать ничего. В противном случае ар совпадает с bq, и
этот фрагмент нужно заменить следующей фигурой:
ai = ai Ep i
CL\ == О>2
Д1=аР-1 Е\
Д[ — dp Ер
ai = bq_l
Д1 — ^2 Ep+q-2
ai = bi
Наконец, получаем Т$ путем вычеркивания применений пра->
вил вида
а = с Ь — Ь
а = с
из результирующего вычисления. □
3.3. Предложение. Если Т — сингулярное вычисление
равенства Е из системы S, то имеется сингулярное вычисление
Tw равенства Е из системы S, обладающее слабым свойством
подтермности и имеющее длину (lh(T))2 + lh(T)4r. 1.
96
ГЛ. 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Доказательство. Пусть lh(Г) = п. Мы ведем доказа-
тельство путем индукции по все большим и большим подвычис-
лениям в Т, которые кончаются применениями правил вида (2),
заменяя их новыми вычислениями (однако мы продолжаем обо-
значать через Т вычисление, возникающее на стадии А). На
каждой стадии мы рассматриваем //-фрагмент, содержащий по-
сылку одного из таких применений правил. Если соответствую-
щее подвычисление первоначального Т имело длину р, то этот
фрагмент имеет длину не более 2р. Такой фрагмент преобра-
зуется сначала во фрагмент длины не более р + 2, а затем в
/(-вычисление длины не более 2р + 2, которое подставляется
вместо исходного большего вычисления (а рассматривавшееся
применение правила вида (2) вычеркивается).
Самое большее р + 2 из 2р + 2 равенств «передаются» сле-
дующему //-фрагменту, и одно равенство вообще выбрасывает-
ся. Отсюда легко следует граница п2 + п + 1.
Стадия 1. Заменим каждое максимальное подвычисление
вида
sqa — sqa
s<,-xa = sq~'a
sa = sa
a = a
на a = a.
Стадия A'+ 1. Выберем максимальное из еще не рассмотрен-
ных подвычислений вычисления Т, оканчивающихся примене-
нием правила вида (2), и рассмотрим//-фрагмент, кончающийся
равенством sa = sb. Если этот фрагмент просто совпадает с
sa = sb, то не будем делать ничего (так как мы находимся на
стадии k + 1, это подвычисление кончается двумя последователь-
ными применениями правил вида (2) и sa, sb входят в S, так
как туда входят ssa и ssb). В противном случае с помощью пре-
образований из предложения 3.4 получим из этого фрагмента
//-вычисление вида
Sg = /0 Ео
sa = tx
su — tm Ещ >
sa — tm+l
I 3. ПРЯМЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
97
где t0 есть sa, tm+\ есть sb, ti отличен от и, по индукцион-
ному предположению, все термы, входящие в Ei, входят и в S
(если на втором шаге преобразования из предложения 3.4 ар
или Ьр входят в S или Е, то нужно вставить правило
С1[ —- Clp Ctp = bq
d\ —bq
на подходящее место). Мы различаем два случая:
(i) каждый из ti имеет вид sre,
(ii) случай (i) не имеет места.
Рассмотрим сначала случай (ii) и сведем его к случаю (i)
для меньшего вычисления.
Случай (ii). Выберем все пары i, j такие, что:
(a) ti-\ есть sri_\\
(b) ti не есть srr,
(с) /—наименьшее число, большее i, такое, что tj снова
есть Sr/.
Тогда для каждой такой пары £г-1 есть ti-i = ti, Ej есть
= tj и tj входят в S. Заместим каждый сегмент
sa = tj_{
sa = ti
на
sa = tj
— h Ej
sa = tj_x tj-^tf
sa = tj
и рассмотрим фрагмент, полученный заменой каждого такого
замещения на его последнее применение правила
S6Z — t i — \ ^£—1 f
sa = tj
в рамках случая (i).
4 Справочная книга, ч. IV
98
ГЛ. 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Случай (i). Заменим sa = ti на а — п во всем данном //-вы-
числении, заменяя одновременно каждое применение правила
вида
sa = 11___11 = / / 4, i
sa = ti+x
на
srj = sri+l
a = ri rt = ri+x
§ 4. Заключение
4.1. Тот факт, что прямые вычисления формализуемы в К,
имеет много следствий. Упомянем только одно из них: правила
системы К наиболее эффективны как в смысле длин вычисле-
ний, так и в смысле длин термов (с точностью до постоянного
множителя, когда вычисления кодируются как последователь-
ности равенств) по сравнению с любым конечным множеством
«аналитических» правил. Мы оставляем большую часть деталей
на долю читателя. Главный факт, нужный нам, таков.
4.1.1. Предложение. Если М — мера и Е выводимо из S,
то имеются частные случаи Е\, Si; ... ; Еп, Sn равенств Е и
(членов) S, а также сингулярные вычисления Ti равенств Ei из
Si, удовлетворяющие условию', для любой подстановки 0 имеют-
ся непроектирующая 0, и вычисление Те такие, что:
(i) 0Е = 0А;
(ii) 05 = 0Д;
(iii) Ti сводится к TQ;
(iv) 0гГе является М-прямым.
Доказательство. Пусть даны Е и S. Предвосхищая
всевозможные «проекции», мы можем найти такие частные слу-
чаи Ei, Si; ... ; Еп, Sn, что:
(а) если E выводимо из S, то для каждого i равенство Ei вы-
водимо из Sr,
(b) для каждой 0 найдется i и непроектирующая 0/, удовлет-
воряющая (i) и (ii).
Допустим, что Е выводима из S, и выберем сингулярное вы-
числение Ti равенства Ei из Si, обладающее свойством подтерм-
ности. По данной 0 выберем I и 0Д вышеуказанным способом.
Положим М*(а) = dtM(fita) и применим предложение 3.3.2 к Ti
по отношению к М* для получения Те.
§ 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
99
4.2. Наш анализ сингулярных вычислений в нынешнем виде
не решает вопроса об отношении произвольных вычислений к
прямым. В частности, он не дает ответа на следующий
Вопрос, Имеется ли бесконечная последовательность пар
Si и число п такие, что найдется вычисление Е, из S,i длины
но любое прямое вычисление Ei из S, имеет длину не
меньше /?
Однако с использованием нашего анализа можно было бы
дать отрицательный ответ на этот вопрос, если бы удалось до-
казать следующее
Утверждение, Имеется функция f такая, что если Т — вычис-
ление равенства Е из S, то имеются £*, S*, 0*, Т* такие, что:
(i) 0* непроектирующая;
(ii) 0*Е* = Е;
(iii) 0*S* = S;
(iv) Т* — сингулярное вычисление равенства Е* из S*;
(V) 1Ь(Г)<Н1Ь(Л).
4.3. Наконец, в связи с эффективностью изучались и другие
классы вычислений, формализуемых в К. Например, у Стет-
м е н а [1], глава 2, длина вычислений из аксиом, которым удов-
летворяют частичные функции, сравнивается с длиной вычисле-
ний из «эквивалентных» аксиом, которым удовлетворяют толь-
ко всюду определенные функции.
ЛИТЕРАТУРА
Крайзель и Кривин (Kreisel G., Krivine J. L.)
1. Elements of Mathematical Logic. — Amsterdam: North-Holland, 1967.
Крайзель и Тейт (Kreisel G., Tait W. W.)
1. Finite definability of number theoretic functions and parametric copiple-
teness of equation calculi.— Z. math. Logik Grundl. Math., 1961,
p. 28—38.
Лифшиц В. A.
1. Специализация формы вывода в исчислении предикатов с равенством
и функциональными символами. — Тр. матем. ин-та АН СССР, 9§. М.:
Наука, 1968, с. 5—25.
Стетмен (Statman R.)
1. Structural complexity of proofs: Dissertation. — Stanford (California):
Stanford University, 1974,
4*
Глава 4
ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА,
РОДСТВЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ
Соломон Феферман
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение......................................................100
§ 2. Условия замкнутости на универсумы и алгебраические системы ко-
нечного типа.....................................................104
§ 3. Отношение условий замкнутости к математической практике . . .111
§ 4. Теории конечного типа, основанные на условиях замкнутости . . 117
§ 5. Некоторые схемы свертывания и выбора для логики второго порядка 125
§ 6. Трансфинитная индукция, рекурсия и итерированные принципы . . 128
§ 7. Теоретико-рекурсивные модели конечного типа...................137
§ 8. Содержимое второго порядка для изучаемых теорий: методы тео-
рии доказательств................................................. 144
§ 9. Источники сведений по другим темам............................155
Литература........................................................ 156
§ 1. Введение
1.1. Цели и интересы. Это — обзор работ по формальным
теориям, родственным значительной части математической прак-
тики. Большая часть современной математики основана на не-
конструктивных теоретико-множественных принципах, однако в
действительности используется поразительно малая часть того,
что скрыто в этих принципах (за исключением, конечно, исполь-
зования в самой теории множеств). Например, основную массу
математического анализа можно развить в алгебраической си-
стеме конечного типа над натуральными числами N, а на самом
деле даже в пределах типового уровня три. (Типовой уровень
натуральных чисел есть 0, для NN и вещественных чисел — это 1,
для вещественных функций — 2, для операторов над ними — 3.)
Трансфинитные типы появляются в теории множеств через транс-
финитную итерацию операции множества-степени. Но там, где
такая итерация вообще используется в анализе, она применяется
только к операциям внутри данного типа. Недоиспользование
потенциальных ресурсов трансфинитных типов можно считать
дефектом практики; такая точка зрения подтверждается недав-
ними результатами о детерминированности борелевских игр
(ср. Мартин [1]). Тем не менее по причинам, которые сейчас
§ I. ВВЕДЕНИЕ
101
будут указаны, логический анализ практики представляет инте-
рес, а ограничение низкими типами, разумеется, делает такой
проект более осуществимым.
С логической точки зрения основные принципы существова-
ния (экзистенциальные принципы) внутри любого данного типа
S — это аксиомы свертывания и аксиомы выбора. Первые утвер-
ждают, что для любого свойства ср элементов из S существует
множество всех объектов из S, обладающих свойством (р.
Класс рассматриваемых свойств может быть точно описан в фор-
мальном языке и, на удивление, оказывается, что свойства, ко-
торые используются в действительности, имеют очень низкую
логическую сложность (в нескольких смыслах). Это делает ин-
формативный логический анализ практики даже более осущест-
вимым.
При поверхностном взгляде интерес такого изучения состоит
в том же, что и в известных математических исследованиях
вопроса о том, какого рода задачи можно решить данными огра-
ничейными средствами, вроде построения циркулем и линейкой
или решения путем механических вычислений. Отличие от на-
шего нынешнего исследования состоит в том, что для средств,
выделенных в упомянутых известных случаях, уже имелось со-
вершенно отчетливое неформальное понимание. Имеется и сход-
ство, состоящее в том, что ограничение данными средствами по-
строения или решения в определенной области может быть про-
извольным или исторической случайностью; изучение того, что
может быть получено такими средствами, дает, таким образоц,
повод посмотреть, имеют ли эти ограничения более глубокое
или внутреннее значение.
Последнее представляет собой позицию, занимаемую пред-
ставителями различных точек зрения на основании математики,
которые призывают к ограничениям на принимаемые методы
или к совершенно новому построению. Мы имеем в виду, в част-
ности, идеи, восходящие к Гильберту, Брауэру, Пуанкаре и шко-
ле Бореля — Лебега.
Как хорошо известно, Гильберт хотел ограничить (до воз-
можного минимума) только методы, которые использовались бы
для оправдания математики с помощью доказательств непроти-
воречивости подходящих формальных систем. Хотя его програм-
ма оказалась невыполнимой, возникшая из нее теория формаль-
ных систем и доказательств оказалась одним из главных ин-
струментов описываемой ниже работы (ср. также главу 2).
Здесь нет нужды углубляться в идеи конструктивности, вве-
денные Брауэром, так как этот вопрос вполне освещен в главе 5.
Некоторые из изучаемых там формальных теорий весьма по-
хожи на изучаемые здесь. Основное различие в том, что мы, сле-
дуя математической практике, принимаем классическую логику.
102
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
(Другие значительные отличия будут отмечены ниже.) Оказы-
вается, что одно из формальных средств разработки наших про-
блем— это сведение классических теорий к (формально) интуи-
ционистским теориям с последующим использованием явной ин-
терпретируемости последних.
Упомянутые выше взгляды французских математиков ни-
когда не были систематически разработаны ими. В этом отно-
шении логический интерес настоящей работы состоит в точном
объяснении идей, о которых идет речь, и в сравнении их с прак-
тикой в качестве первого критерия их жизнеспособности.
Пуанкаре подчеркивал примат нашей концепции натураль-
ных чисел и неопределенность концепций функции и множества
(в частности, для NN и R). Это привело его к отрицанию ис-
пользования так называемых непредикативных определений та-
ких, как определения некоторого подмножества N (или веще-
ственного числа) свойством <р, которор содержит квантификацию
по предполагаемой совокупности всех подмножеств N (или по
всему R). В логическом анализе предикативности был достиг-
нут значительный прогресс, и он будет ниже играть важную
роль в различных ситуациях !).
В школе Бореля — Лебега доминировала идея рассмотрения
одних только явно определимых множеств и функций. Разница
состоит в разрешении определений по трансфинитной рекурсии,
а также (возможно) определений, предполагающих R фиксиро-
ванным. ^та точка зрения еще не была точным образом объяс-
нена, но йа нее было пролито много света в результате развития
теорий рекурсии, а также в терминах формальных теорий, яв-
ляющихся расширениями описываемых ниже систем.
Наконец, описанная здесь работа может оказаться интерес-
ной для логиков просто потому, что она является точкой встречи
повседневной математики с идеями и методами из теории дока-
зательств, теории моделей и теории рекурсий, приводящей к
ряду результатов, которые приносят удовлетворение сами по
себе.
1.2. План главы. Большая часть литературы по этому пред-
мету рассматривает системы второго порядка (т. е. системы, вы-
разимые в логике второго порядка), причем некоторые из них
были выделены для изучения только на синтаксических основа-
ниях. Наше нынешнее изложение отличается сосредоточением на
теориях конечного типа, которые непосредственно отражают ло-
гические черты практики и В которых легко развивать повсе-
дневную математику. Одной из главных логических проблем
!) Термин «предикативный» используется разными авторами по-разному.
Мы применяем его к той части математики, которая в койейном Счете сво-
дима R нашей концепции натуральных чисел (ср. 6.4.5 и 9.3 ниже).
§ Т. ВВЕДЕНИЕ
103
оказывается тогда получение информации о том, каково содер-
жание этих теорий в логике второго порядка !).
Мы начнем в § 2 с неформального рассмотрения некоторых
условий замкнутости на универсумы множеств и функций. Эти
элементарные условия замкнутости ведут к алгебраическим си-
стемам конечных типов. Дальнейшие условия замкнутости вклю-
чают кванторные функционалы для каждой области, которая
считается фиксированной (или определенной), и функционалы
рекурсии для N. В § 3 имеется (по необходимости) короткое
указание на соотношение этих условий замкнутости с различ-
ными частями математики.
В § 4 мы переходим к формулировке ряда теорий конечных
типов, основанных на этих условиях замкнутости. Они перефор-
мулированы также в логически более знакомой форме схем СА.
(comprehension axiom — аксиома свертывания) и AC (axiom of
choice — аксиома выбора). Фрагменты этих теорий, выразимые
в логике второго порядка, включают такие изучавшиеся в лите-
ратуре системы, как А} — СА, 2} — АС, П} — СА, Д1 — СА; по-
следние описаны в § 5. В развитие этого в § 6 излагаются прин-
ципы трансфинитной индукции и рекурсии, выраженные в логике
второго порядка. Это позволяет нам объяснить итерацию неко-
торых принципов, например для случая разветвленного анализа.
Несколько теоретико-рекурсивных моделей для теорий
конечного типа изложено в § 7. Они используются для установле-
ния нескольких результатов о непротиворечивости для матема-
тических утверждений относительно тех частей практики, кото-
рые развиты внутри данных теорий. В частности, дан ряд при-
меров с использованием моделей конечного типа, у которых
фрагмент, выразимый в логике второго порядка, состоит в точ-
ности из гиперарифметических функций и множеств.
Более точная информация о содержании, которое имеют изу-
чаемые теории в логике второго порядка, получается в § 8 раз-
личными методами теории доказательств. Сюда входят генце-
новский метод устранения сечения и его приспособление к нор-
мализации термов, редукция к формально интуиционистским
теориям и гёделевский метод функциональной интерпретации.
Так как эти методы весьма подробно обсуждаются в главах 2
и 5, мы обсуждаем только особые черты их применения к этим
задачам. Многие из результатов имеют вид: данная теория Тш
конечного типа является консервативным расширением некото-
рого фрагмента Т2, выразимого в логике второго порядка. Среди
!) Я развил этот подход в различных докладах и курсах в течение ряда
лет после 1970 г. (начиная с статьи Фефермана [3]). Как будет видно ни-
же, это — синтез идей и результатов, принадлежащих нескольким лицам. При-
нятый здесь план заимствован из работы Фефермана [6].
104
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
описываемых побочных результатов — характеристики доказуе-
мых вполне упорядочений различных теорий.
Девятый параграф заключает рассмотрение коротким указа-
нием литературы по дальнейшим темам. Вне пределов этой гла-
вы находится развитие теории конечного типа для ординалов,
нужной для отражения подхода Бореля — Лебега. По этой при-
чине и в качестве основной иллюстрации мы везде сосредоточи-
вали внимание на различии предикативное/непредикативное, так
как оно проявляется и в математике, и в формальных системах.
Параграфы 2 и 3 можно читать без какой-либо подготовки
по логике, а § 4 — при весьма скромной подготовке. §§ 5—8 тре-
буют большего опыта, но немного специальных знаний, кроме
частей теории рекурсивных и гиперарифметических функций
(с которыми можно ознакомиться по книге Роджерса [1]).
1.3. Историческая заметка. Теории конечного типа восходят
к истокам современных работ по основаниям математики: имеет-
ся в виду введение Расселом в 1908 г. (предикативной) разветв-
ленной теории типов над неконкретизированным множеством ин-
дивидов. Это было развито в Principica Mathematica, где так
называемая «аксиома сводимости» была добавлена просто для
того, чтобы обойти трудности развития математики в разветв-
ленной системе. Как позднее осознал Рамсей, это сделало ее
эквивалентной (непредикативной) простой или неразветвленной
теории типов.
Гильберт сформулировал несколько теорий функций конеч-
ного типа над N в 1920-х годах. Функциональная теория третьего
порядка над N описана у Гильберта и Бернайса [1],
Приложение IV. Чёрч [1] дал теорию функционалов всех ко-
нечных типов над N в символизме типового ^-исчисления. Все
эти системы принимали в качестве аксиом полные непредика-
тивные схемы свертывания. Теория Чёрча эквивалентна по силе
теории множеств Цермело.
Рассмотрение конструктивно приемлемых аксиом для объек-
тов конечного типа и, в частности, оператора рекурсии при-
надлежит Гёделю [1]. Это вместе с рассмотрением рекурсии
в кванторных функционалах (т. е. относительно этих функцио-
налов) у К л ин и [3] образует основные теоретические предпо-
сылки настоящей работы.
§ 2. Условия замкнутости на универсумы
й алгебраические системы конечного типа
2.1. Элементарные условия замкнутости на универсумы мно-
жеств и функций.
2.1.1. Под универсумом понимается пара 62/ = (’Set?/, Fn^),
состоящая из двух совокупностей, называемых соответственно
9 2. УСЛОВИЯ ЗАМКНУТОСТИ
105
множествами (универсума) OL и функциями 01. Элементы мно-
жеств 01 могут в определенных случаях сами быть множествами
или функциями О/, но могут также быть и объектами других
родов таких, как числа.
Обозначения, (i) А, В, С, X, Y, Z пробегают Set&, a f,
g, h пробегают Fn?y. Мы используем а, Ь, в, х, у, z для эле-
ментов множеств, которые не выделены ничем иным. Некото-
рые заглавные буквы используются для функций.
(ii) f: А-*-В пишется, когда Эот(/:)==Д и Rang(f)s В *),
a fa обозначает f(a), когда а^А. Gr(f) обозначает график f,
рассматриваемый как подмножество ДХВ. Для Х^А ffX —
ограничение f на X, а Са(Х)—характеристическая функция X
относительно А, т. е. Сд(Х): А—► {0, 1}, (С а (Х))а — 0<=>а е X.
(iii) ^(Д) = {Хе5е^|Х = Д), (Д + B)% = {f е= Fn,J f:
А-+В].
Если не возникает двусмысленности, индекс 01 не будет ука-
зываться и (Д->В)М будет тогда обозначаться через (Д->В)
или ВА.
2.1.2. 01 называется декартово замкнутым1), если он удов-
летворяет следующим условиям:
(1) {0, 1} <= SetM;
(2) А, В = Set^=^- А У. В, (А-^В)^ и ^(Д) принадлежат
Set«;
(3) f eFnMoGr(f)sSeW,
(4) А е SeU и X = A => (X е= Set« СА (X) <= Fn«);
(5) для каждой комбинации Д, В, С множеств из 01 все
функции К, S, Р, Pi, Р2 и D, определяемые ниже, принадлежат
Fn« (когда аеЛ, ЬеВ, f е(Д-*-(В->С)), ^е(Д->-В) и
ie{0, 1}):
(i) Kab=a (константные функции);
(ii) Sfga-fa(ga) (подстановка);
(iii) Pab = (a, b), Pl(a, b) = a, P2(a, b) = b
(пара и проекции);
f а, если Z = 0,
(iv) Dabi — s (определение разбором случаев).
с?, если i —► 1
Все универсумы рассматриваемые в дальнейшем, пред-
полагаются декартово замкнутыми.
Обозначения и замечания. (i) fai.,.an —
= (.. .(fai).. .)ап, т. е. группировка производится влево. Мы
*) Здесь Rang (f) обозначает образ f. — Прим. ред.
9 Эта терминология происходит из теории категорий; здесь используется
только конкретная форма этого понятия.
106
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
пишем (Дь Ап^В) вместо (4i-> ... -+Ап^ В), т. е. вме-
сто 41->(ДЛ->В)...). Чтобы указать область определе-
ния, мы используем нижние индексы, например Кл>в^(4,В->
->А), PAfBf=(A, В^А\В) и т. д.
(ii) Л, S — базисные комбинаторы, служащие для порожде-
ния всех функций, определимых повторным применением функ-
ции к аргументу. В их терминах можно объяснить Х-запись для
абстракции (и обратно). Так, / = 7л = ХхеД. х (тождествен-
ная функция) определяется с помощью I = SKK, а С = Kf е
(= (A^B)kg<= (В ->С)кеД./(§(х)) —путем C = S(KS)K
и т. д. Ср. главу 7.
(iii) Условия (3) и (4) выражают взаимозаменяемость или
эквивалентность множеств и функций. Это принято в теоретико-
множественной математике, но не в конструктивной математике,
где множества (или свойства) в общем случае неразрешимы, в
то время как все функции (конструкции) вычислимы (ср. гла-
ву 5).
(iv) Подмножества любого данного множества замкнуты
относительно конечных булевых операций, что легко усмотреть
из эквивалентности множеств и функций и наличия определений
разбором случаев.
(v) Обычно замкнутость относительно операций А н->^^(Л)
и А, В*—* (А -> В)и считалась бы чрезвычайно не элемен-
тарной, но это имеет место лишь в присутствии принципов свер-
тывания, позволяющих квантификацию по любым множествам.
Без них мы можем мыслить (Д) просто как результат сов-
местной группировки всех объектов одного и того же рода или
типа в а именно подмножеств А в <U (и аналогично для
2.1.3. Конечные типы универсума над Ло, •••> Лп— это
множества, порожденные из Ло...Л„ путем замыкания отно-
сительно операций: А, В*-*- АХ В, (A->B)W ^(Л).
Типовые символы о используются для обозначения порож-
денных таким образом членов Аа универсума <2/: если даны сим-
волы уо, ..., у„ для основных типов, они строятся с помощью
формальных операций о, о X т, (о->т), [о].Тогда ЛУ/ = Лг-,
Л дуг == Ли X Л t, Л (j-t-x == (Л (у Л т), Л [а] == SP (Л<г) .
Говорят, что °U — универсум конечного типа над Ло, ..., Ап,
если каждое множество X из ‘U принадлежит некоторому Л[0],
т. е. является подмножеством некоторого Лст.
2.1.4. Уменьшение числа основных понятий; алгебраические
системы конечного типа. Определение декартово замкнутого уни-
версума было избрано как наиболее удобное и естественное в
математических применениях. Мы, однако, можем одним из еле-
§ 2. УСЛОВИЯ ЗАМКНУТОСТИ
107
дующих двух способов произвести некоторые упрощения для
универсумов конечного типа над данными множествами.
(1) Возьмем основной тип у0 такой, что 0, 1 еЛУо. Ограни-
чимся типами, построенными из у0, ..., уп с помощью опера-
ции о, тн-»(о->т). Подмножества Ао трактуются в терминах
их характеристических функций из Л(а->Уо)- Чтобы избавиться
от спаривающей функции и проекций, операции от нескольких
переменных заменяются одноместными функциями и повтор-
ными применениями этих функций к аргументам (т. е. (oi->
-^(Ог-^т)) заменяем (оц X ). Частичные функции из
(подмножества В множества) Ао в Ах рассматриваются как
ограничения тотальных (всюду определенных) функций из
Л(0-^Т) (которым могут быть присвоены произвольные значения
для аргументов не из В). Этому подходу мы в действительности
будем следовать в логическом развитии §§ 4—8.
(2) Типы строятся только с помощью операций о, т->аХт,
[о]. В этом случае функции из Ао в Ах (частичные или тоталь-
ные) отождествляются с их графиками в Л[ахть
Замечание. Ни одно из этих упрощений не подходит
для конструктивной математики. Например, если f — частичная
вычислимая операция из Ао в Л, мы не можем в общем случае
продолжить f до тотальной вычислимой операции на Ла.
2.2. Замкнутость относительно квантификации; операторы
выбора. Для любого °U и множества Л в °U определим функ-
ционал Зл: ^(Л)->{0, 1} соотношением
ЗлХ = 0<=>Х непусто. (1)
Эквивалентным образом (когда 0 е В) определим Зл: (Л->
—> В) —> {0, 1} соотношениями
B»f = loVae4(M=^0). (2)
Мы скажем, что <U является 3А-замкнутым, если Зл есть
функция в °U. Под оператором С выбора для Зл мы понимаем
функционал из 0(A) в А такой, что
Xs А и ЗлХ = 0=4-СХе X. (3)
2.3. Универсумы над натуральными числами.
2.3.1. Говорят, что алгебраическая система принадлежит
универсуму CU, если все ее области, отношения и функции на-
ходятся в CU.
Допустим, что алгебраическая система 91 = (N, 0,') принад-
лежит <Н и I, j, k, п, m, р пробегают N. Операторы ^-рекур-
сии — это функции R (или /?д), определяемые соотношениями
RafO = a, Rafn' «= fn (Rafn) (I)
108
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
для любого А, а е A, f е (N, А -+А) и п е N. Эти функционалы
введены у Гёделя [1]. Они имеют непредикативный или не-
элементарный характер, следующим образом иллюстрируемый
для 4==[Nn->N] (здесь мы пишем «g» вместо «а» и считаем,
что h пробегает Nn):
Rgfoh. = gh, Rgfn'h = fn (Rgfn) h. (2)
Записывая Rgfn в виде Mii(Rgfnhi), мы видим, что Rgfn'h
зависит, на первый взгляд, от Rgfnhi для всех hi в Nn. Элемен-
тарные операторы рекурсии R (или Ra ') могут быть следующим
образом определены для любого А = (Bi, ..., Вп-+- N):
Rgfob = gb, Rgfn'b = fn (Rgfnb) b, (3)
где b = bi ... bn, каждое bi e Bi и g e A.
Замечание. Операторы R no существу введены Клини
[3]. Там было показано, что функции в (N->N), порожденные
0,1 и всеми К, S, R, — это в точности примитивно рекурсивные
функции. Общерекурсивную функцию, которая не является при-
митивно рекурсивной, можно получить, если вместо этого ис-
пользовать операторы R. Известные примеры таких функций
определяются двойной рекурсией на N, которую можно перефор-
мулировать как однократную рекурсию на NN.
2.3.2. Мы скажем, что является ^-замкнутым, если он со-
держит алгебраическую систему 91 и элементарные операторы
рекурсии R. °U называется N-замкнутым, если вместо этого он
додержит все операторы рекурсии R. Функции конечного типа
над N, порожденные 0,'и всеми К, S, R, образуют примитивно
рекурсивные функционалы (в смысле Гёделя). С этого момента
’все рассматриваемые универсумы предполагаются по меньшей
мере |Ч-замкнутыми.
2.3.3. Чтобы отразить то обстоятельство, что квантор по N
считается определенным, мы можем требовать, чтобы ’Н был
^-замкнутым1). Оператор неограниченного минимума ц — это
оператор выбора для 3N , определяемый так:
pXs=f наименьшее п> Принадлежащее X, если 3NT = 0,
I 0 в противном случае.
Так как график ц определим через BN и < (и последний
предикат определяется примитивной рекурсией), то ц находится
в *2/ тогда и только тогда, когда 3N находится в
’) 3N часто обозначается через 2Е в литературе по рекурсивным функцио-
налам конечного типа. Для ссылок ниже, 3<N"*N) обозначается тогда через 3Е.
§ 2. УСЛОВИЯ ЗАМКНУТОСТИ
109
3|л в = |
2.4. Универсумы над вещественными числами. Если множест-
во R вещественных чисел и алгебраическая система на нем,
скажем 9t = (R, =R, + , • , 0, 1), считаются базисными, то
можно рассматривать универсумы, которые содержат Э? и яв-
ляются замкнутыми. Если вместо этого R определяется в
терминах NN (как сделано ниже), то мы можем предположить,
что °U является - замкнутым. Заметим, что =nn опреде-
лимо с использованием (Нам не нужно было включать
=N в 97, так как оно определимо рекурсией.)
2.5. Условия замкнутости для ординалов, фундированности
и индуктивных определений.
2.5.1. Фундированные отношения. Мы пишем вместо
(а, 6)еВ, когда В^А2 = А\А и В транзитивно. Критерий
фундированности отношения В в А (относительно °U) дается
через функционал В р из <Р(А2) в {0, 1}:
0, если Bf е (N-> Д) Vn[fn'
1 в противном случае.
Мы подчеркиваем, что это — критерий относительно <2/, так
как <(в не обязано быть фундированным в абсолютном смысле,
если В В = 1: (N—>Д)^ может быть собственным подмноже-
ством множества всех функций из N в Д1). Если В действи-
тельно фундировано, мы можем применять принцип трансфинит-
ной индукции к любому подмножеству X множества А (неза-
висимо от того, является ли X ^-множеством):
Vx A [Уу (у <в х <=> у X) => х X] ^>Vx е Д (х е Z). (2)
2.5.2. Если А есть N (или любое другое вполне упорядочен-
ное множество), мы можем определить оператор выбора L для
введенного выше квантора B|N в том смысле, что
Sf g= (N N) Vn [fn' <в fn] и g = LB=>Vn[gn'<Bgn], (3)
Например, g можно описать как самую левую ветвь через
В, и g может быть определена рекурсией в терминах B|N. От-
метим, что проверка подмножеств N2 на фундированность
слабее, чем использование
2.5.3. Ординалы. Их можно рассматривать как классы экви-
валентности отношений вполне упорядочения. Однако для более
9 Например, в § 7 мы рассмотрим алгебраическую систему °U конечного
типа над N, в которой (N -> N)^ состоит в точности из гиперарифметических
функций. В этом случае имеются примеры рекурсивных В, для которых
я = 1 согласно (1), но -<в не фундировано (по отношению ко всем
функциям).
110
ГЛ 4 ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
естественного рассмотрения условий замкнутости, соответствую-
щих практике, лучше считать счетные ординалы основным ти-
пом Qi и допустить соответствующие операторы рекурсии
конечного типа над Аналогично, несчетные ординалы рас-
сматривались бы с использованиехМ следующих основных типов
Q2, Йз и т. д. Ввиду ограниченности места мы не будем рассмат-
ривать это здесь.
2.5.4. Индуктивные определения. Допустим, что даны неко-
торые условия замкнутости на множество Х^А, которые могут
быть приведены к виду
А[С(а, X)=>at=X], (1)
где С — отношение между А и & (А) такое, что
С (a, X)&Xc=Y=>C(a, У). (2)
Мы говорим, что множество S, индуктивно порожденное
этими условиями замкнутости, — это наименьшее множество X,
которое удовлетворяет (1). Известно, что S может быть теоре-
тико-множёственно определено двумя способами: «сверху», усло-
вием
a S <=> УХ <= A [Vx (С(х, Х)=>х X) =>а (= X] (3)
или «снизу», с использованием ординалов а и аппроксимаций Sa:
S=Sa0, Где Sa0 = Sa04-i И aGSa4=>C^, Sp)
для всех а. (4)
Подход (3) неявно включает условие, что универсум °U со-
держит 3(<^Л) или в то время как подход (4) неявно
включает некоторый вид ординальных условий замкнутости,
вроде тех, которые только что намечены в 2.5.3. Индуктивные
определения этого рода будут возникать в нескольких местах
нашей работы, но опять-таки не будут полностью прослежены.
Они подробно обсуждались в главе 7 «Теории рекурсии».
2.6. Сравнение универсумов. Между универсумами нет про-
стого отношения включения. Если даны два универсума и °U2
над N, мы можем сравнивать (N->N)% с (N —> N)^; например,
первое из этих множеств может содержаться во втором. Но как
только мы переходим к более высоким типам, например к
((N-*N)->N)W то сравнимость в обычном смысле теряется, так
как области определения рассматриваемых функций различны.
Однако имеется смысл, в котором мы можем говорить о макси-
мальных и минимальных универсумах некоторого рода и кото-
рый мы теперь хотим наметить.
§ 3 ОТНОШЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ
111
Допустим, ЧТО даны СИМВОЛЫ ОСНОВНЫХ ТИПОВ Уо, Уп и
указаны множества AY. = A/. Для простоты мы рассмотрим
только символы, построенные посредством о, ть->(о->т). Мак-
симальная алгебраическая система конечного типа <2/тах над
Ло, ...» Ап определяется соотношением
Л(а->Т) = (совокупность функций f: Аа -> Лт). (1)
Предполагается, что это определение понимается в абсолют-
ном теоретико-множественном смысле.
Мы говорим об алгебраических системах ^min, только имея
в виду определенные условия замкнутости. Например, мини-
мальная декартово замкнутая алгебраическая система над
Ло, ...» Ап должна быть алгебраической системой, где функции
построены из всех КАа> $а0,ах только с помощью применения
(функции к аргументу). Чтобы пояснить это точнее, мы рас-
смотрим термы s, Z, ..., построенные с помощью применения
из констант Ко, % и Sa, т, р типов (о->(т->а)) и (<т->(т—>р))->
-> [(о->т)->(ог->р)] соответственно. Эти термы затем отожде-
ствляются согласно правилам
К st = s, Sstu su (tu). (2)
Объекты минимальной алгебраической системы — это в точ-
ности классы эквивалентности термов; применение определяется
тривиальным образом. Аналогично можно изучать минималь-
ную N-замкнутую алгебраическую систему, рассматривая тер-
мы, построенные с использованием 0, ', Ка, Sa, т, р, /?а, и распро-
страняя определение отношения = в соответствии с (1) из 2.3.1.
Разработка этого подхода приводит нас к вопросу о нормализа-
ции термов, который будет обсуждаться в 8.2.
Замечание. Очевидно, что минимальные алгебраические
системы <2/, порожденные счетным числом условий замкнутости
над счетными основными множествами, будут счетными.
§ 3. Отношение условий замкнутости
к математической практике
Этот параграф по необходимости короток и эскизен. Только
подробная разработка придала бы точный смысл рассматривае-
мым утверждениям, а затем их проверка состояла бы в пошаго-
вом сравнении с действительной математикой. Однако после-
дующее должно дать хорошее представление о том виде соот-
ношений, наличие которого утверждается. С целью иллюстра-
ции мы сосредоточиваем внимание на анализе.
3.1. Релятивизация понятий к универсумам. Пусть —
N-замкнутый универсум.
112
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
3.1.1. Чтобы релятивизировать к <U теоретико-множественные
понятия, мы просто говорим об ^-функциях и ^-множествах
вместо произвольных функций и множеств. Это индуцирует
релятивизацию всех дальнейших математических понятий, вы-
раженных в терминах 91, спаривающих функций, применения,
множеств и принадлежности. В частности, бесконечные после-
довательности объектов отождествляются с функциями,
областью которых является N. Классические понятия — это спе-
циальный случай, который получается, если взять в качестве °U
максимальную алгебраическую систему конечного типа %пах
над данными основными типами. Однако два понятия, которые
эквивалентны в <2/тах, не обязательно эквивалентны в общем °U.
Это иногда требует тщательного выбора между определениями
одного и того же понятия для достижения наиболее гладкого
развития.
3.1.2. Чтобы релятивизировать к °U понятие вещественного
числа, надо взять либо ^-множества, являющиеся дедекиндо-
выми сечениями рациональных чисел, либо ^-последователь-
ности рациональных чисел, удовлетворяющие критерию сходи-
мости Коши. В последнем случае вещественные числа обычным
образом отождествляются с помощью отношения эквивалент-
ности. Эти два подхода эквивалентны в Э^-замкнутых <2/: каж-
дой последовательности Коши <гл>/г соответствует сечение
{г | Э/nVn т (г гп)}. Арифметические операции легко распро-
страняются на ^-вещественные числа при любом из определе-
ний. Отметим, что канторовское диагональное рассуждение по-
казывает, что множество ^-вещественных чисел несчетно в
но, конечно, оно может быть счетно вне
3.1.3. Понятие метрического пространства S в °U опреде-
ляется обычным образом, исходя из вещественных чисел в <U.
S называется сепарабельным (относительно если оно содер-
жит плотную подпоследовательность <dn>n в °U. S называется
полным (относительно , если любая последовательность Коши
<Хп>п элементов S, которая лежит в °U, сходится в S. Все про-
странства, изучаемые при нашем ограниченном подходе, пред-
полагаются полными и сепарабельными. Они включают все про-
странства, представляющие интерес в классической математике.
Базисные открытые множества в S — это сферы S(x;r) =
= {y\ds(y, %) < г}, заданные центром х и радиусом г. Следую-
щее определение открытого множества X наиболее удобно: та-
кое множество определяется ^-последовательностью <(хп, Гп)Уп9
где X=(J5(xrt, гп). Отметим, что такое объединение нахо-
п
дится в ’?/, когда является ^-замкнутым. Замкнутые мно-
жества для пространства S — это дополнения S — X, где X — от-
крытое множество- Если X замкнуто и <%„>« — сходящаяся под.
§ 3. ОТНОШЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ
113
последовательность (в элементов множества X, то
lim хп е X. Однако если X находится в °U и замкнуто в этом
П-»оо
смысле относительно предельного перехода, то оно не обяза-
тельно является дополнением некоторого открытого в S множе-
ства. Ясно, как перейти к определению непрерывной функции f:
Si~>S2, где f находится в °U, a Si и S2— метрические про-
странства. Следуя дальше, мы можем релятивизировать поня-
тия нормированного векторного пространства, линейного функ-
ционала, линейного оператора и т. д. Наиболее интересные функ-
циональные пространства, нужные для иллюстрации этих поня-
тий, требуют теории интегрирования, требующей в свою очередь
дальнейших условий замкнутости, которые будут рассмотрены
в 3.2—3.4. По той же причине придется отложить рассмотрение
таких понятий, как компактное множество, борелевское множе-
ство, измеримое множество.
3.2. Математика в Э%амкнутых универсумах. Это совпа-
дает с практикой предикативной математики. Мы предполагаем
во всем п. 3.2, что °U является Э^замкнутым.
3.2.1. Оказывается, что весь анализ, развитый до 1900 г.,
и существенная часть анализа двадцатого века может быть не-
посредственно релятивизирована к любому такому Фактиче-
ское проведение этого принадлежит (по существу) Вейлю [1J
для классической теории вещественных непрерывных функций и
аналитических функций комплексной переменной и продолжено
Кондо, Лоренценом и Крайзелем на теорию измеримых мно-
жеств и функций1). Последнее указание на содержание покры-
ваемой таким образом части анализа можно найти у Бишопа
[1], с. 9, где сказано, что каждая из найденных им конструк-
тивных теорем ф является заменой для некоторой стандартной
классической теоремы ф, которая следует из ф плюс «ограни-
ченный принцип всезнания». Последнее является просто нестан-
дартной формулировкой замкнутости относительно 3N.
3.2.2. Множества и последовательности. На первый взгляд
кажется, что имеется серьезное препятствие на пути такой ин-
тенсивной разработки, так как ^-вещественные числа в общем
случае не замкнуты относительно sup и inf ограниченных мно-
жеств вещественных чисел в °U. Пример такого универсума <U
будет приведен в 7.3. Легко видеть трудности, возникающие при
трактовке вещественных чисел как нижних классов дедекин-
довых сечений в Q. Тогда множество А вещественных чи-
сел — это подмножество ^(Q) и его sup должен быть У = U Л =
9 Ср. Гжегорчик [1] и Лоренцен [2], где приводится современ-
ная переработка анализа Вейля. Относительно теории измеримости см, Л о -
ренцен [1] и Крайзель [3].
114
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
= и*[*е=Д]. Но тогда и ге=Х]. Это
определение требует квантора по ^(Q), которого в общем слу-
чае нет в °И, так что У не обязан быть ^/-множеством (и, следо-
вательно, не обязательно определяет ^-вещественное число).
Аналогично, мы можем применять с той же целью квантор по
QN или Nn, если вещественные числа рассматриваются как по-
следовательности Коши.
3.2.3. Компактность, полнота и непрерывность. При рассмот-
рении supxrt и infxrt для ограниченных последовательностей
вещественных чисел в никаких проблем не возникает, так
как они определимы через (х^ с использованием 3N. Вся ма-
тематика, которая обобщается на Э^замкнутые универсумы,
проходит, если в критических местах систематически иметь дело
с последовательностями, а не с множествами. Например, мы
доказываем секвенциальную компактность любого замкнутого
промежутка [а, Ь] в R с помощью обычного рассуждения, ис-
пользующего разбиение. Если дана (хп)п в [а, Ь], то мы последо-
вательно делим пополам, так что на каждой стадии [ал, bk] —
самый левый интервал, который содержит хп для бесконечно мно-
гих п. Отметим, что это сочетает применение 3N и R. Из этого
результата, разумеется, следует полнота R в релятивизирован-
ном смысле.' Обычное топологическое понятие компактности
в терминах произвольных открытых покрытий вообще не исполь-
зуется при данных ограниченных условиях замкнутости.
Свойства непрерывных функций вещественной переменной
получаются легко, так как достаточно рассматривать их значе-
ния для рационального аргумента. Следовательно, можно дока-
зать, что sup{fx| а х &}, inf {fx\ а х Ь} существуют и
что функция f принимает эти значения, если она непрерывна
на [а,&].
3.2.4. Следующий пример иллюстрирует упомянутое выше
утверждение Бишопа. Одна из конструктивных форм теоремы
Брауэра о неподвижной точке состоит в том, что если f — непре-
рывное отображение единичного круга D в себя, то для каждого
е существует х такое, что d(fx, х) < е. Следовательно, суще-
ствует такая последовательность {хп)п в D, что d(fxn, хп)<. \/п
для каждого п. Классическое заключение Эх е D (fx = x) яв-
ляется следствием отсюда и из секвенциальной компактности.
Однако можно следовать известным классическим доказатель-
ствам более непосредственно: мы допускаем Vx eD (fx =# х)
и получаем противоречие (см. § 11 и п. 12.4 в главе 5).
3.2.5. Интегрирование и мера. Интегрирование по Риману
можно, разумеется, рассмотреть секвенциально стандартным об-
разом. Более общие теории интегрирования получаются в нащц
§ 3. ОТНОШЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ 115
дни с помощью теории меры. Однако даже (внешняя) мера
Лебега требует для своего определения полной операции inf на
множествах: ц* (А) = inf{p(G) | G открыто, А G}. Не возни-
кает проблем при определении p(G) для G— U (ап, Ьп)\ если G
задано в виде объединения интервалов, то мы можем найти та-
кое представление с дизъюнктными (ап, Ьп) и затем взять
оо
Н (G) = S (&п — ап)- Хотя воспользоваться внешней мерой не
п=0
удается, трудностей в обращении с измеримыми множествами А
не возникает: классически они обладают свойством, что для
любого 8 > 0 существуют открытое G и замкнутое F такие, что
F^A^G и p(G— F) < е. Под аппроксимацией по мере к А
мы будем понимать последовательность {(Gn, Fn))n (в <?/), где
каждое Gn открыто, Fn замкнуто, Fn^ А Gn и p(Gn — Fn) <
< \/п. Тогда мы можем взять р, (А) = inf ц (Gn). Далее, мы
п
имеем замкнутость измеримых множеств относительно счетного
пересечения, когда последовательности <Am>m таких множеств
заданы вместе с аппроксимациями по мере ((Gmn, Fmn))m, п.
Аналогично, мы можем рассматривать теорию измеримых функ-
ций в терминах аппроксимаций ступенчатыми функциями. Та-
ким образом, в °U доступны релятивизированные функциональ-
ные пространства Lp. Отсюда мы можем перейти к теории ба-
наховых пространств и гильбертовых пространств с Lp в каче-
стве основных примеров.
3.2.6. Релятивизированная лем м а Кёнига. Фи-
нитно ветвящееся, но бесконечное дерево X в °U содержит бес-
конечную ветвь в °U.
Это имеет место в любом З^'замкнутом универсуме °U и мо-
жет быть доказано с помощью обычного рассуждения. Если
взять в качестве примера бесконечное двоичное рекурсивное де-
рево без рекурсивных ветвей, то можно видеть, что N-замкну-
тость недостаточна для этого результата.
На секвенциальную компактность R можно смотреть как на
следствие леммы Кёнига. Из нее следует также компактность
исчисления предикатов первого порядка. Чтобы развивать тео-
рию моделей первого порядка, нужно отношение выполнимости
для произвольной алгебраической системы. Для любой счетной
алгебраической системы оно обеспечивается сочетанием 3N и
определения последовательности предикатов <Sab>„ с помощью
рекурсии /?. Таким образом, счетная теория моделей релятиви-
зируется к любому Зм-замкнутому универсуму.
Другое достойное внимание следствие леммы Кёнига — тео-
рема Рамсея (доказательство этой импликации см. в главе 3
«Теории множеств»).
116
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
3.2.7. Релятивизация к N -замкнутым алгебраическим систе-
мам. Более тщательное изучение этих рассуждений показы-
вает, что для описанной выше релятивизации анализа нужно
только использование элементарных операторов рекурсии К
вместе с X, S и 3N. Это зависит от систематической работы
с последовательностями и счетными плотными подмножествами
пространств. Однако возможность выполнить это ограничение
не всегда непосредственно очевидна. Например, в теореме
Коши — Липшица о существовании локальных решений диффе-
ренциальных уравнений первого порядка мы определяем после-
довательность fn функций вещественной переменной методом
последовательных приближений с использованием интегрирова-
ния. Стандартное доказательство проходит без изменения, если
мы используем /?,. но если используется только то нужна
большая осторожность. С другой стороны, полные опера-
торы R нужны, чтобы определить выполнимость в счетных ал-
гебраических системах. Это будет следовать из результа-
тов § 8.
3.3. Условия замкнутости, относящиеся к фундированности.
Счетные ординалы и связанные с ними определения по рекурсии
и доказательства по индукции нужны, если мы хотим говорить
о борелевских множествах или бэровских функциях или о после-
довательности производных множеств замкнутого множества.
Мы можем также упомянуть их использование в алгебре, напри-
мер в теории структуры счетных абелевых групп и модулей.
Чтобы естественным образом релятивизировать это, мы можем
захотеть рассмотреть определенные условия замкнутости, ис-
пользующие ординалы в качестве одного из основных типов.
Другая возможность — рассматривать ординалы через отноше-
ния вполне упорядочения.
Некоторую форму критерия 3|N для фундированности мож-
но использовать для определения аналитических множеств в
дескриптивной теории множеств. Теоретико-рекурсивные иерар-
хии, которые дают аналоги борелевской, аналитической и дру-
гих классификаций, также сильно используют в своих опреде-
лениях и развитии обобщенные индуктивные определения, вполне
упорядочения, трансфинитную индукцию и рекурсию. Например,
утверждение о сравнимости любых двух вполне упорядочений
используется в доказательстве теорем о редукции и униформи-
зации для Пгмножеств.
3.4. 3Р-замкнутые алгебраические системы. Это просматри-
вается уже в 3.2, где квантор по R входит в анализ существен-
ным образом, а именно, в теории меры. Можно добавить еще
определение и изучение проективных множеств в дескриптивной
теории множеств.
§ 4. ТЕОРИИ, ОСНОВАННЫЕ НА УСЛОВИЯХ ЗАМКНУТОСТИ Ц7
Как показал Фридман [4], даже 3₽-замкнутость Ш не-
достаточна для обобщения борелевской детерминированности на
такие <Н. Мартин [1] показал, что непредикативные транс-
финитные типы существенны для решения этой проблемы.
3.5. Аксиома выбора. Это — не принцип замкнутости того
типа, который мы обсуждали в предшествующих пунктах, и она
не следует из них. Несчетная аксиома выбора используется для
получения таких математически значительных результатов, как
теорема Хана — Банаха, теорема о максимальных идеалах в ба-
наховых пространствах и т. д. Б и ш о п [1] нашел конструктив-
ную замену для некоторых из них. Его работа подсказывает, что
могут найтись варианты, которые можно доказать, используя
приведенные выше условия замкнутости, и которые служат в
конкретных приложениях. Счетная аксиома выбора истинна в не-
которых естественных N-замкнутых и З^замкйутых алгебраиче-
ских системах, как мы увидим в § 7. В дополнение к этому, мы
обсудим в § 8 некоторые формальные системы конечного типа,
которые показывают устранимость некоторых форм счетной АС.
§ 4. Теории конечного типа, основанные
на условиях замкнутости
4.1. Синтаксис.
4.1.1. Типы. Для упрощения логической работы мы будем,
начиная с этого места, использовать редукции, намеченные в
2.1.4 (1). Типовые символы, достаточные для всех наших целей,
порождаются следующим образом:
(i) 0 есть типовой символ.
(ii) Если о, х— типовые символы, то (о->т)— тоже типо-
вой символ.
О — типовой символ для N. (а->т) иногда обозначается че-
рез (о)т. Типовой символ п определяется по индукции:
n+l=(n->0). (1)
Каждый из языков L, которые будут рассмотрены, имеет
фиксированное множество типов Typ(L), содержащее 0 и замк-
нутое относительно подтипов. Уровень типа определяется соот-
ношениями
lev(0) = 0; lev(o->T) = max(lev(o)+ 1, lev(r)). (2)
Таким образом, lev(n) = n. Мы пишем (оь ...,
вместо (оч-> ... причем скобки группируются вправо.
Заметим, что любой о=/=0 имеет вид (о^, ..., <зп->0).
4.1.2* Термы. Каждый из языков L, которые будут рассмот-
рены, имеет бесконечно много переменных каждого из своих
118
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
типов. Они обозначаются через а, Ь, с, х, у, z. (Верхний типовой
индекс а1 используется при переменных, только если это необ-
ходимо во избежание двусмысленности.) Мы используем также
k, п, т, р в качестве переменных типа 0 и Д g, h в качестве
переменных типа (ог->т). Язык L задан определенным множе-
ством символов констант различных типов, а также операторов
и предикатов уровня 1, т. е. имеющих аргументы только типа 0.
Среди них всегда имеются константа 0 типа 0, оператор Sc на
типе 0 и предикат = между объектами типа 0. Термы различ-
ных типов порождаются следующим образом:
(i) Каждая переменная и каждая константа языка L, имею-
щая тип т, есть терм типа т.
(ii) Если t — терм типа (ог->т) и s — терм типа о, то ts —
терм типа т.
(iii) Если F есть n-местный оператор языка L, имеющий уро-
вень 1, a ti — терм типа 0 (1^/^п), то F(/i, tn)— терм
типа 0.
Мы пишем t' вместо Sc(/), t вместо /ь ..., tn и st вместо
st\ . . . tn.'
4.1.3. Формулы. Атомарные формулы — это все выражения
вида Р(Л, ..., tn), где Р — n-местный предикат языка L, имею-
щий уровень 1, а // — терм типа 0 (1 ^Л^п). В частности, s = t
для s, t типа 0 всегда есть формула. Формулы порождаются из
атомарных посредством ~], A, V, V, Э, причем кванторы
применяются к переменным любого типа, имеющегося в L. ф, ф,
0, ф(а), ф(а, Ь), ... пробегают формулы. Любая формула
может содержать свободные переменные (параметры), отлич-
ные от указанных явно. Через 1еу(ф) мы обозначаем max(lev(/))
по всем t, входящим в ф. Если — любое множество формул,
то M-sec(^) обозначает множество тех ф из для которых
1еу(ф)^п; оно называется п-сечением множества или фраг-
ментом ST (п+1)-го порядка. Для каждого т переменные X,
Y, Z вводятся соглашением как переменные типа (т->0) (кото-
рый в этом случае может обозначаться через [т]), и мы пишем
а е X Ха = 0.
(1)
4.1.4. Равенство для высших типов и экстенсиональность.
Для любого типа т мы определяем предикат =г равенства объ-
ектов типа т индуктивно:
f = <р> xg Vaa [fa = Tga].
(1)
Таким образом, для т — (а,, f — xg *-> Vtz®1...
••• annlfa~ga]- Чтобы эти отношения удовлетворяли законам
§ 4. ТЕОРИИ, ОСНОВАННЫЕ НА УСЛОВИЯХ ЗАМКНУТОСТИ
119
равенства, пришлось бы принять все формулы
(Ext) а = xb-+fa = xfb,
где f — объект типа (ог->т). Из (Ext) и законов равенства для
типа 0 мы тогда можем вывести [а =д&Дф(а)->ф(&)], т. е.
объекты, равные по определению, неразличимы.
Альтернативный подход использовал бы =т в качестве ис-
ходного предиката для каждого типа т и законы равенства для
всех типов в качестве исходных аксиом. Тогда экстенсиональ-
ность выражается схемой
Vx [fx = Xgx] f = (a->T)g. (2)
Приведенный выше принцип (Ext) дает тот же эффект при
нашем подходе, использующем определимое равенство для выс-
ших типов. Для математических приложений, вероятно, более
естественно брать равенство для всех типов в качестве исход-
ного, хотя принимать экстенсиональность не обязательно. Наш
подход имеет определенные технические преимущества, но мы
должны показать, что (Ext) устранима. Это будет обсуждаться
в 4.4.2.
Замечание. Мы будем опускать индекс в обозначении
равенства для высших типов, когда это не будет приводить к
двусм ысл ен ности.
4.1.5. Теоретико-числовые аксиомы. Каждая из рассматри-
ваемых теорий Т будет использовать классическую логику (если
не оговорено противное) и будет содержать следующие аксиомы
для 0 и Sc:
(i) х' =# 0;
(ii) x' = y' -+x = y.
Пусть L = L(T) — язык теории T. Под схемой индукции для
N в языке L мы подразумеваем совокупность всех формул вида
(lndN) ф (0)А Vn [ф (м) -> ф (/г')] -> Удгф (п),
где ф принадлежит L. Если никакие ограничения не введены
особо, то каждая Т будет содержать полную схему индукции
(lndN) в этом смысле. Единственный рассматриваемый случай,
отличный от этого, который будет использоваться, только когда
leTyp(L), — это следующая (ограниченная) аксиома индук-
ции для N:
(lN) g= X).
4.1.6. Отношение между теориями. Мы полагаем ЬЕТг,
когда L(Ti)^L(T2) и любая теорема теории Т[ есть теорема
120
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
теории Т2. Мы полагаем Ti = Т2, если Ti Т2 и Т2 Ti (так что
L(T,) = L(T2)).
ST пробегает множества формул в языке L= L(T). Если не
оговорено противное, то подразумевается, что каждое 3" содер-
жит все базисные формулы (атомарные формулы и их отрица-
ния) и замкнуто относительно А и V (по крайней мере с точ-
ностью до эквивалентности). Простейший пример такого ко-
торый мы будем рассматривать, — это множество QF всех бес-
кванторных формул языка L.
Говорят, что Т2 — консервативное расширение Ti относитель-
но 3", если Т2 3 Ti и для ф е из Т2г ф следует Ti Н ф. Гово-
рят, что Т2 — консервативное расширение Ti, если это верно для
множества Зг всех формул языка L (1\).
4.1.7. Схемы. Пусть о — один из типов в L и Р(а)—преди-
кат от переменных а типа о, который не является предикатным
символом языка L. Мы обозначаем через L[P] язык, расширен-
ный предикатом Р, а через гр$[Р]—некоторое фиксированное
предложение языка Ь[Р]. Для любой формулы ф(а) языка L
мы понимаем под фз[ф/Р] результат подстановки ф(/) вместо
Р(/) для каждого вхождения вида P(t) в ips[P]. ф может содер-
жать свободные переменные, отличные от а\ они называются
параметрами подстановки. Если таких переменных нет, то мы
говорим, что гр$ [ф/Р] не имеет параметров.
Более общее определение ф$[ф/Р] для ips из L[P] и ф(а)
из L можно ввести для любого списка а = (oi, ...» оп) типов
языка L и предиката Р(а) от переменных а = ...» Под
схемой (S) в L мы понимаем множество всех формул (называе-
мых частными случаями этой схемы), имеющих вид ips[ф/Р]
для ф из L и некоторой фиксированной ips [Р]. Под (S)“ мы под-
разумеваем схему, использующую только частные случаи без
параметров. С другой стороны, под (3~— S) мы понимаем мно-
жество всех частных случаев вида гр$[ф/Р] для фЕ^.
При еще более общем определении схемы можно характери-
зовать как частные случаи формулы грз[Рь ...» Рл]. На практи-
ке мы будем описывать схемы в терминах их частных случаев.
Иллюстрация. Схема индукции (lndN) в L определяется
формулой Р(0) A Vn(P(n)->P(n'))-> VnP(n). Тогда (QF — IndN)
обозначает множество всех частных случаев ф(0) А Уя(ф(п)->-
ф (п')) ->V/гф (и) для бескванторных ф.
Имея дело с последовательностями а длины 1, мы мо-
жем эквивалентным образом описать схемы через формулы
ips(X), где X типа (о->0). Тогда фз[ф/^] — это результат под-
становки ф(0 вместо t е X во всех таких вхождениях. В этом
смысле (lndN) состоит из всех частных случаев
9 4. ТЕОРИИ, ОСНОВАННЫЕ НА УСЛОВИЯХ ЗАМКНУТОСТИ
121
4.2. Схемы свертывания и выбора.
4.2.1. Под схемой аксиомы выбора мы понимаем все фор-
мулы вида
(AC) Va3&qp(a, &)->3/V(7(p(a, fa).
(АСа,т) обозначает ограничение этой схемы переменными аа, bx.
(АСа, _) обозначает U(ACa, т).
т
4.2.2. {Общая) схема аксиомы свертывания для множеств
задана формулой
(СА) SAVafae А«->ф(а)].
Если матрица <р в (АС) удовлетворяет условию единственности
ф(а, Ь) Дф(а, c)^fb^c, (1)
мы имеем одну из форм аксиомы свертывания для функций.
В частности, для любых и ф(а), 0(a) из возьмем
Ф (а, га) *-> ф (а) Д га = О V 0 (а) А га = 1.
Тогда
Va [ф (а)*-> ~]0(а)]-> УаЗ!гаф(а, га),
и следующая специальная схема аксиом свертывания для мно-
жеств является следствием схемы (^" — АС):
(А^г - СА) Va [ф (а) 0 (а)] -> 3AVa [а <= X ф (а)]
для всех ф, 0 из
Класс ST = QF бескванторных формул будет ниже давать
простейшие интересные случаи релятивизированных схем. Отме-
тим, что если обозначает множество формул ф, эквивалент-
ных “1ф для ф е то (^— СА) и (^" — СА) эквивалентны.
Некоторые случаи второго порядка, очевидным образом заслу-
живающие рассмотрения, получаются с использованием клас-
сов Поо, 21, п! и т.д. Они будут описаны в 5.1.
4.3. Определяющие аксиомы для констант конечного типа.
Аксчрмы для К, S и RN для любой подходящей комбинации ти-
прв каковы:
(К) КаЬ = а-,
(S) Sfga = fa (ga);
(R) RfaO = a, Rfan' = fn (Rfan).
Напомним, что равенство для высших типов считается опре-
деленным согласно 4.1.4. Как отмечено в 2.3.1, использование
(К), (S) и (R) позволяет определить не только все примитивно
122
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
рекурсивные функции натуральных чисел, но и функции, не яв-
ляющиеся примитивно рекурсивными.
Замечание. Использование Х-записи для функций оправ-
дано в любой теории, содержащей аксиомы (К) и (S).
Другое следствие аксиом (К), (S), (R)— определение раз-
бором случаев:
Dabn =
а, если п~0,
6, если п #= 0.
(1)
С другой стороны, мы можем вывести существование этих
функционалов из подходящих простых частных случаев схемы
(АС). Точнее, для К, S, D применяется (QF —АС), а для /?-
функционалов — схема (&~ — АС), где ST состоит из экзистен-
циальных формул (конечного типа).
4.4. Арифметика конечных типов.
4.4.1. Язык, рассматриваемый здесь, использует все конеч-
ные типы, порожденные из 0, и все константы К, S, /? в допол-
нение к 0 и Sc. Под арифметикой I® конечных типов мы пони-
маем систему со следующими аксиомами:
Z" (i) аксиомы для О';
(ii) полная схема индукции для N;
(iii) аксиомы (К), (S);
(iv) аксиома (R).
Мы рассмотрим расширения системы Z“ разными аксиомами
и схемами аксиом, например Z° + (Ext), Z“ + (QF — АС). В 4.6
мы рассмотрим также подсистемы конечного типа системы Zw
с ограниченной индукцией или элементарными операторами ре-
курсии.
4.4.2. Устранение экстенсиональности. Мы проиллюстрируем
это на примере Z° + (Ext). То же рассуждение, принадлежащее
Ганди (ср. Лукхардт [1]), работает для многих других тео-
рий. Определим Ех(а) и а=хЬ (где а, b — переменные типа т)
индуктивно:
(i) EQ(n) <-> (п = п), (n=Qfri)*-*(n==m);
(ii) Е0+х (f) \fa (Fa (a) -> Ex (fa)) A Vab [a^ob-+ fa fb],
f g*-*Va (Ea (a) -> fa ga).
Теперь мы определим перевод формул ср языка L системы Zfj)
в новые формулы ср(£) того же языка, состоящий в замене каж-
дого квантора VaT (...) в qp на VaT [Fx (а) -> ...] и аналогично
для Зат(...). Отметим, что имеет место \ff'E\(f) и, более общо,
VfxEx(f) для любого т уровня 1. Таким образом, если все связан-
ные переменные в ср имеют уровень ^1, то <р(£) эквивалентна <р.
§ 4. ТЕОРИИ, ОСНОВАННЫЕ НА УСЛОВИЯХ ЗАМКНУТОСТИ
123
Теорема. Если 7? + (Ext) Н Ф, где ср замкнута, то Z® Н q/£).
Следовательно, Z° + (Ext) консервативна над 7® относительно
формул логики второго порядка.
Доказательство. В Z° легко показать, что каждая из
констант X, S, R типа т удовлетворяет Ех. Таким образом, внут-
ренняя модель, определяемая предикатами <£’т>т, содержит все
эти константы. Аксиомы Z° релятивизируются очевидным обра-
зом. Для доказательства формулы <р(£), где <р — замыкание лю-
бого частного случая схемы (Ext) (4.1.4), отметим, что
Еа (а) А Еа (Ь) -> [(а =а Ь)& &]. □
4.4.3. Схемы счетного и зависимого выбора над Z®, Аксиома
счетного выбора (или счетная аксиома выбора) типа т состоит
из формул
(AC0>t) Vn36<p(n, 6)->3fVn(p(n, fn).
С ней связана схема зависимых выборов (или зависимого вы-
бора)
(DCT) Va36<p(a, b) VaBf [/0 = a A Vn<p (fn, fn')],
где a, b типа т. Изящное обобщение обеих схем таково:
(GDCT) VnVaSZxp (п, а, b) -+ УагЦ [fO = a A Vn<p (п, fn, fn')].
Лемма. (ST — GDCt) следует из (&~ — АСг, т) в Z“.
Доказательство. (&~ — АСТ, т) влечет VnVa36<p (п, а, Ь) ->
-> 3/iVnVacp (n, a, hna). Используем (R), чтобы получить f та-
кую, что /0 = a, fn' = hn(fn). □
4.5. Системы с различными кванторными операторами. Эти
системы подсказаны условиями замкнутости, которые были рас-
смотрены в 2.3.
4.5.1. Числовой кванторный оператор. Язык системы Z“ рас-
ширяется новым символом 3N типа 2 с аксиомами
(3N) (i) 3NX = 0 V3NI=1,
(ii) 3NX = 0^3n(ne=X),
где X типа 1. Получившаяся система обозначается через 2° 4-
+ (BN).
4.5.2. Кванторные операторы типа 1. Чтобы применять кван-
тор по типу 1, т. е. (О—*-0), который интуитивно означает
(N->N), мы используем константу ТИПа 3 с аксиомами
(3N->N) (i) 3N->Nx = 0V3N’>NX= 1,
(ii) 3N>NX = O«->3f(feX),
где X типа 2 и f типа 1.
124
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
Критерию на убывающие последовательности, обсуждавше-
муся в 2.5, соответствует у нас оператор 3|N, который также
применяется к объектам типа 1, но более специальным образом.
А именно, 3|N — константа типа 2 с аксиомами
(эГ) (i) 3|NX = 0 V 3|NX=1,
(ii) 3|NX = 0->3fVn(fn, fn'}<=X,
где X типа 1 и <m, p) — примитивно рекурсивная спаривающая
функция. Полученные системы обозначаются соответственно че-
рез Z“ + (3N^N), Z“ + (3f).
4.6. Системы с ограниченной индукцией или рекурсией.
4.6.1. Ограниченная индукция. Для любой теории Т, которая
уже рассмотрена или будет рассмотрена, ограниченная-Т обо-
значает результат замены схемы (lndN) на аксиому индукции
(lN) из 4.1.5. Если Т содержит полную (СА), то Т = ограничен-
ная-Т. Однако в общем случае ограниченная-Т гораздо слабее,
чем Т. Ряд примеров, иллюстрирующих эту ситуацию, появится
в различных местах ниже.
4.6.2. Элементарная рекурсия. Элементарный оператор ре-
курсии в смысле 2.3 (введенный Клини) задан константой R
с аксиомами
(r) (i) RfaOb = ab,
(ii) Rfan'b = fn (Rfanb) b
для всех подходящих комбинаций типов, для которых ab имеет
тип 0. Таким образом, в аксиомах (R) знак = есть =о. (Если
список b = b°l, bakk пуст, то а должна быть типа 0; в про-
тивном случае а имеет тип (oi, ..., о*-*•()).) Мы обозначаем
через Z“ результат замены (R) на (R) в Z“. Как мы заметили
в 2.3, примитивно рекурсивные функции — это в точности функ-
ции, определяемые замкнутыми термами типа 1 из Z®.
Мы, конечно, можем перейти к рассмотрению подсистемы
ограниченная^. При формализации, согласно указаниям из
3.2.7, той части математики, которая обобщается на все N- и
З^-замкнутые алгебраические системы, можно заметить, что ин-
дукция применяется только к арифметическим свойствам, т. е.
к таким, где все кванторы пробегают N. Иными словами, эта
часть математики формализуется в ограниченной- Z“+ (3N).
Естественно, что проверка этого утверждения требует подроб-
ного рассмотрения используемых математических рассуждений.
§ S. НЕКОТОРЫЕ СХЕМЫ СВЕРТЫВАНИЯ
125
Замечание. Приведенное в 4.4.3 доказательство того, что
— АСТ, т) влечет (^F— DCT) в Z°, работает в Z" только для
т=0, а в этом случае (3r—IndN) достаточна для доказательства.
§ 5. Некоторые схемы свертывания и выбора
для логики второго порядка
5.1. Специальные классы формул логики второго порядка.
Рассмотрим язык L, единственными типами которого являются
О и 1. Возьмем все примитивно рекурсивные функции (или лю-
бое подмножество, исходя из которого все они могут быть опре-
делены арифметически, например +, •) в качестве операторов
уровня 1 языка L. Говорят, что формула арифметическая, если
она не содержит связанных переменных типа 1, хотя она можег
содержать свободные переменные этого типа. Класс всех таких
формул обозначается через IlJL. Подкласс ^-формул состоит из
формул вида Упф, где ф бескванторная. Согласно обычной схе-
ме классификации аналитических предикатов говорят, что ср на-
ходится в форме, если ф = У/ф, где ф арифметическая, и в
^х-форме, если ф = 3/ф с арифметической ф. Аналогично,
Х\^-формулы (^-формулы) имеют вид V/Э^ф (3/У§ф) с арифме-
тической ф. Мы используем обозначения Пл, П оо, п}, Si и т. д.
также для соответствующих классов формул.
Под Д} — СА мы понимаем (Ду' — СА) для & = S}; анало-
гично для (Аг — СА) и ЯГ— 1^ С другой стороны, классы Д{,
Д2 и т.д. осмыслены только относительно данной теории Т:
Ф принадлежит классу Д} (относительно Т), если имеются ф е
е2!, 0е=п} такие, что в Т доказуемо (ф «-> ф) Д (ф <-> 0).
5.2. Подтеории второго порядка теории Z“. Они формули-
руются в языке, использующем только типы 0, 1, но содержа-
щем константы для примитивно рекурсивных функций. Мы ви-
дели, что его можно считать частью языка Zw. Под арифмети-
кой второго порядка мы понимаем систему Z2 в этом языке,
содержащую (i) аксиомы для 0, 1 и всех примитивно рекурсив-
ных функций и (ii) полную схему индукции для N. И снова
в ограниченной-!2 индукция принимается только в ограниченной
форме. Каждая из рассматриваемых ниже систем второго по-
рядка содержит Z2 или ограниченную-Z2. Буква Z обозначает
обычную систему арифметики первого порядка.
5.3. Схемы свертывания и выбора для логики второго по-
рядка. Пусть <, > — примитивно рекурсивная спаривающая
операция из NX N на N. Для любых f, п положим (/%(т) =
/п>, т. е. (/)п = т>. Это позволяет нам следую-
126
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
щим образом записать варианты схем АС0, i, DCi и GDCi для
логики второго порядка:
(АС) VnSgxp (n, g) -> BfVnqp (и, (/)„),
(DC) Vg3/Z(p (g, h) -> VgBf [(f)0 = g A Vnqp ((/)„, M
(GDC) VnVg3/i(p (n, g, h) -> VgBf [(Do = g A W(n, (f)„, (/V)].
(Отметим, что мы опустили нижние индексы в обозначения/1:
этих схем.)
Каждая система, получаемая добавлением некоторой схемы
(S) к Z2, будет называться просто (S), например (sj — DC) обо-
значает Z2 + (Si — DC). Аналогично, ограниченная-^ — DC)
обозначает ограниченную-!2 + (Si — DC).
5.4. Подсистемы второго порядка некоторых теорий конеч-
ного типа.
5.4.1. Арифметическое свертывание в ZW + (3N). Заметим,
что эта система выражает условие замкнутости относительно
3N для алгебраических систем конечного типа.
Все арифметические формулы эквивалентны формулам, по-
строенным с помощью V, 1, Зп. Это построение можно отра-
зить с помощью термов, причем примитивно рекурсивные функ-
ции обеспечат атомарные формулы и пропозициональные связ-
ки, а константа 3N — квантор по натуральным числам. Иными
словами, мы получаем следующее утверждение.
Лемма. Для любой арифметической формулы, ср имеется
терм t с теми же самыми свободными переменными такой, что
(ср t = 0) выводимо в ограниченной-!? + (3N).
Следствие, (i) Z“ + (HN) Э (lit — СА).
(ii) То же верно для соответствующих ограниченных систем.
5.4.2. Добавление выбора.
Теорема, (i) Z“+ (3N) + (QF - AC) Э (nt - AC).
(ii) Zffl + (3N) + (QF - AC) =2 (lit - DC).
(iii) To же верно для соответствующих ограниченных теорий.
Доказательство, (i) очевидно, в силу леммы из пре-
дыдущего подпункта. Для установления (ii) мы используем,
кроме того, (доказательство и) результат леммы 4.4.3. □
5.4.3. Легкие сравнения систем второго порядка.
Теорема, (i) (П? - СА) == (nt - СА).
(ii) (П? - АС) »(nt - AC) (Si - АС).
(iii) (П? - DC) (nt - DC) ва (s! - DC).
(iv) (nt - CA) s (A! - CA) S (Sj - AC) s (sj - DC).
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СХЕМЫ СВЕРТЫВАНИЯ
127
То же верно для соответствующих ограниченных теорий.
Доказательство. Мы упомянем только три обстоя-
тельства, используемые здесь. Во-первых, для каждой арифме-
тической формулы ср можно показать (по индукции), что ф оп-
ределяет множество в (П? — СА): построение ф отражается в
операциях над множествами —/V, X J У, 3NA\ Во-вторых, если
ф = ЗЛф(й’, А), где ф арифметическая, то З^ф эквивалентна
формуле 3^((g0, (&)i)- Следовательно, принципы выбора для
Si-матриц сводятся к принципам для ГЙо- и, следовательно, для
Пгматриц.
Замечания, (i) (llL — СА) имеет конечную аксиоматиза-
цию над Z2. Идея содержится в первой части только что наме-
ченного доказательства. Она аналогична конечной аксиомати-
зации теории классов и множеств Бернайса — Гёделя (причем
тип 0 соответствует множествам и тип 1 —классам).
(ii) Для доказательства существенно, что рассматриваемые
формулы могут содержать параметры. Иногда бывает разумно
рассматривать различные схемы без параметров. Мы увидим
это в § 7.
Следующий результат обобщает (iv).
Теорема. Если ST=>nt, то (Д^-СА) £=(#—AC) S=(^-DC).
5.4.4. Эффект выбора с (3jN).
Теорема, (i) Z“ + (3|N) + (QF - AC) доказывает (si - DC).
(ii) (Д2 - CA) == (si - AC) a= (Si - DC).
Доказательство, (i) Сначала заметим, что (S2 — DC)=
ss (nJ — DC). Последняя система сводится к (QF — АС) в Z“ +
+ (3|N) с помощью уже использованных рассуждений.
(ii) (Sj - DC) £= (Ai - CA) устанавливается формализацией
теоремы Кондо — Аддисона, согласно которой любое Пготно-
шение между функциями типа 1 может быть униформизовано.
Стандартные доказательства (например, Роджерс [1]) ис-
пользуют абстрактные счетные ординалы. Однако последние
можно рассматривать с помощью вполне упорядочений в N»
если мы имеем сравнимость вполне упорядочений. Доказатель-
ство будет закончено в § 6.
Замечание. Аддисон и Клини заметили, что Агпредика-
ты от натуральных чисел замкнуты относительно (3j,N). Их рас-
суждения легко формализовать. Кажется, что Аг—синтаксически
наиболее простой класс с этим свойством.
5.5. Одна ограниченная система, консервативная над Z.
128
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
5.5.1. Следующее утверждение показывает, насколько слабее
может стать система, когда индукция для N ограничивается до
аксиомы (lN). Этот результат будет усилен в 8.7.
Теорема, (i). Ограниченная система — СА) — консер-
вативное расширение Z.
(ii) Ограниченная система + (3N) — консервативное рас-
ширение ограниченной системы (п оо СА).
Доказательство. Чтобы установить (i), покажем, что
любая модель 24 системы Z может быть преобразована в модель
242 ограниченной системы (п£> — СА). Возьмем в качестве функ-
ций в новой модели 242 все f: М-+М, определимые в 24 арифме-
тической формулой гр с параметрами из 24. Тогда аксиома индук-
ции 0 е / Д Vx [х е X ->/ е 7] -> Vx [х е 7] сводится для каж-
дого X к частному случаю элементарной схемы индукции, кото-
рая истинна в 24 по предположению.
(ii) следует из (еще более сильной) второй теоремы в 8.7.
5.5.2. В этих случаях ограничение действительно является
ослаблением.
Теорема. Непротиворечивость Z доказуема в (П^о — СА).
Доказательство. Имеется формула ф(м, X), которая
выражает, что X есть множество Тгп всех истинных предложе-
ний логики первого порядка с логической сложностью При-
меняя полную индукцию для N, докажем \/пЭХ$(п, X). Шаг
VJV3K[x|)(n, X) ->ф(п', У)] элементарен из-за способа, с помощью
которого Тг„+1 арифметически определяется из Тгп. Затем мы
применяем индукцию еще раз, чтобы доказать, что все, дока-
зуемое в Z, истинно.
§ 6. Трансфинитная индукция, рекурсия и итерированные
принципы
Рассматриваемые здесь понятия можно применять к отноше-
ниям между объектами типа т для любого т. Однако большая
часть работы в нашей области относится к типу 0. Например,
общая программа состоит в том, чтобы охарактеризовать ариф-
метическую часть или 1-сечение некоторой теории конечного
типа в терминах схем индукции и рекурсии относительно конк-
ретных рекурсивных вполне упорядочений натуральных чисел.
6.1. Фундированность и индукция.
6.1.1. Фундированность упорядочений. Любое X N можно
рассматривать как бинарное отношение, состоящее из пар (£, т),
для которых (k,m)<=X. Мы пишем k<xtn вместо <£, т>^Х.
Обратно, любое бинарное отношение определяет множество X
§ 6. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
129
всех <Jt, т>, для которых k -< т. Мы будем рассматривать отно-
шения, заданные формулами ф:
(k < tri) = ф (k, tri), (1)
где ф может содержать параметры. Тогда фундированное™ от-
ношения -< выражается формулой
WF(<) = ^3fVm|)(/< fn). (2)
В частности, в ZQ4- (3|N) свойство WF (<Сх) эквивалентно
3|NX=1. Очевидно, что WF(<() влечет иррефлексивность
Мы не предполагаем, что транзитивно или связно. Наконец’,
вместо WF(<) мы иногда пишем WF<, если (k^m) задано
формулой (1) без параметров.
6.1.2. Индукция по упорядочениям. Как мы знаем из теоре-
тико-множественных соображений, фундированность влечет прин-
ципы трансфинитной индукции и рекурсии. Последний будет рас-
смотрен в 6.2.
Для упорядочения << схема Т1(<Э трансфинитной индукции
по (в любом данном языке) состоит из всех формул вида
TI«, <р) Vm [Vfe < m <р (k) ->qp(m)] -> Vmqp (/n),
где \fk<mq>(k) является сокращением для \fk(k<fn-xp(k)).
Посылка схемы Т1«, ф) иногда называется прогрессивностью ср.
Когда есть мы пишем Т1(%, ср) вместо Т1(<(, ср).
Когда -< задано формулой без параметров, мы пишем Т1< (ср).
Запись Т1(<(, У) обозначает частный случай схемы, в котором
используется формула (р(4) = (^ЕУ). Таким образом, мы мо-
жем писать также TI (X, У) или Т1<(У) в случае, когда есть
или определено без параметров. Наконец, как и в других
наших схемах, мы можем указывать ограничение классом
Схема — Т1(<()) состоит из всех TI (-<, ср) для ср из ST.
6.1.3. Индукция по деревьям. Возьмем примитивно рекурсив-
ное представление <А0, •. •, kn-\) конечных последовательностей
натуральными числами; s, t будут пробегать такие последова-
тельности натуральных чисел. Если s=<&0, ..., то поло-
жим lh(s) = п, Si = ki и s m = <£0, • • •, km-i) для m п. Мы
пишем /^s, если t = s\m для некоторого m^lh(s), и tas
вместо t s'A t У= s. Наконец, s*</> = <£0, ..., kn-\f Г>.
Мы говорим, что X есть дерево, и пишем Тгее(Х), если
Xfst [s <= X/\t s~>t е X]. С каждым деревом ассоциирован?
отношение s t, определенное условием s е XVK t cz s. (Это от-
ношение не следует путать с определенным в 6.1.1; эти слу-
чаи различаются видом используемых переменных.) Для f
типа 1 положим f(n)=<f(O), ..., f(n—1)>. Тогда при слабых
предположениях Tree (X) влечет
WF«x)4->nBfVn[f(n)eX]. (1)
5 Справочная книга, ч. IV
130
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
При этих предположениях TI (<(*, ср) переводится в формулу
Vs [s ф X -> <р ($)] Л Vs [ VZs<p (s* <fe>) -> ф (s)] -> Vsф (s). (2)
6.1.4. Бар-индукция (фундированность влечет индукцию).
Для любой формулы -< схема В1(-<) бар-индукции по < со-
стоит из всех частных случаев схемы
В1« Ф) WF«)->TI«, Ф).
Эта терминология была введена Брауэром для принципов,
применяемых к деревьям. С использованием формул (1) и (2)
из 6.1.3 эта схема переводится в формулировку бар-индукции,
очень близкую к той, которая используется в интуиционистской
литературе (ср. § 10 главы 7).
Как и в случае TI, мы используем обозначения В1(Х, ф),
В1«, У),(^-В1<) и т.д.
6.1.5. Некоторые доказуемые случаи бар-индукции.
Теорема, (i) (nt - СА) Н [WF (X) *-> VKTI (X, У)].
(ii) Если #"=nt, то —СА)|—В1(<(х, ф) для каждой ф из ф.
Доказательство, (i) Допустим, что WF(X), т. е. в
нет убывающих последовательностей. Для У, удовлетворяющего
Ут[ЭД-\т(6еУ)->теУ], нужно показать, что верно
Ут(теУ). Если это не так, то существует /по^У. Далее, с
каждым m^Y мы можем связать такое,что h(m)& У.
В силу (nt — СА) существует / такая, что f0 — m0 uNnJn'=h(fn),
что противоречит WF(X). Обратно, если дано VKTI(X, У) и
f — произвольная функция, то для доказательства “]Vnf (п')-<х
х f (п) следует использовать У, определенный соотношением
m е Y *-* ПЗпо (Mo <х m Л Vn > nof (nf) f (n)).
(ii) непосредственно следует из (i). □
Конечно, в предположении (£Г— СА), мы можем также запи-
сать (ii) с BI (<(, ф) для любого отношения из
Хотя (ST— СА) формально требуется для установления
(1F — В1<), второй из этих принципов в общем воспринимается
как более элементарный или базисный, чем первый (особенно
для известных упорядочений -<).
6.1.6. Соотношение с Провертыванием. Методами теории
рекурсии любой Прпредикат ф(т, g) от чисел и функций можно
привести к виду Xff3nP(m, f(n), g(n)), где Р примитивно рекур-
сивен1)- Это рассуждение использует только (nt —СА). Эту
нормальную форму можно воспринимать как утверждение о
’) Все такие результаты из теории рекурсий читатель найдет в книге
Роджерса [1].
§ 6. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИИ
131
фундированности дер.ева, состоящего из последовательностей s
таких, что V£ lh (s) ~]Р (m, s [ k, g(k)). Таким образом, мы
имеем следующее утверждение.
Лемма. (П1-СА) = 2“+(Э|ы).
Мы интересуемся теперь сравнением двух систем второго по-
рядка: (nt —СА) + (В1) и (п} — СА). Это будет сравнением
по силе, ибо, как будет видно, ни одна из них не содержится
в другой. В силу 6.1.5 мы знаем только, что (nJ—-Bl) и
(Si — Bl) содержатся в (п! — СА). Следующее обстоятельство
было замечено Крайзелем ]).
Теорема, (п} — СА) доказывает существование ы-модели
для (nt — СА) + (В1<) (где •< примитивно рекурсивно).
Доказательство. Идея состоит в формализации со-мо-
дели, определенной как (перечисленная) совокупность М2 всех
функций, арифметических в множестве О конструктивных орди-
нальных обозначений. По теореме Клини о базисе (выбор са-
мой левой ветви) для примитивно рекурсивных Р
(3/ е М2) Vn [f(n) Р] <-> 3fVn [f (n) e Р].
Существование M2 и свойства отношения выполнимости для
формул второго порядка в М2 доказуемы в (П1 — СА). Тогда
для любой формулы ср второго порядка с параметрами в М2 су-
ществование множества, определяемого формулой ср относи-
тельно М2, доказывается в (п} — СА). Поэтому В1(Р, ср) имеет
место согласно результату предыдущего подпункта. □
С использованием той же идеи, релятивизации и итерации
можно построить теоретико-рекурсивную со-модель М2 системы
(nt — СА) + (BIJ. А именно, возьмем М2, состоящую из всех f,
рекурсивных в некотором (Уп, где (7 о = N и (Уп+\ = С?^л.Хотя
утверждение о существовании 0п (для всех п) может быть до-
казано в (п! - СА) и, следовательно, М2 может быть опреде-
лено в этой системе, тем не менее определение истинности для
М2 нельзя определить в ней. Это делает интересным следующий
результат из статьи Фридмана [2], куда мы и отсылаем чи-
тателя за доказательством.
Теорема. (п{ — С А) доказывает существование ^-модели
для (п оо СА) + (BI); она консервативна для ^-предложений.
9 Этот результат, как и другие приводимые ниже результаты, приписы-
ваемые Крайзелю без ссылок на литературу, был впервые изложен в 1963 г.
в «Докладах стенфордского семинара по основаниям анализа», который был
разослан, но не опубликован. Многие из них упомянуты в работе Край*
зел я [4].
5*
132
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
6.2. Трансфинитная рекурсия. Одна из форм трансфинитной
рекурсии по X для дерева такова: fs = gs для s^X;
fs = hs(knf(s * <п») для s^X, где g, h — данные функции. Од-
нако в этом определении h должна иметь тип 2. Ввиду этого
трансфинитную рекурсию более естественно рассматривать в
Теории конечного типа. Для простоты мы сформулируем здесь
только некоторые виды рекурсии, укладывающиеся в логику вто-
рого порядка. Если дано дерево X, определим функцию (/ fx s)
типа 1 соотношением
если t cz s и s e X,
в противном случае.
Для отношения <(х положим
(f f <xn)m =
fm, если m<^xn,
О в противном случае.
(1)
(2)
Мы будем писать TR(X, <р» f) вместо Vscp(s, f f xs, fs),
когда имеет место Тгее(Х), и TR«X, ср, f) вместо Vn<p(n,
f t xn> fn) в связи c отношениями. Эта запись хороша для
случая, когда <p(n, g, m) определяет функционал m = hng, т. е.
когда Vng3!m(p(n, g, m).
Теорема. В (д}— СА) схема — Т1(Х) влечет VnVg3!mq)(zz,
g, m) -> 3 !fTR (%, qp, f), если ср принадлеок;ит S}.
Доказательство — путем внимательного рассмотрения стан-
дартного рассуждения, позволяющего вывести трансфинитную
рекурсию из трансфинитной индукции. □
Пусть CWO (сравнимость вполне упорядочений) — предло-
жение, выражающее, что если и <(у — два Отношения вполне
упорядочения, то изоморфно начальному сегменту упорядо-
чения или наоборот.
Следствие, (д! — СА) + (s'— Bl) HCWO.
Как мы отметили в 3.3, CWO интенсивно используется в тео-
ретико-рекурсивном рассмотрении ординалов и, в частности, в
теории системы 0, класса П1 и гиперарифметических предика-
тов. Применение теоремы о трансфинитной рекурсии к иерар-
хиям приводится в 6.4.
Теперь мы можем также завершить доказательство теоремы
из 5.4.4. В (д’ - СА) мы можем вывести (д! - СА) и (s' - Bl),
а следовательно, и CWO. Это все, что нам нужно, чтобы исполь-
зовать отношения вполне упорядочения вместо ординалов.
6.3. Доказуемо рекурсивные вполне упорядочения.
6.3.1. Ординальные функции и связанные с ними вполне
упорядочения. Для различных конкретных ординалов а мы имеем
§ 6. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
133
естественные примитивно рекурсивные вполне упорядочения
типа а. Они заданы с помощью упорядочения термов, построен*
ных, исходя из символов для данных ординальных функций.
Наиболее известное из них, использующее +, •, ехр и канторов-
скую нормальную форму, представляет сегмент доа = е0 =
= limcon, где со — 1, соп+1 = а)<*п. Это представление продолжа-
ется с использованием критических функций x(v), определяемых
соотношениями:
(i) (а) == соа,
(ii) x(v) перечисляет {а| Vji < v х(м,) (а) = а} для v > 0.
Таким образом, ео = х(1)(О). Пусть Го — наименьший орди-
нал такой, что v, а < Го влечет x(v)(a)< Го. Его можно описать
иначе как наименьшее решение уравнения x(v)(0) = v. Естествен-
ное примитивно рекурсивное упорядочение <(Го получается с по-
мощью термов для функций +, •, ехр и Xvax(v)(a) (ср. Шютте
[1],Феферман [1]). Для наших целей при рассмотрении <(а
достаточно брать а Го, а в качестве — упорядочение на-
чального сегмента длины |а| = а. Мы обозначаем через
и соа примитивно рекурсивные функции на -<Го такие, что
|а®Ь| = |а| + |6| и | соа| = со| а Через TI (а, <р) обозначается
Т1« а, ф), а Т1(а)— схема всех таких Т1(а, ф) в любом данном
языке. Наконец, 1(a) обозначает VFTI(-<a, У). В силу 6.1.5 это
эквивалентно формуле WF(<(a) в (П^ — СА). В дальнейшем,
если указано а и а = | а |, мы пишем также а вместо а, напри-
мер, Т1(а).
6.3.2. Индукция ниже £0. Генцен доказал, что ZHTI(a) для
каждого а < ео, и установил, что этот результат неулучшаем,
показав TI (ео, ф)-> Con(Z) для некоторого (бескванторного) ф.
Ш ютте [1] дал простое доказательство этого факта. С фор-
мулой ф(п) произвольного языка мы можем связать ф*(п), ко-
торая следующим образом построена из ф с помощью кванторов
по натуральным числам:
Ф*(а)«->^[Ус<&ф(с)->Ус<& + (даф(с)]. (1)
Лемма. Т1(а, ф*)->Т1((оа, ф) доказуемо в любом расши-
рении системы Z.
Доказательство использует то обстоятельство, что из прогрес-
сивности ф (посылка TI) следует прогрессивность ф*.
Следствие. Если Т — любое расширение Z и а < ео, то
ТНТЦа).
Упомянутая выше причина границы е0 для Z будет еще об-
суждаться в 8.2. В действительности это — граница для любого
доказуемого арифметического упорядочения.
134
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
6.3.3. Усиление теории не обязательно увеличивает запас до*
казуемых вполне упорядочений. Это имеет место, например, для
Z + Con(Z). Однако добавление более сильных принципов свер-
тывания обычно дает такой эффект. Следующие примеры пока-
зывают, что это — дело тонкое. Во-первых, в (lit — СА) преды-
дущая лемма позволяет нам доказать VKi3 Y2 [TI (а, У2)”^Т1((оа
Ki)], а значит, и I(а)->1 (соа). По индукции мы получим тогда
1(а)-> 1(е(а)), где &(а) представляет первое е-число, большее
а. Следовательно, в этой теории мы имеем также I(8&+i)-
Применяя Т1(а, <р) к <р(&) = /(е&) для а < е0, мы получаем сле-
дующее утверждение.
Лемма. (nt — СА) Н I (у) для каждого у < еео.
Удивительно, однако, что все еще имеется частный случай
схемы Т1(е0), который недоказуем в (nt —СА). Это следствие
общей теоремы Крайзеля, которая применима к любому конеч-
ному расширению Z2 и которая будет обсуждаться в 8.2. Конеч-
но, в теории (llSo-CA) + (BI) мы имеем Т1(а), как только мы
вывели 1(a). Но имеются и определенные промежуточные тео-
рии, обладающие этим «сбалансированным» свойством.
6.4. Итерированные принципы свертывания. Разветвленный
анализ.
6.4.1. Иерархии, основанные на операторе скачка, и ите-
рированная (П? — СА). Теоретико-рекурсивный оператор скачка
воплощает 3N как функционал F: ^(N)->^(N). В общем слу-
чае, если дан такой функционал F, отношение вполне упоря-
дочения в N и произвольное Хо, мы определяем X = <(Х)^>
(п— в области определения <(), который итерирует F вдоль
Это делается следующим образом по трансфинитной рекурсии:
(i ) (Х)о = Хо;
(ii) (Х)оф1 = Р(Х)в;
(iii) х е (Х)а <=> (х)0 е (Х)(х)1 и (x)j < а для предельного а.
X называется иерархией для F вдоль <(, начиная с Хо.
В (i) — (iii) мы считаем, что 0 — наименьший элемент в -<^ и
а Ф 1 непосредственно следует за а в <(. Предположим теперь,
что < и Ха(аФ1) рекурсивны и что множество предельных
элементов рекурсивно. Если дано формальное определение от*
ношения F(X)=y, мы пишем Hier^(X, Хо), чтобы выразить,
что X удовлетворяет (i) — (iii). Если определение функционала F
может быть дано в логике второго порядка, то это же верно для
формулы Hier^(X, Хо). В частности, если F есть оператор скач-
ка /, то эта формула арифметическая. В силу 6.2 мы можем
установить предложение VXG3X Hier^ (Я, -Xq) в (А} “ СА) +
§ 6. ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
135
4-Т1«). Это предложение можно рассматривать как выраже-
ние итерации (П° — СА) вдоль <. Мы обозначаем через
(П? - СА)а такое предложение вдоль <^а (когда дано естествен-
ное вполне упорядочение с порядковым типом а) и через
(П? — СА)<а множество всех предложений (П? — СА)р для 0 < а
(используя начальные отрезки некоторого фиксированного <^а).
Так как в силу 6.3.2 (At — СА) I- TI (в) для каждого ₽ < е0, то
имеет место
Теорема. (а{ — СА) э (П? — СА)«$^.
6.4.2. Иерархия гиперскачка и итерированная (П} — СА).
Мы применим теперь те же идеи к оператору гиперскачка Jb ко-
торый воплощает В |N. Обозначим через (п’— СА)а формулу
VX03X Hier^ (X, Хо), а через (П{ — СА)<а множество всех ут-
верждений (п! - СА)Э для р < а. Хотя мы не можем приме-
нить формулировку 6.2 трансфинитной рекурсии для логики вто-
рого порядка непосредственно к этой ситуации, она может быть
непосредственно приспособлена для доказательства следующего
утверждения.
Теорема. (А’ — СА) => (П{ — СА)<ео.
УФридмана [3] показано, что теоремы из этого и пред-
шествующего подпунктов неулучшаемы. Имеются также анало-
гичные результаты для итерированных (П? — СА) при п > I.
Мы обсудим результаты для п = 0,1 в § 8.
6.4.3. Разветвленно аналитические и гиперарифметические
множества. Основной шаг предикативного определения состоит в
переходе от совокупности подмножеств множества N к сово-
купности SP* всех подмножеств, определимых в ш-модели 3? из
параметров, принадлежащих 3*. Итерация этой процедуры по
всем теоретико-множественным ординалам дает:
(i) ^о = (0)* = все арифметические множества;
(щ
(iii) = (J Для предельных %.
а<Х
Это вариант понятия конструктивности по Гёделю примени-
тельно к логике второго порядка, называемый совокупностью:
разветвленно аналитических множеств. Известно, что (где
Q — наименьший несчетный ординал) является моделью полной
схемы (DC) для логики второго порядка. Мы здесь занимаемся
только множествами для а <х>1 (первый нерекурсивный ор-
динал). состоит (как показал Клини [1]) в точности из
гиперарифметических множеств
<^ = HYP. (1)
136
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
Напомним, что HYP состоит из множеств, рекурсивных в не-
котором На для Далее, //а = (Х)а, где Hier^(X, N) и
—отношение предшествования вдоль пути в С?, который
включает а, Спектор показал, что На и Нь эквивалентны по
Тьюрингу, когда |а| = |6|. Пусть состоит из множеств, ре-
курсивных в некотором На при | а | < а. Более подробно, Клини
показал, что
^а = Ж)(1+а) ДЛЯ «<(0!. (2)
Таким образом, разветвленная иерархия до <x>i дает другую
форму итерирования 3N, так сказать, по со шагов зараз. Когда
tea = а, мы имеем = Жх-
6.4.4. Разветвленный анализ и теория типов. Если дан орди-
нал а, то мы можем построить систему RAa разветвленного ана-
лиза, которая использует числовые переменные и переменные
для множеств У(^, Z(P), ... степени р для каждого р < ос.
Подразумеваемая интерпретация состоит в том, что перемен-
ные степени р пробегают Аксиомы состоят из аксиом Z и
полной индукции по N в языке RAa плюс разветвленные аксио-
мы свертывания
(RCA)a 3X₽Vn [п <= (А)р ср] для всех р < а,
где все свободные переменные второго порядка в ф имеют сте-
пени =СР, а все связанные переменные — степени <ср. В допол-
нение к предыдущему при a > со мы имеем инфинитарное (бес-
конечное) правило обобщения для каждого предельного X < а:
(G)x. Вывести УА(Х)ф (Х(Х)) из VA(P) ф (A(P)) для каждого р < Л.
Когда а есть тип некоторого рекурсивного вполне упорядо-
чения, правило (G) может быть частично выражено в конечной
форме. (RA)! есть некоторая форма аксиомы (II оо СА) или
(п? - СА) <w. Вообще, если соа = а, то RAa есть некоторая
форма аксиомы (П? — СА)<а. Шютте [1] показал, что в RAa
доказуемо Т1(х(^}(0)) для каждого р < а, когда соа = а. Это
будет еще обсуждаться в 8.2. Идея разветвленных теорий вто-
рого порядка может быть обобщена на теорию конечных и транс-
финитных типов и теорию множеств. Некоторые формальные
системы этого рода см. у Шютте [1] и Тейта [2].
6.4.5. Разветвленные прогрессии и предикативность. Приня-
тая здесь идея предикативности такова: это — та часть матема-
тической мысли, которая неявно содержится в нашей концепции
натуральных чисел. Предикативные определения могут содер-
жать кванторы по множествам и функциям, только если они
ограничены совокупностями, которые заданы ранее признанным^
классами предикативных определений. Формально это вопло<
§ 7. ТЕОРЕТИКО-РЕКУРСИВНЫЕ МОДЕЛИ
137
щается в разветвленных прогрессиях теорий <RAa)a. Однако о 5-
щее понятие вполне упорядочения или ординала само непреди-
кативно уже по форме, поэтому должны быть какие-т® ограни-
чения на а. Крайзель предложил характеристику в терминах
автономных прогрессий, где берутся только те ординалы а, для
которых мы уже доказали в системе RA$ при р < а существо-
вание а, представляющего вполне упорядочение <(а типа а.
Шютте и Феферман независимо установили, что Го является наи-
меньшим непредикативным ординалом при этом предположении.
Ср. Феферман [5], где приводится последнее по времени об-
суждение работ по этому поводу, включающее эквивалентные
неразветвленные системы анализа.
§ 7. Теоретико-рекурсивные модели конечного типа
7.1. Введение. Мы интересуемся здесь моделями различных
теорий, рассмотренных в § 4, в основном с целью получения не-
посредственных результатов о независимости, но также и для
получения результатов о консервативном расширении путем фор-
мализации построения моделей.
Алгебраические системы с которыми мы будем иметь дело,
заданы следующими данными:
(i) совокупностью множеств Мх, которые рассматриваются
как область значений переменных типа т (для каждого
т из рассматриваемого языка), причем во всех случаях
Мо= N;
(ii) операциями применения функции к аргументу Арра, ?•
Л10Х для любых о, т;
(iii) интерпретациями констант.
Вся алгебраическая система обозначается посредством 2)? =
— (<7Ит>т, ...). Мы пишем fa вместо Арр (Да).
Имеются два понятия рекурсии конечного типа, которые мо-
гут быть прямо приспособлены для построения моделей теорий,
рассмотренных в § 4. Первое — этоНЕО — наследственно экстен-
сиональные (эффективные) операции (введенные Крайзелем),
а второе порождается схемами SI — S9, введенными Клини. Пер-
вое обобщается на операции над любой перечислительной систе-
мой в 7.2, второе лишь коротко описано в 7.3. В приложениях
к результатам о содержимом второго порядка для рассматри-
ваемых теорий мы должны иметь хорошую информацию об
1 -сечении М\ модели 2R. Это очевидно из строения материала
в 7.2, но требует большей работы в случае S1 —S9 и их реляти-
визаций. Однако рассматривать последние естественно, если мы
берем -некоторые условия замкнутости конечного типа в каче-
стве отправной точки для модели. В обоих случаях модели,
138
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
рассматриваемые в этой главе, являются промежуточными
между алгебраическими системами, минимальными для данных
условий замкнутости, и максимальными алгебраическими си*
стемами, обсуждавшимися в 2.6.
7.2. Наследственные операции над перечислительной си-
стемой.
7.2.1. Подходящее абстрактное понятие перечислительной си-
стемы обобщающее ситуацию из обычной теории рекурсии,
изложено Фридманом [5]. Оно модифицирует предшествую-
щие понятия В а г н е р а и С т р о н г а [1]. Данные для такой @
включают:
(i) множество Л, содержащее не менее двух элементов (об-
ласть системы 6);
(ii) совокупности 3\ и #~2, состоящие соответственно из од*
номестных и двуместных частичных функций с аргументами из
А и значениями в А;
(iii) тотальные (всюду определенные) спаривающие функ-
ции и проекции Р е ^2, Pi, Pz ^Г,
(iv) перечисляющую функцию f е 32 для JFi, т. е. 3 \ со-
стоит из всех функций Xxf(a, х) для а еЛ.
Далее, требуется, чтобы @ удовлетворила условиям:
(v) 3\ и 3% замкнуты относительно композиции;
(vi) 3\ содержит тождественную функцию и все констант-
ные функции;
(vii) 32 содержит все функции DCa, ь = кху (а, если х =
b в противном случае) для определения разбором случаев.
Мы пишем {а} (х) или ах вместо f(a, х), где f — перечисляю-
щая функция из (iv). Говорят, что @ — система над N, если
А = N и функции Sc и Pd = Кх(х— 1) содержатся в 31. В даль-
нейшем рассматриваются только такие @. Легко показать, что
имеется Згфункция и что в @ справедлива теорема рекурсии.
Можно говорить, что члены 3i—это (^-частично рекурсивные
функции, а тотальные члены — это ^-общерекурсивные функции
(от одного аргумента).
7.2.2. Наследственно рекурсивные и экстенсиональные опе-
рации над (?. Пусть дана перечислительная система над N.
Наследственно рекурсивные объекты HROX(@) типа т над $
определяются следующим образом:
(i) HROo=N,
(ii) HROg->x = {a I Vx (x e HROa => {a} (x) e HROX)}.
Мы пишем HRO(@) вместо (<HROX(@)>T, ...). Наследствен-
но экстенсиональные эффективные объекты типа т над (5 опре*
деляются путем интерпретации в HRO((S) предикатов Ех из 4.2.2,
§ 7. ТЕОРЕТИКО-РЕКУРСИВНЫЕ МОДЕЛИ
139
В подробной формулировке НЕОТ и а=хЬ определяются по
индукции:
(i) HEO0 = N и a = ^b<=>a = b\
(ii) а е HEOg->t о Vx[x е НЕОа => {а} (х) е НЕОХ] и
Vx# [х = ау => {а} (х) ss t {а} (#)],
а =(а->т) b о Vx [х е НЕОа => {а} (х) к t {6} (х)].
Алгебраическая система «НЕОТ(@)>Т, ...) обозначается че-
рез НЕО(@). В HRO легко интерпретируются функционалы К,
5, а также (с использованием теоремы рекурсии) операторы
рекурсии R всех типов. Можно проверить, что они экстенсио-
нальны, так что имеет место
Теорема. Если @ — перечислительная система, то
HRO(@)— модель Zto, а НЕО(@) — модель Zto + (Ext).
7.3. Специальные случаи.
7.3.1. Системы которые дает обычная теория рекурсии.
Пусть @i — перечислительная система обычной теории рекурсии.
В этом случае известно, что НЕО удовлетворяет (QF — АС).
Это замечено Крайзелем [1]. Обобщая результат Крайзе-
ля, Лакомба и Шенфилда для эффективных операций типа 2,
мы показываем, что любой член НЕО является наследственно
непрерывным (или счетным) функционалом. Для последнего
класса верна аксиома выбора, как доказал Клини [2]. Опре-
деление класса НЕО(@) можно формализовать в арифметике,
точно так же, как и доказательство того, что он удовлетворяет
(QF — АС). Таким образом, мы получаем следующее усиление
теоремы из 4.4.2.
Теорема. Z° + (Ext) + (QF — АС) является консерватив-
ным расширением Z.
7.3.2. Теория П}-рекурсии. Один из способов получить мо-
дель для (3N) — взять в качестве (S перечислительную систему
для частичных Пгфункций (получаемых униформизацией
Hi-отношений). Таким образом, 62-рекурсивные функции — это
в точности гиперарифметические функции, и элементы HRO(@2)
можно называть наследственно гиперарифметическими опера-
циями. Гаррисон [1] показал, что HYP является моделью
Si —DC (что обобщает результат Крайзеля [3]). Разумно
предположить, что НЕО(@2) удовлетворяет полной (QF — АС).
Во всяком случае имеет место
Теорема. НЕО(@2) является моделью системы!?+(Ext)+
+ (aN), причем 1-сечение этой модели есть HYP, а значит,
она также модель S' — DC.
140
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
Отметим, что в этом случае формализация рассуждения не
ведет к очевидному результату о консервативности, так как для
рассмотрения свойств класса HYP нам нужны (BI) и (д} — СА)*
В этом отношении методы теории доказательств из 8.3 будут
предпочтительнее.
7.4. Рекурсивные функционалы конечного типа. Клини [3]'
определяет частично рекурсивные функционалы над максималь-
ной типовой алгебраической системой. Если зафиксировать дан-
ный функционал F в качестве одного из аргументов, мы получим
понятие частичной рекурсивности в F. Для любого конечного
типа т над 0 это приводит к SecT(F)— множеству объектов типа
т, которые (обще)рекурсивны в F. Алгебраическая система ЗЭТ —.
= Rec(F) = (<Sect (F)>T, ...) удовлетворяет Zw. Выбирая F в
соответствии с данными условиями замкнутости, мы можем ис-
пользовать 2R для получения моделей теорий, воплощающих эти
условия замкнутости. Например, это верно для77 = Э^ или F =
= 3|N. Ниже указана кое-какая относящаяся к делу инфор*
мация о Rec(F); ср. также главу 6 «Теории рекурсии».
Клини [3] показал, что Secj (3N) = HYP. Мы знаем по тео-
реме Клини о базисе, что Rec (3 |N) — модель (BI). По теореме
Ганди [2] о выборе Rec(F) есть модель (s| — DC) для лю-
бого F типа 2, в котором рекурсивен 3N. Для таких F Ш е н-
фрлд [1] дал иерархию для Seci (F), которая обоб-
щает гиперарифметическую иерархию. Она имеет длину наи-
меньший ординал, неопределимый вполне упорядочением, рекур-
сивным в F. Мы обозначим через ^6^ множество функций, ре*
курсивных в некотором HFa из иерархии Шенфилда при |а|< а.
Таким образом, <2^ совпадает с гиперарифметической иерархией
для обычного оператора скачка J и HJal есть иерархия гипер-
скачка до а.
7.5. Результаты о независимости, использующие REC. Пусть
REC — множество рекурсивных функций из N в N. Исследова-
ния по конструктивной математике дали многочисленные контр-
примеры к формулировкам рекурсивных аналогов классических
теорем. Они в свою очередь дают результаты о независимости
таких теорем от любой теории Т конечного типа, которая имеет
модель 2R = (<7ИТ>Т, ...) с Мх = REC. В частности, Т = Zw 4-’
+ (Ext) + (QF — AC) — такая теория в силу 7.3.1.
Примеры таких формулировок можно найти в 5.8, 5.9, 5.14
и 8.2 гл. 5. В дополнение к ним мы можем отметить два резуль-
тата о Z°+(3N), обсуждавшиеся выше в § 3, а именно, лемму
Кёнига (KL) и теорему Рамсея (RT). Известно, что KL ложна
§ 7. ТЕОРЕТИКО-РЕКУРСИВНЫЕ МОДЕЛИ
141
в REC: нужно использовать бесконечное рекурсивное бинарное
дерево без ветвей (длины со) в REC. Так как KL влечет RT, это
утверждение усиливается результатом Ш п е к е р а [1], который
показал, что теорема Рамсея тоже ложна в REC.
7.6. Результаты о независимости, использующие HYP. Имеет-
ся также много подробной информации о HYP, которая полез-
на при получении результатов о независимости от любой тео-
рии, которая имеет модель Ш? = (<Мт>т, .. .) с ЛД = HYP. Как
мы видели, 2е0 + (Ext) + (3N) + (Si — DC) является такой тео-
рией.
7.6.1. Некоторые факты о HYP. Клини [1] показал, что
классу П} принадлежит любой предикат ф(п), находящийся в
2}-форме, релятивизированной к HYP, т. е. в форме qp(n)^->
-^->ЗД_НУР qp(n, f), где ср арифметическая. Спектор доказал об-
ратное утверждение. Мы формулируем эту пару результатов в
виде
(si)HYP = n!. (1)
Разумеется, тогда (lIi)HYP = Si. Ганди [1] дал новое до-
казательство результата Спектора. Главным его шагом было
установление того, что если —рекурсивное линейное упоря-
дочение, которое фундировано по отношению ко всем убываю-
щим последовательностям из HYP, но не фундировано, то са-
мый длинный вполне упорядоченный начальный отрезок упоря-
дочения имеет порядковый тип соь Следовательно, сущест-
вуют Првполне упорядочения порядкового типа соь Это было не-
зависимо доказано Феферманом и Спектором [1], где
было определено расширение С?* системы О, частично упорядо-
ченное рекурсивно перечислимым отношением <(, локально ве-
дущим себя подобно По определению b е (7* тогда и толь-
ко тогда, когда множество ^-предшественников b фундировано
по отношению к HYP. В силу (1) 67* е S}, поэтому 67* — О не-
пусто. Для любого а^(У*— О было показано, что
есть Пгпуть через О. Далее, (У и N — (У* дают пример мно-
жеств, неотделимых никаким множеством из HYP, следова-
тельно, О* ф HYP.
7.6.2. (п; - СА) и (BI) ложны в HYP. Так как П}-опреде-
ление системы (У, релятивизированное к HYP, дает в точности
(?*, то непосредственно получается
Теорема. (nJ — СА) без параметров ложна в HYP.
Следующее утверждение было доказано Крайзелем.
Теорема. (Si — В1<) ложна в HYP для некоторого при-
митивно рекурсивного
142
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
Доказательство. Выберем линейное примитивно ре-
курсивное упорядочение <(₽, которое фундировано по отноше-
нию к HYP, но не фундировано. Рассмотрим предикат ф(п)<->
который выражает, что{т\т^Р
п} фундировано. По теореме Спектора ф(п) эквивалентна
3gHYpqp(n, g) с арифметической ф. Пусть ф1(п) обозначает
3gxp(n, g), так что ф(п)<->(ф1(п))НУР. Так как Уп [Ут <^Рп
ф (т)-> ф(п)] истинно, мы имеем, что Уп[У/п-<рпф1(т)->ф1(п)4
истинно в HYP. Но из HYP |= Vmh (п) следовало бы Упф(п),
что дает противоречие.
7.6.3. Некоторые математические утверждения, ложные в
HYP.
Теорема. Принцип точной верхней грани ложен в HYP.
Доказательство. Возьмем арифметическую формулу ф
такую, что 3fHYP$(ft, f) принадлежит П{, но не HYP. Применяя
представление вещественных чисел дедекиндовыми сечениями,
можно показать, что U X [ф (X), X — дедекиндово сечение, X е
<= HYP] также не принадлежит HYP.
Теорема. CWO ложно в HYP.
Доказательство (Крайзель). Идея состоит в использо-
вании двух HYP-неотделимых предикатов V/3xPi (f (х), п) и
yfBxP(f(x), п). Объединение их дополнений Ль Л2 есть N. Фор-
мулы Л1,Л2 можно записать в виде V/hyp3xQi(f (х), гг), V/hyp3x
Q2(f(x),rc) соответственно, где Qi, Q2 рекурсивны. Теперь, если
бы сравнимость вполне упорядочений имела место в HYP,
мы могли бы осуществить редукцию этих дополнений, т. е.
Л1 U Л2 = А'\ иЛ2, где Ль Лг дизъюнктны и находятся в Пгфор-
ме относительно HYP. Но тогда Ль Л2е21, т. е. Л1 е HYP во^
преки предположению. □
7.6.4. Используя представление (3.1) открытых множеств в
R как объединений последовательностей рациональных интер-
валов и замкнутых множеств — как дополнений открытых мно-
жеств, мы можем формулировать различные утверждения о них
в языке второго порядка и проверять их в HYP. Теорема Кан-
тора— Бендиксона (С — В) утверждает, что любое замкнутое
множество F имеет совершенное ядро F* F и что F — F* счет-
но. Следующее утверждение доказано Крайзелем [2].
Теорема. Теорема С — В ложна в HYP.
Доказательство Крайзеля дает рекурсивно описанное замк-
нутое множество F такое, что F — F* состоит из HYP-вещест-
венных чисел произвольно высокой степени, а следовательно, не
может быть перечислено никакой HYP-функцией. Далее,
f)HYP пусто. Таким образом, в этой модели неверно даже, что
§ 7. ТЕОРЕТИКО-РЕКУРСИВНЫЕ МОДЕЛИ
143
если замкнутое множество не содержит (непустого) совершен-
ного подмножества, то оно счетно.
Следующее утверждение дает пример из алгебры со сход-
ными чертами (Феферман [4] с использованием примера
Барвайса).
Теорема. Утверждение о том, что любая абелева группа
содержит наибольшую делимую подгруппу, ложно в HYP.
Чтобы установить это, мы определяем рекурсивно представ-
ленную абелеву (р-группу) G такую, что U Н [Н s G, Н делима
и Яе HYP] не принадлежит HYP.
7.6.5. Утверждения в языке третьего порядка. Различные
утверждения о множествах вещественных чисел не имеют пере-
водов на язык второго порядка, но непосредственно связаны с
тем, какие вещественные числа существуют. Их можно испыты-
вать на алгебраических системах, где М\ = HYP, а М2 имеет
простое описание.
Теорема. Следующие утверждения можно опровергнуть в
подходящих W, с Мх = HYP:
(i) любое множество вещественных чисел, замкнутое отно-
сительно предельных переходов, замкнуто;
(ii) любое открытое покрытие сегмента [0, 1] имеет конеч-
ное подпокрытие;
(iii) существует аналитическое не борелевское множество;
(iv) существует множество, неизмеримое по Лебегу;
(v) любое множество вещественных чисел имеет внешнюю
меру.
Одна и та же достаточна для (i) — (iv), но, конечно, не
для (v).
7.7. Некоторые специальные со-модели для систем второго
порядка. Ниже приводятся примеры со-моделей, которые не вво-
дятся как 1-сечения того вида алгебраических систем конечного
типа, который рассматривался выше. Каждая из них задана с
помощью некоторого подкласса множества Nn или ^(N). Про-
стейшей из них является 5#©— совокупность арифметических
множеств, которая образует модель схемы (П^о — СА). Таким
образом, существование Я© недоказуемо в (П^о — СА), хотя оно-
следует из (Ai — СА)- Рассмотрим аналогичным образом
tfi^Rec(tf) (1)
и
— совокупность множеств, рекурсивных в некотором^. (2).
Для любой схемы S обозначим через (S)~ соответствующую
схему без параметров второго порядка. Следующие утвержде-
ния были установлены Крайзелем.
144
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
Теорема, (i) О\ удовлетворяет (п} — СА) , но не полной
(П1 - СА).
(ii) удовлетворяет (п} — СА), но не (Д1-СА) .
(iii) —модель (В1<) для примитивно рекурсивных <С
(iv) (У& — модель (BI).
Доказательство, (i) Положительная часть следует из
теоремы Клини о базисе. Отрицательную часть обоснуем от про-
тивного: если бы (П! — СА) была выполнена, то (У2 содержа-
лось бы в C?i.
(ii) Положительная часть использует релятивизированную
теорему о базисе. Для установления отрицательного результата
заметим, что <6?n>n<(0 есть единственное решение некоторого
52-предиката.
(iii) Если примитивно рекурсивно и не имеет убывающих
последовательностей в (71, то оно фундировано, и, следовательно,
Tl верна для с любым предикатом.
(iv) С помощью релятивизации (iii). □
Замечание. Приведенные модели не минимальны, так как
Ганди, Крайзель и Тейт показали, что пересечение всех со-моде-
лей рекурсивной (и даже Пг) теории содержится в HYP-
7.8. (Aj - СА), (2} - АС), (2} — DC). Крайзель [3] до-
казал, что множество HYP — наименьшая модель аксиомы
(Д11 —СА)~, так что его нельзя использовать для различения
этих трех систем. Фридман [1], [3] показал, что (5J—DC)—
консервативное расширение системы (П?—-СА)<ео, а значит, и
системы (А} — СА) относительно ^-предложений. Это будет
описано в 8.6. Он показал также, что (5} — DC) — собственное
расширение системы (Si — АС). Стил [1] объявил, что
(Si — АС) — собственное расширение (д} — СА). Неизвестно,
выводима ли (2!-АС) ИЗ (а! - СА).
§ 8. Содержимое второго порядка для изучаемых теорий:
методы теории доказательств
8.1. Введение. Общая задача здесь — дать точную информа-
цию о теоремах, образующих подтеорию второго порядка Т2 не-
которой теории Т“ конечного типа и, в частности, описать ба-
зис для Si-теорем теории Т2, т. е. класс функций Mi такой, что
из Т2 Н с арифметической q> следует (3f Mi)cp(f). Под
прямыми методами теории доказательств для этой задачи мы
понимаем обобщения теорем Генцена об устранении сечения для
§ 8. СОДЕРЖИМОЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
145
исчислений секвенций (или родственные теоремы нормализации
для исчислений естественного вывода) на инфинитарные языки
по образцу Новикова, Лоренцена, Шютте и Тейта. Некоторые
из систем, рассмотренных выше, могут быть прямо переведены
в такие языки, и теорема об устранении сечения может быть
использована для получения информации о доказуемых вполне
упорядочениях и Si-теоремах. Несколько результатов, получен-
ных таким образом, упоминаются в 8.2. Значительно более ши-
рокий класс теорий может быть рассмотрен с помощью непря-
мых методов. Главные такие методы, применяемые здесь, ис-
пользуют переход к формально интуиционистским теориям (8.4),
за которым следует гёделевская функциональная интерпретация
(8.5), ставящая данной Т“ в соответствие некоторую бескван-
торную теорию функционалов То. Наконец, термы теории То
можно анализировать методом нормализации. Основной мате-
риал, относящийся сюда, приведен в 8.3. Приложения рассмат-
риваются в оставшейся части § 8.
8.2. Прямые методы теории доказательств.
8.2.1. Инфинитарное устранение сечения. Так как эти методы
довольно подробно описаны Шютте [1], Тейтом’ [2], Та-
к еу т и [1] и в гл. 2, мы упомянем только нужные результаты.
Мы обращаем особое внимание на использование бесконечно
длинных формул и выводов, так как они упрощают рассмотре-
ние и проясняют появление ординалов. Каждая такая формула
Ф (или вывод d) является фундированным деревом и, следова-
тельно, имеет ординальную длину, обозначаемую через |ф| (че-
рез |d|). Если используется система, в которой выводятся (ко-
нечные) дизъюнкции формул F = (<piV ... Уфл), то правило
сечения может быть сформулировано так:
/р \ Г V Ф Г V ”|ф
р
Вывод d называется свободным от сечения (или выводом без
сечения), если в d нет применений этого правила. Ранг сечений
p(d) вывода d определяется соотношением
'sup {| <р |+ 1: (Сф) входит в d}, если d содержит
сечения,
О, если d свободен от сечения.
(1)
Существенной чертой используемых правил инфинитарного
исчисления предикатов, отличных от сечения, является свойство
подформулъности\ каждая формула в посылке правила является
подформулой некоторой формулы из заключения. Это позволяет
устанавливать определенные свойства свободных от сечения вы-
водов индукцией по их длине. Тогда основной результат состоит
146
ГЛ 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
в том, что любой вывод d может быть преобразован в свобод-»
ный от сечения вывод d* с той же последней формулой. Это до-
казывается прямым обобщением рассуждения Генцена для слу-
чая исчисления предикатов первого порядка. Следующая форму-
лировка Тейта [2] дает полезную меру увеличения длины d*
по сравнению с длиной d.
Теорема. Если d 1— с |d(^p и p(d)^y + (oa, то мы
можем найти вывод d* формулы ф с | d*| (Р) и p(d*)^y.
В частности, если d имеет конечный ранг сечений п = со°-п,
то n-кратное повторение этого результата дает свободный от се-
чения d* с прежним заключением, причем |d*|< е(Р), где
е(Р) — наименьшее е-число, превосходящее р (р < е(р)).
8.2.2. Вездесущность е0* Пусть Z' — это Z в языке с дополни-
тельными сортами переменных и полной индукцией для N, но
без дополнительных аксиом. Z' переводится в инфинитарный
язык с помощью перевода ф~>ф+, при котором (Эпф(п))+ =
= Уф(л)+* Каждый вывод d Н ф в Z' можно преобразовать в
п
вывод d+ Н ф+ с |d+| < 0-2 и p(d+) < со. Тогда любой такой d
преобразуется в свободный от сечения вывод d* длины <ео. Для
формул ф любой данной ограниченной сложности m мы можем
выразить определение истины Тгт в Z'. Тогда с помощью свой-
ства подформульности и Т1(е0) мы можем показать, что лю-
бая формула из d* истинна, если d доказывает формулу слож-
ности ^т. Это позволяет установить так называемый принцип
рефлексии для Z':
Z'+ TI (е0) Н Prz'(ГФ”1)->Ф, (1)
где Ргг'(гф'1) выражает, что Z'hq). В частности, если мы возь-
мем ф = Пф, то отсюда следует, что
Z' + ф + TI (е0) Н СоП(г'+Ф). (2)
Следовательно, по второй теореме Гёделя о неполноте, дол-
жен найтись частный случай схемы Т1(е0), который недоказуем
в Z' + ф, если она непротиворечива. Следующее усиление этого
результата приведено в статье Крайзеля и Леви [1].
Теорема. Допустим, что S — непротиворечивое расшире-
ние системы Z' аксиомами ограниченной сложности. Тогда
имеется частный случай схемы Т1(8о), который недоказуем в S.
В частности, если Z' — арифметика в языке второго порядка
или конечного типа, то любое непротиворечивое расширение Z'
ограниченной сложности имеет недоказуемый частный случай
схемы Т1(8о). Это применимо к таким теориям, как
(П»—СА), (sj—DC), (п}—СА), (S2-DC), Z“+(3N)+(QF-AC)
§ 8. СОДЕРЖИМОЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
147
и т. д. Это неприменимо к (BI) или (В1<) (< примитивно ре-
курсивно) .
8.2.3. Ординальные границы для арифметического и разветв-
ленного анализа. Чтобы перейти к(П^—- СА), заменим кванторы
VXcp(X) на Д ф(ф), где 21 — класс арифметических формул.
Я>€=?1
Тогда любой конечный вывод d формулы ср в системе (П» — СА)
преобразуется непосредственно в вывод d+ формулы <р+, где
|d+| < (0-2 и p(d+)<co-2. Применяя теорему из 8.2.1 сначала
для того, чтобы уменьшить ранг сечений с со + п до со, а затем
с со до 0, мы получаем свободный от сечения d с | d* | < 8ео.
Теорема. (1Йо — СА) fv I (е8о).
Ординальные границы для разветвленных систем RAa можно
получить аналогично. Простейшее описание получается, когда
а есть 8-число.
Теорема. Если соа — а, то RAa IV I (0)).
Отсюда мы получаем, что индукция до Го (наименьшего ре-
шения уравнения x(a)(0) = a) недоказуема в автономной про-
грессии разветвленных теорий (ср. 6.4.5).
8.3. Нормализация бесконечных термов
8.3.1. Термы и процедуры редукции. Мы следуем Тейту [1],
рассматривая термы, построенные из переменных конечного
типа и 0 с помощью функции следования, применения функции
к аргументу, абстракции (КаЛ) и образования последователь-
ности Их можно рассматривать аналогично бесконеч-
ным выводам, и они имеют определенные технические преиму-
щества по сравнению с использованием комбинаторов и опера-
торов рекурсии. Последние заменяются бесконечными (инфини-
тарными) термами следующим образом (для любой подходящей
комбинации типов):
= bfba(tn)n, где ta = a, tn+l = fOMtn. (1)
И снова каждый терм t является фундированным деревом и
имеет длину |/|. Замена комбинаторов К и $ на \a\b.a и
kfkgka.fa(ga) соответственно преобразует любой обычный терм
t в инфинитарный Х-терм t+ с |/+| < со-2. В общем случае к бес-
конечным термам могут применяться следующие упрощения или
непосредственные редукции (=) читается «сводится к»):
Н1) (Ал/ [a])s =\t [s],
где t [s] — subst (sia) t;
(=9 (tn)n0(m}
1=1з) <fn)nrs=](tns)r.
148
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
Последняя редукция применяется лишь в случае, когда
ЦпУпГ имеет тип, отличный от 0, и г не есть цифра 0(ZI). Рассмот-
рим наименьшее транзитивное и рефлексивное отношение
содержащее (/= 1, 2, 3) и сохраняющее применение функ-
ции к аргументу. Если t =| s, то t и s определяют один и тот же
объект при любой общей оценке их свободных переменных. Мы
говорим, что t несводим или нормален, если t =| s влечет t =
т. е. t не имеет непосредственно сводимых подтермов. Такие под-*
термы имеют сложность сечения, аналогичную сложности для
правила сечения. Например, сложность терма (Xa/[a])s есть
lev (type (а)). Тогда р(/) определяется как наименьший ординал,
больший, чем все такие сложности в t. Отметим, что р(/+)< со,
если / --обычный терм. Тейт [1] получил теорему нормализа-
ции, из которой нам нужен только следующий частный результат.
Теорема. Пусть р (/) < со и | /| < е0. Тогда мы можем
найти t* в к. ф. такой, что t =| /* и | /* | < е0.
Доказательство аналогично доказательству для выводов.
8.3.2. Нормальные термы типа 0. Каждый терм / типа 1 опре-
деляет ту же функцию, что КпЛп. Таким образом, для изучения
таких термов достаточно рассматривать нормальные термы
типа 0. Если t — терм типа 0, нормален и содержит только чис-
ловые свободные переменные, то имеет место один из следую-
щих случаев:
(i) < = 0;
(ii) f = s', где s нормален;
(iii) t — переменная типа 0;
(iv) t = (tn}ns, где tn, s все нормальны и имеют тип 0, но
s — не цифра.
Отсюда следует, что замкнутые термы типа 0 — цифры. До-
пустим теперь, что / нормален и содержит свободно только пе-
ременные типов 0, 1, 2. Тогда имеет место один из следующих
случаев: (i) — (iv) или
(v) / = P(s), где f — переменная типа 1, s — нормальный
терм типа 0;
(vi) t = f2 (kn.s), где f2— переменная типа 2, s — нормаль-
ный терм типа 0;
(vii) / = /2(<6г>п), где каждый из tn нормален и имеет тип 0.
Таким образом, мы снова имеем полное порождение нор-
мальных термов типа 0.
8.3.3. 1-сечение (относительной) примитивной рекурсии.
Пусть PR обозначает класс гёделевских примитивно рекурсив-
ных функционалов конечного типа, т. е. функционалов, опреде-
ляемых термами, порожденными из 0 и Sc с помощью операто-
ров К, S и /?. Для функционала F типа 2 запись PR(F) обозна-
чает класс, порождаемый, когда в дополнение к предыдущему
используется F. Пусть REC<eo состоит из функционалов типа 1,
§ 8. СОДЕРЖИМОЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
149
определенных обычной примитивной рекурсией и трансфинитной
рекурсией по любому -<а для а < е0. Следующий результат
имеется у Т е й т а [1].
Теорема. 1-sec (PR) = REC<c.
Доказательство. Согласно 8.3.1 для каждого элемен-
та из I-sec (PR) имеется обозначение в виде эффективно за-
данного Х-терма вида kn.t, где t — нормальный терм типа 0, со-
держащий свободно разве лишь ‘/г’,и 111 < е0. Тогда значение
Val(/, ri) терма t на аргументе п определяется рекурсией по
длине t. □
Далее, используя иерархию Шенфилда На и классы
функций, рекурсивных в некотором Яд при | а | < е0, мы анало-
гично получаем (Феферман [3]) следующее утверждение.
Теорема. 1-sec (PR (F)) = ^q.
Доказательство. Каждый элемент из 1-sec(PR(F))
имеет обозначение в виде некоторого эффективно заданного тер-
ма Kn.t\ здесь t содержит свободно разве лишь п и /2, где f2
обозначает F, терм t нормален, имеет тип 0 и р|<80. Просле-
живая построение согласно 8.3.2, мы видим, что функция, опре-
деляемая термом kn.t, рекурсивна в На, где | а | = | 11. □
Следствие. 1-sec (PR (ц)) = 1-sec (PR (3N)) —
8.3.4. 1-сечение относительной элементарной примитивной
рекурсии. PR (F) описывается так же, как PR(F), только вместо
оператора R используется R.
Теорема. Допустим, что 3N рекурсивен в F. Тогда
1-sec (PR (F)) = #£.
Доказательство (Феферман [3]). Отношение
Rfanb = m арифметически определимо в f, а, п, b, ш, так как
нам нужно говорить только о конечных последовательностях
объектов типа 0. Таким образом, каждый член множества PR(F)
определим конечным Х-термом без операции образования после-
довательностей, но с + и •, причем свободно в него входит разве
лишь f2. Нормализация таких термов происходит в финитном
Х-исчислении. □
Следствие. 1-sec (PR (ц)) — 1-sec (pr(3n)) — арифметиче-
ские функции.
8.4. Переход к формально интуиционистским системам.
8.4.1. Негативный перевод. С каждой рассматриваемой ниже
классической теорией Т мы свяжем формально интуиционист-
скую теорию (Т)*, которая получается выбрасыванием закона
исключенного третьего (LEM) из логики, лежащей в основе (так
как в общем случае легче анализировать явное содержание тео-
150
ГЛ. 4 ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
рпи (T)f)« LEM сохраняется для атомарных формул. Мы под-
черкиваем эпитет «формально», так как системы, содержащие
функционалы вроде 3 или 3| и т. д., не выражают интуицио-
нистских принципов. В 1933 г. Гёдель дал простой перевод клас-
сической арифметики Z в интуиционистскую арифметику НА
(«гейтинговская арифметика»), который непосредственно обоб-
щается до перевода Т в (Т)‘ для многих из рассматриваемых
здесь теорий Т. Она переводит каждую формулу <р в (ср)‘, где
( У сохраняет атомарные формулы и Л» V, в то время как
(ф V Ф)г = "I (“I (ф)‘ Л "I (Ф)г), (I)
(Заф/= ~] Va ~| (ф)‘- (2)
Эквивалентным образом, мы можем взять в качестве (ф V -ф)£
формулу П I [(ф)‘V(i|))‘]. а в качестве (Заф/ формулу
“П За (ф)'. Дальнейшие детали об этом так называемом нега-
тивном переводе (или переводе с помощью двойного отрицания)
можно найти в 3.8—3.10 гл. 5.
Теорема. Если Т есть свободное от (V, Э) расширение
системы Z“, т. е. получается добавлением разве лишь новых кон-
стант и аксиом, не содержащих символов дизъюнкции и кван-
торов существования, то Т переводится в (Т)<
Система (Zw)z' обозначается через НА°.
8.4.2. Расширения с помощью некоторых выбирающих опера-
торов. Теорему из 8.4.1 можно применить к ZW + (3N) путем не-
большой модификации добавочных аксиом. Однако для исполь-
зования в дальнейшем мы применим ее вместо этого к класси-
чески эквивалентной системе Z® + (ц), где неограниченный опе-
ратор минимума ц (типа 2) присоединяется вместе с аксиомой
(р.) fn = O-*f(nf) = O Д
Отметим, что определение 3Nf = [0, если f(pf) = O; 1 в про-
тивном случае] работает также и с интуиционистской логикой,
так что нди-Иц) эквивалентна системе НА“ + (3N). Система
Z« + (p) непосредственно переводится в НА<й + (ц). Последняя
система определенно не является интуиционистской (конструк-
тивной), так как мы можем вывести Згг(/7г = 0) V '~}3n(fn = ty
из f(nf) = о V f(pf)#=O. Еще более общо, LEM верен для лю-
бой арифметической формулы. Аналогично, для использования
в дальнейшем системы Z<J) + (3>P) мы проходим через Z® + (L),
где L —оператор выбора самой левой ветви, имеющий аксиому,
не содержащую V, В:
(L) Xfnf (g (п)) = 0->Vnf (Lf (n)) = 0 A Lf0 < ^0.
Следствие, (i) Z® + (p) сводится к НА° + (р) путем не-
гативного перевода.
§ 8. СОДЕРЖИМОЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
151
(ii) Z® + (£) сводится к НА® + (^) путем негативного пере-
вода.
8.5. Гёделевская функциональная интерпретация и ее прило-
жения к Z®.
8.5.1. Вид интерпретации. Эта интерпретация была первона-
чально дана Гёделем [1] для НА, но она непосредственно
применима к НА®. Подробности приведены в 5.11 гл. 5, а нам
нужно знать лишь следующее. С каждой формулой ср языка си-
стемы НА® связана формула q)D(‘D’ от слова «Dialectica»),
имеющая те же свободные переменные, что и ср:
<pD = BaV6<pD(a, 6), (1)
где а, b — последовательности (возможно, пустые) переменных
различных типов, определяемые формулой ср. Кроме того, фэ —
бескванторная формула. Особые случаи в индуктивном опре-
делении формулы <pD таковы:
(Vc<p)D = 3fVc&<pD(fc, &), (2)
(-l<P)D = 3gVa_]q)D(a, ga). (3)
В частности, если список Ь пуст, то (~]<p)D = Va <pD(a) и
(“I ~1 ф)° есть За “| “| <pD(a), что эквивалентно 3a<pD (а), так как
атомарные формулы разрешимы.
Следствие, (i). Если <р — экзистенциальная формула, то
(q/)D эквивалентна <р.
(ii) Если <p = Va360(a, Ь) с бескванторной 0, то (<p')D эквива-
лентна формуле 3fVa0(a, fa).
(iii) ((QF — AC)')D логически истинна.
8.5.2. Интерпретация систем НА® и Z?. Пусть QF—НА®
обозначает бескванторную часть системы НА®. Ее можно непо-
средственно аксиоматизировать как теорию примитивно рекур-
сивных функционалов. Поэтому мы обозначим последнюю через
PR® (обычно ее называют «гёделевской системой Т»). Рассуж-
дение Гёделя [1] показывает, что верно следующее утверж-
дение.
Теорема. Если НА® Н <р и q>D = 3aV&q>D (а, Ь), то для неко-
торой последовательности t термов PR® Н фо(<, &).
Следствие 1. Если Z® + (QF—AC) I—Va3aZ>0 (a, b) с
бескванторной 0, то PR®H0(a, ta) для некоторого терма t.
Каждый терм t является обозначением для некоторого члена
множества PR. В силу 8.3.3 мы получаем следующий результат,
принадлежащий Крайзелю (ср. главу 2).
Следствие 2. Доказуемо рекурсивные функции системы
Z® образуют в точности класс REC<S<I.
152
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
Мы получим аналогичные результаты для теорий с выбираю-
щими -функционалами.
8.6. Неконструктивные обобщения функциональной интер-
претации.
8.6.1. Общая формулировка. Следующее утверждение полу-
чается применением негативного перевода, за которым следует
гёделевская интерпретация.
Теорема. Допустим, что ф не содержит ни V, ни кванто-
ров, но может содержать добавочные константы. Тогда Z® + Ф 4“
4~(QF — АС) имеет гёделевскую интерпретацию в PRw + 4>-
8.6. Приложение к расширениям операторами (BN) и (и).
В качестве следствия из 8.5 и предыдущей теоремы мы полу-
чаем такие утверждения.
Теорема. Если Z® + (ц) + (QF — AC) Н VaB60 (а, Ь) с бес-
кванторной 0, то PR® + (ц) Н 0(а, /[а]) для некоторого терма t
из PR (ц).
Теорема, (i). Если Z® + (н) + (QF — AC) Н 3f!0 (f) с ариф-
метической 0, то 0(f) верна для некоторой f из
(ii) Z® + (и) + (QF — АС) есть консервативное расширение
системы (П? — СА)<8о относительно П^предложений.
Доказательство, (i) Используя (ц), преобразуем 0 в
бескванторную формулу. Затем применяем предыдущую теорему
и то, что 1-sec (PR(n)) = Ж0 в силу 8.3.3.
(ii) Рассмотрим Пг-предложение VfBg'Qff, g) с арифметиче-
ской 0, доказуемое в Z“-|-(p.) + (QF — АС). Имеется терм /[/]]
системы PR (и) такой, что Q(f,t[f]) доказуемо в PRw + (p)«
В силу 8.3.3 мы имеем t [f] е J^8o равномерно по f, т. е. для не-
которого а < 80 получаем t [f] е равномерно по f. Для | а | —
= а и переменной f существование иерархии На может быть
доказано в (П? — СА)<8о. Это рассуждение завершается путем
формализации. □
Так как (s} — DC) содержится в Z0 + (zlN) + (QF—АС), мы
получаем следующее утверждение.
Следствие, (i) (Si — DC) является консервативным рас-
ширением системы (ii? — СА)<8о относительно ^-предложений.
(ii) х(8°)(0) есть супремум доказуемо рекурсивных вполне упо-
рядочений системы (SiDC).
Этот результат принадлежит Фридману [1]; природа его
доказательства, которое изложено также в статье Фридмана
[3], будет обсуждаться в следующем подпункте. Данное только
что доказательство через гёделевскую интерпретацию (позво-
ляющее получить обобщение на теории конечного типа) было
изложено уФефермана [3].
§ fit. СОДЕРЖИМОЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
153
Замечание, (i) говорит нам, что (Si — DC) сводима к пре-
дикативным принципам, хотя на первый взгляд она непредика-
тивна (и ее наименьшая со-модель HYP наверняка непредика-
тивна).
8.6.3. Приложение к расширениям операторами (В |N) и
(L). Рассуждая по тому же образцу, мы получим следующие
утверждения.
Теорема. Если Z® + (L) + (QF — AC) Н Va360 (а, Ь) с бес-
кванторной 0, то PR® + (L) Н 0(а, /[а]) для некоторого терма t
из PR(L).
Теорема. ZW + (L) + (QF — АС) — консервативное расши-
рение теории (п} — СА)<8о относительно Пз-предложений.
Отметим в связи с последней теоремой, что — это просто
одна из форм иерархии гиперскачка до е0. Это дает другой ре-
зультат Фридмана [3].
Следствие. (22 — DC) — консервативное расширение си-
стемы (п! —- СА)<8о относительно ^-предложений.
Замечание. Нелегко объяснить кратко идею принадле-
жащего Фридману доказательства следствия (i) из 8.6.2 и по-
следующее лишь обрисовывает его контуры. Допустим, что гр
из класса 2г и не противоречит (П? — СА)<8о. Нужно показать,
что ф не противоречит (2} — DC). Мы знаем из 8.2.2, что имеется
частный случай схемы Т1(е0, ф) трансфинитной индукции до з0,
который не доказуем в (ii? — СА)<го +'Ф- Мы можем пытаться
моделировать (2}—ВС) + ф в системе (П? — СА)<8о + Ф+
+ П TI (е0, ф) через множество функций, рекурсивных в неко-
тором На таком, что ф(а). Это не совсем срабатывает, так как
некоторый кусок схемы Т1(е0) все еще приходится использо-
вать для проверки свойств модели. Однако доказательство
удается провести путем некоторой модификации этой идеи. Оче-
видно что, одна из ее черт — центральная роль нестандартных
моделей. Этого следовало ожидать от теоретико-модельного
рассуждения, так как HYP — наименьшая стандартная модель
системы (21—-DC). С помощью аналогичных рассуждений
Фридман [3] получил приведенное выше следствие для
(2г — DC) и дальнейшие результаты такого рода для систем
(4-АС); когда k > 2.
Другое доказательство следствия в 8.6.2 для (2! — DC) было
дано Тейтом [2] с использованием методов устранения сече-
ния, развивающих 8.2; обобщение на (22 — DC) рассматривается
у Т е й т а [3].
Еще одно доказательство следствия в 8.6.2 было дано Го-
вардом [ 1 ] с использованием конструктивной гёделевской
154
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
интерпретации посредством так называемой бар-рекурсии; ср.
§ 11 главы 5.
8.6.4. Консервативные расширения систем для абсолютных
иерархий. Если дан определимый функционал F на подмноже-
ствах множества N, то пусть Hier^,(X) обозначает формулу
Hier£,(X, N) из 6.4.1, выражающую тот факт, что X есть иерар-
хия для F вдоль К, начиная с Хо = N. Такие множества X
можно называть абсолютными иерархиями для F. Применяя
операторы / и скачка и гиперскачка соответственно, будем
писать (П? — СА)а вместо ЗХ Hier<a (X) и (п{ — СА)а вместо
3XHier<a(X). Тогда, как и раньше, (п{ — СА)<О означает со-
вокупность утверждений (П{ - СА), для всех р < а. Отметим,
что (Аi+i — СА)- = (П1 — СА)<81) для i = 0, 1.
Результаты о консервативности из 8.6.2, 8.6.3 можно уси-
лить путем замены (П{ - СА)<ео на (П{ - СА)^*, однако лишь
уменьшив класс сохраняемых утверждений.
Теорема, (i) Z0) + (p) + (QF — АС) —консервативное рас-
ширение системы (П? — СА)<ео относительно ^{-предложений.
(ii) Z® + (L) + (QF — AC) — консервативное расширение си-
стемы (п} — СА)<ео относительно ^-предложений.
Доказательство не требует новых соображений сверх тех, ко-
торые намечены выше. Например, в случае (i) мы видели, что
из Z® + (н) + (QF — АС) Н ЭЬд(Ь) с арифметической 0 следует,
что 0(f) истинна для некоторого a < е0 и f е Жх- Существова-
ние На можно доказать в (П? — СА)<ео. Затем рассуждение про-
ходит путем формализации этих наблюдений.
Следствие, (i) (s} — DC) — консервативное расширение
системы (П? — СА)<ео (и, следовательно, системы (А* — СА)’)
относительно ^{-предложений.
(ii) (S2 — DC) — консервативное расширение системы
(п! — СА)<ео (и, следовательно, системы (Л2—СА)“) относи-
тельно ^-предложений.
Утверждение (i) этого следствия получено у Крайзеля
[5], Приложение 2, — его рассуждение приспосабливает (и раз-
вивает) рассуждение Фридмана [3].
Замечание. Как отмечает Крайзель [5], если
(II?—CA)a Н 7(Р) для a Con, то р < е0. Это следует из общего
результата Крайзеля [4], § 7.3 о том, что ТН/(Р) влечет
р < е0, где Т — любое расширение системы Z2 истинными S}-
предложениями.
§ 9 ИСТОЧНИКИ СВЕДЕНИЙ ПО ДРУГИМ ТЕМАМ
155
8.7. Системы с ограниченной индукцией. Мы используем опи*
санный выше метод, чтобы улучшить результат из 5.5.1. При
проверке гёделевской интерпретации для ограниченной индукции
1N нужно использовать только оператор R.
Теорема. Если в ограниченной системе (Z<0) + (p) +
+ (QF — AC) Н VaB60(a, b) с бескванторной 0, то PR(0) + (p)H
1—0 (а, / [а]) для некоторого терма t, где PR(0) — бескванторная
часть ограниченной (2(<|))).
В силу 8.3.4 l-sec(PR(p))= арифметические функции. Сле-
довательно, если в рассматриваемой системе доказуемо ^-пред-
ложение, то это предложение истинно в алгебраической си-
стеме для арифметических функций. Далее, формализуя рас-
суждение, нужное для каждого конкретного вывода в этой си-
стеме, мы получим следующий результат.
Теорема. Ограниченная (2(0>)) + (р) + (QF — АС) — консер-
вативное расширение системы Z.
Следствие. Ограниченная (s} — АС) —консервативное рас-
ширение системы Z.
Отметим, что наш метод не работает для ограниченной
(2} - DC), так как для ее вывода из (QF — АС) высшего типа
и (р) нам нужен оператор рекурсии
Замечание. Приведенные выше теоремы и следствие уси-
ливают результаты о консервативности над Z, полученные (i)
Барвайсом и Шлипфом [1] и независимо Фридманом
[6] для (21 —АС) и (ii) Такеути [1] для теории конечных
типов с ограниченной индукцией и арифметическим свертыва-
нием. Можно также получить результат о консервативности ог-
раниченной Z0 + (Е) + (QF — АС) и, следовательно, ограничен-
ной (sl — АС) над ограниченной (п} — СА).
§ 9. Источники сведений по другим темам
9.1. Методы и применения теории доказательств.
(i) Исходные статьи (Ген цен [1]),
(ii) учебники (Шютте [1], Такеути [2]),
(iii) обзор методов и применений к системам анализа
(Крайзел ь [4]),
(iv) системы натурального вывода и нормализация (Пр а-
виц [1]).
9.2. Системы ординальных обозначений.
(i) Системы, основанные на структурах ординальных функ-
ций (Феферман [1]),
156
ГЛ. 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА
(ii) системы, использующие высшие числовые классы по
Бахману (Бридж [1],Бухгольц [1]),
(iii) ординальные диаграммы (Такеути [2]).
9.3. Предикативность. Характеризации, данные Шютте и
Феферманом в терминах автономных разветвленных прогрес-
сий; эквивалентные неразветвленные теории (Фефер м ан [5]).
9.4. Теории обобщенных индуктивных определений.
(i) Одно индуктивное определение (Говард [2]),
(ii) итерированные индуктивные определения (Феферман
[2], Цу к е р [1]).
9.5. Формальные теории ординалов и их функциональные ин-
терпретации.
(i) Конструктивная теория счетных ординалов (Говард
[2]),
(ii) теории высших числовых классов (Цукер [1]).
9.6. Интерпретации анализа непрерывными функционалами.
(i) Основные понятия и многообразия интерпретаций
(Крайзель [1]),
(ii) интерпретации бар-рекурсивными функционалами
(Спектор [1], Говард [1],Лукхардт [1]).
9.7. Функциональные интерпретации с переменными типами
(Жирар [ID-
литература
Барвайс и Шлипф (Barwise J., Schlipf J.)
1. On recursively saturated models of arithmetic. — In: Model Theory and
Algebra: A Memorial Tribute to Abraham Robinson/Ed. D. Saracino and
V. B. Weispfennig. Berlin: Springer, 1975, p. 42—55.
Бишоп (Bishop E.)
1. Foundations of Constructive Analysis.— N. Y.: McGraw-Hill, 1967.
Бридж (Bridge D.)
1. A simplification of the Bachmann method for generating large countable
ordinals. — J. Symbolic Logic, 1975, 40, p. 171—185.
Бухгольц (Buchholz W.)
1. Normalfunktionen und konstruktive Systeme von Ordinalzahlen. — Inj
Proof Theory Symposion, Kiel, 1974/Ed. J. Diller and G. H. Muller.
Berlin: Springer, 1975, p. 4—25.
Вейль (Weyl G.)
1*. Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen uber die Grund la gen der
Analysis. — Leipzig: Gruyter, 1918.
Ганди (Gandy R. O.)
1. Proof of Mostowski’s conjecture. — Bull. Acad. Polon. Sci., 1960, 8,
p. 571—575.
2. General recursive functions of finite type and hierarchies of functionals.—
Ann. Fac. Sci. Univ. Clermont-Ferrand, 1967, 4, p. 5—24.
Гаррисон (Harrison J.)
1. Recursive pseudo-well-orderings. — Trans. Amer. Math., Soc., 1968, 131,
p. 526—543.
ЛИТЕРАТУРА
157
Г е н ц е н (Gentzen G.)
1. The Collected Papers of Gerhard Gentzen/Ed. M. E Szabo. — Amsterdam:
North-Holland, 1969. [Русский перевод большинства статей в кн.: /Ма-
тематическая теория логического вывода.—М.: Наука, 1967.J
Гёдель (Godel К.)
I. Uber eine bisher noch nicht benutzte Erweiterung des finiten Stand-
punktes. — Dialectica, 1958, 12, S. 280—287. [Русский перевод: Г ё -
дель К. Об одном еще не использованном расширении финитной
точки зрения. — В кн.: Математическая теория логическою вывода.
М.: Наука, 1967, с. 299—310.]
Гжегорчик (Grzegorczyk А.)
1. Elementarily definable analysis. — Fundam. math., 1955, 41, p. 311 -338.
Гильберт, Бернайс (Hilbert D., Bernays P.)
1. Grundlagen der Mathematik, II. — Berlin: Springer, 1939. [Русский пе-
ревод: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Теория
доказательств. — М.: Наука, 1982.]
Говард (Howard W. А.)
I. Functional interpretation of bar induction by bar recursion. — Compositio
math., 1968, 20, p. 107—124.
2. A system of abstract constructive ordinals.— J. Symbolic Logic, 1972,
37, p. 355—374.
Жирар (Girard J. Y.)
1. Une extension de 1’interpretation de Godel a 1’analyse et son application
a I’elimination des coupures. — In: Proceedings of the Second Scan-
dinavian Logic Symposium./Ed. J. E. Fenstad. Amsterdam: North-Hol-
land, 1971, p. 63—92.
Клини (Kleene S. C.)
1. Quantification of number-theoretic functions. — Compositio math., 1959,
14, p. 23—40.
2. Countable functionals. — In: Constructivity in Mathematics/Ed. A. Heyt-
ing. Amsterdam: North-Holland, 1959, p. 81—100.
3. Recursive functionals and quantifiers of finite types, I. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1959, 91, p. 1—52.
Крайзель (Kreisel G.)
1. Interpretation of analysis by means of constructive functionals of finite
type. — In: Constructivity in Mathematics/Ed. A. Heyting. Amsterdam:
North-Holland, 1959, p. 101—128.
2. Analysis of the Cantor-Bendixson theorem by means of the analytic
hierarchy. — Bull. Acad. Polon. Sci., 1959, 7, p. 621—626.
3. The axiom of choice and the class of hyperarithmetic functions. — Indag.
math., 1962, 24, p. 307—319.
4. A survey of proof theory. — J. Symbolic Logic, 1968, 33, p. 321—388.
5. Wie die Beweistheorie zu ihren Ordinalzahlen kam und kommt. — Jahre-
, sber. Dtsch. Math.-Ver., 1977, 78, № 4, S. 177—223.
Крайзель и Леви (Kreisel G., Levy A.)
1. Reflection principles and their use for establishing the complexity of
axiomatic systems. — Z. math. Logik Grundl. Math., 1968, 14, p. 97—142.
Лоренцен (Lorenzen P.)
1. Mass und Integral in der konstruktiven Analysis. — Math. Z„ 1951, 54,
S. 275—290.
2. Differential und Integral, eine konstruktive Einfiihrung in die klassische
Analysis. — Frankfurt a. M.: Akad. Verlag, 1965.
Лукхардт (Luckhardt H.)
1. Extensional Godel Functional Interpretation. A Consistency Proof of
Classical Analysis. — Berlin: Springer, 1973.
Мартин (Martin D. A.)
1. Borel determinacy. — Ann. Math., 1975, 102, p. 363—371.
158
ЛИТЕРАТУРА
П р а в и ц (Prawitz D.) ,
1. Ideas and results in proof theory. — In: Proceedings of the Second
Scandinavian Logic Symposium/Ed. J. E. Fenstad. Amsterdam: North-
Holland, 1971, p. 235—327.
Роджерс (Rogers H.)
1. Theory of Recursive Functions and Effective Computability. — N. Y.:
McGraw-Hill, 1967. [Русский перевод: Роджерс X. Теория рекур-
сивных функций и эффективная вычислимость. — М.: Мир, 1972.]
Спектор (Spector С.)
1. Provably recursive functionals of analysis. — In: Recursive Function
Theory/Ed. J. Dekker. Proceedings of symposia in pure mathematics, 5,
Providence (Rhode Island): Amer. Math. Soc., 1962, p. 1—27.
Стил (Steel J.)
1. Forcing with tagged trees. — Notices Amer. Math., Soc., 1974, 21, p. A627.
T а к e у т и (lakeuti G.)
1. A conservative extension of Peano arithmetic, 1973.
2. Proof Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1975. [Русский перевод:
T а к e у т и Г. Теория доказательств. — М.: Мир, 1978.]
Тейт (Tait W. W.)
1. Infinitely long terms of transfinite type. — In: Formal Systems and
Recursive Funtions/Ed. J. Crossley and M. A. E. Dummett. Amsterdam:
North-Holland, 1965, p. -176—185.
2. Normal derivability in classical logic. — In: The Syntax and Semantics
of Infinitary Languages/Ed. J. Barwise. Berlin: Springer, 1968, p. 204—
236.
3. Applications of the cut-elimination theorem to some subsubstems of
classical analysis. — In: Intuitionism and Proof Theory/Ed. A. Kino,
J. Myhill and R. E. Vesley. Amsterdam: North-Holland, 1970, p. 475—
488.
Феферман (Feferman S.)
1. Systems of predicative analysis, II: Representations of ordinals. — J.
Symbolic Logic, 1968, 33, p. 193—219.
2. Formal theories for transfinite iterations of generalized inductive definiti-
ons and some subsystems of analysis. — In: Intuitionism and Proof-
Theory/Ed. A. Kino, J. Myhill and R. E. Vesley. Amsterdam: North-
Holland, 1970, p. 303—326.
3. Ordinals and functionals in proof theory. — In: Proceedings of the
International Congress of Mathematics, Nice, 1970, 1. Paris: Gauthier-
Villars, 1971, p. 229—233.
4. Impredicativity of the existence of the largest divisible subgroup of an
Abelian p-group.— In: Model Theory and Algebra: A Memorial Tribute
to Abraham Robinson/Ed. D. Saracino and V. B. Weispfennig. Berlin:
Springer, 1975, p. 117—130.
5. A more perspicuous formal system for predicativity. — In: Konstruktion-
en versus Positionen. Walter de Gruyter, 1979.
6. Explicit content of actual mathematical analysis. — In: Perspectives
in Mathematical Logic. Berlin: Springer, 1983.
Феферман, Спектор (Feferman S., Spector C.)
1. Incompleteness along paths in progressions of theories. — J. Symbolic
Logic, 1962, 27, p. 383—390.
Фридман (Friedman H.)
1. Subsystems of set-theory and analysis: Dissertation. — Massachusetts
Institute of Technology, Cambridge (Mass.), 1967.
2. Bar induction and П}—CA. — J. Symbolic Logic, 1969, 34, p. 353—*
362.
ЛИТЕРАТУРА
159
3. Iterated inductive definitions and — In: Intuitionism and Proof
Theory/Ed. A. Kino, J. Myhill and R. E. Vesley. Amsterdam: North-
Holland, 1970, p. 435—442.
4. Higher set theory and mathematical practice. — Ann. Math. Logic, 1970,
2, p. 325—357.
5. Axiomatic recursive function theory. — In: Logic Colloquium’69/Ed.
R. O. Gandy and С. E. M. Yates. Amstredam: North-Holland, 1971,
p. 113—138.
6. Systems of second-order arithmetic with restricted induction. — Preprint,
1975.
Ц у к e p (Zucker J. I.)
1. Iterated inductive definitions, trees and ordinals. — In: Metamathematical
Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Analysis. Berlin: Springer,
1973, p. 392—453.
Чёрч (Church A.)
1. A formulation of the simple theory of types. — J. Symbolic Logic, 1940,
5, p. 56—68.
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
1. A hierarchy based on a type 2 object. — Trans. Amer. Math. Soc., 1968,
134, p. 103—108.
Ill п e к e p (Specker E.)
1. Ramsey’s theorem does not hold in recursive set theory. — In: Logic
Colloquium ’69/Ed. R. O. Gandy and С. E. M. Yates. Amsterdam: North-
Holland, 1971, p. 439—442.
Шютте (Schutte K.)
1. Beweistheorie. — Berlin: Springer, 1960.
Глава 5
АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
А. С. Трулстра *)
содержание
§ 1. Введение.............................................................160
§ 2. Логика ...............................................................163
§ 3. Некоторые языки, формальные системы и обозначения; гёделевский
отрицательный перевод...............................................169
§ 4. Реализуемость и тезис Чёрча.173
§ 5. Немного элементарной математики...............179
§ 6. Непрерывность, схемы выбора...............192
§ 7. Беззаконные последовательности.206
§ 8. Принцип Маркова...............................................208
§ 9. Истинностные семантики для интуиционистской логики; общезна-
чимость во всех алгебраических системах.............................212
§ 10. Алгебраические системы конечных типов..214
§ 11. Гёделевская интерпретация..220
§ 12. Локальные и глобальные конструктивизации классических теорем 228
Литература..................................................................235
§ 1. Введение
1.1. Прилагательное «конструктивный» в названии этой гла-
вы понимается в широком смысле и включает такие школы и
направления, как:
(а) финитизм (Гильберт и Бернайс [1], § 2с, Край-
зель и Кривин [1], приложение II В);
(Ь) конструктивный рекурсивный анализ CRA, который мы
понимаем как конструктивную математику в смысле Шанина
[1], [3], [4] иМаркова [1] —[3];
(с) интуиционизм (в смысле Брауэра [2] — [4], Г е й т и н -
г а [4], Т р у л етры [1]);
(d) конструктивизм в узком смысле (например, Б и ш о п [1]),
который можно описать как интуиционизм без свободно стано-
вящихся последовательностей и без тезиса Чёрча.
1.2. В этой главе мы подходим к конструктивизму как к изу-
чению особой области в совокупности математического опыта.
*) Автор благодарен Г. Е. Минцу за информацию о русском конструк-
тивизме и Г. Крайзелю за критику первого варианта этой статьи.
§ I. ВВЕДЕНИЕ
161
Определенные аспекты («явления» или «вопросы») естественно
появляются в связи с таким изучением; здесь мы занимаемся
преимущественно такими аспектами, которые имеют математи-
ческие следствия. Мы не пытаемся ни развивать систематически
какую-либо конкретную философию математики, ни проводить
детальное сравнение между различными школами конструкти-
визма.
Тем не менее нам удобно принять в качестве общей основы
(или «рамок») нашего обсуждения один конкретный подход,
а именно либеральную форму интуиционизма. Поэтюму такой
подход был выделен. Объективные причины такого выбора
просты: большинство других конструктивных подходов может
быть описано как ограничения или варианты этой формы интуи-
ционизма (например, финитизм — как ограничение, получаемое
выбрасыванием «абстрактных» объектов), но не наоборот. Мы,
однако, не будем заниматься изложением этого подхода как
замкнутого целого.
1.3. Хотя прилагательное «конструктивный» в этой главе не
обозначает отчетливой, резко отграниченной части математики,
различные тенденции имеют нечто общее: все они удовлетворяют
требованиям «наивного» конструктивизма, соответствующим
наивному применению слова «конструктивный», которое являет-
ся обычным среди математиков («наивный» употребляется
здесь не в уничижительном смысле). Это наивное применение
касается интерпретации экзистенциальных утверждений: доказа-
тельство утверждения ЗхАх конструктивно, если мы можем, ис-
ходя из него, найти конкретный х (терм нашего языка), удовлет-
воряющий условию А. Каково бы ни было точное содержание
конструктивизма, это требование обычно не вызывает у нас со-
мнения (сравним это с наивными представлениями о площади
поверхности или множестве, которые не вызывают сомнений в
случае площади треугольника или конечного множества). Типич-
ным примером является доказательство следующего утвержде-
ния.
Теорема. Существуют два иррациональных числа а и b
такие, что аь рационально.
Неконструктивное доказательство может быть дано следую-
щим образом, либо рационально, либо иррационально.
В первом случае мы можем взять а = 6 = д/2; во втором слу-
чае мы можем взять а = д/2^, b — ^2, так как тогда аъ = 2.
Число таких примеров легко умножить. Требования наивного
конструктивизма зачастую весьма хорошо можно выразить
в математических терминах без какого-либо упоминания «кон-
структивности». Например, если ЗхА(х, уи ..., уп) выражает
существование решения диофантова уравнения, то имеется
6 Справочная книга, ч. IV
162
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
очевидная разница между результатом, который дает нам гра-
ницу для числа решений х в зависимости от параметров г/ь ...
.Ут и результатом, который дает нам границу для величины
самих решений.
Уже наивный конструктивизм приводит к интересным мате-
матическим проблемам. Например, если мы доказали какое-то
утверждение вида Зх((Дх Л x — t{) V (Ах A x = t2)) лля задан-
ных термов /2, то можем ли мы доказать также иЗх(Ах Лх —
= Л) или Эх (Ах Л х — /2). (Ср. пример выше.) Оказывается,
что необходимо ограничение на логические правила, но какое
ограничение? Имеется ли новая интерпретация логических свя-
зок, соответствующая этому ограничению? Такие вопросы бы-
стро выводят нас из области наивного конструктивизма.
1.4. Иногда прилагательное «конструктивный» понимается
даже еще более расширительно, и считается, что оно включает
такие взгляды, как предикативизм (например, Вейль [1] или
подстрочное примечание Гёделя (добавленное при перепечатке
его статьи) в хрестоматии Бенасеррафа и Патнема [1],
с. 211), где в основе лежит классическая логика, а ограничения
относятся к допускаемым принципам определения. Однако клас-
сический предикативизм выходит за рамки этой статьи.
Другое конструктивистское направление, где в основе лежит
классическая логика, — это классический рекурсивный анализ
RA; оно часто будет обсуждаться для сравнения.
1.5. Главные аспекты конструктивизма, которые мы будем
обсуждать, таковы:
(i) Роль логики и абстрактных понятий (например, в каче-
стве «сокращений», делающих рассуждения более понятными);
редукции к бескванторным утверждениям; интерпретация логи-
ческих операций (см. § 2, пп. 5.7, 7.2, 11.4).
(ii) «Интенсиональные» аспекты. При самом широком пони-
мании это — очень распространенное явление даже в классиче-
ской математике, однако в конструктивной математике нам
часто приходится уделять внимание тому, каким образом объект
нам задан, в то время как классйческиэто не обязательно. (При-
мер: вещественное число задано нам как генератор веществен-
ного числа, т. е. как последовательность Коши рациональ-
ных чисел.) По поводу этих аспектов см. 4.2 (ii), 10.3, 10.4,
11.7 (iii).
(iii) Общезначимость тезиса Чёрча (см. § 4).
(iv) Аксиомы непрерывности, возможность теории непрерыв-
ных кванторов (§ 6).
(v) Полезность субъективистской интерпретации (2.2 (i)f
7.2).
(vi) Стремление к явной определимости (4.15).
(vii) Схема Маркова (§ 8).
§ 2. ЛОГИКА
168
(viii) Связь между общезначимостью для интуиционистской
логики предикатов и математическими допущениями (§ 9).
(ix) Существование классических аналогов для задач кон-
структивной математики (4.14, 5.14) и систематических процедур
конструктивизации классических теорем (§ 12).
Разумеется, многие из этих аспектов взаимосвязаны: напри-
мер, тезис Чёрча весьма откровенно требует внимания к интен-
сиональным аспектам, и специальная форма схемы Маркова
возникает при обсуждении аспекта (viii). С целью облегчить из-
ложение мы не стали разбивать главу в соответствии с этими
аспектами.
Мы считаем, что понятие натурального числа, индукция по
натуральным числам и введение рациональных и целых чисел
не представляют проблем, и подразумеваем их.
Привлекая внимание к различным аспектам конструктивиз-
ма, мы введем определенные математические методы (вроде
реализуемости или устранения свободно становящихся последо-
вательностей), которые могут быть использованы для изучения
этих аспектов. Эта глава является не обзором конструктивизма,
а лишь обзором упомянутых аспектов. Мы не претендуем и на
полноту библиографии; упоминаемые работы включены туда
либо по историческим причинам, либо для помощи в дальней-
шем изучении обсуждаемых вопросов.
Как читать эту главу. Для читателей, совсем или почти сов-
сем не сталкивавшихся с конструктивной математикой, лучше
всего, вероятно, начать с § 1, затем перейти к пп. 2.1 и 2.2, § 5,
пп. 6.1 — 6.4 (некоторые из применяемых там обозначений объ-
ясняются в 3.7), а затем вернуться к математическим вопросам:
пп. 2.3 —2.5, §§ 3 и 4, пп. 6.5 — 6.23, §§ 7—12.
Те читатели, которые более или менее знакомы с конструк-
тивной математикой, могут читать эту главу в обычном поряд-
ке, пропустив § 5 (возвращаясь к нему для справок, когда это
потребуется в дальнейшем).
Обе категории читателей могут пропустить при первом чте-
нии §§ 7 и 9.
§ 2. Логика
2.1. Мы опишем сначала в качестве исходного пункта разъ-
яснение логических операций по Брауэру — Рейтингу — Край-
зелю (сокращенно «БГК»). Укажем заранее, что:
(1) мы не собираемся подробно разрабатывать эти разъяс-
нения;
(2) не имеется в виду, что они «редуктивны», т. е. дают разъ-
яснение в терминах более простых понятий, которые считаются
понятными (отметим, что классическое определение истинности
6*
164
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
для логических операторов также не является «редуктивным»
в этом смысле);
(3) основная цель этих разъяснений — служить основой для
сравнения с другими интерпретациями (например, с реализуе-
мостью из 4.3).
Это разъяснение использует исходные понятия (конструктив-
ного) доказательства и конструкции и задает смысл «доказа-
тельства составного утверждения» через «доказательство кон-
ституенты».
(а) Доказательство утверждения А Л В состоит из доказа-
тельства утверждения А и доказательства утверждения В.
(Ь) Доказательство утверждения 4 V В состоит в указании
доказательства А или доказательства В.
(с) Доказательство утверждения состоит из конструк-
ции с, которая преобразует любое доказательство утверждения
А в доказательство утверждения В (вместе с обоснованием того,
что с действительно обладает этим свойством; d доказывает А
=> cd доказывает В).
(d) ±—недоказуемое утверждение. Следовательно, дока-
зательство утверждения ПЛ (определяемого как Л->±) — это
конструкция, которая преобразует любое доказательство ут-
верждения А в доказательство утверждения ±.
(е) Если переменная х пробегает «базисную» область D
(т. е. область такую, что каждая принадлежащая ей конструк-
ция (объект) задана как таковая; иными словами, элементы d
области D «несут в себе доказательство» того, что они принад-
лежат £>), то мы можем разъяснить доказательство утвержде-
ния \/хАх как конструкцию с, которая в применении к любому
de D дает доказательство c(d) утверждения Ad вместе с обос-
нованием того, что с действительно обладает этим свойством.
Натуральные числа являются примером такой базисной области.
Если D — произвольная область, то с должна действовать на
парах d, d', где d — элемент области D, a df — доказательство
того, что d^D.
(f) Для переменной х, пробегающей базисную область О, до-
казательство утверждения ЗхАх задано как пара с, d, где с—>
доказательство формулы Ad, a d D.
Для произвольной области нам нужна тройка (с, d, d'), где
с — доказательство формулы Ad, d' — доказательство того, что
d(=D.
Чтобы проиллюстрировать эту интерпретацию на примере,
рассмотрим утверждение вида С = (А-+ЗхВ). Доказательство
утверждения С содержит преобразование т доказательств ут-
верждения А в доказательства утверждения ЗхВх. ^Следова-
тельно, в частности, т показывает, как получить х такой, что Вх,
из доказательства утверждения А. Классически оправдано
§ 2. ЛОГИКА
1С5
(Л->ЭхВ)-> Эх (Л ->В). При БГК-интерпретации величина х,
заданная преобразованием т, может существенно зависеть от
информации, содержащейся в доказательстве утверждения А.
Мы не можем ожидать, что х можно определить априори, как
это требуется для доказательства утверждения Вх(Л->Вх).
2.2. Замечания.
2.2.1. Разумно предположить, что условие «с есть доказа-
тельство формулы А» разрешимо: если конструкция доказывает
некоторое утверждение, то мы можем получить это утвержде-
ние из доказательства. (В субъективистских терминах: мы рас-
познаем доказательство, когда видим его; если мы сомневаемся,
то (для нас) это — не доказательство.)
2.2.2. Такая интерпретация логических констант представ-
ляет собой первый пример введения абстрактных концепций
(«доказательство», «конструкция») в конструктивную матема-
тику, и именно наше понимание этих концепций (размышление,
рефлексия о них) позволяет нам усмотреть, что законы интуи-
ционистской логики предикатов общезначимы при этой интер-
претации (каковы бы ни были уточнения экстенсионалов концеп-
ций доказательства и конструкции, разъяснение достаточно ясно
для этого).
В финитизме мы не разрешаем рассуждения об абстрактных
понятиях; мы ограничиваемся рассмотрением «обозримых» объ-
ектов. Таким образом, мы можем рассматривать натуральные
числа и конкретные правила, представляющие теоретико-число-
вые функции; однако не рассматривается общая (абстрактная)
концепция правила, которое каждому натуральному числу ста-
вит в соответствие другое натуральное число.
Утверждение вида Vx(^[x] = 0) (где х пробегает натураль-
ные числа, a t\— фиксированный терм с параметром х) можно
считать (финитистски) установленным, если у нас есть метод
установления равенства t\ [й] = 0 для каждой цифры п. Импли-
кация /1[х] = 0-> /2[х] = 0 также не представляет проблемы,
так как она эквивалентна равенству (1Л [х] )/2[х] = 0, но им-
пликацию
Vx(/1[x] = 0)->Vx(/2[x] = 0) (1)
не удается «понять финитистски» саму по себе. Мы можем уста-
новить (1) финитистски осмысленным методом, описав конкрет-
ный терм t такой, что
6Р[х]] = 0->/2[х] = 0 для всех х. (2)
2.2.3. При БГК-разъяснении логические сложные высказы-
вания вроде ЗхАх или А-+В утверждают существование опре-
деленной информации (т. е. доказательство таких высказыва-
ний должно содержать такую информацию), которая не
166
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
выявлена непосредственно в этом высказывании. Поэтому за-
мена логически сложного высказывания на соответствующее
ему, в котором выявлена большая доля этой информации, мож-
но описать как шаг к более «свободной от логики» формули-
ровке. Первый пример — приведенный выше переход от (1) к
(2) в нашем обсуждении финитизма.
Другой пример — замена частично определенных операторов
на всюду определенные (тотальные). Допустим, например, что
у нас есть утверждение, где участвует частичная операция f,
Vx(Ax->lfx /\B(fx)) (3)
(где Ifx означает, что fx определено). По любому х и любому
доказательству утверждения Ах мы можем построить fx. Чтобы
показать, что fx определено, и для вычисления fx нам нужна
некоторая информация i, содержащаяся в доказательстве ут-
верждения Лх; допустим для определенности, что всевозможные
значения i закодированы всеми элементами N. Выявляя эту ин-
формацию, мы можем заменить f на f', Ах на Л'(/, х) (=з«Лх
имеет доказательство, содержащее информацию i») и перефор-
мулировать (3) в виде
№х(А'(Л х)->В(ПЛ *))), (4)
где f' теперь уже тотальна. Если предположить, что A'(i,x)
иЙеет более низкую логическую сложность, чем А, то мы сумели
заменить утверждение (3) более «свободным от логики» утверж-
дением. Конкретные примеры см. в 5.7. Заметим, однако, что
замена логически сложных утверждений на «свободные от ло-
гики» утверждения, содержащие более выявленную информа-
цию, может приводить к потере понятности; с точки зрения кон-
структивной математики проблема в том, чтобы добавить «до-
статочно, но не слишком много» дополнительной информации.
2.2.4. Не предполагавшиеся заранее варианты изложенной
выше схемы разъяснения зачастую более полезны (в техниче-
ском отношении), чем сама эта схема: реализуемость — как раз
такой случай. Данное выше разъяснение не принимается в ка-
честве основы, например, такими конструктивистами, как
А. А. Марков и Н. А. Шанин; мы вернемся к этому вопросу
при обсуждении реализуемости.
2.2.5. Импликация по своему характеру довольно похожа на
квантор всеобщности в этой схеме разъяснения; поэтому неуди-
вительно, что вложенность импликаций необходимо учитывать
в подходящей мере логической сложности (в противоположность
классическому случаю, где необходимо считать только число
перемен кванторов). Результат Де Ионга [1], § 5 иллюстри-
рует это замечание: существует формула А языка L[HA] такая,
чФо ни для какой Вх языка L[HA] не верно, что НАНВ(п)ч->
§ 2. ЛОГИКА
167
++ gn(A) доказуемо для всех п, где gn(p), п = 0, 1, ...» пере-
числяет все пропозициональные формулы от одной переменной.
2.3. Формальная система интуиционистского исчисления пре-
дикатов IPC. Мы будем использовать х, у, г, и, v, w для обозна-
чения индивидных переменных /, t'— для обозначения термов,
А, В, С — для формул, ± —для обозначения константы «ложь».
Различные формализации интуиционистской логики предикатов
распадаются на три типа:
(а) Системы гильбертовского типа (Фиттинг [1], Клини
[2], Трулстра [3], 1.1.3).
(Ь) Системы натурального вывода (П р а в и ц [1]).
(с) Исчисления секвенций (Фиттинг [1]).
Каждый из этих типов имеет свою область применимости,
достоинства и недостатки. Мы опишем з^есь систему гильбер-
товского типа, которая весьма удобна для метаматематических
рассуждений (вроде доказательств корректности интерпретаций)
с использованием индукции по длине выводов. Эта система
заимствована у Гёделя [2]. В качестве метаматематических
операторов мы используем
с очевидной интерпретацией (=> означает переход по правилу
вывода):
(1) А, А->В=>В;
(2) Д->В, В->С=>Д->С;
(3) А V А--+А, А->А Д Д;
(4) Д->Д VB, А АВ->Д;
(5) AV B-+BV А, А /\В->В /\ А\
(6) А-*В=>С V А->С V В;
(7) А А В->С=>Д->(В->С);
(8) Д->(В->С)=>Д А В->С;
(9) ±->Д;
(10) В-> Дх=>В—>УхДх (х не входит свободно в В);
(11) MxAx->At (t свободен для х в Д);
(12) At~+3xAx (t свободен для х в Д);
(13) Дх->В=^ВхДх->В (х не входит свободно в В).
В (10) и (13) предполагается, что вывод посылки не зависит
от допущений, содержащих х свободно.
2.4. «Не предполагавшиеся заранее» интерпретации интуи-
ционистской логики распадаются на два типа.
(i) Модификации схемы БГК-разъяснения: реализуемость
и модифицированная реализуемость, гёделевская интерпретация
(см. 4.2 и 11.2).
168
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
(ii) Семантики «истинностного» типа, например топологиче-
ские модели Бета и Крипке.
В этом случае связь с БГК-разъяснением намного менее не-
посредственна. Мы не будем здесь обсуждать подробно семан-
тики этого типа. Некоторые замечания содержатся в § 9.
Различные семантики «истинностного» типа показывают, что
правила интуиционистской логики пролезают в различные места
под маской хорошо известных классических структур, и, ве-
роятно, стоит упомянуть здесь, что «логика» форсинга — это в
действительности интуиционистская логика (Крипке [ 1 ],
с. 118—120).
Поэтому кажется, что интуиционистская логика может
претендовать на определенный интерес сама по себе, совер-
шенно независимо от каких-либо философских предубеж-
дений.
Для различных типов интерпретаций (семантик) мы можем,
конечно, изучать проблему полноты. Для различных семантик
«истинностного» типа существуют хотя бы классические доказа-
тельства полноты, но, с другой стороны, для интуитивного по-
нятия общезначимости как «конструктивной истинности во всех
структурах» у нас есть лишь частичные результаты. (См. заме-
чания в § 9; обзор результатов о полноте для интуитивного по-
нятия общезначимости приведен у Т р у л с т р ы [8].)
2.5. Некоторые формальные свойства системы IPC; ссылки
на литературу.
2.5.1. Различные формальные системы для IPC: исчисление
натуральных выводов уПравица [1]; секвенциальные исчис-
ления у Правица [1], Приложение А, Клини [2], гл. XV,
Фиттинга [1], гл. 5, § 1, гл. 6, § 4; исчисления гильбертов-
ского типа у Тру л стр ы [3], 1.1.3, 1.1.4, Ф итт и н г а [1], гл. 5,
§§ 7, 8, Клини [2], гл. IV. Эти источники содержат также до-
казательства эквивалентности различных систем.
2.5.2. Уже одноместный фрагмент IPC (с единственной одно-
местной предикатной буквой) неразрешим. Доказательство, при-
надлежащее Д. М. Габбаю*), см:, например, у Сморинско-
го [2], с. 115, IIIB. Класс предваренных формул разрешим:
Клини [2], § 80 дает разрешающий метод для пропозициональ-
ных формул, который легко распространяется на предваренные
формулы.
2.5.3. Устранение сечения и нормализация: Пр а виц [1],
гл. IV, К л и н и [2], гл. XIV.
*) См. также работу Маслов С. Ю., Минц Г. Е., О рев ков В. П.
Неразрешимость в конструктивном исчислении предикатов некоторых классов
формул, содержащих только одноместные предикатные переменные. —1
ДАН СССР, 1965, 163, № 2, с. 295—297. — Прим. ред.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ЯЗЫКИ
169
2.5.4. IPC обладает DP (свойством дизъюнктивности) и ED
(явной определимостью или Е-свойством):
DP Н А V В => Н А или Н В,
ED Н ЭхАх=> I- At для подходящего терма t.
Это можно получить из 2.5.3 в качестве следствия. Обобще-
ния DP и ED см. у Клини [5], [6].
2.5.5. Интерполяционная теорема была впервые доказана у
Шютте [1]; другие доказательства имеются у Правица [1],
гл. IV, § 3, Фиттинга [1], гл. 6, § 5; распространение на язык
с равенством и функциональными символами — у Нагасимы
[1]. Этот результат может быть получен в качестве следствия
из 2.5.3.
2.5.6. О связях между СРС (= классическая логика преди-
катов) и IPC см. 3.8—3.10 и Клини [2], § 81; обобщение —
у Минца и Оревкова [1].
2.5.7. Более подробное обсуждение БГК-разъяснения см. у
7 рул стр ы [1], § 2. Относительно происхождения этого разъ-
яснения см., например, Брауэр [4], Рейтинг [1]—[3J,
Крайзель [5]. Конкурирующую интерпретацию см. у Мар*
т и н - Л ё ф а [2].
§ 3. Некоторые языки, формальные системы и обозначения;
гёделевский отрицательный перевод
3.1. Язык арифметики первого порядка L0=L[HA]. Этот
язык содержит числовые переменные (х, у, z, и, v, w), кон-
станты 0 (нуль), S (функция следования, т. е. прибавление 1),
константу для каждой примитивно рекурсивной функции, = (ра-
венство), а также логические операторы A, V, V, Э, -►; I
отождествляется с 0 = S0.
3.2. Формальная система НА интуиционистской арифметики.
Эта система основана на логике предикатов первого порядка,
обычных аксиомах для равенства и функции следования, опре-
деляющих аксиомах для всех примитивно рекурсивных функций
и схеме индукции. Эту систему иногда называют гейтинговской
арифметикой.
3.3. Язык Li = L[EL] элементарного анализа. Мы расширяем
язык L [НА] переменными (a, b, с, d) для одноместных теоре-
тико-числовых* функций, константами Ар (аппликация, при-
менение функции к аргументу), П (примитивная рекурсия)
и Хх (оператор абстракции для явных определений). К ло-
гическим операциям добавляются теперь кванторы по функ-
циям.
170
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
3.4. Элементарный анализ EL. Аксиомы и схемы системы
НА обобщаются на язык системы EL, оператор абстракции удов-
летворяет равенству
(Лх/ [х])/' = / [/'],
а оператор рекурсии П — равенствам
Пф/0 = /, Пф/(Sx) = ф (Пф/х, х).
Наконец, мы добавляем схему
QF —ACoo Vx3r/A(*> #)->BaVxA(x, ах) (А бескванторная).
Нам удобно будет писать EL* вместо EL, когда мы будем
использовать строчные греческие буквы а, 0, -у, 6 для обозначе-
ния функциональных переменных; предполагается, что эти пере-
менные отличны от переменных, обозначаемых через a, b, с, d.
Очевидно, что EL — консервативное расширение системы НА:
нам нужно только интерпретировать функциональные перемен-
ные как пробегающие все общерекурсивные функции.
Интереснее и гораздо труднее доказать, что относительно НА
консервативна система НА + АСОь где ACOi — это схема
VxBaA(x, a)->B&VxA(x, (6)J. Здесь (b)x = ky.bj(x, у), где j—
(примитивно рекурсивная) спаривающая функция из N X N на
N. Первое доказательство этого факта имеется у Гудмена
[1]; новое, совершенно иное доказательство — у Минца [1].
3.5. Язык L2=L[HAS] арифметики второго порядка. Мы
добавляем к языку системы НА переменные X, У, Z для видов
(множеств) натуральных чисел. Исходные формулы теперь
имеют вид t\ = /2 или Xt\ (иначе 6 е X); добавляются также
кванторы по множествам.
3.6. Арифметика второго порядка: HAS. Теперь система НА
расширяется добавлением схемы свертывания
СА ЭХУх[Ах+-+Хх]
(А — любая формула языка L[HAS], не содержащая X сво-
бодно) .
3.7. Некоторые обозначения и соглашения. Большинство на-
ших обозначений стандартны. Для ссылок ниже мы приводим
здесь главные из них.
3.7.1. Спаривание, кодирование конечных последовательно-
стей. Предполагается, что j — примитивно рекурсивная спари-
вающая функция, отображающая № на N и имеющая прими-
тивно рекурсивные обратные функции. Мы используем в
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ЯЗЫКИ
171
качестве сокращений
ф(х, z/)=def qp/(x, у) (ф — одноместная функция),
X(x, у) (X — переменная для множеств).
Мы предполагаем, что задано примитивно рекурсивное ко-
дирование конечных последовательностей натуральных чисел на
натуральные числа;
<х0, хи)—-код последовательности х0, • ••» хи>
< > = 0;
X ^=def (х) J
1th обозначает функцию длины, * — соединение последователь-
ностей, (п.)х — функцию, удовлетворяющую для п = <Хо, • • •. хи)
соотношениям
(п)у = ху для у^и; (п)у = 0 для у > и;
предполагается, что * и Хпку(п)у примитивно рекурсивны.
3.7.2. Обозначения, относящиеся к функциям.
ax^defM ..., а(х—1)), а0 = ( );
п^т =def Ви' (и * и' = т), п < т =det п^.т /\п =£ т;
а^п s^def Эх (ах = и);
a(P)~№def By (а (Ру) = х + 1);
!а (Р) =det Six (а (Р) ~ х);
(а|р)(х) ~z/=defBz(a(x *pz) = y+ 1);
а | р ~ у =def Vx ((а | р) (х) ~ ух);
!а|р=ае(3!у(а|р~у);
а р sdef Vx (ах Рх).
3.7.3. Обозначения из элементарной теории рекурсий. При-
менение частично рекурсивных функций указывается скобками
Клини {•}•; Т обозначает Т-предикат Клини, U — функция из-
влечения результата. Тогда
{х} (у) ~ z <-> Эи (Т (х, у, и) /\Uu = z).
Пусть t — терм, содержащий скобки Клини. Тогда
!/ s t определен, !/ Л At ss Эх (t ~ х Л Ах).
Ax.t— это геделевский номер частично рекурсивной функции от
х, заданной термом t, примитивно рекурсивный относительно
остальных параметров.
3.7.4. Формальные системы. Формальные системы обрзнача-
ются полужирными буквами (Н, IPC, НА и т. д.); L[H]— э?0
172
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
язык системы Н. Схемы часто обозначаются комбинациями
букв; обозначения CONT0, АС — NN, WC — N!* выбраны в соот-
ветствии с Крайзелем и Трулстрой [1], Трулст-
рой [7].
3.8. Определение отрицательного перевода. Для любого 'из
рассматриваемых языков (и языков конечного типа, которые бу-
дут рассмотрены позже) мы определяем отображение ' индук-
тивно с помощью соотношений:
(i) /)/ = ПП^ для исходных формул Р\
(ii) (А Д BY А' А В'}
(iii) (А-+В)'^А'-+В';
(iv) (VxA)' = VxA';
(v) (А увг^Кпа'апв');
(vi) (3xA)' = -|Vx~| А'.
(Здесь х — переменная любого сорта, встречающегося в рас-
сматриваемой системе.) Мы примем соглашение, что в случае
формальных систем, где исходные формулы разрешимы, ото-
бражение упрощается путем замены соотношения (i) на (Г)
Р = Р' для исходных Р.
3.9. Определение. Если формула А не содержит связок
3, V , то мы называем ее Э-свободной. Если А В-свободна и
все исходные подформулы входят в А со знаком отрицания, то
А называется отрицательной. (Для систем с разрешимыми ис-
ходными формулами отрицательные и 3-свободные формулы —
одни и те же с точностью до логической эквивалентности.) Класс
Д харроповских формул определяется индуктивно:
(i) двойные отрицания исходных формул принадлежат
классу Д;
(ii) А, В е Д=> А А В е Д;
(iii) АеД=>УхАеД;
(iv) ВеД=>А->ВеД.
(Для систем с разрешимыми исходными формулами можно
вычеркнуть из (i) «двойные отрицания».) Все отрицательные
формулы эквивалентны харроповским формулам.
Лемма. Для формальной системы Н, основанной на мно-
госортной интуиционистской логике предикатов, и харроповской
формулы А верно Н Н А -<-> ~ПА.
Доказательство проводится индукцией по сложности фор-
мулы А с повторным применением логических законов
-|-|(А Д В)<->(“|“| А А ППВ), А->“| ~] А, ~| “| VxA^УхППА,
ПП(А->В)<->(А->П“|В). □
Теорема. Для Н = НА, HAS, IPC
Нс h-А <=> Н h-А'.
§ 4 РЕАЛИЗУЕМОСТЬ И ТЕЗИС ЧЁРЧА
173
Доказательство. Проводится непосредственно индук-
цией по длине выводов с использованием предыдущей леммы. □
3.10. Перевод этого типа был впервые дан Колмогоровым
[1] (для логики). В более известной работе Гёделя [1] рас-
сматривается также арифметика; приведенный вариант принад-
лежит Г е н ц е н у [1]. См. также Клини [2], § 81.
§ 4. Реализуемость и тезис Чёрча
4.1. Если принять БГК-разъяснение логических операторов
и натуральных чисел, то интерпретация системы НА не пред-
ставляет проблем, но мы не зафиксировали еще интерпретации
теоретико-числовых функций в EL.
Одна из возможных интерпретаций такова: функциональные
переменные пробегают теоретико-числовые функции, заданные
законом, т. е. функции, которые полностью даны нам посред-
ством некоторого «рецепта» вычисления их значения для каж-
дого значения аргумента. Тезис Чёрча можно выразить теперь
в языке EL в виде «каждая функция, заданная законом, рекур-
сивна», или формально
СТ \la3xVy3z [Т (х, у, z) /\ау = Uz].
С точки зрения русской школы конструктивизма это вообще
единственно возможная интерпретация: при их механистическом
подходе «рекурсивность» принимается в качестве механически
точной формы «заданности законом». При традиционном интуи-
ционистском подходе СТ не является самоочевидным, так как
имеется определенный пробел в рассуждениях, претендующих
на установление того, что механическая вычислимость = чело-
веческая вычислимость (подробное обсуждение см. у Край-
з е л я [8]).
Указанная интерпретация логических констант подсказывает,
что следующая аксиома выбора должна быть верна (АСоо=):
AC —NN Vx3yA(x, z/)~>3aVxA(x, ах),
так как доказательство посылки должно содержать метод, кото-
рый дает по каждому х некоторый у такой, что А (х, у), а этот
метод — не что иное, как функция, заданная законом. Как толь-
ко мы начинаем ограничивать функции, заданные законом, схе-
ма АС — NN перестает быть очевидной. АС — NN плюс СТ дает
СТ0 Vx3//A(x, y)->3u\fx3z [Tuxz A A(x, Uz)],
который осмыслен также и относительно НА.
С интуиционистской точки зрения СТ0 проблематичен, т. е.
ни его истинность, ни его непротиворечивость (при добавлении
к НА) не являются непосредственно очевидными. С точки зре-
174
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
ния русской школы конструктивизма (CRA) задача состоит
скорее в том, чтобы дать интерпретацию логических операторов
в арифметических высказываниях, согласующуюся с СТс.
4.2. Замечания, (i) БГК-разъяснение логики и только что
приведенное обоснование схемы АС — NN дают нам примеры
того, как принимаются определенные абстрактно формулируе-
мые понятия, а затем аксиомы обосновываются путем рассмот-
рения этих абстрактных понятий. В этом месте интуиционист-
ский подход выходит за рамки финитизма (ср. 2.2.2), а также и
за рамки CRA, где области значений переменных предполагают-
ся выписываемыми (т. е. эффективно перечислимыми) или
(с применением релятивизации кванторов) определимыми под-
множествами выписываемых областей, так что АС — NN не ос-
мыслена, даже если мы думаем «абстрактно» о функциях, за-
данных законом.
(ii) СТ заставляет нас уделить внимание интенсиональным
аспектам. Например, только что данное обоснование схемы
АС — NN может соблазнить нас защищать ее обобщение
Vx ХЗг/УА (х, @=(X^y)Vxe=XA(x, Тх).
Если мы применим это к СТ, то обнаружим, что
CT^3WaVz/3z[T0Pa, у, z) A ay = Uz],
но в предположении истинности СТ элементарная теория рекур-
сии говорит нам, что невозможен неконстантный Т, представи-
мый в виде частично рекурсивного оператора на общерекурсив-
ных функциях и такой, что
Vx (ах = Ьх)~>Чга = Чг6,
т. е. невозможен Чг, имеющий функциональный характер отно-
сительно экстенсионального равенства. Отсюда легко видеть, по-
чему обобщение аксиомы выбора проваливается для экстенсио-
нального равенства: метод, дающий некоторый у для каждого
х<=Х (или некоторый х для каждой а в случае СТ), может ис-
пользовать много больше, чем просто «экстенсионал» объекта х:
в принципе этот метод может использовать всю имеющуюся
информацию об х (и, в частности, в случае общерекурсивных
функций, их гёделевские номера).
Мы встретим еще много примеров, когда неэкстенсйональная
информация существенна — в приведенном выше примере мы
могли говорить о функционале Ф, только если мы допускаем не-
экстенсиональные операции.
4.3. Реализуемость. Теперь мы опишем новую интерпретацию
логических формул, первоначально созданную Клини [1] для
того, чтобы сделать конструктивную интерпретацию логических
операторов V и 3 более явной. Она даст нам возможность по-
§ 4. РЕАЛИЗУЕМОСТЬ И ТЕЗИС ЧЁРЧА
175
казать совместимость СТ0 с НА и некоторыми расширениями
НА, а также породила и много других метаматематических ре-
зультатов.
Каждой формуле Л(хь хп) языка L[HA], содержащей
свободно разве лишь xi, хПу мы поставим в соответствие
другую формулу системы НА, записываемую в виде хгА (xi, ...
..., хп) («х реализует Л»), содержащую свободно разве лишь
х, хь ...» хп, где x^={xi, хп}. Определение вводится индук-
цией по сложности формулы А.
Г (i) ХГ (/j = t2) =def Л = t2>
г (ii) хг (А Л В) =def (1\хгА Л /2хгВ),
г(iii) хг (Л V В) =def [(/1Х = 0 /2хгЛ) Л (Лх #= 0 -> /2хгВ)],
г (iv) хг (Л -> В) =def Vz/ (yr А !{х} (у) Д {х} (у) гВ),
г (v) хг (ЭуАу) j2xrA (/»,
г (vi) хг (У у Ay) =def Vy (I{х} (у) Л {х} (у) гЛу).
Отметим, что если исходная формула реализуема, то ее реа-
лизует любое число. Отметим также следующее:
(а) (хг~| А)+-*Чу (угА -> ! {х} (у) Д {х} (у) г (1 = 0))«->V^~l(z/rЛ).
Следовательно, Vx (хг “] Л) Эх (хг “] Л). Поэтому отрицание
реализуется любым числом, если оно вообще реализуемо.
(Ь) хг “] “1 Л <-> Vz/ П (уг ~1 Л) Vz/ Vz (~| ггЛ)
П Vz (“| ггЛ) П П 3z (ггЛ).
(с) Как можно убедиться, просматривая пункты определе-
ния, реализуемость по своему духу похожа на БГК-разъяснение
(и на нее можно смотреть как на вариант этого разъяснения).
В некоторых отношениях она грубее: Vx(/[x] = 0) может
иметь много различных доказательств, но все гёделевские но-
мера всех общерекурсивных функций реализуют такое чисто
универсальное утверждение, если оно истинно. С другой сто-
роны, реализуемость навязывает рекурсивность.
4.4. Определение. Формула языка L[HA] почти отри-
цательна, если она строится из исходных формул и формул вида
Зх(/ = $) посредством V, ->, А.
4.5. Лемма. Для любой почти отрицательной формулы
Л (а), где а — непустая цепочка числовых переменных, содер-
жащая все переменные, свободные в А, имеется частично рекур-
сивная функция Тд такая, что в НА выводимо:
(i) Л(а)->!Тл(а)ДТл(й)гЛ(а);
(ii) Зх(хгЛ)-*Л.
176
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Доказательство. Применяем одновременную индук-
цию по сложности формулы Л, определяя Ч^д следующим об-
разом:
= О Ч^м^Ла. [/(minx [/ = $], 0)];
ТдЛв = Ла. j(WA(а), Тв(а)), Тд^в^Лах. Тв(а);
Тухд^Лах. Тд (а, х). □
4.6. Лемма. Для любой формулы А формула хгА эквива-
лентна (в НА) некоторой почти отрицательной формуле.
Доказательство. Индукцией по сложности формулы А.
Например, хг(Л->В) можно переписать в виде Vy(yrA-+
3zTxyz /\ Wu (ТхуиUurB). Затем мы можем применить
индукционное предположение для А, В. □
4.7. Лемма. Пусть ЕСТ0 (расширенный тезис Чёрча) обо-
значает следующую схему.
ЕСТ0 Vx [Ах ЗуВху] -> 3zVx [Ах Зи (Tzxu А В (х, Uu))]
(для почти отрицательных Л). Тогда имеется цифра ii такая,
что в НАН nrF для любого частного случая F схемы ЕСТо.
Доказательство. Пусть t = {{и} (х)}Тд (х); тогда мы
можем взять
п = Ли. / (Ax. A.xw. j (min0 Т (Ax. x, v), j(0, j2t)));
проверка проводится непосредственно. □
4.8. Теорема характеризации. Для предложений А
имеет место следующее'.
(i) (корректность) НА + ЕСТ0 Н А ф НА Н пгА для неко-
торого п\
(ii) НА + ЕСТо Н Л^Зх(хгЛ);
(iii) Н А + ЕСТ0 Н А <=> Н А Н Зх (хгЛ).
Доказательство, (i) Индукцией по длине выводов в
НА с использованием леммы 4.7. Шаг индукции показывает
реализуемость замыкания всеобщности заключения в предполо-
жении реализуемости замыканий всеобщности посылок.
(ii) Индукцией по сложности А с использованием леммы 4.6.
(ii i) Сочетание (i) и (ii). □
4.9. Следствие. НА + ЕСТ0 непротиворечива относитель-
но НА; в действительности, так как по лемме 4.5 для почти от-
рицательных А имеет место Зх(хгЛ)*->Л, то система НА +
+ ЕСТо — консервативное расширение системы НА относительно
почти отрицательных формул.
4.10. Таким образом, мы получили, что НА + СТ0 консерва-
тивна относительно отрицательных формул. Этот результат лег-
ко распространяется на HAS путем следующего простого обоб-
щения реализуемости. Каждой переменной X для множеств мы
§ 4. РЕАЛИЗУЕМОСТЬ И ТЕЗИС ЧЕРЧА
177
ставим в соответствие переменную X* для множеств (возможно,
ту же самую) и полагаем
r(i)' хгХу E=def X* (х, у),
г (vii) xrVXAX ^def VX* (хгА (X)),
r (viii) хгЗХАХ =def ЗХ* (хгА (X)).
Теперь мы легко можем показать, что имеет место
Теорема. HAS + СТ0 + UP консервативна над HAS отно-
сительно отрицательных формул. Здесь UP (принцип равномер-
ности)— это схема
UP VX3xA (X, х) -> ЗхХГХА (X, х).
(Комментарии см. у Т р у л с т р ы [4].)
4.11. Лемма. Для любого частного случая F схемы Мар-
кова
М Vx [Ах V “1 Ах] А П П ЗхАх -> ЗхАх
имеется цифра п такая, что
HA + Af HnrF.
Доказательство. Отметим сначала, что в присутствии
СТ0 принцип М эквивалентен схеме
Mpr Д “] By (t (х, у) = 0) -> Зу (t (х, у) = 0).
Действительно, если Vx[AxV~lAx], то, согласно СТ9,
имеется z такое, что
Vx3y [Tzxy A (Uy = Q^Ax) A (Uy ¥= 0->“] Ax)],
и, таким образом, 3xAx*-+ 3x3y[Tzxy /\ Uy = 0], что можно
выразить в виде 3u(t(z, и) = 0) с примитивно рекурсивным t.
Поэтому, так как НА + ЕСТ0 Н А <=> НА I— Зх(хгА), достаточно
установить лемму для частных случаев схемы Mpr, а это
делается непосредственно. Это позволяет нам обобщить тео-
рему характеризации на НА + М. □
4.12. Теорема. НА + М + ЕСТ0 Н А<=>НА + МНЗх(хгА).
Доказательство. Непосредственно получается из 4.8 и
4.11. □
4.13. С точки зрения русской школы конструктивизма, пред-
ставляемой Н. А. Шаниным и А. А. Марковым, реализуемость
не является семантикой, так как она не сводит интерпретацию
составных утверждений к простым (т. е. к утверждениям, интер-
претация которых считается более интуитивно очевидной). На-
пример, одно из возражений (Шанин [1]) состоит в том, чго
даже формулы, интерпретация которых должна быть непосред-
ственной, заменяются более сложными формулами в интерпре-
тации реализуемости по Клини.
178
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Однако с точки зрения математических следствий мы навер-
няка можем рассматривать НА + М + ЕСТ0 как кодификацию
математической практики CRA (ср. Драгалин [1]), так как
Клини доказал, что в НА + М интерпретация Шанина дока-
зуемо эквивалентна реализуемости. Вместо ЕСТ0 мы иногда об-
йаруживаем (как, например, уДрагалина [1]) принцип
ЕСТ' Vx [И Ах ЗуВху] 3zVx [“] Ах ->! {z} (х) А В (х, {z} (х))],
который, однако, как легко видеть, эквивалентен принципу ЕСТ0
в НА + М. (Действительно, заметим, что почти отрицательные
формулы эквивалентны отрицательным в силу MPR (принципа
М, ограниченного примитивно рекурсивными формулами), а для
отрицательных А имеет место А “ПА по лемме из 3.9.)
4.14. Для классического рекурсивного анализа (RA) имеет
место несколько смешанная ситуация: по отношению к конкрет-
ным утверждениям (без параметров) используется закон исклю-
ченного третьего, но утверждения классической математики,
имеющие вид Vx[AxV“)Ax], «рекурсивизируются» требова-
нием разрешающего метода для А, рекурсивного в х. Короче
говоря, аналог в RA замкнутого утверждения А — это утвержде-
ние Эх(хгА), которое может быть установлено классическими
средствами. RA можно считать одним из возможных ответов на
вопрос о поиске аналога «конструктивности» внутри классиче-
ской математики: это — рекурсивностЬ в параметрах. Еще одно
решение — «непрерывность в параметрах», см. 3.14.
4.15. Обобщения и варианты реализуемости: явная опреде-
лимость.
4.15.1. Обзор приемов типа реализуемости для арифметики
можно найти у Трулстры [2]; дополнительные подробности
приведены в книге Трулстры [3], гл. III. Для анализа
имеются аналогичные методы; см. 6.2.3.
L 4.15.2. Один из технически наиболее полезных вариантов —
это q-реализуемость (xqA), получаемая заменой (iii) — (v) в 4.3
на
q (iii) xq (А V В) =def КМ = 0 -> (/2xqA) Д А)
A(/1x^=0^(/2xqB) Д В)],
q(iv) xq(AB) =def Vz/(z/qA A AH (x)(z/) Д {x} (z/)qB),
q (v) xq (3z/A) =def (/2xqA (/» Д А (/\х))
и заменой г на q в остальных случаях.
Тогда теорема корректности (ср. 4.8 (i)) доказуема для
q-реализуемости и дает результаты вроде DP, ED (ср. 2.5.4) для
НА и
ECRo НА Н Ах -> ЗуВ(ху)
=> Н А Н 3z\fx [Ах -> ! {z} (х) Д В (х, {z} (х))]
§ 5. НЕМНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ^ МАТЕМАТИКИ
179
(Д— почти отрицательная формула). Фридман недавно приспо-
собил q-реализуемость для HAS. Штрих Клини «Г | С» — еще
один метод, особенно подходящий для доказательства DP, ED
и родственных свойств. У Фридмана [1] он обобщен на си-
стемы высшего порядка вроде HAS. Изложение основных черт
этого метода см. у Т р у л стр ы [3], 3.1.21—3.2.23.
4.15.3. С точки зрения наивного конструктивизма кажется
естественным интересоваться возможно более сильной подсисте-
мой классической логики, все еще сохраняющей DP и ED при
добавлении к математическим аксиомам обычных систем. Но
здесь нет единственного ответа: НА + М и НАД-IP обе обла-
дают DP и ED, но НА + М + IP = НАС, т. е. классической ариф-
метике первого порядка. (Здесь IP обозначает схему (~] Д—>
—>ЗхВ)->Зх(П Д->В), где х не входит свободно в Д; схема М
определена в 4.11.) См. Трулстра [3].
Чтобы увидеть, что НА + М + IP = НАС, мы доказываем
индукцией по логической сложности формулы Д, что НАД-М +
;+ IP Н А V ~1Д. Допустим, что А V ~~]А. Тогда
(1) Ух(Д V П Д) А ЗхД->ЗхД, следовательно, ~ПЗхД->
—>ЗхД (индукционное предположение) и в силу IP имеет место
Э//(П П ЗхДх-> Ау)\ снова по индукционному предположению
отсюда следует П П П ЗхДх V ЗуАу, а значит, и ЗхДУПЗхД.
2) УхДх«-> ~|3х П Дх, следовательно,
УхДх V П УхДх ^ (“] Зх “| Дх V Л Л Зх “| Дх)
<-> П Зх Ах V Зх “1 Ах
(индукционное предположение).
§ 5. Немного элементарной математики
5.1. В этом параграфе мы разовьем крошечную часть кон-
структивной математики, чтобы иметь возможность иллюстри-
ровать некоторые из наших проблем примерами, взятыми из
математики. Хотя большая часть определений проходит парал-
лельно хорошо известным классическим определениям, многие
классически эквивалентные определения не являются конструк-
тивно эквивалентными, и потому мы должны уделить внимание
точным формулировкам. Легко читающееся изложение «рекур-
сивного» подхода см., например, уМартин-Лёфа [1].
5.2. Основной универсум. Теория целых и рациональных чи-
сел не представляет проблем. Мы разовьем теорию веществен-
ных чисел и функций с вещественными значениями относитель-
но некоторого универсума теоретико-числовых функций. Пред-
полагается, что °U удовлетворяет аксиомам для функций из EL*.
Главная аксиома EL*, касающаяся функций,—это бескванторная
180
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
аксиома выбора QF АСос, которая в присутствии осталь-
ных аксиом выражает замкнутость относительно «рекурсивности
в». Нетрудно видеть, что наши условия на °U в действительности
эквивалентны совокупности следующих трех условий:
(1) (рекурсивные функции содержатся в °U)\
(2) °U замкнут относительно спаривания-
(3) °U замкнут относительно всех непрерывных операций,
представленных окрестностными функциями из °U.
Класс окрестностных функций Ко (относительно задан
определением
/Соа = Vp3x (а (0х) =/= 0) А У/пт (ап =/= 0 -> ап = а (п * пг)),
а функционал представляемый функцией а, удов-
летворяет соотношению
(Фа Р) (*) = У 3z (а «х> * pz) == у + 1).
5.3. Вещественные числа. Мы выбираем определение через
фундаментальные последовательности. Пусть (гп)п— стандарт-
ное перечисление (без повторений) рациональных чисел (если
p/q = гп, то мы можем предположить, что р, q находятся по
п примитивно рекурсивно).
Определение. <гал>л называется генератором веществен-
ного числа относительно °U (%-г.в.ч.), если имеется р (модуль
сходимости) такой, что
V£Vnz(|ra|3fc Лх(Р&+т)1<2 ). (1)
Это, разумеется, эквивалентно существованию р' такого, что
V&Vnti/n2(| f ар' (fc+mi) Г afHfc+ma) I < 2-ft) (Г>
(если дан р, то мы можем найти р', полагая р'& = р(&+ 1) для
всех k). В дальнейшем мы не будем писать «относительно
так как фиксирован.
Определение. Два генератора вещественных чисел
</п>л с модулями р, у соответственно называются эквивалент-
ными (запись <$п>п ~ </п>п), если для 6n = max(pn, уп)
I $бп I
Как и в классической теории, мы показываем, что ~—от-
ношение эквивалентности. Следующим шагом было бы опреде-
ление вещественных чисел R (<2Z) (короче, R) как классов экви-
валентности г. в. ч. по отношению ~.
Однако мы еще не рассматривали существования множеств.
Это несущественно для тех конкретных целей, которые мы пре-
следуем здесь, так как вместо использования классов эквива-
§ 5 НЕМНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
181
лентности мы можем просто выражать все посредством преди-
катов и функций, сохраняющих отношение ~ (т. е. таких, что
P«/n>n>A</n>n ~ <sn>n->P(<Sn>n) и т. д.); этот метод принят
у КлинииВесли [1] ив CRA.
Однако удобно иметь возможность говорить о множествах,
и потому в качестве минимального принципа свертывания мы
примем для любого данного языка L, уже обеспеченного интер-
претацией (в нашем случае подходящий пример — L[EL*]), сле-
дующий принцип свертывания:
BXVxi ... xn[A(xl9 ..., хп)++Х(х19 .xj], (2)
где X — переменная для множеств индивидов, а А — формула
языка L, xi, Хп — переменные языка L (предполагается, что
L не содержит переменных для множеств). На основе этого
принципа мы можем принимать корректно определенные свой-
ства элементов данной области в качестве множеств или отно-
шений. Принцип (2) обосновывает введение вещественных чи-
сел как классов эквивалентности (в действительности с по-
мощью математематического рассуждения легко показать, что
(2) консервативен над EL*; ср. Тру л стр а [3], 1.9.8).
5.4. Операции на вещественных числах и отношения между
ними. Мы можем в обычном стиле определять операции и отно-
шения на вещественных числах, определяя соответствующие
операции и отношения для г. в. ч., а затем показывая, что они
инвариантны относительно ~. Так, например,
($п)п Ч" ^п)п == “I” ^п)п9 ($п)п * ^п)п = ($П * 1п)п*
I I s (I sn I
и т. д., а также
= 3/^VmVtTl (tn+m 2 ).
Тогда, например, для х, у е R
X < У -- 3 *3 (fn)n У { ($п)п <
х> у = у <Х,
х<у = П(х> у), х^у = у^х.
Замечание по повод у обозначений. В большей
части интуиционистской литературы пишут х Д> у вместо х у,
чтобы избежать предположения о том, что х у эквивалентно
х < у V х = у (последнее утверждение существенно сильнее).
Однако так как наше отношение играет, по существу, ту же
математическую роль, что в классической математике, и так
как «х < у У х = у» редко применяется практически, а легче
читать, чем то мы предпочли здесь обозначение
182
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
5.5. Лемма (некоторые свойства операций и отношений +,
хА ?->х = у,
А у
(хСр А У < z) V (х < у A y^z)-+x < z,
х < у <->* + Z < у + Z, z'>Q/\x<y->x-z<y-z,
* С Р < У + 2"*), П П * С Р <-> х^у.
Доказательство предоставляется читателю; см., например,
Рейтинг [4], гл. II.
5.6. Отношение отделенности и различие вещественных чисел.
Отношения = и #, определяемые (в предположении (sn\e.i,
(tn)n е у) посредством
X, у =def И ~ ttn)n>
X# y=det’3k3mVn (| sn+m — ^rt+m| > 2-fe),
классически эквивалентны. Однако относительно интуиционист-
ской логики соотношение* #= р->*# у эквивалентно схеме Мар-
кова (см. 8.2). Для математической практики важнее «позитив-
ное» отношение #, тем более, что #= можно определить через
#, но не наоборот.
Вообще отношение #, обладающее свойствами
S1 П * # р <->*== Р,
S2 х#р->р#х,
S3 x#p-»x#zV y#z,
называется отношением отделенности. Наше отношение # об-
ладает не только свойствами S1 — S3, но и свойствами
*#p->* + z#p + z, *#0 А Р#г->хр#хг,
x#y<-+x<y\Jy<x.
5.7. Частично определенные операции. Обращение (т. е. опе-
рация *|—>х-1 на вещественных числах) дает пример отображе-
ния, которое определено не всегда, по крайней мере в естествен-
ном смысле (и, как станет ясно впоследствии, не может быть
определено конструктивно). С помощью классической логики
мы легко устраним этот дефект, вводя произвольное соглаше-
ние, например, полагая О-1 = 0, (p/q)~x = (q/р) для р, q =/= О
и затем вводя определение
/ 4-i_f если (sn)„<£0,
\Sn)n —]
I (0)„ в противном случае.
§ 5 НЕМНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
183
Тогда, классически, {sn)n[ — снова г. в. ч. Мы не можем
принять этот метод в конструктивной математике, так как не
может утверждать, что Vx е R (х = О V х# 0).
Отметим, что если мы мыслим вещественные числа из R+ =
= {х: xgRAx#0} как данные нам в виде г. в. ч. {Sn)n е х
вместе с доказательством того, что <Sn>n#0 (а это влечет нали-
чие у нас числа k такого, что |х| > 2“*), то мы видим, что мож-
но избежать введения х-1 как частичной операции, если рас-
сматривать пары (х, k) с операцией *)
(х, k) ь—> (шах (2“\ х))-1.
Здесь мы имеем конкретный пример замены утверждений бо-
лее «свободными от логики» утверждениями (см. 2.2.3).
5.8. Слабые контрпримеры и их рекурсивные аналоги. Тради-
ционная интуиционистская литература содержит так называе-
мые «слабые контрпримеры» ко многим математическим утверж-
дениям (вроде «для всех xgR верно x = 0Vx^=0»). Эти
контрпримеры называются «слабыми», потому что они не опро-
вергают утверждения, о которых идет речь, а лишь показывают,
что предположение о существовании интуиционистского доказа-
тельства для таких утверждений привело бы к решению неко-
торой еще не решенной математической проблемы.
Например, пусть Ах— разрешимый предикат от натуральных
чисел (т. е. верно Vx(Xx V П Ах) такой, что неизвестно, верно
ли П ЗхАх V П П ЗхАх. Стандартным примером такого преди-
ката является «х—номер первого десятичного знака первого
вхождения последовательности 0123456789 в десятичное разло-
жение л». Вместо самого предиката А мы можем использовать
его характеристическую функцию а:
Ах ах У= 0.
Теперь определим вещественное число ха, зависящее от а,
с помощью г. в. ч. (sn)n е ха, полагая
( и By < х (ay У= 0) -> sx = 0,
t az/=/= 0 A A Vz < y(az = 0)->sx = 2“y.
Легко проверить, что <sn>n— г. в. ч., а также что
П Зу (ау =А 0) ха = 0, Зу (ау #= 0) ха =А 0,
так что ха = 0 V ха =/= 0 эквивалентно ~\3у(ау = 0) V
V ~ПЗг/(аг/ = 0), а ха — 0V*a #0 эквивалентно ~] Зу(ау = 0) V.
V3z/(az/ = 0). Это показывает, что у нас нет оснований
*) Предложенная автором операция совпадает с обращением только при
положительных х. — Прим. ред.
184
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
утверждать суждение Vx(x = 0Vx=#0), так как это требо-
вало бы решения задачи 13хЛх V ““ПЗхЛх, а если бы эта
конкретная задача была решена, то мы могли бы получить но-
вый слабый контрпример, исходя из другой нерешенной задачи
такого же типа.
Здесь имеется связь с рекурсивно неразрешимыми пробле-
мами: конструкция приведенного контрпримера зависела от су-
ществования функции а такой, что неизвестно 3y(ay = 0)V
V~13y(ay = 0). Если мы рассмотрим такую а с дополнительным
параметром z, то задача принимает вид
Эу (а(у, г) = 0) V "1 Эу (а(у, z) = 0).
Отсюда следует, что Vx е R(x е 0 V х У= 0) влечет
Vz(X(a)i2=0 V Х(а)г#0),
где (a) z = ку а (у, z), так что
Эу(а(у, z) = 0) V ~|3у(а(у, z) = 0) для всех z. (2)
Пусть теперь {z: Эуа(у, z)} представляет р. п. (рекурсивно
перечислимое) множество, не являющееся рекурсивным. Тогда
дизъюнкция в (2) не является рекурсивно разрешимой по z.
В результате мы видим, что дизъюнкция х = 0V х#0 для ре-
курсивных вещественных чисел R(5?) не может быть разрешена
рекурсивно по параметру (и обращение не может быть опреде-
лено на R(5?) рекурсивной операцией*).
Другой тип слабых контрпримеров, различные примеры кото-
рого мы встретим ниже, зависит от существования проблем сле-
дующего типа: Ух(Лх V ~1Лх), Vx(BxV ~1Вх), ~] (ЗхЛх А ЗхВх),
но П ЗхЛх V П ЗхВх неизвестно. В терминах функций это при-
нимает вид
(Зу (ay = 0) Д Зу($у = 0)) имеет место, но
И 3y(ay = 0) V П Зу(Ру = 0) неизвестно (3)
(примером такой проблемы является Ах = «2х — номер первого
десятичного знака первой последовательности 0123456789 в деся-
тичном разложении л», а Вх н== «2х + 1 — номер первого деся-
тичного знака первой последовательности 0123456789 в десятич-
ном разложении л»).
Утверждение (3) можно использовать для построения при-
мера вещественного числа (скажем, х0) такого, что неизвестно
xo^0Vx0^0 (и, следовательно, также и xo<0Vxo = 0V
*) Из неразрешимости х — 0 V х =Н= 0 вытекает только, что предложен^
ный в 5.7 способ доопределения обращения не является конструктивным. —
Прим, ред
§ 5 НЕМНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
185
V л'о > 0). Для этого определим х0 через генератор веществен-
ного числа <sn)n е х0 такой, что
~l(3z/<n)(az/ = 0 V pz/= 0)= 0,
am = 0 A Vz/ < m(ay y= 0) Д = (4)
pm = 0 A Vz/ < m ($y =/= 0) Д m n -> sn = 2
Легко проверить, что (sn)n — г. в. ч. и что для {sn)n^xQ
верно х0 < 0 <-> “1 Зу (ау = 0), х0 > 0 3z/ (pz/ = 0).
Рекурсивная версия этого контрпримера зависит от сущест-
вования двух дизъюнктных р. п. множеств, которые рекурсивно
неотделимы. Если {zi Зуа(у, г) = 0} и {z: 3z/P(z/, z) = 0} — такие
множества, то
Vz П {3z/ (a (z/, z) = 0) Д Зу (p (z/, z) = 0)}, (5а)
в то время как дизъюнкция
Л 3у (а (у, г) = 0) V Зу (Р (z/, z) = 0) (5b)
не является рекурсивно разрешимой по z, или, что то же, нет ре-
курсивной функции у такой, что
Vz{(yz=0->~1 3z/(a(z/, z)=0))A(yz¥=0->~1 3z/(P(z/, z)=0))}. (5c)
Для рекурсивных вещественных чисел отсюда следует, что
дизъюнкция 0 Vx^O не может быть разрешима рекур-
сивно по числовому параметру.
Другой поучительный пример обсуждается в следующем
пункте.
5.9. Представление вещественных чисел двоичными разложе-
ниями. Пусть R2 обозначает класс вещественных чисел, допу-
скающих двоичное разложение
± т + I S (т) 2~(rt+1) I, an^l для всех п.
\п=0 /
/ п \
Очевидно, что R2^R, так как \±т + (aZ?) 2’"(* + 1)/ есть
г. в. ч. Используя классическую логику, мы можем показать
также, что R R2 (т. е. для каждого г. в. ч. мы можем найти
эквивалентное двоичное разложение). Чтобы убедиться в этом,
рассуждаем следующим образом: элемент х множества R либо
представим в виде
± т + У (aZ?) 2-(/г+1), для 0<Z?<n,
б=о
либо нет (т. е. либо х является «двоично-рациональным», либо
нет). В первом случае все в порядке. Во втором случае примем
186
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
для простоты, что хе[0, 1]. Пусть <Sn)n — такой Г. В. Ч. ДЛЯ X,
что |х — sn|<2“n для всех п, и допустим, что уже построено
tn= J (afe)2-(ft+I)
fe=0
такое, что
tn < X < tn + 2-(п+0
(tn=x исключено). Тогда, так как х =/=/„ +2~(re+2), имеет место
(х < tn + 2-(n+2>) V (tn + 2-<n+2) < х); в первом случае мы пола-
гаем а(п+1) = 0, во втором — a (лг + 1) = 1 и определяем
/л+1 соответствующим образом.
С другой стороны, если мы рассмотрим у + хо (где *о опре-
делено через г. в. ч. из (4) предыдущего пункта) и допу-
оо
стим, что у + *о имеет двоичное разложение (an)2 (п + 1), то
/г=0
аО == 0 *-> у + х0 , аО = 1<-> + х0^ у , а эти случаи мы
не можем разрешить. Этот слабый контрпример легко преобра-
зуется в доказательство того факта, что мы не можем находить
двоичные разложения для рекурсивных элементов множества R
с помощью операций, рекурсивных по числовым параметрам.
Мы можем аналогичным образом показать с помощью клас-
сических рассуждений, что R2 замкнуто относительно +, • , но
на рекурсивных элементах множества R2 эти операции не могут
быть заданы рекурсивными отображениями (ср. Мейо [1]).
5.10— 5.12. Полнота R
5.10. Определение, (i) Последовательность веществен-
ных чисел задается двойной последовательностью <<sm, n)n)m
г. в. ч. и функцией а такой, что Xna(m, п) есть модуль для
<Sm, п)п ДЛЯ любого ГП.
Последовательность <хш>щ вещественных чисел называется
фундаментальной (или последовательностью Коши), если имеет-
ся модуль |3 такой, что
VJfeVm (| X$k Xfi(k+m) I < 2 ).
(ii) Последовательность <xn>n имеет предел x (запись lim xn
n
или lim<xn>rt = x), если имеется a (модуль сходимости к пре-
делу) такой, что
VfeV/n (| х — xak+m | < 2~ft).
5.11. Теорема. Множество R(<2Z) полно, т. е. любая фун-
даментальная последовательность (хп)п имеет предел.
§ 5 НЕМНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
187
Доказательство. Пусть <xn>rt— фундаментальная по-
следовательность, хп = <5л, m>m и для каждого п пусть Хтофг, т)
есть модуль для <$„, т)т', пусть р — модуль для <Хп>п. Тогда
VfeVnVm (| Sn, а (п, k) Sn, а (п, k)+m I < 2 ),
VkVfl I X$k Xfik+m I < 2 ,
и поэтому, как легко проверить, а^п, является г. в. ч.
Пусть х — соответствующее вещественное число. Легко видеть,
что <Хп)п сходится к х с модулем Хпр(п+ 1). □
5.12. Замечание. Заметим, что определения г. в. ч., отно-
шения последовательности вещественных чисел, фундамен-
тальной последовательности, последовательности вещественных
чисел, сходящейся к пределу, становятся эквивалентными таким
более обычным определениям, как
V&BnVm (| s„ — sn+m | < 2~ft),
Vfe3nVm(|sn+m-^+m|<2-ft),
V£BnVm(| x — xn+m | < 2-ft)
для предикатов «{sn>n есть г. в. ч.», <sn)n ~ (tn)n, limxrt = x со-
п
ответственно, в предположении аксиомы выбора
АС - NF Vx3aA (х, a) -> ЗрУхА (х, (Р)х).
Так как АС — NF следует из ЕСТ0, мы можем в рекурсивном
конструктивном анализе («русской школы») спокойно принять
обычные определения, точно так же, как и в интуиционистском
анализе, развиваемом в одной из обычных теорий свободно ста-
новящихся последовательностей.
В классическом рекурсивном анализе (где (частичные) функ-
ции из N в N всегда предполагаются (частично) рекурсивными,
но логика классическая) это невозможно, так как средствами
классической логики можно определить генераторы веществен-
ных чисел <гап)п с нерекурсивной а.
5.13. Функции с вещественными значениями. Функция с ве-
щественными значениями (вещественная функция) —это отобра-
жение R->R. Вещественная функция f называется непрерыв-
ной, если имеется операция Ф: R X N -> N такая, что
V&V.v <= RVz/ е R (| х - у | < 2“Ф(х’k} | fx - fy | < 2~fe).
Вещественная функция f называется равномерно непрерыв-
ной, если имеется функция a: NN такая, что
VfeVx 6= RV// е R (| х - у | < 2-aft ->| fx - fy | < 2“*).
188
ГЛ 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Отметим, что в предположении АС00 (или АС — NN) это эк-
вивалентно более привычной формулировке
VfeBnVx е= R (| х - у | < 2~п ->| fx - fy | < 2“ft).
Мы полагаем по определению для х, у е R, х у
(х, у) = {2: X < z < у}, [х, у\ = {z: х < z < у}.
Функции, непрерывные или равномерно непрерывные на
(х,у) или [х, у], определяются аналогичным образом.
5.14. Существование точной верхней грани (т. в. г.) и тео-
рема о среднем значении. Мы изложим два контрпримера к хо-
рошо известным теоремам классического анализа и одновремен-
но покажем, что у них имеются аналоги в классических задачах
о непрерывности решений в зависимости от параметров.
5.14.1. Пример. Любая равномерно непрерывная веще-
ственная функция f на [0, 1] имеет точную верхнюю грань
sup{fx: х^[0,1]}, но мы не можем ожидать, что удастся эф-
фективно найти число Xi е[0, 1] такое, что f(xi) = sup{fy: ye
е[0, 1]} *). Положительное утверждение о существовании т. в. г.
легко доказывается путем рассмотрения последовательности
х„ = sup {f (k • 2""): 0 < k < 2"}
и доказательства того, что <хл>п —фундаментальная последо-
вательность вещественных чисел, которая должна иметь предел
ввиду полноты ₽(<?/).
Слабый контрпример задан путем определения по аналогии
с 5.8 (4) числа хо такого, что неизвестно х0 > О, х0 = 0 или
хо < 0.
Пусть f (х) = хох + 1. Допустим, что мы можем вычислить х\
такое, что f(xi)= sup{f(y): у (=[0, 1]}. Тогда Xi<~V > 7•
3
Если х0 > 0, то Х[ = 1, так что ~] xt < у; если х0 < 0, то
1 3 1
х1 = 0, так что ~lx1>-4-. Hoxj<jVxi>j требует, чтобы
Тхо > 0 V ~1х0 < 0, а этого мы не знаем. Преобразование в
пример, показывающий несуществование решения, рекурсивного
по параметрам, теперь уже стандартно (ср. 5.8 и 5.9).
В терминах классической математики мы можем выразить
содержание этого контрпримера следующим образом. Малые из-
*) Независимо И. Д. Заславским (УМН, 1955, 10, № 4, с. 209—210)
и Д. Лакомбом (С. г. Acad. Sci., Paris, 1955, 241, № 19, р. 1250—1252) были
построены примеры конструктивных равномерно непрерывных функций, кото-
рые не достигают т. в. г. — Прим. ред.
§ 5. НЕМНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
189
менения функции f (в смысле топологии равномерной сходи-
мости) влекут большие изменения искомого %. Поэтому мы мо-
жем сказать классически, что для равномерно непрерывных f
на [0,1] мы не можем найти х\ равномерно по f таким образом,
что f(xi) = supу €=[0,1]}.
5.14.2. Пример (рис. 1). Пусть f равномерно непрерывна
на [0, 1], /(0)<0, f(l)>0. С помощью слабого контрпримера
мы можем показать, что мы не можем найти х такой, что f (х) =
= 0. Для нашего контрпримера мы берем равномерно непре-
рывную f, удовлетворяющую (для такого же Хо, что и раньше)
Рис. 1.
здесь совершенно
х е [0, З-1 + 3 1 х0](х) = Зх — 1,
X е [3 3 Xq, 2’3 ”Ь 3 Хд] ► f (х) = Хд,
х е [2 • З-1 + 3-1 х0, 1]->/(х)==3х —2.
Очевидно, что если Хо < 0, то f(x) =
= 0->х = 2-3-1, а если х0 > 0, то f (х) =
= 0->х = 3-1. Теперь, если f(xi)=O, то
Xi < З-1 V Xi > 2-3”1 и, следовательно,
(х0 < 0)V П (х0 < 0), а этого мы не знаем.
Этот результат имеет классический ана-
лог — утверждение о том, что решение
уравнения /(xj — 0 не может быть найде-
но непрерывно по f. Отметим, с одной сто-
роны, что, согласно классической логике,
для рекурсивной f всегда имеется рекур-
сивный х такой, что f(x) = O (рассуждение
аналогично построению, показывающему, что R R2 (5.9)).
С другой стороны, стандартное преобразование приведенного
контрпримера в рекурсивную форму показывает, что нет реше-
ния, рекурсивного по f, а тем более и рекурсивно непрерывного.
Замечание. Аналогично мы можем построить контрпри-
мер к теореме Брауэра о неподвижной точке в одном измерении.
Пусть f—равномерно непрерывная функция на [0,1], опреде-
ленная соотношениями: хе[2-3~1 — х0, 1]-> fx = 2-3"1, хе
[З-1 — Хо, 2 • З"1 — Хо] -> fx = х + Хо, хе [0, 3~1 — х0] fx =
= З-1. Функция f отображает [0,1] на [3~!, 2-3-1], но мы не
можем найти х такой, что fx = х. Этот пример можно тривиаль-
ным образОхМ превратить в двумерный контрпример — функцию
g- (х, у)-> (fx, 2"1 у 4- 2-2), определенную на [0, 1 ] X [0, 1 ] = /2.
Рекурсивная версия этого контрпримера к теореме Брауэра
о неподвижной точке показывает только, что неподвижная точ-
ка не может быть найдена рекурсивно по f, но в действительно-
сти для двумерного случая можно дать гораздо более сильные
190
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
контрпримеры (О р е в к о в [1], [2])*), показывающие, что
(а) существует непрерывное отображение ф квадрата I2 в 7* та-
кое, что р(р, фр) 1/8 для всех ре/2, где р — евклидова мет-
рика; (Ь) существует равномерно непрерывное отображение ф
из /2 в /2 такое, что Vp е /2 (фг z).
5.15. Метрические пространства.
5.15. Определение, (i) Метрическое пространство — это
пара <7, р>, где V—множество (множество точек простран-
ства), а р — отображение VXV->R(62Z) такое, что:
(1) Р(х, У)>0, Р (X, у) = 0 х = у,
(2) р (х, г/) = р(у, х);
(3) Р (х, у) + р (у, z) > р (х, х).
(ii) Полное сепарабельное метрическое пространство строит-
ся следующим образом. Пусть дана счетная последовательность
объектов <рп>п с метрикой р, например, путем задания функции
р такой, что
I р(Рг» Р/) —К 2“\
Мы определим теперь генераторы точек (г. т.) аналогично
г. в. ч. с заменой \xy\x— у\ в определении на р. Отношение
эквивалентности ((Ра&Уп ~ <pp«>«) определяется так же, как для
г. в. ч. Теперь точки '— это классы эквивалентности г. т., и р ав-
томатически распространяется на все точки с помощью сле-
дующего определения. Если (РапУп е %, (р$пУп е у, (РапУп,
<РЗп>и — г. т., то
PU, У) —def lim р (рап, рап).
п
Каждый объект рп вкладывается в пространство в виде клас-
са эквивалентности (рпУт и р — это просто расширение р на
(РпУп с точностью до этого вложения. Произвольное сепарабель-
ное метрическое пространство — это подпространство полного
метрического пространства.
5.16. Стандартное представление полного сепарабельного
метрического пространства. Пусть Kia(k, п, i) перечисляет мно-
жество
^4/г, k =def 0» P(Pi> Рп)<% }•
Легко видеть, что Ап, k рекурсивно перечислимо, так как
Ап, & = {и 31 (гр а, п, п < 2 k — 2 z)}.
*) См. также Добавление 6. — Прим. ред>
§ 5 НЕМНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
191
(Если р(рг, рп) < 2~к, то р(р(, р„) < 2~ft —2~z+1 для некото-
рого /, следовательно, гр<(, п, 1} < р(рь Рп) + 2~г < 2" —2~.
Если же r$(i.n,i)<2k — 2~l, то также и р(р,-, рп) < 2“\)
Теперь мы можем связать с каждой функцией у е после-
довательность <<7га>« точек из (рп")п такую, что:
(1) qn = Рьп, где 60 = уО и 6 (п + 1) = а (п, 6п, уп).
Легко видеть, что
(2) lim qn — х Уп (р (qn, х) < 2“га+1), и каждая последова-
п
тельность определенная согласно (1), имеет предел.
Будем обозначать предел х — lim qn последовательности
п
получаемой из у согласно (1), через xY.
(3) Vx3y(x = xY).
(4) Пусть 7Yn = {xe: ёп = уп}, тогда
Vx3y (х = ху Л У/г (и (2—<ft—2>, х) <= VYfe)),
где U (е, х) = {у\ р(х, у) < е}. Чтобы установить это, возьмем
X, у такие, что р (х, у) < 2~к~2, и пусть (qn)n, {q'n)n<=2(pn)n,
V/z(p(<7„, х) <2~"-2 Л p(qn, у) <2~п~2). Тогда имеются у, 6,
удовлетворяющие (1), такие, что qn = Pbn для всех их = хг
А так как p(q’n, q’n+\) < 2~п~х и p(<7ft_b q'k) < Р(fl'fe-i, х) + р(х, у) +
H-p(z/, Як) < 2-fc-1 + 2~к~2 + 2~к~2 = 2к, то имеются также у', 6'
такие, что 6'0=у'0, 6'(«+1)=а(ц, 6'zz, у'п), {рб'П')п=Яо> -<-,Як-ъ
Як> q'k+i, • •., а потому z/ = xY'. Так как y'k = yk, имеем
U (2~к~\ х) с= VYft.
5.17. Примеры полных сепарабельных метрических прост-
ранств.
(a) R, R", [0, I].
(Ь) Если даны а, 0, то полагаем
Рп (а, 0) = sup {2-/: (z < п Л a (z) #= 0 (z)) V i = п],
р (а, Р) = lim [х„ (а, 0). Р — метрика на NN; это — конструкция,
п
эквивалентная классическому бэровскому пространству.
(с) Эта метрика для бэровского пространства очевидным об-
разом переносится на любое подмножество бэровского простран-
ства, в частности на канторовское множество 0 — 1-последова-
тельностей.
(d) Гильбертово пространство счетно бесконечной размер-
ности.
192
ГЛ. 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 6. Непрерывность, схемы выбора
6.1. Непрерывность — более знакомое понятие, чем рекурсив-
ность, а в случае анализа и топологии оно также ближе к инте-
ресам математической практики. Поэтому неудивительно, что
парадокс Брауэра — «все вещественные функции непрерывны» и
лежащие в его основе постулаты непрерывности для свободно
становящихся последовательностей привлекли к себе большое
внимание, точно так же как теоремы о непрерывности в RA и
CRA принадлежат к числу наиболее поразительных результа-
тов в этой области.
В этом параграфе мы коротко разъясним некоторые из ис-
ходных мотивировок введения свободно становящихся последо-
вательностей и покажем, как все это привело к теории «непре-
рывной квантификации» (свободно становящиеся последова-
тельности как «оборот речи», см. 6.3 и 6.14—6.16) с интересными
математическими применениями.
6.2. Эвристические соображения, приведшие к изучению сво-
бодно становящихся последовательностей. Заметим прежде всего,
что обычные классические примеры разрывных функций, опре-
деленных на R, не являются контрпримерами в интуиционист-
ской математике. Рассмотрим, например, функцию f, определен-
ную на R равенствами f(x) = 0 для х<0 и f(x) = 1 для х >* 0.
С конструктивной точки зрения эта функция не является всюду
определенной; если х0— вещественное число, определенное в
5.8 (4), т. е. если неизвестно xo<OVxo = O Vx0>0, то мы не
знаем, как вычислить f(x0) с любой требуемой точностью, т. е.
мы не можем доказать, что f(x0) определено.
Этот пример подсказывает, что всюду определенная вещест-
венная функция f должна быть такова, чтобы приближения к
аргументу были достаточны для вычисления значения функции
с предписанной точностью, короче, f должна быть непрерывна.
Иными словами, мы ожидаем, что всякий раз, когда доказуемо
Vx е R3! у е RA (х, у), должна найтись непрерывная (в стан-
дартной топологии на R) функция f такая, 4toVx^RA(x, fx).
Как мы увидим ниже в 6.4, УаЗх-непрерывность (а пробе-
гает теоретико-числовые функции, х — натуральные числа) до-
статочна для этого.
Соблазнительно думать, что следующее допущение: Vx е
eR3z/eRA(x, у) ->3fVx^ RA(x, fx) (f непрерывна в стандарт-
ной топологии на R)—столь же правдоподобно, однако в этом
случае имеется контрпример.
Пример. Как классически, так и конструктивно уравнение
х3 — Зх 4- а = 0 имеет корень в R для всех а е R. Однако легко
видеть, что невозможна f\ R->R, непрерывная в стандартной
топологии на R и такая, что Va е= R (f3 (а) — 3f(a)-\-a = 0).
§ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, СХЕМЫ ВЫБОРА
193
С другой стороны, приближения к корню можно вычислить
по приближениям к а, т. е. по начальному отрезку генератора
вещественного числа для а. Естественная топология для г. в. ч.—
это топология нульмерного бэровского пространства (т. е. ок-
рестность состоит из всех г. в. ч., начинающихся с некоторого
начального отрезка), и поэтому мы можем переформулировать
предыдущее утверждение так: имеется непрерывное (в тополо-
гии бэровского пространства) отображение, ставящее каждому
г. в. ч. для а в соответствие некоторый г. в. ч. для корня уравне-
ния х3 — Зх + а = 0. В соответствии с этим мы увидим (в 6.13—
6.16), что можем принять УаЭр-схему непрерывности.
Отметим, что предыдущий пример иллюстрирует также «ин-
тенсиональный аспект»: метод Ф, определяющий вещественное
число у по вещественному х, должен использовать всю имею-
щуюся информацию об х; а так как вещественное число дано
нам в виде г. в.ч., то Ф в действительности работает на г. в.ч.,
и не обязательно имеет место ~ ~ Ф((гпМ*
Свободно становящиеся последовательности. Брауэровская
концепция свободно становящейся последовательности дает не-
которое теоретическое обоснование схем непрерывности, которое
можно описать следующим образом.
Доказательство утверждения VaBx4(a, х) неявно содержит
операцию Ф такую, что верно VaX(a, Фа), но при определении
Фа может использоваться вся имеющаяся неэкстенсиональная
информация (например, гёделевы номера, если а пробегает об-
щерекурсивные функции). Однако мы можем рассматривать и
«незавершенные» последовательности, т. е. процессы определе-
ния значений для каждого аргумента, которые априори не опре-
делены законом (экстремальный пример — последовательность
бросаний монеты или кости); иначе говоря, мы можем расши-
рить (обобщить) наше понятие последовательности, абстраги-
руясь от идеи, что последовательность должна всегда опреде-
ляться некоторым законом, и мы сохраняем лишь одну суще-
ственную черту: для каждого аргумента п в конце концов
должно определяться значение ап. Для этой обобщенной кон-
цепции VaBxX (а, х) становится гораздо более сильным утверж-
дением, так как расширена область значений переменной а, и
правдоподобно, что операция Ф, которая должна выдавать не-
который х для каждой а (следовательно, также и в экстремаль-
ном случае, когда на любой стадии построения а известен толь-
ко начальный сегмент последовательности а), необходимо не-
прерывна, т. е. Ф должна удовлетворять условию
VaBxVp е ах (Фа = Фр),
Т Справочная книга, ч. IV
194
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
которое приводит к схеме непрерывности
WC — N* УаЗхЛ (а, х, у) Va3z/3xV0 е by А (0, х, у).
Если допустить еще, что для непрерывной операции Ф мы
можем решить, достаточен ли начальный отрезок ах аргумента
а для вычисления значения Фа (а это значит, что Ф задана нам
посредством окрестностной функции 0 такой, что 0(ах)#=О<=>
<=>(Фа может быть вычислено, исходя из ах, и имеет значение
0(ах)—1), мы можем усилить схему WC — N* до С—-N'* или
CONT0:
CONT0 УаЗхЛ(а, х, у)-> 30 е K0VaX (а, 0 (а), у),
где
/<o0=defVa3x(0(ax) =# 0) Д Vn/n(0n =/= 0 ->0п = 0 (п * /и)), (1)
0 (а) = х =def Зу (0 (by) = х + 1), (2)
А (а, 0 (а), у) ssjef Эх (0 (а) = х Д А (а, х, у)). (3)
Так как большая часть математических построений в эле-
ментарном анализе не зависит от допущения, что элементы мно-
жества °U заданы законом, они должны сохраняться также и
для свободно становящихся последовательностей (= расширен-
ной концепции последовательностей, описанной выше), и для
свободно становящихся последовательностей правдоподобно до-
пущение добавочной схемы непрерывности CONT0.
6.3. Элиминация свободно становящихся последовательно-
стей. Наши рассуждения, однако, лишь делают схему CONTo
правдоподобной, а не обосновывают ее строгим образом. В дей-
ствительности в настоящее время неизвестно никакого простого
понятия свободно становящейся последовательности, для кото-
рого можно было бы вывести и схему CONT0 и условия замкну-
тости на универсум приведенные в 5.2.
Поэтому в 6.13—6.16 ниже мы примем другой подход: мы
обоснуем кванторы по свободно становящимся последователь-
ностям с помощью переинтерпретации. По существу, для этого
имеется два метода. Первый — это реализуемость по Клини с
помощью функций, которая кратко рассматривается в 6.23; вто-
рой метод состоит в элиминации свободно становящихся после-
довательностей методом контекстуального определения. Точнее,
мы рассматриваем формальные системы, содержащие, кроме
кванторов по натуральным числам, также два сорта кванторов
по функциям: обычные кванторы по функциям («кванторы по
конструктивным функциям») и кванторы по свободно становя-
щимся последовательностям. Смысл кванторов по свободно ста-
новящимся последовательностям разъясняется затем посредством
контекстуального определения в терминах других логических
операторов — они разъясняются как «оборот речи». Это опреде-
ление автоматически делает истинной схему CONTq. Главная
§ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. СХЕМЫ ВЫБОРА
195
работа состоит в том, чтобы показать, что кванторы по свободно
становящимся последовательностям действительно удовлетво-
ряют законам для кванторов (факт, который был бы очевиден,
если бы мы могли рассматривать квантификацию по свободно
становящимся последовательностям как квантификацию по осо-
бому сорту объектов).
Перед описанием элиминации и ее приложений в 6.13—6.16
мы приведем сначала: (1) одно математическое приложение
схемы WC — N* (другие иллюстрации использования WC — N*
в математике см. у Трулстры [7], гл. 6), (2) короткое обсуж-
дение отношения между тезисом Чёрча и непрерывностью и (3)
некоторые логические соотношения, выводимые в EL*.
6.4. Теорема. Пусть Г = <У, р>— полное сепарабельное
метрическое пространство, построенное над базисными точками
{рп)п\ пусть /czN, — покрытие пространства Г, т.е.
Vx е I (х е IFz). Тогда семейство {Int(IFi): ie/}—сно-
ва покрытие Г (Int (W) — внутренность множества IF) при усло-
вии, что универсум °U теоретико-числовых функций (см. 5.2)
удовлетворяет схеме WC — N*.
Доказательство. Используя стандартное представле-
ние (5.16) полных сепарабельных метрических пространств, мы
имеем
Va3/e/(xaQlFz).
В силу WC —N*
Va3Z3£Vp е ak (хр е IFt- A i s /).
По определению F^ (см. 5.16) получаем
Va3z3& (i е / A Vfife <=
и вместе со свойством (4) из 5.16 это дает
Vx3z е /(х е Int(TFf)). □
Следствие. Пусть T = <F,p>, Г' = < F', р') — полные се-
парабельные метрические пространства с базисными точками
(Рп)п> {Рп)п соответственно. Любое отображение f из Г в Г не-
прерывно.
Доказательство. Пусть Щ = {х: р'(р[, fx) < 2"v} и veN
фиксировано. Тогда {t/f: i е N} покрывает Г. По предыдущей
теореме {Int(t/Z): reN} покрывает Г, поэтому
VjceV3fe3i(t/(x, 2~*)с^)
и, таким образом, для любого х мы можем найти числа k, i та-
кие, что
р(х, у) <2~k^fy <=Ut,
и, следовательно, р (fx, fy) < р (fx, p'i) + ?(fy, p't) < 2 • 2-v. □
7*
196
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
6.5. Тезис Чёрча и непрерывность. Если °U в 91, множеству
общерекурсивных функций, то схема WC — N* явно ложна, так
как верно утверждение СТ = VaBx {Vr/Вг (Txyz Л ay = t/z)}, но
х не может быть определен, исходя лишь из некоторого началь-
ного отрезка функции а. СТ с большой силой привлекает вни-
мание к интенсиональным аспектам последовательностей
(а именно, к их гёделевым номерам). С другой стороны, СТ и
схема
CONT0! Va3! хА (a, х) -> Зу К^аА (а, у («))
(где Ло определено в 6.2 (1)) совместимы, в действительности
НА + М + ЕСТо Н CONTol. Верно даже больше: в CRA (т. е. в
НА 4-М + ЕСТо, см. 4.13) доказуемо следствие из 6.4 (см. Цей-
тин [1], Московакис [1])*). Однако в этом случае это
следствие верно, так сказать по совершенно иным причинам:
условие экстенсиональности для операций, определенных на всех
общерекурсивных функциях, оказывается весьма сильным.
6.6. —6.12. Некоторые логические соотношения, выводимые
в EL*, бар-индукция.
6.6. Ло, множество окрестностных функций, уже было опреде-
лено в 6.2 (1). Полагаем
/С1О =def VyBzVp < у (a (₽z) 0)
Л Vnm (an =/= 0-> an = a (n * m)). (1)
Kia выражает условие: a — окрестностная функция, и функцио-
нал Фа:
ФоР = х *-> Bz (a (pz) = х + 1),
представленный функцией а, равномерно непрерывен на ком-
пактных подмножествах универсума °И (т. е. области значений
наших функциональных кванторов).
Мы вводим К2 обобщенным индуктивным определением
К1-2 Л(а, К2)->Я2а,
КЗ \/а[Л(а, Q)->Qa] ->[K2a->Qa],
где
Л (а, Р) =def Зх (а = knSx) V (аО = 0 Д Vx (Ana (i * n) е Р)). (2)
•) Впервые теорема о непрерывности конструктивных функций опубли-
кована в работе: Цейтин Г. С. Равномерная рекурсивность алгоритмиче-
ских операторов над общерекурсивными функциями и каноническое представ-
ление для конструктивных функций вещественного аргумента. — Тр, 3-го Все-
союзного матем. съезда, 1956, 1, с. 188—189.—Прим. ред.
§ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. СХЕМЫ ВЫБОРА
197
К1—2 в действительности эквивалентно конъюнкции двух
импликаций
К1 а = KnSx К2а,
К2 аО = О Д Vx (Л/га (Ъ м) е Кг) -► Кг<х.
К1 и К2 выражают, что К2 удовлетворяет некоторым усло-
виям замкнутости, КЗ — что К2— наименьшее множество, удов-
летворяющее этим условиям замкнутости.
Мы отметим, кстати, что обобщенные индуктивные опреде-
ления считаются допустимым методом определения в большин-
стве видов конструктивизма (но не в финитизме), например в
интуиционизме, CRA (Марков [3]) и строгом конструктивизме.
Классически Ко^Кг- Чтобы увидеть эго, заметим сначала,
что для любого ре/<0 — К2 верно 00 = 0 (так как иначе
Р = Л/г0О(=#2 в силу К1), а также что Эх (Л/г0 (£ * п) е До — Кг).
Таким образом, если а е Ко— Кг, то по аксиоме зависимых
выборов существует у такая, что Vx (Л/га (ух * п) е Ко — Д2), и
поэтому Vx(a(yx) = 0). Но это противоречит тому, что аеКо,
так как последнее влечет Vy3xa(yx) =/= 0).
Обратное включение Кг 01 Ко верно и конструктивно: при-
меняем КЗ для Qas V03x(a(0x) =/= 0) и Qa = У пт (ап Ф 0
->а/г = а(/г * /и)).
Брауэровская «бар-теорема» сводится к принятию равенства
До = Д2 также и интуиционистски. (Широкое обсуждение см. у
Трулстры [7].) Мы можем доказать даже больше чем К2 cz
ci Ко, а именно следующее.
6.7. Лемма. Кг с: Кь
Доказательство. Применяем КЗ с Kia в роли Qa. □
Следующая лемма и теорема дают нам аксиоматизацию,
эквивалентную условиям К1 —3.
Лемма (индукция по необеспеченным последовательно-
стям). В EL* + K1— 3 мы можем вывести
IUS /<2a->[Vn(ara =?^= 0->Q'ra) Д Vn(VyQ'(n«^)->Q'n)-^.Q'( )],
Доказательство. Применяем КЗ к
Qa = Vm [V/г(art #= 0->Q'(m *n))
A Vn WyQ' (m*n* (m* «)) -> Q'm].
Это дает утверждение леммы, если взять т = < >. □
6.8. Теорема. IUS + Va(K2« -> Vnm(an ф 0 -> а/г==
= a(rt * rtt))) + KI — 2 дедуктивно эквивалентна КЗ относительно
системы EL*.
Доказательство. К1,2 доказываются легко. Чтобы уста-
новить КЗ, мы показываем, что при допущениях Уа(Л(а, Q)->
198
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
—>Qa) и К2а верно Qa; это можно сделать, применяя IUS к
Q'n = к та (п*т}<Е К2. □
Клини сформулировал (например, в К л и н и и Весли [1])
брауэровскую «бар-теорему» (индукцию по частичному упоря-
дочению вполне упорядоченного дерева) в виде
BId VaBxP (ax) A Vn {Pn V 1 Pn) /\ Vn {Pn -> Qn)
/\Vn(VyQ(n * t))-+Qn)->Q( >.
Чуть более сильная форма такова:
BI Va3xP(ax) A Vnm(P(n)->P(n * иг))
A Vn {P (n) -+ Q (n)) A Vn ((Vy {Q{n*Q)^Q (n)) - Q ( >,
6.9. Теорема. EL* + KI —3 H Ko = K2-> BID.
Доказательство. Допустим
VaSxP(ax), (3)
Vn(Pn^Qn), (4)
Vn{PnV ~]Pn), (5)
Vn (VyQ (n *&)-> Qn). (6)
Так как P разрешим, то функция 0, определяемая равен-
ствами
0п = 1 *-* Вт пРт,
0п = 0 в противном случае,
является элементом множества Ко ввиду (3). Положим теперь
Q'n =det Qn V 3m < пРт
и допустим, что Vz/Q'(n*$). Если Вт^пРт или Рп, то Q'n
(по определению Q' и (4)). Допустим, что ~\Вт ^пРпг, т. е.
~\Впг<п* $Рт для всех у; тогда ввиду Vz/Q'(n*$) верно
V#Q(n*$), следовательно, в силу (6) верно Qn и потому Q'n.
Мы показали теперь, что
Вт <пРт V ”1 Зиг <пРт->(^у(^(п * /))->Q'n)
и потому в силу (5) также
Vz/Q' (n*0)->Q'n.
Очевидно также, что
0и#= 0—>Q'n,
так что в силу леммы об IUS и равенства Ко = К2 мы находим,
что Q'O, следовательно, Q0, так как Зиг ОРиг исключено. □
6.10. Теорема. Схема BId эквивалентна BI относительно
EL* 4- CONT0.
Доказательство. Допустим BId, (3), (4), (6) и
Упт {Рп -> Р{п* т)).
Ц в. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. СХЕМЫ ВЫБОРА
109
В силу CONT0 имеется р е Ко такое, что
VaP(a(P(a))).
Мы полагаем
Р'п =def рп #= 0 Л 1th (п) £п — 1.
Тогда очевидным образом Va3xP'ax, и так как (в силу (7))
Р'п-+Рп, то также и Vn (Р'п->Qn). Утверждение Vn(P'nVnP^)
также очевидно, и потому Q0 следует по BId. □
6.11. Относительно системы EL* 4-CONT0 схема BI дедук-
тивно эквивалентна трансфинитной индукции
TI Va3x П (ax а(х + 1))-> [Vx(V# < xQy-> Qx) -> VxQx]
(где << — отношение, определимое в EL*).
Относительно EL* эквивалентны схемы TID (TI, ограниченная
разрешимыми формулами Q) и BId.
Доказательство. См. Говард и Крайзель [1],
следствие 1 к теореме 5В и теорема 6В. □
Следующая теорема аналогична импликации Ко = К2 -> BId,
выведенной выше.
6.12. Теорема. EL* Н Ко = К\ -> FAND, где FAND — схема
FANd VaBxX (а, х) Л Vn (An V П Ап)
-> 3zVP < Кх. 1 Эх < zA (рх).
Доказательство предоставляется читателю.
6.13. —6.16. Элиминация свободно становящихся последова-
тельностей.
6.13. Описание систем CSh, CSh, CS. Изложение в этом
и следующих двух пунктах местами по необходимости конспек-
тивно, но, по нашему ощущению, достаточно подробно для того,
чтобы дать хорошее представление о применяемых методах.
Полные подробности см. у Крайзеля и Трулстры [1] и
Т р у л с т р ы [5].
При обсуждении, приводимом ниже, мы будем рассматривать
теорию Н в языке L(H). Такой язык содержит: (1) числовые
переменные; (2) переменные для конструктивных функций
(а,Ь, с, d)\ (3) переменные для определенного класса К окре-
стностных функций (/(-переменными будут е, f, е').
Замечание. Если К — константа, определимая в Н (без
использования A-переменных), то добавление /(-переменных
дает системы, которые являются расширениями с помощью оп-
ределений для систем без /(-переменных.
Кроме того, L(H) содержит:
(i) все константы системы EL;
(ii) некоторые константы для элементов множества К\
200
ГЛ. б. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
(iii) некоторые константы для операторов типов N->/(,
К2-> А, К->К (в частности, k, ;, :); присутствие таких констант
вместе с их определяющими аксиомами неявно выражает опре-
деленные свойства замкнутости множества /(;
(iv) /(-абстракцию, обозначаемую через V: если ф есть
К-терм (= /(-функтор) и t — числовой терм, то Х'пф(<О)*/г) —
снова /(-функтор;
(v) операции |, ( ) со следующим правилом построения тер-
мов: если ф — /(-функтор, ф' — функтор, то ф|ф' есть функтор
(= функциональный терм), а ф(ф')— числовой терм.
Рассматриваемые системы Н аксиоматизированы на основе
многосортной интуиционистской логики предикатов, всех аксиом
и схем системы EL и схемы ACoi s AC — NF:
AC - NF Vx3aA (x, a) BbVxA (x, (b) J.
Имеются аксиомы для элементов множества К (различные
в разных приложениях), из которых следует, что
VeVb3x(e(bx) 0), (1)
Vn/n (еп ф 0 -► еп = е (п * /и)),
т. е. элементы К являются окрестностными функциями на об-
ласти значений функциональных переменных. (1) обосновывает
введение аксиом
е(а) = х++Эу(е(ау) = х +1), (2)
(e|a)(x)=r/*->32(eU*dz) = f/+1). , (3)
(2) и (3) показывают, что введение операций ( ) и | сводится
к расширению с помощью определений. Причина введения /(-пе-
ременных состоит в том, что это позволяет нам рассматривать
( ) и | как всюду определенные операции при условии, что
область значений первого аргумента ограничена /(-функциями.
Для Vx мы имеем
(Л'пе (jJ * п)) t = е (Л * /). (4)
С каждым элементом е множества К мы можем связать два
непрерывных функционала Фв: Nn->N и Nn->Nn таких, что
ФДа) = е(а), Тв(а) = е| а.
Для доказательства теорем об элиминации и их приложений
множество К должно удовлетворять определенным условиям
замкнутости, которые должны быть выводимы из аксиом си-
стемы Н для К.
Полный список СС этих условий замкнутости не нужен для
наших целей. Список СС, который в любом случае достаточен
для приложений, обсуждаемых ниже, см. у Трулстры [5].
§ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, СХЕМЫ ВЫБОРА
201
Среди прочего, СС выражает замкнутость относительно опреде-
ленных примитивно рекурсивных операций Д таких, что
(е; f)(a) = е(f| а), (е: f)\a = e\(f\e),
(e\a)(f\a) = (e /\
т. е.
Фе; fa = Фв (Wfa), fa = Фе д fa = (Wea) (Wfa).
Нам нужен также оператор, отображающий последователь*
ности на последовательности с начальным сегментом п. Пусть
k(n, т) — функция такая, что
' т = Jt * т' Д х < 1th (п) —> k (п, т) = (п)х,
* т— Л * т' Д х 1th (п) Л 1th (/и') > х->Л(п, т) = (т')х,
. k(n, т) == 0 во всех прочих случаях.
Мы будем предполагать, что СС обеспечивает \mk(n9 m)e
е/(; предполагая, что в L[H] выражение k(t) является /(-тер-
мом для каждого /, причем в Н выводимо k^m = А (и, /и), мы
можем ввести сокращение
п |aE==def £(rt) а.
Очевидно, что
а ^п->п\а = а,
(п\а)(х) = ах для x^lth(n).
Теперь система Н может быть следующим образом вложена
в соответствующую теорию CSH. Язык системы CS^ содержит
переменные а, р, 6, у для свободно становящихся последователь-
ностей, и правила построения термов в Н расширяются следую-
щим очевидным образом:
(1) Если t — числовой терм, ср — С-функтор (т. е. его подра-
зумеваемое значение — свободно становящаяся последователь-
ность), то ф/— числовой терм.
(2) Если ср — /(-функтор, ф' — С-функтор, то ф|ф' — С-функ-
тор, а ф(ф') — числовой терм.
(3) Если t — терм, то h"xt — С-функтор.
В системе CSh оператор % ограничен очевидным образом: Л
можно применять только к термам, не содержащим параметров
типа свободно становящихся последовательностей. Причина вве-
дения различных операторов абстракции X, X', X" состоит в том,
что мы хотим различать функторы, С-функторы и К-функторы
синтаксически. (Полное описание правил построения термов
см. у Крайзеля и Трул стры [1].)
Соглашение. Запись А (он, ..., ап) для формулы с пара-
метрами ой, ..., ап предполагает, что все параметры для cbq-
202
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
бодно становящихся последовательностей содержатся в списке
Ль ая.
К списку аксиом системы Н мы добавляем следующие:
А1 Va3x (е (ах) У= 0),
А2 Va3pA(a, P)~*BeVaA(a, е|а),
АЗ Va(Аа -> Ba) -> Ve [VaA (е | а) -> VaB (е| а)].
Чтобы получить систему CSh, мы добавляем также
А4 Va3aA(a, а)
-> ЗёЗЬУп (еп У= 0 -> VaA (п | a, КтЬ ({еп -=- 1) * /и))).
Используя условия замкнутости для К, мы можем показать,
что отсюда следует
Va3#A (a, е)-> 3e3fVn (епУ=0 -> VaA (n | a, K'mf ({еп — I) * т))).
В силу логики предикатов верны импликации, обратные к АЗ,
А4. Мы отметим следующее:
(i) А2 влечет различные формы Va3x-HenpepbiBHOCTH такие,
как
VaSxA (a, х) <-> SeVaA (a, е (a)),
VaSxA (a, x) <-> SeVn (en 0 VaA (n | a, еп ~ 1)).
Отметим, что VaA (n| a, en 1) Va e nA (a, en 1). Мы
предоставляем читателю вывод этих эквивалентностей из А2.
(ii) Еще одно следствие из А2 — «принцип специализации»
SP ЗаАа За А (Л"х. ах)
(где Аа не содержит отличных от а параметров для свободно
становящихся последовательностей). Чтобы установить это, за-
метим, что ЗаАа влечет Vp3aAa, следовательно, в силу А2, вер-
но VpA(e|p) для некоторой е, а потому А(е|Л/'х. 0).
(iii) Нетрудно показать, что
VaAa VaAa
для исходных формул А, так как истинность формулы Аа для
исходной А зависит только от конечных отрезков А: из того,
что Va(Aa V Аа), т. е. Va3x [(х = 0 Л Aa) V (х = 1 Л П Аа)],
следует, что ЗеЧп (еп =# 0->(Va е n Аа) V (Va е п Аа)). По-
этому, если VaAa, то Va е а И Аа исключено для всех п и,
таким образом, 3eVn(en =/= 0->Vasn Аа), что ввиду
Va3x(e(ax) =/= 0) влечет VaAa.
6.14. Описание элиминирующего отображения т. Это описа-
ние проводится индукцией по числу логических операторов, на<
ходящихся в области действия кванторов по свободно становя-
$ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, СХЕМЫ ВЫБОРА
203
щимся последовательностям (включая сами эти кванторы). Мы
предполагаем, что V элиминирована заранее с помощью экви-
валентности (XV В) Зх [(х = 0 -> Д) Д (х #= 0 -> В)]. Мы оп-
ределяем вспомогательное отображение ь-> для формул, начи-
нающихся с кванторов Уа, За и не содержащих свободно пере-
менных для свободно становящихся последовательностей. Об-
щая идея определения состоит в продвижении кванторов по сво-
бодно становящимся последовательностям как можно глубже
внутрь.
(i) ЗаЛаг—>ЗаДа,
(ii) УаДан->УаДа для исходных А,
(iii) Уа(Да Л Ва)>—> УаЛа Д УаВа,
(iv) Уа(Да-> Sa) ь—> Ve (УаД (e| a) -> VaB(e| a)),
(v) УаЗхД (a, x) 3eVn (en =/= 0 -> УаД (n | a, en — 1)),
(vi) УаЗ₽Д(а» ₽)ь->ВеУа(а, e|a),
(vii) УаУхД(а, x) УхУаД (a, x),
УаУаД (а, а) ь-> УаУаД (a, a),
УаУеД (a, e) ь—> УеУаД (a, e),
(viii) УаУрД (a, P) i—> УеУ/УаД (e | a, f | a),
(ix) УаЗаД(а, a)
ЗеВ&Уп (en =/= 0 -> УаД (n | a, Knb ({en — 1) * n))),
УаЗеД(а, e)
3e3fVn (fa =/= 0 —► УаД (n | a, k'nf ({en 1) * n))).
Применяя преобразование ь-> «до отказа», мы придем к фор-
муле, не содержащей ни переменных для свободно становящих-
ся последовательностей, ни кванторов по ним. Мы обозначим че-
рез т(Д) результат применения этого процесса к Д.
Замечания. (1) Отображение т не меняет формул си-
стемы Н.
(2) Случаи (i) — (viii) в определении отображения т доста-
точны для того, чтобы определить т на всех формулах Д, не со-
держащих ни кванторов Эе, Зав области действия кванторов
всеобщности по свободно становящимся последовательностям,
ни параметров для таких последовательностей.
Из введенных определений и замечаний, сделанных в 6.13
6.14, получается
6.15. Первая теорема элиминации, (i) Если А не
содержит кванторов За, Зе в области действия кванторов все-
общности по свободно становящимся последовательностям, то
CSH Н А т (Д).
204
ГЛ 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
(ii) Для формул, не содержащих свободно переменных для
свободно становящихся последовательностей,
CSH Н А т(А).
Доказательство. Каждый шаг отображения заме-
няет некоторую (под) формулу на эквивалентную формулу, как
можно видеть, просматривая все случаи в определении т и учи-
тывая различные следствия аксиом А1—А4, отмеченные в пре-
дыдущем пункте. □
Однако мы имеем больше. •
6.16. Вторая теорема элиминации.
Н Н т(А)ф=>CSH Н А.
Доказательство. Индукцией по длине вывода в CSh.
См. Крайзель и Трулстра [1], § 7.
Эти теоремы позволяют нам трактовать кванторы по сво-
бодно становящимся последовательностям в CSH как «обороты
речи», которые могут быть полностью разъяснены в Н.
6.17. —6.22. Некоторые приложения.
6.17. Пусть Н* —система, соответствующая системе Н, но
записанная с переменными а, 0, у, б вместо a, b, с, d. Пусть Г —
некоторое множество дополнительных постулатов, Г* — резуль-
тат их переписывания в языке Н*. Допустим, что
H* + r*c=CSS.
Для предложений А системы CSH, не содержащих кванто-
ров За, Зе в области действия кванторов по свободно стано-
вящимся последовательностям, мы имеем
CSH Н А <=> Н Н т(А).
Если А* означает результат переписывания формулы А е
е L[Н] в язык L[H*] и если
Н + Г НА,
то также и
Н* + Г*н А*
и, следовательно,
CSH Н А\
а поэтому НН(А*). Для арифметических А мы имеем А*^
»Ast(A*), а потому Н + Г консервативна над Н. Это на-
блюдение используется в следующих двух приложениях.
6.18. Теорем а. . EL + CONTi консервативна над EL +
+ АС — NF относительно арифметических предложений. Здесь
CONT1 — это схема Va3&A (а, Ь) -> Зе е К^аА (а, е | а).
§ б. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СХЕМЫ ВЫБОРА
205
Доказательство. Пусть Н — результат переписывания
аксиом системы EL + AC—-NF в язык L[H] по указанному
выше образцу, и пусть К = Ко— аксиомы для К. Тогда приме-
ним предыдущее наблюдение. □
6.19. Теорема. EL + CONTi + FAN консервативна над
EL + АС — NF относительно арифметических предложений.
Здесь FAN обозначает схему
FAN Va<U.13xA(ax)
-*3zVa^Xx.l3#V6 (az = bz->A(b, у)).
Доказательство. Аналогично предыдущей теореме, од-
нако на этот раз аксиомы для К— это К — К\. □
Замечание. Ввиду результата Гудмена [1] (доказан-
ного также другим методом у Минца [1]) о том, что EL-f-
+ АС — NF консервативна над НА, заключение теорем 6.18 и
6.19 может быть усилено до консервативности над НА.
6.20. Теорема. Пусть IDBi— это теория Н с аксиомами
К = К2 для К. Тогда система CSidb^CS консервативна над
IDBi.
Доказательство. Применим вторую теорему элимина-
ции. □
Отметим также, что если А не содержит V, 3 в области
действия квантора всеобщности по функциям, то легко прове-
рить, что Н Н т(А*) А (где, как и раньше, А* — результат
переписывания формулы А системы Н в язык системы Н*). До-
казательство проводится индукцией по числу логических опера-
торов, находящихся в области действия кванторов всеобщности
по функциям в А. В силу этого замечания отмеченные выше
приложения в теоремах 6.18 и 6.19 допускают небольшие уси-
ления.
6.21. Теорема. Пусть FIM— система
EL + АС - NF + BI + CONTj
(FIM — это по существу система из Клини и Весли [1]).
Тогда CS — консервативное расширение FIM.
Доказательство. (IDBi)* — подсистема FIM, если опре-
делить К как Ко — множество окрестностных функций (см.
6.2(1)).
Если мы возьмем любое предложение А в языке системы
FIM такое, что CS |— А, то
IDBj Нт(Л).
С другой стороны, из того, что Р1МН(т(Л))* и FIM I—
F‘((т(Л))* -4-> А (поскольку А не содержала кванторов Эе, Эа,
206
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
то не нужно использовать в доказательстве этой эквивалент-
ности постулат А4), следует, что FIM Н Л. □
6.22. Для использования в дальнейшем мы отметим следую-
щую лемму, доказательство которой предоставляется читателю.
Лемма. Пусть CS 1— Vet [УхЛ (х, а)-> Vu3vB(u, v, а)], где
Л, В — бескванторные формулы и а — единственный параметр
для свободно становящихся последовательностей, встречающий-
ся в Л, В. Тогда для системы IDBi из 6.20
IDBj 1— Va[VxA(x, а)-+ \/uBvB(u, v, а)].
6.23. Реализуемость с помощью функций. Клини дал новую
интерпретацию системы FIM (определенной в теореме 6.21) по-
средством реализуемости, которая интерпретирует FIM в В (по
существу EL*4-АС — NF + BI)—базисной системе, которая со-
вместима также и с классической логикой (см. Клини [7],
Клини и Весли [1]).
Это определение основано на непрерывной операции приме-
нения функции к аргументу вместо частично рекурсивной опера-
ции применения функции к аргументу:
а | р ~ у =def Vx (а (х * р min [а (£ * pz) =/= 0]) — 1 = ух).
Z
Если мы определим «почти отрицательные» формулы как
раньше, допуская теперь также и кванторы существования по
функциям, и запишем «а реализует Л(рь ..., р„) в этом новом
смысле» в виде «arM(pb prt)», то мы можем сформулиро-
вать теорему характеризации, аналогичную теореме 4.8.
Теорема, (i) Для почти отрицательных формул А имеет
место EL*H Л<->За(аг1Л).
(ii) Определим схему обобщенной непрерывности GC как
GC Va [Ла -> ЗРВ (а, Р)] -> 3yVa [Ла -> !у | а А В (а, у | а)]
для почти отрицательных Л, причем !у|а выражает условие
36 (у | а 6). Тогда
EL* + GC Н А+-> За(аг1Л) для всех Л,
H+GC Н Л <=> Н Н За(агМ) для H=EL*, EL*+BI, EL*+FAN.
§ 7. Беззаконные последовательности
7.1. В предыдущем параграфе мы привели только при-
близительное интуитивно правдоподобное рассуждение в
пользу аксиом непрерывности для свободно становящихся
последовательностей, а затем перешли к трактовке понятия сво-
f 7. БЕЗЗАКОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
207
бодно становящейся последовательности как «оборота речи».
В настоящее время неизвестно никакое действительно удовлет-
ворительное понятие свободно становящейся последователь-
ности, удовлетворяющее аксиомам CS; за обсуждением этой
проблемы мы отсылаем читателя к книге Т р у л с т р ы [7], при-
ложение С.
Имеется один пример простого понятия последовательности
(не определенной априори законом), где можно дать неформаль-
ное, но строгое обоснование аксиом (включая аксиомы непре-
рывности)— понятие беззаконной последовательности. Это поня-
тие осмысленно с интуиционистской точки зрения, но, конечно,
незаконно с точки зрения CRA.
Беззаконные последовательности легче всего описать сле-
дующим образом. Мы мыслим беззаконную последовательность
как процесс определения значений такой, что в конце концов
для любого данного натурального числа будет определен соот-
ветствующий член (значение) последовательности; однако на
любой данной стадии уже определено только конечное число
членов последовательности. Мы постулируем, что для любой
предписанной конечной последовательности п имеется беззакон-
ная последовательность, начинающаяся с п. Разумеется, мы мо-
жем рассматривать также последовательности, беззаконные от-
носительно данного (заданного законом) дерева с конечным
ветвлением; иными словами, мы знаем априори, что наша после-
довательность будет бесконечной ветвью дерева, но в остальном
эта последовательность беззаконна. Хорошая «модель» для без-
законной последовательности (со значениями х, 1 х 6)
дается последовательностью бросаний игральной кости при усло-
вии, что мы разрешим вначале конечное число произвольных
выкладываний кости. Различные беззаконные последователь-
ности можно отождествлять в этой модели с различными ко-
стями.
7.2. Вот несколько принципов, которые, как можно показать,
истинны для беззаконных последовательностей (буквы 8, т) ис-
пользуются как переменные для таких последовательностей):
Xe-*3/i[esn A Vt]gпАг]], (1)
VeBxA (в, х) -> Зе е Kls VsA (в, е (в)), (2)
где
е е Kls =def VeSx (е (Ъх) ¥= 0) Д Vnm {еп 0 -► еп = е {п ♦ т))
и «принцип распространения»
е е /Cls -> Va3x {е {ах) =/= 0). (3)
Как сказано в 7.1, мы постулируем также
VnBe(e^n). (4)
208
ГЛ 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Рассмотрим, например, (1). Допустим, что у нас есть дока-
зательство утверждения As. Так как это доказательство должно
быть завершено на определенной стадии, оно должно зависеть
исключительно от нашего знания о начальном отрезке последо-
вательности е (обозначим его через м), известном на этой ста-
дии. Следовательно, свойство А должно точно так же иметь ме-
сто и для всех беззаконных т] с начальным отрезком п.
Утверждение (2) можно обосновать в духе 6.2, но теперь
это даже более убедительно, так как для всех беззаконных по-
следовательностей на любой стадии известен только началь-
ный сегмент.
Принцип (3) утверждает, что окрестностные функции для
функционалов типа Nr'~*N на беззаконных последовательностях
автоматически распространяются на функционалы, определен-
ные также и на последовательностях, заданных законом. Обсуж-
дение принципа распространения см. у Т р у л с т р ы [7], 2.11.
Замечания, (i) Отметим, что обоснование принципа (1)
дано, естественным образом, в субъективистских терминах («что
знает на определенной стадии идеализированный математик»).
Обоснование аксиом для беззаконных последовательностей об-
суждается гораздо подробнее во второй главе книги Трулстры
[7]. Обоснование принципа (1) дает также еще один пример
вывода аксиом путем рассмотрения абстрактных понятий.
(ii) Беззаконные последовательности представляют не только
педагогический интерес, хотя здесь мы ввели их преимуще-
ственно для того, чтобы продемонстрировать возможность стро-
гого обоснования аксиом для понятия последовательности, яв-
ляющейся «незаконченным объектом», и использования субъек-
тивистских интерпретаций. Их дополнительные приложения
включают (1) построение универсумов последовательностей,
подходящих для (вещественного) анализа (ср. Тру л стр а [7],
гл. 4), и (2) обсуждение истинности и полноты интуиционист-
ской логики предикатов (см. § 9 и Тру л стр а [7], гл. 7).
§ 8. Принцип Маркова
8.1. Значительный интерес привлекает «схема Маркова», ко-
торую можно сформулировать в виде
М Vx (Ах V П Ах) АП! ЗхАх -> ЗхАх
(где формула А содержит только числовые параметры), а так-
же ее варианты и ослабления. Мы можем перефразировать М
следующим образом: пусть А — предикат от натуральных чисел,
допускающий проверку для каждого натурального числа, и мы
знаем из косвенных соображений, что должен найтись х такой,
§ 8. ПРИНЦИП МАРКОВА
209
что Ах; тогда мы верим, что вычислительная машина с неогра-
ниченной памятью (или алгоритм), запущенная на поиск числа
х такого, что Ах, в конце концов найдет такое число (если дать
ей достаточно времени). Эта перефразировка не подходит для
варианта, где мы допускаем в качестве параметров, например,
свободно становящиеся последовательности. И в действитель-
ности, так как М был впервые рассмотрен в контексте CRA
(ср. Марков [1]), его происхождение чисто механическое.
Тем не менее имеются интересные проблемы, связанные с об-
щезначимостью (аналога) принципа М, в котором присутствуют
нечисловые параметры, поэтому мы обсудим также (в 8.3) прин-
цип
М (<2Z) Va [~] И Зх (ах = 0) -> Зх (ах = 0)],
где предполагается, что а пробегает некоторый универсум °U
последовательностей.
Заметим, что сам принцип М в присутствии СТ0 эквивален-
тен своему частному случаю
MPR Vx// [И "1 3zTxyz -> 3zTxyz]
или, эквивалентным образом,
П ~1 ЗхАх -> ЗхАх (А примитивно рекурсивна).
8.2. Математические следствия принципов М и М(<2/). Про-
стое следствие, значительно упрощающее теорию вещественных
чисел и вещественных функций, таково.
Теорема. Для вещественных чисел, пробегающих R(<2/),
Vx (х #= 0 х # 0) <-> М (<2/).
Замечание. В присутствии АС — NN! (т. е. АС001),
Vx3l//A(x, у) -> 3aVxA (х, ах),
принцип М(<2/) эквивалентен варианту принципа М, в котором
допускаются параметры, пробегающие <2/.
Доказательство. Пусть xeR(^), <ran>„ х, х У= 0,
VA (| х — rak | < 2~fe). Так как х =Н= 0, имеем 4 k (| rak | < 2 ’fe)
и, следовательно, И 4 k (| rak 2^).
Неравенство | |2“^ выразимо в языке системы EL бес-
кванторным утверждением, поэтому в силу QF — АС имеется
функция Ь такая, что bk = 0 (| rak | < 2“fe). Вместе с М имеем
ЗА (| r^k 2“fe). Далее lx — ra*|<2-A? — 2~п для подходящего
и, следовательно, |x|^||ra^| — |х — ra*||>2“n, так что х#().
Обратно, если Vx (х #= 0->х # 0) и (sn)nsx, где (sn)n опре-
делена равенством sn = Q, если ~~\3у ^п(ау = 0), и sn = 2~k,
если k = min [ay = 0], ти Зу (ау = 0) х # 0, "| ~| Зу (ау — 0) <->
¥
210
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
<->х=/=0, следовательно, в силу Vx(x =# 0—>x# 0) полу-
чаем М. □
Гораздо интереснее теорема непрерывности в CRA: с по-
мощью М можно доказать непрерывность всех отображений из
полных сепарабельных метрических пространств в сепарабель-
ные метрические пространства (см., например, работу Моско-
вакиса [1], которая написана с точки зрения классического
рекурсивного анализа, но легко может быть приспособлена
к CRA)*). Мы не формулируем здесь наиболее общую теорему
этого рода.
У Бизона [1] (изложение имеется также у Трулстры
[3], § 3.9) показано, что НА + ЕСТ0 недостаточна для вывода
этой теоремы о непрерывности. Изучение доказательства этой
теоремы в CRA показывает, что непрерывность в этом случае
имеет место по причинам, совершенно отличным от тех, которые
приводят к непрерывности в случае свободно становящихся по-
следовательностей.
8.3. Принцип Маркова с параметрами для свободно стано-
вящихся последовательностей. Отметим прежде всего, что M(LS)
(т. е. М (<?/), где °U — универсум беззаконных последователь-
ностей), очевидно, ложен, так как
Va "1 ~| Зх (ах = 0) Д ~] Va3x (ах — 0).
Это усматривается следующим образом. "]Вх(ах = 0) вле-
чет существование числа п такого, что asn, Vpen~|3x (px=0),
а это очевидным образом ложно (возьмем реп*<0>). С дру-
гой стороны, из Va3x(ax = 0) следовало бы существование
такой функции е, что Va(a(e(a)) = 0), Va3x (е (ax)0),
Vnm (еп ф 0 -> еп — е (п * m)), Va3x (е (ах) Ф 0). Но тогда опре-
делено и выражение е(Лх. 1), причем его значение можно вы-
числить, исходя из (Ах. 1)г/ = п; поэтому, если мы выберем
lth(n)> еп— 1, то получится, что (Лх. 1)(еп -8- 1) = 0.
Для многих других понятий свободно становящейся последо-
вательности принцип Маркова также вызывает подозрения. Рас-
смотрим следующую весьма специальную форму:
Mpr Va Хх. 1 Д “| ЗхА (ах) -> П П Va Лх. 1ВхА (ах) (А при-
митивно рекурсивна).
Отметим, что Mpr следует из М (<?/), если а пробегает °U и
°U замкнут относительно непрерывных операций, заданных за-
коном. Мы имеем следующее
*) Конструктивный вариант этого доказательства изложен в Добавле-
нии \, — Прим. ред.
$ 8 ПРИНЦИП МАРКОВА
211
Предложение. Пусть Н — теория типа, описанного в
6.13, и пусть CS* аналогична CSh, но без Va3x(e(ax) =/= 0);
пусть °U — область значений переменных для свободно становя-
щихся последовательностей. Тогда:
(i)М(<?/)+ CS* Н Va3x(e(dx) #= 0),
(ii) CSh + Mpr H СТ, где, как и раньше,
СТ ЧаЗхУуЗг (Txyz f\ay = Uz).
Доказательство, (i) Любая е удовлетворяет (дока-
зуемо в Н) условиям
V63x (е (Ьх) =/= 0), Vnzn (еп ф 0 -> еп = е (п * пг)). (1)
Если ЗаАа замкнуто, то ЗаАа->ЗаАа: применим А2 из
6.13 к VpBaAa, тогда 3eVa4(e|a) и, следовательно, А(е|Л"х.О).
Применение этой импликации к 3a За (а = а) влечет проти-
воречие, следовательно, Va ~| За(а = а). Тогда из (1) следует
Vp-]“13x(e(px)#=0).
Теперь применяем М(<2/) с Лх(1—е(0х)) в роли а; тогда
V63x(e(Px)#=0).
(ii) Клини построил двоичное дерево с примитивно рекурсив-
ной характеристической функцией, которое фундировано относи-
тельно рекурсивных последовательностей, но не является равно-
мерно ограниченным (см., например, Клини и Весли [1],
лемма 9.8). Поэтому в предположении СТ имеется примитивно
рекурсивная ср такая, что
Va3x(qp(ax) #= 0),
Vnm (qpn =/= 0 -хрп = ф (п * ш)),
но фе/Ср С другой стороны, мы получаем Va ~] П Зх(ф(ах)=И=0)
так же, как в доказательстве (i), а потому вместе с Mpr
~| Va Лх. 1 (ф (ах) #= 0),
но это очевидным образом ложно, так как К Ki, но ф е К\
(где К\ определен в 6.6(1)), следовательно, ~^аЗхф(ах) =/=0). □
Замечания, (а) Свойство Va ~] "I За (а = а) критическое
в доказательствах (i) и (ii); оно ложно для беззаконных после-
довательностей.
(Ь) Результат из 9.5 показывает, что полнота системы IPC
влечет Mpr, а следовательно, ПСТ; здесь отношения и предмет-
ные области в определении общезначимости могут содержать
параметры для свободно становящихся и беззаконных последо-
вательностей, как указано в 9.5. Ср. также 9.3.
212
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 9. Истинностные семантики для интуиционистской логики;
общезначимость во всех алгебраических системах
9.1. Основные рассматривавшиеся в литературе интерпрета-
ции интуиционистской логики, имеющие характер истинностной
семантики, таковы:
(а) Оценки в полных псевдобулевых алгебрах (или псевдо-
булевозначных моделях, короче РВМ). Подробное рассмотрение
у Расёвой и Сикорского [1].
(Ь) Топологические модели (оценки в алгебре открытых
подмножеств топологического пространства). См., например,
Расёва и Сикорский [1]. Приложения у Скотта [1],
[2], Дж. Московакис [1]. Топологические модели — частный
случай РВМ.
(с) Модели Бета (главные источники — Бет [1], Крипке
[1]). Модели Бета — частный случай топологических моделей.
(d) Модели Крипке (Крипке [1], Фиттинг [1]; прило-
жения у Сморинского [1]). Модели Крипке определяют,
исходя из частично упорядоченных множеств; если ограничиться
счетными деревьями, то любая модель Крипке может быть с по-
мощью стандартной процедуры преобразована в модель Бета,
где выполнены те же самые предложения (см. Крипке [1]).
Модели Крипке — всегда частные случаи топологических моде-
лей.
Установленные классически теоремы о полноте для различ-
ных типов семантик, упомянутых выше, могут быть использо-
ваны для получения интересных результатов об интуиционист-
ских формальных системах — хорошие примеры можно найти у
Сморинского [1]. С помощью обходного пути (формализа-
ции доказательства теоремы о полноте в классической системе
и применения консервативности классических систем над соот-
ветствующими интуиционистскими системами относительно
Пг’формул) многие из этих результатов можно установить так-
же интуиционистски. Эти методы аналогичны по своему харак-
теру технике классической теории моделей, рассмотренной в
других местах в данном справочнике. Поэтому мы воздержимся
здесь от обсуждения этих семантик, а обратимся вместо этого
к понятию (интуиционистской или конструктивной) истинности
во всех алгебраических системах.
9.2. Общезначимость и полнота. Мы определяем «общезна-
чимость во всех алгебраических системах» совершенно анало-
гично классическому случаю.
Определение. Пусть Л(РЬ ..., Рп)—формула системы
IPC, причем все ее предикатные буквы содержатся среди
Pi, ..., Рп\ тогда мы полагаем
Val(4)-:^defVDVPt ... VPnAD(Pi, ..., Р„),
§ 9 ИСТИННОСТНЫЕ СЕМАНТИКИ
213
где D — (интуиционистски осмысленная) область, Р* — отноше-
ние над D с тем же числом аргументов, что Рд, и XD(P*, ..., Рп)
получается из А релятивизацией кванторов к D и заменой Рд
на Р/ (1 О).
Следующие результаты иллюстрируют влияние математиче-
ских допущений на экстенсионал выражения {ГДП: Vai (Л)}.
9.3. Теорема. При допущении СТ и ограничении областей
и отношений вполне определенными (т. е. не содержащими па-
раметров, не заданных законом) множество {ГДП: Vai (Д)} не яв-
ляется р. п. (Крайзель [7], изложение уван Далена [1]).
Замечание. В действительности ограничение вполне оп-
ределенными областями и отношениями может быть значитель-
но ослаблено.
С другой стороны, допустим, что мы взяли N в качестве D и
ограничили PJ отношениями на натуральных числах, содер-
жащими беззаконный параметр (точнее, беззаконный относи-
тельно дерева с конечным ветвлением). Тогда мы получим пол-
ноту для предваренных формул системы IPC.
9.4. Теорема. Для предваренных формул А
Val(4)->3xProofipC(x, ГЛ'1)
и
1 Эх Proof ipc (х, ГЛ‘,)->ЭР?... 3^“|Vs4N(Pt ..., Р*п),
где Р\ — предикат от натуральных чисел, зависящий от безза-
конного параметра 8.
Слабая форма Мрр принципа Маркова для свободно становя-
щихся последовательностей участвует в следующем результате.
9.5. Теорема (Дайсон и Крайзель [1], Крайзель
[4], Трулстра [7], гл. 7). Пусть в определении Vai (Л) об-
ласть D = N, Р* Nx(0, причем Р\ может содержать, кроме
параметров для беззаконных последовательностей, также и па-
раметры а для свободно становящихся последовательностей со
значениями 0,1, причем предполагается, что последние удовлет-
воряют условиям
Xfn е В3а(а s п),
Va lx. 1 ЗхА (йх) -> 3zVa Хх. 1 Зх хА (ах),
где А—бескванторная формула, и n^B=^i Vx < Ith(n)((n)x^l).
Тогда слабая полнота
Vai (Л)->-]-] Эх Proof ipC(x, ГЛ'1)
для всех А на IPC эквивалентна принципу Mpr.
Гораздо больше подробностей и спокойнее обсуждение смот-
ри у Трулстры [7], гл. 7, [8].
214
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 10. Алгебраические системы конечных типов
10.1. Язык L(N -• НА®). Совокупность Т конечных типов оп-
ределяется индуктивно:
(0 ОеТ;
(ii) а, т е Т =>(а)т е Т.
Модель для этой типовой алгебраической системы задают
путем указания множества Da каждого а е Т. В наших
примерах £>0 = N — множество натуральных чисел; О(о)т со-
стоит из множества операций (зависящего от модели), ставя-
щих объекты множества Dx в соответствие объектам множества
Do. Мы предпочли использовать нейтральный термин «опера-
ция» вместо «функция» или «отображение», так как использо-
вание этих последних выражений может навести читателя на
мысль о функциях, которые экстенсиональны в смысле класси-
ческой теории множеств, в то время как мы хотим рассматри-
вать также и модели, где функции неэкстенсиональны.
Язык L(N—НА®) содержит переменные для каждого типа
(ха, уа> za, и0, v°, мы часто не будем писать верхние
типовые индексы), равенство =а для всех типов о и константы
ОеО, Sg(0)0, Па, х е (а) (т) а,
£р. а. т S ((Р) {<*) *) ((р) О) (р) Т,
е(а)((0)(а)а)(0)а для всех р, а, tgI.
Здесь, как и в дальнейшем, мы используем запись t е о,
чтобы указать, что t — терм типа а. Операция аппликации
(применения функции к аргументу) типа (о)т к типу о также
присутствует и обозначается просто посредством приписыва-
ния; t\ ... tn является сокращением для (...((6^Нз)^4 ...)#«.
10.2. Теория N — НА®. Эта теория основана на многосортной
интуиционистской логике предикатов, обычных аксиомах для
функции следования, определяющих аксиомах для П, S, /?,
описываемых ниже, а для равенства, кроме симметричности,
рефлексивности и транзитивности, также и подстановочности
ха = у° —► z^xx° = z'
д;(а)т = ^а(т) _> xa^Za — уа^гв.
Начиная с этого места, мы часто не будем писать типовые
индексы, предполагая, что типы согласованы. Определяющие
§ 10 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КОНЕЧНЫХ ТИПОВ
215
аксиомы для П, 2, R таковы;
Пху = х, ^xyz = xz(yz), Rxy0 = x, Rxy (Sz) = y(Rxyz)z.
10.3. Модель для N — НА03. Подробная информация и даль-
нейшие ссылки на литературу относительно рассматриваемых
здесь моделей имеются у Т р у л с т р ы [3], гл. 2.
10.3.1. Операции LO, заданные законом (Гёдель [2] назы-
вает такую операцию «berechenbare Funktion» (вычислимая
функция)). D(0)T состоит из всех заданных законом операций,
которые всем элементам множества Dx ставят в соответствие
элементы множества Do. Исходя из интуитивного смысла тер-
мина «заданные законом», в этой модели очевидным образом
имеются представители операций П, 2, R. t=Gt' означает: /, t'
заданы нам одним и тем же законом ( = а—интенсиональное
равенство).
10.3.2. Наследственно рекурсивные операции. Полагаем
У0(х) =defX = X,
У(а) х (х) =def V// V03z (= Vx ({х} (у) ~ z).
Мы полагаем в этой модели £)0 = {(х, а): х<= Vo}, Апплика-
ция— это применение частично рекурсивной функции к аргу-
менту
({%}, (о)т)(у, (У) = ({%}(#), т)
и
(х, <У) = (Г/, o)=defX = Z/.
Мы можем показать, что HRO— модель системы N — НА03,
если сможем найти числа [0], [S], [По, т], [2Р, 0, т], [Ra] та-
кие, что выполнены определяющие равенства, например ([П],
(о)т) (х, о) (у, т) = (х, а). Это значит, что мы должны найти
[П] такое, что {{[П]} (х)} (#)~ х для хе Va, у е VT. Мы мо-
жем взять ХхХу.х в качестве [По, т]. Аналогично, [0] = 0,
[S] = Ax.x+l, [2Р)0, т] = Axj/z{{x} (г)}({у} (г)). Наиболее
сложен случай [/?0]; это число можно найти, применяя теорему
о рекурсии (что не нужно, если рекурсия уже находится среди
основных схем для рекурсивных функций).
HRO можно рассматривать как нечто вроде «рекурсивной
аппроксимации» к LO. С интуитивной точки зрения для LO
аксиома выбора
АС0, t Чх°ЗухА (х, у) 3zWxVx°A (х, zx)
является следствием смысла кванторной комбинации VxBz/
(но только в случае, если мы разрешим в качестве элементов
216
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
£>(0)Т неэкстенсиональные операции наиболее общего рода, оп-
ределенные на Da).
Для HRO непротиворечивость АС0, т доказуема относитель-
но НА; в действительности АС0, т для HRO выводима в НА 4-
+ ЕСТ0.
10.3.3. Наследственно эффективные операции НЕО. Экстен-
сиональная модель получается с помощью одновременного оп-
ределения для каждого ае Т отношения эквивалентности 1а и
области Wa:
I0(x, у)^х = у, 1У0(х, у) = х = х,
W (х, У) 33 (х) А 1У«т (у) A Vz е Wа ({х} (z) {у} (z)),
Г(0)х (х) Уу е Wa (3z е= Wx ({х} (у) г) А V/ е 1У0 (/„ (у, у')
~+1х({х}(у), {х} (/)))).
Теперь Da для этой модели состоит из пар (х, ст) с хе Wa.
Аппликация определяется, как и раньше, а
(х, ст) = о(г/, ст) = def la (х, у).
Интерпретация символов Ra, По, т, Sp, а, т, О, S строится так
же, как для HRO.
10.3.4. Интенсиональные непрерывные функционалы ICF(<2/).
Это аналог модели HRO, но теперь он основан на применении
непрерывного функционала к аргументу вместо применения
частично рекурсивной функции. Мы полагаем по определению
Vo(x) = x = x, И(а) = а = а,
V(0)o(a)== Vy е Vi Эх(а(у) ~х) (ст 0),
где
а(у) ~ х s def« (у min [а (уг) =£ 0]) = х + 1,
V(*o)a (a)s VxBy е Va (а | Лг.х у) (ст =# 0)
и для ст, х =£ 0
И(1а)г (а) в VP 6= V03y €= Vt (а | р у),
где (а | Р) ~ у = Vx (Zna(^ */г) (Р) ~ ух). Объекты типа 0 — это
пары (х, 0), а объекты типа ст при ст=/=0 — это пары (а, ст) для
а е Уа. Равенство интерпретируется так:
(а, ст) = 0(Р, ст) s def Vx (ах = рх),
§ 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КОНЕЧНЫХ ТИПОВ
217
а аппликация (для о,т #= 0) интерпретируется следующим об-
разом:
(а, 1)(х, 0) = (ах, 0), (а, (0)а)(х, 0) = (а|Хг.х, а),
(а, (ст)0)(Р, <т) = (а(р), 0), (а, (а) т) (0, а) = (а|0, т).
Из формализованной теории рекурсивных функционалов мы
получаем затем интерпретации констант /?а, Па, т, Sp, а, т, S, 0.
Свойства модели ICF(C2Z) зависят, конечно, от если °U
состоит из рекурсивных функций, то функционалы типа 2 в ICF
не обязательно равномерно непрерывны на ограниченных под-
множествах функций; если же удовлетворяет теореме о вее-
рах, то равномерная непрерывность имеет место.
10.3.5. Счетные или экстенсиональные непрерывные функ-
ционалы ECF(<2/). Это экстенсиональный аналог модели
ICF(c2Z), относящийся к ICF(<2/) примерно так же, как НЕО к
HRO (Клини [3], Крайзель [3]).
Другие модели системы N — НА®, которые мы не будем
здесь обсуждать, — это: (а) рекурсивные объекты высших ти-
пов, (Ь) модели из термов, (с) наследственно мажорируемые
функционалы (Говард [3]), (d) гибридная модель ICFr(<?/),
получаемая сохранением в ICF(#Z) только ее рекурсивных эле-
ментов.
10.4. Применения неэкстенсиональных моделей.
10.4.1. Как было замечено выше,' HRO можно рассматри-
вать как рекурсивную аппроксимацию к более «фундаменталь-
ной» модели LO. Е качестве объекта изучения HRO удобнее,
чем LO, так как она определена в терминах хорошо известных
понятий. Пример модели HRO показывает, что в понятии раз-
решимого неэкстенсионального равенства нет ничего парадок-
сального или несогласованного. В действительности HRO яв-
ляется моделью не только для N — НА®, но также и для теории
I — НА®, полученной из N — НА® добавлением констант £а,
удовлетворяющих соотношениям
1== % == аУ*
На I - НА® можно смотреть как на теорию объектов конеч-
ного типа со строгим (интенсиональным) равенством: два объ-
екта интенсионально равны (совпадают), если они даны нам
как один и тот же объект. HRO показывает также, что I — НА®
имеет простую модель. Утверждалось, что введение в язык ин-
тенсионального равенства зависит от смешения «применения» и
«упоминания». Но даже если допустить, что объекты типовой
алгебраической системы — это правила, заданные лингвистиче-
ским представлением, все еще остается различие между пра-
вилами как математическими объектами и их именами (и здесь
218
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
неважно, что эти имена могут содержать полные описания пра-
вил). Модель иллюстрирует эту ситуацию: все ее объекты
можно воспринимать как правила, но не все они имеют имена
(= замкнутые термы) в N—НА® или I—НА®. Систему
I — НА® можно интерпретировать как теорию правил, рассмат-
риваемых как объекты.
Отметим, что в описании таких моделей, как HRO, НЕО,
ICF, нам пришлось существенно использовать логику: напри-
мер определение множества Уо имеет логическую сложность,
возрастающую вместе с ростом сложности о.
10.4.2. Технические применения, (а) Одно простое применение
модели HRO получается непосредственно: I — НА® — консерва-
тивное расширение НА, так как интерпретация объектов выс-
ших типов в системе 1 — НА“ как элементов HRO оставляет
формулы системы НА (по существу) неизменными. (Анало-
гично, система Е—НА®, где равенство между объектами выс-
ших типов определяется посредством х{а}х = у(а)х = \/z° (xz = yz),
является консервативным расширением НА, что можно усмот-
реть с помощью НЕО.)
(Ь) Предыдущее применение все-таки содержало упомина-
ние о неэкстенсиональном равенстве в формулировке своего
результата. Более убедительны результаты, не упоминающие
неэкстенсионального равенства; такие результаты могут быть
получены путем сочетания с функциональными интерпрета-
циями (модифицированная реализуемость, гёделевская интер-
претация). Один такой пример приведен в 11.7.3, другие при-
меры см. у Трулстры [6], § 3 и в литературе, упомяну-
той там.
Узловой факт, на котором основаны эти приложения, со-
стоит в том, что схемы вроде СТ0, CONT0 имеют функциональ-
ную интерпретацию, только если мы допустим неэкстенсиональ-
ные модели для алгебраической системы конечных типов.
10.5. Бар-рекурсивные функционалы. Так называемые бар-
рекурсивные функционалы привлекали большое внимание с тех
пор, как были введены у Спектора [1]. Обзор см. у Край-
зеля [6].
Главная причина их включения в нашу главу — желание по-
казать, как получается гёделевская интерпретация для (части)
классического анализа (см. 11.8). Это в свою очередь будет
использовано при обсуждении конструктивизации классических
теорем в § 12. Мы не можем показать все шаги этого пути, но
собираемся дать читателю идею маршрута, по которому надо
следовать; подробности можно восстановить с помощью легко
доступных источников.
Расширим систему N — НА®, добавив типы ст4'для конечных
последовательностей объектов типа о вместе с соответствую-
§ 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КОНЕЧНЫХ ТИПОВ
219
щими переменными, а также некоторые очевидные аксиомы,
выражающие свойства длины, конкатенации (соединения после-
довательностей) и т. д. Результат является расширением с по-
мощью определений, так как мы можем отождествить объекты
типа о^со специальными последовательностями типа (О)сг, на-
пример, следующим образом.
Закодируем натуральные числа объектами высших типов,
полагая п0 = и, п(а)т = Пт>апх; тогда по кодирует число п объ-
ектов типа о. Тогда мы кодируем конечную последовательность
(4,..., объектом z(0)a таким, что
г(0)а(0) = иа, 2(0)a(z + 1) = х°
z(0)a (Z) = 0а для i > и.
Пусть теперь с — переменная типа а^, пробегающая конеч-
ные последовательности объектов типа о; примем обозначения,
аналогичные принятым для конечных последовательностей на-
туральных чисел, например ci*c2, 6 = <u>(uea), 1th(с).
Пусть [с] обозначает последовательность типа (О)сг такую,
что для с = <и0, ..., Ux-i) [c](0=wz для i<.x и [с] (i) = 0о
для i х.
Отметим для ссылок ниже, что можно определить оператор
Х-абстракции типа о индукцией по построению термов с по-
мощью соотношений
Axaxa = Sa , (а) а, о Па, (а) а Па, а ,
Лх.а/Т — Пт,0/\ если х не входит в /,
Axa/1/2 = S(Zx°/1)(XxaZ2).
Константы бар-рекурсии Вха (ранга о, уровня т) должны
тогда удовлетворять определяющим аксиомам
| У fcl < 1th (с) -> Во yzuc = zc,
BRa j y[c]^ 1th (c) Bo yzuc = U (hvBo yzu (c * 6)) c
(для z^(ctv->)t, z/e((0)o)0, и e ((о)т)(а<>)т.
Чтобы усмотреть (хотя бы классически), что BRa действи-
тельно определяет функционал, нужно предположить, что у не-
прерывен, т. е. что yz зависит только от некоторого начального
отрезка z; тогда Во yzuc определен непосредственно для
у [с] < lth(c), а для y[c]^lth(c) вычисление выражения
Во yzuc сводится к вычислению В} yzu (с * б) для всех v типа а.
Если множество последовательностей с таких, что у[с]
> 1th (с), составляет фундированное дерево (а классически
220
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
это — следствие непрерывности), то вычисление в конце кон-
цов сводится к случаю, когда у (с) < 1th (с).
Мы часто будем писать Во вместо Bj. BR = U BRa,
aeT
10.5.1. Определение. В1о обозначает схему
(1)A(2)A(3)A(4)->Q« »,
где
(1) Vz(0)o3xP(zx),
(2) Vcc'(Pc-+P(c*c')),
(3) Vc(Pc->Qc),
(4) Vc(VuQ(c * #)->Qc).
(Поэтому BI соответствует Bio.)
10.5.2. Теор е м а. ЕСТ (<2/) для универсума %, удовлетво-
ряющего схеме В1о, является моделью для BR0, BRb т. е. со-
держит элементы ([Во], </), ([ВТ], ст") для подходящих а', в",
которые удовлетворяют уравнениям для бар-рекурсий типов 0
и 1.
Доказательство (эскиз). Мы можем показать непо-
средственно или с помощью аналога теоремы о рекурсии
(Трул стр а [3], 1.9.16, 2.9.10), что существуют (примитивно
рекурсивные) функции е0, еь удовлетворяющие уравнениям для
BR0, BRi, но с вместо =. Чтобы показать, что где
i* — тип констант В/ для I = 0, 1 (что обосновывает выбор 8/
в качестве [в]?), нам нужны соответственно BI0, BIb Как по-
казано у Говарда и Крайзеля [1], теорема 7В, схему
Bl! можно получить из В1о; частные случаи «сильной аксиомы
непрерывности», нужные для доказательства, тривиально имеют
место для специальных случаев В1ь нужных здесь. □
§ 11. Гёделевская интерпретация
11.1. Некоторые соглашения и обозначения. Мы будем ис-
пользовать J, 9, g, u, Ж, §) для обозначения последовательно-
стей переменных конечных типов, !,©,£ — для последова-
тельностей термов конечных типов. Если $ = ($i, ..., srt),
Si €= (Т1) . . . (тт)а/, t = (Л, . . . , tm) , ti е Т/, ТО
= (Si^i • • • tm, • • •, &п1\ • • •
Для пустого t полагаем $t = $; для пустого $ считаем, что
пусто. V$ — сокращение для V$! ... Vsrt, V$t — для V$Vt;
аналогично для и B$t.
§ И ГЁДЕЛЕВСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
221
11.2. Определение перевода. С каждой формулой Aj языка
N — НА“ мы следующим образом свяжем другую формулу
^Ds3jVMo(j» 3). где Ло — бескванторная формула. Типы
переменных j, 9 зависят только от логической структуры фор-
мулы А; все свободные переменные формулы AD содержатся
среди свободных переменных формулы А.
d (i) Если А — исходная формула, то AD = AD = А. В осталь-
ных случаях пусть ADs3jVVAo(j, V)D> BD = 3uVinBo(u, fo) .
d (ii) (A A B)D 3juVvt® (A A B)D
= 3$uVptD [Ad [j, V]ABd[u, 1»]].
d(iii) (A V B)D s 3z°juVptt) (A V B]D
« 3z°juVVfo [(z = 0 —> Ad (j, V)) A (z =/= 0 ->
->BD(u, tx>)].
d(iv) (3zAz)d = 3zjVV(3zAz)d = 3zjVvAd(j, z).
d(v) (VzAz)D^3XVz?(VzAz)D = 33eVzVAD($z, p, z).
d(vi) Мы разобьем построение формулы (A->B)D на ряд
меньших шагов:
(A^B)^[3sVpAD->3uVh)BD]D (а)
= [Vj(VpAD->3uVh)BD]° (b)
^[Vj3u(VMD->Vn>BD)]D (с)
= [ V,r3uVro (VMD -> Bd)]d (d)
= [Vr3uVroH9(AD^BD)]D (e)
= [3U?)Vjtt>(AD(j, ?Jrw)^BD(Uj, rt>))]. (f)
(A^B)0 = 4(r, W»)^BD(Uj, n>).
11.2.1. Заметим, что в присутствии классической логики и
АС верно А° s А для всех А. Действительно (даже интуицио-
нистски), AD = A для исходных A, (A A B)D = (AD,j\,BD),
(AV B)D ss AD V BD, (3zA)D ^BzAD-, с помощью AC имеем
(VzA)D—>VzAD, а с помощью AC и классической логики —
(A->B)D—>-(AD — BD), что устанавливается просмотром шагов
(а) — (f). Эти результаты будут уточнены ниже в 11.5—11.6.
11.2.2. Отметим также, что:
(i) если A = 3jVpB с бескванторной В, то AD = A;
(ii) для бескванторной В имеем (ДД 3jB)D s(_|Vj“|B)D s
@ 3$Д “1 В; для интересующих нас расширений и подсистем сис-
темы N — НА“ бескванторные формулы разрешимы, так что
в таких случаях (Д Д 3jB)D 3jB.
222
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
11.2.3. Мотивировка определения формулы (Л->В)Л может
быть основана на двух принципах: (а) для установления импли-
кации ЗхАх -+ЗуВу предъявить функционал У, вычисляющий
у по х, т. е. такой, что Ax~+B(Yx)\ (b) для установления
импликации ЧхАх-+ЧуВу прочесть ее как Зу ~| Ву--> Зх “| Ах
и применить (а); еще одна контрапозиция дает А (Ху)By.
1.3. Определение. Пусть WE—НА" — система, анало-
гичная системе N — НА", но имеющая в качестве исходного
отношения только =0, с определением =0 (наследственно) со-
отношением
х(а)т = у(о)х = def Vxa (xz = yz)
и с правилом экстенсиональности
Н Р -> txx ... хп = sxj ... хп, Н At =>Р Н Xs,
где Xi, ..., хп таковы, что txx ... хп, sxx ... хп — числовые тер-
мы, Р — пропозициональная комбинация исходных формул (т. е.
равенство между термами типа 0) и хь ..., хп не входят в t, s.
qf-WE —НА", qf-I“HA" — это бескванторные части теорий
WE—НА", I — НА", в которых аксиома индукции заменена
правилом (для бескванторных Л)
Н Л0, Н Ах -> A (Sx) => Н Ах.
11.4.1. Теорема корректности. Для Н = WE — НА",
I — НА": если НИЛ, то для подходящей последовательности
термов t
qf-H Н VMD(t, Р).
Для большинства приложений достаточно более слабое
следствие.
11.4.2. Следствие. Для H = WE—НА", I — НА": если
НН ADi то HHVMd(M) для подходящей последовательности
термов t.
Доказательство. Доказательство проводится индук-
цией по длине выводов в Н. Большинство случаев рутинны, за
исключением проверки А->(АЛА) и индукции. Если нас инте-
ресует только установление следствия, то и рассмотрение ак-
сиомы индукции рутинно. Поэтому сосредоточим внимание на
Д->(АЛЛ). Предположим, что XD = 3yVpXD;
(A->AAA)d
= 3?)OWr[XD(j, Ш'П^ЛДХу, Р')Л Л, (Гу, V")].
Для нахождения решения сначала попытаемся взять Лу у
в качестве Г и S и будем искать §) со следующими свойствами;
»11. геДЕЛЕВСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
223
если AB(j,p') ложна, то и Ad(j, §)JVVZ) должна быть ложна,
чего в этом случае можно достичь, положив gjj/v" = 9'; если же
Ad(j,V') истинна, то мы хотим, чтобы §)^9'9" — 9"- Так как ис-
ходные формулы в I — НА“ и WE — НА“ разрешимы и имеют-
ся функционалы равенства, мы можем построить для каждой
бескванторной формулы Bj терм Тв такой, что Н7^ = 0—
таким образом, мы можем взять в качестве §) терм £, опреде-
ляемый разбором случаев:
( 9', если ТА jp' #= 0,
4 ( Г, если ТА£9' = 0. □
Использование разрешимости исходных формул здесь су-
щественно, как показывает пример У. А. Говарда (см., на-
пример, Трулстра [3], 2.7.8, 3.5.6): все функционалы си-
стемы N — НА“ непрерывны, но интерпретация формулы
Ууа П V«° ~1 (и = 0 у° = z°) непрерывным функционалом да-
вала бы "ТАу0 = z0 V ~\уа — za.
11.5. Лемма. Пусть IPo, М —схемы
ip; (VMS -* ЪуВу) -> Зу РъАъ - By),
М' “П BMs-*3jAs
(А бескванторна, у не входит свободно в А).
(i) Если Н = 1—HA“, WE—НАШ, F— частный случай
схемы IPo, М' или AC, FD = 3?VjFd(S> 9), то имеется после-
довательность t термов такая, что Н |- VjBD (j, t).
(ii) H + IPo + M' + AC I- A Ad для всех A.
Доказательство, (i) получается непосредственно, (ii)
доказывается индукцией по сложности формулы А. Единствен-
ный случай, требующий некоторого внимания, встречается при
выводе эквивалентности (А-> В)(А —> B)D из допущений
А Аь, В BD. Мы обозначаем формулы в квадратных скоб-
ках из определения формулы [A->B]D (случай d(vi) определе-
ния формулы AD) соответственно через (а), (Ь), ..., (f). Пере-
ход от А-* В к формуле (а) допустим по индукционному пред-
положению, переход от (а) к (Ь) — согласно интуиционистской
логике, переход от (Ь) к (с) требует 1Р0, переход от (с) к (d)
снова допустим средствами интуиционистской логики, переход
от (d) к (е) требует (М'), так как
(VMd -* BD) ++ BD V (1 BD A "I VMD)
V (1 А "ПЗ VI Ad)
*-> (с помощью M') BD v ("1 BD /\ 3 V1 Ad)
3 9 (BD v (1 BD a "I Ар)) 3 V (AD -> BD).
224
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Переход от (е) к (f) оправдывается к помощью АС. □
11.6. Теорема характеризации. Для Н = 1 — НА-,
WE— НА-:
(i) Н + М-4-IP-+ АС Н А AD,
(ii) Н + М- + IP.j> + AC Н А<=> Н Н AD.
Здесь М-, IP- — это схемы
М- Vj (А V П А) А "П 3jA -> 3jA,
IP® Vj (A V A) A (VjA -> ЗрВ) 3P (VjA -> B).
Доказательство, (i) и (ii) имеют место c IP', M'
вместо IP-, М-. С другой стороны, в WE — НА-, I — НА-
бескванторные формулы доказуемо разрешимы (для WE — НА-
это следует из того, что V х°у° (х = у У х^у)- теорема НА,
а для 1 — НА- — из присутствия Ео (см. 10.4.1)), поэтому IP6, М'
— следствия схем Л1-, IP^. С другой стороны, IP£, М- выво-
димы из IPg, М', АС, так как в силу АС
Vj (А V П АЬ 3ZVj (Zj = 0 -> А) Л (Zj #= 0 -> “] А)),
и, таким образом, после замены А на Zj = 0 схемы М- и IPg*
сводятся к М', IP'. □
11.7. Приложения гёделевской интерпретации.
11.7.1. Приложения в основаниях математики. Гёделев-
ская интерпретация и соответствующий перевод были введены
Гёделем [1]. Первоначальной целью было дать доказатель-
ство непротиворечивости для интуиционистской арифметики, а
следовательно (через отрицательный перевод, см. 3.8—3.10),
также и для классической арифметики путем элиминации логи-
ческих операторов посредством объектов высших типов; поня-
тие заданной законом (конструктивной) операции высшего типа
(LO в 10.3) рассматривалось как интуитивно понятное и закон-
ное расширение финитистских концепций.
Тейт [1] дополнил эти рассмотрения доказательством того,
что любой замкнутый терм типа 0 в исчислении Гёделя
(соответствующем нашей системе qf-WE—НА-или qf-I — НА-)
может быть вычислен и даст в качестве значения некоторое на-
туральное число; однако в его доказательстве была нужна
индукция по арифметически определимым предикатам неограни-
ченной сложности. У Говарда [2] и Хин а ты [1] было пока-
зано, как заменить это назначением ординалов <80 замкну-
тым термам с последующей бескванторной индукцией, и тем
самым была достигнута та же теоретико-доказательственная
редукция, что и в генценовском доказательстве непротиворечи-
вости для арифметики.
§11. ГЁДЕЛЕВСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
225
Вследствие этого остается под сомнением вопрос, была ли
достигнута настоящая редукция: ответ зависит от нашего мне-
ния о том, что является интуитивно очевидным. Стоит однако
отметить, что для систем вроде WE— НА®, I — НА® эта интер-
претация показывает, как логическая сложность может быть
«поглощена» сложностью, происходящей от объектов высших
типов.
11.7.2. Техническое приложение: правило Маркова. Одно
из наиболее известных и наиболее полезных приложений гёде-
левской интерпретации — установление замкнутости относи-
тельно правила Маркова
MR Н Уха(Л V ПЛ), Н "П ЭхаЛ => Н ЗхаЛ
для интуиционистских формальных систем (см. 11.9 (i)). Для
классических систем Нс, которые консервативны над соответ-
ствующими интуиционистскими системами Н (например, для
НА, см. 3.8—3.10) относительно отрицательных формул, замк-
нутость относительно MR влечет консервативность Нс над Н от-
носительно Щ-предложений
Нс н ППЭх°Х<=>Нсн П Н П Vx°n л
<=>Н h Зх°Л.
Как отмечено в 9.1, это можно использовать для интуицио-
нистского оправдания метаматематических результатов, полу-
ченных путем классических рассуждений о моделях Крипке.
Другие выводимые правила даны ниже в 11.9.
11.7.3. Техническое приложение: результаты о консерва-
тивном расширении, получаемые с помощью неэкстенсиональ-
ных моделей. Мы используем неэкстенсиональную модель
HRO для I — НА®, чтобы показать, что НА + М+1Ро + СТо
консервативна над НА относительно предваренных формул.
Пусть, например, Л е= Vxi3#iVx2B(xi, У\, х2,у2), В бесквантор-
ная, НА + М + 1Р0 + СТ Н Л.
Мы заметим, что (CT0)D имеет место в HRO, т. е. для лю-
бого частного случая F схемы СТ0 формула [Fd]Hro доказуема
в НА. Комбинируя это с теоремой корректности (11.4.1), мы
имеем НАН[Лп]няо, а так как НА Н [Ad]Hro->Л для предва-
ренных формул Л, мы имеем НА Н Л.
11.7.4. Конструктивизация классических теорем и доказа-
тельств (см. § 12). Для подготовки к этому приложению мы
обсудим в 11.8 распространение гёделевской интерпретации на
анализ.
11.8. Распространение на анализ. Мы сейчас расширим
WE — НА® до системы BRo, добавив правило BRa. Из работы
8 Справочная книга, ч. IV
226
ГЛ 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Говарда [1] мы можем извлечь следующее обобщение тео-
ремы корректности.
11.8.1. Теорема.
BR0 + АС + BI0 + М“ + IPo Н А <=> BRCT Ь AD.
(В10 определена в 10.5.)
11.8.2. Определение. А [-свертывание (а! — СА) — это сле-
дующая схема свертывания:
А} —СА Vz/[Va3xA(a, х, у) <-> ЗрУгВ (р, г, у)]
—*3yV// \уу = 0<->Va3xA (а, х, #)]
(А, В бескванторные). Существенно -А}-свертывание (сущ.-А}-СА)
формулируется аналогично, но сочетание Va3x заменяется на
цепочку Vai3x1Va23x2 ... Van3xn, a 3₽Vz — на 3PiV^13₽2V^2 ...
BprtVzn. В схемах А[-СА и сущ.-А[-СА могут присутствовать па-
раметры.
Отметим, что в присутствии V-AC01 (т. е. схемы АС0Ь огра-
ниченной чисто универсальными формулами) схема AJ-CA экви-
валентна сущ.-А}-СА.
11.8.3. Лемма. V-AC01 классически влечет AJ-CA.
Доказательство. Полагая
V = Vz/[Va3xA(a, х, у) SpVzB (р, г, у)]
(А, В бескванторные), мы имеем классически
VVz/3w[u = 0*-> Va3xA(a, х, z/)]
или эквивалентным образом
V->Vz/3u[(z/^0->3aVx~] А (а, х, у))
Л (u = 0->3pVzB(P, г, у))],
следовательно,
V Vz/3w3apVxz [(w У= 0-> ~] А (а, х, у)) А (и = 0-> В(р, г, у))]
и т. д.
11.8.4. Пусть F — частный случай схемы V-АСоь Тогда,
если F' — отрицательный перевод формулы F (см. 3.8), то
BRi H(F')D.
Доказательство. См. Говард [1]- □
11.8.5. Следствие. ELC + сущ.-Aj-CA Н А => BR1 Н (A )D.
Отметим, что сущ.-А[-СА включает арифметическое и ги-
перарифметическое свертывание (что легко усмотреть, манипу-
лируя кванторами).
11.8.6. 3 а м е ч а н и е. Говард [1] в действительности
устанавливает гораздо больше, чем сформулировано в нашей
§11. ГЕДЕЛЕВСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
227
теореме: полный классический анализ имеет гёделевскую интер-
претацию (через отрицательный перевод) в системе BR = (J BRd.
(JET
Трактовка Говарда является улучшением доказательства
Спектор а [1].
11.9. Теорема (выводимые правила, получаемые с по-
мощью гёделевской интерпретации).
(i) В WE — НАЫ или BRa имеет место MR:
MR Н Vxa(A V 1 Л), Н “П ЗхМ ЗхМ.
(ii) Пусть формула А предваренная, В бескванторная. Тогда
НАС Н Л-> ЧиЗоВ(и, ц)=>НАН A->Vu3vB(u, v).
(iii) Пусть формула С = A-^Vu3vB(u, v) такая же, как в
(ii), но V-кванторы в А могут быть только числовыми', тогда
ELC + сущ.-Д}-СА Н С => EL + В1о + АС01 Н С.
(iv) Если А чисто универсальная, то заключение в (iii)
можно усилить до IDBi k- С (где IDBi определена в 6.20).
Доказательство, (i) Пусть А содержит наряду с ха
дополнительный параметр ух. Допустим, что НУха(Л V~L4),
Н~ПЗ хаА, и допустим, что правило выбора
ACR I-Vxa3t/TA(x, y)=>Vx°X(x, tx)
уже установлено для Н (это можно сделать с помощью mq-pea-
лизуемости, см. Тр ул стр а [3], 3.7.2 (ii)). Тогда (так как
Vxa(A V “] А) ~ • Vx’3z((z =0 A А) V (z =/= 0 A “I А))) мы имеем
для подходящего t
Н txy = 0 ► Аху
и, следовательно, Н ~П 3x°(txy — 0). В силу замечания (ii)
в 11.2.2
HT3x’(to/ = 0))fl
влечет Н Bxa(txy — 0) и, следовательно, |- Эх°А.
(ii) Предположим для упрощения записи, что А = ЧхЭу С(х, у),
где С бескванторная, и пусть
НАС Н A-+V«3oB(m, о).
С помощью отрицательного Перевода получаем
НА Н Vx “П ЭуС (х, «/)->V«_]“13fB(M, v),
откуда
НА Н Vx3yC(x, 0)->Vm~]~]3i»B(«, ы)
8*
228
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
и, следовательно,
EL + АС01 Н С(х, ах)-> \fu ~]"l BvB(u, v),
а потому с помощью гёделевской интерпретации
WE - НА® Н С (х, ах) -> VuBvB (и, v).
Используя ECF в качестве модели для WE— НА®, получаем
EL НС(х, ax)^>VuBvB(u, v),
и, следовательно,
EL + ACoi Н Vx3#C(x, y)^VuBvB(u, v).
В силу результата Гудмена [1] или Минца [1]
(см. 3.4) отсюда следует, что НА Н УхВуС (х, y)—>VuBvB(u, v).
(iii) Очень похоже: на этот раз используем гёделевскую ин-
терпретацию в системе WE—HA® + BR0 + BRi и берем в ка-
честве модели ECF(°U), где °Н удовлетворяет EL -|- В1о; затем
применяем 11.8, 10.5.
(iv) Из (iii) с помощью леммы из 6.2.2.
11.10. Дальнейшие обобщения, ссылки на литературу. На-
иболее важное обобщение гёделевской интерпретации, приве-
денной здесь, — это обобщение на арифметику второго порядка
и теорию конечных типов с переменными для множеств у Жи-
рара [1], [2]; краткое изложение имеется у Трулстры [3],
1.9.27, 3.5.21.
Вариант, не требующий разрешимости исходных формул в
доказательстве теоремы корректности, см. у Диллера и
Н а м а [1].
§ 12. Локальные и глобальные конструктивизации
классических теорем
12.1. «Локальное» и «глобальное». С точки зрения логика,
разумеется, естественно спрашивать, имеются ли общие про-
цедуры, преобразующие классические результаты с классиче-
скими доказательствами в конструктивные результаты с кон-
структивными доказательствами. Такая процедура преобразо-
вания была бы, например, применима ко всем утверждениям,
доказуемым в данной классической системе Н; после преобра-
зования некоторой теоремы А вместе с ее доказательством в Н
результат был бы теоремой А* с конструктивным доказатель-
ством в конструктивно обоснованной системе И*.
§ 12. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ КОНСТРУКТИВИЗАЦИИ
229
Такой метод конструктивизации называется здесь1) «гло-
бальным» в противоположность «локальным» конструктивиза-
циям, т. е. специально подобранным конструктивным версиям
определенных классических теорем, которые получаются с ис-
пользованием конкретных данных каждой изучаемой теоремы.
Правдоподобно, что от локальных конструктивизации, полу-
чаемых с использованием конкретных данных изучаемой за-
дачи, можно в общем случае ожидать лучших результатов, чем
от глобальных методов в применении к той же самой задаче.
Интерес к глобальным конструктивизациям имеет две при-
чины.
(1) Путем сравнения с результатами, которые получаются
глобальными методами, мы получаем меру улучшений, дости-
гаемых путем локальных конструктивизаций.
(2) Даже там, где глобальные конструктивизации не опти-
мальны, они могут быть очень полезны в качестве вспомога-
тельных результатов (при получении локальных конструктиви-
заций других теорем).
12.2. Гёделевская интерпретация дает нам пример метода
глобальной конструктивизации. Большинство наших примеров,
приводимых ниже, зависит от следующих соображений. Основ-
ная масса теорем классического анализа использует лишь сла-
бые формы свертывания. Поэтому допустим, что для теоремы А
ELC + сущ.-Д}-СА Н А.
Если А имеет вид С —*Vu3vB с предваренной С и бескван-
торной В, то мы можем обратиться к 11.9 (iii) и получить
EL+BIo + ACo1 НА,
а если С чисто универсальная, то в силу 11.9 (iv)
IDBi Н А.
Многие теоремы действительно имеют вид C-+\/uBvB с
чисто универсальной С и бескванторной В, и единственное, что
нужно сделать для применения общего метода, — это проверить
для данного утверждения, что оно имеет нужный синтаксиче-
ский вид и что доказательство не требует большего чем сущ,
-AJ-CA. Для теорем, не имеющих нужного вида, часто очень
легко найти чуть более слабое или классически эквивалентное
утверждение, которое уже имеет нужный вид; в действитель-
ности гёделевская интерпретация может быть использована для
обнаружения требуемой переформулировки, см., например, 12.4.
9 «Глобальную» конструктивизацию иногда называют «тривиальной»
(потому что она получается стандартным методом). Конечно, не всегда три-
виально распознать «тривиальность» чего-нибудь!
230
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
До сих пор гёделевская интерпретация и тесно связанная
с ней интерпретация отсутствием контрпримера (см. гл. 2) были
единственными успешными методами глобальной конструктиви-
зации. Легко видеть, почему отрицательный перевод неудов-
летворителен в качестве метода конструктнвизации: хотя он
устанавливает, что классические теоремы, сформулированные
в отрицательном фрагменте, можно рассматривать как интуи-
ционистские теоремы, этот метод неинтересен, поскольку этот
перевод не дает утверждений с конструктивными В или V, т. е.
отсутствуют операции, интересные с точки зрения наивного кон-
структивизма (однако ср. Гельфонд [1]).
Бесполезны также реализуемость или модифицированная
реализуемость, так как эти интерпретации не реализуют все
частные случаи схемы А V ~1Л, а применение вначале отрица-
тельного перевода также не помогает, ибо реализуемость по су-
ществу не затрагивает отрицательных формул. В противопо-
ложность этому гёделевская интерпретация в применении к от-
рицательным утверждениям вводит (конструктивное) В.
Относительно еще одной возможности глобальной конструк-
тивизации, почти не исследованной до сих пор, см. Трулстра
[7], 6.12.
12.3. Теорема Больцано — Вейерштрасса или рассуждение
делением пополам. Мы предполагаем, что классический ана-
лиз вещественных чисел и функций формализован в теории ко-
нечных типов, так что множества натуральных чисел представ-
лены своими характеристическими функциями типа I, множе-
ства вещественных чисел — функционалами типа 2 и т. д.
Теорема Больцано — Вейерштрасса и утверждение о том, что
ограниченная последовательность вещественных чисел имеет
точную верхнюю грань, доказываются обычно методом деления
отрезка пополам, который после внимательного рассмотрения
формализуется с помощью арифметического свертывания. Тео-
рему о существовании точной верхней грани достаточно, как
легко видеть, доказать для последовательностей рациональных
чисел, поэтому мы сосредоточим внимание на этом случае.
Пусть (гап)п перечисляет последовательность рациональных чи-
сел, содержащуюся в [0, 1). Тогда
VO т < 2k [Зп (г0„ е= [т 2~к, (т + 1) • 2~к})
А П Зи (ran >(т 4- 1) •
Арифметическое свертывание дает функцию р такую, что
Vfe(3n(ra„e[pfe-2-\ + 1) • 2~k])
A-13n(ra„>(^+l)-2-ft)),
и (f№-2~k>k — это г. в. ч.л представляющий искомую точную верх-
нюю грань.
§ 12. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ КОНСТРУКТИВИЗАЦИИ
231
Аналогично для теоремы Больцано—Вейерштрасса.
Замечание. Такеути [1] показывает, что в действи-
тельности можно развить классический анализ в консерватив-
ном расширении арифметики Пеано, получаемом введением
множеств всех конечных типов с арифметическим свертыванием
без параметров.
12.4. Теорема о среднем значении и теорема Брауэра о не-
подвижной точке. Мы рассмотрим следующий частный случай
теоремы о среднем значении.
Для любой равномерно непрерывной вещественной фун-
кции f на [0, 1] такой, что f (0) = — 1, f (1)= + 1, име-
ется аргумент хе[0, 1] такой, что f(x) = O. (*)
Хорошо известное классическое доказательство проходит
следующим образом. Рассмотрим множество X = {rn: \fr^.rn
(f (г) < 0)} (где г — переменная, пробегающая рациональные
числа).
X — непустое ограниченное подмножество множества рацио-
нальных чисел из [0, 1] и потому имеет точную верхнюю грань
х<1; из соображений непрерывности f(x)^O; но f(x)<0 ис-
ключено (снова из-за непрерывности /), следовательно, f(x) = 0.
Рассмотрим теперь следующее ослабление утверждения (*).
Для любой равномерно непрерывной вещественной f
на [0,1] такой, что f(0) = —1, f(l) = +l, найдется
при любом k аргумент х е [0, 1] такой, что | f (х) | <
(**)
(Применение теоремы Больцано — Вейерштрасса к (**)
даст (*)•)
Это утверждение можно сформулировать в языке конечных
типов следующим образом. Пусть функционал Ф таков, что для
любого а последовательность <Г(Фа)п>п является соответствую-
щим г. в. ч. в стандартном представлении сегмента [0,1] (ср.
5.16); отметим, что
| Ха ~~ Г(Фа)п | 2
Пусть f — равномерно непрерывная вещественная функция.
Ее можно закодировать парой последовательностей а, 0 таких,
что (с использованием обозначения ах вместо (а)х) последо-
вательность <Г(Фах)Дг представляет f(rx), а 0 действует как мо-
дуль равномерной непрерывности:
Vnmk(0 <rn < 1 Д0<гп<1 А \г„ — гт |<
-> | Г(Фа„)(Я-2) — Г(Фат)(й+2) | < (1)
232
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Условия f(0) = —1, f(l)=+l выражаются (в предположе-
нии 0 = г0, 1 = п, которое мы примем для простоты) соотноше-
ниями
V* (I Л»..» + 11 < Vft (| - 1 | < 2-'«). (2)
Заключение нашего утверждения можно сформулировать в
виде
У£Вп(|г(Фал)*|<2-*). (3)
Поэтому
(1)А(2)->(3)
можно записать в виде \/хА —*\/иЗиВ(и, у), где Л, В бескван-
торные, и это утверждение установлено в системе ELC + сущ.
-AJ-CA, так что по 11.9 (iv)
IDB1H(l)A(2)->(3).
Этот результат довольно тривиален, и его легко можно полу-
чить непосредственно (в действительности достаточна система
EL-|-ACoi), причем он практически эквивалентен ослабленной
форме одномерной теоремы Брауэра о неподвижной точке (ср.
замечание 5.14). Интереснее заметить, что в точности та же
трактовка подходит для следующего ослабления многомерной
теоремы Брауэра о неподвижной точке.
Если f — равномерно непрерывное отображение из 1п
в Г(1 = [0, 1 ]), то VfeBx е Г (р (х, /х)<2“^), где р—евкли-
дова метрика.
Классическое доказательство теоремы Брауэра о неподвиж-
ной точке см., например, у Энгелькинга [1], с. 296—304
(или Канторовича и Акилова [1], с. 567—572. — Прим,
перев.).
Рассмотрим теперь конструктивный вариант теоремы о сред-
нем значении и покажем, (а) как можно найти конструктивный
вариант посредством гёделевской интерпретации и (Ь) как мы
можем получить некоторое усиление, используя гёделевскую ин-
терпретацию непосредственно, а не через результат о консерва-
тивном расширении из 11.9.
Теорема о среднем значении в своей классической форме мо-
жет быть выражена в языке конечных типов в виде
У№^ПУуПУх0А(у, х), (4)
где Чу^Су выражает (1)А(2) (С бескванторная), а А(у,х)
s | г(Фа(Фу)(Рл))« | < 2~л+2« Гёделевская интерпретация формулы
(4) принимает вид
Э//°УУХ(С//->А(УХ, X(YX)))>
§ 12. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ КОНСТРУКТИВИЗАЦИИ
233
что влечет
Vz/°Q/ ЗУVА4 (YX, X (YX)). (5)
Выбирая ky°.xQ в качестве X, имеем
Vy°Cy-+3YVx°A(Y(fa/.x)f х)
и, ослабляя, получаем
Vz/°Cz/—> Vx°3yA (у, х),
что эквивалентно утверждению (3).
С другой стороны, ослабляя (5) до
Vz/°Cz/-> УХЗуА (у, Ху)
и интерпретируя X как (экстенсиональный) непрерывный функ-
ционал типа 2 (действующий на теоретико-числовых функциях,
соответствующих г. в. ч.), мы получим в EL + BIo + ACor.
Для равномерно непрерывной f на [0, 1] такой, что
f(0) = —1, f \ = 1, для у, кодирующих г. в. ч., и для не-
прерывного функционала X типа 2
Vz/°Cz/-> VX23Y(I I < (^Y)"1)
(Крайзель [9]). Аналогичное улучшение можно получить
для теоремы Брауэра о неподвижной точке.
12.5. Теорема Вейерштрасса о приближении многочленами.
Эту теорему можно сформулировать следующим образом.
Любую равномерно непрерывную функцию на [0, 1]
можно для любого k приблизить с точностью до 2“fe
многочленом с рациональными коэффициентами. (1)
Предположим, что многочлены с рациональными коэффи-
циентами закодированы натуральными числами, будем запи-
сывать многочлен с кодом k в виде Pk. Пусть ср* — модуль рав-
номерной непрерывности для Pk на [0,1]. Мы пишем <р(&, п)
вместо ф^(п). Тогда
Vx <=IVy <= Z (| х - у | < Pkx-Pky\< 2"п).
Допустим, что f — равномерно непрерывная функция, коди-
руемая парой а, Р; мы обозначим через п выражение (а)*,
гдегх — k-2~n (0Й;&^2п),и полагаем
g (k, п, т) = Г(ф^к п})т, ф (Р, k, п) s max {рп, ф (k, п)}.
Отметим, что \f(k-2~n) — g(k, п, т) | < 2-п,+1. Теперь легко
проверить, что
У^<2-ч>(₽>Лп+2)(1г(^, Ф(Р, /, п + 2), п + 3)
__р 2“^’ Л+2Л I <* 2~ (2)
234
ГЛ 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
влечет
Vxe/(|M-Pz(x)l<2-") (3)
и что, обратно, (3) для п + 3 влечет (2). Поэтому, если Vt/Cy
обозначает формулу (1) из 12.3, мы можем сформулировать
теорему о приближении в виде
Vr/°Q/->Vn3Z(2),
а это выражение имеет нужный вид.
Читатель может сравнить этот метод получения теоремы
Вейерштрасса с прямым путем у Бишопа [1], с. 100.
12.6. Теорема Ролля. Другой довольно простой пример дает
следующее ослабление теоремы Ролля.
Если f определена на [0, 1], имеет там равномерно
непрерывную производную f' и /(0) = /(1) = 0, то для
любого k найдется хе [0,1] такой, что | f'x | < 2~А (*)
Отметим, что (как классически, так и конструктивно) функ-
ция с равномерно непрерывной производной сама равномерно
непрерывна. Таким образом f, f' кодируются соответственно
парами а, р и а', р'. Равенства /(0) = 0, /(1) = 0 также выра-
жаются чисто универсальным условием; функция у регулирует
сходимость отношений приращений к производной, т. е. мы оп-
ределяем условие «/' — производная функции /» через суще-
ствование у такой, что
х#у Л\х — у\< 2-vft -> | 2 — f'x | < 2_fe.
Наконец, мы можем обеспечить, что (а, р), (а\ Р') нахо-
дятся в отношении функции и производной, потребовав, чтобы
Vnmkl (0 < rn 1 Д 0 С rm < 1 /\гп^гт
N\rn — rm\<2-^kl\\rn — rm\>2~1
Г(Фап)(6+/)-г(Фат)(4+/)
---------------------<2 )•
Теперь мы можем применить наш результат о консерватив-
ном расширении, который дает существование конструктивного
доказательства теоремы Ролля, сформулированной в виде (*).
12.7. Дальнейшие примеры можно найти у Крайзеля [1],
где переформулированы некоторые классические теоремы о сте-
пенных рядах (от вещественной и комплексной переменной).
12.8. Пример «локальной» конструктивизации. Хотя опи-
санная выше ослабленная версия теоремы о среднем значении
иногда полезна, в математическом отношении интереснее найти
дополнительные условия, которые после добавления к посылке
ЛИТЕРАТУРА
23$
теоремы о среднем значении позволили бы нам сохранить пер-
воначальное сильное заключение. Одно из таких довольно оче-
видных дополнительных условий (Бишоп [1], с. 59, упражне-
ние 13) состоит в следующем:
V/г/ (0 < rk < 1 А 0 < rt < 1 А гк < rt
->3zj (гА < Г; < rz A Ifr,'I > 2'9) (1)
или, что сводится к тому же,
\/ху[х < у А хе [0, 1] А У е [0, l]-^3z «= [х, z/](|fz| > 0)].
Дополнительное условие (1) дает нам возможность приме-
нить стандартное рассуждение с делением отрезка пополам.
[1 31
-j-, -j- таково, что
если fri < 0, то положим [xh = \riy 1], в противном
случае положим [%ь у\\ = [0, rj. Предположим, что [хп, уп\ уже
т-т ГЗ , 1 1,31
построен. Пусть г, е= [j хп + - уп, — хп + z/nJ таково, что
frj #= 0; если frj < 0, положим [хп+ь уп+[] = [г/, уп], в против-
ном случае [x«+i, yn^i] = [х«, г/]. Легко видеть, что {[хп,уп])п
сходится к единственной точке; fxn < 0, fyn > 0 для всех п, сле-
довательно, для предела х верно fx = 0.
Конечно, нужно еще показать, что свойством (1) обладают
многие функции. Например, можно показать следующее (Б и -
шоп [1], с. 59, упражнение 14).
Если f (п+1) раз равномерно дифференцируема с произ-
водными f(1), f(2), ..., /(лг+1) и С > 0 — константа такая, что на
[а, Ь] (а < Ь) выполнено
\fx\ + \f^x\+ ... +\f^x\>c,
то имеет место (1). Условие (1) выполнено также для строго
возрастающих или убывающих функций.
ЛИТЕРАТУРА *)
Бенасерраф и Патнем (Benacerraf Р., Putnam Н., ed.)
1. Philosophy of Mathematics: Selected Readings. — Englewood Cliffs
(N. J.): Prentice Hall, 1964.
Бет (Beth E. W.)
1. The Foundations of Mathematics. — Amsterdam: North-Holland, 1959.
2nd revised ed. — Amsterdam: North-Holland, 1965.
*) Следующие источники содержат интенсивную библиографию: Рей-
тинг [3], [4], Клини [2], Клини и Весли [1], Тру л стр а [3], [7]
(все —об интуиционизме), Шанин [2], Кушнер [1] (о CRA), Драга-
лин [2]. См. также раздел конструктивной математики в Zentralblatt fur
Mathematik.
236
ГЛ 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Бизон (Beeson М. J.)
1. The nonderivability in intuitionistic formal systems of theorems on the
continuity of effective operations. — J. Symbolic Logic, 1975, 40, p. 321—
346.
Бишоп (Bishop E.)
1. Foundations of Constructive Analysis. — N. Y.: McGraw Hill, 1967.
Брауэр (Brouwer L. E. J.)
1. Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe. — Jber.
Deutsch Math.-Verein, 1924, 33, p. 251—256.
2. Consciousness, philosophy and mathematics. — In: Proceedings of the
10th International Congress on Philosophy, Amsterdam, 1948/Ed.
E. W. Beth and H. J. Pors. Amsterdam: North-Holland, 1949, p. 1235—
1249.
3. Historical background, principles and methods of intuitionism.—
South African J. Sci., 1952, 49, p. 139—146.
4. Points and spaces. — Canad. J. Math., 1954, 6, p. 1—17.
5. Collected Works. Vol. 1/Ed. A. Heyting. — Amsterdam: North-Holland,
1975.
Вейль (Weyl H.)
1. Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen fiber die Grundlagen der
Analysis. — Leipzig: Gruyter, 1918.
Рейтинг (Heyting A.)
1. Die intuitionistische Grundlegung der Mathematik. — Erkenntnis, 1931,
2, p. 106—115.
2. Logique et intuitionnisme. — In: Actes du 2е Colloque Internationale de
Logique Mathematique, Paris, 1952. Paris, 1954.
3. Les fondements des mathematiques. Intuitionnisme. Theorie de la
demonstration. — Paris: Gauthier-Villars; Louvain: Nauwelaerts, 1955.
4. Intuitionism, an Introduction. — Amsterdam: North-Holland, 1956. 2nd
revised ed. — Amsterdam: North-Holland, 1966. 3rd revised ed. — Am-
sterdam: North-Holland, 1972. [Русский перевод: Рейтинг А. Ин-
туиционизм. — M.: Мир, 1965.]
ГельфондМ. Г.
1. О соотношении классического и конструктивного вариантов построе-
ния математического анализа. — Записки научн. семинаров ЛОМИ,
1972, 32, с. 5—11.
Г е н ц е н (Gentzen G.)
1. On the relation between intuitionist and classical arithmetic. — In: The
Collected Papers of Gerhard Gentzen/Ed. M. E. Szabo. Amsterdam:
North-Holland, 1969, pp. 53—67.
Гёдель (Godel K.)
1. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie. — Ergebnisse eines
mathematische Kolloquiums, 1933, 4, S. 34—38.
2. Ueber eine bisher noch nicht beniitzte Erweiterung des finiten Stand-
punktes. — Dialecica, 1958, 12, S. 280—287. [Русский перевод: Гё-
дель К. Об одном еще не использовайном расширении финитной
точки зрения. — В кн.: Математическая теория логического вывода.
М.: Наука, 1967, с. 499—510.]
Гильберт и Бернайс (Hilbert D., Bernays Р.)
L Grundlagen der Mathematik, I. — Springer, 1934. [Русский перевод:
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логические
исчисления и формализация арифметики. — М.: Наука, 1979.]
Говард (Howards W. А.)
1. Functional interpretation of bar induction by bar recursion.—Compositio
math., 1968, 20, p. 107—124.
ЛИТЕРАТУРА
237
2. Assignment of ordinals to terms for primitive recursive functionals of
finite type. — In: Intuitionism and Proof Theory/Ed. A. Kino, J. Myhill
and R. E. Vesley. Amsterdam: North-Holland, 1970, p. 443—458.
3. Hereditarily majorizable functions of finite type. — In: Metamathematical
Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Analysis/Ed. A. S. Troelstra.
Berlin: Springer, 1973. p. 454—461.
Говард и Крайзель (Howard W. A., Kreisel G.)
1. Transfinite induction and bar induction of types zero and one, and the
role of continuity in intuitionistic analysis. — J. Symbolic Logic, 1966,
31, p. 325—358.
Гудмен (Goodman N. D.)
1. Intuitionistic arithmetic as a theory of constructions: Ph. D. Thesis.—
Stanford (Calif.): Stanford University, 1968.
Дайсон и Крайзель (Dyson V. H., Kreisel G.)
1. Analysis of Beth’s semantic construction of intuitionistjc logic. — Tech-
nical Report 3, Applied Mathematics and Statistics Laboratories. Stan-
ford (Calif.): Stanford University, 1961.
ван Дален (Dalen D. van)
1. Lectures on intuitionism.— In: Cambridge Summer School in Mathemati-
cal Logic/Ed. A. R. D. Mathias and H. Rogers. Berlin: Springer, 1973,
p. 1—94.
Диллер и Нам (Diller J., Nahm W.)
1. Eine Variante zur Dialectica Interpretation der Heyting-Arithmetik
endlicher Typen. — Arch. Math. Logik Grundlagenforsch., 1974,, 16,
S. 49—66.
ДрагалинА. Г.
1. Constructive mathematics and models of intuitionistic theories. — In
Logic, Methodology and Science, IV/Ed. P. Suppes et al. Amsterdam-
North-Holland, 1973, p. 111—128.
2*. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. —
М.: Наука, 1979.
Жирар (Girard J. Y.)
1. Une extension de 1’interpretation de Godel a 1’analyse, et son application
a 1’elimination des coupures dans 1’analyse et la theorie des types.—
In: Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium/Ed.
J. E. Fenstad. Amsterdam: North-Holland, 1971, p. 63—92.
2. Quelques resultats sur les interpretations fonctionelles. — In: Cambridge
Summer School in Mathematical Logic/Ed. A. R. D. Mathias and
H. Rogers. Berlin: Springer, 1973, p. 232—252.
И о н г де (Jongh D. H. J. de)
1. Formulas in one propositional variable in intuitionistic arithmetic.—
Report 73-03, Dept, of Math., University of Amsterdam, 1973.
Канторович Л. В., Акилов Г. П.
1* . Функциональный анализ в нормированных пространствах. — М.: Физ-
матгиз, 1959.
Клини (Kleene S. С.)
1. On the interpretation of intuitionistic number theory. — J. Symbolic
Logic, 1945, 10, p. 109—124.
2. Introduction to Metamathematics. — Amsterdam: North-Holland; Gronin-
gen: P. Nootdhoff; N. Y.: D. van Nostrand, 1952. [Русский перевод:
Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957.]
3. Countable functionals. — In: Constructivity in Mathematics/Ed. A. Heyt-
ing. Amsterdam: North-Holland, 1959, p. 81—100.
4. Realizability and Sanin’s algorithm for the constructive deciphering of
mathematical sentences. — Logique et Analyse, 1960, 3, p. 154—165.
5. Disjunction and existence under implication in elementary intuitionistic
formalisms, — J, Symbolic Logic, 1962, 27, p. 11—18,
238
ГЛ 5 АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
6. An addendum. - J. Symbolic Logic, 1963, 28, р 154—156.
7. Formalized recursive functionals and formalized realizability. — Mem.
Amer. Math. Soc., 1969, 89
Клини и Весли (Kleene S. C., Vesley R. E.)
1. The Foundations of Intuitionistic Mathematics, Especially in Relation
to Recursive Functions. — Amsterdam: North-Holland, 1965. [Русский
перевод: Клини С. К., Весли Р. Основания интуиционистской ма-
тематики.— М.: Наука, 1978.]
Колмогоров А. Н.
1. О принципе tertium non datur. — Матем. сб., 1925, 32, с. 646—667.
Крайзель (Kreisel G.)
1. Some elementary inequalities. — Indag. Math., 1952, 14, p. 334—338.
2 Mathematical significance of consistency proofs. — J. Symbolic Logic,
1958, 23, p. 155—182.
3. Interpretation of analysis by means of constructive functionals of finite
type. — In: Constructivity in Mathematics/Ed. A Heyting. Amsterdam:
North Holland, 1959, p. 101—128.
4. On weak completeness of intuitionistic predicate logic. — J. Symbolic
Logic, 1962, 27, p. 139—148.
5. Mathematical logic. — In: Lectures on Modern Mathematics, III/Ed.
T. L. Saaty. N. Y.: Wiley, 1965, p. 95—195.
6. Functions, ordinals, species. — In: Logic, Methodology and Philosophy
of Science, III/Ed. J. F. Staal and B. van Rootselaar. Amsterdam: North-
Holland, 1968, p. 145—159.
7. Church’s thesis: A kind of reducibility axiom for constructive mathe-
matics.— In: Intuitionism and Proof Theory/Ed. A. Kino, J. Myhill
and R. E. Vesley. Amsterdam: North-Holland, 1970, p. 121—150.
8 Which number theoretic problems can be solved in recursive progres-
sions on II?-paths through 0? —J. Symbolic Logic, 1972, 37, p. 311—334.
9. The need for abstract methods in mathematics: a topic for proof theory,
1973.
Крайзель и Кривин (Kreisel G., Krivine J. L.)
1. Elements de logique mathematique. — Paris; Dunod, 1966.
Крайзель и Трулстра (Kreisel G , Troelstra A.)
1. Formal systems for some branches of intuitionistic analysis. — Ann.
Math. Logic, 1970, 1, p. 229—387.
Крипке (Kripke S.)
1. Semantical analysis of intuitionistic logic, I. — In: Formal Systems
and Recursive Functions/Ed J. N. Crossley and M. A. E. Dummett.
Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 92—130.
Кушнер Б. A.
1. Лекции по конструктивному математическому анализу. — M.: Наука,
1973.
Марков А. А.
1. О конструктивной математике. — Тр. Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова, 67. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 8—14.
2. Essai de construction d’une logique de la mathematique constructive.—
Rev. Internat. Philos, 1971, 98, p. 477 - 507.
3. О языке Яо. — ДАН СССР, 1974, 214, с. 40—43.
4. О языке Яь —ДАН СССР, 1974, 214, с. 279—282.
5. О языке Я2. —ДАН СССР, 1974, 214, с. 513—516.
6. О языке Яз. — ДАН СССР, 1974, 214, с. 765—768.
7. О языках Я4, Я5, ... — ДАН СССР, 1974, 214, с. 1030 -1034.
8. О языке Яо-—ДАН СССР, 1974, 214, с. 1265-^-1268.
9. О языке ЯШ1. - ДАН СССР, 1974, 215, с. 57—60,
ЛИТЕРАТУРА
239
Мартин-Лёф (Martin-Lof Р.)
1. Notes on Constructive Mathematics. — Stockholm: Almqvist and Wiksell,
1970. [Русский перевод: Мартин-Лёф П. Очерки по конструктив-
ной математике. — М.: Мир, 1975.]
2. An intuitionistic theory of types: predicative part. — In: Logic Colloqium’
73/Ed. H. E. Rose and J. C. Shepherdson. Amsterdam, North-Holland,
1975, p. 73—118.
Мейо (Mayoh B.)
1. Unsolvable problems in the theory of computable numbers. — In: Formal
Systems and Recursive Functions/Ed. J. N. Crossley and M. A. E. Dum-
mett. Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 272—279.
Минц Г. E.
1. Финитное исследование трансфинитных выводов. — Записки научи, се-
минаров ЛОМИ, 1975, 49, с. 67—122.
2. Теория доказательств (Арифметика и анализ). — В кн.: Итоги науки
и техники, сер. алгебра, топология, геометрия, 1975, 13, с. 5—49.
Минц Г. Е., Оревков В. П.
1. О погружающих операциях. — Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1967,
4, с. 160—167.
Московакис Дж. Р. (Moschovakis J. R.)
LA topological interpretation of second-order intuitionistic arithmetic.—
Compositio math., 1973, 26, p. 261—275.
Московакис Я. H. (Moschovakis Y. N.)
1. Recursive metric space. — Fundam. math., 1964, 55, p. 215—238.
2. Notation systems and recursive ordered fields. — Compositio math., 1965,
17, p. 40—71.
Нагасима (Nagashima T.)
1. An extension of the Craig-Schutte interpolation theorem. — Ann. Japan
Assoc. Philos. Sci., 1966, 3, p. 12—18.
Оревков В. П.
1. Конструктивное отображение квадрата в себя, сдвигающее каждую
конструктивную точку. — ДАН СССР, 1963, 152, с. 52—58.
2. О конструктивных отображениях круга в себя. — Тр. Матем. ин-та
АН СССР им. В. А. Стеклова, 72. М.: Наука, 1964, с. 437—461.
П р а в и ц (Prawitz D.)
1. Natural Deduction, a Proof-Theoretical Study. — Stockholm: Almqvist and
Wiksell, 1965.
Расёва и Сикорский (Rasiowa H., Sikorski R.)
1. The Mathematics of Metamathematics. — Warsaw: PWN — Polish Scien-
tific Publishers, 1963. [Русский перевод: Расёва E., Сикор-
ский P. Математика метаматематики. — М.: Наука, 1972.]
Скотт (Scott D. S.)
1. Extending the topological interpretation to intuitionistic analysis.—
Compositio math., 1968, 20, p. 194—210.
2.'Extending the topological interpretation to intuitionistic analysis, II.—
In: Intuitionism and Proof Theory/Ed. A. Kino, J. Myhill and R. E. Ves-
ley. Amsterdam: North-Holland, 1970, p. 235—255.
С м op и некий (Smorynski C. A.)
1. Applications of Kripke models. — In: Metamathematical Investigation
of Intuitionistic Arithmetic and Analysis/Ed. A. S. Troelstra. Berlin:
Springer, 1973, p. 324—391.
Спектор (Spector C.)
1. Provably recursive functionals of analysis: a consistency proof of
analysis by an extension of principles formulated in current intuitionistic
mathematics. — In: Proceedings of the Symposia in Pure Mathematics
V/Ed. J. С. E. Dekker. Providence (Rhode Island): A. M. S., 1962,
p. 1-27.
240
ГЛ. 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ
Т а к е у т и (Takeuti G.)
1. A conservative extension of Peano arithmetics. — University of Heidel-
berg, 1972.
Тейт (Tait W. W.)
1. Intensional interpretations of functionals of finite type, I. — J. Symbolic
Logic, 1967, 32, p. 198—212.
Трулстра (Troelstra A. S.)
1. Principles of Intuitionism. — Berlin: Springer, 1969.
2. Notions of realizability for intuitionistic arithmetic in all finite types.—
In: Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium/Ed.
J. E. Fenstad. Amsterdam: North-Holland, 1971, p. 369—405. Исправле-
ния в Zentralblatt, 227 (02015).
3. (ed.) Metamathematical Investigation of Intuitionistic Arithmetic and
Analysis. — Berlin: Springer, 1973.
4. Notes on intuitionistic second order arithmetic. — In: Cambridge Summer
School in Mathematical Logic/Ed. A. R. D. Mathias and H. Rogers.
Berlin: Springer, 1973, p. 171—205.
5. Note on the fan theorem. — J. Symbolic Logic, 1974, 39, p. 584—596.
6. Non-extensional equality. — Fundam. math., 1975, 82, p. 307—322.
7. Choice Sequences, a Chapter of Intuitionistic Mathematics. — Oxford:
Clarendon Press, 1977.
8. Completeness and validity for intuitionistic predicate logic.— In: Pro-
ceedings of the Seminaire international d’ete et Colloque international
de Logique a Clermont-Ferrand, July, 1975. CNRS, 1977.
Фиттинг (Fitting M.)
1. Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing. — Amsterdam: North-
Holland, 1969.
Фридман (Friedman H.)
1. Some applications of Kleene’s methods for intuitionistic systems. — In:
Cambridge Summer School in Mathematical Logic/Ed. A. R. D. Mathias
and H. Rogers. Berlin: Springer, 1973, p. 113—170.
X и н а т a (Hinata S.)
1. Calculability of primitive recursive functionals of finite type. — Science
reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku A, 1967, 9, p. 218—235.
Ц e й т и н Г. C.
1. Алгоритмические операторы в конструктивных полных сепарабельных
метрических пространствах. — ДАН СССР, 1959, 128, № 1, с. 49—52.
Шанин Н. А.
1. О конструктивном понимании математических суждений. — Тр. Матем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 52. М.: Изд. АН СССР, 1958,
с. 226—311.
2. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональ-
ные пространства. — Тр. Матем. и'н-та АН СССР им. В. А. Стеклова,
67. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 15—294.
3. О конструктивном понимании опорных формул 1. — Тр. Матем. ин-та
АН СССР им. В. А. Стеклова, 72. М.: Наука, 1964, с. 348—379.
4. Об иерархии способов понимания суждений в конструктивной мате-
матике.— Тр. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 129. М.:
Наука, 1974, с. 203—206.
Шютте (Schutte К.)
1. Der Interpolationssatz der intuitionistischen Pradikatenlogik. — Math.
Ann., 1962, 148, S. 192—200. [Русский перевод Шютте К. Интерполя-
ционная теорема для интуиционистской логики предикатов.—В кн.: Ма-
тематическая теория логического вывода. М.: Наука, 1967, с. 285—295.]
Э н г е л ь к и н г (Engelking R.)
1. Outline of General Topology, — Amsterdam: North-Holland; Warsaws
PWN — Polish Scientific Publishers; N. Y.: Wiley, 1968.
Глава 6
ЛОГИКА ТОПОСОВ
Майкл П. Фурман
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение.....................................................241
§ 2. Предварительные сведения из теории категорий................242
§ 3. Логика частичных элементов...................................246
§ 4. Категории из логики..........................................252
§ 5. Топосы.......................................................255
§ 6. Логические конструкты в топосах..............................258
§ 7. Интерпретации в топосах......................................263
§ 8. Топосы как теории............................................271
Литература....................................................276
§ 1. Введение
Цель этой главы — дать подходящее для изучения изложе-
ние соответствия между топосами и теориями, которое уточнит
утверждение Ловера о том, что «понятие топоса концентрирует
в объективной категориальной форме сущность «логики выс-
шего порядка» (Л о в ер [3]). Оказалось, что элементарные то-
посы соответствуют теориям в весьма естественной логике, фор-
мально— в интуиционистской теории типов (с полной аксиомой
свертывания). Рассматриваемые теории дефинициально полны
(это понятие определено в § 6) и любая теория имеет очевид-
ное дефинициональное пополнение. Утверждение о том, что то-
посы соответствуют теориям, не означает отрицания того, что
некоторые топосы можно рассматривать как модели для нашей
логики. Модели можно синтаксически описывать «диаграмма-
ми», поэтому можно говорить, что теории включают модели.
Согласно нашей точке зрения, топосы в общем случае можно
рассматривать как теории. В частности, некоторые топосы, воз-
никающие семантически, более понятны как теории, чем как
модели. Таким образом, мы рассматриваем теорию топосов как
«алгебраическую» форму интуиционистской логики высших по-
рядков.
Формализация нашей логики была разработана в 1973 г. в
ходе совместных семинаров с Даной Скоттом. Связь с топосами
была впервые описана автором на неформальном собрании
Монреальского семинара по высшей математике в 1974 г. и ео-
242
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
ставила основу его диссертации (Фурман [1]). Формальные
системы, соответствующие топосам, были независимо описаны
другими авторами, например, Костом [1], Буало [1]. В их
системах нет основной новой черты нашей формализации — пре-
диката существования, и поэтому они вынуждены накладывать
неуклюжие ограничения на правило модус поненс. Как отметил
Л о вер [3], эти ограничения вызваны недостатками в тради-
ционной интерпретации переменных. Мы категорически несо-
гласны с тем, что из-за этого «следует отбросить ... тради-
ционный логический метод обращения с переменными». Можно
очень многое сказать в пользу традиционного использования
переменных, и есть гораздо менее радикальные средства ис-
правления недостатков.
Основная цель введения предиката существования — естест-
венная формализация логики частичных элементов (в случае
пучков — это сечения, возможно не являющиеся глобальными).
Модифицируя интерпретацию свободных переменных (разре-
шая им пробегать частичные элементы), мы можем продолжать
обращаться с переменными привычным образом, сохраняя фун-
даментальную транзитивность следования. Конечно, различные
формальные системы, соответствующие топосам, взаимоперево-
димы (через топосы, если угодно). Какую из них предпочесть —
в основном вопрос вкуса.
Еще одна цель этой главы — дать изложение топосов, до-
ступное логику. Именно, Ловер осознал, что определенные логи-
ческие конструкции (например, образование степеней-типов)
можно интерпретировать в категориях пучков, т. е. в топосах
Гротендика, и это привело к аксиоматизации элементарных то-
посов (Ловер [1], Ловер и Тьерне [1]). Мы считаем, что
основательное понимание интуитивных соображений Ловера
даст логику возможность использовать многочисленные модели,
которые дали Гротендик и .его сотрудники (см., например,
Артин, Гротендик и Вердье [1]). Они могут быть по-
лезны не только при изучении чистой логики, но также и при
поиске приложений логики, обобщающих применения булево-
значных моделей вне теории множеств (см. Скотт [1], Та-
кеути [1], Руссо [1]).
Я благодарен Дане Скотту за многочисленные стимулирую-
щие беседы и за его подробную и конструктивную критику этой
работы на всех ее стадиях.
§ 2. Предварительные сведения из теории категорий
Нужные нам понятия из теории категорий совершенно эле-
ментарны. Мы даем здесь их обзор, так как во вводных курсах
они часто излагаются несколько усложненно. Мы избегаем ис-
§ 2 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
243
пользования общих понятий вроде предела или сопряженности
не потому, что считаем их неважными. Дело в том, что для на-
ших нынешних целей необходимо четко оговорить элементар-
ные свойства (в терминах объектов и морфизмов), которые
слишком часто оказываются скрытыми за абстрактными опре-
делениями. Более общее обсуждение, выявляющее лежащее в
основе единство многих внешне различных конструкций, см. у
Маклейна [1] (особенно главы III и IV).
Мы будем считать, что читателю известно, что такое катего-
рии и функторы (гомоморфизмы категорий). Мы будем наме-
ренно использовать одно обозначение для объекта А и единич-
ного морфизма А: А->А. Если даны морфизмы f: А-+В и g:
В-^С, то мы записываем их композицию в виде g°f\ А-+С.
2.1. Определение. Категория с конечными произведе-
ниями имеет, во-первых, терминальный объект 1 (произведение
пустого семейства) с тем свойством, что существует единствен-
ный морфизм А -> 1 из любого объекта А в 1. Во-вторых, для
любой пары Д, В объектов имеется произведение А\В, осна-
щенное проекциями ль л2 такими, что для любой пары морфиз-
мов f: С->Д и g: С-^В имеется единственный морфизм (f,g):
С-^А\В, для которого коммутирует следующая диаграмма:
Мы обозначаем через h X k морфизм <ftojii, Д ХВ->
->СХ£>, где ft: Д->С, k\ B-+D.
Замечание. В некотором смысле понятие категории с ко-
нечными произведениями является эквациональным (или, по
существу, алгебраическим). Коммутативность приведенной
выше диаграммы означает наличие двух равенств
"я ° (Л g) = f, я2 о (f, g) = g.
Единственность морфизма <Д g} означает наличие дополни-
тельного равенства
oft, tt2oft) = ft.
Уточнение всего этого требует рассмотрения алгебр с час-
тичными операциями (категория с конечными произведениями —
244
ГЛ 6 ЛОГИКА ТОПОСОВ
это как раз такая алгебра, см. Скотт [2]). Аналогичные за-
мечания применимы к следующим понятиям: категория, катего-
рия с конечными пределами, декартово замкнутая категория и
топос.
2.2. Определение. Категория декартово замкнута, если
она обладает конечными произведениями и для каждой пары
А, В объектов мы имеем экспоненту ВА и оценочный морфизм
ev: АХВА->В
такие, что для любого f: А\Х-^В имеется единственный
J; Х-> ВА такой, что
еуоЛХ| = /
(причем условие единственности можно наложить в эквацио-
нальной форме (ev ° А X g)A = g)- Мы назовем f и f транспо-
зициями друг друга.
2.3. Определение. В произвольной категории для дан-
ных морфизмов f, g: А-*-В мы скажем, что е: Х-*-А есть урав-
нитель морфизмов f и g, если верно f <>е — g °е, и для любого
h: Y->-A такого, что f°h = goh, имеется единственный k:
Y -> X такой, что е о k = h. В этом случае говорят, что
В
8
— это диаграмма уравнителя.
2.4. Определение. Квадрат (f, f', g, g') в приводимой
ниже диаграмме называется универсальным или декартовым
(pullback), если верно f°f' = g°g', и для любой пары k, h мор-
физмов такой, что f ° k = g ° h, имеется единственный морфизм
е такой, что f' о е = k и g' ° е — h.
Диаграмма 2.
Читатель может сформулировать и доказать утверждение о
том, что терминальные объекты, произведения, экспоненты,
уравнители и универсальные квадраты единственны с точностью
до единственного изоморфизма.
§ 2 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
245
2.5. Определение. Морфизм f есть мономорфизм, если
fog = foh влечет g — h. Если f и k — мономорфизмы с общим
концом Д, то мы говорим, что f k, если k есть составляющая
f, т. е. f = k о g для некоторого морфизма g. Если f k и k 2^ f,
то мы говорим, что f и k представляют один и тот же подобъект
объекта А. Мы обозначаем через &(А) (частично упорядочен-
ный) класс подобъектов объекта Д.
Доказательство основных фактов из следующего утвержде-
ния предоставляется читателю.
2.6. Предложение. (1) Любой уравнитель является мо-
номорфизмом.
(2) Если f — мономорфизм, то {f,g} — мономорфизм.
(3) Если
Диаграмма 3.
— универсальный квадрат и g — мономорфизм, то f' — тоже мо-
номорфизм.
(4) Если оба малых квадрата универсальны, то таков же и
внешний прямоугольник-.
Диаграмма 4.
(5) Если в категории имеются конечные произведения и
уравнители (т. е. любая пара морфизмов f, g: А-+В имеет
уравнитель), то в ней имеются и универсальные квадраты (т.е.
мы можем достроить до универсального квадрата любую пару
морфизмов с общим концом).
2.7. Определение. Категория финитно полна, если в ней
имеются конечные произведения и уравнители. (Здесь суще-
ственно, что такая категория имеет пределы для всех конечных
диаграмм, см. Маклейн [1].)
246
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
§ 3. Логика частичных элементов
Стандартные формализации логики корректны только для
непустых областей. Классически мы можем решить, пуста об-
ласть или непуста. Даже интуиционистски, пока мы рассмат-
риваем только одну область, мы ничего не теряем, предполагая,
что она «обитаема». Если, однако, мы хотим рассматривать
подобласть, определяемую неразрешимым предикатом, мы
должны сказать, что может быть неразрешим вопрос о том,
существует ли данный х как элемент этой подобласти. Таким
образом, в общем случае, если мы рассматриваем более чем
один сорт переменных, мы обнаруживаем, что должны приспо-
собить нашу логику к обращению с областями, для которых мы
не можем ни узнать, являются ли они обитаемыми, ни решить,
существуют ли их элементы полностью. Когда мы говорим о
чем-то, мы не всегда можем предполагать его существование.
Правильно построенные термы языка могут ничего не обозна-
чать. Много гидов «свободной» логики было предложено для
классических систем, но проблема существования обостряется
только в интуиционистской ситуации, когда мы уже не можем
больше утверждать, что область должна быть либо обитаемой,
либо пустой.
Для рассмотрения термов, которые могут не иметь денотата
(значения), мы вводим формальный предикат существования
Е. Мы читаем Ет как «т существует». Можно считать, что сво-
бодные переменные сорта т пробегают (неявную) внешнюю об-
ласть потенциальных элементов. (Мы позднее увидим, как лю-
бая область А частичных элементов может быть представлена
как подобласть некоторой области А тотальных элементов, ко-
торые мы можем считать объективизациями потенциальных
элементов множества А.) Тогда предикат Е выбирает подоб-
ласть А актуальны^ (действительных) элементов. Мы перефра-
зируем изречение Куайна в тезис «быть — это быть значением
связанной переменной» и будем считать, что связанные пере-
менные ограничены предикатом Е. Связанные переменные про-
бегают только актуальные элементы.
Как только мы вводим некоторую область, мы должны
ввести также понятие одинаковости внутри этой области. Име-
ется понятие равенства частичных элементов, которое предпо-
лагает существование в следующем смысле:
% = а -> Ет А Есг.
Мы вводим также понятие эквивалентности, рассматривая,
по существу, все элементы вне Е как эквивалентные в своем не-
существовании. При интуиционистском подходе мы должны
§ 3. ЛОГИКА ЧАСТИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
247
сформулировать это более позитивно и выразить эквивалент-
ность соотношением
т = (Ет-^т = о) А (Ео->т = о).
Это отношение является основным для нашей логики. Мы
изгоняем любые возможные интенсиональные понятия, требуя,
чтобы эквивалентные элементы были неразличимы. Корректно
определенные предикаты должны быть экстенсиональными не
только относительно равенства, но и относительно эквивалент-
ности. Это экстенсиональность выражается схемой
Ф [т/*1 А т = а ->ф [а/х].
Так как отношение = столь фундаментально, мы выбираем
= и Е в качестве исходных отношений и определяем равенства
посредством
т = а^->т = аА ЕтД Ео.
Мы излагаем логику как многосортную теорию с высшими
типами. Для задания структуры высшего порядка достаточно
иметь отображение, которое каждой конечной последователь-
ности (До, •••» Дл-i), состоящей из сортов, ставит в соответ-
ствие сорт [До, Дп-i], который мы считаем «сортом-сте-
пенью» всех n-арных отношений на данной последовательности
областей. Как мы увидим, другие типовые конструкции сво-
димы к понятиям, определяемым, в терминах этих сортов-сте-
пеней. Аксиоматизация логики высших порядков упрощается
благодаря тому факту, что достаточно взять конъюнкцию,
импликацию и квантор всеобщности в качестве исходных логи-
ческих констант: другие связки определяются в терминах этих
связок.
Скотт предложил в качестве термов применять определен-
ные описания (понятие «тот, который»), так как после введения
предиката существования это удобно и не вызывает усложне-
ния. Мы так и поступаем, ибо это дает нам достаточно большой
запас термов. Терм 1хф читается «тот единственный х, для ко-
торого верно ф». Более полное обсуждение интуиционистской
логики частичных элементов и описаний можно найти у Скот-
та [2] и Скотта и Фу романа [1]. Мы переходим теперь
к изложению формализации этой логики.
3.1. Определение. Язык высшего порядка задается сле-
дующими данными.
(1) Двумя множествами Sort и Const (сортов и констант).
(2) Отображением типа-степени из U Sort" в Sort, кото-
/2^(0
рое записывается в виде
(Ао, ..., Afl-j) [Ао, ..., Ад-1].
248
ГЛ 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
(3) Отображение #: Const Sort, которое ставит каждой
константе в соответствие ее сорт.
Если задан язык, мы вводим множество Var переменных.
Каждая переменная х имеет сорт #х. Имеется счетное множе-
ство переменных каждого сорта.
Во избежание недоразумений отметим, что мы не предпола-
гаем, что сорта построены синтаксически из некоторого множе-
ства «основных сортов» итерированием операции типа-степени.
В частности, не предполагается, что [Д] = [В] влечет Л = В.
Эта «абстрактность» не создает реальных проблем.
3.2. Определение. Множества термов (т, а, ...) и фор-
мул (ф, ф, ...) рассматриваемого языка — это множества выра-
жений, которые строятся индуктивно согласно приводимой ниже
схеме. Каждому терму т поставлен в > соответствие сорт #т, и
включение выражений в соответствующие множества зависит
от выполнения условия из правого столбца.
Мы предоставляем читателю определить множество свобод-
ных переменных терма или формулы (обозначаемое соответ-
ственно через FV(t) или ЕУ(ф)) и результат подстановки тер-
ма о вместо переменной х (при условии = #х) в терм или
формулу (обозначаемые соответственно через т[о/х] и ф[а/х]).
Для удобства мы предполагаем, что операция подстановки пе-
реименовывает связанные переменные, если это нужно, чтобы
избежать коллизий. Мы используем обычные сокращения, в
частности пишем Vx вместо конечных цепочек кванторов (вклю-
чая пустую цепочку), М вместо конечной конъюнкции и ф ф
вместо (ф->ф)А (ф -> ф).
Выражение Сорт Условие
Термы: X С 1хф #х #х х е Var с е Const хеVar, <р —формула
Выражение Условие
Ет т = а (^0, • • • > ^/1-1) Формулы: <г А Ф <р—>Ф Vx<p Мы отметим здесь, что пустая порождает особый сорт-степень [ т — терм #T=[#ff0, •••, Ф, ф — формулы Ф, ф — формулы хеVar, ф —формула последовательность сортов ], который можно считать
§ 3. ЛОГИКА ЧАСТИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
249
состоящим из истинностных значений. Если т — терм сорта [ ],
то т( )—формула, которая в действительности утверждает ис-
тинность предложения т.
3.3. Определение. В качестве аксиом и правил мы бе-
рем все правильно построенные частные случаи следующих
схем:
ф-*(ф->ф),
(ф -> (Ф -> 6)) ((ф Ф) -> (ф -> 0)),
(Пропозициональные д л)-*®
аксиомы) I т’
(ф А Ф)->Ф,
(ф-*(ф-*(ф А Ф)));
Аксиомы: (=) ф [у/х] А у ^z^-Ф [z/x],
(Е) = =
(V) Ухф А Ех->ф,
(I) Vz/(z/= 1хф Vx (ф •*-> х== г/)),
Comp Е11/Ух(ф«-> г/(х))>
Pred у(х)-+Еу А МЕхг.
(МР) Sub- ф .
* ф [фД]
Правила:
(V+) ФЛ Ех^ф , где х ф РУ(ф).
ф-> Vxq)
Пропозициональные аксиомы — это стандартные аксиомы
интуиционистской логики. Аксиома (===)—это принцип под-
становочное™ эквивалентных. Аксиома экстенсиональности (Е)
воплощает тезис о том, что для эквивалентности двух вещей
(у и z) достаточно, чтобы они эквивалентным образом сравни-
вались с актуальными объектами (находящимися в области
значений связанной переменной х). Аксиома (V) удаления все-
общности позволяет переходить от утверждения со связанными
переменными к соответствующему утверждению со свободными
переменными при условии, что верна посылка о существовании.
Аксиома (I) описаний требует внешнего квантора существую-
щий элемент эквивалентен описываемому элементу в точности
тогда, когда он является единственным (существующим) эле-
ментом, удовлетворяющим данному предикату. Нам не нужно
специально упоминать несобственные описания, так как их
свойства следуют из аксиомы экстенсиональности и свойств
кванторов. Здесь кончаются аксиомы первого порядка. (Ко-
нечно, если бы мы занимались только логикой первого порядка,
то мы добавили бы другие связки, квантор существования и
250
ГЛ 6 ЛОГИКА ТОПОСОВ
«очевидные» аксиомы и правила, а именно те, которые упомя-
нуты в теореме 3.5.)
Чтобы аксиоматизировать логику высшего порядка, мы до-
бавляем полную схему свертывания (Сошр): любой предикат
имеет экстенсионал — единственный элемент подходящего сор-
та-степени, обладающий нужным свойством. Заметим, что эта
аксиома влечет свойство экстенсиональности для сортов-степе-
ней (лемма 3.6 (6)). Последняя аксиома (Pred) предикации
является более или менее грамматическим соглашением: если
мы приписываем отношению некоторые аргументы, то оно само
и его аргументы должны существовать.
Правила очевидны: модус поненс (МР) и подстановка (Sub)
формулируются обычным образом. Правило (V+) введения все-
общности сильнее, чем обычный вариант, так как посылка
ослаблена предположением о существовании.
Понятие выводимости определяется обычным образом. Мы
используем Г Н ф для обозначения выводимости ф из множе-
ства Г. Теория — это такое множество Т формул, что Т Н ф
влечет ф е Т. Любая теория Т необходимо формулируется в
языке L(T). Время от времени у нас будет повод использовать
меняющиеся языки.
Для удобства чтения мы будем писать
\/х:Лф вместо Ухф,
1х:Лф вместо 1хф,
когда фх — А, чтобы сделать подразумеваемый сорт видимым.
Мы также будем писать х: А, чтобы выразить, что Фх = А.
3.4. Определение. С помощью кванторов по «истинност-
ным значениям» мы вводим оставшуюся часть традиционного
арсенала логических связок путем следующих сокращений:
(1) ф V 1|5 для Vz: [ ))A(t->z( )))- >z(
(2) "!ф ДЛЯ Vz: [ ](<P-*z( )),
(3) Зхф ДЛЯ Vz: [ ](Ух(ф-> Z( )),
(4) Т для Elz/: [ k( ).
(5) 1 ДЛЯ Vz: [ ]*( )•
Доказательство того, что введенные понятия ведут себя над-
лежащим образом, — это простое упражнение в нахождении
формальных выводов. Аксиома и правило для квантора суще-
ствования должны быть модифицированы с учетом предиката
существования (как в случае V).
3.5. Теорема.
(1) Н <р->Ф V Ф,
(2) Н ф->ф V Ф,
§ 3 ЛОГИКА ЧАСТИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
251
(3) |—(ф-> ф)-> ((0 -^ф)-*((ф V 9)-+Ф))>
(4) Н (<р -* ф) ((ф -> “I Ф) -* “I ф),
(5) н “1 Ф-*(ф->ф),
(6) I- ф А Ех->Эхф,
(7) НТ,
(8) Н 1 -> Ф,
ф А Ех ->ф
(9) правило ---------- имеет место, если х не входит
Зхф->г|) свободно в гр.
3.6. Лемма.
(1) HEx^->3z/. х = у,
(2) Н Elxqp Зг/Ух(ф^—> х — у),
(3) Н Z = 1хф - - ' Vz/ (у = z <-> Чх(х = у+-+ ф)),
(4) н z(..., 1хф, . . .)<— 3z/(z(.. .г/,...) А Ух(ф<->х = //)),
(5) н 1хф (...)<-> Зу (у (...) A Vx (ф х = у)),
(6) Н Vz/Vz: [Ло, An-i](y = z<-> Vx(z/(х) г (х))),
(7) [- х = у *->Vz: [Л] (г (х) *-> г (z/)),
(8) HVxVz/(x = z/<—> х — z/),
(9) НЕ1хф->ф [1хф/х].
Эти логические истины показывают, какихМ образом связаны
существование, описания, эквивалентность и равенство. След-
ствием является приводимая ниже лемма Скотта, которая эко-
номит усилия.
3.7. Лемма. Любая формула ф логики высшего порядка
эквивалентна формуле без описаний.
Доказательство. Индукция по построению ф с исполь-
зованием (2) — (5) из 3.6 для устранения описаний из атомар-
ных формул.
Исходный набор сортов может быть довольно специальным
и доставлять лишь небольшую часть областей, обычно нужных
в математике. Однако их структура высшего порядка дает боль-
шое богатство подобластей. Мы определим эти более общие
(и более полезные) типы как некоторые синтаксические объекты
наших языков.
3.8. Определение. Тип А — это терм вида 1у: [Л] Vx: Л
(ф -<-> у(х)), сокращенно обозначаемый {х:Л|ф}. Мы скажем,
что А определим, если он является замкнутым термом.
Каждый тип А = {х:Л|ф} следует рассматривать как зада-
ние подобласти сорта Л. (Мы не могли бы определить тип как
произвольный терм сорта [Л], так как для различных Л, В
могло бы оказаться, что [Л] = [В], и потому этот терм сам по
себе не определяет соответствующий сорт. Однако для любого
терма т сорта [Л] имеется очевидным образом ассоциирован-
ный с ним тип (х:Л|т(х)}.) Для А= {х:Л|ф} мы обычным об-
разом используем обозначения теА; VxeA; ЗхеА для т
и х сорта Л,
252
ГЛ. 6 ЛОГИКА ТОПОСОВ
3.9. О п р е д е л е н и е. (Определимое) отношение F из А
в В — это (замкнутый) терм вида
1г: [Л, В]. Vx: AV у. В (z (х, у) <р).
(И снова синтаксическая форма терма F несет в себе ин-
формацию о сортах А и В.) Нам не обязательно знать, что от-
ношение F из А в В является графиком частичной функции, для
того чтобы употреблять обычную запись для значения функции
^’(т) для \у: В. F (т, у),
где т — терм сорта А. Если а — терм сорта В и х-.А, то мы оп-
ределяем функциональную абстракцию следующим сокраще-
нием:
Лх:Л. о обозначает Iz: [Л, В]. VxVy [z(x, у)«->г/ = ст].
ЗЛО. Л е м м а. Имеют место обычные принципы конверсии^
(1) Н Vx: А(х е {х: А | <р} <р),
(2) Н Vx: А ((Лх: А. а)’ (х) = о).
§4 . Категории из логики
Наша конечная цель— показать, каким образом топосы со-
ответствуют теориям в нашей логике. Здесь же мы рассмотрим
некоторые категории, возникающие из таких теорий, и изучим
их структуру в терминах понятий, введенных в § 2. Чтобы по-
строить категорию из теории Т, мы берем в качестве объектов
совокупность определимых типов, а в качестве морфизмов —
определимые тотальные (всюду определенные) функции между
этими типами. Идея построения таких синтаксических катего-
рий (принадлежащая А. Жуаялю) была использована Рейе*
сом [1] и другими.
4.1’ . Определение. Категория С(Т) сортов и определи-
мых тотальных функций в Т имеет в качестве объектов сорта
языка L(T), а в качестве морфизмов из Л в В — классы экви-
валентности определимых отношений F из Л в В таких, что
Т Ь Vx: Л. ЕВ’(х),
где F и G эквивалентны тогда и только тогда, когда
TH Vx: Л(В’(х)^в’(х)).
Композиция FoG задана (когда она определена) термом
KxF’ (G’(x)).
Легко проверить, что С(Т)— категория. Мы предоставляем
это читателю. Приводимая ниже конструкция дает в общем
случае более интересную категорию.
§ 4 КАТЕГОРИИ ИЗ ЛОГИКИ
253
4.2. Определение. Категория Е(Т) определимых типов
и определимых тотальных функций в Т имеет в качестве объек-
тов определимые типы языка L(T), а в качестве морфизмов из
А в В классы эквивалентности определимых отношений F из А
в В таких, что
Т Н VxeA. F(x)eB,
где F и G эквивалентны, если
Т Н VxeA. F(x)s6’(4
Композиция морфизмов F и G определяется так же, как в 4.1.
Снова легко видеть, что мы имеем категорию. Приводимые
ниже леммы исследуют ее структуру. Их доказательства — это
просто синтаксические варианты доказательства того факта, что
классическая категория множеств Sets имеет соответствующую
структуру. Мы даем эскизы необходимых конструкций, остав-
ляя детали читателю.
4.3. Лемма. Е (Т) имеет конечные произведения.
Доказательство. {z:[ ]jz( )} действует как терми-
нальный объект, ибо
н Eli/, у <= {z: [ ]|z( )}.
Если т: А и о: В, то обозначим через <т, а> терм
Iz: [Л, В]. VxVy (z (х, у) *-> х — т А у = о).
Произведение А X В задано термом
{z: [Л, В] | Зх s АЭу <^В. z = (х, у)},
а проекция, скажем, из А X В в А задана термом
Kzlxjy. z = (x,y). □
В дальнейшем мы будем писать Х(х, у)х вместо
XzlwBxBy (z — (х,у)/\х~ w).
4.4. Лемма. Е (Г) имеет конечные пределы (финитно
полна).
Доказательство. Пусть F, G: А-+В в Е (Т). Уравни-
тель морфизмов F и G имеет область (начало)
{х: Л | х е Л Д f ’ (х) = G' (х)}
и представлен термом Хх.х. □
4.5. Лемма. Е (Т) декартово замкнута.
Доказательство. Экспонента ВА задана термом
{z: [Л, В] | Vx е Л. Ely е В. z(x,y)
A VxVi/(z(x, ^)->хе Л A уеВ)}
254
ГЛ 6 ЛОГИКА ТОПОСОВ
с оценочным морфизмом
A(x, z)Iz/. z(x, у).
Для F: А X В морфизм F: Х->ВА задан термом
kwlz: [Л, В]. VxVj/(z(x, «/)*-* y = F’({x, w))). □
4.6. Лемма. Морфизм F: А->-В в Е (Т) является моно-
морфизмом тогда и только тогда, когда
Т HVxg AVy (= A(F’ (х) = F’ (у) ->- х = у).
Доказательство. Пусть F — мономорфизм. У нас есть
два морфизма
G = X(x, у), х и Н = К(х, у). у
(проекции) из
Е = {г: [Л, Л] |Эх <= АЭу ^A(z = (х, у) A F (х) = F’(у))}
в А. Легко видеть, что FoG = F°H, следовательно, G = Н,
так как F — мономорфизм. Это значит, что
ГНУгеЕ(6’(г) = Я’(4
откуда
Т Н Vx е A\fy е A (F' (х) = F’ (//)-> х = у).
Доказательство в противоположном направлении еще легче. □
4.7. Лемма. Коммутативный квадрат
G
Н
с----
Диаграмма 5.
в Е (Т) является универсальным тогда и только тогда, когда
Т Н Vx €= ВЧу е С (Н’ (х) = К’ (y)-+Elz<= A (F’ (z)=x A G’ (г)=г/)).
Доказательство. В одном направлении доказательство
очевидно; из рассматриваемой формулы мы можем вывести
§ 5. ТОПОСЫ
255
свойство универсальности. Пусть теперь К и Н удовлетворяют
условию. Рассмотрим диаграмму
И
м
^В
Диаграмма 6.
где L и М — «проекции» из объекта
Е = {г: [В, С] | Эх ВЭу С (г = (х, у) /\ Н' (х) = К’ (//))}.
Это — универсальный квадрат (в силу легкой половины лем-
мы). Нужный результат следует теперь из единственности уни-
версального квадрата с точностью до изоморфизма. □
§ 5. Топосы
Здесь мы вводим элементарные топосы и даем несколько
примеров. В частности, мы показываем, что категория Е(Т)
для любой теории Т является топосом. Мы увидим в § 7, что
любой топос имеет такой вид.
5.1. Определение. Топос—это декартово замкнутая ка-
тегория с классификатором подобъектов.
Чтобы понять это, нам нужно следующее
S.2. Определение. Классификатор подобъектов — это
морфизм истина-. 1 —> Q (это выделяет конец морфизма и важ-
ный «элемент») такой, что существуют универсальные квад-
раты вдоль истины и для любого мономорфизма т: А' >—► А
имеется единственный морфизм cl(m) (классификатор мор-
физма т), превращающий следующий квадрат в универсаль-
ный:
А'>-------^-А
।
।
।
।
I
Т f
1------------5-Й
истина
Диаграмма 7.
256
ГЛ 6 ЛОГИКА ТОПОСОВ
й следует мыслить как тип «истинностных значений» Из
определения сразу следует, что в топосе множество ^(А) под-
объектов объекта /! находится в одно-однозначном соответствии
с множеством Нот(Д,Й) морфизмов из А в Й. Чтобы задать
функцию, значениями которой являются истинностные значе-
ния, достаточно задать подобъект, на котором она принимает
значение <истина». Нам часто нужен будет морфизм истина^:
Л->й, который задан композицией морфизма истина: 1->Й
с (единственным) морфизмом из А в 1. Морфизм /:А->йимеет
составляющую «истина» тогда и только тогда, когда f = ис-
тинал. Классификатор подобъектов, если он существует, един-
ствен с точностью до единственного изоморфизма.
5.3. Теорема. Категория F (Т) — топос.
Доказательство. Возьмем в качестве й объект
{х:[ ]1т}>
а морфизм «истина» зададим термом
Лх1у:[ ]у( ).
Для мономорфизма М: А' >—> А берем
Кх\у: [ ](#( )<->Bz е Д'. х = № (z)).
Используя лемму характеризации 4.7, легко усмотреть, что
этот морфизм дает универсальный квадрат и однозначно опре-
деляется этим свойством. Так как мы уже знаем, что Е(Т) де-
картово замкнута и имеет конечные пределы, доказательство
закончено. □
Разумеется, можно использовать аналогичную синтаксиче-
скую конструкцию для получения топоса из классической тео-
рии множеств.
Пример. Пусть L язык первого порядка для теории
множеств, Т теория в языке L, содержащая классическую
теорию множеств Цермело. Категория определимых множеств
и функций теории Т является топосом. Она имеет в качестве
объектов формулы <р(х) языка L (мы используем скобки для
перечисления без повторений всех свободных переменных фор-
мулы) такие, что
Т Н ЭуУх (ф (х) е у).
В качестве морфизмов из ф(х) в ф(у) мы берем классы
эквивалентности (относительно Т-доказуемой эквивалентности)
формул 0(х, у) таких, что
Т I- VxVz/ (0 (х, у) -> <р (х) л 'Ф (у)),
Т Н Vx (<р (х) -> 3zV«/ (0 (х, у) у = z)).
§ 5. ТОПОСЫ
257
Мы предоставляем читателю определить композицию. В этом
примере алгебра Нот(1,й) определимых элементов объекта
й— это просто алгебра Линденбаума для Т.
Перед тем как перейти к построению теории топосов, мы
введем еще несколько конкретных примеров.
5.4. Определение. Пусть й — полная гейтинговская ал-
гебра. Q-множество А — это множество А, оснащенное «симмет-
ричным, транзитивным Q-значным отношением», т. е. отображе-
нием
е\ АХА->Й,
удовлетворяющим условиям
е (а, Ь) = е (ft, а), е (а, Ь) /\ е (Ь, с) е (а, с)
для а, ft, с <= А,
Q-множество А = (А,е) следует мыслить себе как гейтин-
гозначное множество с частичными элементами. Степень равен-
ства двух элементов измеряется функцией е, степень существо-
вания элемента а задана посредством е(а, а).
Q-множества можно использовать, чтобы задать семантику
для нашей логики (см. Фурман и Скотт [1]). В действи-
тельности эта логика была аксиоматизирована в расчете имен-
но на эту модель.
5.5. Определение. Морфизм Q-множества (А, е) на
Q-множество (B,f)— это экстенсиональное, тотальное, одно-
значное Q-отношение, т. е. отображение g: АХ^->Й, удов-
летворяющее условиям:
е (a, a') A f (b, b') A g (a, b)^g (а', Ь'),
е(а,а) = V g(a, ft),
ь е в
g(a, b) A g(a, b') (b, b'),
где а, й'е ,4 и &, i'e В.
Пример. Категория Q-множеств и их морфизмов образует
топос, где композиция морфизмов g: А->В и h: В-+С задана
равенством
(hog)(а, с) = V (g(a,b) Ah(b, с)).
Ь <^В
В категории й-множеств мы имеем й = (й,-<->), где -*-> —
импликация в обе стороны. В случае, когда й — гейтинговская
алгебра О(Х) открытых множеств топологического простран-
ства X, категория й-множеств эквивалентна категории Тор(Х)
пучков над X со значениями в множествах, й-множества были
независимо описаны Хиггсом [1], который (наряду с
9 Справочная книга, ч. IV
258
ГЛ 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
другими результатами) дает доказательство этой эквивалент-
ности.
Примеры, (i) Категория конечных множеств и произволь-
ных функций между ними образует топос.
(ii) Пусть 21 = (Л, е) — модель теории множеств Цермело.
Топосом является категория множеств и функций модели 21,
объектами которой являются элементы А, а морфизмами из а
в b— те f из Л, для которых 51 (f — функция из а в &).
(iii) Пусть G— группа. Категория G-множеств имеет в ка-
честве объектов множества, оснащенные G-действием, а в ка-
честве морфизмов — функции, сохраняющие это действие. Это
топос.
В последних трех примерах Q — это множество {истина,
ложь} (с тривиальным действием в случае G-множеств). Пер-
вые два показывают отсутствие в определении топоса аксиом,
соответствующих теоретико-множественным аксиомам беско-
нечности и замены. Мы обсудим эти аксиомы в § 8.
Пусть G — циклическая группа порядка 2. Рассмотрим
G-множества (а, е) и (&,f), где а — одноэлементное множество,
е — тривиальное действие, b—двухэлементное множество и f —
нетривиальное действие. Мы считаем, что (b,f) имеет два эле-
мента (в том смысле, что выполнена формула = */),
которые перестановка делает неразличимыми, препятствуя «оп-
ределимости» какой бы то ни было функции из а в Ь. Нет ни-
каких морфизмов из (а, е) в (&, f). Таким образом, мы при-
меняем синтаксическое понятие определимости к категории
G-множеств, которая априори была семантической сущностью.
§ 6. Логические конструкты в топосах
Здесь мы разрабатываем нужную нам часть теории топосов.
Эта теория создана Ловером и Тьерне [1]. Построение на-
поминает построение алгебраической логики. Декартово замкну-
тая структура дает нам определенные «конечные типы» и при-
дает единство тому факту, что определимые отображения замк-
нуты относительно композиции, Х-абстракции и спаривания.
Связь между множеством ^(А) подобъектов объекта А и мно-
жеством Нош(Л,й) обеспечивает плодотворное взаимодействие
между алгебраическими свойствами категории и логическими
свойствами объекта (2.
6.1. Определение. Морфизм равенства =л: ЛХЛ~>£)
классифицирует диагональ Д4 = <Л,Л>: Л->ЛХЛ.
6.2. Лемма. Топосы финитно полны.
Доказательство. Достаточно показать, что у нас есть
уравнители. Если даны f, g: А-^В, то легко видеть, что под-
объект объекта Л, классифицируемый морфизмом =в ° </,£>,
является их уравнителем.
§ 6. ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТРУКТЫ В ТОПОСАХ
259
6.3. Определение. Мы даем определения «истинностных
таблиц»:
Д: классифицирует (истина, истина):
ч->ЙХ^~>^ классифицирует (О, Q); Q->QX"
и распространяем эти операции на каждое частично упорядо-
ченное множество &(А) подобъектов объекта А, Отождествляя
подобъект с соответствующим морфизмом Л->й, полагаем
а /\ Ь = Д о (а, 6),
а Ь = <-> о (а, Ь)
и
а Ь = {а Д Ь) а.
В топосе мы можем естественным образом представлять час-
тично упорядоченное множество £Р(А) подобъектов в виде се-
мейства множеств. Это позволит нам лучше представить себе
операции, которые мы только что определили.
6.4. Определение. Каждому подобъекту а объекта А
мы поставим в соответствие множество [а] морфизмов с кон-
цом А, имеющих составляющую а. Эквивалентным образом,
отождествляя а с соответствующим морфизмом а:Д->Й, мы
пишем
[а] = {х: X -> А | а о х = истина^}.
6.5. Лемма. (1) а^Ь тогда и только тогда, когда [a] S
£И;
(2) х Д тогда и только тогда, когда х е [а] и х е
(3) с а А Ь тогда и только тогда, когда с и с ^Ъ,
(4) хе 1а<->6]тогда и только тогда, когда для всех у х° у
е [а] эквивалентно х° у [&];
(5) тогда и только тогда, когда для всех у из
х о у е [а] следует х о у е [&];
(6) с^а-^Ь тогда и только тогда, когда сЛа^Ь.
Доказательство. Эти соотношения усматриваются со-
вершенно непосредственно. Для случая -<-> мы замечаем, что
х е [а 6] тогда и только тогда, когда (а, Ь)°х имеет
составляющую <Й, й>,
тогда и только тогда, когда а о х = Ь о х,
тогда и только тогда, когда [а о х] = [Ь о %],
но так как уе[аох] тогда и только тогда, когда хоуе[а],
мы достигли цели. □
При доказательстве того, что в топосах есть уравнители, мы
построили некоторый подобъект объекта А, используя «внутрен-
нюю логику» для описания элементов, которые должны принад-
лежать этому подобъекту. Мы снова используем эту идею,
9*
260
ГЛ. 6. ЛОГИКА топосов
6.6. Определение. Для данного ае^(АХб) мы имеем
морфизм a: B->QA. Мы имеем также t: — транспози-
цию морфизма t: истина > q 0Пределяем пА(а)
как подобъект объекта В, классифицируемый морфизмом
= a'i ° (a, t).
Здесь мы представляем себе, что а переводит каждый х из
В в множество тех у из А, для которых (у, х> принадлежит а,
a t переводит каждый х из В в А. Тогда ПА (а) следует пред-
ставлять себе как множество таких х из В, что для всех у
из А пара <z/, х> находится в а. В данный момент можно уточ-
нить такие представления только тогда, когда говорим о топо-
сах, имеющих вид Е(Т). Они, однако, бесценны для интуиции.
6.7. Лемма, хе [ПА (а)] тогда и только тогда, когда
А X х е [а].
Доказательство, хе [ПА (а)] тогда и только тогда,
когда <2 ° х = f о х, тогда и только тогда, когда а о А X х —
= / ° А X *, тогда и только тогда, когда А X х е [а]. □
Так как морфизмы в топосах соответствуют тотальным
отображениям, они не дают нам непосредственной информации
о частичных элементах. Чтобы истолковать утверждения о час-
тичных элементах топоса, мы должны использовать структуру
высшего порядка, чтобы представить каждый объект А в виде
подобъекта некоторого А, который мыслится как область потен-
циальных элементов объекта А. В топосе Е(Г) мы можем
построить такую область, взяв в качестве А терм
{х: [А] | V г/: AVz: А ((х (у) A х (z)) ->(у = z А у s А))},
причем вложение объекта А задано термом Xx{z:A|x = z}.
Это представление обладает тем важным свойством, что преди-
каты на А находятся в одно-однозначном соответствии с под-
областями объекта А, так как Нх s у {z: A|z = x} =
= {z: A]z = у}. Оставшаяся часть этого параграфа посвящена
обобщению этой конструкции на произвольные топосы и иссле-
дованию ее категориальных свойств.
6.8. Определение. Мы обозначаем через {-}в морфизм
=£: B-+QB и называем его одноэлементным морфизмом. Пусть
теперь ВХЙВ->Й классифицирует морфизм <В, {•}>: В-*-
-+ВХ&, и возьмем уравнитель е в диаграмме
в—
Диаграмма 8,
§ 6. ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТРУКТЫ В ТОПОСАХ
261
Так как В X(ev ° {•} °f) = =в_° (В X f) классифицирует
<f, X): Х-> В\Х, то мы видим, что f можно восстановить по
{•} °f. Таким образом, {•} — мономорфизм. Кроме того, =в и
£о(ВХ{-}) равны, так как оба они классифицируют диаго-
наль. Таким образом, {•} = £<>{•}, и мы имеем разложение
{•}=eor),
где т) — мономорфизм, ибо таков {•}. Мы назовем ц: В*-* В
классификатором частичных морфизмов для В (см. 6.12).
6.9. Лемма. Подобъект е: 5->йе — ретракт (т. е. имеется
морфизм г: такой, что г°е — В).
Доказательство. Так как t ° {•} = {•}, то имеем уни-
версальный квадрат
------------->.
Вх£
v
<в7й> *
Диаграмма 9.
Таким образом, g°BXt=^ (они классифицируют один и
тот же подобъект), следовательно, ( о f = f, и мы имеем разло-
жение
I = е°г.
Теперь е»В = е = f ° в = е ° г ° е и В = г°е, так е — моно-
морфизм. □
6.10. Лемма. Проекция л: Ву,Х^~Х разделена (г. е.
имеется морфизм s: Х-+ВХХ такой, что n°s — X).
Доказательство. Достаточно найти морфизм из X в В
и спарить его с единицей на X. Пусть t — истинавхх, и положим
s = <г о I, X). □
Эта лемма выражает категориальным образом тот факт, что
В обитаемо.
6.11. Определение, Частичный морфизм из А в В — это
пара (f,d): А-^В, где d: А'>—>4 — подобъект объекта А и f:
А'^В,
262
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
6.12. Теорема. Для данного частичного морфизма (f,d)i
А-' В имеется единственный морфизм J: А-+В, превращающий
диаграмму 10 в универсальный квадрат. Мы говорим, что /
классифицирует частичный морфизм
Jb—
f f
в-------*-в
л
Диаграмма 10.
Доказательство. Для данного частичного морфизма
(f,d): А-^В мы имеем подобъект (f,d): А'->В\А, называе-
мый графиком морфизма (f,d). Его классифицирует некоторый
морфизм f*: B'X'A-t-il. Мы покажем, что f* представим в виде
eof: и что f обладает желаемыми свойствами.
Если {} ° h = [*°g, то =3оВХА = Го£Х£> так что
= в о (h, h') = f*o {h, g). Но = в ° (A, h) имеет составляющую
«истина», так что {h, g) имеет составляющую (f, d). Так как
<f, d> — мономорфизм, это разложение единственно.
Кроме того, = воВХ. f = f* ° B\d, так как оба они класси»
фицируют морфизм (f,A'). Мы показали, что квадрат (i) уни-
версальный. Поэтому (ii) тоже универсальный, так как оба
(i) (ii)
Диаграмма 11.
они классифицируют один и тот же подобъект. Следовательно,
— и мы имеем разложение
Г=<4-
§ 7. ИНТЕРПРЕТАЦИИ В ТОПОСАХ
263
Мы получаем диаграмму
где внутренний квадрат коммутирует, так как е — мономор-
физм, и является универсальным, ибо таков внешний квадрат.
Обратно, если дана такого рода диаграмма, в которой
внутренний квадрат универсален, то следующий квадрат
,, <f,d> „
А-------
в*?
Диаграмма 13.
также универсален. Таким образом, | — f* (так как
они классифицируют один и тот же подобъект). Следовательно,
goeof = f* и = Так как е — мономорфизм, это озна-
чает, что j единствен, и мы достигли цели. □
§7 . Интерпретации в топосах
Мы обобщим наши разговоры об «элементах» объекта, по-
казав, как логику из § 3 можно интерпретировать в произволь-
ном топосе.
7.1. Определение. Пусть Е—топос, L — язык. Интер-
претация языка L в Е—это отображение У, которое каждому
сорту А ставит в соответствие объект Д, каждой константе б
сорта А — морфизм [с]: и каждой конечной последова*
тельности (До, Дл-1) сортов — некоторый изоморфизм
[Л....Дл-1]
264
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
Употребляя обозначения не вполне корректно, мы будем пи-
сать А вместо А. Мы также предположим для простоты, что
[Ло, ..., Лп_1] = йхл< Строго говоря, «канонические» изомор-
физмы, которые заданы в интерпретации, необходимы из-за
абстрактной природы отображения типа-степени. Однако после
того, как мы это осознали, лучше всего забыть об этом в инте-
ресах ясности.
7.2. Определен ие. Если Д — конечная последователь-
ность различных переменных языка L, то мы определяем объект
ХД топоса Е индукцией по длине Д:
Х( )=1, Х(Д, х) = ХДХЛ (где #х = Л).
Так как свободные переменные должны пробегать потен-
циальные элементы, следует мыслить ХД как тот объект по-
следовательностей потенциальных элементов, которые должна
пробегать последовательность Д. Если rang Д rang Г *), то
произведение проекций дает морфизм
ХГ->ХД,
который в нашем представлении должен переводить n-ки час-
тичных элементов объекта Г в соответствующие m-ки частич-
ных элементов объекта Д. Если Д = (х0, ..., хл_ь у), где
#г/ = [#хо, .... # хл-1], то имеется морфизм
ev: Х#х;ХаХ#Хг->Й,
который классифицирует некоторый подобъект. Образуя компо-
зицию этого подобъекта с мономорфизмом
Хп: X#XiXQXOi ->ХА,
мы получаем подобъект объекта ХД, классификатор которого
мы обозначим через
еуд: ХД->0.
Нам также будут нужны морфизмы
П/ А X Х(Д — х)->ХД, где #х = Л,
получаемые применением морфизма к х-координате и
подходящих проекций — ко всем остальным. Эти морфизмы слу-
жат для того, чтобы ограничить наше рассмотрение теми х, ко-
торые существуют и будут использованы в интерпретации опе-
раторов, связывающих переменные.
Наконец, пусть Ел: A— морфизм, классифицирующий тц.
*) Здесь и в дальнейшем rang Л обозначает множество переменных,
принадлежащих последовательности А. — Прим. ред.
§ 7. ИНТЕРПРЕТАЦИИ В ТОПОСАХ
265
7.3. Определение. Для формул <р, термов тине содер-
жащих повторений конечных последовательностей Д перемен-
ных, содержащих свободные переменные из ф и т, мы опреде-
лим оценки
Ыд: ХД -> Q, Нд: ХД -> Д (где т: Л).
Формула интерпретируется подобъектом области n-ок потен-
циальных элементов. Терм интерпретируется тотальным мор-
физмом, который n-ке потенциальных элементов ставит в соот-
ветствие подходящий потенциальный элемент объекта Л. Опре-
деления вводятся индукцией по построению согласно следую-
щим схемам:
ид=и ° «(д >.
Ид — л(х)>
[т^<Г]д = — Д°(Мд, Ид)>
[Ет]д = Ел о Мд,
[т(ст0, ..., 0Гп-1)]д = еудо([а0Е. •••> М-11д, Мд).
[ф л ф]д = л ° (Мд, Мд),
[ф-»Мд= °(Мд, Мд),
[У-Мд-* = ПД (Мд 0 Пх).
Чтобы определить [1х<р]д_х по данному Мд, возьмем
ф: Х(А — х)->йА—транспозицию морфизма Мд’Чх- Обра-
зуя универсальный квадрат со сторонами ф и {-}д, мы полу*
чаем частичное отображение Х(А— х) —> А. В качестве [1хф]д _х
возьмем классификатор этого частичного отображения.
Чтобы дополнить последние два случая, мы должны пока-
зать, как определить [ф]д и Мд по Мд_ж и Мд-х> гДе
ф. FV (ф), FV (т). Это делается по схемам
[ф]д = [ф]г’Яг; Мд = Мг»«д,
где в качестве Г взята последовательность Д — х. Во всем этом
определении использовалось молчаливое соглашение: #х =
— #т = А.
7.4. Определение. Интерпретация У выполняет фор-
мулу ф (запись 3 (= ф) тогда и только тогда, когда из РУ(ф)^
S rang А следует, что морфизм Мд имеет составляющую «ис-
тина». Если Т — теория, то мы скажем, что У есть модель
теории Т (запись 3 |= Г), если для всех ф е Т мы имеем 3 |= ф.
266
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
Из леммы 6.10 следует, что проекция является разде-
ленной, поэтому [фЦг имеет составляющую «истина» тогда и
только тогда, когда ее имеет [<р]д, где Д — некоторое перечисле-
ние списка FV((p). Отсюда следует, что 3 (= ф тогда и только
Тогда, когда [ф]|г имеет составляющую «истина» для некото-
рого Г такого, что FV (ф) s rang Г.
7.5. Определение. Если т — терм такой, что FV(t)£=
£ rang Г и rang(A — х)^ rang Г, то определим морфизм
[т/х]£: хг->хд
следующим образом: это будет [т]г по х-координате и подхо-
дящие проекции — по остальным. Если x^rangA, то [т/х]£—
это просто л^.
7.6. Лемма
[а [т/х]]г = Мд о [т/х]г, [ф [т/х]]г = [<р] д о [т/х]г.
Доказательство. Индукция по построению о и ф. □
7.7. Лемма. Обозначая [[Мд]] через [ф]д, имеем:
[ф [т/х]]г = {f |[т/х]г о f <= [фу,
[Ет]]д = {/ |[т]д ° f имеет составляющую л}.
[т а а]д = {f | [т]д о f = Мд о f],
[ф А Я>]д = Мд П Мд,
[ф -> Ф]д = {f I для всех g(f°g <=Мд f 0 g Мд)}.
[УМд-х = {/ IX f е Мд}-
Доказательство. Первое из этих равенств следует из
предыдущей леммы, остальные—из леммы 6.5 и определения
оценки.
7.8. Теорема корректности (для интерпретаций в то-
посах). Если ф — аксиома, то У (= ф; более того, если 3 вы-
полняет посылки некоторого правила вывода, то она выполняет
и его заключение.
Доказательство. Пропозициональные аксиомы и ( = )
легко проверяются с помощью предыдущей леммы; то же верно
для правила подстановки и модуса поненс. Теперь мы проверим
отдельно каждую из остальных аксиом и правил введения для
кванторов.
Аксиома (Е). Для f: Z -+ А X А покажем, что из
f е [vz(z«X Z ® у)\х<
§ 7. ИНТЕРПРЕТАЦИИ В ТОПОСАХ
267
следует, что jii и л2°/ классифицируют один и тот же частич-
ный морфизм. Ввиду единственности классификатора частичных
морфизмов это показывает, что они равны, и дело сделано.
Пусть f удовлетворяет сформулированному выше условию,
a g таков, что мы имеем разложение
л2 ° f ° g = ° h.
Ввиду симметрии достаточно показать, что
Л1 о/о g = Т]Л ° h.
Теперь
/о^) = (ПдХ/)о<Л,
Но
(«2 ° f о g, fog)<=[2 = Z/]](Zi х у}.
Следовательно,
<n2ofog, fog)e|[zsx]](ZiXiSf),
т. е.
«2 о f ° g = «1 ° f о g.
Аксиома (V) и правило (V+). Мы рассмотрим аксиому и
правило одновременно, показав, что если x^FV(<p), то Ех Д
выполнена тогда и только тогда, когда выполнена
ф->УхЛф. Имеем
Ыд_х < = ПЛ ( [ф] о цх)
тогда и только тогда, когда
МдочХМдо11х>
тогда и только тогда, когда
[ф Д Ех] < [ф]д.
Так как выполнена тогда и только тогда, когда верно
[ф]д < Мд» то все В порядке.
Аксиома (I). Мы должны показать, что для всех f: ЛГ—>ХД
мы имеем
Пд X f е к 1*ф «-> Vx (ф «-> х = у)]у д.
Из определения оценки [1хф] мы видим, что для h: Y -> ЛхХД
Пл о л о h = [1хф] ° т]д X X Д ° h
будет верно, если
s а ° «120 Л X h ~ [ф] ° пд X ХД ° А X h.
268
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
Таким образом, для всех g: Y -> Л X имеем
X f ° g к * Ьф]^, д
тогда и только тогда, когда
Пл X f ° g [ух (Ф ** х ss г/)]^ д
(так как = я<>ПЛХПА = =Л)-
Аксиома (Comp). Достаточно показать, что [Iz/Vx(<p«->-y (х))]
имеет составляющую т]. Мы покажем, что
[tyVx (ф *-> у (х))]| = п ° Ф,
где ф — транспозиция морфизма [ф]^ д ° Хп X ХД. Для этого
достаточно показать, что
= 0ХЛ* о йхл< X Ф — [Vx (ф (х))]| ° TJj,.
Действительно, ввиду ev о Хл X Л = ev имеем
f е[[Ух(ф*->^(х))^до1]^
тогда и только тогда, когда
Мд Д ° Хп X (л2 о f) = ev о XAl х («1 ° f),
тогда и только тогда, когда
ф о л2 © f = Л1 о f,
тогда и только тогда, когда
f е[=ах^ойхл<ХФ].
Аксиома (Pred). Получается непосредственно из определе-
ния ev.
7.9. Определение. С каждой интерпретацией мы связы-
ваем теорию
Т(7) = {ф171=ф}.
Для любой теории Т каноническая интерпретация & (Т) теории
Т в Е(Г) определяется путем следующей интерпретации языка
ЦТ) в Е(Т). Каждый сорт А интерпретируется типом А =
= {х:Л|х*=х}. Если с — константа сорта А в L(T'), то мы
имеем морфизм
Az: [ ]. с: {z: [ ] | г ( ) Л Ес} -> А,
определенный на подобъекте объекта 1. Мы берем в качестве
[с]:
его классификатор.
§ 7. ИНТЕРПРЕТАЦИИ В ТОПОСАХ
269
7.10. Теор е м a. Z7(T) |= ф тогда и только тогда, когда
ТНф.
Доказательство (эскиз). Так как любая формула ло-
гически эквивалентна формуле без символа I, и наша интерпре-
тация корректна, достаточно рассматривать ф, не содержащие
символа I. Нужный результат следует из того факта, что для
таких ф морфизм
Мд:
— это просто
Лх0 ... xn_ily. [ ](r/( ) *—> <р (Izxg (z).Izx„_!(z))),
что устанавливается нужной индукцией по построению <р. □
7.11. Сл е д с т в и е. Наша аксиоматизация логики частич-
ных элементов полна относительно интерпретаций в топосах.
Более традиционное доказательство теоремы полноты для
нашей логики см. у Фурмана и Скотта [1]. Пусть теперь
У — интерпретация языка L в Е. Для определимого типа А мы
расширим злоупотребление терминологией, отождествляющее
сорт А с объектом, который его интерпретирует, и будем обо-
значать через А также и подобъект объекта А, классифицируе-
мый морфизмом [хеА]. Так как НхеА->Ех, мы имеем раз-
ложение морфизма-включения уд = т]д о iA :
7.12. Лемма. Если А и В — определимые типы и F — опре-
делимое отношение из А в В, то
?[=Ухе=А.Е'(х)(=В
тогда и только тогда, когда имеется морфизм f: А-+В в Е та-
кой, что коммутирует любая из следующих (эквивалентных)
диаграмм:
уху ~ ~
А*В--------^А*В
iFte.y)]] f
IF’U)]]
V Т
gxfl-------------=►{}
-“В
Диаграмма 14.
В этом случае морфизм f однозначно определен отноше-
нием F. Два таких отношения F и G определяют один и тот же
морфизм тогда и только тогда, когда
X1= V* A.F (х) = G' (х).
270
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
Доказательство. Vx е A.F'(x) е В тогда и только
тогда, когда [F’(х)]°?д имеет разложение в виде yBQf (при
этом f определен однозначно, так как у — мономорфизм), тогда
и только тогда, когда
(Г(х, г/))доул = {-}в°*в°/
(см. определение оценки [Ixqp] в п. 7.3), тогда и только тогда,
когда
[/7(х, Z/)l0 Пв X Ул = =з ° В X О’в ° Г),
тогда и только тогда, когда
г/)]°ув X Ул = = в°ВХА
Последняя часть очевидна из того, что
(= Vx <= AV у е= В (F (х, у) G (х, у)
верно тогда и только тогда, когда
И(х, ^)]оувХУл = [б(х, #)]°УдХУл- □
Пусть 3 — интерпретация языка L в Е. Если F — определи-
мое отношение из А в В такое, что 5й |= Vx е A. F’ (х) <= В, то
мы будем временно (совсем уж злоупотребляя терминологией)
обозначать через F соответствующий морфизм из А в В в то-
посе Е (следя за тем,’чтобы не было недоразумений с подра-
зумеваемым началом и концом морфизма).
7.13. Теорема. (1) F°G = H в Е тогда и только тогда,
когда 3{=Ухе=А(Р’(G’(х)) = И’(х)).
(2) А — терминальный объект в Е тогда и только тогда,
когда 3\=\х е AVw е А. х = у.
Р Q
(3) А-^-С—*В есть произведение в Е тогда и только тогда,
когда 31= Vx е Av*/ ВЕк (= С (Р’ (2) = х A Q' (2) = у).
(4) Диаграмма
Диаграмма 15.
§ 8. ТОПОСЫ КАК ТЕОРИИ
271
является универсальным квадратом в Е тогда и только тогда,
когда он коммутирует и
3^Vxe=Byy<=C (F’ (х) = G’ (у) ->
-> Elz е А (К’ (г) = х Д Я’ (г) = (у)).
(5) EV: АХХ->В является экспонентой в Е тогда и толь-
ко тогда, когда
^|=Vz: [А, В] (Vx е АЕк/ е= В. z(x, у)
-> Е1да е XVx е AVy <= В (z (х, у) <-> EV (х, w) = у)).
(6) Т: — классификатор некоторого подобъекта в Е
тогда и только тогда, когда
5>Vx:[ ] Eh, е=Х(г/ = 7” (*)*-**( )),
где « обозначает терм Iz : l.z = z.
Доказательство получается непосредственно с помощью ме-
тодов § 4. □
§ 8. Топосы как теории
8.1. Определение. Если Е —топос, то L(E), язык топо-
са Е, имеет в качестве сортов объекты Е, а в качестве констант
сорта А — пары (с, А), где с: 1->А. Морфизм типа-степени за-
дан равенством
Ио, A,_t] = Qx\
Каноническая интерпретация /(Е) языка L(E) в Е задана пу-
тем интерпретации каждого сорта им самим и соотношения
[(с, Д)] = с. Если не возникает недоразумений, мы часто будем
писать с вместо (с, Л). Диаграмма или теория топоса Е — это
множество Т(Е) формул языка L(E), которые выполнены в ка*
ионической интерпретации.
8.2. Теорема. Если Г — топос, то С (Г (F)) = F.
Доказательство. Объекты категории С (Г (F)) — это
сорта языка L(F), которые в свою очередь являются объектами
топоса F. Каждый морфизм f: А-^В в F порождает константу
с сорта [Л, В] в L(F), соответствующую транспозиции мор-
физма =э°ВХ/- По лемме 7.12 отношение
f = lz: [Л, B]Vx: AV у: B(z(x, у)*->с(х, у))
представляет некоторый морфизм в С (7(F)) и каждый такой
морфизм порождается единственным морфизмом в F. То, что
композиция в С (7(F)) соответствует композиции в F, следует
непосредственно из теоремы 7.13 (1). □
272
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
Мы рассмотрим теперь вопрос о том, почему С (Г) в общем
случае не является топосом. Это происходит потому, что в нем
не хватает объектов.
8.3. Определение. Теория Т дефинициалъно полна, если
для каждого определимого типа А имеется сорт В и определи-
мое отношение F из В в А такое, что
Т|= Vx:BEF’(x), .
Т Н Vx:BVz/: В (F (х) = F (у) -> х = у),
Т Н Vz: А (Зх: В. z = F> (х) <-> z е= А).
8.4. Лемма. Если F —- топос, то 7(F) дефинициалъно
полна.
Доказательство. Рассмотрим каноническую интерпре-
тацию теории T(F) в F. Если А — определимый тип, то мор-
физм
[xeA]or): A->Q
классифицирует некоторый подобъект объекта А, который по-
рождает нужный сорт и определимое отношение. □
Имеется канонический функтор / (переводящий А в
{х:А|Ех}), который погружает С (Г) в Е(Г) как полную под-
категорию.
8.5. Теорема. I является эквивалентностью категорий (лю-
бой объект в Е(Г) изоморфен объекту в образе категории
С (Г)) тогда и только тогда, когда Т дефинициалъно полна..
Доказательство. Очевидно. □
8.6. Следствие. Если Т дефинициалъно полна, то
С (Г) — топос.
8.7. Определение. Функтор Н: E->F между топосами
называется логическим (морфизмом топосов), если он сохра-
няет конечные пределы, экспоненты и классификаторы подобъ-
ектов.
В логических терминах логический функтор можно наглядно
представлять как интерпретацию одной теории в другой, стан-
дартную в том смысле, что она интерпретирует тип-степень сно-
ва типом-степенью.
Если Н: E->F логический, то для любой интерпретации <7
языка L в Е морфизм-композиция дает интерпретацию
языка L в F. (Необходимые изоморфизмы обеспечиваются
единственностью (с точностью до единственного изоморфизма)
произведений, экспонент и классификаторов подобъектов.)
8.8. Лемма.
Мно/ = Н
Мяо> — н
Доказательство. Индукцией по построению (р и т. □
§ 8. ТОПОСЫ КАК ТЕОРИИ
273
8.9. Теорема Для любой модели ST теории Т в топосе F
имеется логический функтор Н: E(T)-»F, единственный с точ-
ностью до единственного изоморфизма, такой, что Н (Т) =
=
Доказательство. Во-первых, мы заметим, что един-
ственность с точностью до изоморфизма следует из предшест-
вующей леммы и леммы 7.12. Так как ЯГ— модель теории Т,
лемма 7.12 говорит нам, каким образом поставить в соответ-
ствие некоторый морфизм f = H(F): А-+В в F любому мор-
физму F: А^-В в Е(Т). То, что это отображение является в
действительности логическим функтором, следует из тео-
ремы 7.13. □
Мы видим, что топосы соответствуют некоторым дефини-
циально полным теориям, а логические морфизмы — интерпре-
тациям, которые являются моделями для этих теорий. Любая
теория Т имеет дефиниционально полное консервативное рас-
ширение— теорию, поставленную в соответствие топосу Е(П
(В действительности это расширение не только консервативно,
но и несущественно в том смысле, что оно имеет естественную
интерпретацию в Т: его выразительная силане больше,чем уТ.)
Как отмечено в конце § 5, аксиомы для топосов не содер-
жат аналогов теоретико-множественных аксиом бесконечности
и замены. Сила аксиомы замены — в возможности заменить не-
ограниченный квантор ограниченным. Так как у нас нет кате-
гориального аналога неограниченного квантора, неудивительно
отсутствие аксиомы замены в списке аксиом для топоса. Кате-
гориальная версия аксиомы бесконечности (принадлежащая
Ловеру) задана требованием наличия объекта натуральных чи-
сел (NNO). Мы коротко рассмотрим, какие теории соответст-
вуют топосам с NNO.
8.10. Определение. Объект натуральных чисел — это
объект N, оснащенный морфизмами 1 -->#—>#, удовлетво-
ряющими свойству рекурсивности: для любой диаграммы
1-^А-^А имеется единственный морфизм k: N-+A такой,
что k°0 = anf°k = kos.
8.11. Теорема (Хетчер [1], Осиус [1], фольклор).
0 s „
Объект N со структурой 1 —* N —> N является NNO в топосе Е
тогда и только тогда, когда следующие формулы (аксиомы
Пеано) выполнены в канонической интерпретации языка L (Е)
в Е:
(РЗ) Vx: №|0=s’(x),
(Р4) Vx: NV у: N (s’ (x) = s’ (y) -> x = y),
(P5) VX: >[ЛГ] (0 g= X A Vx e= X. s’ (x) e X -> Vx: N. x e= X).
Обратное утверждение тоже верно.
274
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
8.12. Теорема. Пусть Т — теория в языке с константой
О :N и определимым отношением s из N в N такими, что в Т
выводимы формулы (РЗ) — (Р5) из теоремы d.jl и, кроме того,
(Pl) ЕО,
(Р2) Vx: N. Es’x.
Тогда в Е(Т) мы имеем объект натуральных чисел
О $
1 -+N — N.
Рассмотрим теперь вкратце два приложения.
8.13. Теорема (Миккельсен, Паре [1]). Топосы обладают
конечными копределами.
Доказательство. Достаточно рассматривать топосы
вида Е(Г), так как по теоремам 8.2 и 8.5 любой топос эквива-
лентен такому. Как и в § 4, мы теперь можем использовать не-
посредственные логические конструкции копределов. Доста-
точно иметь инициальный (начальный) объект ({х: [ ] | J_}),
дизъюнктные суммы (А + В можно построить как подтип типа
[[А], [В]]) и коуравнители (коуравнитель морфизмов F и G:
А-+В имеет в качестве конца некоторый подтип типа [В]). □
Другие категориальные свойства топосов — свойства точ-
ности, существование правого сопряженного к стороне универ-
сального квадрата и т. д. — легко получаются с использованием
этого метода. В качестве второго приложения мы рассмотрим
построение свободных топосов. (По существу наш метод тот же,
что уФольгера [1].)
8.14. Определение. Пусть G — ориентированный граф *).
Под условием С на граф G мы понимаем утверждение в рас-
ширении языка теории категорий, содержащем имена для узлов
и путей в G. Утверждения об истинности такого условия для
некоторого морфизма из G в (граф, который задает категория)
С понимаются очевидным образом.
8.15. Определение. Язык L(G) направленного графа G
строится следующим образом. Множество сортов для L(G) —
это наименьшее множество выражений, содержащее узлы G и
замкнутое относительно синтаксической операции:
(Ао, ..., A^-i)н->[Ао, ..., Ап-11
(здесь мы рассматриваем узлы как формальные символы, а
квадратные скобки и запятые — как формальные знаки препи-
нания). Для каждого ребра f: А-+В из G мы имеем в L(G)
константу f сорта [А, В].
*) То есть пара (V, Д), где V—непустое множество (узлов), А—се-
мейство упорядоченных пар элементов из V, называемых ребрами. — Прим,
перев.
§ 8. ТОПОСЫ КАК ТЕОРИИ
275
8.16. Лемма. Для f: А-+В в G назовем F = \х\у: Bf(x, у)
соответствующим отношением в L(G). Любому морфизму F из
G в некоторый топос Е соответствует интерпретация 3 (F) язы-
ка L(G) зЕ такая, что для любого f: А -* В в G
h= Vx: XEF’(x).
Обратно, любой такой интерпретации соответствует един-
ственный (по существу, т. е. с точностью до изоморфизма) мор-
физм из G в Е
8.17. Определение. Говорят, что условие С на граф G
внутренне выразимо, если имеется формула <р из L(G) такая,
что С истинно для F тогда и только тогда, когда
^(П1=ф.
8.18. Т е о р е м а. Если G — ориентированный граф и'ё — мно-
жество внутренне выразимых условий на G, то имеется
топос F и морфизм F: G->F, удовлетворяющие (условиям из)
‘ё’ и такие, что для любого топоса Е и морфизма Н: G-»E,
удовлетворяющих <&, имеется логический функтор К- F->E,
единственный с точностью до изоморфизма и такой, что К ° F =
= Н.
Доказательство. Искомый топос — это в точности
Е(Г), где Т — теория в L(G), имеющая в качестве аксиом фор-
мулы
Vx: AEF'(x) для f: А->В из G
и все формулы ф из L(G),соответствующие условиям Се^. □
Эта теорема дает много примеров свободных топосов, ибо
мы видели, что многие условия внутренне выразимы. Вот ко-
роткий список таких условий: быть моно- (эпи-, изо-) морфиз-
мом; быть (ко)произведением; быть (ко)уравнителем; быть
инициальным (терминальным) объектом; быть классификато-
ром подобъекта; быть экспонентой; быть (ко) универсальным
квадратом.
Мы надеемся, что показали в этой статье (по крайней мере)
две вещи: категории не столь таинственны, как это кажется, и
топосы не являются таинственными категориями.
Мы показали, что, говоря о некоторых категориях (топо-
сах), мы можем говорить конкретно в терминах элементов. Этот
процесс можно распространять на другие категории, подходя-
щим образом погружая их в топосы. Отсутствие «элементов» не
более таинственно, чем теория, в которой НЭхф(х), но нет
терма т такого, что Нф(т).
Топосы получаются, если мы применяем интуиционистскую
логику (с частичными элементами) к базисной интуиции
276
ГЛ. 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ
(конечных) типов-степеней, удовлетворяющих аксиомам сверты-
вания и экстенсиональности. Похожим образом можно смотреть
на другие теоретико-категорные абстракции: например, любая
абелева категория может быть представлена как полная под-
абелева категория категории АЬ(Е) абелевых групп некоторого
топоса Е. Так^м образом, на нее можно смотреть как на кате-
горию абелевых групп в некоторой подходящей логике.
В заключение упомянем об одном затруднении. Важные мор-
физмы топосов — это геометрические морфизмы (Артин, Гро-
тендик и Вердье [1]). Наш подход не объясняет этого
факта. Рейес [1] (см. также главу 8 «Теории моделей») по-
казал, что топос Гротендика можно рассматривать как расши-
рение категории Sets, полученное добавлением генерической
модели для подходящей (возможно, инфинитарной) теории Т
первого порядка. Тогда геометрические морфизмы естествен-
ным образом возникают из рассмотрения моделей таких теорий
(в топосах Гротендика). Однако этот подход зависит от фикса-
ции «базисного топоса» (в этом случае — Sets) и не эксплици-
рует понятия топоса in abstracto.
ЛИТЕРАТУРА
Артин, Гротендик и Вердье (Artin М., Grothendieck A., Verdier J. L.,
ed.)
1. Theorie des topos et cohomologie etale des schemas. Tome 1. — Berlin:
Springer, 1972.
Б у а л о (Boileau A.)
1. Types vs topos. — Mimeo. Montreal (Canada): Universite de Montreal,
1975.
Грей (Gray J. W.)
1. The meeting of the Midwest Category Seminar.— In: Reports of the
Midwest Category Seminar, V/Ed. J. W. Gray. Berlin: Springer, 1971,
p. 248—255.
К ост (Coste M.)
1. Logique d’ordre superieur dans les topos elementaires. — Mimeo. Paris:
Seminaire Benabou, 1974.
Л о в e p (Lawvere F. W.)
1. Quantifiers and sheaves. — In: Actes du Congres International des
Mathematiciens, tome 1, 1970, p. 329—334.
2. Introduction. — In: Toposes, Algebraic Geometry and Logic/Ed.
F. M. Lawvere. Berlin: Springer, 1972, p. 1 — 12.
3. Introduction. — In: Model Theory and Topoi/Ed. F. W. Lawvere, C. Mau-
rer and G. C. Wraith. Berlin: Springer, 1975, p. 3—14.
Л об ер иТьерне (Lawvere F. W., Tierney M.)
1. Lectures on elementary topoi. — Midwest Category Seminar, Zurich, 1970.
(Резюме у Г p e я [1].)
Маклейн (MacLane S.)
1. Categories for the Working Mathematician. — Berlin: Springer, 1971.
О с и у c (Osius G.)
1. Logical and set theoretical tools in elementary topoi. — In: Model Theory
and Topoi/Ed. F. W. Lawvere, C. Maurer and G. S. Wraith. Berlin:
Springer, 1975, p. 297—346.
ЛИТЕРАТУРА
277
Паре (Pare R.)
1. Colimits in topoi. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, 80, № 3, p. 556—561.
Рейес (Reyes G.)
1. From sheaves to logic. — In: Studies in Algebraic Logic/Ed. A. Daigne-
ault. Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1975, p. 143—204.
Руссо (Rousseau C.)
1. Complex analysis and topoi.— J. Pure and Appl. Algebra, 1977.
Скотт (Scott D. S.)
1. Boolean models and non-standard analysis. — In: Applications of Model
Theory to Algebra, Analysis and Probability. N. Y.: Holt, Reinhart and
Winston, 1969.
2. Identity and existence in intuitionistic logic. — In: Applications of
Sheaves. Berlin: Springer, 1979, p. 660—696.
Такеути (Takeuti G.)
1. Boolean-valued analysis.— In: Applications of Sheaves. Berlin: Springer,
1979, p. 714—731.
Ф о л ь г e p (Volger H.)
1. Logical categories, semantical categories and topoi. — In: Model Theory
and Topoi/Ed. F. W. Lawvere, C. Maurer and G; C. Wraith. Berlin:
Springer, 1975, p. 97—100.
Фурман (Fourman M. P.)
1. Connections between category theory and logic: Ph. D. Thesis.—
Oxford, 1974.
Фурман и Скотт (Fourman M. P., Scott D. S.)
1. Sheaves and logics. — In: Applications of Sheaves. Berlin: Springer,
1979, p. 392—401.
X e т ч e p (Hatcher W.)
1. The Foundations of Mathematics. — Philadelphia (Penns.): Saunders,
1968.
Хиггс (Higgs D.)
1. A category approach to Boolean-valued set theory: Preprint. — Waterloo,
1974.
Глава 7
БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ*)
Хенк Р. Барендрегт * **)
содержание
§ 0. Введение......................................................278
§ 1. На пути к теории..............................................281
§ 2. Классическое ^-исчисление.....................................287
§ 3. Построение модели ^со.........................................293
§ 4. Построение алгебр Doo.........................................296
§ 5. Разрешимость..................................................303
§ 6. Деревья Бёма..................................................305
§ 7. Анализ модели Doo.............................................311
Литература.........................................................317
§ 0. Введение
Х-исчисление и его эквивалент без переменных — комбина-
торная логика —были введены в рассмотрение около 1930 г.
соответственно Чёрчем и Шейнфинкелем и Карри. Намерением
основателей этого раздела логики было изучение правил, иными
словами, изучение старомодного понятия «функции» в смысле
определения, В противоположность понятию Дирихле (вводи-
мому через график, т. е. множество пар, состоящих из аргу-
мента и значения) это более старое понятие упоминало про-
цесс перехода от аргумента к значению, кодируемый опреде-
лением. В общем мы мыслим эти определения как заданные
словами на обычном русском языке и применяемые к аргумен-
там, которые также выражены (русскими) словами. Или, более
конкретно, мы можем думать о таких определениях как о про-
граммах для машин, которые применяются к таким програм-
мам, т. е. работают на них. В обоих случаях нам приходится
иметь дело с бестиповой алгебраической системой, где объекты
♦) Часть этой главы была написана, когда автор работал по пригла-
шению в Исследовательском институте математики при Высшем Технологи-
ческом институте в Цюрихе.
**) Автор хочет поблагодарить Дану Скотта за его существенные за-
мечания по поводу первого варианта этой главы и Джейн Бридж и Дже-
фа Цукера, указавших несколько ошибок в тексте.
§ 0. ВВЕДЕНИЕ
279
изучения являются одновременно и функциями, и аргументами.
В частности, функция может применяться к самой себе. Для
обычной концепции функции в математике (в теории множеств
Цермело — Френкеля) это невозможно (из-за аксиомы фунди-
рованности).
Z-исчисление представляет класс (частичных) функций
(^-определимые функции) на натуральных числах, который
оказывается в точности классом частично рекурсивных функ-
ций. Эквивалентность функций, вычислимых по Тьюрингу, и об-
щерекурсивных функций была первоначально доказана через
Z-исчисление: общерекурсивные функции — это в точности Z-on-
ределимые функции, и то же верно для функций, вычислимых
по Тьюрингу.
Эквивалентность между ^-определимыми функциями и ре-
курсивными функциями была одним из аргументов, которые
Чёрч использовал для защиты своего тезиса, предлагающего
отождествление интуитивного класса эффективно вычислимых
функций с классом рекурсивных функций. В действительности
можно привести аргументы в пользу так называемого супер-
тезиса Чёрча, который утверждает, что для рассматриваемых
функций это отождествление сохраняет интенсиональный ха-
рактер, т. е. процесс вычисления. •
Исторически первая неразрешимая проблема была по-
строена Чёрчем как проблема о термах Z-исчисления (имеют ли
они нормальную форму). Первое определение рекурсивных ор-
диналов, принадлежащее Чёрчу и Клини, шло через Z-исчисле-
ние. Теорема о неподвижной точке для ^-исчисления вдохно-
вила Клини на теорему рекурсии. Таким образом, Z-исчисление
играло центральную роль в первых исследованиях по теории
рекурсивных функций.
Чёрч первоначально строил Z-исчисление как часть общей
системы функций, которая должна стать основанием матема-
тики. Парадокс Клини и Россера показал, что эта система
была противоречива. Рассматриваемая теория — это извлечен-
ная из нее непротиворечивая подтеория, см. Чёрч [1]. После
этого Чёрч, по-видимому, потерял интерес к использованию
Z-исчисления для обеспечения обоснования математики в це-
лом. КаррииФейс [ 1 ], а также Карри, Хиндли и Сел-
дин [1], с другой стороны, развивали различные системы ил-
лативной комбинаторной логики, задуманные как окончатель-
ное обоснование. Однако эти системы не были развиты в
достаточной степени для того, чтобы служить удовлетворитель-
ной базой для математики. См. также Скотт [3] относительно
работы в этом направлении. .
Из-за бестипового подхода было неясно, как строить модели
этой теории. Нам хотелось бы иметь множество X, в которое
280
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
можно вложить его пространство функций Х-*Х, но это проти-
воречит теореме Кантора. Эту трудность преодолел Скотт в
1969 г. с помощью построения модели Doo путем ограничения
множества Х-+Х непрерывными функциями на X (вместе с над-
лежащей топологией). Непрерывность играет существенную роль
также и в графиковой модели ^со.
Модели Скотта добавили рассматриваемой теории новое из-
мерение— рассмотрения, связанные с пределами. Автор согла-
сен с утверждением Скотта, что это действительно делает тео-
рию ^-исчислением, а то, что было сделано раньше, следует на-
зывать ^-алгеброй. См. § 7, где равенства в Doo, которые нельзя
доказать алгебраически, устанавливаются методами аппрокси-
мации.
Типовые варианты этой теории и их связи с теорией катего-
рий и теорией доказательств намеренно не рассматриваются.
Характер типовых теорий совершенно отличен от бестипового
варианта, например все типовые термы имеют нормальную
форму. См. Трулстра [1] как источник по типовой тео-
рии (примитивно) рекурсивных функционалов и Манн [1]
о соотношении с теорией категорий и теорией доказа-
тельств.
Следует также упомянуть, *что имеется теория, родственная
^-исчислению, в которой применение функции к аргументу опре-
делено только частично. Это теория равномерно рефлексивных
структур Вагнера и Стронга. Эта теория имеет очевидную мо-
дель на частично рекурсивных индексах. В действительности
она задумана как аксиоматизация некоторых частей теории ре-
курсии. См. Барендрегт [1], где имеется введение в пред-
мет и литература.
РЕЗЮМЕ
Первый параграф дает введение в теорию и общую теоре-
тико-модельную постановку. Вторрй параграф дает рассмотре-
ние классического ^-исчисления. Будет доказано, что рекурсивные
функции могут быть представлены Z-термами и что различ-
ные множества Z-термов неразрешимы. В § 3 строится графи-
ковая модель В § 4 рассматривается построение моделей
Doo по Скотту в виде проективного предела полных решеток.
В § 5 вводится Z-теория Зё. Она имеет единственное макси-
мальное непротиворечивое расширение 5}?*. Шестой параграф
ставит каждому терму в соответствие некоторое дерево, полез-
ное для определения образа этого терма в моделях Doo.
В § 7 доказано, что Doo\= М = N тогда и только тогда, когда
М = N Зё*, тогда и только тогда, когда М и N имеют экви-
валентные деревья.
§ 1. НА ПУТИ К ТЕОРИИ
281
§ 1. На пути к теории
Х-исчисление изучает функции и их аппликативное поведе-
ние (т. е. поведение относительно применения к аргументу),
а не просто их поведение при композиции, как в теории кате-
горий. Поэтому применение (аппликация) функции к аргументу
является исходной операцией Z-исчисления. Функция /, приме-
ненная к аргументу а, обозначается через fa.
Шейнфинкель заметил, что не обязательно вводить функ-
ции более чем одной переменной. Действительно, для функции,
скажем от двух переменных, f(x,y) мы можем рассмотреть g*
с соотношением gx(y) = f (х, у), а затем f' с соотношением
f'(x) = gx. Отсюда (f'x)y = f(x, у). Поэтому в удобной записи
hxi Хп = (.. .(hxi) .. Хп) (группировка влево) приведенный
выше пример принимает вид f'xy = f(x, у). Аналогичная конст-
рукция встречается в s-m-n-теореме из теории рекурсии.
1.1. О п р е д е л е н и е. Аппликативная система — это алгеб-
раическая система 2Й = <Х, •>, где •—это бинарная операция
(аппликация или применение функции к аргументу) на X.
Множество термов Т(Ф1) над ЗЯ (использующих переменные
«о, «ь •••) определяется индуктивно: azeT(2Jl); а^ са&
еТ(2Я); А, Т (ЗЯ)=> (АВ)^ Т(ЗЯ). са — это константа, соот-
ветствующая элементу а. Приписывание термов друг к другу
обозначает аппликацию.
Д1Д2 ... Ап обозначает (... (Ар42) ... Ап) (группировка влево).
1.2. Определение. Комбинаторная алгебра — это аппли-
кативная система такая, что Зй нетривиальна (т. е. Card(X) >
> 1) и для каждого терма А над Зй с переменными из списка
i/i, ..., ут мы имеем в Зй следующее.
1.3. BfVr/i ... ynfyi ... Уп = А (комбинаторная полнота).
Комбинаторная алгебра Зй экстенсиональна, если дополни-
тельно в Зй выполнено
1.4. Vx (fх = f'х) = (экстенсиональность).
Комбинаторная полнота выражает представимость всех ал-
гебраических функций элементами. Мотивировка этой аксиомы
заключается в том, что для функций, изучаемых как правила,
мы наверняка хотели бы, чтобы они были замкнуты относи-
тельно явных определений.
Существенно, что в 1.3 терм А чисто алгебраический, а не
определяется с использованием логических операций. В против-
ном случае диагонализация сделала бы систему тривиальной.
Однако уже комбинаторная полнота — весьма сильное свой-
ство. Например, нет конечных комбинаторных алгебр, а в дей-
ствительности — и рекурсивных. В противоположность, например,
теории полей, имеется 2 s'0 простых комбинаторных алгебр.
282
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
В 1.3 комбинаторная полнота выражается экзистенциальной
аксиомой. Если расширить тип языка, это можно выразить уни-
версальным способом (ср. элементарную теорию групп, где ак-
сиому Vx3yx-z/ = e можно выразить в виде х-х-1 = е после
расширения языка символом -1). В действительности есть два
способа сделать это. Первый способ, примененный Чёрчем, до-
бавляет к языку оператор абстракции X: если А—терм, то
Хх.Д — тоже терм. Теперь комбинаторная полнота следует из
соотношения
1.5. (кх.А)а = А[х/а] (^-конверсия).
Многократные абстракции можно заменить простыми, сле-
дуя идее Шейнфинкеля. Пусть Xxi ... хп.А = Xxi (Хх2 ...
... (КхпА ...)). Тогда (Zxi ... xn.A)ai ... ап — A [xi . . .
... Xn/ai ... ап].
Другой подход, предложенный Карри, возникает из понима-
ния того, что комбинаторная полнота следует из двух своих
частных случаев.
1.6. Теорема. Пусть = <Х, •> — аппликативная система
такая, что для некоторых k, s X мы имеем в Ш1:
(i) й У= s,
(ii) kxy = x,
(iii) sxyz = xz (yz).
Тогда SW — комбинаторная алгебра.
Доказательство. Пусть i = skk. Тогда ix — skkx^
== kx(kx) = x. Индукцией по сложности терма А над 2)1 мы мо-
жем определить Х*х.Д и показать, что в 2R имеет место
(Х*х.Д)а = А [х/а]. Пусть / = с;, К = ck, S = cs;
Х*х. х = Г, К*х. у = Ку, если х, у — различные переменные;
Гх. сь — Ксь\ Гх. A{A2 = S^x. А)(Гх. Д2).
Поэтому для термов над мы можем определить ^-абстрак-
цию, удовлетворяющую p-конверсии, следовательно, является
Л-алгеброй. □
Теория Карри изящна благодаря своей простоте. В действи-
тельности теория комбинаторов с константами k и s, удовлет-
воряющими (i) — (iii) из 1.6, — это простейшая существенно не-
разрешимая теория. Однако символика Чёрча ближе к интуи-
ции и именно она будет использоваться в этой главе.
(Формальное) ^-исчисление— это по существу теория, имею-
щая аппликацию и абстракцию в качестве исходных понятий и
p-конверсию в качестве аксиомы. Кроме того, в нем имеется
понятие редукции, формализующее тот факт, что, например,
выражение вроде (Zx.x2 + 1)3 может быть вычислено с резуль-
татом 10, но не наоборот. Благодаря теореме Чёрча — Россера,
§ 1. НА ПУТИ К ТЕОРИИ
283
редукция весьма полезна для теории доказательств Z-исчис-
ления.
Следует подчеркнуть, что термы играют центральную роль
в теории, трактующей функции как правила. Этот взгляд отли-
чается от взглядов Скотта, который считает центральными мо-
дели. Действительно, верно, что модели интересны не только
благодаря большему пониманию равенства термов, которое они
обеспечивают, но и благодаря своей математической структуре.
Однако теория D™ особенно красива из-за предельной характе-
ризации равенства термов, см. § 7.
Вот типичные вопросы о термах:
(i) Какого рода функции на термах представимы?
(ii) Какие термы равны, какие существенно различны? Ка-
кие термы можно, а какие нужно приравнивать?
Если ограничиться цифрами, то классический ответ на во-
прос (i) гласит: рекурсивные функции. К вопросу (ii) можно
подходить либо, с помощью доказательств непротиворечивости
для разумных расширений Л-исчисления, либо путем построе-
ния моделей и рассмотрения множеств уравнений, истинных
в них. Системы и Зё* из § 5 были найдены соответственно
первым и вторым методом. Вопрос из (ii) объясняет также, по-
чему к Х-исчислению иногда добавляется экстенсиональность.
Ср. теорему Бёма в 2.23, утверждающую, что экстенсиональная
теория полна относительно термов, имеющих нормальную
форму.
Теория
1.7. Определение. Х-исчисление имеет следующий лзыЦ.
Алфавит:
ао, а\, . —переменные;
=—редукция, равенство;
X, ), (— вспомогательные символы.
Термы определяются индуктивно.
(i) Любая переменная есть терм.
(ii) Если М, N — термы, то (MN) — терм.
(iii) Если М — терм, х — переменная, то (Хх.М) — терм.
Формулы
Если М, N — Tvpwta, то M-+N и M = N — формулы.
1.8. Соглашения. Терм Х-исчисления называется К-тер-
мом. М, N, ... —синтаксические обозначения произвольных
Х-термов. х, у, z, ... — синтаксические обозначения произволь-
ных переменных. Л11Л12 ... Мп обозначает (.. .(MiM2)... Мп)
(группировка влево), \х\ ... хп.М обозначает (Z%i(Xx2 ...
... (Ххп.М)...). Символ =5 обозначает синтаксическое равен-
ство.
284
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^.-ИСЧИСЛЕНИЕ
Переменная х входит свободно в терм Af, если х не входит
в область действия в противном случае х входит связанно.
В этом отношении Кх имеет те же связывающие свойства, что
а
Ух в логике предикатов или j . dx в анализе. Мы отождеств-
ь
ляем термы, отличающиеся только названиями своих связанных
переменных, например Кх.х = Ку.у. FV(M) — это множество пе-
ременных, свободных в терме М. М замкнут, если FV(A4) = 0.
M[x//V] обозначает результат подстановки терма N вместо
всех свободных вхождений х в М. Чтобы предотвратить колли-
зию переменных, нам придется предположить, как делается
в логике предикатов, что никакая свободная переменная из N
не становится связанной в M[x/V], Этого можно достичь пу-
тем переименования некоторых связанных переменных в М, на-
пример (ка.ах) [х/а] = Ха'.а'а ка.аа. После того как эта
предосторожность принята, определение подстановки не зави-
сит от выбора представителя в классе эквивалентности отож-
дествленных термов. См. также де Б р ёй н [1 ].
1.9. Определение. A-исчисление определяется следую-
щими схемами аксиом и правилами:
I. 1. (Ax. M)N->M[x/N] (^-редукция).
2. М-+М.
3. M-+N, N-^L^M^L.
4. (a) M->M'=>ZA1->ZM';
(b) Af->M'=J-MZ->M'Z;
(с) Л4-*М'=>Ах. М->Ах. М'.
II. 1. М-+М'=>М = М'.
2. М — Af'=>Af' = Af.
3. M = N, N = L^M = L.
4. (a) M = M'^»ZM = ZM'-,
(b) M = M'-+MZ = M'Z,
(с) M = At' => Ах. М = Ах. М'.
Если выводимо M = N или M-+-N, мы пишем А I— М = N
или (А Н) Л4-> Af соответственно. Так как отношение = порож-
дается отношением правила II. 4 следуют из 1.4. Однако
добавление II. 4 необходимо, если мы рассматриваем расшире-
ния А-исчисления.
1.10. Экстенсиональность. A-исчисление можно расширять
следующим правилом экстенсиональности:
ext: Мх = М'х => М = М', если x^FV(AI), FV (M')t
§ 1. НА ПУТИ К ТЕОРИИ
285
Правило ext может быть аксиоматизировано путем добав-
ления правила
Zx. Мх -+М (т) — редукция),
если хф FV(A1).
Действительно, если Мх = М'х и x^FV(AfAT), то кх.Мх =
= Кх.М'х, следовательно, М = Кх.Мх = кх.М'х = М'.
Z-исчисление с этим добавочным правилом редукции назы-
вается ^-исчислением. Доказуемость в этой теории обозначает-
ся через Zt] Н ...
М к N называются -конвертируемыми, если Z(t))H А1 =
= М
Модели
Наш главный объект изучения — ^-исчисление. Поэтому мы
хотели бы, чтобы комбинаторные алгебры были также моде-
лями этого исчисления, т. е. чтобы имелась ииерпретация Z-опе-
ратора. Однако если комбинаторная алгебра не является
экстенсиональной, то имеется произвол в выборе элемента /,
представляющего функцию А из 1.3. Таким образом, у комби-
наторных алгебр не хватает свойств для того, чтобы быть мо-
делями Z-исчисления.
1.11. Определение. Пред-К-алгебра — это комбинатор-
ная алгебра вместе с методом, который каждому терму А е
е Т(ЗЙ) ставит в соответствие терм Х*х.Д <= Т(ЗЙ) такой, что:
(i) х не входит в \*х.А,
(ii) Ш1|==(Х*х.Л)х = Д.
Замечания. (1) Для большинства 3W это сопоставление
Аь>Z*x.X дается доказательством того, что Зй— комбинатор-
ная алгебра.
(2) Хотя определение пред-Х-алгебры и не сформулировано
в привычном языке первого порядка, оно совершенно ясно с
конструктивной точки зрения.
1.12. Определение. Интерпретация К-термов. Пусть р —
оценка переменных в пред-Х-алгебре 5И = {Х, •}, т. е. р =
= {«о, «ь . ..}->%. Значение Z-терма М при оценке р в модели
2R, обозначаемое через [А!]^, определяется в два шага. Сна-
чала М преобразуется в терм <= Т (Эй). Затем этот терм
обычным для языка первого порядка образом интерпретируется
в при оценке р, что и дает
определяется индуктивно следующим образом: (х)^=х;
= «Zx. M^ = Z*x. <А4)Л
1.13. Определение. Выполнимость. Как обычно, ЗИН.
|= М = N, если [Л1]|^ = для всех р.
286
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Л-ИСЧИСЛЕНИЕ
1.14. Определение, к-алгебра или модель ^исчисле-
ния — это пред-Х-алгебра такая, что X Н Af — N ф 2)? Н
Н М = N.
Замечание. Модель из термов 2ft(CL) для теории комби-
наторов является пред-Х-алгеброй (в силу доказательства из
1.6), но не Х-алгеброй, так как
ЗЙ(СЬ))^Лх. ((Лу. у)х) = кх. х, т. е. s(fez) i ф i.
1.15. Определение, (i) Слабо экстенсиональная (с. э.)
Х-алгебра — это Х-алгебра 2R такая, что
= М = Кх. М'.
(ii) Х-алгебра 2R экстенсиональна, если 2)1 удовлетворяет со-
отношению Vx(fx = gx)-+f = g (экстенсиональность).
1.16. 3 амечания. (1) Экстенсиональная Х-алгебра оче-
видным образом с.^.
(2) Комбинаторная алгебра, удовлетворяющая аксиоме эк-
стенсиональности, очевидно, является экстенсиональной Х-ал-
геброй, так как имеется ровно один способ определения
абстракции.
(3) Имеются интересные Х-алгебры, не являющиеся слабо
экстенсиональными, например 2Я°(Х) (см. ниже), что вытекает
из co-неполноты Х-исчисления (ср. Плоткин [2]), или
(4) Все Х-алгебры, которые мы будем рассматривать здесь,
являются либо с. э., либо моделями из термов.
1.17. Общие понятия и обозначения, о обозначает множе-
ство натуральных чисел. Хх. ... обозначает отображение
х ь—> ... (мета-ламбда).
Понятия, связанные с теориями
А—множество Х-термов. А0 — множество замкнутых Х-тер-
мов. Пусть Т — некоторое множество равенств между Л-тер-
мами. Тогда ХфТ— это ^-исчисление, расширенное равен-
ствами из Т в качестве аксиом. Т+ = {Л4 = А|Л4, /VeA° и X +'
фТНЛ1 = А}. Говорят, что Т непротиворечива, если Т+
содержит не все равенства.
^-теория — это непротиворечивое множество равенств Т та-
кое, что Т = Т+.
X — это Л-теория {Л4 = А|Л1, А е А0 и ХН 7И = А}. Ее не-
противоречивость показана в 2.9.
Для Х-теории Т положим по определению, что Л1 ~ ТА тогда
и только тогда, когда ЛфТнЛ4 = А. ~т — отношение экви-
валентности. Пусть [Л4] т обозначает класс эквивалентности
терма М по отношению ~ т. Модель теории Т (состоящая) из
термов, обозначаемая через 2Л(Т), есть Х-алгебра, состоящая из
§ 2. КЛАССИЧЕСКОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
287
всех 1-термов по модулю ~т, причем аппликация и абстрак-
ция определяются каноническим образом*). Модель ЭД°(Т) тео-
рии Т из замкнутых термов — это множество термов без сво-
бодных переменных, факторизованное по ~т-
1-теорня Т максимально непротиворечива, если Т не имеет
собственных непротиворечивых расширений.
Понятия, связанные с моделями
Для 1-алгебры ЭД обозначим через Th (ЭД) 1-теорию {Л4 =
= 2V|A1, N е Л° и ЭД^=М = М}. Непротиворечивость следует
из того факта, что Card (ЭД) > 1 (см. 2.3).
Внутренность ЭД, обозначаемая через ЭД°, — это подсистема,
состоящая из образов замкнутых 1-термов в ЭД. С точностью до
изоморфизма ЭД° = ЭД°(Th (ЭД)). Модель ЭД жесткая тогда и
только тогда, когда ЭД = ЭД°. Жесткие 1-алгебры являются про-
стыми алгебраическими системами среди 1-алгебр.
Гомоморфизм А: ЭД->ЭД' для 1-алгебр должен сохранять не
только аппликацию, но и абстракцию, т. е. для терма А еТ(ЭД)
должно выполняться h(1*х.Л) = k*x.hA в ЭД', где для ВеТ(ЭД)
терм йВеТ(ЭД')— это терм, получаемый путем замены в В
всех констант са на Cha-
Мы будем использовать гомоморфизмы только в связи с мо-
делями из термов. В этом случае описание весьма просто. Если
ScT — 1-теории, то h: ЭД(8)->ЭД(Т) определяется соотноше-
нием h ([Al] s) — [Л4] т. Таким образом, каждая (замкнутая)
модель из термов ЭД°(8) есть гомоморфный образ модели
ЭД°(1): [Л1] х—>[Л4] s. Если S максимально непротиворечива,
то ЭД°(8) алгебраически проста, т. е. не имеет собственных го-
моморфных образов.
§ 2. Классическое 1-исчисление
Классическая теория занимается преимущественно моделью
ЭД(1). Среди прочих мы докажем следующие теоремы. Все ре-
курсивные функции 1-определимы (Клини). Множество термов,
(не) обладающих нормальной формой, неразрешимо (Чёрч).
Невозможна рекурсивная модель 1-исчисления (Гжегорчик).
Последние две теоремы легче всего следуют из теоремы Скот-
та. Наконец, формулируется теорема Бёма, которая показывает
полноту 1-конверсии для термов, имеющих нормальную форму.
2.1. Теорема о неподвижной точке. Для любого
F е Л имеется Ms Л такой, что \ Н FM = М.
*) То есть ([Af] [TV]) = U.[M] = [Хх.М]. — Прим, перев.
288
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказательство. Положим по определению со =
= Kx.F(xx) и М = coco. Тогда X Н М = coco = (kx.F(xx) )со =
= F(cocd) = FM. □
Замечания. (1) Неподвижные точки можно находить рав-
номерно: положим У = kf.(kx.f(xx)) (kx.f(xx)). Тогда X Н Yf =
= f(Yf).
(2) Так как теорема верна для термов, которые могут со-
держать свободные переменные, то каждый элемент Х-алгебры
имеет неподвижную точку.
(3) Карри назвал комбинатор У парадоксальным комбина-
тором.
Заметим, что в 2.1 верно %|-Af->FA1. Это объясняет, по-
чему нас так озадачивают родственные конструкции в теореме
рекурсии или гёделевское рефлексивное предложение; ср. Б а -
рендрегт [2], § 6.7.
2.2. Нам часто нужны некоторые стандартные термы. Пусть
I = Кх.х, К = Кху.х, S = kxyz.xz^yz) и Q =(\х.хх') (\x.xx).
Тогда XHZA1 = A1, K\-~KMN = M и Z Н SMNL = ML(NL).
Из 1.6 следует, что любой замкнутый терм можно опреде-
лить через /, К и S.
2.3. Истинностные значения t(true) и f(false). Положим по
определению t = К, f = KF Тогда % Н t MN = М и X Н f MN =
= N. Отметим, что t =/= f в любой Х-алгебре Зй, так как иначе
Зй удовлетворяла бы х = txy = txy = у и, следовательно, была
бы тривиальной.
2.4. Условная связка. Если В — терм, принимающий значения
t и f, то интуитивное значение выражения «если В, то М, иначе
N» можно представить термом BMN.
2.5. Упорядоченные пары. Положим по определению
[ALV] = Kx.xMN, (Al)о = Mt и (Al)i = Aff. Тогда
XH([Alo,Ali])f = AL,i = 0,1.
2.6. Цифры. Положим по определению 0 = / и п + 1=
= [п, К]. Цифры выбраны таким образом для того, чтобы обес-
печить удобную основу для представления рекурсивных функ-
ций. Чёрч [1] использовал следующие цифры: п = kfx.px, где
fQx = х и fn+'x = f(fnx).
2.7. Определение, (i) Редекс — это терм вида (Xx.P)Q.
(В экстенсиональной теории редексом является также Zx.Px,
где хф FV(P).)
(ii) Терм Al находится в нормальной форме (н. ф.), если
никакой подтерм в М не является редексом. (Если нужно раз-
личать н.ф. в X- и ^-исчислении, мы говорим о 0- и 0т)-н. ф.)
(iii) Терм А1 имеет н.ф., если \\~M-+N для некоторого N
в н. ф. (в экстенсиональной теории — Хг| 1- М -> N).
С интуитивной точки зрения терм в нормальной форме не
допускает дальнейшего вычисления.
§ 2. КЛАССИЧЕСКОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
289
Пример. (Хх.хх) у имеет и. ф. уу, Q вообще не имеет н. ф.
Заметим, что для любого натурального числа п соответствую-
щая цифра п находится в н. ф.
Теперь сформулируем важную теорему. По поводу деталей
см., например, Хин дли, Лерчер и Селдин [1]; с. 139 или
Барендрегт [2].
2.8. Теорема Чёрча — Россера. Если X Н М = N, то
для некоторого Z верно X Н M-+Z и X Н W -> Z (и аналогично
для Хц-исчисления).
Доказательство (набросок по идеям Тейта и Мартин-
Лёфа). Теорема получается из следующего утверждения (и в
действительности эквивалентна ему).
(») Если M-+N?, то N\-*-Z и Nz-+Z для некото-
рого Z:
М
Z
То, что 2.8 следует из (*), доказывается индукцией по длине
доказательства X Н М = N, причем (*) нужно для транзитив-
ности отношения =.
(*) доказывается с помощью нового отношения Д на Х-тер-
мах такого, что: (1)Д обладает свойством-ромбика; (ii)-»—
транзитивное замыкание отношения Д. Свойство ромбика для
-+• следует тогда из простой прогонки по диаграмме.
Отношение Д индуктивно определяется следующим образом:
МДМ; МДМ', АГ ДАТ =>(Хх. М)ЛГ ДМ'[х/ЛГ];
МДМ', АГ ДЛГ=>МЛГ ДМ'ЛГ; М Д М'=>Хх. М Д Хх. М'.
Тогда (ii) очевидно, a (i) следует из разбора случаев и со-
отношений МДМ', N Д N' =>М [х/AZ] Д М' [х/ЛГ], что можно
доказать индукцией по порождению Д. □
2.9. Следствие, (i) Если М вообще имеет н.ф., то М
имеет единственную н. ф.
(ii) Если X г- М = N и N находится в н.ф., то M-+N.
(iii) ’К-исчисление непротиворечиво, т. е. Х|-\- М = N для не-
которого равенства.
Доказательство, (i) Заметим, что если N находится
в н. ф. и #->-ЛГ', то N'== N. Допустим теперь, что М->М1(
М->М2 и Ni, Nz находятся в н.ф. Тогда X\\-Ni=N2, поэтому
в силу 2.8 N\-+Z и Nz-+Z. Но тогда N\ = Z = Nz.
10 Справочная книга, ч. IV
1590
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ 1-ИСЧИСЛЕНИЕ
(ii) Если M = N, то снова A1->Z и N-+Z. Но так как /V
находится в н. ф., то N = Z, поэтому М-+ N.
(ii i) Если Л4, W— различные н. ф.» то XfV М = N по (ii) и
(i). □
2.10. Определение. Пусть со — множество всех натураль-
ных чисел. Функция f: соп->(о называется ^-определимой тогда
и только тогда, когда для некоторого F е А0
... kn = f (k[t ..., kn) = m. (*)
Если имеет место (*), то говорят, что f Х-определима тер-
мом F.
2.11. Замечание. Если для некоторого терма F мы имеем
вместо (*) соотношение
f(ki9 ..., kn) = Н Fky ... kn = m, (**)
то f Х-определима термом F. Действительно, допустим, что
Л Н Fki ... kn = m и f(k\, ..., kn) = т'. Тогда в силу (**)
Л Н Fk\ ... kn = m' и, следовательно, в силу 2.9 (i) т = т',
так как цифры находятся в нормальной форме. Поэтому
Д&ь ..., kn) = tn.
2.12. Лемма. Исходные функции и"(Х1, ..., xn) = xi9
Z(x) = 0, S+(x) = х + 1 ^-определимы.
Доказательство. Возьмем в качестве определяющих
термов и? = Лх1 ... хп.хь Z = Kx. 0 и 8+ = Лх. [х, К] соот-
ветственно и применим 2.11.
2.13. Лемма. К-определимые функции замкнуты относи-
тельно композиции.
Доказательство. Представление композиции есть ком-
позиция представлений.
2.14. Лемма. Имеются термы Р и Zero такие, что P(S+x) =
= х и Zero х = t, если х = 0, Zero х = f, если х есть цифра У=0.
Доказательство. Возьмем Р = Кх. (х) о, Zero =
= Хх. (x)ift. □
2.15. Лемма, ^-определимые функции замкнуты относи-
тельно примитивной рекурсии.
Доказательство. Для простоты мы не будем указы-
вать параметры. Возьмем f с соотношениями f(O) = k, f(n-}-
4- 1) == g-(f(n), п), где g Х-определима термом G. Мы хотим
определить F так, чтобы он удовлетворял равенству Fx = если
Zerox, то k, иначе G(F (Рх)) (Рх). Положим по определению
© — Х/х. Zero xk[G(f(Px)) (Рх)]. Тогда мы можем найти F как
неподвижную точку терма 0, так как F = Кх,
Zerox6[G(P(Px))(Px)] по 2.4.
§ 2. КЛАССИЧЕСКОЕ 1-ИСЧИСЛЕНИЕ
291
2.16. Лемма, ^-определимые функции замкнуты относи-
тельно минимизации.
Доказательство. (Снова мы не указываем параметры.)
Пусть / определяется соотношением f(x) = |i//[g(x, у) = 0], где
g Х-определена термом G и \fn3mg (п, пг) = 0. Аналогично 2.15
мы можем найти Х-терм Н такой, что Нху = если Zero (Gat/),
то у, иначе Hx(S+y). Затем возьмем F = Кх.НхО. □
Замечание. Ясно, что Х-исчисление— рекурсивно аксио-
матизируемая теория. Следовательно (после гёделизации), от-
ношение {(М, N) \ К г~ М = N} рекурсивно перечислимо.
2.17. Теорема (Клини), ^-определимые функции — это в
точности рекурсивные функции.
Доказательство. Если f рекурсивна, то f Х-определима,
так как рекурсивные функции — это наименьший класс, содер-
жащий исходные функции и замкнутый относительно компози-
ции, примитивной рекурсии и минимизации. Если f Х-опреде-
лима термом F, то f(&i, ..., kn = m)<=> К Н Fk\ ... kn=jn,
поэтому ввиду предыдущего замечания график f рекурсивно пе-
речислим (р. п.), следовательно, f рекурсивна.
Замечание. Частичная функция ф: cofe->co Х-определима
тогда и только тогда, когда для некоторого терма F верно
ф(&) = р = m и ф(&) не определено <=> Fk не имеет
н. ф.
Можно показать, что частичная функция ф ^-определима
тогда и только тогда, когда ф частично рекурсивна. Чтобы сде-
лать это, мы должны показать, что некоторые термы не имеют
н.ф. Для этой цели полезна следующая стратегия редукции.
2.18. Определение. Пусть М— Х-терм. Если М не нахо-
дится в н.ф., то пусть М' получается редукцией самого левого
редекса в М (т. е. редекса с самым левым X), в противном слу-
чае М' не определен. Положим по определению А40 = М, Mn+i =
= (Мп)'. Последовательность Л40->А11 ... (конечная или
бесконечная) называется левой или нормальной цепочкой ре-
дукций терма М.
2.19. Теор ема нормализации (Карри). М имеет
н. ф. тогда и только тогда, когда конечна левая цепочка редук-
ций терма М.
Доказательство. См. Карри и Фейс [1], с. 142.
Эта теорема ложна для произвольных редукционных цепо-
чек. Рассмотрим, например, терм KIQ, который имеет н. ф., но
также и бесконечную цепочку редукций.
Результаты о неразрешимости
Закодировав синтаксические объекты натуральными чис*
лами, мы можем говорить о разрешимости множества термов
10*
292
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
или равенств. Будет показано, что ^-исчисление существенно
неразрешимо, т. е. не имеет разрешимых непротиворечивых рас-
ширений.
Стандартным образом определяется кодирование М-+ФМ
такое, что имеются рекурсивные функции Ар(#?Л, ##) =
— #(A4/V) и Num (и) = =#=п. Цифра будет обозначена че-
рез ГЛР.
2.20. Вторая теорема о неподвижной точке.
Для каждого F е А0 имеется X е А0 такой, что А Н FrX~* — X.
Доказательство. Пусть рекурсивные функции Ар и
Num ^-определяются термами Ар и Num. Положим по опреде-
лению со = Kx.F(Арх(Numx)) и Х = шг®‘1. Тогда ЛЫ =
= со1"®”1 -> F (Apr®1 (Numr(i)'})) —> = FrX~\ так как
Numr(d'1 —> □
Множество <= А0 замкнуто относительно равенства тогда
и только тогда, когда M^st и М = N eZ4N е s&.
st Л° нетривиально тогда и только тогда, когда =# 0
и А0.
2.21. Теорема (Скотт). Пусть — нетривиальное
множество, замкнутое относительно равенства. Тогда st не ре-
курсивно.
Доказательство. Пусть Л40 е М\ е Л° — 6$. До-
пустим, что st рекурсивно. Тогда имеется рекурсивная функция
/: о) ->{0,1} такая, что f(#=Af) = O тогда и только тогда, когда
М st. Пусть / Х-определена термом F. Положим по опреде-
лению F' = Кх. если Zero(Fx), то М\, иначе Л40. Тогда F,(rAl~1)=
= Л1Ь если М е st, и Fi(rM~]) = Л40, если M^st. В силу
2.20 ЗХ£=Л°Гг;П = Х. Если X ее то X = F'«-хп == Af! efe
^st, а если X^st, то X = F' — MQ е st, что в обоих
случаях противоречит замкнутости st относительно равен-
ства. □
2.22. Следствие (Чёрч, Гжегорчик). (i) Множество тер-
мов, (не) обладающих н. ф., не рекурсивно.
(ii) Нет рекурсивных ^-теорий.
(iii) Нет рекурсивных К-алгебр.
Доказательство, (i) {Л41М (не) обладает н.ф.} удов-
летворяет условию теоремы 2.21.
(ii) Пусть Т — A-теория. Тогда {Л11Л4 = / е Т} удовлетво-
ряет 2.21. Следовательно, Т не рекурсивна.
(ii i) Если бы Зй была рекурсивной %-алгеброй, то ТЬ(ЗЙ)
была бы рекурсивной Х-теорией, что противоречит (ii).
Следующий результат показывает полноту ^-исчисления от-
носительно термов, имеющих н. ф.
2.23. Теорема (Бём). Если М, N — два различных терма
в рт]-н. ф., то К + М — N противоречива.
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ №
293
Доказательство (эскизное). Если M^N находятся в
рт]-н. ф., то М, N имеют конечные деревья Бёма, которые не яв-
ляются ^-эквивалентными (см. § 6). Следовательно, в силу 6.8
М = N В действительности из доказательства в 6.8 сле-
дует, что в этом случае X Н С [А4] = х и X г~ C[2V] = у для не-
которого контекста С[-] и переменных х ф у. Поэтому К +
-j- М = N Н х = у, т. е. X + М = W противоречиво. □
Для термов без н. ф. этот результат о полноте неверен
(см. 7.2).
§ 3, Построение графиковой модели <^<о
Первыми Х-алгебрами были решеточные модели Doo, по-
строенные Скоттом в 1969 г. (см. § 4). Графиковая модель
менее сложна и потому будет описана сначала. Эта модель
была найдена Плоткиным [1], а в более явной форме —
Скоттом. По поводу построения этой модели с использованием
идей теории рекурсии см. Скотт [2], [5].
Роль непрерывности в построении моделей уже упоминалась
в § 1. Топология на ^со такова, что непрерывные функции
могут быть закодированы элементами ^со. Это су-
щественная черта модели.
3.1. О п р е д е л е н и е. (i) ^со = {х|х со}.
(ii) Конечных элементов ^со — счетное множество. В ка-
честве эффективной взаимно однозначной нумерации этих мно-
жеств мы используем еп, где
. . ., 1} С <С ... <С ^m-1 = X 2 .
Кт
(iii) (•, •) — кодирование пар натуральных чисел натураль-
ными числами, определяемое равенством (n, т) = -~(м + m)(n+
+ ш + 1) + т.
3.2. Определение. Пусть е со — конечное подмноже-
ство
Ое = {х е | е х}; Оп = Оеп.
3.3. Лемма. Семейство {Оп}^® образует базу топологии
на
Доказательство. Ое П Ое' = Ое и е'- □
Начиная с этого места, мы всегда будем рассматривать ^со,
снабженное этой топологией.
3.4. Лемма. f: -> непрерывна <=> f (х) —
U {f (е„) I еп <= х}.
Доказательство. (=>). Заметим сначала, что f моно-
тонна. Действительно, допустим, что х s у и nef(x). Тогда
294
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
f(x)^O{n}. По непрерывности х^Ое яля некоторого е такого,
что f(Oe)*=O{n}. Теперь е^х^у, поэтому у^Ое, следовав
тельно, f(y)sO(rt}, т. е. n^f(y). Поэтому в самом деле xs
^y=>f(x)^f(y).
Ввиду монотонности f имеем f(x) s U {/(^«) \еп — *}• Чтобы
установить обратное включение, допустим, что n^f(x). Снова
х^Ое и f(Oe)sO{n) для некоторого е. Следовательно, ввиду
е^Ое мы имеем , т. е. п е= f (е) s U {f (еп)\еп s х}.
(ф=). Снова f монотонна. Действительно, допустим, что
xsy и n^f(x). По предположению для некоторого
конечного е s х. Следовательно, п е (J {f (е') | е's у} — f (у).
Предположим теперь, что [(х)еОе, т. е. e^f(x). Пусть
е = {ть .mk}. По предположению для некоторых
eni s х. Тогда f (Овп^ — 0{т.} в силу монотонности. Поэтому
О = Оеп П ... П Оеп есть окрестность X и
f(O)s/(Oejn .?n/(OeJ.<=O{m/}n ... no{mft} =
= °{ml...mk} = 0e-
Поэтому VOe э f(x)3O э xf (О) s Oe, т. e. f непрерывна. □
По предыдущей лемме непрерывная функция f полностью
определяется своими значениями на конечных множествах. Сле-
довательно, если мы знаем, для каких т, п верно m^f(en),
то известны f(en), а потому и f. Таким образом, информацию
о непрерывной функции можно закодировать множеством. Эта
операция называется graph. Обратная к ней операция обозна-
чается fun.
3.5. Определение (i). Пусть f: непрерывна.
Тогда graph (f) = {(n, tn) \т f(en)}.
(ii) Пусть иеЖ Тогда функция fun(n) определяется со-
отношением fun(n)(x) — {т |3е„ х(п, т)^и}.
3.6. Теорема, (i) Непрерывная функция f однозначно оп-
ределяется своим графиком; fun (graph (f) ) = f.
(ii) Для любого и 0*® функция fun (и) непрерывна.
Доказательство.
(i) fun (graph (f))(х) = {m |Ben Е x(n, m) е graph (f)}
= {m 13e„ x me f(en)}
= U {f(en)\en^x} = f(x) no 3.4.
(ii) Пусть f = fun(w). Тогда /(x)= (J {«« x), где =
= {m|(n, m) e и). Теперь
m e f (x)
<=> 3n [en s x Д m e un] -s=> Bn [ [en s en A m e un\ A en s x]
^>3n (en x A m e f (e„)]<=> tn e U {f (<?n) Ien s x}.
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ^©
295
Поэтому f(x)—\J{f(en)\en^x} и применимо 3.4. □
В общем случае graph (fun(rz))=rz не имеет места, верно
только
3.7. Аппликация (применение функции к аргументу) в ^со
определяется соотношением и-х = fun (и) (х).
3.8. Лемма. Функция f: непрерывна тогда и
только тогда, когда f непрерывна по каждой переменной в от-
дельности (т. е. 'kx.f(x,yQ) и куЛхо'У) непрерывны для всех
*0, f/o) .
Доказательство. (=>) Как всегда.
(<ф) Достаточно доказать это для k = 2. Пусть, f (х, у) не-
прерывна по х и у в отдельности. Тогда
f(x, y)=i){f(en, у)\еп sx} = и {f(en, em)\en<=x, em^y).
Непрерывность f в смысле топологии произведения полу-
чается отсюда, как в доказательстве 3.4. □
3.9. Лемма (непрерывность аппликации). Определим
Ар: соотношением Ap(u, х)=и*х. Тогда Ар непре-
рывна.
Доказательство. Хх.Ар (и, х) = Хх. (и-х) = fun (и), ко-
торая непрерывна по теореме 3.6 (ii).
ки. Ар (и, х) = ки. (и • х) = ки. {пг | Эеп х (п, пг) е и},
которая очевидным образом непрерывна. Нужный результат
следует теперь из 3.8. □
3.10. Лемма (непрерывность абстракции). Пусть f(x,y):
-> ^со непрерывна. Положим по определению g (у) =
— graph (Xx.f (х, у)). Тогда g: непрерывна.
Доказательство. Для простоты возьмем k = 1. Отме-
тим, что g корректно определена в силу 3.8. Теперь
£(«/) = graph (Хх. f(x, у)) = {(п, m)\m<=f(en, у)}
{(п, пг) | m ё= (J {f (еп, е) | е s у}} = {(п, пг) | Зе <= у пг <= f (еп, е)}
= U{{(«. m)\m<=f(en, е)}\е <= у) = \J {g(e)\e <= у}.
Следовательно, применима 3.4. □
3.11. Теор ем а. <^со, •> является с. э. ^-алгеброй.
Доказательство. Для непрерывней f: ^(ok+1 —>по-
ложим по определению X*d. f(d, е) = graph (Xd. f (d, e)). В силу
3.10 это непрерывная функция от е, а в силу 3.7 и 3.6 (i) мы
имеем (X* d. f (d, е)\ d = f (d, e). Теперь для A = A (x, yit ..., yk) e
<= T (Pa), где {у} = FV (Л) — {x}, положим по определению
Xfx. A = ca. у, где a = X*et ... X*eAX*d. (Л (cd, cei, .... и
. обозначает интерпретацию в ^<o. Это превращает
296
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
в Л-алгебру. Так как Л* определяется для экстенсиональных
функций, с Л* является с. э. □
Скотт [2] рассматривает расширение Х-исчисления, обо-
значаемое через LAMBDA, вместе с некоторой интерпретацией
в ^со. Доказано, что внутренность относительно LAMBDA
состоит в точности из рекурсивно перечислимых множеств.
§ 4. Построение алгебр Doo
Результаты этого параграфа принадлежат Скотту [1].
И снова непрерывность оказывается существенной при построе-
нии модели.
Сначала рассматриваются полные решетки и индуцирован-
ные топологии на них. Затем следует построение Х-алгебр Do®
как проективных (и в то же время прямых) пределов этих ре-
шеток.
4.1. Определение. Пусть D — полная решетка, т. е. час-
тично упорядоченное множество <D, Е=> такое, что каждое под-
множество X cz D имеет супремум I IX е D. Тогда каждое под-
множество X имеет также и инфимум (точную нижнюю грань):
П х = и {г | z X}, где z ЕI <=> Vx е Хг х.
Верхушка т = UD и низ ± = Пр — это соответственно
наибольший и наименьший элементы множества D. Подмноже-
ство X cz D направлено, если Vx е XV у е ХЧг е X x,y^z.
Далее, хШу(хП*/) есть супремум (инфимум) множества
{х,у}. D, D', D", ... будут обозначать полные решетки.
4.2. Определение. Подмножество U cz D открыто тогда
и только тогда, когда:
(i) x^U и х^у=>у
(ii) LJ X U => X П U У= 0 для всех направленных X cz D,
D и 0 открыты, и семейство всех открытых множеств замк-
нуто относительно произвольных объединений. Если U\, U2 от-
крыты, то U\ П U2 открыто из-за того, что в (ii) множество X
направленное. Следовательно, частичный порядок индуцирует
на D топологию. Заметим, что множества U x — {~\z^x} от-
крыты и что x£Ux. Поэтому эта топология класса То: если
х, у различны, допустим, х^у, то x^Uy> у ф1)у. Простран-
ство не является Ti: если х^у и хе U, причем U открыто, та
y^U.
4.3. Лемма. Отображение f: D-> D' непрерывно <=> f (LJ X)
= U f (X) для всех направленных X cz D (где f(X)=.
= {f М |х е X} и второй LJ нужно брать в D').
§ 4. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБР
297
Доказательство. (=>) Пусть f непрерывна. Допустим,
что х^у, чтобы показать, что f(x) Если это не так, то
f(х)е Uf(y), так что x^ f~l(Uf(y)), которое открыто. Поэтому
у т. е. f(y)^ что дает противоречие. Следо-
вательно, f монотонна. Отсюда и из LJ X =2 X следует, что
f(L_U)=3fW. Поэтому f(Ux)=2U/W. Если
sUfW, то f(Ux) <= t/ц f(Х) и противоречие получается
так же, как выше, с использованием условия (ii) для откры-
тых множеств.
(ф;) Снова f монотонна, так как х^у влечет у = х\_\у,
откуда f(y) = f(x) Llf(y), так что f(x)£^f(y). Поэтому, если
U czD' открыто, то это верно для f~l (U) cD. □
4.4. Определение. Если f(UX) = |_|f(X) верно для
любого X, то f называется дистрибутивным.
4.5. Следствие. Пусть fr. D-*~D' — совокупность непре-
рывных отображений. Положим f — 'kx. I I ft (х). Тогда f дистри-
i
бутивна.
Доказательство, f (LJ -К) = LJ LJ f i (x) = LJ LJ ft (x) =
i xeeX xt=X i
= LJf(X). □
4.6. Определение. Dy(D' — это декартово произведение,
частично упорядоченное отношением: <х, х'> Е= <«/, i/'> тогда и
только тогда, когда х£х' и у^у'. [О-»-О']—множество не-
прерывных отображений еО->О', частично упорядоченное от-
ношением f = g<=>Vx е D f(x)^g (х). Тогда D\D' и [О->
->£)'] — полные решетки, причем LJ X = (|_| Wo, LJWi) для
IcDXD' И LJO = Ix. Lj{f(x)lf ^F} для
(Если z = <x, «/>, то полагаем z0 = x, zi = у, I IF непрерывна
в силу 4.5.) Индуцированная топология на ОХО' не обязатель-
но является произведением индуцированных топологий на О
и О'.
4.7. Лемма, f: О X D' -> О" непрерывна -<=>f непрерывна
по каждой из своих переменных в отдельности (т. е. kd. f(d, do) и
i.d'. f(d0, d') непрерывны для всех do, do).
Доказательство. (=ф) Как всегда.
(*=) 7 (Ux) = f<Ux0, U а\>
= U f(d, U^)= LJ LJ f(d,d') =
d^Xo d^Xod' e Xi
= LJ f(d, d') = Uf(X). □
<d, d'> e X
298
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
4.8. Лемма (непрерывность аппликации). Определим Ар
(аппликацию) [D -> D'] соотношением Ар (f, х) =
= f(x). Тогда Ар непрерывна.
Доказательство, Хх. fQ (х) = f0 непрерывна. Xf. f (х0) =
удовлетворяет равенствам й0 (LJ F) = I IF (х0) == LJ f (х0) —
f g=F
= L_l Ао (Z7). Следовательно, й0 непрерывна. Поэтому Ар непре-
рывна в силу 4.7. □
4.9. Лемма (непрерывность абстракции). Пусть
XD'~* D"]. Положим по определению gf (х) = Ху D'.f(x, у).
Тогда
(i) gf непрерывна;
(ii) Xf.gf: [D X D' -> D"]->[D ->[D' -> D"]] непрерывна.
Доказательство. (i) gf ( LJ X) ~ ^У- f( U X, y) =
=!«/. Uf(x,y) = L_UyJ(*> */)=LJgfW-(^- U = U Ху следует
x<=X x <= X
из определения операции LJ в пространстве функций.)
(ii) ПустьL=Xf. gf. A(LJ/7)=^xXy. LJ/7 (х, у)=ХхХу. LJf (х,у)=
fsF
= I I XxXy. f(x, у) = I I L(F). □
4.10. Определение. Пусть qr. D->D', ф: D'—>D. <ф, ф>
есть проекция D на D' тогда и только тогда, когда
(i) ф, ф непрерывны;
(ii) Vx £)ф(ф(х)) = х;
(iii) Vx е /Уф(ф(х)) х.
4.11. Определение (построение алгебры Doo). Пусть
D — произвольная нетривиальная полная решетка. Положим по
определению Do = D, Dn+i = [Dn-+ Dn] - Отображения фп: Dn-^
->Dn+\ и Dn+i“>D„ определяются следующим образом:
Фо(х) = Ху <= Do. х, фо(х') = х'(±), где ± е D,,
Фп+1 (х) = Фп°х°Фп, Фп+1 (х') = Фп°х'оф„ (СМ. диаграмму).
7) Л ^^n+1 п
"п+2
х хг ^^^п+Р^^п+2
«p.Z fln+2
Непосредственно индукцией по п получаем, что <<рп, фп> —
проекция Dn+i на Dn. Сверх того, <рп и дистрибутивны. Для
§ 4. ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБР 299
оо
элемента х={хп)™=0 произведения Ц Dn обозначим через xt
п=0
его z-ю координату
= lim (D„, = I x s= П Dn | Vn <= <оф„ (x„+1) = xn
Для x, у e Ooo частичное упорядочение определяется так:
xrtE=r/rt. Тогда Doo — полная решетка, причем
I I X = (U ^п)7=о для 0 ^°°- Этот супремум принадлежит
Doo, так как -ф„ (U Xn+i) = U (Xn+i) = LJ Хп по дистрибутив-
НОСТИ фп.
4.12. Определение. Введем отображения Фпт: Dn-*Dm
(прослеживая стрелки в Do D{ ..). Если п т, пусть
т = п + fe, то Фпт определяется индукцией по k. Фпп — Хх е
е Dn.x. Ф«(т+1) = Фт° Фпт. Если т м, скажем п = т + /г,
то Фпт снова определяется индукцией по k: Ф(л+1)т = Ф«т ° фл.
Фпоо*. Dn-+Doo определяется так: ФПоо (х) = (Фп/ (х))~=0.
Фооп: Doo-^Dn определяется равенством Фооп(х) —хп.
4.13. Лемма, (i) {Фпт. Фтп} есть проекция Dn на Dm при
О п т оо.
(ii) Фт1 ° Фпт = Фп1 для O^n^m^l^oo.
Доказательство очевидно. □
Отсюда следует, что Do Di ... Doo с точностью до
изоморфизма. В действительности в категории полных решеток
с непрерывными отображениями в качестве морфизмов Doo яв-
ляется не только обратным пределом lim(Z)n, фл), но и прямым
пределом £>«, = lim(Z)n, дм). Заметим, однако, что U Аг,
—> п
так как Doo является пополнением множества U Dn. Начиная
с этого момента, каждый элемент х е Dn будет отождествляться
с ФЛоо (х) е Doo. как обычно делается при рассмотрении прямых
пределов. В частности, верно следующее.
4.14. Лемма, (i) Если х е Dn. то х = хп.
(ii) Еслих^Оп. тоуп(х) = х.
(iii) Если х е Dn+\. то фл(х) х.
Доказательство, (i) хв Doo — это <. .., ф (х), х, ф (х),
Ф (ф (х)), .. .>. Следовательно, хп есть х.
(ii) фл(х) в Doo есть <..., ф(фДх)), Ф«(х), ф(фДх)), ...>.
Так как ф(ф(х)) = х, получилось то же самое, что х в Doo.
(ii i) Аналогично с использованием ф(ф(х))^х. □
Благодаря отождествлениям свойства решетки Doo формули-
руются более изящно.
4.15. Л е м м а. В Doo верно следующее:
(i) (%n)m == -^min (п, m).
(ii) Если n^m, то xn4£xm^ х.
300
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
(iii) x=U хп.
п=0
(iv) Tn и ±„ — это вершина и низ в Dn.
(V) ±„=±; Тп==т-
Доказательство, (i) Если m п, то (хя)т = Фятх„ =
= ф о ... оф(хя) = хт, так как хе Doo. Если т п, то (хп)т =
= Ф» ... о<р(хп) = хп в силу 4.14 (ii).
(ii) Прежде всего, в силу 4.14 (iii) хт^хт+1, так как
xm — tym(xm+i). Следовательно, х0 — x,£... Далее, хп^х,
так как Vi(x„)z = xmin(n, оЕ xf.
(Ш) LJx„ = (U(X„)^ == ^LJ Xmin (n, 0^, (%i)i=Q х.
(iv) Пусть Tn и ±n — соответственно вершина и низ в Dn.
Тогда
Т = LIO», = (U Д„)Г=0 = (ТпСо
И
JL = U 0 = (U 0>;_о = <± По-
следовательно, Tn=Tn, ±п=±п.
(v) В силу (ii) всегда 1„= 1,1 = ±„. Поэтому 1„==±.
С другой стороны, по индукции получается Фп(Т„)== T„+i>
так как T„+i — Кх е Dn.Tn- Сверх того, ф„(Тп+1) = Т„> так
как <T„)„saeDoo. Поэтому Т„ в D„, т. е. {Фпт (Тп)>т<=и,
совпадает с <Тт)яе(0=Т. □
4.16. Определение. В Dx мы можем определить двух-
местную операцию аппликации. х-у = U •^п+1 (уп). В правой
п
части этого равенства аппликация понимается обычным обра-
зом в Dn+i X Dn-> Dn, а u берется в Doo после отождествления.
4.17. Лемма. Аппликация корректно определена в том.
смысле, что если xn+i е Dn+i и y^Dn, то хп+\-уп=- хп+\(уп).
Доказательство.
оо
^п+1 ’ Уп == U ((^/л)/)
(=0
п
= U Х/+1 (yi) В силу 4.15 (i)
i=0
= хп^(уп) в силу 4.15 (ii). □
4.18. Лемма. Аппликация непрерывна.
Доказательство. х-у = U Фп«(х„+1 (!/„)). Теперь при-
п
меняем 4.5, 4.8 и 4.13. □
§ 4 ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБР 0^ 301
4.19. Лемма, (i) xn+vy — xn+i-yn = (х-уп)п.
(ii) x0-z/==xo = (x-±)0.
Доказательство. Сначала индукцией по i^n пока-
зываем, что (Хл+i) ж (//«)== *n+i (j/л). Для i = n это очевидно.
Теперь
((ii) * * * * * * * xn+l)z+2 G/z+l) = Фг +1 ((xn4-l)z+l) (г/z + l)
= ф< 0 (*л+1)/+1 ° (г/z+i) = <Pz ((хп + l)z +1 (г/z))
= (xn+i)i+i (yt) В силу 4.14 (ii)
== ^"л+i (г/л)
по индукционному предположению. Поэтому
хп+1 y = ld (Xn+1)i+l(y{)
i=n
= U хп+1(уп) = хп+1 • yn (no 4.17).
i=n
Снова индукцией no i^n показываем, что <x,+i (Уп) i>n —
— x„+i (yn). Для i = п это ясно. Теперь
(^+2(^)/ + 1)п = Ф/ + 1 п(^+2(фЛ(^)/))) = Фмо^°^+2(ф/ (УпЪ)
= Ф/п (Ф/+1 (-^/4-2)) (УпЬ)= Ф/л C^z+i (Уп)[)
== (%/4-1 (Уп)/)л ==: -^n + l (Уп)
по индукционному предположению. Поэтому
* Уп)п = ^LJ -^/ + 1 ((^n)i))n = U (^Z-M ((//n)i))n ==
= U хп+1 (уп) = • уп.
i
(ii) В силу (i) имеем х0-г/= (х0)гг/==(*о)1(г/о)==
= фо(хо)(г/о) = хо. Кроме того, х0 = 'ф0(х1) = х|(10) =
= (Х|- J-o)o = (х‘ -L)o. □
4.20. Теорема (экстенсиональность). Для х, y^D^'.
(i) х = у <=> Vz е D^x -z^y-z,
(ii) x = y<s=>VzeD0Ox-z = z/-z.
Доказательство, (i) Ввиду монотонности lx. (x • z).
(-<=) Допустим, что Vz x • z != у • z. Тогда x - 1 £ </ 1, по-
этому x0 = (x • ±)o = (y • ±)о = г/о ввиду 4.19 (ii). Сверх того,
x-zn^y-zn, так что xn+I (z„) = (x • z„)„ S(у • г„)„ = yra+1(zn)
no 4.17 и 4.19 (i). Следовательно, x„+IEyn+1. Теперь мы
имеем Vn xn E= yn, t. e. x = y.
(ii) Непосредственно следует из (i). □
302
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
4.21. Теорема (полнота). Vf е [£)то-> Зх е DoJ(y} =
= х-у.
Доказательство. Пусть х = LJ (Az/е Z)n. (/(#))«)• Отме-
тим, что это — супремум направленного множества. Для эле-
ментов полной решетки имеем I I аи = I I akk, если
i, i k
ViVfBk a^a^. Теперь
X ' У ==: I—I ^m+1 (Ут) === I—I (% *Ут)т
m m
= LJ(YUeDn. ym\
= LI Й e Dn. (f (y))n • t/m\ = u (Xz/ €= Dm. (f (г/))т • ym)
m, n / tn m
= U (f (ym))m = U (f (yk))i = U f (yk) = f (Z/).
m k, I k
Пояснения, которые должны сопровождать эти уравнения,
легко следуют из непрерывности (монотонности) рассматривае-
мых функций и из сделанного выше замечания. □
4.22. Следствие. Doo гомеоморфно [Doo -> Doo].
Доказательство. Для x^Doo положим F(x) = Az/e
^Doo.x-y. F сюръективно по 4.21, инъективно по 4.20, непре-
рывно по 4.9 (i). Обращение F — это, в силу доказательства
теоремы 4.21, 1/. LJ(Az/eZ)n. (/(#))«), которая непрерывна по
4.9- (ii) и 4.5. □
4.23. Теорема. Doo есть экстенсиональная ^-алгебра.
Доказательство. Комбинаторная полнота следует из
4.21, так как аппликация и абстракция непрерывны. Экстен-
сиональность была доказана в 4.20 (ii). Следовательно, приме-
нимо 1.16(2). □
Так как Doo экстенсиональна, то не возникает неоднознач-
ности при интерпретации в ней А-термов. Однако для ссылок
в дальнейшем мы сформулируем эту интерпретацию явно.
4.24. Определение, (i) Оценка (в Doo)—это отображе-
ние р: переменные ->£>оо.
(ii) Для d е Doo и переменной х через p(d/x) обозначим
оценку р' такую, что р'(у) = если у Ф х, то p(z/), иначе d.
(iii) Интерпретация [Л4] р терма М в Doo при оценке р опре-
деляется индуктивно: [х] р = р (х), [AW] р = [М] р [У] р, [Ах. /И] р =
= Ad. [Af] р (d/x)e£>oo после отождествления с [Doo -> D^].
Грубо говоря, в интерпретации формальные переменные за-
меняются переменными, пробегающими Doo, а аппликация и
абстракция должны браться в Doo. Отсюда должно быть оче-
видно, что эта интерпретация корректна. Это можно уточнить,
§ 5. РАЗРЕШИМОСТЬ
303
гжазав индуктивно, что
[(Хх.М) № р = [Л1] р ([Лф/х) [М (x/Af)] р.
Везде, где это возможно, мы будем опускать упоминание
об оценке р в записи [М] р.
§ 5. Разрешимость
Понятие разрешимости и родственное понятие головной нор-
мальной формы были ьведены соответственно в диссертациях
Барендрегта и Уодсворта. Оба они подсказывают доводы в
пользу вычислительной бесполезности неразрешимых термов.
Поэтому Х-теория (или Х-алгебра) называется разумной, если
она приравнивает все неразрешимые термы. Оказывается, что
имеется единственная максимальная разумная теория. В § 7 бу-
дет доказано, что эта теория равна Th (Doo).
5.1. Определение, (i) Замкнутый терм М разрешим
тогда и только тогда, когда X Н AWi ... Nn = I для некоторого
п и термов iVi, ..., Nn.
(ii) Произвольный терм М разрешим тогда и только тогда,
когда разрешимо замыкание кх.М терма М. Терм М неразре-
шим тогда и только тогда, когда М не является разрешимым.
(iii) Ж = {М = N\M,N неразрешимы}.
Чтобы понять особую роль I в этом определении, заметим,
что (замкнутый) терм М разрешим тогда и только тогда, когда
VPBNMN=P.
5.2. Определение, (i) Каждый Х-терм М имеет вид
Х%! ... хп. (Хх. P)QM{ ... Мт или Xxj ... хп. XiM{ ... Mmt
где т, п^О. В первом случае (Xx.P)Q называется головным
редексом терма М. Во втором случае х, называется головной
переменной терма Af, и говорят, что М находится в головной
нормальной форме (г. н.ф.).
Следующее утверждение можно доказать синтаксически. Се-
мантическое доказательство будет да'но в 7.9 и 7.10.
5.3. Теорема, (i) М разрешим имеет г. н. ф.
(ii) Хт] + 3$ непротиворечиво.
5.4. Примеры. I и У разрешимы; й и К°° = YK неразре-
шимы (заметим, что ХНУ(К/) = /, QAfi ... Nn->M=>M^s
= QNi...N'n с и ХН К°°М = К<Х> для всех М). Отме-
тим также, что X Н Хх.й = йх = й, так как неразреши-
мость терма М влечет неразрешимость термов MN, Хх.М.
5.5. Определение, (i) Контекст С[-] — это терм с дыр-
ками в нем. Более формальное определение таково. Любая пе-
ременная х есть контекст, [•] есть контекст, если С} [• ], С2[-] —
304
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
контексты, то (Ci[-]C2[-]) и (Хх.С[• J) — тоже контексты. Если
М — произвольный терм, С[*]—контекст, то С[М] обозначает
результат размещения М в дырах контекста С[-]. При этом
свободные переменные термаМ могут стать связанными вС[М].
(ii) Скажем, что М и N разрешимо эквивалентны, и будем
писать М ~SN тогда и только тогда, когда для любого кон-
текста С[«] разрешимость С[Л4] эквивалентна разрешимости
C[iV].
(iii) 26* — {M = N\M, N<=A.Q и M ~SN},
5.6. Л ем м а. Ж* = <3£*+.
Доказательство. Индукция по длине вывода показы-
вает, что % + = N =$> М ~SN. □
5.7. Следствие. <3^* непротиворечиво и, следовательно,яв-
ляется ^-теорией.
Доказательство. I^s Q, следовательно, I = Q 0 <3^*. □
5.8. Лемма. Если 26 + М = W непротиворечиво, то 2(6* Н
ьМ = М
Доказательство. Отметим сначала, что {I = К°°} про-
тиворечиво: К + I = К°° М = IM = К°°М = К°° для всех М,
Допустим теперь, что M = Af^<3^*. Рассмотрим случай, когда
разрешим С[Л4], а неразрешим C|W] для некоторого С[-].
Тогда X Н (Xx.C[M])P = 1 для некоторого Р, и <3# Н С [7V] = Л°°.
Теперь
HMM = JVH/ = (U C[M])P = (U. C[N])P
= (Хх. КТО)Р = /С°Р==/Г,
поэтому X + <3^ + М — N было бы противоречиво. □
5.9. Следствие, (i) <Э&* — единственная максимальная
^-теория, содержащая 26,
(ii) Сверх того, в 26* выводима экстенсиональность.
Доказательство, (i) Так как Соп(<3^) верно в силу 5.3,
имеем <3^cz<3^* по 5.8. Если Т — непротиворечивое расширение
26, то для каждого М = N е Т имеем М = N е 26* по 5.8, по-
этому Т cz26*, Тем самым 26* содержит каждое непротиворечи-
вое расширение системы 26, и так как в силу 5.7 оно само не-
противоречиво, мы получаем наше утверждение.
(ii) К +26+ (Кх.Мх)= М (x^FV(M)) непротиворечиво
в силу 5.3 (ii). Следовательно, 26* Н kx.Mx = М. □
Возможность того, что 26 имеет единственное максимально
непротиворечивое расширение, связана с тем фактом, что язык
Х-исчисления свободен от логики, т. е. нет возможности по-
строить по суждению о два расширения путем присоединения о
или ~1а соответственно, так как этот язык не содержит отри-
цания. Однако теория X имеет 2^° максимально непротиворе-
чивых расширений.
е 6. ДЕРЕВЬЯ БЕМА
305
5.10. Определение. Л-алгебра разумна, если SW (= <Ж.
В этом случае Th (Ш1) cz <9#* в силу 5.9.
«Наименьшая» разумная модель есть $1° (<?$£*).
5.11. Следствие. Ш1°(<9^*) алгебраически проста, т. е. не
имеет собственных гомоморфных образов.
Доказательство. Если бы SW была собственным обра-
зом модели 2Й°(Ж*), то Th(SW) была бы собственным расшире-
нием системы <9^*. □
В § 7 будет показано, что 2Й°(5^*) — внутренность модели £>«>.
§ 6. Деревья Бёма
Деревья, которые вводятся в этом параграфе, подсказаны
доказательством теоремы Бёма 2.23 и понятием разрешимости.
Деревья Бёма полезны для анализа моделей и D^. См. Н а -
кадзима [1], где имеется родственное семейство деревьев.
6.1. Определение. Дерево — это множество А натураль-
ных чисел, являющихся номерами конечных последовательно-
стей (1.7 гл. 3), такое, что:
(i) если а^А и р<а (в частичном упорядочении номеров
последовательностей), то р е Л;
(ii) для каждого аеЛ имеется лишь конечное число непо-
средственных наследников а в А. Числа аеЛ называются уз-
лами дерева. Глубина узла а = <п0, n*-i>, обозначаемая
через d(a), — это число k. * обозначает конкатенацию, т. е.
<n>*<m> = <n, т>. Поддерево Аа с корнем а дерева Л —это
множество {р|а*р еЛ}.
6.2. Определение, (i) Оснащенное дерево —это дерево, в
каждом узле которого помещен символ Q или Xxi... xn-Xt для ка-
ких-то переменных Xi, ..., xn,Xi. Точнее, оснащенное дерево —
это отображение 1а номеров последовательностей в множество
{*, Q} и {«/1, • • •, in), 1) I i, П, /„ .... t„ <= ®}
такое, что А = {а | /д (а) #= *} есть дерево, fA (а) = <<i‘i.in), i>
(соответственно Q) означает, что терм . а{ . at (соответ-
ственно й) написан в узле
(ii) Если А, В — оснащенные деревья, то
A В <=> Va [ [d (а) < k => f А (a) = fB (a)]
A [d(a) = k=^fA(a) Ф *<=>fB(a) *] ],
t. e. для глубин <Zk эти оснащенные деревья равны, и узлы глу-
бины k — 1 имеют одно и то же количество наследников.
6.3. Определение. Дерево Бёма ВТ (Л!) для Х-терма М —
это оснащенное дерево, определяемое следующим образом.
306
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
Если М неразрешим, то ВТ(А4) = О. Если М разрешим, то в
силу 5.3 он имеет г. н.ф. Если она есть Xxi ... xn.XiMi ... Мт>
то ВТ (А4) есть
Xxr..xn.x.
BTC^b.-BTUfJ
Точнее, если М неразрешим, то ВТ (А1) (<•>) =
ВТ(А4) (</> * а) = *. Если М разрешим и имеет г. н. ф.
... ain. atMQ ... Mm_lf то BT(Af)«->) = «и, ...,
ВТ (Al) (</>*a) = ВТ (Al/) (а) для j<m и ВТ (Al) (</> * a) = *
для j m.
Свободные и связанные вхождения переменной в дерево
Бёма определяются так же, как для термов. Как и термы, де-
ревья Бёма рассматриваются с точностью до замены связанных
переменных.
Из теоремы Чёрча — Россера следует, что если М имеет
г. н. ф. Xxi ... Xn.XiMi ... Мт, то п, I, т определены однозначно.
Следовательно, дерево Бёма для М корректно определено и
К\- M = N влечет ВТ (А4) = ВТ (Af).
6.4. Пример.
ВТ(5): Xabc.a BT(Sxft): Хх.х ВТ(У): Zf.f
с :
Отметим, что хотя Хх.х и Кху.ху экстенсионально равны, они
имеют различные деревья Бёма. Поэтому вводится следующее
отношение эквивалентности.
6.5. Определение, (i) Термы АГ, N' сливают ВТ(А1) и
ВТ (Af) до • (глубины) k, если Xq Н М = М', Zq Н N = N' и
ВТ (А1')=* ВТ (АГ).
(ii) Скажем, что М, N имеют эквивалентные деревья Бёма,
и будем писать ВТ(А1) ~ л BT(AQ, если для всех k существуют
М', N' такие, что М', N' сливают ВТ (А1), ВТ (Af) до k.
Теперь мы дадим несколько примеров термов с равными или
эквивалентными деревьями Бёма.
6.6. Пример, (i) По теореме о неподвижной точке суще-
ствует терм А такой, что Ax-^hz.z(Ax). Тогда ВТ(4х) =
= ВТ(Дг/) (х и у исчезают из дерева).
(ii) Пусть = V.(%X2.f(xxz)) (%Х2./(ххг))2. Тогда Y2 — но-
вый оператор неподвижной точки, не конвертируемый с У. Од-
нако ВТ(У2)=ВТ(У).
§ 6. ДЕРЕВЬЯ БЕМА
807
(iii) ВТ (Хх.х) ~ л ВТ (кху.ху).
Далее следует менее тривиальный пример эквивалентных
деревьев Бёма. Вместе с теоремой характеризации 7.1 он пока-
зывает, что в Doo нормальная форма может быть равна терму
без н. ф.
6.7. Пример (Уодсворт). Пусть J = Y(kjxy.x(jy)). Тогда
ВТ(7)~ЛВТ(/).
Доказательство. Г. н. ф. терма J есть KxqXi.xq(Jxi) , по-
этому ВТ (7) имеет вид
ZXj. х2
Оно может быть слито до любой глубины с ВТ (I) с по-
мощью ^-расширений (т. е. операций, противоположных ^-ре-
дукциям) последнего. □
6.8. Теорема. Ж* (— М = N => ВТ(Л4) ВТ(ЛД.
Довольно техничное доказательство занимает всю остав-
шуюся часть этого параграфа и может быть пропущено при
первом чтении.
6.9. Определение. Пусть Д, Д'— деревья Бёма.
(i) Д, Д' можно слить при вершине, если либо оба они со-
впадают с S2, либо Д и Д' имеют соответственно вид
Xx1...xo.xi
□р. . Dm
причем i, = I' и п — m = п' — ш' (возможно, отрицательные
числа); мы можем считать, что последовательности хь ..., хп
и х{, ..., хп' начинаются одинаково, так как можно переиме-
новать связанные переменные.
(ii) Пусть а — общий узел деревьев Д, Д'. Скажем, что А, Д'
можно слить в узле а, если Аа, Да можно слить при вершине.
(iii) А, Д' отделяются на глубине k, если A=kAf и А,Д'
нельзя слить в некотором общем узле а с d(a) = k.
6.10. Лемма. Пусть ВТ (Л1) ~ д, ВТ (7V). Если ВТ(Л1),ВТ(ЛЧ
можно слить во всех узлах а с d(a) = k, то их можно слить до
k+ 1.
308
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказательство. Пусть d(a) = k. ВГ(Л1)а, ВТ(ЛГ)в
имеют вид
И ^...Хпх.Х£
А /\
□i-Da □!•••□;-
Теперь сделаем следующие грзамены:
Заметим, что т + п' — т' + п из-за возможности слияния
в узле а, поэтому после замены а имеет одно и то же количе-
ство наследников в обоих деревьях. После того как эта замена
сделана для всех а с d(a) = k, результирующие оснащенные
деревья оказываются деревьями Бёма для термов М', N', кото-
рые сливают ВТ (Л1), ВТ (2V) до k + 1. □
6.11. Следствие. Если ВТ (М) ч ВТ (N), то существуют
k, М', N' такие, что М', N' сливают ВТ(Л1), BT(Af) до k и
ВТ (ЛГ), ВТ (N') отделяются на глубине k.
Доказательство. Пусть k — наибольшее число такое,
что ВТ(Л4), BT(Af) можно слить до k с помощью термов М', N'.
Тогда ВТ (Л4') == * ВТ (N'). Допустим, что BT(Af'), ВТ(Л^/) можно
слить во всех узлах а с d(a) = k. Тогда в силу 6.10 ВТ(ЛГ),
ВТ(Л?/) и, следовательно, ВТ(Л4), BT(Af) можно слить до 1,
что противоречит максимальности k. Поэтому ВТ(ЛГ), ВТ (АГ)
отделяются на глубине k. □
6.12. Определение, (i) Преобразование — это отображе-
ние [: Л—>Л.
(ii) Разрешающее преобразование f определяется либо ра-
венством f(P)= Рх для некоторого х, либо равенством f(Р) —
= Р[х/Мх] для некоторого х и замкнутого N.
(iii) Бёмовское преобразование — это конечная композиция
разрешающих преобразований. Обозначения: л пробегает бё-
мовские преобразования; Л4Я = п(М).
6.13. Определение. ВТ(Л4) есть головной оригинал до
(глубины) k, если ВТ (Л4) имеет свободную головную перемен-
ную, которая не входит свободно ни в какой другой узел а
с d(a) k.
6.14. Лемма. Если ВТ(УИ), ВТ(N) — головные оригиналы
до k и отделяются на глубине k > 0, то для некоторого л де-
ревья ВТ(Л1Я), ВТ(№1) отделяются на глубине k—1.
§ 6. ДЕРЕВЬЯ БЕМА
309
Доказательство. Пусть деревья отделяются в узле а:
‘kxv,.xn.xi
глу5ина к Д узел а----------
Положим по определению л(Р) = Рх\ ... хп [xilU™x^\, где
U^‘ = kyl ... ут. уг Тогда ВТ(Л1Я), ВТ(№9 отделяются на
глубине k — 1:
глуНина к-1
Предположение о головной оригинальности нужно для того,
чтобы различие между Д и А не было потеряно при подста-
новке [.Xi/Ufxi]. □
6.15. Лемма. Пусть ВТ(Л4), ВТ(2У) отделяются на глубине
k>0. Тогда для некоторого л деревья ВТ(Л4Л), ВТ(Л^) яв-
ляются головными оригиналами до k и все еще отделяются на
глубине k.
Доказательство. Пусть Cq= KzQ ... zM.zq+iZQ ... zq.
Для узла а в дереве Бёма пусть равняется max ($,/), где
Xai{ ... ais. aj — оснащение в узле a, a t — число наследников
а; #а есть 0, если оснащение в узле а есть й. Из условия тео-
ремы следует, что М, N имеют г. н.ф. Запишем их соответ-
ственно в виде ... хп. XiM\ ... Mm и ... xn.xtN\ ... Nm.
Положим теперь по определению
л(Р) = (РХ1 ... Хп) [Xj/CqXi] zm±i ... zq+h
где <7>2(#а) для всех а из ВТ(7И), ВТ (N) с d(a)^k и
2m+i ... £<7+1 — новые переменные. Отметим, что деревья Бёма
для термов Мл, Л/* до глубины получаются из таких
же деревьев для Л1, Af соответственно путем замены вершин
310
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
и внутренних узлов со свободной головной переменной xi
(где используется q>f). Очевидно, что ВТ(А4Л) и BT(№t) яв-
ляются головными оригиналами до k.
Утверждение. Эти деревья отделяются на глубине k.
Так как BT(M) =k BT(Af), то и ВТ(МЛ) =k ВТ(?/Л). По ус-
ловию ВТ(А4), ВТ (Af) нельзя слить в некотором узле а с d(a) =
= k. Рассмотрим деревья Бёма
глубина к
Допустим, что А и А оба содержат свободную головную пе-
ременную Xi. В обозначениях из (*) деревья А+ и Д+ можно
слить в вершине тогда и только тогда, когда $ + (<?+ 1 —t) —
— (1 + ?) = + (/ + 1 — О — (1 + q'), Т. е. s — t — s' — t', что
неверно, так как А и А нельзя слить в вершине. Следовательно,
ВТ (А4Л), ВТ нельзя слить в узле а, т. е. они отделяются
на глубине k. То же заключение верно в других случаях (х,
есть головная переменная в А, а не в А (тогда q > s s' + t
обеспечивает различие головных переменных в А+ и А+, кото<
рые поэтому нельзя слить в вершине); Xi не является головной
переменной ни в А, ни в А). □
6.16. Следствие. Если ВТ(Л1), BT(Af) отделяются на глу-
бине k > 0, то ВТ (А4Л), ВТ для некоторого л отделяются
на глубине k — 1.
Доказательство. По 6.14 и 6.15. □
6.17. Лемма. Если BT(A4), BT(Af) отделяются на уровней,
то для некоторого л терм разрешим, a Nn неразрешим, или
наоборот.
Доказательство. Если М неразрешим, то BT(A4)=S2
и, следовательно, N разрешим, так как ВТ(Л4), BT(Af) разли-
чаются на уровне 0. В этом случае в качестве л берем тожде-
ство. Если А4, N разрешимы, например
M-^kXi ... хп. xtM{ ... Mm, ... хп>. Xi'Nx ... Nm',
то по предположению или п — т^п — т'. В случае
возьмем = Р [х^Кух ... ут. I) xz] [х^/ОхД. Тогда ЛГ — 1
§7. АНАЛИЗ МОДЕЛИ D 311
и №1 = Хх1 ... хп. Q ... = Q(mod<3$) и, следовательно, нераз-
решим. В случае i = i' и п — п' — т' положим = Рхх...
... хр& с достаточно большим р max(m, п, т', п'))- Тогда
М* = XiM, ... Mmxn+l ... xpQ, N* = . XpQ.
Длины последовательностей после Xi равны соответственно т +
+ р — n-f-l, т' + р— п' 4-1, а эти числа различны, так как
п — п' — т'. Следовательно, полагая л = Л1 о ло, где
== р [xz/£7jxz] и £7? = Zz/j ... уп. yi — подходящий выделяю-
щий терм, мы находим нужное л. □
Доказательство теоремы 6.8. Пусть М = N
но ВТ(М) qP-n BT(Af). В силу 6.11 для некоторых ЛГ, N' верно,
что Хг] Н М = М', N = N' и ВТ (ЛГ), ВТ (N') отделяются на глу-
бине k.
Повторно применяя 6.16, получаем, что ВТ (М,Ло), ВТ (ЛГЛо)
отделяются на глубине 0 для некоторого ло- Поэтому из 6.17
следует, что для некоторого Л1 один из этих термов (пусть для
определенности М,Я1) разрешим, а другой (АГЯ|) неразрешим.
Но для каждого л имеется контекст Ся[-] такой, что л(Р) =
= СЯ[Р] (так как подстановка M\x/Nx\ может быть записана
в виде С[М] при С[-] = (Хх.[•]) (Nx)). Поэтому СЯ1 [ЛГ] раз-
решим, а СЯ1 [АЛ] неразрешим, следовательно, = N' со-
гласно доказательству леммы 5.6. Но это противоречит тому,
что Ж* М = N, так как в <3^* выводима экстенсиональность
(см. 5.9 (ii)). □
§ 7. Анализ модели Doo
С помощью деревьев Бёма можно дать изящные характе-
ристики равенства термов в ^со и Doo.
7.1. Теорема. (i) Doo Н М = No3%* Н М = N
<=Ф-ВТ(Л1) BT(Af).
(ii) ^coh=M = A7^>BT(M)=BT(A0.
Первый результат принадлежит Хайленду и Уодсворту, вто-
рой — Хайленду. Мы изложим только доказательство утверж-
дения (i) (см. 7.16). Доказательство второго результата см. у
Хайленда [1] или Барендрегта [2].
7.2. Следствие. (См. 6.6 и 6.7, где приведены определе-
ния упоминаемых терминов.) Равенства Ах — Ay, Yz = Y, J = I
верны в Doo, но не могут быть доказаны алгебраически, т. е.
с помощью конверсий.
Доказательство. Равенство в Doo следует из 6.6, 6.7 и
теоремы. В силу теоремы Чёрча — Россера эти равенства не до-
казуемы в X. □
312
БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
7.3. Определение. (В дальнейшем [ • ] означает
Хй-исчисление было введено Уодсвортом как инструмент для
исследования модели Doo. Ш-термы определяются путем добав-
ления к правилам построения термов (см. 1.7) правила: й есть
терм. Интерпретация в Doo распространяется на ХЙ-термы путем
определения [Q]p = J_. Редукция для Хй-термов — это обычная ре-
дукция, расширенная аксиомами Хх.й->й и ЙР->Й. Хй-терм
Р имеет й-н. ф. Q тогда и только тогда, когда P-+Q есть й-ре-
дукция и Q не имеет подтермов вида (Xx.P)S, Хх.й или ЙР.
Отметим, что й-редукция сохраняет значение в Doo, так как
±d= ± и, следовательно, также и Хх.± = ±. Если Р имеет
н. ф. в первоначальном смысле, то Р имеет и й-н. ф., так как
замены Хх.й->й или й/?->й уменьшают длину терма. Опре-
делим деревья Бёма для Хй-термов, полагая ВТ(Й) = Й.
7.4. Определение. Аппроксимация.
(i) Пусть Р, Q — Хй-термы. Скажем, что Р аппроксимирует
Q, и будем писать P^,Q> если ВТ(Р) получается из BT(Q) пу-
тем замены некоторых поддеревьев на дерево й (например»
Ах.хЙ С Kx.IxK).
(ii) Пусть М есть %-терм. Р есть аппроксимативная нормаль-
ная форма (а. н.ф.) терма М, если Р^М и Р находится
в й-н. ф.
(iii) А (М) = {Р | Р есть а. н. ф. терма М}.
(iv) Mk есть а. н. ф. терма М такая, что ВТ (ЛР) получается
из ВТ(Л4) заменой на й всех оснащений в узлах глубины k и
выбрасыванием всех более глубоких узлов. Заметим, что Mk е
<=А(Л1).
7.5. Пример. 1/./(й)СXf.f((Xx.f(xx)) (Xx.f(xx))), следова-
тельно, ХД/(Й) есть а. н.ф. комбинатора неподвижной точки У
(определенного согласно 2.1). В действительности
Yk = Kf. fk (Й), А(У) = {Й(<-ЛЛ Q), V. fQ, Kf. ...}.
7.6. Лемма. PCQ=>[P] cz [Q].
Доказательство. Р — это Q с заменой некоторых под-
термов на й. Но [Q]=±, т. е. наименьшему элементу в Doo.
Искомый результат следует теперь из того, что аппликация
и абстракция в Doo монотонны (из-за своей непрерывности). □
Следующая теорема весьма полезна для определения значе-
ний Х-термов в Doo. Доказательство будет дано в 7.18—7.24.
7.7. Теорема аппроксимации. (Высказана в каче-
стве предположения Скоттом, доказана Хайлендом, улучшена
Уодсвортом.) Для h-термов М имеет место
Та же теорема верна в с заменой I I на I I.
§ 7. АНАЛИЗ МОДЕЛИ 313
7.8. Следствие. [Л4] = |J [Af*]|.
k
Доказательство. Пусть Р^А(М), тогда РСА! и Р
находится в Q-н. ф. Пусть теперь все узлы в ВТ (Р) имеют глу-
бину <.k. Тогда ДР] Е= [Alft], откуда и следует нужный ре-
зультат.
7.9. Теорема. Следующие утверждения эквивалентны для
МеА:
(i) Al разрешим;
(ii) [Af]=/= ±,
(iii) Al имеет г.н.ф.
Доказательство. Можно считать, что А1 замкнут (если
это не так, рассмотрим Хх.А! и заметим, что Ы.± = ±).
(0=ф-(и) Пусть М разрешим. Тогда A Y-MN = I для некото-
рых N. Если [А1]= ±, то [/] = [AfA] = ± [А] = ±, а это про-
тиворечит тому, что ±d=±. Поэтому [А1]^=±.
(ii)=7>(iii) Допустим, что AI не имеет г.н.ф. Тогда А(М) =
= {й}, следовательно, [А1] = ± в силу 7.7.
(iii)=>(i) Допустим, что Af->Xx.x,Ali ... Mm. Тогда, припи-
сывая к А4 достаточно аргументов вида N = ... am.I, мы
можем разрешить Af.
7.10. Следствие. D<x> разумна; следовательно, не-
противоречиво.
Доказательство. В силу 7.9 неразрешимость А1 влечет
[Al] = J., так что Д» |= Ж. Следовательно, в силу 4.23 Д» Н
Н М + 50. □
Другое следствие теоремы аппроксимации — связь между
комбинатором неподвижной точки и оператором наименьшей
неподвижной точки для полных решеток.
7.11. Теорема (Тарский). Пусть D — полная решетка.
Каждая непрерывная f: D-+D имеет неподвижную точку. Бо-
лее того, имеется У* е [[£)-> £)]->-/)] такой, что Y*f есть наи-
меньшая неподвижная точка для f.
Доказательство. Пусть Y*f = |_| {fn( ±)\п е о). Тогда
У* непрерывен по 4.8 и 4.5. Так как 1^/(1), то f"(X)S
Ef"+1(-L) и {f"(±)|neft>} направлено, следовательно, У*/
есть неподвижная точка для f. Если f(x) = x, то ввиду
имеем f (±) = f (х) Е х и т. д., поэтому Y*f = х. □
Пусть Утагвк! — элемент модели D<x>, соответствующий опера-
тору неподвижной точки У*, и пусть Усиггу = [У] для У, опреде-
ленного согласно 2.1.
7.12. Теорема (Парк). Утагзк! = Усиггу в модели Скотта D«>.
Доказательство. В силу 7.8 и 7.5
Tcurryd = (U Uf. fk (ОД) d = u dk (1) = yTarskid
314
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^-ИСЧИСЛЕНИЕ
по определению. Нужный результат получается теперь с по-
мощью экстенсиональности. □
Результаты, аналогичные 7.11 и 7.12, верны для 5*co.
Чтобы охарактеризовать равенство в Doo, нужно следующее
определение.
7.13. Определение, (i) M^kN тогда и только тогда,
когда Mk^Nk\
(ii) M^kN тогда и только тогда, когда 3M'3N' [Хт] Н А4 =
= М\ Kx\y~N = N' и
(iii) М тогда и только тогда, когда У/kM <k N.
Отметим, что если ВТ(Л4) ВТ(А), то М -< А и Af^M.
Обратное утверждение следует из 7.14 и 7.16. Отметим также,
что Mk^M. Отношение -< транзитивно, так как из Mk^z,Nk\,
А^Е^Л вместе с Хт] Н = N2 следует, что Мх превращается
с помощью нескольких реконверсий в терм М2 такой, ЧТ0М2Е
Е Nt l*.
7.14. Т е о р е м а. М -< А => [М] [А].
Доказательство приводится в 7.25—7.27.
7.15. Следствие. ВТ(М) ВТ(А/)=>|[Л1]| = [А].
Доказательство. В силу замечания, следующего за
7.13. □
7.16. Теорема (Хайленд, Уодсворт). Следующие утверж-
дения эквивалентны для М, N е А:
(i) ВТ (М)~л ВТ (А);
(ii) DOO^=M = N;
(iii) Ж НМ = А.
Доказательство. (i)->(iii) — это 7.15.
(ii)=>(iii) в силу 5.9, так как (7.10).
(iii ) => (i) — это 6.8. □
Отметим, что импликация Th(Doo)cz5^*=>Th(Doo) = не
очевидна (как было бы в случае обычной теории моделей): так
как язык Х-исчисления не содержит логических операторов, то
Th (ЭД) не обязательно является полным множеством предло-
жений.
7.17. Следствие, (i) ТЬ(Роо) = Ж; следовательно, для
любой D модель Doo выполняет одно и то же множество ра-
венств;
(ii) Di алгебраически проста.
Доказательство, (i) очевидно.
(ii) Di, = ®l° (Th (dL)) = ЭД°(Ж), следовательно, нужный ре-
зультат получается из 5.11. □
Для доказательства теоремы аппроксимации Хайленд и
Уодсворт ввели следующее индексированное Ш-исчисление.
§ 7. АНАЛИЗ МОДЕЛИ 315
7.18. Определение. Множество индексированных (Хй)-
термов определяется путем добавления к правилам построения
Хй-термов следующего правила: если М — индексированный
Лй-терм, то таков же (М)р для любого р е со. Интерпретация
Хй-термов в Doo распространяется на индексированные термы
путем добавления равенства [(/И)р]р = ([Л4]р)р. Таким образом,
верхние индексы р рассматриваются как проекции Фоо, Р:
Doo —> Dp.
Если М — индексированный терм, то М* получается из М
путем вычеркивания всех верхних индексов. Отметим, что
[М] [Л4*]. Вполне индексированный терм М — это такой ин-
дексированный терм А4, что каждое вхождение подтерма N в Л4*
имеет индекс в М (т. е. входит как часть терма (Af)p в М).
7.19. Определение. Отношение редукции на Хй-термах
распространяется на индексированные Хй-термы путем добав-
ления аксиом
U.S1P->Q°; (U. A4)p+12V->(Af [x/Np])p;
(Kx.M)0 N-+(M [x/Q°])°; (Mp)q -► Mmin (p’p)
и правила M-+- N => Mp -> Np. Индексированный терм М имеет
н. ф., если M-+N для некоторого JV, причем N* находится
в й-н.ф.
7.20. Лемма. Пусть А4, N — индексированные термы, и
M-+N в смысле редукции индексированных термов. Тогда
(i)
(п) [м]=т
Доказательство, (i) Аппроксимация появляется при
редукциях вроде (Хх.х) QN -> й°.
(ii) В силу 4.19 и 4.15 (i), (v). □
7.21. Определение, (i) Индексация I на терме М — это
отображение, которое каждому вхождению подтерма в М ста-
вит в соответствие некоторый индекс. Через М1 обозначается
соответствующий индексированный терм.
(ii) т(Л1) = {Л1/|/ есть индексация на М}.
7.22. Лемма. Пусть М — К-терм. Тогда [Л4] = I I {[ЛА]] | N е
е т(Л4)}.
Доказательство. Индукцией по построению М с исполь-
зованием 4.15 (iii). □
7.23. Ле м м ^.Каждый вполне индексированный терм имеет
н. ф.
Доказательство. Терм М содержит р-редекс, если
(kx.P)pQ входит в М. Порядок терма М — это максимальное р
такое, что М содержит р-редекс. Индукцией по порядку р терма
М покажем, что М имеет н. ф.
316
ГЛ. 7. БЕСТИПОВОЕ ^.-ИСЧИСЛЕНИЕ
р = 0: редукции вроде (Xx.P)°Q ~^(Р[х/й0])0, Хх.йр->й%
йрЛ1->й° и (ЛРр->ЛГт1п(р» ?) уменьшают длину терма, следо-
вательно, каждый терм порядка 0 имеет н. ф.
р = п + 1. Замена самого правого (п + 1) -редекса
(Xx.P)n+1Q на (Р[х/Фл])п с последующей заменой термов (Qn)q
на Qmin^> дает терм, в котором на одно вхождение р-редекса
меньше, чем в исходном. Простой пример (в котором опущены
некоторые индексы):
(Kab. baa)n+l((Kx. xn+lR)n+l (Кг. г)п+2)
-+(Kab. baa)n+l (((Кг. z)n)n+l R) ^(Kab. Ьаа)п+1((Кг. z)n R).
После конечного числа шагов рассматриваемый терм сво^
дится к терму порядка м, и применимо индукционное предполо-
жение. □
7.24. Доказательство теоремы 7.7. [Л4]| =
= и{И]|Уе=т(М)}=и {Ш13№г(Л1)£есть н. ф. терма ЛД=
1—1 {[£*11 3JV е x(M)L есть н. ф. терма ТУ } g I I {1ГЛТДI W es
е Д(М)} =
Эти пять (не) равенств следуют соответственно из 7.22, 7.20
(ii) и 7.23, [Л] ЕЕ [//], L* е Я (/VI), та;, как в силу 7.20 (i)
верно L* £ N* — М, а из ТУ е Л (.4) следует [TV] =[ТИ] по (7.6). □
Теперь будет изложено при: 5 ллежащег Хайленду доказа-
тельство теоремы 7.14.
7.25. Лемма. Пусть P=£Q находится в Q-н. ф. и P<^Q.
Тогда ВТ (Р), ВТ (Q) можно слить в вершине, At] 1- Р — Кхх ...
... хп. х(Р{ ... Рт и At] h- Q = Кх{ ... хп. X/Q( ... Qm для некото-
рых Pl, . . ., Pm, Qi, . . . , Qm, причем Pi< Q1, .... Pm< Qm U
Pif ..., Pm находятся в Q-н. ф.
Доказательство. Только 1]-редукции меняют деревья
Бёма. Поэтому, так как P^Q, вершины деревьев ВТ(Р),
ВТ (Q) оказываются одинаковыми после некоторых tj-замен, т. е.
эти деревья можно слить в вершине. Термы Р, — либо части
терма Р, либо переменные, возникшие при tj-расширении, по-
этому они находятся в Q-н.ч}). Так как P-^k+iQ, отсюда сле-
дует, что Pt-^kQi для всех k. Следовательно, Pi-^Qt. □
7.26. Лемма. Пусть Р находится в Q-н.ф. Тогда P<^N^
=ИР]Е= И].
Доказательство. Индукцией по построению терма Р.
Случай 1. Р = £2. Тогда все в порядке.
Случай 2. Р = х. Тогда, используя x-^iN, имеем К\~ N =
— Kyi ... yn.xNi ... Nn. В силу 7.22 достаточно показать, что
для любой индексации / терма х верно [х]; ЕЕ [AZJ. Это делается
индукцией по k — I (х).
ЛИТЕРАТУРА
317
Если k = 0, то [(х)0] = [Аг/t ... уп. (x)°Q.. = так
как в Doo верно х0 = х0-± = ку.х0 в силу 4.19 (ii).
Если /(х)=й-Н, то Н+Ш • • • Уп- (х)к+1(У1)к.. .(y„)ft+1-"]l
в силу 4.19 (i) (и 4.14 (i)). Так как x<N, то для всех /,
1 / ^/г, верно yi Nh следовательно, по индукционному пред-
положению [^+1”z]^[Aft-]. Поэтому мы имеем [(x)fe+1] [Afjj.
Случай 3. Р Xxi ... xm.xPi ... Рп, причем Рь ..., Рп на-
ходятся в й-н.ф. Тогда, так как P^N, мы имеем для
некоторых Р'9 N' та::::”, что ЦНР' — Pt Xr] Н N' = N,
равенства Р' ssXxi . .. ... /%, Af'===Axi ... xp.xNi ...
... Nq и соотношения Pi < А7!, ..., P'q N'q.
По индукционному предположению [Р^ !== [Af], ..., следова-
тельно, [Р] = [Р'Л [АГ] = [A/J. □
7.27. Доказательство теоремы 7.14. Допустим, что
M^N. Тогда 4kMk N, следовательно, в силу 7.26 4 k
е И]. Поэтому, [ЛЛ = U [/VI □
ЛИТЕРАТУРА
Барендрегт (Barendregt Н. Р.)
1. Normed uniformly reflexive structures. — In: 1-Calculus and Computer
Science/Ed. C. Bohm. Berlin: Springer, 1975, p. 272—286.
2. The Lambda Calculus, its Syntax and Semantics. — Amsterdam: North-
Holland, 1977.
Бём (Bohm C.)
1. Alcune propriety della forma p-T]-normali del 1-K-calcolo. — Pubbl.
IAC-CNR, 1968, n. 696.
де Брейн (Bruijn N. G. de)
1. Lambda calculus notation with nameless dummies, a tool for automatic
formula manipulation, with application to the Church-Rosser theorem. —
Indag. Math., 1972, 34, № 5, p. 381—392.
Карри и Фейс (Curry H. В., Feys R.)
1. Combinatory Logic, v. I. — Amsterdam: North-Holland, 1958.
Карри, Хиндли и Селдин (Curry Н. В., Hindley R., Seldin J.)
1. Combinatory Logic, v. II. — Amsterdam: North-Holland, 1972.
Манн (Mann C. R.)
1. The connection between equivalence of proofs and cartesian closed
categories. — Proc. London Math. Soc., 1976; 12, № 3, p. 289—310.
Накадзима (Nakajima R.)
1. Infinite normal forms for %-calculus. — In: X-Calculus and Computer
Science/Ed. C. Bohm. Berlin: Springer, 1975, p. 62—82.
Плоткин (Plotkin G.)
LA set-theoretical definition of application. — School of A. I., Memo
MIP-R-95, Edinburgh, 1972.
2. The X-calculus is co-imcomplete. — J. Symbolic Logic, 1974, 39, № 2,
p. 313—317.
Скотт (Scott D.)
1. Continuous lattices. — In: Toposes, Algebraic Geometry and Logic/Ed.
F. W. Lawvere. Berlin: Springer, 1972, p. 97—136.
2. Lambda calculus and recursion theory. — In: Proceedings of the Third
Scandinavian Logic Symposium/Ed. S. Kanger. Amsterdam: North-Hol-
land, 1975, p. 154—193.
818
ГЛ 7 БЕСТИПОВОЕ Х-ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Combinators and clashes. — In: л-Calculus and Computer Science/Ed.
C. Bohm. Berlin: Springer, 1975, p. 1—26.
4. Some philosophical issues concerning theories of combinators. — In:
^-Calculus and Computer Science/Ed. C. Bohm. Berlin: Springer, 1975,
p. 346—366.
5. Data types as lattices. — SIAM J. Comput., 1976, 5, № 3, p. 522—587.
Трулстра (Troelstra A.)
1. Metamathematical Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Analys-
is.—Berlin: Springer, 1973.
Уодсворт (Wadsworth С. P.)
1. The relation between lambda-expressions and their denotations. — SIAM
J. Comput., 1976, 5, № 3, p. 488—421.
Хайленд Дж. (Hyland J. M. E.)
1. A syntactical characterization of the equality in some models of the
X-calculus.— J. London Math. Soc., 1976, 12, № 2, p. 361—370.
Хиндли, Лерчер и Селдин (Hindley R., Lercher В., Seldin J.)
1. Introduction to Combinatory Logic. — Cambridge: Cambridge University
Press, 1972.
Чёрч (Church A.)
1. The Calculus of Lambda-Conversion. — Princeton (N. J.): Princeton
University Press, 1941.
Глава 8
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НЕПОЛНОТА
В АРИФМЕТИКЕ ПЕАНО*)
Дж. Парис, Л. Харрингтон
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Обобщение финитной теоремы Рамсея............................319
§ 2. Доказательство теорем 1.2 и 1.3..............................320
§ 3. Усиления.....................................................326
Литература........................................................327
§ 1. Обобщение финитной теоремы Рамсея
В этой главе мы излагаем недавнее открытие в математи-
ческой логике. Мы исследуем достаточно естественную теорему
конечной комбинаторики — простое обобщение конечной теоре-
мы Рамсея. Эта глава посвящена в основном доказательству
того, что эта теорема верна, хотя и недоказуема в арифметике
Пеано.
Первые примеры верных, но недоказуемых в РА (арифме-
тике Пеано) строго математических утверждений о натураль-
ных числах были получены первым автором (см. Парис [1]) и
возникли из работы Кирби и Париса [1]. Второй автор
(Л. Харрингтон) сумел показать, что доказательство Париса
проходит для особенно простого обобщения конечной теоремы
Рамсея, упомянутого выше (и сформулированного в 1.2).
Так как мы собираемся интенсивно работать с исчислением
разбиений, читателю разумно обратиться к пп. 6.1—6.5 гл. 3
«Теории множеств» за основной информацией и к пп. 6.6—6.9
*) Замечание редактора (Дж. Барвайса). С 1931 г., когда была опубли-
кована теорема Гёделя о неполноте, математики искали математический при-
мер неполноты в арифметике Пеано первого порядка, который был бы мате-
матически прост, интересен и не требовал числового кодирования понятий из
логики. Первые такие примеры были найдены в начале 1977 г., когда эта
книга была почти закончена. Мы рады, что можем добавить заключительную
главу, содержащую наиболее поразительный из примеров, полученных к на-
стоящему времени. Это достойное завершение, сводящее воедино идеи из
всех частей данной «Справочной книги».
320
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НЕПОЛНОТА В АРИФМЕТИКЕ ПЕАНО
этой же главы за доказательством бесконечной теоремы Рам-
сея *).
1.1. Определение. Мы называем конечное множество Н
натуральных чисел относительно большим, если card (//) ^
min (Я). Для натуральных чисел е, г, k п М запись
означает, что для любого разбиения Р: [Л4]е->г имеется отно-
сительно большое Н <=:М, которое однородно для Р и имеет
мощность не меньше k.
1.2. Теорема. Для любых натуральных е, г и k существует
М такое, что М -7* (k)er.
Без *, которая указывает, что однородные множества долж-
ны быть относительно большими, это была бы в точности фи-
нитная теорема Рамсея. Финитная теорема Рамсея доказуема
в арифметике Пеано. Наше доказательство 1.2 использует бес-
конечную теорему Рамсея и не может быть проведено в РА.
1.3. Основная теорема. Комбинаторный принцип 1.2
недоказуем в арифметике Пеано.
Для читателя, который привык работать в РА и поэтому не
видит даже, как сформулировать 1.2 в РА, мы отметим, что РА
эквивалентна (относительно утверждений о натуральных чис-
лах) результату замены аксиомы бесконечности ее отрицанием
в обычной аксиоматике теории множеств ZF (см. гл. 1 «Теории
множеств») и 1.2 может быть сформулирована в этой теории
непосредственно, без всякого кодирования.
§ 2. Доказательство теорем 1.2 и 1.3
Мы докажем сначала 1.2. Зафиксируем е, г и k и допустим,
что не существует М с нужными свойствами. Назовем Р контр-
примером для М, если Р есть разбиение [ЛГ]е на г частей, не
имеющее относительно больших однородных множеств размера
не меньше k. Мы можем рассматривать множество контрприме-
ров как финитно ветвящееся бесконечное дерево. А именно, если
Р и Р'— контрпримеры соответственно для М и М', то мы по-
мещаем Р под Р' в нашем дереве тогда и только тогда, когда
М < М' и Р — ограничение Р' на [М]е. По лемме Кёнига
имеется Р: [со]е->г (где со — множество всех натуральных чи-
сел) такое, что для любого М ограничение Р на [М]е есть
*) Напомним, что натуральное число понимается как множество всех
меньших натуральных чисел. В частности разбиение Р: [7И]е -> г в 1.1—этб
отображение в множество {0, ...» г—1}; последовательность из b (где Ь —
натуральное число (п. 2.11)) содержит числа; меньшие Ь. Через [Af]е обозна-
чается множество всех е-членных подмножеств множества М. card (Я) — это
мощность множества Н. — Прим, перев.
4 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 1.2 И 1.3 321
контрпример для М. По бесконечной теореме Рамсея имеется
бесконечное Н £ со, однородное для Р. Но тогда, выбирая М
достаточно большим (в сравнении с k и min (//)), мы видим, что
Н П М является, кроме всего прочего, относительно большим
однородным множеством для Р f [Л4]е размера не меньше k. □
Для использования в § 3 заметим, что для каждого е преды-
дущее доказательство формализуемо в РА. (Доказательство
утверждения со->(со)*, данное в 6.7—6.9 гл. 3 «Теории мно-
жеств», естественно формализуется, индукцией по е, в ограни-
ченной-(1Йо — СА)- системе, которая консервативна относитель-
но РА (см. 5.5.1 гл. 4). Таким образом, для любого е
РА I- VrVfcBAl (М -т* (6)*).
Мы приступаем теперь к доказательству теоремы 1.3, кото-
рое займет оставшуюся часть этого параграфа. Мы определим
в 2.1 некоторую теорию Т и покажем затем, что Соп(Т)->
->Соп(РА) доказуемо в РА. Здесь Соп(Т)—арифметическое
предложение, выражающее непротиворечивость теории Г. Дока-
зательство будет закончено, когда мы покажем в РА, что ком-
бинаторный принцип 1.2 влечет Con (Г).
В дальнейшем мы отождествляем конечные подмножества
множества со с конечными возрастающими последовательно-
стями элементов множества со. Теория Т формулируется в язы-
ке РА плюс бесконечный перечень констант с0, Сь •• •
2.1. Определение. Аксиомами теории Т являются:
(i) обычные рекурсивные определяющие соотношения для
+, Х> <, а также аксиома индукции, но только для ограничен-
ных формул *);
(ii) для любого i = 0, 1, ... — аксиома (cz)2 < с/+1;
(iii) для любого конечного подмножества i ===== Zi, ..., ir мно-
жества со пусть c(i) = ci{ ... cif. Для каждого i < k, k' (т. е.
Z<min(fe, k')) и каждой ограниченной формулы ф(у;<г), где fe,
k' и z все имеют одну и ту же длину, мы имеем аксиому
Vy < Ci (jG c (fe)) ф (у; c (At'))].
2.2. Утверждение. Con(T’) влечет Con (PA).
Доказательство. Пусть 911= T (t. e. 91 — модель тео-
рии T), и пусть / — начальный отрезок 91, состоящий из таких а,
что а < Ci для некоторого Ввиду (ii) множество I замк-
нуто относительно + и X- Достаточно доказать следующее
2.3. Утверждение. 3 = </, +, Х> <> — модель РА.
Для каждой формулы 0(у) из языка РА определим ограни-
ченную формулу 0*(у;г) следующим образом. Запишем 0 в
*) То есть для формул, содержащих Vx, Зх только в частях вида
Vx (х < t -> Л), соответственно Эх (х < t Д Л). — Прим, перев.
Vail Справочная книга, ч. IV
322
ГЛ. 8. математическая неполнота в арифметике ПЕАНО
предваренной форме Э*1 ... Vxrqp(x; у), где ср — бескванторная
формула. Тогда 6* (у, zb ..., zr) есть < хх ... Vxr < zrqp(х, у).
2.4. Утверждение. Для данных i <. k. а < Ci и Q (у), где
к, а и у имеют подходящие длины. 3 |= 0 (а) тогда и только
тогда, когда 211= 0*(а; c(fe)).
Отметим, что 2.3 есть непосредственное следствие 2.4, так
как 2.1 (i) гарантирует, что для всех 0 в модели 21 будет вы-
полняться индукция*) для 0*. Доказательство утверждения 2.4
проводится индукцией по (построению формулы) 0. Пусть 0(у)
есть Зхф(х, у). Тогда Q* (у; z) есть Зх < г1ф*(х; у\ z2, ..., zr).
Поэтому <3h=6(^) тогда и только тогда, когда для некоторого
b из I и некоторого / (где min(j) велик) верно 211= (6, а;
а это происходит тогда и только тогда, когда для неко-
торого k' (где снова min(fe') велик) верно 211= 0* (а; е (£')), что
в силу 2.1 (iii) имеет место тогда и только тогда, когда 211=
h=6*(a;c(fe)). □
Внимательный читатель должен был заметить, что доказа-
тельство утверждения 2.2 может быть формализовано в РА
(аналогично § 6 гл. 1). Кроме того, в этом доказательстве мы
можем требовать выполнения 2.1 (iii) только для ограниченных
формул ф(у; z) вида 0*(у; z) для некоторой 0(у).
2.5. Предложение. Комбинаторный принцип 1.2 влечет
Con (Г).
По теореме Гёделя о неполноте (см. § 2 гл. 1) наша основ-
ная теорема следует из 2.5 и 2.2, конечно, при условии, что 2.5,
подобно 2.2, показано в РА.
Перед началом доказательства 2.5 мы укажем несколько
фактов, относящихся к разбиениям.
2.6. Лемма. Для данных разбиений PQ и Р\ множества
[Мр на го и г\ кусков имеется такое разбиение Р множества
Л1]е на го-И кусков, что для любого Н^М множество Н од-
нородно для Р тогда и только тогда, когда оно однородно для
Ро и для Рь
Доказательство. Полагаем P(a)=(PQ(a). Р\(а)). □
2.7. Лемма. Множество Н М однородно для разбиения Р
множества [Л4]е тогда и только тогда, когда любое подмно-
жество Н мощности е + 1 однородно для Р.
Доказательство. Пусть а = а\. ..., ае — первые е
элементов множества Н. Выберем b = Ь\. .... Ье так, что
Р(а)#=Р(&) и сумма Ь\ + ... + Ье минимальна. Если i— наи-
меньший индекс, для которого ai ф bi. то {аь ..., at. bi. ...
..., be} не однородно и имеет размер е + 1. □
*) Схема индукции используется в виде
F (0) A Vx < b(F (х) -> F (х + 1)) -> F (b).
— Прим перев.
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 1.2 И 1 3
323
Мы определим л/r как наименьшее натуральное s такое,
что s2 г. Отметим, что для большинства г (т. е. для г 7)
г 1 + 2 д/г •
2.8. Лемма. Для данного Р: [Мр -> г имеется Р': [М]е+1->
- (1 +2д/7) такое, что для всех Н^М мощности >е-{- 1
множество Н однородно для Р тогда и только тогда, когда Н
однородно для Р'. __
Доказательство. Пусть s = д/7 • Определим функции Q
(частное) и Р (остаток), отображающие [М]е в s, уравнением
Р(а) = s-Q(a) + Д(а). Для b = Ьь ..., be, be+i из [М]е+1 по-
ложим Ь' = Ь\, ..., Определим искомое Р' на [Мр+1 так:
Г О,
р\ъ)=\ <о,ро,
41, Q О
если b однородно для Р,
если b однородно для Q, но не для Р,
в противном случае.
Пусть Н однородно для Р' и имеет мощность >е-|-1, и
пусть с — первые е + 1 элементов из Н. На,м нужно убедиться,
что Р'(с) = 0, чтобы проверить, что Н однородно для Р в силу
2.7. Отметим, что для каждого а из [ср имеется конечная по-
следовательность b из [И] е+* такая, что Ь'= а. Допустим, что
Рх (с)= <1, Z>. Тогда в силу предыдущего замечания Q(a)=i
дяя всех а из [ср, так что с однородно для Q, что противоре-
чит определению Р'. Итак, допустим, что Р'(с) = <0,/>, так что
с однородно для Q, например Q(a)= I для всех а из [ср. Но
тогда Р(а) = S-Z + j для всех таких а, так что с однородно для
Р, что снова противоречит определению Р'. □
2.9. Лемма. Пусть дано п разбиений Рр [Мр—>Г/ для
всех i < п. Пусть е — maxez и г = Ц max (гь 7). Тогда
i i
имеется разбиение Р: [Мр->г такое, что для всех Н^М мощ-
ности >е множество Н однородно для Р тогда и только тогда,
когда Н однородно для всех Pi.
Доказательство. Объединить 2.6, 2.8 и замечание пе-
ред 2.8. □
Мы теперь сформулируем комбинаторный принцип, который
подогнан так, чтобы из него получалась Соп(Т). Условия (ii) и
(iii) в 2.10 соответствуют аналогичным условиям из 2.1, но не
будет 2.10 (i). После того как будет показано, что 2.10 влечет
Con (Г), мы вернемся к выводу 2.10 из 1.2.
2.10. Пр едложение. Для любых е, k, г имеется М такое,
что для любого семейства <Р$; g < 2М> разбиений Р$: [Мр->г
имеется X мощности такое, что:
(ii) если а, b и а <Ь, то a2 <Zb.
(iii) если а^Х и g < 2а> то X ~ (а + 1) однородно для Р$.
Vail*
324 ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НЕПОЛНОТА В АРИФМЕТИКЕ ПЕАНО
2.11. Утверждение. 2.10 влечет Con (Г).
Доказательство. Для данного конечного подмножества
S множества аксиом теории Т пусть с0, ..., ck-i — все кон-
станты, входящие в S. Мы используем 2.10, чтобы показать, что
S имеет модель вида <со; +, X, <» *о, ...» x*_i>, где х0, ...
..., Xk-\ — первые k элементов множества X из 2.10. Эта мо-
дель, очевидно, удовлетворяет 2.1 (i), поэтому надо позабо-
титься лишь об аксиомах теории S, имеющих виды (ii) и (iii).
Условие (ii) в 2.10 автоматически обеспечивает аксиомы (ii),
поэтому нужно лишь устроить наши разбиения так, чтобы спра-
виться с аксиомами (iii).
Мы можем рассматривать каждое (о как код некоторой
возрастающей последовательности*) а(£) из со, причем любая
такая последовательность из элементов, не превосходящих Ь,
кодируется некоторым g < 26.
Для данной ограниченной формулы ф(*/;г) и последователь-
ности a(g) той же длины, что у, мы получаем разбиение
Гф, [М]®' ->2, где е' — длина z, полагая 77фЛ(с) = 0, если
ф(а(5); с), и ^фл(с)= 1 в противном случае.
Рассмотрим сначала фиксированные М и g. Для каждой ак-
сиомы типа (iii), входящей в S, имеется соответствующая огра-
ниченная формула ф(у; г) и, следовательно, соответствующее
разбиение Fa В силу 2.9 мы можем собрать их в единое раз-
биение Р^: где е и г зависят только от S, но не от §
или М. Теперь, используя 2.10, выбираем М столь большим,
чтобы (ii) и (iii) имели место для некоторого X <=. М, семей-
ства <Р$; g < 2М> и card(X) k + е. Теперь, выбирая х0, ...
,.., Xk-i указанным выше способом, мы видим, что аксиомы
типа (iii) выполнены. □
Наш внимательный читатель заметит, что так как отноше-
ние выполнения в модели <со; +, X, О для ограниченных фор-
мул примитивно рекурсивно, мы можем доказать в РА (и даже
в примитивно рекурсивной арифметике PRA), что эта алгеб-
раическая система удовлетворяет 2.1 (i). Следовательно, при-
веденное выше доказательство можно провести в РА.
Нам осталось только доказать (в РА), что 1.2 влечет 2.10.
Для этого нам нужен метод получения быстро растущих одно-
родных множеств. Мы признательны Ф. Абрамсону за некото-
рые из следующих ниже рассуждений, упростивших наше ис-«
ходное доказательство.
Для произвольной фукции g пусть g<*> обозначает композит
цию g с собой х раз. Пусть f0 (х) = х + 2, и пусть /л+1(х) =
•) Например, как код последовательности (f0, ... Jk), где fo, ...» ik —
места, считая с нулевого, на которых встречаются единицы в двоичной запи-
си £. — Прим, перев.
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 1.2 И 1.3
325
= (fn)(x)(2). Читатель может проверить, что f1(x)^2x, f2(x)5*
.2
2х, рх, где рх = 22’ (х этажей двоек), и так далее
для /4, f5, ... Читатели, знакомые с функцией Аккермана, пой-
мут, что каждая fn примитивно рекурсивна и что любая при-
митивно рекурсивная функция мажорируется, начиная с некото-
рого места, некоторой fn, но эти факты не используются ниже.
2.12. Лемма. Для любого р имеется Q: [М]1->р+1 та-
кое, что если X однородно для Q и имеет мощность не менее 2,
то min (X) р.
Доказательство. Полагаем Q(a) — min (а, р).
Мы переходим теперь к двум леммам, использующим отно-
сительно большие однородные множества.
2.13. Лемма. Для любого m имеется разбиение R: [Л4]2->
->г (где г зависит только от т) такое, что если Х^М относи-
тельно велико, однородно для R и имеет мощность >2, то для
любых х, у X из х <. у следует fm (х) < у.
Доказательство. Для каждого i m пусть РДа, &)»=
= 0 тогда и только тогда, когда fi(a)<Zb', в противном случае
РДа, b)= 1. Пусть р = /™(3),и пусть Q построено согласно 2.12
для этого р. Применяем 2.9, чтобы собрать все разбиения Рх
в R: [Л4]2->г. Пусть X относительно велико и однородно для
/?. Пусть a = min(X), 6 = max(X). Индукцией по i пг легко
показать, во-первых, что fi(a)<b (здесь используется, что
card(X)^a), и, во-вторых, что ввиду однородности fi(x)<.y
для всех х, у из X таких, что х < у.
2.14. Лемма. Пусть даны Р: (е 2) и тп. Тогда
имеется Р*: [Л4]е-> s', где s' зависит только от пг, е и s такое,
что если имеется относительно большое Y ^М, однородное для
Р* и имеющее мощность >е, то имеется Х<=М такое, что X
однородно для Р и card(X) не меньше чем е-\-\ и fm(min(X)).
Доказательство. Пусть h(a)—наибольшее х такое,
что fm(x}^a. Для а = а\ ... ае пусть h(a) = h(at), ..., h(ae).
Пусть S(a) = P(ha). если hа есть ^-последовательность, т. е.
h(a\)<Z h(a2)<. ... <Zh(aeY и S(a) = s в противном случае.
Таким образом, S: [A4]e->s+l- Пусть R построено согласно
2.13. Используем 2.9, чтобы собрать R, S в Р*: [Д4]е—> s'. Пусть
дано Y, удовлетворяющее условию из формулировки леммы, и
пусть X — образ Y относительно h. Разбиение R обещает нам,
что h взаимно однозначно на Y, так что card (X) = card (У)
^min(F). Но из определения h следует fw(min(X)) min(r),
так что card (X) fm (min (X)), что и требовалось.
2.15. Утверждение. Комбинаторный принцип 1.2 влечет
2.10.
Доказательство. Нам даны е, k и г, и надо предъявить
М, удовлетворяющее 2.10. Найдем р такое, что для всех а^р
П Справочная книга, ч. IV
326
ГЛ. 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НЕПОЛНОТА В АРИФМЕТИКЕ ПЕАНО
число /з(я) достаточно велико по сравнению с е, г, k и а. Мы
уточним это в последнем абзаце доказательства. Пока отме-
тим, что f3(y) Ру. Пусть е' = 2е + 1.
Если теперь даны произвольное М и семейство Р$: [М]е->г
для g < 2м, определим новое S: [М]е->2, полагая S(a, b, с)=з
= 0, если (&) = Р$ (с) для всех < 2а, и S (a, b,c)— 1 в про-
тивном случае. Пусть Q построено согласно 2.12, a R— соглас-
но 2.13 для т = 2. Используем 2.9, чтобы собрать Q, и S
в единое Р, а затем используем 2.14, чтобы получить Р*: [М]е ->
s'. Число s' зависит только от е' = 2е+1 и от р. Теперь
применим комбинаторный принцип 1.2. Найдем М такое, что
1)*,. В силу 2.12 имеется Х^Л4, однородное для Q,
R и S, причем card(X) f3(min(X)). Так как X однородно для
Q, то min(X)^ р. Из того, что X однородно для R и ?2(у)^ У2
для тех у, которые достаточно велики, чтобы попасть в X, сле-
дует, что X удовлетворяет 2.10 (ii).
Чтобы проверить 2.10 (iii), мы заменим X на X' = X ~ rf,
где d = dit ..., de — последние е элементов X. Пусть 1^ =
— P^(d). Если мы покажем, что для всех а < Ь\ < ... < Ьв
из X' и всех I < 2а верно Р^(&)=^, то мы покажем, что X'
удовлетворяет 2.10. Для этого в свою очередь достаточно пока-
зать S(a, &, с) = 0 для некоторой (следовательно, в силу одно-
родности для любой) (1 + 2е)-членной последовательности а,
Ь, с из X. Пусть a = min(X), и рассмотрим одну за другой
е-членные последовательности из Х~(а-|-1). Наш выбор р,
сделанный ранее, должен быть таким, чтобы имелось более (г2°)
таких е-членных последовательностей, — тогда мы можем найти
е-членные последовательности &, с такие, что Р^(&)=Р^(с)
для всех g < 2а, а это и требовалось. □
§ 3. Усиления
В доказательстве нашей основной теоремы мы полагались
на разные результаты из теории доказательств, в частности
на теорему Гёделя о неполноте. Однако можно доказать нашу
основную теорему, используя только методы теории моделей.
Это — подход, принятый в работе Париса [1], где развита
общая теоретико-модельная методология (индикаторных функ-
ций) для получения таких результатов.
С другой стороны, 1.2 в действительности эквивалентно в РА
одному хорошо известному принципу теории доказательств, и
наше доказательство выявляет это с полной очевидностью. На-
помним определение RENs,: это теоретико-числовое предложе-
ние, выражающее утверждение «для любого Si-суждения ф из
РА Н Ф вытекает ф».
§ 3. УСИЛЕНИЯ
327
3.1. Теорема. В РА доказуемо, что RFNst эквивалентно
комбинаторному принципу 1.2.
Доказательство. После доказательства 1.2 мы упомя-
нули, что
для всех е, г, k верно РА Н ЗЛ4 (ЛГ (&)*)•
Этот факт, обоснование которого мы наметили, сам является
теоремой РА. Применение RFNs. дает 1.2.
Допустим 1.2 и докажем RFNsr Пусть ф— ^-суждение. Мы
докажем, что если 1ф, то Сои (РА + 1ф). Доказательство ут-
верждения 2.5 показывает (с использованием 1.2), что если ф
ложно в со, то верно Соп(Г+ |ф). Но доказательство утверж-
дения 2.2 показывает, что Соп(Г + Пф) влечет Сои (РА+
+ “Ф). □
Чтобы сформулировать наш окончательный результат, опре-
делим рекурсивную функцию f соотношением
f(e) = наименьшему М такому, что 1)*.
3.2. Теорема. Если g — рекурсивная функция (заданная
своим описанием) и если РА Н «g всюду определена», то для
всех достаточно больших е имеем f(e) > g(e).
Доказательство. Пусть S — конечное подмножество Г,
и пусть со, ..., ck-\ — константы, входящие в S. Как показы-
вает доказательство 2.5 (особенно 2.11), мы можем интерпре-
тировать эти константы таким образом, чтобы превратить ох
в модель S. Исследуя это доказательство, можно усмотреть,
что для всех достаточно больших е мы можем интерпретиро-
вать со, ...» ck-\, используя числа из отрезка (е, f(e)). Если
g(e)^f(e) для бесконечно многих е, то предыдущее доказы-
вало бы непротиворечивость теории Г, дополненной следующими
аксиомами с новой константой е:
е < Cq\ ДЗх Ci (g (е) ~ х) для всех /^со.
В силу доказательства 2.2 мы получаем непротиворечивость
системы РА + Зе (g (е) не определено). □
Мы хотели бы поблагодарить редактора за то, что он почти
заставил нас написать эту главу, напечатал ее сам на машинке
и сделал ряд небольших изменений при условии, что он возь-
мет на себя ответственность за опечатки.
ЛИТЕРАТУРА
Кирби и Парис (Kirby L., Paris J.)
1. Initial segments of models of Peano’s axioms. — In: Proceedings of the
Bierutowice Conference 1976. Berlin: Springer, 1979.
Парис (Paris J.)
1. Independence results for Peano arithmetic. — J. Symbolic Logic, 1978,
43, № 4, p. 725—731.
11*
ДОБАВЛЕНИЯ
Добавление 1. ТЕОРЕМА НЕПРЕРЫВНОСТИ
ДЛЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Г. Е. Минц
Приведем доказательство теоремы Цейтина [1] о непре-
рывности, упомянутой в конце п. 8.2 гл. 5, близкое к неопубли-
кованному доказательству Трулстры, использующему идею Мо-
сковакиса [1]. Мы несколько изменим терминологию из
5.15, 5.16 гл. 5.
Конструктивное (рекурсивное) метрическое пространство
(короче, пространство) — это пара М = <А, р>, где А — множе-
ство натуральных чисел — (кодов) точек пространства, р— ал-
горитм, перерабатывающий каждую пару точек из А в неотри-
цательное рекурсивное вещественное число*) и удовлетворяю-
щий неравенству треугольника. Переменными для точек про-
странства будут X, У, Z, Xi, ... Метрическое равенство вводится
определением X ~ У = р (X, У) = 0.
Запись t е А означает !/А / е А, где It означает, что t опре-
делен.
Алгоритм предельного перехода — это частично рекурсивная
функция {2?}, строящая предел по всякой сходящейся в себе
последовательности со стандартным «модулем сходимости»:
Уппг({е}(п) еАД p({e}(n), {e}(nH~ т)) < 2“п)
{ЗЕ} (е) е А К Vnp ({е} (п), {^} (е)) < 2"п.
Пространство полно, если для него имеется алгоритм пре-
дельного перехода (который мы будем обозначать через lim).
*) Подразумевается, что рекурсивное вещественное число задано в виде
рекурсивной последовательности рациональных чисел со стандартным «мо-
дулем СХОДИМОСТИ»,
© Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы, 1983.
ТЕОРЕМА НЕПРЕРЫВНОСТИ
329
Пространство сепарабельно, если имеется перечислимый ба-
зис — общерекурсивная последовательность dn элементов мно-
жества А такая, что
XfXkBnp(dn, X) <2
Эффективный оператор из пространства М = <Д, р> в про-
странство М' = <Д', р'>— это частично рекурсивная функция F
из А в Д', сохраняющая метрическое равенство:
VXK(lF(X)->[F(x) е Д' Л (X ~ Y-+\F(Y) Л F(X) ~F(Y))]).
В последнем конъюнктивном члене следовало бы написать «'
вместо «, но мы не будем усложнять символику.
Теорема. Эффективные операторы из полных сепарабель-
ных пространств в произвольные метрические пространства не-
прерывны. Более того, имеется частично рекурсивная функция,
дающая модуль непрерывности.
Мы воспроизведем с небольшими изменениями доказатель-
ство Московакиса [1], основанное на некоторой лемме от-
делимости. Речь пойдет об отделении точки Хо шаром от мно-
жества тех точек, где p(F(X), F(Xq}) > s.
Введем ряд определений.
Шар радиуса 2~k с центром X: Уе5(Х,/?)^ р(Х, У) < 2~k.
Множество W cz А прослеживаемо (с индексом t), если для
всех X, k
ГП5(Х, k)^0->{t}{X, fe)^mS(X, k).
Множество W cz А вполне перечислимо (listable) с индек-
сом m:
VXY(X « K->(Xe W^Y sIF))A VX(XsIT <-> !{ди)(Х)).
Через Lm обозначим множество таких X, что ! {пг} (X); если
пг — индекс вполне перечислимого множества, то Lm— вполне
перечислимое множество с индексом пг.
Лемма об отделении. Если точка отделима от просле-
живаемого множества вполне перечислимым множеством, то
она отделима шаром {радиус которого находится по индексам
этих множеств).
Доказательство. Пусть ЕсзД прослеживаемо (с ин-
дексом t), X (= Ln, Е Q Ln = 0. Обозначим
Р (и, р,п) = Т {£, р, {и)) AT{n,U (Л (и)), j2 (и)), (1)
где /ь /г — проекции пары, 3?— алгоритм предельного пере-
хода, Т и U — предикат и функция из теоремы Клини о нор-
мальной форме. Р(и,р,п) можно читать (приблизительно) так:
330
ДОБАВЛЕНИЕ Т
{tn}
ровно за и шагов выяснилось, что {2?} (р) определен и принад-
лежит Ln. Построим число т по теореме о рекурсии:
X, если (Vu < у) ”] Р (и, /и, п),
{/}(%, \ьуР(у, т, п)) в противном случае.
Покажем, что ЗиР(и, т, п). Действительно, в противном
случае Vr/({/n} (у) = X), так что последовательность {т} регу-
лярно сходится к X, откуда
lim (m) ~ X е Ln, (3)
так что ЗиР(и, т, п). (Это рассуждение использует принцип
Маркова.) Теперь положим k = риР(и, /и, п) и докажем, что
шар S(X,k) искомый, т. е. не пересекается с Е. Действительно,
если это пересечение непусто, то (по определению индекса
прослеживаемого множества), полагая 0 = {/} (X, &), имеем
0 е Е П S(X, k).
По определению k последовательность {т} имеет вид
X, X, ..., X, 0, 0, ...
k раз
Эта последовательность сходится к 0 (и притом регулярно
ввиду 0eS(X, k), т. е. р(0, X) < 2~А). Но ввиду 0е£ и
E(]Ln = 0 имеем lim(/n)^Lrt, т. е. “l!{n} (lim(m)) и, значит,
ПЭпР(п, т, п). Полученное противоречие завершает доказа-
тельство. □
Теперь накопим запас прослеживаемых и вполне перечисли-
мых множеств.
Лемма 1. Шар S(Xtk)—вполне перечислимое множество.
Доказательство. Чтобы проверить Уе5(Х, k), надо
вычислять р (X, У) все с большей точностью до тех пор, пока
не выяснится «с запасом», что р(Х, У)<2_*. Более формально
(вспомним, что р(Х, У)—номер некоторой регулярно сходя-
щейся последовательности рациональных чисел, и) возьмем
число т такое, что
{т} (У) ц/ (2~ft < {р (X, У)} (/) + 2-').
Лемма 2. Перечислимое множество W прослеживаемо.
Доказательство. Чтобы найти точку из №f]S(X, £),
перечисляем W и ждем, когда какой-нибудь его элемент «с за-
пасом» попадет в S(X, k).
Лемма 3. Непустое вполне перечислимое множество Ln со-
держит точку ::з перечислимого базиса сепарабельного про-
странства (которая эффективно находится по п).
Доказательство. Пусть Xе Ln. Если Ln не содержит
точек из базиса (который по лемме 2 является прослеживав-
ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
331
мым множеством), то по лемме об отделении X можно отделить
от базиса шаром, так что базис не плотен. □
Лемма 4. Всякое вполне перечислимое множество Ln про-
слеживаемо.
Доказательство. ЛпП5(А’, k) вполне перечислимо как
пересечение двух вполне перечислимых множеств. Применяем
лемму 3.
Лемма 5. Если два вполне перечислимых множества Lm,
Ln не пересекаются, то каждая точка X е Ln отделима шаром
от Lm (и радиус шара эффективно находится по п, m, X).
Доказательство. Применить лемму об отделении и
лемму 4.
Доказательство теоремы. Положим
L* (X) = {К: IF (X) A IF (Г) A р' (F (X), F (Г)) < 2-(*+1)},
L2 (X) = {У: IF (X) A IF (Г) A р' (F (X), F (Г)) > 2-(*+1)}.
Очевидно, что если !F(X), то X^Li(X), a Li(X), L2(X)
вполне перечислимы и не пересекаются. Отделяем X от Л2 ша-
ром (лемма 5). Радиус этого шара и есть искомый модуль не-
прерывности в точке X. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Московакис (Moschovakis У. N.)
1. Recursive metric spaces. — Fundam. math., 1964, 55, № 3, p. 215—238.
Цейтин Г. С.
1. Равномерная рекурсивность алгоритмических операторов над общере-
курсивными функциями и каноническое представление для конструк-
тивных функций вещественного аргумента. — Тр. 3-го Всесоюзного ма-
тем. съезда, 1. М.: Изд. АН СССР, 1956, с. 188—189.
Добавление 2. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
Г. Е. Минц
Приведем доказательство известной редукции классического
исчисления предикатов (с равенством) к исчислению высказы-
ваний (с равенством). Мы будем рассматривать выводимость в
системах с равенством и без него совместно, отмечая различия
там, где они имеются. Напомним, что выводимость формулы F
в классическом исчислении высказываний без равенства экви-
валентна тавтологичности F в смысле обычных двузначных ис-
тинностных таблиц. Выводимость секвенции А в исчислении
предикатов (соответственно в исчислении высказываний) с ра-
венством будет обозначать выводимость в исчислении без
332
ДОБАВЛЕНИЕ 2
равенства секвенции вида Eq, А, где Eq — список замыканий
(соответственно частных случаев) аксиом равенства
x = y-+f(x) = f(y); х = у-+(Р(х)->Р(у)); х = х,
a Eq — список, состоящий из отрицаний членов списка Eq.
Для упрощения формулировок мы ограничимся предварен-
ными формулами.
1. Лемма скулемизации (ср. 2.19 гл. 2 «Теории мо-
делей»). Предложение ... ЗхпЧуА(хь ..., xnt у) вы-
водимо тогда и только тогда, когда выводимо предложение
... 3xrt4(%i, ...» хп, f(x{, ..., хп))> где f — новый
функциональный символ.
Доказательство. Импликация S->SZ выводима в ис-
числении предикатов, поэтому Н S Н S'. Допустим теперь,
что S невыводимо. Обозначим через L язык предложения S. По
теореме о полноте 4.9 гл. 1 «Теории моделей» имеется L-си-
стема SW, опровергающая 5, а по теореме Лёвенгейма — Скуле-
ма (2.5 гл. 1 «Теории моделей») можно считать, что предмет-
ная область состоит из натуральных чисел. Положим
Ф(апь ..., тп) равным наименьшему k такому, что Н
^ПД(аП1, ..., шПу k), и расширим до алгебраической си-
стемы такой, что f* = ф. Имеем 31... Vxrt ~| Д • • •
• ••, хя, f(Xi, .... *„)), откуда ft-S'. □
Замечание. Синтаксическое доказательство этой леммы
приведено, например, у Минца [1].
Для произвольной формулы F, имеющей вид
3X1V//! ... Зх^Зх/^Мх^ ... xkykxk+i (1)
с бескванторной Af, положим
/=^3*1 ... ЗжлЗхл+рИ (хh ft (*t), ..., xk, fk (xlt .... xk), xk+l). (2)
Для набора термов t = ti ... tkh+i положим
M'(t) = M(tb fdtt),---, tk, tk(t\, - h), tk+i).
2. Теорема (первая форма теоремы Эрбрана). Предло-
жение F вида (1) выводимо тогда и только тогда, когда для
некоторых наборов термов tl.выводима (эрбрановская)
дизъюнкция
... VM'(tp). (3)
Доказательство. В силу леммы 1 выводимость F экви-
валентна выводимости F®, и мы получаем искомый результат
в силу теоремы 2.9 гл. 2. □
Пример. Fs=3yVx(Ру V “IРх), F^3y(Ру V ~\Pf (у)). Вы-
водимая эрбрановская дизъюнкция
(Ра VIPf (а)) V (Pf (а) V 1Pf(f (а))).
ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
333
Другая форма теоремы Эрбрана.
Пусть F имеет вид (1), t — список термов, а — список пере-
менных:
f = fj ... а = а{ ... ak-
Обозначим M(t, а) = M(ti, аь tk> dk, /л+i).
Тогда эрбрановские дизъюнкции (3) из первой формы тео-
ремы Эрбрана имеют вид
W»)V ... V M(tp,f(tp)), (4)
где = f2(M2), ..., ..., М.
Сформулируем и докажем вариант этой теоремы, который
не требует введения новых функциональных символов f: роль
термов, содержавших f, будут играть новые переменные.
Пусть tl = t{ ... tktk+i (/ = 1, ...» р) — наборы термов, а s
... а[ (1 = 1, ..., р) —fe-членные наборы переменных, не
входящих в формулу F. Скажем, что а\^а^, если а™ входит
в один из термов tl\, ..., t\. Говорят, что система
а1, а1), ..., (*Р,аР) (5)
допустима, если
(а) транзитивное замыкание > отношения является
частным порядком, т. е. нет цепочек
... >а'? (6)
с а\ = а1ч\
(Ь) из а\ = а™ следует, что / = / и (7f, ..., ..., #*).
Это определение станет нагляднее, если читать а\ > как
..., входит в = ..., ?.)».
3. Теорема (вторая форма теоремы Эрбрана). Предложе-
ние F выводимо тогда и только тогда, когда выводима дизъюнк-
ция
... VM(tk, ak) (7)
для некоторой допустимой системы (5).
Доказательство. Пусть выводима дизъюнкция (7) для
допустимой системы (5). Рангом переменной а\ назовем
наибольшую длину цепочки вида (6). Ввиду (а) из условия до-
йустимости ранг — конечное число, и а\>аУ влечет
> г (а™}. Ранг r(t) терма t — максимальный ранг входящих в
него переменных,
334
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Чтобы свести (7) к (4)*) положим
•••> *0, (8>
если г(а?) = 0. Условие (6) из определения допустимости обес-
печивает корректность определения (8). Замена а на а в терме
t определяет f, если г(/) = 0.
Если t определены для случая r(t) < s и г (cty = s, то пола-
гаем
= •••> (9)
Корректность снова обеспечивается условием (&). Теперь под-
становка а\ вместо а\ переводит (7) в (4), так что исходная
формула F выводима в силу первой формы теоремы Эрбрана.
Пусть теперь выводима формула F вида (1). Рассмотрим
вывод d без сечения в генценовском варианте исчисления пре-
дикатов (ср. § 2 гл. 2) самой формулы F в случае чистого ис-
числения предикатов или секвенции Eq, F в случае исчисления
предикатов с равенством. Рассмотрим (по предложению В. Орев-
кова) применения кванторных правил в d, боковые формулы **)
которых бескванторные. Назовем эти боковые формулы крити-
ческими. В силу свойства подформульности и вида кванторных
правил эти боковые формулы имеют вид Запишем их
дизъюнкцию в виде (7) и докажем, что (7) выводима и соответ-
ствующая система (5) допустима (в предположении, что d —
чистый вывод, т. е. собственная переменная правила V может
встречаться только над его посылкой: этого легко добиться за-
меной собственных переменных).
(i) Выводимость дизъюнкции (7). Допишем (7) ко всем сек-
венциям из d, а. затем вычеркнем все формулы, содержащие
кванторы. Получится вывод формулы (7), так как аксиомы и
пропозициональные правила не изменятся, некритические кван-
торные правила вычеркнутся целиком, а критические перейдут
в применения правил для V.
(ii) Допустимость системы (5). Запишем списки — ...
..., tlk+\ более подробно в виде
— tl tl *tl
l p ..., Lk+if j, ^+l,Vfe + 1‘
*) Любой вывод D дизъюнкции (7) можно непосредственно перестроить
в вывод D' формулы F. При этом переменные а\ будут • собственными
переменными применений R\ введений V в D' и из а\ > aj1 будет сле-
довать, что R\ лежит в D' выше R™.— Прим. ред.
**) То есть малые формулы (в терминологии п. 2.2 гл. 2). — Прим. ред.
ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
335
Теперь каждому вхождению терма в систему (5), т. е. каж-
дой тройке (/, f, q) [соответствующей терму t\tq\ и паре (/, i)
[соответствующей переменной сц] поставим в соответствие при-
менение л(/, f, q), правила в выводе d, которое вводит
(если рассматривать d снизу вверх) соответствующее вхожде-
ние терма. При этом: (а) л(/, f, q)— применение правила В,а
л(/, 0 — применение правила V; (Р) л(/, I, q) расположено в d
ниже л(/, Z, ?+1) и ниже л (/,/); (?) если а™ входит в д’
то в силу чистоты d применение л(/, i,q) расположено выше
л(1,1). Поэтому из ai^a™ следует в силу (Р), (у), что л(/, I)
расположено выше л(т,/), так что выполнено условие (а) из
определения допустимости. Если 0- = а?г, то в силу (а) и чис-
тоты d имеем л(1,1) = л(пг, j). Главная формула правила
л(/, 0 имеет вид Vx. ... Byk+[M а{, ..., t\, х., ..., ^+l)
и в то же время вид Vxy ... 3yfe+1Af (t™, а™, ..., t™, х., ...
..., yk+i\ Отсюда следует i = j, tlq t™ для q i, т. e. условие
(b) из определения допустимости. Теорема доказана. □
В качестве примера приведем вывод формулы из предыду-
щего примера и соответствующую эрбрановскую дизъюнкцию:
~1 РЬ, РЬ_____
~| Pb, Pb\J ~}Рс
Ра V П РЬ, РЬ\/ ~\Рс
Ра V ~]РЬ, Уу(РЬ \/ ~]Ру) (PaV~]P6)V(/W ~\Рс)
Ра V П Pb, F
Уу(Ра УПРг/),Р
F = ЭхУу (Рх V П Ру)
Скажем, что теория Т замкнута относительно разбора слу-
чаев, если для любой бескванторной формулы Л1(х) и термов
ti, ..., tk можно указать терм t такой, что в Т выводимо
M(ti) V ... V M(tk)->M(t), (10)
причем переменные терма t содержатся среди переменных тер-
мов t\, ..., tk и формулы М.
Заметим, что для замкнутости относительно разбора слу-
чаев достаточно наличия ограниченного р-оператора (с его
обычными свойствами) в применении к бескванторным форму-
лам: в этом случае можно положить t = (рх max(Zi, ...
..., /*))Л1(х). Последнее имеет место для арифметики элемен-
тарных по Кальмару функций и примитивно рекурсивной ариф-
метики.
336
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Скажем, что Т интерпретируется в Т' интерпретацией от-
сутствием контрпримера (ср. п. 1.4 гл. 2), если из Т Н F для
формулы F вида (1) следует существование термов t таких,
что T\-M'(t), где t содержат только свободные переменные
из F и fi, ..., fk (обозначение M'(t) введено перед теоремой 1).
Приводимое ниже следствие теоремы Эрбрана обобщает тео-
рему Бернайса о непротиворечивости.
4. Теорема. Пусть Т — теория в языке исчисления пре-
дикатов первого порядка с равенством, специфические аксиомы
которой имеют вид
yfzS(z), Vx3yR(x,y) (11)
для бескванторных S, R.
Пусть TQF — бескванторная теория с равенством и правилом
подстановки термов вместо свободных переменных, в которой
выводимы формулы
R(x, ф(х)), S(z) (12)
для некоторого функционального символа <р; пусть М — произ-
вольная бескванторная формула.
(а) Если Т Н М, то TQF М. В частности, если TQF содер-
жится в Т, то Т — консервативное расширение TQF.
(b) Если TQF замкнута относительно разбора случаев, то
Т \-Vu3vM (и, v) влечет TQF Н М (и, t) для некоторого t.
(с) Если TQF содержит свободные функциональные перемен-
ные и замкнута относительно разбора случаев, то Т интерпре-
тируется в TQF интерпретацией отсутствием контрпримера.
Доказательство. Пусть Т НVw3vA4(и, v). Тогда в ис-
числении предикатов выводима формула Vx3yR(x, у) Д\fzS(z)-+
-+\fu3vM(u, v), а следовательно, и VxR(x, f (х)) Д VzS(z)->
-+3vM(u, v), где f — новый функциональный символ. Вынося
кванторы вперед, применяя теорему Эрбрана и подставляя <р
из (12) вместо f, получаем, что выводима дизъюнкция
\f(R(rh Ф(г/))Д5(^)->Л1(и, /Д
i
Подставляя n, si вместо х и z в (12), получаем отсюда, что
в TQF выводима
V М (и, ti). (13)
Если М вообще не содержала и, v свободно, то все члены
этой дизъюнкции совпадают, и мы получаем (а). Если Т замк-
нута относительно разбора случаев, то, применяя (10), полу-
чаем (Ь). Наконец, чтобы получить (с), следует применить (Ь)
к формуле Рф.
ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
337
Пусть РА0 обозначает результат ограничения схемы индук-
ции в РА (со всеми примитивно рекурсивными функциями) бес-
кванторными предикатами.
5. Следствие. Система РА0 — консервативное расширение
бескванторной примитивно рекурсивной арифметики PRA. Бо-
лее того, выводимость хЗуМ(х, у) в РА0 влечет выводимость
М (х, ф (%)) в PRA для некоторой ср.
Доказательство. Запишем схему индукции в виде
V6 [А (0) Л (Vx < b) (А (х) -> A (sx)) -> А (&)]. (14)
Формула в квадратных скобках эквивалентна бесквантор-
ной, так что применима теорема 4. □
Сейчас мы установим гораздо более сильный результат, уси-
ливающий результат Парсонса [1]. Назовем П^-формулами
арифметические формулы, которые принадлежат классу 1Й с
точностью до вычеркивания ограниченных кванторов. Для каж-
дой П<- формулы А обозначим через А формулу из класса II],
которая получается из А продвижением ограниченных кванто-
ров с помощью преобразований
(Зх < /) У у А (х, у) У у (Зх < /) А (х, Ш (15)
и «склеивания» одноименных кванторов.
Ограниченными формулами назовем арифметические фор-
мулы, в которых все кванторы ограничены. Однокванторные
формулы — это по определению формулы без перемен кванто-
ров, т. е. такие, в которых неограниченные кванторы разного
знака не управляют друг другом.
Рассмотрим ослабленное правило -индукции
А (0); A(6)->A(s6)
А(&)
(16)
где А е Пг, а также правило Пг-сечения
А; А->В
В
(Cut П^),
где Belts’, a A = Vb(Bx <t) А' с А’ е П®. Преобразования
(15), по-видимому, не являются доказуемо эквивалентными в
РАо, поэтому замена А на А в заключении (посылке) правила
ослабляет (соответственно усиливает) его.
Пусть РА< = РАо A" IR Пг* A" Cut П<.
6. Теорема, (а) Система РА< — консервативное расши-
рение РАо относительно Ul-формул.
338
ДОБАВЛЕНИЕ 2
(Ь) Если формула УхЗуМ (х, у) с бескванторной М выво-
дима в РАо", то в примитивно рекурсивной арифметике PRA
выводима М (х, ф(х)) для некоторой примитивно рекурсивной
функции ф.
Доказательство, (а) Докажем сначала допустимость
IRII^. Обозначим через РАо*1 ограничение системы РА0 язы-
ком, в котором запрещены символы примитивно рекурсивных
функций, содержащие более чем п вложенных примитивных ре-
курсий.
(i) В системе РАо4-11 (для п 2) можно записать универ-
сальную функцию для термов системы РАо11 и доказать
ее основные свойства, в частности
утцг/п)^ (17)
для замкнутых термов t и аналогичное равенство для термов
с переменными.
(ii) Теоремы 2—4, 6 выводимы в PAq41. (Быстро растущие
функции нужны для приведения вывода к нормальной форме,
из которой затем извлекается эрбрановская дизъюнкция.)
(iii) С помощью (i), (ii) в PAort+l1, а тем более в РА0 выво-
дится принцип рефлексии для (бескванторных формул в) РА^1-
Prov^ (ф(х), ГЕ (х)“>) ->Е(х), (18)
где Е — бескванторная формула, Prov[rtl — предикат выводи-
мости в РАо”1, символика £(х) объяснена в главе 1.
(iv) В РА0 выводим ослабленный принцип рефлексии для
П^-формул в РАо”1:
Ргоу[п1(ф(х), гА(х)'1)->А, (19)
где А е Пг". Действительно, ввиду очевидной «монотонности»
преобразований (17) импликация А->Д доказуема в РАо”1 для
любой П^-формулы А, так что достаточно доказать обычный
принцип рефлексии
Prov™ (ф (х), гА (хГ) -> А (20)
для П°-формул А. Пусть A = V#BzR(x, у, г) с бескванторной
R. В силу (ii) из посылки (20) следует при п 4
Ргоу^+1ЧФ(х, у), г/?(х, у, 0(х, £/))“>)
для некоторых примитивно рекурсивных функций Ф, 0, что
в силу (18) дает /?(х, у, 0(х, у)), откуда получается А.
(v) Если посылки правила индукции по формуле А выво-
димы в некоторой системе, то вывод ф(х) формулы А(х) для
ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
339
любой конкретной цифры х — 0, 1, 2, ... состоит из примене-
ний правила сечения к упомянутым посылкам. Поэтому в
той же системе (если она содержит, скажем, PAq31) выводимо
Prov (ф (х), ГА (х)”1). Для обоснования допустимости правила
IRn< остается только применить (iv) к системе РА^1, где выво*
димы его посылки.
Рассмотрим теперь Cutlip. В силу В->В можно считать,
что ВеП2. В силу (20) можно «снять» с В кванторы всеобщ-
ности и считать, что В е S?. Пусть в РА0, т. е. в некоторой РАо*1,
выводимы формулы
А; А->В,
где для простоты записи считаем, что .
A = V&(3x</)V//BzW, У. *),
B = 3wN(w)
с бескванторными М, N. В силу выводимости А и следствия 5
в РА0 выводимы формулы
Af(&, х(&, у), (у)%(ь,у), v(&, //)); %(&, y)<t (21)
для некоторых функций Х, V. В силу выводимости формулы
А-+В и второй формы теоремы Эрбрана выводима формула
Л м (₽ь xh Yih Uii) л xt < tb [PJ -> V N (ITJ, (22)
i, i k
где Yij, Wk — термы, xit иц— переменные, причем 0/ (соот-
ветственно У,/) не содержит свободно переменных х/, иц (соот-
ветственно ult) для / < i.
Наша цель — найти такие подстановки вместо свободных
переменных в (21) и (22), которые позволят применить «на-
стоящее» сечение. Подставляя вместо иц в (22) терм v(p(-, У,/)
(см. (21)), мы получаем возможность не обращать внимания
на последние аргументы формулы М в (21) и (22).
В силу доказуемой в PRA эквивалентности Е (г) Л Е (s) *->
<->£(9), где 0 = (цх шах (г, s)) (Е(х) Л(х = г V х = s)),
можно заменить в (24) Д на Л- Итак, имеем
i.l i
М(Ь, %(Ь, у), (у)%(ь,у))-, %(b, y)<t, (23)
Д М(₽;, xh Y{)/\x{<tM^ VN(Wk). (24)
0<1<р к
Применим индукцию по р, чтобы установить выводимость
V N (9ft) для некоторых термов Qk, откуда и будет следовать
выводимость В.
340
ДОБАВЛЕНИЕ 2
Базис индукции (р = 0) очевиден. Для обоснования индук-
ционного перехода положим
Г^(Уо{О], .... FoKlPol-И>,
где подстановка в терм Уо производится вместо переменной х0.
Подставляя теперь У*—*У в (23) и xoi—>^(&0, У) в (24)
и производя сечение, уменьшаем р на 1, что и требовалось.
(Ь) получается из (а) и следствия 5. □
Рассмотрим следующее правило:
Л5-~1В (25)
где Л, а I обозначает А (0) Л(Ух<6)(Л(х)->Л(«х))->Л(&).
7. Теорема, (а) Правило lAA^ допустимо в РАо\
(Ь) Если формула Vx3yR(x, у) с бескванторной R выво-
дима в РА0 с однокванторной аксиомой индукции, то в PRA
выводима R(x, <р(х)) для некоторой ср.
Доказательство, (а) В присутствии посылки А 1В
для А, В е П< формула I доказуемо эквивалентна некоторой
П<-формуле, причем /(0) и 1(b) —I(sb) очевидным образом
выводимы. Применяем теорему 6(a).
(Ь) Для однокванторной формулы F формулы Л, В е Пг
такие, что (доказуемо в РА) Л -<-> 1В F, строятся очевид-
ным образом. Поэтому 1 для аксиомы индукции 1 по таким
формулам выводима в РА0. Применяем теорему 6(b). □
Теорема 7 позволяет следующим образом исключать индук-
цию из доказательств формул.
8. Следствие. Пусть А выводима в РА0 из Т&формул, вы*
водимых в РА<. Тогда А выводима в РА0.
Таким образом, устанавливаем выводимость в РА0 многих
теорем конструктивного анализа (включая теорему непрерыв*
ности эффективных операций) и элементарной теории моде-*
лей. □
ЛИТЕРАТУРА
Минц Г. Е.
1. Теорема Эрбрана. — В кн.: Математическая теория логического вы-
вода. М.: Наука, 1967, с. 311—350.
Парсонс (Parsons С.)
1. On a number-theoretic choice schema and its relation to induction.—
In: Intuitionism and Proof Theory/Ed. A. Kino, J. Myhill and R. E. Ves-
ley. Amsterdam: North-Holland, 1970, p. 459—473.
КАНОНИЧЕСКОЕ ДЕРЕВО ВЫВОДА
341
Добавление 3. КАНОНИЧЕСКОЕ ДЕРЕВО ВЫВОДА
ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
Г, Е. Минц
Мы опишем примитивно рекурсивную функцию Г, которая
по каждому предваренному предложению (т. е. замкнутой фор-
муле) А строит дерево ТА, и докажем универсальность ТА: если
А истинно или выводимо в классической арифметике с (о-прави-
лом, то ТА — вывод формулы А.
Выводимыми объектами рассматриваемой формулировки
арифметики являются секвенции, т. е. конечные списки пред-
варенных предложений, причем список Аь ...» Ап трактуется
как дизъюнкция А\ V ... V Ап.
Аксиомы — секвенции Г, Т, S, где Т — истинное бесквантор-
ное предложение, Г, 2 — списки формул.
Правила вывода:
BW, Г, ЗхВ ...
ЗхВ, Г
.. ( Г, В [2V], ... все N ,w.
“J----—!—! ;-----------(V)
УхВ, Г
-X-(F),
F, Г
где F — ложное бескванторное предложение.
Выводы по этим правилам будут представляться в виде бес-
конечных деревьев, точнее, в виде поддеревьев универсального
дерева
состоящего из (кодов) конечных последовательностей натураль-
ных чисел, упорядоченных по включению. Мы будем применять
символику из 3.1.7 гл. 1, в частности lh(<ao, .... ап))=п 4-1,
{а 0, • •, ап) * <&о, .... ьт) = (ао, ..., а„, Ьо, ..., bm).
Корень универсального дерева — пустая последовательность
< >, из корня выходят ребра, ведущие к узлам <0>, <1>, ...
и т. д. В общем случае из узла а выходят ребра, ведущие к уз-
лам а*<0>, а*<1> и т. д. Узел b выше, чем узел а (запись b id
id а), если Ь = а*с для непустой последовательности с.
Локально корректная (относительно некоторых постулатов)
фигура — это функция f, ставящая в соответствие каждому
узлу а универсального дерева либо число 0, указывающее, что
а пуст, т. е. не принадлежит рассматриваемой фигуре, либо
(число, кодирующее) информацию, включающую некоторую
342
ДОБАВЛЕНИЕ 3
секвенцию Sa и анализ указывающий, по какому посту-
лату эта секвенция получена (верхний индекс f мы часто бу-
дем опускать). При этом требуется, чтобы Sa была связана с со-
держимым непосредственно предшествующих узлов именно так,
как указано в анализе: если <>/a=(F), то Sa*<o> получается из
Sa вычеркиванием первого члена, причем он является ложной
бескванторной формулой, и Sa*(i> =0 для всех i > 0; если
^a = (V), то при каждом N секвенция Sa*^> получается из Sa
вычеркиванием первого члена VxB и добавлением сзади В[М]
и т. д. Далее, если f(a) = O, то f(a*<f>) = 0. Легко видеть, что
при естественной нумерации конъюнкция LC(f) всех этих ут-
верждений, выражающая локальную корректность фигуры f,
записывается в виде VxM (х, f), где М — примитивно рекурсив-
ная формула. Через X(f) обозначим последнюю секвенцию
S(f > дерева f.
Зададим дерево ТА следующим предписанием. В узел < >
помещается формула А. Если в узел а помещена секвенция S,
то в надлежащие непосредственно предшествующие узлы по-
мещаются посылки того (единственного) из правил (3), (V),
(F), по которому может получиться S. В случае (3) в качестве
N выбирается наименьшее натуральное число, еще не исполь-
зованное в данной ветви для формулы ЗхВ.
Пример 1. Л = 3х(х + 1 = 0).
(0, 0, 0, 0)
<0, 0, 0>
(0, 0)
<0>
ТА‘ О
________Зх(х+ 1=0)
1 + 1=0, Зх(х+1=0Г(3)
Зх(х +1=0)_______
0+1=0, Эх(х+1=о/ .
Зх(х+1=0)
Дерево ТА содержит бесконечную ветвь, состоящую из сек-
венций А и #+ 1 = 0, А, расположенных соответственно в уз-
лах <0, ..., 0> с четным и нечетным числом нулей.
Пример 2. B = "3xVy(x = 1 V У Ф 1).
,..0»1 V 1 I, В, (1 = 1 V 1) ... (акс)
Vy (1 = 1 V у 1), 0 = 1 V 1 + 1, В
(акс)В,0=1У0¥+ В,0=1 yi1; В, 0=1 у2=/=1 (акс);,..; В,0=1 У#+1¥=1...
Vy(0=l V у 1), В
Тв: 3xVy(x=l Vy¥= 1)
Дерево Тв имеет высоту 5.
КАНОНИЧЕСКОЕ ДЕРЕВО ВЫВОДА
343
Упражнение. Построить по образцу Тв дерево Тс, где
С = 3xVi/(/?x V П Ry) для бескванторной R, и убедиться, что
Тс имеет конечную высоту.
Вывод согласно некоторым постулатам определяется обыч-
но как локально корректная фундированная фигура, причем
условие фундированности задают в разных случаях по-разному:
в виде обобщенного индуктивного определения, в виде требова-
ния обрыва всех ветвей или с помощью назначения ординалов.
Будем рассматривать предложения вида
ЗхУух ... ЗхпЧупМ, (1)
где М — бескванторная формула. В дереве ТА кванторы суще-
ствования равномерно снимаются «исчерпывающим» образом,
т. е. вместо переменных представляются все натуральные числа
(если вывод не оборвется раньше). Опишем функцию, указы-
вающую. на какой высоте произойдет нужное снятие квантора.
Через |Г обозначим количество членов списка Г.
1. Л( чма. Пусть b— узел дерева TF (для некоторого
предложи шя F), содержащий секвенцию Г, Д, А, и пусть а вэ
id Ь — непустой узел дерева TF. Тогда:
(а) если lh(a)> lh(b) + 2|r|+1, то ниже а имеется пра-
вило с главной формулой А;
(Ь) если А^ЗхВ и lh(а) > lh(b) + ф(| Г ДА |, т),
где
ф(у, /П) = (2'п+1 - 1)(2у + D + 2m+1 - (/и+ 2), (2)
то ниже а имеется правило (3) с главной формулой Д, в кото-
ром вместо х подставляется т.
Доказательство. Будем прослеживать наше дерево
снизу вверх — от заключений правил к посылкам. Секвенция
CS за один или два шага (последнее — в случае, когда С начи-
нается с 3) переходит в ЯС'С". Поэтому секвенция ПД не
более чем за 2|П| шагов переходит в ДП, где IП| 21П|,
а затем применяется правило с главной формулой Д. Это дока-
зывает (а). Оценка |П|^2|П| показывает, что в качестве ср
из (Ь) можно взять любую функцию такую, что
<Р (Y, 0) 2у + 1 и (р (у, т + 1) Ф (2у + 1, т) + 2у + 1.
Функция (2) удовлетворяет этим условиям с = вместо
Ф (у, т + 1) - (2m+2 - 1) (2у + 1) + 2т+2 - (т + 3)
= (2т+* -1)(2.(2у+1)+1) + 2'п+1-(т + 2) + 2у+1
= ф(2у+ 1, /п) + 2у+ 1. □
344
ДОБАВЛЕНИЕ 3
Обозначим через (V), (3), (F) правила, отличающиеся от (V)>
(3), (F) лишь разрешением переставить члены в посылках и в
заключении. LC будет обозначать локальную корректность от-
носительно этих правил и аксиом Г, Т, S.
Основой дальнейшего является возможность вложения де-
рева ТА в любое локальное корректное дерево f с последней
формулой А, при котором отрезки переходят в отрезки и расту-
щие (не обрывающиеся слишком рано) ветви — в растущие
ветви.
Скажем, что дерево g вложено в дерево f с помощью функ-
ций Ви/, если для любого b такого, что g(b)=7^0, выполнены
условия
f (В (Ь)) #= 0; b 2 а ->В(Ь) 2 В (а); (3)
Ьэа A lh(b)> 1Ь(а) + /(а)->В(Ь)=эВ(а). (4)
Иными словами, функция В указывает образ В о) любого
узла b дерева g в дереве f:
При этом «указатель» В может «застревать» в точке В (а)
дерева f. Функция / оценивает число шагов, через которое ука-
затель обязан сместиться вверх.
2. Теорема. Имеются элементарный по Кальмару опера-
тор & и примитивно рекурсивный оператор ? такие, что из
lC (f) A A, (f) = А следует, что В = и J = / (f) вклады-
вают ТА в f.
Доказательство. Определим В (а) явно, a J (а) рекур-
сией по lh(а). Для каждого непустого узла b дерева f через
обозначим список (без повторений) анализов применений
правил в узлах, предшествующих b (исключая Ь), снабженных
информацией как о главных формулах этих применений, так и
о натуральных числах, подставляемых вместо переменных, свя-
занных кванторами, в ветви, ведущей к Ь. Аналогичный список
для узла с дерева ТА обозначим Положим
B(b) = max{c: lh(с)<lh(b) Л содержит ^с}> (5)
КАНОНИЧЕСКОЕ ДЕРЕВО ВЫВОДА
345-
где максимум берется согласно cz. Множество, описанное
в фигурных скобках, конечно. Обозначим и положим
j(b)=l, если = или содержит а, или а (3), (F).
Если эти условия нарушены и ае(F), полагаем J(Ь) = 21 Sl| — U
а если а я (3), то J(b)-=q>(|sl|,tf)( где ф — функция из леммы 1,
а К — натуральное число, подставляемое в правиле (В), при-
мененном в узле В(Ь). Теперь индукцией по lh(b) устанавли-
ваются свойства (3), (4) для g = TA и
$ь Sb (b)»
где S U означает, что секвенция U совпадает с S или полу-
чается из нее вычеркиванием некоторых членов, заменой неко-
торых подформул AN на УхАх и дописыванием ложных бес-
кванторных предложений. □
Если ON — некоторая система ординальных обозначений, то
WFON(f) будет означать, что для каждого непустого узла а де-
рева f информация f(a) включает число ha е ON, причем
Ла*(/)<(Аа для непустых узлов a*<i>. Отметим, что в интерес-
ных случаях ha оказывается больше, чем «классическая» вы-
сота поддерева с корнем а. Через h(f) обозначается высота АД
нижнего узла < >. Формула WFON(f) принадлежит классу
n°(ON). Будем считать, что на ON заданы функции сложения
и умножения, удовлетворяющие обычным определяющим равен-
ствам и обладающие обычными свойствами. Построим опера-
тор переноса (с увеличением не более чем в со раз) ординалов
с произвольного локально корректного дерева f на ТА. Дока-
зательство приводимой ниже теоремы показывает в действи-
тельности, что для порядкового типа тд дерева ТА (как частич-
но упорядоченного множества) выполняется неравенство тд
сот;, где f — любое локально корректное дерево с нижней
формулой А.
Определим экстенсиональное равенство деревьев как равен-
ство «основной информации», f *= g означает
Va [(/ (а) ¥= 0 g (а) 0) Л Sfa = Sf Л -=
3. Теорема. Имеется примитивно рекурсивный оператор D
такой, что для любого f
LC(f)AMf) = ^A WFON(f)
-> [Df] = ТА /\ WFON ([Df ]) Л h ([Df] (f).
Доказательство. Пусть выполнено условие нашей тео-
ремы. Найдем, согласно теореме 2, функции В, J, вкладываю-
щие ТА в /. Расстановка ординалов в ТА начинается снизу»
346
ДОБАВЛЕНИЕ 3
Полагаем й<г> = со • >. Если й! уже определено, Т(а*</»=#0 и
В (а *</>)#= В (а), то полагаем hl* (i> = со • Ив (а * </». Если же
В(а * </>) = В(а), то полагаем Aar*<t> = co • йв(а)*<о> +/х(а), где
j"(a) = min{Z(b) + lh(b)— lh(a): b a'AB(b) = B(a)}. При
проверке условия возрастания ординалов в Т используется воз-
растание ординалов в /, соотношение /K^ft'-^co-ft + AZ^co-ft'
(для любого Af) и (4).
Покажем, как с помощью теоремы 3 получить известную
(Б ел якин [1]) оценку со- п для высот рекурсивных выводов
истинных (негативных) арифметических формул из П° U
4. Теорема. Пусть А — истинная замкнутая формула вида
(1) из n^US°- Тогда:
(а) имеется f (с графиком из П°) такая, что A,(f) = А Д h(f)=n;
(b) имеется g (с графиком из A„+i) такая, что g = ТА А
A h (g) = со • п.
Доказательство, (а) доказывается индукцией по п.
При п = 0 формула А — аксиома. Если А = ЗхВ(х), где Ве
П°, то для некоторого N формула B[AZ] истинна. Берем наи-
меньшее такое N и дописываем (3) снизу к выводу В [AZ], кото-
рый имеется по индукционному предположению. Для A = VxB
применяем (V). (Ь) Следует из (а) и теоремы 3.
Замечание. Несколько более точное вычисление показы-
вает, ЧТО При П > О МОЖНО ПОЛуЧИТЬ h(TA)<i Ы-П ДЛЯ А^%2п
и йг = со-п для .4еП2°п+1.
Эта оценка точна при п > 0, так как предикат «иметь ре-
курсивный вывод высоты меньше со-n» принадлежит классу
22п, а предикат «быть рекурсивным выводом высоты со-п»—•
классу Пгп+ь
Рассмотрим теперь индуктивное определение фундирован*
яости дерева. Пусть предикат W(f) вводится аксиомами
)) = 0->Г(/); ViT(M(a*<0))->^(f); (6)
W (f) Д Va (f (a) = 0 -> A (a)) A Va (Vi A (a * 0) -> A (a)) -> A « )). (7)
Формула (7) называется схемой бар-индукции: посылка
W(f) обеспечивает возможность индукции, второй конъюнктив-
ный член является базисом индукции, а третий — индукцион-
ным переходом.
Через ID обозначим здесь расширение гейтинговской ариф-
метики НА (со свободными функциональными переменными и
Х-оператором по индивидным переменным) предикатом W, ак-
сиомами (6), (7), аксиомой экстенсиональности Va(f(a) =
= gW)-+(W(f)*r^W(&))и правилами подстановки вместо функ-
КАНОНИЧЕСКОЕ ДЕРЕВО ВЫВОДА
347
циональных переменных, обеспечивающими общерекурсивную
замкнутость.
Следующее утверждение доказывается в ID.
5. Теорема. Если g вложена в f, то W(f) влечет W(g).
Следовательно, если предложение А выводимо, то W(TA).
Доказательство. Обозначим af = kzf(a^z). Сначала
индукцией по п доказываем утверждение
Va[lh(a)>n->r (aft)]-> IF (ft). (8}
Базис получается в силу °ft = ft, а индукционный пере-
ход— в силу (8). Теперь применяем бар-индукцию по f к пре-
дикату Л(а) = Vb(B(b) a-*lF(bg)). Базис f(a) = O очеви-
ден: в этом случае bg(< >) = g(b) = 0 в силу (3). В индукцион-
ном переходе посылка V/Д (а * (г)) эквивалентна Vb (В (Ь) а —>
—>-IF(bg)). Из последней формулы и (4) следует В(с)= а'АЬэ
гэ с Alh(b) lh(c) + /(c)-> W(bg). Отсюда и из (8) при п =
= /(с), ft = cg получаем А (с) для произвольного с, что и тре-
бовалось. □
Приводимый ниже аналог теоремы 4, принадлежащий
А. Г. Драгалину, требует дополнительного принципа, который
является обобщением принципа Маркова:
11W (D-> V (f). (MPW}
При этом квантор В в формулах вида (1) понимается как
«квазиосуществимость»: ЭхА означает ДУхДА.
6. Теорема. Для всякого истинного предложения А
вида (1) имеет место W(TA). Иными словами, A^W(Ta).
Доказательство. Докажем индукцией по п чуть более
общее утверждение: если b — узел дерева ТА и секвенция Sb со-
держит истинный член из n®|JSn> то 1^(ьТл). Базис п = 0 оче-
виден, так как тогда Sb — аксиома. В индукционном переходе
предположим сначала, что рассматриваемый истинный член
секвенции 5ь имеет вид ВхВ(х). Тогда квазиосуществимо чис-
ло пг, для которого истинно В(т). Предположим, что такое пг
осуществимо. В силу леммы 1 (Ь) ко всем непустым узлам
aob таким, что lh(a) lh(b)+ ф(|Sa|, т), применимо индук-
ционное предложение. В ейлу (10) получаем 1^(Тл) в предполо-
жении В(/п),что есть ! I W(bTA) в предположении Д УхД В(х).
Применение (MPW) дает W(bTA). В случае, когда истин-
ный член 5ь начинается с V, используем 1 (а) вместо 1 (Ь). □
Рассмотрим для полноты картины определение фундирован-
ности, выражающее на языке второго порядка условие обрыва
всех ветвей <р дерева f:
WF(f)^Vq>3xf(¥(x)) = 0,
348
ДОБАВЛЕНИЕ 4
где ф(х)=<ф(0), ф(х—1)>. Следующее утверждение до-
казывается в консервативном расширении примитивно рекур-
сивной арифметики. Оно .показывает, что достаточно длинные
ветви ф дерева ТА отображаются оператором $ из теоремы 2
в достаточно длинные ветви дерева f. Вместо ТА пишем просто Т.
7. Теорема. Имеется примитивно рекурсивный оператор
JC такой, что (в обозначениях Nk = [Л’/ф] (k), ф& = <рШ)
имеем-, если ЬС(/)Д K(f) = А, то для любых k, ф
тш =/= 0 -> lh (ВЫ) > k A f (В (фJ) =# 0. (9)
В частности, LC(f) A A(f)e A A WF(f)->WF(T).
Для доказательства зафиксируем ветвь ф дерева ТА и испра-
вим значения функции J из теоремы 2 на отрезках ветви ф так,
чтобы они стали минимальными: положим
/' (Z) = min {k : k < J (ф (/)) Д В (ф(Z + k)) о В (ф (/))}. (10)
Теперь определим оператор Л9 рекурсией:
М) = 0; Nk+x = Nk + J'(Nh\
после чего с помощью (3), (4) и (10) доказывается, что если
Т (фян-i) Ф 0, то
В (<P*+1) В (ф*) Д VZ (Nk < I < Nk+X -> В (ф (/)) = В (Ф*))> (11)
а затем (9) получается из (11). □
ЛИТЕРАТУРА
В е л я к и н Н. В.
1. Об одной полной системе классической арифметики. — Алгебра и ло-
гика, 1967, 6, № 2, с. 5—И.
Минц Г. Е.
1. Универсальность канонического дерева. — ДАН СССР, 1976, 227, № 4,
с. 808—811.
Добавление 4. СТУПЕНЧАТАЯ СЕМАНТИКА А. А. МАРКОВА
Г, Е. Минц
Здесь приводится формализованное изложение одного из
возможных вариантов ступенчатого построения семантики ариф-
метических формул по А. А. Маркову. Содержательные сообра-
жения, из которых исходил А. А. Марков, изложены, например,
в работах Маркова [1] — [3]. Основное внимание уделяется
формулам языка Я® (см. ниже), «почти не содержащим» кон-
структивных связок Э, V (точнее содержащим их только в
СТУПЕНЧАТАЯ СЕМАНТИКА А. А. МАРКОВА
849
применении к перечислимым предикатам). Общий случай сво-
дится к этому с помощью алгорифма выявления конструктив-
ной задачи.
По ходу изложения мы убедимся в том, что семантика Мар-
кова для Я© в определенном смысле совпадает с классической
семантикой.
А. А. Марков особенно подчеркивал две черты своего по-
строения конструктивной логики.
(i) Семантика строится «снизу вверх», ступенчатым обра-
зом, причем импликация (а тем самым и отрицание) уже истол-
кованных суждений определяется с помощью чисто дедуктив-
ных понятий.
(ii) Принцип Маркова в применении к формулам
языка Я© получает на основе (i) самостоятельное обоснование,
которое с формальной точки зрения имеет некоторые черты
сходства с появившимся гораздо позже методом Фридмана и
Драгалина.
Мы опишем последовательность арифметических языков Яо,
Яь •••, Яй>, Яо>+1, имеющих (за исключением Яо) ту же выра-
зительную силу, что и соответствующие «буквенно-словарные»
языки А. А. Маркова, и понятие истинности Va для языков Яа,
эквивалентное марковскому. Предикаты Va для a 2 опреде-
ляются в языке арифметики, а для а^З — в языке, содержа-
щем предикат фундированности, вводимый обобщенным индук-
тивным определением. Схема
VM+-A, (1а>
выражающая эквивалентность истинности по Маркову и интуи-
тивной истинности, доказывается для а 2 в НА- (гейтингов-
ская арифметика с бескванторной индукцией). Для а 3 ис-
пользуется схема бар-индукции и обобщенный принцип Мар-
кова, позволяющий снимать двойное отрицание с утверждений
о фундированности.
0. Язык Яо-Герлы строятся из переменных и константы 0 с
помощью констант для элементарных по Кальмару функций (ко-
торые в свою очередь строятся из констант, проекций, +, X и
[а/b] с помощью ограниченного суммирования, ограниченного
умножения и подстановок).
Элементарные формулы имеют вид t = г, t=£ г, где t, г — -
термы. Остальные формулы строятся из элементарных с по-
мощью V, А и ограниченных кванторов (Эх /), (Vx < /).
Истинность предложений (т. е. замкнутых формул) языка Я»
определяется индуктивно. Формула t — г истинна, если (число-
вые) значения термов t и г совпадают, а формула истин-
на, если эти значения различны. Истинность формулы А/\В
350
ДОБАВЛЕНИЕ 4
означает истинность обеих формул А, В. Истинность формулы
А V В означает возможность указания истинной формулы, со-
впадающей с одной из формул А, В. Истинность формулы
{Зх^/)Ах означает возможность указать натуральное числом,
не превосходящее значения терма t и такое, что истинна Ап.
Аналогично, истинность (Vx^f)Ax означает, что Ап истинна
для любого натурального п, не превосходящего значения
терма t.
Известный алгорифм «сворачивания» формул, не содержа-
щих неограниченных кванторов, в равенства (использующий
шаги вроде (Vx /) (f (х) = 0)н-> f(x) = OA позволяет задать
t /
примитивно рекурсивный предикат V0(A), удовлетворяющий
описанному индуктивному определению и эквивалентности
Vo(A)-^ А для А (= Яо-
Замечание. Выразительная сила нашего языка Яо боль-
ше, чем у соответствующего языка А. А. Маркова, который под-
черкивал «семиотический» характер своего Яо, но мы сохранили
основные черты: употребление только ограниченных кванторов
и достаточность для задания предиката «быть протоколом вы-
числения».
1. Язык Яь Ягформулы строятся из Яо-формул с помощью
A, V, 3. Истинность определяется индуктивно с естествен-
ными пунктами для A, V, 3. Например, истинность формулы
ЗхАх означает возможность указать натуральное число м, для
которого истинна Ап.
Таким образом, Ягформулы задают перечислимые преди-
каты, и Ягистинность эквивалентна выводимости в системе Si,
аксиомами которой являются истинные Яо-формулы, а прави-
лами вывода — А-, V-, 3-введение:
Л; В ; --------(i = Q, 1); .
А /\ В Ао V Ai ЗхАх
Таким образом, можно положить (A) s 3xProvi (х, А),
где Provi — предикат доказуемости в Si, и доказать 16 (А )•«->-А
индукцией по построению А.
2. Язык Я2. ^-формулы строятся из Ягформул с помощью
однократного применения импликации -> и неограниченного
применения A, V. Точнее, (А->В) является Яг-формулой
только в случае, когда А, В — Ягформулы, a VxA, А/\ В яв-
ляются Яг-формулами для произвольных Яг-формул А, В.
Истинность Яг-конъюнкций определяется естественным об-
разом, истинность формулы VxAx означает наличие общего
метода, позволяющего убедиться в истинности формулы Ап при
любом натуральном п.
СТУПЕНЧАТАЯ СЕМАНТИКА А. А. МАРКОВА
351
Наконец, истинность импликации А->В означает допусти-
мость правила
А
В
в системе Si, т. е. наличие общего метода (алгорифма), позво-
ляющего по всякому выводу формулы А в Si построить вывод
формулы В в Si.
Чтобы записать в языке арифметики предикат У2, обозна-
чим через А' результат вынесения вперед всех кванторов все-
общности из формулы А и сворачивания их в один с помощью
спаривающих функций. Для А <= Я2 имеем
••• Л(Л/->В/)), (2)
где Аь ВгеЯь Таким образом, Vi (Я/) Эу{^{ (х, z/z), где
^t{x, z/i)s=Prov(«/t-, гЛг(хР). Точно так же 71(Вг)^Зг^Дх, гг).
Положим
У.ДЛ^Ух^МДо)
Л ЗеУуЗг (х> (^)) V т ((е)г, (у){, (г)г)
Л^г(х, [/((г),))]’). (3>
Здесь Т и U взяты из теоремы Клини о нормальной форме,
{е}(х)х= [/(цг/Т(е, х, у)), С* означает Ко (С) для С е Яо, а
ky(y)i— обычная функция выделения Z-го члена конечной по-
следовательности. В НА- в силу (1), свойств упомянутых функ-
ций и эквивалентностей
(Эу^(у) 3z® {z))^y3z (st (у)^»£ (г));
(4)
Vz/3z^(y, г) ЗеУуЗг (Г (е, у, z)/\<& (у, U (г)))
для ??еЯо (в (4) берем {е} (у) = цгф (у, z)) имеем
У2(Д)-<->-Д'. Ввиду Д'-<->Д получаем (1).
Замечание. Используя тот же прием, что в (4), можно
средствами НА- привести У2(Д) к эквивалентному виду
ЗеУхЗу^, где е Яо- Этот вид менее обозрим, но в большей
степени соответствует пониманию квантора всеобщности в фор-
муле VxFx как указания на наличие единого общего метода е,
строящего по каждому х обоснование Fx.
Рассмотрим теперь обычные правила натурального исчис-
ления, включая ©-варианты правил V-введения и 3-удаления.
352
ДОБАВЛЕНИЕ 4
Они формулируются в терминах секвенций Г НА, где Г —ко-
нечное множество формул, А — формула.
(Л+)ГНЛ;?2-В
Г2 И А Л В
<V+) rif Г(/д0> °
Г f— До V
(g+'j Г Н Дп
Х 7 Г Н Эх Ах
/ ?+) Д°Г НВ
v 'гнд-*в
/w+'j • • • Г Н Д [и]. . t
Г Н VxA
(пт)
л‘ 0 = 0, О
г Н Al
zv-\ Г нд V В; Д2 НС; BQHC
' ' T2Q Н С
\ Г |— ЗхА;...; Д [д] S |— С;...
k Г2 Н С
/ \ Г Н Д В; 2 Н Д
; rsнВ
(у-) г н ^хА
ГНД[П1
Г Н п П ЗхА
ГН ЗхД
Л° в правиле ->-+ указывает, что возможно отсутствие фор-*
мулы А в пЛеылке. Напомним, что ЗхЛ(= Яш влечет А бЯь
Аксиомы: ГРН£; Г Н Т, где Т — истинная замкнутая
Яо-формула, F — ложная замкнутая Яо-формула, Е — произ-
вольная Яо-формула.
\В означает В->0 = 1.
Локальная корректность дерева f относительно правил на-
турального исчисления определяется так же, как в Добавлении
3 (для правил 3, V, F), и обозначается посредством LCN(/).
Введем предикаты выводимости для деревьев и секвенций:
Der(f)^LCN(f)Ar(f);
Der (S) = Зе [Der ({е}) A A ({e}) = S А УаЗуГ (e, a, y)]-t
Der(f, S) = Der(f)AMf)^S,
где подразумевается, что предикат фундированности W(f) вве-
ден обобщенным индуктивным определением. Последнее озна-
чает, что рассуждения, где участвует этот предикат, будут
оформляться в системе ID из Добавления 3, т. е. НА плюс
аксиомы (6), (7) Добавления 3. Der" обозначает результат до-
бавления к Der условия: все формулы, входящие в рассматри-
ваемый вывод, принадлежат Яп и при п < 3 в выводе не при-
меняется правило (~П“).
Замечание. А. А. Марков оформлял индуктивное опреде-
ление вывода и соответствующий принцип бар-индукции не-
сколько иным (но эквивалентным нашему) способом: «индук-
СТУПЕНЧАТАЯ СЕМАНТИКА А. А. МАРКОВА
353
ционный переход» состоял из стольких пунктов, сколько было
правил исчисления.
Назовем натуральный вывод (т. е. фигуру f такую, что
Der(f)) нормальным, если главная формула никакого правила
удаления, кроме г, не получается ни по правилу введения,
ни по правилам V-, В-удаления. Norm(f) будет означать, что
f — нормальный вывод.
Теорема о нормализации. Всякий натуральный вы-
вод f можно привести к нормальной форме |f|. При этом
Der"(f)->Dern(|f|).
Мы не будем воспроизводить доказательство этого утверж-
дения: оно проводится в ID по аналогии с главой 1.
2.1 Лемма, (а) УДА)«-> Der"(A);
(b) DeHA, ..., Ak^A)AVn(AlA ... АЛ)->У„(4) для
предложений Аь ..., А> А е Яп.
При этом импликации 3eF(е)3dG(d) в (а) реализуются
примитивно рекурсивными функциями гр: F(e)-> G(qp(e)) и ана-
логично для (Ь).
В данный момент формулировка этой леммы осмысленна
только для и 2, так как Vn определен только для этих п.
Для п = 0 лемма очевидна, так как выводимость секвенции
А[, ..., Ak~>A означает, что она есть аксиома. Для п = 1 ис-
пользуется эквивалентность и предиката выводимости в си-
стеме Si.
Импликация У2(А)->Der2(Л) для (а) устанавливается ин-
дукцией по построению формулы А. Точнее, вывод секвенции
->А, нужный для обоснования Der2(А), строится рекурсией по
А с использованием информации, содержащейся в V2(A). Рас-
смотрим для простоты записи случай
А = Vx((3^i^i(x, «л)-> (х, Z]))
Л (Зг/2^2 (х, у2) -* 3z2^2 (х, z2))).
Обозначим е, s= Лх А«/,цг> [ (П^г- (х,«/,) Л z, = 0) V (х, zi) ],
i= 1, 2, где Axt обозначает гёделев номер частично рекурсив-
ной функции kxt. Легко показать (в НА-), что из А (а тем са-
мым из т/2(А)) следует, что {ej—всюду определенные функ-
ции, а с их помощью очевидным образом строятся выводы
секвенций
Эу^(п, уЛ Н 3Zi$(n, zt) (5)
для любой цифры п, а из выводов секвенций (5) с помощью
правил —>+, V+ строится вывод формулы А.
Импликация Der2(A)-> V2(A) доказывается аналогично: из
нормального вывода формулы А легко извлекается информа-
ция, нужная для обоснования V2(A).
354
ДОБАВЛЕНИЕ 4
Утверждение (b) получается из (а). Вывод секвенции Aif ...
..., Ak\~ А имеет вид, указанный слева, и мы преобразуем его
к виду, указанному справа, вычеркивая формулы At слева от
стрелки и дописывая над бывшими аксиомами выводы формул
Л/, которые извлекаются из вывода формулы А\7\ ... АЛ*,
существующего в силу (а).
Затем снова применяем (а).
3. Язык Ял+1(п^2). Пусть же определены языки Я/ для
i п, понятия истинности для этих языков и установлено, что
имеет место лемма 2.1л. Ял+гформулы строятся из Ял-формул
с помощью однократного применения импликации и неограни-
ченного применения A, V. Истинность А", V-формул опреде-
ляется так же, как и раньше. Истинность импликации Л->В
для случая, когда она не является Ял-формулой, определяется
как выводимость В из Л по правилам натурального исчисления.
Иными словами,
Уп+1(Л->В) = Оег"(Л НВ).
Подразумевается, что квантор по формулам обозначает
квантор по их номерам. Предикат Vn+i для произвольных
Ял-формул Л определяется теперь тем же методом, что пре-
дикат V2. Формула Л приводится к виду (2), где теперь Aif
Bi е Ял, а затем все выводы {ej секвенций Л/ Н В/ объеди-
няются в один вывод е:
Ух (Vn (Ло) А Зе (Vi: Der" ({(e)J, At H BJ). (6)
Точки над формулами имеют тот же смысл, что в гл. 5: ? озна-
чает sub(rFn, num(x)), т. е. номер результата подстановки
цифры 0(х) вместо переменной х. Наконец, используя преобра-
зование
УхЭеВ (х, е) ЭеУхЭг [Т (е, х, z) A F (х, U (г))] (7)
для вынесения кванторов существования из (6) и записывая
У«(Ло) в виде 3eQT(xt е0), полагаем
Ул+1(Л) = Эе¥хЭг[Г(е, х, г) А V (х, (tf (z))0)
А (VZ: 1 < i < Z) Der" ({(Z7 (z))J, А, Н В,)]. (8)
СТУПЕНЧАТАЯ СЕМАНТИКА А. А. МАРКОВА
355
Замечание. А. А. Марков определял истинность Яп+гфор-
мулы А Н В через выводимость В из А и истинных Я«-формул,
не накладывая ограничений на число таких формул. При этом
он использовал правила, отличные от правил натурального ис-
числения. Наше определение по существу эквивалентно опреде-
лению, данному А. А. Марковым, ввиду леммы 2.1Л и того об-
стоятельства, что правила А. А. Маркова производны (т. е. мо-
делируются с помощью «вставок») в натуральном исчислении.
Чтобы придать нашей последовательности определений за-
конченный вид, мы должны еще вывести лемму 2.1^ из 2.1Л_ь
Импликация Vn(A)->Der"(А) устанавливается аналогично слу-
чаю п = 2. Из Vn(A) для формулы А вида (2) извлекаются
(с учетом (6)) выводы импликаций Ai-+Bi (где тильда обо-
значает подстановку произвольной цифры вместо х) и обосно-
вание Vn-i (Л'о), откуда в силу леммы 2.1л-1 (а) получается вы-
вод Ао. Вместе эти выводы дают вывод формулы А.
Для обоснования обратной импликации заметим, что свой-
ство подформульности в нормальном выводе может нарушать-
ся разве лишь в применениях правила П-. Главные формулы
этих правил принадлежат Яз, поэтому для п #= 3 нормальный
вывод секвенции Аь ..., Ak~+B при Аь ..., Ak, В е Яп-i
удовлетворяет условию Der"-1. [Для п = 3 это не так из-за
появления в Der3 «лишнего» правила (ПП“).] Поэтому из нор-
мального вывода формулы АеЯ« при п#=3 легко извлекается
информация, нужная для обоснования Vn(A). Действительно,
для формулы А вида (2) мы примитивно рекурсивно получаем
нормальные выводы секвенций и формулы Ао, которые
удовлетворяют условию Der"-1. Применяя лемму 2.1Л-ь полу-
чаем Vn(A).
Для аналогичного обоснования импликации Der3(A)-> Г3(А)
осталось доказать следующее утверждение.
3.1. Теорема (обоснование принципа Маркова), (а) Если
Ai, ..., Ak — предложения языка Я2, А, 0 —- предложения
языка Яъ Der2(f) A (A(f) = Аь ... , Аъ ”1 А Н 0) A Norm (f),
то Der2(Ab ..., А*->0 V А);
(Ь) (Аь ..., А*, С е Я2) A Der3(Ab ..., А*НС)->
—>Der2(Ab ..., AfehC);
(с) Der3 (А) -> V3 (А).
Доказательство, (а) Допишем А дизъюнктивно к сук-
цедентам всех секвенций, входящих в вывод, и вычеркнем ПА
из антецедентов. После этого можно сделать «вставки» для всех
правил, кроме V+, ->+« Например: аксиома Г, ПА Н 0 перей-
356
ДОБАВЛЕНИЕ 4
дет в секвенцию Г Н 0 V А, которая получается из аксиомы
Г Н 0 по правилу V+. Правило перейдет в фигуру .
(С-»Р)Ь ((?-»£>); СЬС
(С-»Р>, С\-Р
Г->(С-»Р)У0; (C-»D), CHPV0; 0 Н Z> V 0
S F С V 0;ГС Н £> V 0;0 Н Д V 0
ГЕ Н D V 0
Так как правила V+, ->+, не применяются в силу нор-
мальности вывода f и отсутствия у его последней секвенции по-
ложительных подформул с главными знаками V, то резуль-
тирующая фигура снова будет выводом, так что (а) доказано.
(Ь) Применим бар-индукцию по данному нормальному вы-
воду секвенции At, .Н С. Будем считать, что всякое при-
менение правила (ПП-) в f непосредственно следует за ->+.
Базис и индукционный переход в случае, когда f не кончается
правилом (ПП-), очевидны. Если f кончается правилом
(ПТ), то в силу нормальности f и нашего допущения приме-
ним (а), и обоснование индукционного перехода завершается
с помощью фигуры
Г н 0 = 1 V ЗхВ; 0 = 1 Н ЗхВ; ЭхВ F Эх В
Г Н ЭхВ
(с) Теперь можно рассуждать точно так же, как при п =# 3
в лемме 2.1«. □
Итак, определение предикатов Vn и доказательство леммы
2.1П закончено. При этом теорема 3.1 установлена без содержа-
тельного применения принципа Маркова. Следующее утверж-
дение использует обобщенный принцип Маркова.
3.2. Теорема. Для любой формулы А^Яп
(а) А->У„(Л); (Ь) У„(Л)->Л.
Доказательство, (а) В силу теоремы 6 Добавления 3
из А следует, что дерево ТА фундировано. Делая в правила
(V), (В), (F) вставки в натуральном исчислении (при интер-
претации списка Ai, ..., Ап как П(ПЛ1А ... (А'ПЛП) с ис-
пользованием доказуемого для А е Ял принципа ППЛ->-А),
нормализуя вывод и применяя 2.1 п, получаем искомое.
(Ь) Применяем 2.1„ (а) и бар-индукцию по выводу. Для
правила (ПТ) используется принцип Маркова. □
4. Язык Я». Полагаем Я(В=иЯ„ (n = 0, 1, ...).
п
5. Язык Я.4-1. Яи+1-формулы — это обычные формулы ариф-
метики первого порядка с (несущественным) ограничением на
МАЖОРАНТНАЯ СЕМАНТИКА Н. А. ШАНИНА
857
применение дизъюнкции. Они строятся из Я1 формул с помощью
Л, V, 3. Семантика Яа>+гформул вводится с помощью ал-
горифма выявления конструктивной задачи, доказуемо эквива-
лентного рекурсивной реализуемости (см. ниже), но имеющего
перед ней то преимущество, что он «не портит» формул, не со-
держащих конструктивной задачи.
Определение. Ш(/7)=/:', если F ® Яш. В противном
случае применим рекурсию по длине F.
Пусть Ш(Л) = Вы^м, Ш(б) = 3^, где Яш и кван-
торы Зи, 3v могут отсутствовать. Полагаем
Ш(Л Д В) = 3щ(^(/» Л &(j2w)Y,
Ш (Л -»В) = 3wVu(з^м->ЗхТ(щ, и, х) Л Vx(T(w, и, х)—>$(Ux)))\
Ul(yyAy) = 3wVy(3xT(w, у, х)Д Ух(Г(да, у, х)=> з£(£/х)));
Ul(3yAy)=3ws^(jlw, j2w), где Ш(Л) = Зыз/(ы, у).
Здесь /ь /2 — спаривающие функции, w — новая переменная,
Т, U — предикат и функция из теоремы Клини о нормальной
форме. Формула Л языка Яш+ь не являющаяся формулой языка
Яа>, считается истинной, если осуществимо натуральное число п
такое, что истинна формула з/n, где Ш(Л) = Виз^«.
Теорема. В НА- выводимо
Ш (Л)-*-> Зх (хг Л) (см. 4.3 гл. 5).
Доказательство. Для Л а Яш это — лемма 4.5 гл. 5.
В остальных случаях применяем индукцию по длине формулы Л,
используя тесную связь соотношений r(ii), r(iv), r(v), r(vi)
с соответствующими пунктами определения алгорифма Ш. □
" ЛИТЕРАТУРА
Марков А. А.
1. О логике конструктивной математики. — М.: Знание, 1972.
2. Essai de construction d’une logique de la mathematique constructive.—
Rev. Int. Phil., 1978, 98, № 4, p. 477—507.
3. Попытка построения логики конструктивной математики. — В кн.: Ис-
следования по теории алгоритмов и математической логике. М., 1976,
с. 3—31.
Добавление 5. МАЖОРАНТНАЯ СЕМАНТИКА Н. А. ШАНИНА
Г. Е. Минц
Основной замысел мажорантной семантики состоит в сопо-
ставлении каждой арифметической формуле F трансфинитной
последовательности {F“}, состоящей из формул гораздо мень-
шей сложности, таким образом, чтобы импликации Fa->-E
358
ДОБАВЛЕНИЕ 5
могли быть установлены средствами конструктивной матема-
тики плюс трансфинитная индукция по а. Такие формулы Fa
называются мажорантами формулы F, а сама F называется ис-
тинной формулой ранга а, если истинна формула Fa. Первым
шагом построения мажорант формулы F является применение
к ней алгорифма выявления конструктивной задачи (таков,
например, алгорифм Ш из предыдущего добавления, дополнен-
ный вставкой двойных отрицаний перед всеми В, кроме самого
внешнего), который сводит F к виду BxF', где F'— отрицатель-
ная формула, т. е. не содержит V, В. После этого преобра-
зуется, по существу, только формула F'. Поэтому в дальней-
шем мы определяем мажоранты только для отрицательных
формул.
Мажоранты будут иметь вид
BxVz/Bz^
(1)
с бескванторной (некоторые кванторы могут отсутствовать),
причем квантор В будет пониматься конструктивно. (В дей-
ствительности Н. А. Шанин пишет И Vz вместо Bz, но это
различие несущественно ввиду принимаемого им принципа Мар-
кова.) «Классические» существование и дизъюнкция вводятся
как сокращения:
ВхА = П Vx~]X; А V В = П(1 А А “1 В).
(2)
Конструкция мажорант основана на следующих соотноше-
ниях’:
(ЗхДхуС)«-> Эх (Ах V Эх Ах V С),
(Vx 1 Ах у С) ++ Vx(~| Ах у С),
QxQyAxy *-* QxA (Дх) (j2x), Q = V, 3,
(3)
(4)
(5)
BaVx [3zT (a, x, z) Д Va (T (e, x, a) -> AxU (a))] -> УхЗуАху, (6)
УхЗуАху -> BeVx [3zT (a, x, z) Д Va (T (a, x, a) -> AxU (a))]. (7)
Из них (3) — (6) выводимы в НА (т. е. НА с индукцией
только по бескванторным формулам), а (7) представляет со-
бой схему, называемую иногда тезисом Чёрча и обозначаемую
через СТ. Схема (3) позволяет «выносить» классический кван-
тор В вперед в виде конструктивного В, (5) — (7) дают воз-
можность «сворачивать» длинные цепочки конструктивных
кванторов, переставляя предварительно 3-кванторы вперед.
Уточним последнее замечание.
МАЖОРАНТНАЯ СЕМАНТИКА Н. А. ШАНИНА
350
1. Лемма. В НА
3xVyVz3«(/< (х, у, и)
А [К(х, У, г)->В(хШЛиШ(у)2 ... (t7(z)ft)(z/)ft+1])
I- Зх0Уу1Зх1Уу2... ’ЗхкУу1е+1Вх0у1х1у2... xkyk+h (8)
где К(х, у, z) = T((x\, (у)ь (z){) Л Т((х)2, <(z/)b (у)2), (z)2) Л ...
• •• /\Т((х)к, {(y)lt Ш, (z)k).
В НА" + СТ вместо Н можно поставить *->.
Доказательство проводится индукцией по k. □
Положим
(ЗиЗхЧ y3zs£uxyz)* = 3xVz/3z^/ (/\х) (/2х) yz (9)
(Vz/Зг может отсутствовать);
(V«V^3z^zf Vy3z^ (/!//) (j2y) z; (10)
(V/z3xVy3z^)* = 3xVy3z[7'(x, (!d\y),
а т (x, (iihy), (j2hy)) -► (iiiiy) (U (i2iiy)) (j2y)(/»], (11)
A* s А, если А не имеет ни одного из предыдущих видов. (12)
2. Лемма НА"|-Л*->Л; НА" + СТ Н А* ++ А.
Доказательство. (9), (10)—частные случаи (5), для
(12) все очевидно, (11) получается с помощью (6), (5) и (7)
(для доказательства эквивалентности). □
Будем использовать определение истинности 5.2 гл. 2 для
ЗУЗ-формул, т. е. формулу Тг+(а) вида 3xVy3z^(x, у, г, а)
с бескванторной такую, что в НА” выводимо
<р(а) Tr+(r<p(d)‘1) (13)
для любой формулы ф(а) вида Эм\/оЗш^(м, v, w, а) с бескван-
торной $ (некоторые кванторы могут отсутствовать). Построе-
ние в 5.2.1 гл. 2 таково, что выводимо
Тг+(гОи<р(и, dp)<->Q«Tr+ (гф(м, dp), QsV, 3, (14)
и потому в НА- + СТ выводимо
Tr+(rA“1)^>Tr+(rA'1), (14')
Тг+ С (ОиДмр) Qu Тг+ (г Л* (мр). (14")
Приводимое ниже определение приспособлено к ситуации,
когда задана некоторая система ординальных обозначений, в
которой ординалы кодируются натуральными числами, 0 коди-
руется числом 0 и имеется примитивно рекурсивная функция
л такая, что л(0) = 0 и для любого числа а =?= 0, кодирующего
360
ДОБАВЛЕНИЕ 5
ординал, функция ла — Хпл(а, п) перечисляет коды всех орди-
налов (3 < а. Такая ситуация имеет место для систем, исполь-
зуемых в теории доказательств (ординалы <ео, предикативные
ординалы <Го, ординальные диаграммы Такеути, системы Бух-
гольца) и для клиниевской системы О. Соответствующая схема
индукции по а имеет вид
А (0) A Va (Мп А (ла (n)) -> А (а)) -> VaX (а).
Будем рассматривать формулы А вида
BxjV#! ... 3xzVz/z3xz+1^
(15)
с бескванторной (некоторые кванторы могут отсутствовать)
и списки Г таких формул.
Через TQF обозначим дизъюнкцию всех бескванторных чле-
нов списка Г (напомним, что пустая дизъюнкция обозначает
ложь 0=1).
По теореме Клини о примитивной рекурсии определим при-
митивно рекурсивную функцию р, удовлетворяющую следую-
щим соотношениям:
р(гг-|, 6) = гг«рт, (16)
а для a =/= 0
p(r3«A(«), Г’, а)
= г(ЗмЗпТг+(р(гД(й), Г, 3«Д(ир, «л (га))))**'1, (17)
р(Г¥«Д(«), Г>, a)=qvM3ttTr+(pC-r, Д(«Г, (18)
р(г^, Г"1, а) = г(ЗпТг+ (р(Г, лй(п)))Г (19)
для бескванторной формулы зФ. Положим
Га = Тг+(р(гГ’1, а)). (20)
Формулу Аа назовем мажорантой ранга а формулы А.
Из (18) —(20), (14), (15) получаем для а У= б следующие
(не вполне строго сформулированные) соотношения, выводи-
мые в НА + СТ:
Если А в ЗхАх, Г, то Аа •*—► ЗмЗиА я“ где
А' = Л(й), Г, ЗхАх. (213)
Если A^VxAx, Г, то Аа «-> Vu3nA/Jl«<ге), где
А'^Г, А(й). (21 v)
Если А = г^, Г, то Аа «-> ЗпА/Я“ w, где Д'зГ>. (21)
МАЖОРАНТНАЯ СЕМАНТИКА Н. А. ШАНИНА
361
Докажем, например, (213).
Дв = Тг+(р (ГД'1, а))*->Тг+(г(ЗиЭпТг+(р(гД'"1, па(п)))р)
(17)
<—> ЗпЗиТг+ (р (ГД'‘|, ла(п))) зз ЗпЗ«Д/Я“(п).
(13), (14)
СТ здесь не использовался. Он нужен для (21v). □
Докажем монотонность мажорант
УпУД(Дя“("*гоДа) (22)
с помощью индукции по а.
Обозначим формулу (22) через F(a). Базис г(0) очевиден.
Допустим
VnF(np(n)). (23)
Чтобы получить F(p), возьмем произвольные п, Д, допустим
(24)
и докажем Д₽, рассматривая возможные случаи и полагая е =
зз лр(п).
1. A^3tM(zz), Г. Тогда имеем по (213) и индукционному
предположению
Д8 ЗтЗцД'я«(т); Д'я*(т) до д'*.
Отсюда
Л8 -> ЗмД'8 -> ЭпЗмД'яРw А3.
(21з)
2. Д^УмА(и), Г.
Д8 УиЗтД'яе(т> -> УмЗтД'8 VmA'8 -> УиЭпД/л₽(п) Де.
3. Asrf, Г.
Д8 ЗтА/яе ™ _> зтд'е <_> д'* _> Зпд'"э <«> дв. п
Будем использовать определения истинности для отрица-
тельных формул ограниченной сложности, т. е. формулы Trrt
такие, что для любой отрицательной формулы А (х)_ сложности
с единственной свободной переменной х в НА доказуемо
Л(х)*-> Тгп(гА(хр). (25)
В качестве меры сложности сошр(Д) для формул и списков
формул Д выберем длину самой длинной цепочки чередующих-
ся кванторов, так что пропозициональные связки П, V, /\ 12
12 Справочная книга, ч. IV
362
ДОБАВЛЕНИЕ 5
не меняют сложности, и в НА выводимо
Тг„ (г А О В1) Тг„ ГА-1) О Тг„ (ГВ‘|), 0 s А, V;
Тг„(г“] А1)-~-]Тг„(А); (2б)
Trrt+1 (rQxA (хр) Ох Тг„ (ГА(хр), О = V, 3;
Tr„(rQxQz/A(x, r/P)<->QxTrn(rQMU, */Р)
для формул А, В, <УуА(х, у) сложности
Распространим Тгя на списки формул, полагая
Tr„ (гAh ..., АР) Тг„ СЧ V ... V АР). (27)
Тогда из (26), (27) имеем
Тгп (гА, Гп) А V Тг„ (гГп). (28)
Докажем теперь, что Аа — действительно мажоранты. Если
Г = А ь ..., Ak, то уГ = Ai V ... УЛ.
3. Теорема.
(VA : comp (А) < k) (Д“ -> Trft (г Ап)). (29)
Применим индукцию по а. Базис а = б очевиден. Для обос-
нования индукционного перехода рассмотрим возможные слу-
чаи, предполагая а =/= б и обозначая е s ла(п).
1. А = 3«А(ц), Г. По индукционному предположению Д/8-*
—> Тг6 (ГА'8П). Отсюда имеем:
А“-«->-ЗпЗцА'8-> ЗпЗи Trft (rA'n) Зи Тг* (гА/‘1)
(21)
> Зи (А (м) V ЗхА (х) V Trft (гГп))
(28), (25) • •
ЗхА (х) V ТгА (гГп) ~ Тг6 (г Ап).
(3) .• (28)
2. А ез V«A (м), Г.
А“ ЧиЗп А 8 -> МиЗп Trft (г A''1) *->V« Тга (гА'п)
Vm (А« у Trft (гГп)) Viz (п 1 Аи У Trft (гГп))
VmAm V Тга (гГп) Trft (ГА‘1).
(4) • (28)
3. А^д г.
А“ Зп А'8 -> Зп Trft (г А"1) Trft (ГА"1)
*-> V Trft (гГ'1) Тг* (А).. □
МАЖОРАНТНАЯ СЕМАНТИКА Н. А. ШАНИНА
363
Сформулируем явно связь между доказуемостью и мажориро-
ванием.
4. Теорема. V Д (3f Prf (Д, f, а) *-> Да), где f пробегает
общерекурсивные функции.
Доказательство. Импликация от доказуемости к Да
без труда доказывается индукцией по а, так как пункты опре*
деления мажорант копируют правила вывода.
Обратное утверждение
VA(Ao ->3/Prf(A, f, а))
также устанавливается индукцией по а.
Базис: а = О, А“ *-> AQF и в качестве искомой функции f
можно выбрать аксиому.
Индукционный переход обосновывается разбором случаев.
1. A sb ЗиЛ (м), Г. Тогда Аа -«-> ЗгаЗ«А/£, где в = ла(га), А' =
= Л(й), Г, ЗиЛ(м). Строим функцию f' по индукционному
предположению, примененному к А', и дополняем ее до искомой
функции f применением правила (3):
f: Л(й), Г, ЗиЛ (и) 8
f: ЗиЛ (и), Г а
2. A = V/M(«), Г. Тогда А“ УмЗгаА'8, где в ss ла (га), A'=s
sf, Л(й). По индукционному предположению для каждого и
имеется функция f' такая, что Prf (A7, f'u, в). Применяя тезис
Чёрча, получаем, что имеется число е такое, что для каждого и
можно взять — Добавляя снизу применение правила
(V), получаем искомую f.
3. А = Г. Тогда А“ *-> ЗгаА8, и достаточно применить
индукционное предположение.
Действительно, Prf (Г«9/, g, р) влечет Prf (Г, g, р), где вывод
g — аксиома, если — истинное предложение; если же —
ложное предложение, то g получается из g вычеркиванием при-
менений правила (F), относящихся к «$$.
Теперь можно оценить ординалы р такие, что ЛР верно для
формул Л, доказуемых теми или иными формальными сред-
ствами, а также описать следующий «уровень разъяснения» по
Шанину. Т1(а) означает ниже схему трансфинитной индукции
по а:
Vy (VnA (л„ (у)) -> Л (у)) А р < а -> Л (р).
5. Т е о р е м а. (а) Если РА + TI (а) |— Л, то НА + TI (а) Н Л^
для некоторого р < е(а), где е(а) — первое s-число, большее а.
12*
364
ДОБАВЛЕНИЕ 5
В частности, РА Н А влечет НА Н АР для некоторого р < 80.
(Ь). Если А выводима в РА0 (т. е. РА с бескванторной ин-
дукцией), то НА НА* для некоторого & < <о.
Доказательство, (а) Выводимость в РА-|-Т1(а) вле-
чет в силу известной конструкции (воспроизведенной, например,
у Минца [1]) наличие вывода без сечения с (о-правилом вы-
соты у<е(а). По теореме 3 Добавления 3 отсюда следует
Prf(f, А, со-у) для некоторого f. Остается заметить, что со-у<
<е (а) и что импликация -> в предыдущей теореме требует
только индукции по а.
(Ь). Пусть А выводима в РА0. Как уже отмечалось в Добав-
лении 2, конъюнкция аксиом арифметики, включая бесквантор-
ную индукцию, эквивалентна формуле вида VzS(z) с бескван-
торной 5(г). Поэтому без индукции выводима формула вида
yzS(z)-> А. По теореме об устранимости сечения получаем
вывод секвенции ЗгП5(г), А без сечения, который перестраи-
вается в вывод формулы А с со-правилом (конечной высоты)
путем вычеркивания всех применений правила (3) к ЗгП^С?).
При этом не могут испортиться аксиомы, так как все формулы
'IS(АГ) ложны: именно при обосновании этого шага исполь-
зуютсй арифметические аксиомы из НА . Заметим, что спра-
ведлив аналог теоремы 3 добавления 3 для конечных выводов
без co-правила, дающий конечную оценку. Он использует аналог
леммы 1 Добавления 3, где утверждение (ii) требуется только
для подстановки термов, входящих в исходный вывод, а не про-
извольных натуральных чисел. Поэтому мы можем считать, что
полученный вывод формулы А построен по правилам (V), (3),
(F). Теперь получаем А* по предыдущей теореме. При этом
ввиду конечности k индукция не применяется. □
После редукции к ЗУЗ-виду Н. А. Шанин рассматривает
дальнейшее разъяснение, при котором требуется явная реали-
зация кванторов существования. Пусть 0 — некоторый класс
ббщерекурсивных функций. Скажем, что формула
3xVz/3z/?’(x, у, z) (30)
с бескванторной R является ©-истинной, если истинна некото-
рая формула вида
R(X, у, Z(y)), (31)
где-Х— натуральное число, Z — функция из класса 0. Подра-
зумевается квантор всеобщности по у. Очевидно, что формула
(31) является (после добавления квантора Vy) мажорантой
формулы (30). Очевидно также, что можно положить Z(y) =
= [izR(X, у, z), если X известен.
Пусть — бескванторное исчисление в языке, содержащем
символы для функций из 0, С?1,©)-обоснование формулы (30) —
МАЖОРАНТНАЯ СЕМАНТИКА Н. А. ШАНИНА
365
это тройка <Х, Z, d>, где d — вывод формулы (31) в исчисле-
нии
Если а— ординал, то обозначим через 0(a) класс функций,
определимых ординальной рекурсией по ординалам р < а:
fix, 0) = £(*),
fix, у) = <р(х, у, f(x, [ф(ж, «/)]у,р)>,
где [z] у, р = z, если z<^hz^[!b упорядочении по типу а,
и = 0 в противном случае.
Через ^(а) обозначим расширение примитивно рекурсивной
арифметики PRA символами и определяющими равенствами
для функций из 0(a), а также правилом индукции по ордина-
лам р < а.
6. Теорема, (а) Если РА -J- TI (а) Н А, то имеется
(^(в(а)), обоснование формулы АР для некоторого
Р < е(а).
(Ь) Если РА01— А, то имеется (PRA, PR) -обоснование фор-
мулы АР для некоторого р < со.
Доказательство. В силу теоремы 5 Добавления 5 мы
имеем вывод формулы АР вида (30) для подходящего р в под-
ходящем расширении системы НА . Применяя рекурсивную реа-
лизуемость (§ 4 гл. 5), находим для формулы_ (30) число X та-
кое, что в рассматриваемом расширении НА выводимо
V//3zR(X, //, г). (32)
Теперь (Ь) получается из теоремы 4 Добавления 2. Зай-
мемся утверждением (а). Чтобы построить функцию Z(y) и вы-
вод формулы (31) в бескванторном исчислении, применяем ту
же конструкцию, что в доказательстве теоремы 5. Строим вы-
вод формулы (32) без сечения с co-правилом. Высота у этого
вывода будет не больше оэ/(Р) для некоторого /<со, где
0О(Р) = Р> сд/+1(Р) = сд(0/(Р). Тем самым y<s(a), так как р<
<8(а). То, что эта фигура действительно является выводом,
доказывается в примитивно рекурсивной арифметике (при ус-
ловии, что вывод описан примитивно рекурсивно, см. Минц
[1]. Она заканчивается со-правилом
BzR (X, 0, z); 3zR (X, 1, г); ...; 3zR (X, z, г); ...
Vz/3?R(X, у, z)
Чтобы вычислить Z(z), поднимаемся по z-й ветви вывода, пока
не встретим применение
ЫС i, i)
BzRiX, i, г) ’'
vjis RiX, i, j) истинно, и полагаем Z(i) = /. Формально
«подъем по t-й ветви» оформляется в виде рекурсии по орди-
366
ДОБАВЛЕНИЕ 6
налу у. Между нижним со-правилом и рассматриваемым приме-
нением (3) могут встретиться лишь применения правила повто-
рения. Все это рассуждение оформляется в исчислении^(е(а)),
что дает искомое обоснование формулы А.
ЛИТЕРАТУРА
Минц Г. Е.
1. Трансфинитные разверти# арифметических формул. — Зап. научн. се-
минаров ЛОМИ АН СССР, 1974, 49, с. 51—66.
Шанир Н. А.
1. Об иерархии способов понимания суждений в конструктивной мате-
матике.—Тр. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 129. М.:
Наука, 1973, с. 203—266.
Добавление 6. РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНОЕ
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
КВАДРАТА В СЕБЯ
БЕЗ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
В. П. Оревков
Введение
Ниже будут доказаны следующие утверждения.
Теорема 1. Каково бы ни было конструктивное вещест-
венное число и, если 0 < и < 1 /2, то можно построить такое
локально равномерно непрерывное конструктивное отображе-
ние F квадрата [0, 1]Х[0,1] в себя, что для любой конструк-
тивной точки v этого квадрата
p(F(v), v) — u,
где р — евклидова метрика конструктивной плоскости.
Теорема 2. Можно построить равномерно непрерывное
конструктивное отображение квадрата [0, 1]Х[0, 1] в себя,
сдвигающее каждую конструктивную точку.
В работе Оревкова [1] был намечен план доказатель-
ства этих теорем. Подробное доказательство приведено в ра-
боте Оревкова [2], однако в этой работе много неточностей
(список исправлений дан в т. 93 Трудов Математического ин-
ститута АН СССР). Излагаемое доказательство принадлежит
конструктивному направлению в математике (CRA в термино-
логии 1.1 гл. 5) и отличается от предыдущего методическими
улучшениями и тем, что в нем не используется введенный
А, А. Марковым принцип конструктивного подбора.
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
36?
Основные черты конструктивного направления
в математике охарактеризованы в работе Маркова [2]. При-
ведем определения исходных понятий конструктивного мате-
матического анализа. Подробному изложению конструктивного
анализа посвящены работа Шанина [1] и книга Куш-
нера [1].
Под конструктивными последовательностями конструктив-
ных объектов понимаются алгорифмы, перерабатывающие на-
туральные числа в коды объектов (т. е. общерекурсивные функ-
ции, если объекты кодируются натуральными числами). Кон-
структивными вещественными числами называются, во-первых,
рациональные числа и, во-вторых, пары, состоящие из кода ка-
кой-нибудь конструктивной фундаментальной последователь-
ности ф рациональных чисел и кода регулятора сходимости в
себе последовательности ф, т. е. такой общерекурсивной функ-
ции ф, что при всех натуральных n, m и k
п ф(&) Д m ф(^)->| Ф(п) — ф(аи) ] < 2“\
При таком определении конструктивного вещественного чис-
ла можно построить алгорифм вычисления рационального при-
ближения с заданной точностью. Для предложенного в 5.3 гл. 5
определения конструктивного вещественного числа подобный
алгорифм построить нельзя.
Под конструктивными функциями, заданными на всей ве-
щественной оси, понимаются алгорифмы, перерабатывающие
конструктивные вещественные числа в конструктивные числа и
при этом равные числа в равные числа. Аналогично опреде-
ляются конструктивные функции, заданные на сегменте, много-
местные конструктивные функции, конструктивные отображе-
ния конечномерных пространств в себя и т. п. В дальнейшем
прилагательное «конструктивный» перед словами «последова-
тельность», «вещественное число», «точка», «функция», «ото-
бражение» и т. п. часто будет опускаться.
В 1967 г. профессор А. Рейтинг любезно сообщил автору,
что в работе Брауэра [1] показано, что теорема о непод-
вижной точке для квадрата не имеет места в интуиционистской
математике. При доказательстве этого утверждения
Л. Э. Я. Брауэр существенно использовал понятие свободно
становящейся последовательности. Таким образом, это доказа-
тельство нельзя непосредственно перенести в конструктивную
математику. В этой же работе Л. Э. Я. Брауэр приводит дока-
зательство, которое легко переносится в конструктивную
математику, следующего г-варианта теоремы о неподвижной
точке.
368
ДОБАВЛЕНИЕ 6
Каковы бы ни были рациональное положительное число е и
равномерно непрерывное отображение F квадрата I2 в себя,
можно построить такую точку v квадрата I2, что
p(F(t>), v)<e. (1)
Здесь и в дальнейшем посредством / обозначается сегмент
[О, 1], а посредством /2 — квадрат [0, 1 ]X[0, 1].
Другое конструктивное доказательство этого 8-варианта и
некоторых его обобщений приведены у Оревкова [3]. Эго
доказательство основано на формуле Эйлера — Пуанкаре —
Хопфа (см., например, Понтрягин [1]). Конструктивное до-
казательство е-варианта теоремы о неподвижной точке можно
также получить из подходящего классического доказательства
с помощью гёделевской интерпретации (12.4 гл. 5) или с по-
мощью работы Гельфонда [1].
Теоремы 1 и 2 не переносятся на одномерный случай. Это
вытекает из следующего утверждения (Марков [1], теоре-
ма 8.3).
Невозможно конструктивное отображение сегмента I в себя,
не имеющее на I неподвижных точек.
В работе Цейтина [1] (см. также Цейтин [2], § 4, тео-
рема 2) получено следующее усиление этого результата.
По любому конструктивному отображению f сегмента I в
себя можно построить такую конструктивную последователь-
ность ср рациональных чисел из I, что выполняются условия-.
(i) если можно указать регулятор сходимости ф в себе, то
ф сходится к неподвижной точке отображения f-,
(ii) неверно, что нельзя построить для ф регулятор сходи-
мости в себе.
В двумерном случае справедливо более слабое утвержде-
ние.
По любому конструктивному равномерно непрерывному ото-
бражению F квадрата I2 в себя можно построить такую кон-
структивную последовательность ф рациональных точек из I2,
что выполняются условия-.
(i) р (F (<р (п)), <р (п)) 0;
(ii) для любого положительного рационального 8 можно
указать такое натуральное k, что при всех щ <Z П2< ... < п*
min р(ф (пг), ф(п1+1))<е.
1 < i < k
Это утверждение следует из теоремы 1 работы Лифшица
[1]. При этом используется то обстоятельство, что задача на-
хождения неподвижных точек отображения F эквивалентна за-
даче нахождения точек, в которых достигается абсолютный мини-
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
369
мум функции g, при всех v из I2 удовлетворяющей равенству
g(v) = p(F(v), v).
Следует также заметить, что в классическом анализе усло-
вие (ii) эквивалентно условию Коши.
Важным источником формулировок конструктивных анало-
гов теоремы Брауэра о неподвижной точке является следующее
предложение (Гжегорчик [1], § 4, теорема 4) классиче-
ского рекурсивного анализа.
Какова бы ни была вычислимая равномерно непрерывная
функция f на сегменте I, если f принимает максимальное зна-
чение на I только в одной точке, то эта точка вычислима.
Конструктивные варианты этого предложения и его обобще-
ния на компакты приведены в работах Лифшица [1] и
Кушнера [2]. В частности, из теоремы 4 работы Лифшица
[1] вытекает следующее утверждение.
Каково бы ни было конструктивное равномерно непрерыв-
ное отображение F квадрата I2 в себя, если при всех положи-
тельных 6 можно указать такое положительное 8, что расстояние
между любыми точками v\ и и2 квадрата I2, удовлетворяю-
щими неравенству (1), меньше 6, то можно построить непод-
вижную точку отображения F.
Очевидно, что это утверждение справедливо и в случае сег-
мента.
В заключение заметим, что в формулировке теоремы 1
нельзя условие и < 1/2 заменить на условие и 1/2. Это выте-
кает из следующего утверждения.
Нельзя построить такое конструктивное отображение F
квадрата I2 в себя, что для любой точки v из I2
p(F(v), я) >1/2. (2)
Доказательство этого утверждения основано на следующих
предложениях:
1) конструктивные отображения квадрата в себя не имеют
конструктивных разрывов (см., например, Марков [1]);
2) каков бы ни был открытый круг S радиуса 1/2, если обе
координаты центра S отличны от 1/2 и расстояние от центра S
до любой вершины квадрата /2 не меньше 1/2, то множество
I2 — S несвязно.
§ 1. Основная лемма и доказательство теорем 1 и 2
Главную роль в доказательстве теорем 1 и 2 играет следую-
щее утверждение.
Основная лемма. Для любого рационального b из ин-
тервала (0,1/2) можно построить последовательность So, Si, ..,
370
ДОБАВЛЕНИЕ 6
открытых прямоугольников, последовательность Fq, Fi, ... ото-
бражений плоскости в себя и алгорифм а, удовлетворяющие
при всех натуральных пит следующим условиям'.
(а) стороны прямоугольника Sn параллельны координатным
осям, а координаты вершин рациональны',
(Ь) алгорифм а перерабатывает любую точку v из I2 в на-
туральное ЧиСЛО UVE Sa(v)‘,
(с) Fn — равномерно непрерывное отображение всей плоско-
сти в границу квадрата I2;
(d) если Sn имеет общую точку с какой-нибудь стороной I2,
то Fn отображает плоскость в эту сторону,
(е) если Sn и Sm имеют общую точку, то Fn совпадает с Fm
на Sn A
(f) если Sn имеет общую точку с какой-нибудь вертикаль-
ной стороной I2, то b не превосходит длины прямоугольника
/2А5и;
(g) если Sn имеет общую точку с какой-нибудь горизон-
тальной стороной I2, то Ь не превосходит высоты прямоуголь-
ника I2 A Sn-
Доказательству этой леммы посвящены §§ 2—4. Сейчас по-
кажем, как с помощью основной леммы получить доказатель-
ства теорем 1 и 2.
Пусть вещественное число и принадлежит интервалу (0,1/2).
Зафиксируем такое рациональное Ь, что
и^Ь < 1/2.
(1)
Предположим, что последовательности So, Si, ... ; Fq, F\f ...
и алгорифм а удовлетворяют условиям (a) —(g) основной
леммы.
Построим алгорифм G такой, что для любой точки и квад-
рата /2
G(v) = Fa{0)(v).
Из условий (Ь), (с) и (е) следует, что G является конструктив-
ным локально равномерно непрерывным отображением квад-
рата I2 на его границу.
Докажем три леммы.
Лемма 1.1. Каковы бы ни были рациональные числа а и
с, если а < с, то можно построить алгорифм R, при всяком ве-
щественном х удовлетворяющий следующим условиям:
(i) алгорифм R перерабатывает х в 0 или 1;
(ii) если R(x) = 0, то х < с;
(iii) если R(x)=l, то а<х,
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
371
Доказательство. Пусть натуральное т таково, что
c — a>2~m+l.
Построим такой алгорифм R, что для любого веществен-
ного х
п, . (О, если Dm (х) < с — 2~т,
(. 1 в противном случае,
где Dm — алгорифм вычисления рациональных приближений ве-
щественных чисел с точностью до 2~т. Очевидно, что алгорифм
R требуемый. □
Лемма 1.2. Пусть функция f, заданная на /, при любом
вещественном х из I удовлетворяет следующим условиям:
(i) — 6<f(x)<6;
(ii) если x<b, то —b^f(x)^O;
(iii) если х>1— Ь, то O^f(x)^b.
Тогда для всех х из I
О х — f (х) 1.
Доказательство. Пусть k — произвольное натуральное
число. Рассмотрим три случая:
1) 0==£х<6,
2) b — 2~* < х < 1 — Ь + 2-\
3) 1— b<x^ 1.
В каждом из этих случаев с помощью (1) получаем, что
— 2~k<x — f(x)< 1+2"*.
В силу леммы 1.1 это неравенство выполняется и при всех х
из I. Осталось перейти к пределу при k-^oo. ОД
Лемма 1.3. Какова бы ни была двухместная функция f,
если для любой точки v квадрата I2 выполняется неравенство
0<Н»)<26,
то для всякой v из I2 точка
v-f(v).(G(v)-(\/2, 1/2))
принадлежит I2.
Доказательство. Пусть точка (х, у) принадлежит квад?
рат’у I2. Построим такие функции и f2, что при всех г из I
y)-(G'(z, У)-1/2),
f2(2)-f(x, z)-(G2(x, г)—1/2),
где пара функций G1 и G2 является покоординатным пред-
ставлением отображения G. Очевидно, что функции /’ и
372
ДОБАВЛЕНИЕ 6
удовлетворяют условию (i) леммы 1.2. Предположим, что
г < Ь. Тогда из условий (Ь) и (f) вытекает, что
(Z, У) Sa (0, у).
Отсюда и из условий (d) и (е) следует, что f1 удовлетворяет
условию (ii) леммы 1.2. Аналогично получаем, что f1 удовлет-
воряет и условию (iii). Такими же рассуждениями, только за-
менив (f) на (g), докажем, что f2 удовлетворяет условиям (ii)
и (iii). Теперь осталось применить лемму 1.2. □
Вернемся к доказательствам теорем 1 и 2. Чтобы получить
теорему 1, нужно в лемме 1.3 в качестве f взять такую функ-
цию f, что для любой точки v из I2
f(v)~u/p(G(v), (1/2, 1/2)).
Для получения теоремы 2 построим последовательность
fo, fi, ... двухместных функций, удовлетворяющих при всех п
следующим условиям:
1) fn — равномерно непрерывная двухместная функция, за-
данная на всей плоскости;
2) вне прямоугольника Sn функция fn равна нулю;
3) для любой точки v из Sn
О < fn{v) <2~ п.
Используя полноту конструктивной прямой, построим также
такую функцию /, что для любой точки v
оо
/(и)==
1=0
Очевидно, что / равномерно непрерывна на всей плоскости и
что для любой точки v из I2
0< У(у)<2&.
Для любой точки v квадрата /2 и любого натурального I имеет
место равенство
(2)
Это равенство для рациональных точек следует из (Ь) и (е),
а на остальные точки в силу (с) продолжается по непрерыв-
ности. Из (2) вытекает равенство
Ho).G(u)=f ьш-Л(у). (3)
Чтобы получить теорему 2, возьмем в лемме 1.3 в качестве
f функцию J. Равномерная непрерывность полученного отобра-
жения I2 в себя следует из (с) и равномерной сходимости ряда,
стоящего в правой части равенства (3).
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
373
§ 2. Бесконечное дерево без конструктивных бесконечных
ветвей
В работе Клини [1] (см. также Клини и Весли [1],
§ 9, лемма 9.8) построен пример дерева, удовлетворяющего сле-
дующим условиям:
1) ограничено число ветвлений в каждом узле,
2) есть сколь угодно длинные ветви,
3) нет конструктивных бесконечных ветвей.
Другой пример такого дерева независимо построен в работе
Заславского [1], § 4. В конструкции последовательности
прямоугольников So, Si, ... основную роль будет играть пример
дерева, которое удовлетворяет тем же условиям и, кроме того,
дополнительным условиям, сформулированным ниже в лем-
мах 2.2 и 2.4. Перейдем к построению этого примера.
Мы будем пользоваться клиниевским предикатом 7\ (см.
Клини [2], § 57). Напомним, что для любых натуральных I
и т предикат 7\(/, т,/г) истинен не более чем для одного п и
что частично рекурсивная функция {е}, т. е. функция с гёделе-
вым номером е, определена в т тогда и только тогда, когда
можно построить такое п, что 7\(е, т,/г). Посредством 7\(т,/г)
будем обозначать предикат
Эх (х п А Т{ (т, т, х)).
Кортежем будем называть произвольное слово в алфавите
{О, 1, 2, 3, 4}. Пусть Р и Q — кортежи. Будем говорить, что О
является продолжением Р, и писать Р cz Q, если Р является на-
чалом Q и отличен от Q. Будем говорить, что Р левее Q, и пи-
сать Р <( Q, если длина Р равна длине Q и Р предшествует Q
при лексикографическом упорядочении слов в алфавите {0, 1,
2, 3, 4}. Длину кортежа Р будем обозначать посредством 1(Р).
Через (P)i при 1^/^/(Р) будем обозначать f-ю букву Р.
При i = 0 или i > /(Р) будем полагать (Р)х- = 0.
Кортеж Р будем называть регулярным, если выполняются
следующие условия:
1) в Р нет вхождений букв 0 и 4;
2) каково бы ни было /, если 1 ^/^/(Р) и 7\(/,/(Р)), то
(П = Д{/}(/)),
где $ — такая примитивно рекурсивная функция, что
( 3, если п = 1,
S (п) = < 1 , t
11, если /2=0=1.
374
ДОБАВЛЕНИЕ 6
Очевидно, что пустое слово Л является регулярным кортежем
и что множество регулярных кортежей разрешимо. Это множе-
ство и задает нужный нам пример бесконечного дерева без кон-
структивных бесконечных ветвей.
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Лемма 2.1. Каковы бы ни были кортежи Р и Q, если Р
регулярен и Q cz Р, то и Q регулярен.
Обозначим посредством Гп конечное множество таких на-
туральных Z, что
1 <Z A f\ (I, ti).
Лемма 2.2. При всех натуральных п число регулярных
п-членных кортежей нечетно.
Действительно, это число равно
Зп-1 г« I,
где | Г„|— мощность множества К □
Кортеж Р будем называть продолжимым, если можно ука-
зать такой регулярный кортеж Q, что Р cz Q. Кортеж Р будем
называть непродолжимым, если Р — регулярный кортеж, но ни
один из кортежей Pl, Р2 и РЗ не является регулярным.
Лемма 2.3. Каков бы ни был продолжимый кортеж Р,
число непродолжимых кортежей левее Р четно.
Доказательство. Пусть Р — продолжимый кортеж.
Обозначим посредством С1Р множество таких непродолжимых
кортежей Q, что
Z(Q) = Z(P)A(Q)z<(P)z
и, каково бы ни было /, если 1 < / < Z, то (Q)/ совпадает
с (Р)/. Через обозначим множество таких натуральных /, что
Z(P)),
а через Пр — множество таких /, что
Z </<Z(P) А Л(/, /, /(^)+1).
Нетрудно показать, что число непродолжимых кортежей ле-
вее Р равно
ЦР)
WI-
1^1
Осталось заметить, что при l^js^Z(P) число | Ср | четно.
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
375
В самом деле,
I о, если fi(i, 1(Р)),
|cj>| = если Tt(i, i, /(Р) + 1)Д (Р)^2,
[ ((Р)г - 1) • В1Р, если "] Л (Z, I (Р) + 1),
где
Ар 31 <р>“г'1I Вр^Ар — зг(Р)-г-|гр|-|пр|. п
Лемма 2.4. Какое бы ни был продолжимый кортеж Р,
число регулярных кортежей левее Р сравнимо по модулю 2 с
числом регулярных кортежей левее Р\.
Доказательство. Обозначим через k число непродол-
жимых кортежей левее Р, через п обозначим число регулярных
кортежей левее Р, а через m— число регулярных кортежей ле-
вее Р1. Нетрудно показать, что
n-k, если Л(/(Р)+ 1, /(Р)+ 1),
3(п-6), если ПЛ(/(Р)+1, /(Р)+1).
Отсюда и из леммы 2.3
получаем, что п = m(mod2).
□
§ 3. Построение последовательности So, Slf ...
Кортеж Р будем называть правильным, если в Р нет вхож-
дений букв 0 и 4. Построим такие алгорифмы 61 и 62, что
6i(A)^0
и для любого правильного кортежа Р
д1 (Рп) ~ б, (Р) + <Р) • (б + • 2 (п-1)), п = 1,2,3,
б2(Р)~б1(Р)+(^^)г(Р),
Лемма 3.1. Каковы бы ни были правильные кортежи Р и Q:
(i) если PczQ, то
6i(P)<Sl(Q)<62(Q)<62(P);
(ii) если l(P)=l(Q) и Р <(Q, то 62(Р) < 6i(Q).
Эта лемма доказывается индукцией по максимуму длин кор-
тежей Р и Q. □
Кортеж Р будем называть п-нормальным, если /(Р)^п и
выполняется одно из трех условий:
1) Р имеет вид Q0 или Q4, где Q — продолжимый кортеж;
376
ДОБАВЛЕНИЕ 6
2) Р — непродолжимый кортеж;
3) I(Р) = п и Р — регулярный кортеж.
Кортеж Р будем называть нормальным, если он 1(Р) -нор-
мален, и будем называть вполне нормальным, если он (/(P)-f-
+ 1)-нормален. Ясно, что множество вполне нормальных корте-
жей разрешимо.
Построим такие алгорифмы Ai и А2, что для любого продол-
жимого кортежа Р выполняются следующие условия:
1) Д( (А) А2 (Л) ~ 1+ b, А! (РО) ~ А1 (Р), Д2(Р4) ~ Д2(Р);
2) если все три кортежа Pl, Р2 и РЗ регулярны, то
А1(Р4)~62(РЗ),
A^Pl^MP), Д2(Р1)~б1(Р2),
Л1(Р2)~62(Р1), A2(P2)~di(P3),
А( (РЗ) ~ 62 (Р2), А2(РЗ)~б2(Р);
3) если ровно один из кортежей Pl, Р2 и РЗ регулярен,
то
Д1(Р4)~д2(Рп),
А,(Р/г)~6,(Р)(
А2(Р0)~д1(Р/г),
Д2 (Pn) ~ S2 (Р),
где п = 1, 2, 3 и кортеж Рп регулярен.
Из леммы 2.1 вытекает, что алгорифмы Aj и Д2 перерабаты-
вают каждый нормальный кортеж в рациональное число. С по-
мощью лемм 1.1 и 3.1 индукцией по длине кортежа Р можно
доказать следующее утверждение.
Лемма 3.2. Каков бы ни был продолжимый кортеж Р,
КАРХЕР), б2(Р)<А2(Р),
k
(AJP), А2(Р))= и (A1(QO a2(Q/)).
f=0
где Qo, Qb ..., Qk (k = 2, 4) — всё (/(P)4-l)-членные нормаль-
ные продолжения P.
Лемма 3.3. Каково бы ни было вещественное х, если х
принадлежит I, то можно построить такой алгорифм рх, что для
любого п выполняются следующие условия'.
(i) перерабатывает п в п-нормальный кортеж;
(ii) Px(ft+ 1) или совпадает с рх(п), или является его про-
должением;
(iii) Ai(px(n)) < х < А2(Рх(п)).
Доказательство. Алгорифм рх строится рекурсией поп.
Свойства (i) — (iii) доказываются индукцией по п. База оче-
видна, а индукционный переход следует из леммы 3.2. □
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
377
Лемма 3.4. Каково бы ни было вещественное число х, если
х принадлежит 1, то можно построить такой вполне нормаль-
ный кортеж Р, что
хе (АДР), А2(Р)).
Доказательство. Пусть х принадлежит I, и пусть рх —
алгорифм, о возможности построения которого говорится в лем-
ме 3.3. Построим такую общерекурсивную функцию <fx, что
Фл(«) = (Рх («))п-
Обозначим посредством ех гёделев номер функции <рх. По-
строим такое натуральное число kx, что Ti (ех, ех, kx). Обозна-
чим через Рх кортеж px(max(ex, kx)). Если кортеж Рх не яв-
ляется правильным или непродолжим, то он и будет требуе-
мым вполне нормальным кортежем. Так как кортеж Рх
max (ex,kx)-нормален, осталось привести к противоречию слу-
чай, когда 1(РХ) = max(ex, kx) и кортеж Рх регулярен. В этом
случае
(Рх)ех = s ({ех} (ех)) = s (<рх (ех)) = s ((рх (<\))eJ.
С другой стороны, по лемме 3.3 кортеж Рх или совпадает с
рх(вх) или является его продолжением и 1($х(ех)) = ех. Следо-
вательно,
(?x)ex = (Рлс (?хУ)ех.
Таким образом, мы получили противоречие с тем фактом, что
при всех п
s(ri) =Л п. □
Перейдем к построению последовательности So, Si, ... Эле-
ментами этой последовательности будут открытые прямоуголь-
ники вида
(At(P), A2(P))X(Ai(Q), A2(Q)),
где Р и Q — произвольные вполне нормальные кортежи. Пере-
числимость множества всех пар таких кортежей очевидна. Оче-
видно также, что выполняется условие (а) основной леммы.
Возможность построения алгорифма а, удовлетворяющего усло-
вию (Ь) этой леммы, вытекает из леммы 3.4. Условия (f) и (g)
следуют из того факта, что для любого вполне нормального
кортежа Р, отличного от 0 и 4,
ОСМРХДДРХ!
и что
£<А2(0), 6<1-А1(4),
378
ДОБАВЛЕНИЕ 6
§ 4. Построение последовательности Fo, Р|, ...
Обозначим через Ап множество таких рациональных чисел а,
что
Va = 62P), (1)
где Р — какой-нибудь «-членный регулярный кортеж, а 61 и 62
построены в начале § 3. Через Л» будем обозначать множество
О А/. Для любого а из Лто посредством й (а) будем обозна-
чать регулярный кортеж, удовлетворяющий условию (1). Из
леммы 3.1 следует единственность такого кортежа. Посредством
к(а) будем обозначать длину й(а). Рациональный сегмент [а, с]
будем называть неделимым, если а и с принадлежат Лоо, а < с
и внутри [а, с] нет точек из Лоо.
Из лемм 2.1 и 3.1 вытекает следующее утверждение.
Лемма 4.1. Каков бы ни был неделимый сегмент [а, с],
если х(а) =/= х(с), то выполняется одно из условий-.
(i) й(а)с=й(с), х(с) = х(а)-f-1, а = б|(й(а)) и с = б1(й(с));
(ii) й(с)а:й(а), х(а) = х(с) + 1, а = б2(й(а)) и с = б2(й(с)).
Лемма 4.2. Каковы бы ни были вполне нормальные кор-
тежи Р и Q, если интервалы (АДР), Д2(Р)) и (AJQ), A2(Q))
имеют общую точку, то замыкание /("((АДР), A2(P))n(Ai(Q),
A2(Q)) однозначно разбивается на конечное число неделимых
сегментов.
Доказательство. Из леммы 3.1 вытекает, что замыка-
ние /П(АДР), Д2(Р)) однозначно разбивается на конечное чис-
ло (не более трех) неделимых сегментов. Отсюда и следует
лемма 4.2. □
Построим такой алгорифм й, что для любого рациональ-
ного а и любого натурального п
Л(п,
где k — число n-членных регулярных кортежей Р, удовлетво-
ряющих неравенству 6ДР)< а.
Лемма 4.3. Каковы бы ни были неделимый сегмент [а, с]
и натуральное п, если п > тах(х(а),х(с)) или х(а)#= х(с),то
й(тах(п, х (а)), а) = й(тах(«, х(с)), с). (2)
Доказательство. Пусть выполнены условия леммы.
Покажем, что выполняется равенство
й(тах(п, х(с)), а) = й(тах(п, х(с)), с). (3)
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
379
В самом деле, предположим противное. Тогда
а = 6, (й (а)), х (а) = max (п, х (с)).
Отсюда и из леммы 4.1 вытекает, что
х(д) = х(с)^«.
Мы получили противоречие с условиями доказываемой леммы.
Следовательно, выполняется (3).
Если max(n, х(с)) = max(n, х(д)), то из (3) следует (2).
Поэтому осталось рассмотреть случай, когда max (я, х(с)) от-
лично от max(n, х(д)). В этом случае х(д)=5^х(с). Воспользо-
вавшись леммами 2.4, 3.1, 4.1 и тем фактом, что для любого
продолжимого кортежа Р число его (/(P)-f-1)-членных регу-
лярных продолжений нечетно, получим, что
й(тах(п, х(д)), a) = /i(max(n, х(с)), а).
Отсюда и из (3) вытекает (2). □
Построим алгорифмы Я1 и Н2 таким образом, чтобы для
любых точек а и с из Ах
| й(х(с)+1, а), если х(с)>х(д),
\а> с) I h(x(a), а), если х(с) <х(д),
Я2(д, с) = й(тах(х(д), х(с)), с).
Лемма 4.4. Каковы бы ни были неделимый сегмент [до, «1]
и точка с из Лоо, если х(с) тах(х(д0), x(fli)) или х(до)¥=
=/= x(ai), то
Я'(д0, с) = Я‘(Д1, с). (4)
Доказательство. Пусть выполнены условия леммы.
Если
х(с)max(х(д0), х(flj)) или min(x(fl0), х(Д])) > х(с),
то (4) следует из леммы 4.3. Допустим, что тах(х(д0), х(Д1))>
> х(с) тт(х(д0), х(Д1)). В этом случае х(до) отлично от
x(ai) и из леммы 4.1 вытекает, что
тах(х(д0), х(д1)) = т!п(х(д0), х(а1)) + 1 =х(с) + 1.
Следовательно,
Н1(ао, с) = й(х(с)+ 1, д0), Hl(alt с) = h(%(c) + 1, Д]).
Отсюда с помощью леммы 4.3 получаем (4). □
Замкнутый прямоугольник [дь ci]X[fl2, £г] будем называть
неделимым, если сегменты [дь cj и [дг, с2] неделимы.
380
ДОБАВЛЕНИЕ 6
Лемма 4.5. Для любого неделимого прямоугольника
[аь Ci]X[02, сг] выполняется одно из условий-.
(i) Н1(аь a2) = Hl(al, c2) = Hi(cl, c2) = H1(cl, а2),
(ii) Н2(ах, а2) — H2(alt c2) = H2(clt c2) = H2(clt a2).
Доказательство. Пусть [аь cj X[«2, c2] — неделимый
прямоугольник. Предположим, что тах(к(а2),к(с2)) <
< max(x(ai), x(ci)). Заметим, что в этом случае
max(x(a2), ^(с2)) < %(«i) или шах(х(а2), х(с2)) < х^).
Отсюда вытекает, что выполняется одно из равенств
Н' (ab с2) = Н' (аь а2), Н' (сь с2) = Н1 (сь а2). (5)
В силу леммы 4.3 также выполняется одно из равенств
Н2(аь a2) = H2(alt с2), Н2(съ а2) = Н2 (сь с2). (6)
Допустим, что x(ai) #= x(ci). Тогда по лемме 4.4 выпол-
няются равенства
Н1(аь с2) = с2), a2) = H'(clt а2). (7)
Этих равенств вместе с любыми из равенств (5) достаточно для
выполнения условия (i).
Допустим, что x(ai) = x(ci). Тогда выполняются равенства
/72(аь a2) = //2(cb а2), Н2(аъ с2) = Н2(съ с2). (8)
Эти равенства и любое из равенств (6) вместе дают условие
(ii).
Предположим, что max(x(a2), х(с2))^ max(x(ai), x(ci)).
В этом случае выполняется одно из равенств (8) и по лемме 4.4
одно из равенств (7). Допустим, что х(а2)#=х(с2). Тогда по
лемме 4.3 выполняются равенства (6) и, так как имеет место
одно из равенств (8), условие (ii). Если х(а2) совпадает
с х(с2), то выполняются равенства (5) и, следовательно, усло-
вие (i). □
Обозначим посредством S неделимый прямоугольник
[яь Ci]X[fl2, сг]. Поставим в соответствие прямоугольнику S
такой алгорифм F$, что для любой рациональной точки (а, с)
из S
FS(a, с) = /$(а1( c) + (Fs(c„ c)-Fs(ah c))--^-,
где для любых d и d' из Д»
'Fs(d, c) = H(d, aJ + tmd, c2)_H(d> a2))-7^
КОНСТРУКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА
381
и H(d, df) обозначает точку
(Hx(d,d'), H2(d,d')).
Из леммы 4.5 вытекает, что Fs отображает рациональные точки
прямоугольника S в одну из сторон квадрата /2. Очевидно, что
Fs равномерно непрерывно.
Пусть Sn — один из членов последовательности So, Si, ...
Разобьем замыкание /2Г|5Л, применив лемму 4.2, на неделимые
прямоугольники Sp ££, . -., S'k. Склеим отображения Fs', Fs^ ....
.Fsr в одно равномерно непрерывное отображение F'
k
рациональных точек из U S'2 U ... U S'k в границу квад-
рата А Такая склейка возможна, так как
Ps'{(v) = ps'^
для всех рациональных точек и из S'. Q S'(l^z, /^6). Те-
перь, чтобы построить нужное нам отображение Fn, достаточно
сначала продолжить F'n по непрерывности на все точки замы-
кания I2 П Sn, а затем и на всю плоскость, воспользовавшись
равномерно непрерывным отображением плоскости на замыка-
ние /2f]Sn, оставляющим точки из I2(]Sn неподвижными.
Ясно, что выполняется условие (с) основной леммы. Условие
(d) этой леммы следует из того факта, что для всех натураль-
ных п
0 = h(n, 0) = Л(п+ 1, Д2(0))
и что в силу леммы 2.2 при всех п
\=h(n, A1(4)) = ft(n, 1).
Условие (е) вытекает из леммы 4.2. Основная лемма доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Брауэр (Brouwer L. Е. J.)
1. Door klassieke theorema’s gesignaleerde pinkernen die onvindbaar zijn.—
Proc. Kon. ned. akad. wetensch. A, 1952, 55, p. 443—445 = Indag. math.
1952, 14, p. 443—445.
ГельфондМ. Г.
1. О соотношении классического и конструктивного вариантов построения
математического анализа. — Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР,
1972, 32, с. 5—11.
Гжегорчик (Grzegorczyk А.)
1. Computable functionals. — Fundam. math., 1955, 42, № 1, p. 168—202.
Заславский И. Д.
1. Некоторые свойства конструктивных вещественных чисел и конструк-
тивных функций. — Тр. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова,
67. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 385—457.
382
ДОБАВЛЕНИЕ 6
Клини (Kleene S. С.)
1. Recursive functions and intuitionistic mathematics. — Proc. Intern. Con-
gress Math. (Cambridge, Mass., 1950), 1952, 1, p. 679—685.
2. Introduction to Metamathematics. — Amsterdam: North-Holland, 1952.
[Русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.:
ИЛ, 1957.]
Клини, Весли (Kleene S. С., Vesley R. Е.)
1. The Foundations of Intuitionistic Mathematics, Especially in Relation to
Recursive Functions. — Amsterdam: North-Holland, 1965. [Русский пе-
ревод: Кл и н и С., Весли Р. Основания интуиционистской матема-
тики.— М.: Наука, 1978.]
Кушнер Б. А.
1. Лекции по конструктивному математическому, анализу. — М.: Наука,
1973.
2. О вычислении изолированных корней конструктивных функций. — Z.
math. Logik Grundl. Math., 1976, 22, S. 311—322.
Л и ф ш и ц В. A.
1.06 исследовании конструктивных функций методом заполнений.—
Зап. научи, семинаров ЛОМИ АН СССР, 1971, 20, с. 67—79.
Марков А. А.
1. О непрерывности конструктивных функций. — УМН, 1954, 9, № 3,
с. 226—230.
2. О конструктивной математике. — Тр. Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова, 67. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 8—14.
Оревков В. П.
1. Конструктивное отображение квадрата в себя, сдвигающее каждую
конструктивную точку. — ДАН СССР, 1963, 152, № 1, с. 55—58.
2. О конструктивных отображениях круга в себя. — Тр. Матем. ин-та
АН СССР им. В. А. Стеклова, 72. М.: Наука, 1964, с. 437—461.
3. О конструктивных отображениях конечных полиэдров. — Тр. Матем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 93. М.: Наука, 1967, с. 142—163.
Понтрягин Л. С.
1. Основы комбинаторной топологии. — М.: Наука, 1976.
Ц е й т и н Г. С.
1. Теорема о вложенных сегментах, теорема Коши и теорема Ролля в
конструктивном анализе.— Труды 3-го Всесоюзного матем. съезда, 1.
М.: Изд. АН СССР, 1956, с. 186—187.
2. Теоремы о среднем значении в конструктивном анализе. — Тр. Матем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 67. М.: Изд. АН СССР, 1962,
с. 362—384.
Ш а н и н Н. А.
1. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональ-
ные пространства. — Тр. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова,
67. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 15—294.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономные прогрессии теорий (auto-
nomous progressions of theories)
137, 156
Аксиома выбора интуиционистская
(intuitionistic axiom of choice) 173,
174
Аксиомы Цермело—Френкеля для тео-
рии множеств (Zermelo — Fraenkel
axioms for set theory) 29, 39
Алгебраические системы конечного
типа (finite type structures) 106
-----------максимальные (maximal
finite type structures) 111
-----------минимальные (minimal
finite type structures) 111
Алгоритм предельного перехода
328
Аппликативная система (applicative
system) 281
Аппроксимации теорема в Х-исчисле-
нии (approximation theorem of X-
calculus) 312
Аппроксимация термов в X-исчисле-
нии (approximation of terms in X-
calculus) 312
Арифметика второго порядка интуи-
ционистская (intuitionistic second
order arithmetic) 170
— конечных типов (number theory of
finite types) 122
— Пеано (Peano arithmetic) 28, 39,
48—53, 320
— первого порядка интуиционистская
(intuitionistic first order arithmetic)
169
Арифметическая схема свертывания
(arithmetic comprehension scheme)
125, 126
Бар-индукция (bar induction) 130,
141, 144, 198
Бар-рекурсия (bar recursion) 219
Бар-теорема (bar-theorem) 198
БГК-разъяснение (BHK-explanation)
163, 169
Беззаконные последовательности (law-
less sequences) 206—208
Бесконечный вывод (infinite deriva-
tion) 67
— терм (infinite term) 147
Бёма деревья (Bohm trees) 305
— теорема (Bohm’s theorem) 306
Бинумерация (binumeration) 26
Больцано — Вейерштрасса теорема
(Bolzano — Weierstrass theorem)
230
Вложенность дерева в дерево 344
Внутренность Х-алгебры (interior of
X-algebra) 287
Вполне перечислимое множество (li-
stable set) 329
— упорядочения арифметики Z
(well-orderings of Z) 133, 146
-----доказуемо рекурсивные (рго-
vably recursive well-orderings)
132
-----естественные (natural well-or-
derings) 65
-----разветвленного анализа (well-
orderings of ramified analysis)
147
Вывод (derivation, deduction) 343
Генератор вещественного числа (real
number generator) 180
Генераторы точек (point generators)
190
Генценовские правила для логики
первого порядка (Gentzen-style
rules for first-order logic) 58
Гёделевская функциональная интер-
претация (Dialecticain terpretation,
Godel’s functional interpretation)
151, 220—228, 368
384
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гнездности кванторов глубина 81
Гомоморфизм Х-алгебр (homomor-
phism of X-algebra) 287
Двоичное разложение (binary expan-
sion) 185
Декартово замкнутая категория (car-
tesian closed category) 244
Допустимая система термов 333
Идеальные утверждения (ideal state-
ments) 11
Индекс см. Код
Индикаторные функции (indicator
functions) 326
Индукция по необеспеченным после-
довательностям (induction over
unsecured sequences) 197
— трансфинитная (transfinite indu-
ction) 65, 129, 199
Интенсиональные непрерывные функ-
ционалы (intensional continuous
functionals) 216
Интерпретация отсутствием контр-
примера (no-counterexample in-
terpretation) 56
— языка в топосе (interpretation of
a language in a topos) 263
— Х-термов (interpretation of X-
terms) 285
Интуиционизм (intuitionism) 160
Исчисление предикатов интуицио-
нистское (intuitionistic predicate
calculus) 167
— равенств (equation calculus) 86
— разбиений (partition calculus) 318
Конечные пределы (finite limits)
245
— произведения (finite products)
243
— типы (finite types) 214
Консервативное расширение (conser-
vative extension) 120
Конструктивизация глобальная (glo-
bal constructivisation) 229
— локальная (local constructivisa-
tion) 229
Конструктивизм (constructivism) 160
— наивный (naive constructivism)
161
Корректная теория (sound theory)
15, 32
Кортеж 373
— вполне нормальный 376
— непродолжимый 374
— нормальный 376
— правильный 375
— , продолжение 373
— продолжимый 374
— регулярный 373
— п-нормальный 375
Критические функции на ординалах
(critical functions of ordinals) 133
Лемма об обращении (inversion lem-
ma) 60, 68, 75
— о диагонализации (diagonalization
lemma) 15
Логический функтор (logical func-
tor) 272
Ложность теоремы Кантора — Бен-
диксона в HYP (Cantor — Bendi-
xon theorem is false in HYP) 142
Локально корректная фигура 341
Каноническое дерево вывода 341
Категория определимых типов и оп-
ределимых тотальных функций
(category of definable types and
definable total functions) 253
Кванторные операторы (quantifica-
tion operators) 123
Классификатор подобъектов (sub-
object classifier) 255
Код (code) 14, 17—32
— бесконечного вывода (code for
infinite derivation) 73
Комбинаторная алгебра (combinato-
ry algebra) 281
Мажоранта формулы 358
Метрическое пространство интуицио-
нистское (intuitionstic metric spa-
ce) 190
----- конструктивное 328
Модуль непрерывности (modulus of
continuity) 78
— сходимости 328
Мономорфизм (monomorphism, mo-
nic) 245
Направление конструктивное в мате-
матике 367
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
385
Наследственно гиперарифметические
операции (hereditary hyperarithme-
tic operations) 139
— непрерывный функционал (heredi-
tary continuous functional) 139
— рекурсивные операции (hereditary
recrursive operations) 138, 215
— эффективные операции (heredita-
ry effective operations) 216
Натуральные числа (natural numbers)
см. Арифметика Пеано
Негативный перевод (negative (or
double negation) translation) 149,
172
Непрерывная функция (continuous
function) 187
Нормализация бесконечных термов
(normalization of infinite terms)
147
Нормальный натуральный вывод
353
Нумерация (numeration) 26
Нумерическая представимость (nu-
meralwise representatibility) 26
Обобщенная непрерывность (genera-
lized continuity) 206
Общезначимость интуиционистская
(intuitionistic validity) 212
Объект натуральных чисел (natural
number object) 273
Ограниченная индукция (restricted
induction) 119, 155
Окрестностная функция (neighbour-
hood function) 196
Операторы рекурсии (recursion ope-
rators) 121, 124
Операции, заданные законом (law-
like operations) 215
Определение истинности (truth defi-
nition) 31, 32
Определимый тип (definable type)
251
Ординальные обозначения (ordinal
notations) 155
Отделенность (apartness) 182
Отрицательная формула (negative
formula) 172
Отрицательный перевод см. Негатив-
ный перевод
formally intuitionistic systems)
149
Перечислительные системы (enumera-
tive systems) 138
Полнота интуиционистской логики
(completeness of intuitionistic lo-
gic) 213
— множества вещественных чисел
(completeness of the reals) 186
— семантическая (semantic comple-
teness) 42
— синтаксическая (syntactic comple-
teness) 42
Почти отрицательная формула (al-
most negative formula) 175
Правило Маркова (Markov’s rule)
225
— прогрессивности (progression rule)
66
— сечения (cut rule) 59
Предикативность (predicativity) 136,
156
Представляющая функции (represen-
ting function) 20
Пред-А-алгебра (pre-A-algebra) 285
Примитивно рекурсивная формула
(primitive recursive formula) 31
-----функция (primitive recursive
function) 19
— рекурсивный функционал (primi-
tive recursive functional) 72
Принцип Маркова (Markow’s princip-
le) см. Схема Маркова
— рефлексии в теории доказательств
(proof-theoretic reflection prin-
ciple) 33, 80
-----глобальный (global reflection
principle) 33
-----локальный (local reflection
principle) 33
-----равномерный (uniform reflection
principle) 33
Программа Гильберта (Hilbert’s pro-
gram) 9—13
Прослеживаемое множество 329
Процедура поиска вывода (proof
search procedure) 84—87, 91—98
ПР-формула (PR-formula) 31
Прямота (directness) 90—98
Прямоугольник неделимый 379
Перевод в формально интуиционист-
ские системы (translation into
Равномерно непрерывная функция
(uniformly continuous function)
187
386
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разветвленно аналитические множе-
ства (ramified analytic sets) 135
Разветвленные прогрессии теорий
(ramified progressions of theories)
136, 156
Разветвленный анализ (ramified ana-
lysis) 136
Разрешимый терм ^-исчисления (sol-
vable term of X-calculus) 303
Ранг сечений (cut rank) 59
Реализуемость (realizability) 174—
179, 206
Реальные утверждения (real state-
ments) 11
Регулятор сходимости в себе 367
Редекс (redex) 288
Рекурсивно перечислимое множество
(recursively enumerable set) 30
Рекурсивное множество (recursive
set) 30
— расширение (recursive extension)
64
Рекурсивный анализ классический
(classical recursive analysis) 162,
178
— — конструктивный (constructive
recursive analysis) 160, 177
— функционал конечного типа (re-
cursive functional of finite type)
140
Релятивизация понятий к универсу-
мам (relativization of notions to
universes) 111
Рефлексивная теория (reflexive theo-
ry) 39
Свободно становящиеся последова-
тельности (choice sequences) 193
--------, элиминация (elimination of
choice sequences) 199—204
Сегмент неделимый 378
Системы обозначений для ординалов
(systems of notation for ordinals),
см. Ординальные обозначения
Слабый контрпример (weak counter-
example) 183
Сложность (complexity) 85
Сравнимость вполне упорядочений
(comparability of well-orderings)
132, 142
Стандартное представление (standard
representation) 190
Схема Маркова (Markov’s scheme)
177, 208—211, 213, 347, 349, 355,
366
Схема непрерывности (continuity
scheme) 194
— свертывания для иерархии, осно-
ванной на операторе скачка (jump
hierarchy comprehension scheme)
134
— трансфинитной индукции (trans-
finite induction scheme) 129, см.
также Индукция
Схемы в теориях конечного типа
(schemata in finite type theories)
120
— второго порядка (second order
schemata) 125
— выбора (choice schemata) 121, 123,
125
— свертывания (comprehension sche-
mata) 121, 125
Счетные функционалы (countable fun-
ctionals) 217
Тезис Чёрча расширенный (extended
Church’s thesis) 176
Теорема Брауэра о неподвижной точ-
ке (Brouwer’s fixed point theorem)
189, 231, 367
— Вейерштрасса о приближении
многочленами (Weierstrass’ appro-
ximation theorem) 233
— Гильберта — Бернайса о полноте
(Hilbert — Bernays completeness
theorem) 49
— Карри о нормализации (normali-
zation theorem of Curry) 291
— Кента (Kent’s theorem) 43
— Лёба (Lob’s theorem) 33, 36
-----формализованная (formalized
Lob’s theorem) 43, 46
— о веере (fan theorem) 199, 205
-----консервативности (conservation
, theorem) 47
-----неподвижной точке (fixed point
theorem) 44
-----------в Х-исчислении (fixed
point theorem of X-calculus) 287
-----------де Йонга (de Jongh’s
fixed point theorem) 45
-----неполноте вторая (second in-
completeness theorem) 13, 16, 34,
50
-----------формализованная (forma-
lized second incompleteness theo-
rem) 17
--------первая (first incompleteness
theorem) 13, 15, 34, 49
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
387
Теорема о неполноте первая форма-
лизованная (formalized first in-
completeness theorem) 40
-----рефлексивности (reflexiveness
theorem) 188, 231
-----среднем значении (intermediate
value theorem) 188, 231
-----существенной неограниченности
(esstential unboundedness theorem)
38
-----характеризации для гёделевской
интерпретации (characterisation
theorem for Dialectica interpreta-
tion) 224
-----------реализуемости (characte-
risation theorem for realibility) 176
— об относительной непротиворечи-
вости (relative consistency theo-
rem) 47
-----устранении сечения (cut-elimi-
nation theorem) 62, 70, 76, 88
-----------для бесконечно длинных
формул (cut-elimination theorem
for infinitely long formulas) 145
— Париса — Харингтона (Paris —
Harrington theorem) 320
— Ролля (Rolle’s theorem) 234
— Россера (Rosser’s theorem) 29
-----формализованная (formalized
Rosser’s theorem) 289
— Чёрча — Россера (Church — Ros-
ser theorem) 289
— Эрбрана (Herbrand’s theorem) 63,
84—99, 331—340
Теории индуктивных определений
(theories of inductive definitions)
156
Типовые символы (type symbols)
117
Точная верхняя грань (least upper
bound) 188
Топос (topos) 241, 255
Универсальный (декартов) квадрат
(pullback) 244
Универсум декартово замкнутый (car-
tesian closed iniverse) 105
— множеств и функций (universe
of sets and functions) 104, 105
— N-замкнутый (N-closea universe)
1Q8
— 3 -замкнутый (3 -closed univer-
se) 108
Уравнитель (equalizer) 244
Условие Коши 369
Условия выводимости (derivability
conditions) 15, 27, 28
Финитизм (finitism) 160, 165
Формула боковая (side formula) 59,
334
— главная (main formula) 59
— малая (minor formula) 59, 334
— ограниченная (bounded formula)
321
— однокванторная (one-quantifier
formula) 337
— Эйлера — Пуанкаре — Хопфа 368
Фундированность упорядочений (well-
foundedness of orderings) 128
Функция конструктивная 367
Частичные элементы (partial ele-
ments) 246—252
Частичный морфизм (partial map)
261
Экстенсиональность в конечных типах
(extensionability in finite types)
119
—, устранение (elimination of exten-
sionality) 217
Экстенсиональные непрерывные функ-
ционалы (extensional continuous
functionals) 217
Элементарный анализ (интуиционист-
ский) (intuitionistic elementary
analysis) 170
Эрбрановская дизъюнкция (Herbrand
disjunction) 332, 333
— нормальная форма (Herbrand nor-
mal form) 77
Эффективно неотделимые множества
(effectively inseparable sets) 30
Эффективный оператор 329
Язык высшего порядка (higher or-
der language) 247
Con T 16
CRA 16Э, 177, 3GG1 3G7
388
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(<§Г, 6)-обоснование 365
DI, D2, D3 см. Условия выводимости
ECF 217
Е(Т) 253
НЕО см. Наследственно эффектив-
ные операции
ICF 216
imp 15, 24
^-непротиворечивость (^-consistency)
42
fc-ConT 42
neg 15, 24
РА см. Арифметика Пеано
Ргт 15, 26
PRA 26, 48
ProvT 15, 25, 26
RA см. Рекурсивный анализ
RFN см. Принцип рефлексии
RFN (Т) 33
RFN^ (Т) 35
RFNnn (Т) 37
RPN^ (Т) 37
Rfn (Т) 33
Rfnni(T) 35
Rfnnn(T) 38
Rfns"(T) 38
ft
Sem Comp T 42
Seq 22
Syn CompT 42
Тгм 49
Тги 32, 38
ZF см. Аксиомы Цермело —- Френ-
келя
ZFC см. Аксиомы Цермело — Френ-
келя
а-рекурсия (a-recursion) 72
е-число 70
Х-алгебра (X-algebra) 286
— жесткая (hard X-algebra) 287
— разумная (sensible X-algebra) 304
— слабо экстенсиональная (weakly
extensional X-algebra) 286
— экстенсиональная (extensional X-
algebra) 286
Х-исчисление (X-calculus) 283
Х-определимые функции (X-definable
functions) 290
A 16
Ль л2 19, 22
Пп-формула (Пл formula) 31
Si-полнота доказуемая (provable
2i-completeness) 32
со-непротиворечивость (co-consistency)
13, 40—44
— глобальная (global co-consistency)
41
— локальная (local co-consistency)
41
— равномерная (uniform co-consisten-
cy) 41
со-полнота (co-completeness) 42
со-правило (co-rule) 65
co-CompT 42
co-Con^ 41
co-ConT 41
Q-множество (Q-set) 257
1-сечение относительно примитивно
рекурсивных функционалов (1-se-
ction of relative primitive recur-
sive functionals) 148
l-ConT 40
< е0-рекурсивный функционал (<e0-
recursive functional) 72
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора русского перевода ........................ 5
Введение................................................7
Глава 1. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ. К. Сморинский...........9
Глава 2. ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕ-
НИЯ УСТРАНЕНИЯ СЕЧЕНИЯ. Г. Швихтенберг ... 54
Глава 3. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА И ГЕНЦЕНОВСКОЕ ПОНЯТИЕ
ПРЯМОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Р. Стетмен.............84
Глава 4. ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ТИПА, РОДСТВЕННЫЕ МАТЕ-
МАТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ. С. Феферман..............100
Глава 5. АСПЕКТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ. А. Трул-
стра .......................................160
Глава 6. ЛОГИКА ТОПОСОВ. М. Фурман...............241
Глава 7. БЕСТИПОВОЕ А-ИСЧИСЛЕНИЕ. X. Барендрегт .... 278
Глава 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НЕПОЛНОТА В АРИФМЕТИКЕ
ПЕАНО. Дж. Парис, Л. Харрингтон..................319
Добавление 1. ТЕОРЕМА НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ ЭФФЕК-
ТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ. Г. Е. Минц . . . 328
Добавление 2. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА. Г. Е. Минц.............331
Добавление 3. КАНОНИЧЕСКОЕ ДЕРЕВО ВЫВОДА ДЛЯ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ. Г. Е. Минц 341
Добавление 4. СТУПЕНЧАТАЯ СЕМАНТИКА А. А. МАРКО-
ВА. Г. Е. Минц....................................34g
Добавление 5. МАЖОРАНТНАЯ СЕМАНТИКА Н. А. ШАНИ-
НА. Г. Е. Минц....................................357
Добавление 6. РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНОЕ КОНСТРУК-
ТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КВАДРАТА В СЕ-
БЯ БЕЗ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК. В. П. Орев-
ков ..............................................366
Предметный указатель..................................383
СПРАВОЧНАЯ КНИГА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКЕ
СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЕЙ 1-Ш
Часть I. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Дж. Барвайс
Г л а в а 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ. X. Дж. Хейслер
Г л а в а 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИИ ДЛЯ АЛГЕБРАИСТОВ.
П. Эклоф
Глава 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА. А. Макинтайр
Г л а в а 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА. М. Морли
Г л а в а 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИВЫХ И ПОВЕРХ-
НОСТЕЙ. X. Д. Строян
Г л а в а 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА.
М. Маккаи
Г л а в а 8. ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ. А. Хок, Г. Э. Рейес
Дополнение. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ ПОЛНЫХ ТЕО-
РИИ. Е. А. Палютин
Часть II. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Глава 1. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Джозеф Р. Шенфилд
Глава 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА. Томас Дж. Hex
Глава 3. КОМБИНАТОРИКА. Хеннет Хюнен
Глава 4. ВЫНУЖДЕНИЕ. Джон П. Берджес
Глава 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ. Хейт Дж. Девлин
Глава 6. АКСИОМА МАРТИНА. Мэри Эллен Рудин
Глава 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ.
И. Юхас
СПРАВОЧНАЯ КНИГА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
391
Глава 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ: ПРОЕКТИВНЫЕ
МНОЖЕСТВА. Дональд А. Мартин
Добавление. ПРОЕКТИВНАЯ ИЕРАРХИЯ Н. Н. ЛУЗИНА:
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ. В. Г. Кановей
Часть III. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕКУРСИИ. Герберт Б. Эндертон
Г л а в а 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ. Мартин Девис
Г л а в а 3. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ. Микаэль О. Рабин
Г л а в а 4. СТЕПЕНИ НЕРАЗРЕШИМОСТИ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ.
Стивен Г. Симпсон
Г л а в а 5. ТЕОРИЯ а-РЕКУРСИИ. Ричард А. Шор
Глава 6. РЕКУРСИИ В ВЫСШИХ ТИПАХ. Александр С. Кекрис, Ян-
нис Н. Московакис
Г л а в а 7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНДУКТИВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ.
Петер Ацел
Дополнение. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
(ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ). Ю. Л, Ершов
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Ч а с т ь IV. ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
И КОНСТРУКТИВНАЯ МАТЕМАТИКА
Редактор В. В. Донченко
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректор М. Л. Медведская
ИБ Ха 11562
Сдано в набор 26.05.82. Подписано к печати 18.02.83.
Формат 60Х90’/1б. Бумага тип. Ха 1. Литературная гарни-
тура. Высокая печать. Условн. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 25,14.
Тираж 20 000 экз. Заказ Ха 216. Цена 2 р. 10 к.
Издательство <Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография Ха 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«/Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленин-
град, Л-52, Измайловский проспект, 29.