Автор: Фейс Р.
Теги: алгебра математика математическая логика логика основания математики модальная логика
Год: 1974
Текст
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 7.4
МОДАЛЬНАЯ
ЛОГИКА
Р. ФЕЙС
Перевод с дополнениями
под редакцией Г. Е. МИНЦА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1974
517.1
Ф36
УДК 512.8
Перевод на русский язык, издательство «Наука», 1974
Роберт Файс
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
(Серия: «Математическая логика
и основания математики*)
М., 1974 г., 520 стр.
Редакторы Ю. А. Гастев. В. В. Донченко
Технический редактор В. И. Кондакова
Корректоры В. А. Белицкая, М. Л. Медведская
Сдано в набор 7/11 I974 г. Подписано к печати
I4/VI 1974 г. Бумага 84Х1081/,-. тип. № 1. Физ.
печ. л. 16,25. Условн. печ. л. 27,3. Уч.-изд. л. 27,4].
Тираж И 000 SK3. Цена книги 2 р. 19 к. Заказ .N*s 74.
Издательство сНаука>
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Крчсного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфин
и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
20203-089
Ф
053@2)-74
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 9
I. Р. Фейс, МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА (перевод Ю. А. Пет-
Петрова) 13
Из предисловия редактора английского издания 15
Глава I. Введение в модальную пропозициональную логику 17
Раздел 0. Исторический очерк 17
% 01. Модальности у Аристотеля A7). § 0.2. Модальности в традици-
традиционной логике (IS). $ 03. Логическая алгебра в XIX веке (!9). § 04.
Системы Льюиса B0). § 05. Дальнейшее раззитне модальной ло-
логики B2). § 05. Интерпретация B3).
Раздел 1. Обозначения. Краткое изложение немодалыгого ис-
исчисления 24
§ 10. Обозначения B4). § П. Критерии доказуемости формул в АПИ B5).
§ 12. Некоторые формулы, общезначимые в АПИ B7). § 13. Посту-
Постулаты АПИ C2). § 14. Выводы в АПИ C2i. § 15. Матрицы C6). § 16.
Постулаты ассерторического функционального исчисления первого
порядка (АФ'И) C8). § 17. Основные теоремы и правила вызола, ха-
характерные для АФ'И C9). «s 18. Замена материальных связок фор-
формальными в одноместном АФЧ1 D0).
Раздел 2. Эвристический подход к модальной пропозициональ-
пропозициональной логике М"ПК 42
§ 20. Идея вспомогательной логики D2). § 21. Исчисление М"ПК D4).
ЗД22. Логика М"ПКИ D6). § 23. Постулаты, подсказываемые эвристи-
эвристическим соответствием D6). § 24. Основные теоремы и правила для
модальностей в М"ПКИD7). § 2Г,. Обозначения формул н правил D8).
$ 26. Замена материальных связок и а строгие езязки в М"ПКИ D9).
§ 27. Образы АПИ-теорем, доказуемые в М"ПК.И E2). § 28. Образы
теорем и правил для модальностей E6). § 29. Переход от М"ПКИ
к другим множествам постулатов E7).
Глава II. Нормальные системы модальной пропозициональ-
пропозициональной логики ............ 59
Раздел 3. Системы Г и 1 59
§ 30. Постулаты системы 1° E9). § 31. Теоремы и выводимые правила
(материальные связки) F3). § 32. Выводы в системе 1° (строгая нм-
шшкация) F9). § 33. Явные модальности в системе 1° G3). § 34. Общие
метатеоремы для системы 1° G6). § 35. Г-теоремы в системе 1° G9).
§ 36. Система I (83). § 37. Теоремы, специфические для системы ! (84).
§ 38. Отсутствие финитной характеристической матрицы для си-
системы 1 (86). § *39. Еще одно множество постулатов для системы 1 (86).
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 4. Системы 2° и 2 86
§ 40. Постулаты систем 23 и 2 (?6). § 41. Дистрибутивность модаль-
модальностей (перзый класс: импликации) (S7). § 42. Теоремы умножения
и теоремы композиции (88). § 43. S'a-теоремы (90). § 44. Дистрибутив-
Дистрибутивность модальностей (второй класс: эквивалентности) (9П. § 45. Стро-
Строгая эквивалентность (91). § 46. Правила Беккера (93). § 47. Теоремы,
специфические для системы 2 (91). § 44. Невыяодимость формул (96).
§ 49. 52-матрицы и разрешающий метод для S2 (97). § *49\ Еще одно
множество постулатов для S2 (9<). § *49*. Еще одно множество посту-
латоз для S2° (98).
Раздел 5. Система 3 98
§50. Постулаты системы 3 (99). §51. Непосредственные следствия A00).
§ 52. Теоремы экспортации и другие следствия A0!)- § 54. Теоремы
сведения A03). § 54. Сведение нсех модальностей к 42 (!06). § 55. Импли-
Импликации между модальностями A05). § Ы5. Невыводимость других импли-
импликаций между модальностями (IC9). §57. Некоторые другие множества
постулатов для системы 3 (НО). § *58. Собственные подсистемы S3 (си-
(системы 3° и 3*) A12).
Раздел 6. Система 4 113
§ СО. Постулаты системы i (ИЗ). § 61. Сведение модальностей в си-
системе 4(!!5). §62. Теоремы и правша, доказуемые я системе 4 <Ц7>.
§ 63. Другие множества постулате) для системы 4 A19). § 64. Раз-
Различные формы дедукциоииоЯ теоремы в системе 4 A25). § 65. L-cn-
стема, эквивалентная системе 4A29). § 65. Разрешающие процедуры
для системы 4 A32). § *67. Неюторые другие множества постулатов
для системы 4 A35). § «68. Система St° A37).
Раздел 7. Система 5 137
§ 70. Постулаты системы 5 (П7>. § 7]. Све1еннг моДчлыюстеЯ A3е).
§ 72. Сведение моДальиыч функция в системе 5 A40). § 73. Другие
множества постулатоз для системы 5 A41).
Раздел 8. Расширения систем 145
§ *Е0. Некоторые расширения системы 1° A46). § 81. Расширение
системы 2 (в формулировках 2' и Т) A47). § 82. Отношения между си-
системой 2' и другими системами A48). § 83. Теоремы, специфические
для системы 2' A501. § *S4. Другие системы, эквивалентные систе-
системе 2' A50). § 85. Расширения системы 2' A5!)- § 86. Расширения
системы 3 A51). § 87. Расширения системы 4 A53). §88. Расширения,
сводящие модальные системы к АПН A56).
Раздел 9. Расширения систем (продолжение) 157
§ 91. Расширения, порождаемые постулатами универсальной возмож-
возможности A57). § 92. Постулаты несводимое™ A58). § 93. Пропозицио-
Пропозициональные переменные A59). § 9(. Расширения исчислений со связы-
связываемыми пропозициональными переменный:! A62).
Раздел *9'. Некоторые другие модальные системы 164
Глава III. Модальная функциональная логика 170
Раздел 10. Изложение МФК без оператора абстракции ... 170
§ 101. Атомарные предложения в МФК A71). § 102. Чисто кванторные
и молекулярные предложения в МФК A72). § 104. Выоод МФК-фор-
МФК-формул'с кванторами A73). § Г04; Формулы, специфические для МФ'КA74).
§ 103. Модальная функциональная логика второго порядка с равен-
равенством A75). § 106. Переход к сокращенному исчислению МФИ A75).
Раздел II. Абстракции 176
§ 111. Абстракция A77). § !12. Абстракты в модальной пропозициональ-
пропозициональной логике A78). §113. Абстракты ХМ A80). § Н4. Абстракты iiM (I8I).
§ 115. Абстракты МФ21< и равенство (I&2). § 116. Абстракты UM U84).
§ 117. Переход от МФК к МФИ A84).
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 12. Модальное функциональное исчисление первого по-
порядка ...."... 186
§ 121. Постулаты A86). § 122. Очевидные выводимые теоремы A87).
§ 123. Модальности с кванторами (IS7). § 124. Преобразования в функ- .
циоиалмгом исчислении, подооные слабымпрео5разо«аниямМПИ(|87).
§ 123. Теоремы, ограниченные МФ'И A81). § 126. Празило замены A88).
§ 127. Теорема дедукции (It9).
Раздел 13. Равенство 189
§ 130. Постулаты равенства A89). § 131. Определения двух форм ра-
иенства A90). § Ш. Непосредственные следствия A90). § 133. Равен-
Равенство, выраженное посредством универсальной импликации A9)).
§ 134. Раиенстао, выраженное посредством экзистенциального
предложения A90). § 1 й. Эквивалентность между i и 1 A91). § 136. Не-
Неравенство A92). § 137. Теоремы о неравенстве A92).
• Приложение 193
Раздел 14. L-формулировки модальных пропозициональных ло-
логик, дающие разрешающие процедуры для си-
систем S2, S3, S4. 55 и S2' 193
§ «141. Системы} Оннси и Мацумото, родственные S2, S3, S4, S5
ii S2' A93). § 142. Разрешающие процедуры Кангера для систем i'4, i'5
н S2' A97).
Литература 204
II. ДОПОЛНЕНИЯ 221
С. А. Крипке. Теорема полноты в модальной логике (перевод
Ю. А. Г а с т е в а) 223
С. А. Крипке. Неразрешимость одноместного модального ис-
исчисления предикатов (перевод Ю. А Гастева),.. 247
С. А. Крипке. Семантический анализ модальной логики. I. Нор-
Нормальные модальные исчисления высказываний (перевод
А. А. Мучника) 254
С. А. Крипке. Семантический анализ модальной логики.
II. Ненормальные модальные исчисления высказываний
(перевод Г. Е. Минца) 304
Л'. Шютте. Полные системы модальной и интуиционистской
логики (перевод И. X. Шмаииа) 324
Введение 324
Глава I. Модальные системы в рамках классического исчис-
исчисления предикатов 325
§ 1. Формальные системы М* и S4* C25). § 2. Модели модальной ло-
логики (J8). § 3. Доказательство теоремы о корректности C30). § 4. Не-
Неконструктивное доказательство теоремы о полноте C32).
Глава II. Синтаксические свойства свободных от сечения
модальных систем 337
§ 5. Формальные системы М' и Si' C37). § 6. Допустимые выводы C401.
§ 7. Выводимые формулы C46).
Глава 111. Доказательство теоремы о полноте для си-
систем М' и 64' 348
§ 8. Деревья формул и деревья редукций C48). § 9. Доказательство
основном синтаксическом леммы C53). § 10. Доказательство основной
семантической леммы C57).
СОДЕРЖАНИЕ
Глава IV. Погружение интуиционистской логики предикатов
в систему S4' ,361
§ 11. Формальная система 1L иптувцвонистгкоя логики предика-
предикатов C61). § 12. /-формулы системы SY C64). § 13. /-выражения си-
системы S4 C68).
Глава V. Семантика интуиционистской логики предикатов
по Крипке 373
§ 14. Модели интуиционистской логики предикатов C73). § 15. Модели
интуиционистской логики высказываний C78). § 16. Интуиционист-
Интуиционистская истинность и выполнимость формул C84).
Глава VI. Семантика интуиционистской логики предикатов
по Бету 391
§ 17. Модели Бета C91). § 18. Преобразование древовидной модели
в модель Бета C95). § 19. Свойства истинности н выполнимости D02).
Глава VII. Пропозициональные модальные системы . . . . 403
§ 20. Формальные системы М. Si, Br и- S5 D03). § 21. Модели пропо-
пропозициональных модальных систем D05). § 22. Конструктивное дока-
доказательство теоремы о полноте D08). § 23. Топологические модели си-
системы S4 D17).
Литература 420
Г. Е. Минц. Системы Льюиса и система Г A965— L973). . . 422
Предисловие 422
Глава I. Дедуктивные методы 425
Введение 425
§ 1. Пропозициональное S5 и исчисление предикатов D25). § 2. Связь S2
и S3 с Г и S4 D27).
Раздел I. Генценовские логистические системы (L-системн) 428
§ 3. Системы Г и S4. Отсутствие редукций в Т D28). § 4. Системы S2
и S3 D34). § 5. Система S5 D37).
Раздел 2. Системы натурального типа (Af-системы) .... 442
§ 6. Система JVS5 D44). § 7. Нормальнее выводы B1/VS5 D47). § 8. Си-
Система NS4 D50). § 9. Системы NT, NS2 и N~S3 D52).
Раздел 3. Дальнейшие дедуктивные результаты 453
§ Ш. Нормальные расширения S5 D53). § П. Импликативиые фраг-
фрагменты модальных систем D57). § !2. Финитная аппроксимируемость D65).
§ 13. Теоремы о дедукции. Формулировки модальных исчислений D73).
§ 14. Интерпретация доказуемости для ? D76).
Глава II. Теоретико-модельные методы 478
Р а з дел 4. Модели Крипке 478
§ 15. Модели Крипке для нормальных систем D78). § 16. Модели для
ненормальных систем D81). § 17. Метод фильтрации D83). § 18. Се-
Семантика Монтегю D86).
Раздел 5. Алгебраические модели 487
§ 19. Алгебраические модели D87).
Глава III. Кванторные расширения модальных систем . . . 494
§ 20. Предикатные расширения D94). § 21. Модальное исчисление
предикатов с равенством D99).
Литература 501
Именной указатель 510
Предметный указатель 514
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Модальная логика занимается изучением так назы-
называемых модальностей — прежде всего необходимости и
возможности: того, что «должно быть», и того, что «мо-
«может быть».
Развитие модальной логики можно разделить на три
периода. К первому относится античная и средневековая
модальная логика. Второй период, началом которого
естественно считать появление работ К. Льюиса (при-
(примерно 60 лет назад), характеризуется построением фор-
формальных систем (исчислений) модальной логики, выяв-
выявляющих различные черты модальных понятий. Для
третьего периода, начатого работами С. Крипке (конец
1950-х —начало 60-х годов) и продолжающегося до сих
пор, существенно выявление внутреннего единства раз-
различных систем, казавшихся ранее никак не связанными
между собой, развитие технического аппарата и реше-
решение многих важных задач, поставленных предыдущим
•периодом. Разумеется, эта периодизация весьма услов-
условна: работам Льюиса, например, предшествовали работы
Макколла, а некоторые понятия, близкие к тем, которые
ввел Крнпке, были примерно в то же время независимо
введены разными авторами (см. сноску 0 на стр. 000 к
статье Крипке в этой книге).
Настоящая книга задумана как учебник модальной
логики, дающий введение в предмет и современную его
картину в целом. Основной упор сделан на дедуктивную
проблематику; философские вопросы затрагиваются
лишь постольку, поскольку это необходимо для нагляд-
наглядного представления рассматриваемых понятий.
В качестве основы для такого издания естественна
было воспользоваться наиболее полным из известных
его составителям обзоров формальных систем модаль-
модальной логики — изданной в 1965 г. книгой Р. Фейса
10 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
«Модальная логика»1). Поскольку, однако, книга Фейса,
как видно из предисловия ее редактора-составителя Дж.
Догша (стр. 15—16 настоящей книги), представляет со-
собой незаконченную первую часть так и не осуществлен-
осуществленного двух- или трехтомного совместного с Дж. Маккинси
труда более широкого характера, было сочтено целесо-
целесообразным восполнить ее русское издание до «рекон-
«реконструкции» этого фундаментального замысла. Этим об-
обусловлено включение в книгу многочисленных приложе-
приложений и то обстоятельство (опять-таки, впрочем, вполне
согласующееся с. намерениями самого Фейса, насколько
мы о них можем судить), что эти «приложения» превы-
превысили в совокупности «основную» часть книги — «Мо-
«Модальную логику» Р. Фейса.
Чтение этой первой части настоящей книги не тре-
требует обязательного предварительного знакомства с ка-
какой бы то ни было логической литературой: математиче-
математическая часть книги Фейса начинается с довольно подроб-
подробного описания обычных классических систем исчисления
высказывании и предикатов. Мы бы, тем не менее, ре-
рекомендовали читателю пользоваться этим первым раз-
разделом книги Фейса лишь как справочником, для тех
случаев, когда ему понадобится вспомнить сведения об
этих системах, известные из других источников. Даль-
Дальнейшие разделы книги Фейса дают в совокупности кар-
картину модальной логики до появления упомянутых выше
работ Крипке.
Далее в настоящем издании как раз и следуют че-
четыре важнейшие из этих статей Крипке, а также вышед-
вышедшая в 1968 г. отдельной книжкой работа К- Шютте
«Полные системы модальной и интуиционистской ло-
логики», дающая компактное, но достаточно подробное и
очень ясное введение в семантическое построение мо-
модальной логики по Крипке, но под несколько иным
углом зрения, нежели в статьях самого Крипке. Все эти
работы печатаются в хронологическом порядке, но ра-
работа Шютте не предполагает знакомства со статьями
Крипке и может читаться независимо от них. Работа
') Опубликованная в 1968 г. книга Дж. Хыоза и М. Крессвелла
«Введение в модальную логику» перекрывает книгу Фейса в отно-
отношении так называемых «нормальных» систем, но существенно бед-
беднее материалом, относящимся к более слабым системам.
¦ ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА И
Шютте примечательна еще и тем, что в ней очень
отчетливо выражено в известном смысле центральное
достижение современной модальной (да н не только мо-
модальной) логики: осознание необходимости построения
более общей, нежели обычная «булевская», теории
истинности — линия развития, предугаданная еще осно-
основополагающими работами А. Тарского 1940-х (совме-
(совместно с Маккинси) и начала 1950-х годов (с Б. Йонссо-
ном) и реализованная в последние годы в коэновском
понятии «вынуждеиия».
Заключающий книгу обзор Г. Е. Минца, рассчитан-
рассчитанный в основном на читателей, специализирующихся по
модальной логике, включает главным образом резуль-
результаты, полученные после выхода в свет книги Фейса, а
также доказательства некоторых утверждений, которые
на предыдущих страницах лишь сформулированы. На
окончательную редакцию этого обзора значительное
влияние оказали ценные советы В. П. Оревкова, внима-
внимательно прочитавшего рукопись. В ходе составления и
работы над книгой автор этих строк получил ряд цен-
ценных советов от В. К. Финна, в процессе редактирова-
редактирования— от Ю. А. Гастева.
Книга Фейса (при достаточном запасе терпения) чи-
читается довольно легко. Читатель, ознакомившийся с пер-
первыми десятью разделами этой книги, может приступить
к чтению статей Крипке, после чего он уже подготовлен
к чтению практически любой литературы по модальной
логике. Однако для тех, кто знакомится с модальной
логикой впервые (или почти впервые), более коротким
окажется, возможно, другой путь: после чтения первых
23 параграфов Фейса и беглого просмотра следующих
шести параграфов перейти к работе Шютте. Тем, кто
почему-либо интересуется системами слабее М, нужно
еще будет прочесть статью Крипке о «ненормальных»
системах, заглядывая в соответствующие разделы книги
Фейса как в справочник.
В переводах работ разных авторов оставлены, как
правило, авторские обозначения и терминология, без
всяких претензий на «унификацию» этих работ, напи-
написанных во многом в различных традициях. Надеемся,
впрочем, что никаких затрудняющих чтение коллизий от
этого не возникнет — отчасти, возможно, благодаря со-
12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
знательно культивировавшейся переводчиками и редак-
редакторами тенденции пользования равноупотребительными
переводами иностранных терминов в качестве равно-
равноправных синонимов. (Иногда, кстати, такое «расслоение»
терминологии несет н дополнительную нагрузку.
Характерный пример: термины Крипке construction и
stage переводятся то как «построение» и «шаг», то как
соответственно «конструкция» и «стадия». Первая пара
терминов выбрана для именования определенного про-
процесса и отдельных его «элементарных составляющих»,
вторая — для указания на результат этого процесса и на
«моментальные фотографии» составляющих его шагов;
в тех же случаях, когда с равным основанием может
быть выбран любой из этих оттенков смысла, варьиро-
варьирование терминологии регулируется лишь стилистической
интуицией.)
Списки цитированной и использованной литерату-
литературы— отдельные для каждой работы; за очень незначи-
незначительными исключениями, они не пересекаются. Ссылки
на литературу даются указанием фамилий авторов и [в
квадратных скобках] дат публикации. (Исключения: пе-
перекрестные ссылки просто на «(книгу) Фейса», «(работу)
Шютте» и «(обзор) Минца» и оговариваемые в специ-
специальных сносках сокращенные ссылки в статьях Крипке
на другие его же работы.) Написание ряда имен (швед-
(шведских, японских, китайских) уточнено. Сокращения, при-
принятые в библиографических описаниях, разъяснены пе-
перед списком литературы к книге Фейса.
/'. Е. Минц
Р. Фейс
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Перевод с английского
Ю. А Петрова
ROBERT FEYS
MODAL LOGICS
PARIS
1965
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ РЕДАКТОРА
АНГЛИЙСКОГО ИЗДАНИЯ
В 1948 г. по случаю десятого Международного философского
конгресса в Амстердаме Роберт Фейс предложил своему коллеге и
другу Дж. Ч. Ч. Маккипси проспект трактата «Модальная логика».
Работа должна была состоять из двух частей, из которых Фейсу
предстояло написать первую, а Маккинси — вторую. Книгу предпо-
предполагалось опубликовать в серии «Исследования по логике и основа-
основаниям математики», издаваемой Североголландской издательской
компанией.
Первая часть должна была быть посвящена систематическому
описанию большого количества модальных систем, известных по ра-
ранее опубликованным работам. Эти системы группируются вокруг
систем Льюиса — Лэпгфорда, которые Фейс считал в некотором
смысле «классическими», или «нормальными». Эта часть должна
была ограничиться чисто формальными аспектами: тем, что Фейс
любил называть «техникой» модальной логики. Вторая часть должна
была быть посвящена метатеоретическим вопросам, а также пробле-
проблемам интерпретации и философского осмысления. По мнению Фейса,
за эти последние проблемы можно было взяться только после реше-
решения первой в соответствии с предварительно полученными формаль-
формальными результатами.
С 1948 по 1953 год (год смерти Маккннси) Фейс несколько
раз перерабатывал ту часть, которая досталась на его долю, поль-
пользуясь советами Маккинси. Одно из этих изданий было даже раз-
размножено и разослано нескольким коллегам, которые время от вре-
времени ссылались на него как на «Модальную логику. I» Фейса и
Маккннси.
Что касается второй части, которую должен был подготовить
Мпккипси, то, кажется, было подготовлено лишь небольшое коли-
количество фрагментов. После смерти Маккннсн Фейс намеревался
пригласить нескольких сотрудников для завершения начатой ра-
работы, но ие смог достигнуть соглашения с ними. Постепенно он при-
пришел к мысли, что полная работа должна состоять из трех
|6 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ РЕДАКТОРА АНГЛИЙСКОГО ИЗДАНИЯ
томов. К маю 1959 года общий план представлялся ему в следую-
следующем виде:
Том I. Теория.
Том II. Синтаксис и алгебра.
Том III. Семантика и интерпретации.
Позднее, ввиду отсутствия сотрудников для работы нлд послед-
последними двумя томами этого плана, Фепс пришел к мысли опублико-
опубликовать первую часть независимо от них. За несколько месяцев до
смерти он предпринял новую переделку своей рукописи и работал
над тем, чтобы включить в нее некоторые разделы, которые по
плану 1959 года должны были составлять часть второго тома.
13 апреля 1961 года эта работа была прервана смертью Фейса.
Книга, которую мы публикуем, по существу, является руко-
рукописью, оставленной Фейсом. Редактор произвел лишь координацию
ссылок и несущественные стилистические изменения. Кроме того,
редактор добавил к тексту Фейса небольшое количество пара-
параграфов, относящихся к исследованиям, которые без особой переделки
моглн быть связаны с планом работы. Некоторые из них были
опубликованы при жнзни Фейса, другие — после его смерти. Все эти
добавления редактора отмечены в тексте звездочками.
Дж. Допп
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНУЮ ЛОГИКУ
РазделО. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
§ 01. Модальности у Аристотеля
В предлагаемой вниманию читателя книге модаль*
ной логикой, или логикой модальностей, именуется ло-
логика, которая изучает не только утверждения и отрица-
отрицания, но и так называемые сильные и слабые утвержде-
утверждения и отрицания. К сильным относятся, например, такие
утверждения, как «Это необходимо истинно», «Это не-
необходимо ложно», «Этот объект необходимо обладает
данным свойством». К слабым относятся, например,
следующие утверждения: «Это возможно истинно», «Это
возможно ложно», «Этот объект возможно обладает дан-
данным свойством».
Модальности в логику были введены Аристотелем,
который систематически рассматривает высказывания
этого рода. Хотя интерес Аристотеля к модальным вы-
высказываниям был связан с его философской концепцией,
исследование модальностей в работах Аристотеля яв-
является чисто логическим, без примеси каких-либо фило-
философских предположений. Аристотель либо явно форму-
формулировал, либо неявно использовал некоторые модальные
правила противоположения и вывода. И все же он, по-
•внднмому, не использует модальности во вполне опре-
определенном смысле. Например, термин «возможно» пони-
понимался им весьма различным образом в соответствии
с разнообразными интуитивными смыслами этого слова.
Иногда он понимался в смысле «не необходимо ложно»,
а чаще в смысле «ни необходимо истинно, ни необхо-
необходимо ложно» (в этом смысле «р возможно» означает то
же самое, что и «не р возможно»).
Надо также заметить, что Аристотель нигде не строил
логику высказываний отдельно от своей логики клас-
классов. Он пытался построить таблицу противоположностей
и силлогистику с модальными универсальными и
18 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [Г.Ч. I
частными высказываниями. По словам А. Беккера, Ари-
Аристотель такие высказывания не представлял в виде об-
общих или частных высказываний, предваренных модаль-
модальностями «необходимо» или «возможно» (то, что впослед-
ствие было названо «modales de dicto» '). Он понимал их
как общие или частные высказывания, связывающие
«модальные понятия» (кстати говоря, подобные выска-
высказывания в логике с тех пор не изучались). Например,
таковы высказывания: «То, что обладает свойством а,
необходимо обладает свойством Ь», «То, что возможно
имеет свойство а, возможно имеет и свойство Ь» (подоб-
(подобные высказывания близки к тому, что средневековая ло-
логика называла «modales de re»2)). Однако, как нам ка-
кажется, Аристотель и здесь придавал различный интуи-
интуитивный смысл своим модальным предложениям.
§ 02. Модальности в традиционной логике
02.1. На основании сохранившихся фрагментов мож-
можно заключить, что Теофраст и Эвдем (отражающие, ве-
вероятно, более поздний этап учения самого Аристотеля)
истолковывали аристотелевское учение о модальностях
с некоторой тенденцией к формализации — в том смы-
смысле, что их доказательства в меньшей степени основы-
основывались на обычном и довольно неопределенном смысле
слов, а в большей — на четко определенной терминоло-
терминологии и на правилах оперирования. «Возможность» опре-
определялась ими как «неневозможность», а модальные вы-
высказывания рассматривались как modales de dicto, до-
допускающие дедукцию по правилу: «заключение всегда
имеет модальность наиболее слабой из посылок».
1 02.2. Общепризнано, что стоики в соответствии со
своей детерминистской точки зрения не оставляли в
своей логике места модальностям. Однако модальности
составляли часть «классической» логики и обычно из-
излагались именно так, как это делали Теофраст и Эвдем.
Здесь можно не касаться вопросов о том, насколько не-
некоторые комментаторы Аристотеля остались верными
аристотелевским интуитивным концепциям, а не «клас-
«классической» точке зрения.
') Модальности речи (лат.). — Прим. перев.
г) Модальности действительности (лат.). — Прим. перев.
РАЗ. 0] ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 19
02.3. Так как наша работа не носит исторического
характера и так как вопрос недостаточно 'разработан,
мы не будем задерживатося на исследованиях, посвя-
посвященных схоластами модальной логике
02.4. В современных описаниях физического мира не
обнаруживается никаких использований неформализо-
неформализованных понятий модальностей. Современная классиче-
классическая логика не отказалась от рассмотрения проблемы
модальностей, но в ее рамках') эта проблема воспри-
воспринимается, можно сказать, как вынужденное несчастье,
причем без всякой надежды на счастливый исход.
§ 03. Логическая алгебра в XIX веке
В исчислении высказываний, принадлежащем соз-
создававшейся в XIX веке логической алгебре, высказыва-
высказывания естественнее было бы понимать как модальные вы-
высказывания. Отправным пунктом всего построения была
алгебра классов. Как известно, классы задаются либо
свойствами образующих их индивидов, либо экстенсио-
экстенсионально,— как множества индивидов, обладающих дан-
данным свойством. Свойства «не а», «а или Ь», «а и Ь»
интуитивно представлялись как свойства, которыми со-
соответственно «не обладают элементы множества а»,
«обладают элементы множества а или (и) множества Ь».
Высказывание «Всё, что а, есть Ь» означало, что каж-
каждый элемент множества а есть элемент множества Ь.
Таким образом, исчисление высказываний формулиро-
формулировалось по аналогии с исчислением классов. Высказы-
Высказывания мыслились как имеющие место (истинные) для
различных классов «случаев», «обстоятельств», «момен-
«моментов времени», «состояний». Эта точка зрения вела к
столь близкой аналогии между исчислениями высказы-
высказываний и классов, что оба исчисления можно было рас-
рассматривать как две интерпретации одной и той же ал-
алгебры. Тогда такие высказывания, как «не р», «р и «7*.
«/? или q», следовало трактовать соответственно как вы-
высказывания, истинные для таких множеств случаев, в
которых р ложно, р и (или) q истинны. Импликация
') В отлпчие от собственно модальной логики, которой посвя-
посвящена настоящая книга. — Прим. ред.
20 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
трактовалась бы как высказывание, утверждающее, что
во всех случаях, в которых истинно р, истинно также
и q. ч
Однако вследствие слабого проявления в то время
интереса к модальностям такая очевидная модальная
интерпретация, опирающаяся на множественность слу-
случаев, почти не использовалась. Приступая к построению
исчисления высказываний, тут же вводили дополнитель-
дополнительные аксиомы, обеспечивающие «двузначность» исчисле-
исчисления. Это достигалось за счет предпосылки о том, что
существует один-единственный случай — «реальный слу-
случай», и что поэтому для высказывания остаются откры-
открытыми только две возможности: либо быть истинным
(если множество случаев, в которых высказывание ис-
истинно, состоит из единственного реального случая), либо
быть ложным (если это множество пусто).
Рассматривая случаи, для которых высказывания
истинны (оставляя при этом открытым вопрос о воз-
возможной множественности таких случаев), мы облегчим
себе задачу эвристического построения модели модаль-
модальной логики в § 2 (термин «модель» будет пониматься
нами не так, как обычно в алгебре логики). Что ка-
касается логики «классов случаев», то, если она не сво-
сводится с помощью дополнительных аксиом к немодаль-
немодальной логике, она становится чем-то таким, что никогда не
было разработано, а именно чисто модальной логикой,
т. е. логикой, в которой не допускаются никакие выска-
высказывания, кроме модальных. В нашей же модальной ло-
логике осмысленными будут как чисто ассерторические
высказывания («р истинно»), так и модальные высказы-
высказывания («р необходимо», «р возможно»).
§ 04. Системы Льюиса
Если не считать работ Макколла, модальности оста-
оставались в забвении вплоть до исследовании Льюиса, по-
появившихся в A Survey of Symbolic Logic A916) и в
Symbolic Logic, написанной совместно с Лэнгфордом
A932). В этих работах:
Г формализована система классических модально-
модальностей;
2° проведена подобная же работа с целью построе-
построения теории «строгой импликации»;
РАЗ. 0] ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 21
3° положено начало в различении систем модальной
логики.
04.1. Основные черты льюнсовских исчислений были
скопированы с формализованной логики Principia Ma-
thematica. Поэтому эти исчисления:
а) исходят из модального исчисления высказываний
(модальное функциональное исчисление практически не
рассматривается, за исключением чернового наброска
в Survey);
б) сформулированы с помощью понятий, разве лишь
терминологически отличающихся от понятий, использо-
использованных в Principia;
в) выведены аксиоматически по образцу Principia.
04.2. Следует подчеркнуть, что Лыонс ставил перед
собой специфическую цель, которую не ставили в своих
работах более ранние логики, хотя те в целях практиче-
практического применения своей теории и использовали модаль-
модальности для выражения онтологических понятий, для раз-
различения необходимых законов от случайных (реальных,
пли фактических) утверждений, для отделения области
возможного от действительно реального и т. д. (эта
идея логической необходимости весьма редко встре-
встречается в работах Аристотеля).
Идея Льюиса состояла в проведении различия меж-
между связками, выражающими логическую необходимость,
и связками, не выражающими такого рода необходимо-
необходимости. В частности, это проявилось в различении «мате-
«материальной импликации» Principia и необходимой, или
«строгой», импликации, логические законы которой бо-
более адекватно описывают понятие «импликации» как
отношения, оправдывающего выводимость. Реализация
этой цели имела одно техническое следствие: поскольку
строгой импликации была отведена роль, аналогичная
той, которую играет материальная импликация в Prin-
Principia, то аксиомы были аналогичны аксиомам Principia,
но содержали строгую импликацию вместо материаль-
материальной. Это был новый метод построения теории модально-
модальностей, который привел к новым результатам.
04.3. Мы здесь упоминали о различных исчислениях
Лыоиса. Он испытывал разные аксиоматические систе-
системы. Система аксиом, представленная в Survey (позднее
названная S3), оказалась в итоге более строгой, чем
22 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ . [ГЛ. I
система S2, описанная в Symbolic Logic. Одна из под-
подсистем S2 была названа SI. Позже были построены
другие системы.
§ 05. Дальнейшее развитие модальной логики
В последние 20 лет проявлялась оживленная дея-
деятельность в области модальной логики, выразившаяся
в появлении большого количества монографий, посвя-
посвященных этой теме. Мы не будем пока касаться проб-
проблемы интерпретации. Техническая сторона модальной
логики разрабатывалась в трех направлениях.
05.1. Во-первых, было построено много различных
модальных систем. Мы уже упоминали SI, S2, S3 и их
подсистемы.
Новое направление исследований началось с попытки
О. Беккера разъяснить путем формализации один давно
известный факт. Дело было в следующем. Классическая
теория модальностей все свое внимание уделяла мо-
модальностям истины, необходимости, возможности и их
отрицаниям. Но как быть с «суперпозициями» модаль-
модальностей, такими, например, как «необходимо, что необ-
необходимо...», «необходимо, что возможно...», или с супер-
суперпозициями более чем двух модальностей?
Формализованная теория не могла пренебречь этой
трудностью только на том основании, что интуитивно
подобные суперпозиции казались странными. Однако
можно попытаться сформулировать аксиомы, позволяю-
позволяющие «сводить» модальности к определенному числу их
или к модальностям определенной формы.
Если ввести аксиому, сводящую любую сложную мо-
модальность к одной из шести простейших модальностей
(а это означает, что любая суперпозиция модальностей
будет эквивалентной модальности без суперпозиций), то
получится система, называемая S5. Но можно исполь-
использовать и более слабые редукции. Наиболее очевидная
из них дает тот результат, что повторение операторов
необходимости или возможности становится эквива-
эквивалентным единственному оператору необходимости или
возможности. Система с подобной редукцией называется
системой S4.
Стимулом для дальнейших исследований явилось до-
доказательство Маккннси того факта, что в S2 существует
РЛЗ. 0| ИСТОРИЧРСКИП ОЧЕРК 23
бесконечное количество неэквивалентных суперпозиций
модальностей, а также в некотором роде удивительный
результат Парри, состоящий в том, что, казалось бы,
безобидная система S3 содержит ровно 42 простых мо-
модальности и их суперпозиции. Между основными систе-
системами может располагаться большое, а в некоторых слу-
случаях даже бесконечное количество систем. Для них
было выяснено, какие импликации модальностей имеют
место, а какие нет, и т. п. Были предложены также но-
новые методы расширения модальных систем, например,
путем постулирования непустоты некоторых классов
высказываний.
05.2. По аналогии с Principia в работах Льюиса до-
доказывался ряд специфических теорем. Здесь, как и в
других областях логики, с недавнего времени основной
интерес был обращен на общие проблемы. Была, на-
например, решена проблема разрешения не только для
сравнительно простой системы S5, но для систем S2
и 54 (Маккинси). Для решения этой проблемы, а также
связанных с ней проблем, была разработана техника по-
построения матриц.
§ 06. Интерпретация
Модальная логика стала, таким образом, весьма
развитой отраслью формализованной логики. Но вопрос
q ее интерпретации остается открытым и выступает сей-
сейчас на передний план.
06.1. Наиболее очевидной является задуманная
Льюисом интерпретация, отождествляющая необходи-
необходимость с «логической необходимостью», которую можно
охарактеризовать синтаксически. Теория Карнапа, ис-
использующая систему S5, пытается связать вышеупомя-
вышеупомянутые понятия между собой. Другая синтаксическая
интерпретация, использующая S4 и термин «возмож-
«возможность» в качестве исходного, была предложена Маккин-
Маккинси. Однако подобного рода интерпретаций не было по-
получено для систем, более слабых, чем система S4.
06.2. Очень интересный перевод интуиционистской
логики посредством системы S4 был дан Гёделем.
Оказалось, что модальности можно использовать для
разъяснения некоторых трудных логических по-
понятий.
24 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦЧОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
Топологическая интерпретация модальностей, наме-
намеченная Тан Цао-чэнем и развитая Маккинси и Тарским,
может оказаться полезным инструментом для матема-
математики.
06.3. Существует еще вопрос о возможности приме-
применения модальностей для описания физического мира.
В настоящее время оживленные дискуссии об использо-
использовании модальной логики для подобных описаний служат
скорее для постановки курьезных вопросов, нежели для
решения каких-либо проблем. Но, несмотря на это, мо-
модальности, но всей видимости, могут быть использованы
для анализа причинности.
Раздел 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ
НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 10. Обозначения
10.1. В немодальном (ассерторическом1)) пропози-
пропозициональном исчислении (АПИ) буквами р, q, r, s обо-
обозначим пропозициональные переменные, символом ~ —
отрицание, символом Л — конъюнкцию, V—дизъюнк-
V—дизъюнкцию, -> —(материальную) импликацию, «->—(мате-
«->—(материальную) эквивалентность.
10.2. В модальном пропозициональном исчислении
обозначим символом ? необходимость, 0> — возмож-
возможность, =# — строгую импликацию, ФФ — строгую экви-
эквивалентность.
10.3. В исчислении предикатов (функциональном ис-
исчислении), как в ассерторическом (АФИ), так и в мо-
модальном, будем использовать х, у, z, ... в качестве ин-
индивидных (предметных) переменных, Vx для обозначе-
обозначения выражения «для всех х», Зх — для обозначения;
выражения «для некоторого х».
10.4. Правильно построенные выражения, составлен-
составленные из перечисленных выше символов, будем называть
«формулами». Вместо «правильно построенная форму-
формула» будем говорить просто «формула».
10.5. Основным (пли главным) символом выражения
будет символ операции, содержащий все другие сим-
символы в области своего действия.
') От англ. assert (утверждать); ср. Карри [1963], гл. 2D и
далее. — Прим. ред.
РАЗ. 1] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГЭ ИСЧИСЛЕНИЯ 25
Формулы, имеющие —¦, ¦*-*¦, =Ф в качестве своего
основного символа, назовем «условными».
10.6. Если буквы Р, Q, R, S — синтаксические обо-
обозначения для формул, то ~ Р, Р V Q будут синтаксиче-
синтаксическими обозначениями соответственно для отрицания
формулы и дизъюнкции двух формул. Аналогичным об-
образом будем использовать другие операциональные
символы.
10.7. Будем использовать круглые скобки в качестве
наименее сильных скобок, квадратные скобки — в каче-
качестве более сильных скобок, а фигурные скобки —в ка-
качестве еще более сильных скобок.
10.8. Будем писать ~ ~ р вместо ~ (~ р), О ~ р —
вместо О(~/>), ОРЛ ~ q — вместо «>р)Л(~ я)
и т. д.
10.9. Префикс К мы будем ставить перед форму-
формулами, принимаемыми (выводимыми, доказуемыми) в
рассматриваемой системе, а также перед формулами
или схемами, истинность (или доказуемость) которых
допускается в каком-либо правиле вывода.
§ 11. Критерий доказуемости формул в АПИ
Примем следующий хорошо известный критерий до-
доказуемости формул в АПИ.
11.1. Формулы могут иметь только два «истинностных
значения»: «истина» и «ложь». Они истинны либо лож-
ложны и не могут быть истинными и ложными одновре-
одновременно.
Отсюда интуитивно ясно, что существует 22 = 4 ком-
комбинаций значений для формулы, содержащей две раз-
различные пропозициональные переменные, а в общем слу-
случае— 2" комбинаций значений для формулы, содержа-
содержащей п различных пропозициональных переменных.
11.2. Истинностной функцией называется формула,
которая принимает определенное истинностное значение
для каждой комбинации истинностных значений входя-
входящих в нее пропозициональных переменных. Например,
«р ложно» является истинностной функцией, потому что
«Р ложно» имеет значение «истина», если р ложно, и
значение «ложь», если р истинно. Выражение «Я верю,
что р» не является истинностной функцией, потому что
вопрос об истинности или ложности утверждения «Я
26 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ . [ГЛ. I
верю, что р» не разрешается на основе истинностных
значений р.
11.3. В АПИ допускаются только истинностные функ-
функции. В частности, ~ Р истинно, когда Р ложно; ложно,
когда Р истинно. PAQ истинно, когда Р и Q оба истин-
истинны, и ложно в остальных случаях (т. е. когда Р истинно
и Q ложно, пли Р ложно и Q истинно, или Р и Q оба
ложны); Р V Q ложно, когда Р и Q оба ложны, и истин-
истинно в остальных случаях; P-*Q ложно, когда Я истинно
и Q ложно, н истинно в остальных случаях (это сво-
сводится к истолкованию Р —> Q как утверждения о том, что
Р не истинно, если только Q не истинно).
Если обозначить цифрой 1 значение «истина»,
а цифрой 0 — значение «ложь», то истинностные таб-
таблицы для отрицания (~), конъюнкции (Л), дизъюнк-
дизъюнкции (V), материальной импликации (—*) и материаль-
материальной эквивалентности (-«->) будут выглядеть следующим
образом:
р ~ р Л 1 О V 1 0 -> 1 о ¦»-*- I О
10 110 111 110 110
0 1 000 010 011 001
11.4. Используя эти таблицы, можно определить зна-
значение любой формулы АПИ для всех возможных значе-
значений ее переменных.
Рассмотрим формулу [p-*q)+-*- {~q-+ ~Р)- Чтобы
построить эту формулу, вначале строим формулы p-*q,
~q, ~p, затем, используя их, формулу ~q-*~p, на-
наконец, строим всю исходную формулу, используя p-*q
и ~ q-> ~ р. Ясно, что возможны лишь четыре комби-
комбинации значений для р и q:
для р 1 1 0 0
для q 10 1 0
Соответствующие им значения функций будут:
для р-> q 1 0 1 1
для ~q 0 1 0 1
для ~ р 0 0 1 1
для •~^->~р I 0 1 1
для всей формулы 1 1 1 1
РАЗ. I] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 27
Это может
таблице:
Приведем
быть,
(р
1
1
0
0
также
РУ-
(Р
1
очевидно,
->
1
0
1
1
q)
1
0
1
0
I
1
1
1
(~
0
1
0
1
таблицу
Л'<?)-
1
1
0
(~
0
подытожено- в
q
1
0
1
0
->
1
0
1
1
для
q
1
Л
0
0
0
1
1
[
0
¦р)
1
1
0
0
формулы
р)
1
следующей
(pAq)++
10 0 1 10 0 0 1
0 0 1 1 0 10 10
0 0 0 0 10 110
11.5. Назовем формулу общезначимой (или тожде-
тождественно истинной), если она имеет значение 1 (истина)
для каждой комбинации значений ее пропозициональ-
пропозициональных переменных. Например, формула
(р —></)-«->•( ~ <7 —> ~ р) общезначима, а формула
(Р Л <?)-<-*¦(~ q Л ~р) не общезначима.
§ 12. Некоторые формулы, общезначимые в АПИ
Назовем а-формулами (а обозначает «ассерториче-
«ассерторическое пропозициональное исчисление», или АПИ) фор-
формулы, общезначимые в АПИ. Приведем список а-фор-
мул, которые наиболее важны для целей сравнения с
теоремами модального пропозиционального исчисления.
Общезначимость а-теорем может быть проверена по-
посредством только что сформулированного критерия.
Формулы, перечисленные в § 12, будут перенумеро-
перенумерованы либо числами типа \2х (здесь х — «мантисса» чис-
числа) либо более простыми выражениями ах (а в этом
случае будет сокращением для 12).
Если формула вида Р ¦*-*¦ Q имеет номер у, то у' есть
помер формулы P-*Q, а у" — номер формулы Q—*P.
(Как окажется позднее, в 14.32, если формула у до-
доказуема, то формулы у' и у" также доказуемы.)
Перечисленные а-формулы могут быть разделены на
следующие три группы. Если «компонентой» формулы
28 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ {ГЛ.'Г
назовем собственную часть этой формулы, которая так-
также является формулой, то:
в формулах первой группы (аО, а\, а2) ни одна ком-
компонента не является условной;
в формулах второй группы (аЗ, а4, аЪ) некоторые
компоненты, но не компоненты компонент, являются
условными;
в формулах третьей группы (аб, о7) некоторые ком-
компоненты компонент являются условными.
Группа 1
аО. Принцип тождества и принципы отрицания
аОО. \-р *r+p принцип тожде-
тождества
аО\. \- ~ ~р ч-». р отрицание отри-
отрицания
аО2. |- ~ (р Д я) ¦*-*¦(~ р V ~ q) отрицание конъ-
конъюнкции
аО21. \-(pAq)<^+~(~ pV ~ q)
аОЗ. h- ~ {р V q) ¦*-*¦( ~ р Л ~ q) отрицание дизъ-
дизъюнкции
аО31. \-{pV q)<r-+~{~ p /\ ~ q)
аО5. h- ~ {р Л ~ р) принцип противо-
противоречия
аО55. h(9A ~ q)-*P
аО6. |- р V ~ р принцип исклю-
исключенного третьего
аО65. \-p->(q V -~ Я)
а\. Теоремы о конъюнкции
alQ. \-{pAq)-*P
\- (p Л <7L->-(q Л р) коммутативность Л
"*-*" [(P Л ?) Л г] ассоциативность Л
Будем писать р Aq Ai~ вместо \(р A q) А г].
t-[pA(q\/r))++
¦++[{pAq)V{pAr)] дистрибутивность д
относительно V
РАЗ. I] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
29
Ql4.
al5.
al6.
1— p *
1— рм
1— p •"
*->(p
(-»»[/>
*+[P
A
A
A
P)
(PV
(qv
q)]
q)}
идемпотентность Л
a2. Теоремы о дизъюнкции
a20. Ь р -> (p V </)
a201. h<7->(pV<7)
a21. h(pV</)^(?Vp)
a22. h[pV(</Vr)]*->
коммутативность V
г] ассоциативность V
Будем писать pV<?Vr вместо [(pV<7)Vr]
дистрибутивность V
относительно Л
идемпотентность V
а23
й24
а25
а26
Гр
аЗ.
а31
а31
. h
. h
. h
упп ;
[pv
р ч—>
рч->.
р*->
а 2
Теоремы
. (-
1. Ь
в312. Ь-
а32
. h
(Р-*
(Р-
(~ Р
[(РА
(q А г)] ++
(pVp)
[pV (p A q)]
[р V (q А Л/ я)]
об импликации
<7)*-»-(~ q-> ~ р)
~ </)ч-у(9-*~Р)
i_>,7).*->(~ </->р)
а321.
р]
а381. ь-(р-><7)-^[(гЛр)-^(гЛ<7)]
а383. h-(p-></)-*[(rVp)->(rV9)]
а4. Теоремы об эквивалентности
о41. h(p^</)^(?^p)
а42. |-(р^.(/)ч->(~/,ч-.~9)
а431. Ь (р<-*<?)->(р-> <7)
контрапозиция
^г)->л/</] антилогизм
теоремы
умножения
30 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ (ГЛ.. I
а432. I- (𠦫->• q)->(q-> p)
Q44. I-(р *-* q) *^-[p *^-(p A q)]
а441. I— (р -*<?)•*-*•[Р —*-(р А Я)\
а45. \-(p->q) *-*[(р V q) •»->• gj
q451. h- (p-*¦</) •e"^[(P Vq)-+q\
a48l. I— (p •*—*• ^) —*¦ [(p Л г) •*-*• (^ Л г)]
а482. h-(р •*-> <7)-* [(Р V 0 ч-у (^ V 0]
а5. «Парадоксальные» теоремы об условных фор-
формулах
а501. l-(p-><7)*->(-PV'?)
q502. h- ~ (p -* q) *->(/? Л ~ q)
а503. I— (р -*¦ q) ¦«-> ~ (р Л ~ <?)
а511. h- <7 -> (р -*¦ <7)
а512. I- ~ Р —»(р —> <7)
а521. \—{р A q)-* {р •*-+¦ q)
а522. h (~ р Л ~ q)-*{p +-*q)
q531. h- jt) -^- (~ p -> p)
а532. Ь ~ p •*-> (p -¦ ~ p)
a541. \-(p-> q) V (q-* p)
Q542. h-(p-
Группа 3
В этой группе будем различать три подгруппы:
(аб) Одна компонента является конъюнкцией или
дизъюнкцией предложений, по крайней мере одно из
которых является условным.
(а?) Одна компонента является условной и но край-
крайней мере одна из ее компонент также является
условной.
(а8) Одна компонента является отрицанием услов-
условного предложения.
яб. Силлогизм и композиция
Modus ponens и modus tollens
а61. \-\p/\{p-*q)]->q
абП. Ь[~ q Aip-i-q)}-" ~Р
а612.
РАЗ. 1] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 31
Полный силлогизм
а62.
а621.
а623. [{pq)(q)](p)
а625. h- {(p -+q)A [(q As)-* r]} -* [(р A s) -* г]
абЗ. }-[(p->q)/\(q-+r)A(r-*s)]->(p-*s)
Композиция конъюнкций
«651. \-[(p->q)/\(p-*s)]++[p-*(qAs)]
а655. }-[{p->q)h(r-+q)]«-+[(pVr)-+q]
а661. \-[(P-+q)A(r-+s)]-+[(pAr)-*(q As)}
«665. \- [(р -^ </) Д (г -* s)] -> [(р V г) -* (q V s)]
Композиция дизъюнкций
а67. t-[(p-><7)V(p->s)]«->[p->(<7Vs)]
а675. нкр-цду (г-></)]«-*[(/> Л г)-*</]
Эквивалентность как конъюнкция импликаций
а68. h[(p-*<7)A(9-*P)]4^(P<t->9)
Доказательство от противного и дилемма
а69. h [(р -* ?) Л (р -> ^ Я)] -* ~ Р
а695.
а696.
а7. Теоремы об экспортации и импортации
Принципы
а705. ь[р-^(9-^г)]^[9->(р->г)]
«Экспортационные» аналоги теорем аб
Все формулы аб, имеющие вид (Р AQ)~* #. имеют
экспортационные аналоги вида Р-*(Q—>R).
Номера экспортациониых аналогов те же самые, что
и номера соответствующих формул аб, с той лишь раз-
Чицей, что «мантиссы» начинаются с 7; например:
а72. f-(p-*<7)->[(<7-*r)-*(
а79. h(p-></)->[(p->-<7)
32 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
а8. Отрицание условных предложений
а81. f- ~ (p -*q)*-+ (p Л ~ q)
а82. \-~{p-+q)-+{p-+~<i)
а83. I (p*-+q)-^»[(pA ~<7)V(~pA<?)]
а84. I (p*-+q)^[{pVq) A(~pV ~ <?)]
§ 13. Постулаты АПИ
Напомним для ссылок в дальнейшем систему аксиом
Рассела — Бернайса в том виде, какой она имеет у
Гильберта и Аккермана.
13.1. Аксиомы (исходные предложения):
13.11. \-{р\/р)-*р (=024*0
13.12. \-p->{p\fq) (=а20)
13.13. \-{pVq)-*{qVp) (=а2Г)
13.14. Mp-»<7)->K'Vp)->(rV<7)I (=а383)
13.2. Согласно правилу подстановки доказуемая фор-
формула остается доказуемой, если вместо пропозициональ-
пропозициональной переменной всюду подставить некоторую формулу.
Понятие формулы определяется рекурсивно следую-
следующим образом:
1°. Пропозициональные переменные суть формулы.
2°. Если Р, Q суть формулы, то ~Р, Р A Q, Р V Q,
P-*Q, P ¦*-* Q суть формулы.
13.3. Правило отделения для -*. Если Р доказуема
и если P-+Q доказуема, то Q также доказуема. (Так
как вместо выражения «Р доказуема» сокращенно пи-
пишется \— Р, то данное правило принимает вид: если \— Р
и если (— Р -*¦ Q, то f— Q.)
13.4. Определения
13.41. РАО. означает ~(~PV~Q);
13.42. P-yQ означает ~PVQ;
13.43. P++Q означает (Р-> Q) Л (Q -¦ Р).
§ 14. Выводы в АПИ
Не только теоремы § 12, но и вообще все теоремы,
обосновываемые посредством метода § 11, могут быть
выведены из постулатов, которые только что были пе-
перечислены. Мы не будем приводить этих выводов, ибо
РАЗ. 1] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 33
их можно найти у Гильберта и Аккермана. Мы изло-
изложили эти постулаты для того, чтобы сравнивать их с
другими системами. В данном параграфе разъясним по-
понятие доказательства, которое используем в § 18, и
выведем несколько правил, опять-таки в целях сравне-
сравнения их с правилами других систем.
14.1. Доказательство теоремы мы будем осуществлять
шаг за шагом, помещая результат каждого шага в виде
отдельной строчки.
Каждый шаг будет производиться на основе тео-
теоремы (т. е. одной из аксиом, либо теоремы, доказанной
и занумерованной ранее, либо леммы, сформулирован-
сформулированной и занумерованной в качестве одной из предыдущих
строк доказательства). Если теорема, на которую де-
делается ссылка, не выписана в непосредственно предше-
предшествующей строке, то номер ее будет упоминаться в кон-
конце данной строчки (обычно он будет сопровождаться
словом «из»).
Каждый шаг будет производиться на основе некото-
некоторого правила (исходного, как в 14.2, или выводимого,
как в 14.3) или определения. Номер этого правила или
определения указывается для данной строки справа от
нее. Он может заменяться шифром посредством одного
из сокращений, приведенных ниже. В случае очевидно-
очевидности правил, по которым выводятся строчки, их упоми-
.нание может быть опущено или несколько «шагов» мо-
могут быть совмещены в один. Последняя строчка яв-
является теоремой, которую требуется доказать. Эта
теорема выписывается в явном виде или заменяется
сокращением «Т».
14.2. Ссылки на используемые в выводе исходные
правила или определения будут обозначаться следую-
следующим образом:
14.21. Использование правила подстановки может
обозначаться словами: «по правилу 13.2», например:
A) \-(p-*q)-*[(rV p)^(rVq)} 13.14
B) \-{p-+q)-*[{~r Vp)->(~rV<?)] по правилу 13.2
Факт использования этого правила обычно не будет
фиксироваться в явном виде, а если и будет, то
сокращенно — выражением «подст.», написанным непо-
34 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ ¦ [ГЛ. I
средственно после номера той формулы, в которую про-
производилась подстановка. Например,
)-(p-+q)-*-l(~r\/ p)->{~ r\/q)] 13.14 подст.
14.22. Применение правила отделения будет отме-
отмечаться выражением «но правилу 13.3». Допустим, что
доказаны а 10 н а70', и мы хотим вывести из них
p-*(q-*p)-
A) \-[(pAq)^p]->[p->(q-+p)] а70' подст.
B) \-(pAq)->P а10
C) \-p-+(q->p) из A) и B) по пра-
правилу 13.3
Применение правила 13.3 обычно отмечаться не будет.
14.23. На определение, имеющее номер х, будем ссы-
ссылаться посредством выражения «по опр. х». Докажем
(р -*¦ q) -> [(г ->/?)-> (/¦ -> q)}.
A) \-(p-*q)-*-[(~rVp)-*'{~rVq)] 13.14 подст.
B) ЬТ по опр. 13.42
14.3. Вообще говоря, доказательства можно прово-
проводить, используя только исходные правила (и определе-
определения); однако во избежание тривиальных и утомитель-
утомительных выкладок лучше использовать производные (выво-
(выводимые) правила, примеры которых приведем ниже.
14.31. Допустим, что доказана аО6: \—р V ~р; тогда
мы «почти инстинктивно» получаем пз аО6 «ввиду
13.13» |— ~р V р. Если бы этот шаг пришлось обосно-
обосновывать с помощью исходных правил, то мы имели бы:
A) f-pV ~p
B) \-(pV ~ р)-*{~р\/р) 13.13 подст.
C) f-~pVp из A) и B) по пра-
правилу 13.3
В общем случае, если R-*S— теорема, а /?' и S' —
выражения, полученные заменой всех пропозициональ-
пропозициональных переменных в R и S на соответствующие заглавные
буквы (т. е. по правилу подстановки), то имеет место
правило:
РАЗ. 1) КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 35
«Если I— Rf, то (— S'». Если г — номер теоремы
(-/?-> S, то использование такого правила будет ука-
указываться посредством выражения «по г». Это может
значительно сокращать доказательства. Например, при-
приведенное выше доказательство из трех шагов будет
иметь два шага:
A) h-pV ~ р аО6
B) I pV p по 13.13
14.32. Если формула у вида Р ¦«-> Q доказуема, то
по а431 доказуема формула у', а по а432— также и
формула .г/" (обозначения у' и у" см. в § 12, стр. 27).
14.4. По образцу 14.31 можно доказывать и другие
правила вывода, имеющие вид «Если 1— ..., то [— ...».
В доказательстве могут фигурировать гипотезы, со-
содержащиеся в посылках исходного правила вывода, но
могут вводиться по мере надобности и иные гипотезы.
Промежуточные шаги будут «схемами», и будут обо-
обосновываться посредством правил или определений.
Заключением будет заключение того правила, кото-
которое требуется доказать.
Докажем этим способом следующее правило:
Если \-P-+Q и если \-R~*P, то \-R->Q.
A) h-P->Q гипотеза («гип.»)
B) \~(P~*Q)~*[{R~*P)->{R->Q)] 14.23 (в виде схе-
схемы, которая мо-
может быть по-
помечена «14.23
подст.»)
C) \-(R^P)^(R^Q) из A) и B) по
правилу 13.3
D) \- R-+P гип.
E) hR~+Q из C) и D) по
¦правилу 13.3
14.5. Из постулатов в § 13 можно доказать правило
замены (материально эквивалентных):
Если Р и Q ¦*->¦ R доказуемы и если S получается
заменой в Р либо Q на R либо R на Q в одном или
более местах, то и S доказуема.
36 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦНОН. ЛОГИКУ ' [ГЛ. I
§ 15. Матрицы
15.1. Метод проверки, разъясненный в § 11, может
быть изложен в терминах матриц.
(а) Значениями матриц являются 1 и 0.
(б) 1 называется выделенным значением.
(в) Отрицание и дизъюнкция определяются посред-
посредством таблиц, приведенных в 11.3.
(г) Тогда согласно определениям 13.4 могут быть
получены таблицы значений для конъюнкции, имплика-
импликации и эквивалентности, которые оказываются такими
же, как в 11.3.
15.2. Критерии общезначимости, сформулированный
в § 12, можно тогда изложить следующим образом: фор-
формула общезначима, если она принимает выделенное зна-
значение для каждого набора значений пропозициональных
переменных.
15.3. Матрица, описанная в 15.1, является лишь
весьма частным примером матрицы. В общем случае,
чтобы построить матрицу, достаточно:
(а) Определить (конечное пли бесконечное) множе-
множество возможных значений предложений.
(б) Выбрать некоторые из них в качестве выделен-
выделенных значений, т. е. значении, которые должны будут
принимать истинные предложения.
(в) Определить исходные пропозициональные функ-
функции, посредством которых могут быть определены или
построены остальные пропозициональные функции. Для
этого определения надо использовать таблицы, задаю-
задающие значения функции для всех возможных значений
се переменных.
Заметим также, что в примере 15.1 истинностные
значения и сами пропозициональные функции имели ин-
интуитивный смысл. Например, терминам «истина», «от-
«отрицание», «дизъюнкция» придавался обычный смысл,
который связывался с этими терминами в АПИ. Но
мы можем использовать и часто используем матрицы,
со значениями и функциями которых предварительно не
связывается никакой интуитивный смысл.
15.4. В 15.2 понятие матрицы использовалось для
решения вопроса о том, является ли данная формула
общезначимой в некоторой системе, т. е. выводима ли
она из данных аксиом. Для этой цели надо доказать:
РАЗ. 1] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
37
1° Что каждая аксиома и каждая формула, выводи-
выводимая из аксиом (аксиомы 13.1 и предложения, выводи-
выводимые из них посредством 13.2—13.4), удовлетворяют мат-
матрицам.
2° Что только эти аксиомы или формулы, выводимые
из них, удовлетворяют данным матрицам.
В последующем изложении мы не будем использо-
использовать матрицы для доказательства того, что данная фор-
формула выводима из данных аксиом, а используем их для
того, чтобы показать, что данная формула не может
быть выведена из данных аксиом. Для этой цели до-
достаточно доказать, что выполняется условие п. 1°, а за-
затем показать, что данная формула не удовлетворяет вы-
выбранной матрице.
Докажем, например, что аксиома 13.12 f-p->(pV<?)
не может быть выведена из других аксиом § 13 (неза-
(независима от этих аксиом).
Для доказательства построим следующие матрицы:
(а) Значения: 0, 1, 2, 3.
(б) Выделенные значения: 0, 2.
(в) Р | ~Р V| 0 1 2 3
1
О
3
2
0 0 0 0
0 111
0 12 2
0 12 3
-*•
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
2
1
0
2
2
3
1
0
3
2
Можно показать: 1° что аксиомы 13.11 —13.14 всегда
принимают выделенные значения 0 либо 2; 2° что вы-
выделенные значения сохраняются в любой формуле, вы-
выведенной согласно правилам 13.2—13.3 и определе-
определениям 13.4.
Однако если р = 2 (если р имеет значение 2) и если
q = 1, то р—*{р V с}) имеет значение 1, т. е. невыделен-
невыделенное значение. Следовательно, она не может быть вы-
выведена из других аксиом системы.
15.5. Доказательство непротиворечивости множества
аксиом аналогично доказательству независимости, по-
потому что это множество непротиворечиво^ если невоз-
невозможно из него вывести формулу Р и ее отрицание ~Р.
Используя матрицы 11.3, мы показывали, что мно-
множество аксиом § 13 непротиворечиво.
38 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗНЦИОН. ЛОГИКУ ' [ГЛ. I
Можно показать (как и в 15.4): 1° что все аксиомы
13.1 имеют выделенное значение 1; 2° что выделенные
значения сохраняются во всех формулах, выведенных
согласно 13.2—13.4.
Если формула Р доказуема, то она имеет значение 1.
Тогда ~Р имеет значение 0. Таким образом, ~Р яв-
является недоказуемой.
§ 16. Постулаты ассерторического функционального
исчисления первого порядка (АФ'И)
Мы рассмотрим только функциональное исчисление
первого порядка (т. е. исчисление предикатов от инди-
индивидов). Теоремы этого исчисления могут быть выведены
из различных множеств аксиом. Для нашей цели мы
предпочли аксиомы Mathematical Logic Куайиа, доба-
добавив к ним определения 16.51 —16.52').
16.0. Понятия «свободное» и «связанное» (примени-
(применительно к переменным и их вхождениям) определяются
обычным образом. Мы допускаем выражения вроде
VX3XP, даже если квантор V^ был применен к выра-
выражению ЗХР, в котором X является связанной пере-
переменной.
16.1. Аксиомы, правила и определения АПИ § 13 яв-
являются также аксиомами, правилами п определениями
АФ'И.
16.2. Правило обобщения: Если f- P, то f- УХРш
16.3. Аксиомы (выраженные в виде схем):
16.31. Ь VX(P-*Q)->(VXP->VXQ).
16.32. Если X не свободна в Р, то f- P^-VXP.
16.33. Пусть (X/Y)P есть результат подстановки У
вместо каждого свободного вхождения переменной X
') В § 16 и 17 мы рассмотрим АФ'И в наибольшей общности.
Поэтому удобнее будет формулировать не аксиомы и теоремы, а
схемы аксиом и теорем. В схемах буквы Р, Q, R будут обозначать
(если не оговорено противное) любое предложение. В § 18, наобо-
наоборот, будет удобнее формулировать не схемы теорем, а теоремы.
Дело в том, что там мы будем иметь дело со специальными «ато-
«атомарными» предложениями, содержащими х в качестве свободной
переменной. Поэтому в § 18 р, q% r будут использоваться только
для обозначения высказываний, содержащих свободную перемен-
переменную х.
РАЗ. 1] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 39
в Р. Тогда, если У не окажется связанной в Р на тех
местах, где X была свободна, то К VXP ->(X/ Y) Р.
16.34. Ь- VXVYP^VYVXP
(или правило, заменяющее эту аксиому.)
16.4. Правила подстановки не нужны в системе со
схемами аксиом.
16.5. Определения
16.51. ЗХР означает ~ VX ~ Р
16.52. P-j>Q означает VX(P->Q)
16.53. Р+-у-> Q означает
§ 17. Основные теоремы и правила вывода,
характерные для АФ'И
Хорошо известные теоремы (написанные в виде
схем) и правила приводятся без доказательств.
17.0. Отрицание
17.01. | V*P«-*3X~P
17.011. f- VXP*^~3X~P
17.02. | 3*P*^V*~P
17.021. |-3XP«-*~ VX~P
17.1. Подчинение (Y не связывается в Р на тех
местах, где X свободна)
17.11. Ь VXP-+(X/Y)P (=16.33)
17.12. \-(X/Y)P->3XP
17.13. \-VXP-+3XP
17.2. Дистрибутивность кванторов по отношению
к А и V
17.21. f- VX(PAQ)*-+(VXPAVXQ)
17.22. I-
17.23. [
17.24. I
17.241. ^
17.3. Дистрибутивность кванторов по отношению
к —> и ¦*-*¦
17.31. (- VX(P^Q)->(VXP->VXQ) (=16.31)
17.315. b-[VX(P-
40 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПО31Ш1ЮН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
17.32. \-VX(P->Q)->CXP->3XQ)
17.325. \-[VX{P->Q)A3XP]-+3XQ
17.33. |- VX(P«-+Q)-+(VXP*-»VXQ)
17.34. b VX{P^Q)->{3XP*~+3XQ)
17.4. Правила дедукции
17.41. Если \-VX(P->Q), то \-VXP->VXQ
17.42. Если bVX(P->Q), то }-3XP-i>3XQ
ПАЗ. Если hVI(P^Q), то \-VXP+-+VXQ
17.44. Если hVX(P*-*Q), то \-3XP*->3XQ
§ 18. Замена материальных связок формальными
в одноместном АФ'И
18.0. Для наших целей будет полезным рассмотреть
частную проблему, касающуюся особой формы АФ'И.
18.00. А именно, рассмотрим только одноместное ис-
исчисление предикатов, соответствующее обычному исчис-
исчислению классов. Поэтому в § 18 мы никогда не будем
использовать более одной свободной предметной (инди-
(индивидной) переменной X.
18.01. Не будем рассматривать никаких других ато-
атомарных формул, кроме тех, в которых свободной пере-
переменной является X (формулы «от переменной X»).
18.02. Сформулируем следующий вопрос: «возможно
ли в формулах и правилах, отвечающих перечисленным
выше условиям, заменить „материальные" связки „фор-
„формальными" связками -j> и <—^-> так, чтобы сохраня-
сохранялась доказуемость (общезначимость)»?
Мы скажем, что такое преобразование может быть
проведено полностью, если формула или правило сохра-
сохраняют свою доказуемость в том случае, когда каждый
символ —* заменяется на -д>у а каждый ¦*-*¦ на <~y>
и не проводится никаких других преобразований.
Мы также упомянем в 18.1 случай, когда главный
символ —*¦ или ¦*-»¦ может быть заменен на ~> и <-у>
(и никаких других преобразований не производится).
Такое преобразование является, грубо говоря, преоб-
преобразованием теорем логики высказываний в теоремы
исчисления одноместных предикатов первого по-
порядка.
РАЗ. !] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ НЕМОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 41
Приведем примеры хорошо известных методов, кото-
которые позволяют делать именно такие (и. только такие)
преобразования. В некоторых случаях условия преоб-
преобразования должны быть усилены (должны быть добав-
добавлены некоторые кванторы), или ослаблены (не все
условные предложения будут переводиться), или моди-
модифицированы каким-либо иным образом. В некоторых
случаях преобразование условных предложений не до-
допускается вообще.
18.1. В качестве примера для первой группы возь-
возьмем аО1
[_ ~ ~ аХ-^-аХ ') аО1 подст.
\- VX(~~aX^aX) по 16.2
I— ~ ~ аХ *~х"> аХ по опр. 16.53
Подобное преобразование всегда возможно, если
главный символ является условным.
18.2. В качестве примера для второй группы рас-
рассмотрим
\-(аХ->ЬХ)+-+{~ ЬХ-+~аХ) а31 подст.
\-ЧХ[(аХ-+ЬХ)+-+(~ЬХ-*~аХ)] по 16.2
f- VX(aX->bX)*^VX(~bX->~aX) no 17.31
Это преобразование в его обычной форме, но глав-
главный символ остается непреобразованиым. Чтобы его
преобразовать, надо добавить следующий тривиальный
шаг:
Ь VXftaX-z* ЬХ) *-» (~ bX-j> ~ аХ)\
Ь (аХ-j> ЬХ) +-y>(~ ЬХ-х* ~ аХ)
18.21. Можно подчеркнуть, что этот метод может ве-
вести к «усиленным» преобразованиям в таких случаях,
как, например, а5Н:
\-ЬХ->(аХ->ЬХ) a5U подст.
Ь- VX[bX->(aX->bX)] по 16.2
\- VXbX-+VX(aX-+bX) по 17.31
\-VХЬХ—х+(аХ-j> ЬХ) (самые последние шаги
аналогичны вышеприве-
вышеприведенным)
') а, Ь, ... — символы предикатов (одноместных). — Прим.перев.
42 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
18.3. Что касается теорем третьей группы, то подоб-
подобное преобразование является легким лишь для выраже-
выражений с конъюнкцией условных предложений:
\- [(аХ -+ ЪХ) А (ЬХ -*сХ)\-> (аХ -> сХ)\ а62 подст.
Ь- V* [(аХ -+ ЬХ) А(ЬХ-^сХ)] -х>
-^¦*-(аХ—>сХ) как в 18.2
Ь- VX(aX-+bX)A VX{bX-+cX)— >
j+cX) no 17.21
18.31. Подобное преобразование может иметь ослаб-
ослабления и модификации в подслучаях ей и а8.
18.4. Приведем пример теоремы, где преобразование
не допустимо:
\-(аХ-+ЪХ)\/(ЪХ-+аХ) .аЬ\\ подст.
\-ЧХ[(аХ-*ЬХ)Ч{ЬХ-+аХ)\ по 16.2
Дальнейшее пронесение квантора VX невозможно.
18.5. Теоремы и правила § 17 могут быть преобразо-
преобразованы согласно приведенным выше методам.
Раздел 2. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К МОДАЛЬНОЙ
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ М "ПК
§ 20. Идея вспомогательной логики
20.1. Модальную пропозициональную логику можно
построить в виде расширения АПИ. Для этого берутся
те же самые переменные р, q, г, ..., те же самые связ-
связки отрицания ~, конъюнкции Л, дизъюнкции V, ма-
материальной импликации —*, материальной эквивалент-
эквивалентности ¦*->, те же самые аксиомы и правила. К ним
добавляются символы «необходимо» (П) и «возмож-
«возможно» (О).
20.2. Однако необходимо ввести постулаты для но-
новых исходных символов ? и О. Для этого мы сформу-
сформулируем вспомогательную логику М"ПК (М"ПК можно
расшифровать: «модальная логика, интерпретированная
посредством кванторов»). Мы пишем М" вместо М, так
как М"ПК эквивалентна модальной логике М" фон В риг-1
РЛЗ. 2) ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 43
та. В этой логике Вригт') реализовал идею, которая
более или менее отчетливо руководила многими логи-
логиками. Идея состояла в том, что предложение модальной
логики не является категорически истинным или лож-
ложным, а является истинным или ложным в определенном
случае, в некоторых случаях или во всех случаях.
20.3. Предложение АПИ —это утверждение о вполне
определенном факте. Модальная же логика рассматри-
рассматривает различные типы или роды событий, которые могут
происходить в различных случаях или обстоятельствах.
Мы не придаем термину «случай» точного значения,
например, не отождествляем случаи с моментами вре-
времени пли с возможными мирами, по крайней мере в
принципе. Точные значения этого термина могут быть
введены в приложениях модальной логики. Заметим
только, что различие случаев не должно отождеств-
отождествляться с различием индивидов или предикатов. Если
буква t — переменная для случаев, то эта ^ —перемен-
—переменная особого рода, отличная от переменных для
предложений, индивидов и предикатов.
В качестве переменных для «видов фактов» или (со-
(содержаний фактов» будем использовать прямые латин-
латинские буквы р, q, r, которые следует отличать от курсив-
курсивных р, q, г, используемых в § 22, а также начиная с
раздела 3 и далее.
«Событие р происходит в случае t» будем записы-
записывать посредством pt. pt можно сравнить с выражением
аХ, приписывающим одноместный предикат индивиду.
20.4. Утверждение «Событие р происходит с необхо-
необходимостью» выразимо на нашем вспомогательном языке
посредством Vtpt (для любого t событие р происходит
в случае /), а «Событие р возможно» — через 3tpt (для
некоторого t событие р произойдет в случае t).
Мы называем такой вспомогательный язык М"ПК,
потому что символы необходимости и возможности за-
заменены в нем кванторами.
20.5. Но как быть с предложением, выражающим не-
немодальное утверждение, которое обычно обозначается
посредством р? Его мы выражаем посредством р^.
') Правильное написание этой шведской фамилии восстанавли-
восстанавливается здесь вместо привычного «англизированного» «Райт». —
Прим. ред.
44 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [ГЛ. Г
20.51. Может появиться желание интерпретировать
модальность р как «р истинно в действительности»,
т. е. как утверждение о том, что р истинно в некотором
конкретном «реальном случае». Но ведь р является не
пропозициональной постоянной, а пропозициональной
неременной. Подобная переменная обозначает все зна-
значения, которые она может принимать. В ассерториче-
ассерторической логике р является произвольным предложением в
том смысле, что оно обозначает утверждения о произ-
произвольных мыслимых фактах. В модальной логике в раз-
разных случаях факты могут иметь различное содержание.
Поэтому символ р в излагаемой ниже модальной логике
будет обозначать утверждение о произвольном содержа-
содержании факта в любом из «случаев».
20.52. Мы ограничимся здесь чистым модальным
исчислением и не будем рассматривать то, что можно
было бы назвать прикладным модальным исчислением.
Прикладное ассерторическое исчисление может упо-
упоминать некоторые конкретные факты, а прикладное мо-
модальное нечисление может упоминать конкретные содер-
содержания фактов и конкретные случаи. Только в модальном
прикладном исчислении имеет смысл говорить:
A) о различных содержаниях факта в конкретном
случае, например, в «реальном случае»;
B) о неизменном содержании факта в переменном
случае, например, как это имеет место в высказывании
«идет дождь», если обстоятельства, при которых идет
дождь, изменяются;
C) о неизменном содержании события в конкрет-
конкретном случае.
20.6. Хотя выражения М"ПК могут иметь различные
переменные для случаев, однако для перевода обычной
модальной логики достаточно и одной переменной /.
Дело в том, что в этой логике переменные для случаев
не указываются явно, и она не приспособлена для рас-
рассмотрения случаев различных родов.
§ 21. Исчисление М ПК
21.1. Назовем М"ПК исчисление, которое мы только
что описали в общих чертах. М'ТЩ — это модальное
пропозициональное исчисление, в котором модальность
выражена при помощи кванторов.
РАЗ. 2] ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 45
» 21.2. В дальнейшем мы подробно разъясним, почему
,М"ПК в точности аналогично исчислению- одноместных
предикатов (§ 18), являющемуся частным случаем ис-
исчисления АФ'И (§§ 16, 17).
21.3. Правила образования. Предполагается, что за-
задан бесконечный список переменных р, q, r, s, p', q', ...
Переменные из этого списка будут обозначаться посред-
посредством Р, Q, ..., а переменная t — посредством Т.
21.32. Предложения М"ПК будут обозначаться по-
посредством М, N, ...
Предложения М"ПК могут быть рекурсивно опреде-
определены следующим образом: выражения вида РГ яв-
являются предложениями. Так, pt, qt, xt суть предложе-
предложения. Но предложениями не являются ни р, ни q.
Если М и N — предложения, то ~ М, MAN,
М V N, M-+N, M+-+N — тоже предложения. Если
Л1 — предложение, то VTM, ЭТМ — тоже предложения.
21.4. Теперь можно сформулировать постулаты
М"ПК «параллельно» описанию постулатов АФ'И. Этот
«параллелизм» требует, однако, некоторых замечаний:
21.41. Правило образования должно быть таким,
чтобы выражение Q'TQTPT (где Q и Q' обозначают V
или 3) было правильно построенным. В Q'TQTPT
самое правое Т связано внутренним квантором QT.
21.42. Правило обобщения, параллельное правилу
16.2, существенно для нашей интерпретации. Позже ока-
окажется, что оно имеет место в системах So, 54 и 52'.
21.43. С помощью аналога 16.33 будет доказано, что
Q'TQTPT сводится (строго эквивалентно) к QTPT.
21.44. Не существует аналога аксиомы 16.34.
21.5. Назовем «соответствующими» предложения,
теоремы, правила, определения систем М"ПК и АФ'И,
если эти предложения, теоремы, правила, определения
получены заменой
соответственно р, q, r, s, р', ..., Р, Q, ..., t, Vt, 3i
па a, b, с, d, a' А, В,..., X, VX, Э*.
21.6. Если выражение АФ'И правильно построено, то
очевидно, что соответствующее ему выражение М"ПК
тоже правильно построено.
21.7. Если выражение АФ'И доказуемо, то соответ-
соответствующее ему предложение М"ПК также доказуемо.
46 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОЦ. ЛОГИКУ [ГЛ. Г
Согласно этому правилу можно выводить предложения
М"ПК, соответствующие в вышеуказанном смысле одно-
одноместному АФ'И. А доказательства в М"ПК могут ими-
имитироваться доказательствами в АФ'И.
Например, VX[aX->(bX V aX)] доказуемо в АФ'И;
следовательно, Vtf [pt ->(q^ V рО1 — в М"ПК.
21.8. Примем также в М"ПК. определения и правила,
соответствующие определениям и правилам АФ'И.
Например, примем определения:
pt—j* qt— сокращение для V^(p^—> qt),
pt <---> q^ — сокращение для Vt (pt <-*¦ qt).
§ 22. Логика М'ПКИ
Начиная с этого параграфа и далее (за исключением
третьей главы) мы более не будем непосредственно упо-
употреблять исчисление М"Ш\. Вместо него используем
исчисление, которое назовем М"ПКИ. Это исчисление
дедуктивно эквивалентно М"ПК, но содержит символику
обычной модальной пропозициональной логики, которую
мы назовем М"ПИ.
22.1. Будем строить выражения М"ПКИ из выраже-
выражений М"ПК посредством следующей замены:
pt, qt, rt yt, 3t, ->, <~>
на
p, q, r, .... П, 0» =#. 4Ф
22.2. Эта замена ввиду вышеуказанного одно-одно-
одно-однозначного соответствия сохраняет доказуемость.
22.3. Из изложенного выше соответствия следует, что
определения 23.5, приводимые ниже, должны быть при-
приняты в М"ПКИ.
§ 23. Постулаты, подсказываемые эвристическим
соответствием ')
23.1. Все принципы АПИ доказуемы в М"ПКИ, а
именно:
23.11. Аксиомы 13.1 АПИ;
23.12. Правило подстановки 13.2;
') Мы могли бы теперь изложить теоремы и правила М"ПК,
соответствующие теоремам и правилам §§ 16—18, 21.5. Однако
ГАЗ. 2] ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 47
23.13. Правило отделения 13.3;
23.14. Определения 13.4 (символов Л. ->, -*->•) ').
23.2. Правило: Если HP, то V- ПР.
23.3. Аксиомы для модальности:
23.3Г. НП(р-*<7)->(Пр->П<?).
23.32. Если Р — собственная модальность (см. 30.6),
то \~ Р -> ? Р.
23.33. (- Пр-^р (аналог 16.34 не требуется).
23.34. Если Р — формула в АПИ, то Р — формула
в М"ПКИ. Если Р, Q —формулы, то ~ Р, Р V Q,
DP- тоже формулы.
23.5. Определения:
23.51. О Р означает ~ ? ~ Р
23.52. P=$Q означает D(P->Q)
23.53. P&Q означает ? (Р «-> Q).
§ 24. Основные теоремы и правила для модальностей
к М ПКИ
Теперь изложим формулы и правила, соответствую-
соответствующие формулам и правилам § 17 в силу соответствия
из 21.5. (Используем определения 23.51—23.52, где это
будет возможно.) Полученные формулы и правила бу-
будут, таким образом, доказуемы в М"ПКИ и могут быть
• ныведены из аксиом 23. Вместо того, чтобы писать
24.x, будем писать тх.
предварительно упомянем о некоторых интересных и легко уста-
устанавливаемых фактах. Посредством нашего соответствия можно фор-
формулировать теоремы и правила М"ПК.И, но мы не всегда можем
доказать их в Л\"ПКИ. Мы можем лишь доказать соответствующую
теорему или правило в ассоциированном исчислении, а затем при-
применить соответствие. Но можно применить соответствие к мно-
множеству постулатов § 16 и получить доказуемые в М"ПКИ предло-
предложения и правила (последняя система постулатов будет даже в не-
некотором смысле проще, чем система АФ'И, изложенная в § 16, так
как М"ПК.И соответствует только строго одноместному исчис-
исчислению, которое является подсистемой АФ'И). Затем открываются
две нозможности: Г просто формулировать теоремы при помощи
соответствия; 2° доказывать их в М'ТЖИ, используя аксиоматику,
которую мы изложим, и проводя доказательства, в точности парал-
параллельные тем, что получены или могли быть получены в §§ 16—18.
') Вследствие 22.1 все формулы, доказуемые в АПИ (в том
числе все а-фориулы), являются теоремами М"ПКИ.
48 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
24.0 (тО) Отрицание
mQl. Ь- ~ П р •*->¦ О ~ Р
тОП. Ь- П р*-* ~ О ~ Р
т02. (-~<>Р-«->П~/>
тО21. H<>P*-*'~Q~P
24.1 (ml) Субординация
mil. Ь- П р->р
/и 12. 1-р->0Р
т13. Ь- Dp->OP
24.2. (т2) Дистрибутивность модальностей относи-
относительно Л и V
т21. на(рл?)^(п/)ла?)
/и22. b-(DpVD(?)^D(pV(?)
т23.
/я241.
24.3. (тЗ) Дистрибутивность модальностей относи-
относительно условных связок
т31. Ь-(р=ф ?)->(??->??)
т315. Ь[(р#?)Л Up\-*Uq
т32. Ь(р#<7) — (ОР-^О?)
т325.
тЗЗ.
24.4. (т4) Правила дедукции
т41. Если ьР=ф<Э, то h ? P->DQ.
т42. Если b-P=>Q, то h-O^-^OQ-
т43. Если нР#ф<2, то hD/'-^DQ.
m44. Если \-P4=}Q, то (- О Р *-* О Q-
§ 25. Обозначения формул и правил
Для облегчения ссылок и сравнений используем сле-
следующие обозначения, которые изложим все сразу.
25.0. Примем обозначения, уже введенные в §§ 12
и 24:
РАЗ, 2] ЭВРИСТИЧПСКИП ПОДХОД 49
а-формула— это формула, доказуемая в АПИ (тав-
(тавтология АПИ). Некоторые а-формулы перечислены в
§ 12 н обозначены через а с последующим номером.
m-формулы или m-правила— это формулы или пра-
правила, выписанные в § 24; они обозначаются посред-
посредством т с последующим номером.
Если ах или тх обозначают формулу Р •*->¦ Q, то
ах' или тх' обозначают P-*Q, а ах" или тх" обозна-
обозначают Q —* Р.
25.1. Следующие обозначения будут использованы,
начиная с § 26 и далее.
25.11. S-образ формулы или правила — это резуль-
результат замены каждого в нее входящего знака -¦ или -*->:
на =#> или фф. Если знаки -¦ или •*-> в исходную фор-
формулу не входят, то преобразование — т. с. переход к об-
образу,— разумеется, невозможно.
25.12. s-образ формулы — это результат замены ее
главного символа -*¦ или •*-> на =4> или фф. Если в ис-
исходной формуле символ -> или •*-> не является главным
символом, то преобразование тривиально невозможно.
25.13. Образы, которые не являются ни S-, ни s-обра-
зами, будем называть:
либо S'-образами (или усиленными образами), если
добавляются знаки модальностей;
либо S"-образами (или ослабленными образами),
если лишь часть неглавных условных связок заменена
па строгие связки;
либо S'''-образами — в прочих случаях.
25.14. Формулы, полученные s-, S-, S'-, S"-, 5"'-пре-
образовапием некоторой формулы d, будем называть
соответственно s-формулами (sd), S-формулами (Sd),
S'-формулами (S'd), S"-формулами (S"d), S'"-форму-
S'"-формулами (S'"d). Аналогично будем обозначать правила, по-
полученные с помощью подобных же преобразований.
Например, S-образ формулы а62 будет обозначен че-
через Sa62.
§ 26. Замена материальных связок на строгие
связки в М"ПКИ
26.0. Чтобы получить предварительное представле-
представление о модальной пропозициональной логике, интересно
посмотреть, насколько далеко можно провести процесс
50 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПО.ЗИЦПОП. ЛОГИКУ . [ГЛ. Г
замены материальных (условных) связок в теоремах
ЛПИ строгими условными связками. На самом деле
целью Льюиса и было построение «строгого» исчисления,
которое могло выполнять функции обычного пропози-
пропозиционального исчисления, но в котором так называемые
«парадоксальные» теоремы (такие, как теоремы из оо)
не были бы выводимы. Для М"ПК в большинстве слу-
случаев очень просто доказать выводимость рассматривае-
рассматриваемых преобразовании. Эти методы в точности парал-
параллельны методам § 18. Они используют тот же самый
язык, что и А1ПИ Льюиса, если учесть правила соответ-
соответствия § 22.
26.01. Назовем символы =ф и фф строгими услов-
условными связками (строгими условностями). Материаль-
Материальными условными связками будем по-прежнему называть
символы —*¦ н *-¦.
26.02. В терминологии 25.1 вопрос о заменимости ма-
материальных связок строгими может быть поставлен так:
до каких пор могут быть проведены S-преобразования
в М"ПКИ? И до какой степени окажутся пригодными
только лишь S', S", S'''-преобразования? В каких слу-
случаях никакое из преобразований условных связок будет
невозможным?
Рассмотрим в этой связи различные группы а-тео-
рем из § 12.
26.1. В теоремах первой группы преобразование мо-
может быть проведено тогда, когда имеется ровно одна
условная связка, которая является главным символом.
Приходится использовать только правило 23.2 и, есте-
естественно, определения.
В случае а0\:
|— ~ ~ р <—> р йО 1
(-?(~^p4->.p) по 23.2
опр. 23.53
26.11. Если в д-формуле не встречается условных
связок, то рассматриваемое преобразование тривиаль-
тривиальным образом невозможно.
Если 23.2 применяется к аО5 и аО6, то результатами
будут соответственно 1— ? ~ (р Л ~ р) и I— ? \р V ~ р),
которые следует сравнить с S'-теоремами в 26.21.
РАЗ. 2] ЭВРИСТИЧПСКНП ПОДХОД 5!
26.12. Использование 23.2 позволяет нам совершать
преобразование над любой теоремой.
26.2. Для большинства теорем второй группы может
быть выполнено полное S-преобразованне согласно ме-
методу, используемому в следующем примере для преоб-
преобразования а31:
Ь- {р -> q)+-*( ~ <7-> ~ р) а31
Т- n[(p-+q)*-+(~ q-> ~р)] по 23.2
Ь- П (р-*-9)-«-* П(~<7-> ~ р) по 23.31
1- (р =^ ^) -*-»¦( ~ <7 =#¦ ~ Р) по 23.52
I-D[(p=r<7)*-*(~ <7=# ~ р)] по 23.2
1- (о=^д)фф(~ о=^ ^/ р) по 23.52
Приведенный пример является примером S-преобразо-
вання условного предложения, обе компоненты кото-
которого— также условные предложения.
26.21. Попытаемся применить этот метод к а511:
Н q->{p-+q) я511
Н ? <7->(р=^<7) п0 23-2 и 23-31 и по 0ПР- 23-52
у. E\q=$(p=$q) по 23.2 и по опр. 23.52
Здесь мы получили только S'-преобразование. Это же
будет происходить в каждом случае, когда мы имеем
дело с импликациями или дизъюнкциями двух предло-
предложений, одно из которых не является условным.
26.3. Процесс преобразования не встречает трудно-
трудностей для формул подгруппы (аб), если приходится ра-
работать с конъюнкциями условных предложений.
М(р->?)Л(<?->г)]->(р->г) а62
ЬП|(р->(/)Л((/^г)]4Нг) по методу 26.2
по т21 и 23.52
26.4. Для подгруппы (а7) мы не получим S-образов
теорем аК), а705 (импортации—экспортации), но мо-
можем получить (методом, отличным от предыдущих) спе-
специальные виды S'- или 5"-образов.
52 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ . [ГЛ. I
Можно обосновать S'-преобразование теорем вида
P—*(Q—*M), где Р, Q, М являются условными предло-
предложениями. Этот метод включает использование 23.2.
hP-+(Q-+M)
Ь- ? Р -> D (Q -* М)
hDDP->D D(Q->Af)
h- DP-*Q D(Q->M)
Ь-
h-
h-
Этот метод позволяет перейти от
Y-{p->q) -> [(q -* г) -> {р -> г)]
гип.
по
по
по
по
по
по
23,
23
23.
23.
23.
23
.2
.2
.32
.31
52
.2
и 23.31
и 23.31
¦*.
и 23.52
(я72)
(Sa72)
26.5. В подгруппе (о8) возможны только S'^-преоб-
разования, потому что должна вводиться модаль-
модальность О. Однако даже 5"'-преобразование формулы а82
невозможно. а82 есть формула ~ (р-+q) -*¦ (р-* ~ q).
Отрицание p=$>q есть () (р Л ~ q), однако мы не имеем
0( )()
0р )p7
26.6. Преобразования рассмотренных типов невоз-
невозможны относительно дизъюнкций условных предложе-
предложений, потому что не существует теоремы, подобной т2\,
допускающей дистрибутивность D относительно V.
§ 27. Образы АПИ-теорем, доказуемые в М"ПКИ
Самые сильные теоремы доказуемы в М"ПКИ; по-
поэтому мы не будем проводить a-теоремы или sa-теоремы,
если доказуемы соответствующие Sa-, S'a-, S''a-теоремы.
Так как можно показать, что система М"ПКИ эквива-
эквивалентна наиболее сильной модальной системе S5, то
следующий ниже список дает представление об основ-
основных теоремах М"ПИ. Нумерация в этом списке отно-
относится к наиболее слабым теоремам; например, если дан-
данную теорему можно считать как sa-теоремой, так и (что
тривиально) Sa-теоремой, то будем называть ее sa-тео-
ре.мой.
РАЗ. 2] ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 53
Подгруппа аО
snOO. h-
saOl. I
saO2. |
saO2l. l-
saOS. 1
sqO55. (- (q A ~ <7) =#> p
sqO65.
Подгруппа
salO. Н(рЛ
salOl. h(pA
sail. Н(рЛ
sal2. НГрЛ
sal3. Ь[рЛ
sal5. I-р<ЖР Л (Р V
sal6.
Подгруппа a2
sn20. hp^(pV?)
sa201. h?^(pV?)
sa2\. b-(pVq)^(q\y p)
sa22. f-[pV(?Vr)]^[(pV<?)Vr]
sn23. b- fp V (<7 Л г)]^ф[(р V <7) Л (Р V
sn24. у
sa25.
Подгруппа a3
Sa32.
Sa321.
Sa381.
5a383.
54 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
Подгруппа а\
Sail. \
Sa42. \
Sa432. \
SaU. ^
Sa441. \
So45. \
SaA5\. I
Sa481. t
Sa482. h
Подгруппа a5
S'a501. \- (рф^LФП (~ р V?)
S'a502. H
S'q503. H
S'a511. НП
S'a512. (- ?
S'a52I. H П
S'a522. f-D(~pA
S'a531. hD
S'a532. f- П
S'a541. h- 0
S"'a542. (- 6
Подгруппа
Sa61. Н[р
Sa611. Ь-[~
S/a612. Hia
Sa62.
Sa62l.
Sa623.
Sa625.
¦<?)
РЛЗ. 2] ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 55
5дбЗ. Н[(Р=#<7)Л
Sa651. 1— [(р=^(?)Л
Sa655. И(Р=#<М
Sa661. Н[(р=ф<7)Л>
Sa665. H[(p=#^)Ai
S'a675. f-n((p=^(?)
Sa68. н[(р4>?)Л
S'a69. н [(р # <7) Л (р =# ~ <7)]4Ф П
S'a695. h
Кроме того,
Sa696.
Подгруппа а7
S'a705.
Sa721.
Sa723.
Sa725. h- (P Ф <7) # ff (<7 Л s) # г] =Ф [(р Л s) Ф r]}
Sa73. Ь(р4?L|[(?4г)Л(г^ s)
Подгруппа а%
I- -
или I— -~ (р =Ф (?) =Ф <0 (р —> >~ ^) v
<S "a83. (— /^ (рбф^)^ф[<^) (рД ^'<?)VO('^'PA 7)]
S'"«84. 1— -~ О (р•«-> <?)\=^[D (р V <7) Л П ("~р V ^'<?)]
или (- -
56 ' ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦИОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
§ 28. Образы теорем и правил для модальностей
Для сравнения перечислим s- и S-образы теорем и
правил для модальностей из § 24.
28.0.
smOl.
smOIl
smO2.
smO2\
Отрицание
1 Прф
. Ь- Пр4Ф-
1—Ор<=
• ^Ор&
-0-
^п -
~ п -
-р
~ р
"р
28.1. Субординация
sm\ 1. h- П р=#р
sml2. Ьр=#ОР
sm 13. ьа/?=>Ор
28.2. Дистрибутивность модальностей относительно
А и V
Sm22. H(DpV D ?)=#?(/> V <?)
Sm23.
Sm24.
Sm241.
28.3. Дистрибутивность модальностей относительно
и О
Sm31.
Sm315.
S/n325.
Sm33.
SmM.
28.4. Правила дедукции
StnAl. Если bP^Q, то
Sm42. Если (-P^Q, то
Sm43. Если \-P4=$Q, то
Sm44. Если h-P&Q, то
РАЗ. 2] ЭВРНСТИЧССКПП ПОДХОД 57
§29 Переход от М"ПКИ к другим множествам
постулатов
29.1. М"ПКИ весьма удобно в эвристическом отно-
отношении благодаря наличию простого соответствия между
ним и одноместным АФ'Й. Но ввиду своей силы
М"ПКИ является в некотором смысле тривиальной си-
системой. Поэтому интересно было бы изучить «более сла-
слабые» системы, в которых модальность и строгие связки
характеризовались бы менее узкими условиями.
Очевидный путь для получения таких систем состоит
и замене некоторых аксиом на более слабые при усло-
условии (которое мы считаем здесь выполненным), что пре-
преобразуемые или опускаемые аксмемы независимы от
остальных аксиом.
29.2. Например, очевидно, что может быть ослаблен
постулат 23.32: «Если Р есть собственная модальность,
то — Я->?/>».
29.21. Этот постулат не фигурировал в качестве та-
коиого в § 26 и он не был бы необходим для доказатель-
доказательства преобразований § 28, однако он служит для полу-
получения системы, которая будет позднее названа S5.
29.22. Для всех доказательств § 26, включая доказа-
доказательства 26.4, достаточно принять более слабый посту-
постулат 1- ? р -> D ? р. Это приведет к более слабой си-
системе, названной S4.
29.23. Даже если 23.32 просто опустить, то доказа-
доказательства § 26 остаются справедливыми, за исключением
20.1. Это привело бы нас к системе, которая будет позд-
позднее названа 52' (см. стр. 147).
29.3. Для проведения М"ПКИ-дедукций существен-
существенно иметь правило 23.2: «Если \-Р, то |— П Р». Бу-
Будет показано, что это правило ие является справед-
справедливым в системах, которые будут позднее названы S3,
S2. S\.
29.4. Лыоис и его последователи пошли по иному
пути, и этот путь оказался плодотворным. Вместо при-
принятия правила 23.2 (которое немедленно открывает воз-
возможность преобразовывать все теоремы АПИ в s-тео-
ремы и позволяет неограниченно переходить от
любого логического утверждения к логически
необходимому утверждению) можно было бы начать с
принятия более скромных средств дедукции, а именно,
58 ВВЕДЕНИЕ В МОДАЛЬНУЮ ПРОПОЗИЦНОН. ЛОГИКУ [ГЛ. I
с принятия множества аксиом, эквивалентных S-обра-
зам аксиом 13.1 АПИ.
Это множество аксиом, грубо говоря, • было бы до-
достаточным для доказательства большинства S-образов,
перечисленных в § 27. Однако на его основе можно
было бы доказать лишь очень небольшую часть теорем
и правил § 28.
29.5. Школой Льюиса был обнаружен ряд независи-
независимых аксиом, добавление которых к фундаментальному
множеству аксиом допускает последовательный вывод
образов § 28.
Если добавить в качестве аксиомы Sm\2 f-рФОр.
то можно получить систему, называемую S\.
Если добавить в качестве аксиомы Sm23 (— Q(p V </)^Ф
4Ф(О Р V О Q), то можно получить систему, назван-
названную S2.
Если добавить Sm32 (- (p=^q)=^(() p=^ 0 ч), то по-
получим систему, названную S2.
Если добавить аксиому, упомянутую в 29.22, то по-
получим S4. Если добавим аксиому 23.32 или какую-ни-
какую-нибудь аксиому, ей эквивалентную, то получим S5.
Используя этот метод, мы перейдем теперь к изуче-
изучению упомянутой в 29.4 системы, которую мы будем
называть S\°, а затем перейдем к новым системам, на-
начиная от S1 вплоть до S5, а также к их возможным
расширениям.
ГЛАВА II
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬНОЙ
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
Раздел 3. СИСТЕМЫ Г И 1
Начиная с этого раздела и далее ни в одном из
доказательств не будут использованы теоремы и пра-
правила, изложенные в трех предыдущих вводных разде-
разделах, если только они не были постулированы или дока-
доказаны вновь. Однако терминология предшествующих
маетен тем не менее будет оставаться в силе; номер же
теоремы или правила в М"ПК.И будет приводиться
только для ссылки.
§ 30. Постулаты системы 1°
Назовем системой 1° (или Sl°) систему со следую-
следующими постулатами. (Система 1 будет определена в
§ 36.)
30.1. Аксиомы (исходные предложения)
30.11. \-
30.12. (-
30.13. t-[{p АЯ) Лг]*Ф[р Л {q Л г)]
30.14. |
30.15.
30.2. Исходные правила
30.20. Правила образования.
Пропозициональная переменная — формула. Если Р
и Q — формулы, то ~ Р, О Р, Р Л Q — тоже фор-
формулы.
30.21. Правило подстановки.
Доказуемое предложение остается доказуемым, если
вместо входящей в пего пропозициональной переменной
всюду подставлена некоторая формула.
60 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ |ТЛ. II
30.22. Правило соединения.
Если ь- Р и если Ь- Q, то Ь- Р Л Q-
30.23. Правило отделения для ==?.
Если (-Р и если |-P=^Q, то (-Q.
30.24. Правило замены строго эквивалентных.
Если (— Р4ФФ, то доказуемая формула останется
доказуемой, если в пей некоторые вхождения Q заме-
заменить на Р.
30.3. Определения
30.31. PVQ означает ~(~РЛ ~<2)
30.32. P-^-Q означает ~ (Р Л ~ Q)
30.33. P+-+Q означает (P-+Q) Л (Q->P)
30.34. P=^Q означает ~ О (РЛ ~ Q)
30.35. P44Q означает (P=#Q) Л (Q=$P)
30.36. D Р означает ~ 0 ~ Р.
30.4. Замечания о постулатах
30.41. Аксиомы. Аксиомы § 30 похожи на аксиомы
§. 13. Различия между ними состоят в том, что аксиомы
§ 30 являются аксиомами, определяющими строгую им-
импликацию it конъюнкцию, а аксиомы § 13 являются ак-
аксиомами, определяющими материальную импликацию и
дизъюнкцию.
Аксиома 30.13 соответствует аксиоме Principia, до-
доказуемой в АПИ. Лыонс и Лэнгфорд добавили аксиому
sqOI": г— р =7* ~ ~ Р- Ее доказуемость была показана
Маккииси (см. 31.32).
Аксиома 30.15 является единственной аксиомой, яв-
являющейся строгой импликацией строгих импликаций
(более точно: строгой импликацией конъюнкции строгих
импликаций и строгой импликации). Силлогизм формы
Sa72 (строгая импликация строго имплицирует строгую
импликацию строгих импликаций) выражал бы нечто
более сильное, чем 30.15, и притом даже не доказуемое
в S\°.
Использование 30.15 как аксиомы имеет замечатель-
замечательные следствия. Так как в эту аксиому входит конъюнк-
конъюнкция, то необходимо иметь аксиомы, определяющие конъ-
конъюнкцию. Следовательно, правило соединения 30.22 ста-
становится необходимым. Иные методы силлогистических
выводов будут обычно применяться в 32.3 и 32.4.
РАЗ. 3) СИСТЕМЫ 1" И Г 61
30.42. Правила.
Правило 30.21 (подстановки) не требует коммента-
комментариев.
Правило 30.22 (соединения) необходимо для дедук-
дедукции но 30.15.
Правило 30.23 (отделения) является само по себе
более строгим, чем обычное правило отделения 13.3.
Однако его высокая степень строгости является тако-
таковой лишь по видимости, так как правило отделения с
материальной импликацией может быть тоже выведено
в этой системе C2.211).
Правило 30.24 (замены строго эквивалентных) в дей-
действительности строже, чем правило замены материально
эквивалентных в АПИ, но это правило очень часто ис-
используется для того, чтобы, так сказать, усилить стро-
строгость аксиом.
Нам кажется, что эти четыре правила независимы
от аксиом.
30.43. Определения.
Определения материальных связок не требуют ком-
комментариев. Надо подчеркнуть, что, хотя аксиомы § 30
являются аксиомами строгой импликации (в том смы-
смысле, что модальность в явном виде в них не упоми-
упоминается), сама строгая импликация является определяе-
определяемым понятием и ее свойства зависят (в некотором
•смысле тривиально) от свойств (материальной) конъ-
конъюнкции.
Строгая эквивалентность, определенная в 30.35, не
является точно такой же, что и ? (р-*-><7); строгая
эквивалентность между р4ф<7 и П{р ¦*-*-</) может быть
доказана только в системе более сильной, чем 1° (а
именно в S2°; см. 45.1).
Мы взяли О в качестве исходного понятия (как
Льюис и Лэнгфорд) и через него определили П. Однако
П можно было также взять в качестве исходного поня-
понятия, через которое определить <>.
30.5. Непротиворечивость системы 1°
Чтобы доказать непротиворечивость системы, до-
достаточно построить матрицу, в которой каждое Р, дот
казуемое в системе, принимало бы только выделен-
выделенные значения, а ~Я не принимало бы выделенных
значений.
62
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
В случае системы Sl° это имеет место для следую-
следующей матрицы (группа V Льюиса и ЛэнгфордаI):
Значения: 1, 2, 3, 4. Выделенные значения: 1, 2.
рОр
р
1
2
3
4
~ Р
4
3
2
1
1 1
2 2
3 1
4 3
Л
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
2
4
4
3
3
4
3
4
4
4
4
4
4
Согласно определениям получим следующие матрицы:
p
1
2
3
4
~0p
4
3
4
2
Dp
2
4
3
4
V
I
2
3
4
I
I
I
1
I
2
I
2
1
2
3
1
I
3
3
4
I
2
3
4
1
2
3
4
I
2
2
2
2
2
4
2
4
2
3
3
3
2
2
4
4
3
4
2
&
I
2
3
4
I
2
4
4
4
2
4
2
4
4
3
4
4
2
4
4
4
4
4
2
Любая доказуемая формула Р имеет выделенное значе-
значение, поэтому ~Р имеет значения 4 или 3, которые не
являются выделенными. Таким образом, система 1° яв-
является непротиворечивой.
30.6. Терминология
Начиная с данного параграфа и далее мы будем
пользоваться терминами, по своему смыслу близкими
терминам, введенным Парри. «Модальные» выражения
определяются следующим образом:
1° Пропозициональная переменная является модаль-
модальным выражением (модальным предложением).
2° Если Р и Q являются модальными предложе-
предложениями, то модальными предложеииями будут ~ Р, Р Л
Л Q, OQ-
3° Каждое выражение, эквивалентное по определе-
определению модальному предложению, является модальным
предложением.
') Разумеется, достаточна также обычная @, I)-матрица для
Л. ~. Д мюлнепная соотношением О р = р (т.е. <>0 = 0> С'-= О
Приводимая автором матрица нужна для дальнейших приложе-
приложений. — Прим. ред. :
РАЗ. 3] СИСТЕМЫ 1" И 1 63
Модальность — это последовательность символов ~,
О или любое выражение, которое может заменять (со-
(согласно определению) такую последовательность.
Когда нет опасности смешения, мы будем исполь-
использовать слово «модальность» также для обозначения вы-
выражения, состоящего из подобной последовательности
и следующего за ней пропозиционального выражения.
Степень модальности равна числу ромбов (симво-
(символов О), содержащихся в модальности, построенной
только из ~ н О и эквивалентной по определению рас-
рассматриваемой модальности.
Собственная модальность — это модальность степени,
высшей, чем нуль.
Утвердительная модальность — это модальность, в
которой число символов отрицания равно нулю или чет-
четно. Отрицательная модальность — это модальность, в ко-
которой число символов отрицания нечетно.
Назовем О знаком возможности, а ? — знаком не-
необходимости.
§ 31. Теоремы и выводимые правила (материальные
связки)
31.0. Выводимые правила
Чтобы избежать ненужных повторений дедуктивных
шагов, мы будем формулировать выводимые правила,
принимая для них специальные обозначения. Использо-
Использование правила подстановки 30.21, которое встречается
в большинстве дедукций, будет зачастую подразуме-
подразумеваться или обозначаться просто посредством «подст.».
31.01. Пусть Р' и Q' получены из Р и Q посредством
некоторой подстановки согласно правилу 30.21; тогда:
если 'r-P=$Q и если У-Р', то Ь Q'.
A) \-P=?Q гип.
B) \-p'=$Q' по правилу 30.21
C) Ь Р' гнп.
D) Ь- Q' по правилу 30.23
Это выводимое правило сводится к применению пра-
правила отделения 30.23.
Если Ь- Р=? Q имеет номер а и если 1— Р' имеет номер
Ь, то ссылка на это правило записывается: «из b по а».
64 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
Если выражение \- Р' записано на непосредственно
предшествующей строчке, то будем просто писать:
«по а».
31.02. Если b(PAQ)=>/?, \- Р и (- Q, то Ь- R.
A) h(PAQ)=$R гип.
B) (- Р гип.
C) Ь-Q гип.
D) \- (Р AQ) по правилу 30.22
E) Ь /? из A) и D) по правилу 30.23
Если а является номером |— (Р Л Q) =7" #, b — номе-
номером \~ Р, с —номером \—Q, то пишем просто «по а
из b и с». Приведенное правило содержит применение
правила соединения 30.22 и правила отделения 30.23.
31.021. С обозначением «по 30.15» мы связываем
применение правила «Если \~P=5Q и если
то Ь- P=$R».
31.022. Если b-P#Q и (- Q=?P, то
A) Ь-РФ<2 гип.
B) Ь- Q#>P гип.
C) h(P#Q)A(Q=#>P) по правилу 30.22
D) h(P44Q) по опр. 30.35
Если а является номером h-(P=#Q), b — номером
I— (Q =^> Р), то пишем «из а и b по опр. 30.35».
31.03. Согласно правилу 30.24 замены строго экви-
эквивалентных, если [- РФФ Q, то можно заменить Р на Q, и
наоборот.
Если теорема I— P^Q имеет номер а, то применение
этого правила будет помечено посредством «зм по а».
31.04. Замены, производимые на основе определения,
имеющего номер а, будут обозначаться: «по опр. а».
31.1. Принцип тождества
31.11. Ь р^>р (=sa00r)
A) (-рф(рЛр) 30.14
B) \-(рЛр)=$Р 30.11 подст.
C) |-Т из A) и B) по 30.15
31.12. \- р&р (=saOO)
Из 31.11, использованного дважды, и опр. 30.35.
РАЗ. 3| ' СИСТЕМЫ'V И 1
31.15. Если Р означает Q, то Н
A) ь-Р^Р 31.12
B) 1- РффС? подст. по определению «Р означает'*?».
31.16. Если|-Р<=Ф<9, то f-P^Q.
(!) ь- P&Q ..-.¦•¦ гип. ¦
B) Ь-Р#Р 31.11
C) НТ зм по A)
31.161. Если ь-Рфф-Qi то b-Q=>P.
31.17. Если Ь-Рфф-Q, то \-Q€$P.
31.18. Если нР4Ф<2, to Ь-~РФФ~<2.
31.181. Если ЬРфф(?, то h-(RAP)^(RAQ).
31.182. Если b-P<H>Q, то Н(Я VP)^(tfVQ)- '
31.19. Если h P^Q, то (-DP44DQ ' (Sm43).
31.191. Если \- P&Q, то b-OP<=>OQ (Sm44).
31.192. Если h-P^Q, то I <>P<^~OQ.
Оставшаяся часть § 31 посвящена доказательству
.•;:'-теорем, За исключением утверждении, нужных для
ссылок, в дальнейшем мы докажем только sa-теоремы,
проходимые для установления метатеорсмы 33.4, со-
согласно которой все sa-теоремы доказуемы.
Для доказательства so-теорем будет необходимо
сначала доказать несколько Sa-теорем: принцип тожде-
тождества и различные формы обращения строгой имплика-
импликации C1.6 упомянуто только ради ссылок).
31.2. Конъюнкция
В 31.2 аксиомы 30.12—30.14 будут преобразованы в
строгие эквивалентности C1.23 является следствием);
31.21.
A)
B)
C)
31.22.
A)
B)
C)
Ь-
ь-
ь-
ь-
н
ь
ь-
ь-
(р 1
(р 1
(q i
т
р=
(р 1
т
\q)€$(q Ар)
\ q) -7 (<? Л р)
\ Р) =#" (Р А Ф
$(рАр)
> (Р А р)
\ р)=±, р
(=sall) .
30.12
30.12 иодст.
из A) и B) по
опр. 30.35
(=sal4)
30.14
30.11 подст.
из A) и B) no
опр. 30.35
66 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
31.23. y-(pAq)^>q (---salOl)
A) |-(<7 Д/?)==>? 30.11 подст.
B) 1-Т зм по 31.21
31.24. 1- [р А (Я Л r)]4$[(p Aq)Ar] (= sal2)
A) h-[{p A q) A r]=?[p A (q A r)] 30.13
B) \-[pA(qAr)]4$[PA(rAq)] из 31.12 зм по
31.21
C) t-[pA(qAr)m{(rAq)Ap] зм по 31.21
D) \-[(rAq)Ap]=?[rA(qAp)]ii3 30.13 подст.
E) Н[(гЛ<7)Лр]=#[гЛ(рЛ<7Iзм по 31.21
F) h[(rAq)Ap]=?[(pAq)Ar]3* по 31.21
G) I- [p A (q А г)} =# {(р Aq)Ar] зм по C)
(8) (- Т из A) и G) по
опр. 30.35
31.241. Пишем: pAqAr вместо (pAq)Ar.
31.3. Отрицание
31.31.
A)
B)
М-
г- "
-0
ф<
л-
(~
?)«
- р
л~
" 0 (
q=*
~ (/
q)*
~ q
р)
л -
Л "
^/?)
-о)
(=
31.
по
Sa312)
21 подст
31.192
C) Ь- Т по опр. 30.34
Подчеркнем, что 31.31 (из которого 31.34 и 31.341
следуют но 31.32) является просто следствием 31.21
(коммутативность конъюнкции), получаемым посред-
посредством определения 30.34 строгой импликации.
31.32. Н~~/?<=?/? (=sa01)
31.11 подст.
зм по 31.31
~ р B) подст.
из C) и B) по 30.15
р =ф ~ ~ ~ р зм по 31.31
B) подст.
из E) и F) но опр.
30.35
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
ь-
(-
\-
Ь
. 31
(8)
(9)
A0)
(И)
31.34.
A)
B)
31.341.
A)
B)
31.35.
31.351.
A)
B)
31.36.
.A)
B)
C)
31.361.
A)
B)
C)
1— ~
Ь- ~-'
Ьр =
1-Т
Ь-(р =
М~
h-T
|-(р=
h-(p:
ь-т
ь-(р
1
1
ьт
1—
м~
ьт
Ь(р
ь ~
1—
1-Т
СИСТЕМЫ
0 (р л ~ р)
0 (р Л ~ ~ '
^> р.
=ф<?)фф (~ <? =
. ~ р гф q) ф^ (
ф ^ q)^(q =
ф ~ ^)<ф (~
У<7LФ~(~
(pV?)O('-
(р V (?) ФФ
ФФ^~ (
(рЛ(?)Фф(~
'Р V ~ (?)ФФ
- р V ~ q) Фф
Л (?) ФФ ~ (~
, (~р\/~ (?)<
фф(~-
-(~pV ~<7)
~р)
#> ~ р)
ф-р)
~ (?=#>'
рЛ - <?
рЛ -^
~ рЛ "
PV ~^
РЛ ~'
~(р Лс
'PV ~<
=ф
-рЛ~'
07
нз 31.11 по
опр! 30.34
зм по G)
по опр. 30.34
нз B) н A0) по
опр. 30.35
(==5я31)
^р) 31.31 подст.
зм по 31.32
(=5а31П
¦~ р) 31.34 подст.
зм по 31.32
) (=saO31)
из опр. 30.31
по правилу
31.15
1) (= saO3)
из 31.35 попра-
^ (?) вилу 31.18
зм по 31.32
г) (== saO2)
^ (?) 31.35 подст.
]) из 31.32 по пра«
вилу 31.03
по 31.17
7) (=saO21)
^ (?) 31.351 подст.
i) из 31.32 по пра-
правилу 31.03
по 31.17
31.4. Дизъюнкция
Теоремы о дизъюнкции теперь будут просто след-
следствиями определения 30.31.
68 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ |ГЛ.
31.41
A)
B)
C)
31.42.
31.43.
A)
B)
C)
31.44.
Ь
\-
\-
ь-
ь
h-
1-
h-
ь-
1-
Доказате
31.441
31.5.
(р
т
р--
р--
{"
/^-*
т
[р
V Я) фф (<? V Р)
-рЛ ~</)ФФ(-
(~ р Л ~ *?) ф=
Ф (р V р)
Ф (р V (?)
- р Л ~ g) =^ ~
^ р=^ ~ (-~ р
V(<?Vr)]^[(p
~ <7 Л ~ р)
>
¦~ q A ~ р)
¦ Р
Л ~ q)
V (?) V]
льство как для 31.41.
. Пишем: р V <? V r i
зместо (р V
Материальная импликация
Теоремы,
в
кация, могут
(=s«21)
31.21 подст.
по правилу
31.18
по опр. 30.31
(== sa24) анало-
аналогично
(== srt20)
31.11 подст.
по 31.34
по опр. 30.31
и зм по 31.32
(= .9д22)
</)Vr.
которых содержится материальная импли-
быть выведены посредством опр. 30.32.
Несколько примеров:
31.51.
A)
B)
C)
31.52.
A)
B)
C)
31.53.
A)
B)
C)
31.54.
Ь-
Ь
1-
т
ь-
ь-
\-
ь-
ь-
h-
ь-
ь-
ь
(Р
(Р
(Р
(Р
Т
р<
Р<
Р<
т
(p-*q)€$(pA
-+q)&~{pA
(р-*р)&~~
-> q) фф (^ р v
-¦ ?) ФФ ~ (Р Л
->q)&(~pV
¦^ (^ р _> р)
?Ф (Р V р)
=#( pVp)
р4=?(р-+ ~ р)
~<?)
(РЛ~?)
*7)
(= sa502) .
из опр. 30.32 по
правилу 31.15
по правилу
31.18
зм по 31.32
(=sa501)
из опр. 30.32 по
правилу 31.15
по 31.36
по 31.32
(=sfi531)
31.42
по 31.32
по 31.52
(=sa532) анало-
аналогично
РАЗ. 31 СИСТЕМЫ'-Г И I ¦ ¦¦ 6$
31.6. Строгая эквивалентность
Следующие теоремы (не используемые" в ,§ 34)
являются непосредственными следствиями определения
30.35 и теоремы 31.34. '
31.61. \-(p^q)&(q&p) (=Sa41)
A) ь-L(P^ <7) Л (</=>/>)] ФФ . ..
B)
31.62.
A)
B)
C)
31.631.
A)
B)
31.632.
A)
B)
Ь-
\-
\-
ь-
<3
ь-
ь-
ь-
1-
ь-
1-
ь-
т
(р.
[(р
[(р
> [(-
т
(р
Ир
т
\Р '
т
Ф=? Кя^Р) A (р^ЯН 31.21 подст.
по опр. 30.35
#v Я) ФФ (~ Ю ~ ^) (= 5а42)
=ф<7) Л (<7=Фр)]ФФ
О [(G=ф/?) Л (/?#>(?)] 31.21 пэдст.
=ф q) д (^ =ф р)] фф
~ /?# ~ <7) Л (~ (?#> ~ /?)] зм по 31.34
по опр. 30.35
<=? 9) =Ф (Р =^> 7) (=Sa431)
=#7)Л(<7=Фр)]Ф(р=^?) 30.11 подст.
по опр. 30.35
t=$q)^{q^p) (=Sa432)
ф^Л^^р^Ф^Фр) 31.23 подст.
по опр. 30.35
§ 32. Выводы в системе Г (строгая импликация)
•В этом параграфе будут выведены новые теоремы,
которые можно подразделить на две части. Прежде
всего изложим теоремы, касающиеся строгой имплика-
импликации и сложных выводов, использующих строгие импли-
импликации (теорему 32.4 можно отнести к этой части). За-
Затем, в § 33, эти теоремы будут использованы для вы-
вывода теорем о явных модальностях.
32.0. Строгая импликация
(= S'a503)
из 30.34 по
правилу 31.15
q) зм по 31.32
по опр. 30.36
из 32.01 по
опр. 30.32
32.
A)
B)
C)
32.
01.
.02.
Ь
ь-
h-
h-
h
(Р^Я)&
(р#>(?)О
т
(рф^)фф
?
D
О
О
(р
(р
(р
—>•
Л
Л
я)
~ я)
-я)
(РЛ
70 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ |ГЛ. II
Эта эквивалентность будет часто использоваться.
32.03. (-(/?#> Я)& D(~pV<7) (=S'a501)
A) \-(р->д)&(~руд) 31.52
B) h- ? (р-»7Lф П (~ p V q) по правилу 31.19
C) hT змпо 32.02
32.1. Лнтилогизм. Импортация — экспортация
32.11.
A)
B)
C)
D)
E)
F)
h-
H
\~
\-
b-
[(рЛ q)=?r]€$ [(/;
(qA~r)&(~r
[pA(qA ~r)]<=>
[{p Aq)A~r}&
[(P Л (?) Л ~ г]фф
?Ф[(рЛ
~0.[(/>л<?)л~
т
Л ~г
л<?)
[РЛ(-
[(РЛ-
~ /¦) Л
г] ^
)=#> ~ q]
-rAq)]
*r)Aq]
q]
~ ~ q]
(= Sa32)
31.21
подст.
по правилу
31.181
no 31.24
no 31.32
по правилу
31.192
по опр.
30.34
Эта теорема будет использована в доказательстве
32.21.
32.111. h-[(pAq)=>r]&\(qA ~r)=#~/?] (=Sa321)
A) |- [(р Л 7) Л ~r}<=>[p A (q А -г)] 31.24
подст.,
31.17
B)
C)
D)
E)
32.12.
A)
B)
f_
h-
b-
ь-
1-
1(P
[(p
T
[(p
[iP
1(P
Aq)A
A q) A ¦
0 \(P A
A q)=?i
Aq)A ¦
Aq)A-
~ r\€$[(q A ~r) A
~ г]ФФ
Ф[((?Л ~ г) Л
q) A - r]O
q ~r
~г!фф[р A (^ Л ~
P\
P\
p]
r)\
r)\
no
no
no
31.
no
30,
(=
31.
31.21
31.32
правилу
192
опр.
.34
= S"q70)
24
НОДСТ.,
31.
3M
17
ПО31.51
¦?]
C)
D)
32.121.
32.13.
A)
B)
C)
1-
\-
f-
f-
b-
b-
b-
СИСТЕМЫ Р И 1
~ 0 I(P Л q) A ~ г]4ф
ФФ ~ 0 [p л ~
T
[(рЛ ~/-)#~<?]<=ф[р-
[р^D'->г)Ю[(рЛ ~r)
[р=И</-*г)]ФФ[<7#~(Р
T
(q->r)]
>(<!-+г)]
г)}
А ~г)]
по
31.
по
30.
из
зм
из
по
31.
по
по
30.
71
правилу
192
опр.
31
32.12
по 32.11
S"fl705)
32.121
правилу
17
31.341
опр.
32
32.2. Modus ponens с материальной импликацией
32.21. ь-[р Л (р-></)] =Ф<7 (=5л51)
A) Ь(рЛ ~^)=Ф(рЛ ~q) 31.2 подст.
B) ИРЛ ~(рЛ ~(?)]=Ф q по 32.11
C) Ь- [р Л (р ->(?)]=#> ~~(? по опр. 30.32
D) hT по 31.32
32.211. Если \-P->Q и Ь-Я, то V-Q.
A) (_p_».Q гип>
.B) 1- Р гин.
C) Ь- Р Л (Р -> Q) по правилу 30.22
D) H[PA(P-»QHQ 32.21
@) 1- Т по правилу 30.23
32.22. Ь [~ q Л (р->?)]# ~р (=sa611)
A) Ь-[рЛ(р->9)]#? 32.21
B) ь- [(р ->?) Л ~ ?]=>~ Р по 32.111
C) |-Т по 31.21
32.3. Сложные силлогистические выводы
32.31. h
A) НК$Л~г)=^~7]Л 30.15
Л ~г)=ф ~р] подст.
-72 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. И
B) |[(?ЛхLг]Л(- q*?~p)\^ '¦' по 32:111,
=#[(р Л s)--#r] использ.
дкажды,
31.17.
C) h[(<?As^r)A(p^)]#
^[(pAsLr] no 31.34
D) Ь-Т по 31.21
Эта теорема будет использована в доказательствах
33.32 и 33;35.
32.311. ЕслиЬЯ-ХЭи b(QAS)=>/?,
то \-(PAS)=?R из 32.31 по
правилу 31.02
32.32. \-[(p^q)A{q^r)A(r^s)}=9 (p^s)
A) \-l(q^r)A(r=9s)\=9(q=>s) 30.15 подст.
B) h [(q 4s)A(p => q)\ =e» (p =? s) из 30.15 no
31.21
C) . h|(?4r)A(r4i)A(p4?)l#(Hi)
no - правилу 32.311, принимая A) за P—?Q, a B) — за
D) h- T no 31.21 (и
31.241)
Эта теорема будет использована в доказательстве
33.31.
32.4. Y-(p-+q)=$[(rVp)->(rVq)\ (= sfl383)
A) \-[~q/\(p->q)\=±~p 32.22
B) h- (~ рЛ ~ r)=$(~ гЛ ~ p) 30.12 подст.
C) Y-[~qA(p — q)A~r)=>(~rA~p)
по правилу 32.311, принимая A) за P=^Q и B) за
QS)^R
D) Ь[(р-*^)Л ~гЛ~?]=^(~гЛ~р) по 31.21 и
31.24
,E) Ь [(р -> 9) Л ~ (г V <7I =7» ~ {г V Р) зм по 31.351
F) h- T но 32.121
Эта теорема используется в доказательстве 34.114.
РЛЗ,.3|
СИ.СТПЛи,! Г И 1
•73
§ 33. Явные модальности в системе Г ;
Так как в Sl°. нет аксиом, содержащих .явные мо-
модальности, а есть только аксиомы со строгими импли-
импликациями, то мы прежде всего сформулируем строгие
эквивалентности между явными модальностями и стро-
строгим» импликациями C3.1), что позволит нам вывести
теоремы 33.3.
Теоремы об отрицании модальностей C3.2) являются
прямыми следствиями определения 30.36.
33.1. Строгие импликации, эквивалентные модаль-
модальностям
33.
A)
B)
C)
D)
33.
A)
B)
C)
33.
33.
.11
.12
2.
21
. h Пр<=}(
h- p<=$(p\
\— p^( —
h ПрФИ
t-T
• H П ~p4
h П ~p4
HT
Отрицания
^ p =#> p)
'P)
~ p.V p)
l(~~pVp)
=ф(р=ф ~ p)
~pV~p)
?D(~pV ~p]
модальностей
'рФФПр
(=
31.
по
по
зм
31.
1 по
зм
(=sm01
30.36 по
= S'a531)
.42
31
31
ПС
42
31
по
.32
.19
г 32.02
подет.
.19
. 32.03
1) из опр.
31
.15
¦33.2И..к-О
A) Н~
B) ЬТ
33.22. |
A) ь~
B) ЬТ
33.23. |
A) н~
B) ЬТ
Пр
? ~
О
О
из 33.21 по 31.18
зм по 31.32
(==smO21)
33.211 подст.
зм по 31.32
р
?
из 33.22 по 31.18
зм по 31.32
33.3. Modus ponens с модальными утверждениями
33.31.
(=Sm315)
32-32
74 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
Л(~Р#р)Ж~<7=#<?) 31.21
C) Ь [(р=г?)Л {~ P=^p)]^(~q::$'q) зм по 31.34
и 31.22
D) Н Т зм по 33.11
33.311. \-(p^>q)=?(Up-*Uq) (=S"m31)
из 33.31 по
32.12
33.32. Ь [(р =7 ?) Л <> Pi ^ 0 <7 (=Sm325)
A) |— [(~ q =ф ~ р) Л D ~ q] =Ф П ~ р 33.31 подст.
B) HKp^^AD^^D^P зм по 32.12
C) Ь-[(р=7 д) Л ~ П ~р]=7 ~ П ~<7 по 32.11
D) Ь- Т зм но 33.22
33.321. Н(р=Ф<у)#(Ор-> 0 <7) (=S"m32)
из 33.32 по
32.12
33.4. {[(р Л г)=^ q] Л П р) =Ф(г=^ д)
A) Н {[р =Ф (/¦->• 9I Л П р) =Ф П (r->-q) 33.31 подст.
B) I- {(рЛ/"=Ф<?)Л П р) =7 П (/"->(у) зм по 32.12
C) h T зм по 32.02
33.5. Вероятно, имеет смысл изложить правила для
отрицания модальностей, несмотря на их элементарный
характер. Используя несколько раз 33.211, 33.23, 31.18,
31.19, 31.191 и, возможно, 31.32, мы можем заключить,
что:
33.51. Если Мр есть собственная модальность, то
I- ~ Мр?фМ' ~ р, где М и М' получены друг из друга
с помощью замены знаков ? и ().
33.52. Если Мр есть собственная утвердительная мо-
модальность, то существует (утвердительная) модальность
М'р, строго эквивалентная Мр, в которой М' не содер-
содержит какого-либо знака отрицания.
33.53. Если Мр есть собственная отрицательная мо-
модальность, то существует утвердительная модальность
М'р, в которой М' не содержит знака отрицания, такая,
что Ь Мр?фМ'~р.
33.54. Если Мр есть собственная отрицательная мо-
модальность, то существует утвердительная модальность
РАЗ. 3] СИСТЕМЫ 1° И 1 75
Ъ\"р, в которой М" не содержит знака отрицания, та-
такая, что (— Мр=Ф ~ М"р.
33.6. Чтобы устранить утомительные повторения до-
доказательств, мы можем расширить систему 1° обычными
методами доказательства посредством принципа двой-
двойственности.
33.61. Назовем формулу X* двойственной формуле X,
если первая получена из отрицания последней с помо-
помощью подстановок ~р, ~q, ~r, ... вместо входящих
г, нее р, q, г, ... Это определение можно записать так:
X* обозначает ~[~р/р, ~q!q, ~r]r> ...]X.
33.62. Если X — пропозициональная переменная р, то
X* есть ~ ~ р, а следовательно, X* есть X.
33.63. Используя определение двойственности 33.61 и
некоторые теоремы об отрицании, можно доказать сле-
следующие теоремы:
33.64. Можно установить также правила:
Если \-Р, то | Р* (посредством правила 30.21 и
33.6i). Отсюда по 33.63 получим:
Если t-p^.Q, то hQ*->P*.
Если I-P*-*Q, то f-P'*-*Q*.
Если \-P=$Q, то hQ'#P*.
Если HP^Q, то \-
') Если использовать P°Q вместо О (Р Л Q). то 1-
9 (/JJ'Q'
7б НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 1Г
33.65." В дальнейшем при выводе теорем е' помощью
двойственности будем писать: «из ..., двойств.». На-
Например,
C1.41) h- (p.V q)€$(q\/р) . из 31.21, двойств.
C1.43) hp4(pV<?) из 30.11, двойств.
33.66. Формулы, которые мы будем выводить, по-
посредством двойственности, будут обычно иметь вид
Q'^P' или P'^Q". Тогда вывод посредством двой-
двойственности может быть произведен тем же методом, ка-
ксм употреблялся при доказательстве 33.63, а именно:
A) берется исходная теорема P=^Q или P##Q, в
ней делается подстановка ~р, ~q, ~r, ... вместо
Р, q, г, ...;
B) используется 31.18 или 31.34;
C) затем применяются теоремы об отрицании такие,
как 31.32, 31.35, 31.36 и 31.32, 31.61, 31.62.
§ 34. Общие метатеоремы для системы 1°
34.1. Если Р доказуема в АПИ, то \- ? Р (т. е. ? Р
доказуема в системе 1°).
Доказательство проводится следующим образом:
34.11. Если Р — аксиома из § 13, то |- ? Р: Дока-
Докажем это для четырех аксиом 13.1: '
34.111. \-П\(р\/р)-+р] . . ..
A) r-p^(pVp) 31.42
B) b(pVp)=#p по правилу 31.161
C) . Ь Т ' зм по 32.02
34.112. Ь n[(p->(pVq)]
A) l-p=HpV?) 31.43
B) h- T . зм по 32.02
34.113. |- n[(pVq)->(qVp)]
(О h(pVq)&(qVp) 31.41
B) h (p \/q)=$(q vp) no правилу 31.16
C) Н Т зм по 32.02
34.114. Ь ? {(р -> q) -* \(г V р) -> (г V 9I}
A) r-(p^<7)=He-Vp)->(rV<?)] 32-4
B) Ь- Т по 32.02
РАЗ. 3] ,.. СИСТЕМЫ, 1° И 1. . , 77-
34.12. Если Ь- Q выведена нз. Ь-Р,.по правилу под-
подстановки 13.2,1 то Н ? Q получается из 1- ? Р по пра-
правилу подстановки 30.21.
34.13. Если. I- Q выведена из I- P-^-Q и Ь Р по пра-
ннлу отделения 13.3, то Ь П Q получается из h D(P->Q)
HhDP. ¦
(П Ь- D(P->Q) run.
B) b-P=>Q ' по 32.02
C) h П Р ¦ гип.
D) \-(P=$Q)/\ пр по правилу 30.22
E) Ь- П Q по 33.31
34.14. Если I-Q выведена из I- P посредством под-
подстановки согласно определениям 13.4, то I- ? Q полу-
получается из I- ? Р.
34.141. Для определения 13.41 знака Л имеем1)
A) Н D Р гип.
B) н P^Q no 31.361
C) I- ПР^-nQ но правилу 31.19
D) Ь- П Q по правилу 30.24
34.142. Для определения 13.42 знака -> I-
доказывается аналогичным образом но 31.52.
34.143. Для определения 13.43 знака ¦*->• \-
доказывается также аналогичным образом по опр. 30.33
и правилу 31.15.
• 34.15. Итак, если Р есть й-формула (т. е. формула,
доказуемая в АПИ), то П Р доказуема в системе 1°.
34.2. Если |- ? Р, то I- P (Р доказуема в системе 1°)
A) Н ? Р гип.
B) | р=$Р зм по 33.11
C) Н(ПРЛ ~Р)=5> ~ Р ¦ 31.23 по дет.
D) МПРЛ ~Р)=$Р из C) и B) по 30.15
E)ЬПР=Ф(~^Р) по 32.12
F) н пР=ФР зм по 31.532)
G) Н Р из A) и F) по пра-
„__ вилу 30.23
') Здесь Р обозначает (р Л ?), a Q обозначает ~ (~ р V ~ <})¦ —
Прим. перев.
2) Следует подчеркнуть, что F) в этом доказательстве иг то
же самое, что Ор=фр, которая не доказуема в системе 1°. (С) гла-
гласит, что если DP доказуема, то 1-ПЯ =^ Р.
78 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГЛ. II
34.3. Все а-формулы доказуемы.
A) Если Я есть а-формула, то П Я доказуема по
34.15.
B) Если ПЯ доказуема, то Я доказуема по 34.2.
Следовательно, в дальнейшем можно использовать
любую а-формулу без ее доказательства. В таком слу-
случае будем лишь делать оговорку: «из АПИ» или «из
АПИ по 34.3».
34.4. Все sa-формулы доказуемы. Здесь надо рас-
рассмотреть следующие три случая:
A. Символы -* и ¦*->¦ не входят в формулу в каче-
качестве главных символов. Тогда sa-формула . является
a-формулой, которая доказуема, о чем только что было
сказано.
Б. Главным символом a-формулы является —». Тогда
a-формула имеет форму P-+Q и sa-формулой будет
P#Q.
34.41. Если P->Q доказуема в АПИ, то 1- P=$Q.
A) Ь- n(P-*Q) по 34.15
B) hP#Q по 32.02
B. Главным символом a-формулы является <->. Тогда
a-формула имеет форму P<->Q, а sa-формула — это
34.42. Если P+-+Q доказуема в АПИ, то Ь
Прежде всего, в АПИ имеем
A) Я<->B run.
B) (Я-><2)Л (<2->Я) по опр. 13.43
C) Я-><2 из B) по а\0
D) Q->P из B) по alOl
Тогда в системе 1° имеем
E) I- D(P->Q) из C) по 34.15
F) h- P=?Q no 32.02
G) Ь- n(Q-*P) из D) по 34.15
(8) н- Q=^P по 32.02
(9) 1_ (Я =^ Q) д (Q =ф р) по правилу 30.22
A0) hP€$Q по опр. 30.35
|>ЛЗ. 31 ¦ СИСТЕМЫ 1° И 1 79
В дальнейшем будем часто приводить sa-формулы
без доказательств, но с оговоркой «из АПИ. по 34.4».
Теорема 34.421 является следствием 34.42, а 34.422 —
примером теоремы, доказуемой по 34.421.
34.421. Если P*r+Q доказуема в АПИ, то Ь- UP??nQ.
A) [-P&Q из гип. по 34.42
B) h-DP<4nQ по правилу 31.19
34.422. н(р=^КФ[р#(рЛ<7)].
A) Ь(р-><7)ФМр-*(рЛ<7)] из АПИ
B) hD(p-> q)<=> ? [р -> (р Л q)] по 34.421
C) ь Т по 32.02
*34.5. Томас [1963] показал, что следующее ниже
правило имеет место в Sl°:
*34.51. Если (-OP^Dfl. то \~P=5q-
Имеются также ослабленные правила:
*34.52. Если Ь Op-*Dq, то Ь/?-><?,
*34.53. Если I- Ор^П?, то \-p->q.
Однако в Sl° невозможно доказать следующие фор-
формулы:
(О Р^ ? Ф-+(Р=$Я) (доказуема в S2°),
(OP-*- ? q)-*(p->q) (доказуема в S2),
(О Р=^ П q)-*{p-*q) (доказуема в S1),
(Ор=5>П<?)=Ф(р=Ф<?) (доказуема в S2°),
(Op-* ? q)=$(p->q) (доказуема в S2),
(О Р=^ ? q)=${p-*q) (доказуема в S1).
§35. Г-теоремы в системе 1°
35.0. Т-тсорема может быть охарактеризована сле-
следующим образом:
(а) Она является формулой вида (Т Л P)=^Q.
(б) Т является доказуемой формулой, но не а-фор-
мул oil.
(в) Формула (TAP)=^Q доказуема в системе 1°.
(г) Формула P=^Q не доказуема в этой же системе
пли по крайней мере ее доказательство не известно.
Причина, по которой Г не должна быть а-формулон,
состоит в том, что согласно 34.1 ПГ была бы тогда
80 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ JI7J. II
доказуемой, а*по 33.4 была бы выводима й-Я=#>ф, что
противоречит условию (г).
Примеры Г-теорем:
^)]#0p- C5.32)
И [(<7 Л г) ==>(? Л г)] Л (Р =></)]=>
=Ф [(г Л рЖг Л <?)]. C5.21)
В 35.32 Т есть доказуемая формула (рЛ^)=#Р-
В 35.21 Г есть доказуемая формула (q Л г)=ф(<уЛ г)-
Если с? обозначает теорему, не содержащую Г, то зна-
знаком Td будем обозначать соответствующую теорему,
содержащую Т. Например, теоремы sm241 и Sa381 не
содержат Т, а соответствующие теоремы с Т (приведен-
(приведенные выше) будут обозначены Tsm241 и rSa381.
35.1. Что можно вывести из Т-теорем?
35.11. Если Ь(ГЛЯ)=#>B и 1-Я, то I-Q.
A) h Г (Т доказуема)
B) К Я ' гип.
C) Ь- Т А Р по правилу 30.22
.D) t-(TAP)=?Q гип.
E) ,|- Q из C) и D) по правилу 30.23
35.111. Следовательно, мы можем вывести следствие
по Г-теореме так же, как по теореме без Т в 31.01.
35.12. Если ь-(ГAP)=?Q, то \-P->Q.
A) b-(TAP)^Q гип.
B) ь- T=^(P-*Q) по 32.12
C) Н Т (Т доказуема)
D) НЯ-><2 из B) и C) по правилу 30.23
35.121. Посредством 32.211 мы можем обосновать
35.111, принимая посылку ЬЯ->Q.
35.13. Что представляет собой тот случай, когда мы
имеем двустороннюю Г-теорему, т. е. когда мы имеем
t-(TAP)=^Q и \-(TfAQ)=>P, .где Г и Г не обяза-
обязательно одинаковы?
35.131. На основании 34.11 получаем правила «Если
I- Я, то Ь- Q» и «Если |- Q, то 1-Я» (Я и Q дедуктивно
РАЗ. 3| ¦ СИСТЕМЫ I» И 1 ?|
эквивалентны). Можно-также доказать (принимая Т"' =
= Т Л Г), что Н {Т" Л Р) — (Г' Л Р). ¦
35.132. Однако из Н(ГЛР)=Ф<2 и Ъ-(Т' AQ)=?P
нельзя вывести \-P^Q- Поэтому двусторонняя Г-тео-
рсма не позволяет использовать правило 30.24 замены
строго эквивалентных.
35.14. Посредством 35.12 из Н(ТДР)ФС и
\-{Т' AQ)=$P получаем \-P->Q и l-Q->P, откуда
Ь Р -*-*- Q.
35.141. Однако эта материальная эквивалентность Р
и Q не позволяет использовать правило 30.24, ибо за-
замена возможна только для строгих эквивалентностей.
35.2. Теоремы умножения и теоремы композиции
35.21. V-[T A(p^q)]=5
\q)] (=fSa381)
a)] C1.11)
=Ф [(р A r) =^ (q A r)] 32.31 подст.
B) HT no 31.21
35.211. (-[ГЛ(р4^)В
=^ [(r V p) =# (/" V ^)] (== TSa383)
r = [(pVr)=4(pV)] C1.11)
A) h([(~pA-
-'p)] 35.21 подст.
B) HT no 31.34 и 31.35
35.22. H [T A (p=^ <?) Л (р=^ s)]=^
. =ф[р=>(?лх)] (=fSa651')
r = [(?As)#(?As)] C1.11)
A) H {(p =Ф <?) Л [(9 Л s) =т>
4(?As)]) =Ф[(р Л s)=)(? A s)] C2.31)
B) I- {(p=#s)A[(sAp)=)
=Ф(<? Л s)]} =ф[(р Л р)=#(?Л s)] 32.31 подст.
v s)l no 31.21 и 31.22
82 , * НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
D) Ь
s)) из A) и C) по
правилу 32.311
E) ЬТ по 31.21 и 31.24
35.221. Y-[TA[p=?(qAs)])=$
T = {[(qAs)^q]A[(qAs)^s]} C0.11, 31.23,
30.22)
Из 35.22 так же, как 35.211 из 35.21
35.23. I— [ Т А (р =# q) А (г =# <?)]=#¦
=# [(/? V г) => <?] (= Г5а655')
A) Ь([(~рЛ~
д[(^,?^^р) Л (—?=# — /-)]} =ф[~?=#(~р Л ~ г)]
35.22 подст. pl~q, q/—р, s/~r.
B) ЬТ по 31.34 и 31.35
35.231. h-{TA[(pVr)^>q]}=>
(r=?q)] (=TSa655")
(r=?(pVr))) C1.43)
Из 35.23; доказательство, как 35.211 из 35.21
35.3. Дистрибутивность модальностей
35.31. \-[ТА a{pAq)]=>Dp
T = (pAq)^p C0.11)
33.31 подст.
35.32. Ь [Г Л 0 (р A q)]=? О q (=TSm24l)
T = (pAq)^p C0.11)
33.32 подст.
35.33. \~[ТА Dp)^n(pVq)
T = p=$(pVq) C1-43)
33.31 подст.
РАЗ. 3]
СИСТЕМЫ 1° И 1
83
35.34.
35.4. TS'-теоремы
35.41. \-[ТЛ Dq)
г
J
B) hT
35.42. \-(T А П —
A)
B)
33.32 псдст.
9)
•9)
C1.43)
(=7\S'a511)
(«511)
33.31 подст.
зм по 32.02
(=7\S'a512)
(a512)
33.31 подст.
зм по 32.02
35.5. Используя матрицы 30.5, можно показать, что
большинство теорем 35.2—35.34 без Т в системе 1° (или
системе 1) не доказуемы. Например, перечисленные
ниже теоремы без Т при указанных ниже значениях их
переменных принимают значение 4:
35.21: для р=1, 9 = 3, /- = 4;
35.211: для р—1, 9 = 3, г=\;
'35.23: для р=\, q = l, r = 3;
35.31: для р=\, 9 = 3;
35.32: для р = 3, 9 = 2;
35.33: для р = 3, 9=1;
35.34: для р = 4, 9 = 2;
35.41: для р —3, 9 = 3;
35.42: для р = 2, q = l.
чтобы показать, что
Мы не нашли матрицы,
без Т не проходит.
35.22
§ 36. Система 1
Назовем системой 1 (или S\) систему, полученную
нз системы Г добавлением постулата 36.0:
36.0.
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
|ГЛ. II
. 36.1. Аксиома -36.0 независима от постулатов 51°. Это
можно показать посредством следующей матрицы
(группа IV Льюиса — Лэпгфорда).
Значения: I, 2, 3, 4 Выделенные значения: 1, 2
р|~р
1
2
3
4
4
3
2
1
Op
2
2
2
4
Л
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
2
4
4
3
3
4
3
4
4
4
4
4
4
Согласно определениям имеем
р
1
2
3
4
3
3
3
г
? р
1
3
3
3
V
1
2
3
4
1
Г
1
1
I
2
1
2
1
2
3
I
1
3
3
4
1
2
3
4
—у-
!
2
3
4
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
3
3
3
1
1
4
3
3
3
1
1
2
3
4
1
1
3
3
3
2
3
I
3
3
3
3
3
1
3
4
3
3
3
1
Все аксиомы 51° принимают выделенные значения, ко-
которые правила сохраняют. Однако 36.0 имеет значе-
значение 3 для р = 1 или для р = 3.
36.2. Система 1 непротиворечива. Это показывается
на той же матрице, что и для системы 2° C0.5).
§ 37. Теоремы, специфические для системы 1
37.0. Как было сказано в 30.4, система 1 является
системой, полученной из постулатов системы 1° добав-
добавлением к ним в качестве аксиомы 36.0 I— р=$>()р.
37.1. Непосредственными следствиями отсюда яв-
являются:
37.11.
37.12.
A)
B)
37.121. Ь ?
из 36.0 по 31.34
(=smll)
37.11 подст.
зм по 31.32 и опр.
30.36
из 37.12 подст. ц
37.12 по 30.15
РЛЗ.-3| СИСТЕМЫ Г HI' ¦ 85
37.13. \^ Ор^Ор ' из 37.12 и 36.0 по
30.15
37.15. Если I- Р=9 О<2, то (- P^Q.
A) r-P=#DQ.. run.
B) h ?(?=#>(? 37.12 подст.
C) \-P=?Q из A) и B) по 30.15
37.2. ь (р=»?)=#(/»-9)
A) г- П (р-»<?)=#(р-*q) 37.12 подст.
B) h T зм по 32.02
37.3. Ь[/?Л(р#(/)]4(/ (=5а61)')
A) h- [(р =Ф (?) Л р]Фq из 37.2 по 32.12
B) г-Т зм по 31.21
37.31. ь-[~<7Л(р=#<7)]=0>~р (=5а611)
A) \-[(p=?q)A~q]=$~p из 37.2 зм по 32.121
B) . г-Т зм по 31.21
37.4. Правило 34.2 (Если Ь ? Р, то Ь Р) можно при-
применить к 37.12, 37.121, 37.13; 37.2, 37.3, 37.31. Например,
h- Пр->р ¦ ¦ (=тП) из 37.12
37.41. Если 1-ПЛ то h-OP. '
A) г-.ПР гип
B) h ПЯ^О^ по 37.13
'B) ЬТ по правилу 30.23
Это позволяет выводить из каждой теоремы \- О Р
теорему' г- О Р. ' ' :
37.5. Очень немногие Sa-теоремы (в действительности
только Sa61 — S06II) выводимы в системе 1. 36.0 пред-
представляет ' интерес в другом отношении: она позволяет
') Аксиома 35,0 может быть получена из 37.3 следующим об-
образом:
О 1- t(p=^ ~ P) Л р]^ ~ р 37.3 подст.
B) I-(р=#>~ р)=ф(р-> ~р) зм по 37.12
C) I- ? ~ рф ~ р зм по 33.12 и 31.54
D)| р=$г~а~р по 31.34
E) |-р=#><>р по 31.32 и 33.22
Так как 36.0 и 37.3 дедуктивно эквивалентны (могут быть выведены
Друг из друга), то 37.3 можно принять в качестве аксиомы вместо 3:!.(J,
8в НОРМАЛЬНЫЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
установить строгие импликации между модальностями.
Без этих импликаций мы не смогли бы в § 5 и далее
устанавливать теоремы редукции (со строгой эквива-
эквивалентностью) или теоремы субординации (со строгой им-
импликацией) между модальностями.
§ 38. Отсутствие финитной характеристической
матрицы для системы 1.
До сих пор матрицы использовались для доказа-
доказательства независимости аксиом. Возможно ли построить
характеристическую матрицу для системы 1 (т. е. мат-
матрицу, на которой формула принимает выделенное зна-
значение тогда и только тогда, когда эта формула дока-
доказуема в системе)?
Дугунджи [1940] показал, что не существует конеч-
конечной характеристической матрицы для 51. (Это доказа-
доказательство справедливо также для систем 2, 3, 4, 5.)
Как заметил Паррн, справедливость этого результата
для 51 (и 52) следует из матрицы, описанной в § 49
и 50.1.
§ *39. Еще одно множество постулатов для системы 1.
«-39.0. Леммон [1957] сформулировал модальную си-
систему, которую он назвал Р1 и показал, что она экви-
эквивалентна S1.
Постулаты Р1 следующие:
«39.1. Теоремы АПИ.
«39.2. Правила
*39.20. Подстановки вместо пропозициональных пе-
переменных.
¦х-39.21. Если '—Р — тавтология АПИ или аксиома
Р1, то Ь- ПР.
*39.22. Правило замены строго эквивалентных.
«39.3. Аксиомы
*39.31. \-Пр-*р
*39.32. \-[n(p-*q)A П (<7->/•)]-> ? {р-+г).
Раздел 4. СИСТЕМЫ 2' И 2
§ 40. Постулаты систем 2° и 2
40.0. Назовем системой 2° (или 52°) систему, полу-
полученную из системы Г добавлением постулата 40.1.
P.-VJ. 41 СИСТЕМЫ 2' 11 2 87
Назовем системой 2 (или 52) систему, получен-
полученную путем добавления к постулатам системы 1 посту-
постулата 40.1.
40.1. Ь <>(Р
40.2. Системы 2° и 2 непротиворечивы.
Их непротиворечивость можно показать с помощью
матрицы 50.1, которая будет приведена ниже. Согласно
этой матрице доказуемое Р имеет выделенное значе-
значение 1 или 2, а ~Р имеет одно из значений 8 или 7, не
являющихся выделенными.
40.3. Аксиома 40.1 независима от аксиом 30.1 си-
системы 51° и аксиомы 36.0 системы 51.
Согласно матрице 30.5 все аксиомы 30.1 и аксио-
аксиома 36.0 принимают выделенные значения для каждого
значения входящих в них переменных. Если формулы
имеют выделенные значения, то все формулы, выведен-
выведенные из них согласно правилам 30.2, также принимают
выделенные значения. Однако 40.1 имеет значение 4
для р = 2 и q = 4.
Теоремы, доказуемые в системе 2°, а следовательно,
и в системе 2, могут быть разделены на два класса.
Один из них (§§ 41—44) состоит из теорем дистрибутив-
дистрибутивности модальностей но отношению к Л и V и теорем
композиции строгих импликаций совместно с теоремами
умножения. Эти два рода теорем надо рассматривать
совместно, так как некоторые теоремы о модальностях
(в § 44) зависят от теорем композиции.
Другой класс теорем (§§ 45—46) зависит от тео-
теоремы 45.21, посредством которой строгая импликация
становится строго эквивалентной некоторой строгой
эквивалентности. Этот результат приводит к правилам
Беккера, которые можно рассматривать как правила
дистрибутивности модальностей по отношению к стро-
строгим связкам.
§ 41. Дистрибутивность модальностей (первый класс:
импликации)
41.1. \~ <>(pAq)=?§ p (= аксиома 40.1)
41.11. Ь ? р=# ? (р V (?) из 41.1 по двой-
двойственности
88 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ . [ГЛ. II
41.2. I-O/i=#O(PV9) :
(О I-O[(pV<7)Ap]=>O(PV<?) -41.1 подст.
B) \-[(pVq)Ap\<=}p из АПИ по 34.42
C) ьТ зм по B)
41.21. I- ? (р Л q) =# П р из 41.2 па двой-
¦ ствснности
41.3. |-О(р.л<7)=Ф«>рл;а<7)
A) 1-О(рЛ?LОр 41.1
B) н 0(<7Лр)=#<><7 - 41.1 нодст.
C)' 1_О(рЛ<7)=><><7 зм по 31.21
D) НТ изA)иC) ПО35.22
согласно 35.111
41.31.: 1- (? р V П<?)=# П(р V?) из 41.3 по двой-
двойственности
41.4. 1- П(рЛ<7)=>(П/М ??)
Доказательство аналогично доказательству теоремы
41.3.
41.41 \-«)PV ()q)=?(>(py q) из 41.4 по двой-
двойственности
§ 42. Теоремы умножения и теоремы композиции
42.1. Теоргмы умножения
42.11. |_(р=ф,7)#[(гЛр)=Ф(гЛ</)] (—5а381)
A) Ь0(^ЛрЛ~</L
=^О(РЛ~<?) 41.1 подст., 3,1.24
:B) Ь-О<Р Л -<?)=#
^—О^ЛрЛ—?) по 31.34
C) ь(гЛрЛ-<?)??
«ф[(гЛр)Л~(гЛ<7)] из АПИ по 34.42
D) |-~0(PA~4)^
=Ф~0К'-Лр)Л'~(гЛG)] зм в B) по C;
E) hT зм по опр. 30.34
42.12. |-(p=M)=»[(rV/»)=MrV<7)] (=5а383)
A) ^{^q^^.p)^
ГЛ~Р)] 42.11 ПОДСТ.
РЛЗ 4)
B)
C)
42.
42.
(О
2.
21.
СИСТЕМЫ Г Й
1— (р => fl) =ф
1-Т ¦
Теоремы композиции
Ь 1(Р ^ ?) Л (р =#" s)] =ф
=? [р=7 ((? Л s
Ь(р=4G)^[(рЛ5)=#(GЛ
q)]
)]
s)l
. по
по
(=
42.
-8J
31.34
опр. 30.31
5а651')
11 подст., 32.21
B) \~{[(pAs)=?(q As)]A
[/L(?Л?)] из 30.15 по 31.21
C) I- [(p=>q)A\p=$(pAs)}}=> из A) и B) по npa-
=#[p=#((?As)] вилу 32.311
D) hT зм по 34.422
42.22. )-{(p^q)A(r^q)l=$
=>[(pVr)^q) (=Sa655')
(О 1-[(~.<7=ф~/7)Л
(
[?(рЛ~г)] 42.21 подст.
B)
C)
42.23.'
(О
B)
C)
D)
\-
1-
j_
|_
|-
1-
S» [~ (— р /\
Т
\p^{qAs
U\(p->qP)
=7[П(Р->
¦? [р —>¦((?/
=ф [ ? (р —>
т
Л(р->
(?)Л П
Гр_> S)]
<=}[d ->
\s)]=#
?)Л ?
>—^
Si
(р->
фф
(р->
•]
s)]
s)]
по
зм
41.
из
зм
по
31.34
по 31.35 и
абь
4 подст.
АПИ по
в A) по
32.02
31
34
B)
.32
.42
42.3. Двойная композиция
42.31. ь[(р^<?)Л(г=#*)]=>
^[(PAr) = (qAs)] (=5а661')
A) )-{p^q)^[{rAp)=?(rAq)) 42.11
B) \-(p^q)^\(pAr)^(rAq)] no 31.21
C) b(r^s)-#[(rA<?)=#((?As)] 42.11, 31.21
90 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. !1
D) ь[(р#<7)Л(г=ф5)Н(р=#<7) 30.11 подст.
E) И(р=Ф?)Л(г=фз)]=Ф из B) и D) по
=Ф[(рЛг)=»(гЛ<7)] 30.22 и 30.15
F) H(p=#<7)A(r#s)]=?(r=#s) 31.23 подст.
G) Ь [(р=Ф?) Л (г =#«)]=# из C) и F) по
=ф [(г Л <7)=Ф(<7 As)] 30.22 и 30.15
(8) \
\
А [{г А <?)=#(<?As)]} по 42.21
(9) ЬТ по 30.15
42.32. |-[(p#?)A(r=#s)f#
s)l (=Sa665')
Доказательство из 42.31, как в 42.22.
Следствие:
42.33. \-[(P&q)A(q4=$r)]^(p&r) (= 5я623)
(О Ь[(р=#<7)Л(<7=#г)]=#(р=Фг) 30.15
B) |_[(г#?)д(?=#р)]=ф(г=фр) 30.15 подст.
C) (-[(р#<7)Л(<7#г)Л(г=#G)Л
Л(<7#р)]=Ф[(р=#г)Л(г=#р)'] по 42.31
D) Н(р=»<7)Л(<7#р)Л(<7=фг)Л
Л(г#<7)]#[(р#г)Л(г=#рI по 31.21 и 31.24
E) h T по опр. 30.35
§ 43. «S'a-теоремы
43.1. ir-Oq^(p^q) (=-S'aoll)
A) \-Dq=?n(~pVq) из 41.11 зм по
31.41
B) ЬТ по 31.52 и 32.02
43.11. Ь(ПрЛ
A) I- Op^{q=?p) 43.1 подст.
B) 1- П<7=ф(р #?) 43.1
C) Ь(ПрЛП</)^ из A) и B) по
=# [(9=^Р) Л (р =»</)] 42.31
D) ЬТ по 31.21 и 30.35
РАЗ. 4]
СИСТЕМЫ 2° И 2
91
43.2. 1- ?
A) ЬП
B) f-T
43.21. Н(П
(=S'a512)
41.11 подст.
из 31.52 и 32.02
из 43.2 как 43.11
из 43.1
§ 44. Дистрибутивность модальностей (второй класс:
квивалентности)
44.1. Н(ПрЛ ? <7) # ? (р Л <7) (=Sm21')
A) н(ПрЛ.ПG)=#П р из 30.11 по 31.32
I-? р=>(~р=>рЛ<7)
|-(ПрЛ ?<?)=#(
B)
C)
D)
E)
43.2 поде г.
из A) и B) по 30.15
доказательство,
как для C)
из C) и D) по 42.21
42.22 подст.
из E) и F) по 30.15
зм по 31.361
зм по 33.11
(=Sm23') из 44.1
по двойственности
(=5ш21) из 41.4
и 44.1 поопр. 30.35
(=Sm23) из 44.3
по двойственности
§ 45. Строгая эквивалентность
45.1. Строгая эквивалентность как необходимая экви-
эквивалентность
44.3
F)
G)
(8)
(9) ЬТ
44.2. l-O(pV<7)=»(OpVO<7)
44.3. h П(рЛ«/)ф#(ПрЛП<7)
44.4.
Ь П(р«-
A) Ь D[(p->q)A(q->p)m
92
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. (F
' •.
C) Ь-
45.2. >
¦4~?[О (p-*-q) A O(q —> р)\
Т
. по
по
аир. 30.33 '
32.
02 опр. 30.35
Строгие импликации, преобразованные в строгие
эквивалентности
¦ 45.21.
A)
B)
C)
45.22.
A)
B)
C)
45.23.
@
B)
45.24.
A)
B)
45.3.
45.30.
A) Ь-
B) Ь-
C) Ь-
D) Ь-
E) Ь-
F) Ь-
45.31.
A) Ее
B) Ь-
\-(p^>qL$\p4=$(p/\q)\
Ь(р-*?LФ'р*-*(рЛ q)]
Ь- O(p->q)€$n[p<r->-(pAq)]
Ь-Т
\-{p^qL$[qt$(p\/ q)]
^(p^q)&\q++{pVq)]
Ь- D {p-*q)&
&n[q++(pV.q)]
Ь-Т
Ь- П~р&[р&(рА~р)]
Ь- а~/>ФМР=7>~-р)
Ь-Т
Ь- Пр$${~р^р)
Ь-Т
Леммы
(=
из
| по
зм
(—
из
по
по
33.
зм
33.
зм
Sa
:44)
АПИ по 34.42
31
по
.19
32.02 и 45.1
Sa45)
АПИ по 34.42
31
32
12
по
11
по
Если К Q =ф R, то Ь- (Р =ф Q) =ф (Я
Q^(QA/?)
[Р =ф (Q Л /?))] =^ (Я =ф ^)
(Р=#><?)Ф(Я:ф/?)
Если Ь- /? =^ Q, то Ь- (Q =Ф J
ли Ь- -~ Q =Ф -~ R, то
Ь- (~ Р *^ "~ Q) =^ ('^ Я =Ф
т . .
ГИ1
по
42.
) 31.
из
зм
°)=ф
— Д
1
.19
.02 и 45.1
45.21
45.22
45.21
23
23
C)
по
(Я
подст.
подст.
и D) по 30.15
B)
45.30 подст.
зм по 31,34
РАЗ. 4} СИСТЕМЫ ? И 2 л : 93
45.32. Если I-tf#Q, то l[(QflHM?(#)]
45.33. Если I- R=?Q, то, если Ь- S =# (Q =#> Р), то
§ 46. Правила Беккера
Мы распространим название «правилка Беккера» на
все правила* позволяющие выводить из I—P=#Q строгие
импликации, у которых к антецеденту Р и копсеквенту Q
приписаны одинаковые знаки модальности. Такие пра-
правила доказуемы в 52°.
46.1. Если \-P^Q, то !-?/>=#>?<?
A) Ь- P=?Q тип.
B) \-Р4=>(Р Л Q) по 45.21
C) \- nP^U(PAQ) по 31.19
D) b-D4PAQ)^DQ из 41.21 по 31.21
E) HDP4DQ зм по C)
46.2. Если н Рф<2, то Ь- О Р=> О Q-
Аналогично, используя 45.21, правило 31.191 и 40.1
вместо 41.21.
46.
(Это i
6.
(О
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
(9)
21. Если f- P=$Q, то Ь
1сходная форма правила
22. Если f- P&Q, то Ь
\-P4=$Q
h-[(P=$Q)A{Q=?P)]^(
\- P=#>Q
1— ? Р=> П Q
\- [(P=^Q) Л (С=^Р)]=Ф(
1- Q^P
\- [J Q=>\3 P
h~ (? Р => П Q) Л (? Q=
(Ю) h- DP^DQ
46.
23. Если h-P^Q, то
~ОР
D6.2 подст., по 31.34).
Беккера.)
• ? Р<$ ?
гип
по
P=>Q) 30.
по
по
Q=>/>) 31.
по
по
#» П Р) по
по
Q.
[.
опр. 30.35
11 подст.
C), B) и 30.23
46.1
23 подст.
F), B) и 30.23
46.1
30.22
опр. 30.35
f_ Ap^AQ доказываем
аналогично, используя 46.2 вместо 46.1.
94 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. И
46.3. Из правила 46.2 можно вывести 40.1.
A) \-pAq=>p 30.11
B) \-Q{pAq)=$Op no 46.2
Так как 46.2 выведено из 40.1, то правило 46.2 де-
дедуктивно эквивалентно 40.1 и может быть взято в ка-
качестве постулата для 52° и 52 вместо 40.1.
Кроме того, вывод 40.1 из 46.2 доказывает, что пра-
правила Беккера независимы от аксиом 51° и 51. Действи-
Действительно, если бы правила, о которых идет речь, были
выводимы из этих аксиом, то 40.1 было бы также вы-
выводимо, что невозможно согласно 40.3.
46.4. В качестве следствий правил Беккера можно
получить правила, ведущие к тем же самым заключе-
заключениям, что и общий метод 26.2 и 26.3.
46.41. Если f-(P-*Q)=#(/?-»>S),
то j-(P=#Q)=H/?#S).
По правилу 46.1 и зм по 32.02.
46.42. Если |-[(p-*/*)
то н [(Р =^/") Л
По правилу 46.1 и зм по 44.3 и 32.02.
46.43. Правила 46.41 и 46.42 остаются доказуемыми,
если заменить некоторые связки —¦ в гипотезах на •*-*•
и заменить соответственно ф на 4Ф в заключении. Для
обоснования этого утверждения надо заменить в дока-
доказательствах 46.1 и 32.02 соответственно на 31.19 и 45.1.
46.5. Другая система, дедуктивно эквивалентная 52°,
описана в 80.23.
§ 47. Теоремы, специфические для системы 2
47.1. Ь- ? р4=$(р Л ? р) из 37.12 зм по 45.21
47.11. \-р4=$(р\/ Пр) из 37.12 зм по 45.22
47.2. \-[p=5(q=>r)]=?
=И(рЛ<7)=М (ср. с 5а70")
A) |_(<7=й.г)=ф(<7_».г) 37.2 подст.
B) |_ [р =>(,?=> г)] =>
=ф[р=ф(<7-»/¦)] по правилу 45.30
(.3) ь- Т зм по 32.12
4]
47.3.
A)
B)
C)
D)
E)
47.31.
A)
B)
C)
D)
E)
F)
h-
h-
h-
h-
h-
h-
h-
H
h-
h-
f-
h-
h-
0
n
П
0
(p
T
0
?
?
—
<>¦
0
T
(p
(p
(p
(p
V
0
0
0
V-
\/ ^^"
'@
p =
Op
-0
СИСТЕМЫ 2' И 2
~pm{pV~p)
"P)
j p) ^ [ 0 (p v ¦—¦* t-
=^(p V •""
- p) ф (^ v ~ p)
) Ф 0 (^ v -~ p)
>0 p
>Op
vOp
pVp)
95
изАПИпо34.1
»)#
"p)\ no 43.1
no A) и B)
36.0 подст.
из C) и D) по
опр. 30.35
37.12 подст.
по 37.2
зм. по 33.21
зм по 31.52 и
31 32
из D) и 41.41
по 30.23
зм по 31.35 и
31.32
47.32. Рассмотрим следующую матрицу:
Значения: 1, 2, 3, 4 Выделенные значения: 1, 2
Л
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
2
4
4
3
3
4
3
4
4
4
4
4
4
Р
1
2
3
4
~Р
4
4
2
2
Ор
2
1
1
4
47.33. Легко проверить, что этим матрицам удовлет-
удовлетворяют все аксиомы 30.1. Более того, можно убедиться,
что когда Р и Q принимают выделенные значения, тогда
и PAQ принимает выделенное значение. Когда Р и
Р => Q принимают выделенные значения, тогда и Q при-
принимает выделенное значение. Следовательно, каждая
формула, которая выводима из аксиом 30.1 посредством
правил соединения и отделения, удовлетворяет этой
матрице.
47.4.
A)
B)
C)
f-
h-
h-
h-
0
n
0
T
p
(p
(p
vC
v-
> —
-p)
~p)
96 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ]ГЛ [I
47.34. Однако формула 47.31 не выводима из аксиом
30.1 посредством этих правил, так как принимает зна-
значение 4 при р = 3. . . ,.
Таким образом, формула 47.31 является примером
формулы, доказуемой в S2, но которую нельзя доказать
без использования правила замены для строгих экви-
валентностей.
¦ • ¦ по 34.1
по 37.41
по 44.4
§ 48. Невыводимость формул
48.1. Имеется лишь один класс Sa-формул, доказуе-
доказуемых в М"ПИ и не доказуемых в системе 2, а именно,
формулы с 5a71 no Sa795 (это S-образы теорем экспор-
экспортации).
48.2. Рассмотрим невыводимость теорем о редукции,
т. е. теорем, утверждающих эквивалентности МрФфМ'р,
где М и М' — различные собственные модальности или
(что то же самое) различные последовательности сим-
символов Он ~, в которых по крайней мере один символ
является ромбом (символом О).
48.21. Важные результаты можно получить, исполь-
используя следующую бесконечную матрицу М. ¦ - .
Элементы Af состоят из всевозможных множеств це-
целых положительных чисел. Выделенным элементом яв-
является универсальное множество V. Если А и В — эле-
элементы М, то А/\В есть пересечение АВ множеств А
и В. Если А — произвольный элемент М, то ~А есть
дополнение А к множеству А. ()А есть A-\-QA, где +
обозначает объединение множеств, а QA обозначает
множество всех целых положительных чисел, непосред-
непосредственные предшественники которых содержатся в А.
Все аксиомы и исходные правила системы 2 удов-
удовлетворяют этой матрице.
48.22. Обозначим посредством 0" последователь-
последовательность из п ромбов. Сначала покажем, что О"р{=$()тр,
только если п = т.
Не менее очевидно также, что эта формула должна
верифицироваться каждым множеством А. Допустим,
РАЗ. 4] СИСТЕМЫ 2" И 2 97
что А ={0}; тогда О^={0, 1], 0<М = {0, 1,2} и т. д.
Ясно, что если 0 "Р<$ОтР, то {0, 1, 2, ...; п\ = @, 1,
2, ..., т] и, следовательно, п = т.
Из этого следует существование в S2 бесконечного
количества несводимых утвердительных собственных
модальностей, а тем самым и вообще собственных мо-
модальностей.
48.23. Используя приведенную выше матрицу, можно
показать, что если а и р —бесконечные последователь-
последовательности ромбов и знаков отрицания, то если ар ФФ $р до-
доказуема, аир имеют одинаковые степени.
48.24. Остается открытым вопрос, существуют ли
две модальности а' и Р', состоящие из конечных по-
последовательностей 0 и ~, не содержащие двух сле-
следующих друг за другом знаков отрицания, такие, что
а'р 4Ф Р'р, где а' п р различны, но имеют одну и ту же
степень.
§ 49. 52-матрицы и разрешающий метод для S2
49.1. Маккинси получил результаты для 52-матриц
(матриц, удовлетворяющих 52), которые мы ниже из-
изложим.
49.11. Назовем нормальной матрицей матрицу, удов-
удовлетворяющую правилам 30.22—30.24.
49.12. Нормальной матрицей является, например, бу-
булева алгебра, удовлетворяющая этим необходимым и
достаточным условиям. В качестве следствия мы имеем
«рецепт» для построения всех возможных конечных
нормальных 52-матриц.
49.13. Если бы мы имели конечную характеристиче-
характеристическую 52-матрицу, то мы были бы обеспечены разрешаю-
разрешающим методом. Но Дугунджи показал, что не существует
конечной характеристической 52-матрицы.
Доказано тем не менее, что существует нормальная
бесконечная характеристическая 52-матрпца.
49.14. Пусть аи ..., аг—конечная последователь-
последовательность элементов нормальной. 52-матрицы. Тогда су-
существует конечная нормальная 52-матрица, имеющая
не более 22'+I элементов и (грубо говоря) те же самые
правила оперирования, причем некоторая последователь-
последовательность Ьи ..., Ьг соответствует любой последовательно-
последовательности а\, ..., аг из исходной матрицы.
98 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
49.2. Разрешающая процедура тогда такова: пред-
предложение S2, которое содержит ровно г подформул, дока-
доказуемо тогда и только тогда, когда оно удовлетворяется
каждой нормальной 52-матрицей с не более чем 22Г+1
элементами. Необходимо признать, что эта разрешаю-
разрешающая процедура является практически неудовлетвори-
неудовлетворительной, так как она предполагает, что данное предло-
предложение должно проверяться посредством огромного ко-
количества матриц.
49.3. Другой разрешающий метод для S2 описан
в 141.1.
§ *49'. Еще одно множество постулатов для 52
Леммон [1957] сформулировал модальную систему,
названную им Р2, и показал, что она эквивалентна 52.
Постулаты Р2 следующие:
I. Теоремы АПИ.
II. Три правила:
а) Правило подстановки для пропозициональных пе-
переменных;
б) если \~ Р — теорема АПИ или аксиома Р2, то
hDP;
в) если Ь- ? (P-*Q), то \~ П (? Р-*¦ ? Q) (правило
Беккера 46.1).
III. Две аксиомы:
I- Пр->р (слабее, чем 37.12);
\- П{р-*¦ q)-*¦ (Q Р-+П q) (слабее, чем 33.311).
§ *49". Еще одно множество постулатов для S2°
Собочинский [1962] показал, что можно получить си-
систему, дедуктивно эквивалентную 52°, путем добавле-
добавления к системе аксиомы:
40.1. г
Раздел 5. СИСТЕМА 3
Система 3 занимает промежуточное положение
между системой 2 с бесконечным множеством несводи-
несводимых модальностей и системой 4, имеющей, как и си-
система 3, конечное число модальностей.
РАЗ. 51
СИСТЕМА 3
99
§ 50. Постулаты системы 3
50.0. Назовем системой 3 (или S3) систему, состоя-
состоящую из постулатов системы 1 (т. е. постулаты § 30 плюс
36.0) с добавленной формулой
50.01. |-(р#?)#«>Р#О?)-
Подчеркнем, что 50.01 имеет степень 3, в то время
как предыдущие аксиомы имели степень 1 или 2.
50.1. Постулат 50.01 независим от постулатов си-
системы 2, что можно показать с помощью следующей
матрицы Парри (пример 0.4 Хантингтона).
Значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
р
1
2
3
4
5
6
7
8
~Р
8
7
6
5
4
3
2
1
0
р
1
3
г
Выделенные значения: 1, 2
рЛ 7 1234567 8;?
2
3
4
5
6
7
8
12 3 4 5 6 7 8
22446688
34347878
44448888
56785678
66886688
78787878
88888888
Ввиду определений имеем:
¦р
1
2
3
4
5
6
7
8
~О"
8
8
8
8
8
8
6
2
DP
2
6
3
8
8
8
8
8
р:\
2
3
4
5
6
7
8
7:12345678 у АА д
26888883
22388888
26263888
22228888
26382688
22882288
26262626
22222222
I 2345674:4
2688888 8
62838888
38263883
38628888
88382683
38886283
38883826
88888862
Эта матрица позволяет доказать независимость 50.01
(и 51.12, которая приводится ниже), так как 50.01 имеет
значение 8 при значениях р = 7 и q = 8. С другой сто-
стороны, эта матрица удовлетворяет S20 и 36.0 (системы 1).
Это показывает, таким образом, что 50.01 не доказуема
даже в S2,
100 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. II
50.2. Непротиворечивость системы 3 следует из того,
что она удовлетворяет матрицам 56.1—56.3, которые бу-
будут приведены ниже.
50.3. Можно сформулировать выводы, касающиеся
дедукционнои теоремы для системы 2.
Так как в системе 2 имеют место правила Беккера
46.1—46.2, и так как (согласно матрице) там недока-
недоказуемы 50.01 и 51.12, то дедукционная теорема (согласно
которой если из Ь- Р выводимо \— Q, то выводимо
\~ P=?Q), не доказуема в системе 2.
А так как при р = 7 и q = 8 формула
принимает значение 3, то в системе 2 дедукционная тео-
теорема не доказуема даже в более слабой форме, а имен-
именно в форме правила: «Если I- Q выводимо из \- Р, то
1 P-+Q».
§ 51.
51.1.
51.11.
@
B)
C)
51.12.
Непосредственные следствия
Импликации импликаций
\-(p^q)^(Dp^nq)
f- (~ q =ф ~ р) =ф @ ~ q =ф 0 ~
1-Т
I- (p=$q)^,(~ 0 9=ф~ 0 р)
(Sm 31)
р) 50.01 подст.
а) по 31.34
по опр. 30.36
из 50.01 по
31.34
В общем случае:
51.15. Если М — положительная модальность, то
51.151. Если М —положительная модальность, то
Ь [г =# (р =Ф Я)] =ф [г =^ (AV» =Ф М<7I.
51.16. Если М' —отрицательная модальность, то
((р7)(?ф/)
51.161. Если М' —отрицательная модальность, то
h [г Ф (р =ф <?)] =# [г (М^ Ф М')]
РАЗ. 5] СИСТЕМА 3 Щ
51.2. Из 50.01 можно вывести 40.1:
A) \-(pAq)=$p 30.11
B) \-[(р A q)=>p]^[O (P A q)=$ О Р] 50.01 подст.
C) \-O(pAq)^Qp из A) и B)
по правилу
30.23
Следовательно, система 3 включает систему 2.
51.3. Импликации эквивалентностей
51.30. \-(p&q)^«)p&<)q) (=Sm34)
(i) Мр^ЖОрФО?) so.oi
B) \-(q^p)^(Oq=$<)p) 50.01 подст.
C) И(^<7)Л(<7=§>р)Ж(Ор=ф
=ФО?)л«><7=фОр)] no 42.31
D) ЬТ по опр. 30.35
51.31. Ир4Ф?)#(Пр«ФП0) (=5/иЗЗ)
из 51.11
аналогично
51.32. МрО?)=ф(~0/>#ф-'0?) из 51-12
аналогично
51.35. Если М — модальность, то \-
& Щ)
51.4. Можно вывести 50.01 из 51.30 и постулатов
системы 2.
" A) \-[p&(PVq)]^[OP&O(pVq)\ 51.30 подст.
B) HpO(pV<7)]=MOP«=HOpVO?)]no 44.4
C) Ь- Т по 45.22
Следовательно, добавление 51.30 к постулатам си-
системы 2 дает множество постулатов для системы 3,
эквивалентное множеству 50.0.
§ 52. Теоремы экспортации и другие следствия
52.1. Н(рЛ?)=И=Ф[пр=мп?^аг)]
A) |-[(/> Л <?) =#/•]=#[/>=>(<?->/•)] из 32.12 по
правилу
31.16
B) н[р^(<7^г)]=>[Пр=М<7=фг)] 51.11 подст.,
32.02
102 нормальные системы |гл. и
C) |-(ИгL(а?4Пг) 51.11 подст.
D) h[Dp4(?=7f)l^PP^ по правилу
ф(П#Пг)] 45.30
E) Ь-Т изA),B),D)
по 32.32
Формула 52.1 — это нечто вроде строгого аналога а 70'.
Другой аналог — формула 47.2.
52.11. Если [-[(P^Q)A(R^S)]^(P'->Q'),
то \-(P^Q)^[(R=^S)==>(P'=$Q'))(no 52.1
и 32.02).
52.12. Если в посылке 52.11 одну или более -> заме-
заменить на •*->, то соответствующая =#¦ в заключении
должна быть заменена на ?Ф-
Используйте 45.1 вместо (или совместно с) 32.02.
52.2. Таким образом, экспортационные аналоги а!
теорем аб (§ 12) могут быть S-преобразованы в системе 3.
52.21.
52.22.
52.3.
(О
B)
C)
D)
E)
(- (p =фq) ==>[(# =фг) =ф(р
\-(q=±r)=$[(p=$q)^(p
(- [p =ф, (q =^ r)] ^> [ ? <7:ф
H(<7=#/")^(^^r)
H[p=#(<7=^/")]=^[p#(<7
I- [p =^ (^ -> r)] =ф [<7 =#> (p
H[<7=#>(p->/")]=^[n^=#>
Ы
=#r)J (=Sa72)
фг)] (=5a721)
(p=$r)]
37.2 подст.
->r)] • из A) по пра-
правилу 45.30
—>г)] из 32.13 по пра-
правилу 31.16
(/'#'¦)] 51.11 подст.,
32.02
из (.2), C),- D)
по 32.32
Эта формула — строгий аналог формулы а705'.
52.4. Имеют место следующие образы S'a-теорем:
52.41. I- П<7=#>(П Р=ФП<7) (см. S'a511)
(О НП?4И?) 43.1
B) b-(p=$q)=$(np^nq) 51.11
C) НТ из A) и B) по 30.15
52.42. I 0 ?=#(~ 0 р=ф—0 q) 52.41 подст., 33.23
РАЗ. 5| СИСТЕМА Э ЮЗ
§ 53. Теоремы сведения
Поразительной особенностью системы 3 (впервые от-
отмеченной Парри, несмотря на то, что система 3 была
сформулирована первой из всех систем Льюиса в его
Survey в 1918 году) является то, что в ней можно до-
доказать теоремы сведения. Эти теоремы дают возмож-
возможность показать, что существует только конечное число
модальностей, а именно — 42. Сами сведения основаны
на трех ключевых теоремах 53.2—53.4, утверждающих
субординацию модальностей.
53.1. \-П2р=$П*р
A) Ь-П<7Ф(рФ<7) 43.1
B) Ь- П2р =#(/> =#?/?) A) подст.
C) Ь-П2р=#>(П2р#>П2Пр) по правилу
51.151
D) (-(?2/>=#П2ПрЖП2р->П3рK7.2 подст.
E) Ь-П2р=#(П2р~*П3/о) из C) и D)
по правилу
30.15
F) \-(П2рЛП2р)=$П3р по 32.12
G) Ь-Т зм по 31.22
53.11. Н П2рО П3р.
A) \-П2р=$П3р 53.1
B) Ь-П3р=#>П2/> 37.12 подст.
C) Ь-Т из A) и B)
поопр. 30.35
53.12. \-Q2p&03P из 53.11 по
двойствен-
двойственности
53.2. Ь- Пр=фП 0 Пр
A) Н Пр=Ф(Пр#>0 ПР) из 36.0 и
52.41 по
30.23
B) ь- Пр^>(П О~Р=#П/о) 52.41 подст.
C) ЬПр#[(ПО~р4Пр)Л из B), A) по
Л (?/?=» О ?/?)] 42.21
104 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
D)
E)
F)
G)
53.21.
53.25.
A)
B)
C)
53.26.
53.3.
О)'
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
(9)
] p =
I-
Ь-
h
?
(?
н
\-
\-
\-
\-
\-
ь
1-
I-.
I-1
n
П
T
0
(C
0
C> ? p)]=?(n 0 ~
p=^(D 0 ~p#"C
p=
> с
? Op=#Op
i OJp^Q Op
p^{uofp
ЮJр#п0р
T
.(C
n
П
П
П
П
?:
П
П
T
>пJрФ^0пр
р=#п О2п2р
~(~p)=»(~p=#
Р=»(~Р=ФП2р)
p=#(O2~p=»O2
O2~p=#O2~p
202~p4d02-
2O2~p=#O2-p
p=#(D2O2~P=^
p=K~02c]2p^
n2
?2
-p
O2
0s
^0 ?
] p)
]p)
p)
p)
!D2p)
pK0.15 подст.
из (З), D) по
30.15
из E) зм по
33.23 и
33.211
из F) зм по
33.11
из 53.2 по
двойствен-
двойственности
53.2 подст.
из 53.21 по
51.15
из A) и B)
по опр. 30.35
из 53.25 по
двойствен-
двойственности
43.2 подст.
зм по 31.32
из B) по пра-
правилу 51.151
37.12 подст.
37.12 подст.
из D), E) по
30.15
из C) и F)
по правилу
45.33
зм по 33.211
и 33.23
из (8) по
33.11
РАЗ. 5] СИСТЕМА 3 105
53.31. Ь- О П2О2Р=^ОР из 53.3 по
двойствен-
двойственности
53.35. Н П2С
A) Ь ?202/>=5>П0П202/> 53.2 подст.
B) Н ? П2О2Р=#П2О П2О2Р- по 51.15
C) Ь- П2О2Р#>П2О П2О2Р по 53.11
D) НП2О2Р^П2Ор из C) и 53.31
по 30.15
E) НП2Ор=#П2О2Р из 36.0 по
51.15
F) Ь- Т из D) и E)
по 30.35
53.36. I- О2П2/>4=^О2П/> из 53.35 по
двойствен-
двойственности
53.4. Производные теоремы сведения
53.41. Ь- П2О П2/>4ФП2О ?/>
A) Ь- П2О П2р4^ П2О2П2Р 53.35 подст.
B) Ь П2О2П2Р4:ФП2О2П/' по 53.36
C) (-Т по 53.35
53.42. И О2 ПО2/>^ О2 ПОР из 53.41 по
двойственно-
двойственности
Оо.4о. I— LJ чу 1_| \/ pv^LJ v P
A) ьОпОр=^Ор 53-21
B) (-(? 0H ? ОР^С^1 0Hр по 51.15
C) I- ? 02Р =# ? О2 П2 О2Р 53.3 подст.
D) Н П 02Р=#"П О2П2<>Р по 53.35
E) \- ? О2Р=^ П О2 П О Р по 53.36
F) |- Т из B) и E) по
опр. 30.35
53.44. Ь О П2О Пр4Ф0 П*Р из 53-43 по
двойственно-
двойственности
106 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
§ 54. Сведение всех модальностей к 42
54.1. Типы упрощенных собственных модальностей.
Назовем упрощенными (собственными) модальностями
собственные модальности Мр или М ~ р, в которых М
не содержит знака отрицания.
Согласно 33.21—33.23 все собственные модальности
сводятся к строго эквивалентным упрощенным модаль-
модальностям.
Упрощенные модальности могут быть четырех типов.
Тип А: положительные модальности М/?, где М на-
начинается с П.
Тип В: положительные модальности М.р, где М на-
начинается с (}.
Тип С: отрицательные модальности М~р, где М
начинается с Щ.
Тип D: отрицательные модальности М — р, где М
начинается с (>.
54.2. Сведение всех модальностей типа А к десяти
модальностям
54.21. С одним модальным знаком имеется одна мо-
модальность: ? р.
54.22. С двумя модальными знаками имеются две
различные модальности: П2р и ? 0 р.
54.23. С тремя модальными знаками имеются четыре
модальности: П3р, П2<>Р. ? О ? Р> ? О'2Р-
Однако
2р 53.11
Следовательно, остаются три модальности:
п2Ор. ?<> пр. ЦО*р-
54.24. С четырьмя модальными знаками имеются
шесть модальностей: П2 <)?/?> П2О2Р> D 0 D2p,
(?ОJР, ПО2 ПР. аО3р.
Однако
2С>Р 53.35
Ор 53-25
О2Р по 53.12
Следовательно, остаются три различные модальности:
п2Опр, аОп2р. d<>2Dp.
РАЗ. 5] СИСТЕМА 3 107
54.25. С пятью модальными знаками имеются шесть
модальностей:
D20n2p. п(пОJр, пОп3р, пОп2Ор.
? О2п2р. п02п0р-
Однако
\-П2()П*р&П2<)Пр ¦ 53.41
I- П(П ОJРФФС(П О)Р по 53.25
Ь П О П3рф^П 0 П2р по 53.11
Н ПО2П2р&ПО2Пр по 53.36
ьп 02п0р^п02р 53-43
Следовательно, остается одна модальность: ? «О О2()Р-
54.26. С шестью модальными знаками имеются две
модальности: П О П2 О ? Р и D О D2 О2Р-
Однако
Ь- П О П2О Пр#ФП О П2р по 53.44
Ь ПОП2О2Р^П ОП2ОР по 53.35
54.27. Следовательно, в системе 3 существует не
более десяти различных модальностей типа А, а именно:
Dp, П2р, ПОР. П2 О Р, ? О ? Р. ? О2Р> П2 О ? Р.
nOnV. ПО8dp, D0n20p.
• 54.3. Сведение модальностей типов В, С, D
54.31. Модальность типа В (назовем ее М'р) двой-
двойственна (МрГ модальности Мр типа А. Но согласно
33.64 если |-МрффМ"р, то I- (Мр)*Ф?(М"рГ, т. е. если
модальность Мр типа А сводится к М"р, то модаль-
модальность (Мр)" типа В сводится к (М"р)'.
Следовательно, существует не более десяти несво-
несводимых модальностей типа В, которые двойственны мо-
модальностям типа А, а именно: <> р, О2Р> О ? Р> О2 ? Р>
ОПОр, <>П2Р. О2 DO Р. ОПО2Р> ОП2ОР>
ОП <>2Dp.
54.32. Модальность типа С (назовем ее М'р) есть
модальность М — р, где Мр является модальностью
типа А. Но если \~ Мр#ФМ"р, то Н М~рФФМ"~р.
Следовательно, существует не более десяти модаль-
модальностей типа С, а именно: ?—р, D2~p, D<)~P>
108 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. II
? 8О~Р. ? О ? ~р, ? О2—Р. П2О П~ р, ? О П2~Р,
? О2п~р, пОп2О~р-
54.33. По аналогичным причинам существует не более
десяти несводимых модальностей типа D, соответствую-
соответствующих модальностям типа С, а именно: <)—р, О2—р,
Ои~р, О2п~р> ОпО~р. О ?'—р. О2пО~р,
ОпО2~р, Оп2О~р> On О2п~р.
54.4. Следовательно, имеется не более 40 несводимых
собственных модальностей, а если добавить к ним
две несобственные модальности р и ~р, то будет не
более 42 несводимых модальностей: 21 положительная
и 21 отрицательная.
§ 55. Импликации между модальностями
55.1. Строгие импликации (но не строгие эквивалент-
эквивалентности) между модальностями типа А могут быть сведены
в четыре серии (докажем каждую импликацию от-
отдельно).
55.11. |_п2
Ор OV
55.111. f-П*0р=#П 0 D2Op 53.2 подст.
55.112. Ь- П2ОП2ОР=^П ОР
A) НП2ОР=ФП<>Р 37.12 подст.
B) I- ? ОП2ОР=^С1 0 ? ОР изA)по50.01
и 51.11
C) I- T зм по 53.25
55.113. Н ? О p^Q <>2р из 36.0 по
51.15
55.12. Ь-П2р^>П2ОПр=>
=ФпО п2р=^п О Пр=>п О2пр
55.121. ЬП2Р=^П2ОПР 53.2 подст.
55.122. I- П2ОПР=»ПОП2Р
A) I- П2О П2р=?П<> П2р 37.12 подст.
B) I— T по 53.41
55.123. |- ? О П2р=ФП 0 Up из 37.12 по
51.15
РАЗ. 5] СИСТЕМА 3 109
55.124. Ь-П<>
A) ЬОПР^О2ПР 36.0 под ст.
B) \- ПОПр==>П(JПр по 46.1
55.13. Ь- П2р=ФПр==>П 0 Dp
55.131. \-П2р=$Пр 37.12 подст.
55.132. Н Пр=#П <> Пр 53.2
55.14. Имеются также импликации:
55.141. Н П2О Пр^О20р из 37.12 по
51.15
55.142. \- П<)Пр^>П(}Р из 37Л2 по
51.15
55.143. Н ? О2 ??=#? О2Р из 37.12 по
51.15
55.2. Импликации между модальностями типа В по-
получим по двойственности.
Например, из 55.13 по двойственности получим ;
55.3. Некоторые модальности типа А имплицируют
модальности типа В (согласно 36.0 или 37.12). На-
Например,
• I- n2Qnp^>0n02p.
55.4. Импликация между модальностями типа С и D
(отрицательными) получаются из импликаций между
модальностями соответственно типа А и В, если подста-
подставить ~р вместо р.
55.5. Что касается несобственных модальностей р и
~р, то на основании 37.12 и 36.0 о них можно утвер-
утверждать следующее:
I- ? рОР
§ 56. Невыводимость других импликаций между
модальностями.
Используя матрицы, Паррп доказал, что не суще-
существует других импликаций между модальностями.
по
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. П
Эти матрицы можно привести для ссылок на них в
дальнейшем.
51.6
(Группа I Льюиса
и Лэигфоряа)
Такие же, как
и 30.5, но:
56.2
56.3
56.4
(Группа II Льюиса (Группа III Льюиса
и Лэигфорда) и Лэнгфорда)
Такие же. как
и 30.5, но:
Такие же, как
и 30.5, но:
Такие же, как
и 30-5, но
р
1
2
3
4
ОР
1
I
1
3
р
1
2
3
4
0 Р
1
2
I
4
Р
1
2
3
4
0 Р
1
I
1
4
Р
1
2
3
4
0 Р
1
1
3
3
На основе матриц можно установить, что не может
быть доказано иных строгих эквивалентностей между
модальностями, кроме тех, которые перечислены выше.
Следовательно, система 3 имеет ровно 42 несводимые
модальности.
§ 57. Некоторые другие множества постулатов для
системы 3
57.1. Саймоне [1953] предложил вместо 53 множество
постулатов, подобных 63.11. Среди этих постулатов нет
иного правила вывода, кроме правила отделения для
материальной импликации.
Саймоне формулирует постулаты в виде схем аксиом.
Однако мы приведем именно систему аксиом с прави-
правилом подстановки. В упомянутой выше работе Саимонса
показывается также независимость этих постулатов.
57.11. Аксиомы:
57.111. I— р=^ (р V р)
57.112. h-(pAq)=^4
57.113. Н(гЛр)Л~(<7Лг)ЖрЛ~<7)
57.114. Н
57.115. I-
57.116. I-
ХАксиомы, как мы сказали, взаимно независимы.)
РАЗ. 5] СИСТЕМА 3 111
57.12. Правила
57.121. Правило подстановки 30.21. (Система со схе-
схемами аксиом в таком правиле не нуждается.)
57.122. Правило отделения для материальной импли-
импликации: Если HP и \-P->Q, то I-Q.
57.13. Определения 30.3.
57.2. Множества постулатов 57.1 и 50 эквивалентны.
57.21. Постулаты 57.1 либо содержатся среди 50
либо следуют из них. Единственная возникающая здесь
проблема связана с 57.113. Если заменить Ф на —>
в 57.113, то получится тавтология (доказуемая в АПИ).
Следовательно, 57.113 доказуема по 34.41.
57.22. Вывод постулатов 50 из постулатов 57.1 можно
найти у Саймонса [1953].
*57.3. Леммой [1957] сформулировал модальную си-
систему, названную им РЗ и показал ее дедуктивную экви-
эквивалентность 53.
Постулаты РЗ.
I. Теоремы АПИ.
II. Два правила:
а) правило подстановки вместо пропозициональных
переменных;
б) правило: «Если \-Р — тавтология в АПИ либо
аксиома РЗ, то Н П Р».
III. Две аксиомы:
. Н Пр-*Р
Ь- П(р-><7)->П(Пр->П<7) (слабее, чем 51.11)
57.4. Система Исимото
, 57.40. Исимото [1954] сформулировал модальную си-
систему,, эквивалентную S3, взяв в качестве исходных опе-
операторов знаки | (штрих Шеффера — Нико) и || (P[iQ
равносильна — () (Р Д Q)).
Утверждения в этой системе будем обозначать сим-
символом \—,
Символы —-, А, V. О. -*¦ и =7> вводятся по опре-
определению.
Символы | или ||, написанные наклонно (/ или //),
имеют большую связывающую силу (а тем самым мень-
меньшую разделяющую силу), чем эти же символы, напи-
написанные прямо. Так, pWqlr означает p\\(q\r), a p/q\r/s
заменяет. (p\q).\ {r\s).
П2 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ц
Операторы II, I, ~, V, Л и О имеют одинаковую
связывающую силу.
Операторы —> и ^ имеют меньшую связывающую
силу, нежели другие операторы. Так, р\\ q/r=^(s|| ^\\)
заменяет (р || (q | г)) =#> ((s || q) =Ф (р || s)).
Система имеет следующие определения:
*57.411. P=%>Q обозначает P\\QR,
*57.412. P-+Q обозначает Р\ Q/Q,
*57.413. ~Р обозначает Р\Р,
*57.414. PVQ обозначает P/PIQ/Q,
*57.415. PAQ обозначает P/Q\P/Q,
*57.416. 0^ обозначает РЦР\РЦР.
Схемы, аксиом:
«57.421.
*57.422. 1
*57.423. \-P\\Q/R=$>(S\\Q=$>P\\S)
*57.424.
*57.425.
*57.426. h- (P/QI PR) II {PR I PR) =Ф РIIQ.
Система имеет два правила:
а) Modus ponens для =#:
Если 1- P=>Q и 1- Р, то I- Q.
(Это правило применяется к пропозициональным
формулам Р и Q, не содержащим определяемых опера-
операторов.)
б) Правило соединения:
Если 1- Р и \-Q, то \- Р Л Q.
(Правомерность подстановки строго эквивалентных
предложений, не содержащих определяемых операторов,
для этой системы доказывается в виде метатеоремы.)
Исимото показал, что эта система дедуктивно экви-
эквивалентна S3.
§ «58. Собственные подсистемы S3 (системы 3 и 3*)
*58.1. Собочинский [1962] рассмотрел собственную
подсистему системы 53, построенную путем добавления
к Sl° аксиомы:
РАЗ. 6] СИСТЕМА 4 ИЗ
*58.10. I ОНО(РЛ~?)Л~~(ОрЛ Ой)] или
аксиомы
50.01. ЫР=5><7ЖОР=
Он назвал эту систему 53°.
*58.11. Томас [1962] показал, что формула 57.114
I <)р-> — Р не доказуема в 53°.
«-58.12. Добавляя к системе 53° аксиому
36.0: 1— р=ФОР> мы получаем систему, дедуктивно
эквивалентную 53.
«58.2. Собочииский назвал системой 53* систему, по-
построенную при помощи следующих аксиом:
I- р=?(рЛр)
Н(рЛр)=>р
Н [(г Л р) Л ~ (<7 Л г)] =Мр Л ~ ?)
Ыр=^><7)=Ф(~ О 7^—О Р)
I Ор_>^р E7.114)
Он показал, что 53* совместно с 36.0:
дает S3.
*58.21. Томас показал, что S3* не содержит ни теоремы
30.15. Н(Р))]^)
ни теоремы
44.1. \-(Прд(
Раздел 6. СИСТЕМА 4
Система 4 очень важна. Почти все теоремы, доказуе-
доказуемые в S5, доказуемы и в S4. Тем не менее S4 не имеет
тривиальной простоты системы S5, так как сохраняет
12 различных собственных модальностей. Кроме того,
для S4 были найдены весьма интересные интерпретации.
§ 60. Постулаты системы 4
60.0. Система 4 (или S4) определяется как система,
получаемая добавлением к постулатам системы 1 фор-
формулы
60.01. f-O
Ясно, что вместо 60.01 можно взять в качестве ак-
аксиомы двойственную формулу:
60.02. н- Пр=>П Пр
114 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ,{ГЛ. XI
60.1. Аксиома 60.01 ведет к строгим эквивалентностям:
боль н-ООрФ^Ор
A) h-OP=^O<>P 36.0 подст.
B) \-ООр^<)Р 60Л1
C) |-Т из A) и B) по опр. 30.35
60.12. 1- П ПрФФПр из 60.11 по двойственности
Таким образом, «возможно» в этой системе отожде-
отождествляется с «возможно, что возможно» и вообще с не-
неограниченным повторением символа «возможно».
Аналогичное имеет место и для символа необходи-
необходимости.
60.2. Аксиома 60.01 независима от постулатов си-
системы 1, так как на матрицах 30.5, которым удовлет-
удовлетворяет система 1, она принимает значение 3 при р = 4.
60.3. Постулаты системы 4 непротиворечивы, так как
все они удовлетворяют матрице 56.3.
60.4. Система 4 включает системы 2 и 3. Это видно
из следующих теорем:
60.41. \-D(p=$>q)&(p^>q)
A) h-nn{p->q)<r$n(p-+q) 60.12 подст.
B) 1- Т зм по 32.02
60.42. \-<>(pAq)=$>Op (=40.1)
A) И(рЛ<7)=Фр]4ФП[(рЛ<7)=Фр] 60.41 подст.
B) М[(рЛ<7)=МЛ
Л <0> (Р Л Я)] =Ф ОР 33.32 лодст.
C) \- n[(pAq)=?p] из 30.11 по A)
D) h- T из C) и B) по
33.4
60.43. н-(р=^)=И0р=^>0<7) (=50.01)
A) h- n(p^q)=$n(Op-+Oq) из 33.32!
подст. по пра-
правилу 33.311
B) Н Т подст. по 60.41
и 32.02
60.44. Системы 2 и 3 выводимы из постулатов си-
системы 1 при добавлении соответственно 40.1 ( = 60.42)
и 50.01 (=60.43) и поэтому содержатся в системе 4.
РАЗ. 81 СИСТЕМА 4 115
§ 61. Сведение модальностей в системе 4
В системе 4 имеется ровно 14 несводимых модаль-
модальностей, из них 12 собственных модальностей и 2 не-
несобственные.
Это можно показать методом Парри следующим об-
образом. Так как система 3 содержится в системе 4
F0.44), то теоремы системы 3 доказуемы в системе 4.
Если теперь посредством 60.11 свести <^> О Р к <0> р и если
посредством 60.12 свести ПОр к Ор, то 40 собственных
модальностей сведутся к 12.
Но так как некоторые сведения системы 3 могут
показаться искусственными, то не лишне показать, что
сведения, приводящие к такому же результату, могут
быть просто и естественно осуществлены в 54.
61.li Теоремы сведения в 54 .
6i.li. \- ар4по пр
Эта теорема 53.2, которая в 54 может быть дока-
доказана проще, чем в 53.
A) \-П*Р=$ОПр 37.13 подст.
B) 1- П3р=#П 0 Пр по 46.1
C) 1- Пр=#П3р по 60.12 (дважды)
D) hDp^nOOp по C) и B), 30.15
" 61.12. ОПОР^ОР из 61.11 по двой-
двойственности
61.13. Ь( ? 0 J Р<?Ф ? 0 /> доказательство,
как в 53.25
61.14. (-«> ПJр&ОПр из 61.13 по двой-
двойственности
61.2. Типы упрощенных модальностей в S4. Назовем
упрощенными модальностями в системе 4 модальности
вида М/э или М ~ р, у которых М (Г) не содержит
знака отрицания, B°) не содержит двух О или двух П,
непосредственно следующих друг за другом.
Согласно 33.21—33.23 все положительные модально-
модальности сводятся к модальностям М без знака отрицания, а
все отрицательные модальности сводятся к модально-
модальностям М~, где М не содержит знака отрицания.
116 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТГМЫ [ГЛ. II
Согласно 60.11 и 60.12 в системе 4 два знака <), сле-
следующие непосредственно друг за другом, могут быть за-
заменены на один, два знака П, следующие непосредствен-
непосредственно друг за другом, могут быть также заменены на один.
Упрощенные модальности подразделяются на четыре
типа.
Тип А: положительная модальность Мр, М начи-
начинается с П.
Тип В: положительная модальность Мр, М начи-
начинается с <0>.
Тип С: отрицательная модальность М~р, М начи-
начинается с П.
Тип D: отрицательная модальность М ~ р, М начи-
начинается с 0.
61.3. Сведение упрощенных модальностей типа А
к трем модальностям
С одним модальным знаком имеется одна модаль-
модальность: ? р.
С двумя модальными знаками имеется одна модаль-
модальность: п О р.
С тремя модальными знаками имеется одна модаль-
модальность: ? <0> ? р.
С четырьмя модальными знаками имеется модаль-
модальность (? ОJр, но согласно 61.13 она сводится к ? () р.
Следовательно, имеется не более трех модальностей
типа A: Up, П О Р. ? О О Р-
61.4. Сведение модальностей типов В, С, D. Модаль-
Модальности тина В двойственны модальностям тина А. По-
Поэтому имеется не более трех несводимых модальностей
типа В: <0> Р. О ? Р> О ? О Р-
Аналогично можно заключить, что имеется не более
трех модальностей типа С: ?—р, ? <0> — р, ? О ? —Р-
Аналогичным образом заключаем, что имеется не бо-
более трех модальностей тина D:<)—р, <>?—Р> ОПО~~Р-
61.5. Следовательно, имеется не более 12 несводимых
собственных модальностей. Если к ним добавить две не-
несобственные модальности р и ~р, то получим не более
14 несводимых модальностей.
61.6. Импликации между модальностями
61.61. {}
РАЗ. 6] СИСТЕМА 4 Ц7
A) нпр^пОпр 6i.il
B) НП<>Пр4() Dp 37.12 подст.
C) h-DODp^nOp из 37.12 по 46.2 и 46.1
D) h О П р =# О П О Р из 36.0 по 46.1 и 46.2
E) НПОр^ОПО/7 36.0 подст.
F) h <> П Ор=^Ор 61.12
61.62. НПр^рФОР 37.12 и 36.0
61.7. Посредством матриц можно показать, что не
существует иных строгих импликаций между модально-
модальностями, доказуемых в системе 4 (детальное доказатель-
доказательство см. у Парри).
§ 62. Теоремы и правила, доказуемые в системе 4
62.1. ь
A) 1- ? П <7=Ир=Ф ? q) 43.1 подст.
B) 1-Т зм по 60.12
62.2. Теоремы импортации и экспортации становятся
строгими эквивалентностями.
62.21. I- [(? рЛ ? <?)=#> Пг]4Ф
4Ф[П р=^(П ?=#?/•)] (=5'а70)
A) I- [(П рЛ ? <7)=Ф П /"]=#
=^[D Dp#(QD?4DD'1)]1 52.1 подст.
B) I- [(? р Л ? <7)=Ф ? /"]=#
=ИПр=#[П<7=> Dr)]i
C) h[Dp#(D?^Dr)]^ зм по 60.12
D) 1-Т 47.2 подст.
из B) и C)
по опр. 30.35
62.22. н[П р=^(П 9=7 П г)]ФФ
4ф[П 9=^(П p# ?/•)] (=S'a705)
] r)l 52.3 подст.
Ц8 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ'. II
B) Ь[
4[П(?#(Пр:ФПг)] зм по 60.12
C) Ь[П(/#(ПЭПгН
г)] аналогично
D) hT из B) и C)
по опр. 30.35
62.3. Если 1- Р, то 1- П Р (правило 23.2 М"ПКИ).
Чтобы доказать это правило, достаточно показать,
что если Р — аксиома системы 4, либо формула, выво-
выводимая в ней, то |— ПР.
A) Все аксиомы системы 4 (т. е. 30.11—30.15, 36.0
и 60.01) имеют форму P=^Q. По 60.41, если hP=>Q, то
}—n(P=^Q); таким образом, если R— аксиома си-
системы 4, то 1- П R.
B) Если Q выведена из Р по правилу подстановки
30.21, то очевидно, что 1- П Q может быть выведена из
f- ПР.
C) Если Р Л Q выведена из Р и Q по правилу сое-
соединения 30.22, то по 44.1 1- П (Р AQ) следует из I- ПР
HhDQ.
D) Если Q выведена из Р и Р=#> Q по правилу от-
отделения 30.23, то по 33.31 1- П Q следует из I- П Р и
h-P=^Q (которая строго эквивалентна 1- ? (P=:#>Q) со-
согласно 60.41).
E) Если Q выведена из Р по правилу замены строго
эквивалентных 30.24 или по определениям, то очевид-
очевидно, что \- П Q следует из \- П Р.
62.4. Следствиями 62.3 являются, например, такие
правила вывода:
62.41. Если \-P-*Q, то 1- nP->DQ.
A) h-P-*Q гип.
B) \-P=?Q no 62.3 и 32.02
C) 1- ПР-^DQ по 33.311
62.42. Если 1-P«->Q, то \- P&Q (по 62.3 и 45.1).
62.43. Правило замены материально эквивалентных.
Если \-P*-+Q, то доказуемая формула остается до-
доказуемой, если все вхождения Р заменить в ней па Q
(из 30.24 по 62.42).
РАЗ. 61
СИСТЕМА 4
119
62.5.
62.51.
(О
B)
C)
D)
E)
F)
62.52.
62.53.
Некоторые
\— ? (Р V
HD(pV
Н D(pV
1- ? (р V
=M(pV~
Mpv~
1- ? (Р V
нО(рЛ
Положим
Fp
Vp
другие теоремы
~р)?$(р у-
~PL(PV-
э
~р)
~/р):Ф
~p)=^>D(pV
p)^D(pV'
/~^/ р) 4Ф (р V'
'**' р)^Ф (р Л '
~р)
-~Р)
'~РI
— р)
— р)
~Р)
по определению:
обозначает
обозначает
рЛ~
PV-
37,
из
.12
-
подст.
АПИ (фор-
мула
из
62.
из
из
по
из
B)
,1 i
C)
@
30
62,
аОб)
по 34.1
юдст.
и D) по 30.23
и E)
.22 и 30.35
.51 по двои-
ственности
'Р.
JP-
Следствия из определения:
62.54. Получаем:
62.52
1- ? Vpi$Vp 62.51
62.55. В системе 2 уже было получено:
Ь- 0 Vp& Vp 47.3
Ь- П Fp^Fp из 47.3 по двойственности
62.56. Кроме них, в системе 2 имели место теоремы:
h- П~р4Ф(р4ф/гр) 45.23
Ь- ?' РФФ(Р4Ф Vp) 45.24
§ 63. Другие множества постулатов для сиетемы 4
63.1. Приведем множество постулатов с теми же ис-
холнымн правилами, что и в АПИ (§ 13).
63.11. Аксиомы:
63.110. Аксиомы § 60 (т. е. 30.11—30.15, 36.0 и 60.01)
120 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. II
63.111. \
63.112. \
63.113. y
63.114.
63.115. h(p#?L@p#0?) (=Sm32)
63.12. Правила
63.120. Правило подстановки 30.21 (опускается, если
используются схемы аксиом).
63.121. Правило отделения для материальной импли-
импликации:
Если 1- Р и \-P-*Q, то 1-Q.
63.13. Определения § 60 (т. е. определения 30.3).
63.2. Множества .постулатов 63.1 и 60 эквивалентны.
63.12. Постулаты 63.1 либо являются постулатами
из 60 либо следуют из них. Последнее следует доказать
для аксиом, начиная с 63.III по 63.115, и для пра-
правила 63.121.
F3.111) \-(p=$q)-*(p-+q)
A) |_(р=^Жр->?) 37.2
B) (-Т по 32.02 и 37.12
F3.112) \- p->\q-*{p/\q)] из АПИ по 34.3
F3.113) Из 31.34 по правилу 31.16.
F3.114) Доказывается аналогично 42.31.
F3.115) Доказывается аналогично 60.43.
F3.121) Доказывается аналогично 32.211.
63.22. Постулаты § 60 либо являются постулатами
из 63.1, либо выводимы из них. Единственными посту-
постулатами, характерными для системы § 60, оказываются
правила 30.22—30.24. Они выводимы посредством допол-
дополнительных аксиом.
C0.22) Если \-Р и 1-Q, то I- P AQ-
A) 1- Р гип.
B) h-P->[Q->(PAQ)] 63.112
C) [-Q-*(PAQ) из A) и B) по правилу 63.121
D) 1- Q гип.
E) I- P A Q из C) и D) по правилу 63.121
РАЗ. 61 СИСТЕМА 4 121
C0.23) Если \-Р и h-P=$Q, то Ь-Q.
A) |-P=#>Q гип.
B) t-(P^Q)->(P->Q) 63.111
C) |-P->Q из A) и B) по правилу 63.121
D) ь- Р гип.
E) h- Q из C) и D) по правилу 63.121
C0.24) Правило замены строго эквивалентных сле-
следует из 63.113—63.115.
63.3. Приведем другое множество постулатов, отли-
отличающихся от постулатов § 23 (М"ПКИ) только тем, что
23.32 заменяется на 63.313 (приведенную ниже).
63.31. Аксиомы
63.310. Аксиомы АПИ A3.11 — 13.14)
63.311. Ь- ? Р-*Р
63.312. h-n(p-*q)->(np-*Dq)
63.313. 1- ? р->-П ? р
63.32. Правила
63.320. Правило подстановки C0.21 или 13.2)
63.321. Правило отделения для материальной импли-
импликации A3.3).
63.322. Если I- P, то 1- ? Р.
63.33. Определения
63.330. Определения § 13 A3.41 — 13.43)
63.331. О Я обозначает ~П~ Я B3.51)
63.332. Р=ф<2 обозначает D(P->Q) B3.52)
63.333. P4=$Q обозначает U(P«-*Q) B3.53)
63.4. Множества постулатов 63.3 и 63.1 эквивалентны.
63.41. Постулаты 63.3 являются постулатами из 63.1
либо следуют из них. Постулаты, собственные для
63.3,— это аксиомы 63.31, либо правила 63.32, либо опре-
определения 63.331—63.333. Их (или соответствующие тео-
теоремы) можно вывести из множества постулатов § 60
(эквивалентного, согласно доказанному, множеству по-
постулатов 63.1):
F3.310) Следует из 34.3.
F3.311) Из 37.12 по 37.2.
F3.312) Из 33.311 по 32.02 и 37.2.
122 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ {ГЛ. И
F3.313) Из 60.02 по 37.2.
F3.322) Доказывается, как 62.3.
Три определения доказываются в виде строгих экви-
валентностей (позволяющих производить замену в силу
правила 30.24).
F3.331) доказывается, как и строгая эквивалент-
эквивалентность в 33.22.
F3.332) доказывается, как и строгая эквивалент-
эквивалентность в 32.02.
F3.333) доказывается, как и строгая эквивалент-
эквивалентность в 45.1.
63.42. Постулаты 63.1 являются постулатами 63.3
либо следуют из них. Постулаты, собственные для
63.1, — это аксиомы 63.11 и определения 30.34—30.36.
A. Все а-формулы доказуемы, так как все постулаты
АПИ доказуемы в 63.3.
B. В частности, доказуема р->[<7->(р Л <7I (=63.112),
из которой следует правило соединения (как в 63.22).
C. \-(p=$q)-»(p-+q) (=63.111)
по 63.311 и
опр. 63.332
И, как следствие, доказуемо правило 30.23 (отделе-
(отделения для строгой импликации).
D. Аксиомы 63.113—63.115 доказываются следующим
образом:
Da. F3.113) A) H(/>->?)->(~<7->~/>) АПИ
B) |- П [(/?-> <7)-»(~<7-*~/>)] по 63.322
C) I- П(р-><?)->
-> ?(~<7-*~р) по 63.312
D) I- П[П(р-><?)->
_> ? (—q^.~p)] по 63.322
E) Ь- Т по опр.
63.332
Db. Лемма \- (? р Л ? q) -> ? (р Л q)
A) \-p-+[q-+(pAq)} АПИ
B) I- ? [р -> \q -* (р Л q)]} по 63.322
C) I- ПР->П[<7->(М?I по 63.312
D) I- np-*[Dq-*n(pAq)) по C) и
63.312
E) н Т по АПИ
РАЗ. 61 СИСТЕМА 4
Dc. F3.114) A) b[(p-><M(r->s)]->
->[(pAr)-+(qAs)] АПИ
B)
-*[{pAr)-*-(qAs)]} no 63.322
->\3[(pAr)->(qAs)]no 63.312
D) ЬТ по C) и
лемме Db
Dd. F3.115) A) Ь П(~?->~р)->
->(П ~<7-> П ~р) 63.312
B) НПИ-»~Р)-*
->¦ ('-' П ~ р ~> ~ П ~ ?) из A) по
АПИ
C) I- П(/>-><7)-М0/>-»0<7) по 63.331
D) Ь П[П(р-><7)->
.^(Ор-х^^)] по 63.322
E) I- ПП(р-><7)->
_> ? (О р_> О ^) по 63.312
F) Ь- П (р -> q) -*-
—> П (О Р—*" О ?) п0 63.313
G) Ь-Т по 63.322 и
опр. 63.332
Из этих аксиом следует правило замены строго экви-
эквивалентных, имеющее вид: если \~P=$-Q и Ь-<2=ФЛ то
доказуемая формула остается доказуемой, если в ней
какие-либо вхождения Р заменить на Q.
Е. Методами М"ПК из постулатов 63.3 можно вы-
вывести следующие пары строгих импликаций, соответ-
соответствующих определениям 30.34—30.36:
C0.34) [
(_ ~
C0.35) I
C0.36) Ь-
t-
63.5. Постулаты системы 3 вместе с правилом 62.3
образуют множество постулатов для системы 4.
124 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ {ГЛ. U
63.51. Ь ? ? ?=ИП р=Ф П ? q)
A) t-Пр=#>(<7=Фр) 43.1 подст.
B) I- П/?4(П П?=фППр) по 51.151
C) Ь П П П<7=ИПр=ФП Up) по 52.3
D) ЬТ зм по 53.11
63.52. Так как в системе 3 доказуема теорема 63.51,
то доказуемость любой формулы вида П П Q доста-
достаточна для доказуемости формулы Пр=ФППр, т. е.
теоремы 60.02. Добавив 63.51 к постулатам некоторой
системы, содержащей систему 1, получим систему 4.
63.53. Это условие выполняется, если имеется пра-
правило 62.3. Тогда, например, мы получим
A) hp^p 31.11
B) I- П(р->р) зм по 32.02
C) Ь- ? ? {р-> р) по правилу 62.3
D) 1-ПП(р->р)=#(Пр=#П Пр) 63.51 подст.
E) НПр#ППр F0.02) из C) и
D) по 30.23
63.54. Это условие также выполняется, если добавить
к системе 3 постулат:
(р V ~ р) =#> D (р V ~ р), или Vp=$UVp
A) b(PV~p)=>D (pV~p) гип.
B) 1- П(рУ~Р)=Фа D(pV~p) no 46.1
C) \-UU{pV~p) из A) и B), аО6,
31.021 и 63.42
63.6. Постулаты 57.1 системы 3 при добавлении 60.01
образуют множество постулатов, эквивалентное мно-
множеству постулатов 60.0.
Множество постулатов 63.5 имеет ту же особенность,
что и постулаты 63.1. Эта особенность состоит в от-
отсутствии иных правил вывода, кроме правила отделения
для материальной импликации. Кроме того, эти мно-
множества постулатов более просты, чем постулаты 60.0.
Независимость этих множеств постулатов показана
Саймонсом [1962].
Так как постулаты 57.1—это постулаты системы 3,
то ясно, что система 4 следует из этих постулатов при
добавлении к ним 60.01.
РАЗ. 6] СИСТЕМА 4 125
С другой стороны, постулаты 57.1 следуют из по-
постулатов 60.0, а 60.01 является частью множества по-
постулатов 60.0.
§ 64. Различные формы дедукционной теоремы
в системе 4
Доказательство различных форм дедукционной тео-
теоремы начнем с рассмотрения системы постулатов 63.1.
64.0. Будем говорить, что Р\, Р2, .... Рп Ь Q, если
существует конечная последовательность Qb Q2 Qr
формул, где Qr— Q, такая, что для i = 1, ..., г выпол-
выполняется одно из условий:
0) Qi~аксиома или получена из аксиом по пра-
правилу подстановки;
B) Qi — одна из формул Р$ (для 1^/^п);
C) существуют целые положительные числа / и k,
меньшие i, такие, что Qj — (Qk—*Qi)-
64.1. Необходимым и достаточным условием соотно-
соотношения Pi, ..., Рп Н Q является существование конеч-
конечной последовательности Qi, Q2, ¦•-, Qr формул, где
Qr=Qt такой, что для каждого i=\, ..., г выпол-
выполняется одно из условий:
(la) Qi — доказуемая формула;
A6) существует /, меньшее i, такое, что Qt полу-
получается из Qj подстановкой некоторой формулы вместо
переменной, входящей в Qj, но не входящей в какую-
либо из формул Pi, Pi, .... Рп\
B) Qj — одна из формул Pj (для 1^/^п);
C) существуют целые положительные числа / и k,
меньшие i, такие, что Qj = (QA-vQj).
(Условия B) и C) в 64.1 те же самые, что и в 64.0.)
64.11. Это условие является необходимым, так как
каждое Q,-, которое удовлетворяет одному из трех усло-
условий 64.0, заведомо будет удовлетворять одному из че-
четырех условий 64.1.
64.12. Достаточность этого условия (т. е. то, что если
Aа), A6), B) и C) выполняются, то Ри Pi, •••
..., Ра \— Q) покажем индукцией по г.
64.13. Если г=1, то последовательность состоит
просто из Q. Так как допущения в формулировках усло-
условий A6) и C) не могут быть выполнены, то нам не-
необходимо рассмотреть только условия Aа) и B).
1Г6 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Ц\Л. II
Если Q удовлетворяет условию Aа), то Q дока-
доказуема, а следовательно, существует последовательность
Ri, R2, ¦••, Rs формул таких, что RS = Q и Rt
(i = l, ..., s) получается подстановкой в аксиому либо
по правилу отделения для материальной импликации
F3.121) из предшествующего члена последовательности.
Последовательность Rit R2 Rs удовлетворяет усло-
условию 64.0 и, следовательно, Рь Pi Рп\~ Q, что и
требовалось доказать.
Если Q удовлетворяет условию B) из 64.0, то опять-
таки получаем Р\, Р2, .... Рп f— Q, что и завершает эту
часть доказательства.
64.14. Теперь предположим, что наше условие до-
достаточно для всех r<bi пусть Qb ..., Qh-i, Qh будет
последовательностью, удовлетворяющей условию 64.1.
Тогда для каждого i < k существует последователь-
последовательность Qi,\, Qt,2, ••-, Qi,r-j которая удовлетворяет усло-
условию 64.0 и такова, что Q,, Tl = Q;. Если построить новую
последовательность Qh ь QI>2, ..., Qi,r,, Qi, 1, ¦¦•
...,Q2.r2 Qk-u 1, .... Qft-i.r4_,» Qb т0 каждый
член этой последовательности (за исключением послед-
последнего члена) будет удовлетворять одному из трех услот
вий 64.0. Для простоты обозначим элементы этой по-
последовательности буквами R\, /?2, •••> R»- Тогда после-
последовательность Ru R2y •. •. Rs будет такой, что Rs = Q.
Более того, Ru i < s, удовлетворяют одному из трех
условий 64.0, a Rs удовлетворяет одному из четырех
условий 64.1, т. е. Aа), A6), B) или C).
Если Rs удовлетворяет условию B) или C) из 64.0,
то последовательности R\, ..., R,, достаточно для суще-
существования вывода Pi, .... Рп\— Q. Тогда нам необхо-
необходимо рассмотреть только те случаи, где Rs удовлетво-
удовлетворяет Aа) или A6).
Если Rs удовлетворяет Aа), то доказательство та-
такое же, как в 64.13.
Предположим, наконец, что Rs удовлетворяет A6),
т. е. предположим, что Rs получается из некоторого Rj
(j < s) подстановкой вместо переменной, не входящей
ни в одну из формул Pj, ..., Р„. Пусть теперь
Ru R2, ••', R'i—это формулы, в которые R]t R2, ...
РАЗ. 6] СИСТЕМА 4 127
..., Rj переводятся подстановкой, обращающей Rj в Ra
(в частности, должно быть R'i = Rs — Q).
Тогда каждый элемент последовательности формул
R\, R2, ...,R'j удовлетворяет одному из трех условий
64.0, поэтому Р\, Р2, ••-, РпУ~ Q, что и завершает дока-
доказательство.
64.2. Р \- Q тогда и только тогда, когда P->Q дет
казуемо.
64.21. Если P-+Q доказуемо, то последователь-
последовательность Р, P->Q, Q удовлетворяет условию 64.1 и, сле-
следовательно, Р\- Q.
64.22. Если Р Ь- Q, то существует последователь-
последовательность Q), ...., Qr, удовлетворяющая условию 64.0. До-
Доказуемость P-*Q обоснуем индукцией по г.
64.23. Если г= 1, то последовательность Qu ..., Qr
сводится к Qi (а следовательно, к Q). Но тогда, как и
в 64.12, выполняется либо условие Aа), и тогда Q до-
доказуема, либо условие B), и тогда Q = Р.
Если Q доказуема, а следовательно, и Q-*(P-+Q)
доказуема (являясь формулой АПИ), то P-*Q дока-
доказуема применением правила отделения. Если Q = Р, то
P-*Q доказуема, так как является формулой Р-*Р
АПИ.
64.24. Теперь предположим, что теорема истинна для
г <; k, и пусть г = ft, так что последовательность
Qi, Q2, •••. Qh удовлетворяет условию 64.0.
Если Q — аксиома (условие 1) или если Q = P
(условие 2), то доказательство то же самое, что и
в 64.23.
¦ Теперь предположим (условие 3), что существуют
целые положительные числа и и v, меньшие ft и такие,
что Qu = (Qi;—*Qk). Так как и и v меньше k, то (на
основании индуктивного предположения) формулы
P-*Qv, P-*(QV-+Qk) доказуемы, а следовательно,
Р -* Qh доказуема, что и требовалось доказать.
64.3. Я,, Р2, ..., рп \- Q тогда и только тогда, когда
(ЛЛ ... Л Рп) Ь Q.
64.31. Предположим сначала, что Р\, Р% ...,PnFQ
и что Q[, Q2> ..., Qr суть формулы, удовлетворяющие
условию 64.1, относящемуся к Ри Р2, ..., Рп и Q.
128 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ц
Пусть Rlt ..., Rn определены следующим образом:
/?t = [(Р, Л ... ЛРП)->Р,],
/г2=[(я,л ... лр«)->р2],
Rn = [(PiA ... ЛРП)->Р„].
Так как формулы /?,, ..., /?„ являются формулами АПИ
и, следовательно, доказуемы, то мы видим, что после-
последовательность формул: (Pi Л ... Л Рп), Ru R2, ••-. Rn,
Р,, Р2, ..., Рп, Qi, •¦•, Qr достаточна (согласно 64.1)
для доказательства (Pi Л ¦ • • Л Р«) Ь- Q, что и требо-
требовалось доказать.
64.32. Предположим теперь, что (Pi Л • • • Л Рп)\- Q
и что последовательность формул Qi, ..., Qr удовлетво-
удовлетворяет условию 64.0, относящемуся к Р,, ..., Рп и Q.
Пусть последовательность формул Rit R2, ..., Rn опре-
определена следующим образом:
Rn = [Pn-*(PiA •¦¦ ЛР„)]
/?„_, = (Рп_ i-*Rn)
Я, = (Pi -> Я2).
Тогда формула Ri есть формула АПИ и поэтому после-
последовательность формул: Ри Р2, ..., Р„, /?,, /?2, ..., ^'„,
(Р[ Л • • • ЛР«), Qi, ..., Qr достаточна (согласно 64.1) для
доказательства Р,, Р2, ..., Р„ I-Q, что и требовалось
доказать.
64.4. Р,, Р2 Р„ (- Q тогда и только тогда, когда
(Pi Л ... Л Pn)-*Q доказуема (по 64.3 и 64.2).
64.5. Р, Р, Ь- Q тогда и только тогда, когда
(Р, Л ... Л Р„)=ф(Э доказуема (по 64.4 и 62.3).
64.8. Если Р„ ..., Р„ |- Q, где п > I, то Р,, ..., Р^ Ь
i-(P->Q)
A) Р„ ..., PnHQ гип.
B) ИЛ Л ... ЛР„)-><Э по 64.4
C) ИР, Л ••• Л Pn-i)->(Pn-*Q) по а70 (доказуема
по 34.3)
D) Р, Pn_,l-(Pre-^Q) по 64.4
РАЗ. 6]< СИСТЕМА 4 • 129
64.7. Предположим, что Р,, Р2, ..., Рп Ь- Q, где п > 1,
и что для 1<л=^п—1 существует формула- Rt такая,
что Р{€$ П Ri доказуема. Тогда Р,, Р2) ..., Р„_:, Ь- (Р„ =#Q).
A)Ь-Р,, .... P»-i, PnV-Q rim.
B) |-(Pi Л ... Л Я„_, Л P»)-»Q по 64.4
C) 1-(Р, Л ... ЛРв-,)-»(Р«-»С) по а70
D) |-(Р, Л ... AP«-,L(Pn->Q) по 62.3 и 32.02
E) ЬП(Р,Л ... APn-,)=>(Pre^Q) по 46.1 и 32.02
F) Для / < я — 1 I- Р,<=^ П Яг гип.
G) Для i < л — 1 I- П /?/О П П /?/ 60.12 подст.
(8) Для /< п — 1 |- Рг<Н> ? Pi по F) и G)
(9) \- ? (Р, Л ... Л Pa-i)&
О(ПР, Л ... Л ПР„_,) 44.3 подст.
A0) I- D(PiA ... ЛРП-,)<=Ф
Ф^»(Р,Л ... Л Р„-,) зм по (8)
(И) MPi Л ... APn-,)=#>(Pre=#Q) из E) по A0)
A2) \-Р Pre_,b(Pre^Q) по 64.5
§ 85. L-система, эквивалентная системе 4
Принципы L-снстемы, эквивалентной системе 4, были
изложены К.арри. Однако система, построенная самим
Кэрри, на самом деле не эквивалентна ') S4. Поэтому
мы модифицируем правила системы Карри так, чтобы
сделать эту систему (по-видимому) эквивалентной S4.
В настоящем разделе будет предполагаться знакомство
читателя с L-системами в формулировке Карри. Кроме
обозначений, наша формулировка будет отличаться от
формулировки Карри следующим:
(а) мы опустим правила Рг и Ег, тем самым мы не
будем вводить в паши схемы особого обозначения для
утверждений, доказуемых во внутренней системе;
(б) ограничимся классической логикой с отрицанием;
наши правила для необходимости те же, что и в LKY;
(в) примем определения 63.331—63.333 соответственно
Для О. =Ф и <?ф. Таким образом, в нашей системе опе-
оператор О двойствен оператору П.
') По-видимому, автор имел в виду тот факт, что язык систе-
системы Карри шире, чем язык S4. Излагаемая модификация сводится
просто к усечению языка. — Прим. ред.
130 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. II
|;
65.0. Обозначим, символом П Ж последовательность,
полученную путем приписывания П ко всем предложе-
предложениям Ж, не имеющим вида ПР.
65.1. Добавим к схеме LK обе схемы системы Карри
LKY:
я Dr
nkJLI±JL я Dr } .
ЭГ.ОРЦ-8 Dill-DP
Интуитивный смысл обеих схем будет разъяснен
в 65.4. Как можно заметить, Пг допускает только одно-
одночленный консеквент.
65.2. Элиминационная теорема для LKY была до-
доказана Карри.
65.3. Выведем в построенной нами L-системе посту-
постулаты системы S4 в формулировке 63.3.
Аксиомы:
Докажем
Докажем
Докажем
Правила:
Правило
Правило 63.
цией):
Р> Р-*
63.311. A) р||-р
B) ПрЦ-p
C) ||-пр-+р
63.312. A) р\\-р, q\\-q
B) р, p->q\-q
C) Dp, D(p-+q)\hq
D) пр, п(p-*q)\\- ? q
E) n(p->?)||-Dp->n^
F) ||- П (р-><?)->(Пр-М
63.313. A) Пр|НПр
B) Пр||-П Пр
C) ||-Пр->ППр.
63.320 (подстановки) может быть
321 (отделения с материальной
¦ q ||— <7, ||— р, ||— р —у q
П1
Рг
PI
DI
Пг
Рг
3q) Pr
Пг
Рг
опущено.
имплика-
||- q (по элиминационной теореме, используемой
дважды)
РАЗ. 61
СИСТЕМА 4 , J3I
Определения одни и те же для обеих систем.
65.4. Обратно, постулаты L-системы могут'быть вывег
дены.из постулатов S4, если принять следующий перевод:
65.40. Р„ Р2 Рт II- Qi, Q2 Qn переводится, как
>(Q, VQ2V... VQn).
65.41. При этом переводе схемы LK доказуемы
в АПИ.
65.42. Пусть X обозначает Р„ Р2, .... Рт, а ?) будет
Qif Q2. • • •» Qn- Тогда в правиле ? 1 выражение Ж, Р\\- JJ)
переведется выражением Ь- (Pi Л Р2 Л ... Л Рт Л Р) ->
-*(Qi V Q2 V • • • V Qn)> а выражение X, ? РЦ—9 пеР&-
ведется выражением
I- (Pi Л Р2 Л ... Л Рт Л-П P)->(Q, V Q2 V ... V Qn).
По 37.12 НПр-»р, и остается применить АПИ.
65.43. Пусть X обозначает Р,, Р2, ..., Рт, ? Qi. •••
..,, П Qn. Тогда согласно определению 65.0 ПХ есть
ПР[, ПР2 ОРт, DQi, DQ2)..., DQn. В схеме
Dr ПХЦ-Р переведется выражением
A) I- (D Pi Л ? Р2 Л ... Л ? Рт Л
Л UQi Л DQ2A ... Л DQn)->P
B) 1-П(ПР, Л ... Л ПР,„Л
Л DQ,A ... Л DQB)->DP по 62.41
• C) I- (? ? Р, Л ? D Р2 Л ...
. • • Л ? ? Рт Л П ? Q\ Л П П Q2 Л • • •
... Л D ?<?„)-> DP по 44.3
D) Ь(ПР,Л ПР2Л ... ЛПРИЛ
Л aQ,A DQ2A ... Л DQn)->DP зм по 60.12
Последняя формула является переводом йХЦ-ОР.
65.44. Так как переводы схем LK и схем ? 1 и О г
доказуемы в S4 и так как определения одинаковы в
обоих системах (S4 выводима из постулатов 63.3), то
L-система может быть выведена из S4.
65.45. По 65.3 и 65.4 обе системы дедуктивно экви-
эквивалентны. Ввиду этого будем называть нашу систему
системой S4-L.
65.5. Для системы S4-L существует разрешающая
процедура. L-системы конструктивны в том смысле, что
132 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
теорема в этих системах доказывается только по пра-
правилам введения связок без правил их удаления. Связка
может только вводиться по одной вполне определенной
схеме. Каждое заключение на любом шаге вывода яв-
является следствием из вполне определенных посылок по
вполне определенной схеме. Следовательно, если пред-
предложение доказуемо, то его доказательство может быть
найдено за конечное число вполне определенных шагов.
(Относительно схем сокращения см. Карри.) Если же
это невозможно, то предложение недоказуемо.
65.6. Для практического применения L-метода по-
полезно ввести с помощью определения () следующие
схемы для
* и 6г уИр.з)
х v *1Ь0р, ?Г
Антецедент в <0> 1 должен состоять лишь из одного
члена. Например, выведем 61.11 ЬПр=#П<>ПР:
A) Пр\\-Пр
B) Пр||-0 ПР Or
C) пин ?<> пр пг
D) ||- п р-> ? 0 а р Рг
E) ||-П(Пр-*П 0 Пр) Пг
F) ||- П р=# П О П р зм по 32.02
65.7. Упомянем еще схемы для необходимости в
Т-снстеме (эквивалентной генценовекпм N-системам).
Эти схемы следует добавить к классической Т-си-
стеме (например, к схемам TJ плюс Н р V ~ р)- Они
не ведут к разрешающей процедуре.
§ 66. Разрешающие процедуры для системы 4
Известно несколько видов разрешающих процедур
для S4.
66.0. Первая, основанная на L-методах, была упо-
упомянута в 65.5.
66.1. Процедура разрешения Маккинси для S2 D9.2)
может быть приспособлена и для S4.
66.2. Разрешающие процедуры, использующие таб-
таблицы истинности, были сформулированы Леонардом,
фон Вригтом и Андерсоном.
РАЗ 6J СИСТЕМА 4 133
Принципы этих процедур следующие. Модальное
предложение сводится (тем же самым образом, как это
делается для предложений с кванторами) к нормальной
форме, которая является истинностной функцией мо-
модальностей степеней 0, 1, 2, ... Эта истинностная
функция может быть испытана с помощью таблиц истин-
истинности, приписывающих истинностное значение всем аргу-
аргументам. Но тут встречается одна трудность. Перемен-
Переменные, которым приписываются истинностные значения
в АПИ, независимы друг от друга. Однако конститу-
конституэнты, которым приписываются истинностные значения в
рассматриваемых методах, уже не являются независи-
независимыми. Другими словами, между компонентами имеются
еще некоторые соотношения, определяемые постула-
постулатами, собственными для модальной логики. Например,
нельзя приписывать значение 1 компоненте р, а значе-
значение 0 — компоненте О р, так как в силу постулата 36.0
р влечет 0 р.
Поэтому при оценке формул необходимо вычерки-
вычеркивать в таблице истинности те строчки, которые соответ-
соответствуют распределениям значений, противоречащим по-
постулатам, собственным для модальной логики. Напри-
Например, проверим предложение ф р—>(р Л 0 р)- Для этого
придадим р и Ор независимые значения и получим сле-
следующую истинностную таблицу:
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
I
0
Однако вторая строчка в этой таблице должна быть
вычеркнута, потому что согласно постулату 36.0 р им-
имплицирует 0 р, так что р не может иметь значение 1,
когда О р имеет значение 0. Таблица с вычеркнутой
второй строчкой будет иметь выделенное значение 1 для
всех строчек.
Разъясним прежде всего метод Андерсона, затем
охарактеризуем идею методов фон Вригта и Леонарда.
66.3. Сначала рассматриваемое предложение сво-
сводится к нормальной форме, в которой
A) не встречается иных связок, кроме ~, Л, ()\
Ш НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ {ГЛ. II
: B) ни одна лз частей не имеет вида ~ ~а или
О~(«ЛР). . . , ,
66.4. Конституэнтами являются: A) переменные,
B) части вида 0 а. Истинностные значения приписы-
приписываются каждой конституэнте, а истинностная таблица
строится как обычно. Предложение будет доказуемым
тогда и только тогда, когда каждая строчка примет вы-
выделенное значение J, за некоторыми исключениями, ко-
которые мы сейчас разъясним.
66.5. Эти исключения касаются строчек, исключае-
исключаемых модальными постулатами, т. е. тех строчек, которые
в силу этих постулатов должны иметь истинностное
значение 0. Модальными постулатами в 63.3 являются
три аксиомы 63.311—63.313 и правило 63.322.
66.5.1. Аксиома 63.311 1— ? р-> р эквивалентна |-р->
-> 0 р. Отсюда следует первое исключение: не может
быть строчки, в которой значение 1 приписывается р,
а значение 0 приписывается 0 р. В частности, если в не-
некоторой строчке р есть переменная, принимающая зна-
значение 1, то Ор должно иметь также значение 1 (это
находится в соответствии с 62.5).
66.52. Второе исключение касается аксиом 63.312
и 63.313. Относительно аксиомы 63.312 это исключение
формулируется следующим образом: из \-Р—>
->(Q, V ... V Qm) следует I- <>P->(OQiV ... VOQm)-
Поэтому должны быть устранены строчки, в которых
() Р приписывается значение 1, а всем компонентам
О Qi» • - •» 0 Qm приписывается значение 0, в частно-
частности, когда переменная Qi принимает какое-то истинно-
истинностное значение, а () Q] принимает истинностное значе-
значение 0 (что находится в соответствии с 62.5).
На основе аксиомы 63.313 (или 60.11): если \- Р-+ (}(?,
то 1— О Р —> О Q'. Принимая в~ внимание обе аксиомы,
исключение должно быть сформулировано следующим
образом: Если I- Р -> (Q, V. •. V Qm V О Q[ V ¦ • • V 0 Q'n),
то не должно быть строчки, в которой все О Qi, ...
• • •. О Qrai О Q|. • • • > О Q» принимают значение 0, а О Р
имеет значение 1.
66.53. Третье исключение касается правила 63.322,
согласно которому если J- Р, то Ь ? Р и если |— •—Р>
то Ь "~ О Р* Его можно сформулировать следующим
РАЗ. 6] ' СИСТЕМА * '¦¦¦'• Ш
образом: не должно- быть строчки, в которой —Р—¦ та-
тавтология и в то же время О Р принимает "значение К
66.6. Правила фон Вригта сформулированы несколько
неформально. Предложение согласно его методу должно
быть сведено к «абсолютно совершенной дизъюнктивной
нормальной форме». Конституэнты предложения Р сте*
пени 1 (не имеющие <> в области действия 0) не обя-
обязательно должны быть предложениями О Q, входящими
в Р. Это должны быть все предложения <> Q', где Q'
есть дизъюнкция переменных и их отрицаний. В пред-
предложении Р, имеющем две переменные р и q, конституэн-
конституэнтами 1-й степени будут О (р Л я), 0 (р Л ~ я), О (~Р Л
А я), 0(~/>Л~<7).
Предложение выражается в виде истинностной
функции от конституэнт, и значения приписываются
всем конституэнтам. Опускаться .должны те строчки, ко-
которые представляют недопустимые (согласно постулат
там в 63.322 и 47.4) наборы истинностных значений.
*66.7. О других разрешающих процедурах смотри
§§•141.3 и *142.1.
§ *67. Некоторые другие множества постулатов
для системы 4
*67.1. Леммон [1957] сформулировал модальную си-
гтему, названную им системой РА, которая (как он по-
показал) дедуктивно эквивалентна S4.
Постулаты РА:
I. Теоремы АПИ.
II. Два правила:
а) Подстановка вместо пропозициональных пере-
переменных.
б) Если |- Р (в Р4), то V- ПР.
III. Две аксиомы:
\~ Пр->р
Примечание: Система Р4 отличается от РЗ только
наличием правила II б). Здесь посылка |— Р не обязана
быть тавтологией АПИ или аксиомой новой системы;
она может быть уже доказанной теоремой.
• 136 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ {ГЛ. II
«67.2. Енэмоцу [1957] показал, что можно получить
модальную систему, эквивалентную 54, добавлением к
системе S3 аксиомы
или аксиомы
«67.3. Прайор [1963] сформулировал модальную си-
систему, дедуктивно эквивалентную S4 и имеющую един-
единственными операторами знаки —¦, =Ф> и 0 (ложное пред-
предложение).
Постулаты этой системы:
I. Определения:
ПР означает (Р=
<~Р означает Р-*-0
О Р означает — ? <—
II. Аксиомы:
# {{Я =Ф г) =ф (р =# г)))
f-O=>p
111. Правила:
а) Подстановка вместо пропозициональной пере-
переменной.
б) Подстановка -*¦ вместо =#> в любой теореме.
в) Если Ь Р и Н Р # Q, то Ь Q.
г) Если 1- P->Q, то HP#Q.
«¦67.4. Исимото [1956] сформулировал две модаль-
модальные системы, дедуктивно эквивалентные S4, взяв те же
самые исходные операторы, что и в системе «57.4.
«67.41. Первая система имеет в качестве постулатов:
I. Определения *57.411—57.416.
II. Аксиомы «57.421, *57.425—57.426 и еще аксиому:
*67.414— \-p\\q-+p\q (вместо *57.424).
РАЗ. 7] СИСТЕМА 5 137
III. Правила:
а) Подстановка вместо пропозициональных пере-
переменных.
б) Правило отделения для материальной имплика-
импликации, имеющее вид:
Если Ь Р и h- P IQ/R, то f- R.
¦-•67.42. Вторая система имеет те же самые определе-
определения и правила, но следующие аксиомы:
*67.421. Ь- р=?р
*67.422. \- (р || qlr) II (s | q =# р | s)/(/|| л =ф * | и)
*67.423. К (р ||<7/г) ||(s ||<7=#p||s)/(* Л и Р Л и=ф/ ||и)
*67.424. 1- p//q\(plq |(г||г=# 0 ^ II О О)
§ *88- Система S4°
Собочннский [1962]" предложил собственную подси-
подсистему S4, построенную посредством добавления к си-
системе Sl° аксиомы
68.01. | О(ООрЛ~р)
или аксиомы
60.01. Н О <
Он назвал эту систему S4°.
Добавление к S4° аксиомы 36.0 (—р=#><>р дает си-
систему, дедуктивно эквивалентную S4. Собочинский по-
показал, что его система S4° дедуктивно эквивалентна как
системе, которую Фейс назвал Т и которая именуется
здесь S2' (см. 81.1), так и системе, названной фон Вриг-
том системой М (см. 81.2). (Собочинскнн показал, что
в 54° можно заменить аксиомы ЬПрФр и |— /?=^ О р
аксиомой Ь П (р => 0 р).)
Система 54° с аксиомой \- р=^ П Ор Дает систему S5.
Раздел 7. СИСТЕМА 5
§ 70. Постулаты системы 5
70.0. Система 5 (или S5) определяется как система,
получающаяся из постулатов системы 1, к которым до-
добавляется аксиома:
70.01. ь
{$8 НОРМАЛЬНЕЕ СИСТЕМЫ flVJ.'U
70.02. Аксиома 7б.0Г независима" от постулатовси-
постулатовсистемы 1, так как согласно матрице 30.5 она имеет зна-
значение 4 при р = 3.
70.03. Аксиома 70.01 не противоречит постулатам си-
системы 1, ибо матрица 56.3 удовлетворяет как самим этим
постулатам1, fax и 70.01. :
70.1. Докажем следующие строгие эквивалентности:
70.il. I- пОФФО
A) КПОР^ОР 37.12 под ст.
B) Ь-Т из (I) и G0.01)
70.12. Н 0 Пр^Пр из 70.11 по двойственности-
70.2. Мы можем вывести в S5 формулу 60.01
Ь- О О р=# 0 р; поэтому система 5 содержит систему 4.
A)ЬП<>р=>0р 37.12 подст.
B) Н-ОП ОР^ОР зм по 70.12
C) Н <> <>р=>Ор зм по 70.11
§ 71. Сведение модальностей
71.1. Сведения системы 4 остаются справедливыми и
в системе 5, поэтому на основании 61.5 нужно рассмот-
рассмотреть семь положительных и семь отрицательных модаль-
модальностей. В S5 четыре положительные модальности имеют
степень выше единицы. Все они сводятся к модально-
модальностям степени 1:
70.12
. 70.11
I- ? <>Пр4ФО Пр&Пр по 70.11—70.12
1-ОПОР^ПОрООр no70.12-70.il
Аналогично, четыре отрицательные модальности сте-
степени, большей 1, сводятся к модальностям степени 1.
Таким образом, в системе 5 остаются только шесть
несводимых модальностей. Четыре из них являются соб-
собственными модальностями, имеющими первую степень,
а именно:
«возможно» @ р) и «невозможно» (— О Р или ? —р)>
«необходимо» (П р) и «не необходимо», или «слу-
«случайно» (—Dp или <>—р). В дополнение к этому
имеются:
РАЗ. 71 СИСТЕМА 5 J 39.
Две модальности нулевой степени: р и~р.
Три модальности положительны; импликации между
ними:
О Р =7> р =Ф О Р- :
Три модальности отрицательны; импликации между
ними:
Это традиционная система модальностей, исходящая от
Теофраста @2.1).
71.2. Сведения модальностей в системе 5 можно опи-
описать следующим образом:
71.21. Если М — положительная модальность, то
71.211. Если М' — отрицательная модальность, то
М' ? Рфф~ ? Р.
71.22. Если М — положительная модальность, то
71.221. Если М' — отрицательная модальность, то
'OO
71.23. Если М — положительная модальность и М"—•
собственная модальность, то Ь- ММ"Р<фМ"Р.
71.5—71.8. В системе 5 справедливы следующие пра-
правила для собственных модальностей:
Если М — собственная модальность, то:
71.51. Ь
71.52. \- О МР<=фМР.
71.53. ФФО
71.62. h (МР V ? Q) ФФ П (МР V Q).
71.64.
71.71. f
71.72.
71.81. Если f-MP=|>Q, то HMP=#DQ.
71.82. Если hP#MQ, то Ь
Из всех правил, справедливых в М"ПИ, эти правила
были доказаны последними.
140
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
|ГЛ. П
§ 72. Сведение модальных функций в системе 5
72.0. Модальными функциями назовем формулы; по-
построенные из пропозициональных переменных и опера-
операций ~, Q и Л, а также формулы, им строго эквива-
эквивалентные.
72.1. I-[0 р Л (р=Ф~ О <7)]=^~О<7
A) 1-(р#~О<7)=Ф(Ор^О~О<7) 50.01 подст.
B) |-(р=>~0<7)=Ф@р=>~0<7) по 71.23
C) МО Р Л (Р=Ф~ О <7)]^>
=Ф[Ор л @ р=Ф~ 0 <7I
D)
E)
Ь-Т
72.2. 1- 0 (р Л 0 q)&@ PAQq)
A) HOP/
B) 1- (О Р /
C) Ь (О Р Л <.
=#—О(р л —
D) 1-(ОрЛО<7)ФО(/>Л<><7)
E) Ь<>(РЛО<7)=Ф(ОРЛОО<7)
F) 1-О(рлО?)=Ф(ОрЛО<7)
G) ЬТ
72.3. f- О (Р Л О '
A) ьО(рЛО
B) f-T
72.4. f- [(р Л — р) Л '
72.41. K[(pV~p)V
72.5. Каждая формула, построенная из
переменной р с помощью операций —,
Р Л 0 ~ О Я)
па 42.11
37.3 подст.
из C) и D)
по 30.15
72.1
по 32.11
по 31.32 и по
опр. 30.34
по 31.32
41.3 подст.
по 60.11
из D) и (б)
по опр. 30.35
72.2 подст.
по 71.23
из АПИ по
34.4
из АПИ по
34.4
единственной
Л и 0» яв"
РАЗ, 7| СИСТЕМА 5 14|
ляется в системе 5 эквивалентной рдиой из следующих
16 формул:
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
Р
~р
Ор
~0
о~
~0
рЛ-
PV-
р
р
"Р
р
р
(9)
(Ю)
(И)
A2)
A3)
A4)
A5)
A6)
РЛО
~PV
~р л
PV-
Орл
~Ор
Орл
~Ор
0
О
0
V
(—
V
р
О
р
р
'Р
(р
р
0-
V-
л <
1
-о-
>~р)
Эту теорему можно доказать индукцией по длине
формулы, построенной из р. Так как р есть одна из 16
формул, то ясно, что для доказательства теоремы доста-
достаточно показать, что класс из 16 формул обладает сле-
следующими свойствами:
A) если формула а содержится в этом классе, то в
нем существует формула р такая, что формула
~афф Р доказуема в системе 5;
B) если а содержится в данном классе, то в нем
существует формула р такая, что () афф Р доказуема в
системе 5;
C) если аир содержатся в этом классе, то в нем
существует формула у такая, что (а Л р) О Y доказуе-
доказуема в системе 5.
Доказательство не представляет трудности. Оно ис-
использует теоремы с 70.1 по 71.23 совместно с теоре.мами
41.3 и 62.5.
72.6. В частности, так как все 16 формул имеют не
более чем первую степень, то это доказывает, что в сис-
системе 5 каждая формула, содержащая только одну пере-
переменную, сводится к формуле, имеющей не более чем пер-
первую степень.
72.7. Из уже доказанных теорем следует, что каж-
каждая формула в системе 5 сводится к формуле не более
чем первой степени.
§ 73. Другие множества постулатов для системы 5
73.1. Множество постулатов § 23 М"ПКИ является
в то же время множеством постулатов системы о.
142 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 1Г
Множество § 2,3' отличается от множества ,63.3
только тем, что 63,313 h-(Op-*QOp) заменено
в чем на 23.32; если Р— собственная модальность,' то
рЛР
73.11. Множество постулатов § 23 может быть
выведено из постулатов 70.0 системы 5. Действи-
Действительно, •
A) Множество постулатов 63.3 выводимо из посту-
постулатов системы 5, так как система 4 (по 70.2) включена
в систему 5.
B) Добавочный постулат 23 32 является (по 31.16
и 37.2) следствием теоремы 71.23, которая была выве-
выведена в системе 5.
73.12. Множество постулатов 70 0 (состоящее из по-
постулатов системы 1 и формулы 70 01 f-Oj&#D<>p)
выводимо из множества постулатов § 23. .
A) Множество постулатов 63.3 выводимо из множе-
множества постулатов § 23, так как единственный постулат
63,313 (Ь- ? р-+ О О р), собственный для 63.3, пред-
представляет собой частный случай теоремы 23.32. Посту-
Постулаты системы 1 выводимы из множества постулатов 63.3,
так как множество постулатов 63.3 является множест-
множеством постулатов системы 4, которая включает си-
систему 1.
B) Аксиома 70 01 является следствием 23.32 (со-
(согласно 23.2 и 23.52).
73.2. Если добавить приводимую ниже аксиому
73.20 к постулатам системы 4 или даже к постулатам
системы З1), то мы получим систему постулатов для
системы 5.
73.20. Ь-рфПОр.
73.21. Множество постулатов системы 4 совместно с
73.20 образует систему 5, так как из него можно вывести
единственную специфическую для системы 5 аксиому
70.01:
A) Н
B) н
') Собочинский [1962] показал, что 57.115 выводима нз аксиом
57111—57114, 57 116, к которым добавлена 70.01 (или 73.20).—
Прим. ред. англ. изд.
РАЗ. 7]
СИСТЕМА 5 143
73.22. Множество постулатов системы 3 совместно с
73.20 образует множество постулатов системы 5:
A)ЬП (Р-+Р)=? ? ? 0 iP-+P), из 73.20 прдст.
по правилу 46.1
B) ЬП(р-р) и?;*1-11 по
C) н п ? О(р-*р) из ([) и B) по
30.23
D) HD аО(Р->Р)=Ф(Пр=ФП Пр) 63.51 подст.
E hDp4DDp из C) и D) по
30.23
F) По 60.02 эта система включает систему 4.
G) По 73.21 эта система сводится к системе 51).
73.3. Другие постулаты, сводящие систему 4 к си-
системе 5, см. в 87.3.
*73.4. Некоторые другие множества постулатов для
55.
«73.41. Андерсон [1956] получил систему, дедуктивно
эквивалентную S5, взяв схемы аксиом 57.111—57.116
для S3 Саймонса (с единственным правилом отделения
для материальной импликации) и добавив к ним сле-
следующую схему аксиом:
)О~Р) (или
Показана независимость этой схемы аксиом.
73.42. Саймоне [1962] получил систему, дедуктивно
эквивалентную S5, добавлением к схемам аксиом
57.111—57.116 для S3 схему аксиом у- О Р=ф~<>~<}Р
(или I- О Р=$ ? О Р, т. е. 70.01). Собочинский показал,
что схема аксиом 57.115 не является независимой от
других аксиом S5 в этой формулировке.
Томас [1963] показал, что добавление к Sl° любой из
следующих так называемых «обобщенных 55-аксиом»
дает систему, эквивалентную S5:
Ь- <У/?=# О''О р (/ — натуральное число) или
Ь- 0*/?=^ Пй+2 0 р (k — натуральное число).
.. (См. также 80.5.)
') См. предыдущее примечание.
144 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
*73.43. Собочинский [1962] показал, что добавление
к системе S\° аксиомы 70.01 (только что упомянутой в
«73.42) дает систему, дедуктивно эквивалентную S5.
«73.44. Собочинский [1962] показал, что добавление
аксиомы I- р=ф~ О~О Р (или Hp=#>DOp. T- е-
С12 Льюиса — Лэнгфорда) к его системе S30 (см. § 58)
или к системе 52° (см. § 40) дает систему, дедуктивно
эквивалентную 55.
Томас [1963] показал, что добавление к S\° одной из
следующих пар так называемых «брауэровских аксиом»
дает систему, эквивалентную S5:
а) У- р#П Ори
I— р =ф ?2* О Р (^ — натуральное число, боль-
большее 0)
б) Ь-р#Пт"'<>Р и
У- р=? Пп~1 О р (тип — взаимно простые на-
натуральные, числа, большие 2)
(см. также 80.4).
«73.5. Прайор [1963] сформулировал модальную сис-
систему, дедуктивно эквивалентную S5, взяв в качестве
единственных операторов символы —>, =Ф и 0 (так и в
системе 67.3).
Система Прайора имеет те же самые определения и
правила, что и система 67.3.
Аксиомы системы Прайора:
г] =ф s) # [(q =ф s) =#> (р =ф s)]
Ь-О^р
*73.6. Прайор [1953] (с поправками Лукасевича и
Бауша, 1955) построил модальную систему, дедуктивно
эквивалентную S5, добавив к системе правила вывода
АПИ следующие правила:
/Л: Если \-P-*Q, то у- DP-+Q;
L2: Если |-P->Q и если все переменные, входящие
в Р, входят в область действия оператора ? или (),
то hP->DQ;
РАЗ. 8! РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ 145
Ml: Если \- P-+Q и если все переменные, входящие
в Q, входят в область действия оператора ? или \>>
то hO^Q;
/И2: Если |-P->Q, то Ь-Р-><><2.
Эта процедура соответствует гсделевской L-форму-
лировке для 55.
«73.7. Леммон и Герцен в 1959 году предложили мо-
модальную систему, дедуктивно эквивалентную 55 и по-
полученную добавлением к АПИ неопределяемой модаль-
модальности Q, выражающей «случайность» (т. е. «ни необхо-
необходимость, ни невозможность»).
Определения:
ОР вместо РЛ—'QP
О Р вместо <—' ? ~ Р
Схемы аксиом:
У- QP *-> Q ~ Р
H-Q(P-»Q)->(~QP->P)
Единственное правило:
Если Н Р, то I QP.
«-73.8. Прайор [1957] утверждает, что можно полу-
получить систему, дедуктивно эквивалентную 55, взяв сис-
систему 67.42 Исимото для S4 и заменив в ней аксиому
67.424 аксиомой
Раздел 8. РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ
Система S' называется (собственным) расширением
системы S, если каждая доказуемая формула S яв-
является также доказуемой в S', но не наоборот.
Не формулируя общих теорем о расширении модаль-
модальных систем, приведем лишь некоторые расширения ра-
ранее изложенных модальных систем.
В данном параграфе мы рассмотрим расширения,
представляющие из себя системы, промежуточные между
системами 51 и 55, а именно — расширения систем 52
146 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
(§§ 81—85), S3 (§86) и S4 (§ 87). Кроме того рассмот-
рассмотрим расширения, ^которые сводят модальные системы к
системам немодальной логики (§ 88). В разделе б рас-
рассмотрим расширения, осуществляемые с помощью ак-
аксиом так называемой «универсальной возможности» или
с помощью «аксиом существования».
§ *80. Некоторые расширения системы 1°
«80.1. Собочинский [1962] назвал системой Т° мо-
модальную систему, полученную добавлением к системе
S\° произвольной формулы вида I- П ? Q такой, что в
51° справедлива Н П Q.
Он показал, что его система Т° является собственным
расширением Sl° и собственной подсистемой системы
S2' (также называемой системой Т), которая будет из-
изложена в § 81.
В системе Т° не доказуемы формулы:
(рЛ~р)
П ~ (р Л ~ р)ФФ~(Р Л ~ р),
что можно показать посредством матриц 36.1, удовлет-
удовлетворяющих Т°.
«80.2. Собочинский назвал системой Т* модальную
систему, полученную добавлением к системе Т° аксиомы
*80.20. Ь-ОСР-
*80.21. Он показал, что система Тх является собст-
собственным расширением Т° и квазинормальным расшире-
расширением в смысле Скроггса (Scroggs) системы Т°.
В Тх не имеет места I— ? () ? р.
*80.22. Предыдущее утверждение истинно и для сис-
систем, полученных добавлением аксиомы *80.20 к любой
из систем Собочинского 52°, S3° или Si0, которые опре-
определяются нижеследующим образом:
«80.23. Система Собочинского S2° получается добав-
добавлением к системе Sl° аксиомы ,
или аксиомы Ь- О (р Л Ф =ф О р-
Добавляя к системе S2° аксиому Нр#С>Р> полу-
получаем систему, дедуктивно эквивалентную S2.
РАЗ 81 РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ 147
«80,24. Система 53° описана в § «58.
*80,25. Система 54° описана в § *68.
«•80.3, Томас [1962] показал, что в системе, назван-
названной им системой 51* и полученной добавлением к 51°
а ксиомы \- р =Ф ? <) р, не доказуемы формулы ~ О (р Л.
Л~Ор), Пр=?р, рФ<>>.
«80.4. Томас [1963] показал, что добавление к 51°
одной из следующих так называемых «брауэровских»
аксиом: ['
или
Нр#П2й+1Ор (* — натуральное число),
дает систему, более слабую, чем 55 (см. также *73.44).
80.5. Томас [1963] показал также, что система, полу-
полученная добавлением к Sl° так называемой обобщенной
55-аксиомы, имеющей вид OV#D*OP (/> k^\,
/ -f- k— нечетное число), должна быть слабее системы
So (см. также «73.42).
«80.6. Собочинский [1963] показал, что система, по-
полученная добавлением к Sl° аксиомы I- р-+()р (вме-
(вместо I— /? =#> О р)» сильнее системы S\°, но слабее сис-
системы 51.
¦ § 81. Расширение системы 2 (в формулировках2' и 7)
81.1. Фейс предложил для системы, которую он на-
назвал системой t или Т (здесь она будет названа систе-
системой 2'), постулаты из 63.3, исключая 63.313.
81.11. Аксиомы:
81.110. Постулаты АПИ.
81.111. h- ПР-+Р (=63.311)
81.112. \-O(p-^q)->{np->nq) (=63.312)(слабее,
чем 33.311)
81.12. Правила
81.120. Правило подстановки (= 63.120)
81.121. Правило отделения для материальной импли-
импликации (=63.121)
81.122. Если hP, то ЬПЯ (=62.3) (сильнее,,
чем 34.15)
148 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ {ГЛ. II
81.13. Определения
81.131. () Р означает ~ ? ~ Р.
81.132. P^Q означает O(P->Q).
81.133. P4f>Q означает П(Р<-><2).
81.2. Фон Вригт выбрал для своей системы, назван-
названной им системой М, следующие постулаты:
81.21. Аксиомы
81.210. Постулаты АПИ.
81.211. ь-р->ОР
81.212. KO(PV<7)]^(OP
81.22. Правила:
81.221. Правило отделения для материальной импли-
импликации.
81.222. Если ЬР, то Ь ПР.
81.223. Если h-P-^Q, то V-<) Р++<) Q.
81.23. Определения
81.231. UP означает ~0~Р-
81.3. Дедуктивная эквивалентность постулатов 81.1
и 81.2 была доказана Собочинским.
«81.4. Можно получить систему, дедуктивно экви-
эквивалентную S2', добавив к постулатам S\ правило:
Если f- P, то |- ? Р.
§ 82. Отношения между системой 2 и другими
системами
82.1. Постулаты S2 доказуемы с помощью постула-
постулатов S2'. Следовательно, S2' содержит S2.
82.11. Аксиомы.
Аксиомы 30.11—30.14 доказуемы в АПИ по 81.122
и опр. 81.132 или 81.133.
Лемма 63.42 Da доказуема без 63.313, следователь-
следовательно, доказуема только из постулатов 81.1. Доказатель-
Доказательство аксиомы 30.15:
A) ь-[(р-*<7)Л(<7-*г))->(р-*г) АПИ
B) Ь- ? {[(p->q)A(q-+r)]->(p->r)} no 81.122
C) Ь- n[{p->q)A{q->r)]-+a(p-*r) по 81.112
РЛЗ. 81
РАСШИРЕНИЯ СИСТПМ
149
D) *-[П(р-+я)А
E) ЬП{[П(Р
по лемме
63i42 Db
-Я) А П(Я-+г)]
-*П(р-
(б)
Аксиома 36.0 у-
и 81.132.
Аксиома 40.1 Н О (Р Л q)
)} по 81.122
по опр. 81.132
О р доказуема из 81.111 по 81.122
Ор
(О Ь-
н
н
н
АПИ
по 81.122
по 81.112
• р по АПИ
по опр. 81.131
по81.122иопр.81.132
B)
C)
D)
E)
F) Ь-Т
82.12. Правила.
82.121. Правило подстановки не является необходи-
необходимым.
82.122. Правило отделения для строгой импликации
получается из 81.121 посредством 81.111.
82123. Правило замены строго эквивалентным.
А. |— (р =^ <7) =# (—<7=ф— р) (доказывается
как в 63.42 Da)
'В. \- [(р =Ф q) Л (г =ф s)] =ф [(р Л г) =#> (доказывается
=ф(<7 Л s)] как в 63.42 Dc)
С. Если Y-P&Q, то V-OP4$OQ.
A) Если h-P*->Q, то Н О Р<-> О Q (доказывается в
системе Собо-
чинскогоЗ. 1 как
правило RH)
B) Если НР4Ф(Э, то I- О P^+OQ по 81.111
C) Если i-P4=}Q, то (-OPOOQ-
Из А, В, С может быть выведено правило замены
строго эквивалентных.
82.13. Определения
Определения 30.31 следуют из 81.131.
Определения 30.32—30.33 — общие для обеих систем.
150 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. Ц
82.2. Система 2' содержит бесконечное число модаль-
модальностей. Матрица Маккинси (§ 49) удовлетворяет систе-
системе 2' (доказательство этого факта см. у Собочинского).
82.3, Система 2' не содержит систему 3; следователь-
следовательно, она не содержит систему 4.
Можно показать, что правило 81.122 недоказуемо в
системе 3. Более того, в системе 3 существует лишь ко-
конечное число несводимых модальностей.
§ 83. Теоремы, специфические для системы 2'
83.1. Н
A)
B) ЬТ " по 81.122
83.11. Вообще говоря, если в 52 Ь- P, то в системе
52' будет доказуема формула Р с приписанным к ней
произвольным числом знаков П.
83.2. Все правила 62.4 доказуемы в 52'.
Доказательство этих правил требует только лишь
постулатов 52 и правила 81.122.
83.3. Все теоремы 62.5 доказуемы в 52' по той же
причине.
§ «84. Другие системы, эквивалентные системе 2'
«84.1. Андерсон [1957] получил модальную систему,
эквивалентную S2', взяв схемы аксиом 57.111—57.116
Саймонса для 53 совместно с определением:
означает ~<>—(P-+Q)
и с единственным правилом вывода:
Если н Р и I О (Р-> Q), то Н Q. '
Он назвал эту систему системой М* и показал, что
схемы аксиом этой системы взаимно независимы.
*84.2. Енэмоцу [1955, 1957] показал, что можно по-
получить модальные системы, дедуктивно эквивалентные
системе 52', следующими четырьмя способами:
Г. Добавлением к системе 51 произвольной аксиомы
вида I— ? ? Q, где Q таковс, что Ь ? Q доказуемо
в системе 51.
раз. si расширений сиЪтЫ i&f
2°. Добавлением К системе Si произвольной аксиомы
вида f-D П Q где Q— тавтология АПИ. 'Он назвал
полученную систему системой S'.
3°. Добавлением к системе S2 аксиомы У- Q(p^4> р).
4°. Добавлением.к системе S2 аксиомы
«84.3. Собочинский сформулировал систему, которую
он назвал S20', добавив к постулатам S\° аксиому
81.41. f—_П(р==>р). Он показал, что все теоремы S2°
доказуемы в системе S2°'.
Добавлением к постулатам S20' аксиомы 36.0
I- р=^> О р (или аксиомы Ь- П р=Ф р) получается система,
эквивалентная S2'.
§ 85. Расширения системы 2'
85.1. Между системой 2' и системой 4 существует бес-
бесконечное количество систем, названных здесь S41 (=S4),
S42, S43 и т. д., которые можно получить, добавляя к по-
постулатам 51° аксиомы вида
где ?» обозначает последовательность из п знаков П,
а п соответствует индексу в наименовании системы.
Очевидно, что получим тот же самый результат, если
добавим аксиому
где <(>" обозначает последовательность из п ромбов.
Для любого п система S4n содержит систему S4n+1,
но не содержит системы S4n-1. Так, S42 слабее, чем S41
или S4. Эти доказательства приведены в статье Собо-
чннского.
*85.2. Сугихара доказал, что в S42 и в более слабых
системах S43, ... число несводимых модальностей бес-
бесконечно.
§ 86. Расширения системы 3
Расширения системы 3 можно получить добавле-
добавлением к постулатам системы 3 некоторой импликации
между модальностями, доказуемой в системе 4, но не
152 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
в системе 3. Ниже мы приведем несколько примеров, ко-
которые предложил Парри.
86.1. Добавим к системе 3 постулат:
¦ 86.10. Н П02РФП0Р
и получим
86.11. Ь ? 02Р#^П ОР из 36.10 и 55.113
по опр. 30.35
86.12. Н<>П2Р^40ПР из 86-п по Двой-
ственности
86.13. Имеются следующие сведения модальностей
типа А, несводимых в системе 3:
hDOV^QOp 86.il
Ь- П2О2Р^П2ОР из 86.11 по 46.1
Н П 02П РФФП О ОР 86.11 подст.
Н П2О2П/оффа2О Пр 86.11 подст. и 46.1
86.14. Следовательно, остается только шесть несво-
несводимых модальностей типа А: ? р, П2 р, П О Р> D2i0p»
DO пр. п2Опр-
86.15. Значит, для четырех типов существуют 24 не-
несводимые собственные модальности, и, кроме того, две
несобственные, всего 26 несводимых модальностей.
Импликации, имеющие место между ними, приве-
приведены у Парри.
86.2. Добавим к системе 3 постулат
86.20. hDODP^QP.
Тогда имеем
86.21. Ь-П<>ПР^4ПР из 86.20 и 53.2 по опр. 30.35
86.22. Н- О ? 0 р44ОР из 86.21 по двойственности
86.23. Существуют следующие сведения модально-
модальностей типа А, несводимых в системе 3:
НПОПР^ПР 86.21
I-ПОП2рОП2р 86.21 подст.
\- П20Пр€?П2Р из 86.21 по 46.1
I- а<>П2Ор&П2Ор 86.21 подст. •
РАЗ. 8] РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ 153
86.24. Следовательно, остается только шесть несво-
несводимых модальностей типа A: Dp, Q2p, П<)р., П2Ор>
П02Р. ПО2 DP- ...
86.25. Значит, для четырех типов имеются 24 несво-
несводимые собственные модальности и, кроме того, две не-
несобственные, а всего 26 несводимых модальностей.
86.3. Сделаем несколько замечаний относительно си-
систем 86.1—86.2:
(а) Обе системы имеют ровно по 26 несводимых мо-
модальностей. Тем не менее они не эквивалентны, так как
сведения в обоих системах не одинаковы. Однако раз-
различие между системами не ограничивается только чис-
числом различных модальностей.
(б) Хотя система 4 имеет меньше модальностей, чем
86.2, система 86.2 даже не содержится в системе 4.
В 86.2 имеет место редукция П \) ? РФФ D р, которая
не имеет места в системе 4.
86.4. Холден [1949а] упоминает систему, которую он
назвал системой К, получающуюся добавлением к по-
постулатам системы 3 аксиомы
"86.40. Ь О(ПРФП2Р)-
Показано, что система К сильнее системы 3, но слабее
системы 4.
§ 87. Расширения системы 4
. 87.1. Добавим к системе 4 постулат
87.10. Ь О
Тогда получим
87.il. ь ?
87.12. Таким образом, из положительных модаль-
модальностей системы 4: р. П Р, О Р. ? О Р. О ? Р. ? 0 ? Р>
О ? О Р останется лишь четыре различные модаль-
модальности: р, \jp, 0 р, ? О р, с импликациями: Прф
87.13. В конечном итоге остается восемь модально-
модальностей: четыре положительные и четыре отрицательные,
являющихся отрицаниями положительных.
154 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ГГЛ. II
87.14. Система 87.1 .является примером системы, не
содержащейся в системе 5,. несмотря на то, что .си-
.систему 5 им^ет меньшее количество модальностей. Фор-
Формула О'П РФФС1 О Р не доказуема в системе 5, что
естественно, так как в противной случае была бы до-
доказуема формула' 0 р€$ О р.
87.2. Более специфическую природу имеет система
Маккинси, названная системой 4.1 и получаемая добав-
добавлением к S4 аксиомы 87.20.
87.20. ЫПОрЛП О <Й'=Ф О (Р Л ?)'. ' "" '"'
В 4.1 можно доказать теоремы:
87.21. Н (? 0 р Л ? 0 q)& ? О (Р Л q)
87.22. Н D ОрФО Up
87.23. (-?<>? Р=ФОО/°
87.24: ь- О а Ор=ФП Ор
На основании 87.23 и 87.24 можно заключить, что
из шести несводимых положительных собственных мо-
модальностей системы S4 только четыре модальности
остаются несводимыми в системе 4.1. Можно показать,
что другие сведения в системе 4.1 уже невозможны, по-
поэтому система имеет всего 10 модальностей: четыре по-
положительные собственные, четыре отрицательные соб-
собственные и две несобственные.
Так как импликация 87.22 не доказуема в системе 5,
то система 4.1 не содержится в системе 5.
87.3. Система, полученная добавлением приводимого
ниже постулата 87.30 к системе 4, была названа Парри
системой 4.5. Можно доказать посредством теорем
87.32—87.36, что эта система сводится просто к си-
системе 5.
87.30. НП0Пр=фПр
87.31. h- D О ? Р&Пр по 53.2
87.32. Ь- О U О РФФОР из 87.21 по двой-
двойственности
87.33. ЬО(ОРЛО<?)ФФ
0@ Р Л Oq)
A) М0рЛ0р)=^0р 31.23 подст.
B) н0@рЛ0<?)Ф02р по 46-2
C) НО(ОРЛО<7)ФОР зм по 60.11
РАЗ. в) .РАСШИРЕНИЯ. GH&TEM; 155
D) h- 0@ р-А 0 q)=$Oq ' ¦ аналогично
E) ¦ Ь-О(О/>ЛО?)=Ф
=И0рЛ0<?) наC) и D)по42.21
F) Ь-(ОРЛО<7)Ф
=#О(Орло*)- 36-° п°дст-
G)
87.34.
A)
B)
C)
D)
E)
87.35.
A)
B)
C)
'D)
E)
F)
G)
h
h
h
h
h-
h
h
h
<
<
h
T
(РЛ
n<-~
q=><
D~
T
(Op
(ПО
(Op
(Op
?o
(Op
t
~0,
(РЛ
(qA-
Л0'
»рЛ-
л 0'
0@
ЛО-
0@
? @
[ПО
л 0'
(D <^>
Р)<^G/
~0р)
~q)
~0рL
-ОпС
~Ор)Ф=
рЛО-
~Ор)Ф
рло-
рло^
~0р)#
р д <^
из E) и F) по
опр. 30.35
36.0
по 32.01
31.11
по 32.01
изB)иD)по43.21
$O(qA~q)
>р)ФФ
V — q) 87.34 подст.
- 0 Р) 87-33 подст.
- 0 Р) зм по 87.32
- 0 Р) зм по 87.33
9
>~Ор)по 44.3
Ф
> П 0Р)по 33.211 и 33.23
зм по A)
87.36. ЬОР^ПОР
A) I <)(qf\~q) из 31.11 по 30.34
B) | О2(?Л~<7) зм по 60.11
C) ( О(ОРЛО~ОР) зм по 87.35
D) Ь—О(ОРЛ 0—0Р) зм по 31.32
E) ЬТ зм по 30.36 и 30.34
156 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
«87.4. Леммой и Даусон назвали системой 4.2 систе-
систему, полученную добавлением к системе 4 аксиомы
87.41. Н О Пр-+П О Р-
Система 4.2 не содержится в системе 5.
§ 88. Расширения, сводящие модальные системы
к АПИ
88.1. Очевидно, что система 1 может быть сведена
к АПИ добавлением постулата, сводящего собственные
модальности к несобственным:
88.10. Ь- р=ф\3 р
88.11. ь- О р^Р может использоваться для той же
цели.
В таком случае получим теоремы:
88.12. Ь- Р##П/О 88.10 и 37.12
88.13. \-р$$0р 88.11 и 36.0
88.2. Чтобы заполнить пробелы в таблицах строгих
импликаций между модальностями так, чтобы иметь
«линейные» последовательности модальностей, некото-
некоторые логики предложили следующие постулаты, которые
(как это было показано) сводят различные системы
к АПИ:
88.20. Ь-ПОрФр (Чёрчмен)
88.201. }- П <) р=$\3 р (Беккер)
88.202. Ь D ()р€$Пр (Чёрчмен, С14)
Ясно, что если справедлива 88.202, то справедлива
и 88.201, а если справедлива 88.201, то справедлива
88.20 (по 37.12).
88.21. Чтобы доказать, что аксиома 88.20 (а следо-
следовательно, также 88.201 и 88.202) сводит систему 2
к АПИ, мы докажем сначала лемму (доказуемую в си-
системе 2):
88.211. f- ? О(Р-»- ? Р)
A) (- ? р=^ О ? р 36.0 подст.
B) 1-П(Пр-*ОПр) зм по 32.03
C) 1- ? (О~/° V 0 ? р) по АПИ и 33.211
D) I- ? О (— Р V П Р) зм по 4^.4
E) , (- Т зм по АПИ
РАЗ. 9] РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 157
88.212.
A) у-р-+ар из 88.211 и 88.20
B) Ь-(р->П/0)-*1И(р->ар) A) подст.
C) \~ Т из A) и B) по пра-
правилу 32.211 и 32.02
Следовательно, по лемме 88.211 (справедливой в си-
системе 2) и 32.02 система 2 сводится к АПИ.
88.3. Постулат 88.202 1- ? Ор44 ? р сводит к АПИ
даже систему 1. Это можно показать на основании сле-
следующей леммы:
88.31. Н
A) \-Пр<=}П()р из 88.202 по 31.17
B) hQp^D~Q~p no 33.22
C) Н П рФФ П~ПО~Р зм по 88.202
D) Ь- Пр&П 0~<>~Р зм по 33.211
E) Н П Р&П ()ПР по ОПР- 30-36
F) h- T зм по 88.202 '
88.32. Посредством 88.31 эта система затем сводится
к системе 4, содержащей систему 2. Следовательно, но
88.21 эта система сводится к АПИ.
Раздел 9. РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 91. Расширения, порождаемые постулатами
универсальной возможности
91.0. Простейшим постулатом универсальной воз-
возможности является постулат f- 0 р. В неформальном
языке он означает, что все возможно. Этот постулат
эквивалентен выражению \~ —• ? — р. Если в это вы-
выражение подставить ~р вместо р, то получим выраже-
выражение f— ~ D р, означающее, что любое предложение не-
необходимости ложно (т. е. ничего необходимого нет).
Такая аксиома несовместна со всеми системами, из-
изложенными нами во всех предыдущих разделах вплоть
до настоящего раздела. Это видно из того, что все эти
системы имеют аксиомы вида \~ ? Р.
91.1. Ввиду этого действительный интерес могут
иметь не системы с аксиомой \~ О Р> а системы,
158 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ |ГЛ. II
полученные добавлением к одной из систем предыдущих
разделов аксиомы
91.Д0,,КО2/>- .
Эта аксиома эквивалентна выражению I Пг~р.
Подстановкой в него ~р вместо р получим выражение
I—~П2р» означающее, что каждое необходимо необ-
необходимое предложение ложно.
91.11. Аксиома 91.10 независима от постулатов 53
(а также 516, 51 и 52), так как она не удовлетворяется
матрицей 56.3 при р = 4. Но аксиома 91.10 и не про-
противоречит постулатам системы 3 (а также постулатам
51°, 51 и 52), так как она удовлетворяется матри-
матрицей 56.1.
Холден [1949] называет (вслед за Албаном) систе-
системой 6 систему, порожденную добавлением 91.10 к си-
системе 2, а системой 7 — систему, порожденную добавле-
добавлением 91.10 к системе 3.
91.12. Аксиома 91.10 противоречит постулатам си-
системы 4 (а также постулатам системы 5). Возьмем, на-
например, постулат 30.11 t-(pAq)=$P системы 1°, или
t-n[(pAq)-+p]- По 60.02 получим Н- П2[(Р Л q)-+p],
а по 91.10 выведем \~ ~ П2[(рЛ 0)-+р], что дает про-
противоречие.
91.2. Вместе с Холденом [1949] мы можем строить
новые системы путем добавления аксиомы
91.20. hD(>2P.
91.21. По аналогии с доказательствами 91.11 и 91.12
можно показать, что постулат 91.20 не противоречит и
не зависит от постулатов системы 3 (а также систем
1°, 1 и 2).
Холден назвал системой 8 систему, построенную из
системы 3 добавлением 91.20.
91.22. Аксиома 91.20 противоречит постулатам си-
системы 4 (а также системы 5). Действительно, 91.10 яв-
является непосредственным следствием 91.20.
§ 92. Постулаты несводимости
Постулаты сведения можно комбинировать с посту-
постулатами несводимости. На основе подобного рода ком-
комбинирования Маккинси [1944] построил системы, на-
названные системами 52П.
РАЗ. 9] РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ ^ПРОДОЛЖЕНИЕ) J59
Примем определение:
Fp вместо рА~Р- ¦
Тогда система S2\ получается из постулатов системы 2
добавлением аксиом:
Система S2n получается из постулатов системы 2 до«
бавлением аксиом:
§ 93- Пропозициональные переменные
93.0. При построении систем иногда используются
(как, например, это делает польская логическая школа)
предложения или формулы, в которых нечто утверж-
утверждается о всех или некоторых предложениях. В таких
предложениях пропозициональные переменные связаны
кванторами общности (V), либо существования (Э). На-
Например, если буквы р, q, r будут обозначать пропози-
пропозициональные переменные, а буква R формулу, то можно
построить следующие формулы с кванторами по про-
пропозициональным переменным: WpVqR, 3p3qR, \fp3qR
и т. д.
93.01. Кванторы могут связывать и предметные пе-
переменные, значениями которых являются предметы (ин*
дивиды), которые предполагаются существующими в ло-
логическом универсуме. Например, если х, у, ... — пред*
метные переменные, то предложение VxR утверждает;
что для всех значений х формула R истинна. 3xR утвер-
утверждает, что формула R истинна для некоторого зна-
значения х.
Аналогично, пропозициональные переменные р, q,
г, ... представляют различные предложения, под кото-
которыми понимаются не формальные записи фраз, которые
отличаются лишь формулировкой, а все утверждения
160 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ {ГЛ. И
(propositions), которые можно считать разными. В АПИ
равнозначные предложения могут рассматриваться как
тождественные. Так как в АПИ все истинные предло-
предложения тождественны между собой, точно так же как
тождественны между собой и ложные предложения, то
можно считать, что в АПИ существуют два и только
два различных предложения (истинное и ложное).
В модальных исчислениях строго эквивалентные
предложения тоже могут рассматриваться как тожде-
тождественные. Поэтому можно считать, что в данной мо-
модальной системе существует столько различных предло-
предложений, сколько в ней имеется строго не эквивалентных
модальных функций.
93.02. Связывание пропозициональных переменных
может быть использовано просто как операция мета-
метаязыка в целях формулировки некоторых утверждений.
Например, к таким утверждениям относится аксиома
94.01, приводимая ниже.
Однако если сформулированы теоремы и правила
преобразования формул, содержащих связанные пропо-
пропозициональные неременные, то мы должны иметь дело
со специфическими формами логических исчислений.
Такие исчисления действительно были развиты до не-
некоторой степени у Льюиса и Лэнгфорда. Но развиты
они были несколько неформально и основывались на
интуитивных соображениях, хотя было нетрудно по-
построить подобные системы аксиоматически.
93.1. Теперь перейдем к рассмотрению ассерториче-
ассерторического функционального исчисления (первого порядка)
со связанными пропозициональными переменными
(АФ'ПИ). Это исчисление является расширением АПИ,
но, конечно, не модальным. АФ'ПИ можно построить
следующим образом:
93.10. Все формулы и правила АФ'И подвергаются
так называемому /р-преобразованию (функциональному
пропозициональному преобразованию). Оно состоит в
замене в формулах и правилах АФ'И всех предметных
переменных х, у, X, У на пропозициональные перемен-
переменные р, q, P, Q, R (мы не будем пользоваться преобра-
преобразованиями, которые приводили бы к недоразумениям).
Если п — номер формулы или правила, то fpn — но-
номер /р-преобразованной формулы или правила.
РАЗ. 9] РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 161
Правило 16.2: Если h P, то h
Правило fp 16.2: Если \~ R, то
Теорема 17.23: ЗХ(Р V Q) *-» (ЗХР V 3XQ),
Теорема /> 17.23: ЭР (Я V 5) ч-».(ЭР# V 3PS).
95.11. Примем теоремы и правила fp\b за постулаты
АФ'ПИ. Тогда, если теорема или правило доказуемы
в АФ'И, то соответствующая /р-теорема или правило
доказуемы в АФ'ПИ.
В частности, все теоремы и правила fp\7 доказуемы.
Па основании fp 16.1 все теоремы и правила АПИ до-
доказуемы в АФ'ПИ. Это относится также и к выводимым
правилам 14.3. Основанная на них терминология может
быть использована в АФ'ПИ.
93.2. Для наших целей будут необходимы только не-
некоторые правила, выводимые в АФ'ПИ.
93.20. Если R — формула, то VP/? и 3PR— формулы.
93.21. Если НЯ, то h- VPR (по fp 16.2).
93.22. Если h-VP#, то Н 3PR (по fp 17.13)
93.23. Если \~(P/Q)R, то \- 3PR (по fp 17.12).
Это правило покрывает принцип обратной подстановки
Льюиса — Лэнгфорда.
93.24. Если н R и если h- 3PS,. то \~3P(RAS).
Это правило следует из h- VPR->[3PR-*3P(R A S)].
доказуемой в АФ'ПИ.
¦93.3. Высказывания, содержащие связанные пропо-
пропозициональные переменные, а также символы модальных
пропозициональных исчислений, могут быть выведены
только в каком-либо модальном исчислении МФ'ПИ
с правилами связывания пропозициональных перемен-
переменных, но не в исчислении АФ'ПИ. Очевидно, что можно
построить столько различных исчислений МФ'ПИ,
сколько существует различных систем МПИ.
93.31. Можно взять в качестве постулатов для по-
построения таких исчислений постулаты МФ'И, сформули-
сформулированные Р. Баркан. В таком случае принимаются:
A) постулаты системы МПИ;
B) постулаты, собственные для АФ'ПИ (т. е. посту-
постулаты /р16, за исключением 16.1);
C) аксиомы вида Н- ? VP#=^>VPD R.
162 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТПМЫ [ГЛ. II
93.32. Если теоремы или правила, выводимые из по-
постулатов 93.31, являются s- или S-преобразованиями
fp-теорем или правил, то будем нумеровать их так, как
это делалось в § 24.
93.4. Будем использовать следующие теоремы или
правила, выводимые в некотором МФ'ПИ:
93.41. l-nVPR=$>3PR (sfp 17.13).
93.42. Если f- VP(R=$>S) и f- 3PR,
то [-3PS (по sfp 17.325).
93.43. Если переменная Р не свободна в R, то
f- VP(R^SL$(R^>VPS).
93.44 Если Р не свободна в S, то
§ 94. Расширения исчислений со связываемыми
пропозициональными переменными
94.0. Рассмотрим дополнительную аксиому
94.01. К BpBql~(p=$q) A — (/>=> — q)\.
94.02. Значение этой аксиомы можно лучше понять,
если сопоставить ее со следующей теоремой, выводимой
в АФ'ПИ:
f- VpV<7 [(p ->q) V (р -> ~ q)\ (из ао42 по правилу
93.21).
Эта теорема говорит о том, что для любых предложений
р и q истинно, что р материально имплицирует q, либо
~q. Аксиома f- 3p3q[—{p=^q)A — (р=Ф — q)] эквива-
эквивалентна (согласно АПИ) выражению
а по АФ'И и выражению
являющемуся формальным отрицанием 94.01.
') Льюис и Лэнгфорд добавляют в виде метатеоремы 21.03:
Если переменная Р не свободна в R, то I- ЭР (R=^S) фф (R=$>3PS).
Эта аналогия в МФ'И (Баркан, метатеорема 48) предполагает, что
доказуема только строгая импликация (т. е. фф надо заменить
па =ф). В действительности Льюнс и Лэнгфорд использовали тео-
теорему 21.03 только для доказательства 21.11, которую не считали
важной.
РАЗ. 9i РАСШИРЕНИЯ СИСТЕМ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 163
Эти два оператора имеют несовместимые-теоремы и
тем самым доказано, что они различны (в системах
Sl° — S5 невозможно доказать, что они одинаковы).
94.03. Матрица 56.1 показывает, что 94.01 не проти-
противоречит постулатам систем 1°, 1—5 (а также и их рас-
расширениям). Эти постулаты удовлетворяются матрицей
56.1, согласно которой формула —(р=Ф<?)Л—(р=Ф—(?)
принимает выделенное значение при р = 1 и q = 2 или
<? = 3<).
94.04. Аксиома 94.01 не зависит от других постула-
постулатов только что перечисленных систем.
Это можно доказать посредством матрицы 15.1 для
АПИ, к которой следует добавить матрицу
р\ Ор
Такая, матрица (отождествляющая () р еря Пр с р,
а также p=^q с p->q) удовлетворяет каждому посту-
постулату исследуемых систем, но не 94.01.
94.1. Из аксиомы 94.01 можно вывести (посредством
правил 93.2 АФ'ПИ) теоремы
94.11. \-3p3q3r[<)pA О?Л O
A
(Существуют по меньшей мере три различных предло-
предложения, которые возможны.)
94.12. \-3p3q3r3s[~(p&q)A~{p&r)A
Л ~ (<?#фг) Л ~ (q4$s) A
(Существуют по крайней мере четыре различных пред-
предложения.)
94.2. Аксиому 94.01 можно для контрастности срав-
сравнить с теоремами, выводимыми в модальной пропози-
пропозициональной логике МФ'ПИ.
Например, в системе 2 доказуема теорема
94.20. \-[(p=$q)A(p=$~q)]<$a~p. E'a69)
') Этим способом невозможно доказать что 94.01 не противо-
противоречит 91.10 н 91.20.
164
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
В Мф'ПИ доказуемы теоремы:
94.21. И У<?П~рФФП~р
94.22. \-3qO~p€$n~p
Следовательно, доказуема теорема
94.23.
A)
B)
94.24.
(подст. в ф 17.11)
(подст. в sfp 17.12)
hV?[(p4?)A
Л (р=Ф~<?)]?фУ<7П
из 94.20 по
виду 30.24
зм по 94.21
(аналогично
94.22)
пра-
по
94.25. \-
?ф 3? [(р =Ф ?) Л (р =Ф ~ ?)] (по 94.23-94.24 '))
Раздел .9'. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МОДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
¦»9'.1. Холден [1948] сформулировал модальную си-
систему, названную им SO, более слабую, чем S\°.
Эта система построена из тех же самых постулатов,
что и система 1 (§ 37), но без определения 30.34. Опера-
Оператор =ф является в этой системе исходным термином.
Холден показал, что в SO не доказуемы формулы:
•*9'.2. Леммой [1957] назвал системой S0.5 модаль-
модальную систему, определенную следующими постулатами:
I. Теоремы АПИ.
II. Единственное правило:
Если \—Р — тавтология АПИ, то (—ПР.
III. Две схемы аксиом:
h DP-*P,
I- n(P->Q)
(DP->DQ).
') В системе 1° и 1 возможно доказать (Лыоис и Лэнгфорд
21.3 и 21.31) лишь теоремы:
Л
{? ~ р Л
РАЗ. *9'1 НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МОДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 165
*9'.3. Мо Шао-куй [1958] предложил модальную си-
систему, которую он назвал системой В (базисная си-
система) и которая значительно слабее, чем любая из
систем Льюиса. Эта система использует только три сим-
символа, а именно: ~,^иП.
*9 .3.1. Система В имеет следующие постулаты:
I. Три аксиомы: h р=ф' р, I р =#> р,
h Пр=Фр.
П. Пять фундаментальных правил:
а) правило подстановки вместо пропозициональных
переменных;
б) правило подстановки для строго эквивалентных
предложений (два предложения Р и Q рассматриваются
как строго эквивалентные, если справедливы теоремы:
ЯФЭ <ЭФР)
в) если h-P^Q, то I
г) если ЬР=Ф<2, и hQ##, то
д) если f- P =ф Q, то (- ? Р=ф ? Q.
В системе В существует бесконечное количество не-
несводимых модальностей.
*9'.3.2. Можно построить несколько расширений
системы В, которые будут обозначены через Вп
(п= 1,2,3, ...).
. Система Вп строится добавлением к базисной си-
системе В двух следующих аксиом:
I ?"-' ~ ? ~ ? Р^~ ? р.
Так, система Bt имеет аксиомы:
I ППр=ф~Пр,
Система Sj имеет ровно 14 несводимых модальностей
системы 4. Система В2 имеет следующие аксиомы:
I П~П~
В В2 существует не более 126 несводимых модаль»
ностей.
166 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
В общем случае, для данного п система Вп имеет не
более чем Dm -J- 2) несводимых модальностей, где
*9'.3.3. Добавляя к системе В2 аксиому:
получаем систему, названную S'3, которая имеет ровно
32 несводимые модальности системы 3.
*9'.4. Порт [1958] предложил серию модальных си-
систем, основанных на АПИ, начинающихся с очень сла-
слабой модальной системы, названной Sa.
«9'.4.1. Система Sa состоит из следующих постулатов:
I. Определения:
Р -> Q означает —(Р Л—Q);
Р =# Q означает ? (P-+Q);
P+-+Q означает (Р -> Q) Л (Q -> Я);
Р 4Ф Q означает (Р ^» Q) Д (Q =ф Р).
II. Слгелб^ аксиом:
М/>-М) #[(/• Л р)-*(г Л ?)].
III. Правила
Правило D: Если \~ Р и }- P->Q, то \-Q (правило
отделения для ->).
Правило А: Если (- ? Р, то f- P (правило ослаб-
ослабления).
Правило Ra: Если (- P<^Q, то P?Q.
Правило Rb: Если P?Q, то I- P&Q.
(Е здесь является бинарным предикатом, выражающим
отношение строгой эквивалентности. Е образует утвер-
утверждения системы, которые ввиду этого не помечаются
знаком утверждения |—.)
Правило vD: Если (- ? Р и h P=$Q, то Н ? Q.
(«Нормализация» правила D, см. ниже.)
РАЗ. *9'J НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МОДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 167
Правила Ra и Rb совместно с другими лостулатамн
говорят о том, что отношение Е рефлексивно, симмет-
симметрично, трапзитивно и монотонно по отношению к опе-
операциям отрицания и конъюнкции. В Sa не постулируется
монотонность отношения Е относительно операции не-
необходимости П.
*9'.4.2. Система, называемая Sb, строится добавле-
добавлением к постулатам Sa правила:
Cf: Если hP^Q, то hnP*-»DQ. (Слабая сов-
совместность F или фф с П.)
*9'.4.3. Другая система, названная 5с, образуется
добавлением к постулатам 5а правила:
CF: Если bP0Q, то Ь- ? P<=$ D Q. (Правила Бек-
кера. Сильная совместность, или монотонность Е или ^
по отношению к ?.)
*9'.4.4. Принимая за исходную какую-либо из си-
систем 5а, Sb или 5с, можно строить новые системы, пре-
преобразуя некоторые постулаты одним из двух следующих
способов: 1° способом усиления и 2° — способом норма-
нормализации.
Эти преобразования применимы к так называемым
иолуканоническим системам. Полуканонической систе-
системой называется система, содержащая правила D, Ra и
Rb и не содержащая других правил, в которых присут-
присутствует отношение Е.
¦ Канонической системой называется полуканопнче-
ская система, не имеющая других правил, кроме пра-
правил A, Ra и Rb.
*9'.4.41. Определим понятие усиления правила.
Усилением правила R является схема аксиом pR, по-
полученная заменой отношения выводимости по правилу
R материальной импликацией —>. Например, усилением
правила R, имеющего вид «Если (- Р, то I- Q», являет
ся схема аксиом pR- \-P->Q.
Для правила R с двумя посылками, имеющего вид:
«Если |— Р и г~ Q, то — 5», схемой аксиом pR будет
\—P—*(Q—+S). Усиление полуканонической системы.
Sx — это система, называемая pSx, которая получается
усилением всех правил Sx, за исключением правил D,
Ra и Rb.
(Схемы аксиом 5л: остаются неизменными в системе
р5лг, так же как и правила D, Ra и Rb.).
168 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ: II
*9'.4.42. Преобразование, называемое нормализа-
нормализацией, производится как над схемами аксиом, так и над
правилами. Нормализацией схемы аксиом X вида |— Р
является соответствующая схема аксиом формы \— О Р,
обозначаемая через vX и получаемая приписыванием D
к исходной схеме.
Нормализацией правила R является соответствую-
соответствующее правило, обозначаемое через vR и получаемое при-
приписыванием ? к нескольким посылкам и заключению
правила R.
Однако нормализацией правила Ra будет правило
vRa: «Если \-n(P<$Q), то PEQ»,
а нормализацией правила Rb будет правило vRb:
«Если PEQ, то Ь ? (P<=}Q)»
(знак D не приписывается к утверждениям вида PEQ).
Нормализация полуканонической системы Sx, обо-
обозначаемая через vSx, состоит из:
а) всех постулатов системы Sx;
б) нормализации всех схем аксиом Sx;
в) нормализации всех правил Sx, за исключением
правила vD (которое уже является нормализацией пра-
правила D).
Вообще говоря, нормализация полукаионической си-
системы не обязательно является, полуканонической си-
системой.
Однако ее всегда можно сделать полуканонической,
добавив к ней дополнительное правило» называемое
«правилом нормализации»
Rv: Если ЬПР, то [-DDP.
Из нормализованной системы всегда можно получить
дедуктивно эквивалентную систему вычеркиванием всех
ненормализованных схем аксиом и добавлением к ее
постулатам правила ослабления А и правила нормали-
нормализации Rv.
Нормальной системой называется система, эквива-
эквивалентная своей собственной нормализации. Все нормали-
нормализованные системы заведомо являются нормальными, так
как они эквивалентны своей собственной нормализации.
*9'.4.43. Порт показал, что, исходя из некоторой си-
системы S, путем последовательного применения к ней
усиления и нормализации нельзя получить более шести
неэквивалентных собственных расширений системы S.
РАЗ. «9'J НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МОДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
169
Можно получить системы р5, vS, vpS, pv5, pvpS и vpvS
(последняя эквивалентна vpvpS). Между этими семью
системами существуют отношения, которые можно пред-
представить стрелками графа (стрелка проведена от одной
системы к другой, содержащейся в первой системе):
¦*9'.4.44. Исходя из системы Sa, добавлением правил
Cf, CF, а также правил усиления и нормализации
нельзя получить более двенадцати неэквивалентных си-
систем, перечисленных в нижеследующем графе (стрелки
показывают отношения между системами).
• "*-
vp?&
№Sa ="pvP^
=vpvJc
«vpySfc
Система vpSc является наиболее слабой модальной
системой, так как она и нормальная и каноническая.
Система pSa — наиболее слабая каноническая си-
система. „
Система vSa— наиболее слабая нормальная си-
система.
Система vpSc дедуктивно эквивалентна системе
Льюиса 54.
Другие отношения, существующие между упомяну-
упомянутыми системами Порта и системами Льюиса, до сих пор
не очень известны.
ГЛАВА III
МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Функциональная логика (с равенством) займет в на-
нашем изложении много меньше места, чем пропозицио-
пропозициональная логика. По нашему мнению, модальная функ-
функциональная логика первого порядка (МФ'И) во многом
аналогична ассерторической функциональной логике
первого порядка (АФ'И), хотя нельзя сказать, чтобы
этот вопрос был достаточно изучен. С другой стороны,
теория равенства и теория описаний, основанная на
функциональной логике второго порядка (МФ2И), при-
приводит к парадоксальным результатам и другим серьез-
серьезным трудностям.
Чтобы дать некоторое представление о МФИ и уяс-
уяснить причину относительной тривиальности МФ'И, нач-
начнем наше изложение с «эвристического введения», как
это мы уже делали в первой части. Для этого прежде
всего рассмотрим исчисление, содержащее переменные
для случаев. Назовем это исчисление исчислением МФК
(вместо МФИ), так как модальные предложения в этом
исчислении будут сводиться к предложениям с кван-
кванторами «для всех случаев ...» и «в некоторых слу-
случаях ...». Так же как и в первой части, мы установим
точное соответствие между МФИ и МФК, а также
между аксиомами МФИ и правдоподобными аксио-
аксиомами МФК-
Раздел 10. ИЗЛОЖЕНИЕ МФК БЕЗ ОПЕРАТОРА
АБСТРАКЦИИ
Сейчас мы получим из аксиом ассоциированное мо-
модальное функциональное исчисление (МФК), точнее,
модальное функциональное исчисление первого порядка
(МФ'К), и часть исчисления (МФ2К) второго порядка,
которая необходима для теории тождества и теории
описаний. Рассмотрение оператора абстракции отложим
до раздела 11,
РАЗ. 10] ИЗЛОЖЕНИЕ МФК БЕЗ ОПЕРАТОРА АБСТРАКЦИИ 171
§ 101. Атомарные предложения в МФК
Мы должны рассматривать атомарные предложения,
которые не просто истинны или ложны, а истинны или
ложны в некотором случае /. Эти предложения не яв-
являются, так сказать, абсолютными, а являются предло-
предложениями относительно случая t. Атомарные предложе-
предложения в АПИ обозначим буквами р, q, ... Атомарные
предложения в МФК будем обозначать через pt, q/, ...
Атомарные предложения в АФИ имеют вид АХ,
RXY, ..., например, ах, bx, rxy, \xy (i — отношение ра-
равенства). Соответствовать им будут модальные атомар-
атомарные предложения (ах)*, (bx)t, (vx)t, (ixy)t, где a, b, r,
х, у — прямые латинские буквы, a t — курсивное.
Используя группировку влево, как это делается в ком-
комбинаторной логике, в дальнейшем будем писать просто
bx /, rxy t, ixy t.
Говоря более точно, атомарными предложениями
МФ'К могут быть:
Г предложения вида РТ с р-переменной и *-пере-
менной;
2° предложения, содержащие три рода элементов:
а) один и-местный предикат (п^ 1), ' \
б) п предметных переменных,
в) одну переменную для случаев t, принимающую
значения из области всех возможных случаев. Напом-
Напомним, что не существует какого-либо выделенного «ре-
«реального» случая. Для модального атомарного предло-
предложения характерно именно то, что оно релятивизировано
относительно произвольного случая.
В МФК такие выражения, как р, ах, rxy, не являются
полными выражениями, а потому не являются и пра-
правильно построенным!! выражениями. Если ими мы и бу-
будем пользоваться, то как сокращениями, и тогда они бу-
будут выражениями в некотором расширении АФИ, при-
причем в этом случае будем записывать их курсивом.
МФК не является настоящим расширением АФИ, так
как множество правильно построенных предложений
МФК не включает множество правильно построенных
предложений АФИ. Однако существует соответствие
между предложениями МФК и АФИ: модальное пред-
предложение МФК, выражающее утверждения о присущно-
присущности л-местного предиката набору из п предметов, ведет
172 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА (ГЛ. III
себя так же, как предложение АФИ, утверждающее о
присущности (п -\- 1)-местного отношения набору из
(п + 1) предметов. В частности, предложению МФК,
выражающему приписывание предиката нулю предме-
предметов, будет соответствовать в МФИ предложение, выра-
выражающее приписывание предиката одному предмету.
Если подобное соответствие установлено, то предложе-
предложениям, выражающим законы МФК, будут соответствовать
предложения, выражающие законы АФИ.
§ 102. Чисто кванторные и молекулярные предложе-
предложения в МФК
102.1. Чисто кванторное предложение МФК строится
из атомарного предложения МФК посредством примене-
применения одних лишь кванторов.
102.2. Так как в атомарные предложения МФК мо-
могут входить переменные трех родов, то для построения
чисто кванторных предложений МФК можно применять
три рода кванторов.
Эти кванторы следующие:
а) кванторы по t переменным W и 3t, которые мо-
могут встречаться в МФИ;
б) кванторы по предметным переменным Vx, Эх,
Vy , Эу, которые во всяком случае могут употребляться
в исчислении МФ'К;
в) кванторы по предикатам Va, За, Vb, 3b, кото-
которые специфичны для модальной функциональной логики
второго порядка (МФ2К). Эта логика будет рассмот-
рассмотрена в § 105.
102.3. В чисто кванторное предложение.МФ'К может
входить нуль, один и более кванторов вида а) и б).
Пусть М обозначает любое атомарное или чисто
кванторное предложение МФ'К; тогда нижеследующие
предложения будут чисто кванторными предложениями
МФ'К: V/VxM, V/ЭхМ, 3*VxM, 3GxM, VxVtM, ЗхУШ,
УхЭШ, ЗхЗШ.
102.4. Чисто кванторное предложение МФ'К может
иметь следующие интерпретации:
а) как утверждение о п предметах или общее утвер-
утверждение о предметах (если соответствующая переменная
связана квантором общности);
б) как и-местный предикат от этих предметов;
РАЗ. 10) ИЗЛОЖЕНИЕ МФК БЕЗ ОПЕРАТОРА АБСТРАКЦИИ 173
в) как утверждение, истинное в некоторых или во
всех случаях, когда переменная / связывается кван-
квантором.
102.5. Предложение МФ'К можно определить рекур-
рекурсивно следующим образом:
102.51. Атомарное предложение МФ'К есть предло-
предложение МФ'К.
102.52. Предложение, образованное из предложения
МФ'К с помощью квантора но ^-переменной, есть пред-
предложение МФ'К.
102.53. Предложение, построенное из предложения
МФ'К посредством квантора по предметной переменной,
есть предложение МФ'К.
102.54. Истинностная функция от предложений МФ'К
есть предложение МФ'К-
102.6. Предложения МФ'К, не являющиеся ни ато-
атомарными, ни чисто кванторными, назовем молекуляр-
молекулярными предложениями МФ'К.
§ 103. Вывод МФК-формул с кванторами
Выведем ЖФхК-формулы, в которые могут входить
кванторы, связывающие переменные для случаев и пред-
предметные переменные.
В частности, попытаемся доказать формулы, по-
полученные из АФ'И-формул посредством 5- или s-преоб-
разования.
103.1. Если формула не содержит кванторов, то она
является формулой АПИ, и рассматриваемый случай
тривиален.
Если даже мы используем какую-либо из наших си-
систем, не содержащую непосредственно все формулы
АПИ, то тем не менее все они могут быть доказаны.
103.2. Если формула содержит только ^-кванторы, то
используем аксиомы § 16 применительно к ^-кванторам.
Этим способом можно получить формулы МФК для 55,
а также для S4 и S2'.
ЮЗ.З. Чтобы ввести кванторы по предметным -пере-
-переменным, сформулируем аксиомы § 16 без всяких изме-
изменений и с их помощью получим любую формулу АФ'К
103.4. Однако могут встретиться преобразования, от-
относящиеся одновременно к /-неременным и х-перемениым.
174 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА "" [ГЛ. 1ГГ
Чтобы рассмотреть подобные преобразования, достаточ-
достаточно принять аксиому
I- 3t3xaxt -> 3x3taxt.
§ 104. Формулы, специфические для МФ'К
Метод, изложенный в предыдущем параграфе, яв-
является чисто экспериментальным. Чтобы получить бо-
более общие результаты, необходимо доказать для наших
формул обобщенную теорему Эрбрана. Попробуем
приблизительно очертить круг тех формул МФ'И, ко-
которые мы ожидаем получить. Конечно, среди них будут
формулы АПИ A03.1), МПИ A03.2) и АФ'И A03.3).
Но как обстоит дело, с 5- и s-преобразованиями A04.1),
и с другими возможными неудачами A04.2), A04.3)?
104.1. Рассмотрим 5-аналог теоремы
Ь- Vxbx -> Vx (ах -> bx), @)
которым является формула
V/[Vxbx*->VxV/(ax*->bx/)]. A)
Мы не можем доказать формулу qt -> V* (pt —> qt), но
доказуема формула
Ь Vtqt-+\/t(pt-+qt). B)
Из нее по правилу подстановки получим
f-V/bx*->W(ax*->bxO, C)
откуда выводим
Ь- VxVtbxt -> VxV/ (ax t -> bx t), D)
а из нее
I- W (VxVtbxt -> VxV/ (axt -> bx 0). E)
Полученная формула является S'-аналогом формулы @).
104.2. Имеются формулы МПК. зависящие от двух
следующих формул:
104.21.
104.22. ,
обращения которых не доказуемы.
РАЗ. Ю] ИЗЛОЖЕНИЕ МФК БЕЗ ОПЕРАТОРА АБСТРАКЦИИ 175
104.3. Рассмотрим эквивалентность
Ь- Зх (ах -> Ьх) *-*¦ (Vxax -> ЗхЬх). A)
Она доказуема в АФИ и эквивалентна формуле
Ь-Эх(~ах\/ Ьх)ч-*(Эх ~ ах V ЭхЬх). B)
Но она не может быть преобразована в формулу
Ь V/ [3xVt (ах/ -> bx/) 4-* V/ (Vxax/ -> ЭхЬх/)]. (З)
В действительности можно получить по A)
Ь- V/Зх (ах* -> Ьх/) *-> V/ (Vx ax* -> ЗхЬх/) D)
и A04.22)
Ь- 3xV/ (ах/ -> bxO -> V/Эх (ax/ -> hxt). E)
Следовательно, можно доказать лишь импликацию
Ь 3xV/ (ax^ -> bxO -> V^ (Vxax* -> ЭхЬх/), F)
из которой выводится 103.4С: Ь ()Эхах->Эх О ах. Это
один из немногих примеров, где 104.21 (или 104.22) ве-
ведет к неудаче 5-преобразования формул АФ'И в фор-
формулы МФ'К-
§ 105. Модальная функциональная логика второго
порядка с равенством
¦ 105.1. Исчисление МФ2К можно получить добавле-
добавлением к аксиомам § 103 аксиом, специфических для ло-
логики предикатов второго порядка.
105.2. Р. Баркан построила теорию равенства, исполь-
используя оператор абстракции. Теория равенства в такой фор-
формулировке будет изложена в разделе 11. Однако теорию
строгого равенства можно построить и без теории аб-
абстракции на базе следующего определения:
105.3. \ху означает VaV^ (ах/- *)
§ 106. Переход к сокращенному исчислению МФИ
106.1. Для перехода от МФК к символике МФИ надо
расширить соответствие, введенное в § 21. С этой целью
вводится замена атомарных предложений р^, q^, ..*
•••, ах/, Ьх/ на р, q, ..., ах, Ьх а также опера*
торов V/ на ? и 3/ на <>.
176 : МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА - [ГЛ. ИГ
Отношение между переменными а, Ь, с х, у, z, ..,
и а, Ь, с, х, у, z, ... будет рассмотрено в § 117.
106.2. Если п — номер формулы (или правила)
МФК, то пс будет означать номер соответствующей в
силу 106.1 формулы (или правила).
106.3. «с-формулы (или правила) будут иметь такую
же форму как формулы и правила Баркан, если при
переводе использовать определения 23.5 для =# и 4$
Приведем некоторые примеры:
103.4С. \-<)Зхах->Зх() ах
104.1 С. Ь- ? Vxbx =#> V* (ах =ф Ъх)
104.21С. ь 0 Vxax -> V* 0 ах
104.22С. 1-3* П ах-^ПЗхах.
104.3С. \-3x(ax=$bx)=$(Vxax=^3xbx)
(однако нельзя получить формулы
Зх (ах =Ф bx)t=>Dxax =#> ЗхЬх)).
105.3С. \ху означает Va (ov => ay).
106.4. Правила преобразования, изложенные в этом
параграфе, не могут привести к недоразумениям. Од-
Однако их правильная интерпретация невозможна, если
упустить из виду то обстоятельство, что в данном раз-
разделе, так же как и в разделе 2, мы имеем дело с со-
сокращениями, и что символы, скрытые в сокращении, не
исчезают, и должны восстанавливаться всякий раз,
когда мы хотим получить осмысленные результаты.
Раздел 11. АБСТРАКЦИИ
Перед тем как приступить к использованию опера-
операторов абстракции в МФИ, целесообразно кратко рас-
рассмотреть теорию оператора абстракции в МФК. Эту
теорию можно будет использовать для построения мо-
модального варианта теории классов, а в более общем
случае — и для построения модального варианта теории
множеств. Она может также помочь выяснению значе-
значений модальных выражений функционального исчис-
исчисления.
РАЗ. Щ - АБСТРАКЦИИ 177
§ 111. Абстракция
При абстрактнсш рассмотрении элементов модаль-
модального выражения не исключено возникновение трудно-
трудностей, так как основная характеристика модального вы-
выражения заключается в том, что оно заменяет «аб-
«абстрактные» математические утверждения некоторыми
конкретными модальными формами утверждения. Опе-
Операция абстрагирования не приносит каких-либо прин-
принципиальных трудностей в МФК- Однако она может вы-
вызвать некоторые трудности при интерпретации или при'
переводах в тех системах, в которых применение опера-
оператора абстракции к некоторым переменным производится
неявно и в явном виде не фиксируется.
111.1. Пусть М обозначает предложение МФК, х, у,
z, ..., а, Ь, с, ..., г, s, ... — переменные. Если а —
одна (входящая или не входящая в М) из этих пере-
переменных, то выражение йМ называется абстрактом. Если
а, р, y — различные переменные, то выражения а$М,
а$уМ, ... — также абстракты, которые можно назвать
кратными абстрактами. Только что определенные аб-
абстракты являются пропозициональными функциями.
Пропозициональная функция — это любая функция вида
%аМ, КаХ$М, где М — предложение. Чтобы записать
пропозициональную функцию в виде абстракта, надо
каждую «ламбду» перед переменной заменить «крышеч-
к.ой» над этой переменной.
111.2. Правила для абстрактов такие же, как и для
Я,-функций.
111.3. Определение типов абстрактов в МФК начнем
с перечисления Следующих исходных типов:
v — тип предложения в МФК;
i — тип предмета в МФК;
т — тип • случая.
Производные обозначения типов строятся из исход-
исходных по методу Чёрча. Например, хах< есть выражение
типа vi, xiaxt—типа vix, ipt — типа тэт, а?ах/— типа
и(тт)т, хугху< — типа vu, xy? —типа иит.
111.4. Выражение со свободными /-переменными на-
назовем случайным.
178 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЛЯ ЛОГИКА [ГЛ. III
Выражение, где есть кванторы по f-переменным, на-
назовем модальным.
Выражение, в котором /-переменная связана опера-
оператором абстракции, назовем абстрактом случая.
Случайное выражение не является абстрактом слу-
случая, поэтому абстракты случая являются неслучайными.
Однако абстракты случая могут быть модальными.
Случайные и модальные выражения имеют общим то,
что они относятся к случаям; случайные выражения от-
относятся к одному случаю t, а модальные выражения от-
относятся ко всем или некоторым случаям.
Характеристики, употребляемые по отношению к не-
некоторому выражению, могут употребляться и но отно-
отношению к эквивалентному выражению или даже ио от-
отношению к тому, что это выражение обозначает.
§ 112. Абстракты в модальной пропозициональной
логике
В целях сравнения с более сложными абстрактами
МФК рассмотрим абстракты, образуемые в модальной
пропозициональной логике, эквивалентные абстрактам,
используемым фон Вригтом в его Essay in Modal Logic.
112.1. Абстракт ipt имеет тин vt и выражает либо
свойство быть случаем t таким, что р/, либо класс слу-
случаев, в которых р истинно. Абстракция ipt представляет
абстрагирование события, т. е. то общее, что имеется у
реализаций события р в различных случаях.
112.11. Вместо ipt будем писать просто р, так как
ipt и р означают одно и то же. р и ipt обозначают не-
неслучайные предложения, a pt — случайное.
112.2. Определим понятие общего предложения, для
чего введем следующие сокращения:
112.21. р с: q означает Vf(p/->qO.
Это — строгая импликация, которая означает, что
для всех случаев истинность р влечет истинность q.
112.22. p = q означает V<(p*-*->qf).
Это — строгая эквивалентность, означающая, что во
всех случаях р и q истинны одновременно, поэтому р
и q можно заменять друг на друга.
112.23. Примем также сокращение
р =7^ q означает ~(р = <7).
РАЗ. II] АБСТРАКЦИИ 179
112.3. Учитывая 112.11, будем писать:
112.31. Vp означает V(?pO или Mtpt (p необходимо,
необходимо случается).
112.32. Зр означает 3(ipt) или 3tpt (р возможно,
возможно случается).
Здесь V и 3 имеют тип v(vx).
112.4. Определим понятия универсального и пустого
классов случаев, используя для их обозначений индексы,
выражающие соответствующий тип абстракции:
112.41. Uvx означает i(ptV~pt).
112.42. Ом означает i(ptA~pt).
112.5. Определим следующие операции:
112.51. —р означает t(~pt).
112.52. pf)q означает i(pthqt).
112.53. pUq означает i(pt V qO-
Можно еще добавить определения:
112.54. р :э q означает i(pt-+qt).
112.55. piDczq означает i(pt*r+qt).
112.6. Для любой а-формулы (формулы АПИ), со-
соответствующая посредством 25.12 Sa-формула дока-
доказуема в МПИ. Тогда мы получим перевод этой а-фор-
а-формулы в соответствующую ей формулу в терминах
р-классов.
Например, в АПИ справедлива формула I— (pf\q)—>
->р, поэтому в МПИ Ь- (pflq^P-
112.7. Однако нельзя заменить 4 на с и ^Ф на =
в формуле МПИ, содержащей суперпозиции модально-
модальностей либо символов Ф или 4Ф. Например, мы имеем
в JV-ЩИ Ь- 0»ф<7)ФН—<7=^'"-/р)> и0 очевидно, что от-
отсюда можно получить только Н i (р с: q) = i (— q с: — р).
112.8. Так как наша единственная цель — дать вве-
введение в МФИ, то мы не будем исследовать такие аб-
абстракты как ppt, т. е. абстракции типа v{vx), интуитив-
интуитивным значением которых является содержание самого
случая. Они могут рассматриваться параллельно с аб-
абстракциями аая исчисления АФ2И.
180 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. III
§ 113. Абстракты хМ
113.0. Если М является предложением МФК, то
абстракт хМ имеет тип т.
113.01. Пусть а, р, у» ••• будут переменными типа гн.
Тогда выражение вида ах будет обозначать предложе-
предложение, потому что если а есть хМ, то ах есть {хМ)х или М.
113.1. Абстракты типа vi не являются абстрактами
случая.
Существуют два основных рода выражений типа vi,
которые можно подставлять вместо переменных, подоб-
подобных переменной а. Одни из них составляют выражения
вида xaxt. Они обозначают свойство, имеющее место
в определенном случае t. Таким образом, они являются
случайными выражениями, обозначающими случайные
свойства.
Другой род содержит выражения с кванторами по
переменной t. Например, к этому роду относятся выра-
выражения x3taxt, xV/ax<, которые можно перевести «быть
таким, что возможно а» и «быть таким, что необходимо
а» и поэтому являются модальными выражениями.
Для обоих этих родов выражений можно ввести те
же самые определения, что и в случае выражений для
классов в АФИ.
113.2. Рассмотрим общие предложения:
113.21. <хс=р означает Vx(ax->px).
Это общая (или «формальная»), но не строгая импли-
импликация.
113.22. a = f$ означает Vx (ax ¦*-*¦ Рх).
Это «общая» (или «формальная»), но не «строгая» экви-
эквивалентность.
113.23. аф$ означает ~(а = р).
113.3. Согласно 113.01 можно писать:
113.31. Va означает V(xax) или Vxax.
113.32. За означает 3 (хах) или Зхах.
Здесь V и 3 имеют тип ¦и(т).
113.4. Определения универеального и пустого классов
113.41. Um означает x(axV—ax).
113.42. Оы означает х(ахЛ~ах).
РАЗ. 11) АБСТРАКЦИИ 181
113.5. Определения операций:
113.51. —а означает х(~ах).
113.52. аПР означает х(ахЛ Рх).
113.53. aUP означает х(ах V Рх).
Аналогично определяются астр и агэсгр.
§ 114. Абстракты xtM
114.0. Если М — предложение МПК, то абстракт хШ
имеет тип тт.
114.01. а, Ь, с — переменные типа vix, так как ах/
имеет тип v.
114.1. Существуют два основных рода выражений
типа vix, которые можно подставлять вместо пере-
переменных этого типа. Оба эти рода выражений неслу-
неслучайные.
Одни род образуют а, Ь, с упомянутого типа. Они
обозначают «абстрактные» свойства без ссылки на
какие-либо случаи, свойства неслучайные и немо-
немодальные.
Другой род может включать абстракты с кванторами
по /-переменной такие, как х?3/ах/. Подобные правиль-
правильно построенные в МФ'К выражения обозначают модаль-
модальные свойства, имеющие место в каких-то случаях.
' Для выражений типа vn можно вводить такие же
определения, как в § 113.
114.2. Общие предложения:
114.21. acb означает VxV/(axt->bxt).
Это общая строгая импликация.
114.22. а = Ь означает VxV/(axt ¦*-»• bx t).
Это общая строгая эквивалентность. Она выражает
абстрактное тождество двух классов а и b независимо
от «случаев».
114.23. а Ф b означает ~ (а = Ь).
П4.3. Примем еще следующие определения:
114.30. У(хШ) означает VxV/M,
о ^
3 (хШ) означает ЗхЗШ.
182 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА 1ГЛ. Ш
Согласно 114.01 имеем
114.31. Vx означает \fxVtaxt
о
114.32. За означает 3x3taxt.
.114.4. Определения универсального и пустого классов:
114.41. UUT означает xi (axt V ~axt),
114.42. Оых означает xi (axt A ~ ax t).
Они аналогичны 112.41 и 112.42.
114.5. Определим следующие операции:
114.51. —а означает х?~ах/,
114.52. аПb означает xi(axt /\hxt),
114.53. aljb означает xi (axt V bxi).
Аналогичным образом можно дать определения acrb
и a гэ cz Ъ.
§ 115. Абстракты М^К и равенство
Абстракты, полученные путем абстрагирования
свойств, являются абстрактами модальной функцио-
функциональной логики второго порядка (МФ2К). Например,
это абстракты аМ, aiM, aM. Ограничимся в этом раз-
разделе абстрактами ctax и а?ах/, которые используются
Р. Баркан в эквивалснтностях, определяющих равен-
равенство.
115.1. В абстракте ctax символ а означает свойство
типа vi (см. § 113), т. е. некоторое случайное или мо-
модальное свойство х. ctax означает в таком случае любое
свойство, которым может обладать х.
115.10. Будем писать еха вместо ах. Тогда еха озна-
означает «х есть a», a ex означает аехос или аах».
В терминологии Куайна ех можно назвать «сущно-
«сущностью *» в МФ2К.
115.2. Рассмотрим общие предложения, которые мож-
можно считать утверждениями относительно ex.
115.21. ex c= ey означает Vafax-^y)-
Общая формальная импликация здесь говорит о
включении ех в еу.
РАЗ. II) АБСТРАКЦИИ 183
Можно доказать, что если Va(ax—>ay), то Va(ay—>
->ax) и Va(ax*->ay).
115.22. ex = ey означает Va (ax ¦<-> ay).
Общая эквивалентность здесь говорит о том, что
свойства х (в данных случаях) совпадают со свой-
свойствами у.
115.23. ixy означает Va(ax-*ay). Это определение,
эквивалентное определению Р. Баркан материального
тождества (Imxy) предметов х и у, говорит о том, что
свойства х и у (в данных случаях) совпадают.
115.3. Абстракт aiaxt получается абстрагированием
в случайном предложении ах t от свойства а и от слу-
случая t. Абстрагирование здесь означает абстрагирование
от всех тех нар {а, /} свойств и случаев, о которых утвер-
утверждает предложение ах t.
115.30. Будем писать е'ха/ вместо ах/. Тогда е'ах/
будет означать «х есть а в случае /». Выражение е'х
можно интерпретировать так же, как и выражение ех,
т. е. как сущность х. Эта сущность является классом
классов пар {а, 1} таких, что ах/.
115.4. Рассмотрим еще некоторые общие предло-
предложения:
115.41. е'х с с'у означает VaW(ax/ —>-ay/),
15.42. е'х = е'у означает VaW(ax/4->-ay/).
Общая эквивалентность здесь говорит о том, что во
всех случаях все свойства х и у одинаковы.
115.43. Ixy означает УаУ/ (ах/ -> ay/).
Это определение эквивалентно определению Р. Баркан
строгого равенства (Ixy) предметов х и у. Согласно
этому определению Ixy утверждает, что е'х = е'у озна-
означает совпадение всех свойств предметов х и у, имеющее
место в любых случаях.
115.5. Один из основных результатов Р. Баркан со-
стоит в доказательстве того, что в модальном функцио-
функциональном исчислении S4 (а следовательно, в МФК, ко-
которое включает модальное функциональное исчисление
•S4) ixy эквивалентно Ixy. Можно убедиться, что дока*
зательство Баркан справедливо в МФК.
184 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОТГАЛЬПЛЯ ЛОГИКА [ГЛ. III"
Доказательство сводится к тему, что из ixy с необ-
необходимостью следует импликация «если Ixx, то Ixy». Со-
Согласно определению ixy A15.23) из ixy следует ах —>ау.
Возьмем (zlzx) вместо а. Тогда получим (zlxz)x—>
—*(zlxz)y или Ixx—¦ Ixy.
§ 116. Абстракты &М
Упомянем еще один род абстрактов, не соответ-
соответствующий понятиям, нужным в МФИ.
116.1. Абстракт аМ означает «быть свойством а из
МФК таким, что М». Эта абстракция имеет тип ¦и(глт),
гак как а имеет тип тт..
116.10. Пусть буквы |, т], ?, ... будут переменными
типа u(uit). Тогда |а будет предложением МФК.
Каждая из этих переменных, например |, обозначает
свойства предмета в определенном случае.
116.2. Имеются два способа расчленения предложе-
предложения М из МФК на субъект и предикат. Один способ
дает расчленение вида ах. Другой дает расчленение
вида |а. Первый способ (но не второй) устанавливает
такой порядок следования предиката и субъекта пред-
предложения АФИ, при котором первым идет а, а затем х.
При этом восстановление порядка обеспечивается опре-
определением (а|') вместо |а.
§ 117. Переход от МФК к МФИ
Наконец, обсудим вопрос о переводе выражений
МФК с ^-переменными на язык без ^-переменных. Для
большей определенности назовем его языком МФКИ-
логики. Однако в дальнейшем будем его называть язы-
языком МФК, так как можно показать, что система МФИ
эквивалентна МПИ системы S5 и так как ее язык сов-
совпадает (если не считать некоторых модификаций) с язы-
языком одной из форм исчислений МФИ для S2, S4 и S5,
исследованных Р. Баркан и описанных Баркан в сле-
следующем разделе.
117.0. Правило перевода из МФК в МФИ состоит
в следующем. Выражения pt, qt, rt, st, ... заменяются
переменными р, q, г, s, ..., квантор V/ заменяется зна-
знаком П, а квантор Ш знаком <>.
117.1. Для перевода атомарных предложений МФК
вводятся предметные переменные х, у, г, ... и преди-
РАЗ. 11] АБСТРАКЦИИ 185
катные переменные о, Ь, с, ... Мы не рассматриваем
конкретных отношений, за исключением отношения тож-
тождества.
Выражения axt, bxt, cxt, ..., ay/, by^, cy^, ... заме-
заменяются выражениями ах, bx, ex, ..., ay, by, cy, ... Ho
каким видам переменных МПИ будут соответствовать
х, у, z, ..., а,Ь, с, ...?
117.11. На основе 116.2 становится очевидным, что
правильный перевод будет состоять в замене а, р, у, ...
на а, Ь, с, ... и отождествлении х, у, z, ... с х, у, г, ...
Разумеется семантическая интерпретация изложенного
выше перевода имеет ряд трудностей, на которые ука-
указывали Куайн, Прайор и другие авторы. Однако мы не
будем давать х, у, г, ... какую-либо онтологическую
интерпретацию наподобие истолкования их как неизмен-
неизменных во всех возможных мирах реальностей.
117.12. Можно ввести и иную интерпретацию, при
которой х, у, г, ... будут ?', ц', ?' а а, Ь, с, ...
будут а, Ь, с, ... Заметим, что при такой интерпретации
?', r\', Z,', ... не относятся ни к одному из перечисленных
выше типов выражений. Так как а, р, у, ... и a, b, с, ...
относятся к различным типам, то, по-видийому, без
использования теории стратификации переменным
а, Ь, с, ... нельзя придать сразу обе описанные выше
интерпретации. Будем здесь использовать интерпрета-
интерпретацию 117.11 с а, р, у. ¦••-.
117.2. При переводе будем, как и в МПИ, заменять
V/ на D, 3^ на <>. Так как абстракты с переменной t
нам не будут нужны, то мы не будем их употреблять.
_117.31Следуя Р. Баркан, будем использовать абстракты
с а, 6, с, ..., являющиеся переводами абстрактов с а,
Р, у» а также абстракты с х, С/, z, ..., которые являются
переводами абстрактов с х, у, z, ... Кванторы Va, Vp,
Vy Vx, Vy, Vz, ... переведем как кванторы Va,
Vb, Vc Vx, V#, Vz, ... Аналогично поступим
с 3-кванторами.
И7.4. Мы можем также пользоваться понятиями ис-
исчисления классов (§ 113) и при необходимости — допол-
дополнительными определениями.
П7.5. Перенесем символы i (равносильный символу
Im Баркан) и I из МФ2К в МФ2И.
185 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. lit
Раздел 12. МОДАЛЬНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Изложим, следуя Р. Баркан, исчисление МФ'И без
подробного изложения выводов, которые аналогичны
выводам теорем в АФИ и МФ'К. Заметим также, что
в своей работе о теореме дедукции (Баркан [1946а],
стр. 116) Баркан использует системы, которые, очевид-
очевидно, эквивалентны данной системе с несколько изменен-
измененными правилами вывода.
§ 121. Постулаты
Постулаты выберем соответственно постулатам
§ ЮЗ.
121.1. Будем использовать постулаты какой-либо из
систем МФИ.
Мы не рассматриваем системы слабее S2, исполь-
используемой Баркан, и (за исключением специально оговари-
оговариваемых случаев) не используем также и более- сильные
системы.
121.2. Будем также использовать постулаты, специ-
специфические для функционального исчисления. Перечис-
Перечисленные ниже постулаты заимствованы у Баркан. Они
соответствуют постулатам АПИ Куайна с той лишь раз-
разницей, что в них имеется строгая импликация.
121.20. Если Ь-Р, то I-VXP.
121.21. Ь- VXP =^{X/Y)Рс обычным ограничением: X
не должна быть свободной ни в какой правильно по-
построенной части Р, имеющей вид \fYQ.
121.22. h- VX(P-+Q)=^(\fXP-+VXQ).
121.23. Р^УХР, если X не свободна в Р.
Определение:
121.24. ЗХР означает ~VX-~P.
121.3. Наконец, следующий постулат с модально-
модальностями и кванторами:
') Прайор [1956] показал, что если взять в качестве основопо-
основополагающей системы S5 вместо S2, то постулат 121.3 становится из-
излишним, так как он может быть доказан в качестве теоремы —
Прим. ред. англ. изд.
РАЗ. 12] МОДАЛЬНОЕ ФУНКЦИОН. ИСЧИСЛЕНИЕ 1-ГО ПОРЯДКА 187
§ 122. Очевидные выводимые теоремы
122.1. Все выводимые теоремы § 17 выводимы в
МФ'И.
122.2. Все выводимые теоремы § 17 останутся выво-
выводимыми, если подставить ПУХ вместо \fX и <Q>3X
вместо ЗХ.
122.3. Все полные преобразования а-теорем в § 18
справедливы в МФ'И.
122.4. Все полные преобразования а-теорем остаются
справедливыми, если подставить ? VX вместо \fX и
Q3X вместо ЗХ.
§ 123. Модальности с кванторами
123.1. 1-ЗХ0Р=
A) \-Р^ЗХР
B)
C)
123.2. \-ЗХ()Р^()ЗХР
123.3. \
A)
B)
C)
D) }
123.4. }
A)
B)
C)
123.5.
A)
B)
C)
D) }-ЗХПР=>ПЗХР
§ 124. Преобразования в функциональном исчисле-
исчислении, подобные слабым преобразованиям МП И
124.1. VXP#VJ(P#Q)
124.2.
188 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. III
124.3. Ь- D VX~(PAQ)=>V*(P=#.~Q).
124.4. ИП VXPA
124.5. Ь-[
Более сложный пример:
124.6. Ь- VX [Р => (Q V Af)] 4Ф D [Q W* (Р -> Af)J,
если X не свободна в Q.
A) b
B)
C) b
D) h
E) \-nVX[P-+(QV
F) h-VXD[P-^(QV
G) h-T
§ 125. Теоремы, ограниченные МФ'И
125.1.
A)
B)
C)
D) f- 3X¦ n (P-»¦ Q) =ф П (VXP -> 3XQ)
E)
Для доказательства обратной теоремы необходима
формула ? ЭХР=^З.Х П Р, которая не верна.
Следствия из 125.1:
125.11. \-3X(P=$Q)=$(P=$3XQ), если X не сво-
свободна в Р.
125.12. ь-ЗЛ" (P=>Q)=>(VXP^Q), если X не сво-
свободна в Q.
§ 126. Правило замены
Баркан следующим образом формулирует правило
замены эквивалентных:
126.1. Если Н Vx,V*2...V.MP<==>Q), то \-R&(P/Q) R.
126.2. Следовательно,
Если h ?"VJCiVjej ... Vxn(P&Q), то R&{P/Q)R.
РАЗ 13] РАВЕНСТВО 189
126.3. И в S4:
Если Н D V^Vxj ...\fxn (P&Q), то Ь- R<$ (P/Q) R.
§ 127. Теорема дедукции
Теорема дедукции была доказана Р. Баркан [1946а]
(стр. 115) для системы S41, эквивалентной системе
МФ'И для'54.
127.0. Понятие вывода из гипотез А\, А2, ..., Ап '<— В
определяется так же, как и в немодальной логике.
А именно, выводом называется конечная последователь-
последовательность формул Blt В2, • ¦ •, Bs, в которой каждая В,- есть
либо одна из Аи либо аксиома, либо получена из пре-
предыдущих Aj по одному из правил вывода.
127.1. В S4 справедливо, что
если Аи А2, ..., AnL-B, то Аи А2 Л„_1 Ь Л-*В.
Доказательство проводится рассмотрением случаев,
упомянутых в приведенном выше определении вывода.
127.2. В S4 справедливо также и то, что
если Аи А2 Ап\— В и если каждая А{ имеет вид
? Гь то АиА2, .... An-yl-An^B.
Доказательство этой теоремы аналогично предыду-
предыдущему доказательству, однако в нем требуется приме-
применять правило замены § 126.
127.3. Теоремы 127.1 127.2 не доказуемы в сис-
системе S2'. Это показано в 50.3 посредством матрицы 50.1.
Раздел 13. РАВЕНСТВО
Так же, как это мы делали при изложении исчисле-
исчисления первого порядка, в данном разделе не будем при-
приводить детальных доказательств теорем, подобных тео-
теоремам ассерторической логики.
Для большей ясности не будем приводить теоремы
в форме схем аксиом.
§ 130. Постулаты равенства
Полагаем известными следующие понятия и посту-
постулаты:
130.1. Символику абстрактов со связанными пред-
предметными переменными и правила для таких абстрактов.
190- МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ: ИГ
130.2. Понятие абстрактов с предикатными перемен-
переменными и правила для таких абстрактов.
130.3. Постулаты для кванторов в МФ2И, подобные
постулатам для кванторов в МФ'И.
§ 131. Определения двух форм равенства
131.1. ixy вместо \fa(ax-^-ay) (материальное равен-
равенство).
131.2. 1ху вместо Ча{ах=^ау) (строгое равенство).
131.3. \-
A) \-
B) Н- 1ху$$ПУа(ах-+ау) по 123.3
C) н- 1ху$$П ixy по опр. 131.1
131.4. Н-
131.5. Ь-
§ 132. Непосредственные следствия
132.1. Ь- \хх
A) \- ах-*ах
B) \-Va(ax->ax)
C) Ь-Т
132.2. Н \ху<-+\ух.
132.3. Н- (ix2 Л i2y) -> ixy.
132.4. h- Ijcx.
132.5. Ь- Ixy4=}\yx.
132.6. Ь-Aх2Д кг/) =ф Глгг/.
§ 133. Равенство, выраженное посредством
универсальной импликации
133.1. Ь- ixy=${ax-*ay).
133.2.
133.3.
133.4. Н- П
133.5. Н- ? ш/ффУхAхг/=>ал;) в S4.
§ 134. Равенство, выраженное посредством
экзистенциального предложения
134.1. Ь- (ixy Л ах) =^> ау.
13]
134.2.
A)
B)
C)
D)
E)
h-
h-
b-
h-
h-
РЛВЕНСТВО
ay^3x(\xy A ax)
ay4=>3x{iyy A ay)
ay=$3x{ixy A ax)
{ixy Л ах)^>ау
3x {ixy A ax) =ф ay
T
191
134.20. h- Эх (Ixy A ax) #> ay (из 131.1)
134.21. (- ay-+3x(lxy A ax)
A) H {\УУ A ay)=>3x(lxy A ax)
B) lyy=$[ay->3x(\xy Aax)]
' C) h-T
134.22. Если h-AY, то h- 3X(\XY A AX). Однако
ay=$3x(Ixy A ax) не доказуема в 52, так как доказа-
-leibCTBo ее требует доказуемости ? lyy, которая дока-
доказуема только в SA (см. 134.31).
134.3. V- П ау$$3х{\ху А Пах)
A) \- {ixy А ау) =ф ау
B) \- П (ixy А ах) # П ау
C) \-{\хуА U ах)=$Пау
D) Ь3хAл:</Л Пах)^иау
E) Н- ? ау^{1ууА ? ш/)
^6) I- П ау #> Зх Aхг/ Л D ах)
G) ЬТ
134.31. На«/=фЗл;(Ьг/Л ах) в S4
A) \-(П1уу Аау)Aуу Аау)
B) \- {Шуу А ау)^3х{\ху А ах)
C) I-
D) \-
134.32.
§ 135. Эквивалентность между i и I
135.1. н- ix?/4-^Ix</
A) hi«ir#(Ijeje
B) ь- 1лгдг
C) f- ixy -* Ixr/
192 ' ' МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ.. Ш
D)
E)
135.2.
A)
B)
135.3.
A)
B)
C)
D)
E)
Ь
Ь-
ь-
ь-
ь-
ь-
ь-
ь
ь-
ь
ь-
\ху =Ф ixy
т
[Jlxy^lxy (лемма cnpai
П П Ixy^ixy
Т по опр.
ixy 44 Ixy в S4
(ixy A Ixx) =Ф Ixy
О \хх
ixy^lxy из A
Ixy => ixy
Т
из A), B) по 33.4
§ 136. Неравенство
136.1. Ь- Тху$$\/а~(ах-±ау)
136.2. \-Jxy4$Va~(ax=>ay)
136.3. \-Тху^За(ах А ~ау)
136.4. h Тху #Ф За О («^ Л ~ ау)
§ 137. Теоремы о неравенстве
137.1. Ь V* (алг =#Тл;^) #Ф D ~ ау
A) f ay{=>Vx(ax-^.~ixy) из 134.2
B) Ь- П ~ ау 4$ Vat (а« =Ф ~ ixy)
137.2. Ь П—ау^Ух{ах^~\ху)
A) \-~ay^Vx(ax=$~lxy) нз 134.20
B) Ь- П~аг/=#П Ул;(ал; =Ф~ к«/)
C) Ь- Т
Обратная теорема недоказуема, так же как обратная
теорема к 134.20.
137.3. Ь- П~аг/^Улг(аАГ=Ф~1лгг/) в S4
A) Ь- ?~ш/<=фУл:A.п/=>~а*) 133.5 в S4
B) Ь-Т
РАЗ. *!t| L-ФОРМУЛИРОВКИ 193
* Приложение
Раздел *14. L-ФОРМУЛИРОВКИ МОДАЛЬНЫХ
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ЛОГИК, ДАЮЩИЕ
РАЗРЕШАЮЩИЕ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ СИСТЕМ
S2, S3, S4, S5 И S2'
§ *141. Системы Ониси и Мацумото, родственные
S2, S3, S4, S5 и S2/
Ониси и Мацумото [1957—1959] в весьма удобной
форме представили разрешающий метод для систем S2,
S4, S5 и S2'. Мацумото [1960] решил эту проблему так-
также для системы S3.
141.1. Разрешающая процедура для системы S2
Разрабатывается модальная система, названная Q2.
Система Q2 предполагает L-формулировку АПИ, кото-
которая использует схемы натурального вывода для утвер-
утверждений о следовании (секвенций) таким же способом,
как это имеет место в LK-системах Генцена, где секвен-
секвенция может содержать произвольное число (в том числе
и нуль) антецедентных и консеквентных членов.
Имеются общие структурные правила:
1°. Правила утончения секвенции путем добавления
произвольного антецедента или копсеквепта.
2°. Правила, позволяющие переставлять разные чле-
члены антецедента плп консеквента.
• 3°. Правила, позволяющие элиминировать повторяю-
повторяющийся член антецедента или копсеквепта. Имеется так-
также схема, названная «сечением» (cut, Schitt). (В неко-
некоторых конкретных системах удается показать, что эта
схема излишня.)
К этой системе добавляется еще синтаксическое пра-
правило и определение.
Правило (синтаксическое):
Если Р — правильно построенное предложение АПИ,
то Р и ПР—правильно построенные предложения Q2.
Определение: ()Р озрэачает — ? —Р.
Система Q2 содержит две схемы выводов, посред-
посредством которых можно вводить символ ? в антецедент
или коисеквент секвенции. Чтобы сформулировать
эти схемы, обозначим буквой Ж непустое множество
предложений, символом ?? обозначим множество
194 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА (ГЛ. III
предложении, полученное путем приписывания символа
D к каждому предложению множества Ж. Знаками 2) и
3 обозначим множества предложений, которые, в отли-
отличие от множества Ж, могут быть и пустыми множе-
множествами. Схемы вывода формулируются следующим об-
образом:
для антецедента
02 (П 1-) Р< ^ *" & •
для консеквента
Заметим, что последняя схема не может применяться
ни к секвенции, имеющей более одного консеквентного
члена, ни к секвенции, не имеющей антецедента.
Заметим также, что в Q2 невозможно доказать ни-
никакую секвенцию вида |- ПР, ибо схема Q2 (r-D)
с учетом соглашения для знака Ж не допускает введения
? в консеквент, если антецедент пуст.
Описи и Мацумото доказали следующую метатео-
рему: Р является теоремой S2 тогда и только тогда,
когда секвенция U{q-+q)\-P доказуема в Q2 (q —
произвольная пропозициональная переменная, не обя-
обязательно входящая в Р).
Так как можно доказать, что схема сечения устрани-
устранима в Q2, то изложенная выше метатеорема дает очень
простой метод разрешения для S2.
Покажем на примере, как применяется эта разре-
разрешающая процедура.
Возьмем выражение [Р=Ф(<7=>г)]=Ф[(р Л q)^r].
Прежде всего заменим в нем символ =# с помощью его
определения через ? и ->.
В результате получим выражение:
? {? [/>-> ? (<7->')]-> ? [(рЛ Я)-*г)]}.
Попытаемся затем доказать секвенцию
? (s-+s) Ь ? {? [р-> ? (q-*r)]-+n [(р Л q)->r]}.
Для этого будем строить так называемое «дерево вы-
вывода», корнем которого будет доказываемая секвенция.
гл% *и| ь-формулировки 195
На каждом этапе будем смотреть, какая посылка (или
посылки) необходима для доказательства в Q2 испы-
испытуемой секвенции.
Если при этом все самые верхние секвенции дерева
окажутся аксиомами исчисления Q2, то исходное выра-
выражение доказуемо в 52. В случае, если мы этого сделать
не сможем, хотя рассматриваемое выражение не содер-
содержит ни связок, ни D, то оно не будет доказуемо в 52.
Если построить дерево вывода для секвенции, полу-
полученной из взятого нами выражения исчисления S2, то
приводимое ниже дерево показывает, что мы имеем дело
с теоремой 52.
q\-q; p, r\- r
q->r, p, q\- r
р, q\- p q->r, p /\q\-t
pAqhp H(q-+r), p f\ q \-r
P Aq,
D[p->
s-+s, D[/
s->s, \- П
•П
?
(«7-
(?-*
•?(
](<7
>r)
"•)]
я->
(q-
-»
—»¦
n
л
[(/
- с
-*
A
q)
¦) t
:['
n
—>
(P
[0
r
»)-¦/•]
«141.2. Разрешающая процедура для системы 53
Для получения этой процедуры строится модальная
система Q3.
Q3 строится точно так же, как и Q2, с той лишь раз-
разницей, что схема вывода Q2 A— ?) заменяется на схему
), P; D У Ь- Р
Заметим, что эта схема неприменима в случае, ког-
когда правая посылка имеет более одного члена в консек-
венте.
Доказывается метатеорема:
Р является теоремой 53 тогда и только тогда, когда
D(q^>q)\-p доказуема в Q3.
196 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. III
Так как можно показать, что схема сечения в Q3 из-
излишня, то это дает метод разрешения для S3.
* 141.3. Разрешающая процедура для системы S4
Вначале строится модальная система, называемая
S4*. Она строится точно так же, как Q2 и Q3, однако
схема Q2 (\— П) заменяется на следующую схему:
v, l-j/. rj^HDP
(напомним, что ?) может быть пустым множеством).
Доказывается метатеорема:
Р является теоремой S4 тогда п только тогда, когда
\— Р доказуемо в S4». Так как можно доказать, что
схема сечения излишня, то мы получаем простой разре-
разрешающий метод для S4.
«¦141.4. Разрешающая процедура для системы S5
Строится модальная система, называемая S5--. Она
строится тем же самым способом, что и Q2, но схема
Q2 (|— ?) заменяется схемой
СЧ II. п\ ? ?) Н П & Р
ЪЬ*(\- Uj: а ч) ,_ п & а Р "
Заметим, что эта схема может быть применена к сек-
секвенции с более чем одним членом в консеквенте. Однако
все члены антецедента и консеквента, отличные от члена
антецедента, подвергающегося преобразованию, должны
начинаться с символа П.
Доказывается метатеорема: Р является теоремой S5
тогда н только тогда, когда г- Р доказуема в 55---. Хотя
схема сечения и не будет излишней в S5, однако, раз-
разрешающая процедура для S5 все же получается из
метатеоремы, связывающей S5 с S4 (см. § *141.6).
«141.5. Разрешающий метод для системы S2' (Т Фей-
са, М фон Вригта)
Строится модальная система, называемая АЫ, ана-
аналогично системе Q2, но схема Q2 (f— ?) заменяется
схемой
Заметим, что схема применима к секвенции без анте-
антецедента, однако не применима к секвенции с более чем
одним членом в консеквенте.
РАЗ. *И]
^ФОРМУЛИРОВКИ
197
Имеется следующая метатеорема: Р является теоре-
теоремой S2' тогда и только тогда, когда Р доказуема в /VI*.
Так как можно показать, что схема сечения излишня
в S2', то это обеспечивает разрешающую процедуру для
системы S2'.
«141.6. Отношения между системами S2, S3, S4 и S5
Мацумото [1955] установил нижеследующие отноше-
отношения между системами S3, S4 и So.
Обозначим посредством SX j— P метатеорему, гово-
говорящую о том, что выражение Р является теоремой в си-
системе, обозначенной посредством SX.
Чтобы показать отношения между системами, рас-
распределим метатеоремы по колонкам с таким расчетом,
чтобы истинность метатеорем более левой колонки вле-
влекла истинность метатеорем более правой колонки, но не
наоборот. Метатеоремы, расположенные в одной ко-
колонке, эквивалентны.
S4HP
S4f- ПР"
S5h DP
S4 Ь О ? Р
54 Ь ? О
S5HP
S3 н О 0 ? Р
S5 н О Р
S4\- О Р
S4 I- ? О Р
S3 н О О р
Третья колонка показывает, что отношение между си-
системами S5 и S4 таково, что из разрешающей проце-
процедуры для S4 можно извлечь разрешающую процедуру
для S5.
§ *142. Разрешающие процедуры Кангеоа для систем
S4, S5 и S2'
Кангер [1957] разработал разрешающие методы для
S4, S5 и S2'
*142.1. Разрешающая процедура для S4
Для осуществления этой процедуры Кангер построил
модальную систему S4*. Система S4* строится из АПИ
в L-формулировке в виде генценовской системы нату-
натурального вывода. Заметим, что S4* допускает секвенции
с более чем одним членом в консеквенте или с пустым
кинсеквентом.
198 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА (ГЛ. III
Основная схема аксиом имеет форму
%, р, % \- з.. р, з2.
где 2)|, <JJ Зь Зг, ••• представляют наборы пред-
предложении, которые могут быть, в частности, и пустыми.
В этой системе не постулированы так называемые
общие структурные правила, однако схемы выводов
устроены столь остроумно, что восполняют этот недо-
недостаток. Схемы выводов, позволяющие вводить связки
АПИ, сформулированы так, что можно избавиться от
общих структурных правил. Представим их в форме,
подходящей также и для системы S5*, которая будет
рассмотрена в 142.2. Здесь в случае системы S4* на ин-
индекс т, фигурирующий в схемах, можно не обращать
внимания.
Схемы вывода, вводящие связки АПИ:
у ?>'• ?Ь. Рт. ?>з I- 8i 82. Qm. 8з
f~8i. 8>. 8з
?)ь ?)
}, Юз Н 1
.. ^з 1- i
}l. pm ->
Ъ. 82. Р"
Рт ->• Q"
'". 8i: ?)
1 0 • en
V i^fl од
f- 81. 8
8з
з i- i
2. <?"
Qm. ?)
:*i. 82.
'. Зз
(-¦И:
(НА):
(А Н): 3),.PmA Qm, ЭJ, 9
(hV):
1-81. РтЛ<Г, 3.>. Зз
, Qm. % ь- 8
m 8»
(у f_): -• -'г' * m я» —5 3
(Н ~): Яь Я>-> Рт' ^3 •" Я''>Я» ' -
ь- 8ь ~ /"". З2
8i. 8* Р"8з
Схемы вывода, вводящие знак П:
Схема для антецедента:
dp.
Заметим, что эта схема на самом деле не вводит знака
D в антецедент секвенции. Она осуществляет устране-
устранение антецедентного члена, если другой антецедентный
член получается из него добавлением знака D. Ч1>
РАЗ. *И| L ФОРМУЛИРОВКИ 199
Так как антецедентный член вида ? Р может быть
всегда введен в одну из аксиом, то эта схема вводит
знак ? в антецедентный член, не имеющий этого знака.
Отметим, в частности, перестановку наборов gh ч
2)з- Она является одним из приемов, заменяющих об-
общее структурное правило перестановки в антецеденте1).
Аналогичный прием применяется для схем, относя-
относящихся к консеквенту.
Для консеквента принимается следующая схема вы-
вывода. В этой схеме знаком 2)* обозначено множество
всех предложений вида ? Q, содержащихся в множе-
множестве предложений 2). Если в множестве $ чет предло-
предложений вида ? Q, то множество 2) * будет пустым.
Заметим, что эта схема может быть применима
только к секвенции ровно с одним членом в консеквенте.
Кроме того, посылка должна содержать в антецеденте
все антецедентные члены заключения, имеющие вид DQ,
и только их.
Однако в антецедент заключения можно вводить лю-
любое предложение, не стоящее под знаком П. Можно
также добавлять любые члены в консеквент. Они обо-
обозначены символами 3i ч Зг- Не запрещается вводить в
кансеквент дополнительные члены вида ? Q. Послед-
Последнее разрешение необходимо, во-первых, потому, что на-
наличие этих дополнительных членов консеквента в по-
посылке будет делать схему неприменимой, во-вторых, по-
потому что эти допелннтельные члены консеквента могут
быть необходимы для дальнейших шагов доказа-
доказательства.
Капгер доказал следующую метатеорему: Выраже-
Выражение Р доказуемо в системе SA тогда и только тогда,
когда секвенция •— Р доказуема в системе S4*.
* 142.2. Разрешающая процедура для системы So
Кангер разработал модальную систему S3*. Она
строится по аналогии с S4* на основе L-формули-
ровки АПИ, однако теперь на схемы наложены новые
') Правило перестановки допустимо и в случае, когда этот
прием не применяется. — Прим. ред.
200 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. III
условия, согласно которым вводится новая система ин-
индексов.
Каждая пропозициональная переменная в антеце-
антецеденте или в коисеквенте секвенции должна иметь чис-
числовой индекс, записываемый в виде показателя сте-
степени. (Конечно, индексы не имеют ничего общего с по-
показательной функцией.)
Две одинаковые пропозициональные переменные,
имеющие различные индексы, рассматриваются как раз-
различные переменные.
Буквы п и т являются переменными для индексов.
Две различные индексные переменные могут принимать
как различные, так и одинаковые значения.
Знак Р" будет представлять пропозициональное вы-
выражение (в частности, сложное, т. е. построенное с не-
немощью логических связок), в котором каждая из
пропозициональных переменных имеет один и тот же
индекс п. Через ЭД", 3" будем обозначать наборы ана-
аналогичных предположений, где все пропозициональные
переменные имеют один и тот же индекс п.
Знаки 5[), 3 без индексов обозначают наборы пред-
предложений, пропозициональные переменные которых име-
имеют один и тот же индекс.
Схема аксиом для системы So* формулируется сле-
следующим образом:
Заметим, что переменные того члена консеквента, ко-
который совпадает с одним из членов антецедента, дол-
должен иметь тот же самый индекс, который имеют пере-
переменные этого члена антецедента.
Схемы для связок АПИ те же самые, что и в 142.1,
но в них уже используются индексы.
Схема для ? в антецеденте:
«.,п , ч. 9)|.?Ъ. Рт- ? Р", УЬ \- 8
Заметим, что индексы в антецедентном члене Р'п
не обязаны совпадать с индексами антецедентного
члена DP"; член Рт просто вычеркивается из заклю-
заключения.
РАЗ. *1<1) ^ФОРМУЛИРОВКИ 201
Схема для знака ? в коисеквенте формулируется
следующим образом. При условии, что индекс п не при-
приписан никакой ? -свободной пропозициональной пере-
переменной §, Зь Зг или Зз, имеем
«Vt п\- ?) ь- В,, 8_>. Р", 3»
ЛО (I- U;. 9I-3,. ПРт. 8г. &
(переменная называется «? -свободной», если она не на-
находится в области действия ни знака П, ни знака <\
являющегося сокращением для ~ ? ~).
Если переменная в JJ), 3i. З2 »ли Зз П-свободна н
имеет индекс п, то в заключении все индексы п из Р
должны быть заменены на новый индекс т, который не
имеет ни одна D-свободная переменная в §[), Зь 32, Зз-
(Этот вновь введенный индекс т может входить в части
заключения Р, находящиеся в области действия П.) Ме-
татеорема, доказанная Кангером, утверждает:
Выражение Р является теоремой S5 тогда и только
тогда, когда доказуема в S5* секвенция \— Р1 (где все
пропозициональные переменные имеют один и тот же
индекс I). Приведем несколько примеров применения
разрешающей процедуры для S5:
I. Например, на основе этой процедуры можно ре-
решить вопрос о доказуемости р V ? ~ Пр.
Для этого припишем всем переменным индекс 1 и
посмотрим, из к;эких посылок можно вывести соответ-
соответствующее выражение в S5*. Поступая таким образом на
каждой стадии, мы поднимаемся вверх и смотрим, мож-
можно ли дойти до аксиом. Мы получаем следующее дока-
доказательство:
Pl,
п
D
P2
P2
h
1-
h
P1
P1
— Dp2,
P1, D~
P1
'Dp'
2. Рассмотрим выражение [(/?-»¦ ^)фр]=фр. Заменим
все =ф согласно определению через П и ->. Отметим
все переменные индексом 1 и поступим таким же
202 МОДАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА [ГЛ. III
образом, как в предыдущем примере. Получим следую-
следующее доказательство:
?
?
(P1
I-
[(p1-
? [(P1
У)
->
1 ->p I
i-p4
p1, ?
<?')->
. p1 н <?',
1 н p1 — </
[(p1-><?')
p4->p'
P1
', p1;
->p'J
p
p1
p
н п{п-[(р'-^-рЧ-^рЧ
3. Рассмотрим выражение [(р=^</)-*р]=т>р. Можно
убедиться в невозможности подняться по дереву дока-
доказательства до аксиом. Действительно, можно предло-
предложить лишь следующее дерево доказательства, в верши-
вершинах которого должны оказаться недоказуемые секвенции:
Р2г-<?2, р1 (?)
i-
t-
i-
t-
p2
n
П
[C
(p'-xi
(p'-<
](p'->
P1
''),
f)
q[)
p1;
-»p'
1-+P1
p'
HP
]-*
p1
p1
4. Рассмотрим выражение [(р =^ </) =Ф р] =Ф Р- Мы убе-
убедимся в том, что оно также недоказуемо.
DP, Р2!-*/2, р\ П(р2-></2); р-, UP, р1 Ь ?-, р- (?)
? (P2
П
П
?
—>
p,
p
p
p,
?
1-
P2^
(-P2-
p2,
92,
*^2.
1- П (pJ -*
DP
Phj:
D[D
bp
(P1
DP,
P1
P1
>91).
l
p2
p1;
-¦
t-
p1
¦ f. p
p1, DPI- p1
где Р обозначает [ ? (р1 ->¦ ql) -*рЧ. Ясно, что в правой
ветви не может встретиться аксиома,
РЛЗ. *Н] ^-ФОРМУЛИРОВКИ 203
5. Выражение [(р =#¦ q) =Фр] -> р также недоказуемо,
о чем свидетельствует предшествующее дерево, если в
нем отбросить нижнюю строчку.
6. В недоказуемости выражения [(р =#<?)-> Пр]—>
—*Ор можно убедиться с помощью следующего дерева:
Я\ Р1 (?)
ЬР1
(- ?
?
?
. Р2-
(р1-
(Р1-
(Р1-
•*</2
><?')
. Р1
->п
Р1
Р1
р1
п
1-
h-
h-
Р1
Р1
п
Р1
г-р"
Р'
142.3. Разрешающая процедура для системы S2'
(иначе М, или Т)
Кангер построил модальную систему /• точно таким
же способом, как и систему S4*, однако в ней схема для
знака ? в консеквенте модифицирована нижеследую-
нижеследующим образом:
Если обозначить знаком §!)• множество всех таких
предложений Р, что множество 3J содержит соответ-
соответствующие им предложения DP и только эти предло-
предложения, то упомянутая выше схема формулируется сле-
следующим образом:
lH u; si-8i. op, 82
Другими словами, антецедент 2) заключения дол-
должен захватить все антецедентные члены посылки, но
приписать к каждому из них знак П. Более того, 2)
может содержать дополнительные антецедентные члены,
не начинающиеся с П, если они не входят в посылку.
Кангер доказал следующую метатеорему:
Выражение Р доказуемо в системе S2' тогда и толь-
только тогда, когда секвенция \—_Р доказуема в системе t*.
ЛИТЕРАТУРА
Список сокращений:
А ММ — American Mathematical Mounthly,
AMLG— Archiv fiir mathematische Logik und Grundlagenforschung,
BAMS — Bulletin of the American Mathematical Society,
CR — Comples rendus de I'Academie des Sciences, Paris,
FM — Fundamenta Mathematicae.
JSL — The Journal of Symbolic Logic,
LA — Logique et analyse,
A'DJFL— Notre Dame Journal of Formal Logic,
SL — Studia Logica,
ZMl.GM — Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der
Mathematik.
Абрахам (Abraham L.)
[1923] Implication, modality and intension in symbolic logic. The
Monist 43, 119—133.
А к к e p м а и (Ackermann W.)
[1956] Begriindung einer strengen Implikation, JSL 21, 113—128.
[1958] Ober die Beziehung zwischen strikten und strenger Implika-
Implikation, Dialectica 12, 213—222.
А л ба и (Alban M. J.)
[1943] Independence of the primitive symbols of Lewis's calculi of
propositions, JSL 8, 24—26.
Андерсон (Anderson A. R.)
[1953] Improved decision procedures for Lewis's calculus Si and
von Wright's calculus M, JSL 18, 187—189.
[1954] Improved decision procedures for Lewis's calculus S4 and
von Wright's calculus M, JSL 19, 201—214.
[1954a] On the interpretation of a modal system of Lukasiewicz,
J. Comput. Sysi. 1, 209—210.
[1954b] On alternative formulations of a modal system of Feys —
von Wright, там же, 211—212.
[1955] Correction to a paper on modal logic, JSL 20, 150.
[1956] Independent axiom schemata for §5, JSL 21, 255—256.
[1956a] The formal analysis of normative systems, Technical report
n° 2 prepared under contract SAR/Xonr-609 A6), New Haven,
Interaction Laboratory. Sociology department, Yale 1,'niv.
[1957] Independent axiom schemata for von Wright's M, JSL 22,
241—244.
[1957a] Reduction of deontic logic to alethic modal logic (резюме),
там же, 105,
ЛИТЕРАТУРА 205
[1958] Л reduction of deontic logic to alelhic modal logic, Mind,
n. s 67, 100—103.
[1959] Completeness theorems for the system E of entailment and
EQ of entailment with quantification, Technical report n° 6
SAR/Nonr-609 A6), New Haven.
[I960] Entailment shorn of modality (резюме), JSL 25, 388.
[1962] Logik, Normen und Rollen, Ratio 1, 32—43.
[1963] Modal logics 11: Toward a formal analysis of cultural ob-
objects, Proceedings of the colloqium of 1961/62, Dordrecht,
Reidel, 117—143.
[1963a] Some open problems concerning the system E of entail-
entailment, Ada Philosophica Fennica 16, 7—18.
Л ii л е р с о и. Бел и an (Anderson A. R., Belnap N. D., Jr.)
[1958) A modification of Ackermann's «rigorous implication», JSL
23, 457—458.
[1959] Modalities in Ackermann's «rigorous implication», JSL 24,
107—111.
[1962] The pure calculus of entailment, JSL 27, 19—52.
A n л е р с о и, Б е л и а п, Уоллес (Anderson A. R., Belnap N. D.,
Jr., Wallace J. R.)
[1960] Independent axiom schemata for the pure theory of entail-
entailment, ZMI.GM 6, 93-95.
Апостсль (Apostel L.)
[1933] Modalites physiques et techniques, Act. du XI Congr. In-
Internal, de Philos., Bruxelles 14, Amsterdam, North-Holland,
97—104.
Байяр (Bayart A.)
[1958] La correction de la logique modale du premier et second
ordre S5, LA 1, 28—44.
[1959] Quasi-adequation de la logique modale de second ordre
S5 et adequation de la logique modale de premier ordre So,
LA 2, 99-121.
Б а-к (Back K. W.)
[1964] A nerve net system in modal logics, LA 7, 22—31.
Баркан (Barcan R. C.) ')
[1946] A functional calculus of first order based on strict impli-
implication, JSL II, 1—16.
[1946a] The deduction theorem in a functional calculus of first or-
order based on strict implication, JSL II, 115—118.
[ 1947] The identity of individuals in a strict functional calculus
of second order, JSL 12, 12—15.
[1950] The elimination of contextually defined predicates in a mo-
modal system, JSL 15, 92.
[1953] Strict implication, deducibility, and the deduction theorem,
JSL 18, 234—236.
1962] Interpreting quantification, Inquiry 5, 252—259.
[1963J Classes and attributes in extended modal systems, Ada
Philosophica Fennica 16, 123—136.
[1963a] Modal Logics I: Modalities and intensional languages,
Proc. of the colloqium of 1961/62, Dordrecht, Reidel,
') С 1959 г. — Баркан-Маркус,
206 ЛИТЕРАТУРА [Гл 111
97—104. (Дискуссия с Фоллесдалем (Follesdal D), Крип-
ке, Маккарщ (McCarthy J.) и КуаГшом, там ;ке, 105—
116.)
Беккер (Becker О.)
[1930] Zur Logik dor Modalitaten. Jahrb. f. Pliilos. und pheno-
phenomenal. Forsclumg 11, 496—548.
[1941] F.infiihrung in die Logistik, verziiglich in den Modalitaten,
Meisenlie:m am Glan, Anton Heim.
[1942] Das formale System der ontologischen Modalitaten, Blatter
jiir deutsche Philosophic 16, 287—422.
[1944] Ein «natiirliches» formales System der Logisch-ontologi-
schen Modalitaten, там же, 18, 82—93.
[1952] Unlersuchungen iiber den Modalkalkiil, Meisenheim am
Glan, Anton Heim.
Беккер-Фрайзенг (Becker-Freyseng A.)
[1933] Die Aristotelische Theorie der Moglichkeitsschliisse, cine lo-
gisch-philologische Untersuchung der Kapitel 13—22 V"ii
Aristoteles' Analytica priora I. (Dissert. Miinster in West.,
1932) Berlin.
Б е м а и (Behmann Ы.)
[1953] Die typefreie Logik und die Modalitat, Act. du XI CongK-s
Internat. de Philosophie, Bruxelles, Amsterdam, North-Hol-
North-Holland 14, 88—96.
Б е п н е т (Bennett J. F.)
[1954] Meaning and implication, Mind, n. s. 63, 451—463.
Бергман (Bergmann G.)
[1948] Contextual definitions in non-extensional languages, JSL
13, 140.
[1949] A syntactical characterization of 55, JSL 14, 173—174.
[1949a] The finite representations of S5, Methodos (Milan) 1, 217—
219.
[1956] The representations of S5, JSL 21, 257—260.
[1960] The philosophical significance of modal logic. Mind, n. s. 69,
466—485.
Бет (Beth E. W.)
[1961] Le systeme S4 et la topologie, Rapport CETIS 26, rapport
n° 13, contrat 010-60-12, 143—147.
Б л a sim e (Blanche R.)
[1952] Quantity, modality and other kindred systems of categories,
Mind, n. s. 61, 369—375.
Б о л л, Р е и a p (Boll M., Reinhardt J.)
[1950] A propos des logiques polyvalentes: les modalites et la
vraisemblance, Rev. Phil. France Etranger 140, 143—179.
[1951] Une interpretation des modalites aristoteliciennes, Congr.
Internat de Philosophie des Sci., Paris, 1949 2, 16—18.
Борковский (Borkovvski L.)
[1958] О terminach modalnych, SL 7, 7—37.
Б о x e и с к и и (Bochenski 1. M.)
[1937] Notes historiques sur les propositions modales, Rev. Sci.
Phil. Theol. 26, 673—692.
[1910] Sancti Thomae Aquinatis de modalibus opusculum et doctri-
na, Angelicum 17, 180—218.
ЛИТЕРАТУРА
Б р е д л и (Bradley R. D.)
[1959] Must the Future be what it is going to be?. Mind, n. s. 68.
193—208.
Бронштейн (Bronstein D. J.)
[1934] Necessity, implication and definition, in Harvard University,
Graduate School of Arts and Sciences, Summaries of theses
accepted in partial fulfillment of the requirements for the
degree of Doctor in Philosophy 1933, 320—324.
Бронштейн, Тартер (Bronstein D. J., Tarter I i.)
[1934] Реферат на книгу Льюиса и Лэнгфорда [1932], Phil. Rev.
43, 305—309.
[1935] Possibility and implication (a reply), там же 44, 69—71.
Б р у г г е р (Brugger W.)
[1942] Die Modalitat einfacher Aussage-Verbindungen, Scholaslik
47, 217—235.
Буль (Bull R. A.)
[1963] Modal logics with intuitionist propositional fragments, JSL
28, 262—263.
В a if с б e p r (Wajsberg M.)
[1933] Ein erweiterter Klassenkalkiil, Monatsh. Math. Phys. 40,
113—126.
Васильев (Vasiliev N. A.)
[1925] Imaginary (non-Aristotelian) logic, Atti del V Congr. inter-
naz. di Filosofia, Napoli, 1924, 107—109.
В е й л ь (Weyl H.)
[1940] The ghost of modality, in Philosophical Eassys in Memory
of Edmund Husserl, 278—303.
В ii u e p (Wiener N.)
[1916] Mr. Lewis and implication, J. Phil. 13, 656—662.
Вольф (Wolff P.)
[I960] Truth, Futurity and contingency, Mind, n. s. 69, 398—402.
фон Вригт (von Wright Q. H.)
[1945J Ucber Wahrscheinlichkeit. Eine logische und philosophische
Untersuchung, Ada Societatis Scientiarum Fennicae, n. s. A,
3, .Vs II, Helsingfors.
[1951] An Essay in Modal Logic, Amsterdam, North-Holland.
[1951a] Deontic logic, Mind 60, 1 — 15.
[1952] Interpretations of modal logic, там же 61, 165—177.
[1952a] On the logic of some axiological and epistemological con-
concepts, Ajalus (Helsinki) 17, 213—234.
[1953] A new system of modal logic, Actes du XI Congr. Internat.
de Philos., Bruxelles 1953, Amsterdam, 5, 59—63.
[1953a] Реферат на статью О. Беккера [1952], JSL 18, 327.
[1959] On the logic of negation, Soc. Sci. Fennica Commentationes
Physico-Math. 22, K» 4, Kopenhavn, Ejnar Munksgaards
Forlag.
Ге м пел ь (Ilempel С. G.)
[1930] Реферат на работу О. Беккера [1930], Jahrb. Fortschr.
Math. 50 (publ. 1932—33), 37—39.
Гёде.чь (Godel К.)
[1933] Fine Interpretation des intuitionistischer Aussagenkalkiils,
Ergebnisse math. Kolloquiums 4, 34—40.
208 ЛИТЕРАТУРА [Гл. Ц1
Г б тли ид (Qoetlind E.)
[1950] A system of postulates for Lewis's calculus SI, Norsk Mat.
Tidsskrift 32, 89—92.
Г и и о м (Guillauine M.)
[1958] Rapports entre calculs propositionnels modaux et topologie
impliques par certaines extensions do la methode des table-
tableaux seinantiques, CR 246, 1140—1142 (Systeme de Feys—
von Wright), 2207—2210 (Systeme S4 de Lewis).
[1958a] Rapports entre calculs propositionnels modaux et topologie
iinpliques par certaines extensions de la methode des table-
tableaux semanliques. Systeme So de Lewis, там же 247, 1282—
1283.
Г и ч (Geach P. T.)
[1958] Imperative and deontic logic, Analysis 18, 49—56.
Д a fi а м о и д, М а к к и к с и (Diamond Л. Н., McKjnsey J. С. С.)
[1947] Algebras and their subalgebras, BAMS 53, 959—962.
Д а м м е т, Леммой (Dummett M. A. E., I.emmon E. J.)
[1959] Modal logics between Si and S5; ZMLGM 3, 250—264.
Д а р б о и (Darbon A.)
[1956] Les categories de la modalite, Paris, Presses Universitaires
de France.
Д e is и с (Davis С.)
[1950] Lattices and modal operators, Harvard Doct. Thesis.
[1954] Modal operators, equivalence relations, and projective alge-
algebras, Amer. 1. Math. 76, 747-762.
Детуш (Destouches J. L.)
[1948—1949] Intervention d'une logique de modalite dans une thco-
rie physique, Synthese (Bussum) 7, 411—417.
Д о у с о и (Dawson E. E.)
[1958—1959] A model for deontic logic, Analysis 19, 73—78.
Дрейк (Drake F. R.)
[1962] A decision procedure for Prior's system D, резюме, JSL 27,
377-378.
[1962a] «Model inference» in modal systems, резюме, там же, 377.
[1962b] On McKjnsey's syntactical characterizations of systems of
modal logic, там же, 400—406.
Д у г у и д ж и (Dugundji J.)
[1940] Note on a property of matrices for Lewis and Langford's
calculi of propositions, JSL 5, 150—151.
Дьюкап-Джонс (Ducan-Jones A. E.)
[1934—1935] Is strict implication the same as entailment?, Anaty is
2, 70—78.
? и э м о и у (Yonemotsu N.)
[1951] On systems of strict implication, Tohoku Math. ser. 2 3,
48—58
[1954] A decision method and a topological interpretation for sys-
systems of logical implication, Memoirs of the Osaka Univer-
University of the Liberal Arts and Education; B. Natural Sci. 3,
6-20.
[1954a] A note on systems of logical implication, там же, 21—24.
[1955] A note on modal systems, von Wright's and Lewis's SI,
там же 4, 45.
ЛИТЕРАТУРА 201
[1957] Л note on modal systems (II), там же 6, 9—10.
[I960] Systems of weak implication, там же, 137—158.
3 с м а и (Zeman .1. J.)
[1963] Bases for S4 and S4.2 without added axioms, NDJFL 4,
227—230.
II с и м о т о (lshimoto A.)
[1954] A set of axioms of the modal propositional calculus equi-
equivalent to S3, The Science of Thought (Tokyo) 1, 1 — 11.
[1956] A note on the paper «A set of axioms of the modal pro-
positional calculus equivalent to S3», там же 2, 69—72.
[1956a] A formulation of the modal propositional calculus equi-
equivalent to S4, там же 2, 73—82.
И то (Hoh M.)
[1949] Yoso ronrigaku no kenkyu (A study of modal logic), Kiio-
kagaku 3, 434—440.
[1954—1956] On the relation between the modal sentential logic
and the monadic predicate calculus (in Japanese), J. Jap.
Ass. Phil. Sci. 3, 142—145; 4, 162—167; 6, 258—265.
[1955—1956] Л lattice-theoretic research on modal propositional cal-
calculus and monadic predicate calculus (in Japanese), Kagaku-
Kisoron-Kenkyu 1, 122—125, 162—167; 2, 258—265.
ЙОИССОИ, T a p с к и й (Jonsson В., Tarski A.)
[1951 — 1952] Boolean Algebras with operators, Лтег. J. Math. 73,
891-939; 74, 127-162.
К а л и и о в с к и й (Kalinowski J.)
[1953] Teoria zdaii normatywnych, SL 1, 113—146, 147—182. (Er-
(Errata, 299—300.)
К а и r e p (Kanger S. O.)
[1957] Provability in logic, Ada Universiatis Stockholmiensis,
Stockholm Studies in Philosophy 1.
[1957a] The Morning Star paradox, Theoria (Lund) 23, 1—11.
[1957b] A note on quantification and modalities, там же, 133—134.
'[1957c] On the characterization of modalities, там же, 152—155.
К а р и а п (Carmip R.)
[1934] Реферат па кишу Льюиса и Лэигфорда [1932], Erkenntnis
4, 65-66.
[1946] Modalities and quantifications, JSL II, 33—64.
[1947] Meaning and necessity, a study in semantics and mod*l
logic, Chicago, The Univ. of Chicago Press. [Русский пе-
перевод: К а р и а п Р., Значение и необходимость, ИЛ,
1958.]
К а рри (Curry II B.)
[1950] A theory of formal deducibility (Noire Dame Mathematical
Lectures, n° 6). Notre Dame (Indiana).
[1952] The elimination theorem when modality is present, JSL 17,
249-265.
[1963] Foundations of mathematical logic, N. Y., McGraw-Hill.
[Русский перевод: К а р р и Х. Б., Основания математиче-
математической логики. «Мир», 1969.]
К а с т а и 1, е д a (Castafieda 11. i\.)
[1958] Imperatives and deontic logic, Analysis 19, 42—48.
210 ЛИТЕРАТУРА 1ГЛ. Ill
[1959] The logic of obligation, Phil. Studies 10, 16—22.
[I960] Obligation and modal logic, LA 3, 40—48.
К а то и (Calon Ch E.)
[1963] Л stipulation of a modal prepositional calculus in terms of
modalized truth-values; NDJFL 4, 224—226.
К а тцов (Katsoff L. O.)
[1937] Modality and probability, The Phil. Rev. 46, 78—85.
Кош» (Cauchy V.)
[1957] Notes on the modal syllogism, The Modern Schoolman 34,
121—130.
К р и n к е (Kripke S A.)
[1959] A completeness theorem in modal logic, JSL 24, 1—14.
[Русским перевод: К р и п к е С. Л., Теорема полноты в
модальной логике, наст, кн., 223—246.]
[1959а] Semantic analysis of modal logic (резюме), там же, 323—
324.
[1959b] The problem of entailment, там же 24, 324.
[1962] The undecidability of monadic modal quantification theory,
ZMLGM 8, 113—116. [Русский перевод: Кринке С. А.,
Неразрешимость одноместного модального исчисления пре-
предикатов, наст, кн., 247—253.]
[1963] Semantical analysis of modal logic I. Normal propositional
calculi, там же 9, 67—96. [Русский перевод: К р и п к с С. Л.,
Семантический анализ модальной логики, 1: Нормальные
модальные исчисления высказываний, наст. кн.. 254—303.]
[1963а] Semantical considerations on modal logics, Ada PhilosopM-
ca Fennica 16, 83—94.
К у а й и (Quine W. van O.)
[1943] Notes on existence and necessity, J. Phil. 40, 113—127.
[1947] The problem of interpreting modal logic, JSL 12, 43—48.
[1953] Reference and modality, в книге автора: From a Logical
Point of View, Cambridge (Mass.), Harvard Univ. Press,
139—159.
[1953a] Three grades of modal involvement, Actes du XI Congr.
Internat. de Philos., Bruxelles, 1953, Amsterdam 14, 65—81.
[1963] Комментарий к статье Баркан-Маркус [1963а], Boston Stu-
Studies in the Philos. of Sci., Dordrecht, Reidel, 97—104.
Кубинский (Kubinski Т.)
[1946] О pewnej metodzie tworzenia logic modalnych, SL 4, 212—
240.
Л е л M о и (Lemmon П. J.)
[1946] Alternative postulate sets for Lewis's So, JSL 21, 347—
349.
[1957] New Foundations for Lewis's modal systems, JSL 22, 176—
186
[1957—1958] Quantifiers and modal operators, Proc. of the Aristo-
Aristotelian Society 58, 244—268.
[1959] Is there oniy correct system of modal logic?, Aristotelian
Society Suppl. 33, 23—40".
[1960] An extension algebra and the modal system T, NDJFL 1,
2-12.
[1960a] Quantified Si and the Barcan formula, JSL 24, 391—392.
ЛИТЕРАТУРА 211
[19631 Л theory of attributes baaed on modal logic. Ada Pltilnsn-
phica Fennica 16,95—122.
Л с м м о n, K. M e p e д и т, Д. М е р е д и т, П р а й о р. То м а с
(Lemmon E. J., Meredith С. A., Meredith D., Prior A. N..
Thomas I.)
[1957] Calculi of pure strict implication (roneotyped).
Л с о и а р д (Leonard II. S.)
[\9А9] Two-valued truth-tables for modal functions, in Structure,
Method and Meaning (essays in honor of Henry M. Sheffer),
N. Y., Liberal Arts, 42—67.
Л Об (Lob At. H.)
[1962] Extensional interpretation of modality (резюме). JSL 27,
381—382.
Л о p e ii ц е и (Lorenzen P.)
[1954] Zur Begriindung der Modallogik, AMLG 2, 15—28.
Л у к а с е в и ч (Lukasievicz J.)
[1953] A system of modal logic, J. Comput. Syst. 1, 111—149.
[1953a] A system of modal logic, Actes du XI Congres Internatio-
International de Philosophie, Bruxelles, 1953, Amsterdam, North-Hol-
North-Holland, 14. 82—87.
[1953b] Arithmetic and modal logic, /. Comput. Syst. 1, 213—219.
[1954] On a controversial problem of Aristotle's modal syllogistic,
Dominican Studies 7, 114—123.
[1957] Aristotle's syllogistic from the standpoint of modern formal
logic, 2nd ed. enlarg., Oxford, Clarendon Press. [Русский
перевод: Лукасов и ч Я-. Аристотелевская силлогистика
с точки зрения современной формальной логики, ИЛ,
1959.]
Л ьюнс (Lewis С. I.)
[1912] Implication and the algebra of logic, Mind, n. s. 21, 522—
531.
[1913] Interesting theorems in symbolic logic, J. Phil 10, 239—
212.
[1914] A new algebra of strict implication, Mind, n. s. 23, 240—
247.
[1911a] The matrix algebra for implication, /. Phil. 11, 589-600.
[1918] A Survey of symbolic logic, Berkeley, Univ. of California
Press.
[1920] Strict implication, an emendation, /. Phil. 17, 200—202.
[1936] Emcli's calculus and strict implication, JSL 1, 77—86.
[I94IJ Notes on the logic of intension; in Structure, Method and
Meaning (essays in honor of Henry At. Sheffer), N. Y., Li-
Liberal Arts, 25—34.
Л ыо и г. Л э и г ф о р д (Lewis С. I., Langford С. Н.)
[1ВД2] Symbolic Logic, N. Y. Bnd ed. N. Y., Dover, 1959; с допол-
дополнением, в котором излагаются некоторые результаты Паррп
(Parry)).
М а п х и л л (Myhill J. R.)
[1953] On (he interpretation of the sign гэ, JSL 18, 60 -62.
[1958] Problems arising in the formalization of intensional logic,
LA I, 74-83.
212 ЛИТЕРАТУРА [ГЛ. Ill
М а к к и н с и (McKinsey J. С. С.)
[1934] Л note on Bronstein's and Tarter's definition of strict im-
implication, Phil. Rev. 43, 518—520.
[1940] A solution of the decision problem for the Lewis's calculus
S2, JSL 5, 39.
[1940a] Proof that there are infinitely many modalities in Lewis's
system S2, там же, 110—112.
[1940b] A correction to Lewis and Langford's Symbolic Logic,
там же, 149.
[1941] A solution of the decision problem for the Lewis's system
S2 and Si with an application to topology, JSL 6, 117—134.
[1944] On the number of complete extensions of the Lewis's sys-
systems of sentential calculus, JSL 9, 41 — 45.
[1945] On the syntactical construction of systems of modal logic,
JSL 10, 83—96.
[1953] Construction of modal logic, Proc. of the Xth lntcrnat.
Congr. of Philos. Amsterdam 1948, Amsterdam, North-Hol-
North-Holland, 740.
[1953] Systems of modal logic which are not unreasonable in the
sense of Ilallden, JSL 18, 109—113.
M а к к и и с и, Та рек и й (McKinsey J. С. С, Tarski Л.)
[1944] The algebra of topology, Ann. Math. 45, 141 — 191.
[1948] Some theorems about sentential calculi of Lewis and I Icyt-
ing, JSL 13, 1-15.
M а к ко л л (McCall S.)
[1963] Aristotle's modal syllogisms, Amsterdam, North-Holland.
Map ген ay (Margenau II.)
[1939] Probabilily, many-valued logics, and physics, Phil. Sci. 6,
65—87.
M а ц у м о т о (Matsumoto K.)
[1950] Sur la structure concernant la logique moderne, J. Osaka
Inst. Sci. Technol. The Kinki University, Part I, Math, and
Phys. 2, 67—78.
[1950a] On a lattice relating to the intuitionistic logic, там же,
97—107.
[1955] Reduction theorem in Lewis's sentential calculi, Math. Japo-
nicae 3, 133-135.
[1960] Decision procedure for modal sentential calculus S3, Osaka
Math. J. 12, 167-175.
Мацумото, Он и с и, Риддер (Matsumoto К., Ohnishi M.,
Ridder J.)
[1955] Die Gentzenschen Schlussverfahren in modalen Aussagen-
logiken I, Koninkl. Nederl. Akad van Wetenschappen, Proc.
Sect. Sci., 58.
Мередит (Meredith C. A.)
[1956] Contributions to the investigation of pure strict implication
(roneotyped).
[1956a] Interpretations of different modal logics in the «property
calculus» (mimeographed), Dept. Phil. Univ. Canterbury.
A\ о и с и л (Moisil Q. С.)
[1938] Sur la theorie classique de la modalite des jugements, Ann.
Sci. Univ. Jassy 40, 235—240.
ЛИТЕРАТУРА 213
[1911] Remarques sur la logique modale du concept, Ann. Acad.
Roum., Mem. sect, sci., ser. 3 16, 975—1012.
[1942] Logique modale, Disquisitiones math. phys. (Bucharest) 2,
3-98.
[1963] I.es logiques non-Chrysippiennes et leur applications, Ada
Philosophical Fennica 16, 137—152.
M о in e r ro (Montague R.)
[1963] Syntactical treatments of modality with corollaries on ref-
reflexion principles and finite axiomatixability, Ada Philoso-
phica Fennica 16, 153—168.
M о и т е и р о (Monteiro A.)
[1957] Normalidad en los algebras de Heyting monadicas, Adas de
las X Journadas Matematicas Argentinas, 50—51.
[1960] Algebras monadicas, Alas do Secundo Coloquio Brasiliero
de Maiematica, 33—52.
.4 о р (More Т., Jr.)
[1959] Negated implicafional lattice A3, JSL 24, 320.
M о III а о - Куй (Mod Sjaw-Kwei)
[1950] The deduction theorems and two new logical systems, Melho-
dos 2, 56—75.
[1957—1958] Modal systems with a finite number of modalities,
Ada Math. Smica 7, 1—27.
II а к а м у р a (Nakamura A.)
[1962] On the infinitely many-valued treshold logics and on
Wright's system M", ZMLGM 8, 147—164.
11 e л с о и (Nelson E. J.)
[1940] Intentional relations, Mind, n. s. 39, 440—453.
Пил (Kneale W. С.)
[1960] Modality de dido and de re, Proc. of the 1960 International
Congress Stanford, 622—633.
11 и л а и л (Nieland J. J. F.)
[1-961] Construction semantique du systeme S5. Implication stricte,
Rapport CETIS 26, rapport n° 7, contrat 010-60-12, 75—77.
11 н л а и л, Б е т (Nieland J. J. F., Beth E. W.)
[1961] Construction semantique du systeme Si, Rapport CETIS 26,
rapport n° 6, 66—74.
[1961a] Construction semantique du systeme S5. Implication et
necessite, там же, rapport n° 2, 21—30.
Ок и и с т (Aqvist L.)
[1963] Postulate sets and decision procedure for some systems
of deontic logic, Theoria 19, 154—175.
11964] On Dawson-models for deontic logic, LA 7, 14—21.
[1964a] Results concerning some modal systems that contain S2,
JSL 29, 79—87.
О » it с и (Ormishi M.)
[1961] Gentzen decision procedures for Lewis's systems S2 and S3,
Osaka Math. J. 13, 125—137.
О ii и с и. М а ц у м о т о (Ohnishi M., Matsumoto К.)
[1957] Genlzen method in modal calculi, I, Osaka Math. J. 9,
113-130.
[19,/J] Gentzen method in modal calculi, 11, там же 11, 115—120.
214 ЛИТЕРАТУРА 1ГЛ. Ill
[1964] A system for strict implication, Ann. Japan Assoc. Phil.
Sci. 2, 183—188.
Пап (Pap A.)
[1955] Strict implication, eiitailment, and modal iteration, Phil.
Rev. 64, 604—613.
Парри (Parry W. T.)
[1931—1932] Ein Axiomensystem fur eine ncue Art von lmplika-
tionen, Ergebnisse math. KoIIoquium, Heft 4 (publ. 1933),
5-6.
[1931 — 1932a] Zur Lewisschen Aussagenkalkul, там же, 15—16.
[1932] Implication, Harvard Univ. Graduate School of Arts and
Sciences, Summaries of theses accepted in partial fulfillment
of the requirements of Doctor in Philosophy, 332—335.
[1934] The postulates for «strict implications», Mind, n. s. 43,
78—80.
[1959] Modalities in the Survey system of strict implication, JSL 4,
137—154.
По г о ж е л ьс к и н, Слупецкий (Pogorzelski W., Slupecki J.)
[1960] Podstawowe ulasnosci systenow dedukcyjnych oportych
na nieklasycznych logikach, SL 9, 77—95, 163—176.
Полнферно (Poliferno M. J.)
[1961] Decision algorithm for some functional calculi with moda-
modality, LA 4, 138—153.
[1964] Correction to a paper on modal logic, LA 7, 32—33.
Порт (Porte J.)
[1958] Recherches sur les logiques modales, Le raisonnement en
mathematiques et an sciences experimentales, Colloques
internationau.x de la Recherche Scientifique 70, Paris,
117—126.
П р а й о p (Prior A. N )
[1952] In what sense is modal logic many-valued?, Analysis
(Oxford) 12, 138—143.
[1952a] Modality de dido and modality de re, Theoria (Lund) 18,
174—180.
[1953] On propositions neither necessary nor impossible, JSL 18,
105—108.
[1953a] Three-valued logic and future contingents, Phil. Quarterly
(St Andrews) 3, 317—326.
[1954] Many-valued and modal systems. An intuitive approach,
Phil. Rev. 63, 626—630.
[1954a] The interpretation of two systems of modal logic, /. Corn-
put. Syst. 4, 201—208.
1954b] The paradoxes of derived obligation, Mind. n. s. 63, 64—65.
1955] Diodorian modalities, Phil. Quarterly 5, 205—213.
1955a] Modality and quantification in S5,'JSL 21, 60—62.
1957] The necessary and the possible, The Listener 57, 627—628.
1957a] Time and Modality, London, Oxford Univ. Press.
[1958] Diodorus and modal logic, Phil. Quarterly 8, 226—230.
[1958a] The syntax of time-distinctions, Franciscan Studies 18,
105—120.
[1959] Notes on a group of modal systems, LA 2, 122-127.
ЛИТЕРАТУРА 215
[19G1] Some axiom-pairs for material and strict implication,
ZMLGM 7, 61—65.
[1962] Quantification and /.-modality, NDJFL 3, 142—147.
[1962a] Possible worlds, Phil. Quarterly 12, 36—43.
[1962b] Tense-logic and the continuity of time, SL 13, 133—151.
[1962c] The formalities of Omniscience, Philosophy 37, 114—129.
[1963] The theory of implication, ZMLGM 9, 1—6.
П р а й о p, T о м а с (Prior A. N., Thomas 1.)
[1957] Calculi of pure strict implication (roneotyped).
П у а р ье (Poirier R.)
[1952] Logique et modalite du point de vue organique et physique,
Actualites scientifiques et industrielles 1163, Paris.
Pa сё в a (Rasiovva H.)
[1951] Algebraic treatment of the Functional calculi of Heyting and
Lewis, FM 38 (publ. 1952). 99—126.
[1963] On modal theories, Aria Plihosophica Fennica 16, 201—214.
Ре ш е р (Rescher N.)
[1958] A contribution to modal logic, Rev. Metaphysics 12,
186—189.
[1958a] An axiom system for deontic logic, Phil Studies 9, 24—
30.
[1961] On the formalization of two modal theses, NDJFL 1,
154-157.
[1963] A probabilistic approach to modal logic, Ada Philosophical
Fennica 16, 215—226.
[1964] A quantificational t-eatment of modality. LA 7, 34—42.
[1964a] Aristotle's theory of modal syllogisms and its interpreta-
interpretation, в кн.: The Critical Approach to Science and Philo-
Philosophy, Essays in honor of Karl Popper, Glencoe A11.),
152—177.
P и л д e p (Ridder J.)
[.1950—-1951] Formalistische Betrachtungen iiber intuitionistische
und verwandte logische Systeme, Koninkl. Nederlandsche
Akad. Welenschappen, Proc. Sec. Sci. 53, 327—336, 446—45.1,
787-799, 1375-1389; 54, 94-105. 169—177, 226—236.
[1952—1953] Ueber module Aussagenlogiken und ihren Zusammen-
hang mit Strukturen, Indagatiunes Math. 14, 459—467,
213—223; 15, 99—100; 16, 389—390.
[1955] Die Gentzensschen Schlussverfahren in modalen Aussagen-
Aussagenlogiken, I, там же 17, 163—276.
P о о и м с о ii (Robinson A.)
[1963] Introduction to Model Theory and to the .Metamathematics
of Algebra, Amsterdam. North-Holland. [Русский перевод:
Робинсон А. Введение в теорию моделей и метамате-
метаматематику алгебры, «Наука», 1967.]
Росс (Ross J. F.)
[1У(>2] Does «х is possible» ever yield « exists»? Theoria (Lund)
28, 173-195.
Poy.j (Rose A.)
[1952—1953] S-jlf-dual primitives for modal logic, Math. Ann. 125,
281-286.
216 ЛИТЕРАТУРА [ГЛ. ill
[1962] A simplified self m-al set of primitive functors for the
m-valued prepositional calculus, ZMLGM 8, 257—26G.
Рубин (Rubin J. K.)
[1956] Remarks about a closure algebra in which closed elements
are open, Proc. Amer. Math. Soc. 7, 30—34.
[1962] Bi-modal logic, double-closure algebras, and Ililbert space,
ZMLGM 8, 305—322.
Саймоне (Simons L.)
[1953] New axiomatizations of S3 and Si, JSL 18, 309—316.
[1962] Л reduction in the number of independent axiom schemata
for S4, NDJFL 3, 256—258.
С а и ч е с - M а с а с (Sanchez-Mazas M.)
[1952] Un intento de expression matematica de la logica modal
clasica: El grup de matrices modales у el sistema de coor-
denandas modales, Theoria (Madrid) 1, 188—192.
С к р о г г с (Scroggs S. J.)
[1951] Extensions of the Lewis's system S5, JSL 16, 112—120.
С м а и л и (Smiley Т. J.)
[1956] Natural systems of logic, Ph. D. Thesis, Univ. of Cambridge.
[1959] Entailment and deducibility, Proc. Aristotelian Soc. 59,
223 254
[1961] On Lukasiewicz L-modal systems, NDJFL 2, 149—153.
[1963] Relative necessity, JSL 28, .\» 2, 113—134.
Смит (Smith H. B.)
[1933] Обзор книги Лыонса и Лэнгфорда [1932], J. Phil. 30,
302—360.
[1934] Реферат на книгу Льюиса и Лэнгфорда [1932] Phil. Sci. I,
239—246.
[1934а] Abstract logic or the science of modality, там же, 369—
397.
[1936] The algebra of propositions, там же З, 551—578.
[1937] Modal logic (a revision), там же 4, 383—384.
Смолян (Smullyan A. F.)
[1940] Entailment-schemata and modal function, JSL 5, 40.
Собочиискнй (Sobocinski B.)
[1953] Note on a modal system of Feys — von Wright, /. Comput.
Syst. 1, 171 — 178.
[1962] A contribution to the axiomatization of Lewis's System S5,
NDJFL 3, 59—60.
[1962a] A note on the regular and irregular modal systems of
Lewis, там же, 109—113.
[1962b] On the generalized Brouwerian axioms, там же, 123—
128. i
[1962c] An axiom system for {K, A'}-propositional calculus related
to Simons's axiomatization of S3, там же, 206—208.
[1963] A note on modal systems, там же 4, 155—157.
Сугихара (Sugihara Т.)
[1953] The axiomatization of the Aristotelian modal logic. Me-
Memoirs of the Liberal Arts College, Fukui University 2,
53—60.
Г1955] Strict implication iree from implicational paradoxes, там
же 4, 55—59.
ЛИТЕРАТУРА 217
Г1956] Four-valued propositional calculus with one designated truth
value, та^ же 5, 41—48.
[1957] Necessity and possibility in Aristotelian syllogistic, там же
6, 75—87; 7, 15-22.
[1962] The number of modalities in T supplemented by the axiom
CL2p L*p, JSL 27, 407—408.
С у и т (Sweet A. M.)
[1963] Toward a pragmatical explication of epistemic modalities,
NDJFL 4, 145—150.
Tan Цао-чэнь (Tang Tsao-Chen)
[1936] A paradox of Lewis's strict implication, Bull. Amer. Math.
Soc. 42, 707—709.
[1936a] The theorem «p<<?- = -pq = q» and Huntington's rela-
relation between Lewis's strict implication and Boolean algeb-
algebra, там же, 713—746.
[1938] Algebraic postulates and a geometric interpretation for
the Lewis's calculus of strict implication, там же 44,
737—744.
T ё р и е б о и (Toernebolin H.)
[1958] Notes on modal operators, Theoria (Lund) 24, 130—135.
[1961] A study in modal logic, там же 27, 151 — 164.
To мае (Thomas 1.)
[1953] Note on a modal system of Lukasiewicz, Dominican Stu-
Studies 9, 167—170.
[1962] Solutions of five modal problems of Sobocinski, NDJEL
3, 199—200.
[1963] Sl° and Brouwerian axioms, NDJFL 4, 151—152.
[1963a] Sl° and generalized S5-axioms, там же, 153—154.
[1963b] A final note on Sl° and the Brouwerian axioms, там же,
231-232.
T ю р к е т т (Turquttte A. R.)
[1951] Many-valued logics and systems of strict implication, Phil.
Rev. 63, 3G5—379.
[1963] Modality, minimality and many-valuedness, Acta Philo-
aophica Fennica 16, 261—276.
У и з д о м (Wisdom J.)
[1934] Реферат на книгу Льюиса и Лэнгфорда [1932] Mind, n. s.
43, 99—109 и 279.
Уорд (Ward M.)
[1935] A determination of all possible systems of strict implication,
Amer. J. Math. 57, 261—266.
У ш e ti к о (Ushenko A.)
[1932] Реферат на книгу Льюиса и Лэнгфорда [1932], The Mo-
nisi 42, 309.
Ф с в р и e - Д е т у lit (Fevrier-Destouches P.)
[1952] Applications des logiques modales en physique quantique,
Theoria 1, 167—169.
Фене (Feys R )
[1937—1940] Les logiques nouvelles des modalites, Rev. Neosco-
lustique Phil. 40, 517-553; 41, 217-252.
[1950] l.es systemes formalises des modalites aristoteliciennes, Rev.
Phil. Louvnin 48, 478—509.
218 ЛИТЕРАТУРА [ГЛ. Ill
[1951] Oudere en nleuwe modaliteitenlogica, Handelingen van the
XIX Vlaamse Filologentongres, Brussel, 284—289.
[1952] Les logiques modales (Themes do discussion), Theoria \,
163—166.
[1953] A simplified proof of the reduction of all modalities to 42
in S3, Boll. Soc. Matem. Mexicana 10, 53—57.
[1955] Expression niodale du «devoir-etre», JSL 20, 91—92.
[I960] Modeles a variables de differentes sortes pour les logiques
modales M" ou S5, Proc. of the Colloquium organ, at Ut-
Utrecht, jan. I960, Dordrecht, Reidel, 58—72.
Ф и т ч (Fitch F. B.)
[1933] Note on Leo Abraham's «transformations» of strict impli-
implication, The Monist 13, 2Э7—298.
[1937] Modal functions in two-valued logic, JSL 2, 125—128.
[1939] Note on modal functions, JSL 4, 115—116.
[1948] Corrections to two papers on modal logic (concern the
foreigoing), JSL 13, 38—39.
[1948a] Intuition:stic modal logic with quanlifiers, Porlugatiae
Math. 7 (ed. 1949), 113—118.
[1949] The problem of the Morning Star and the Evening Star,
Phil. Sci. 16, 137—141.
Фишер (Fisher M.)
[1962] A system of deontic-alethic modal logic, Mind, n. s. 71,
231—236.
Фредендойн (Vredenduin P. G. J.)
[1939] A system of strict implication, JSL 4, 73—76.
Фро й деталь (Freudenthal H.)
[1936] Zur intuitionistischen Deutung logischer Formeln, Compositio
Math. 4, 112—116.
Хантингтон (Huntington E. V.)
[1934] Independent postulates relates to С I. Lewis's theory of
strict implication, Mind, n. s. 43, 181—198.
[1937] Postulates for assertion, conjunction, negation and equality,
Proc. Amer. Acid. Arts Sci., 72, 1—44.
X a pp (Harre R.)
[1959] Modal expressions in ordinary and technical language,
Australasian J. Phil. 37, 41—56.
Хендерсон (Henderson G. P.)
[1956] Is there only one correct system of modal logic, Aristote-
Aristotelian Soc. Suppl. 33, 41—56.
X и ii т и к к а A Iintikka K. J. J.)
[1954] An application of logic to algebra, Math. Scand. 2,
243—246.
[1957] Modality as referential multiplicity, Ajatus (Helsinki) 20,
49—64.
[1957a] Necessity, universality and time in Aristotle, там же,
65-90.
[1957b] Quantifiers in deontic logic, Societas Scieniiarum Fennica,
Commentationes Humanarum Littera.ru.tn 23, 2—23.
[1959] An Aristotelian Dilemma, Ajatus 21, 87—92.
[1961] Modality and quantification, Theoria (Lund) 27, 110—
128.
ЛИТЕРАТУРА 219
[1963J The modes of modality, Ada Philosnphica Fennica 10,
65-82.
X ит (Heath A. E.)
[1929] Реферат на книгу Льюиса [1918] Scientia 27, 399—
400.
X о я пен (Hallden S.)
[1948] A note concerning the paradoxes of strict implication and
Lewis's system SI, JSL 13, 138-139.
[1948a] A question concerning a logical calculus related to Le-
Lewis's system of strict implication, which is of special
interest for the study of entailment, Theorla 14, 265—
269.
[1949] A reduction to the primitive symbols of the Lewis's cal-
calculi, Portugaliae Math. 8 (Publ. 1950), 85—88.
[1949a] On the decision problem of Lewis's calculus S5, Norsk Mat.
Tidsskrifi 31, 89—94.
[1949b] Results concerning the decision problem of Lewis's calculi
S3 and S6. JSL 14, 230—236.
[1950] Nagra resultat i modal logic (Diss.), Uppsala.
[1951] On the semantic non-completeness of Certain Lewis's cal-
calculi, JSL 16, 127—129.
[1963] A pragmatic approach to modal theory, Ada Philosophica
Fennica 16, 53—64.
X э к и н г (Hacking J.)
[1963] What is strict implication?, JSL 28, 51—71.
Хэмблин (Hamblin С L.)
[1958] Реферат па книгу А. N. Prior «Time and Modality», Austra-
Australasian J. Phil. 36, 232—234.
X э и с о н (Hanson N. R.)
[1959] It's actual, so it's possible, Phil. Studies 10, 69—80.
Ч ё р ч (Church A.)
[1951] A formulation of the logic of sense and denotation в кн.:
Structure, Method and Meaning, Essays In Honor of
H. M. Sheffer, N.Y., 3—24.
Ч ё р ч м е и (Churchman С W.)
[1938] On finite and infinite modal systems, ISL 3, 77—82.
Шмидт (Schmidt A.)
[1950] Systematische Basisreduktion der Modalitaten bei Idempo-
tenz der positiven Grundmodalitaten, Math. Ann. 122, 71 —
89.
[1954] Ein aussagenlogischer Zugang den Modalitaten der strikten
Logic, Proc. Internat. Congr. Math., Amsterdam, 2, 407—
408.
[1955] ldempotente implikative Modalitatenstrukturen, JSL 20,
92.
[1956] Das fundamentale Jmplikatlonensystem elner implikativen Mr>-
dalitatenstriktur mit idempotenter Moglichkeit, AMLQ 2,
33-54.
[1957] Die Gesamtheit der idempotenten implikativen Modalitaten-
Modalitatenstrukturen, там же З, 29—49.
[1959] Ueber einige neuere Untersuchungen zur Modalitatenlogik,
Dialedica 12, 408—421.
220 ЛИТЕРАТУРА [ГЛ .III
Шольц (Scholz H.)
[1953] Реферат па книгу L. Baudry «La querelle des fulurs contin-
contingents (l.ouvain 1465—1475)», Paris, 1950, Deutsche Litera-
turzeifung 74, 67—72.
Э м д e (I:mde G.)
[1958] Kriterien fur die Herleitbarkeit in Modalitatenstrukturen,
AMLG 3, 79—111.
Э м ч (Emch A. F.)
[1936] Implication and deducibility, JSL 1, 26-35 и 58.
[1937] Deducibility with respect to necessary and impossible propo-
propositions, там же 2, 78—81.
Юхош (Juhos В.)
[1954] Ein- und zweistellige Modalitaten, Melhodos 6, 69—83.
Яськовский (Jaskowski S.)
[1949—1950] On the modal and causal functions in symbolic logic,
Siudia Phitosophica (Poznan) 4, 71—92.
//
ДОПОЛНЕНИЯ
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ *)')
Саул А. Крипке
Целью настоящей статьи является формулировка и
доказательство теоремы полноты для системы 55
(Льюис и Лэнгфорд [1932]), дополненной кванторами
первого порядка и знаком равенства. Будем считать,
что в нашем распоряжении имеется счетный алфавит
индивидных переменных а, Ъ, с, ..., х, у, г, .... хт, ут,
zm, .... а также счетные алфавиты я-местных2) преди-
предикатных переменных Рп, Q", Rn, ..., Рпт, Qnm, R?n, •¦•;
если п = 0, то соответствующие «нульместные» преди-
предикатные переменные часто называют «пропозициональ-
«пропозициональными неременными», «-местные элементарные формулы
имеют вид Рп(хи ..., х„)\ в дальнейшем мы часто бу-
будем опускать верхние индексы, если, конечно, это не
будет приводить к неясностям. В качестве исходных
символов мы выберем Л, ~> П, V*, —, обозначаю-
обозначающие соответственно конъюнкцию, отрицание, необходи-
необходимость, квантор общности и равенство; с помощью этих
символов и предикатных переменных обычным образом
определяется понятие правильно построенной формулы,
пли, короче, просто формулы. Произвольные формулы
мы будем обозначать буквами А, В, С и т. д. (с ин-
индексами или без таковых); иногда, желая обратить
внимание на некоторые входящие в формулу перемен-
переменные, мы будем пользоваться обозначениями вида
A(Xi, ..., хп) и т. п. Для данной формулы А(х) мы сле-
следующим образом определим формулу А(у). Во-первых,
*) S. А. К г i pke. A completeness theorem in modal logic, JSL 24
A959), 1-14.
') Автор благодарит рецензента этой статьи и профессора
л. Б. Карри, внимательно прочитавших ее и сделавших ряд полез-
полезных замечаний. Считаю своим долгом особо поблагодарить проф.
Каррп, постоянно поощрявшего мои исследования; без этой под-
поддержки публикация настоящих результатов могла бы затянуться
»а годы.
*) Дл я всех п ^ 0. — Прим. персе.
224 С. А КРИПКЕ
если в А(х) входит некоторая подформула 'вида
VyB(y), содержащая свободно переменную х, то в этой
подформуле каждое вхождение у заменяется вхождением
z — первой индивидной переменной алфавита, не вхо-
входящей в Л(х). Во-вторых, после всех замен только что
описанного вида каждое свободное вхождение х в А (х)
заменяется вхождением у. (В силу такого определения
импликация УхА (х)гэ А {у) верпа всегда, без всяких
ограничении на подстановку.) Для случаев, когда исход-
исходная формула содержит более чем одну неременную, вво-
вводятся аналогичные определения. Далее мы определяем
А V В как сокращение для ~ (~ ЛЛ ~ #), А^> В как
сокращение для ~ (А Л ~ В), О А как сокращение для
~ ? ~ А и ЗхА(х) как сокращение для ~ V* ~Л(х).
Для нашей формализации S5 с кванторами и равен-
равенством мы используем прежде всего любую подходящую
формализацию классического исчисления предикатов
первого порядка с равенством ') (например, но Россеру
[1953], стр. 101 и 163—1642)). Затем к этой системе мы
присоединяем следующие схемы аксиом и правила вы-
вывода 3):
А1. ? ЛгэЛ.
А2. ~ ? А гэ ? ~ ? Л.
A3. ? (Л =э В) =э (? Л =э ? В).
R1. Если f- Л и Ь- Л =э В, то f- В.
R2. Если Ь- Л, то Ь- ? Л.
Получившуюся в результате систему мы назовем
S5*=, систему, получающуюся исключением из S5*^ ра-
равенства,— S5*; если же из 55* исключаются и кван-
кванторы, и равенство, то получается система S5.
Пусть даны некоторая формула Л и непустая об-
область D. Полным приписыванием (или полной оценкой)
для Л в D, по определению, называется функция, сопо-
') Существенно, что среди постулатов для равенства имеется
схема х = у г> (Л(х) ^А(у)) для любой формулы А, в частности,
для случая, когда А(х) есть П(* = г); см. об этом § 21 обзора
Г. Е. Минца (стр. 499—501 настоящей книги). — Прим. ред.
2) Или Клини [Ю52], § 73 (с естественными поправками иа обо-
обозначения и терминологию). — Прим. персе.
3) См. статью Прайора [1956] и цитированную в ней литературу.
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 225
ставляю-щая каждой свободной переменной из А неко-
некоторый элемент из D, каждой пропозициональной пёре:
меннрй из А либо Т,либо F, а каждой п-мё'стной
предикатной переменной из Л —некоторое множество
упорядоченных n-ок членов D. Модель формулы А ъ об-
области1 D есть, по определению, упорядоченная пара
(G, /<), где G есть некоторое полное приписывание для
А в D, а К есть содержащее G множество палных:при-
писываний для А в D (совпадающих с G приписанными
значениями всех свободных индивидных переменных
из Л,.но, быть может, отличающихся от G приписанными
значениями пропозициональных и предикатных пере-
переменных из Л). Пусть Н^К и В есть подформула фор-
формулы Л; тогда значение Т или F, которое Я сопостав-
сопоставляет формуле В, индуктивно определяется следующим
образом. Если В есть «-местная элементарная формула
¦ Р(Х[, ..., хп) и ф есть множество упорядоченных п-ок,
которое Я сопоставляет букве Р, и мы сопоставляем
переменным х.\, ...» хп элементы ai, ...,an из D {это
сопоставление должно быть согласованным с Я, но если
какая-то переменная хт связана в Л и ей, следователь-
следовательно, не сопоставлен никакой элемент области D, то мы
для нее берем произвольное сопоставление), то В при-
приписывается значение Т, если (ai, ..., an)e^; в про-
противном же случае В приписывается значение F. Пропо-
Пропозициональным переменным Н, по предположению, уже
приписаны значения Т или F. Если В имеет вид х=у,
то ей приписывается значение Т, если переменным х
и у сопоставляется один и тот же элемент области D,
и значение F в противном.случае. Формуле ~В сопо-
сопоставляется значение T(F), если формуле В сопостав-
сопоставлено значение F (соответственно Т). Формуле ВАС
сопоставляется значение Т, если Т сопоставлено как В,
так и С; в противном случае такой конъюнкций сопо-
сопоставляется значение F. Формуле VxB(x) сопоставляется
значение Т, если при любом приписывании перемен-
переменной х элемента из D формуле В(х) сопоставлено зна-
значение Т; в противном случае формуле VxB(x) сопостав-
сопоставляется значение F. Формуле Dfi сопоставляется-зна-
сопоставляется-значение Т, если каждое приписывание из К.сопоставляет
формуле В значение Т; в противно."*' случае DS сопо-
сопоставляется значение F. . ¦ ¦
226 С. А. КРИПКЕ
Формулу А называют истинной в модели (G, К) этой
формулы А в области D, если G сопоставляет А значе-
значение Т. А называют общезначимой в области D, если
А истинна в каждой модели А в D. А называют выпол-
выполнимой в D, если существует хотя бы одна модель А
в D, в которой А истинна. А называют универсально об-
общезначимой, если А общезначима в каждой непустой
области.
В основе содержательных представлений, оправды-
оправдывающих только что приведенные определения, лежит
идея о том, что какое-либо предложение является не-
необходимым в том и только в том случае, когда оно
истинно во всех «возможных мирах». (Для наших те-
теперешних целей в каком-либо дальнейшем анализе
представления о «возможном мире» нет никакой необ-
необходимости.) Пусть Л —некоторая формула с пропози-
пропозициональными и предикатными переменными Pi, ..., Pm
и свободными индивидными переменными Х\, ..., хп.
Если интерпретировать каждую свободную индивидную
переменную как обозначение некоторого конкретного
предмета, а каждую пропозициональную или предикат-
предикатную переменную — как обозначение некоторого конкрет-
конкретного высказывания или соответственно предиката, то А
будет не чем иным, как «высказыванием» в обычном
смысле слова. С экстенсиональной точки зрения, точ-
точным семантическим аналогом такой интерпретации яв-
является понятие полной оценки (полного приписывания)
для А в области D. Что же касается модальной логики,
то здесь нас интересует не только действительный мир,
но и другие мыслимые миры; некоторое высказывание
Р может быть истинным в действительном мире, но
ложным в некотором воображаемом мире; то же отно-
относится и к любому предикату Р{хи .... хп). Поэтому-то
мы и не ограничиваемся какой-либо одной оценкой, а
имеем дело с множеством оценок К, представляющих
(кроме одной) не действительный мир, а мыслимые;
оценка, представляющая действительный мир, была
выше обозначена через G, моделью же формулы А слу-
служит, как уже говорилось, пара {G,K). Далее, поскольку
Х\, ..., хп представляют какие-то конкретные предметы,
одни и те же во всех мирах, то мы считаем, что все
члены К приписывают индивидным переменным одни
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 227
и те же значения. Очевидно, что все правила, согласно
которым формулам приписываются значения" Т или F,
можно интерпретировать как оценку предложения, со-
соответствующего данной формуле, в качестве истинного
или ложного в данном «мире», будь то мир действитель-
действительный или возможный. В частности, предложение ? В
оценивается как истинное в том и только в том случае,
когда В имеет место во всех мыслимых мирах. Пред-
Предложение можно считать истинным, если оно выпол-
выполняется в действительном мире; эта идея лежит в основе
нашего определения истинности в модели. Для опре-
определения универсальной логической общезначимости по-
полезно, по-видимому, исходить не только из того, что
универсум рассуждения может содержать произвольное
число элементов, а предикатам можно приписать любые
данные интерпретации в действительном мире, но также
и из того, что с реальным миром но отношению к не-
некоторой группе предикатов можно связать любой набор
возможных миров. Иными словами, имеет смысл не вво-
вводить никаких дальнейших ограничений на D, G и К,
¦ кроме, конечно, обычного требования непустоты D. Это
требование немедленно приводит к нашему определению
универсальной общезначимости.
Интересно отметить, что все доказываемые в настоя-
настоящей работе теоремы можно формализовать в метаязыке
(например, в теории множеств Цермело), «экстенсио-
«экстенсиональном» и в том смысле, что он включает теоретико-
множественную аксиому объемности, и в том смысле,
что он не предполагает никаких пропозициональных
связок, кроме обычных функций истинности1). Можно,
таким образом, рассчитывать на то, что хотя бы неко-
некоторая нетривиальная часть семантики модальностей
окажется доступной логикам, стоящим на экстенсио-
экстенсиональных позициях.
Перейдем теперь к нашему доказательству полноты.
Мы проведем его с помощью так называемых семанти-
семантических таблиц, введенных Бетом [1955]2); наше изло-
изложение не будет зависеть от работы Бета, но знакомство
с ней, конечно, не помешало бы.
') То есть отображений множества {Т, F} в себя. — Прим. iiepee.
) См. также Бет [1959]; задачи согласования терминологии
с принятой в этой книге Бета мы не ставили. — Прим. персе.
228 С. А. КРИПКЕ
Будем говорить, что формула В .семантически сле-
следует .из' формул Л[, Л2, ..., Л„ в том и только в том
случае, когда формула Л] Л Ач Л • • • Л Л« гэ В уни-
;версально общезначима;, при я = 0 это понятие сво-
сводится к универсальной общезначимости формулы В.
Семантическая таблица—это специальная .схема,
предназначенная для проверки того, следует ли семан-
семантически некоторая данная формула из некоторых дру-
других данных формул. Ясно, что необходимым и доста-
достаточным условием того, чтобы В не следовала из
Аи .... А„, является существование модели, в которой
Дь ..., Л„ были бы общезначимы, а В не была бы
общезначимой. Такому положению вещей будет соответ-
соответствовать запись А\, ..., Л„ в левом столбце семантиче-
семантической таблицы, а В —в правом столбце1). В дальней-
дальнейшем у нас. появятся (в результате применения описы-
описываемого ниже правила Yr) еще другие, так называемые
вспомогательные таблицы; в отличие от них, исходную
таблицу мы будем называть главной. Таким образом,
мы, вообще говоря, будем каждый раз иметь дело не
с одной-единственной таблицей, а с некоторым множе-
множеством таблиц, одна из которых будет главной. Факти-
Фактически же, как это будет видно из приводимого ниже пра-
правила Лг, наши построения будут, как правило, приво-
приводить к системам таких множеств таблиц; каждое из
множеств таблиц, принадлежащее системе, мы будем
называть «альтернативным множеством». Имея глав-
главную таблицу с А\, ..., Л„ в левом столбце и В в пра-
правом, мы будем продолжать построение таблицы (точ-
(точнее, Системы множеств таблиц) с помощью следующих
правил (каждое из которых применимо к любой таб-
таблице множества, как к главной, так и к вспомогатель-
вспомогательной2)).
N1. Если формула ~Л встречается в левом столбце
таблицы, то в правый столбец той же таблицы поме-
помещается формула Л.
') Вообще запись некоторой формулы в левый (правый) стол-
столбец семантической таблицы интерпретируется как гипотеза о ее
истинности {соответственно ложности). — Прим. перев.
2) Названия' этих правил напоминают названия правил вывода,
применяемых Карри [1950].
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 229
Nr. Если ~А встречается в правом столбце, то в ле-
левый столбец помещается-'.Л.'-1-^ ¦ ;¦' ¦/'"' "'i' / '¦" -"'
Л1. Если АЛВ встречается в левом столбце, То
в тот же левый столбец помещаются формулы Л и В.
Лг. Если АЛВ встречается в правом столбце, то
возникают две возможности: Поместить в этот правый
столбец либо А либо В. В этом случае мы скажем, что
таблица расщепляется на две йльтернатибнЫе таблицы
(или подтаблицы1)). Если расцепляемая таблица-есть
главная таблица некоторого множества таблиц, то» и по-
получающиеся в результате расщепления а'льтернативные
Таблицы будут главными таблицами соответствующих
альтернативных множеств; при расщеплении же вспЬ-.
могательной таблицы образуются вспомогательные'таб-
вспомогательные'таблицы. ¦ ¦'•¦¦¦¦
Ш. Если VxA(x) встречается в левом столбце таб-
таблицы, а а есть переменная, входящая свободно в какой-
либо' столбец какой-нибудь ¦ таблицы данного множе-
множества таблиц, то в тот же левый столбец; где находится
формула ЧхА{х), помещается формула А (а).
Пг. Если VxA(x) встречается в правом столбце таб-
таблицы, то мы вводим новую неременную а, которая не
встречалась еще ни в одной таблице данного множества
таблиц, и в тот же правый столбец таблицы, где нахо-
находится формула УхА(х), помещаем формулу Л (а), . ¦¦•
II. Если формула а=Ь (для некоторых переменных
а и Ь) встречается в левом столбце таблицы, то в обоих
столбцах каждой таблицы данного множества мы заме-
заменяем каждую формулу А (а, Ь) на А (Ь, Ь).
1г. Соответствующего правила нет. ¦ ¦ •
1 Y1. Если ? А встречается в левом столбце таблицы,
то в левые столбцы всех таблиц данного-множества по-
помещается формула Л. ¦ .-...,-¦¦ -.¦¦¦¦..
Yr. Если ? Л встречается в правом столбце таб-
таблицы, то мы вводим новую вспомогательную таблицу,
заполнение которой начинается с введения в ее правый
столбец формулы Л.
К этим правилам построения семантических таблиц
добавляется также следующее: если в таблице не
') Этот термин принят у Бета [1959]; он более удобен, но хуже
согласуется с терминологией автора. — Прим. перев.
230 С. А. КРИПКЕ
появилось ни одной свободной переменной и ни одна
свободная переменная не введена правилом Пг, то мы
вводим некоторую новую свободную переменную, чтобы
обеспечить применимость правила П1.
Таблица называется замкнутой, если некоторая фор-
формула входит в оба ее столбца либо же если в правый
столбец входит формула а = а (для некоторой пере-
переменной а). Множество таблиц, по определению, замк-
замкнуто, если замкнута по крайней мере одна из входящих
в него таблиц (главная или вспомогательная). Приме-
Применение правила Аг может привести к расщеплению таб-
таблицы, построение которой начато с введения формул
Л], ..., Ап в левый ее столбец и формулы В в правый,
на альтернативные множества таблиц; в этом случае мы
будем называть всю конструкцию замкнутой, если все
ее альтернативные множества замкнуты.
Теорема 1. Формула В семантически следует из
формул Л,, ..., Ап тогда и только тогда, когда кон-
конструкция, начинающаяся с Ль ..., Лп в левом столбце
и В в правом, замкнута.
Доказательство. Теорема следует из следую-
следующих двух лемм.
Лемма 1. Если конструкция, начинающаяся с фор-
формул Аи ..., Ап слева и с формулы В справа, замкнута,
то В семантически следует из Ль ..., Ап.
Доказательство. Пусть, вопреки утверждению
леммы, В не следует семантически из Аи ..., Ап. В та-
таком случае существует такая непустая область D и мо-
модель (G,K) формулы А, А А-, Л ¦•• Л4эВ (или,—
если п = 0, — формулы В), что Л, Л ••• Л AnzD В (или
соответственно В) не общезначима в D. Покажем, что
каждому высказыванию, находящемуся в левом (пра-
(правом) столбце главной семантической таблицы конструк-
конструкции, начинающейся с Аи ..., Ап слева и В справа, при-
приписывание G сопоставляет истинностное значение Т
(соответственно F). После этого мы покажем, что каж-
каждая вспомогательная таблица точно таким же образом
соответствует некоторому члену К.
Поскольку формула" Л, Л ... Л Л„ zd В (или В)
не общезначима в (G,K), приписывание G сопостав-
сопоставляет ей значение F. Согласно правилам оценки для Л
и ~ и определению гэ, G сопоставляет значение Т
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЫЮЯ ЛОГИКЕ 231
всем формулам Аи ..., Ап и значение F формуле В.
Согласно правилам оценки для ~, если .формуле ~С
сопоставлено значение Т, то формуле С должно быть
сопоставлено значение F; этот факт обосновывает пра-
правило N1. Аналогичным образом можно обосновать пра-
правила Nr и А1. Если формуле CAD сопоставлено зна-
значение F, то либо С либо D должно быть также сопо-
сопоставлено значение F, так что правило Лг совершенно
резонно требует рассмотрения этих двух альтернативных
возможностей. Если формуле УхА(х) сопоставлено зна-
значение Т, то каждому элементу D должно быть сопостав-
сопоставлено значение Т; в силу этого верно правило 111. Если
же формуле \fxA(x) сопоставлено значение F, то най-
найдется такой элемент а области D, что формуле Л(а)
сопоставлено значение F; это замечание обосновывает
Пг. Если формуле а = b сопоставлено значение Т, то
переменным а и b сопоставлен один и тот же элемент
области D; это обстоятельство служит обоснованием
правильности подстановки, предписываемой правилом
П. Если формуле ? А сопоставлено значение Т, то каж-
каждое приписывание из К сопоставляет формуле А зна-
значение Т; это служит обоснованием правила Y1. Если
же ПА сопоставлено значение F, то в К найдется
приписывание, сопоставляющее А значение F; тем
самым обосновано правило Yr. Наконец, наше тре-
требование, согласно которому должна быть введена хотя
бы одна свободная неременная, соответствует условию
непустоты области D.
Поскольку рассматриваемая конструкция замкнута,
каждое альтернативное множество содержит таблицу,
имеющую одну и ту же формулу в обоих своих столбцах,
либо содержащую в правом столбце формулу а = а.
А это значит, что некоторое приписывание из К должно
либо сопоставлять некоторой формуле как значение Т,
так II значение F, либо сопоставлять значение F фор-
формуле а = а. Поскольку из наших правил оценки сле-
следует, что обе эти альтернативы невозможны, то область
D и модель (G, К) с рассматриваемыми свойствами не
могут существовать, что противоречит принятому допу-
допущению и доказывает лемму.
Л е м м а 2. Если конструкция, начинающаяся с фор-
мУ-1 Аи ..., Ап в левом столбце и формулы. В в
232 i V : •' : G. А. ИРИНКЕ •¦..,-. ¦ . .-
правом, столбцу не замкнута, то В.,не следует семанти-
семантически из Ai,i i Ап- ' ¦ • ¦¦ :.,..
Доказательство1). Поскольку данная ..кон-,
струкцня не замкнута, существует незамкнутое множе-
множество таблиц, являющееся одним из ее альтернативных
множеств. Выберем одно такое альтернативное множе--:
ство и будем .впредь рассматривать его, исключив из..
рассмотрения остальные. Пусть D—множество всех,
свободных .переменных,- входящих в выбранное множе-,
ство таблиц (и не устраненных применением правила;
II). Для каждой таблицы, входящей в это множество,
мы. следующим образом определим оценку формулы
Д А _¦•... Л Ап р В: каждой свободной переменной, не
устраненной| посредством II, сопоставляется сама. : эта
переменная:; каждой же свободной переменной, устранен-
устраненной посредством. 11, сопоставляется та переменная, кото-
которая ее заменила. Пропозициональной переменной сопот
ставляется значение Т, если она входит в левый стол-
столбец таблицы, и значение F, если она входит в правый
столбец. Предикатной переменной Рп сопоставляется
множество всех упорядоченных и-ок (хи ..., хп), для
которых Pn{xi, ..., хп) встречается в левом столбце
таблицы. Таким образом, мы получаем множество К.
полных приписываний, соответствующее нашему мно-
множеству таблиц; если G есть приписывание, соответст-.
вующее главной таблице множества, то (G, К) есть мо-
модель формулы А\ Д ••• Л Ап ^> В в. области D. ¦
Покажем теперь индукцией по числу вхождений сим-
символов в формулу, что произвольной формуле С, входя-.,
щей в левый (правый) столбец таблицы, соответствую-
соответствующая функция оценки сопоставляет значение Т (соответ-,
ственно F). Очевидно, что это зерно для элементарных.
формул* (в..-трм. числе для пропозициональных перемен-
переменных),, входящих в левый столбец. Если же такие фор-
формулы входят в правый столбец, то они, поскольку таб-
таблица не замкнута, не входят в левый столбец; поэтому
') Это доказательства имеет дефект (отмеченный автором в на-
начале доказательства леммы 2 из раздела 3.2 его статьи «Семантиче-
«Семантический анализ модальной логики. I» на стр. 271 настоящей книги:
рассмотрен лишь <}дин из двух возможных случаев, когда
построение таблицы обрывается через конечное число шагов.-—'
Прим.. ред. , . . ¦¦
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 23$
им сопоставлено значение F: Есгли в левый столбец
таблицы входит формула а — Ь, то по'правилу Ы она-
заменяется1 иа b = b\ этой'последней формуле должно
быть сопоставлено значение ' Т: Если же а = b входит ¦¦
в правый столбец, то, поскольку* таблица, по предполо- ¦
жению, не зам-кнута, а и Ь должны -быть 'различнйми*
переменными; причем Это различие должно Сохраняться ;
и после всех замен -по правилу П;! поэтому-'для 'flair- i
ного приписывания свободным' переменным аи fc^co^'
поставляются различные объекты, так что1 формуле ¦
а == Ъ приписывается • значение: F. Если- слева ветре-;
чается формула ~ С, то по правилу N1 в правый стол*-
бец помещается формула С; следовательно, по предг:
положению индукции, С сопоставляется значение F.
В таком случае наши правила оценки сопоставляют:
~ С значение Т. Совершенно аналогично исследуются
случай вхождения ~ С в правый столбец и вхожде- ¦
ния С\ Л С2 и VxC(x) в любой столбец. Если в левом
столбце встречается формула ПС, то по правилу YI <
в левые столбцы каждой таблицы данного множества
помещается формула С; следовательно, по предположи-•'
нию индукции, каждое приписывание из К сопостав-
сопоставляет С значение Т. Наконец, если П С входит в правый
столбец, то С по правилу Yr вводится в правый столбец'
некоторой таблицы данного множества, так что, по-
предположению индукции/некоторое' приписывание из
К сопоставляет С значение F. Следовательно, согласно
нашим правилам оценки, формуле ПС приписывается
значение F.
Поскольку формулы Аи ...,Ап входят ¦ в левый;
столбец главной таблицы, приписывание G сопоставляет'
каждой из них значение Т; входящей же в:правый Фтол» >
бец главной таблицы формуле 5 приписывание-G соли'1
ставляет значение F. Согласно принятым йа-ми правилам;
оценки значение F приписывается тогда и формуле
Л Л ... Л An =э В; поэтому формула Ах Л ... Л А„ г> В
не общезначима в (G, К). Следовательно, В не следует
семантически из А\, :..,Ап, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Всякая формула, выполнимая в неко'
торой непустой области, общезначима и в некоторой мо-
модели (G,K) в области D, где D и К не более чем
счетны. Всякая формула, общезначимая в каждой'
234 с. А.
конечной (непустой) или счетной области, универсаль-
универсально общезначима.
Доказательство. Второе утверждение теоремы
легко следует из первого. Если формула В выполнима в
некоторой непустой области, ~В не является универ-
универсально общезначимой; следовательно, по теореме 1 кон-
конструкция, начинающаяся с формулы ~ В в правом
столбце таблицы, не замкнута. Поэтому из доказатель-
доказательства леммы 2 извлекается построение области D и мо-
модели (G,K), в которых ~В не общезначима, а значит,
общезначима В. Но как D, так и К, очевидно, не более
чем счетны — это легко усматривается из правил, с по-
помощью которых строятся требуемые таблицы.
Теорема 3. Всякая формула, не содержащая зна-
знака равенства и выполнимая в некоторой непустой обла-
области, общезначима в некоторой модели {G, К) в обла-
области D, где К не более чем счетна, a D счетна. Если такая
формула общезначима в каждой счетной области, то она
универсально общезначима.
Доказательство. Утверждение теоремы немед-
немедленно следует из теоремы 2 и следующей леммы.
Лемма 3. Если формула А, не содержащая знака
равенства, общезначима в некоторой модели {G, К) в
непустой области D, причем D есть подмножество неко-
некоторой области D', то А общезначима в некоторой такой
модели (С, К') в D', что К и К' состоят из одного и
того же числа членов.
До казательство. Поскольку область D не-
непуста, выберем в ней некоторый элемент а. Для каж-
каждого приписывания Н из К следующим образом опреде-
определим приписывание Н' из К' для А. Всем свободным
индивидным переменным и пропозициональным пере-
переменным Н' сопоставляет те же значения, что Н. Если
Н сопоставляет предикатной переменной Рп некоторое
множество S упорядоченных п-ок элементов области D,
то Н' сопоставляет Рп множество S', состоящее из всех
ft-ок, входящих в S, и, сверх того, всевозможных п-ок,
полученных заменой каких-либо вхождений а элемента-
элементами D', не входящими в D. К' получается теперь из К
заменой каждого приписывания Н е К соответствую-
соответствующим Н'. Теперь легко доказать, что А общезначима в
,<<?', К'),
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 235
Теорема 4. Если формула, фигурирующая в фор-
формулировках теорем 2 и 3, не содержит символа П, то в
качестве К можно взять одноэлементное множество,
единственным элементом которого является G.
Доказательство этого утверждения может
быть без труда извлечено из анализа построения множе-
множества К в теоремах 2 и 3.
Теоремы 2 и 3 — это, очевидно, модальные аналоги
теоремы Лсвекгейма — Сколема. Теорема же 4 утверж-
утверждает (грубо говоря), что при отсутствии модальностей
можно получить и обычную форму теоремы Лёвенгей-
ма — Сколема. Более того, мы сможем получить и обоб-
обобщенные формулировки теоремы Лёвенгейма — Сколема,
в которых шла бы речь об одновременной выполнимости
бесконечного множества формул, допустив конструкции,
исходящие из того, что в один или оба столбца таблицы
помещается бесконечно много формул.
Хотя, как показал Бет [1955], построение таблицы
может продолжаться неограниченно, что могло бы при-
привести к введению бесконечного множества перемепных,
формул и таблиц, ясно в то же время, что если мы бу-
будем начинать нашу конструкцию с конечного множества
формул в каждом из столбцов, то после конечного числа
применений правил будет введено лишь конечное мно-
множество формул, переменных и таблиц. Назовем стадию
(шаг), на которой в левый столбец таблицы помещают-
помещаются формулы Л\, ..., Ап, а в правый столбец вносится
формула В, начальной стадией (начальным шагом) по-
построения, а шаг (стадию), состоящий в ш-м применении
правила построения таблицы, —m + 1-м шагом.
Назовем характеристической формулой данной таб-
таблицы па данной стадии ее построения формулу А\/\...
¦•¦ A A,n/\~Bt A ... А~Вп, где Ль ..., Лт (Ви ...
..., Вп)—формулы, помещаемые в левый (соответст-
(соответственно правый) столбец таблицы на этой стадии. Назо-
Назовем характеристической формулой каждого из альтер-
альтернативных множеств таблицы на данной стадии по-
построения формулу Эа,3й2 ... Зар (Л Л O^i Л ... Л(>ВЯ),
где /1 — характеристическая формула главной таб-
таблицы этого множества, Ви ..., Bq — характеристиче-
характеристические формулы вспомогательных таблиц множества,
а аи ..., ар — свободные переменные формулы
236 С. А. КРИПКЕ
Л Л О ?|Л • • • Л ^Вг Назовем, наконец, характеристиче-
характеристической формулой данной, стадии формулу Л) V ..'. У^У
где. Ри ..., Рх -г характеристические формулы альтер-
альтернативных, множеств этой стадий. Ясно,, что характери-
характеристической формулой начальной стадии служит формула
3ai3a2 ... Зар (ЛгЛ ... Л Ау Л ~ В), где А\, ,..,; Л„
суть формулы, помещаемые в левый столбец, а В т
формула, помещаемая в правый столбец; если, же у —.Q,
то характеристическая формула — это просто формула
За, .... Зар ~ В. ,
Л емма А.. Если А—характеристическая формула
начальной стадии некоторой конструкции, а В — харак-
характеристическая формула произвольной стадии этой же
конструкции, то Ь А г> В в S5*".
Доказательство. Покажем, что из характери-
характеристической фбрмулы п-й стадии некоторой конструкции
следует характеристическая формула ее (п'+ 1)-й стй-
дИи. Отс16да будет уже легко (пользуясь транзитив-
транзитивностью импликации) получить утверждение леммы.
Итак, пусть А — характеристическая формула некото-
некоторой стадии, а В — характеристическая формула следую-
следующей стадии; покажем, что в 55*" Ь А гэ В. Формула
А есть, вообще говоря, дизъюнкция ;4iV...\Mm,
представляющая несколько альтернативных множеств.
Правило, посредством которого В выводится из А, дей-
действует лишь на одно из этих альтернативных множеств:
оно заменяет некоторое Ах A ^ х ^ ш) на некоторое
¦ АХ', оставляя неизменными остальные дизъюнктивные
члены. . Поскольку в S5 справедлива выводимость
Ь(^э А*)=з (Л, V ... V Ах V .., V.A»=> Л, V,.,,,.
... V АХ' V • • • V Ат), нам будет достаточно показать, что
I- Л*=э АХ', не обращая внимания :на остальные харак-
характеристические формулы. Если Ах имеет вид За{ ... ЗарВ,
а Ах> — вид За, ... ЗапВ', то, чтобы показать
I- Ах =э АХ', достаточно, очевидно, показать \- В zd В'.
Поскольку любое правило, кроме II, Y1 и Yr, приме-
применяется только к одной таблице из альтернативного мно-
множества, во всех случаях, кроме упомянутых трех, доста-
достаточно рассмотреть характеристическую формулу этбй
единственной таблицы, не обращая внимания на осталь-
остальную часть данного альтернативного множества. Пусть
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 237
применение рассматриваемого правила преобразует таб-
таблицу с характеристической формулой С в таблицу с ха-
характеристической формулой С Если данная таблица —
вспомогательная, то нам фактически потребуется до-
доказать I- О С Г) ¦<> С, но это можно получить из
К С гэ С' с помощью R2, Ь- П (С г> С) => (О С г> О С)
и RI. Если теперь формула С имеет вид D, А ¦•.. Л ?>„.
то применение правила будет, вообще говоря, действо-
действовать только на одну формулу Dy A ^ ^ ^ р), в резуль-
результате чего конъюнкция' D{ Д ... /\Du/\ .:.. A DP(=C)
перейдет в конъюнкцию 5,Л ... Л DyA Л Dp Л
/\ Е(—С). Легко видеть, что для доказательства
Ь- D, Д . . Л ?>j, Л ... ADpzdD,A ... ¦ Д-D,, Л;
... Л Ор Л ^ достаточно доказать |- Dy гэ'Е. Имея в виду
эти предварительные замечания, рассмотрим теперь сле-
следующие случаи: . . .
Случай N1. Этот случай обосновывается посредством
1 Л=э~Л.
Случай Nr обосновывается посредством \- ~ ~ Л=> А.
Случай Л1 обосновывается посредством |— AABzz
^ЛАВ.
Случай Лг. Пусть характеристическая формула
множества, к которой применяется правило Лг, имеет
вид За, ... Зар(С А О Ф Л ~ (А Л S))) или Зя, ...
. ...Зар(СЛ О Л ~ (Л Л В)), где А А ? —формула, к ко-
которой применяется Лг: первая из этих формул, если Лг
применяется к вспомогательной таблице, и вторая, если
Лг применяется к главной таблице. Допустим, что имеет
место первый из этих подслучаев. Тогда мы имеем
Н D А ~(Л Л В) гэ (D А ~ (А А В) А — А) у ¦
V (D А ~ (А А В) Л — В).
Отсюда получаем
Ь- О (D Л ~ {А Л В)) гэ О ((D Л ~ (Л Л В) Л — Л) V
По известной теореме системы S5 имеем
Ь- 0((О Л ~ (А А ВУЛ ~ А) V Ф Л ~ (i4 Л В) Л —В)) =э
~И ЛВ)Л~4
238 c- A- КРИПКЕ
откуда, в свою очередь.
\- <>(ОЛ~(ЛЛ5))='0(?>Л~(ЛЛВ)Л~Л)у
V О (Я Л— И Л Я) Л—В).
Из этого следует
гэ С (О (D Л ~(Л Л В) Л ~Л) V О (D Л ~(Л Л В) Л — В)).
Поскольку
Ь С Л (О (D Л ~(Л Л В) Л ~ А) V
V (С Л О (D Л ~(Л Л В) Л —В)),
мы получаем
ЬСд ОФЛ~(ЛЛВ)) =(СЛ О (Я Л ~(Л Л В) Л ~Л)) V
V (С Л О ((D Л ~ (Л Л В) Л ~ В)).
Навешивая кванторы существования, получаем искомый
результат. Аналогично разбирается и второй подслучай.
Случай Ш. Обосновывается посредством I- УхЛ (х) zd
=>Л(а).
Случай Пг. Пусть характеристическая формула мно-
множества, к которой применяется Пг, имеет вид Заг ...
...3ap(DA0(EA~VxA(x))) или За, ... 3ap(D A
А Е А—У/хА(х)). Ограничимся рассмотрением первого
подслучая. Пусть Ь есть переменная, не входящая ни
в D, ни в Е, ни в УхА(х). Имеем
Ь- Е А ~ VxA (х) => ЗЬ (Е А ~ VxA (x) A ~A (b)).
Отсюда получаем f- О C Л ~ У/хЛ (х)) =э <> ЗЬ(Е А —
— Ул:Л(л;) Л — А(Ь)). Согласно теореме Прайора [1956]')
в 55* имеем
Ь О 3Ь (Е А — УхЛ (х) А ~ А (Ь)) г>
=э 3fc О (Е Л ~ УхЛ (х) А ~ Л (ft)).
') Доказательство двойственной теоремы V* D С r> D
приведено, например, в конце § 20 обзора Г. Е. Минца на стр. 498
настоящей книги, — Прим. ред.
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 239
Из этого следует, что
Н О (Е А ~ VxA (х)) гэ ЗЬ О (Е A ~VxA (х) у\ ~ Л (Ь)).
А отсюда уже легко получить |- Зщ ... Зар (D А
х
х
Л ~ А (Ь))).
Случай II. Характеристическая формула множества,
к которой применяется правило, имеет вид Зах ... Зах
... Заи ... Зар (D А 0(Е А ах = ац)) или Зах ... За,
... Заи ... Зар (D А Е А ах = ац). Ограничимся рассмо-
рассмотрением первого подслучая. Очевидно, что \~ () {Е А
А ах = ау) г> О (ах = ау). По теореме Куайна [1953]')
(формула E2) на стр. 80) имеем \- ах = ау г> П (ах — аи).
Отсюда по теореме Прайора [1956]2) (из третьего раз-
раздела его работы) получаем I- О (ах = ау) гэ ах = ау, от-
откуда I- () (E A ax = al))zD ах = ау. Отсюда легко полу-
получить f- За, ... Зах ... Заи ... Зар (О Л О (Е А ах ==
= ау)) =) За! ... Зах ... Заи ... Зар (ах = аи A D А
А О (Е А ах = ау)). Поскольку Ь- За, ... Зах ... Заи ...
... Зар (ах = ау A D А <) (Е А ах = аи)) ^эЗ^ ... Зах ...
... Зац ... ЗарЕ', где Е' есть результат замены ах
на ац в формуле D А О (Е А ах = ау) (после всех необ-
необходимых переименований связанных переменных), иско-
искомый результат доказан.
Случай Y1. Пусть характеристическая формула соот-
соответствующего множества имеет вид Зп\ ... 3ap(D Л
Л О (Е A D А)) или За, ... Зар (D А Е А О А). Ограни-
Ограничимся, как обычно, рассмотрением первого подслучая.
Имеем Ь О (Е А ? А) гэ <> ? Л. Поскольку в 55
Ь- 0 ? А => ? Л, получаем Ь О (Е А ? А) г> П Л. Далее
имеем Ь D Л ^ (С г> Л Л С); этим обосновывается поме-
помещение формулы С в левый столбец каждой главкой
таблицы. Точно так же Ь ? А гэ (О С г> О (С Л А))
') См. сноску на стр. 238. — Прим. ред.
2) То есть в силу цепочки
•'-Прим. ред.
240 ¦¦¦¦' С- А. КРИПКЕ ¦
обосновывает помещение формулы А в левый1 столбец
вспомогательной таблицы.
Случай Yr. Пусть характеристическая формула мно-
множества, к которому применяется правило Yr, имеет вид
За, ... 3ap(D Л <> (Е Л ~П А)) или 3at r.. 3ap{D A
Л ЕЛ — ? А). Ограничимся, как всюду, рассмотрением
первого подслучая. Имеем f- О (? Л — П Л) =э <(> — DA
Далее, поскольку в S5 \- О ~ П Л =э О — ду получаем
Ь D Л О (Е Л ~ ? А) => D Л О (Е Л ~ П А) Л О — А.
Но 0 ~ А есть характеристическая формула новой таб-
таблицы, введенной правилом Yr; после навешивания кван-
кванторов существования получаем искомое утверждение.
Теорема доказана.
• Теорема 5. Если А универсально общезначима, то
в 55*= Ь А.
Доказательство. Поскольку А универсально
общезначима, табличная конструкция, начинающаяся с
А в правом столбце, замкнута (по теореме 1). Пусть
В— характеристическая формула самой ранней стадии
этой конструкции, на которой замыкание доказуемо
(t. fe. самой ранней стадии, на которой каждое альтер-
альтернативное множество содержит такую таблицу, что либо
ока содержит некоторую формулу в обоих столбцах
либо содержит в правом столбце формулу а = а. Те-
Теперь по лемме 4 имеем Ь- Зп\ ... Зар — А =э В. Мы до-
докажем |— ~ В, из чего будет следовать \- -~> За{ ...
...Зпр-^А, откуда уже нетрудно будет получить и
\-А. В о.бщем случае В имеет вид С, V ... V. Сп,
где дизъюнктивные члены Сх представляют альтерна-
альтернативные, множества; чтобы доказать f-~fl, достаточно
для каждого х (It^xs^n) доказать г- ~ Сх. Каж-
Каждый .же член С*.имеет вид Do Л O.Di Л ... Л О Dm;
поскольку множество замкнуто, существует таблица
этого множества, представленная посредством Dy @ ^
^ У ^ tn) и являющаяся замкнутой. Поскольку с по-
помощью R2 из I Ьу можно вывести ( 0 Dy, ясно,
чтэ для получения |—~С достаточно доказать | Dy.
Из определений замкнутой таблицы и характеристиче-
характеристической формулы видно, что раз таблица, соответствующая
Dy, замкнута, то Dy должна содержать либо два конъюн-
конъюнктивных члена Е и ~Е, либо конъюнктивный член
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ '241
s^a — a. В любом случае этого достаточно,• чтобы до-
доказать Ь Dy. Теорема доказана; • :.
Теорема'5 — это и есть наша теорема полноты для
системы 55*=; если исключить из системы все, что. отно-
относится к равенству (а если угодно, то еще и к кванто-
кванторам), то доказательства леммы 4 и теоремы 5 все равно
сохранят силу для соответствующие систеу 55* в 55.
Сопоставляя теоремы 2, 3 и 5, мы получим также след-
следствия:
, Следствие 1. Если формула А системы 55*= об-
общезначима в каждой конечной (непустой) или счетной
области, то в S5*=j— А. . .'..,¦¦'.
Следствие 2. Если формула А системы ,55* об-
общезначима в каждой счетной области (или — поскольку
равномощные области изоморфны — хотя бы в одной
счетной области), то в 55* \—А.
Теорема 6. Если в 55*= \—А, то А универсально
общезначима, . .
.Доказательство. Строя соответствующие се-
семантические таблицы, мы убедимся в том, что каждая
аксиома системы $5*= универсально общезначима. Пра-
Правила оценки для :э позволяют показать, что если А и
А ^э В универсально общезначимы, то универсально об-
общезначима и формула В; таким образом, правило R1 со-
сохраняет универсальную общезначимость. Из теоремы 1
следует, что если А универсально общезначима, то таб-
дичная конструкция, начинающаяся с. А справа, рано
или поздно замыкается. Если мы начинаем построение
таблиц с формулы ПА справа, то правило Yr предписы-
предписывает вписать формулу А в правый столбец новой таб-
таблицы, из чего, опять-таки по теореме 1, следует, что фор-
формула П А универсально общезначима. Таким образом,
универсальная общезначимость сохраняется и при при-
применении правила R2.
Теорема 7. \—А в S5*= тогда и только тогда, когда
формула А универсально общезначима.
Применительно к исчислению высказываний поня-
понятие универсальной общезначимости определяется обычно
с помощью истинностных таблиц. И хотя семантические
таблицы сами по себе дают нам разрешающую проце-
процедуру для 55, хотелось бы построить для этой системы
что-нибудь аналогичное истинностным таблицам. Обычная
242 С. А. КРНПКЕ
классическая (двузначная) таблица истинности есть
не что иное, как множество всех возможных оценок
пропозициональных переменных; каждое множество воз-
возможных оценок для каждой пропозициональной пере-
переменной данной формулы определяется некоторой стро-
строкой истинностной таблицы. Это позволяет с помощью об-
общеизвестных приемов произвести оценку всей формулы.
Для истинностных таблиц системы 55 мы пользуемся
очень похожим определением — с тем лишь отличием, что
некоторые (но не все!) строки в таблице могут быть
опущены. Таким образом, формула имеет не одну, а не-
несколько истинностных таблиц, причем их число опреде-
определяется числом опущенных строк. Связки Л и ~ мы
оцениваем обычным образом. В каждой истинностной
таблице формула ? А оценивается в любой данной
строке как Т, если каждая строка приписывает значе-
значение Т формуле А; в противном же случае формуле ПЛ
приписывается в каждой строке значение F. Формула
В является тавтологией системы S5 в том и только в том
случае, если в каждой строке каждой ее истинностной
таблицы она получает оценку Т. Очевидно, что истин-
истинностная таблица формулы В соответствует множеству
К оценок для этой формулы В, поскольку, по предполо-
предположению, в В входят лишь пропозициональные перемен-
переменные, принимающие два значения: Т и F. Если мы за-
зафиксируем какую-нибудь конкретную строку таблицы в
качестве строки ее значений и обозначим соответствую-
соответствующее распределение значений через G, то мы получим
для В модель (G, К). (Если речь идет об исчислении
высказываний, в упоминании об области D нет надоб-
надобности.) С помощью этих соображений нетрудно дока-
доказать, что для формул системы 55 наше понятие тавто-
логичности совпадает с введенным выше понятием уни-
универсальной общезначимости.
Теорема 8. \—А в 55 тогда и только тогда, когда
А есть тавтология системы 55.
Доказательство. Докажите равносильность по-
понятий тавтологичности и универсальной общезначи-
общезначимости для системы 55 и воспользуйтесь (применительно
к этой системе) теоремой 7.
Другое доказательство. Только что упомя-
упомянутое доказательство, если воспроизвести его во всех
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 243
подробностях, вполне финитно и строго. Но можно было
бы пожелать иметь доказательство нашего утвержде-
утверждения, проведенное по более обычной- схеме, например по
методу Кальмара, использованному Россером [1953] и
Клипи [1952]. Мы сейчас наметим (опуская детали) та-
такое доказательство. Нам понадобятся две леммы. Опре-
Определим прежде всего характеристическую формулу
строки таблицы истинности как конъюнкцию Pi Л ...
... ЛЯтЛ ~ QiA ...Л~ Qn, где все Рх (Qx)— это
пропозициональные переменные, которым данная строка
приписывает значение Т (соответственно F). Характери-
Характеристическая формула истинностной таблицы с выделенной
строкой значений — это, по определению, формула
А) Л О Л, Л ... Л О Ар Л ~ О В, Л ... Л ~ 0 Bq, где
Ло — характеристическая формула выделенной строки
значений, Аи ..., Ар — характеристические формулы
остальных строк данной таблицы, а В и ..., Bq — ха-
характеристические формулы опущенных в ней строк.
Пусть С есть характеристическая формула некоторой
таблицы с выделенной строкой значений, a D — форму-
формула, оцениваемая посредством этой же таблицы. Первая
из наших лемм утверждает, что если выделенная строка
приписывает формуле D значение T(F), то |— С гэ D
(соответственно (-Сг)~Д). (В частности, если D тав-
тавтологична, то 1-CdD для всех возможных С.) Эту
лемму можно доказать индукцией по числу вхождений
символов в формуле D.
Вторая лемма утверждает, что для произвольной
формулы D конъюнкция характеристических формул
всех возможных истинностных таблиц с выделенными
строками значений для D есть теорема системы So. Из
этих двух лемм сразу вытекает утверждение нашей тео-
теоремы, касающееся полноты. Утверждение же о непро-
непротиворечивости доказывается на основе того обстоятель-
обстоятельства, что все аксиомы S5 являются тавтологиями и что
правила R1 и R2, примененные к тавтологиям, приводят
непременно к тавтологиям').
') В одной из своих предыдущих работ я провел это доказатель-
доказательство во всех подробностях, но затем знакомство с работой Бета на-
навело меня на мысль перейти от истинностных таблиц к более общим
семантическим таблицам и соответствующей теореме о полноте.
244 С. А. КРИПКЕ
t - '' ¦ . : - ! . ¦ • ¦ .
:¦: До сих. пор mw не. пользовались кванторами по,про-
по,пропозициональным переменным. Опишем теперь систему
?5 с . пропозициональными кванторами, содержащую
кванторы по пропозициональным переменным и следую-
следующие (помимо тех, что имеются в описании системы S5)
схемы аксиом:
• D) У1РА(¦/>) id A(Q) с обычными ограничениями на
подстановку);
E) VP (Л (Р) гэ В (Я)) =э (V/M (Р) =э VPB (Р));
¦ F) А гэ У/РА (для Р, не входящей свободно
й'А); .,¦¦¦.-¦
G) 3Pj... ЗРпА, где А есть характеристическая
формула истинностной таблицы для системы S5 с выде-
выделенной, строкой значений (в смысле теоремы 8), а
Ри ..., Рп — входящие в эту формулу свободные про-
пропозициональные переменные;
G) представляет собой значительно усиленный по-
постулат В9 Льюиса и Лэнгфорда [1932]; читатель может
убедиться в плодотворности этой схемы на конкретных
примерах. Мы будем, далее, предполагать, что замыка-
замыкание любой аксиомы (посредством кванторов всеобщ-
всеобщности) также есть аксиома. Правилами вывода будут
служить R1 и R2.
Теорема 9. Пусть А есть формула системы S5,
не доказуемая в S5, a Pi, ..., Рп — свободные пропози-
пропозициональные переменные этой формулы. Тогда добавле-
добавление,формулы VPi ... У/РпА к системе S5 с пропози-
пропозициональными кванторами в качестве аксиомы делает
эту систему противоречивой.
Доказательство. Поскольку А не доказуема в
S5, то согласно теореме 8 в некоторой истинностной
таблице имеется строка, приписывающая А значение F.
Пусть В есть характеристическая формула такой таб-
таблицы. По первой лемме ко второму доказательству тео-
теоремы 8 (или по самой теореме 8) НВ=з~^ в S5, а
значит, в S5 с пропозициональными кванторами
(-V^! УР„ (В =э ~ Л), а следовательно, и Ь ЭР] ...
... ЭЯ„агэ ЗР, .. .,ЗЯП~ А. Поскольку ЗЛ ... ЗРпВ
есть аксиома по схеме G), мы получаем |-3Pi.. .ЗР«—Л,
что противоречит VPi ... УР„Л.
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ 245
Теорема 9 представляет собой результат о полноте
для системы 55, аналогичный следствию 2 К/ теореме 10
из § 29 книги Клини [1952] JK ¦' < :•.,.->¦•¦¦-.1
• ТеореМ^ 9 может быть также! переформулирована в
виде утверждения, что если формула А системы 55 с
пропорциональными кванторами Недоказуема в' этой
системе, то присоединение замыкания этой формулы
приводит к противоречивой системе,чвели -сама .формула
А не содержит кванторов по пропозициональным пере^
менным. . . • •; ¦ ¦ . '•• . •. .-\ , ¦ . ,.• . ¦
.[Добавление при к о р р е к ту р« .19 декабря
1958 г.: Выделенное курсивом ограничение можно снять,
распространив табличную конструкции? на .формулы
с кв.анторами rib пропозициональным переменньш. В' ре-
результате мы могли бы получить теорему полноты для
55 с пропозициональными кванторами. Подробности
мы здесь опускаем.] ' -.:....-
Теорема полноты, предложенная в 'настоящей ра1
боте, сформулирована для системы 55. Известно, что
существует ¦ много других модальных ' систем; только
Льюис и Лэнгфорд [1932] описывают пять различных
систем. Если, далее, расширять модальную' логику вве-
введением кванторов и равенства, то возникает ряд-новых
дискуссионных «законов», вроде У/х ? /4(х)^э ? УхА(х)
или VaVft (a = Ъ =э П а = Ь). Для некоторых из получаю-
получающихся систем, отличных от 55*=, возникают й другие
понятия полноты, и сравнение этих систем с точки зре-
зрения их «приемлемости» может опираться на исследова-
исследование этих новых семантических понятий. К такого рода
рассмотрениям во всех подробностях мы рассчитываем
обратиться в следующих работах. ¦ .
') Для S5 можно дать., и. другую формулировку терремы&, не
использующую аппарата пропозициональных кванторов, постулируя
правило подстановки для пропозициональных переменных. В такой
системе мы все формулы, получающиеся из формул вида G) заменой
всех кнанторов существования на один знак отрицания, постулируем
в качестве опровержимых (см. Карпап [1942]). Получающаяся система
оказывается полной в том смысле, что каждая ее формула доказ.уема
или опровержима; таким образом, присоединяя к этой системе лю-
любую недоказуемую в ней формулу в качестве аксиомы, мы пбйучим
противоречие в смысле Карнапа. :
246 С. Л. КРИПКЕ
ЛИТЕРАТУРА
Бет (Beth E. W.)
[1955] Semantic entailment and formal derivability, Mededelingen
Koninkl. Nederl. Akad. Wetenschappen, Ajd Letterkundem
n. s. 18, 309—342.
[1959] The Foundations of Mathematics, Amsterdam. [Русский
перевод выдержек из §§ 67, 68, 70, 92: Бет Э. В., Ме-
Метод семантических таблиц, в сб. «Математическая теория ло-
логического вывода», «Наука», 1967, 191—199.]
К а р и а п (Carnap R.)
[1942] Introduction to semantics, Harvard Univ. Press.
К а р р и (Curry H. B.)
[1950] A theory of formal deducibility (Notre Dame Math. Lectures,
No. 6).
К л и и и (Kleene S. С.)
[1952] Introduction to metamathematjcs, N.Y., Van Nostrand. [Рус-
[Русский перевод: Клшш С. К., Введение в метаматематику,
«Мир», 1957.]
К у я и н (Quine W. v. О.)
[1953] Three grades of modal involvement, Proc. of the XI Internaf.
Congr. of Philosophy 14, 65—81.
Льюис. Л э и г ф о р д (Lewis С. 1., Langford С. II.)
[1932] Symbolic logic, Century Co.
Прапор (Prior A. N.)
[1956] Modality and quantification in S5, JSL 21, 60—62.
P о с се p (Rosscr J. B.)
[1953] Logic for mathematicians, McGraw-Hill.
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОМЕСТНОГО
МОДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ*)
Саул А. Кр и п ке
Одноместное исчисление предикатов первого поряд-
порядка, как известно, разрешимо. В настоящей заметке до-
доказывается неожиданный, на первый взгляд, результат,
заключающийся в том, что для модальной системы, ос-
основанной на одноместном исчислении предикатов, ана-
аналогичное утверждение неверно; оказывается, что такой
одноместный фрагмент — и даже фрагмент, состоящий
из одноместных формул, построенных с помощью всего
двух конкретных предикатов, — неразрешим.
Под модальным исчислением предикатов мы будем
понимать формальную систему MQ, удовлетворяющую
следующим условиям: A) в ней есть в качестве исход-
исходных или вводятся по определению связки Л, ~ и О
(конъюнкция, отрицание, необходимость) и квантор
всеобщности Ух; формулы системы строятся обычным
образом с помощью этих связок и произвольных «-мест-
«-местных предикатных букв; B) любая формула (схема)
системы MQ, построенная с помощью одних лишь опе-
операций Л и ~ (но не П) и кванторов всеобщности,
истинная (общезначимая) в смысле обычного экстенсио-
экстенсионального ') исчисления предикатов, доказуема в MQ;
C) система MQ содержит правило подстановки (прави-
(правила 404п из книги Чёрча [1956]) в качестве исходного или
выводимого правила; D) MQ есть подсистема системы
S5* из [К59]. (Для понимания последующего существен-
существенно знакомство с работой [К59]; в настоящей статье ис-
используются те же обозначения и терминология, что в
IK59].)
Условия A) — D) очень естественны: они выпол-
выполняются для всех систем модальной логики с кванторами,
*) S. A. Kripke. The undecidability of monadic modal quanti-
quantification theory , ZMLGM 8 A962), 113—116.
') О значении этого эпитета см. работу Крппке [1959] (цитируе-
(цитируемую ниже в пределах настоящей статьи как [К59]), второй абзац на
стр. 227 настоящей книги, — Прим. перев.
248 '' ' " г ' ::! С. А. КРИЛКЕ ¦¦¦••¦
рассматривавшихся до сих пор в литературе,¦ 'и, ве-
роятно.'д'лй .подавляющего большинства тех, которые •'
оудут-' когда-либо описаны/ Условия эти можно даже, ¦
если понадобится, несколько ослабить; например, уело-;--
вие C) можно опустить'Совсем, если в условии B) го- -
ворить не о доказуемости формулы, а о доказуемости Ь<'-
Мц любого,ее Подстановочного частного случая.- ¦•¦'¦'¦ '"¦
'¦'¦ Перейдём '^ейёрь к' доказательству неразрешимости¦>
одноместного фрагмента системы' MQ'. Для этой цели-
мы покажем,'что проблема разрешения для экстенсио-<'>
нального узкого исчисления1 предикатов (как известно,
неразрешимой)' сводится к проблеме разрешения для5
фрагмента F системы MQ, состоящего из одноместных ,:
формул'с двумя предикатными буквами. Более точиб: г
каждой' данной замкнутой формуле А исчисления пре-
предикатов первого-: порядка мы сопоставим некоторую-
замкйу1ую формулу А* из F, причем* так,':что А общезна^ ¦
чима (в-'обычном экстенсиональном смысле) тогда «¦
только тогда, когда /4* доказуема b'F. Otcibfla, посколь-
поскольку известно, что проблема распознавания общйЗначи- •
мостй: (экстенсиональных) кванторных схем с одной дву-:
местной предикатной буквой неразрешима, упомянутая
в предыдущих'фразах редукция приводит к выводу и о
неразрешимости проблемы разрешения для F. ' ' '¦¦•
Пусть fеперь нам да»а замкнутая формула А экстен-
экстенсионального исчисления предикатов, содержащая в точ-
точности одну двуместную предикатную букву R{x,y); ой- '
ределим А* как результат замены R(x,y) на; (){Р(х)Л
AQ(y)) (Р и Q — некоторые фиксированные одномест-1
ные предикатные буквы) во всей формуле-Л. Очевидно^
что А* есть модальная формула, содержащая в точности'
две одноместные предикатные буквы; иными- словами, •
эта'формула принадлежит фрагменту F. С другой сто*
роны.'она представляет собой подстановочный частный
случай схемы А. Поэтому если А есть общезначимая
схема экстенсионального исчисления предикатов, мы
немедленно получаем из условий B) и C), что А* до-» ¦
казуема в MQ.
Обратно, покажем, что если А не общезначима в
экстенсиональном исчислении предикатов', то А* не до-
доказуема в MQ. Пусть А не общезначима; тогда в силу-
условия D), чтобы показать, что А* не доказуема в MQ, ¦
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ОДНС-MEQTHi .ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 249.
достаточно показать, что .она не, доказуема ,:в S5*. Но
теорема- Лёвенгейдоа — Скулема позволяет утверждать,.:
что если А ие общезначима, то для нее найдется контр-
контрмодель в области D целых положительных чисел; это
означает, что при приписывании .предикатной букв.е
R(x,y) некоторого определенного множества W упоря-i
доченных пар целых положительных чисел, формула А:
оказывается ложной (принимает значение F)b области
целых положительных' чисел в, силу обыч.кой,процедуры ,
оценки. Мы покажем, -пользуясь ;теоретикр?модельной.
техникой работы [К59], что- А* имеет контрмодель
(G,K) (т. е. модель (G,K\ в которой G приписывает
формуле Л* значение F) в области D целых положат •.
тельных чисел. Требуемую модель (G,K) мы.определим .
следующим образом: в качестве К возьмем некоторое:';
счетиое множество оценок (приписываний) для А*; эти
оценки МЫ' Занумеруем, целыми положительными индек-
индексами, обозначая л-ю оценку через Нп. Вместо Я] будем
писать G: Поскольку Р(х) и Q(y) суть единственные пре-.
дикатные буквы, входящие в А*,, и поскольку А* не со-
содержит свободных индивидных переменных, для точного,
задания каждого Нп достаточно указать, какие мнрже-.
ства целых положительных чисел приписываются входя-.,
щим в А* одноместным предикатным переменным Р и Q.
Это указание производится следующим образом: одно-
одноместной предикатной переменной Р оценка Нп приписы-
приписывает множество всех таких целых положительных чисел .
т, что (ш,я)еЧ' (здесь W — то самое множество. упа-:
рядоченных пар целых положительных чисел, которое
выше было приписано двуместной предикатной букве.
R{x,y))\ предикатной же переменной Q Нп приписывает
одноэлементное множество, единственным элементом
которого служит п. Поскольку мы задали таким обра-
образом оценки Нп для каждого целого положительного п,
мы получили модель (G, К) в смысле работы [К59].
Покажем теперь, что при любом целом положитель-
положительном i Hi приписывает составному двуместному преди-
предикату О (Р(х) A Q(y)) множество упорядоченных пар *?..
Говоря более точно (пользуясь терминологией [К5&]),
мы покажем, что если переменной х приписано целое
положительное т, а переменной у — целое положитель-
положительное п, то Hi приписывает (} (Р(х) /\ Q{у)) значение 1"
250 С. Л. КРИПКЕ
тогда и только тогда, когда (in, ra)e4F; в противном же
случае та же оценка приписывает О (Р(х) Л Q(у)) зна-
значение F. Пусть х приписано число т, а у — число
п. Тогда, в соответствии с правилами оценки для О>
независимо от i оценка Я; приписывает О {Р(х) Л Q(y))
значение Т в том и только в том случае, когда су-
существует такая оценка Hj, которая приписывает
О (Р (х) Л Q (у)) значение Т. Но из данных выше опре-
определений оценок Я^ видно, что когда у приписано п,
лишь одна оценка Я„ приписывает Q(y) значение Т —
для всех же / ф п оценки Hj приписывают Q(y) значе-
значение F. А из этого в свою очередь следует, что Нп яв-
является единственной оценкой, которая может приписать
(> (Р (х) Л Q (у)) значение Т; поэтому если какая-либо
оценка Hi приписывает формуле ()(Р(х) Л Q(y)) зна-
значение Т, то, поскольку из этого следует существование
такой оценки, то это должно быть именно Я„. Но если
О (Р(х) Л Q (у)) приписано оценкой Нп значение Т,
то значение Т приписано этой же оценкой и Р(х), так
что пг есть элемент множества, приписанного предикат-
предикатной букве Р оценкой Я„. Вспоминая определение Я„,
мы видим, что пг есть элемент этого множества в том и
только в том случае, когда (пг, fi)ef. Таким образом,
первое из доказываемых утверждений мы получили, а
именно, доказали, что если Я,- приписывает 0 (Р(х) Л
Л Q (у)) значение Т, то (m, ra)e W. Обратное же утверж-
утверждение доказывается еще проще. В самом деле, пусть
'(пг, п)е?, х приписано число т, а у — число п. Тогда
из определения Я„ очевидно, что Я„ приписывает и Р(х)
и Q(y) значение Т. Поэтому Яп приписывает значение
Т и (Р(х) Л Q (у)), так что при любом i H{ приписывает
значение Т также и формуле О (Р(х) Л Q(y)), что и тре-
требовалось доказать.
Окончательно, мы показали, что если х приписано
значение т, а у — значение п, то каждое Hi приписывает
О (Р (х) Л Q (у)) значение Т в том и только в том слу-
случае, когда (т, n)e4F. Но в исходной экстенсиональной
модели для А правило приписывания для R(x,y) было
в точности таким же: если х и у приписаны соответст-
соответственно значения т и п, то R(x,y) приписывается значе-
значение Т тогда и только тогда, когда (т., гс)е" XY. Но это
приписывание для R(x,y), но предположению, приводит
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ОДПОМЕСТН. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 251
к оценке формулы А как ложной в области целых поло-
положительных чисел. Поскольку же формула А* получена
из А в результате замены R предикатом О (Р (х) Л
Л Q (у)), а каждое Hi <= К дает в точности ту же оцен-
оценку для 0 (Р(х) Л Q (*/)), что ранее для R(x,y), то ясно,
что любое Hi e К приписывает А* значение F, так что
эта формула оказывается не истинной в модели (G,K).
Поэтому если А не общезначима в экстенсиональном
смысле, то и А* не общезначима в смысле [К59], а по-
потому и не доказуема в S5*. Нам остается теперь лишь
вспомнить, что в силу условия D) недоказуемость в S5*
влечет недоказуемость в MQ.
Таким образом, мы показали, что А общезначима в
экстенсиональном смысле тогда и только тогда, когда
А* доказуема в MQ. Поэтому проблема разрешения для
экстенсиональных формул с одной двуместной преди-
предикатной буквой сводится к проблеме разрешения для од-
одноместного фрагмента MQ. Поскольку же первая из
этих проблем неразрешима, то это относится и ко вто-
второй, что и требовалось доказать.
В следующей работе мы распространим полученный
результат на интуиционистское исчисление предикатов;
эта система, подобно рассмотренным здесь модальным
системам, обладает неразрешимым одноместным фраг-
фрагментом. Таким образом, разрешимость одноместного
фрагмента является, по-видимому, «привилегией» клас-
классического исчисления предикатов.
[Добавление при корректуре, 2 августа
1962 г. Уже после написания настоящей работы автор
познакомился со статьей Полиферно [1961], где сооб-
сообщается о решении проблемы разрешения для нескольких
систем одноместного функционального исчисления с мо-
модальностями. Мы будем далее пользоваться обозначе-
обозначениями работы Полиферно. Поскольку все системы
Полиферно содержат аксиому А10 (стр. 139 его ра-
работы)
Эх~(> Л=>~(>ЗхЛ,
ложную в S5*, к этим системам не относится результат
нашей работы. Более того, аксиома А10 фактически
сводит системы Полиферно к обычному исчислению вы-
высказываний. В самом деле, подставляя в эту аксиому
252 . , . С. л.
вместо А формулу Вх Л — By,мы получим
¦¦ (а)" • 3*~ <У:(Вх Л -г- By) =э ~<> 3* (Я* Л
Поскольку, далее., формула —Х>(Ву А—By) 'дока-
'доказуема, то. доказуема, (с помощью' аксиомы Д?Шлй-
ферно) и '¦''"' ' , . . . /
(b) ... .. Вх'~О(ВхА~Ву). ' ¦ ' -...i
Из ,(а) и (Ь) мы получаем —()Зх(Вх А—By) и, сле-
следовательно,.
(c) ~ Эх (Вх А ~ By).
Применяя к (с) правила Полиферно R3 (обобщение), и
FQ (введение необходимости), мы получаем
(d) ¦• = '¦' ? VyVx (Bx => By).
Но совершенно ясно, что истиннрсть формулы (d) с не-
необходимостью означает, что в системе имеется всего
лишь один индивид, так что система эта сводится к ис-
исчислению высказываний. Поэтому рассмотренные По-
Полиферно системы разрешимы тривиальным образом,
посредством обычных разрешающих процедур для
Модальных пропозициональных логик. В то же время раз-
разрешающая процедура, .предложенная самим Полиферно,
ошибочна. Как замечает Полйферно на стр. 150 своей
работы, если бы era разрешающая процедура была вер-
верна, формула 3xfx гэ \fxfx не была бы. выводима; меж-
между тем эта формула легко следует-из (d).
Работа Полиферно побуждает меня дать следующий
интуитивный комментарий к результату настоящей
статьи. Представляется, что этот результат мог бы
быть неверен для систем, не содержащихся в S5*. Ко-
Конечно, разрешимыми могут оказаться, например, одно:
местные модальные системы с кванторами, основанные
непосредственно на -^-модальной системе Лукасевича.
Но, по мнению автора этих строк, ^-модальная система
вообще интуитивно неприемлема в качестве модальной
логики. Вообще, мало правдоподобно, чтобы хоть какая-
нибудь «интуитивно приемлемая» одноместная модаль-
модальная логика была бы разрешима; это видно из следую-
следующего рассуждения. Суть результата настоящей работы
может быть, грубо говоря, сведена к утверждению, что
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОМЕСТН. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ '253
любое отношение R(x,y) между целыми' положитель-
положительными числами может быть выражено в виде '() (Р(х) Л
AQ (#)):. ^ интуитивной точки зрения, для «прием-
«приемлемости» такого утверждения достаточно допустить, что
для произвольного целого положительного числа п воз-
возможно, что существует в точности п планет, и что необ-
необходимо, чтобы число планет было каким-то вполне
определенным. В самом деле, мы можем тогда для про-
произвольного отношения R(x,y) между целыми положи-
положительными, числами в качестве Р(х) взять предикат «су-
«существует такое число г, что существует в точности z
планет, и R(x, z)», а в качестве Q(y) —предикат «суще-
«существует в 'точности у планет». Автору кажется невероят-
невероятным, чтобы могла найтись «хорошая» модальная систе-
система, в которой не проходил бы какой-нибудь формаль-
формальный аналог только что приведенного рассуждения.
В сфере модальной логики разрешимым одноместным
модальным системам попросту нет места.]
ЛИТЕРАТУРА
К р и п к е (Kripke S. А.) ...
[1959] A completeness theorem- in modal logic, /SL 24, 1—14.
[Русский перевод: Крипке. С. А., Теорема полноту в мо-
модальной логике, наст, кн., 223—246.]
Полиферно (Poliferno M. N.)
[1961] Decision algorithms for some functional calculi with mo-
modality, LA 4, 138—153.
4 ё р ч (Church A.)
[1956] Introduction to mathematical logic, I, Princeton. [Русский
перевод: Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, т. I,
ИЛ, I960.]
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ
ЛОГИКИ. I.
НОРМАЛЬНЫЕ МОДАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ*)
Саул А. Крипке
В настоящей статье делается попытка распростра-
распространить результаты работы [К59]') из области исчисления
высказываний на класс так называемых «нормальных»
модальных систем. Этот класс включает, наряду с S5,
системы М и S4. Мы рассмотрим также новую систему—
«брауэрову». В последующей статье мы предполагаем
расширить исследование на ненормальные модальные
исчисления высказываний (см. [К59а], где перечисляются
рассматриваемые системы), а также на кванторные рас-
расширения с равенством и без равенства всех этих про-
пропозициональных систем модальной логики (детали см.
в [К59а]; некоторые указания о построении кванторных
расширений можно найти в [К59]). Предполагается осно-
основательное знакомство с [К5Э]: многие доказательства
настоящей статьи (которые иногда оказываются не-
несколько сжатыми ввиду большого количества рассма-
рассматриваемых здесь систем) могут быть лучше поняты при
сопоставлении с соответствующими доказательствами
из [К59].
1. НОРМАЛЬНЫЕ МОДАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Модальное исчисление высказываний (МИВ) задается
бесконечным списком пропозициональных переменных
Р, Q, R, ..., которые можно комбинировать, используя
связки Л> ~> ?> и получать (правильно построенные)
формулы (ППФ), как это описано в [К59]. (Пропози-
(Пропозициональные переменные являются, таким образом, ато-
*) S. A. Kripke, Semantical analysis of modal logic I.
Normal modal propositional calculi, ZMLGM 9 A963), 67—96.
') Работы Крипке [1959] и [1959а] па протяжении данной статьи
будут обозначаться соответственно [K59J и [К.59а]. —Прим. ред.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 255
марными формулами описываемых систем. В дальней-
дальнейшем буквы Р, Q, R, ... мы будем использовать как
метапергменные, пробегающие множество атомарных
формул, а буквы А, В, С, ...—как метапеременные,
пробегающие множество произвольных формул.) Мо-
Модальное исчисление высказываний называют нормаль-
нормальным, если в нем содержатся в качестве теорем схемы
аксиом А1 и A3 из [К59], а в качестве допустимых
(выводимых) правил вывода — два правила R1 и R2
из [К59]:
A3. ? (Л =э В) zd (? А гз ? В).
R1. Если Ь-Л и г-Лгз.8, то \-В.
R2. Если Ь- Л, то Ь- ? А.
(В ненормальных системах, рассматриваемых в дру-
другой статье1), не выполняется R2; в статье о квантор-
ных расширениях мы рассмотрим также системы, не-
ненормальные в том смысле, что они модифицированы
в направлении системы Q Прайора.) Система М (или Г)
Фейса [1937—1938] —фон Вригта [1951] задается аксио-
аксиомами 'А 1 и A3 и правилами R1 и R2. Система S4 полу-
получается из М добавлением схемы аксиом
А4. ? Л => ? ? А.
Брауэрова2) аксиома (Лыоис и Лэнгфорд [1932],
стр. 497)—.это схема
Брауэрова система получается из М добавлением брау-
эровой аксиомы. Наконец, S5 определяется как в [К59]:
М плюс схема
А2. ~П А => П~П А.
Известно, что S4 плюс брауэрова аксиома экви-
эквивалентна S5 (см. приложение к книге Льюиса и Лэнг-
') См. следующую статью автора (стр. 304—323 настоящей
книги). — Прим. ред.
2) Учитывая происхождение этой аксиомы, ее лучше бы на-
называть «антибрауэровой» (она появляется при переводе закона
лвойного отрицания А гэ "~| "~| А в модальный язык в результате
замеиы ~] на «сильное отрицание» D~). — Прим. ред.
,256 ¦ ¦ 'С. А.1 крипке ¦
форда [1932й-^1959}). В настоящей статье выясняется,
что эта: теорема, по существу, эквивалентна другой',
хорошо известной и более простой теореме: рефлек-
рефлексивное, транзитивное, симметричное отношение разби-
разбивает свою область определения на непересекающиеся
классы эквивалентности (см. ниже, пп. 2.1 и 2.2).
2. НОРМАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Нормальной модельной структурой (и. м. с.) назы-
называется упорядоченная трЧжка (G, К, R), где К — не-,
пустое множество, GeK, a R —- рефлексивное отноше-
отношение, определённое на К. Если отношение R транзитивно,
то мы назЪвем н. м. с. Si-модельной структурой; если
R симм'етрично, то назовем ее брауэровэй структурой,
а если R есть отношение эквивалентности, то Sb-модель-
ной структурой. Нормальную модельную структуру мы
будем; также называть М-модельной структурой/'^ этой
статье прилагательное¦ «нормальная» часто будет опу-
опускаться, и мы будем говорить просто «модельная
структура» (м. с).
¦ М- (S4-, S5-, брауэровой) моделью формулы А из
М' (S4-, S5-, брауэровой) системы называется двумест-
двуместная функция Ф(Р, Я), соответствующая данной М-
(S4-, 55-,; брауэровой) м. с. (G, К, R). Первая пере-
переменная Р пробегает множество атомарных подформул А,
а вторая переменная И пробегает элементы К. Множе-
Множеством значений Ф служит {Т, F}, т. е. Ф(Р, Я) = Т
или Ф(Р, H) = F.
Для данной модели Ф, соответствующей м. с. (G, К, R),
определим для каждой подформулы В формулы А и йся-
кого Яе^ оценку — значение Ф(В,Н) (которое может
быть Т ил» F), т. е. определим однозначное расшире-
расширение Ф, первый аргумент которого пробегает все под-
подформулы А, а не только атомарные подформулы. Для
атомарных В (т. е. для пропозициональных переменных)
соответствующие значения Ф(В, Н) уже определены
раньше. Для сложных формул оценка определяется
индукцией по числу связок в формуле. Пусть Ф{В, И)
и Ф(С, Я) уже определены для каждого Я е К- Если
Ф (В, Я) = Ф (С, Я) = Т, то Ф (В А С, Н) = Т; в про-
противном случае Ф(ВДС, #) = F. Если Ф(В, И) = 1,
семантический анализ модальной логики, г 257
то Ф(~ В, H) = F; в противном случае, т. е. если
Ф{В,Н) — р, то Ф(~В, Я) = Т. Наконец, определим
Ф(П В, Я): если Ф(В,Я') = Т для всех Я' из К таких,
что HRH', то положим Ф(П В, Я) = Т; в противном
случае, т. е. когда существует такое Я', что HRH' и
4>(B,H') = F, положим Ф(ПВ, ff) = F.
Формулу Л назовем истинной в модели Ф, связанной
с м. с. (G, К, R). если Ф(Л, G) = T, и ложной, если
Ф(Л, G) = F. Формулу Л назовем общезначимой, если
она истинна во всех своих моделях1), и выполнимой,
если она истинна хотя бы в одной из моделей. Ниже
¦мы докажем (теоремы полноты и непротиворечиво-
непротиворечивости), что формула общезначима в том и только в том
случае, когда она доказуема в соответствующей си-
системе2).
') Фактически мы определяем общезначимость в М- E4-, 55-,
брауэровой) системе как истинность во всех М- E4-, 55-, брауэровых)
моделях. Но явные указания на конкретную систему (М, 54, S5
или брауэрову) впредь будут опускаться и одни и те же замеча-
замечания или определения будут относиться ко всем четырем системам.
Иными словами, когда будет идти речь о М-. S4-, S5- или брау-
брауэровой модели или м. с, то будет подразумеваться, что соответ-
соответствующие определения и замечания имеют место и по отношению
к остальным рассматриваемым системам.
2) Для систем, основанных ца S4 и М, а также на S5 (в не-
некоторой специальной формулировке; см. ниже), Хинтикка пред-
предложил способ построения моделей, аналогичный излагаемому нами.
Т. "Дж. Смай ли и его ученики описали модели этих трех систем,
основанные на работе Маккинси [1945], хотя не совпадающие
буквально, но в принципе, по-видимому, эквивалентные описывае-
описываемым в этой статье. Байяр [1959] доказал полноту S5* независимо
от [К59]. Гийом [1958] использовал семантические таблицы п топо-
топологическом исследовании М и 54; генценовские формулировки,
аналогичные табличным формулировкам, предложены Карри [1950],
Ониси и Мацумото [1957, 1959] и Капгером [1957]. Методы, при-
применяемые Каигером, похожи на наиГ-и, но более сложны. Наи-
Наиболее неожиданное предвидение нашей теории, замеченное как
раз тогда, когда настоящая работа была почти закончена, — это
алгебраический аналог йонссона и Тарского [1951]. Независимо
и не будучи знаком с работой Йонссона и Тарского (хотя, конечно,
много позднее) автор данной статьи получил их основную теорему
с помощью алгебраического аналога своих семантических методов
(доказательство будет опубликовано позднее). Ни одну из упо-
упомянутых выше работ автор не сравнивал со своей работой, ко-
которая не зависит от них (за исключением некоторых идей Карри
[1950]); детальное сравнение может оказаться полезным для
Других.
258 С. А. КРИПКЕ
2.1. Неформальные объяснения
В [К59] автор ввел модели для S5, основанные на
понятии «возможного мира». Мы рассмотрели множе-
множество К возможных миров с одним элементом G, вы-
выбранным в качестве «действительного мира». Высказы-
Высказывание считалось необходимым, если оно было «истинным
во всех возможных мирах». Настоящее исследование
обобщает [К59] в следующих отношениях. A) Снова
перед нами множество «возможных миров», и опять
в нем выделяется один элемент G — «действительный
мир». Каждая атомарная формула (т. е. пропозицио-
пропозициональная переменная) Р получает некоторое истинност-
истинностное значение в каждом мире Я; в действительности
это значение есть Ф(Р, Н). Здесь мы сталкиваемся уже
с некоторым отличием от рассмотрений в [К59]. Так,
в [К59] у нас не было вспомогательной функции Ф,
задающей истинностное значение Р в мире Я; вместо
этого сама Я была «полным приписыванием», т. е. функ-
функцией, приписывающей истинностное значение каждой
атомарной подформуле формулы А. Согласно этому
определению «миры» и полные приписывания истин-
истинностных значений идентичны; различным мирам соот-
соответствовали различные полные приписывания. Это по-
последнее утверждение означает, что нельзя найти два
различных мира, в которых каждой атомарной формуле
приписано одно и то же истинностное значение. Это
предположение, удобное, пожалуй, для 55, неудобно
для общего случая нормального модального исчисле-
исчисления высказываний. В настоящей статье мы отказы-
отказываемся от этого предположения и задаем произвольное
множество К «возможных миров», выделенный «дей-
«действительный мир» G и функцию Ф(Р, Я), приписываю-
приписывающую каждому высказыванию Р некоторое истинностное
значение в мире Я. B) Другое отличие от [К59] связано
с использованием отношения R. Интуитивно отношение R
интерпретируется следующим образом: для данных двух
миров Ни Я2е К, <iHiRH2» читается как «Я2 возможен
относительно Я,», «возможен в Я,» или «зависит
от Я,»1); это значит, что каждое высказывание, истин-
истинное в Я2, возможно в Я,. Таким образом, от «абсо-
J) Говорят также «Я2 достижим из Hi». — Прим. ред.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 259
лютного» понятия возможного мира в [К59] (каждый
мир там был возможен относительно любого другого)
мы переходим к относительному понятию: один мир
является теперь возможным относительно некоторого
другого. Очевидно, что каждый мир возможен относи-
относительно себя самого: это попросту утверждение о том,
что всякое высказывание, истинное в Я, является
также возможным в Я. В соответствии с этой моди-
модифицированной точкой зрения на «возможные миры» мы
оцениваем формулу А как необходимую в мире Ни
если она является истинной в каждом мире, возможном
относительно Н{\ иными словами, Ф(П Л, Я,) = Т тогда
и только тогда, когда Ф(Л, Я2) = Т для каждого Н,
такого, что H}RH2- Двойственным образом, А возможно
в мире Н\ тогда и только тогда, когда существует мир Я.,
возможный относительно Нь в котором А истинно.
Наконец, можно спросить о свойствах отношения R;
например, является ли оно транзитивным, т. е. следует ли
из того, что HtRH2 и H2RH3, утверждение ff,Rff3?
Сказать, что H2RH>,— значит, сказать, что каждая фор-
формула А, истинная в Я3, является возможной в Я2 (т. е.
формула О А истинна в Я2); но тогда, поскольку H{RH2,
то отсюда в свою очередь следует, что формула О А
является возможной («возможно, что возможно» А и
() () А истинно) в Нх. Чтобы обосновать H,RH3, нужно
показать, что если А истинна в Я3, то А возможна в Я,;
но выше мы установили, что по меньшей мере возможно,
что А возможна в Я,; таким образом, нам необходима до-
дополнительная аксиома редукции для обоснования ff,Rff;i:
«возможно, что возможно, означает, что возможно».
Эта 54-аксиома редукции приводит к утверждению о том,
что R транзитивно. Аналогично, брауэрова аксиома озна-
означает симметричность R. В самом деле, предположим,
что имеет место Л=э ? <> А и HXRH2; тогда H2RHl будет
установлено, если мы сможем доказать, что всякое
утверждение, истинное в Я,, возможно в Н2. Но если
А истинно в Я,, то согласно брауэровой аксиоме <) А
необходимо в Я,, т. е. () А истинна во всех мирах, воз-
возможных относительно Н1, В частности, О А истинна в Я2,
что и требовалось доказать. Аксиомы редукции классиче-
классической модальной логики позволяют установить простые
свойства (помимо рефлексивности) отношения R. Если мы
260 С. А. КРИПКЕ
отказываемся от отношения R и просто используем мно-
множество К как в- [К59] (или, что эквивалентно, считаем,
что отношение R имеет место для каждой пары элемен-
элементов из К), то мы тем самым утверждаем, что каждое
возможное высказывание является необходимо возмож-
возможным, т. е. приходим к характеристической аксиоме S5.
К той же аксиоме редукции мы придем, считая просто,
что R есть отношение эквивалентности; см. ниже 2.2.
C) Одно небольшое отклонение от [К59]: в настоящей
статье, если Ф(8, G) = T, то мы говорим, что формула В
истинна в модели Ф; раньше мы говорили, что В обще-
общезначима в модели. Новая терминология, безусловно,
разумнее.
2.2. Связные модели
Пусть отношение R* является «транзитивным замыка-
замыканием» отношения R в смысле Рассела и Уайтхеда [1910]1).
М. с. (G, К, R) называется связной, если для всех ffeK
GR*#. Модель Ф является связной, если она определена
на связной модельной структуре. Мы покажем, что
каждая выполнимая формула имеет связную модель
(или, что то же, что каждая необщезначимая формула
имеет связную контрмодель). (Здесь Ф тогда и только
тогда является моделью для А, когда А истинна в Ф;
в противном случае Ф является контрмоделью для А.)
Пусть А выполняется в модели Ф(Р, Н), определен-
определенной на м. с. (G, К, R). Пусть К.' есть множество всех
Н е К таких, что GR'H, a R' является ограничением R
на К', и пусть Ф'(Р, Я) есть Ф, ограниченная условием,
что Я пробегает К'. Тогда (G, К', R') есть м. с. и Ф'
является моделью в (-G, К', R )¦ Очевидно, что Ф' связна.
Мы докажем по индукции, что Ф'(В, Н) = Ф(В, Н) для
каждой подформулы В формулы А и для каждого Н (= К'.
(Следовательно, окажется, что Ф' является искомой
моделью А, так как Ф(А, G) = T, Ф'(A, G) = T.) Если
В атомарна, то этот результат получается немедленно.
Если утверждение уже доказано для С и О, и В есть
G/\D ала ~С, то проверка утверждения для В три-
тривиальна. Если В есть ? С, то проделываем шаг индукции
') То есть //0R*ff означает существование таких Нх Ип=И,
что для любого i < п имеет место Н^ИН^^— Прим. ред.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 261
следующим образом: мы заметим, что если Я е К', то
HR'H' влечет Н' е К', я следовательно, HRH'. Таким
образом, для Я е.К' HRH' тогда и только тогда, когда
HR'H'. По индукционному предположению, для Я' е К'
Ф(С, Я'^Ф'^.Я'). Тогда A) Ф(ПС, Я) = Т тогда и
только тогда, когда для всякого Н' s К. такого, что
HRH', Ф(С, Я') = Т; B),Ф'(П С, Я) = Т тогда и только
тогда, когда для всякого Я'е/Г такого, что HRH',
ЧУ (С, Я')=Т.
Предыдущее обсуждение показывает, что если
Н ^ К', то правые части A) и B) эквивалентны; так,
Ф(ПС, Я) = Т тогда и только тогда, когда Ф'(ПС, Я) =
= Т, а следовательно, Ф(П С, Я) = Ф'(П С, Я), как и
требовалось.
Таким образом, мы могли бы, не уменьшая общности,
ограничиться рассмотрением связных моделей. Заметим,
что в связной модели, в которой R есть отношение экви-
эквивалентности, любые два мира связаны этим отношением.
Этот факт объясняет адекватность теории моделей [К.59]
для 55.
2.3. Деревья
Тройка (G, К, S), где К — множество, Gg*[, a
S—отношение, определенное на К (не обязательно ре-
рефлексивное), называется деревом (a G называется; его
корнем, или началом), если A) не существует Я е К
такого, что HSG; B) для каждого Н^К, кроме G, суще-
существует единственное Я" такое, что H'SH; C) для каждого
Я е К GS'H. Если HSH', то Я мы назовем предшест-
предшественником Н'\ в терминах, связанных с S, К, можно
охарактеризовать как область определения S, a G как
единственный элемент К,, не имеющий предшественника.
Можно сказать, что S является древовидным (или дре-
древесным) отношением, если существуют G и К, удовлетво-
удовлетворяющие сформулированным выше условиям; они (G и К.)
тогда определяются отношением S.
М-м. с. (G, К, R) называется древовидной (или древес-
древесной) Л1-м. с, если существует такое отношение S, что
(G, К, S) является деревом, a R — наименьшее рефлек-
рефлексивное отношение, содержащее S (рефлексивное отноше-
отношение, «порожденное» S). Очевидно, что в этом случае
HXRH2 тогда и только тогда, когда ff,Sff2 или НУ=Н2-
262 С А. КРИПКЕ
Аналогично, S4- (брауэрова, S5-) м. с. (G, К, R) является
древовидной S4- (брауэровой, S5-) м. с. тогда и только
тогда, когда существует такое отношение S, что (G, К, S)
является деревом, a R — наименьшее рефлексивное и
транзитивное (рефлексивное и симметричное, отношение
эквивалентности) отношение, содержащее S. Заметим,
что S4-M. с. может быть древовидной S4-M. с, но, однако,
не быть при этом Af-м. с; аналогично для других случаев.
Ясно, что каждая древовидная м. с. связна. Согласно
условию C) для каждого Н е К GS'H; а поскольку
SsR, то получаем, что S* s R*. В S5 каждая конечная
или счетная связная м. с. является древовидной S5-M. с.
Это может не выполняться для S4; действительно,
существуют связные 55-модельиые структуры (напри-
(например, К. = [G, И] и отношение R связывает все пары),
являющиеся древовидными 6'5-модельными структу-
структурами, но не являющиеся древовидными 54-модельными
структурами. Тем не менее, когда нет опасности недо-
недоразумения, мы опускаем указание па данную систему,
если она подразумевается в контексте; скажем, говоря
«древовидная м. с», когда рассматривается S4, мы имеем
в виду древовидную S4-M. с. и аналогично для других
систем.
Модель, ассоциированная с древовидной м. с, назы-
называется древовидной моделью. Ниже мы покажем (ре-
(результат более сильный, чем 2.2), что семантическая
теория не потеряет общности, если допускать к рассмо-
рассмотрению только древовидные модели (ср. 3.3). Древовид-
Древовидные модельные структуры допускают удобное наглядное
диаграммное представление (что и повлияло на выбор
их названия): приняв G за корень, соединим G
с каждым Н таким, что GSH, и так далее.
3. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Описызаемое здесь понятие семантической таблицы
(ср. Бет [1955]) сходно с таким же понятием из [К.59],
которое и взято за основу. Опять на каждом шаге по-
построения мы имеем дело с системой альтернативных мно-
множеств таблиц; в каждом множестве одна таблица вы-
выбирается в качестве главной, тогда как другие являются
вспомогательными. Единственное отличие настоящей
семантический анализ модальной логики, i 263
ситуации от [К59] состоит в том, что каждое альтерна-
альтернативное множество системы упорядочивается* рефлексив-
рефлексивным отношением R (связанным с рефлексивным отноше-
отношением R теории моделей) таким образом, что каждый
шаг построения дает теперь систему упорядоченных
альтернативных множеств. Для обозначения таблиц мы
употребляем буквы t, t', t", t|, t2, ...; если tj/?t2, то мы
говорим, что t2 «связана с» t[, или что t2 «вспомога-
«вспомогательна для» tp Правила N1, Nr и А.1 остаются, как
мы увидим, теми же, что и в [К59]. Па самом деле
применяется и старое правило Л г, но его новая форму-
формулировка усложнена (см. ниже). Правила Y1 и Yr изме-
изменены в соответствии с новой трактовкой необходимости
в теории моделей.
С целью установления общезначимости формулы А
мы пытаемся найти контрмодель для этой формулы; если
такой контрмодели не существует, то формула является
общезначимой. Если А имеет вид Л,Л---ЛЛт=э
:э В, V . .. V Вп, то очевидно, что Аи .. ., Ат должны
быть истинными, а Ви ..., Вп ложными во всякой
контрмодели для А. Представим эту ситуацию, помещая
Лц ..., Ат в левый столбец, а Ви ..., Вп в правый
столбец главной таблицы построения; с этого и начи-
начинается наша попытка найти модель, в которой А{, ..., Ат
истинны, а Вх, ..., Вп ложны. Затем мы продолжаем
построение согласно следующим правилам (которые
применяются к любой таблице, главной или вспомога-
вспомогательной).
N1. Если ~ А оказывается в левом столбце таблицы,
то помещаем А в правый столбец этой таблицы.
Nr. Если ~ А оказывается в правом столбце таблицы,
то помещаем А в левый столбец этой таблицы.
Л1. Если А/\ В оказывается в левом столбце таб-
таблицы, то помещаем А и В в левый столбец, этой таб-
таблицы.
Л г. Если Л Л В оказывается в правом столбце таб-
таблицы t, то имеются две возможности расширить таб-
таблицу t: либо помещая А в правый столбец, либо поме-
помещая В в правый столбец.
Если таблица t есть упорядоченное множество 91,
то, очевидно, на следующем шаге у нас будут два
альтернативных множества, в зависимости от того, как
204 С. А КРИПКЕ
предпринимается расширение таблицы t. Говоря нефор-
неформально, если структурная-диаграмма исходного упоря-
упорядоченного множества нарисована на листе бумаги, то
мы целиком копируем дважды диаграмму, помещая
в одном случае дополнительно в правом столбце таб-
таблицы t формулу Л, а в другом случае ставя на это
место В; эти две копии соответствуют двум альтерна-
альтернативным множествам. Я надеюсь, что это объяснение
сделает процесс интуитивно очевидным; формальное же
утверждение довольно громоздко: если в данной таб-
таблице t из альтернативного множества 9> справа стоит
А А В, то 9 заменяется на два альтернативных множе-
множества 9, и 9Ъ где 9]=9-{t}[}[ti}, a 9>.2 = 9>-[l] [} {U},
и таблица t, (t2) аналогична t, за исключением того, что
она содержит вдобавок справа А(В). Так как У упо-
упорядочено рефлексивным отношением R, нам надо опре-
определить упорядочения /?, и R2 на двух новых множе-
множествах 9{ и 92. Говоря неформально, упорядочение /?| (/?г)
множества Ух (9-2) в точности такое же, как упорядоче-
упорядочение 9, если не считать того, что t везде заменена
на t| (t2). Выразим это условие более формально для ??",:
пусть V или t"W любые таблицы из У, отличные от t.
Тогда t'/?|ti в том и только в том случае, когда t'Rt
{в 9), i\Rit' в том и только в том случае, когда t,/?t,
a t R{i" в том и только в том случае, когда t Rt".
Кроме, того, полагаем t|/?,t|, обеспечивая рефлексив-
рефлексивность /?,. Эти условия определяют новое упорядочение Rt
на ??|. Аналогично для ??2.
Y1. Если ? А оказывается в левом столбце таблицы t,
то для каждой таблицы V такой, что tRV, помещаем Л
в левом столбце t'.
. Yr. Если П Л оказывается в правом столбце таб-
таблицы t, то мы составляем новую таблицу V с Л в правом
столбце и такую, что tRV.
Для любого альтернативного множества 9", упоря-
упорядоченного отношением R, сформулированные выше пра-
правила требуют, чтобы некоторые таблицы были /^-связаны
(ср. в особенности Yr и Аг). Вдобавок к этим усло-
условиям сформулируем требования, аналогичные требова-
требованиям для соответствующих модельных структур.-Так как
отношение R в (G, К, R) было рефлексивно, то n.R пред-
предполагается рефлексивным. Кроме того, для 54-таблнц
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ'МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 265
R предполагается транзитивным, в' брауэровых таблицах
R предполагается симметричным, а в 55-таблицах пред-
предполагаются оба последних свойства R. В ЛТ-таблицах
на /?, конечно, нет других ограничений, кроме рефлек-
рефлексивности. Наконец, мы предполагаем, что R имеет место
только в тех случаях, которые указаны выше, и согласно
правилам Yr и Лг (т. е. R оказывается наименьшим
отношением, удовлетворяющим этим условиям).
Как и в [К59], мы называем таблицу замкнутой,
если некоторая формула А оказывается в обоих столбцах
таблицы; множество, по определению, замкнуто, если
некоторая таблица в нем замкнута, а система (альтерна-
(альтернативных) множеств замкнута, если каждое из се аль-
альтернативных множеств замкнуто. Поскольку на каждом
шаге построения мы имеем систему альтернативных мно-
множеств, то можем, наконец, определить замкнутую кон-
конструкцию; это такая конструкция, на какой-то стадии
которой появляется замкнутая система альтернативных
множеств.
Будем, наконец, называть (следуя Галлегеру) кон-
конструкцией (построением) для А конструкцию, начинаю-
начинающуюся с помещения А в правый столбец главной таб-
таблицы данной конструкции.
На правила налагаются-два ограничения с целью
облегчить завершение конструкции. Правила нельзя
применять к формуле, встречающейся в замкнутом
альтернативном множестве; нельзя также применять
правило, если оно «излишне». (Что значит «излишнее»,
видно из примера: правило Yr является излишним, если
уже построена таблица V такая, что t/?t' с Л в правой
части 1': эта таблица V может быть, конечно, самой
таблицей t. Правило N1 явлйётся излишним, если Луже
входит в t справа, и так далее.)
Строго говоря, это можно определить более точно,
если ввести некоторую очередность применения правил.
Но фактически (как станет ясно из семантических ре-
результатов 3.2) такое ограничение порядка было бы
неразумно в связи с вопросом о том, замкнется ли
построение таблицы; эти - правила «перестановочны».
Следовательно, с другой стороны, если это удобно для
отдельного доказательства, мы можем ввести любое
нужное нам упорядочение; этот факт используется в 5.1.
266
С. А. К.РИПК.Е
3.1. Примеры
Ниже приведена 54-конструкция, начинающаяся
с ? (Л Л В) в левом столбце и ? (? А Л ? Я) в правом:
? (Л Л В)
АЛВ
А
В
? A A UB
t, t2
Первая формула в левом столбце таблицы t, задается,
вторая получается по правилу Y1 (вспомним, что R ре-
рефлексивно), а третья и четвертая — по правилу Л1.
Применяя Yr к правой части, мы получаем, как ука-
указано, таблицу t2. Стрелка означает, что iiRi2- В этот
момент правило Лг допускает две возможности. Пред-
Представим эти возможности ниже следующим образом:
ИЛИ
?
?
(А
А
(л
А
Л
Л
Л
В
А
Л
А
В
В)
в
В)
в
? (? Л Л ПВ)
? А Л ПВ
? л
121
? л л пв
пв
] 2
В каждом варианте мы копируем целую диаграмму,
но в одном случае в правом столбце таблицы t2 (кото-
(которая здесь переобозначена через t2i) ставится ? А, тогда
как в другом в правую часть таблицы t2 (которая здесь
переобозначена через t22) помещается ? В. Мы про-
продолжим рассмотрение первого варианта (для второго
оно будет аналогично):
П(АЛВ)
АЛВ
А
В
П(ПАЛПВ)
-
АЛВ
А
> В
ПАЛПВ
ПА
(АЛВ)
(А)
-* (В)
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 267
Применяя опять Yr, мы получаем t3 с Л в правом
столбце. Так как t,/?t2I и ? (А А В) стоит в t, слева,
то помещаем А А В в левой части t2i. Также ввиду
транзитивности стрелки (следования) помещаем в левом
столбце t3 (Л Л В). А теперь по правилу Л 1 в левый
столбец t3 помещаются также А и В. Построение (кон-
(конструкция) замыкается, так как А оказывается стоящим
в обеих частях t3. Отсюда следует, что не может быть
бМ-модели Ф, в которой О (А А В) было бы истинно,
а ? (D A A ? В) ложно. В такой модели, как видно
из построения, каждой t,- (/=1, 2, 3) должен соответ-
соответствовать мир Ht (G = H\) с тем свойством, что для
каждого С имеем Ф(С, #,) = T(F), если С оказывается
слева (справа) в таблице t,-. Поскольку мы выбрали
одну из альтернатив, Л оказалось справа и слева
в t3, и мы получили бы противоречие: одновременно
Ф (Л, #3) = Т и Ф(Л, #3) = F. (В другом варианте мы
имели бы Ф(В, Н3) = Т = F.) Заметим, кроме того, что,
если отношение R не транзитивно, мы не могли бы
получить замыкание; действительно, формулы, заклю-
заключенные в скобки, не оказались бы в t3. Отсюда мы
имели бы на самом деле М-модель Ф, в которой
Ф(П Л АПВ) = 1, вто время как Ф(П {ПА/\ UB)) = F.
Характер этой модели Ф в (Н, К, R) с HiRH2 и H2RH3
можно «высмотреть» из таблиц. Просматриваем те
места, где атомарные формулы встречаются слева и
справа. Так как Л и В стоят в левых частях ti и t2i,
то имеем
Ф (Л, Я,) = Ф (В, Я,) = Ф (Л, Н2) = Ф (В, Н2) = Т;
тогда как, с другой стороны, Ф(Л, #3) = F, поскольку
А стоит справа в t3. В не встречается ни в одной
части t3; это показывает, что значение Ф(В, Я3) можно
задать произвольно. Читатель может проверить, что не-
независимо от того, какое значение мы придадим Ф(В, Н3),
Ф(ПМЛВ), Я,) = Т и Ф(П(П А А О В), Hl) = F.
Далее можно заметить, что построение таблиц не
изменилось бы, если стрелку рассматривать как сим-
симметричное отношение, так что эта модель еще будет
работать, если дополнительно предположить, что H2RHi
и H3RH2. Следовательно, мы получим в результате
268
.С. А.
брауэрову модель с установленными свойствами. Резю-
Резюмируем обсуждение этого вопроса; формула ? (А Л В) :э
э D (D Л Л D S) общезначима в S4, но не в М и не
в брауэровой системе. ... ,
Пусть читатель рассмотрит в качестве упражнения
55-построение, начинающееся с ~ ? А в правом столбце
и ? ~ П А в левом:
U ~ПА
ПА
\
ПА "
А
Так как А оказывается сразу и в левом и в правом
столбцах t3, построение замыкается. Заметим, что мы
потребовали симметрии R, чтобы поместить А в левый
столбец t], тогда как для помещения А слева в t3 требо-
требовались бы симметрия и транзитивность. Следовательно,
ни брауэрово, ни 54-построения не замкнулись бы, а
в 54-построечии А не встретилось бы в левом столбце t(.
Это показывает, что в 55 (в отличие от других
рассматриваемых систем) формула ~пЛэП~П^
общезначима.
3.2. Эквивалентность таблиц и моделей
Этот раздел показывает, что построение для А замы-
замыкается тогда и только тогда, когда А общезначима для
каждой из четырех рассматриваемых систем (или факти-
фактически для любых других систем, в которых на отноше-
отношения R для таблиц и моделей накладываются одинаковые
ограничения). Эта теорема сводится к двум леммам,
аналогичным первым двум леммам из [К59].
Лемма 1. Если построение для А замыкается, то
формула А общезначима.
Доказательство. Предположим для доказатель-
доказательства от противного, что А — не общезначимая формула.
Тогда индукцией по п докажем, что для каждого п
нал-м шаге конструкции найдется альтернативное множе-
множество 9" этой конструкции и отображение а, преобразующее
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 260
таблицы из множества 9* в элементы К, со -следующим
свойством: если t является таблицей из У, Н == a (t),
а В есть любая формула, встречающаяся в левом (пра-
(правом) столбце t, го Ф(В, H) = 7(F). Далее, если t\ и t2
принадлежат 9>, Я, = а(^), a H2 = a{t2), то t,/?t2 влечет
H1RH2.
Заметим, что утверждение очевидно для п= 1. Пусть
у нас только одна таблица t с А в правой части;
если мы положим ct(t) = G, то, как и требуется, полу-
получим Ф(Л, G) = F. Предположим, что нужный результат
доказан для л-го шага построгяия; тогда на n-м шаге
мы имеем альтернативное множество1 9> и отображе-
отображение а с требуемыми свойствами.
Попытаемся теперь распространить этот результат
на (п -f- 1)-й шаг. (п + 1)-й шаг должен быть получен из
л-го по одному из правил, которые приложимы к
некоторой таблице некоторого альтернативного мно-
множества &' на этом шаге. Теперь, если 9" Ф&, то У
остается неизменным на (л+1)-м шаге, и шаг индук-
индукции проверяется тривиально. Теперь пусть У — У*, и,
следовательно, правило применено к некоторой таб-
таблице t из У>. Если это правило Л1, то В А С оказы-
оказывается в t слева и согласно гипотезе для H = a(t) имеем
Ф {В Л С, Н) = Т. Следовательно, Ф{В, Н) = Ф (С, Н) = Т
и, таким образом, когда Л1 требует поместить В и С
в .левом столбце t, требуемые свойства а сохраняются.
Мы будем говорить, что этот факт «оправдывает» пра-
правило Л1.
Аналогично могут быть оправданы правила N1 и Nr.
Если применяемое правило есть Лг, то ВАС оказы-
оказывается в правом столбце t и, по предположению,
Ф(ВАС, H) = F. Следовательно, Ф(В, #) = F или
Ф(С, H) — F. Теперь Лг заставляет нас рассмотреть
обе эти возможности; нам надо заменить таблицу t
из ф на одну из двух альтернативных таблиц tt и t2,
которые совпадают с t, если не считать исключением
того, что в t| еще содержится В, а в t2 содержится С
в правом столбце, и получить два новых альтернатив-
альтернативных множества У>\ и S?2- Если Ф(В, H) — F, то множе-
множество <?", будет удовлетворять всем требованиям; в про-
противном случае Ф(С, H)=*F, и ??2 удовлетворяет всем
требованиям.
270 С. А. КРИПКЕ
Если правило Yr применяется к таблице! с ПВ справа,
то, по предположению, Ф (? В, Н) = F. Правило Yr заста-
заставляет нас ввести таблицу V такую.что tRt' и В стоит
справа в t'. Но поскольку Ф (? В, Н) = F, то, по определе-
определению, существует такой мир Н', что HRH' и Ф (А, Н') = F;
тогда на (п + 1)-м шаге мы можем расширить а, положив
a(t')=H', и это расширенное отображение а будет удовле-
удовлетворять всем требованиям. Наконец, в случае правила Y1,
если ПВ входит в t слева, то на (п-\- 1)-м шаге мы
должны поместить В слева в каждой таблице V такой,
что tRt'. Соответственно, в модели Ф, согласно пред-
предположениям индукции, Ф(П В, Н) = Т, а следовательно,
Ф(В, Я') = Т. Таким образом, когда В помещается
в левый столбец t на (п + 1)-м шаге, требования к а все
еще выполняются. Наконец, в дополнение к правилам,
условия на R (рефлексивность, транзитивность и т. д.)
могут приводить к утверждениям о том, что tRi' для
некоторых таблиц t и t'; надо проверить справедливость
соответствующих отношений HRH' (Н = a (t), Н' = a (t')).
Справедливость этого немедленно следует из того, что
уоловия на отношение R между таблицами такие же,
как ограничения на отношение R в м. с. (G, К, R).
Итак, утверждения, выделенные курсивом, устано-
установлены. Теперь, поскольку конструкция замыкается, то
на некоторой стадии в каждом альтернативном мно-
множестве содержится таблица с некоторой формулой,
стоящей и справа и слева.
Согласно выделенному курсивом утверждению на
этой стадии конструкции уже есть множество 9" и ото-
отображение а, связанное с м. с. (G, К, R) и с моделью Ф
в том смысле, который выражается свойством, запи-
записанным курсивом. Теперь 9" содержит таблицу t с фор-
формулой В в обоих столбцах — правом и левом. Следова-
Следовательно, если // = a(t), то ввиду того, что В встречается
справа и слева в t, имеем Ф(В, H) = T = F, т. е.
противоречие, что и завершает доказательство от
противного.
Лемма 2. Если построение для А не замыкается,
то формула А не общезначима.
Доказательство. Предположим, что конструк-
конструкция для А не замыкается; тогда на каждой стадии
этой конструкции одно из альтернативных множеств
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. 1 271
этой стадии не замкнуто. Мы намерены, как в [К59],
пывести отсюда существование контрмодели Ф для А
на м. с. (G, К, R)- Этот вывод не такой непосредствен-
непосредственный, как может показаться из доказательства соответ-
соответствующей леммы в [К59] (лемма 2); на самом деле
доказательство в [К59] этой леммы было неудовлетво-
неудовлетворительно. Действительно, утверждение в [К59] (стр. 232),
что «существует незамкнутое множество таблиц, являю-
являющееся одним из альтернативных множеств построения»
было совершенно бессмысленным; нам гарантировано
незамкнутое альтернативное множество на каждом
шаге построения, но не такая вещь, как альтернатив-
альтернативное множество для всего построения.
Будем поступать более осторожно. Заметим, что
(л+1)-й шаг построения получается из л-го примене-
применением некоторого правила. Пусть 9 есть альтернативное
множество, которое незамкнуто и не затрагивается этим
правилом; тогда оно не будет изменено на (п+1)~м
шаге, и мы скажем, что множество 9 на (п-\- 1)-м шаге
является непосредственным потомком множества 9 на
и-м шаге. С другой стороны, если правило применяется
к 9 на л-м шаге, то 9 преобразуется по этому пра-
правилу в множество 9' (или, если правило есть Лг,
в два альтернативных множества 9' и 9"'); тогда мно-
множество 9" (или множества 9' и 9") (n-j-l)-ro шага
построения называется (называются) непосредственным
потомком (потомками) множества 9 из л-ro шага.
Аналогично таблицу V на (л + 1)-м шаге мы считаем
«непосредственным потомком» незамкнутой таблицы t
из л-го шага при выполнении одного из следующих
условий: a) t не изменилась по правилу, примененному
для получения (я + 1)"го шага из л-го, и V совпадает
с t; б) t преобразуется по рассматриваемому правилу
в V или (в случае Лг) в две таблицы, одна из которых
есть {'. Как для таблиц, так и для альтернативных
множеств термин «потомок» определяется исходя из
отношений «быть непосредственным потомком». Заме-
Заметим, что в построении для А мы начали только с одного
альтернативного множества. Если теперь мы нарисуем
Диаграмму отношения «непосредственного потомства»
(между альтернативными множествами), то получим
естественную древовидную структуру; и действительно,
272 с: А. крмпке
легко проверяется, что это отношение (точнее, его обра-
обращение) является древесным отношением в смысле 2.3.
Заметим, что если альтернативное множество 9* зам-
замкнуто, то у него нет непосредственных потомков, так
как никакое другое правило в "дальнейшем не приме-
применяется к нему '). Следовательно, дерево, соответствую-
соответствующее замкнутому построению, конечно. Если построение
не замыкается, то дерево может быть конечным или
бесконечным. Предположим, что оно конечно; тогда
ясно, что в построении содержится только конечное
число шагов. Так как построение не. .замыкается, to
заключительный шаг построения содержит по меньшей
мере одно альтернативное множество, которое не
является замкнутым. Выберем такое альтернативное
множество и назовем его #V
Теперь в этом конечном случае легко определить
контрмодель для А. Пусть (G, К, R) будет модельной
структурой, в которой К является альтернативным
упорядоченным множеством 9"^, R есть отношение R,
которое упорядочивает S%, a G является главной таб-
таблицей &0. Определим модель Ф(Р, Н)(Р—атомарная
формула, ffeK), полагая Ф(Р, Я) = Т тогда и только
тогда, когда Р оказывается в левом столбце Н (напом-
(напомним, что /С = ^о есть множество таблиц!); в противном
случае Ф(Р, H) = F. Теперь мы покажем индукцией по
числу символов в формуле В, что если В оказывается
в левой (правой) части Н, то Ф(В, Н) = Т (Ff. Для ато-
атомарной В, появляющейся слева, это содержится в опре-
определении. Если В оказывается справа и атомарна, то
отметим, что ввиду незамкнутости построения В не
может появиться слева, и следовательно, Ф(В, H) = F.
Если ВАС оказывается в Н слева, то по правилу Л1
(и тому обстоятельству, что построение оканчивается
на шаге, содержащем 9>0, так что все правила построе-
построения уже были применены), обе формулы В и С должны
') Говоря более подробно, заметим, что эти определения уже
исключили возможность того, что замкнутое множество (таблица)
имеет непосредственного потомка, а тот факт, что никакое правило
неприменимо к такому множеству (таблице), обосновывает эту
процедуру. Незамкнутое, множество (таблица), к которому не при-
применяется никакое правило на некотором шаге, имеет непосред-
непосредственного потомка на следующем шаге, а именно — самого себя.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 273
оказаться вЯ слева; следовательно, в предположении
индукции Ф(В, Я) = Ф(С, #) = Т, по определению,
получается, что Ф(ЙЛС*#) = Т. Аналогично, если
ВАС встречается справа в Я, то 8 или С (скажем, В)
также оказывается в Н справа; тогда по предположению
индукции, Ф(В, Н) = F и, следовательно, Ф(ВЛС, H) = F,
как нам и нужно. В. случае отрицания рассмотрения
аналогичны. Если ? В оказывается слева в Н, то по
правилу Y1 (и потому, что построение завершено) В
оказывается слева в каждой таблице Н' из К такой,
что HRH'. Следовательно, согласно индуктивному пред-
предположению, для всех Н' таких, что HRH', мы полу-
получаем Ф(В,Н') = Т; таким образом, по определению
Ф(Пб> Jf) = T. Если ? В стоит справа, то правило Yr
дает нам Н' с В в правом столбце, и HRH'; согласно
индуктивному предположению Ф(В, H') — F, так что
Ф(ПВ, H) = F, и индукция проведена. Теперь надо
учесть, что А встречается в правом столбце G, чтобы
заключить, что Ф(Л, G) = F, т. е. что Ф является контр-
контрмоделью для А. Этим завершается рассмотрение конеч-
конечного случая.
. С другой стороны, если конструкция бесконечна и,
следовательно, не замыкается, то надо применить лемму
Кёнига о бесконечности к соответствующему дереву.
Согласно этой лемме бесконечное дерево должно со-
содержать бесконечный путь; тогда возьмем соответ-
соответствующую этому пути бесконечную последовательность
< ^2, ... незамкнутых альтернативных множеств,
каждог из которых является непосредственным потом-
потомком своего предшественника в этой последовательности
(здесь <УХ соответствует первому шагу построения,
9*2 — второму и т. д.). Назовем эту бесконечную после-
последовательность а. Заметим, что каждая таблица t из 9"п
имеет единственного непосредственного потомка V
в 9"п + 1- Если t — таблица из ff>n, которая не является
непосредственным потомком никакой таблицы из 9>п-\,
то либо п= 1 либо t была введена в <?"„ по правилу Yr;
в любом случае мы назовем t начальной таблицей а.
Последовательность таблиц, первый элемент которой
является начальной таблицей а (скажем, таблицей из 9>п),
такая, что каждый элемент после первого является
непосредственным потомком своего предшественника
274 С. А. КРИПКЕ
в последовательности а, называется псевдотаблицей
из а. Псевдотаблица (единственная) из а, первый член
которой является таблицей, которая начинает построе-
построение (с Л в правой части), называется главной псевдо-
псевдотаблицей из а. Псевдотаблица может содержать не
более одного элемента, который является таблицей
из 9*m; если она содержит такую таблицу, то скажем,
что псевдотаблица имеет представителя в SPm. Если Т!
и т2 — две псевдотаблицы из а, то мы скажем, что х^х%
тогда и только тогда, когда существует 5?т с предста-.
вителями t, и t2 из т, и т2 в 9*m такими, что ti /?t2.'
Очевидно, поскольку отношение R рефлексивно и по-
поскольку каждая псевдотаблица содержит представителя
в некотором <Ут, р также рефлексивно. Заметим,
кроме того, что для т> п любая псевдотаблица т с
представителем в ЗРп имеет представителя также и в ЗРт.
Используя этот факт, легко усматривается, что из
транзитивности (симметричности) R следует транзитив-
транзитивность (симметричность) р.
Пусть дана псевдотаблица т: t, t', t", ... Положим,
по определению, что формула В входит в левый (пра-
(правый.) столбец т тогда и только тогда, когда она входит
слева (справа) в некоторую таблицу, являющуюся эле-
элементом последовательности т. Теперь мы видим, что
псевдотаблицы ведут себя подобно таблицам. Далее,
если ВАС входит в т слева, то также слева в т вхо-
входят В и С, а если В /\ С входит в т справа, то либо В,
либо С должно входить в т справа. Это следует из того
что когда формула ВАС входит в т слева, она должна
войти слева в некоторую таблицу t последователь-
последовательности т, а потому входит слева во все таблицы,
следующие за t. Где-то после этого места пра-
правило Л1 применялось к таблице t', содержащей слева
ВАС, так что в непосредственно следующей таблице t"
обе формулы В и С встречаются в левой части т.
Следовательно, по определению В и С оказываются
в левой части т. Доказательство того, что т обладает
подобными же свойствами относительно Лг, N1, Nr,
проводится так же. Дальше, для Yr можно доказать,
что если ? В оказывается п правом столбце т, то суще-
существует такая т' в а, что В встречается в правом
столбце %' и трт'. Для этого предположим, что t есть
СЕМАНТИЧЕСКИ!! АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 275
таблица из т с ? В в правом столбце; тогдапо Yr суще-
существует таблица t', начальный элемент некоторой после-
последовательности (псевдотаблицы) т', такая, что t/?t', и В
входит в правый столбец t'; тогда, по определению, В ока-
оказывается в правом столбце т' и трт'. Аналогично, если ? В
встречается в левом столбце т, то В встречается в левом
столбце всякой псевдотаблицы т'такой, что трт'. Наконец,
отметим, что т не может содержать никакую формулу В
одновременно слева и справа. Если бы В входила в оба
столбца последовательности т, то нашлись бы таблицы!
их/ из т такие, что В входила бы в t слева, а в Г—справа.
Из пары таблиц t и f одна должна встречаться раньше в
последовательности т; предположим (не теряя общности),
что это таблица t. Тогда В встречается не только слева
в t, но и слева в V, так что Г как таблица оказывается
замкнутой. А так как замкнутая таблица не имеет не-
непосредственных потомков, бесконечная последователь-
последовательность т не может содержать замкнутую таблицу, во-
вопреки нашему предположению. Таким образом, никакая
формула не может оказаться сразу в обоих столбцах т.
Теперь должно быть очевидным, что множество всех
псевдотаблиц т из а, упорядоченных отношением р, можно
заменить множеством SP0, которое было использовано
в предыдущем доказательстве; псевдотаблицы обладают
свойствами, аналогичными соответствующим свойствам
таблиц. На самом деле, контрмодель для А теперь
строится так: определяем iM. с. (G, К, R), принимая
за G главную псевдотаблицу в а, за К — множество
всех псевдотаблиц т в а, а за R — отношение р. Кроме
того, определяем модель Ф(Р, Я), приписывая Ф зна-
значение Т тогда и только тогда, когда Р оказывается в ле-
левом столбце некоторой псевдотаблицы (в противном слу-
случае — F). Тогда, как и в конечном случае, легко показать,
что это будет контрмодель для А.
3.3. Деревья и переформулировка правил
Каждое из упорядоченных альтернативных множеств
данного шага построения естественным и очевидным
образом имеет структуру дерева. Действительно, пусть К
будет альтернативным множеством некоторого шага
построения и пусть G будет потомком (в К) главной
таблицы. Для t[, t2 ^ К мы скажем, что t,St2 тогда и
i76 G. А. КРИПКЕ
только тогда, когда на некотором шаге построения най-
найдется таблица t{ с формулой Q.A в правом столбце и
с t2, только что введенной по правилу Yr на этом шаге
с А справа, такая, что ^ и t2 являются соответственно
потомками t' и t?. Легко проверяется, что (G, К, S)
есть дерево. Далее, отметим, что теперь можно так
переформулировать условия, ранее наложенные нами
на отношение R: R является наименьшим отношением
между таблицами, которэе содержит S и удовлетворяет
соответствующим условиям рефлексивности, транзитив-
транзитивности и симметричности. Это в свою очерздь означает,
что (G, К, R) является древесной м. с. (соответствую-
(соответствующей модальной системы), порожденной деревом (G, К, S).
В предыдущем разделе было показано, что если К
является незамкнутым альтернативным множеством
заключительного шага (конечного) построения для А,
то контрмодель для А может быть ассоциирована
с м. с. (G, К, R) (G есть главная таблица К, R — отно-
отношение порядка R). Настоящие рассмотрения показывают,
что это древовидная модель. Подобные рассмотрения
(предоставляемые читателю) показывают, что модели,
приведенные в 3.2 для незавершающихся построений
(в терминах псевдотаблиц), также являются древовид-
древовидными моделями.
Эти рассмотрения наводят на мысль, что правила,
которые мы установили в терминах R, можно было бы
вместо этого сформулировать в терминах основного
древесного отношения 5, определенного в предыдущем
абзаце (полностью удаляя R из рассмотрений). Это
действительно так. При построении в терминах S пра-
правила N1, Nr и Л1 не изменяются. Лг также не изме-
изменяется, если не считать того, что: A) «/?» заменяется
везде на «S» (а «/?,» иа «Si», «R2» па «S2»); B) усло-
условие, записанное курсивом, включенное для обеспечения
рефлексивности, опускается (отношение S, конечно, не
рефлексивно).
Правило Yr также сохраняет первоначальный вид —
только «R» заменяется на «S». Правило YI подвер-
подвергается наибольшим изменениям. Так как отношение S
не рефлексивно, а также не транзитивно и не симме-
симметрично, даже если fl обладает этими свойствами, то
мы должны дать в правиле Y1 некоторый эквивалент
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ, t 277
этих условий. Рассмотрим сначала М, где R только
рефлексивно. Это соответствует тому факту, что из
истинности П А в некотором мире следует истинность А
в • этом мире. Это мы отразим в правиле Y1 для М
следующим образом:
YI. Пуеть ? А встречается в левом столбце таб-
таблицы ti- Тогда поместим А в левые столбцы ti- и любой
таблицы t2 такой, что ti St2.
В прежней формулировке требование поместить А
в ti слева было излишним, так как отношение /? было
рефлексивным. Теперь это не имеет места. Для S4 нам
надо получить суррогат транзитивности. Это может
быть достигнуто заменой «S» на «S*» в правиле Y1,
как это было проделано ранее, однако мы предпочи-
предпочитаем другую процедуру. Она основана на том легко
проверяемом для 54-моделей Ф обстоятельстве, что из
Ф(П А, Я) = Т и HRH' следует Ф(П А, Я') = Т. Итак,
мы формулируем: >
YI. Если О А встречается в левом столбце та-
таблицы tj, то помещаем А в левый столбец t[ и помещаем
? А в левый столбец каждой таблицы t2 такой, что tiSt2.
Заметим также, что согласно YI, поскольку О Л
помещается в левый столбец таблицы t2, туда же будет
помещена А. Аналогично, если в дальнейшем вводится
таблица t3 такая, что t,Sx,, то, так как ? А оказывается
в. левой части. х2, правило Y1 требует помещения ? Л
в левую часть t3. Таким образом, ясно, что перед нами
эффект, создаваемый транзитивностью1).
') Спрашивается; можно ли использовать аналогичную кон-
конструкцию для того, чтобы заменить свойство симметричности'?
Хинтикка в своей оригинальной формулировке S5, по сущестзу,
предложил наряду с условиями, устанавливаемыми лля 54, сле-
следующий дополнительный пункт: если ? А стоит справа в t и tSt',
то помещаем D А справа в t'. По этому правилу построение для
~ Q Дэ D~ D Л замыкается- Но пострдение лля брауэровоп
аксиомы пли для ~ А гз ? ~ D А не замыкается, и, таким обра-
образом, предложенная формулировка для 55 опровергается. В самом
деле, для этой формулировки неверна основная теорема Гепцепа.
С другой стороны, новая формулировка для 54 {заменяющая сек-
секвенции Генцена таблицами) дана Карри [1950], а отсутствие
какой-либо аналогичной формулировки для S5 связано с отсут-
отсутствием простой секвенциальной формулировки с основной теоре-
теоремой для S5. . (Одна такая формулировка описана в обзоре
Г. Е. Минца в настоящем сборнике. — Прим. ред.]
278 С. А. КРИПКЕ
Перешотренное правило Y1 для брауэровой системы
таково:
YI. Пусть ? А встретилась в таблице t, слева.
Тогда A) поместим А в левый столбец t^ B) поме-
поместим А в левый столбец каждой таблицы t2 такой, что
i.SU; C) поместим Л в левый столбец (единственной)
таблицы tj такой, что t3St!, если эта таблица сущест-
существует.
Для 55-конструкций комбинируются правила Y1
для S4 и брауэровой системы.
Построения в терминах S обладают следующим по-
полезным свойством: -если мы назовем таблицы t, и т2
«смежными» при tiSt2 или t2St,, то правило, приме-
применяемое к таблице t, может затронуть лишь t и таблицы,
смежные с t.
Настоящая «S-формулировка» правил будет исполь-
использована в разделе 4; ее эквивалентность прежней «/?-фор-
мулировке» очевидна, так что детальное доказательство
(если оно желательно) предоставляется читателю. По
сравнению с более фундаментальной /^-формулировкой,
смысл S-формулировок состоит исключительно п их
удобстве; при желании мы могли бы дать все доказа-
доказательства на основе /^-формулировок. Для 55-таблиц
другой способ формулирования правил дастся в [К59].
4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
4.1. Свойство непротиворечивости
Мы должны проверить, что каждая доказуемая фор-
формула (М, S4, S5, брауэровой системы) является обще-
общезначимой в подходящей теории моделей. В каждом слу-
случае это является легкой механической задачей, особенно
если ее разрешать с помощью таблиц; нужно только
проверить, что в подходящей теории моделей общезна-
общезначима каждая аксиома, и что применение правил сохра-
сохраняет общезначимость.
Необходимо сделать одно замечание. Легко пока-
показать, что правило R1 сохраняет общезначимость; если
Ф(Л, Я) = Т, Ф(ЛгэВ, Я) = Т, то по правилам оценок
для гэ также Ф(В, Я) = Т. Но без использования ре-
результатов 3.2 не удается легко доказать, что если замы-
замыкаются построения для А и Л id В, то замыкается и
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 279
построение для В. Такое доказательство должно было бы
включать табличную аналогию основной теоремы Ген-
цена. Эта теорема должна была бы иметь следующий
вид. Пусть дано табличное построение, пусть t есть
таблица, встречающаяся на n-м шаге построения, и
пусть нам даны два новых «псевдопостроения», при
которых А добавляется в t на я-м шаге слева и справа
соответственно (а правила применяются к А позднее).
Основная теорема Генцсна утверждает, что если замы-
замыкаются эти два «псевдопостроения», то замыкается и
исходное построение. Эта основная теорема легко дока-
доказывается теоретико-модельными методами, если приме-
применить 3.2 для того, чтобы установить эквивалентность
таблиц моделям; но если мы хотим обойтись без этой
теории, то тогда мы можем применить индукцию ген-
ценовского типа. В случае квантифицированной теории
модальностей это позволит нам конструктивно доказать,
что построение для А замыкается тогда и только тогда,
когда формула А доказуема; но семантическое доказа-
доказательство этого результата было бы неконструктивно.
Существующие семантические доказательства для про-
пропозициональных исчислений являются конструктивными
либо могут быть сделаны такими, так что индуктивное
доказательство генценовской основной теоремы хотя и
представляет интерес, но не является теоретически не-
необходимым на этой ступени. Такое доказательство
можно найти в прежних публикациях по модальным
системам генценовского типа у Карри [1950], Кан-
гера [1957], Описи и Мацумото [1957—1959].
4.2. Свойство полноты
Можно показать, что каждая общезначимая фор-
формула А доказуема, установив, что из замкнутости по-
построения для Л следует, что А доказуема в подходя-
подходящей системе. Здесь мы нашли более удобным приме-
применить табличные построения, основанные на отноше-
отношении 5, чем использовать отношение R.
Сначала определим ранг таблицы для дерева таблиц,
упорядоченного соотношением 5 на данном шаге по-
построения; таблица t имеет в дереве ранг 0, если не
существует таблицы V такой, что tSt'. В противном слу-
случае пусть т1? ..., tn будут все таблицы t{ такие что tStj.
280 : С. А. КРШТкЁ
Тогда положим Rank(t) = Max (Rank (t,)) + 1, Легко про-
проверяется, что для каждого конечного, дерева таблиц
(именно таковы альтернативные множества на каж-
каждом шаге построения) ранг определяется однозначно
для каждой таблицы в дереве. (Таблицы ранга О
являются концевыми вершинами дерева; далее ранг
определяется возвратной индукцией.)
Определим ассоциированную форму таблицы t на
некотором шаге как А\ А ¦ • • А Ат А ~ В{ Л. • • • Л ~ Вп,
где А\, ..., Ат суть формулы, встречающиеся в t слева
на этом шаге, a Blt ..., Вп — формулы, встречающиеся
справа.
Кроме того, определим характеристическую формулу
таблицы t на данном шаге индукцией по рангу t: если t
имеет ранг 0, то характеристическая формула — это
просто ассоциированная формула. Если же Rank(t)>0,
то пусть t1( ..., tn суть все таблицы t( такие, что tSt;.
Для каждой t; такой, что Rank(tf) < Rank(t) (так что,
по предположению, характеристическая формула t,- уже
определена), пусть Bt есть характеристическая фор-
формула t^. Кроме того, пусть А есть ассоциированная фор-
формула таблицы t. Тогда характеристическая формула t
есть, по определению,
AA'OBiA О ЯМ"... Л OB* ¦ " .
Под характеристической формулой дерева (упорядо-
(упорядоченного множества) таблиц мы подразумеваем характе-
характеристическую формулу главной таблицы') этого множе-
множества.
¦') Мы распространяем термин «главная таблица» на любое
дерево таблиц "следующим образом. В любом таком дереве главная
таблица есть конечная вершина дерева. Заметим, что в любом альтер-
альтернативном множестве на каждом шаге построения «главная таблица»
(вершина) множества есть (единственный) потомок в этом множе»
стве исходной главной таблицы, с которой начинается построение.
Короче говоря, если Л г применяется к.таблице t и t-г-вспомога-
t-г-вспомогательная таблица, то получающиеся таблицы ti и t2 являются вспо-
вспомогательными таблицами двух альтернативных множеств; в про-
противном случае они являются главными таблицами двух альтерна-
альтернативных множеств. И всякое другое правило, применяемое к главной
(вспомогательной) таблице, оставляет ее главной (вспомога-
(вспомогательной).
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. 1 281
Пример:. ¦ -
Здесь каждая вершина представляет таблицу, с ассо-
ассоциированной формулой таблицы, обозначенной у вер-
вершины. Вх, С\ и С2 суть ассоциированные формулы таблиц
ранга 0; Si является ассоциированной формулой таблицы
ранга 1; А есть ассоциированная формула главной та-
таблицы, ранг которой равен 2. Характеристическая фор-
формула дерева есть
А А О (S, Л О С, Л О С2) Л О В2.
Пусть D| Dn суть характеристические формулы
альтернативных множеств системы множеств на неко-
некотором шаге построения. Тогда характеристической фор-
формулой системы, по определению, является D, V • • • V Dn.
Лемма. Если Ло является характеристической фор-
формулой начальной стадии конструкции, а Во является
характеристической формулой на любом шаге, то
\- А^В3.
'Доказательство. Для доказательства леммы
достаточно установить, что для любого m характеристиче-
характеристическая формула т-го шага имплицирует характеристиче-
характеристическую формулу (т+1)-го шага. Но характеристическая
формула т-го шага в общем случае имеет вид D\ V • • •
... V D/ V ••• V Dn, где Dt — характеристические формулы
альтернативных множеств. Характеристической форму-
формулой (т + 1)-го шага будет либо D, V ... V Щ V ... V Dn,
либо D, V ... V ?>/, V Dh V •. • V Dn, где правило, кото-
которое приводит к (пг ¦+¦ 1)"МУ шагу из т-го, действует
только на альтернативном множестве, характеристиче-
характеристической формулой которого является Dj. Если это правило
не есть Лг, то оно изменит альтернативное множество
так, что характеристической формулой станет ?>/; но
если это правило Л г, то рассматриваемое альтернатив-
альтернативное множество «расщепится» на два альтернативных
282 с. А. крипке
множества с характеристическими формулами D/, и D^.
Очевидно, для того, чтобы доказать, что характеристи-
характеристическая формула m-го шага построения имплицирует
характеристическую формулу (»г+1)-го шага, будет
достаточно установить, что D/ гэ D'f или что D,- ^>
ZD{Djt\/Dh), в зависимости от рассматриваемого случая.
Другими словами, когда применяется правило, чтобы
получить (т + 1)-й шаг из m-го, нам нужно лишь рас-
рассмотреть характеристическую формулу множества,
к которому применяется это правило. Пусть формула Dj
имеет вид
в л 0 (с, л 0 (?. л О (...))) л О (с2 л О (Е2 л 0 (•¦•)))•
Пусть теперь X и Y будут формулы такие, что дока-
доказуемо \-XzdY. Тогда по А?2 доказуемо также, что
Ь- ? (X гэ К). Но во всех рассмотренных нами модаль-
модальных системах (которые содержат М), (-П(ХгэК)гэ
гэ (О X тэ О Y), так что мы имеем |- О X г> О Y: нам
известно также, что Ь- X гэ Y влечет f- X Л Z ^>Y Л Z.
Эти два факта позволяют значительно упростить
доказательство того, что I- D,- r> D] (или \- D^D^y Dj),
а именно, мы должны, вообще говоря, рассмотреть
лишь ассоциированные формулы таблиц, к которым
фактически применяется используемое нами правило.
Предположим, например, что правило преобразует фор-
формулу Ci в С{ и не затрагивает другую часть Dy (т. е.
D'j получается из ?)/ заменой С\ на С{, а остальная
часть Dj остается без изменений). Тогда, если можно
показать, что Ь- С\^>С\, это влечет 1- С\ Л 0 № Л 0 (•••)) ^
dCi Л 0№ Л О("-))> а следовательно, навешивая
оператор возможности, получим
Ь О (С, Л 0 (?, Л 0 (• •.))) => О (С{ Л 0 (Ех Л 0 (• • •)))•
Теперь мы можем, наконец, добавить два других конъюнк-
конъюнктивных члена (В и (С2Л 0(^Л (>(•••)))). получая
таким образом Dj гэ D). Подобным же образом в ка-
каждом случае, когда применяется правило для получения
(т + 1)-го шага из m-го, мы можем иметь дело только
с частью «вставленной» характеристической формулы Dt
с целью получить DjZdD'j. Учитывая эти замечания,
семантический анализ модальной логики, i 283
разобьем доказательство на случаи, зависящие от пра-
правила, применяемого для получения (т-{-1)-Го шага из
/;г-го. (Я советую читателю сравнит ь это доказательство
с аналогичной леммой из [К59].)
СлучайШ. Обосновывается посредством I— ~А=>~А.
СлучайЦх. Обосновывается посредством I- ~—Лгэ А.
Случай Л1. Обосновывается посредством (— А Д 5гэ
=>АА В.
Случай Лг. Несколько более громоздкий случай,
хотя и совершенно ясный «идейно». Мы должны дока-
доказать, что DjZD D/, V Dj,. Теперь правило Лг приме-
применяется к некоторой формуле А А В в правой части не-
некоторой таблицы; поэтому ~ (А Л В) встречается как
конъюнктивный член в ассоциированной формуле таб-
таблицы, так что ~ {А Л В) встречается как конъюнктив-
конъюнктивный член в характеристической формуле таблицы.
Итак, пусть Е Л ~ (А Л В) есть характеристическая
формула таблицы t, в которой А А В встречается справа;
тогда мы, конечно, имеем
№Л~(ЛЛ В)) zd ((E Л ~(Л Л В) А ~ Л) V
V(E А~(АА Я)Л~В)).
Если таблица, содержащая А А В справа, является
главной таблицей, то это и есть искомый результат
I- DjZd D/, V Dj,, так как характеристическая формула
гла-вной таблицы множества является характеристиче-
характеристической формулой всего множества. Но в общем случае,
когда рассматриваемая таблица является лишь вспомо-
вспомогательной, мы не будем столь удачливы. Тогда мы сна-
сначала заметим, что
О (Е А - (Л Л В)) => О {(Е А ~{А А В) А - А) V
У(?Л~(ЛЛЯ)Л~Я))
и поскольку |- () (X V Y) => (()X V () Y), получаем
Ь О (Е А ~ (Л Л В)) =э (О (Е Л - {А А В) А ~ Л) V
УО№Л~(ЛЛВ)Л- В)).
Теперь, если V является (однозначно определенным)
предшественником t (таблица V такая, что t'St), то
характеристическая формула V имеет вид X А () (Е А
Л~(Л/\В)), где X является характеристической фор-
284 С. А. КРИПКЕ
мулой, которую бы имела таблица^', если бп таблица t
была удалена из дерева. Используя предыдущие резуль-
результаты и дистрибутивный закон для «Л» относительно
«V», мы легко получаем, что
=>. ((X Л О (ЯЛ ~ (А Л В) Л ~ А)) у
УAЛ0(?Л~ИЛб) Л
Если f является главной таблицей, то мы у цели;
в противном случае мы продолжаем в том же духе.
Окончательно после достаточного числа преобразо-
преобразовании (используя каждый раз дистрибутивные законы
О (XVY) :э О * V О ^ U(XVY)AZ=> (XAZ)V(YAZ)),
мы возвращаемся вдоль ветви, ведущей к t, до тех пор
пока, наконец, не достигнем глазной таблицы дерева
и получим желательный результат-.
Случай Y1. Правило применяется в таблице t с ПЛ
в левой части и с характеристической формулой ПЛЛ
Л I Л О ^i Л <0 Е2 Л,-. •. где Et суть характеристиче-
характеристические формулы таблиц . t( с tSti( a ? А А X является
ассоциированной формулой таблицы t.
Предположим сначала, что мы имеем дело с по-
построением Af-таблиц, основанном на S. В этом случае
нам нужно только обосновать помещение А в левый
столбец t и во все таблицы t< такие, что t Stf, характе-
характеристической формулой t после того, как это будет сде-
сделано, станет А А ? А А X А О (Е{ Л А) Л О {Е2 Л А) Л ...
Но очевидно, что она может быть получена из старой
характеристической формулы, если использовать тео-
теоремы ьПЛгэЛи 1-(ПЛЛ0?K <}(ЕАА). Если же
мы имеем дело с 54-посгроением, то нужно еще обос-
обосновать дальше помещение ? Л в левый столбец каждой
таблицы t,- такой, что t Sty, но это следует аналогично
из Ь ? Л Л О Е ^ О (Я Л ? А), что легко доказывается
в S4. Если мы имеем дело с брауэровым построением,
то нужно обосновать вдобавок к тому, что было сде-
сделано в М, помещение А в левый столбец каждой таблицы {'
такоГг, что \' St. В действительности такая таблица t',
если она существует, является единственной, а ее харак-
характеристическая формула имеет вид
У Л О (? А А X А 0 ?, Л О Е2 А ."..).
- семантический анализ модальноп логики. 1 285
Мы должны показать, что эта формула имплицирует
новую характеристическую формулу V на' (т + 1)-м
шаге, а именно:
ЛЛКЛО(^ЛПЛЛХЛО(^.ЛЛ)ЛО (Е2А Л) Л .. .)•
По сравнению с М новым обстоятельством является вхо-
вхождение А, с которого начинается формула. Это может быть
получено так: очевидно |- УА()(П А А ХА()Е\Л • • -)^>
=з О П А; но по брауэровой аксиоме или, точнее, по
двойственной ей формуле, легко доказываемой в брау-
брауэровой системе, имеем |— <) ? А гэ А, что дает нужный
результат. Доказательство для S5 легко следует из
предыдущего, так как 55-процедура является в точности
комбинацией процедур для S4 и брауэровой системы,
и все предыдущие доказательства проходят в S5. (Дру-
(Другой метод для S5 — это, конечно, метод из [К59].)
Случай Yr. Если ? А встречается в таблице t справа,
то характеристической формулой этой таблицы является
X Л ~ ? А. Нам предписывается исходить из новой
таблицы с Л в правом столбце; характеристической
формулой t становится X А ~ П А А () ~ А. Ясно,
однако, что ввиду |— ~ПЛ:г>О~Л мы также полу-
получаем |-^Л~ПЛ:эХЛ~ПЛлО>~'4. (Замеча-
(Замечание: может, конечно, потребоваться согласно Y1 немед-
немедленно вслед за этим поместить некоторые формулы
в левую часть t', но это уже обеспечено случаем YL)
Доказательство окончено.
Теорема. Если формула А общезначима (в М',
54, S5, брауэровой системе), то А доказуема {в соот-
соответствующей системе).
Доказательство. Мы будем доказывать, что если
построение для А замыкается, то Л доказуема. Так как
построение для Л замыкается на некотором шаге, скажем,
на пг-м, то каждое альтернативное множество замк-
замкнуто; пусть характеристической формулой этого шага
является D, V ... V Dm- Пусть Di есть производный
дизъюнктивный член; он является характеристической
формулой альтернативного множества #V По предполо-
предположению, <?[ содержит замкнутую таблицу, ассоциирован-
ассоциированная формула которой есть X /\ С А ~С, где С — фор-
формула, встречающаяся в обеих частях, левой и правой;
286 С. А. КРИПКЕ
эта формула, очгвидно, опровергается во всех рассма-
рассматриваемых системах.
Такова же формула (} (X Л С /\ ~ С), а следова-
следовательно, и любая формула вида Y А О (X Л С А ~ С),
или даже <} (Y А О (X А С А ~ С)). Короче говоря,
используя тот факт, что если I- ~ X, то I— ~ (Y Л X)
и даже I <0 {Y А X) (последнее ввиду того, что, со-
согласно R2, \-П ~{Y/\Х)), мы можем получить |— ~Dj.
Следовательно, поскольку / было выбрано произвольно,
то |— —¦ (Z>, \/ ... V Dm). Наконец, по лемме характери-
характеристическая формула первого шага построения имплици-
имплицирует характеристическую формулу m-го шага. Но харак-
характеристической формулой первого шага является как
раз ~ А. Таким образом, лемма говорит нам, что
Ь- ~ А ¦=> D, V V Dm. Так как Ь- ~ (D{ V... V Dm),
то получаем I- А, ч. т. д.
Замечание. Эта теорема показывает в чисто кон-
конструктивном смысле (без обращения к моделям), что
если построение для А замыкается, то А доказывается
в соответствующей формальной системе. Построение
характеристических формул последовательных шагов
является, по существу, эрбрановским построением из
характеристической формулы начального шага и мы
могли бы, если бы пожелали, основать процедуру дока-
доказательства для модальных логик исключительно на по-
построении характеристических формул.
5. ПРИМЕНЕНИЯ
5.1. Разрешимость
Хотя прежде мы учитывали возможность построений
бесконечных таблиц, ясно, что можно показать сле-
следующее: системы разрешимы (скажем, в терминах S-koh-
струкций), если мы можем показать, что рассматривае-
рассматриваемая процедура всегда заканчивается, давая либо замк-
замкнутую систему множеств, либо конечную контрмодель
для формулы, общезначимость которой проверяется.
Фактически для S-конструкций в М п брауэровой си-
системе мы можем привести следующие доводы: как
обычно, модальная степень формулы А определяется
индуктивно таким образом: атомарная формула имеет
модальную степень 0; deg{A A ?) = max(deg Л, degB),
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 287
deg(~ Л) = с^ Л, deg(D Л) = с^ Л + 1. (Таким обра-
образом, степень есть число итерированных 'вхождений
символа необходимости в формуле.) Наконец, если t
является таблицей (на данном шаге построения), то
определим deg (t) как максимум степеней формул, вхо-
входящих в t на этом шаге.
Используя понятие степени, мы покажем, что М и
брауэрова система разрешимы. Пусть Л— любая фор-
формула, скажем, для начала, системы М; мы покажем
индукцией по степени А, что построение для Л завер-
завершается. Если степень равна 0, то А является чисто
истинностно-функциональной формулой, и построение,
очевидно, завершается. Предположим, что теоргма до-
доказана для всех степеней ^ т; пусть А является фор-
формулой степени т-\-\. Тогда построение для А начи-
начинается с главной таблицы t с Л в правой части. Перед
использованием правила Yr и введением новых таблиц
мы применяем все другие правила (включая Y1) в ирг-
делах таблицы t. Легко видеть, что таким образом
вводится только конечное число формул, и что эти пра-
правила исчерпываются в конечное число шагов. Предпо-
Предположим, что мы достигли конца этих шагов. К этому
momchtv таблица t оказывается, вообще говоря, уже.
замененной в результате применения правила Лг на
различные альтернативные таблицы t, \п (так как Yr
еще не применялось, то все альтернативные множества
иа'эгом шаге являются одноэлементными). Пусть t' есть
одна из этих таблиц; остановимся на ней. Пусть
D Bi, ..., D Bi суть все формулы вида ? В, находя-
находящиеся в правой части Г. Применяем Yr, получая раз-
различные таблицы \'i с Bi в правом столбце, причем t'St't.
Теперь, поскольку ? В является подформулой Л, то
deg(D J3X т + 1, deg (B)^.m. Далее, если какая-нибудь
формула ? С встречается в левом столбце t', то мы
помещаем С в левый столбец t,-; но по той же самой
причине degС ^ т. Ясно, что никакое другое правило
не вводит в t« формулы степени > т, если только
такие формулы уже не были введены; итак, мы заклю-
заключаем, что на каждом шаге построения deg(t;)^m.
В действительности в системе М, за исключением по-
помещения такой формулы С в левый столбец \[, а фор-
формулы Bi в правый столбец, таблица t^ остается целиком
288 • с. А. крипке -
не затронутой с этого момента таблицей t, а все пра-
правила, которые применяются к таблице t, уже были приг
менены. Итак, в М мы теперь можем продолжить по.-
строение от каждой таблицы t'i (i=l, ..., I). Заметим,
что ни одна таблица, связанная с t'i, не может затро-
затронуть ни одну таблицу, связанную с t/ (г. ==^= /); это' вклю-
включает утверждение, что эти таблицы не воздействуют
одна на другую. Следовательно, если мы сосредоточим
внимание на tf, то заметим, что часть построения, про-
продолжающегося из t; вовне (т. е. построения, ограничен-
ограниченного поддеревом, определенным t'i), не затрагивается
таблицами t/ и t и, таким образом, проходит точно так,
как если бы t/ было главной таблицей построения. По-
Поскольку deg(t()^/7?, то, по предположению индукции,
эта часть построения завершается в конечное число
шагов. Так как существует только / таблиц t'i, часть
построения, ограниченного таблицей, происходящей из V,
также завершается. Но, кроме того, Г была произволь-
произвольным элементом конечного списка альтернативных таблиц;
таким образом, даже если мы рассмотрим каждую из
этих таблиц, то мы все еще получим построение, кото-
которое завершается в конечное число шагов.
Предыдущее рассуждение относилось к М, но его
можно распространить и на брауэрову систему. Тут
у нас опять таблица V и / таблиц t* таких, что VSt'r,
однако в этом случае нет гарантии, что таблица f не
будет затронута таблицей t'i. Действительно, если фор-
формула ? D оказывается в левой части t\, мы должны
поместить D в левую часть t'. Теперь, по крайней мере
в начале, когда t( начата помещением Bt в правый стол-
столбец этой таблицы (согласно правилу Yr) и различных
формул С( в левый столбец (согласно Y1), приведенное
выше рассуждение показывает, что степени этих фор-
формул ^ т. Это свойство сохраняется при применении
правил; каждая подформула формулы степени ^ т
имеет степень <!т. Предположим, на время, что OD
является подформулой Bt или одной из формул вида Сf,
тогда deg(D D)^.m, а следовательно, deg (D)^m—1.
Теперь при применении правил к D в левой части f
мы можем получить формулу Q Еи которая должна
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ I 289
быть поэтому подформулой D в правом столбце t'').
Когда мы применяем Yr к этой таблице, мы' получаем
таблицу tr+i (так мы ее назовем), начатую в правом
столбце. Заметим, что deg(Q ?i)< degD< m— 1; сле-
следовательно, deg(Ei)^.m — 2. Кроме того, если подфор-
подформула ? F формулы D оказывается в левом столбце Г,
то мы должны поместить F в левый столбец каждой
таблицы t" такой, что t'St", в частности, в левые
столбцы ti, ..., i'i и tz+i. Заметим, однако, что deg/7^
^.т — 2 по тем же причинам, что и выше. Далее, D,
конечно, не обязательно является единственной фор-
формулой, помещенной в левом столбце t на этом шаге
согласно Y1; но существует только конечное множество
таких формул, и все они обладают свойством, которым,
по предположению, обладает D. Итак, мы можем пред-
предположить, что были добавлены, скажем, р новых таблиц
i'i+i tf+p, где t'i+i (/=1 р) содержит справа
формулу Et с deg (?¦,)<;/n—2. Кроме того, новые фор-
формулы F добавляются в левые столбцы ti, ..., t/ и
ti+ii ...t ti+P c deg^^m — 2. Мы можем применить
правила к El и F, быть может, получая некоторую
формулу DG в левом столбце t" (/= 1, ..., / + р);
однако тут П G является подформулой Et или F, сле-
следовательно, deg(DC)</n — 2, так что deg(G)^m — 3.
Таким образом, для новой формулы G, помещаемой
в левом столбце t', deg (G)^.m — 3. Теперь мы продол-
продолжаем доказательство, как делали раньше; новые таблицы
начинаются с того, что в левый и правый их столбцы
помещаются формулы, но теперь все они имеют сте-
степень ^т — 4. Так как степени затрагиваемых формул
уменьшаются на 2 на каждом шаге, этот итеративный
процесс не может продолжаться неограниченно. В конце
концов мы остановимся, придя к ситуации, в которой
У нас будет таблица t', таблицы ti, .-.., t's с t'Stf
Ог== 1. •.., s) и никогда ни на каком позднейшем шаге \\
и V не затрагивают друг друга. Тогда мы можем
) Введение D в левый столбец V может вести также к
применениям пракнла Лг к t', расщепляющим V на несколько
павых альтернативных таблиц. Лля упрощения настоящего доказа-
доказательства мы игнорируем эту (очевидно, несущественную) возмож-
IIOCTfi,
290 С. А. КРИПКЕ
делать отсюда выводы точно так же, как мы это делали
для системы М в предыдущем абзаце.
В действительности данное нами доказательство
гарантирует для М и для брауэровой системы более силь-
сильный результат: Пусть А есть формула степени т. Тогда
построение для А завершается. Действительно, либо
оно замыкается, и тогда формулг А общезначима, либо
оно приводит к конечному дереву контрмодели для А,
в которой каждгя ветв> дерева имеет длину ^ пг О-
Следовательно, каждая формула доказуема либо имеет
контрмодель с конечным деревом. Этот факт легко
доказывается индукцией по m с использованием мето-
методов предыдущих абзацев.
Этот результат не сохраняется для системы 54.
В самом деле, все предыдущие аргументы не имеюг
силы в S4, так как Y1 в S4 позволяет переносить QA,
а не А, когда Q А встречается слева. Действительно,
как сообщил мне по существу К. Хинтикка, формула
~ ? ((А Л 0 ~ А) V (~ А Л О Л)) не общезначима в S4,
но не имеет контрмодели с конечным деревом. (Испро-
(Испробовать для этой цели табличную процедуру!.) Эквива-
Эквивалентным примером, который я использовал в. связи
с другими вещами, является ~ D (\) ^ Л О ~ А).
Контрпримером для этого была бы необходимо случай-
случайная формула А. Но в модели с конечным деревом ни-
никакая формула не оценивается как случайная на кон-
концевых вершинах ветвей дерева (фактически в таких
вершинах каждая истинная формула оказывается не-
необходимой). Следовательно, в S4 нет необходимо слу-
случайных формул в моделях с конечными деревьями.
Таким образом, в случае S4 нам нужны другие
аргументы для установления разрешимости. Фактически
достаточным будет более традиционное генценовское
доказательство (использующее свойство подформуль-
ности). Мы покажем, что хотя построение может быть
бесконечным, тем не менее на некотором шаге построе-
построение либо замыкается, либо оканчивается на контрмо-
контрмодели с конечным деревом, либо же распознается, что
построение никогда не замкнется. Фактически, если
дано построение для формулы А, то на каждом шаге
') О ветви с / + 1 вершинами говорится, что она имеет длину L
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 291
построения в каждой из т'аблиц альтернативных мно-
множеств этого шага могут встретиться только подформулы
формулы А. Но подформул Л есть лишь конечное число.
Далее, если мы будем рассматривать таблицу как упо-
упорядоченную пару множеств подформул А, то ясно, что
существует лишь конечное множество различных таб-
таблиц (если А имеет п подформул, то существует 2"
множеств подформул, а следовательно, 22п пар таких
множеств). Предположим теперь, что нам задано по-
построение для Л, являющееся бесконечным (а поэтому
незамкнутым). Тогда, как в доказательстве леммы 2
раздела 3.2, существует бесконечная последователь-
последовательность 9"it 9*2, ..• незамкнутых альтернативных множеств,
каждое из которых (за исключением 9>х, соответствую-
соответствующего первому шагу построения) является непосредст-
непосредственным потомком своего предшественника. Так как
выше было установлено, что существует лишь конечное
число - различных таблиц, которые могут встретиться
в построении для А, то отсюда следует, что должно
найтись некоторое множество 9'/( являющееся насыщен-
насыщенным, т. е. оно обладает тем свойством, что для k > /
все таблицы, встречающиеся в 9>k, равны таблицам,
уже встречавшимся в 9/. (Здесь две таблицы являются
равными, если они содержат одни и те же формулы
в обеих частях: левой и правой соответственно; они не
обязаны, однако, быть идентичными, так как они могут
занимать различные положения в дереве структуры.)
Теперь предположим, что правила развертывания
конструкции модифицированы следующим образом:
будем говорить, что таблица f содержит таблицу t,
если каждая формула, встречающаяся в левом (правом)
столбце t, встречается также в левом (правом) стобце t'.
Пусть таблица t введена по правилу Yr на га-м шаге
построения в альтернативном множестве 9. Назовем
таблицу t повторенной, если существуют m < n и таб-
таблица t' в множестве 9" на /n-м шаге построения такие,
что t' содержит t, и такие, что V еще содержит t на
Дальнейших шагах, пока к формулам, встречающимся
в t, не применяются правила (хотя в t могут появляться
дополнительные формулы в левой части как результат
применения Y1 к некоторой другой таблице). Очевидно,
292 С. А. КРИПКЕ
что если t является повторенной на л-м шаге, то этот
факт можно распознать (используя эффективный метод)
на том же шаге; далее, ясно, что правила, последова-
последовательно применяемые к t, будут просто дублировать
(«быгь зеркальным образом») правила, применяемые к t'.
(В частности, если таблица t, вводится в результате
применения Yr к t с tSt), то на некотором шаге пост-
построения вводится таблица ti, содержащая ti, такая, что
t' St'i.) Следовательно, для выяснения того, замыкается ли
построение, применять к t правила необязательно: всё,
что «происходит» с t, будет дублироваться тем, что
«происходит» с t'. Следовательно, мы налагаем сле-
следующее ограничение на все конструкции: никакое пра-
правило не должно применяться к формуле, входящей
в повторенную таблицу.
Предыдущее обсуждение позволяет выяснить, что
когда построения преобразованы так, чтобы удовлетво-
удовлетворялось это ограничение, они должны завершаться
через конечное число шагов. В противном случае, как
было показано выше, должна найтись бесконечная
последовательность Р'и 5?2, ... незамкнутых альтерна-
альтернативных множеств и эта последовательность должна
содержать «насыщенный» элемент 91 s. Следователь:!;),
для всех k > / каждая таблица в 5^ является либо
потомком некоторой таблицы из 9"f, либо повторенной
таблицей. Тогда в 9"[ имеется лишь конечное число
таблиц, скажем п. Кроме того, каждая из этих п
таблиц в P'j содержит только конечное число фор-
формул; и, в самом деле, для любой таблицы t суще-
существует лишь конечное множество правил, которые могут
применяться к формулам из t до тех пор, пока все
¦формулы не будут разложены на атомарные компоненты.
Следовательно, после нашей новой редукции последова-
последовательность P'i, ^2, ... действительно завершается на
некотором S?A(/z^/), вопреки предложению о ее беско-
бесконечности. Следовательно, в силу reductio ad absurdum
построение должно быгь конечным. Это показывает, что
•проблема выводимости для S4 также разрешима. Пред-
Предположим, что мы имеем дело с 54-построением, не
. являющимся замкнутым, для формулы Л. Тогда, однако,
оно должно обрываться, а последний шаг построения
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 293
должен содержать незамкнутое альтернативное мно-
множество 9". Это 91 содержит только конечное число
таблиц. Мы хотим получить из множества & контрмо-
контрмодель для формулы А методом леммы 2 раздела 3.2,
но поскольку правила не применялись к повторенным
таблицам из ??, доказательство этой леммы не сохра-
сохраняется. Эту трудность можно разрешить, «иденти-
«идентифицируя» каждую повторенную таблицу с соответ-
соответствующей неповторенной таблицей. Определим эту опе-
операцию более точно: неповторенные таблицы определяют
классы эквивалентности таблиц следующим образом.
Каждая неповторенная таблица относится к собствен-
собственному классу эквивалентности. Повторенная таблица t
содержится в некоторой более ранней таблице t'; эта
таблица V сама может быть повторенной, но в этом
случае она в свою очередь содержится в более ранней
таблице t" и т. д. В конце концов мы найдем неповторен-
ную таблицу t0, содержащую t; тогда мы отнесем t
в класс эквивалентности, определенный таблицей t0.
(Выбор ta не обязательно однозначен, но после того
как он сделан, t попадает в однозначно определяемый
класс эквивалентности.) Теперь определим множество К
как состоящее из всех классов эквивалентности опре-
определенных таким образом таблиц; G является классом
эквивалентности, содержащим главную таблицу множе-
множества. Для двух данных классов эквивалентности Я, и Н2
и'з К мы положим #[R#2> если существуют таблицы ^
и t2 в Я) и Н2 соответственно такие, что t)/?t2. Наконец,
если Р есть произвольная пропозициональная перемен-
переменная, а Н <= К, то положим Ф (Р, Н) = Т, если существует
таблица t в классе эквивалентности Н с Р в левом
столбце t; в противном случае Ф(Р, #) = F. Тогда легко
показать методом леммы 2 из раздела 3.2, что (G, К, R)
является модельной структурой и что Ф является контр-
контрмоделью для формулы А.
Ясно, что в предыдущем абзаце было установлено,
что каждая формула А в S4 либо выводима либо имеет
конечную контрмодель. Этот результат слабее, чем
соответствующие результаты для М и брауэровой си-
системы, так как конечная контрмодель не обязательно
является древовидной. С другой стороны, доказательство
леммы 2 (раздел 3.2) обеспечивает каждой невыводимой
294 С. А. КРИПКЕ
формуле счетную "древовидную контрмодель. Для неко-
некоторых формул вроде ~ D ((Л Л О ~ А) V(~ А Л О А))
приходится жертвовать либо конечностью либо древо-
видностью; но не обязательно отказываться и от того
и от другого одновременно. В действительности (как мы
проиллюстрировали это на примере, но не доказали),
модифицированная версий построения, в которой не до-
допускаются применения правил к повторенным таблицам,
дает нам конструктивный метод получения не только
конечных, но н счетных древовидных контрмоделей.
Например, чтобы найти контрмодель для формулы
~ D ((Л Л О ~ А) V (~ А Л О А)) мы применим таблич-
табличную конструкцию (с ограничением на повторенные та-
таблицы)-, которая содержит в последней стадии альтерна-
альтернативное множество следующего вида (запишем сокращенно
(А Л О ~ А) V (~ А Л О А) через Хх V Х2')):
X,
А
0~А
Х
2
'О Л
Q~A
t.
') Здесь мы при желании могли бы заменить знак «О* на его
определение «~ D ~». Но мы осуществили процедуру так, как
если бы предположили следующие правила Z1 и Zr, двойственные
соответственно к Y1 и Y1 и, по существу, выводимые из ннх:
Z1. Если О А встречается в левом столбце таблицы 1, то пере-
переходим к таблице f с А в левой части и Ш'.
Zr. Если О А оказывается в правой части t, то поместим А
в правый столбец каждой таблицы V такой, что t/?t'.
Одно из достоинств табличных процедур состоит в том, что
правила могут быть независимо заданы для любого числа связок,
так что связки «независимы» одна от другой. Заметим, что если мы
пользуемся и Y- и Z- правилами в одной и той же системе, то
отношение R в обоих случаях должно быть, конечно, одно и то же
с целью вывести такие теоремы, как ~ D ~ А =5 О А. Мы моглн бы
ввести два отношения, R и R': R для Y-правил, a R' для Z-npa-
вил — и тогда ~П~Д^эО-^ ие было бы больше верно. (На
самом деле легко построить теорию моделей для нескольких
? -операторов и нескольких ф-операторов, каждый с соответ-
соответствующим ему отношением R; различные операторы могут даже
удовлетворять различным аксиомам редукции, соответствующим
различным свойствам этих отношений.) Этот факт, кажется, и с был
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 295
Здесь таблица ^является повторенной и содержится
в t1. Теперь мы можем использовать табличную диа-
диаграмму для получения конечной контрмодели, как в пре-
предыдущем абзаце. В.этом случае мы «идентифицируем» t[
и t3, помещая их в единственный класс эквивалент-
эквивалентности G. Таким образом., мы имеем модельную струк-
структуру, состоящую из множества К с двумя элементами G
и Я. и отношения R, выполняющегося для любой упо-
упорядоченной пары элементов К- Модель Ф определяется
на модельной структуре (G,К, R) для пропозициональ-
пропозициональной переменной А так: Ф (Л, G) = Т, а Ф (Л, Н) = F. Это,
очевидно, конечная конгрмодель для ~П ((АЛ§~ A)V
\/(~АЛОА)). С ЛРУГОЙ стороны, диаграмму можно
в равной степени интерпретировать так, что она даст
древовидную коптрмодель. Возьмем счетяое. множе-
множество К с элементами Н{, занумерованными натураль-
натуральными числами. «G» будет другим именем для #,, и HiRH;,
если /<S/. На модельной структуре (G, К, R) определим
модель Ф, полагая Ф(А,Я) = Т, если и нечетно, и
Ф(Л, H) = F, если п четно. Тогда Ф будет счетной
древовидной контрмоделью для ~ ? ((Л А О ~ Л) V
У(~ЛЛ<>^))- Кроме того, легко видеть, как эта
модель была получена из диаграммы. Вместо иденти-
идентификации t[ и t3 мы заметим, что в построении без огра-
ограничений на повторенные таблицы к t3 могли бы приме-
применяться те же правила, что и к t1( давая таким образом
таблицу t4, аналогичную^, которая в свою очереДь при-
приводит к таблице t5, аналогичной t[, и т. д. Каждой
такой таблице \п мы ставим в соответствие мир Нп,
получая таким образом требуемую контрмодель.
замечен в работе Описи н Мацумото [1957—1959]. Для М н S4 их
правила длн необходимости и возможности работают отдельно,
но не тогда, когда они комбинируются; ни в 54, ни в М (сфор-
(сформулированных посредством комбинированных правил) формула
~ Q ~ А гэ О А не доказуема. Исправленные правила для S4
(когда обе связки необходимости н возможности являются прими-
примитивными) должны читаться как
г' А¦*г' y аг-»л, or
г
Yi
Г,ОЛ->Г'
Аналогично для ZI и Zr и аналогично для М. (Правила Описи и
Мацумото для S5, не дающие основной теоремы, менее интересны;
см. сиоску 5 в их работе.)
296 С. А. КРИПКЕ
Аналогичные аргументы приводят к тому результату,
что каждая невыводимая формула S5 имеет конечную
контрмодель и что исчисление S5 разрешимо; по суще-
существу, этот результат содержался уже в [K59J. Конечные
контрмодели для S5 являются автоматически древовид-
древовидными контрмоделями, так что S5 обладает сильным свой-
свойством М и брауэровой системы: каждая формула либо вы-
выводима либо имеет конечную древовидную контрмодель.
Разрешающие процедуры по их описанию могут
показаться трудными, но небольшая практика даст воз-
возможность убедиться, что они не более утомительны,
чем обычные разрешающие методы для классического
исчисления высказываний, и что они являются простей-
простейшими известными из литературы разрешающими про-
процедурами для модальных логик.
5.2. Конечные и бесконечные матрицы
В пропозициональных исчислениях обычно получают
результаты о независимости и невыводимости, исполь-
используя конечные многозначные таблицы. Прайор [1957]
предложил метод интерпретации таких матриц в терми-
терминах возможных миров. Мы прилагаем и расширяем его
метод на представленный в настоящей статье семан-
семантический анализ.
Для данной модельной структуры (G, К, R) мы опре-
определим высказывание (или, может быть, более точно —
модальное значение высказывания) как отображение,
область определения которого есть К, а множество
значений — {Т, Fj. (Интуитивно высказывание есть нечто,
могущее быть истинным или ложным в каждом мире,
а для наших настоящих целей мы идентифицируем
высказывания,-которые строго эквивалентны, т. е. имеют
одни и те же истинностные значения в каждом мире.
Без идентификации строго эквивалентных высказываний
термин «модальное значение высказывания» был бы
более подходящим.) Заметим, что каждое высказывание
определяет единственное множество миров (множество
всех миров, отображающихся в Т) и что, обратно, каждое
множество миров определяет высказывание (его «харак-
«характеристическую функцию»). Таким образом, высказыва-
высказывание могло быть с тем же успехом определено просто
как подмножество К.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 297
Далее, модель —это функция Ф, отображающая
упорядо 1енные пары (Р, Я) в множество истинностных
значений; здесь Р есть пропозициональная переменная,
аЯе^. Для фиксированного Р модель Ф опргделяет
единственную функцию КНФ(Р, Н), отображающую
элементы К в истинностные значения, т. е. модель опре-
определяет высказывание. Итак, модель можно рассматри-
рассматривать как функцию, отображающую формальные пропо-
пропозициональные переменные в высказывания. Если р и а
суть высказывания (т. е. для Н^К р(Я) и а(Н) суть
истинностные значения), то мы определим р Л о как
такое высказывание, что (рЛсг)(Я) = Т тогда и только
тогда, когда р(Я) = а(Я) = Т; в противном случае
(р Л а) (Я) = F. Далее, — р определяется так: — р (Я) = Т
тогда и только тогда, когда р(Я) —F, а в противном
случае —p{H) = F. (Более компактно, предполагаем Л
и ~ определенными на истинностных значениях оче-
очевидным образом, (р Л а) (Я) = р (Я) Л <т (Я); (-~ р) (Я) =
= ~(р(Я)). Если мы рассмотрим р и а альтернативно
как подмножества К, то рЛя окажется пересечением р
и а, тогда как ~р является дополнением к р до К-)
Наконец, определим Пр. полагая (Пр)(Я) = Т, если
р(Я') = Т для всех Н' с HRH'; в противном случае
(? р) (ДГ) = F. Заметим, что если модель Ф отображает
формулы А и В в высказывания р и а, тогда по пре-
предыдущему определению моделей Ф отображает (Л Л В)
в (рЛог), (~Л) в (~р), а (О А) в (Dp).
Теперь, если в К только конечное число элементов,
скажем, п, то существует ровно 2" высказываний в мо-
модельной структуре (G, К, R). Мы можем занумеровать
их числами 1, 2, .... 2п и ввести «многозначные истин-
истинностные таблицы» для операций Л. — и ? (указывая
для каждых высказываний р и а высказывания р Л о,
— Р и ? р). Если p(G) = T, то назовем р «отмеченным
значением». Например, если /С={G, Щ, то, рассматривая
высказывания как подмножества К, положим 1 ={G, Я},
2= JG}, 3= {Я}, 4 = пустому множеству, 1 и 2 являются
отмеченными. Если отношение R рефлексивно и GRH,
но не HRG, то получается матрица группы II из Льюиса
л Лэнгфорда [1932—1959]; если R имеет место для
каждой упорядоченной пары элементов К, то полу
чается истинностная таблица группы III из Льюиса и
298 С. А. КРИПКЕ
Лэнгфорда[ 1932—1959]. В первом случае, так как R тран-
зитивно, но не симметрично, матрица удовлетворяет S4,
но не удовлетворяет S5; во втором случае, когда имеется
транзитивность и симметрия, матрица удовлетворяет S5.
Вообще, для каждой конечной модельной структуры
(G, К, R) мы получаем конечную многозначную матрицу,
которая удовлетворяет соответствующей модальной си-
системе. Кроме того, эта матрица является нормальной
в смысле Чёрча [1956]. В предыдущем разделе было
показано, что каждая невыводимая формула каждой
из наших модальных систем имеет конечную контрмо-
контрмодель. Если мы преобразуем эту контрмодель в нормаль-
нормальную магрицу для модальных систем, то увидим, что
каждая формула либо выводима либо принимает (не-
(неотмеченное) невыделенное значение в некоторой конеч-
конечной нормальной матрице, удовлетворяющей аксиомам
системы, Это свойство может быть назрано «финитно-
модельным свойством»1) (ср. Да.ммет и Леммон [1958]).
Разумеется, ограничение конечными множествами д"
несущественно для намеченной нами конструкции; если
в Д* есть и элементов, где п — конечное число или
бесконечность, то высказывания м. с. (G, д", R) образуют
матрицу из 2" элементов. Теперь рассмотрим счетное
множество,^ с древовидным отношением S; отношение S
строится так, что для каждого Я е К существует счетное
число Я'еК таких, что HSH'. Пусть теперь (G, д", R)
будет древовидной моделью (для соответствующей мо-
дальной системы), порожденной отношением S. Тогда
можно показать, что (G, д", R) является «универсальной»
модельной структурой в.следуюшем смысле: любая невы-
невыводимая формула А имеет контрмодель Ф в (G, д", R).
Действительно, для М, S5 и брауэровой системы мы
установили, что каждая невыводимая формула имеет
конечную древовидную контрмодель. Обозначим через
(С, К, R') конечную древовидную модельную структуру
этой конгрмодели, через S' — древовидное отношение,
порождающее эту структуру, а через Ф' — контрмодель
для А. Определим функцию х> отображающую д" в д"'
') В отечественной литературе более распространен термин
«свойство конечной (или финитной) аппроксимируемости». — Прим.
ПЙПЙЯ.
перев,
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 299
(интуитивно, «идентифицирующую» элементы 1С с их
образами в К'), так что х (<?) = <?'. Если ¦%(Я) = Я'
уже определено, то пусть Я/ (/ = 0, 1,2, ...) — счетное
множество элементов К таких, что HSHt и пусть
Hi, ... i Н'п — конечное множество элементов (п = 0, если
таких не существует) К' таких, что H'SH'i. Положим
х(Яо) = Я', %(Н,) = Н'{ A</<л), а х(Я,-) = Я' (/> и).
Тогда % будет интуитивно определена, а контрмодель Ф
для А в (G, К, R) мы определим, полагая Ф(Р, Я) =
= Ф'(Р, х(Я)). Ф является контрмоделью для Л, если Ф'
была таковой.
Метод, подобный тому, который был применен в пре-
предыдущем разделе для получения повторенных коптрмо-
делей, позволяет показать, что 54-модельная структура,
порожденная деревом предыдущего абзаца, является
«универсальной» для S4. (Это доказательство мы здесь
не приводим.)
Множество К универсальной модельной структуры
является счетным, а следовательно, оно содержит кон-
континуальное множество высказываний; таким образом,
каждая из четырех модальных систем имеет характери-
характеристическую матрицу мощности континуума. В действи-
действительности, однако, нам нужно включить в матрицу
только те высказывания, которые используются в контр-
контрмоделях. Таким образом, например, для всех систем,
исключая S4, нам нужно рассмотреть только те выска-
высказывания, которые имеют вид р (Я) = р'(х (Я)), где р'
является высказыванием, определенным на конечной
модельной структуре, а% — отображение из предыду-
предыдущего абзаца. Так как существует счетное число выска-
высказываний этого вида (и тот же факт может быть уста-
установлен для S4), то отсюда следует, что каждая из
рассматриваемых систем имеет счетную характеристи-
характеристическую матрицу.
Все только что определенные характеристические ма-
матрицы— и мощности континуум, и счетные, — являются
нормальными. Следовательно, ни одна из рассмотрен-
рассмотренных нами систем не может быть «неразумной» в смысле
Холдена [1957], так как в статье Холдена, по существу,
показано, что никакая система с его «плохим» свой-
свойством не может иметь нормальную характеристическую
матрицу.
300 С А. КРИПКЕ
Одно дополнительное замечание: в [K59J для 55
было введено расширенное понятие «двузначной истин-
истинности таблицы», основанное на теоретико-модельных
рассмотрениях. По существу, соответствующие понятия
для М и S4 были даны Андерсоном [1954] (за исклю-
исключением того, что редукции к нормальной форме оказы-
оказываются не обязательными).
5.3. Свойство М и S4
Чтобы проиллюстрировать силу представленных
здесь семантических методов, мы выведем следующее
свойство М и S4, известное пргжде из алгебраических
доказательств Маккинси — Тарского [1948] и Леммона
[I960]. Если выводима формула ? А V D В, то выво-
выводима либо А, либо В (а следовательно, ni R2 выво-
выводима ? А или ? В). Предположим, что ни А, ни В
не выводимы; пусть Ф и Ф' — контрмодели для А и В,
определенные соответственно на модельных структурах
(G, К, R) и (G', К', R')- Очевидно, мы можем пред-
предположить, что К и К' не пересекаются. Определим
модельиую структуру (G", К", R"), где G" ф К, G"<?K',
K" = KUK'V{G"} и для Ни Н2<=К" Hfi"H2 тогда
и только тогда, когда а) Ни Н2^ К и Н^Н2, или
б) Я„ Н?<^К' и #,R'#2, или в) Hl = G". Тогда отно-
отношение R" рефлексивно и транзитивно, если транзи-
тивны R и R' (здесь используется то, что К и К' не
пересекаются). (Заметим, что это утверждение не со-
сохраняется для симметричного отношения.) Таким обра-
образом, (G", К", R") является модельной структурой для
подходящей системы. Пусть Ф" есть любая модель
в (G", К", R") такая, что Ф"{Р,'Н) = Ф(Р, Н) для
ЯеКи Ф"(Р, Н) = Ф'(Р, Н), если Н<=К'. (Так как
К и К' не пересекаются, то существуют отображе-
отображения Ф", удовлетворяющие этим условиям.) Теперь мы
докажем но индукции, что Ф"(С, Я) = Ф(С, Я) для
каждой формулы С и любого Я е= К- Для атомарных
формул С это утверждение является частью определе-
определения Ф". Если С = D Л Е или С = ~ D, то индуктив-
индуктивный таг производится легко. Если же С= ? D и утвер-
утверждение уже установлено для D, то если Ф(О, Я') = Т
для всех Я' таких, что HRH', то Ф(С, Я) = Т; в про-
противном ?лучае Ф(С, H) = F. Но Фф, Я') = Ф"Ф> *О
семантический анализ модальной логики, i 301
по предположению. Если Я е К., то условия б) и в)
не могут не выполняться (при Н — Н{, Н' =*Н?}, так что
HR"Hr тогда и только тогда, когда HRH'. Таким обра-
образом, Ф(С, Я) = Т в том и только в том случае, когда
Ф"(С, Я) = Т, т. е. Ф(С, Я) = Ф"(С, Я), что и требо-
требовалось доказать. Аналогично, если Н^К\ то Ф" (С, Я)—
= Ф'(С, Я). Следовательно, в частности, так как Ф
и Ф' являются коцтрмоделями для А и В соответ-
соответственно, то Ф"(Л, в) = Ф{А, G) = F; Ф" {В, G') =
— Ф'(й, G') = F. Так как G"R"G, то отсюда мы полу-
получаем, что Ф"(П A, G") = F; аналогично, ввиду G"RG'
имеем Ф"(П5, G") = F. Следовательно, Ф"(П А V
VDB, G") = F и Ф" является контрмоделью для
? А V D В. Таким образом, если ни Л, ни В не дока-
доказуемы, то формула ? Л V ? В недоказуема; отсюда
следует требуемый результат.
Этот результат не сохраняет силу для S5 и брауэ-
ровой систем. В самом деле, в о5сих системах имеет
место брауэрова аксиома Л zd ? О Л. Подставляя О В
вместо Л, получаем <0 В zd ? О О В. Эквивалентная
этой формуле формула D~ fiV DOO^ оказывается
выводимой, но, очевидно, ни ~ В, ни () () В ие
выводимы.
6. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрение различных ненормальных систем откла-
откладывается до другой статьи1). Система Пранора [1957]
Q и аналогично строящиеся модификации систем, рас-
рассмотренных в этой статье, лучше исследовать в теория
квантификации, следовательно, их рассмотрение откла-
откладывается до статьи о кванторных модальных системах.
Примером системы, лежащей между S4 и S5, является
система S4.3 из работы Даммета и Леммона [ 1958],
получающаяся путем добавления схемы 'О Л Л О В zd
zd О (А А О В) V О (В А О Л) к 54. В теории моделей
это сводится к следующему дополнительному условию
на 54-модельную структуру (G, К, R): если Я, Н'^К,
то либо HRH', либо H'RH. Другие системы, образованные
наложением различных дополнительных требований
') См. стр. 304—323 настоящей книги. — Прим. ред.
302 ¦ • • С- А, КРМПКЕ
на R, легко могут быть построены методами Онисю
и Мацумото [1957—1959] (теорема 3.5).
Если бы мы отказались от условия рефлексивности
R, то это было бы эквивалентно отказу от модальной'
аксиомы ПЛ=э А. На этом пути можно было бы полу-,
чить системы типа деонтической логики.
ЛИТЕРАТУРА
Андерсон (Anderson A. R.)
[1954] Improved decision procedures for Lewis's calculus S4 and
von Wright's calculus M, JSL 19, 291—214.
Байяр (Bayart A.)
[1959] Quasi-adequation de, la logique moqjale de second ordre S5
et adequation de }a logique, de prenakr ordre S5, LA 2.
Ret (Beth E. W.) . . .
A955] Semantic entailment and formal derivability, Mededelingen
Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch., Ajd. Letterkunde, n. s. 18,
309—342.
фон В р и гт (von Wright Q. II.)
[1951] An Essay in Modal Logic, Amsterdam, North-Holland.
Гийом (Guillaume M.)
[1958] Rapports entre calculs propositionels modaux et topologie
impliques par certain extensions de la methode des tableaux
semantiques, CR 216, 1140—1142 (Systeme de Feys — von
Wright), 2207—2210 (Systeme S4 de Lewis).
Даммет, Лемм он (Dummett M. A. F., Lemmon E. J.)
[1958] Modal logics between S4 and S5, ZMLGM 4, 250—264.
йонссон, Т а р с к и и (Jonsson В., Tarski A.)
[1951] Boolean algebras with operators I, Amer. J. Math. 23,
891—939.
К а н г ep (Kanger S.)
[1957] Provability in logic, Stockholm.
К а р р и (Curry H. B.)
[1950] A theory of formal deducibility (Notre Dame Math. Lectures,
No. 6).
Kp и п ке (Kripke S. A.)
[1959] A completeness theorem in modal logic, JSL 24, 1 — 14.
[Русский перевод: Крипке С. А., Теорема полноты в мо-
модальной логике, наст, кн., 223—246.]
[1959а] Semantical analysis of modal logic, там же, 323—324.
Леммой (Lemmon E. J.)
[1960] An extension algebra and (he modal system T, NDJFL 1,
2-12.
Льюис, Лэнгфорд (Lewis С. I., Langford С. Н.)
[1932] Symbolic logic. Century Co. [Rev. ed., Dover, 1959.]
Маккии си (McKinsey H. C. C.)
[1945] On the syntactical construction of systems of modal logic.
JSL 10, 83—94.
Маккинси, Тарский (McKinsey J. С. С, Tarski A.)
[1948] Some theorems about the sentential calculi of Lewis and
Heyting, JSL 13, 1—15.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ "МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. I 303
Он-нси, Мацу мот о (Onishi M., Matsumoto К.)
[1957—1959] Gentzen method in modal calculi, Osaka Math. I. 9,
413—130; 11, 115—120.
П рай op (Prior A. N.)
[1957] Time and Modality, London, Oxford Univ. Press.
Расссел, У"айтх«д (Russell В., Whitchead A. N.)
[1910] Principia Mathematica, Cambridge Univ. Press, v. I.
Ф е й с (Feys R.)
[1937—1938] Les nouvelles logiques des modalites, Revue neosco-
lastique de philosophie 40, 517—553; 41, 217—252.
Холден (Hallden S.)
[1951] On the semantic non-completeness of certain Lewis's calculi,
JSL 16, 127-129.
Ч с р ч (Church A.)
[1956] Introduction to mathematical logic, I, Princeton. [Русский
перевод: Ч с р ч А., Введение в математическую логику, т. I,
ИЛ, I960.]
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ
ЛОГИКИ. II.
НЕНОРМАЛЬНЫЕ МОДАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ*)
Саул А. Кр и п ке
В этой работе продолжаются исследования, начатые
в нашей предыдущей статье Кринке [1963]'). Знаком-
Знакомство с [К.63] не просто предполагается: мы советуем
читателю иметь эту работу под рукой. Мы свободно
пользуемся терминологией и обозначениями из [К63|;
например Р, Q, . R, ...—это атомарные формулы,
а Л, В, С, ...—произвольные формулы, построенные
из атомарных с помощью связок Л, ~. D. Все исчи-
исчисления высказываний из настоящей статьи имеют те же
правила образования, что и в [К63]. Однако в них,
вообще говоря, отсутствует правило введения необхо-
димости, так что они являются ненормальными. Сле-
Следовательно (по нашему мнению), они несколько неесте-
неестественны с интуитивной точки зрения; тем не менее
они допускают изящную теоретико-модельную трак-
трактовку. Среди этих систем имеются, в частности, льюи-
совские S2 и S3; на эти и другие системы мы обобщим
результаты [К.63]. Результаты этой статьи были объя-
объявлены в работе Крипке [1963], резюме.
Все рассматриваемые здесь системы будут форму-
формулироваться с помощью схем аксиом; подстановка — вы-
выводимое правило.
1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ; СВОЙСТВО ХОЛДЕНА
Через R1 мы обозначаем правило modus ponens:
Л, А=>В/В.
Теорема 1. Пусть PL — произвольное исчисление
высказываний, содержащее схему A гэ (А А • • ¦ Л А)
*) S. A. Kripke, Semantical analysis of modal logic, II; Non-
mormal modal propositions 1 caiculi, The Theory of Models, Proc.
of the 1963 fnternational Symposium at Berkley, Amsterdam,
North-Holland, 1965, 206—220
') Всюду ниже эта работа будет цитироваться как [К63]. —
Прим. персе.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. II 305
и обратную к ней (А А • • • Л А) гэ А. Если правило
modus ponens допустимо (выводимо) в PL', то PL мо-
может быть рекурсивно аксиоматизировано с modus po-
ponens в качестве единственного правила вывода.
Доказательство (данное, по существу, Крей-
гом[1953]). Построим PL'следующим образом. Аксиомы:
(А Л • • • Л A) гэ А (любое число конъюнктивных чле-
членов А) п В /\ ... /\ В о. m конъюнктивными членами,
где. m — гёделевский номер доказательства формулы В
в PL. R1 — единственное правило вывода. Тогда оче-
очевидным образом PL содержит PL', a PL' содержит PL,
так как для любой теоремы В исчисления PL и лю-
любого т, являющегося гёделевским номером ее доказа-
доказательства, формулы В А ... А В и (В А ... А В) zd В
(т конъюнктивных членов) обе доказуемы в PL', от-
откуда В получается по R1; ч. т. д.
S2, S3 и большинство систем, рассматриваемых
ниже, обладают свойством неполноты по Холдену [1951):
имеется такая выводимая формула А V В, что А н В
невыводимы и не имеют общих пропозициональных пе-
переменных. Холден показал, по существу, что системы,
обладающие его свойством, не могут иметь нормаль-
нормальной характеристической матрицы.
Теорема 2. Пусть PL — исчисление высказываний,
имеющее R1 в качестве единственного постулирован-
постулированного правила и содержащее все классические тавтоло-
тавтологии. Пусть А и В — формулы, не имеющие общих
пропозициональных переменных. Допустим, что А У В
доказуема, и пусть PL'{PL") образовано добавлением
к PL в качестве схем аксиом всех подстановочных
частных случаев формулы А (формулы В). Тогда PL =
= PL' П PL".
Доказательство. Пусть С — теорема PL' и PL".
Нам нужно вывести ее в PL. Так как I— С в PL/, то
имеется конечный набор Ли ..., Ат подстановочных
частных случаев формулы А, из которых С выводима
в PL. Следовательно, по теореме о дедукции
1- (А, А • •. Л Ат) Z3 С в PL. Аналогично, 1- (Я, Л
• ¦¦ ABn)~z>C в PL для некоторых подстановочных
частных случаев Bt, ..., Вп формулы В. Поэтому нам
нужно только вывести (Л, Л ¦ • ¦ Л Ат) V {Вх А • ¦. Л Вп)
в PL. Переименовывая, если нужно, пропозициональные
306 t. А. КРИПКЕ
переменные в В, добиваемся того, чтобы ни
Д, ..., Ат, ни А не содержали общих переменных с В.
После этого мы все еще можем вывести А У В в PL.
Так как Л и В не имеют общих пропозициональных
неременных, мы получаем с помощью подстановки
Ь- At V В в PL (i— 1, ..., т). Следовательно, Ь- -(Я, А ...
... Л Ат) V В. Так как дизъюнктивные члены в послед-
последней формуле все еще не имеют общих переменных, то
с помощью новой подстановки мы получаем I— (А\ Л • ••
... Л Ат) V В/ (j = 1, ..., п) и, следовательно, (-(Я, Л •..
... A^m)V(fiiA ••• ЛВп), ч. т. д.
Теорема 3. Исчисление высказываний PL имеет
нормальную характеристическую матрицу тогда и
только тогда, когда выполняются следующие четыре
условия:
(а) PL непротиворечиво (т. в. не Ь- (А Л ~ А));
(б) правило R1 допустимо в PL;
(в) PL содержит все классические тавтологии;
(г) PL не обладает свойством Холдена.
Необходимость этих условий очевидна. Доказатель-
Доказательство достаточности, которое мы опускаем, состоит
в построении нормальной характеристической матрицы
методом Линденбаума').
Хотя мы предполагаем, что все исчисления выска-
высказываний имеют правила образования, как в [К63],
ясно, что приведенные выше теоремы имеют место для
более широкого класса правил образования. Далее,
теорема 2 применима, например, к системам, содержа-
содержащим позитивную логику Гильберта — Бернайса вместо
классической логики.
2. РАССМАТРИВАЕМЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Все рассматриваемые системы содержат в качестве
аксиом все тавтологии классического исчисления вы-
высказываний; поэтому эти аксиомы не будут явно ука-
указываться 2).
') См. § 19 обзора Г. Е.Минца в конце этой книги. — Прим. ред.
2) Это условие было непредусмотрительно забыто в [K63J.
В связи со сноской 2) на стр. 257 [К63], следует отметить, что
упомянутая в ней работа Хиптикки опубликована как Хинтикка
[19611; в качестве упомянутых в этой же сноске «учеников
Т. Смайли» следует иметь в виду Френсиса Дрейка.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. II ЭЭГ
Система ?2 Леммона [1,9,571,характеризуется аксио-
аксиомами: . •
А1. ПЛоЛ.
A3. D (А => В) Z3 (П А => ? В),
а также правилами R1 и
(ЕЬ) Если h А з В, то h ? A => П В.
Мы получим систему ?3, если заменим аксиому A3
Системы Е2 на более сильную:
A) П(А=>В)=>П(П ЛэПВ).
Легко показать, что (ЕЬ) эквивалентно AzdBK) Azd
о О В.
В силу теоремы 1, исчисления ?2 и .?3 можно пе-
переформулировать с R1 в качестве единственного пра-
правила вывода. Можно было бы получить, более есте-
естественную переформулировку этих двух систем, опуская
правило (ЕЬ) и добавляя пункт: если Д.— аксиома1),
А — любая формула, то ? А ^э ? В— аксиома. Тогда,
с помощью R1 мы можем получить Б/П А гэ D В как
выводимое правило, а отсюда и (ЕЬ) (путем A z^ fi/QAo
id ? (А гэ В), откуда с помощью A3 и классического
исчисления высказываний получим Q А^>ПВ2)). Исходя
из формулировки ?2 (?3) с. R1 в качестве единствен-
единственного правила вывода, определим S2 (S3) как результат
добавления схемы ¦ Q (Л э Л) к этой формулировке.
Далее,. исходя из формулировки Е2 с единственным
') Подразумеваются акснрмц старой формулировки.—Прим. ред.
2) Индукцией но длине доказательства формулы В в новом
варианте ?2 (?3) мы можем доказать, что из выводимости В сле-
следует выводимость ПИзИВ в новом варианте ?2 (?3). Если
В — аксиома, то искомый результат очевиден. Если В выведено
по /?1 из С и С гз В, то мы имеем по индукционному предполо-
предположению, что ? А => ? С и ? А гз ? (С => В) выводимы. В силу
аксиомы A3 и классической логики высказываний вторая из этих
формул дает I- ? А гз (D С =з ? В); отсюда и нз первой получаем
искомое I- О Azi П В.
Отметим, что правило В/П A id О В является тривиальным
следствием правила (ЕЬ) (так как A zd В выводимо из В). Поэтому
новый вариант ?2 (?3) очевидным образом содержится в ?2 (?3).
Выше мы наметили доказательство обратного включения.
308 С. А. КРИПКЕ
правилом R.1, определим S2n как результат добавле-
добавления к ней аксиом
B) Пп(Л:эЛ) @<ге<оо).
(Здесь ?" обозначает последовательность из п знаков
необходимости. S2'J — это ?2; S2] — это 52.)
Далее, если Л — теорема системы ?2 (?3), то это же
верно для (AidA)zdA; значит (по (ЕЬ)), Ь-П(/1:зЛ)=э
id П А. Следовательно, h- ? А в S2 (S3). Аналогично
(посредством п применений (ЕЬ)), Пп(А гэ Л) id п" А —
теорема Е2, так что в силу R1 П"А — теорема си-
системы S2". В теоргме 6 ниже мы покажем, что если
1- П"Л в S2", то 1- Л в Е2.
Если мы определим S2°° как результат добавления B)
для всех п в качестве схем к формулировке Е2 с един-
единственным правилом R1, то легко показать, что если
В — аксиома системы S2°°, то I— ? В в S2°° (так как
любая аксиома либо имеет вид Пп (Л id Л) либо является
теоремой системы Е2). Следовательно, с помощью
индукции по длине доказательства В в S2°° ')> из соот-
соотношения ь- В в S2°° следует |— ? В; таким образом,
S2°° эквивалентна системе М Фейса — фон Вригта (ср.
1К631).
Заметим, что в ?3 из ПВзП(Л=)В) двумя при-
применениями A) к консеквенту мы получаем h DBd
id ? (? ? Л id ? ? В), и, следовательно, 1- ? ? Л id
и(ПВ1зП DB). Отсюда следует, что если бы мы
определили S32 как результат добавления B) при ге=2
к S3, то S32 выродилась бы в S4. (Некоторую интуи-
интуитивную мотивировку того, что S32 = S4, S2°° = M, даст
развиваемая ниже теория моделей.)
Теоретико-модельное рассмотрение систем S2n, E2 и
?3 мы начнем несколько позже, а в оставшейся части
этого раздела упомянем другие системы и их соотно-
соотношение друг с .другом и с предыдущими системами.
') Мы только что рассмотрели случай, когда В — аксиома.
Если В выведена но RI из Си Cd В, то по индукционному пред-
предположению выводимы ПС и ? (С Z3 В). Из второй формулы по-
получаем по A3 Ь- ? С => ? В, откуда, используя D С и R1, получаем
искомое I- ? В.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. II 309
Falsum-система — это система с единственным пра-
правилом R1 и единственной аксиомой
C) ~ПЛ.
Аксиома C) сводит ? к оператору ложности. Легко
проверить, что интерпретацию ? как оператора лож-
ложности допускают Е2 и ЕЗ. То же верно и для системы
Леммона ?, правилами которой являются R1 и (ЕЬ),
а аксиомами — А1, A3 и
А4. ? Л => ? ? Л.
Система Леммона ? сводится к S5; автор настоящей
статьи предложил вместо So систему ?, определяемую
аксиомами А1, A3 и
А2. D^=)(~DBdD~DB) и правилами R1 и
(ЕЬ). Эта система содержится в Falsum-сигтеме.
Далее, так как Ьйгэ(ЛгэЛ), то по (ЕЬ) в ?2f- DB=>
эй(ЛпЛ), т.е. Ь- ? (Л => Л) V ~ ? В. Следовательно,
применяя теорему 2 к Е2 (ЕЗ), сформулированной
с единственным правилом R1, получаем, что Е2 (ЕЗ) —
это пересечение S2 (S3) с Falsum-cncTeMoii. Из тео-
теоремы 2 следует далее, что Е4 (Е5) аналогичным образом
связана с S4 (S5).
Отметим, что все рассматривавшиеся до сих пор
системы (кроме Falsum) содержатся в Тривиальной
системе, которая основана на аксиомах ? Л тэ А и
AdD/1 (R1 —ее единственное правило).
Модальная ^-система Лукасевича аксиоматизируется
аксиомами А\ и
D) (Л =э ?)=)(? Л=эПВ);
R1 — единственное правило вывода (ср. Лукасевич
[1953]). Генценовские правила для возможности у Карри
[1952] оказываются эквивалентными ^-системе, хотя
к тому времени, как работа Карри [1952] была опубли-
опубликована, он уже больше не считал эту систему есте-
естественной. Другая формулировка этой системы была
переоткрыта Жаном Портом, ^-система содержится как
в Тривиальной, так и в Falsum-системе. Действительно,
из Bz^(AtdB) и D) мы легко выводим Вэ(ПЛзПВ),
а следовательно, I ? А V (В гэ ? В). Поэтому в силу
310 С. А. КРИПКЕ
теоремы 2 i-система является пересечением Тривиальной
и Falsum-систем (факт, доказанный впервые Прайором
[1957]). Таким образом, ^-система содержит все ?-си-
стемы.
3. МОДЕЛИ
Любая попытка развить теорию моделей для ?2
и ? должна считаться с тем фактом, что в ?2 и ?3
недоказуема никакая формула вида ? В, даже Ц](Л:э Л).
Если бы мы, как в [К63], положили, по определению,
что формула ? В истинна в «мире» Нх тогда и только
тогда, когда В истинна в любом Н2, «возможном относи-
относительно Я,», и стали бы оценивать истинностные функции
в соответствии с таблицами истинности, то П (Л гэ Л)
была бы истинна в любом мирг Ни так как Azd A
очевидным образом истинна в любом мире И2. Анало-
Аналогичные трудности возникают в S2 и S3 (в 52") из-за
недоказуемости П2(Л :э А)[Оп+1(А гэ Л)].
Заметим, однако, что I-? #:э П (Л :э Л) в ?2 и,
следовательно, 1- -—-П (Л гэ Л):э— ? В: если уж Л:эЛ
не необходимо, то и ничто не необходимо. Это приводит
нас к делению «возможных миров» на два класса:
«нормальные миры», где необходимость оценивается
в соответствии с лейбницевским предписанием из [К63],
и ненормальные миры, в которых ? В всегда ложиа.
Определим теперь модельную структуру (м. с.) как
упорядоченную тройку (G, К, R), где К — множество,
GeJ( и R — отношение, определенное на К и обла-
обладающее следующим свойством квазирефлексивности:
если НгНН2 (Я,, Н2^К), то Я^/^. Элемент Я множе-
множества К («мир») называется нормальным, если HRH.
(Мы могли бы определить модельную структуру как
четверку (G, К, R. Ю> гДе К — множество, G^K,
N^K, и R — отношение на JC, которое рефлексивно
на JV. Нормальные миры — это элементы JV. Это опре-
определение ведет к несколько более общему классу мо-
моделей за счет дополнительного исходного понятия; его
преимущества станут понятны в разделе 7.)
Произвольная м. с. называется также ?2-м. с. Если R
транзитивно, то м. с. (G, К, R) —это ?3-м. с. Е2- (ЕЗ-)
ц. с, в которой G нормален, называется S2- (S3-) м. с.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. И 311
Обозначим временно через Q следующее отношение
между элементами множества К и неотрицательными
целыми Числами: HQn тогда и только тогда, когда
либо л = 0 и H = G, либо п~^\, и существуют
Яо Нп(=К такие, что Я0 = С Я„ = Я и Н^Н(+1
(О < i < га). Назовем глубиной элемента Я . из К наи-
наименьшее число п такое, что HQn; если такого п нет,
то глубина равна бесконечности.
?2-м. с. считается, по определению, S2"-m. с. тогда
и только тогда, когда все Яе# глубины < п нор-
нормальны. Для га = 0 (л=1) это совпадает с введенным
ранее понятием ?2- (S2-) м. с. ?2- (?3-, S2\ S3-) мо-
модель <р для формулы А системы ?2(?3, S2n, S3)—это
двуместная функция <р(Р, Я), связанная с данной
?2-(?3-, S2", S3-) м. с. (G, К, R). Как и в [К63], первая
переменная Р пробегает атомарные подформулы фор-
формулы А, а вторая переменная Я пробегает элементы К.
Область значений ср — множество {Т, F}.
Если дана модель ф, езязанная с м. с'. (G, К, R),
то мы определим для любой подформулы В формулы А
значение ф(В, Я). Если В—атомарная подформула,
то значение ф уже определено. Если ф(Б, Я) и ф(С, Я)
уже определены для всех Я, то определим1 ф (В А С, Я),
ф(~#, Я), как в [K63J. Полагаем, по определению,
ф(ПВ, Я) = Т тогда и только тогда, когда Я нормален
и. ф(В, Я') = Т для всех Я' таких, что HRH'; в против-
противном случае ф (П В, Я) = F. (Следовательно, ф (? В, И) = F
автоматически, если Я не нормален.)
Как и в [К63], формула А истинна в модели ф,
связанной с м. с. (G, К, R), тогда и только тогда,
когда ф(Л, G) = T. Формула А общезначима (для S2 ,
?3, S3) тогда и только тогда, когда она истинна в лю-
любой (S2"-, ?3-, S3-) модели. Отметим, что, в отличие
от [К63], выделенный элемент G из м. с. (G, К, R)
играет существенную роль в определениях. Например,
в 52-модели ф на м. с. (G, К, R) значение ф(ПD:э A), G)
должно быть равно Т, так как G нормален в лю-
любой S2-M. с. Следовательно, П(Л^)Л) общезначима
в S2.
Мы можем определить связные модели и древовидные
модели, как в [К63]. Как и там, мы можем ограни-
чпться ^связными моделями, не меняя сколько-нибудь
312 С- А. КРИПКЕ
существенно нашу теорию. Отметим, что в связной
м. с. (G, К, R) любой Не. К. имеет конечную глубину;
далее, в связной м. с, где R транзитивно, любой Не К.
имеет глубину ^1. Следовательно, если мы назовем
м. с. (G, К, R) S2°°-m. с, если каждый Н^К, имеющий
конечную глубину, нормален, то связная 52°°-м. с. —
это М-м. с. (ср. [К63]). Если мы определим S32-m. с.
как ?3-м. с, где каждый Яе/( глубины < 2 нормален,
то связная S32-m. с. является S4-M. с. Эти факты дают
теоретико-модельную мотивировку результатов раздела
2: S2°° = M S32 S4
4.1. Семантические таблицы
Мы можем принять без изменений почти все по-
понятия из [К63], касающиеся построений и конструкций.
Снова на каждом данном шаге построения имеется
система альтернативных множеств таблиц. Каждое
альтернативное множество 9> упорядочено отношением R,
которое теперь должно быть только квазирефлексивным.
Упорядоченному множеству 9" может быть естественным
образом придана форма дерева. Корень t0 дерева — это
главная таблица (точнее, ее потомок в Ф). Заменяя G
на t0, мы можем определить глубину таблицы t в ^
точно так же, как ранее для мира: это наименьшее п
такое, что либо и = 0 и t = t0, либо п>1 и существуют
t, tn такие, что tn = t, ttRtl+1 @<i<n).
Таблица t из альтернативного множества 9>, по
определению, нормальна тогда и только тогда, когда t/?t.
Мы требуем, чтобы R было квазирефлексивно: 11/?t2
влечет ixRix. В ?3- и 53-конструкциях мы требуем
далее, чтобы R было транзигивно. В S2- и .^-кон-
.^-конструкциях главная таблица t0 должна быть нормальной.
В ^"-конструкциях нормальна любая таблица глу-
глубины < п. Далее, во всех системах мы требуем, чтобы,
любая таблица, содержащая в левом столбце фор-
формулу ? В, была нормальна (в соответствии с тем, что
Ф(П В, Я) = Т влечет нормальность Я). Короче говоря,
как и в [К63], свойства, постулированные для R, па-
параллельны свойствам для R. И так же, как там, отно-
отношение R имеет место в некотором множестве только
в том случае, если этого требуют предыдущие
условия.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. II 313
Все правила, кроме Yr, можно перенести без изме-
изменения ') из Крипкс [1963]. Yr формулируете» теперь так:
Yr. Если ? А встречается в правом столбце нор-
нормальной таблицы t, то мы открываем новую таблицу V
такую, что t Rt', помещая Л в ее правый столбец.
Заметим, что такая формулировка Yr делает «тре-
«требование» квазирефлексивности, по существу, излишним.
Действительно, если t R\ не требуется по какой-либо
причине, отличной от квазирефлексивности (например,
из-за того, что ? В входит в левый столбец или данная
таблица имеет глубину < п в ^^-конструкции), то Yr
никогда не будет применимо к t, так что никогда не
будет введена таблица f такая, что t Rt', так что ква-
квазирефлексивность имеет место тривиальным образом.
Следовательно, в Е2- или ?3- (S3- или S2n-) конструкции
таблица t будет нормальной тогда и только тогда,
когда в ее левом столбце встречается некоторая фор-
формула вида ? В (либо в левом столбце встречается не-
некоторая формула вида ? В, либо данная таблица
является главной; либо в левом столбце встречается
некоторая формула вида ? В, либо данная таблица
имеет глубину < га).
Теорема 4. А общезначима в ?2(?3, S3, S2")
тогда и только тогда, когда конструкция для А замкнута
(в соответствующей системе).
Доказательство этой теоремы в точности аналогично
Доказательству соответствующей теоремы в [К63], раз-
раздел 3.2.
4.2. Деревья и новая формулировка правил
Как и в [К.63], каждому из альтернативных множеств
некоторой стадии построения может быть придан вид
дерева. Действительно, если, следуя [К63], мы положим,
по определению, что t, St2 имеет место тогда и только
тогда, когда t, и t2 являются потомками в 9" некоторых
таблиц t| и t2 таких, что Ц была введена применением
правила Yr к tf, то S будет отношением древесного
порядка на 9*. Следуя разделу 3.3 из [К.63], мы ставим
') Для правила Лг условие перед правилом Y1 на стр. 264
[К63], включенное туда для обеспечения рефлексивности, должно
быть заменено па: «Кроме того, если t Rt, то полагаем ti /?t(».
314 с. а. крнпке
вопрос, можно ли переформулировать правила в тер-
терминах отношения S таким образом, чтобы правило,
применяемое к таблице t, могло затрагивать разве
лишь t и таблицы, смежные с t ([K63], стр. 276). За-
Заметим, что после замены У? на 5 мы можем определять
глубину таблицы t в терминах S, а не R. Для ^"-кон-
^"-конструкций это понятие глубины будет совпадать, с перво*
начальным (но для ?3 и S3, где R транзитивно, уже
не будет). Теперь, в терминах 5, мы. можем назвать
таблицу t из S2"-(?3-) конструкции нормальной, если
она содержит формулу П А в левом столбце или имеет
глубину. < п (соответственно, если она содержит фор-
формулу П А в-левом столбце или является главной таб-
таблицей своего альтернативного множества). Мы можем
тогда переформулировать все правила, кроме Y1, по-
попросту заменяя R иа 5 (в случае Лг мы опускаем
условие, наложенное с целью обеспечить квазирефлек-
квазирефлексивность; ср. [К63], стр. 264). Для S2" правило Y1
теперь аналогично Y4 для М из [К63], стр. 264:
Y1.. Если П А встречается в левом столбце таблицы t,
то поместить , А в левый столбец: таблицы t и всех
таблиц f таких, что tSt'.
Для S3 и ЕЗ нам нужно переформулировать Y1,
чтобы, получить «суррогат» транзитивности R. Мы осно-
основываем нашу новую формулировку на следующем
факте, fлегко, проверяемом для модели <р на ЯЗ-м.-с.
(С, К, R):. ЕсЯи <p(Q А, #,) = Т, НХ<=К, йа —нормаль-
—нормальный элемент К и HlRH2, то <p(DA Н?) — 7. Итак,
Y1 принимает вид:
Y1. Пусть ? А встречается в левом столбце таб-
таблицы t. Тогда: A) поместить А в левый столбец t;
B) поместить А в левый столбец каждой таблицы V
такой, что t SV; C) поместить П А в левый столбец
каждой нормальной таблицы V такой, что tSt'.
Отметим, что если ? А встречается в левом столбце
таблицы- t и tSt', VSi", то t' должна быть нормальной
(иначе она не могла бы быть потомком таблицы, к ко-
которой применено Yr, так что соотношение t' St" было бы
невозможно). Следовательно, согласно Y1 мы помещаем
? А в левый столбец t', а потому помещаем и А
в левый столбец t"-. Этот процесс можно итерировать
произвольное число раз, так что мы получаем эффект
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. II 315
транзитивности (ср. аналогичное рассмотрение для 54
в [К63], стр. 277).
Эквивалентность «/^-формулировки» и «5*формули-
ровки» можно доказать без особых хлопот. «5-форму-
лировка» будет использоваться во всем разделе 5.
5. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
5.1. Непротиворечивость
Мы докажем теорему о полноте для всех систем 52"
@^«< оо), а также для ?3 и 53. Сначала нам нужно
показать, что любая выводимая формула данной си-
системы общээначима в соответствующей теорли моделей.
Для ?2 и ?3 мы можем проверить общезначимость
схем аксиом непосредственно, а затем проверить пра-
правило R1 и (Eb). R1 тривиально. Чтобы проверить (ЕЬ),
допустим, что дана ?2-(?3-) м. с. (G, К, R) и свя-
связанная с ней модель <р такая, что <р(П А гэ П В, G) = F,
так что ? А г> ? В не общезначима в ?2(?3). Нужно
проверить, что Л г> В не общезначима в ?2(?3). Так
как <р(П Лэ П В, G) = F, то ф(П Л, G) = T и, сле-
следовательно, G нормален. Отсюда и из того, что
ср(ПВ, G)=F, получаем, что существует Н0^К такой,
что <рE, #0)=F и GRH0. Таккак'бЯЯо и ф(П A, G)=T,
то ф(Л, Я0) = Т. Поэтому ф(Л=>В, H0)~F. (Н0,К, R) —
этф ?2-(?3-) м. с; определим на ней модель ф'(Р, И),
полагая ф' (Р, Н) = ф (Р, И) для всех Н^К. Таким
образом, ф и ф' — это одинаковые двуместные функции,
но одна связана с (G, К, R), а другая —с (Ио, К, R).
Следовательно, из ф(ЛгзБ, /fo) = F получаем ф'(Л=эВ,
^o) = F, и ф' опровергает ЛгэВ, ч. т. д. Таким обра-
образом, мы проверили, что все теоремы системы ?2(?3)
общезначимы в ?2 (?3). В 52" все аксиомы являются
теоремами ?2 (а значит, общезначимы в ?2 и, следова-
следовательно в 52") или имеют вид ?"(ЛгэЛ). Легко прове-
проверяется, что аксиомы общезначимы в 52" благодаря огра-
ограничению (на 52"-м. с. (G, К,Щ) и что любой #<=# глу-
глубины < «нормален. Правило R1 —единственное правило
52" — проверяется тривиально. Аналогично, в случае 53
формула ? (Л гэ Л) очевидным образом общезначима,
так как в 53-м. с. (G, К, R) мир G должен быть нор-
нормальным. Для остальных аксиом проверка тривиальна.
316 С. А. КРИПКЕ
5.2. Полнота
Как и в [К63], мы докажем, что из замкнутости
конструмции, основанной на А, следует общезначи-
общезначимость Л. Ранг таблицы, ассоциированная и характери-
характеристическая формула определяются, как в [К63]. Как и
в [К63], нам нужно доказать следующее утверждение.
Лемма. Если Aj — характеристическая формула
начального шага некоторой S2n- (ЕЗ- или S3-) конструк-
конструкции, a BQ — характеристическая формула произвольного
шага, то \~ Л0=эВ0 в Е2(ЕЗ).
Доказательство. Как и в [К63], мы докажем,
что характеристическая формула Ат некоторого шага
влечет характеристическую формулу Лт+1 следующего
шага. В действительности мы докажем, что ДтэЛт+1
для любой S2n- конструкции доказуемо уже в Е2, и
аналогично для ЕЗ- или 53-конструкции формула
Ат:э Ат±х доказуема уже в ЕЗ. Мы можем повторить
все «предварительные наблюдения» из доказательства
соответствующей леммы из [K63J, заметив, что переход
от \-XzdY к \-()Xzd()Y ([K63], стр. 282, строки
17—18), который обосновывался в [К63] ссылкой на
правило R2, обосновывается в Е2 и ЕЗ правилом (ЕЬ).
И действительно, все случаи, рассмотренные в [К63],
кроме Y1, можно повторить здесь без изменения. (За-
(Замечательно, что пересмотр правила Yr не вносит раз-
различий в рассмотрение случая Yr: в действительности
рассмотрения этого случая проходят, даже если приме-
применимость Yr н.е ограничена нормальными таблицами.)
Поэтому мы проверим только Y1.
Случай Y1. В S2" мы имеем ? А в левом столбце
таблицы t, и нужно поместить А в левый столбец t
и всех таблиц V таких, что \SV. Как и в [К63], поме-
помещение А в саму таблицу t оправдывается просто аксио-
аксиомой ? A zd А. Чтобы обосновать помещение А в таб-
таблицу V такую, что tSt', заметим (как и в [К63]), что
если характеристическая формула таблицы t есть
ХА ? А А О В, где В — характеристическая формула
таблицы t', то помещение А в левый столбец V меняет
характеристическую формулу таблицы t на X А ? А А
А О (В А А). Мы можем обосновать это преобразо-
преобразование, как в [К63], если сможем доказать (? А А <)В)^э
D О (В Д Л) в ?2. Мы наверняка имеем Ь- Ло
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОП ЛОГИКИ. II 317
^э(В^ВАА), откуда по (ЕЬ) получаем Ь- П А о
гэ D (В о В А Л). Но в силу аксиомы A3, -переформу-
-переформулированной в терминах возможности, Ь- ? (В id В А Л)гэ
^«>В^О(ВЛ А)), откуда ЬПЛэ(()Вз О(ВЛ Л)),
что сводится к искомому I- (? А Л D В) з (> (В Л Л).
Для ?3 и S3 нам нужно проверить далее, что законно
помещать ? А в левый столбец нормальной таблицы М
такой, что tSt'. Если tSt', то V может быть нормальной,
только если в ее левом столбце имеется некоторая
формула ? С. (В S3 главная таблица t3 любого альтер-
альтернативного множества считается нормальной, даже если
в ней нет такой формулы; но условие t St' очевидным
образом исключает ситуацию, когда f — главная таб-
таблица, т. е. начало древовидной структуры.) Поэтому
мы можем предположить, что характеристическая фор-
формула В таблицы t' имеет вид В' А ? С Таким обра-
образом, мы можем оправдать помещение ? А в t', если
докажем (? А А О (В' А ? С)) => О (В' Л ? С Л ? А)
в ?3. Мы имеем Л :э (С id Л) ив силу (ЕЬ) I- ? Л г>
zdU(CzdA) в ?3. Но Ь- ? (С id A)=> ? (? Со ? А)
в силу характеристической аксиомы ?3. Далее, легко
доказать
I- ? (? С id ? А) => (О (В' Л ? С) о О (В' А ? С А ? А)).
Комбинируя эти результаты, мы получаем в силу тран-
транзитивности о
D А =э (О (В' А ? С) zd О (В' Л ? С A D Л)),
а это легко преобразуется в нужный результат, ч. т. д.
Теорема 5. Если А общезначима, то А доказуема.
Доказательство. Теорема формулируется, разу-
разумеется, применительно к некоторой конкретной системе.
Докажем ее сначала для ?2 и ?3. Если А общезначима,
то конструкция для Л замкнута. Следовательно, имеется
такой шаг этой конструкции, что каждое альтернатив-
альтернативное множество этого шага содержит замкнутую таблицу.
Пусть ?>, V . • • V Dm — характеристическая формула
этого шага, где Df (/=1, ..., m) — характеристические
формулы альтернативных множеств этого шага. Мы
докажем | D; для каждого /. Dt — характеристиче-
характеристическая формула некоторого альтернативного .множества^,
318 С. А>. КРИПКЕ ¦
содержащего некоторую замкнутую таблицу t. Пусть
t0 —главная таблица множества 9*. Так как 9" имеет
древовидную структуру, то имеется единственная ветвь
этого дерева, идущая ив t0 в t. Иными словами, имеются
таблицы tj, ..., \р такле, что tp = t и t(-5t/+1 (i = О, ...
..., р — 1) (здесь подразумевается возможность р = 0,
t = t;,==to). Мы утверждаем, что если Xt — характери-
характеристическая формула таблицы t,-, то I Xt. Так как
характеристическая формула множества совпадает, по
определению, с характеристической формулой его глав-
главной таблицы, то Ха совпадает с Dt, и наше утвер-
утверждение влечет \-~Dj. Чтобы доказать наше утвер-
утверждение, мы покажем, что I— ~ Хе и что Ь- ~ Xt для
i^l влечет I Xt-X. Действительно, Хр, будучи ха-
характеристической формулой таблицы t, имеет вид Y Л
ЛВЛ~В. где В встречается и в/ левом и в правом
столбце таблицы t (== tj). Поэтому, очевидным образом,!
\-~Хр. Допуская \-—¦> Xt при /^1, имеем ^_,5^. Так
как t,-_iStj, то таблица t;_! должна быть нормальной:
иначе к ней не могло бы примениться правило. Yr, что,
противоречит tf_|St/. Отсюда (вспоминая, что мы за-
занимаемся Е.2 и ?3) получаем, что в левом столбце t/_i
встречается некоторая формула П В. Поэтому характе-
характеристическая формула Xi-i этой таблицы имеет вид
Y Л ? В Л <0> xi- Но так как I Xit то- I- В =э ~ Xt\
следовательно, по (ЕЬ), |— ? В => ? -~- Xt, откуда
— (П В Л 0 Xt). Это дает, как и нужно, h-'~^1-1.
.Итак, мы доказали I—>~D/ для каждого /. Отсюда
получаем I (?>, V • • • V Dm). Но по только что до-
доказанной лемме и ввиду того, что характеристическая
формула начальной стадии есть —А, имеем I— -—Лгз.
rD(DiV ••• V An). Отсюда, комбинируя полученные
результаты, получаем Ь- Л.
Это доказательство работает для Е2 и ?3. А как
быть с 52" и 53? Рассмотрим 52, 53 и 522 (рассмо-
(рассмотрение 52" для произвольного п аналогично). В 52 и 53
мы уже не можем утверждать, что нормальная таблица
обязана содержать в левом столбце некоторую фор-
формулу ? В: исключение составляет главная таблица tn.
Но аксиома Щ(СгэС) систем 52 и 53 показывает, что
Н У => (? (С =э С) Л У) для любой формулы Y. По кон-
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. IT 310
трапозиции | (У Л П (С => С)) =э ~ У в S2 и S3. Итак,
если Y есть Хо, то предшествующее показывает, что
I ¦¦(? (С :э С) Л Хо) даже в ?2 (?3). Аналогично, в S22
мы уже не можем быть уверены, что t0 и t| содержат
в левом столбце некоторую формулу ? В, даже если
обе они нормальны, хотя можем быть уверены в этом
для любой таблицы глубины ^2. Но характеристиче-
характеристическая формула Хо таблицы t0 имеет вид Y Л <} Xt. Ис-
Используя аксиому П П (С zd С) системы S22, получаем
(- (Y Л О *,) =э (Y Л ? (С =э С) Л О (D (С => С) Л X,)).
(Если р = 0, то Хх выпадает, и мы используем просто
Ь- Y =э (Y Л ? (С гз С)).) Теперь с помощью предшест-
предшествующих рассуждений мы можем последовательно выве-
вывести в ?2 — (? (С Z3 С) Л X,) и затем ~(КЛП(СзС)Л
Л <0 (П (С гэ С) Л Xi)). Комбинируя это с предыдущим
результатом, мы получаем | (Y Л <0 Лч), т. е. Ь- -—• Хо.
Аналогично для 52", а затем рассуждение идет, как
раньше, ч. т. д.
6. ПРИЛОЖЕНИЯ
Теорема 6. \- А в ?2 (?3) тогда и только тогда,
когда \-ПпА{\-П А) в 52" E3).
Доказательство. «Только тогда» доказано выше.
Чтобы доказать «тогда», заметим, например, для S2,
что если А невыводима в ?2, то для нее имеется ?2-
контрмодель ф на м. с. (G, К, R). Определим м. с.
(G', К', R'),MeK' = iCU {С), G'<?K'u для Н'и Щ(=К',
H'\RHf2 тогда и только тогда, когда либо H\ = G' и
H'2 = G или G', либо Н\<=К, Н'2?=К и H'tRH'2. Пусть
ф' — расширение ф на (G', К', R'). т. е. ф' (Р, Я) «= ф (Р, Я)
для йе/(. Тогда легко доказать по индукции, что
ф'(В, Н) = у(В, И) для ЯеКи любой подформулы В
формулы А. Поэтому у'(A, G) = <p(A, G) = F. Так как
G'RG, то ф'(пЛ, G') = F. Так как G'RG', то (G',K,
R') — это 52-м. с, следовательно ф' является 52-моделью,
так что ? А не общезначима и, следовательно, не до-
доказуема в 52. Аналогично для 52" и S3. В случае 52",
п > 1, вместо добавления к К единственного элемента G'
мы строим К', добавляя цепочку новых элементов
G„...., Gn и полагая, что G.R'G'j (/== 1, ..., я), G,R'Gj+,
320 С. А. КРИПКЕ
(i — 1, .... я— 1) н GnR'G. Далее, для любых Я, И'<=К.
полагаем HR'H' тогда и только тогда, когда HRH'.
Строим (Gi, К', R'). гДе R' имеет место, только если
это потребовано выше. Это, очевидно, 52"-м. с. Если
q/— расширение ф на (G,, К', R'). то qp(QtM,GI) = F,
если ф(Л, G)==F, ч. т. д.
Кстати, мы можем теперь показать, что данные
здесь аксиоматики для S2 и S3 действительно эквива-
эквивалентны первоначальным системам Льюиса и Лэнгфорда
[1959]. В действительности мы докажем их эквивалент-
эквивалентность системам Леммона Р2 и РЗ соответственно. Дока-
Доказательство, что системы Леммона эквивалентны S2 и 53
в форме Льюиса, даны у Леммона [1957].
Аксиомы системы Р2(РЗ)— это все аксиомы ?2(?3).
В добавление к modus ponens, правила Леммона для
Р2(РЗ) — это правило, позволяющее получить (- ? А,
если А — тавтология или аксиома, и правило ? (А =э
г> В)/П (? А =э ? В). Чтобы вывести первое из этих
дополнительных правил в нашей формулировке S2(S3),
заметим, что если А есть тавтология или аксиома
системы Р2(РЗ), то она теорема ?2(?3). Поэтому в силу
теоремы 6 ? А — теорема S2(S3). Для второго правила
заметим, что если Ь- ? (Л =э В) в S2(S3), то по тео-
теореме 6 |- А гэ В в ?2(?3), а следовательно, по (ЕЬ)
(-ПЛ=>ПВв?2 (?3), откуда по теореме 6 (- ? (? А =>
=э ? В) в 52E3). Поэтому 52E3) содержит Р2(РЗ).
Обратное включение тривиально.
Отметим, что, как и в [К63], таблицы приводят
к разрешающей процедуре для рассматриваемых исчи-
исчислений высказываний. Действительно, в S2" формула А
степени т либо общезначима либо имеет конечную
древовидную контрмодель, в которой любая ветвь
дерева имеет длину ^.т. Доказательство аналогично
доказательству для М в [К63]. В ?3 и S3 мы докажем,
аналогично доказательству для 54 в [К63], что фор-
формула А либо общезначима либо имеет как конечную
контрмодель, так и (возможно, бесконечную) счетную
древовидную контрмодель.
Теорема 7. Если А — формула степени <Im, то
(- А в S2m+l тогда и только тогда, когда (- А в М.
Доказательство. «Только тогда» очевидно.
Если А не доказуема в 52т+1, то, имея степень =S^m,
семантический анализ модальной логики, и 321
она: имеет конечную древовидную контрмодель <р, в ко-
которой любая ветвь имеет длину <Im, так что в связан-
связанной с ней модельной структуре (G, К, R) любой И е /С
имеет глубину <т. Так как (G, К, R) — ^"^'-модель-
^"^'-модельная структура, то отсюда следует, что любой Яе/(
нормален, а значит, (G, К, R) — это Af-м. с. Но тогда
Ф — контрмодель для А в М.
Замечание, Используя семантические таблицы н
измененное доказательство, мы могли бы заменить S2ni+l
в этом результате на S2'n. Последний результат — «наи-
«наилучший», так как никакая формула Пт+1(А^э А) (т!>1)
не Может быть доказуема в S2m (иначе, по теореме 6,
было бы Ь ? (А гэ А) в Е2).
Следствие. М не имеет аксиоматизации с конеч-
конечным множеством схем аксиом и modus ponens в каче-
стве единственного правила вывода.
. Доказательстсо. Пусть М имеет такую аксио-
аксиоматизацию, и пусть m — наибольшая модальная сте-
степень схем аксиом ')• По теореме 7 каждая аксиома
тогда доказуема в 52"i+1, и так как modus ponens
является правилом системы S2m+1, то М содержалась
бы в 52m+I. Но формула Um+2{AzD А), хотя она и
теорема системы М, не является теоремой системы S2m+t,
как показано в только что сделанном замечании.
Это следствие долго было распространенной недо-
недоказанной гипотезой.
Наконец, отметим, что, как и в [К63], мы можем,
исходя из данной м. с. (G, К, R). определить суждение р
как отображение элементов множества К в (Т, F), или,
эквивалентным образом, как подмножество К- Если
') Строго говоря, даже единственная схема, например,
зЛ), может иметь произвольно большую модальную степень,
в зависимости от модальной степени формулы А. Мы вводим со-
соглашение о том, что степень схемы определяется так, как если бы
входящие в нее схемные буквы были атомарными формулами.
Например. Q (A zd А) имеет степень 1. Отметим, .что если схема
имеет степень m в этом смысле, то мы можем заменить различные
схемные буквы различными пропозициональными переменными и
получить формулу В, имеющую степень m в обычном смысле. Тогда
»о теореме 7 (- В в 52m+1. Но так как S2m+l содержит правило
подстановки в качестве выводимого правила, то и первоначальная
схема выводима в 52'"+|.
322 С. А. КРИПКС
даны суждения р и а, то р Л <?, —р определяются, как
в [К63]. Пр определяется теперь условием: Шр(#) = Т
тогда и только тогда, когда Я нормален и р(Я') = Т
для всех Я' е К таких, что HRH'; в противном случае
(fi) F
p()
Как и в [К63], мы получаем матрицы для S2n, ?3, S3
из модельных структур для этих систем. Будем интер-
интерпретировать суждения подмножествами множества К,
как в [К63], стр. 297, полагая K = (G, Я) и 1 = (G, Я),
2 = {G}, 3 = {Я}, 4=0. Если GRG, GRH, но ни HRG,
ни ЯРЯ, то (G, К, R) является S3-M. с, и матрица
в терминах 1, 2, 3, 4 с 1 и 2 в качестве выделенных
значений совпадает с группой I из Льюиса и Лэнг-
форда [1959].
Отметим, что для S2n, ?3 н S3 невозможно полу-
получить бесконечные характеристические матрицы того типа,
как в [К63], для систем, рассмотренных в этой работе:
такие характеристические матрицы были бы нормальны,
вопреки результатам Холдена.
Следует упомянуть, что с помощью доказательства,
подобного доказательству из раздела 5.3 [К63], мы
можем доказать следующую теорему о S2 и S3: если
h П Л V ? В, тоЬ-ШЛ или Ь- ? В. Аналогично для S2re,
л>1; если \- Е\п AV ПпВ, то \-Пп А или h Пп В:
Для всех ?-систем это свойство тривиально: так как П
можно интерпретировать как оператор ложности, то
никакая формула вида ? А V ? В не может быть вы-
выводима.
7. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ
В литературе упоминаются еще системы SQ (S2 -j-
+ О О А % S7(=S3 + О О А % S8(=S3 + П О О Л ')).
В силу теоремы 2 имеем1) S3 = S4nS7, S2 = S22flS6,
') В действительности 56 обычно определяют как результат
добавления О 0 -^ K лыоисовской формулировке S2 (Льюис и
Лэнгфорд [1959]), которая (в отличие от нашей) содержит правила
вывода, отличные от R1. Аналогично для 57 и 58. Однако мы
можем показать, что если О О Л добавлено к 52 в приведенной
выше формулировке (с R1 в качестве единственного правила), то
правила Льюиса выводимы. Аналогично для S7 и 58. Таким обра-
образом, не возникает вопросов о применимости теоремы 2, которая
предполагает, vto R1—единственное исходное правило рассматри-
рассматриваемых систем.
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ. II 323
так как h-О О AV {П BzdB П В) ъ S3 и \-<^ О AV
V D П (б э fi) в S2. Если мы определим S6-(S7-) м. с.
как 52-(S3-) м. с. (G, К, R), где хотя бы один Н^К
глубины 1 ненормален (т. е. это такая S2- (S3-) м. с,
которая не является S22-(S32-) м. с), и определим S8-M. с.
как такую 53-м. с, где для любого нормального Н ^К
имеется ненормальный Н'^К такой, что HRH', то
мы сможем вывести теоремы о полноте для результи-
результирующих систем.
Наконец, если мы удалим квазирефлексивность из1
числа условий на R и определим модельную структуру
просто как четверку (G, К., R, N), где N—множество
нормальных миров, то мы получим теорию моделей
для системы Леммона D2. Если потребовать, чтобы R
было транзитивным, то полученная теория работает
для ?3.
ЛИТЕРАТУРА
К а р р и (Curry H. В.)
[1952] The elimination theorem when modality is present, JSL 17,
249—265.
Крей г (Craig W.)
[1953] On axiomatizability within a system, JSL 18, 30—32.
Крипке (Kripke S.)
[1963] Semantical analysis of modal logic I, Normal modal propo-
proposition calculi, ZMLGM 9, 67—96. [Русский перевод:
Крипке С. А., Семантический анализ модальной логики,
I, наст, кн., 254—303.]
Леммой (Lemmon E. J.)
[1957] New foundation for Lewis's modal systems, JSL 22, 176—
186.
Лукасевич (Lukasiewicz J.)
[1953] A system of modal logic, J. Comput. Syst. 1, 111—149.
Л ь ю и о, Л э н г ф о р д (Lewis С. I., I.angford С. Н.)
[1959] Symbolic Logic, 2nd ed., N. Y.
Прайор (Prior A. N.)
[1957] Time and Modality, London, Oxford Univ. Press.
X и и т [i к к a (Hintikka K. J.)
[1961] Modality and quantification, Theoria (Lund) 27, 119—128.
Холден (Hallden S.)
[1951] On the semantic non-completeness of certain Lewis's calculi,
JSL 16, 127—129.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬНОЙ
и интуиционистской логики *)
Курт Ш ю тте
ВВЕДЕНИЕ
С. А. Крипке разработал в рамках единой схемы
полные интерпретации многих систем модальной логики,
ранее определявшихся только синтаксически. При этом
с помощью кванторного расширения модальной системы
одновременно получилась семантика для интуиционист-
интуиционистского исчисления предикатов. Предлагаемый читателю
отчет о полученных результатах рассматривает в рам-
рамках классического исчисления предикатов две модаль-
модальные системы, которые в своей пропозициональной части
совпадают с системами М фон Вригта и S4 Льюиса.
Существуют различные возможности кванторного рас-
расширения пропозициональных модальных систем. Здесь
мы описываем такие естественные расширения, для
которых не верна формула Р. Баркан (стр. 331) (но
верна обратная ей). Для семантики Крипке в главе III
изложено доказательство полноты методом Крипке
[1965]. В § 4 приведено более простое, но существенно
менее конструктивное доказательство полноты (обобще-
(обобщением метода Генкина [1949]). Погружение интуициони-
интуиционистского исчисления предикатов в модальную систему S4'
с кванторной логикой переводит семантику системы S4'
в семантику Крипке для интуиционистского исчисления
предикатов. Эта семантика систематически рассмотрена
в главе V, а в главе VI (подобно тому как это сделано
у Крипке [1965]) она связывается с семантикой Бета.
В последней главе, которая ограничивается исчислением
высказываний, развита семантика Крипке еще для двух
модальных систем: Вг и S5.
*) К. Schfltte, Vollstandige Systcme modaler und intuilio-
nistischer Logik, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grcnz-
gcbiete 42, 1968.
ПОЛНЫЕ! СИСТЕМЫ МОДЛЛЬН... И-тИМТО1Щ1ОНИСТСК. ЛОГИКИ 325
Глава I. МОДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В РАМКАХ
КЛАССИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Формальные системы ЛГ и S4*
Определим модальные системы М* и S4* в рамках
классического исчисления предикатов; пропозициональ-
пропозициональные фрагменты этих систем эквивалентны соответ-
соответственно системам М фон Вригта и S4 Льюиса. В ка-
качестве основных символов для логических связок мы
применяем ради простоты только знаки ~] (не), V (или),
3 (имеется) и ? (необходимо).
1. Основные знаки систем М* и S4'
1.1. Переменные для высказываний (пропозициональ-
(пропозициональные переменные).
1.2. Предикатные переменные с соответствующим
числом мест* ^ 1.
1.3. Свободные и связанные предметные переменные.
1.4. Знаки , V, 3' и П.
1.5. Круглые скобки.
Обозначения:
а, аи а2» • • • — свободные предметные переменные;
х, хь х2, ... — связанные предметные переменные.
2. Называющие формы
Называющая форма — это непустое знакосочетание,
составленное из основных знаков и называющего знака.
Называющий знак может встречаться в . называющей
форме на многих местах, ио не обязательно входит
в называющую форму. В качестве обозначений назы-
называющих форм мы применяем большие готические буквы.
Если % обозначает называющую форму, g— основ-
основной знак, то 31 (g) обозначает то знакосочетание, которое
получится из 91, если называющий знак (всюду, где он
встречается в называющей форме 21) заменить основ-
основным знаком g.
Формулы систем М* и 54* определяются одинаково.
3. Элементарные формулы:
3.1. Пропозициональные переменные.
3.2. Знакосочетания р{а{, ..., ап), составленные из п-
местной предикатной переменной р и свободных пред-
предметных переменных а{ а„.
326 К. ШЮТТЕ
4. Индуктивное определение формулы:
4.1. Всякая элементарная формула является фор-
формулой.
4.2. Если Л — формула, то Л и D Л — тоже фор-
формулы.
4.3. Если А и В — формулы, то (А V В)— тоже
формула.
4.4. Если % (а) — формула, в которую не входит свя-
связанная предметная переменная х, то 3 х % (х) — тоже фор-
формула.
В качестве обозначения для формул мы применяем
большие латинские буквы (возможно с индексами). Для
сокращения записи мы вместо
пишем
Д V Л, V ... У Ап.
Мы будем называть формулу справедливой в исчисле-
исчислении высказываний (или тавтологией), если она получается
из общезначимой формулы классического исчисления
высказываний путем подстановки формул вместо про-
пропозициональных переменных.
5. Аксиомы и правила вывода
В формальной системе некоторые формулы выделяют
как аксиомы, а некоторые зиакосочетания вида
как основные правила вывода. При этом выводимость
формулы в соответствующей формальной системе ин-
индуктивно определяется следующим образом:
5.1. Всякая аксиома есть выводимая формула.
5.2. Если все посылки Ах, ..., Ап правила вывода
выводимы, то и заключение В также выводимо.
6. Аксиомы формальной системы ЛГ
6.1. Аксиомы исчисления высказываний: всякая тав-
тавтология есть аксиома.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУМЦИОННСТСК. ЛОГИКИ 327
6.2. Аксиомы исчисления предикатов: всякая фор-
формула вида
есть аксиома.
6.3. Аксиомы модальной логики: формулы вида
(mAl) iD^V^l
(mA2) ПП (~\А\/ В) ViD^VDB
7. Правила вывода формальной системы М*
7.1. Правила вывода исчисления высказываний:
Л,-] А V В=$В
(что соответствует правилу вывода «modus ponens»),
7.2. Правила вывода исчисления предикатов:
141 (a) VB=>~13x9l(x) V В
(свободная переменная а не входит в заключение).
7.3. Правила вывода модальной логики:
8. Аксиомы и правила вывода формальной системы S4*
Система S4* имеет те же аксиомы и правила вы-
вывода, что и система М*, и, сверх того, в качестве аксиом
модальной логики — все формулы вида
(тАЗ) ? Л V ? ? А.
6.1, 6.2, 7.1 и 7.2 дают, как известно, аксиоматику
классического исчисления предикатов. Правило 7.3 и мо-
модальные аксиомы (mAl) — (тАЗ) определяют, по К. Гё-
делю, модальные системы М (фон Вригта) и S4 (Льюиса),
основанные на классическом исчислении высказывании.
Таким образом, системы М* и S4* представляют собой
предикатные расширения систем М и S4.
В § 2 мы дадим определения моделей по Кринке,
а в § 3 и 4 докажем, что формула выводима в М* или
54* тогда и только тогда, когда она общезначима в смы-
смысле соответствующей теории моделей.
Таким образом, мы получаем семантическую харак-
характеристику синтаксического понятия выводимости, вве-
введенного в § 1.
328 ' • ''¦• ';' •:'' ":; К. ШЮТТЕ ¦" ¦ • ¦ • ¦¦¦¦•¦¦¦
§ 2. Модели модальной логики
Истинностные значения (которые следует понимать
лишь формально) мы будем обозначать w (истинно)
и / (ложно).
1. Модель (М, R, V, W) задается следующим образом:
1.1. М — непустое множество.
1.2. R— бинарное отношение на М.
1.3. V — функция, сопоставляющая каждому аеМ
непустое множество V (а) таким образом, что для всех
И
1.4. W — функция, которая устанавливает следующее
соответствие:
1.4.1. Каждой свободной предметной переменной а
соответствует элемент W (а) из (J V (а). .
а <= .и
\Л.2. Каждой пропозициональной переменной v со-
сопоставляется для каждого aeAf истинностное значе-
значение W (v, a).
1.4.3. Каждой я-местной предикатной переменной р
ставится в соответствие для каждого аеМ множество
W (р, а) п-ок элементов из К (а).
Модель называется М"-мод елью, если отношение R
рефлексивно. Если же /? рефлексивно и транзитивно,
то она называется SA'-моделью.
2. Если (М, R, V, W) — модель, то мы понимаем под V-
выражением любое знакосочетание F'', которое полу-
получается из некоторой формулы F, когда все входящие
в нее свободные предметные переменные заменяют на
имена элементов из (J V (а). Для каждого К-выраже-
иия F' определим индуктивно истинностное значение
W (F'', а) выражения F' в точке а. ¦
2.1. Если F' — пропозициональная переменная, то
№(/•", а) уже задано моделью.
2.2. /¦"—К-выражение р(gj In), где р — я-мест-
ная предикатная переменная, а |,, ...» \п — имена эле-
элементов из (J V(a). В этом случае W(F',a) — w тогда
a e Л!
и только тогда, когда (%и 12> ••-, ln)^w(P>a)-
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН: И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ: 329
2.3. F' есть К-выражение ~| А'. В- этом случае
W(F', a) = w тогда и только тогда, когда' №(Л\ а) =
2.4. F' есть К-выражение (А' V В'). В этом случае
W (/•", а) = w тогда и только тогда, когда W{A', а) = оу
или №(В',а) = м>.
2.5. /"' есть К-выражение 3x91. В этом случае
W(F',a) = w тогда и только тогда, когда существует
? е= V (а) такое, что W B1 (?), а) = и.
2.6. F' есть К-выражение П А'. В этом случае
W(F,a) = ay тогда и только тогда, когда W{A',B) = w
для всех ре/И, для которых справедливо a/?f5.
В каждом случае, в котором на основании 2.1—2.6
не имеет места W(/•"', a) = w, положим W{F', a) = f.
Для оператора возможности (), который определяется
как" Ч СГ ""], из : 2.3 и 2.6 получается:
2.7. Если /-" есть V-выражение () А', то W{F', a) — w
тогдт и только тогда, когда существует такое реЖ,
что aR$ и \Т(Л', Р) = ш.
Если F — формула, то пусть F' есть то К-выражение,
которое получается из F, когда каждая входящая в F
свободная предметная переменная а заменена именем
W (а) из [J V (а). Мы тогда полагаем по определению
W(F,a)=W(F\a).
Таким образом, каждой формуле F в модели
(Д7, R, W,V) для каждого ae/И придано истинностное
значение W (F, а).
На основании введенных определений понятие модели
мо:;но интерпретировать следующим образом: М есть
множество ситуаций, V(а) есть область индивидов, су-
существующих в ситуации а. Отношение 7? ограничивает
класс суждений, необходимых в ситуации а, теми су-
суждениями, которые верны в каждой ситуации р, для
которой справедливо а/?р. Если определить возмож-
возможность О Л, как обычно делается, в виде ~] ? ~]А, то
это значит: в ситуации а возможно все то, что верно
по меньшей мере в одной ситуации р, для которой спра-
справедливо а/?р. Следовательно, отношение 7? устанавли-
устанавливает одновременно и связь возможности и связь необхо-
необходимости между различными ситуациями. Эта связь ре-
330 К. ШЮТ1Е
флексивна как для системы М*, так и для системы 54*,
а для системы S4* она еще и транзитивна.
3. Определение истинности формулы
Модель (М, R, V, W) называется допустимой для
формулы F, если W (а) е V (а) для каждой входящей в F
свободной предметной переменной а и каждого эле-
элемента а е М.
Формула F называется истинной в модели (М, R, V, W),
если эта модель допустима для F и W(F,a) = w для
всех а е М.
Формула F называется ЛГ-общезначимой (соответ-
(соответственно S4""-общезначимой), если она истинна в каждой
Л1'-модели (соответственно 54*-модели), допустимой для F.
В § 3 и 4 мы докажем следующие утверждения:
Теорема о корректности. Каждая формула,
выводимая в М* (соответственно в S4"), М''-общезначима
(соответственно S4''-общезначима).
Теорема о полноте. Каждая М''-общезначи-
М''-общезначимая (соответственно S4"-общезначимая) формула выво-
выводима в М* (соответственно в S4*).
§ 3. Доказательство теоремы о корректности
Пусть (М, R, V, W) есть ЛГ'-модель (соответственно
54*-модель) и оеМ. Если А — формула, то пусть А'
обозначает К-выражение, которое получается из А, когда
вместо каждой входящей в А свободной предметной
переменной подставлено имя элемента из V(a). Докажем
индукцией по построению вывода следующее утвер-
утверждение.
Лемма о корректности. Если F выводима в М"
(соответственно в S4*), то W (Fr, a) = w.
1. Пусть F — тавтология или аксиома исчисления
предикатов ~] 21 (а) V Вх% (х).
Тогда утверждение W(F',a) = w вытекает из того,
что это истинностное значение определяется для связок
исчисления высказываний и кваитора существования
так же, как в классическом исчислении предикатов.
2. Пусть F — модальная аксиома ~] ? А V А.
Если W (А', а) = f, то на основалии рефлексивности R
также и W(O А', а) = {; следовательно, W(~] О А', a) = w.
Здесь, как и в случае W(A', a) = w, получаем
W(~] A'V A', a) = w.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСГСК. ЛОГИКИ 331
3. Пусть F — модальная аксиома
Если \У(~}П A',a) = f и W(\J B',a) = f, то суще-
существует ре=Мтакое, что а/?р, W(A', р) = юи W(В', Р) = /.
Тогда W(D(~\A' V В'), а) = /. Также как в случаях
W( ~| ? Л', а) = йу, Г(ПВ', а)=а>, получаем W{~\ ПA Л' V
V Я') V 1 ? Л' V D В', а) = w.
4. Пусть F есть аксиома ~] ? Л V ? П Л системы S4*.
Если W (? П Л', а) = /, то существуют р, у <= М
такие, что а^р, р/?у, 1Г(ПЛ', Р) = / и Г(Л', \) = /.
Так как отношение /? в рассматриваемом случае тран-
зитивно, то отсюда следует aRy и W(Q Л', а) = /. Как
и в случае 1F(DD Л', <х) = ву, мы получаем W(~)U А'У
.V П П Л',а) = ьу.
5. Пусть F есть заключение правила вывода исчи-
исчисления высказываний с посылками А и ~] А V F. На
основании предположения индукции в этом случае
W (А', а) = w и W ( ~) Л' V F', а) = w. Отсюда следует,
что W(F, a) = w.
6. Пусть F есть формула ~\3х%(х) V В, которая по-
получается по предикатному правилу вывода из ~}У1(а) V В,
причем а не входит в F. Допустим, что W( ~]Эх2Г(х) V
VB',a) = f. Тогда W(B',a) = f и существует ?<= V (а)
такое, что Г(?1'A), а) = ш. Отсюда следует W (")%'&) V
V В', а) = f, что противоречит предположению индукции.
7. Пусть F — формула ? Л, которая получается по
модальному правилу вывода из формулы Л.
Для всех р е= М из а#Р вытекает К (a) S V (Р); сле-
следовательно, на основании предположения индукции
№(Л', р) = ау. Отсюда следует W (? Л', а) = ш.
Из доказанной леммы непосредственно следует тео-
теорема о корректности.
Примечание. Как вытекает из теоремы о коррект-
корректности, аксиома
использованная Р. Баркан-Маркуе, не выводима ни в М,
ни в S4*.
А именно, эта формула опровергается для одноме-
одноместной предикатной переменной р в следующей S4*-mo-
332 . . , ., . ., ..... .... ,, к,, .щютте .
дели (M,R, V,W): M = {0, 1}, а/?р^< Q
K(l)={|,tj), W(p,O) пусто, W(p, l) = {ti}. ; . ¦ ,
В этой модели мы имеем следующие истинностные
значения: W(p(r\), 1)=ш, следовательно, WCjep(x), 1)^=ш
и W@ 'Зхр(х), 0) = w, №(р(?), l) = f, следовательно,
ИГ (О РA). 0) = /• Так как V @) = {$}, то Г (Эх О р(х), 0) =
= /. Отсюда получаем:
Обратная формула ~]3х()р(х) V 03^р(х), наоборот,
выводима в ЛГ (и следовательно, также в S4*) следую-
следующим образом:
1) *~) р(а) V Зхр (х) — аксиома исчисления предикатов;
2) ~\Пр(а)ЧЗхр{х))уЦ1Эхр(х)у 1р(а))~тав-
1р(а))~тавтология;
3) ~] 13хр (х) V 1Р (а) следует из 1) и *2)' по пра-
правилу 7.1; ¦ - ' ¦¦"
4) П A1 Зхр (х) V ~1 р («)) следует из 3) по пра-
правилу 7.3; ¦
5) ln(H3xp(x)V lp(a))V lnl3xp(x)V П1р(а)—
аксиома;
6) ID ~~]3xp(x) V П ~~\р(а) следует из 4) и 5) по пра-
правилу 7.1;
7) 1 A ? 1 Зхр (х) V ? 1 р (а)) V 1 1 ? 1 р (а) V
V 1 ? 13*р(х) — тавтология;
8) 11 П 1р(а) V 1П 1Эхр(х) следует из 6) и 7)
по правилу 7.1;
9) 1ч)р(а) V <Kх/?(х) следует из 8) на основании
определения <);
10) 1 Зх 0 р (л:) V 0 Зхр (х) следует из 9) по пра-
правилу 7.2.
§ 4. Неконструктивное доказательство теоремы
о полноте
В этом параграфе мы будем обозначать маленькими
греческими буквами не более чем счетные непустые мно-
множества формул. Пусть V(а) обозначает множество
всех свободных предметных переменных, входящих в фор-
формулы из множества а. Пусть Ф(а) есть счетное мно-
множество всех формул, в которых встречаются только те
переменные (свободные и связанные предметные пере-
переменные, пропозициональные и предикатные переменные),
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 333
которые содержатся в формулах из множества а. Таким
образом, а?Ф(о) и V (Ф(а)) — V (а). Пусть 5* —одна
из формальных систем М* или S4*.
1. Множество а формул назовем S''-противоречивым,
если существуют Аи .... 4Е". так что формула
1AV ... V 1Л,
выводима в системе S". В противном случае а назы-
называется. 6"'-непротиворечивым.
2. Множество а формул называется S'-полным, если
оно обладает следующими свойствами:
2.1. К (а) непусто.
2.2. Для каждой экзистенциальной формулы
ЭхЯ (х)е а существует формула 9l(a)ea.
2-3. а является ^'-непротиворечивым и для каждой
формулы Леф(а) справедливо А фа тогда и только
тогда, -когда множество формул aUH) S'-непротиво-
речиво. (Это значит, что а есть максимальное S'-непро-
тиворечивое подмножество множества Ф(а).)
Лемма 1. Каждое S''-непротиворечивое (не более,
чем счетно бесконечное) множество формул а может
быть расширено до S'-полного множества формул.
Доказательство по Л. Генкину и Г. Ха-
зепъегеру. Пусть b\, b2, b3, ... есть бесконечная по-
последовательность свободных предметных переменных,
Которые не принадлежат V(а). Пусть ф есть множество,
всех формул, которые содержат, кроме переменных,
входящих в а, разве лишь свободные предметные пере-
переменные из последовательности bt. Пусть 3xk%k(xk)
(k= I, 2, ...) есть перечисление всех экзистенциальных
формул из множества ф. Для k = 1, 2, ... мы последо-
последовательно определяем ik как наименьший индекс, обла-
обладающий тем свойством, что объединение данного S'-не-
нротиворечивого множества формул а и конечного
множества ( ~}Эх,%{(хt) V 2ty(&, ): /= 1, ..., k\ также
5 -непротиворечиво. Тогда и объединение Р множества a
и множества всех формул ~1Э*А(**) V Я*(^) (*= *>
2. ...) также ^'-непротиворечиво. Теперь расширим (J
до максимального ^'-непротиворечивого подмножества у
множества ф. Тогда asy и v есть S'-полное множе-
множество формул.
331 К. ШЮТТЕ
3. Свойства S'-полного множества а.
3.1. Если ^еа, то ~] А ф а (так как а S'-непроти-
воречиво).
3.2. Если /1еФ(а) и А фа, то ]ЛЕа (так как а
есть максимальное .S'-непротиворечивое подмножество
множества Ф(а)).
3.3. Если Леа, Веф(а) и ~\А\/ В выводима в S*,
то Be а.
Доказательство. Из условия следует, что мно-
множество aU{~]^} ^'-противоречиво; следовательно,
В ф а. Отсюда на основании 3.2 следует, что Be a.
3.4. Если А\/В^а, то Деа или Веа.
Доказательство. Из Л VBea следует, что А,
ВеФ(а).
Если А фа я В фа, то aUM) HaU|B) S'-проти-
воречивы. Тогда и a\]{A\J В] S'-противоречиво. Сле-
Следовательно, АУ В фа.
3.5. Если А V В е ф (а) и А е а или В ее а, то (на
основании 3.3) А\/ В^а.
3.6. 3*91 (х) ее а тогда и только тогда, когда суще-
существует %(а) ее а.
Доказательство. Из 5t(a)ea следует на осно-
основании 3.3, что 3x51 (х) е а. Обратное справедливо, так
как а есть S'-полное множество формул.
3.7. Если ? /lea, то на основании 3.3 также и Леа.
4. Систему множеств М будем называть S'-полной,
если она обладает следующими свойствами:
4.1. Каждый элемент системы М есть S'-полное мно-
множество формул.
4.2. Если asM, a'= {Л: ? А е= а), 5еФ(а)и
a'U {В} — S'-непротиворечивое множество формул, то су-
существует такое (ЗеМ, что a'U {В) ^ $•
Лемма 2. Для каждого S'-полного множеств!
формул а0 существует S'-полная система множеств М
такая, что ао^М и V(ao)^V(a) для всех оеЛ,
Доказательство. Такая система множеств по-
получается в виде объединения последовательности М3,
Ми М2, ... систем множеств, построенных следующим
образом. Пусть Мо содержит только данное множе-
множество а0. Пусть Мп+1 является системой множеств фор-
формул, которые строятся на основании леммы 1 так, чтобы
для каждого аеЛ), и ВеФ(а) существовало реМ„+1,
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 335
обладающее свойством из 4.2. Объединение всех таких
систем множеств Мп является не более чем* счетной си-
системой множеств формул.
5. На произвольной S'-полиой системе множеств М
определим бинарное отношение R следующим об-
образом:
Для а, Р е М пусть а/?Р имеет место тогда и только
тогда, когда {Л: ? А е a) s р.
5.1. Отношение R рефлексивно.
Следует из 3.7.
5.2. Если S* есть система S4*, то отношение R тран-
зитивно.
Доказательство. Пусть имеем а/?Р, f>R\ и
? А е а. Так как ~\ П А V О П А есть аксиома си-
системы S4*, то из 3.3 получаем DD/lea. Из сс/?р и р/?у
получаем D/lep и Ае^у. Следовательно, справед-
справедливо aRy.
5.3. Если а/?Р, то 7(a) = V(P).
Доказательство. Для каждой формулы Л<=Ф(а)
имеем D (Л V 1 Л) g а; следовательно, Л V А е р.
5.4. Если для всех peAJ таких, что а#р, имеем
Л е р, то ? Л е а.
Доказательство. Так как отношение 7? рефлек-
рефлексивно, то, по условию, Деа. Пусть а' = {Л;: D^ea}.
Допустим, что а'и{~[Л} S'-непротиворечиво. Так как М
есть S'-полная система множеств, то существует такое
P<sAf, что а'и{1Л}^р. Из а'^Р вытекает а/?Р и из
~] А е р вытекает Л ф. р. Это противоречит условию.
Следовательно, множество a'U{^} ^-противоречиво.
Значит, существуют такие Аи ..., Ап, что H^iV ••.
... V 1 Ап V Л выводима в системе S*. Но тогда и фор-
формула ~~\ ? Л] V ... V 1 ? Л„ V ? А выводима в S*. Так
как все ? Лг е а, то a U { ~] П Л} S''-противоречиво. От-
Отсюда следует, что ~]ПАфа. Поскольку ПЛеФ(а),
то па основании 3.2 получаем DAeo.
6. Определение модели (М, R, V, W) для S'-полной
системы множества М.
6.1. Определения М, R и V уже были даны.
6.2. Для каждой свободной предметной перемен-
переменной а, входящей в М, пусть W{a) = a, а следовательно,
Г(а)е (J К (а).
335 • : : • ¦ К. ШЮТТЕ
6.3. Для каждой пропозициональной переменной v
иаеЛ положим M(v,a) — w тогда и только тогда,
когда pea.
6.4. Для каждой «-местной предикатной перемен-
переменной раеМ пусть W{p, а) будет множеством тех п-ок
свободных предметных переменных (аи ..., ап), для ко-
которых р(аи ..., а„)е а. ¦
На основании E.1) — E.3) (М, R, V, W) есть S'-модель.
Лемма 3. Для каждой формулы ^еф(а) равен-
равенство W (F, a) — w справедливо тогда и только тогда,
когда Fea.
Доказательство проводим индукцией по длине фор-
формулы F.
1. F— элементарная формула.
Тогда наше утверждение вытекает из определения W.
2. F есть ~\А.
На основании 3.1 и 3.2 fea справедлива тогда и
только тогда, когда А(?а. На основании предположения
индукции это имеет место тогда и только тогда, когда
W(A, a) = f и, следовательно, W(F,a) = w.
3. Пусть F есть А У В.
На основании 3.4 и 3.5 Fea тогда и только тогда,
когда Леа или бе а. На основании предположения
индукции это имеет место тогда и только тогда, когда
W(A, a) = w или W (В, а) = w, т. е. когда W(F,a) = w.
4. Пусть F есть 3x91 (х).
На основании 3.6 fEa тогда и только тогда, когда
существует 9l(a)ea. На основании предположения
индукции это имеет место тогда и только тогда, когда
существует такое а е V (а), что W (91 (а), а) = ы>, т. е.
когда W (F, a) — w.
5. Пусть F есть П А.
На основании 5.4 и определения i? имеем fea
тогда и только тогда, когда Лер для всех рs AJ таких,
что aRfi. На основании предположения индукции это
имеет место тогда и только тогда, когда W (А, C) = о>
для всех |3е УИ таких, что aR$, т. е. когда W(F, a) = w.
Доказательство теоремы о полноте.
Пусть F есть формула, не выводимая в системе S*.
Тогда {"] /="} есть S'-непротиворечивое множество формул.
По лемме 1 существует S'-полное множество формул аэ
такое, что ~]F ^а0- По лемме 2 существует S'-полная
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ННТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 337:
система множеств М такая, что аэ е М и V (аэ) ? V (а)
для всех НЕМ. Определенная в 6 S'-моДель (М, R,
V, W) допустима для F, а по лемме 3 имеет место
W(~]F, a)~w; следовательно, W^(F, ao) — f. Таким
образом, формула F не является S'-общезначимой.
Глава II. СИНТАКСИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ
ОТ СЕЧЕНИЯ МОДАЛЬНЫХ СИСТЕМ
§ 5. Формальные системы М.' и S4'
Дадим определение формальных систем, эквивалент-
эквивалентных системам М* и S4", но, в отличие от последних,
опирающихся на правила вывода, по которым можно
строить выводы без окольных путей (в смысле Генцена).
Этими системами мы воспользуемся, чтобы доказать
теорему полноты новым способом, отличным от данного
в § 4; применяя возможно более конструктивные методы,
и предпримем погружение интуиционистского исчисления
предикатов в модальную логику.
Основные знаки и формулы формальных систем Мг
и S4' те же, что и для М* и 54*. Формулировки аксиом
и правил вывода используют понятие положительной и
отрицательной частей формулы.
1. Индуктивное определение положительных и отри-
отрицательных частей') формулы F.
1.1. F есть положительная часть F.
1.2. Если ~]А — положительная часть F, то А—отри-
А—отрицательная часть F.
1.3. Если ~\А — отрицательная часть F, то А — поло-
положительная часть F.
1.4. Если (Л V В) — положительная часть F, то и А
п В — положительные части F.
Через ^[4+] или ^[Л-] мы обозначаем такую фор-
формулу, в которую формула А входит в определенном
месте в качестве положительной или отрицательной
части. Соответственно следует понимать и обозначения
') Положительными частями формулы ] /li V • • • V Am V
V Bi V ... V Вп. где Ai, В/ не начинаются с отрицания и не
являются дизъюнкциями, оказываются все дизъюнктивные члены
этой формулы и только они. Отрицательные части — это формул'*
А,..., Ат. Остальные пункты определения устроены таким обра-
образом, что ^ ~ не меняет знака. — Прим. ред-.
338 К. шютте
F[A+, В+], F[A+, BJ\ и F[A_, fi_], причем принимается,
что подформулы, обозначенные через Л и В, не пере-
пересекаются в рассматриваемой формуле.
Мы называем минимальными частями') формулы F
те положительные и отрицательные части F, которые
сами не содержат ни одной положительной или отри-
отрицательной части F. Минимальные положительные части
суть элементарные формулы или формулы вида Зх% (х)
или ? А. Минимальные отрицательные части суть эле-
элементарные формулы или формулы вида (А у В], ЗхЧ(х)
или П А.
2. Аксиомами систем М' и S4' являются все фор-
формулы вида F[P+, P_], в которых Р есть элементарная
формула.
3. Правила вывода систем М' имеют следующий вид:
(Ql) F[(A VB)_] VIA, F\(AVB)_]VlB=>
(Q2) F[Э*Я(x)_\ Vl3l(a)#f [3*21(x)_\;
с ограничением на переменные: свободная предметная
переменная а не должна входить в заключение;
(Q3) F [Зх% (х)+\ V 21 {a)
(G4)
(Q5) "
при условии, что D Л|, ..., ? Ап входят в заключение
в качестве отрицательных частей.
4. Правилами вывода системы S4' являются (Q1)—¦
— (G4) и, кроме того,
(G5') ППЛ.у ••• VlnAnVB=$F[aB+]
при условии, что ПЛ1( ..., ? Л„ входят в заключение
в качестве отрицательных частей.
') Если Л] Ля, — полный список различных минимальных
отрицательных частей формулы F, a Hi,..., Bn — полный список
ее различных минимальных положительных частей, то F эквива-
эквивалентна формуле ~| А\ V ... У П Лт V Bi V ¦.. V Bn, которую
удобно также представлять себе в виде А\ Ат -> В\ V ...
... V Вп и читать «при допущениях Ль .... Ат имеем Bi нли ...,
или Вт». — Прим. ред.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДЛЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 339
В правилах (Q5) и (G5') допускается также, чтобы
посылка состояла только из формулы В.
Отмеченные в правилах вывода положительные и
отрицательные части заключения называются главными
частями рассматриваемого правила вывода. Все главные
части правил являются минимальными частями за-
заключений.
Свободная предметная переменная, обозначенная
в правилах (G2) и (Q3) через а, называется собствен-
собственной переменной соответствующего правила.
Правила (Gl) — (G4) представляют собой сокращаю-
сокращающие выводы, в которых заключение содержится в каждой
посылке как собственная подформула. Только в пра-
правилах (G5) и (G5') посылка содержит меньше логических
знаков, чем заключение.
Положительные части обладают тем семантическим
свойством, что из истинности положительной части
формулы F можно сделать заключение, что и фор-
формула F истинна. Справедливо следующее:
Теорема 5.1. Каждая формула ~\A\/F[A+]
является тавтологией.
Доказательство проводим индукцией по длине
формулы F[/4+]. По определению положительной и отри-
отрицательной частей F[A+] имеет вид A, ~\~\(G[A+]),
G[A+]\/В или B\/G[A+]. Пользуясь предположением
индукции, на основании которого ~]^VG[/4+] есть
тавтология, получаем в каждом из случаев, что формула
~\A\/F[A+] есть тавтология.
Исходя из этой теоремы мы докажем следующую.
Теорема 5.2. Каждая формула, выводимая в си-
системе М' {соответственно 54'), выводима и в системе ЛГ
{соответственно S4").
Доказательство проводим индукцией по по-
построению вывода. По определению положительной и
отрицательной частей каждая формула F[AJ\ имеет
вид G[~j<4+]. Отсюда получаем:
1. Формулы ~]P\/F[P+, P-] и ~]~\P\/F[P+, P-]
по теореме 5.1 являются тавтологиями. Следовательно,
каждая аксиома F[P+, P_] систем ЛГ и S4' есть тав-
тавтология.
2. Если S — одно из правил (Gl) — (G4), то из посы-
посылок S можно, пользуясь правилами классического
340 К. ШЮТТЕ
исчисления предикатов и модальной аксиомой ~]ПА V А,
вывести формулу F[C+] V С, где F[C+] есть заключение
правила S. Так как по теореме 5.1 ~]С V F[C+] есть
тавтология, то и формула ~^(F[C+]\/C)\/F[C+] есть
тавтология. Таким образом, в системах ЛГ и S4 , исходя
из посылок правила S, можно прийти к заключе-
заключению F[C+].
3. Из формулы
~М, V ... V~"UmVB
можно, пользуясь модальным правилом С=фЩС и мо-
модальной аксиомой (тА2), вывести формулу
1 ? Л, V ... V "I ? Лт V ? В
по правилам классического исчисления высказываний.
Если воспользоваться также модальной аксиомой (тАЗ)
системы S4\ то можно эту формулу получить из формулы
1 ? Л, V ... V1D4VB.'
Таким образом, в ЛГ или S4* из посылок правил (G5)
или (Q5') получается формула С, V • • • V Сп, которая
состоит только из положительных частей С} С„
заключения К- Из теоремы 5.1 следует, что формула
1(C,V ... VCn) VK
справедлива в исчислении высказываний.
Заключение же К можно вывести из посылок в си-
системе ЛГ (или S4').
В § 7 мы докажем синтаксически теорему, обратную
теореме 5.2. Для этого нам потребуется основная тео-
теорема Генцеиа для систем М' и 54', которую мы до-
докажем в § 6.
§ 6. Допустимые выводы
Вывод
называется допустимым в формальной системе 2, если
из выводимости посылок А{, ..., Ап (в системе Е) сле-
следует, что заключение В выводимо (в X). Когда мы
н этом параграфе говорим о допустимых выводах, то
имеем при этом в виду допустимость в каждой из
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДЛЛЬН. И КНТУИЦИОНИС1СК. ЛОГИКИ 3^1
формальных систем М' и S4'. Общие схемы допустимых
выводов мы будем называть правилами вывода.
Если аи ..., ап — попарно различные свободные
предметные переменные, то
(ах...ап
r\bl...bai
обозначает формулу, которая получается из F, если
каждую переменную at повсюду, где она встречается
в F, заменить свободной предметной переменной bt.
Теорема 6.1. Правило подстановки
\...ъп)
есть допустимое .правило вывода.
.Доказательство проводим, методом индукции
по построению вывода.
/«i ... ап\
1. Пусть F—аксиома. Тогда и Л. , —аксиома.
\ЬХ ... К!
2. Пусть F выведена из F V ~]Я(я) по правилу (Q2);
Так как собственная переменная а не входит в F, то
мы можем, не нарушая общности, принять, что а не
встречается среди а1 ап. Пусть с—свободная
предметная переменная, отличная от всех аи ..., а„,
Ьи ..., Ьп и не входящая в F. На основании предполо-
предположения индукции наряду с F V ~]2l(a) выводимо также
{а1 ... ап\ Iах ... ап\
tV~l^(c). i. )• С помощью пра-
... Ьп/ \О, ... Ьп/
вила (Q2) отсюда получается Л
\Ь{ ... Ьп,
3. Пусть F выведена по другому правилу из Ft
(/=1, 2 или i= 1). На основании предположения индук-
Iах ... ап\
ции FA , , выводима. С помощью соответствую-
\ Ь\ ... Ьп )
(ах ... ап\
щего правила вывода отсюда следует F\ ,
\bl ... оп
Теорема 6.2. Правило перестановки
F[A+,B+]=$F[B+, A+]
есть допустимое правило вывода.
242 К. ШЮТТЕ
Доказательство получается непосредственно
с помощью индукции по построению вывода на основа-
основании общей формулировки аксиом и основных правил
вывода.
Теорема 6.3. Правило ослабления
A^AV В
есть допустимое правило вывода.
Доказательство проводим методом индукции
по построению вывода.
1. Пусть А — аксиома. Тогда и А\/ В — аксиома.
2. Пусть А выведена по правилу (Ql), (G3) или (Q4)
из А V Л, (i= I, 2 или г= 1). На основании предполо-
предположения индукции (Л V Л) V В выводима. Из правила
перестановки следует (Л V В) V Л;; с помощью соот-
соответствующего правила отсюда следует (А V В).
3. Пусть А выведена из А V 1 91 (а) по правилу (Q2).
Пусть Ь — отличная от а свободная предметная пере-
переменная, не входящая в А V В. На основании предполо-
жения индукции (Л V ~]9t (а)) V В[ , ] выводима. На
основании правила перестановки и правила (G2) отсюда
(а\
следует Л V .81,1. По правилу подстановки отсюда
следует Л V В.
4. Пусть Л выведена по схеме вывода (Q5) или (G5')
из формулы Л„. По тому же правилу вывода из Ло
следует тогда и Л V В.
Индуктивное определение F[ •]. Из формулы F[A]
с положительной или отрицательной частью Л сле-
следующим образом построим, вычеркивая эту часть фор-
формулы, формулу или пустое знакосочетание /•¦[•]•
1. Если F[A] есть формула А, то F[ • ] означает
пустое знакосочетание.
2. Если F[A] есть формула G[~]/i], то F[-] озна-
означает то же, что G[ ¦ ].
3. Если F[А] есть формула G[{А V В)) или G[(B\/A)],
то /=¦[•] есть G\B].
Теорема 6.4. Допустимым правилом вывода
является правлло сокращения
F[A, A]
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. II ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 343
для формулы F[A, А], в которую формула А входит
на обоих указанных местах как положительная часть
или же на обоих местах как отрицательная часть.
Доказательство получается непосредственно
индукцией по построению вывода.
В качестве аналога основной теоремы Генцена имеется
Теорема 6.5. Правило сечения
есть допустимое правило вывода.
Докажем эту теорему методом индукции по длине
формулы С, применяя внутри нее индукцию по построе-
построению выводов посылок. Наше предположение гласит:
Пусть для формул Fi\C+) и F2[C-\ даны выводы Н^
и Н2 (из аксиом с помощью основных правил вывода).
Для доказательства того, что в этом случае F{[ ¦ ] V
V F2[ • ] есть выводимая формула, мы используем сле-
следующие три предположения индукции:
(П. и. 1) Если формула А содержит меньше логиче-
логических знаков, чем формула С, то можно, исходя из вы-
выводимости формул G,[/l+] и G2[/l_], заключить, что
и формула G,[ • ] V G2[ • ] выводима.
(П. и. 2) Если формула G2[C-] имеет более короткий
вывод, чем Н2, то, исходя из выводимости формулы
Gj [С+], можно заключить, что и формула G, [ • ] V
VG2[ • ] выводима.
(П. и. 3) Если формула Gj[C+] имеет более короткий
вывод, чем Я], то формула О|[ " 1 V/"М ' 1 выводима.
Теперь покажем путем разбора случаев, что Fi[; • ] V
V F2[ • ] выводима в указанных предположениях.
1. С — элементарная формула.
1.1. F2[C_] — аксиома. Если F2[ • ] — аксиома, то
и F{[ -]\/ F2[ •] — тоже аксиома. В противном случае
F2['] есть формула с положительной частью С. Из F\ [C+]
тогда на основании правила ослабления следует F{ [C+]V
V F2[ ¦ ] и по правилу сокращения F{[ • ] V F2[ • ].
1.2. F2[C_] выведена из F2[C_] V Л (/=1,2 или
i=\) по правилу (Gl), (G3) или (G4). На основании
(П. и. 2) F{ [ • ) V (^г[ " 1 V At) выводима. По правилу
перестановки И соответствующему основному правилу
вывода получаем F{[ ¦ ] V F2[ • ].
344 ¦ • • ¦. ¦¦ к. цлотте ¦,-.¦.. . ..,,
1.3. F2[C^] выведена из F2[C] V ~]Ща) по; пра-
правилу (G2) с собственной переменной а. Пусть Ъ — сво-
свободная предметная переменная, которая не входит
в Ft[C+] V F2[C-]. Формула F2[C-.\ V ~]Я(Ь), так же
как F2[C]\/ ~]^(я)> имеет более короткий вывод,
чем II.,. Из (П. и. 2) следует F, [ • ] у F2\ ¦ ] V ~1%(й).
Из правила перестановки и правила (G2) вытекает
Fi[-\VF2[-].
1.4. Формула F2[Cs.] выведена из формулы А по
правилу (G5) или (G5'). По тому же правилу из Л
следует F,[ • ] V /\Л ¦ ]¦
2. С есть формула ~\Л. На основании (П. и. 1) из
F2[~[A-]h F,[1A+] следует F2[ ¦ ] V Л[ • ]. По пра-
правилу перестановки получается F{ [ ¦ | V F2[• ].
3. С есть формула Л V В или З.г1 (*). ¦
3.1. /^[С] есть аксиома или получена по правилу,
в котором отрицательная часть С не является главной
частью. Тогда доказываемое утверждение получается
так же, как в случаях 1.1 —1.4.
3.2. Пусть С есть Л V В и F2[C_] выведено из
F2[C-j V 1 А и F2[C] V IB по правилу (G1) с главной
частью С. На основании (П. и. 2) f, [ • ] V (^а[ • ] V Л)
и /•-,[ • ] V (F2[ ¦ ) V IB) выводимы. Из F{\(A\/В)+\ и
F\[-]\/(F2[~]V ~)А) следует на основании (П. и. 1)
Fi[B+]V(Fi[']VFt[-]). Вместе с Ft[.\ V (F,[-] V 1 В)
на основании (П. и. 1) это дает FJ • ] V F2[ • ].
3.3. С есть Зх%(х) и F2[C_] выведено из F2[C_]V
V ~1^(а) по правилу (G2) с главной частью С.
3.3.1. Fl [C+] есть аксиома или выведена по пра-
правилу, в котором положительная часть С не является
главной частью. Тогда доказываемое утверждение полу-
получается так же, как в случаях 1.1 —1.4, но с использо-
использованием (П. и. 3) вместо A1. и. 2).
3.3.2. F,[C+] выведено из F{[C+]y%(b) по пра-
правилу (G3) с главной частью С. Как и F2[C_]V 121 (а),
формула F2[C_] V ~]Ч1(Ь) имеет более короткий вывод,
чем Н2. На основании (П. и. 3) и (П. и. 2) формулы
(Fi[']V*(b))VF2[.] и Fd-]VF2[.]\/-\%(b) выво-
димы. На основании (П. и. 1) и правила сокращения от-
отсюда следует Ft\ -]V F2[ ¦].
4. С есть формула ? Л.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. Й ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ' 345
4Л. Fi[G+] есть аксиома или выведена гго правилу,
в котором положительная часть С не является главной
частью. Тогда доказываемое утверждение получается
аналогично 3.3.1.
:4.2. F2[C~] есть аксиома или выведена по правилу,
в котором отрицательная часть С не является главной
частью. В случае, когда речь идет о правиле (G5)
или (G5'), пусть формула Л или ? А не входиг в каче-
качестве отрицательной части в посылку этого правила.
Тогда наше утверждение получается так же( как в слу-
случаях 1.1 —1.4.
4.3. Fl[C+] выведено по правилу.(G5) из формулы
~]Л, V ... W lAmV A
и F2[C_] выведено по правилу (G4) из F2[C-]\/ ~\A.
На основании (П. и. 2) выводима формула F{ [ • ] V
V.F2[-]V ~]А. Отсюда на основании (П. и. 1) следует
П Я, V • '. • V 'Ат) V (Л [ • 1 V F2[ ¦}). Формулы
DAi,..., П Ат входят в F{[-] как отрицательные
части. Поэтому на основании правила перестановки и
правила (G4) отсюда следует F{ { • ] V F2[ • ]•
4.4. F{[C+] выведена по правилу (G5') из формулы
и F2[C_] выведена из F2[C_] V ~] А, как в 4.3. На осно-
основании (П. и. 2) выводима формула Т7, [ • ] V F2[ • ] V 1А
и по (П. и. 1) отсюда следует (~\ О Л, V • • • ~1 ? Ат) V
V (^i [ • ] V F21 • ]). Отсюда по правилу сокращения сле-
следует /4-1V74-].
4.5. Ft[C+] и F2[C-] выведены по правилу (G5) из
формул
1Л, V ... V ~\Ат V А и "]В, V ... V ~}ВП V В,
причем А есть одна из формул В{, ..., Вп- Отсюда по
(П. и. 1) получается некоторая формула, из которой по
правилу (G5) следует
4.6. Fi[C+] и F2[C_] выведены по правилу (G5') из
формул
~1П Л, V... V lUAmV А и 1QB, V... V 1П BnV В,
346 К. iiiiottu
причем ПЛ есть одна из формул ? Вх, ..., П Вп. Из
первой формулы по правилу (G5') следует
ПП Л, V ... V "]? Ат V ? А.
Отсюда с помощью второй формулы на основании (П. и. 2)
получается формула, из которой по правилу (G5') вы,-
текает F{ [ • ] V F2[ ¦ ].
§ 7. Выводимые формулы
В этом параграфе мы докажем, что каждая фор-
формула, выводимая в ЛГ (или S4*), выводима также и
в ЛГ (или S4').
Теорема 7.1. Каждая формула F[C+,C-\ выво-
выводима в М' и в S4'.
Доказательство проводится методом индукции
по длине формулы С.
1. С — элементарная формула. Тогда F[C+, C_] —
аксиома.
2. С есть ~\А. Тогда F[C+, C_] есть некоторая фор-
формула G[A+, Л_], выводимая на основании предположе-
предположения индукции.
3. С есть Л V В. На основании предположения ин-
индукции F[C+, С_] V 1А и F[C+, C_]V IB выводимы.
По правилу (G1) получаем F[C+, C_].
4. С есть Зх%(х). На основании предположения ин-
индукции формула (F[C+, C_] V П21(а)) \/%(а) выводима.
При этом а — свободная предметная переменная, не
входящая в F[C+, C_]. По правилам (G3) и (G2) отсюда
следует F[C+, C_].
5. Пусть С есть ? Л. На основании предположения
индукции формула ~] А V Л выводима в системе NY.
По правилу (G5) отсюда следует F[C+, C_]. Также на
основании предположения индукции формула (ID Л V
V Л) V ~] А выводима в S4'. Отсюда по правилам вы-
вывода (G4) и (G5) следует F[C+, C_].
Теорема 7.2. Каждая тавтология выводима в М'
и в S4'.
Доказательство. Назовем формулу простой,
если она не содержит отрицательной части вида А У В.
Легко доказать1) (см., например, Шютте [1960], § 4):
') Доказательство. A) Рассмотрим чисто пропозицио-
пропозициональную (т. е. не содержащую з*> П и более чем иульместных
предикатных символов) тавтологию Т, из которой наша простая
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 347
A) Простая формула является тавтологией только
тогда, когда она имеет вид F[A+, ./LI.
B) Если формула F[(A V #)-] есть тавтология, то и
формулы /""[Л-] и F\B-] — тавтологии.
Отсюда индукцией тю длине формулы С получаем,
что каждая тавтология С выводима в Af' и в 54'.
1. С — простая формула. Тогда С выводима на осно-
основании A) и теоремы 7.1.
2. С есть формула FUA V В)]. Тогда на основа-
основании B) формулы ^[Л-] и F[B-\ также являются тавто-
тавтологиями и, следовательно, выводимы по предположению
индукции. По правилу ослабления и правилу переста-
перестановки отсюда следует F\(A V B)_] V ~\ А и F[{A V В)-] V
V ~\В. По правилу (G1) отсюда следует С.
Теорема 7.3. Каждая аксиома системы М* (соот-
(соответственно 54*) выводима в М' (соответственно в 54').
Доказательство.
1. Для аксиом исчисления высказываний это спра-
справедливо по теореме 7.2.
2. Аксиома исчисления предикатоз ~] ЗД (а) V "Зх% (х)
получается по правилу (G3) из тавтологии (H^(fl)V
V Э*Я (jc)) V 21 (а).
3. Аксиома 1 П Л V Л получается по правилу (G4)
из ПП Л V Л) V 1А.
4. Аксиома ~] О AЛ V В) V ~]П А V П В следует
в'системе М' по правилу (G5) из тавтологии ~](~1 А V В) V
V ~]Л V В, а в системе S4' по правилам (G4) и (G5')
из тавтологии
(lnC\AV В) V1D Л VB)V~1(~M VB)V ~\A.
формула получается подстановкой. Т — также простая формула, и
потому имеет (с точностью до вставки двойных отрицаний) вид
р1 V ... V П Рп V <7, V ... V qm. где pr q} — пропозициональ-
пропозициональные переменные. Для формул такого вида A) очевидно.
B). Как и в A), все сводится к случаю, когда F, А, В — чисто
протк>зстциопалы!ые формулы. Допустим, что F[(A V B)_] — тавто-
тавтология. Рассмотрим произвольную модель V (т. е. распределение
значений w, f для пропозициональных переменных). Докажем, что
V (/•" [Л_] ) = и». Если V (Л) =/, то наше утверждение следует из
того, что Л — отрицательная часть. Если же V (А) = w, то V {А V В)=
= V(A)^w, так что V (F [Л_]) = V (F [{А V В)_]) =¦ w. —
Прим. ред.
348 : ••' • К- шютте . • ; :
5. Аксиома ~] ? А V П П А системы 54' следует ,т
тавтологии ~] П А V ? А по правилу (G5').
, Теорема 7.4. Каждая формула, выводимая в М'
(соответственно в 54*), выводима также и в М' (соот^
ветственно в 54'). ..,..,
Для доказательства этой теоремы нам в силу тео-
теоремы 7.3 остается только установить, что каждое основ-
основное правило вывода систем М* и 54* является допустиг
мым правилом систем М' и 54'.
1. Правило исчисления высказываний А, ~| А V В=? В
является специальным случаем допустимого по тео-
теореме 6.5 правила сечения.
2. Из посылки предикатного правила
V В
следует на основании правила ослабления и правила
перестановки (И 3*91(х) V В) V ~]% (я). По схеме вы-
вывода (G2) отсюда получаем заключение ~]3х%'(х)Л/ В.
3. Модальное правило А=>ПА представляет собой
обобщение правил (G5) и (G5'), являющихся его част-
частными случаями.
Теоремы 5.2 и 7.4 доказывают эквивалентность си-
систем М' и S4' системам М* и 54*.
Глава III. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
ДЛЯ СИСТЕМ М' И S4'
§ 8. Деревья формул и деревья редукций
Определим деревья формул и деревья таких деревьев;
с их помощью в § 9 и 10 семантическая теорема пол-
полноты будет доказана для систем М' и 54' в значитель-
значительной степени крнструктивным путем. Для описания этих
деревьев мы применим в качестве деревьев индексов
некоторые множества конечных числовых последова-
последовательностей.
Мы будем пользоваться для обозначения положи-
положительных целых рациональных чисел буквами i, j, k, I,
m, n, для обозначения конечных последовательностей
таких чисел (включая пустые последовательности) бук-
буквами а, Р, y> 6. Пустую последовательность обозна-
обозначим о. (а, к) обозначает последовательность чисел, кото-
которая получается из последовательности а присоедине-
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИН ГУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 349
нием числа k. Соответственно мы обозначим через
(а, Р), (k, а) и (а, k, р) последовательности "чисел, кото-
которые состоят из последовательностей а, р и числа k
в'указанном порядке, а -< р обозначает,' что а — соб-
собственный начальный отрезок последовательности чисел р,
a u<Jp обозначает, что <х<(р или а = р.
1.' Дерево- индексов I — это множество конечных по-
следовательностей чисел со следующими свойствами:
. 1.1. оез/,
1.2. (а, п + .1) е /=ф(а, п) е /,
1.3. (а, 1)е-/=>ае/.
а называется концевой точкой дерева индексов /,
если ае/ и (а, 1) ^/.
В качестве отношения порядка для дерева индек-
индексов / мы имеем отношение <J, которое удовлетворяет
законам древовидного порядка:
а < а (рефлексивность),
а=^р, р<у=^а^У (транзитивность),
<х=^р, р^а=Фа = р (антисимметричность),
< р или р < а (древесность).
Дерево индексов / называется просто разветвлен-
разветвленным '), если в каждую последовательность чисел из
множества / входят разве лишь числа 1 и 2.
2. Дерево формул — это функция В на конечном
дереве индексов /, которая ставит в соответствие ка-
каждому as/ пару Ba = (F0, Va) со следующими свой-
свойствами:
2.1. Fa — формула.
2.2. Va — непустое конечное множество свободных
предметных переменных, содержащее все входящие в Fa
свободные предметные переменные.
2.3. Для о, ре/из а<р следует Va = Кр.
Формулы Fa для ое/ называются содержащимися
в дереве формул В.
Основное дерево — дерево формул на дереве индек-
индексов {о}. Оно содержит только формулу Fo.
') Иногда такое дерево называют бинарным, — Прим. ред.
350 ¦ К. шютте
3. Редукции дерева формул
Пусть В — дерево формул иа конечном дереве ин-
индексов /, причем Ва = (Fa, Va) для а е= /.
3.1. Редукция 1-го рода для основного правила вы-
вывода Г на месте |3е/ определена, если выполнены сле-
следующие условия:
3.1.1. Г — одно из правил (Gl) — (G4) с заключе-
заключением Fp.
3.1.2. Если Г — правило (G2) с собственной пере-
переменной а, то а ф. VY для всех у^.1 таких, что P<Y-
3.1.3. Если Г — правило (G3) с собственной перемен-
переменной й, то не Кр.
/-я посылка правила Г тогда имеет вид F* V At
(/=1, 2 или /=1). Мы называем формулу At i-u чле-
членом редукции и даем следующее определение дерева
формул В1 на дереве индексов /.
Если Г — правило (Gl), (G3) или (G4), то
Во = Ва для всех остальных а е /.
Если Г — правило (G2) с собственной переменной а,
то
By = (^v> ^y U {«}) Для всех у <= f таких, что
Ba = Ba для всех остальных a e /.
3.2. Редукция 2-го рода на месте ре/ с членом
редукции А1 определена, если выполнены следующие
условия:
3.2.1. р— последовательность чисел (pIf k), а фор-
формула Fp, имеет отрицательную часть ? А.
3.2.2. Л[ — формула А (в случае М'-редукции) или
формула ? Л (в случае 54'-редукции).
Как и при редукции 1-го рода, в этом случае дерево
формул В1 на дереве индексов / определяется следую-
следующим образом:
b\ = {Fby Аи Кр),
Ва = Ва для всех остальных ае/.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 351
3.3. Редукция 3-го рода на месте ре/определяется,
если F*— заключение правила (G5) (в случае М'-редук-
ции) или правила (G5') (в случае 54'-редукции). Пусть
А — посылка этого правила, а п — наименьшее число,
для которого (Р, п)ф.1. Тогда дерево формул В1 на
дереве индексов /|J ((р, п)} определяется следующим
образом:
В<р. Ю = (Л, Vp),
Ва = Во для всех as/.
Таким образом, редукции 1-го и 2-го рода на месте р
заключаются в том, что формула /•"„ заменяется фор-
формулой F* V At (с г-м членом редукции Л(), а в случае
редукции 1-го рода для правила (G2) каждое множе-
множество переменных Vy при p=^Y Дополняется собственной
переменной этого правила. При редукции 3-го рода
пара (А, 1Л) вставляется на новом месте (Р, п). Деревья
индексов остаются неизменными при редукциях 1-го и
2-го рода. При редукции 3-го рода они растут.
В случае редукции 1-го рода для правила (G1) мы
называем деревья формул В1, В2 редукционной парой
дерева формул В. Во всех других случаях мы назы-
называем В1 единственным редуктом дерева формул В.
Все редукции 1-го рода являются одновременно
Af''-редукциями и S4'-редукциями. Различие между
М'-редукциями и 54'-редукциями 2-го и 3-го рода уже
рассматривалось при определении этих редукций.
Редукции 1-го рода для правила (G2) (в которых
некоторые множества переменных Vy расширяются) мы
называем сильными редукциями; все остальные — сла-
слабыми редукциями.
4. Мы говорим о собственной редукции на месте р,
если выполняются следующие условия:
4.1. В случае редукции 1-го или 2-го рода в фор-
ЫУЛУ ^з не входит как положительная часть какой-либо
член редукции At (t=l, 2 или /=1).
4.2. В случае редукции 1-го рода для правила (G2)
с главной частью Зх% (х) в формулу Fp не входит как
отрицательная часть какая-либо формула вида 21 (а).
352 К. шюттё.
4.3. В случае редукции 3-го рода для правила
с главной частью ? В формула В не входит как положи-
положительная часть ни в формулу F^, ни в какую-либо из
формул F^,k).
5. Дерево редукций над деревом формул В — это
функция R на просто разветвленном (не обязательно
конечном) дереве индексов /, которая следующим обра-
образом ставит в соответствие каждому as/ дерево фор-
формул Ra на конечном дереве индексов /а:
5.1. R0 — это.дерево формул В.
5.2. Если (а, 2)е=/, то R(a>", R(a>2) —редукционная
пара дерева Ra.
5.3. Если (а, 1) е/и (а, 2) ф I, то R(a' " — единствен-
единственный редукт дерева R°.
5.4. а есть концевая точка дерева индексов / только
тогда, когда Ra содержит аксиому или когда к R
неприменима никакая собственная редукция. В этом
случае Ra называется концевым деревом для R.
Мы говорим, что в R имеется редукция на месте р,
если существует as/ такое, что pef и R(a>" полу-
получаются из Ra редукцией на месте р. Дерево редукций R
называется М''-деревом редукций (соответственно S4'-де-
S4'-деревом редукций), если в R входят только ^-(соответ-
^-(соответственно S4-) редукции.
6. Объемом дерева формул мы называем число
элементов его дерева индексов. Рангом дерева фор-
формул R в конечном дереве редукций. R (т. е. в дереве
редукций с конечным деревом индексов /) мы назовем
сумму объемов всех деревьев формул Ra npncti <ae/.
Под рангом конечного дерева редукции R мы понимаем
ранг R0 в R, т. е. сумму объемов всех деревьев фор-
формул из R.
7. Дерево редукций R мы называем регулярным,
если оно обладает следующими свойствами:
7.1. В R входят только собственные редукции.
7.2. В R за слабой (соответственно ситьной) редук-
редукцией дерева формул Ra следует сильная (соответственно
слабая) редукция дерева формул R(a''' лишь тогда,
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 353
когда к R(aii) неприменима собственная слабая (соот-
(соответственно сильная) редукция.
7.3. Дерево формул Ra содержит аксиому лишь
тогда,. когда оно концевое в дереве R.
Требования 7.1 и 7.2 приводят к тому, что редукции
применяются в достаточной мере, что используется для
доказательства основной семантической леммы в § 10.
8. Дерево редукций R называется замкнутым, если
оно конечно и каждое концевое дерево в R содержит
аксиому.
9. Под деревом редукций на формуле Е мы пони-
понимаем дерево редукций на основном дереве, состоящем
из формулы Е.
В § 9 и 10 мы докажем следующее:
Основная синтаксическая лемма. Если
существует замкнутое М''-(соответственно 54'-) дерево
редукций на Е, то формула Е выводила в системе М'
(соответственно в 54').
Основная семантическая лемма. Если суще-
существует регулярное незамкнутое М'- (соответственно 54'-)
дерево редукций на Е, то существует допустимая для
формулы Е М*-модель (соответственно S4*-модель),
в которой Е опровергается.
Очевидно, что для каждой формулы Е можно по-
построить на ? регулярное М'- (или 54-) дерево редукций.
Из этих двух основных лемм следует поэтому
Теорема о полноте. Каждая Ж-общезначимая
формула ¦ (соответственно S^-общезначимая формула)
выводима в системе М' (соответственно в 54').
§ 9. Доказательство основной синтаксической
леммы
Пусть R — замкнутое М'- (соответственно 54'-) дерево
редукций на Е. Докажем индукцией по рангу R, что
формула Е выводима в системе М' (соответственно в 54').
Пусть дерево редукций R имеет конечное (просто
разветвленное.) дерево индексов J. Для as/ пусть
/''— конечное дерево индексов дерева формул Ra и для
Р е= /а пусть R|5 = (F$, Vf). Если / = (о), то Е— аксиома,
так как R замкнуто. Тогда .сделанное утверждение
тривиально., В. дальнейшем считаем, что /^=(о}.
354 к. шютте
Случай 1. В R на месте о имеется редукция 1-го
рода.
Пусть И] — самая короткая последовательность чисел
такая, что с помощью редукции 1-го рода на месте о
из Ra' получается R<a" ". Тогда для всех a < сц R" = Ro =
= (Е, Vl). Пусть 1-й член этой редукции есть Ai.
Определим новое дерево редукции R1'1 на формуле
Е V Ai.
1.1. R1'10 —основное дерево, причем Rolo = (?V^i,
Vta"l)).
1.2. Для всех (a, k)^J, для которых не имеет места
(a,,/)<(a, &), дерево Rm(a'*> образуется из Rma с по-
помощью той же редукции, по которой R(a'к) получается
из Ru.
1.3. Для всех (а,,/, а,?)г=/ дерево R:'I(a>-a>*> обра-
образуется из Rl'I(a"a) с помощью той же редукции, с по-
помощью которой R(a"''a'ft) получается из' R(a'-'-a>.
На основании 1.1 и 1.2 получаем, что R1'1 a' = R(a''"
с точностью до порядка дизъюнктивных членов формул,
содержащихся в этих деревьях. Деревья формул, опре-
определенные в 1.3, таким образом, включаются в это дерево
формул. Отсюда видно, что R1'1 есть АГ- (или 54'-)
дерево редукций на EVA — замкнутое, как и дерево
редукций R. Дерево индексов дерева R1'1 состоит из
тех ае/, для которых не имеет места (ai,/)^a, и из
тех («1, а), для которых (а(, /, я)е/. Это дерево индексов
имеет меньше элементов, чем /. Деревья формул из R1'1
имеют те же степени, что и соответствующие деревья
из R. Поэтому R' имеет меньший ранг, чем R. Из пред-
предположения индукции следует, что формула Е V А( выво-
выводима в системе М' (или 54'). По соответствующему
правилу (Gl) — (G4) отсюда следует Е.
Случай 2. В R на месте о нет редукции 1-го рода,
но имеется редукция 2-го рода на месте 1.
Из первого предположения следует, что Fl = E для
всех ае/, а R1 получается из основного дерева R0
с помощью редукции 3-го рода. Дерево индексов /
содержит тогда, кроме о, только последовательности
чисел вида A, у). Пусть а, — самая короткая последова-
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 355
тельность чисел такая, что R(a''" получается из Ra'
с помощью редукции 2-го рода на месте'1. В этой
редукции имеется член редукции А\. Так же как F\,
формула А\ V F\ является посылкой схемы вывода (G5)
или (G5') с заключением Е. Мы даем следующее опре-
определение _де рев а редукций R на Е.
2.1. R0 — основное дерево R0.
2.2. R1 образуется нз R0 с помощью редукции 3-го
рода относительно схемы вывода (G5) или (G5') с по-
посылкой А\ V Fx.
2.3. Для всех A, а,/г)^/^_ для которых не имеет
места (аи 1)<A, a, k), дерево R*1-а'k) образуется из R<>-a»
с помощью той же редукции, по которой R<1. <»,*> полу-
получается из R(I'a). __
2.4. Для всех (аи 1,а,/г)е/ формула R<a^a. *> обра-
образуется из R<ai'a> с помощью той же редукции, по кото-
которой R(«i.'•«¦*) получается из f(^-1-aK_
На основании 2.1—2.3 получаем Ra" = R(a''1J. Отсюда
видно, как и в случае 1, что R является замкнутым
ЛГ-(или 54'-) деревом редукции на Е, имеющим меньший
ранг, чем дерево редукции R. Следовательно, на осно-
основании предположения индукции формула Е выводима
в М' (или S4').
" Случай 3. В R нет редукции 1-го рода на месте о
и нет редукции 2-го рода на месте 1.
Тогда, как и в случае 2, для всех as/ имеем, что
Fa = Е и / — дерево индексов, содержащее, кроме о,
только последовательности чисел вида A, у). Разложим
каждое дерево формул Ra при а ф о на два дерева
формул Аа и Ва следующим образом:
да п»
ло — i\ot
А("<. Р) = Rft+i. р) Для всех (' + 1, Р) е /а>
В? = R?,, Р) для всех A, 0) е= /а.
Тогда А1 — основное дерево с формулой ?, а В1 —
основное дерево с формулой ^i (F{ — посылка пра-
правила (G5) или (G5') с заключением Е).
356 ¦ ¦ ' К. ШЮТТЕ
Лемм а. Для os/ при афо существует замкнутое
М'- -(или SA'-) дерево редукций на А" или на В", ранг
которого не больше ранга R" в R.
Доказательство проводим методом индукции
по возрастанию длины а.
1. Пусть а — концевая точка /. Тогда R" содержит
аксиому. Следовательно, одно из деревьев А" или В",
из которых составлено Ra, содержит аксиому. В этом
случае сделанное утверждение тривиально.
2. Пусть (а, 2) <= J. Тогда деревья формул R<a- x\ R<a 2>
относительно (G1) получаются из Ra с помощью редук-
редукции 1-го рода. На основании предпосылок случая 3 эта
редукция имеет место только на А" или только на В".
Таким образом, мы имеем один из двух следующих
случаев:
2.1. Аа>1), А<а>2) получаются из А" с помощью
М'- (или S4'-) редукции, и Ва= В(а " = В(а> 2).
2.2. В(а1), В(а>2) получаются из В° с помощью
Мг- (или 54'-) редукции, и А" = А1"' ° = А(а> ч.
В случае 2.1 на основании предположения индукции
в наще# лемме могут представиться следующие два
случая.
2.1.1. Существуют замкнутые М'- (или 54'-) деревья
редукции на А(а>" или А(а'2), ранги которых меньше
или равны рангам R(a-" и R(a-2) в R. Тогда получаем
утверждение леммы Для А".
2.1.2. Существует замкнутое Af'- (или S4'-) дерево
редукции на В(а' " или на В(а> 2>, ранг которого меньше
или равен рангу R(o>1> или R<a-2>. Тогда выполняется
утверждение леммы для В".
Точно так же проводится доказательство для слу-
случая 2.2.
3. Пусть (а, 1)ё/ и (а, 2)^7. Тогда утверждение
леммы получается из предположения индукции, подобно
тому как изложено выше.
Из только что доказанной леммы следует при а*= 1,
что существует 'Замкнутое М'* (или 54'-) дерево редукции
на F\ или на Е, которое имеет меньший ранг, чем дерево
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 357
редукции R< Следовательно, по предположению индук-
индукции, Е или F\ выводима в системе М' (или $4')- Так как
формула Е вытекает по правилу (G5) или (G5') из F\,
то основная синтаксическая лемма доказана.
§ 10. Доказательство основной семантической
леммы
Пусть R — незамкнутое регулярное М'- (или S4'-)
дерево редукций на Е. В этим параграфе определим
ЛГ- (или S4*-) модель, в которой формула Е опровер-
опровергается. Пусть дерево -редукций R имеет (просто раз-
разветвленное) дерево индексов /. .
1. Нить дерева J— это функция <р, которая следую-
следующим образом отображает натуральные числа на конеч-
конечные последовательности чисел из J.
1.1. ф@)*=о.
1.2. Если (ф(л), 1)е/и (ф(«), 2)^7, то ф(л+1) =
«(Ф(п),1). ¦'¦ ' '
1.3. Если <ф (п), 2) <= /, то или ф(л+1) = (ф(л)> 1),
или ф (п + 1) =,(ф («). 2).
1.4. Если ф(я) — концевая точка /, то <$(т) опреде-
определена только для т^.п.
Таким образом, область определения нити ф состоит
или из множества всех натуральных чисел или из всех
натуральных чисел ^л, где п — фиксированное нату-
натуральное число.
2. Так как R — незамкнутое Дерево редукций, то на
основании леммы Кёнига существует такая. нить ф
дерева индексов I, что последовательность деревьев
формул R4"'"' не содержит - аксиом. Пусть Af —область
определения такой нити ф. Положим F" = R ' для hge JV.
Тогда F—последовательность деревьев формул со сле,-
дующими свойствами:
2.1. Fa — основное дерево формулы Е.
2.2. Если п+ leAf, то F" —редукт М.'- (или 'Si'-)
редувдии дерева Fn. - . -. ¦ . .;
2.3,..Если последовательность F конечна, то на по-
последнем дереве формул F" неприменима, никакая собст-
венна»'iW- (или S4-) редукция... . . . ,-..._ .•:,:
2v4.-• Ни. одно, дерево форм,ул-.Е"\(при п,#Д). не со-
358 к. шюгте
3. Для л е= JV пусть /" — конечное дерево индексов
дерева формул F" . и пусть F2 = (/>*, V§ для об/".
Так как F — нить дерева редукций, то справедливо
следующее:
3.1. Если m<n<=N, то Г<=Г.
3.2. Если m<n<=N и а = /'"", то CsC
3.3. Если neJV и а < 0 <= Г, то Vna <= Ур.
3.4. Если tn^ns=N, ае/'" и С — положительная
(соответственно отрицательная) часть F™, то С входит
также в Fa как положительная (соответственно отрица-
отрицательная) часть.
4. Так как дерево редукций R регулярное, то в F
за слабой (или сильной) редукцией следуют каждый раз
только слабые (или сильные) собственные редукции,
пока это возможно. Из условий для собственных редук-
редукций вытекает, что каждый раз друг к другу может
примыкать в сплошной последовательности только
конечное число слабых (или сильных) собственных ре-
редукций. Поэтому сильные и слабые редукции приме-
применяются в F по очереди, пока вообще возможны соб-
собственные редукции. Отсюда получаем, что последова-
последовательность F для л <= N и аеГ обладает следующими
свойствами:
4.1. Если Fa содержит отрицательную часть Л V В, то
существует т^. N такое, что при т^п А или В входит
в Fa как отрицательная часть.
4.2. Если Fa содержит отрицательную часть Зх%(х),
то существует ni^N такое, что т^п и Fan имеет
отрицательную часть вида %(а).
4.3. Если Fa содержит положительную часть Зх% (х)
и если as Va, то существует m^N такое, что т^п
и 51 (а) входит в F™ как положительная часть.
4.4. Если FJJ содержит отрицательную часть ? А,
то существует т е N такое, что т ^ п и А входит в Fa
как отрицательная часть.
4.5. Если Fa содержит отрицательную часть ? А и
(a, k) е /", то существует m^N такое, что т^п и А
(в случае М'-дерева редукции) или ? Л (в случае
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИПТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 359
54'-дерева редукции) входит в Fja.k) как отрицательная
часть.
4.6. Если Fa содержит положительную часть ? А,
то существует т<^ N такое что т^п и А входит в /\Г
или в одну из формул /•"(", k) при (a, k) <= /"' как положи-
положительная часть.
Свойства 4.1—4.4 получаются рассмотрением редук-
редукций 1-го рода, 4.5 — редукций 2-го рода и 4.6 — редук-
редукций 3-го рода.
5. Теперь с помощью последовательности F опреде-
определим ЛГ- (или 54*-) модель (М, R, V, W).
5.1. Пусть М — объединение ^J ln всех деревьев
индексов последовательности F.
5.2. Для a, р e M пусть а/?р справедливо в слу-
случае АГ-дерева редукций тогда и только тогда, когда
или а = р, или р — последовательность чисел (a, k).
В случае 54'-дерева редукций пусть а/?Р справедливо
тогда и только тогда, когда a <J p. Отношение R реф-
рефлексивно в обоих случаях, а в последнем также и
транзитивно на М.
5.3. Для а^М пусть V(а) есть объединение всех Va
по всем neJV, ае=/". Следовательно, V(a) — непустое
множество свободных предметных переменных. Для а,
реМ справедливо тогда на основании 3.1—3.3:
5.4. Мы говорим, что формула С есть а-положитель-
ная часть (соответственно a-отрицательная часть) для
ссетИ, если существует такое n^N, aef, что С
входит в F^, как положительная (соответственно отрица-
отрицательная) часть. W мы определяем следующим об-
образом:
5.4.1. Пусть W(a) — a для каждой свободной пред-
предметной переменной, входящей в F. Если а — свобод-
свободная предметная переменная, не входящая в F, то
значение W(a) уже не играет роли. W (а) можно тог-
тогда выбрать как угодно из VI. В любом случае
U
3f,0 К. ШЮТТЕ ' "
5.4.2. Для каждой пропозициональной переменной о
и не! W(v, a) = w тогда и только тогда, когда v
есть а-6трицательная часть.
5.4.3. Для каждой m-местной прздикатной перемен-
переменной р и аеМ пусть W(р, а)— множество тех т-ок
(а„ ..., ат) свободных предметных переменных, Для
которых р(аи .... ат) есть а-отрицательная часть. Та-
Таким образом, W(p, а) — некоторое множество т-ок
элементов из V (а).
6. Лемма. Если С есть а-отрицательная [соответ-
[соответственно а-положительная) часть, то W(C, a) ^=w (соот-
(соответственно W(C, a) = /).
Доказательство проводим методом индукции
по длине формулы С. По принятому предположению
существуют ftG N, оеГ такие, что С входит в Fi как
отрицательная (соответственно положительная) часть.
6.1. С —элементарная формула, входящая как а-ог-
рицательная часть. Тогда W {С, a) = w по определению W.
¦. 6.2. С — элементарная формула, входящая как а-поло-
жительнаЯ часть. Так как F не.содержит аксиомы, то
из 3.4 следует, что С — не а-отрйцательная часть. По
определению W отсюда следует W(C, a) = /.
. 6.3. С есть а-отрицательная (соответственно q-положи-
тельная) часть вида ~]А. Тогда Л—а-положительная (соот-
(соответственно а-отрицательная) часть. На основании пред-
предположения индукции в этом случае W (А,, а) = f (соответ-
(соответственно W (A, a) = w). Отсюда следует WC^A,a) = w
(соответственно W(~]A, a) — f).
'• ¦ 6.4. С' есть а-отрицательная .часть вида А\/В.
Тогда на основании 4.1 А или В есть а-отридательная
часть. На основании предположения индукции отсюда
следует'^(А, а)*=ш или W(В, a) = w; следовательно,
W(A\JB, а) = ю.
'6.5. С есть а-положительная часть вида А V В.
Тогда А и В — также а-положительные части.- Поэтому
на основании предположения индукции W(A, .<x) — f, и
W(B, d) = f. Следовательно, W(А V В, a)~f.
6.6. С ecfb а-отрицательная часть вида . ЗхЩ.х).
Тогда на основании 4.2 имеется а-отрицательи'ая часть
вида 91 (а). На. основании предположения индукпии
W(%(a)t а) — гщ. Так как аеК(а), отсюда! следует
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОННСТСК. ЛОГИКИ 36!
6.7. С есть а-положительная часть вида ЗхУ. (х).
Пусть a<=V(a). Из 3.2, 3.4 и 4.3 получаем, что 2f (а)
есть а-положительная часть. Следовательно, на осно-
основании.предположения индукции W(% (a), a)^=f. Так как
это справедливо для всех aeF(o), то мы получаем
W (Э*Я (х), а) .= f.
6.8. С есть a-отрицательная часть вида D А. Пусть
имеет место а/?р\ Из 4.4 и 4.5 получаем, что А есть
Ji-отрицательная часть. Следовательно, на основании
предположения индукции W(A, р) = до. Так как это
справедливо для всех реМ при.а#р\, то отсюда сле-
следует, что W(O A, a) = w. , ::
6.9. С есть a-положительная часть вида ? А. Тогда
ла основании 4.6 существует такое реМ, что а/?Р и А
есть ^-положительная часть.
На основании предположения индукции W{A, P) = f;
Отсюда следует Ц^(? A, a) = f.
По доказанной таким образом лемме справедливо,
в частности, W(E, o) = f для элемента o^Af, так как
формула Е есть о-прложительная часть. Для каждой
входящей в ? свободной предметной переменной аи каж-
каждой ael по определению Ща)<= V (а). Следовательно,
Л1*-модель (или 54*-модель) (Af, R, V, W) допустима
для формулы Е. Таким образом, основная семантиче-
семантическая лемма доказана.
Глава IV. ПОГРУЖЕНИЕ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ
ПРЕДИКАТОВ В СИСТЕМУ S4'
§ II... Формальная система IL интуиционистской
логики предикатов
Дадим определение: формальной системы IL интуи-
интуиционистской логики, которую мы отобразим в §§ 12 и 13
в систему S4 модальной логики. ¦> - . .
В качестве .основных знаков системы IL мы будем
применять те же символы, что и раньше (см. § 1), за
исключением знака модальности П,и кроме того,, связки
Л (и), —>(если ...., то ...) и квантор всеобщности у.
Элементарные формулы мы определяем, как в § 1. .
1. Индуктивное определение; формул, системы LL:
' 1.1.1 КаЖ^ая' 'элементарная формула :есть фЪрмула.
1.2. Если А—формула, той ~)'А — т'акн^е' формула.
362 К. ШЮТТЕ
1.3. Если А и Б —формулы, то и (А у В), (А А В)
и (А->?) — тоже формулы.
1.4. Если 91 (а) — формула, в которую не входит
связанная предметная переменная х, то 3*91 (л:) и
\/х%(х) — также формулы. «
Подобно тому как мы делали раньше, мы будем
пользоваться сокращениями, чтобы употреблять меньше
скобок.
2. Секвенции — это знакосочетания вида
А\, ..., Ат\-Ви ..., Вп,
где Д, ..., Ат, В,,..., Вп—формулы системы IL.
Формулы А\ Ат называются антецедентными фор-
формулами, а формулы Blf ..., Вп — сукцедентными фор-
формулами секвенции. В секвенции могут отсутствовать
антецедентные или сукцедентные формулы.
Через Г, А и 6 мы обозначаем конечные (возможно,
пустые) последовательности формул. Таким образом,
секвенцию можно записать и в виде Г 1- А.
3. Аксиомами системы IL являются все секвенции
Р\-Р,
где Р — элементарная формула.
4. Структурные правила вывода системы /L:
4.1. Правила перестановки:
Г, А Д, Л 1-8 Лг9ч Г h- А; А В. 9
Г, В. А ЛЬ8 ^г> Г1-Д, В, А.9-
4.2. Правила сокращения:
А А Г 1-А ,VC), Г I- A, A A
АГНД <К2) ГНД, А
4.3. Правила ослабления:
/Д2)
АГНЛ (AZ> ГНД. А'
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 363
5. Пропозициональные правила вывода системы IL:
(V.) тЛЩ- (VS) Г"'ЛВ
AV 1
А,1
AM
В,
А->В,
J. Г|
5, Г
5, Г
Г Ь-
Г1-
ГН
г ь
-
ь-
д
л
д
- /
д
д
д
, А
\. А
Г I- Д, А V В
Г I- Д. Л
Г Ь- Д, Л Л В
у Л. Г h-B
' Г h-Л^-В
11
] ГЬЛ
6. Кванторные правила вывода системы IL:
(а). Г |- А _.. ГНД. «(о)
3Z^
3 *Sf (*). Г Ь- Д w 7 Г Н Д,
Я (а). ГИД ,W9x Г I- Я (а)
), ГНД l ;
В правилах вывода C1) и (V2) имеется ограничение
на пере;менные: обозначенная через а свободная пред-
предметная переменная не должна входить в заключение.
Секвенции, стоящие в правилах вывода 4—6 над
чертой вывода, называются посылками соответствую-
соответствующего вывода. Секвенция под чертой вывода называется
заключением этого вывода.
Нужно обратить внимание на то, что в выводах
(->2), (2) и (V2) заключение содержит одну-единствен-
иую сукцедентную формулу, тогда как во всех осталь-
остальных выводах в посылки и заключения может входить
сколько угодно сукцедентных формул. Вследствие этого
интуиционистская логика предикатов оказывается огра-
ограниченной по сравнению с классической.
7. Все выводы но правилам 4—6 мы называем при-
применениями основных правил вывода ') системы IL.
Выводимость секвенции получает следующее индуктив-
индуктивное определение:
7.1. Каждая аксиома выводима.
') В случаях, когда это не будет вызывать недоразумении,
мы будем говорить о самих правилах системы IL, а не об их
применениях. — Прим. ред.
364 К. ШЮТТЕ
7.2. Если выводимы все. посылки некоторого приме-
применения основного правила вывода, то выводимо и соот-
соответствующее заключение.
Формула F считается, выводимой в системе IL, если
выводима секвенция t- F (с пустым антецедентом).
§ 12. /-формулы системы S4'
Чтобы включить интуиционистскую логику предика-
предикатов в модальную логику, мы ставим в соответствие
каждой формуле Fs системы IL такую формулу F си-
системы, S4', что F в системе IL выводима тогда и только
тогда, когда F выводима в 54'. Доказательства мы
дадим в этом и в следующем параграфах. _
1. Индуктивное определение формулы F из S4',
являющейся образом формулы F из IL
. 1.1, Если Р — элементарная формула, то формула Р
есть ? Р.
1.2. ТЛ есть П~1Д._
1.3. ЛУ Ё есть А V В^
".' 1.4. А А В есть A А_у 1_В).
1.5. А->В есть D (j A V В).
1.6. Зх% (х) есть Зх%(х).
1.7. Vx3l (л:) есть П ~1 Vjc~1 91 (х).
В 1.6 и 1.7 % обозначает называющую форму такую,
что % (а) есть формула 91 (с).
Мы называем I-формулами те_формулы'системы.S4',
которые получаются как образы F формул F системы IL
при описанное выше отображении.
2. "Мы ставим в соответствие секвенции 2 системы IL
формулу 2 системы" S4' следующим образом:
если'2 есть секвенция ¦
, А\, . . ., Ат (— о ц ...» Dfti
то 2. есть формула ¦ •. . .
1 А, ¦ V ¦ • • V П Лт V Si V •.. ,V Bn. : , v
Те оре'м а2-.1. Для каждой-i-формулы- С "фЬрмула
выводима в S4 . ..
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 355
Доказательство проводим методом индукции
по длине формулы С.
1. С — элементарная формула или формула одного
из видов ~\А, А-+В _или Vx2I(x). Тогда С — формула
вида UB и ~}С \/ОС — это формула ~1 ? В VDD В,
которая является аксиомой в системе 54* и, следова-
следовательно, (по теореме 7.3) выводима в S4'. _
2. С — формула вида А V В. Из тавтологии D Л V
V (А V В) VIА следует по правилу (G4) фор-
формула^ ЮА\/(А\/В) и по правилу (G5') формула
~1ПЛ\/_П(Л V В). На основании предположения индук-
индукции 1 A VD Л выводима. По правилу сечения отсюда сле-
следует 1 Л V ? (А V В). Точно так же получается 1 В V
V П(А\/]3). В исчислении высказываний отсюда сле-
следует 1 (Jv S) V П (Л V В), т. е. 1 (ЛУ~8) V ? (Л VJ).
3. С — формула вида Л Л_В. Из тавтологии "]ПЛ V
V1В В V 1A А \/1 В) \/ 1 А )/1 В двукратным приме-
применением (G4) получаем 1 П_А V 1 Q_B V1 A А_у 1 в),
а затем по правилу (G5) 1П A Via В VD~I (I AW "| В).
По предположению__индукции выводимы формулы ~| Л \/
УПЛи 1SVDS. Отсюда по правилу сечения сле-
следует ~| А VI В\/П1A A VTS). В ^счислении вьтсказы-
ваний отсюда следует 1(~| AVI B)VD1A Ay -]B),
т. е. 1 (Л А В) V ? (Л А В).
4. С — формула вида Зх%{х). Возьмем свободную
предметную переменную а, не входящую_ в С. Из тав-
тавтологии (AШ(а) V Зх% (x))_V 1 % (а))Л/ % (а) по. прави-
правилам (G3) и (G4) следует_1 П Я (а) у_Здс<Д (х) и по правилу
(G5') A Зх% (х) V ? Зх% (х)) V "I ? Я (а)^ На основании
предположения индукции формула 1 % (а) V ? 31 (а) вы-
водимаЛЪ правилу сечения отсюда следует (~| 3x21 (х) V
V ? 3jc5t (х)) V 1 зГ(а), и по правилу (G?) получаем
1 3x21 (jc) V n3x2T(x), т. е. ~| 3x21 (х) V ? 3x21 (х).
, ..Тер.рем.а .12.2. Если секвенция 2 выводима в си-
стеме IL, то формула 2 выводима в S4'.
Доказательство проводим методом индукции по по-
построению вывода 2.
366 К. ШЮТТЕ
1. 2 есть аксиома Р\-Р. Тогда 2 есть тавтология
~] Р V Р (и, следовательно, выводима в S4').
2. Пусть 2 выведена по правилу перестановки (VI)
или (V2) из секвенции 2,. Тогда 2, и 2 — формулы вида
F[A+, В+] и F[B+, Л+]. Из формулы 2|, которая на
основании предположения индукции выводима в S4',
следует по правилу перестановки (теорема 6.2) фор-
формула 2.
3. Пусть 2 выведена^ по правилу сокращения (К.1)
или (К2) из 2,. Тогда 2i_h 2 имеют вид F[A+, Л+] и
F[A+, • ]. В этом случае 2 следует из 2, по правилу
сокращения (теорема 6.4).
4. Пусть 2 выведена по правилу ослабления (А1)
или (А2) из Si. Тогда 2_— формула ~| Л V 2, или 2, V А,
которая вытекает из 2( по правилу ослабления (тео-
(теорема 6.3) (и по правилу перестановки — теорема 6.2).
5. Пусть 2 получена по пропозициональным правилам
вывода (N/1), (Л_1) или (Л2) из 2, (/=1, 2 или /= 1).
В этих случаях 2/ и 2 имеют следующий вид:
E.1) 2, mm"] A VC, 22зО BV С, 2 = 1(^VB)VC,
E.2) S, — 1 Л" V 1BVC, 1 = 11 A Л V1 В) V С,
E.3) S,«-C VA, 22=;CVS, 2 = CV1( Л V 1 В).
В каждом из этих трех случаев 2 следует в исчи-
исчислении высказываний из 2,-.
6. Пусть 2 получена по пропозициональному правилу
вывода (V 2) из 2. Тогда 2 совпадает с 2(.
7. Пусть 2 получена по пропозициональному правилу
вывода (-*¦ 1) из 2., 22. Тогда 2], 22 и 2 имеют вид
С\/ A, 1BV С н 1ПAА\/ B)V С. Из2,и22в исчи-
исчислении высказываний следует ~] (~| Л V В) V С. С по-
помощью выводимой по теореме 7.3 формулы ОAА\/В)\/
VA Л V в) по правилу сечения получаем 2.
8. Пусть 2 получена по пропозициональному правилу
вывода (~|1) из 2j. Тогда мы имеем 2] = С\/Л и
2==~Ш~|ЛуС. По правцлу сечения из 2[ и выводи-
выводимой формулы ~\О~]А\/ ~] А следует 2.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 367
9. Пусть 2 получена по пропозициональному пра-
правилу вывода (->2) или (~]2) из 2,. Тогда 2, и 2 имеют
следующий вид:
(9.1) S, ^ 1 JV ~]С, V ... V~\Cn\/ В,
S=1C, V ... VlCn\/O(lA VB).
(9.2) 2,^ 1 Л V 1С, V ..:VlCn, _
2=-]C,V ... V1C«V ? 1Л.
Из 2i и выводимых формул "} П С/ V С{ следует по
правилу сечения:
"lZv"inCIV...V"lnCrtVfi в случае (9.1),
lAVlOCiV ... W lDCn в случае (9.2).
Используя правило перестановки и правило вывода
(G5'), получаем
? С, V ... V 1 О Сп V П П А V в)
или
По теореме 12.1 формулы "]CjV DC( выводимы.
Отсюда по правилу сечения следует 2.
10. Пусть 2 получена по кванторным правилам_ вы-
вывода C1) или C2) из 2,. Тогда 2 следует из 2( по
правилам исчисления предикатов.
11. Пусть 2 получена_по кванторному правилу вы-
вывода (VI) из _2,. Тогда 2, j 2 имеют вид ~}%(а)\/С
и ~1 ? Зх ~] % (х) V С. Из 2, в исчислении предикатов
следует Зх ~]%(х) V С. По правилу сечения с помощью
выводимой формулы ~] ? ~)Зх ~]51 (х) V ~\3х~]й(х) по-
лучаем 2.
12. Пусть 2 получена по кванторному правилу вы-
вывода (V2) из 2]. Тогда имеем
2, = -|С, V ... V ~]CnV9I(a),
368 К. шютте
причем1Свободная предметная переменная а не входит
в 2. Из 2, в исчислении предикатов следует ~| С, V • • •
... V ~\Сп V ~]3х~\%(х)^ Используя сечения с выводи-
выводимыми формулами ~| D_C/ V Q, получаем ~| ? С] V • • •
• • • V ? Сп V Зх J ?l (*) и по схеме вывода (G5')
1DC.V.;. VIDC.VD ~]3x_~]% (x)^ Отсюда с по-
помощью сечений с формулами ~]Ct V DC,-, выводимыми
по теореме 12.1, следует 2.
Теорема 12.3. Если F выводима в IL, то F выво-
выводима в 54'.
Доказательство. Пусть 2 — секвенция I-F.
Тогда 2 — формула F. Из выводимости F в системе IL
по теореме 12.2 получаем, что F выводима в S4'.
§ 13. /-Выражения системы S4'
Чтобы показать, что из выводимости F в 54' сле-
следует выводимость F в IL, докажем в этом параграфе
более общую теорему. Для этого мы сначала установим
некоторые структурные свойства /-формул, а затем
введем более общее понятие /-выражения.
1. Из определений /-формул и положительных и
отрицательных частей формул системы S4' вытекает
следующее: каждая положительная часть /-формулы
является /-формулой. Каждая минимальная положи-
положительная часть /-формулы имеет _вид ПЛ ? ~| Л,
ППАУВ), ЗхЪ(х) или ? ~]3х~]%(х). Каждая мини-
минимальная отрицательная часть /-формулы имеет вид
1AW1B.
^дизъюнктивными членами /-формулы F мы назы-
называем минимальные положительные части формулы F
и те положительные части F, которые имеют вид
~](~] А V ~]В). Следовательно, /-дизъюнктивные члены —
это /-формулы вида Р, ~]Л, ЛАВ, Л -> В, Зх% (х) или
ЧхЩх). Непосредственно ясна следующая. . ..
Лемма 1. Каждая I-формула F имеет вид Л, V • • •
... V Ап {при п^1)> причем Л,, ..-, Ап — 1-дизъюнк-
1-дизъюнктивные члены формулы F. (Это минимальные положи-
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 369
тельные части формулы F и ее положительные ласти
вида Л Л В.) _ ._¦¦.• ¦
2. Отрицание ~]F. /-формулы F не имеет минималь-
минимальных положительных частей. Минимальные отрицательные
части формулы _"]/•" имеют вид .ПЛ П ~]А, А у В,
DdAVB), 3*21 (*) Или П 13x11 (х). Мы называем
их I-конъюнктивными членами /-формулы F. Это /-фор-
/-формулы вида 7>, 1 А, Л V В, А -+ В, Зх% (х) или \/х% (х).
Нетрудно видеть, что имеет место
Лемма 2. Каждая 1-формула F имеет вид Л, Д ...
... Л Ап {при п^\), причем Аи ..., Ап — 1-конъюнк-
тивные члены формулы F. (Это минимальные отрица-
отрицательные части формулы ~] F.)
3. Под l-выражением мы понимаем любую фор-
формулу С системы 54', имеющую следующие свойства:
3.1. Каждая минимальная положительная часть С
.есть или /-формула, или элементарная формула, илн
формула вида Зх ~] 21 (х).
3.2. Каждая минимальная отрицательная часть С
есть или /-формула, или элементарная формула, или
формула вида ~]А\/~]В, или формула вида ~]А\/В,
или формула вида Зх~\%(х).
По этому определению, в частности, каждая /-фор-
/-формула является /-выражением.
4. /-выражению С мы следующим образом ставим
в соответствие секвенцию 2 (С) системы //_,.
4.1. 2(С) должна иметь в точности следующие анте-
антецедентные формулы:
1) Л, если А — минимальная отрицательная часть С;
2) каждую элементарную формулу, которая входит
в С как отрицательная часть:
3) Л->б, если ~] А V В — отрицательная часть С;
4) VjdlCx:), если Зх~\%(х) — положительная часть С.
4.2. 2 (С) должна иметь в точности следующие сук-
цедентные формулы: ¦ ¦ :
1) Л; если Л — минимальная положительная часть С;
2)' каждую элементарную формулу, ¦ входящую в С
как положительная часть;
370 К. ШЮТТЕ
3) А А В, если ~]Л V ~]В— отрицательная часть С;
4) %(а), если 3x41 (х)— отрицательная часть С.
При этом а обозначает свободную предметную пере-
переменную, которая не входит ни в какую другую фор-
формулу из 2 (С) и не входит также в Зх~\%(х).
Секвенция 2 (С) однозначно определяется /-выраже-
/-выражением С с точностью до порядка своих формул и до
выбора свободных предметных переменных в 4.2.4.
5. Если Л — формула системы 1L, то DA обозначает
последовательность А\, ..., Ат дизьюнктивных членов
формулы А, так что А является формулой Л, V • • • V Ат
и ни одна формула А{ не имеет вида С( V С2. Соответ-
Соответственно пусть КА обозначает последовательность
Ви ..., Вп конъюнктивных членов формулы А, так
что А является формулой В( Л • • • Л Вп и ни одна
формула Bt не имеет вида С, Л С2. Из лемм 1 и 2
следует:
5.1. Если А — положительная часть /-выражения С,
то вклад, вносимый А в 2 (С), состоит из последова-
последовательности DA сукцедентных формул секвенции 2 (С).
5.2. Если А — отрицательная часть /-выражения С,
то вклад, вносимый А в 2 (С), состоит из последова-
последовательности КА антецедентных формул секвенции 2С.
Теорема 13.1. Если I-выражение С выводима
в 54', то секвенция 2 (С) выводима в IL.
Доказательство проводим индукцией по по-
построению вывода. Порядок формул в 2 (С) не играет
роли, так как в 1L имеют место правила переста-
перестановки (VI) и (V2). Мы можем, следовательно, применять
формулы 2 (С) в любом порядке.
1. С— аксиома F[P+, P_] системы S4'. Тогда 2 (С) —
секвенция Г, Р Ь- Р, Л, которая следует из аксиомы Р h- P
системы IL на основании правил ослабления (А1) и (А2).
2. С получена по правилу (G1) из С, и С2. Для
главной части этого правила могут представиться три
различных случая.
2.1. Главная часть правила (G1) имеет вид A\J В.
Тогда 2 (С) — секвенция А V В, Г 1- А и С,, С2 — /-выра-
/-выражения, секвенции которых 2 (С,) и 2(С2) имеют вид К А,
А у В, Г I- А и KB, A \/ В, Г h А. На основании пред-
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДЛЛЬН. И ИНТУИЦИОИИСТСК. ЛОГИКИ 371
положения индукции ^(С{) и 2(С2) выводимы в IL.
Используя правила (Л 1), (V 1) и (К1), получаем 2(С).
2.2. Главная часть правила (G1) имеет вид ~] А V ~]В.
Тогда 2 (С)— секвенция Г I- Д, А А В и Си С2— /-выра-
/-выражения, секвенции которых 2 (С,) и 2 (Со) имеют вид
Г Ь- А, Л Л В, DA и Г h А, Л Л 5. ?>Я. "Из этих сек-
секвенций, выводимых на основании предположения индук-
индукции, следует по правилам (V2), (Л 2) и (К.2) секвен-
секвенция 2 (С).
2.3. Главная часть правила (G1) имеет вид ~\ Л V В.
Тогда 2(С) — секвенция Л—>В, Г Ь А и Cj, C2 — /-выра-
/-выражения, секвенции которых 2 (С,) и 2(С2) имеют вид
Л->й, ГЬА, ?>Л и KB, A^B, Г (- А. Из этих сек-
секвенций по правилам (V 2), (Л 1), (-> 1) и (К.1) следует
секвенция 2 (С).
3. С получена из С, по правилу (G2) с собственной
переменной а. Для главной части этого правила могут
представиться два различных случая.
3.1. Главная часть правила (G2) имеет вид 3x51 (х).
Тогда 2(С) —секвенция Зх'й(х), Г Ь А и С, —/-выра-
—/-выражение такое, что 2(С^ имеет вид КУ-(а), 3x21 (х), Г \~ А.
По правилам (Л 1). C1) и (КО из 2 (С,) получается 2_(С).
3.2. Главная часть правила (G2) имеет вид Зх ~]% (х).
Тогда 2(С) —секвенция Г h A, %(b) и d— /-выражение
такое, что 2(С,) имеет вид Г (— Л, %(b), D%(a), причем
свободная предметная переменная а не входит в 2(С).
Секвенция 2 (С,) выводима в IL на основании предпо-
предположения индукции, поэтому секвенция Г У-А, 51F),
D%(b) также выводима в IL. По правилам (V 2) и (К.2)
отсюда следует 2 (С).
4. Пусть С получена из С, по правилу (G3). Для
главной части этого правила, как и в п. 3, могут пред-
представиться два различных случая. _
4.1. Главная часть правила (G3) имеет вид Зх%(х).
Тогда 2 (С) — секвенция Г h А, Зх%(х) и С, —/-фор-
—/-формула такая, что 2 (С,) имеет вид Г Ь А, Зх% (х), D%(a).
По правилам вывода (V 2), C2) и (К2) из 2 (С,) полу-
получается 2 (С). _
4:2. Главная часть правила (G3) имеет вид Зх ~]% (х).
Тогда 2(С) — секвенция \/х%{х), Г Ь- А и Ct —/-формула
372 К. ШЮтте
такая, что 2(С,): имеет вид 7B1 (а), Ух% (х), Г h Д. По
правилам (Д 1), (VI) и (К1) из 2(С,) следует 2(С).
' 5. Пусть С получена из С] по правилу (G4). Для
главной части этого правила могут представиться сле-
следующие случаи.
5.1. Главная часть правила (G4) имеет вид ПР
(с элементарной формулой Р), или О(~\А\/В), или
? 13л; If (л:). Тогда 2 (С) —секвенция F, Г 1-Д, при-
причем F является формулой Р, или А->В, или Ух%(х)
и С]—/-выражение такое, что 2 (Cj) имеет вид
F, F, Г Ь Д. По правилу (К1) из 2 (С,) получается 2 (С).
5.2. Главная часть правила (G4) имеет, вид ? ~]А'
Тогда 2(С) — секвенция ~\А, Г \- Д и С,—/-выражение
таксе, что 2 (С,) имеет вид ~\А, Г Ь-A, DA. По пра-
правилам (\/2), A1) и (К1) из 2(С,) следует 2(С).
. 6. Пусть С получена из С, по правилу (G5'). Для
главной части этого правила могут представиться • сле-
следующие четыре случая.
6.1. Главная часть правила (G5') имеет вид ? Р
с элементарной формулой Р. Тогда С, — /-выражение
такое, что 2 (С,) и 2 (С) имеют вид Д f- Р и Г, Д \- Р, 6.
По правилам (А1) и (А2) из 2 (С,) следует 2 (С).
6.2. Главная часть правила (G5') имеет вид ? ~]А.
Тогда С, — такое /-выражение, что 2 (С,) и 2 (С) имеют
вид К А, Д Ь и Г, А I- 1 А, в. По правилам (V 1), A2),
(А1) и (А2) из 2 (С,) следует 2 (С).
6.3. Главная часть правила (G5)'имеет вид П AА VВ).
Тогда С, — /-выражение такое, что 2 (С,) и 2 (С) имеют
вид КА, Д Ь- DB и Г, Д Ь- А-* В, в. По правилам (V 1),
(Л.2), (->2), (А1) и (А2) из 2(С,) следует 2(С).
6.4. Главная часть правила (G5') имеет вид
? ~]3х~]%(х). Тогда С, —/-выражение такое, что2(С,)
и 2 (С) имеют вид Д Ь- 21 (а) и Г, А Ь- \/х%(х), в, причем
свободная предметная переменная а не входит ни в Д,
ни в формулу Ух% (х): По правилам вывода (V2), (А1)
и (А2) из 2 (С,) следует 2 (С).
: Теорема 13.2. Если I-формула F выводима в S4',
то формула F выводима в 1L. _
Доказательство. Из выводимости F в S4' сле-
следует по теореме 13.1, что секвенция 2 (F) выводима в IL.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 373
Это секвенция Y-DF. По правилу (V2) отсюда следует,
что и формула F выводима в IL.
Резюме. По теоремам 12.3 и. 13.2 формула F вы-
выводима в IL тогда и только тогда, когда /-формула F
выводима в S4'. Таким образом, путем отображения F
на F интуиционистское исчисление предикатов погру-
погружается в систему S4' модальной логики. .
Глава V. СЕМАНТИКА ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ
ПРЕДИКАТОВ ПО КРИПКЕ
§ 14. Модели интуиционистской логики предикатов
Погружение интуиционистского исчисления предик
катов в логику модальностей индуцирует с помощью
понятия модели системы S4' понятие модели интуи-
интуиционистской логики. Если (М, R, V, W) есть 54*-мо-
дель, то мы получаем /L-модель (М, R, V, W),
положив W (F, а) = W (F, а) для всех /-формул F и
веМ, Эта модель (М, R, V',W) называется /L-моделью,
индуцированной 54*-моделью (М, R, V, W).
/L-модель обладает тем свойством, что для каждой
элементарной формулы Р из W (P, a) = w и ct/?p сле-
следует также W(P,$) = w, так как W(P,a) = W(Q P, а).
Это заначит для каждой предикатной переменной р, что
при а/?р всегда W(p, a) s W(p, P). В остальном истин-
истинностные, значения элементарных формул могут распре-
распределяться как угодно. Истинностные значения'составных
формул определяются в /I-модели так же, как и
в 54*-модели, индуктивнб. Модели1 интуиционистской
логики предикатов можно поэтому описать, не ссылаясь
на 54*-модели, следующим образом:
1. Модель (М, R, V, W) определяется так:
1.1. М :—непустое множество. -...-.
1.2.¦{$— рефлексивное и транзитивное отношение на М..
1.3. V — функция, которая каждому «еМ ставит
в «соо-тпектвие непустое миожество- V(«) так, что для а,
реМ имеет место • ,... ,¦-... , ¦ ¦. -
374 К. ШЮтте
1.4. W — функция, задающая следующие соответ-
соответствия:
1.4.1. Каждой свободной предметной переменной а
ставится в соответствие элемент W (а) из f\ V (a).
1.4.2. Каждой пропозициональной переменной v ста-
ставится в соответствие для каждого а е М истинностное
значение W(v, а) так, что для a, pel справедливо
W(v, а) = ш,
1.4.3. Каждой «-местной предикатной переменной р
для каждого аеМ ставится в соответствие множество
W (р, а) п-ок элементов из V (а) так, что для а, реЛ1
справедливо
2. Соответственно тому, как мы сделали в § 2, мы
понимаем под К-выражением F' знакосочетание, полу-
получающееся из формулы F (интуиционистского исчисле-
исчисления предикатов), если входящие в нее свободные пред-
предметные переменные заменить именами элементов из
[J V(a). Для оеМ истинностное значение W(F', a)
а
^-выражения F' в модели (М, R, V, W) определяется
индуктивно следующим образом.
2.1. Если F'—пропозициональная переменная, то
W(F', а) задается моделью.
2.2. Если F'—V-выражение рAи ..., ^„) с п-мест-
ной предикатной переменной р, то W(Fr, a) = w тогда
и только тогда, когда Aи ..., yef(p, a).
2.3. Если F'—К-выражение A'\J В' (соответственно
Л'Л В'), то W{F', а) = ш тогда и только тогда, когда
W (А', а) = ш или (соответственно и) W {В', а) = до.
2.4. Если F' — F-выражение А'-*В', то W(F',a) = w
тогда и только тогда, когда для каждого реМ такого,
что аЯР, имеет место W{A', р) = / или W (В', Р) = до.
2.5. Если F'— К-выражение ~\А', то W(F', a) = w
тогда и только тогда, когда для каждого реМ такого,
что а/?|3, имеет место W(A', P) = f.
2.6. Если Ff— К-выражение Зх%'(х), то W(F', o) = a»
тогда и только тогда, когда существует je^fa) такое,
что W (%'&), a) = w.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДЛЛЬН. И ИПТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИК!! 375
2.7. Если F' — F-выражение Vx%'{x), то W(F', а) = щ>
тогда и только тогда, когда для каждого- р е М та-
такого, что а/?р, и каждого ?е У(р) имеет место
W (%'&), р)=ш.
Очевидно, что W(Ff, а) полностью определено пра-
правилами 2.1—2.7, которые получаются непосредственно
из погружения интуиционистского исчисления предика-
предикатов в систему 54' и из свойств 54*-модели.
Если F — формула интуиционистской логики преди-
предикатов, то пусть F' — то К-выражение, которое полу-
получается из F, когда каждая входящая в F свободная
предметная переменная а заменяется именем элемента
W(a) из [J V (а). Тогда мы полагаем, по определению,
а<=М
что W{F, a) = W(F', а) для аеМ.
Этим устанавливается истинностное значение W(F, a)
каждой формулы в модели (М, R, V, W) для каждого
Индукцией по длине ^-выражения F' непосред-
непосредственно доказывается: из W(F', a) = w и <х/?р следует
W(F', $) = w. По определению W(F, а) отсюда для
каждой формулы F получается
Теорема 14.1. Из W(F, a) = w и а/?р следует
W(F, р) = а;.
Ограничение (MQ, Ro, VQ, Wo) модели (М, R, V, W)
непустым подмножеством Мо из М мы определяем сле-
следующим образом:
V(a), W0(P, a,) = W(P, a)
для всех а0, рое ^о и каждой элементарной формулы Р.
Если (М, R, V, W) — модель и Мо — непустое подмно-
подмножество множества М, то очевидно, что (MQ, Ro, Vo, WQ)
также есть модель. Если Мо обладает тем свойством,
что из а е Мо, р е М и а/?р следует р е Мо, то мы
называем (MQ, Ro, Vo, Wo) хвостовым ограничением
(М, R, V, W). Из этого определения непосредственно
вытекает
Теорема 14.2. Если (MQ, RQ, Vo, WQ) — хвостовое
ограничение модели (М, R, V, W), то для каждой
формулы F и каждого элемента а е Мо справедливо
W0(F, a)=W{F, a).
376 . К. ШЮТТЕ
;. Однако при п ро и з во л ьн ых ограничениях истин-
истинностное значение W0(F, а) составной формулы F может
быть и отличным от W (F, а).
Семантическая общезначимость определяется соот-
соответственно тому, как в § 2:
Модель (М, R, V, W) называется допустимой для фор-
формулы F, когда W(a)e V(a) для каждой входящей в F
свободной предметной переменной а и каждого aeAf.
Формула F называется истинной в модели, если эта мо-
модель допустима для F и W(F, a) = w для всех а е Af.
Формула F называется (интуиционистски) общезна-
общезначимой^ если она истинна в каждой допустимой для F
модели.
Из теоремы о корректности и теоремы о полноте
для системы SA* следует (на основании погружения IL
в систему S4')
Теорема 14.3. Формула F выводима в системе IL
интуиционистской логики предикатов тогда и только
тогда, когда она (интуиционистски) общезначима.
Теорему о полноте для системы IL (так же,, как
для систем ЛГ и S4*) можно следующим образом усиг
лить на основе доказательства, приведенного в § 4.
Мы будем называть модель допустимой для мно-
множества формул, если она допустима для каждой фор-
формулы этого множества. Мы.будем называть множество
формул М интуиционистской логики предикатов выпол-
йимым, если существуют допустимая для М модель
(М, R, V, W) и а0 е М такие, что для всех FeM спра-
справедливо W(F, ao) = ffi>. Множество формул. М мы назы-
называем противоречивым, если существуют У7!, ..., FB.e,JVl
такие^ что секвенция . ¦ ...-,,
. . ¦ ' " ' Fu ..., Fnh- ¦
выводима в системе /L.
По теоремам 12.2 и 13.1 это имеет место тогда й
только тогда, когда формула
• пл v ... v 1?«. ,-. . -, .V'
выводима ,в. сцстеме. 54'.. Обозначим,ч,ёрез;.Ml м.нрке-
ство формул) ^.,при /'е.М. Так^как систем,ы( ^41 }\ $$
эквивалентны, то получается,..что,. ииоже<гтво..[формул(]|]»)[
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ¦ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 377
тогда и только тогда противоречиво, когда' Множество М
является 54*-противоречивым.
В силу § 4 для каждого (не более чем счетного)
S4"-HenpoTHBope4HBoro множества М имеются допусти-
допустимая. 54*-модель (М, R, V, W) и аэе М такие, что
W(F, ao) = w справедливо для всех Fe M. Таким обра-
образом, мы получаем допустимую для М модель.(М, R, V, W)
Такую, что W (F, аэ) = w для всех feM.
Итак, справедливо следующее усиление теоремы
о полноте. • ¦ ¦ . ..
Теорема 14.4. Каждое (не более чем счетное) не-
непротиворечивое множество формул интуиционистской
логики предикатов выполнимо.
Отсюда следует
Теорема 14.5. Если каждое конечное подмноже-
подмножество (не более чем счетного) множества формул М
интуиционистской логики предикатов выполнимо, то
множество М выполнимо.
Доказательство. Предположим, что М проти-
противоречиво. Тогда существуют Fv, ..., Fn<='M такие, что
секвенция Fu ..., Fn\- выводима в 1L. В этом случае
и формула "i^ Л ••• Л Fn) также выводима в IL и,
следовательно, по теореме 14.3 общезначима. Таким
образом, получается, что конечное подмножество
{Fh ..., Fn\ множества М невыполнимо. Из предполо-
предположения нашей теоремы вытекает, следовательно, что М
Непротиворечиво и, значит, по теореме 14.4 выполнимо.
: Под древовидной моделью (/, V, W) мы понимаем
т*акую модель (/, '=<:, V, W), что / — дерево индексов,
а <1 — определенное в § 8 рефлексивное .и транзитив-
транзитивное отношение на /. Из доказательства теоремы о пол-
полноте для системы S4', приведенного в §§ 9 и 10, следует
Теорема 14.6. Для каждой формулы F, невыво-
невыводимой в. интуиционистском исчислении предикатов,
существует допустимая древовидная модель (t, V, W)
такая, что W (F, о) = /.
Такую древовидную модель можно выбрать таким
отразом^чтобы V(a) для каждого as/ было множе-
ембм','свобЪдных предметных Переменных и W(a)^=-a
было стфа'в'ё'ДПийо для¦ каждой входящей в /•",..свобод»
йЪй fekto'беременной !av ': •"¦ ¦> .•:; •¦ . ¦-.:.¦.,¦
378 К. ШЮТТЕ
§ 15. Модели интуиционистской логики
высказываний
Модель (М, R, W) интуиционистской логики выска-
высказываний определяется подобно модели (М, R, V, W)
интуиционистской логики предикатов. В случае логики
высказываний выпадает функция V, так как здесь нет
предметных переменных.
Мы говорим о модели (М, R, W) для формулы F,
когда W (v, а) определено только для пропозициональных
переменных v, входящих в F (на всех местах аеМ).
Этого достаточно для вычисления истинностного зна-
значения W(F, а) пропозициональной формулы F.
В этом параграфе мы приводим простое прямое до-
доказательство теоремы о полноте интуиционистской
логики высказываний, которое опирается только на
конечные древовидные модели.
Ниже мы будем обозначать маленькими греческими
буквами конечные (возможно, пустые) множества фор-
формул исчисления высказываний. Символ JL мы будем
применять как обозначение формулы vQ Л ®о> где
vQ — некоторая выделенная пропозициональная пере-
переменная, а—>р обозначает формулу Л, Л ••• f\Am->
->В, V-..V Вп, когда а={А1 Ат) ир={В1 Вп),
BiV-'-VBn, когда а пусто и P={Bi Вп],
Л1А ¦ •¦ ЛАт-+±, когда а= [Alt .... Ат\ и р пусто,
JL, когда аир оба пусты.
При этом порядок формул в множествах а и {$ не-
несуществен.
Обозначим через T(F) ') конечное множество всех
подформул формулы F логики высказываний. Это мно-
множество формул индуктивно определяется следующим
образом:
1. Формула F принадлежит множеству T{F).
2. Если формула ~]А принадлежит T(F), то и А
принадлежит T(F).
3. Если формула А Л В, А\/В или А-*В при-
принадлежит T(F), то формулы А, В также принадле-
принадлежат T(F).
Упорядоченная пара (а, р) подмножеств а, р мно-
множества T(F) называется (интуиционистски) непротиво-
') От немецкого Teilformel (подформула). — Прим. ред.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ШГОИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 379
речивой, если формула а->р не выводима интуицио-
интуиционистски. Очевидно, что в этом случае пересечение а(">Р
пусто. Пару (a, Р) будем называть F-полной, если
объединение множеств aUP равно Т(F). Пару множеств
(а*, р*) мы будем называть расширением (а, р), если
а ^ а* и р s fT. Для каждой формулы С справедлива
следующая
Лемма 1. Если (а, р) непротиворечива, то непро-
непротиворечива также одна из пар (а\]{С}, р) или (a, pU
U {С}).
Доказательство от противного. Если (a, p(J{С})
и (aU {С}, р) противоречивы, то формулы
интуиционистски выводимы. Из обеих этих формул
можно в интуиционистском исчислении высказываний
вывести формулу а-»р. В таком случае и пара (а, р)
противоречива.
Из леммы 1 непосредственно следует
Лемма 2. Каждую непротиворечивую пару (а, Р)
подмножеств множества T(F) можно расширить до
F-полной непротиворечивой пары множеств.
Если aeT(F) и T(F)\a обозначает множество тех
подформул F, которые не принадлежат а, то (a, T(F) \ а)
является F-полной парой множеств. Мы будем назы-
называть a P'-выделенным, если /-"-полная пара множеств
(a, T(F)\a) непротиворечива. U (F) обозначает мно-
множество всех F-выделенных подмножеств множества
T(F).
Лемма 3. Множество U (F) непустое.
Доказательство. Для пустого множества спра-
справедливо следующее: пара @, 0) непротиворечива, так
как формула Л не выводима интуиционистски. Исполь-
Используя лемму 2, получаем, что существует F-полная
непротиворечивая пара множеств (а, р). Это дает
а е= U (F).
Если множество Р состоит из одной только фор-
формулы С, то мы будем писать а->С вместо а->Р или
а-* {С}.
Лемма 4. Формула СеГ(?) принадлежит F-вы-
деленному множеству а тогда и только тогда, когда
формула а—*-С интуиционистски выводима.
380 • • • К. шютте
Доказательство. Для каждой формулы Се а
формула а-* С тривиально выводима интуиционистски.
Если С фа, то мы имеем Се T{F)\a, и так как пара
(a, T(F)\a) непротиворечива, то непротиворечива и
пара (а, {С}). Тогда а->С невыводима интуицио-
интуиционистски.
Определение выделенной модели (U (F), s, W): для
каждой пропозициональной переменной v^T(F) и ка-
каждого множества aeC/ (F) положим . ,
{w,
если pea,
если v ф. а.
Таким образом, получена модель для формулы F,
так как множество U (F) непустое, ^ — рефлексивное
и транзитивное отношение на U (F) и по определению
справедливо, что
W(v, a) = w, a<
Эта выделенная модель обладает следующим свой-
свойством:
Лемма 5. Для С es T (F) и aet/(f) имеем
W(C, a) = ay тогда « только тогда, когда Се а.
Доказательство проводим индукцией по длине
формулы С. .
1. С — пропозициональная переменная. Тогда сде-
сделанное утверждение справедливо по определению вы-
выделенной модели.
2. С — формула ~\Л. По лемме 4~\Аф.а тогда и
только тогда, когда а-+~\А невыводима интуиционист-
интуиционистски. Очевидно,; что это имеет место, тогда и только
тогда, когда невыводима интуиционистски формула
aUM)-* и> следовательно, пара (at) {Л},- 0) непроти-
непротиворечива.; В этом (и только в этом) случае по лемме 2
существует р е U (F) такое, что a ^ p и Лер. Таким
образом, имеем ¦.-.,/.
А <? аф^>Ае р для некоторого [5(=[/(F) при а^р
<=}W (А, Р) = до для этого fb(no предполо-
.... , . жению индукции)
А, а) = / (по определению W).
Тем.сдмымс^равед^иватакже
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 381
3. С — формула А А В. Тогда имеем, что
А А Веаф^а—*¦ А Д В интуиционистски
выводима (по
лемме 4)
4Фа->Л и а->5 интуиционистски
выводимы
4ФЛеа и Вео (по лемме 4)
ф^ W (А, а) = W (В, а) = w (по предположе-
предположению индукции)
€$W{A А В, a) = w (по определе-
определению W).
4. С — формула Л VS. Тогда имеем, что
А V В^ аффа-> A U В интуиционистски выводима
(по лемме 4)
(а, {А, В]) противоречиво.
Вследствие того, что A, B^T(F) и aGl/(f), это
имеет место тогда и только тогда, когда А или В при-
принадлежит а. Таким образом, справедливо
Л ев или Sea
а) = ш или W(B,a) = w
(по предположению индукции)
VS, а) = ш
(по определению №).
5. С — формула А—*¦ В. Тогда имеем, что
невыводим а интуиционистски
(по лемме 4)
{А}^В
невыводим а интуиционистски
иИ), [В])
непротиворечива.
В этом (и только в этом) случае по лемме 2 суще-
существует ре U(F)'такое, что asp, Ле0 и В^Р-
382 К. ШЮТТЕ
Следовательно, справедливо
Л—>Веа#фЛ(=р нВ^Р для некоторого B^U(F)
при а s P
р) = ш и Г (В, P) = f для этого р
(по предположению индукции)
(по определению U
Таким образом, справедливо также
>В, а) = до.
Теорема 15.1. Если формула F невыводима ин-
интуиционистски, то F опровержима на выделенной мо-
модели (U(F), <=,W).
Доказательство. Если формула интуиционистски
невыводима, то пара множеств @, {F}) непротиворе-
непротиворечива. Тогда по лемме 2 существует а е U (F) такое,
что F&a, а для этого а по лемме 5 W(F, <z) = f.
Эта теорема содержит в себе следующую теорему
о полноте: если формула исчисления высказываний
истинна в каждой конечной модели интуиционистской
логики высказываний, то формула эта интуиционистски
выводима.
Теорема 15.1 приводит также к разрешающему алго-
алгорифму для интуиционистского исчисления высказываний
следующим путем:
Под модельным множеством для формулы F исчис-
исчисления высказываний мы понимаем любое множество
подмножеств конечного множества формул T(F). В част-
частности, U (F) — такое модельное множество. Обозначим
через [М{ Мп} конечное множество всех модельных
множеств для F. Мы определяем модели (Mit s, Wt)
(< = 1, ..., п), полагая
f до, если нео,
Wi(v, a)= , ,
1 v ' if, если v ф а,
для каждой пропозициональной переменной v и каждого
множества аеМ;. Одной из таких моделей является
выделенная модель формулы F. Из теоремы 15.1 и тео-
теоремы о полноте следует, что
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДЛЛЬН. И ИНТУИЦИОИИСТСК. ЛОГИКИ 383
Формула F тогда и только тогда интуиционистски
выводима, когда она справедлива в каждой модели
(М1г = , Wt).
Таким образом, мы получаем алгорифм, распознаю-
распознающий выводимость формулы F, так как можно эффек-
эффективно устанавливать, справедлива или несправедлива F
в каждой модели из данного конечного множества.
Обобщение теоремы о полноте.
Теорему о полноте для интуиционистской логики
высказываний можно следующим образом распростра-
распространить на любые (также и бесконечные) множества формул.
Будем называть пару (а, Р) множеств формул а, Р
непротиворечивой, если не существует конечных под-
подмножеств а,)^а и posp, для которых формула а0—>$а
интуиционистски выводима. Пару множеств (а, (J) мы
будем называть интерпретируемой, если существуют
модель (М, R, W) я 1^ М такие, что
W (А, |) = ш для всех ^ея,
W(B, l) = f для всех Ве=р.
Из теоремы о корректности следует: каждая интер-
интерпретируемая пара (а, р) непротиворечива.
Справедливо также и обратное (обобщение теоремы
о полноте):
Теорема 15.2. Каждая непротиворечивая пара
(а, р) интерпретируема.
Эту теорему можно доказать следующим образом.
Подобно тому как это сделано в лемме 1, можно до-
доказать для любых множеств формул а, р и для каждой
формулы С следующие леммы:
Лемма У. Если пара (а, Р) непротиворечива, то не-
непротиворечива также {а\]{С}, Р) или (a, PU{C)).
Будем называть пару (a, P) максимально непротиво-
непротиворечивой, если она непротиворечива и aU Р — объедине-
объединение всех формул, которые можно построить из пропо-
пропозициональных переменных, входящих в а и р. Из
леммы V вытекает
Лемма 2'. Каждую непротиворечивую пару (а, р)
можно расширить до максимально непротиворечивой
пары множеств.
Пусть (а3, Ро) — данная непротиворечивая пара мно-
множеств, а (aI( P]) — максимально непротиворечивое
384 К. ШЮТТЕ
расширение пары (ао> Ро)- Тогда можно построить множе-
множество М множеств формул со следующими свойствами:
1. a,s Af.
2. Для каждого аеМ пара (а, а) непротиворечива
(здесь a — дополнение множества а).
3. Для каждого аеМ и для каждых двух фор-
формул В, В, для которых пара (a(JM}> {В}) непротиво-
непротиворечива, существует реМ такое, что a E р, Дери
В<?р. •
Теперь определим модель (AT, s, W), полагая, что
для каждой лропозициональной переменной и и каждого
а(= М тогда и только тогда W (о, а) = w, когда о е а.
Для этой модели можно доказать по аналогии с лем-
леммой 5, что для каждой формулы С н каждого аеМ
справедливо W(C, a) = w тогда и только тогда, когда
Се а. •
Отсюда следует, что W (A, at) = w для всех А е аа
и W(B, a,) = f для всех Вер0. Таким образом, тео-
теорема 15.2 доказана.
Из теоремы о корректности и теоремы 15.2 следует
Теорема 15.3 (теорема о компактности).
Если пара (а0, р0) интерпретируема для всех конечных
подмножеств а0Еа и р0 S р, то (а, Р) интерпретируема.
§ 16. Интуиционистская истинность и выполнимость
формул
В изложенном ниже мы опираемся на выводимость
в интуиционистской логике предикатов и на определен-
определенные в § 14 модели этой логики. Согласно § 14 фор-
формула F называется истинной в модели (М, R, V, W),
если эта модель допустима для F и W(F, а) = да для
всех аеМ,
Формула, называется общезначимой, если она ис-
истинна в каждой допустимой модели.
Теперь мы даем следующее определение:
Формула F называется выполнимой в модели (М,
R, V, W), если эта модель допустима для F и сущест-
существует aoe M такое, что W(F, aa) = w. Формула назы-
называется выполнимой, если существует модель, в которой
она выполнима. '' ' "
Теорема '16.1. Формула F выполнима тогда . и
только тогда; когда формула \F невыводима.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 385
Доказательство.
1. Пусть ~]F невыводнма. Тогда по теореме о. пол-
полноте существуют допустимая модель (М, R, V, W) и
аеМ такие, что W{~\F, a) = f. Тогда существует р^ЛТ
такое, что а/ф и W(F, Р) = ву. Следовательно, F вы-
выполнима.
2. Пусть F выполнима. Тогда существуют допусти-
допустимая модель (М, R, V, W) и аеЛТ такие, что W(F, a)=w.
Отсюда следует, что W(~\F, a) = f. Таким образом,
формула ~\F не общезначима, и следовательно, невы-
водима.
Теорема 16.2. Для каждой выполнимой формулы F
существует модель, в которой F истинна.
.. Доказательство. Пусть F выполнима в модели
(М, R, V, W). Тогда существует a0 e M такое, что
W(F, aj) = w. Обозначим через Мо множество тех ffeAf,
для которых ао/?р. Ограничение (Мо, Ro, Vo, Wo) модели
(М, R, V, W) на Мй является хвостовым ограничением.
По теоремам 14.1 и 14.2 формула F истинна в модели
(Мо, Яо, Vo, Wu).
В интуиционистской логике предикатов есть. еще
одно основное семантическое понятие, промежуточное
между выполнимостью и общезначимостью. Мы вводим
определение:
Формула F. называется оЩщевыполнимой, если она
выполнима в каждой допустимой для F модели.
Теорема 16.3. Формула F общевш<щцша тогда
и только тогда, когда выводима формула "ЙП/7-
Доказательство. 1. Пусть ~] ~]F невыводим а.
Тогда по теоремам 16.1 и 16.2 существует модель,
в которой ~]F истинна. В этой допустимой для F мо-
модели F невыполнима. Следовательно, F не является
общевыполнимой.
2. Пусть F не является общевыполнимой. Тогда
существует допустимая для F модель, в которой F не-
невыполнима. В этой модели ~]F истинна, а ~]~\F не-
невыполнима. Следовательно, ~~}~]F не общезначима и
ыевыводима.
Теорема 16.4. Каждая обще выполнимая формула
вида ~]F общезначима.
Доказательство. Если ~\F обшевыполнима, то
по теореме 16.3 формула ~\~]~\F выводима. Тогда
386 К. ШЮТТЕ
выводима и формула "IF, которая, следовательно, обще-
общезначима.
Рассмотрим теперь следующие свойства конечности:
модель (М, R, V, W) мы назовем конечной, если М — ко-
конечное множество. Формула называется конечно выпол-
выполнимой, если она выполнима в конечной модели. Фор-
Формула называется конечно общевыполнимой (соответст-
(соответственно конечно общезначимой), если она выполнима
(соответственно общезначима) в каждой допустимой
конечной модели.
Связь между этими семантическими понятиями и
соответствующими понятиями классической логики пре-
предикатов выясняется из приводимых ниже лемм. Мы
говорим, что р е М является последним элементом мо-
модели (М, R, V, W), если для всех аеМиз р/?а следует
также аЩЬ.
Лемма 1. В конечной модели (ЛТ, R, V, W) для
каждого аеМ существует последний элемент р такой,
что а#р.
Доказательство проводим индукцией по числу
элементов М. Если само а — не последний элемент, то
существует такой элемент V е М, что aRy, но не yRa.
Тогда а Ф у и, по предположению индукции, в М — {а}
существует последний элемент р такой, что yRfi. Это
§ — последний элемент множества М такой, что а#р.
Лемма 2. Если (ЛТ, R, V, W) — модель с последним
элементом а и W* (А) = W (А, а) для каждой формулы А,
то W* задает модель классической логики предикатов
с индивидной областью V(a).
Доказательство этой леммы тривиально.
Теорема 16.5. Формула F конечно выполнима
тогда и только тогда, когда она рыполнима в класси-
классической логике предикатов.
Доказательство. 1. Пусть F выполнима в клас-
классической модели с индивидной областью В. Классическая
модель дает допустимую для F модель ({о}, R, V, W),
где 1/(о) = ? и W{F, 6) = w. Таким образом, F конечно
выполнима.
2. Пусть F выполнима в конечной модели (М, R,
V, W). Тогда существует аеЛТ такой, что W{F, a) = w.
По лемме 1 эта модель имеет последний элемент р
такой, что а#р. По теореме 14.1 имеем также W[F, р)=ву.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 387
С учетом леммы 2 отсюда следует, что F выполнима
в классической логике предикатоз.
Теорема 16.6. Формула F конечно общевыпплнима
тогда и только тогда, когда она общезначима в клас-
классической логике предикатов.
Доказательство.
1. Пусть F конечно общевыполнима. Тогда F, в част-
частности, имеет истинностное значение w в каждой модели
классической логики предикатов. Таким образом,
F классически общезначима.
2. Пусть F классически общезначима. Пусть (М, R,
V, W) — допустимая для F конечная модель. По лемме 1
эта модель имеет последний элемент а. С учетом леммы 2
отсюда следует, что W(F, a) = w. Таким образом, F ко-
конечно общевыполнима.
Примеры. Ниже v обозначает некоторую пропози-
пропозициональную переменную, ар — некоторую одноместную
предикатную переменную.
1. Формула
A) oV"|o
общевыполнима, но не конечно общезначима.
Доказательство.
1.1. Пусть {М, R, V, W) — какая-либо модель. Пред-
Предположим, что W(v\/~]v, a) = / для aeAf. Тогда
W (~~}v, a) = f и существует реМ такое, что aRfi и
W(v, р)==ву. Отсюда W(v V It), р) = ву. Таким образом,
формула A) общевыполнима.
1.2. Обозначим через (J, W) древовидную модель:
/={0, 1), W(v,o) = f и W(v, 1) = ау, Тогда W(lv,o)=f
и W (и V ~\v, o) = f. Следовательно, формула A) не
является конечно общезначимой.
2. Формула
B) Vx-\lp(x)-+-\D/xp(x)
конечно общезначима, но не общевыполнима.
Доказательство.
2.1. Пусть (М, R, V, IF) —конечная модель. Предпо-
Предположим, что для aeAf имеет место W (Ух ~] ~] р {х) ->
-» ~1 ~]У/хр(х), а) = f. Тогда существует реМ та^ое,
что a/$, W(Vx~\lp(x), р) = ш и W A 1 Vxp(x), p) = /.
388 К. ШЮТТЕ
Следовательно, существует у^М такое, что ру
W (П \fxp{x), y) = w. По лемме 1 эга модель имеет, по-
последний элемент б такой, что yRb. Для него W (\fxp(x), b)—f
и W(\/x ~]~]p(x), 6) = да (так как QR6), но это противо-
противоречит лемме 2. Таким образом, формула B) конечно
общезначима.
2.2. Обозначим через N множество натуральных
чисел. Для п е N пусть V(п) — множество натуральных
чисел <^л и W (р, п) — множество натуральных чисел
< п. Тогда W{p, n)czV(n) и для т < п имеем V(m)a
а V (п) и W (p, m) a W (р, п). Таким образом, (N, <,
V, W) — модель. Для /, k, m, «e N при i^.tn^.n и
4е К (л) имеем As W (р, п-\- 1), следовательно, W (p(k),
n-f 1)=ву. Отсюда следует, что W(~\p(k), n) — f. Так как
это справедливо для всех п ^ т, то W (^ ~\p(k), m) = w..
Так как это справедливо для всех /и^( и ieK(m),
то W(Vx ~] ~\p(x), i)=w. Для всех г<? имеем k&W(p, k);
следовательно, W(p{k), k) = f. Так как fte V(k), то
W (Vxp{x), k) = f. Так как это справедливо для всех
к ^ /, то W (~1 Vx/? (х), г) = w. Отсюда следует, что
W(-\-\Vxp(х), г) = f. Вместе с W(Vx ~\ ~\ р(х), i) = w от-
отсюда следует, что W (Vjc Л1 р \х) -> 11 Vxp (x), i) = /
для всех i^N. Следовательно, формула B) не обще-
выполнима.
3. Пусть А обозначает формулу B). Тогда формула
C) AV 1A
общевыполнима и конечно общезначима, но не обще-
общезначима.
Доказательство.
3.1. Так же как в 1.1, получается, что формула C)
общевыполнима.
3.2. Так как в силу 2.1 формула А конечно обще-
общезначима, то и формула C) конечно общезначима.
3.3. Пусть Л' — множество натуральных чисел и
M = {o,*)\]N. Для а, реМ положим а/?Р тогда и
только тогда, когда или а = о, или а = Р = *, или а,
Ре N и а«^р. Определим модель (М, R, V, W) таким
образом, что W{А, п) при n^N определяется как в мо-
модели (N, <, V, W) п. 2.2. Тогда W (A, o) = f. Так как А
классически общезначима и * — последний элемент
модели (М, /?, V, W), то по лемме 2 W{A, *) = w. От-
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 389
сюда следует, что W(~] А, о) = /. и W (А у А, о) = /.
Следовательно,.формула C) не общезначима,
4. Формула
D) .
конечно общевыполнима, но не является ни конечно
общезначимой, ни общевыполнимой.
Доказательство.
4.1. Пусть. (М, R, V,, IF.)— конечная модель. По
лемме 1 она..имеет последний элемент а. Так как фор-
формула D) классически общезначима, то по лемме 2 от-
отсюда следует, что W (Чхр {х) V Эх ~~\ р {х), а) = w. Таким
образом, формула D) конечно общевыполнима.
4.2. Пусть (/, V, IF) —древовидная модель: / = {<>, .1},
V (о) = {а}, V A) = {а, Ь), W {р, о) = {а}. Тогда W (р (а), о)±=
= W(p(a), l) — w и, следовательно, W(~]p.(a), o) = f.
Так как К(о) = {а}, то W (Эх Л р(х), о) = /. Имеем
W(p(b), l) = f. Так как 6еКA), то W{Vxp{x), o) = f.
Отсюда получаем lF(V*p(x) V Эх ~! р{х), o) = f.
Таким образом, формула D) не конечно общезначима.
4.3. Пусть (IV, ^, V, W) — модель, приведенная
в п. 2.2. Для всех k^V(i) имеем k <= W(р, i +' 1) и> сле"
довательно, W(p(k), i+ 1) = ву и W(~lp(^), i) = f. Так как
это справедливо для всех k e F(i), то 1FC* ~l/° W> ') = f-
Имеем i&W(p,i), следовательно, W(p{i), i) = f. Так
как ieF(/), то IF(Ул:/?(х), i) = /. Отсюда получается,
что IF (Vx/? (л:) V Эх 1 /0 (х), /) = f для всех i s iV. Таким
образом, формула D) не общевыполнима.
5. Формула
E) -}\Гхр(х)Л~\Эх-\р(х)
выполнима, но не конечно выполнима.
Доказательство.
5.1. Пусть (N, <, V, W) —приведенная в 2.2 модель.
Для te=N цо.4.3 W(Vxp(x), i) = f и W (Эх ~]р(х),
i) — f. Следовательно, W(~] \fxp (х) Л ~1 Эх ~\ р (х),
0 = 8У. Таким образом, формула E) выполнима.
5.2. Формула E) невыполнима в классической логике
предикатов и, следовательно, по теореме 16.5 не ко-
конечно выполнима.
Резюме. Семантические основные понятия опре-
определяют следующие классы формул:
390 К. ШЮТТЕ
I. Общезначимые формулы.
Па. Конечно общезначимые формулы.
Пб. Общевыполнимые формулы.
III. Конечно общевыполнимые (классически обще-
общезначимые) формулы.
IV. Конечно выполнимые (классически выполнимые)
формулы.
V. Выполнимые формулы.
Классы Па и Пб, как показывают примеры 1 и 2,
не содержатся один в другом. Остальные же классы
формул каждый целиком содержится в следующем
за ним классе. Пример 3 дает формулу, которая одно-
одновременно принадлежит классам Па и Пб, но не классу I,
пример 4 — формулу класса III, которая не принадле-
принадлежит ни классу Па, ни классу Пб, и пример 5 — фор-
формулу класса V, которая не принадлежит классу IV.
Формула v представляет собой тривиальный пример
формулы класса IV, которая не принадлежит клас-
классу III.
Синтаксическая характеристика. Классы формул I,
Иб и III—V в силу теорем 14.3, 16.1, 16.3, 16.5 и 16.6
синтаксически характеризуются следующим образом.
Формула F принадлежит одному из этих классов фор-
формул тогда и только тогда, когда справедливо следую-
следующее:
I. F интуиционистски выводима,
Пб. ~*[~\F интуиционистски выводима,
III. F классически выводима,
IV. F классически невыводима,
V. 1 F интуиционистски невыводима.
Особый случай логики высказываний. Из тео-
теоремы 15.2 следует, что формула логики высказываний
тогда и только тогда общезначима (обшевыполнима
или выполнима), когда она конечно общезначима (ко-
(конечно общевыполнима или конечно выполнима). Таким
образом, в логике высказываний классы формул сли-
сливаются следующим образом:
I, Па: Общезначимые формулы
Пб, III: Общевыполнимые (классически общезначи-
общезначимые) формулы.
IV, V: Выполнимые (одновременно и классически
выполнимые) формулы.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 391
Глава VI. СЕМАНТИКА ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ
ПРЕДИКАТОВ ПО БЕТУ
§ 17. Модели Бета
В этом параграфе мы дадим определение моделей
по Э. В. Бету, которое дают иную семантическую
характеристику интуиционистской логики предикатов,
чем определенные по С. А. Крипке (в главе V) модели.
1. Пусть М — некоторое дерево индексов (см. § 8).
Для конечных числовых последовательностей мы будем
пользоваться теми же обозначениями, что и в § 8.
Цепью К s M назовем максимальное линейно упорядо-
упорядоченное подмножество множества М, т. е. подмножество
со следующими свойствами:
1.1. ое=/0
1.2. Если а^К и а — не конечная точка М, то
существует (а, п) е К-
1.3. Если аир принадлежат К, то a <J р или р<а.
2. Пусть N — непустое множество. N-выражение —
это знакосочетаиие, получающееся из формулы (интуи-
(интуиционистской логики предикатов), если каждую входящую
в нее свободную предметную переменную заменить
именем элемента из N. N-элементарное выражение —
знакосочетание, которое этим способом получается
из элементарной формулы.
3. Модель Бета (М, N, W) состоит из дерева ин-
индексов М, непустого множества N (индивидной области
модели) и функции W, которая определяет следующие
соответствия:
3.1. Каждой свободной предметной переменной а
ставится в соответствие элемент W (а) из N.
3.2. Каждому ^-элементарному выражению Р для
каждого аеМ ставится в соответствие истинностное
значение W(P, а) так, что справедливо следующее: если
W (Р, а) = /, то существует цепь К ? М такая, что
а е= К и W (P, k) = f для всех k e= К-
4. Моделью Бета (М, N, W) каждому /^-выраже-
/^-выражению F для каждого а е М ставится в соответствие
истинностное значение W(F, а). Значение W(P, а) для
каждого iV-элементарного выражения Р дается моделью.
Истинностные значения w или / составных ./V-выражений
индуктивно определяются следующим образом:
392 К. шютте
4.1. W (А Л В, a)=f тогда и только тогда, когда
W (А,- а) = f лли W(В, а) = /.
4.2. W(Vx%(x), a) = f тогда и только тогда, когда
имеется такое §е#, что W(?l(g), cc)=f. ; ¦¦ :
4.3. W (А -*¦ В, d) = f тогда и только тогда, когда
имеется р е Л1 такое, что а<Ср, W (Л, Р) — да и
r( ) f
f
4.4. W("l/1, а) = / тогда и только тогда, когда
имеется реЛТ такое, что а=^р и W(A, P) = a».
4.5. lF(AVfi»a) = f тогда и только тогда, когда
существует такая цепь ^?М, что a ?= К и №-(А &) =
= .№(В, ^) = / при всех fee/С.
'4.6. IF (Эл:51 (х), a) *= f тогда и только тогда, когда
существует такая цепь К, s Ж, что as/C и №(91(?), ^) = f
для всех %^ N и k^ К-
Моделью Бета (М, jV, IF) каждой формуле F для
каждого ae M следующим образом ставится в соот-
соответствие истинностное значение W(F, a). Пусть /•"' — то
iV-выражение, которое получается из формулы F, если
каждую входящую в нее свободную'предметную пере-
переменную а заменить именем элемента W (а) из N. Мы
тогда получаем по определению:
На основе этих определений индукцией по длине
формулы доказывается
Теорема 17.1. Если W (F, а) *— f, то существует такая
цепь К^М, что as/С и W{F, k) = f для всех k^K.
Теорема 17.2. Если W(F, a) = w и а<ре=ЛТ,
то и W(F, р) = ш.
Мы называем формулу F истинной в модели Бета
(M,'N, W), если W(F, a) = w для всех аеМ. Это имеет
место тогда и только тогда, когда W(F, o) = w.
Теорема 17.3 (теорема о корректности
для моделей Бета). Каждая формула, выводимая
в интуиционистском исчислении предикатов, истинна
в каждой модели Бета.
Доказательство. Мы исходим из формальной
системы IL § 11. Мы будем говорить, что секвенция S
опровержима в модели Бета (М, N, W), если существует
цепь К s M такая, что для каждой антецедентной фор-
формулы Л в Е существует а е К такая, что W(A', a) = w
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИПТУИЦИОПИСТСК. ЛОГИКИ 395:
и W(B, k)==f имее-с место для каждой сукцедентной
формулы В в 2 и всех & е/(. Легко доказать, что ;
1) ни одна аксиома формальной системы./X не опро-
опровержима в модели Б^та;
2) если заклоде.ние правила системы IL опровержимо
в некоторой модели Бета, то существует такая мо-
модель Бета, в которой опровержима посылка этого пра-
правила.
Индукцией по построению вывода доказывается, что
никакая выводимая секвенция не является опровержи-
опровержимой, в модели Б^та. Следовательно, если F — выводимая,
формула (т. е. если I— F — выводимая секвенция), .то
в модели Бета (М, М, W) не существует цеци К Щ М
такой, что W(F, k) = f для всех & е/С- Следорательно,
по теореме 17.1 выводимая формула F истинна в каждой
модели Бета. .
Различия., р смысле между моделями Бета и моде-
моделями Крипке.
Модели (Af, R, V, W), определенные в § 14 по Крипке,
и модели Бета (М, N, W) можно .интерпрэтировать
следующим образом. М — множество . ситуаций, для
которого имеется отнощение . возможности перехода
от одной ситуации к другой, а ^ р (или, более общо,
а/?р) означает, что ситуация а моЖет перейти в ситуа-
ситуацию p. W(F, a) = w выражает,, что в ситуации а уже
установлена истинность F. Истинность F сохраняется
тогда во всех, ситуациях, в которые может перейти а.
Наоборот, W(F, a) = / означает только то, что в ситуа-
ситуации а не установлена (или еще не установлена) истин-
истинность F. При этом а может переходить как в ситуации,
в которых эта неопределенность F сохраняется, так
и в ситуации, в которых F становится истинной. При
этом, однако, существует коренное различие между
моделями Крипке и моделями Бета. Цепь К. дерева
ситуаций М представляет возможное протекание ситуа-
ситуаций, которое или продолжается бесконечно или приводит
к окончательной ситуации. В модели Бета W(F, a)-=/
справедливо только тогда, когда существует такая
цепь К,, что aei( и W(F, k) — f для всех k е К, т. е.
если существует проходящее через ситуацию а протека-
протекание ситуаций, при котором F никогда не становится
истинной. Но в модели Крипке F может иметь в ситуации
394 К. шютте
а значение f и тем не менее становится в конце
концов истинной при каждом проходящем через а
протекании ситуаций. Эти различия в смысле истин-
истинностного значения f можно интерпретировать следую-
следующим образом.
В модели Бета ситуация, не являющаяся оконча-
окончательной, понимается как преходящая. Каждая ситуация,
для которой в модели Бета имеются возможные после-
последующие ситуации', должна через некоторый промежуток
времени перейти в одну из этих возможных последую-
последующих ситуаций, так что с течением времени какая-нибудь
цепь ситуаций будет пройдена целиком. W(F, a) = f
означает тогда возможность того, что никогда не будет
установлена истинность F, так как возможно соответ-
соответствующее протекание ситуаций через а. В отличие
от этого, в модели Крипке мы должны допустить воз-
возможность того, что данная ситуация не перейдет
ни в какую другую ситуацию, но сохранится на все
времена и в том случае, когда в модели.имеются сле-
следующие за ней ситуации. При таком понимании и для
моделей Крипке можно интерпретировать W(F, a) = /
как возможность того, что истинность F никогда не
будет установлена.
Дальнейшее различие между моделями Крипке н
моделями Бета состоит в характере нх индивидных
областей. Модель Бета (М, N, W) для всех ситуаций
использует одну и ту же индивидную область N.
В модели Крипке, наоборот, каждой ситуации а ставится
в соответствие особая индивидная область V (а). V(а)
следует понимать как множество таких предметов,
которые уже известны в ситуации а. Это множество
не может убывать, но может увеличиваться, если а
переходит в другую ситуацию.
Более простая структура, которой обладает модель
Бета в отношении индивидных областей, получается
в общем случае за счет более сложной структуры
множества ситуаций М. Для опровержения общезна-
общезначимости формулы в моделях Крипке удается большей
частью обойтись существенно более простыми множе-
множествами ситуаций, чем в моделях Бета. Так, например,
оказывается, что формула v V ~1 и опровержима уже
в очень простой модели Крипке, содержащей только
полные системы модальн. и интуиционистск. логики 395
две ситуации, тогда как соответствующая модель Бета
требует бесконечного множества ситуаций.
Еще одно преимущество моделей Крипке состоит
в том, что индуктивное определение истинностных зна-
значений здесь гораздо проще, чем в моделях Бета.
Наконец, следует отметить, что теорема о полноте
для моделей Крипке получается в §§ 9 и 10 в непо-
непосредственной связи с синтаксическим понятием выводи-
выводимости.
Что же касается объема множеств ситуаций и харак-
характера отношения следования, то между различными ви-
видами моделей нет глубоких различий. Ради простоты
модели Бета (М, N, W) были рассмотрены в этом пара-
параграфе только для деревьев индексов М. Их можно опре-
определить так же, как и модели Крипке, для любого мно-
множества ситуаций М при любом рефлексивном и
транзитивном отношении R.
§ 18. Преобразование древовидной модели в модель
Бета
Мы изложим здесь общий способ, которым древовид-
древовидная модель (М, V, W) в смысле Крипке (см. § 14) пре-
преобразуется в соответствующую модель Бета (Mr, N, W')
так, что каждая формула, опровержимая в этой древо-
древовидной модели, будет опровержима и в соответствующей
модели Бета. При этом теорема о полноте для моделей
Бета получается из соответствующей теоремы 14.6 для
древовидных моделей.
В дальнейшем изложении а, р, Y. б'обозначают
конечные последовательности чисел (включая пустую
последовательность о). Для определения модели Бета
(М\ М, W) используем следующие определения и леммы.
1. Индуктивное определение длины /й последова-
последовательности чисел а.
1
1
2
.1. /о = 0.
.2. /(а, «) = /«-}-
. Индуктивное
чисел а".
2
2
= (/<
.1. а° = о.
.2. Если 1 ^ «г
!l К).
¦ 1.
определение
^/а и (* = (&!,
последовательности
..., *ш), то art =
396 .. .. ...... ... . К, ШЮТТЕ ...
2.3. Если /а<п, то a"+I = (a", 1)..,
Л е м м а 1. ,....,'.. . .
A) 1ап = п.
B) m </г =# am < a".
C; агй == а. • '
D) /а<«фа<а". .
E) «</а, а < р =ф а" = р".
Доказательство. Эта лемма вытекает непосред-
непосредственно из определения а!1.
3. Индуктивное определение функции q>.
3.1. ф(о) = о.
3.2. Ф((а, 1)) = ф(а).
3.3. Ф((а, п+1)) = (Ф(а), п.).
Лемма 2. о<РФф(а)<ф(Р).
Доказательство проводится индукцией по /р.
Для а = р это утверждение тривиально. Если а<Р,
то имеем р = (y, «) Для некоторого у такого, что a ^ y>
По предположению индукции ф(а)=^ф(у) и на основа-
основании 3.2 и 3.3 ф(Р) = ф(у) или Ф(Р) = (ф(у)> п—1); сле-
следовательно, в любом случае Ф(у)^ф(Р)- Поэтому
ф(а)<ф(Р).
Лемма. 3. Если ф(иХу> та имеется, такое р, что
а < р и Ф (Р) = v ¦
Доказательство проводится индукцией по 1у.
Если ф(а) = у. то это утверждение выполняется при
Р==а. Если Ф(a)-<Y. то имеем y = (Yi>")> причем
ф(a)^YI• По предположению индукции тогда суще-
существует р, при а<Р, и ф (Pi) == Yi- Для р —(Р,, n+1)
отсюда следует, a < Pi и ф(Р) = (ф(Р1), п) = у.
Лемма 4. /а^п =#¦ ф(art) = ф(а).
Доказательство проводится индукцией по п.
Для п--=Ы имеем a" —a; следовательно, ф(а") = ф(а).
Для п > /а имеем а" = (а", 1) и, по предположе-
предположению индукции, ф(ап~') = ф(а); следовательно, ф(а'1) =
= ф(ая-1) = ф(а).
Лемма 5. ф (а") < ф (а).
Доказательство. Для п < la имеем а" << а, сле-
следовательно, по лемме 2 ф(а")<ф(а). Для n^la по
лемме 4 ф(а") = ф(а).
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 307
Предположения.'
Пусть М — дерево индексов; (М, V, W) — древовид-
древовидная модель.
Через N обозначаем множество всех натуральных
чисел, через h — обратимое отображение множества
N X N всех пар чисел на множество N с обратными
отображениями f и g такими, что для любых т, n^N
справедливо
f.(h(m, я))«?/п, g{h(m, n)) = n, h(f(n),g(n)) = n.
4. Определения М', /С (а), 0, в
4.1. М' = {а: ф(а)е=М}.
4.2. К(а) = {ап: n<=N].
4.3. Для asM' пусть 0(а) — некоторое отображе-
отображение N на V((f(a)); следовательно, {8 (а, я): neJV) =
К(())
4.4. Для всех ае М' и n^N пусть G(a, л) =
е('<\ ())
Лемма 6. М' — дерево индексов.
Доказательство. 1) Из q> (о) t= о g= M следует
2) Если (а, ОеЛГ, то ф(а) = ф((а, 1))е М\ следо-:
вательно, а^М'.
3) Если (а,2)€=М', то (Ф(а), 1) = ф((а, 2)) е Af.
Тдгда также и ф((а, 1)) = ф(а)е М и, следовательно,
(а, 1)еМ'.
4) Если (а, л+2)?=ЛГ, то (ф(а), л+1) = ф((а, я+2))е
g= Af. Тогда также ф ((а, п + 1)) = (ф (а), я) е М и, следо-
следовательно, (a, n+l)sM', Таким образом, для множе-
множества М' доказаны свойства дерева индексов.
Лемма 7. Для всех аеМ' К (а) — цепь дерева М',
причем а е= /((а).
Доказательство. По лемме 5 ф(а") =^ф(а). Из
аеЛГ поэтому следует ф(а)еМ, ф(а")е-М и а^^Л!'.
В остальном сделанное утверждение вытекает из леммы 1.
Лемма 8. Для аеМ' и пе± N имеем в (а, п) е
(Ф())
Доказательство. По определению 0 имеем
G(a, л)е У(ф(af<">))• По лемме 5 ф(а'<">)<ф(а); следо-
следовательно, V((f(ann))) s У(ф(а)). Таким образом, 6(a, /z)e
К. шютте
Лемма 9. Если а < Р е М' и f (n) ^ la, то © (а, /г) =
в(р)
р)
Доказательство. По E) леммы 1 p
Отсюда но определению 0 следует 0 (а, п) = 0 (JS, /г).
5. Определение W
5.1. Если а — свободная предметная переменная,
причем W{a)<^ V{o), то существует наименьшее число па,
для которого G (о, иа) = W (а). Тогда положим W' (a) =
= h(Q,na). Если же а — другая свободная предметная
переменная, то пусть W'(a) — любое фиксированное на-
натуральное число.
5.2. Если v — пропозициональная переменная яае М',
го пусть W' (v, a) = W (v, qp (a».
5.3. Пусть р — это /г-местная предикатная переменная;
пусть mi, •••> nin^-N и aeM'. Положим WOt?^, ...
..., mn), а) = /, если существует такое р е Л47, что a < р,
f(/nftX/p для всех /г=1,...,/г и @(р, т.), ...
..., в(Р, т„» ^ W(p, ф(Р)). В противном случае мы при-
принимаем, что W'{p{m,i mn), a) — w.
Лемма 10 (М', N, W) есть модель Бета.
Доказательство. По лемме 6 М' — дерево ин-
индексов. Для каждой свободной предметной переменной a
определено W(a)<^N. Нам нужно еще показать: если
аеМ' и Р — N -элементарное выражение, причем
W (Р, а) = /, то существует такая цепь /С^ЛГ, что
а е= К и W (P, k) = / для всех k <= К.
1) Пусть Р — пропозициональная переменная о. По
лемме 7 /С(а) — цепь дерева М', причем, as К, (а). Так
как Г'(Р, a) = f, то W(P, q>(<*)) = /. По лемме 5 f(a")<
^ф(а), следовательно, также и W(Р, ф (а").) = / и
W{P,a.n) = f. Отсюда следует, что W'{P,k.) = f для
всех йе/С(а).
2) Пусть Р — ./V-выражение р (пги ..., Шк) с ft-местной
предикатной переменной р, и ти ..., m.^^.N.
Так как IF7 (Я, а) = /, то существует р е М7 такое,
что a<p, f(mt)^l$ для всех г = 1, ..., к и @(р, mi), ...
..., 0(р, mk))?W{p, ф(Р)).
По лемме 7 /С(Р) — Цепь дерева Ж7, причем Ре/((р).
Так как a < р, то и а е= К, (Р). Для каждого a^N имеем
й = тах[«, /р] е JV, причем /р.^/1 и Р < Р". По лемме 4
<р(Рй) = <р(Р) и по лемме 9 0(Р, яг/) = 0(('ря), пц). Следо-
Следовательно, @((ря), пц) @((ря), mh))&W(p, ф(Ря)). Так
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 399
как Р"<0яе= М' и f (тг)</рд (i = 1 k), то, по опре-
определению, отсюда следует \7'{р{щ mkj, Р") = / и,
таким образом, W (Р, k) = f для всех &е^С(р).
Лемма 11. Для каждой свободной предметной
переменной а из М(а)е V(о) ы аеМ' следует
в (а, 1Г'(а)) = Г(а).
Доказательство. По определению W имеем
W"(a) = ft@, raj. причем G (о, па) = W (а). Поэтому
0 (а, Г») = 9 (а0, яв) = W (а).
6. Обозначения
6.1. Если У7 — Ж-выражение и аеЛГ, то через Fa
мы обозначим то У-выражение, которое получается из F,
ес-ди каждое входящее в него натуральное число п заме-
заменить именем элемента в (и, п) из V (ф (а)).
6.2. Мы будем называть ^-выражение F а-ограни-
неиным, если для каждого входящего в F натурального
числа п справедливо f(n)t^.la.
Лемма 12. Если я<РеМ' и F — а-ограниченное
N-выражение, то F также и ^-ограничено и Fa=Fp.
Доказательство. Таккака^р, то./е^/р. По-
Поэтому F также и р-ограничено, если оно а-ограничено.
Тогда но лемме 9 0 (а, п) = 0 (р, «) для каждого входя-
входящего в F натурального числа п; следовательно, Fa^Fp.
Теорема 18.4. Если «е М' и F — а-ограниченное
Ы-вырщкенше, то W'{F, a) = W(Fa, q>(«)).
Доказательство приведим индукцией по дли-
длине F.
1. Пусть F—пропозициональная переменная о. Тогда
и Fa-^f и W'(v, a) = W(v, ф(«)) по определению W.
2. Пусть F «сть Л^-выражение р(щ, .-., шп) с я-ме-
стной предикатном неременной р и >щ, ..., пгп^ N.
2.1. Пусть IF7(p(mi, ..., ш„), ,a) = f. Тогда существует
такое ^еГ, что а<р и @^, т,), ..., 0(Р, тп)\\ф
(? W(p, ф(Р)); следовательно, W(F&, xp(§)) = .f. По лемме 12
Fa^Fp и по лемм-е 2 ф(аК-ф(Р)' Поэтому и ^(^а,
2.2. Пусть И? (Fa, ф (а)) = /. Тогда (в-(а, тд, ¦ ¦ -.
..., 6(о, тп)) ф W(р, ф(а)). Так как F есть а-ограничен-
а-ограниченное ./У^выр-ажение, то справедливо f(mfe'Xto для всех
k=l, ..., и. По опрзделелию W отсюда следует,
что W (p (mj тп), а) = f.
400 ¦ К. ШЮТТЕ
3. Пусть F — Л^-выражение А А В. В этом случае
W'{F, a) — f тогда и только тогда, когда W {A, a) = f
или W' (В, а) — f. На основании предположения индукции
это имеет место тогда и только тогда, когда W (Аа, ф (а))=/
или W(Ba, q>(a)) = f, т. е. когда W (Fa, q>(a))=/.
4. Пусть F — ЛГ-выражение Л V В.
4.1. Пусть W (А V В, а) = f. Тогда W (А, а) =
— W(B, a) = f. Отсюда, по предположению индук-
индукции, W(Аа, ф (a)) = W (Ва, ф (а)) = / и, следовательно,
W(Fa, q>(a)) = f.
4.2. Пусть W(Fa,<f(a)) = f. Тогда W(Aa,q>(a)) =
= W(Ba, ф(а)) = /. Для всех n^la имеем а^а", по
лемме 4 ф(а") = ф(а), по лемме 12 Fas=Fan и F также
а"-ограничено. Следовательно, W (Аап, ф (a")) = W (Вап,
ф(a")) = f и, по предположению индукции, W'(А, а") =
= W'(В, а") = /'для всех n^la. Отсюда получаем, что
W (Л, k) = W (В, k) = f для всех k s /С (а). По лемме 7
/С (а) — цепь дерева М' и ae/((a). Следовательно,
W'(AV B,a) = f.
5. Пусть F есть Л^-выражение А-^В.
5.1. Пусть W(A -+В, a) = f. Тогда существует такое
РеС что а<р, Г'(Л, Р) = ш и r'(S, P) = f. По
лемме 12 F также ^-ограничено и Fa^F^. На осно-
основании предположения индукции отсюда следует, что
W(Aa,<ttf)) = w и W(Ba, p) = /. Ввиду Ф(а)<ф(р) (по
лемме 2) отсюда следует, что W (Fa, ф (a)) = f.
5.2. Пусть \F (Fa, ф (а)) = f. Тогда существует такое
у^М, что ф(a)<Y, W(Aa,y) = w и Г(В„, v) = f- По
лемме 3 существует такое реМ', что а<Р и ф(Р) = 7'
По лемме 12 F. также р-ограничено и Fa^F^. Следо-
Следовательно, мы имеем W(Лр, ф(Р)) = ьу, №(ВЭ, ФО)) = f
и, по предположению индукции, №'(Л, р) = w, W'{B, P)=f«
Ввиду a<p отсюда следует, что W (A-+B,a) — f.
6. Пусть F — ./V-выражение ~] А.
¦6.1. Пусть №'С1 Д а) = /. Тогда существует такое
реМ', что а<р и W(А, Р) = ьу. Как и в случае 5.1,
отсюда следует, что W(Aa, ф(Р)) = ш и W( I Aa, ф(a)) = f.
6.2. Пусть W(~] Aa, ф(а)) = /. Тогда существует такое
¦YGAf,чтоф(а)<\ и 1Г(Ла,\)=йУ- Как и в случае 5.2,
имеем а<|Зе=АГ, W.{А., ф(р)) —а», Г(Д,р) = » и
W AЛ ) /
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ .401
7. Пусть F— ^-выражение \fx%(x).
7.1. Пусть W (Vx% (x), a) = f. Тогда существует п е= N
и (по теореме 17.1) цепь К.^М' такие, чтоае/f и
W (?l (n), fe) = / для всех ft e/(. Существует такое ре/(,
что а<р и /(«)<[/р. По лемме 12 91 (п)— р-ограничен-
ное УУ-выражение и 9ta=a9L. По предположению индук-
индукции отсюда следует, что W(%a(Q($, /г)), ф(р)) = /. Так
как ф(а)<^ф(Р) по лемме 2 и 0(р, /г)е F(<p(P)) по лемме 9,
то Г(УжИв(*), Ф(а)) = /.
7.2. Пусть U7 (Fa, ф (а)) =/. Тогда существует такое
VGJH, что ф(а)<у и такое ae^fv), что №Eta(?), у) == /•
По лемме 3 существует такое р е М', что a < Р и ф(Р).== v-
Существует k s ЛГ такое, что g = 8 (р, ft). Для /г = Л (/р, к)
имеем в(р, ft) = 8(p, ft) = g. Таким образом, имеем
lF(ae(e(M)),«p(P)) = f. Так как !(п) = ф и а<р, то
по лемме 12 51 (/г) — р-ограниченное ЛГ-выражение и
?la^?lp. По предположению индукции отсюда следует,
что W (% (п), р) = f. Ввиду a < р отсюда следует
r'(Vt()) /
8. Пусть F — ЛГ-выражение Зх%(х).
8.1. Пусть W'Cx%(x),a) = f. Для каждого i q()
имеется такое k^N, что l = Q(a,k). Для n = h(la, k)
имеем в (а, п) — в (a, ft) = g. Из того, что Г'Cл:?1 (х), а) = f,
следует, что W {% (п), а) = f. Так как / (п) = /а, то 31 (/г)—
сс-ограниченное ЛГ-выражение. По предположению индук-
индукции, отсюда следует, что W(%a(@(a, n)), ф(а)) = /\ Сле-
Следовательно, W(%a(Q,<p(a)) = f для всех ^еУ(ф(о)) и
WCx%a(x),<p(a)) = f.
8.2. Пусть l^ (Fa, ф (а)) = /. Для всех /г^/а имеем
ф(а") = ф(а) по лемме 4 и в (а", /п)е У(ф(а)) по лемме 8.
Если также n^f(m), то по лемме 12 Щт) — а"-огра-
ниченное^-выражениеи?1а^21ап. Тогда W(%an (Q(an, /n)),
ф(а")) = /. Следовательно, по предположению индукции,
W (Я (т), a") = f для всех /г > max [la, f(m)]. Отсюда
получаем W'(%(m), ft) = / для всех m^N и fee/С (а).
По лемме 7 /С (а) — цепь дерева Л/7 и а«=/С(а). Следо-
Следовательно, Г' C*91 (х), а) = f.
Теорема 18.2. Если F — формула и W(a)e=V(o)
для каждой входящей в F свободной предметной пере-
переменной а, то W {F, a) = W (F, ф (а)) для каждого а е= М\
402 К. шютте
Доказательство. Пусть F' — iV-выражение, ко-
которое получается из формулы F, если каждую входящую
в нее свободную нредметную переменную а заменить
на натуральное число W (а). По определению W имеем
тогда W'(F, a) = W(F', а). По определению W (а) имеем
f (W(a)) = 0. Поэтому F' — ct-огранлченное W-выражение
для всех oGiH'. По теореме 18.1 отсюда следует
W'{Ff,a) = W(F'a,(fl(a)). По лемм* 11 имеемв(а, W'(a))=*
— W(a). Поэтому F'a — то К-выражение, которое полу-
получается из формулы F, если каждую входящую в нее
свободную предметную переменную а заменить W (а).
По определению W, таким образом, W(F, q>(a)) =
— W(F'a, <p{a)). Отсюда получаем W'(F, a)=W(F, y(a)).
Теорема 18.3 (теорема о полноте для мо-
моделей Бета). Если формула F невыводимо, в интуи-
интуиционистской логике предикатов, то существует такая
модель Бета {Mf, N, W), что W (F, о) = f.
Доказательство. Из условия следует по тео-
теореме 14.6, что существует допустимая для F древовидная
модель (М, V, W) такая, что W (F, o)=f. Тогда для
каждой входящей в F свободной предметной перемен-
переменной а имеем W(a)e V (о). Для соответствующей модели
Бета (M',N,W) по теореме 18.2 получаем W'(F, о) =
Г(/=\ /
§ 19. Свойства истинности и выполнимости
В соответствии с тем; как это сделано для моделей
§ 14, дадим определения для моделей Бета.
Формула F называется истинной (соответственно вы-
выполнимой) в модели Бета (М, N, W), если W (F, а) = w для
веех aeJH (соответственно хотя бы для одного а^ М).
Формула называется общезначимой, если она истинна
в каждой модели Бета. Она называется выполнимой
(соответственно общевыполнимой), если она выполнима
хотя бы в одной (соответственно в каждой) модели Бета.
Модель Бета (М, N, W) называется конечной, если
дерево индексов М — конечное множество.
Формула называется конечно общезначимой (соот-
(соответственно конечно общевыполнимой), если она истинна
(соответственно выполнима) в каждой конечной модели
Бета. Она называется конечно выполнимой, если она вы-
выполнима но меньшей мере в одной конечной модели Бета.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНГУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 403
По теоремам 17.5 и 18.3 формула общезначима (для
моделей Бета) тогда и только тогда, когда она выво-
выводима в интуиционистской логике предикатов. Из дока-
доказательств, подобных доказательствам теорем 16.1, 16.3,
1G.5 п 16.6, получаем для понятий истинности и выпол-
выполнимости в моделях Бета следующее:
Формула F выполнима тогда и только тогда, когда
формула ~] F невыводима. Формула F общевыполпима
тогда и только тогда, когда формула ~\~] F выводима.
F конечно выполнима (соответственно конечно обще-
выполнима) тогда и только тогда, когда формула F вы-
выполнима (соответственно общезначима) в классической
логике предикатов.
Таким образом, приведенные семантические понятия
для моделей Бета покрываются соответствующими по-
понятиями, определения которых даны в § 16 для моделей
Крипке. Только конечная общезначимость имеет раз-
различные объемы для различных, модельных понятий.
В силу § 16 (примеры 1 и 4) существуют конечно
общевыполнимые формулы, которые не являются конечно
общезначимыми (для моделей Крипке). Наоборот, для
моделей Бета класс конечно общевыполнимых формул
совпадает с классом конечно общезначимых формул.
Доказательство. Пусть F — конечно общевыпол-
общевыполнимая формула. Пусть (М, N, W) — конечная модель Бета.
Тогда W{F, р) = ш» для каждой конечной точки р дерева
индексов. Так как М конечно, то, следовательно, не
существует такой цепи К s М, что W (F, k) = f для всех
k e /С. По теореме 17.3 отсюда следует, что W(F, a) = w
для всех asAf. Таким образом, формула F конечно
общезаачима.
Для логики высказываний общезначимость и конеч-
конечная общезначимость в моделях Бета, так же как и обще-
общевыполнимость и конечная общевыполнимость, совпадают.
Глава VII. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ МОДАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
§ 20. Формальные системы Af, S4, Вг и S5
Кроме модальных систем логики высказываний М
(фон Вригта)« 54 (Льюиса), содержащихся в модальных
системах М" и S4* логики предикатов, рассмотрим еще
404 * "К. шютте
две модальные системы логики высказываний Вг (с аксио-
аксиомой Брауэра) и 55 (Льюиса).
Мы определяем формулы как в § 1, но ограничи-
ограничиваемся ' формулами логики высказываний, которые
строятся только из пропозициональных переменных
с помощью связок 1, V и знака необходимости П.
Как и раньше, мы называем формулу тавтологией,
если эта формула получается путем подстановки (формул
вместо пропозициональных переменных) из общезна-
общезначимой формулы классического исчисления высказываний
(в которой нет знака ?)•
Аксиомами всех четырех систем М, S4, Вг и S5
являются (как в § 1, 6.1 и 6.3):
(Axl) 1 ? Л V А,
(Ах2) ПA А V В) V ПА V D В. .
Основные правила вывода всех четырех систем (как
в § 1, 7.1 и 7.3):
А, ~] Лу В=$ В (modus ponens)
Л=ФпЛ (модализация)
В системах 54, Вг и 55 имеются в каждой еще по
одной схеме аксиом:
(АхЗ) 1 ? А V ? ? А (система 54),
(Ах4) А V ? 1 ? А (система Вг),
(Ах5) ? А V ? ? А (система 55).
Мы говорим, что формула В следует в исчислении
высказываний из формул Л,, ..., Ап, если
Л, V ••• V 1 Л„ V В
является тавтологией. В этом случае в каждой из че-
четырех систем можно из формул Аи ..., Л„ получить
формулу В с помощью данной тавтологии и правила
вывода modus ponens.
Теорем а'20.1. В каждой из четырех систем выво-
выводима формула
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 405
Доказательство получается., индукдией по п
с помощью (Ах2) и правил классического: исчисления
высказываний.
Теорема 20.2. Для веек четырех систем допустимо
следующее правило вывода:
"М, у ..... V Л..У B.^IDA V ... V 1 D4VDB.
Доказательство получается из теоремы 20.1
с помощью обоих основных правил вывода.
Теорема 20.3. Система 55 эквивалентна системе 54,
расширенной введением (Ах4).
Доказательство.
1. (Ах4) выводима в 55, так как (Ах4)А V ? 1 Q А
следует в исчислении высказываний из (Axl) 1 ПА\/А
и (Ах5) ? A N/ ? 1 ? А.
2. (АхЗ) выводима в 55 следующим образом. Из
(Ах5) в исчислении высказываний следует ~]~| ? 1 ? А V
V ? А. Следовательно, по теореме 20.2 1П~1ППЛ\/
V ? ? А. С применением (Ах4), выводимой в S5, от-
отсюда следует ~|ПЛ\/ППП^.Из двух последних
формул в исчислении высказываний следует 1 ? А V
VDDA
3. (Ах5) выводима в 54 с использованием (Ах4)
следующим образом: 11ПОА\/~\ПА следует в исчи-
исчислении высказываний из (АхЗ). По теореме 20.2 имеем,
следовательно, Ю 1 D П AV П 1 D А. По (Ах4) имеем
D^VDIDD^- Из двух последних формул следует
в исчислении высказываний ? А V ? 1 ? А.
§21. Модели пропозициональных модальных систем
Модель (М, R, W) определяется аналогично модели
(М, R, V, W) § 2, однако мы ограничиваемся форму-
формулами, в которые не входят предикатные переменные и
кванторы существования. В этом случае рассматри-
рассматриваются только определения 1.1, 1.2 и 1.4.2 § 2. Для
моделей логики высказываний упоминаемая в этих
пунктах функция V не нужна. Истинностное значение
W(F, а) формулы F для ае М в модели (М, R, W) опре-
определяется индуктивно по правилам 2.1, 2.3, 2.4 и 2.6
§ 2. Формула F называется истинной в модели, если
W (F, а) = w для всех а е М.
406 К. ШЮТТЕ
Модель (М, R, W) называется
Af-моделью, если R— рефлексивное отношение,
54-моделью, если R— рефлексивное и транзитивное
отношение,
Br-моделыо, если R — рефлексивное и симметричное
отношение.
55-моделью, если R — рефлексивное, симметричное
и транзитивное отношение.
Пусть 5 — одна из четырех рассматриваемых фор-
формальных систем М, 54, Вг или S5. Будем называть
формулу S-общезначимой, если она истинна в каждой
S-модели. Докажем, что формула 5-общезначима тогда
и только тогда, когда она выводима в формальной
системе S.
Теорема 21.1 (теорема о корректности).
Каждая выводимая в системе S формула S-общезначима.
Доказательство проводится индукцией по по-
построению вывода.
1. Доказательство для систем М и S4 извлекается
из доказательства леммы о корректности в § 3. Нужно
только дополнительно установить, что (Ах4) Вг-обще-
значима, а (Ах5) 55-общезначима.
2. Пусть в некоторой Br-модели W(O 1 П A, a) = f.
Тогда существует такое р<= М, что а/?р и W{~] О A, |J) = f
и, следовательно, W{OA, p) = w. Так как R симме-
симметрично, то $Ra и W (A, a) = w. В любом случае полу-
получаем W (А V ? 1 ? A, a) = w. Следовательно, (Ах4)
истинна в каждой йл-модели.
3. Так как каждая 55-модель есть одновременно
54-модель и Вл-модель, то (АхЗ) и (Ах4) истинны
в каждой SS-модели. Используя теорему 20.3, получаем
отсюда, что и (Ах5) истинна в каждой 55-модели.
Теорема 21.2 (теорема о полноте). Каждая
S-общезначимая формула выводима в системе S.
Дадим сначала неконструктивное доказательство
этой теоремы, которое проводится аналогично доказа-
доказательству из § 4. В § 22 дается затем конструктивное
доказательство, из которого получаются разрешающие
алгорифмы для выводимости в четырех рассматриваемых
системах.
Возьмем за основу счетное множество свободных
пропозициональных переменных и предположим отно-
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 407
сительно формул, что все входящие в них пропозицио-
пропозициональные переменные принадлежат заданному мно-
множеству. В таком случае допустимые формулы соста-
составляют счетный класс.
Множество а формул называется S-противоречивым,
если существуют такие Л, А„е=а, что формула
Л, V ¦ ¦ • V 1 А»
выводима в системе 5. В противном случае а назы-
называется S-непротиворечивым.
Множество а формул называется максимально S-не-
S-непротиворечивым, если множество а 5-непротиворечиво,
но никакое собственное надмножество а не является
S-непротиворечивым. Это имеет место тогда и только
тогда, когда для каждой формулы А справедливо сле-
следующее: Аф.а тогда и только тогда, когда <х1){Л}
5-противоречиво. Очевидно, что каждое 5-ненротиворе-
чивое множество формул можно расширить до макси-
максимально S-непротиворечивого множества формул (так
как здесь допускаютая только формулы из определен-
определенного счетного множества формул).
Максимально 5-непротиворечивое множество формул
имеет следующие свойства:
A.1) Леа тогда и только тогда, когда ~]Аф.а.
A.2) Если 1 А V В выводима в S и Леа, то и
В<=а.
¦ A.3) Л V Вен тогда и только тогда, когда Леа
или Веа.
A.4) Если ПЛеа, то и А(=а.
Доказательства этих свойств проводятся так же,
как для 3.1—3.5 и 3.7 в § 4.
Пусть М — множество всех максимально 5-непроти-
воречивых множеств формул. Для а, р е М пусть a.Rf>
означает, что {Л: ПЛеа}ср. Это отношение R обла-
обладает следующими свойствами:
B.1) R рефлексивно на М.
Доказательство. Это справедливо в силу A.4).
B.2) Если S — одна из систем S4 или 55, то R
транзитивно на М.
Доказательство как для 5.2 в § 4.
B.3) Если S — одна из систем Вг или S5, то R сим-
симметрично на М.
408 ¦ г ¦ К. ШЮТТЕ
Док а за те льство. В этом случае ~\~\А\/П1\ЗА
выводима в 5. Если а/?0 и А фа, то по A.1)- ~] А<^а,
по A.2) ? ~! П A s А . и, . следовательно, 1 П А е р
и по A.1) ? Л ф р. Таким образом, мы-получаем §Ra.
{2 А) Если Л ер для все* реМ таких, что aRfi,
то П А&а. ... :
Док аз а те льство как для 5.4 в § 4.
Положим . по, определению для нррпозициональ?
ной переменной и и.аеМ W(v, a) = wr если оеа,
и W (и, а) = /, если и <? а. В силу B.1)—B.3) (M,R, W)
в этом случае есть., S-модель. Аналогично тому, как
это сделано в лемме 3 § 4, можно доказать:
Для каждой формулы F и aevW равенство W(F, a)=w
справедливо тогда и только тогда, когда fea,
Отсюда мы получаем теорему о полноте. Действи-
Действительно, если формула F невыводима в системе 5, то.
{"] F} — S-непротиворечивоа множество формул.. Тогда
существует максимально S-непротиворечивое множе-
множество формул а такое, что ~]F^a. Следовательно,
W (~\ F, a)~w и W(F, a) = /. Таким образом, фор-
формула F не 5-общезначима.
Использованная здесь модель (М, R, W) обладает
тем свойством, что каждая формула, невыводимая в S,
опровергается в этой модели. Для каждой из четырех
систем М, S4, Вг и S5 мы имеем такую универсальную
модель. При этом множество М имеет мощность кон-
континуума. В следующем параграфе мы увидим, что для
каждой формулы F, невыводимой в 5, существует также
модель (М, R, W) на конечном множестве М, в ко-
которой F опровергается.
§ 22. Конструктивное доказательство теоремы
о полноте.
Теорему о полноте мы докажем, как в главе III,
с помощью деревьев формул. Множества Va, о которых
шла речь в § 8.2, здесь не нужны. Под деревом фор-
формул В мы понимаем теперь функцию на конечном дереве
индексов /, которая ставит в' соответствие каждому
ае/ формулу Ва. Основным деревом мы называем
дерево формул на дереве индексов {о}.
Для конечных последовательностей чисел a, f$ пусть
аор О непосредственно следует за а), означает, что р
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК.. ЛОГИКИ 05
имеет вид '(а, я). Если S — это M, S4, Вг или S5, то
5-отношение Rs на дереве индексов / определяется так,
что для а, р е / запись а^Р означает
ае=р или астр при S — M,
«<р при 5 = 54,
а=C или астр или рста при 5 = Br, a при 5 = 55
a/?sp имеет место для всех а,ре/. Таким образом,
отношение Rs в каждом из этих случаев рефлексивно.
Для-54 и 55 оно также и транзитивно, а для fir и 55
еще и симметрично.
Редукции определяются как в § 8. Пусть 5 — одна
из формальных систем М, 54, Вг или 55, и В — дерево
формул с дгревом индексов /. .
S-редукция 1-го рода дерева формул В на месте
ре/с формулами редукции 1 Аи ~] А2 определена, когда
Вр—формула F[(Ai\/ А2-)], причем ни Аи ни А2 не
входит в Вр как отрицательная часть.
Тогда и1 (/=1,2) — дерево формул на / такое, что
Ср = Dp V I At,
E4=Ba для всех остальных ае/.
S-редукция 2-го рода дерева формул В на месте
Ре/ с формулой редукции ~~\ А определена, когда А не
входит в Вр как отрицательная часть и ? А есть отри-
отрицательная часть некоторой формулы BY при yRs$. Тогда
В1-г-дерево формул на / такое, что
Ba=Ba для всех остальных не/,
S-редукция 3-го рода дерева формул В на месте ре/
с формулой редукции ~~\ А определена, когда ? А — поло-
положительная часть Вр и Л не входит ни в одну из
формул BY при a.Rsy как положительная часть. Пусть
п — наименьшее число такое, что (р, п)ф.1. Тогда В1
определяется как дерево формул на /U {(Р, л)}:
. В(р, П) = А,
Ъ1а = Ва для всех « е /.
410 ... . , К. ШЮТТЕ
Деревья формул В1, В2 некоторой 5-редукции
1-го рода мы называем S-редукционной парой дерева
формул В, а дерево формул В1 некоторой S-редук-
ции 2-го или 3-го рода — отдельным S-редуктом де-
дерева В.
Как в § 8, мы понимаем под 5-деревом редукций
над формулой F функцию R на просто разветвленном
дереве индексов /, которая ставит в соответствие каж-
каждому ct^J дерево формул Ra следующим образом:
1. R0 — основное дерево с формулой Е.
2. Если (а, 2)е/, то R(cU), R(U|ii> образуют S-редук-
ционную пару дерева Ra.
3. Если (а, 1)е/и (а, 2)ф1, то R(a>l>~единичный
S-редукт дерева Ra.
4. a — конечная точка дерева индексов J тогда и
только тогда, когда Ra содержит формулу F[v+, v-}
или к Ra неприменима 5-редукцня. В этом случае Ra
называется концевым деревом 5-дерева редукций R.
На основании условий, которые мы сформулировали
для 5-редукций, каждая ' нить дерева индексов J при-
приводит в конце концов к дереву формул Ra, которое не
допускает 5-редукций или же содержит формулу
F[v+, v-\. Таким образом, S-дерево редукций над фор-
формулой Е конечно.
Мы будем называть S-дерево редукций R замкнутым,
если каждое концевое дерево из R содержит формулу
F[v+, v-].
Теорема о полноте получается из двух следующих
лемм (аналогично тому, как в главе III):
Основная синтаксическая лемма. Если
существует замкнутое S-дерево редукций над Е, то
формула Е выводима в системе S.
Основная семантическая лемма. Если су-
существует S-дерево редукций над Е, которое не замк-
замкнуто, то существует конечная S-модель, в которой
формула Е опровержима.
Докажем сначала основную семантическую лемму
(подобно тому как это сделано в § 10). Пусть R — S-де-
S-дерево редукций над Е, которое не замкнуто. Тогда R
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 411
имеет концевое дерево Re, не содержащее, формулы
вида /*"[«+» о_]. Пусть / — конечное дерево индексов
дерева Re н для as/ пусть R* = .Fa. Так как к кон-
концевому дереву R* S-редукция неприменима, то мы
имеем для всех a e /:
A) Если Fa содержит отрицательную часть Л V В» то
А или В также входит в Fa как отрицательная часть.
B) Если Fa содержит отрицательную часть ? А, то
для каждого р е I такого, что a/?sf$, формула А входит
в Fq как отрицательная часть.
C) Если Fa содержит положительную часть ? А,
то существует f$ е / такое, что a/?sp и А входит в Fp
как положительная часть.
Ввиду допущения, сделанного относительно Re, имеет
место также
D) Не существует пропозициональной переменной,
которая входила бы в Fa как положительная и как
отрицательная часть.
Так как R — дерево редукций над Е, то согласно
редукционным предписаниям мы получаем
E) Формула Я входит в Fo как положительная часть.
Определим S-модель (/, R, W) следующим образом.
Для каждой пропозициональной переменной о и любого
ащ! положим \V{v, a) = w, если о входит в Fa как
отрицательная часть. В противном случае положим
W(и, a) = f. Тогда для всех формул С и всех ае/
можно доказать с помощью A)—D) индукцией по длине
формулы С следующее:
F) Если С входит в Fa как положительная (соот-
(соответственно отрицательная) часть, то W(C, a) = f (соот-
(соответственно W (С, а) = да).
Из E) и F) следует, что W(E, o) = f. Следовательно,
формула Е опровергается в конечной S-модели (/, R, W).
Таким образом, основная семантическая лемма доказана.
Основную синтаксическую лемму мы докажем,
следуя Крипке, иным путем, отличным от примененного
ранее в § 9 для доказательства соответствующей тео-
теоремы для систем М и S4'.
Пусть R —замкнутое 5-дерево редукций над фор-
формулой Е. Конечное (просто разветвленное) дерево
412 ¦ К. шютте . ... . ,. ., .. ,,.
индексов: функции R обозначим /.. Для ае/. пусть
/а — конечное дерево индексов дерева формул R". . ..
Дадим индуктивное определение,характеристической
формулы Ср для a<=J и р <= Iя.
1) Если р— концевая точка /а» то CJJ.— это фор-
формула Rp. ¦ ' ¦¦-¦.¦ ¦¦.¦¦.
2) Если (р, 1)еГ и п — наименьшее число такое,
что (р, п + 1)^/а, то Ср —формула
RSVnC(p.i,V ... V ПСГр.^
Лемма 1. Если а — концевая тонка дерева индек-
индексов J, то формула С" выводима в системе S.
Доказательство. В этом.случае дерево фор-
формул Ra содержит формулу R? вида F[v+, o_]. Эта фор-
формула является тавтологией. Тогда формула Су — также-
тавтология и, следовательно, выводима в системе S.
Докажем индукцией по убыванию длины р, что каждая
формула Cjj при P=^y выводима в S. Для P = Y это
уже установлено. Если p-<Y. то существует (Р, k)^y.
Тогда, по предположению индукции, Cjp, k) выводима
в 5. Пользуясь правилом вывода, получаем П Cjp, t>.
Отсюда в исчислении высказываний следует Cjj. Таким
образом, в частности, и формула С" выводима в си-
системе 5.
Лемма 2. Если (а, 2)е/, то формула
выводима в системе S.
Доказательство. В этом случае R(a>!), R(a>2'
образуют 5-редукционную пару дерева формул Ra. Тогда
имеем /<а> " = /(а> 2) = /а и существует такое Vs '"» что
R<,a"'>=R?V-Mb
Rea>'' == Re для всех других 6 е 1а,
причем Л, V Лг — отрицательная часть Ry. Тогда
-mr'v-iR^vR?
является тавтологией.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 413
Следовательно, по' определению характеристических
формул, также и формула
ПСУ1'11 v 1С^-2)у сч
является тавтологией и, значит, выводима в системе 5.
Докажем индукцией по убыванию длины р, что для
каждого §<y формула
также выводима в S. Для Р = у это уже установлено.
Если р *\ y> то существует (Р, k) ^ у. Тогда, по пред-
предположению индукции, формула
V Щр, к) V C(p, ft)
выводима в системе S. Отсюда по теореме 20.2 сле-
следует
В исчислении высказываний имеем 1 С(? ''V 1 Сро>2) V
V Ср. Таким образом, эта формула, в частности, для
Р = о выводима в системе S.
Лемма 3. Если (а, 1)е/ и (а, 2)§?/, то формула
1 с;а-" v с
выводима в системе S.
Доказательство. Здесь нужно рассмотреть два
случая.
Случай 1. R(a>1) — S-редукт дерева Ra относительно
S-редукции 2-го рода на месте 6sf.
В таком случае /(a'1i==/cl и существует такое у^Г1,
что \RS6. D Л — отрицательная часть R", и R(a"!) по-
построено следующим образом:
R^a>'' = R| для всех остальных р е /а.
В этом случае формула
1 C(t Х)у-\А\/С1 ¦ A)
414 К. ШЮТТЕ
является тавтологией и, следовательно, выводима в си-
системе S.
1.1. Пусть у = б. Тогда ? А — отрицательная часть С?.
Из A) и (Axl) следует поэтому ~] Cf-" V СЗ.
Докажем индукцией но убыванию длины р, что
Cf- " V Cl B)
выводима в системе S для всех Р<б. Для C = 6 это
уже установлено. Если Р <С б, то существует (Р, k) ^ 6.
Тогда, по предположению индукции, ~] С$; lk\ V С<р! д>
выводима в S.
По теореме 20.2 отсюда следует ~] О Сф',\\ V ? Cjp,*,.
Отсюда же получаем в исчислении высказываний фор-
формулу B). Таким образом, в частности, и ~] С{а) V С%
выводима в системе S.
1.2. Пусть \а6, т. е. 6 имеет вид (у, г). Тогда из
формулы A) по теореме 20.2 следует
¦ -mc&ljv in a v ncfv.i».
Так как О А — отрицательная часть Ср, то в исчисле-
исчислении высказываний получаем
-I Wo. 1) ч/ />а.
| Ьу V Ьу.
Как ив 1.1, отсюда следует ~] С$'" V Cl для всех
Р<у
1.3. Пусть y<6 и S — система S4. Из A) и (Axl)
в исчислении высказываний следует
Cf " V 1 D А V С?.
Докажем индукцией по убыванию длины р, что
1 Cf-" V 1 D А V Cl C)
для всех р ^ б выводима в системе 54. Если Р -< б, та
существует (р, &Х6. Тогда, по предположению индук-
индукции,
icg:8v in a vc;,S)
выводима в S4. Отсюда по теореме 20.2 следует
ind§?,b)VinnAV DC»,»,,
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК, ЛОГИКИ 415
С помощью (АхЗ) ~\ П А\/ П О А в исчислении выска-
высказываний отсюда получаем C). Так как у^б, те, в част-
частности, формула Су1' ° V 1 ? А V С" выводима в си-
системе 54. Так как Q Л — отрицательная часть С", то
в исчислении высказываний получаем
1 С^ 1) V Сау.
Как и в 1.1, отсюда следует, что ~| Ср"''' V Ср для всех
Y
1.4. Пусть бсту» т. е. v имеет вид (б, /) и пусть 5 —
система Вг. Так как и А — отрицательная часть Су, то
формула
является тавтологией и, значит, выводима в Вг. По тео-
теореме 20.2, следовательно,
1 ? 1 ? А V ? Cft. />.
Используя (Ах4) А V ? 1 ? А, получаем в исчислении
высказываний
Ay CI
Отсюда с использованием A) следует в исчислении вы-
высказываний
1 с?-" v а.
Как и в 1.1, отсюда следует, что С§'1) VCp для всех
Р<6.
1.5. Пусть S — система 55.
Так как ? А — отрицательная часть С", то
? А V С?
является тавтологией и, следовательно, выводима в 55.
Докажем индукцией по убыванию длины {J, что фор-
формула
? А V С? D)
для всех р ^ Y выводима в системе S5. Для р -< у су-
существует (f5, &)^Y- Тогда, по_предположеншо индукции,
¦11G ... К. шюттб
II] А V С(р, ft) выводима в S5. Следовательно, в ис-
исчислении высказывании получаем "] ? А V Cjp, ky По
теореме 20.2 отсюда следует
1 ? ? А V DCfMl. ...
С использованием (Ах5) р А V П. "I ? А отсюда в исчи-
исчислении высказываний получаем D). Таким образом,
и част-юсти, формула
? А V Соа ' ' : E)
выводима в системе So. Как и в 1.3, получаем C) для
всех р^5 и, значит, в частности,
1 С<а' '> V ? А V С F)
Из E) и F) в исчислении высказываний следует
1 СГ " V С •
Случай 2. R(a'!> — 5-редукт дерева Ra относительно
S-редукции 3-го рода на месте у^1а. Тогда имеем
/(a>U = /aU{(Y. «)} и
R(y*. п) = А, причем П А — положительная часть Ry,
R^ '»= R^ для всех И^-
В этом случае Cf" " = С? V П А и ? А — положитель-
положительная часть Ср. Поэтому формула ~| Су"' " V Су является
тавтологией и, следовательно, выводима в системе S.
Как в 1.1, отсюда следует ~] Cf' " V Ср для всех Р < Y-
Тем самым доказательство леммы окончено.
Так как R — 5-дерево редукций над Е, то Со — это
формула Е. Используя леммы 1—3, получаем для
всех а индукцией по убыванию длины а, что С" выво-
выводима в системе S. Следовательно, формула Е выво-
выводима в 5. Таким образом, основная синтаксическая
лемма доказана.
Для каждой формулы ? можно построить S-дерево
редукций над Е. Такое дерево содержит только конечное
число формул. Поэтому можно установить, является ли
это дерево редукций замкнутым. На основании обеих
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 417
основных лемм мы имеем, таким образом, способ уста-
установления для каждой из четырех систем -М, 54, Вг
и S5, является ли рассматриваемая формула выводимой
в соответствующей модальной системе исчисления вы-
высказываний,
§ 23. Топологические модели системы S4
1. Под топологическим пространством (М, К.) мы
понимаем непустое множество М с оператором К — взя-
взятия открытого ядра, который ставит в соответствие
каждому подмножеству U ^ М подмножество KJJ е М
так, что выполняются следующие аксиомы:
1.1.
1.2.
1.з.
1.4.
2. Топологической моделью (М, К, Т) мы называем
топологическое пространство (М, К) с функцией Т, кото-
которая ставит в соответствие каждой пропозициональной
переменной v некоторое подмножество Г(к)?М,
В модели (М, /С, Т) для каждой формулы F следую-
следующим образом индуктивно определяется подмножество
r(F)M
)
2.1. Для каждой пропозициональной переменной v
f(v) задается моделью.
2.2. Т (Л V В) = Т (A) U Т (В).
2.3. ГО Л) = М — Т(А).
2.4. Г(П А) = КТ{А).
Формула F называется истинной в топологической
модели (М, К, Т), если T(F) = M. Формула называется
топологически общезначимой, если она истинна в ка-
каждой топологической модели. Мы увидим, что формула
топологически общезначима тогда и только тогда, когда
она 54-общезначима и, следовательно, выводима в си-
системе S4.
3. Для данной 54-модели {М, R, W) мы следующим
образом определяем соответствующую ей топологиче-
топологическую модель (/И, К, Т).
418 К. ШЮТТЕ
3.1. Для U s M обозначим через KV множество тех
а^М, для которых а/?Э справедливо разве лишь тогда,
когда ре ?/')•
3.2. Для пропозициональной переменной v через
Т(v) обозначим множество тех оеМ, для которых
W{v,a) = w.
Для (М, К> Т) тогда справедливы следующие две
леммы:
Лемма 1 (М, К) — топологическое пространство.
Доказательство.
1. Так как R рефлексивно, то из ае^[/, ж> опре-
определению, вытекает, что ое[/. Таким образом, K.U s U.
2. Пусть имеем ае^[/ и а/?р. Так как R транзи-
тивно, то при р/?у отсюда следует, что y^U. Полу-
Получается, что реД"[/ и a^KKU. Таким образом,
K.U s KKU. Принимая во внимание 1, получаем
кки ки
к
3. То, что КМ = М и K(UinU2) = KUt(]KU2, сле-
следует непосредственно из определения К-
Лемма 2. Для каждой формулы F равенство
W(F, a) = w справедливо тогда и только тогда, когда
ГE)
()
Доказательство проводим индукцией по длине
формулы F.
1. F — пропозициональная переменная. Тогда сде-
сделанное утверждение справедливо по определению Т.
2. Пусть F — формула А у В. Тогда T(F) = T(A)\j
U Т(В). Следовательно, по предположению индукции,
ае T(F) тогда и только тогда, когда W(A, а) = ш или
W(B, a) = w, и поэтому W(F, a) = w.
3. Пусть F — формула А. Тогда T(F) = M—T(A).
Следовательно, по предположению индукции, aeT(F)
тогда и только тогда, когда W(A, a) = / и поэтому
W(F, a) = w.
4. Пусть F — формула П А.. Тогда T(F) = KT(A).
Следовательно, по предположению индукции, яеГ(Р)
тогда и только тогда, когда W(A, р) = ш для всех р
таких, что а/?р, и поэтому W(F, a) = w.
') Иными словами, a e KU оАвачяет, что Vp (о^р ~> Р е I/),
т. е. все /?-цепи, исходящие из а, целиком содержатся в V. —
Прим. ред.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЪН. И ИНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 419
Теорема 23.1 (теорема о полноте). Каждая
топологическая общезначимая формула выводима в си-
системе SA.
Доказательство. Если F невыводима в си-
системе S4, то в силу § 22 (или § 21) существует .^-мо-
.^-модель (М, R, W) такая, что W(F, а) = / для а^М.
В соответствующей топологической модели (М, К, Т) по
лемме 2 a^T(F); следовательно,. T(F)=?M. Тогда F
не является топологически общезначимой формулой.
Теорема 23.2 (теорема о корректности).
Каждая формула F, выводимая в системе 54, типоло-
типологически общезначима.
Доказательство проводим индукцией по по-
построению вывода.
1. Из определений Т("]Л) и Т{А\/ В) следует:
1.1. Каждая тавтология топологически общезначима.
1.2. Если Ли ~\ А V В топологически общезначимы,
то и В топологически общезначима.
2. Из определения Т(О А) и аксиомы /СМ = М сле-
следует: если формула Л топологически общезначима, то
и ? Л также топологически общезначима.
3. Мы должны еще доказать: если F — одна из
аксиом (Axl) — (АхЗ), то T(F) = M в каждой топологи-
топологической модели (М, К> Т)-
3.1. Пусть /="—аксиома ~] ? А V А. Тогда T(F) =
= (М — КТ(А))[]Т(А). Отсюда, принимая во внимание,
что КТ (Д) Е Т (Л), следует Т (F) = М.
3.2. Пусть/--—аксиома ~\ПAА\/ В) V ~]D AV П В.
Тогда
= [M-K[T(-]A\/B)uT(A)]}UKT(B);
имеем
Л V В) П Т (А) = [(М - Т (A)) U Т (В)] A Т (А) =
следовательно, T{F)=[M—[KT(A)(\KT(B)]][}KT(B)=M.
3.3. Пусть F— аксиома 1 ? А V ? ? Л. Тогда
.— (М — КТ (А)) U КТ (Л) = М.
420 К. шютте
Определение. Топологической древовидной мо-
моделью мы называем топологическую модель (/, К, Т),
поставленную в соответствие древовидной 54-модели
(/, <, W). При этом / — дерево индексов и для каждого
подмножества U^l ядро KU состоит из тех ае/,
для которых а<Р разве лишь тогда, когда pet/.
Открытые множества этой топологии состоят из всех
тех подмножеств дерева индексов /, которые содержат
вместе с каждым а также и все ре/ при а < р.
С помощью теоремы о полноте § 22 доказывается
Теорема 23.3. Для каждой не топологически обще-
общезначимой формулы F существует конечная топологи-
топологическая древовидная модель (/, К, Т), в которой F опро-
опровержима.
Эти конечные топологические древовидные модели
(/, К, Т), так же как и конечные 54-моделн (/, <, W),
образуют самый узкий класс моделей из рассмотрен-
рассмотренных нами для системы S4. Более общими являются
класс любых 54-моделей {М, R, W) и класс всех топо-
топологических моделей (М, К, Т).
ЛИТЕРАТУРА
Баркан (Barcan R. С.)
[1946] A functional calculus of first order based on strict implication,
JSL 11, 1-16.
Бет (Beth E. W.)
[1955] Semantic entailment and formal derivability, Mededelingen
der Koninkl Nederl. Akad, Wetensch., Afd. Letterkunde, n. s.
18, 309—342.
[1956] Semantic construction of intuitionistic logic, там же, 19,
357—388.
[1960] Observations on an independence proof of Peirce's law (ре-
(резюме), JSL 25, 389.
фон В p ii г т (von Wright G. H.)
[1951] An essay in modal logic, Amsterdam, North-Holland.
Ге ii к и н (llenkin L.)
[1949] The completeness of the first-order functional calculus, JSL
14, 159—166.
Гепцеи (Gentzen G.)
[1934—1935] Untersuchungen uber das logische SchlieSen, Math. Z.
39, 176—210, 405—431. [Русский перевод: Ген цеп Г., Ис-
Исследования логических выводов, в сб. Математическая тео-
теория логического вывода, «Наука», 1967, 9—76.]
К р ип к е (Kripke S. А.)
[1959] A completeness theorem in modal logic, JSL 24, 1 — 14.
[Русский перевод: К р и п к е С. А., Теорема полноты в мо-
модальной логике, паст, кн., 223—246.]
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬН. И ЙНТУИЦИОНИСТСК. ЛОГИКИ 42.1
[195&а] Semantical analysis of modal logic (резюме), JSL 24,
323—324.
[1962] The undecidability of monadic modal quantification theory,
ZMLGM 8, 113—116. [Русский перевод: Крипке С. А.,
Неразрешимость одноместного модального исчисления пре-
предикатов, наст, кн., 247—253.]
[1963] Semantical analysis of modal logic I. Normal Modal pro-
positional calculi, ZMLGM 9 67—96. [Русский перевод:
Крипке С. А., Семантичрвкий анализ модальной ло-
логики, I. Нормальные модальные исчисления высказываний,
наст, кн., 254—303.]
[1963а] Semantical considerations on modal and intuifionistic logic,
Ada Philosophica Fennica 16, 83—94.
[1965] Semant'cal analysis of intuitionistic logic, I. Formal
Systems and Recursive Functions, Amsterdam, 92—129.
Льюис, Лэнгфорд (Lewis С. J-, Langford С Н.)
[1932] Symbolic Logic, N. Y.
Маккинси, Тарский (McKinsey J. С. С, Tarski A.)
[1948] Some theorems about the sertential calculi of Lewis and
Heyting, JSL 13, 1—15.
П р а в и ц (Prawitz D.)
[1966] An interpretation of intuitionistic predicate logic in modal
logic, Erscheint in Contributions to Mathematical Logic, Proc.
of the Logic Colloq., Hannover.
Хазенъегер (Hasenjaeger G.)
[1953] Eine Bemerkung zu Henkin's Beweis fur die Vollstandigkeit
des Pradikatenkalkuls der ersten Stufe, JSL 18, 42—48.
Шютте (Schiitte K.)
[1956
[1960
[1966
Ein System des verkniipfenden SchlieBens. AMLG 2, 55—67.
Beweistheorie, Berlin —pottingen — Heidelberg.
Zur Semantik der intuitionistischen Aussagenlogik, Erscheint
in Contributions to Mathematical Logic, Proc. of the Logic
Colloq., Hannover.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965—1973)
Г. Е. Минц
ПРЕДИСЛОВИЕ
Как было обещано в предисловии к этой книге, мы
постараемся дать обзор основных результатов, отно-
относящихся к системам S1—So и Г и опубликованных
после статьи Крипке [1965]'). Речь будет идти лишь
о чисто математических результатах: философские во-
вопросы останутся в стороне. В соответствии с личными
вкусами автора большее внимание будет уделено дедук-
дедуктивным вопросам, хотя будут затронуты и теоретико-
модельные методы.
Системы, отличные от S\—S5 и Т, будут рассмат-
рассматриваться лишь эпизодически. Это обусловлено тем
обстоятельством., что почти все методы, применяемые
в настоящее время при изучении дедуктивной струк-
структуры модальной (и временной) логики, могут быть
продемонстрированы уже на стандартных системах,
и их распространение на другие системы зачастую про-
происходит без больших трудностей. Нестандартные<:истемы
упоминаются лишь в случае, когда их рассмотрение
нужно для изучения стандартных (Е2 и ?3в случае S2
и S3, нормальные расширения 55) или когда наиболее
естественная формулировка теорем относится к системам
достаточно общего вида.
Основное внимание будет уделено системам исчи-
исчисления высказываний, а изменения, вносимые появле-
появлением кванторов, будут кратко рассмотрены в конце.
Там же будет сказано о добавлении равенства.
Совершенно не будут рассматриваться модальные
системы, основанные на интуиционистской логике
(Буль [1965, 1966, 1967b}, Минц [1968)), а также
системы релевантной логики (см., например, Мейер
[1970]).
") См. стр. 304—323 наст, книги. — Прим. ред.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 423
Мы старались отразить все наиболее существенные
методы, применяемые при изучении дедуктивной струк-
структуры модальных систем, но любой отбор такого рода
неизбежно оказывается субъективным. При этом сход-
сходные теоремы иногда намеренно доказывались разными
методами, чтобы продемонстрировать возможное раз-
разнообразие.
Отступление от хронологических рамок, поставлен-
поставленных в названии обзора, допущено только в начале (при
обосновании эквивалентности пропозиционального S5
и одноместного исчисления предикатов) и при доказа-
доказательстве теорем об устранимости сечения для генценов-
ских систем. Однако и в этих случаях доказательства
модернизированы.
Наряду с нормальными системами S4, S5 и Т рас-
рассматриваются также и более слабые S2, S3 и (в мень-
меньшей степени) S1. Однако читатель, интересующийся
лишь нормальными системами, может пропускать все
упоминания о ненормальных. От такого читателя тре-
требуется лишь знакомство с помещенной в этой книге
статьей Крипке [1963] или работой Шютте. Для пони-
понимания материала, относящегося к слабым системам,
нужно знакомство с работой Крипке [1965].
Основная часть результатов, изложенных в этом
обзоре, хорошо извести а. Новыми являются, по-видимому,
.следующие: генценовская формулировка системы S3
без требования непустоты антецедента в правиле ? -вве-
-введения; использование в натуральных формулировках
аппарата, сходного с аппаратом семантических таблиц;
натуральные формулировки систем слабее S4, допу-
допускающие нормализацию (аналог устранимости сечения);
формулировки импликачивных фрагментов систем сла-
слабее S4 (о соотношении с результатами Хэкинга [ 1963]
см. § 9); синтаксические анамгоги теорем о финитной
аппроксимируемости; способ нахождения конечной мат-
матрицы по синтаксическим параметрам нормальных рас-
расширений системы S5.
Некоторые результаты относятся, по-видимому,
к «фольклору» модальной логики и хорошо известны
специалистам, но приведены в обзоре без ссылок, так
как автор никогда не видел их в литературе. Сюда
относятся, в частности: формулировка натурального S5
424 г- Е- Минц
(несколько отличающаяся от формулировки Правица);
доказательство теоремы о нормализации для классиче-
классических систем, в которых правило удаления двойного
отрицания применяется не только к атомарным фор-
формулам; доказательство полноты импликативного фраг-
фрагмента системы S3 и соответствующая теорема о дедук-
дедукции; формулировка общих теорем о дедукции для
модальных логик; доказательство того, что в Г (а зна-
значит, в S2 и S1) отсутствуют редукции модальностей;
доказательство полноты семантики доказуемости для S5,
предложенной Крипке [1963а]; модификация теорем
линденбаумовского типа для S2 и S3 (впрочем, близкие
теоремы имеются у Раутли [1971]); применение ме-
метода фильтрации к S2 и S3; модификация метода
семантических таблиц для предикатных модальных
логик.
§ 1 введения к этому обзору, относящийся к S5,
призван приучить читателя обращаться с модальными
операторами как с кванторами. Параграф о связи не-
ненормальных систем (S2 и S3) с нормальными (Т и S3)
должен помочь читателю, освоившемуся с нормальными
системами, перейти к ненормальным.
Рассмотрения проводятся применительно к системам
в языке {гэ, f, D), где f обозначает ложь. Другие
связки вводятся известным образом в качестве сокра-
сокращений. В частности, А=^В означает П(Д:эБ). Знак ^
читается: «служит сокращением для». Например:
Большую роль во всем изложении играет поня-
понятие модализированной формулы, которое меняется от
одной системы к другой. Модализированиые форму-
формулы и списки таких формул обозначаются жирным
шрифтом.
Общепринятые определения, знакомые по другим
частям книги, мы позволяли себе не напоминать.
Приложенный к обзору список литературы должен
был по замыслу автора охватывать большинство работ,
появившихся после 1965 года и затрагивающих рас-
рассматриваемые в обзоре вопросы; разумеется, здесь не-
неизбежны пропуски.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 425
ft
ГЛАВА I. ДЕДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Пропозициональное SB и исчисление
предикатов
Эта система соответствует пониманию необходимо-
необходимости ? как «истинности во всех мирах», причем все
«миры» равноправны. Такое понимание подсказывает
перевод S5 как квантора всеобщности по (скрытому)
дополнительному аргументу. Именно так и строилось
изложение в §§ 21—23 книги Фейса. Фейс указывает,
что 55 при таком переводе изоморфно классическому
исчислению предикатов, но не приводит доказательства.
Мы сейчас воспроизведем доказательство (Вайсберг
{1933]) для пропозиционального 55. Перевод модальной
формулы F в предикатную обозначим через F". Легко
проверить, что 55-доказательство модальной формулы F
переходит при этом переводе в фигуру, которую можно
дополнить до вывода формулы F1' в исчислении пре-
предикатов.
Пусть теперь F" выводима в исчислении предикатов.
Докажем, что F выводима в 55. Сначала сведем все
к случаю, когда F — формула модальной степени 1,
т. с. такая, что в ней никакое вхождение П не нахо-
находится в области действия другого вхождения П. Это
делается с помощью эквивалентностей исчисления вы-
высказываний и соотношений
П(А&В)*-+П А&П В;
ОМ^М; A)
? (А V АГ) *-> ? А V М,
где А, В — произвольные формулы, М — модализиро-
ванная формула (т. е. формула, в которой любое вхож-
вхождение переменной находится в области действия П).
Действительно, если А уже является формулой сте-
степени 1, то, приводя А к конъюнктивной нормальной
форме и отделяя в каждом дизъюнктивном члене его
модализированную часть, получим А -*-*• & (Л; V М^,
i
где At — формула, не содержащая П. Тогда D Л^
426 г- Е- минц
¦«->-& (D А[ V Mi). Если при этом F переходит в G,
то F" переходит в G" с помощью эквивалентиостей
исчисления предикатов, являющихся переводами соот-
соотношений A).
Приведем теперь полученную формулу степени 1
к конъюнктивной нормальной форме относительно под-
подформул вида ? А, т. е. к конъюнкции формул вида
D V D Я. V • • • V D Рк VI D Qi V .. • VI ? Qi> B)
где D, Р„ ..., Pk, Qi Qi — пропозициональные
формулы. Так как выводимость конъюнкции эквива-
эквивалентна выводимости всех ее конъюнктивных членов,
можно считать, что F уже имеет вид B). В силу первой
из формул A) считаем, что /=1, а в силу правила
Q-введения (правило А |— D А), последней формулы A)
и формулы пОэД можно считать, что D отсутствует
(точнее, заменено на Q D). Докажем в этих предполо-
предположениях, что при некотором / формула Pt V 1 Qi является
тавтологией (из чего следует, что B) выводима в силу
правила А^э Bh- О А^э П В и исчисления высказы-
высказываний).
Действительно, перевод формулы B) (при / = 1 и
пустом D) имеет вид
VxP{x V ... V УхРкх V 1 VxQtf, C)
где Рх обозначает результат приписывания х к каж-
каждому вхождению пропозициональной переменной в Р.
Выводимость формулы C) (имеющая меето в силу
нашего исходного предположения и предикатных пере-
переводов тех соотношений, которые были использованы
для замены D на QD в B)) эквивалентна выводимо-
выводимости формулы
Я,с, V ... V Ркак V 1 VxQ,*, D)
где а„ ..., ак — различные предметные переменные.
Это, в свою очередь, эквивалентно тавтологичности
бескванторной формулы
Pjfl, V ... V Ркак V 1 (Qifli & ... & B,0*), E)
так как если бы E) была невыводим а, то D) была бы опро-
опровержима на модели {аи ..., ак}. Если теперь ни одна из
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСЛ И СИСТЕМА Г A965-1973) 427
формул Pt V ~1 Q\ (или, что то же, Pta{ V I Qifl,-) не
является тавтологией, то это верно и дл'я E): опро-
опровергающая оценка для E) получается просто объеди-
объединением опровергающих оценок для Р&х V Qi^,-. Дока-
Доказательство закончено.
Это доказательство дает довольно удобный разре-
разрешающий алгорифм для S5. Для установления выводи-
выводимости формулы А следует преобразовать ее в конъюнк-
конъюнкцию формул вида B) (при /=1 и пустом D), а затем
для каждого конъюнктивного члена исследовать на
тавтологичность каждую из формул Р$ V "I Qi-
Этот критерий выводимости показывает, что фор-
формула первой степени выводима в S5 тогда и только
тогда, когда она выводима в 52. Таким образом фраг-
фрагменты степени 1 совпадают для «многих рассматривае-
рассматриваемых в литературе модальных исчислений. Этот результат
можно распространить на предикатные расширения
модальных исчислений (Минц [1968]). Предикатную
формулу следует считать формулой степени 1, если
никакое вхождение модального оператора не находится
в области действия модального оператора или кван-
квантора.
Совпадение фрагментов степени 1, наряду с нали-
наличием естественной семантики для таких формул (Минц
A969]) наводит на мысль считать модальную логику
степени 1 в некотором смысле базисной (Поллок [1966]).
§ 2. Связь S2 и S3 с Г и S4
Приведем опубликованный Андера [1969] без дока-
доказательства результат о погружениях ненормальных си-
систем в нормальные.
Пусть А — произвольная формула, р — произвольная
пропозициональная переменная, а — пропозициональная
переменная, не входящая в А. Для каждой подфор-
подформулы В формулы Л положим:
П + В±^(р=$р)^> ? В; П~В^аВ&а.
А+ означает результат замены в А всех подформул
вида ПВна П+В\ А~ — результат вамены ? В на О~ В.
Введем для удобства формулировки теоремы 1 .обо-
.обозначения: S2+^ Г; S31" ^54. '
428 . г. е. минц
Тео.рема 1. .
Si Si+ Si+ Si
(a) I-Л=|-а=)Л"; (Ь)ЬЛ = ЬЛ+ (/==2,3).
Доказ ател ьство. Напомним, что семантика Крипке
для Si (Крипке [1965]) отличается от семантики для Si+
лишь наличием ненормальных миров, где все формулы
вида ? В ложны.
(a) Если агэ А~ опровергается в 5г+-модели М, то Л
опровергается в Si-модели М~, где все миры из М,
в которых а было ложно, объявлены ненормальными.
Обратно, если А опровергается в некоторой Sf-модели,
то, объявив а ложной во всех ненормальных мирах и
истинной в остальных, получим 5г+-модель, опровер-
опровергающую агэЛ". •
(b) следует из того, что значение А+ на Si-модели М
совпадает со значением А на 5/+-модели М~, которая
получается из М выбрасыванием ненормальных миров.
Раздел I. ГЕНЦЕНОВСКИЕ ЛОГИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
(L-СИСТЕМЫ)
§ 3. Системы Г и S4. Отсутствие редукций в Г
Приведем доказательства упоминаемых в разных
местах книги (Фейс, §§ 65, 141, 142) теорем об устра-
устранимости сечения (элиминационных теорем) для различ-
различных модальных исчислений. Начнем с систем LT и LS4
(эквивалентных соответственно системам Т и S4).
Мы будем рассматривать здесь секвенции, т. е.
выражения вида Аь .... Ап->Ви ..., Вт (т, я>0),
где Л;, Bj — формулы.
Список Л,, ..., Ап называется антецедентом сек-
секвенции, список В[, ..., Вт — ее сукцедентом. Членами
секвенции называются формулы А\, ..., Л„, Bit ..., Bm.
Будем отождествлять секвенции, различающиеся
лишь перестановками членов в антецеденте или сукце-
денте. Для простоты изложения будем считать, что
формулы строятся в языке гэ, /, ? (модификации, свя-
связанные с наличием других символов, будут очевидны).
Постулаты рассматриваемых систем
1. Аксиомы
А->А; /->
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 429
2. Правила исчисления высказываний (пропозицио-
(пропозициональные правила)
а) Структурные правила
Г -> л , ч г -> л
(утончение)
С. С. Г -> Д . ч Г --»Д, С, С
С.Г-»А (сокращение) ¦
л->л, с с, г-»-в , .
д,г + а, е <сечение>
б) гэ-правила
Д.Г-»А.Д , , Г ->А. Л Д. Г -> А ,
г-> д, л => я *""* ^ лэсг^д (=
3. Модальные правила
А. Г-*Л ._ . Г-*Л . г-,,. ПГ->д
ал, г-> д <п*> Dr-^ал (*ПЬ
Таким образом, формулировки исчисления Г и S4
отличаются только правилом (-> П). Главной формулой
правил для D, => называется указанная явно формула
(сукцедентная в случае -> П), содержащая вводимую
связку.
Доказательства в рассматриваемых системах
строятся в виде дерева. Степенью сечения называется
степень формулы С, а само сечение называется С-сече-
С-сечением.
Эквивалентность описанных формулировок исходным
(Фейс, §§ 60, 81) устанавливается с помощью перевода
секвенций А , Ап->Ви ..., Вт в формулы АЛ ...
... & Ап гэ В\ V ¦ • • V Вт. Все постулаты L-формулиро-
вок оказываются выводимыми в исходных формули-
формулировках, и обратно.
Буква И будет обозначать любую из рассматривае-
рассматриваемых систем.
«Отношения родства» в доказательстве («быть пред-
предком») определяются аналогично Клиии [1952]. Вхожде-
Вхождение формул в качестве члена секвенции является своим
собственным предком. Вхождение в список Г, Д, Л, в
посылки некоторого правила является предком соот-
соответствующего вхождения в Г, А, Л, 0 заключения.
В правиле сокращения оба С из посылки — предки С
из заключения. Кроме того, отношение «быть предком»
430 ¦ . IV Е- минц ,
транзитивно. Таким образом, предки данного, вхожде-
вхождения формулы А — это вхождения той же формулы А.
Произведением секвенций Г->Д и II->Ф называется
(Клини [1952]) секвенция Г, П-»Д, Ф.
Пусть k — натуральное число, F — список формул.
Доказательство в И назовем (k, /^-доказательством,
если в нем все формулы сечения имеют степень ^.k,
а то из них, которые имеют степень k, содержатся
в списке F. Вместо «имеется (k, /-^-доказательство сек-
венции 5» будем писать \- S.
Лемма 1. (Обращение правила -> :э.) Если
к,Р k.F
f-A->A, AzdB, to \-А, Д->Л, В.
Доказательство. Исходное доказательство —
вверху, новое — внизу:
Все предки указанного явно вхождения формулы
А гэ В заменяются на В, а к антецедентам соответ-
соответствующих секвенций добавляется А. (А гэ Б)-аксиомы
переходят в выводимые формулы, а применения (->=>)
с главной формулой (A zd В) в повторения секвенций
(если список Л, не содержит предков AzdB; в этом
случае Ai = A[) или в применение правила сокращения
в сукцеденте (Л{ получается вычеркиванием предков
Л=эв из Aj). Лемма доказана.
о. р и (О о, f
Лемма 2. Если | S, то \— 5.
Доказательство индукцией по числу С-сечений
(т. е. сечений по формуле С). Если С ф f, то С-сечение,
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 431
выше которого нет других С-сечений, устраняется так:
С->С Л->Л, С
А-»А, С С, Г->6
Все предки антецедентного -С вычеркиваются, а соот-
соответствующие секвенции домнвжаются на Д->Л. Над
С-аксиомами дописывается старый вывод секвенции
А->Л, С.
При С = /, вычеркивая из левого вывода все предки
сукцедентного С, получаем доказательство Д->Л,
откуда утончением — Д, Г->0. Л. Лемма доказана.
fc.FUfC)
Лемма 3. Если I S и степень формулы С
равна k, то I— S.
Доказательство. В силу леммы 2 можно счи-
считать, что k > 0. Разбиваем С-сечения на сечения мень-
меньшей степени.
Случай 1. С = Л=э5. Аналогично доказательству
леммы 2:
П-уФ, А В, П->Ф
А=>В~*-А-=>В
432 г. е. минц
Двойная черта означает (возможные) применения утон-
утончения и сокращения.
Здесь А0, Л° означают А и Л, если П содержит
предки антецедентного А гэ В, и означают пустое слово
в противном случае. ГГ означает результат вычеркива-
вычеркивания предков Azd В из П. Доказательство секвенции А,
Д->Л, В получается из доказательства секвенции
А->Л, Azd В по лемме об обратимости.
Случай 2. С=ПА. Выбрав ? Л-сечеиие, выше
которого нет других сечений степени k, мы сейчас
исключим его, введя применения нового правила:
РИА->Л РА
? Д, Г->6 \Ьи>'
где Пг означает пустое слово, a nS4 означает П. Часть
данного вывода, заканчивающаяся ? Л-сечением, запи-
записана сверху, результат преобразования — снизу:
пА—*-аА
-Л, пЛ аА,Г-
А,Г
В верхней фигуре явно указаны аксиомы и применения
правила (-> П)и, главными формулами которых яв-
являются предки сукцедентного О А.- Нижняя фигура
получается из верхней вычеркиванием всех предков
этого ПЛ и домножением на Г—>6 всех секвенций,
куда входили эти предки. Над ? Л-аксиомами надстраи-
надстраивается старый вывод ПА, Г->в; правила (-*¦ П)и за-
заменяются на (Си).
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 433
Теперь устраним каждое из полученных (Си) так же,
как устранялось (С) в случае 1:
J
щА—*-ф D/4,/*—*¦$
аЛ,Г—*$
М АП'(ашА)°-+-Ф А-*'А
62,Г
Умножение на QHA не портит применений правила
(-> D)si> находящихся в исходном выводе между пра-
правой посылкой сечения и указанным явно применением
? -у, так как для системы '54 список ПиА совпадает
с. Q А и состоит из формул, начинающихся с Q. Для
системы Т между правой посылкой сечения и указан-
указанными явно применениями (?->¦) и (->-Q) вообще не
может быть применений (—>¦ П)г> так как посылки таких
применений не содержат предков формул из заключе-
заключений. Лемма доказана.
Теорема 1. (Теорема об устранимости сечения,
элиминационная теорема.) По всякому доказательству
в И можно построить доказательство той же секвен-
секвенции, не содержащее сечений.
Действительно, с помощью леммы 3 можно умень-
уменьшить до 0 степень рассматриваемого доказательства,
а затем воспользоваться леммой 2.
Замечание. Если язык рассматриваемой системы
содержит еще какие-либо булевские сзязки (напр., &,
V, 1), следует добавить L-правила для этих связок
(напр.., правила из § 142 книги Фейса, но без числовых
434 Г. Е. МИНЦ
индексов). В этой случае доказательство устрани-
устранимости сечения проходит без сколько-нибудь существен-
существенных изменений. Нужно лишь распространить на новые
связки лемму 1: из У- Г-+ А& В следует I- Г—*-А и
Ь-Г-^В; из \-АУ В, Г-^Д следует у-А, Г->Ди
h- В, Г-*Д; из 1-Г-^-Д, 1 А следует \-A, T->h.
Фейс D8.24) высказывает гипотезу об отсутствии
в S2 и Т редукций, то есть нетривиальных соотноше-
соотношений между последовательностями символов D и О
(модальностями). Докажем это утверждение.
Теорема. Если \- Мр ¦*-*¦ Wp для модальностей
М и М', то М = М'.
Пусть M = at ... am, M/ = pI ... pm, где щ, р, озна-
означают Q, () или пустое слово. Скажем, что МгэМ',
если при каждом i^m либо ai = pi, либо аг=П,
либо Р; = <С>.
Лемма. Если
т
\- Mjp, ..., Mkp ->M(p, ...
то найдутся i^.k, j^Ll такие, что МгГзМ/.
Доказывается индукцией по выводу без сечения.
Нужное утверждение следует из того, что М zd M'
и М' => М влечет М — М'.
§ 4. Системы S2 и S3
Эти ненормальные системы (Крипке [1965]) близки,
как показано в § 2 введения, соответственно к Г и S4.
Их исследуют обычно с помощью вспомогательных си-
систем Q2 и Q3 (Ониси и Мацумото [1957; 1959]). Эти
системы отличаются от LT и LS4 лишь формулиров-
формулировкой правила (->D); в случае Q2 требуется, чтобы анте-
антецедент был непуст, в случае Q3 правило имеет вид
D Г->Л Г->Р (р:эр). Л, ^ .
П Г -> П Л l-^UJss,
где р — произвольная переменная и антецедент Г не-
непуст.
Уже упоминавшийся перевод секвенций в формулы
позволяет доказать, что выводимость (перевода) секвен-
секвенции Г->Д в системе Si (i = 2, 3) эквивалентна выво-
выводимости секвенции ? (р => р), Г-> Д в Qi. Действительно,
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСХЕМА Г A965-1973) 435
все постулаты Qi выводимы (после перевода) в Si.
С другой стороны, для любой аксиомы" А исчисле-
исчисления Si секвенция D (р => р) ->¦ А выводима в Qi и,
кроме того, в системе Qi выводимо с помощью сечения
с секвенцией A, AzsB->B правило:
D (р =э р) -> A D (р =э р) -> А =э В
Доказательство теоремы об устранимости сечения
для рассматриваемых систем — почти такое же, как для
Т и S4. Единственное изменение состоит в том, что
в случае 2 леммы 3 следует ввести правило (Csi), отли-
отличающееся от (Сг) лишь требованием непустоты анте-
антецедента Д, и правило:
РА->Л А->Р(р=эр), А ПА,Т-+в(г ,
ПД,Г->6 ^S3)>
где список А непуст.
Ониси ввел также системы S2* и 53*, эквивалент-
эквивалентные соответственно S2 и S3 относительно выводимости
произвольных формул, а не только формул вида
П(рзр)эА
Система 52* получается, если вместо непустоты ан-
антецедента в правиле -> Q системы Q2 потребовать,
чтобы выше' -> ? нг было -> ? с пустым антеце-
антецедентом.
' Докажем, что выводимость Г -> А в S2* без сечения
эквивалентна выводимости П(р=зр), Г->А в Q2.
Дописывая D (р =з р) к антецедентам всех секвенций
данного 52*-доказательства, ниже которых нет заклю-
заключений ->Q, получим (^-доказательство.
Пусть дано Q2-доказательство без сечения:
•(-*>?)
где выделены применения правила, в которых участвуют
предки ?(/»=)/>).
436 Г. Е. МИНЦ
Можно считать, что таких (? ->) нет вовсе, так как
их можно заменить (устранимыми!) сечениями по pzDp.
Между указанными явно применениями постулатов и
самой нижней секвенцией нет других ->П, так как
иначе ? (р zd р) не могло бы сохраниться. Теперь
вычеркнем все предки антецедентного ? (pzDp). Аксиомы
перейдут в -*¦ П (р гэ р), выводы которого можно над-
надписать над ними, так как ниже нет ->?. По той же
причине не испортятся -> ?•
Система, которую мы назовем 53*, будет отли-
отличаться от системы, названной так у Ониси. Наша 53*
будет связана с семантикой «странных миров». Сек-
0
венциями в этой системе будут выражения Г->Д, где
Г, Л — списки формул, а — пустое слово или *. Про-
Пропозициональные постулаты системы 53* получаются из
соответствующих постулатов Q3 (т. е. из постулатов
о
исчисления высказываний) заменой -*¦ на —>; иными
словами, кроме ->-правил вводятся такие же -^-пра-
-^-правила. Правило (? ->) такое же, как для Q3. Правило
D Г -> А Г->А
D Г-*П Л
Аксиома: ? А -* A)
Таким образом, правило ^* ? отсутствует, а роль
D ~* играет аксиома A): это соответствует интерпре-
интерпретации ^-* как импликации в «странном мире», где все
D А ложны.
В отличие от 52* доказательство в S3* считается
корректным также и в том случае, когда ~ыше —> Q
имеются -> П с пустым антецедентом.
Эквивалентность выводимости Г->А в 53* без сече-
сечения и выводимости ? (р id р), Г->А в Q3 доказывается
чуть сложнее, чем в случае 52.
Переход от Q3 к 53* происходит так же, как в слу-
случае S2. * ставится в правых посылках ->? и во всех
секвенциях, расположенных выше. Из сукцедентов этих
секвенций вычеркивается П(р^>р)< Для обоснования
обратного перехода нужно лишь установить, что всегда
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965—1973) 437
можно выполнить ограничение на -> Q с пустым анте-
антецедентом. Если оно выполнено в данном -53*-доказа-
тельстве, то, приписывая {З(ртэр) к сукцедентам всех
секвенций, содержащих *, и вычеркивая затем *, полу-
получаем фигуру, которая достраивается до (ЭЗ-доказатель-
ства так же, как в случае 52.
Остается показать, как сделать непустыми антеце-
антецеденты тех ->?> ниже которых есть -> Q. Если ниж-
нижнее -> ? имеет непустой антецедент, все просто: допи-
дописываем его ко всем промежуточным антецедентам.
Если же нет, то преобразование сложнее: сукцедент
удваивается и один из экземпляров расщепляется
так же, как в выводе правой посылки нижнего ->?•
(Этот вывод происходит по правилам исчислечия выска-1
зываний из аксиом вида QC;->.)
? Ct -> D В
ь- ? в dc^ а г -> а в псг
->л, л
РГ->Л Г^Л ПГ->А ->А
D Г -> D А Г не пуст Г пуст
§ 5. Система S5
Опишем систему LS5, близкую как к системе Кан-
гера (Фейс, § 142), так и к системе Минца [1968], но
несколько более простую. Ближе всего она стоит к си-
системе семантических таблиц Крипке.
Формулы LS5 строятся, как и раньше, из пропози-
пропозициональных переменных и / с помощью Q, гэ, однако
запись секвенций будет изменена. Если А — формула,
то А-г- над черкну тая формула. Секвенции будут теперь
чисто сукцедентными, но некоторые члены будут над-
черкнуты (что можно понимать как указание, что их
следует считать находящимися в антецеденте). Кроме
438 Г. Е. МИ1Щ
того, некоторые члены секвенций будут собраны
в группы (которые соответствуют группам формул
с одинаковыми индексами у Кангера—см. Фейс, § 142—
или семантическим таблицам Крипке).
Таблицей будем называть любое выражение вида (Г),
где Г — непустой список формул и надчеркнутых фор-
формул. Выражение ( > будет обозначать пустое слово.
Заглавные греческие буквы Г, А, в, 2, II, Ф и т. д.
будут обозначать списки (возможно, пустые) формул и
надчеркнутых формул.
Произвольные списки таблиц будем называть сек-
секвенциями и обозначать буквами 5, Т, U, V и т. д.
Не будем различать таблицы, отличающиеся лишь
порядком членов, н секвенции, отличающиеся лишь
порядком таблиц.
Переводом таблицы {Аи ..., Ап, ?,, ..., Вт) назо-
назовем формулу ?(! А\ V ... V 1 Ап V Si V ... V Вт).
Переводом секвенции назовем дизъюнкцию переводов
входящих в нее таблиц.
Постулаты
Аксиомы: {А, А); (/)
Правила исчисления высказываний.
Структурные правила
5^> (сокращение) *<***> ?^ (утончение)
S. (Л. С) Т, (Ф, С) , ч
5,Г,(Д,Ф) (сечение)
гз-правила
S. (А. А В) , . S.(S.A) S, (А.Д) ,^_^
S, (Ь.А=>В) S. (Д, Az=>B)
Модальные правила:
Г. B), (А) , . г. jT.ly.ca) (п > • Г, <S.g>
. г. jT.ly.ca) (п >
; Г (S) (ПШ4)
(п
Г, (S), (П.Ш4) Г,
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965—1973) 439
Примеры выводов в L55:
(Р> Р)
(p. р)Л[)
(р), (Dp, f)
D<p),
(f, D(Dpz3/))
(p p,p)
После перевода все постулаты системы Z.S5 стано-
становятся выводимыми в 55. С другой стороны, все посту-
постулаты системы 55 выводимы в LS5 (если заключить все
формулы в угловые скобки). Поэтому LS5 эквива-
эквивалентна S5.
Приводимое ниже доказательство устранимости се-
сечения в ?55 аналогично доказательству из § 3.
k,F
Л е м м а 1. (Обращение правил.) 1. Если К5, (Г, А~>В),
то Н 5, (Г, А, В).
• 2. Если И S, (Г, ? Л), то \- S, (Г), (А).
3. Если V S, <Г>, B>, то "h S, (Г, 2>.
Докажем второй пункт. Слева — данное (k, /^-дока-
/^-доказательство, справа — новое:
_ <A,A>
<oA,aA> — h+-a)
S,<r,aA>
Остается только вычеркнуть повторения, возникшие на
месте -* П.
440 Г- Е. МИНЦ
Третий пункт:
S, <Г>, B)
5, (Г, S), (Г, 2)
S, (Г, 2>
утончения
0. F U {С} 0. F
Лемма 2. Если | 5, го |—S.
(С, С> S, <А, С)
i I
S. (Д, С) Т, (Ф. С) *•
s, г, (л, ф> 5, Т, <А, Ф>
Предки С заменяются на А, а к содержащим их
секвенциям дописывается 5.
k,FU {С) к, F
Лемма 3. Если | S, то \—S.
Рассмотрим случай С=ОА. Данное доказатель-
доказательство:
11,<Г,А> V,<Z,A>,<n>
<пА,аА> Ц<Г,оА> V,<X>,<n,aA>
S,<A,aA> Т,<Ф,оА>
S,T,<A,<P>
Нозое доказательство:
U,<T,A>, ^S,U,<
(лемма Щ
(лемма КЗ))
s,<a,da> si/<An sv<i><an>
Теорема 1. (Элиминационная теорема.) По вся-
всякому доказательству в LS5 можно построить доказа-
доказательство той же секвенции, не содержащее сечения.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И" СИСТЕМА Т A965-1973) 441
Доказывается с помощью леммы 3. .
Другой генцсновский вариант системы S5, не ис-
использующий понятия таблицы, был введен Минцем
[1968]. Секвенции этого варианта, который мы обозна-
обозначим L ? 55, строятся из формул обычным образом: это
выражения вида Г->А, где Г,-Л —списки формул.
Постулаты этого исчисления — это аксиомы, пропо-
пропозициональные и структурные правила классического
исчисления высказываний и следующие правила для ?:
U
' ПЛ. Г-> II А->Г, ПАК и'
^1) ... ))...), Г
Аа-+В,;....-Вт.Г
где А, Г — списки (возможно, пустые) модализирован-
ных формул (т. е. формул, в которых все вхождения
неременных находятся в области действия ?).
При обычном переводе секвенций в формулы посту-
постулаты этого исчисления выводимы в S5 и обратно. Чтобы
доказать устранимость сечения, достаточно промодели-
промоделировать без сечения выводы в LS5, не содержащие се-
сечения.
Если 2 — это список А{, ..., Л„, то 2гэЛ будет
обозначать^ A1zd(A2^2 ... гэ(Л„:эЛ) ...). Таблицу
(Л{, ..., Л„, Вг, ..., Вт) будем переводить формулой
П(Л1( ..., Л„, 1В„ ..., -\Bm=>f),
где В ^ (В zd f).
Переводом секвенции будем теперь считать дизъ-
дизъюнкцию переводов составляющих ее таблиц. Заметим,
что перевод устойчив относительно применения струк-
структурных правил (точнее, соответствующий перевод мо-
моделируется применениями правил исчисления L Q S5,
отличных от сечения). Например, утончение:
-»Г, nB=>f)
'— П (если 2 непусто)
2-^Г
утончение
С, 2 ->Г, f
442 г. Е. минц
Перестановка и сокращение моделируются анало-
аналогично. Обозначив Т. жирной буквой, мы воспользова-
воспользовались тем, что переводы таблиц начинаются с П..
Рассмотрим остальные постулаты LS5. Переводы
аксиом выводятся с помощью исчисления высказыва-
высказываний и ->Q.
Правила вывода. Пропозициональные правила модели-
моделируются аналогично структурным: применяется ?", затем
рассматриваемое правило, затем ->Q. Например, ->=>:
->7\ П(Л=эB=5AВ=э/)))
А, ?->Г, В
2->Т, Aid В
, f f, Ъ-+Т, f
l(Az>B), 2->Г, f
Модальные прави-ла. -*¦ П переходит в применение
того же правила. Рассмотрим D -*¦:
->
A
?
T, DO
->Г, 2
A-+T,
ПА-+Т,
П,
D A-*
4 =
2
П
D
f
(
Bгэ/
, П(Г
3f, П
ПB:
:)). ?
|(П =
= «.
(П
>f)
Пг
f
=>f)
а
утончение
,^ —' i'h I
-> Г, ? B zd f), D (П, П Л гз f)
Таким образом, L П S5 эквивалентно LS5 без сечения.
Раздел 2. СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНОГО ТИПА (ЛГ-СИСТЕМЫ)
Кроме описанных в главе I генценовских систем ло-
логистического типа, имеющих правила введения связок
в антецедент и сукцедент и приспособленных для ана-
анализа доказываемой формулы или секвенции, имеются
также системы натурального (или естественного) вы-
вывода. Доказательства в этих системах строятся в-форме,
максимально напоминающей обычные математические
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965—1973) Ц43
доказательства. 'В них предусмотрено, в частности, опе-
оперирование с допущениями: введение допущений и осво-
освобождение от них. Правил-а сист-ем натурального вывода
делятся «а две группы. Правила введения логической
связки позволяют доказывать формулы, в которых эта
связка является главной. Правила удаления логической
связки позволяют использовать уже доказанную фор-
формулу, в которой данная связка является главной. (Эта
формула называется главной посылкой правила удале-
удаления.) В доказательстве каждая формула зависит от
некоторых допущений. Для явного выражения этой
связи используются секвенции. Секвенция А{ Ап -> А
читается в этом случае: при допущениях Л, Ап
имеет место А.
При построении натуральных вариантов модальных
исчислений мы используем идею, примененную Пра-
вицем [1965] в случае 54 и S5: из А можно вывести
D А, если для каждого допущения Ait от которого за-
зависит А, на пути от At к А имеется некоторая мода-
лнзированная (в том, смысле, который этот термин
имеет для рассматриваемого исчисления) формула. (Для
исчислений слабее S4 эта идея будет естественным об-
образом модифицирована.)
Непосредственное оперирование символикой Правица
довольно затруднительно. (В частности, сам он не при-
приводит доказательства теоремы о нормальной форме для
модальных систем, а ограничивается замечанием о том,
что ее можно доказать.) Мы изложим некоторую моди-
модификацию, позволяющую упростить изложение и преоб-
преобразования.
Будем объединять в группы такие допущения, что
на пути от всех допущений этой группы к доказывае-
доказываемой формуле имеется модализированная формула (или
такую формулу мож«о было бы вставить).
Итак, формулы строятся из пропозициональных пе-
переменных и / с помощью id и П.
Выражения вида (Г), где Г—непустой список фор-
формул, считаются таблицами. Для исчислений, отличных
от S5, таблицами считаются также выражения вида
(Г,, ..., Тп), где Ти ..., Тп — формулы или таблицы.
Секвенция—это выражение вида Т.-*А, где Т —
список (возможно, пустой) формуя или таблиц. Как н
4:44 . Г- Е- минц ......
раньше, будем отождествлять таблицы, различающиеся
лишь порядком членов, и секвенции, различающиеся
лишь порядком антецедентных членов.
Постулаты, общие для рассматриваемых систем.
Аксиомы. А —*¦ А (Читается: «допустим А, тогда А»),
Правила исчисления высказываний.
Структурные правила: утончение и сокращение по-
повторений.
Логические правила,
гэ-правила:
В , _ ,
(=> • =>-удаление)
f-правила (здесь "| A tz. (A z> /):
~f~^X (У+^ ' г^»/Г "с> Д°казателЬств0 вот противного»).
Этих правил достаточно для того, чтобы (даже без
употребления ( )) можно было доказать все тавтоло-
тавтологии классического исчисления высказываний; z>~ с пу-
пустыми 5, Т представляет собой modus ponens.
§ 6. Система NS5
Список Аи ..., Ап, Ти ..., Тт формул и таблиц
назог.ем модализированным, если модализированы все
формулы Ль ..., Ап, т. е. если модализирован каждый
член списка, не находящийся внутри ( }. Модализи-
роианные списки и формулы будем обозначать жирными
буквами.
Правила для D:
(п+; ?-введение) Г^*^АА {О~, D-удаление)
Правила для ( ):
В заключении)
В посылке)
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 445
Правилами введения считаются гэ+, П* и f-npa-
вила.
Правилами удаления считаются гэ~ и ?". Главной
формулой правила удаления считается формула, содер-
содержащая удаляемый символ, т. е. А гэ В для гэ~ и D А
для П~.
Доказательство строится, как обычно, в виде де-
дерева, на вершинах которого стоят аксиомы, а переходы
сверху вниз происходят по правилам вывода.
Пример.
Dp-> Dp
DP-*P lp->pzpf
lp, Dp-*f
1р—1Пр
~1р-»Р~Шр
->~|р=>П 1Пр
Для доказательства эквивалентности NS5 и S5 удобно
ввести еще одну формулировку натурального типа
для S5, которую мы обозначим N~S5. Эта формули-
формулировка предложена, по существу, Сатром [1972]. В ней
отсутствуют таблицы, т. е. секвенции имеют вид
Л|, ..., Ап-*- А, где Л,, ..., А — формулы. Правила,
отличные от П+, —те же, что для NS5 (правила
для ( ), естественно, отсутствуют), а правило П+ таково:
r->Afi ... r->Affe Mi Af
DA
Здесь жирными буквами обозначены, как и раньше,
модалнзированные формулы и списки формул.
Прежде всего, N~S5 эквивалентно S5 при переводе
Аи ..., АП->А посредством А{ гэ(Л,=> ... =э(Л„=эЛ) ...),
так как при этом переводе все постулаты каждого из
этих исчислений выводимы в другом.
446 . г-Е- минц .
Далее, доказательство в N~S5 можно считать сокра-
сокращенной записью доказательства в NS5 без ( , ),
так как Пд+ можно заменить серией id* и примене-
применениями ?+, у которых все члены антецедента — модали-
модализированные; для случая k = 2 эта фигура такова:
Af,, M2, 2->Л
Ми М2, 2-> ? А
М2, 2->Ati => D А
2S-.^p(M,D ПА)
Г, 2->ПЛ
Теперь опишем перевод иа NS5 в N~S5. Для этого
будем постепенно заменять применения Q+» в которых
не все члены антецедента — модализированные формулы,
на фигуры, отличающиеся от ?Г разве лишь тем, что
они могут содержать ( , ). После того, как все «пло-
«плохие» D+ будут заменены, можно просто стереть ( , )
во всем доказательстве. Возьмем такое П+, в котором
не все члены антецедента — модализированные и над
которым нет других таких П+. Запишем соответствую-
соответствующую часть нашего доказательства в виде
где указаны те применения >3, в которых участвуют
предки G\). Преобразуем эту фигуру, заменяя предки {Т{)
(/==1, ..., п) на список
Sn гэ Af лi ... i Si
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973)
447
где С , Ср'гэ М обозначает С{ =э (С2 гэ ... zd (Cp zd M)...)
Mu
7V,..., 7nk , E -*aA
Так постепенно все плохие П+ заменяются на Di+.
§ 7. Нормальные выводы в NS5
Пусть в некотором доказательстве имеется участок
Т-*А
Тогда этот участок представляется естественным сре-
срезать, заменив его на Т-> А. Аналогичное преобразова-
преобразование можно будет осуществить и в других аналогичных
случаях.
Вхождение секвенции в доказательство называется
максимальным, если (с точностью до )„ и структурных
правил в антецеденте) оно является заключением пра-
правила введения и главной посылкой правила удаления.
Доказательство называется нормальным, если в нем
нет максимальных вхождений секвенций. Правиц [1965],
которому принадлежат эти определения, показал, что
нормальные доказательства а интуиционистском нату-
натуральном исчислении естественным образом соответст-
соответствуют доказательствам без сечения в логистическом
исчислении. Мы проведем аналогичное рассуждение
ниже для систем слабее S5, а здесь докажем теорему
о нормализуемое™ для S5, следуя Правицу.
Теорема 1. По всякому доказательству в NS5
можно построить нормальное доказательство с той же
последней секвенцией.
448 Г. Е. МИНЦ
Степенью данного Л^5-доказательства назовем наи-
наибольшую из степеней сукцедентов максимальных сек-
секвенций (причем в случае У+ будем учитывать степень
формулы Л). Теорему установим индукцией по степени
данного Л^5-доказательства. В случае NS5 (но не
в случае более слабых исчислений) можно считать, что
формула А в правиле fc — пропозициональная перемен-
переменная. Действительно, можно постепенно уменьшать степень
формулы А, пользуясь тем, что формулы 1 ~| (В гэ С) гэ
zd (В => С) (в случае А = (В =э С)) и ~| ~| П С гэ П С (в слу-
случае А = ПС) выводимы с помощью =>+, П+ (во втором
случае) и fc по формуле С.
Базис индукции по степени тривиален. Индук-
Индукционный переход обоснуем индукцией по коли-
количеству максимальных вхождений секвенций, сукцеденты
которых имеют наибольшую степень. Выберем одно из
таких вхождений, над которым нет других таких вхожде-
вхождений, и рассмотрим 3 случая в зависимости от применен-
примененного правила введения.
1. У+ заменяется на У+ меньшей степени: переход
от f по У+ к А гэ В и затем по гэ~ к В заменяется
на переход по У+ непосредственно от / к В и (если
нужно) утончениями в антецеденте. Переход / (- ? А \- А
заменяется на f\- А.
2. П-случай. Переход А (- ? А \- А упрощается, как
сказано выше, путем вычеркивания двух нижних сек-
секвенций.
3. гэ-случай. Слева—данное доказательство, справа—
измененное:
л->л
{Г}. 2->
Г, 2->В Г, 2">
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965—1973) 449
Символ {Г} означает (Г), если А — модадизирован-
ная формула, и Г в противном случае. Все предки анте-
антецедентного А заменяются на {Г}. Аксиомы А-+А заме-
заменяются на Г->Л вместе со старым выводом этой сек-
секвенции.
Применения правила П+, если они имеются на
участках от Л->Л до А, П->В, не испортятся, так как
в этом случае А должна быть модализированной фор-
формулой, и она заменяется на (Г), которое тоже счи-
считается модализированным. Именно это место в дока-
доказательстве требует введения всего аппарата ( ^выра-
^выражений.
Наконец, степень нового (участка) доказательства
меньше, чем степень старого. Нозые максимальные
вхождения секвенций могли появиться разве лишь на
месте аксиом А->А, если Г->Л получалось по правилу
введения, а Л->Л было главной посылкой правила
удаления. Однако и в этом случае степень равна сте-
степени формулы А, которая меньше степени A zd В. Дока-
Доказательство теоремы закончено.
Сформулируем в несколько упрощенном виде извест-
известные результаты (Правиц [1965]) о структуре нормаль-
нормального доказательства, показывающие, в частности, что
оно обладает свойством подформульности.
Теорема 2. Любая формула, входящая в нор-
ма'льное доказательство, является подформулой нижней
секвенции или отрицанием подформулы, входящей в ее
сукцедент; если при этом доказательство заканчивается
правилом удаления, то сукцедент является подформу-
подформулой антецедента.
Теорема доказывается индукцией по высоте рас-
рассматриваемого нормального доказательства. Нормаль-
Нормальность используется в индукционном переходе при дока-
доказательстве второй части теоремы: над главной посылкой
правила удаления не может стоять правило введения,
поэтому применимо предположение индукции.
Замечание. Можно было бы определить понятие
нормального доказательства для N~Sb и доказать для
этой системы теорему о нормализации. Мы не будем
этого делать, так как понятие нормальности для N 55
слишком громоздко.
450 Г. Е. минц
§ 8. Система NS4
Эта система отличается от NS5 определением секвен-
секвенции (теперь внутри ( ) могут содержаться другие ( )),
определением модализированной формулы (теперь мода-
лизированными считаются только / и формулы, начи-
начинающиеся с ?) и формулировкой правила K:
Таким образом, изменению подверглись лишь пра-
правила K и П+.
Можно было бы доказать эквивалентность NS4 и S4
тем же методом, что и для NS5 и S5; однако мы проде-
продемонстрируем другой метод, дающий одновременно теоре-
теорему о нормализации и представляющий собой обобще-
обобщение на модальные системы метода Празица [1965; при-
приложение]. Этот метод показывает, что понятие нормаль-
нормального доказательства в М-системах является эквивалентом
понятия доказательства без сечения в L-системах.
Образом секвенции Г->2 назовем секвенцию
Г, 12->/. Заметим, что переходы
Г, -]2, -] А-»f Г, ~J-*А ,и
1'
позволяющие «восстановить» в сукцеденте один из чле-
членов старого сукцедента и производить обратное преобра-
преобразование, выполняются средствами NS4: первое из них —
это правило /с, а второе — это применение =э~ с главной
посылкой ~\А~*~\А (напомним, что ~]А — это А =э f).
Теорема 1. По всякому LSA-доказательству секвен-
секвенции S можно построить нормальное NSA-доказательство
образа этой секвенции. В частности, если S есть Г -*• А,
то (с помощью A)) можно построить нормальное дока-
доказательство S.
Будем вести индукцию по высоте данного /^-дока-
/^-доказательства D без сечения. В случае, когда D заканчи-
заканчивается сукцедентным правилом, следует применить A)
и то же самое правило. Пусть D заканчивается анте-
антецедентным правилом. Запишем образы посылок и заклю-
заключения и надпишем над посылками их 'нормальные
Л^54-доказательства, имеющиеся по индукционному пред-
предположению.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965—1973) 451
1. zd->. Справа — нормальное ..^^доказательство
заключения.
ЛгэД, Г-»Д
1А, Г-»/ Д, IW {Л=зБ, r},r->f
Л=эВ, Г->/ ЛэВ, T-*f
Все предки антецедентного В заменяются на {ЛгэВ, Г},
где { } обозначает ( ), если В — модализированная
формула, и пустое слово в противном случае. Макси-
Максимальных секвенций не появляется, так как за добавлен-
добавленным fc следует правило удаления, причем заключение fc
не является его главной посылкой, и на месте старых
аксиом В->В появляется доказательство, заканчиваю-
заканчивающееся правилом удаления.
2. ?-*
. . ? А-+ ? А
¦ ¦¦¦¦ А-+Л ———-—
ПА->Л
П А, Г->/
пл.г-/
Все предки антецедентного Л заменяются на ? Л.
Теорема доказана.
Обратное утверждение, т. е. теорема о том, что
NSA-доказуемость влечет LSb-доказуемость, можно
было бы установить путем обратной перестройки, однако
эта перестройка оказывается более громоздкой. Поэтому
лучше ввести систему N~Si по аналогии с N~S5 (т. е.
путем выбрасывания ( ) и добавления правила Di
с новым понятием модализированной формулы), а затем
применить тот же прием, что в случае 55.
452 Г. Е. минц
§ 9. Системы NT, NS2 и N~S3
Язык системы Л^7" — тот же, что у NS4, но ( )
имеет другой смысл: с выражением (? Аи ..., ? Ап)
можно.обращаться, как со списком Аи ..., Ап, а в общем
случае группу допущений, заключенную в ( ), должно
отделять от доказываемой формулы применение П~.
Правила этой системы, отличные от П*, те же, что
в NS4, а правило K отсутствует. Вместо этого есть
два варианта правила П~:
Г-»РЛ ( -ч Г-»ОЛ (Г,),..., (Г»)-» Л
Г->А KU > (Г)-»Л Г,, ..., Г„->ПЛ
с> г^'д (утончение),
где С — формула (и не может быть таблицей, что до-
допускалось в NS5 и NS4).
Система N~T получается из NT выбрасыванием ( , )
(в частности, из формулировки правила ?"") и заме-
заменой Ог на правило:
Г-> D А\ ... Г-»Р Ап Ах А„,2->А
Г, П2->Л
Утверждение о том, что NT содержится в Т, доказы-
доказывается теперь с помощью N~T так же, как аналогичное
утверждение для S5.
Теорема 1. По всякому LT-доказательству секвен-
секвенции S можно построить нормальное NT-доказательство
образа этой секвенции. В частности, если S есть Г -> А,
то можно построить нормальное доказательство S.
Обосновывается аналогично теореме 1 § 2. При рас-
рассмотрении ^ ->--случая не нужно даже вставлять ( ).
По-новому рассматривается лишь правило —>?:
А ,
Ах) (ПАп)->А +
4, ПЛ„->ПЛ u
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965—1973) 453
Перейдем к натуральным вариантам S2 и S3.
Система N52 получается из NT наложением ограниче-
ограничения: доказательство считается корректным, только если
выше П+ нет П+ с пустым антецедентом. Доказатель-
Доказательство эквивалентности NS2 и S2 (с помощью исчисле-
исчисления N~S2, которое получается из N~T наложением
того же ограничения) и теоремы о нормализуемости —
такие же, как для Т.
Натуральный вариант системы S3 целесообразнее
всего было бы строить по образцу S3*, но описание
такой системы довольно громоздко, и мы предпочтем
формулировку типа N~. Язык системы N~S3 — такой же,
как у других систем типа N~: секвенции имеют вид
Г-+А, где Г—список формул, А—формула. Правило П +
имеет вид
Г1->РЛ1,...,'1У>РЛЙ ПА{ ПАк->А А{ Ak,~\U{p=>p)-+A
Г -> D Л
Раздел 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ ДЕДУКТИВНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
§ 10. Нормальные расширения S5
Приведем доказательство следующего результата
Скроггса [1951].
Любое собственное нормальное расширение пропо-
пропозиционального S5 характеризуется конечной матрицей
с единственным выделенным значением.
Мы укажем способ нахождения такой матрицы по
синтаксическим характеристикам рассматриваемого рас-
расширения.
Нормальным расширением S5 называется при этом
любое множество пропозициональных j=>, f, ?}-формул,
содержащее все аксиомы S5 и замкнутое относительно
подстановки и modus ponens (позднее будет установлено,
что любое такое расширение замкнуто и относительно
приписывания знака Q). Расширение называется соб-
собственным, если оно непротиворечиво (не содержит /),
но содержит формулу, не выводимую в S5.
Так как речь идет о расширениях S5, можно в силу
результатов § 1 ограничиться формулами степени 1,
454 ' г. «. минц
точнее, конъюнкциями формул вида
? '?>'&? Л2& ... &? ?>*=>?,?>, V ... V П А* A)
где /г < 2", Д, Z)'— различные дизъюнкции вида
Р'1 V ... VPS;, e, = 0, 1, B)
р'±^р, р°±^р и pi, ..., prt — полный список перемен-
переменных, входящих в рассматриваемую формулу. Каждый
из знаков ?', ?, может обозначать ? или пустое
слово. Говоря в дальнейшем о формулах вида A), мы
будем иметь в виду, что выполнены и эти дополни-
дополнительные условия. Действительно, любую невыводимую
и неопровержимую в S5 формулу первой степени можно
свести к требуемому виду, добавляя недостающие члены
дизъюнкций с помощью
D^((DVP)&(DV1P)). C)
Условие k < 2" эквивалентно непротиворечивости по-
посылки в A), после чего условие D' Ф Dj при 1=^/^&,
1^/^/п гарантирует невыводимость формулы A).
Обозначим посредством Кп (п^1) «-элементную
55-модель Крипке. Способом Прайора (см. Крипке [1963]
в настоящем сборнике) Кп определяет матрицу с един-
единственным выделенным значением. Поэтому достаточно
доказать наше утверждение для /(„. Через S5n обозна-
обозначим множество всех формул, общезначимых на Кп-
Степенью s(E) нормального собственного расшире-
расширения Е системы S5 назовем наименьшее в такое, что
все формулы из Е, невыводимые в 55, приводятся
к конъюнкции формул вида A) с т = ст+ 1.
Л е м м а 1. (а) Для произвольного m формула вида A)
общезначима на Кт-\ и опровержима на Km-
(b) Произвольная формула опровержима на Кт
тогда и только тогда, когда из нее выводима в S5
формула вида A).
Доказательство, (а) Если Dt (l^i^w) опро-
опровергается в некотором мире из модели Кп то все осталь-
остальные дизъюнкции вида B) выполняются в этом мире.
Поэтому для опровержения заключения импликации A)
нужно не менее m миров. Этого и достаточно ввиду
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И .СИСТЕМА Т A965-1973) 455
наших условий на формулу A); все члены лосылки
будут выполнены в такой минимальной ко.нтрмодели.
(Ь) следует из (а).
В силу леммы ls(?)^l, так как формула, опро-
опровергающаяся на К\, противоречива: 'при оценке на К\
пл-д.
Теорема 1. Е — S5s(E). В качестве аксиомы
для So (m— 1) при m > 1 можно взять любую формулу
вида A), а также любую формулу, общезначимую
на Km-i и опровержимую на /Cm-
Для доказательства установим лемму о разреши-
разрешимости булевских уравнений, позволяющую переводить
любую формулу вида A) в любую другую формулу
того же вида (с тем же т).
Лемма 2. Пусть Fu ..., Fm—-произвольные фор-
формулы, не содержащие переменных рх рп и такие,
что при любых 1ф] выводимо 1 Fj^dF/. Пусть Dit .. .
. .., Dm — дизъюнкции вида B). Тогда система уравнений
(?>!=> Л) (Dm=)Fm)
разрешима относительно неизвестных р] рп.
Действительно, решение дается формулой
Pi= & Fk A = 1, ..., п), D)
где конъюнкция берется по правым частям всех урав-
уравнений, в левые части которых pt входит без отрицания.
Пустая конъюнкция обозначает, как обычно, истину.
Две формулы будем называть в этом параграфе
дедуктивно равными, если они выводимы друг из друга
средствами S5 с правилом подстановки.
Лемма 3. Любые две формулы вида A) с одним
ic тем же m дедуктивно равны.
Доказательство. Сначала покажем, как сделать
такие подстановки, чтобы m не изменилось, a k стало
равно 0. Назовем дизъюнкции D' и D' соседними по
переменной р, если они различаются лишь знаком р.
Так как k < 2п, то найдутся i^.k, l^n такие, что D1
не является соседней по pt ни с одной дизъюнкцией D1:
ведь, переходя от соседа к соседу, можно пройти все
дизъюнкции вида B). Будем для простоты записи счи-
считать, что / = /=1. Можно также считать, что ?)' =
= 1 Pi V D: иначе нужнозаменить pi на 1 р^. Подставим
456 г- Е-
теперь вместо рх формулу pi&D. Тогда ?>' перей-
перейдет в тавтологию, так что D D1 можно вычеркнуть.
Дизъюнкция Df или Df вида р\ V Е при ЕфО перей-
перейдет в (формулу, эквивалентную) р\ V Е. Наконец, дизъ-
дизъюнкция pi V А которая может, согласно нашему вы-
выбору, входить разве лишь в заключение импликации A),
перейдет в D и ее можно ослабить (вместе со всей
формулой) до pi V А Итак, считаем, что k = 0.
Теперь, с помощью леммы 2 можно вывести из фор-
формулы A) с k = 0 любую другую формулу вида A)
с & —0 при условии, что знаки Di у этих формул
имеют один и тот же смысл, или Di у первой фор-
формулы есть П> а у второй — пустое слово. Для этого
надо взять в качестве Fu ..., Fm список дизъюнкций
второй формулы. Осталось вывести из формулы
А V ? А V ... V ? Dm E)
формулу
? А V ? А V ... V ODm. F)
Пользуясь леммой 2, получим из формулы E) любую
формулу Ft V ? F2 V ... V ? Fm, где Fu ..., Fm — раз-
различные дизъюнкции вида B). Добавляя лишние дизъ-
дизъюнктивные члены, получаем любую дизъюнкцию вида
Л V ? А V ... V ? Ал- Взяв конъюнкцию всех таких
членов, вынося по дистрибутивности общий член
? А V • • • V ? Dm и пользуясь тем, что оставшаяся
конъюнкция дизъюнкций тождественно ложна, получаем
искомое.
Доказательство теоремы 1. В силу леммы 1
EczS5s(E). В силу лемм 1 и 3 S5s(?)rj?. Вторая
часть теоремы также следует из лемм 1 и 3.
Теорема 2. Любое нормальное расширение S5
замкнуто относительно П-введения (Скроггс [1951]).
Имеется единственное собственное нормальное расши-
расширение 55 формулами от одной переменной: 55+ (О/7 =>
=> ? р) (Гэрденфорс [1972]).
Теорема следует из леммы 3, так как D-введение
не меняет m в A), а для формул от одной переменной
возможны лишь случаи т=1 (дополнительная акси-
аксиома ? р, дающая противоречивую систему) и /л = 2
(дополнительная аксиома ? ~] р V ? Р, т. е. <Q> p => ? р).
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 457
§ 11. Импликативные фрагменты модальных систем
Согласно первоначальному плану, этот_ параграф
должен был содержать изложение результатов статьи
Хэкинга [1963], в которой строятся аксиоматики для
=Ф-фрагментов рассматриваемых нами модальных си-
систем. Это делается с помощью генценовских вариантов
этих систем, отличных от описанных в главе I.
Однако доказательства теорем об устранимости
сечения из систем Хэкинга довольно громоздки; в част-
частности, сечение неустранимо из доказательств некоторых
секвенций рассматриваемого языка, хотя и устранимо
из доказательств формул. Кроме того, аксиоматики
Хэкинга для импликативных 52 и Г содержат громозд-
громоздкие и трудно обозримые правила.
Поэтому в настоящем разделе будут даны новые
доказательства полноты аксиоматики Хэкинга для
^-фрагментов S3, S4 и (несколько упрощенной согласно
Мередиту — Прайору [1963] аксиоматики) 55, а также
даны новые аксиоматики для 52 и Т.
Внимание к =ф-фрагментам обусловлено тем, что
системы Льюиса были введены для изучения строгой
импликации, но в обычных формулировках строгая
импликация так тесно переплетена с другими связками,
что ее трудно от них отделить.
=^-фрагмент системы 5 будем обозначать через IS.
=#-формула строится из пропозициональных переменных
с" помощью =ф. Она считается модализированной, если
она отлична от переменной (в этом случае ее главная
связка есть =^). Модализированные формулы и списки
таких формул выделяются жирным шрифтом. Говоря
о выводимости формулы или секвенции, содержащей =ф,
в системе, где эта связка не является исходной, мы
будем иметь в виду определение: (Л =ф В) ±; ? (Л zd В).
Если Г обозначает список А\ Ап, то
# ... =Ф(Л„# В) ...))•
Рассмотрим сначала /S3 и /S4.
Правило modus ponens для =#•: Л,
Аксиомы
/S3
1. А=$А 2. А^{В=Щ>С), (А)(
3.1. (В=ФС), (А=$В)=$(А=$С) 3.2. М,
468 ¦ •. ¦ Г. Е..МИНЦ
ISi
1, 2 и Af, Л==>А1.
Установим, прежде всего, теоремы о дедукции для ISi
(f = 3, 4).
Теорема 1.
ISi iSt
(a) Г, Л I- В влечет Г \- А =# В.
/S3 /S3
(b) Г, Alb-В влечет Г|-М=фВ.
/S3 /S3
(c) А, Г у-В и r\-A=$N влечет Г|-Л==>В.
Доказательство. Пункты (а) и (Ь) доказываются
так же, как обычная теорема о дедукции. В доказа-
доказательстве пункта (с) отличие возникает лишь при полу-
получении М|- А=ФМ. Имеем:
Afl-JV=#Af (акс. 3.2) Ь- Л=фА1 (акс. 3.1 и h-A=$>N).
Теорема о дедукции вместе с правилом modus
ponens (и транзитивностью импликации для /S3) дает
возможность быстро находить доказательства =#-формул.
Следствие 1. При г = 3, 4
isi rsi
(a) Г, Af|-В влечет Г, А =$> М h-A =$ В;
ISi
(b) Г=$В; В=ФСЬГ=#С;
ist
(c) Г#В; Г„ С, Г2, С Г„,
ISI
Н-Г,, (В«ФС), Г, Г2, (В«ФС), Г, ....
ISI
(d) ь(Г, Л, М=ФВ)=Ф(Г, М,
/Si
(e) ИГ, Л Л=^С)=#>(Г,
Замечание. Пункт (Ь) верен и при пустом Г,
пункт (с) верен при пустом Г, если В — модализирован-
ная формула.
Доказательство, (а) следует из пункта (с)
теоремы.
(Ь) следует из транзитивности импликации, если Г —•
одночленный список, и получается многократным при-
применением (а) в противном случае.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965—1973) 459
(c) получается многократным применением (а), (Ь) и
пункта (Ь) теоремы. '
(d) В силу (а) можно считать, что Г пуст. Теперь
применяем пункт (с), а затем пункт (Ь) теоремы к соот-
соотношению Л=Ф(М=Ф#), М, А\-В.
(e) Достаточно доказать (А=^(А=$С))=Ф(А=$С),
что следует из аксиомы 2 (при В=Л) в силу (d) н
аксиомы 1.
Теорема 2. ^-формула выводима в Si (i = 3, 4)
тогда и только тогда, когда она выводима в ISi.
Доказательство. Все постулаты ISi выводимы
в Si, поэтому надо обосновать лишь переход от Si
к ISi. Применим метод Кринке [1959], описанный в ра-
работе Белнапа и Уоллеса [1965]. Будем использовать
доказательства без сечения в Z.S4 и в S3* (которое
обозначим также через LS3). Образом секвенции
а
Alt ..., Ап-*А, A)
где а — пустое слово или *, назовем любую формулу
вида
DM,-, .... DMfjk=#n% B)
где Q°(BzDC)tzB=^C и n°D^D для формул D, не
являющихся импликациями. Образом -*¦ А считается
? °Л. Заметим, что в списке iit ..., 1^ могут быть по-
повторения, и:этот список не обязан включать все числа
от 1 до п.
Достаточно доказать следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть односукцедентная секвенция S
построена из переменных с помощью Q, э и не со-
содержит подформул вида (Е zd F) :=> G, Q ? E и Dp.
LSt
Если I— S,to в ISi выводим некоторый образ S. Если,
кроме того, S имеет вид Аь ..., Ап> С^> А, причем А
не имеет ,ви.да FzdG, С — переменная, a At имеет вид
/S3
Ft=iG{ (i=l, ..., п), то либо !-?%,..., Q0 Аа=ф
/S3-
=ф(С=фЛ), либо Н D%-, ..., ?М,-Д=^(С=^М) дляне-
которых 1^/„ ..., ik^n, M.
Лемма обосновывается индукцией по высоте данного
доказательства в LSi. Вычеркивая, начиная сверху,
460 . ¦ г- Е. МИНЦ
«лишние» вхождения в сукцедент, можно добиться того,
чтобы он был одночленным для любой секвенции из
данного доказательства. Базис индукции, а также ин-
индукционный переход в случае структурных правил и
?-v очевидны. Правило :=>-> рассматривается с по-
помощью пункта (с) следствия.
Правило -* П. В силу теоремы об обратимости
для -> :=> можно считать, что любому применению этого
правила непосредственно предшествует —*¦ zd:
? Г. С->А (Г, СЛЛ) m
где правая посылка отсутствует в случае S4. Если вы-
выводимый (по индукционному предположению) образ
левой посылки содержит С, то, используя пункт (d)
следствия, сдвигаем влево все экземпляры формул
из D Г, а затем, используя (е), объединяем формулы С.
Аналогично поступаем в случае LS3", если для правой
посылки имеет место первая из альтернатив, указанных
в формулировке леммы. Если же имеет место вторая
из альтернатив, применяем пункт (с) теоремы о де-
дедукции.
Правило -^> гэ не нуждается в рассмотрении, так как
может входить лишь в состав фигур A).
Правило гэ —>. Опуская все утончения максимально
вниз, получаем, что в антецеденты -^--секвенций входит
не более одной переменной. При этом :=> ^* переходит
в фигуру:
2,, С Л-и V. Л2ЛА „.
U=>V. 2. С 4- А ' ^
где 2|, 22 — части списка 2. (Модифицируются также
правые посылки фигур A): из них вычеркиваются не-
некоторые переменные.) Если для первой посылки в B)
имеет место вторая альтернатива, т.е. I- D°2,, С=ФAf,
то она же имеет место для заключения. В противном
случае проходит тот же прием, чю и в случае Z2 ->.
Недостающие члены антецедента добавляются с по-
помощью аксиомы 3.2. Доказательство закончено.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 461
JS2 и IT
Импликативные фрагменты систем S2 и. Т, обозна-
обозначаемые ниже через IS2 и IT, не могут быть аксиома-
аксиоматизированы с помощью конечного числа схем аксиом
и modus ponens для =ф. Более того, как показано в ра-
работе Крипке [1965], недостаточно даже бесконечного
числа схем аксиом, имеющих ограниченную модальную
(т. е. в рассматриваемом случае импликативную) сте-
степень. Однако удается обойтись единственной схемой
аксиом Л=фЛ и последовательностью правил, похожих
на modus ponens (и еще более похожих на правило
удаления импликации).
Рассмотрим сначала более простой случай си-
системы /S2.
Правила вывода IS2:
Г. S =ф (А =ф В) 2 =ф А Г. П =ф (А =ф В) П, С =ф А
Г. 2 =ф В Г, П, С 4 В
где 2 и Г, II — непустые списки формул. Напомним,
чтоД, ..., Л„=#» В означает формулу Л, =Ф ... =$(Ап=$>В).
Как и в случае S4, переход от /S2 к S2 не составляет
труда.
Для доказательства обратного перехода рассмотрим
натуральную систему NS2. Формулы этой системы —
это =Ф-формулы, а секвенции имеют вид Г-»Л, где
Г — список формул и таблиц (построенных из списков
формул с помощью ( )). Если Г и 2—списки, то [Г; 2]
означает результат «слияния» списков Г и 2: они
объединяются, после чего из 2 вычеркивается столько
вхождений каждой таблицы Т, являющейся его членом,
сколько их имеется в списке Г. Например, [(Л), (А), А,
(В); (Л), ((Л», (В), (В)] есть {А}, (Л), Л, {В), ((А)), (В).
Аксиомы: А->А.
Правила:
Г, -> А гф В Тг-> А _^_ Т, -> А =Ф В Гг =ф А
[ТХ;Т2)->В -* [(Г,); Г,1->В
(Г,) (Г„). А->В _^+ Т-+А
Тх Тп^А=$В ^ С,Т->А'
Доказательство в NS2 считается корректным, только
если ниже =ф+ с пустым антецедентом (п = 0) нет дру-
других =ф+.
462 Г. Е. минц
Наметим доказательство того, что всякая формула А
системы 12, доказуемая в S2, имеет нормальное доказа-
доказательство в NS2 (как и раньше, доказательство считается
нормальным, если в нем нет максимальных (вхождений)
секвенций). Рассмотрим доказательство секвенции -*¦ А
в LS2 без сечения. Вычеркивая, начиная с аксиом,
лишние вхождения формул в сукцеденты секвенций,
добиваемся, чтобы все входящие в доказательство сек-
секвенции были односукцедентными. После этого, применяя
тот же метод, что в § 8, ио без перенесения сукцедента
в антецедент с отрицанием, получаем нормальное дока-
доказательство в NS2, не содержащее f. Вместо правила
сокращения повторений можно использовать [ ]. В полу-
полученном доказательстве заключение П~ может быть
лишь главной посылкой гэ~: оно не может служить
малой посылкой из-за свойства подформульности. По-
Поэтому такую пару Q~", ir>~ можно заменить на ф .
Наконец, применяя аналог теоремы об обратимости,
можно добиться того, чтобы непосредственно над ?"*"
стояло гэ+, а затем заменить такие пары на =Ф+.
Изучим подробнее структуру нормальных Л/^-дока-
зательств. Заметим, что нормальное доказательство
формулы (т. е. секвенции с пустым антецедентом) оканчи-
оканчивается правилом =ф+ с пустым антецедентом (н вообще
нормальное доказательство секвенции с пустым анте-
антецедентом заканчивается правилом введения). В силу
условия корректности N/2-доказательств это — един-
единственное =Ф+ с пустым антецедентом. Поэтому един-
единственная секвенция с пустым антецедентом — нижняя
секвенция.
Пусть V — вхождение формулы в качестве члена
(некоторой таблицы) антецедента некоторой секвенции
из такого доказательства. Порядок V — это количество
пар ( ), в области действия которых находится V.
Порядок секвенции — это максимальный из порядков
ее антецедентных членов.
Докажем, что для каждого числа i, не превосходя-
превосходящего порядка данной секвенции с непустым антецеден-
антецедентом, найдется ровно один антецедентный член, имеющий
порядок /. Отсутствие пропусков (для каждого i имеется
член порядка г) получается индукцией по высоте дан-
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A065—1973) ^63
ного доказательства с использованием непустоты анте-
антецедентов. Если бы два разных члена имели порядок /,
то оба они (точнее, их потомки, которые различны, так
как нет правила сокращения) исчезали бы из антеце-
антецедента при одном и том же применении =#+, что не-
невозможно.
Отсюда следует, в частности, что в нормальном
Лг52-доказательстве не применяется утончение.
Будем теперь выписывать антецедентные члены
секвенций по убыванию их порядков, вычеркивая все
вхождения ( ). Образом секвенции Л] Ап-> А
назовем формулу Аи ..., Л„=#Л.
Остается только заметить, что переход от образов
посылок правил NS2 к образу заключения, происходит
по правилам /2 (в случае =ф и утончения) или является
тождественным переходом (в случае =#+).
Обратимся теперь к системе IT.
Пусть т±;р=#р. Списки Ах А„ и Ви ..., В„
будем называть согласованными, если при всяком i^.n
из Ai Ф Bt следует, что At есть т или Bt есть т. Если Г
и 2— согласованные списки, то Гх обозначает результат
замены в Г всех членов вида т на соответствующие
члены списка 2. Таким образом, Гх = 2г.
Система IT задается правилом modus ponens для ==>,
схемой аксиом А^А и правилами
А и,
где либо списки Г и S, либо списки Г и 2, т согласо-
согласованы.
Корректность всех постулатов доказывается выводом
в Т соответствующих секвенций: (Г, Л=#В)&B=#А)-*
-ъТъ^В для первого правила, П А=>(С=^ А) для вто-
второго и (Q, т=^Л)=#(?2, С=^А) для третьего.
Полнота системы IT (т. е. выводимость в ней всякой
=ф-формулы, выводимой в Т) доказывается с помощью
системы NIT, отличающейся от NS2 лишь отсутствием
каких-либо ограничений на =#+ с пустым антецедентом.
Порядок вхождения формулы в секвенцию опре-
определяется, как и для WS2, однако теперь могут быть
пропуски: для некоторых i, не превосходящих порядка
464 г. е. минц
секвенции, могут отсутствовать члены порядка /. При
построении образа секвенции на место пропусков вста-
вставляется т. После этого =$+ становятся тождественными
переходами, =#~ переходят в применения первого из
правил A), а утончения — в применения последних двух
правил.
/S5
Схемы аксиом:
; А,
Единственное правило — modus ponens для =$>.
Для доказательства полноты можно было бы вос-
воспользоваться тем же методом, что в случае S4, но
мы применим метод нормальных форм Мередита и
Прайора [1965].
Введем некоторые сокращения (напомним, что в на-
нашем языке нет связок V, <0):
М V Nt^
О Pi. •••> ОРл. г-> 0 <?i. •••> <>Яп, М-ь .... M.i^
^Рх Рт, Г->0<7. V ... V OqnVMi V ... V Mt.
M — N означает выводимость в /55 формул M=^N и
М = N & Q — выводимость M^N, M^Q и
Q)
Длинные, но несложные выводы в /S5, подтвер-
подтверждающие, что наши & и V обладают обычными свой-
свойствами, читатель может найти у Мередита и Прайора
[1965]. Нам, в частности, понадобятся равенства:
Г->А, (р^М)=Ор, Г-»А, М;
Г-*А, (M^N) = M, Г^А, N;
Г->А, (Л1=#р) = Л1, Г->А, Up;
Г->А = (Г^А, Пр)&(М, Г^А);
Г->А = (Г-^А, M)&{N, Г->А);
Г->А = (Г->А, М)&(Ор, Г-*А).
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 465
Эти равенства позволяют свести любую " формулу
к конъюнкции секвенций вида
->O«i> •••> 0 ««!.
B)
Такая секвенция выводима в /S5, если является
тавтологией секвенция одного из видов
ри Г->Д, Г->Д, о;, Г->Д, xk->yk,
где
' —»- <?2> • • • > <7т2) /"] —> S[| . . ., Гт> —> Stnt,
Д^И, .. ., «„,.
Если же это условие непосредственной выводимости
не выполнено, то B) невыводима в S5 (см. § 1), а зна-
значит, и в /S5.
Эти рассуждения показывают, что /S5 действительно
совпадает с импликативным фрагментом S5.
§ 12. Финитная аппроксимируемость
В этом параграфе нам удобно считать, что рассма-
рассматриваемые исчисления заданы в языке {&, V. . ?},
а не в языке {/, гэ, ?}, как раньше. Пусть фиксирован
некоторый класс К конечных алгебр Ш = (М, D, &, V»
, ?). где М — конечное множество, D cr M, а &, V. 1.
П—операции на М (с тем же числом мест, что и
соответствующие логические связки; мы обозначаем их
одинаковыми буквами, чтобы не усложнять символику).
D называется множеством выделенных значений.
Формула F общезначима на М, если после любой
подстановки элементов из М вместо пропозициональных
переменных эта формула (точнее, то алгебраическое
выражение, в которое она переходит) принимает значе-
значение из D.
Говорят, что исчисление И финитно аппроксимируемо
алгебрами из класса К, если выводимость в И экви-
эквивалентна общезначимости на всех алгебрах из /С.
Если класс К рекурсивно перечислим, то финитная
аппроксимируемость дает разрешающий алгорифм для
выводимости в И. Для проверки формулы F на выводи-
466 Г. Е. МИНЦ
мость следует разворачивать процесс поиска вывода F
в И и процесс поиска опровержения F на алгебрах
из К- Один из этих процессов через конечное число
шагов закончится и даст ответ (положительный в пер-
первом случае, отрицательный во втором) иа вопрос о вы-
выводимости.
Для наших «стандарных» исчислений S\—S5 и Т
в настоящее время известны такого рода доказательства
разрешимости. Однако, при изучении этих доказательств
автор заметил, что все они подчиняются общей схеме,
которая позволяет доказать несколько более сильный
результат и в то же время избежать введения алгебраи-
алгебраической терминологии и провести все доказательство
в чисто дедуктивных терминах. Отметим, что особенно
просто эта схема проводится для интуиционистского
исчисления высказываний (которое мы здесь не рас-
рассматриваем).
Пусть d — вычислимая функция. Будем говорить,
что исчисление И d-аппроксимируемо, если каждый
вывод в И можно, не меняя его последней формулы,
перестроить таким образом, чтобы степени всех формул,
входящих в новый вывод, не превосходили d(k), где
k — степень последней формулы, а все переменные,
входящие в новый вывод, входили бы и в эту формулу.
Для исчисления с конечным числом схем аксиом и
правил вывода d-аппроксимируемость влечет разреши-
разрешимость проблемы выводимости. Действительно, для каж-
каждого / имеется лишь конечное число формул степени ^ /,
составленных из данных переменных. Из них можно
построить лишь конечное число конечных последова-
последовательностей с различными членами. Если данная выво-
выводимая формула имеет степень s, то ее вывод имеется
среди таких последовательностей для l = d(s).
Общая схема доказательства такова. Для каждой
формулы F фиксируется некоторое конечное множество
M(F), включающее все подформулы F. На этом множе-
множестве определяются булевские операции &F, V f, 1F и
доказывается, что они, в определенном смысле, совпа-
совпадают с операциями, которые определяются булевскими
связками &, V, 1. M(F) соответствует свободной буле-
булевой алгебре, порожденной подформулами F. Затем на
M(F) определяется операция ?/, не совпадающая,
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 467
вообще говоря, с П. Основная часть доказательства
финитной аппроксимируемости состоит при нашем под-
подходе в проверке того, что приписывание нижнего
индекса F ко всем знакам логических связок переводит
доказательство в рассматриваемой модальной системе
в фигуру, которую можно достроить до доказательства,
не повышая модальных степеней входящих в нее формул.
Опишем М (F) точнее. Зафиксируем какое-либо
упорядочение подформул формулы F:
<Pl < Ф2 < • • • < Фг-
Считаем при этом что константа f является под-
подформулой любой формулы.
F-конъюнкциями назовем формулы вида <р!' & ... & <pe.n,
где i"i^ ... ^гя, е/ = 0, 1. F-конъюнкции упорядочим
лексикографически. Посредством M(F) будем обозна-
обозначать множество всех формул вида
К, V ... V Ki, Kt< ... <Ki,
где К\ Ki — F-конъюнкции. Очевидно, что М(Р)
конечно.
Замечание. Мы несколько отступили от только
что изложенной схемы: в соответствии с ней надо было бы
рассматривать только дизъюнкции конъюнкций вида
Ф*1 & ... & ф''.
С помощью известных законов пронесения отрица-
отрицания через & и V» снятия Т~|» дистрибутивности и т. д.
легко построить операции &F, Vf> If» перерабатываю-
перерабатывающие конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание формул из
M(F) в пропозиционалыю эквивалентные формулы из
M(F), Например, если К, L — F-конъюнкции, то K&FL
есть /, если /С & L содержит члены вида Е, ~\ Е. В про-
противном случае /С&^ есть результат вычеркивания по-
повторений из K&L и перестановки членов в нужном по-
порядке. Если A = \/Kt> fi=V Lt, то A&FB означает
результат вычеркивания лишних членов из V(^&f^/)
и перестановки оставшихся в нужном порядке. А\/РВ
означает результат такой же операции над KL
V&q>5' означает &PVF^l, где 0=1, Г=0.
468 г. е. минц
Операцию Df можно также определить одинаково для
всех рассматриваемых систем (что и будет сделано впо-
впоследствии), но мы приведем несколько иное определение,
пригодное только для S4 и 55, но позволяющее проил-
проиллюстрировать основную идею доказательства.
Системы S4 и S5
Положим
nFA=VKi, t-Kt-^A, A)
где дизъюнкция берется по всем модализированным
(в смысле рассматриваемой системы) F-конъюнкциям,
из которых А следует в рассматриваемой системе.
Имеется в виду, что дизъюнктивные члены расположены
в лексикографическом порядке. Дизъюнкция непуста,
так как одно из К есть f.
Пока рассматриваются только 54 и 55, будем счи-
считать, что они заданы в виде исчислений многосукце-
дентных секвенций с сечением: 54 — в виде системы L54,
а 55 отличается от 54 только правилом ->?:
. А . _ч
Как известно, из такой формулировки S5 сечение
неустранимо: не выводима без сечения, например, фор-
формула р V ? ? Р- Таким образом, для этой системы наш
результат будет близок к оптимальному.
Первое важное свойство наших булевых F-операций
состоит в том, что они ведут себя как обычные булевы
операции. Точнее, если A, B^M(F), то секвенции
А, В-^-А&рВ; А&РВ-*А; A&FB-*B; ->A, ~]FA;
АУРВ->А, В; A->AVPB; B->A\>PB; А, 1РА-*^
выводимы с помощью одних только постулатов исчис-
исчисления высказываний со свойством подформульности
(т. е. в соответствующих выводах участвуют лишь под-
подформулы выводимой секвенции).
Например, первая из этих секвенций выводится так:
V -*•, утончение
\l\li Li
1,1
V
V
K(&F
(Ki&
Ki&.FL}
L,) ...
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 469
В случае, когда Ki и Li содержат противоречащие
члены, вывод секвенции, стоящей в скобках, очевиден.
В противном случае Id&FL, содержит (с точностью
до порядка) те же конъюнктивные члены, что Ki и Lt
вместе. Левая верхняя секвенция выводится с помощью
&-+, -+&.
Теорема 1. По всякому доказательству формулы F
в системе Si (i = 4, 5) можно построить ее доказатель-
доказательство в той же системе, содержащее (в качестве членов
секвенций) разве лишь формулы из М (F).
Доказательство. В данном доказательстве за-
заменим на f все переменные, не входящие в F, а затем
припишем нижний индекс F ко всем вхождениям логи-
логических связок, благодаря которым формулы не принад-
принадлежат М (F). Точнее, формулы из М (F) сохраняются,
а формулы вида А°В и о Л, не принадлежащие M(F),
заменяются соответственно на А°РВ и ° F А. В полу-
получившуюся фигуру входят лишь формулы из М. (F) и
нам остается лишь достроить ее до доказательства, не
нарушая этого свойства. Аксиомы и структурные пра-
правила не испортились. Логические правила для булевых
связок восстанавливаются с помощью сечений с секвен-
секвенциями B), например:
Г->Д,Л Г->Д, A A, ~~\FA^>
Правило ? —*¦ восстанавливается аналогично с по-
помощью секвенции
ПРА->А, D)
которая выводится из секвенций A) по правилу V -*•
(имеется в виду, что в доказательстве секвенций A)
тоже проделана замена всех связок на F-связки). На^
конец, правило -> р переходит в фигуру
(б):
где 2 пуст в случае системы S4. Производя, если нужно,
сечения, как в C), можно считать, что S пуст и в слу-
случае S5. Каждый член Y/ списка Г имеет вид V Kin
470 Г. Е. МИНЦ
поэтому с помощью секвенций B) можно из Г->Л по-
получить секвенции Ki/,> ••¦» Кц(~>А для всевозможных
/',, ..., }t. Обозначая Ki/, &F ... &f К it через К, мы
видим, что К удовлетворяет условию на Ki из A), так
что К-> Ор Л получается из К->К серией -> V. Снова
применяя B), получаем Кц1 Kij^Hf А, откуда
Г->П/?Л получается серией V-»-. Теорема доказана.
Системы SI—S5 и Т.
Рассмотрение слабых систем не требует новых идей,
но приводит к усложнению аппарата. Для каждой из
рассматриваемых систем будем использовать две аксио-
аксиоматики: «исходную» и «новую». Доказательство в ис-
исходной аксиоматике будет после замены всех связок
на F-варианты перестраиваться в доказательство в но-
новой аксиоматике, куда будуг входить лишь формулы
ограниченной степени.
Исходная аксиоматика.
SI. Аксиомы: 1. ПА, где А — тавтология.
2. ПА^А. 3.
Правила: ? А Ь- Л; A,
52. Sl+{HA^n(A VB)}. Т. S
53. S2 + {(A=$B)=$(nA^>nB)}. S4. S3+{A\-nA).
S5. S4 + {A => О A}.
Новая аксиоматика.
A — В будет означать, что (Л гэ В) & (В гэ Л) является
тавтологией. Все постулаты новой аксиоматики будут
считаться инвариантными относительно равенства: иными
словами, фигура будет считаться применением посту-
постулата, если ее можно превратить в «буквальное» при-
применение заменой некоторых формул на равные: каждое
применение постулата должно содержать анализ, где
указаны нужные приравнивания. Отметим, что посту-
постулаты будут такими, что для каждой фигуры можно
узнать, является ли она применением данного постулата.
Новая аксиоматика для S1 получается из ста-
старой добавлением правил:
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 471
Первое из них выводимо в S1 с помощью формулы
(Фейс, 34.22):
{&) где T±^q&s=$q&s,
а второе получается из первого с помощью контрапо-
зиции.
Новые аксиоматики для S2 и Т получаются
из новой аксиоматики для S1 добавлением тех же по-
постулатов, что и для исходной аксиоматики. Для систем,
содержащих S3, добавляются, кроме того, аксиомы
А^(В^А) и аналоги правил F): *
V =?з>
которые выводятся с помощью эквивалентностей
Определим множество M(F) и операции &F, VF, ~\p
так же, как и раньше.
Назовем доказательство в новой аксиоматике F-do-
казательством, если оно удовлетворяет условию: буквы А,
В, С, D в постулатах заменяются подформулами фор-
формул вида Р Г) ? Q& ? R, U Q& ? R => ? S, где Р, Q,
R, S^M(F). (В действительности, замены этой слож-
сложности нужны лишь для аксиомы 3 исчисления S1: Для
остальных постулатов достаточно более простых замен.)
Наличие ^-доказательства формулы G будем записы-
записывать так: I— G.
F
Положим для Л е M(F)
DpAizVKi, НК(=ФПЛ. G)
При этом модализировэнными формулами считаются
fat, так что дизъюнкция непуста.
Теорема 2. По всякому доказательству формулы F
в исходной аксиоматике можно построить ее F-доказа-
тельство в новой аксиоматике.
Заменим все вхождения связок в данное доказа-
доказательство, выводящие за пределы M(F), HaHxF-варианты,
и покажем, как восстановить применения постулатов.
472 г. е. минц
Из G) по правилу V =Ф получаем
РП, (8)
F
что вместе с ПЛ=#Л дает QFA=^A (аксиома 2 си-
системы S1). Для любой тавтологии Г формула ? /=Ф ? Г
получается из *=#Г, Г=М по правилу эквивалентной
замены, поэтому npT=\Jt\/D, так что I— OFT.
Аксиома 3 исчисления S1:
nF(DF (C=>D)&nF(D^E)=>nP(C=>E)). (9)
Пусть:
nF(Cr>D)=VK<, H^,=# (С =#»/)),
(Ю)
Тогда DF(CrDD)&DF(D=D?')= V(K(&I/). откуда
в силу =#& и G) имеем Ki&Lf^(C=^D)&(D^E),
что дает Ki&L/^iC =^E). Посылка последней импли-
импликации равна, таким образом, одной из формул Mt
в A0), поэтому
является тавтологией, а правило навешивания DF на
тавтологию уже обосновано.
ОрА\-А следует по этому же правилу из (8).
modus ponens не нарушается (с точностью до равен-
равенства!). Правило замены эквивалентных моделируется
с помощью (8) и того же правила
S2. nF(aFA=>nF(A\/ В)).
Если
\3PAV B=VL,,
то каждое Ki есть также одно из Ls, и проходит то же
рассуждение, что и для (9).
S3. nF(nF(A=>B)ZDnF(aFAz3nFB)),
nF(A=>B)=VKi, Ь Кг => ? (Л =э В),
UFA=\/L1, Н1,4ПЛ
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 473
Достаточно доказать, что любое Ki — это одно из Nh
т. е. Ь- #i=#D (UFA=> UFВ). Для этого в силу V =Ф3
и =ф&3 достаточно устанозить, что для любого / най-
найдется такое к, что вызодимо Ki=^(Lj=^Mk). Положим
Мк = Ki&Lj. В силу =ф&3 достаточно вызести Ki=?
=$(Lt=$Ki) и Ki^iLj^Lj). Первая из этих формул —
аксиома, зторая получается из аксиомы (?,
#(/^#A >!))
(^(, ,)
Система Т. А]— ПрА. Из выводимости А следует,
в силу ? -введения, что t есть одно из Ki в G).
Система 54. Дополнительный постулат только что
рассмотрен.
Система So. А => ПрА- Представляя А в виде V Ki
(с точностью до равенства) и используя Azd ? А, имеем
при любом i Ki=$>nA, откуда К.1=?ПрА и A=^\JFA
по V=#.
§ 13. Теоремы о дедукции. Формулировки
модальных исчислений
Приведем общую теорему о дедукции. Ниже И обо-
обозначает произвольное модальное исчисление высказы-
высказываний, содержащее все постулаты классического исчи-
исчисления высказываний (в том числе правило modus
ponens) и некоторые дополнительные аксиомы и правила
вывода. Символ 1— означает «выводимо з И».
Теорема 1. Пусть 1) для любой формулы Е
}-ПЕ=,Е;
2) в И имеется правило: Е => F (- D Е :э ? F;
3) для любого дополнительного правила Cit ..., CmY-C
имеет место V- (? С, & ... & ? Ст => С).
Тогда А\, ..., Ап, А\-В влечет существование k
такого, что Аи ..., Ап \- Пк А =э В.
Эта теорема доказывается индукцией по длине дан-
данного вывода формулы В из Аи ..., Ап, А по аналогии
с теоремой о дедукции для (немодального) классичес-
классического исчисления высказываний (см., например, § 64
книги Р. Фейса). По-повому рассматривается лишь
применение дополнительного правила Си ..., Ст\-С.
По индукционному предположению
А 4ьа'МэС, (г=1 т). A)
474 Г. Е. МИНЦ
Увеличизая, если нужно, показатели kt с помощью
перзого условия теоремы, добизаемся kl = .. .= kn = k.
С помощью второго условия теоремы получаем из A)
Л„ ..., Ап\- ?*-' А =з (? С, & ... & ? Ст).
Остается применить третье условие теоремы.
Замечание 1. Второе условие теоремы дает
Ь ? (Е гэ F) г> (? Е гэ П F). Кроме того, A \- В г> Л Ь-
I- ПВгэП А. Поэтому, если в И есть хотя бы одна
теорема вида ? В, то имеет место празило А Ь- ? А,
т. е. И есть расширение исчисления Т.
Замечание 2. Если И вообще не содержит допол-
дополнительных празил, то Аи . . ., Ап, А ,\- В влечет
А\, ..., Ап Ь- А гэ В в силу теоремы о дедукции для
(немодального) исчисления высказываний:
Замечание 3. Если в И имеет место правило
с\-пс, (?)¦
то все остальные дополнительные правила можно (в силу
третьего условия теоремы 1) заменить на соответствую-
соответствующие аксиомы D С[ & ... & ? Ст гэ ? С.
Следствие 1. Если И —¦ расширение системы Т
с единственным дополнительным правилом (D), то
Аи ..., А„, А\-В влечет существование k такого, .что
А\, ..., Ап\- ПнА-=>-В. ¦ - . '.. '
Следствие 2. Если И — расширение системы S4
с единственным дополнительным правилом (?), то
Аи ..., А„, Ah В влечет Аи ..., Ап'}- П А => В.
Действительно, в этом случае hD^D*^ при
любом k.
Теорема 2. Если И — расширение SA с единствен-
единственным дополнительным правилом (?) и формула А такова,
что Ь- А гэ D А, то ¦
Ах, ..., Ап, А Ь- В влечет Аь ..., Ап I- А гэ В.
Очевидным образом вытекает из следствия 2.
Теорема 2 дает наводящие соображения для полу-
получения удобных в обращении формулировок модальных
исчислений. Пусть в условиях этой теоремы выделен
класс Ми формул, называемых модализированными
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 475
(будем,обозначать их жирными буквами), причем
и
Ь А гэ ? А B)
(т. е. B) имеет место для любой формулы А из Ми).
Рассмотрим следующие аксиому и правило:
DB=3fi' тйт (Пи)- C)
Ввиду B) правило Пи получается из (?) и П(Л=эБ):э
d(D/1dd8) и потому имеет место в И. Обратно,
(?) можно получить из Пи, взяз в качестве А выво-
выводимую формулу из Мц.
Оказывается, что для большинства рассматривав-
рассматривавшихся в литературе расширений S4 в качестве допол-
дополнительных модальных постулатов можно взять C) при
подходящем классе Ми- (Следует обратить внимание
на аналогию этой пары модальных постулатов и обыч-
обычных постулатов для квантора всеобщности.) Действи-
Действительно, достаточно выбрать Ми таким образом, чтобы Пи
позволило вывести все дополнительные аксиомы. При-
Приведем примеры.
Обозначим через MS4 класс всех формул вида
? А{ & ... & D Am. Тогда при И = S4 имеет место B)
ввиду
... &ПАт)^П(А1& ... &Ат) и
С другой стороны, модальные постулаты S4, отличные
от ?} A~z> А, выводимы с помощью СЫ-
Пусть теперь исчисление И задается добавлением
к 54 схемы аксиом F гэ ? G, причем формулы вида
FdGh DGDDf C)
выводимы в S4. В качестве Ми возьмем класс всевоз-
всевозможных конъюнкций вида ? Л, & ... & ? Ап & F[ & ... & F*m,
где Ах, ..., Ат — произвольные формулы, a F\, ..., F"m
получаются из F подстановками некоторых формул
вместо пропозициональных переменных. Тогда И аксио-
аксиоматизируется добавлением постулатов ? Ми к исчисле-
исчислению высказываний. Действительно, F г> ? F получается
из FdDG и qGdQF. С другой стороны, F гз ? G
получается из F r> G по П^- Приведем примеры.
476 Г. Е. МИНЦ
Исчисление 55 = S4 + {1 Пр=э ?! Dp]. Формулы C)
имеют вид ППР^ 1 Dp и D 1 Dp=>niDp.
Исчисление S4.4 = S4+ (р& П О Р^ ? Р)- Фор-
Формулы C) имеют вид p&D Ор^ри D(P&Q()/))=)Dp.
Последняя формула следует из П(р&<7)=эПр.
Исчисление S4.04 = 54 + (p&D О ? Р^ ? Pi- Ана-
Аналогично предыдущему.
Формулировка модальных систем в тер-
терминах случайности и неслучайности.
Связки А (неслучайность) и V (случайность) могут
быть исходными или вводиться в качестве сокращений:
АА^ПАУ П1Л, у^^ПАА
Если А — исходная связка, то ? А ^ А & А А. (Таким
образом ? оказывается факторизованной в смысле
Земана [1969].) В терминах А хорошо записываются
аксиомы редукции модальностей:
E1 + А А р) = (S1 + А ? р) = 55;
(S1 + (А р гэ А А р)) = E1 + (А р гэ А ? р)) = S4
(Монтгомери и Раутли [1968b]);
(S3 + (Ap=> AAp)) = S3 + (Ap=) A ? р) = 54
(Монтгомери и Раутли [1968а]).
Формулировки с исходной связкой А
(Монтгомери и Раутли [1966]).
Правило: А \- П А.
Аксиомы. Т: Ар*-* А 1 р; ргэ(Д(ргэ<7)=э(Др=э А?)).
54: Т плюс любая из следующих аксиом:
Ар=)ААр; АргэПАр; ПргэАПр.
55: Т плюс любая из следующих аксиом:
А Ар; 1 VVP; A Dp; 1 V ? Р; А 0 р;
V О Р; А (А р гэ р); v (Р =з V Р)-
§ 14. Интерпретация доказуемости для ?
Один из подходов к пониманию модальных формул, на-
намеченный еще Гёделем [1933], состоите истолковании ? А
как утверждения о доказуемости А. Из этого исходила
гёделевская формулировка системы 54. Однако попытка
интерпретировать ? А как доказуемость в конкретной
формальной системе оказывается неудачной. Монтегю
[1963] установил, что если в формальной системе Г можно
провести арифметизацию синтаксиса и найдется такая
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 477
формула N(x), что для любой формулы <р
Ь- N (гфп) =э-ф Ь ф => Н N (Гф~1), .
то Г противоречива. Здесь гф~1 обозначает номер фор-
формулы ф.
Лёб [1966] указызает перевод S4 в формулы языка
теории типов, при котором ? А переводится как
«Л истинна во всех моделях». При этом понятие модели
для формул все более высокой модальной степени вы-
выражается формулами все более высокого типа. Лёб до-
доказывает, что А выводима в S4 тогда и только тогда,
когда ее перевод выводим в некоторой системе развет-
разветвленной теории типов.
Однако для формул модальной степени 1 проходит
более простая интерпретация доказуемости, предложен-
предложенная Леммоном [1957]. Здесь оказывается возможным
понимать D^ как «А есть тавтология» (Минц [1968]).
Крипке [1963а] рассматривает интерпретацию дока-
доказуемости для S5, при которой ? А означает доказуе-
доказуемость А в классической арифметике первого порядка.
Рассматривается язык, атомарными формулами ко-
которого служат замкнутые формулы системы РА класси-
классической арифметики первого порядка. Формулы строятся
на атомарных с помощью &f, ~]f и ? (новые &f, ~] +
отличны от &, , входящих в язык арифметики). Опре-
Определяется 55-модель Ш = (G, К,, Ф)> где G — стандартная
модель системы РА, К — множество всех счетных мо-
моделей системы РА, и Ф{А, w) = t для атомарной фор-
формулы А и w^ К тогда и только тогда, когда А истина
в w. Таким образом, Ф(П A, G) = t для атомарной А
тогда и только тогда, когда А выводима в РЛ.
Пропозициональную модальную формулу F назовем
общезначимой, если на рассматриваемой модели Ш
истинны все формулы F", получающиеся из F подстанов-
подстановками замкнутых формул РА вместо пропозициональных
переменных. Так как Ж — 55-модель, то зсе теоремы S5
общезначимы. Крипке отмечает (без доказательства),
что верно и обратное утверждение. Действительно, из
результатов § 10 следует, что из всякой невыводимой
в 55 формулы можно в S5 с подстановкой получить /
(ложь) или невыводимую в S5 формулу вида
? ?>, V ... V Пйт, A)
478 г. Е. мйнц
где каждая из Dt имеет вид р\1 V ... V репп. Теперь
воспользуемся следующим результатом: имеется после-
последовательность замкнутых формул Р1г Р2, ... системы РА
такая, что для любого п и любых е,, ..., е„ дизъюнкция
Р\] V ... V Р*? невызодима в РА. В силу теоремы Гё-
деля о полноте для каждой такой дизъюнкции найдется
счетная контрмодель (т. е. «мир» из модели Ш).
Подставляя Pi вместо р, в A), получаем опровер-
опровержение для исходной формулы F.
Крипке [1963а] отмечает, что возможна интерпретация
доказуемости для S4, где «мирами» служат пары {Е, а),
где Е— непротиворечивое расширение системы РА и
а — счетная модель Е. Он не описывает эту интерпре-
интерпретацию точно.
ГЛАВА II. ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Крипке связал доказательство теорем о полноте фи-
финитной аппроксимируемости модальных логик (см. статьи
в настоящем сборнике) с использованием исчислений
генценовского типа. Такой подход имеет ряд. преиму-
преимуществ, поззоляя, з частности, получить теоремы о до-
допустимости сечения и финитной аппроксимируемости
(каждая невыводимая формула опровергается на конеч-
конечной модели). Однако, если вообще допускается исполь-
использование теоретико-множественных понятий, то почти все
результаты такого рода (за исключением теорем о до-
допустимости или устранимости сечения, где явно упоми-
упоминается конкретная аксиоматика), можно получить более
прямым путем, не упоминая никакой конкретной аксио-
аксиоматики. Мы воспроизведем такое построение, следуя
Маккинсону [1966] и Леммону — Скотту (по Сегербергу
[1968а]).
Раздел 4. МОДЕЛИ КРИПКЕ
§ 15. Модели Крипке для нормальных систем
Пусть зафиксирована система S, содержащая все
постулаты классического исчисления высказываний.
Множество К формул называется L-множеством (или
множеством Линденбаума) относительно S, если К не-
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА Иi СИСТЕМА Т A965—1973) 479
противоречиво и максимально, т. е. если для любых
At, ..,, Л„<=/С (Л]& ... & Ап) невыводимо в S и для
любой формулы В либо В е /С, либо В е К. (Упоми-
(Упоминание о системе 5 мы часто будем опускать.)
Понятие L-множестза является формальным анало-
аналогом понятия «возможного мира»: все вопросы об истин-
истинности и ложности решены в L-множестве непротиворе^
чивым образом.
Лемма 1. Если S непротиворечива, то для любого
непротиворечивого множества К формул найдется L-мно-
жество К+ =э К-
Доказательство стандартно. Фиксируется пе-
перечисление Ай, Alt ... всех формул и определяется воз-
возрастающая последовательность множеств So, Su ...:
S0 = K, 5i+i = Sj(JM/}, если ^ U МЛ непротиворечиво.
В противном случае Si+l = S,- U {~| At}. Теперь К+ = \J St.
¦ ¦ ¦' (
Лемма 2. Если К является L-множеством относи-
относительно S, то
(a) любая теорема S принадлежит К;
(b) К замкнуто относительно modus ponens;
(c) А & В е /С тогда и только тогда, когда А е К и
Ве=К;
(d) А V В е К тогда и только тогда, когда А е К
или В si(;
{ё) 1 А е К тогда и только тогда, когда АфК.
Проверяется исходя из определения.
Лемма 3. Пусть система S замкнута относительно
правила
С,& ... &Сйг>БЬ-аС,& ... &DCjDQfi A)
и пусть формула ~~\ Q А принадлежит L-множеству К.
Тогда множество К\, состоящее из ") А и всех фор-
формул С таких, что ОС^К, непротиворечиво в S.
Предположим противное: (С{ & ... &Ck&~\A) вы-
выводима в 5. Преобразуя эту формулу в импликацию и
применяя A), получаем ПС{& ... &OCkz^n А, откуда
следует противоречивость К, содержащего ? С1г ..., П\Ск
и 1 ? А.
Для системы S, содержащих Г, обозначим через Ms
тройку {Ls, R, Ф3)> где Ls — множество всех L-множеств
480 Г. Е. МИНЦ
относительно S («м-йры»),
KRM^VAin Ле=/С->Ле=М) (К, M<=LS)
и Ф5 — оценка переменных: (Ф5 (р, К) = 0 = (р <= К).
Для огромного количества нормальных модальных
систем 5 (см. Макинсон [1966], Раутли [1970], Сегер-
берг [1968а]) Ш5 оказывается характеристической мо-
моделью, т. е. Ш5 — модель для S в смысле Крипке [1963]
и формула Л выводима в 5 тогда и только тогда,
когда Л верна во всех «мирах» из Tls. Рассмотрим
только наши стандартные системы, хотя тот же метод
пригоден и для других систем.
Теорема 1. Пусть S — одна из систем Si, S5, Т.
Тогда Ш5 — характеристическая модель для S. Более
того
ф(А, K) = t тогда и только тогда, когда У1е/(, B)
Доказательство. Ввиду аксиомы ПЛ->Л и
леммы 2(а), (Ь) отношение R рефлексивно: ? Л е К,
влечет Ле/С. В случае 54 оно также и траизитивно:
если D Л е= К\, то в силу ? А гэ ? ? Л имеем П П Л е К\,
так что K1RK2 влечет D Л е= /B и K2RK3 влечет Л е= /С3.
Наконец, в случае S5 оно и симметрично: если бы KiRK>,
? Л е /Сг и Л^/Ci, то по определению /--множества
"| Ле/Сп что вместе с1Л=)П1ПЛ дает П ~] ? Ле/С,,
откуда в силу K\RK% следовало бы 1 П Л е/С2. Итак,
2WS —модель для 5. Докажем B) индукцией по построе-
построению формулы А. Для неременных это—определение.
Для булезских связок B) следует из леммы 2 (с) — (е).
? Л е= К и KRM влечет Л<=М по определению R. По-
Поэтому ? Ле/С->Ф(П Л, K) — t. Пусть теперь ПЛ^/(.
Тогда 1 D Л <= /С и в силу лемм 3 и 1 найдется К\~ ^ Ls
такое, что KRK? и ~| Л е К?, т. е. Л ^ K"i+. По ин-
индукционному предположению Ф(Л, Ki?) = f, откуда
Пусть теперь Л невыводима в S. Тогда по лемме 1
найдется /Cels такое, что Л <= /(, т. е. Л ^ /С-
В силу B) Ф(Л, /() = /•
Замечание. Теорема 1 легко обобщается на произ-
произвольные непротиворечивые множества формул. При
этом можно получить теорему лёвенгеймовского типа.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 481
Для этого зафиксируем операцию, сопоставляющую
каждому непротиворечивому множеству /С .некоторое
L-множество К+ :э К, и операцию, сопоставляющую
каждому L-множеству К и формуле ~] ? ЛеЯ некото-
некоторое L-множество (К, 1 ? А)а, содержащее ~~\ А и все
формулы С такие, что ? С <= К-
Теперь для произвольного непротиворечивого мно-
множества М формул следует рассмотреть тройку {L's, R, Ф),
где R, Ф—старые, a Ls состоит из всех L-множестз,
которые можно получить из М+ конечным числом при-
применений операции D. Пс аналогии с B) проверяется,
что М выполнено на этой модели: ведь при проверке B)
использовалась только замкнутость множества миров
относительно такой операции.
Отметим еще одно усиление теоремы о полноте
для 54, имеющееся, по существу, уже у Крипке [1963]:
54 полно относительно моделей (G, К, R, Ф), где R —
отношение (нестрогого) частичного порядка, т. е. оно реф-
рефлексивно, транзитивно и антисимметрично (xRy & yRx->
-+у = х). Это следует из того, что контрмодели, кото-
которые Кришсе [1963] строит с помощью семантических
таблиц в доказательстве сзоей леммы 2 из раздела 3.2,
уже удовлетворяют нужному услозию.
В связи с методом построения характеристической
матрицы интересны результаты Сегерберга [1972]. Он
доказывает, что система 53 (а значит, S1 и 52) имеет
несчетное множество полных в смысле Поста расшире-
расширений, замкнутых относительно modus ponens и подста-
подстановки, а единственным таким расширением системы Т
(а значит, 54 и 55) является «тривиальная» система
Т + (О А гэ А]. (Логическая система полна по Посту,
если она не имеет собственных непротиворечивых рас-
расширений, замкнутых относительно modus ponens и под-
подстановки.)
§ 16. Модели для ненормальных систем
Кажется естественным сохранить построение Ш5 и
для ненормальных систем (не замкнутых относительно
приписывания), определив дополнительно нормальные
миры как миры, содержащие формулы вида П А. Это,
однако, не приводит к цели, если в рассматриваемой
482 Г- Е.
системе имеются теоремы вида ? А: ввиду леммы. 2 (а)
все миры будут нормальными. Однако незначительное
изменение конструкции (аналогичное тому, что сделано
Раутли [1970а], стр. 251) дает нужные результаты.
Через П+ обозначим множество всех формул вида
1 ? А. Напомним, что в «странных» мирах семантики
Крипке [1965] все формулы из П+ верны по определению.
Множество К формул назовем QL-множеством (от
queer — странный), если К непротиворечиво относительно
исчисления высказываний, максимально и содержит п"\
Для ненормальной системы 5, содержащей теоремы
вида D А (а таковы рассматриваемые нами SI, S2
и S3), обозначим через 2RS четверку (Zj, Ls, R, Ф>,
где /-s, R и Ф — такие же, как для нормальных систем,
a Ls состоит из всех L-множеств и QL-множеств. Та-
Таким образом, множество нормальных миров — 9to,Ls.
Сформулируем нужные в дальнейшем варианты
лемм 1, 2, 3.
Лемма 1°. Для каждого множества К такого, что
К[) D+ непротиворечиво в исчислении высказываний,
найдется QL-множество K+Q ^ К.
Лемма 2°. Для всякого QL-множества К:
(a) любая тавтология е/С и П+с:/С;
(b) — (е), как в лемме 2.
Лемма 3Q. Пусть S замкнута относительно правила
Ci &¦¦¦& Ck -=>ACi &...&Ck эЛУРЙ! V...V D Bn —.тавтология
C)
Тогда для любого L-множества К и любой формулы,
~| ? А е К найдется множество К\ из L$ такое, что
KRK\ и Л€=/С,.
Доказательство. Обозначим через К~ множе-
множество, состоящее из ~\ А и всех формул С, для которых
? С <= К". Если /С~ непротиворечиво относительно S, то
применяем лемму 1. Если 7C~UD+ непротиворечиво
относительно исчисления высказываний, то применяем
лемму 10. Один из этих случаев имеет место, так как
иначе К. было бы противоречиво в силу правила C).
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 483
Теорема 1°. Пусть S— одна из систем S2, S3.
Тогда Ш$ — характеристическая модель для-S, т. е.
ffls — модель для S в смысле Крипке [1965] и фор-
формула А выводима в S тогда и только тогда, когда А
верна во всех нормальных мирах из S. Более того,
имеет место B) (§ 15).
Доказательство этого утверждения аналогично
доказательству теоремы 1. Для проверки транзитив-
транзитивности R на нормальных мирах в случае S3 восполь-
воспользуемся 53-теоремой ? А г> ? (? Вэ ? А). Пусть /С„
/С2 — нормальные миры, K1RK2, KzRKs» CMe/Ci- Ввиду
нормальности К2 найдется ? В е /С2. По лемме I (b)
П(П Я=эП Л) е=/е„ откуда (а # =э П Л) е= Ди ПА<=К;2.
Ввиду K2RK3 имеем /1еК3.
Для проверки (I) используется та же индукция, что
и в теореме 1 (§ 15) с заменой лемм 1, 2, Зна 1°, 2Q, 3е?.
Конец доказательства тот же, что и раньше.
Замечание. По аналогии с замечанием* сделанным
после теоремы 1 из § 15, можно установить, что любое
непротиворечивое относительно S счетное множество
формул имеет счетную S-модель. Для этого нужно лишь
заменить операцию D на операцию DQ, дающую в соот-
соответствии с леммой 3Q множество {К, 1 ? A)DQ, принад-
принадлежащее L$ и находящееся с К в отношении R.
§ 17. Метод фильтрации
Для счетного непротиворечивого относительно S
множества формул М выполняющая модель в общем
случае счетна. Оказывается, однако, что для большин-
большинства изучавшихся в литературе модальных логик можно
понизить эту границу для конечного М: возможна ко-
конечная выполняющая модель. Это дает разрешимость
(см. § 12). Достаточно общий и сильный метод построе-
построения такой модели, названный методом фильтрации,
предложен Скоттом и изложен Сегербергом [1968] и
(в несколько иной форме) Леммоном [1966].
Пусть задана модель М = {К, N, R, Ф), где К — мно-
множество миров, jVc/C — множество нормальных миров,
./? —отношение достижимости на К и Ф — оценка пере-
переменных. Пусть х? — произвольное множество формул,
замкнутое по подформульности (т. е. содержащее вместе
484 . . г. е. минц
с каждым своим членом также все его подформулы, а
•также, в случае ненормальных систем, формулу D (/=э/)).
Определим на К отношение эквивалентности:
(xaj)i;(У/As\F)(Ф(А, х) = Ф(А, у)).
[х] будет обозначать класс эквивалентности мира х.
Положим
Ф'(Р. [х]) = Ф(р, х), если pe^F;
в противном случае Ф'(Р> [x]) = f;
N'±Z{[x]: x<=N].
Пусть Rf— двуместное отношение на К'- Говорят,
что модель М' = (К', N', R', Ф') есть фильтрация мо-
модели М через 4f, если
xRy->[x]R'[y], (I)
y) = t). B).
В случаях, когда это не будет приводить к не-
недоразумениям, будем отождествлять фильтрацию
(К', N', R',_<$>') с отношением R'.
Пусть R — отношение, превращающее B) в эквива-
эквивалентность:
Тогда R — фильтрация и притом наибольшая. Пере-
Пересечение R всех фильтраций R' — это тоже фильтрация,
и притом наименьшая. Нетрудно видеть, что
1Щ = Зху (| = [х] & л = [у] & xRy).
Действительно, если бы правая часть эквивалент-
эквивалентности была нарушена, можно было бы получить филь-
фильтрацию, меньшую, чем R, выбросив пару (g, t|).
Докажем основное свойство фильтраций.
Лемма 1. Если Ж' = {К', Nf, R', Ф'> есть филь-
фильтрация модели М = (К, N, R, Ф) через ?, то для лю-
любых ДеЧ', х<=К
Ф(Л, х) = Ф'(А, [х]). C)
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) 485
Доказательство проводится индукцией по по-
построению формулы. Для переменных это -*¦ определе-
определение Ф'. Для булевских связок — следует из индукцион-
индукционного предположения. Пусть Л= ? В. Из Ф(П A, x) = t,
[x]R'[y] и B) следует Ф{А, y) = t = Q>'{A, [х]) (по ин-
индукционному предположению). Это и значит Ф(П А, х)—
=*1-+Ф'(ПА, [x]) = t. Из Ф'(П A, [x]) = t и xRy сле-
следует в силу A) Ф'(Л, [г/]) = ^ = ф(Л, у) (по индукцион-
индукционному предположению). Это дает Фf(ПA,[x]) = t->¦
S(A) L
()
В приложениях W будет состоять из всех подфор-
подформул некоторой формулы А.
Если класс Ч*" содержит лишь конечное число г фор-
формул,-то К' конечно: оно содержит не более 2Г миров.
Чтобы доказать, что каждая неопровержимая в си-
системе S формула выполняется на некоторой конечной
5-модели, надо лишь научиться строить фильтрации,
сохраняющие нужные свойства отношения R (рефлек-
(рефлексивность, транзитивность, симметричность на множестве
нормальных миров). Для Т и 52 это вытекает из сле-
следующего легко проверяемого утверждения.
Лемма 2. (a) xeJV = [x] e N'. (Ь) Если R рефлек-
рефлексивно на N, то R (а значит, и любая фильтрация R')
рефлексивно на N''.
Если R — тождественно истинное отношение, то
в- силу A) то же верно для R'. Это дает нужный ре-
результат для 55.
Для S3 и S4 воспользуемся фильтрацией Леммона —
Скотта (Сегерберг[1968]):
Нетрудно проверить, что R' транзитивно на N', что
в сочетании с леммой 2 дает нужный результат для S3
и 6*4. Резюмируем:
Теорема 1. Пусть S — одна из систем S2 — 55, Т.
Тогда каждая непротиворечивая в S формула выпол-
выполнима на конечной S-модели.
Применение метода фильтрации к другим системам
можно найти у Леммона [1966], Сегерберга [1968 а, Ь],
Раутли [1970]. Файн[1971] доказывает методом филь-
фильтрации следующий результат Буля [1966]: все нормаль-
нормальные расширения системы 54.3 = 54 + ((П р=ф П <7) V
Г. Е. минц
V(n<?#Dp)) финитно аппроксимируемы. О другой
стороны, Файн[1972] строит пример системы, содер-
содержащей Si и не финитно аппроксимируемой. Его система
получается добавлением к Si аксиомы:
Габбай [1972] доказывает с помощью теоретико-
модельных методов интерполяционные теоремы для
всех рассмотренных нами модальных логик и многих
других. (В действительности, в списке Габбая нет си-
системы S5, но интерполяционная теорема для S5 полу-
получается его методами или из интерполяционной теоремы
для классического исчисления предикатов с помощью
перевода, указанного в § I.)
Томасон [1970] доказывает, что объединение всех
конечных 55-моделей в определенном смысле универ-
универсально для пропозиционального' S5. Говоря точнее,
пусть К — множество всевозможных конъюнкций пере-
переменных и Ф(р, да) = < для дае К тогда и только тогда,
когда р является членом конъюнкций w. Томасон' дока-
доказывает, что модальная пропозициональная формула Л
выводима в S5 тогда и только тогда, когда все фор-
формулы Л*, получаемые из А подстановками формул
вместо пропозициональных переменных, истинны на
U = {К, Ф>.
§ 18. Семантика Монтегю
Монтегю [1970] предложил метод задания семантик
возможных миров, обобщающий семантики Крипке. Мы
ограничимся изложением пропозиционального случая.
Интерпретация языка с обычными булевскими связ-
связками и одноместными операторами Nu N2, ... задается
системой (К, Ф, JVj, N2, ...), где К — некоторое непустое
множество (миров), Ф—распределение истинностных
значений переменных на К (т. е. отображение пар (р, да),
где р — переменная, дае/С, в [t, f}) и Nt при каждом
i — предикат на К. X% (Ю> т. е. отображение пар (до, М),
где w е К, М. cz К, в [t, f).
СИСТЕМЫ ЛЫОИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 487
¦ Отображение Ф распространяется с пропозициональ-
пропозициональных переменных на произвольные формулы: для булев-
булевских связок это происходит по булевским правилам,
а для Ni так:
O(NtA, w) = Ni(w, (usТС: Ф(Л, v) = t}).
Пример. Пусть задана модель Крипке {К, R, Ф)
и рассматривается язык с операторами D, 0- Тогда
эквивалентная интерпретация Монтегю имеет вид {К,
Ф, Df, 0f>. где
nf(w, U)^(U=>{v^K: vRw}),
Монтегю указал применения семантик такого рода
к различным интенсиональным логикам.
Кресвелл [1972] строит семантику, близкую к семан-
тикам Монтегю, относительно которой полна S1.
Sl-модель — это пятерка (К, N, R, /?', Ф), где
{К, N, /?) — модель Крипке для 52, /?' — предикат на
КХ^(К) такой, что для любых А, ВаК, А(]Вф0,
йуе/С соотношения wR'A и wR'B несовместны, и Ф—рас-
Ф—распределение истинностных значений, удовлетворяющее
условиям: '..'..¦
Г) если sysiV,. то.Ф(ш, nA)=t тогда и только
тогда, когда ti>(wi, A) = t Для каждого Wi такого,
что wRw{; . '
2) Ф сохраняет булевские операции во всех мирах из К,',
3) если тфЫ, то Ф(и>, D A) = t, если Ф(ш, A) = t
и wR'{v^K: Ф(и, А) = /}. В противном случае
Ф(т>, D ^) = (. Крессвелл отмечает, что 4-значная
мад-рица Льюиса (см. Фейс, § 47), отличающая 51 от S2,
порождается следующей 51-моделью: /C={a>i, w2],
R=.{(wu w2), (а»„ ay,)}, R' = {{w2,
Раздел 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
§ 19. Алгебраические модели
Первые по времени теоретико-модельные результаты,
относящиеся к модальным -системам, были полу-
получены с помощью алгебраических методов, а именно,
488 Г. Е. минц
с помощью матриц, т. е. алгебраических систем, в которых
указано множество выделенных значений. Изложим
некоторые из таких результатов, следуя Леммону
[1966 а].
Матрица, соответствующая модальной системе в
языке {&, V, "I, ?}, имеет вид (М, D, &f, Vf, i\ nf>,
где М — множество (элементов алгебры), D а М, &+
и V* — двуместные операции на М, ~~\f и П+ — одно-
одноместные операции на М. D называется множеством
выделенных значений. Для систем, содержащих клас-
классическое исчисление высказываний, предполагается, что
(М, &+, Vf, 1+) —булева алгебра. Для каждой модаль-
модальной системы на матрицы накладываются дополнитель-
дополнительные условия.
Каждой модальной формуле А (р,, ..., рп) от п пере-
переменных сопоставляется естественным образом я-местная
функция fA на М, получающаяся из А заменой &, V,
1, П на &\ Vf, 1+, Df. Точнее, fA{x{ хп) =
= А(хи ..., хп), где А получается из А указанной
заменой. Формула А общезначима на данной матрице,
если все значения функции fA принадлежат множеству D.
Иногда говорят о значении, которое принимает фор-
формула А при pi = x,, ..., рп = хп, где *,, ..., х„<=М.
При этом имеется в виду fA(xh ..., хп).
Матрица Tt называется характеристической для
данной системы S, если выводимость в S эквивалентна
общезначимости на Ш. Простой метод построения харак-
характеристических матриц дает следующая теорема Лин-
денбаума.
Теорема 1. Если S содержит исчисление высказы-
высказываний и замкнута относительно подстановки, то суще-
существует характеристическая матрица для S.
Искомая матрица состоит из всех формул системы;
опэрации &f, Vf> 1+, Df совпадают с &, V> , ?;
D~ множество всех теорем. Выполнение всех условий
очевидно.
В случае, когда в S действует правило эквивалент-
эквивалентной замены, можно получить более интересный резуль-
результат (принадлежащий, по существу, также Линденбауму).
Приведем соответствующую конструкцию.
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г (I9C5-I973) 489
Матрица называется слабо регулярной, если
(l)D^M;
B) D — аддитивный идеал;
C) Qf(x<-*f у) е D влечет х = у.
(Здесь х ¦*-*? у означает {{х-*+ y)&f(у-+* х)), где
x->f y^Z ~]f x Vf У- Множество D называется аддитив-
аддитивным идеалом, если для любых х, y^D, tn^M имеет
место x&f yeD, x\>f m^. M.)
Матрица называется регулярной, если выполнены усло-
условия A), B) из определения слабой регулярности и C)г
(х*~* +у) е D влечет х — у.
s
Для формул А, В положим А = SB±Z Ь- П (А *~* В).
Если в S выводимо П (Л ¦*-*¦ А) и правило замены строго
эквивалентных формул, то = s оказывается отношением
эквивалентности, относительно которого инвариантны ло-
логические связки и выводимость.
Если теперь обозначить через Ms множество классов
эквивалентности формул относительно S, через Ds —
— множество элементов Ms, содержащих теоремы систе-
системы 5, и через &s, Vs, it, Qs — операции на классах
эквивалентности, соответствующие операциям на форму-
формулах, то легко доказать следующее.
Теорема 2. (а) Если S замкнута относительно под-
подстановки, содержит классическое исчисление высказыва-
высказываний, все формулы ? (А *-*• А) и правило замены строго
эквивалентных формул, то Ls = (Ms, Ds, &<j. Vs. Is»
Ds) — слабо регулярная характеристическая матрица
для S; (b) если S содержит также правило П-введения
А I— ? А, то Ls — регулярная матрица; (с) если выпол-
выполнены условия пункта (а), то Ds — одноэлементное мно-
s
жество тогда и только тогда, когда Ь- ? (Г, -*-»¦ Т2) для
любых теорем Ти Г2; в частности, в условиях пункта (Ь)
Ds — одноэлементное множество.
Проверим только пункты (Ь) и (с). В условиях пункта
(Ь) из x-r^-^y sDs следует ?f (*-<^->+г/) е= Ds. В усло-
условиях пункта (с) tl = t2 для любых tu t2^ Ds. Наконец,
Т\, Т2 Ь- Tt -*-»¦ Г2 средствами исчисления высказываний,
откуда с помощью правила П-введения получаем
? (Ti ¦*-> Т2). Теорема доказана.
4Q0. ¦ ¦ • '. ¦ Г. Е. МИНЦ .
Условие из пункта (с) оказывается и необходимые
для существования характеристической матрицы с един-
единственным выделенным значением.
Те о р е м а 3. Если S содержи? формулу П (/>¦•*-> р),
то для существования характеристической дляБ матрицы
с единственным выделенным значением необходимо,
s
чтобы (— П (Ti -*-> Г2).
Доказательство. Формула П {Tt -«-> Т2) прини-
принимает на характеристической матрице с единственным
выделенным значением т то же значение, что и формула
? (р *-* Р) при р = т.
Один из простейших методов установления разреши-
разрешимости логической системы — нахождение для нее конеч-
конечной характеристической матрицы. Как показывает сле-
следующее утверждение (Гёдель [1933], Дугунджи [1940]),
этот метод непригоден для наших систем.
Теорема 4. Если S содержится в S5 и содержит
формулу ? (р =э р), то для S невозможна слабо регуляр-
регулярная конечная характеристическая матрица.
Доказательство. Формула
принимает выделенное значение на любой матрице, со-
содержащей менее п элементов, так как при любых зна-
значениях переменных найдутся такие l^.i<j^.n, что зна-
значение pi равно значению pjt так что ? (р( гэ р}) прини-
принимает то же значение, что и теорема ? [р гэ /?). С другой
стороны, формула (I) невыводима в 55 и тем более в S,
так как опровергается нал-элементной 55-модели Крипке:
в г-м мире этой модели истинно pit а все остальные р7
ложны.
Для ненормальных систем это утверждение можно
усилить.
Теорема 4' (Драббе [1967]). Для SI. S2, S3 невоз-
невозможна характеристическая матрица с конечным числом
выделенных значений.
Для доказательства достаточно указать последова-
последовательность теорем системы S1 таких, что для любых
в S3 невыводимо Ti =# Tt. Тогда формула V {Tt =ф Гу)
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 49'Г
мажет играть роль формулы A) в доказательстве тео-
S3 S3
ремы 3, так как I-VDB* влечет \-Вк для некото-
некоторого k (Крнпке [1965]). Достаточно положить Tt =
Переходим к характеристике алгебр, соответствующих
различным системам.
Пятерка (М, &+. V+, 1*, П+) называется е-алгеброй
(эпистемической алгеброй), если
A)(M*, &+, \Д "l*) —булева алгебра;
B) Df (*&**/)= ?**&*? V.
C) й^<* для любых х, г/е М.
е-алгебра называется транзитивной, если П*х =
= П+(й+1 ->+П+а:) для всех х^М, и симметричной,
если x&f Qfl < Df<>V где 0**^ ^П*!^-
^-алгебра называется замкнутой, если й+П+1 = П+1»
и нормальной, если П+1 = 1.
Говорят, что модальная формула А слабо общезна-
общезначима на алгебре (М, &f V+, lf. D+), если А общезна-
общезначима на матрице (М, D, &f, Vf, lf, Df), где D —
= {*: x>nf\).
Матрицы, соответствующие нормальным алгебрам,
имеют единственное выделенное значение I, и для них
говорят об общезначимости, а не о слабой общезначи-
общезначимости.
Теорема 5. | А тогда и только тогда,
S2 (S3; Т; Si; S3)
когда А слабо общезначима на любой конечной (тран-
зитивной; замкнутой; транзитивной и замкнутой; сим-
метричной, транзитивной и замкнутой) е-алгебре.
Доказательство. Утверждение о слабой обще-
общезначимости любой выводимой формулы на соответ-
соответствующих алгебрах проверяется непосредственно. Обрат-
Обратное утверждение можно было бы доказать, заметив, что
характеристические матрицы из теоремы 2 удовлетво-
удовлетворяют нужным алгебраическим условиям, и применив за*
тем метод, аналогичный методу фильтрации, для полу-
получения конечных алгебр. Мы, однако, применим другую
конструкцию, позволяющую установить связь алгебраи-
алгебраических моделей с моделями Крипке.
492 Г. Е. минц
Пусть дана модельная структура Крипке Л = (К, М,
R), где К—множество миров, N а К—множество нор-
нормальных миров и R— отношение достижимости на К.
Алгебра Й+ = (М, &f, Vf, 1f, Df) определяется так:
A) М = '$К — множество всех подмножеств К;
B) &f, Vf. ~1 +— теоретико-множественное пересе-
пересечение, объединение и дополнение;
C) для Л^М имеем П+Л = {х: хе N&Vy(xRy -*¦
Если на модельной структуре Ж задано распределе-
распределение Ф значений переменных в возможных мирах (чем
определяется модель Крипке), то соответствующее рас-
распределение Ф+ значений переменных в алгебре Й+ опре-
определяется так:
ф+0?) = {х: Ф(р, x) = fl.
Теорема 6. (а) Если fl — S2 E3, Т, S4, 5Ъ)-модель-
ная структура Крипке, то R — е-алгебра (транзитивная;
замкнутая; транзитивная и замкнутая; симметричная,
транзитивная и замкнутая), М=1 и yV=Dfl.
(b) При этом для любого распределения Ф на й, лю-
любой формулы А и любого x^R имеет место
(Ф(Л,^) = ^(^Ф+ (А)). C)
(c) В случае Т, S4 и S5 имеет место Dfl = 1.
Замечание. Подразумевается, что Ф+ естествен-
естественным образом продолжено с переменных на произволь-
произвольные формулы.
Доказательство. Булевская часть алгебры 51
есть булева алгебра в силу пункта B) определения R .
Для А, Ве|ЛГ имеем:
? f(A&fB) = {*: *€= N&Vy(xRy^
= {x: (x <= N&Vy (xRy -+ye=A))&
&(xs= N&Vy (xRy-+ye= B))} = UfA8cf DfB..
Ввиду того, что x s N -> xRx, имеем Df А с N Q А и тем
более С^Лг^Л.
Покажем, что транзитивность R на М влечет тран-
транзитивность nf. Пусть *е Dt(ntl ^>fDfA). ТогдаxeJV=
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) 493
= П+1 и в силу П+В с В имеем х е П+1 гэ +-П+Л, т. е.
хе П+Л. Пусть теперь x^\3fA,xRy. Докажем j/sQ^d'
=>+П+Л. Пусть #enfl=./V, г/flz. Ввиду транзитив-
транзитивности R на N имеем xRz, что вместе с хе П+Л дает
геД что и требуется.
Если Л — модельная структура для Т, то N=^K.
(все миры нормальны), так что 1 = G + l = D+G+1 и П+
замкнута.
Симметричность R на N влечет симметричность П+.
Действительно, если лё A&?N, то для хе П+<0*Л до-
достаточно проверить xRy->у е <(> Л. Если уф.Ы, то
г/ е <0+Л; если г/ е JV, то в силу симметричности /?
имеем г//?дс, что вместе с Jt<= Л дает г/G <0+Л.
Доказательство пункта (а) закончено. Отметим, что
различные свойства алгебры $+ зависят лишь от со-
соответствующих (т. е. называемых так же) свойств St.
Свойство (Ь) проверяется индукцией по построению
формулы.
Следствие. | А тогда и только тогда,
S2 (S3; Т; S4; S5)
когда А слабо общезначима в любой конечной (тран-
(транзитивной; замкнутой; транзитивной и замкнутой; сим-
симметричной, транзитивной и замкнутой) е-алгебре;
" I А тогда и только тогда, когда А общезна-
Т (S4; S5)
чима в любой конечной нормальной (транзитивной; сим-
симметричной и транзитивной) е-алгебре.
Это следует из теоремы 3 и результатов о замене
произвольных моделей Крипке конечными.
Первые опубликованные доказательства разрешимо-
разрешимости модальных систем были получены с помощью тео-
теорем такого рода, доказанных по схеме, изложенной в§ 12.
Заметим, в частности, что нормальные транзитив-
транзитивные е-алгебры — это в точности топологические булевы
алгебры в смысле Расёвон — Сикорского [1963], или,
что то же, алгебры с замыканием в смысле Маккинси —
Тарского [1948]: операция П+ удовлетворяет аксиомам
для внутренности множества в топологическом про-
пространстве, а операция <0+= ~i+Clt~lt — аксиомам для
замыкания. Поэтому имеем:
•494 ¦¦"' Г. Е. минц >
' Следствие.']— А тогда и только тогда» когда А
общезначима на всех конечных алгебрах с замыканием.
Опишем (следуя Шукле [1970]) алгебраические мо-
модели для S1. Определение слабо эпистемической ал-
алгебры получается из определения е-алгебры заменой усло-
условия Of(x&fy)= ?+х&+П+ун:аО+(*=э+г/)&+П + («/г>+2)<
().
Не трудно убедиться, что Lsl (теорема 2) — слабо
эпистемическая алгебра. Шукла доказывает, что вся-
всякая формула, выполнимая на такой алгебре, выполнима
также на конечной слабо эпистемической алгебре (этому
доказательству мы, по существу, следовали в § 12). От-
Отсюда получается (слабая) полнота для 51 относительно
конечных слабо эпистемических алгебр.
ГЛАВА ш. КВАНТОРНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
МОДАЛЬНЫХ СИСТЕМ
§ 20. Предикатные расширения
Кванторные расширения модальной системы S по-
получаются добавлением к языку этой системы последо-
последовательности предметных переменных и /г-местных пре-
предикатных символов для каждого л^1. К числу логи-
логических связок добавляются кванторы V, 3 (или один
из них; тогда другой считается сокращением). Формулы
строятся обычным образом. К числу постулатов добав-
добавляются (для языка {V, гэ, п, f})i
VxA id A (a), C^A(b)\-C^VxA (x)
с обычными ограничениями на а и Ь.
Полученную систему обозначим S™.
Иногда в качестве аксиомы вводится также формула
Р. Баркан'.
Vx П А (х) zd П VxA (x). (В)
Такую систему обозначим SnB.
Модели Крипке для S" — это системы (G, К, /?, W,
Ф. 40» где (G, К, R, N) удовлетворяет тем же усло-
условиям, что и в случае (пропозициональной) системы 5
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Г A965-1973) .495
(в частности, G^N и для S = T, Si, S5 имеет место
N—K). Ч — операция, сопоставляющая каждому w<^K
непустое множество' V (w) (называемое предметной об-
областью мира w) таким образом, что
wRw' -* V (в;) cz V(w'),
D^ (J W(o>). О
Наконец, Ф сопоставляет каждой паре (Р, ш), где w^K
и Р— предикатный символ, некоторый предикат на
V (да) с тем же числом мест, что и Р. Каждой перемен-
переменной а сопоставляется значение Ф(а)еД.
При описании правил вычисления истинностных зна-
значений мы будем отождествлять переменные с их Ф-об-
разами и писать, например, az=W(w). Истинностные
значения будут приписаны не только формулами, но
и обобщенным формулам, которые получаются подста-
подстановкой в обычные формулы элементов из D вместо
свободных переменных.
Пусть w<=K, A — обобщенная формула, причем все
свободные переменные и символы из D, входящие в А,
принадлежат W (ш). Тогда Ф(Л, w) определяется индук-
индукцией по построению А:
. Если А = Р(а, а„), тоФ(А, да) = (Ф(Р)) (а,,,. ..,а„).
Если А = В =э С, то Ф(Л, а») вычисляется по Ф(б, да),
Ф(С, №) по булевским правилам.
Если А= П В, тоФ(Л, о>)==Т тогда и только тогда,
когда aieil/и Ф(S, да') — Т для любого w'^ N такого,
что wRw'. .
(До сих пор все, как в моделях Крипке для про-
пропозициональных систем S.) . .
Если A = VxB, то Ф(А, да) = Т тогда и только
тогда, когда Ф(В(а), и/) = Т для любого ае?D
Модель системы 5П называется моделью для фор-
формулы А, если все свободные переменные из А принад-
принадлежат 4'(G).
Теорема 1. Для S = S2 — S5, Г.
¦ ,5"
(а) |—- А тогда и только тогда, когда А истинна
на всех S"«моделях для А;
496
спВ
(b) |— А тогда и только тогда, когда А истинна
на всех Б^-моделях для А, удовлетворяющих условию:
wRw'->W(w')czW(w). B)
Доказательство, (а) Укажем, как модифици-
модифицировать процесс построения семантических таблиц в до-
доказательстве Крипке [1965 а] в соответствии с его же
доказательством для интуиционистского исчисления
предикатов.
Каждой таблице t на каждой стадии построения со-
сопоставляется непустой список переменных х? (t), содер-
содержащий все свободные переменные из t. На исходной
стадии 4е (t) состоит из всех свободных переменных,
входящих в испытуемую формулу (из первой переменной,
не входящей в эту формулу, если она замкнута).
Правила для пропозициональных связок и ? со-
сохраняются. При этом при построении новой таблицы V
из таблицы t по правилу Yr полагают Ч? (t') = 4f (t).
Добавляются два правила продолжения конструкций:
Пг. Если У/хА (х) входит в правый столбец некото-
некоторой таблицы, то поместить в тот же столбец А (Ь) для
некоторой новой переменной b (т. е. переменной, не
входящей ни в одну из таблиц уже построенной сис-
системы). При этом для любой таблицы t[ такой, что Ш,,
добавить b в список ^(t,). To же делаем для XY (t).
111. Если У/хА{х) входит в левый столбец некото-
некоторой таблицы t, то для любой переменной aef (t) по-
поместить А (а) в левый столбец t.
Замкнутость таблицы и конструкции определяются
по-старому.
Из замкнутости конструкции для А следует, как и
раньше, общезначимость А. П-правила рассматрива-
рассматриваются аналогично Л-правилам. (Впрочем, вместо этой
части доказательства удобнее проверить, что все посту-
постулаты обычной формулировки S" сохраняют общезначи-
общезначимость, и воспользоваться переводом замкнутых конст-
конструкций в 5п-доказательства — см. ниже.)
При построении контрмодели (опровергающей мо-
модели) для формулы А по незамкнутой конструкции
нужно только определить Ч1". Если конструкция конечна,
то мирами контрмодели являются таблицы из незамк-
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965—1973) 497
нутого альтернативного множества, и W уже опреде-
определено. Если конструкция бесконечна, то надо определить
Чг для псевдотаблиц x = {t|, t2, ...}, т. е. последова-
последовательностей таблиц, принадлежащих последовательным
стадиям конструкции и являющихся наследниками друг
друга. Для них имеет место ^(t^c 4я (t2)c:... Пола-
Полагая V (т) = UVF (t;), нетрудно проверить выполнение
i
всех условий, определяющих 5п-модели.
Наконец, перевод замкнутых конструкций в дока-
доказательства в обычной формулировке S" происходит
с помощью характеристических формул, которые стро-
строятся, как и раньше, индукцией по рангу с единствен-
единственным изменением: вводятся кванторы существования по
«новым» переменным из рассматриваемой таблицы.
Точнее, характеристической формулой таблицы t ранга
О считается Эх, ... 3xnat, где at — ассоциированная
формула t (конъюнкция всех формул левого столбца и
отрицаний формул из правого столбца), а хх, ..., хп—¦
полный список переменных из ^(tj, не входящих в W(t)
для таких таблиц т, что xSt.
Если ранг t > 0, то характеристическая формула
таблицы t — это 3*| ... Зхп(А& О В,& ... & 0 Вп), где
ti, ..., U—полный список таблиц данной стадии та-
таких, что tStit а JC|, ..., хп определяется, как раньше.
Теперь по образцу леммы из раздела 4.2 статьи
Крипке [1963] доказывается, что характеристическая
формула начальной стадии конструкции влечет харак-
характеристическую формулу любой стадии. Отдельного рас-
рассмотрения по образцу Крипке [1965] требуют только
новые случаи III и Иг, которые легко рассматриваются
с помощью правил для 3.
(Ь) При наличии формулы Р. Баркан характеристи-
характеристическая формула таблицы определяется буквально по
Крипке, а характеристической формулой данной стадии
считается 3-замыкание характеристической формулы
главной таблицы. Теорема доказана.
Отметим, что системы S5n и S5"B совпадают, так
как формула Р. Баркан выводима в S5" и даже в Вп,
где В — брауэровская система Крипке[1963], получаемая
4Q8 . г. е. минц
добавлением к системе Т аксиомы р zd ? О р: дей-
действительно, в Т выводима формула П <0 V* ? А (х) г>
=>? Vx<(> ? Л(х), из которой формула Р. Баркан полу-
получается с помощью р :э ? <} /> и <С> D р => р.
Далее, S5nB изоморфна классическому исчислению
предикатов. Нужный перевод в немодальные предикат-
предикатные формулы тот же, что в § .1: ко всем предикатным
символам дописывается дополнительный первый аргу-
аргумент а (где а — переменная, не входящая в рассматри-
рассматриваемую формулу), а все знаки ? заменяются на Va.
При этом нет нужды во введении второго типа пред-
предметных переменных как у Фейса, раздел 10.
Индукцией по выводу в S5" легко проверяется, что
перевод Ап любой выводимой формулы А снова выво-
выводим. Обратное утверждение можно доказать чисто син-
синтаксически (Минц 11968]), однако более простое дока-
доказательство использует семантику Крипке для S5". Если
дана контрмодель (D, Ф) для предикатной формулы
Л", то 55"-контрмодель для соответствующей модаль-
модальной формулы А имеет вид (D, D, Ф') (т. е. множество
миров bj ней совпадает с множеством индивидов), где
оценка Ф' такова:
(Ф'(Р, а))(ж хя) = (Ф(Р))(а, *i. .... хп).
Крипке [1963а] рассматривает вопрос о возможно-
возможности семантики, в которой нет ограничений на соотно-
соотношение W (w) для разных w. В такой семантике опровер-
опровержимы на двухэлементной модели как формула Р. Бар-
каи, так и ее обращение. При этом, однако, опровергаются
и некоторые формулы вида ? (У/хА (*)=э.А (Ь)). Исчис-
Исчисления, полные относительно такой семантики, получа-
получаются» -если рассматривать только замкнутые формулы
и исходить из вариантов исчисления предикатов, при-
приспособленных для вывода только замкнутых формул.
. , Аксиоматика для предикатного Т получается, на-
например, если объявить аксиомами всевозможные замы-
замыкания следующих формул:
@) тавтологии; A) ПА=>А; B) П(ЛоВ)=э
C) AzdVxA, где х не входит свободно в Л; D)
=> (VxA =з VxB); E) У/у (VxA (x) о А (у)).
СИСТЕМЫ ЛЬЮИСА И СИСТЕМА Т A965-1973) '49*)
Замыканием формулы А считается при этом любая
замкнутая формула, полученная в результате приписы-
приписывания к А спереди в любом порядке и количестве
кванторов всеобщности и знаков Q.
Единственное правило — modus poneris. Привило
приписывания необходимости оказывается допустимым.
Аналогичные аксиоматики для S4, S5 и В получа-
получаются добавлением всевозможных замыканий соответ-
соответствующих аксиом редукции.
Оревков [1967] устанавливает неразрешимость класса
Модальных предикатных формул, содержащих един-
единственный одноместный предикатный символ. Другое до-
доказательство имеется у Сломсона [1969].
§ 21. Модальное исчисление предикатов с ра-
равенством
Для данной модальной системы S обозначим через
Sn= результат добавления к языку системы S двумест-
двуместного предикатного символа =, а к числу постулатов —
аксиомы
1. а = а; 2. а = Ь =э (А (а) Ь Л (&)).
Через Sn~ обозначим систему» которая получается
из Sn=" наложением на аксиому 2 ограничения: вхо-
вхождения переменной а, заменяемые на Ь, не находятся
в области действия модальных связок.
Рассмотрение системы S"~ вызвано тем, что в си-
системе Sn= выводима формула a = bzD О (а = Ь) (она
получается из О(а = а) и а=&гэ(П(я=а) =э П(а=й)),
которая выражает рассуждение, называемое «пара-
«парадоксом утренней звезды»: утренняя звезда совпадает
в нашем мире с вечерней звездой (Венерой), значит, и
в любом возможном мире утренняя звезда совпадает
с вечерней звездой.
Дальше будем для простоты рассматривать только
нормальные системы.
Семантика для Sn~ получается из семантики для
S" добавлением условия: в модели (G, К, R, Ф, ЧУ)
предикат Ф(=, w) для любого w^K является на l?(w)
отношением эквивалентности, сохраняющим все преди-
предикаты Ф(Р, w).
БОО Г. Е. МИНЦ
В семантике для Sn== предикат Ф(=, w) — это просто
отношение равенства на ?(да).
Теорема о полноте доказывается с помощью даль-
дальнейшей модификации метода семантических таблиц.
В случае S"~ добавляются два правила.
= г. Таблица считается замкнутой, если в правом
столбце имеется а = а.
= 1. Если в левом столбце данной таблицы имеется
а = Ь (где a, b — различные переменные), то для ка-
каждой атомарной формулы Р(Х, a, Y) (X, Y — списки
переменных), входящей в один из столбцов таблицы,
добавить в тот же столбец формулу Р(Х, b, Y); доба-
добавить в левый столбец Ь = а.
В случае Sn= добавляется еще правило:
? =1. Если а — b входит в левый столбец таб-
таблицы t, то для каждой таблицы V такой, что iRY,
поместить а = Ь в левый столбец.
Доказательство корректности этой семантики ис-
использует тот факт, что аксиому 2 системы Sn== можно
заменить на совокупность аксиом
a, Y)=dP{X, b, Y)) A)
а = Ъ гэ ? (а = Ь), B)
причем ограничение, отличающее Sn~ от 5П=, соответ-
соответствует отбрасыванию последней аксиомы.
В случае системы Sn~ «считывание» Чг(=, w) с не-
незамкнутой конструкции происходит по общему правилу:
а = Ь объявляется истинным в мире w, если формула
а = b входит в левый столбец соответствующей псевдо-
псевдотаблицы.
В случае Sn= производится факторизация множе-
множества U^U) по полученному отношению эквивалент-
эквивалентности (Крипке [1959]).
Добавление к соответствующим семантикам условия
дает семантики для систем, получаемых добавлением
формулы Р. Баркан к уже рассмотренным системам.
Для систем без формулы Р. Баркан нетрудно написать
свободные от сечения генценовские варианты (Мннц
ЛИТЕРАТУРА 501
[1968]). Для систем, содержащих эту формуду, по-види-
по-видимому, предпочтительнее аппарат систем семантических
таблиц.
Для рассмотренных вариантов S5 с равенством уже
не проходит погружение в классическое исчисление
предикатов с равенством путем замены ? иа Va: невы-
невыводимая формула V«Vw (ы = а=>(Пр V D ""]/>)) перешла бы
при этом в выводимую V«Vw(« = or3(Vap(a)VValp(a)).
Однако такое погружение проходит (Минц [1968]),
если a—переменная нового типа.
ЛИТЕРАТУРА
Дилера (Aanderaa S.)
[1969] Relation between different systems of modal logic, Notices
AMS 13, № 3, 66-227.
Байяр (Bayart A.)
[1970] On truth-tables for M, B, S4 and S5, LA, 13, 335-375.
Б а кетер (Baxter R.)
[1973] On some models of modal logics, NDJFL 14, 121—122.
Барт (Barth E.)
[1969] On natural deduction in modal logic with two primitives,
LA 12, 157—166.
Бе л на n, Уоллес (Belnap N., Wallace J.)
[1965] A decision procedure for the system Ei of entailment with
negation, ZMLGM 11, 277—289.
Бет, Н и л a ii д (Beth E., Nieland J.)
. [1965] Semantic construction of Lewis's systems SA and S5, Theory
of Models, North-Holland, 17—24.
Блюм (Blum A.)
[1972] Isomorphism between C\ and C2, ZMLGM 18, 237—240.
Буль (Bull R. A.)
[1965] A class of extensions of the modal system S4 with the fi-
. nite model property, ZMLGM 11, 127—132.
[1965a] A modal extension of intuitionist logic, NDJFL 6, 142—146.
[1966] MJPC as (he formalization of an intuitionist concept of'
modality, JSL 31, 609-616.
[1966a] That all normal extensions of S4.3 have the finite model
property, ZMLGM 12, 341—344.
[1967] On the extension of S4 with CLMpMLp, NDJFL 8, 325—
329.
[1967a] On three related extensions of Si, там же 8, 330—334.
[1967b] Some modal calculi based on 1С, Formal Systems and Re-
Recursive Functions, North-Holland, 3—7.
[1968] On possible worlds in propositional calculi, Theoria 34,
171—182.
Вайсберг (Wajsberg M.)
[1933] Ein erweiterter Klassenkalkiil, Monatsh. Math. Phys. 40,
113—126.
БОЗ г- е. минц
Василевская (Wasilewska A.)
A971] A formalization of the modal prepositional SA calculus, SL
27, 133—149.
В у л x а у з (Woolhouse R. S.)
[1973] Tensed modalities, /. Phil. Logic 2, 393—415.
Г а б б а й (Gabbay D.)
[1970] Selective filtration in modal logic. Part A: Semantic
tableaux method, Theoria 36, 323—330.
[1971] Montague type semantics for modal logics with propositio-
nal quantifiers, ZMLGM 17, 245—249.
11971a] On decidable, finitely axiomatizable, modal and tense logics
without the finite model property. Part 1, Israel J. math. 10,
478—496.
[1972] A general filtration method for modal logics, /. Phil. Log.
1, 29—34.
[1972a] Craig's interpolation theorem for modal logics, Lecture No-
Notes Math. 255, 111 — 127.
Гарсон (Garson J.)
[1973] The completeness of an intensional logic: definite topological
logic, NDJFL 14, 175—184.
Гёдель (Godel K.)
[1933] Zum intuitionistischen Aussagenkalkiil, Ergebnisse eines
math. Kolloquiums 4, 40.
Г о б л (Goble L.)
[1970
[1971
[1973
Grades of modality, LA 13, 323—334.
A system of modality, NDJFL 12, 225—237.
A simplified semantics for modal logic, там же 14, 151—174.
Гольдблат (Goldblatt R.)
[1973] Concerning proper axioms for S4.04 and some related sy-
systems, NDJFL 14, 392—396.
[1973a] A new extension of Si, там же, 567—574.
[1973b] A model-theoretic study of some systems containing S3,
ZMLGM 19, 75—82.
Гэрденфорс (Gardenfors P.)
[1973] On the extensions of S5, NDJFL 14, 277—280.
Даниельссои (Danielsson S.)
[1967] Modal logic based on probability theory, Theoria 33, 189 —
197. . . . .,
Д ан н (Dunn J.)
[1973] A truth-value semantics for modal logic, в кн.: Truth, syntax
and modality, Amsterdam — London, North-Holland, 87—
100.
Др а б бе (Drabbe J.)
[1967] Une propriete des matrices caracteristiques des systemes SI,
S2, et S3. CR. 265, Al.
Дрейк (Drake R), ,
[1962] On Mc-Kinse'y's syntactical characterisation of systems of
modal logic, JSL 27, 400—406.
Дугунджи (Dugundji J.)
[1940] Note on a property of matrices for Lewis's and Langford's
calculi of propositions, JSL 5, 150—151.
ЛИТЕРАТУРА
Зарнецкая-Бялы (Zarnieeka-Bialy E.)
[1968] A note on deduction theorem for' GSdel's propos'itional cai-
ctilusS4, SL 23, 35—41. '
[1970] The deduction theorem for Godel's propositional calculus
S5, Zeszijty Nauk. Univ. Jagiello Prace г Logiki, 5, 77—78.
3 e м а н (Zeman i.)
[1967] The deduction theorem in S4, S4.2 and S5, NDJFL 8, 56—60.
[1968] Some calculi with strong negation primitive, JSL 33, 97—
100.
[1968a] Lemmon-style bases for the systems Sl°—S4°, там же, 458—
461.
[1968b] The semisubstitutivity of strict implication, там же, 462—464.
[1969] Decision procedures for S3" and S4°, AMLG 12, 155—158.
[1969a] Modal systems in which necessity is «factorable», NDJFL
10, 247—256.
[1969b] Complete modalization in S4.4 and 54.04, там же, 257—260.
[1969c] The propositional. calculus MC and its modal analog,
там же 9, 294—298.
[1971] A study of some modal systems in the neighbourhood of
S4.Mi, там же 12, 341—357.
[1972] S4.6 is 54.9, там же 13, 118.
[1972a] Semantics for S4.3.2, там же, 454—460.
Исимото, Ф у д з и к а в a ¦(•Ishimoto A., Fujikawa Y.)
[1970] On some bi-modal predicate calculi, Bull. Tokyo Insi. Tech-
nol. 100, 129-141.
К а н т и (Canty J.)
[1964] A natural deduction system for modal logic, NDJFL 5,
199-210.
[1965] A note on the axiomatization of Rubin's system (S), там же
6, 190—192.
[1965a] Systems classically axiomatized and properly contained in
Lewis's S3, там же, 309—318.
[1968] On symbolizing singulary S5 functions, там же 9, 340—342.
К а и т и, Ч а р л (Canty J., Charle T.)
[1966] Note on the singularities of S5, NDJFL 7, 108.
К a n л а и (Kaplan D.)
[1970] S5 with multiple possibility (резюме), JSL 35, 355—356.
Кастаньеда (Castaiieda H. N.)
[1964] A note on S5, JSL 29, 191—192.
Килькопф (Kielkopf С.)
[1972] Kripke's axiomatization of S2, NDJFL 13, 379—380.
К л и и и (Kleene S. С.)
[1952] Introduction to metamathematics, N. Y. — Toronto, Van
Nostrand. [Русский перевод: Кляни С. К., Введение в ме-
метаматематику, ИЛ; 1957.]
Кокьярелла (Cocchiarella N.)
[1969] A completeness theorem in second order modal logic, Theo-
ria 35, 81—103.
Краускопф (Krauskopf R.)
[1969] Ein Entischeidungsverfahren fur den Lewisschen Modalkalkiil
S4, ZMLGM 15, 193-210.
504 г. е. минц ч
Крессвелл (Cresswell M. J.)
[1966] The completeness of S0.5, LA 9, 263—266.
[1967] A Henkin completeness theorem for T, NDJFL 8, 186—190.
[1967a] Note on a system of Aquist, JSL 32, 58—60.
[1968] Completeness without the Barcan formula, NDJFL 9,
75—80.
[1969] The elimination of de re modalities, JSL 34, 329—330.
{1970] Note on the interpretation of S0.5, LA 13, 376-378.
[1972] The completeness of SI and some related systems, NDJFL
13, 485—496.
К р и n к е (Kripke S. A.)
[1959] A completeness theorem in modal logic, JSL 24, 1—14.
[Русский перевод: К р и п к е С. А.. Теорема полноты в мо-
модальной логике, наст, кн., 223—246.]
[1963] Semantical analysis of modal logic, I; Normal prepositional
calculi, ZMLGM 9, 67—96. [Русский перевод: К р и п к е С. А.,
Семантический анализ модальной логики, 1; Нормальные мо-
модальные исчисления высказываний, наст, кн., 254—303.1
[1963а] Semantical considerations on modal logics, Acta Philo-
sophica Fennica 16, 83—94.
[1965] Semantical analysis of modal logic, II; Non-normal propo-
sitional calculi, The Theory of Models, Proc. of the 1963 In-
International Symposium at Berkley, Amsterdam, 202—220.
[Русский перевод: К р и п к е С. А., Семантический анализ
модальной логики, 11; Ненормальные модальные исчисле-
исчисления высказываний, паст, кн., 304—323.]
[1965а] Semantical analysis of intuitionistic logic, I, Formal Systems
and Recursive Functions, Amsterdam, 92—129.
Ламберт (Lambert К., ed.)
[1970] Philosophical problems in Logic, Some Recent Developments,
Dodrecht, D. Reidel.
Ламберт, Леблан, Мейер (Lambert К., Leblanc H., Meyer R.)
[1969] A liberated version of S5, AMLG 12, 151—154.
Леммой (Lemmon E.)
[1957] New Foundations for Lewis's modal systems, JSL 22,
176-186.
[1965] Some results on finite axiomatizabiltty in modal logic,
NDJFL 6, 301—308.
[1966] Algebraic semantics for modal logics I, JSL 31, 46—65;
II, там же, 191—218.
[1966a] A note on Ilallden incompleteness, NDJFL 7, 296—300.
Л ё б (Lob M.)
[1966] Extensional interpretations of modal logics, JSL 31, 23—45.
Лоре идеи (Lorenzen P.)
[1969] Theophrastische Modallogik, AMLG 12, 72—75.
Лукасевич (Lukasiewicz J.)
[1920] О logice trojwartosciowej, Ruch filozoficzny (Lwow) 5,
169—171.
¦Л у к х а р д т (Luckhardt H.)
[1967] Von Wright's relative Modalitaten, AMLG 10, 97—122.
[1969] Skolem-Normalformen, Manuscripta Mathematica 1, 241—257,
ЛИТЕРАТУРА 505
Маки ii сон (Makinson D.)
[1966] On some completeness theorems in modal logic, ZMLGM
12, 379—384.
[1966a] There are infinitely many Diodorean modal functions, JSL
31, 406—408.
[1969] A normal modal calculus between T and S4 without the
finite model property, там же 34, 35—38.
[1970] A generalization of the concept of a relational model for
modal logic, Theoria 36, 331—335.
[1971] Aspectos de la logica modal, Notas log. mat. 28.
[1971a] Some embedding theorems for modal logic, NDJFL 12,
252—254.
[1973] A warning about the choice of primitive operations in modal
logic, Л Phil. Logic 2, 193-196.
Маккииси, Тарский (McKinsey J. С. С, Tarski A.)
[1948] Some theorems about the sententical calculi of Lewis and
Heyting, JSL 13, 1 — 15.
M а с с и (Massey G.)
[1965] Normal form generation of S5 functions via truth functions,
NDJFL 9, 81—85.
[1965a] Four simple systems of modal propositional logic, Phil.
Sci. 32, 342—355.
[1965] The theory of truth-tabular connectives, both truth-functional
and modal, JSL 31, 593—608.
[1968] Normal form generation of 55 functions via truth functions,
NDJFL 9, 81—85.
[1969] Sheffer functions for many-valued S5 modal logics, ZMLGM
15, 101—104.
[1970] Binary closure-algebraic operations that are functionally
complete, NDJFL 11, 340-342.
[1970a] Understanding symbolic Logic. Harper & Co., New-York—
London.
Мёйер (Meyer R.)
[1968] Entailment and relevant implication, LA 11, 472—479.
[1970] E and S4, NDJFL 11, 181—199.
Мередит. П р а и о p (Meredith C, Prior A.)
[1965] Modal logic with functorial variables and a contingent con-
constant, NDJFL 6, 99—109.
M e с x и В. Ю., Э с а к и а Л. Л.
[1974] О пяти «критических» модальных системах, Теория логиче-
логического вывода (тезисы докладов Всесоюзного симпозиума,
Москва), 76—79.
Минц Г. Е.
[1968] О некоторых исчислениях модальной логики, Тр. Матем.
ин-та АН СССР 98, 88—111.
[1969] О семантике модальном логики, Записки научных семинаров
ЛОМИ 16, 147—151.
Монтегю (Montague R.)
[1963] Syntactical treatments of modality with corollaries on re-
reflexion principles and finite axiomatizability, Ada Philo-
sophica Fennica 16, 153—168.
[1970] Pragmatics and intensional logic, Dialectica 24, 277—302.
506 Г- .Е.,ЛШНЦ
Мрнтгомери, Ра утл и (Montgomery H., Routley R.)
[1966] Contingency and non-contingency bases for normal modal
logics, LA 9, 318—328,
[1968] The inadequacy of Kripke's semantical analysis of D2 and
D3, JSL 33, 568
[1968a] Non-contingency axioms for S4 and S5, LA 11, 422—424.
[1968b] Modal reduction axioms in extensions of SI, там же, 492—
501; ' "! .
[1969] Modalities in a sequence of normal non-contingency modal
systems, LA 12, 225—227.
Накамура (Nakamura A.)
[1970] On the undecidabiiity of monadic modal predicate logic,
ZMLGM 16, 257—260.
H а т (Nat Л.)
[1972] Axiomatic, sequenzen-calculus and subordinate proof versions
of S9, NDJFL 12, 309—322.
H и л а и д (Nieland J.)
[1968] Beth's tableau method, E. W. Beth Memorial Colloqium,
Dodrecht, D. Reidel, 19—38.
Описи, Мацумото (Ohnishi M., Matsumoto K.0
[1957] Gentzen method in modal calculi, I Osaka .Math. J. 9,
113-130.
[1959] Gentzen method in modal calculi, II, там же 11, 115—120.
О р е в к о в В. П.
[1S67J Неразрешимость в модальном исчислении предикатов клас-
класса формул, содержащих только одну одноместную преди-
предикатную переменную, Записки научных семинаров ЛОМИ 4,
168-173.
Пледжер (Pledger К.)
[1972] Modalities of systems containing S3, ZMLGM 18, 267 —
283.
Пол л о к (Pollock J.)
[1966] Model theory and modal logic, LA 9, 313—317.
[1967] Basic modal logic, JSL 32, 355—365.
Правиц (Prawitz D.)
[1965] Natural deduction. Proof-theoretic study, Stockholm.
Пруциал (Prucnal Т.)
[1972] On the structural completeness of some pure implicational
propositional calculi. SL 30, 45—52.
[1972a] Structural completeness of Lewis's system S5, Bull. Acad.
pol. Sci. Serv. Sd. math. 20, 101—103.
Расёва, Сикорский (Rasiowa H., Sikorski R.)
[1963] The mathematics of metamathematics, Warszawa. [Русский
перевод: Расёва Е., Сикорский Р. Математика мета-
метаматематики, «Наука», 1972.]
Р а у т л и (Routley R.)
[1968] Decision procedures and semantics for C\, ?1 and S0:5°,
LA 11, 468—471.
[1968a] The decidability and semantical incompleteness of Lemmon's
system S0.5, там же, 413—421.
[1969] Existence and identity in quantified modal logics, NDJFL
10, ПЗ-149.
ЛИТЕРАТУРА 807
[1970] Decision procedures and semantics for Feys's system S2° and
surrounding systems, ZMLGM 16, 165—174.
[1970a] Extensions of Makinson's completeness theorems in modal
logic, там же, 239—256.
[1970] Conventionalist and contingency-oriented modal logics,
NDJFL 12, 131-152.
Раутли, Монтгомери (Routley R., Montgomery H.)
[1968] On systems containing Aristotle's thesis, JSL 33, 82—96.
P e и и и (Rennie M. К.)
[1968] S3(S) = S3.5, JSL 33, 444—445.
[1970] Models for multiply modal systems, ZMLGM 18, 175—186.
Решер (Resher N.)
[1966] On modal renderings of intuitionistic propositional logic,
NDJFL 7, 277-280.
Решер, Гарсон (Resher N., Garson J.)
[1968] Topological logic, JSL 33, 537—548.
Решер, Менор (Resher N.. Manor R.)
[1972] Modal elaborations of propositional logics, NDJFL 13, 323—
329.
С а и то (Saito S.)
[1966] On the completeness of the Leibnizian modal system with a
restriction, Proc. Japan Ada 42, 198—200.
[1968] On the Leibnizian modal system, NDJFL 9, 92—96.
Сатр (Satre Т.)
[1972] Natural deduction rules for modal logics, NDJFL 13, 461 —
475.
[1972a] Natural deduction rules for S!°—S4°, там же, 565—568.
Сегерберг (Segerberg К.)
[1967] Some modal logics based on a three-valued logic, Theorta
33, 53—71.
[1968] Decidability of S4.1, там же 34, 7—20.
[J968a] Decidability of four modal logics, там же, 21—25.
[1968b] Propositional logics related to Heything's and Johansson's,
там же, 26—61.
[1972] Post completeness in modal logic, JSL 37, 711—715.
Скотт (Scott D.)
[1970] Advice on modal logic, Philosophical Prohlems in Logic
(Some Recent Developments), Dordrecht, D. Reidel, 143—173.
Скроггс (Scroggs S. J.)
[1951] Extensions of the Lewis's.system S5, JSL 16, 112—120.
С л о м с о н (Slomson A.)
[1969] An undecidable two-sorted predicate calculus, JSL 3-1, 21—23.
Слупецкий, Брыль (Slupecki J., Bryll G.)
[1973] Proof of t.-decidability of Lewis sistem S5, SL 32, 99—107.
Смолян (Smullyan R.)
•,[1973] A generalization of inluitionistic and modallogic. в кн. Truth,
syntax and modality, Amsterdam-London, North-Holland,
274—293.
Собочи некий (Sobocinski В.)
[1970] Certain extensions of modal system S4, NDJFL 11, 347—368.
[1970a] Note on Zeman's modal system S4.04, там же, 383—38-1.
[1971] Concerning some extensions of Si, там же, 2, 363—370.
508 f. E. минц
[1971a] A new class of modal systems, там же, 371—377.
[1971b] A proper subsystem of S4.04, там же, 381—384.
[1973] A new axiomatization of modal system K1.2, там же 14,
413—414.
[1973a] Modal system S3 and proper axioms of S4.02 and 54.04,
там же, 415—418.
Стелнакер, Том а сон (Stalnaker R., Thomason R.)
[1968] Abstraction in first-order logic, Theoria 34, 203—207.
С у р м a (Surma S.)
[1967] Indirect-deduction theorems, SL 20, 164-166.
Тихий (Tichy P.)
[1973] On de dicto modalities in quantified S5, J. Phil. Logic 2,
387—392.
Томас (Thomas 1.)
[1967
[1967a
[1968
[1973
A theorem of S4.2 and S4.4, NDJFL 8, 335-336.
Decision for KA, там же, 337—338.
Replacement in some modal systems, JSL 33. 569—570.
Further extensions of S3*, NDJFL 14, 430^C2.
Томасон (Thomason R.)
[1970] Some completeness results for modal predicate calculi, Philo-
Philosophical Problems in Logic (Some Recent Developments),
Dodrecht, D. Reidel, 55—76.
У и з л о м (Wisdom W.)
[1964] Possibility-elimination in natural deduction, NDJFL 5, 295—
298.
Ф а й и (Fine K.)
[1970] Propositional quantifiers in modal logic, Theoria 36, 336—
346.
[1971] The logics containing S4.3, ZMLGM 17, 371—376.
[1972] In so many possible worlds, NDJFL 13, 516—520.
[1972a] Logics containing S4 without the finite model property, Lec-
Lecture Notes Math. 255, 98—102.
Ф итт и и г (Fitting M.)
[1969
[1970
[1972
Logics with several modal operators, Theoria 35, 259—266.
An embedding of classical logic in S4, JSL 35, 529—534.
An e-calculus system for first-order S4, Lecture Notes Math.
255, 103—110.
[1972a] Tableau methods of proof for modal logic, NDJFL 13, 237—
247.
[1972b] 8-calculus based axiom system for some propositional modal
logics, там же, 381—384.
[1973] A modal logic analog of SmuHyan's fundamental theorem,
ZMLGM 19, 1 — 16.
Ф ii т ч (Fitch F.)
[1967] A complete and consistent modal set theory, JSL, 32, 93—
103. (Correction: JSL 35, 242.)
1967a] On a modal set theory, там же 32.
[1973] A correlation between modal reduction principles and pro-
properties of relations, J. Phil. Logic 2, 97—101.
Фрассеи (Fraassen С.)
[1969] Compactness and Lowenheim—Skolem proofs in modal logic,
LA 12, 167—178.
ЛИТЕРАТУРА 509
X а зе и (Hazen A.)
[1972] Semantics for 54.2, NDJFL 13, 527—528.
X а р т (Hart W.)
[1972] Probability as degree of possibility, NDJFL 13, 286—288
Хейес (Hayes S.)
[1972] Extensions of Г, NDJFL 13, 501—505.
Хинтикка (Hintikka K. J. J-)
[1963] The modes of modality, Ada Fhilosophica Fennica 16, 65—81.
[1967] Individuals, possible worlds and epistemistic logic, Nous 1,
33-62.
Христиан (Christian К.)
[1972] ModalkalkOl als formate Theorie und das Problem einer
Prdadikatoidenlogik, Phil, natur. 13, 113—156.
X э ii с о и (Hanson W.)
[1966] On some alleged decision procedures for S4, JSL 31, 641—643.
Хьюз, Крессвелл (Hughes G. E., Cresswell M. J.)
[1968] An introduction to modal logic, London.
Шмидт (Schmidt A.)
[1966] GrundzOge der Modalitalenlogik, Stadium gen. 19, 182—191.
Шукла (Shukla A.)
[1970] Decision procedures for Lewis's system SI and related modal
systems, NDJFL 11, 141—180.
[1972] The existence postulate and non-regular systems of modal
logic, NDJFL 13, 369—378
Шульц (Schultz K.)
[1970] Keine kontingenten Identitalen in Lemmons modaler Men-
gen lehre, ZMLGM 16, 261—262.
[1970a] Modelle modaler Mengenlehren, там же, 327—339.
Шунм (Schumm G.)
[1971] Solutions to four modal problems of Sobocinski, NDJFL 12,
335—340.
Эс а к и а Л. Л.
[1974] О некоторых новых результатах теории модальных и су-
перннтуиционистских систем, Теория логического вывода
(тезисы докладов Всесоюзного симпозиума, Москва), 173—-
183.
[1974а] О топологических моделях Крипке, ДЛН СССР 214, № 2,
298-301.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрахям (Abraham L.) 204
Аккерман (Ackermann W.) 32, 33,
204
Албан (Alban M. J.) 158, 204
Амдера (Aanderaa S.) 427. 501
Андерсон (Anderson A. R.) 132,
133, 143, 150, 204 205, 300, 302
Апостель (Aposte! L ) 205
Аристотель (Арштоте?^) 17, 18,
21
Баи яр (Bayart A.) 205, 257/302,
501
Бак (Back К. W.) 205
Бакстер (Baxter R.) 501
Баркам( Маркус) (Вагсап(-War-
(Вагсап(-Wards) R. С.) 161, 162, 175 182—
186, 188, 189, 205, 210, 324,
331, 420, 494, 497, 498, 501, 502
Барт (Barth E.) 501
Бауш (Bausch) 114
Беккер (Becker О.) 22, 87, 93, 94,
98, 100. 156, 167, 206, 207
Беккер(-Фрайзенг) (Becker(Frey-
seng) A.) 18,206
Белнап (Belnap N.) 205, 459,
501
Бсман (Behmann H.) 206
Беннет (Bennett J. F.) 206
Бергман (Bergmann G.) 206
Бериайс (Bernays P.) 32, 306
Бет (Beth E. W.) 206, 213, 227,
229, 235, 243, 246, 262, 302, 324,
391—395, 402, 403, 420. 501
Блаише (Blanche R.) 206
Блюм (Blum A.) 501
Болл (Boll M.) 206
Борковский (Borkowski L.) 206
Бохенский (Bochenski I. M.) 206
Брауэр (Brouwer L. E. J.) 404
Бредли (Bradley R. D.) 207
Бронштейн (Bronstein D. J.) 207
Бруггер (Brugger W.) 207
Брыль (Bryll G.) 507
Буль (Bull R. A.) 207, 422, 485,
501
Вайсберг (Wajsbcrg M.) 207, 425,
501
Василевская (Wasilewska A.) 502
Васильев (Vasiliev N. A.) 207
Вейль (Weyl ±) 207
Вичер (Wieier N.) 207
Вольф (Wo'ff P.) 207
фон Вригт (von Wright G. H.)
42, 132, 133, 135, 137, 148, 178,
196, 207 255, 302, 308, 324, 325,
327, 403, 420
Вулхауз (Woolhouse R. S.) 502
Габбай (Gabbay D.) 486, 502
Галлегер (Galleger J.) 265
Гарсон (Garson J.) 502, 507
Гастев 10. A. 11
Гемпель (Hempel С G.) 207
Генкин (Henkin L.) 324, 333, 420
Генцеи (Gentzcn G.) 193, 277,
279, 337, 340, 343, 420
Герцен (Giertzen) 145
Гёлель (Godel K.) 23, 207, 327,
476, 478, 490, 502
Гётлинд (Goetlind E.) 208
Гнйом (Guillaume ДО.) 208, 257.
302 '• *
Гильберт (Hilbert D.) 32, 33, 306 '
Гич (Geach P. T.) 208
Гобл (Goble L) 502
Гольдблат (Goldblatt R.) 502
Гэрдепфорс (Gardenfors P.) 456,
502
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
511
Дайамонд (Diamond A. H.) 207
Даммет (Dummett M. А. Е.) 207,
298, 301, 302
Даниельссон (Danielsson S.) 502
Даии (Dunn J.) 502
Дарбон (Darbon A.) 208
Девис (Davis С.) 208
Детуш (Destouches J. L.) 208
Допп (Dopp J.) 10
Доусон (Dawson Е. Е.) 156, 208
Драббе (Drabbe J.) 490, 502
Дрейк (Drake F. R.) 207, 306, 502
Дугунджи (Dugundji J.) 86, 97,
208, 490, 502
Дьюкан-Джонс (Ducan-Jones
A. E.) 208
Еиэмоцу (Yonemotsu N.) 136,
150, 208
Зарпеикая-Бялы (Zarniecka-Bi-
aly E.) 503
Земаи (Zeman J. J.) 209, 476, 503
Исимото (Ishimoto A.) Ill, 136,
145. 209, 503
Ито (Itoh M.) 209
йонссон (Jonsson B.) 11, 209,
257, 302
Калиновский (Kalinowski J.) 209
Калмар (Kalmar L.) 243
Кайгер (Kanger S. G.) 197, 199,
201, 203, 209, 257, 279, 302, 437,
438
Канти (Canty J.) 503
Каплан (Caplan D.) 503
Карнап (Carnap R.) 23, 209, 245,
246
Карри (Curry H. B.) 24, 129, 130,
132, 209, 223, 228, 246, 257, 277,
279, 302, 309, 323
Кастаиьеда (Castaneda H. N.)
209, 503
Катон (Caton Ch. E.) 210
Катцов (Katsoff L. 0.)IO
Кёииг (Konig J.) 273, 357
Килькоиф (Kiclkopf C.) 503
Клини (Kleeni S. C.) 224, 243,
245. 246, 429, 430, 503
^окьярелла (Cocchiarella N.) 503
Коши (Cauchy V.) 210 t
Краускопф (Krauskopf R.) 503
Крейг (Craig W.) 305, 32a
Крессвелл (Cresswell M. J.) 10,
487, 504, 509
Крипке (Kripke S. A.) 9—12, 210,
247, 249, 251, 253—255. 258—
263, 265, 271, 278, 283, 285,
296, 300, 302, 304, 306, 308,
310—316, 320—324, 327, 378,
391, 393—395, 403, 4-11, 421—
424. 428, 434, 437, 438, 454, 459.
461, 477, 478, 480—483, 486, 487,
490—498, 500, 504
Куайи (Quine W. V. O.) 38, 182.
185, 210, 246
Кубинский (Kubinski T.) 210
Ламберт (Lambert K-) 504
Леблан (Leblanc H.) 504
Леммой (Lemmon E.) 86, 98, 111
135, 145, 156, 164, 208, 210, 211,
298, 300—302, 307, 309, 320, 323,
477, 478. 483. 485, 488, 504
Леонард (Leonard H. S.) 132,
133,211
Лёб (LobM.) 211,477,504
Лёвенгейи (Lovenheim L.) 235,
249
Лиидеибаум (Lindenbaum A.)
306, 478, 488
Лоренцен (Lorenzen P.) 211,504
Лукасевич (Lukasiewicz J.) 144.
211.253,309.504
' Лукхардт (Luckhardt H.) 504
Льюис (Lewis С I.) 9, 15, 20, 2t,
23, 50, 57, 58, 60, 61, 83, 103,
110, 144, 160—162, 164, 165,169.
207, 209, 211, 216, 217, 219, 223,
244—246, 255, 256, 297, 302, 320,
322—325, 327, 403, 404, 421, 457,
487
Лэнгфорд (Langford С. Н.) 15,
20, 60. 61, 83, 110, 144. 160—
162, 164,207, 209, 211. 216, 217,
223, 244—246, 255, 256, 297, 298,
302, 320, 322, 323, 421
Майхилл (Myhill J. R.) 211
Макнпсон (Makinson D.) 478, 480,
505
512
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Маккипси (McKinsey J. С. С.) 10
11, 15, 22, 23, 60, 97, 132, 150,
154, 15, 207, 212, 257, 300, 302,
303, 421, 493, 505
Макколл (McCall S.) 9, 20, 212
Маргенау (Margenau II.) 212
Масси (Massey G.) 505
Мацумото (Matsumoto К.) 193,
194, 197, 212, 213, 257, 279, 295,
302, 303, 434, 506
Мейер (Meyer R.) 423, 504, 505
Менор (Manor R.) 507
Мередит Д. (Meredith D.) 211
Мередит К. (Meredith С. А.) 211,
212, 457, 464, 505
Месхи В. Ю. 505
Мини Г. Е. 11, 12, 224, 238, 277,
306, 422, 427, 437, 441, 477, 498,
501, 505
Моисил (Moisil G. С.) 212
Монтгомери (Montgomery H.)
476, 506
Монтегю (Montague R.) 213, 476,
486, 487, 505
Моптейро (Monteiro A.) 213
Mop (More Т.) 213
Мо Шао-куй (Moh Sjaw-Kwej)
165,213
Накамура (Nakamura A.) 213,
506
Нат (Nat A.) 506
Ыелсон (Nelson E. J.) 213
Нико (Nicod J. G. Р.) 111
Нил (Kneale W. С.) 213
Ниланд (Nieland J.) 213, 501, 506
Оквист (Aqvist L.) 213
Описи (Ohnishi M.) 193, 194 212
213, 257, 279, 295, 302, 303,
434—436, 506
Оревков В. П. 11, 499, 506
Пап (Рар А.) 214
Парри (Parry W. Т.) 23, 62, 86
99, 103, 109, 115, 117, 152 154
214
Пледжер (Pledger К.) 506
Погожельский (Pogorzelski W.)
Полиферно (Poliferno M. J.) 214
251-253
Поллок (Pollock J.) 427, 506
Порт (Porte J.) 166, 168, 169, 214,
309
Пост (Post E. L.) 481
Правиц (Prawitz D.) 421, 424,
443, 447, 449, 450, 506
Прайор (Prior А. К.) 136, 144,
145, 185, 186, 210, 214, 215, 224,
246, 255, 296, 301, 303, 310, 323,
454, 457, 464, 505
Пруцнал (Prucnal Т.) 506
Пуарье (Poirier R.) 215
Расёва (Rasiowa II.) 215, 493,
506
Рассел (Russell В.) 32, 260, 303
Раутли (Routley R.) 424, 476, 480,
482, 485, 506, 507
Репар (Reinhardt J.) 206
Ренни (Rennie M. K.) 507
Решер (Resher N.) 507
Рнддер (Ridder J.) 212, 216
Робинсон (Robinson A.) 215
Росс (Ross J. F.) 215
Poccep (Rosser J. B.) 224, 243,
246
Роуз (Rose A.) 215
Рубин (Rubin J. E.) 216
Саито (Saito S.) 507
Саймоне (Simons L.) 110, 111,
124, 143, 150, 216
Саичес-Масас (Sanchez-Ma-
zas M.) 216
Сатр (Satre T.) 507
Сегерберг (Segerberg K.) 478,
480, 481, 483, 485, 507
Сикорский (Sikorski R.) 493, 506
Скотт (Scott D.) 478, 483, 485,
507
Скроггс (Scroggs S. J.) 146, 216,
453, 456, 507
Скулем (Skolem T.) 235, 249
Сломсоп (Slomson A.) 499, 507
Слупецкий (Slupecki J.) 214, 507
Смайли (Smiley T. J.) 216, 257,
306
Смит (Smith H. B.) 216
Смолян (Smullyan R.) 216, 507
Собочинский (Sobocinski B.) 98,
112, 137, 142—144, 146—148,
150, 151, 216, 507
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
513
Стелнакер (Stalnaker R.) 508
Сугихара (Sugihara Т.) 151, 216
Суит (Sweet A. M.) 217
Сурма (Surma S.) 508
Тан Цао-чэнь (Tang Tsao-Chen)
24, 217
Тарский (Tarski A.) 11, 24, 208,
212, 257, 300, 302, 303, 421, 493,
505
Тартер (Tarter H.) 207
Теофраст (8e6(ppaT,og) 18, 139
Тёрпебон (Toerncbohn П.) 217
Тихий (Tichy P.) 508
Томас (Thomas 1.) 79, 113, 143,
147, 211, 215, 217, 508
Томасом (Thomason R.) 486, 507,
508
Уайтхед (Whitehead A. N.) 260,
303
Уиздом (Wisdom W.) 217, 508
Уоллес (Wallace J.) 205, 459,
501
Уорд (Ward M.) 217
Ушепко (Ushenko A.) 217
Файн (Fine К.) 485, 486, 508
Феврие-Детуш (Fevrier-Destou-
ches P.) 217
Фейс (Feys R.) 9—12, 15, 16, 137,
147, 196, 217, 255, 303, 425, 428,
429, 433, 434, 437, 438, 471, 473,
487, 498
Финн В. К. 11
Фиттинг (Fitting M.) 508
Фитч (Fitch F. В.) 218, 508
Фишер (Fisher M.) 218
Фрассен (Fraassen С.) 508
Фредендойн (Vredenduin P. G. J.)
218
Фройденталь (Freudenthal И.)
218
Фу зикава (Fujikawa Y.) 503
Хазен (Hazen A.) 509.
Хазенъегер (Hasenjaeger G.) 333,
Хантингтон (Hungtington E. V.)
99, 218
Харр (Harre R.) 218
Xart (Hart W.) 509
Хейес (Hayes S.) 509
Хендерсон (Henderson G. P.) 218
Хиитикка (Hintikka K. J. J.) 218,
257, 277, 290, 306, 323, 509
Хит (Heath A. E.) 219
Холден (Hallden S.) 153, 158, 164,
219, 299, 303—306, 322, 323
Христиан (Christian K.) 509
Хьюз (Hughes G. E.) 10, 509
Хэкинг (Hacking J.) 219, 423, 457
Хэмблин (Hamblin С L.) 219
Хэнсои Н. (Hanson N. R.) 219 ,
Хэисои У. (Hanson W.) 509
Цермело (Zermelo E.) 227
Чарл (Charle T.) 503
Чёрч (Church A.) 177, 219, 247.
253, 298, 303
Чёрчмен (Churchman С W.) 156,
219
Шеффер (Sheffer H. M.) Ill
Шмндт (Schmidt A.) 219, 509
Шольц (Scholz H.) 220
Шукла (Shukla A.) 494, 509
Шульц (Schults K.) 509
Шумм (Schumm G.) 509
Шютте (SchQtte K.) 10—12, 346,
421, 423
Эвдем (Еобг)цоо) 18
Эмде (Emde G.) 220
Эмч (Emach A. F.) 220
Эрбран (Herbrand J.) 174
Эсакиа Л. Л. 505, 509
Юхош (Juhos В.) 220
Яськовский (Jaskowski S.) 220
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстракт 177
— кратный 177
— случай 178
Абстракция 177
Аддитивный идеал 489
Аксиома 32
Алгебра классов 19
— логическая 19
Альтернативное множество таб-
таблиц 229, 262
Антецедент секвенции 132, 193,
362, 428
Антилогизм 29
АПИ (ассерторическое пропози-
пропозициональное исчисление) 24
Ассерторическое высказывание 20
Ассоциативность дизъюнкции 29
— конъюнкции 28
Ассоциированная форма табли-
таблицы 280
а-теорема 52
Атомарная формула 40
АФИ (ассерторическое функцио-
функциональное исчисление) 24
АФ'И (ассерторическое функцио-
функциональное исчисление первого по-
порядка) 38
Брауэрова ( = «антитЗрауэрова»)
аксиома 144, 255
— модель 256 >;
— модельная структура 256
— система 255, 404—417
• о
V-выраженне 328
Возможность 17, 24, 63
— высказывания 259
«Возможный мнр» 258
Вспомогательная логика 42
Вывод 32, 189
Выводимость секвенции 3G3
— формулы 326, 3G4
Выделенная модель 380
Выделенное значение 465
Выполнимость множества фор-
формул 376
— формулы 257, 384, 402
в области 226
Высказывание 226, 296
Вычислимая функция 466
Гёделевский номер 305
Главная формула 429, 445
— часть правила вывода 339
Главный символ формулы 40
Глубина элемента 311
Двойная композиция 89
Двойственные формулы 75
«Действительный мир» 258
Дерево 261
— бинарное 349
— вывода 194
— индексов 349
просто разветвленное 349
— основное 349
— редукций 352
регулярное 352
— формул 349
Дизъюнкция 26, 67
Дилемма 31
Дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции 29 .
— кванторов относительно иЛ-
пликации и эквивалентности
39 .
— — — КОНЪЮНКЦИИ. И ДИЗЪЮНК-
ДИЗЪЮНКЦИИ 39
— конъюнкции относительно
дизъюнкции 28
— модальностей относительно
конъюнкции и дизъюнкции '48
условных связок 48 ':
Доказательство от противного 31
ПРЕДМЕТНЫЙ ИКАЗАТЕЛЬ
515
Допустимость модели для фор-
формулы 330, 376
Допустимый вывод 340
Достижимость (для «миров» в
моделях Крипке) 258
Древовидная модель 311, 395
— (древесная) модельная струк-
структура 261
Древовидное (древесное) отно-
отношение 261
«-алгебра 491
—- замкнутая 491
— нормальная 491
— симметричная 491
— транзитивная 491
Единственный редукт дерева
формул 351
Заключение 326
Замкнутая конструкций 230
— таблица 230
Замкнутое дерево редукции 353,
410
— множество таблиц 230
Знак возможности 63
— необходимости 63
Значение выделенное 36
— истинностное 25, 36
— матрицы 36
— предложения 36
/-вйражение 369
Идемпотентность дизъюнкции 29
— конъюнкции 29
/L-модель, индуцированная S4*-
моделью 373
Импликативные фрагменты мо-
модальных систем 457—465
.Импликации (строгие) между
модальностями 108
Импортация 31
Интерпретируемость пары мно-
множеств формул 383
Интуиционистская логика выска-
высказываний 378
предикатов 361—373
— общезначимость формулы 376
Интуиционистское исчисление
высказываний 466
Истина 25
Истинностная таблица 26, 36
Истинностная функция 25
Истинностное значение 25
«Истинность во всех мирах» 425
Истинность формулы в модели
226, 257, 330, 384, 402
— — — топологической модели
417
Исчисление классов 40
— предикатов 24
одноместное 40, 44—45
/формула 364
Квантор всеобщности 24
— существования 24
Кванторная интерпретация мо-
модальной логики 42
Кванториые правила вывода 363
— расширения модальных си-
систем 494
Коммутативность дизъюнкции 29
— конъюнкции 28
Композиция дизъюнкций 31
— КОНЪЮНКЦИЙ 31
Конечная выполнимость форму-
формулы 386. 402—403
— общевыполиимость формулы
386, 402
— общезначимость формулы 386,
402
Контрапозиция 29
Контрмодель 263
Конневая точка дерева индексов
349
Концевое дерево 352, 410
Конъюнкция 26, 65
Корень (начало) дерева 261, 312
Лемма о корректности 330
Логика Principia Maihematlca 21
Ложность формулы в модели 257
Ложь 25
L-миожество 478
L-система 129
/.-система Лукасевича 252, 309
L-формулировка модальной си-
системы 193
^.-функция 177
Максимальная непротиворечи-
непротиворечивость пары множеств формул
383
—- S-иепротиворечивость множе-
множества формул 407
516
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛИ
Максимальное вхождение секвен-
секвенции в доказательство 447
Материальная импликация 26, 68
— эквивалентность 26
Матрица 36
— регулярная 489
— слабо регулярная 489
Метаперемениая 255
Метатеорема 76
Метод фильтрации 483
Af-модель 256
М*-модель 328
Al-модельиая структура 256
Множество Линденбаума 478
— ситуаций 329
Л1*-общезначимость 330
Модализацня 404
Модализированная формула 425,
457
Модальная интерпретация логи-
логических операций 19—20
— логика как расширение АПИ
42
— степень формулы 286, 425
— функция 140
Модальное выражение 178
— высказывание 20
— значение высказывания 296
— исчисление высказываний
254
предикатов 247
с равенством 499
Модальность 17, 62
— отрицательная 63 *
— собственная 63
— упрощенная 106, 115
— утвердительная 63
Модель 20, 328
— Бета 391
— брауэрова 256
— Кринке 20, 478—487
— формулы 225
Модельное множество формулы
382
М"ПИ (модальная пропозицио-
пропозициональная логика) 46
М"ПК (кванториая интерпрета-
интерпретация модальной пропозицио-
пропозициональной логики) 42
М"ПК.И (исчисление, использую-
использующее символику М"ПИ и дедук-
дедуктивно эквивалентное М"ПК) 46
МФ'И (модальная функциональ-
функциональная логика первого порядка)
170
МФ2И (модальная функциональ-
функциональная логика второго порядка)
170
МФК (кванториая интерпретация
модальной функциональной ло-
логики) 170
— без оператора абстракции 170
МФ2К (модальная функциональ-
функциональная логика с равенством) 175
Надчеркнутая формула 437
Называющая форма 325 л
Называющий знак 325 ч
Натуральный вывод 193
Начальный шаг построения (на-
(начальная стадия конструкции)
таблицы 235
Независимость аксиом 37
Необходимость 17, 24
Непротиворечивость системы ак-
аксиом 37
— упорядоченной пары мно-
множеств формул 379, 383
Неравенство 192
Неслучайность 476
Нить дерева 357
Нормализация правила 168
— схемы аксиом 168
Нормальная матрица 97, 298
— модель 256
— модельная структура (п. м. с.)
256
— система 168, 254
— таблица 312
— форма 464
Нормальное доказательство 447
— расширение системы 453
W-система 132, 442
^-элементарное выражение 391
Область индивидов 329
Обобщенная теорема о полноте
383
Образ секвенции 450, 459, 463,
464
Общая импликация 180—181
— эквивалентность 180—181
Общевыполшшость формулы 385,
402
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
517.
Общее предложение 178
Общезначимость формулы 226,
257, 384, 402, 465, 477
Объем дерева формул 352
Ограничение модели 375
Одноместное АФ'И 40
— модальное исчисление преди-
предикатов 248
Опровержимая формула 245
Основная семантическая лемма
357—361, 410
— синтаксическая лемма 353—
357, 410
— теорема Генцена (об устрани--
мости сечения, о нормальной
форме) 340, 343
Основное правило вывода 363
Отношение родства 429
Отрицание 26, G6
— модальностей 73
Отрицательная часть формулы
337
Опенка 256
«Парадоксальные» теоремы об
условных формулах 30
Перевод секвенции 438, 441
— таблицы 438
Погружение систем 361—373
Подтаблица 229
Подчинение 39
Позитивная (положительная) ло-
логика 306
Полное приписывание (полная
опенка) 224
Полнота в смысле Поста 481
Положительная часть формулы
337
Порядок вхождения формулы в
секвенцию 462, 463
— секвенции 462
Постулат 32
Постулаты равенства 189
— универсальной возможности
157
Посылка 326
Потомок 271
— непосредственный 271
Правило 33
— Беккера 87, 93—94
•— введения 445
Правило вывода 326 .
— выводимое (производное) 34,
63
— дедукции 40
для модальностей 48
— замены материально эквива-
эквивалентных 35, 118
строго эквивалентных 121
— YI 229
— Yr 229
— П 229
— М 229
— Лг 229
— N1 228
— Nr 229
— обобщения 38
— образования 45
— ослабления 342, 362
— отделения 32, 34
для строгой импликации 59
— перестановки 193, 341
— Ш 229
— Пг 229
— подстановки 32, 33, 341
— сечения 193, 343
— синтаксическое 193
— соединения 59
— сокращения 193, 342, 362
— структурное 193
— удаления 445
— утончения 193
Предложение 45, 173
— атомарное 173
— молекулярное 173
Предок 429
Прикладное ассерторическое ис-
исчисление 44
Применение правила 363
Принцип исключенного третьего
28
— обратной подстановки 161
— противоречия (отрицания про-
противоречия) 28
— тождества 28, 64
Произведение секвенций 430
Пропозициональная переменная
159, 254, 325
— функция 177
Пропозициональное правило вы-
вывода 363
Противоречивость множества
формул 376
518
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пустой класс (случаев) 179, 180,
182
Равенство 189
—, выражение посредством уни-
универсальной импликации 190
—, экзистенциального пред-
предложения 190
— материальное 190
— строгое 190
Разрешающая процедура 195—
197
Разрешающий алгорифм 382
Разрешения проблема 251
Разрешимость 286
Ранг дерева формул 352
Расширение упорядоченной пары
множеств подформул 379
Редукционная пара дерева фор-
формул 351
Редукция дерева формул 350, 351
— сильная 351
слабая 351
собственная 351
— (сведение) модальностей 96,
103, 106
Рекурсивная аксиоматизируе-
аксиоматизируемость 305
Рефлексивность 328
^-формулировка правил 278
Sa-теорема 52
S'a-теорема 52
S''a-теорема 52
sa-теорема 52
Свойство Холдеиа 304—306
Связная контрмодель 260
— модель 260, 311
— модельная структура 260
Секвенция 193, 362, 428, 438, 443
Семантика Бета 391—403
— Крипке 373—390
— Монтегю 486—487
Семантическая общезначимость
376
— таблица 228, 262—278
Семантическое следование 228
Силлогизм 30
— полный 31
Силлогистический вывод слож-
сложный 71
Сильное отрицание 255
Система В (базисная) 165
— В„ 165
— ?5 309
— 1L 361
— каноническая 167
— Q2 193
— Q3 195
— LKY 129-130
— логистического типа 442
_ м 404—417
— ЛГ337
— М* 196, 325
— MQ 247
— натурального (естественного)
вывода 442
типа 442
— ненормальная 304
— нормальная 168, 254
— NS2 453
— NS3 453
— NS5 444
— NT 452
— vpvSa 169
— vpvSc 169
— vpSa 169
— vpSc 169
— xSa 169
— vSb 169
— vSc 169
— PI 86
— P2 98, 320
— P3 320
— P4 135
— pvpSa 169
— pvpSc 169
— pvSa 169
— pvSc 169
— pSa 169
— pSb 169
— pSc 169
— Sa 169
— Sb 169
— Sc 169
— SI (система 1) 22, 83
— Sle (система 1°) 59
— S2 (система 2) 22. 87
— S2° (система 2°) 86
— S2' (система 2') 137, 147
— S3 (система З) 21. 99
— S4 (система 4) 22, 403—420
— S4° 137
— S41 189
ГЦ>ЕДМеТНЦИ УКАЗАТЕЛЬ
Система 54' 337
— S4* 196, 197, 325
— So (система 5) 22, 137, 224,
404—417
— S5* 196, 199, 224
— S5*= 224
— Т 147
— Г 146
— Т* 146
— I* 203
— F 248
Системы Льюиса 20
— S4" 151
Слабая общезначимость форму-
формулы 491
Слабо эпистемическая алгебра
494
Случайное выражение 177
Случайность 145, 476
S-пелротиворечивость множества
формул 407
S-образ 49
S'-образ 49
S''-образ 49
S'''-образ 49
s-образ 49
Собственная переменная правила
вывода 339
Собственное расширение системы
145, 453
Согласованные списки формул
463
Сокращенное исчисление МФИ
175
S*-m\iiiOTa 334
Справедливость формулы в ис-
исчислении высказываний 326
S-{S'-, S"-, S'"-, s-) преобразова-
преобразование 49
S-противоречивость множества
формул 407
S-редукция дерева формул 409
Степень Л'бб-доказательства 448
— сечения 429
Строгая импликация 24, 69
— эквивалентность 24, 69
— — как необходимая эквива-
эквивалентность 91
Строгие условные связки 50
Структурное правило вывода
362
Субординация 48
Сукцедент (консеквент) секвен-
секвенции 193, 362, 428 -
S- (S'-, S"-, S'"-, s-) формула 46
S-формулировка правда 278
Схема аксиом (аксиоадная схема)
38—39 :
54-модель 256
54*-модель 328
55-модель 256
54-модельная структура 256
SS-модельная структура 256
54*-общезначимость 330
Таблица 438, 443
— альтернативная 229
— вспомогательная 228, 262
— главная 228, 262
— замкнутая 230, 265
— семантическая 228
Тавтология 326
Теорема дедукции (теорема о де-
дукшш, дедук'ционная теоре-
теорема) 125, 189, 473
— Лёвенгейма — Скулема 235
— — —, модальные аналоги 235
'¦'— обобщенная 235
— об устранимости сечения (эли-
минациоиная теорема) 130, 428—
442
— о компактности 384
¦ корректности 330
• полноте 223—245, 330, 336,
382, 419
Топологическая древовидная мо-
модель 420
•— модель 417
— общезначимость формулы 417
Топологическое пространство 417
i-переменная 177
Транзитивное замыкание отноше-
отношения 260
Транзитивность 328
Тривиальная система 309
Т-система 132
Г-теорема 79
Универсальная общезначимость
формулы 226
Универсальный класс (случаев)
179, 180, 182
Усиление правила 167
¦— полуканонической системы 167
620
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Falsum-система 309
Г-вы деленное множество под-
подформул 379
Фильтрация 484
Финитная (конечная) аппрокси-
аппроксимируемость 298, 465
Финитно модельное свойство 298
Формальная импликация 180—
181
— эквивалентность 180—181
Формула 24, 223, 255, 443
— Баркан 494
— общезначимая (тождественно
истинная) 27
— правильно построенная 24,
223, 255
— редукции 409
— условная 25
/-полнота упорядоченной пары
множеств подформул 379
/^-преобразование (функциональ-
(функциональное пропозициональное преоб-
преобразование) 160
Характеристическая формула
альтернативного множества
таблицы 235
• данной стадии построения
таблицы 236
Характеристическая формула
истинностной таблицы 243
— — семантической таблицы
235, 280
строки истинностной таб-
таблицы 243
Хвостовое ограничение 375
Цепь 391
Чисто кванторпое предложение
172
Член редукции 409
Шаг построения (стадия кон-
конструкции) семантической таб-
таблицы 235
Штрих Шеффера(—Нико) 111
Эквивалентность 31
— двух форм равенства 191
Экспортация 31
Экстенсиональное исчисление
предикатов 247
Элементарная формула 325
Эпистемическая алгебра 491
Язык МФКИ-логнки 184