Разностные уравнения и их приложения - Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю.

Автор: Шарковский А.Н. Майстренко Ю.Л. Романенко Е.Ю.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ дифференциальные уравнения
Год: 1986
Похожие
Дифференциальные уравнения в приложениях
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения
Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
А. Н. ШАРКОВСКИЙ
Ю. Л. МАЙСТРЕНКО
Е. Ю. РОМАНЕНКО
РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
И ИХ
ПРИЛОЖЕНИЯ
КИЕВ БАУКОВА ДУМКА 1980
удк 5]7Ш^б
Разностные уравнения и их приложения / Шарковский А. Н., Майстренко ТО- Л.,
Романенко Е. Ю.— Киев : Наук- думка, 1986.— 280 с.
В монографии изложены новые результаты исследований асимптотических
свойств решений, таких, как ограниченность, устойчивость, колеблемость, в том
числе* асимптотическая периодичность, а также эффективные методы качественного
исследования различных классов разностных и дифференциально-разностных урав-
нений. Рассмотрены приложения разностных уравнений к нелинейным краевым
задачам для систем уравнений в частных производных. Изучаются колебания, воз-
никающие в таких системах и приобретающие с течением времени релаксационный
или турбулентный характер. Изложение иллюстрируется многочисленными приме-
рами, результатами численного счета на ЭВМ и машинной графикой.
Для специалистов в области теории дифференциальных уравнений, применяю-
щих ее результаты к решению практических задач естествознания и техники.
Ил. 101. Библиогр.: с. 266—274 (219 назв.).
Ответственный редактор /С Г. Валеев
Рецензенты А. Д. Мышкис, В. ii. Ш ввело
b<j5 А Я
ШГЛА ЧЕ?1
г. _
Редакция физико-математической литературы
1702050000-416
Ш М22Ц04) - 86
© Издательство «Наукова думка», 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория разностных уравнений переживает период возрождения. Мы
являемся свидетелями обилия публикаций, в которых задачи, ничем внешне не
похожие друг на друга, сводятся к изучению итераций отображений f : IRm IRm,
т > 0, или, что, по существу, то же самое, к разностным уравнениям =
= f хп € IR+’ Е Во многом скрытый до последнего времени внутренний
мир разностных уравнений начинает открываться во всей своей полноте. Перед
специалистами, привыкшими иметь дело с дифференциальными уравнениями и где-то
уверовавшими в их универсальность, открывается совершенно новая область, в
значительной мере непохожая на теорию обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Разностные уравнения, отражая одно из неотъемлемых свойств окружающего
нас мира — его дискретность, по праву завоевывают свое место в математическом
аппарате естествознания.
Цель настоящей книги — познакомить читателя с некоторыми недавно обна-
руженными и на первый взгляд не совсем обычными свойствами решений нелиней-
ных разностных уравнений. Эти свойства позволяют использовать разностные урав-
нения для моделирования сложных колебательных процессов, зачастую в тех
случаях, когда применение обыкновенных дифференциальных уравнений затруд-
нено. Разностные уравнения служат удобным инструментом молодой науки синер-
гетики, изучающей упорядоченные структуры. Их использование открывает новые
возможности в подходах к решению одной из центральных научных проблем — проб-
лемы турбулентности.
Изложение в книге основывается на современной теории одномерных динами-
ческих систем, интерес к которой особенно возрос в последнее время. Этой теории
посвящен раздел первый. Рассматривается сосуществование периодических траек-
торий и их бифуркации, спектральное разложение множества неблуждающих точек,
странные аттракторы и репеллеры, устойчивость отдельных траекторий и динами-
ческих систем в целом. Во втором разделе описываются асимптотические свойства
решений разностных уравнений с непрерывным аргументом. Выделяются решения
релаксационного и турбулентного типов; последние характеризуются сходимостью
в метрике Хаусдорфа к обобщенным решениям, Ьрафики которых — фрактальные
(по Мандельброту) множества. Третий раздел посвящен дифференциально-разност-
ным уравнениям, близким к разностным. Изучается вопрос о том, насколько такого
рода уравнения наследуют свойства разностных уравнений, какие изменения
происходят с ними при регулярных и сингулярных возмущениях. В четвертом раз-
деле развит метод исследования нелинейных краевых задач для гиперболических
3
систем, основанный на редукции к разностным и дифференциально-разностным урав-
нениям. Исследуются устойчивость и асимптотическое поведения решений. Выде-
ляются классы задач, обладающие хаотической динамикой, т. е. такие, для которых
описание поведения на больших временах должно вестись уже в терминах не де-
терминированных, а стохастических дифференциальных уравнений.
Многие результаты, содержащиеся в книге, публикуются впервые. Усилия
авторов по систематическому их изложению не всегда, к сожалению, приводили
к желаемой цели. Некоторые параграфы носят скорее обзорный характер, утвержде-
ния часто приводятся без доказательств либо необходимые доказательства лишь
намечены.
Чтение книги не требует глубокого знания каких-либо специальных разделов
математики. Но вместе с тем знакомство с основами качественной теории дифферен-
циальных уравнений безусловно будет полезно.
Авторы благодарны А. Г. Сиваку, В. В. Федоренко, С. Я. Алиеву, А. Ф. Ива-
нову, С. Ф. Коляде, принявшим участие в подготовке и написании отдельных пара-
графов книги, а также В. Л. Майстренко за расчеты на ЭВМ и машинную графику.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Теория разностных уравнений находит многообразные приложения
почти во всех областях естествознания. Все более отчетливо вырисовы-
вается та фундаментальная роль, которую разностные уравнения с
дискретным и непрерывным аргументом играют для понимания нели-
нейных явлений и процессов, происходящих в системах самой различ-
ной природы. Возросший интерес к разностным уравнениям отчасти
объясняется и простотой в обращении с ними. Достаточно минимума
вычислительных и графических средств, чтобы увидеть, как ведут себя
решения разностных уравнений, проследить за их бифуркациями при
изменении параметров. Так открывается сложная, удивительно мно-
гообразная нелинейная динамика разностных уравнений.
Рассмотрим последовательность х = хп,	каждый член ко-
торой связан с предыдущими рекуррентным соотношением
Хп = /(П, Хи-ь *п_2, ..., Хп-л)	(1)
с фиксированным k > 0. Независимая переменная п изменяется дис-
кретно, и соотношения вида (1) называют разностными уравнениями с
дискретным аргументом. Если х — функция непрерывного аргу-
мента / С |R+, то соотношение
%(/) = /(/, x(t — 1), x(t — 2), ..., x(t — k))	(2)
представляет собой разностное уравнение с непрерывным аргументом.
На практике роль независимого переменного часто играет время, что
позволяет говорить соответственно о разностных уравнениях с дис-
кретным и непрерывным временем.
Уравнения с дискретным временем обычно возникают, когда рас-
сматриваемая величина х регистрируется через некоторые промежутки
времени. Например, если х — относительная численность (плотность)
какого-либо биологического вида, то в качестве такого промежут-
ка иногда целесообразно взять время жизни одного поколения.
В некоторых случаях связь между хп и хп-\ удовлетворительно зада-
ется разностным уравнением первого порядка
Х/7 = КХп—1 (1 Хп—1)	(3)
(значения хп как плотности популяции не должны выходить из интер-
вала [0,1], поэтому, как легко видеть, параметр К — коэффициент раз-
множения— должен быть заключен в промежутке [0, 4]). Если
5
0< X < 1, то численность популяции стремится к нулю со скоростью
геометрической прогрессии, если 1 < К <С 4, то поведение хп может
быть как простым (со временем может стабилизироваться или стано-
виться периодическим), так и очень сложным (хаотическим). Слож-
ности в поведении хп возникают из-за нелинейности в правой части
уравнения (3). По существу, дело не просто в нелинейности, а в
том, что правая часть существенно нелинейна, а именно: вслед
за участком возрастания (интервал (о, следует участок убыва-
ния (интервал (—, 1^ С биологической точки зрения этот факт озна-
чает, что при малых плотностях численность популяции растет, но
«перенаселение» приводит к ее уменьшению. Таким образом, увеличе-
ние коэффициента размножения при ограниченных ресурсах приводит
к колебаниям численности, вначале периодическим, а затем, как будет
видно из дальнейшего, и хаотическим.
В рассмотренном примере разностное уравнение появилось непо-
средственно из моделирования реальной задачи, минуя дифференци-
альные уравнения. Однако в настоящее время основным источником
разностных уравнений являются дифференциальные уравнения. Мы
имеем в виду так называемые разностные схемы, широко используе-
мые для приближенного решения дифференциальных уравнений и
представляющие собой системы разностных уравнений, подчас доста-
точно высокой степени. Оказывается, что, изучая реальные физические
задачи, удобнее вывести вначале соотношения для конечных разно-
стей, сделать предельный переход, получить дифференциальные урав-
нения и лишь затем посредством дискретизации по времени и прост-
ранству прийти к разностным схемам. Возможно, отчасти в силу имен-
но этих причин развитие теории разностных уравнений, начиная с
конца XVIII века, постепенно отстает от бурно и многопланово раз-
вивающейся теории дифференциальных уравнений как обыкновенных,
так и в частных производных.
Многие факты из теории линейных дифференциальных уравнений
верны и для соответствующих разностных уравнений. Хорошо извест-
ный пример — опубликованная в 1885 г. знаменитая теорема Пуанка-
ре [217, 31] об асимптотическом поведении решений разностных урав-
нений. Или другой пример, менее известный, хотя и относящийся уже
к началу XX века — аналитическая теория разностных уравнений
Дж. Д. Биркгофа. Теорема Пуанкаре послужила толчком к исследо-
ваниям Дж. Д. Биркгофа и его учеников, построившим в определен-
ном смысле общую аналитическую теорию линейных обыкновенных
дифференциальных, разностных и (/-разностных уравнений [137—
139] (см. также [58]). Появившаяся недавно монография [65] касается
иного, восходящего к Нерлунду [205], подхода, основанного на фор-
мальном интегрировании разностных уравнений не степенными ряда-
ми, а факториальными (со слагаемыми вида amln (п + 1) ...
... (и + k- 1)).
Отличия разностных уравнений от дифференциальных проявляют-
ся в наибольшей степени, когда уравнения нелинейны. Здесь уже эф-
6
фективное исследование требует разработки существенно различаю-
щихся методов и подходов. Чтобы вскрыть истинные причины этого,
обратимся к физическим закономерностям, лежащим в основе этих
уравнений. Каждое дифференциальное уравнение (без запаздывания) —
это математическое выражение связи некоторых, в том числе беско-
нечно малых, величин в одной и той же точке пространства в один и
тот же момент времени. Что же касается разностных уравнений, то
они связывают только конечные величины, причем в различных точках
пространства и (или) в различные моменты времени.
Попытки понять механизмы турбулентности с инфинитезимальной
точки зрения неизбежно наталкиваются на различные препятствия,
вызванные необходимостью решать уравнения Навье — Стокса или
другие нелинейные уравнения, не уступающие им по сложности 1. Не
нужны ли для выяснения свойств турбулентности совсем другие урав-
нения, отражающие также и дискретную ее природу, которая в послед-
нее время все более очевидна? Мы имеем в виду такие свойства турбу-
лентности, как перемежаемость, образование различного рода коге-
рентных структур, например вихрей и др. Недавно сформировавшееся
направление — структурная турбулентность [84, 90] — подтвержда-
ет адекватность этой точки зрения существу явления. Совсем не обя-
зательно такими уравнениями должны стать именно разностные урав-
нения. Однако в свойствах их решений удивительно ясно угадываются
многие черты турбулентности, причем, как и следовало ожидать, имен-
но те, моделирование которых при помощи дифференциальных уравне-
ний наиболее затруднено. Например, в книге [34] для моделирования
каскадного процесса образования вихрей уменьшающихся масштабов
развита теория систем гидродинамического типа. Каждая такая си-
стема состоит из нелинейных обыкновенных дифференциальных урав-
нений, причем чтобы получить последующий масштаб вихрей, ее поря-
док приходится увеличивать на три. В результате размерность системы
катастрофически растет и исследовать ее становится совсем не просто.
В то же время сам механизм каскадного процесса можно реализовать
уже в рамках одного только нелинейного разностного уравнения вида
(3). Этот на первый взгляд неожиданный факт объясняется просто.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений конечномерны,
поэтому моделирование каждой новой гармоники требует увеличения
их размерности. Разностные же уравнения с непрерывным временем
уже даже в скалярном случае бесконечномерны. Благодаря этому при
помощи одного только разностного уравнения первого порядка можно
наглядно представить себе, как образуются структуры все более мел-
ких масштабов, вплоть до бесконечно малых. Ниже мы еще вернемся
к этому вопросу.
Богатым источником разностных, ^-разностных, дифференциально-
разностных и других функциональных и дифференциально-функцио-
нальных уравнений являются краевые задачи для гиперболических
систем уравнений в частных производных. Следует, однако, заметить,
1 Следует, однако, заметить, что, хотя аналитически эта задача и очень
сложна, большие надежды в решении уравнений Навье — Стокеа связываются
с бурным развитием ЭВМ [11].
7
s=0

что эти уравнения можно было бы получить и не прибегая к гиперболи-
ческим системам, а пользуясь только соответствующими физическими
свойствами задач. Например, если среда линейна, то сигнал в ней рас-
пространяется, не меняя своей формы, и после преобразования на гра-
нице может возвратиться в исходную точку. Тогда сравнение исходного
и преобразованного сигналов может приводить к разностным уравне-
ниям с непрерывным временем; вид его в таком случае полностью оп-
ределяется граничными условиями.
Рассмотрим простой пример. Колебания тока i и напряжения v в
электрической цепи (рис. 1) — длинной линии с туннельным диодом
(на границе цепи, впрочем, может быть любой другой элемент с нели-
нейной зависимостью тока от напряжения) — описываются системой
телеграфных уравнений, которая в предположении нулевых потерь в
линии есть просто система
Zs 4- Cvt = 0, vs + Lit = 0	(5)
(s — координата точки в линии, t — время, L и С — удельная индук-
тивность и емкость линии). Граничные и начальные условия имеют вид
v (0, t) = 0, i (/, t) = g (и (/, /)+ £),	(6)
i (s, 0) = Zo (s), v (s, 0) = u0 (s)	(7)
(f = g (v) — вольт-амперная характеристика диода, E — напряжение
смещения, r0 (s), u0 (s) — начальные распределения тока и напряже-
ния в линии). Непосредственной подстановкой проверяется, что ре-
шение задачи (5) — (7) имеет вид (ради простоты записи I принято
равным 1)
i (s, t) = -j- (x (co t — s) + x (co t + s)),
v (s, t) = -j- (x (co t — s) — x (co t + s)),	(8)
O^s^l, />0,
где z = VL/C, w = (VYC)”1, a x : [—1, oo) -> Щ1 — решение раз-
ностного уравнения
х(т + 2) = /(х(т)), tG[—1, со),	(9)
с начальным условием
Х(Т) |(_ 1,1) = ф(т) =
^0 (— т) -н (— т),
Zo (т) — zyo (Т),
TG[- 1, 0),
tG[0, 1)
8
где f (х) определяется как неявная функция из соотношения (х 4- f)/2 =•
— g (z (х — /V2 + £)
Таким образом, формулы (8) дают точную связь между решением:
i (s, /), v (s, t) краевой задачи (5) — (7) и решением х (т) разностного
уравнения (9) с начальным условием (10). Заметим, что этот прием ис-
пользовал еще А. А. Витт [29] для исследования колебаний в различ-
ного рода механических, электрических и других системах. Аналогич-
ное сведение к разностным уравнениям имеет место и в более общих
ситуациях, когда коэффициенты в (5) переменные, когда граничные
условия нелинейны на обоих концах, когда число уравнений системы,
а также пространственных переменных больше (см. гл. 1 разд. 4). Од-
нако исследование уравнений, получаемых в результате сведения,—
задача сама по себе также не простая. Эффективное их исследование
стало возможным, по существу, лишь в последнее время благодаря
успехам в развитии теории дискретных динамических систем — ос-
новного инструмента исследования разностных уравнений.
Сделаем несколько замечаний о свойствах нелинейных разностных
уравнений общего вида
х(/+1) = Дх(0), /(ЕК+, хек1.	(11>
Как уже говорилось, главное отличие разностных уравнений от диф-
ференциальных вызвано бесконечномерностью динамической системы
: ср »-► f ° ф, задаваемой уравнением (11); пространство состояний
системы — это пространство функций ф : [0, 1]-> IR1, удовлетворяю-
щих тем или иным дополнительным условиям. Исследовать свойства
решений удается благодаря тому, что все свойства & определяются
одномерным отображением f : х f (х).
Хорошо известно, что для обыкновенных дифференциальных урав-
нений характерны гладкие периодические решения и решения, стре-
мящиеся к ним при оо. Для разностных же уравнений вида (И)
особую роль приобретают разрывные периодические решения, так как
при достаточно общих условиях к ним сходятся при /-> оо все другие
(в том числе сколь угодно гладкие) решения. Что касается гладких
периодических решений, то они могут появляться только в исключи-
тельных ситуациях и при малых возмущениях f исчезают. Указанные
асимптотически разрывные решения и составляют основную особен-
ность нелинейных (!) разностных уравнений. Приведем простой при-
мер, поясняющий, как такие решения возникают.
Пусть отображение f : IR1 -> IR1 имеет две притягивающие непо-
движные точки х = аг и х = а3, одну отталкивающую х = а2 и не имеет
других неподвижных и периодических точек (см. рис. 2, а, гдео^ = 0,
а3 = 1). Если функция ф (0, С [0, 1], такова, что ф (Z) < а2 при
/ G [0, ^i), Ф (0 > а2 при t £ (Zn t2) и ф (/) < а2 при t С (/2, И, то, как
легко видеть, для решения х (t), порождаемого этой начальной функ-
цией (рис. 2, б), имеет место предельное соотношение
limx(Z 4- п) =
П-+ОО
ч. ^[о, и а2, и.
«2. и
«3, t £ (/j, t2).
Рис. 2.
Следовательно, решение, х (t) не обладает свойством равномерной не-
прерывности при tQ Щ+ и сходится при оо к кусочно-постоянной
1-периодической многозначной функции р (0, которая на своем пери-
оде имеет вид
а1(
[Я1,
<U0, U (G,
а3], t = и
И,
t = t2,
(12)
р(0 =
.a3’	^2)’
причем предельную функцию р (t) можно рассматривать как разрыв-
ное (обобщенное) решение уравнения (11). Сходимость х (0 к р (0 удоб-
но определить, используя метрику Хаусдорфа для графиков в [R2.
Действительно, пусть gr х (•) и gr р (•) — графики соответствен-
нох(0 и р (0, а Дю.*,) (х (•), р (•)) = max {sup р (|, gr р (•));
£Ggrx(.)
sup р (g, gr %(•))} — расстояние Хаусдорфа между ними. Тогда
s€grp(.)
скажем, что х (0 сходится при 00 к р (0, если
Д[Т.«)(*(•), Р(-))->0, 7—>-оо.
Отметим такой факт: число точек разрыва (точнее, многозначности)
предельной функции р (0 на периоде равно двум — это точки t = tY
и t = t2. Если бы график начальной функции ср (0 имел не одно, а,
например, три колебания на [О, 1], шесть раз пересекая прямую х =
= а2, то число таких точек было бы равно шести, и т. д. Такие гладкие
ограниченные решения, сходящиеся при t -> 00 к разрывным периоди-
ческим решениям с конечным числом точек разрыва на периоде, будем
называть решениями релаксационного типа. Они обладают при боль-
ших значениях t участками как быстрого, так и медленного изменения.
Скорость быстрых движений при оо растет до бесконечности, ско-
рость медленных затухает к нулю.
Другой важный класс решений разностных уравнений с непрерыв-
ным временем — это гладкие ограниченные решения, у которых «пре-
дельное» обобщенное решение имеет бесконечно много (неустранимых)
разрывов на периоде (рис. 3, а). Такие решения не только являются
асимптотически разрывными при оо, но и обладают следующим
важным свойством: частота описываемых ими колебаний на каждом
интервале [n, п + 1] неограниченно растет с ростом п. Решения, об-
ладающие указанным свойством, будем называть решениями турбу-
лентного типа. Существуют простые критерии наличия такого рода
решений у уравнения (11). Один из них — существование у отобра-
жения f цикла, период которого отличен от 1 и 2.
10
X
0,80-,
0,40-
0
X
0,80-
OfiO-
0
WSII
I	1	i	•	I	i	i	I	i	।	j.— — ...	-
*	23456788	10	11 t
a

•	•	I	I	I-|- Г"" 	1-1-г  —1 "
1	23456739	10	11 t
5
Рис. 3.
На рис. 3, а представлен график решения х (/), /g [0, 12], уравне-
ния (11) с функцией f (х) = кх (1 — х) при значении X = 3,83 (что
касается рис. 3, б, то мы вернемся к нему немного позже). Интересно
проследить, как меняется график х (/) при изменении параметра X.
На рис. 4 предпринята такая попытка: чтобы показать эволюцию гра-
фика х (/), мы добавили еще одну ось — ось к — и изобразили поверх-
ность z = х (/; X) при t С [11, 12], к С [2,5; 3,7].
Таким образом, свойства асимптотически разрывных решений мо-
гут существенно меняться при изменении вида отображения f. В то
же время им присущ ряд общих свойств, о которых следует сказать
особо.
В типичных ситуациях бифуркации решений сопровождаются из-
менением периодов в соответствии с универсальным порядком
1 Д 2 Д 4 Д •••д5-2дЗ-2д ••• Д 5 Д 3,
который впервые получен в работе [102]. При этом в аналитическом
случае удвоение периодов происходит с универсальной скоростью 6 =
= 4,669 ... и характеризуется универсальным отношением амплитуд
возникающих колебаний а = 2,502 ... [159, 160, 96, 30]. Имеется ряд
других универсальных констант, относящихся к скорости бифуркаций
решений (см., например, [48, 49]).
К интересным свойствам решений разностных уравнений относится
явление Гиббса [39], открытое в 1848 г. для рядов Фурье, а позже об-
наруженное и для других систем функций (например, функций Уол-
ша): для разностных уравнений при некоторых условиях сходимость
гладкого решения к разрывному сопровождается выбросами, величина
которых со временем стабилизируется и практически не зависит от
начальных функций, а только от вида отображения f (рис. 5). Тогда
для того чтобы имела место сходимость вида (12) решения х (/) к не-
которому предельному многозначному решению р (/), решение р (/)
также должно иметь выбросы в точках многозначности.
Остановимся на одном важном применении решений турбулент-
ного типа, т. е. таких, частота колебаний которых при /-> оо неогра-
ничено растет, а амплитуда ограничена как сверху, так и снизу поло-
12
Рис. 5.
жительными числами. Именно с помощью решений турбулентного типа
можно дать наглядное описание такого явления, как каскадный про-
цесс образования структур уменьшающихся масштабов. Если просле-
дить поведение решения х (/) (см. рис. 3, а), то легко заметить, что рост
частоты х (/) сопровождается появлением «полочек» (интервалов мед-
ленных движений). С течением времени число вновь появившихся «по-
лочек» растет, а их размеры убывают к нулю. Каждую «полочку» отож-
дествим с некоторой турбулентной структурой. Тогда на рис. 3, а мож-
но увидеть, как рождаются структуры, причем все более мелких
масштабов.
Используя в качестве модели уравнение (И), можно изучать ме-
ханизм образования структур, различного рода бифуркации, другие
свойства (перемежаемость, автомодельность и т. п.). В реальных си-
стемах каскадный процесс образования структур в конце концов обры-
вается из-за присутствия в системе вязкости [46]. В рассматриваемой
нами модели вязкость отсутствует, поэтому возникающие структуры
дробятся до бесконечно малых размеров. Это существенный момент,
который надо иметь в виду, используя разностные уравнения для мо-
делирования явлений турбулентности. Эти уравнения приспособлены
для изучения турбулентности в системах с нулевой вязкостью, т. е.
для изучения сухой турбулентности 2.
Следует заметить, что адекватные математические модели сухой
турбулентности должны быть существенно бесконечномерными (при
изучении невязких задач вкладом высших гармоник пренебрегать нель-
зя). Кроме того, такие модели должны быть также существенно нели-
нейными (турбулентность — явление нелинейное). Как первому, так
и второму требованию удовлетворяют гиперболические системы с не-
линейными граничными условиями общего вида
т
St	(slt ..., sm)gGcz[Rm, (13)
/=i	1
Нk (^1> • • • » Uq) |dG = 0,	(14)
2 Понятие «сухая турбулентность» введено в 1983 г. в работе [121] по аналогий
6 понятием «сухая вода» [97].
13
i t=0,0
i t=12t0
(J	—l	I	I--------1--------1--------1--------r—------1--------1--------1
0,10	0,20 0,30 0,40	0,50 .0,60	0,70 0,80	0,90 S
i t=18,0
0,10	0,20	0,30 0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90 S
Рис. 6.
где А =|^/| — постоянная тх
X (/-матрица, Hk — некоторые
нелинейные функции (число фун-
кций Hk в разных точках гра-
ницы dG может быть разным)3.
Мы уже имели дело с такого
рода краевыми задачами: если
в (5), (6) перейти к инвариантам
Римана, то получим (13), (14),
где т = 1, q = 2. Уже в этом
простейшем случае видны основ-
ные черты сухой турбулентности.
Типичная ситуация изображена
на рис. 6, на котором показаны
сечения графика компоненты ре-
шения i = i (s, t) задачи (5), (6)
в последовательные моменты вре-
мени в соответствующих безраз-
мерных переменных (физическая
интерпретация кривых на
рис. 6 — мгновенные распределе-
ния тока в линии).
* Турбулентные свойства реше-
ний задачи (13), (14) приобретают
большую наглядность в случае
двух пространственных перемен-
ных. На рис. 7 показано, как
в одной из типичных ситуаций
меняется со временем векторное
поле «течения в канале», описы-
ваемого задачей, в которой т =
= 2, q = 2 (точную постановку
задачи см. в гл. 3 разд. 4).
Исследование задачи (13), (14)
х? t=2^0
Рис. 7.
основано на возможности ее сведе-
ния методом характеристик к разностным уравнениям с непрерывным
временем. Такой подход позволяет выделить в пространстве состояний
динамической системы, отвечающей (13), (14), аттрактор, изучить харак-
тер движений на аттракторе, структуру его элементов. Как и следова-
ло ожидать, размерность аттрактора сухой турбулентности равна
бесконечности 4. Но движения на аттракторе оказываются очень
3 Систему (13) при различных упрощающих предположениях можно получить
из уравнений Навье — Стокса, но роль нелинейности в граничных условиях (14)
с точки зрения гидродинамической постановки задачи продолжает оставаться неяс-
ной. Однако такое перенесение нелинейности из уравнений системы в граничные
условия делает задачу доступной аналитически.
4 Аттрактор, по-видимому, превращается в конечномерный, если в (13), (14)
учесть вязкость. Этот факт согласуется с результатами работ [12, 41,53,54, 187],
в которых доказана конечномерность и даны оценки размерности аттракторов ряда
краевых задач для двумерных уравнений Навье — Стокса.
15
простыми — периодическими или почти периодическими. Сложности же
в поведении решений (см. рис. 6 и 7) вызваны строением элементов ат-
трактора. В типичных ситуациях элементы аттрактора — это обобщен-
ные решения с множеством разрывов, гомеоморфным множеству Кан-
тора. Гладкие (классические) решения приближаются к решениям на
аттракторе, что и обусловливает свойства, типичные для турбулент-
ности .
Следует заметить, что подход к математическому объяснению турбу-
лентности на основе сухой турбулентности отличается от предложенно-
го Рюэлем и Такенсом в 1971 г. [211]. В основе последнего лежит по-
нятие странного аттрактора [9, 10, 55, 89, 187, 211], и определяю-
щую роль играет именно сложный, хаотический характер движений
на аттракторе, а не сложность элементов аттрактора.
Последний вопрос, которого мы коснемся,— какова роль вязкости
в нашей модели. В случае задачи (13), (14) вязкость можно учесть дву-
мя способами — добавить «вязкие» члены в гиперболическую систему
или же в граничные условия. Второй путь существенно проще. Дей-
ствительно, если, например, во второе из граничных условий (6) до-
бавить член v —1** то задачу (5), (6) удается свести к уравнению
запаздывающего типа
vx(0+ %(/) =/(*(*-1)).	(15)
Это уравнение можно рассматривать как простейшую модель турбу-
лентности — с его помощью можно проследить влияние вязкости на
сухую турбулентность.
Несмотря на внешнюю простоту, аналитическое исследование урав-
нения (15) — задача непростая. При любом сколь угодно малом v > 0
это уравнение уже не может иметь решений турбулентного типа,
так как | х (/) |	— | — х (/) + f (х (I — 1))|. Поэтому основной воп-
рос, на который пока нет ответа,— что происходит с этими решениями
при v >0 и / -> оо?
В то же время для решений уравнения (15) имеет место непрерыв-
ная зависимость по v 0 на любом конечном интервале времени (0, Г]
(см. гл. 3 разд. 3). На рис. 3, б показано, как меняется график решения
х (/), представленного на рис. 3, а, при переходе от (И) к (15). Вначале
в течение некоторого времени (тем большего, чем меньше v) решение
xv (/) «вязкой» задачи отслеживает решение х (/) «невязкой» — идет
процесс образования структур, их размеры убывают. На этом этапе
определяющую роль играют невязкие взаимодействия, т. е. сухая тур-
булентность. Однако когда структуры уже достаточно измельчены (со-
ответственно градиенты скоростей достаточно велики), начинается
сложный процесс взаимодействия механизмов сухой турбулентности
и вязкости, ясный пока еще далеко не полностью.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ОДНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Исследование уравнений, описывающих динамику той или иной
реальной системы, в частности исследование разностных уравнений
вида
х(/+1) =	(1.1)
с дискретно или непрерывно изменяющимся обычно связано с вопро-
сами такого типа: как ведут себя с ростом t отдельные решения или мно-
жество решений (выделяемые условиями рассматриваемой задачи)?
Как они зависят от изменения начальных условий и правой части
(функции /)? От чего зависит, чем определяется поведение решений?
Именно на такие вопросы призвана давать ответы теория динамиче-
ских систем — теория групп или полугрупп отображений, порождае-
мых в пространстве состояний решениями уравнений.
Если f С С° (X, X), где X — некоторое топологическое или метри-
ческое пространство (пока несущественно, что представляет собой про-
странство X), то отображение
x^f(x)	(1.2)
порождает на X полугруппу непрерывных отображений	где
= р fn~\ fQ —тождественное отображение, или, как принято
говорить, динамическую систему {fn, X, Z+}. Иногда в этом слу-
чае употребляют термин «полудинамическая система», желая тем са-
мым подчеркнуть, что мы имеем полугруппу отображений (время
в системе, вообще говоря, необратимо), а не группу, как, например,
для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Обратим внимание на то, что способы задания динамической систе-
мы для дифференциальных и разностных уравнений несколько отли-
чаются. Дифференциальное уравнение задает на X векторное поле (ин-
финитезимальный оператор), время изменяется непрерывно и чтобы
получить траектории динамической системы, необходимо векторное
поле проинтегрировать. Разностное уравнение задает явно образую-
щую полугруппы — отображение (1.2) — и построение траекторий
сводится к итерированию (1.2).
Напомним еще раз следующее. Если х (/) — решение уравнения
(1.1) и / С то график решения gr x(t) = {(х, /) : х = х(/),
€ Z+) — счетное множество в пространстве X X и отображение
| хь->/(%),
--------------------------U^Xi.l
2-3793	| ТЕХНИЧЕСКАЯ БНШе'хШ <	17
отображает gr x(t) в себя. При проектировании графика gr х (/) на
пространство X получаем множество
{х^Х: х = x(t), /£Z+} = {f'(*o). ^Z+}. xo = x(O).
Это множество инвариантно относительно отображения (1.2) и пред-
ставляет собой проходящую через точку х0 траекторию динамической
системы {fn}t или, как часто для краткости говорят, траекторию отобра-
жения (1.2) (как правило, мы также будем использовать это более крат-
кое выражение). Таким образом, знать, как ведет себя решение урав-
нения (1.1), равносильно тому, чтобы знать, как ведет себя соответ-
ствующая траектория отображения (1.2).
Случай t g IR+ отличается от случая t £ лишь тем, что проекция
графика grx (/) = {(х, t)  х = х (/), tQ IR+) на X, т. е. множество
{х g X : х = х (/), t G IR+), состоит не из одной траектории, а пред-
ставляет собой, вообще говоря, множество (однопараметрическое
семейство) траекторий отображения (1.2), проходящих через точки
начального множества = {х g X : х = х (/),	[0, 1]}. Таким об-
разом, при поведение решений уравнения (1.1) также опреде-
ляется тракториями отображения (1.2), однако уже не одной отдельной
траекторией, а целым семейством. Это, конечно, приводит к некоторым
дополнительным усложнениям в поведении решений, появляется ряд
особенностей.
Ниже рассматриваются динамические системы, задаваемые отобра-
жением (1.2), когда фазовое пространство X представляет собой интер-
вал на прямой, ограниченный или неограниченный. Каждое свойство
динамической системы, о котором будет идти речь, при желании можно
немедленно переформулировать в терминах решений разностного урав-
нения (1.1) с дискретно изменяющимся аргументом.
§ 1. Просты ли одномерные динамические системы?
В теории динамических систем наряду с такими привычными по-
нятиями, как периодичность, устойчивость и другие, широко использу-
ются более специальные термины, например неблуждаемость точек,
возвращаемость областей, спектральное разложение тех или других
множеств и др. В последнее время появился и стал весьма популярным
термин «странные аттракторы». Использование таких понятий, когда
X — пространство большой размерности или хотя бы имеет размер-
ность больше единицы, представляется естественным и необходимым.
Это результат длительного и плодотворного развития общей теории
динамических систем, в частности как основы качественной теории
дифференциальных уравнений. Однако необходимо ли все это, когда
X — одномерное пространство, может быть и нет необходимости при-
влекать «тяжелую артиллерию» в этом, кажущемся на первый взгляд
простым, случае?
В теории динамических систем асимптотическое поведение траекто-
рий характеризуется обычно с помощью co-предельных множеств. Точ-
18
ка х g X называется (о-предельной точкой траектории {fn (х)}Х=о, ес-
ли для любого и > 0 и любой окрестности U точки х найдется п >
> и', для которого fn" (х) Е U (иначе говоря, существует последова-
тельность Hi < п2 <...-> + оо такая, что fni (х) -> х). Множество
всех co-предельных точек траектории, проходящей через точку х, обо-
значают со (х). Это замкнутое множество и если X — компакт, то оно
инвариантно и непусто (если X не является компактом, то, возможно,
(х) = 0, т. е. с течением времени траектория стремится покинуть
X). Таким образом, если X — компакт, то (о (х) — наименьшее замк-
нутое множество, любая окрестность которого содержит все точки тра-
ектории {f* (х)}, начиная с некоторого п (зависящего от выбранной
окрестности).
Наиболее просто ведут себя периодические траектории, или циклы.
Точка х0 Е X называется периодической периода /и, если fm (х0) =
= х0 и f' (х0) =# х0 при 0 < i < т. Каждая из точек х, = fl (х0), i =
= 1, 2, ..., т — 1, также является периодической периода т и точки
х0, х19 ..., хт-\ образуют периодическую траекторию, или цикл пери-
ода т. Периодические траектории играют важную роль в теории ди-
намических систем. В особенности это относится к одномерным дина-
мическим системам.
Для периодических траекторий со-предельное множество совпадает
с самой траекторией. Вообще если для какой-либо траектории ее (о-пре-
дельное множество представляет собой цикл, то эта траектория являет-
ся либо периодической, либо асимптотически периодической, т. е. при-
тягивается периодической.
Существование периодических и асимптотически периодических
траекторий — ситуация, типичная для одномерных динамических
систем. В самом деле, каковы бы ни были точки рь ..., лежащие
на интервале 1 и попарно различные, если положить f (Pt) = рж, i =
= 1, 2, ..., т — 1, f (pm) = Pi и продолжить / (х) на / произвольным
образом, лишь бы функция f (х) была непрерывной, то отображение
х »-► / (х) будет иметь периодическую траекторию периода т рь р2, ...
..., ₽ь ••• Если к тому же f (х) выбрать гладкой, то в окрестности
каждой из точек pt | f (х) — pi+i | « | /' (pj I | х — р, | и, следова-
ла
п f (Р>) | х — р(|- Таким образом, если
тельно, | fm (х) — р, |
т
П f (Р/) < 1 и точка х0 достаточно близка к одной из точек цикла,
/=1
то траектория {/пх0} приближается к циклу со (х0) = {Рь ..., Рт).
Может ли со-предельное множество состоять из конечного числа
точек и не быть циклом? Например, состоять из двух циклов? Когда
пространство X локально компактно, справедлив следующий общий
факт [106]:
если co-предельное множество состоит из конечного числа точек,
то эти точки образуют цикл.
Это утверждение — следствие «несжимаемости», которой обладает
динамическая система на каждом (о-предельном множестве [106]: если
F — co-предельное множество, то для любого множества V cz F
2*
19
(У =/= F), открытого относительно F, fV ф V (черта сверху, как
обычно, означает операцию замыкания множества).
Как из этого утверждения вытекает утверждение, приведенное вы-
ше? Если F состоит из конечного числа точек и F — цикл в F, не сов-
падающий с F, то F — инвариантное множество, одновременно и замк-
нутое и (относительно F) открытое, т. е. fF cz F, что невозможно.
По этой же причине справедливо и такое утверждение [106]:
каждый цикл, содержащийся в со-предельном множестве и не сов-
падающий с ним, не изолирован в со-предельном множестве, точнее,
не изолирована любая точка этого цикла, т. е. любая точка цикла яв-
ляется предельной для точек co-предел ьного множества.
С такой ситуацией мы можем встретиться, когда со-предельное мно-
жество состоит уже из бесконечного числа точек. При этом оно может
быть как счетным, так и иметь мощность континуума. Следует отме-
тить, что в первом случае со-предельное множество F обязательно со-
держит, по крайней мере, один цикл. Действительно, последователь-
ность замкнутых множеств о F2 zd ... zd Fa zd..., где FA = F,
Fa+i = co (xa), xa— произвольная точка из Fa, и Faf = П Fa, если
a<a'
a — предельное порядковое число, всегда стабилизируется на неко-
тором конечном или счетном порядковом числе a* (Fa* = Fa*+i) [2].
Если Fa счетное, то Fa_|_] =# Fa, так как изолированные точки Fa не
принадлежат Еа+1, если только эти точки не являются периодическими
и не содержатся в траектории {fn (xa)}. Следовательно, Fa* состоит из
конечного числа точек, образующих цикл.
Может ли со-предельное множество быть счетным в одномерной ди-
намической системе? Оставим пока этот вопрос открытым и возвратим-
ся к нему позднее.
Если со-предельное множество имеет мощность континуума, то оно
может содержать или не содержать циклы. Простой пример динамиче-
ской системы, для которой co-предельные множества имеют мощность
континуума, хорошо известен — это поворот окружности S1 на посто-
янный угол р. Если р — иррациональное число, то поворот <р ср +
+ р порождает траектории (ср + /гр (moi 1)1 л=о» которые при любом
ср С S1 являются почти периодическими, плотны на S1, так что со (ср) =
= S16. Однако существование таких траекторий (как и периодических
при рациональном р) связано с возможностью возвращения точек в
начальное положение или близкое к нему, которую обеспечивает топо-
логия S1.
Если же динамическая система задана на интервале /, возможности
возвращения, которую дает топология самого пространства, нет. По-
этому, когда отображение f : 1 -> /, как и поворот S1, обратимое (и мы
имеем группу отображений, а не полугруппу), динамическая система 6 * * *
6 Для дифференциальных уравнений этот пример соответствует так называе-
мой иррациональной обмотке тора ср = р, ф = 1, когда каждая траектория плотна
на торе. При этом на окружности ф = const получаем отображение ср -> ср + р
(отображение последования Пуанкаре).
20
на интервале I устроена совсем просто. Действительно, в этом случае
f — монотонная функция и либо сама /, либо р монотонно возрастает
(таким образом, вторая ситуация сводится к первой). Если функция f
монотонно возрастающая, т. е. f (х') > f (х") при х' > х", то fm (х') >
> fm (х") при любомт 0; каждая траектория х0, xlf х2, ..., x^+i =
= f (хт) монотонна (если х0 > х19 то х0 > хг > х2 > ... > хт >
если Хо < Х19 ТОХ0 < Хх < х2 < ... < хт < ...) и сходится к одной из
неподвижных точек отображения f (или совпадает с ней). Для того что-
бы описать поведение произвольной траектории, достаточно знать мно-
жество неподвижных точек Fix f = {х Е / : f (х) = х} и, кроме того,
sign (f (х) — х) на каждом интервале, дополнительном к Fix f: если
х0 Е (a, b), a, b £ Fix /,	(а, b) с= I \ Fix /, то fnx0 -> а, когда
sign (f (х0) — х0) = — 1, и fnx0 -> b, когда sign (f (х) — х) = +1.
П->оо
В том случае, когда f — монотонно убывающая функция, каждая
траектория распадается на две монотонные последовательности х0, х2,
х4, ... и Xi, х3, х5, ..., одна из которых возрастает, другая убывает; для
описания динамической системы достаточно знать множество Fix р.
Для того чтобы динамическая система могла быть устроена сложнее,
необходимо, чтобы она не была группой отображений, т. е. чтобы ото-
бражение /:/->/ было немонотонным. Вследствие немонотонности /
можно осуществить возвращение некоторых точек х Е / в начальное
положение и, следовательно, получить периодические точки (с любым
периодом, а не только с периодом 1 или 2, как в случае монотонного /).
О таких периодических точках мы уже говорили выше.
В теории динамических систем (в частности, в качественной теории
дифференциальных уравнений) признаком сложности системы могут
служить так называемые гомоклинические траектории, впервые обна-
руженные Пуанкаре в задачах небесной механики. Гомоклиническая
траектория — это траектория, которая и при возрастании, и при убы-
вании времени стремится к одной и той же периодической траектории.
Существование гомоклинической траектории, как правило, влечет за
собой существование в любой ее окрестности счетного числа периоди-
ческих траекторий (сколь угодно большого периода), а также траекторий
с «квазислучайным» поведением. Такая сложная динамика объясняется
тем, что из окрестности каждой точки цикла, который «притя-
гивает» гомоклиническую траекторию, можно теперь уходить и возвра-
щаться уже двумя путями: вдоль цикла и вдоль гомоклинической тра-
ектории.
Дифференциальные уравнения могут .иметь гомоклинические тра-
ектории, начиная с размерности три (если не учитывать исключитель-
ный случай, возможный и на плоскости, когда сепаратриса, выходя-
щая из седла, и сепаратриса, входящая в то же седло, образуют одну
траекторию). Могут ли быть гомоклинические траектории у одномер-
ных динамических систем? В случае, который нас интересует, приве-
денное выше определение гомоклинических траекторий не годится,
так как использует поведение траектории при убывании времени (а мы
имеем дело с полугруппой отображений и время, вообще говоря, не-
обратимо). Одна из возможностей сохранить это понятие для полугрупп
21
. 8,
отображений — рассматривать «двусторонние» траектории {xJjZ±*,
где Xi+i = f (xj, если это возможно и необходимо. «Отрицательных»
полутраекторий {x/}iZZloo для точки х0, конечно, может существовать
много (если f~{ — неоднозначная функция), но может случиться, что
и ни одной (если fl #= /). К траектории {xJJZ±~ уже можно применять
данное выше определение гомоклинической траектории.
Легко видеть, что существование гомоклинических траекторий у од-
номерных динамических систем — ситуация совсем не исключитель-
ная. Действительно, пусть х-i, х-2, ... — произвольная последователь-
ность точек из интервала /, сходящаяся к точке х0. Пусть, для просто-
ты, х_] > Х-2 > ... (рис. 8, а). Положим f (х0) = х0 и f (xj = xt+i
при i = —1, —2, ... Функция / (х) непрерывна на множестве {xjEj"°°
и ее всегда можно продолжить с сохранением непрерывности на весь
интервал /. Для так построенного отображения х *-► f (х) траектория
х-з, х-2, х-i, х0, х0, х0, ... гомоклиническая (к неподвижной точке х0).
В данном случае гомоклиническая траектория «приклеилась» к перио-
дической х0, х0, ... (с периодом 1). Именно такой случай типичен для
одномерных отображений, хотя могут существовать гомоклинические
траектории, не «приклеивающиеся» к периодическим (рис. 8, б).
Отметим, забегая несколько вперед, что одномерная динамическая
система имеет гомоклинические траектории тогда и только тогда, ког-
да у нее есть цикл периода, отличного от 2‘, i = 0, 1, 2, ... [112, 140].
Более того, всегда, когда система имеет цикл периода fe #= 2‘, i =
= 1, 2, ..., суш.ествует и гомоклиническая к одному из циклов периода
k [94]. Так что если отображение f имеет цикл периода 3, то, как бы
мы не меняли f (х) в остальных точках интервала /, отображение всег-
да будет иметь гомоклиническую к циклу периода3 (ноне обязательно
к тому циклу, который мы зафиксировали).
Хотя и в одномерном случае наличие гомоклинической траекто-
рии — признак сложности динамической системы (об этом мы будем
22
говорить в дальнейшем, в частности в § 3 гл. 3), сама по себе гомокли-
ническая траектория — это асимптотически периодическая траекто-
рия. Поэтому остановимся на вопросе о существовании траекторий,
не являющихся асимптотически периодическими.
Рассмотрим на / = ГО, 1] отображение
хь^Хх(1 —х).	(1.3)
Это и другие квадратичные отображения, например х х2 + %, х «-*►
1 — Хх2, которые заменой координат сводятся к (1.3), наиболее ши-
роко используются. Они задаются самыми простыми нелинейными
функциями — полиномами второй степени и вместе с тем изменение
одного единственного параметра X дает большую часть ситуаций, с ко-
торыми встретимся в теории одномерных динамических систем.
Если для построения траекторий использовать ЭВМ, можно заме-
тить, что при одних значениях параметра X траектории, как правило,
асимптотически периодические, при других трудно сказать, как же
ведут себя траектории. Так, для точек х С (0, 1) при X = 2 и п -> 4-оо
fn (х) стремится (и притом очень быстро) к неподвижной точке х = 0,5,
а при X = 3,2 — к циклу периода 2, образованному точками, равными
примерно 0,5 и 0,8. На рис. 9 и 10 приведено распределение первых
213 точек траектории, проходящей через точку х = 1/3 соответственно
при X = 3,57 и JI = 4. При X = 3,57 траектория, если и является
асимптотически периодической, то ее период должен быть достаточно
большим. При X = 4 напрашивается вывод, что траектория должна
лежать на [0, 1] всюду плотно.
Как будет показано в § 3 гл. 4, существует значение параметра X*,
близкое к 3,57, при котором у отображения (1.3) есть инвариантное
множество Л, гомеоморфное множеству Кантора 0, на котором каждая
траектория плотна: для любой точки х С К со (х) = К, более того,
со (х) = К для всех х Е / за исключением счетного числа точек. Таким
образом, почти каждая траектория притягивается не циклом, а явля-
ется асимптотически почти периодической. 6
6 Множества, гомеоморфные множеству Кантора, будем также называть кан-
торовыми множествами.
23
При X = 4 отображение действительно имеет траектории, всюду
плотные на I = [0, 1]. Такими являются почти все траектории:
mes / : о (х) = /} = mes 1 = 1. Вместе с тем есть много траекто-
рий других типов. Так, на / всюду плотны периодические траектории,
есть траектории, для которых со-предельное множество счетно (это
отображение позволяет ответить утвердительно на вопрос о существо-
вании счетных co-предельных множеств) и т. д. Отображение х *-►
4х (1 — х) заслуживает более внимательного изучения и мы к нему
вернемся в следующем параграфе, где, в частности, будут доказаны
приведенные выше утверждения.
Эти примеры показывают, что вопрос: просты ли одномерные систе-
мы, скорее следовало бы сформулировать таким образом: насколько
сложными могут быть одномерные системы? Приведем некоторые со-
ображения (основывающиеся на результатах, полученных еще в
60-е годы), которые показывают, что одномерные динамические систе-
мы в определенном смысле могут быть такими же сложными, как и ди-
намические системы в произвольных локально компактных простран-
ствах.
При исследовании динамических систем выделяют различные мно-
жества, в терминах которых и формулируются свойства систем. К ним
относятся множество периодических точек, множество неблуждающих
точек и т. д. Одни из этих множеств всегда замкнуты (например, мно-
жество неблуждающих точек), другие могут быть и более сложными.
Дескриптивные характеристики таких множеств: множество открыто
или замкнуто, типа Fo (представимо как объединение не более чем
счетного числа замкнутых множеств) или типа G& (представимо как
пересечение не более чем счетного числа открытых множеств), говорят
о том, насколько сложной является динамическая система. Так, мно-
жество периодических точек Per f как объединение замкнутых множеств
Fix fm = {х £ X : fm (х) = х} всегда множество типа Fo (в частности,
оно может быть замкнутым, если, например, периоды периодических
точек ограничены сверху некоторой константой). Эта верхняя дескрип-
тивная оценка, справедливая для динамических систем, заданных на
произвольном топологическом пространстве X, достигается одномер-
ными динамическими системами, например, для отображения х
*-► 4х (1 — х)7. Для отображения х 4х (1 — х) достигаются также
верхние дескриптивные оценки множества почти периодических точек
(типа Fa), множества точек, устойчивых по Пуассону, — множества
{х С X : х С со (х)} (типа G&).
В теории динамических систем часто встречаются так называемые
устойчивые многообразия инвариантных множеств (многообразия-
ми в обычном смысле они могут и не быть). Для F cz X «устойчивым
многообразием», обозначим его Р (F), является {х С X : со (х) = F],
7 Два множества типа G6, плотные на X, обязательно пересекаются (см., на-
пример, [2]). Для отображения х 4х (1— х) 7\Per f — множество типа плотное
на 7 (содержит плотные на 7 траектории), и Per f также плотно на 7, поэтому Per f
не может быть множеством типа 6б, ибо в противном случае множества Per f и
7\Рег/ пересекались бы.
24
т. е. множество точек, притягиваемых F. Р (F) всегда множество ти-
па (представимо в виде пересечения не более чем счетного числа
множеств типа FQ) [106]. Эта верхняя оценка достигается одномерными
динамическими системами [108]. Например, отображение х->
-> 4х (1 — х) имеет гомоклинические траектории; если В — любая
из них, то Р (В) = {х g I : со (х) = В], будучи Foe-множеством, не яв-
ляется множеством типа Geo (не может быть представлено в виде объ-
единения счетного числа множеств типа Ge).
§ 2. Что может быть в одномерных динамических системах:
некоторые понятия и примеры
В качестве отображения, задающего динамическую систему, ниже
в основном будем использовать уже неоднократно встречавшееся ото-
бражение (1.3), предполагая, что х С IR и X > 0. Так как f (0) =
= f (1) = 0 и max f (х) = f (г/2) = -т-» то при 0 < X 4 интервал
xQR	4
I = [0, 1] отображается в себя. Вначале рассмотрим отображение (1.3)
на /.
Как и в предыдущем параграфе, одними из главных объектов будут
периодические точки и образуемые ими циклы. Среди них естественно
выделяются два класса циклов: притягивающие и отталкивающие.
Цикл В = {Pi, ..., отображения f : X -> X притягивающий
(здесь X может быть произвольным топологическим пространством),
если существует окрестность U этого цикла такая, что fU cz U и
П flU = В (и, следовательно, для каждой точки х С U со(х) = В, траек-
i>0
тория {fl (x)}z=o распадается на т последовательностей, сходящихся
к точкам ..., соответственно).
Цикл В отталкивающий, если существует его окрестность (/, кото-
рую каждая точка из U \ В покидает за конечное время, т. е. для каж-
дого х С U \ В найдется пх такое, что fn* (х)
Хорошо известны достаточные условия, различающие притягива-
ющие и отталкивающие циклы, когда f — дифференцируемое отобра-
жение. Цикл В периода т притягивающий, если спектр дифференциа-
ла D/m, вычисленный в одной из точек цикла, лежит внутри единич-
ной окружности, и отталкивающий, если спектр лежит вне единичной
окружности. В частности, если X cz R1, спектр состоит из одного муль-
типликатора цикла
Н (В) = 4- (х) |хев = f' (₽,) ... f (к).
Если | р (В) | < 1, то цикл притягивающий, если | р (В) | > 1, цикл
отталкивающий.
Когда динамическая система зависит от параметров, их изменение
может приводить к различным качественным перестройкам в системе,
в частности к появлению новых периодических траекторий, превраще-
нию притягивающих циклов в отталкивающие и наоборот и т. д. В этом
случае принято говорить, что в динамической системе происходят
25
бифуркации периодических траекторий. С некоторыми из них мы встре-
тимся, рассматривая отображение (1.3).
1.	О < А. 1. В этом случае на / = [О, 1] есть только одна непод-
вижная точка х — 0 и она притягивающая. Так как / (х) < х при
хС/\{0},то П fn (1\ {0}) — {0}- Какова бы ни была точка х£
п=0
g /\ {0}, fn (х) -> 0 при п -> оо. Следовательно, каждая траектория
{fn (*о)}£=о притягивается неподвижной точкой х = 0 (рис. 11).
2.	1 < X 3. При X > 1 неподвижная точка х = 0 становится от-
талкивающей (/' (0) > 1) и на интервале / появляется еще одна не-
подвижная точка Pi = 1 — 1/Х (рис. 12). Поскольку f (х) =
= X (1 — 2%), то мультипликатор р (PJ равен 2 — К и, следовательно,
неподвижная точка х = при 1 < X < 3 является притягивающей.
Какова бы ни была точка х0 С (0, 1), fn М -> Pi при п -> оо. Заметим,
что р (PJ > 0 при 1 < X < 2 и траектория {fn (х0)}£=) приближается
к Pi монотонно. Когда 2 < К < 3 р (PJ < 0 и траектория {f” (х0)},
приближаясь к рь колеблется относительно рь поочередно принимая
значения больше и меньше рР
При X = 3 неподвижная точка х = Pi еще остается притягивающей,
хотя уже | р (Pi) | = _1.
3.	3 < X 1 + Кб. При переходе параметра X через значение
= 3 происходит новая бифуркация: неподвижная точка х = Pi из
притягивающей превращается в отталкивающую (| р (PJ | > 1 при
X > 3), и от нее рождается притягивающий цикл периода 2. Как изме-
няется отображение (1.3) в окрестности точки х = рь видно из рис. 13,
где изображены графики функции у = f (f (х)), когда параметр прохо-
дит через значение = 3.
Цикл периода 2 (рис. 14) образуют точки
о(1)»(2) Х+1 ±	—2Х —3	п ..
Р2 --------------2Х---------’	'4>
Значения Рг0 и р?2) определяются как корни уравнения /2 (х) = х, от-
личные от корней уравнения f (х) = х (из которого определялись не-
J26
подвижные точки). Для pV’, Рг2) получаем таким образом уравнение
Х2х2— 1 (Л + 1) х + (X + 1) = 0, которое и дает (1.4)8. Так как
И . 0<22)}) = Г ($>) • Г (1И2)) = Ь2(1 - 2₽<1>)(1 - 2Р<2>) =
= X2 [1 — 2	+ р<2>) + 4р<1>р<2>] = 4 + 2Х - X2,
то | р ({Рг’, Рг2>}) | < 1, если 3 < X < 1 + Кб ~ 3,449 ... При этих
значениях X цикл {Рг'*, Рг’) притягивающий. Какова бы ни была точка
х0 € / \ {0,1} \ {f~n (рх)}^=о, траектория {fn (х0)} притягивается циклом
{Рг”, р(22)}, так что подпоследовательность {f2n (хо))Х=о сходится к одной
точке цикла, а подпоследовательность {/2п+1 (хо)}Хо — к другой.
Можно уточнить характер приближения траектории к циклу, ис-
пользуя мультипликатор рДРг*, Рг2>}). При увеличении параметра X
от 3 до 1 + Кб мультипликатор изменяется от +1 до —1. Поэтому
при 3 < X < 1 + Кб, когда р>0, подпоследовательности {/2п (х0)} и
{/2,г+1 (х0)}, начиная с некоторого п, являются монотонными, при этом
одна возрастающая, другая убывающая (так как f (х) < 0 при х =
= Рг* и х = р®). При 1 + Кб < X < 1 + Кб р<0 и последова-
тельности {/2п (х0)}, {/2rt+I (х0)} приближаются к pS1 ’ и р^, колеблясь
относительно р?1* и р® так, что монотонными являются подпоследова-
тельности {/*« (х0)} и {/4л+2 (х0)}, {/4л+' (х0)} и {/4л+3 * (х0)}.
4.	1 + Кб < X < 3,569... При переходе через А2 = 1 + Уб «
~ 3,449 происходит следующая бифуркация: цикл {р^, ₽22)} из при-
тягивающего превращается в отталкивающий (при А > 1 + р^б
8 Из формул для видно, что цикл периода 2 существует, когда X2 — 2% —
3 > 0, т. е. когда А > 3 (или А < —1, но мы рассматриваем только положитель-
ные значения А).
27
Рис. 15.
л* л
I |Л ({р(/\ I > 1) И при этом
от него рождается притягивающий
цикл периода 4. Этот цикл будет
притягивать все точки интервала /
за исключением счетного множества
точек {0, 1} U {f~n (Pi, РР! P(22)}}n=i.
Если параметр X увеличивать
дальше, при Х3 « 3,54 цикл перио-
да 4 также становится отталкиваю-
щим и от него рождается притяги-
вающий цикл периода 8 (притяги-
вающий все точки интервала за
исключением счетного множества
точек). Последовательное удвоение
периодов притягивающих циклов
при увеличении параметра X будет происходить вплоть до X = X*
« 3,569...
5.	Качественные перестройки, происходящие с циклами при уве-
личении параметра X, удобно представлять с помощью бифуркацион-
ной диаграммы (рис. 15). Бифуркационные кривые для Р2П и 022) на
диаграмме расходятся как ветви параболы (в соответствии с формулой
(1.4)). Из (1.4) следует, что при Х-> Хх = 3 02° — ₽22)1 =
= О ("И |Х — Хх |), а неподвижная точка 0Х в это же время дрейфует
более медленно: | 0Х (X) — 0Х (Хх) | = О (X — Хх). Аналогичная ситуа-
ция имеет место и в окрестности последующих бифуркационных зна-
чений Х2, Х3, ...
Как заметил Фейгенбаум [96, 159, 160], если вычислить значения
Хп достаточно точно и составить отношения
А'П —	1
6" = г—т ’ п = 1’ 2> •••’
Лп4-1
то 6П-> 6 = 4,66920... при оо, т. е. скорость появления циклов
удвоенных периодов с ростом п характеризуется одной константой 6.
Существует еще одна константа а « 2,502, которая характеризует
размеры вновь появляющихся циклов. Если 02П — точка цикла пе-
риода 2П (появляющаяся при X > Хп), ближайшая справа к х = Ч2,
И ₽2« = /2П-1	Т0
----?----2----> а = 2,502 ... при оо.
Р2п+1 — ₽2н+1
6. При любом X < Az* динамическая система, задаваемая отобра-
жением (1.3), устроена на I = [0, 1] достаточно просто. Каждая траек-
тория является асимптотически периодической. Каково бы ни было X,
существует единственный притягивающий цикл периода 2m (т зависит
от X), который притягивает все точки из / за исключением счетного чис-
ла точек («приклеивающихся» к отталкивающим циклам периодов 2‘,
i = 0, 1, т — 1).
28
Что будет при X 1*? Динамическая система устроена в этом слу-
чае более сложно. В частности, при любом Х^Х* существуют траекто-
рии, не притягивающиеся к циклам и, следовательно, для таких
траекторий со-предельное множество бесконечно. Не останавливаясь на
анализе всех возможных ситуаций (более детально отображение (1.3)
будет рассмотрено в гл. 4), рассмотрим динамическую систему при не-
скольких значениях параметра: X = 1* (^3,57); 3,83; 4 и >4.
7. При X = X* отображение (1.3) уже имеет циклы периодов 2‘,
i = 0, 1,2, ... (и все они отталкивающие), и не имеет циклов других
периодов. Множество предельных точек для множества периодических
точек /С = (Per /)' — совершенное нигде не плотное множество, т. е.
гомеоморфно множеству Кантора. Множество К не содержит периоди-
ческих точек: /< П Per f = 0, На /< динамическая система является
минимальной: для любой точки xQ К траектория {flx}T=Q плотна на
Л, т. е. со (х) = Л. Более того, каждая траектория является почти
периодической. Множество К содержит точку х= х/2 (и, следователь-
но, К = со С^))- Все точки интервала 7 за исключением счетного мно-
жества Р = (J (Per f) притягиваются к множеству /С: если х £
i = о
С 7 \ Р, то со (х) = Л. О доказательстве приведенных здесь утверждений
речь будет идти в гл. 4.
8. X = 3,83. Если продолжать увеличивать параметр X, будут по-
являться новые циклы, в том числе периодов, отличных от 2Z, i = О,
1,2, ... При X = 3,83 отображение уже имеет циклы с любым периодом
/nfAV. Притягивающим является цикл В3 периода 3, образованный
точками Рз\ Рз2), Рз3) (рис. 16). Кроме притягивающего, есть отталки-
вающий цикл периода 3 {р^, Рз2), Рз3)} (точки обоих циклов вычисля-
ть ( у) _____________________________________ X \
ются как нули полинома шестой степени -------- .
J	[ (X) — X )
Какие точки притягивает притягивающий цикл В3? Обозначим че-
рез 70 открытый интервал, концами которого являются прообразы точ-
ки рз3), т. е. точки Рз2) и 1 — 0з2) : 70 = (1 — Рз2), Рз2))- Используя,
например, ЭВМ, можно убедиться в следующем:
а)	/3/0 cz 70 (для чего достаточно проверить, что f3 (х/2) С 70);
б)	на интервале 70 имеется только одна и притом притягивающая
неподвижная точка Рз2) отображения /3; циклов периода 2 /Зне имеет.
Поэтому, какова бы ни была точка х0 g 70, при п -> оо Рп (х0) ->
-> Рз2 (это следует из результатов, содержащихся в § 1 гл. 2), т. е.
точка х0 притягивается циклом В3, а интервал /0 входит в область при-
тяжения этого цикла. Так как любая траектория, притягиваемая цик-
лом В3, должна проходить и через интервал 70, то множество Р =
== U состоит из тех и только тех точек 7, которые притягиваются
циклом В3. Р — открытое плотное на / множество и mes Р = mes 7 =
= 1 150, 168]. Следовательно, цикл В3 притягивает почти все точки
из 7.
29
Множество 1 \ Р состоит из точек, которые не притягиваются циклом
В3, и представляет собой совершенное нигде не плотное множество,
т. е. гомеоморфное множеству Кантора. Тот факт, что множество /\Р
совершенное, следует из того, что (максимальные) открытые интерва-
лы, составляющие при различных или одних и тех же i 0 по-
парно не имеют общих концов (концами этих интервалов не являются
и концы интервала I — точки 0 и 1). Отметим еще, что на множестве
1 \ Р всюду плотны точки х, для которых со(х) = Р = (/ \ Р) f] [f2 (х/2),
f С/г)]’> Рег f = Р U {0} U {В3}. Более детальный анализ такой дина-
мической системы содержится в гл. 4.Что же касается того, как воз-
никают множества, гомеоморфные множеству Кантора, то к этому мы
еще раз возвратимся в этом параграфе чуть ниже, когда будем рассмат-
ривать отображение (1.3) при % > 4.
9. X = 4. В этом случае max f (х) = f (х/2) = 1, так что /(/) = /
(рис. 17). Чтобы получить представление о свойствах динамической
системы, задаваемой отображением
х^Дх) = 4х(1~х),	(1.5)
воспользуемся тем, что отображение (1.5) топологически эквивалентно
кусочно-линейному отображению
(2х, 0^х^х/2,
*~г«"|2(1-х). /,<«< 1.
(1.6)
Два отображения • Хх -> и f2 : Х2 -> Х2 топологически со-
пряжены, или эквивалентны, если существует гомеоморфизм h 1 Хх ->
Х2 такой, что диаграмма
I h \ h
Х2->Х2
коммутативна, т. е. h ° = f2 ° h.
30
Для отображений (1.5) и (1.6) Хг = Х2 = I и сопрягающий гомео-
морфизм h : / -> 1 задается функцией h (х) = 2/л arcsin Кх. Действи-
тельно, в таком случае h~x (х) = sin лх/2 и необходимо проверить,
что f = А-1 ° g ° h. Поскольку
О А-1 (х) < 1/2, если 0 х х/2,
х/2	А""1 (х)< 1, если г/2 х 1,
то при 0 х х/2	_	_ _______
°go h (х) = sin2(2 arcsin ]^х) = (2 Vx V1 — х)2 = f (х),
при V2 < х 1
А”1 о g о h (х) = sin21^2	— arcsin = sin2 (2 arcsin VGc) = f (x).
Если два отображения сопряжены, то сопряжены (или эквивалент-
ны) и динамические системы, порождаемые этими отображениями (ес-
ли h о f = g ® Л, то при любом п > 0 h°fn = gn°h). Каждой
траектории одной динамической системы соответствует траектория
другой динамической системы (и это соответствие задает функция Л;
траектории отображения /, проходящей через точку х0, отвечает траекто-
рия отображения g, проходящая через точку h (х0)). Асимптотические
свойства соответствующих друг другу траекторий одинаковы (со-пре-
дельные множества траекторий {fn (х0)} и {gn(h (х0))} гомеоморфны между
собой, если одна притягивается циклом, то и другая притягивается цик-
лом, и т. д.).
Таким образом, чтобы уяснить свойства отображения (1.5), доста-
точно рассмотреть кусочно-линейное отображение (1.6), что сделать
проще. При этом можно использовать методы так называемой символи-
ческой динамики. В двоичной записи каждая точка х С I имеет вид
х = 0, ага2... at..., где at = 0 или 1, и согласно (1.6)
. ч (0, а2а3 ... а, ..., если ау = О,
g(x) = {	__	_	_	1
(О, 0203 ... cli ... (0, = 1 — 0£), если 0j = 1,
т. е. отображение g от последовательности нулей и единиц а1а2а3..а
отбрасывает первую цифру, а остальные оставляет без изменений (ког-
да аг = 0) или заменяет на противоположные (когда аг = 1). Это поз-
воляет легко разобраться, например, с периодическими траекториями;
такие траектории должны проходить через точки, которые в двоичной
записи имеют периодические последовательности из нулей и единиц.
Мы воспользуемся символической динамикой при анализе отобра-
жений, когда % > 4, а для исследования отображения (1.6) использу-
ем другой метод, основанный на том, что отображение (1.6) является
растягивающим (раздвигает близкие точки). Этот метод при надлежа-
щем его развитии может быть применен к произвольным непрерывным
отображениям (см., например, [108]).
Следствием того, что отображение (1.6) является растягива-
ющим, является следующий полезный факт.
Лемма 1. Для любого открытого (в I) интервала J az Существует
0* > 0 такое, что gmJ = 7.
31
Доказательство почти очевидно: если J $ 1/2, то diam (gJ) =
= 2 diam </; если J $ V2, то существует е > О такое, что gJ zd [0, е];
gm [0, е] = [О, 8 • 2т] при е • 2т < 1 и gm [0, е] = I при 8 • 2т > 1.
Заметим, что аналогичное утверждение, таким образом, справед-
ливо и для отображения (1.5), а это совсем не кажется очевидным, так
как отображение (1.5) в окрестности точки х = Ч2 сильно сжимает
интервалы (/' (х/2) = 0).
Эта лемма позволяет доказать ряд важных свойств динамической
системы (1.6).
Утверждение 1. На 1 всюду плотны периодические точки. Более
того, любой открытый интервал содержит периодические точки сколь
угодно больших периодов.
Утверждение 2. Существует траектория, всюду плотная на I.
Более того, таковыми являются почти все траектории (они образуют
на 1 множество второй категории).
Докажем утверждение 1. Пусть J — произвольный открытый ин-
тервал и т таково, что£т7 = I. Найдутся точки х', х С «7, для которых
gm (х') = 0, gm (х") = 1. Ввиду непрерывности отображения g (а сле-
довательно, и gm} найдется точка х0, лежащая между х и х", для кото-
рой gm (х0) = х0. Точка х0 периодическая и ее период является дели-
телем т. Чтобы доказать, что на J есть периодические точки, период
которых больше, например, т0, достаточно рассмотреть на J отобра-
жение gm, где т = mQ\ Найдется открытый интервал J' cz <7, на кото-
ром gm (х) и потому не содержащий периодических точек, период
которых равен 1, 2, 3, ... /и0. В то же время на J' согласно доказанному
выше есть периодические точки и, следовательно, их периоды боль-
ше mQ.
Чтобы доказать утверждение 2, возьмем какой-либо счетный базис
на 7, например, образованный открытыми на I интервалами J19 J2, ...,
..., Js, ... То, что Js образуют базис, означает, что для любой точ-
ки xQI найдется последовательность интервалов Д о о ...
... : П Л = {х). В качестве базиса можно взять интервалы, концы
f=i г
которых двоично рациональные числа из 1. Траектория, точки кото-
рой попадают в каждый из интервалов Js, s = 1,2, ..., очевидно, всю-
ду плотна на 7. Покажем, что найдется точка х0 Е *71 такая, что
{gz (*оВ^=о П *7S =# 0 при s = 1, 2, ... Согласно лемме найдутся по-
ложительные числа т19 т2 ...	7 при s= 1, 2, ... Так как
= 7 zd J2, существует открытый (в 7) интервал J(1) cz Jr такой,
что gm'jw = J2\ так как gm'J2 = 7 zd J3 и gm^J^ — J2t существует
открытый интервал J<?' cz такой, что^т,_*-ш,? J(2) = J3. Так как
gm*J3 = I zd J4, существует открытый интервал J(3) cz такой,
что g™i+'n2+'n3= и т д Получаем последовательность вложен-
ных друг в друга открытых интервалов zd zd J(2) zd J(3) zd ...
S
... zd J(s} dd ..., для которых gi=i J{s) = J <4-1. Через каждую точку
множества Q J(s), очевидно, проходит траектория, плотная на J.
5=1
32
Вторая часть утверждения 2 справедлива для динамических систем
на произвольном (так называемом бэровском) пространстве X: если
на X есть всюду плотная траектория, то точки, через которые прохо-
дят плотные на X траектории, образуют на X множество второй
категории. Это вытекает из того, что множество таких точек есть мно-
жество типа Ge, т. е. представимо в виде пересечения открытых мно-
жеств [15], и как Ge-множество, плотное на X (одна траектория уже
дает плотное на X подмножество), является множеством второй ка-
тегории [2]. Таким образом, почти все точки пространства Х(в ча-
стности, /) порождают плотные на 7 траектории9.
В предыдущем параграфе ставился вопрос о существовании водно-
мерных динамических системах счетных co-предельных множеств и бы-
ло отмечено, что такие co-предельные множества имеет отображение
(1.5) (следовательно, и отображение (1.6)). Докажем это. Возьмем ка-
кую-либо гомоклиническую траекторию отображения (1.6), «приклеи-
вающуюся» к точке х = 0. Такую траекторию образуют, например,
точки ро=О и р„=_±1, п=1, 2, В	Рк р0,
Ро, ...}— гомоклиническая траектория, так как g (0П) = 0л~ь п =
= 1,2, g (р0) = р0 и Ро при п -> оо.
Утверждение 3. Существует траектория отображения (1.6), для
которой гомоклиническая траектория В является a-предельным мно-
жеством.
Возьмем произвольное 6, х/2 < 6 < 1, и построим последователь-
ность интервалов Ur zz> U2 ... так, что = [0, 6), g{7,+i = U(,
i = 1,2, ... Очевидно, А 17, = {0).
i=i
Если V — открытый интервал, содержащий точку 0П, и>1, то
gnV — полуоткрытый (на IR) интервал, левый конец которого — точка
х = 0. Можно считать, что интервал V достаточно мал, так что£п1/ cz
cz Un. Так как gnV cz V cz найдется mn n, для которого
gmny un. Таким образом, для каждой точки 0n, п > 1, найдется
ее окрестность — открытый интервал Vn, содержащийся в Un—i\Uni и
числа тп п такие, что gmnVn = Un и glVn cz Un при n i mn.
*	n~1	♦ *
Пусть Un = Un U U g lVn, n = 2,3, ..., Un — окрестность B, U<i zz>
i=l
*	f=l —*	/n~l \	*
zd i73 о ... и A = В. Согласно построению g (J g(Vn I cz C7n,
n = l	\l=l j
gUn— Un U Un-1 (множество Un под действием g расширяется, однако
точки могут покидать U*n, только проходя через (7П). Остается пока-
зать, что существует траектория, которая, попадая в множество {7„,
п > 1, уже не покидает его и, более того, с течением времени перехо-
дит в множество (7п+ь
9 Термин «почти все» понимается в топологическом смысле. Для отображений
(1.5) и (1.6) также и мера Лебега таких точек равна mes 7=1, однако можно ука-
зать (^-отображения 7-^7, имеющие плотные на I траектории, для которых мера
Лебега всех траекторий, плотных на 7, меньше 1.
3-3793	qq
Пусть Jo — произвольный открытый интервал на /. Согласно
лемме 1 найдется mr : gmiJ0 = /. Возьмем открытый интервал cz
cz Jо, для которого gmiJ1 = V2. Так как gm*V2 = U2zd V3, существует от-
крытый интервал J2 cz Jlf для которого gm*+m’J2 = V3; так как
gm*V3 = U3 zz> V4, существует открытый интервал J3 cz J2, для кото-
рого gm’+m*+m*J3 = V4 и т. д. Получаем таким образом последователь-
ность интер валов Jo <= Ji cz J2 cz ... Если x0 C n Jпу то glXQ при т1
_	п=0
i <	+ т2 принадлежит (?2, при + т2 i < т1 + гп2 + т3
принадлежит (7з и т. д., т. е. со (х0) = В.
Отметим, что существует много траекторий, которые притягивают-
ся гомоклинической траекторией В: множество Р (В) = {х С //:со (х) =
= В] имеет мощность континуума (это вытекает из того, что Р (В) не
является множеством типа G&0 [108]).
Все сказанное для отображения (1.6) справедливо и для эквивалент-
ного ему отображения (1.5).
Следует обратить внимание еще на одно важное свойство отобра-
жения (1.5).
Говорят, что мера р-, заданная на пространстве X, инвариантна
относительно отображения f : X -> X, если для любого ц-измеримого
множества A cz X р (/~М) = р (Л).
Отображение (1.5) обладает инвариантной мерой, абсолютно не-
прерывной относительно меры Лебега,

dx
— *)
Наличие конечной инвариантной меры с носителем, имеющим по-
ложительную меру Лебега, говорит о том, что в этом случае для ха-
рактеристики свойств динамической системы через большой промежу-
ток времени следует переходить (если только носитель инвариантной
меры не состоит из периодических траекторий) на вероятностный язык.
10. X > 4. Рассмотрим, наконец, отображение (1.3) при Х>4и
х С IR. В этом случае f (V2) =	> 1 и, следовательно, fl ф I
(рис. 18). В частности, f (4") и fn (у)	—00 ПРИ п	00• Так же
ведут себя все траектории, начинающиеся в точках интервала J =
= {х G IR : f (х) > 1} ^концы интервала J удовлетворяют уравне-
нию лх (1 —х) = 1 и, следовательно, равны--------------I. На ин-
тервале I имеются два интервала Jo и — прообразы интервала J
(fjo = fJt = J) Далее, на / имеются два интервала JQQ и /10 — про-
образы интервала JQ и два интервала J01 и J±1 — прообразы интервала
J1 и т. д. Очевидно, все траектории, начинающиеся в точках множества
J* = (J f”1/ (в частности, на интервалах /0 и /00, J01, J10 и Jn)
£=0
покидают со временем интервал 1 и при п оо стремятся к — оо. J* —
34
открытое и, как можно показать, плотное на / множество, а его допол-
нение К = I\J* — совершенное нигде не плотное множество и, сле-
довательно, гомеоморфное множеству Кантора. Кроме того, mes К = 0.
Динамическая система на множестве К обладает теми же свойства-
ми, что и динамическая система, задаваемая отображением (1.3), при
X = 4 на интервале /10. Вместо того чтобы анализировать детально ото-
бражение f на К, рассмотрим, используя методы символической дина-
мики, кусочно-линейное отображение (рис. 19)
(Зх, х^,/а,
"«W-U-o, «>/,.	(L7;
Отображение (1.3) при любом X > 4 сопряжено на R с отображе-
нием (1.7) (существует гомеоморфизм h% : IR -> IR такой, что f =
= Л?1 ° g 0 Лх)- При х < 0 g (х) < х и, следовательно, gn(x) -> —оо,
когда п -> +оо. При х >» 1 g (х) < 0, поэтому gn (х) также стремится
к —оо. Что будет происходить, когда х £ [О, 1]?
Утверждение 1. К = {х С [0, l]:gn (х) £ [О, 1], п > 0} — стандарт-
ное множество Кантора,
Это означает, что в троичной системе счисления К = {х £ [0, 11:
х = 0, а±а2а3 а, = 0 или 2} (см., например, [2]).
Проверка утверждения 1 не составляет труда. Действительно,
К = П Кт, где Кт= {х Q [0, l]:gn (х) С [О, 1], п = О, 1,..., /и}, иалго-
т=1
ритм построения множеств Кт совпадает с алгоритмом построения
10 Это следствие того, что динамические системы при X > 4 на К и при X = 4
на / полусопряжены: существует непрерывная функция h : К -* /, склеивающая
не более как по две точки из /С, т. е. I -> /< — двузначная функция, и такая,
что h о = f2 о h, где fL, f2 — отображение (1.3) при X > 4 и X = 4 соответственно.
3*
35
множества Кантора. Так, Кг = [0, 1]\ (V3, 2/3), К2 = Ki \g~] (V3,
4) —	\ Ц 9 > 9 J U 9 > 9 j I И Т. Д.
Так как mes К = 0, то для почти всех точек х Е IR (а именно, для
X Е IR \ /С) g" (х) -> —оо при П ОО.
Множество К инвариантно: gK = К- Как устроена динамическая
система на множестве Л?
Утверждение 2. На множестве К плотны периодические точки;
более того, в окрестности каждой точки из К есть периодические точ-
ки сколь угодно большого периода.
Утверждение 3. На множестве К существует всюду плотная тра-
ектория.
Утверждения легко доказываются, если заметить, как действует
отображение g на /(, и затем воспользоваться соображениями, заим-
ствованными из символической динамики. В самом деле, если х Е
то в троичном счислении х = 0, ata2 ...	...» где at = 0 или 2, и тогда
g(x) = (°’ ^2_я	• • •	• • •	при = °’
(О, а^аз	... at ...	при аг = 2,
где а{ =	2 —az. Кроме того,	если х =	1 — х = 0, аАа2	... то
g W = g (х).
Следовательно, точка х0 = 0, а3 ... 6zmOa3 ... am0a3 ..., отвечающая
периодически повторяющемуся блоку аг ... ат0, является периодиче-
ской: gm (х0) = 0, 0а3 ... ат0а1 ... или 0, 2аг ... ат2а1 ..., так что
g"4"1 (*о) = *о- Период точки х0 равен т + 1, если т + 1 — наимень-
ший период в разложении числа х0.
Периодические точки лежат на К всюду плотно, ибо на К плотны
троично-рациональные точки 0, аг ... am000..., at = 0 или 2 при 1
iX ги, ги 1, а в любой окрестности каждой такой точки есть пе-
риодические точки (и притом сколь угодно большого периода) вида
0, ^...а^О.-.О а1...атб...0а1 ...
Для доказательства утверждения 3 достаточно предъявить точку
х0 € /<, которая порождает плотную на К траекторию. Таковой явля-
ется, например, точка
0, 002^0000020 200220000 00020020 ...,
выбранная в соответствии со следующим алгоритмом:
1)	подчеркнутые прямой линией блоки отвечают выписанным под-
ряд троично-рациональным числам из К
0 — 2 — 00 — 02 — 20 — 22 — 000 — 002 — 020 —
2)	между каждым из этих блоков вставлен нуль.
Достаточно показать, что для любого троично-рационального числа
о, av..am из К найдется У такое, что gN (х0) = 0,	Пусть
Nat..M — количество знаков (0 и 2), стоящих в записи х0 между за-
пятой и блоком аг...ат. Тогда gN<*,-am~l (х0) = 0, 0ах...ат... или
0, 2av..am... и поэтому gN“^-am (х0) = 0,
36
Таким образом мы получили представление о свойствах динамиче-
ской системы, задаваемой отображением (3.7), следовательно, и об
эквивалентных ей динамических системах, задаваемых отображением
(1.3) при X > 4. На этих примерах достаточно хорошо видно, откуда
появляются в динамических системах множества, гомеоморфные мно-
жеству Кантора, и становится понятной их роль в динамике систем.
§	3. Перемешивающие, или странные, аттракторы
Динамическая система, задаваемая отображением (1.3) при X = 4
и X > 4, обладает свойством перемешивания траекторий (в первом слу-
чае на I = [0, 1], а во втором — на инвариантном канторовом множе-
стве в /) в следующем смысле.
Если {X, f} — динамическая система и Л d X — компактное инва-
риантное множество, отличное от цикла, то будем говорить, что дина-
мическая система на Л является перемешивающей или, для кратко-
сти, Л — перемешивающее множество, если для любого открытого в Л
множества V и любого конечного покрытия S = {07} множества Л
существуют tn = т (V, S) и г 1, зависящее только от Л, такие,
/<—1	\
что fm ( U f‘U П а, =# 0 для всех /.
ч=0	/
Перемешивание, выражаясь образно, характеризуется тем, что
«капля» (открытое относительно Л множество V), попавшая внутрь Л,
со временем растекается по всему Л.
Перемешивание на Л влечет за собой транзитивность: для любых
открытых в Л множеств V2 (cz Л) существует т такое, что Г)
[] у2 у= 0. Транзитивность эквивалентна тому, что на Л есть всюду
плотная траектория.
Как мы уже отмечали выше, для отображения (1.3) и при X = X*,
и при X > 4 на интервале / = [0, 1] имеется множество, гомеоморфное
множеству Кантора, на котором существуют всюду плотные траекто-
рии. Однако при X = X* все траектории на этом множестве являются
почти периодическими и, как нетрудно убедиться, перемешивания нет.
В то же время при X > 4 на этом инвариантном множестве, обозначим
его X, динамическая система обладает не только перемешиванием, но
й более сильным свойством расширения: для любого множества V cz:
cz X, открытого на X, существует т, зависящее от V, такое, что fmV =
= X.
Это свойство аналогично тому, которым обладает отображение (1.3)
при X = 4 на всем I (и составляет содержание леммы 1 из § 2), и явля-
ется следствием того, что отображение (1.3) на X является растягива-
ющим. Из него вытекает, что и при X = 4, и при X > 4 перемешивание
имеет место (см. определение); при этом т можно выбрать независя-
щим от покрытия S, а г взять равным единице.
Если {X, f] —динамическая система и Л — компактное инвариант-
ное множество, то будем говорить, что Л — странный, или перемеши-
вающий, аттрактор, если
а)	Л — аттрактор, т. е. существует окрестность U множества Л
такая, что U zd fU zd f2U zd ..., [/ =/= Л, f| pU = Л;
i>0
37
б)	Л — перемешивающее множество.
О существовании перемешивающих множеств для одномерных ото-
бражений мы уже говорили выше. Такие множества существуют, в
частности, для отображения (1.3) при X = 4 (замкнутый интервал /)
и при X > 4 (подмножество интервала /, гомеоморфное множеству Кан-
тора). Однако в обоих случаях перемешивающие множества не явля-
ются аттракторами. Так, при X = 4, если рассматривать отображение
на R (можно было бы рассматривать (1.3) и на /, но в таком случае
Л = /, а условие Л =# I входит в определение аттрактора), / (R\/) =
= R\/ (более того, fnx —оо при п -> оо для любой точки х £ R\/).
Если X > 4, то перемешивающее множество есть /\/*, где J* =
= U f~nJ, J = {х С Г, f (х) > 1}, и, следовательно, fJ* =
п=0
= J* (Jn х — оо при п —> оо для любой точки X £ J*).
Не составляет труда отображение (1.3) при X = 4 подправить на
множестве R\/ так, чтобы перемешивающее множество / стало аттрак-
тором, например положив
( 4х (1 —х), х^О,
'« = ( о, ,<0.
Это показывает, что одномерные отображения могут иметь перемеши-
вающие аттракторы, представляющие собой интервал или, может быть,
несколько интервалов, циклически переходящих друг в друга, на ко-
торых есть всюду плотная траектория (рис. 20, /х U Ц)- Оказывается,
что эта возможность единственная, и множество, гомеоморфное мно-
жеству Кантора, аттрактором быть не может. Справедливо следующее
утверждение: перемешивающий аттрактор, если f £ С° (/, /) и / —
интервал, представляет собой один или несколько циклически пере-
ходящих друг в друга интервалов.
Несколько слов о том, почему это так. Поскольку перемешивающее
множество содержит плотную на себе траекторию, то это совершенное
множество и притом, если оно не плотно на I хотя бы в одной точке,
то оно нигде не плотно. Поэтому перемешивающее множество либо
гомеоморфно множеству Кантора, либо состоит из конечного числа
интервалов. Вторая возможность, как мы уже видели, реализуется,
~	том, что в любой окрестности нигде не плот-
ного, но плотного в себе множества всегда
есть точки, которые не притягиваются к
этому множеству: как показано в работе
[1031, каждая неизолированная точка лю-
бого со-предельного множества является
предельной для периодических точек, по-
этому для того чтобы множество было ат-
трактором, на нем должны быть плотны
периодические точки (по этой причине ми-
нимальное множество, отличное от цикла,
как при X = X*, не может быть аттракто-
ром). Если же со-предельное множество со-
держит периодические точки, то динамиче-
38
ская система обладает на нем свойством расширения (относительных)
окрестностей (аналогичным тому, о котором говорилось выше в лемме
1 из §2) [108] и в результате в любой достаточно малой его окрестно-
сти всегда есть точки, покидающие эту окрестность.
Может ли отображение (1.3) иметь перемешивающие аттракторы
при некоторых значениях параметра X? Да, может. Например, при
X = 3,678..., когда точка х = х/2 за три шага попадает в неподвижную
точку х = 1 — 1/Х(рис. 21). В этом случае интервал J = If2 (х/2), f (х/2)]
(/ (V2) = т ~ °’92’ f2 (1/2> = V — т) ~ °’27) является атграк-
тором: для любого интервала если только Г cz (0, 1), можно ука-
зать т такое, что fmIf cz J, На самом интервале J отображение являет-
ся перемешивающим и, в частности, обладает всеми свойствами, кото-
рыми обладает отображение (1.3) при X = 4 на интервале / (плотны
периодические точки, есть всюду плотные траектории, существует ин-
вариантная мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега).
Отображение (1.3) на интервале J сопряжено с кусочно-линейным ото-

бражением х <-►	(х) =
на интервале (0, 1];
2(1 —х),	•
интервал [0, 1] — перемешивающий аттрактор для отображения
(рис. 22).
На рис. 23 и 24 изображены графики еще двух кусочно-линейных
отображений
1 + х, х < 0,
хь**£2(х) = \ п л
62 k 1	11 — 2х, х>0,
2х 2,

— 2х,
2х—2,
для которых интервал [—1, 1]—перемешивающий аттрактор.
Следует отметить, что всякий раз, когда значение параметра X выб-
рано так, что точка х = V2 (точка экстремума) попадает за конечное чис-
ло шагов в какую-либо отталкивающую периодическую точку периода
т, отображение (1.3) имеет перемешивающее множество; это множество
является аттрактором и состоит из т интервалов, если периодическая
точка не является концом одного из интервалов (как при X = 4, когда
х = х/2 попадает в неподвижную точку х =0 — один из концов ин-
тервала [0, 11). В частности, когда точка х = V2 попадает в отталки-
вающий цикл периода два (который образуют, как мы видели, точки
X + 1 ±	— 2X —з \ и ПрИ этом значение х наименьшее из воз-
2Х	/
можных (X « 3,593), то перемешивающий аттрактор состоит из двух
интервалов.
39
Перемешивающее множество, которое не является аттрактором и,
кроме того, не содержится ни в каком большем со-предельном множе-
стве, будем иногда называть перемешивающим репеллером. С такими
множествами мы уже встречались. Отображение (1.3) имеет переме-
шивающий репеллер при X = 4 (интервал / = [0, 1]) и при Х>4
(множество из /, гомеоморфное множеству Кантора). Репеллеры, на-
ряду с аттракторами, играют существенную роль в разностных урав-
нениях, особенно в уравнениях с непрерывным аргументом.
Вместо названия «странный аттрактор» мы обычно употребляли
«перемешивающий аттрактор». Термин «странный аттрактор» впервые
появился в работе [211] применительно к притягивающим множествам
динамических систем с непрерывным временем, порождаемых диффе-
ренциальными уравнениями. Слово «странный» должно было отражать
тот факт, что с топологической точки зрения притягивающее множество
40
устрбено достаточно сложно (например, в
сечениях плоскостями давало множества,
гомеоморфные множеству Кантора). Наи-
более известен так называемый аттрактор
Лоренца, впервые обнаруженный метеоро-
логом Э. Лоренцом [187] при численном
анализе системы дифференциальных урав-
нений
X = — ОХ + оу,
у = ГХ — у — XZ,
z —	— bz + ху,
(1-8)
возникающей при галеркинских аппрокси’
мациях уравнений, описывающих конвективные движения в подогрева-
емом снизу тонком слое жидкости. У этой системы уравнений, напри-
мер, при о = 10, Ь = 8/3, г = 28, есть притягивающее множество (ат-
трактор Лоренца), притягивающее к себе все траектории из IR3 (х, у, г).
Изучению топологической структуры аттрактора Лоренца посвящено
много работ (например, [9, 10, 89]% Здесь лишь отметим, что исследова-
ние динамики точек пересечения траекторий системы (1.8) с плоскостью
г = г — 1 приводит к одномерному отображению, график которого пред-
ставлен на рис. 25. Не останавливаясь на свойствах одномерных динами-
ческих систем, порождаемых отображениями такого вида, отметим лишь,
что при достаточно общих условиях такие отображения обладают таки-
ми же свойствами, как и отображение (1.3) при X = 4. В частности, если
g (х) = 1 — 2 |х|Ч х g [—1, 1], то отображение имеет инвариантную
меру с линейной плотностью р (dx) = — (1 — х) dx.
Итак, в одномерном случае странные, или перемешивающие, ат-
тракторы с топологической точки зрения «странными» не являются (в
отличие от репеллеров, которые могут совпадать, например, с множе-
ством Кантора). Чтобы увидеть, насколько сложно устроенными мо-
гут быть перемешивающие аттракторы, необходимо обратиться к ди-
намическим системам в пространстве размерности 2>2 (отвечающих
системам разностных уравнений порядка ^2).
Рис. 26.
41
Рассмотрим один такой пример — «треугольное» отображение IR2
-> 1R2
X>-*-g(x),
y^h(xt у).
(1-9)
Функцию g (х) выберем таким образом, чтобы одномерное отображение
х ь*- g (х) обеспечивало перемешивание траекторий, а в качестве Л (х, у)
возьмем линейную функцию. Пусть
2х 2,
g(x)=	— 2х,
2х — 2, х >•	,
.	'	1 I
^(х) = —х + —у.
(1.9')
(19")
Функция g (х) кусочно-линейная и к тому же нечетная и это позволяет
проследить за множествами, стягивающимися к перемешивающему мно-
жеству под действием отображения (1.9). Одномерное отображение
х g (х) уже встречалось ранее (см. рис. 24). Для этого отображения
интервал [—1, 1]—перемешивающий аттрактор, притягивающий к
себе точки интервала (—2, 2).
Отображение (1.9) имеет перемешивающий аттрактор, расположен-
ный в квадрате М = {| х |	1, | у |	1}. Этот аттрактор притяги-
вает все точки квадрата Л4, и чтобы выяснить, что он собой представ-
ляет, следует рассмотреть образы М при отображении (1.9), т. е. мно-
жества Л4, qM, q2M, q3M, ... (рис. 26). Отображение (1.9) сжимает
вдоль оси у в 10 раз и растягивает вдоль оси х в 2 раза; М zd qM zd
zd q2M zd ... Аттрактор Л = П qlM является связным, но локально
несвязным в каждой точке множеством (всякое достаточно малое от-
крытое подмножество несвязное). Сечение Л прямой х = а при любом
af[—1, 1] дает множество, гомеоморфное множеству Кантора. По-
скольку при каждом i ^0 площадь q'+^M. не меньше чем в 5 раз мень-
ше площади q[M, то (лебегова) мера множества Л равна нулю.
ГЛАВА 2
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ
§ 1. Притягивающие неподвижные точки
Напомним еще раз определение притягивающей точки. Неподвиж-
ная точка р С / отображения f £ С° (/, /) называется притягивающей,
если существует ее окрестность U такая, что fU cz U и lim fn (x) = (J
H-*oo
для каждой точки x C U.
Каким условиям должно удовлетворять отображение f в окрест-
ности точки 0 для того, чтобы точка 0 была притягивающей? Как уже
42
отмечалось выше, когда в точке р функция f (х) дифференцируема и
|/'(Р)|<1> т0 Р — притягивающая неподвижная точка. Это
достаточное условие. Оно легко проверяется и чаще всего позволяет
ответить на вопрос, является ли неподвижная точка притягивающей.
Вместе с тем неподвижная точка может оказаться притягивающей
и тогда, когда | /' (Р) | = 1. Например, для отображения / : х х —
— а(х — р)3 неподвижная точка х = р при а > 0 притягивающая,
хотя f' (Р) = 1. Вблизи точки р функция f (х) монотонно возрастает:
/ (х) > х при х < р и f (х) < х при х > Р и поэтому последователь-
ность {/" (х)) монотонно стремится к точке Р при любом х, достаточно
близком К Р ^при | X — Р |
Случай /' (Р) = —1 имеет место всякий раз, когда происходит би-
фуркация «удвоения периода», с которой мы уже встречались, рассмат-
ривая семейство отображений Д : х н». Хх (1 — х). Например, при К =
= 3 неподвижная точка Р = 1 — 1/Х притягивающая, хотя 4 (Р) =
= —1. В этом случае /1 (х) = х — 212 (х — Р)3 — X3 (х — Р)4, коэф-
фициент при (х — Р)3 меньше нуля и мы имеем здесь для /2 ту же ситу-
ацию, что и в предыдущем примере для /. Если х близко к р и, к при-
меру, х < Р, то х < fl (х) < /1 (х) Р и (х) > fl (х) > ...
... + Р.
Нетрудно оценить в этих случаях и скорость приближения траек-
торий (скорость сходимости последовательностей) х0, хХ) ..., хп, xn+i, ...
.... xn+i = f (хп), к неподвижной точке.
Если f (х) = ц. (х — Р) (1 + о (1)) при х Р и | р | < 1, то
I Хп Р |	| И I" | х0 — Р |.
Если же | р | = 1 и, например,
/(х) = х — р — а(х — р)2т(1 4-о(1)), а>0,
то
kn-PI«|x0-P|/(l +уп)1/2т, У = 2аш|хо-р|2т (1.1)
Такие оценки могут быть получены с помощью инвариантных функ-
ций отображения
(х »-► f (х),
|n~n+l.	<L2>
Так, если f (х) — х (1 — ах2”1), а > 0, то
Лг ~ ЛгflL^ = “кг (1 + ^х2т + О (х-)) =
= -^+‘2аш + О(х2т).
Следовательно, если h (х, п) = 1 /х2"* — 2 атп, то при отображении (1.2)
h (х, n) (х, п) + О (х2т) и (1.1) вытекает из соотношения h (х, п) «
« const.
Заметим, что даже для функций класса С°° скорость приближения к
неподвижной точке может быть и как угодно быстрой, и как угодно
медленной.
43
Обратим также внимание на характер приближения траекторий
{fn (х)} к неподвижной точке р. В первом из рассмотренных выше при-
меров f' (Р) >0 и любая траектория, начиная с некоторого момента
времени, монотонно приближается к р. Во втором примере f' (Р) < О
и любая траектория, приближаясь к Р, колеблется относительно точки
Р; колебания при этом носят регулярный характер, подпоследователь-
ности {f2n (х)} и (х)} приближаются к р монотонно. Если же
f (Р) = 0 (или функция / вообще не дифференцируема в точке Р), то
колебания траектории fn (х) относительно Р могут носить нерегулярный
sin 1/х, х =/= 0,
характер. Например, если / (х) = j	_ . то / ( С и
(U	, х — и,
каково бы ни было разбиение множества натуральных чисел на два
подмножества и RJ+, найдется точка xN- такая, что fn (х^_) < 0 при
п € RF и fn (х^_) > 0 при п е
Теорема 2.1. Неподвижная точка Р отображения f £ С° (/, /) при-
тягивающая тогда и только тогда, когда в некоторой ее окрестности
Р (х) > х при х < Р uf2 (х) < х при х > р.
Доказательство. Необходимость. Согласно определению
притягивающей точки существует интервал U такой, что fU cz U и
lim fn (x) = p при x£ U. Поэтому на интервале U равенство /2 (х) = х
П-+оо
возможно только при х = Р; непрерывная функция /2 (х) — х не ме-
няет знак как при х < р, так и при х > р. Знак функции f2 (х) — х
определяется из условия, что fU cz U. Если U = (рх, р2), то fn (Pz) £
С U, п = 1, 2, ..., i = 1, 2 (так как fU cz U) и, в частности, f2 (Рх)
Pi, Р (Р2)	Р2- Следовательно, р (х) > х при х < р и f2 (х) < х
при х > р.
Достаточность. Пусть интервал U — это окрестность точки р, в
которой р (х) > х при х < р и /2 (х) < х при х > р. На U справедли-
вы также неравенства f (х) > х при х < р и f (х) < х при х > р:
если бы при каком-либо х g U \ {Р} неравенство для f превратилось
в равенство, то то же самое произошло бы и для /2; если бы f (х) < х при
х < р, то тогда бы при х< Р и f2 (х) <х (во всяком случае, если
f (х) G U, что всегда так, когда х достаточно близко к Р); при х > Р
рассуждения аналогичны.
Выберем открытый интервал V Э Р так, чтобы V cz U и fV cz U
(так как f (Р) = р, то любая достаточно малая окрестность точки р это-
му условию удовлетворяет). Положим W = V [) fV. Утверждается,
что fW cz W.
Пусть V" = V П (х Р} и W- = V" (J /V". Покажем, что fW_ cz
cz W_. Так как W_ = V" U (/V“ \ V") и /V- cz W_, остается по-
казать, что f (fV~ \ V) cz W__. Поскольку f (x) > x при x < P, то
fV~ \ V~ cz {x > PJ. Пусть_ V-+ = {x С У" If (x) € fV~ —
прообраз множества fV” \ V в V". Очевидно, /V“+ = fV \V~^
и p e
Имеем
1) max f(x)<Z max x, так как f(x)<x при x>P;
44
2) min f(x) = minf2(x)>minx, так как f2(x)>x при x<p.
fV~ XV~	у—h	у—h
Тогда f (fV~\V~) cz V~ U fV~ = t. e. fW_ cz W_. Аналогично
доказывается, что fU7_|_ cz №4-, где	(J fV\ =
= V П
Так как W = V U fV = V~ U V+ U f V~ U fV+ = (Г U fV~) U
U (V+ u fv+) = u W+, TO fW = f(W_ u W+) = fW_ u fW+c
cz U W+ = W.
Для завершения доказательства достаточно показать, что 1F* =
= P\fnW = {0}. Так как fn W при любом п 0 представляет собой
п^О
интервал и fnW zd fn+lW, то W* — интервал и fW* = W*. То, что
W* — вырожденный интервал, т. е. состоит из одной точки 0, немед-
ленно вытекает из следующей леммы.
Лемма 1. Если J—замкнутый интервал, отличный от точки,
и fJ = J, то на интервале J имеются, по крайней мере, две неподвиж-
ные точки или неподвижная точка и цикл периода 2,
Доказательство. Одна неподвижная точка на J всегда
есть: если J = {а, &], то f (а) a, f (b) Ь. Обозначим эту неподвиж-
ную точку 0о и допустим, что на J больше нет неподвижных точек.
В таком случае, 0О =И= а, Ь и f (%) > х при х < 0О, f (х) < х при х > 0О.
Поскольку fJ = J, то max f (х) = b, min f (х) — а,
Mol	ЕЗо.6]
Рассмотрим функцию р (х) на интервале [а, 0О1. Если Р (а) = а,
то доказательство леммы завершается. Если р (а) > а, достаточно за-
метить, что aQ f (0О, 6], [0о, Ы cz f [а, 0О) и, следовательно, существу-
ет точка с G (а, 0о)> Для которой р (с) = а < с. Поэтому существует
и точка 0О £ (а, с), для ^которой р (0О) = 0О. Этим завершается доказа-
тельство леммы, а вместе с ней и доказательство теоремьН.
Когда известно, что неподвижная точка 0 притягивающая, часто
возникает вопрос об области притяжения (или, как еще говорят, бас-
сейне) этой точки, т. е. о множестве точек, притягиваемых этой точкой.
Итак, пусть Р (0) = {х С /: lim fn (х) = 0} — область притяжения
П-*ОО
неподвижной точки 0. Если 0 — притягивающая неподвижная точка,
то согласно определению существует окрестность U точки 0, содержа-
щаяся в Р (0), и, следовательно, Р (0) = J f-lU. Это означает, что
1=0
Р (0) — открытое множество. При этом Р (0) может состоять из одного,
нескольких и даже счетного числа открытых интервалов. На рис. 27
изображен пример отображения, когда Р (0) состоит из счетного числа
(непересекающихся) интервалов.
Наибольший открытый интервал, содержащийся в области притя-
жения и содержащий притягивающую неподвижную точку 0, будем
называть областью непосредственного притяжения точки 0 и обозна-
чать Р° (0). Очевидно, f Р° (0) Р° (0) и
^(0)= U Г"Р°(0).
п=0
45
Что представляет собой граница
дР° (Р)? Будем предполагать, что
дР° (Р) П д! = 0. В таком случае
дР° (Р) П Р°(Р) = 0 и /5Р°(Р) с=
cz (Р).
Теорема 2.2. Пусть Р — притя-
гивающая неподвижная точка ото-
бражения f £ С° (7, 7) и Р° (Р) =
= (Pi, Р2)—область непосредствен-
ного притяжения. Возможны следу-
ющие три ситуации:
1)	Pi, Р2 — неподвижные точки:
f (Pi) = Pi, f (Р2) =Р2;
2)	Pi> Р2 образуют цикл периода
2: f (Pi) = Р2, f (Р2) = Pi;
3)	одна из точек р2, р2 неподвиж-
ная, а вторая переходит в нее:
ЛР1)= ЛР2)=Р1 илиШ= /(р2) =р2.
Pi Р Рг
Рис. 27.
Утверждения этой теоремы достаточно очевидны, поскольку гра-
ница области непосредственного притяжения dPQ (Р) (состоящая из
точек рь Р2) должна отображаться в себя. Все возможные в таком слу-
чае ситуации реализуемы и представлены на рис. 28.
Следовало бы выделить еще неподвижные точки, которые обычно
называют полупритягивающими, например точка х = 0 для отобра-
жений х х + х2 (рис. 29, а) или х х + х2 + х3 (рис. 29, б). По-
лупритягивающие — это неподвижные точки, притягивающие только
для своей односторонней окрестности: окрестность U в определении
притягивающей неподвижной точки следует заменить полуокрест-
ностью. Ситуация здесь простая и анализировать ее подробнее мы не бу-
дем. Заметим, что с полупритягивающими неподвижными точками (и
циклами) приходится иметь дело всякий раз, когда рассматриваются
бифуркации, связанные с прохождением мультипликатора через +1.
Как можно охарактеризовать поведение траекторий в окрестности
произвольной (а не только притягивающей) неподвижной точки? Если
точка Р не является притягивающей, то в произвольной ее окрестно-
Рис. 28.
го
сти существует хотя бы одна точка х, которая либо не стремится к 0,
оставаясь в этой окрестности, либо покидает эту окрестность. Эти со-
ображения положим в основу следующей классификации неподвиж-
ных точек [105].
Будем говорить, что неподвижная точка 0 обладает:
1)	свойством а, если всякая ее окрестность U содержит точку х
такую, что fn (х) 4 U, п = 1, 2, ..., и lim fn (х) = 0;
2)	свойством i, если всякая ее окрестность U содержит точку'х та-
кую, что fn (х) £ U, п = 1,2, ..., и lim fn (х) либо не существует, либо
не равен 0, т. е. со(х) =# {0};
3)	свойством г, если всякая ее окрестность U содержит точку х
такую, что fm(x) U при некотором т > 0.
Очевидно, что каждая неподвижная точка обладает по крайней ме-
ре одним из этих свойств. Приведем теперь необходимые и достаточные
условия того, что неподвижная точка 0 обладает одним из перечислен-
ных свойств (доказательства см. в [105]). При этом отображение f мы
будем рассматривать не в окрестности точки 0, а лишь в ее полуокрест-
ности U+ = U п {* > 0), предполагая, что полуокрестность «инва-
риантна»: fU+ с= {х > 0}.
Теорема 2.3. Неподвижная точка 0 отображения f £ С° (/, /) об-
ладает свойством а (свойством г или свойством i) тогда и только тог-
да, когда существует последовательность точек х1>х2>х3>...
...	0 такая, что 0 f (Xj) Х/4-1 (соответственно, f (x,+i) Х/
или f (X/) = Xj), j = 1,2, ...)•
Если неподвижная точка не обладает каким-либо из свойств а, г,
гу то будем говорить, что неподвижная точка обладает свойствами а,
i, г соответственно. (гь с2, с3) назовем типом неподвижной точки 0, где
47
сг = а или a, с2 = i или i, с3 = г или г. Очевидно, тип (a, i, г) не яв-
ляется допустимым. Всякая неподвижная точка принадлежит одному
и только одному типу. Можно привести соответствующие примеры
отображений, имеющие точки указанного типа. Например, притяги-
вающая точка имеет тип (a, i, г).
Что представляет собой множество Р (р) = {х : со (х) = Р}, когда
неподвижная точка Р не является притягивающей? Насколько сложно
оно может быть устроено?
Для произвольного инвариантного замкнутого множества F (а не
только неподвижной точки) Р (F) = {х С X : со (х) F} —всегда мно-
жество типа Fa6 [106]. Для неподвижных точек типа (a, i, г) эта верх-
няя оценка достигается, притягиваемые ими множества являются мно-
жествами третьего класса по классификации Бэра — Валле-Пуссена,
будучи /^-множествами, не являются СбО-множествами [105]. Напри-
мер, для отображения f • х »-► х (1 — sin 1/х) множество точек х £
С (0, 1), для которых fn (х) -> 0 при п -> оо, является множеством
третьего класса и.
В случае, когда инвариантное замкнутое множество F является мак-
симальным, т. е. для каждой точки х С X либо со (х) cz F, либо со (х) П
Г) F = 0, множество Р (F) устроено более просто и всегда есть Ge-
множество [106]. Для неподвижных точек типа (a, /, г) эта верхняя
оценка достигается, притягиваемые ими множества являются множе-
ствами второго класса, будучи Ge-множествами, не являются Fa-множе-
тт	£	1 — sin 1/х
ствами. Например, для отображения f : х »-► х---'— множество
точек х g (0, 1), для которых fn (х) -> 0 при п -> оо, есть множество
второго класса.
Мы рассматривали только неподвижные точки. Аналогичные ут-
верждения можно было бы привести и для периодических точек. Так
как периодическая точка периода т является неподвижной для отобра-
жения х »-► fm (х), то утверждения для периодических точек — след-
ствие соответствующих утверждений для неподвижных точек.
§ 2. Сосуществование циклов
Как мы должны были заметить, рассматривая различные примеры,
существование циклов одних периодов влечет существование циклов
некоторых других периодов. Так, каково бы ни было отображение f £
11 Для (разрывного) отображения х н> (mod 1), х 1), множество
Р (0) представляет собой (с точностью до множества рациональных точек) хорошо
известный пример Р. Бэра арифметического множества третьего класса ^состоящего
из точек интервала (0, 1), при разложении которых в цепную дробь -j-
П( -► оо при i -> оо I.
48
f C° (/, /), если у f есть цикл периода т > 1, то ввиду непрерывности
f у f есть и неподвижная точка (если I — ограниченный интервал, то
неподвижная точка на / есть всегда).
Лемма 1. Между любыми двумя точками цикла периода т > 1
лежит хотя бы одна точка некоторого цикла периода т' < т.
Доказательство. Пусть а > Ь — точки цикла периода т
и па, пь — количество точек этого цикла, лежащих левее точек а и Ь
соответственно. Очевидно, т > па > пь 0. Существует па различ-
ных целых положительных чисел i = 1, ..., nai меньших т и таких,
что }\а) < a (st — время перехода точки а в одну из точек цикла, ле-
жащих левее а). Так как па > пь, найдется s^, 1 I' па, такое, что
fSi'(a)< a,fSi'(b) > b. Следовательно, существует точка р g (а, 6), для
которой fx'(₽) = Р; Р — точка цикла периода т sc < т.
Лемма 2. Если отображение имеет цикл периода т> 2, то у ото-
бражения есть и цикл периода 2.
Доказательство. Докажем утверждение, из которого лем-
ма 2 немедленно вытекает: если отображение имеет цикл периода т >
> 2, то у отображения есть и цикл некоторого меньшего периода
т' : 2	/и' < /и.
В том случае, когда между какими-либо двумя точками цикла пе-
риода т нет неподвижных точек, это утверждение сразу следует из
леммы 1.
Рассмотрим вторую возможность: между каждыми двумя точками
цикла есть неподвижные точки. Возьмем произвольную точку цикла,
отличную от наименьшей — точки а и от наибольшей — точки Ь. Обо-
значим эту точку через с и пусть для определенности f (с) > с. Пусть
п — наименьшее число шагов, за которое точка с переходит в точку а:
fn (с) =	2 п < т. По предположению между точками а и с есть
неподвижные точки. Выберем из них ближайшую к точке с и обозна-
чим через d: f (d) = d и при х g (d, с) f (х) > х. Следовательно, функция
у = fn (х) обладает свойством: fn (d) = d и в некоторой окрестности
точки d fn (х) > х при х > d. Поскольку fn (с) = а < с, то на интерва-
ле (d, с) есть точка р, для которой fn (р) = р; это — периодическая
точка отображения /, период которой т^ 2 (на интервале (d, с) нет
неподвижных точек) и т п < т.
Следствие 1. Если отображение f имеет цикл периода 2Z, I
1, то у f есть циклы периодов 2l, i = 0, 1, ..., I — 1.
Следствие 2. Если у отображения f есть цикл периода Ф 21',
i = 0, 1,2, ..., то у f есть и циклы периодов 2£, i = 0, 1,2, ...
Для того чтобы доказать, что у отображения / есть цикл периода
2П, достаточно применить лемму 2 к отображению g = f2n~]. Так, пе-
риодическая точка отображения f периода 2z/n, т > 1 и нечетно, для
отображения g является периодической точкой периода больше 2 (а
именно, периода 2/~п+1т, если п Z, и периода /и, если п > /). Со-
гласно лемме 2 отображение g имеет периодическую точку периода 2,
которая для f является, очевидно, периодической точкой периода 2П.
Таким образом, уже следствие 2 говорит о том, что коль скоро ото-
бражение имеет цикл периода, не равного 2Z, i = 0, 1, 2, ..., например
4-3793
49
периода 3, то у f есть по крайней мере счетное число циклов, среди ко-
торых есть циклы сколь угодно большого периода.
Справедлив следующий точный результат [102].
Теорема 2.4 (о сосуществовании циклов). Если непрерывное ото-
бражение 1-^1 имеет цикл периода т, то оно имеет также и циклы
каждого периода т' такого, что т' < /и, где
К 2 <] 22 < 23 < ... < 22 • 5 < 22.3 <] • • •
... < 2 • 5< 2 • 30 .•• < 9<7<5ДЗ.	(2.1)
Заметим сразу же: для всякого т существует отображение, имею-
щее цикл периода т и не имеющее циклов периода т' при т < т .
О таких отображениях будет идти речь, когда будут рассматриваться
простые подстановки.
Часть утверждения теоремы, касающаяся циклов периодов 21,
i = О, 1, 2, ..., содержится в следствии 1. Следствие 2 говорит о том,
что 21 О т при любом i 0, если т =И= 2Z, i = О, 1, 2,...
Для завершения доказательства теоремы привлечем некоторые со-
ображения, связанные с символической динамикой.
Всякому циклу можно поставить в соответствие циклическую под-
становку л, матрицу переходов и (или) ориентированный граф пере-
ходов. Исследование любого из этих объектов (в зависимости от ситу-
ации может оказаться предпочтителен тот или другой) дает большую
информацию о свойствах динамической системы в целом. Если цикл В
составляют точки р, < р2 < ••• < Pm и /Pz = Psz, 1 С /и, i =
/1 2	... т\
= 1, ..., /и, то л = I	I. Отображение / на интервалах =
\$i s2
= [р,, Pt-f-il, i = 1, ..., т — 1, ввиду непрерывности f обладает свой-
ством
(Л, и ••• и А£.1-ь если sz<sw;
fj о < 1	(2 2)
1~ [Л£+1 и ••• Ibsf-p если s,>sf+i.	v ‘ 7
При этом говорят, что интервал накрывает (f-накрывает) соответ-
ствующие интервалы J^f. Циклу может быть поставлена в соответствие
матрица допустимых переходов (точек интервалов Jt) {pils}, где
JO, если fJt ф Js;
— (1, если fJt id Js,
а также ориентированный граф переходов с вершинами ..., Jm—\ и
ориентированными ребрами, соединяющими J t и Js, если id Js.
Нам будет удобно писать Jt Js, когда fJt id Js (т. е. Jt /-накрывает
Js). Граф переходов мы будем называть В-графом цикла. Напри-
мер, отображение, изображенное на рис. 30, имеет цикл периода 3,
" 2 3\
3 1 )• fJ1 °
1\
j 1, а В-граф
/1
образованный точками рь P2, рз, для которого л = I
(0
id J2 fJ2 id Jj J J2, так что матрица переходов равна I j
имеет вид, как на рис. 31.
50
Рис. 31.
Анализируя матрицу переходов или В-граф, например, методами
символической динамики, можно показать существование у системы
траекторий, обладающих теми или иными асимптотическими свойст-
вами, в частности существование периодических траекторий различ-
ных периодов. Если, например, в качестве алфавита использовать сим-
волы alf а21 .... ат-\, то каждой символической последовательности
аГ1 аГз ... аГ/ ... (1 Г/ tn — 1), допускаемой матрицей
переходов (|1г/Г/+1 = 1 для / = 1, 2, ...), отвечает (по крайней мере
одна) траектория системы, проходящая по интервалам Jlf J2, ..., Jm_y
в порядке Jrt -> Jr2 -> ... -> Jrf ->	-> ... В частности, если симво-
лическая последовательность является периодической с наименьшим
периодом и, то в этом случае система имеет по крайней мере одну пе-
риодическую траекторию периода п (проходящую по интервалам Jlf
J2, ..., в указанном порядке).
Последний факт вытекает из следующей простой геометрической
леммы, позволяющей переходить от накрывающих друг друга интер-
валов, образующих замкнутый путь, к периодическим точкам.
Лемма 3. А. Если существует замкнутый путь Jro -> Jrt~+ ...
... -> Jrn_} Jr0 (1 rtm — 1), то существует и периодическая
точка р, такая что
1 = 0, 1, .... п-1, /"(₽) = ₽.
Б. Если, кроме того, п — наименьший период последовательности
r0, ri> ...,	г0, гх, ... и Р g В, то период точки р равен п.
Доказательство. Существует замкнутый интервал Г cz
cz /Го такой, что рГ cz Jr.t i = 0, 1, ...» n — 1, рГ = Ло. Следова-
тельно, существует точка p G для которой fn (P) = p, т. e. такая,
о которой говорится в п. А.
Докажем п. Б. Допустим, период точки Р равен п' и п' < п (при
этом и' : и). Условие р g В означает, что точки Р, f (Р), р (Р), ... лежат
внутри интервалов Jlt J2t ..., Jm. Поскольку эти интервалы попарно
не имеют общих внутренних точек, а р (Р) =	(Р) при i = 0, 1,
2, ..., то интервалы <7Г/ и Jrr совпадают, если | i' — f | = п'. Таким
образом, при любых Z, i' (1 f, Г и) г у — rh если только | i' —
— i | = и', т. е. последовательность г0, г1У ..., rn_i, г0, гх, ... име-
ет период и' < и, что противоречит условиям леммы.
4*	51
Замечание. Очевидно, условие р В не необходимо в том слу-
чае, когда п не делится на т. Если же и делится на /п, это условие су-
щественно. Каково бы ни было т > 2, можно указать отображение,
для которого при любом и, делящемся на т и являющимся (наимень-
шим) периодом последовательности^, гх, ..., гл_ i, г0, гх,...» периодиче-
ская точка р, фигурирующая в лемме, может принадлежать циклу В
(и, следовательно, иметь период т).
Теперь легко доказывается следующая лемма.
Лемма 4. Если отображение имеет цикл периода 3, то оно имеет
циклы всех периодов.	,
Действительно, В-граф цикла {ръ Р2, рз) периода 3 имеет вид, пред-
ставленный на рис. 31 или отличающийся тем, что Jj и J2 меняются
местами. Рассмотрим первый случай (во втором рассуждения анало-
гичны). Каково бы ни было и, можно выписать по В-графу периоди-
ческую последовательность -> J2J2 Jr J2 -> ...
n—1	n—1
Этой последовательности соответствует цикл периода и, точки которо-
го проходят по интервалам J2 в указанном порядке. В самом деле,
если п не делится на 3, то это следует из леммы 3. Если п делится на 3,
то периодическая точка Р, о которой говорится в лемме 3, отлична от
точек рп р2, р3: так как Pi £ В, то точки рп р2, рз не могут следовать
по интервалам J±, J2 в порядке -> J2 -> ... J2 -> ...Следовательно,
п— J
можно снова воспользоваться леммой 3.
Оставшуюся часть доказательства теоремы 2.4 можно было бы сде-
лать чисто алгебраической (с точностью до применения леммы 3, как
это было сделано при доказательстве леммы 4). Для этого, например,
было бы достаточно проанализировать некоторые свойства цикличе-
ских подстановок. Мы же сейчас воспользуемся наиболее известным
в настоящее время способом [101, 145, 149, 175].
Следующая лемма характеризует В-граф произвольного цикла.
Лемма 5. В-граф цикла {рь ..., Рт}, т > 2, обладает свойствами:
1) существует г* такое, что Jr* -> Jг/,
2) для любого г существуют г' и г", 1	г', г" < т, такие, что
Jr' Jr Jr"\
3) если IP', Р"] =Н= [Pi, PJ, Р', Р" С В, то существуют Jr- cz
cz [р', Р"] и ф IP', Р"1, dJf" А (Р', Р") =/= 0 такие, что Jr> Jr.
Действительно, положим г* = max {i i f (Pz)> PJ. Так как
f (Pm) < Pm, TO r* < m. Поскольку f (Pr*+i) < Pr#+i, to fJr<tl =) J^.
Свойство 2 следует из того, что любая точка цикла имеет образ и про-
образ, принадлежащие циклу. Свойство 3 является следствием отсут-
ствия у цикла инвариантных подмножеств.
Следствие 3. В-граф цикла периода т > 2, каково бы ни
было г, 1 г т — 1, содержит подграф GJг* -> ... -> Jг-
Лемма 6. Если отображение имеет цикл периода т = 2k + 1,
k > 1, и не имеет циклов периода 2k — 1, то В-граф цикла периода
т содержит подграф, изображенный на рис. 32 или получаемый из него
заменой Jt на Jm-i-
62
Доказательство. Пусть,
как и в лемме 5, г* = max {ii
| ДР/) > PJ. Разобьем точки цикла
на два множества В" = {Р g В :
Р С р, J и В+ = {р G В : Р >
> Р<*}. Так как т нечетно, то В~
и В+ содержат разное число точек.
Пусть для определенности их боль-
ше в В~. Тогда существуют точки
Р G В" для которых f (Р) £ В-.
Пусть г = max {i < г* : f (PJ
<prj. Так как pr+i g В~, то
f (Рн-i) > P^+i- Следовательно,
fjr id т. е. Jг -> Jr*. Если теперь следствие 3 применить к ин-
тервалу Jr, получим замкнутый путь Jr.~+ ... -> Jг	Jг.-
Можно считать, что этот путь кратчайший. Тогда его длина равна
т: если бы это было не так, то, применив лемму 3 к одному из
замкнутых путей Л* -> ... -> Jr Л* -> ...	Jr-+ Jr. ->
получим на Jr. периодическую точку нечетного периода m', 1 <
< т' < т, что противоречит условию леммы о «минимальности»
периода т.
Если путь Jr.-> ... -* Jг	Jr. кратчайший, то в нем каждый из
интервалов Jh i = 1, ..., tn — 1, за исключением Jr., встречается не
более одного раза, в действительности, в точности один раз, поскольку
длина пути равна пг. Обозначив г* через а индексы интервалов, сле-
дующих за Jr., через г2, г3, ..., rm_i, получим Л, -> Л2
->• Jгт—\ А* Так как путь кратчайший, то В-граф цикла не со-
держит ребер, идущих из Л. в Jr. при j > i + 1, i = 1, ..., т — 2.
Поскольку длина пути максимально возможная, то card В~ =
= card В+ + 1 для любого р (= В~, кроме Pfm_p f (Р) С В+, и на-
оборот, для любого р С В+ f (Р) £ В~. Это означает: 1) интервал Jr^
является смежным с интервалом Л/, 2) интервал Л3 является смеж-
ным с интервалом J Jr2, а именно, с интервалом /Г1; 3) интервал
Jr. является смежным с интервалом Jrx U Jf2 U Jr3, а именно, с ин-
тервалом Л2, и т. д. Таким образом, возможны только два варианта
расположения интервалов Jr. на /: либо Jrrn_v Jrm-v •••»
Jrv Jr3, ...» J rm-2' либо, когда card В~ <card В+, в обратном поряд-
ке. В первом случае rm-\ = 1, ^-з = 2, ..., гг = k + 1, ..., г т-2 =
= 2k, во втором Гт-i = 2k, Гт-з = 2k — 1, ... В обоих случаях
Jx -> Jk+\ и </2-> J2k и поэтому Jj -> Jk-\-i, 4=1,..., k. Доказатель-
ство леммы завершено.
Лемма 7. Если отображение имеет цикл нечетного периода т> 1,
то оно имеет циклы любого нечетного периода, большего т, а также
циклы любого четного периода.
Можно считать, что т — наименьший нечетный период, больший 1.
Каково бы ни было четное т' < т, В-граф цикла периода т согласно
лемме 6 содержит путь -> /2*4-1 -т'Ц Лп'/2	<72 -> <72* ->
Остается применить лемму 3. Если т' > т, то лемма 3 применя-
53
ется к замкнутому пути Jk±i Jk-+ Jk+z -> ... -> Л -> Jk±\ -> ...
• ••	J k-\-i •
Из леммы 7 вытекает еще недоказанная часть теоремы 2.4: если
отображение имеет цикл периода 2Z (2k +1), k 1, то оно имеет
и циклы периодов 2l (2r + 1) и 2z+1s, где г > k, s^l. Дейст-
вительно, если отображение f имеет цикл периода 2l (2/г + 1), то отоб-
ражение р1 имеет цикл периода 2k + 1. Из леммы 7 следует, что р1
имеет цикл периода 2s с любым s> 1 и, таким образом, f имеет цикл
периода 2z+1s. Из леммы 7 следует так же, что Р1 имеет цикл периода
2г + 1, точки которого для f являются периодическими периода
2l (2r + 1) или 2r (2r + 1), Г < I. В последнем случае существование
цикла периода 2l (2r + 1) следует из уже доказанной части теоремы.
На этом доказательство теоремы 2.4 завершается.
Циклическую подстановку, которую мы ставим в соответствие
циклу, назовем типом этого цикла. Поскольку тип цикла учитывает
кроме периода (ему соответствует длина подстановки) еще и взаимное
лишь
2 3'
3 1
расположение точек цикла, то классификация циклов по типам явля-
ется более тонкой, чем по периодам. Можно сформулировать теоремы
сосуществования циклов различных типов, однако такие теоремы более
громоздкие и здесь мы не будем их приводить, а ограничимся
простейшими примерами.
/1
Цикл периода 3 может быть только одного типа л3 = (
(с точностью до обратной подстановки), а циклы периода 4 — несколь-
,п /1 2 3 4\ ,2.	/1 2 3 4\
ких, например л4 =	. , Л4 — Q о , • Если отображение f
т: 1 у	т: £ 1 j
имеет цикл типа л^» то нетрудно показать, что / имеет также цикл
типа л3 и, следовательно, имеет циклы любого периода (в то же время,
если использовать теорему 2.4 о сосуществовании циклов, в этом слу-
чае можно лишь утверждать, что существуют циклы периодов 2 и 1).
Остановимся теперь на вопросе «неулучшаемости» теоремы 2.4,
а именно: укажем отображения, имеющие цикл периода /п, где т —
произвольное число, большее единицы, не имеющее циклов периода т',
если т <] т'.
••• tn\
Каждой циклической подстановке л = I	, т > 1, и произ-
VI * * ’ SmJ
вольному набору точек Рх<... <Рт отвечает непрерывное кусоч-
но-линейное отображение fn : [рх, р^] -> [Рх, P^J, линейное на ин-
тервалах Ji = [pz, pz+1] и такое, что fn (Pz) = pSf, i = 1, ..., tn. Отоб-
ражение fn не зависит от выбора точек pz в том смысле, что отображе-
ния fn и fn, построенные по двум наборам точек {PJ и {Р,}, топологи-
чески эквивалентны; соответствующий сопрягающий гомеоморфизм
h — любой гомеоморфизм, для которого h (Pz) = pz.
Циклическую подстановку л длины т назовем простой, если опре-
деленное выше отображение fn не имеет циклов периода т' при т <]
< т. Будем называть цикл циклом простого типа, если соответствую^
54
щая ему подстановка простая. Простые подстановки могут быть описа-
ны следующим образом.
1.	Если т = 2k + 1, k 1, то простыми являются подстановки
/1 2 3\
Пз~\2 3 1/’
/ 1	2	3 ... 6+ 1 * + 2 ... 2fc 26 + 1\
Я2*+1 =	+ 1 26 + 1 2k ... k + 2 k ... 2	1 ) ’
когда k > 1,
а также подстановки, обратные им. Отметим, что представленный на
рис. 32 граф и есть В-граф цикла типа Л2Н-1 для отображения /л2л-н
(рис. 33).
2.	Если т = 2kt k 1, то при k > 1 подстановка л простая тог-
да и только тогда, когда множества {1, ..., k} и {k + 1,	2&} инвари-
антны относительно л2 и ограничение л2 на каждое из них — простая
/1 2\
подстановка, а л2 = Ь j I.
Для доказательства того, что каждая из перечисленных выше под-
становок л длины т является простой, нужно показать (простым пе-
ребором), что В-граф отображения не имеет замкнутых путей дли-
ны т' при т <\ т'. Это простое упражнение. Соответствующие под-
счеты для кусочно-линейных отображений приведены еще в (102].
Много ли простых подстановок длины /п?
Лемма 8. Существует единственная (с точностью до обратной)
простая подстановка длины т при т 4 и т = 2k + k > 1.
Утверждение этой леммы очевидно при т < 4 и легко проверяется
при т = 4. Для т = 2k + 1 доказательство аналогично доказательст-
ву леммы 6: если подстановка л длины 2k + l,k> 1, отлична от л2*+1
и л^+i, то имеет цикл периода 2kf + 1, где 1 kf k. Если же
т отлично от значений, приведенных в лемме 8, то простая подстанов-
ка не единственная. В качестве при-
мера приведем две простые подста-
/12 3 4 5 6
новки длины 6:	. с .
\4 о 5 □ 2 1
/1 2 3 4 5 6\
\4 5 6 2 3 1 /
Отображения из С° (/, /) могут
иметь одновременно как циклы про-
стого типа, так и циклы, не являю-
щиеся таковыми. Вместе с тем ана-
лиз теоремы 2.4 показывает, что у
отображений, не имеющих циклов
сколь угодно больших периодов,
должны быть только циклы простых
типов. Справедливо следующее точ-
ное утверждение: каждый цикл
Рис. 33.
55
непрерывного отображения 1-^1 является циклом простого типа
тогда и только тогда, когда период каждого цикла отображения равен
степени двойки. Доказательство этого утверждения основывается на
некоторой модификации леммы 6.
Несколько замечаний библиографического характера. Теорема о
сосуществовании циклов опубликована в 1964 г. Тот факт, что 2 < т
при любом т > 2, является следствием утверждения: последователь-
ность х/4-i = f (xz), i = 0, 1,2, ..., когда f — непрерывная функция,
сходится при любом х0, если у отображения нет периодических точек
периода 2. Это утверждение имеется и в более ранних работах, напри-
мер [68, 1551. Начиная с 1975 г., появилось большое число работ, в ко-
торых либо доказывались утверждения, являющиеся частными случа-
ями теоремы 2.4 (в [1861, например, показано, что т <] 3 при любом т),
либо теорема 2.4 доказывалась для специальных классов отображений
(например, унимодальных), либо предлагались новые варианты ее до-
казательства [158, 215, 167, 182, 216, 145, 149, 175, 51, 136]. Циклы про-
стых типов и соответствующие им подстановки исследовались, в част-
ности, в [141, 156, 135].
Теорема о сосуществовании циклов гарантирует существование цик-
лов каждого из периодов пг' <| пг, когда у отображения есть цикл
периода пг, но ничего не говорит о количестве таких циклов. При т =
= 21 существуют отображения, у которых имеется только по одному
циклу периодов т' < т. Если же т Ф 2l, I = 0, 1,2, ..., то это не
так. В ряде работ (например, [147, 163]) даны оценки снизу количества
циклов периода т' <[ т.
Теорему о сосуществовании циклов можно сформулировать и та-
ким образом. Пусть
= {/gC°(Z, I):f имеет цикл периода п}.
Теорема 2.5 (о стратификации пространства отображений). Если
т <[ т', то zd т. е.
ZD ZD ZD ••• ZDt?10ZD^6ZD ••• ZD 5% ZD ZD 5% ZD (2.3)
все включения строгие.
Отметим еще, что существуют сколь угодно гладкие отображения
f С \ в том числе аналитические. Соответствующие примеры
строятся аналогично отображениям класса С°, которые указывались
выше.
Теорема о сосуществовании циклов говорит о том, циклы каких
периодов есть у отображения /, коль скоро у / есть цикл периода т.
Можно ли при этом что-либо сказать о циклах отображений, близких
к Р Возможны ли какие-либо оценки («снизу» и «сверху») на периоды
циклов отображений С' (г 0), близких к /?
Если отображение f имеет цикл периода т, то сколь угодно Сг-
близкое к / (при любом г 0) отображение уже может не иметь цик-
лов периода т (каково бы ни было т). Такая ситуация возможна, если
существование цикла периода т обеспечивается, например, благодаря
касанию кривых у = fn (х) и у = х (соответствующие примеры легко
построить). Тем не менее справедлива следующая теорема, дающая
оценку «снизу» для периодов отображений, близких к f [142].
56
Теорема 2.6. Если отображение f имеет цикл периода т, то сущест-
вует окрестность U cz С° (Z, I) отображения f такая, что U а
при любом т' < /п, т. е. каждое отображение из U имеет циклы всех
периодов, предшествующих т в (2.1).
Оценку «сверху» периодов циклов для отображений в С° (Z, /)
получить нельзя: отображения, имеющие циклы любого периода, плот-
ны в С° (Z, Z). Действительно, если I <— ограниченный замкнутый ин-
тервал, то всякое отображение f : I -> I имеет неподвижную точку;
если р — неподвижная точка, для любого 8 > О найдется S > б:
| f (х) — р | < 8 при | х — р | < 6. Остается на интервале (Р — 6,
Р + 6) вместо f (х) «вклеить» с сохранением непрерывности какое-
либо s-близкое отображение, имеющее циклы всех периодов, напри-
мер выбрав S' < min (б, S}, положить f (х) = р + S' — 2 | х — р [
при | х — Р | < S'.
Для каждого отображения f с «вклейкой», представленной па
рис. 34, существует в С° (/, /) окрестность, состоящая из отображений,
имеющих циклы любого периода. Следовательно, множество отображе-
ний, имеющих циклы любого периода (т. е. ^7%), содержит в С° (/, /)
открытое плотное подмножество.
Из предыдущей теоремы вытекает, что множество отображений,
имеющих циклы периода 21’ (т. е. равное П $7>т), открыто (и плотно)
В С° (/, /).
С помощью ^-возмущений получить подобным образом отображе-
ния, имеющие циклы всех периодов, уже нельзя — в С1 (Z, I) такие
отображения не образуют всюду плотное множество.
Теорема 2.7. Если f £ С1 (/, /) и f &т, то существует окрест-
ность U П С1 (Z, /) отображения f такая, что:
a)	U П = если т 2\
б)	U П	если т = 2Z,
каково бы ни было i 0.
Утверждение «а» приведено в [212], «б» — в [198]. Из теоремы 2.7,
в частности, следует, что при любом т у= 2Z множество замкнуто
в С1 (7, /).
57
§ 3. Бифуркации циклов
Если динамическая система зависит от параметров, их изменение
может приводить к различным качественным изменениям в поведении
системы. Наиболее простые — бифуркации циклов, исследование ко-
торых сводится к локальному изучению отображения в окрестности од-
ной или нескольких точек, образующих цикл.
Для однопараметрических семейств гладких отображений f% !
I -> 1 имеется несколько типичных бифуркаций периодических тра-
екторий. С одной из них мы уже встречались в § 2 гл. 1, когда рассмат-
ривали отображение Д • х Кх (1 — х). При увеличении параметра X
от 0 до X* « 3, 57 последовательно появлялись притягивающие цик-
лы периодов 1, 2, 22, 23, ... При этом бифуркации циклов происходили
по следующему сценарию. Если кп — значение параметра, при кото-
ром происходит бифуркация, приводящая к появлению цикла Вп пе-
риода 2", то при Кп < X	цикл Вп притягивающий; его муль-
типликатор ц (Вп) при этом изменяется от +1 (при X = Хп) до —1
(при X = При X > Лп4-1 р, (Вп) < —1 и поэтому цикл Вп из
притягивающего превращается в отталкивающий. Появляющийся
при X > цикл Вп+1 имеет период, вдвое больший, чем период цикла
Вп, и является притягивающим (при < X Хп+2); lim р, (Bn+i) =
= р,2 (Вп) = 1. При дальнейшем увеличении параметра X нарисованная
картина повторяется.
При X > X* « 3,57 у отображения х «-► кх (1 — х), как мы знаем,
появляются циклы периодов, не равных 2", п = 0, 1, ..., и при X = 4
уже есть циклы с любым периодом. Одной бифуркации удвоения при
этом заведомо недостаточно. Например, циклы нечетных периодов та-
ким путем возникать не могут. В чем заключаются бифуркации, при
которых появляются, в частности, циклы нечетных периодов, включая
и неподвижные точки, ясно из рис. 35, где приведены графики функ-
ции у = fl (х) до появления цикла периода 3 (X = 3,82) и сразу после его
появления (X = 3,83). Бифуркация
в общем случае состоит в следую-
щем. У отображения Д при X < Хо
имеется интервал J, на котором нет
неподвижных точек отображения /£
(при х G J fl (х) > х). При X = Хо
кривые у = fl (х) и у = х касаются
в точке х() С J, т. е. появляется не-
подвижная точка х0 отображения fl
(мультипликатор ее равен +1);
при к > Хо неподвижная точка рас-
щепляется на две, одна из которых
притягивающая, вторая отталкива-
ющая.
Обратим внимание на одно суще-
ственное отличие двух бифуркаций,
58
о которых шла речь. Первая из них — бифуркация удвоения — имеет
локальный характер и качественные изменения касаются только малой
окрестности цикла (мягкая бифуркация). При второй — бифуркации рож-
дения — в момент касания перекрывается движение точек вблизи х =
= х0 из области{х < х0} в область {х > х0} и появление цикла (неподвиж-
ной точки) ведет к глобальным (не только вблизи х0) качественным
изменениям в поведении системы (жесткая бифуркация).
Отметим также, что рассмотренные выше бифуркации происходят,
когда мультипликаторы циклов равны ±1. Это необходимое условие
любых бифуркаций циклов для гладких отображений.
Сформулируем в виде двух теорем, следуя [164], совокупность ус-
ловий, при которых происходят бифуркации циклов.
Теорема 2.8. Пусть fx : I I — семейство (^-отображений, глад-
ко зависящее от К С (^х, А,2), хо — неподвижная точка отображения
« /*. (х0) = 1. Если
1)
2) ^Г/Нхо)|х^о<О,
то существуют е > 0 и б > О такие, что
а)	при X g (Хо — б, Хо) Д не имеет неподвижных точек на интерва-
ле (х0 — е, х0 + б);
б)	при X С (Хо, Ч + S) имеет две неподвижные точки на интерва-
ле (х0 — 8, х0 + е), из которых одна притягивающая, а другая оттал-
кивающая.
Утверждения теоремы справедливы, если неравенства 1, 2 заменить
противоположными. Если только одно из них заменить противополож-
ным, то неподвижные точки появятся при уменьшении параметра X.
Другими словами, неподвижные точки появляются при увеличения
п d
или уменьшении X, в зависимости от знака произведения Д (х) f% (х)
при X = Хо и х = х0.
Доказательство. Рассмотрим функцию h (х, X) = Д (х) —
— х. В точке (х0, Хо) у= 0 и = 0. Из теоремы о неявной функ-
ции следует, что существует гладкая функция X = ср (х) такая, что
Хо = Ф (х0) и h (х, ср (х)) = 0 в некоторой окрестности точки х0. Диффе-
ренцируя последнее тождество дважды, получаем
d2h	dh	d2g	_
дх2	+	дК	dx2	'“и*
~	d2q>	/ dh	\-i	d2h
Так как при х = х0 = — I1	=/= 0, то кривая X = ф (х)
лежит по одну сторону от касательной в точке х0. Последнее утвержде-
ние теоремы следует из того, что dldx (dh/dx) =/= 0 в точке (х0, Хо).
Теорема 2.9. Пусть Д : 7 -> / — семейство С3-отображений, глад-
ко зависящее от (Хр Х2), х0 — неподвижная точка отображения
59
К и fk, W = —1- Если при к = Хо и х = xQ
I)	^<0-
4 dx9 ^U’
2)	-д-^МХО.
пго существуют е > О и 6 > 0 такие, что
а)	при X (= (Хо — 6, Хо) отображение /к имеет на интервале (х0 —
— 8, х0 + е) только одну неподвижную точку и эта точка притяги-
вающая;
б)	при X G (Хо, Хо + 6) отображение fl имеет на интервале (х0 — е,
xQ + е) три неподвижные точки, причем две крайние образуют притя-
гивающий цикл периода 2 для отображения fa, а средняя является от-
талкивающей неподвижной точкой отображения f^.
Если неравенство 2 имеет противоположный знак, то утверждения
останутся такими же, однако цикл периода 2 появится при уменьшении
параметра X. При замене знака в условии 1 необходимо в утверждении
теоремы везде поменять местами слова «притягивающий» и «отталкива-
ющий».
Доказательство. Так как flQ (х0) = — 1, то (fl. (х)) =
= 0 при х = х0. Рассмотрим функцию h (х, X) = fl (х) — х. При
х = х0 и X = Хо h = 0, dh/dx = 0, d2hldx2 = 0 и d3hldx3 #= 0. По
теореме о неявной функции существует функция х = ф (X) такая,
что х0 = ср (Хо) и Д (ср (X)) = ф (X) при X, близких к Хо. Рассмотрим
теперь функцию h (х, X) =	При х = х0 и X = Хо h = 0,
dhldx = 0, d2hld2x #= 0 и dhldh #= 0. Применив к h (х, X) рассуждения,
использованные при доказательстве предыдущей теоремы, получим
необходимые утверждения.
Теоремы 2.8 и 2.9 мы сформулировали для неподвижных точек.
Если рассматриваются бифуркации циклов периода и, следует f^ за-
менить на fl.
Необходимо отметить еще следующее. Для квадратичных отобра-
жений и, вообще, для отображений х f (х), имеющих отрицательный
шварциан/"У/'—3/2 (/'У/')2, условие 1 теоремы 2.9 всегда выполнено.
Поэтому для этих отображений возможен только один тип бифурка-
ций, связанных с удвоением периода:
притягивающий цикл
периода п
бифуркация
отталкивающий цикл
периода п,
притягивающий цикл
периода 2п
Существуют достаточно широкие классы отображений, для которых
удается проследить не только за отдельными бифуркациями, но, из-
меняя параметр на небольшом промежутке, увидеть бесконечную по-
следовательность бифуркаций циклов. К таким отображениям относятся
квадратичные отображения, которые мы уже неоднократно рассматри-
60
вали. При этом обнаруживаются некоторые новые «универсальные»
свойства бифуркаций циклов, носящие нелокальный характер.
Рассматривая семейство отображений х Хх (1 — х), мы должны
были заметить, что при увеличении параметра 1 только на единицу
(от X = 3 до X = 4) получалась бесконечная последовательность би-
фуркаций удвоения периода (в результате которой при X 3,57 у отоб-
ражения есть циклы периода 2" с любым п 0). Тот факт, что появле-
ние бесконечного числа циклов с большими периодами происходит
через удвоение периода, имеет место, конечно, для произвольных не-
прерывных отображений и является немедленным следствием теоремы
о сосуществовании периодов. Вместе с тем оказывается, что для квадра-
тичных отображений не только справедлив универсальный порядок
появления циклов новых периодов, но и существует универсальная-ско-
рость изменения параметра (одна и та же на целом классе отображе-
ний, включающем все квадратичные отображения), при которой проис-
ходят (в соответствии с универсальным порядком) бифуркации. Эти
и некоторые другие универсальные свойства сформулированы ниже
в виде теорем 2.10—2.13.
Пусть Д € С° (/, /). Обозначим через X (nl наименьшее значение
параметра X, при котором у отображения Д есть цикл периода п.
Теорема 2.10.
Х[1]СМ2]СМ4]^ •••	X [5 • 2] < X [3 • 2] =С •••
••• ^Х[5]<Х[3].
Эта теорема является следствием теоремы о сосуществовании цик-
лов непрерывных отображений.
Рассмотрим отображения f Е С3 (/,/),/ = [0, 1], удовлетворяющие
свойствам:
1)	f (0) = f (1) = 0;
2)	f имеет единственную точку экстремума х — с и f (с) < 0;
3)	шварциан отрицателен при каждом х #= с.
Отображения, удовлетворяющие условиям 1—3, будем называть
U-отображениями. Типичным представителем таких отображений яв-
ляются квадратичные отображения g>. : х <-► Хх (1 — х) при X £ [0, 4].
Для семейств U-отображений имеют место только две из описанных
выше бифуркаций: бифуркации рождения цикла и удвоения периода
устойчивого цикла.
Теорема 2.11. Пусть fi. (х) = X/ (х), f— ^-отображение, f (с) =
= 1, X Е [0, 1]. Тогда если для некоторого v Е [0, 1] Д имеет цикл пе-
риода т, то для любого X g [v, 1] Д также имеет цикл периода т.
Теорема 2.12. Пусть fx — kf, f — аналитическое ^-отображение,
f (с) = 1, X Е [0, 1]. Тогда
1)	существует
Пт X[2П]— Х[2^)
п-оо X [2^*1 — X [2П]
где б = 4,669201...;
61
2)	существует
Пт Нт X [(2m+l)2,.]-M(2/n-1)2'’] =
Л->оо ГИ-4-оо A. [(2m + 3) 2n] — M(2«+ 1)2”]	°
где у — 2,94805...;
3)	обозначим lim X [(2m + 1) 2n] через к' [2"+Ч, n = 0, 1, 2, ...
m->oo
Тогда существует
,.	A.'[2"[ — V [2n—’] кдс И ССЛОЛ1
hm —!—з-:------!--/- = S, где 6 = 4,669201 ... ;
n-oo A' |2',+1] - A' ]2”1
4)	/i не имеет бифуркационных параметров, отличных от указан-
ных, на [0, X*), где k* = lim к [2n] = lim к' [2П].
И-4-00	И-4-00
Для X С (X [2П+1], X' [2П]) семейство Д (х) обладает еще одним свой-
ством: f% имеет аттрактор Jn, представляющий собой цикл интерва-
лов — орбиту замкнутого строго периодического интервала Jo перио-
да 2п (f2n (Jo) = Jo) такого, что mes Jo =?= 0. Если обозначить fk (Jo)
через J2, то Jn = Jo J ••• U Назовем цикл интервалов Jп
простым, если существует для Д набор п — 1 периодических интер-
валов Jo периодов 2\ fe = О, 1, 2...п — 1, такой, что J? cz Jo”1 cz ...
... cz Jq. (Более подробно периодические интервалы изучаются в § 3
гл. 4.)
Теорема 2.13. Пусть f— аналитическое ^-отображение. Тогда
для любого е > О существуют N, I такие, что для всех п, k, для кото-
рых N fe п — I, если f имеет периодический интервал Jo периода
2п, порождающий простой цикл интервалов Jn, то
sup mes J
a — e< —--------< a + e,
sup mes
t>0
inf mes J;
t>0
inf mes
i>0
где a = 2,502907...
Доказательство универсальных свойств аналитических U-отобра-
жений, содержащихся в утверждениях теорем 2.12 и 2.13, сводится
к исследованию оператора Tf (х) = (—ах), а > 0, в пространст-
ве унимодальных (имеющих один максимум) отображений интервала
[—1, 1] в себя и таких, что f (0) = 1. Решение f* уравнения Tf = f
в этом пространстве как отображение • [—1, 1] -> [—1, 1] имеет цик-
лы периодов 2п для всех п = 0, 1,2, ... и только их, и траектории то-
чек интервала [—1, 1] притягиваются либо минимальным инвариант-
ным множеством, гомеоморфным множеству Кантора (которое обяза-
тельно существует для отображения /*), либо некоторым циклом.
Универсальные свойства аналитических U-отображений опре-
деляются наличием неподвижной точки оператора Т в пространстве,
62
соответствующем аналитическим U-отображениям, и свойствами опе-
ратора Т в окрестности этой неподвижной точки.
Считается, что в пространстве аналитических унимодальных отоб-
ражений на [—1, 1] таких, что f (0) = 1 и /" (0) =# 0, оператор Т имеет
изолированную неподвижную точку /*, в окрестности которой оператор
Т гиперболичен; спектр линеаризации Т в окрестности f* имеет одно
собственное значение 6 = 4,669201 все остальные собственные зна-
чения по модулю меньше единицы [96]. В настоящее время доказано,
по крайней мере, существование неподвижной точки Т в этом простран-
стве [11, 150, 184].
В пространстве функций класса Ck, k 0, и даже класса С°° опе-
ратор Т имеет много неподвижных точек, которые необязательно ха-
рактеризуются теми же или хотя бы какими-нибудь определенными
числовыми константами. Неаналитические отображения, вообще го-
воря, не обладают универсальными константами, о которых идет речь
в теоремах 2.12, 2.13.
Сделаем два замечания.
1. Если рассматривать отображения, удовлетворяющие еще бо-
лее слабым условиям, например не требовать отрицательности швар-
63
циана, то уже не только скорость
бифуркаций, но и их порядок («мо-
нотонность» бифуркаций, о которой
говорится в теореме 2.11) может
нарушаться.
Рассмотрим семейство унимода-
льных отображений Д = где
х(1—х), 0<х<0,96,

Л(100 — х), 0,96<х<
<100, Л = 24/61900
(для наших целей, чтобы использо-
вать уже достаточно хорошо изучен-
ное семейство Хх (1 — х), удобнее расширить область определения
отображений: в этом примере / = [0, 100] и X G [0, 400]). Как мы зна-
ем, отображение Д при 0 < X < 3 имеет только неподвижные точки,
а при 3,83 < X < 3,84 — циклы всех периодов (все циклы лежат на
интервале [0, Х/4], Х/4 < 0,96). При дальнейшем увеличении параметра
X циклы начинают исчезать и, например, при X = 100 Д опять имеет
только неподвижные точки. Когда параметр X приближается к 400,
опять начинают появляться циклы и при X = 400 есть циклы всех
периодов (рис. 36).
Вместо отображения класса С° можно было бы предъявить и ана-
литические отображения с такими же свойствами.
2. Когда говорят о бифуркациях циклов, обычно имеют в виду
гладкие отображения. В семействах непрерывных отображений запас
качественных перестроек существенно шире. Не останавливаясь под-
робнее на этом вопросе, приведем лишь один пример, когда у отобра-
жения циклы всех периодов появляются одновременно (рис. 37).
Пусть f (х) = 1 — I 1 — 2х |а, 0 < а < 1, х G 7 = [0, 1]. Тогда
Д = U € С° (7, 7) при 0 < X < 1. Отображение Д при X < 1/2 имеет
только неподвижные точки, а при любом X > г/2 fa имеет циклы всех
Периодов (циклы лежат на интервале, который при X 1/2 стягивается
к неподвижной точке х = V2).
ГЛАВА 3
ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ
§ 1. Траектории простых динамических систем
Будем называть динамическую систему простой, если каждая ее
траектория является периодической или асимптотически периодиче-
ской.
Простая динамическая система может иметь периодические траек-
тории, периоды которых — степени двойки. Это необходимое условие.
Необходимое и достаточное условия можно сформулировать с помощью
64
Per f = U {x : fm (x) = x] — множества, составленного из точек всех
периодических траекторий. Это условие заключается в том, что мно-
жество Per f должно быть замкнутым [104].
Как могут вести себя траектории xlt х2, ..., хт, xm+i, ...» xm+\ =
= f (xm), для таких отображений, а точнее, как должны приближаться
траектории, не являющиеся периодическими, при т -> оо к предель-
ным периодическим траекториям. Этот вопрос рассматривался в § 1
гл. 2 для произвольных отображений, однако там шла речь только о ло-
кальном поведении, о поведении траекторий в достаточно малой ок-
рестности предельных неподвижных точек или циклов.
Пусть &т = {f£ С° (7, /): Per f = Fix/m). 3: т состоит из отобра-
жений, у которых период каждого цикла не превосходит т и, более
того, является делителем /п. Как уже отмечалось, в этом случае т
может быть равным 2\ k = 0, 1,2,... Очевидно, 3\k = С°(7, 7)\	+ i.
Рассмотрим вначале самый простой случай, когда у отображения
есть только неподвижные точки и нет периодических, т. е.
Если функция f является монотонно возрастающей, т. е. f (х')
f (хп) при х' х\ то fm (xf) fm (х") при любом tn > 0. Любая
траектория монотонна: если хг х2 = f (xj, то хг х2 х3 ...
... хт хт^.\ ...; если хг х2, то xt х2 х3 ... ^Cxm<J •••
Каждая траектория притягивается к неподвижной точке. В этом случае,
очевидно, Per f = Fix f.
Однако это равенство возможно и тогда, когда / является немоно-
тонной функцией.
Лемма, f g 3\ <=> каково бы ни было a Q I:
а)	если f (а) > а, то f (х) > а при любом х £ [a, f (а)];
б)	если f (а) < а, то f (х) < а при любом х С [f (а), а].
Если через 7xj обозначить интервал, концами которого являются
точки х и f (х), то лемму можно сформулировать так: f £3\с=> для лю-
бого х С I либо f (х) = х, либо fIXtf х.
Доказательство. Докажем прямое утверждение, обратное
очевидно. Допустим противное: на [a, f (а)] есть точка 0 такая, что
f (0) а. Тогда на интервале [а, 0] существуют точки х, для которых
f (х) = 0. Пусть у — наименьшая из них: /2(у) = /(0)^ а < у. Так как у
не является неподвижной точкой и не может быть периодической точ-
кой периода 2, то /2(у) < у. Предположим, при х < а (а не есть левый
конец 7) имеются неподвижные точки. Тогда существуют и точки х < а
такие, что /(х) = а. Пусть S — наибольшая из них: /2(б) = /(а) > S. На
(S, у) найдется точка |, для которой f2(£) = 5. На интервале (S, у) нет
неподвижных точек. Следовательно, £ должна быть периодической точ-
кой периода 2, что невозможно.
Отбросим последнее допущение и будем считать, что при х а нет
неподвижных точек. Тогда их нет и при х < у. Из/2(у)< у следует,
что f\a) < а; из /2(а) < а следует /4(а) < /2(а) и т. д., так как в против-
ном случае отображение имело бы циклы периода 2. Получаем а >
>/2(а) > /*(«) >/6(а) >...,т. е. последовательность	сходится.
5-3793

Пусть lim = т]. Тогда /2 3(т]) = т], т] < а. Но отображение f по
tn ->оо
предложению не имеет неподвижных точек при х < а и по условию не
имеет циклов периода 2.
Аналогично доказывается утверждение «б».
Теорема 3.1. f £	<=> всякая траектория {хт} обладает свойст-
вом: между любыми точками хт и хт+ь если они различны, нет точек
xif L < т.
Пусть хт < Хт+\. Допустим, существует точка х<0, /0 < /и, такая,
что хт < Xi0 < Xm±i. Тогда существуют точки х,- > хт, iQ i < т,
для которых /(х,) хт. Эти точки согласно лемме не могут принадле-
жать интервалу [xm, xm_^i]. Пусть xit — та из них, индекс которой наи-
меньший. Точки xz0, Х/о+1, ..., Хц лежат справа от хт. Среди них су-
ществуют xh принадлежащие интервалу (xm, XfJ, для которых /(xj
Хц. Пусть точка xlt — одна из них. Имеем /(Хч)> и на интер-
вале [х/„ /(xt-2)] существует точка xfl такая, что /(х^Х xt-2, а это невоз-
можно.
При хт > хт+\ рассуждения аналогичны.
Следствие. Точки траектории {х^} при f > т лежат по одну
сторону точки хт.
Теорема 3.2. / g всякая траектория имеет одну ^-предель-
ную точку.
Допустим, траектория {xj имеет более двух со-предельных точек.
Возьмем какие-либо три из них: 04 < а2 < а3. Поскольку а2 — со-
предельная точка, найдется точка хг, такая, что < х^ < а3. По-
скольку аг — co-предел ьная точка, найдется точка х^ такая, что xiz <
< Xi* и i2 > ir. Согласно следствию все точки х£, когда i > ц, должны
лежать слева от х£1, т. е. а3 не может быть co-предельной точкой. Две
co-предельные точки траектория также не может иметь, так как они со-
ставили бы цикл периода 2. Теорема доказана.
Резюмировать результаты, приведенные выше, можно таким обра-
зом. Для отображений / G С° (/, /) следующие утверждения равносиль-
ны:
1)	Fix / = Per /, т. е. / С
2)	Fix f = Fix /2;
3)	Vx G / co (x) — неподвижная точка;
4)	Vx G I и m > 1 точки fl (x) при i > m лежат по одну сторону от
точки fm (х);
5)	Vx £ I либо x g /7xj, либо x = f (x).
Если f g ^2kt £ > 0, to g = f2* £ Таким образом, для отображе-
ния g справедливы все приведенные выше утверждения, которые мож-
но теперь переформулировать для отображения /. В частности, для
/ 6 С° (/, /) эквивалентны следующие утверждения:
1) Per f = Fix /2/?, т. е. f G ;
2) Fix /2*+‘ = Fix /2*;
3) VxE/ — никл периода 2l,
66
4)	Vxg/, m>l, s:O^s<m точки fl2k+s(x) при i>m лежат
по одну сторону от точки f1 2k+s(x).
В следующем параграфе рассматриваются различные обобщения
периодических точек и, в частности, неблуждающие, а также слабо
неблуждающие точки. Забегая несколько вперед, отметим, что к
утверждениям 1—4 можно добавить эквивалентные им утверждения
5)	Й (/) = Fix
6)	B(f) = Fixf2*,
где й (f) и В (/) — множество неблуждающих и, соответственно, сла-
бо неблуждающих точек отображения /.
Исчерпываются ли отображения, у которых со (х)— цикл для
любого х G 7, отображениями, принадлежащими k < оо, или нет?
Для гладких отображений ответ положителен.
Теорема 3.3 [95]. Если f С С1 (/, I) и для любого х С 1 со(х) — цикл,
то f Е для некоторого £ < оо.
Для отображений, только непрерывных, это не так. В качестве при-
мера, подтверждающего сказанное, можно взять любое отображение
/ С С° (7, 7), обладающее свойством: существует монотонно возрастаю-
щая последовательность непересекающихся замкнутых интервалов
Jt cz 7, i = 0, 1, 2, ..., сходящихся к единице, такая, что fJt cz Jt
и f |yz имеет цикл периода 2‘ и не имеет циклов периода 2*+1, т. е.
f к €	а на каждом интервале из 7 \ (J J£ — линейное
1	1=0
отображение (или, просто, гомеоморфизм). Такое отображение принад-
лежит #\«> = U ^2i9 имеет циклы периодов 2*, i = 0, 1, 2,..., и при этом
Per/— замкнутое множество. Если обозначить Ь£ интервал [minx,
max х], то fLt с L{. Следовательно, Ль, € ^2* и ДЛЯ любого х g L,
со(х) — цикл периода 21’, 0 Г i.
Отметим, что отображение f |j,+l можно построить, коль скоро
отображение f |у уже задано, воспользовавшись следующим простым
алгоритмом «удвоения периода» [104] (в [203] этот алгоритм назван
«извлечением квадратного корня»). Выберем на интервале J/+( два
непересекающихся замкнутых интервала и ь Пусть а, ;
-> Ji+i и pz ’	-> Л+i—линейные отображения «на». Тог-
да f |./,+i строится так (рис. 38)!
[ Р/® / |у( 0 а”1 на /Д,.
“ 1 РГ'	на
и f — линейное отображение на Jl+i \ (/Д, J J*+i). В этом случае
f2 эквивалентно f |7( и, следовательно, на /ЭД.1 отображение f
имеет цикл периода 2t+1.
5*
7
Алгоритм «удвоения периода» поз-
воляет строить отображения, имею-
щие циклы сколь угодно большого
периода, у которых каждая траек-
тория состоит из конечного числа
попарно различных точек. Чтобы по-
лучить такое отображение, достаточно
в качестве «начального условия» взять
f bo = const.
Примеры отображений, принадле-
жащих ^2оо, у которых есть со-пре-
дельные множества, отличные от цик-
лов, уже приводились (таким, напри-
мер, является отображение х и*-
ь>Хх(1— х) при X = X* » 3,57). В этих
примерах множество Per / незамк-
нутое.
Рис. 38.	В общем случае для f £ С° (/, /)
справедливо утверждение.
Теорема 3.4 [104]. Per f — замкнутое множество « со (х) — цикл
при любом х g/.
§ 2.	Возвращаемость точек и множеств
Изучая динамическую систему, в особенности асимптотическое по-
ведение ее траекторий, естественно выделять множества, которые при-
тягивают к себе все траектории этой системы. Известно, что такие мно-
жества обладают определенными свойствами возвращаемости точек и
множеств.
В теории динамических систем рассматривают различные типы воз-
вращаемости. Приведем здесь некоторые из них.
1.	Возвращаемость точки через некоторое время в исходное положе-
ние. Точки, обладающие этим свойством, мы называем периодически-
ми (в предыдущих параграфах им было уделено достаточно много вни-
мания).
2.	Возвращаемость точки в свою окрестность (хотя бы и через сколь
угодно большой промежуток времени), называемая устойчивостью
по Пуассону: точка х Q X устойчива по Пуассону, если х С со (х), т. е.
для всякой окрестности U точки х существует т > 0 такое, что fm(x) £
£ U и, следовательно, существует бесконечная последовательность мо-
ментов возвращения ггц < т2 < ... :	(х) С U при i = 1,2, ... В за-
висимости от свойств последовательности {/п£} точки, устойчивые
по Пуассону, можно в свою очередь классифицировать. Например, ес-
ли m£ = mi, где т зависит от U, то х называется почти периодической;
если {m,i} — относительно плотная последовательность, то точка х
называется рекуррентной, ит. д.
3.	Возвращаемость не самой точки, а ее окрестности (так называ-
емая неблуждаемость точки). Точка х G X неблуждающая, если для
68
любой ее окрестности U существует т > О
такое, что fmU П U =# 0, т. е. некоторое
подмножество из U возвращается в U че-
рез т шагов. Очевидно, неблуждающими
являются точки, обладающие описанными
выше типами возвращения, а также со-пре-
дельные точки траекторий. Множество всех
неблуждающих точек динамической систе-
мы, задаваемой отображением /, как и обыч-
но, будем обозначать й (/).
Из определения й (/) следует, что й (/) —
всегда замкнутое множество, и если динами-
ческая система представляет собой группу
отображений, то й (/) инвариантно.
Имеет место известная теорема Дж. Биркгофа: если пространство,
на котором задана система, компакт, то для всякой окрестности U
множества й (/) существует Т (зависящее от U) такое, что время пре-
бывания каждой траектории вне U не превосходит Г, т. е. для лю-
бого х G X т (х, U) =	(/‘ (х)) < Т (%а — характеристическая
функция множества Д).
Если динамическая система задается непрерывным отображением
(и является только полугруппой отображений), то, возможно, /й (/) =И=
=# Й (/). В качестве примера можно привести отображение, представ-
ленное на рис. 39.
Точка х = с неблуждающая, однако точек х g й (/), для которых
f (х) — с, нет. Точка х = 6, как легко убедиться, не принадлежит
Й (/). Заметим также, что с £ Per f и с не является co-предельной точ-
кой ни для одной траектории. Таким образом, для этого отображения
й (/) =# Per f и й (/) =/= U (х). В этом случае, как нетрудно убедить-
ся, Per f = (J (х) и Й (/) = Per / U {с},
х
Обратим внимание еще на одно свойство точки х = с: в любой ее
окрестности существует точка х' такая, что при некотором ш' > О
/ш'(х') = с. Оказывается, что этим свойством обладает любая неблужда-
ющая точка ,когда X = I.
Теорема 3.5 [203], Каково бы ни было f £ С° (/, /), х£ й (/) тогда
и только тогда, когда для любой окрестности U точки х существуют
х’ £ U и т' > 0 такие, что fm' (х') = х.
Отметим еще ряд свойств множества й (/).
Очевидно, что равенство Per = Per f выполняется при лю-
бом т. Для множества й (/) это свойство, вообще говоря, не выполня-
ется. Рассмотрим отображение, график которого изображен на рис. 40,
представляющее собой модификацию предыдущего примера.
Точка х = а — неблуждающая точка отображения /, однако она
является блуждающей для отображения f2 (это видно из графика отоб-
ражения /2). Тем не менее равенство й (fm) — й (/) всегда выполняется
при любом нечетном т [161]. Отсюда и из приведенного примера,
используя алгоритм удвоения периода [104], можно получить
теорему.
69
Теорема 3.6 [27]. Й tf2"*) = Й (/^(2A+i)) npu ^fax m^0, k > 1.
Каково бы ни было множество М s существует отображение
(м такое, что
а)	й($7-1)=/=й(/57) при т£М;
б)	Й (/Г-1) = Q (/м) при т G И \ М.
Пример, представленный на рис. 39, свидетельствует о целесообраз-
ности выделения из множества неблуждающих точек «односторонне»
неблуждающих.
Точка х принадлежит Q- (/) (Q+(/)), если для любого открытого
(в /) интервала U, правым (соответственно, левым) концом которого
является точка х, fmU (] U 0 при некотором т > 0, зависящем
от U. Отметим, что для отображения, график которого изображен на
рис. 39, с С Q (/) \ (Q- (f) и (/))•
Теорема 3.7 [ПО, 16]. Per f J Q- (/) U (D = U W =
= A (/)•
i>0
Из этой теоремы, в частности, следует, что точка х Q I является со-
предельной для некоторой траектории тогда и только тогда, когда,
какова бы ни была окрестность U точки х, найдется х' С U и 0 < т1 <
< т2 такие, что f^i (х') С (У, i = 1, 2.
Справедлива теорема — аналог теоремы Биркгофа, в которой мно-
жество неблуждающих точек заменено множеством U со (х) (это множест-
х
во заменить меньшим, очевидно, уже нельзя).
Теорема 3.8 [ПО]. Для любой окрестности U множества U (х)
существует т (U) такое, что время пребывания траектории любой
точки из I вне U не превышает т.
Множество Q (f) согласно определению состоит из точек, в которых
наблюдается возвращаемость областей пространства X. Вместе с тем
70
возвращаемости относительных областей, т. е. множеств из Q (/), от
крытых относительно Q (/), может и не быть. Поэтому в теории динами-
ческих систем, наряду с Q (/), выделяют меньшее множество С (/),
называемое центром динамической системы, на котором возвращае-
мость относительных областей уже есть.
Если f g С° (X, X), X — произвольный компакт, то, чтобы
выделить С (/), можно поступить так. Пусть Сг = Q (/) и при а 1
Са+1 — множество неблуждающих точек пространства Са, т. е. Й (/ |са).
Если а — предельное порядковое число, то полагаем Са = П Q.
0<а
По теореме Бэра — Хаусдорфа для некоторого конечного или счетного
порядкового числа г Cr = Cr+i = ... Тогда С (/) = Сг. При этом г
называют глубиной центра.
Известно (см., например, [15, 73]), что С (/) есть замыкание множест-
ва точек, устойчивых по Пуассону, и вероятность пребывания любой
траектории в окрестности центра равна 1: каково бы ни было открытое
(в X) множество U zd С (/)
1 т
lim — S Хп (Л’ (х)) = 1 для любой точки х £ X.
m-оэ т i=0
В случае, когда X = /, некоторые утверждения допускают уточне-
ние. Так, если в общем случае глубина центра равна любому конечно-
му или счетному порядковому числу, то при X = 1 глубина центра не
больше двух.
Теорема 3.9 [103]. С (/) = Q (/ |йф).
Для отображения, график которого изображен на рис. 39, глубина
центра равна двум.
В общем случае, как уже отмечалось, на С (/) всюду плотны точки,
устойчивые по Пуассону, но даже для окружности S1, когда / — пово-
рот S1 на иррациональный угол, Per (/) = 0 (хотя С (/) = S1). Когда
же X = /, то на С (/) всюду плотны периодические точки.
Теорема 3.10 [103]. С (/) = РёГ(/).
Отметим, что существуют отображения f £ С° (/, /) (но не гладкие!),
у которых есть со-предельные точки (но изолированные), не являющие-
ся предельными для периодических [27]. Для таких отображений С (/) #=
#= U (*)•
X
4. Существует и более слабая возвращаемость (окрестностей точек)
чем та, которая характеризует неблуждающие точки. Может случиться,
что х Q (/), и тем не менее для любого 8 > 0 найдется отображение /,
е-близкое к f в Cr (X, X) (г > 0), для которого х £ Q (/) (рис. 41). В та-
ком случае будем]говорить, что имеется слабая возвращаемость к точ-
ке х, а саму точку х при этом будем называть слабо неблуждающей.
Это понятие особенно полезно в различных вопросах, связанных с ус-
тойчивостью траекторий и динамических систем в целом, о которой
будет идти речь в § 4.
Точка х С X называется слабо неблуждающей точкой отображения
f G Cr (X, X), если для любой окрестности U (х) точки х и любой
71
изображенного на рис. 41, В (/)
окрестности U (/) (в Cr (X, X)) отоб-
ражения f существуют / g U (/) и
т > 0 такие, что fm U (х) Q
А (7 (х) =# 0.
Как зависит слабая неблужда-
емость от г — такой вопрос, по-ви-
димому, еще не изучался. Далее
мы будем предполагать, что г = О,
и обозначать в этом случае мно-
жество слабо неблуждающих точек
через В (/).
Отметим некоторые простые
свойства множества В (/).
Из определения следует, что
В (/) zd Й (/). Для отображения,
\ Й (/) = (a, b) U U d], а
4=0
для отображения рис. 39 В (/) \ Й (/) = J f~' (с).
4=0
Множество В (/) замкнуто, инвариантно (хотя, возможно, f Й (/*) =#
=# Й (/)) и, кроме того, В (fm) = В (/) при любом т > 0.
Имеет место аналог теоремы Биркгофа: если X — компакт, f С
С С° (X, X) и U — произвольная окрестность множества В (/), то
существуют окрестность U (/) отображения f (в С° (X, X)) и т > 0
такие, что точки пространства X при движении по любой траектории
любой системы f Е U (/) могут находиться вне U время, не превосхо-
дящее /и, т. е. для любых f £ U (/) и х (= X %ххи (fl (х))	/п-
Множество В (/) меньше зависит от возмущений, чем множество
й (/). Если множество й (/) при возмущениях может расширяться
(явление Й-взрыва), то для В (/) справедливо следующее утвержде-
ние: отображение л : С° (X, X) -> 2х, задаваемое формулой л (f) =
= В (/), полунепрерывно сверху.
Таким образом, для почти всех отображений (образующих в
С° (Х,Х) множество второй категории по Бэру) отображение л не-
прерывно.
§ 3. Критерии простоты и сложности отображений
Одномерные динамические системы обладают замечательным свой-
ством: существует целый ряд достаточно просто формулируемых кри-
териев (эквивалентных друг другу) того, является поведение системы
простым или сложным.
Рассмотрим, например, структуру множества периодических точек
отображения / G С° (/, /). Множество Per f = U х I t"‘ (x) = x)
всегда есть Fa-множеством (представимо в виде объединения не более
чем счетного числа замкнутых множеств Fix fm). При этом Per / может
72
быть либо замкнутым, либо только
множеством типа G& (представимым
в виде пересечения не более чем сче-
тного числа открытых множеств),
либо даже не быть Об-множеством.
Множество Per / не является бв-мно-
жеством тогда и только тогда, когда
существует цикл, период которого
отличен от степени двойки. В этом
случае / устроено сложно: имеются
континуум различных по своему
динамическому поведению траекто-
рий, континуум минимальных мно-
жеств, гомеоморфных множеству
Кантора, гомоклинические траекто-
рии. Примером такого отображения
может служить отображение х >-►
(1 — х), когда к > X* ~ 3,57.
Если же Per / — замкнутое множество, то отображение f устроено
просто: любая траектория притягивается циклом (хотя при этом и мо-
гут существовать циклы сколь угодно больших периодов, правда, яв-
ляющихся степенью двойки). Таковыми являются отображения х *-►
кх (1 — х) при 0 < к < X*.
Приведем утверждения, в которых идет речь о свойствах одномер-
ных динамических систем, устроенных просто или, наоборот, слож-
но. Эти свойства, собранные вместе, дают нам хорошее представление
об основных характеристиках отображений, определяющих поведение
решений разностных уравнений.
Напомним два определения. Устойчивую по Пуассону точку х
назовем рекуррентной, если <о (х) есть минимальное множество. Точку
х назовем почти периодической, если для любой окрестности U (х)
точки х существует N такое, что fNix£U (х) при всех i > 0. Для отобра-
жения/на рис. 42, если /|[а, сопряжено с б], точки at Ъ
почти периодические, а а' Ь' — рекуррентные, но не почти периоди-
ческие.
Теорема 3.11. Следующие утверждения эквивалентны:
1)	существует цикл периода, не равного 2п, п = 0, 1, 2,
2)	существует цикл периода 2п, п > 1, не являющийся циклом прос-
того типа;
3)	Per f не есть множество типа G&
4)	множество рекуррентных точек незамкнутое множество;
5)	множество точек, устойчивых по Пуассону, незамкнутое мно-
жество;
6)	топологическая энтропия положительна;
7)	существуют гомоклинические траектории;
8)	существует устойчивая по Пуассону точка, отличная от ре-
куррентной (почти периодической);
9)	существует ^-предельное множество, содержащее, по крайней
мере, два минимальных множества;
73
10)	существует (^-предельное множество, содержащее цикл, но от-
личное от этого цикла;
11)	существует счетное число вложенных друг в друга инвариант-
ных замкнутых множеств, на каждом из которых есть плотная траек-
тория (и, следовательно, гомеоморфных множеству Кантора);
12)	существует континуум вложенных друг в друга ^-предельных
множеств;
13)	существует ^-предельное множество со, для которого устойчи-
вое многообразие {х £ I : со (%) = со} — множество третьего класса
по классификации Бэра—Валле-Пуссена;
14)	существуют замкнутые интервалы J,	J2, Ji (] J2 = 0,
J2 cz J и числа m, m > 0 такие, что fmJ zd 7, fm'J1 zd 7, fm'J2 => 7.
Эквивалентность 1,3 и 14 следует из [104], 1 и 6 — из [199],
1 и 7 — из [112, 140], 1 и 9—13 — из [108, 109, 111], 1 и 4, 5, 8 —
из [93].
Простые отображения характеризуют утверждения, противополож-
ные утверждениям 1—14 теоремы 3.11. Выделим из них наиболее прос-
то формулируемые.
Теорема 3.12. Следующие утверждения эквивалентны:
1)	период любого цикла равен степени 2;
2)	тип любого цикла простой;
3)	Per f — множество типа G&;
4)	топологическая энтропия равна нулю;
5)	нет гомоклинических траекторий;
6)	множество точек, устойчивых по Пуассону, замкнутое мно-
жество;
7)	любое (^-предельное множество содержит единственное мини-
мальное;
8)	любое (й-предельное множество, отличное от цикла, циклов не
содержит.
Отображения, у которых период любого цикла равен степени 2,
в зависимости от структуры множества периодических и почти перио-
дических точек могут обладать рядом специальных свойств.
Теорема 3.13. [93]. Следующие утверждения эквивалентны:
1)	множество почти периодических точек замкнуто;
2)	множества почти периодических и рекуррентных точек совпа-
дают;
3)	центр и множество почти периодических точек совпадают;
п
4)	центр состоит из точек х таких, что lim f х = х\
П-*оо
5)	ограничение отображения на центр — гомеоморфизм.
Наиболее простые отображения —это отображения, для которых
каждая траектория притягивается к одному из циклов, т. е. является
асимптотически периодической. Такие отображения также могут иметь
циклы сколь угодно большого периода.
Теорема 3.14. Следующие утверждения эквивалентны:
1)	V х (Е / со (х) — цикл;
2)	Per f — замкнутое множество;
74
3)	каждая почти периодическая точка является периодической;
4)	каждая неблуждающая и, более того, каждая слабо неблуждаю-
щая точки являются периодическими.
§ 4. Устойчивость траекторий и динамических систем
Теория устойчивости —достаточно хорошо разработанный раздел
топологической и дифференциальной динамики. Это в равной степени
относится к динамическим системам как с непрерывным, так и с диск-
ретным временем.
В последние 20 лет предпочтение отдавалось системам с дискретным
временем как технически более простым. Большая часть результатов
первоначально доказывалась для систем с дискретным временем, а уже
затем эти результаты распространялись на системы с непрерывным
временем.
В теории динамических систем рассматриваются различные виды
устойчивости траекторий и множеств — устойчивость по Ляпунову,
асимптотическая и экспоненциальная устойчивость, устойчивость при
постоянно действующих возмущениях и др. Много внимания, особенно
в последнее время, уделяется также устойчивости динамических систем
в целом. В первую очередь следует выделить теорию структурной ус-
тойчивости, или теорию грубых по Андронову — Понтрягину систем.
Естественно ожидать, что теория устойчивости для одномерных
динамических систем должна быть более простой, чем, например, для
многомерных. К таким выводам можно прийти, рассматривая и резуль-
таты предыдущего параграфа. Вместе с тем, и нам хотелось бы это еще
раз подчеркнуть, те же результаты говорят и о том, что одномерные
системы во многих отношениях так же сложны, как и многомерные.
1. Напомним определения некоторых понятий, в основном тех, кото-
рые будут нами использоваться, и отметим некоторые факты, имеющие
место для одномерных динамических систем с дискретным временем.
Когда говорят об устойчивости решения (движения) или траектории,
обычно имеют в виду непрерывную зависимость в том или ином смыс-
ле от возмущений начальных положений и, более того, от возмуще-
ний самих уравнений. Если мы имеем динамическую систему — груп-
пу (или полугруппу) непрерывных отображений, то на любом, но ко-
нечном интервале времени траектории непрерывно зависят от началь-
ного положения (и от непрерывных возмущений динамической системы)
и вопрос об устойчивости на конечном интервале не возникает.
Для произвольной динамической системы {/", X} под орбитой точ-
ки х g X будем понимать множество orbf (х) = (J fn (х) обра-
зованное траекторией tr^ (х) = {fn (х)}£=о, проходящей через точ-
ку х (сейчас целесообразно рассматривать траекторию в фазовом
пространстве и как неупорядоченное множество (orb(x))) и как упо-
рядоченное (tr(x)), что близко к понятию «движение»).
Пусть р — метрика в пространстве X.
Траектория tr/ (х0) называется устойчивой по Ляпунову, или, прос-
то, устойчивой, если для любого е > 0 существует 6 >0 такое, что
р (f* (*)» fl (*о)) < е при 4 = 1,2. если р (х, х0) < 6. Если, более
75
того, р (f1 (х), fl (х0)) -> 0 при i -> оо, то траектория называется асимп-
тотически устойчивой.
Траектория trz (х) называется орбитно устойчивой, если для лю-
бого е > 0 существует 6 > 0 такое, что Д (orb/ (х), orb/ (х0)) < е,
если р (х, х0) <6.
Заметим, что устойчивость (как по Ляпунову, так и орбитная)
траектории, проходящей через точку х0, не влечет, вообще говоря,
устойчивость траектории, проходящей через точку f (х0) (хотя f (х0)
и принадлежит trz (х0)). Эта ситуация имеет место тогда и только тогда,
когда у точки х0 существует окрестность U, «схлопывающаяся» в точку:
f (U) = f (х0). Вместе с тем, устойчивость tr/ (х0) влечет устойчивость
траекторий, проходящих через f~{ (х0).
Орбитная устойчивость является более слабой, нежели устойчи-
вость по Ляпунову. Если р (fl (х), f' (х0)) < е при 1 = 0, 1,2, ..., то и
Д (orb, (х), orb; (х0)) < £. Следовательно, каждая траектория, устой-
чивая по Ляпунову, орбитно устойчива.
Обратное неверно. Так, если X = [0, 1] и f (х) =
2х,
то у динамической системы нет траекторий, устойчивых по Ляпуно-
ву12. Действительно, каковы бы ни были х0 (Е [0, 1] и 6 > 0, найдется
т > 0 такое, что fmUe (х0) = [0, 1], где 1/& — 6-окрестность точки ха
(это — следствие того, что отображение f растягивающее). Таким об-
разом, существует точка х' С U&, для которой р (fm(x'), fm(x0))	-i-.
Последнее означает, что траектория trz (х0) не является устойчивой
по Ляпунову. В то же время для почти каждой точки х £ [0, 1] траек-
тория trz (х0) орбитно устойчива. Такими являются точки х0 С [0, 1],
траектории которых плотны в [0, 1], т. е. для которых orb/ (х0) =
= [0, 1] (они образуют, как мы знаем, плотное на [0, 1] множество ти-
па Ge, т. е. множество второй категории).
Мы обратили внимание на то, что понятия устойчивости по Ляпуно-
ву и орбитной устойчивости существенно различны. Вместе с тем име-
ется несколько типов траекторий, для которых эти два вида устойчи-
вости эквивалентны.
Теорема 3.15. В динамической системе с дискретным временем поня-
тие устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости эквивалентны
для периодических и асимптотически периодических траекторий,,
а также для почти периодических и асимптотически почти перио-
дических траекторий.
Если траектория tr, (х) стационарная, т. е. (х0) = х0, i = 0, 1,
то orb/ (х0) = {х0} и, следовательно, для такой траектории понятия
устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости эквивалентны.
Для периодических и асимптотически периодических траекторий это
утверждение также очевидно: если т — период траектории, то ее ю-
12 Если необходимо, вместо / можно рассмотреть гладкое отображение
х н> 4х (1 — х), которое, как мы знаем, топологически сопряжено f.
76
предельное множество — цикл, состоящий из т точек, и для отображе-
ния fm точки цикла являются неподвижными. Несколько сложнее об-
стоит дело для почти периодического случая, но и здесь доказательство
получается почти автоматически, если воспользоваться почти периодами.
Когда динамическая система задана на интервале, имеется, как мы
уже знаем, простой критерий того, что каждая траектория является
периодической или асимптотически периодической, а именно: множест-
во периодических точек Per f должно быть замкнутым (последнее, в
частности, имеет место, если существует т < оо такое, что Per f =
= Fix fm). Если же Per f — незамкнутое множество, то каждая траек-
тория будет почти периодической (периодической) или асимптотически
почти периодической (асимптотически периодической) тогда и только
тогда, когда f |	— гомеоморфизм. В этих случаях почти все траекто-
рии динамической системы не только орбитно устойчивы, но и устой-
чивы по Ляпунову.
В определении орбитной устойчивости условие A (orb/ (%),
orb/ (х0)) < е можно заменить равносильным условием A (orb, (х),
orb/ (х0)) < е. Таким образом, траектория tr> (х0) орбитно устойчива
тогда и только тогда, когда отображение х orbz (%) непрерывно в точ-
ке X = XQ.
Лемма. Если f QC° (X, X), X — компакт, то отображение Jtf :
X -> 2х, задаваемое формулой щ (х) = orbz (%), полунепрерывно снизу.
Доказательство леммы. Нужно показать, что для любого
е > 0 найдется 6 > 0 такое, что orfy (х0) cz Ue (orbz (%)), если р (%, х0) <
< б (что и означает полунепрерывность снизу). Так как X — компакт,
то, каково бы ни было е > 0, найдется Т > 0 такое, что orb, (х0) cz
cz: {/е/2 (orb^ (х0)), где orb^ (х) = (J Г (*)• Так как f— непрерывное
отображение, существует <5 2> О такое, что A (orbf (х), orbf (х0)) < при
р (*, х0) < 6. Следовательно, orfy (х0) cz t7e/2 (orbf (х0)) cz (orbj (x)) cz
cz (orbf (x)) = Us (orbf (x)), когда p (x, x0) < б, что и требовалось
для доказательства леммы.
Немедленным следствием свойств полунепрерывных отображений и
данной леммы является следующая теорема.
Теорема 3.16. Пусть Ог (/) — множество точек в пространстве X,
траектории которых орбитно устойчивы. Если X — компакт и f £
£ С° (X, X), то Ог (/) — плотное в X множество типа G&. Существуют
отображения f £ С° (/, /), для которых Or (/) не является множеством
типа Fa.
Для доказательства первой части теоремы достаточно воспользовать-
ся фактом из общей топологии: полунепрерывное (снизу или сверху)
отображение непрерывно на плотном множестве типа G& [52].
Для отображения хн>
2х, х£
2(1—х), х£
которое только что
77
рассматривалось (как и для отображения х^4х(1 — х)), Ог / не яв-
ляется Fo-множеством.
Отметим еще следующее. Поскольку пол у непрерывность снизу
отображения л/ (х): х orb/ (х) всегда имеется, то для орбитной
устойчивости траектории точки х0 необходимо и достаточно, чтобы
это отображение было полунепрерывно сверху при х = xQ (для любого
е > 0 существовало бы 6 > 0 такое, что orb^ (х) с: иг (orb/ (х0)) при
р (х, х0) < 6.
Теорема 3.17. Пусть L (J) — множество точек фазового пространст-
ва Ху траектории которых устойчивы по Ляпунову. Если X — прост-
ранство со второй аксиомой счетности и f £ CQ (X, X), то L (f) —
множество типа Съ. Существуют отображения f G С° (/, /), для кото-
рых L (/) не является множеством типа Fa.
Докажем только вторую часть теоремы. Пусть 1 = [0, 1] и X — мно-
жество Кантора, т. е.
{оо
v-ч а, (х)
.«/€{0, 2}
1=0	3
Рассмотрим отображение Д : х х + р (х, /С). Если (а, Ь) — какой-
либо смежный с X интервал (cz /\/<), то, очевидно,
2х — а, а^х^.—,
Неподвижные точки отображения /к — точки множества /<, из которых
не устойчивы по Ляпунову только левые концы смежных с X интерва-
лов (точка а неустойчивая, точка b устойчивая). Обозначим X множест-
во левых концов интервалов, смежных X; X — счетное плотное на X
множество и, следовательно, не является множеством типа G&. Траек-
тории, проходящие через точки множества /\Х, устойчивы по Ля-
пунову — множество /\К не является множеством типа Fo.
Как будет видно из результатов следующей главы, даже для глад-
ких унимодальных отображений ситуация, когда множество L (/)
не является /^-множеством, не такая уж исключительная. Например,
для отображений Д » х >-► Кх (1 — х) L (Д) не будет /?0-множеством вся-
кий раз, когда множество неблуждающих точек Q (j\) распадается на
счетное число непересекающихся инвариантных множеств (как, на-
пример, при Z = Z* « 3,57); таких значений X на интервале [0, 4]
несчетное число. Отметим, что при этих значениях X /\£ (Д)
(как и L (Д)) плотно на /, а при остальных К L (fo) либо равно /, либо
представляет собой нигде не плотное на / /?п-множество.
В дальнейшем нам потребуется еще одно определение, необходимое
для случая, когда допускаются возмущения и самих динамических
систем.
78
Траекторию tr/ (х) динамической системы f С С° (X, X) назовем
сильно орбитно устойчивой, если для любого е > 0 существуют 61У
> 0 такие, что Д (orb/ (х), orb у (х)) < е, когда р (х, х) < и Ц f —
— f ||с°(х,х) < Всякая сильно орбитно устойчивая траектория,
очевидно, орбитно устойчива. Обратное, вообще говоря, не верно:
если f — тождественное отображение I -> /, то каждая траектория ор-
битно устойчива, но не сильно орбитно устойчива.
Траектория trz (х) сильно орбитно устойчива тогда и только тогда,
когда отображение л • X х С6 (X, X) -> 2х, задаваемое формулой
л (х, f) = orbz (х), непрерывно в «точке» (х, f). Если X — компакт, то
отображение л полунепрерывно снизу и по х и по /, что доказывается
так же, как и аналогичное утверждение для отображения лДх): X ->
-> 2х. Таким образом, в X X С° (X, X) существует множество второй
категории (всюду плотное множество типа Ge), на котором отображе-
ние л непрерывно. Зто означает, что почти каждая траектория почти
каждой динамической системы из С° (X, X), когда X — компакт, силь-
но орбитно устойчива.
Из сказанного выше также следует, что траектория trz (х) силь-
но орбитно устойчива тогда и только тогда, когда отображение
л (х,/) : (х, f) orb/ (х) в «точке» (х, f) полунепрерывно сверху.
2. Остановимся более подробно на критериях, гарантирующих ту
или другую устойчивость для периодических траекторий.
В дальнейшем предполагаем, чтоХ = /, хотя значительная часть
утверждений может быть сформулирована и для произвольного локаль-
но компактного пространства X.
Теорема 3.18. Пусть 0 — периодическая точка периода т отобра-
жения f £ С1 (/, /). Для асимптотической устойчивости (устойчивос-
ти по Ляпунову, орбитной устойчивости, сильной орбитной устой-
чивости ) траектории точки 0 необходимо, чтобы |	|*_ J	1.
Теорема 3.19. Траектория периодической точки 0 периода т отоб-
ражения f £ С° (/, /) устойчива по Ляпунову (орбитно устойчива)
тогда и только тогда, когда существует последовательность откры-
тых интервалов zd J2 zz> ..., f) Jt = {0}, такая, что fmJ{ cz Ji9.
i^O
i = 1, 2, ...;
асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда существу-
ет открытый интервал J такой, что J zd fmJ zd f2mJ zd ... и П fimJ =
= {0} (m. e. 0 — точка притягивающего цикла).
Доказательства теорем легко строятся, исходя из определений,
и мы их опускаем.
Аналогично формулируются условия сильной орбитной устойчивос-
ти, при этом в приведенной выше теореме включение cz Jt следу-
ет заменить более сильным fmJ{ cz
Если траектория, не являясь периодической, стремится к периоди-
ческой, то ее устойчивость не слабее устойчивости соответствующего
co-предельного множества — цикла, а в типичных случаях, когда все
79
достаточно близкие к ней в начальный момент траектории не склеива-
ются с ней, и совпадает с устойчивостью цикла.
При исследовании вопросов устойчивости полезным оказывается
понятие пролонгации траектории.
Пролонгацией траектории отображения f, проходящей через точку
х, будем называть множество П orb/ (U& (х)) и обозначать рп (х).
б>0
Кроме возмущений начальных данных (исходной точки х), можно
также рассматривать возмущения и самого отображения f. Поэтому
пролонгацию prz (х) мы будем называть еще пролонгацией траектории
отображения f по начальным данным и, наряду с этим понятием, будем
рассматривать пролонгацию траектории по динамической системе,
которую будем обозначать рг (х, f). Определение следующее:
pr (X, Л = Л и orb- (U6t (х)).
e*’e‘>0WJ)<6,
Из определений следует, что
PQ (х) с prz (f (х)) и W; рг (X, л = pr (f (х), Л и W;
отображения хн^рг;(х) и хь^рг(х, f) полунепрерывны сверху.
Теорема 3.20. Траектория tr;(x0), проходящая через точку х0,
—	орбитно устойчива тогда и только тогда, когда orb; (х0) =
= РГ; (*о);
—	сильно орбитно устойчива тогда и только тогда, когда
orbf (х0) = рг (х0, f).
Утверждение теоремы легко следует из соответствующих опреде-
лений.
Несколько сложнее формулируются условия устойчивости по Ляпу-
нову. Для этого потребуется понятие со-интервала.
со-интервалом отображения f будем называть максимальный нетри-
виальный интервал такой, что все траектории, проходящие через точ-
ки этого интервала, имеют одно и то же со-предельное множество.
Простейшие примеры — область непосредственного притяжения при-
тягивающей неподвижной точки; интервал, «схлопывающийся» при
отображении f в точку.
Всякий co-интервал V отображения f обладает (в силу максималь-
ности) свойством
fV П V = 0 или fV cz V.
Отсюда непосредственно следует, что допустимы только две возможнос-
ти:
либо fV f| ffV = 0 V i =# /,
либо 3fe>0, р>0: fk+i+pV a fk+tV, 1 = 0,1........
причем в последнем случае множеством, со-предельным для всех траек-
торий tr; (х), х С V, является притягивающий (полупритягивающий)
цикл периода р. Тогда для любого замкнутого интервала W с: V имеет
место соотношение
diam/№->0 при f->oo.	(3.1)
80
Теорема 3.21. Траектория ti}(x0) асимптотически устойчива тогда
и только тогда, когда х0 внутренняя точка некоторого ^-интервала
отображения f.
Если траектория ti> (х0) не является асимптотически устойчивой,
то она устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда рг/(х0) нигде
не плотное множество.
Доказательство первой части теоремы сразу же следует из опреде-
лений и соотношения (3.1).
Множества рг^ (х) и рг (х, /) не являются инвариантными, а имеют
место включения f (рг/ (х)) cz prz (х) и f (рг (х, /)) cz рг (х, /), и целе-
сообразно ввести понятия со-пролонгаций.
Множество Qf (х) = П fn (рп (х)) назовем со-пролонгацией траек-
п>0
тории tr/(x) по начальным данным или областью влияния точки х. Ана-
логично определяется со-пролонгация траектории по динамической
системе или область слабого влияния Q (x,f) = П fn (рг (х, /)). При этом
п>0
множества Qf (х) и Q (х, /) инвариантны.
Отметим также связь введенных понятий с неблуждающими и слабо
неблуждающими точками. Сформулированные ниже утверждения не-
посредственно следуют из определений:
1)	Я(Л= {х:хЕСДх)};
2)	В(/) = {x:x£Q(x, /)}.
В § 2 наряду с неблуждающими точками рассматривались односто-
ронне неблуждающие точки. Эти последние также можно выделить с
помощью пролонгаций и областей влияния, но уже односторонних.
Положим
pr*(x) = n orb/ (Uf (х)),
6>0
где UT (х) = U6 (х) А {х < х}, U£ (х) = U6 (х) А {х >х}, и Qf (х) =
= A (Рг* (*))• Тогда
Q* (/) = {х(Е/:х £<#(*)}•
3.	Наряду с исследованием устойчивости отдельных траекторий
необходимо изучение устойчивости динамических систем «в целом».
О какой устойчивости «в целом» при этом следует говорить? Какой
устойчивостью обладает почти любая (в том или ином смысле) динами-
ческая система?
Хорошо известен пример, с которого начиналось исследование
устойчивых «в целом» систем,— это грубые или, как теперь говорят,
структурно устойчивые динамические системы, выделенные А. А. Анд-
роновым и Л. С. Понтрягиным около 50-ти лет назад. Среди динамиче-
ских систем на плоскости, задаваемых автономными дифференциаль-
ными уравнениями, такие системы типичны, они образуют открытое
плотное множество. Однако, когда размерность фазового пространства
6-3793	81
больше двух, грубые динамические системы уже не плотны в простран-
стве всех систем.
Остановимся на вопросе, что можно понимать под устойчивостью
<в целом». Здесь возможны два подхода. С первым из них мы встречаем-
ся, когда под устойчивостью «в целом» понимаем устойчивость (в каком-
либо смысле) всех или почти всех траекторий. Второй, приводящий,
в частности, к грубым динамическим системам, связан с устойчивостью
тех или иных множеств фазового пространства, определяющих «лицо»
динамической системы (таких, например, как множество неблуждаю-
щих точек, множество периодических точек и т. д.). При этом можно
требовать или не требовать сохранения структуры траекторий на этих
множествах.
Рассмотрим вначале первый подход. Если динамическая система
устроена сколько-нибудь сложно, например имеет два стока и грани-
цу, разделяющую их, то существуют траектории, не являющиеся ус-
тойчивыми ни орбитно или сильно орбитно, ни, тем более, по Ляпуно-
ву. Поэтому, определяя устойчивость в целом, естественно требовать
соответствующую устойчивость не всех, а только почти всех траекто-
рий. Будем называть динамическую систему устойчивой по Ляпунову,
или L-системой (соответственно, орбитно устойчивой, сильно орбитно
устойчивой), если почти все траектории системы устойчивы по Ляпуно-
ву (орбитно устойчивы, сильно орбитно устойчивы) 13. Термин «почти
все траектории» понимается в том смысле, что точки, через которые
проходят такие траектории, образуют в фазовом пространстве множест-
во второй категории.
Как мы уже знаем, и устойчивые по Ляпунову, и орбитно устой-
чивые, и сильно орбитно устойчивые траектории образуют множества
типа Ga. Поэтому множества L (/), Ог (/) и множество Ог* (/), состоя-
щее из сильно орбитно устойчивых траекторий, представляют собой в X
множества второй категории тогда и только тогда, когда они плотны в X.
Из определений сразу следует, что
L (/) <= Or (/) и Or* (/) с Ог(Л- _______
Как утверждается в теореме 3.16, если X — компакт, то Ог (/) = X
и, следовательно, на компактном пространстве любая динамическая
система орбитно устойчива. В [38] показано, что при этом почти каж-
дая динамическая система сильно орбитно устойчива.
В семействах квадратичных отображений, например в семействе
Д : х >-> Хх (1 — х), имеется лишь счетное множество значений пара-
метра X, при которых динамическая система не является сильно орбит-
но устойчивой. Необходимым и достаточным условием этого является
нарушение равенства Q (Д) = В (Д), что в свою очередь происходит
тогда и только тогда, когда или мультипликатор одного из циклов ра-
вен + 1, или имеется перемешивающий репеллер — цикл интервалов.
Заметим, что равенство Q (/) = В (/) еще не влечет сильную орбитную
устойчивость. Так бывает всякий раз, когда существует непересекаю-
щийся с Q (/) co-интервал, для которого со-предельное множество есть,
например, цикл, не устойчивый по Ляпунову. В
В [116] сильно орбитно устойчивые системы называются осуществимыми.
82
Вопрос, как много систем, устойчивых по Ляпунову, вообще говоря,
остается открытым. Отметим здесь лишь следующий факт. Даже среди
квадратичных отображений имеются и сильно орбитно устойчивые,
не являющиеся L-отображениями (как для Д : х >-> кх (1 — х) при X =
= 3,678..., когда Д имеет перемешивающий аттрактор), и наоборот,
имеются L-отображения, не являющиеся сильно орбитно устойчивыми
(когда Д имеет полупритягивающий цикл) 14.
Выделим еще один класс систем, обладающих устойчивостью опре-
деленного рода, относительно которых известно, что такими являются
почти все системы. Будем говорить, что траектория, проходящая че-
рез точку х, с устойчивой пролонгацией, если рг/ (х) = рг (х, /). Если
в динамической системе все траектории с устойчивой пролонгацией,
т. е. {х £ Х:рг/ (х) = рг (х, /)} = X, то динамическую систему бу-
дем называть системой с устойчивой пролонгацией. Как показано в
[37], если X; — компакт, то почти любая динамическая система в
Сг (X, X), г > О, является системой с устойчивой пролонгацией (та-
кие системы образуют всюду плотное множество типа Ge) и каждая
система с устойчивой пролонгацией является сильно орбитно устойчи-
вой системой.
Если f — отображение с устойчивой пролонгацией, то Q (f) = В (f).
Обратное неверно. Например, для тождественного отображения связ-
ного множества, отличного от точки, скажем, интервала, Q (/) =
= В (f) = X, но отображение f вообще не имеет траекторий с устойчивой
пролонгацией.
Теперь несколько слов о глобально устойчивых динамических
системах другого типа. Пусть Л — некоторый алгоритм, ставящий в со-
ответствие каждой динамической системе f замкнутое инвариантное
(полуинвариантное) относительно f множество Л (/)* Другими словами,
пусть имеется отображение Л * Cr (X, X) -> 2х такое, что f (Л (/)) cz
с: Л (/)• В качестве множества Л (/) может быть, например, любое из
тех множеств, с которыми мы уже встречались, как то: Fix /, Per Д
со (f), Q (/), В (f) и т. д. Будем называть динамическую систему f G
g Cr (X, X) Л-устойчивой, если отображение Л • Сг (X, X) ->
2х в точке f непрерывно. Из этого определения следует, что Л’УО
тойчивые системы образуют в Сг (X, X) множество типа G& (как мно-
жество точек непрерывности отображения Л • Cr (X, X) -> 2х). Воп-
рос о плотности Л-устойчивых систем при различных Л> вообще говоря,
в такой постановке не рассматривался.
В теории гладких (дифференцируемых) динамических систем важ-
ным является вопрос о сохранении при возмущениях систем не только
множества Л (/), но также и структуры траекторий на них. Дадим со-
ответствующее определение.
Динамическая система f £ Cr (X, X) называется структурно Л-
устойчивой, если существует окрестность U (/) системы f такая, что для
14 Следует отметить, что понятие неустойчивой по Ляпунову системы совпадает
(если вместо множества второй категории говорить о множестве полной меры) с по-
нятием топологически сенситивной системы [17] и близко к понятию системы с чув-
ствительной зависимостью от начальных условий [168].
6*
83
каждого f £ U (f) найдется гомеоморфизм h : Л (f) -> jiff), для кото-
рого ho]\^ = f\Ml}Oh.
Из последнего соотношения следует, что h ° fn \^~ = fn |^(f) ° hf
т. e. гомеоморфизм h траектории отображения f переводит в траектории
(невозмущенного) отображения /, что и означает, что структура тра-
екторий на Л (f) при достаточно малых возмущениях (не выводящих
из U (/)) сохраняется.
Как следует из определения, структурно ^-устойчивые системы
всегда (независимо от Л) образуют в Cr (X, X) открытое множество.
Если Л = X, то имеем обычную структурную устойчивость (грубость
по А. А. Андронову и А. С. Понтрягину), если^ (/) = Q (/) — струк-
турную Q-устойчивость (Q-устойчивость по С. Смейлу). Как теперь
хорошо известно, в больших размерностях (^3) ни структурно устой-
чивые, ни структурно Q-устойчивые системы в Cr (X, X) не плотны.
ГЛАВА 4
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ U-ОТОБРАЖЕНИЙ
§ 1. Унимодальные отображения
Рассматривая одномерные динамические системы, целесообразно
выделить в определенном смысле наиболее простые, так называемые
унимодальные отображения. Отображение f £ С° (/, 1) называют уни-
модальным, если интервал I распадается на два интервала llf /2 (за-
висящих от /) и на каждом из них отображение f является гомеомор-
физмом: на одном монотонно возрастает, на другом убывает.
Унимодальные отображения уже неоднократно встречались рань-
ше — мы их использовали для иллюстрации тех или других свойств
динамических систем. К таким отображениям относятся, в частности,
квадратичные отображения (при этом интервал I может быть и неогра-
ниченным). В различного рода приложениях мы сталкиваемся чаще
всего с унимодальными отображениями. Так, в уравнении х (/ + 1) =
= /(х(/)), когда оно моделирует изменение численности популяции
с неперекрывающимися поколениями, функция f (х) предполагается
именно такой: при не очень больших х популяция должна расти и чис-
ленность следующего поколения, т. е. f (х), должна быть тем больше,
чем больше х; при больших х, наоборот, из-за нехватки «территории»,
«пищи» численность должна убывать и притом тем больше, чем больше х
(в этом случае работает простейший механизм авторегуляции числен-
ности популяции).
Как мы уже видели в гл. 1, динамические системы, задаваемые
унимодальными, в частности квадратичными, отображениями, могут
быть устроены очень сложно. Для таких динамических систем дости-
гаются верхние оценки, характеризующие сложность различных мно-
жеств, встречающихся в теории динамических систем, как то: множест-
во периодических точек, «устойчивые многообразия» инвариантных
84
замкнутых множеств и т. п. Вместе с тем такие отображения должны
быть в каких-то отношениях устроены все-таки проще, чем произволь-
ные отображения из С° (/, /), да и для их исследования, по-видимо-
му, можно предложить больше методов. Например, для изучения уни-
модальных отображений оказываются очень удобными различные ва-
рианты символической динамики. Как будет видно ниже, в строении
динамических систем при этом имеется ряд особенностей, свидетельст-
вующих о том, что такие динамические системы все же в чем-то проще,
чем типичные отображения из С° (/, /). При достаточно общих услови-
ях у унимодальных отображений, если и есть притягивающий цикл,
то только один. Более того, множество неблуждающих точек при этом
распадается на конечное или счетное число транзитивных компонент,
которые линейно упорядочиваются как своими областями влияния (не-
устойчивыми многообразиями), так и областями притяжения (устойчи-
выми многообразиями) (§ 4).
Попытаемся разобраться в этих свойствах унимодальных отобра-
жений преимущественно с точки зрения топологической динамики.
Методы символической динамики мы почти не будем использовать.
Сейчас уже имеется достаточно много результатов, относящихся к
эргодической теории одномерных динамических систем, например,
связанных с существованием у отображений инвариантных мер. На
этих вопросах мы останавливаться не будем, а интересующихся этими
проблемами отошлем к журнальным статьям [176, 200].
В этой главе рассматриваются U-отображения — унимодальные
отображения, удовлетворяющие дополнительному условию: шварциан
fw 3 / f" \2
Sf = -р------Г (“Т7-) не меняет знак на интервале I. Отметим,
что именно такие отображения и рассматриваются в монографиях
[152, 209].
Уже давно известно [179], что квадратичные отображения, т. е.
отображения, задаваемые полиномами второй степени, имеют не более
одного притягивающего цикла — стока. Унимодальные отображения
могут, конечно, этим свойством и не обладать, так как даже монотон-
ные отображения могут иметь любое число стоков, конечное или счетное.
Вместе с тем хотелось бы среди унимодальных отображений выделить
подкласс отображений, имеющих не более одного стока (который, та-
ким образом, включал бы квадратичные отображения). Могло бы воз-
никнуть предположение, что выпуклость или вогнутость отображения
(f" W =/= 0 при х € /, что справедливо для квадратичных отображений)
достаточно для того, чтобы отображение имело не более одного стока.
Действительно, если функция f (х) выпукла (вогнута), то отображение
f имеет не более одного стока периода 1 (притягивающейся неподвиж-
ной точки). Тем не менее такое отображение может иметь любое число
стоков периодов, больших единицы, например равных двум. Так,
отображение J G С°° (/, /), где 1 = Р/2, 2], J(х) = 1/х + g (х),
£(*) =
л
1 —X ’
10 Зе 1-*sin
0,
Х< 1,
85
(рис. 43), являющееся даже
монотонным (гомеоморфиз-
мом, меняющим ориентацию
(—7' <0)) и, кроме того, как
легко проверить, вогнутым
(f" > 0), имеет тем не ме-
нее счетное число стоков
периода 2 (Р£> = 1 — x/2fe,
0<2> = j + l/2fe— 1, k = 1,
2, ...) и счетное число ис-
точников — отталкивающих
циклов периода 2 (р^ =
= l-v2fe+ 1, ₽$? = ! +
+ 1/2fe)). Чтобы убедиться
в этом, достаточно заметить,
что при х/2 х < 1
Г(Г(х)) = х 1+J.g(x) ,по-
этому: 1) когда sin 1<
<0, то 7 tf (х)) > х;
2) когда sin }	то
/ (Г(х)) < х (при увеличении х мы «проходим» сток, если условие 1
заменить условием 2).
Можно было бы, конечно, предъявить аналогичное отображение на
I _________________________________________________________
интервале / = [0, 1]. Для этого достаточно заменить 1/х на .	--
(и соответственно пересчитать функцию g (х)); при этом отображение f
при а < 0 будет вогнутым, а при 0 < а < 1 выпуклым.
Эти примеры показывают, что ни монотонность, ни выпуклость
(вогнутость) не препятствует тому, чтобы отображение имело много
стоков. Как отмечалось выше, выпуклость (вогнутость) гарантирует
наличие у отображения не более двух неподвижных точек, в том числе
не более одного стока (периода 1), Однако при итерациях отображения
свойство выпуклости (вогнутости), т. е. постоянство знака может
не сохраняться даже локально, как в приведенном выше примере, ког-
да функция 7 (f (х)) в окрестности точки х = 1 имеет счетное число вы-
пуклостей и вогнутостей. В то же время шварциан Sf при итерациях
знак сохраняет, так как
S(fog) = Sf(g)-(g')2 + Sg
(4.1)
(формула проверяется непосредственным вычислением) и, следовательно,
если Sf < 0 (> 0), то и Sfn < 0 (> 0). Кроме того, еще при исследо-
вании бифуркаций (см. § 3 гл. 2) мы видели, что именно знак шварци-
ана в периодической точке определяет тип бифуркаций при переходе
мультипликатора цикла через —1 (когда Sfn < 0, то сток периода
п <-* источник периода п + сток периода 2и; когда Sfn > 0, то источ-
86
ник периода и <-> сток периода п + источник периода 2п). Все это го-
ворит о том, что шварциан может быть полезным инструментом в тео-
рии динамических систем.
§ 2. Шварциан и притягивающие циклы
Рассмотрим некоторые свойства функций, для которых шварциан
знакопостоянен. Среди элементарных функций есть функции, имею-
щие как отрицательный, так и положительный шварциан. Для ext
sin х, arctg х он отрицателен, для обратных функций In х, arcsin х,
tgx, так как S(f~l) = —Sf/Cf)2, положителен (всюду, где опреде-
лены сами функции и шварциан). Нетрудно проверить, что Sf (х) = О
на некотором интервале J тогда и только тогда, когда f (х) на J дробно-
линейная функция.
Предложение 4.1. Если f(x)— полином степени L>2 и все корни
f'(x) = 0 действительны, то Sf(x)<0 всюду, где У(х)=£0.
В самом деле, поскольку корни действительны, то f' (х) = aQ х
п	п—\ i-f"l
X П (X — aL) и at £ /?. Следовательно, Sf (х) — 2
Z=1	Z=1 /=2к
3 у 1
2
2	п—1 Н-1
то Sf (х) <0. В частности, шварциан для полинома отрицателен,
если все его нули действительны.
Предположим, что существует интервал J, на котором / £ С3 и
Г #=0.
Предложение 4.2. f (х) не имеет на интервале J
а)	локального минимума, если f'(x)Sf(x) <. 0;
б)	локального максимума, если f'(x) Sf(x) > 0.
Доказательство. Предположим, что /' (х) имеет локальный
минимум в точке а и f (а) > 0. Тогда f"(a) = 0 и либо f'" (а) — 0,
либо sign f"'(a) = sign f' (а). Следовательно, Sf(a) f'(a) 0. Это
противоречит условию «а». Аналогично доказывается условие «б».
Предложение 4.3. Если Sf (х) < 0 на интервале J, то min | f' (х) | =
= min | f' (х) |; если Sf (х) > 0 на интервале J, то max | f' (х) | =
dJ	J
= max I f' (х) |.
dJ
Предложение 4.4. Если Sf (х) знакопостоянен на интервале J, то
f (х) на J имеет не более одной точки перегиба.
Предложение 4.5. Sf (х) < 0 на интервале J тогда и только тогда,
когда | f (х) | 2 вогнута;	।
Sf (х) > 0 на интервале J тогда и только тогда, когда | У (х) | 2
выпукла;
Sf (х) = 0 на интервале J тогда и только тогда, когда | У (х) | 2
линейная функция.
87
Доказательство непосредственно следует из соотношения g" (х) =
_______________________________i_
= — -^-g (X) Sf (х), где g (х) = I f' (х) I 2
Пусть I = [0, 1] и f g С° (7, 7) — отображение, удовлетворяющее
условиям:
1)	f (0) = f (1) = 0;
2)	существует единственная точка экстремума с С int 7, т. е. f (х)
монотонно возрастает на [0, d и монотонно убывает на [с, 1];
3)	f G С3 (7 \ {с}) и Sf (х) < 0 на 1 \ {с}.
Отображения, удовлетворяющие этим условиям, будем называть,
как уже говорилось выше, U-отображениями.
Прежде чем сформулировать основную теорему этого параграфа,
отметим, что в дальнейшем мы будем рассматривать U-отображения,
для которых f' (0) > 1. Если такое условие не выполняется, то, как
показывает несложный анализ, отображение при этом либо совсем
просто устроено, либо же его исследование сводится к рассматривае-
мым ниже отображениям (рис. 44).
Теорема 4.1. Каждое ^-отображение имеет не более одного стока.
Для доказательства теоремы нам понадобятся несколько лемм.
Лемма 1. Если f — ^-отображение, то Fix fn — конечное множест-
во при каждом п.
Доказательство. Пусть g = fn. Если уравнение g (х) = х
имеет бесконечное число решений, то и уравнение g' (х) = 1 также
имеет бесконечно много решений, что противоречит предложению
4.3, поскольку число решений уравнения g' (х) = 0 в данном случае
конечно.
Лемма 2. Пусть 0Х < 02 — неподвижные точки ^-отображения f
и интервал (0Х, 02) не содержит точек экстремума f. Если существует
неподвижная точка 0 £ (0Ь 02), то f' (0) > 1.
Доказательство. Существуют точки у2 такие, что 0] <
<T1<P<T2<P2 и f' (у,) = /' (у2) = 1. Поскольку [у,, у2] не
содержит точек экстремума f, то утверждение леммы следует из пред-
ложения 4.3.
Пусть f имеет сток — цикл периода и, 0 — неподвижная точка
отображения g = fnt принадлежащая этому циклу. Обозначим Р (0) =
= {* : gm (х) -> 0 при т -> оо} область притяжения точки 0; Ро (0)
связную компоненту Р (0), содержащую точку 0, т. е. область непо-
8Я
средственного притяжения. Ро (0) представляет собой открытый или по-
луоткрытый интервал и g отображает его в себя.
Лемма 3. Если f — ^-отображение, то PQ (0) содержит точку
экстремума отображения g.
Доказательство. Пусть 0Г, 02 — концы интервала Ро (0).
Поскольку Ро (0) — наибольший интервал, точки которого под
действием отображения g притягиваются к 0, то возможны такие
случаи:
1)	g (Pi) = 0i и g (02) = 02;
2)	g (0i) = 02 и g (02) = 01;
3)	g(0i)=g(02).
В случае 3 на (0Х, 02) обязательно есть точка экстремума. В случа-
ях 1 и 2, если допустить, что интервал (0Х, 02) не содержит точек экстре-
мума g, мы сразу придем к противоречию, как только воспользуемся
предложением 4. 3.
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что
для любой точки экстремума с' отображения g существует т 0 такое,
что fm (с') = с.
Вопрос о количестве стоков у кусочно-монотонных отображений,
частным случаем которых являются унимодальные отображения, воз-
никает достаточно часто.
Из утверждений, приведенных выше, немедленно вытекает теорема.
Теорема 4.2. Пусть отображение f £ С3 (/, /) имеет не более
т точек экстремума Sf < 0 (где Sf не определен)
Тогда отображение f имеет не более т + 1 стоков.
Использование шварциана при исследовании одномерных динами-
ческих систем обычно связывают с именами Д. Олрайта и Д. Зингера,
в работах которых [134, 214] приведены основные сведения о свойствах
шварциана и теоремы о количестве стоков у отображений с отрицатель-
ным шварцианом. Эти работы способствовали значительному продви-
жению в изучении унимодальных отображений.
§ 3. Периодические интервалы
Пусть f : 1	1 — унимодальное отображение и с £ int I — точка
его экстремума. Не уменьшая общности рассуждений, будем счи-
тать, что — точка максимума. Под интервалом всегда будем пони-
мать, если не оговорено противное, замкнутый нетривиальный ин-
тервал.
Интервал Jal будем называть периодическим периода п, если
fnJ с J и int J р int flJ = 0 для i = 1, 2, ..., п — 1.
Упорядоченный набор интервалов (J,/J, ..., fn~}J} будем называть
циклом интервалов, порождаемым периодическим интервалом J перио-
да п и обозначать orb J.
Интервал JQ G orb J назовем центральным интервалом цикла пе-
риодического интервала J, если sup f (х) sup f (х) для всякого J £
j9	j
G orb J.
89
Если периодический интервал J является центральным интерва-
лом своего цикла, будем говорить, что J — центральный периоди-
ческий интервал.
Назовем J строго периодическим интервалом периода и, если J —
периодический периода п и fnJ = J.
Приведем простейшие свойства периодических интервалов.
1.	Если J — периодический интервал, JQ — центральный интервал
orb J, то для J' С orb J \ {JQ} f\j, — гомеоморфизм.
2.	Пусть период J равен и. Тогда fn |j0 — гомеоморфизм, если
и только если с int JQ.
3.	fn |j0 либо гомеоморфизм, либо унимодальное отображение.
Для U-отображения f его периодические интервалы полностью
определяют динамику отображения и, в частности, структуру множест-
ва его неблуждающих точек. Ниже мы увидим, почему это так.
Пусть (/) — множество всех центральных периодических перио-
да п интервалов U-отображения f. Достаточно рассмотреть только та-
кие периодические интервалы. Важную роль для нас будут играть мно-
жества
Ил) def	। ।	г	7(л) def	п	г
“max—	U	“>	“min—	II	“•
Можно показать, что для тех п, при которых (/)=/= 0, Jmax € К 0),
a /Sin либо также принадлежит 91п (/) (если /„in — интервал), либо
является точкой притягивающего или полупритягивающего цикла.
Очевидно, что J£!n с: J^x. Следует отметить, что (/)=/= 0, по
крайней мере, для п = 1. В этом случае Jmax = 7.
Сформулируем некоторые свойства Jmin и JmL, которые будут
постоянно использоваться в дальнейшем. Доказательство этих свойств
оставляем читателю.
Пусть (/)=/= 0.
1.	Положим Jmax = (р> р'1. ТОГДЭ / (р) = f (р') И Либо р, Либо р' —
периодическая точка. Кроме того, fn имеет не более одной неподвижной
ТОЧКИ Внутри Jmax-
2.	Jm’n — строго периодический интервал периода п, если J^ln €
сад.
3.	Если J^in <= int Jmax, ТО (J f‘Jmin аТТрЭКТОр.
1=0
4.	Если Jmin int Jmax, TO Либо jffin <= dj£ax, Либо jjnin = J mix-
Кроме того, в этом случае (/) = 0 для i > п.
5.	Если (/)	0 ДЛЯ некоторого т > п, ТО Jmax cz Jmax И
Jmin cz Jmin и, следовательно, п : т.
6.	Если критическая точка С с Jmin, ТО Jmin = I/П ,2л, где 1Х,У
равно [х, у\, если х < у, и {у, х], если у < х (это обозначение мы бу-
дем использовать и в дальнейшем).
Опираясь на свойства 1—6, докажем несколько утверждений,
касающихся свойств отображения /.
50
Лемма 1. Пусть 2(m (/) Ф 0, 9ln (/) #=‘0, n > m, 2tz (/) = 0
для i = m + 1, .... n — 1. Положим Q = Jmin \ U g~‘ (int Jmax),
i>0
где g = fm | нт) . Тогда для любого открытого множества U такого,
J max
что U Q й =# 0, существует k, для которого gkU zd й.
Доказательство. Если п/т = 2, то й cz {%} U g~x {%} (J
U g~2 {*}, где х — некоторая точка цикла периода т. Несложно пока-
зать, что утверждение леммы в этом случае справедливо. Если п/т #=
=# 2, то, как следует из доказываемой ниже леммы 3, для некоторого i
g‘u Л =/= 0, поскольку U П й #= 0. Пусть р — крайняя точ-
ка Jmax, являющаяся периодической. Можно считать, что р С g't/.
Покажем, что тогда существует окрестность V (р) точки р, которая ле-
жит в glU. Если это не так, то некоторая точка х С й за конечное число
итераций попадает в точку с (так как тогда х — экстремум функции
что невозможно, поскольку с £ int Jmlx. Таким образом, достаточ-
но доказать утверждение леммы для произвольной окрестности V (р)
точки р. Если 40 > О — наименьшее из таких, что V (р) f| V (р) #=
#= 0, то i0 п. Положим = gioV (р) U V (р). Если > 0 —
наименьшее из чисел таких, что Q Vi =# 0, то 4	/0. Поло-
жим V2 = gixV! U Продолжив эту процедуру, получим W =
= U V» = lim Vj. Несложно заметить, что для k = inf ь gkW cz W
/^1	/->oo	/>0	_
и flW П W = 0 для i = 1, 2, ..., k — 1. Следовательно, W — пе-
риодический интервал g. Из условий леммы следует, что W = Jm?n-
S
Покажем, что W = (J Vдля некоторого s. Это так, поскольку су-
/=1
ществует неподвижная точка х отображения g, которая лежит внутри
(т}	S°	S
^min, следовательно, xQ (J Vf для некоторого s0, поскольку U Vf —
интервал при всех s. Таким образом, W =	= U Vp Теперь завер-
шить доказательство не составляет труда, поскольку очевидно, что неко-
торый образ окрестности V (р) точки р накрывает неподвижную точку
отображения g внутри J^n.
Лемма 2. При условиях леммы 1 множество Й состоит из конечного
числа точек, когда п/т = 2, и представляет собой совершенное нигде
не плотное множество, инвариантное относительно g, когда п/т #= 2.
Доказательство. Если п/т = 2, то утверждение следует из
леммы 1. Пусть теперь п/т #= 2. й не может содержать интервал, по-
скольку из леммы 1 вытекает, что любой интервал, пересекающийся
с й, содержит прообраз точки с. Следовательно, Й нигде не плотно и
Й — совершенное множество, поскольку любая изолированная точка
Й обязана быть прообразом точки с. Однако Й не содержит прообразов
точки с. Из определения Й и леммы 1 следует, что £Й cz й.
Лемма 3. Пусть (/) ф 0,	(/) #= 0, я > Тогда для
всякого открытого U cz Jmax существует k = k (U) такое, что gkU П
П ^тах =7^ еде g == fm I (т) •
’'max
9J
Доказательство. Интервал V назовем гомтервалом, если
g* |у — гомеоморфизм для всех i 0. Для доказательства леммы
достаточно показать, что для всякого гомтервала V cz Jmax существу-
ет k такое, что gkV А ^шах =/= 0.
Сначала покажем, что если для гомтервала V gW A ^mlx = 0 для
всех i > 0, то gW A gl+/ V = 0 для всех j 1. Действительно,
если gzV A =7^ 0 для некоторого /	1, то W = U g'+^V —
s^O
гомтервал, инвариантный относительно gi. Следовательно, W содер-
жит притягивающую или полупритягивающую неподвижную точку
g', а это противоречит предположению g'V А = 0 для i 0,
поскольку одна из точек притягивающего или полупритягивающего
цикла должна лежать в Jmax.
Если g*V А ^тах = 0 для всех I 0, то для всякого k и всякого
гомтервала W такого, что gkV cz W, g'W A «/mix = 0 при любом
i 0. Действительно, если для некоторого k существует гомтер-
вал W такой, что W гэ gkV и gsW А */(mlx #= 0 для некоторого s,
то, не уменьшая общности рассуждений, можно считать, что gsU? со-
держит конец Jmax, являющийся периодической точкой. Следователь-
но, gs+"IF A #= 0 и (см. доказательство леммы 1) gi W zd Jmin
для некоторых j > 0 и 1<п. Точка с £ Jmin, поскольку W — гом-
тервал. Следовательно, существует притягивающий цикл (и одна из
его точек лежит в Jmin cz Jmin)- Несложно показать, что тогда g!V А
А ^тах ¥= 0 для некоторого j.
Пусть теперь W — максимальный гомтервал, содержащий V. По-
кажем, что если g[V A Лк = 0 для всех /, то для некоторого 8 >> О
любой интервал Wr zd W такой, что	< 1 + -|-р (с, d/mlx),
является гомтервалом, чем и завершим доказательство леммы. (Здесь
через р (с, дJmax) обозначено расстояние от точки с до границы множест-
ва Jmlx.) Пусть U (с) — окрестность точки с такая, что р (U (с),
dJmax) < -g-p dJmax). ПуСТЬ у — КОНСТЗНТа ЛИПШИЦЗ фуНКЦИИ
l°g | g' W I Ha ^rnax \ U (с). Предположим, ЧТО glW' А U (c) = 0
для i = 0, 1, ..., k — 1. Тогда для x, у C W'
log
I (?)' W I
I (?)' (У) I
< У £ mes (g{W').
t=0
Действительно, log l (^ (%) l = £ (log | g' (g‘ (x)) | — log | g' (g‘ (y)) |) <
I (g) (У) I 1=0
k— i
mes (g*IF'), поскольку g|uzi — гомеоморфизм для i = 0, 1, ...
i=0
.... k — 1.
Выберем теперь e = exp f— у f 1 + p (c, 54aX)j Y Тогда для всех
92
i^O mes (g y) <. । .j. _1	(c< и gl\v,— гомеоморфизм. Для
mes (g*lV)	4
t = 0 это очевидно. Предположим, что для i = 0, 1, .... s—1
это верно. Тогда mes (g‘W" \ glW) < -у- р (с, dJmax) • mes (g‘W) <
4" Р (с< d^max). Из этого следует, что gs | w’ — гомеоморфизм. Далее,
mes (gslV") । _ mes (g5 (W \ W}) <
mes (^W)	mes (gslV')
< meS^sr exp (V S meS	P (C- ^max),
ПОСКОЛЬКУ	< 1 + -|- p (C, dJmlx) exp / — ? f 1 + 4~ P (?> д/!пах)'Й •
lllv2O W	*	\	\	*	Il
Лемма доказана.
Утверждения, которые будут получены ниже (леммы 4—6), верны
при условии, что на U-отображение / наложено такое ограничение:
(с) =# 0. Будем предполагать, что оно выполнено.
Лемма 4. Пусть (/) Ф 0 и 21£ (/) = 0 при i > п. Тогда
для любого открытого в Jmin множества U существует k такое, что
gkU о /X где g = fn^J(^.
Доказательство. Разобьем его на несколько пунктов.
1.	Либо Jmin = {х}, Либо Jmin =-^ g(c),g2(c)» ЕСЛИ С £ Jmin, ТО Jmin =
= fg(c>,g4c)- Если cfc Jmin, то Jmin содержит точку притягивающего
никла и, следовательно, Jmin = {х}, поскольку (/) = 0.
Предположим, что Ф {х}.
2.	Если интервал U такой, что gst/ П gs+/J7 =/= 0 для некоторых
s > 0 и t > 1, то gkU 2D Jmin Для некоторого k.
Не уменьшая общности рассуждений, можно считать, что s = 0.
Пусть /х > 0 — минимальное из чисел, для которых g'^U Л U ф 0.
Положим Vx = gi'U (J U. Пусть для Их /2>0— минимальное’из чисел,
для которых gl*Vx Л Vi =# 0, toi2 /х. Положим V2 = g‘2Vx U Vi
и т. д. Рассмотрим теперь V = U V/. Существует i0 такое, что g^V cz
cz V wg[VQ V =0 для i = 1, 2, ..., i0 — 1. Из условий леммы следует,
что V zd Jmin. Поскольку все V( — интервалы, то Vs Э х для некоторо-
го s, где х — неподвижная точка g внутри jffin. Но это равносильно
тому, что х принадлежит некоторой итерации множества U, откуда сле-
дует нужное утверждение, если рассмотреть g21 г(п) и воспользоваться
* max
результатом п. 1.
3.	Для всякого интервала U существует k такое, что с £ gkU.
Пусть U такой интервал, что с glU при всех I 0. Можно счи-
тать, что U максимальный. Из п. 2 следует, что для всяких двух i j
и любых х g gl t/, у ZgiU либо g (х) > g (у), либо g (х) < g (у). Дейст-
вительно, если это не так, то gwU Л gi+lU Ф 0- Будем говорить,
что ближе к с, чем gzt/, если для всех x£glU и у £ giU g (х) >
>ё(У)-
93
Рассмотрим два случая.
А. Для любого i 0 существует > i такое, что fmiU ближе к с,
чем /17Л
Б. Существует i такое, что flU ближе к с, чем fiU, для всех j =/= i.
Рассмотрим случай А. Положим т0 = 0,	= min {k >
> mt : gkU ближе к с, чем при г = 1, 2, ..., k — 1}. Покажем,
что для всех достаточно больших i mes (gmf+1 U) mes (gmiU), что,
конечно, противоречит п. 2.
а)	Существует е0 > О такое, что mes (gmi’+lt/) е0 mes (gmiU)
при всех i 0.
Действительно, пусть для х Е Jml* (*') означает точку х' =/= х такую,
что g (х') = g (х). Очевидно, что такая точка существует для всех
х Е «/max, кроме точки с. Если х Е gmiU, то х обладает следующим
свойством: gk(x) £ 1х,х' при k = 1, 2, ..., s — 1 и gs(x) Е 1х,х’> где s =
= т^\ — т{. Пусть W{ — максимальный интервал, содержащий
gmiU, все точки которого обладают таким свойством. Очевидно, что
gs | w — гомеоморфизм. Следовательно, производная отображения
gs на W{ достигает минимума на концах интервала Wi (поскольку
шварциан функции g5 отрицателен). Из максимальности W{ следует,
что если г — конец Wi9 то либо gs(z) = z, либо£5(г) = z'. Если gs(z) = z,
то | (gs)' (z) |> 1, поскольку из условия = 0 при i > n следу-
ет, что цикл, содержащий z, не является притягивающим. Если^8(г) =
= z', то gs(z') = z' и
|(gs)'(z)l= По5'(«*(г)) =
6=0
П g’ (g* (z')) =
|g' (z) I
I g' (г') I
|g4z)l
I g‘ (*') I
Если положить e0= inf  Jj* !- ^ 1, то eo>0, поскольку
g"(c)#=0 И g'(x)=£Q ДЛЯ x€/£ax \{c}.
Таким образом, мы видим, что | (gs)' (х) | е0 на Wh следователь-
но, mes (g^'+'t/)	£0 mes (gmiU)> чт0 и требовалось.
б)	Для каждого k 0 определим Нк — максимальный интервал,
содержащий U и такой, что g* |нА — гомеоморфизм. Тогда Нк =
= Yk U U U Zk.
Для всякого i 0 egg"1' (Нт).
Действительно, покажем сначала, что Yк и Zk — нетривиальные
интервалы для всех k 0. Действительно, если Yk — {у} для некото-
рого k, то из определения Yk следует, что g'(y) = с для некоторого /,
следовательно, для / не существует т.) такого, что gmHJ ближе к с,
чем g’U.
Пусть теперь с gm' (Нт^ для некоторого I 0. Рассмотрим V—
максимальный интервал, заключенный между точкой с и gm‘t7. Тогда
94
V содержит либо g^Kn., либо f^'Zm . Не уменьшая общности рас-
суждений, можно считать, что cz V. Существует / < mt. такое,
что точка с является концом интервала g/УЦ. Тогда, поскольку gmiU
ближе к с, чем g't/, то g/+lFm. => gV. Но поскольку g™1’/™. cz V,
то	что противоречит утверждению п. 2.
Покажем, что если gm‘+1 (Fm.+1), то g (gmiU) cz g (g/n‘+>Zmz+)),
если c^+'tZ^, to g(gmiU)cg(^Ym.+}).
Пусть V — максимальный интервал, заключенный между точкой
с и g?4U и с £ gm‘+1 (Ут1+}), a j < mt+i таково, что точка с является
одним из концов g'Zm[+i. Тогда g (g'Zm.+x) zd gV, поскольку g>U не
ближе к с, чем ^"4J. Следовательно, g"1^1-'V cz gz"‘+1Zmi+r Пусть
теперь z — общий конец Нт.^ и Zmi+X. Покажем, что g (gmi+lZ) g
gg(V(J Действительно, если это не так, то gm‘+t~JV cz
cz gmt+\-i (gjZm.+I) — g^^Zm^ и, следовательно, gm‘+1-/+lV с.
czg(V I) gmz£/)- Поскольку V (J gm‘V— интервал, то ^‘+1~/+1 (V (J
U с g (У U g^'t/), что приводит к противоречию с утвержде-
ниями п. 2. Таким образом, gfg^'+'Z) g g(V U g^U) и, следователь-
но, поскольку gm‘+4J ближе к с, чем g^t/, то g(gm‘+1Zmi+1) zd
ZDg(g/"z{/), что и требовалось. Случай cCg'n‘+l (Zm{+1) рассматрива-
ется аналогично.
в)	Для всех k О
mes	-> m i n / nies(g*y^)	mes(g%) |
mes U 111 mes У* ’ mes Z^ J *
Докажем, что
'Шm^X^ = ।	। для некотоР°го У € r*>
~ mefll~ = I Z)1 для некоторого Z^zk-
Поскольку g* |(j,.z) — гомеоморфизм, то (g*)' (x) достигает своего
минимума на интервале (у, г) при х = у либо х — г (так как шварциан
функции gk (х) отрицателен). Следовательно, | (g*)' (х) | >
> min {| (g*)' (g) |, | (g*)? (z) | } для x £ (g, z), откуда сразу следует
нужное утверждение.
г)	Пусть теперь задано I такое, что
mesZ^
_____1	2	_____1	2
mes U °’ mes U e°’
где e0 — из п. 1. Такое i всегда можно выбрать, поскольку U — мак-
симальный интервал, на котором g' — гомеоморфизм для всех j 0.
95
Из п. «б» следует, что либо с Q ^Ут1, либо с £ Можно счи-
тать, что cGg7"'^,- Так как	ближе к с, чем gm‘U, то
gljf'^U) с g(gm‘Ym() и, следовательно, mes (gmiYm.)l>e0 mes
так как либо czgmiYm.t либо gmiYmi=> V, где V = {х:х = у'
для yt^+'U}, a mes (V) > е0 mes (gmt+'U).
Далее из п. «б» следует, что mes (gm‘+'{/) е0 mes (gm‘fJ). Следова-
тельно,
mes	во mes g”*^
или
mesg^Y^ 2	mesFmf
-----------е0	.
mes (7 ’
mes g U
tn;
WSg^U	Ym{ г
что равносильно тому, что —^77— < ~~mes у-------• Следовательно, по
л. «в» заключаем, что
ГП: _
__J”trZ	mesg
mes g U	6 mt
mes U	mes Zm.	’
откуда следует, что
mes gmiU >	' mes ^lZmi > mes ^‘Z^.
Из п. «б» следует, что g(gmi~]U') <= g^^Zm), поэтому mes
e0 mes g"’z—'U.	Таким образом, mes ^‘U	—— mes gmi~4J
eo
mesg^’-W, чем исчерпывается случай A.
Рассмотрим случай Б. Пусть существует I такое, что glU ближе к с,
чем g'U для всех / =# I- Тогда для всех / > i mes g'U е0 mes glU
для некоторого е0 > 0. Доказательство этого факта почти дословно
повторяет доказательство п. «а» случая А. Следовательно, случай Б
невозможен, как и случай А.
Продолжим доказательство леммы. Если Jmin = {%}, то лемма,
очевидно, верна. Если J(min = /g(o,^(o, то достаточно доказать утверж-
дение леммы для произвольной окрестности V (с) точки с (это следует
из п. 3). Поскольку gV (с) содержит прообраз точки с, то gsV (с) f]
П V (с) =# 0 для некоторого s 1. Следовательно, из п. 2 вытекает,
что gkV (с) = Jmin при некотором k 0, чем и завершается доказа-
тельство леммы.
Лемма 5. Пусть множество {nt-, i 0} таково, что п^\ > nt и
0, к = П V Тогда
1	i^\ j=0
1)	К — совершенное нигде не плотное множество;
2)	fK = К и {/Zx}/Lo плотно в К для всех х С К\
96
3)	?\к — гомеоморфизм.
Доказательство. Не уменьшая общности рассуждений,
можно считать, что 21у- (/) = 0 при j Ф nt. Покажем, что К не со-
держит интервалов. Действительно, если U о К и U — интервал,
то U содержит не более одного прообраза точки с. Следовательно, су-
ществует интервал, не содержащий прообразов точки с. Доказательст-
во невозможности существования такого интервала повторяет доказа-
тельство леммы 4 с той лишь оговоркой, что везде вместо результата
п. «б» леммы 4 нужно воспользоваться леммой 1.
Поскольку К не содержит интервалов, то /( — нигде не плотное
множество. Пусть х £ /<, тогда х С П где /(П/) =	для
некоторого 0 pt nx_i. Если U (х) — произвольная окрестность
точки х, то, поскольку К не содержит интервалов, для всех достаточно
больших I cz (7 (х). Но при k > I интервал J(n{) содержит не
nk-}
менее двух различных интервалов из множества (J .Следователь-
но т1П
но, U (х) п К {х}. Таким образом, К — совершенное множество.
Аналогично показывается, что траектория любой точки из К плотна
в /(, а из определения множества К следует, что fK cz К-
Покажем, что f |к — гомеоморфизм. Действительно, если х и у
из и х то, поскольку К не содержит интервала, существует 4,
при котором х и у принадлежат разным интервалам из множества
пу-1
U	Следовательно, f (х) =/= f (у). Этим завершается доказа-
но
тельство леммы.
Лемма 6. При условиях леммы 5 для всякого U cz /(, открытого в К,
S
существует s = s (U) такое, что J f'U zd К.
/=0
Доказательство. Поскольку К не содержит интервалов,
то для достаточно больших i К П f^min U для некоторого
и.-1
0 j П; — 1. Следовательно, (J fUJ zd К.
§	4. Спектральное разложение множества неблуждающих точек
Важную информацию о свойствах динамической системы, задавае-
мой отображением /:/->/, дает знание структуры множества не-
блуждающих точек й (/).
Для х g / положим иг (х) = (х — е, х + е) П Л Ut (*) = (х, х + е) Q
П /, UT (х) = (х — 8, х) П I. Определим область влияния точки х
<?(х, f) = lim П U ffU(s (x), левостороннюю и правостороннюю области
/-►оо е>0 j^>i
влияния Q~(x, f) = lim п U f'U7(x) и Q+ (x, f) = lim Q (J ffUt (x).
i-^oo 8>0 j^i	i-+oo g>0 j^i
Множество Q (x, f) представляет собой co-пролонгацию траектории
7-3793	97
точки х (по начальным данным) и, следовательно, является инвариант-
ным множеством. Множества Q~ (х, /) и Q+ (х, f) также инвариантны.
В предыдущей главе уже говорилось о том, что множество неблуж-
дающих точек й (/) — это множество {х Е I х Е Q (х, /)}. Там же
рассматривались и множества й“ (/) = {х С Z : х £ Q~~ (х, /)} и
й+ (f) = {х Е / : х Е Й+ (х, /)}. Вообще говоря, й (f) Ф й~ (f) (J
U й+ (/), однако для U-отображений множества й (/) и Й“(/) U й+ (/)
совпадают. Более того, для U-отображений, как следует из приводи-
мых ниже теорем, всегда й (/) = й“ (/) U Q+tf) = U (*) = С (j) =
X
= Per f.
При каждом х Е 1 множества Q+ (х, /) и Q- (х, /), как замкнутые
множества, являются элементами пространства 27. Рассмотрим (Q —
{Q+ (х, /), х С 1} U {Q~ (х, /)> х Е 1} <= 2Л Каждый элемент из Q
снабдим индексом а таким образом, чтобы одинаковым элементам из
(Q отвечали одинаковые а, а разным — разные. При этом индексы об-
разуют некоторую совокупность Л, так что (Q = {Qa, a Е Л}.
В этом случае й(/) = (J йа, где йа = {хЕЙ (f): хЕ Q+(x, f)
и Q+ (х, /) = Qa или хЕ Q~ (х, f) и Q~ (х, f) = Qa}. Очевидно, любая
точка хЕЙ(/) принадлежит только одному из множеств йа, если
Q+ (х, f) =	(х, f), и не более чем двум множествам, если Q+ (х, f) =^=
¥= Q~ (х, f). Qa, как множество в /, естественно назвать областью
влияния Йа.
Оказывается, что в случае U-отображений каждое из множеств йа
представляет собой:
а)	притягивающий или полупритягивающий цикл;
б)	цикл строго периодического интервала;
в)	представимо в виде Q U fJJ ь где Ji — строго периодические
1>о /^0
интервалы.
Действительно, для всякого U-отображения f существует конечная
или бесконечная возрастающая последовательность чисел {pm}m=i та-
кая, что 2lp^ (f) =/= 0 и (/) = 0 при / =/= Рт- Для х Е й (f) либо
)	Чгп+1--1 (р _|_j)
существует^ = pm(x)<ps такое, что хЕ U *™хих^ U S7m?x »
/=о	/=о
Ps „(Р >	°° rf(P )
либо хЕ U углах» ССЛИ S<OO, либо ХЕ П U ^т?х, ССЛИ S = ОО,
/=0	т=1 i=0
Во всех случаях леммы из § 3 дают нужные утверждения.
Таким образом, для U-отображений разложение множества не-
блуждающих точек U Йа состоит из конечного или счетного числа эле-
ментов.
Все приводимые ниже утверждения предполагают, что U-отображе-
ние f не имеет нетривиальных гомтервалов (для этого достаточно,
как следует из лемм 4, 5 § 3, чтобы выполнялось условие
Г\С) 0).
98
т*
Теорема 4.3. Пусть f — -отображение. Тогда Q (/) = J Q,n,
/71=0
/и* oo, где
1)	Qm — замкнутые инвариантные множества;
2)	области влияния Qm множеств Qm упорядочены: Qo Qi zd ...
... zd Qm, = Qm#, и при m<oo Qtn есть объединение pm замкнутых
интервалов, циклически представляемых отображением f и попарно
не имеющих общих внутренних точек, причем pQ\p1p2\ ...;
3)	Qm при т <т* либо цикл, либо гомеоморфно множеству Кан-
тора;
Qm* при т* < оо либо цикл, либо состоит из конечного числа цикли-
чески переставляемых интервалов;
Qm* при т* = оо гомеоморфно множеству Кантора.
При каждом т число рт будем называть периодом Qm (в силу ут-
верждения 2 теоремы 4.3 множества Qm, 1 т < т*, распадаются на
рт циклически переставляемых подмножеств). Для всех т < т* пе-
риод рт определяется однозначно. При т = т* < оо возможна си-
туация, когда состоит из р попарно непересекающихся интерва-
лов, каждый из которых в свою очередь состоит из двух интервалов
(имеющих, следовательно, общую точку), переходящих друг в друга
под действием отображения fp; в этом случае будем считать, что
= 2р. При /л* = оо рт* = ОО.
Следующие утверждения дополняют теорему 4.3.	,,:,
Теорема 4.4. 1. Если Qm Г) Qm' ф 0 и т' > т, то т' = tn 1
и Qm f| Qm' представляет собой цикл.
2.	При 0 <т <т* следующие условия эквивалентны:
a)	Qm—1 fl Qm 0,
б)	Qm С= Qm-Ь
в)	Qm-i гомеоморфно множеству Кантора;	х
г)	Рт / Рт—\ 2.
3.	Если т* < оо и Qm*—1 f| Qm* #= 0, то рт* / рт'-Л > 2
и Qm*—1 гомеоморфно множеству Кантора.
Рассмотрим область притяжения Qm — множество рт = {х £ / :
со (х) cz Qm) и область непосредственного притяжения Qm — множест-
во Рт, состоящее из компонент Рт, пересекающихся с Qm.
Теорема 4.5. Области притяжения Рт множеств Qm упорядоче-
ны:	••• czPm* = I; при т<т* Рт = U /“‘Qm; при
/п*<оо Рт* представимо в виде объединения рт* интервалов Pm\j
таких, что Q F^.j =# 0, j = 1, .... рп*. f (P^j) <= Pm«,/+i для
j = 1, - Pm' — l U f(POm-,pm.)<=.P°m*,l.
Теорема 4.6. При m* = oo Qm. = LimQm, Qm, = Lim и Йт. =
_	m-*oo	m-*oo
= Lim Pm.
m—oo
Доказательства теорем следуют из утверждений § 3. Рассмотрим
возрастающую последовательность {p/jj—i, г^оо, включающую
7*
99
(содержащую) все числа pt, для которых (/) Ф 0. Эта последова-
тельность может быть либо конечной, либо счетной. Положим
равным циклу, содержащему концевую точку Э^тах- Если i < г, по-
ложим Q)2* = U fk (S^min \ (J g~i (int (S&’))), где g = fPl | (p().
Л—0	/=0	Jmax
Если r<oo, положим й^ = J fk (S^in), если r= оо, to й,2) =
Pl—1
= n и f &min ) (множество Qrb в этом случае не определено).
fc=0
В результате получим упорядоченную последовательность множеств
Й(1П | й{2) zd £#> | й*>2) zd ... zd | Й(Д1 Й<п, Й<2)
(если r<oo), либо
••• oQ^IQ^zd ... |Qt
(если r = оо), где вертикальная черта означает, что любые два множест-
ва, разделенных ею, не пересекаются. Теперь, если х £ Й1°, несложно
показать, что либо Q+ (х, /) = Orb	а Q” (х» D 03 Orb 0*^тах)’
либо в этих соотношениях Q+ (х, /) и Q— (х, /) нужно поменять места-
ми. На самом деле строгое включение возможно только тогда,
когда f имеет притягивающий или полупритягивающий цикл (т. е.
когда г < оо) и только для i = г и i = г — 1. Если х G Й(Д i <
< оо, то снова либо Q+ (х, f) = Orb (^Х0)’ а (*» /) Orb (/Р^тах)’
либо наоборот. Поскольку й(2) f] Orb (Л^тах) = в слУчае * <
< г (случай i = г будет рассмотрен особо), то более чем одному
множеству в спектральном разложении й (/) могут принадлежать
только точки Й&. Рассмотрим пару множеств й(2) zd й^. Пред-
положим, что Pi+\!Pi = 2. Тогда й(2) = й^+i, и, кроме того, для
х Е Й(2Г = й/4-i Q+(x, f) = Q~(x, f) = Orb (S^^). Следовательно,
пара множеств Й/2) и й(/^1 образует одно множество в спектральном
разложении й (/). Если pi+x/Pi > 2, то й/2) — канторово множество
и, следовательно, вложение й(/4-1 строгое, а сами множества
являются различными элементами спектрального разложения й (/).
Если г< оо, то возможны три ситуации: а) Й(г1} = й(г2) и в этом
случае f имеет притягивающий или полупритягивающий цикл;
6) Я?’ с Q?', когда _ г»;;; в) я«> | Q;» когда n asw _ 0.
Таким образом, имеем упорядоченную конечную или бесконечную
последовательность множеств Й(Д й^2), i = 1, ..., г, между которыми
стоят знаки « | », «zd», «=» или «с=» (последний может встретиться
только перед йр при г < оо). Теперь, начиная двигаться по после-
довательности слева направо, исключим из рассмотрения все множест-
ва, справа от которых стоят знаки «=» или «cz». Оставшиеся члены по-
100
следовательности являются элементами спектрального разложения
S2 (/); они упорядочены нужным образом, и свойства этого разложения,
сформулированные в теоремах, следуют из построения и лемм § 3.
Для многих целей оказывается полезным иметь более простой ва-
риант спектрального разложения — «укороченное» спектральное раз-
ложение. Оно отличается от исследованного выше лишь тем, что в нем
при т < /и* не выделяются элементы Qw, которые лежат в так
что все элементы разложения, за исключением, быть может, послед-
них двух, попарно не пересекаются. Для такого спектрального разло-
жения имеют место следующие утверждения (часть из которых не была
приведена для полного спектрального разложения).
Теорема 4.3'. Пусть f — -отображение. Тогда Q (/) единствен-
ным образом представимо в виде набора подмножеств : Q (/) =
m*
= (J йт, где т* оо и
т=0
1)	Qm — замкнутые инвариантные транзитивные подмножества Г,
2)	— область влияния критической точки;
3)	П = 0 для т, т' < т*, т Ф т'\ Qm П Qm* может
быть непустым лишь тогда, когда т* < оо и т — т* — 1; в этом
случае Qm._1 f| cz dQm.;
с) периоды pm множеств Qm не убывают с ростом т.
Определенное таким образом спектральное разложение U-отобра-
жения f обладает следующими свойствами:
1)	Ро = 1 < Pi < Рг < — < Рт* И Ро'- Р1'-Рг'- ... : РтН
2)	a) при т<. т* — цикл или канторово множество; Qm. —
цикл, или цикл интервалов, если т* <Z оо, и канторово множество,
если т* = оо;
б)	при т <Z т* — канторово множество тогда и только тогда,
когда Рт+\1рт > 2;
в)	П непусто (и представляет собой цикл) тогда и только
тогда, когда рт*1рт--\ > 2;
г)	Qm при т < т* — репеллер; при т* <Z оо — аттрактор,
когда Qm. П = 0 и репеллер (цикл интервалов) или полупри-
тягивающий цикл, когда Qm. f] Qm._i У= 0, при т* = оо Qm. —
квазиаттрактор;
е) h (J |«m) > h (f |am+A), если Qm — канторово множество и k >
> 0 (h (•) —топологическая энтропия);
3)	области влияния Qm и области притяжения Рт множеств Q/n упо-
рядочены:
Qo —Q1 —> ' ‘	) Qm* ~ Оп*,
Р^Р^ ... С Рт. == /,
где под областью влияния Qm при т < т* подразумевается область
влияния любой точки из Qm;
4)	при т* = оо
£2m. = Lim £2m,
101
Pm* = Lim Рт,
tn-+OQ
Qm* = Lim Qm = П Qm>
m-*<x>	m-*oo
5)	Qm ПРИ m < °0 представляет собой цикл интервалов {Qm, ...
—> Qmm)} периода pm:
Qm = U Фт, fQm = Qm+1
t=l
если tn* = oo, to max diam Qm -*• 0 при tn -> oo;
6)йт при m <_ oo распадается на pm циклически переставляемых
отображением f подмножеств
П Qin’, i = l, 2, ...» p^,
на каждом из Qm отображение f обладает свойством расширения:
для любого множества V <— Йщ, открытого в й^’, найдется k ~
= k (V) такое, что fpm 'v = при j k (и, следовательно, мно-
жество Qm распадается не более чем на рт подмножеств, инвариант-
ных относительно отображения /г, каково бы ни было г 1); если
— оо, то max diam Qm -> 0 при т -> оо;
7)	каково бы ни было т < оо, Qm* при ш* = оо распадается на
рт инвариантных относительно отображения замкнутых попарно не
пересекающихся подмножеств, диаметр которых стремится к нулю
при т -> оо. Следовательно, при /и* = оо состоит из почти пери-
одических траекторий; Vx £ Q™*, е > 0 т : р (// (х), fi+pmk (х)) <
<е при любых k > 0;
8)	Рт при т < оо распадается на рт подмножеств Рт, Рт\ ...
'Р{^т\ притягиваемых под действием отображения fp™ множества-
ми	соответственно;
Рт — J	если т<т* или т = т*9
i=0
но Qm* — цикл интервалов; когда Qm* не есть цикл интервалов, для
любой точки х g Рт* существует, и притом только одна, точка х' С Qm*
такая, что р (х), f{ (х')) -> 0 при i -> оо. В частности, если т* = оо,
то х' = lim ftfn (х), Тде i19 i2, ... выбраны так, что firn (х) С Qm и
т-^оо
Рт !
Рт*—открытое множество, если т* < оо и Q/n* П Qm*-i — 0,
и Ра-множество, если т* < оо и Qm* A Qm*-i #= 0 не есть /^-мно-
жество (являясь бб-множеством), когда т* = оо.
Приведем несколько примеров. Все возможности для спектрального
разложения U-отображений реализуются для отображения /х : х
%х (1 — х) при различных значениях Л. Так, например, при 1 < Л <
102
< 3 теорема 4.3 определяет следующее разложение Й (Д) : й (Д) —
= Qi (J й2, где Q] и Й2 — неподвижные точки х — 0 и х = 1 —
при 3 < 1 < 1 + 1^6 й (/\) — йх U й2 U й3, где й2 и й2 остаются
прежними, й3 — цикл периода 2 и т. д. При к = X* « 3,57 множество
неблуждающих точек помимо циклов периодов 2", п = 0, 1, 2, ....
содержит неразложимое множество, гомеоморфное множеству Кантора
(обозначим его й,»), так что в этом случае й (Д) = U Йт (J й». Во
всех рассмотренных здесь случаях «укороченное» спектральное раз-
ложение совпадает с разложением, определенным теоремой 4.3. Не-
сложно заметить, что этот факт имеет место вообще для всякого раз-
ложения, определенного теоремой 4.3 такого, что Л4 (/) = 0 (напом-
ним, что М (/) = {т т* | PmlPm-\ >2), в частности Л4 (/) = 0,
если U-отображение f не имеет циклов периодов, отличных от степе-
ни 2). При у = 3,83 теорема 4.3 дает Q (Д) = Qo U U Фз U ^з ,где
Qo — неподвижная точка х = 0, Qj гомеоморфно множеству Кантора,
Q2 — отталкивающий цикл периода 3, Q3 — притягивающий цикл пе-
риода 3 (при этом pjpi = 3 > 2, Й2 ^i)’> в то же время из теоремы
4.3' следует: Q (Д) = Qo U U Й2, где и Qi те же, аЙ2— притя-
гивающий цикл периода 3 (отталкивающий цикл периода 3 не выделя-
ется). При Л = 4 множество Q (Д) не распадается на подмножества
(равно интервалу [0, 1]).
В заключение параграфа сформулируем еще одну теорему, связан-
ную со спектральным разложением, в которой идет речь об одном
свойстве U-отображений, очень важном для разностных уравнений
с непрерывным аргументом. Напомним, что через Ix,too мы обознача-
ем интервал, концами которого являются точки хи/ (х).
Теорема 4.7. Пусть f — U-отображение. Для любого х £ Fix /
и любого 1 m
ix,f(x) Л Р (S2m, /) =/= 0 •
Следствие. Пусть / — U-отображение. Для любого х С int /
Л.дх) Г1 D (f) =/= 0, если D (f) =/= 0, и более того,
card (IxJ{x) О D (/)) = card D (/),
если D (/) — бесконечное множество.
Вопросы, связанные с построением спектрального разложения
для U-отображений, по-видимому, впервые были рассмотрены в
1217], а для непрерывных отображений более общего вида — в [178,
203]. Полученное выше спектральное разложение несколько отличает-
ся от разложения, представленного в [217].
§ 5. Бифуркации периодических интервалов
и устойчивость спектрального разложения
Мы будем иметь дело с семейством Д (х) U-отображений, где X
изменяется в некотором интервале Л. Предполагается, что зависимость
от Л семейства Д (х) является непрерывной, а там, где встречаются
производные по Л, они также предполагаются непрерывными. Нас
103
будут интересовать те значения параметра Л, при которых появляются
или исчезают циклы или периодические интервалы Д, и изменение по-
ведения Д в окрестности этих значений. Для семейств U-отображений
существует несколько типичных бифуркаций циклов и периодических
интервалов, которые мы сейчас рассмотрим. Между бифуркациями
циклов и бифуркациями периодических интервалов существует опре-
деленная связь. Бифуркации интервалов, о которых говорится в теоре-
мах 4.8 и 4.10, сопровождают бифуркации циклов (теоремы 2.8 и 2.9).
В теореме 4.9 идет речь о бифуркациях интервалов, происходящих
всякий раз, когда мультипликатор притягивающего цикла меняет
знак — из положительного становится отрицательным; такая бифур-
кация приводит к удвоению периода периодического интервала.
Назовем периодическую точку х отображения Д центральной точ-
кой цикла, если Д достигает максимума на цикле в точке х.
Теорема 4.8. Пусть х — центральная точка цикла периода п отоб-
ражения Хо £ Л. П редположим, что
«) (Л№)=1. (/№)<0;
б) fk (х) > О при К = %0.
Тогда существует 8 > 0 такое, что 9Д (Д) = 0 при Х£ (Хо — 8,
Хо) а К (Д) =# 0 при Ь € [^о, Хо + е).
Доказательство. Поскольку (До)' (х) = 1, то х ф с. Рас-
смотрим интервал где х' =/= х и f (х') = / (х). По условию «а»
теоремы х является центральной точкой полупритягивающего цикла.
Следовательно, (До) #= 0 и 1Х,Х' — J^x (Хо). Рассмотрим те-
перь 1Д — максимальный интервал, содержащий точку с, такой, что
Д — унимодально на U^. При X = Хо для любой малой окрестности
V (х) точки х inf | Д , (z) — z | > 0, следовательно, для достаточно
ика И*)
малых окрестностей V (х) и X G (Хо — 8, Хо + 8) все неподвижные точ-
ки Д |[>а лежат в V (х), откуда и следует доказательство теоремы.
Из приведенных рассуждений видно, что при условиях теоремы
наряду с появлением периодических интервалов периода п происходит
бифуркация цикла периода п, содержащего точку х.
Теорема 4.9. Пусть точка с является периодической периода п точ-
кой отображения Хо £ Л. Предположим, что с — точка макси-
мума f£0 и fl (с) > 0. Тогда существует 8 > 0 такое, что
Win (Д) = 0 при X £ (Хо — е, Хо| и (Д) ¥= 0 при X £ (Хо, Хо + е).
Доказательство. Рассмотрим — максимальный ин-
тервал унимодальности Д (содержащий с). Из условий теоремы сле-
дует, ЧТО при некотором 8 > 0 Д («/^х (X) п Ю, Н) CZ Jmax (X) п 10,
d при X С (Хо — в, Хо], следовательно, (Д) = 0. Если X f (Хо,
Хо + е)> т0 Д имеет неподвижную точку х (X) С /max (X) Г) (с, 1) ив
этом случае, рассмотрев Дп, получаем, что Утах =	ГД£
х' (X) #= х (X) и f (х' (X)) = f (х (X)).
104
эаметим, что при условиях теоремы бифуркации циклов в семействе
fx не происходят. Причиной появления интервалов периода 2п являет-
ся изменение знака мультипликатора цикла при изменении Л.
Теорема 4.10. Пусть х—центральная точка цикла периода п
отображения fk0, Хо £ Л„ П редположим, что fk0 (х) = —1 и
dk’ ((fk)' (х)) < 0 при X — Хо. Тогда существует г > 0 такое, что
(X) £	(Л) при И (Zo — 8, %0] и J(^n (%) е к (М при Л £ (Хо, Хо + 8).
Доказательство. Для достаточно малого е > 0 уравнение
(2) = z имеет решение х (Z) в окрестности V (х) точки х. По условию
теоремы цикл, содержащий эту точку, является устойчивым при X £
£ (Хо — е, Хо] (достаточно рассмотреть для доказательства этого)
и неустойчивым при Х£ (Хо, Хо + е). В последнем случае концами
/min (X) являются решения уравнения fk1 (z) = z в V (х), которые су-
ществуют при Л £ (Хо, Хо + &)•
При условиях теоремы происходит качественное изменение множест-
ва (/). Причиной этого является бифуркация удвоения периода цик-
ла, содержащего точку х, в результате чего цикл становится отталки-
вающим и вблизи него появляется притягивающий цикл удвоенного
периода.
Не все бифуркации периодических интервалов связаны с измене-
ниями свойств какого-либо одного конкретного цикла. Следующая тео-
рема как раз и описывает такую бифуркацию — бифуркацию исчез-
новения периодического интервала
Теорема 4.11. Пусть (До) #= 0, Х0£Л. Предположим, что
•^тах (Хо) = /п?п (Хо) и при Л = Хо /х (^) #= fk (х) | f2n,. • Тогда су-
иЛ»	ил»	""'ко''
ществует г> 0 такое, что при X £ (Хо — е, Хо + е) (/J = 0, ког-
да К <. Хо, и (fk) =/= 0, когда X > Хо или, наоборот, (fk) =£0>
когда X < Хо, и $Ln(fk) = 0, ко да Х>Х0.
Доказательство. Рассмотрим Uk — максимальный интер-
вал унимодальности содержащий с. При условиях теоремы (с)
является неподвижной точкой fkn, принадлежащей Uk0- Для малой
окрестности V точки fln0 (с) существует е > 0 такое, что для X G (Хо —
— е, Хо + е) уравнение (s) = z имеет единственное решение р (X)
в V. Рассмотрев теперь	где р' (X) ф р (X) и f (р' (X)) =
= { (р (X)), получим нужное утверждение.
Заметим, что при условиях теоремы значение Хо является предель-
ным как для множества значений X, при которых происходят бифурка-
ции циклов отображений семейства Д, так и для множества значений
параметра, при которых происходят бифуркации периодических ин-
тервалов.
Условия сохранения периодических интервалов содержатся в тео-
реме 4.12.
Теорема 4.12. Пусть 21п (/х0) =/= 0, Х0£Л. Предположим, чта
JmL (Хо) cz int JmU (Хо). Тогда для достаточно малого г > 0 2(п (fk) Ф 0
при всех X G (Хо — е, Хо + е).
105
Доказательство. Пусть р — крайняя точка Утах (М>
являющаяся неподвижной точкой /х0- Поскольку ^min (Ао)
<= int (Ао), то (До)' (р) > 1 и /х0 (с) е int (Ао). Пусть V (р) —
малая окрестность точки р и — максимальная окрестность унимо-
дальности /2, содержащая точку с. Если е > 0 мало, то Vp с Ua при
% G (Ао — е, Ао + е) и /2 имеет единственную неподвижную точку
Р (А) Е V (р) и для нее (Д)' (р (X)) > 1. Пусть р' (%) #= р (%) и f (р' (%)) =
= f (р (А)). Тогда fUpu^p (м cz 1Р(К),Р'(М и 21п (Д) #= 0 при А £ (Ао — е,
Ао + е).
Следствие. Пусть (До) =# 0 и 21^ (До) =/= 0 при некото-
ром т > п. Тогда для достаточно малого в > О (Д) = 0 при А £
С (Ао — е, Ао + е).
Действительно, если J$n (Ао) ф int Утах (Ао), то 9Im (До) = 0 при
всех т > п. Таким образом, Jmin (Ао) <= int Утах (Ао) и доказательство
нашего утверждения сводится к теореме 4.12.
Из теоремы 4.12 можно получить еще одно утверждение, которое
говорит о том, что для U-отображения / при его возмущениях спект-
ральное разложение множества й (/) начинает изменяться с последних
элементов разложения.
m*(f)
Теорема 4.13. Пусть f — ^-отображение и й (/) = (J йт (/) —
т=0
нейтральное разложение множества неблуждающих точек. Если
т* (/) = оо, либо т* (/) < оо и (/) Г)	(f) = 0, wo
для всякого т0 <т* (f) существует е > О, обладающее свойством:
для любого отображения g с J g — f |)сз < е, т* (g) > т0 и
f \ т9 ~ g | т9
U Gm(f)	U Q <£)
m=0 т	т=О т
Если т* (/) < оо и (/) A Un*(f)-i (/) #= 0, то утверждение тео-
ремы выполняется для m0<m*(f) — 1.
Следует подчеркнуть, что теорема 4.12 является частным случаем
более общего утверждения, которое мы сейчас сформулируем.
Теорема 4.14. Пусть fug — U-отображения. Если fug имеют
эквивалентные периодические интервалы периода п, то существует
на
гомеоморфизм h : I -> / такой, что h ° f = g ° h на I \ int /max (/)
(m. e. f и g топологически сопряжены на I \ int /max (/))• Верно и об-
ратное: если для некоторого п 1 У1п (f)	0 и существует интер-
на
вал U cz: Утах (/) и гомеоморфизм h : I -> I такие, что h ° f = g <> h
на 1 \ U, mog имеет периодический интервал, эквивалентный J(mlx (/)♦
Доказательство теоремы опирается на результаты § 3 для U-отоб-
ражений. Мы это доказательство не приводим.
Нетрудно показать, что точки бифуркации спектрального разло-
жения Д — это такие значения параметра Л, при которых Д не явля-
ется структурно й-устойчивым. Точками структурной й-устойчивости
являются только те значения X, для которых Д имеет притягивающий
цикл.
106
В точке бифуркации спектрального разложения Q (Д) либо /п* =
= оо, либо Qm* — цикл и мультипликатор (Qm*) равен ±1, либо
Qm* — цикл интервалов. Здесь возможны пять различных ситуаций:
а)	/и* = оо;
б)	Q™* — цикл и р, (Qm*) = —1;
в)	Qm* — ЦИКЛ интервалов И Qm* Г) Qm*-l = 0;
г)	Qm* — ЦИКЛ И |1 (Qm*) = +Г,
д)	Qm* — ЦИКЛ интервалов И Qm* Г) йт*-1 =/= 0.
В случаях «б» и «в» Qm* — аттрактор, в случае «а» — квазиаттрак-
тор, в случае «д» Qm* — репеллер, а в случае «г» Qm* — полупритяги-
вающий цикл и, таким образом, цикл «склеен» из аттрактора и репел-
лера. Непустое пересечение Qm* и Qm*-i является характерной осо-
бенностью случаев «г» и «д».
Будем называть точку бифуркации спектрального разложения в
случаях «а» — «в» точкой мягкой бифуркации, а в случаях «г» и «д»
точкой жесткой бифуркации. Причина этого раскрывается в следующей
теореме, показывающей, что Q-взрывы в семействе Д могут происходить
только в точках жесткой бифуркации. Эта теорема, хотя и сформулиро-
вана для семейства кх (1 —х), выполняется для произвольного се-
мейства U-отображений при некоторых ограничениях общего вида на
зависимость от параметра. Смысл этих ограничений состоит в том,
чтобы при к = Хо действительно происходила бифуркация спектраль-
ного разложения, т. е. чтобы Хо не было точкой возврата (в некотором
смысле) отображения к Q (Д).
Теорема 4.15. Пусть Д (х) = Хх (1 — х), к G [0, 4]. Отображение
X ► Q (Д) имеет разрыв в точке kQ тогда и только тогда, когда
т* (Хо) 00 Qm* (Хо) П Qm*—1 (Хо) =^= 0- Если Qm* (Xq) цикл,
то отображение к »-► Q (Д) непрерывно справа и величина скачка в точ-
ке Хо слева равна \ (Qm* (Хо), Qm*-i (Хо)). Если Qm* (Хо) — цикл интер-
валов, то отображение X Q (fK) неп явно слева и величина скачка
в точке Хо справа также равна Д (Qm* С Qm*-i (Хо)).
Следует отметить, что для семейства Д точки жесткой бифуркации
образуют в [0, 4] счетное множество. Возможно, что это выполняется
для любого семейства вида kf (х), когда f — U-отображение. В то же
время точки мягкой бифуркации спектрального разложения для се-
мейства f образуют на интервале [0, 4] несчетное множество и, более
того, мера Лебега этого множества значений к положительна.
В § 4 предыдущей главы было введено понятие Q-устойчивости отоб-
ражения f как непрерывности в «точке» f отображения Л : Сг (X,
X) -> 2Z, когда e/Z (/) = Q (/). Отображение f Q-устойчиво, если оно
структурно Q-устойчиво или допускает мягкую бифуркацию спек-
трального разложения. Из сказанного ранее следует, что U-отобра-
жения, не являющиеся Q-устойчивыми,— исключительное явление.
Отметим еще, что U-отображение не является системой с устойчи-
вой пролонгацией тогда и только тогда, когда Qm* Г1 Qm*-i =/= 0»
т. е. возможна жесткая бифуркация спектрального разложения. В этом
и только в этом случае множество слабо неблуждающих точек В (/)
и множество неблуждающих точек Q (F) не совпадают: В (f) = Q (/) U
U Qm*—1 (при ЭТОМ Qrn*-1 = Qf (Qm*) = Qf (Qm* Г) Qm*-1)).
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
ГЛАВА 1
НЕЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи
Объект исследования настоящей главы — одномерное нелинейное
автономное разностное уравнение с непрерывным аргументом
=	/GR+	(1.1)
где f : / -> 1 — заданная, х (t) : IR+ -> I — неизвестная функции; / cz
cz R1 — некоторый замкнутый ограниченный интервал. Будем ин-
тересоваться, как ведут себя решения уравнения (1.1) при оо в за-
висимости от функции f и от начальных данных
х(/) = Ф(/), /G(0, 1J.	(1.2)
Основное внимание уделяется непрерывному случаю: предполагается,
что
/сс°(/,/), ФСС°([О, 1],/),	(1.3)
и выполняется условие согласования
Ф(1)=/(Ф(О)).	(1.4)
Непосредственно из (1.1) вытекает, что решение х (/) начальной за-
дачи (1.1), (1.2) единственно и, как уже отмечалось выше, представимо
в виде
х (/4-n) = f (<p(Z)), /£[0,1],	(1.5)
(через fn обозначается n-ая итерация /). Следствием формулы (1.5)
является следующее предложение.
Предложение 1.1. При выполнении условий (1.3), (1.4)
x(0GC°(IR+,/).	(16)
Таким образом, рассматриваются непрерывные и ограниченные
на всей оси решения уравнения (1.1). Формула (1.5) показывает, что
для изучения поведения этих решений при t -> оо надо выяснить свой-
ства итераций fn о ф, п £ при всевозможных ф $ С°. Другими сло-
вами, необходимо рассмотреть бесконечномерную динамическую (точ-
нее, полудинамическую) систему (^л, С°, 2?+), где С° = С° (10,
1], /) — фазовое пространство, [ф] = f ° Ф — действие; Z+ — по-
лугруппа целых неотрицательных чисел. Пусть сГл [ф1, п С J£+,—
траектория этой динамической системы, проходящая через точку ф.
Тогда решение х (/) с начальной функцией ф (/) получается «склейкой»
108
при каждом п правых концов [ср] (/) с левыми концами ^'п+1 [<?](/):
x(t + л) = &п 1ф1 (0,	€ Ю, 11, ng 2?+. Следовательно, поведение
при п -> оо траекторий динамической системы (^п, С°, 2+) полностью
определяет поведение решений х (/) при оо. Получаем такую же
ситуацию, как и в случае разностных уравнений с дискретным време-
нем, исследование которых можно заменить исследованием соответст-
вующих одномерных динамических систем вида (/", /, Z+).
Однако в бесконечномерном случае указанный подход сразу натал-
кивается на одно существенное затруднение: фазовое пространство
С° (10, 1], /) некомпактно, поэтому траектории^'1 [ср] могут не иметь в
С° (10, 1], I) даже частичных пределов, что и происходит в большинстве
случаев, хотя при некоторых f (ниже мы дадим их полное описание)
траектории все же компактны в С° ([0, 1], /).
Вопрос о компактности траекторий рассматриваемой бесконечно-
мерной системы непосредственно связан с вопросом о компактности
в С° (/, /) семейства {fn]i если это семейство некомпактно, тогда в
(^п, С°, есть некомпактные траектории, и наоборот. Поэтому,
чтобы справиться с возникшей ситуацией, приходится от С° перейти к
некоторому более общему, но уже компактному пространству. Так мы
приходим к необходимости изучения динамической системы (^п, СА,
Z+), где СА = СА (10, 1], /) — пространство полунепрерывных свер-
ху функций ф ' [0, I] -> 27 (27 — множество замкнутых подынтерва-
лов из /) с топологией, задаваемой расстоянием Хаусдорфа между гра-
фиками функций в R2:
Д {Ф1, ф2} = max { sup р (z, gr фх); sup р (z, егф2)},	(1.7)
z€gr4)t	zGgnp,
где gr ф, — график функции ф, при t С [0, 11; р (z, gr фг) — расстояние
в IR2 от точки z до множества gr фР Фазовое пространство СА компакт-
но и, следовательно, полностью содержит со-предельное множество
каждой траектории [ср]. Геометрический смысл сходимости [ср]
при п -> оо к некоторой функции ф С СА следующий: при п -+• оо
график [<р] (/) все более точно «сливается» с графиком ф (/) (именно
с целым графиком ф (/), а не с некоторой его частью).
Рассмотрим несколько примеров,
на которых поясним, почему в ка-
честве более общего компактного про-
странства целесообразно взять имен-
но СА, а не какое-либо из хорошо
известных и часто применяемых в ма-
тематической физике пространств
обобщенных функций с интегральной
метрикой.
Пример 1. Пусть отображение1
1 = [ах, Од], имеет (рис. 45) две притягива-
ющие неподвижные точки х = ах и х = а3
и одну отталкивающую неподвижную точку
х — 02 (и нет периодических точек пери-
одов, больших единицы). Предположим вна-
Рис. 45.
109
Рис. 46.
чале, что f (х) монотонна при всех х £ /. При этих предположениях об-
ласть притяжения точки аг — интервал [аь а2) (если х G [fli, я2), то lim’/* (х) =
П-*оо
= aj, а область притяжения точки а3 — интервал (а2, 0з1« Поэтому если начальная
функция <р (/) такова, что ф (0 < а2 при всех t £ [0, 1], то для решения х (О,
порождаемого этой начальной функцией, lim х (0 = av Аналогично, если а2 <
/-►оо
< Ф (0	а3, т0 Игл х (0 = (Ц (рис. 46, а).
/-►оо
Таким образом, в этих двух случаях мы имеем дело с той «исключительной»
ситуацией, когда траектория [ф], п 6 компактна в С° — сходится к функ-
ции ф (/) == а/, i= 1 или i = 3. Положение сразу меняется, если график ф (0
пересекает прямую х = а2 или касается ее (но не совпадает с ней). Действительно,
пусть, например, график ф (0 пересекает прямую х = а2 два раза, т. е. найдутся
точки tlt t2 С (0, 1) такие, что аг ф (0 < а2 при t £ [0, j (^2, Л и < Ф (О С
а3 при t Q (tlt (когда ф (0 удовлетворяет условию согласования (1.4), как
ПО
lim x (t + n) =
I	al>
=
I	a3.
легко сообразить, число пересечений четно).
Поэтому в силу свойств /
<h при /€[0, /J U (/2, 1],
а2 при t = \ и t = /2,
Оз при /£ (/п /2)
(см. рис. 46, б). Таким образом, траектория Я^ф]
уже некомпактна в С°. Однако в метрике
(1.7) графики [ф] (0, t £ [0, 1], сходятся
при п -> оо к графику функции
/€ [0, 0) U (^2,
[ар а3], / = и / = /2,
*€(G> /2),
принадлежащей Сд. Вследствие этого решение
х (0, порождаемое начальной функцией ф (0,
сходится при t -> оо (опять же в метрике Хаусдорфа ,
ческой предельной функции р (0 € Сд (IR“^, /) вида
р(/ + п) = ф(/), /€[0,1], пС
для графика) к 1-периоди-
z+.
Заметим, что предельную функцию р (0 можно считать обобщенным решением
уравнения (1.1), так как р (0 удовлетворяет (1.1) везде, включая точки многознач-
ности.
Как изменится поведение х (0 при t -> оо, когда график ф (0 будет иметь
не два, а большее число пересечений с прямой х = а2? Очевидно, это приведет
только к увеличению числа точек многозначности у ф (0 и, соответственно, у р (0.
Вообще говоря, множество значений t* € [0,1], в которых происходит указанное
пересечение, обозначим его	может быть и бесконечным, более того, несчетным.
Действительно, в качестве	можно выбрать любое наперед заданное нигде не
плотное подмножество из [0, 1], после чего построить соответствующую непре-
рывную функцию ф (0. Например, может быть канторовым множеством, да и
его мера Лебега mes gT может быть сколь угодно близка к единице.
Следует, однако, заметить, что при наложенных на f условиях случай, когда
*7 бесконечно, неустойчив к возмущениям ф (0 не только в С°, но и в Сг> г > 0,
топологии: сколь угодно малым шевелением ф (0 всегда можно добиться, чтобы
множество точек пересечений графика возмущенной начальной функции ф (0
с прямой х = ^2 было уже конечно. Такие ситуации мы называем негрубыми. К не-
грубым принадлежат также случаи, когда график ф (0 не пересекает, а лишь ка-
сается прямой х = а2 (рис. 46,в). ’
Теперь несколько усложним отображение f, представленное на рис. 45: пред-
положим, что условие монотонности функции f (х) нарушается таким образом, что
inf f (х) = bi <. alt sup f (x) = b2 > а остальные условия по-прежнему
x€(aita2)	х£(а2,а3)
выполняются (рис. 47). Тогда решение х (0, порождаемое начальной функцией ф (0
(^ — {0; 0}), будет иметь вид, представленный на рис. 48. Видно, что графики
111
функций [<р] (0 сходятся при п -> оо в метрике (1.7) к графику функции
М U (*2> И,
Ф(0 =	[bi,62], t = tlf t=t2,
I ^з»	€ (^i» ^з)*
Предельная функция ф (0 отличается от той, которая была раньше, только
значениями в точках множества ^*, в остальном все остается без изменений. Такого
рода сходимость последовательности непрерывных функций [<р] (/) к многознач-
ной функции ф (0, сопровождающаяся «выбросами» в окрестности разрывов, полу-
чила название явления Гиббса [39]. Явление Гиббса в нашем примере сохранится,
когда множество будет иметь и более сложную структуру.
Теперь уже понятно, почему в качестве пространства обобщенных
функций мы выбрали пространство СА с метрикой (1.7). При таком под-
ходе удается не только находить «обобщенные» решения, предельные
для «классических», но и, снабжая эти обобщенные решения в точках
разрыва некоторыми значениями (из множества 27), получать инфор-
мацию о предельном поведении классических решений в окрестности
«предельных» точек разрывов. Из дальнейшего будет следовать, что
информация о сходимости все еще не полная (и уточнить ее можно при
помощи так называемой метрики Скорохода, улавливающей не только
амплитуду, но и число колебаний в окрестности Однако если обоб-
щенным решениям вообще не приписывать никаких определенных зна-
чений в точках разрывов, как это обычно делается в пространствах с
интегральными метриками, то интересующая нас информация теряется
совсем. Кроме того, в случае пространств с интегральными метриками
из рассмотрения исключаются решения (как классические, так и обоб-
щенные), для которых множество имеет ненулевую меру Лебега.
И хотя в рассматриваемом примере это и не столь важно (ситуации
с mes > 0, как указывалось, являются негрубыми), во многих
других случаях роль тех решений, для которых mes 0, существен-
на (если, например, f имеет перемешивающий аттрактор, множество
ТГ может содержать целые интервалы).
В нашем примере типичными оказались решения х (/), для которых
предельное множество разрывов конечно. Это связано с тем, что
разрывы у предельной функции ф (/) возникали только в точках пере-
сечения графика ср (/) с одной единственной прямой х = а2. Попробуем
разобраться, в чем здесь дело. Интервал / состоит из двух областей
притяжения: [ап а2) и (а2, а3], а в роли делителя, отделяющего точки,
притягивающиеся под действием f к а1У от точек, притягивающихся
под действием/ к а3, выступает а2. Других точек, обладающих аналогич-
ным свойством, нет, поэтому только пересечение графика ф (/) с пря-
мой х = а2 дает разрывы предельной функции ф (/).
Существуют, однако, отображения /:/->/, у которых области
притяжения циклов устроены намного сложнее. Типичны, например,
ситуации, когда область притяжения одного только цикла представля-
ет собой объединение счетного числа открытых непересекающихся
подынтервалов из /. Граничные точки таких интервалов составляют
так называемый разделитель отображения /, который обозначается D
или в необходимых случаях —D (J). В общем случае разделитель D
определяется как множество точек из /, порождающих неустойчивые
112
по Ляпунову траектории полу-
группы fn (см. § 3). Заметим, что
в только что рассмотренном при-
мере D = {а2}.
В следующем примере D бес-
конечно. Поэтому в естественных
ситуациях множество точек, в
которых график начальной
функции ф (/) пересекает прямые
х=а*, а* (= D (это множество
мы обозначаем(ср)), так-
же бесконечно.
Пример 2. I = [0, 1] и f (х) = Хх X
X (1 — х), Х = 3,83 (рис. 49). Известно,
что при указанном значении X у отоб-
ражения f есть притягивающий цикл
периода 3 (его образуют точки аг =
= 0,156 ..., а2 = 0,504 ..., а3 = 0,957 ...)
а, а2 азх
Рис. 49.
и нет других притягивающих циклов. В то же время у этого отображения есть оттал-
кивающие циклы, причем любого периода. Точки отталкивающих циклов, очевидно,
принадлежатD, поэтому множество!) бесконечно. Но, как легко видеть, точки неус-
тойчивых циклов, которых счетное число, составляют лишь малую часть D. В действи-
тельности D = I \ Р ({б^; а2\ а3}) (через Р (Jk) обозначается область притяжения
множества Jh при отображении /) и представляет собой в данном случае несчетное
нигде не плотное в I множество. Чтобы увидеть это, опишем алгоритм построения
D. На интервале [0, 1] выделим множества Р^ и D^k\ k Q ТИЛ, по следующему
правилу. Пусть Р(0)= (а®\ р<0)) |j (а^0), f^0)) J (а^0), Р^0)) — точная область притяжения
цикла {ах; а2; Og}, Z)(0) = I \ Р(0); Р(1) = (ар, Рр)(J(ар, рр) — множество значе-
ний xQ Z)(0), для которых f (х) £ Р(0), Z)(1) = Z)(0) \ Р(1); Р(2) = (ар, Pp)(J(aP
— множество значений х £ Z)(1), для которых / (х) G Р^\
D(2) =	\ р*& (рис. 50). Аналогично, для любого k £ %+
р№ = {х G : f (x) G P^”1*}, D(k> = D^—1) \ P{k\
Тогда множество D = П D® и есть разделитель отображения f,
/г=0
Алгоритм построения D = П D®* совпадает с алгоритмом построения мно-
л=о
жества Кантора (из [0, 1] выбрасываются открытые интервалы, а то, что осталось,
и есть D). Кроме того, можно показать (например, при помощи численного счета),
что [209] || > 1,035 для всех х G £>(6) (а следовательно, и для всех х G
k > 6), поэтому mes D = 0.
Заметим, что для разделителя D в данном случае формально можно получить
и другую формулу:
D= и ГкР.
л=о
где Р__ — замыкание множества Р__ точек отталкивающих циклов f.
Пусть теперь задана некоторая начальная функция <р (0, удовлетворяющая
условию согласования (1.4). Тогда ее график gr <р (0 должен обязательно пересе-
кать бесконечное (несчетное) число прямых вида х= a*, a* QD. Если не требовать
8-3793
113
выполнения условия согласования (1.4), то значения <р (/) могут принадлежать
какому-либо одному интервалу (а^\ ₽^) С и тогда пересечений нет.
Пусть также график <р (t) не касается, а лишь пересекает указанные прямые. Рас-
смотрим траекторию [<р], п £ Z+, динамической системы (^п, Сд, Z+) (см. вы-
ше). Она притягивается циклом
{ф;	5Г2 №]}j

x=p(t)
О	1 t
Рис. 51.
114
где гр — элемент Сд ([О, 1], 7), обладающий свойством ф (7) С л8} ПРИ 7 С
Q I \ D и ф (7) = [0,15585706, 0,9575] при t Q D. Тогда график решения х (f),
порождаемого этой начальной функцией, сходится при t -> сю к графику 3-периоди-
ческой предельной функции (обобщенного решения) р (t) вида
( 147),	/€ [0, 1),
p(t + 3n)=	[ф] (7 - 1),	7Е[1, 2),
I Я-2[ф](г —2), 7£[2,3),
На рис. 3, а показан график решения в этом случае. На рис. 51 изображена соот-
ветствующая этому решению предельная функция р (t) при t Q [0,1].
§ 2. Асимптотически разрывные решения
Уравнение (1.1) может иметь решения, непрерывные (в том числе
сколь угодно гладкие) и ограниченные, но не обладающие свойством
равномерной непрерывности при 7-> оо. Наличие таких решений ка-
чественно отличает разностные уравнения с непрерывным аргументом
от обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запазды-
ванием.
Определение 1.1. Функцию х (7) g С° ([R+, /) (/ — замкну-
тый интервал) назовем асимптотически разрывной, если х (7) не обла-
дает свойством равномерной непрерывности на [R+.
Получим условия существования асимптотически разрывных реше-
ний уравнения (1.1). Рассмотрим семейство функций {fn}t nQ%+.
Так как f С С° (7, 7), то при любомп fn g С° (7, /), откуда следует,
что семейство {fn} равномерно ограничено.
Лемма 1. Уравнение (1.1) не имеет асимптотически разрывных ре-
шений тогда и только тогда, когда семейство функций {fn} равносте-
пенно непрерывно.
Замечание. Так как {fn} равномерно ограничено, то условие
равностепенной непрерывности по теореме Арцела равносильно ком-
пактности {fn} в С°-топологии.
Доказательство. Достаточность. Надо показать, что при
выполнении условий леммы любое решение х (7) уравнения 1.1) рав-
номерно непрерывно Ha[R+. Равностепенная непрерывность семейства
{fn} означает, что для любого е > 0 можно указать такое бх > 0,
что для любого п
1Г (х') - Г (х") | < е при | х' - х" | < 6Х,
причем Sj не зависит от п. С другой стороны, начальная функция
ф (7), / С [0, 1], как функция, непрерывная на замкнутом интервале,
также равномерно непрерывна, поэтому для любого заданного > 0
найдется б2 > 0 такое, что
/ <р (7х) — <р (7") I < при \t'— 7"|<б.
Тогда равномерная непрерывность решения х (7) с начальной функцией
<Р (7) — простое следствие двух последних неравенств и формулы (1.5).
Необходимость. Пусть х (7) — асимптотически разрывное решение
уравнения (1.1). Тогда х (7) не является равномерно непрерывным на
8*
Н5
[R+, т. е. существует е > 0 и последовательность интервалов Ut cz [R+,
f € обладающих свойством diam UL -> О, i -> оо, и таких, что
diam х (L^) е при	(1-8)
где х (Ui) — образ интервала Ut под действием х (/). При этом интер-
валы Ui должны «сходиться к +оо»: для любого Т > 0 найдется f0 =
= f0 (Т) такое, что UL cz [Tt оо) при всех i > z0. В силу последнего
можно считать, что интервалы Ut не пересекаются: f| Ut = 0. Кроме
i
того, при помощи сдвига по оси t всегда можно добиться, чтобы интер-
валы не содержали целочисленных точек (сдвиг по оси t допустим в си-
лу автономности уравнения (1.1)). Тогда каждый из интервалов Ut
принадлежит некоторому интервалу [nlt nL 4- 1], где nt- — целые чис-
ла, зависящие от it причем nt оо, i -> оо.
Снесем интервалы U L на начальный интервал [О, 1]:
V, = {/£ [0,
Ясно, что diam V,- = diam I/,-. Но в силу (1.5) и (1.8)
diam f‘(V<) > е.
т. е. семейство {/"} не есть равностепенно непрерывным. Лемма дока-
зана.
Таким образом, вопрос о существовании асимптотически разрыв-
ных решений уравнения (1.1) свелся к вопросу о равностепенной
непрерывности семейства функций {fn}. В большинстве случаев, пред-
ставляющих практический интерес, условие равностепенной непрерыв-
ности {fn} не выполнено, и (1.1) имеет асимптотически разрывные реше-
ния. Однако прежде чем переходить к их исследованию, займемся
описанием тех «исключительных» ситуаций, когда семейство {fn} все
же равностепенно непрерывно. Оказывается, можно дать простой кри-
терий- {fn} равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда
множество Per / периодических точек отображения / связно. Эго
условие расшифровывает следующая лемма.
Лемма 2. Семейство функций {fn} (f С С° (/, /), / = [а, 61) равно-
степенно непрерывно тогда и только тогда, когда выполняется одно из
двух условий:
1) существует интервал [хх, х2], а^хх^х2^Ь, такой, что
/ (х) = х, хС [хх, х2],
/(х)>х, хе [а, хх),
/(х)<х, х£(х2, Ь],
f2 (х) #= х, х С [а, хх) U (х2, 6];
2) условие 1 выполняется для отображения f2.
Доказательство. Необходимость. Пусть семейство {fn}
равностепенно непрерывно. Покажем вначале, что множество Fix f
неподвижных точек отображения f связано. Действительно, если пред-
положить противное, то в силу непрерывности / найдутся точки
хх, х2 е Fix f такие, что (хх, х2) П Fix / = 0. Пусть для определен-
ие
ности/ (х) > х, х £ (хь х2), тогда для любогох £ (*i> х2) lim fn (х)
П->оо
> х2. С другой стороны, /" (хх) = х, п G £+, Следовательно, в силу
непрерывности f для любой полуокрестности = [хх> хх + 6)
lim diam fn (U6+) е,
П->оо
где е = | х2 — хх |, что противоречит предположению о равностепен-
ной непрерывности {fn}. Поступая аналогично, можно также показать,
что равностепенная непрерывность {fn} влечет связность множеств
Fix fn, п С
Предположим теперь, что отображение / имеет цикл хх < х2 < ...
... < хп некоторого периода п. Тогда xz С Fix fnt i = 1, ..., п, откуда,
в силу связности Fix fn имеет место включение [хх, хп] cz Fix /Л, т. е.
fn(x) = x при х£[хх, хп].	(1.10)
Известно (см. [20]), что в классе непрерывных функций равенство
(1.10) может выполняться только при п = 1 или п = 2. Следовательно,
f не может иметь циклов, периоды которых отличны от 1 и 2.
Если Fix / — нетривиальный интервал (обозначим Fix f =
= [хх, х2]), то, как легко видеть, отображение / не может иметь циклов пе-
риода 2. Эти два условия немедленно дают соотношения (1.9). Если
Fix / — точка, то Fix /2 есть некоторый интервал и соотношения (1.9)
выполняются для отображения /2.
Достаточность. Пусть f удовлетворяет неравенствам (1.9). Покажем,
что тогда последовательность итераций {fn} сходится в С°-метрике к не-
которой предельной функции /0, что гарантирует равностепенную не-
прерывность {/}.
В силу (1.9) Per / = Fix f = [хх, x2]t поэтому траектория fnx любой
точки х g I притягивается интервалом [хх, х2]. При этом если траекто-
рия на каком-то шаге попадает внутрь [хх, х2], то дальнейшее свое дви-
жение она прекращает. Интервал 1 разобьем на два подмножества:
1 = Хх U Х2, где
Хх = {х с I :Э га0 = n0 (х): fn° (х) 6 [хх, х2[),
Х2 = / \ Хх.
Точки из Х2 притягиваются под действием / к одной из граничных то-
чек интервала [хх, х2]. Но прежде чем попасть в область непосредствен-
ного притяжения хх или х2, траектория fn х (х £ Х2) может, вообще го-
воря, совершить несколько обходов вокруг интервала [хх, х2]. Однако
существует пх такое, что V х £ Х2 и п > nx fn (х) принадлежит области
непосредственного притяжения хх или х2 и, таким образом, монотонно
притягивается к одной из этих точек. Поэтому
Х2 = %2,1 U Х2,2,
где
X2,i = {хСХ2:/Л(х)->хх, п->оо],
%2.2= {хСХ2:/ (х)—>х2, п->оо).
Ясно также, что Х2д П Х2,2 = 0.
117
Искомую предельную функцию /0 (х) определим следующим обра-
зом:
/о(х) —
Г°М,
*6^2.1,
%2 x(z ^2,2-
(1.Н)
Тогда сходимость fn (х) к /0 (х) в С°-метрике — следствие описанных
выше свойств функциональной последовательности {/Л(х)}.
В случае, когда выполняется условие 2 леммы 2, доказательство
проводится аналогично, с той разницей, что последовательность
[fn (х)} имеет два частичных предела:
Ит Г(х) = П(х),
П->оо
Ит f2n+' (х) = /((/2)0(х)),
где (/8)0 определяется по формуле (1.11).
Таким образом, как в одном, так и в другом случае последователь’
ность {/п| компактна в Со (1, 7). Лемма доказана.
Опишем асимптотические свойства решений уравнений (1.1) при
выполнении условий леммы 2.
Теорема 1.1. Если выполняется условие 1 леммы 2, то равномерно
по 7 С [0, 1]
lim х(/ 4-п) =/0 (<р (/)).
П->оо
Если выполняется условие 2 леммы 2, то равномерно по t £ [0, 1]
lim х (t 4- 2n) = (/2)0 (<р (0),
П-ЮО
lim х(/4-2п 4- 1) = /((/2)о(ф(П)).
П->ОО
Справедливость теоремы 1.1 вытекает из формулы (1.5) и лем-
мы 2.
Следствие. В первом из рассмотренных случаев каждое реше-
ние х (/) уравнения (1.1) является асимптотически 1-периодическим,
т. е. удовлетворяет соотношению
lim |х(/ + п + 1) — х(/ + п) | = 0,
П-+оо
во втором случае — асимптотически 2-периодическим, т. е. удовлет-
воряет соотношению
lim | х (t 4- п 4- 2) — х (/ 4- п) | = 0.
П-*оо
При этом в первом случае х (/) сходится при t -> оо в С°-метрике к
1-периодическому решению
Р(0 =/о (ф (<—«)), К1п,п 4-1], n£Z+,
во втором — к 2-периодическому решению
= ((/2)о (ф (/ -2п))' 1 е t2n’2п + 1ь
Р()	1/((/2)о(<Р^-2п-1)), /€(2п4-1,2п4-2], n€Z+-
118
§ 3. Разделитель отображения.
Простейшие свойства асимптотически разрывных решений
В силу леммы 1, § 2, уравнение (1.1) имеет асимптотически разрыв-
ные решения тогда и только тогда, когда последовательность функций
fn (х), х g 7, п g не является равностепенно непрерывной. Точки из
/, в которых нарушается равностепенная непрерывность fn (х), обра-
зуют некоторое множество D (f), называемое разделителем отображе-
ния /. Дадим определение.
Определение 1.2. Множество точек из /, порождающих
неустойчивые по Ляпунову траектории полугруппы {fn (х)}, назовем
разделителем отображения / и обозначим D (/).
Для отображения / понятие разделителя D (f) тесно связано с по-
нятием множества Жюлиа (/). Действительно, по определению [1791
множество Жюлиа есть дополнение к множеству нормальности (мно-
жеству Фату), состоящему из таких точек х С /, для каждой из которых
найдется окрестность U& (х), в которой семейство fn (х) равностепенно
непрерывно (отсюда легко заключить, что множество нормальности
открыто, а множество Жюлиа замкнуто). Из следующей ниже леммы
вытекает, что 7) (/)	(/) и D (/) = 3 (/), гдеО (/) — замыкание D (f).
Поэтому в тех случаях, когда D (J) замкнуто (что имеет место во мно-
гих типичных ситуациях, например для U-отображений), D (J) и 3 (f)
совпадают.
Лемма 1. Пусть f С С° (/, /). Тогда, каково бы ни было 6 > 0, се-
мейство функций fn (х) равностепенно непрерывно на множестве / \
Uъ (D) и обладает свойством
lim diam fn (U& (х))	е
п-+оо
в каждой точке х множества D, где е = е (х) > 0 — некоторое чис-
ло, которое можно выбрать не зависящим от 6.
Доказательство. Рассмотрим некоторый интервал [а, р] с:
cz I \ Us (D) и предположим, что условие равностепенной непрерыв-
ности fn (х) на [а, р] не выполнено. Это значит, что существует е > О
и последовательность интервалов [ад, рд] cz [а, р], diam [ад, рд] ->
0, i -> оо, таких что
diamf([a„,prt])>8,	(1.12)
В силу diam [ад, Рд] -> 0, п -> оо, числовые последовательности {ад}
и {рд} асимптотически эквивалентны, они имеют совпадающее и не-
пустое множество точек сгущения. Обозначим его А, Покажем, что
А cz D.
Пусть а С А. Тогда существует подпоследовательность {nk} такая,
что рл* -> a, k -> оо. Из (1.12) следует, что на каждом интервале
PnJ найдутся точки a'k и а*, для которых \fnk (а*) — f1* (а*) | е.
Тогда
max (| fk(а*) — fk (а) |;	| fk (ak) — /"*(а	,
119
что в силу a'k, a”k a, k оо, и означает неустойчивость по Ляпунову
траектории fna. Таким образом, точка а — разделяющая для отобра-
жения f.
Пусть х С £>, т. е. траектория fnx неустойчива по Ляпунову. Это
означает, что найдется 8>0и последовательность ak^x, fe->oo,
такие что при всех k = 1,2, ...
If"* (а*)- Л(х)1>е,	(1.13)
где {nk} — некоторая подпоследовательность причем в силу непре-
рывности f пь -> оо, k -> о°. Положим 8k = I ak — х |, тогда из (1.13)
заключаем, что для любого k
diam fk (lhk (x))	8.
Лемма доказана.
Рассмотрим решение х (/) уравнения (1.1) с некоторой начальной
функцией ф (/) и соответствующую этому решению функциональную
последовательность fn (ф (/)), /g [0, 1], ng %+. Решение х (/) легко
строится по этой последовательности при помощи формул (1.5), поэто-
му, чтобы изучить его поведение при t -> оо, достаточно знать предель-
ное поведение fn о ф. Несложно указать условия на ф, при которых
свойства fп ° ф при п -> оо аналогичны соответствующим свойствам
fn9 описанным в лемме 1. Простейшим таким условием является так
называемое условие tv-пересечения.
Определение 1.3. Скажем, что функция ф g С° ([0, 1], /)
удовлетворяет условию tv-пересечения, если для любого 7g [0, 1]
такого, что ф (?) g Z), и любого S > 0 множество ф (<7е (0) содержит
некоторую окрестность точки ф (/).
Геометрический смысл условия tv-пересечения очевиден: условию
tv-пересечения не удовлетворяют функции ф, графики которых или
касаются (без пересечения) прямых х = af a g D, или имеют с этими
прямыми общие интервалы.
Положим
V ={/g[0, 1] :Ф (OgD}.
Учитывая вышеизложенное, из леммы 1 имеем следствие.
Следствие. Пусть функция ф принадлежит классу С° ([0, 1], /)
и удовлетворяет условию tv-пересечения, f g С° (/, /). Тогда, каково
бы ни было 6 > 0, семейство функций fn о ф (/) равностепенно непрерывно
на множестве [0, 1] \ U$ (3й) и обладает свойством
lim diam fn © ф (U& (?)) > е
П-*оо
в каждой точке t множества , где е = е (/) > 0 — некоторое число,
которое можно выбрать не зависящим от S.
Но тогда, вводя обозначение
+= и	—
120
получаем следующую теорему об асимптотическом поведении асимпто-
тически разрывных решений уравнения (1.1).
Теорема 1.2. Пусть х (/)— решение уравнения (1.1) с начальной
функцией ф, удовлетворяющей условию {^-пересечения. Тогда, каково
бы ни было 6 > 0, х (/) равностепенно непрерывно на множестве
[R+ \ U(^|r+) и удовлетворяет условию
lim diam х (U& (t + п)) е при каждом
Л-*оо
где & = е (/) — некоторое, не зависящее от 6 число.
Теорема 1.2 касается асимптотически разрывных решений с началь-
ными функциями, удовлетворяющими условию tv-пересечения. Что
можно сказать о решениях, начальные функции которых не удовлетво-
ряют этому условию? Последняя ситуация не столь уж и исключитель-
на. Действительно, если разделитель D (/) содержит нетривиальные
интервалы, то условие tv-пересечения предполагает строгую монотон-
ность начальных функций ф на этих интервалах. Более того, может
оказаться, что D = I (например, когда у f : I -> 1 есть глобальный
перемешивающий аттрактор), и тогда ср (/), удовлетворяющая усло-
вию tv-пересечения, вообще не может иметь экстремумов равно как и
участков постоянства, т. е. должна быть строго монотонной при всех
t [0, 1]. Простые примеры здесь — отображение Д : х К х(1 — х),
например, при значениях параметров К = 4 или X = 3,678...
Как оказывается, во многих случаях (включая только что упомя-
нутые) от условия tv-пересечения можно отказаться вообще. При этом
в формулировке теоремы 1.2 множество^* необходимо заменить неко-
торым его подмножеством. Введем следующие обозначения.
По определению разделитель D (f) состоит из точек, неустойчивых
по Ляпунову. Среди точек разделителя выделим такие, у которых
«неустойчива правая полуокрестность», и такие, у которых «неустой-
чива левая полуокрестность». Точнее, положим
= {х £ : 3 е > 0 : V б > 0 3 х € (х, х + б): lim | fn (х) — fn (х) |	е},
П-*оо
D~ — {х £ D: 3е > 0: V 6> 0 3 х £ (х — б, х): lim | /" (х) — fn (х) (е}.
п-*оо
Множества D+ и D" могут пересекаться, их объединение равна
D (/). Пусть теперь — множество точек / £ У таких, что qp (/j £ D+
и ф (17б (/)) содержит правую полуокрестность точки ф (t) при любом
б > 0. Аналогично, У" — множество таких t G ST, что ф (/) 6 D” и
Ф (^о (0) содержит левую полуокрестность ф (/) при любом б > 0.
Тогда в формулировке теоремы 1.2 условие tv-пересечения начальной
функции ф можно опустить, но при этом множество^ следует заменить
множеством Т+ (J (соответственно множество множеством
U U € (п, п + 1) : t — п G (J ST-}).
Л^О
12L
Рассмотрим простой случай, когда (J допускает полное опи-
сание. Пусть отображение f имеет перемешивающий аттрактор, при-
тягивающий все точки из /. Тогда, очевидно, D+ =	= / и, таким
образом, (J = ^ \ ^oonst, где ^COnst — множество точек ? €
для которых <р (/) = const в некоторой окрестности t.
§ 4. Предельная полугруппа
Как мы видели выше, асимптотическое поведение решений раз-
ностного уравнения (1.1) в конечном счете определяется предельными
свойствами полугруппы отображений {fn\, порождаемой правой частью
уравнения. Чтобы охарактеризовать эти свойства, определим по f: / ->/
отображение /д : I -> 2Z по правилу
=	(1.14)
П-*оо
(символ lim понимается как предел в пространстве Сд) и рассмотрим
последовательность отображений fn °	£ Cs (21, 27), п = 0, 1, ... 16
Ниже показывается, что при достаточно общих условиях отображение
/д существует, коммутирует с f и удовлетворяет соотношению /д © /д =
= /д, и тогда {fn о /д} представляет собой полугруппу отображений
с образующей f ° /д и единицей /д. Доказывается, что эта полугруппа,
которую мы назовем предельной, обладает теми же предельными свойст-
вами, что и {fn}t так как
Д(Г, Г °/Д}->0 при п-^-оо,	(1.15)
и в то же время имеет более простую, нежели {fn}, структуру — яв-
ляется периодической или почти периодической.
1. Центральным моментом при переходе от {fn} к предельной полу-
группе {fn ° /д} является построение отображения /д. Нетривиален
уже сам вопрос о существовании /д.
В § 1 настоящей главы уже рассматривались примеры, в которых
неявно использовалось отображение /д. В наиболее простых случаях,
когда Per f = Fix Д нахождение /д не вызывает затруднений. Так, для
отображения Д изображенного на рис. 47,
(	х £ [ах, аа),
f4(x)= [&v Ь2], х = а2,
.	&з>	х £ (па, а3].
Когда Per f =# Fix f, отображение может быть устроено очень слож-
но (примеры будут рассмотрены ниже).
Простой пример отображения f, для которого не существует
представлен на рис. 52, а. Сходимость последовательности fnt элементов
16 Каждая функция g, определенная на каком-либо интервале Z, допускает
•естественное продолжение на множество всех его подмножеств 2Z по правилу
g(/')= и g(x). Здесь и везде в дальнейшем мы пользуемся при необходимости
хб /'
этим продолжением, не оговаривая этот факт особо.
422
пространства С4 (/, 2Z) эквивалентна сходимости последовательности
множеств gr/ fn' (х) и, в частности, последовательности	(х).
Поскольку
gr(x'.x-] f' (х) = {х’ X	х’, у = уп = f (X*)),
то существование Lim gr^fX-]fnl (х) сводится к сходимости числовой
л-иоо
последовательности уп£ [а, 6]. Очевидно, если х* не является асимпто-
тически периодической или почти периодической точкой отображения
f (для данного f почти все точки х £ [а, 61 не являются таковыми),
то последовательность уп расходится и, следовательно, /Л не суще-
ствует. В то же время не трудно видеть, что для отображения f,
изображенного на рис. 52, б, /д существует, в частности /д (х0) = [а,
Ы. Таким образом, в этом примере несуществование отображе-
ния /д объясняется наличием интервала, «склеивающегося» под
действием f в точку. Интервалы с такими свойствами принадлежат к
так называемым со-интервалам.
Напомним, что со-интервалом отображения /:/—>/ называется интер-
вал на /, все точки которого порождают траектории, имеющие одно и
то же со-предельное множество.
Предложение 1.1. Если отображение f не имеет ^-интервалов,
^-предельные множества которых отличны от цикла, или замыкания
почти периодической траектории, то отображение	определенное
формулой (1.14), существует 16 и при любом х£ I
/A(x)=n5oQ,f,,(x)	(116)
16 Эти условия не являютг- необходимыми. Об этом, в частности, свидетельст-
вует рассмотренный выше -
123
(через Qg (х), как обычно, обозначается область влияния точки х при
отображении g).
Мы не будем детально останавливаться на доказательстве. При-
ведем лишь некоторые пояснения. Существование предела в (1.14) экви-
валентно существованию топологического предела Lim gry/nI (х) в
П-*оо
плоскости к2. В силу непрерывности f множество gr/n! при каждом
п > 0 можно представить в виде
gr. Г' (х) = {(X, у) G К2: у = Л Г' (Ue (х)), X€ I],
8>0
откуда следует, что Lim gr существует тогда и только тогда, когда
П-*оо
при каждом х g / и каждом достаточно малом е > 0 существует
Lim fn' (Ue (х)) и при этом
П-*оо
/д(х),= л Lim([/е(х)), xQL
8>0 П->оо
В существовании Lim (i7e (х)) несложно убедиться в случае,
когда х — внутренняя точка co-интервала (и, следовательно, х £ D).
Тогда:
1)	существует ех>0 такое, что для любых у £ иг (х) и 0<е<е1
ufm (х) = ufm (у), m = l,2,	(1.17)
2)	Qfm w = co/zn (х), т = 1, 2, ...;	(1,18)
и кроме того, в силу условий предложения 1.1
3)	со; (х) либо цикл (периода N), либо замыкание почти периоди-
ческой траектории (с почти периодами : N2 ; ...) и тогда со; (х) —
канторово множество.
Когда со; (х) — цикл {х*, хг, ..., хд/), то
co/jV (х) = lim fNt (х) = {х**}, если х£Р^(х;*),
и ввиду (1.17), (1.18) при любом 0 < е < ех
Lim fni (Ue (х)) = Lim f" (x) = <o,w(x) = QfN (x) = {x’-}(
П-юо	H->oo	'	1
если xgP^(x/*).
Ра	ссмотрим почти периодический случай. Поскольку Nlt N2, ... —
почти периоды, то справедливы строгие включения
«л- (х) => oyfNi+l (х), i = 1, 2.....
где со (х) — канторовы множества, диаметры которых стремятся
fNi
к нулю с ростом L Следовательно, П со N (х) есть некоторая точка
i>Q f *
х* Q (x). Тогда ввиду (1.17) и (1.18) при 0 < в < ех
Lim fn' (Ue(х)) = Lim fn' (х) = П ® w (х) = Л (*) = {х*}.
П-+ОО	П->оо	i	П^>0
124
Таким образом, на каждом из ©-интервалов (исключая их гранич-
ные точки) /Л как функция / -> I однозначна и равна константе. Вне
©-интервалов, а также на их границе функция /д, вообще говоря, мно-
гозначна (однозначна тогда и только тогда, когда xQD (/)). Доказа-
тельство существования /д (х) (или, что то же, предела Lim fnl (Ue (х)))
П-*оо
в этом случае усложняется и мы его опустим; отметим только, что оно
существенно опирается на следующий факт: для любого е > 0 сущест-
вует у С U& (х) такое, что со^ (у) — цикл.
Следствие 1. /д = lim
при любых гп > 0, если только г\ : г2 • ••• и для k > 0 существует
rnk такое, что k : rnk.
Следствие 2, Если для каждой точки х Q I область влияния
Qf (*) — цикл или цикл интервалов и их периоды ограничены в сово-
купности, то
f = и f(x) = Q.„(x),
k-+oo
где N — наименьшее общее кратное периодов циклов и циклов интер-
валов — областей влияния точек из I,
Отметим ряд свойств функции /д, которые вытекают непосредственно
из формулы (1,16):
1)	/д как функция из I в 27 полунепрерывна сверху, т. е. /д £
€ Сд (/, 27);
2)	/д как функция из / в I
а)	однозначна и непрерывна на множестве 1 \ D (/), при этом
/д (%) == const внутри каждого co-интервала отображения /;
б)	многозначна при х £ D (f) и представляет собой замкнутый ин-
тервал.
Множество значений /д (х) при х G D (f) назовем спектром скачков
функции /д и обозначим % (/д). В типичных ситуациях это множество,
как, впрочем, и множество значений /д (х) при х С I \ D (/), конечно;
3)	график функции /д в типичных ситуациях может представлять
собой фрактальное [891 множество. Действительно, пусть dim// S —•
размерность Хаусдорфа — Безиковича множества S. При достаточно
общих условиях, в частности, когда спектр % (/д) конечен и константа
Липшица функции f ограничена,
dim// gr/ = dim,/ D (f) +1,	(1.19)
и поэтому размерность графика функции /д, когда dim// D (f) О,
больше 1 или даже равна 2 (последнее заведомо так, если D (f) содер-
жит интервал).
Перечисленные выше свойства /д иллюстрируются на рис. 53,
где для отображения Д i х Хх (1 — х) представлены графики функ-
ции /к при нескольких значениях X. Когда X = 3, 5, отображение
/а имеет притягивающий цикл периода 4; соответствующая функция
/а многозначна на счетном нигде не плотном множестве D (fa) и при
этом спектр ее скачков состоит из трех интервалов; на множестве
1 \ D (/а) функция ft кусочно-постоянна и принимает четыре значе-
125
ния, отвечающие точкам притягивающего цикла (рис, 53, а). При
X = X* = 3,56 когда у отображения Д есть только циклы перио-
дов 2П, п = 0, 1, и все они отталкивающие, функция ft непрерывна
на I \ D (fk ), многозначна на счетном всюду плотном множестве
D (Д ) и имеет счетный спектр скачков (рис. 53, б). Наконец, при
X = 3,83, когда у отображения Д есть притягивающий цикл периода
3 и отталкивающие циклы любых периодов, свойства функции ft ана-
логичны случаю X = 3,5; однако множество точек многозначности
D (fx) функции ft несчетно, нигде не плотно и при этом D (fk) — кан-
торово множество, размерность Хаусдорфа которого больше нуля.
В следствие этого график fk — фрактальное множество (рис. 53, в).
2.	Выясним условия, при которых
/до/д и fAof = fofA	(1.20)
и следовательно, {fn°f*}—полугруппа отображений. Как будет
показано ниже, выполнение первого из соотношений (1.20) влечет вы-
полнение второго.
Условия предложения 1.1 еще не гарантируют справедливость
соотношений (1.20). Пример представлен на рис. 54. Для отображения
f (рис. 54, а) существует отображение fA (рис. 54, б). Однако f и fA
не коммутируют: /д (х0) = la, b], f о f* (х0) = [а, 6], f* ° f (х0) =
= fA (b) = [a, d и тогда f о Д =/= fA о f. Точно так же fд ° fд =й= /д
(проверку оставляем читателю). В данном примере нарушение обо-
их равенств (1.20) обусловлено наличием у функции f экстремума в
точке xQ £ D (f).
Существуют отображения, для которых выполняется только второе
из соотношений (1.20). Простейший пример — отображение
х2	при х£[0, 1),
8	ПРИ ^€[1,2],
имеющее две неподвижные точки: притягивающую х = 0 и полупри-
тягивающую х = 1. Наличие полупритягивающей точки приводит
к тому, что условие £Л °£Л = g* нарушается в любой точке интерва-
ла (1, 2], а именно: g* (х) = 1,	° g^ (х) = [0, 1] при х £ (1, 2].
126
В то же время очевидно, что g ° g* = g* о g, Аналогичным свойством
могут обладать и гладкие отображения, например отображение хь>
4х2 (1 — х).
Чтобы сформулировать условия, обеспечивающие выполнение соот-
ношений (1.20), определим множество
£>*(/) = {xQD(f): Qfm (х) =/= Qfm (х)), m = 1, 2, ...}.
Предложения 1.2. Пусть отображение f удовлетворяет условиям
предложения 1,1, Равенства (1,20) имеют место тогда и только тогда,
когда D# (f) = 0.
Справедливость предложения 1,2 непосредственно вытекает из со-
отношения (1.16) и равенств
f (Qfm(x)) = Qfm (f (-*))> Qfn (Qfm W) = Qfd(m,n} (x)f
tn, П — 1, 2.....Xg /,
где d (tn, n) — наибольший общий делитель чисел пит, выполнение
которых гарантируется условием £># (/) = 0 (если оно нарушается,
то найдутся х* £ D (j) и т, п > 0 такие, что fn(Qmf (х*)) cz Qfm (fn (x*))r
Qfn (Qfm (**)) => Qfd(m,n) (X*))17.
Везде в дальнейшем, не оговаривая это особо, будем предполагать
выполненными условия предложения 1,2. Тогда, очевидно, отображе-
ния п = 0, 1, ..., образуют циклическую полугруппу с единицей
17 Доказательство этих утверждений легко получить из определения области
влияния.
127
3.	Рассмотрим свойства полугруппы {fn о /д). Снабдим [fn о /д) топо-
логией пространства Сд.
Полугруппу отображений {gn} называют периодической, если су-
ществует целое N > 0 такое, что
g-n(modW) — gn > п __ О, I , ' ' ' ,
при этом очевидно, что {gn} — группа.
Полугруппу отображений {gn} назовем почти периодической,
если существует последовательность целых чисел : N2 : ... такая,
что для любого & > 0 найдется N{ =	(е), для которого
П=0, 1, ...
Пусть /, g g Сд (X, V). Полугруппу {fn} назовем асимптотической
к полугруппе {gn],f^g, если Д {fn, gn] -> 0 при п -> оо.
Предложение 1.3. Полугруппа {fn <> /д) либо периодическая, лцбо
почти периодическая.
Доказательство. Из условий предложения 1.1 вытекает
существование последовательности N2\... натуральных чисел
Nt = Nt (/), обладающей свойством: для е > 0 найдется Nt = Aft- (е) >
> 0 такое, что
л (fN‘Qfk (х), Qfk (х)) < е, X 6I, k = 1,2, ...
Поэтому ввиду соотношения fmQfk(x) = Qfk(fm(х)), x£l, и непрерыв-
ности f имеем
= Д(П Г<2^>(х), П
= Д f n Qz*i r (x), П fNl (Qfu (Г(ХЙ < 8
\fe>0 T	fe>0 1	J
и,	следовательно, Д {fn ° F, f+N{ ° f*} <e. В частности, когда —
= jV2 = • • • = N, полугруппа {fn °F} Af-периодическая. Действитель-
но, так как fNQtN(x) =	(x), то
r+N о f (x) = fn°fN QiN (X) = fnQ[N (X) = Г О F (X), X € I.
Лемма. Umfn'+k = fk°F = F°F, *=1,2, ...
M-*oo
Доказательство. Предел lim ^’l+* существует тогда и
только тогда, когда существует f| Lim fn'+k (Us (х)):
е>0 п-*оо
п Lim F'+k (t/e (х)) = fk ( n Lim f (Ue (fk (x))\ = F ° fA (x), x € I,
e>0n-*«»	\e>0	j
что и доказывает лемму.
128
Предложение 1.4. Д {р о /д, р} -> 0 при п-^ оо.
Доказательство. Представим п в виде п = k\ + т, где
О т < k • kl. Тогда
Д {Г ° А Г} < Д {fk'+m ° /Л, fm ° /д) + д {f ° /Л. fk'+m}- (1-21)
Зададим произвольное в > 0. В силу леммы найдется К = К (е) > 0
такое, что
Д{Г°Л 1к'+т}<-^ при и /77 = 0, 1, ...	(1.22)
Оценим первое слагаемое в правой части (1.21). Из предложения 1.3
вытекает существование Nt =	(е) > 0 такого, что
при /,/71=0, 1, ...
Следовательно,
Д{/т+*'0/А.Г°А<-|- при Л>ЛГ(, /77 = 0, 1,...	(1.23)
Ввиду соотношений (1.21) — (1.23)
Д{/" °/Л»/"} < е при /г >шах {#!, Nil}.
Следствие. Полугруппа {р} либо асимптотически периоди-
ческая, либо асимптотически почти периодическая.
Замечание 1. Полугруппа {р}, f Е С° (Л /), не может быть
периодической или почти периодической, если только р не есть тож-
дественное отображение. Если р тождественное отображение18, то
{р} — группа периода 2 (если f = id, то периода 1) и /Л = id.
Замечание 2. Если условие Ь*(/) = 0 невыполнено, то отоб-
ражения f и /д, вообще говоря, не коммутируют (/ ° /д =# /Л ° Л
Р о р р) и последовательность отображений {р о Р} не обра-
зует полугруппу. Тем не менее для нее остаются справедливыми пред-
ложение 1.4 и следствие из него (эти утверждения доказываются ана-
логично, исходя из включений fQfk (х) Qfk(f(x)), Qf (х) s Qf (Qf (x)).
Поэтому даже в этом случае последовательность {р • /д} (но не
{/Л ° Р}) описывает асимптотические свойства исходной полугруппы
отображений {р}.
§ 5. Асимптотическое поведение
асимптотически разрывных решений
Теперь, когда уже известны свойства предельной полугруппы
{р ° /Л}, остается только воспользоваться формулой (1.5), чтобы оха-
рактеризовать поведение при /-> оо асимптотически разрывных реше-
ний разностного уравнения (1.1). Наложенные ранее условия, в том
числе в предложениях 1.1 и 1.2 § 4, предполагаются выполненными.
18 Это имеет место тогда и только тогда, когда график отображения f симмет-
ричен относительно прямой у = х.
9-3793
129
Определение 1.4. Скажем, что решение х (/) уравнения
(1.1) сходится при /~>оо в метрике Хаусдорфа к функции р £
€ СА (IR+, /), если
Д[7.оо>{х(/),р (/)}-> 0, 7->оо,
где Д[т\со] {•, •} — расстояние в пространстве СА ([Т, оо), /). Ре-
шение х (/) назовем асимптотически периодическим (асимптотически
почти периодическим), если «предельная» для х (/) функция р (/) пе-
риодическая (почти периодическая).
Теорема 1.3. Пусть предельная полугруппа {fn ° fA) периодическая
периода N (почти периодическая). Тогда решение х (t) уравнения (1.1)
с начальной функцией ср С Otv является асимптотически N-периоди-
ческим (асимптотически почти периодическим) и сходится при t -> оо
к функции
P(t)	te[n-l,n), nez+, (1.24)
где <Dtv (Ю, 1], I) — класс функций из С° ([0, 1], /), удовлетворяющих
условию [^-пересечения.
Замечание 1. Предельную функцию р (/) вида (1.24) можно
рассматривать как обобщенное решение уравнения (1.1) класса
СА (IR+, /). Действительно, как легко видеть, р (t + 1) = f (р (/)) при
любом t g IR+ (если в какой-то точке р (/) — интервал, то равенство пони-
мается в смысле равенства интервалов).
Замечание 2. Условие tv-пересечения в формировке тео-
ремы 1.3 можно ослабить, допуская в некоторых случаях касание
графика начальной функции <р с прямыми вида х = a, a g D (см. с. 177).
Поясним результат теоремы 1.3 на языке теории динамических
систем. Как уже отмечалось, уравнение (1.1) порождает динамическую
систему СА, Z4")» & J Ф f ° Ф, ей соответствует предельная ди-
намическая система {^д [ф],СЛ,	* Ф f ° /Л ° Ф- Рассмотрим
траекторию 9Гп [ф] и соответствующую траекторию сГд [ф], предполагая,
что ф G Otv. В силу предложения 1.4 § 4 ^д [ф] асимптотически стремит-
ся к 37 [ф] при оо. В результате в фазовом пространстве СЛ
подмножество
9Л= U Г°Ф
(p€Ofv
представляет собой аттрактор, притягивающий все траектории, про-
ходящие через элементы Otv. В силу теоремы 1.3 движения на аттрак-
торе достаточно простые — или периодические, или почти периодиче-
ские, хотя элементы аттрактора как функции, действующие из [0, 1] в /,
могут быть устроены достаточно сложно (иметь, например, канторово
множество точек многозначности). То, какие именно из движений реа-
лизуются на 9Л, зависит от предельной полугруппы {fn ° /А}: если по-
лугруппа конечная, то движения на 9Я периодические, если бесконеч-
ная — почти периодические.
Важной характеристикой асимптотически разрывных решений
уравнения (1.1) является вид множества = ф~1 (D (/)). Как следует
из теоремы 1.2, это множество показывает нам, в каких именно точках
130
нарушается равномерная непрерывность х (t) при оо: равномерной
непрерывности при /-> оо нет в точках множества ^|R+ = U UG
С [и, п + 1) .* t — п На этом множестве значения предельной
для х (/) функции р (/) суть интервалы, вне его — точки.
Определение 1.5. Назовем х (t) решением релаксационного
типа, если Т конечно и не пусто, и решением турбулентного типа, если
JT бесконечно.
Решения турбулентного типа по своим свойствам можно подразде-
лить на три большие группы: такие, для которых множество^ счетно;
содержит интервалы; несчетно и нигде не плотно. Решения первой
группы можно рассматривать как решения предтурбулентного типа.
Своим появлением среди решений уравнения (1.1) они как бы предвос-
хищают переход в системах, описываемых уравнениями такого рода,
от релаксационных колебаний к турбулентным: если положить, что
отображение/зависит от некоторого параметра^, то при его изменении
в первую очередь появляются, как правило, решения предтурбулент-
ного типа, а лишь затем — двух остальных выделенных групп.
Решения второй группы можно назвать решениями однородно тур-
булентного типа. Их наличие говорит о возникновении в соответствую-
щих системах так называемой однородной автостохастичности. Режим
автостохастичности неустойчив к возмущениям f = /\: сколь угодно
малые изменения параметра X приводят, обычно, к существенным ка-
чественным перестройкам. В результате решения однородно турбулент-
ного типа заменяются решениями третьей группы, т. е. такими, для
которых множество^ несчетной нигде не плотно. Эти решения служат
хорошими наглядными моделями процессов образования структур
уменьшающихся масштабов, кроме того, они обладают свойством устой-
чивости к возмущениям.
Заметим, что для решений турбулентного типа частота описываемых
ими колебаний неограниченно растет с ростом t (число колебаний х (t)
на интервале (и, п + И стремится к оо при /-> оо). В предтурбулент-
ном случае рост частоты идет по степенному закону, в остальных —
по экспоненциальному.
Другой важной характеристикой асимптотически разрывных ре-'
шений уравнения (1.1) является спектр колебаний (асимптотических
скачков), совершаемых ими в пределе при /-> оо.
Определение 1.6. Пусть р (/) — предельная функция для
решения x (t). Множество значений p(t) при	назовем спектром
асимптотических скачков х (/) и обозначим Хх(/).
Мы ввели спектр скачков Х/Д функции /д как множество ее значений
при tQD (/). Используя представление (1.24), для спектра асимптоти-
ческих скачков решения х (/) можно получить формулу
Хх (/) = U ХшохА»
где У7и0/д = fn (xz а) — спектр скачков fn о /Д. в типичных ситуациях
множество Хх(0> как и х^д» конечно. Чтобы описать х*(0» необходимо
знать, как устроено множество неблуждающих точек Q (/) отображения
9*
131
f. По существу, элементы — это области влияния компонент
спектрального разложения Q (/). Для так называемых U-отображений
спектральное разложение множества Q (f) описано в § 4 гл. 4 разд. 1.
§ 6. Устойчивость асимптотически разрывных решений
Говоря об устойчивости решения х (/) уравнения (1.1), мы имеем
в виду его устойчивость при t -> оо к возмущениям начальной функции
Ф и правой части уравнения — функции f (соответственно будем выде-
лять устойчивость по начальным данным и устойчивость по правым
частям). По предположению функции ф и f непрерывны, поэтому естест-
венно выяснить в первую очередь условия устойчивости решений к
С°-возмущениям ф и f.
Но, как легко видеть, получить близость на всей полуоси IR+ исход-
ного и возмущенного решений х (/) и х (/) в С°-метрике в большинстве
случаев нельзя. Сколь угодно малые С°-возмущения ф и f приводят
обычно к изменениям в структуре множества V = ф-1 (D). В резуль-
тате неустойчивость х (I) в С°-метрике — прямое следствие теоре-
мы 1.2.
Расстояние между исходным х (I) и возмущенным х (t) решениями
будем измерять в метрике А пространства Сд. Указанная метрика не
отражает некоторых важных свойств решений, таких, например,
как число совершаемых колебаний. Эти свойства удается «выловить»
при помощи более сильной топологии, задаваемой метрикой Скорохода.
Ниже приводятся соответствующие определения и формулировки (без
доказательств) теорем об устойчивости.
Определение 1.7. Решение х (/), /GR+, уравнения (1.1)
назовем Сд-устойчивым (устойчивым в метрике Хаусдорфа), если ма-
лые С°-возмущения ф и f влекут малые Сд-возмущения х (/).
Напомним, что f мы называем отображением с устойчивой пролон-
гацией, если для х g I рг/ (х) = рг (х, f) (§ 4 гл. 3 разд. 1).
Теорема 1.4. Пусть отображение f с устойчивой пролонгацией
удовлетворяет условиям леммы 1 § 4. Тогда если начальная функция
Ф (/) удовлетворяет условию tv-пересечения, то решение х (/) уравне-
ния (1.1) С^-устойчиво.
Расстоянием Скорохода [47] между функциями гр!, ф2 С Сд (IR+, /)
назовем величину
s (Ф1» Ф2) = SUP { sup A (Ф1 (a (0). Ф2 (0) + sup I a (/) — 11),
абИ «IR+	<€Ir+
где 21 — множество сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов 1R+ -»
-> 7; Д (фх (а (/)), ф2 (0) — расстояние Хаусдорфа в IR1 между интер-
валами фг (а (/)) и ф2 (/) (при каждом фиксированном t). Для случая
фл, Фг С С° формула упрощается:
s(Ф1. Ф2) = SUP { SUP I Фх (a (0) — Ф2 (01 + sup I a (0 — 11).
a6® /6IR+	«ir+
Пусть дана некоторая начальная функция <р (Е С° ([0, 1], 7). Рас»
смотрим множество = <р“‘ (О) и пусть U6 (SQ — его 6-окрестность.
132
Предположим, что значение 6 > 0 всегда можно выбрать настолько
малым, что Uв (^) cz [О, 1] (в дальнейшем последнее включение будем
предполагать выполненным). Каково бы ни было^, окрестность
распадается на конечное число непересекающихся открытых интерва-
лов из [0, 1]:
U6^)=l)U‘6 (Г = Г(6)).
1=1
Определение 1.8. Скажем, что функция (р (/) удовлетворяет
условию трансверсальности, если найдутся значения 6 > О, I > О
такие, что
|ф(О - <р (П|> l\t' -t"\
для любых Г g (/Д i — 1, 2, ..., г.
Класс функций (р С С°, удовлетворяющих условию трансверсаль-
ности, обозначим Ф^. Очевидно, что все функции из этого класса удов-
летворяют также условию tv-пересечения.
Чтобы установить условия устойчивости решений в метрике Ско-
рохода, необходимо выяснить, как меняется структура разделителя
D (/) при возмущениях отображения f. Пусть О (/) — разделитель
возмущенного отображения f. Обозначим С° (/) класс функций f С
(Е С° (/, /), для которых разделитель D (f) гомеоморфен разделителю
D ([) исходного отображения f с сохраняющим ориентацию гомеомор-
физмом о : D (/) -> D (f). Очевидно, что, каково бы ни было Д множество
С° (/) не имеет подмножеств, открытых в С°. В частности, в любой
е-окрестности любой функции f С С° всегда есть функции Д не принадле-
жащие С° (/). В то же время всегда (если только f id) найдутся
сколь угодно близкие к f отображения Д содержащиеся в С° (/).
Теорема 1.5. Пусть (р £ Ф^. Тогда решение x(t) уравнения (1.1) с
начальной функцией ф (/) устойчиво в метрике Скорохода к Ф^-воз-
мущениям ср и к С° (^-возмущениям f, т. е. для произвольного е>
>0 существует 6>0 такое, что s(x(-), %(•))< е, как только ф£
С ФЙг и f £ С° (/) и выполняются неравенства sup I ф (0 — ф (01 < б»
/€[0,1]
sup | f (х) — f (х) | < б, где х (/) — решение возмущенной задачи х (/ +
+ 1) = f (X (0), t с IR+, x (0 = Ф (П, t е [0, 1].
Наконец, рассмотрим вопрос об устойчивости решений в гладком
случае. Хотя само уравнение (1.1) не накладывает никаких ограниче-
ний на гладкость х (/), в приложениях часто такие уравнения возни-
кают опосредованно при рассмотрении дифференциальных уравнений.
Тогда условие гладкости х (/) накладывается еще при исходной поста-
новке задачи. Третий и четвертый разделы полностью посвящены за-
дачам такого рода (дифференциально-разностным уравнениям нейт-
рального типа и нелинейным краевым задачам для гиперболических
133
систем уравнений в частных производных). При указанном подходе
функции f и ф естественно считать принадлежащими классу С1 и удов-
летворяющими условию гладкого согласования ф (1) = f (ф (0)) ф (0).
Эти условия, очевидно, гарантируют (^-гладкость решения х (/) задачи
(1.1), (1.2) на полуоси.
В гладком случае существенно упрощается формулировка теоремы
1.5 об устойчивости в метрике Скорохода. Во-первых, условие транс-
версальности преобразуется к виду ф(/)#=0, вследствие чего,
как легко видеть, класс функций <Dtv = <Dtv П С1 представляет собой
открытое всюду плотное подмножество в пространстве С1. Во-вторых,
этим же свойством обладает и класс структурно D-устойчивых отобра-
жений f g С1 (определение см. в § 4 гл. 3 разд. 1). Таким образом, в
гладком случае получаем теорему.
Теорема 1.6. Пусть ф С Ф}У и f — структурно D-устойчиво. Тогда
решение х (t) уравнения (1.1) устойчиво в метрике Скорохода к
С1-возмущениям ф и f.
ГЛАВА 2
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С U-НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
§ 1. Предельная полугруппа, разделитель и спектр скачков
В предыдущей главе дана общая характеристика асимптотических
свойств решений нелинейных разностных уравнений с непрерывным
аргументом вида
х(/+1) =/(%(/)),	(2.1)
когда f — произвольное непрерывное отображение замкнутого интер-
вала I в себя и х б С° (IR+, /). Ниже мы несколько более детально
остановимся на свойствах решений уравнения (2.1) в предположении,
что f является U-отображением. Разностные уравнения с такой нели-
нейностью демонстрируют типичные особенности решений нелинейных
разностных уравнений общего вида и вместе с тем являются в известном
смысле наиболее простыми. Изложение существенно опирается на ре-
зультаты гл. 4 разд. 1.
Как мы видели, поведение решений уравнения (2.1) при t -> оо
определяется предельной полугруппой {/д}, /д = fn ° /л £ Сл (/, 27),
в частности ее основными характеристиками: разделителем D (j) —
множеством точек многозначности функции /А (как отображения I в I)
и спектром скачков X (/А) — набором значений /А в точках х С D (f).
Когда f — U-отображение, все эти объекты удается описать достаточно
полно, основываясь на спектральном разложении множества й (/).
Обозначим U (/) множество U-отображений интервала I в себя.
Пусть f С U (/) и спектральное разложение й (/) имеет вид
т*
Й(Л= U Qm, т*^оо.	(2.2)
т=0
134
Напомним, что для т < оо
рм
Qm = и &т, fdn = Й^+1(т0<1рт»,
»=0
Qi?=QfPm Л,	= PfPm (£4°),
где pm — период элемента Qm спектрального разложения (2.2).
1. Предельная полугруппа. Когда f С U (/), единица /д предельной
полугруппы {fn » /д} естественным образом определяется по спектраль-
ному разложению (2.2).
Предложение 2.1. Если f — ^-отображение и f" (х) /= 0 в крити-
ческой точке, то /д существует
П (X) = dm при х^Рт, т<оо,	(2.3)
если т* = оо, то при х С Рт* однозначна как функция I -> I и непре-
рывна.
Действительно, всякое U-отображение f для которого /" (х) в кри-
тической точке отлично от нуля, удовлетворяет условиям предложе-
ния 1.1. Поэтому отображение/А существует. Формула (2.2) следует
из представления (1.16). Если, кроме того, О*(/) = 0, то /А ком-
мутирует с /, обладает свойством /А °	= /д и, следовательно, порож-
дает полугруппу {fn © /А}.
Следует заметить, что во множестве унимодальных отображений
с единственной критической точкой (даже класса С°°) существуют отоб-
ражения (с /" (х) = О в критической точке), имеющие ©-интервал
(гомтервал) с ©-предельным множеством, отличным от цикла, напри-
мер представляющим собой замыкание гомоклинической траектории.
В последнем случае lim fn' (х) не существует для внутренних точек
П-*ОО
©-интервала. Вопрос о существовании нетривиальных ©-интервалов
у U-отображений, а следовательно, и существенности для существова-
ния условия f” (х) У= 0 в критической точке /А остается открытым.
При т* < оо полугруппа {fn ® /А} является (конечной) периоди-
ческой группой периода рт*. Если т* = оо, то полугруппа {fn ° /А}
почти периодическая.
Будем говорить, что полугруппа {fn ° /А} устойчива, если отображе-
ние f /А, действующее из U (/) в СА (/, 27), непрерывно (в метрике
Хаусдорфа) в «точке» f. Полугруппа {fn ° /А} устойчива тогда и только
тогда, когда
Qm* П Qm*-1 = 0 И Qm* f] Qm* = 0 Vi, /= 1, Pm*>
т. e. отображение f либо Q-структурно устойчиво, либо допускает
мягкую бифуркацию множества Q (/) и при этом период рт* и число
компонент Qm* совпадают (подробно речь об этом идет в § 3).
2. Разделитель D (f). Множество D (f), а также его подмножества
D+(f) = {x£D (/) :Qt (х) = Qf(x)},D-(f) = (x£D (f):Q7(x) = Q,(x)} и
Do (/) — D (/) \ (D+ (/) U D_ (/)) играют важную роль при определе-
нии класса допустимых начальных функций для разностного уравне-
135
ния (2.1). Этот вопрос обсуждается в § 2; здесь мы лишь отметим свойст-
ва указанных множеств для U-отображений.
Рассмотрим вначале пример — отображение f : х Хх (1 — х) при
X = 3,83, когда у f есть притягивающий цикл периода 3 и отталкиваю-
щие циклы всех периодов. В этом случае (неукороченное) спектральное
разложение Q (/) содержит четыре элемента: Qo = {0}; Qi — канто-
рово множество (замыкание множества отталкивающих циклов); Q2 —
отталкивающий цикл (содержащийся в Qi) периода 3; Q3 — притяги-
вающий цикл периода 3. В § 1 гл. 1 описана процедура построения раз-
оо	/ 2	\
делителя D (f). Из нее следует, что£> (/) = U f~‘ I U йт)и D (/) есть
i=0	\т=0	/
канторово множество (см. рис. 50). Если наряду с графиком функции
f (х) рассмотреть график функции /3 (х), то становится ясно, что
Dq (f) = U (Q2), множество Do (/) образовано односторонними
/=о
точками разделителя D (f), а множества D+ (/) иО_(/) состоят из точек
множества D (/) \ О0 (/) с добавлением, соответственно, право- и лево-
сторонних точек D (f). Отсюда также видно, что для каждой точ^и
х G О+ (/) найдется точка у С О- (/), симметричная ей относительно
х = —, и наоборот.
В случае U-отображений общего вида справедливы равенства
Р+ПО_=#0, O+U^ = D, Do= [x^I :Qz+(x)¥=(?r(x)}.
Более того, множества и D_ содержат «равное количество» точек:
если х G то (единственная) точка у #= х, у g /, такая, что f (у) =
= f (х), принадлежит О_, и наоборот. По этой причине «равное коли-
чество» точек содержат и множества Do Q D+ и Do Q D_. Из спект-
рального разложения следует, что D± =	= D.
Множество D (/) для произвольных непрерывных отображений
f : 1 -> / есть всегда ^-множество. Для U-отображений можно ука-
зать конкретное представление множество (/) и О0 (/) через спектраль-
ное разложение. Очевидно, что
и Г'( и
Z=0	m</n*
В случае, когда Qm. притягивающий (полупритягивающий) цикл или
канторово множество,
£>(/) = и Г'( и Ят).	(2.4)
6=0 тСт*
Если же Qm. цикл интервалов, то D (/) = 1. Положим
М = М (/) = {т < т* : ргп1рт-\ > 2}19.
19 Л4 (/) = 0 для f G U (/) тогда и только тогда, когда отображение f имеет
периодические интервалы только периодов 2П, п = 0, 1, ...
136
Тогда
^о(/)=иГ'( U Gm).	(2-5)
1=0
Если mQ Q М (/), то £2mo cz и, следовательно, Qmo — цикл. Поэто-
му ввиду (2.5) множество О0 (/) не более чем счетно.
Из формул (2.4), (2.5) вытекают следующие утверждения, показы-
вающие, как зависят множества D (f), Do (/) от спектрального разло-
жения (2.2).
Предложение 2.2. Если т* < оо и — цикл, то D (/) замкнуто,
нигде не плотно на I и mes D (f) = 0.
Если т* < оо и — цикл интервалов, то D (f) = /.
Если т* = оо, то D (j) плотно на 1, не есть Gb-множество и
mes D (/) = 0.
Предложение 2.3. Множество Do (/)
1)	пусто, если М (f) = 0;
2)	счетно, нигде не плотно и плотно в себе, если множество М (f)
конечно;
3)	счетно и плотно на 1, если множество М (f) бесконечно.
Следствие. Если О0 (/) =/= 0, то О0 (/) — множество типа Fa,
но не Об.
3. Спектр скачков. Как следует из формулы (2.3), спектр скачков
X (/д) представляет собой набор отличных от точки компонент областей
влияния точек из / (в случае U-отображений область влияния любой
точки из / либо не содержит интервалов, либо сама является периоди-
ческим интервалом), т. е.
%(/*) = {(?£’,	.....Рт, /и = 0,1........т*},
где
т	(/и*,	если cz D (f),
*	[m* — 1, если Qm* ф D(f).
Поэтому спектр % (/д) конечен, если т* < оо, и является счетным,
если т* = оо. Как и совокупность периодических интервалов, спектр
скачков образует систему (конечную или бесконечную) вложенных ин-
тервалов, в которой каждый интервал i-ro ранга содержит ровно st
интервалов (/ + 1)-го ранга, где st = pi+JPi. Это позволяет точно ука-
зать мощность спектра скачков в случае конечного /и*
Под замыканием спектра скачков X (/Л) будем понимать замыкание
множества % (/Л) в пространстве 27 (с метрикой Хаусдорфа). Когда
ти* < оо, множество X (/Л) замкнуто.
Устойчивость спектра скачков, т. е. непрерывность отображения
/->Х(/Д), как отображения U (/) -> 22/ обеспечивается условием
отсутствия жесткой бифуркации Q (/):	Q = 0.
Из соответствия спектра скачков системе периодических интер-
валов следует, что бифуркации спектра скачков происходят вместе с
бифуркациями периодических интервалов (и спектрального разложе-
ния).
137
§ 2.	Спектр асимптотических скачков;
решения релаксационного и турбулентного типов
Естественно предположить, что среди нелинейных разностных урав-
нений наиболее простыми должны быть уравнения с самой простой не-
линейностью — квадратичной. Многочисленные примеры, которые
уже приводились выше, а также исследования, содержащиеся в первом
разделе (гл. 4), показывают, что и в этОхМ случае поведение решений
может быть очень сложным (в частности, типична ситуация, когда
график предельного решения имеет дробную хаусдорфову размерность).
«Простота» нелинейности в данном случае ведет лишь к определенному
«единообразию» в поведении всех непрерывных решений. В то же
время, когда правая часть уравнения (2.1) — квадратичная функция
или, более общо, U-нелинейная, многие свойства решений можно
сформулировать более точно, можно указать эффективные критерии
того или иного поведения решений. В этом случае становится возмож-
ным описание всех бифуркаций решений, происходящих при изменении
параметров.
Непрерывные решения уравнения (2.1) порождаются множеством
начальных функций
Ф0 = {<р G С° ([0, 1], /): <р (1) = f (<р (0))}.
Нас в первую очередь будут интересовать свойства решений, которые
«навязываются» самим уравнением и не зависят от начальных условий.
Поэтому исключим из множества начальных функций Ф (/) те, которые
«искусственно» приводят к сложному поведению решений (об этом
уже частично шла речь в предыдущей главе). Можно было бы требовать
от <р выполнения условия tv-пересечения. Однако это условие может
оказаться слишком ограничительным. Так, если D (f) = I (т. е. —
цикл интервалов), то множество начальных функций, удовлетворяющих
условию tv-пересечения, хотя и открыто в Ф (f), состоит только из строго
монотонных функций и, следовательно, дополнение (в Ф (/)) к нему
также содержит открытое подмножество.
Последнее свидетельствует о целесообразности использования зна-
чительно менее жесткого обобщенного условия tv-пересечения, которое
не накладывает на начальную функцию <р £ Ф (/) никаких ограничений
на множестве <р-1 (D+ П О_), кроме отсутствия интервалов постоянст-
ва, допускает у функции <р экстремумы только определенного типа при
/ G Ф-1 ((D_ U О+) \ (D_ f) D+)) и запрещает экстремумы при t €
g <p-> (D \ (D_ U £>+))•
Если f g U (7), то
D_ U D+ = D и (О_ J £>+)\(D_ П D+) = Dn,
причем множество О0 нигде не плотно в 7 за исключением единственного
случая, когда в спектральном разложении (2.2) т* = оо и, более
того, счетно множество М (f) = {т < т* : pmlpm_i > 2}. Поэтому
для U-отображений обобщенное условие tv-пересечения целесообразно
несколько упростить, налагая на начальные функции условие отсутст-
вия экстремумов в точках множества (О0). Когда 7)0 нигде
J38
не плотно в /, такая модификация не существенно сужает класс до-
пустимых начальных условий.
Обозначим через Ф?у (/) множество <р G Ф (/), обладающих свойст-
вами:
а)	<р (0 имеет конечное число экстремумов;
б)	если ф (0 == const при t £ [f, Г], t' < Г, то [t‘, fl ф ф-1 (Z? (/));
в)	ф (0 не имеет экстремумов в точках множества ф~1 (£>0 (/))•
Множество Ф°у (?) открыто и, если М (f) конечно, плотно вФ (/’).
Каждое решение х (0 уравнения (2.1) с начальным условием
^(0 |[0.1] = Ф(0, Ф€Ф?у(0,
притягивается при t -> оо к полунепрерывной сверху функции класса
(Ж+, 2')
Рф( )(0 = /<о/А (<₽(*-»')). ^lGi + 1), » = 0, 1, ... (2.6)
Определение и общие свойства полугруппы {fn ° /Л} и предельных функ-
ций рф(.) (0 изложены в первой главе. Более детальное описание пре-
дельной полугруппы {f1 о в случае U-отображений дано в преды-
дущем параграфе. Исходя из него, для разностных уравнений с U-
нелинейностью можно провести достаточно полное качественное иссле-
дование решений.
Если число элементов в спектральном разложении (2.2) бесконечно
(т* = оо), то полугруппа {f1 ® почти периодическая и, следова-
тельно, ввиду (2.6) решения уравнения (2.1) являются асимптотически
почти периодическими.
В случае, когда т* < оо, согласно (2.3) имеем
fд (X) = Q fN (X) = QfN (Й<?), если х е PfN (Й<?),	(2.7)
где W = рт* — период последнего элемента спектрального разложения
при этом {fn о /д} — конечная группа периода Af. Поэтому пре-
дельные функции (2.6) Af-периодические, а решения уравнения (2.1) —
асимптотически N-периодические.
К важным характеристикам предельных функций рф(.) (0 относятся
спектр скачков	и множество точек неоднозначности
1. Поскольку рф(.) (0 определяется через /д, то согласно (2.7) мно-
жество допустимых скачков функций рф(.) (0, ф G Ф?у (0, содержится
в спектре скачков % (/А) функции /д, который состоит из отличных от
точки компонент i = 1, pmt т = 0, m*, областей влияния Qm =
= QfN (Qm) элементов спектрального разложения (§ 1). Ясно, что мощ-
т*
ность спектра скачков предельных функций не превышает £ рт. Во-
гп=0
прос состоит в том, какие из допустимых скачков реализуются в каждой
конкретной функции рф(.> (t) и, таким образом, «отслеживаются» соот-
ветствующим решением при t оо.
Оказывается, что для уравнений с U-нелинейностью в спектре скач-
ков всякой функции рф(.) (t) независимо от <р £ Ф°у (/) с необходимостью
присутствуют все допустимые скачки, кроме, возможно, Qo. Точная
формулировка этого факта приведена ниже.
139
Теорема 2.1. Если f — U-отображение, то для каждого решения
х (tf уравнения (2.1) с начальным условием х (/) |[o,i] = Ф (0, Ф €
€ ^tv (/), спектр асимптотических скачков имеет вид
= {Q'n , i = 1, • • •, /п = 1, ..., т*}.
Доказательство. Воспользуемся следующим свойством
U-отображений (теорема 4.7 разд. 1).
Пусть 1Х,М— замкнутый интервал с концами х, f(x); для любых
т = 1, /п* и xfint/ существует /0>0 такое, что IXtM fl Р^(йто))#=
=И= 0. В силу условия согласования ф(1) = f (ф (0)) начальный интер-
вал /ф(/) = [min ф (0, гпахф (0] содержит точки ф (0) и f(q (0)). Поэто-
му V т = 1, т* найдутся tQ [0,1] и /0 > 0 такие, что <р (/0) £	(^о))«
Следовательно,
Г (ф (/о)) € />(^o+n<raod ₽«")>), П = 0, 1, ..., N -1.
Тогда ввиду (2.5) и соотношения / ° ft = ft ° f
Pv(.)(^.+n)=^o+n<mod₽'”>>, n = M^T, Vm = TT^,
что и доказывает утверждение.
Таким образом, в поведении любого решения уравнения (2.1),
независимо от начальной функции, наблюдается весь спектр скачков
% (/д), возможных для данного U-отображения f. Для разностных
уравнений (2.1) общего вида это утверждение, конечно, не имеет места.
Так, например, у отображения /, задающего правую часть уравнения
(2.1), может быть несколько инвариантных интервалов, не имеющих
общих внутренних точек. И тогда, если начальная функция принимает
значения только из одного такого интервала, скажем то в соответст-
вующем решении отслеживаются скачки спектра х(/д|/'), а другие
допустимые скачки из % (/д) в этом решении не реализуются. Для
уравнения (2.1) с нелинейностью (рис. 55)

Нх) =
при — 1 х < 0,
(2.7)
f2 (х) = Хх (1 — х)
при 0 х 1
спектр допустимых скачков задается функцией f4 и есть % (/д) =
= X (Л*) U X ($). В то же время очевидно, что если решение х (0
принимает при tQ [0, 1] значения только из интервала [0, 1] (или
1—1, 0]), то заведомо (0 (1 X (ft) = 0 (или х₽х(.) (/) П X (ft) =
= 0).
2. Чтобы определить множество точек неоднозначности функции
Рф( ) (0> удобно использовать представление
!fyv(T(0)	при /G10, 1),
j (/(Ф (/— 1))) при *€(1,2),
| Q,N (fN-1 (ф (t - N + 1))) при t € [N - 1, N).
140
Поскольку область влияния QfN (х) точ-
ки х является нетривиальным интерва-
лом если и только если х принадлежит
разделителю D (/) отображения f, то
функция рф(.) (О многозначна на [О, N) в
точках множества
= {/€ [0,	=
= {/ + п:^Ф-1 (О(Л),
п = 0, АГ—1}.	(2.8)
Как уже отмечалось, решения урав-	Рис. 55.
нения (2.1) поддаются естественной клас-
сификации в зависимости от структуры множества точек неоднознач-
ности соответствующих предельных периодических функций.
Сразу же выделим случай, когда Рф(>)(о = 0. В этом случае функ-
ция рф(.) (/) непрерывна и для уравнений с U-нелинейностью может
быть только константой. Следовательно, решение х (/), для которого
х (О l(o.i] = ф (0» является либо стационарным, либо асимптотически
постоянным и равномерно стремится при оо к соответствующей
константе.
Предложение 2.4. Уравнение (2.1) имеет одно или два стационарных
решения, отвечающих неподвижным точкам U-отображения f. Если f
имеет притягивающую неподвижную точку, то все решения уравнения
(2.1) асимптотически постоянны. В противном случае уравнение
(2.1) не имеет асимптотически постоянных решений, за исключением
стационарных.
Это утверждение непосредственно следует из того факта, что U-
отображения имеют не более двух неподвижных точек, из которых толь-
ко одна может быть притягивающей.
Из предложения 2.4 вытекает, что если U-отображение f не имеет
притягивающих неподвижных точек, то каждое решение х](7) уравне-
ния (2.1) с начальным условием х (Olco.i] = Ф (0, Ф С Ф°у (/), явля-
ется колеблющимся; соответствующая предельная функция (/)
полунепрерывна сверху и )(П=/= 0 при любом ф £ Ф?у (/). Харак-
тер колебаний решения х (0 существенно зависит от мощности множест-
ва рф(.)(0- Напомним определение.
Назовем решение х (0 уравнения (2.1), для которого х (0 ko.ij =
= ф (/), Ф €	(/), решением
1)	релаксационного типа, если РфГ)<о конечно20;
2)	предтурбулентного типа, если ЗГРф( )(0 счетно;
3)	турбулентного типа, если ^рф(.)(п несчетно;
4)	сильно турбулентного типа, если	содержит интервалы.
20 Если ф € Ф \ Ф°у и множество ‘ конечно, то соответствующее решение
может оказаться решением импульсного типа. С такими решениями мы встречались
в предыдущей главе (см. рис. 46, в), все они, очевидно, неустойчивы.
141
Заметим, что решения каждого из указанных четырех типов опи-
сывают гладкие незатухающие при /—> оо колебания, гладкость кото-
рых задается гладкостью отображения f и начальной функции ф и не
теряется с ростом /. В случае 1 частота колебаний ограничена, в случа-
ях 2—4 она неограниченно растет с ростом /, причем для решений
предтурбулентного типа — по степенному закону, а для решений тур-
булентного и сильно турбулентного типа — по экспоненциальному.
При оо в поведении решений турбулентных типов имеются эле-
менты стохастичности. Так, для решений сильно турбулентного типа,
вообще, можно говорить лишь о вероятности, с которой при оо
принимаются те или иные допустимые значения.
Множество	точек неоднозначности предельных периоди-
ческих функций рф(.)(0 определяется множеством = ср-"1 (D (/)).
Если начальная функция ф принадлежит Ф?У (/)» то мощность множест-
ва ^ф(0 «мажорируется» мощностью множества D (f): card ^ф<о
card D (f), если D (f) бесконечное множество, card < °o, если
card £>(/)< оо. Такая связь между множествами D (/) и STP(p( )(о позво-
ляет, исходя из спектрального разложения (2.2), предложить простой
критерий существования у уравнения (2.1) с U-нелинейностью колеб-
лющихся решений того или иного типа.
Теорема 2.2. Пусть f — ^-отображение и спектральное разложение
множества Q (/) конечно. Тогда все решения уравнения (2.1) с начальными
условиями из Ф?У (/) являются:
1)	решениями релаксационного типа, если — цикл периода 2;
2)	решениями предтурбулентного типа, если — цикл периода
2п, и> 1, которому соответствует простая подстановка, т. е.
M(f) = 0;
3)	решениями турбулентного типа, если — цикл и f имеет
циклы периодов, не равных 2п, п = 0, 1, ..., при этом	нигде
не плотно на [О, АП для любой ф £ Ф?у (/);
4)	решениями сильно турбулентного типа, если — цикл интер-
валов; при этом ^Тр^./о = ГО» ЛЧ для любой ф £ Ф°у (/).
Когда спектральное разложение множества Q (/) бесконечно, все
решения уравнения (2.1) являются:
1) решениями предтурбулентного типа, если М (/) = 0;
2) решениями турбулентного типа, если М (f) #= при этом
плотно на [О, N] для любой ф £ Ф°У (/).
Доказательство основывается на следующем свойстве U-отображе-
ний (теорема 4.7 разд. 1): пусть 1х,нх)— замкнутый интервале концами
х, /(х); если card D (/) > 2 (и тогда D (f)—бесконечное множество),
то IXtf(x} П D (/)#= 0 V х g int /, более того, если Qm* не есть периода
2, то card (D (f) П /хд(х)) = card D (/). Ввиду условия согласования
Лр(0=> /<р(О)7«ио». С другой стороны, /ф(0 п D(f) = <р-1 (£>(/))= ^ф</)-
Теперь утверждение теоремы 2.2 легко следует из свойств разде-
лителя D (f) в зависимости от структуры спектрального разложения
(предложения 2.2 и 2.3).
142
В качестве примера рассмотрим уравнение с квадратичной нелинейностью.
Такие уравнения являются типичными представителями разностных уравнений
с U-нелинейностью. Нам будет удобно использовать уравнение
х(/+1) = Хх(/)(1 — х(/)), Х>0,	(2.9)
поскольку отвечающее ему отображение
fK:x^Xx(\ — х), Х>0,	(2.10)
достаточно подробно рассмотрено в предыдущей части и поэтому не требует отдель-
ного исследования. В зависимости от величины параметра X уравнение (2.9) обла-
дает решениями того или иного типа. Рассмотрим несколько возможных ситуаций.
При X > 4 f1 (х) ->схз для почти всех х £ R; если же X G [0,4], то отображение
П-*оо
(2.10) имеет ограниченный инвариантный интервал I = [0, 1]. Поэтому уравнение
(2.9) имеет ограниченные решения х (t) тогда и только тогда, когда X £ [0, 4], и при
этом X (t) € с° (0?+, /).
Пусть X G (0, 4]. В этом случае (2.10) является U-отображением интервала I
в себя. При X G (0, 3] у отображения (2.10) есть единственная притягивающая непо-
движная точка: х = 0, когда X С (0, 1], и х0 = 1 — т-, когда X С (1, 3]. Все решения
уравнения (2.9) с начальными условиями из <Dtv асимптотически постоянные и рав-
номерно стремятся к стационарному решению х (/) s 0, когда X G (0, 1], и х (t) э-
s х0, когда ХС (1, 3]^
При XG (3, 1 + 1^6], в частности при Х= 3,2, отображение (2.10) имеет две
отталкивающие неподвижные точки х — 0 и х = х0 (которым отвечают два неустой-
чивых стационарных решения х (/) = 0 и х (/) s х0 уравнения (2.9)) и притягиваю-
v	*	(2)	X -J- 1 ± V X2 — 2 X —3 .
щии цикл периода 2, образованный точками xify = —!----------------- (рис. 56).
Спектральное разложение множества Q (fx) состоит из трех элементов Qo =
= {0},	= {х0}, Q2 = {xf*\ х?}. В соответствии с этим для Х= 3,2
ft W =
при х£Р2 (х™), 1=1,2,
h
2 / 1 \	! 1 \1
[/х (—) .	(—)] при * € Р,2 W.
лрих = 0, х=1.
Функция (х) многозначна на множестве D (fa) = Pf2 (х0) (J Р^2 ,(0) =
А	А
= (j (х0); D (/) — счетное множество с двумя точками накопления х = 0х
х= 1. Поэтому при X G (3, 1 + У1Г] для любой начальной функции ф £ мно*
жество = ф"”1 (D (/)) непусто и конечно. Следовательно, каждое решение х (/}
уравнения (2.9) с начальной функцией из является решением релаксационного
типа, ^асимптотическим к 2-периодической Сд-функции
рд(Ф(0) при /6 [0, 1)
Рф(.)(0 = А
(ф(*— 1)) при/G [1, 2)
Х^	при t 6 ф 1 (Р 2 (*?>)) > < = 1, 2,
fk
fl (4") ’ (т)] При ‘ е Ф 1 (Р/2 (Хо))
143
с конечным множеством точек неоднозначности	—
и со спектром асимптотических скачков
ХрФ(.)«
i = 0, 1}
(рис. 58).
С ростом % вплоть до 1* = 3,568... происходит последовательное удвоение
периодов притягивающих циклов, при этом каждый цикл простой и разделитель
D (/) счетное множество. Так, например, при X = 3,5 отображение (2.10) имеет
простой притягивающий цикл {х(4), х^\ xf\ х^4)} периода 4 (рис. 57). Множество
2
Q (/х) состоит из четырех элементов Qo = {0}» Qj = {х0}, Q2 — U xf\
4
Q3 = (J xf\ Функция fx (x) и соответствующие предельные функции (f),
<р € выписываются аналогично предыдущему случаю. Отличие состоит в том,
144
что теперь разделитель D (f^), равный замы-
канию прообразов отталкивающих периоди-
ческих точек 0, х0, х^\, есть счетное множе-
ство со счетным множеством точек сгущения
D' (А) = U f~l (*о) U {0» 1}- Это приводит
i^O
к тому, что при % = 3,5 для любой функции
Ф G Ф°у множество является счетным
и имеет конечное множество точек сгущения
= Ф~1 IP' (А»* Соответствующее реше-
ние х (/) совершает колебания предтурбулент-
ного типа со спектром асимптотических скач-
ков %•)<« = ( (т)'
при каждом Х,€ (1 + "Кб, X*).
(рис. 59). Аналогичная ситуация имеет место при каждом X, € (1 + у 6, %*).
При % > %* отображение (2.10) имеет циклы периодов, не равных 2Z, i = 0, 1,
и Per Per fK. В следствие этого разделитель D (fK) является уже несчет-
ным множеством, его мощность определяется спектральным разложением Q (А):
если — цикл или канторово множество, то D (f J — канторово множество,
если — цикл интервалов, то D — /. Поэтому в первом случае все реше-
ния уравнения (2.9) турбулентного типа, а во втором — сильно турбулентного типа.
Когда, к примеру, Х = 3,83, у отображения (2.10) есть притягивающий цикл
{х(3), х^\ 43)} периода 3 и отталкивающие циклы всех других периодов (рис. 60);
3 а
множество Q (А) разлагается на три элемента: Qo = {0},Q2= U х®, Qx =
_________________ i=Q
= Per A\ (Ц) U ^2)» при этом — канторово множество21. Тогда при Х = 3,83 для
любой функции ф G ®°v
/\(3)
^Ф(.)(О =
при / £ ф 1 (Рр (х<3))), Z = 1, 2, 3,
при ф-1 (Pf3(Qx),
X
множество )(/) — несчетное нигде не плотное, поскольку разделитель D (А) =
= U Г1 Ф1) гомеоморфен множеству Кантора; спектр скачков X =
~	("^”)]}* СлеД0ВатеЛЬН°’ каждое Решение уравнения (2.9) при к — 3,83
является асимптотически трехпериодическим решением турбулентного типа со спект-
ром асимптотических скачков % (рис. 61).
Кроме описанных выше решений турбулентного типа, имеющих конечный
спектр асимптотических скачков, уравнение (2.9) может иметь решения турбулент-
ного и предтурбулентного типа со счетным спектром. Такие решения (рис. 62) реа-
лизуются при тех и только тех значениях К, которые являются предельными для
бифуркационных значений удвоения периода. Множество А* этих значений пара-
метра счетно и включает, в частности, %*	3,57 (когда отображение (2.10) имеет
циклы периодов 21» 1= 0, 1, 2, ..., и все они отталкивающие).
Решения уравнения (2.9) сильно турбулентного типа порождаются, в частнос-
ти, счетным множеством А*, включающим те и только те значения X, для которых
21 Для наших целей достаточно ограничиться укороченным спектральным раз-
, ложением.
Ю-3793
145
X(t) №,83
f\/v.'?ИЯИ11
0	1	2	3 I 5	6	7	8	9 To И t
Рис. 61.
Рис. 62.
существует целое k = k (%) > 0 такое, что точка х =	принадлежит оттал-
кивающему циклу 22. Так, при Х= = 3,678 ... отображение (2.10) имеет пере-
мешивающий аттрактор (рис. 63), состоящий из двух переходящих друг в друга
[1X1 Г	(4— ^*) 1 1
интервалов Л = у, и J2 = -----------pg----, у , причем на U Л всюду
плотны периодические (отталкивающие) точки, и следовательно, D ) = /. Мно-
жество Q (/^ ) содержит три	~	............~
Для любой начальной функции
элемента Qo = {0},	= {х0}, Q’2 = Л U А.
Ф € Otv
Ji при £ £ ф 1 (Р 2	1=1,2,
—1 Х*
и Л при / 6ф (Pf2 (ХО))>
при этом ясно, что множество
Рис. 63.
[0, 1). Все решения уравнения (2.9) с началь-
ными условиями из Ф{у сильно турбулент-
ного типа и имеют спектр асимптотических
скачков {Ji, J2, A (J Л) (рис. 64). При t ->оо
колебания решений носят стохастический ха-
рактер; х (t) принимает то или иное значе-
ние из интервала J = (J J2 с вероятностью,
плотность которой задается абсолютно не-
прерывной инвариантной мерой р,.
22 Решения сильно турбулентного типа
порождаются несчетным множеством (поло-
жительной меры) значений параметра {Л:
:/х ("2") 6 для некоторых т < tn*t k > 0}
146
x(t) л=з,т..
:|VWirWV
О' J 2	3	4	5 б 7	8	9 Ю » F
Рис. 64.
Отметим особенности, присущие разностным уравнениям с U-
нелинейностью, которых нет у уравнений (2.1) с произвольной правой
частью.
1.	Разностные уравнения с U-нелинейностью могут иметь решения
только какого-либо одного типа. Для уравнений общего вида это не
так. В качестве примера опять рассмотрим уравнение (2.1) с нелиней-
ностью (2.7). При X = 3,83 отображение (2.7) имеет притягивающий
цикл ?i3) = 0,156 ...,*23) = 0,504 ...,хз3) = 0,957 ... периода 3 и при-
тягивающий цикл х(12) = —0,746 ...,	= —0,5899... периода 2 и
на каждом из интервалов [—1,0], [0, 1] отображение (2.7) является U-
отображением. Поэтому если х (/) принимает при t £ [0, 1) значения
из [—1, 0), тох (/) — решение релаксационного типа, если же сущест-
вует /' £ ГО, 1] такое, что х (t‘) С (0, 1], то х (/) — решение турбулент-
ного типа.
2.	Для уравнений с U-нелинейностью каждое решение, в отличие от
общего случая, реализует весь спектр допустимых скачков. Об этом
уже говорилось выше.
3.	Если х (/) — решение сильно турбулентного типа уравнения с
U-нелинейностью, то ^Рф(>)(/) = [0, N), где ср (/) = х (/) |[o,i), и тогда
V6>0 и Т> 0 число колебаний х (/) на интервале [Г, Т 4- S] не-
ограниченно растет при Т -> оо. Если же f не является U-отображе-
нием, то множество &рф(.)(о не обязано совпадать с [0, N). Пример —
уравнение (2.1) с нелинейностью (2.7) при к = X* « 3,678. Подроб-
ное рассмотрение оставляем читателю.
§ 3. Устойчивость и бифуркации решений
Рассмотрим вопрос о близости решений уравнения (2.1), отвечаю-
щих близким начальным функциям и близким отображениям, задаю-
щим правые части уравнений.
Пусть U (/) — множество всех U-отображений интервала 1 в себя.
Под Ф°у (/), как и ранее, будем понимать множество начальных функ-
ций для уравнения (2.1), удовлетворяющих условию согласования и
модифицированному условию tv-пересечения.
Будем предполагать, что при возмущениях правые части уравнений
остаются в классе U-нелинейностей, а начальные функции — в классе
0vt (таким образом, допустимы произвольные, но достаточно малые
^-возмущения правых частей и ^-возмущения начальных функций).
10*
147
Как показано выше, асимптотическое поведение решений разност-
ного уравнения (2.1) определяется спектральным разложением мно-
жества неблуждающих точек Q (/). Таким образом, устойчивость и
бифуркации решений уравнения (2.1) в значительной мере связаны
с бифуркациями множества Q (/) при С3-возмущениях отображения /
(§ 5 гл. 4 разд. 1).
Пусть
m*(f)
Q (/) = U
т—0
Возможны следующие четыре ситуации.
А. Отображение f структурно Q-устойчиво. Тогда при малых
возмущениях f бифуркаций спектрального разложения не происходит:
существует S > 0 такое, что отображения f и f топологически сопря-
жены, каково бы ни было /€ Не (/)={/£ U (/) : ||/ — /||сз<б},
Q(f)= U	=	рт. = рт,.
т=0
Следовательно, если х (/) и х (t) — решения уравнения (2.1), отвечаю-
щие правым частям f Е U (/) и f £ U (/), f £ Щ (/), и начальным
функциям <р Q Ф°У (/) и ф С Ф°у (/), то х (0, х (0 относятся к одному
и тому же типу и имеют один и тот же период р = рт*, при этом Ve > О
найдутся бх, б2 > 0 такие, что
А [х (f), х (/)} < е, s (х (/), х (/)) < е
как только || f — f ||с> < 6Х и || ф — ф ||с* < б2. Последнее означает
устойчивость решения х (t) в метриках Хаусдорфа и Скорохода к
возмущениям f и ф.
Б. Отображение /, как элемент из U (/), является точкой мягкой
бифуркации спектрального разложения (т. е.	П = 0)
и, кроме того, А = 0 V i ф j, i, j = 1,2, pm..Тогда
ввиду теорем 4.13—4.15 разд. 1
f ~1т„~ V m0 < m* = min (m* (/), m* (/)}	(2.11)
и
A U U Qm ->o, когда И-/||C3->0.	(2.12)
m=mt J
Рассмотрим наиболее простой случай, когда — цикл (при-
тягивающий) с мультипликатором pt (Un*<f)) = —1. Существует S > 0
такое, что каждое отображение f С 11$ (/) либо топологически сопряже-
но с f, либо получается из f при бифуркации удвоения периода притя-
гивающего цикла. В последнем случае для f имеет место разложение
~	^*(04-1 -
Q (/) = (J Qm (здесь т* (f) = т* (f) -f-1),
Г71=0
148
где Qm»(D+i — притягивающий цикл периода	= 2рт»щ. На-
помним, что
х(?) = {Qm , I = 1777. т = l,m*(/)—1),
X (?) = {$?, i = 1, Рт, т = iTTFtf)}, Q% = Q (й£>).
Из (2.11), (2.12) заключаем, что при || f — ] ||с» -► О
Д^.ф.б,.-)-^,	(2.13)
Д(х(?), X(?))^o, Д(Р/(Йт),Р/~ (йт))-^0, m = 0, m*(/) —1.
Следовательно,
Д{/д, ?) + 0, когда
Поэтому при малых возмущениях начальных функций (в классе Ф?У)
соответствующее решение уравнения х (t + 1) = f (х (/)) близко в
метрике Хаусдорфа к решению х (/) уравнения (2.1), но имеет асимпто-
тический период в два раза больший, нежели х (/).
Таким образом, решения уравнения (2.1) устойчивы в метрике
Хаусдорфа (но не в метрике Скорохода) к возмущениям f и ф.
В двух оставшихся случаях, когда — канторово множество
(/и* (/) = оо) или цикл интервалов (перемешивающий аттрактор)
(т* (/) < оо), решения уравнения (2.1) также устойчивы в метрике
Хаусдорфа.
В. Отображение f является точкой мягкой бифуркации спектраль-
/+£m*(f)
ного разложения, но □£>♦(/) П Q «♦(?> =# 0 для любого j = 1, 2, ...
..., В этом случае есть перемешивающий аттрактор — цикл
интервалов, каждый из которых касается одного из остальных. Най-
дется сколь угодно С3-близкое к f отображение f такое, что
-	m*(f) ~
й (/) = и йт (здесь т* (/) = т* (/)),
т=0
где Qm*(f) — перемешивающий аттрактор, образованный циклом по-
парно не пересекающихся интервалов периода рт*(/) = -у
(бифуркация исчезновения периодического интервала). При этом соот-
ношения (2.11), (2.12) остаются в силе. Однако соотношение (2.13)
в отличие от предыдущего случая не имеет места, так как ввиду (2.12)
А(Х(/Д), Х(?)) ~Д(Хт.ф,^.ф),
где
Хт — {С'и > * — 1 > Рт}> Хт — {Qm\ I — 1, Рт\
149
и
д(Хт«ф,	~ max mes Qm*(/) #= 0.
i==X^Ptn*(f)
Следовательно, решения уравнения (2.1) не устойчивы к возмуще-
ниям f.
Г. Отображение f является точкой жесткой бифуркации спект-
рального разложения. Тогда — либо перемешивающий репел-
лер, либо полупритягивающий цикл. Если — перемешивающий
репеллер (цикл интервалов периода Рт*(л), то найдется сколь угодно
С3-близкое к f отображение /, для которого
1 ~ 1 ~
(Л = и (здесь т* (f) = т* (/) — 1),
т=0
где — перемешивающий аттрактор (бифуркация исчезновения
периодического интервала). Согласно теореме 4.15 разд. 1
A (Q (/), й (Л) —----► А (Й/п»(й. ^n*(f)-i)	0.
Тогда
Д(Х(/Д), X (?))=: А (Х^щ. Х^.ф-0^0
и имеет место следующая оценка:
Д(Хт’(/)> X'n’tfl-O’C Д (Хт‘(/)> Х/п»(П-1) +
+ А (Хл1*(/)-1, Хт‘(Л-1)>
Д(Хт»«-1. Xm’(fi-l)->0 при И —Лс’-’-О,
0 =/= A (xm.(f), Xzn’(fi-i)C jpax mesQm»(/)_i— min mesQ$(ft.
Таким образом, решения уравнения (2.1) не устойчивы к возмуще-
ниям f. Случаю, когда ф — полупритягивающий цикл, отвечает
бифуркация рождения периодического интервала, которая также
приводит к неустойчивости решений уравнения (2.1).
Чтобы сформулировать соответствующую теорему, положим /и* =
= т* (/),
max rnesQm»-i— min mesQm*, если йт. Q Qm._i#= 0;
4(f) =
max mes • если йт. f| = 0, но й^. f) йV
0 V / — 1 > Pm'>
0 в остальных случаях.
150
Теорема 2.3. Пусть х (/), х (/) — решения уравнений вида (2.1)
с правыми частями f, f £ U (/), отвечающие начальным функциям
Ф € Фи (/) и <р £ Фи (/) соответственно. Тогда для любого е > О сущест-
вуют 6Х, 62 > 0 такие, что
А {х (/), х (/)} < d (/) + е, если \\f — ~f Це® <	|| Ф — Ф ||с» < б2,
при этом если d (/) У= 0, то решение х (t) не устойчиво к возмущениям.
Замечание 1. Неустойчивость решений связана с бифурка-
циями рождения и исчезновения периодических интервалов: в случае
Г она обусловлена й-взрывом, а в случае В (когда Й-взрыва нет) —
изменением периода последнего элемента спектрального разложения.
Оценка, которая дается теоремой, является точной. Это показывают
следующие примеры.
Пусть /\ = Хх(1 —х). При К = X* = 3,678... (X* — наибольший
действительный корень уравнения X3 — 2Х2 — 4Х — 8 = 0) спектраль-
ноз разложение Й (Д) состоит из двух элементов: ЙО(Х) = {0}, йх(Х) =
=	----, /п* = 1 (рис. 63). При этом максимальный
период Й^* (X) = Йх (X) равен 2: Йт* (X) = Qm* (X) U Qm* (X), где Q„* (X) =
=	и <$•(*) 0
= mes (X) = 1-------р
А
П Qm* (А/) =	----=# 0. Следовательно, в этом случае d (/\) =
X2 /.	К \ п
— 11-----4- I. Существуют сколь угодно
мало отличающиеся от X
1
ектория точки х = -%- за
значения параметра X > X, при которых тра-
конечное число шагов попадает в отталки-
вающую неподвижную точку х* = 1-------—. При этих значениях X
X
спектральное разложение также состоит всего из двух элементов:
Йо (X) = {0} и Qm* (X) = (X) = —р^1----’ -j-j» причем макси-
мальный период йт* (X) равен единице.
Таким образом, если правая часть уравнения (2.1) определяется
отображением Д, то спектр асимптотических скачков решений хк (/)
этого уравнения равен х (/х) = {Q^l* (^), Qm* (^)J (т* = 1). Для ре-
шений х- (f) уравнения (2.1) с правой частью, задаваемой отображе-
нием спектр асимптотических скачков состоит уже только из одного
интервала и равен X = {Qm* (X) = Un* (X)} (/и* = 1), поскольку
Qm* (X) представляет собой периодический интервал периода 1 и не
распадается на периодические интервалы большего периода. Следова-
15)
тельно, если хк (О колj = ф € Ф tv (ft) и х~ (t) |[о,ц = ф € Ф°у (/^), то
Нт Д{х1(П,х£(0}= Нт Д(х(Д4), X (/-)) =
Оф-фИс»-*0	11ф—ф11с*-*°
= mes Qm* (X) = max mes (1) = d (Д).
<=1,2
Несколько иная ситуация возникает, когда исчезает интервал,
появившийся в результате бифуркации рождения (а не бифуркации
удвоения, как в предыдущем случае). Пусть X = X** = 3,84 тогда
спектральное разложение й (Д) состоит из трех элементов: й0 (X) =
= (0}; Qx (X) — канторово множество; йш* (X) = Й2 (X) = orb /SL —
перемешивающий репеллер, состоящий из трех интервалов й(^* (X),
Qm* (X), Й^1 (X) (рис. 65) и Й^ (X) Q йт*_1 (X) = 0. Существуют сколь
угодно близкие значения X > X, при которых траектория точки х =
за конечное число шагов попадает в неподвижную точку х* = 1 —
X
при этом т* (А) = 1 и Qo (М = (0};Qm. (A) = Q,(A) = -£ 1-М 1 •
4	4/4
Понятно, что тогда
Нт Д (хх (/), х~ (/)} = mes Qm._( (А) — min mes Q& (A) = d (Д).
X-X.	1	'=I-2’3
Иф-*ф|1с1-*о
Аналогичный пример можно привести и для случая бифуркации
рождения периодического интервала (выбрав, например, X =
= 3,828 ... — значение, когда Д имеет полупритягивающий цикл пе-
„ У^М	/ Риода 3)-
s J	/ Следует сказать, что величина
/I	/Д Л d (/) в теореме 2.3 быстро убыва-
II I \	/ \ /I ет с ростом числа элементов спек-
II /	\	/ I/ / трального разложения U-отобра-
II /	\	/	I жения f. Так, например, для се-
II/ \ /z I / мейства квадратичных отображе-
I I / Ml I /	W = Хх (1 — х) справед-
I / s'	1 / лива оценка d (Д) а~л, где пл=
I	/	у/	I	/	= п (fx)	— длина цепочки вложен-
t	/ X	I	/	ных периодических интервалов
l/z	\	/	(точнее,	цепочки множеств 9lt- (Д)),
V	которая	определяет спектральное
\/	разложение Й (Д), а = 2,502 ...
-------------------Lx Это замечание определяет важ-
Рис. 65.	ность следующего утверждения.
152
Пусть
dm(f) = max mes
Теорема 2.4. Пусть x (t), x (/) — решения уравнений вида (2.1>
с правыми частями f, f £ U (/) и начальными условиями <р € Ф?у (f),
<Р €	(/) соответственно. Тогда для всех т <Z m*(f) существуют 61(
62 >• 0 такие, что Д {х (t), х (/)} < dm (f), если || / — f ||сз < 61 и
II <Р — Ф Ik* < S2-
Эта теорема, очевидно, является более слабым утверждением, чем
теорема 2.3, но в определенном смысле более конструктивна. Учитывая
скорость убывания dm (f) с ростом /и, можно определять необходимое
число элементов спектрального разложения для приближенного на-
хождения решений с заданной точностью е > 0. При построении ре-
шений с точностью е «мелкие колебания» решений, порождаемые эле-
ментами спектрального разложения с номерами /и, для которых dm (f) <
< 8, различить мы не сможем. Поэтому при заданной точности вычис-
лений допустимы возмущения f, которые не меняют (качественно) эле-
менты спектрального разложения с dm (f) > е, а элементы разложе-
ния, для которых dm (f) < е, могут изменяться (подвергаться бифур-
кациям).
Остановимся вкратце на бифуркациях решений разностного урав-
нения (2.1).
Будем говорить, что решение х (/) уравнения (2.1) с начальной
функцией <р £ Ф (/) не претерпевает бифуркацию при сколь угодно ма-
лых С3-возмущениях f и ^-возмущениях ф, если для любого 8 > О
можно указать 6Ь 62 > 0 такие, что при любых ф и /, для которых
|| f — ? ||с® < II ф — ф ||с* < б2> множества <р-‘ (D (/)) и qp-1 (D (/))
гомеоморфны и гомеоморфизм, их сопрягающий, отличается от тож-
дественного не более чем на е.
Другими словами, бифуркационным элементам ф С Ф (/) и f £ U (/)
отвечают точки разрыва отображения ф -> ф-1 (D (/)) в метрике
р (Лъ Л2) = sup (A (h (Л^, Л2) + max | h (/) — 11), где — мно-
жество сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов [0, 1] на себя.
Малые ^-возмущения ф £ Ф?У (/) качественно не меняют множество
ф-1 (D (/)). Поэтому бифуркации решений с ф £ Ф?У (/) определяются
только отображением f и, следовательно, за них «отвечают» бифурка-
ции спектрального разложения множества Q (/). При этом, если f
соответствует бифуркация Q (/) (как жесткая, так и мягкая), то при
малых возмущениях / происходит бифуркация всех решений уравне-
ния (2.1) с U-нелинейностью.
Мы не будем здесь анализировать возможные типы бифуркаций ре-
шений и их последовательность — они полностью повторяют аналогич-
ные бифуркационные свойства множества Q (/) (и периодических ин-
тервалов отображения /).
15£
§ 4. Образование упорядоченных структур
До сих пор совсем не затрагивался вопрос об образовании структур
решениями разностных уравнений. Однако взгляд на сходимость ре-
шений к предельным функциям как на процесс структурообразования
представляется очень важным. Оправдан он по следующим причинам.
Во-первых, каждое решение х (/) с ростом t в значительной мере «забы-
вает» детали порождающих его начальных данных, т. е. функций
Ф (/)> € Ю, И. В пределе при оо сохраняется, по существу, лишь
информация о том, как устроено множество = ср-1 (D (/)), и о зна-
чениях, которые ф (/) принимает в некоторой сколь угодно малой ок-
рестности ST. При этом важно, что во многих типичных ситуациях
mes Т = 0. Во-вторых, предельные функции с топологической точки
зрения могут быть устроены очень сложно. Часто встречаются, на-
пример, ситуации, когда они имеют «канторову структуру». Под этим
подразумевается следующее: графики предельных функций имеют
дробную размерность Хаусдорфа — Безиковича. В-третьих, множест-
во всевозможных предельных функций достаточно массивно — по
крайней мере счетно параметрично (при условии, конечно, что О (/) =#
=# 0). Немаловажно и то, что при достаточно общих условиях решения
и соответствующие им предельные функции устойчивы к возмущениям
как начальных данных, так и правых частей уравнения (1.1).
Пусть р (/) — некоторая функция класса Сд ([0, Г], /), Т > 0,
называемая в дальнейшем структурой.
Определение 2.2. Скажем, что функция у (/) класса
Сд ([R+, /) образует при t оо структуру р, если существует последо-
вательность 4, i = 0, 1, ..., сходящаяся к + оо, для которой
Д[О.Т] {у (t + ti), р (/)}-> 0, i-4-оо.
Структуру р назовем периодической (почти периодической), если
можно подобрать таким образом, чтобы последовательность ti+\ — tc,
i = 0, 1,2, ..., была периодической (почти периодической).
Рассмотрим решение х (f) разностного уравнения (1.1) с начальной
функцией ф и предположим, что выполняются все условия, наложенные
на функции f и ф в § 4 гл. 1. Тогда в силу теоремы 1.3 х (/) образует при
t -+ оо периодическую (если предельная полугруппа конечна) или
почти периодическую (если предельная полугруппа бесконечна) струк-
туру
р = /доф	(2.14)
{х (/) образует при t -> оо также другие структуры, например вида
о /д © i = 1, 2, ..., однако все они, как видно, получаются из р
посредством итераций /; поэтому в дальнейшем можно ограничиться
изучением свойств р).
Одной из характеристик сложности структуры р вида (2.14) яв-
ляется мощность множества ф = ф-1 (D) точек многозначности р.
Если ST конечно и не пусто, то структуру р назовем релаксационной,
если бесконечно — турбулентной (ср. с определением 1.1 § 5 гл. 1).
Возможны также ситуации, когда пусто; соответствующие структуры
назовем тривиальными и из дальнейшего рассмотрения исключим.
154
Существенную информацию о сложности турбулентной структуры
несет размерность Хаусдорфа — Безиковича ее графика dim// gr р
(для релаксационных структур, очевидно, всегда dim^ gr р = 1).
Наибольший интерес представляют структуры, для которых 1 <
< dim// gr р 2. В этом случае структура может быть названа фрак-
тальной.
Если f — U-отображение, можно предложить простые признаки
наличия структур того или иного вида. Пусть спектральное разложе-
ние множества неблуждающих точек Q (/) имеет вид Qi U ••• U
т* оо. Структуры р (t) вида (2.14), образуемые решениями разност-
ного уравнения (2.1), являются фрактальными, когда — цикл
интервалов (и тогда dim^ gr р (t) = 2) или когда один из элементов
спектрального разложения m < m*,— канторово множество (тог-
да 1 < dimH gr р (t) < 2).
Структуры, порождаемые решениями разностных уравнений, яв-
ляются в определенном смысле упорядоченными. Степень упорядочен-
ности фрактальных структур можно охарактеризовать с помощью по-
нятия автомодельности.
Определение 2.3. Структуру р (/), t £ [О, Т], назовем ло-
кально автомодельной, если для каждого t* £ (О, Т) можно указать
последовательность вложенных друг в друга окрестностей UQ zd Ur zd
zd ..., стягивающихся в точку /*, и две последовательности сохраняю-
щих ориентацию гомеоморфизмов
V^pUt, i = 0, 1, 2,
таких, что при каждом i коммутативна диаграмма
М	(2.15)
Ui+i V,-+1.
Структуру назовем автомодельной, если для некоторого t* окрестность
Uо можно выбрать равной интервалу (О, Т).
Можно показать, что при дополнительном условии Сх-гладкости
функций f и <р структуры, порождаемые решениями уравнения (1.1)
(т. е. вида (2.14)), являются локально автомодельными в смысле толь-
ко что данного определения. Доказательство этого факта использует, в
частности, свойства разделителя D ([).
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
К настоящему времени теория дифференциально-разностных урав-
нений достигла значительного развития (см., например, [14, 24, 68,
77, 99, 100, 130, 131]). В первую очередь это относится к тем направле-
ниям, которые допускают естественное обобщение достижений теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с тем имеется
ряд важных направлений (например, глобальная качественная теория
дифференциально-разностных уравнений), где методы классической
теории дифференциальных уравнений малоэффективны или вообще не-
применимы. Это обусловлено тем, что дифференциально-разностные
уравнения в той или иной мере обладают специфическими особенностя-
ми, присущими разностным уравнениям, которых нет у дифференциаль-
ных уравнений и для исследования которых необходимо привлекать
идеи и методы теории разностных уравнений. Такой нетрадиционный
подход к дифференциально-разностным уравнениям оказывается весь-
ма плодотворным и привлекает все большее внимание исследователей.
Ниже излагаются результаты, полученные в этом направлении для
простейших нелинейных дифференциально-разностных уравнений,
которые в известном смысле наиболее близки по своим свойствам к
разностным уравнениям и поставляют примеры «нестандартного» (с
точки зрения теории обыкновенных дифференциальных уравнений) по-
ведения решений.
ГЛАВА 1
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Каким может быть асимптотическое поведение
решений дифференциально-разностных уравнений
Нелинейные дифференциально-разностные уравнения, вообще го-
воря, не интегрируются в квадратурах. Поэтому при их исследовании
особо важную роль приобретают качественные методы. Центральным
при этом является вопрос об асимптотическом поведении и устойчи-
вости решений.
156
Уже простейшие дифференциаль-
но-разностные уравнения могут об-
ладать всеми особенностями, прису-
щими разностным уравнениям, в част-
ности широким спектром решений
от асимптотически постоянных до со-
вершающих сложные квазислучайные
колебания (частота которых неогра-
ниченно растет с ростом /). Проиллю-
стрируем сказанное на примере урав-
нения
x(/+l) = 2x(0x(O, xCC1([R+, О?).
(1-1)
Каждое решение уравнения (1.1) од-
нозначно определяется своими значе-
ниями на интервале [0, 1]; ^-решения порождаются множеством
Ф начальных функций ,ф £ С1 (10, 1], Ж), удовлетворяющих условию
гладкого согласования ф (1) = ф (0) ф (0).
Исследование уравнения (1.1) существенно упрощается, если за-
метить, что путем интегрирования оно сводится к однопараметрическо-
му семейству разностных уравнений
x(t+ 1) = х2(/) + Х, X^R.	(1.2)
Чтобы выяснить связь между решениями уравнений (1.1) и (1.2),
заметим, что решение х (t) уравнения (1.1) с начальными условиями
из Ф может быть решением только тех разностных уравнений семейст-
ва (1.2), которые обеспечивают непрерывное (а в силу условия согласо-
вания и гладкое) продолжение функции х (O|[o.i] на t > 1. Всякая
начальная функция ф 6 Ф может быть непрерывно продолжена с по-
мощью только одного из уравнений (1.2), а именно уравнения
х (t + 1) = х2 (t) + %, где X = ф (1) — ф2 (0). Тем самым множество
Ф разбивается на непересекающиеся классы Фа, = {ф £ Ф: ф (1) —
— Ф2 (0) = X}, X (= [R, такие, что всякое решение уравнения (1.1),
для которого х (Oto.i] Е Фа,, является решением разностного урав-
нения
x(t+ 1) = х2(0 + Х	(1.3)
(и только этого уравнения).
Свойства решений уравнения (1.3), а следовательно, и исходного
уравнения (1.1) в конечном счете определяются динамической системой,
задаваемой отображением
^:х^х2 + Х,	(1.4)
и, таким образом, в значительной мере зависят от величины параметра
X (рис. 66). Мы не будем подробно анализировать все возможные си-
туации, возникающие при изменении параметра, а ограничимся схема-
тическим описанием типичных свойств решений дифференциально-
157
разностного уравнения (1.1) в зависимости от начальных условий,
т. е. от того, какому из множеств Фх принадлежит х (Ol[o,ij23-
Отображение (1.4) при любом А является однозначным и имеет по
крайней мере один инвариантный интервал, равный (— оо, + оо).
Поэтому все решения уравнения (1.1) бесконечно продолжимы.
Когда X > -j-, /х (х) > х при всех х £ 0?. Поэтому каждое реше-
ние x(t) уравнения (1.1), для которого х(0|[о,1]ЕФх, Х>-|-, неогра-
ничено и растет с ростом t.
Когда	отображение (1.4) имеет две неподвижные точки
х* = 1 ±И,~.4Л (точка %х“ отталкивающая). Этим точкам отвечают
два стационарных решения х (t) = х* (решение х (t) == х£ всегда не-
устойчиво). Далее, /х(х)—<-о° для x£[R\Zx, где /х = [—xt, x+j.
П-*оо
Свойства на h зависят от параметра К. В частности, VxCA, су-
ществует х'g [х,(x)J Э Я СИ Е Л, при и = О, 1, ... Поэтому, если
x(t) решение уравнения (1.3), для которого x(t)>x£ при t g [0, 1],
то х (/) —> оо при >оо. Если же это условие нарушается, то всегда
найдется последовательность tt оо такая, что х (/J С Л для всех 1^0.
Когда —/\(Л,)<=А и поэтому, если решение х(/)
уравнения (1.3) таково, что х (t) g /а, при t g [0, 11, то х (/) g Ц
при всех t g IR+. В противном случае х (t) неограничено. При К < —2
отображение (1.4) не имеет ограниченных инвариантных интервалов и,
соответственно, уравнение (1.3) не имеет ограниченных решений.
Для уравнения (1.1) это означает, что решения х (0 =?й const с
начальными условиями из Фа,, X < —2 или X > неограничены.
Однако условие х (Oko.ii € Фх, — 2 К само по себе не га-
рантирует ограниченности решения х (t). Для этого еще необходимо,
чтобых (0 G Л при t £ [0, 1]. Таким образом, решение х (0 уравнения
(1.1), отличное от постоянной, ограничено тогда и только тогда, когда
хюкп^Фх,	и |х(П|с
С 4 0 + И 1 — 4 (х (1) —х2 (0))) при ^Ю, 1].
23 Отображение х н-> х2 + Л топологически сопряжено с отображением х 1->
н> ах (1 — х) с помощью гомеоморфизма h (х) = —ах + -2- ^при этом Л =
а (2 — а) \	„ о.
= ——  1. Поэтому ниже при описании свойств уравнения (1.3) не приводятся
рисунки. Они полностью аналогичны рисункам предыдущей главы, где рассмот-
рено разностное уравнение с нелинейностью ах (1 — х), и могут быть без труда
выполнены читателем.
158
Рассмотрим более подробно, как могут вести себя ограниченные
решения уравнения (1.1). Чтобы исключить решения, «цепляющиеся»
за будем предполагать, что
|х(0|<4(1 + V 1 — 4 (х (1) — х2 (0))) при /ею, 1].
Последнее означает, что для каждого решения х (t) найдется е =
= е (х (0) С [0, % + х£], — 2 X < такое, что х (/) £ Il =
= (—xt + е, х£_— е), когда t £ (0, 1]. При этом fll cz II и, следова-
тельно, х (0 g II для всех t С IR+.
Неподвижная точка х£ является притягивающей для отображения
3	1
(1.4) тогда и только тогда, когда — у X < Поэтому среди;
решений уравнения (1.1) асимптотически постоянными (отличными
от стационарных) являются решения х (0, для которых х (0|[о,1] € Фл
« _ Г	3 1 \
с л Я — —, — и только они.
I	4 4/
Среди остальных ограниченных решений уравнения (1.1) (порож-
даемых множеством начальных функций U Фа,) типичными
—2^А<—
являются асимптотически периодические решения с неограниченно
растущей константой Липшица. Чтобы не рассматривать всевозможные'
негрубые ситуации, предположим дополнительно, что
х(0=дО, если х (t)£D (/>),
где D (/а) — разделитель отображения Д.
з
Когда % =----4-, происходит бифуркация неподвижной точки*
ха".* она становится отталкивающей и от нее рождается притягивающий
о	о	1.2	— 1 i К—4Х — 3
цикл периода 2, состоящий из точек ха, =--------------, который
5	3
остается притягивающим при — у К < — —. При указанных X.
все ограниченные решения уравнения (1.3) являются асимптотически
двухпериодическими. При этом, если х (0 ф х^ ни на каком интервале*
[/', Л, t' < Г, то решение х (0 приближается к кусочно-постоянной;
функции периода 2
/€[0, 1),
/С (1.2),
4,	x^P2(xl),
где fl(x)= х^’	х^Рр^(х1),
С.2(хГ), х£О(Д).
( ч
Рх(.)(0 =
159s
Следовательно, решения уравнения (1.1), для которых х (t) £ Фх с
— А х < — также приближаются к функциям рх{.} (t).
Функция рХ( ) (0 многозначна на множестве ^\(.) = {t Е (Л i + 1) :
: (t — i) (Д), i = 0, 1}. В рассматриваемом случае разделитель
D (Д) = (j (х^) — счетное множество, точками накопления ко-
торого являются концы интервала Ik- Поэтому в силу наложенных на
х (/) ограничений множество ^Гх{.) конечно. Такие решения, асимпто-
тические к кусочно-постоянным периодическим функциям с конечным
числом точек неоднозначности на периоде, получили в разд. 2 название
решений релаксационного типа.
5
При каждом X* < X < — -р где X* = —1,401..., отображение
(1.4) имеет циклы периодов 1, 2, 22, ..., 2m, т = т (X)	2 (причем
т (X) -> оо при X -> X*), из которых цикл ут периода 2т притягиваю-
щий, остальные отталкивающие. Соответственно решения х (t) уравне-
5
ния (1.1), для которых х (Око.ц € Фл, € (X*, — -4-), являются асимп-
тотически периодическими. Полунепрерывная сверху периодическая
функция, к которой притягиваются эти решения, имеет период 2т,
ее значения в точках однозначности принадлежат ути на периоде она
имеет счетное число точек многозначности. Последнее объясняется
тем, что в отличие от предыдущего случая (tn (X) = 1) разделитель
D (fk) = (J fk‘ (Per fk \ {Ут}) имеет существенно больше точек на-
1^0
копления—это прообразы циклов периодов	и поскольку
х (1) = fk (х (0)), то множество [min х (/), шах х (/)] с необходимо-
го,!]	/€[0,1]
стью содержит счетное число точек из D (Д). Поэтому множество
также счетно; число колебаний х (t) на любом интервале [Г, Т + 1]
при Т -> оо растет как степенная функция. Такие решения получили
название решений предтурбулентного типа.
При X < X* у отображения (1.4) есть циклы периода =/= 24’, i =
= 0, 1, ... (а потому и циклы сколь угодно больших периодов), и
Per Д =/= Per Д. Это приводит к появлению у уравнения (1.1) решений,
совершающих сложные квазислучайные колебания.
На [—2, X*] существует открытое и, по-видимому, плотное множест-
во А значений параметра X, при которых отображение (1.4) имеет (и
притом единственный) притягивающий цикл yt периода I = (2k + 1) 2m,
k = k (X)	1, tn = tn (X) > 0. В этом случае разделитель D (f^) =
= U fk1 (Per fk) \ {?/}) гомеоморфен множеству Кантора, траектории
почти всех точек х Q Д притягиваются циклами отображения Д, в
частности циклом yh если х £ I%\ D (Д). Отсюда следует, что решения
уравнения (1.1) с начальными условиями из Фх, X £ А, асимптотически
стремятся к /-периодическим функциям, значения которых при t g
Q IR+ \ ^Х(.) принадлежатyh а множество ^х(.) нигде не плотно и со-
держит по крайней мере канторово множество. При этом число колеба-
ний решений на любом интервале [Г, Т + 1] растет экспоненциально
160
при Т -+ оо. Такие решения получили название решений турбулентно-
7
го типа. Так, при—1,768...отображение (1.4) имеет при-
тягивающий цикл периода 3. Решения уравнения (1.1), для которых
7
х (O|[o,ij Э Фх, — 1,768 < X < — -j-, колеблются с амплитудой,
асимптотически равной Д (X) — X = X2, число колебаний х (/) на
[Т, Т + 1] возрастает в 1	5  раза при увеличении Т на единицу.
Остановимся еще на одном типе асимптотически периодических
решений уравнения (1.1), хотя эти решения и являются неустойчивыми
к возмущениям. Такие решения порождаются, в частности, множеством
начальных функций Ф* = U Фх, где Л* = {X £ [—2, X*] : 3k =
Х€Л#
= k (X) Э f* (0) принадлежит отталкивающему циклу }. При X g Л*
для отображения (1.4) аттрактором является уже не цикл, как в пре-
дыдущем случае, а совокупность I периодических интервалов J =
i
= U 4 / = / (X)	1 (на которых происходит перемешивание).
i=i
В этом случае £>(/\) = Л и, следовательно, решения уравнения (1.1),
для которых х (О|[о,1] £ Ф*, приближаются к /-периодическим функ-
циям, многозначным во всех точках t С [0, /] и принимающим значения
из {Jlt J2, ..., Ji}- Колебания таких решений носят стохастический
характер и их частота растет с экспоненциальной скоростью на любом
интервале [Т, Т + S] при Т -> оо, каково бы ни было 6 > 0. Так,
при X = X* = —1,588.. отображение (1.4) имеет перемешивающий
аттрактор J = [X*, X* (X* — 1)], состоящий из двух периодических
интервалов J± = [X*,	1 и J2 = [хГ*> Ч (X* +1)1- Спектр асимпто-
тических скачков соответствующих решений уравнения (1.1) состоит
из трех интервалов J19 J2hJx U Л- При этом можно говорить лишь о
вероятности, с которой решение принимает при / оо те или иные зна-
чения из интервала [X*, X* (X* + 1)] при t оо.
§ 2. Уравнения с расщепляемым оператором.
Вполне интегрируемые дифференциально-разностные уравнения
Среди дифференциально-функциональных уравнений
А [х (0] = D (х (0, х (т, (0), .. •, х (т„ (0)) = 0,
где D — дифференциальный оператор, можно выделить [118] класс
в известном смысле простейших дифференциально-функциональных
уравнений, левая часть которых разлагается в конечное произведение
дифференциальных и функциональных операторов. Такие уравнения
получили название уравнений с расщепляемым оператором [118].
Их исследование значительно проще, оно сводится к последовательному
рассмотрению дифференциальных и функциональных уравнений.
К этому классу в первую очередь относятся так называемые вполне
интегрируемые уравнения [ИЗ], для которых А =	® — диффе-
Ц-3793
161
ренциальный, $ — функциональный операторы. Типичным представи-
телем вполне интегрируемых уравнений является уравнение
(здесь ® =	$[*/(0] = У(*+1)~^ — некоторая пер-
вообразная /), которое интегрированием сводится к однопараметриче-
скому семейству разностных уравнений
x(t+ 1) = ^(х(/)) + Х,
где X — константа интегрирования 24. Простейшее уравнение такого
вида рассмотрено в § 1. В общем случае вполне интегрируемое уравнение
[x(/)J = О
сводится к семейству, вообще говоря, неавтономных функциональных
уравнений
$[х (/)] = * (О,
где v (/) пробегает множество решений обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения ® [о (/)] = 0.
Наиболее простым общим классом дифференциально-функциональ-
ных уравнений вида А [х (/)] = 0 являются квазилинейные дифферен-
циально-разностные уравнения (нейтрального типа)
Р (х (0, X (/ + 1)) х (0 + Q (х (/), X (/ + 1)) х (/ + 1) +
+ R (х (/),%(/+ 1)) = 0,	(1.5)
Р, Q, R — непрерывно дифференцируемые функции.
Предложение 1.1. Для того чтобы уравнение (1.5) приводилось к
вполне интегрируемому виду, необходимо и достаточно, чтобы
9)[^-	= ₽(*.	-Q(x.	,
(1.6)
т. е. чтобы соответствующее уравнение Пфаффа
Р (х, y)dx + Q (х, y)dy + R (х, y)dl = 0
было вполне интегрируемым.
Доказательство. Пусть (1.6) выполняется. Обозначим
р (х, у) один из интегрирующих множителей, а со (х, у) = const соот-
ветствующий общий интеграл уравнения
Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0.	(1.7)
Тогда после умножения на р (х (/), х (t + 1)) уравнение (1.5) примет
вид
-±-{(a(x(t),x(t+ 1))} -f-7? (х(/),х(/ + l))n(x (t),x (/ + !)) = 0. (1.8)
24 Наряду с вполне интегрируемыми уравнениями к простейшим дифферен-
циально-функциональным уравнениям с расщепляемым оператором относятся
уравнения с А = 52). Исследование таких уравнений также связано с рассмотре-
нием функциональных уравнений.
162
Соотношение (1.6), в частности, означает, что
интегрирую-
щий множитель уравнения (1.7). Поскольку все интегрирующие мно-
жители описываются формулой &  1 -Л (со (х, у)), где TfC1 (К, R) —
\Х*У)
произвольная функция, то существует функция F £ С1 (IR, IR) такая,
что —R (х, у) ц (х, у) = F (<о (х, у)). Тогда из (1.8) получим
{ш (х (0, х (t + 1))} = F (ш (х (/), х (/ + 1))	(1.9)
и, следовательно, оператор уравнения (1.9) разлагается в произведение
разностного оператора § [у (/)] = со (у (/), у (t + 1)) и дифферен-
циального оператора ® [у (/)] = у (t) — F (у (/)).
Обратное утверждение очевидно. Предложение 1.1 доказано.
Следствие 1. Всякое уравнение вида (1.5) при условии (1.6)
сводится к однопараметрическому семейству, вообще говоря, неавто-
номных разностных уравнений
со (% (0, x(t+ 1)) = и (/, X),	(1.10)
где со (х, у) = const — общий интеграл уравнения (1.7); v (/, X) —
общее решение дифференциального уравнения v — F (v) = 0, завися-
щее от параметра К = v (0).
Следствие 2. Всякое уравнение вида
Р(х(0, х(/+ 1))х(0 + Q(x(0, х(/ + 1))х(/+ 1) = 0	(1.11)
является вполне интегрируемым и сводится к однопараметрическому
семейству разностных уравнений
ю(х(0, х(/+ 1)) = Х,
где со (х, у) = const — общий интеграл уравнения (1.7), X — произ-
вольная постоянная.
Замечание 1. Умножение уравнения (1.5) на р, (х (/), х (/ + 1))
может, вообще говоря, привести к потере каких-либо решений урав-
нения (1.5) или, наоборот, к появлению посторонних решений. Как
правило, учет этого обстоятельства не вызывает существенных труд-
ностей и мы не будем принимать его во внимание и анализировать
уравнение ^(/4-1)) =0 наРядУ с Уравнением (1.5).
Замечание 2. Выбирая различные интегрирующие множите-
ли, уравнение (1.5) можно привести к различным вполне интегрируе-
мым формам, однако все они эквивалентны (с точностью до замечания 1).
Чтобы не заниматься несложными, но утомительными выкладками,
проиллюстрируем сказанное на примере линейного уравнения.
Пример 1.
х (t + 1) + ах (/) + bx (t + 1) + сх (/) = 0.	(1.12)
Если с = ab, то уравнение (1.12) является вполне интегрируемым и может быть
представлено в форме
d
— {х (/ + 1) + ах (/)} +д(х(/ + 1) + ах(0) = 0.
11*
163
Здесь 8г \у (/)] = У (t + 1) + ay (t), Ф \у (/)] = у + by. Интегрирование дает
х (/ + 1) + ях (0 = ve bt,
(1.13)
где v — произвольная постоянная. С другой стороны, выбирая, например, интегри-
рующий множитель ft (х, у) =
— преобразуем уравнение (1.12) к виду
d
— {ln|x(/+l) + ax(/)|)+d = 0
at
и после интегрирования получим
In | х (/ + 1) + ах(0 | + W = x,	(1.13')
где х — константа интегрирования. Очевидно, что уравнения (1.13) и (1.13') эк-
вивалентны; общее решение имеет вид
x(0=Ae-w + |a|'p(0,	(1.14)
где X — произвольная постоянная; р (/) — произвольная периодическая функция
со свойством р (t + 1) = sign (а)-р (/). Формула (1.14) дает общее решение урав-
нения (1.12) при условии дифференцируемости функции р (/).
Для нелинейных вполне интегрируемых дифференциально-раз-
ностных уравнений, вообще говоря, не удается получить представ-
ление общего решения через элементарные функции. Однако сведение
таких уравнений к разностным позволяет, используя методы и результа-
ты теории динамических систем, провести достаточно полный качествен-
ный анализ и, в частности, выявить многие специфические свойства,
присущие решениям дифференциально-разностных уравнений [81, 82].
Отметим, что наряду с уравнениями вида (1.5) можно рассматривать
более общие уравнения со сдвигом аргумента, зависящим от неизвест-
ной функции. Среди таких уравнений также имеются уравнения, при-
водящиеся к функциональным. Так, уравнению
Р (х (т (х (0)), X (0) X (т (X (0)) + Q (X (т (X (/))), X (0) = 0 (1.15)
отвечает вполне интегрируемое уравнение Пфаффа
Р (х, y)dx + x (у) Q (х, y)dy = 0
и, следовательно, (1.15) приводится к семейству функциональных
уравнений (х (т (х (/))), х (/)) = X, гдеХ — произвольная постоянная.
Уравнение (1.15) исследовано в работе [115].
§ 3. Связь решений вполне интегрируемых
дифференциально-разностных
и соответствующих разностных уравнений.
Метод фазовой плоскости
Ради простоты ограничимся рассмотрением Скрещений уравнения
(1.5), хотя можно было бы рассматривать и кусочно-гладкие решения,
как это часто делается для дифференциально-функциональных уравне-
ний нейтрального типа.
Под (Т, Т')-решением, 0 Т < Т' — 1 оо, вполне интегрируе-
мого уравнения (1.5) будем понимать ^-функции х (/): [Т> Г] -> IR,
164
удовлетворяющие уравнению при всех t £ IT, Т' — 1]. Решения урав-
нения (1.10) определяются аналогично.
Непрерывно дифференцируемые решения уравнений (1.5) и (1.10)
порождаются множеством начальных функций
Ф={ф(0еС1([Т,Т+1], R), 7\[0, оо):
Р (Ф (Т), ф (Т + 1)) ф (Т) + Q (ф (Т), ф(Т+1))ф(Т+1) +
+ /?(Ф(Т),Ф(Т+1))=0).
Между решениями дифференциально-разностного уравнения (1.5)
при условии (1.6) и решениями разностных уравнений (1.10) имеется
следующая связь [81, 82].
Предложение 1.2. Каждое Скрещение любого уравнения семейства
(1.10) является решением уравнения (1.5).
Каждое Скрещение вполне интегрируемого уравнения (1.5) либо яв-
ляется решением одного из уравнения семейства (1.10), либо склеено
из решений нескольких (возможно, бесконечного числа) уравнений се-
мейства (1.10). При этом если х (0 С С1 ([Т, Т'], IR) и
Wx(.) = {t 6 [Т, Г - 1]: Р (х (0, х (t + 1)) = Q(х (0, x(t+ 1)) = 0} = 0,
mo х (t) удовлетворяет при t Q[T, Т' — 1] только одному уравнению
семейства (1.10) — уравнению
со (х (0, x(t + 1)) = vx(.)(0,
где vx{.}(t)— решение уравнения v — F(v) = 0 с начальным условием
vx(.} (Т) = ш (х(Т), х(Т + 1))- В частности, если Т = 0, то x(t) —
решение разностного уравнения (х (0, х (t + 1)) = v (t9 Лх(.)), г&е
ЛХ(.) = о)(х(0), х(1)).
Первое утверждение очевидно. Рассмотрим второе. Функция со (х, у)
определена во всех точках плоскости (х, у), где <о, (о одновремен-
но не обращаются в нуль (<о (х, у) может принимать значения ± оо).
Поэтому если Nx{.} = 0, то функция vx(.} (t) = со (х (0, х (t 4- 1))
определена при всех t С 1R+ и в силу (1.6) vx{.y удовлетворяет уравне-
нию у — F (и) = 0. Следовательно, уравнение (х (0, х (t + 1)) =
= ух(.) (0, решением которого является х (0, принадлежит семейству
(1.10). Приведенные рассуждения показывают также, что х (0 не может
быть решением никакого другого уравнения семейства (1.10).
Если NX(.) #= 0, то множество (0, оо) \ NX(.} состоит из конечного
или счетного числа открытых интервалов (Ti, Ti), i = 0, 1, ... На
каждом из них функция х (0 удовлетворяет какому-нибудь одному
уравнению семейства (1.10). Это доказывается так же, как и в случае
AfX(.) = 0. При t g WX(.) возможно склеивание решения х (0 уравнения
(1.5) из решений различных разностных уравнений семейства (1.10).
Если, например, хг (0, х2 (0 — решения двух уравнений семейства
(1.10), для которых х± (t) = х2 (0 при t £ [Т* — 1, Т*] и Т* £ Nx{i)
,	'Г* < Л7 Ч А.	ixi (0,	t С	[0, Т*1, .
(и,	значит, Т* С Л^Х2(.)),	то функция	х (0 = Ц	t £	будет
решением уравнения (1.5).
165
Поясним суть предложения 1.2 на следующем примере.
Пример 2.
x(t + 1)х(0 — x(t)x(t+ 1) = 0.	(1.16)
В качестве интегрирующего множителя удобно выбрать ц (х) = Тогда урав-
нение (1.16) непосредственно сводится к семейству разностных уравнений
х(^ + 1) = Хх(0,	(1.17)
где X — произвольная постоянная. Выберем начальную функцию
Ф(0€ {<pGd([0, 1], IR): ф (1) ср (0) — ср (0) ф (1) = 0 и ф(0)#=0, если ф(1)#=0}
(1.18)
и рассмотрим, каким образом можно продолжить ф (0 как решение уравнения (1.16),
используя уравнения семейства (1.17) (последнее условие в (1.18) обеспечивает про-
должимость (р (0).
Если <р (0) и ф (1) одновременно не обращаются в нуль, то (из соображений
непрерывности решения) единственным образом определим разностное уравнение
x(t+ 1) = М(0.	(119)
где X* =	(ф- с помощью которого ф (0 можно продолжить на все t > 1, а именно:
решение х (t) уравнения (1.19) с начальным условием х (t) ||-0 ц = Ф (0 имеет вид
х(0 = Х^ф(/— /и), t Q [т, т 4- 1), т = 0, 1, ...	(1.20)
Это решение, очевидно, является решением и исходного дифференциально-разност-
ного уравнения (1.16).
Если же ф (0) = ф (1) = 0 (тогда =# 0), то X* неопределено и для про-
должения ф (t) можно воспользоваться любым из уравнений семейства (1.17). Это
позволяет сконструировать решение уравнения (1.16) с начальным условием
х (0 Ip |] = ф (0, не являющееся решением ни одного разностного уравнения се-
мейства (1.17) при всех t :> 0. Действительно, пусть ф (0) = ф (1) = 0 и, кроме
того, Ф (0) = ф (1) = 0. Нетрудно убедиться, что функция
х(0=ПМа-/п), X0=l,	т = 0, 1, ...,	(1.21)
i=0
является С1-решением уравнения (1.16) при всех /^0, каковы бы ни были по-
стоянные и на каждом интервале [0 i + 1) удовлетворяет соответствующему раз-
ностному уравнению
X (t + 1) = KiX (0, i = 1, 2, ...
Пошаговое построение решения (1.21) представлено на рис. 67.
Указанная выше связь решений вполне интегрируемых дифферен-
циально-разностных уравнений с
решениями соответствующих
разностных уравнений позво-
ляет наглядно продемонстри-
ровать ряд таких специфичес-
ких особенностей дифференци-
ально-функциональных урав-
нений, как непродолжимость,
слипание и ветвление реше-
1В6
ний, типичность гладких (даже С00) решений с неограниченно расту-
щей константой Липшица.
Проиллюстрируем сказанное на примере уравнения (1.11)
Р (х(/),х(/ + l))x(/) + Q(x(0, х(/+ 1))х(/+ 1) = О,
достаточно полный анализ которого проведен в работах [23, 81]. Мы
не будем давать обзор этих результатов, а лишь наметим в общих чер-
тах подход к качественному исследованию уравнения (1.11) методом
фазовой плоскости и приведем несколько поясняющих примеров.
Предложение 1.2 показывает, что решения дифференциально-раз-
ностного уравнения (1.11) определяются разбиением плоскости (х, у)
на интегральные кривые уравнения
Р(х, y)dx + Q (х, y)dy = 0.	(1.22)
При исследовании уравнения (1.11) удобно перейти от интегральных
кривых уравнения (1.22) к траекториям системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений
X = _Q(X, у),	0 23)
У = Р (х, у)
и изучать уравнения (1.11) с помощью фазового портрета (семейства
траекторий) системы (1.23). Из вида системы (1.23) следует, что какова
бы ни была система дифференциальных уравнений второго порядка,
найдется уравнение вида (1.11), которому эта система соответствует.
Таким образом, любой фазовый портрет, которым только может обла-
дать система второго порядка, может встретиться при исследовании
уравнений вида (1.11). Чтобы не рассматривать различные патологи-
ческие ситуации, ограничимся дифференциально-разностными уравне-
ниями, для которых соответствующие системы (1.23) удовлетворяют
условиям существования и единственности (например, Р и Q удовлетво-
ряют условию Липшица) и имеют не более чем счетное число положе-
ний равновесия (такими, как известно, являются почти все системы,
и мы несущественно сужаем класс рассматриваемых уравнений).
При сделанных предположениях фазовый портрет системы (1.23)
распадается на совокупность связных множеств Г*, состоящих из
не более чем счетного числа траекторий. Каждое из этих множеств
Г* задает отображение у* : х *-► у* (х), вообще говоря, многозначное,
график которого совпадает с Г*. Всякому (Г, 7"')-решению уравнения
(1.11) отвечает в фазовой плоскости (х, у) одно из множеств Г*, а имен-
но множество Гх(.), состоящее из целых траекторий системы (1.23)»
имеющих общую часть с множеством Гх(.) = {(х, у) : х = х (/),
у = х (t + 1), t £ [Т, Т — 1]}, при этом решение х (/) задает пара-
метризацию участка Гх(.) кривой Гх(.). Обратно: всякая непрерывная
параметризация х = £ (/), у = л (/), t £ [Т, Т'], Т + 1 Т' оо,
кривой Г* или ее части, удовлетворяющая условию £ (/ + 1) = т] (t)9
t £ [Г, Т — 1], определяет (Г, Т')-решение х = £ (/) уравнения (1.11),
для которого х (/ + 1) € у* (х (/)), t £ [Т, Т — 1], где у* — отображе-
ние, определенное кривой Гх(.). На этой взаимосвязи и основан метод
167
фазовой плоскости, состоящий в сведении исследования качественного
поведения решений уравнения (1.11) к изучению отображений у*,
задаваемых траекториями системы (1.23).
Непрерывное продолжение (Г, Т')-решения х (/) уравнения (1.11)
на t > Т' возможно только с помощью отображений, которые задаются
траекториями системы (1.23), примыкающими к точке М' = (х (Т‘ — 1),
х(Т')). Пусть Г — одна из таких траекторий, у : / — IR— однозначная
ветвь отображения, соответствующего Г, такая, что у (х (Т — 1)) =
= х (Т). Согласно уравнению (1.11) (Т, Т'^-пешение х (t) продолжимо
afl
на интервал [Г', Т"1, где Т" = lim Тп, Тп — 1 + sup {/ £ [Tn_i — 1,
Тп- 11: х (t) £ /}, То = Т', и при этомх (/ + п) = уп (х, (/)), t £ [Т' — 1,
Т' + {Г"}], п = 1,2, ..., [Т"1 + 1. Если Т” = оо, то решение х (0
бесконечно продолжимо и х (t + п) = уп (х (0), t £[Т — 1, Т'], п =
= 0, 1, ...
Если же Т' Т" < оо, то решение х (0 продолжимо с помощью
отображения у до (Г', Т")-решения. Дальнейшее продолжение х (0
на t > Т" возможно с помощью отображений, задаваемых траектория-
ми системы (1.23), примыкающими к точке М" = (х (Т” — 1), х (?")),
и т. д. Этот процесс может прекращаться на некотором шаге и тогда
данное решение х (I) является непродолжимым. В противном случае
х (0 бесконечно продолжимо. Пусть х (0 — (Т, оо)-решение уравнения
(1.11), у*—отображение, задаваемое соответствующим множеством
Г*(,). Тогда множество значений решения x(t) Ax{t) = {х £ IR : х =
= к (t)t t С [T, оо)} принадлежит какому-либо инвариантному интер-
валу /отображения у*, поскольку у* (Лх(/)) = Лх(/+1)	Лх(0, и асимп-
тотическое поведение решения х (0 при t -> оо определяется ©-пре-
дельными свойствами отображения у* на интервале /.
Когда существует несколько траекторий, примыкающих к точке
М', или одной такой траектории отвечает несколько однозначных вет-
вей соответствующего отображения, решение х (0, вообще говоря,
продолжимо не единственным образом, хотя х (0 может оказаться
и непродолжимым.
Рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 3.
(х (t + 1) - ₽) х (t + 1) - х (t) X (П = О, р > 0.	(1.24)
Интегрируя уравнение (1.24), получаем семейство разностных уравнений
(х (f + 1) — р)2 + х2 (/) = а, а > 0.
Траектории соответствующей системы дифференциальных уравнений
i = у — Р,
У = — *
задаются аналогично: х2 + (у — Р)2 = а. Каждое а определяет одну траекторию
Laсистемы (рис. 68). В данном случае каждое множество Г* состоит из одной траек-
тории (нет положений равновесия, которые могли бы «связывать» различные траек-
тории). Отображение уа : х (х), задаваемое траекторией Ьд, не имеет инва-
риантных интервалов при а < Р2/2. Если же а > Р2/2, то из отображения уа мож-
168
но выделить однозначное отображение уа: х •-> Р — V& — х2, имеющее инвариант-
ный интервал [—да, Ьа], где
. _ ( 4-(₽+К2а-р*) при а<₽«,
° а	|	_
I Vа	при а > Р2,
1 г__________
и одну притягивающую неподвижную точку са = — (р — у 2а — р2) с областью
(1.25>
(1.26)
урав-
(1.27)
притяжения (—Ьа,Ьа). Поэтому уравнение (1.24) при а < р2/2 не имеет (Г, от-
решений х (0, Для которых cz La, а для каждого а Р2/2 имеет (Г, от-
решения х (0, Для которых Гх( ) с £а, причем х (/) са при t -> оо.
Пример 4.
(х (/+ 1)_ 2) i (/)-(* (П- 1)х(/+ 1)=0,
х (/)=/—10 при t £ [0, 1].
Интегрируя уравнение (1.25), получаем семейство разностных уравнений
х (t + 1) = а (х (0 — 1) + 2, а G R.
Траекториями соответствующей системы обыкновенных дифференциальных
нений
х — х — 1,
У — У — 2
являются
X = 1, у = 2;
х=1, у >2-,
х=1, t/<2;
у = 2 + а(х—1), х>1, a^R;
i/ = 2 + <x(x—1), х<1, agR.
Начальные условия определяют в фазовой плоскости точку М' = (х (0), х (1)) =
= (—10, —9) и тем самым выделяют из этого семейства траекторий единственную
траекторию Г = {у = х + 1, х < 1). Прямая Г задает отображение у : х ь». х+ 1.
х€ (—сю, 1), и начальная задача (1.25) сводится к задаче
x(t) < 1,
I 6 [0, 1).
х(<+ 1) = х(0+1,
х(<) = < —10 при

16$
Решая эту задачу (например, методом шагов), найдем, что х (0 = t — 10 при t Q
£ [0, 12) и решение не продолжим© на t 12 (так как при t -> 11 х (0 -> 1, а при
/^11 х (t) согласно уравнению (1.26) должно было бы быть больше единицы).
Ыепродолжимость связана с отсутствием у отображения у инвариантных интервалов
(рис. 69).
Можно ли продолжить построенное нами (0, 12)-решение х (0 = t — 10 на
12? Этому решению отвечает в фазовой плоскости точка Мп = (1,2), которая
совпадает с положением равновесия системы (1.27). Положение равновесия {х = 1,
у = 2} типа «узел» и к нему примыкает помимо траектории {у = х + 1, х <Z 1}
много других траекторий (см. рис. 69). Для продолжения решения х (0 можно ис-
пользовать положение равновесия и любую из траекторий {у = 2 + а (х — 1),
х> 1, aG R}. Выбрав а = а* и приняв в качестве начальных условий решение,
построенное при t£ [0, 12), получим для продолжения решения на /^12 следу-
ющую задачу:
x(t+ 1) = 2 4-а* (х (0 — 1),	(1.28)
х (0 = / — Ю при / Gill, 12).
Эта задача имеет решение, в частности
х (/) = а*/ -|- 2 — 12а* при /^[12, 13).
Если а* > —1, то (0, 12)-решение х (0 = t — 10 можно продолжить на все t > 0,
поскольку у соответствующего отображения у *: х н» 2 + а* (х — 1), х >1, есть
инвариантный интервал / — [1, оо) и наше решение х (t) = t — 10 при t £ [ 11, 12)
принимает значения из этого интервала. Поскольку у* имеет на / одну неподвиж-
ную точку
2 — а*
1 — а*
при — 1 < а* < 1,
+ оо
при а* > 1,
то х (0 -> х* при t -> оо.
При а* = —1 отображение у* : х »-*► —х+ 3 имеет инвариантный интервал
1= [1, 2], причем все точки х£1 \ {х*} являются периодическими с периодом
2. (0, 12)-решение х (0 = t— 10 при t G [И» 12) принимает значения из /. Поэтому
если продолжать х (0 с помощью уравнения х (t + 1) = — х (0 + 3, то оно про-
должимо до (0, оо)-решения
( t — 10	при	t G	[0, 11),
х(0=|	10 4-26	при	ZG	[Н 4-26,	124-26),
[-/+14 4-26	при	t G	[12 4- 26,	13 + 26),	6 = 0,1,...,
которое при 11 является периодической функцией. Отметим, что в любой из
моментов 1= 11 4- 26 можно начать продолжать решение с помощью уравнения
(1.28) с любым а* =# —1.
Если а* < —1, то отображение у* : хн> 2 4“ а* (х — 1), х > 1, не имеет инва-
риантных интервалов и (0, 12)-решение х (0 = t — 10 продолжим© с помощью урав-
нения (1.28) до (о, 12----^-j-решения уравнения (1.25). Для дальнейшего продол-
жения можно было бы попытаться использовать другие траектории системы (1.27).
И — Ю,	ZG [0, 12),
Однако решению х (0 = <	Г .	1 \ отвечает в фазо-
н	V а*/ — 2— 12а*,	12,12--------
I	а* /
вой плоскости точка М"= (х (11-----— , х ( 12-------= (1---------— , 2------
\ \ а* /	\ а* //	\ а* а*
через которую не проходят никакие другие траектории системы (1.27). Следова-
1
гельно, х (/) вообще непродолжимо на ? > 12-------.
а*
Таким образом, при t = 12 происходит ветвление решения задачи (1.25). При
(непосредственном использовании семейства разностных уравнений (1.26) началь-
но
ные условия определили бы единственное разностное уравнение
х(/+ 1)=х(0 + 1 (а = 1),
решая которое при условии х (0 = t— 10, когда [0, 1), можно найти только
одно решение х (0 = t — 10 задачи (1.25), определенное при t С [0, сю).
Заметим, что в точке ветвления решение дифференциально-разностного урав-
нения (1.25) получается негладким (если а* у= 1), так как траектории {у = х + 1,
х < 1}, {х = 1, у = 2} и {у = 2 + а* (х — 1), х > 1} образуют негладкую в точке
(1, 2) кривую. Как известно, траектории в точке типа «узел» образуют, как правило,
гладкие кривые, и в таком случае решения дифференциально-разностного уравне-
ния в точке ветвления будут гладкими.
§ 4. Периодические решения вполне интегрируемых
дифференциально-разностных уравнений,
их исключительность
В отличие от автономных дифференциальных уравнений дифферен-
циально-разностное уравнение (1.5) может иметь нетривиальные пе-
риодические решения, правда, в исключительных случаях [81].
Предложение 1.3. Пусть х (/) — (0, оо)-решение вполне интегри-
руемого дифференциально-разностного уравнения (1.5), представленного
в форме (1.9), и NX{.) = 0. Для того чтобы х (/) было периодической
функцией, необходимо, чтобы
F(co(x(0), х(1))) = 0.	(1.29)
Тогда х (/) есть решение уравнения
со(х(/), х(/+ 1)) = со(х(0), х(1)).	(1.30)
Доказательство. Уравнение (1.9) сводится к семейству
разностных уравнений
со(х (/),%(/+ 1)) = р(/, X), XGR.
Поскольку NX(,) = 0, то х (/) удовлетворяет только одному уравнению
этого семейства
о>(х(/), x(t + 1)) = ц(/, X'),
где X' = со (х, (0), х (1)), v (/, X') — решение дифференциального урав-
нения v — F (v) = 0 с начальным условием v (0) = X'. Если Т —
период решения х (/), то, заменяя t на t + Т, получаем
v (/ + Т, X') = v (/, X') V t G [0, оо).
Но единственными периодическими решениями уравнения и— F (v) — 0
являются константы v (/) = v, для которых F (v) = 0. Следовательно,
v (t, X') = X' и F (X') = 0. Предложение 1.3 доказано.
Замечание. Если условие Nx{.} = 0 не выполняется, то
предложение 1.3 теряет смысл (величина со (х (/'), х (tf + 1)) неопре-
делена для /' g Nx(.^ и уравнение (1.5) может иметь периодические ре-
шения, склеенные из решений нескольких разностных уравнений.
В качестве примера используем уравнение (1.16).
Пример 5.
х (0 х (/+ 1) — х (/+ 1) х (0 = 0.
171
Это уравнение эквивалентно семейству разностных уравнений (1.17)
х(*+ 1) = Ах (О, AGR.
Зададим начальную функцию
Ф (0 € {cpCCMfO, 1], R):q>(0) = <р (1) = <р (0) = <р (1) = 0).
Для нее Мф(.) = {0} #= 0 и величина р (х (0), х (1)) не определена. Как отмеча-
лось в примере 1, такую начальную функцию можно продолжить не единственным
образом, используя различные разностные уравнения семейства (1.17). Покажем,
как можно комбинировать эти уравнения, чтобы построенное решение было периоди-
ческим.
Решение периода 1 получим, продолжая (р (/) с помощью уравнения х (/ + 1) =
= х (0 (и только этого уравнения). Отметим, что из вида уравнения (1.16) непо-
средственно следует, что любая 1-периодическая гладкая функция является его
решением.
Продолжить ср (t) до /г-периодического (k 2 — целое) решения можно раз-
личными способами. При любых Ах-, i = 1, k — 1, продолжая ср (t) с помощью урав-
нений
x(t + 1) = At.(mod х (t) при €	i’+ 1] V 1	— 1, л= 1, 2, . . . ,
x (t -f- 1) = -t-т—!-?— x (t) при t G Ink, nk + 1], n = 1, 2, . . . ,	’^0
Л1Л2 • • • Л/г
построим /г-периодическое решение (рис. 70), имеющее на периоде вид
т	________
г (0 = П At.<p (t — т), Ао=1, t£\m, /л + 1], m = 0, k — 1.	(1.32)
i—0
В случае, когда k — рациональное число, налагая на (р (/) некоторые условия типа
«симметрии», по той же схеме можно построить k-периодические решения уравнения
(1.16).
В силу предложения 1.3 при изучении периодических решений
вполне интегрируемых уравнений (1.5) достаточно ограничиться рас-
смотрением условий, при которых могут существовать периодические
решения у автономных функциональных уравнений вида
со (х (O,x(Z+ 1)) = V.	(1.33)
Этот вопрос в предположении однозначности отображения у : х >-►
у (х), задаваемого соотношением со (х, у) = v, рассмотрен в работе
[23].
Если со (х, у) = v определяет в фазовой плоскости (х, у) кривую
L, часть которой L* симметрична относительно прямой у = х и пере-
секается с любой прямой х = const не более чем в одной точке, то за-
даваемое L* однозначное отображение у : х »-> у (х) имеет инвариантный
172
интервал /, который совпадает с проек-
цией L* на ось х, и точки, принадле-
жащие /, являются периодическими
точками отображения у с периодом 1
или 2. Поэтому каждое решение х (/)
уравнения (1.33), для которого значе-
ния х (/) на [0, 1] принадлежат /, яв-
ляется периодическим решением с пе-
риодом 1 или 2 и даже с периодом
\/k или 2/k, если решение х (/) на на-
чальном интервале является периоди-
ческой или антипериодической функ.
цией с соответствующим периодом.
В общем случае, когда у — мно-
гозначное отображение, уравнение
(1.33) может иметь периодические решения с любым периодом [81].
В самом деле, пусть множество Г* = {(х, у) : со (х, у) = 0} пред-
ставляет собой замкнутую выпуклую кривую, имеющую одинаковые
проекции на оси х и у — интервал / (рис. 71). Множество Г* определяет
двузначное отображение у : I -> /, из которого естественным образом
выделяются два однозначных отображения у* : / -> /. Укажем ал-
горитм, позволяющий для каждого х С / выбрать одно из двух возмож-
ных значений у+ (х) или у— (х) в зависимости от дополнительных усло-
вий. Если х0 £ / и для хг = у (х0) уже выбрано одно из значений у+ (х0)
или у- (х0), то последующие значения xn4_i = у (хп), п = 1,2, ...,
определяются однозначно следующим образом:
V CQ, -. . ?+ ои, х„+1 = у (х„) = V М,	если	хп —	(Хц-i)	и	xn_i	а~, если	х„ =	у~(х„_1)	и	x„_t	С а~, если	хп =	у+ (Xn-i)	и	хп_|	< а+, если	х„ =	у+ (х„-|)	и	хч_1	> а+.
где а~ — абсцисса «нижней» точки контура Г*; а+ — абсцисса «верх-
ней» точки.
Если для уравнения (1.22) начальные условия х (/) = ср (/) при
i С (О, И заданы так, что (х0, xj (= Г*, где х0 = ср (0), хг = <р (1), и
Ао /, то отображение у позволяет построить (1, оо)-решепие х (/)
уравнения
со(х(/), х(/+ 1)) = 0,	(1.35)
а значит, и уравнения (1.22), как решение разностного уравнения
x(t+ 1) = У (х (0)	(1.36)
с начальным условием х (/) = (р (/) при t £ [0, 1]. Это решение может
быть записано в виде
х(/+п) = ?(<р(0), /610,1], п=1, 2,
173
Чтобы получить представление о свойствах этого решения при t ->
“>4~оо, поступим следующим образом.
Поскольку х и у (х) однозначно определяют у2 (%), у3 (х), то
пару (х, у (х)) можно рассматривать как точку плоскости (х, у), ле-
жащую на Г*, которая однозначно определяет точки (у (х), у2 (х)),
(у2 (х), у3 (х)), также лежащие на Г*. Таким образом, отображение
у индуцирует гомеоморфизм / : Г* -> Г*, при котором (х, у(х))н>-
(? W, У2 W), и ° свойствах отображения у можно судить по свойст-
вам индуцированного им гомеоморфизма f контура Г*. Важной харак-
теристикой такого гомеоморфизма является число вращения р =
= р (mod 2л). Свойства решений уравнений (1.36) (и (1.22)) существен-
но зависят от величины р.
Уравнение (1.36) удобно заменить уравнением
Z(t+ 1) =/(?(/)),	(1.37)
где z — (х, у) и _у j=y(x),_х£1_ (т. е. г£Г*).
Пусть S = {(х, у) g [R2: х2 4- У2 = 1} и h — гомеоморфизм контура
Г* на окружность S. Если z — (х, у), то согласно (1.37) получим
уравнение
z(*4-l) = g(z(0),	(1.38)
где z Q S и g = h о f © h~4 Для отображения g : S -> S число враще-
ния также равно р. Свойства решений уравнения (1.38) для различных
отображений g могут существенно различаться.
Если отображение g : S -> S есть поворот (очевидно, на угол 2лр),
нетрудно найти общее решение уравнения (1.38):
z (t) = (cos (2лpt 4- р (0))» sin (2лр/ 4- р (/)),
где р (0 — произвольная периодическая функция периода 1. Так как
z (0 = h~l (z (/)), то:
1) если р = у--рациональное число, то решения уравнения (1.37),
а следовательно, и (1.36), какова бы ни была начальная функция,
являются периодическими с периодом г; более того, те решения, для
которых р (0 = р [t 4- имеют период r/q;
2) если р — иррациональное число, то решения являются квази-
периодическими с частотами 1 и р; среди них имеется единственное (с
точностью до сдвига по t) периодическое решение периода 1/р.
Возвращаясь к дифференциально-разностному уравнению (1.22),
можно заключить следующее: если гомеоморфизм h : Г* -> S является
диффеоморфизмом и отображение g : S -> S есть поворот на угол
2лр, то уравнение (1.22) имеет периодические решения с периодом 1/р,
притом много таких решений, если р рационально, и по крайней мере
одно, если р иррационально. Если контур Г* удовлетворяет еще неко-
торым дополнительным условиям, например симметричен относительно
174
прямой у = х, то уравнение (1.35), а следовательно, и уравнение
(1.22) имеют периодические решения с периодом 4-4-2n2
п2 = 0, 1, ... (отвечающие одному и тому же начальному условию).
Эти решения можно построить, подходящим образом изменяя алгоритм
(1.34).
Рассмотрим еще одну возможность: отображение g : S -> S не
является поворотом, р — рациональное число. В этом случае, как из-
вестно, отображение g, а следовательно, и отображение f : Г* -> Г*
имеют периодические точки периода г, если р = -у. Каждая точка-
(как и zfS) притягивается одним из циклов, образованных
периодическими точками. Это означает, что последовательность z,
fr (z), /2г (z), ••• сходится при любом г£Г*. Подобная ситуация уже
рассматривалась в предыдущем пункте: каждое решение z (t) уравне-
ния (1.37) при /->4-оо стремится к разрывной периодической функ-
ции периода г. Следовательно, решение х (/) уравнения (1.36), какова
бы ни была начальная функция ср (/), также асимптотически прибли-
жается к разрывной периодической функции периода г.
Заметим, что для уравнения (1.35) (а не (1.36)) благодаря многознач-
ности отображения х -> у (х) каждая начальная функция ср (/) порож-
дает континуум различных (0, оо)-решений.
§ 5. Асимптотически периодические решения
вполне интегрируемых уравнений, их типичность
Существование (нетривиальных) периодических решений у диффе-
ренциально-разностных уравнений (1.5), как отмечено выше, явление
исключительное, обусловленное наличием у уравнения определенной
«симметрии». В то же время для них характерно существование обоб-
щенных периодических решений — полунепрерывных сверху периоди-
ческих функций со сложно устроенным множеством точек неоднознач-
ности (это может быть, в частности, канторово множество), так что
графики этих решений — фрактальные по Мандельброту множества
дробной размерности. К этим решениям «притягиваются» обычные
классические (сколь угодно гладкие) решения уравнения (1.5), что
и наделяет их свойствами, не типичными для решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. Об этом отчасти шла речь в § 1.
Ниже для вполне интегрируемого уравнения (1.5) строится класс
f? обобщенных периодических решений и показывается [129], что почти
все решения являются асимптотически периодическими и асимптоти-
чески стремятся (в метрике Хаусдорфа для графиков) к функциям клас-
са Термин «почти все» понимается в том смысле, что множество-
начальных функций, порождающих эти решения, является множеством
второй категории в пространстве всех начальных функций.
Уравнение (1.5) приведем к вполне интегрируемой форме. При этом
естественно так выбрать интегрирующий множитель, чтобы получить
уравнение наиболее простого вида. Предположим, что существует
интегрирующий множитель р (х, у), которому соответствует общий
175
интеграл <о (х, у) = у — f (х) = const. Тогда после умножения на
р (х (0, х (t + 1)) уравнение (1.5) примет вид
{х {t + 1) _ f {х (0)} = F (х (/ + 1) -/ (х (0)).	(1.5*)
Везде в дальнейшем будем рассматривать уравнение (1.5) в форме
(1.5*) при следующих условиях на правую часть:
1) функция F обеспечивает существование и единственность реше-
ния начальной задачи для уравнения v = F (и);
2) если F 0, то uF (и) < 0 в некоторой окрестности и = 0.
Уравнение (1.5*) путем интегрирования сводится к однопараметри-
ческому семейству разностных уравнений, вообще говоря, неавтоном-
ных,
х(<+ 1) — f(x(t)) = v(t,K), XglR,	(1.39)
где v (/, X) — решение начальной задачи
v = F(v), v(0) = X.	(1.40)
Множество начальных функций Ф представим в виде
Ф = U Фь где Фх = {ф£Ф:ф(1) — f (<р (0)) = X).
XCIR
Для каждого решения х (t) уравнения (1.5*) его сужение х (O|[o,ij
на начальный интервал принадлежит какому-либо одному из классов
Фх. Из предложения 1.2 следует, что всякое решение х (/) уравнения
(1.5*), для которого х (Ol[o,i] (: Фх> является решением разностного
уравнения
х(/+ 1)-/(%(/)) = ^(/,Х)	(1.41)
и только этого уравнения семейства (1.39).
1. Если F = 0 (что возможно тогда и только тогда, когда R = 0),
то уравнение (1.41) принимает вид
x(t + l)_f(x(0) = X.	(1.42)
Будет ли х (/) бесконечно продолжимо, зависит от наличия у отобра-
жения
h:x^f(x) +Х	(1.43)
инвариантных интервалов: если А (А) £ А и х (/) £ А при t (= [0, 1],
то х (0 определено при всех t £ R+ и х (t) £ А при t g IR+, при этом
если интервал А ограничен, то и решение х (/) также ограничено.
Обозначим через Л множество значений параметра X, для которых
соответствующее отображение А имеет ограниченный открытый инва-
риантный интервал А- Предположим, что X = 0 принадлежит Л и
f (/) cz /. Тогда множество Л не пусто и содержит открытое подмно-
жество. Поскольку нас интересуют ограниченные бесконечно продол-
жимые Скрещения, будем предполагать, что
AGC4A, А), Х£Л,	(1.44)
х(0|[0,1]€Ф» Ф= U Фх, Фх = {<рСФх:ф(0€А при /£[0,1]}.
176
При этих предположениях разностное уравнение (1.42) детально ис-
следовано в гл. 1 разд. 2. Полученные там результаты автоматически
переносятся на решения уравнения (1.5*) с начальными условиями из
Ф. Поэтому ниже без каких-либо подробных комментариев приводятся
соответствующие формулировки.
Напомним некоторые обозначения: Q (/) — множество неблуждаю-
щих точек /; D ([) — разделитель /;
D+(/) = {xgD(f):Qf+(x) = (2/(x)}> .
D_(f) = {xeD(f):QT(x) = Qf(x)}->
(/, 27)—функция, определенная соотношением /Л = lim fa
П-*<»
(в топологии пространства Сл).
При функции вида
Аи->(0 =/х’/х	(* —0,	i = 0, 1, .... ZgA, (1.45)
представляют собой обобщенные решения уравнения (1.5*) класса
СА (IR+, 2/х). Множество таких решений обозначим
Если предельная полугруппа {/£ ° fk} конечна (а следовательно,
и периодична), то каждая функция (1.45) является Af-периодической;
величина N = N (Д)	1 зависит только от Д и совпадает с периодом
предельной полугруппы. Если же предельная полугруппа бесконечна
(и тогда она почти периодическая), то среди функций (1.45) наряду
с периодическими есть и почти периодические, возможно, даже все
(как это имеет место для U-отображений).
Теорема 1.1. Для любого е>0 ц каждого решения х (/) вполне
интегрируемого дифференциально-разностного уравнения (1.5*), для
которого х (O|[o,ij = ф (0 € Фх» € Л, существует Т = Т (е, х (/)) > 0
такое, что
gr[T,~)* (0 <= Ue (gr[7-,oo) рф(.) (0).
Функции класса f? = (J позволяют полностью охарактеризовать
Х€Л
асимптотическое поведение решений уравнения (1.5*) с начальными
функциями, удовлетворяющими обобщенному условию tv-пересечения.
Положим
otv= и фГ,
хсл
ФаУ = {ф G Фхесли ф (/*) = х* и х*^О(Д), то для 6>0
ф(^б(/*)) содержит полную окрестность точки х*, когда
х* £ D \ (D+ U D_) и по крайней мере правую полу-
окрестность х*, когда х* g D+ \	и левую полу-
окрестность х*, когда x*g£L_\D+, и ф(£/б (/*))=£
=£{х*}, когда х*££Ц- Q О__).
12-3793
177
Множество <Dtv содержит открытое подмножество
и {фСФх:ф(0¥=0, если <р (0	(fa,)},
2l€A
которое в типичных ситуациях плотно в Ф.
Положим
•^tv — {р<р(*) €	• ф € ®tv}«
Функции класса 7\v обладают тем дополнительным свойством, что
структура множества точек неоднозначности для каждой функции
€ ^tv «мажорируется» структурой множества D: поскольку для
а С D (Д) множество {t С [0, 1] : ф (/) = а} конечно, когда ф £ ФГ,
то множество ТГ ^.у конечно, если D (Д) конечно, и card 2ГФ(.)
cardD (Д), если D (Д) бесконечно.
Теорема 1.2. Каждое решение х (t) вполне интегрируемого диффе-
ренциально-разностного уравнения (1.5*), для которого х (0|[о,1] =
= Ф (0 € ®tv, асимптотически стремится при t ->- оо к функции
Ры-> (0 6 ^tv-
Если же х (t) |[o,i] С Ф \ aio х (t) не стремится ни к какой функ-
ции класса
2. При F 0 уравнения (1.39), к которым сводится вполне интегри-
руемое уравнение (1.5*), неавтономны и для того чтобы воспользовать-
ся предложенным выше способом исследования решений, необходимо
исключить неавтономность из (1.39). Для этого используем оператор
сдвига на единицу вдоль решений дифференциального уравнения (1.40)
V[y(/, Х)] = у(/+ 1,Л), Л С К.
В силу автономности уравнения (1.40) оператор V порождает отобра-
жение прямой
ф:гь^ц(1, г)
в себя, причем ф (v (/, 1)) = я (/ + 1, Л) для всех X, t £ IR. Функция
ф обладает следующими свойствами:
1)	Ф € Сг+!, если F £ Сг\
2)	ф строго возрастает;
3)	ф (z) = z тогда и только тогда, когда F (?) = 0;
4)	если (z', z”) — максимальный интервал, не содержащий нулей
функции F, то при всех zg (z', z") фп (z)n Z^z', если F (z) < 0, и
фп (z) -> z", если F (z) > 0.
Полагая в (1.39)
x(/+l)-f(x(0) = z(0,	(1.46)
26 Решения уравнения (1.5*) с начальными условиями из Ф \ <Dtv также асимп.
•готически стремятся к некоторым периодическим или почти периодическим реше-
ниям уравнения (1.5*), последние можно построить, используя понятие правой и
левой (о-пролонгации. Все такие решения неустойчивы к возмущениям начальных
данных.
178
перейдем к треугольной системе автономных разностных уравнении
х(/+1) = f(x(t)) + z(t),
г(/+1) = г|ф(0).
Множество решений системы (1.47) существенно шире множества реше-
ний исходного разностного уравнения (1.39): если (х (/), z (0) —
решение системы (1.47), то функция х (0 является решением уравне-
ния (1.39) в том и только в том случае, когда z (/) — решение начальной
задачи v = F (v), v (0) = х (1) — f (х (0)). Таким образом, каждому
решению х (t) уравнения (1.39), для которого
х (0 кол] = ф (0 € Фх, XG о?,
отвечает решение (х (/), z (/)) системы (1.47) с начальными условиями
х (0 |[о,1] = Ф (0,	(0 |[0,i] = v (A 2i).	(1.48)
Согласно (1.47) поведение этих решений определяется треугольным
отображением
(149)
Z ф (z)
плоскости (х, z) в себя 26. Отображение f обладает следующими свойст-
вами:
прямые {z = X), для которых F (X) = 0, инвариантны относительно
отображения /;
если (z', z") — максимальный интервал, на котором F (z) #= 0,
то каждая точка (х, z) £ {z' < z < z"} при отображении / притягивает-
ся прямой {z = z'j, если/7 (z) < 0, и прямой {z = z"}9 если F (z) > 0.
Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением отображения
(1.49) в какой-либо одной области {z' <7 z z"}.
Условия на F и f означают, что прямая {z = 0} инвариантна отно-
сительно отображения f и содержит инвариантное «притягивающее»
множество I X {0} с областью притяжения W (= {(х, z): о (%, z),
/ X {0}) -> 0, о — евклидова метрика в [R2).
t->oo
Начальные условия (1.48) задают в плоскости (х, г) так называемую
«начальную» кривую
Пф(.) = {(х, z):x = ф(/), z = v (/, Z) при /g[0, 1]}.
Обозначим
Ф= U Фх,
Х£Ао
(1.50)
где Фх= {ф€Фх:Пф(.)С=№}, До=
28 При F = 0 отображение f принимает вид	+ z и фактически сво-
Дится к однопараметрическому семейству отображений прямой в себя х f (х) +
А,, X С IR.
12*
179
Поскольку X = 0 принадлежит Ло, то при F ф 0 множество Ло не
пусто и открыто в |Р (если F = 0, то Ло = {0}) и, следовательно,
Ф открыто вФ(вС°-топологии). Заметим, что введенное выше множест-
во Фо есть не что иное, как множество {ф £ Фо : Пф(.) cz I X {0}},
поэтому Ф zd Фо и Ф = Фо « F = 0.
Если ф(0€Ф» то решению системы (1.47) с начальным условием
(1.48) (а следовательно, и соответствующему решению уравнения
(1.5*)), отвечает в плоскости (х, z) инвариантная относительно f
кривая 2Т
Пф(.) = {(х, z): х = х (/), z = v (/, %) при [0, оо), х (t) |[0,i] = ф (/)},
принадлежащая области И?. Следовательно, асимптотическое поведе-
ние решений х (/) уравнения (1.5*), для которых х (/) |[о,п = ф (0 С Ф>
определяется w-предельными свойствами траекторий (х0, Zo)» f (*o,zo)» —
при (х0, z0) £ Пф(.). И тем самым исследование уравнения (1.5*) по
существу сводится к исследованию отображения f в области W.
Из свойств отображений f и ф нетрудно заключить следующее:
1)	Q(/) = Q(f)x{0);
2)	D(/)= U U ГЧ^О);
i=0 a£D(f)
3)	Q~ (х, z) = Qf(&b) х {0}, если (х, z)£P~ (Qs х {0}),	(1.51)
где Qs — s-й элемент спектрального разложения множества й (/).
Таким образом, свойства двухмерного отображения f : W -> W
фактически определяются свойствами одномерного отображения / : I ->
-> /. В силу этого асимптотические свойства решений х (/) уравнения
(1.5*), для которых х (/) |fo,i] € Ф, аналогичны описанным выше асимп-
тотическим свойствам решений с начальными функциями из Фо. При
этом функции класса Доказываются пригодными для описания реше-
ний уравнения (1.5*) и в случае, когда F ф 0.
Ограничимся здесь периодическим случаем. Пусть, как и раньше,
W — период предельной полугруппы {fn ° /д}. Определим функцию /д С
СД(1Г, 27) формулой
f л (х, z) = пр{г=0}<9 ~ 2Л, (X, г),	(1 52)
где пр{г=о}5 — проекция S на {z = 0}. Каждой начальной функции
27 Обратное утверждение неверно. Не всякой регулярной инвариантной кри-
вой I отображения / отвечает решение уравнения (1.5*). Для этого необходимо и
достаточно, чтобы либо I пересекалась с любой прямой (z = е} не более чем в одной
точке, либо I CZ / X {0}. При этом кривая I определяет однопараметрическое семей-
ство решений уравнения (1.5*) в первом случае и семейство решений, зависящее
от произвольной функции, во втором [82].
180
Ф (0 € Фь Е Ао, поставим в соответствие функцию класса СА ([R+, 2;)
(1.53)
Функции (1.53)—это обобщенные М-периодические х-решения раз-
ностной системы (1.48) (г (/) = 0), а следовательно, согласно (1.39)
и (1.48) и исходного дисЭДэеренциально-разностного уравнения (1.5*).
Из определений (1.52), (1.53) и соотношения (1.51) непосредственно
вытекает, что
{р (/, (р (•)): Ф 6 Ф} = {р^.} (/): ф Е Фо} = Д,
при ЭТОМ р (/, ф ( •)) = рф(.) (/) <=> ф С Фо cz Ф.
Из способа введения функций р (/, ф (•)) следует теорема.
Теорема 1.3. Для любого е > 0 и каждого решения х (/) вполне
интегрируемого уравнения (1.5*), для которого х (/) |[0,i] = ф (/) Е Ф,
найдутся функция р (/, ф (•)) g 5% и число Т = Т (е, х (•)) > 0 такие,
что
gljT.00) X (0 CZ Ue (grtT.oo) P (t, Ф ( • ))).
В множестве начальных функций Ф естественным образом выде-
ляется открытое множество «грубых» начальных функций
<btv = {ф С Ф: если Пф(.} Q £>(/)#= 0, то
а)	ф Е Фо\ когда Пф(.) cz I х {0};
б)	кривая Пф(.) пересекает £>(/), когда Пф( )ф / х {0}}.
Для решений уравнения (1.5*) с начальными условиями из <Dtv,
очевидно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1.4. Каждое решение х (/) вполне интегрируемого диффе-
ренциально-разностного уравнения (1.5*), для которого х (/) |[o,i]
= ф (/) Е Фи, асимптотически стремится при t -> оо к функции
Если же х (/) |fo,i] Е Ф \ Фи, то х (I) не стремится ни к какой
функции класса Фо.
В свойствах решений уравнения (1.5*) при F = 0 и F 0 имеется
одно важное различие. Когда F = 0, асимптотика решений зависит
главным образом от начальных условий: если х (/) |[0,ц Е Фх, Е Л,
то предельная для х (/) функция принадлежит классу и ее свойства
определяются отображением Д. Очевидно, что для различных X', X" £ Л
свойства решений с начальными функциями из Ф^, Ф^ могут сущест-
венно отличаться (хотя в рамках одного класса Фх асимптотическое
поведение решений мало зависит от начальных данных). В случае,
когда F = 0, решения уравнения (1.5*) не являются сильно орбитно
устойчивыми (орбитно устойчивые решения порождаются множеством
Фи).
181
Если же F ф 0, то асимптотика всех решений х (/) уравнения (1.5*),
для которых х (Z) |qo,i] € Фх» А, € Ло» определяется в конечном счете
только отображением /, независимо от А, £ Ло. В этом случае почти все
решения уравнения (1.5*) не только орбитно устойчивы, но и сильно
орбитно устойчивы.
Пример 6. Дифференциально-разностное уравнение
х(/ + 1) — 2к (t) х (t) = а (х (t1)— х2 (/) — р),	а<0,
приводится к семейству разностных уравнений
х (t + 1) = х2 (/) + ».eat + ц,
где 1 — произвольная постоянная, или к системе разностных уравнений
х(/+1)=х2(/) + г(/) + н>
г (t + 1) = bz (i), 6=еа<1.
Для отображения
р |xi-> х2-|-г+ ц,
М г ~ Ьг,
(1-54)
(1.55)
(1.56)
соответствующего (1.55), все точки плоскости (х, z) притягиваются прямой {z = 0},
так что асимптотическое поведение решений уравнения (1.54) определяется свойст-
вами отображения
/ц:хн.х2 + |л
(1.57)
прямой {z=0} в себя (см. рис. 67). Рассмотрим несколько возможных случаев
в зависимости от величины параметра р,.
Если, например, > V4, то отображение (1.57), а вместе с ним и отображение
(1.56) не имеют неподвижных точек и каждое решение уравнения (1.54) (независимо
от значений х (/) при t G [0, 1]) стремится к +оо при t ->оо.
При р, х/4 отображение (1.56) имеет две неподвижные точки (х4, 0), (х2, 0),
1 ± V 1 — 4|х	.
х{ 2 ---------Q------; периодических точек периода, большего единицы, нет.
2
3	1
Если------< и < — , то точка
4	г 4
(Xj, 0) — притягивающая типа «узел», точка
(х2, 0) — типа «седло». Областью притяжения точки (хь 0) является открытая неог-
раниченная область W плоскости (х, z), граница которой состоит из точки (х2, 0)
и ее сепаратрисы, образованной счетным числом кривых (рис. 72, а). Следовательно,
।	хх	при	(х,	z) € W,
f д (х, z) =	j	x2	ПРИ	(*»	2) C dlF,
I	+ оо	при	(x,	z) g Wt
и каждое решение x (/) уравнения (1.54) при t -> +оо приближается к одноперио-
дической функции f д (х (/), keat), t С [0, 1), X = х (1) — х2 (0) — р,. В частности,
х (0 zj хх при t -> + оо, когда П°(е) cz U7.
5	3
Если------- < ц <------, то обе неподвижные точки (хг, 0), (х2, 0) седловые.
Отображение (1.56) имеет притягивающий цикл периода 2, образованный точками
(х3, 0)»	0), х3 4 —- ———- — , с областью притяжения W, граница ко-
торой состоит из точек (хх, 0), (х2, 0) типа «седло» и их сепаратрис ((хх, 0)),
182
2
Рис. 72.
6
a
Рис. 73.
X
Рис. 74.
Рл ((х2, 0)), каждая из которых состоит из счетного числа кривых (рис. 72, б).
Всякое решение х (/) уравнения (1.54) приближается при /->оо к 1- или 2-периоди-
ческой функции
1/о/д(х(/-1), ke"*'-1»), /€[1,2),
где
(х, г)€РЛ„ <(х,.,0)), / = 174,
Z = х (1) — х2 (0) — ц, f д (х, г) = J
l+oo, (X, z)$W
(решение релаксационного типа (рис. 73)).
183
При Х=—2 «притягивающим» для отображения (1.56) является множество
[—2, 2| X {0}. Пусть W— область притяжения этого множества. Тогда каждое
решение х (/), для которого cz W, приближается при /->оа к Апериодиче-
ской функции /Л (х (/), keat) = [—2, 2], t £ [0, 1). Это означает, что при достаточно
больших значениях t решение х (/) колеблется в пределах от 2 до —2, и при этом
частота колебаний х (/) на интервале [Т, Т + 1] в два раза больше, чем на интер-
вале [Т — 1, Т] (решение сильно турбулентного типа (рис. 74)).
При некоторых дополнительных предположениях на f резуль-
таты § 5 перенесены на вполне интегрируемые системы дифференци-
ально-разностных уравнений вида (1.5*) [80].
ГЛАВА 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
БЛИЗКИЕ К РАЗНОСТНЫМ
§ 1. Общие определения и свойства
В этой главе уравнение
Р (х (/), х (/ + 1)) х (0 + Q (х (/), х(/+1))х(/ + 1) +
+ /?(х(/),х(/+ 1)) = 0	(2.1)
рассматривается при условии, что оно не является вполне интегрируе-
мым, т. е. выполнение тождества
R (X. И)	--	- р (X. у) - Q (х, у)
(2.2)
не предполагается, однако в определенном смысле близко к последним
(а следовательно, и к разностным). Для характеристики близости
уравнения (2.1) к вполне интегрируемым уравнениям можно было бы
использовать уклонение от нуля величины
а*	I г. / дР	dQ \	п d/? . dR I
Д* = sup ----------— Р -г- 4- Q ,
(%,£) I \ дУ	дх / дУ дх I
показывающее, насколько «сильно» нарушается условие полной инте-
грируемости (2.2). Однако такое определение обладает тем недостатком,
что непосредственно не указывает, к какому именно вполне интегрируе-
мому уравнению близко уравнение (2.1). Поэтому предлагается другое
определение; близость в смысле этого определения влечет малость Д*.
Предположим, как и в гл. 1, что уравнение
Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0
имеет интегрирующий множитель р (х, у), которому отвечает общий
интеграл у — f (х) = const. Тогда после умножения уравнения (2.1)
на р (х (/), х (t + 1)) получим
4~{x(t+ l)-f(x(/))} = H(x(0,x(/+l))/?(x(0,x(/+l)). (2.3)
Из-за нарушения условия (2.2) функции р (х, у) R (х, у) и у — f (х)
функционально независимы, и поэтому правую часть уравнения (2.3)
184
уже нельзя (в отличие от вполне интегрируемого случая) представить
в виде р (х, у) R (х, у) = F (у — f (х)). Вопрос заключается в том,
можно ли для уравнения (2.3) указать функцию F (z) gC1 ([R, [R), до-
ставляющую минимум функционалу
А= sup |р(х, y)R(x,y) —	— f(x))|,	(2.4)
xtl.yCR
где I — область определения /, & g С1 (fR, fR), и, кроме того, такую, что
[р(х, г/)/?(х, у)— F (у — f(x))|< |р(х, г/)/?(х, у) — 3\у — f(x))| (2.5)
для любой & £ С1 ([R, [R) и любых допустимых х, у.
Функционал (2.4) ограничен тогда и только тогда, когда
sup р (х, у) R (х, у) — inf р(х, y)R(x, у) с оо.
x€/,z/€IR	x€/,i/€IR
Условие (2.5) означает, что из множества функций, доставляющих
минимум Amin = е функционалу (2.4), выбирается единственная —
наилучшим образом приближающая правую часть уравнения (2.3),
а именно: функция F (z), для которой при каждом фиксированном z £ [R
величина
sup I у (х, f (х) + z) R (х, f (х) + z) — & (г) |, Я £С (О?, О?), (2.6)
принимает наименьшее значение. Отсюда следует, что искомая функция
F (г) имеет вид
F (г) = т*(г) + т*(г)	(2 7)
где m*(z) = sup|y(x, f(x) + z) R (x, f(x) + z)|, zn*(z) = inf | у (x, f (x) -f-
xei	xei
z)R (x, /(x) + z) |.28 При этом для уклонения
Ge (X, у) = у (х, у) R (х, у) — F (у — f (х))
имеем
|Ge(x, 0)| = -L|m*(i/ — f(x))-\-m*(y — /(х))| < е. (2.8)
Таким образом, если задача (2.4), (2.5) имеет решение F (г), то
уравнение (2.3) можно представить в форме
4- {X (t + 1) - f (X (t))} = F (X (t + 1) - f (X (0)) + Ge (X (0, x(t + 1)),
(2.1*)
где Ge Ф 0 и | Ge (x, y) | <Z e (Go s= 0). Величина e характеризует бли-
зость уравнения (2.1*) (и (2.1)) к вполне интегрируемому уравнению
{х (t + 1) - f (х (0)} = F (х (t + 1) - f (x (0)).	(2.9)
28 При выполнении условия полной интегрируемости (2.2) р (х, f (х) + z) F (х,
f (х) + z) const (так как в этом случае р/? s 0) и, следовательно, F (у—f (х)) =
s= у (х, у) R (х, у).
185
Выясним, сохраняются ли и при каких условиях у уравнений
(2.1*), близких к вполне интегрируемым, решения релаксационного
и турбулентного типов.
Уравнение (2.1*) с малым параметром е естественно интерпретиро-
вать как возмущение (регулярное) вполне интегрируемого уравнения
(2.9). Ниже уравнение (2.1*) рассматривается при следующих условиях
«грубости» на функции f и F и «малости» на функцию Ge.
1,	F(0) = 0 и	< ^2>	в некоторой ок-
рестности U точки и = 0.
2.	Отображение f : х f (х) имеет открытый ограниченный инва-
риантный интервал / и f (/) cz /; f g С1 (/, /); f структурно устойчиво
на /.
3.	| G8 (х, у) | < е и Ge (х, у) удовлетворяет условию Липшица с
константой, стремящейся к нулю при & -> 0.
Как будет показано ниже, эти условия обеспечивают сохранение
у возмущенного уравнения (2.1*) асимптотически периодических ре-
шений, характерных для невозмущенного уравнения (2.9).
Как и в предыдущей главе, ограничимся рассмотрением Скреще-
ний и по возможности сохраним принятые там обозначения. С1-решения
порождаются множеством начальных функций
Ф = {ф g С1 ([0, 1], о?): ф (1) - f (ф (0)) ф (0) =
= F (ф (1) - д<р (0))) + Ge (ф (0), ф (1))}.
Ввиду условия 1 нас будут интересовать решения х (/), для которых
X (0 |[0,1] € Фо,
Фо={фСФ:(ф(0,и(0) |[0,i]G/ X (7, v (/) — решение начальной задачи
v-F(v) = V, v(0) = Ф(1)—/(Ф(0))}.
В рамках общей теории дифференциальных уравнений с отклоняю-
щимся аргументом для уравнения (2.1*) при условиях 1—3 справед-
ливы теоремы о бесконечной продолжимости и непрерывной зависи-
мости решений от начальных данных и параметра е на конечном интер-
вале. Приведем здесь только соответствующие формулировки (в
доказательствах нет необходимости).
Утверждение 1. Существует е' > 0 такое, что при 0 е <
< е' каждое решение х (/) уравнения (2.1*), для которого х (/) |[o.i] €
g Ф0, бесконечно продолжимо и обладает свойством
(х (/), x(t + 1) -f(x (/)))£/ X U.
Утверждение 2. Пусть х0 (/) и х (/) — решения уравнений
(2.9) и (2.1*) соответственно. Для любых т] > 0 и Т > 0
а) существуют > 0, бг>0 такие, что при 0 е
II х (/) — х0 (/) ||c°[o,i] < ть если только |1 х (/) — х0 (/) || с°[о,1] < 6f,
б) существуют 82 > 0, б2 > 0 такие, что при 0 е < е2 || х (/) —
— *0 (О Цсчо.1] < П, если только || х (/) — х0 (t) ||счо,1] < б2-
Утверждение 2 говорит, в частности, о близости решений
возмущенного и невозмущенного уравнений на любом конечном интер-
186
вале. Ниже формулируются условия, при которых решения этих урав-
нений будут Сд-близки на всей оси.
Утверждение 3. Пусть х0 (/) и х (/) — решения уравнений
(2.9) и (2.1*) соответственно. Если х0 (/) |[Од] C<Dtv, то для любого
П > 0 существуют е0 > 0 и 60 > О такие, что A (gr[0,oo.)X(/), gr[o,oo)Xo(0)<
<т], если только 0<е<80, ||х(/) — х0 (/) ||со[о.и < 60.
Доказательство приведено в [591.
Решения вполне интегрируемого уравнения (2.9) с начальными
функциями из <Dtv являются, как известно (§ 5, гл. 1), асимптотическими
к разрывным периодическим функциям класса 5%. Утверждение 3 позво-
ляет поставить вопрос о сохранении асимптотической периодичности
решений при переходе к возмущенному уравнению (2.1*).
§ 2. Асимптотическое поведение
решений возмущенного уравнения
Вопрос об асимптотическом поведении решений уравнения (2.1*)
является центральным в данной главе. Как было показано выше, для
вполне интегрируемого уравнения (2.9) типичны орбитно устойчивые
решения, стремящиеся к кусочно постоянным периодическим функци-
ям. Использование идей теории возмущений позволяет показать, что
при условиях 1—3 и достаточно малых е>0 для уравнения (2.1*)
также характерно существование асимптотически периодических ре-
шений [59, 61, 79, 119, 120, 126, 127, 129].
В предыдущей главе построено множество обобщенных периоди-
ческих решений вполне интегрируемого уравнения (2.9), образующих
аттрактор в пространстве всех решений. Естественно ожидать, что
для возмущенного уравнения (2.1) притягивающими также являются
устойчивые обобщенные периодические решения. Опираясь на свойства
функций класса (§ 5, гл. 1), определим множество обобщенных
периодических решений уравнения (2.1*).
Вполне интегрируемому уравнению (2.9) отвечает система обыкно-
венных дифференциальных уравнений
(х(+1 — f (xj) = F(xt+, — f(xj), i=l,2, ... , N, xN+i = xx. (2.10)
Здесь N — наименьшее общее кратное периодов притягивающих пе-
риодических точек отображения f, множество которых в дальнейшем
будем обозначать Per+ f. Множество устойчивых стационарных решений
системы (2.10) состоит из векторов ат = (ат, f ..., fN~{ (ат)),
ат £ Рег+ Д т = 1, ..., k. Пусть U (ат) — область устойчивости,
Щ (ат) — 6-окрестность решения х0 (/) = ат. Обозначим
£ — множество всех замкнутых подмножеств L интервала [0, 1]
таких, что card L < оо, если card D (/) < оо, и card L card D (/) в
противном случае (из свойств множества D (f) следует, что множества
L g £ нигде не плотны);
M*) = f(f(... (/W+^) + ^2)+	(2.11)
187
где w = (wlt Wn) — произвольный вектор из [R'v (заметим, что
В силу условий 2 существует 60 > 0 такое, что Не (am) cz U (ат),
т = 1, k, при 6 < 60, а отображения f2N и ft топологически эквива-
лентны при || w < 60.
Чтобы выяснить, как устроен класс рассмотрим предварительно
множество Qe полунепрерывных сверху ^-периодических функций
q (О  IR+ 27 с такими свойствами:
1)	множество точек многозначности функции q(t) имеет вид
^(•) = U
4=0
где	^(.> = {/£[«, *+»=1, 2,	;
2)	при tQ R+ \^<7(.) вектор
q(t) — (q(t), q(t-f-I), ..., q(t + N-l))
является	N- пер иод и чес к им решением системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений
(хж — f (xt-)) = F (xi+i — f (xj) + Ge (xz, xz+i), i = l,2, ... , IV,
xw+i=Xj,	(2.12)
отвечающей возмущенному уравнению (2.1*), и удовлетворяет таким
условиям:
k
а)	,,устойчивости” : q(/)€ U U6(am), 6<60»
т—\
б)	,,непрерывности” : для любого	существует
lim (q(/+ 1) — f(q(0)==w«(-M*,
t—►/*
здесь означает, что
3)	при	i == 0, 1, .... 27V — 1,
^7(^*) =	,im ^(0. 1Й5 9(01).	(2.13)
Отметим, что в случае е = 0	= 0 для любых q (t) g Qo и
/* € и, следовательно, Qo zd (cm. § 5 гл. 1).
Из данного определения еще не следует, что множество Qe непусто.
То, что Qe #= 0 при достаточно малых е > 0, вытекает из следующего
утверждения.
Утверждение 4. Существует е* > 0 такое, что при каждом
0 е < е* множество Qs гомеоморфно множеству Н полунепрерывных
сверху отображений h :	->2Per+^,	££, однозначных в правосторон-
них точках 29 множества и таких, что h (/) const при & А
А [а, р] для любого [а, р] cz [0, 1].
29 Интервал (т', т"), т' < т", называется смежным интервалом множества
если т', т* € и (т', т") А = 0. Левые концы смежных интервалов называются
правосторонними точками множества	Очевидно, что каждое отобра-
188
Техника доказательства этого утверждения весьма громоздкая.
Поэтому мы ограничимся простейшей ситуацией, когда
Perf = Fixf и card!) (f) < оо,	(2.14)
и лишь в нескольких словах остановимся на идее доказательства в об-
щем случае (полностью оно имеется в [79]).
При сделанных предположениях
множество 2 — это множество всех конечных подмножеств интер-
вала [О, 1];
множество Qe — это множество полунепрерывных сверху Аперио-
дических функций q (t) :	-> 27 таких, что
1) card^'°(.)< оо;
2) при	функция q(t) является Апериодическим ре-
шением обыкновенного дифференциального уравнения
(х - f (х)) = F (х - f (х)) + Ge (х, х) (2.12')
со свойствами
а)	«устойчивости»: для любого смежного интервала (/*, /**) мно-
жества ^°(.) существует ат* G Рег+ f такое, что
sup \q(t)—am* |<6< б0;
/€(/*,/**)
б)	«непрерывности»: для любого С ^°(.) существует
lim (^(0-f(7(0)) = w*;
t-и*
3) при
q(t*) = [a* + ш*, 0* + ay*], где [a*, 0*] = / ([lim q(t), lim q (/)]); (2.13')
множество H имеет вид
H = U {h : ST -> Per+ f: h (/*) #= h (/**) для любых соседних /*, /** g
Доказательство. Если Qe =# 0, то вследствие условия
устойчивости всякая функция q (/) g Qe каждой точке	ставит
в соответствие единственную точку множества Рег+ (f), а именно точку
flms 1 ат* для которой | q (/*) — ат* | < 6. При этом в силу
(2.13') ат* =/= для любых соседних /*, /** Тем самым q (/) £
G Qe задает отображение hq{.} : ^°(.) -> Рег+ /, принадлежащее клас-
су Н.
Покажем, что при достаточно малых г > 0 для каждого отображе-
ния h Q Н существует единственная функция q (t) g такая, что
hq(,) = h. Построим сначала вспомогательную функцию х° (/), через
которую уже без труда определится искомая функция q (/). Итак,
жение h Н однозначно определяется своим сужением h+ = ^1^4-:	Рег+/

на множестве правосторонних точек множества Если множество конечно,
то	и = h.
189
пусть
ЧГ = {/р /2, .... /„} € s. Per+ f = {йр о»....а*},
/i:/s-*ams. l^ms^k, s = 1, п, am$^ams+l.
Предположим, что =# 0. Обозначим через Хе множество функций
х (0, удовлетворяющих уравнению (2.12') при t g [0, 1] \ ST и таких,
что
sup |х(/) — ат | <6, s = 0, п, /0= 0, tn+\ = 1, ат9 = ат. (2.15)
*(^s+i)	5	п
Выберем е > 0 настолько малым, чтобы множество Хе было непусто.
Для этого рассмотрим стационарные решения уравнения (2Л2'), ко-
торые находятся из уравнения
F(x — f (х)) + Ge (х, х) = 0.	(2Л 6)
При 8 = 0 (тогда Ge = 0) величины ат, т = 1, k, являются корнями
уравнения (2Л6) (так как ат £ Fix f), отвечающие им стационарные
решения х (/) = ат, т = 1, k, уравнения (2.12') асимптотически устой-
чивы (так как ат g Рег+ /) и имеют области устойчивости U (ат) zd
zd Щ (ат) соответственно. В силу условий 1—3 существует 8г > 0
такое, что при 0 е < 8Х
1) уравнение (2.16) также имеет k различных корней агту т = 1, k9
таких, что
limtz^=tzrn, /72 = 1, k\	(2Л7)
е-*0
2) поскольку х =-----к— [F (х — f (х)) + Ge (х, х)] и | / (х) | < 0 при
___1 f
| х — ат | < 6, т = 1, k, то соответствующие стационарные решения
x(t) = am, m=l, k9 уравнения (2.12') асимптотически устойчивы,
причем
х(0 монотонно при />/', если |х(Г)—(2Л 8)
Так как
sup |х(0 — Gm sup |х(0 — а® | + \ат — а*т |, s = 0Г~/2,
/G(Vs+i)	K(/s,/s+i)	s 1
то в силу (2Л7) и (2Л8) существует 0^8* 8j такое, что при 0	8<
<8* множество Хе состоит из решений х (/) уравнения (2.12'), для
которых | х (ts + 0) — afns | <С s = 0, п. Следовательно, Хе #= 0
при 0 е < 8*.
Множество Хе образуют функции, удовлетворяющие условию
«устойчивости». Выберем из них те, которые обладают свойством «не-
прерывности». Обозначим = {ш С [R : | w | <; т]}. При w и
т| < 60 отображения f и fw : х f (х) + топологически эквивалент-
ны. При этом
Рег4"^ = {бДш), bk(w)} и lim b,n (ш) = ат9 т==19 kf (2Л9)
Т]->0
190
Для всякого w £ л < 60, определим функцию xw (/) g Х8, 0 е <
< е*, которая на каждом интервале (/s, Zs+1), s = 0, п, является ре-
шением уравнения (2.12') с начальным условием
x(/s + 0) = &m>s), $ = б^,	(2.20)
где
w0 = w, Ws = xw(ts — 0) — f(xw(ts + O)),	(2.21)
Если функция xw (/) существует, то вследствие (2.19) и (2.20)
xw (*s + 0) — f (ш (ts + 0)) = xw (ts — 0) — f (xw (ts — 0)), s = T7"n,
t. e. xw (/) удовлетворяет условию «непрерывности». В силу условий
1—3 задача Коши (2.20) при каждом 0 s п имеет и притом единст-
венное решение в классе Х8, 0 е < е*, если | bms (ws) —	—.
Согласно (2.19) существует 0 < Л1 < 60 такое, что это неравенство вы-
полняется, когда ays С 0 л < т|г, s = 0, и. В то же время из
(2.21) заключаем, что существует 0 < Л* < Л1 такое, что |	1 <
< Л, s = 0, и, если | w | < л» 0 Л < Л*» 0 е < е*. Таким об-
разом, множество Х8Л| = {Хц> (t) £ Хе : w £	О^л<Л*> 0 е <
< е*} не пусто.
Остается выбрать из Хе,л функции xWo (/), для которых
xWo (0) = xWo (1). Из способа построения класса Хе,п следует, что
такие функции соответствуют неподвижным точкам w0 отображения
Se : IFq ->	0 < л < Л*, 0^е<е*, задаваемого формулой
5еш = xw (1) - f (xw (1)).	(2.22)
Обозначим (0ц, (t) = xw (t) — f (xw (/)). Так как при каждом xw (t) C Х8,л
функция ©и, (t) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному
уравнению
(0 = F (fi>w (0) + Ge (xw (0, xw (0),
то для любых (0,	(0 справедлива оценка
| «а,- (0 — «да» (0 | < er~u | «и,- (0) —	(0) |, t 0,	(2.23)
где X — некоторое положительное число. Поскольку (0) = о» и
©а, (1) = Sew, то в силу (2.23) отображение Se является при 0 е <
< е* сжимающим на множестве W^, 0 т] < т)*, и имеет единственную
неподвижную точку ш0 С Wri, которой соответствует единственная функ-
ция х° (0 = xw„ (0 g Xe,i], при этом, очевидно, х° (0) = х° (1).
Теперь можно определить искомую однопериодическую функцию
? (0€ Qe- Пусть — {0 -|- t, t2 + I, tn -)- i), i = 1, 2, ... Тогда
Q	= x° (t — i),
^(^s+0 = f®s([ lim x°(/— 0, iiinx°(/ —0]).	(2.24)
Из способа построения x°(0 следует, что q(t)£Qe, 0^е<е*. Из
определения (2.24) вытекает, что = h.
191
Если tr = 0, то рассмотрим наряду с отображением h :	Рег+ (0
вспомогательное отображение/i' :	Рег+(0, где = {/', t2	...
...» tn + t'}, 0 < f < 1 — tn, и h (ts) = hf (ts + tf). Согласно дока-
занному выше существует функция q’ (t) g Qe, для которой hq'(.} = h'.
Функция q (0 = qf (t — t') принадлежит классу Qe и для нее, очевидно,
hq{.) ~ h.
Мы не будем обсуждать непрерывность установленного выше взаим-
но однозначного соответствие между множествами Qe и Я, поскольку
этот вопрос не носит принципиального характера, но требует введения
дополнительных определений.
В общем случае отображение/! :	-> 2Рег+^ приближается последо-
вательностью отображений hn = h U , где Lim =<3‘ и card ^Tn<Z oo.
J П	П-*ОО
По hn строятся функции qn (0, последовательность которых в Сд-топо-
логии сходится к искомой функции q (0 С Qe, для которой hq{.} = h.
Среди функций, принадлежащих классу Qe, имеются такие, к ко-
торым при t -> оо не стремятся никакие решения уравнения (2.1*).
Об этом, в частности, свидетельствует включение Qo о ^0- Чтобы вы-
делить из множества Qe интересующее нас множество притягивающих
обобщенных периодических решений, которое выше было обозначено
через воспользуемся следующими соображениями:
классы Qo и Qe гомеоморфны одному и тому же множеству отобра-
жений Н\
класс порождает множество отображений
классы 9й o' и	по-видимому, также должны быть гомеоморфны
одному и тому же множеству отображений, т. е. множеству Jf.
Определение 2.1. Обозначим через подмножество обоб-
щенных периодических решений р (0 уравнения (2.1*) из класса Q(t
О е < е*, удовлетворяющих дополнительному условию «допустимых
переходов» hp{.} £ т. е. = {р (0 С Qe : hp{.} £	0 < е < е*.
Отметим, что в отличие от функций класса J?ov функции р (0 £
при е > О
1) на множестве [R+ \ &Гр(.), вообще говоря, не являются кусочно-
постоянными, а только кусочно-непрерывны;
2) при /* С принимают значения из спектра скачков отобра-
жения	а не отображения f2N.
На рис. 75 представлен график предельной функции класса
в простейшем случае, когда D (/) конечное множество.
Определенное так множество f?e, 0 е < е*, является притягиваю-
щим для С^-решений дифференциально-разностного уравнения (2.1*),
порождаемых начальными функциями, близкими к функциям из мно-
жества <Dtv.
Теорема 2.1. При выполнении условий!—3 для любой функции
Ф € <Dtv существуют е0 > 0 и 60 > 0 такие, что при 0 е <
каждое решение х(0 уравнения (2.1*), для которого\хЦ) — ф (0||С1[О>1]<
192
X(th
t
Рис. 75.
< So, является асимптотически периодическим и стремится при
/ —> оо к некоторой функции p(t, х(-))£<Ре. При этом
a)	A(gr|R+pe(Z, х(-)), gr1R+pG, (р (•)))->-О при е0, 6о-*0;
б)	если x1(t)t x2(t)—решения уравнения (2.1*) такие, что
8^/(0 ф (011с1[о,1] < 6о> 1=1, 2, и pe(t,xt(»)) = ръ (t, **(•))» МО
х1(-)) = Р&\*> *2(-))-
Мы не будем приводить доказательство этого утверждения, по-
скольку оно крайне громоздко даже для самого простого случая, когда
Per f = Fix f и card D (f) < oo [59]. Тем более, что аналоги теоремы
2.1 для разностных и вполне интегрируемых дифференциально-раз-
ностных уравнений рассмотрены достаточно детально.
§ 3. Устойчивость решений
Важным элементом качественного изучения уравнений является
исследование устойчивости решений относительно возмущений как на-
чальных данных, так и самих уравнений. Асимптотические свойства
решений дифференциально-разностных уравнений вида (2.1*), в част-
ности, означают, что эти решения, за исключением асимптотически
постоянных, не обладают устойчивостью в обычном смысле 30. Это
связано с непригодностью обычной Сг-метрики, 0, для измерения
близости асимптотически разрывных решений. Для оценки степени
изменения таких решений при возмущениях подходящей является мет-
рика пространства Сд (метрика Хаусдорфа для графиков). При этом
естественным образом приходим к использованию понятия орбитной
устойчивости.
Определение 2.2. Решение х (t) уравнения (2.1*) назы-
вается орбитно устойчивым, если для любого т] >> 0 существует 6 =
= & (г), х (•)) > 0 такое, что для всякого другого решения х (0 урав-
нения (2.1*)
§гЕ0,оо)^ (0 <=	(ёг[0,те) х (0). как только || х (t) — х (0 ||с,[01] < б. (2.24)
м Напомним, что решение х (t) устойчиво (по Ляпунову), если для любого
т] > 0 существует 6 = 6 (т), х (•)) > 0 такое, что |х (/) — х (0| < т] при t > 0
для всякого другого решения х (0, если только || х (t) — х (ОЦс° [о.ц < &
13-3793
О п р е д е л е н и е 2.3. Решение х (0 уравнения (2.1*) назы-
вается сильно орбитно устойчивым, если для любого т] > 0 существуют
6, = 61 (л> х (•)) >0 и 62 = 62 (т), х (•)) > 0 такие, что для всякого
решения х (I) возмущенного уравнения
-^-(X(t+l)-f(x (0)) = F (х (t + 1) -7 (х (0)) + G- (х(0, х (t + 1))
(2.25)
справедливо включение (2.24), как только
||х(0-х(0||со[0>1] <6Х,	И-^Dp. |е —е|<62.
Следует подчеркнуть, что в отличие от обыкновенных дифферен-
циальных уравнений дифференциально-разностные уравнения вида
(2.1) не допускают простого сведения вопроса об устойчивости неко-
торого решения х0 (/) к исследованию устойчивости тривиального
решения, поскольку замена переменных у (t) = х (t) — х0 (t) лишь фор-
мально «сохраняет» вид уравнения (2.1): появляющаяся при этом не-
автономность существенно «портит» коэффициенты уравнения вследст-
вие асимптотической разрывности х0 (t) (если только х0 (t) не является
асимптотически постоянным).
Приведем сначала утверждения, относящиеся к вполне интегрируе-
мому уравнению (2.9).
Теорема 2.2. Каждое решение х (t) уравнения
{х (/ + 1) - f (х (0)} = F (X (t + 1), X (0), F ф 0, f € С1 (/, /),
для которого х (t) |[o,i] £ Ф^, орбитно устойчиво. Если, кроме того,
отображение f обладает устойчивой пролонгацией, то х (t) сильно ор-
битно устойчиво.
Если же х (01 [од] С Ф \ Otv, то решение х (0 не является орбитно
устойчивым.
Доказательство. Второе утверждение теоремы очевидно.
Остановимся на первом. Зафиксируем т] > 0 и решение х (t) уравнения
(2.9) с начальной функцией из Otv. Из теоремы 1.4 и из свойств пре-
дельных периодических функций класса ^?ov вытекает существование
(Л» * (•)) > 0 и Т = Т (т], х (•)) > 0 таких, что если х (t) —
решение уравнения (2.9), то = Д[т,оо) {х (/), р (/, х (•))}< -j-,
Д2 = Д[г,оо){х (0, Р (t, х (•)} < -3-, Д3 = Д[Лоо) {р (t, х(-)),
р (/, х (•)))< "3“, если только || х (0— х (0 || с»[о,1] < 6V Тогда
А[Т.оо> {X (0, X (/)} С Д1 + Д2 + Дз < Т1 при IIX (0 — X (/) IIC.JO JJ <
(2.26)
194
В силу непрерывной зависимости решений от начальных условий су-
ществует 62 = 62 (Л, Т, х (•)) > 0 такое, что
Л[о,Г) U(0. x(t)} <т], когда ||х(/) — х(/)||со[о>1]< 62. (2.27)
Таким образом, в силу (2.26) и (2.27)
Д[Лоо) {х(0}, х(/)} <т], если ||х(0 —x(0jco[ol <6, 6 = min {6Р 62},
(2.28)
откуда, в частности, следует орбитная устойчивость решения х (0.
Сильная орбитная устойчивость х (0 доказывается аналогично.
Теорема 2.3. Каждое решение х (0 уравнения
1)-/(X(O)} =0, /ССЧД/). (2.29)
для которого х (0 |[o.i] € Фо\ орбитно устойчиво при условии, что
отображение f обладает устойчивой пролонгацией.
Если же х (0 |[o,i] С Фо \ Фо\ ого решение х (0 не является орбитно
устойчивым.
Доказательство теоремы 2.3 проводится по той же схеме, что и до-
казательство теоремы 2.2. Однако в этом случае предельные функции,
отвечающие решениям х (0, х (0, принадлежат не одному классу fPo,
а различным (f?ov и , К = х (1) — f (х (0)), соответственно). Поэтому
для Сд-близости предельных функций, кроме малости нормы || х (0 —
— * (0 ||с°[о,1]> необходимо, чтобы отображение f задавало динами-
ческую систему с устойчивой пролонгацией.
Следствие. Если х (0 — асимптотически постоянное решение
уравнения (2.9), т. е. х (0 а при t -> оо, то х (I) устойчиво по Ля-
пунову тогда и только тогда, когда а — притягивающая неподвижная
точка отображения /.
Подчеркнем еще раз, что решения уравнения (2.29), вообще гово-
ря, не являются сильно орбитно устойчивыми (это следует хотя бы
из свойств решений уравнения (2.9) при F 0). Даже при сколь угодно
малых отклонениях от нуля правой части возмущенное уравнение не
является близким к исходному вполне интегрируемому уравнению
(2.28) и не ясно, возможно ли эффективное применение к его исследо-
ванию методов, изложенных выше.
Обратимся теперь к уравнению (2.1*).
Теорема 2.4. Для любой функции ср g d>ov существуют е* > 0 и
6* > 0 такие, что каждое решение х (0 уравнения (2.1*) при 0 < е<
< е*, для которого || х (0 — <р (0 ||c°[o.i] < б*, сильно орбитно устой-
чиво.
Теорема 2.4 непосредственно следует из теоремы 2.2 и утверждения
3. Ради краткости ограничимся доказательством орбитной устойчиво-
сти. Пусть х0 (0 — решение уравнения (2.9) с начальной функцией
Ф С Фду* Фиксируем т] > 0. Согласно утверждению 3 найдутся
13*
195
е* = е* (т|, <р (•)) > 0 и S* = 6* (т], ф (•)) > О такие, что А[о,оо] {х (0,
х0 (0} < л/2 для любого решения х (0 уравнения (2.1*) при 0< е < е*
и || х (0 — х0 (0||с°[о,1] < 6*. Следовательно, если х (0 — некоторое
другое решение уравнений (2.1*) при 0 < е < е* и || х (0 —
— х (0 ||co[o,ii < 6*, то Д[о,оо) {х (0, х (0} < т], что и доказывает тео-
рему.
Как уже отмечалось, Сд-метрика (метрика Хаусдорфа для графиков)
не отражает некоторые важные свойства асимптотически разрывных
решений, в частности, не «различает» тип решения. В то же время час-
то бывает важно иметь информацию не только об устойчивости решений,
но и о сохранении типа решений при возмущениях. Для этой цели наи-
более подходящей является метрика Скорохода [46]. Устойчивость
решений разностных уравнений в этой метрике рассмотрена в § 6 гл. 1
разд. 2. Для дифференциально-разностных уравнений имеют место
аналогичные утверждения.
глава з
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи. Непрерывная зависимость решений
по параметру v на конечном интервале
В последнее время в теории дифференциальных уравнений вызыва-
ет интерес уравнение с запаздыванием вида
=	+	х(О:0?+->К, v>0,	(3.1)
а также некоторые его обобщения. Такие уравнения служат математи-
ческими моделями целого ряда реальных явлений [1711. За внешней
простотой уравнения (3.1) скрывается сложная динамика, ясная пока
еще далеко не полностью. Известны результаты локальной устойчивости
(неустойчивости) стационарного решения [76, 151, 1801. Ряд работ посвя-
щен уравнению вида (3.1) с кусочно-постоянной и близкой к ней
функцией f [3, 4, 171—174, 207]. Показано, что в этом случае поведе-
ние решений может быть довольно сложным, в частности хаотическим.
При v = 0 уравнение (3.1) превращается в разностное уравнение с
непрерывным временем
х(/) = f(x(Z—1)),	(3.2)
и естественно ожидать, что при достаточно малых v > 0 оно может
наследовать (по крайней мере на конечном интервале времени) ряд
свойств разностного уравнения (3.2). Поэтому одним из возможных
и, как нам представляется, наиболее эффективным подходом к иссле-
дованию уравнения (3.1) является изучение этого уравнения как син-
гулярно возмущенного по отношению к разностному уравнению (3.2).
Следует, по-видимому, сразу же отметить основное различие в
асимптотическом поведении решений уравнений (3.1) и (3.2), состоя-
196
щее в исчезновении у уравнения (3.1) решений с неограниченно расту-
щей при оо константой Липшица, которые являются типичными
для разностного уравнения (3.2) — это решения релаксационного и
турбулентного типов, которыми практически исчерпывается спектр
ограниченных колебательных решений уравнений (3.2). В этом легко
убедиться непосредственно из (3.1): если функция f непрерывна, то
производная любого ограниченного решения х (t) ограничена при всех
t, так как | х (t) | С (| х (0 | + \f (х (t — 1)|).
Итак, рассмотрим уравнение (3.1) в предположении, что функция
f удовлетворяет условию Липшица на произвольном компакте из R.
Под решением уравнения (3.1) понимается функция класса С1, удов-
летворяющая ему при всех достаточно больших t. Каждой начальной
функции ф (О Е С ([—1,0], [R) отвечает единственное решение хф (/)
уравнения (3.1) и единственное решение хф (/) уравнения (3.2), опре-
деленные при всех t > 0 (решения строятся методом шагов). Решение
Хф (t) при этом непрерывно дифференцируемо при t> 0. В то же время
разностное уравнение (3.2) уже не гарантирует непрерывное продол-
жение ф (/): если не выполнено условие склейки ф (0) = f (ф (—1)),
то решение хф (/) имеет разрывы (первого рода) в точках tk = k, k =
= 0, 1, 2, ...
Введем следующие обозначения: Lip(L, Л4) — пространство функ-
ций из М в [R, удовлетворяющих на М условию Липшица с по-
стоянной L (| h (хх) — h (х2) | L | хх — х21); || h ||м = sup | h (х) |; Jo =
= 1-1,0]; Jr = [0,T];	=	х>0;	=
= Jr\U^(0; Jo =/0\[-1, -1 +х].
1=0
Теорема 3.1. Для произвольных е>0, 7’>0, L>0,
0<х< 1
при всех
существуют v0 > 0,
Ф "/у
0оо'0 при условии, что ф£1Лр(£, Jo), || ф—ф||7о<б-
Для доказательства теоремы нам понадобятся вспомогательные
утверждения. Отметим, что из условий ф Е Lip (L, Jo), | ф — ф ||/0 <
< 6 следует, что ф и ф ограничены. В предположении, что множество
начальных функций равномерно ограничено, справедлива следующая
лемма.
Лемма 3.1. Для произвольных е > 0, Т > 0 существует 6 > 0
такое, что лишь только || ф — ф ||/0 < 6, то || хф — х~ \\jT <Z 8
равномерно для всех v >> 0.
Доказательство. Докажем справедливость леммы для
Т = 1. Отсюда, как легко видеть, будет следовать ее справедливость
для произвольного фиксированного Т.
Для разности Д (Z) = хф (/) — х~ (/), /ЕЛ, из уравнения (3.1)
получаем соотношение vA (/) = — Д (/) + а (0,гдеа(0 = /(<р (/—1)) —
197
+ 1 /v j exp (s/v) a (s) ds
— /(ф(^ — 1))- Отсюда находим А (О = exp (— t/v) A (0) -p-
. Из последнего следует
| A (/) | sC exp (— t/v) [A (0) + К (exp (t/v) — 1) sup | <p — q> |],	(3.3)
^0
где К — постоянная Липшица функции f на множестве
[min (inf ф, inf <р), max (sup <р, supcp)].
J о	J о	J о	J a
Предполагая, что || ф — ф ||/0 <6, из (3.3) получаем Д (t)
6 ехр (—t/v) + Следовательно, || Д Ц/, < е при условии, что
6 < е/(/< + 1). Лемма доказана.
Пусть ф £ Lip (L, Jo), 0 < а < 1, о > 0. Рассмотрим множество
функций ф G С (Jo, [R) таких, что || ф — ф || а < о.
Jo
Лемма 3.2. Для произвольных L > 0, е > 0, 0 < а < 0 < 1 су.
ществуют v0 > 0, о > 0 такие, что || хф — х~ || р < е при всех
0 < v < v0 при условии, что || ф — ф || а < сг.
Jo
Лемма 3.2 утверждает, что если ф (/) удовлетворяет условию Лип-
шица и ф (/) близко к ф (0 в равномерной метрике на части Jo началь-
ного множества Jo, то решения хф (t) и (/) уравнений соответственно
<р
(3.2) и (3.1) будут близки при всех достаточно малых v на интервале
Д, меньшем чем Jo.
Доказательство. Рассмотрим решения хф (/) и х*~ (/) на
ф
интервале J?. Имеем
|ХФ (0 - xv~(t) |<|хФ(0- 4 (01 +14 (0-(0|.	(3.4)
Из (3.1) следует, что при t £ J*
t
4(0 = exp {— (t — a)/v} ^(a)+-^-^exp[(s—a)/v}f(ffi(s—l))ds .
a
(3.5)
Тогда
14 (0 — X~ (01 exp {—(t — a)/v} I Xy (a) — x~ (a) | +
Ф	(p
+ v У exP{(s~ 0/v} If (<p(s— 1)) — f (<p(s— l))|ds<
< exP {— (f — a)/v} 14 (a) — x~ (a) | +
Ф
+ К (1 — exp (— (t — a)/v)) II ф — Ф ||ya.	(3.6)
198
Отметим, что в условиях леммы существует интервал Га, Ь} такой,
что <р (/), <р (/) £ [а, Ь] при t £ Jo- Тогда если v0 и о выбрать так, чтобы
(р — а) ехр {— (Р — a)/v0) < е/4, /Со < е/4, то из (3.6) следует, что
при всех 0 < v < v0 || Хф — х - || в < е/2.
ф Л
Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что f Е
6 С1 (|R, IR), ф € С1 (Jo, [R). Тогда
|хф(0 —Хф(0| = /(ф(/ —1))—ехр{—(/ —a)/v} xj (a) +
i	I	t
+ 1/v jexp{(s — a.)/v} f (<p (s — l))ds	= jexp {(s — t)/v} x
a	J a
X/'(<p(s-l))q>'(s- l)ds + exp {— (t — a)/v}(f (ф (a — 1)) — Хф (a)) <
<ехр{—(/ — а)М|/(ф(а — 1)) — х^(а)| +
+ vKL(l—exp{—(/ —a)/v}).	(3.7)
Если v0 выбрать так, чтобы (b — a)exp{—(P—a)/v0}<e/4,
vnKL < е/4, то из (3.7) следует, что при всех 0 < v < v0 || хф —
 х,{, I р < е/2.
Л
Для заданных А>0, е>0, 0<а<р<1 выберем v0 и а так,
чтобы (Ь — а)ехр{—(Р — a)/v)<e/4, v0KL<e/4, Ко < е/4. Тогда
из (3.4), (3.6), (3.7) следует, что при всех 0 < v <; v0 || Хф — х~Цр<е,
ф J1
что и требовалось доказать.
Заметим, что ограничение f £ С1 ([R, [R), <р С С1 (Jo, [R) не умаляет
общности рассуждений, поскольку хорошо известно, что если g(x)£
С Lip (Llf J), то для произвольного со > 0 существует g® (х) С С1 (J)
такая, что шах | g^ (х) | и || g — g& ||j < со [74].
Лемма 3.3. Пусть <р С Lip (L, Jo). Каковы бы ни были е > О,
L > О, Т > 0, 0 < х < 1, существует v0 > 0 такое, что || хф —
— Хф || х < £ при всех 0 < v < v0.
JT
Доказательство. Поскольку || • ||^х не убывает по Т,
то доказательство достаточно провести для целочисленных значений
Т. Сделаем это индукцией по Т. Для Т = 1 утверждение леммы 3.3
следует из леммы 3.2, где a = 0, р = х. Предположим, что утвержде-
ние леммы верно для Т = п. Поскольку ф £ Lip (L, Jo), то из (3.2)
следует, что хф (/) С Lip (LKn, Ь — 1, и]).
Пусть числа £!>0, L>0, 0<х<1, о>0 заданы. По предпо-
ложению существует vo > 0 такое, что при всех 0 < v < vj
Цхф — Хф||уХ/2 < о. По лемме (3.2), положив ф(0 = хФ (п + /)»
199
Ф (/) = Ху (п + 0, t (= Jq и а = х/2, 0 = х, находим, что существует
vo>O такое, что ||хф— *ф ll[rt+xл_|_1] <ei ПРИ всех O<v<vo. Выбрав
E = min(a, eJ, vo = min(vo, Vo), заключаем, что утверждение лем-
мы 3.3 верно и для Т =n + 1. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.1. Пусть е>0, 71>0, L>0,
0<х<1 заданы. По лемме 3.1 существует 6>0 такое, что
||— х~ |]^н < е/2 при условии, что || ф — ф||7о<6. По лемме (3.3)
существует v0>0 такое, что при всех 0<v<v0 ||хф— хф|| к < е/2.
Тогда || хф — х~ ц < || хф — хф + || хф — xv~ ||ух < е, что и требовалось
доказать.
Как уже отмечалось, если выполнено условие согласования ф (0) =
= f (q> (— 1)), решения уравнений (3.1) и (3.2) близки в равномерной
метрике на конечном интервале. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.2. Предположим, что ф б Lip (L, Jo), ф (0) = f (ф (—1)).
Тогда, каковы бы ни были е > 0, Т > 0, L > 0, существуют v0 > 0
и 6 > 0 такие, что || хф — \\jT < е при всех 0 < v < v0 при условии,
ф 1
что || <р — ф V, < б.
Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству теоре-
мы 3.1 с использованием лемм 3.1 и 3.3 при х = 0 (см. [4]). Мы его
опускаем.
§ 2. Сохранение асимптотических свойств решений
Рассмотрим некоторые свойства решений уравнения (3.1) как син-
гулярно возмущенного уравнения (3.2) на бесконечном интервале вре-
мени. Предположим, что отображение
/:*->/(*)	(3.8)
имеет инвариантный интервал I = [а, Ь] и удовлетворяет на нем усло-
вию Липшица f (х) С Lip (К, /).
Простым, но важным свойством решений уравнения (3.1) является
свойство инвариантности, которое заключается в том, что область из-
менения решения хф (/) будет принадлежать интервалу / при всех
/>0и произвольном v >0 при условии, что область изменения на-
чальной функции ф (/) принадлежит I. Другими словами, свойство ин-
вариантности при переходе от уравнения (3.2) (отображения (3.8))
к уравнению (3.1) сохраняется.
Теорема 3.3. (свойство инвариантности). Если ф (/) С 1 при всех
t^J^mo хф (/) G I при каждом v > 0 и при всех t 0.
Доказательство. Предположим противное: существует
tQ > 0 такое, что, например, х (/0) = &, х (/) <1 b при всех /0 и в
произвольной правой полуокрестности точки t — t0 существует значе-
ние t', для которого х (t') > b. Тогда найдется и t" G (Zo, ?) такое,
200
что х (Г) > Ь, х (f) > 0. Согласно (3.1) х (/") = [—х (Г) + f (х (Г —
— l))l/v < 0. Это противоречие и доказывает теорему.
Легко видеть, что неподвижным точкам отображения (3.8) соот-
ветствуют стационарные решения уравнений (3.1) и (3.2). При этом
устойчивой неподвижной точке отображения (3.8) соответствует устой-
чивое стационарное решение уравнений (3.2), неустойчивой точке —
неустойчивое стационарное решение. Оказывается, что при некоторых
общих предположениях устойчивость (неустойчивость) стационарного
решения при переходе от уравнения (3.2) к уравнению (3.1) сохра-
няется.
Теорема 3.4. Если х = х0 — устойчивая неподвижная точка ото-
бражения (3.8) с областью притяжения /0, /по х (/) = х0 — устойчивое
решение уравнения (3.1), причем х%> (/) -> х0, оо при условии, что
ф (0 € /о пРи всех t € Л-
Доказательство. Пусть ср (/) G /0, С Л, и 4 =	—
наименьший инвариантный относительно отображения (3.8) интервал,
содержащий в себе интервал [min ф (/), max ф (/)]. Покажем, что, на-
чиная с некоторого момента времени, решение х (/) = х^ (/) будет при-
надлежать множеству Если это так, то по тем же соображениям,
начиная с некоторого момента времени, решение х (/) будет принадле-
жать множеству и т. д. Отсюда и будет следовать утверждение
теоремы.
Поскольку интервал инвариантен относительно отображения
(3.8) (х0 — притягивающая точка), то из теоремы 3.3 следует, что
х (/) С /1 при всех t > 0. Если предположить, что для некоторого О
х (/0) G /Л, то аналогично доказательству теоремы 3.3 доказывается,
что х (/) G fli при всех t > /0-
Предположим противное: х (/) G fl± при всех t 0, например
х (/) > sup {/Zi}. Тогда х (/)	0 и при достаточно больших t vx (/) —
= — х (/) + f (х (t — 1)) < —6, где 6 = (I хг — f (XJ |)/2, X1 =
= limx(/). Интегрируя последнее неравенство, получаем х (/)
—б/v/ + с, что противоречит условию х (/) G Л при всех t 0.
Теорема доказана.
Теорема 3.5. Если х = х0 — неустойчивая неподвижная точка
отображения (3.8) и | f (х0) | > 1, то х (t) = xQ — неустойчивое ре-
шение уравнения (3.1) при всех достаточно малых v.
Доказательство. Пусть р = f' (х0). Из хорошо известных
результатов об устойчивости (неустойчивости) постоянных решений
линейных уравнений, изложенных в [131], следует, что при р > 1,
v>0 либо при р<—1, 0 < v < Ур2—1/arccos (1/р) решение
х (/) = х0 соответствующего (3.1) линейного уравнения неустойчиво.
Неустойчивость стационарного решения х (/) = х0 нелинейного урав-
нения следует из теоремы о неустойчивости по первому приближению
[131] (см. также [40, 180]).
Теоремы 3.3—3.5 демонстрируют простейшие соответствия в дина-
мике решений разностного уравнения (3.2) (отображения (3.8)) и его
сингулярного возмущения — дифференциально-разностного уравнения
201
(3.1). Задача нахождения этих соответствий для широких классов функ-
ций f представляется довольно сложной.
Ниже приводится утверждение о свойствах решений уравнения
(3.1), определяемых отображением (3.8), для одного специального от-
носительно простого класса функций f.
Предположим, что функция f удовлетворяет условиям xf (х) < О
при х Ф 0; f (х)—дифференцируемая в окрестности х = 0 функция и
р = f (0) < —1; отображение (3.8) имеет инвариантный интервал /,
причем 0 £ I и f (х) С Lip (/(, /). Напомним также, что решение урав-
нения (3.1) называется медленно осциллирующим (относительно
х = 0), если расстояние между его последовательными нулями больше
единицы, начиная с некоторого момента времени. При сделанных пред-
положениях справедливо такое утверждение.
Теорема 3.6. При всех 0 < v < Кр2 — 1/arccos (1/р) уравнение
(3.1) имеет по крайней мере одно медленно осциллирующее периодиче-
ское решение периода Т (v) > 2, причем Т (v) -> 2 при v -> 0. Если
при этом отображение (3.8) имеет единственный грубый глобально
устойчивый цикл периода 2 и монотонно на 7, то при всех достаточно
малых v это периодическое решение единственно и притягивает к себе
все медленно осциллирующие решения.
Выделим основные этапы доказательства теоремы, опуская деталь-
ное изложение.
Существование медленно осциллирующего периодического решения
следует из неустойчивости стационарного решения % (/) = 0 (теорема
3.5) и свойства инвариантности (теорема 3.3). Если определить мно-
жество начальных функций G = (<р £ С [—1, 0] | <р (—1) = 0; I Э
В Ф (s) > 0 при s £ (—1, 0]}, то соответствующие решения х% (t) будут
медленно осциллирующими. Оператор сдвига вдоль решений
Г:Ф($)к>4($+1 +U, s£ [- 1, 0],	(3.9)
где — второй положительный нуль решения х^> (/), переводит G
в себя. Неустойчивость решения х (/) = 0 влечет существование у опе-
ратора (3.9) ненулевой неподвижной точки. Она, как легко видеть,
соответствует непостоянному периодическому решению уравнения
(3.1) (см. также 1761).
Если xlf х2 — точки цикла периода 2, то начальные данные ф0 (s) =
= xlf s £ [—1, 0), порождают функцию хфо (/), 7^0, удовлетворяющую
(3.2) везде при 7 > 0, кроме целых точек. Используя неустойчивость
решения х (I) = 0 и теорему 3.1 о непрерывной зависимости, можно
показать, что, начиная с некоторого момента времени, все медленно
осциллирующие решения уравнения (3.1) близки к хФо в метрике
Хаусдорфа.
Таким образом, некоторая окрестность Ue (хФо) притягивает к себе
все медленно осциллирующие решения. По-видимому, ее область при-
тяжения в фазовом пространстве С 1—1, 01 образует открытое плотное
множество (такой результат для уравнения х (7) = f (х (t — 1)) дока-
зан в [219]).
202
Используя глобальную устойчивость цикла jq -> х2 -> xlf моно-
тонность f и малость v, можно доказать единственность на множестве
U& (*Ф0) медленно осциллирующего периодического решения.
Отметим, что теорема 3.6 пересекается с утверждениями работы [188].
Утверждения теорем 3.3—3.6 показывают, что ряд свойств раз-
ностного уравнения (3.2) (отображения (3.8)) при переходе к диффе-
ренциально-разностному уравнению (3.1) либо сохраняется, либо
изменяется мало (v 1). Можно было бы предположить, что при
некоторых естественных условиях «устойчивости» на функцию f асимп-
тотические свойства решений уравнения (3.1) при малых v «близки»
к асимптотическим свойствам уравнения (3.2). Ниже показывается,
что это, вообще говоря, не так. Строится отображение f класса С°°,
имеющее два стока — притягивающую неподвижную точку и притя-
гивающий цикл периода 2. В таком случае уравнение (3.2) обладает,
наряду с асимптотически постоянными, и непрерывными решениями
релаксационного типа, асимптотически стремящимися к разрывным
двухпериодическим кусочно-постоянным функциям. В то же время,
если область притяжения неподвижной точки достаточно велика, при
любом v > 0 все решения соответствующего уравнения (3.1) асимпто-
тически постоянны и даже решения, «задевающие» вначале область
притяжения цикла, со временем (~ e1/v) «уходят» из нее. Некоторая
модификация функции f дает уравнение (3.2), обладающее решениями
турбулентного типа, в то время как все решения уравнения (3.1) при
произвольном v > 0 остаются асимптотически постоянными. При этом
различия в асимптотическом поведении решений уравнений (3.2) и
(3.1) сохраняются и для малых ^-возмущений функции f.
Пусть функция f задается соотношением f (х) = 0 при | х | й,
f (х) = —sign х при | х | > й, 0 < h < 1. Соответствующее отобра-
жение (3.7) обладает притягивающей неподвижной точкой х = 0 с об-
ластью притяжения | х | h и притягивающим циклом периода 2,
образованным точками хг = —1, х2 =1, с областью притяжения
| х | > h. Выясним асимптотическое поведение решений уравнения
(3.1) с так определенной функцией /.
Легко видеть, что если начальная функция <р (s), s g Jo, удовлетво-
ряет условию | ф (s) | h, to lim x%> (/) = 0, так как Хф (t) =
= ф (0) e“//v, t > 0.
Рассмотрим множество начальных функций, характеризуемое па-
раметром и, Фа = {ф С С (Jo, R) : ф (0) = ф (—и) = h, ф (s) > /г при
s С (—и, 0), | ф (s) | h при $£[—1,—и]}. При фиксированном и
произвольная функция ф (s) С Фи определяет одно и то же решение
уравнения (3.1).
Используя кусочно-постоянный вид функции /, не сложно проин-
тегрировать уравнение (3.1) и установить, что оператор сдвига вдоль
решений каждому и С [0, 11 ставит в соответствие и' (Е [0, 1] такое, что
(/* + 06 Ф«' Для некоторого > 0, если ф £ Фм. Опуская деталь-
ное изложение, сформулируем основной результат.
Асимптотическое поведение решений уравнения (3. 1) для ф f Фи
определяется свойствами отображения интервала в себя zf>F(z), где
203
z = e~u/v. Если h x/2, to F (z) при всех v > 0 имеет вид F (z) =
= a (z + p)/[l —	(z	+ p)]	при zC[e~1/v,	z'J, F (z) = I	при z£[z', 1J.
Если ft<1/2, то	можно	указать v0>0	такое, что при	всех 0<v<
<v0 F (z) имеет	вид	F(z)=e“1/v	при zg [e~1/v, z"], F (z) =
= a(z+P)/[1 —	(2	+ P)]	при z£[z", z'],	F(z) = l при	z£[z', 1], где
a = ft/(l _ h), p = fte~1/v, z' = 1 — h (1 + e~1/v), z” = e-1^ [(1 — h) x
X (1 — fte-1^) — h2]l[h + e~1/v (1 — ft)].
Полученное отображение при ft < 1/2 и достаточно малом v > О
имеет три неподвижные точки: zx = e~1/v, z2 = 1, z3 = z0, где ze —
корень уравнения F (z) = z. Нетрудно видеть, что неподвижные точки
Zi и z2 — притягивающие с областями притяжения [e~1/v, z0) и (z0, И
соответственно, неподвижная точка z0 отталкивающая. Следовательно,
в этом случае уравнение (3.1) имеет два медленно осциллирующие пе-
риодические решения, соответствующие значениям и = 1 и и =
= —v In z0, первое из которых притягивает все решения, построенные
по начальным функциям из Фы при и > — v In z0. При и< — v In z0
все решения стремятся к нулю при /-> оо. Медленно осциллирующее
периодическое решение, соответствующее значению и = — v In z0,
неустойчиво. Неподвижной точке z2 = 1 соответствует стационарное
решение х (/) s 0.
При ft > 1l2l и произвольном v > 0 отображение F имеет единст-
венную притягивающую неподвижную точку z= 1. Следовательно,
каково бы ни было u С [0, 1], соответствующее решение уравнения
(3.1) экспоненциально, начиная с некоторого момента времени, стре-
мится к нулю.
Перейдем теперь от разрывной функции f к функции класса С°° :
W удовлетворяет условиям xf* (х)	0, |	(х) |	1,	(х)
совпадает с f (х) при | х | ft и | х |	1. Выделим множество началь-
ных функций, характеризуемое параметром и, 0 и 1, и задавае-
мое следующим образом:
= {ф С С (Jo, R) : <р (0) = <р (— и) = ft, | Ф (s) | ft
при s G I—1, —и]}. Оператор сдвига вдоль решений каждому и £ [0, 1]
ставит в соответствие и С (О, И такое, что Хф (/* + /) С 4+ для не-
которого t* > 0, если ф С Ч'н. Поскольку | (х) |	| f (х) |, то легко
проверить, что и = и (f*) < и = и (f). Если h > % и ф G Фм, то,
как показано выше, и <и (отображение F монотонно) и lim Хф (/) = 0
/-*оо
при всех v > 0. Следовательно, в этом случае асимптотическое поведе-
ние решений уравнения (3.1) при f = f* от конкретного вида функции
f* на участке ft < | х | < 1 не зависит: все решения удовлетворяют
условию lim х (/) = 0.
t -+оо
Функцию f* на множестве ft < | х | < 1 можно доопределить так,
чтобы соответствующее отображение (3.8) имело на этом множестве
притягивающий цикл периода 2. Тогда, как мы знаем, для уравнения
(3.2) типичны решения релаксационного типа. Если же функцию
доопределить так, чтобы отображение (3.8) имело притягивающий
цикл периода 2/п, т > 1 и нечетное, то для уравнения (3.2) будут ти-
264
пичны решения турбулентного типа. В то же время все решения урав-
нения (3.1) при каждом v > 0 останутся асимптотически постоянными.
Приведенный пример показывает, что хотя решения уравнений
(3.1) и (3.2) близки на конечном интервале времени, их асимптотическое
поведение при оо все же может быть существенно различным.
§ 3. Поведение решений при t -> оо
В § 1 доказана теорема 3.1 о близости при малых v > 0 решений
уравнений (3.1) и (3.2) на конечном интервале времени [О, Т]. По за-
данному Т > 0 мы всегда можем указать v0> О такое, что при выпол-
нении некоторых общих условий для начальных функций и отобра-
жения f решения уравнений (3.1) и (3.2) будут близки на [0, 71] в рав-
номерной метрике, если только v<v0. Однако при оо свойства
решений могут существенно меняться. Для уравнения (3.2) типичны
(гладкие и ограниченные) быстро осциллирующие решения, т. е. ре-
шения, совершающие более одного полного колебания на любом интер-
вале единичной длины из [Т, + оо). Частота колебаний быстро осцил-
лирующих решений с ростом / либо стабилизируется (случай колебаний
релаксационного типа), либо неограниченно растет (случай колебаний
турбулентного типа). Следующие примеры показывают, что добавление
«вязкости» может приводить как к упрощению (например, типичными
могут оказаться медленно осциллирующие решения), так и к услож-
нению динамики поведения решений.
При этом даже в самых простых ситуациях, когда у отображения f
есть только глобально устойчивый цикл периода 2, асимптотическое
поведение решения уравнения (3.1) может быть как периодическим,
так и хаотическим.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
vx(Q = - x(t) + f (x(t - 1))
с функцией f вида

x<V2,
X > г/2.
Отображение х »-► f (х) имеет два стока — притягивающие неподвижные точки
х — 0 и х = 1 с областями притяжения {х г/2} и {х > V2} соответственно.
Поведение решений хф предельного (v = 0)) разностного уравнения (3.2) легко опре-
деляется по начальной функции ф (Q, t £ [—1, 0]:
J0 при	t G \п— 1,	п], если ф (t — п)	< 1/2,
(1 при	[п — 1,	п], если ф (t — и)	> !/2,
при любом п > 0. В	частности,	если ф (/)	|[_if0] С х/2, то	(О = 0	при t > 0 и,
если ф (О |[_1>0] > то хф (0 = 1 при t > 0. Если же значения ф (О на началь-
ном множестве [—1, 01 попадают в область притяжения как точки х = 0, так и
точки х— 1, то решение хф (/) при /->+©<□ будет колебаться, принимая на ин-
тервале [/, t + 1) при любом t >» 0 значения, равные как нулю, так и единице.
Для уравнения (3.1) ситуация, как показывают приводимые ниже вычисления,
меняется: влияние возмущения приводит к тому, что колебания, если они и были
У решения при t Q [0, Г], с течением времени, как правило, исчезают, т. е. почти
все решения являются асимптотически постоянными.
205
Пусть х = Хф (0 — решение урав-
нения (3.1), порождаемое некоторой
начальной функцией ср (t) Q С ([—1,01).
Если ф (0 |Г_1Д)]	г/2, то Хф (0 — О
при t -> +©о, если ф (0 |[—1,0] > 1/2, то
при t -> +оо Хф (0	1. Видим, что в
этих случаях решения дифференци-
ально-разностного уравнения (3.1) (v >
> 0) ведут себя так же, как и решения
соответствующего разностного уравне-
ния (3.2). Следовательно, представляют интерес решения с начальными функциями,
графики которых пересекают прямую х =
Вначале рассмотрим случай, когда график начальной функции х = ф (0, t С
£ [—1, 0], и прямая х= г/2 пересекаются дважды (число пересечений должно быть
четным; если, например, на [—1, 0] имеется одно пересечение, то уже после первого
шага будет либо два пересечения, либо ни одного, либо касание графиков, исчеза-
ющее на следующем шаге).
Для каждого а £ (0, 1) определим класс начальных функций
Фа = {ф (0 6 С ([- 1, 0]) I ф (- 1) = 1/2;
Ф(0<1/2, /€(-1, -1+а);
<р(/)>х/2, <С(-1 + а, 0);
Ф (0) = Фо = 1 — 1/2e-(1-a)/v}
(см. рис. 76). Условия ф (—1) = т/2 и ф (0) = ф0, присутствующие в определении
класса Фа, не ограничивают общности рассуждений. (Первое из них, очевидно, всег-
да можно удовлетворить в силу автономности уравнения (3.1). Если не выполняется
второе, то в качестве начальной функции надо выбрать функцию ф (0 = х^ (t 4-
+ 1 + ^), 6 = v In [2ф (0)1, t £ [—1, 0], которая этому условию уже удовлетворяет,
по крайней мере, если а > v In 2.) Легко проверить, что решения, порождаемые
начальными функциями из одного и того же класса Фа, совпадают. При этом если
ф (0 1[-1,0] С фа0> то хф V + 1 + е) 1[-1.0] 6 Фд, (условие а0 > V In 2 считается вы-
полненным), где величины аг и aQ связаны соотношением
—	—	(2еv )2
ev = — (1 +2ev)----------1	- -	(3.10)
Go 1
ev -2ev
Действительно, так как ф(0^г/2при /£[—1, —1 + л01 и ф (0 > % при
t € (— 1 + л0, 0J (см. рис. 73), то при t £ (0, д01 х (0 определяется как решение
уравнения vx (t) = —х (t) с начальным условием х (0) = ф0, откуда х (0 = фое v ,
а при t£(aot 14-6) — как решение уравнения vx (0 = — * (0 4- 1 > откуда х (0 =
t—a0
= 1 — (1 —х (а0))е v . Таким образом, имеем:
1	_А 1
Ы) — = х(6) = фое v =>е	v=——;
2	2ф0
_ Оо
1-2) х(ао) = фое v.
I	_ fil-t-fl-gp J J
2.1) — = ж(в1+6)= 1—(1—x(a0))e v =
1 x (д0) v
2<Po
206
. 1—Qt	j _ 1—Qi
2.2) x(1 +8)= I — fl — x(a, +6)]e v =1 — — e v
____,7o
fit n 1	«	. ч Q0 I о 1	V "о	. Q0
e V —_ 1 X (flo) e v _ 1 (Pog e V __ _________________________________________ | 1 e V
Фо	Фо	Фо
(2e v )2
Полагая ev == у, из (3.10) заключаем, что поведение xJJ (0 при t -> + 00 опре-
деляется дробно-линейным преобразованием
cP
У * g (У) = — (1 + d)------— ,
y — d
1
где d~ 2ev (рис. 77). Отметим, что для некоторых кусочно-постоянных отобра-
жений f аналогичное сведение исходной задачи к дробно-линейным отображениям
последования проводилось также в работах [171 —174, 207].
В области положительных значений у отображение g : у g (у) имеет единст-
венную неподвижную точку	__________
</ = {/* =---L- + ^/~ Д- +2ev
и не имеет периодических точек. Неподвижная точка у = у* отталкивающая, так
как g' (у) 1^=^* > 1. Ей соответствует периодическое решение уравнения (3.1),
которое единственно, если рассматривать только
начальные функции из множества U Фа. Все
аС(0,1)
другие решения с начальными функциями из это-
го множества — асимптотически стационарные.
Таким образом, получаем следующее утверж-
дение.
Утверждение 1. Пусть х^ (/) — ре-
шение уравнения (3.1) с функцией f вида (3.9),
ф G Фа- Тогда
а) если
Рис. 77.
а = a* (v) = v In
(З.П)
207
то решение х^ (/) — периодическое с периодом
Т = 1 + v In 2— е
(3.12)
б)	если а < a* (v), то х^ (/) -> 1, t -> +
в)	если а > a* (v), то х^(/)->0, /->4-00.
Из (3.11) следует, что для а* справедливо асимптотическое представление
а* ~-------[- v-----, v -> 0.
2	2
Поэтому из утверждения 3.1 получаем следствие.
Следствие 1. Пусть выполняются условия утверждения 1. Тогда
а)	если а г/2, то х^ (/)	1, t + 00 при любом v > 0;
б)	если а > 1/2, то существует v0 > 0 такое, что при каждом v £ (0, v0)
*ф(0-*-0> Z-*+oo.
Важной характеристикой асимптотически стационарных решений х* (0 явля-
ется число шагов Af, т. е. число итераций отображения g, после выполнения кото-
рых график решения уже не будет пересекать прямую х = г/2 и, следовательно,
само решение будет принадлежать области экспоненциальной устойчивости точки
0 или 1. Линеаризуя отображение g и вводя обозначения
— 1— 4ev+г 1 4- 8еv _ —1+ " 1 + 8ev _ 1+ г 14-8ev
1	- Г------Г-’ а—	9	» т—	О
— 1 — 4е v— 1 + 8е v
можно получить при а < a* (v)
N =	(v, a) =
(1 +Y)(ev -а)
(1-а)(е“ + т)
t. e. AT ~ const • ev , v->0, при a>a*(v)
N = N2 (v, a) =
1—а
(*V _а)(^ +v)
(3.13)
(3.14)
т. e. N ~ const • e v , v -> 0.
Рассмотрим решения xj (0 уравнения (3.1), порождаемые начальными функ-
циями ф С С ([—1, 0J) с двумя колебаниями на интервале [—l,0J. С этой целью вве-
дем в рассмотрение класс начальных функций
ф«де = {ф€С([-1, 0J)|<p(-l) = 2-; Ф«<4-’ <€(-1.-1 + «);
Ф(0>2_, /€(-1+а.-1 + 6); cpax-i-.
<G(-i + 6. -I +с); Ф(0>4-.
1G(-1 + C, 0); <р(0)=Фо=1-2-е’ v
208
где 0<а<6<с<1 (рис. 78). Заметим, что решения с начальными функциями
из одного и того же класса Фа ь с совпадают.
Рассмотрим некоторое решение (t). Пусть <р £ Ьо Со. Тогда (1 + t -f-
+ в) 1[_1,0]€ ®at,t>vce в = v In (2ф0) (по крайней мере при | &0 — ае |, | сд — 60|>
> v In 2). Поэтому если = а0, 1ц — bOt сг = с0, то в силу автономности решение
Хф (0 периодическое. Получим условия, когда это имеет место, для чего установим
связь между alt blt сг и а0, bOt с0. Интегрируя уравнение (3.1), получаем
Со 1
ev -2ev
bt
ev =1 +
1
2ev
Co 1
2Л
CP	1
ev -2ev
^0
—	2ev
ev -------------------
Co	1
ev — 2ev
I	V e V^eV
ev _2sv	ev -2ev
Таким образом, периодические решения, порождаемые начальными функциями
<р (0 G U Фд А,» находятся во взаимно однозначном соответствии с непо-
0<а<д<с<1	’ ,С
движными точками отображения
— 1
~У1~
У*
-Уз-

d
—Tyi
Уз — d
d
а
— 1--------3- (У1 — У г + Уэ)
Уз — а
(3.15>
в области 0 < У1 < у2 < у3, где, как и раньше, d = 2е v . Несложно показать, что
14-3793
209
отображение g в этой области имеет единственную неподвижную точку
'у'Г
У2
Уз_
(ЗЛв)
где у* — положительный корень алгебраического уравнения у4 = (d — у)3, при-
надлежащий интервалу (1, d/2).
Неподвижной точке (3.15) соответствует периодическое решение ** (/) периода
_ 1
Т = 1 + v 1п (2 — е v у*).
Исследуя якобиан отображения (3.15) в неподвижной точке (3.16), заключаем, что
это периодическое решение неустойчиво.
Пример 2. Рассмотрим уравнение (3.1) с кусочно-линейной функцией f вида
О, х<а,

х — а
1 —2а
а <х< 1 — а,
(3.17)
1,	1 — а^х,
где а С (0,	— некоторое число. Заметим, что при а х/а в пределе получаем
разрывную функцию примера 1.
Рассмотрим класс начальных функций
ф“= фбС([-1. 0] I <р (0 > 1 - a. tQ[- 1. - а];
__f+a	1а
Ф (0 = (1 — а) е v , t G I — а, — a + v In ——
Ф (t) < a, t С I — a + v In----------------------------------
I	a
01; ф (0) = a
Решения (f), порождаемые начальными функциями из одного и того же класса
Ф®, совпадают. Как и в предыдущем примере, из условия ф G U
a€^o,l—v in j
следует, что х£ (t + 1 + 6) С U Ф®,
e€^0,l—v In —
fl 1 — a --------------
6 = vln ----!-- In —------в v
I 1 —2a
если только a удовлетворяет неравенству
a* < a < Vjg,
где a* — действительный корень уравнения
(3.18)
a
1 — 2a
,	1 — a
In -----------
1 — a
из промежутка x/3). Рассмотрим начальную функцию ф (/)
210
предполагая, что условие (3.18) на а выполнено. Тогда х^ (t + 1 + 6)	0] с
€ (рис. 79), причем а* и а0 связаны соотношением
= -(1+2)-
d2
£о
ev -d
(3.19)
где
5	5/	\ еV 1	1 — а
d = d (а, v) = -------In--------.
1 — 2а а
Как можно заметить, при а—>х/2 d—^d и формула (3.19) переходит в формулу
(3.10). Докажем формулу (3.19). Непосредственным интегрированием уравнения
(3.1) с функцией вида (3.17) от t = 0 до /= 1 + о0 + Vi получаем
1 — (1 — а) v = х (а0) = 1 — а => о0 == v In —;
а
_ —g°
*(1 — «о) = 1 — (1 — а)е v ;
1.1)
1.2)
1.3)
_ £»
*(1 — «0 + 00) = «
1-ао+ао	- —(1Г7ао)
С
J	1—2а
1—Оо
1—0»
1 — (1 — а) е
s—(1—До)
! v ds
а .	1 —а
Г=271п~Т-
е
— ае v =^>1— а, v6(0, v0); (3.18)
-1L
1.4) 1 — а = * (1 — а0 + а0 + То) = *!« v
а ,	1—а
—;---— In---- — ае
„	1 xi 1.3 ,	1 — 2а а
=> То = v In —-i— = v In--------------
1 —а	1—а
14»
211
. *~~(1—Оо4-<То4-Уо)
2.1)	х(0 = (1-Ф V , /€[1-а0 + а0 + у0, 1J;
Qq—Оо—У о
2.2)	х(1) = (1— а)е v ;
а	1 _	. 1—До+До+Уо
2.3)	х(1+ав)=1—__1п——+ ае	-	= x,«z,
v € (0, v0)
_ У1	У»
2.4)	а = х(1+<т0 +Vi) = 1 —(1 —х2)е v=>(l-a)ev =
„	.	„	_ 1—До+Оо+Уо . . У1—У»	а,
-ГаЛ-1?1—	’	=' ’ -i-^v +
2.5)	af 1 + а0 4- у, — (1 — а0 + а0 + у0) = а9 + (yf — у0);
Д1 go У1—Уо до	Qp
2.6)	ev Hev е v Mev —l+ev
что и требовалось доказать.
* Положим у= ea/v. Тогда, как видно из (3.19), свойства решений х^ (0 урав-
нения (3.1) определяются свойствами дробно-линейного отображения
d2
g- y^g(y) = — (1 + d)--------— •
y — d
В области у > 0 отображение g имеет единственную неподвижную точку
t/* = ------!~-----------
у	2
и не имеет периодических точек. Поэтому уравнение (3.1) имеет единственное перио*
дическое решение (0, порождаемое начальными функциями из (J Ф® .
ae(o,l-v In -1=2-)
Это периодическое решение дают начальные функции из класса Ф®<, где
а* = v In у* = v In
. “v .	1 —а
4е In-------
1 —2а
2
2J12
Периодическое решение х** (f) неустойчиво, так как в сйлу g(y*) > 1 неподвиж-
ная точка у* отталкивающая (график отображения g аналогичен графику gt см.
рис. 74). Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть xj (0 — решение уравнения (3.1) с функцией f
вида (3.17), ф € Ф®, а удовлетворяет неравенству (3.18). Тогда:
а)	если а= а*, то решение х^ (/) периодическое о периодом
б)	если а < а*, то х* (/) -* 1, t-* + оо;
в)	если а>а*, то х^(/)->0, /->4-оо.
Для а* справедливо асимптотическое представление
v
т
In
1
1 — 2а
In
v->0,
а
поэтому из утверждения 2 получаем следствие.
Следствие 2. Пусть выполняются условия утверждения 3.2. Тогда:
а)	если а С Va» то х£ (/)	1, t + оо, при любом v > 0;
б)	если а>1/2, то существует vo>0 такое, что при каждом v£(0, v0)
x;w->o, /->+оо.
В примерах 1 и 2 отображение f : х -► f (х) было симметричным относительно
точки х = 1/2. Естественно рассмотреть примеры, в которых эта симметрия нару-
шается.
Пример 3. Рассмотрим уравнение (3.1) с функцией f вида
<з-2о)
где £ £ (0, 1) — некоторое число (при | — V2 получаем случай, рассмотренный
в примере 1).
Как и в примере 1, будем рассматривать решения х^ (/) уравнения (3.1) с
начальными функциями из класса Фа. Действуя аналогично предыдущему, заклю-
чаем, что поведение xj (/) при t -> 4- оо полностью определяется дробно-линейным
преобразованием прямой в себя
Г	d2 1
g =	= Р — (1+<0----------7 »
где у = е v , р = g/(l —§). = (1 + Р) e,/v. Заметим, что при g = V2 это отобра-
жение переходит в аналогичное отображение примера 1.
В области ~у > 0 g имеет единственную неподвижную точку
= (1 - Р2) eV _ р + V [(1 - Р2) е~— Рр + 4р (1 + р) Л
У	2
и не имеет периодических точек. Неподвижная точка, как и в примере 1, неустой-
чива, вследствие чего соответствующее ей периодическое решение xJJ (/) также не-
устойчиво. Таким образом, справедливо утверждение.
213
Утверждение 3. Пусть xj (f) — решение уравнения (3.1) с функцией
I вида (3.20), (р G Фа. Обозначим
а* = v In у* =
1	/Г J_ 1* JL ’
(l-2£)*v______£__!_]/	0“-2E)gV
(!-£)*	1-6	(1-6)2	1 —ё! ^(1 —g)g
2	’
(3.21)
Тогда а) если a= то решение x* (t) периодическое с периодом
Г= 14-v In
1____(1-6)<TV v
1-6	6 X
б) если л < л*, то Хф (/) —► 1, t-* + oo;
в) если a>a*, to x^(0->O, f-> + oo.
Из (3.21) легко заключить, что
a* ~ 1 + v In -J—,
(1-E)? ’
v->0 при E< —,
v-4-0 при g>4-
(3.22)
(напомним, что a* ~ + v —77—. v -* 0 при g = -i-j. Формулы (3.22) указывают
ва отличия, появляющиеся при нарушении симметрии отображения Д и позволяют
сформулировать следствие.
Следст вне 3. Пусть выполняются условия утверждения 3.3. Тогда, если
6< -я- (б >-£-), то для любой начальной функции ср £ U Фа можно указать
1 \ I /	0<а<1
значение ve > 0 такое, что при всех 0 < v < v0
(xJ(0-0), /-> + oo.
Пример 4. Рассмотрим уравнение (3.1) с функцией f вида
/(*) =
О,	— a,
-£(* — £+«)> Е—«<х<£ + <х—
<* £
1»	Е + а-Ц^-Сж,
(3.23)
где Е G (0, 1) a g [0, £] — некоторые числа. При а -> 0 функция f переходит в
функцию /, рассмотренную в примере 3.
Для каждого 6 € (О, 1) найдется а* = а* (6) такое, что все значения
а£[0, а*)
(3.24)
814
будут удовлетворять системе неравенств
р — pg — «
(1 + Р)а
In
р(1—g-4-а)
Р — Pg — а
> 1—g 4*
р	In pg + «	?«
1 + р а р (£ — а) > * + р ’

. Вводя в рассмотрение класс начальных функций
фЬ“ = {ф€С([-1,0])|ф(0>£+а1уА,	_а];
t-1-а
»и-(5+. -Lziv- <4-.,
\ g /	L	g(g —a) J
4>(0<g-a.	+	о);
L	g (g —	/
Ф (0) = g — а
и действуя аналогично примеру 2 (условие (3.24) предполагается выполненным),
получаем, что поведение решений при t -+ + оо зависит от свойств дробно-линейного
Преобразования прямой в себя вида
ad,
g: У* g (у) = — (p + qd)-------7 ,	(3.25)
у— а
где	г
1
d =	+ ”) е V In р£ + а
• (1 — £ + а) (1 + р) а •	РЙ-а) '
п = Pg + «	_ = ln[p(l — g + «)/(р — pg — «)1
₽ Р(>— g + a)’ 4 In l(Pg + a)/(Pg — ра)1
Отображение g имеет единственную отталкивающую неподвижную точку у* =
d (1 — q) — р + (d (1 — q) — р)2 + 4pd
= —----—----£—!—	---—-----——!—— , Ей соответствует неустойчивое перио-
дическое решение (/), порождаемое начальными функциями из класса ф|’?, где
a* = v In Г rf(l-<7)-p+/(rf(l	+ 4pd]
I	2	J •
Таким образом, получаем утверждение.
Утверждение 4. Пусть (/) — решение уравнения (3.1) с функцией f ви-
да (3.23), <р (0 |с_-10]^ Фда и выполняется неравенство (3.24). Тогда
а)	если а = а*, то решение х^ (0 периодическое с периодом
б)	если а < а*, то х^ (t) -> 1, t -> + оо;
в) если а > а*, то (/) -> 0, t-> + оо.
21Г
Из асимптотического представления
а* ~ 1 + v In ЛГр v->0 при Е<“^“»
a*~vlnAf2, v->0 при
где 0 < Mi < 1, 1 <	< + оо — некоторые константы, получаем следствие.
Следствие 4. Пусть выполняются условия утверждения 4. Тогда, если
то для любой начальной функции <р С U Ф!’а можно указать
2 \	2 }	о<а<1
такое значение v0 > 0, что при всех 0 < v < v0
<(/)->1	(^ф(0->0), /-> + оо.
Из изложенного выше заключаем, что замена разрывной функции f (примеры
1 и 3) близкой к ней непрерывной (примеры 2 и 4) не меняет качественной картины
поведения решений. Этот вывод выглядит не вполне убедительным из-за специаль-
ного (в примерах 2 и 4 линейного) вида f на участке изменения от 0 к 1. Как пока-
зывает следующий пример, f (х) на этом участке может быть выбрана произвольно
монотонной и так, чтобы при этом не образовывались новые стоки.
Пример 5. Рассмотрим уравнение (3.1) с функцией f вида

О,
с W,
1-Е «
----а>
1,
E+V
(3.26)
6
1-Е
Е
—а) = 0, с
где	1), <х£[0, 5) — некоторые числа; c(x)t £ — а<
произвольным образом выбранная функция класса С1 такая, что
дН-
C(l-a) = c ^ + -!—La) = o.
Для каждого значения £ £ (О, 1) и каждой функции с (х) С С1 найдется «♦ =
= а* (£, <?(•))> О такое, что все значения
a £ [0, а*)
удовлетворяют системе неравенств
(5—®) J
х	6
(3.27)
1-£ а
—v— а
., 1-S
5+—а
С с' (х)
Тогда, рассматривая класс начальных функций (J ф|’а и действуя так, как и в
0<а<1
примере 4 (условие (3.27) предполагается выполненным), получаем, что поведение
решений при t -> + сю зависит от свойств дробно-линейного преобразования пря-
216
мой в себя
g-y^g(y) = (p+Qd)-------
y — d
где
рЕ + а
Р Р(1-5 + «)’
Б—а
(3.28)
Так как отображение (3.27) обладает теми же свойствами, что и отображение (3.25) „
то свойства решений в рассматриваемом случае такие же, как и в случае, который
рассмотрен в примере 4.
До сих пор отображение f 2 х -> f (х) было либо непрерывным,
либо разрывным, но таким, что его можно было рассматривать как
полунепрерывное сверху многозначное отображение, при этом оно имело
только неподвижные точки и не имело периодических точек. Вследствие
этого, как было видно из примеров, почти все решения уравнения
(3.1) приближались при /-> +оо к одному из устойчивых стационар-
ных решений, соответствующих устойчивым неподвижным точкам fr
т. е. являлись асимптотически стационарными. Периодические решения
также присутствовали, но все они были неустойчивыми и при сколь
угодно малых возмущениях превращались в асимптотически стацио-
нарные.
Ниже рассматриваются примеры, в которых отображение f имеет
устойчивый цикл периода 2 (примеры 6 и 9) и периода 3 (примеры 7 и 8).
В примерах 6—8 показывается существование единственного (с точ-
ностью до сдвига вдоль оси /) устойчивого периодического решения
периода 2 + 6, соответственно 3 + 6, притягивающего к себе при
+оо почти все другие решения.
Решение х (/) уравнения (3.1) будем называть медленно осцилли-
рующим относительно прямой х = х0, если х (/) — х0 имеет не более
одного нуля на каждом интервале единичной длины. В рассматривае-
мых ниже примерах уравнение (3.1) имеет большое число неустойчи-
вых быстро осциллирующих решений. Но почти все решения этого
уравнения при t -> +°° станут медленно осциллирующими относи-
тельно неустойчивой неподвижной точки отображения f.
В примере 9 рассматривается случай, когда уравнение (3.1) может
иметь не только устойчивые медленно осциллирующие решения, но и
неустойчивые медленно осциллирующие решения сколь угодно боль-
ших периодов, причем это имеет место несмотря на существование у
отображения f глобально устойчивого цикла периода 2.
Пример 6. Рассмотрим уравнение (3.1) с функцией / вида
(3.29}
217
Точки х1 = 0, ха = 1 образуют устойчивый цикл периода 2, область притяжения
которого совпадает с R. Несложно проверить, что медленно осциллирующее пе-
риодическое решение х^# (0 уравнения (3.1) порождается начальной функцией
___1_
и имеет период Т = 2 [1 + v In (2 — е v)] (рис. 80). Все решения xJJ (0, У которых
графики начальных функций <р (0 пересекают прямую х = г/2 только один раз,
уже на втором шаге приклеиваются к указанному медленно осциллирующему ре-
шению (возможно, сдвинутому по оси 0.
Несколько более сложным оказывается случай двух пересечений графика на-
чальной функции с прямой х = г/2. Однако вводя в рассмотрение класс началь-
ных функций, аналогичный Фа (см. пример 1), и интегрируя уравнение (3.1), мо-
жем получить, что существует единственное (опять таки с точностью до сдвига по t)
быстро осциллирующее решение х^ (0, совершающее одно полное колебание за
время 1 + 6/2 (а не за время 2+6, как х^в (0). Аналогичный результат справедлив
и для решений х^ (0, у которых начальные функции совершают два колебания на
[—1, 0]: почти все такие решения также приклеиваются к устойчивому медленно
осциллирующему решению х^ (0.
Этот процесс можно продолжить, причем тем дальше, чем меньше v. Среди ре-
шений с п колебаниями на начальном интервале найдется одно быстро осциллирую-
щее неустойчивое периодическое решение х^ (0, а почти все другие будут прик-
леиваться к Хфо (0.
Пример 7. Рассмотрим уравнение (3.1) с функцией f вида

2, х<1,
4, 1<х<3,
0, х>3.
(3.30)
Здесь (0; 2; 4) — устойчивый цикл периода 3. Уравнение (3.1) в этом случае имеет
единственное (с точностью до сдвига по оси 0 медленно осциллирующее периодичес-
218
4
кое решение порождаемое начальной функцией
(рис. 81), период которого
Т = 3 + v In
_ 1	т __l __L'
2(4 — е v)(4 —Зе *)+(2 + е v)(4-e v)e v
9
Что касается быстро осциллирующих решений уравнения (3.1), то для них
справедливы результаты, аналогичные тем, которые получены в примере 6.
Таким образом, при /-> +со почти все решения уравнения (3.1) приклеивают-
ся к медленно осциллирующему решению х^о.
Отображение f в примерах 6 и 7 можно усложнить таким же обра-
зом, как это было сделано при переходе от примера 1 к примеру 2:
разрывное симметричное отображение заменить непрерывным и не
симметричным. Можно показать, что асимптотическое при t -> оо по-
ведение решений при этом не меняется: как и раньше, существует един-
ственное глобально устойчивое решение, медленно осциллирующее
относительно неустойчивой неподвижной точки отображения /. Это
решение притягивает почти все решения уравнения (3.1). В подтверж-
дение сказанного рассмотрим пример 8.
Пример 8. Рассмотрим уравнение (3.1) с функцией
	2,
	х — 1 Q 1	
	о -f- а
/« =	4,
	2х — 6 2 р
	k о,
х С 1 —а,
1 — а < х < 1 + а,
1 + а < х 3 — р,
3 —р<х<3 + р,
3 + Р<х,
(3.31)
где а, Р С (О, 1) — некоторые числа. Интегрируя уравнения (3.1) на промежутке
от t = 0 до /'=3-|-6, получаем следующее утверждение.
219
Утверждение 5. Существуют а0 > О, 0О > О и v0 > О такие, что при
каждом 0 а < а0, О Р < р0, О < v < v0 уравнение (3.1) с функцией f вида
(3.31) имеет единственное (с точностью до сдвига по оси t) медленно осциллирующее
устойчивое периодическое решение (/). Это решение порождается начальной
функцией
_£±i
Фо(0 = 4-(4-хо)е /fbhO],	(3.32)
и имеет период
Т = 3 + V In *4 ~	~ *** **
где
Xi=-(1~-P-	-(1-Р)”,
х2 = 4- 2(3~Р) 1п[1 + у^у] + (3-р)ГТ.
х -4	3~« 1пГ1 I 2а 1 ^(3 —Р)(3 —а)
л 4 а ,п[*+ 3 —а] (4 —х,)(1 —а) Х
Г 4 (1—а) 1 — а. 1+а	4(2 — а — р) (1—а) 1—а 1
X [ 1+а	~ п 1 —а (1 + а)(3 —р) 3 — Р *г]’
Почти все другие решения стремятся к xjo (/) при t -> + оо.
Как и в рассмотренных выше примерах, здесь также можно исследовать быстро
осциллирующие решения. Хотя вычисления в данном случае более громоздкие,
результаты получаются аналогичные и мы их не приводим.
Замечание 1. Указанный пример интересен еще по одной
причине. Он показывает, что для решений уравнения (3.1) нарушается
непрерывная зависимость по v на конечном интервале [О, Т], если
не выполняется хотя бы одно из условий теоремы 3.1. Нарушение
условий на начальную функцию приводит к тому, что через конечное
время TQ решение х (/ + 1г—ьо] уравнения (3.1) совпадает с функ-
цией ф (/) |(_ 1,0] вида (3.32). Непосредственным интегрированием
уравнения (3.1) легко убедиться, что для решения х^0 (/) уравнения
(3.1) с начальной функцией ф0 (/)
Q ______L О
тахх*о(0< — + е ', v->0,
в то время как для решения Хф0 (0 разностного уравнения (3.2) с на-
чальной функцией <р0 (0
max х® (0 = 4.
[1.2]
Таким образом, для решений Хф, (0 и Хф„ (0 с одной и той же начальной
функцией <р0
max | х;, (0 — х£, (01 > 1 при любом v £ (о, yjy).
что и говорит о нарушении непрерывной зависимости по v.
220
Замечание 2. Во всех рассмотренных примерах наблюдалось
следующее важное свойство решений.. Если задать наугад начальную
функцию, совершающую несколько полных (в известном смысле) ко-
лебаний на [—1,0], то с вероятностью 1 быстрые колебания с течением
времени исчезнут и решение превратится в медленно осциллирующее,
асимптотически периодическое. Однако время релаксации (переходно-
го режима) велико: как показано в примере 1 (это же верно для приме-
ров 2—8),
С»
N ~	, v->0,	(3.33)
где q > 0, 0 < с2 < 1 — некоторые константы. Например, легко
сосчитать, что N 1043 при v = 0,01. Следовательно, при достаточно
малых v > 0 приходится иметь дело с временами, соизмеримыми с
временем жизни солнечной системы. Полученная таким образом ситуа-
ция сравнима с той, которая имеет место в гамильтоновых системах,
где для «диффузии Арнольда» времена имеют порядок ex,yfv (v — вели-
чина возмущения интегрируемой системы) [8, с. 374].
Из теоремы 3.3 следует, что при достаточно малых v > 0 решения
уравнения (3.1) ведут себя при / С (О, То], То < +<», так же, как и
решения соответствующего разностного уравнения с непрерывным вре-
менем (3.2). Вследствие этого при некоторых естественных условиях
на функцию f частота колебаний решений вначале возрастает. Малый
параметр v при этом играет роль вязкости, которая на конечном интер-
вале времени не оказывает заметного влияния на развитие процесса.
Однако когда частота колебаний соизмерима с вязкостью v, начинается
сложный процесс ее уменьшения или стабилизации и решения притя-
гиваются в конечном итоге циклом или странным аттрактором (если
пользоваться языком теории динамических систем). Покажем, что
для достаточно простого отображения
устойчивым циклом периода 2 воз-
можны обе эти ситуации.
Пример
с функцией
/(*) =
9. Рассмотрим уравнение (3.1)
f вида
1,	х^-р,
1 + а, — |3<х<0,
— 1 — а, 0 < х р,
— 1, р < х,
а > 0, Р £ (0, 1). Отображение f : х н-> f (х),
определяющее поведение решений, имеет при
всех аир устойчивый цикл периода 2: хг =
= —1, х2 = 1, к которому не более чем за
две итерации f приклеиваются все другие
точки х 6 R1.
Определение 3.1. Будем говорить,
что периодическая функция р (/), t С R1, об-
ладает свойством антипериодичности относи-
тельно оси /, если р (/) = — р
Т — период функции р (/).
f с единственным глобально
221
В примере 6 рассмотрен случай а = 0. Показано, что при а = 0 уравнение
(3.1) имеет единственное (с точностью до сдвига по оси /) периодическое медленно
осциллирующее решение, к которому приклеиваются все другие медленно осцилли-
рующие решения. Это устойчивое периодическое решение обладает свойством анти-
периодичности относительно оси /.
Аналогично предыдущему исследование задачи сводится к одномерному не-
прерывному отображению
(3.35)
где ga ^ представляет собой кусочно дробно-линейную функцию
g<x,p (У) =
____________________1_ _________________________1_
gx(j/) = V —ае v +	+(1 +« —P)g v „	У€(-1-«,Р),
I + а + р	у + 1 -j-а
„ ,.Л	..	«* + 2<х /.	(2 + а+2р)(1 -р)
= /2(У) V	+	(2 + a)(j,+ l) ’УС1 ₽’°)’	(336)
. .	, а2 — 2ар2 — 2а2Р /.	(1 — р) а \ г .. о,
«з(У) V+ 1+а+р	( (а —2сф-2Р2)(у+ 1))’ у6(0,
2ар2
g4(«/) = V—Г+У’	1 + а1
___1_ — 1
(у = 1 — 2р — (1 — р) е v ). Для каждого a £ [—1 — a -j- (1 + a -j- р) е v, 1 +
।
-|-а — (1 -|- a -f- р) е v ] обозначим Фа множество начальных функций (р (/) вида
1	I	Ф(-1) = Р, ф(/)6(р, 1+<Х),	=
фа =	<р€С[— 1, 0J	t-to = _1_a+(1+a + p)e v, /С(/О, 0), ф(0) = а; 1 -j- a -f- q /«-vln i+a + 1J’	a<^:
1		Ф(— D = P, Ф(О€(Р> l+a>. <€(—!> °), ф(0) = а, если a>P-
222
Интегрируя уравнения (3.1), легко убедиться, что для любой функции ф(0 из мно-
жества {ср G С [— 1» 0]: ф (— 1) = 0, ф (0 G (0, 1 + а), /£(—!, б]) существуют
ToG[0, 2) и аое—1-а + (1 + а + 0) в V, 1 + а - (1 + а + 0) е~] такие,
что
-х'« + Т0) 1^,0] €Фао
(*ф (0 — решение уравнения (3.1), порождаемое начальной функцией ф). Пусть
у(а) =
__1_
vln .!фа + ц , если ае[—1 —а + (1+а + 0)е v , — 0),
1 4-а — 0
__1_
v In —д- , если аС |—3, 1+а —(1+а + 0)е v].
1 —Р
Непосредственным интегрированием уравнения (3.1) проверяется, что решения,
порождаемые начальными функциями из одного и того же множества Фд, совпа-
дают при всех t € 0?+. При этом если <р (О € Фв)>, то —х (/+ 1+ т (ao))l[_i,O] G
G ФО1, где величины и а0 связаны соотношением ах = ga^ (а0) (gap определено
формулой (3.36)).
Таким образом, асимптотические приоо свойства медленно осциллирующих
решений уравнения (3.1) в этом случае определяются отображением (3.35). В част-
ности, устойчивым (неустойчивым) периодическим точкам ga& соответствуют устой-
чивые (неустойчивые) периодические решения уравнения (3.1), и наоборот. Обо-
значим
П= {а>0, 0G (0, 1)}, n,(v)= {(а, 0) G П : g2 (0) = g3 (0) > 0},
na(v)= {(а, 0)£П:Э^С[-0, 0) | = g2 (^), |g2(^)|<l),
n3(v)={(a, Р) G П: Зг/* € (0, 0) h* = £3 (*/*), 1ЯзО/*) 1> 1}.
n4(v)= {(а, 0) G П : g€ (у) С - 0}
и заметим, что при достаточных малых v П/ (v), i = 1, 4, — непустые взаимно непе-
ресекающие подмножества П (рис. 82). На рис. 83 показано, каким может быть гра-
фик отображения ga при различных (а, 0) £ П3 (v).
Утверждение 6.
з
При (а, 0) G U П/ (v) уравнение (3.1) имеет единственное (с точностью до
«=1
сдвига по оси 0 устойчивое периодическое медленно осциллирующее решение пе-
риода 2 + о (v), обладающее свойством антипериодичности относительно оси /,
причем
при (а, 0) G Пх (v) U П2 (v) это решение притягивает при t +©о все медлен-
но осциллирующие решения уравнения (3.1),
при (а, 0) G П3 (v) уравнение (3.1) имеет неустойчивые медленно осцилли-
рующие решения сколь угодно больших периодов.
При (а, 0) G П \ ( J П/ (v)) уравнение (3.1) не имеет устойчивых периодиче-
ских решений периода 2 + о (v), обладающих свойством антипериодичности отно-
сительно оси /.
При (а, 0) G П4 (v) уравнение (3.1) имеет два устойчивых периодических решения
периода 2 + о (v).
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Одно из основных свойств гиперболических систем уравнений
в частных производных — наличие характеристик, т. е. кривых,
вдоль которых в системе распространяются возмущения. Если среда
линейна, то сигнал движется, не меняя своей формы, и, отразившись
от границы, может возвратиться в исходную точку х0. Тогда для на-
хождения величины сигнала, т. е. неизвестной функции и (х, t) при
х = х0 при некоторых условиях можно получить соотношение вида
« (х0, t + to) = f (и (х0, /)), представляющее собой не что иное, как
разностное уравнение с непрерывным временем /, причем f — функция,
характеризующая влияние границы, /0 — «время возврата» сигнала.
В более общих случаях могут получаться дифференциально-разност-
ные, интегро-дифференциально-разностные уравнения и др.
Эти соображения лежат в основе исследования гиперболических
систем при помощи так называемого метода характеристик. Некоторым
результатам, которые удается получить с привлечением этого метода,,
а также результатам, изложенным в предыдущих главах, и посвящает-
ся заключительный раздел книги. Рассматриваются линейные и близ-
кие к ним гиперболические системы с одной (гл. 1 и 2) и двумя (гл. 3)
пространственными переменными. Изучаются вопросы асимптоти-
ческого поведения решений и их устойчивости при °°-л
ГЛАВА 1
СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К РАЗНОСТНЫМ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ
§ 1. Сведение к нелинейному разностному уравнению
Изложение начнем с внешне простого примера реальной физиче-
ской системы, которую рассматривал еще А. А. Витт [29]. Известно,
что колебания тока i (s, т) и напряжения V(s, т) (0 s I — коорди-
ната точки в линии, т О — время) в электрической цепи — длинной
линии с туннельным диодом описываются системой телеграфных урав-
нений, которая в случае линии без потерь имеет вид
fs Cv^ = О, 2^s 4- L,ix = О,
224
L, С — погонная индуктивность и емкость линии. Пренебрегая парал-
лельной емкостью диода, получаем граничные условия
2Л(0, т) = О, f(Z, x)=g(V(l9 т) + Е)
(здесь I = g (V) — вольт-амперная характеристика диода; Е — по-
стоянное напряжение смещения). Зададим также некоторые начальные
распределения тока и напряжения в линии
f(s, 0) = f0(s), V(s9 0) = Vo(s).
В полученной начально-краевой задаче перейдем к инвариантам и вы-
полним нормировку, для чего положим
i = (и + v)/2, V = 2 (и — v)/2,
S = 1х9 т = — t9
9	(О ’
где г = VLIC9 со = (KLC)”1. В результате эта задача приводится
к виду
«г + «* = о,
def	,
vt — vx = 0, (х, 0£П = [0, 1] X IR+,	(1.1)
u(0,/) = v(0,/), v(l, t) = f(u(l, /)), /€IR+,	(1.2)
u(x, 0) = фх(х), v(x, 0) = <p2(x), xg[0, 11,	(1.3)
где f (u) — функция, задаваемая неявно соотношением (u + f)12 =
= g (z (u — f)/2 + E), Ф1 (x) = i0 (lx) + zZ/'o (lx), <p2 (x) = i0 (lx) —
— zV0 (/х).Из (1.1) следует, что функции и и v не меняют своих значений
вдоль характеристик dx/dt = 1 и dx/dt — —1 соответственно. Тогда
в силу граничных условий (1.2) (рис. 84)
для любого фиксированного t > 0 имеем
u(0, t + 2) = v(0, t + 2) —
= v(\,t + \) = f(u(\, t + \)) = f(u(Q, t)).
Поэтому решение и, v задачи (1.1) — (1.3)
представимо в виде
и (х, I) = у (/ — х),
v(x, t) = y(t + x), (х, /)£П, (1.4)
где у (I) — решение разностного уравнения
y(t + 2) =f(y(t)), /€[-1, оо), (1.5)
с начальным условием
def [ф, (— t)
у(0|[-м) = Ф(0 = ^2(а
К1- 1, 0),
/ЕЮ, 1).
(1.6)
Таким образом, исходная задача сведена
К разностному уравнению (1.5) с началь-
ным условием (1.6).
15-3793
225
Заметим, что уравнение (1.5) может быть получено непосредствен-
ной подстановкой общего решения и (х, t) = U (t — х), и (х, t) =
= V (t + х) системы (1.1) в граничные условия (1.2). Однако геомет-
рически более нагляден именно указанный выше способ с использова-
нием плоскости (х, t) и характеристик рассматриваемой системы.
Пусть теперь потери в линии ненулевые. Тогда исходная система
телеграфных уравнений имеет вид
is + GVT = — CV, Vs + Lix = — Ri
(R,G— удельные сопротивление и проводимость изоляции линии)
и в новых переменных система преобразуется к виду
ut + их = —4[(“Г + Gz) и + ~Gz)’
vt — Vx = —	— Gz) “ + (“Г + Gz) v] ’	(1.1')
Эта система с начально-краевыми условиями (1.2), (1.3) уже не сво-
дится к разностным уравнениям. Но если потери в линии малы (7?, G
1), для ее исследования могут быть использованы методы теории
возмущений. Удается установить, что возмущения правых частей
системы (1.1) в достаточно общих ситуациях не приводят к существен-
ным изменениям в асимптотическом поведении решений. Задача (1.Г),
(1.2), (1.3) (в несколько более общей постановке) подробно изучается
в следующей, второй главе этой части.
§ 2.	Сведение к дифференциально-разностным уравнениям
Изменим граничные условия, добавив во второе из них члены
с производной
и|х=о = Их=о	(1.7)
avt |x=i + but |x=i + v |х=1 = <р (и |x=i),
а, b — некоторые числа. Тогда если хотя бы одно из чисел ли b не рав-
но нулю, то сведение, выполняемое аналогично предыдущему, дает
уже не разностное, а дифференциально-разностное уравнение
ay(t + 2) + by (/) + y(t + 2) - Ф (у (/)) = 0,	(1.8)
причем решение краевой задачи (1.1), (1.7) определяется по решению
этого дифференциально-разностного уравнения с помощью тех же
точных формул (1.4). Сразу укажем на три ситуации, которые здесь
возможны-
1)	если а #= О, b = 0, то уравнение (1.8) запаздывающего типа;
2)	если а = О, b Ф 0, то уравнение (1.8) опережающего типа;
3)	если а #= О, & =/= 0, то уравнение (1.8) нейтрального типа.
Известно, что свойства дифференциально-разностных уравнений
указанных трех типов значительно различны. Например, уравнения
запаздывающего типа (случай 1) не могут иметь гладких ограниченных
решений с неограниченно растущей частотой — если решение ограни-
226
чено, то, как следует из (1.8), его производная также ограничена Sl.
То же можно сказать и об уравнениях опережающего типа (случай 2),
но из (1.8) легко увидеть, что решения уравнений этого типа теряют
гладкость с ростом t (на единицу на каждом шаге). Как результат, в
этом случае почти все решения прекращают существование за конечное
время.
Наиболее интересным представляется случай уравнений нейтраль-
ного типа, а также рассмотренный в § 1 случай а = b = 0, когда полу-
чаются разностные уравнения с непрерывным временем. Для этих
уравнений возможны и, более того, типичны гладкие ограниченные
решения с частотой колебаний, неограниченно растущей при t -> оо,
так называемые решения турбулентного типа. Следует заметить, что
необходимым условием наличия у уравнений нейтрального типа ука-
занных решений является нелинейная связь производных у (t) и
у (/ + 2), т. е. уравнение должно быть не полулинейным, как (1.8),
а по крайней мере квазилинейным.
Рассмотрим пример. Пусть краевые условия для системы (1.1)
имеют вид
U |х=0 = V |х=0, Щ |х=1 =	|х=1«	(1 *9)
Тогда после сведения получается квазилинейное дифференциально-
разностное уравнение нейтрального типа
y(t + 2) = y(t)y(t).	(1.10)
Это уравнение вполне интегрируемо [113] — интегрирование (1.10)
дает семейство нелинейных разностных уравнений вида (1.5)
i/(/ + 2) = 4-^(0 + M />-1.	(1.11)
Константа X = у (t + 2)----- у2 (/) однозначно определяется из усло-
вия непрерывной склейки в точке t = 1:
% = Ф(1)----1).	(1.12)
где <р (/), / С I—1, И,— начальная функция (см. 1.6)).
Таким образом, если начальные условия (1.3) заданы, то константа
X фиксирована и у (/) определяется как решение вполне конкретного
разностного уравнения семейства (1.11). В результате квазилинейные
дифференциально-разностные уравнения нейтрального типа могут
иметь те же типы решений, что и нелинейные разностные уравнения.
Задача (1.1), (1.9) с производными в граничных условиях интересна
также тем, что, как следует из (1.11) и (1.12), вид отображения
/х: */Х	О-13)
31 Здесь и далее будем рассматривать только автономные уравнения и системы
уравнений. Для неавтономных уравнений формулируемые утверждения, вообще го-
воря, неверны, гак как неавтономность сама по себе может навязывать решениям
самые различные свойства.
15*
227
(это отображение по существу определяет все свойства решений) за-
висит не только от граничных, но и от начальных условий (1.3), точнее,
от значения параметра X. В разд. 3 (§ 1 гл. 1) дано подробное описание
асимптотических свойств решений уравнения (1.11) в зависимости от
параметра X и мы на них больше не останавливаемся.
§ 3. Сведение в более общих ситуациях
Систему (1.1) рассмотрим с граничными условиями общего вида
Н^и, V, ut, их, vt, vx) |,_о = 0,
Н2 (и, V, ut, их, vt, vx) |x=i = 0,	' ' '
где Hi — некоторые функции. Тогда аналогично предыдущему задачу
(1.1), (1.14), (1.3) можно свести к системе дифференциально-разностных
уравнений
Hi (У! (t + 1), у2 (0. Уг (t + 1). ~ Ут + 1). Уг (0. У, (0) = 0.
Я2(У1 (0. yt (t + 1). У1 (0, - У1 (0, у2 (t 4- 1), у2 (/ + 1)) = 0 (1.15)
с начальными условиями
У1 (0 = Ф1 (—0.
^(0 = ф8(<-1). Ш-1,01,
таким образом, что решение и (х, 0, v (х, t) определяется по yt (0,
у2 (0 по формулам
и(х, t) = yl(t — x),
v(x, t) = y2(t + x—1), (x, 0£П.
Для системы (1.15), как и для (1.8), также следует различать случаи,
когда уравнения, входящие в нее, принадлежат к запаздывающему,
опережающему и нейтральному типам.
Обобщение граничных условий можно было бы продолжить. Рас-
смотреть, например, случай, когда значения неизвестных функций в
точке х = 0 связаны с их значениями в точке х = 1. Сведение имеет
место и в случае задачи Бицадзе — Самарского, когда значения на гра-
нице связаны со значениями в некоторых фиксированных внутренних
точках рассматриваемой области, в данном случае интервала [0, 1].
Рассмотрим систему с переменными коэффициентами
+ ТПТТ = °’ Vt~Tin2”l’x = 0,	(1.16)
и граничными условиями (1.2). Характеристики уравнений (1.16)—это
интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений —
= ± 2/t In 2. Как легко видеть,
X
± -у
t = с2 2,
где с — произвольная постоянная.
228
Через каждую точку (О, /п) £ П на границе х = 1 в положитель-
ном направлении проходит единственная характеристика t = /О2Х/2. Эта
характеристика пересекает границу х = 1 при t = = ]^2^0. Анало-
гично через точку (1, /х) на границе х = 1 в противоположном на-
X—1
правлении проходит единственная характеристика t = tY2 2 . Она
пересекает границу х = 0 при t = t2 = 2t0. Вдоль первой из характе-
ристик не меняет своего значения искомая функция и, вдоль второй —
функция v. Поэтому, принимая во внимание граничные условия (1.2),
а также произвол в выборе точки /0, заключаем, что для любого /> О
и (0,2/) = v (0,2/) = V(1, К2 /) = f (и (1, 1/2 /)) = f (и (0, /)).
Таким образом, у (/) = и (0, /) — решение «/-разностного уравнения
I/(2/) = /(«/(/)), />0,	(1.17)
причем значения и (х, /), и (х, t) выражаются через значения у (/)
по формулам
и (х, /) = «(/• 2-х/2),
'	О18)
v(х, /) = I/(/- 2Х/2),	0<х<1, />0.
Заметим, что на отрезке {/ = 0, 0 х 1} области П тип системы
(1.16) вырождается. Как следствие этого полученное нами функцио-
нальное уравнение (1.17) имеет особую точку t = 0 (особые точки функ-
циональных уравнений — это такие значения аргумента, в которых
его отклонение обращается в нуль). Обратим внимание на тот факт,
что теперь для исследования поведения решений краевой задачи (1.1),
(1.2) в окрестности кривой вырождения достаточно изучить поведение
решений функционального уравнения (1.17) в окрестности соответст-
вующей особой точки. Для функциональных уравнений развита теория,
позволяющая решать последнюю задачу достаточно эффективно [75].
В частности, для (1.17) можно выписать представление общего решения
в окрестности особой точки t = 0. Действительно [75], пусть отобра-
жение f достаточно гладкое и такое, что f (0) = 0, f (0) = X #= 0, и
К=^2т, /п=1,2,...	(1.19)
В некоторой окрестности (/, у) = (0, 0) существует достаточно гладкая
обратимая замена переменных
т = т(/), z = z(/,//),	(1.20)
линеаризующая уравнение (1.17), т. е. приводящая его к виду z (2т) =
= Xz (т). Общее решение этого линейного уравнения найти несложно:
JHJAL , . v
*(т) = т 1П? со(4^-), т>0.	(1.21)
где со — произвольная функция, удовлетворяющая условию со (т 4-
+ 1) = sign Хсо (т). Подставляя (1.21) в (1.20), найдем представле-
ние общего решения уравнения (1.17) в правой полуокрестности точ-
ки t = 0. Тогда по формулам (1.18) можно получить представление
229
общего решения краевой задачи (1.16), (1.2) в окрестности отрезка
[0, 1] X {0}. Следуя [75, с. 94], общее решение этой задачи можем найти
и в случае, когда условие (1.19) нарушается при каком-то т = /и*.
Систему (1.16) рассмотрим с граничными условиями (1.7), (1.9)
или (1.14). Тогда в результате сведения получаются дифференциальные
9-разностные уравнения или системы вида
ау (2/) + by (/) + у (2/) - Ф (у (/)) = 0,	(1.22)
f/(2/) = f/(/)^(/),	(1.23)
<У1 (/2 /), у2 (/), У1 (/2t), - У1 (/2 /), у2 (/), у2 (/)) = 0,
г- .	г-	г-	(1.24)
Нг {У1 (П, у2 (V2 П, Уг (0. - У1 (0. у2 {V21), у2 (/2 /)) = 0.
Отличие этих уравнений от (1.8), (1.10) и (1.15) лишь в сдвиге аргу-
мента: везде вместо t -> t + 2 имеем t -> 2/, вместо t -> t + 1 —
t-+ VTt.
Дифференциально-функциональные уравнения (1.22) — (1.24), как
и функциональное уравнение (1.17), имеют особую точку t = 0. Пове-
дение решений в ее окрестности (по крайней мере в случае (1.22) и
(1.23)) допускает достаточно полное описание (см., например, [81]).
Рассмотрим систему
ut + ai (х» 0 их = о,
Vt — a2 (Х» 0 Vx = 0, (х, Z) С П,
где (х, /), i = 1, 2,— некоторые функции. Характеристики системы
(1.25)—это интегральные кривые обыкновенных дифференциальных
уравнений
(1.25)
-^ = ai(x,0, -^ = -a2(x,/).	(1-26)
При известных достаточно общих условиях через каждую точку (0, /)
и (1, Z) граничных прямых {х = 0}, {х = 1} области П проходит одна
и только одна интегральная кривая каждого семейства. Предполо-
жим, что общие интегралы уравнений (1.26) можно представить в виде
t = 9i (х, с), t = q2 (х, с), где qi9 i = 1, 2,— некоторые функции такие,
что qY f, q2 при х с— произвольная постоянная. Тогда характе-
ристика первого семейства, выходящая из точки (0, /0), пересечет пря-
мую {х = 1} в точке (1, 4), где tY = qr (1, q), сг — (единственный)
корень уравнения /0 = qY (0, cj. Аналогично характеристика второго
семейства, выходящая из точки (1, 4), пересечет прямую {х = 0} в
точке (0, /2), где /2 = 9г (0, с2)» с2 — (единственный) корень уравнения
= 92 (1, с2). Так как функция и не меняет своих значений вдоль ха-
рактеристик первого семейства, а функция v — вдоль характеристик
второго, то, учитывая граничные условия, получаем, что у (t) = и (0, /)
удовлетворяет функциональному уравнению у (q (/)) = f (у (/)), где
4 (0 = 42 (0, 421 (1, 41 (1,	(1> 0)))» 4i~l (j, 0 — функция, обратная
4i (/. 0-
В описанных выше случаях в результате сведения получались функ-
циональные или дифференциально-функциональные уравнения с од-
230
ной независимой переменной. Ситуация аналогична и для неоднород-
ной линейной системы (154]
tif + ах (х, 0 их = Pi (х, t),
^-а2(хЛ)^ = ₽2(х,0. К
(1.27)
Отличие от (1.25) состоит только в том, что при сведении будут полу-
чаться неавтономные, т. е. явно зависящие от t, уравнения, так как
неизвестные функции и и v уже не постоянны вдоль характеристик и
меняют свои значения в силу уравнений
_^JL=₽i(X(0(	=р2(х,0. (х.ОСП,
где = (ах (х, /); 1), 12 = (—а2 (х, /), 1)— направляющие векторы
характеристик.
Как уже отмечалось в конце § 1, ситуация качественно усложняет-
ся, если исходная система полулинейна, т. е. если ее правые части за-
висят также от неизвестных функций и и и. При этих условиях задача
уже не сводится к уравнениям, в которых неизвестные функции зави-
сят только от одной независимой переменной. Тем не менее возможное
в этом случае сведение к интегро-дифференциально-функциональным
уравнениям может оказаться полезным при изучении различных во-
просов теории нелинейных краевых задач (см., например, [1]).
Замечание 1. Во всех рассмотренных примерах вместо си-
стем второго порядка можно было рассматривать аналогичные системы
порядка 2п (считать и и v n-мерными векторами). Это соответственно
повысило бы порядок уравнений, которые получаются при сведении,
но не изменило бы их типа.
Замечание 2. Неизвестные функции в рассмотренных зада-
чах везде зависели лишь от одной пространственной переменной (вто-
рая переменная — время t). Пример задание двумя пространственными
переменными, допускающей сведение к разностному уравнению в
частных разностях, рассмотрен в гл. 3.
В заключение коснемся случая квазилинейных систем (коэффици-
енты а1 зависят от неизвестных функций). В таких системах, как из-
вестно, характеристики могут пересекаться, в результате происходит
опрокидывание решений и возникают разрывы (см., например, [91]).
Пример краевой задачи для квазилинейной системы, допускающей
сведение, рассмотрен в работе [7]:
ut + иих = 0, vt — wx = 0, (х, t) Q П;
u(O,t) = v(Q,t), v(l, 0 = Я(«(1.0). *€R+.
Эта задача сводится к функциональному уравнению
у V + y(t)) = f(y (0)
так что и, v и у связаны соотношениями
« (х, / + 1+1-у (о) = v (х, t +	y(t)) = -А.
231
Отклонение аргумента t t + у (f) в полученном функциональном
уравнении зависит от неизвестной функции у (/). Это то новое, что
появляется в квазилинейном случае. Функциональные уравнения с
отклонением, зависящим от неизвестной функции, изучены достаточно
мало. Некоторые результаты исследования таких уравнений содержат-
ся в книге [75].
ГЛАВА 2
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
§ 1. Краевая задача для невозмущенной системы
В предыдущей главе рассмотрены некоторые краевые задачи для
гиперболических систем в частных производных, сводящиеся к раз-
ностным, (/-разностным, дифференциально-разностным и другим функ-
циональным и дифференциально-функциональным уравнениям. Све-
дение позволяет применять для их исследования достаточно развитую
теорию разностных и дифференциально-разностных уравнений, в част-
ности интенсивно развивающуюся в настоящее время теорию дискрет-
ных динамических систем. Такой подход в ряде случаев позволяет по-
лучить ответы на значительную часть интересующих вопросов. Однако
указанное сведение само по себе не обладает свойством грубости — при
малых регулярных возмущениях исходной системы возможность точ-
ного сведения, как правило, нарушается. Естественно возникает во-
прос, как это сказывается на тех или иных свойствах решений, описан-
ных благодаря сведению? Не окажется ли, что эти свойства специфи-
чески присущи именно задачам, допускающим сведение, и исчезают,
когда возможность сведения нарушается? Сформулированный вопрос,
понятно, очень важен с физической точки зрения, так как только свой-
ства, устойчивые к возмущениям, имеют физический смысл.
В настоящей главе рассматривается одна из задач гл. 1. Задача
носит модельный характер, а необходимые с прикладной точки зрения
усложнения (естественно, в разумных пределах) как самой гиперболи-
ческой системы, так и граничных условий не внесли бы, как нам пред-
ставляется, принципиальных изменений в рассмотрение. В то же время
эта задача, по-видимому, наиболее приспособлена, чтобы продемонст-
рировать влияние возмущений на новые интересные свойства решений,
обнаруженные при сведении.
Таким образом, рассмотрим систему
ди* , ди< п ч
dt + дх ~	1	и^’
я я (2-1)
-%------= ег2 («1( «2), (х, 0 £ П = [0, 1] X R+,
в нелинейными граничными условиями
U1 (0, 0 = и2 (0, 0,
«2(1,0 = f(«i(1.0),
(2-2)
232
и начальными условиями
Ы1(х, 0) = Ф1(х),
«а(х, 0) = <р2(х), xGlO, 1],	( '
где «х, и2 : П -> [R1— неизвестные функции, е 0 — малый параметр,
f, Fit (f>t, i — 1, 2,— заданные (^-функции, удовлетворяющие условиям
непрерывного и гладкого согласования
Ф1(0)=Ф2(0), Ф8(1)=/(Ф1(1)),
Фх (0) + Фа (0) = 8(Гх (Ф1 (0), ф2 (0)) - Ft (Ф1 (0), ф2 (0)),	(2.4)
фа(1) + /(Фх(1)) Фх(1) = 8(Л(Ф1 (1), ф2(1)) f (Ф1 (1)) -
~^(Ф1(1), Ф,(1»)-
Если значение 8 > 0 достаточно мало, то при выполнении некоторых
естественных условий на f и Ft, Ф< задача (2.1) — (2.3) имеет единствен-
ное классическое решение и® (х, t), u® (х, t), определенное и ограни-
ченное при всех (х, f) G П. Будем интересоваться его поведением при
/ —> оо.
Наряду с задачей (2.1) — (2.3) рассмотрим невозмущенную задачу
dvi I	А
dt + дх ~~ U’
= Men,
(0,0 = v2 (0, о, V2 (1,0 = f (Pl (1,0). К К+,
»1 (х, 0) = Ф1 (х), v2(х, 0) = ф2(х), х£ [0, 1].
Решение »х (х, /), »2 (х, /) этой задачи имеет вид
М*. =	х),
v2 (х, t) = у (t + х), (х, t) G П,
где у (t) — решение разностного уравнения с непрерывным
y(t + 2) = f(y(t)), Ш-1, оо),
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
временем
(2-9)
удовлетворяющее начальному условию
ZA I	/А def |Ф1 (
и')|[-,д1 = ф(0 = 1Ф2(0.
^[-1.0),
1].
(2.Ю)
Уравнение (2.9) с начальным условием (2.10) исследовалось в гл. 1
разд. 2. Тот факт, что решение исходной невозмущенной задачи (2.5) —
(2.7) и решение (2.9), (2.10) связаны между собой при помощи соотно-
шений (2.8), позволяет результаты этой главы перенести на рассматри-
ваемый случай. Сформулируем те из них, которые нам понадобятся
в дальнейшем.
Сразу предположим, что отображение f принадлежит классу С2 (/, /)
и является структурно устойчивым (заметим, что в С2 (/, /) структурно
устойчивые отображения образуют открытое всюду плотное подмно-
233
жество, поэтому условие структурной устойчивости f является доста-
точно общим). Тогда множество Per / периодических точек f распа-
дается в объединение множества Р± точек притягивающих и множества
Р— точек отталкивающих циклов /: Per f = (J Р_, причем Р± —
конечно, а Р- — конечно или счетно. Разделитель D отображения f
{см. § 3 гл. 1 разд. 2) в структурно устойчивом случае определяется по
формуле
D = U <Р“ПР-	(2.11)
(Р_ — замыкание Р_), и есть нигде не плотное в / замкнутое множество
меры нуль, конечное (в частности, пустое), счетное или несчетное.
То, как устроен разделитель, играет важную роль для характери-
стики поведения решений задачи (2.9), (2.10), а следовательно, и исход-
ной начально-краевой задачи (2.5) — (2.7). Существуют простые
критерии мощности разделителя как множества из /. Например, спра-
ведливо предложение.
Предложение. D несчетно тогда и только тогда, когда
f имеет циклы, периоды которых отличны от 21’, i = 0, 1, ... Если
f имеет циклы периодов, отличных от 1 и 2, и не имеет циклов периодов,
отличных от 21’, i = 0, 1, ..., то D счетно.
По начальной функции <р (/) вида (2.10) и разделителю D построим
множество
^-==ф-’(£))1	(2.12)
Предположим, что <р (/) удовлетворяет условию трансверсальности
Ф(0=#0, t^T.	(2.13)
Тогда, как и разделитель D, множество замкнутое и нигде не плотное
в [0, 1] и, кроме того, mes 27 = 0. Из указанных свойств вытекает, что
условие трансверсальности выполняется для открытого всюду плотного
подмножества функций <р £ С2([0, 1], /), т. е. условие трансверсаль-
ности, как и условие структурной устойчивости /, выполняется для
почти всех <р.
Обозначим
Па = [0, 1] X [а, Р], —оо^а<р^4-оо (2.14)
(в частности, П” = П). Для любых а, р рассмотрим пространство
с* (nt /) полунепрерывных сверху функций ф : П« -> 21 с топологи-
ей, задаваемой расстоянием Хаусдорфа для графиков,
(M’i. 'Фг) = max { sup р (z, gr г|>2); sup p (z, gr ipj}, (2.15)
ua	z€ gr ф,	ze gr
где grip,, i = 1, 2,— график функции ф,- (x, t) при (x, t) С П»,
P (г, gr ф,) — расстояние в [R3 от точки z до множества gr фР Аналогично
определяется пространство Сд (Ц?, 1x1).
Заметим, что пространство Сд содержит в качестве подпространства
С°, однако в отличие от С° Сд обладает свойством компактности.
Поэтому Сд уже содержит функции, к которым наши решения сходятся
при t -> оо.
234
Определение 2.1. Решение v = (vlt'v2) задачи (2.5) —"(2.7)
назовем устойчивым в метрике Хаусдорфа (метрике Скорохода) к воз-
мущениям начальных и граничных условий, если сколь угодно малые
б^-возмущения функций f и <pz, I = 1, 2, приводят к сколь угодно ма-
лым изменениям v в метрике Хаусдорфа (2.15) (в метрике Скорохода
s (v, v) = sup {II v о а — v ||с»(п,/х/) + || а — id ||с»(п,п)},	(2.16)
где 31 — множество гомеоморфизмов П -> П, id С ЭД — тождественный
гомеоморфизм).
Определение 2.2. Скажем, что функция ф £ Сд (П, /) схо-
дится при t -> оо к функции ф £ Сд (П, /), если
Д оо(Ф, Ф)->0, Т ->ОО.
Пу*
Аналогично определяется сходимость для функций из Сд (П, 1x1).
Обозначим через m наименьшее общее кратное периодов притяги-
вающих циклов /, т. е. периодов циклов из и рассмотрим функцию
/Л С Сд (/, /), определенную по формуле (1.14) разд. 2. При наложенных
на f и <р условиях (см. гл. 1 разд. 2) решение у (/) разностного уравне-
ния (2.9) с начальным условием (2.10) сходится при t -> оо в метрике
Хаусдорфа к 4/п-периодическому обобщенному решению
р(0 =
(fA°<₽(0,
/ »/д о <р (^ — 2),
<€1-1, 1),
3),
(2.17)
Гm_I о f * о <р (t — 2 (2m — 1)),	[4m — 3, 4/n — 1),
с множеством точек многозначности
^R+ = JJi^:^-2nGSr},	(2.18)
где имеет вид (2.12).
Лемма, Решение v = (и1У v2) задачи (2.5) — (2.7) устойчиво в мет-
рике Хаусдорфа и в метрике Скорохода к С^-возмущениям функций f и <р
и сходится при t оо в метрике Хаусдорфа к 4т-периодическому по
t обобщенному решению р° задачи (2.5), (2.6) вида
рО(х,П = (р(*-Д £(* + *)), (х,П€П,	(2.19)
где р (t) определено формулой (2.17).
Из (2.19) следует, что предельная для v функция р° многозначна
на множестве
= {(х, OGn.-tf + xKSVb или (/-x)esrw+} (2.20)
(см. (2.18)), причем мера этого множества mes как мера в [R2 равна
нулю. Вне множества функция р° кусочно-постоянна и принимает
значения из множества Р±.
Замечание. Функцию р° можно рассматривать как обобщен-
ное решение задачи (2.5), (2.6). Действительно, р° удовлетворяет
235
интегральным тождествам (2.21), которые в рассматриваемом случае
(е = 0) обращаются в разностное уравнение вида (2.9).
Таким образом, классические решения задачи (2.5), (2.6) сходятся
при t -> оо в метрике пространства Сд к обобщенным ее решениям.
§ 2. Случай е>0. Существование решения и продолжимость
Лемма. При наложенных выше условиях существует е0 > 0 такое,
что при каждом 0 е < е0 задача (2.1) — (2.3) имеет единственное
решение
иг (х, /) = (их (х, /), и2 (х, /)), (х, /) С П,
принадлежащее классу С1 (П, 1x1). Решение иг и его частные произ-
водные duMdt, диг!дх непрерывно зависят в любой конечной области
По от параметра е, функций f, <ро Ft и их производных dfldy, dyjdx,
dFJdUj, i, j = 1,2.
Доказательство. В любой конечной области По задача
(2.1) — (2.3) при достаточно малых е > 0 имеет единственное класси-
ческое решение ие, непрерывно зависящее от коэффициентов задачи
(см. [1], где рассмотрена краевая задача для полулинейной системы об-
щего вида). Считая эти факты известными, докажем продолжимость
решения при t-* оо.
Решение иъ допускает интегральное представление
«Х(х,/ + 2) = //ы1(х,0 + у=- J	J Ftds+ J Fxds\
\	2’i,i	/	Wi,2 &1,з	>'
(2.21)
и2 (х, t + 2) =
= //«I(x.Z) + ^rC { F^+ J	J Fjds,
\	V^2,l	&2,2 D	^2,3
справедливое для любых (x, t) £ П. Здесь i = 1,2,/= 1, 2, 3, —
отрезки характеристик системы (2.1) (рис.85). В силу условий глад-
кости на коэффициенты задачи решение и* может быть непродолжи-
мым при t -> оо только в том случае, когда уйдет на бесконечность за
конечное время. Покажем, что при достаточно малых г > 0 это про-
изойти не может, так как решение ие не сможет выйти из интервала /.
Действительно, отображение /:/->/ в силу его структурной устой-
чивости с необходимостью обладает свойством
f	b — 6],	(2.22)
где 7 = la, 8), 6 >• 0 — некоторое достаточно малое число. Положим
8° = 2М (L + 1) ’	(2.23)
где М = max sup |	(и, и) I, L — константа Липшица функции /,
*=1,2 /х/
и покажем, что продолжимость имеет место при всех 0 е < е0.
236
Пусть для некоторого Т > 0 и е < е0	t
и6: По /б/2 X /б/2.	(2.24)
Покажем, что тогда
/в/2.	(2.25)
Из (2.21) для любых (х, Z) G По имеем
(х, t + 2) — а —
= //И1(х, 0 + y=p J Л<М +
+ -£=-( У Fgds+ J Fids}— а.
V \^l,2	^,з	/
Интегральные члены в этой формуле допус-
кают оценку
—f Ftds < П __________________________-____£
/2 t 1 2M (L + 1)	2 (L + 1)
Поэтому величина ut (х, t) + —77- £ Ftds принадлежит интервалу / и,
' 2 s-i.i
следовательно, в силу (2.22)
«х (х, t + 2) — а > а + 6 —	( > а — А.
Аналогично доказываются неравенства для и2 (х, t + 2) (и в случае
точки Ь). Таким образом, из (2.24) следует (2.25). В силу независимости
ев от Т этот процесс можно продолжить. В результате получим
«8 : П —> /б/2 х 1^/2.
Этим и завершается доказательство продолжимости решения при
оо. Лемма доказана.
§ 3. Устойчивость в метрике Хаусдорфа
В настоящем параграфе доказывается, что решение задачи (2.1) —
(2.3) с 8 = 0 устойчиво в метрике Хаусдорфа к возмущениям правых
частей системы (2.1). Из леммы § 1 следует, что это решение также
устойчиво к возмущениям начальных и граничных условий. Заметим,
что для рассматриваемого решения имеет место более сильный резуль-
тат — устойчивость в метрике Скорохода (см. § 4 настоящей главы).
Тем не менее представляется целесообразным привести в этом пара-
графе доказательство устойчивости в метрике Хаусдорфа. С одной сто-
роны, это доказательство сравнительно элементарно, а с другой —
позволяет получить важную информацию о свойствах решений при
t-+ оо. Дадим общее определение.
237
Рис. 86.
Определение 2.3. Решение и* за-
дачи (2.1) — (2.3) назовем устойчивым в
метрике Хаусдорфа, если сколь угодно ма-
лые С2-возмущения функций /, Fh фо i =
= 1, 2, и параметра е приводят к сколь
угодно малым изменениям и* в метрике Ха-
усдорфа.
Теорема 2.1. Пусть отображение f С
£ С2 — структурно устойчиво и выполня-
ется условие трансверсальности (2.13).
Тогда решение uQ задачи (2.1) — (2.3) с е =
= 0 устойчиво в метрике Хаусдорфа.
Доказательство. Так как ре-
шение ц° устойчиво к возмущениям на-
чальных и граничных условий (лемма § 1),
то доказательство проведем, возмущая
только правые части системы (2.1) и счи-
тая условия согласования выполненными.
Покажем, что для любого сколь угодно
малого наперед заданного у > 0 найдется
е0 > 0, зависящее от функций /, ф£ и
такое, что при каждом 0 е < е0
Дп(ив,ы°)^КЗт. (2.26)
В силу структурной устойчивости f все мультипликаторы циклов
из по модулю меньше 1. Поэтому найдутся такие 6lt 62 > 0, что
14" П*/) | < 1 - «1 при всех у € U6t (Р+)	(2.27)
(т — наименьшее общее кратное периодов циклов из Р+), откуда сле-
дует, что
IГ [у') - Г (у") I < (1 - «1) I У' - У I	(2.28)
для любых у', у" € и&2 (р+) и с Р+.
Зададим произвольное у >0 и предположим (не теряя общности),
что у Покажем, что найдется е0 = е0 (у) > 0 такое, что при 0
е < е0 имеет место неравенство (2.26). Тем самым устойчивость
будет доказана.
ip — нигде не плотное в П множество характеристик системы (2.1).
Поэтому по у > 0 всегда можно указать у* > 0 такое, что у*-окрестность
‘гГро (обозначим ее (^ро)) состоит из полос, ширина каждой из кото-
рых не превышает у. Для доказательства теоремы покажем вначале,
что при достаточно малых е 0
|ц* * * 8(х, 0 — и°(х, 01 <Т ПРИ (х, 0€П\ t/v»(^>).	(2.29)
Так как uQ сходится к р°, то найдется Т = Tv >0 такое, что 1
|ц° (х, 0 —-р° (х, 01 <Т при (х,/) СП~ \ t7v* (STpo). (2.30)
238
С другой стороны, в силу непрерывной зависимости иг от е (лемма § 2)
по фиксированному значению Т > 0 можно указать > 0 такое, что
для всех 0 е <
\и*(х, t) — и°(х, t)\<y при (х, О€По+2т.	(2.31)
Из (2.30) и (2.31), используя неравенство треугольника, немедленно
получаем, что
|«®(х, /)—//> (х,/)|<2у при (х,/)€ T+2m\Ur(^p>).	(2.32)
Так как в силу выбора у 2у^2—^-<S2, то на множестве
О
значения каждой компоненты решения иг (а в силу
(2.30) и решения uQ) принадлежат б2-окрестности Р+.Это позволяет на
следующем шаге при переходе от множества Пт+2гп \	к мно-
жеству Пт+2т \ Uy* (^» для оценки разности | и? (х, t) — uQ (х, t) |
воспользоваться неравенством (2.28). Для этого проинтегрируем
уравнения системы (2.1) вдоль соответствующих характеристик от точ-
ки (х, t) € n?+2m \ и7. (9» до точки (х, t + 2m) 6	\ Ur (^>).
Принимая во внимание граничные условия (2.2), для ие = (и®, п®)
имеем
М1(х, t + 2m) = f(... f (f /и® (х, t) + J FjdsW
\ \ \ /
+ vr[S J •')+vrf J J f>ds
F 1 O’	O’	I/	/ F	ф
L*l,2	*1,3
(2.33)
ue2(x, t + 2m) = f(... f(f(uUx,t) + -^-
Здесь i = 1, 2, j = 1, ...,2m + 1, — отрезки характеристик си-
стемы (2.1), изображенные на рис. 86. Для решения ы° = («?, и°) невоз-
мущенной задачи эти равенства выглядят значительно проще (надо
в (2.33) положить е = 0):
ы? (х, t + 2m) = fm (u? (x, /)),
П	m о	(2.34)
«2 (x, t 4- 2m) = f (и” (x, t)).
Из (2.33) вычтем (2.34). Выполняя несложные оценки, получаем
| м® (х, t -J- 2m) — и} (х, t 4- 2m) |
<|Г(«*(хЛ)-Г(«?(х,П)| + 2еМ£(1+L+ ... +L^')<
С(1-5?Т +
2r.ML (L'n—b	<.	. 2e.ML (Lm — 1)
---r=T----= Y - 61T +---rrn-----
239
Здесь
М = max sup I Fi (ult u2) | < oo,
i==l,2 /X/
L — константа Липшица функции f (не теряя общности, полагаем
L < оо — этого всегда можно добиться сколь угодно малым уменьше-
нием интервала /). Положим
е2 ==----LzzJ-----б,у > 0.
2ML(Lm — 1)	1
Тогда из (2.35) следует, что при всех 0 е < е0 = min {ех; е2)
| ue (х, /) - uf> (X, t) I < у при (х, t) € пад \ l/v. (9».	(2.36)
В точности повторяя проведенные выше оценки, можно выполнить сле-
дующий шаг и перейти от Пг+г£ \ £/т. (Т ₽•) к n^\l/v.(Srp.),T.e.
получить неравенство, аналогичное (2.36), для (х, /)€Пг£$£\£/у.07р»)-
Важно, что это удается проделать, как и раньше, при всех 0 е < е0
и т. д. Неравенство (2.29) доказано.
Таким образом, мы показали, что при каждом 0 е < е0
An\t/v.(^ (u®. и°) < ?	(2.37)
Чтобы завершить доказательство, оценим расстояния между графи-
ками решений и® и и0 на множестве Uv* (У₽•). Покажем, что
A^p.)(«e.«°)C/3Y.	(2-38)
Множество t/v* (STро) состоит из взаимно перпендикулярных полос.
Пусть (х*, /*), /*>Т, — произвольная точка на нижней границе
одной из них. Рассмотрим отрезок {х = х*, t* < t < /* + у'}» пере-
секающий эту полосу параллельно оси t. Так как ширина рассматривае-
мых полос не более у, то у' 1^2у. Вследствие этого для доказательст-
ва неравенства (2.38) достаточно показать, что
| sup (х*, t) — sup u° (х*, t) | < у,	(2.39)
| inf ue (x*, t) — inf u° (x*, t) | < y,
т. e. что
A1 (u8 (x*, (/*, /* + y')), u° (x*, (/*, /* + у'))) < у	(2.39')
(в формуле (2.39') A1 — расстояние Хаусдорфа между интервалами
ие (х*, (/*, /* 4- у')) и ц° (х*, (/*, /* + у'))).
Чтобы доказать (2.39'), воспользуемся тем, что, во-первых,
А (ф"» (и8 (х*, (/*, /* + у'))), ср™ (и0 (х*, (/*, /* + у')))) < (1 — 62) у, (2.40)
0 е < 8°
(неравенство (2.40) вытекает из свойств отображения f и неравенства
(2.28), которое выполняется для иеи и° в концах рассматриваемого
интервала), а во-вторых,
| и8 (х*, I) — fm (и& (х*, t — 2т)) | < бху, t С (/*, /* + ?'), 0	6 < е0 (2.41)
240
(это доказано в (2.35)). Тогда (2.39) получается из (2.40) и (2.41)
простым использованием неравенства треугольника и того фактам
что расстояние в метрике Хаусдорфа не превышает расстояния в рав-
номерной метрике.
Таким образом, максимальные и минимальные значения и8 и и9
на рассматриваемом отрезке отличаются не более чем на у. Длина этого
отрезка не превышает 1^2у. Поэтому
Д (и8 (х*, (/*, /* + у')), и° (х*, (/* + у'))) < Уу2 + 2у2 = УЗу. (2.42)
Неравенство (2.42) верно для любого отрезка, пересекающего множест-
во (S7po) в вертикальном направлении. Поэтому верно и неравенство
(2.38), а из (2.37) и (2.38) следует (2.26). Теорема доказана.
§ 4. Устойчивость в метрике Скорохода
и асимптотическая периодичность
Одним из наиболее важных свойств решения и° невозмущенной за*
дачи является устойчивость в метрике Скорохода к возмущениям на*
чальных и граничных условий и асимптотическая периодичность (лем*
ма § 1). В данной параграфе устанавливается следующее:
1) решение и° устойчиво в указанной метрике и по отношению к
возмущениям правых частей системы (2.1);
2) при достаточно малых 8 > 0 решение и8 возмущенной задачи
также обладает свойством асимптотической периодичности.
Определение 2.4. Решение и8 задачи (2.1) — (2.3) назовем
устойчивым в метрике Скорохода, если сколь угодно малые ^-возму-
щения функций /, F(, q\, i = 1, 2, и параметра 8 приводят к сколь
угодно малым изменениям и8 в метрике Скорохода (2.16).
Теорема 2.2. Пусть отображение f £ С2 — структурно устойчиво
и выполняется условие трансверсальности (2.13). Тогда решение uQ
задачи (2.1) — (2.3) с 8 = 0 устойчиво в метрике Скорохода.
Замечание 1. В действительности при условиях теоремы 2.2
устойчивость имеет место и для решений и8 задачи (2.1) — (2.3) с
8 > 0. Однако чтобы упростить изложение, ограничимся исследова-
нием устойчивости решения и°. По существу для и8 доказательство ана-
логично.
Так как условия теоремы обеспечивают устойчивость и° по на-
чальным и граничным условиям (лемма § 2), то остается доказать его
устойчивость по правым частям системы (2.1).
Необходимо показать, что для любого сколь угодно малого у > 0
найдется е0 > 0 такое, что при каждом 0	8 < 80 существует гомео-
морфизм о8 : П —> П, для которого
sup | и8 (6е (х, /)) — и° (х, О | < у,	(2.43)
(х.оеп
sup I о8 (х, 0 — (х, 0 I < у.
(х.оеп
Мы не приводим полного доказательства теоремы 2.2, так как оно
заняло бы слишком много места. Остановимся на основных моментах
16—3793
241
доказательства, главным образом на алгоритме построения искомого
гомеоморфизма ст8. Тем самым, возможно, удастся в определенной мере
прояснить вопрос о том, какие именно изменения происходят с реше-
ниями при возмущениях. Как оказывается, эти изменения мало отли-
чаются от тех, которые имеют место при возмущениях только началь-
ных и граничных условий, хотя определенные отличия, конечно, воз-
никают.
Перейдем к изложению схемы доказательства. Начнем его с описа-
ния некоторых свойств отображения /.
Отображение f структурно устойчиво, поэтому множество Р± точек
устойчивых циклов f обладает следующим свойством локального при-
тяжения: существует 6Т > О такое, что для любого достаточно малого
6>0
(t/6 (Р+)) cz (7п_б1)б (Р+),	(2.44)
где т — наименьшее общее кратное периодов циклов из Р+. Не теряя
общности, предположим, что tn = 1. Тогда включение (2.44) перепи-
сывается в виде
f (U6 (/>+)) cz (P+).	(2.44')
С другой стороны, множество D = U f~~nP- — так называемый
разделитель f — обладает аналогичным свойством локального оттал-
кивания: существует рт > 0 такое, что для любого достаточно малого
р >0
(/ \ t/ц (D)) с / \ l/(1+W1)B (D),	(2.45)
где /Hj 0 — некоторое число. Снова, не теряя общности, предполо-
жим, что тх = 1, тогда (2.45) переписывается в виде
f(I \ V» Р)) cz I \ i/(i+U1)u (D).	(2.45')
Кроме того, f обладает еще одним важным свойством: для любых
б, р > 0 существует У = N (б, р) < + оо такое, что
^(/\f/u(D))czf76(P+).	(2.46)
Включение (2.46) означает, что все точки, не принадлежащие р-ок-
рестности D, через N итераций попадут в 6-окрестность Р±.
Искомый гомеоморфизм а8 удобнее определить во всей полосе
= {0 х 1, — оо < t < + оо}. При этом его удается выбрать
в виде
. 6-(<+«)+r«-.).y (247)
где : [R [R — гомеоморфное преобразование действительной оси,
обладающее свойством периодичности второго рода
£8(/ +2л) = £«(/) +2л, л = 0, ±1,...,	(2.48)
и такое, что
т = 1.	(2.49)
242
Таким образом, ае полностью определяется некоторым гомеомор-
физмом
ge:[— 1, и-Ч-1, 1]
(см. формулы (2.47) и (2.48)). Отметим имеющую место аналогию со
случаем, когда в задаче (2.1) — (2.3) возмущаются только начальные
и граничные условия: несмотря на то, что при е > 0 задача (2.1) —
(2.3) уже не одномерна (сведения к разностным уравнениям нет), асимп-
тотические при t -> оо свойства решений по-прежнему одномерны.
Из (2.47) и (2.48) следует, что сге обладает следующими свойствами.
1.	Под действием ае характеристики переходят в характеристики:
прямые t ± х — с — в прямые t ± х = В8 (с).
2.	Граничные прямые (х = 0} и {х = 1} инвариантны:
о«(0, 0 = (0Л8(0), <т*(1, 0 = (1, Веа-1)).	(2.50)
3.	Отображение ае (х, i) двухпериодично по t:
def
(х, t + 2) = (ст* (х, t + 2), о? (x, t + 2)) = (ст, (x, t), <y2 (x, t) + 2).
(2.51)
Замечание 2. Последнее свойство не зависит от т. Если от-
казаться от предположения т = 1, равенство (2.51) не изменится.
Этот факт существенно используется при доказательстве асимптотиче-
ской периодичности решений.
Перейдем к описанию алгоритма построения гомеоморфизма отрезка
: (—1, 1]-> [—1, 1]. По условию теоремы начальная функция
ф (0, t£[—1, 1], удовлетворяет условию трансверсальности
|ф(0|>0, ZGST.	(2.52)
Так как <р £ С2 и — замкнутое нуль-мерное нигде не плотное в (—1, 1)
множество, то можно указать vx > 0 такое, что при каждом достаточно
малом ц > 0
Iq’WOvH	(2.53)
Обозначим Zo(t) = q> (t), z8 (t) = u8 (0, t + 2n), t g [— 1, 1], n — 1,2,...,
и рассмотрим последовательность множеств
Теп =-- (г,8,)-1 (U* (D)), n = 0, 1,...	(2.54)
Каждое из этих множеств — объединение конечного числа открытых
непересекающихся интервалов из (—1, 1), причем
То=>Т^ТЧ=>...	(2.55)
Неравенство (2.53) показывает, что функция го (0 — <р (/) монотон-
на при 16 Т8. Как оказывается, аналогичным свойством обладают
и функции г8 (0 соответственно на множествах 7^ и, более того, произ-
водная при увеличении номера п растет со скоростью геометрической
прогрессии:
I г„(01 > vx (1 + JJ-)" , 16 7’1	(2.56)
16*
243
Рассмотрим также последовательность функций
гое,о(П = ф(П.
# ° (П = f(zen (0), /€(—1,1),	(2.57)
п = 1,2, и соответствующие ей множества
Т‘п° = (г®10)—1 (t/ц(£>)), п = 0, 1,...	(2.58)
Эти множества также вложены друг в друга:
То’0Т?’°zd Тъ2'° =>...	(2.59)
Функции Zn° (t) при t С Т®’° монотонны, их производные удовлетворяют
неравенству, аналогичному (2.56). Кроме того, множества и Т®’°
состоят из одинакового числа интервалов
Гп = и «6 ₽*./),	(2.60)
k
n,0=U(aU 0м). л = 0, 1,...
1=1
(kn > 0 — некоторая неубывающая последовательность целых чисел),
й принадлежат T®_i:
7*п и Т%° cz Т®_ь п = 1, 2,...	(2.61)
Следует заметить, что все свойства, указанные выше, а также
те, о которых пойдет речь ниже, верны при соответствующих условиях
малости на параметры е, 6, ц, ... Впредь мы не будем оговаривать это
особо.
Зафиксируем произвольные п > 0 и 1 i kn. Функция г® (/)
при t £ («м, Pnj) и функция ZntQ (0 при t £ (ал;?, 0®;?) монотонны (воз-
растают или убывают одновременно) и пробегают одно и то же множест-
во значений. Поэтому отображение £®;?: (ал;?, 0Л;?) (ал,ь 0лд), опреде-
ляемое по формуле
Е£° (0 = (z®)-1 (г®’° (/)), /€(ам. ₽м),	(2.62)
есть гомеоморфизм^ сохраняющий ориентацию. Следовательно,
сопрягает компоненты множеств 7^'° и 7^. Доопределим Й’° (/) при
t С Тп—х \ Т%° таким образом, чтобы получить гомеоморфизм 7^_i ->
Тп_\. Это, очевидно, можно сделать по-разному. Один из наиболее
простых способов, по-видимому,— при помощи линейных функций.
Выпишем явный вид £®’° (/) на одном из интервалов (aaLi #/-; 0®_i,/,) cz
cz Tn-i- Известно, что этот интервал содержит некоторое число knj,
1	kn, интервалов из Тл 0 и Т®, а именно интервалы
(ап’/> 0я,/)> ••• » (an,/+fen /-4-b	1)»
(«®,/, Pnj), ... , (а«,/4-ЛЛг/—1, Рм+*л,/~0*
244
Тогда формулы для (О следующие:
Й’°(0 =
an,j an—I,/ н е ч I е
е.О „в V	а«—Ь/) г ап—1J,
□в ____ е
Рп,/ "" °Ч/
®п,/4-1 “Рп,/ /л де,О\ । ов
-Vo--------^о- (* “ Рм) + ₽"./»
ап,/+1 — Pn,f
(2.63)
Рп-и — Pn./+fenJ-l
Ре	ов,0
п-1./	Рп,/+*„,/-!
К — ₽п./+Л„(/-1) + Рп,/+Лге>/-1.
Вспомогательный гомеоморфизм £®’° • T®_i -> Tjj-i, обладающий свой-
ством In0 (Т®’°) = Tnt построен. Искомый гомеоморфизм определим
следующим образом:
(0 = lim^ (/), /€[—1,1],
(2.64)
где для (0 имеем рекуррентные формулы
Го(О=Ч /€[—1,И,
1^-1 (0. ^[-1, и\П-ь п = 1, 2, ... При этом 5е обладает свойством maxlg8(/) — /|—>-0, е->0. «€[-1.И	(2.65) (2.66)
Кроме того, как следует из (2.65), £8 (1) = 1.
Наконец, рассмотрим множество^8 = £8 (^), которое для и8 играет
ту же роль, что и 2Г для и0. Свойства ^8 аналогичны свойствам . Дейст-
вительно, ^8 нигде не плотно в [—1, 1] и mes ^8 = 0.
Перейдем к рассмотрению вопроса об асимптотической периодич-
ности ие.
Теорема 2.3. Пусть отображение f g С2 — структурно устойчиво
и выполняется условие трансверсальности (2.13). Существует е0 > 0
такое, что при каждом 0 е < 80 решение иЕ (х, t) задачи (2,1) — (2.3)
сходится при t -> оо в метрике Хаусдорфа к некоторой ^т-периодиче-
ской по t функции рЕ (х, /) с множеством точек многозначности pz =
= ае 07», где о8 и^Г р0 определены формулами <2 АТ) и (2.20) соответст-
венно.
Вне множества pZ функция р8 однозначна и может быть найдена
как неподвижная точка оператора №, действующего в классе функций
Р8 = { р€С°(П \ST8; / х /):|р—р°оо8|<б}	(2.67)
245
по правилу Д’ [р] (х, t) — решение краевой задачи (2.1) — (2.2) с на*
чальными условиями и (х, 0) = р (х, 2/п).
Лемма. При достаточно малых в 0
/<®:Р«->Р®,
I № [р'1 - № [Р”} | < Я | р' - Р” |,	(2.68)
где q < 1 — некоторое число.
Таким образом, из леммы вытекает, что оператор № сжимающий.
В силу полноты пространства Р® в нем существует единственная не-
подвижная точка р8, которая и является искомым «предельным» реше-
нием. Для того чтобы имела место сходимость в метрике Хаусдорфа,
р® необходимо доопределить на множестве рЪ. Это можно сделать
единственным образом и мы на этом вопросе не останавливаемся. Отме-
тим лишь, что если р® при (х, t) £ П \ ^ГрВ имеет период 2т по /, то
при (х, /) £ ^*ре, вообще говоря, период равен 4 т (эта же ситуация имеет
место, когда е = 0). Такое несовпадение периодов на множествах
П \ и возможно лишь, когда у отображения f есть циклы пе-
риодов, не равных 21’, i = 0, 1, ...
Следствие. Пусть ие и ц° — решения задачи (2.1)—(2.3)
се>0и8 = 0 соответственно, ръ и р° — предельные функции, к ко-
торым эти решения сходятся при /-> оо. Тогда
a)	s (и8, и0) -> 0, е -> 0;
б)	s (р8, р°) -> 0, е -> 0 (s (•,•) — метрика Скорохода).
Основной вывод, который необходимо сделать в заключение, сле-
дующий: решения релаксационного 07 конечно) и турбулентного
(57 бесконечно) типов при возмущениях сохраняются. Следовательно,
наличие такого рода решений — типичное свойство гиперболических
систем с нелинейными граничными условиями.
ГЛАВА 3
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМ
С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Постановка задачи, ее корректность.
Редукция к разностному уравнению
В двух предыдущих главах развит метод исследования краевых
задач для гиперболических систем с одной пространственной перемен-
ной, основанный на редукции исходной задачи к разностному, диффе-
ренциально-разностному или другому уравнению (с одной независимой
переменной). Этот метод оказывается применимым и к многомерным
гиперболическим системам, изучение которых особенно важно с при-
кладной точки зрения. Ниже рассматривается случай двух пространст-
венных переменных [26]. Для более высоких размерностей отличий в
идейном плдне не возникает.
246
Задача, о которой будет идти речь, носит чисто модельный харак-
тер, Вместе с тем она допускает определенную аналогию с реальными
гидродинамическими системами, в связи с чем мы будем пользоваться
соответствующей терминологией.
Итак, рассматривается линейная гиперболическая система с по-
стоянными коэффициентами
'и	ди , ди	/о «у
Л ~ dx + а!2	.	(3.1)
+ a22“J- ’ — °°<*< + ОО,	/ >0,
с нелинейными граничными условиями
и 1^=0 = V |у=о, V 1^1 = f (и 1^=1)	(3.2)
и с начальными условиями
w|^=o =uQ(x, у), у|/=0 = и0(х, у), — оо <х< + оо,	1. (3.3)
Краевые условия предполагаются согласованными, т. е.
и0 (х, 0) = vQ (х, 0), и0 (х, 1) = f (uQ (х, 1)).
Задачу (3.1) — (3.3) можно рассматривать как «плоское течение
невязкой жидкости в канале бесконечной длины» с границей, воздейст-
вующей на течение нелинейно. Эта на первый взгляд простая модель
реализует почти все характерные свойства турбулентных течений та-
кие, как вихреобразование, перемежаемость, формирование сложных
когерентных структур, в том числе турбулентных пятен и др, А именно
эти явления вызывают наибольшие затруднения при математическом
описании турбулентности [47, 84, 90, 210, 211].
Как и в случае одной пространственной переменной, задача (3.1) —
(3.3) допускает сведение к разностному уравнению (однако, уже с дву-
мерным аргументом), для которого можно провести достаточно полный
качественный анализ. Это позволяет не только проследить свойства ре-
шения исходной краевой задачи на любом конечном интервале време-
ни, но и указать предельное поведение решений при t -> оо. При этом
естественным образом выявляются математические механизмы, лежа-
щие в основе зарождения и развития турбулентных «течений», вплоть
до перехода при t -> оо к случайному поведению.
При больших временах поведение решения определяется главным
образом граничными условиями и по существу не зависит от начальных.
Среди обнаруженных свойств решений одно из наиболее интересных со-
стоит в «забывании» начальных данных и установлении автомодельной
структуры «потока», характеризующейся перемежаемостью участков
ламинарного течения и мелкомасштабной турбулентности. Другое важ-
ное свойство связано с возможностью формирования в «потоке» турбу-
лентных пятен с наиболее развитой турбулентностью, где предельное
векторное поле является случайной величиной.
247
Система (3.1) имеет два семейства характеристик — прямых, за-
даваемых уравнениями
(х + ап/ = alt	(х + a21t = а2,
\у + a12t = 01,	Ь/ + а22*=02»	ао 0,€К»» = 1. 2,
на которых и (х, у, t) и, соответственно, v (х, у, t) остаются постоянны-
ми, при этом через каждую точку (х, у, t) проходит по одной прямой из
каждого семейства. Это позволяет применять для решения задачи
(3.1) — (3.3) метод характеристик. Разрешимость поставленной задачи
определяется тем, каковы направления характеристик каждого из
семейств.
Теорема 3.1. Краеваязадача (3.1) — (3.3)корректна, еслиитолько
если
flu 0, а22	0,	(3.4)
а когда функция f монотонна, если
012 * О22	0.	(3.4 )
Доказательство. Пусть (х', у') — некоторая точка из R X
X [О, 1]. Если ai2 > 0, 022 > 0. то всегда найдется у’ £ (О, 1] такое,
что 0 < — у’ 1, и в силу постоянства и (х, у, t), v (х, у, /) вдоль
^12
соответствующих характеристик
«О (х', у’) = и(х'-Ji- у’, 0, ——	,
и0 (х',---у>	= v (х'---^ii- у', 0, ——	.
° \	“12	“12	* /	\	“12	“12 У /
Тогда согласно краевым условиям
Ио(х, j/) = v0(x- ^-^ у, у)
\	“12	“12	/
для х £ (— оо, + оо), у £ 0, min fl, —1 . Аналогично приа12 < О,
L	I а12 ) J
а22 < 0 начальные функции должны удовлетворять соотношению
1)=/(«о(Х, </))
\	“12	“12	/
для х С (— оо, + оо), у g max JO, 1 — —1 . Следовательно, толь-
[ I	а22 )	]
ко одна из начальных функций uQ (х, у), vQ (х, у) может выбираться
произвольно.
Таким образом, условие а12 • а22 < 0 необходимо для существова-
ния решения задачи (3.1) — (3.3) при произвольных начальных функ-
циях.
Предположим, что а22 <Z 0, а12 > 0. Тогда
ц(х, О, 0 =u(x+	1, t----—)	—--------—) .
V	'	\	^12	«12 /	\ «12	а12	а22 /
248
С другой стороны, определить значение и (х, у, /) в точке (х 4-
1, t---—'j можно единственным способом, а именно из соотношения
в1» /
f(u(x+-^-, l,t---------L_)) = v(x+-2п-, 1, t — —М =
= «о (х + a31t + а^-а*., a2it + aii~a™-).
Следовательно, в этом случае для существования и единственности ре-
шения задачи (3.1) — (3.3) необходима однозначная обратимость функ-
ции f.
Таким образом, необходимость условия (3.4) для корректности
краевой задачи (3.1) — (3.3) показана. Достаточность условия (3.4)
непосредственно следует из способа решения задачи (3.1) — (3.3) ме-
тодом характеристик.
Теорема 3.2. При условии (3.4) решение краевой задачи (3.1) — (3.3)
можно представить в виде
и(х, у, t) = w(x + a11t — b(y + a12t), (Д—с)(у + a^)),	(3.5)
о (x, у, 0 = w (x + a21t, у + a220,
где
b=-?li~aii , c = i__222_,
а12	ai2
w (г, %) — решение разностного уравнения (в частных разностях)
w(z + Ь, т 4- с) = f (w(z, т)), — оо <z< -|- оо, 1 —с^т< + оо,
(3.6)
с начальным условием
	4+1-Л1-Л1	c<T<0,
w (z, т) = w0 (z, t) =	— oo <; z < 4- oo,	(3-7)
v0(z, т), 0^т<1, —оо <z< -|- оо.
Доказательство. Общее решение системы (3.1) в классе
С1, как известно, записывается в виде бегущих волн
и (х, у, 0 = ф (х + ant, у + а120,
и(х, у, 0=Ф(х + а21Л y + a22t),
где ф и ф — произвольные (^-функции. Используя граничные условия
(3.2), находим
Ф(х4-ап/, а120 = ф (х 4- a21t, а22/),
ф (х 4- a21t, 1 4- a22t) = / (ф (х 4- altt, 1 4- a12t)),
— оо<х<4-°0> 0^Z<4-°°-
(3.9)
(3.10)
24»
Исключая из этих соотношений <р, получаем для функции ф уравнение
(3.6). Действительно, из (3.8) определяем
Ф(т, 0) = ф(т —60, (1—с)9)	(3.11)
и, подставляя в (3.10), имеем
Ф (* + а21/, 1 + а220 = f (ф (х + a21t — b, a22t + 1 — с)). (3.12)
Полагая z = х + a21t, т = а221 +1 — с, окончательно заключаем, что
Ф (z, т) удовлетворяет уравнению
Ф (z + Ь, т + с) = f (ф (z, ?)).
Начальные условия (3.3) определяют функцию ф (г, т) на множестве
(— оо, 4- оо) х [1 — с, 1):
ф(г, т) = ф(г + -г±7-т, -г±-т)=Ыо(2 + -гА?-т,
при —oo<z<4-oo, I—с^т<0,	(3.13)
ф(z, т) = у0 (z, т) при — оо <z < + оо, 0 т < 1.
Тогда из соотношений (3.8), (3.11) — (3.13) следует, что решение
л (х, У, 0» v (х, у, t) краевой задачи (3.1) — (3.3) находится по форму-
лам (3.5).
§ 2. Решение краевой задачи
в случае линейных граничных условий
Когда граничные условия линейны, т. е. функция f в условиях
(3.2) имеет вид
f (w) = kw + v, X, v (= IR,
решение задачи может быть получено в явном виде. Действительно,
согласно теореме 3.2 оно выражается по формулам (3.5) через решение
начальной задачи для разностного уравнения:
w (z + Ь, т + с) = Хоу (г, т) + v,	(3.14)
w (z, т) = w0(z, т), —oo<z< + oo, 1—с^т<1, (3.15)
где функция w0 (z, т) находится из (3.7). Представление общего реше-
ния уравнения (3.14) известно и имеет вид
w(z, т) = IXIс со------Г’4")-----iTry , если Х#= 1. (3.16)
Если же А, = 1, то
.	\ fe + c (z +т) ПРИ Ь +с °’
/	\	(	2	Т	т \ I	'
W (Z, т) = со ----- , — I + |
'	' ь_с (г + т) при b + с = 0,
где co (а, 0) — произвольная функция своих аргументов такая, что
со (о, 0 — 1) = sign v • со (а, 0).	(3.17)
:250
Чтобы найти решение задачи (3.14) — (3.15), остается выбрать функ-
цию со (ц, 0) так, чтобы выполнялось условие (3.1-5).
Остановимся более подробно на случае, когда X #= 1 и v = 0 (а
случай % = 1 оставим читателю). Из начальных условий (3.15) следует,
что
со (а,0) = |% |-9ш0 (Ь (ст + 0), с0) при — оо <; а <; + оо,
----1^0<—.
с---с
Продолжая эту функцию с помощью формулы (3.17) на все 0	—,
находим	при ------1> 00)
со (а, 0) = (sign v)*+fe+ с 1|Х|* с
хда0(*(о+т------1 + {в — -у-})» 1—с + {9—
где [ • ] обозначает целую, а {,} — дробную часть действительного числа.
Решение задачи (3.14) — (3.15) записывается в виде
W (?, т) = А?"*" [ 6	— Ь — b g 1 j , 1 — С + С |-Т У —
-с + с{4-}), если {-4}>4’
w„ (z - b [4-], с {4-}) , если {4-} < 4- •
Откуда ввиду (3.7) находим
еСЛИ Ш<-Г-
Переходя по формуле (3.5) к решению исходной краевой задачи, полу-
чаем
1+ |“— (1/+Л1«о|	fl с	I ।
X 1 JMr (х, у, 0. если — (у + а1гМ>4 •
и(Х,у, Л=1 Г 1—с	1
XL J«2 (х, у, 0» если J -4- (у + а1г0| < —,
(3.19)
251
1+ [^1
1	1	J»1 (х, у, t),
V (Х, у, f) =
Г1/4-0^ 1
Л* ‘ Jv2 (*. У> 0.
где
«1 (х, у, t) = ы0 I х + altt —

М*. У, О = (* + »ii< — bfg + a^ — б[-Ц-^-(» +
(b	b
X + a2lt + 7TT7 (У + fl220 — ТГТ “
(3.20)
V2 (X, y, f) = v0 (x + atlt - b [	, С {Ц^-}) .
Детальный анализ формулы (3.19), (3.20) мы опускаем, поскольку
это будет сделано ниже в общем случае. Охарактеризуем асимптоти-
ческое поведение решения и (х, у, /), v (х, у, t) при t -> оо в зависимости
от X и начальных функций и0 (х, у), и0 (х, у).
Если | X | < 1, то и (х, у, /)-> 0 при t -> оо. При этом и (х, у, /)
совершает затухающие колебания около стационарного решения и = О,
когда либо —1 < X <	0, либо	0 < X < 1 и и0 (х, у)	меняет знак.
При | X | > 1 функция	и (х,	у,	t) неограничена при	t -> оо, если
только и0 =£ 0. При этом lim sup и (х, у9 t) = + оо, lim inf и (х, у, t)=
= — оо, когда либо X	< —	1,	либо X > 1 и uQ (х, у)	знакоперемен-
на; в противном случае	и (х,	у,	t) имеет тот же знак,	что и и0 (х, у).
Асимптотическое поведение компоненты v (х, у, t) аналогично.
§ 3. Случай нелинейных граничных условий.
Исключение «среднего потока»
Для нелинейной краевой задачи (3.1) — (3.3) уже нельзя явно вы-
писать решение, выраженное через элементарные функции. Однако его
все же можно представить в виде, аналогичном (3.19), (3.20).
Краевая задача (3.1) — (3.3) эквивалентна (согласно теореме 3.2)
начальной задаче (3.6) — (3.7), решение которой, итерируя уравнение
(3.6), запишем в форме
Ш (Z, т) = fn (w0 (z — nb,x — ПС)),
— oo<z<4-oo, 1 + (и — 1)с^т<1+нс, n = 0, 1, ... (3.21)
252
Поскольку л = 14- |* 11, то (3.21) принимает вид
(3.22)
(заметим, что в случае f (w) = Kw формула (3.22) переходит в получен-
ную ранее формулу (3.18)). Из (3.22), используя формулы перехода
(3.5), находим аналогичное (3.19), (3.20) представление решения
и (х, у, f), v (х, у, 0 исходной краевой задачи (3.1) — (3.3)
и(х, y,t) =
1+ ——	I	и  с	)	1
f * 1 J («1 (х, у, /)), если {у 4- а14о) > -у- ,
J (УЧ-ОцО	и __с	1
Г 1 (и2(х, у, t)), если — (у 4- а1г/)| < v .
(3.23)
v(x,y, f) =
1+ Гк±2«£]
f 1 с Ч»Ах,У,П,
f У+а^ 1
г с (Мх. у,М,
( у + a9t>t )	1
если
(3.24)
если
Формулы (3.23), (3.24) позволяют строить решение задачи (3.1) —
(3.3) для любого сколь угодно большого t 0 32. Рассмотрим, напри-
мер, вторую компоненту решения v (х, у, /). Положим
х‘ = хо 4-	(Уо + a22t) —	[ Уа + а^ 1,
№=A(-1 4-(M^l).
33 Отметим, что при d= д12|= ® эти формулы принимают особенно про-
I **21 **22 ।
стой вид для моментов времени t = /й, где h — -°12	= -1	fl21 , а именно:
fl12 fl22 °12 °21
и (х, yt nh) = f1 («о (х, у)}, V (х, у, nh) = f1 (v0 (х, у)). Если же d =/= 0, то такое
сведение к итерационным последовательностям от начальных функций невозможно.
253
xt = x0 + atll — b [ a° + a°?-j,
y; = c{ »•+»'}.
Согласно формуле (3.24) величина v (x0, yn, t) выражается через значе-
ния начальной функции и0 (х, у) в точке (xt, yi), когда (у0 Ч-
I G
1 1
+ «22О/ и через значение начальной функции v0 (х, у) в точке
(х/, y"t), когда {-у- (у0 + а22/)| < 4"-
Определим в плоскости (х, у) кривую ЦХ(М, которую образуют
точки (х/, yt), (х/, y"t) при изменении t от 0 до Ч~оо. Кривая	за-
дается в параметрической форме двумя системами равенств:	t
х = х0 + а21/+ (f/o +	~	[“7" (f/о + аггО] »
У = Т=7 (~ 1 + [Уо+са8а<}) , когда {4- (Уо + аг^)} > 4" ’
(3.25)
х = х0 + а21/ — b [4- (у0 + а22/)] ,
(1	I (1	11	<3-26>
У = с (у0 + а22/)|, когда (у„ + о220| < —,
из которых, исключая /, определим уравнение кривой Ь{Х(М в явном
виде.
Рассмотрим, например, равенства (3.26). Из второго из этих ра-
венств находим, что
4-=-т+л’ /==4-(у—^о+сп)>
С	С	«22
п = 0,±1, ...,
Затем, подставляя в первое, получим
(x-Xo)-^L(y-yo)=^l-cn-b\^ +п].	(3.27)
“22	u22	L °	J
Так как 0	< 1, то
с
(x_Xo)-^L(y-ya) = n(^-c-b) = -^-d.	(3.38)
“22	\ U22	•	“12ы22
Если d = 0, то -21^- = -^21- =	, и из (3.28) заключаем, что равенст-
ва (3.26) задают в плоскости (х, у) отрезок прямой
AzZo----=	O^r/<1.
Ь	с ’
254
Если же d #= 0, то уравнение (3.27) преобразуется к виду
-i-(x-xo+-?1-n)--i-(t/-i/o + n)=O, л = 0, ±1............(3.29)
0<у<1,
и равенства (3.26) определяют счетное множество L"iXllM прямолиней-
ных отрезков (3.29).
Аналогично находим, что (3.25) при d = О определяет отрезок
прямой
----------~.-9- =0, 0<^1,
а при d =/= 0 — счетное множество L\X,M прямолинейных отрезков
J-(x-xe + -Jb(j/0 + /n))- -±-(у + т) = 0,	(3.30)
т = 0, ±1, .... 0<у 1.
Таким образом, в случае d = 0 искомая кривая есть отрезок прямой
— ~-уУо-= 0,	(3.31)
и в случае d =# 0 — замкнутая ломаная линия, образованная отрезка-
ми L{XtM и L\XllM (рис. 87) 33.
Из формул (3.24) следует, что стечением времени начальная «вол-
на»^ (х, у) движется вдоль кривой L(X,y) со скоростью ^Z/1=(a11, а12) на
участках L{x,y) и со скоростью Т/2 = (а^, а22) на участках L(Xty). В част-
ности, при d = 0 начальная «волна» о0(х, у) «колеблется» внутри об-
ласти [R+ X [0, 1] вдоль направления, определяемого вектором (&, с).
При этом в результате «отражения» от границ области v0 (х, у) меняется
в соответствии с граничными условиями. Определим две последова-
тельности
Т2п{у} =	, 7’2п+1 =	( п = о, 1, 2....
“22	“22
33 Отметим следующее свойство кривой ^(Хо,Уо)* Проекции характеристик си-
стемы (3.1) на плоскость (х, у) имеют вид
X — а, у — р, 0 н X —«3 у —0
а11	а12	а21	а22
откуда следует, что L представляет собой не что иное, как объединение проек-
ций на полосу IR*** X [0, 1] плоскости (х, у) счетного множества характеристик
Х+ ani = х0 —	(у0— 0.	+ a.ltt = х„ +	1,
U22	<	“12
У + Д12^ =	' У “Ь а22^ = Уо “F h / = 0, dz 1 , . . .
при d = 0 все эти проекции совпадают).
255
s 1
а21>0 , а„>0
Рис. 88.
o21>0.au<0.d^0
характеризующиеся тем, что
| + fl22^2n । _ Q	{ У 4~ Д22^2пЧ-1 j _ 1
При t g [О, То (#)] начальный профиль распространяется без
изменений в направлении вектора («2i, «22). В момент t=TQ (у)
«волна» и0 (х, у) «отражается» от границы у = 0 и преобразу-
ется в uQ (х, у). При t С [Тр (у), 7\ (г/)] профиль uQ (х, у) распро-
страняется, не меняя формы, в направлении вектора («и, «12). Когда
/ = 7\ (г/), происходит «отражение» от границы у = 1, при котором
«0 (*, У) преобразуется в f (v0 (х, у)), и т. д.
Как отмечалось выше, формулы (3.24) существенно упрощаются,
когда определитель d системы (3.1) равен нулю. При этом согласно
(3.31) в «потоке» не происходит поступательного движения (вдоль оси
х), что означает отсутствие «среднего потока». Если в системе (3.1)
d ф 0, то «средний поток» исключается заменой независимой перемен-
ной х, учитывающей поправку по времени. В силу условий коррект-
ности (3.4) «i2 — «22 #= 0. Замена переменных
х = х + у/,
где у =------------,
Г ^12 — ^22
0 (X, у, t) = и (X + у/, у, t\
V(xt У, t) = v(x + у/, у, /),
d приводит систему (3.1) к виду
ди ,	, ч ди , ди
dv ,	, ч dv	dv
~дГ — (аг1 + у) —— + а22 -д- ,
ОХ	9
при этом не меняются. Определитель этой системы
равен нулю в силу выбора константы у и, следова-
(3.32)
(3.1')
краевые условия
d =
тельно, «средний поток» отсутствует.
«11 + У «12
Я21 + V 022
256
§ 4. Асимптотическое поведение решения при t —► оо
При достаточно общих,.предположениях редукция (3.5) краевой за-
дачи (3.1) — (3.3) к разностному уравнению (3.6), (3.7) позволяет пол-
ностью охарактеризовать асимптотическое поведение решения и (х, у,
f), v (х, у, t), когда t -> +оо.
Обозначим gr%, | = {(х, у) С X X Y : х £ Х1( у С £ W) график
функции g : X -> Y на множестве = X. Напоглним, что функция
g : Z х R+ -> [R асимптотически стремится при /->-)- оо к функции
g* : Z X R+ -> 2IR, если
Д (grzx[r.^ S, grzxir.oo] £*)	0 при Т-> со,
где Л (Д, В) — расстояние Хаусдорфа между множествами Д, В.
Ниже по отображению /, задаваемому граничными условиями (3.3),
строится функция, к которой асимптотически стремится при +оо
решение и (х, уУ t)y v (х, у, t) краевой задачи (3.1) — (3.3). Относи-
тельно f предполагается, что для некоторого ограниченного интервала
1 cz [R отображение f принадлежит С (/, /), удовлетворяет условию
D#(f) = 0 и область влияния Qf (х) каждой точки х £ 1 при ото-
бражении f есть цикл или цикл интервалов, период которого делит
некоторое N = Af (/) < оо. В этом случае отображение f индуцирует
отображение /А : I 27, определяемое формулой
fA(x) = Q^(x).	(3.33)
Функция /д играет центральную роль при описании асимптотических
свойств решения задачи (3.1) — (3.3).
Теорема 3.3. Решение и (х, у, t), v (х, у, t) краевой задачи (3.1) —
(3.3) асимптотически стремится при t -> +оо к функциям
..л J ~~ Hmod
‘ J (u2(x,y,0),
если
f 1 — c (	. J 1
(У	-
1+ I 4-(mod M
f*°f te J (fxU.y.O).
если j-Г (у д22/)| > J- ,
= { П 1
I a —	(mod N)
J (^(x,y,0),
если {-Г {у 4- a22/)} < -Г .
-	(3.34)
17-3793
257
Это утверждение непосредственно следует из формул (3.5) и сле-
дующей леммы.
Лемма. Решение w (z, т) разностного уравнения
W (Z + 6, Т + с) = f (w (z, т))
с начальным условием
w(z, т) = ^о(г> т)’ —oo<Z<H-oo, 1—
асимптотически стремится к функции
w*(z, т) = /до f L J	— Ь—I —1 — с +
+ с(1?1}))’	(3.35)
N-периодической по второму аргументу.
Доказательство. Выполним замену
w (? т) = W (z — b — , —) , z — Ь— = а, — = 0.
V » '	\ с с j	с	с
Тогда W (а,0) (= w (о + 60, с0)) удовлетворяет разностному уравне-
нию
W (о, 0 + 1) = f (W (о, 0))	(3.36)
с начальным условием
W (о, 0) = wQ (о + 60, с0) при -1^0^-^-.
Рассматривая а как параметр, а уравнение (3.36) как обыкновенное
разностное уравнение, заключаем, что W (о, 0) асимптотически стре-
мится при 0 -> оо к М-периодической по 0 функции
W* (ст, 6) = fд о f‘<mod M (а)0 (а 4- b (0 — t), с (9 — ())),
0€[-г+1'-1’4+О* <==0,1> •••
Поскольку i = 1 + [в-, то
Й7*(ст, 0) =/до/ I ‘-I ^о(о + ^(0- 1 -[О--!]).
1-c + C{0-J-))), 0>± -L	(3.37)
Переходя к старым переменным, из (3.37) получаем (3 35).
Из формул (3.34) вытекают следующие свойства предельной функ-
ции V* (х, у, t):
258
1)	v* (х, у, t) как функция, действующая из [R X [0, 11 X [R+ в 27,
полунепрерывная сверху и ее значения совпадают на характеристиках
х + a2lt = а, ( х a21t = а 4- Nb,
’ , й и Т \ « л/	(3-38)
у4-а22/-=0	{ у+ a22t = $ + Мс,
каковы бы ни были значения параметров а, ₽ £ К;
2)	функция и* (%, у, t) неоднозначна на множестве точек, при-
надлежащих характеристикам
х я21/ = а,
У 4“ ^22^ Р
(3.39)
таким, что и0 (а, ₽)££>(/), где
“о (а +	1 + Р — ["!”])
V» (а, Р) = {
v0(a-4-r]> СШ)’
D (j) — разделитель отображения f. При этом значение и* (%, у, /)
на характеристике (3.39) есть замкнутый интервал Q (vQ (а, Р)), где
Q (ш) — область влияния точки w при отображении fN ;
3)	на множестве К X [0,1] X [R+ \ $7 функция и* (х, у, t) непре-
рывна и принимает значения из множества притягивающих неподвиж-
ных точек отображения f.
Предельная функция и* (х, у, t) обладает аналогичными свойствами.
Анализ предельных функций и* (х, у, t) и и* (%, у, t) позволяет выяс-
нить, как зависят асимптотические свойства решения и (х, у, Z),
v (х, у, /) от отображения /:/->/ и от начальных условий (х, у),
(*> у). Мы не будем этого делать в общем случае, а ограничимся
рассмотрением простейшего примера, чтобы проиллюстрировать неко-
торые типичные ситуации, которые могут встретиться при исследова-
нии краевых задач вида (3.1) — (3.3).
(ЗЛО)
Пример. Рассмотрим задачу
-------------------- ии_____ии — оо < х <
дх ду ' 0СУС1.
do dv , до
^Т-^г + 'дГ’	’
«1^0 = t'lZ/=0’ о 1^=1 = f “1/=0 = “о («- У)’ о|/=о = с’о («. уУ причем
о. (*• У) = — 2х, и0 (х, у) — 2у—\ для (х, у) — {ха 4- (у — 0,5)2 = а*/4, а <
< 1}, которая сводится к разностному уравнению
(г + 2, т 4-2) = / (z, т)), — oo<z<4'°°> —1 Ст < 4-00,	(3.41)
1Т*
Ж
с начальным условием
у0(г, т), — oo<z< -и
+ оо, О т I,

и0 (г — 2т, — т),
— оо< z < + оо,
- 1 <т <0.	(3.42)
Решение (3.40) выражается через ре-
шение (3.41), (3.42) по формулам
и (х, у, 0 = w (х — t — 2(у — /),
-(//-/)),	(3.43)
и (х, у, /) = w (х 4- /, у -ь 0. (3.44)
Этот пример удобен тем, что d = 0 (отсутствует «средний поток») и для сдвига
по времени, равного двум, находим
и (X, у, 2п) = f («о (х, у)), V (х, у, 2п) = fn (v0 (х, у)),	(3.45)
г. е. формулы для решения и (х, у, /), v (х, г/, /) в моменты времени t = 2/г, п —
= 0, !,..., существенно упрощаются: нахождение решения сводится к последова-
тельным итерациям начальных функций (х, у), и0 (х, у).
Решение и (х, у, /), v (х, //, /) в каждый фиксированный момент времени t = t()
задает в области О) = {— оо < х < + оо, 0 у 1} векторное поле (и — про-
екция векторного поля на ось х, v — на ось у), линии тока которого (т. е. траек-
тории системы х = и (х,	z/,), у — v (х, у), характеризуют «состояние» исход-
ной системы в частных производных в момент времени t = /0.
Согласно начальным условиям в момент времени t = 0 в области имеется
один «вихрь»: функции и() (х, у t), v0 (х, у) определяют линии тока, образующие
окружности, причем модуль векторного поля вдоль каждой окружности равен ее
удвоенному радиусу. Таким специальным образом выбранные начальные условия
позволяют несколько упростить исследование, поскольку компонента и (х, у, /)
принимает одно и то же значение на каждой прямой у = const, а компонента
у (х,у, t) — на каждой прямой х = const (рис. 88).
Проследим, как меняется векторное поле в области с течением времени
(рассмотрим моменты t = 0, 2, 4, ..., 2п, ...), а также исследуем в зависимости
от свойств отображения f предельную ситуацию, возникающую при п ->со. Инте-
рес представляет случай, когда отображение f является нелинейным. Рассмотрим
случай квадратичного f:
f (ш) = Х(1 — и/2) — 1, Х>0, ^/ = [—1,1].
3
1.	При 0 < X — отображение f имеет одну притягивающую неподвижную
точку ic’o = 1---Если 0 < X 1, то f (w)	0 для любого w £ I (рис. 89). По-
этому в силу (3.45) и (х, у, 2) < 0, v (х, у, 2) < 0 при (х, у) С и, таким образом,
начальный «вихрь» разрушается (рис. 90, а). Для любого w G [—а, «I (ш)
Следовательно, и (х, у, 2п) -> &'о и v (х, у, 2п) -> w0 при п ->оо. Это означает, что
при t -> оо линии тока образуют плоско-параллельный «поток» со «скоростью»
Йо, ^о) (рис. 90, б).
3
При 1 < X 5^ -£•- стабилизация «потока» происходит более сложным образом.
Это связано с тем, что при X 3> 1 функция f (w) уже не является знакоотрицатель-
ной и {f~n (0)}л=1>2,...\ {0} #= 0 в отличие от предыдущего случая. Для 1 <
3
<Х<~ множество (Г~п (0)}п==ц2,... счетно, причем
/-> (0) = ± W1F W1 > О, f-n (0) = Г1 (-	= ± wn, > 0,  п = 2, 3, . . .
260
Последовательности ± wn сходятся к ± 1 соответственно и fn (± wn) — 0, п —
= 1,2, ... (рис. 91). Если а > /2 |	(0) | для некоторого £ > 1, то каждой паре
—wn}, п = 1, k, отвечают в области в точности четыре точки {х?, у^},
hj= 1, 2, л = 1, /г, такие, что
«о (*?> р") = (- 1/+1 и>п, v0 ($, у'‘) = (- 1)/+Ч.
и, следовательно, векторное поле в этих точках обращается в нуль при t = 2л,
1<л < k. Таким образом, при t = 2 начальный «вихрь» разрушается, вокруг точек
(*1> у\^ (х2> У1) образуются два «вихря» меньшего масштаба, а точки (х}, г/}), (x2f
у\) становятся седловыми (рис. 92, а). С увеличением t — 2л, л = 1, k, масштабы
«вихрей» уменьшаются (в |/' (—1) | = 2Х раз с увеличением л на 1), центры «вих-
рей» и седловые точки смещаются вдоль линий у = —х+1/2, У = x~Vv/2 соответственно,
удаляясь от начала координат. Наконец, при t = 2 (k + В векторное поле в об-
ласти становится направленным в одну сторону и с дальнейшим ростом t фор-
мируется плоско-параллельный «поток» со скоростью Т (^о> ^о) (Рис« 92, б).
2.	При < А, < -Uz_L£_ точка ау0 становится отталкивающей, а у отображения
t	„	( I ± /4А2 —4А — 3 I
I появляется притягивающий цикл периода 2 U7O= W 9 =--------;—2---------L 2
Интервал [—а, а] разбивается прообразами точки ш0 на конечное число чередую-
щихся открытых множеств	таких, что [2т (х) С /? и f2n (х) -> wif2 для
х С /?, * = L 2, 0 т М (рис. 93) Ч
3	1 -I- 1^5
Если — < Л <	, то wl 2 >0, 1 = 1,2, а множество {f~n (0)}, как и
ранее, состоит из двух последовательностей ып и — wn, п= 2,.. Поэтому, если
а < /2 | f~l (0) |, то и (х, у, 2) > 0, v (х, у, 2) > 0 для (х, У) G и, следовательно,
«начальный вихрь» разрушается. Область разбивается на открытые прямо-
угольники /) X /р f, j = 1, 2, fc, Z = 0, Л4, М < 1, в которых векторное поле об-
ладает свойствами
w(x, у, 4л) > 0 при n>A?, v(x, у, 4п) > 0 при n>Z,
и (х, у, 4п) -> wi 9 и о(х, у, 4n) w.o, it i == 1, 2.
M->oo ’	п^.оо
34 I™ состоит из двух симметричных интервалов, при т > i — 2, i =» 1,2,
261
Рис. 91.	Рис. 92.
Рис. 93.
Следовательно, при t -> оо линии тока представляют
собой ломаные «змеевидные» кривые; «поток» периоди-
чески расширяется (с уменьшением скорости) и сжи-
мается (с увеличением скорости ) (рис. 94) зь, при этом
на участках, где происходило расширение «потока» при
t = 4п, происходит сжатие при t = 4п+ 2, и наоборот,
Если же а >]^2 | Г”2Л (0) | при некотором & > 1,
то процесс стабилизации «потока», как и в предыду-
щем случае, сопровождается при t 2/г образованием
пар когерентных «вихрей» убывающих масштабов.
1 | 1^5	1 4“
Когда---С —9—»т0 ^’1,2	°» ш2,2 >
а множество {f~n (0)}п=1,2,... имеет уже не конечное,
а счетное число точек сгущения ±1 и f—п (ш0), п = 0, 1,
2, ... (рис. 96). В результате этого при	(случай a <zV^2wq не пред-
ставляет интереса, так как тогда с /J X 7®) для любого п = 0, 1, ... в каждом
из прямоугольников 7* X 7{, 0 fe, I min {Л4, п— 1}, найдутся (по аналогии
сп. 1) четыре точки, в которых векторное поле равно нулю при t= 4п. Таким
образом, при 7->оо основной поток расчленяется на ячейки X 7*, г, /= 1, 2,
Рис. 97.
k, I = 0, Л1; при t = 4п, п = /И, Л4 + 1, ..., каждая из ячеек 7* X содержит
пару «вихрей» (рис. 97, а); при t = 4п + 2, n = М, М + 1, ..., аналогичная кар-
тина наблюдается в ячейках 7* X Il2. С ростом п центры «вихрей» смещаются к грани-
це ячеек, а масштабы бесконечно убывают (в |/' (— 1) |Л | /' (о>0) | = 2 (2Z)* (X— 1)
раз вдоль оси х и в |/' (— 1)1* I Г (^о) I = 2 (2^)Z	!) Раз вдоль оси у при уве-
личении п на 1). Такие ячейки можно рассматривать как когерентные структуры
36 Если рассматриваемую параболу сместить гак, чтобы = 0 (рис, 95, а),
то нетрудно видеть, что начальный «вихрь» уже не будет разрушаться: для t =
= 2п, п— 1, 2, «вихрь» из «круглого» деформируется в «квадратный». Более
того, даже если бы при t = 0 векторное поле в области было направлено в одну
сторону, с течением времени все равно сформировался бы «квадратный вихрь»
рис. 95, б, в).
263
3. При % -- 1,914 ... отображение f имеет при-
тягивающий цикл №3 —	1^2,3» ^з.з! периода 3
(других притягивающих множеств нет) и отталкива-
ющие циклы сколь угодно больших периодов; при
этом множество {f~n (Per / \^з)}п=о,1,... = D (f)
гомеоморфно множеству Кантора (mes D (f) ~ 0)
и его точки являются предельными для множест-
ва {f~~n (0)}п=0л . Отличие от случая, когда у f
есть притягивающий цикл периода 2, состоит в том,
что интервал [—а, а] разбивается точками мно-
жества D (f) на счетное множество открытых ин-
тервалов, каждый из которых притягивается при
отображении /3 к какой-либо одной точке цикла
(рис. 98). Соответственно область разбивается
на счетное множество прямоугольников, в каждом из которых векторное поле обла-
дает свойством: при п -> оо вектор (w, (х, у, 6я), и (х, у, 6п)) и стремится к одному
из векторов (о^3, и^з), Л /= 1, 2, 3.
Стабилизация потока сопровождается в окрестности границ прямоугольников
каскадным процессом образования и дробления когерентных вихрей вплоть до бес-
конечно малых размеров (рис. 99, а). А именно: при t = 6n, п = 1, 2, ..., в «потоке»
формируется автомодельная структура, в которой перемежаются участки ламинар-
Рис. 99.
264
ного «течения» и мелкомасштабной турбулентности; с ростом t возникают все новые
и новые участки с вихревым «течением»; площадь существующих ранее турбулизи-
рованных участков и масштабы вихрей в них неограниченно убывают; суммарная
площадь турбулизированных участков стремится к нулю и в пределе вектороное
поле (и (х, у, t), v (х, у, t)) может принимать только 9 значений (^3, ^у>3),	/ =
= 1, 2, 3. Разбиение на прямоугольники обладает тем свойством, что между
любыми двумя прямоугольниками найдется третий; в результате имеем картину,
аналогичную «ковру» Серпинского. На границах прямоугольников векторное поле
является случайным; компоненты и, v с той или иной вероятностью принимают
значения из множества [—1,1] (рис. 99, 6).
4. При Х=Х* = 1,839... отображение обладает перемешивающим аттракто-
ром, состоящим из двух переходящих друг в друга интервалов
Л = [«1. М = Г*«(2-**)-1,1—5^-1, /2 = К, М = [1-^- Л.-1],
L	J	L	J
на которых всюду плотны траектории почти всех точек из / и, в частности, всюду
плотны точки множества {f~п (0)}n=0 i (рис. 100). При этом значении парамет-
ра X отображение f имеет, как известно, инвариантную меру р,, абсолютно непре-
рывную относительно меры Лебега и сосредоточенную на аттракторе. Прообразы
отталкивающей неподвижной точки разбивают интервал [—а, а] на конечное
число интервалов /™, i = 1, 2, т = 0, 1, ..., Л4, таких, что для w 6 и п = 0»
траектория fm+2n (щ) всюду плотна на Ц, В соответствии с этим область разби-
вается на конечное число прямоугольников /| X /j, /, / = 1, 2, k, I = 0, Л4, в
каждом из которых со временем формируется «турбулентное пятно». В области X
X /у при t— 2 (max {/г, /} + 2п), п = 0, 1, начинается процесс турбулизации
«потока»: развивается каскадный процесс образования вихрей убывающих масшта-
бов, сопровождающийся разрушением более крупных «вихрей»; с ростом t «вихри»
все более плотно заполняют область /| X /j, В пределе при t -> оо в каждом пря-
моугольнике X /j происходит полное перемешивание и в результате поведение
векторного поля носит вероятностный характер: векторное поле есть случайная
величина со значениями в множестве {(и, и): и £ [aj, 62], v £ fai, Ь2]} (рис. 101), ее
распределение задается инвариантной мерой р,, а линии тока удовлетворяют соот-
ветствующему стохастическому дифференциальному уравнению
х = и, у = vt	(3.46)
ъ	ь
где Р {а и Ь] = § р, (и) du, Р {а v b} = р, (v) dv У a, b £ [а^, &21
а	а
(Р (а Ь} — вероятность того, что случайная величина £ принимает зна-
чение из интервала [а, д]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Аболиня В. Э., Мышкис А. Д. Смешанная задача для почти линейной гипер-
болической системы на плоскости.— Мат. сб., 1960, 50, № 4, с. 423—442.
2.	Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.— М. :
Наука, 1977.— 368 с.
3.	Алиев С. Я. Асимптотические свойства решений одного дифференциально-раз-
ностного уравнения.— В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи
математической физики. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 126—130.
4.	Алиев С. Я-> Иванов А. Ф., Майстренко Ю. Л., Шарковский А. Н. Сингу-
лярные возмущения разностных уравнений с непрерывным временем.— Киев,
1984.— 41 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-тут математики ; № 84.33).
5.	Алиев С. Я., Майстренко Ю. Л. Глобальная гладкая разрешимость нелиней-
ной краевой задачи для квазилинейной гиперболической системы.— Укр. мат.
журн., 1984, 36, № 4, с. 411—416.
6.	Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях
отрицательной кривизны.— Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 1967, 90, с. 3—209.
7.	Аносов Д. В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамиче-
ских систем.— В кн.: Тр. V Междунар. конф, по нелинейн. колебаниям. (Киев,
26 авг.— 4 сент. 1969 г.). Киев : Наук, думка, 1970, т. 2, с. 39—42.
8.	Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М. : Наука,
1974.— 432 с.
9.	Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и струк-
туре аттрактора Лоренца.— Докл. АН СССР, 1977, 234, № 2, с. 336—339.
10.	Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негру-
бых предельных множествах типа аттрактора Лоренца.— Тр. Моск. мат. о-ва,
1982, 44, с. 150—212.
11.	Бабенко К, И., Петрович В, Ю. О доказательных вычислениях на ЭВМ.— М.,
1983.— 28 с. (Препринт / АН СССР. Ин-т прикладной математики им. М. В. Кел-
дыша ; № 133).
12.	Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы системы Навье — Стокса и параболи-
ческих уравнений и оценка их размерности.— Записки науч, семинаров ЛОМИ,
т. 115. Л. : Наука, 1982, 115, с. 3—15. (Записки науч, семинаров Ленинградско-
го отделения Математического института им. Н. В. Стеклова АН СССР ; Т. 115).
13.	Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика.—
Л. : Гидрометеоиздат, 1978.— 208 с.
14.	Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения.— М. : Мир,
1967.— 548 с.
15.	Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.— М. : Гостехиздат, 1941.— 320 с.
16.	Блох А. М. О предельном поведении одномерных динамических систем.— Успе-
хи мат. наук, 1982, 37, № 1, с. 137—138.
17,	Блох А. М. О сенситивных отображениях отрезка.— Там же, № 2, с. 189—190.
18.	Блох А. М. О «спектральном разложении» для кусочно-монотонных отображе-
ний отрезка.— Там же, № 3, с. 175—176.
19.	Блох А. М. О разложении динамических систем на отрезке.— Там же, 1983,
38, № 5, с. 179—180.
266
20.	Богданов Ю. С. О функциональном уравнении хп = t.— Докл. АН БССР, 1961,
5, с. 235—237.
21.	Бронштейн И. У. Минимальные группы преобразований.— Кишинев : Штиин-
ца, 1969.— 184 с.
22.	Бронштейн И. У., Бурдаев Б. П. Цепная рекуррентность и расширения ди-
намических систем.— Алгебр, инварианты динам, систем : (Мат. исслед.), 1980,
вып. 55, с. 3—11.
23.	Вайнберг И. Г. М., Каменский Г. А., Мышкис А. Д. О дифференциальном
уравнении нейтрального типа, обладающем интегрирующим множителем.— Диф-
ферент уравнения, 1973, 9, № 11, с. 1956—1965.
24.	Валеев К. Б. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно
зависящим от аргумента.— Сиб. мат. журн., 1964, 5, № 2, с. 290—309.
25.	Верейкина М. Б. Поведение решений разностных уравнений и почти возвра-
щающиеся точки динамических систем.— В кн.: Дифференциально-разностные
уравнения и задачи математической физики. Киев : Ин-т математики АН УССР,
1984, с. 20—24.
26,	Верейкина М. Б., Майстренко В. Л., Романенко Е. Ю., Шарковский А. И.
Краевые задачи для простых гиперболических систем. Образование структур и
переход к хаосу.— Киев, 1985.— 33 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т математи-
ки ; 85.39).
27.	Верейкина М. Б., Шарковский А. Н. Возвращаемость в одномерных динамиче-
ских системах.— В кн.: Приближенные и качественные исследования дифферен-
циальных и дифференциально-функциональных уравнений. Киев : Ин-т матема-
тики АН УССР, 1983, с. 35—46.
28.	Верейкина М. Б., Шарковский А. Н. Множество почти возвращающихся точек
динамической системы.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1984, № 1, с. 6—9.
29.	Витт А. А. К теории скрипичной струны.— Журн. техн, физики, 1936, 6,
№ 9, с. 1459—1479.
30.	Вул Е. Б., Синай Д. Г., Ханин К. М. Универсальность Фейгенбаума и тер-
модинамический формализм.— Успехи мат. наук, 1984, 39, № 3, с. 3—37.
31.	Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей.— 3-е изд., испр.— М. : Нау-
ка, 1967.— 376 с.
32.	Герсеванов Н. М. Итерационное исчисление и его приложения.— М. : Гостех-
изд., 1950.— 51 с.
33.	Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 3-х т.— М. :
Наука, 1971.—Т. 1. 664 с.
34.	Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического
типа и их применение.— М. : Наука, 1981.— 368 с.
35.	Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбу-
лентность.— Новосибирск : Наука, 1977.— 367 с.
36.	Гольдштик М. А., Штерн В. Н. К теории структурной турбулентности.—
Докл. АН СССР, 1981, 257, № 6, с. 1319—1322.
37.	Добрынский В. А. Типичность динамических систем с устойчивой пролонга-
цией.— В кн.: Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифферен-
циальных уравнений. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1973, с. 43—53.
38.	Добрынский В. А., Шарковский А. Н. Типичность динамических систем, почти
все траектории которых устойчивы при постоянно действующих возмущениях.—
Докл. АН СССР, 1973, 211, № 2, с. 273—276.
39.	Зигмунд А. Тригонометрические ряды : В 2-х т.— М. : Мир, 1965.— Т. 1. 537 с.
40,	Иванов А. Ф. Об устойчивости нулевого решения одного дифференциально-раз-
ностного уравнения.— В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи
математической физики. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1984, с, 28—32.
41,	Ильяшенко Ю. С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских при-
ближений уравнений Навье — Стокса.— Успехи мат. наук, 1981, 36, № 3,
с, 243—244.
42.	Каменский Г. А., Мышкис А. Д. К постановке краевых задач для дифферен-
циальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими
членами,— Дифференц. уравнения, 1974, 10, № 3, с. 409—418.
43.	Каменский Г, А., Мышкис А. Д. Краевая задача для квазилинейных диффе-
ренциальных уравнений дивергентного типа второго порядка с отклоняющимся
аргументом,—Там же, № 12, с. 2137—2146,
267
44.	Колесов Ю. С., Швитра Д. И. Автоколебания в системах с запаздыванием.—
Вильнюс : Мокслас, 1973.— 148 с.
45.	Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы ре»
гулируемых систем с последействием.— М. : Наука, 1981.— 448 с.
46.	Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности при очень больших
числах Рейнольдса.—Докл. АН СССР, 1941, 30, № 4, с. 299—303.
47.	Колмогоров А. Н. О сходимости Скорохода.— Теория вероятностей и ее приме»
нение, 1956, 1, с. 239—247.
48.	Коляда С. Ф-, Сивак А. Г. Универсальные константы для однопараметрических
отображений.— В кн.: Осцилляция и устойчивость решений дифференциально»
разностных уравнений. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 53—60.
49.	Коляда С, Ф., Сивак А. Г. Один класс функциональных уравнений и универ»
сальное поведение семейств одномерных отображений.— В кн.: Дифференциаль»
но-разностные уравнения и задачи математической физики. Киев : Ин-т м а тем а»
тики АН УССР, 1984, с. 33—37.
50.	Коляда С. Ф., Шарковский А. Н. О мере репеллеров одномерных гладких ото»
бражений.— В кн.: Дифференциально-функциональные и разностные уравнения.
Киев : Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 16—22.
51.	Ксионг Д. Ч. Простое доказательство теоремы Шарковского о сосуществовав
нии периодических точек непрерывного отображения интервала в себя.— Журн.
Китай, ун-та науки и технологии, 1982, 12, с. 17—20. (на китайском яз.).
52.	Куратовский К. Топология : В 2-х т.— М. : Мир, 1966—1969.— Т. 1—2.
53.	Ладыженская О. А. О динамической системе, порождаемой уравнениями На»
вье — Стокса.— Зап. науч, семинаров ЛОМИ, 1972, 27, с. 91—114.
54.	Ладыженская О А, О конечномерности ограниченных инвариантных множеств
для системы Навье — Стокса и некоторых других диссипативных систем.— Там
же, 1982, 115, с. 137—155.
55.	Ланфорд О. Е. Странные аттракторы и турбулентность.— В кн.: Гидродинами-
ческие неустойчивости и переход к турбулентности.— М. : Мир, 1984, с. 22—46.
56.	Луппов С. П. О возникновении циклов отображений прямой в себя.— В кн.:
Динамические системы и теория приближений. Владивосток : ДВНЦ АН СССР,
1979, с. 15—19.
57.	Майстренко В. Л., Романенко Е. Ю. Асимптотическое поведение решений кра»
евой задачи для гиперболической системы в случае двух пространственных пере-
менных.— В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математи-
ческой физики. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 49—58.
58.	Майстренко Ю. Л. Аналитическая теория разностных уравнений.— В кн.: Ка-
чественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. Киев :
Наук, думка, 1980, с. 71—90.
59.	Майстренко Ю. Л. Об асимптотически периодических решениях дифферен-
циально-разностных уравнений.— Укр. мат. журн., 1981, 33, № 1, с. 76—81.
60.	Майстренко Ю. Л. О сведении нелинейных краевых задач для гиперболических
систем к разностным и дифференциально-разностным уравнениям.— В кп.: Диф-
ференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. Киев :
Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 58—78.
61.	Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю., Шарковский А. Н. О качественном по-
ведении решений квазилинейных дифференциально-разностных уравнений.—
В кн.: Исследование дифференциальных и дифференциально-разностных уравне-
ний. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1980, с. 38—50.
62.	Майстренко Ю. Л., Шарковский А. Н. Асимптотическое поведение решений
нелинейной краевой задачи для системы уравнений гиперболического типа.—
Успехи мат. наук, 1983, 38, № 5, с. 147.
63.	Майстренко Ю. Л., Шарковский А. Н, Турбулентность и простые гиперболи-
ческие системы,— Киев, 1984.— 23 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т математи-
ки ; № 84.2).
64.	Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений,—
Киев : Наук, думка, 1972,— 248 с,
65.	Миролюбив А. А., Солдатов М. А. Линейные однородные уравнения.— М. J
Наука, 1981.— 206 с.
66.	Монин А. С. О природе турбулентности.— Успехи физ, наук, 1978, 125, вып, 1,
и 97—122.
268
67.	Монин А. С., Делом А. М. Статистическая гидромеханика. Механика турбу-
лентности.— М. : Наука.— 1965—1967.— Ч. 1—2.
68.	Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргу-
ментом.— М. : Наука, 1972.— 352 с.
69.	Мышкис А. Д., Лепин А. Д. Существование инвариантного множества, со-
стоящего из двух точек, при некоторых непрерывных отображениях отрезка в се-
бя.— Учен. зап. Белорус, ун-та. Сер. физ.-мат., 1957, 32, с. 29—32.
70.	Мышкис А. Д., Филимонов А. М. Непрерывные решения квазилинейных ги-
перболических систем с двумя независимыми переменными.— Дифференц. урав-
нения, 1981, 17, № 3, с. 488—500.
71.	Нагумо Д., Шимура М. Автоколебания в длинной линии с туннельным дио-
дом.—ТИИЭР, 1961, 49, №8, с. 1494—1504.
72.	Немыцкий В. В. Топологические вопросы теории динамических систем.— Успе-
хи мат. наук, 1949, 4, № 6, с. 91 —154.
73.	Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных
уравнений.— 2-е изд.— М. ; Л. : Гостехиздаг, 1949.— 550 с.
74.	Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вло-
жения.— М- : Наука, 1967.— 456 с.
75.	Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравне-
ний.— Киев : Наук, думка, 1974.— 119 с.
76.	Лесин Д. Б. О поведении решений одного сильно нелинейного дифференциаль-
ного уравнения с запаздывающим аргументом.— Дифференц. уравнения, 1974,
10, № 6, с. 1025—1036.
77.	Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.— М. ; Изд-
во иностр, лит., 1961.— 248 с.
78.	Рабинович М. И. Стохастические автоколебания и турбулентность.— Успехи
физ. наук, 1978, 125, № 1, с. 123—168.
79.	Романенко Е. Ю. Быстро осциллирующие решения одного класса дифферен-
циально-разностных уравнений.— В кн.: Дифференциально-разностные уравне-
ния и задачи математической физики.— Киев : Ин-т математики АН УССР, 1984,
с. 83—101.
80.	Романенко Е. Ю., Слюсарчук Л. М., Шарковский А. Н. Асимптотическое по-
ведение ограниченных решений систем разностных уравнений.— В кн.: Осцилля-
ция и устойчивость решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев :
Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 75—86.
81.	Романенко Е. Ю., Шарковский А. Н. Дифференциально-функциональные урав-
нения, близкие к функциональным.— В кн.: Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. Киев : Наук, думка, 1979, с. 178—209.
82.	Романенко Е. Ю., Шарковский А. Н. Качественное исследование одного клас-
са дифференциально-разностных уравнений.— В кн.: Качественное исследование
дифференциально-разностных уравнений. Киев : Наук, думка, 1980, с. 129—144.
83.	Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая био-
физика.— М. : Наука, 1984.— 304 с.
84.	Рошко А. Структура турбулентных сдвиговых течений: новая точка зрения.—
Ракет, техника и космонавтика, 1976, 14, № 10, с. 8—20.
85.	Сивак А. Г., Шарковский А. Н. Универсальный порядок и универсальная ско-
рость бифуркаций решений дифференциально-разностных уравнений.— В кн.:
Приближенные и качественные методы исследования дифференциальных и диф-
ференциально-функциональных уравнений. Киев : Ин-т математики АН УССР,
1983, с. 98—106.
86.	Синай Д. Г. Стохастичность динамических систем.— В кн.: Нелинейные вол-
ны. М. : Наука, 1979, с. 192—212.
87.	Слюсарчук Л. М. Асимптотическое поведение ограниченных решений систем
дифференциально-разностных уравнений.— В кн.: Приближенные и качествен-
ные методы исследования дифференциальных и дифференциально-функциональ-
ных уравнений. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 88—97.
88.	Смейл С. Дифференцируемые динамические системы.— Успехи мат. наук, 1970,
25, вып. 1, с. ИЗ—185.
89.	Странные аттракторы : Сб. ст.— М. : Мир, 1981.— 253 с.
90.	Структурная турбулентность : Сб. науч. тр. Новосибирск : Ин-т теплофизики
СО АН СССР, 1982.— 166 с.
269
91.	Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.— М. : Мир, 1977.— 622 с.
92.	У лам С. Нерешенные математические задачи.— М. : Наука, 1964.— 168 с.
93.	Федоренко В. В. Непрерывные отображения отрезка с замкнутым множеством
почти периодических точек.— В кн.: Исследования по теоретическим и приклад-
ным вопросам в математике. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1985, с. 79.
94.	Федоренко В. В., Шарковский А. Н. О сосуществовании периодических и гомо-
клинических траекторий.— В кн.: V Всесоюз. конф, по качеств, теории диффе-
ренц. уравнений (22—24 авг. 1979 г., Кишинев) : Тез. докл. Кишинев : Штиинца,
1979, с. 174—175.
95.	Федоренко В. В., Шарковский А. Н. Непрерывные отображения интервала с
замкнутым множеством периодических точек.— В кн.: Исследование дифферен-
циальных и дифференциально-разностных уравнений. Киев : Ин-т математики
АН УССР, 1980, с. 137—145.
96.	Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем.— Успехи
физ. наук, 1983, 141, вып. 2, с. 343—374.
97.	Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике : В 7-ми
т— М. : Мир, 1977.— Т. 7. 288 с.
98.	Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.— М. : Мир,
1971.- 309 с.
99.	Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и
переменными отклонениями.— Математика, 1961, 5, /№ 6, с. 75—98.
100.	Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.— М. : Мир,
1984.— 421 с.
101.	Шапиро А. П., Луппов С. П. Рекуррентные уравнения в популяционной био-
логии.— М. : Наука, 1983.— 134 с.
102.	Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования пря-
мой в себя.— Укр. мат. журн., 1964, № 1, с. 61—71.
103.	Шарковсъкий О. М. Неблукаючт точки та центр неперевного воображения пря-
мо! в себе.— Доп. АН УРСР, 1964, № 7, с. 865—868.
104.	Шарковский А. И, О циклах и структуре непрерывного отображения.— Укр.
мат. журн., 1965, 17, № 3, с. 104—111.
105.	Шарковский А. Н, Об одной классификации неподвижных точек.— Там же,
№5, с. 80—95.
106.	Шарковский А. Н. О притягивающих и притягивающихся множествах.— Докл.
АН СССР, 1965, 160, № 5, с. 1036—1038.
107.	Шарковский О, М. Про неперервне воображения на множит ш-граничних то-
чок.—Доп. АН УРСР, 1965, № 11, с. 1407—1410.
108.	Шарковский А. Н. Поведение отображения в окрестности притягивающего
множества.— Укр. мат. журн., 1966, 18, № 2, с. 60—83.
109.	Шарковский А. Н. Частично упорядоченная система притягивающих мно-
жеств.— Докл. АН СССР, 1966, 170, № 6, с. 1276—1278.
ПО. Шарковсъкий О. М. Про одну теорему Дж. Бтркгофа.— Доп. АН УРСР,
Сер. А 1967, № 5, с. 429—432.
111.	Шарковский А. Н. Притягивающие множества, не содержащие циклов.— Укр.
мат. журн., 1968, 20, № 1, с. 136—142.
112.	Шарковский А. Н. О проблеме изоморфизма динамических систем.— В кн.:
Тр. V Междунар. конф, по нелинейн. колебаниям (25 авг.— 4 сент. 1969 г.),
Киев : Наук, думка, 1970, т. 2, с. 541—545.
113.	Шарковский А. Н. О проблеме единственности решений дифференциальных урав-
нений с отклоняющимся аргументом.— Мат. физика, 1970, вып. 8, с. 167—172.
114.	Шарковский А. Н. О функциональных и дифференциально-функциональных
уравнениях, у которых отклонение аргумента зависит от неизвестной функ-
ции.— В кн.: Функциональные и дифференциально-разностные уравнения.
Киев : Ин-т математики АН УССР, 1974, с. 148—155.
115.	Шарковский А. Н. Устойчивость траекторий и динамических систем в целом.—
В кн.: Девятая лет. мат. шк. 2-е изд., испр. Киев : Наук, думка, 1976, с. 349—
360.
116.	Шарковский А. Н. Структурная теория дифференцируемых динамических си-
стем и слабо неблуждающие точки.— В кн.: Abhandlungen der Wissenschaften
der DDR. Ableilung Mathematik, Naturwissenschaften, Technik VII Intern.
Konf. liber nichtlinear Schwingungen, Band 1, 2, 1977, N 4, p. 193—200.
270
117.	Шарковский А. Н. Дифференциально-функциональные уравнения с конечной
группой преобразований аргумента.— В кн.: Асимптотическое поведение реше-
ний дифференциально-функциональных уравнений. Кие^ : Ин-т математики
АН УССР, 1978, с. 118—142.
118.	Шарковский А. Н. Колебания, описываемые автономнымиТразностными и диф-
ференциально-разностными уравнениями.— В кн.: Proc. VIII ICNO. Prague :
Academia, 1979, vol. 2, р. 1073—1078.
119.	Шарковский А. И. Об асимптотическом поведении решений дифференциально-
разностных уравнений.— В кн.: Тр. II конф, по дифференц. уравнениям и при-
менениям. Русе, Болгария : 1982, с. 835—846.
120.	Шарковский А. Н. Разностные уравнения и динамика численности популяций.—
Киев, 1982.— 22 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т математики ; N 82.18).
121.	Шарковский А. Н. «Сухая» турбулентность.— В кн.: Short commun Intern.
Congr. Math. (Warszawa, Aug. 16—24, 1983). Warszawa, X, Sect. 12, 1983, p. 4.
122.	Шарковский A. H. Колебания типа релаксационных и турбулентных: диффе-
ренциально-разностные модели.— В кн.: IX Междунар. конф, по нелинейн. ко-
лебаниям. (Киев, 30 авг.— 6 сент. 1981 г.) : В 3-х т. Киев : Наук, думка, 1984,
т. 2, с. 430—434.
123.	Шарковский А. Н. Хаос в простых уравнениях: разностных, дифференциально-
разностных, в частных производных.— Докл. семинара Тбил. ун-та, 1984, 18,
с. 18—26.
124.	Шарковский А. И., Добрынский В. А. Неблуждающие точки динамических
систем.— В кн.: Динамические системы и вопросы устойчивости решений диф-
ференциальных уравнений. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1973, с. 165—174.
125.	Шарковский А. Н., Краснюк И. Б., Майстренко Ю. Л. Нелинейные краевые
задачи для одномерных гиперболических систем: асимптотически разрывные ре-
шения и их бифуркации.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1984, № 12, с. 27—30.
126.	Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Асимптотически пе-
риодические решения одного класса дифференциально-разностных уравнений.—
Там же, 1981, № 7, с. 27—31.
127.	Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Асимптотически пе-
риодические решения дифференциально-разностных уравнений нейтрального
типа.— В кн.: Тр. II конф, по дифференц. уравнениям и применениям (Русе,
29 июня — 4 июля 1981 г.): Русе, Болгария : Высш. техн. уч. им. А. Кынчева,
1982, с. 847—850.
128.	Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. «Сухая» турбулент-
ность.— В кн.: Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике :
II Всесоюз. конф. (Киев, 9—11 сент. 1985 г.). Киев : Ин-т математики АН УССР,
1985, с. 210—212.
129.	Шарковский А. Н., Романенко Е. Ю. Асимптотическое поведение решений
дифференциально-разностных уравнений.— В кн.: Качественные методы ис-
следования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колеба-
ний. Киев : Ин-т математики, 1981, с. 171 —199.
130.	Шевело В. Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоня-
ющимся аргументом.— Киев : Наук, думка, 1978.— 154 с.
131.	Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных урав-
нений с отклоняющимся аргументом.— 2-е изд.— М. : Наука, 1971.— 296 с.
132.	Якобсон М. В. О свойствах динамических систем, порождаемых отображения-
ми вида х -> Ахе~х.— В кн.: Моделирование биологических сообществ. Влади-
восток : ДВНЦ АН СССР, 1975, с. 141—162.
133.	Якобсон М. В. Топологические и метрические свойства одномерных эндомор-
физмов.— Докл. АН СССР, 1978, 243, № 4, с. 866—869.
134.	Allwright D. Hypergraphic functions and bifurcation in reccurence relations.—
SIAM. J. Appl. Math., 1978, 34, N 4, p. 687—691.
135.	Alseda L., Llibre JSerra R. Minimal periodic orbits for continuous maps of
the interval.— Trans. Amer. Math. Soc., 1984, 286, N 2, p. 595—627.
136.	Arneodo A., Ferrero P., TresserC. Sharkovskii’s order for the appearance of super-
stable cycles in one-parameter families of simple real maps : an elementary pro-
of.—Comm. Pure Appl. Math. 1984, XXXVII, p. 13—17.
137.	Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations.— Ibid., 1911, 12,
p. 243—284.
271
138.	Birkhoff G. D. Formal theory of irregular linear difference equations.— Acta
Math., 1930, 54, p. 205—246.
139.	Birkhoff G. D., Trjitzinsky W. J. Analitic theory of singular difference equa-
tions.— Acta Math., 1932, 60, p. 1—89.
140.	Block L. Homoclinic points of mappings of the interval.— Proc. Amer. Math.
Soc., 1978, 72, p. 576—580.
141.	Block L. Simple periodic orbits of continuous mappings of the interval.— Trans.
Amer. Math. Soc., 1979, 254, p. 391—398.
142.	Block L. Stability of periodic orbits in the theorem of Sarkovskil.— Proc. Amer.
Math. Soc., 1981, 81, p. 333—336.
143.	Block L., Coppel W. A. Stratification of continuous maps of an interval. Can-
berra : The Austral. Nation. Univ., 1984.— 29 p.— (Res. rep.; N 32).
144.	Block L., Franke J. E. The chain recurrent set for maps of the interval.— Proc.
Amer. Math., 1983, 87, N 4, p. 723—727.
145.	Block L., Guckenheimer J., Misiurewicz M., Yang L. S. Periodic points and to-
pological entropy of one dimensional maps.— Leet. Notes Math., 1980, 819,
p. 18—34.
146.	Block L., Hart D. Stratification of the space of unimodal interval maps.— Er-
god. Theory and Dynam. Syst., 1983, 3, p. 533—539.
147.	Bowen R., Franks J. The periodic points of maps of the disk and interval.— To-
pology, 1976, 15, p. 337—342.
148.	Brayton R. K. Nonlinear oscillations in a distributed network.— Quart. Appl.
Math., 1966/67, 24, N 4, p. 286—301.
149.	Burkart U. Interval mapping graphs and periodic points of continuous functi-
ons.— J. Combin. Theory. Ser. B, 1982, 32, p. 57—68.
150.	Campanino M,, Epstein H. On the existence of Feigenbaum’s fixed point.— Com-
mun. Math. Phys., 1981, 79, p. 261—302.
151.	Chow S.— N. Existence of periodic solutions of autonomous functional differential
equations.— J. Different. Equat., 1974, 15, N 2, p. 350—378.
152.	Collet P.t Eckman Y.-P. Iterated maps on the interval as dynamical systems.—
Boston : Birkhauser, 1980.— 248 p.
153.	Collet P., Eckman Y.-P., Lanford О. E. Universal properties of maps on an in-
terval.—Commun. Math. Phys., 1980, 76, p. 211—254.
154.	Cook K. L., Kfumme D. W. Differential-difference equations and nonlinear initi-
al-boundary value problems for linear hyperbolic partial differential equations.—
J. Math. Anal. Appl., 1968, 24, N 2, p. 372—387.
155.	Coppel W. A. The solution of equations by iteration.— Proc. Cambridge Phil.
Soc., 1955, 51, p. 41—43.
156.	Coppel W. Sarkovskii-minimal orbits.— Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. 1983,
93, p. 397—408.
157.	Coppel W. A. Maps of an interval.— Minneapolis, Minn., 1983.— 28 p.— (Pre-
print / Inst, of Math, and its Appl., University of Minnesota; N 26).
158.	Cosnard M. Y., Eberhard A. Sur les cycles d’une application continue de la va-
riable reele.— Sem. Anal. Num. 274, USMG Lab. Math. Appl. Grenoble, 1977,
61 p.
159.	Coven E. M., Hedlung G. A. Continuous maps of the interval whose periodic po-
ints form a closed set.— Proc. Amer. Math., Soc., 1980, 79, N I, p. 127—133.
160.	Coven E. M., Hedlung G. A. P-R for maps of the interval.— Ibid., N 2, p. 316—
318.
161.	Coven E. M., Nitecki Z. Non-wandering sets of the powers of maps of the inter-
val.— Ergod. Theory and Dynam. Syst., 1981, 1, p. 9—31.
162.	Derrida B., Gervois A., Pomeau Y. Iteration of endomorphisms on the real axis
and representation of numbers.— Ann. Inst. Henri Poincare, 1978, 29, p. 305—356.
163.	Du B. S. The minimal number of periodic orbits guaranteed in Sharkovskii’s
theorem.— Bull. Austr. Math. Soc. 1985, 31, p. 89—103.
164.	Eckman J -P. Roads to turbulence in dissipative dynamical systems.— Rev.
Mod. Phys., 1981, 53, N 4, pt. 1, p. 643—654. (Русск. перевод : Экман Ж.-П.
Переход к турбулентности в диссипативных динамических системах.— В кн.:
Синергетика. Сб. статей. М. : Мир, 1984, с. 190—219).
165.	Feigenbaum М. Quantitative universality for a class of nonlinear trasformations.—
J. Stat. Phys., 1978, 19, p. 25—52.
272
166.	Feigenbaum M. The universal metric properties of nonlinear transformations.—
Ibid., 1979, 21, p. 669—706.
167.	Guckenheimer J. On the bifurcation of maps on the interval.— Invent, math.,
1977, 39, p. 165—178.
168.	Guckenheimer J. Sensitive dependence to initial conditions for one dimensional
maps.— Commun. Math. Phys., 1979, 70, p. 133—160.
169.	Gumowsky I., Mira C. Dynamique chaotique.— Toulouse : Сера dues, 1980.—
480 p.
170.	Gumowsky I., Mira C. Recurrences and discrete dynamical systems. Leet. No-
tes in Math. 1980, v. 809.— 272 p.
171.	Heiden U., Mackey M. C. The dynamics of production and destruction: analitic
insight into complex behavior.— J. Math. Biol., 1982, 16, p. 75—101.
172.	Heiden U. Periodic, aperiodic, and stochastic behavior of differential-difference
equations modeling biological and economical processes.— In: Differ.— differ,
equat: Appl. and Numer. probl. Workshop, Oberwolfach, (June 6—12, 1982),
Basel d., 1983, p. 91—108.
173.	Heiden U., Walther H.-O. Existence of chaos in control systems with delayed
feedback.— J. Diff. Equat., 1983, 47, N 2, p. 273—295.
174.	Heiden U., Walther H.-O. Chaos in differential delay equations.— В кн.:
IX Междунар. конф, по нелинейн. колебаниям (Киев, 30 авг.— 6 сент. 1981 г.).
Т. 2. Киев : Наук, думка, 1984, с. 88—91.
175.	Но С., Morris С. A graph-theoretic proof of Sharkovsky’s theorem on the periodic
points of continuous functions.— Pacif. J. Math., 1981, 92, N 2, p. 361—370.
176.	Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter fa-
milies of one dimensional maps.— Commun. Math. Phys., 1981, p. 39—48.
177.	Jonker L. A monotonicity theorem for the family fa (x) = a — x2.— Proc. Amer.
Math. Soc., 1982, 85, N 3, p. 434—436.
178.	Jonker L., Rand S. Bifurcations in one dimension. I, II.— Invent, math., 1981,
62, p. 347—365; 63, p. 1—16.
179.	Julia G. Memoire sur I’iteration des fonctions rationelles.— J. Math. Pures Appl.,
1918, 4, p. 47—245.
180.	Kaplan J. L., Yorke J. A. On the nonlinear differential delay equation x' (t) =
= f(x(0, x (/— 1)).—J. Different. Equat., 1977, 23, N 2, p. 293—314.
181.	Klaeden P. E. Chaotic difference equations are dense.— Bull. Austral. Math.
_ Soc., 1976, 15, N 3, p. 371—379.
182.	Klaeden P. E. On Sarkovsky’s cycle coexistence ordering.— Ibid., 1979, 20, N 2,
p. 171 — 178.
183.	Kuczma M. Functional equations in a single variable.— Warszawa : Polish scL
publ., 1968.— 383 p.
184.	Lanford О. E. Remarks on the accumulation of period-doubling bifurcations.—
Leet. Notes in Physics, 1980, 116, p. 340—342.
185.	Lasota A. Ergodic problems in biology.— Cociete mathematique de France. As-
torisque, 1977, 50, p. 239—250.
186.	Li T. Y., Yorke J. A. Periodic three implies chaos.— Amer. Math. Mon.,
1975, 82, p. 985—992.
187.	Lorenz E. Deterministic non-periodic flow.— J. Atmos. Sci., 1963, 20, p. 130—14L
188.	Maistrenko Yu. L. Chaos in simple hyperbolic systems.— In: Nonlinear and tur-
bulent progresses in phys. : In 3 vol / Ed. by R. Z. Sagdeev. Chur, London, Paris,
New York : Cordon and Breach, Harwood Acad, publ., 1984, v. 3, p. 1465—1470.
189.	Mallet-Paret J. Negatively invariant sets of compact maps and an extension of a
theorem of Cartwright.—J. Different. Equat., 1976, 22, p. 331—348.
190.	Mallet-Paret J. Morse decompositions and global continuation of periodic solu-
tions for singularly perturbed delay equations.— In: Systems of nonlinear partial
differential equations. Dordrecht etc., 1983, p. 351—365.
191.	May R. M. Simple mathematical models with very complicated dynamics.— Na-
ture, 1976, 261, p. 459—467.
192.	May R. M. Nonlinear problems in ecology and resourse management.— In:
Lecture note for les honches summer school on «Chaotic behavior of deterministic
systems». Princeton, 1981.
193.	Metropolis M., Stein M. L., Stein P. R. On finite limit sets for transformations
of unit interval.—J. Combin. Theory A, 1973, 15, N 1, p. 25—44.
273
194.	Mira Ch. Etude d’un modele de croissance d’une population biologique en Tab-
sense de recouvrement de generations.— C r. Acad. Sci. A, 1976, 282, p. 1441—
1444.
195.	Mira Ch. Sur la double interpretation, deterministe et statistique de certaines
bifurcations complexes.— Ibid., 1977, 283, p. 911—914.
196.	Mira Ch. Accumulations de bifurcations et «structures boites emboitees» dans les
recurrences et transformations pouctuelles.— In: Pros. VII Intern, konf. fiber
nichtlineare Schwingungen. Band 1, 2. Berlin : Akad.— Verl. 1977, S. 81—93.
197.	Miranker W. L. The wave equation with a nonlinear interface condition.— IBM
J. Res. Develop., 1961, 5, p. 2—24.
198.	Misiurewicz M. Structure of mapping of an interval with zero entropy.— Pre-
print IHES/M/78/279. Bures-sur-Yuette (France): In-t des Hautes Etudes Scien-
tifiques, 1978.— 13 p.
199.	Misiurewicz M. Horseshoes for mapping of the interval.— Bull. Acad. pol. sci.
Ser. sci. math., astron, et phys., 1979, 27, N 2, p. 167—169.
200.	Misiurewicz M. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval.—
Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 1981, 53, p. 17—51.
201.	Mori M. The extension of Sarkovskii’s results and topological entropy in unimo-
dal tranformations.— Tohoky Math. J., 1981, 4, N 1, p. 133—152.
202.	Myrberg P. J. Iteration der reellen polynome zweiten grades.— Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A. I, 1958, 256, p. 1 — 16; 1959, 268, p. 1 — 10; 1963, 336, p. 1 — 18.
203.	Nitecki Z. Topological dynamics of the interval.— Progr. Math., 1982, 21,
p. 1—73.
204.	Nitecki Z. Maps of the interval with closed periodic set.— Proc. Amer. Math.
Soc., 1982, 85, N 3, p. 451—456.
205.	Norland N. E. Vorlesungen fiber differenzenrechung.— Berlin : Springer, 1924.—
551 p.
206.	Nusse H. E. Complicated dynamical behaviour in discrete population models.—
Nieuw arch, wisk Ser. 4, 1984, 2, N 1, p. 43—81.
207.	Peters H. Chaotic behaviour of nonlinear differential-delay equations.— Nonli-
near Anal., Theor. Meth. Appl., 1983, 7, N 12, p. 1315—1334.
208.	Poincare H. Sur les equations lineaires aux differentielles ordinaires et aux
differences finies.— Amer. J. Math., 1885, 7, p. 213—217; 237—258.
209.	Preston C. Iterates of maps on an interval.— Leet. Notes Math., 1983, 999.
210.	The role of coherent structures in modeling turbulence and mixing.— Leet. Notes
Phys., 1981, 136, 393.
211.	Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence.— Commun. Math. Phys.,
1971, 20, p. 167—192. (Русск. перевод: Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбу-
лентности.— В кн.: Странные аттракторы. М. : Мир, 1981, с. 117—151.
212.	Sharkovsky A. N. On some properties of discrete dynamical systems.— In: Col-
loque Intern, du C. N. R. S. N 332 sur la Theorie de 1’Iteration at ses Applications
(Mai 17—22 1982). Toulouse : Univ. Paul Sabatier, 1982, p. 153—158.
213.	Sharkovsky A. N. «Dry» turbulence.— In: Nonlinear an Turbulent Procresses
in Phys : In 3 vol / ed by R. Z. Sagdeev. Chur, London, Paris, Ney York : Gordon
and Breach, Harwood Acad. Publ., 1984, 3, p. 1621—1626.
314. Singer D. Stable orbits and bifurcations of maps on the interval.— SIAM J. Appl.
Math., 1978, 35, N 2, p. 260—267.
215.	Stefan P. A theorem of Sharkovskii on existence of period orbits of continuous
endomorphisms of the real line.— Commun. Math. Phys., 1977, 54, p. 237—248.
216.	Straffin P. Periodic points of continuous functions.— Math. Magazin, 1978, 51,
p. 99—105.
217.	van Strien S. On the bifurcations creating horseshoes.— Leet. Notes in Math.,
1981, 898, p. 316—351.
218.	Targonski G. Topics in iteration theory.— Gottingen : Vandenhoeck and Rup-
recht, 1981.— 292 p.
219.	Walther H.-O. Density of slowly oscillating solutions of x (t) = —f (x (t — 1)).—
' J. Math. Anal. Appl., 1981, 79, N 1, p. 127—140.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм удвоения периода 67
Аттрактор 37
—	перемешивающий 37
—	странный 37, 40
Бифуркация 58
—	жесткая 59, 107
—	исчезновения периодического ин-
тервала 105
—	мягкая 59, 107
—	рождения цикла 58, 59
—	спектрального разложения 106
— удвоения периода периодического
интервала 104
------- цикла 58
Q -взрыв 72, 107
Гомтервал 92
Динамическая система простая 64
----орбитно устойчивая 82
----структурно А-устойчивая 83
----с устойчивой пролонгацией 83
----А-устойчивая 83
Инвариантная мера 34
Интервал периодический 89
—	строго периодический 90
tD-интервал 80
Квазиаттрактор 101, 107
Множество Жюлиа 119
—	канторово 23
—	неблуждающих точек 68
—	перемешивающее 37
—	слабо неблуждающих точек 71
—	типа F6, G6 24
Мультипликатор цикла 25
Область влияния 81, 97
—	непосредственного притяжения 45,
—	притяжения 45, 99
Отображение квадратичное 22
— унимодальное 84
U-отображение 61, 88
Подстановка простая 54
Предельная полугруппа 122
Пролонгация траектории 80
(^-пролонгация 81
Разделитель 112, 119
Разностное уравнение с дискретным
аргументом 5, 17
------непрерывным аргументом 5,
17
Расстояние Скорохода 132, 235
— Хаусдорфа 10, 109, 234
Репеллер перемешивающий 40
Решение асимптотически разрывное 9,
115
— быстро осциллирующее 205
— медленно осциллирующее 202
— релаксационного типа 10, 131
— турбулентного типа 10, 131
Сопряженность топологическая дина-
мических систем 30
Спектр асимптотических скачков 131
— скачков 125, 134
Спектральное разложение множества
неблуждающих точек 97
Сухая турбулентность 13
Точка неблуждающая 68
---- односторонне 70
— неподвижная притягивающая 42
--------полупритягивающая 46
—	периодическая 19
—	почти периодическая 68, 73
—	w-предельная 19
—	рекуррентная 68, 73
— слабо неблуждающая 71
Устойчивость по Пуассону 68
Траектория гомоклиническая 21
—	орбитно устойчивая 76
—	рекуррентная 73
—	сильно орбитно устойчивая 82
—	с устойчивой пролонгацией 83
Условие tv-пересечения 120
----обобщенное 138
—	трансверсальности 133
Устойчивость решений в метрике Ско-
рохода 133, 235
---------Хаусдорфа 132, 235
—	орбитная 193
Центр динамической системы 71
Цикл интервалов 89
—	отталкивающий 25
—	притягивающий 25
—	простого типа 54
Шварциан 60, 85
Явление Гиббса 12
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
N — множество натуральных чисел
Z(Z+) — множество целых (целых неотрицательных) чисел
R (R+) — множество вещественных (неотрицательных) чисел
А — замыкание множества А
U& (4) — 6-окрестность множества А
mes А — мера Лебега множества А
I — замкнутый ограниченный интервал
fn — п-я итерация отображения f
f |л — ограничение отображения f на множество А
2х — пространство замкнутых подмножеств пространства X
© (х) — множество ©-предельных точек траектории, проходящей через точку х
Fix f — множество неподвижных точек
Per f — множество периодических точек
Q ([) — множество неблуждающих точек
В (f) — множество слабо неблуждающих точек
D (f) — разделитель
рг (х) — пролонгация точки х по начальным данным
рг (х, f) — пролонгация точки х по динамической системе
Q (х) — ©-пролонгация (область влияния) точки х
— множество С°-отображений, имеющих циклы периода т
Cr (X, Y) — пространство (/-гладких функций из X в Y с равномерной метрикой
для производных
А (Д, В) — расстояние Хаусдорфа между множествами А и В
gr f — график функции f
А {/, g} — расстояние Хаусдорфа между gr f и gr g
(X, Y) — пространство полунепрерывных сверху функций из X в 2У с метрикой,
задаваемой расстоянием Хаусдорфа А{., .}
s (/, g) — расстояние Скорохода
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................................... 3
Введение ............................................................. 5
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ОДНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Глава 1. Введение в	теорию динамических систем..................... 17
§ 1.	Просты ли одномерные динамические системы? ..................... 18
§ 2.	Что может быть в одномерных динамических системах: некоторые понятия
и примеры............................................................ 25
§ 3.	Перемешивающие, или странные, аттракторы........................ 37
Глава 2. Периодические траектории ................................... 42
§ 1.	Притягивающие неподвижные точки................................. 42
§ 2.	Сосуществование циклов .......................................   48
§ 3.	Бифуркации циклов .............................................. 58
Глава 3. Поведение траекторий ....................................... 64
§ 1.	Траектории простых динамических систем ......................... 64
§ 2.	Возвращаемость точек и множеств ................................ 68
§ 3.	Критерии простоты и сложности отображений ...................... 72
§ 4.	Устойчивость траекторий и динамических систем .................. 75
Глава 4. Динамические системы для U-отображений ..................... 84
§ 1.	Унимодальные отображения........................................ 84
§ 2.	Шварциан и притягивающие циклы.................................. 87
§ 3.	Периодические интервалы ........................................ 89
§ 4.	Спектральное разложение множества неблуждающих точек ........... 97
§ 5.	Бифуркации периодических интервалов и устойчивость спектрального
разложения . ......................................................  103
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ
Глава 1. Нелинейные	разностные	уравнения ...........................108
§ 1.	Постановка задачи	...........................................108
§ 2.	Асимптотически разрывные	решения................................115
§ 3.	Разделитель отображения. Простейшие свойства асимптотически разрыв-
ных решений..........................................................119
277
§ 4.	Предельная полугруппа...........................................122
§ 5.	Асимптотическое поведение асимптотически разрывных решений......129
§ 6.	Устойчивость асимптотически разрывных решений ..................132
Глава 2. Разностные уравнения с (J-нелинейностью ....................134
§ 1.	Предельная полугруппа, разделитель и спектр скачков.............134
§ 2.	Спектр асимптотических скачков; решения релаксационного и турбу-
лентного типов.......................................................138
§ 3.	Устойчивость и бифуркации решений...............................147
§ 4.	Образование упорядоченных структур..............................154
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Глава 1. Вполне интегрируемые дифференциально-разностные уравнения 156
§ 1.	Каким может быть асимптотическое поведение решений дифференциально-
разностных уравнений.................................................156
§ 2.	Уравнения с расщепляемым оператором. Вполне интегрируемые диф-
ференциально-разностные уравнения....................................161
§ 3.	Связь решений вполне интегрируемых дифференциально-разностных и со-
ответствующих разностных уравнений. Метод фазовой плоскости .... 164
§ 4.	Периодические решения вполне интегрируемых дифференциально-разност-
ных уравнений, их исключительность.................................  171
§ 5.	Асимптотически периодические решения вполне интегрируемых уравнений,
их типичность........................................................175
Глава 2. Дифференциально-разностные уравнения, близкие к разностным 184
§ 1.	Общие определения и свойства....................................184
§ 2.	Асимптотическое поведение	решений возмущенного уравнения .......187
§ 3.	Устойчивость решений ...........................................193
Глава 3. Сингулярно возмущенные дифференциально-разностные уравнения 196
§ 1.	Постановка задачи. Непрерывная зависимость решений по параметру v
на конечном интервале................................................196
§ 2.	Сохранение асимптотических свойств решений .....................200
§ 3.	Поведение решений при t -> оо ..................................205
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИ-
ЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Глава 1. Сведение краевых задач к разностным и дифференциально-раз-
ностным уравнениям ..................................................224
§ 1.	Сведение к нелинейному разностному уравнению ...................224
§ 2.	Сведение к дифференциально-разностным уравнениям ...............226
§ 3.	Сведение в более общих ситуациях ...............................228
Гл а в а 2. Краевая задача для системы с малым параметром............232
§ 1.	Краевая задача для невозмущенной системы .......................232
§ 2.	Случай е > 0. Существование решения и продолжимость ............236
§ 3.	Устойчивость в метрике Хаусдорфа ...............................237
§ 4.	Устойчивость в метрике Скорохода и асимптотическая периодичность 241
278
Глава 3. Краевая задача для систем с двумя пространственными перемен-
ными ...................................................................246
§ 1.	Постановка задачи, ее корректность. Редукция к разностному уравнению 246
§ 2.	Решение краевой задачи в случае линейных граничных условий .... 250
§ 3.	Случай нелинейных граничных условий. Исключение «среднего потока» 252
§ 4.	Асимптотическое поведение решений при i -+ оо.....................257
Список литературы.......................................................266
Предметный указатель .... *............................................ 275
Указатель основных обозначений ........................................ 276
Александр Николаевич Шарковский
Юрий Леонидович Майстренко
Елена Юрьевна Романенко
РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Утверждено к печати ученым советом Института математики
АН УССР
Редактор Д. И. Попович
Художественный редактор И. П. Антонюк
Технический редактор Г. Р. Боднер
Корректоры Э. Я- Белокопытова, Э. М. Киянская
ИБ № 6832
Сдано в набор 10.03.86. Подп. в печ. 19.08.86. БФ 01629.
Формат 60x90/16. Бум. тип. № 1. Лит. гарн. Выс. печ.
Усл. печ. л. 17,5. Усл. кр.-отт. 17,5. Уч.-изд. л. 19,53.
Тираж 2350 экз. Заказ 3793 Цена 3 р. 30 к.
Издательство «Наукова думка».
252601 Киев 4* ул. Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского
производственного объединения «Полиграфкнига». 952057 Киев 57,
ул. Довженко, 3 в областной книжной типографии, 290000,
Львов, ул. Стефаника, 11.