Автор: Пантелеев А.В.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математика задачи по математике
ISBN: 5-7035-2308-7
Год: 2000
Похожие
Текст
А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Москва
Издательство МАИ
2000
ББК 16.112
П/16
УДК/17.9
Рецензенты:
Заслуженный деятель науки РФ, доктор физ.-мат. наук, профессор В.Ф. Формалев;
доктор физ.-мат. наук, профессор А.Ю. Аржененко
Пантелеев АВ.
П 16 Вариационное исчисление в примерах и задачах: Учебное пособие. -М.: Изд-во МАИ, 2000. - 228 с.: ил.
ISBN-5-7035-2308-7
В пособии изложены методы решения как классических вариационных задач, так и неклассических задач оптимального управления на основе необходимых и достаточных условий экстремума функционалов.
В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельной работы с ответами.
Для студентов и аспирантов инженерно-технических и авиационных специальностей вузов и университетов.
1602120000 - 362 094(02)-2000
Без объявл.
ISBN-5-7035-2308-7
ББК 16.2.12
© А.В. Пантелеев, 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................................5
1. Общая постановка задачи и основные положения...................................6
2. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума............................17
2.1. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами.......................17
т
- 2.1.1. Функционалы J F(t,x(t),x'(t))dt, зависящие от одной функции... 17
т
2.1.2. Функционалы J F{t,xi(t),...,xn(t),x'x(t),...,x'n(t})dt, зависящие <0 от нескольких функций......................................................48
т
2.1.3. Функционалы j F(t,x(t),x'(t),...,x(m>(t))dt, зависящие 'о от производных высшего порядка одной функции...............................53
т
2.1.4. Функционалы J F(z,x|(z),x]'(z),...,x)<m)(z),...,x„(z),x^(z),...>x*m,(z))(7z,
зависящие от производных высшего порядка нескольких функций................................................59
2.2. Метод вариаций в задачах с подвижными границами...........69
т
2.2.1. Функционалы J F(t, x(Z), x'(z)) dt, зависящие от одной функции.
<0
Случай гладких экстремалей............................ 69
т
2.2.2. Функционалы J F(t, x(Z), x'(Z)) dt /зависящие от одной функции.
Случай негладких экстремалей...........................84
т
2.2.3. Функционалы J F(t,xi(t),...,xn(t),x{(t),...,x'„(t))dt, зависящие
<0 от нескольких функций.............................................89
т
2.2.4. Функционалы J F(t,x(t),x'(f))dt + G(T,x(T)), зависящие
<0 от одной функции..................................................99
т
2.2.5. Функционалы JF(t,xl(t),...,xn(t),xfl(t),...,x^„(t))dt+G(r,xi(T),...,xn(r)), зависящие от нескольких функций........................................103
3. Вариационные задачи поиска условного экстремума.......................... 111
3.1. Задачи на условный экстремум с конечными связями......................111
3.2. Задачи на условный экстремум с дифференциальными связями..............122
3.3. Задачи на условный экстремум с интегральными связями. Изоперимет-рические задачи...........................................................131
3.4. Задачи оптимального управления..................................... 144
3.4.1. Необходимые условия экстремума.................................144
3.4.2. Достаточные условия экстремума.................................180
Литература....................................................................226
ПРЕДИСЛОВИЕ
Существует достаточно света для тех, кто хочет видеть, и достаточно мрака для тех, кто не хочет.
Паскаль
Все может быть лучше, но все может быть и хуже, следовательно, все хорошо.
Дювернуа
Книга предназначена для студентов технических вузов и представляет собой учебное пособие по курсу “Теория оптимизации”. Предполагается, что читатель владеет основными понятиями математического анализа и теории дифференциальных уравнений. Вместе с пособиями [24,26,28,29,33] книга составляет единую серию “Прикладная математика в примерах и задачах”.
При формулировке и доказательстве необходимых и достаточных условий экстремума использованы единые подходы для всех изложенных задач. Основой для вывода необходимых условий выбран метод вариаций, а для вывода достаточных условий - принцип расширения.
При рассмотрении задач оптимального управления наряду с классическими методами нахождения программного управления и управления с полной обратной связью приведены условия оптимальности и вытекающие из них соотношения для синтеза оптимальных систем с неполной обратной связью.
Изложение построено по единой схеме, включающей постановку задачи, стратегию поиска и алгоритм решения, демонстрационные примеры и задачи для самостоятельного решения с ответами.
Описанные в книге методы решения вариационных задач используются в ряде смежных дисциплин, таких как теория управления [33], математические методы синтеза сложных систем [25-27].
Книга может быть использована для самостоятельного изучения курса, так как содержит весь необходимый материал и большое количество детально разобранных примеров. Она имеет ту же структуру, что и пособие “Экстремум функций в примерах и задачах”. Вместе они образуют единый учебно-методический комплекс, основу которого составили курсы лекций, читаемых автором и доцентом Т.А. Летовой на факультете “Прикладная математика и физика” МАИ.
Автор выражает сердечную признательность редактору серии Е.В. Лисовец за многолетнее творческое сотрудничество, доценту А.С. Якимовой, сделавшей ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению содержания книги, а также Д.В. Копошко за содействие, оказанное при подготовке оригинала-макета.
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
На практике существуют задачи оптимизации, в которых не удается описать качество выбранного решения с помощью целевой функции. В этих задачах критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо так, чтобы критерий принял минимальное или максимальное значение.
Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов, т.е. величин, численное значение которых определяется выбором одной или нескольких функций.
Пример 1.1. На плоскости (z,x) заданы две точки (/0,х0), (Т,хт). Требуется соединить эти две точки гладкой кривой, имеющей наименьшую длину (рис. 1.1).
□ Длина кривой, соединяющей две заданные точки, находится по формуле
г ---------
Ф(0]= f j 1 + х'2 (t)dt .
*0
Таким образом, решение задачи сводится к определению таюй непре-рывной функции х*(/) , имеющей на отрезке [/0,Г] непрерывную производную и удовлетворяющей заданным граничным условиям х((, )= xq , х (Т)= хт, на которой критерий /[х(0] примет минимальное значение . Критерий зависит от функции х(Г) и представляет собой функционал. Очевидно, решением является прямая х*(1), соединяющая две заданные точки.
Переменная 7[х(/)] называется функционалом, зависящим от функции x(t), если каждой кривой из заданного класса функций Л/ соответствует вполне определенное действительное значение I, т.е. функции x(t) соответствует число.
П ример! 2 -Н й ти значенияф ункционая /[ 4?)] %t)dt на следующих L °
говых образующих класс Л/: Xi(f) = f, x2(/)=f2, xj(/)= -(/-1)2 +1 (рис. 1.2).
» □ Заметим, что все кривые проходят через две точки (0; 0), (1;1), т.е. удов-
летворяют граничным условиям х(0) = 0 , х(1) = 1. Найдём значения функциона-
1 ла соответствующие каждой кривой из класса Af:
1 t 2
4*1(0]= f tdt = —
о 2
= 1 о=~3
= -•> 4*т(')1= р2^ = —
о 2 о J
О J
| В данном примере функционал имеет простой физический смысл - пло-/Иць под кривой x(t). Каждой кривой из класса поставлено в соответствие Sono, равное площади. Очевидно, может быть сформулирована задача о нахож-Ьнии такой кривой из класса Af площадь под которой была бы минимальна амксимальна).
V Функционал /(X1)] называется непрерывным, если малому приращению /фикции x(t) соответствует малое изменение функционала.
g $дем полагать, что фпсционал Дг()] определен на элементах xl(j >ии Иного нормированного пространства функций в котором каждому элементу поставлено в соответствие действительное число ||х|| , называемое нормой
элемента, при этом выполняются следующие условия:
1) ||х|| > 0 и ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0 (0 - нулевой элемент);
для любых элементов х,у, принадлежащих пространству, и любого действительного числа X.
Предметом нашего рассмотрения являются пространства С°,С1.
Пространство С°([Г0,Г]) состоит из непрерывных функций (кривых) х(/),
определенных на отрезке [z0,T]. В пространстве Со([/О, Г]) норма вводится сле-
дующим образом Ио =
/ elUj.T]
Пусть х'(г)е C°([Z0, Г]) и е > 0 - произвольное число.
е - окрестностью нулевого порядка кривой x’(t) называется совокупность кривых x(z)e С°Фо> Л)> такая, что
1Х’Х,|1о=,6Тт11х(/)’х*(01<£-
(1.1)
Это означает, что расстояние от кривой x’(t) до кривых х(/) мало (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Пространство С1 ([1о, У]) состоит из непрерывных функций (кривых) x(t) , определенных на отрезке [Zq,?] и имеющих на этом отрезке непрерывную производную. В пространстве С'фо.Т]) норма вводится следующим образом:
II х II, = max | x(Z) | + max | x'(t) |.
Пусть x’(z)e C*([l0,rj) и е > 0 - произвольное число.
е - окрестностью первого порядка кривой х" (z) называется совокупность кривых x(Z) е €71([ГО,7’]), такая, trro
к-х1|^6Тл1х(')"х*(01+/вТл1х'(0"х’,(01<Е • (L2)
jo означает, что у кривых х(/) и кривой х (/) близки не только ординаты, но и (ачения производных (рис. 1.4). Отсюда-следует, что кривая, принадлежащая '^скрестности первого порядка, принадлежит и е - окрестности нулевого по-щка (рис .13).
Аналогично вводится норма в пространстве Ст([/0,Т]) функций, имеющих (прерывные производные до порядка т включительно, т.е.
Рис. 1.4
Пример 1.3. Найти расстояния ||х-х*||о, между кривыми х(/) = 12
И х*(0 = t3 , t е [0,1] в пространствах С°([0,1]) и С*([0,1]).
□ Найдём расстояние в пространстве С°([0,1]):
I—1=ж1'2-'31-
Из необходимого условия экстремума (Г2 -Г3)' =0 получаем 2/ -Зг2 =0 и г =0 , t = . Вторая производная (Г2 - /3)" = 2 - 6t в точке t = отрицательна, поэтому в ней достигается локальный максимум. На концах промежутка [0,1] функция 1t2 - /3| обращается в нуль Следовательно, в точке t- - глобальный максимум и можно подсчитать значение расстояния в этой точке, равное
Найдём расстояние в пространстве С'([О,1]):
II х - х’|| = max 1t2 - Z31 + max | 2t - 3Z2 |.
II Hl /<=[O,1]I I /6(0,111 1
Так как максимум первого слагаемого уже известен, то исследуем второе слагае-
> I 1
мое. Необходимое условие экстремума (2z — 3Z ) = 2 — 6г = 0 даёт / = -. Так как
вторая производная (2т — Зг ) =-6 отрицательна, то в точке 1 = ~ - локальный
максимум. Значения функции 2z - 3t2\ на границе равны: 0 и 1, а значение
в точке - равно -. Поэтому максимум функции |2z-3z2| t = 1 и равен 1. Отсюда || х - х'Ц^ = + 1 = Ц.
достигается в точке
Пример 1.4. Найти число N, начиная с которого все функции x(z) = sm/l^ п2 принадлежат е-окрестности нулевого порядка функции **(/) = 0, если t е [0, л], е = 0,01.
□ Воспользуемся определением s - окрестности нулевого порядка и оценкой функции sin nt: ||х - х’|| = max smn/ <_1_<£. Отсюда следует, что тре-II НО ^2 ^2
буемое свойство выполняется при п > N = = 10.
Кривые x(z), на которых сравниваются значения функционала, называются допустимыми кривыми или кривыми сравнения.
Обозначим через x’(z) допустимую кривую, на которой функционал достигает экстремума, а через x(z) произвольную допустимую кривую. Разность x(z)-x’(z)=8x(z) называется вариацией кривой x*(z).
Вариация 8x(z) есть функция Z и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция x(z). Используя вариацию 8x(z) , можно представить любую допустимую кривую x(z) в виде
x(z)=x’(z)+8x(z). (1.3)
Однако нами используется и другая запись
x(z)= x’(z)+a8x(z) . (1.4)
В выражении (1.4) 8x(z) - фиксированная функция, а а - числовой параметр. Очевидно, что при а = 0 справедливо x(z)= x*(z) .
Назовем приращением функционала А/ разность
А/ = 7[x(Z)]-/[x’(Z)] = /(x*(Z) + a8x(Z)]-/[x*(Z)]. (1.5)
|| Линейным функционалом называется функционал /[*(/)], удовлетворяющий Цгедующим условиям:
। 4 е*0)1 = с 4*0)1-
fee с — произвольная постоянная, и
Г /[*10)+*20)]= 4*10)1+4*з0)]
Г, Дадим определение первой вариации функционала с использованием (1.3).
Если приращение функционала Д/= 4*(0 + 8х(0] - 4*0)1 можно представить в виде
4, Д/ = з4*0)>S*] + Р[*0)- 5*1' тах |®*| >
Й(е б4*0)>5*] ‘ линейный по отношению к 6х(г) функционал, тах|8х| - максимальное значение |8х| и р[х(/),8х] -> 0 при max |бх| ->0, то главная, линейная по отношению к 6х часть приращения функционала, т.е. 8/[х(1),8х], называется Яфвои вариацией функционала.
Можно дать другое определение первой вариации, используя (1.4).
Так как /[х’0) + а8х(/)| есть функция <р(а) числового параметра а, то, разложив эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки а = 0 по степеням а , найдем
„2
/[х,(/) + а8х(0]-Л*’(0] = а5У+у82/ + ... , (1.6)
где
J<p(a). _ J/[**0) + a5x(O],
’ da 1 “=о da 1 “=° U ’
И называется первой вариацией функционала,
,2, d2I[x*(t)+a6x(t)].
8 1 =----------------1 .«=0
da
И называется второй вариацией функционала и т.д.
Замечания 1.1.
1. Мы привели два определения вариации функционала. Покажем их связь. Если функционал имеет вариацию в смысле главной линейной части приращения, то это приращение имеет вид
А/ = 4*0) + “ &*(0] - 4*0)] = 84*0)> a8*l + Р[*0)> a8*l |“| ma* |8*| •
С другой стороны,
/[x(f) + a 8x(2)] = lim — = lim — =
d a a_0 Aa-»0 Да a->0 a
8Z[x(f),a8x] + p[x(/),a8x] a max 8х = lim--------------------------------------
а-»о а
= цт lim 1Ш<^] Hmax|8x| =
а-»о а а-»о а
так как 3Z[x(f),a8x]= a8Z[x(f),8x] в силу линейности, а
lim PM)’”8*! lal max|Sx| = 0
a-»0 a
потому что р[х(г), аЗх] -» 0 при а -» 0.
Следовательно, если существует вариация в смысле главной линейной части приращения функционала, то существует вариация в смысле производной по параметру и эти определения эквивалентны.
2. В литературе вместо Z[x(/)] часто используется обозначение Z[x(-)], чтобы явно различить элемент х() соответствующего функционального пространства и значение функции x(t) при фиксированном t.
Пример 1.5. Найти первую вариацию функционала
ь Z[x(r)]= /х2(/)Л.
а
□ Первый способ. Запишем приращение функционала ь ь ь ь
AZ = J[х(/) + 8х(Г)]2Л- |х2(/)Л = |2х(1‘)8х(/)Л + |[8х(г)]2Л. а а а а
Ь Ь
Но J [8x(/)fA < J [ max |8х(Г)| ]2dt = [ max |8х(/)| ]2(i - а) = (Ь - а) • ||8х||2 =
Ь
= (Ь - а) ||8х|| • ||8х||. Тогда Д7 = ]2х(/)8х(Г)Л + (2>-д)||8х||-||бх||, где 0->О при
2------.---- 0
8/
||8х|| -> 0. Поэтому можно выписать выражение для первой вариации функциона-ь
ла: 8Z = J 2х(/)8х(/)Л . а «
Второй способ. Воспользуемся формулой (1.7):
ь
l[x(f) + а 8х(/)] = J [х(/) + а 6х(/)]2Л ,
а
d Z[x(t) + а 8х(/)]
Ь Ь
= J 2 [х(0 + а 8х(0 ] 8х(Г) dt | а=0 = J 2x(Z) Зх(Г) dt. »-0 а а
Очевидно, оба способа приводят к одному результату.
Говорят, что функционал /[*(/)], определенный на классе Л/ кривых х(/), ^рспгает на кривой х*(0 глобального минимума (максимума) .если j /[хФ(0] < /[х(01 [z[x’(0]S/[x(0] ] Vx(f)e^.
Пример 1.6. Найти глобальные максимум и минимум функционала из при-И<ра 1.2.
О Очевидно, на заданном классе Л/ допустимых кривых функции соответствует наименьшее значение функционала (ей соответствует Наименьшая площадь под кривой на рис . 1 2) ,а кривой х3(/)-наибольшее значите (ей соответствует наибольшая площадь под кривой на рис. 1.2).
Пример 1.7. Доказать, что на кривой х (t) = t функционал
1
7[х(Г)1 = Jx' 2(Z) dt, х(0) = 0, х(1) = 1 о
достигает глобального минимума.
О Очевидно, функция х*(/) = t е С1 ([0,1]). Рассмотрим вариации 1!х() <£х ([0 1]) удовлетворяющие условиям 8х(0) =8х(1) =0 .Исследуем прира -щение функционала:
> 1 1
Z[x‘(0 + Зх(/)] - /[х* (/)] = J [х*'(0 + 8х'(/)]2Л -J [х*' (ttfdt = О о
4 -1 1 1
I = 2j x’'(0ax(Mf + f[8x(i)]2rfZ=J[8x($]2J/>0 ,
о о о
» 1
Так как x*'(/) = l, J х ' (1) 8х'(/) dt = 6х(1) - 6х(0) = 0 . Поскольку кривая
’1“ о
ДО = х(Г) + Зх(/) еС*([0 )]) произвольна и 7[х(/)] =Z[x*(f) + 8х(01 >-Ц**(0] >то На функции х (t) = t достигается глобальный минимума
! Понятие локального минимума ( максимума ) связано с исследованием 'поведения функционала на близких кривых. Различают сильный и слабый локальный минимум ( максимум ).
>: Говорят, что функционал /[х(/)] достигает на кривой x*(z) сильного
минимума (максимума), если 7[x*(Z)l Z[x(f)l [ 7[x*(Z)]>7[x(/)]] в е-окрест-
; ности нулевого порядка кривой x*(f).
Говорят, что функционал 7[х(г)] достигает на кривой х*(/) слабого минимума (максимума), если 7[x‘(r)J < /[x(z)] [ 7[x‘(Z)] > 7[х(/)] ] в е-окрестности первого порядка кривой x‘(t).
Локальные минимумы и максимумы функционала называются его локальными экстремумами.
Замечания 1.2.
1. Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, а обратное, вообще говоря, неверно.
2. Всякий глобальный экстремум функционала является сильным и слабым локальным экстремумом, но не всякий локальный экстремум будет глобальным.
Пример 1.8. Доказать, что на кривой x*(Z) = 0 функционал
Дх(1)] = ] х2 (Г) [3 - х 2 (Г)] dt, х(0) = х(я) = О о
достигает слабого минимума.
□ Так как /[х (1)] = 0, то согласно определению требуется доказать, что существует е > О, такое, что для всех х(/), удовлетворяющих условию
max х(0-х’(0 + max х'(Л-х*'(0 = max I x(f)I + max I x'(i)l <e, fe[0,n|l I <€[0,«|l I [_/e(0,n] 1 /е(Ол)1 'J
справедливо неравенство Z[x(/)] > /[x’(t)] = 0.
Пусть в = 1, тогда для всех кривых из г -окрестности первого порядка кривой х М ~ 0 выполняются условия: max I х(/) I < е = 1, max I х'(/) I < е = I.
/е[0,я] 1 1 /е(0,п] 1 1
Поэтому 0<х2(/)<1, 3-х'2(г)>0 и Z[x(z)] = |х2(г)[3-х'2(/)]Л>0, что и тре-о
бовалось доказать. Следовательно, на кривой х (/) s 0 функционал достигает слабого минимума.
Исследуем функционал на наличие сильного минимума. При s = 1 е -окрестность нулевого порядка кривой х (/) = О образуют кривые, удовлетворяющие условию max x(Z)-x*(r)| = max I x(Z)| <е = 1. Но среди них можно /е(0,я]1 I /б[0,п]
подобрать такую функцию, например x(f) = sin5f, что выражение [3- х'2(/)] может быть отрицательным, так как x'(Z)= 5 cos 5/. Поэтому условие Z[x(/)] > Z[x*(f)] = 0 на некоторых функциях из г-окрестности нулевого порядка кривой х (/) ^ 0 может не выполняться. Аналогичные рассуждения справедливы при других значениях е . Следовательно, на кривой x'(i)sQ функционал не достигает сильного минимума.
Необходимые условия локального минимума ( максимума) одинаковы для сильного и слабого минимума ( максимума ) и определяются следующей теоре -мой [39].
Теорема 1.1 (необходимые условия локального экстремума).
Если функционал Z[x(Z)], имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой x*(t), где х*(Г) есть внутренняя точка области определения функционала, то при х(/) = х”(1) первая вариация функционала равна нулю'.
Ы =0. (1.8)
ЗамечавиЛЗ .
1. Доказательство необходимых условий экстремума функционала опират-на тот факт, что при фиксированных х (/) и 8x(t) функционал x(t) + а 5х(/)] = <р(а) является функцией параметра а. При а = 0 функционал ает экстремального значения z[x*(/)]. Заметим, что а может принимать
врестности точки а = 0 как положительные, так и отрицательные значения иэтом x'(t) является внутренней точкой в области определения функциона-)Так как точка а = 0 является точкой локального экстремума функции <р(а), применяя необходимые условия локального экстремума функций [24], полу-
= 0 или
= 0.
(19)
(1 Ю)
R “ 1=о
Ц 2. Различие между сильным и слабым экстремумами не имеет существенно) значения при выводе необходимого условия экстремума, но весьма сущест-вно при выводе и применении достаточных условий экстремума.
К—При выводе необходимых условий экстремума для различных постановок Варационных задач применяется следующая важная теорема [39].
( Теорема 1.2 (основная лемма вариационного исчисления). Есл и) ля казЛ ди непрерывной}) ункции У
I т
\ jfl(On(OA =0 ,
f. *°
«функция a(t) непрерывна на отрезке [г0, Т], то a(t) = 0 на том же отрезке.
\ ЗамечанияЗД
1. Утверждение основной леммы вариационного исчисления и её доказа-Клвво не изменятся, если на функцию т,(/) наложить следующие ограничения: ^(имеет непрерывную производную; Л^о) - лСП = 0 •
| 2. Всё изложенное в этом разделе без изменения переносится на функцио-|шы /[х(/)]=/[х1(г),...,хя(?)|, зависящие от вектор-функции х(/) = gxj(/),...,хя(0)г одной переменной или зависящие от функций нескольких Крененных. Для таких функционалов вариация также определяется как главная |№йная часть приращения функционала и доказывается, что на функциях (иегор-функциях), на которых реализуется экстремум, вариация равна нулю.
f
.if
Задачи для самостоятельного решения
.1 Вычислить значения функционала /[х(7)]= |х2(/)Л на кривых ? о
%(0 -
11, Ответ:/i =-,/ 2 = ё .
2. Найти расстояние между функциями х(Г) = t2, x'(t) = t в пространстве С°([0,1]).
Ответ-. |х-х||о=|.
3. Найти расстояние между функциями x(t) = t, х"(/) = 1п/ в пространстве
Ответ: ||х - х"|^ = 2(е -1).
4. Пользуясь определением, доказать, что на кривой х’(г) = г3-г2 функ-1
ционал Дх(/)] = Jx" 2(t)dt, х(0) = х'(0) = х(1) = 0, х'(1) = 1, достигает глобального о
минимума.
5. Доказать, что на кривой х*(Г) = 0 функционал
Дх(/)] = Jx2 (0 [х'(0 -1]2 Л, х(- л) = х(л) = О, -я достигает сильного минимума.
6. Найти первую вариацию функционала /[х(г)] = J [х2 (г) + х'2(г)]л, о
х(0)=0, х(1)=1.
Ответ: 87 = J [2х(/)-2х"(/)] &x(t)dt. о
7. Найти первую вариацию функционала /[х(/)]= | [12г х(г)-х'2(г)]<*, -1
х(-1)=1, х(0)=0. 0 Ответ: 3Z = J [12/ + 2х"(/)]Зх(/)Л.
-1
я
8. Найти первую вариацию функционала /[х(/)]= j[x 2(/)-х2(г)]л, о
х(0)=1, xg) = 0.
Я
*2
Ответ: 8/ = J [ - 2х(/) - 2х”(г) ]бх(Г) dt. о
'•iT*
2. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
2.1. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
т
2.1.1. Функционалы J F(t,x(t),x'(t)]dt, зависящие от одной функции ‘о
.д,
^йюших следующим условиям (см. рис. 1.3):
а) функции x(t) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке где (0 и Т заданы, т.е. х(Г) еС*([Г0,Т]) ;
б) функции х(/) удовлетворяют граничным условиям
, х('о) = х0, х(Т) = хт, (2.1)
значения х0,хт заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничные точки.
На множестве Л/ задан функционал
i Z[X(O]= p(f,x(O,/(/)>,
v’ *
ЙйВ подынтегральная функция F(t,x,x) имеет непрерывные частные производ-Вэ второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых кривых х(г) , принадлежащих множеству Л/ , требуется кривую х*(г) , на которой функционал (2.2) достигает экстремума, т.е.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество М допустимых функций (кривых) х((), удовлетво-
(2-2)
Дх*(0]= extr f Fit,x(f),x
ю
Так как на кривые x(t) , образующие множество Л/, не наложено допол-льных условий, кроме траничных, задача (2.3) называется задачей поиска кого экстремума. Этому классу задач посвящен разд. 2. В разд. 3 рас-
триваются задачи поиска условного экстремума, когда на искомые функции ме граничных условий накладываются дополнительные конечные, интеграль-или дифференциальные условия.
(23)
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи (2.3) состоит в определении первой вариации 8/ функционала /[х(/)] и приравнивании ее к нулю согласно теоре-
ме 1.1 о необходимом условии экстремума функционала. В результате получаются соотношения, позволяющие найти кривые, “подозрительные” на наличие экстремума функционала.
С помощью анализа второй вариации функционала выводятся различные достаточные условия экстремума, позволяющие сделать вывод о достижении сильного или слабого минимума или максимума.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА В ЗАДАЧЕ (2.3)
Обозначим x*(t) - кривую, на которой достигается экстремум функционала. Тогда допустимая кривая определяется по формуле (1.4): x(Z) = х*(Г) + аМО , а ее производная х'(0 = x*'(t) + a6x’(t) , где МО - фиксированная вариация кривой, 6х'(0 = (МО) - производная вариации, а- числовой параметр. Заметим, что 8x(f)e С1([Г0,7’]), 8х(го)=О, &х(Т)= 0. Тогда
Дх*(Г) + аМ01 = |т(/,х"(Г) + а8х(1),х"(Г) + a6x’(f))<ft = <р(а), (2.4)
to
где <р(а) - функция числового параметра а.
Используя формулу (1.7) для вычисления первой вариации функционалу, имеем
8/ = —Г f(z, x’(f) + а 8х(/), х*'(1) + а 8х'(1))| dt = «-0 а=°
Т г , .
| Fx(/,x*(r) + a8x(f),x*'(Z) + a8x’(r)]l М0 + to
+ F* (/, x* (Г) + а 8х(Г), x*' (Г) + a 6x'(o) I 8x’(ol dt =
Iq=0 J
= J [/?ж(Г,х’(0,х*’(0)М0 + 2;’х'(Г,х’(0,х’'(0)М0]л.
<o
(2.5)
где = Э4х,х), =
дх d
соответствующие производные подын-
тегральной функции.
В выражении (2.5) проинтегрируем второе слагаемое по частям, учи-, ( т т
тывая, что 8х'(/) = (МО) • “ = , dv = 8x'(f)dt = (МО) dt, judv = и v - j vdu.
<0
Отсюда
du = — F' dt, dt x
v = 8x(t)
и
т
]&(')<*
(16)
(2.7)
А) <Ь L
Так как Sx(ro) = O, 8х(Т) = 0, то т г j S/ = flFx--Fx. 8х(Г)Л.
<0 L J
Необходимое условие экстремума (1.8) в данном случае имеет вид 8/= J F*-JtFi |х(/)Л = 0.
К выражению (2.8) применима основная лемма вариационного исчис-ния (теорема 12), так как в силу наложенных ограничений на кривей i) функция Fx~ — F' является непрерывной, а вариация 8х(Г) - произ-Л
ой непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей услови-6х(го) = 0, 8х(Г) = 0 (см. п. 1 замечаний 1.4).
Следовательно, кривая х*(г), на которой достигается экстремум функ-ала, удовлетворяет уравнению
Fx-^-Fx. =0. dt
Уравнение (2.9) называется уравнением Эйлера. В развёрнутой форме
(2.8)
dt
(29)
‘ уравнение (2.9) имеет вид . J да
Л -fx7 -Fxx х -Fxx- x" =0
(2.Ю)
d
ЯР при Fx’x-*0 Представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение В ого порядка. Его общее решение х = х(/,С1,С2) зависит от двух произ-ных постоянных С, и С2 и определяет двухпараметрическое семейство ЧЯРхтремалей. Два граничных условия x(t0 )=х0 и х(Т) = хг позволяют най-Ci и С2 и, как следствие, кривую х*(г), на которой может достигаться экстремум функционала. Только на удовлетворяющих граничным усложняй экстремалях может реализовываться экстремум. Чтобы выяснить, дос-'^Тигается ли на экстремали экстремум функционала, а если да, то какой ,^(минимум или максимум), следует использовать достаточные условия (см. Жр 37).
JF Теорема 2.1 (необходимые условия экстремума в задаче (2.3)).
®., Если на кривой х*(/)е С1([/0,Т]), удовлетворяющей граничным условиям Жх (г0)=х0, х (7')=Хт', достигается слабый экстремум функционала в задаче К2.3), то она удовлетворяет уравнению Эйлера
It Fx-^-Fx.=Q.
яГ dt х
Замечания 2.1.
1. Краевая задача (2.9), (2.1) не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.
2. Во многих практических задачах существование, решения очевидно, и если решение задачи (2.9), (2.1) единственно, то экстремаль будет решением поставленной задачи.
3. Можно указать условия, при которых можно гарантировать существование непрерывной второй производной у экстремали х ft) .
Теорема 2.2 [10].
Пусть х = x'(t)-решение уравнения Эйлера Fx- — F-=0. Если функция dt
F(t,x,x') имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то во всех точках (т,х*), где Fx-x-{t,x'(t\x"(t^0 функция х = х*(() имеет непрерывную вторую производную.
4. Уравнение Эйлера интегрируется в квадратурах лишь в исключительных случаях. Приведем некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Первый случай. Функция F(t,x,x) не зависит от х явно/ F(t,x,x') = F(t,x').
Уравнение Эйлера (2.9) принимает вид — F'=0 и, следовательно,
dt
Четвёртый случай. Функция имеет вад F(t, х, х') = P(t, х) + Q(t, х) х . ение Эйлера записывается в форме -
аР_ае=0
дх dt-
уравнение не является дифференциальным. Если его решение удовлетво- .
_ ар ае
ет граничным условиям, то экстремаль существует. Если — -- —, то
следова-а вариа-
(2.14)
(2-11)
x явно:
форме
(2.12)
Соотношение (2.11) называется первым интегралом уравнения Эйлера. Второй случай. Функция F(t,x,x') не зависит от t - и
/’(?, x,xj = f(x'). Уравнение Эйлера (2.10) записывается в Fxx- х" = 0. Его общее решение имеет вид
х(/) = С] t + С2,
так как х" = 0, а условие Fx’x- = 0 даёт обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Если уравнение Fx'x' (х ’) = 0 имеет один или несколько действительных корней вада х’ = к,, то получаем однопараметрические семейства прямых x(t) = к, t + C , содержащиеся в двухпараметрическом семействе (2.12).
Третий случай. Функция е(/, х, х') не зависит от t и х' F(t,x,x')= F(x) или не зависит от х' явно: F(t,x,x')= F(t,x). Задача в общем случае решения не имеет, так как уравнение Эйлера (2.9) нимает вад
явно: (2-3) при-
Fx =0
(2-13) и не является дифференциальным, т.е. его решение не содержит элементов произвола и поэтому не удовлетворяет граничным условиям. Однако, если решение уравнения Fx = 0 проходит через граничные точки (т0,х0) и (Т,хг), экстремаль существует.
дР 8Q дх знаком интеграла (2.2) находится полный дифференциал и, ,но, величина интеграла не зависит от пути интегрирования, .’Донная задача теряет смысл.
,v Пятый случай. Функция f(/,x,x') не зависит от х, х')- F(x, х'} Уравнение Эйлера (2 10) имеет вид
,% Fx-Fx.xx'-Fx.x.x" = 0,
'ir*
^даккак Fx'r=0. Если умножить левую и правую части уравнения на х, л,
УЙр левая часть превращается в производную —[F-x'FxJ. Действительно, at
* — - xFj= Fx х + Fx- х -х Fx- - x Fxx x - x Fjj x = x [fx - F^xx - Fx'x'X | f4t d f , 1
Поэтому уравнение Эйлера может быть записано в виде — [Г - х Fx> ] = 0 ’’“Т ' at
имеет первый интеграл
ЧЦ.,
Ш9)
t явно:
=С{. (2.15)
Заметим, что часто непосредственное применение уравнения Эйлера оказывается проще использования первых интегралов.
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.3)
1. Найти Рг, Ег, — F' и записать уравнение Эйлера 1 dt
$-4 %= ° dt
• Если функция Е’((,х,х') соответствует какому-либо случаю ингегри-гРуемости, можно использовать соотношения (2.11)-(2.15).
‘rf 2. Найти общее решение уравнения Эйлера х = x(t, С,, Cj), где С] и
С2 - произвольные постоянные.
< t 3. Определить постоянные С\ и С2 из граничных условий, решая систему
St;
x(^0>Q>^2)= x0 , х(Г,С|,С2) = xT.
В результате получить экстремаль х*((), на которой может достигаться экстремум функционала.
Пример 2.1. Найти экстремаль функционала
4*(')]= J [х2(/)+*'2(г)]л, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(1) = 1.
□ 1. Запишем уравнение Эйлера (2.9). Так как F = х2 + х'2, Fx=2x, Fx‘ = 2х', } = 2х" , то получаем 2х - 2х" = 0 или х" - х = 0.
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно является однородным с постоянными коэффициентами, поэтому составим характеристическое уравнение X2 — 1 = 0. Его корни Xj=l, Х2=-1 - действительные разные. Общее решение однородного уравнения имеет вид [28]
х(7) = С^1' + С2е^‘ = Cje' + С2е~'.
3. Определим коэффициенты С( и С2 из граничных условий:
х(0) = С1+С2=0, x(l)=Cie + C2i = l. е
С £
Отсюда С[ = —-----, С2 =-----. В результате получаем экстремаль
е2 -1 1-е2
Пример 2.2. Найти экстремаль функционала
4*(0l= f [12# x(r)-x2(r)]dr,
-1
удовлетворяющую граничным условиям х(-1) = 1, х(0) = 0.
□ 1. Составим уравнение Эйлера (2.9). Так как F = 12tx-x‘2,
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера, интегрируя дважды и правые части уравнения х" = -6t . х = it2 +С х, x(i) = 4s + С -С 2.
. Определим коэффициенты Cj и С2 из граничных условий:
х(0)=С2=0.
да С J =С 2 =0 .В результате получаем экстремаль х(^ =-?( рис.2 1) .1
Пример 2.3. Найти экстремаль функционала
X
s
о
(етворяющую граничным условиям х(0) = 1, х 0.
□ Р ешим задачу двумя спо<&> ами.
Первый способ.
1. Составим уравнение Эйлера (2.9). Так как F = х 2х 2 Fx=-2x,
=2 х , ^-\F •} =2 х , то получаем -2 х -2 х =0 или £ + х =0 .
dt
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Поскольку оно является ородным с постоянными коэффициентами, то составим характеристиче-__________ уравнение X2 +1 = 0. Его корни х12 = а ± pi = ± i - комплексные разные ; (Ь =0, р = 1) . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид [28]
x(i) = eal (C| cos pt + C2 sin pi) = Cj cos t + C2 sin t.
3. Определим коэффициенты
С] и C2 из граничных условий:
х(0) = С1=1,
= С2 =0.
х*(/) = cost (рис 22).
Г ' Отсюда получаем экстремаль
Второй способ.
J Замети^ что подынтегральная фикция В= х ' - х 2 не зависит яв-j Йо от t , следовательно , соответствует пятому случаю интегрируемости . » Уравнение Эйлера имеет первый интеграл (.2 15)"
F-x'Fx’= х'2-х2-х (2x') = Ci или х'2 + х2 = -Ct = С2.
У; 2. Найдем общее решение дифференциального уравнения. Сделаем замену
, «ременной', х =^- = т. Отсюда х2 =С2 - г2 и х =J С2 - т2 , dx =-. d т.
dt х/с2-г2
Но dt = — =---— Проинтегрировав обе части цолучим t - -arcsin — + С2 .
г ^с2-т2 С
Тогда arcsin = С2-1, = sin(C2-/), т = С sin (С2 -1). Поэтому
V V
x(t) = 7 С2 - г2 = 7 С2 - С2 sin2(C2 -l) = C cos(С2 -1) - общее решение уравнения Эйлера.
3. Определим коэффициенты С и С2 из граничных условий:
х(0) = CcosC2 = 1,
х| —) = С cos | С2 - — | = С sin С2 = 0. L 2 2) 2
Отсюда <7 = 1, С2=0. В результате получена экстремаль x*(t)= cost. Заметим, что в данной задаче непосредственное применение уравнения Эйлера (2.9) приводит к более простому дифференциальному уравнению.*
Пример 2.4. Найти экстремаль функционала
/МО] = f [4x(t)- x'2(t)+ 12t x'(t) ]Л, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 1, х(1) = 4.
□ Запишем уравнение Эйлера (2.9). Так как F = 4х - х'2 + 12tx',
Fx=4, F' = -2x’ + 12t, — {f,4 =-2x" + 12, то 4 + 2x"-12 = 0 или x" = 4. xx X)
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера, интегрируя последовательно обе части:
x'(t)=4f + C[, х(/)= 2/2+С,/ + С2.
3. Определим коэффициенты Cj и С2 из граничных условий:
х(0) = С2=1, х(1)=2 + С1 + С2 =4.
Отсюда Q = 1, С2 = 1. В. результате находим экстремаль x*(t) =2t2 +t +1 .
Пример 2.5. Найти экстремаль функционала
m2, .
4*(0]= I [x'2(t)+2x2(t)+2x(t)]e-'A, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = х(1п 2) = 0.
□ 1. Запишем уравнение Эйлера (2.9). Так как F = (х’2 + 2х2 + 2х)е"' ,
Fx = (4х + 2)e'f, Fx' = 2х' е*', {fx-} = 2х" е~‘ - 2х е~', то получаем
(4х + 2)е-/ -2х"е-' + 2х'е~1 =0 или х"-х'-2х = 1.
£
4
гл
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:
а) определим общее решение однородного уравнения х"-х'-2х = 0. характеристического уравнения X2 - X - 2 = 0 - действительные разные:
= 2, Х2 = -1, поэтому x0(r) = С,е2' + С2е~*;
б) подберем частное решение неоднородного уравнения в виде В=Л. Подставляя в уравнение, получаем — 2Л =1 или А •’ < 2
в) найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму резуль-
Ьв пп “а” и “б”; х(/)= Q е2'+ Q - у
3. Определим постоянные Q и С2 из граничных условий:
x(o)=c1+c2-Uo,
l - = Cleb'4 +с£~^ -’- = 40] +1-С2-1-=0.
2 1 2 2 1 2 2
С -I с2-7-
x(ln2) = C1e2ta2+C2e-|n2
q =—, 1 14
• —е“ +-е
У 14 7 2
'Пример 2 6. .Найти
и, следовательно, получаем экстремаль
Отсюда
экстремаль функционала
:'2(/)+2х(/)е']л ,
о
ряющую граничным условиям х(0) = 0, х{1) = 0.
□ 1. Запишем уравнение Эйлера (2.9). Так как F = x2+х'2+2хе', 2х + 2е', /у = 2х , -2 * > то получаем
2х + 2е'-2х” =0 или х"-х = е/.
2 Найдем общее решение уравнения Эйлера: а)
определим общее решение однородного уравнения х"-х=0. характеристического уравнения X2 -1 = 0 действительные разные:
Х2=-1. Поэтому x0(t)=Clek,t+ С2еК}* = С1е* + С2е~*;
подберем частное решение неоднородного уравнения в виде
1, б)
•%(t)=Ate‘, где А - неизвестный параметров]. Тогда xj,(f)= Ае* + Ate* ,
Ц^)= 2Ле'+ Л/е'. Подставляя в неоднородное уравнение, получаем
/ 2Ае‘ + Ate* - Ate* = е*.
/Йрщввнивая коэффициенты при одинаковых функциях от t, имеем 2А = 1
Сяли А =*-. П оэтому х() = —i ;
в) найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму результатов пп. “а” и “б”: x(t)=Cle‘ +С2е~' +^е'.
3. Определяем постоянные С, и С2 из граничных условий:
х(0)=С!+С2 =0, x(l)=Cie + C2e-'+| = 0.
ег е2
Получаем Ci =-----------, С2 =--------- и, как следствие, экстремаль
2(е2-1) 2(е2-1)
в2 t е2 -t t t _
---------e + —;-----e + -e .
2(e2 -1) 2(e2 -1) 2
Пример 2.7. Найти экстремаль функционала
2
] = f [ 3/ x'5 (0 - 5x(f) X 4 (01 dt,
1
удовлетворяющую граничным условиям x(l) = 1, x(2) = 4.
□ 1. Запишем уравнение Эйлера (2.9). Так как F = 3/х'5 -5хх'4,
Fx = -5х'4 , F = 15tx 4 - 20хх'3; — {fJ = 15х'4 + 60/х'3х" - 20х'4 - 60хх'2х", х dt
то -5х'4-15х'4-60/х'3х" + 20х'4 +60хх’2х" = 0 или х'2х"(х-Гх')=0.
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно распадается на три уравнения.
Первое уравнение х'2 =0 имеет решение x(t)=C. Прямые этого семейства не принадлежат классу допустимых кривых, так как не удовлетворяют граничным условиям.
Второе уравнение х" = 0 имеет решение x(r) = С| t + С2.
Третье уравнение x-tx'-О является уравнением с разделяющимися dbc dt
переменными [28] : — = —. Оно имеет решение x(t) = Ct, которое включается в семейство x(r) =Clt + C2.
3. Найдем коэффициенты Q и С2 из граничных условий:
х(1) = С]+С2 = 1,
x(2)=2Cj +С2 =4.
Отсюда = 3, С2=-2, х*(<)= 3/-2 - экстремаль.!
Пример 2.8. Найти экстремаль функционала
Л
Ф(')] = 1 [*' 2(')- 37х(/)х'(т)-81 х2(')] dt, О
чдрвжтворяющую граничным условиям х(0) =1 , х^ = 4 .
□ 1. Составим уравнение Эйлера (2.9). Так как F = х'2 -37хх' - 81х2,
=-37х' -162х , F =2х' -37 х , =2 * “37 х , то уравнение имеет вид
- 37х - 162х - (2х" - 37х') = 0 или х" +81х = 0.
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Аналогично п.2 примера 'Жа, получаем Х2+81 = 0, А12 = ±9г, х(/)= Ct cos9/ + С2 sin9/.
й 3. Определим коэффициенты Q и С2 из граничных условий:
х(0)=С, =1,
xf—]=С2 =-1.
К U8 J
результате получаем экстремаль x*(/)=cos9t-sin9/.e
Пример 2.9. Найти экстремаль функционала
/[*(01= f[*'2(')+'*(')] dt, о
ЗХОВлетворяющую граничным условиям х(Ь)=0, х(2)=0.
Ш □ 1. Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция уГ=х'2 + tx не зависит от х явно и, следовательно, соответствует первому |$Йучаю интегрируемости. Уравнение Эйлера имеет первый интеграл (2.11):
W - F* - 2х' +1 - Ct.
Swf’1 с — t С t
;-i --2 Решим уравнение Эйлера х' = —L— = Интегрируя, получаем 3
3. Определим коэффициенты Q и С2 из граничных условий: х(0)=С2=0, х(2)=С!-1 + С2 =0.
Отвода Ct = 1, С2=0.В результате получаем экстремаль х*(/) = - —
2 4
Пример 2.10. Найти экстремаль функционала
г. ,, 2f J i+x'2(z) 4X01= {-—
удовлетворяющую граничным условиям х(1) = 3 + Уз , х(2) = 3.
□ 1. Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция /1 + х‘2
F = -— ---- не зависит от х и, следовательно, соответствует первому
случаю интегрируемости. Уравнение Эйлера имеет первый интеграл (2.11):
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Имеем ---------= t. Сде-
71+х'2
лаем подстановку
dx . „ C tgT „ . IT „ , ,
— = tgr: t =—y2—= L sinr. Найдем дифференциал: dt 1
COST dt = Ccoszeh. С учётом равенства dx = t%zdt получаем dx = tgr C costA = = Csinxdr. Интегрируя, имеем x(r) = -Ccost + C2.
Из системы
T = Csmt, x(t)-C2 = -Ccost,
возводя в квадрат каждое уравнение и складывая, находим Г2 + (х{1)-С2^ = С2 -общий интеграл уравнения Эйлера.
3. Определим коэффициенты С и С2 из граничных условий:
1 + (з + 4з-с2^ = с2,
4 + (3-С2)2 =С2.
Отсюда С2=3, С2 =4. В результате получаем экстремаль Г2+(х*(г)-Зр =4. Так как x(l)=3 + V5, экстремум может достигаться лишь на кривой х‘(г)=3 + 74-Г2 , /е[1,2].Я
Пршер 2.11. Найти экстремаль функционала
4*(')]= f [х'4(/)+х'3(0]ж, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(2) = 4.
□ 1,2. Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция _ f A f "1
F = х + х не зависит от t и х явно и, следовательно, соответствует второму случаю интегрируемости. Общее решение уравнения Эйлера имеет вид (2.12): x(f) = С( t + С2.
3. Определим коэффициенты С, и С2 из граничных условий: х(0)=С2=0, х(2)=2С] +С2 =4.
^гсюда Ct=2, С2 = 0. В результате получаем экстремаль х*(/)=2/.и
Пример 2.12. Найти экстремаль функционала
ряющую граничным условиям х(1) = 2, х(3) = 0.
1,2. Запишем уравнение Эйлера и его общее решение. Подынте-t и х явно. Общее реше-i уравнения Эйлера, соответствующее второму случаю интегрируемости, вид (2.12): x(t) = Clt + C2.
3. Определим коэффициенты CJ и Cj из граничных условий x(1)=Ci+C2=2, х(3)=ЗС] +С2 =0.
В результате получаем экстремаль х‘(/)=-/ + 3. получено решение примера 1.1 о поиске гладкой точки и имеющей наименьшую длину.а
функция F = 71 + *'2 не зависит от
Гфимер 2.13. Найти
гсюда С] =-1, С2 = 3. что тем самым й, соединяющей две
экстремаль функционала
Ф(^= /Ь2(')+4)]л>
1
фДсвлетворяющую граничным условиям х(1) = 0, х(2) = 1.
□ Запишем уравнение Эйлера и решим его. ГЬдынтегральная фгнк-
F = х2 + х не зависит от t и х . Она соответствует третьему случаю руемости. Уравнение Эйлера имеет вид (2.13): Fx = 2х +1 = 0.
да х(/) = -^-. Поставленная задача не имеет решения, так как кривая 2
;Х0 = -у не удовлетворяет заданным граничным условиям х(1) =0, л(2)=1.
f. Заметим, что решение существует, если граничные условия другие, Л именно: XI = .
Пример 2.14. Найти экстремаль функционала
Л4)]= f[x2(*)+2/x(0]*, удовлетворяющую граничным условиям х(г0) = х0, х(Т)=хг.
□ Запишем уравнение Эйлера и решим его. Подынтегральная функция F = х2 + Их не зависит от х' и соответствует третьему случаю интегрируемости. Уравнение Эйлера имеет вид (2.13): Fx=2x + 2t = 0 или x(t)--t. Задача имеет решение, если найденная прямая проходит через граничные точки, т.е. при x(tQ) = -/0 = х0, х(Г) = -Т = хт .
Пример 2.15. Найти экстремаль функционала
Ф(')]= f [х2(/)-их'(/)]л, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(2) = 1.
□ Запишем уравнение Эйлера и решим его. Подынтегральная функция F(t,x,x')=P(t,x)+Q(t,x)x' = x2+tx', т.е. P(t,x)=x2, Q(t,x) = t (четвёртый случай интегрируемости). Уравнение Эйлера (2.14) принимает
форму 2х -1 = 0. Отсюда x(t) = 1. Задача не имеет решения, так как полу-
ченная функция не удовлетворяет граничным условиям.»
Пример 2.16. Найти экстремаль функционала
/[*(')]= J[2x3(0+3??(0]a, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(1) = хт.
□ Запишем уравнение Эйлера и решим его. Подынтегральная функция F(t,x,x')= P(t,x)+Q(l,x)x' = 2х3 + 3t2x', т.е. P(t,х) = 2х3, Q(t,x) = 3t2 (четвёртый случай интегрируемости). Уравнение Эйлера (2.14) принимает форму 6х2-6/ = 0 или.х2=/.
Граничное условие х(0)-0 удовлетворяется, а условие х(1)=хг выполняется при xj=l. Таким образом, экстремаль существует только тогда, когда хт = 1 или хт = -1 .
Пример 2.17. Найти экстремаль функционала Я
7[х(/)] = j [x2(/)cos t + 2х(/)х'(/) sin t ]<ft , я 6
удовлетворяющую граничным условиям х - = 1, х| - I = 2. ^6) \2J
□ Подынтегральная функция имеет вйд
F = х2 cos/ + 2xsin/x' = P(t,x)+Q(t,x)x', т.е. P(t, х) = х2 cos t, Q(/,x)= 2xsinZ.
_ 9P(/,x) . , dQ _ dP dQ „
Так как —= 2x cos t, —— - 2x cos t, to — = ——. Выражение под зна-
dx dt dxdt
ком интеграла является полным дифференциалом функции х2 sin/. Величина
ккционала не зависит от пути интегрирования, а вариационная задача имеет смысла (см. четвертый случай). Значение функционала равно
1= J х2 costdt + 2xsin/<& = Jd\x2 sinz)=x2 sin/
=4-2=2
, 2 2
Пример 2.18. Найти экстремаль функционала
/[х(/)]= Jx(z) x'2(t)dt, о
ряющую граничным условиям х 0 )= 1, х(1)= 5/4
□ 1. Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция F = хх'2 исит от t явно (пятый случай интегрируемости). Уравнение Эйлера первый интеграл (2.15): хх 2 -2х'хх' = С, или xx'2=-Cj=C.
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Введем подстановку = т. Тогда уравнение хх'2 =С имеет вид хт2 = С. Отсюда
С
.. . . 2С . _ dx 2С .
м дифференциал dx: dx = —— rft. Тогда dt = — = —— Л.
т3 X т*
_ с . Так как х , то
Отсюда
+ С г3-2 з? Сз’ ""з
С
0-С2)
х(г)=
общее решение.
3. Определим коэффициенты С и С2 из граничных условий:
х(0) = Я jC2 С = 1, V 4
4)=^2(i-c2)2c = 5f4.
Отсюда -С2С = 1, ~(1-С2)2С = 4 => С = —^г, ——2^- = 4,
4 4V 9С2 Cj
!ЗС2 + 2С2 -1 = 0. Окончательно имеем: С2=-1, С = -1; С2 =-|( С =4.
В результате получаем две экстремали: х *(/)= 5/ 0 +1)2 и х’( )= (3Z -1)2.^
Пример 2.19. Найти экстремаль функционала
/[4)1= J Л«[1+х'2(0]л>
-4 удовлетворяющую граничным условиям х(- 4) = 5, х(4) = 5.
□ 1. Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция F = Ли**'2) не зависит от / явно (пятый случай интегрируемости). Уравнение Эйлера имеет первый интеграл (2.15):
7х[1 + х'2] -х — * * = = С] или x = CtJх[1 + х'2] -, х2 = С2х(1 + х'2),
Jx[l + x'2]
х*0. Сокращая на х, получаем х = с(1 + х'2), где С = С2.
2. Найдём общее решение уравнения Эйлера. Обозначим х' = — = г, dt
поэтому х = с(1 + т2), dx = 2Стск. С другой стороны, имеем dt = — = 2^’T^t = 2С А. Интегрируя обе части, получаем t = 2Ст + С2, т т
t-c2
2С ’
2 = *---. в результате находим
4С2
x(/) = c(l + T2)=cfl+С2Н => х(Г)-С = — . ' I 4С2 4С
3. Определим коэффициенты С и С2 из граничных условий:
5-С 4С 4С ’
5-С = ^Г. 4С
Отсюда (4 + С2У =(4-C2f и С2 = 0. Тогда 4(5-С)С = 16, С2-5С + 4 = 0, С =1, С =4. В результате' получаем две экстремали , t2 . t2
х (/) = ! + — , х (0-4 + — 4 16
Пример 2.20. Найти семейство экстремалей функционала т Jl + x'2(r)
□ 1. Запишем уравнение Эйлера. Поскольку F(t,x,x') не зависит от t J\ + x‘2 явно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл (2.15). Так как F = ------;
.'2
1
CtVl + т2 ’
гегрфуя обе
х 1 + х'2 - х'2
I j. v* 2 v./ 1 j. v* 2
1
Т*С|
Найдём общее решение
уравнения Эйлера.
Уравнение
= является уравнением
первого порядка, не
разрешенным
ьно х .
, dx
Вводим замену х = — = t , и тогда dt
dx~-----
2С}
2т
равенства dt -
dr
находим
2. Отсюда получаем
— — t ,
.2
dt.
*
части
.2
мотрим два равенства т2 [1 -С2 (С2 -z)2] =С2 (С2 -t)2 , х2 = —у—у
С[ (1 + г)
2 l-q^Q-t)2 то х =-----3-Аг---- или
1
1К 1тТ - 1т _ — _ ,
i-c?(c2-tf l-C?(C2-t)2
2-(С2-?. В результате получаем
с2
семей ство экстремалей:
Приведём решение двух классических задач [39].
Пример 2.21 (задача о линии быстрейшего ската - брахистохроне).
Среди всех гладких кривых, соединяющих точки Я(0,0) и 5(У1,г1), 4ти ту, по которой материальная точка, двигаясь под действием силы из точки А с нулевой начальной скоростью, достигнет точки В
кратчайшее время.
□ Формализуем задачу. Для этого проведем через точки А и В кость и возьмём произвольную гладкую кривую z(y), причём z(0) = 0, 1) = Zi (рис. 2.3). Для произвольной точки М на основании закона 2 mv анения энергии получаем —— = mgzt где т -масса точки, v-скорость,
g-ускорение свободного падения Отсюда v = J 2gz С другой стороны, dS j 1 + z'2(y) dy
v = -& = -----, где aS - элемент длины дуги, t - время. Поэтому
J1 + z^(y) *-
dt - - dy и время, затрачиваемое на движение из точки А в
Jlgz(y)
d . т 1 Ч- V 1 + г'2(у) ,
точку В, находится по формуле I = —= -— ' dy или, переходя
fig О fi(y)
к обычным обозначениям х = z > t = у:
7[*(/)]= “?== Г dt -» min, х(0) = 0, х(/,) = х, = ^.
V2g i
Так как коэффициент -= влияет только на величину функционала и не V2g
влияет на процесс нахождения решения, учитывать его не будем.
Решим сформулированную задачу, пользуясь алгоритмом.
1. Составим уравнение Эйлера. Так как подынтегральная функция 71+х'2
г ----р=— не зависит от t явно (пятый случай интегрируемости), то
V х
уравнение Эйлера имеет первый интеграл (2.15):
После упрощений имеем *_ г = С. или х(1 + х’2)= — = С. 7х(1 + х'2> С?
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Введём параметр т, пола-
гая — = x' = ctgx. Тогда х =---— =Csin2x, dx =2CsinxcosxА;
dt 1 + ctg2T
, dx 2 C sin t cos т A _ „ . 2 j \ .
dt = — =------------------- 2Csin tA = C(1-cos2x)</t;
x ctgx
/ = сГт-^1 + С2 =|(2r-sin2r)+C2.
едовательно, уравнение искомой линии в параметрической форме вид х(т)= С sin2 т = у (1 -cos 2т), Поскольку х(0) = 0 , то С2 = 0.
циклоид:
'W = у (2т - sin 2т) + C2 -
Обозначая p = 2т, получаем уравнение
y(l- COSp),
t = -(p-sin р),
С
X - радиус катящегося круга, который определяется из условия прохождения циклоиды через точку В .
Пример 2.22 (задача о наименьшей площади поверхности вращения).
Среди всех плоских гладких кривых, соединяющих точки Л(/о хо) и ЯЙР, Хр), найти ту, которая при вращении вокруг оси абсцисс образует ^и>гкность наименьшей площади (рис. 2.4).
; О Как известно, площадь поверхности вращения находится по фор-т ------------------------
й$де’ Дх(/)]= 2л jx(/)71 + х'2(/) dt. Поставленная задача сводится к определе-
.гладкой кривой х(г), удовлетворяющей граничным условиям х(г0)=х0, ^Г) = Хр, на которой достигается минимум функционала /[х(/)].
1 + х 2 не лие Эйлера
Решим задачу, пользуясь алгоритмом.
~ уравнение Эйлера. Подынтегральная функция
зависит от t явно (пятый случай интегрируемости)-имеет первый интеграл (2.15):
F - х Fx. = хг/1 + х'2 - х ** = q.
г/1 + х'2
После упрощений получаем = Q. VI +х'2
2. Найдем общее решение дифференциального уравнения. Полагая dx > , _ . , j , dx С, shzA „ ,
— = x=sht, имеем x = CiCht; dx = Ci sht A; dt = —7 = —!--------= C,A.
dt x sh t
t = C[T + Cj.
Таким образом, искомая поверхность образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид
t = С]Т + С2, x = C|Chx.
/ — С
Исключая параметр т, получаем х = С( ch——^--семейство цепных линий, С1
от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами.
3. Постоянные и С2 находятся из граничных условий:
x(z0) = C1ch^^^2.^ = x0,
x(T)=C1ch^^^j = xr.
В зависимости от положения точек А и В может существовать одно, два или не существовать ни одного решения.
Пример 2.23. Показать, что уравнение горизонтального движения шарика, соединенного пружиной с некоторой точкой О , является уравнением Эйлера для действия - интеграла от разности кинетической и потенциальной энергий.
□ Перемещение шарика задает функцию x(t), где х - координата в момент времени t. Функция x(Z) удовлетворяет второму закону Ньютона:
mx"(t) = -kx{t), так как действующая на шарик сила по закону Гука пропорциональна (с коэффициентом к) перемещению и направлена противоположно ему.
шх' ГА Кинетическая энергия шарика определяется выражением Т =---— , а
kx2(t)
2
и =
потенциальная
. Тогда действие - интеграл от разности кинетической
и потенциальной энергии имеет вид
mx'2(t) kx2(t)
2 2
dt,
т т
J(T-lZ)z/r=J
4) 4)
где t^T - моменты начала и окончания движения.
Запишем уравнение Эйлера для действия. Так как F = - А*2
2 2 ’
Fx = -кх, F’ =mx , j-F’ = тх", то Fx --j-Fx’ =-кх-тх" = 0 или тх" = -кх. dt dt
Таким образом, уравнение второго закона Ньютона - это уравнение Эйлера для действия. Иными словами, законы природы- имеют двойное описание -физическое и экстремальное.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА В ЗАДАЧЕ (2.3)
’ Для формулировки достаточных условий экстремума используются слегшие понятия.
1. Условие Якоби Оно выполняется если, уравнение Якоби
Рхх -£/„-] ^)-^[FxV u'(t) ] =0 , (2.16)
Fxx' ?хх ' соответствующие производные подынтегральной функции, пенные на экстремали x’(z), удовлетворяющей уравнению Эйлера (2.9) и "фаяичным условиям, имеет нетривиальное решение и(/)*0, которое:
а) удовлетворяет условию zz(<o)= 01
б) не обращается в нуль ни при каких значениях t е (Zo, tt ].
Условие Якоби является условием включения экстремали х (г) в централь-
ное поле экстремалей с центром в точке Л(г0,х0). Центральным полем экстрема-рей называется семейство экстремалей х= x(z, С), которые покрывают некоторую
область и нигде не пересекаются в этой области, кроме центра. Предполагается, Йрт При некотором значении С семейство х = х(г,С) содержит экстремаль х (z), Мьюрая не имеет общих точек с границами области за исключением, быть мо-Я®т, точек А и В(Т,хТ). Угловой коэффициент p(z,x) касательной к кривой КЙейства x = x(z, С), проходящей через точку (/,х), называется наклоном поля
Ж На рис. 2.5,а показан случай, когда семейство экстремалей, включающее Мйремаль АВ, образует центральное поле, а на рис. 2.5,6 - семейство, не обра-Мтощве центральное поле, поскольку экстремали, близкие к АВ, пересекаются.
К it х"
а б '
Рис. 2.5
2. Функция
E((,x,x',p)=Fl(,x,x')-F((,x,p)- р)-Fp<(,x,p) (2.17)
' называется функцией Вейерштрасса.
3. Условие Fxx' > 0 (Гжу < 0) называется условием Лежандра, а условие ^х х >° fox' <0) - усиленным условием Лежандра. При этом предполагается, что функция f(z, х, х') трижды дифференцируема по х для любых х .
Уравнение Эйлера является необходимым условием как сильного, так и слабого экстремума функционала в задаче (2.3). Достаточные условия сильного и слабого экстремума различны.
Достаточные условия слабого минимума
Если на экстремали x’(t), удовлетворяющей уравнению Эйлера (2.9) и граничным условиям, выполняются:
а) условие Якоби;
б) либо условие Вейерштрасса: функция Вейерштрасса E{f, х, х, р)> О для точек (z,x), близких к точкам на экстремали х О'), и для х , близких к р;
либо усиленное условие Лежандра: Fx'x‘ > 0 на экстремали х'(г), то на х’О) достигается слабый минимум.
Замечания 2.2.
1. Если в условии Вейерштрасса E(r,x,x',p)sO, а в усиленном условии Лежандра Еху < 0, то сформулированные условия являются достаточными условиями слабого максимума.
2. Условие Якоби в отдельности является необходимым условием слабого экстремума, т.е. если решение уравнения Якоби и 1() обращается в нуль при каком-либо значении t из интервала (г0, г,), то на экстремали х*(г) слабый экстремум не достигается.
3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если функция Вейерштрасса в точках экстремали при х', близких к р, имеет противоположные знаки, слабый экстремум не достигается.
4. Исследование знака функции Вейерштрасса часто сопряжено с некоторыми затруднениями. В случае, когда функция Е(/,х,х’) трижды дифференцируема по х , условие Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым усиленным условием Лежандра.
Достаточные условия сильного минимума
Если на экстремали х * (г), удовлетворяющей уравнению Эйлера (2.9) и граничным условиям, выполняются:
а) условие Якоби;
б) либо условие Вейерштрасса: функция Вейерштрасса F^t, х, х', р) > 0 для точек (/,х), близких к точкам на экстремали х"(г), и для произвольных значений х ;
либо условие Лежандра: Fx'x‘(t, х, х) > 0 для точек (/, х), близких к точкам на исследуемой экстремали х’(т), и для произвольных значений х , то на х (/) достигается сильный минимум.
' Замечани я 23.
1. Если в условии Вейерштрасса E(t,x,x',p)< 0, а в условии Лежандра (/, х,х')< 0, то сформулированные условия являются достаточными условиями максимума.
. 2. Условие Якоби в отдельности является необходимым условием сильного мума, т.е. если решение уравнения Якоби u(t) обращается в нуль при ка-
-либо значении t из интервала (т0,/(), то на экстремали x’(t) сильный земум не достигается.
3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если Вейерштрасса в точках экстремали при некоторых х имеет противопо-е знаки, сильный экстремум не достигается.
4. В случае, когда функция F(t, х, х') трижды дифференцируема по х , е Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым условием Лежандра.
На основании изложенных необходимых и достаточных условий экстрему-кционала опишем общую схему нахождения экстремума функционала.
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.3)
1. Найти экстремаль (экстремали) x\t), удовлетворяющую уравнению Эй-и заданным граничным условиям.
: 2. Проверить достаточные условия сильного и слабого экстремума на най-ной в п.1 экстремали. Если достаточные условия выполняются, сделать вывод ении сильного или слабого минимума или максимума. Если достаточ-условия не выполняются, учесть пп.2 и 3 замечаний 2.2 и 2.3. В случае не-цолнения условий Лежандра вывод об отсутствии экстремума сделать нельзя.
достаточные условия экстремума выполняются, вычислить значение функ-а на найденном решении (в случае, если это требуется).
Пример 2.24. Найти экстремум функционала
2
Лх(г)|= J[x’(t)+ 2х’3(т)]Л, х(1)= 2, х(2)= 6.
□ 1. Найдём экстремаль х'((), удовлетворяющую уравнению Эйлера и гра-условиям. Так как подынтегральная функция F = х + 2х’3 не зависит от явно, то уравнение Эйлера имеет общее решение х)= CJ Т + С2. Из гра-условий
х(1)= С, + С2 = 2, х(2)=2С| + С2 =6 ходим С] = 4, С2 = -2. В результате получаем экстремаль х*(/) = 4 / - 2.
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (2.16). Так как экстремали х*(т)=4т-2 производная равна х'(/)=4 и 7^=0, F^ =0, 50-
= 12х‘ =48 , то уравнение (2.16) имеет вид •i(48«’) =0 . Отсюда 7,(т)=0 х (Z) at
и u(t) = Ct t + C2. Из условия u(l) = 0 получаем u(l) = C, + C2 =0 и C2 =~СХ. Так как нетривиальное решение (С} * 0) уравнения Якоби u(t) = Cxt - Q = С, (t -1) * 0 при t е (1; 2], то условие Якоби выполняется;
б) так как функция F(f,x,x') = х + 2х'3 трижды дифференцируема по х , то применим условие Лежандра. Поскольку Fxy = 12х' не сохраняет знака при любых х , то достаточные условия сильного максимума и минимума не выполняются, а вопрос о наличии сильного экстремума остается открытым.
Проверим достаточные условия слабого экстремума:
а) условие Якоби выполняется;
б) применим усиленное условие Лежандра. Так как F •
=48 > 0
на
х‘(0
экстремали х (/) = 41 - 2, то на ней достигается слабый минимум. Найдем значение функционала:
2
f [4 + 2-43]Л = 132.
1
Пример 2.25. Найти экстремум функционала
1
Л4)1= /[х2(г)+х'2(/)1Л, х(0)=0, х(1)=1. о
□ 1. Найдём экстремаль х (/), удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям: х*(г) = -т^—е‘ +—(см. пример 2.1).
е2-1 1 —е2
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (2.16). Так как f = x2+x'2, Fxx=2, Fa>=0, FxV =2, то уравнение (2.16) имеет вид
2и -{2и'} = 0. Отсюда и"-и=0 и и(г) = С1е'+С2е"' - общее решение (см. at
пример 2.1). Из условия и(0)= Q + С2 = 0 получаем С2 = -Ct и и(г) = Сх(е‘ Так как нетривиальное решение (Q * 0) уравнения Якоби и(Г) = Ct(e‘ - е~') # 0 при t е (0; 1], то условие Якоби выполняется;
б) так как функция F(f,x,x')= х2 + х'2 трижды дифференцируема по х , то применим условие Лежандра. Поскольку Fxy = 2 > 0 при любых х , то на кривой х (/) достигается сильный минимум. Очевидно, на этой же кривой достигается и слабый минимум.
Пример 2.26. Найти экстремум функционала о
Дх(/)| = f [12Гх(/)-х'2(/)]Л, ж(-1)=1, х(0)=0. -1
□ 1. Экстремаль x*(t) найдена в примере 2.2: х*(/) = -г3.
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (2.16). Так как
,0, F„‘ =0, Fr--=-2, то уравнение (2.16) имеет вид: 4-[2«'] = 0 или хж хх df
«0. Отсюда u(t) = Clt + C2. Из условия и(-1)=-С,+С2 =0 следует С\ =С2. как нетривиальное решение (Q #0) уравнения Якоби «(/)= Cj(t +1)* 0 при -1; 0], то условие Якоби выполняется;
б) так как функция F = 12ix-x'2 трижды дифференцируема по х, то условие Лежандра. Поскольку = -2 < 0 при любых х', то функ-на экстремали х*(/)=-Р имеет сильный максимум. Следовательно, на А же кривой достигается и слабый максимум. Подсчитаем максимальное зна-
о . . л
иефункционала /[х’(/)| = J[12f-(-/3)-9/4]Л =-21 —
-1 5
о
__21 5
= 0.
Пример 127. Найти экстремум функционала Я 6
ЛХ')1 = J 19х2(/) + 2х(г)х,(/)-х’2 (/)]*, х(0)= 1, о
□ 1. Найдём экстремаль х*(/), удовлетворяющую уравнению Эйлера и гра-словиям:
а) поскольку F - 9х2 + 2хх' -х'2 , Fx =18 х+2х', Fx- =2х-2х' , j = 2х' - 2х" , то уравнение Эйлера имеет вцц
Fx~ — F =18х+2х-2х +2х" =0 или х" + 9х=0; dt х
б) так как характеристическое уравнение А2 + 9 = 0 имеет комплексные иные корни 1^2 = ± 3/, то общее решение уравнения Эйлера записывает-з форме x(t) = Ct cos 3t + C2 sin 3/;
пределим коэффициенты Q и C2 из граничных условий:
x(0)-=C] =1,
С2 =0.
получ аем экстремаль х (/) = cos3t.
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (2 16) .Так как = 18, Fa’ = 2, Fx’z’ = -2, то уравнение (2.16) имеет вид
Г18- — (2)1 и-— [(-2)и ] =0 или и" + 9и = 0.
L Л J dr ’ J
Его общее решение: u(t} = Ct cos 3/ + С2 sin 3t. Из условия u(0) = С1 = 0 получаем ы(т) = C2 sin 3/. Так как нетривиальное решение (С2*0) u(f) = C2sin3f «0 при
t е (0; , то условие Якоби выполняется;
6
б) так как функция F трижды дифференцируема по х , то проверим условие Лежандра. Поскольку Fx-x- = -2 < 0 при всех х , то на экстремали х (г) достигается сильный максимум.
Пример 2.28. Найти экстремум функционала
2 .3
W= J -dt, х(1)=1, х(2)=4.
• Г v 1/1И
□ 1. Найдём экстремаль х’(/), удовлетворяющую уравнению Эйлера и гра-/3
яичным условиям. Так как функция F = —- не зависит от х явно, то уравнение х'2
2
Эйлера имеет первый интеграл: Fx' = -2—- = Q или х'3 - t2 = C2t2. Отсюда х'3 Ч
f2
х = С t и х(/) = С — + С2 Из граничных условий
х(1)=у + С2=1,
х(2)=2С + С2=4
получаем С = 2, С2 = 0. В результате найдена экстремаль х*(/) = t2.
TO FxV
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума’.
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (2.16). Так как 6?
F-xx =0, F^ =0, Fx'x' = —~т и на экстремали х*(г)=/2 производная х*'(/) = 2/, х'А
6 Г3 3 .„,,ч
= —г-т = —, а уравнение (2.16) имеет вид
x'(t) 24Г4 8/
d I 3 ,1 „ 3 , _ , _
— < —1/> = 0 или —u=C, u=Cit.
dt\%t I 8/ 1
Так
при
1 с
Тогда «(г) = С) — + С2. Из условия «(1) = С{ - + С2 =0 получаем С2 =--±. как нетривиальное решение (Q * 0) уравнения Якоби u(t) = -1)# 0
t е (1; 2], то условие Якоби выполнено;
б) так как функция F = —- имеет разрыв при х = 0, условие Лежандра х 1
Црпользовать нельзя. Исследуем знак функции Вейерштрасса (2.17):
е(« «.,). 4 - 4 - (* - 4 (-
X р \ Р ) х 2/г
1ри t е [1; 2] имеем't3 > 0, но выражение (2х’ + р) при произвольных х может (ыть и положительным, и отрицательным. Поэтому функция £(/,х,х',р) не со-Ы»мйт знак и достаточное условие сильного экстремума не выполняется. Но юглано п. 2 замечаний 2 3 условие Вейерштрасса в отдельности является необ -Юдоиым, поэтому можно сделать вывод о том, что на экстремали x‘(t) = t2 ;илыф!й экстремум не достигается.
Проверим достаточные условия слабого экстремума:
а) условие Якоби выполняется',
б) так как на экстремали Fx'x’
3
= — > 0 , поскольку t е [1; 2], то выпол-х (/) 8 t
;тся усиленное условие Лежандра. Поэтому на экстремали х* (t) = t1 достигает-слабый минимум .
Получаем минимальное значение функционала:
Дх*(/)] = = = =-.
И2')2 4/ 8 I, 8
Пример 2.29. Исследовать на экстремум функционал
7[х(/)]= |[х'(г)]3Л, х(0)=0, х(д) = Л о
Щи различных значениях параметров а > JO b>.0
1П1 Найдём экстремаль удовлетворяющую уравнению Эйлера и гр анич-ИЕИ условиям . Так как подынтегральная функция F - х'3 не зависит от / и х ИЙо, уравнение Эйлера имеет общее решение x(/)=C1Z + C2. Из граничных £вий х(0) = С2 = 0 , x(<j) = Cj а + С2 = b получаем С\ = —, С2 = 0. Таким обра-Sh а
14 •/,. ь
ВоМ, экстремаль х (л = — t.
а
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума'.
а) экстремаль х*(/)=—/ может быть включена в центральное поле экстре-„ а
МЮЙ х(/) = с центром в точке Л(0; 0) (рис. 2.6) .
X
Рис. 2.6
Для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (2.16). Так как /_ = 0, F- = 0 , F = 6х' (на экстремали x'(t)=-t производная х*'(1) = -, а а
Рм=—), то = 0 и™ и” = 0. Отсюда и(т) = С1/ + С2. Из условия
a at [ а )
и(0) = С2 =0 получаем «(1)=^ t. Так как нетривиальное решение (Q *0) уравнения Якоби u(t) = С\ t * 0 при t е (0, а] , условие Якоби выполняется;
б) так как функция F трижды дифференцируема по х', то проверим условие Лежандра. Поскольку Fxy = 6х' для любых х' не сохраняет знак, то условие Лежандра не выполняется.
Проверим условие Вейерштрасса. Функция Вейерштрасса
E(t, х, х, р) = х'3 -р3 - (х' - р)3р2 = (х' - pf (х' + 2р)
не сохраняет знак, поскольку выражение (х' + 2р) при произвольных х' может иметь любой знак. Следовательно, условие Вейерштрасса для сильного экстремума не выполняется, а так как оно согласно п. 3 замечаний 2.3. является необходимым, можно сделать вывод: на прямой х”(/) = -/ сильный экстремум не а
достигается.
Проверим достаточные условия слабого экстремума:
а) условия Якоби выполняются;
б) так как подынтегральная функция трижды дифференцируема по х , проверим усиленное условие Лежандра. Поскольку на экстремали х*(Т) = -?
а
справедливо F • - = — > 0, то на ней достигается слабый минимум, а
3. Подсчитаем минимальное значение функционала
л /дчЗ /,3
/[x’(0l=fr| л=^я
0 \а) а
Пример 2.30. Исследовать на экстремум функционал
Дх(г)|=/[х'2(/)-х2(г)]Л, х(0) = 0, x(d) = o о
I-различных значениях параметра а > 0; а*пк, к е Z.
□ 1. Найдём экстремаль, удовлетворяющую уравнению Эйлера и гранич-< условиям. Общее решение уравнения Эйлера получено в примере 2.3: № Ci cos t + С2 sin t. Из граничных условий
х(0) = С, =0,
х(а) = Q cos а + С2 sin а = 0
:м С] =0, С2 =0 и х*(г)=0.
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби. Так как
|fc«-2, =0, FrV = 2, то уравнение (2.16) имеет вид -2и~— (2и') = 0 или
jjp хл at
И-‘и = 0. Отсюда u(t) = С\ cost + С2 sint (см. пример 2.3). Из условия Ю)=С| =0 получаем и(()= Cjsint. При 0<а<я нетривиальное решение &.#0) уравнения Якоби u(t) =C2sin/# 0 при t е (0,а] и условие Якоби выпол-
й.,' При а >п нетривиальное решение уравнения Якоби u(t) = С2 sin t = 0 ^крайней мере при t -я . В данном случае условие Якоби не выполняется. Так Нк согласно п. 2 замечаний 2.2 и 2.3 условие Якоби в отдельности является Обходимым, то при а > п на экстремали x'(/)s0 не достигается ни сильный, № слабый экстремум. Выполнение условия Якоби при 0 < а < я подтверждает ММсисность включения экстремали х (()= 0 в центральное поле экстремалей ЙС 2.7,о).
6
Рис. 2.7
Очевидно, в случае а>я экстремаль x‘(f)s0 не может быть включена в центральное поле экстремалей, так как экстремали пересекаются не только в центре Л, но и в точке t = я (рис. 2.7,6);
б) проверим условие Лежандра при 0 < а < л, так как функция F = х 1 - х2 трижды дифференцируема по х'. Поскольку Fx'x‘ = 2 > О для любых х’, то на экстремали x*(z) = 0 достигается сильный минимум. Минимальное значение функционала 7[х’(/)] = 0 .
Пример 2.31. Исследовать на экстремум функционал
Лх(е)1= [[6x'2(z)-x'4(z)+ x(z)x'(z)]rfz , х(0) = 0, x(a) = b о
при различных значениях параметров а > 0, b > 0.
□ 1. Найдём экстремаль, удовлетворяющую уравнению Эйлера. Так как F = 6х'2 - х'4 + хх’, Fx = х , Fx' - 12х'-4х'3 + х , ~(F '} -12х" -12х'2х” + х', то at
уравнение (2.9) имеет вид
Fx-^{F^} = х-\2х"+ 12х'2х"- х или х"(х'2-1) = 0.
Общее решение уравнения х'' = 0: x(t} = C\t+ С-1. Решение уравнения х 2 = 1 может быть включено в семейство x(z) = С( Z + С2. Из граничных условий х(0) = С2 = 0 , х(а) = С[ а + С2 = b получаем Q = —, С2 = О и экстремаль а
x*(z) = |z.
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби. Так как /„ = 0, - I, Fxy = 12 - 12х'2 (на экстремали х (z) = - z производная
а
х*’(0 = ~ и Fxy = 12-12-Д-), то уравнение (2.16) имеет вид а х (Z) а2
[0-^(1)]. и-^[(12-124)«'] = 0 или «" = 0. ш at а1
Отсюда u(z)=C1Z + C2. Из условия и(0) = С2=0 получаем u(t)=Cit- Так как нетривиальное решение fa *0) уравнения Якоби u(z) = C(Z*0 при Z е(0,д], то условие Якоби выполняется. Выполнение условия Якоби подтверждает возможность включения экстремали x’(z) = -z в центральное поле x{z) = C(z с центром в точке Л(0,0) (см. рис. 2.6);
б) проверим условие Лежандра. Так как Fyy =12 -12х'2 при произвольных х не сохраняет знак, то условие Лежандра не выполняется.
Проверим условие Вейерштрасса. Функция Вейерштрасса (2.17) имеет вид £(t,x,x',p) = 6х2 -х'4 + хх’ -6р2 + р4 -хр -(х -р) (12р-4р3 +х)=
= -(х'-р? [х'2 + 2рх'-(6-3р2)].
В знак противоположен знаку последнего сомножителя. Последний сомножи-Кможет обращаться в нуль при х' = ~р ±^6-2р2 .
Если 6-2р2^0, т.е. р>41 (рассматриваются положительные значения ((слона поля р в силу рис. 2.6), при любом х имеем [х'2 + 2рх'-(6-Зр2)]2 0 .’Е^х,х',р)<0 . Поэтому при р = ->>/3 на экстремали х*(/)=-Г достигается
максимум.
t Если 6-2р2 > 0, т.е. р < Уз, знак выражения [х'2 + 2рх - (6-Зр2)] зави-
бт х . Поэтому при р = - условие Вейерштрасса не выполняется и а
^JiacH) п. 3 замечаний 2.2 и 2.3 на экстремали не достигается ни сильный мак-нум, ни сильный минимум.
БьДюверим достаточные условия слабого экстремума'.
а) условие Якоби выполняется'
так как функция F трижды дифференцируема по х , проверим усилен-Ь2
л условие Лежандра. Поскольку на экстремали F^ = 12 -12 —г, то при
Й- о
В ь
И» 1 имеем Fxx< < 0, т.е. достигается слабый максимум. При - = р < 1 име-
{Fyy ’ те на экстремали достигается слабый минимум.
Н ь
• При -=р =1 #ху =0 и усиленное условие Лежандра не выполняется, ж- а
Смотрим функцию Вейерштрасса при р = 1:
£ =-(х -1)2 [х2 +2х'-3].
Р Так как х = 1 является простым корнем уравнения х 2 + 2х - 3 = 0, то это Ййает, что при значениях х , близких к р = 1, функция £ не сохраняет знак дояовательно, условие Вейерштрасса не выполняется. Так как оно в отдель-Йи является необходимым, то при р = 1 на экстремали не достигается ни |&ый минимум, ни слабый максимум.
: Экстремальное значение функционала
Лх^//[б4-4+4'1*=6--о |_ а2 а
<b2 b± b±
~ a a3 + 2
т
2.1.2. Функционалы j F((,x1(4.-.xe(4*i(4—>хя(0)Л» зависящие
<»> от нескольких функций
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество Я допустимых вектор-функций х(/) = (х](t\...,х„(t))T, удовлетворяющих следующим условиям:
а) функции x,(f), i = \,...,n определены и непрерывно Дифференцируемы на отрезке [/о.Г], где t0,T заданы, т.е. х,(г)е C'd^,?1]), / = 1,...,л;
б) функции xz(f) удовлетворяют граничным условиям:
*«(<b)=*iO. Xi(T)=xir, / = 1,...,л, (2.18)
где xi0, xiT, i = l,...,n, заданы, т.е. каждая из кривых х,(/) проходит через две закреплённые граничные точки.
На множестве Я задан функционал
У[х, (Л.. • > х„ (О] = J Л'. *1 (4 • • > хп (4 *1 (4 • • •. x'n(6)dt. (2-19)
где подынтегральная функция' f(f,x1,...,xn,x’1,...,x^) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых вектор-функций х(/), принадлежащих множеству Я, требуется найти вектор-функцию х*(г)=(х^(г\...,х^(г))Г, на которой функционал (2.19) достигает экстремума, т.е.
zkf(/X...,x'(O]= extr Jf(z,x1(/V..,x„(4x;(4...,x;(0)<*. (2.20)
11 J Х(|)€Лг *
*0
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи (2.20) опирается на теорему 1.1 о необходимом условии экстремума функционала: 8/ = 0 на экстремали х (/). Поскольку эта проблема сформулирована для скалярной функции х(г), применим её к функционалу (2.19), варьируя лишь функцию xk(t), а остальные оставляя неизменными. При этом функционал будет зависеть лишь от одной функции
Пусть x*(t), 1 = 1,..., л, - компоненты вектор-функции х (/), на которой достигается экстремум функционала в задаче (2.20). Тогда, полагая 8х,(/) = 0, / = 1,Л + 1,...,л, имеем
*/(') = •*'(')> 1 = 1.к-1,к + 1,...,л, xk(t) = xk(t)+a6xk(t),
> 6xk(t)e С'([г0,Г]) - фиксированная вариация, удовлетворяющая условиям: k(to)= &Хк(Т)<=0-
Подставляя Xj(t), i = в функционал, имеем
.= f^,xl(t\...,xk(t)+a^k(t\...,x'n(t\xi(t),...,x'k,(t)+aSxk(t\...,x,l,,(t))dt. (2.21) <о
Отсюда аналогично разд. 2.1.1 получаем формулу для первой вариации:
М ' J [ЛЛ* W + .
(222)
Интегрируя по частям, применяя необходимое условие экстремума и ос-ую лемму вариационного исчисления (подробно см. в разд. 2.1.1), получаем [ение Эйлера:
Так как в качестве варьируемой компоненты xk(t) может быть взята любая Х/((), то искомая вектор-функция х*^)= должна
влетворять системе уравнений Эйлера
(2.23)
Заметим, что первая вариация функционала представляется в виде
к как вариации 5x,(z), i = 1,...,л, произвольны, то из условия 57 = 0 и основ-ft леммы вариационного исчисления следует система (2.23).
Общее решение этой системы х, = х/(/,С1,...,С2„), 7 = 1,...,л, содержит 2л ствольных постоянных, которые определяются из 2л граничных условий ft>)=x/o. xi(T)=xiT, / = 1,...,л.
Сформулируем описанный результат в виде теоремы.
Теорема 2.3 (необходимые условия экстремума в задаче (2.20)).
Если на вектор-функции x’(f)^^c\(f\...,x'n(f^, где xj(f) еС’фд.Т]), /о)=х/о, х/(Т) = х/г, 1 = л, функционал (2.19) достигает слабого экстрему-, то функции X] (t),...,Xn(t) удовлетворяют системе уравнений Эйлера
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.20)
1. Составить систему уравнений Эйлера:
Fx --F- =0, i = \,...,n. ‘ dt х‘
2. Найти общее решение системы уравнений Эйлера: х, = x,(z,C],...,C2„),
3. Определить постоянные Clt...,C2„ из граничных условий: x,(z0,C1,...,C2„)= х,0, i = Xi(T,Ci,...,C2n)=xiT, i = l,...,n.
Записать выражения для компонент х{ (г),..., хя (z) экстремали
х* (') = (*!* (4- -Х(0Г-
Пример 2.32. Найти экстремаль функционала
/[х1(4хг(0]= f [x;2(z)+x'2(z)+2x1(z)x2(z)]dz, о
удовлетворяющую граничным условиям х, (0) = х2(0) = 0, х(
-1.
□ 1. Записываем систему уравнений Эйлера FX/ ~^FX: =0, Z = 1,2. Так
как F = Х|2 + х'2 + 2х,х2, FXl = 2х2, FX2 = 2х,, Fx} = 2х[, Fx'2 = 2х2, }= 2х" ,
} = 2х2 , то система имеет вид
F. - — Fx’ =2x2-2x'i=Q, х' dt Xl
Fx ~ — Fx. =2x, -2x2 =0
x2 dt x2 1 2
ИЛИ Xl = X2 , X2 = Xj.
2. Решаем систему, сводя её к одному уравнению относительно переменной X]. Получаем xj”= х2, xf4^ = х2, х[4’ = X! или х}4’ - X! = 0. Так как характеристическое уравнение л4-1=0 или (к2-1)(х2+1)= 0 имеет корни Xj = 1, 12 = -1, 2.3 4 = ± Z, то общее решение полученного однородного уравнения записывается в форме [28]
X] (z) ^Cte' + С2е~‘ + С3 cos Z + С4 sin Z.
Тогда x2(z) = xl'(0 = Cle‘ + С2е~' - С3 cosZ - С4 sin Z.
3. Определяем постоянные С(,С2,Сз,С4 из граничных условий: х1(0) = С1+С2+С3=0,
*2 СО = ^1 + С*2 " = 0 ,
*1H =С1в2+С2е 2+C4=l,
*2К =С1е1+С2е 2-С4=-1.
_Имеем: C, = C2 = C3 = 0, C4 = 1. Записываем компоненты экстремали g|(t) = (*Г (4 *2 (Of: *1‘ (0 = sin Z, х2 (z) = - sin Z .
Пример 2.33. Найти экстремаль функционала
4*1(4*2(01= / [*i(0*i(0-*40*2(01*.
О
створяющую граничным условиям xt (0) = х2 (0) = 0, х.
1.
□ 1. Записываем систему уравнений Эйлера: FXl--^Fx'=0, /=1,2.
^скольку Г = х[х^-х1х2, FX1 =-хг, РХг = -хь Fx; =х'г, F^ = xj, yfy =х2>
= x\ , то система записывается в форме
Fx, -^-Fx' =-*2-*2 =0, Fx, _ — F, = -X|-xf = 0
X| dt X1 2 z Хг dt ** 11
х2 + *2 = 0, *]" + Xi = 0.
2. Решаем систему уравнений. Имеем (см. пример 2.3)
xl(t)= Ci cosz + Cj sinx2(z) = C3 cosz + C4 sin Z..
3. Определяем СЬС2,С3>С4 из граничных условий: х1(0)=С1=0, х2(О) = С3=О,
' хО=С2=1’ WH=1-
^результате получаем экстремаль x’(z) = (xf (z) x^z))^: xf (z) = sin Z, x2(z) = sin Z
Пример 2.34. Найти экстремаль функционала
Л*1(4*2(4*з(0]= J [ 12/ *1(0+*;2(0+*22(0+2*2(/)*3(0+*з2(0+2*3(0*2(')]<* . 1
удовлетворяющую граничным условиям х1(1) = 0,х2(1)=2,х3(1) = 0, xt(2)= 6, х2(2) = 3, х3(2)= 2.
□ 1. Запишем систему уравнений Эйлера. Для этого найдём
F = 12/ Х[ + xj2 + х22 + 2х2х3 + х22 + 2х3х2, =12/, FX1 = 2х3, FXj = 2х2,
Fxi = 2*1 • = 2*2 + 2*3, = 2х2 + 2х3,
f^=2x;', f^’2^' + 2xi, ^^=2xi+2*3.
В результате получаем систему ^-^^=12/-2х<=0’ ^4^=^-(2*^2*з)=0, л3-^=2*;-(2*;+2*?)=° или
*1' = 6 /, х2 = 0, х3 = 0.
2. Найдём общее решение системы:
х1(/) = /3+С1/ + С2, х2(/) = С3/ + С4, х3(/) = С5/ + С6.
3. Определяем постоянные С1,..,,С6 из граничных условий:
*1(1) = 1 + G + С2 = 0, *i (2) = 8 + 2Cj +С2 = 6, х2(1)= С3+С4 = 2, х2(2) = 203+04 =3, х3(1) = С5+С6=0, х3(2)=2О5+С6=2.
Отсюда Ci = -1, С2 = 0, С3 = 1, С4 = 1, С5 = 2, С6 = -2. В результате получаем экстремаль х’(/) = (*1(Л*2(4хз(0Г: **(/)=/3*2(0=z + 1, х3(/) = 2/-2.
2.1,3. Функционалы f г(/,х(4х'(4...,х^(г))л, зависящие от производных 'о
высшего порядка одной функции
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество Л/ допустимых функций (кривых) х(1), удовлетво-Ийих следующим условиям:
Еа) функции х () определены и т раз непрерывно дифференцируемы на ||farelZ>.7’1. где /0 и Т заданы, т.е. х(/)е С'"([Г0,7’]);
б) функции х(г) удовлетворяют граничным условиям
х(<о)=*о> *(/)(<о)= « = К -.т-1,
(2.25) х(Т)=хт, х^(Т)= xfj), / = 1,...,ж-1,
И^,х^,хг,х^ заданы.
' На множестве Л/ задан функционал /[х(г)] = f 4 <x(t\ • ,x<m\t))dt, (2 26)
Io
|iфункция 4x,x',...,x^) дифференцируема (m + 2) раза по всем аргументам.
* Среди допустимых кривых х(г), принадлежащих множеству Л/ .требуется кривую х*(г), на которой функционал (2.26) достигает экстремума, т.е.
т
7kW]= xf^ f 4>*W*'(d-(2.27) <ь
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи опирается на теорему 1.1 о необходимом Koi экстремума функционала. Запишем первую вариацию функционала 61 feftaue (2.27). Пусть х'(/)бС([/0,Т)| - кривая, на которой достигается экстре-В функционала I. Тогда допустимая кривая x(f) и её производные х^(г), К...,т .представляются в виде
|к.-4) = x’(t) + a6x(t), x'(z) = x*'(r) + аЗх'(4 ••• xf-m\t) = x*(m\t) + ,
- фиксированная вариация, удовлетворяющая нулевым граничным
8х(г0) =&х(Т) =8х'('о) =8х'(Т) = ... =^(тЛ?) =° •
По определению (1.7)
8/ = /[х* 0 + а 8х(г
da
a=Q
Т
= — Г f(r, х* 0 + а 8x0.... х* W(f) + а 6x^(t))dt da1
'о а=0
= J [Fx(f,х*0+ a8x0...,x’W0+ a8xW(/))8x0+
*0
+ Fx. (/, х* 0 + а 8x0..., x*M0 + а 8х W0) 8х'0 +...
... + Fx(„; (г, х* 0 + а 8x0.... x^m\t) + a 8х<т>0)8х W0 ] dt | =
т
= J [fx 8X0+ Fx. 6х'0+ ...+ fxW 8xW0] dt. (2.28)
'о
Интегрируем по частям второе слагаемое в правой части (2.28) один раз:
т
J Fx> bx'(t)dt = Fx' 6x(t)
<o
Г-Jyfx 8x0A, 4) dt
*0
третье слагаемое два раза:
J Fx- &x"(t)dt = Fx« 8x'0
4)
г j "1Г т >2
T
*0
и т.д. до последнего слагаемого, которое интегрируем по частям m раз:
/г(.)ах(т)0л = [#(.)8х(т-1)0] + •+(-1П
Учитывая, что вариация и её производные удовлетворяют нулевым начальным условиям, записываем необходимые условия экстремума:
Т j jm
8/=/гх *Fx'+ +(-1Г ^Н8х(')Л=°’
Так как вариация 8x0 может быть выбрана произвольно, а выражение в квадратных скобках является непрерывной функцией t на кривой х*0, то по основной лемме вариационного исчисления имеем
Г 17 Z7 / 1V” Z7 Л
Fr------Fr' + —- F» +... + (-1 г---F(m\ = 0.
х dt х dt2 х V ’ dtm
(2.29)
[ение (2.29) имеет порядок 2т и называется уравнением Эйлера-Пуассона, интегральные кривые называются экстремалями. Общее решение этого ения х = x(t,Cl,C2,...,C2m) содержит 2т произвольных постоянных, кото-иогут быть определены из 2т граничных условий.
Сформулируем описанный результат в виде теоремы.
Теорема 2А (необходимые условия экстремума в задаче (2.27)).
Если на функции х*(/)е Ст([10,7’])) удовлетворяющей граничным условиям «=х0, х(Т)=хт, x^(t0)=x^, х^>(Т)=х!/), i = —1, функционал (2.26)
гост экстремума, то функция х (t) удовлетворяет уравнению Эйлера-сна:
Fx-^-Fx.+^Fx-+...+ (- If ^~FxM = 0. dt х dt2 dtm
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.27)
1. Записать уравнение Эйлера-Пуассона.
2. Найти общее решение уравнения х = x(t,CitC2,...,C2m).
3. Определить постоянные С1,С2,...,С2т из граничных условий и записать :ение для экстремали x’(t).
Пример 2.35. Найти экстремаль функционала
/[x(r)]=fx"W.
о
етворяющую граничным условиям: х(0) = х'(0) = х'(1) = 0, х(1) = 1.
□ 1. Записываем уравнение Эйлера-Пуассона. Так как F = x”2, Fx=0,
О, F~ = 2х" , — F- = 0, F = 2х<4\ то имеем
х dt х dt2
Fx- — Fx.+^-Fx- = 2xw = Q.
dt dt2
2. Решаем уравнение Эйлера - Пуассона-.
ВСЬ х”(/) = С1Г + С2, х'(0=%2+С21 + С3, х(г)=^Г3 +%2+С3/ + С4 -2 о 2
2 решение.
3. Определяем СЬ...,С4 из граничных условий'.
х(0)=С4 = 0, х'(0) = С3 = 0,
х(1)=^ + ^ + Сз+С4=1, х'(1)=-^ + С2+С3=0.
о 2 2
да имеем С] = -12, С2 = 6, С3 = 0, С4 = 0 и записываем уравнение экстре-
х*(г)=-2г3 +3f2.M
Пример 2.36. Найти экстремаль функционала
/[*(')]= }[х"2(Г)-48х(/)]л, о
удовлетворяющую граничным условиям: х(0) = 1, х'(0) = - 4, х(1) = х’(1) = 0.
□ 1. Записываем уравнение Эйлера-Пуассона. Имеем
f = x',2-48x, ^=-48, К =0, =2х”, —=0, ^F- = 2xW,
х х dt dt2
J
— Fj = -48 + 2x(4) = 0 или х<4> = 24.
dt x dt2
2. Решаем уравнение Эйлера-Пуассона. Имеем
x<4ty) = 24, x"'(z) = 24г + С,, x”(r) = 12Z2 + C\t + С2, х'(т) = 4р + t2 + C2t + С3, С с
х(г) = г4 + -~-t3 + — t2 +C3f +С4 - общее решение. 6 2
3. Определим Сь...,С4 из граничных условий: х(0)=С4=1, х'(0)=С3=-4,
х(1)=1+^- + ^- + Сз+С4=0, х'(1) = 4 + 4 + С2+С3=0.
0 2 2
Отсюда <?! = -24, С2 = 12, С3 = - 4, С4 = 1.
Записываем уравнение экстремали: x’(t) = t4 - 4r3 + 6r2 —42+1 .
Пример 2.37. Найти экстремаль функционала
7[х(2)]=р-'х"2(Г)Л, о
удовлетворяющую траничным условиям х(0) = х'(0) = 1, х(1) - х'(1)=е.
□ 1. Записываем уравнение Эйлера-Пуассона. Имеем
f = e-'x"2, Fx=0, F=0, 7>=2х”е-', —К,=0,
X X dtX
~Fj = 2х"е~' -2х”е-', Fx~ = 2x<4V' -2х"-2х"е~' + 2х".
dt х dt2
В результате получаем
Л -4Fx. + F~ = 2xWe-' -4х"е'1 + 2х"е"' = 2е~' U4’ -2х'” + х"1 = 0.
dtxdt2 r J
Отсюда х^4) - 2х'" + х" = 0.
2. Решаем уравнение Эйлера-Пуассона:
а) характеристическое уравнение X4 - 2Х3 + X2 = Х2(х2 - 2Х + 1)= 0 имеет цые действительные корни Х12 = О, Х34 = 1;
б) х(г) = Ct + C2t + С3е‘ + C4t е‘ - общее решение [28].
3. Определяем постоянные С1,...,С4 из граничных условий с учетом того, x'(t) = С2 + С2е' + С4е‘ + C4t е' \
х(0)=С, + С3 = 1, х'(0)=С2 + С3+С4 = 1,
х(1) — С] + С2 + (73 е + С4 в ~ё, х(1)=С2 + С3е + 2С4е = е.
[а получаем Ct = С2 = С4 = О, С3 = 1 и экстремаль х*(/)= е‘.
Пример 2.38. Найти экстремаль функционала Л
/[x(f)] = j[x"2(/)-16x2(r) + /e ']л, о
петворяющую граничным условиям х(0) = 1, х^j = 0, х’(0) = 0, х= -2.
О 1. Запишем уравнение Эйлера-Пуассона. Так как F = х"2 - 16х2 + Ге-',
<-32х, F„- = 0 , К- = 2х” , — F = 0, Г = 2х<4>, то
> * х л х X
. . Fx~ — +—J--32х + 2х^-0 или xW-16x=0.
dt х dt2
2- Находим общее решение уравнения Эйлера — Пуассона. Так как харак-Ьтическое уравнение X4-16 = (х2-4)(х2+4)=(х-2)(х + 2)(х2+4)=0 имеет I X] = 2, Х2 = -2, Х34 = ± 2Z, то х(г) = Qe2' + С2е'2' + С3 cos2t + С4 sin 2t.
3. Определим коэффициенты С(,...,С4 из граничных условий с учётом что x’(r) = 2C!e2' -2Сге-2' -2С3 sin2/ +2С4 cos2f:
х(0) = + С2 + О3 = 1,
x'(0) = 2Ci -2С2 +2С4 =0,
x'^ = 2Cte2 -2С2е 2-2С3=-2.
а находим Q = С2 = С4 = 0, С3 = 1 и экстремаль x’(i) = cos 2t .
Пример 2.39. Найти семейство экстремалей функционала
/[x(f)] = J [x'"2(z)+ 4x"2(z)+ 120Z x(z)+ 64x(r)+ te^jdt.
*0
□ 1. Запишем уравнение Эйлера-Пуассона. Так как
F = х'"2 + 4х"2 + 120Z х + 64х + / е-2/, jFx=120z + 64, /> = 0, /> = 8х” ,
— F = 0, ~ Fx- = &х^, F- = 2х", F- = 2х<6>,
dt 1 dt2 Л1
то уравнение имеет вид
Fx - — FX’ + -СF* -Fx- = 1201 + 64 + 8х<4> -2x<6> = 0 dt x dt2 x dt2
или x^-4xW-60Z-32 = 0.
2. Найдём общее решение уравнения Эйлера-Пуассона х(6) - 4х<4) = 60 / + 32 :
а) определяем общее решение однородного уравнения х® - 4xW = 0.
Так как характеристическое уравнение X6 -4Х4 = Х4(х2 -4)=0 имеет корн Xi,2,3,4 ~ 01 Х5 = 2, Х^ = —2, то xg(t) = + C2Z + Cjt2 + C4t2 + С^е22 + 22 j
б) найдём частное решение неоднородного уравнения. Будем искать его в виде хч(г) = Г4(Лt + В), где А и В - неизвестные коэффициенты [28]. Тогда x4(t) = At5 + Bt4,x'4(t) = SAt4 + 4В t3, x'^t) = 20At2 + 12B t2, x?(z) = 60Л t2 + 24Bt, x,W(z) = 120Л t + 24B, x/5,(z) = 120Л, xj6)(z) = 0.
Подставим полученные выражения в неоднородное уравнение:
-4(12(Ш + 24Л)=60г + 32.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем
. 60 1 32 1 /д t5 I4
4 120 8 4-24 3 ’ 8 3
в) общее решение неоднородного уравнения находим в виде суммы резуль-татов пп. а и о :
.5 .4
x(z) = Cj + C2Z + Cyt2 + C4Z3 + C5e 22 + C6e- 22 - — - — 8 3
Это и есть искомое семейство экстремалей.!
2.1.4. Функционалы J г(г,Х1(4х;(г^..*|"Н4”-.хя(4хИ4--.х^')(0)Л, (а
зависящие от производных высшего порядка нескольких функций
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Ь Рассмотрим множество Л/ допустимых вектор-функций л0=(х](4..,хя(|))г, створяющих следующим условиям:
К а) функции */(/), / = 1,...,л, определены и т раз непрерывно дифференци-jfetbi на отрезке где tQ и Т заданы, т.е. хДг)е С'”([Г0,7’]), i = 1,...,л;
’ - б) функции X/ (г) удовлетворяют граничным условиям:
Р XiM=xJ0, x^(ro) = JC/o^ «=1> ->л, к = 1,...,т-1,
S (2.30)
х,(Г)=х,г, х(*\т) = х$), 1 = 1,...,л, к = 1,..., т- 1,
f x,o,-x|o\x,r,x(£\i = 1,...,л, к = 1,...,т-1, заданы.
На множестве Я задан функционал ¥* Т
7[х(г)]= f£(f,x1(/>x{(4...,xf")(4...,xB(4x;(4...,xW(r))* (2.31)
^функция pcj ,...,xW,...лярс'л,...рс^) дифференцируема (т+2) раза по
£м переменным.
Среди допустимых вектор-функций х(1), принадлежащих множеству Л/, Обуется найти вектор-функцию х*(/) = (*Г(4- , х*(/))^, на которой функционал |31) достигает экстремума, т.е.
т
4х*W -.^(0]= extr J4,Х1(г>...,х<т)(г>...,хл(4. (2.32)
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи опирается на использование необходимо условия экстремума функционала: 8/ = 0. Поскольку функционал зависит Г л переменных х,(1), то будем варьировать лишь одну из них xk(t), оставляя Низменными все остальные. Тогда функционал зависит от одной функции и |именение необходимого условия экстремума приводит к уравнению Эйлера — уассона (см. разд. 2.1.3):
Так как в качестве функции xk(t) может быть взята любая из Х|(/),...,x„(z), то вектор-функция х*(z) = (х’(/),...,x*„ifff должна удовлетворять системе уравнений Эйлера-Пуассона'.
+ z = i,...,«. (2.33)
Общее решение этой системы зависит от 2тп произвольных постоянных: х, = x,-(z,C1(...,C2mB), i = l,...,n, которые определяются из 2тп граничных условий.
Сформулируем описанный результат в виде теоремы.
Теорема 2.5 (необходимые условия экстремума в задаче (2.32)).
Если на вектор-функции х’ (z) = (xf х* (t)f, где x*(z)e C'"([Z0,7’j), х,('о) = *о> xW(t0)=x$, 1 = 1,...,п; k = l,...,m-l; х,(Т)=х,т, х^(Г) = х^, / = 1,...,я; к = 1,...,т -1, функционал (2.31) достигает экстремума, то функции X] if),...,x„(z) удовлетворяют системе уравнений Эйлера-Пуассона (2.33).
Заметим, что порядки старших производных функций Xj(z),..., x„(z) в задаче (2.32) могут быть различны. Это приводит к различным порядкам уравнений в системе (2.33). Количество заданных граничных условий для каждой функции соответствует порядку ее старшей производной в подынтетральном выражении функционала (2.31).
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.32)
1. Записать систему уравнений Эйлера-Пуассона (2.33).
2. Найти общее решение системы (2.33): х,- = xi(/,CI,...,C2m„), i = 1,...,и.
3. Определить постоянные С1;...,С2тл из граничных условий и записать выражения для экстремали x*(z) = (xf(/}...,x'„(ttf .
Пример 2.40. Найти экстремаль функционала
/=f[(z + l)3x"2(Z) + x"'2(Z)]A,
о
удовлетворяющую граничным условиям:
Х!(0)=1, х2(0) = 0, х,(1)=1 , х2(1) = 1,
х;(0)=-1, х2(0)=0, ж;(1)=-1, х2(1)=3, х2(0) = 0, х2(1) = 6.
□ 1. Запишем систему уравнений Эйлера-Пуассона. Учтем, что порядок старшей производной функции x,(Z) равен двум, а функции x2(Z) - трем. Так как
F = (z + l)3x"2 + x’"2, ^,=0. ^=0, Fx~ = 2(/ + 1)3х,",
^2=0, Fxi=0, =0, Fx- = 2x£
— K, =0, — F. =0 , 4-Л" =6(/ + l)2x;'+2(' + l)3*;">
dt X| Л 2 dt X| v ' ' v 71
£fj = 12(r + l)xi'+ 12(z +1)2xj" + 2(z + 1/xW, F.. = ° , £F~ = 2x<6>,
dt* dt dt
получаем
Л, - £ FX{ + rx; = +1)44) + 12(z +1)2 x(" + 12(z + l)xf = 0,
F --F ' + — F - — F x> dt x> dt2 X2 dt2 X1
-2x<6) = 0.
2. Решим систему уравнений Эйлера-Пуассона:
x<6\z) = 0, x(5)(0 = C,, xW(Z) = C1z + C2, xi"(Z) = ^-Z2+C2Z + C3>
X2(Z) = S-P + %2 + C3, + C4, X2(z) = + + %2 + C4z + C5,
o 2 24 O 2
x (f)= £l,5 + £2 ,4 + ^.,3 + £1,2 + c5, + C6.
2V ’ 120 24 6 2 56
E;m уравнение 2(z + l/xf4) + 12(z + l)2x;'' +12(z + l)x[' = 0. Заметим, что оно
d2 _ г/ f d _ 'l n _ ,
вид —- Fx^ = —I — Fx"j = 0 и поэтому может быть переписано в форме
^(' + ’У *i' + 2(? + x'i' к0
ха 6(z + l)2x[' + 2(z + 1)3Х]'" = С]. Обозначим у = xj'. Тогда имеем
6(z + ify + 2(z + 1)3 у = С], (z + 1^' + 3(z + lfy = ^.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Поэтому сна-»ешаем соответствующее однородное уравнение:
у (z + l)3y' + 3(z + l)2y = 0.
Лучевидно, оно является уравнением с разделяющимися переменными [28]:
f -^- =-----dt.
V У * +1
Интегрируя обе части уравнения, получаем
ln|y| = -31n|/ +1| + InC или y0(t) = C .
(г+ 1)3
Найдём общее решение неоднородного уравнения методом вариации произвольной постоянной [28]:
Л (/ + 1Г (/ + 1)3 (г + 1)6
С
Подстановка у и у' в неоднородное уравнение (t + 1)3/ + 3(/ + 1)2 у = даёт
C7A_l£W+3C(n_CL ()_Q
C(0 (t + l)+fr + 1) ~ 2 CW~2
С (С Л 1
Интегрируя, получаем С(1)=—/ + С2. Отсюда у(г)= —/+С2-----------------
I 2 ) (, + 1)3
1 С,/ + 2С2 _
------ -3------. Отсюда
Переходим к переменной Хр Имеем xj'(r) = — t + C, -----5- =------=-
L2 + 2(z + l)3
, C,(2/ + l) C2 1
3. Определим постоянные интегрирования из граничных условий: xi'(0)=C4=0, х'2(0) = С5=0, х2(0) = С6=0,
х М_ С1 .^2.^3 _ ] '/Л с1 +С2 +С3 „"111 С1+С2.г 6
Л2(1)-2?+Т+Т-3’ ^--б+т^3’6,
отсюда С] = С2 = С4 = С5 = С6 = 0, С3 = 6.
Находим постоянные интегрирования t?i,...,C4 , из условий:
Имеем: Q = 0, С2 = 2, С3 = 0, С4 = 0. Запишем уравнение экстремали
/(0= xi*(0=7^. У2(0=Г3.«
Задачи для самостоятельного решения
Найти экстремали функционалов, зависящих от одной функции. 1
1. /[х(/)| = /х'2(/)Л, х(0) = О, х(1) = 1.
О
Ответ: х (/) = Л
2. 44)1= f [zx'(z)-x'2(z)]<ft, х(0) = 1, х(1) = |. о 4
Z2
Ответ-. x(r)= —-Z + 1.
з. 4х(,)]= х(‘1)’1, х(2)=4-
Ответ: х (t) = J& + 6t -12.
Зя
4. /[х(/)]= J[x2(z)-2x'2(/)] е-'Л, х(0)=0, x(yj =е4.
£
Ответ: х*(/)= л/2е2 sin-.
5. Z[x(/)]= f [z2x'2(/)+12х2(/)]л, x(1)=1, x(2)=8.
1
Ответ: x*(z)=P.
8
6. /[x(z)] = J (t -4х)2Л, x(4) = 1, x(8) = 2.
4
Ответ: x*(z) = y
7. /[x(z)]= j[zx'4(z)-2x(z)x'3(z)]rfz, x(2)=l, x(4)=5. 2
Ответ: x*(i) = It - 3.
8. Z[x(/)]= J [zx'3(z)-3x(/)x'2(/)]<ft, x(0)=4, x(2)=6. o
Ответ: x (z) - t + 4.
9. Z[x(z)]= J [х'2(0+4х2(/)+2х(0е2']л, x(0) = 0, x(l) = 0. 0
Ответ: x‘(t) = —-——(e2'-е-2')+^/г2/.
4(l-e4)V ' 4
10. /[x(/)] = J [x'2(/)-9x2(/) + 12x(/)cos3/ ]dt, х(0)=-1, = 1 + 7-
Ответ: x’ (/) = (1 + z)sin 3t - cos 3/.
11. /[x(f)] = J [х'2(/)+Зх(/)х'(/)+24/2х(г)]л, x(0)=1, x(1) = 0. 0
Ответ: x'(t) = t4 - 2t + 1.
12. 7[x(/)]= f [зх'2(/) + 5х(г)х'(/)+12х2(1)]л, x(0)=0, x(1) = e 2 1.
0 e
Ответ: x* (/) = 2 sh2i*.
13. /[x(/)] = J [cos/ + 3/2x(/)+(p -х2(г))х'(/)]л, x(2)=3, x(7) = 0.
2
Ответ: вариационная задача не имеет смысла.
14. /[х(/)]= f [х(ф2 -х(г) + /х2х'(/)]л, х(1) = 0, х(2)= Л.
1
Ответ: x*2(z)-t2 = -1.
15. 7[х(/)] = J Х(‘\ Л, х(0) = 1, х(3) = 4.
о VI + * (')
Ответ: х (г) = t + 1.
‘6. Z[x(r)]= J 2X'3^X-^dl, х(1)=2, х(5)= 14.
1 хДО+2
Ответ: х* (1) = 3t -1.
17- /М/)]= х(1) = -3, х(2)=-8.
I х 0 Ответ: х* (1) = 2 - 5/.
18. f[x0]= J |б12х'0+х'20]л, х(0)=0, х(1)=—1.
о
Ответ: x*(t) = -t3.
19. /[х0] = fdt, х(1) = 0, х(2) =7-.
Ответ: х* (t) = t2 -1.
20. /[х0] = f ^1 + х'2^ dt, х(2) = 2, х(3) = Л.
2 Х
Ответ: (t - 2)2 + х2 = 4.
Исследовать функционалы на экстремум с помощью необходимых и доста-З^пчных условий.
2
21. Дх0]= f(Zx'0+x'20]A, х(0)=1, х(2) = 0. о
, р
Ответ: сильный минимум на кривой х (t) =-+1.
4
22. Z[x(/J = |[4х20-х'20+ 8x0] Л, х(0)=-1, х(^ = 0.
Ответ: сильный максимум на кривой х*0 = sin 2t -1.
2
23. /[х0|= х(0) = 0, х(2)=1.
Ответ: слабый минимум на кривой х*0 = ~.
2
24. /{х(/^= |[6х'2(/)-х'4(/)+х(/)х'(/)]Л, х(0)=0, х(2)=3. о
• 3
Ответ: слабый максимум на кривой х (t) = —t.
2
25. Z[x(rJ= J[/2x'2(/)+12x2(/)]A, х(1)=1, х(2)=8.
1
Ответ: сильный минимум на кривой x’(r) = t3. .
2
26. 7[x(/J= J[/x'4(/)-2x0x'30]A, х(1) = 0, х(2)=1. 1
Ответ: слабый минимум на кривой х*(/) = t -1 .
Найти экстремали функционалов, зависящих от нескольких функций:
27. 7[xi(4x2(r)]- ^l + x'2(t)+x'2(t)dt,
»1(0) = 1, х2(0)=-2, Х!(3) = 7, х2(3)=1.
Ответ: Xj (/) = 21 +1, х2(/) = t - 2.
28- I[х]0х20х3(f)] = J71 + х12(/)+х22(/)+хз2(/)л >
2
х1(2)=1, х2(2)=2, х3(2)=5, xj(4)=3, х2(4) = 4, х3(4) = 9.
Ответ: х1*(/)=/-1, х2(/)=/, х3(/)=2/ + 1.
29. /[xi0*20] = J[x;2(/)+x;2(/)-2x|(/)x2(/)]a,
*1(0) = x2(0) = 0, Xj= x2^ = 1.
Ответ', xj (/) = sin t, x2(z) = sin t.
30. /[xi(/>x2(<)]= f [х;(0*И0+6'*1(0+12'2х2(0]л,
x.(0)= x2(0)= 0, X|(l)=x2(l)=l.
Ответ', xj (r) = f4, x2(<) = r3.
31- /[*1(4*20]= J [*1’20+*^20+2*10]л, 0
*i(o)= *2(0)= 1. *i(0 = |. *2(0=1-
. t2
Ответ: Xj (/)= — +1, x2(z) = 1.
Найти семейства экстремалей функционалов.
32. /[*t(4*20] = J[*;2(O-*220-2*i2(0+ 2x,(z)x2(0-2х2(г)е']л. *0
Ответ: x2(t) = (Cj + C2/)sin t + (C3 + C4f)cos t + — e‘,
*1(0= e' -*20-
33. /[*i0x2(r)] = J[x2(r)-x[2(z)-2x2(z) + 2x!(z)x2(/)-2x,(z)r2. 6
Ответ: (z) = (Cj + C2/)sin t + (C3 + C4/)cos t + 2/2 - 6,
*20=/2-X1"(z).
34. /[*1(4*2(01= ][*;2(0+*22(0+8*1(0*2(0-2х1(0е']л. Zu
Ответ: x2(z) = Qe2' + C2e-2z + C3 sin 2t + C4 cos2r + -~^e‘,
l \ *20
*1(0=-J2-
1 35. /[xi(4*2(0] = j[*;2(0+*i2(0+2*j(0*2(0-2zx2(z)]zft.
A)
Ответ: jq (/) = C(er + Cje-' + C3 sin t + C4 cos t +1,
*2(0= *i'(0-
36. z[xi(4*2(4*3(0]= J [2*40*2(0+12/x3(0+*J2(0+*i2(0+*32(0]^-t
Ответ: jq (z) = C}e' + C2e~f + C3 sin Z + C4 cos Z, x2(z) = Cje' + C2e~‘ -C3 sinZ-C4 cosZ, *з(0 = ,3 + С5< + Сб-
37. /[*44*2(4*3(4*4(01= j[*?(0+*?(0+*'32(0-*42(0+
<b
+ *2(0- 2x3 (0+ 2x3(z)x4(z)]rfz.
Ответ: xt (z) = C{t + C2,
*2(0 = ^3e‘ + C^e'1,
*з(0= (^5 ~ ^6^+ 2C8 )sin Z + (C7 + CgZ + 2C6)cos Z,
*4 (0 = (G + QOsin Z + (C7 + C8z)cos z.
Найти экстремали функционалов, зависящих от производных высшего грядка одной функции.
38. /[x(z)]= f[3x(z)x'(f)+x"2(z)]df, х(0)=х'(О)=О, х(1)=2, х'(1)=5. , о
Ответ: x*(z) = Z3 + Z2.
39. Z[x(z)] = J [48 x(t) - x"2(z) JrfZ, x(0) = x'(0) = 0, x(0 = I > *’(1) = 4. 0
Ответ: x*(z)=z4.
fl
40. /[x(z)]= I[x"2(z)-x 2(Z)>, x(0)=x'(0)=l, = *'^)=0
Ответ: x*(z)= Z+ cosz.
41. /[x(z)] = j e~'x"2(t)dt, х(0) = 0, х'(0)=1, х(1) = е, х'(1)=2е. о
Ответ: x*(t)=te'.
1
42. /[x(z)]= Jx"'2(Z)A, х(0) = х'(0) = х''(0) = 0, х(1) = 1, х'(1)=4, х"(1)=12. о
Ответ: х*(1)=14.
43. 7[х(/)] = | [х'"1 (Z) - х" 2 (Z) ] Л, х(0) = х'(0) = х”(0) = 0, х(л) = п, х'(л) = 2, о
х''(л) = 0.
Ответ: x*(z) = z-sinz.
44. Z[x(z)] = J [1 + Z2 + 2x"'2(z)]dz, о
х(О)=1, х(1)=2, х'(О) = О, х'(1) = 6, х"(О)=-2, х''(1) = 22.
Ответ: x‘(z) = 2z4 - Z2 +1.
Найти семейства экстремалей функционалов.
45'. 7[x(z)]= j[x"'2(z)+240Zx(Z)]A.
А>
Ответ: x(z)= ^Z7 +С^5 + C3Z4 + C3z3 + C4Z2 + Cst + C6.
46. /[x(z)]= | {[x^(z)]2+4x(z)sinz}jz.
Otnecw. = —2sint + C\t^ +C^t^ +C$t$ +C^t^ +Cjt + C^.
47. Z[x(z)]= |[x"2(z)-2x'2(z)+x2(z)+3x(f)e']dz.
A>
3
Ответ: x(z)= (CiZ + C2)smZ + (C3Z + C4)cosz--e'.
О
2.2. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
т
2.2.1. Функционалы J F(t,x(t),x'(t))dt, зависящие от одной функции. .
Случай гладких экстремалей
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество Ж допустимых функций (кривых) х(Т), удовлетво-ННих следующим условиям (рис. 2.8):
а) функции х(0 непрерывно дифференцируемые, т.е. х(/)еС*(Д), где А -который конечный отрезок, внутренними точками которого являются значе-Kt и Т, которые заранее не заданы;
К" б) значения /0,х0 = х(Т0) и Т, хт = х(Т), определяющие концы допустимых кривых, удовлетворяют граничным условиям:
Ч/('о.*о) = 0. «Т,хт) = 0, (2.34)
v(t,x) > <₽(ЛХ) - заданные непрерывно дифференцируемые функции.
На множестве М задан функционал
т
4*(')]= J F(t,x(t),x'(t))dt, «о
(2.35)
функция F(t,x,x') имеет непрерывные частные производные до второго по-Нска включительно по всем переменным.
Среди допустимых кривых х(Г), принадлежащих множеству Л/ , требуется Щ$гги кривую х*(Т), на которой функционал (2.35) достигает экстремума , т.е.
т
l[c\t)]= j F(t,x(t),x'(t))dt. (2.36)
Замечания 2.4.
- 1. Условия (2.34) определяют подвижные границы (рис. 2.8). Таким обрати, экстремум в поставленной задаче ищется в классе гладких кривых, концы лорых скользят по двум заданным линиям.
Можно выделить следующие частные случаи общей постановки задачи.
А. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым, описываемым уравнениями: t = t0 , t-Т (рис. 2.9).
Б. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым, описываемым уравнениями
х = у(0, х = <р(0.
Рисунок аналогичен рис. 2.8.
(2.37)
В рамках рассматриваемого частного случая выделим задачу, в которой за-дйые кривые являются прямыми линиями, параллельными оси абсцисс: J-Xq, х — хт (рис. 2.10).
2. В поставленной задаче наряду с поиском кривой х’(/) фактически прося выбор значений to" и Т* (рис. 2.8 и рис. 2.10), т.е. ищется тройка (ОДо ) При этом её е-окрестность первого порядка (е>0) образуется ми (х(/),/0,Т), удовлетворяющими условию
ро-'о’|<=. |Т-Т’|<е.
Функционал (2.35) точнее записывается в форме т
/[х(г),г0,Т] = f Fit,xit),x'(t))dt.
>0
Функционал достигает на тройке (x*(t),tQ ,Т*) слабого минимума, если ./o.T’Js/lx’W./o* ,7*] в с- окрестности первого порядка.
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи (2.30) строится на использовании необ-№имого условия экстремума функционала: 8/ = 0.
Пусть на тройке (x*(t),l0* ,Т*) функционал (2.35) достигает экстремума. №да допустимые кривые определяются соотношениям
x(t) = х* (/) + а 8х(/), x'(t) = х'' (/) + а 8х’(0,
fc а- числовой параметр, Sx(t)- фиксированная вариация, а допустимые значе-пределов интегрирования - формулами Го = Го* + а 8/0, Т = Г* + а ЬТ.
Найдём первую вариацию функционала. Для этого воспользуемся определением:
. f +aST
8/ = — (Г(Лх’(О + «&*(О>^“(О + а8^'(О)Л|а^о-
оа • *
tQ +a&tq
Воспользуемся формулой дифференцирования интеграла по параметру:
оа Л /. да da da
и(а) «(а)
Тогда получаем
8/ =
т'+оат
Э F(t, х* (Г) + a 8x(t), х*' (/) + а &х'(0) дх
М0 +
, dF(t,x\t)^af>x{t),x-(f) + adxXt))^() дх
dt +
+?(/,x'(t) + a &x(t),x*'(t) + a 8x’(0)|,_r-+aSr • 6T -
- F(t,x*(t) + a &х(Г),х*'(О + a &x'(0)|r=<i)<+(lSlb • 8'o}|0=o =
r“
= f [Fx &x(t) + Л' MOIdt + Л(7’,,х,(7’’),х,'(Г,))8Г-F(t0',x*(r0’).»"(4)’))S'o %
Вычислив второе слагаемое в интеграле по частям (см. разд. 2.1.1), запишем необходимое условие экстремума в виде
т’ . 1“
S/= J[Fx-^d8x(0A + Fx.8x(0| +^|,=г-8Т-.е|мЛ8/о =0. (2.38) % h
Из выражения (2.38) видно, что вариация функционала 8/ состоит из интегральной части, которая определяется вариацией кривой 8х(г) при фиксированных значениях t0 и Т , и трех слагаемых, зависящих от вариаций 84),8Г концов интервала интегрирования и вариаций 8х(г) концов экстремали при t = t$ , t = T* (рис. 2.11).
Из условия 8/ = 0 следуют два равенства:
1. [Fx-^-Fx]8x(t)d/ = 0,
. at
zo
экстремаль x*(0 в задаче (2.36) должна быть решением уравнения Эйлера
- — F- =0 (см. разд. 2.1.1).
dt
2.
Л-8х(/)|Г +£|,_Г..8Г-Г|^..8/О=0. zo
(2.39)
Заметим, что бх(Г)| _• не совпадает с 8хт, а 8х(0 . не совпадает с 8х0
» ' 1 % Кйс. 2.11).
На рис. 2.11 5О = 8х(/)|/=7.. , FC = 8xT, DE = 8T, ЕС = х\Т") 8Г, $£= FC - ЕС, т.е.
8х(01 ,=г. = 8хт - х'(Т') 6 Т. (2.40)
„ ( Заметим, что приближенное равенство справедливо с точностью до беско-Врчно малых более высокого порядка.
Аналогично 8x(z) • = 8х0 - x'(Z0 ) 8Z0.
I
Поэтому равенство (2.39) можно переписать в форме
Fx| т. Ьхт + [F-x’Fx]|/=7,.-87’-Fx|/=%.-8x0-[F-x'rjl^.-8/о =0. (2.41)
Заметим, что с учетом замены (2.39) на (2.41) вариация функционала и соответствующее необходимое условие экстремума (2.38) записываются в форме
т' d
6/ = J [ Fx - — ] 8x(Z)dt + |/=r 6xr +
" (2.42)
+ [ F - x Fx. ] | /=r 8Г - Fx.|z^.6x0 - [ F - x Fx. ] Ц. 8z0 = 0.
В силу наличия граничных условий (2.34) вариации 8ху и 87, а также 8х0 и 8z0 связаны :
8ч, = ^| 8,o+av| . .бхо=0,
д t го •* () д х I,х <zo )
(2.43)
*₽= ^yIt'.xV)57’ + 7^|г,/(Г)5хг =0-
Однако, вариации 5хт, 8Т не связаны с вариациями 6х0, 8Z0. Поэтому равенство (2.41) можно переписать в форме
Fx.|r_r. .8xr+[/--x'Fx.]|,=r. 8r = 0,
(2.44) ^|,=,о-6хо+[/--х’7х.]Ц..&о = О.
Условия (2.44),(2.43) называются условиями трансверсальности.
Сформулируем описанные результаты в виде теоремы.
Теорема 2.6 (необходимые условия экстремума функционала в задаче (2.36)).
Если на функции х (г)еС'(Л), удовлетворяющей граничным условиям 4<(Zo,xo) = 0> <9(Т,хТ) = 0, функционал (2.35) достигает слабого экстремума, то она удовлетворяет'.
а) уравнению Эйлера Fx - — F' = 0;
dt
б) условиям трансверсальности (2.44),(2.43).
Замечания 2.5.
Д Ели один из концов допустимых к рвь xl закреплен то условия транс вялости для этого конца не выписываются, поскольку в этом случае соот-Ю^вощие вариации в (2 43) и (2 44) равны нулю .
2. Если рассматривается задача, в которой концы кривых скользят по двум IM вертикальным прямым t = /0 , / = Г (см. рис.2.9), то поскольку tQ и Т тр вариации 8/ -jO- - 0- Следовательно условия трансверсальности вид
= 0, №
. =0.
' = '<>
(2.45)
Условия (2 43) выполняются, так как уравнения прямых можно записать
Ife*
v('o) = 'o -‘о’ =°> <р(Г) = Т-Г* = 0.
3
. Если концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым и х = q>(z )то условия (.2 34)иожио записать в виде
у(/о.*о) = *о -у(%) = 0, <р(Г,хг) = хт -<р(Г) = 0.
Следовательно, из (2.43) получаем
- v|/(Z0*) • Sig + 1 8хо = 0,
-Ч>'(Т')-8Г + 1&хт = 0.
Чб(* ) 6* W чФ" ) ST
Тогда из (2.44) следует
(F < (p-%F 4 ,
[F + (4/-x')Fx-]|,=,o--6'o =0-
В силу произвольности вариаций 6Г и &q получаем условия трансверсаль-да данного случая :
[/ + (<₽' х-И ,_г.о= ,
(2.46)
[F + (V -х Ц. =0.
Если рассматривается случай задания кривых в виде
х = х0 = у(/) = const, х = хт = <р(0 = const, то q>'(t) = 0, ч»'(/) = 0, а условия (2.46) упрощаются:
=0, [^-хЧ1|,=,0- =0- (2.47)
4. Если условия (2.34) отсутствуют, то вариации 8xr, &Т, 8х0 , 8ГО произвольны. Тогда из (2.44) следует
Ч=Г=°. =0.
(2.48)
F.I . =0, [F-x Г.]| . =0.
х|'='о ’ 1 xJp='o
5. Если условия (2.34) записаны в форме x(t0) = х0 , х(Г) = хт, т.е. рассматривается задача с неподвижными границами, то, поскольку вариации 5t0 = ST = 8х0 = &хт - 0, условия трансверсальности (2.44) выполняются, а произвольные постоянные в общем решении уравнения Эйлера определяются граничными условиями.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (2.36)
1. Записать уравнение Эйлера (см. разд. 2.1.1)
-4^ =0. dt х
2. Найти общее решение уравнения Эйлера: х = х(Г,С), С2) .
3. Записать условия трансверсальности (в зависимости от вида условий (2.34)) в форме (2.44), (2.43) или (2.45), или (2.46) и граничные условия (2.34).
4. Определить C|,C2,t0 ,Г* и получить уравнение экстремали х‘(г).
Пример 2.41. Найти кривую, на которой функционал
2
Л*(01 = J [ 2/ x(t) + x(t) x(t) + X 2(t) ] dt о
может достигать экстремума, если левый конец её фиксирован в точке Л(ОР) , а правый лежит на прямой t = Т = 2 (рис. 2.12).
□ 1. Составим уравнение Эйлера. Так как
F = 2t-x + х• х + х 2, Fx=2t + x, F’=x + 2x, —Fa-^x +2x" , л л х 1
Цфавгение (2.9) имеет вид
2/ + х' - х - 2х" = 0 или х" = t.
2. Интегрируя, найдем общее решение уравнения Эйлера:
Z2 /3
х (/)- — + С|, x(t) = — + С| / + С2. 2 о
3 Запишем условия трансверсальности (2.45) на правом конце и граничные |явия на левом конце:
х(0) --0 ,
г=2 = х + 2х’ | г_2 = х(2) + 2х’ (2) = 0.
4. Найдем постоянные Ci, С2:
х(0) = С2=0,
Х2) +2х'(2) =7+2С1 + С2 + 4 + 2С1 =0 . 6
Гсвда С2 = 0, ис2 12)
Q = —. В результате получаем экстремаль
.. . Г3 4/
>W-V-y
Рис. 2.12
Рис. 2.13
Пример 2.42. Найти кривую, на которой функционал
1
ZM01 = Jl*'2(0 + *(01d
может достигать экстремума, если правый конец её фиксирован в точке 29(1,0), а левый лежит на прямой t = 0 (рис. 2.13).
□ 1. Записываем уравнение Эйлера. Так как
F = х 2 + х, Fx = 1, F' = 2х, — Fx' = 2х , то I - 2х ' = 0.
Л
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:
х"(Г) = |, х’(0 = |/+С1, х(Г) = i/2 + С,Г + С2.
3. Записываем условие трансверсальности (2.45) на левом конце и граничное условие на правом конце:
В,-|,=о = 2х'(0) = 0, х(1)=0.
4. Найдем постоянные Ct и С2 :
х'(0)=С| =0,
х(1) = ^ + С,+С2 =0.
Отсюда С\=0, С2=-2. В результате получаем экстремаль х'(Г) =-^(t2 -1) (рис. 2.13).
Пример 2.43. Среди всех гладких кривых, соединяющих точку >4(0,0)
с прямой х = 1, найти кривую, на которой функционал
т
Л*(0) = JI' • *’(0 + 2 (01 dt
о
может достигать экстремума (рис. 2.14).
□ 1. Запишем уравнение Эйлера. Так как
F = tx +х'2, F,=0, F'-t + 2x', —F'~\ + 2x",
* dt x
то уравнение (2.9) имеет вид - 1 - 2x" = 0 •
2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:
„ 1 , t t2
x(t) = -~, X(t) = -- + Cl, х(Г) = -—+ C|/ + C2.
3. Запишем условие трансверсальности (2.47) на правом конце (правый кожи ле жит на прямей х = <(( 0 = 1) и граничные условия:
:'2 - х (t + 2х')|/=т- = -х'2],^ = 0 или х\Т) -0 ,
Х0)=0, хп = <р(Г) = 1.
4. Найдем С,, С 2 ,Т*
х’(Т)=-^ + С1 =0,
х(0) = С2 =0,
т2
х(Т) = _Л_+ QT+ С2 =1.
т т2
Отсюда С, = —, — = 1, С2 = 0 или Т = ±2, Cj = ±1, С2 = 0. Таким обра-2 4
Пример 2.44. Найти кривую, на которой функционал
т
7[х(/)] = J х'3(/)Л о
может достигать экстремума, если её левый конец фиксирован в точке А(0 Q) , а правый находится на прямой х(Т) -- 1 -Т (рис. 2.15)
□ 12- Так как поды нтегральнаяф ункция F X не зависит от г и х, то уравнение Эйлера имеет общее решение (см • разд 2 1-1 )•• х(/) = С| t + С?
3. Поскольку правый конец лежит на кривой с уравнением х = <p(t) = 1 -1, запишем условие трансверсальности (2.46) :
F + (<р' - х')/,ж<|,=г = х'3 -(1 + х') Зх'2|,=г = -х'2 [2х' + 3]|,=г =0 или
, , 3
х'(Г) = 0, х(Г) = -~
и граничные условия:
х(0) = 0, х(Г) = 1 - Т.
4. Найдем Q, , Т* из двух систем:
х(0) = С2 =0,
х'(7’) = С1=0,
х(0) = С2 =0,
, 3
х'(Г) = С1 =-р
х(Г) = С{Т + С2 = 1-Г. х(Г) = С1Г + С2 =1-Г .
Из первой системы находим Ct = С2 = 0, Т* = 1, а из второй Q = - -, . • • 3
С2 = 0, Т = -2. В результате получены две экстремали: Х[ (?) в 0, х2 (г) = - -1 (рис. 2.15).«
Пример 2.45. Найти кривую, на которой функционал
т __________
= У 1 + х’2 (t)dt
10
жет достигать экстремума, если её левый конец лежит на кривой ) = цх(Г) = t2 + 2, а правый конец - на кривой x(t) = <р(1) = t.
□ 1,2. Так как подынтегральная функция F = Jl + x'2 не зависит явно
Z и х, то уравнение Эйлера имеет общее решение (см. разд. 2.1.1):
х(Г) = С1Г + С2.
3. Выпишем условия трансверсальности (2.46) и граничные условия :
Г+ (>/-*')/>!,=,„ = Vl + x'2 + (2/-х')-^=|,=1. =0,
V1 + X
Г + (ф,-х'£с.)|,=г =Vl + x 2 + (1-х)-— |<=г =0,
Vl + x'2
x(t0) = Q*0 + О2 = Ч^о) - tQ2 + 2 , х(Т) = С1Т + С2 =<р(Т) = Т .
4. Найдем С,, С2, t0*, Т*, упростив систему, записанную в п.З :
1 + 2/q х (/о) = 1 + 2/q С] =0, l + xXT^l+Cj =0, Cj (q +С2 = tg2 + 2, С\Т + С2=Т.
Отсюда С] = -1,
>емаль х (/) = -/ + — 4
• 1 11 И D
т0 =-, С2=—, Т = —. В результате получаем
Геометрический смысл примера состоит в нахождении гладкой кривой ми-мальной длины, соединяющей две заданные кривые (рис.2.16). Она определя-±1 _________________________________________
я величиной функционала /[х* (Г)] = J <1 + (-1)2Л = —— .
I °
Пример 2.46. Найти кривую, на которой функционал
г .--------
I[x(t)] = $Jl+x'2(t)dt
*0
достигает экстремума, если ее левый конец скользит по окружности, описывае-мой уравнением х2 +t2 = 1, а правый конец скользит по окружности х2+(/-10)2 =4 (рис. 2.17).
□ 1,2. Так как подынтегральная функция F - Jl + х'г не зависит от t и х, то уравнение Эйлера имеет общее решение (см. разд. 2.1.1): x(t) = Ctl + С2.
3. Поскольку граничные условия имеют вид
у(^о> *о) - х02 + tg2 -1 = 0, чКУ, Xf) = Xf2 + (Т -10)2 -4=0,
то запишем условия трансверсальности и граничные условия в форме (2.44), (2.43) :
2 tg &t0 + 2х0 • Sx0 = 0,
2(Г* -10) • 5Т + 2хт • Ъхт = 0 ,
Хд2+Гд2-1=0, хт2 + (Т‘ -10)2 -4 = 0,
или
/0 ' + ХО Sxq = 0, (Т' — 10) •57' + х-р Sxj1 — 0 ,
х02 +/0’2 -1 = О, Хт1 +(Т'-10)2-4 = 0,
С, -8хг + 8Т = 0,
*0 = x(fo) = tg + С2, Отсюда следуют соотношения
С] • 5xq + 5/q = 0 ,
Xr^x(T-)-Cir'+C2
4
ЬТ = — С[ 8Ху , 6/д = — С| ЗХд ,
[— /д С| + Хд ]ЗХд = 0 , [— (Т — 10) + Ху ] 8Ху — 0 .
Так как Зх0 и Зху в последних равенствах произвольны, то х0 = С, tj, = (Т* —10) <?! и справедливо
Xg = С| tg + С2 = С| /д , Ху = С\Т + С2 -(Т - 10) С । ,
(С^+С,)2 + tj2 -1=0, (С(Г* +С2)2+(Т‘ -Ю)2 -4=0.
г
4. Определим Ct,C2,t0 ,Т': из первого уравнения С2=0, из второго ), из третьего t0 = ±1, из четвертого Т =10 +.2 .Отсюда х (t) ^=0 .
Поскольку функционал имеет смысл длины, то минимальное расстояние у точками, лежащими на заданных окружностях, достигается на прямой
•дг’(О = 0, tg* = 1, Т‘ = 8 , а максимальное - на прямой x‘(t) 0, Го* = -1, Т* = 12
т
2. 2.2. Функционалы | F(/, х(/),х'(/))гй, зависящие от одной функции. 'о
Случай негладких экстремалей
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество М допустимых функций (кривых) х(г), удовлетворяющих следующим условием (рис. 2.18) :
а) функции х(0 определены и непрерывны на отрезке [Го,Т], где t0 и Т заданы;
б) функции x(t) удовлетворяют граничным условиям:
x(t0) = xQ, х(Т) = хт, (2.49)
где х0,хт заданы, т.е. проходят через две закрепленные граничные точки А и В ;
в) функции x(t) являются кусочно-гладкими, причем непрерывность производной может нарушаться в некоторой заранее неизвестной точке г1 (точке излома). Функции х(1) образуются дв умя гладкими ф ункциями хлс( ) и хсд( i) , имеющими общую точку С , т.е. x^c(t) е С*([/0,Г|)) и xCB(t)e С|((Г1,7’]).
На множестве Л/ задан функционал
т
Дх(Г)] = f F(t, x(l), x'(t)) dt, (2.50)
где функция F(t,x,x') имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых кривых x(t), принадлежащих множеству Af , требуется найти кривую х (t) , на которой функционал (2.50) достигает экстремума , т.е.
1 к w] = f x dt •
1 J х(Г)еЛГ J
(2.51)
Замечания 2.6.
1. Могут рассматриваться задачи, в которых несколько точек излома.
. 2. В [10] доказано, что в задаче (2.51) поиска экстремума функционала
(£л°м возможен в точке, где Fx>x> - 0.
3. Во многих практических задачах требование непрерывности произвол* ой является неестественным, так как решение достигается на экстремалях, 1еК>ш,их точки излома. Поэтому рассматриваемая здесь задача актуальна.
Стратегия поиска решения задачи (2.51) на семействе негладких допусти-их кривых, имеющих одну точку излома при t = tt , состоит в том, что функ-киал (2.50) представляется в виде суммы:
'1 т
7[х(0] = л + Л = j x(t),х'(/))dt + j F(t,x(f),x'(t))dt. (2.52)
% 'i
P Запись (2.52) позволяет видеть, что задача (2.51) распадается на две:
F 1) поиск кривых АС и СВ (рис. 2.18), составляющих искомую кривую АВ;
F 2) определение значения .
f Для решения обеих задач запишем первую вариацию функционала (2.52), ^Читьрая, что (pic. 2 19)
а) значение tt не задано ;
[ б) правый конец кривой АС и левый конец кривой СВ подвижны;
’ в) левый конец кривой АС и правый конец кривой СВ закреплены
(вариации 8х0 = 8ху = 0, 5Г0 = 5Т = 0).
C(/i,xj)
C'(ti + ST] ,Xj + 5x, )
6
Рис. 2.19
Применяя (2.42), получаем
4 d
87 = Jl£x-Л^',8Х(°Л + />Ц-О5Х1 08/‘ +
%
+ f t ^х ~ F* 1 8х0)Л - +о^х1 “1-^ ~ х 7х’1|/=а+о8^1’
<1
Из условия 8/ = 0 следует
87=i[ Fx ~ iF*18х(° л+5[ Fx - 7tFx 1840 dt+{Fx-° -
<о h
-Ч=,1+о}8х1+Н^-х'/-х.]Ц_о-[^-х'^]Ц+о}8/1=0.
Так как вариации бх^Хб^ьб/] произвольны, то по основной лемме вариационного исчисления получаем
Fx-4^x'=°>
d* (2.53)
Fx-?-Fx.=0,
at
(2.55)
Таким образом, кривые АС и СВ являются интегральными кривыми уравнения Эйлера (2.53), т.е. экстремалями. Условия (2.54), (2.55) называются условиями Вейерштрасса-Эрдмана. Решения уравнений Эйлера (2.53) зависят от четырех произвольных постоянных:
хлс({) = х^с(Г,С],С2), xCB(t) = хСЙ(/, С3,С4).
Для нахождения этих постоянных и величины Z( используются два условия Вейерштрасса-Эрдмана, два граничных условия (2.49) и условие непрерывности искомой экстремали в точке : xAc(t[) =xCB(tl).
Сформулируем описанный результат в виде теоремы.
Теорема 2.7 (необходимые условия экстремума в задаче (2.51)).
Если на непрерывной функции х (t), непрерывно дифференцируемой на промежутках [<оЛ1) “ 01,Т] , где /| - точка излома производной, и удовлетворяющей граничным условиям x(t0) = х0,х(Т) = хт, функционал (2.50) достигает экстремума, то она удовлетворяет'.
а) уравнению Эйлера на каждом из промежутков [10 ,*|) и , Т] ;
б) условиям Вейерштрасса-Эрдмана (2.54), (2.55).
Замечания 2.7.
1. Если точек излома производной несколько, то к каждой из них приме-। те же рассуждения.
2. Если из условий Вейерштрасса-Эрдмана следует условие
х'(/1 - 0) = х'(/, + 0),
Цё. условие непрерывности производной в точке /) , то это означает, что точки ЕптОма нет, а экстремум функционала может достигаться лишь на гладких кри-Кй-
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА
В ЗАДАЧЕ (2.51)
1. Выписать условия Вейерппрасса-Эрдмана. Если из них следует условие ^прерывности первой производной х’(1| - 0) = х'(*1 + 0), воспользоваться алго-(ггмом нахождения гладких экстремалей (см. разд. 2.1.1).
г 2. Записать уравнение Эйлера и найти его общее решение на промежутках £g,4 ) и (/рТ] : xAC(t) = xCB(t) = xCB(t,C3,C4).
____3. Определить С|,С2,Сз,С4,Г] из граничных условий x(t0) = х0,х(Т) = хг, Ьловия непрерывности *лс01) = хсд(Л) и условий Вейерштрасса-Эрдмана. ^•результате получить экстремаль х (t) .
Пример 2.47. Найти экстремаль функционала
Дх(()] = J х'2(()[х'(()-2]2Л,
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0 , х(4) = 4.
О 1. Запишем условия Вейерштрасса-Эрдмана :
^х'Ц-о =2х'(х'-2)(2х'-2)|,=/1_0 =2х'(х'-2)(2х'-2)|,__,1+0 =^|,=,]+о,
2)(2- Зх')|/=,,_0 = х'2(х'- 2)(2- Зх')|,=,1+0 = F - х' ^Ц+о
:юда следуют варианты:
a) х’(/, - 0) = х'(13 +0);
б) х'(Г[ -0) = 0, x'(f, + 0) = 2;
в) х’(/, -0) = 2, x*((j +0)=0.
Вариант “а” соответствует случаю поиска гладких экстремалей. Так как
щынтегральная функция не зависит от х и t явно, то общее решение уравне-
ния Эйлера имеет вид x(l) = Ct t + C2. Из граничных условий х(0) = С2 = О , х(4) = 4С) + С2 = 4 находим С( = 1, С2 = 0 и экстремаль х*(г) = t.
2. Решение уравнения Эйлера на промежутках [0, ) и , 4] имеет вид
= С| /+ С2, xCB(f) = С2 t + С4.
3. Определим Ct, С2, С3, С4, tt из граничных условий:
хлс(0) = С2=0, хсв(4) = 4С3 +С4 =4,
из условия непрерывности:
x><c(zl) = Cj + С2 = С3 ?! + С4 = XcjCCj),
из условий Вейерштрасса-Эрдмана (см.п.1).
Варианту “б” соответствуют условия:
х (/) - 0) = хАс(^ - 0) = Cj = 0, x'(t[ + 0) = хсд(^| + 0) = С3 = 2.
Тогда получаем С4 =4-4С3 =-^, С3 +С4 =0, =2. В результате получена
экстремаль xjc(Z) = 0 при t е [0; 2] , x’CB(t) = 2/ -4 при t е [2;4] (рис. 2.20).
Варианту “в” соответствуют условия:
х (Ci -0) = хлс(?1 -0) = Q = 2, х (Z| + 0) - xCB(ti + 0) =С3 - 0 .
Тогда получаем С4 =4-4С3 =4, 2rt = С4, tx = 2. В результате получена экстремаль x‘AC(t) = 2t при t е [0; 2] , Хсл(0 = 4 при t е [2;4] (рис. 2.20).
Таким образом, в поставленной задаче имеются три экстремали: одна гладкая и две - негладкие. На негладких экстремалях /[х'(г)]= 0, а на гладкой I = 4 (очевидно, на ней минимум не достигается).
Пример 2.48. Найти экстремаль функционала
/[*(')] = }[х'2(/)-х2(/)]Л, о
^(овлетворяющую граничным условиям х(0) = 1, х^- J = 0.
□ 1. Запишем условия Вейерштрасса-Эрдмана (F = х'2 -х2 ): = 2х l'='i-° = 2х |'='1+« =2х'|,=,1+о’
=~х2 -х’2|'=',-о = -*2 -*’2Ц+о =F-x'Fx.|fMi+0.
:видно, из них следует условие непрерывности первой производной :
х'(/1 - 0) = х'(Ц + 0).
этому решение существует только в классе гладких экстремалей.
2. Решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, еет вид х*(/) = cos/ (см. пример 2.3).И
т
2.2.3. Функционалы j Р(/,х1(/),...,хя(/),х!(/),...,хя(/))Л,
зависящие от нескольких функций
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество М допустимых вектор-функций x(/)=(x1(/),...xnW)r, мовлетворяющих следующим условиям:
а) функции хД/), i =1,...,л, непрерывно дифференцируемые, т.е. КхОеС'СД), где Д - некоторый конечный отрезок, внутренними точками кото-fero являются значения /0 и Т, которые заранее не заданы;
б) значения /0, х10 = х^/о),..., хя0 = х„(/0) и Т, х1г = х^Т),.., хпТ = х„(Т), ^пределяющие концы вектор-функций, удовлетворяют граничным условиям:
Vy('b,xiO’-r«iio) = 0> У = 1,•••,«, «<л + 1,
(2.56)
Ф>(7’,х1г,..,хя7-) = 0, у = 1,...,р, р<л + 1,
в
рте »|/J(/,x1,..,x„), фу(/,Х|,..,хя) - заданные непрерывно дифференцируемые |>Ункции.
На множестве М задан функционал
т /[х1(/),...,хя(/)] = f F(t,xi(f),...,x„(f),x’i(f),...,x'„(t))dt, (2.57)
го
где функция /'(/,Х|,...,хя,х;,...,хя) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди вектор-функций, принадлежащих множеству Л/, требуется найти вектор-функцию х‘(1) = (х, (/),...,хя*(/))г , на которой достигается экстремум функционала (2.57), т.е.
т
У[х1'(Г),...,хя'(/)]= extr f JF(/,x1(Z),...,jc„(r),xJ(0,--,лСл(О)<*‘- (2 58)
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи опирается на применение необходимого условия экстремума: 8/ = 0. Поскольку функционал зависит от п переменных xt (/),..., х„ (г), то будем варьировать лишь одну из них х*(/), оставляя неизменными все остальные. Тогда выражение для первой вариации функционала совпадает с (2.42) :
1=_ £ F*1 SXk(t)dt+l=r &Xkr +
(2.59)
+ [ /• - х; ] |(=г. - &т - F* Ц. • 8х*о - И - Хк F^ ] |(=(о. . 6/0 .
В результате л т п л п
= If if = J Z ]8Х,(/)Л+ 2Х;|(=г.&XiT +
*0
(2.60)
8/fl-
t^o"
Из условия 8/= 0 с учетом независимости вариаций 8x,(Z), z = 1,...,и, между собой и от &xiT ,&Т,8x,o,8fo получаем, что вектор-функция х’(/) = (х] (/),...,х„'(/))г должна удовлетворять:
а) системе уравнений Эйлера
7V- —F. =0, / = 1,...,и; ' dt х‘
(2.61)
б) условиям трансверсальности
i^;|, r.sxlT+if-£*;^i 8х,0-
(=1 ' / = 1 / = т' /=1 ’
(2.62)
8/0 =0.
Вилу наличия граничных условий (2.56) вариации 8xiT и 87, а также 8xj0 и ^связаны :
3 vu, । " д ш I ।
84/;=------ • •.•,8/0+У-------- . . . 8х,о=О, 7 = 1,...,т\
J dt I'o-H'o) и 3 х, I'o <'о> (2.63)
8<Pj = у~|т,,х,(7’,)87’ +22^-|г-х<(7.«)8х|Т =Q 7 = 1,..., р.
Однако вариации ?>xiT, 8Г в силу (2.63) не связаны с вариациями 8х,0,8/0 .
Ц|этому равенство (2.62) можно переписать в виде
2Х;|, r.8x,r+[F-£x;^] 6Г = 0, / = 1 ( = 1 (__т'
iX;|, .-6jcio +[^-£х-/] м |,=<» /=1
(264)
8/0
= 0.
Соотношения (2.64), (2.63) также называются условиями трансверсально-
Сф ормулируем описанные результаты в виде теоремы.
Теорема 2.8 (необходимые условия экстремума функционала в задаче (2.58)). Если на вектор-функции x'(t) = (xl\t),...,xn’(t))T, где x'(t) е С*(Д),
удовлетворяющей граничным условиям \yj(tQ х10,..,хл0) = 0, j = l,...,m, и(7’,х1т’,..,хяГ) = 0, 7 = 1,...,р, функционал (2.57) достигает слабого экстремума, ^функции Х| (/),...,х„ (1) удовлетворяют'
а) системе уравнений Эйлера (2.61);
б) условиям трансверсальности (2.64), (2.63). •
I 3 а м е ч а н и я 2.8.
К-1. Если один из концов допустимых вектор-функций закреплен, то условия ^(нереальности для этого конца не выписываются, поскольку в этом случае Эртветствующие вариации в (2.64) равны нулю.
2. Если значения t0 и Т заданы и концы допустимых вектор-функций ^□льзят по прямым с уравнениями t = tQ и Г = Г, то вариации 8Г0 = 8Г = 0 . То-из (2.64) следует
F.l =0, 1 = 1,...,и;
(2.65) f.l =0, i = l,..., n.
x‘ lf=T
3. Если концы допустимых кривых удовлетворяют соотношениям х, = 4'iW, ‘ = I,--, л ; x, = i = 1,...,л , то из (2.63) получаем
- 40 Ob*) &b +1 • 8x,o =0, i = 1,...,л,
— ф(-(Г ) ST + 1 • &X(7’ =0, 1 = 1,..., л.
Подставляя полученные соотношения в (2.64), в силу произвольности вариации 8/0 и 8Г имеем
F + f(<₽'-X-)Fx.=0,
/=»1
(2.66)
=0.
4. Справедлив п.2 замечаний 2.4, где под х(1) следует понимать вектор-функцию.
5. Если условия (2.56) при фиксированных 10 и Т заданы в форме Xi(to) = xja,Xi(T) = xiT,i = \,...,п, т.е. рассматривается задача с неподвижными границами, то, поскольку вариации 8Г0 =8Т = 8х(0 = 8xiT =0, условия трансверсальности выполняются, а произвольные постоянные в общем решении системы уравнений Эйлера определяются граничными условиями.
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.58)
1. Записать систему уравнений Эйлера (2.61).
2. Найти общее решение системы
xi(f) = хДг.С^Сг.-.Сг^), i = 1,...,л.
3. Записать условия трансверсальности (в зависимости от вида граничных условий) и граничные условия.
4. Определить Cl,...,C2„,t0 ,Т и выписать экстремаль
х*(/) = (х1*(Г),...,хи‘(/))7'.
Пример 2.49. Найти экстремаль функционала
1 '
Дх, (/), х2 (/)) = | [ х] (/) х2 (0 + 6t • X] (t) + 12t х2 (Г) ] dt,
О
|овлетворяющую граничным условиям
*1(0)-х2(0) = 0, х1(1)-ьх2(1) = 4.
{ □ 1. Запишем систему уравнений Эйлера. Так как
F =х[ х2 +6/Xj +12/-х2, FXl=6t, F^x'i, ^-tFx;=x2’
!' FX1=12r, Fx.=x{, ^=xi',
o
FXi-4-F‘ = 6f-*2=0, ' dt 1
Fx. - — Fj =12r-x."=0
12 dt 12 1
[ЛИ
x'.--6r, x;'=i2r.
2. Найдем общее решение системы. Интегрируя два раза каждое из уравне-мй, получаем xj(Z) = 6/2 +Cb х2(/) = 3г2 +С3 ,
Х| (/) — 2/2 + С] / + С2 , Х2^У = t^ + C2t + С4 .
3. Так как левый конец допустимых вектор-функций закреплен, то условие рансверсальности записывается только на правом конце. Поскольку Т = 1, т.е. (Качение Т задано, то 8Т = 0 , а условие (2.64) имеет вид
F' Sxiy’ + F' 8х2тI = О
Х1 12 *2 22 |,=т = 1
или
х'2(Г) 5х1г + xj(T’) 8х2Г = 0.
Перепишем граничное условие Х](Г)+ х2(Г) = 4 в виде (2.56) :
ф 1(^\^17' >Х2Т ) = Х2Т — 4 0 •
Тогда условие (2.63) запишется в форме
1 • + 1 йх27 = 0 .
Отсюда бх1Г = -8х2Т и
- х'2 (Г) Ьх2Г + *1 (Т) ох2Т = [ -Ч (Л - х2 (Т) ] 6х2Т = 0.
Поскольку вариация 8х2Г произвольна, то имеем
х\(Т) = х2(Т).
Кроме соотношений, следующих из условий трансверсальности, используем граничные условия:
х1(0) = С2=0,
х2(0) = С4=0,
*1<Л + х2(Т) = х,(1) + х2(1) = 2 + С( +1 + С3 = 4 .
4. Определим С\,С2,С2,С4 :
х'1(Г) = х'1(1) = 6 + С1 =х2(Т) = х2(1)-3 + С3 или С3 -С, =3 ,
С( + С3 = 1.
Отсюда С) = -1, С2 = С4 - О, С3 = 2. В результате получаем экстремаль x\i) = {xx\t),x2\t))T, т.е. x1*(0 = 2/3-t, х2‘(/) = /3+2/.И
Пример 2.50. Найти экстремаль функционала
т
Л^1(Г),х2(/)] = J[+ 6/ АГ|(Г) +12/2 х2(0МЛ о
удовлетворяющую граничным условиям
Х1(0) = х2(0) = 0, х1(Т) + х2(Г) = 0.
□ 1. Запишем систему уравнений Эйлера. Так как
F = х1х2+6Гх1+12Г2 -х2, FX1 =6/, =х2, — =х2,
о , d
Л =12/2, Л;=х, =-F, =х ,
*2 *1 " (ft *2 1
то
F. ~ — Fx’ = 6t-x2 =0, dt * 2
Fx. --F. — 12Г2 -xj'-O Xj dt Xj 1
xj’ = 12 r, x2 = 6t.
2. Найдем общее решение системы, интегрируя оба уравнения два раза:
xj(Z) = 4/3+СН x2(z) = З/2+С3, х1(/) = ? + С1/ + С2, х2(Г) = ?+С3/ + С4.
» 3. Так как левый конец допустимых вектор-функций закреплен, то условие
Трансверсальности записывается только на правом конце. Перепишем граничное Цфтовие %!(Г) + х2(Т) = 0 в форме <р{(Тл17- jc2T) ^х1г +х2Т ^0 . Из (2 64) имеем
Fx; 8х1Г + Fx. 8х2Г + [ F - xj - х2 7Х> 2] ST | =
= х2 • 8х1Г + xj 8х22- + [ xj х2 + 61 • х, +12 Г2 • х2 - xj х2 - x'2xj ] - ST | /=?,. = 0.
Из условия (2.63) и <р1(Г,х1Г,х2Г) = хц- +х2Т = 0 получаем
1 • ЗХ|у +1 8x2т1, ~ 0 или Sx^ — —8x27’.
С учетом последнего соотношения перепишем условия трансверсальности Ц1нак * для упрощения обозначений опустим)
f xj (Г) - х2 (7) ] 8х22 + [ - xj (Г) х'2 (Г) + 6Т -Х1 (7) + 1272 • х2(Т) ] • 87 = 0.
Так как 8 х2Т и 87 произвольны, то отсюда имеем
xj(7) = x2(7),
67 X] (7) + 1272 х2 (7) - xj (7)х2 (7) = 0.
«Хроме условий трансверсальности, выпишем граничные условия:
Х](0) =С2 =0 ,
х2(0) = С4=0,
Х!<7) + х2(7) = 74 + С]7 + 73 + С37 -0 .
4. Определим Cl,C2,C3,C4,T*. Имеем
х[(Т) = 4Т3 + Ct = х'2(Т) = ЗТ2 + С3,
6Т(ТЛ + QT) + 12Т2[73 + С3Т] - (4Т3 + С^ЗТ2 + С3) = 0,
T3+T2+Ci +С3 =0.
Из первого и третьего уравнений получаем
С| -С3 =ЗТ2-4Т\
С, +С3 =-Т3-Т2.
Отсюда
2С1=2Г2-5Т3, С.=Т2--Т3, С3 =С.-ЗТ2 +4Т3 =-2Т2 + -Т3.
1 2 2
Подставляя выражения для С) и С3 во второе уравнение, имеем
6Т[7’4 +тз _^7’4] + 12Г2[Г3 _2Г3 + |Г4]_
-[4Т3 +Т2-|т3][37’2-2Т2+|7’3] = 0
или 63 п — Г2 -24Т + 5 = 0. 4
Решая полученное квадратное уравнение, находим корни:
„ 24 ±7576-315 48±2У261 п„ _
Т ---------------- —— ---- или /j = 1,275; Т2 s 0,25. Тогда для корня
оЗ 63
2
Ti = 1,275 вычисляем постоянные Q = -3,56; С3 = -0,14, а для корня Т2 = 0,25 соответственно Q = 0,023; С3=-0,1.
В результате получаем две экстремали:
1) ±1'(t) = l4 -3,561; х2’(О = <3 -0,141, Т* =1,275;
2) х1’(1) = /4 +0,0231; х2’(1) = 13-0,П, Т’=0,25.Н
Пример 2.51. Найти экстремаль функционала
т о
(овлетворяющую граничным условиям:
х1(0) = -3, х2(0) = 2, xi (Г) = Т2 + 1, х2(Т) = -2.
□ 1. Запишем систему уравнений Эйлера. Так как
F = XtX2 , FXl = 0, Fi; = хъ j. Fx; = х2 ,
=o, fX’ =*;, -fx. =*;
В
Fx, - — F- =-x;' = 0 *2 *2 1
»g>,-
В”
x[' = 0, x2 = 0.
2. Найдем общее решение полученной системы:
Xi(t) = С, t + C2, x2(t) = C3t+ С4.
3. Левый конец допустимых вектор-функций закреплен, поэтому запишем ювия трансверсальности на правом конце.
Перепишем граничные условия х^Т) = Т2 +1, х2(Т) = -2 в форме
х, =<Р!(1) =/2 +1, х2 =<р2(0 =-2-
Так как <р'|(/) = 2т, <р'2(0 = 0, то условия (2.66) принимают вид
F + (2t-x\)FA-x2FA\t=T.
= xj Xj +(2t -x’|)xj -x2x\
= 0 t=T'
r
(2Т-х;)хз|(=г. =0.
Запишем граничные условия :
х1(0) = С2=-3, х2(0) = С4=2,
х1(Т) = С1Т + С2 =Г2 + 1, х2(Т) = С3Т + С4 = -2.
4. Определим CI,C2,C3,C4JT . Из условия трансверсальности следуют два варианта:
1) х2(Г) = С3=0;
2) х;(Г) = С1 = 2Г.
Рассмотрим первый вариант:
С2=-3, С4=2,
С3=0, CtT + C2 =Т2 +1,
С3Т + С4=-2.
Очевидно, система не имеет решения.
Рассмотрим второй вариант:
С2=-3, С4=2,
Ct=2T, CtT + C2 = Т2 +1,
С3Т + С4 =-2.
Отсюда Т* = ±2, С] = ±4, С3 =42.
В результате получаем две экстремали х*(/) = (х1*(г),х2*(г))г, т.е.
х1*(0 = 4/-3, x2*(Z) =-2/+ 2, Т'=2
и
Х]’(0 = -4/-3, x2(t) = 2t + 2, Т* = -2,
на которых может достигаться экстремум функционала.
^д.4. Функционалы j F(t, x(t), x'(t))dt + G(T, x(T)), зависящие от одной функции
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество Л/ допустимых функций (кривых) х(1), удовлетво-аощих следующим условиям:
а) функции x(t) непрерывно дифференцируемы, т.е. х(/)е С*(д), где Д не-дорый конечный отрезок, значение ta задано, а Г не задано и является внут-цней точкой отрезка Д;
б) левый конец кривых закреплён, т.е. х(/0) = х0, где х0 задано; правый щец удовлетворяет граничному условию
<р(Г,х7-) = 0, (2.67)
s Хт = х(Т), а <р(г,х) - заданная непрерывно дифференцируемая функция.
На множестве Л/ задан функционал
/[*(')]= J + <7(Г,х(Т)),
'о
: функция F(t,x,x') имеет непрерывные частные производные до второго попса включительно по всем переменным, функция G(t,x) непрерывно диффе-пщруема по всем переменным.
Среди всех допустимых кривых, принадлежащих множеству Л/ , требуется 4ти кривую x’(Z), на которой функционал достигает экстремума, т.е.
(2.68)
Ф'(')] = extr •
Х\Г )€ Jn
T\F^\x'^dt^G{F,x^
<0
(2.69)
Замечания 19-
1. Функционал (2.68) называется функционалам £мьца. Кроме интеграль-члена, он содержит терминальный член <7(Т,х(7’)).
2. В рассматриваемой задаче для простоты изложения полагается, что вый конец допустимых кривых закреплён. В качестве обобщений могут быть учены задачи с подвижным левым концом, удовлетворяющим условию /о,х0) = О (см. разд. 2.2.1), а также функционалы с терминальным членом T,x(T))+Q(t0,x(t0)) или G(T,x(T),t0,x(t0)).
3. В поставленной задаче (2.69) фактически ищется пара (х’(/),Т*), на ко-ft функционал достигает экстремума (см. п.2 замечаний 2.4).
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи Больца опирается на применение теоре-о необходимых условиях экстремума функционала: 8/ = 0. Так как рассмат-
риваемая задача отличается от изложенной в разд. 2.1.1 только наличием терминального члена и отсутствием условия у(/0,хо)=0, то найдём вклад терминального члена в выражение для первой вариации функционала:
86 = ^
8Т + ^ ) дх
8хт.
Добавим 8G к выражению (2.42) для 8/, учитывая, что 8/0 =0, 8х0 =0, поскольку левый конец допустимых кривых закреплён:
d
fx - 4 fx 1 + л>+—
xdtx\ х дх
8G
81
81= J 'о
Из равенства 8/ = 0 и произвольности вариации 8x(t) получаем, что экстремаль х (г) должна удовлетворять:
а) уравнению Эйлера
dt
ST.
F - — х dt
б) условию трансверсальности
8G дх
8хт + F + - х F'
I dt х
8Т = 0.
(2.70)
В силу наличия граничного условия (2.67) вариации 8хт и 8Т связаны-.
8ф = —
8Т + ^
I дх
8хт = 0 .
(2.71)
Сформулируем описанные результаты в виде теоремы.
Теорема 2.9 (необходимые условия экстремума функционала в задаче Больца (2.69)).
Если на функции x'(t)eCl(&,), удовлетворяющей граничным условиям х’(/0) = х0, ф(т’*,х*(7’*))= 0, функционал (2.68) достигает слабого экстремума, то она удовлетворяет.
а) уравнению Эйлера-,
б) условиям трансверсальности (2.70), (2.71).
Замечания 2.10.
1. Если Т задано, т.е правый конец допустимых кривых скользит по прямой, описываемой уравнением t = T, то поскольку 8Т = 0, а 8хг произвольно, условие трансверсальности (2.70) принимает вид
„ dG F. +---
Х дх
2. Если правый конец допустимых кривых скользит по кривой с уравнением х = <р(г), то граничное условие можно записать в виде ф(Т, хт) = хт - <р(7’) = 0 . Тогда из (2.71) получаем
= 0.
Т,х‘(Т)
(2.72)
-ф'(т*)-5Т + 1 =0 или 5хт =ф'(т*)-8Г.
Ёгавляя полученную связь между вариациями в (2.70) и учитывая произволь-8Т, находим
„ dG I , dG ,
F + — + (ф - х IF• + — ф
dt V ' х дх
= 0 .
Т’,х (т*)
3. Если граничное условие ф(Т,хг) = 0 отсутствует, то вариации Ъхт 1Извольны. Поэтому из условия (2.70) следует
дх
(2.73)
и 8Т
= 0,
(2-74)
F +-------х F,'
dt *
= 0. Г',х’(т')
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.69)
1. Записать уравнение Эйлера.
2. Найти общее решение уравнения Эйлера: х =
3. Записать условие трансверсальности и граничные условия.
4. Определить С1,С2,7’* и записать уравнение экстремали x’(t).
Пример 2.52. Найти экстремаль функционала
Z[XOJ = J x'2(t)dt + 5х2(1) , о
удовлетворяющую граничному условию х(0) = 1.
L □ 1,2. Так как подынтегральная функция F = х 2 не зависит от t и х яв-tio, уравнение Эйлера имеет общее решение x(f) = Q t + С2.
; 3. Правый конец скользит по прямой 1 = 1, поэтому воспользуемся (2.72)
Йри (7 = 5х2:
Fx'+^- =2x' + 10xL , =2х'(1)+Юх(1) = 0.
Зх т=1
^Используя граничное условие, получаем х(0) = С2 = 1.
4. Определим С]. Поскольку С2 =1,то
x(0=Cj7+l и 2х'(1)+10х(1) = 2С( + 10С, +10-0 .
^Отсюда С] =~. Таким образом, получена экстремаль х’(г) =-|/ + 1 6 6
Пример 2.53. Найти экстремаль функционала
4*('Я= J [*2(')+ 12/х(/)]л - х(Т), о
удовлетворяющую граничному условию х(0) = 0.
□ 1. Запишем уравнение Эйлера. Так как F = x'2+I2tx, Fx=12t,
Fx' =2х , Fx’ = 2х", то Fx - F' = 12t - 2х" = 0 или х" = 6t. dt dt
2. Дважды интегрируя левую и правую части уравнения, находим общее решение уравнения Эйлера: х'(/)= З/2+СЬ x(z)=/3+С(1+ С2.
3. Запишем условия трансверсальности (2.74). Так как G(t,x) = -х, то
F +-----x'F' = х'2 +12/Х-2х'2| , ,, ,> = 121 х - х'2| . ,/.\ = 0.
L 8t \т.х^) 1г ,х (г )
Применяя граничное условие, получаем х(0) = С2 = 0, х(1) = Г3 + Q1.
4. Определим С^Т':
2х'-1|7,.х.(г.) = 2-ЗТ’2+2С1-1=°,
•4 = 127’ +
' .2 ?
ЗТ +с.
= 37’*4 +67’*2С1 - С? =0.
1 #2
Из первого уравнения С} = — - ЗТ , и после подстановки во второе соотноше-
*4 *2 1 *2
ние: 247’ -6Т + —= 0. Обозначим Т = р. Тогда найдём корни уравнения
.. 2 < 1 п 6±V36 - 24 6 + V12 6±2Л 3±73 ^.2
24р -6р + - = 0: ^2=——----------= __=Г . отсюда
3±V3 _ 1 ,<3±V3 1Т V3
V 24 2 24 8
В результате найдены экстремали
1 v' 8 1 V 24
— 1, г = J—-8 2 V 24
Пример 2.54. Найти экстремаль функционала
2 о
довлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(Т)+ Т = 1. ’ 1 ,,
□ 1,2. Так как функция F = -х 1 не зависит от t и х, то общее решение
ение Эйлера имеет вид x(t) = C\t + С2.
3. Запишем граничные условия и условие трансверсальности (2.73) с учётом j(t,x)=x2, так как граничное условие х(7’)+7’ = 1 означает, что правый конец по кривей с уравнением х =<p(z) =1
-Г.
х(0) = С2 = 0, х(г) =Clt,
х(Т)+Т = С{Т + Т = 1,
_ dG ( , 3G , F + — + (ф - х IF > + — ф dt ' ' х дх
. , = Iх'2 + (-1 -*')*' + 2х•(-1) |г =
Г'.хДП
£ 2
2
-х' -2x1 = 0.
1г',х*(т’)
4. Определим С},С2,Т :
7”=—!—, -С12+С1+2С,7”=1с12+С1+^-=0.
Q +1 2 1 2 1 С( +1
1 2 2
да Ci=0 или — С1+1 + —-----= 0, С[ +ЗС\+6 = 0. Последнее уравнение
2 V] +1
№ имеет действительных корней. Поэтому Т* = 1 ив результате найдена экстре-х*(г) = 0 при t е [0,1].
т
2.2.5. Функционалы j f(z, х1 H...,xn(f),x1'(T),...,x;(f)> + G(T,x1(n...,xn(T)),
<0
зависящие от нескольких функций
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество Л/ допустимых вектор-функций х(/)=(х1(^...,хл(/))г, удовлетворяющих следующим условиям:
& а) функции Х|(1), 7 = 1,...,и, непрерывно дифференцируемы, те.
i'*/(/) в С1 (д), где А - некоторый конечный отрезок, значение /0 задано, а значение Т не задано и является внутренней точкой Д;
i'v
б) левый конец кривых закреплён, т.е. х(/0)= х0 = (x^.—.x^)б) 7, где х,0,
.,я, заданы; правый конец удовлетворяет граничным условиям’.
<fj(T,x„,...,xnT) = O, j = l,...,p, p<n + l,
(2-75)
где xiT = x,(T); <pj(t,xlt...,x„), j = l,...,p, - заданные непрерывно дифференцируемые функции.
На множестве Л/ задан функционал
4*1W-,*»(')]= / -^п(Лж1(Л -.жл(0)л + <7(7’,х1(Г^..,хл(Т)), (2.76)
где функция ..........хл,х;,...,хл) имеет непрерывные производные до второго
порядка включительно по всем переменным, а функция G(t,xi,...,xn) непрерывно дифференцируема по всем переменным.
Среди всех вектор-функций, принадлежащих множеству Л/, требуется найти вектор-функцию x*(t) =(<x*1Q),...,x*(tjjr, на которой достигается экстремум функционала (2.76), т.е.
г
/^,х1(4...,хл(4х;(4-,^(0)л+<7(7’^1(П-лл(7’))
%
.(2.77)
Замечания 2.11.
1. Функционал (2.76) называется функционалом Бальца. Кроме интегрального члена, он содержит терминальный член
2. В рассматриваемой задаче для простоты изложения полагается, что левый конец допустимых кривых закреплён. В качестве обобщений могут быть изучены вариационные задачи с подвижным левым концом, удовлетворяющим условию 4/y(/o,xlo,...,x„o) = 0 , J = (см. разд. 2.2.3), а также функционалом с терминальным членом С(Т,х1(7’),...,хл(7’))+б(/0,Х|(/0)1...,хл(/0)) или G(T, Xl х„ (T\t0,Xi(t0хл(/0)).
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи опирается на применение необходимого условия экстремума: 87 = 0. Так как рассматриваемая задача отличается от изложенной в разд. 2.2.3 наличием терминального члена и отсутствием условия Ч/у(/о,Х|о,...,хло)= 0, то найдём вклад терминального члена в выражение для
д д G
первой вариации функционала: 8G =— 87 +У------- 8х1Т
8‘ г-,х-(г) & 8xt ГУН
Добавим 8G к выражению (2.60) для 8Z, учитывая, что 8г0 =0, 8xi0 =0, i = поскольку левый конец допустимых функций закреплён:
8z/f£k-^Fx;K('M+
4) г=1 L J
А ., dG У F +-------
£11 ' м
я р SG ' 17
8х,7- + F +------> х, Fг'
I L 81 м
(2.78)
6Т.
Т’,х(т")
Из равенства 8/ = 0 и произвольности вариаций 8x,(r), i = 1,...,л получаем, вектор-функция x'(f) = должна удовлетворять:
а) системе уравнений Эйлера
'=*’•••’л; (2-79)
б) условиям трансверсальности
&Х.Т+ 87’= 0. (2.80)
7‘,х‘(т‘) L '-1 J Т‘,х‘(т‘)
В силу наличия граничных условий (2.75) вариации SxiT и ST связаны:
д <р , " 8 ф ,•
8фу=^- + 8xlT=0, J=l,... ,р. (2.81)
. 8t r,x-(r) М дх‘ г.х(И
Сформулируем описанные результаты в виде теоремы, г Теорема 2.10 (необходимые условия экстремума функционала в задаче |.77)).
Если на вектор-функции x*(t)={xi(t\...,x^(t^, где х,*(1)е С*(д), удовлетво-|бюи(ей граничным условиям x’(t0)=x0, <pj(j",Xi(T"),...,Xn(T'))= 0, j = l,...,p, функционал (2.76) достигает слабого экстремума, то функции х*,x‘„(t) удовлетворяют:
а) системе уравнений Эйлера (2.79);
б) условиям трансверсальности (2.80), (2.81).
Замечания 2.12.
1. Если значение Т задано, а правый конец допустимых кривых скользит |го прямой с уравнением t = Т, то вариация ST = 0. В силу произвольности вариаций 8xiT, i = 1,...,л, из (2.80) получаем
г, * X/
8G
+----
дх.
= 0, 7,х*(Г)
1 = 1,..., л.
(2.82)
2. Если правый конец допустимых кривых удовлетворяет соотношениям
В/ = ф/(1), ' =1> -.л, то из (2.81) и ф)(1,х1,...,хл) = Xj -ф((/) = 0 получаем
-ф;(т*)-8Г +1-8Х/Г =0, i = 1,...,л.
Годставим полученные соотношения в (2.80) и в силу произвольности ST будем меть
8G , О Xi
= 0.
- T'.x'fr*)
(2.83)
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (2.77)
1. Записать систему уравнений Эйлера (2.79).
2. Найти общее решение системы х, = Xi(t,C^,C2,...,C2„), i = .
3. Записать условия трансверсальности (в зависимости от вида граничных условий) и граничные условия.
4. Определить С1,...,С2я,7’* и выписать экстремаль x'(t)-(х* (/),..., х*^))^.
Пример 2.55. Найти экстремаль функционала
7[х, (г), x2(r)] = f [ х{ (t)x2 (0+ х,(/)х2(/)]Л + xt (I) + х2(1), о
удовлетворяющую граничным условиям Xj (0) = х2 (0) = 0.
□ 1. Запишем систему уравнений Эйлера. Так как F = х\ х2 + х{х2,
К, = х2, F' = х2, 4- К.' = х2, Fx. = х., F • = xj, — F = xj', то
xi *i 2 dt Х| 2 Хг 1 Хг ‘ dt xi 1
=Х2-Х2=0’
2. Найдём общее решение системы xj' - Х| = 0, х2 - х2 = 0:
Х| (() = €[«' +С2е ', x2(t)-C3e' +САе 1 .
3. Запишем условия трансверсальности (2.82), учитывая, что значение Т = 1 задано, a xj(1) и х2(1) произвольны. Поскольку G(t,xltx2)= xt + х2, то
X1 axj
= х2(1)+1 = 0, 7=1
= xj(l)+l=O.
7=1
Х2 дх2 Используем граничные условия: х1(0) = С( + С2 - 0 , х2(0) — С2 + С4 = 0.
4. Определим С{,С2,С2,С^. Имеем Q =-С2, С3 =-С4, х2(1)+1 = С3е-С4е'1 +1 = 0,
xj(l)+l = C(e-C2e *+1=0.
„ 1
:кда С2 =----
С1 = С4 =-Г“7’ Сз В результате 1 +1 е2 +1 е2 +1 е + 1
1ем экстремаль x’(z)= (xf^x^z)^: х,(/)=х;(/) = —Л-е' + -Л-е е +1 е2 + 1
Пример 2.56. Найти экстремаль функционала
/[x|(z),x2(z)] = Jxj(0*i(')* + *l(l)+*2(l)> о
ровлетворяющую граничным условиям: х((0) = х2(0) = 0 , x3(l)- x2(l) = 4.
□ 1. Запишем систему уравнений Эйлера. Так как F = xj х2, FXt = F^ = 0,
^=*2. ^=*i. то получаем
' Fx --F’ --х2 -О , Fx~ — Fi -=--xj’-О .
*' dt X, 2 X2 dt x2 1
2. Найдём общее решение системы: xj (г) = С, z + С2, х2 (z) = С31 + С4.
j 3. Запишем граничные условия и условия трансверсальности (2.80), (2.81). Считывая, что G = X]+x2, <р(Т,х1Г,х27-)= х|7--х2Г-4 = 0, 8Т = 0 поскольку Йачение Т =1 задано, имеем*.
Х| (О) = С2 = 0, Xj (z) = Cj t,
х2(0) = С4=0, x2(r) = C3Z,
Xi(l)-X2(l)-Cj -С3 = 4,
dG
8х1г +
Т=1
г SG
Fy’ +----
дх2.
5х1т = [хг(1)+ 1]-8х1Г + [*j(l)+1]- 8х2Г = 0, Г=1
1 Зхц’ — 1 &Х27’ = 0.
4. Определим СЬ...,С4. Имеем (С3 +1)8х1Г +(С] +1)8х2Г =0, йх1Г=ах2Г, Kj - С3 = 4. Поэтому (Cj + С3 + 2)йх2Г = 0. Так как вариация Зх2Г произвольна, то получаем Q + С3 + 2 = 0, Cj - С3 = 4. Тогда Ct = 1, С3 = -3. В п.З найдены ЙЬчения С2 = С4 = 0. В результате получена экстремаль x*(z) = [xj(z),x2(z))r, где |к(')=* > х2(')=-з/и
Пример 2.57. Найти экстремаль функционала
4*1 (4х2(')] = f [*1(0 х20+ х1(0И + xi(T)-x2(T), о
|довлетворяющую граничным условиям: Xj (0) = х2 (0) = 0 , х, (Т) + х2 (Т) = - 6 .
□ 1. Запишем систему уравнений Эйлера. Так как F = х[х2 + хь FX| =1,
FX1-0,
FX, -£^xi =1-^'=°. =-*Г = ° ИЛИ xJ’-O.Xj-l.
{I 2. Находим общее решение системы: х1(/)=С1/ + С2, х2(/)= — + C3t + C4.
3. Запишем граничные условия:
Х|(0) = С2=0, Х|(/)=С(/,
Л х2(0)=С4=0, х2(г)=у + С3/, 7*2 х1(Т)+х2(7’) = С1Г + ^- + С3Т = -6.
Так как G = Х| -х2, '<^,хи-,х2т) = xiT + х2Г +6 = 0, то условие (2.81) имеет вид Sep = 1 • Sxiy +1 Sxjy = 0 или 8X17* = — Sxjr •
Из последнего соотношения следует, что ST не зависит от Sx{Tt 8х2Т и произвольно. Поэтому из условия трансверсальности (2.80) следуют два уравнения:
F • + 8х1г + F' + 6х2Т =
L L 5x*J Лх-(г)
= [х2(7’ )+1]-8Х|Г +[xj(r )-1 ] 8х2Г = 0,
_ 9G , _ , _
= x;(r,).xi(r,)+x1(r,)-xi(r,).xi(r,)-xi(r,)-x1'(r,)=o.
С учётом связи 8х1г=-6х2Г из первого уравнения получаем [х;(г’)-х2(г’)-2]-8х2г =0. Так как 8х27- произвольно, то х[(г’)= х^(г*)+2. Из второго уравнения следует X] (г*)- х[ (r-)xj(r)=0.
4. Определим Clt...,C4,T . Опустив знак ♦, запишем систему для нахождения оставшихся неизвестных:
х;(Т) = С2 =х2(Т)+2 = Т + С3+2,
*1(П- = QT - Ci(T + С3) = О,
m2
х,^)+ х2(Т) = CJ
Цз второго уравнения следует С]С3 = 0. Рассмотрим два варианта:
1) С] =0. Тогда С3 =-Т-2, у- + (-Т-2)Т=-6 или Т2 + 4Т-12 = 0. результате Т’ -2, С3 = -4 или Т' = -6 , С3 = 4. Получаем две экстремали:
Т* = 2;
Х1(/)«0, х2(/)=у + 4/, Т = -б;
у,2
2) С3=0. Тогда С!=Т + 2, (Г + 2)Т + у- = -6 или ЗТ2+4Т + 12 = 0 решений нет.и
И
Задачи для самостоятельного решения
Найти экстремали функционалов.
1. Дх(/)] = |[х'2(/)-х2(/)]Л, х(0) = 1, Т = 1 о 4
Ответ: х (/) = cos/+ sin/.
т
2. Z[x(/)] = f х 2(/) Л, х(0) = 0, х(Т) = - Г -1. о
Ответ: х*(Г) - -2/, Г* = 1.
Т ________
3. Дх(/)] = fVI + х 2(/)Л, х(/0) = /02, х(Т) = Т-5.
• 3 • 1 • 23
Ответ: x = + /0 Т =—.
4 2 8
Т /< . х* 2/л
4 Дх(/)] = f V dt, х(0) = 1, х(Т) =Т-1. о
Ответ: х*(/) = ^2- (/-I)2, Т* =2.
5. Z[x(?)] = J{x'(?)[x'(O-'l)<*. 'о=О, T = l.
Ответ: х (?) = — + С. 4
Г /, , v*2zj\
6. 7[х(?)]=р------^-Л, х(0) = 0, х(Т) + 4Т-4 = 0.
о z" 2
/ । \2 । -у
Ответ: ? — + (х - 2)2 = —.
L 2) 4
2
7. Z[x(?)]= J[?x'(?) + x'2(?)]<*, х(0) = 5, Т = 2. О
Ответ: х (?) =----+ 5.
4
7 /i , 2/^\
8. 7[х(?)]=р-----—— dt, х(0)=0, (х(Т)-I)2 + (Т -5)2 -4 =0 .
о * "1
Ответ: (t - 2)2 + (х -1)2 = 5.
9. 7[х(?)] = f ;'2'° х(0) = 0, х(Т) = Г-10.
о
Ответ: х/(?) = ^20?-?2, х2*(?) = -^20?- ?2 .
10. Найти кратчайшее расстояние между кривыми х(?) = ?2 и х(?) = ? -1.
Ответ: х*(?) = -? + — , ?n*=-, Т*=-, l'-—. 4 0 2 8 8
11. Найти экстремаль функционала
2
7[х(?)]= /х'2(х'(?)-1]2Л, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0 , х(2) = 1.
Ответ: х/(?) = 0 при ? е [0,1], х/(?) = ?-1 при ? е [1,2];
х2*(?) = ? при ? е [0,1], х2*(?) = 1 при ? е [1,2];
х3*(?) = ^ при ?е[0,2].
3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество Л/ допустимых вектор-функций x(t) = (xl(t),...^c„(t))r, рвлетворяющих следующим условиям:
а) функции Xj(t) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке где t0,T заданы, т.е. х,(0 е С1([Г0,Г]), i =
б) функции х,(г) удовлетворяют граничным условиям’.
Xt(tQ) = xiQ, Xj(T)'=xiT, i = (3.1)
|(е xi0, xiT, i = 1,..., n, заданы, т.е. каждая из кривых х,(г) проходит через две укрепленные граничные точки;
в) функции х,(1) при всех t е [Го, Т\ удовлетворяют конечным связям.
<ру (/,Х! (/),..., хл (/)) = 0, j = m<n, (3.2)
уе функции <ру(/,х1,...,хл), j = 1,...,?п, непрерывно дифференцируемы по всем ^ременным.
Предполагается, что уравнения (3.2) независимы, т.е.
дф! д<Р1
ЭХ[ ахл
rang £фт_ d<Pm = m
дхг Эхл
также связи (3.2) согласованы с граничными условиями (3.1).
Последнее означает, что граничные точки должны удовлетворять уравнени-М (3.2) при t - t0 и t = Т.
На множестве Л/ задан функционал
т
/[x^h.-.x,,^)^ J F(t,xi(t),...,x„(t),x'l(t),...,x'n(t))dt, (3.3)
/0
где функция F(t,xl,...,x„,x{,...,x'„) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых вектор-функций х(Г), принадлежащих множеству Л/, требуется найти вектор-функцию х*(Г) = (х*{f),...,xn (t))T, на которой функционал (3.3) достигает экстремума, т.е.
т
Л*Г(О.....хл’(0] = extr f F(t,xl(t),...,x„(t),x'l(t'),...,x'„(t))dt. (3.4)
х(/)еЛ’ /
Поставленная задача относится к задачам поиска условного экстремума функционалов, так как кроме граничных условий на искомые функции наложены дополнительные условия, в данном случае конечные. В разд. 3 рассматриваются еще задачи с интегральными и дифференциальными условиями (связями).
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия опирается на применение необходимого условия экстремума: 61 =0. Задача (3.4) отличается от задачи (2.20) (см. разд. 2.1.2) только наличием условий (3.2). Поэтому воспользуемся выражением (2.24) для первой вариации функционала:
г я г d 1
8/=fZ 8х'('И. (3.5)
<а 1=1 L J
Так как функции х,(Г) должны удовлетворять конечным связям (3.2), то их вариации 8х,(/) не являются произвольными. Поэтому на данном этапе нельзя применить основную лемму вариационного исчисления.
Связь между вариациями находится путем варьирования уравнений (3.2):
Л d<Pi I
8ф7.= Х-^-|Л,)8х,.(Г) = 0, j = (3.6)
где x*(f)- кривая, на которой достигается экстремум функционала, вариация 5<р; вычислена при фиксированном значении Г е [/0,7’].
Следовательно, только (п-т) вариаций 8х,(Г) можно считать произвольными, например, 8хт+1(г)....8х„(г), а остальные определяются из (3.6).
Умножая почленно каждое из уравнений в (3.6) на некоторую функцию Ху (0 и интегрируя в пределах от t0 до Т , получаем
Tr " Э<р.
f Ev2 5х/(0Л = 0, j = • (3.7)
мдх‘
Суммируя почленно (3.5) и (3.7), находим
Если ввести обозначение
d<Pj d
(3.8)
F'(t,x,x') = F(t,x,x') + £ 7=1
(3-9)
F (/, x,x') называется функцией Лагранжа, а функции ^j(t), j = , -
жителями Лагранжа, последнее уравнение перепишется в виде
Г л Г /7 "1
8х,.(/)Л = 0.
(3.10)
Выберем т множителей ^(O.—AmW так, чтобы они вместе с кривой ^(/) удовлетворяли т уравнениям Эйлера
F‘- — F’’=O, i =
• dt х‘
(3.11)
ir вид
Это можно сделать, так как система (3.11), записанная с учетом (3.9), име-
™ d
+У^/(0 —- —fr'=0, 1 = 1,..., т.
' fa J ox, dt ‘
Она является линейной относительно Ху(Г) с определителем, отличным от (согласно п.”в” постановки задачи) и, следовательно, имеет решение
При осуществленном выборе множителей Лагранжа Л.1(Г),...,ХШ(О условие 10) принимает вид
1 п Г л I
% /=т+1
(312)
|е вариации &xm+l(f),...,tix„(t) независимы. Тогда по основной лемме вариаци-рного исчисления (для ее применения следует положить по очереди равными улю все вариации, кроме одной, считаемой произвольной) имеем
F* --F*- =0, I = т + .
' rtf 1
(3.13)
Учитывая (3.11) и (3.13), можно сделать вывод о том, что кривая x*(t) и ^Ножители Лагранжа должны удовлетворять системе уравнений Эйлера
F* - — F*. =0, i = 1,..., п .
‘ /It х>
(3.14)
Таким образом, из (п + т) уравнений (3.14) и (3.2) с 2п граничными условиями (3.1) находится вектор-функция x*(z) = (x, (Z),...,x„ (Z))r и множители Лагранжа Ц/),...,!^/).
Сформулируем описанный результат в виде теоремы.
Теорема 3.1 (необходимые условия экстремума в задаче (3.4)).
Если на вектор-функциии x‘(t) = (xl*(t),...,xn'(t))r, где x,’(f) е С1(ро,7"1), удовлетворяющей граничным условиям (3.1) и конечным связям (3.2), функционал (3.3) достигает экстремума, то функции х, (/),...,х„ (I) удовлетворяют системе уравнений Эйлера
F‘- — Fj=0, 1 = 1,..., л,
составленной для функционала
Т
/*[х1(г),...,хл(0] = f Г*(г,х1(0,-,хя(0,*;(0,-,4(г))Л = %
F(t,x{(t),...,x„(t),x\(t),...,x'„(t))+ 1;(0ф7(ЛЛ1(0,
7-1
,х„(0) dt.
Замечания 3.1.
1. На основании теоремы 3.1 решение задачи (3.4) об условном экстремуме функционала сводится к исследованию экстремалей функционала при отсутствии уравнений связи.
2. Приведенный способ, связанный с идеей снятия ограничений, аналогичен методу множителей Лагранжа для решения задач поиска условного экстремума функций [24].
3. В механике связи вида (3.2) называются гомномными.
4. В общем случае используется обобщенная функция Лагранжа
F‘ (Г, х, х’) = Хо (Г) • F(t, х, х’) + £ X у (Г) • (Г, х).
7=1
При этом рассматриваются два случая: Xo(/)sO и Хо(Г)^О. Такая методика аналогична применяемой при условной минимизации функций [24].
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (3.4)
1. Составить функцию Лагранжа
F*(/,x,x') = F{t,x,x') + £ Ху(Г)-фу(1,х) , 7=1
где функции Ху-(Г), j = , - множители Лагранжа.
2. Записать систему уравнений Эйлера (3.14) и условия связи (3.2) :
F*- — Fj =0, / = 1,...,л, ‘ dt ‘
Ч>;(ЛХ|(/),...,хя(/)) = 0, j =
3. Найти общее решение системы
^выражения для множителей Лагранжа Х((1) ,...,Х .
4. Определить постоянные С1,...,С2я из граничных условий:
xi(ta,Cl,...,C2„) = xi0, 1 = 1,..., п,
х,(Т,С|,...,С2л) = х,т, 1 = 1,...,л,
выйисать выражение для экстремали х’(1) = (х/(/),...,хл*(t))T.
Пример 3.1. Найти экстремаль функционала
я
Л*1 (0, х2(0] = ) [ */(') + x22(t) - xj 2 (Г) - x'22(t) ]dt, о
Удовлетворяющую граничным условиям:
*1(0) = 1, х2(0) = -1, *1(|) = 1. *2(5) = ’
^уравнению связи xt - х2 - 2cost = 0.
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как
F = х2 + х22 -х',2 -х2, <p|(Z,x) = xi-х2-2cosl, ж = 1,
F' = F + Х|(Г)-ф|(Лх) = X]2 +х22 -х[2 -х22 + X](l) [X] -х2 -2cosr].
2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так как
F'^ = 2х( + 1,(0, = -2x1, F^ = -2x1',
?х2 = 2х2 - Xj(l), F^ = -2х2, F^ = -2х2 ,
то
F'x' ~ It F'x'1 = 2Х| +11 (/) + 2xi'= ° ’
Fx2-JtF’± = 2x2-A1(Z) + 2x2=0,
x, - x2 - 2 cos t = 0.
3. Найдем общее решение системы.
Складывая первые два уравнения системы, получаем
2(xj'+х2) + 2(xj + х2) = 0
или, вводя обозначение х, + х2 = у, имеем
у" + у = 0.
Так как характеристическое уравнение А2 + 1 = О имеет корни А| 2 = ± i, то
y(t) = Cj cos t + C2 sin t = X[ + x2 .
С другой стороны, из третьего уравнения системы следует 2 cos t = х, - х2. Складывая два последних уравнения, получаем 2xj = Cj cos t + C2 sin t + 2 cos t c c
или Xi (?) = cos t + sin t + cos t.
Тогда
x2(r) = xj?) - 2cosz,
A1(Z) = 2x2(Z) + 2x2(Z).
4. Определим произвольные постоянные из граничных условий:
X](O) = Sl + i = i,
с2 .
X, - = — = 1 .
Uj 2
Отсюда Cj = О, С2 = 2 и х/(/) = sin? + cost, х2 (t) = x,’(t) - 2cosZ = sin t - cost, Xi (Z) = 2sin t - 2 cos t - 2sin t + 2cos t = 0.
Заметим, что граничные условия и уравнения связи в задаче, очевидно,
( Tt I I 71 I 7С
— I - х2 — I- 2 cos — = 0.
факт следует проверять перед решением задачи.
Таким образом, в задаче найдена экстремаль x'(t) = (х( (f),x2 (Г))г :
xj (/) = sin t + cost, x2 (t) = sin t - cos? .
Пример 3.2. Найти экстремаль функционала
1
/[*1 (0, *2(')] = / [ 2 (0 + 2Х! (Г) х2 (0 + х22 (/) ] dt, о
Удовлетворяющую граничным условиям:
Xj(0) = l, х2(0) = 1, х,(1) = е, х2(1) = 1
е
i-и уравнению связи х1 - х2 - ег + е 1 = 0.
&
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как
F = х,'2 +2Х|Х2 + х22, ф| (/, х)= X] - х2 - е‘ + е~‘, т-1,
то
F' = F + Х|(/)- <pj(г, х) = х[2 + 2Х]Х2 + х22 + !,(/)-[X] - х2 - е‘ +е~'].
2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так как
F*,= 2х2 +11(0, 27*-=2х'1, — F''=2x\',
*1 /> Xj 1’ Х[ 1
F’ = 2xi -Xi(i), F*’ =2x2, — F*’ --Ix'j,
Xj 1 1 \ / > x2 X ’ dt 1
TO
Fx{ = 2x2 + *1 (0 - 2*1' = 0 ,
^’2 - = 2X] - X, (t) - 2x2 = 0,
Xj - x2 - e* + e~l = 0.
3. Найдем общее решение системы и выражение для Х>(г). Складывая первые два уравнения, получаем
2Cxj + х2) - 2(Х|" + х'2) = О
или, вводя обозначение Х| + х2 = у, имеем
= 0.
Так как характеристическое уравнение X2 - 1 = 0 имеет корни Х| =1, Х2 = -1, то
y[t) = Cle' +Сге'‘ =Х[ +х2.
Из третьего уравнения е‘ -е~' = Х| -х2. Складывая два последних уравнения, получаем
2х| =С\е' +С2е~‘ +е'-е~‘
или
Тогда
x2(Z) = x,(Z)-e/+e-' +^Л1ег',
Х1(Г) = 2х1(Г)-2х^).
4. Определим произвольные постоянные из граничных условий: ... Cj +1 С2 -1 ,
... Cj +1 С2 — 1 1 х.(1) = -1—е + -4-------= е.
2 2 е
Отсюда Cj = 1, С2 = 1.
В результате найдена экстремаль х‘(/) = (Xj*(/),x2*(Z))r:
Xj*(r) = e', х2*(/) = е-'.
При этом X] (0 = 2е' - 2е~‘ .
Пример 3.3. Найти кратчайшее расстояние между точками Л(0;-1;1) и 0; -1), лежащими на плоскости с уравнением t + Xj + х2 = 0.
□ Формализуем задачу, как вариационную. Требуется найти экстремаль ||>ункционала
1 ---------------
/[Xl(0.*2(01= f ii + x[2(t) + X22(t)dt, о
Удовлетворяющую граничным условиям:
х,(0) = -1, х2(0) = 1,
х,(1) = 0, х2(1) = -1
i уравнению связи t + X] + х2 = 0.
Решим сформулированную задачу, пользуясь алгоритмом.
1. Составим функцию Лагранжа. Так как
F = + xj2 + х22 , <р1(/,х) = / + х1+х2, т = 1,
F* = ,/1 + xj2 +х22 + Xj(/) [t + X] + х2].
2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так как
Ar, - W.
= *•! (0>
*2
jl + xj2 +х22
!Г°
^_ = 0, 2 + х^2
х2
2 , >2 + Х2
--°’
t + X] + х2 = 0.
3. Найдем общее решение системы и выражение для )ц(0- Вычитая из второго уравнения первое, получаем
4 Х1 ~ х2 _ л
dt . v'2
Отсюда
*1 ~*2
+ Xj + Х2
Дифференцируя уравнение связи, имеем х[ = -х2 -1. Подставляя найденное соотношение в последнее уравнение и возводя результат подстановки в квадрат, получаем
(-2x2-I)2 = С2 • [1 + (-1 - х2)2 + х22 ]
ИЛИ
4х22 + 4x2 + 1 = С2 '[ 1 +1 + 2x2 + х22 + х’22],
(4-2С2)х22 + (4 - 2С2) х2 + 1 - 2С2 =0.
Очевидно, решением полученного квадратного уравнения является некоторая константа:
х2 = Q = const.
Отсюда
х2(/) = C[t + С2, Х[(?) = -х2(/) -t = -С|Г -С2 -I.
4. Определим С,, С2 из граничных условий:
х2(0) = С2 = 1,
х2(1) = С] + С2 = -1.
Поэтому = - 2, С2 = 1 и в результате получаем экстремаль x*(t) = (xl*(f),x2*(t))T: x,*(t) = ?-l, х2‘(О = -2Г + 1.
При этом 7[х*(г)] = 4б , X|(r)s0.a
Задачи для самостоятельного решения
Найти экстремали функционалов.
1 .------------------
1. Z[x1(/),x2(Z)] = ^l + x'i2(t) + x'22(t)dt, о
х1(0) = 1, х2(0) = 2, х|(1) = 2, х2(1) = 1,
2х, - х2 - 3/ = 0.
Ответ: х, (/) = / + !, х2 (Г) = - Г + 2.
1
2. Z[x1(/),x2(/)]=f[x;2(Z) + x22(/)]A, О
х1(0) = -1, х2(0)=0, х1(1) = -1, х2(1) = 1,
X) + х2 - It2 +1 +1 = 0 .
Ответ: х, (?) = t2 -1 - 1, х2 (/) = t2.
i
3, Z[x1(/),x2(/)]= |[х;2(/) + х22(0 + 1!А, о
х1(0) = х2(0) = х2(1) = 0, х,(1) = 2,
xt + х2 - 2Г2 = 0.
Ответ: Х|*(/) = Г2+Г, x2 (t) = t2-t.
1
4. Z[X|(Г),х2(Г)] = j [х[ 2(Г) + х22(Г) + Z3 ]Л , о
х,(0) = х2(1) = 2, х1(1) = х2(0) = 1,
X] - 2х2 + 3t = 0 .
Ответ: Х[ (Г) = 2 -1, х2 (/) = / + !.
3.2. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество At допустимых вектор-функций x(t) = = , удовлетворяющих следующим условиям:
а) функции х,(Г) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [г0,Г], где t0,T з-щаны, т.е. х,(г) е С'фо.Т]), i = 1,...,л;
б) функции х,(Г) удовлетворяют граничным условиям
Xi(t0) = xia, Xt(T) = xiT, i = l,...,п, (315)
где х,0, х,т-, i = 1,...,п, заданы, т.е. каждая из кривых проходит через две закрепленные граничные точки;
в) функции х,(/) при всех Ге[Г0,Т] удовлетворяют дифференциальным связям
...,хя(О,х[(О, -Х(0) = 0, j = т<п, (3.16)
где функции фу(/,х1,...рся,х;,...ля),у = 1,...,м, непрерывно дифференцируемы по всем переменным.
Предполагается, что уравнения (3.16) независимы, т.е.
d<Pi Зх'] d<Pi 5х'я
rang 3<?т дх{ d<Pm ах; = m
На множестве Л/ задан функционал
Т /[Х!^),...^)] = J /,(/,х1(0,-Лл(0Л1(0, -ЛЯ(О)Л, (3 .17)
6
где функция /’(1,х1,...рся,х;,...дя) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых вектор функций х(Г) , принадлежащих множеству Af, требуется найти вектор-функцию х’(г) = (х,'(/),...,хл*(2))г, на которой функционал (3.17) достигает экстремума, т.е.
т
Дх1’(/),...,хл*(0] = extr [#(ГД1(0,. ,хя(Г)Л1(0,-,х'л(0)Л . (3-18)
х(ЦеЛГ *
Ч
Поставленная задача называется задачей Лагранжа.
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Стратегия поиска решения задачи опирается на применение необходимого условия экстремума: 8/ = 0 . Задача (3.18) отличается от задачи (3.4) наличием производных xj,...^ в уравнениях связи (3.16).
Как и в задаче (3.4), выражение для первой вариации функционала имеет вид
Г л г d "I
s/=- (3J9) 4> i-lL м j
где вариации 8х(Г) не являются произвольными в силу наличия дифференци -альных связей (3.16).
Связь между вариациями находится путем варьирования уравнений (3.16) при фиксированном значении t е [10 ,Г] :
" Эф, ’ Эф; ,
8фу=£-^8х;(Г) + Ё--Ч-&х(0 = 0, 7 = 1..., т. (3.20)
71 ах, 71 axi
где частные производные вычисляются на кривей x'(t) , на которой достигается экстремум функционала (3.17).
Умножая почленно каждое из уравнений в (3.20) на некоторый пока неизвестный множитель Ху(/) и интегрируя в пределах от t0 до Т .получаем •
"Эф; Г, "Эф; ,
[х/о£^6хДОЛ+ fx $Г)£-^,8х'(Г)Л-0 , . (3 21)
4> <=iSx<- /=13х-
Интегрируя каждое слагаемое второго интеграла по частям и учитывая что 8х,(0) = 8х;(Т) = 0, i = 1,...,л, (так как границы закреплены), имеем (процедуру интегрирования см. подробнее в разд. 2.1.1)
4>'-Н
5 Фу дх,
8х [f)dt --0 , j =1 ,...<» .
(3 72)
Суммируя (3.22) и условие 87 =0, где 8/определяется выражением (3.19), получаем т "
m Э ф;
1 %
8х,(1)Л = 0. (3.23)
% ’ а х, di
%
Если ввести обозначение
F\t,x,x) =F(l,x,x) +£ X/) фр.х.х), (3.24)
J=i
где F'(t,x,x') называется функцией Лагранжа, а Ху(Г) - множителями
Лагранжа, то уравнение (3.23) перепишется в виде
Т П Г /7 “I
JZ 8*А')Л = 0. (3.25)
'о 1=1 L J
Выберем т множителей \i(t),...,'km(t) так, чтобы они вместе с кривой ./(/) удовлетворяли т уравнениям Эйлера
f;.-£f:=o, <(з.2б)
Если записать эти уравнения в развернутом виде (см. выражение в фигурных скобках в (3.23)), то они представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений относительно Х|(/),...Дт(/), которая при сделанных предположениях (см. п. “в” постановки задачи) имеет решение.
При таком выборе множителей Лагранжа условие (3.25) принимает вид
7* п Г я. "1
[ Е 8х,('М = 0, (3.27)
,0 ,=и+1 L dt J
где вариации 8хт+1(/),...,8х„(1) независимы.
Полагая все вариации S.x,(/) тождественно равными нулю, кроме какой-либо одной, считающейся произвольной, и применяя основную лемму вариационного исчисления, получаем
Fx. -~Fx'_ = 0, i = m + l,...,n. (3.28)
Учитывая (3.26) и (3.28), можно сделать вывод о том, что кривая x*(t) и множители Лагранжа должны удовлетворять системе уравнений Эйлера
F^-^F^O, / = !,..., л. (3.29)
at '
Таким образом, из (л + m) уравнений (3.29) и (3.16) с 2п граничными условиями (3.15) находится вектор-функция х’(0 = (^/(О,-,ля*(0)Т и множители Лагранжа X, (/),...,
Сформулируем описанный результат в виде теоремы.
Теорема 3.2 (необходимые условия экстремума в задаче (3.18)).
Если на вектор-функции х"(t) = (х^(t),...,x„’(1))Т, где х'(t) е С1([/0,7’]), удовлетворяющей граничным условиям (3.15) и дифференциальным связям (3.16), функционал (3.17) достигает экстремума, то функции jq (t),...,x„ (/) удовлетворяют системе уравнений Эйлера
F’- — F’.=o, 1 = 1,..„и, ' dt х‘
составленной для функционала
т
7*[хг(Г),...,x„(OJ = f F*(/,X1(O,-..л,(/)^(0,...^(1))Л =
rQ
T m
|[Г(/,х1(о,.-.ля(ол;(о,-Ли(о)+E >-yW4>y(^i(o>-Anw,x;w, ••4(0)]л. ' 4
Замечания 3.2.
1. На основании теоремы 3.2 решение задачи (3.18) об условном экстремуме функционала сводится к исследованию экстремалей функционала |Г*[Х1(0,- -,хяИ] при отсутствии уравнений связи.
2. В механике связи вида (3.16) называются негомномными.
3. В общем случае применяется обобщенная функция Лагранжа (см. п.4 Замечаний 3.1).
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (3.18)
1. Составить функцию Лагранжа
F*(t,x,х ) = F(t,x,х')+ £ х,х'),
|де j = - множители Лагранжа.
2. Записать систему уравнений Эйлера (3.29) и уравнения связи (3.16):
F’- — F’.=0, i = l,...,n, ‘ dt х‘
<p7(/,Xi(0,...,xn(t),x{(t),...,x'„(t)) = 0, j =
3. Найти общее решение системы х, = xi(t,CI,...,C2„), i = l,...,n и выражения для множителей Лагранжа ki(t),...,Xm(t).
4. Определить постоянные Ch...,C2„ из граничных условий:
xi(t0,Cl,...,C2„) = xi0, i = l,...,n,
Х1(Т,СЬ...,С2„) = х!Т, i =
it выписать выражение для экстремали x\t) = (х1’(/),...,хл*(Г))г.
Пример 3.4. Найти экстремаль функционала
1
I[x^t),x2(t}]= \{x{\t) + x2\t)]dt, о
Удовлетворяющую граничным условиям'.
Х](0) = 2, х2(0) = 0, *1 (1) = 2chi, x2(l) = 2shl
и дифференциальной связи х{ - х2 = 0.
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как
F(t,x,x') = х}2 + х'22, <pt(t,x,x') = xj-х2, т = 1,
то
F'(t,x,x') = х{2 + х'2 + Х3(0--*21-
2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так как
^=0, = 2х[+Х1(0, =2х'|+ Х',(0,
рхг = -*1 <0, F’a = 2X2, F^ = 2X2 .
ТО
=-2^-x;(o=o,
=-х«(о-2^=°.
X) - х2 = 0.
3. Найдем общее решение системы. Из первых двух уравнений получаем %](/) =-2X2, М(0 = -2хз; 2х1"=-х;(/) = 2х2".
Из третьего уравнения х[ = х2, xj’ = х2.
Тогда 2xf = 2x2 = 2xi” 11,111
x'i'~ х2 - 0 •
Характеристическое уравнение X3 - X = Х(Х2 -1) =0 имеет корни X] = 0, Хг = 1, Х3 = -1. Поэтому
x2(f) = + С2е * + С2,
Xi(t) = jx2(t)dt = С\е‘ +С3/+ С4,
Х^/) =-2x2(0-
4. Определим постоянные Q.-.-.Q из граничных условий: х1(0) = С1-С2+С4=2, Х2(О) — С] + С2 + С3 —0 , . е + е"1
х, (1) = Cte - С2е-‘ + С3 + С4 = 2 chi = 2 • - >
. е-е~[
х2(1) =С\е+С2е 1 + С3 = 2shl = 2--—.
Отсюда С; -1, С2 - -1, С3 -С4 -0 .
В результате получаем экстремаль х*(Г) = (х/ (t),x2 (t))T ' xt'(t) = е‘+ е~’, х2*(Г) = е‘ - е~‘.
При этом (Г) = -2х2(1) = -2е' + 2е~' .
Пример 3.5. Найти экстремаль функционала
1
/[X! (Г), Х2(01 = J [ Xj2(O + 2xJ 2(Г) + x'22(t) ] Л, о
Удовлетворяющую граничным условиям:
X] (0) = 1, х2(0) = 0, х1(1) = е + е*1, х2(1) = 2е-е“1
Кдифференциальной связи х[ - х2 = 0.
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как
F(t,x,x') =х2 +2x'j2 + х22 , <p((/,x,x') = xj-х2, т=1,
в.
F*(t,x,x) = Xj2 + 2xj2 + х22 + 1](Г) -[Xj' -x2J.
2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так как =2xb F'a = 4х[ +Z1(Z), ~F\-4x"+ %!(/), ^=2x2) ^;-=2xi’,
B-
F4-JtFA =2*1-4<-х’1(0=0, ^-^A=-^(o-2^=o, x[ - x2 = 0.
3. Найдем общее решение системы. Начиная с третьего уравнения, имеем х2=*ь х2 = х'{',
Xj(Z) = -2x2 =-2х[',' Г|(/) = -2х1<4), 2xj - 4xf + 2х/4) = О
ИЛИ х,<4> - 2х[' + Xj = 0.
Характеристическое уравнение X4 - 2Х2 + 1 = (X2 -1)2 = 0 имеет кратные корни Xj = 1, к = 2; Х2 = -1, к = 2, где к - кратность. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид [28] :
х1(/) = (С1+С20е'+(Сз+С4/)е-'.
Поэтому x2(Z) = x{(t) = (С, +С2Г + С2)е' + (С4 -С3 -С4Г)е“'.
4. Определим постоянные СЬ...,С4 из граничных условий:
Xj (0) = + С3 — 1, х2(0) = С[ + С2 + О4 — С2 = о,
xj(l) = (С, + С2)е + (С3 + С4)е~‘ = е + е’1, х2(1) = (С] + 2С2) е - С3е-1 = 2е - е-1.
Отсюда С\ =0, С2 = 1, С3 = 1, С4 = 0.
В результате получаем экстремаль x*(r) = (x1’(z),x2*(/))7, т.е. -г
x/(Z) =te' + е~‘ , x2(t) =(t + l)e‘ -е~' .
При этом X](?) = -2x2(Z) = -2(Г + 3)е' + 2е~'.
Пример 3.6. Найти экстремаль функционала п
/[X] (/), Х2 (01 = J [ 2(0 + х2 2(0 + 2х! (/) х2 (/) ] dt, о
удовлетворяющую граничным условиям:
х1(0) = 1, х2(0) = -1, x^J^ + l, x2^J = ^--l,
и дифференциальной связи xj + х2 - 4t = 0.
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как
F(t,x,x') = xj2 + х2 + 2xtx2, <pi(t,x,x') = xj + х2-4f, т = 1, то
F\t,x,x) = xj2 + х22 + 2Х[Х2 +(/) • [xj + х2 -4t].
2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Поскольку
Л, =2х2> =2xj+l1(r), — = 2xj'+lj(t),
= 2xi + li (0. F‘^ = 2x2 + l'i (0,
TO
f;i-^fV=2x2-2x;'-1'1(0=0,
F^-^F^ =2xi-2x2-lj(0 = 0,
xj + x2 - 4t = 0.
3. Найдем общее решение системы. Вычитая из второго уравнения первое, получаем
2(xj'-x2) + 2(x!-х2) = 0.
Обозначая z = *i - х2, имеем z" + Z = 0. Так как характеристическое уравнение
I2 +1 = 0 имеет корни 112 = ±i, то z(t) = Ct cost + С2 sin/ = X](t) - x2(t)
Продифференцируем левую и правую части полученного равенства:
- С] sin t + С2 cost = xj(0 - х2(0
Так как из третьего уравнения системы х2 = 4t - xj, то
-С] sinZ+ С2 cost = xj(r)~4/ + xj = 2xj -4l.
c c
Отсюда xj (r) = 2/ - sin Z + cos Z. Интетрируя, получаем
Хз(/) = /2 3+^-cos/ + ^-sin/ + C3, c c x2(/) = x1(0-C1cos/-C2sini = /2 --^-cost--j-sinr + C3.
4. Определим постоянные C,, C2, C3 из граничных условий:
< MQ) = y+G =1. *2(0) = -^-+с3=-1,
Отсюда Ct = 2, С2 = 2, С3 = 0. В результате получаем экстремаль х*(0 = (х1*(Г),х2*(0)г, т.е. х1*(Д = /2 +cos/ + sin/, х2*(/) = /2 - cos/-sin/.
Задачи для самостоятельного решения
Найти экстремали функционалов.
I
1. ДхНО.ХгО)]» J[x;2(O + x22(O]dr,
о
эст(О) = лс2(1) = 0, х2(0) = Xj(l) = 1, х}-х2=0.
Ответ: х( (/) = /, х2(/) = 1.
2. /[X, (0, х2(01 = J [х;2Ю - x22(t)]Л, О
Л|(°) = ^(о) = -зс1(’1) = °» х2(я) = ^» Х1 ~х2-*COS/ = 0.
Ответ: х^О^япг, х2(Г) = ^(sinf-rcosZ)-
2
3. Дх1(/),х2(0)= f[x;2(0-xi2(t)]A, о
х,(0) = х2(0) = 0, = = *1-*2-sinf = 0.
Ответ: x1(/) = -^smt, x2(t) = i (t cos t - sin f).
3.3. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим множество М допустимых вектор-функций х(1) = Ь(Х|(/),...,хл(/))г , удовлетворяющих следующим условиям:
а) функции х,(1) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке где tQ,T заданы, т.е. х,(/) е Cl([z0,7’j)> / = 1,...,л;
б) функции х, (/) удовлетворяют граничным условиям
х^й) = хт, xl(T) = xiT, i = l,...,n, (3.30)
х,т, / = 1,..., л, заданы, т.е. каждая из кривых x,(Z) проходит через две енные граничные точки;
в) функции хДО удовлетворяют интегральным связям
т
{^0.х1(0,...,хя(/),х|'(/),...,х;(0)Л = 17, j = (3.31)
4)
(де функции Fj(t,xl,...,x„,x{,...,x’n) непрерывно дифференцируемы по всем переменным, Lj - заданные числа. Количество интегральных связей m может ц-пъ меньше, равно или больше л.
На множестве М задан функционал
т
/[x1(0,-.x)I(0]= f , (3 32)
ще функция F(r,X|,...,x,,x{,...,x„) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых вектор-функций х(/), принадлежащих множеству М , Гребуется найти вектор-функцию х*(0 = (х[(0,-.,х*(0)г, на которой функционал (3.32) достигает экстремума, т.е.
z[«f(O.—»х£(0]= extr Г/;,(^Х1(0.-,*я(0,Х1'(0,-..,х^(0)Л- (3.33)
Х(Г)€Л/ J
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Рассматриваемая задача может быть сведена к задаче, описанной в разд. 1.2, путем введения новых неизвестных функций.
Введем следующие обозначения:
f Гу(т,х1(т),...,хя(т),х;(т),...,х;(т))А = Zj(t), j = l,...,m.
*0
Тогда Zy(ro) = O, Zy(T) = £y, у ~ 1,...,/л. Дифференцируя Zy(r) по г, получаем
= /•7(f,X|(/),...,xe(z),x;(Z),...,x;(0), j = l,—,m.
Тем самым интегральные связи (3.31) заменены дифференциальными вида
Фу = - Z'j(t) = 0, j = l,...,m,
и граничными условиями Zj(t$) = 0, Zj(T) = Lj, j = Поэтому для решения задачи воспользуемся алгоритмом, изложенным в разд. 3.2 :
а) составим функцию Лагранжа:
F'(t, х, х') = F(t, х, х ) + Xj (/) • [j}(t, x, x ) - Z'j ].
2-1
б) запишем систему уравнений Эйлера:
F'-^-F'. =0, 1 = 1,..., л, x‘ dt x>
n-jrt-b '-1......."•
Из второй группы уравнений следует
^Xj(t) = O или Xj(t)-Xj =const, j = l,...,m .
Первые n уравнений совпадают с уравнениями Эйлера для функционала (с учетом того, что все Xj постоянны)
Г[х(/)]= J %
F(t,х(Г),х'(0) + £Xj • Fj(t,х(0, х'(0) /-1
dt.
Сформулируем изложенный результат в виде теоремы.
Теорема 3.3 (необходимые условия экстремума в задаче (3.33)).
Если на вектор-функции х*(0 = (xi(t),...,x„(t))r, где х- (Г) е С’Фо^]), удовлетворяющей граничным условиям (3.30) и интегральным связям (3.31), функционал (3.32) достигает экстремума, то функции x{(t),-.,x„(t) удовлетворяют системе уравнений Эйлера
F'-4-F’.=Q, i = l,...,n, dt х‘
Доставленной для функционала
Т
Г[Х1(О,.-,Х„(О]= f .„,х„(Г),х;(О....,x„(t))dt =
А)
<0
Замечания 3.3.
1. Интегральные связи (3.31) не накладывают сталь жестких ограничений, сак дифференциальные или конечные связи. Например, из условий типа (3.31), (Робщ говоря, нельзя выразить некоторые из функций x}(f),...,xn(f) через ьсталкные. Поэтому число интегральных связей не обязательно должно быть Меньпе п.
2. Изопериметрическими задачами в узком смысле называются задачи об лыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре. В настоящее время к изопериметрическим относят значительно более об-щийкласс задач (3.33).
3. В общем случае применяется обобщенная функция Лагранжа (см . п .4 Замечаний 3.1).
ж
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧЕ (3.33)
1. Составить функцию Лагранжа
F'(t,x,x')-F(t,x,x') + £ Ау • Fj(t,x,x'),
j=i
Цде Ay, j ~ l,...,m, - множители Лагранжа (постоянные).
2.3 аписать систему уравнений Эйлера и уравнения связи (3 31)'.
К- —Л=0, « = 1,...,л, х‘ dt х[
т
Fj(t,x](t),...,x„(t),x[(t),...,x'n(t))dt = Lj, J = <b
3. Найти общее решение системы х,- = x((r,Ci,...,C2n), i = 1,...,л и выраже-|ниядля множителей Лагранжа Ai,...,Am.
4. Определить постоянные Со-.-.С^л из граничных условий:
х,(Г0,С1,...,С2л) = х,0, / = 1.й,
x/(T’,CJ,...,C2„) = x/r, i = l,...,n.
^Выписать выражение для экстремали х*(Г)= (x1*(t),...,x„(t))r.
Пример 3.7. Найти экстремаль функционала
1
/[х(0]= J х’2(0Л, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 1, х(1) = 6 и интегральной связи 1
|х(1)Л = 3. о
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F = х'2, т = 1, Ft = х, то
F'(l, х,х') = х'2 + Х-х, где индекс “1” у множителя Х( для упрощения записи здесь и далее в задачах с одной интегральной связью опущен.
2. Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи. Поскольку F* = X,
= 2х', — F*' = 2х", то х dt
J 1
f;-^F’. = Х-2х" = 0, jx(/)A = 3.
3. Найдем общее решение уравнения и выражение для X. Имеем
х"(0 = |. х'(/) = Ъ + с1( х(0 = ^-+С1Г + С2,
jH + C1, + C2 о L
1/3 /2
Л = —+ С.—+ С2/
12 1 2 2
__JL+^l+c2=3.
О 12 2
4. Определим С1(С2,Х из граничных условий и уравнения связи:
х(0) = С2 = 1,
х(1) Л + С1+С2=6, 4
12+Т + С2’3-
Отсюда
С2=1, -=6-С[-С2 =5-Сь
4
A=1z£l> •’z£.+£l+i = 3i ^ = 2, x=n. 12 3 3 2 1
В результате получаем экстремаль x*(f) = З/2 + 21+ 1.
Пример 3.8. Найти экстремаль функционала
/[х(/)] = j х(/) sin Г А, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(я) = л и интегральной связи
]х'2(Г)Л = ^.
о 2
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F = xsin /, = х'2, то
F *(r,x,x') = xsin/+ 1х'2.
2. Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи. Поскольку F* = sin t,
F'.=2\x, 4-F;. =2kx", то x dt x
F;F’-=sin/-2Xx" =0 или x''=—, fx'2(O<*= —
x dt x 21 J 2
3. Найдем общее решение уравнения Эйлера и выражение для 1. Дважды интегрируя левую и правую части дифференциального уравнения, получаем
х'(0 = -^ + С1, х(0 = -^у + С1Г + С2.
Z A, Z А-
Из уравнения связи имеем
cosrl2
/Г’“nJ
2 С] cos t cos2 t г
412
2 Cj cos r l + cos 2/ 8Х2
dt =
„2, С] sin/ — V1 I----------
1 1
t sin 2/ n2 + 16 А.2
= С2: о
2<4. п 1 Л +---г
812
Зл
“2
Л = f C, о .
Л=/ Ci о .
1
4. Определим C1,C2,1 из граничных условий и уравнения связи: х(0) = С2 = 0,
х(я) = С]Я + С2 = я,
л _3л
8Х2 2
, 1 1
Отсюда С2 .= 0, Ci = 1, V = —, 1 = ± —.
В результате получаем экстремали х[ (/) = - sin t +1, х2(0 = &ш^ + ^я
Пример 3.9. Найти экстремаль функционала
/[*«]= р,2(/)л, О
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(1) = 5 и интегральной связи
1 jtx(t)dt = l. о
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F = х'2, = tx, то
F‘(t,x,x) = х'2 + Xtx.
2. Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи. Поскольку F’ = X t, F’.=2x, — F'=2x", то
х dt
F’-^-F'. = Xt-2x" = 0, dt x
1
J t x(r) dt = 1.
о
3. Найдем общее решение уравнения Эйлера и выражение для X. Имеем
X (0 = у,
Xt2 x'(t) = hL- + c1, 4
1/3
^) = y2- + c1/ + c2
.3
.4
.5 #3
ft ±L + Ctt + C2 dt = ( ‘bL.^Cyt2+C2t dt = y~ + Cl— + C-2 [ 12 2 j J [ 12 2 J 60 1 3 '
b’2-2 2
0
X C| C2
= -T- + — + — = 1.
60 3 2
4. Определим C],C2,X из граничных условий и уравнения связи:
х(0) = С2±=0,
х(1) = А + С1+С2=5,
% С[ с2
— + — +— = 1.
60 3 2
Отсюда С2 = 0, Cj =0, X = 60. В результате получаем экстремаль х*(/) = 5?.
Пример 3.10. Найти экстремаль функционала
Я
/[xlz)]= J [x'2(/)-9x2O)]a, о
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 1,
х^^ = 0 и интегральной связи
6 [ 2x(t)dt = 1.
* О
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F = х'2 -9х2, 7] = 2х, то
/*(Г,х,х') = х'2 -9х2 + 1 -2х.
2. Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи. Поскольку F* = -18х + 2Х, = 2х, — F‘- = 2х", то
dt
It
F* =-18x + 21-2x" = 0 , |2х(/)Л = 1.
3. Найдем общее решение уравнения Эйлера и выражение для 1. Имеем х"-?9х = 1.
Так как характеристическое уравнение I2 + 9 = 0 имеет корни lj 2 = ± 31, то общее решение однородного уравнения х" + 9х = 0 имеет вид
х0 (/) = С] cos 3t + С2 sin 3t.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме x4(t) = А.
В результате подстановки в уравнение получаем А = - или х,,(/) = —.
Тогда общее решение неоднородного уравнения
х(г) = хо(0 + х„(Г) = Q cos 3t + С2 sin 3t + —.
Из уравнения связи
Л
71
2 С, cos3f + 2С2 sin Зг + — .9
2С[ 2Cj Хтг _-Г’ + -Г’+ 27
6
2С2 2ХГ
dt = —- sin 3t------ cos 3t +--
3 3 9
о
4. Определим CltC2,X из граничных условий и уравнения связи:
х(0) = С1+| = 1,
2С( 2С2 Хл _ j
Т + ~+27-
1 л — 5 9
Отсюда С2 --------С\ ---------В результате получаем
я - 4 л-4 л-4
экстремаль х*(Г) = ——-cos 31-?—sin3t +—!—.
л-4 л-4 л-4
Пример 3.11. Найти экстремаль функционала
/[x(/)]=fx'2(i)A,
О
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = х(1) = 0 и интегральным связям
1 i
|х(Г)Л = 1, рх(/)Л=0.
о о
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F = x'2, F\=x, F2=tx, т = 2, то
F\t,x,x) = х'2 + х + Х2 lx.
2. Запишем уравнение Эйлера и уравнения связей. Поскольку
= 1! +12 t, Fj = 2х, —Fj = 2х", то
J 11
F* --F"' =Xj + Х2/-2х" = 0, Jx(0* = 1, рх(г)Л = 0.
“f оо
3. Найдем общее решение уравнения Эйлера и выражения для Хь Х2 Имеем
x"(f) = k + ^£, x'(0 = ^ + ^- + Cb х(Г) = ^ + 2^ + С1/ + С2.
2. 2. 2, 4 4 Iz
Из уравнений связей получаем
о L
+hZ+CiZ + c2 12 1 2
Л^ + ^ + ^ + с21
12 48 2 2
1
о
1
J
4 12
М 12
Ai+£l+c2 = i, 48 2
16 60 3 2 n
_ it x2 + G £2, _ 0
16 60 3 2
4. Определим Cl,C2,'kl,'k2 из граничных условий и уравнений связи: х(0) = С2 = 0,
Х(1) = ^ + Т2+С1+С2=0,
к + + £l + c2=i, 12 48 2 1
^1 ^2 , С1 ^2 _0
16 60 3 2
Отсюда С] = 36, С2 =0, Х1 = -384, 12 = 720. В результате получаем
Экстремаль x'(z) = 60? -96? +36г.
Пример 3.12. Найти экстремаль функционала
1
/[х,(/), x2(Z)| = J xj(/)x'2(t)dt, о
Ьлетворяющую граничным условиям х,(0) = х2(0) = xt (1) = 0, х2(1) = 1 и 11
гральным связям j X] (/) dt = 1, j х2 (Z) dt = 0. о о
□ 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F = xj х2, /] = xb F2 = х2, то
F* = xj х2 + X] • х( + Х2 • х2 .
2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнения связей. Поскольку
F- = Xi, Fr' = х2, —— F> = х2,
*1 *’ xi dt Xi х
Лс’2=^2> 7tF‘^=Xl’ то
fx. --F'. =Х. -х2-0, Х| dt X1
Ft - — Ft = X2 - x\' = О,
J! dt 2 1
jxi(OA = l, jx2(r)A = 0.
о 0
3. Найдем общее решение системы и выражения для Х(, Х2. Имеем
X t2
x2(/) = Xj, х2(Г) - X, t + С|, х2(/) = —L— + С|/ + С2,
X I
Xj(f) = X2, xt(t) = Х2 t + С3, X|(z) = —— + С3Г + С4,
( fe.—+ с3»+с4]ж = Ь. + £з. + С4 / 2 4 6 2 4
= 1,
^- + С1Г + С2Ъг--1- + ^-;С2 =0. 1 1 L Z 1 А
4. Определим С;....,С4,Х|,Х2 из граничных условий и уравнений связей:
Х| (0) = С4 = 0, х2 (0) = С2 = 0,
х1(1) = ^- + Сз+С4=0, х2(1) = ^- + С,+С2=1,
*2 С3
6 2
*1 б
Отсюда С, = -2, С2=С4=0, С3 = б, ?-( = б, Х2=-12.
В результате получаем экстремаль х’(/) = (x’(t),x{(t))T, где
x1*(Z) = -6/2 +6t, х2(/) = 3/2-2Л
3
Пример 3.13. Среди кривых длины / = 10arcsin~, соединяющих точки Л(-3;0) и 5(3; 0) и лежащих выше оси абсцисс, определить ту, которая вместе с отрезком АВ этой оси ограничивает наибольшую площадь.
□ Формализуем задачу. Площадь, ограниченная кривой х(Г) и отрезком АВ, вычисляется по формуле
з Z[x(f)]= f x(f)dt, -з
Hie x(r) удовлетворяет граничным условиям х(-3) = х(3) = 0 и интегральной пязи j 71+ х' 2(0 Л = i = 10 arcsin . Требуется найти максимальное значение функционала
1. Составим функцию Лагранжа. Так как F = х, Ft = 71 + х' 2, то
F* = х + к • 71 + х'2.
2. Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи. Так как F' не зависит В Г явно, то уравнение имеет первый интеграл:
----
F' -х' F*‘ = x + xJl + x'2 -х' .. — =С\ или x-Cj =-
х 71772 7ГГ77
3 -------- 2
j 71 + x'2(r)dt = 10 arcsin-.
-з 5
3. Найдем общее решение. Для этого введем параметр х = tg т. Тогда
„ dx
x-Cl=-Xcosx, — -tgt.
dt
Из последнего уравнения получаем dt = . Но из х - С. = - A cos т
tgT
I . . п , dx Xsinxdt . , _
йймегм dx = ksmrat. Поэтому dt =--------------------= XcostA. Отсюда
p tgx tgt
hr = к sint + C2 и в результате получаем уравнение семейства экстремалей в параметрической форме:
r-C2=Asint,
X-Cj = -Xcost .
Исключая параметр т, имеем уравнение окружности
(х-С()2 + (Г-С2)2 =Х2.
4. Определим СЬС2,Х из граничных условий и уравнения связи. Получаем С12+(-3-С2)2=Х2, С12+(3-С2)2=Х2. Вычитая из второго уравнения первое, находим
(3-С2)2-(-3-С2)2 =-12С2 =0 или С2=0.
Учитывая, что С2 = 0 и искомая область лежит над осью абсцисс, преобразуем уравнение окружности x(r) = Cj ± J-t2 , х > 0.
Найдем x'(t) = Т - и подставим в интегральную связь:
2 3 з 3
1 + --—г dt = (-7 ' - dt - У.- arcsin — = 2Х arcsin — = 10 arcsin -.
#-t2 ?з^ 1 -з Ь 5
Отсюда А. = 5, С2 + 9 = 25, Q = + 4.
Рис. 3.1
В результате получаем уравнения двух окружностей (экстремалей):
(х - 4)2 + Г2 = 25, (х + 4)2 +t2 =25.
Второй из них соответствует площадь, изображенная на рис. 3.1. На ней достигается максимум функционала в решаемой задаче. Первой экстремали соответствует область под осью абсцисс.
Задачи для самостоятельного решения
Найти экстремали функционалов.
1. /[х(/)] = j x'2(t)dt, х(0) = 1, х(л) =-1, о
Ответ: x‘(z) = cosZ.
1
2. /[%(!)]= fx'2(t)dt, х(0) = 0, х(1) = 1, о
j x(f) cos tdt .
о 2
1
j tx(t)dt =0. о
Ответ: x'(f) = t3 -11. п я
3. /[х(/)] = fx'2(t)dt, х(0) = 0, х(п) = 1, Jx(t)sintdt = 0. о о
Ответ: х‘ (Г) = — (I - 2 sin t). я 1 1
4. /[x(Z)] = fx'2(t)dt, х(0) = 0, х(1) = 2, |х2(/)Л = 4.
о о
_ 2 shi
Ответ: х (t) = ——. shl
5. /[х(1)]= J x(l)sin/A, x(0) = 0, х(л) = 0, |х'2(0Л = ^.
о о 2
Ответ: x’(t) = sint, x2(/) = -sinl.
6. Z[x(/)]=lf х'2(1)Л, x(0) = x(l) = 0, jtx'(t)dt = 2. 20 .0
Ответ: x'(l) = 12 (t2 -t). i 1
7. Z[x(/)]= Jx'2(/)A, x(0) = x(1) = 0, Jx(1)A = -1.
о о
Ответ: x’ (/) = 6t (t -1). 1 8. /[xi(/),x2(/)]= J x;(0xi(0*> *i(°) = *2(0) = xj(l) = 1, x2(l) = 1, о i i
J txi(t)dt = 0, J tx2(t)dt = 0. о о
Ответ: x[(t) = 0, x2(t) - ^t3-^t. 1
9. /[x1(l),x2(/)]= JZ[xj(r)-х2(0]^Л *i(0) = x2(0) = x2(l) =0, X](l) = 2, о
j x;(/)xi(o^ = -^. 0 3
Ответ: x{ (t) = -13 + 31, x2 (1) = t3 -1 и xf (1) = t3 +1, x5(/) = -i3 +i.
e2 e2 Г 1
10. 7[x(l)]= jx'(l) [1 + 1х'(1)]л, x(e) = 2, x(e2) = O, | х'(Г)-- Л = 1. e e ( О
Ответ: экстремали нет.
3.4. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
3.4.1. Необходимые условия экстремума
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В качестве одного из способов математического описания подвижных объектов, как правило, используются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, записанные в нормальной форме Коши [28,33]. При решении задач механики эти системы получаются в силу применения второго закона Ньютона для поступательного или вращательного движений. В математических моделях данного типа выделяются управляемые и управляющие переменные. Меняя последние (обычно это силы или моменты сил, приложенных к движущемуся телу), можно изменять траекторию движения рассматриваемого объекта При этом ставится задача выбора закона управления таким образом, чтобы минимизировать величину некоторого критерия качества.
Управление, действующее на объект, может зависеть’.
а) только от текущего времени. Тогда результат функционирования системы не влияет на процесс управления, а управление называется программным;
б) от текущего времени и от всех координат объекта. При этом управление зависит от характера функционирования объекта и называется управлением с полной обратной связью',
в) от текущего времени и части координат объекта, доступной измерению. Такое управление называется управлением с неполной обратной связью. Оно занимает промежуточное положение между программным управлением и управлением с полной обратной связью, совпадая с ними в предельных случаях информированности.
В разд. 3.4.1 рассматривается задача нахождения программного управления с применением необходимых условий экстремума, полученных методом вариаций. В разд. 3.4.2 описан подход к синтезу управлений с полной и неполной обратной связью с использованием достаточных условий экстремума, полученных на основе принципа расширения [12,19-20,25-27].
Пусть поведение модели объекта управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
x(t) = f(t,x(t),u(t)), (3.34)
где х - вектор состояния системы, х = (xj,....x„)r е Я"; и - вектор управления, и = (ux,...,uq)T eU с Я’, U - некоторое заданное множество допустимых значений управления', t - время, Z е 7" = [Z0,Z(] - интервал времени функционирования системы', f(l, х, и) - непрерывная' вместе со своими частными производными вектор-функция, f(t,x,u) = (fx(t,x,u),...,fn(t,x,u))T , f(t,x,u):TxR"xU ~^Rn; Rn - и-мерное евклидово пространство.
Момент начала процесса t0 задан, а момент окончания процесса tx определяется первым моментом достижения точкой (t, x(t)) некоторой заданной поверхности Г <z Ял+1:
Г = {(Г1,х)|Г/(Г1,х) = 0,/ = 1,...,/; С, e(r0,oo), xeR"}, (3.35)
в момент f, должны выполняться условия
Г/(Г1,х(Г1)) = О. / = 1,
) 0 £ I £ п + 1, при I = п + 1 множество Г представлено точкой в пространстве |tl, функции Г,(Г,,х) - непрерывно дифференцируемы; система векторов |Г/(6,х) дГу(Л,х) ЗГ/(Л,х)') . , , - . вл+1
,—* - , 1 = 1,...,I линейно независима V(n,х)е Я" .
ах! ’ ’ Эхя ar, J
Начальное условие х(га) = х0 задает начальное состояние системы.
г Предполагается, что при управлении используется информация только Секущем времени, т.е. система управления в данном случае является разомкну-ft по состоянию и рассматривается так называемое программное управление * 3.2).
Множество допустимых управлений образуют кусочно-непрерывные нкции и( ) со значениями в множестве U . В точках разрыва значение управ-ния определяется как предел справа.
> Определим множество допустимых процессов П(10,х0) как множество рек d = (t,,x(-),u(')), которые включают момент окончания процесса Г,, траек-рию х() и управление «(•) (где Vi е Т : х(Г) е Я", u(t) е U, функции х() непре-(вны и кусочно-дифференцируемы, a u() е Щ кусочно-непрерывны), удовле-рряющие уравнению (3.34) с начальным условием х(/о) = хо почти всюду ^множестве Т и условию (3.35).
| х({о)=хо
t -J u(t) “I-----% = f(t, X(r),«(/)) ------------► x(0
Рис. 3.2
На множестве 0(zo,xo) определим функционал качества управления
1(d) =)/°(Г,х(0,«(Г))Л + /’а1,х(С1)), А)
^е /° (t, х, и), F(ti, х) - заданные непрерывно дифференцируемые функции.
Требуется найти такую тройку d* = (Г,’,х*(•),«*()) е Я’ОЬ.Хо), что
(336)
I(d’)= min 1(d).
(3.37)
Задача (3.37) с функционалом (3.36) называется задачей Больца; если в функционале (3.36) функция F(tt,x) = (i (отсутствует так называемый терминальный член) - задачей Лагранжа; если f°(t,x,u) = 0 (отсутствует интегральный член) - задачей Майера.
Искомые функции х'() и и' (•) называются соответственно оптимальной траекторией и оптимальным управлением, a zf - оптимальным моментом окончания процесса.
Замечания 3.4.
1. Если любое допустимое управление и(-) е порождает тройку d е &(.10,х0), то задача (3.37) может быть записана в эквивалентной форме:
/(Z0,x0,u‘()) = min /(Z0,x0,u(-)).
«() e «Zo
2. Задача (3.37) может рассматриваться как задача на условный экстремум с дифференциальными связями вида
Я>;(Лх|(0>--,хл(0,хя+1 ’ *n+q (t),x\(t),...,x'„(t)) = 0, j = l,...,n,
где x„+1(f) = u1(Z),...,xB+fl(Z) = uq(t) - переменные, рассматриваемые как управления; ^j(J,x, и, х') = x'j-fj(t,x, u); x'j = Xj = А*] .
СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Необходимым условием экстремума функционала в задаче (3.37) является принцип максимума [1-3, 5,12-14, 37]. Приведем схему его доказательства с применением метода вариаций.
Вместе с функционалом (3.36) рассмотрим функционал
'1
•1 ’ л j
1 = f' x(t), u(t)) + [x/Z) - f j (t, x(Z), u(0) U Л + F(tt, x(f,)),
определённый на множестве 0(to,xo). Здесь yj(t),J =!,...,« - вспомогательные переменные. Очевидно, на этом множестве 1 = 1, так как дифференциальная связь на нем удовлетворяется, т.е. Xj(t) = /;(г, x(/),u(/)), j = l,...,n. Структура функционала I соответствует принципу “снятия ограничений”, предложенному Лагранжем для решения задач поиска условного экстремума.
Предположим, что на трсйке (zj,x*(),«*(•)) достигается экстремум функционала (3.36).
Обозначим H(t, ч», х, и) = fj(t,x,u)- f° (t, x, и).
J=i
Тогда
to
7 = 1
Пусть /| =/1*+8/1 , х() = х’ (•) + 8х() , и() = «*()+ Ди() - элементы допус-Циой тройки d = (7|,x(),u()), принадлежащей множеству /7(/0,х0).
Выберем Ди(Г) так, чтобы
и*0), /е[7о.О)'-,[6 + «.'Г].
u(f) = и*(/) + Ди(Г) = V, fe[0,0 + s),
(3.38)
«Ж)> t effpi* +8f,].
0е (Aj.ft), е > 0, 9 + e<t[, v е U.
Таким образом, управление u(t) всюду на роДГ + 8*11, за исключением •жества [0,0 + s), совпадает с управлением «’(/), а на множестве [0,0+ е) нимает постоянное значение v из множества U (рис. 3.3). При любых 0,е, v, щетворяющих перечисленным выше условиям, управление u(t) является Гчно-непрерывным и принимает значения из U , поэтому оно допустимо. кация Ди(Г) называется игольчатой.
Получим выражение для приращения функционала I и равного ему на рожестве £>(70,х0) функционала I:
М = 1(d) - I(d') = 1(d) - T(d') =
= f j Z vj(0- [*;(*) + a*/W ]- H(t,y(t),x'(t) + 8x(0.“’(0 + Д«(О)[л + H, U-1 J
+ F(7," + 87,, jt(7,* + 8/, )) - J
<b
£ V; (7) Xj (t) - H(t, v(f), x' (7), U (0)> dt - F(t’i, x' (7j)).
7-1 J
Введем обозначение
\uH(t, v(7),x’(0,и (Г)) = H(t,v(7), x' (7), u* (7) + Ди(7)) - Я(7, у(7), x* (7), u*(7)).
Учтем, что
H(t, v(7),x*(7) + toW>»‘W + A“(0) = Я(7,ч/(7),х,(7),и’(7) + A“(0) +
+ £ dH(t’ ^**(0 ’“ & + } (t) + 01 (||6x(r)|) = tf(7, V(7), x’(7),«’(/) + Д«(7)) +
7-l dxJ
7=1 dXJ
а также
Ftf + St^xtf +8Г0) - Ftf.x'tf)) =
+
гГл’аГ)
^dF(ti,x) k ^XJ
8хл +ог(||8хф + оэ(|5Г,|) = SF(ti)+o2(|&cll|) + <>з(|в*11).
где 8ЛЛ’) = 8F(/;,x-(r;)) ,
5‘1 >i Sxj
axjh =Х7</Г +&h)-* * * * * * * * xj(t\) = ^xj(ti) + xJ(ti)-6ti ,
Xj(ti +6tl) = Xj(ti) + &Xj(ti') + Xj(ti)-6tl +0(187,1),
xj(ti)=//0Г,х*(»Г)+8»(<Г),»*(»г))-
Здесь выражение для вариации получено согласно уравнению (3.34) аналогично (2.40). Геометрическая интерпретация приведена на рис. 3.4.
Тогда
% 17-1 L °xi
ЭД„Я(Г,чК»,х*(^,и(» dXj
&tj(f) -Я(лчК0,х’(0^(0+М0)+я(/,чК0,х'(0>“’(0) #+
<f+j*i ( л
+ n 1(0 + f i Ё V j(0 • x/0 - H(t, M/(t), x'(t)+8x(Z), u‘(t) + Ди(/))
6- U-1 J
dt + bF(ti) + r\lt
rae
ni(0 = -Joi(||ax(0||)«*. П2 =О2(||бХ/1||) + вз(|8'1|)-
A)
Проинтегрировав первое слагаемое по частям с учетом равенства 8х(Г0) = О, так как х(/0) задано, получим
f L [ч'у(0 ах;(/)]л= 2't'J(^)8xy(Zi*)-^4i;(z0)8xy(z0)- J 2 [ф7(<) аху(г)]dt =
% 7=1 7=1 7=1 <b 7=1
7=1 4 7-1
Вычислим второй интеграл в выражении для Д/ при малом 8/,, учитывая, что на отрезке [rf, t\ +8/(1 справедливо равенство u’(t) + &u(f) = ,
= х/(г;)+ х’(г;)8Г, = /,(гГ,х’(Г1*),и’ОГ))-.
tf+M Гл 1л
J 1 X4'y(0*7(0-tf(r,v(0,**(0 + 8x(0.«’W))^=£v>(/1*)xy(r;)8r1 -U=‘ J >='
-z‘ рH(t,4/(0,u'(t;)) + аяс^уоуЮ)&Xj (/) + 04(||Sx(f)||)]dt =
/ dxJ
= -Я(*ьчК<1)>х‘(<Г)>«’(*Г))-8<1 +П4,
2=1
где t)4 = o5 ( Цвх^* )||) + o6 (|8Г, |).
В результате получаем
<0
dx,
&Xj(t) - ДИЯ(Л <и(0, х’(Г),и*(0) +
п п
+ ) + £у7((Г) х7ОГ) 8^ - H(ti) 8/j + 8F(t{) + m (0 + П2 + Пз(О + П4 >
/=1 /-1
Яз<О = -2и J ----------3----------------bXj(t)dt,
>1 % dxJ
Я(О =
Учитывая, что 8xJ (| =8xJ(r1*) + Xy(r1*)-8/) , имеем
AZ = -У £ Wj(')+ Зх/ОЛ- р«Я(/,ч»(0,х,(0,«*(0)^ +
/<! Л1 L вХ) J /о
+ 8^(/1*) - H(j; ) 8Zj + £ у J (г; ) • &Xj f| + п, У=1
где п = П1(0 + П2 +Лз(0 + П4-
Пусть функции ц/?(0, j = 1,...,л, удовлетворяют системе уравнений
^ая^О.хЧО,^)), . = 1) )Л> 1 8 Xj (3.39)
условию З/Хо') - Я(о’) • 8Г, + £ ц/ j (ti)- &Xj (1 = 0. (3.40)
При этом у=1 д/ =-Z1f диЯ(г,ч/(0,х’(0.и’(0)Л+п. (3-41)
lQ
Аналогично [8] можно показать, что для любых достаточно малых е выполняется г, = о(е).
\ Так как на тройке (tj,x*(-),«*()) достигается минимум функционала, то 'Справедливо неравенство
Д/=/(г/) -/(г/*) > 0 . (3.42)
Тогда из (3.38),(3.41),(3.42) получаем
fl+£
AZ = - J е
[ Я(Г, ц/(Г), х* (0, v) - H(t, 4/(0 ,х* (/) ,и (0) ]л + Т) =
= - [я(0,ц/(0),х*(0),у) -Я(0,ц/(0),х*(0),и*(0))]е + о(е) ^0 .
.Отсюда следует, что Я(0,ч/(0),х*(0),у)-Я(0,ч/(0),х*(0),и*(0)) <0.
Это означает, что функция Н достигает на ц*(0) своего максимума (рис. 3.5).
Сформулируем описанный результат в виде теоремы.
Теорема 3.4 (принцип максимума).
Пусть на тройке д' = (zf.x* (•),«*(•)) е />(Zo,xo) достигается минимум функционала (3.36). Тогда существует такая вектор-функция y(z) = (vt(/),...,vB(/))T, при которой:
Г/ в каждой точке непрерывности управления u'(t) функция H(t, 1р(/)> x'(f), и) достигает максимума по управлению, т. е.
maxH(t,y(t),x\t),u) = H(f,y(t),x\t),u(t)), ueU
п
где H(t,y,x,u) = • fj(f,x,u)-f°(t,x,u);
j^\
2) выполняется условие трансверсальности
5F(ti) - H(t'}) • 8Zj + £ (h )•8xy = О (3.43)
j-i
при любых 8f| и 8Xj, удовлетворяющих системе
8r/(Z1*,x*(Z1*)) = 0, » =
r/(r1,,x,(z1,)) = o, » = 1,
где H(ti) = H(ti,\y(t‘),x’(t^),u’(ti)), /’(Z1*) = F(t" ,x*(zf)) , а вариации определяются следующим образом:
6F(tJ) = 6F(t{,x* (Z?)) = —'))5ZI + YaF^'X’(,'}}6Xj , azi dxj
sr^.x-tf»=9rz(z; x-(z;)) + ^гдую)^ .
azi fa dxj
3) удовлетворяется система уравнений
х'^) = дН^'^’х = fj{t,x'(t),u(t)), xj(t0) = x0j-, j = l,...,n,
^(0=,^.^(0.^(0), 7.=11...>л. {3M}
dxj
Используемые в формулировке утверждения функции 4/i(z),...,n/B(Z) называются вспомогательными переменными, H(t, у, х, и) - гамильтонианом, а система (3.44) - системой канонических уравнений.
Замечания 3.5.
1. В частном случае задания множества Г, когда количество ограничений •вио к +1, момент времени = Т( задан и фиксировано к координат xt!,...,xtl рктора х(Г[),т.е. /j = Tj, ху(/]) = х^|, j = \,...,k-, Oiksn, l = k + l, функции Ш,х) имеют вид
r;(fl,x) = xj-х71 =0, j = l,...,k;
Г*+1(*1»х)“fi -7i=0-
[есь при к = п правый конец траектории фиксирован, а при к = 0 свободен, рсюда следует, что 8ху- =0, j = l,...,k; 8/] =0.
Решаемая задача записывается в форме
6
I(d) = J /° (/, х(/), «(/)) Л + Г(х(Г,)) -» min.
<ь
Решением этой задачи является пара (х*(•),«•(•)): оптималыше траектория
gp управление.
2. В случае, когда начальное состояние и момент начала процесса /0 не заданы, а определяются вместе с конечными состояниями соотношениями
Одминальный член функционала может задаваться в виде суммы &(t0,x(tQ)) + Fi(ti,x(ti)). Тогда решаемая задача записывается в форме
1(d) = j f°(t,x(t),u(t))dt + F0(t0,x(t0)) + F} (ft ,x(r,)) -> min,
<b
..условия трансверсальности имеют вид
eFitf) + =о (з.лз)
>и
5г,(/о,х-(/о,),/;,х,(/;)) = о,
I;
rXf*0>*(Ф,Н.**(Н)) =° .
Решением задачи в этом случае является четверка (/q , tj ,х* (•),«*()), вклж>-|чающая оптимальные моменты начала и окончания процесса, траекторию и Подавление.
3. В общем случае следует записывать гамильтониан в форме
Я(*,Т,Ч»0.*.и)= Zyj //О.*>«) + Ч'о f°(t,x,u),
J-1
а при решении задачи рассматривать два случая: ц/0(?) ж 0 и ц>0(1)&0. Приведенное утверждение соответствует второму случаю, когда полагают Vo(O = -1
4. Если на управление нет ограничений, т.е. U = R4 , то максимум гамильтониана ищется с помощью необходимых и достаточных условий безусловного экстремума.
5. Если модель объекта управления описывается линейным дифференциальным уравнением, а функционал квадратичный, принцип максимума является необходимым и достаточным условием оптимальности в задаче (3.37).
АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА
п
1: Составить гамильтониан: H(t,y,x,u) = fj(i,x,u) - .
2. Найти структуру оптимального управления «’(/) = u"(t,y(t),x(t)) из условия максимума гамильтониана по управлению.
. 3. Составить систему канонических уравнений (3.44) с заданными в задаче условиями.
4. Из условий трансверсальности (3.43) или (3.45) получить недостающие краевые условия для уравнений составленной системы.
5. Решить двухточечную краевую задачу для системы канонических уравнений, полученную в п. 3, с учетом результатов пп. 2 и 4. В итоге определяется тройка (tj, х*(),«*(•)), на которой может достигаться экстремум функционала. В соответствии с пп. 1, 2 замечания к формулировке принципа максимума решениями задачи в зависимости от постановки могут быть также кара (x'(),u'()j или четверка (zj,zf,х’(•),«*(•)).
Пример 3.14. Даны модель объекта управления
x(z) = «(z), х(0) = 0, =
где х g R; u е R; t е [0; 1], и функционал
1
1= J [zz2(Z) + x2(z)M ->min.
о
Требуется найти оптимальную пару (х‘(),и’(-)), на которой достигается минимум функционала.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f(t, х, и) = и, /°(Z,x,u)=«2 + x2, F(ti,x) = 0, r1(Z1,x(Z1)) = Z1-l = 0, r2(f),x(Z1)) = x(l)-l-0. Решается задача Лагранжа.
1. Составляем гамильтониан: H(t, у, х, и) = 4/ и - и2 - х2.
2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения на управление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстремума -^-Я(/,у(/),х(/),и) = «ХО -2и =0 . Отсюда и (f) = Найден-ди 2
Я(/,ч/(/),х(/),и) =-2 < 0.
loe управление обеспечивает максимум функции Я(/, ф(/),х(/),и) по управле-так как удовлетворяются достаточные условия экстремума
3. Выписываем уравнения системы (3.44):
х(Г) = и’(П = ^. х(0)=0, х(1)Л,
Ч»(0 = -Atf(/,v((),x(/),u(()) = 2х(/).
дх
4. Проверяем условия трансверсальности в форме (3.43). Так как (fbx)s0, то 8/ = 0 и [-Я(/1)-8/1 +ц/(/|)-8х]
= 0. Поскольку /1=1 и
*(/)) = заданы, то 8^ = 0, 8х = 0. Поэтому условия трансверсальности выпол-я.
5. Решаем полученную двухточечную краевую задачу. х(0 = ^, *(0) = 0, х(1) = 1,
Ф(0 = 2x(t).
v £ (е^ +£ ^) * е(е^ — е ')
Этсюда находится искомая пара: и (<) -----;---, х (/) ----------.
2(^-1) 2(^-1)
Пример 3.15. Даны модель объекта управления
х(/) = x(z) + и(/), х(0)=0,
хе R; ие R; I е [0; 1], и функционал
1
I = | u2(t)dt - х(1) -> min. о
f Требуется найти оптимальную пару (х‘(-),«*()), на которой достигается
минимум функционала.
I------□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f(t,x,u) =х + и ,
f°(t,x,u) = и1, F(ti,x) = -x, /|-1 = 0. Решается задача Больца
г 1. Составляем га мильтониан: Я(/, у, х, и) = у •( х +- и2 .
2. Находим максимум гамильтониана по управлению (см. п.2 примера 3.14):
—Я(Г,у(0,х(/),и) = Ч'(0-2и = 0. Отсюда «’(0 = -^ и ,ч»(0 Х0,и) = -2<0.
ди 2 ди1
3. Выписываем уравнения системы (3.44) с учетом результата п.2: x(t) = x(t) + и (/) = х(Г) + -^, х(0) = 0,
= - A H(t, y(t), x(t),u(t)) = - V(/).
дх
4. Проверяем условие трансверсальности в форме (3.43). Так как
F(Z], х) = -х, во 8F = -6x и [-8х-Я(г1)6/1 +'И(/1)&С]
= 0. Поскольку Г] = 1,
то Zj -1 = 0 и 6f[ = 0. Ограничений на x(z() не наложено, поэтому вариация 8х
произвольна. В результате имеем [ х|/(/]) -1 ] 8х
= 0 и, следовательно,
V(1)-1=O.
5. Решаем полученную двухточечную краевую задачу. x(r) = x(Z) + ^, х(0) = 0,
v(0 = -v(0, ч<(1) = 1.
Из второго уравнения с конечным условием имеем i|/(z) = e . Поэтому оптимальное управление u* (Г) = ~е1”г • Решая первое уравнение системы с начальным условием, получаем оптимальную траекторию х*(г) = ^[е1+г
Пример 3.16. Даны модель объекта управления
x\(t) = x2(t), х,(0) = 1, х1(2) = 0,
x2(Z) = u(Z), х2(0) = 1, х2(2) = 0,
где х = (х1(х2)г ей1, ueR, tе[0; 2], и функционал
1 2 ,
I = - J u2(t)dt -> min.
2 о
Требуется найти оптимальную пару (х* (•),«*(•)), на которой достигается минимум функционала.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем
/1(/,х,и) = х2, /2(/,х,и) = и, /°(Г,х,и) = |и2, F(Z,,x)sO, 1)0,,х(.'])) = Z, -2 = 0,
r2(Z1,x(Z1)) = x1(2) = 0, r3(Z1,x(Z1)) = x2(2) = 0.
Решается задача Лагранжа.
1 2
1. Составляем гамильтониан: H(t, ц/,х,и) = ц/| х2 + ~ и '
2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения i управление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловно экстремума:
H(t, V(0, x(t),u) = (t) - и = 0.
3u
Игсюда «*(/) = >|z 2 (0- Найденное управление обеспечивает максимум функции ?^G,v(0,*(0,“) по управлению, так как удовлетворяются достаточные условия
Экстремума Я(г,v(0, x(t),и) = -1 < 0.
ди2
3. Выписываем уравнения системы (3.44):
*1(0 = *2(0, *1(0) = 1, *1(2) = 0,
*2(0 = “(0 = V2(0, *2(0) = 1, *2(2) = 0,
vi (t) = - v(0, *(0, «(0) = о,
с Xj
V2(0 = -/-H(t^t),x{t),u{t)) = - vi(0 • дх2
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43). Так как /'(r1,x)s0, а ?! =2, Xi(2) = 0, х2(2) = 0 заданы, то 8/' = 0, S/j =0, &С] =0, 8х2 =0. Следовательно, условия трансверсальности выполняются.
5. Решаем полученную в п.З двухточечную краевую задачу:
Ч»1(1) = const = С] , Ч»2(0 = + С2,
Г fl Г fl' Г Р
*2(0 =---у- + С2 t + С3, jq(0 =----jr— + -у— + С3 t + С4.
2 о 2
Из краевых условий находим С1,С2,С2,С4:
Х1(0) = С4 = 1, х,(2) = + 2С2 + 2С3 + С4 = 0,
*2(0) = С3 = 1, *2(2) = -2С! +2С2 +С3 =0.
7 . . . т .
Отсюда С| = -3, С2 = -- и искомая пара (х () = (х1 (-),х2 ())' ,и (•)), где
*1‘(0 = |?3-jt2 + t + l, x2*(0 = |f2-^ + l, и’(0 = ЗГ-уИ 2. Я1 2 L 2
Пример 3.17. Даны модель объекта управления
*1(0 = *2(0,
*г(0 = *1(0 + “(0,
с краевыми условиями (0) = 2,
3
*2(0) = -^,
€ I
*1(1) = -, *2(1) =-е и функцио-
нал
1
I = | и2(/)Л -> min. о
Требуется найти оптимальное программное управление «*(•) и соответствующую траекторию х'().
□ Здесь х = (xltx2)r е Л2, ueU = R, /е[0;1], f°(t,x,u) = и2, F(tt,x) = 0, fx(t,x,u) = x2, f2(t,x,u) = xi+u, Г1(Г1,х(?1)) = /1-1 = 0, Г2Ц,х(Г1)) = х1(1)-^= 0, Гз(^1,*(Л)) = *2(1) + e~l = 0 • Решается задача Лагранжа.
1. Составляем гамильтониан
Я(/,1у,*,и) = 4*1*2+ V2(*1 +и)-и2.
2. Находим максимум гамильтониана по управлению (см. п.2 примера 3.15):
H(t, ч/(0, x(t), и) = v 2 (0 - 2 и = 0. ди
Отсюда u*(0 = V2(— и -^-гЯ(Г,4/(0,х(0,«) = -2 < 0. 2 ди2
3. Выписываем уравнения системы (3.44) с учетом результата п.2:
*|(0 = *2(0, *1(0) = 2, *i(D = |,
*2(0=*1(0 + ^у^, *2(0)=-|, Х2(1) = -«-',
у,(г)=-э^уо,«(О)а.ъИ1 дХ\
^г(0 = _ э-^’-У(0д£(0.>ц(0) =_<|)д>у
ах2
4. Проверяем условия трансверсальности в форме (3.43). Так как
F(tt, х) = 0, то SF = 0 и
-Я(г,) -8Г| +ч*1(^1)-6Х1 + у2(Л) 6*2 |/(=1= 0 -
Поскольку значения /1 = 1, Х|(1) = -, х2(1) = -е заданы, то 8', = О, 8»= О, 2 . А
8х2 = 0. Поэтому условия трансверсальности выполняются.
5. Решаем записанную в п.З двухточечную краевую задачу. Из двух последних уравнений получаем
vi(O = -Ч'2<0 = 4'1(0-
Общее решение этого уравнения имеет вид
4'1(0 = С1в'+С2е’',
где Q и С2 - произвольные постоянные.
Тогда из третьего уравнения системы ч»г(О = -44(0 = -Cj е1 + С2 е~'.
Запишем первые два уравнения системы:
*1(0 = *2(0,
*2(0 = *i(0 + ^y^-*i(0-ye' +уе-'.
Отсюда Xj(/) = x2(0 = *i(0-^-e'или Х](0-*1(0 =“^"е< + ~2в‘'
Найдём общее решение полученного неоднородного уравнения:
а) общее решение однородного уравнения jq (0 - X! (!) = 0:
*ю(0 = С3е'+C4e’f;
б) частное решение неоднородного уравнения ищем в виде [28]".
xi4(t) = Ate' +Bte~‘.
Тогда х1ч(0 = Ае' + A te‘ + Ве~‘ - В t е~',
xly(t) = 2Ае‘ + Ate' -2Ве~' +Bte~'.
Подставляя в неоднородное уравнение, получаем:
2Ае‘ + Ate' -2Ве~' + Bte~' - Ate' - Bte~' = + ^-е~'.
2 2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях t, имеем
2Л = -5-, -2В=—, или А = - — , В = - — . 2 2 4 4
С с
В результате xh (Г) =•--te'---1 е~‘;
в) общее решение неоднородного уравнения
*1 (0 = *10(0 + *1,(0 = С3 е‘ + С4 е~‘ - te‘ - Ге''.
4 4
Из первого уравнения системы имеем
*2<0 = *1 (0 = С3е‘-С4е~'-^е'-Q-te'. 4 4 4 4
Для нахождения коэффициентов используем краевые условия:
JQ (0) = Cj + С4 = 2, х2(0) = с3-с4 =
4 4 2
х1(1) = С3е + С4е'1 -^-е-^-е'1 =Л, 4 4 2
х2(1) = С3е-С4е'1 -^е -О-е +^-е~1 =-е-‘ . 4 4 4 4
Получаем Ct = 2, С2 = 4, С3 = С4 = 1.
В результате найдена искомая пара: траектория х’(/) = где
xj(t) = ef +е~'
x2(t) = 2е~' + te~‘ - ,
2 2 2
и управление и'(Г) = -е‘ + 2е”'.
Пример 3.18. Даны модель объекта управления
*1(0 = х2(Г),
Х2(Г) = -Х1(Г) + и(Г), с начальными условиями X] (0) = 0, х2 (0) = 0 и функционал I = х2(2л) -» min.
Требуется найти оптимальное программное управление и*( ) и соответствующую ему траекторию х'().
□ Здесь х = (xlf x2)r e R2, t e [0; 2л], на управление наложено ограничение | ы|«; 1, т.е. иеС/ = [-1;1}, f°(t,x,u) = Q, F(tl,x) = x1, f\(t,x,u) = х2, »j(/, х, u) = -х1 + u , Г! (Zj, x(fj)) = Z1 - 2л = 0. Решается задача Майера.
1. Составляем гамильтониан: H(t, ц/, х, и) = t • х2 + у 2 [ - х, + и ].
2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеются Ограничения на управление, требуется найти условный максимум гамильтониана №о управлению. В данной задаче гамильтониан линеен по и на заданном отрезке ^Изменения управления [-1; 1], поэтому оптимальное управление имеет вид
u*(Z) = arg max H(t,y(t),x(t), и) = 1 sign ч/г(О> l«H i
Be. является релейным. Величина управления определяется знаком функции [*2(0'
3. Выписываем канонические уравнения принципа максимума (3.44):
*1(0 = х2(0, х,(0) = 0,
x2(Z) = -X](Z) + u(t) = -xi(t) + sign m/2(Z), x2(0) = 0,
Ф1(0 = - ~~~ H(t, vW, x(t), = (|/2(Z),
0X1
4> 2<0 = - , x(z) ,U (Z)) - - j(Z) .
0X2
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43):
2 1
+ £v2(z1)ax7 =o,
7=1 J '1*2»
где &F = ’х’) sz. + у = йх2. Группируя члены, получаем
Sti
-Н(2л)&Zt + i|ij(2n)Sxj+[1 +фз(2л)]&х2 =0 .
Момент окончания Z| задан, поэтому SZ( = 0. Так как правый конец свободен, то вариации Sxj, 5х2 считаются произвольными. Чтобы равенство выполнялось для любых вариаций, необходимо, чтобы выполнялись условия \р1(2тс) = 0, Ч/2(2л) = -1.
5. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп. 2 и 4:
*1(0 = х2(0, Х](0) = 0; x2(Z) = -x1(Z) + signy2(Z), х2(0) = 0;
Vl(0 = V2(0> Ч'1(2л)-0', V2(0-V 1(0 .
Имеем: ц/^/) =-sin/, ц/2(/) = -cos/, «*(/) = sign (-cos/) =-sign (cos/). Найденное оптимальное управление u*(/) на интервале [0,2 л] имеет две точки переключения и, следовательно, три интервала знакопостоянства:
1) при 0 5 / < -у, u’(/) = -1, х,‘(/) = cos/-1, х2(/) = -sin/;
2) при — S/ < -у-, и*(/) = 1, х[(/) = cos/-2sin/+1, х2(/) = -sin / -2cos/;
3) при -у- £ / < 2п, u‘(t) = -1, xj(/) = cos/ -4sin/ -1, x2(/) =-sin/-4cos/.
Минимальное значение функционала равно х2(2л) = - 4.
Пример 3.19. Даны модель объекта управления
х(/) = «(/), х(0) = 1,
где х е R; и е R; / е [0; /] ], и функционал
I = - J u2(/)dt + 4x(/j) -» min.
2 о
Задано конечное условие: х(/0 = /] -1.
Требуется найти оптимальную тройку (/j”,x‘(),u*()), на которой достигается минимум функционала.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем' У°(Л х, и)-и2,
F(/1,x) = 4x, /(/,x,u) = u, Г1(/1,х(/1)) = /1 — x(/j) — 1 =0 . Решается задача Больца.
1. Составляем гамильтониан: H(t, ц/, х, и) = у и - и2.
2. Находим максимум гамильтониана по управлению (см. п.2 примера 3.16): д $
— Я(/,Ч/(/),х(/),и) = <|/(/)-и = 0. Отсюда и*(/) = ц/(/) и —-H(t,y(t),x(t),u) = -l<0. ои ди2-
3. Выписываем уравнения системы (3.44) с учетом результата п. 2:
х(/) = u'(/) = v(/), х(0) = 1,
Ч»(0 = - H(t, ч»(/), х(/), и' (/)) = 0.
О X
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43) с учетом условия Г1(Л>Х(А)) = Л-х(Л)/-1 = °- Имеем-. SF = 45x, 5Г1(/1,х(/])) = 8/1-8х = 0 и, следовательно, 45х-Я(/1)8/1+ч)(/1)8х = 0, /1 -x(/j)-l = 0, 8/!-6х = 0, где
h) = , v(Zj), x(t{),u*(Z,)) = v(/|) • v(z,) - ) = -1ч?01). Для любых 8x
цеем р--^ц(2(/1) + ч>(/1)^8х = 0, а отсюда 4-iy2(Z1) + 4/(ZI) =0.
5. Решаем краевую задачу:
x(Z) = V(O, х(0) = 1,
ф(/) = 0, 4-1Ч/2(/1) + Ч/(/1) = 0, Z,-x(Z,)-l -0.
«Ьлу'аем: u‘(t) = 4>(Z) = С = const, x(Z) = Cz + l. Для определения постоянной Йрпри г = Zj решаем систему уравнений:
4--С2+С = 0, ^-С^-2 = 0.
2
Ь)тюда С = -2, Z| = — или С = 4, Z| = - —. Второе решение не подходит, так как
I - 3
|<}- 0. Таким образом, искомая тройка имеет вид* оптимальный момент оконча-
I 2 .
ция z 1 - —, оптимальное управление и (z) =$. -2 , оптимальная траектория
*(Z) —-2Z + 1.B
, на которой достигает-
I Пример 3.20. Даны модель объекта управления x(Z)-u(Z), х(0) = зД
Г» хе R; ней; Г е [0; Zt ], и функционал
I t + +'-i( Z^min.
Требуется найти оптимальную тройку( I, сяминимум функционала.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: /°(Z,x,u) =-и2,
1 ili
F(tt, х) = - (Z| -1)2 + - х, f(t, x, и) = и. Решается задача Больца.
1 ,
1. Составляем гамильтониан: H(t, у, х, и) = у • и - — и .
2 .Н аходим ьаксимум гамильтониана по управлению.Т ак как ограничения № управление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловного экстремума — H(t ,v(Z) ,x(Z) ju) -v(0 -и-0 .Отсюда и' (Z) -=^4/(Z) Найден -ди
ное управление обеспечивает максимум функции H(Z,v(Z),x(t),u) по управле
нию, 'Так как удовлетворяются достаточные условия экстремума я2
ди2
3. Выписываем уравнения системы (3.44):
x(/) = «,(t) = V(/), х(0) = зУ2,
ф(/) = _Ая(/>Ч((/),х(О,и(О) = 0.
дх
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43). Имеем 8F = (ti -1) • 8/] + х 8х и, следовательно, (Д -1)8^ + x(t\ )8х - Н(/\ + ц<(б )8х = О
или
[4'(^i) + x0i)]ax + [z1-1-Я(Г1)}8Г( =0.
Так как x(tj)H tj не заданы, то 8х и 8^ произвольны. Поэтому из условия трансверсальности следует v(fi) = - х(т(), 1, -1 - Н(1г) = 0.
5. Решаем краевую задачу
х(Г) = у(Г), х(0) = зТ2,
Ч»(Г) = О, v('i) = -x(fj), h -1-Я(/1) = 0.
Отсюда y(t) = const = Q, x(t) = Ct f + C2, x(0) = C2 = 3^2.
Тогда
y(t]) = Ci = -x(t]) = -Ct ,
it-l-v2(t1) + ^4,2(t1)=0 или t1-l-lcI2=O.
- 3V2 9
Из первого уравнения Q =-------. Поэтому -1 —------------ 0 или
l + 'i (1 + Л)2
z13+t12-/1-10 = 0, (/1-2)(z12+3t)+5) = 0.
Очевидно, полученное уравнение имеет один действительный корень = 2. Отсюда С] = - J2 ив результате получаем искомую тройку
t|*=2, x'(t) = -42t + 3jl, u(t) = -Sl.
Пример 3.21. Даны модель объекта управления
х1(Г) = х2(0,
х2(0 = u(t),
где х = (х/[,х2)г е А2, и е A, t в. (0; 1], и функционал
/ = j u2(/)Jr + |x12(O) + |xf(l)^min. о 2 2
Издано граничное условие: xt(l) + х2(1) = .
Требуется найти оптимальную пару («*(•),и* (•)), на которой достигается Минимум функционала.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи (3.37), имеем: f°(t,x,u) = u2, fi(t,x,u) = х2, f2(t,x,u) = и, Г1(/1,х(/1)) = /1-1 =0
j01,x(0)) = *1(1) + *2<0 - у = °- Л>('о,*('о)) = |*?(0), /"1(0,*01)) =1*2(1).
решается задача Лагранжа.
1. Составляем гамильтониан:
H(t,ц/,х,«) = >(/] • *2 + у2 • и - и2.
2. Находим максимум гамильтониана по управлению:
,х(г),«) = V2(0 - 2и = 0.
д и
Отсюда и' (0 = и Я(/, <р(/), х(0, и) = -2 < 0. 2 ди2
3. Выписываем уравнения системы (3.44) с учётом результата п.2:
*1(0 = *2<0, *1 О) + х2 (1) = ,
44(0 = - H(t, ф(0, х(0, и(0) = 0, 5*1
ч»2(0 = - -^-Я(г,ч/(0,*(0,«(0) = -viW-0*2
; 4. Записываем условия трансверсальности (3.45). Поскольку = 1 и Го = 0
'Заданы, то 5/0 = °, 8/г=0, а следовательно, 8*у/ =8ху(Г1) = 8ху(1),
. S*yli) =5*7(Г0) = б*7(°),у = 1,2. Так как F0(t0,x) = ^*i2, /](/],х) = |х^, то
5F0 (z0 ) = X! (0) Зх, (0), Sf] (/,) = х2 (1) . бх2 (1).
В результате имеем
х2(1) • 8х2(1) - HjiyStt + Vi(l) • 8xi(l) + 4*2(1) 8х2 (1) - х,(0) - 8xi(0) +
+ Я(0)-81о - ч/1(О) axt(O) ~4*2(0) • 8х2(0) = -[xj(O) + ц/1(0)]- 8X1(0) - 4/2(0) • 8х2(0) + =о
+ 4/1(1)8х1(1) + 4/2(1)8х2(1) + х2(1)8х2(1) = 0 ,
19
Г2 (1], x('i)) = *i (1) + х2 (1) - = О, 8Г2 (/], х(/,)) = 5х( (1) + 6х2(1) = О,
о
Так как начальные условия не заданы, то вариации 8xt(0) и Зх2(0) произвольны. Отсюда
4/2(0) = 0, 4*1(0) = ~*1(0),
4*i(1)8xi(1) + 4/2(1)8х2(1) + х2(1)8х2(1) = О,
19
SXi (1) + Зх2 (1) = 0, X) (1) + х2(1) = —. о
Поэтому получаем 8xi(l) --Sx2(l) и [4*2(1) + *2(1)-4*i(1)]-8x2(1) = 0.
В силу произвольности 8х2(1) получаем равенство 4/2(1) + х2(1) - 4/1 (1) = 0.
5. Решаем краевую задачу:
*1(1) = *2 (1), xi(l) + x2(l) = ^,
О
4*1(1) = 0, 4ii(0) = -Xj(O),
4*2(1) = -4*1(1), 4*2(0) = 0, 4*2(1) + *2(1)-V10) =0.
Отсюда
4*1(1) = Сд, 4*2(1) = -С11 + С2,
*2(1) = -|1 + ^, *2(1)=-^12+^ + С3,
Х1(1) = Х2(1), *1(1) = ~13+^J- + C3r + C4.
Используя краевые условия, получаем:
Ч>2(0) = ^2= 0, Vi(0) - С] = -Х[(0)—С4,
72(1) + х2(1) ~ Vi(l) = + С2 -~^- + — + С2 -Ct = О,
_£l+£z.+c3+c4-^+^+c3=^.
12 4 3 4 4 2 3 6
9
В результате получаем Ct = 1, С2 =0, С3 =—, С4 =-1 и искомую пару:
Траекторию x‘(t) = fa (t), x2(ftf, где xj(t) = -^ + ^t-l, x2(t) = -^- + ^, и ^правление =
Пример 3.22. Найти оптимальное по быстродействию управление, соответствующие ему траекторию и время, затрачиваемое на переход из состояния №(0) = 0, х2(0) = - 4 в начало координат для модели объекта управления, описываемой системой дифференциальных уравнений ?<
*1(0 = *2(0 ,
х2(0 = «(О,
где х = (хьх2)г, | и |<1.
; □ Сформулируем проблему в форме задачи минимизации функционала
! Т
I = jdt -> min, i о
тде момент окончания процесса управления Т не задан и подлежит определению. В данном примере fx(t,x,u) = x2, f2(t,x,u)-u и /°(i,x,u) = l, F(tltx)s0, Г1(7’,х(7’)) = X\(T) = 0, Г2(Т;х(Т)) = х2(Т) = 0. Решается задача Лагранжа.
Требуется найти оптимальное программное управление «’(), соответствующую ему траекторию х*(-) и время Т.
1. Составляем гамильтониан: H(t, 4/, х, и) = ц/д • х2 + ф2 • и -1.
2. Находим условный максимум гамильтониана по управлению (см. п.2. Примера 3.18):
u’(r) = агетахЯ(?,ч/(/),х(/),и) = 1 - sign у2(0 l“|sl
3. Выписываем канонические уравнения принципа максимума (3.44):
x2(t) = x2(t), Х|(0) = 0, х1(Т) = 0,
х2(0 = “’(') = signч/2(0> х2(0) = -4, х2(Г) = 0,
ая«,у(О,МО,и,(0) 0 д Х[
V 2{t) = _.^я<^(0,х(0,и-(0) =_V](0 д х2
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43):
2
[8F+ ^v/O&xJ
= 0, «i-Г
где &F = 0. Так как момент окончания Уне задан, а хДТ) и х2(Т) заданы, то вариация 8^ произвольна, а 8х1 = 0, 8х2 = 0. Поэтому из условия трансверсальности следует Н(Т) = Н(Т, у(Т), х(Т), и(Т)) = 0.
5. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп. 2 и 4: xl(t) = x2(t), х,(0) = 0, х1(7’) = 0,
х2(0 = sign V|/2(f), х2(0) = -4, х2(7’) = 0, \Р1(/)=0,
Ч<2(0 = -Vi(0, Я(Г,М/(7’),х(Т),и(Т)) = 0.
Решая два уравнения для вспомогательных переменных, получаем
Ч/1(Г) = Су = const, к(/2(0 =-Cii+С2, u'(t) = l sign (-Ci f + C2).
Так как линейная функция меняет знак не более одного раза, то оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, имеющей не -более двух интервалов знакопостоянства. На одном интервале u(t) = 1, а на другом м(/) = -1.
Построим фазовый портрет. Для этого получим уравнение траекторий системы на фазовой плоскости OtX]X2:
xy(t) = x2(l), x2(t) = u(t) = const.
2
Ьгсюда —- = —, dx, = — dx2 или x, = —+ С. На рис. 3.6,a,6 изображены два g — dx2 и и 2u
возможных семейства парабол. По выделенным траекториям'(линиям переклю-ерия) движение происходит на последнем интервале знакопостоянства управле-ьщ. результирующий фазовый портрет и искомая оптимальная траектория, со-Цветствующая заданным начальным условиям, представлены на рис. 3.6,в.
F На первом участке оптимальной траектории до линии переключения «*(/) = 1, а на втором u’(t) = -1.
I найдем время Т = +t2, затрачиваемое на переход из точки х0 = (О, - 4)г ^начало координат. Здесь - время движения с управлением «’(/) = ! до точки Переключения, t2 - время движения с управлением и*(/) = -1.
Рис. 3.6
На первом участке Х[ (/) = х2 (/), х2 (Z) = и' (t) = 1, откуда х2 (t) = t + Cit tI 2
— + Q t+ C2. При t= 0 имеем x2 (0)= Q = - 4, x( (Q)= C2 = О, поэтому
I /2
^1(0 = y-4t, x2(f) = t-4.
'На втором участке x1(r) = x2(0, x2(0 - u*(t) = -1, откуда х2(Г) = -Г + Сь
Г t2
&((/) =---+ C\t + C2.B конечный момент времени Т •=-/1 + /2 траектория должна
| 2 ,
|юпасть в начало координат:
х1(4 +/2) = -(’ +С* +/2) + <--2 =0>
*2(4 + = " (б +^2)+t-i = 0>
чего следует Ci=ti+t2, С2= - -- ^2 — •
В силу непрерывности траектории при t = имеем
*201) = 6 - 4 = - ?1 + /| + t2.
В результате получаем t2 = t| - 4, /j2 - 8+ 8 = О и г, = 4 + 2 42, так как t2 > 0. Поэтому t2 =242 и Т = 4 + 4 42. Решение задачи найдено.
Рассмотрим одну модификацию рассмотренной постановки задачи. Если модель объекта управления описывается системой дифференциальных уравнений
х{(1) = x2(t) - р,
x2(t) = u(t),
где р - заданное действительное число, то методика решения задачи не изменяется. Оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, имеющей не более двух интервалов знакопостоянства: на одном интервале ы(Г) — 1, а на другом u(t) = -1 ' Уравнения фазовых траекторий получаются при «(/) = const :
ах2 и и
или, интегрируя,
На рис. 3.7, а,б изображены соответствующие фазовые траектории при u(t) = 1 и u(t) = -1, а на рис. 3.7,в - результирующий фазовый портрет с характерными оптимальными фазовыми траекториями.
Пример 3.23. Требуется найти оптимальное программное управление «*(•), гветствующую ему траекторию х'() и время Т, затрачиваемое на переход из ояния (0) = 12 , х2(0) = 0 в начало координат для модели объекта управле-, описываемой системой дифференциальных уравнений
Х1(0 = х2(0 ,
х2(0 = u(/),
Цде х = (Х|,х2)т, | и |< 1, минимизирующее функционал
т
I = j (1 + | u{t) |) dt -> min. о
□ В данном примере fx (t, x, и) = x2, f2(t,x,u) = u и f°(t,x,u) = 1 +1 и |, '(li,x)s0, Г1(7’,х(7’)) = Xj(r) = 0, Г2(Т,х(Т)) = x2(T) = 0. Решается задача
Требуется найти оптимальное программное управление «*(•), соответст-Зощую ему траекторию х*( ) и время Т.
1. Составляем гамильтониан: H(t, у, х, и) = ц/, • х2 + у2 • и - 1 -1 и |.
2. Находим условный максимум гамильтониана по управлению'.
и* (О =
-1, Уг(0<-1>
0, -1 2 ц/2(0 < 1,
I, ч»2(0>1-
3. Выписываем канонические уравнения принципа максимума (3.44): х1(/) = х2(1), Х((0) = 12, х1(Т) = 0,
х2(0 = и’(0, х2(0) = 0, х2(Т) = 0, ----------------------------’°’
. .. ая(/,ч/(0,х(0,ц'(0)
4,2(0 ------LCElJrAb—_V](o.
О %2
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43):
2
[8#-Я(11)-5/1 + £ ip/lJ-SxJ =0,
2=1 г,-Т
||е 8Г = 0.
Так как момент окончания Т не задан, a Xj(T’) и. х2(Т) заданы, то вариация 8/| произвольна, а 8Х| = 0, 8х2 = 0. Поэтому из условия трансверсальности следует Н(Т) = Н(Т, ц/(Т), х(Т), и(Т)) = 0.
5. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп. 2 и 4. Интегрируя уравнения для вспомогательных переменных, получаем
Ч/((О = С] = const, ц/2(0 = -Ct t + C2 .
Поскольку в конечный момент времени и*(Г) * 0, иначе нарушилось бы условие Н(Т) = 0, то |ц/2(Т’)|>1. Рассмотрим случай ц/2(7’)>1. Случай ц/2(Т’)<-1 аналогичен и, как показывает анализ, для заданных начальных состояний не реализуется. Линейная функция ч/2(0 = -С! t + C2 принимает значения 1 и -1 не более чем в двух точках. Поэтому оптимальное управление имеет не более двух переключений, т.е.
«*(0 =
-1, 0 < t < Т], О, Х| < t 2 х2,
1, x2<t^T,
где х, ,т2 - моменты первого и второго переключения управления: 0 < Х] < х2 <.Т .
Найдем траектории, соответствующие такому трехпозиционному релейному управлению.
При 0 < t х2, «*(0 =-Г.
Х!(0 = х2(1), х2(0 = -1.
/2
Отсюда xj (0 = 12 - —,
х2(0 = -/. При t получаем ко ечное состояние
т?
участке постоянства управления: xn = x^tj) -12
(хп>х21)Г на первом
х2) = х2(х1) = -х1. Это конечное состояние служит начальным состоянием для второго участка.
При X] < t <, х2, и (0 = 0:
Xj(0 = X2(O,
х2(0 = 0,
откуда Xi(0 = хп + х21 • (Г - X]), х2(0 = х21.
При t = х2 получаем конечное состояние (Х]2,х22)г системы на втором участке постоянства управления: xI2 = Xj(x2) = хп +х21(х2-Х0,
х22 = *2(12) = *21 • Это конечное состояние служит начальным состоянием для третьего участка.
При x2sisr, «*(0 = 1:
*1(0 = x2(t),
х2(0 = 1.
(t -X г
Отсюда хДО =х12 + х22(/ - т2)+ “—2~* хз(0 = х22 +(“т2- Учитывая, что конечное состояние известно, имеем
х, (Г) = х[2 + х22(Т - т2) + (г ~2Т2-^- = 0, х2(Т) = х22 + Г - т2 = 0 .
Обозначим через 02 = Т-т2 длительность интервала времени, на котором управление u*(r) = l, а через 0] = Т-т1 длительность интервала времени после первого переключения управления со значения -1 на значение 0. Тогда послед-ние уравнения можно записать в форме
О,2
х12 + х22 б2 + = 0 ' Х22 + 02 =О.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что второе переключение управления происходит, если точка (х12,х22)г принадлежит ветви параболы
Xj2 = “Х22 на фазовой плоскости Oxix2 при х2<0. Линейная' функция
у2 (/) = -С[ t + С2 принимает значения -1 при Г = -q = Т - и 1 при 2(t — Тэ)
t = t2 =Т-е2. Следовательно, она имеет вид ц/2(0 = 1 +-----— В конечный
х2 _ Х1
момент времени Т, учитывая, что и'(Т)= 1, из условия п.4 получаем 2 (Т — т У
1 + —----—-1-1 = 0, откуда 2(Т-т2) = т2-Т] , или, заменяя q, т2 через 0,,
х2“х1
02: 2 02 = 0j — 02, т.е. 0| = 302.
Выразим теперь х12, х22 через хи, х21:
х12 = Х11 = х21(х2 -х1) = Х11 + х21(®1 -6г)> х22 = Х21
Учитывая равенства 0!=302, х22 =-02, (хп>х21)Г получаем соотношение
1
2
х12 =
х22, для координат точки
Х11 +2х21 е2 = 2*2!2 =*
v О V2 _ 1 ^-2 - 5 -JI
XII -2Х21 - 2Х21 xll-~jx21-
Теперь можно сделать вывод о том, что первое переключение управления происходит, если точка (хп,х21)г попадает на ветвь параболы Xj =^х2 на фазовой 5 > плоскости OXjX2 при х2^0. Подставляя выражения для хп, х21 в X] =-х2 ,
находим первый момент переключения:
Хц =*i(ti) = 12-y = | (-n)2 => 3t?=12,
откуда Tj = 2, так как отрицательный корень отбрасывается. Первое переключение происходит, когда Хц =10, х21 = -2- Найдем момент t2 второго переключения управления. При t = г2:
Xi2=—х22, х12 = 10-2(т2 -2) = 2 , х22=-2,
откуда т2 = 6. Второе переключение происходит , когда х12 = 2, х22 = -2, а момент окончания процесса находится из соотношения х22 + Т - т2 = 0 => Т = т2 - х22 = 6 + 2 = 8. Минимальное значение функционала вычисляем по найденному оптимальному управлению:
8 , ,2 6 8
inin/= |(1 + |u*(0|)a= f 2dt+ J 1Л+ { 2Л = 12.
0 0 2 6
Пример 3.24. Даны модель объекта управления
х(/) = «(/), х(0) = 0,
где хе R, | и | < 1, / е [0; Т], и функционал
т
I = |(х(/) + u2(f)]dt -> min, о
где Т - заданный параметр.
Требуется найти оптимальную пару (х’(-),и*()), на которой достигается минимум функционала при Т = 1 и Т = 3.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем f(t,x,u) = u, f°(t,x,u) = х + и2, F(/1,x)s0, Г1(Гг,х(Г1)) = Г1-Т = 0. Решается задача Лагранжа.
1. Составляем гамильтониан: H(t, «у, х, и) = у • и - х - и 2.
2. Находим максимум H(t, y(t), х(/), и) по управлению. При этом решаетсй задача поиска наибольшего значения квадратного трехчлена на отрезке [-1; 1] допустимых значений управления. В результате получаем структуру оптимального управления:
«’(0 =
2 -1<^<1, 2
У(0 . ,
3. Выписываем уравнения системы (3.44): х(0 = «*(/), х(0) = 0,
v(0 = - /-Я(*,у(/),х(/), «*(/)) = 1.
дх
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43): для F(tt, х) = 0 имеем Ь/ = 0 и
Sti + vVi) Sx |Г(я>г = 0.
Так как /j =Т задано, то Г(/ьх(0) = /1 -Т = 0 и 8^ = 0. Ограничений на 'x(fj) не наложено, поэтому вариация 8х произвольна. Следовательно, [Y(T)8x = 0 и 4i(T) = 0.
5. Решаем краевую задачу с учетом результатов пп.2,4:
х(г) = и’(0, х(0) = 0;
у(0 = 1, ч'(Т) = 0 (при Т = 1 или Г = 3).
Получаем у(0 = t + С и ф(Т) = Т + С = 0. Поэтому 41(f) = f -Т.
Рассмотрим два случая:
а) пусть 7’ = 1. Тогда у(/)=/-1. Так как I = I~г~
<1 для всех
t на
отрезке времени [0; 1], то = = - оптимальное управление,
этом X (/) - — 4
б) пусть Ч>(0 t-3 _ г 2 2
t
— - оптимальная траектория;
Т = 3. Тогда ч/(г)=/-3. На промежутке времени и оптимальное управление «’(/) = -!, а на отрезке
При
(0;1)
П;3)
I v(01 It - з I , .ч»(0 t - з _
*2 = ~ Г 1 Н U = *2 = ~2~ ’ Поэтому на пеРВ0М участке
t е [0; 1)) оптимальная траектория х*(г) удовлетворяет условиям
(при
х(/) = -1 , . х(0) = 0,
т.е. x'(t) = ~t i а на втором участке
f - 3
^(0 = ~, х(1) = -1,
... t2 3t 1
r.e.x(0 = T-T + 4
Пример 3.25. Даны модель объекта управления
*1 (/) = Х2(Г),
х2(Г) = и(Г), |ы(/)|<2,
с краевыми условиями X] (0) + х, (1) = 0, х2(0) + х2(1) = 0, и функционал
1
I = J X] (t) Л -» min. о
Требуется найти оптимальное программное управление «*(•) и соответствующую ему траекторию х‘().
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем х = (хьх2)г е Я2; t е [0; 1]; на управление наложено ограничение |u|s2 , т.е. и eU = (—2; 2];
/°(i,x,u) = x1, F(thx)^Q, /^,х,и) = х2, f2(t,x,u) = u,
Ii(4bx(4)),4.x(4)) = 4-1 = 0, Г2(«о, x(f0), 4,ж(Г1)) = Х](0) + х1(1) = 0,
г3(то, х(/0), 4, х(/,)) = х2(0) + х2(1) = 0.
1. Составляем гамильтониан: H(t, ц/, х, и) = 44 • х2 + ц>2 • и - Х[.
2. Находим максимум H(t,y,x,u) по управлению (см. п.2 примера 3.18):
u*(/) = arg max Я(Г, 41(f), x(r),u) = 2-sign \y2(t).
Ms 2
3. Выписываем канонические уравнения принципа максимума (3.44):
х,(г) = х2(г), х1(0) + х1(1) = 0,
х2(Г) = uf(t) = 2 sign V2(r), х2(0) + х2(1) = 0;
Vi(0 = - /-Я(4Ф(Г),х(/),«’(/)) = 1,
V2O) = - т^-Я(/, v(r),x(r),«’(/)) = -V! (0-
0X2
4. Проверяем условия трансверсальности (3.45). Так как /'(4,x)s0, то SF = 0. Моменты начала и окончания процесса управления фиксированы (Iq =0, 4 =1), поэтому их вариации равны нулю (ЗГ0 =0,84 =0), а следовательно, 8ху/1 =8x^(4) = 8x^(1), 8х7% =8ху(/о) = 8ху(О), У = 1,2 . Учитывая эти равенства, записываем условие трансверсальности:
44(1) &Х] (1) + V2(l) 8х2(1) - у, (0) 8xj (0) - у2(0) 6х2(0) = 0.
Начальное и конечное состояние объекта управления связаны ограничениями:
Г2(Г0, х(Г0), Г,, x(t])) = xj (0) + X] (1) = 0,
Г3 Оо. *(?о). '1. x('i)) = х2 (0) + х2 (1) = 0,
зрьируя которые, находим связи между вариациями переменных xt и х2 в на-цльный и конечный моменты времени:
8Г2(*о>х('о)> 6 >*('>)) = 8xj(0) + axj(l) = 0,
8Г3 (/0, x(t0), , x(/j)) = &х2(0) + &x2(l) = 0.
6X](0) =-6X](1) и 8x2(0) = -8x2(l) в условие трансверсальности, по-
[ vi(1) + Vi(0) 1 8xi(l) + [ V2<1) + V2(0) J 8x2(l) = 0.
Е:ь вариации 6xj(l) и 8x2(l) уже не связаны ограничениями (могут принимать ые значения), поэтому для выполнения равенства необходимо и достаточно, >ы вспомогательные переменные удовлетворяли двум условиям:
V1(D + V1(O) = O. V2(1) + V2(O) = O.
5. Решаем краевую задачу с учетом пп.2,4:
Х1 (Г) = х2 (0, Xj (0) + х( (1) = 0;
Х](/) = 2-sign v2W . х2(0) + х2(1) ^0',
Vi(0 = l> Vi(l) + Vi(0) = °;
v2(0 = -vi(0. V2(i) + V2(o) = <h
Интегрируя два последних уравнения и учитывая граничные условия, получаем*.
vi(0 = ' + cl, vi(1) + vi(0) = i + 2Ci =0, G=-i => ч'1(0 = *-|;
V2(0 = -|'2 +^ + C2> V2(1) + V2(0) = 2C2 =0 => v2(0 = -|/2 +^.
t
р"ак как при t e (0Д) v2(0 > 0, то оптимальное управление имеет вид u'(t) = 2. .Теперь оптимальная траектория находится при решении первых двух дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями:
= xJ(0 = 2/-l.«
Пример 3.26. Даны модель объекта управления
*1(0 = *2(0. х1(0) = 1,
*2(0 = “(0. х2(0) = 0, *2(1) = -1.
где х = (Xj,x2)r е Л2, и е [-2; 1], t е [0; 1], и функционал
1
/ = J Xj (0 dt -ь min. о
Требуется найти оптимальную пару (х* (•),«/ (•)), на которой достигается минимум функционала.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем f\(t,x,u) = х2, f2(t,x,u) = u, f°(t,x,u) = xl, Л<1.х)»0, Г1(/1,х(/1)) = /1-1 = 0,
Г2 (Г], х(/|)) = х2(1) +1 = 0. Решается задача Лагранжа.
1. Составляем гамильтониан: H(t,y,x,u) = Vi • х2 + у2 и - х2.
2. Находим максимум гамильтониана по управлению. В результате поиска условного экстремума на множестве U = [-2; 1] получаем:
И.(,)Г 1. 412(0 >0;
U [-2, V2(0<0.
3. Выписываем уравнения системы (3.44):
*i(0 = x2(0. Xj(0) = l, х2(0=и’(0. *г(0) = 0, х2(1) = -1,
V1 (0 = - H(t, v(0, х(0. «(0) = 1, ах,
V2(0 = - H(t, ч«(0, х(0, и(0) = - чч (0 •
с Xj
4. Проверяем условия трансверсальности (3.43). Так как F(Zj, х) = 0, i) = 1, Х2(1) = -1> то 8Р’ = 0, Sx2=0, 8/j=0. Отсюда >р1(1)-6х1=0 и ц/|(1) = 0, поскольку вариация 8xt произвольна.
5. Решаем полученную двухточечную краевую задачу:
Xj(0 = x2(0, Xj(O) = l, ( 1, ш*)(Й > 0.
i2w=U Хо,
Vi(0 = l. V1(1) = O,
V2(0 = -Vi(0-
Отсюда ч»1(Т) = t + Clt »pi(l) = 1 + С] = 0, С3=-1. Поэтому Yi(O = f-l.
t2 3 1 э
,(/) = »- — + С2. Найдем корни уравнения ч*2(0 = --* + / + С2=0:
Если С2<-^,то ч*2(0 Тогда «*(0 = -2 и х2(0 = -2, х2(0 = -2* + С3, (0) = 0, С3 = 0. Но при этом х2(1) = -2 * -1, т.е. краевые условия не выполняем.
Если С2>0, то ч»2(0>0 при Ге[0;1]. Тогда «*(0 = 1 и х2(0 = ’>, (Л i t + С4, х2(0) = 0, С4 = 0. Но при этом х2(1) = 1 # -1, т.е. краевые условия осе не выполняются.
Если -^<С2<0, то ч»2(0 <0 и и*(0 = -2 при Ге[О;т), а при t е[т;1] (0 >0 и «’(/) =1, где т - некоторый момент времени. Тогда на промежутке т] имеем х2(0=-2, х2(0 = -2/ + С5, х2(0)=С5=0, х2(0 = -2/. На прометке [т; 1] получаем х2(0 = 1. х2(0 = < + С6, х2(1) = 1 + С6 = -1, С6 = -2,
Так как траектория х2(0 непрерывна, то найдем момент т из условия 2
j(t) = -2t=t-2,t£. т--.Поэтому:
2 -2,
3
2
1.
3
Найдем х/О)- Поскольку
xi(0=X2(0 = -2r
Г 2" при t € 0; - ,
,(0 = -/2 + Су, х^О) = С7 = 1, Xj(T) = -t2 +1.
Г2 1
При t е 1 справедливо х3(0- х2(0 = f - 2, Х(
. Отсюда находим
(0=i?-2T + C8>
В результате:
I-/2, 3
1?-2Г + ^, 2 3 3
3.4.2. Достаточные условна экстремума
НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Постановка задачи. Поведение модели объекта управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (3.34). Момент начала процесса задан, а момент окончания процесса определяется первым моментом достижения точкой некоторой поверхности Г, заданной соотношениями (3.35). На множестве допустимых процессов D(tQ,xQ) задан функционал (3.36).
Обозначим Q с Ял+| - множество точек (/,х), из которых можно достигнуть терминального множества Г по некоторой траектории, соответствующей допустимому управлению; Q(t0)- сечение множества Q при фиксированном t = t0; Qt - проекция множества Q на [/0,°°)-
Требуется найти такую тройку d* = (tj,х*(),«’(•)) е £>(Г0,х0), что
I(d*) = min 7(rf). (3.46)
где
= J /°(/,х(0,«(0)Л + Л/b^)),
*0
х(0 = x(t), “(0) > x(t0 ) = x0 6 Q(t0 ),
r/(t1,x(t1)) = O, i = l,...,/.
Стратегия поиска решения задачи. При формулировке и доказательстве достаточных условий экстремума будем использовать принцип расширения. Рассмотрим задачу нахождения минимума функционала 1(d) на множестве О:
I(d’) = min 1(d).
dsO
Идея принципа расширения заключается в переходе к более простой, чем исходная, задаче, решение которой при определенных условиях является решением исходной задачи. Функционал 1(d) доопределяется на более широком множестве V так, что наименьшее значение лежит по-прежнему в О. При выполнении этого условия далее решается задача поиска минимума доопределенного функционала 1(d) на множестве V.
Теорема 3.5. Пусть имеется функционал 1(d), определенный на множестве
£>, а на множестве V, & с V, задан функционал Цб), причем Vd е X) справедливо равенство L(d) = 1(d). Для того чтобы на элементе d' е О достигался минимум функционала 1(d), достаточно, чтобы на элементе d‘ достигался минимум функционала L(d) на множестве V.
Б* введем доказательство. Пусть на элементе d" е О достигается минимум Ьункцюнала 1(d) на К , т.е. L(d‘) <, L(d) Vd eV .Так как DcV и d” е О ,то &
fUd/ £ L(d) Vd е £>. Но согласно условию теоремы на множестве 1) спрэ» у;-|лидтвенство L(d) = 1(d). Поэтому I(d") <. 1(d) Vd е О. Последнее неравенст-Йюсоответствует определению минимума функционала 1(d) на множестве £>.
I Замечание 3.6. Применение принципа расширения связано с поиском двух элементов новой задачи: множества V и функционала Lid) . П ри этом еуцрствуют три возможности:
| а) задать множество V и искать функционал Ud)', | 6) задать функционал Ud) и искать множество V ;
| в) искать множество V и функционал Ud) вместе, t С применением всех трех способов к решению различных задач оптималь ного управления можно ознакомиться в [12,19,20]. Здесь будем рассматривать ’только первый способ.
Рис. 3.8
На рис. 3.8,а изображен удачный вариант доопределения, а на рис. 3.8,5 -неудачный, где минимум функционала L(d) не лежит в множестве О и потому не является решением исходной задачи.
Введем в рассмотрение множество функций <p(Z, х): Q -> R, непрерывно дифференцируемых всюду, за исключением конечного числа сечений Q при фиксированных I, и конструкции [12,19,20]:
R(t,x,u) + y'-4^t,x^fi(t,x,u) - f°(t,x,u), (3.47)
5/ ft Зх,
G(ti,x) = <f(ti,x) + F(tl,x).
Применим принцип расширения с заданием множества V и поиском удачного доопределения функционала I на этом множестве.
Определим множество V троек d = (tt,x(-),u(-)), где элементы троек по сравнению с входящими в 0(Iq,xq) необязательно связаны дифференциальным уравнением (3.34); x(Iq) = x0 eQ(f0); допускаются разрывы первого рода функций х(). Таким образом, множество £>(r0,x0) с V - расширение построено.
Доопределение функционала I на множестве V производится с помощью задания функции <р(Г, х).
На множестве V определим функционал
4
Z(rf) ХЛ))-/Л(/.х(О.«4О)Л-ф(^хо)- (3.48)
%
На множестве 0(to,xQ)a.V, где между функциями х() и и( ) существует дифференциальная связь (3.34), с учетом (3.47) и равенства х(10) = х0 справедливо
R{t, x(t), u(t)) = + £ f (/> х(/)> и(/)) _ f\t> x(t)t u(t)) =
St ft 3Xj
- * t ?«.««.««»- a® - /•«, .«<>. «>>
Д &xi
и поэтому
L(d) = <₽(/!, )) + F(t{, x(/j)) - J
at
A-q>(/o,xo) =
= q>Oi, x(/j)) + F(tt, x(/j)) - [q>(/1, x(/j)) - <pOo, x0)] + J f° (t,x(t), u(f))dt - <p( t0, x0) = 1(d).
Таким образом, на множестве V функционалы 1(d) к L(d) совпадают. Поведение функционала I^d) на множестве V \ Ю полностью определяется выбором функции <р(/, х).
Предположим, что существует множество Ф функций <p(Z, х), для которых конструкции (3.47) достигают экстремальных значений:
r(/)=max max R(t,x,u) (3.49)
xefi(Z) ueV
g=AGM' <3-50)
где r(t) - кусочно-непрерывная функция.
Пусть имеется тройка (zf.x’f),«*(•))6 ^(>о<хо)-
Теорема 3.6 (достаточные условия оптимальности в задаче (3.46)). Если существует такая функция <р(/,х) е Ф, что'.
1) R(t,x'(f),u’(t)) = r(t) = 0 почти всюду на
2) Gtfx’tfV-g,
тона пройке (Zf.x'f),«*(•)) достигается минимум в задаче (3.46).
I' Величину g можно без ограничения общности наложить равной нулю. Тогда ^минимальное значение функционала определяется формулой
. пип /(</) =-фОЬЛо)- (3-51)
dejOfa.xo)
I Приведем доказательство. Пусть имеется функция <р(Г,х)бФ. Найдем |минимум функционала (3 48) на множестве V. Его третий член при имеющейся ^функции <р(/,х) и известном начальном значении xq вычисляется и в плане ]кинимизации не рассматривается. Операции нахождения экстремума в первых £Двух слагаемых могут быть выполнены по отдельности благодаря свойствам ^функций х() и и(), входящих в тройки О, ,x(),u()) е V. Тогда
*
| minL(d) = g- |г(/)Л-<р(/о,Хо). (3.52)
Из условий теоремы следует, что Цб‘) = min Щ), т.е
Цб') < 1(d) Vd в V. Так как б' е d)(t0,x0) а V , то Цб*) <. L(d) Vd е £?(Z0,x0). Но на множестве £>(t$,х0) справедливо равенство Цб) = 1(б). Поэтому
Цб") < 1(d) Vd е £>(t0,x0), что соответствует определению минимума функционала (3.36).
Если существует функция <р(/,х)вФ, удовлетворяющая условиям 1,2 теоремы с g # 0 , то, применяя прямую подстановку в (3.50), можно найти, что функция
<р(/, x) = <p(Z,x)-g (353)
также удовлетворяет этим условиям при g=0. При этом из (352), условия r(/)s0 и доказанного выше следует min 1(d) = min 1(d) = -q>(Z0,x0). Действительно, подставляя (3.53) в (3.50), получаем
g = ,min {<p(/i,x)-g + /,(Z1,x)}= min <7(/bx)-g = 0.
(4.х)«Г
Доказательство закончено.
Замечания 3.7.
1. Как следует из теоремы 3.6, для проверки тройки (^*,х*(),«*()) на оптимальность достаточно подобрать некоторую функцию <р(г, х), удовлетворяющую определенным условиям. Этот выбор является основной проблемой при проверке достаточных условий экстремума.
2. К достоинствам приведенных достаточных условий следует отнести замену сложной задачи поиска экстремума функционала в функциональном пространстве конечномерными задачами поиска экстремума функций в (3-49), (3.50).
Соотношения для нахождения оптимального программного управления. Будем искать функцию <f(t, х) в виде
<р(Г, к) = ИЧО + £ Vj(t) Xj , (3.54)
J-i
где IV(t); J = 1.......n - неизвестные функции, подлежащие определению.
Подставляя (3.54) в (3.47), получаем
R(t,х,и) = + £ V/(0 х, + £ Yj(0 //(6х,и) - /°(Г, х,и) =
ar J-i J-1
= + £ Vj^ xJ + Я(Г,^(0,*,н); (3.55)
at j.i
at
G(tx,x) = W(h)+ £ VjOiJxj + F(tl,x).
7-1
Найдем максимум в (3.49) с учетом условия 1 теоремы 3.6:
Я(Лу(Г),х*(0.«*(0) = тмЯ(Г,<у(Г),х*(0>“)- (356)
ueU
Для нахождения максимума по х в (3.49) применим необходимые условия безусловного экстремума. Тогда с учетом условия 1 теоремы 3.6 получаем
dR(t,x'(t),u*(t)) 0, у = 1 я дх}
или
j=l...й
' дХ:
Так как r(r) Д) ,из условия 1 теоремы 3 6 и (3 55) имеем дфф еренциаль-
#е уравнение для определения функции H^(t):
' = Y аv(/)’* х'(/) - //(/, ч>(0, *'(0,»’(/)) (3.58)
' dt j=i dxj
1 Для нахождения минимума в (3.50) применим необходимые условия Истремума, т.е. равенство нулю вариации этой функции при любых вариациях
да и 8х, связанных в силу наличия ограничений ГД^.х^О, / = .
SG(thx) = aG(/|’x)5/i + £ =0, (3.59)
а/, У=1 dxj
6r.(t х) = У 5f + £ =0> i = I,...,/,
3h дх} J
Г;(/,,х)=0, i=l,...,/.
Первое соотношение с учетом (3.47) можно записать в форме
1 5/, а?1 1 fa дх} J fa{ dxj 1
Учитываем, что из (3.54) и условия 1 теоремы З.б при r(t) = 0 следует
dxj J
а< X (Л)) + Я(/|)Ч,(Оу(/|)^(г[)) (М)., Н({ j) .
dt\ ot\
Поскольку
dF(ti,x) Sh
>1
SF(tx,x) dXj
8xj
= 6F(ti')
x(ti),h'
то из (3.59) и условия 2 теоремы 3.6. получаем условия трансверсальности (3.43), использованные при формулировке принципа максимума в разд. 3.4.1.
SFtf) - H(t;) + £ vj (t’{) j= 0;
X
6r,(/i’,x’(/;» = о, / = i,...,/; (3-60)
r,(z(’,rtf)) = o, i =
Из условия 2 теоремы 3.6 при g = 0 и (3.55) имеем конечное условие для уравнения (3.58):
Wtf) = -£ Vj (6*) • х/('Г) - F(l’, х*«)). (3.61)
j=i
Таким образом, для нахождения искомой тройки (t{,x’(•),«*(•)) требуется решить систему уравнений (3.34),(3.57):
x’(t0) = X)0, 7 = 1,...,п,
ф.(/) = -аЯ(^(0’Г(0-'Ц,(,)). 7 = 1, ,«
1 dxj
совместно с условиями
H(t, ф(Г),.х’(/),и*(Г)) = max Я(/,у(/),х’(/),и), ueU
&Р^)-Н^)Ы1 + ^^)6х}=0; ;=l
8Е(6', x’(zf)) = 0, /=1,...,/;
Г,(/1’,х’(/1’)) = 0, i = 1,...,/
Далее, интегрируя уравнение
dt ;=1 dxj
(3.62)
1^(11’) = АГ «О - FtfX^y),
>1 / можно найти функцию Ж(/) и вычислить минимальное значение функционала по формуле
min /(Д) = -ф(/0,хо) = -(И(/0)-2чг7(^)^о-
rfe0(<b,xo) j=l
| Замечания 3.8.
f 1. Очевидно, процедура нахождения тройки «’(•)) не связана
ft решением задачи Коши (3.62) и совпадает с списанной в разд. 3.4.1. Решение [задачи (3.62) носит вспомогательный характер.
В' 2. Полученные в результате соотношения в общем случае не являются достаточными условиями оптимальности, так как при выводе уравнении (3.57), я(3-59) использовались лишь необходимые условия экстремума соответствующих ^функций в (3.49), (3.50).
[ НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Постановка задачи. Поведение модели объекта управления описывается ^обыкновенным дифференциальным уравнением (3.34). Момент начала процесса <>задан, а момент окончания процесса определяется первым моментом достижения ^точкой некоторой поверхности Г, заданной соотношениями (3.35). На множест-|ве допустимых процессов £>(t0,x0) задан функционал (3.36).
в Отметим отличия от задачи нахождения оптимального программного гуцравления:
f а) начальное состояние х0 заранее не задано и может быть произвольным гв множестве Q(tu);
I б) предполагается, что при управлении используется информация о теку-щем времени и всех координатах вектора состояния х.
; Множество Мп допустимых управлений с полной обратной связью (позиционных управлений) образуют функции u(t, х) :Т х R” -> U, которые для ’любых начальных состояний хоеб(/о) порождают соответствующие тройки ,</ = (/|,х(),«()) е £>(6),*о)> где программные управления и()ей<0, а V/ е Т u(f) = u(t, x(t)).
Применяемое в каждый момент времени t е Т управление имеет вид .управления с полной обратной связью по вектору состояния (рис. 3.9).
Рис. 3.9
Требуется найти такую функцию u’(t,x) е t/n, что
I(d’) = min 1(d) Чхй &Q(ta), (3.63)
de 0(%.Хо)
где d' = (fi,x’( ),u’() = и’(-,х())).
Функция u"(r, x)ei7„ называется оптимальным управлением с полной обратной связью. Для любого начального состояния х0 из множества Q(Iq) она порождает соответствующую оптимальную тройку, т.е. оптимальную траекторию х'(), оптимальное программное управление «*(•), оптимальный момент окончания процесса rf.
Соотношения для нахождения оптимального управления с полной обратной связью. Положим g = 0 в теореме 3.6. Будем искать такие функции <p(f,x)ed>, которые удовлетворяют условиям
max R(t, х, и) = О V(r, х) е Q,
ueU (3.64)
(?(/], х)= 0 У((,х)еГ.
Теорема 3.7 (достаточные условия оптимальности в задаче (3.63)).
Если существует функция q(t, х) е Ф, удовлетворяющая уравнению Веллмана с граничными условиями
max {д<Р^’Х)- + X / (t, х, и) - /° (t, х, и) | = О V(r, х) е Q,
[ dt ,=| Зх, J (3.65)
ф('1,х) = -F(tt,x) V(/,,x)er
и управление u'(j, х) е 1/п, удовлетворяющее условию
u’(t,x) = argmax] У /(/,х,и)-/°(Z,x,w)k (3.66)
цеД дХ, j
то u'(t,x) является оптимальным управлением с полной обратной связью в задаче (3.63). При этом минимальное значение функционала
. ™n JGO = -<p(Wo) V(/0,xQ)eG.
Приведем доказательство. Пусть удовлетворяются условия (3.65) и имеется произвольное начальное условие х0 е Q(t0).
Решив уравнение (3.34) с начальным условием х0 и уравнением u’(t,x), получим тройку d’ = (/f,x*(-),«’(•)) е £>(t0,x0), где u’(t) = u’(t,x'(t)) для всех t е [?о,Л ].
Для произвольной тройки д = (Г, ,х(),и()) е £>(/0,х0), где х(Г0) = х0, с учетом (3.48) и равенства L = I на множестве £>(г0,х0) имеем
6
А/ = 1(d)- I(d’) = L(d)-L(d') = G(6,x(/)))- J R(t,x(t)tu(t))dt-<p(tQ,x0) -
л
J R(t,x'(t),u'(l))dt + <p(?0,x0).
'o
Согласно второму условию в (3.64) получаем (?(/], х(6)) = G(Z|’,x'(/,’)) = 0.
Килу первого условия в (3.64) справедливы соотношения
А(/,х*(/),и*(О) = 0, R(t,x(t),u(t)) <0.
'i *
этому А/ = -1 Л(Г,х(/),«(/))Л > 0 и, следовательно, на тройке d' функционал <0
тигает минимального значения. Доказательство следует из произвольности ального состояния х0 е 0(<о).
АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
( С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
i
1. Записать уравнение Веллмана (3.65) с граничным условием.
- 2. Найти структуру оптимального управления с полной обратной связью
!в результате поиска максимума в (3.66) по управлению. Искомое управление < и (t, х) обычно выражается через производные функции <p(t, х).
3. Подставить полученные выражения для управления в уравнение (3.65). Проблема сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения : с частными производными первого порядка.
4. Найти решение полученного уравнения и явный вид искомого управления.
Замечания 3.9.
1. Если момент окончания процесса задан, то функционал имеет вид
1(d) = J f°(t,x(t),u(t))dt + F(x(tl)), (3.67)
'° '
где d = (x(),u()) - пара. В этом случае уравнение Веллмана принимает форму
3<р(Г, х) max ( — и е U д t
' yB^(t,x) /Т1 8xi
fj(t,x,u)- fa(t,x,u) [ = 0
V(t,x)eQ,
(3.68)
<f(t[,x) = - F(x) VxeR",
где Q = (t0,ti)xRn.
2. Если положить <pff (/, x) = -<p(Z, x), то, используя равенство: max/(x) = -min[- f(x)], можно переписать уравнение Веллмана и граничное условие (3.68) в эквивалентной форме:
f d<fS(t,x) ^d<fS(t,x) о ]
min ) 4—- + 2 — —-—-fi(t<x,u) + f (t,x,u) 'r = 0, ueH dt dXj J
<pe(tx,x) = F(x).
(3.69)
При этом минимальное значение функционала (3.67)
min /(</) = <pK(f0,x0) УхоеДя.
de £>(/о,хо)
3. Уравнение Веллмана применяется и при негладких функциях <p(t, х). Обоснование этого получено в работах В.Г. Болтянского, М.М. Хрусталева, У. Флеминга и др.
Пример 3.27. Даны модель объекта управления
.i(t) = u(t),
где х е R , и е R, t <= [0; 1], и функционал
= ~ / «2(/)Л + |х2(1)->тш.
2 о 1
Требуется найти оптимальное управление u* (1, х).
□ Сравнивая с общей постановкой задачи,
имеем:
f(t,x,u) = и,
/°(Г,х,и) = ±и2, F(x) = iх2. Решается задача Больца.
1. Выписываем уравнение Веллмана и граничное условие (3.68):
|Э<р(/, х) d<p(t,x) 1 2! Л 1 2
max ( v + - и — uz) = 0, <р(1,х) = --х .
и I dt dx 2 2
2. Находим структуру оптимального управления из условия максимума выражения в фигурных скобках. Применяя необходимое условие безусловного з{-} п . а<р(/,х)
экстремума —г—= 0, получаем и (t, х) = —ддД-Д. du Эх
3. Подставляем полученное выражение для управления в уравнение Веллмана:
г -|2
Эф(Сх) + 1 ЭфСг.х) =()) х) = _ 1 х2 dt 2 dx 2
4. Находим решение уравнения в виде <р(/, х) = - K2(t)x\ где K2(f) - неиз-ная функция. Подставляя в п.З и приравнивая коэффициенты при х2 нулю, , 1
аем K2(t) = -K2(t), АГ2(1) = -1. Отсюда K2(t) = -—а искомое оптималь-
X
авление с обратной связью и (t,x) = K2(f)x =-.
Покажем, что оптимальное управление u’(t,x) с обратной связью порож-оптимальные пары (х*(),и”()) для любого начального условия. Действи-но, пусть управление u’(t,x) используется в схеме, изображенной на рис. Тогда запишем уравнение, описывающее поведение замкнутой системы: х(0) = х°- Отсюда = u'(t) = u’(t,x’(t))^--^-x0^- =
Таким образом, для любого х0 можно получить соответствующую пару: льную траекторию и оптимальное управление.
Применим принцип максимума для непосредственного определения опти-ьного программного управления и соответствующей траектории:
1 о
а) составляем гамильтониан: H(t, y.x, и) = у • и — и \
б) находим максимум Я(/, ф(/),х(/),и) по управлению (см.п.2 примера 3.16):
8Я(1,ф(1),х(1),и) . 02Я(/,ч»(О,х(О,и) , п
!-- = ф(Г) - и = 0 . Отсюда и (t) = «(/) и -v v ’ = -1 < 0;
,_______3“ ди2
в) проверяем условия трансверсальности в форме (3.43). Так как ,'jF(x) = - х2, то 8F = х Зх и [х(/|) 5х-//(/, ) 8/| + ) 8х] ,^!= 0. Поскольку =1,
-1 = 0 и 86 = 0. Ограничений на х(6) не наложено, поэтому вариация 6х «вольна. В результате имеем [(у(6) + х(/,))бх [1=1 = 0 и, следовательно, + х(1) - 0, т.е. = - х(1);
— г) выписываем уравнения системы (3.44) с учетом результата пп. “б”, “в”:
х(/) = и' (Г) = <|/(Г), х(0) = хо ;
4,(О = -.^^),Х(/),И)=()) ^1)=-^);
д х
д) решаем полученную двухточечную краевую задачу. В результате имеем МО = const = -х(1) = и*(1), х(Г) = -х(1)/ + х0. При / = 1: х(1) = -х(1) + х0 , отсюда х(1) = и, следовательно, х’(Г) = Х°^и* (О = Очевидно, для любого
начального состояния х0 оба подхода (уравнение Веллмана и принцип максимума) дают один и тот же результат.
Пример 3.28. Даны модель объекта управления в форме
*1(0 = и(0>
*2(0 = хДг), и квадратичный функционал
7 = | f г?(0А + |[х]2(2) + х22(2)]-> min. 2 0 2
Здесь хеЙ2, ней, t е[0;2], f°(t,x,u) = ~“2. Р(х) = i[x,2 + х22], /i(i,x,u)=^, /2 (•'>*. и) = *1-
А. Требуется найти оптимальное управление и’(/,х).
□ 1. Для рассматриваемой задачи уравнение (3.68) имеет вид . , [б<р(/,х) а<р(/,х) а<р(/,х) 1 21 л /п \ 1 2 I г
max (-— + и + — - X, --ir( =0, <р(2,х) =--х, --х,.
К [ аг ах, дх2 1 2 J 2 1 2 2 -
2. Дифференцируя по управлению и приравнивая результат к нулю, нахо-.. . a<p(Z,x)
дим структуру оптимального управления: и (t, х) = — . Зх|
3. Подставим полученное выражение для управления в уравнение:
а<р(г,х) 1 favO.x)]2 a<₽(i,x) _ п — — + — < > 4- — — Xi = U .
dt 2 ( dXj J дх2
4. Находим решение этого уравнения в виде Il 1 ,
<р(Л*) = — Хп(/)х, + Х12(/)Х,Х2 + 2^22(0*2 '
где й"12(0, ЙГ22(/) - неизвестные функции. Подставляя <p(z, х) в уравнение и граничное условие, приравнивая затем члены при одинаковых степенях х, и х2 нулю, получаем
Xj j = -2К12 - Х2|, К12 = -К22 - Х(2Х| ।, К22 = -X]2 ,
Гп(2) = -1, Х12(2) = 0, Х22(2) = -1.
Решение системы имеет вид
-[12 + 4(2-02(5-01 г — 6(2 —Z)(4 —Z)
*41 V/ —-----------д----> -<М2м) -------------ч--->
12(3-/) + (2-/)\6-Z) 12(3-/) + (2-Т)3(6-0
Х22 (0 ------12 -f)--------,
12(3-/) + (2-03(6-Z)
в оптимальное управление с полной обратной связью
12(3^0+(2-О3(6-О
Б. Требуется найти оптимальное программное управление «*(•) для начального условия х(Г0) = х0.
□ Применим условия принципа максимума для данной задачи.
1 2
1. Составляем гамильтониан: H(t,<g, х, u) = • и + ц>2 X) ~'ju
? 2. Находим максимум функции H(t,^(t),x{t),u) по управлению (см.п.2
Примера 3.16): дХ^—’= ч> 1(0 -« - 0 . Поэтому и’(0 = у)(/). ди
3. Выписываем соотношения (3.44):
х1(/) = и’(0 = 4'1(0, х1(0) = х1о, х2(1) = х1(1), х2(0) = х20,
Ф1(0 = -ч/2(0. ч»2(0 = 0-
4. Проверяем условия трансверсальности в форме (3.43). Так как
1 2 1 7
F(х) = - X] + — х2 , то bF = X, 8Х[ + х2 8х2 и
[x,8x, +x2&x2-H(ti)f>ti + 4'i('i)6x, + ч»2(1()8х2] ,1=2 = 0.
Так как 6=2 , то 6-2 = 0 и 81, =0. Ограничений на х, (/,), х2 (/)) не наложено, поэтому вариации 8х,, 8х2 произвольны. В результате имеем
[Ч'1(2) + х1(2)]8х1+[Ч/2(2) + х2(2)]8х2 =0
и, следовательно, ц<|(2) =-х^), у2(2) =-х2(2).
5. Записываем двухточечную краевую задачу:
*1(0 = «70 = 4'1(0, *1(0) = *ю’, *2(0 = *1(0, *2(°) = *2о;
4'1(О = -4'20, 4'1(2) =-Xi(2); 4/2(0 = 0, ц/2(2) = ~х2(2).
Ее решение:
V1(0 = -x1(2)-x2(2) [2-r], ч'2(0 = -*2(2),
*1(0 = х,(2) [3 -1] + х2(2) • [2 -1}1,
/А /пЛ2 -/] [4 -/] ._.[2 -И3
х2 (0 = х2 (2) - Xj (2)1------ - х2 (2)l—.
о
Из последних двух соотношений при I = 0 получаем
х, (2) = ; Х2(2) = 4Х|-° +.3х*> .
Тогда оптимальное программное управление имеет вид
„•/»)_ *ю + ^х20 _ (2-/)(4х|р + 3х2р) '' 21 7
Прямой подстановкой можно показать, что для заданного начального условия х0 = (хю,х2о)г оптимальное управление и‘(/,х) с полной обратной связью порождает оптимальное программное управление «* ().
Пример 3.29. Дана модель объекта управления
х(г) = «(/),
где х е R , и е [-1; 1], Г е [0, Г, ].
Требуется найти оптимальное управление u’(r,x) с обратной связью, переводящее объект из любого начального состояния в начало координат за наименьшее время, т.е. обеспечивающее минимум функционала
/ = Vx(0)GJ?.
о
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f (t, х,и) = и, f° (.', х, и) = 1, F(tt, х) = 0. Решается задача Лагранжа или, с учетом смысла функционала, задача быстродействия с конечным условием x(/f) = 0.
1. Выписываем уравнение Веллмана и граничное условие (3.65) в форме, аналогичной (3.69):
min (£ф^ + £ф^и + 1) = 0, <Лм))=о.
I«|si [аг дх J v 41 '
Так как все траектории системы должны попасть в точку х = 0 при / = /1, то граничное условие определено только в этой точке.
2. Находим структуру оптимального управления из условия минимума выражения в фигурных скобках: и*(г,х) = - sign —— —х -.
дх
3. Подставляем полученное выражение для управления в уравнение Веллмана:
+1 = о, г(/„о) = о.
dt дх
4. Функция х) ~ | х | является решением уравнения, так как удовле-
Еряет ему в двух областях: при х > 0 и при х < 0, в чем можно легко убедиться 1мой подстановкой. Гранйчное условие также выполняется при х = 0. Иско-: оптимальное управление имеет вид
и'(/,х) =
-1, х>0, О, х = 0, 1, х<0,
а минимальное значение функционала для произвольного начального состояния х0 определяется по формуле
/,’(х0)= min 7(d) = <pff(Zo,xO) = |*0 I Vxoe/J.«
deOC^.Xo)
Пример 330. Дана модель объекта управления в виде
Х1(Г) = Х2(0,
х2Ц) = u(t), где х е R2, и е [-1; 1], I е [0, Г, ].
Требуется найти оптимальное управление и"(/,х) с обратной связью, переводящее объект из любого начального состояния в начало координат за наименьшее время, т.е. обеспечивающее минимум функционала
'i
I = J Л Vx(0) е Л.
о
□ Сравнивая с обшей постановкой задачи, имеем- f\(t, х, и)^ х2, fait,х,и) = и , f°(t, х,«) = 1, F(t[,х) = 0, х(Г|) = (0 О)7. Решается задача Лагранжа.
1. Для рассматриваемой задачи записываем уравнение Веллмана и граничное условие (3.65), в форме, аналогичной (3.69):
3<pff(/,x) 3<ps(z,x) a<ps(i,x) | s
mm — + x7 + v <ы + 1> = 0, <p“(/i,0) = 0.
|a|sl dt dxt dx2 (
Так как все траектории системы должны попасть в точку х = (0,0)г при г = Z,, то граничное условие определено только в этой точке.
2. Находим структуру оптимального управления из условия минимума . _ ., , d<ps(t, х)
выражения в фигурных скобках: и (t, х) = - sign .
dx2
3. Подставляем полученное выражение для управления в уравнение Белл- мана:
5<(>s(/,x) , 3<₽ff(/,x)„
---------F---------Х2 -dt ах.
а<рк(/, х) dx2
+ 1 = 0, ф^(/,,0) = 0.
4. Функция
<pff(*,x) =
х2 + у/4xt + 2х j, х, > -1 х2|х2|,
|*2|- xt =-|*2|*2|.
-х2 + 7-4х( +2xf, х( < Цх2|х21
удовлетворяет граничному условию и уравнению в трех характерных областях, в чем можно убедиться подстановкой. Искомое оптимальное управление с полной обратной связью имеет вид
и’(Г,х) =
-1, х,>-|х2|х2|,
-signx2, X! =-ix2|x2|, 1, x^-x^l,
где Х| = -1 х2 |х2| - уравнение линии переключения оптимального управления.
Действительно, вычисляя при X] > -ix2|x2| производные функции Веллмана:
—ф*(/,х)=0, dt
— <f>s(t,x)= - ! + - =25==-,
3 Х1 7 4Х] + 2х2 34х1 + 2х2
замечаем, что —— qE(ttx) > 0 , т.е. u'(t,x) = - sign 8 -f’X^ = -1. Подставляя эти д х2 д х2
выражения в левую часть уравнения Веллмана, получаем
a<psu,x) t ЭфЕ(?,х)х _ aq>E(z,x) +1 dt dxi 2 Зх2
+ 1 = 0.
Следовательно, в области Xj > -
^х2|х2| полученные функции фе(г,х) и в'(/,х)
являются решением задачи. В других областях проверка выполняется аналогично. Траектории оптимальной системы и управление для фиксированного начального состояния совпадают с найденными в примере 3.22.
Пример 3.31. Даны модель объекта управления в виде
*1 (t) = x2 (t),
x2(t)=u(t),
где х = (х(, х2)т е R2, и е [-1; 1], и функционал
6
/= / (1 +1 u(t) | )Л -* min. о
Требуется найти оптимальное управление и'(/, х) с обратной связью, переводящее объект из любого начального состояния в начало координат.
□ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f\ (t, х, и) = х2, f2(t,x,u) = u, f°(t, х, и)= 1 + | н|, F(tt,x)s 0,х(Г1)= (0 Of. Решается задача Лагранжа.
1. Для рассматриваемой задачи записываем уравнение Веллмана и граничное условие (3.65):
( 3q>(Z,x) 5<p(Z,x) d<f>(t,x) , .1 .
maxi z + ~" zx2 + u-l-u)=0, <p(Z,,O) = O.
|«|sl[ dt 5X| 1 dx2 1 J ™ '
Так как все траектории системы должны попасть в точку х = (0,0)г при t = Zj, то граничное условие -определено только в этой точке.
2. Находим структуру оптимального управления:
u'(z, х) = •
j d<f(t,x) > j
д х2
о,
дх2
_ j d<p(Z,x) < j дх2
3. Как показывает анализ оптимального программного управления, проведенный ранее для данной задачи (см. пример 3.23), оптимальное управление может принимать только три значения: -1, 0, 1. Области постоянства оптимального управления и найденная в примере 3.23 оптимальная траектория изображены на рис.3.10. Решение задачи ищется в трех областях А , В , С и на кривой у:
Л = |х|х! >х22-|х2|х2|
*|-*2 - - х2 -|х2|х2||,
х|х,< -х22 --Х2|х2|
7 =
-2|х2|,
удовлетворяет граничному условию и уравнению в трех характерных областях и на кривой у, в чем можно убедиться подстановкой. Искомое оптимальное управление с полной обратной связью имеет вид
и’О,х) =
-1, х е А,
О, х е В,
1, хе С,
- sign , х с у.
Пример 3.32. Даны модель объекта управления
x(i) = u(/) x(t),
где х е В, и е R, t е [0,^], значение ij задано, и функционал
1(d) = р |u2(/)rf/ + aln2 x(tj) -» min , a>0, р>0. о
Требуется найти оптимальное управление и'(t,x).
• □ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f(t,x,u) = ux,
fa(t,x,u) = ^u2, F(x) = a In2 х. Решается задача Больца
1. Для рассматриваемой задачи записываем уравнение Веллмана и граничное условие (3.68):
(d<p(t,x) 5ф(/,х) 2] л , 2
тах( — ---- +—1—iux-Pu > = 0, <р(Л,х) = -а1п х.
u*R [ dt dx ]
2. Находим структуру оптимального управления из условия максимума
(выражения в фигурных скобках. Применяя необходимое условие безусловного
. х dm(r,x) экстремума, получаем u(t,x)--------— -.
2 р d х
3. Подставляем полученное выражение для управления в уравнение Веллмана-'
о / \2
<5<р(/,х) х (5а(1,х)\ „ , .
+ НН"2 = 0> ф(?1,х) = -а1п2х.
dt дх )
; 4. Будем искать решение уравнения в виде
<р(Г,х) = Ф(г)1п2х,
где Ф(0 - неизвестная функция. Подставляя <р(/, х) = Ф(?) • In2 х в уравнение и
Граничное условие и приравнивая нулю коэффициенты перед In2 х, получаем
Ф(г) + |ф2(/) =0, Ф(Г1)=-а.
Отсюда находим функцию <b(f) = - - , затем функцию
, а Р In2 х
<PV, х) ---—------- и искомое оптимальное управление с обратной связью
p + a^-f)
Синтез оптимальных линейных регуляторов. Пусть система (3.34), описывающая поведение модели объекта управления, имеет вид
х(Г) = A(t) x(t) + B(t) u(t), (3.70)
где A(t), B(t) - матрицы размеров (лхи), (nxq) соответственно, элементы которых непрерывны; на управление ограничений не наложено, те- u^U = Rq .
Пусть функционал качества управления (3.36) квадратичный:
I = \ f [х^(О‘У(')АО + иГ(О<2(Ои(о]л + |хг(/1)Лх(/1), (3.71)
2,0
где Sit), Л - неотрицательно определенные симметрические матрицы размера (их и), a Q(t) - положительно определенная симметрическая матрица (q*q).
Требуется найти оптимальное управление u‘(t,x) с полной обратной связью.
Сравнивая (3.70), (3.71) с (3.34), (3.36), имеем:
f(i, х, и) = А(1) х + B(t) и, /°(t,x,u) = i[xrS(t)x + игС(Г)и], F(x) = i-xrA х .
Далее используем известные правила и обозначения:
гЭ(Лх) = ^г. 2. 5(£Г<х) = Ах + АТх. з, (АВ)Г ^ВТАГ; дх дх
т т 21,
4. xl Ах z 0 А + А = 0; 5. trJ = £ аа -след матрицы А .
/=|
Из (3.65) получаем уравнение Веллмана для рассматриваемой задачи:
max- f£ф(£, x)^j [Л(0х + В(0«]-ИхТ^(0х(0 + «ГС(0и]1-О,
ueR4 dt [ дх ) 2 J
1т
<?01,х) = --хтАх. (3.72)
Отсюда
и*(/,х) = arg max «ей’
Найдем максимум по управлению в последнем выражении, используя необходимые условия экстремума и правила 1-3. Дифференцируя выражение в квадратных скобках по и и приравнивая результат нулю, получаем структуру оптимального управления
u(t,x)^Q-\t)BT{t)^^-. (3.73)
дх
Решение уравнения (3.72) ищется в виде
ф(г,х) = |хгХ2(Г)х, (3.74)
B(f)u - y-urQ(f) и
( дх ) 2
где ^(0 ' неизвестная симметрическая матрица (лх п).
Подставляя (3.74) в уравнение (3.72) и приравнивая нулю квадратичные формы с использованием правила 4, получаем [12]:
K2(t) = -Аг (t)K2(f) - K2(t) A(t) - K2(t)B(t)Q~\t)BT (t)K2(t) + S(t),
*2('i) = -A. (3.75)
Решая уравнение Риккати (3.75), можно получить явный вид оптимального управления (3.73) с полной обратной связью:
u'(t,x) = Q~l(t)BT(t)K2(t)x. (3.76)
Минимальная величина функционала вычисляется по формуле
. min /(</) = -ф('о,хо) = -|х^Л2(/0)х0 УхоеЯя.
</е£>(4),хь) 2
Синтезированная оптимальная система с полной обратной связью изображена на рис.3.11.
Рис. 3.11
Замечания 3.10.
1. Если обозначить P(t) = -K2(t), то соотношения (3.75), (3.76) имеют вид
ЛО = -Ar(t) P(t) - P(t) A(t) + P(t) B(t) Q~l(t) Br(t) P(t) - 5(Z), P(tt) = Л, (3.77)
«'(f,x) = -G-|(Z)5r(/)P(0x = -F(r)x, F(f) = Q~l(t)BT(f)P(t), (3.78)
. ™ .Ц^-хоР^оУхо VxoeA". , de £>(10,Xo) 2
2. Если = да, матрицы A, В, S, Q не зависят or t, система является вполне управляемой [33], то оптимальный регулятор в задаче
x(t) = Ах + Ви, х(О) = хо,
I = J [xr(/)5x(Z) + uT(t) Qu{t) ]dt -» min,
2 о
определяется соотношением [22]
u’(x) = -Q~lBTPx = -Fx, F = Q~XBTP, (3.79)
где Р - положительно определенная симметрическая матрица, удовлетворяющая алгебраическому уравнению Риккати
- АгР - Р А + РBQ~xBrР -S = й. (3.80)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее критерию Сильвестра, единственно.
Можно показать [22], что замкнутая система, описываемая уравнением
х(0 = [я-Л<2-1йгр]х(П, х(О) = хо,
является асимптотически устойчивой, т.е. х(Г) -> 0 при /-»+«.
Данная проблема получила название задачи Летова - Калмана аналитического конструирования оптимальных регуляторов.
3. Для уменьшения вычислительных трудностей при решении уравнения Риккати можно использовать уравнение относительно матрицы Р“'(0. Так как
P(t) P~x(t) = Е, то после дифференцирования получим
P(t)P-x(t) + P(t)p-x(t) = O или р-’(/) = -Р-’(0Л0^ч(/)-
С учетом (3.77) имеем
Р’1 (/) = A(t) Р*1 (г) + Р-’ (t) AT(t)- B(f) Qx (t) BT (/) + P-1 (/) 5(Г) P-1 (г),
(3.81)
P-'(/i) = A-'.
После нахождения P-l(/) определяются матрицы P(t) и F(i) = Q~‘(i)Br(t)P(/) , a также управление u*(t,x) = -F(t)x.
Приме» 3.33. Для задачи
= - x(t) + u(r), x(0) = x0,
J = | Ju2(/)A + |x2(l)->min
2 о 2
требуется Найти оптимальное управление и*(/,х).
□ Сравнивая постановку задачи с (3.70), (3.71), имеем: A(f) = -1, B(t) = 1, CW = 1, S(t) = 0, Л = 1,/о=О, fj=l. Тогда уравнение (3.75) примет вид
X2(i) = 2X2-K1, X2(l) = -1.
Находя его решение К2(/) =----, по формуле <3 .76) получаем оптимальное
1 - Зе2'2'
.. . 2х управление и (/, х) --— •
1-Зе2'2'
Найдем траектории и управление, порождаемые управлением u'(t, х) для различных начальных состояний. Уравнение модели объекта с учетом оптимального управления с полной обратной связью имеет вид
х(0 = -*(<) + ---%-, х(0) = хй.
1-Зг
е'+е2"'
Эта задача Коши имеет решение х*(1) = х0—------, следовательно, для
е2 +1
2 х0 е’ оптимального программного управления получаем выражение = —.
е2 +1
Можно показать [33] , что оно совпадает с управлением, найденным с помощью принципа максимума.
Пример 3.34. Для задачи
х( (/) = «(/),
X2U) = Xt(t),
I =3 j u2(t)dt + Д Х2(2) + х2(2) ]-» min 2 о 2
требуется найти оптимальное управление с полной обратной связью.
□ Сравнивая с (3.70), (3.71), имеем
И’ °"- Л‘С 3' “‘°- "~2-
а искомая симметрическая матрица K2(t) = l ^,I ], где Xi2 = *2v
k*21 Л 22J
Тогда из (3.75) следует
*„(') = -2К12-К&, *ц(2) = -1,
*12(0 = -*22*12(2) = 0,
*22(0 = -*!2, *22(2) = -!-
Решение системы и оптимальное управление с полной обратной связью совпадает с результатом п. А примера 3.28.
Пример 3.35. Для задачи
А (0 = *2 (О.
Х2 (Г) = «(/),
I = I J [*?(') + 2*2(0 + “2(0 ]Л -»• min
2 о
требуется найти оптимальное управление «'(х) с полной обратной связью. □ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем
G = l, S-
1 °) .° 2J’
(Р\ j Р\2 _
а искомая симметрическая матрица Р = , где Р12 = Р2\
k“21 PT2J
Составим алгебраическое уравнение Риккати (3.80) с учетом симметричности матрицы Р и выпишем структуру регулятора (3.79):
»*(*) = -Р21*1 - Р22*2 ,
/£-1=0,
" + Л2Л2 = ° >
-2Д2 + /£-2 = 0.
Условию положительной определенности матрицы Р удовлетворяет решение Ри =2, Р12 = Р21 = 1, Л2 = 2- Отсюда следует, что оптимальный регулятор и*(х) = -х( - 2х2.
Пример 3.36. Для задачи
Х!(0 = Х2(/),
х2(/) = и(0, 1 Т 1 /1 л \
/=Т Jw1(r)<ft+-xT(7’)Ax(7’)-» min, Л= 1 * 0 ** \ ''’2/
требуется найти оптимальное управление и (I, х) с полной обратной связью. □ Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем
Л4о ol,jB = lTl’G(') = 1’A = (o ,°1>/о=0,Г1=7’,‘У(0 = 0. yU \JJ \^7 IV Л 2 J
Запишем уравнение ^81) для K{t) = Р'ЧО, учитывая, что матрица K(t) -симметрическая:
1-^12 ^21J I® Q/l-^12 ^22) 1^12 ^22/11 О/ I® 1J '
К(Г) =
*1 о
di О .0 d2
*11=2*12. Кц(Т) = 41,
*12 =*22, *12^=0-
*22=-!, *22(7’) = ^2>
Отсюда
*110) = - О2 + d) = у + d2t2 + dt,
*цО) = - -d2(T-t) = -^~d2r,
K22(t) = (Т -1) + d2 = т + d2, где т = Т - г - время, оставшееся до конца процесса управления. Определитель матрицы К ft} равен
Тогда
P(O = *‘1O)=fp“ р21 \^П Г22)
т3 + 3d2't2 + 3dj
В результате
«’0.x) = -Q-4t)BT(t)P(t)x = -P12(0xi - P22W)x2 =
НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Постановка задачи. Сформулируем две типовые задачи.
Первая задача (с заданным моментом окончания процесса и свободным правым концом траектории). Пусть поведение модели объекта управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
=/(Л х(0,«(/)), х(?0) = х0, (3.82)
at
где х - вектор состояния системы, х = (х*,х2)г еЯ", х1 = (x1,...,xm)r, х2 = (хт+1,...,хя)г, 0 < т < п (предположим, что о компонентах вектора х1 е Rm известна текущая информация, а о компонентах вектора х2 е она отсутствует); и - вектор управления, weUqR9, U - некоторое заданное множество; t -время, t е Т' = [г0, ] = Т и {/0} u {zt}, Т' - интервал времени функционирования системы, моменты времени f0 и заданы, внешние воздействия на объект управления отсутствует, функция f(t, х,и):Т' х R" xU -> R".
Обозначим: B = R",Bl = Rm ,В2 = Rn~m; Q = (1й,(\)х R", Q' = [/0,/1]хЯл.
Начальные условия х(10) заданы множеством О с Л", размерность которого равна tn, т.е.
х(Г0)ей= |х| х2 =у0(х‘), х1 eR” = Bt }, (3.83)
где Уо;(х’), j = m + l,...,n, - заданные непрерывно дифференцируемые функции; О 2 m <, п.
При m = 0 множество Q является точкой, а при m = п совпадает с множеством Rn. Условия на вектор состояния на правом конце интервала времени Т' не заданы.
Предполагается, что при управлении используется информация только о времени и о текущей величине вектора х1, т.е. управление u(t) , применяемое в каждый момент времени t е 7”, имеет вид управления u(t) = и(/,х'(/)) с неполной обратной связью по вектору состояния (рис. 3.12).
u(z) = a(t,xi(O)
Рис. 3.12
Множество допустимых управлений Мт с неполной обратной связью обра-|зуют функции u(t,xl): T'xBi -+U такие, что функции /(Г,х,и(г,х*)), / = 1,...,п, ^определены на Q', непрерывны вместе с частными производными по х, кусочно-непрерывны по t. При этом управление u(t) = u(t, х1 (»)) кусочно-непрерывно Lno t, а в точках разрыва значение управления определяется как предел справа. I Определим множество допустимых процессов £>(Г0,х0) как множество пар ’ d - (х(•),«(•)), удовлетворяющих уравнению (3.82) с начальным условием (3.83) ‘почти всюду на Т', где \fteT' x(f)e R",u(f)e U, функции х(-) непрерывны и кусочно-дифференцируемы, а и() кусочно-непрерывны.
На множестве £f(t0,x0) определим функционал качества управления
I(d)= f°(t,x(t),u(t))dt + F(x(ti)), (3.84)
<0
где /°(/, х, u), Я(х) - заданные непрерывно дифференцируемые функции.
Требуется найти такую функцию u*(r,x*) е &т, что
I(d') = min I{d) Vxoe£2, (3.85)
где d" = (x’() и*()^ u*(; x‘’()).
Функция u*(t,xl) e называется оптимальной синтезирующей функцией на множестве £1. Для каждого начального условия из множества £2 она порождает оптимальную пару, т.е. оптимальную траекторию х () и оптимальное программное управление и (•). Предполагается, что минимум в (3.85) и функция «*(t,x*) существуют.
Подчеркнём, что число используемых в управлении координат вектора состояния совпадает с размерностью множества начальных условий £2. При т = 0 множество £2 является точкой х0, для которой ищется оптимальное программное управление и (г), а при т = п множество £2 совпадает с п -мерным евклидовым пространством и ищется оптимальное управление с полной обратной связью по вектору состояния и (/,х).
Вторая задача (с подвижным правым концом траекторий). Пусть в отличие от первой задачи, где момент /| окончания процесса управления считается заданным, а правый конец траектории х(Г,) - свободным, время окончания процесса управления определяется первым моментом достижения точкой (г, х(/)) некоторой заданной поверхности Г с Ял+1:
Г = {(/1,х)|Г,(/1,х) = 0,г = 1./; Г1€(Г0,<ю), хей"},
где 1 < / £ п +1, при / = п +1 множество Г представлено точкой в пространстве Ял+|; функции ГД^.х) - непрерывно дифференцируемы; система векторов
f5r,-(ti,x) ЭГ;(/1,х) ЗГ.-(Т|,х)| , ,. . , пи+t
——-*- ,— - • , i = I,....I линейно независима Wfc.x)e R +1.
\ Sxl &xn )
Если число m используемых в управлении координат задано, то I < n-m +1, т.е. размерность множества Г не меньше размерности множества начальных условий.
Множество допустимых процессов £>(т0,х0), как в задачах (3.37),(3.46), определяется как множество троек d = (t1,x(-),u(-)), которые включают момент окончания процесса траекторию х() и управление и( ) (где Vz еТ: x(t) е R", u(t)eU, функции х(-) непрерывны и кусочно-дифференцируемы, а «(•) е fZ0 кусочно-непрерывны), удовлетворяющие уравнению (3.34) с начальным условием х(/0) = х0 почти всюду на множестве Т' и условию (3.35).
На множестве £>(/0,х0) определим фуяюцлонал качества управления <
4
Л*)= J /°(/,х(0,и(0)Л + /'а1,х(/1)),
4
где /° (/, х, и), F(ti, х) - заданные непрерывно дифференцируемые функции.
Требуется найти такую функцию «‘(/,x')eiZm, что
Z(z/*)= min /(d) Ухьей, (3.86)
de Jto)
где d* =(tj,x*( ), u‘(-) = u*(-,x1*(-))) .
Стратегия поиска решения задачи. Рассмотрим задачу (3.85). Поведение траекторий уравнения (3.82), исходящих из множества Q , предлагается описывать с помощью вектор-функции у(Лх*): Т' х 5; -> удовлетворяющей системе уравнений:
ЭуД/.х1) "ЗуД/.х1) . . .
— = _£~1эху—)»«(*,х1))+
+ //(Лх',Х^х1),и(Т,х1)), j=m+l............в, (3.87)
Уj(tQ,xl) = уй1(хх), j = m + l,...,n. (3.88)
Уравнениями характеристик этой системы являются уравнения для координат вектора состояния, образующие (3.82):
xi(t) = fi(t,xl(t),y(t),u(t,xl(t)), i = l.и, х1(/0) = х^еД,
J'j(O = /y(^xl(O>y(O,«(Ax1(r)), у = м +y(i0) = уо(хо).
Решение системы (3.87),(3.88) устанавливает связь: х2 = y(t, х1) У(/, х1) е Т' х .
Предполагается, что размерность множества, описываемого соотношением jc2 = y(t,xl), равна т VieT' . Для получения траекторий, исходящих из множества Q, требуется решить систему (3.87),(3.88) при известном управлении u(t, jc1 ), а затем систему
х,(0 = » = 1,—,m, Vx'(Z0) = xlQ е й1(
Если значение вектора х'(/) известно, то можно найти текущее значение вектора состояния х : х(/) = (x^t^ytt^ttyf.
Введем в рассмотрение множество функций <f(t, х):Т' х В -» R, непрерывно дифференцируемых всюду, за исключением конечного числа сечений Т' х В при фиксированных t , и конструкции [12,19,20]:
\ Зф(/,Х) V' 3<р(/,х) .. м. .
Л(/,х,и) = - + 2, (Ах.«),
v t ^в| О Xj
(3.89) G(ti,x) = ^tl>x) + F(x).
Применим принцип расширения с заданием множества V и поиском удачного доопределения функционала I на этом множестве.
Определим множество V пар </ = (*(•),«(•)), где элементы пар по сравнению с входящими в /7(/0,х0) необязательно связаны дифференциальным уравнением (3.82); х(гй)=х0 е £2; допускаются разрывы первого рода функций х(-) на множестве Т'. Таким образом, множество- t>(to,xo) <=И - расширение построено.
Доопределение функционала I на множестве V производится с помощью задания функции <р(г, х).
На множестве V определим функционал
L(d) = G(ti, x(tt )) - J R(t, x(/), dt - <p(/0, *o ) •
На множестве £>(ta,x0)a V, где между функциями x() и «() существует дифференциальная связь (3.82), с учетом (3.89) и равенства х(/0) = х0 справедливо
Я(Г,х(0,и(0) = -/°(/,х(/),И(0) =
= - /°(ЛХ(О,И(О) =
и поэтому
L(d) = <₽(/,, x(i,)) + F(x(t{)) - f
- /°(/, x(0, u(t)) dt - ,x0) =
a t
= ф('| , )) + F(x(tt)) - [<₽0i, x('l)) - ф('о > x0)] + J f°<‘, x<f), u(t))dt - <p(/0, x0) = 1(d).
*o
Таким образом, на множестве И функционалы 1(d) и L(d) совпадают. Поведение функционала L(d) на множестве V \ О полностью определяется выбором функции <р(/, х).
Перейдем к формулировке и доказательству достаточных условий оптимальности.
Предположим, что существует множество Ф функций <р(Лх), для которых конструкции (3.89) достигают экстремальных значений:
r(t) = max maxR(t,х,и) V(t,xl)eTxBlt (3.90)
х2еД1 ueU
g = min G(tf,x) Vxl e Bh (3.91)
где r(t)- кусочно-непрерывная функция на множестве Т.
Пусть имеется управление и*(/,х')ей<т и соответствующее решение у"(т,х*) системы (3.87), (3.88).
Теорема 3.8 (достаточные условия оптимальности в задаче (3.85)). Если существует такая функция <р(/, х) е Ф, что
1) Я(Г,х1,у*(*,х1),и*(Г,х1)) = r(t) почти всюду на Т, Vx1 е fy;
2) G(Z1,x1,y*(T1,xl)) = g Vx1 еД,
то управление u’(t,x} ) является оптимальной синтезирующей функцией на множестве Q.
Функцию r(t) и величину g можно без ограничения общности положить равными нулю. Тогда минимальное значение функционала определяется формулой
min 7(rf) = -q>(Z0,x0) VxoeQ. (3.92)
<*е£>(1о,хо)
Приведем доказательство. Пусть имеется функция <р(/, х) е Ф. Найдем минимум функционала L(d) на множестве V. Его третий член при заданной функции <р(/,х) и известном начальном состоянии хе вычисляется и в плане минимизации не рассматривается. Операции нахождения экстремума в первых двух слагаемых могут быть выполнены по отдельности благодаря свойствам функций х(),и(-), образующих пары d еК . Так как для функции <р(г, х) е Ф выполняются равенства (3.90),(3.91), они могут быть переписаны в виде
r(t) = max max R(t, x, и), g = min G(t,,x), xeB ueU xgB
поскольку их правые части не зависят от х1. Тогда
min L(d) = g- fr(z) dt - <p(rO)*o) • deV /
%
Рассмотрим произвольное начальное условие х0 <= О. Решая уравнение (3.82) с начальным условием х(/0)= х0 и управлением и*(/,х|), можно получить пару d‘ = (х*(), и (•) = u*(-,x*‘())) € £?(t0,x0). Та же пара может быть получена по имеющимся функциям y^t.x1),^*^.^1) при решении системы
хМ = /,(Лх‘(/),/(/,х1(/)),и*(Г,х1(Г))), *А) =%> » =
В результате имеем х1,( )ипару
d' = (х’() = (х1,(-),х2*() = y‘(>xI’(-))f,a’() = и’(-,х1*())^е Z>(Z0,x0).
Так как условия 1,2 теоремы выполняются Vx1 е В{, то они справедливы и для х1*(Г), т.е.
Л(Г,х*(/),и*(0) = *(')> 'еТ; <?(/ьх* (/])) = g.
Из условий теоремы следует, что на паре d‘ выполняется равенство
L(d') = min L(d), т.е. Ltd") < L(d) VdeV. Так как d’ е £>(t0,xQ) с V , то d^V
L(d’)<L(d) Vd e £»(i0,x0). Но на множестве £>(t01x0) справедливо равенство
£(<У) = 1(d). Поэтому I(d') < 1(d) \/d e £>(t0,x0), что соответствует определению минимума функционала (3.84). Доказательство теоремы следует из произвольности начального условия х0 е Q .
Если существует функция <р(/,х)е Ф, удовлетворяющая условию 1,2 теоремы с r(f) * 0, g * 0, можно показать, что функция
<р(1,х) =<p(r,x)+ j г(т)А-х t
также удовлетворяет этим условиям при r(t)=O, g =0. Действительно, г(t) = max max h^-r(t) + j'^^fi(t,x,u)-f°(t,x,u)\=O Vfcx'jeTxfl,
>? eBj udJ [ 3 t d X, J
g= min {<₽(/[,x)-^ + E(x)}^0 Vx1 e .
х2еВг
При этом min L(d) = min I(d) = - <p(/0, x0) Vx0 e Q.
deV deV
Сформулируем достаточные условия оптимальности в задаче (3.86).
Будем использовать следующие обозначения:
Q a. Rn*x - множество точек (t, х), из которых можно достигнуть терминального множества Г по некоторой траектории, соответствующей допустимому кусочно-непрерывному управлению (при этом Q с Q(tg) - сечение мно-
жества Q при фиксированном t = /0; Qxt (Го) - проекция множества Q(t0) на Bt);
0,х1 - проекция множества Q на пространство ,«) х Bt;
Гх1 - проекция множества Г на В] ', Г Дх1) -проекция множества Г на (г0,оо)хВ2 при фиксированном х1.
Как и ранее, поведение траекторий уравнения (3.82), исходящих из множества Q, будем описывать с помощью вектор-функции у(/, х1), удовлетворяющей (3.87), (3.88):
ЗуДг,х*) ® ду1(1,х') . . .
——-------= ------ft if, х > y(t, х1), u(t, х1)) +
St м dxi
+ fj(t,xl,y(t,x'),u(t,x1)). j=m + l,...,n, ^(t,xl)eQtxl,
yjit^x1) = Уо/х1). J = m + l...и, Vxl<=Qj(t0).
Момент окончания процесса управления каждой траекторией, исходящей из множества <2, определяется условием
Г,(/1,х1(/1),у(/1,х1(/1))) = 0, / = 1,..„/. (3.93)
При решении задачи функция G(it,x) в (3.89) изменяется:
б(/!,х) = <₽(/], х) + F(th х) V(/1,x)er,
а величина g в (3.91) определяется следующим образом:
8 = min G(f,,x) Ух’еГ,. (3.94)
(/ьхЪ^Г^х1) х
Пусть имеется управление u'(t,xl) и соответствующая функция у*(г,х1).
Теорема 3.9 (достаточные условия оптимальности в задаче (3.86)).
Если существует такая функция <р(/, х) е Ф, что
1) Л(/,х|,у’(/,х1),и’((,х|)) = г(0 = 0 W,x‘)eQ/xl;
2) G^.x'./^.x’))»/ V(/1,x1)e{r/(/1,x1,7(r1,x,)) = 0, 7 = 1,...,/},
pio управление и* (t,xl) является оптимальной синтезирующей функцией на множестве О. Величину g можно без ограничения общности положить равными нулю.
Доказательство теоремы 3.9 аналогично доказательству теоремы 3.8, где Применяется новое определение функции G(/b х) и величины g , множество И (состоит из троек (1(, х(), и()), в которых элементы пар функций (х(-),и()) необязательно связаны уравнением (3.82) , а момент связан с х(Т,) условием (3.93).
Соотношения для нахождения оптимального управления. Рассмотрим решение задачи (3.85). Будем искать функцию <р(/,х) в виде
<р(т,х) = И'(т,х1) + ^VyG.x'j-Xj , (3.95)
J*m+\
где И'( /, х1), ig/1, х1), j = т +1,..., п, - неизвестные ф ункции, подлежащие определению.
Подставляя (3.95) в (3.89), получаем
ч dW(t,x') Зф/лх1) «аиф.х1) ,,, .
<*,“)=——А. -+ м,х,и)+ di j=m+\ dt /=1 0xi
я т д\и п < л
+ Е—i-------Л(*>*,“) + £ /;(<>*>«)-= (3-96)
J=m+1 /=1 "Xj Jmm+1
dW(t,xl) A 3Vy(/,x‘)
----——- + У — --------x,+ H(t, x, u),
ar
<7(Т|,х) = И,(Т1,х1)+ £ v/A.x'j xy + F(x).
y-m+1
Здесь функция
Я(/,х,и)=2—----'-fi(t,x,u)+ J. X) L—1,---fi(‘,x,u) +
M exi J-m+l /=1 °xl
+ 2 v/G*1)-fp,x,и)-/й(i,x,u).
j=m+\
Определяя максимум в (3.90) с учетом условия 1 теоремы 3.8 и (3.96), находим
ЯХЛх’.у’^.х1)) = max H(t,хх ,у*0,х1),й). (3.97)
ugU
Предположим, что функции в (3.96) непрерывно дифференцируемы относительно х2. Поэтому можно применить необходимые условия безусловного экстремума в (3.90), (3.91) по х2 с учетом условий 1,2 теоремы 3.8:
dR(t,x\y(t,x\u'{t,x')) = 0 :m + i n
dXj ’ 1 ’
= o, ; = « + ],...,«. дх.
Отсюда с учетом (3.96) имеем
dt 8xj ”
, i. 8F(xl, у*(й,х*)) , 1 „
Vy(/l,x ) =--------——-----, J = m +1,...,«, Vx'efii.
Положив в (3.90), (3.91) r(t) & 0,g = 0, с учетом (3.97) и последних соотношений получим
max|£»UxJ)_ £ d/tyx^y (f.x1)) . iy + H(f l /(Г х1) „)1=0 ^,х')еГхД,
I 5/ dXj J
^l,x') = Y ^’/^’^у-^.хЬ-Л^.У^.х1)) Ух'еД, 7=m+l
где H'(t,xl ,y*(t,x1)) определяется выражением (3.97), а функция у”(/, x1) является решением системы (3.87),(3.88) с управлением u’(t,x1'), структура которого находится из условия
u’(t,xl) = u‘(t,x',y*(t,xv)) =arg тахЯ(/,х1 ,у (г, х1 ),и).
ueU
Таким образом, для определения оптимальной синтезирующей функции на множестве Q требуется решить систему из 2(п - т) +1 уравнений в частных производных первого порядка с 2(п - ni) +1 краевыми условиями на концах промежутка Т‘:
dy*At,xl) "Эу’^.х1) . . . . .
—-------= ~£—I--------М’х >У (/,х')) +
31 Эх,;
+ /^(r.x^y’^x1),»*^,»1)), J = т + \,...,п,
yj(t0,xl) = y0j(x1), j я,
max uel/
dW(t,xl) Л dH,(t,xl,y'(t,x1)) . ( ! . । 1 n
---Г—’---------------------~yj(t,xl) + H(t,x,y (t,x'),u)\ = O, dt j=m+l 3xj---------------J
Svj(t,xl) 8H'(t,xl,y'(t,x1)) , ,,ооч
— ----------------12— ——, j = m + (3.98)
dt 8 Xj
v/'i,*)»------—-------!, j = m + l,...,n,
J dxj
^i,x‘)= £ ЭF(X‘’У (f‘’X‘(^1 1,/(Л,x1)),
y=m+i 3xJ
|Йе H'(t, xl ,y*(t, x*)) = max ff(t, x1, y" (t, x1), u).
J U€U
3
, Минимальное значение функционала (3.84) можно вычислить по формуле (3.92) с учетом (3.95):
min /(d) = -iK(Z0,xi)- £ Wj(to,xo)xoj, VxoeQ. (3.99) rfeCdb.Xo) y=m+l
МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СИНТЕЗИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
Первый этап - нахождение оптимальной синтезирующей функции и* (Л х1).
1. Для рассматриваемой постановки задачи записать систему (3.98).
2. Найти максимум функции H(t,xx ,y‘(t,x{),u) по управлению. В результате определяется структура оптимальной синтезирующей функции u*(t,xl), включающая в себя функции ГИ(/,х*), vfj{t,х1) и их производные.
3. Полученные выражения подставить в систему (3.98).
4. В результате решения системы определить явный вид функций ^(Лх^.Иф.х1), ^(Г.х1) и оптимальной синтезирующей функции u*(t,xl), структура которой найдена в п.2. Получено решение задачи (3.85).
5. Определить минимальное значение функционала качества управления по формуле (3.99).
Второй этап - применение оптимальной синтезирующей функции u*(t,xl) для управления детерминированной системой (3.82) (нахождение решения задачи для фиксированного начального условия из множества О).
1. Задать начальное состояние x(r0) е Q.
2. Решить уравнение (3.82) совместно с найденной на предыдущем этапе оптимальной синтезирующей функцией и * (t, х1) для начального условия х(/0) ей. В результате определяется пара d* = (х'(-), и’() = и*(-.х1*(•))),т.е. оптимальная траектория и оптимальное управление. Этот процесс функционирования
оптимальной системы с неполной обратной связью отражается структурной схемой, изображенной на рис. 3.12.
3. Перейти к п. 1 данного этапа для задания нового начального состояния.
Замечания 3.11.
1. Четвертое и пятое соотношения в (3.98) - следствия применения необходимых условий экстремума соответствующих функций. Поэтому, если найдено решение полученной системы, то это еще не означает, что управление и*(г,х‘) оптимальное. Однако уравнения системы еще не задают до конца функцию <р(Г,х), используемую в формулировке теоремы 3.8, определяя лишь ее первую
1 производную по координатам вектора х и оставляя произвол для ее доопределения.
2. В предельных случаях информированности о векторе состояния (им соответствуют различные способы задания множества начальных условий Q) система (3.98) преобразуется к соотношениям принципа максимума и уравнению Веллмана.
При т = 0 множество £2 является точкой x(f0) = х0 и ищется оптимальное программное управление и’(-). Соотношения (3.98) для общего случая преобразуются к соответствующим принципу максимума:
Xj(t) = Ху(/0) = Х0/, у = 1,...,и,
(3.100)
j = l п
dXj 1 dXj
где
Я(/,х,«)= £ ч/7(П /,(/,х,«)-/0(/,х,и);
/•I
Я'(г,х'(г)) = max Я(Г,х'(/),«) =
ueU
Функция B^(z) определяется решением уравнения
dxJ
с конечным условием
= t (^).
После решения системы (3.100) можно проинтегрировать уравнение для функции 1К(-) и вычислить минимальное значение функционала по формуле
. min ~ И-ЧМ - £ ч>/Г0) • x0J
j=\
Если т = и, то множество й = Л" и ищется оптимальное управление u * (t, х) с полной обратной связью. Система (3.98) для общего случая преобразует к уравнению Веллмана (3.68), где = И'(Лх).
Аналогично получим соотношения для нахождения оптимального управления в задаче (3.86). Отличие состоит в поиске условного минимума функции G(ti,x) в (3.94). Для этого при каждом фиксированном значении х* е Гпотребуем выполнения необходимых условий условного экстремума функции <7(Т|, х) по переменным f\,x2, т.е. равенства нулю вариации этой функции при любых вариациях З/^Зх2, связанных условиями ЗГД^.х) = 0, i = 1,...,/, Vx1 е Г ।, т.е.:
£ -^’-^axj =0, у-ж+l dxj
ЗГ,(/1,х) = i = Vx'6r>.
J=m+l &xj
Первое соотношение можно записать в форме
5С(/1>х) = £фМ8/1+ £ д-^1Ъхо.
1 д‘1 дх, 1 дЦ дх, J
С учётом (3.95),(3.96)1 условий теоремы 3.9 при g = 0 и (3.97), (3.98) имеем
dq(ti,x) , 1, 5<р(/[,х',у (/[,х*)) „ ] •. 1 • j..
V1 = V101. X* ), -ТТ- = - H{tx, X*, у (<!, х'),« (#!, X1)) дх, 1 dt{
и окончательно получаем
dF-H(tt,xi)-Kl + vyOj.xb &xy =0,
У*ж+1
H'(tl,xl)+ 2 V/to.*1)•3’y(*i.»1) + F(r1,x1,/«1,xl)) = 0, /«Л+1
r((r1,x1,/(/i,x1)) = 0, / =
8Г,(Г1,х',у’(Г1,х|)) = 0, i = где
з^ = зл/1,л\/(/1,х1)) = ^1^^ £ ax,,
dtl y-m+l dxJ
H(tt, X1) = ЖП, X1, у ’(/,, X1), «‘(Г), X1)),
ад.х1,/(м1))- + £
3h aXj J’
” dU'Ct x’l Л. А OwTt.x1)
H(t, x, u) = £ -*'-X * Z ('» *, “) + Z XJ 1. -4-L ft «> x>") +
i=l dxi j=m+l i=l °xi
+ Z Vj(t,X1) - fj(t,X,u) -f°(t,x,u).
Эти условия, называемые условиями трансверсальности, следует добавить к системе (3.98) вместо условия на функции у fl^x) и ИТД.х1). Ещё одна форма условий трансверсальности для данной задачи изложена в [27].
Таким образом, для нахождения оптимального управления с неполной обратной связью требуется решить систему:
dyjQ< *') -Д 3/1(1,X*) 1.1.1
—---------= -Z~£7-------fi(f>x ,У (t,xl),u (1,Х*)) +
+ fj(t,xl,y*(t,xl'),u*(t,x1)), j = m + l,...,n, V(/,x') e £)(xl,
J'j(/o.xl) = 3'oj(*1).J = »» + l.-."; Vx1 eQxiOo).
8W(t,xl) Л, y*(t,xx)) • i । . , 1
----12—1 " yj(‘,J) +H(t,xl ,y (t,xl ),u) = 0,
8t J-m+\ dXj J
ау/бх1) dH'&x'yit,*1))
—1 = j = hi + L n,
dt dxj
iF-Hlt^x')-^ + VyObx’j Sx^ —0,
У*/и+1 (3.101)
^01.x‘)+ Z Vy(/l>X1)'J'J(^>X1)+ /(/],^.^'(/[.х1)) = 0, y«m+i
ri(/1,x1,/(l1,x1)) = 0, i=l,...,l,
8Г((/1,х1,/(/1,х1)) = 0, i = l,...,l,
H\t,xx ,y‘(t,xx)) = max. H(t,x\y‘(t,x'),u). ueU
Замечания 3.12.
1. В частном случае, когда момент фиксирован, а правый конец траектории свободен, система (3.101) совпадает с (3.98).
2. При т = п из (3.101) следует уравнение Веллмана (3.65), а при т = 0 -соотношения принципа максимума.
Пример 3.37. Даны модель объекта управления в форме
X!(0 = u(t).
х2 (0 = ^(0, и квадратичный функционал
/ = | f «2(0 dt +1 [х,2 (2) + х22(2) ]-♦ min. 2 о 2
Начальные условия заданы множеством Q:
4 х(/0)еП = (х|х2 = -jX|, Х]бЯ}.
Требуется найти оптимальную синтезирующую функцию и*(t,xt) на множестве Q.
□ Здесь xeR2, ueR, t е [0; 2], /°(1,х,и) = ^u2, F(x) = ifx^ + x22], /j(l,X.U) = U, /2(»,X,U) = Xj .
Выпишем систему (3.98) для данной задачи с учётом того, что х1»*!, х2 = х2, у0(х]) = -|х1, ф(1,х) = И2(1,х1) + у(1,х1)х2,
. dW'faxt) Эц|(Лх1) ,, ч 1 2 ff(t, х, и) = — >—17 и + "2 и х2 + v(I, х,) X! - - и2,
Э Xj Ях| 2
H’(t,Xi,y(t,Xi)) = mBxH(.t,xuy(t,xt),u). и . \
Она имеет вид
—^-1Д + —г2-12-" +ч4Лх,) х, --«2(/,х1) =0,
д t dXj I
*,(2,х1) = -|х12+1у2(2,х1),
Эш(1,Х1) <?ц|(/,хЛ •. . .. . л \
; ' = —-« (Л *0. v(2, X!) = - Я2, X]),
д t о Xi j
Используя необходимые условия экстремума для нахождения максимума по управлению и, определим структуру оптимального управления:
• . dWtt.Xx) Syit.x^ '
и (Л *i) = —г—~ + ' а ' у^' х« >• О X] 0
Будем искать неизвестные функции, входящие в записанную выше систему, в виде
Ял«1) = л(0+л(0*1,
W(t,Xi) = 1^(0 X,2 + ^(0 X) + K0(t),
(y(/,x1) = v(r) + M0^l, «
где yo(0.>i(0>-^o(0>-^i(0>-^2(0>v(0.^(0* функции, подлежащие определению.
Тогда получим 1 , Я(г,х1,у(/,х1)) = п1ах{(ЛГ2х1 + Kju + Nl^ + у, x1)u + (<v+ Nх})х} --и1}, и 2
u(t,xi) = K2xl +К{ + N(y0+yiXX).
Здесь и далее аргументы функций для краткости опущены. Подставляя два последних соотношения в систему и приравнивая члены при одинаковых степенях X] нулю, получаем
Уо+У1<*1 +Л/>о)=°. №(0)=0, й+Л ^2-1 + У2ЛГ=0, yi(O) = -j, ^ = -N2y0-NKh v(2) = -y0(2), ^2) = -У1(2),
К2 + К2+2N - N2y2 =Q, ЛГ2(2) = -1 + у?(2),
А-1+Х1^2+Ч(-У1Уо№=0, X1(2) = y1(2)y0(2),
*o 44y*N2=°* *°(2)=I(2)-
Решение данной системы имеет вид
У<№ = v(0 * N(t) * о, я(0 = К2^ = -7гЧ-
С использованием связи х2 = у(Л Х1) определим явный вид искомой оптимальной синтезирующей функции и выражение для вычисления минимального значения функционала качества:
u(t, Xj ) = - Xj ,
1 i
<р(Го,х) = Ил(О,х1) + ч/(О,х1)Х2 =--Xj2 =- min 1(d) Vx e Q .
6 dt C«o,Xo)
Оптимальное программное управление и оптимальное управление с полной обратной связью найдено в примере 3.28. С учетом полученных в п. А соотношений, можно показать, что соответствующая функция <р(1, х) при t = tQ = 0 имеет вид ф('о • *) = ф(0. х) = - 1 +24*1*2 +9х2
42
„ Л 4
На множестве О, где х2 = - — Xj, находим
1 1
<?(О,Х1,Уо(Х1У) = --х{ =- min 1(d) VxeO, 6
т.е. управления и (t,x) и u*(r,xt) для начальных условий из множества О обеспечивают одно и то же минимальное значение функционала качества управления.
Пример 3.38. Даны модель объекта управления
xi(t) = x2(t),
x2(t) = u(t),
и функционал
i 2 «
I(d) = ± lu2(f)dt + ±xl(2).
1 о 2
Начальные условия заданы множеством Я размерности т = 1:
fl 3
x(/0)efl = -jx x2=--Xj, Xj е Л .
Конечные условия определены соотношениями:
ПМ*!» =Xj(2)+x2(2) =0, Г^.х^,)) =ij -2 =0.
Требуется найти оптимальную синтезирующую функцию и’(i,xj) на множестве Q.
□ Здесьх = (xj, х2)Т е R2, и е R, t е [0; 2], f°(t, х, и) = ± и2, F(x) = ± х2,
I о 3
/j(/,x,u) = x2, f2(t,x,u) = u, х1 =xb xz=x2, Уо(*1) = -J*l-
Выпишем систему (3.101) для данной задачи с учетом того, что
\ ду(1,х}) 2 1 2
Я(Г, х, и) = — --— х2 + —— х22 + v(r, xj) и - - и 2.
О Xj О Xj 2
Тогда, используя необходимые условия экстремума для нахождения максимума по управлению и , найдем структуру оптимального управления:
u'(t, Jt|) = aig max H(t, x(, y’(t, x(),«) = v(/, jq ). и
В результате получим
ЗуО.х,) 5у(/,х1) „ . ... . . 3
=—~^y(t,Xy) + u y(0,xi) =--Xl,
dt dX\ j
afi^Xt) _ gyO.x,) y2(Z X)) + v(tjXj)u'(t,Xl) _ 1 u'2(l,xt) = 0, о t d Xj 2.
5v(/,xi) -ЭуО.х,) afro.xj dt dx{ 1 axj
y(2, xj) Sx2 - Я(2, X|) 8*! + y(2, xt) &хг = 0,
W(2, xj) + vU x,) • У(2, x,) +1 y2 (2, X!) = 0,
rHfbXi.yto.XiW'Xi + Xix!) =0, r2OI,x1,y(Z1,xl)) = T1 -2=0,
5Г](Ч,Х1, Xtj.X!)) = 8x2 = 0, Sr2(Zlix1,X4>Xi)) = 3/I =0.
Будем искать неизвестные функции, входящие в эту систему, в виде y(t,xl) = yi(t)Xy, 1Г(Г,х1) = 1аГ2(/)х12, ч'(Чх1)=ЛГ(/)х1,
где У1И,Я2(0,Я(0- функции, подлежащие определению.
Подставив последние соотношения в выписанную систему и приравняв члены при одинаковых степенях X], получим двухточечную краевую задачу:
Л = -У12 + Я, Л(0) = У1 (2) = -1,
Кг =2Ny?-N2, АГ2(2) = -у12(2)-2Я(2)Л(2) = -1 + 2Я(2),
Я = -2Яу1 -К2-
Ее решение имеет вид
v гл - _ 2<3~0 ж гл - 4<3-0 Ы1А - 2
’ 10-6/ + ?’ 2 (10-6/ + ?)2’ 10-6/ + /2’
. 2
а искомая оптимальная синтезирующая функция и (Г, х,) =--------- х>.
10-6/ + Z2
Задачи дм самостоятельного решения
1. Для задачи
х(О) = хо,
I = | f [“2(0 + x2(t) ]d/ -> min 2o
найти: а) оптимальное программное управление «*(•) и оптимальную траекторию х*(), применяя принцип максимума; б) оптимальное управление iT(r.x)
, с полной обратной связью.
et 2-t t 2-t
Ответ, a) x * (0 = x0---5—, и * (/) = x0---—;
1 + ei 1 + e
l-e2-*
6) e*(/,x)=i—j^-x.
2. Для задачи
xi(0 = xj(0+«i(0. *i(O)=o>
х2(О = и2(О> x2(0)=0,
I = J [»? <0 + «1(0 ] dt + X[ (1) -> min
0
найти оптимальное программное управление и*() и оптимальную траекторию **(•)•
_ . t2 t > 1 . / -1
Ответ: xl(t) = — - — -~, x2(t) = — -~, «i(0 = -». = — .
12 4 2 4 2 Z 2
3. Для задачи
x,(z) = x((0 + «(0.
x2(/) = -x2(0,
I = I f [x?(0 + xj(z) + u2(t) ]<ft -»min
2 0
найти оптимальный регулятор u’(x).
Ответ: «*(х) = - (1 + V2)x.
4. Для задачи
x(t) = 3x(i) + u(<), x(0) = x0,
I = | f P(O + 7х2(/)]л +1x2(l) -+ min
найти оптимальное управление u'(t,x) с полной обратной связью.
Зе8'-8 _ 7
Ответ: u\t,x) = —— -------х.
Зе8'"8 +1
5. Для задачи
х(/) = -Зх(0 + 2и(/), х(О) = хо,
/ = I f [«2<0 + Юх2(0 ]л + |х2(1) -* min 2 о 2
найти оптимальное управление в*(/,х) с полной обратной связью.
Ответ: и’(t,x) = ~x.
6. Для задачи
X|(/) = x2(Z),
х2(Г) =«(/),
1 = J [х2(0 + и2(0 ]Л -> min о
найти оптимальный регулятор и’(х).
Ответ: и‘(х) = -(х1 +V5x2).
7. Для задачи
Х1(<) = x2(i),
х2(Г) = М0,
I = | f [sixi (0 + SiXiit) + Qu2(t) ]<ft -> min 2o
найти оптимальный регулятор и*(х).
Ответ: и'(х) = -Л(^12х!+^22х2), где
^2=^l[s2t> + 2r/S^].
8 Для задачи
*1(0 = *г(0. Х1(0) = 0, *1(1) = 1,
x2(t) = u(t), х2(0) = 0, х2(1) = 0,
I = J u2(t)dt -> min о
найти оптимальное программное управление «*() и оптимальную траекторию **(•)•
Ответ: u*(t) = 7-6t, xj(t) = 3t2~~t2, x2(f)= 6t-~t2.
6 2
9. Для задачи быстродействия
*i(0 = *2(0. *i(0) = о, xjO)»*,
*2(0 = “(0. *2(0) = 0. *2(1)-0,
I 4f) I * а. Т
I = f dt -> min
0 <taT,
найти оптимальное программное управление «*()
**(•)•
и оптимальную траекторию
0^<ib
Ответ: “*(0 = {Д X,’(0 =
2
JOL + Cit + C2, .2
at, 0s!<(b „т r h aT2 .
' где С. = aT , C2 -^b--— , t
-at +Cb tx<,t<.T, 1 . 2
Г
2 ’
10. Для задачи
*1(0 =“i(0 .
*2(0—*1(0+ “/0 .
/ = | f l“!2(0 + «2(01 dt + ^*2(1)-> min 2 О 2
найти оптимальную синтезирующую функцию и*(/,Х|) на множестве
НЮ п1
х2 = — xb Xj е R >.
_ . 2xi(l-0 -к 2*1
Ответ: u,(t,xi) = —1-т-, u2(t,x,) = — -!—т.
1 2 + 2t-t2 2 + 2t-t2
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптими- • зации. - М.: Наука, 1984.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.
3. Ардова Л.В., Кирпотина Н.В. Вариационное исчисление в задачах и упражнениях / Под ред. Г.А. Каменского, Ч. 1 и 2.- М.: МАИ, 1974.
4. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. - М.: Физматгиз, 1955.
5. ' Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. - М.: ИЛ, 1950.
6. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972.
7. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. - Минск: Наука и техника, 1974.
9. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.-М.: Изд-во МГУ, 1989.
10. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. - М.: Физматгиз, 1961.
11. Гноенский Л. С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Наука, 1969.
12. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. - М.: Наука, 1985.
13. Гюнтер М.Л., Кузьмин P.O. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 1951.
14. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб, пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. П.- М.: Высшая школа, 1986.
15. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений Ц ЖВМ и МФ, 1965, Т. 5, № 3.
16. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления .- М.: Наука, 1981.
17. Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М.: Наука, 1986.
18. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. -М.: Наука, 1973.
19. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. - М.: Машиностроение, 1969.
20. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.
21. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. -М.; Физматгиз, 1950.
22. Летов А.М. Динамика полета и управление .- М.: Наука, 1969.
23. Летова Т.А. Прямые методы решения задач оптимального управления. -М.: МАИ, 1983.
24. Летова Т~А., Пантелеев А.В. Экстремум функций в примерах и задачах. - М.: Изд-во МАИ, 1997.
25. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления / В.В. Семенов, А.В. Пантелеев, Е.А. Руденко, А.С. Бортаковский. - М.: Изд-во МАИ, 1993.
26. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С., Летова Т.А. Оптимальное управление в примерах и задачах - М: Изд- во МАИ, 1996.
27. Пантелеев А.В., Семенов В.В. Синтез оптимальных систем управления при неполной информации. - М.: Изд-во МАИ, 1992.
28. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в приложениях к анализу динамических систем. - М.: Изд-во МАИ, 1997.
29. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. - М.: Изд-во МАИ, 1998.
30. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1969.
31. Сборник задач по математике для втузов. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения / Под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука, 1990.
32. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука, 1984.
33. Семенов В.В., Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Математическая теория управления в примерах и задачах. - М.: Изд-во МАИ, 1997.
34. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. - М.: Наука,1986.
35. Ту Ю. Современная теория управления. - Мл Машиностроение, 1971.
36. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978.
37. Цирлин А.М., Балакирев В.С., Дудников £.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. - М.: Энергия, 1976.
38. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения - М; Физматгиз, 1966.
39. Элъсгольц ЛЭ. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969.
40. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. - М.: Мир, 1974.
Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебного пособия для студентов инженерных специальностей аэрокосмических вузов
Российской Федерации
Учебное издание
Пантелеев Андрей Владимирович
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Редактор Е.В. Лисовец
ИБ № 342
Лицензия ЛР № 040211 от 17.04.97 г.
Сдано в набор 30.05.99. Подписано в печать 17.04.2000.
Формат 60x84 1/16. Бумага газетная.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Усл.печ.л. 13,25. Уч.-изд.л. 14,25.
Тираж 1000. Заказ 2097. С.24.
Издательство МАИ, 125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4 Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства МАИ, 125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4