УДК 517.9
В19
ББК 22.161.6
Васильева А. Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравне-
уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 160 с. - ISBN
5-9221-0275-3.
Пособие знакомит с понятием интегрального уравнения, теоремой су-
существования собственных значений и собственных функций однородного
интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Рассмотрены вопро-
вопросы разложимости по собственным функциям, задача Штурма-Лиувилля,
неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода, уравне-
уравнения типа Вольтерра. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода
рассматриваются как некорректно поставленная задача, в связи с чем изла-
излагаются основы регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова. Приводятся
некоторые сведения о численных методах теории интегральных уравнений.
Излагаются также некоторые вопросы теории интегро-дифференциальных
уравнений.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «При-
«Прикладная математика».
Ил. 5. Библиогр. 31 назв.
Рецензенты:
Кафедра высшей математики УДН им. Патриса Лумумбы,
Профессор В. А. Треногий
ISBN 5-9221-0275-3	© ФИЗМАТЛИТ, 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию	 7
Предисловие к первому изданию	 7
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Понятие интегрального уравнения. Классификация интегральных
уравнений		9
§ 2. Физические примеры		10
§ 3. Особенности постановок задач для уравнений Фредгольма		17
ГЛАВА 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ ВПОЛНЕ
НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА
§ 4. Вполне непрерывные операторы в бесконечномерном евклидовом про-
пространстве 	 19
§ 5. Существование собственных векторов вполне непрерывного симме-
симметричного оператора	 27
§ 6. Свойства собственных значений и собственных векторов вполне не-
непрерывного симметричного оператора	 32
ГЛАВА 3
ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ВТОРОГО РОДА
§ 7. Собственные функции и собственные значения однородного уравне-
уравнения Фредгольма второго рода	 36
§ 8. Определение собственных значений и собственных функций по мето-
методу Келлога	 41
§ 9. Вырожденные ядра	 46
ГЛАВА 4
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
§ 10.	Теорема Гильберта-Шмидта		50
§11.	Повторные ядра		52
§ 12.	Теорема Мерсера		56
§ 13.	Ослабление требований на ядро		59

ГЛАВА 5
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
(ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ)
§ 14. Задача о колебаниях струны	 61
§ 15. Исследование задачи Штурма-Лиувилля сведением к интегральному
уравнению Фредгольма второго рода	 64
ГЛАВА 6
НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ВТОРОГО РОДА
§ 16.	Случай симметричного ядра		72
§ 17.	Случай "малого" Л		77
§ 18.	Теоремы Фредгольма		87
§ 19.	Резольвента непрерывного несимметричного ядра при "больших" Л ..	95
§ 20.	Уравнение с ядром, зависящим от разности аргументов		98
ГЛАВА 7
УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА
§ 21. Существование и единственность решения	 102
§ 22. Резольвента для уравнения Вольтерра	 105
§ 23. Уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов. .. 108
ГЛАВА 8
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ПЕРВОГО РОДА
§ 24. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода как некорректно
поставленная задача	 111
§ 25. Сглаживающий функционал и его свойства	 115
§ 26. Построение приближенного решения уравнения Фредгольма первого
рода	 119
ГЛАВА 9
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 27. Интегральные уравнения второго рода	 125
§ 28. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода	 129
ГЛАВА 10
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
§ 29. Различные виды интегро-дифференциальных уравнений	 135
§ 30. Физические примеры	 136
§ 31. Интегро-дифференциальные уравнения с интегральным оператором
типа Вольтерра	 139
§ 32. Интегро-дифференциальные уравнения с интегральным оператором
типа Фредгольма	 143
§ 33. Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения.... 147
Литература	 156
Предметный указатель	 158

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание книги было выпущено в свет издательством МГУ
в 1989 г. С этого времени книга использовалась как основной учеб-
учебник по курсу "Интегральные уравнения" на физическом факультете
МГУ им. М. В. Ломоносова и в ряде других вузов. В настоящее вре-
время в результате износа книга стала труднодоступной для студентов,
что и явилось причиной ее переиздания.
Во втором издании в книгу внесены незначительные редакцион-
редакционные изменения и исправлены опечатки
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В основу предлагаемого учебного пособия положен лекционный
материал, который в течение ряда лет читается студентам второго
курса физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
Пособие знакомит читателя с понятием интегрального уравне-
уравнения и классификацией интегральных уравнений. Доказана теорема
существования собственных значений и собственных функций од-
однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Рас-
Рассмотрены вопросы разложимости по собственным функциям, задача
Штурма-Лиувилля, неоднородные уравнения типа Вольтерра, ин-
интегральные уравнения Фредгольма первого рода. Приводятся неко-
некоторые сведения о численных методах теории интегральных уравне-
уравнений. Указан ряд конкретных физических задач, приводящих к ин-
интегральным уравнениям.
Пособие ставит одной из своих целей приучить студентов при-
применять методы функционального анализа при исследовании инте-

Предисловие ко второму изданию
тральных уравнений. Для этого введена глава, в которой излага-
излагаются основы теории вполне непрерывных операторов в бесконечно-
бесконечномерном евклидовом пространстве. На основе этой теории доказано
существование собственных значений и собственных функций одно-
однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Значительное место отводится уравнению Фредгольма первого
рода, которое изучается как некорректно поставленная задача. Из-
Излагаются основы регулирующего алгоритма А. Н. Тихонова.
Содержание предлагаемого пособия расширено по срав-
сравнению с читающимся курсом и освещает ряд вопросов, которые
не входят в обязательную программу на физическом факульте-
факультете. Так, в главе 10 излагаются некоторые сведения об интегро-
дифференциальных уравнениях. Некоторые вопросы дополнитель-
дополнительного характера включены в виде отдельных параграфов в соответ-
соответствующие главы.
При написании настоящего пособия мы стремились к тому, чтобы
материал по возможности легко воспринимался читателем. Поэтому
изложение большей части рассмотренных вопросов проводится для
случая вещественных непрерывных функций и одномерных инте-
интегралов. Авторы не вводят понятия пространства Z/2, поскольку для
строго изложения материала при этом требуется интеграл Лебега,
с которым большая часть студентов незнакома.
При изложении стандартных вопросов теории интегральных
уравнений нами использовались уже имеющиеся учебники и посо-
пособия других авторов. Все они указаны в списке литературы.
При подготовке рукописи авторы неоднократно консультирова-
консультировались со своими коллегами В. Б. Гласко, А. В. Гончарским, А. Г. Яго-
лой, И. А. Шишмаревым и пользуются случаем, чтобы выразить
им искреннюю благодарность. Авторы также весьма признательны
Н. X. Розову, который просмотрел рукопись и сделал ряд ценных
замечаний.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Понятие интегрального уравнения.
Классификация интегральных уравнений
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее
неизвестную функцию под знаком интеграла. Например,
ъ
у(х) = / К(х, s)y(s) ds + f{x) (a^x^b)	A.1)
или
y(x) = / K(x, s)y(s) ds + f{x).	A.2)
Здесь K(x,s) и f(x) — заданные функции, а у(х) — искомое ре-
решение, функция К(х, s) в приведенных соотношениях называется
ядром интегрального уравнения.
Уравнения A.1) и A.2) относятся к линейным интегральным
уравнениям. Встречаются также и нелинейные интегральные урав-
уравнения, например,
X
у(х) = I F(x, s, y(s)) ds + f(x).
a
В настоящем курсе изучаются только линейные интегральные
уравнения.
Линейные интегральные уравнения классифицируются следую-
следующим образом:
а) если искомая функция содержится только под знаком инте-
интеграла, то уравнение называется интегральным уравнением первого
рода. Такими уравнениями являются
f K(x,s)y(s)ds = f(x)	A.3)
а
или	х
[K(x,s)y(s)ds = f(x).	A.4)

10	Гл. 1. Введение
Соотношения A.1) и A.2), в которых искомая функция содержит-
содержится также и вне интегрального слагаемого, называются уравнениями
второго рода;
б)	если пределы интегрирования фиксированы, то интегральное
уравнение называется уравнением Фредгольма (случаи A.1) и A.3)).
Если же пределы интегрирования перемены (случаи A.2) и A.4)),
то интегральное уравнение называется уравнением Волътерра.
Формально уравнение Вольтерра можно рассматривать как
частный случай уравнения Фредгольма, полагая, например, в B)
К(х, s) = 0 при s > х. Однако физические задачи, приводящие
к уравнениям Вольтерра и Фредгольма, а также свойства решений
этих уравнений существенно различны. Поэтому уравнения Воль-
Вольтерра выделяют в особый тип уравнений;
в)	уравнения A.1)- A.4) называются однородными, если /(ж) = 0.
В противном случае эти уравнения называются неоднородными.
Интегрирование в интегральном уравнении может производиться
как по отрезку прямой, так и по некоторой области большей раз-
размерности. От этого приведенная выше классификация не меняет-
меняется. Пусть, например, задана область П в трехмерном пространстве
и функции К(М, Р), /(М), определенные при М е П и Р е П. Тогда
соотношение
у(М) = / К(М, Р) у(Р) dap + /(М),
Q
где dap — элемент области П, содержащий точку Р, представляет
собой неоднородное уравнение Фредгольма второго рода.
§ 2. Физические примеры
Многие задачи математической физики приводят к линейным ин-
интегральным уравнениям. Рассмотрим некоторые примеры.
1. К уравнению Вольтерра первого рода приводит задача опреде-
определения потенциальной энергии поля, в котором частица совершает
колебательное движение, по известной зависимости периода коле-
колебаний частицы от ее энергии [18]. А именно, пусть частица соверша-
совершает колебания в поле с потенциальной энергией и(х), которая пред-
предполагается четной функцией, монотонно возрастающей при х > 0.
Пусть Е — энергия частицы, а т — ее масса. Тогда, в силу за-
2
кона сохранения энергии, ^у—\- и(х) = Е. Интегрируем это урав-
уравнение, разделяя переменные. Имеем ^ = у ^(Е — и(х)). Отсюда

2. Физические примеры
11
t =
dx
у/Е - и(х)
+ const. Считая и _ =0, получим следующее
хо(Е)
dx
выражение для периода колебаний: Т(Е) = 2у/2т Г	—j
J у/Е - и(х)
где хо(Е) — корень уравнения и(х) — Е = 0. Переходя под интегра-
интегралом к переменной du, получим
f
1
A.5)
где Ф(и) = Ф-(и). Пусть функция и(х) неизвестна, но известна за-
зависимость Т(Е) для некоторого интервала значений Е. Тогда за-
задача определения функции и(х) сводится к решению интегрально-
интегрального уравнения Вольтерра первого рода A.5) относительно функции
Ф(и). Определив Ф(и), находим нужную зависимость и(х) из условий
dx dx_ Ф(и)'
du
2. Уравнения Вольтерра второго рода типичны при описании фи-
физических процессов, связанных с явлениями последействия. В этих
уравнениях переменная х обычно обозначает время. Тогда состоя-
состояние системы, характеризуемое функцией у(х), определяется внеш-
внешним воздействием f(x) и зависит от состояния системы в предше-
предшествующие моменты времени. Ядро К(х, s) описывает величину по-
последействия состояния системы в момент s на состояние системы
в момент х > s.
U
Рис. 1
В качестве примера рассмотрим электрическую цепь, изображен-
изображенную на рис. 1. Пусть в катушке индуктивности не проявляется явле-
явление гистерезиса. Тогда поток индукции в катушке Ф связан с током
%ь соотношением Ф = L-%l. Согласно известным формулам электро-
электродинамики имеем
±
f

12	Гл. 1. Введение
Используя закон Кирхгофа г# + ic + гь — О, приходим к следую-
следующему дифференциальному уравнению относительно и:
Пусть теперь катушка снабжена магнитным сердечником, в ко-
котором проявляется гистерезис. Тогда вместо соотношения Ф = L • %l
нужно использовать более сложное, учитывающее зависимость Ф не
только от значения i^ в момент ?, но и в предшествующие моменты
времени (эффект последействия). Это видоизмененное соотношение
таково:	t
Ф(г) =l-iL+ I M(t- r)iL(r) dr.	A.6)
Здесь M(t — r) — функция, учитывающая влияние значения г^ в мо-
момент т на величину Ф в момент t и определяемая обычно эмпириче-
эмпирическим способом.
Имеем
iL = -iR -ic = -^ - Си.
Отсюда
to
и, следовательно,
t	t ?_tQ	t С ?_т j /r\
to	to	to	to
t _
= f(u(to),t) + Г K(t — r)iL(r) dr,
to
где	t
K(t-r) = - I e-^±d?.
T
Подставляя полученное выражение для Ф в уравнение, связываю-
связывающее Ф и г^, получим
/(Ц*о),*)+ f K(t-T)iL(r)dT = LiL(t)+ f M(t - r)iL(r) dr
to	to
или, окончательно, для i^(t) имеем
iL(t)= / K(t-T)iL(T)dT + f(u(to),t)^,
to

2. Физические примеры	13
где К(?) = [if(?O — М(?)] у-. Таким образом, приходим к интеграль-
интегральному уравнению Вольтерра второго рода.
К уравнению A.2) сводится также задача Коши для обыкновен-
обыкновенного линейного дифференциального уравнения n-го порядка
(х)(р = /(ж),
(р(а) = 0, (р1{а) ^0, ..., (р^п~ {&) -
Действительно, положим
где у(ж) — новая неизвестная функция. Дифференцируя выраже-
выражение A.8) п раз, имеем
l
<n-l-k)\
При этом, очевидно, выполнены условия у^(а) = 0 для l^k^n — 1.
Подставляя найденные выражения для ^W (ж) в левую часть урав-
уравнения A.7), получим
у(х) + / К(х, s)y(s) ds = /(x),	A.9)
а
где #(ж,в) =pi(x) +p2(x)^ + • • •+Рп(х){х{~^I .
Таким образом, задача A.7) свелась к решению интегрального
уравнения Вольтерра второго рода A.9). Определив из A.9) функ-
функцию у (ж), находим ср(х) согласно A.8).
3. Уравнения Фредгольма первого рода A.3) являются типичны-
типичными при математической обработке данных эксперимента. Задача со-
состоит в следующем. Изучается явление, характеристики у(х) ко-
которого недоступны для непосредственного измерения. Можно изме-
измерить косвенные проявления процесса — функцию /(ж). Для изучае-
изучаемого явления строится некоторая теоретическая модель, определя-
определяющая функцию K(x,s). Тогда интересующие нас характеристики
могут быть найдены из интегрального уравнения A.3).
Приведем примеры конкретных задач подобного типа.
а. К интегральному уравнению Фредгольма первого рода приво-
приводят задачи гравиразведки полезных ископаемых [26]. Рассмотрим

14
Гл. 1. Введение
простейший случай. Пусть в слое z ^ h, где z — глубина под по-
поверхностью Земли, расположены источники аномального гравита-
гравитационного поля, а при 0 < z < h их нет. Если бы было известно
поле при z = /г, т. е. на границе области, в которой расположены
источники, то можно было бы выявить их структуру. Однако поле
вблизи источников недоступно прямому измерению. Поэтому воз-
возникает задача его определения по данным наблюдений на дневной
поверхности.
Выведем соответствующее уравнение, ограничиваясь ради крат-
краткости двумерной задачей. Обозначим через v(x), где х — горизон-
горизонтальная координата, потенциал гравитационного поля при z = h.
Тогда потенциал поля u(x,z) в области 0 < z < /i, где нет источ-
источников, является гармонической функцией. Для него справедливы
соотношения
, 7Ч , ч @ < z < h, -оо < х < оо).
и{х,п) = и (ж)
Решение такой задачи дается интегральной формулой Пуассона [27]
u(x,z) = b 7
На поверхности Земли, т.е. при z = 0, величина и(х,О) может
быть измерена. Обозначим и(х,О) = f(x). Тогда для определения ис-
искомой функции v(x) получаем уравнение Фредгольма первого рода
— f
к J
R
(Л) (В)
Рис. 2

2. Физические примеры	15
б). К интегральному уравнению Фредгольма первого рода приво-
приводит задача восстановления размытого изображения. Пусть при фо-
фотографировании объекта его изображение было сфокусировано не
в плоскости эмульсионного слоя пленки, а на некотором малом рас-
расстоянии h от него (рис. 2). Обозначим: (А) — плоскость фотопленки;
(В) — плоскость изображения объекта; R — радиус объектива; / —
расстояние от линзы до плоскости (В); хну — координаты в плос-
плоскостях (А) и (В)] v(x,y) — освещенность в плоскости (А); и(х,у) —
освещенность в плоскости (В); S — поверхность фотокадра. Тогда
в рамках геометрической оптики получаем, что пучок лучей, схо-
сходящийся в точку на плоскости (В), в плоскости (А) равномерно
осветит круг пг радиуса t = Rh/f.
Аналитически эта ситуация описывается так: сходящемуся в точ-
точку с координатами (?, 77) на плоскости (В) световому пучку, не-
несущему единичный световой поток, соответствует освещенность
щ(х,у) = 5(х — ?,чУ — т})\ при этом в плоскости (А) получим освещен-
освещенность vo(x,y) = F[(x — ?J + (у — г]J]. Здесь S — дельта-функция,
если а > г2,
«-, если г2 > а > 0.
Отсюда, распределенной освещенности
и(х, у) = Г 5(х — ?, у — г}) и(?, г}) d^dr]
s
в плоскости (В) соответствует освещенность в плоскости (А):
г?(ж, у) = I F[(x — ?J + (у — г]J] и(?, г)) d^dr].
s
Это соотношение является интегральным уравнением Фредгольма
первого рода, определяющим и(х,у) при заданной v(x,y). Измеряя
на фотографии значение функции v(x,y) и решая полученное ин-
интегральное уравнение, можно восстанавливать неразмытое изобра-
изображение и(х,у). Результаты такой обработки изображения приведены
в качестве иллюстрации в § 28.
4. К однородным интегральным уравнениям Фредгольма второго
рода A.1) приводят задачи о собственных колебаниях систем, т.е.
колебаниях при отсутствии внешней силы. Рассмотрим, например,
задачу о малых поперечных свободных колебаниях струны перемен-
переменной плотности р(х). Пусть концы струны закреплены. Тогда для
поперечных отклонений струны u(x,t) выполнено:
р(х)ии = А2ихх, Ц0, t) = 0, u(l, t) = 0.	A.10)

16	Гл. 1. Введение
Поставим задачу определить профиль струны при свободных гар-
гармонических колебаниях, т.е. будем искать решения вида u(x,t) =
= y(x)smcot. Значения а;, при которых существует решение такого
типа, называются собственными частотами колебаний струны.
Для у (х) из A.10) получаем задачу
г/" = -т!я/> i/(o) = о, i/(O = o.	(l.ii)
Рассматривая правую часть уравнения A.11) как неоднородность,
записываем решение задачи A.11) в форме
у(х) 4l I G(x> s)p(sMs) ds,	A-12)
A о
где G(x,s) — функция Грина [25]. Таким образом, поставленная
задача свелась к определению тех значений а;, при которых суще-
существует нетривиальное решение однородного уравнения Фредгольма
второго рода A.12), и нахождению этих решений.
5. Пусть теперь струна находится под воздействием внешней на-
нагрузки, меняющейся по гармоническому закону F(x, t) = В(х) sinoot,
где uj — заданный параметр, В(х) — заданная амплитуда. Тогда
р(х)ии = А2ихх - В(х) smut,
u@,t) = 0, u(l,t) =0.
Будем искать решение в виде u(x,t) = у(х) smut. Для функ-
функции у(х) получим интегральное уравнение
4
А о
s)pW2/W ds + /(х),	A.13)
где /(ж) = ^ Г G{x, s)B(s) ds — известная функция. Интегральное
о
уравнение A.13) является неоднородным интегральным уравнением
Фредгольма второго рода.
Рассмотрим еще один пример, приводящий к интегральному урав-
уравнению того же типа.
В электростатике, гидростатике и многих других разделах физи-
физики стационарные по времени поля в отсутствие источников описы-
описываются уравнением Лапласа. При этом часто ставится задача опре-
определения функции и, удовлетворяющей соотношениям
Г Аи(М) = 0,
MeG	(L14)

§ 3. Особенности постановок задач для уравнений Фредголъма	17
где G — область пространства, ограниченная поверхностью Е; М —
точка, принадлежащая G; ц>(М) — заданная функция; и{М) — ис-
искомое решение.
В курсах математической физики [1,27] показано, что решение
задачи A.14) дается выражением
= / C0SJMP „(P) dap, M G G,	A.15)
i *мр
где Р Е Е; Rmp — расстояние между точками МиР; do~p — эле-
элемент поверхности Е, содержащий точку Р; фмр — угол между век-
вектором МР и нормалью к поверхности Е, восстановленной из точ-
точки Р внутрь области G; v{P) — некоторая функция. Эта функция
заранее неизвестна, но может быть найдена из следующего неодно-
неоднородного уравнения Фредгольма второго рода:
м е Е- AЛ6)
Таким образом, определение искомой функции и(М) сводится
к решению интегрального уравнения A.16) с последующим исполь-
использованием выражения A.15).
§ 3. Особенности постановок задач
для уравнений Фредгольма
Пример, разобранный в п. 4 предыдущего параграфа, показывает,
что в однородном интегральном уравнении Фредгольма второго рода
может содержаться неизвестный параметр (в A.12) это параметр и),
который выбирается так, чтобы однородное уравнение имело не-
нетривиальное решение (тривиальное решение однородное уравнение
Фредгольма имеет всегда). Поэтому и в общем случае однородное
уравнение Фредгольма второго рода записывается в виде
y(x)=\f K(x,s)y(s)ds,	A.17)
а
где Л — неизвестный параметр.
Значения параметра Л, при которых уравнение A.17) имеет не-
нетривиальное решение, называются собственными значениями ин-
интегрального уравнения A.17) (или собственными значениями ядра
K(x,s)), а отвечающие этим значениям нетривиальные решения на-
называются собственными функциями интегрального уравнения A.17)
(собственными функциями ядра).

18	Гл. 1. Введение
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода также принято
записывать с параметром
ъ
у(х) = A f K(x, s)y(s) ds + /(ж),	A.18)
а
но здесь Л обычно является заданной величиной. Как мы увидим ни-
ниже, если Л совпадает с одним из собственных значений ядра К(х, s),
то уравнение A.18) имеет решение не при любой f(x). Примени-
Применительно к струне это означает, что если частота ио возмущающей гар-
гармонической силы В (х) sin ujt совпадает с собственной частотой ко-
колебаний струны, то возникает явление резонанса, и решения вида
u(x,t) = y(x) sinc^t, вообще говоря, не существует.
Заканчивая вводную часть, отметим, что основные свойства ре-
решений интегральных уравнений в одномерном случае (когда инте-
интегрирование производится по отрезку) и в многомерном случае (когда
в уравнениях фигурируют поверхностные или объемные интегралы)
одинаковы. В то же время, одномерный случай проще с точки зре-
зрения восприятия материала, поэтому в настоящей книге изучается
этот случай, т.е. уравнения A.2), A.4), A.17) и A.18).

ГЛАВА 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА
§ 4. Вполне непрерывные операторы
в бесконечномерном евклидовом пространстве
1. Евклидово пространство. Для изучения вопроса существо-
существования собственных значений и собственных функций однородного
интегрального уравнения Фредгольма второго рода удобно восполь-
воспользоваться аппаратом функционального анализа, который мы сейчас
изложим.
Будем исходить из понятия бесконечномерного вещественного ли-
линейного пространства Н. Понятие линейного пространства введено
в курсе линейной алгебры (см., например, [15]). Элементы линейно-
линейного пространства называются векторами или точками.
Определение. Линейное пространство Н называется евклидо-
евклидовым, если каждой паре точек у Е H, z Е Н сопоставлено веществен-
вещественное число, называемое скалярным произведением векторов у и z
(обозначается: (y,z)) так, что выполнены следующие требования:
1)	(y,z) = (z,y);
2)	(y,z1+z2) = (y,z1) + (y,z2)i
3)	(Ху, z) = Х(у, z), где Л — любое вещественное число;
4)	(у, у) ^ 0, причем равенство нулю имеет место в том и только
в том случае, когда у = 0.
В дальнейшем под Н будем подразумевать бесконечномерное ев-
евклидово пространство.
Определение. Линейное пространство Н называется норми-
нормированным, если каждому элементу у G Н сопоставлено веществен-
вещественное число, называемое нормой вектора у (обозначается \\y\\), так что
выполнены следующие требования:
1)	IMI ^ 0? причем равенство нулю имеет место тогда и только
тогда, когда у = 0;
2)	\\Xy\\ = |А|||2/||, где А — вещественное число;
3)	Нз/ + г||^Ы1 + 1И|.

20	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
Наличие скалярного произведения позволяет ввести норму век-
вектора у следующим образом [15]:
1Ы1 = у/Ш)-	B-1)
Тем самым, евклидово пространство можно рассматривать как нор-
нормированное.
Справедливо следующее неравенство, называемое неравенством
Коши-Буняковского (см. [15]):
Кз/.*)| RIMINI;	B-2)
при этом равенство в B.2) имеет место тогда и только тогда, когда
у = az, где а — число.
Убедимся теперь, что евклидово пространство Н можно рассма-
рассматривать как метрическое. Напомним [25], что метрическим про-
пространством называется пространство, в котором каждой паре эле-
элементов у, z поставлено в соответствие число р(у, z), называемое рас-
расстоянием между элементами у и z так, что имеют место следующие
свойства:
1)	p(y,z) ^ 0, причем p(y,z) = 0 тогда и только тогда, когда
y = z]
2)	p(y,z) = p(z,y) (свойство симметрии);
3)	p{y,z) ^ р(у,и) + p(u,z) (неравенство треугольника).
Чтобы убедиться, что пространство Н может быть сделано метри-
метрическим, введем расстояние р(у, z) между элементами у G Н и z G Н
по формуле
p(y,z) = \\y-z\\.	B.3)
При этом свойства 1)-3) расстояния легко следуют соответственно
из свойств 1)-3) нормы. Получим, например, неравенство треуголь-
треугольника. Действительно,
p(y,z) = Ц2/-2Ц = \\y-u + u-z\\^
^ ||2/-ia|| + ||m-2|| = р(у,и) +p(u,z).
Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство, элемен-
элементами которого являются заданные на сегменте [а, Ь] непрерывные
функции, и введем скалярное произведение, положив
ь
(y,z) = I y(x)z(x)dx	B.4)
а
(в порядке упражнения предлагается проверить самостоятельно,
что выполнены свойства 1)— 4) скалярного произведения).
Будем обозначать построенное таким образом бесконечномерное
евклидово пространство через h[a,b].

§ 4. Вполне непрерывные операторы	21
Пользуясь понятием нормы, можно ввести понятие сходящейся
последовательности элементов.
Определение. Будем говорить, что последовательность
уп Е Н сходится к некоторому элементу у Е Н, если для \/г > О
3N(s) такое, что при п > N(e) выполнено неравенство \\уп — у\\ < г.
Элемент у называется пределом последовательности уп. Будем
применять обычное обозначение: у = lirr^^oo уп или уп —>¦ у.
Лемма 2.1 (о непрерывности нормы). Еслиуп—>у, то ||2/п||~НМ1-
Доказательство. Воспользуемся неравенством треугольника
\\y-z\\ ^ ||?/-ж|| + ||ж-2:||, откуда при z = 0 следует \\y-x\\ ^ |МН1#||>
\\у - х\\ = \\х - у\\ ^ ||ж|| - II2/H, т.е. | \\y\\ - \\x\\ | ^ \\у - х\\. Полагая
теперь х = уп, получим | \\y\\ - \\уп\\ | ^ \\у - уп\\, откуда сразу по-
последует утверждение леммы.
2. Линейный оператор в пространстве Н.
Определение. Пусть любому элементу у G Н поставлен в со-
соответствие по определенному закону элемент z G G (G — некоторое
пространство, вообще говоря, отличное от Н). Тогда говорят, что
в пространстве Н задан оператор А, и обозначают z = Ay.
В данной главе мы будем рассматривать операторы, отображаю-
отображающие элементы пространства Н снова в элементы того же простран-
пространства Н.
Определение. Оператор А называется линейным, если
1)	А(У1 +у2) = Ау1 +Ау2;
2)	А(ау) = а • Ау, где а — вещественное число;
Пусть у{х) G h[a,b]. Зададим функцию K(x,t), непрерывную по
совокупности аргументов при a^x^b^a^s^b. Определим опера-
оператор А (т. е. функции у(х) G /i[a, b] поставим в соответствие функцию
z(x) G h[a,b]) следующим образом:
z(x) = Ay= I K(x,t)y(t)dt.	B.5)
а
В силу непрерывности K(x,t) функция z(x) действительно принад-
принадлежит h[a,b]. Оператор, определяемый формулой B.5), называется
оператором Фредгольма. Оператор Фредгольма, очевидно, является
линейным оператором.

22	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
Определение. Вектор у ф 0 называется собственным векто-
вектором оператора А, если имеет место соотношение
Ау = Ау,	B.6)
где Л — некоторое вещественное число. Число Л называется соб-
собственным значением оператора А, отвечающим собственному век-
вектору у.
Рассмотрим оператор Фредгольма B.5). Для оператора Фредголь-
ма соотношение B.6) имеет вид
= Ау[х)
J K(x,s)y(s)ds = Ау(.
Сравнивая это с A.17), мы видим, что величина Л, которую мы опре-
определили как собственное значение интегрального уравнения Фред-
Фредгольма A.17), связана с Л соотношением Л = 1/Л. Имея в виду
приложение развиваемой в данной главе теории операторов к ис-
исследованию интегральных уравнений, мы будем интересоваться от-
отличными от нуля собственными значениями Л.
Определение. Нормой оператора А (обозначается \\A\\) назы-
называется неотрицательное число, определяемое следующим образом:
= sup ЦАуЦ при
Если существует А, то оператор называется ограниченным. В про-
противном случае оператор называется неограниченным. (В этом слу-
случае условно говорят, что \\A\\ = оо.)
Теорема 2.1. Если К(ж,?) является непрерывной по совокуп-
совокупности аргументов функций при а ^ х ^ Ъ, a ^ t ^ Ъ, то оператор
Фредгольма B.5) является ограниченным в h[a,b] оператором.
Доказательство. Из B.5) следует, что
[
= f z2(x)dx= Jdx[fK(x,t)y(t)dy\
Но, согласно неравенству Коши-Буняковского,
b	-, 2	b	b	b
\
r b
-, 2	b	b	b
K(x,t)y(t)dy\ ^ I K2(x,t)dt I y2(t)dt= f K2(x,t)dt,

4. Вполне непрерывные операторы	23
так как \\y\\2 = Г y2(t) dt = 1. Таким образом,
а
Ъ Ъ
\\Ay\\2 ^ /' dx I K2(x,t)dt = const.
а	а
Отсюда следует (см. [13]) существование sup||A?/|| при \\y\\ = 1, т.е.
ограниченность оператора Фредгольма. Теорема доказана.
Примером неограниченного оператора в h является опера-
оператор дифференцирования D. Оператор D определен не на всем h,
а в подпространстве непрерывно дифференцируемых функций.
Рассмотрим в /г[О,тг] последовательность непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций, принадлежащих единичной сфере (т. е. таких,
7Г
для которых \\уп\\2 = Г Уп(х) dx = l), а именно последователь-
о
ность уп(х) = y|sinnx. Тогда Dyn = -?гУп(х) = y|ncosnx
7Г
= Г ^ п2 cos2 nx dx = п2 —У оо при п —У оо. Отсюда следует,
о
что не существует sup||D^/|| при \\y\\ = 1, т.е. оператор D является
неограниченным.
Теорема 2.2. Для ограниченного линейного оператора А и лю-
любого элемента у G Н имеет место неравенство
\\Ау\\<:\\А\\-\\у\\.	B.7)
Действительно, пусть у ф 0. Тогда 2//112/11 есть единичный вектор
и, следовательно, Атт^тт ^ Щ||- Преобразуем левую часть этого
неравенства, пользуясь линейностью А. Получим трттЦА^/Ц ^ \\A\\.
Умножая полученное неравенство на \\y\\, приходим к B.7).
Если у = 0, то \\y\\ = 0 и Ау = 0 (см. определение линейного
оператора) и, следовательно, B.7) также справедливо (обращается
в равенство). Теорема доказана.
В дальнейшем в данной главе мы всюду будем считать А линей-
линейным оператором.
3. Непрерывный и вполне непрерывный оператор.
Определение. Оператор А называется непрерывным в точ-
точке у, если для Vs > 0 35(е) такое, что из неравенства \\у — z\\ < 5(e)
следует неравенство \\Ау — Az\\ < г. Если оператор А непрерывен

24	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
при \/у Е Н, то будем говорить, что оператор является непрерывным
в Н или, короче, просто непрерывным.
Замечание. Это же определение можно в полной аналогии
с понятием непрерывной функции сформулировать на языке по-
последовательностей: оператор А называется непрерывным в точке
?/, если какова бы ни была последовательность уп —>¦ у (напомним,
что это значит \\уп — у\\ —У 0), соответствующая последовательность
Ауп имеет пределом Ау (т.е. \\Ауп — Ау\\ —> 0).
Теорема 2.3. Ограниченный оператор является непрерывным.
Действительно, \\Ау — Az\\ = \\А(у — z)\\ ^ \\A\\ • \\у — z\\ < e при
Справедливо и обратное утверждение:
Теорема 2.4. Непрерывный оператор является ограниченным.
Доказательство. Допустим противное, т.е. допустим, что
оператор ограниченным не является. Это значит, что существует
последовательность уп такая, что \\уп\\ — 15 а Щ^п|| > ^- Тогда
> 1, в то
АЩ = ±\\Ауп\\ > 1 и, таким образом, \\А^ - АО
время как
^ — 0 = ^||2/п|| ~^ 05 чт0 противоречит непрерывности
оператора А. Теорема доказана.
Определение. Последовательность yn G Н будем называть
ограниченной, если существует не зависящая от п постоянная С та-
такая, что \\уп\\ < С.
Определение. Последовательность yn G Н будем называть
компактной в Н, если из любого бесконечного множества ее эле-
элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к не-
некоторому элементу у G Н.
Определение. Оператор А называется вполне непрерывным
в Н, если, какова бы ни была ограниченная последовательность век-
векторов уп, соответствующая последовательность Ауп является ком-
компактной в Н.
Теорема 2.5. Вполне непрерывный оператор является ограни-
ограниченным.
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть
оператор А не является ограниченным. Тогда существует последо-
последовательность уп такая, что \\уп\\ — 1? а Щ^п|| —>¦ оо. В силу пол-
полной непрерывности А из последовательности zn = Ayn можно выде-
выделить сходящуюся подпоследовательность znk —У z. С одной стороны,

§ 4. Вполне непрерывные операторы	25
\\znk\\ ~^ IIz\\•> величина которой ограничена. С другой, ||2nJ| —У оо,
поскольку znk является подпоследовательностью последовательно-
последовательности Ауп. Полученное противоречие доказывает теорему.
Следствие. Вполне непрерывный оператор является ограни-
ограниченным.
Замечание. Утверждение, обратное к теореме 2.5, вообще го-
говоря, несправедливо. Рассмотрим в пространстве h[a, b] оператор
А у = 1 • у = у. Этот оператор, очевидно, ограничен, однако впол-
вполне непрерывным не является. Рассмотрим последовательность уп
ограниченную, но некомпактную. Тогда оператор А оставит ее не-
некомпактной. Например, пусть
J^sinnx при 0 ^ ж ^ ^,
Уп(х) = S
О	при Щ- ^ х ^ 1.
При этом
% sin2 nxdx=
Допустим, что существует подпоследовательность АуПк = уПк,
сходящаяся в смысле нормы в /i[0,1], т.е. в среднем, к некоторой
непрерывной функции у(х). Имеем тогда для любого сколь угодно
малого фиксированного 5
д
I УУ^к V / У V / J	*	V * /
о
Но	л	л	л	л
О	0	0	0
I [Упк - У? dx = I у2Пк dx - 2 I ynkydx + f у2 dx.
О	0	0	0
Здесь, начиная с некоторого достаточно большого к, первое слагае-
слагаемое равно 1, а третье как угодно мало вместе с S в силу ограничен-
ограниченности у(х). Кроме того,
д
ynkydx
о
и, следовательно, второе слагаемое тоже как угодно мало. Таким
образом, мы получим противоречие с B.8).

26	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
Теорема 2.6. Если ядро K(x,t) непрерывно при а ^ х ^ Ь,
а ^ t ^ Ъ, то оператор Фредгольма B.5) является вполне непрерыв-
непрерывным.
Доказательство. Имеем
ь
zn = Ауп = / K(x,t)yn(t) dt.
a
В силу неравенства Коши-Буняковского
fK*(x,t)dtJfy*(t)dt.
Если \\уп\\ ^ С, то \zn(x)\ ^ КСл/Ь - а, где К = supa<a?<6 \K{x,t)\
(существует в силу непрерывности K(x,t)). Полученное неравенство
означает, что последовательность zn{x) является равномерно огра-
ограниченной на [а, Ь]. Докажем, что эта последовательность является
равностепенно непрерывной. Имеем
ъ
zn{xi) - zn{x2) = J[K(x1,t) -K(x2,t)]yn(t)dt.
a
Следовательно,
~ zn(x2)\ ^ СJ f[K(xut) - K(x2,t)]2dt <: e
при \K(xi,t) — K(x2,t)\ < ( e—г. Последнее неравенство выполне-
G \b — a)
но в силу непрерывности K(x, t) при \х\ —х2 \ меньше некоторого 8{е).
Тем самым, равностепенная непрерывность последовательности до-
казана.
В силу теоремы Арцела [14], из последовательности zn(x) можно
выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность znk (ж),
пределом которой является некоторая непрерывная на [а, Ь] функ-
функция z(x), т. е. элемент пространства /i[a, b]. Кроме того, известно [14],
что если znk сходится к z(x) равномерно, то сходится и в среднем,
т.е.
ъ
J [znk (х) - z(x)]2 dx -»> 0, или \\znh - z\\ -»> 0.

§ 5. Существование собственных векторов	27
Таким образом, доказано существование элемента z Е h[a, b] и су-
существование сходящейся к нему подпоследовательности, как требу-
требует определение вполне непрерывного оператора. Теорема доказана.
Определение. Симметричным (или самосопряженным) опе-
оператором называется оператор А, удовлетворяющий условию
(Ay,z) = (y,Az) Vt/бЯ, VzGH.	B.9)
Теорема 2.7. Оператор Фредгольма является симметричным,
(х^) = K(t,x).
Действительно,
ъ г ъ
{у, Az) = I у{х) [ I K{x, t)z(t) dt\ dx= f z(t) [ f K(x, t)y(x) dx\ dt =
a	a	a	a
b	Г b	1
= f z(t) [ f K(t,x)y(x) dx\ dt = (z,Ay),
a	a
что и требуется.
§ 5. Существование собственных векторов
вполне непрерывного симметричного оператора
1. Существование по крайней мере одного собственного
вектора. Докажем следующую теорему:
Теорема 2.8. Всякий симметричный вполне непрерывный опе-
оператор А обладает собственным вектором, которому отвечает соб-
собственное значение А, причем |Л| = Ц-АЦ.
Рассмотрим сначала случай ||А|| =0. Это означает, что \\Ay\\ = 0
при любом у, для которого \\y\\ = 1. Следовательно, Ау = 0 при
любом у. Таким образом, в этом случае любое у является собствен-
собственным вектором оператора А, а соответствующее собственное значе-
значение Л = 0. Для случая ||А|| = 0 утверждение теоремы, таким обра-
образом, справедливо. Но этот случай, как было указано выше, не пред-
представляет интереса для приложений к однородному интегральному
уравнению Фредгольма второго рода.
Проведем теперь доказательство для случая ||А|| ф 0. Оно осно-
основано на нескольких леммах.

28	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
Лемма 2.2. Для всякого симметричного оператора А и любого
единичного вектора е (||е|| = 1) справедливо неравенство
\\Ae\\2 <: \\А2е\\,	B.10)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда е явля-
является собственным вектором оператора А2 с собственным значени-
значением А = \\Ae\\2.
Доказательство. Имеем
|2 = (Ае,Ае) = (А2е,е) sC \\А2е\\ ¦ \\e\\ = \\А2е\\.
Пусть в B.10) имеет место равенство. Тогда в написанной только
что цепочке всюду имеет место равенство, в частности, равенство
(А2е,е) = ||^42е|| • ||е||. Следовательно (см. замечание относитель-
относительно перехода неравенства Коши-Буняковского в равенство в B.2)),
А2е = Ле, т.е. вектор е является собственным вектором операто-
оператора А2 с собственным значением Л. Имеем тогда в силу равенства
первого и третьего членов цепочки Ще||2 = (А2е,е) = (Ле,е) = Л.
Обратно, пусть А2е = \\Ae\\2 • е. Тогда
так как в неравенстве Коши-Буняковского имеется равенство. Лем-
Лемма доказана.
Определение. Назовем максимальным вектором оператора А
такой единичный вектор е (||е|| = 1), на котором \\Ae\\ = \\A\\, т.е.
достигается эирц^ц^ \\Ay\\.
Лемма 2.3. Симметричный вполне непрерывный оператор обла-
обладает максимальным вектором.
Доказательство. Обозначим для удобства \\A\\ через М. Рас-
Рассмотрим единичную сферу, т.е. совокупность векторов \\u\\ = 1. Обо-
Обозначим у = Аи. Так как М = sup||u||=1 \\y\\, то найдется последова-
последовательность ип такая, что \\уп\\ = ||^-^п|| ~^ М при п —у оо. В силу
полной непрерывности оператора А из уп можно выбрать подпосле-
подпоследовательность, сходящуюся к некоторому у G Н. Обозначим эту
подпоследовательность вновь через уп. Тогда, в силу леммы 2.1,
\\Уп\\ ~^ \\y\\ И5 следовательно, \\y\\ = М в силу единственности пре-
предела.
Положим z = -У-?. Вектор z является единичным вектором: ||2:|| =
мм	1V1
= 1. Докажем, что z является максимальным вектором, т.е.

§ 5. Существование собственных векторов	29
\\Az\\ = М. Построим последовательность zn = ^. При этом будем
иметь ||Агп|| = ||А-^|| = -^||А2^П||. Тогда, согласно лемме 2.2,
\\Azn\\ = ^P2^n|| ^ ^||A/n||2 = jf\\yn\\2. С другой стороны, со-
согласно теореме 2.2, ||Azn|| ^ ||A|| ||^n|| = Mj^\\yn\\ = \\yn\\. Таким
образом, справедливы неравенства
Uzn\\ 2 jfWVnW2, \\Azn\\ «С \\yn\\.	B.11)
Перейдем в этих неравенствах к пределу при п —у оо. Тогда
Уп —> У, Zn —> z, \\Уп\\ ~^ М, Azn —у Az (в силу непрерывности опе-
оператора А, следующей из полной непрерывности) и ||Azn|| —У \\Az\\ (в
силу леммы 2.1). В результате из B.11) получим, что \\Az\\ = М.
Лемма доказана.
Лемма 2.4. Максимальный вектор z симметричного операто-
оператора А является собственным вектором оператора А2 с собственным
значением М2.
Действительно, М2 = ||^4^г||2 и, согласно лемме 2.2 и теореме 2.2,
имеем М2 = \\Az\\2 ^ \\A2z\\ = \\A(Az)\\ <: \\A\\ \\Az\\ ^ \\A\\2\\z\\ = М\
В силу равенства крайних членов этой цепочки имеем сквозное ра-
равенство, так что Щ^Н2 = ||А22:||. Следовательно, согласно лемме 2.2,
вектор z является собственным вектором оператора А2 с собствен-
собственным значением 11^4.^||2, т.е. М2, что и требовалось.
Теперь докажем теорему 2.8. Имеем A2z=M2z, или (A2-M2)z=0,
или (А - М)(А + M)z = 0. Пусть вектор и = (А + M)z ф 0. Тогда
(А — М)и = 0 и Аи = Ми, т. е. и является собственным вектором опе-
оператора А с собственным значением М. Если же и = (A-\-M)z = 0, то
Az = —Mz и z является собственным вектором оператора А с соб-
собственным значением — М. Теорема доказана.
Замечание. Если оставить только требование симметрии и не
требовать полной непрерывности, то оператор А может и не иметь
собственных векторов. Пусть у(х) G h[a, b] и Ay = xy. Этот оператор
является симметричным:
ъ
(Ay, z) = J xy(x)z(x) dx = {у, Az).
a
Однако, очевидно, ни при каком Л = const и у{х) ф 0 не выполнено
тождество Ау — Ау, то есть, ху(х) = Ау(х).
2. Существование последовательности собственных век-
векторов. Мы доказали существование собственного вектора вполне

30	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
непрерывного симметричного оператора А. Возникает вопрос: име-
имеет ли А другие собственные векторы? Займемся его выяснением.
С этой целью нам удобно будет обозначить пространство Н, в кото-
котором было доказано существование собственного вектора, через Hi,
сам собственный вектор — через у\ (его будем считать нормирован-
нормированным, т.е. ||?/11| = 1), а соответствующее ему собственное значение —
через Ль
Лемма 2.5. Собственное значение А± является наибольшим по
модулю среди всех собственных значений оператора А.
Действительно, пусть Л — некоторое собственное значение опера-
оператора А, а у — отвечающий ему нормированный собственный вектор,
т. е. Ау = Ау. Тогда \\Ay\\ = |Л| ¦ \\у\\ = |Л|, т.е. |ЛХ| = suP|N|=1 \\Au\\ ^
^ |Л|, что и требовалось.
Построим подпространство Н2 пространства И\, элементы кото-
которого выделены условием (y,yi) = 0. Оно называется подпростран-
подпространством, ортогональным у\.
Введенное подпространство Н2 обладает следующими свойства-
свойствами:
1°. Н2 является подпространством, инвариантным относительно
оператора А, т. е. если |/ G Я2, то и Ay Е Н2.
2°. Н2 является подпространством, замкнутым относительно пре-
предельного перехода, т. е. если уп является последовательностью, схо-
сходящейся к у е Hi и уп е н2, то и у е н2.
Докажем 1°. Действительно,
(Ау,У1) = (у, Луг) = B/,Ai2/i) = Mv^i) = 0.
Докажем 2°. Действительно,
(У, 2/1) = (Уп + An, 2/i) = (Уп, 2/1) + (Ап, У1) = (Anj 2/1),
где An = у - уп и ||АП|| = \\у - уп\\ ->¦ 0 при п ->> оо. Следовательно,
|B/,2/i)| = |(An,2/i)| ^ l|An|| • ||2/iII = 1|АП|| -> 0 при п -> оо. Так как
B/?2/i) от п не зависит, то отсюда вытекает, что (y,yi) = 0.
Свойства 1° и 2° позволяют провести в Н2 все те рассуждения, ко-
которые были проведены в Н\ для доказательства существования соб-
собственного вектора. В Н2 справедливы леммы 2.2—2.4 и теорема 2.3,
а следовательно, имеет место теорема 2.8. Таким образом, в Н2
существует собственный вектор у2, ортогональный у\: (у2,у\) = 0
и ему отвечает собственное значение Л2, наибольшее по модулю сре-
среди всех собственных значений оператора А, отвечающих собствен-
собственным векторам из Н2.

§ 5. Существование собственных векторов	31
Процесс можно продолжать. Построим подпространство Н%, вы-
выделяемое условием (y,yi) = (у,у2) = 0. Получим, что существует
собственный вектор уз такой, что (уг^уз) = (у2,Уз) = 0- При этом
|Ai| ^ |Л21 ^ |Лз|. Описанный процесс может быть бесконечным,
и тогда существует бесконечная последовательность собственных
векторов у1,у2,...,уп,--ч где (уиУк) = 0 (г ф к) и соответству-
соответствующая последовательность собственных значений Л]_, Л2,..., Лп,...,
причем |Ai| ^ |Л2| ^ ••• ^ |ЛП| ^ ....
Но может случиться, что процесс оборвется на некотором шаге.
Это произойдет, если для некоторого т либо подпространство Нш
пусто, либо в подпространстве Нш имеет место соотношение Ау = 0
для My Е Нш. Последнее означает, что My Е Нш является собствен-
собственным вектором с собственным значением Л = 0.
Пример. Пусть А представляет собой оператор Фредгольма
1
Ау = Г xty(t) dt.
о
1
Тогда для любой функции у(х) G /i[0,1], такой, что Гу2(х) dx = 1,
имеем:	о
1Г 1	-.2	1 г 1	1	-1
\\Ay\\2 = / I / xty(t) dt\ dx^ I dx\f x2t2dt f y2(t) dt\ = 1/9,
00	000
то есть, \\A\\ ^ 77. Нетрудно видеть, что при у = хл/3 выполнено
Ау = х f t2\fbdt — -^= и ЦА^/Ц — А ( Щ^-dx — \^. Таким образом,
о	^3	Vo
||А|| = ^ и достигается при 2/ = жл/З, т. е. у = жл/З является макси-
максимальным вектором. А так как А(ху/$) = ^ (^л/З), то у = жл/З явля-
является собственным вектором, которому отвечает собственное значе-
значение Л = 1/3. Согласно установленной выше нумерации, функция
у = хл/3 является собственным вектором у\.
Построим подпространство И^. Оно состоит из векторов, ортого-
1
нальных вектору ху/3, т. е. удовлетворяющих условию fxy(x) dx = 0.
1	Q
Но тогда в В.2 имеем: Ау = Г xty{t) dt = 0 при My G #2, т. е. My G H2
о
является собственным вектором оператора А с собственным значе-
значением, равным нулю. Описанный выше процесс обрывается.

32	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
§ 6. Свойства собственных значений
и собственных векторов
вполне непрерывного симметричного оператора
1. Структура множества собственных значений и соб-
собственных векторов. В предыдущем параграфе была построена
последовательность собственных векторов и собственных значений
вполне непрерывного симметричного оператора А. Возникает есте-
естественный вопрос: получим ли мы таким образом все собственные
значения и собственные векторы данного оператора?
Пусть вполне непрерывный симметричный оператор А обладает
некоторым множеством собственных значений и собственных век-
векторов. Можно ли сказать что-нибудь о свойствах этих собственных
векторов и собственных значений, основываясь только на факте их
существования? Такие свойства принято называть априорными. Ис-
Исследование априорных свойств поможет получить положительный
ответ на вопрос, поставленный в начале пункта.
Теорема 2.9. Собственные векторы, отвечающие различным
собственным значениям, ортогональны между собой.
Действительно, пусть Ау\ = Л12/1, Ay2 = ^2У2- Умножим пер-
первое уравнение скалярно на у2, а второе — на у\ и вычтем одно из
другого. Получим
(У2,Ау1) - (yi,Ay2) =AiB/2,2/i) -А2B/1,2/2) = B/b2/2)(Ai -A2).
В силу симметрии А левая часть равна нулю. Поэтому получаем
B/1,2/2) (Ai - А2) = 0, и так как Ах ф Л2, то B/1,2/2) = 0. Теорема
доказана.
Теорема 2.10. Имеется не более конечного числа линейно не-
независимых собственных векторов, для которых отвечающие им соб-
собственные значения удовлетворяют неравенству |Л| > 5, где 5 > 0 —
любое наперед заданное число.
Доказательство проведем от противного. Пусть имеется бес-
бесконечная последовательность 2/ъ 2/2? • • • ? 2М? • • • таких векторов. Обо-
Обозначим Л]_, Л2,..., Лп,... собственные значения, отвечающие этим
векторам. Последовательность 2/ъ 2/2? • • • ? 2М? • • • ? вообще говоря, не
является ортогональной, т.е. (уг,Ук) Ф 05 если Л^ = Л&. Применяя
метод ортогонализации [15], можно заменить систему векторов, от-
отвечающих одному и тому же значению Л, ортогональной системой

§ 6. Свойства собственных значений и собственных векторов	33
векторов (сохраняя для новых векторов те же обозначения). Тогда
последовательность у\, у2,..., уп,... можно считать ортонормиро-
ванной, т.е. (у^ук) = 0 (г ф к), \\yi\\ = 1.
Имеем
= (Ayi - Ayk,Ayi - Аук) = Л2 + А2к > 252.
С другой стороны, в силу полной непрерывности оператора А из
последовательности Ауп можно выбрать сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность (обозначим ее снова Ауп), а всякая сходящаяся последо-
последовательность является фундаментальной, т.е. \\Ауп — Ауп+т\\ < г
для п > N(e), т > 0. Если выбрать г2 < 2?2, то получим противоре-
противоречие с написанным выше неравенством, которое, если в нем положить
i — n^k — n+ттг, имеет вид ||A^/n — A^/n+m||2 > 252. Теорема доказана.
Теорема 2.11 (следствие теоремы 2.10). Каждому отличному
от нуля собственному значению отвечает лишь конечное число ли-
линейно независимых собственных векторов.
Действительно, пусть Л — отличное от нуля собственное зна-
значение. Чтобы получить утверждение данной теоремы, достаточно
в предыдущей теореме положить S = |Л|/2.
Определение. Рангом собственного значения называется
максимальное число отвечающих ему линейно независимых соб-
собственных векторов.
Пользуясь этим определением, утверждение теоремы 2.11 можно
сформулировать так: каждое собственное значение оператора, от-
отличное от нуля, имеет конечный ранг.
Из теорем 2.9-2.11 можно сделать выводы:
1. Отличные от нуля собственные значения оператора образуют
последовательность, и их можно занумеровать в порядке убыва-
убывания модуля, нумеруя каждое собственное значение столько раз, ка-
каков его ранг. Этой последовательности собственных значений отве-
отвечает ортонормированная последовательность линейно независимых
векторов (линейно независимые собственные векторы 2/г?2/г+ь • • •
..., 2/г+р5 • • • ? отвечающие Л^ = Л^+i = • • • = Л^+р = ..., вообще гово-
говоря, неортогональны, но методом ортогонализации можно построить
столько же ортонормированных собственных векторов).
В дальнейшем будем считать, что система собственных векторов
уже приведена к ортонормированному виду.

34	Гл. 2. Существование и свойства собственных значений
2. Если оператор имеет бесконечное число собственных значений,
то |ЛП| —У 0 при п —У оо. Действительно, начиная с некоторого номе-
номера, все Лп удовлетворяют неравенству |ЛП| ^ #, в противном случае
было бы бесконечное число собственных значений, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству |ЛП| > S.
Замечание. Собственное значение ранга р > 1 можно нумеро-
нумеровать один раз (как Л/,), а отвечающие ему к собственных функций
нумеровать двойными индексами: у^г,..., Укр • Такой способ обозна-
обозначений будет использован в § 16.
Пользуясь доказанными свойствами, можно убедиться в том, что
построенная в § 5 последовательность собственных значений исчер-
исчерпывает все отличные от нуля собственные значения оператора А,
а любая собственная функция является линейной комбинацией тех,
которые получены в § 5.
В самом деле, построение § 5 дает следующую цепочку собствен-
собственных значений:
|Ai| ^ |Л2| ^ • • • > |ЛЛ_Р| = • • • = |ЛЛ| > |Лл+1| ^ ...
и соответствующую им последовательность собственных векторов
Допустим, что имеется собственный вектор у (отвечающий соб-
собственному значению Л / 0), линейно независимый от построен-
построенных. Тогда для некоторого номера к будет выполнено неравенство
|Л&| ^ |Л| > С, где С = |Ajfe_|_i|, если имеются отличные от нуля
собственные значения 0 < |Л^| < |Л|, и С = 0, если собственных
значений всего к + 1 и для всех для них |Л^| ^ |Л|. Вектор у орто-
ортогонален тем yi (г = 1,..., к), для которых Л^ ф Л (по теореме 2.9),
а также тем из щ (г = 1,..., к), для которых Л^ = Л (поскольку все
векторы, отвечающие одному собственному значению, ортонормиро-
ваны). Поэтому у G Hk+i. Имеем \\Ay\\ = |Л| • \\y\\ = |Л|, в то время
как sup	\\Ay\\ = С < |Л|. Получаем противоречие, которым
+
и завершается доказательство исчерпывающего свойства последо-
последовательности § 5.
2. Необходимое и достаточное условие отображения
в нуль. Докажем еще одно свойство собственных векторов, которое
будет использовано в гл. 4.
Теорема 2.12. Для того, чтобы вектор у удовлетворял урав-
уравнению Ау = 0, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ор-
ортогонален всем собственным векторам оператора А с отличными от
нуля собственными значениями.

§ 6. Свойства собственных значений и собственных векторов	35
Доказательство. 1° (необходимость). Пусть Ау = 0. Дока-
Докажем, что (у, yfi = 0 (г = 1, 2,...). Имеем
(v,Vi) = (v,^-) = i:(v,Avi) = ±(Ay,Vi) = 0,
что и требуется.
2° (достаточность). Допустим противное, т.е. допустим, что
(y,Vi) = 0 (г = 1,2,...), а Ау ф 0, и значит, \\Ay\\ = 6^0. Введем
единичный вектор ф = трту. Для него \\Аф\\ = трту = Si. Рассмо-
11У11	11У11
трим все собственные векторы у^ для которых |Л^| > -^-. По теоре-
теореме 2.10 таких собственных векторов конечное число: yi,... ,у\. Рас-
Рассмотрим подпространство i?/+i векторов, ортогональных yi,... ,yi.
Имеем sup	ll^ll = l^/+i| ^ ~^« С другой стороны, ^ G
S1
и Щ^И = ^i- Полученные противоречие доказывает утверждение 2°.
Теорема доказана.

ГЛАВА 3
ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ВТОРОГО РОДА
§ 7. Собственные функции и собственные значения
однородного уравнения Фредгольма второго рода
Рассмотрим однородное уравнение Фредгольма второго рода
ъ
у(х) = А [ К(х, s)y(s) ds, х е [а, Ь].	C.1)
а
Определение. Значение параметра Л, при котором существует
нетривиальное решение уравнения C.1), называются собственным
значением уравнения C.1), а само нетривиальное решение называ-
называются собственной функцией уравнения C.1).
Замечание 1. Очевидно, Л = 0 не может быть собственным
значением, так как ему отвечает только решение у = 0.
Замечание 2. Вместо того, чтобы говорить "собственное зна-
значение и собственная функция интегрального уравнения", часто го-
говорят "собственное значение и собственная функция ядра". Вместо
термина "собственное значение" употребляется также термин "ха-
"характеристическое значение".
Будем предполагать, что ядро K(x,s) при x,s Е [а, Ь] удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
1°. К(х, s) — вещественная функция.
2°. K(x,s) ^0.	C.2)
3°. K(x,s) — непрерывная функция по совокупности аргумен-
аргументов.
4°. K(x,s) — симметричное ядро, т.е. K(x,s) = K(s,x).
В главах 3-4 всюду, за исключением специально оговоренных
случаев, будем считать эти требования на ядро выполненными.
Свойства собственных значений и собственных функций.
Теорема 3.1. 1. Собственные значения ядра K(x,s) вещест-
вещественны.

§ 7. Собственные функции и собственные значения	37
2. Нахождение комплексных собственных функций сводится к на-
нахождению вещественных собственных функций.
Доказательство. Допустим, что Л = \± + iv — собственное
значение ядра K(x,s), &y(x) — соответствующая собственная функ-
функция. Для них выполнено соотношение
ь
у(х) = A J K(x,s)y(s)ds.
a
Учитывая, что К(х, s) вещественно, имеем для комплексно сопря-
ъ
женных величин у*(х) = Л* Г K(x,s)y*(s) ds. Пользуясь написан-
написанными двумя соотношениями, Ъмеем
ъ	ъ	ъ	ъ
J \y(x)\2dx = J yy*dx = Л* J y(x)dx J K(x,s)y*(s) ds,
a	a	a	a
b	b	b	b
J \y(x)\2dx = J y*ydx = X J y*(x)dx J K{x,s)y{s) ds.
a	a	a	a
Так как в силу симметрии K(x,s) двойные интегралы справа равны
между собой, то, деля первое из этих соотношений на Л*, а второе
на Л и вычитая друг из друга, получим
±-\) f\y(x)\2dx = 0.
а
b
Так как Л* ф Л, то отсюда Г \y(x)\2dx = 0, т.е. у(х) = 0. Это про-
a
тиворечит предположению о том, что у(х) — собственная функция
ядра К(х, s). Следовательно, v = 0 и Л может быть только действи-
действительным числом.
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть действительному
собственному значению Л соответствует комплексная собственная
функция у(х) = у\ (х) +гз/2 (#), где у\ (х) и 2/2 (ж) вещественны. Тогда
ъ
имеем у\(х) +iy2(x) = Л Г K(x,s)[yi(s) +iy2(s)]ds. Разделяя в этом
соотношении вещественную и мнимую части, получим
b	b
yi(x) = Л f K(x,s)y1(s)ds, y2{x) = Л f K(x,s)y2(s) ds.
a	a
Таким образом, нахождение комплексной собственной функции у(х)
сводится к решению уравнения C.1) для вещественных функций.

38	Гл. 3. Однородное уравнение Фредголъма второго рода
Теорема 3.2. Если К(х, s) непрерывно и К(х, s) ф. О, то норма
оператора Фредгольма отлична от нуля.
Доказательство. Обозначим
ъ
z{x) = A Г К(х, s)y(s) ds (или z = Ay).
a
Так как K(x,s) ^ О, то существует точка (xo,so), B которой
K(xo^so) ф 0 (пусть, для определенности, K(xo^so) > 0). Тогда,
в силу непрерывности, К(хо, s) > 0 при so — S ^ s ^ so + 5, если S
достаточно мало.
Возьмем неотрицательную непрерывную функцию и(х), равную
нулю на отрезках [a, so — 5] и [so + ?, Ь] и положительную в интервале
(so — S,so + S) (в остальном — произвольную). Тогда
Ъ	sq+5
\\u\\2 = fu2(s)ds = I u2(s)ds>0.
a	so—5
Пусть y(s) = -rp-ff. Эта функция обладает нормой, равной единице,
11^11
и, как и u(s), положительна в интервале (so — S,so + S) и равна нулю
вне его. Тогда
Ъ	so+5
z(x0) = J К(х0, s)y(s) ds = f K(xo,s)y(s) ds > 0.
a	so—6
Таким образом, z(x) ^ 0 и, следовательно, ||;z|| = \\Ay\\ > 0. Тогда
||A|| = supii^n^ \\Ay\\ > 0, что и требовалось.
Итак, собственные значения интервального уравнения C.1) могут
быть только вещественными и достаточно находить только веще-
вещественные собственные функции. Норма оператора Фредгольма при
выполнении условий C.2) отлична от нуля. Поэтому к интегрально-
интегральному уравнению C.1) мы вправе применять развитую в предыдущей
главе теорию.
Уравнение C.1) можно записать в форме
У = \Ау,	C.3)
ъ
где Ay = I K(x,s)y{s) ds — оператор Фредгольма. Этот оператор
a
при условиях C.2) является симметричным (теорема 2.7) и вполне
непрерывным (теорема 2.6) оператором. Соотношение C.3) совпа-
совпадает с уравнением B.6) при Л = 1/Л. Поэтому результаты §§ 5 и б
предыдущей главы можно применительно к уравнению Фредголь-
Фредгольма B.1) сформулировать следующим образом:

§ 7. Собственные функции и собственные значения	39
Теорема 3.3. 1. Существует конечная или бесконечная после-
последовательность линейно независимых собственных функций и соот-
соответствующих собственных значений ядра K(x,s).
2.	Собственные функции, соответствующие различным собствен-
собственным значениям, ортогональны. Ранг любого собственного значения
конечен. Всю систему собственных функций можно ортонормиро-
вать, так чтобы были выполнены соотношения
ъ	ъ
f yi(x)ym(x) dx = 0 {гфт), J y\[x)dx = 1.
a	a
3.	Каково бы ни было L > О, может существовать лишь ко-
конечное число собственных значений, удовлетворяющих неравенству
| Л | < L. Если все число собственных значений бесконечно и их рас-
расположить в порядке возрастания абсолютной величины
|Ai| ^ |А2| ^•••^ |ЛП| ^..., то lim|An| = oc.
п—>-оо
В дальнейшем будем считать, что система собственных функций
приведена к ортонормированному виду.
Пусть найдены собственная функция у\{х) ядра K(x,s) и соот-
соответствующее собственное значение Ai. Возникает вопрос: как найти
другие собственные функции?
Теорема 3.4. Если у1 (х) — собственная функция ядра К(х, s)
и Ai — соответствующее собственное значение, то ядро
имеет те же собственные значения и собственные функции, что
и ядро K(x,s), кроме у\{х) и \\.
Доказательство разобьем на три этапа.
а. Пусть г/2 (х) и А2 — собственная функция и собственное значе-
значение ядра KB\x,s). Покажем, что у^ ортогональна у\. Обозначим
ь	ьг
= I ifB)(ж, s)y(s) ds= f \K(x, s)
= Ау-
Поскольку ядро KB\x,s) симметрично, то оператор А^ является
симметричным. Учитывая это, а также условие B/1,2/2) = 1? имеем

40	Гл. 3. Однородное уравнение Фредгольма второго рода
Таким образом, B/1,2/2) = 0, что и требовалось.
б. Докажем, что 2/2 (х) является собственной функцией ядра
K(x,s). Действительно,
2/2 = )
Последнее слагаемое равно нулю, поскольку B/1,2/2) = 0. Следова-
Следовательно, 2/2 = ^2^-2/2, что и требовалось.
в. Докажем, что всякая собственная функция у(х) ядра K(x,s),
кроме 2/1 (х), является собственной функцией ядра K^2\x,s). Пусть
у = ХАу. Рассмотрим равенство
1 g _ Ж{yyi).
Если 2/(ж) совпадает с у\ [х), а А соответственно с Ai, то правая часть
равенства обращается в нуль. Поэтому AS2'у — 0, а это значит, что
у(х) не является собственной функцией ядра К^ (ж, s). Если же у(х)
не совпадает с у\(х), то (y,yi) = 0. Следовательно, А^2^ = -^г и у
Л
является собственной функцией ядра КB\х, s).
Следствие. Если 2/ъ--->2/п — собственные функции ядра
K(x,s), a Ai,..., Ап — соответствующие собственные значения, то
ядро
имеет те же собственные функции и собственные значения, что
и ядро K(x,s), за исключением 2/ъ • • • ? 2М-
Для доказательства следствия достаточно применить теорему 2.3
п раз, последовательно повышая на единицу индекс m ядра K^m\x,s).
Пусть найдены п собственных функций ядра K(x,s), где п ^ 1.
Строим ядро К^п+1\х, s). Если К^п+1\х, s) ф 0, то легко проверить,
что для него выполнены все требования C.2). Следовательно, суще-
существует собственная функция уп+-\_(х) ядра Х(п+1)(ж, s). Эта функ-
функция 2/n+i (х) будет по доказанному являться и собственной функцией
ядра К(х, s), ортогональной yi(x),... ,уп(х). Таким образом, будут
найдены уже п + 1 собственных функций. И так далее.
При этом возможны два исхода. Либо процесс будет продолжать-
продолжаться бесконечно и можно указанным алгоритмом определить любое
нужное число собственных функций, либо на некотором ттг-м шаге
получим
K^+l\x,s) = K(x,s) - JT Vi(x)xfs) = 0.

§ 8. Определение собственных значений и собственных функций	41
В этом случае ядро K(x,s) относится к так называемым вырожден-
вырожденным ядрам, которые изучаются в § 9.
Замечание. Проведенное в настоящем пункте построение по-
последовательности собственных значений и собственных функций
в точности соответствует тому построению, которое было проделано
в абстрактной форме в гл. 2.
§ 8. Определение собственных значений
и собственных функций по методу Келлога
Выше было доказано существование собственных функций у ядра
K(x,s), удовлетворяющих требованиям C.2), но не указывался ме-
метод их конструктивного определения. Последний вопрос рассматри-
рассматривается в настоящем параграфе.
Собственные функции и собственные значения ядра могут быть
найдены, например, путем последовательных приближений по ме-
методу Келлога.
Рассмотрим интегральное уравнение
ъ
у(х) =XAy = Xf K(x, s)y(s) ds	C.4)
а
в случае, когда ядро K(x,s) удовлетворяет условиям C.2). Пока-
Покажем, что собственные функции и собственные значения ядра K(x,s)
могут быть найдены путем некоторого рекуррентного процесса. Пе-
Перейдем к описанию этого процесса.
1. Выберем произвольную непрерывную функцию уо{х) такую,
что Ауо ^ 0. Определим последовательность функций уп(х) для
п > 1 из рекуррентного соотношения
Уп = Ауп-1-	C.5)
Обозначим \\уп\\ — Nn. Имеет место соотношение
K = (yP,yq),	C.6)
где р + q = 2n. Действительно, пусть р = п + m, a q = п — т. Тогда
в силу симметрии оператора А имеем
(Ур,Уя) = {Ашуп,Уо) = {уп,АшУо) = (Уп,Уп) = Nl.
Для нормированных функций ipn = Упи = -?г- из C.5) получаем
\\Уп\\ ^п
ipn = iinAipn-i, где fin = -*p^.	C.7)

42	Гл. 3. Однородное уравнение Фредголъма второго рода
2. Докажем сходимость последовательности \±п. Из формулы
N2 = B/n_i,2/n_|_i) в силу неравенства Коши-Буняковского получа-
получаем N2 ^ 7Vn_i7Vn+b Отсюда -5^ ^ -^- или /xn ^ /xn+i ^ 0. Та-
ким образом, последовательность \±п — монотонно невозрастающая
и ограничена снизу. Следовательно, существует предел lirr^^oo \in =
Покажем, что /i / 0. Для этого соотношение C.5) умножим
на уп, проинтегрируем по ж и воспользуемся неравенством Коши—
Буняковского. Имеем
ъ	ъ
Nn = (УтУп) = (УтАуп-i) = f yn(x)dx I K(x,s)yn-1(s)ds ^
I I K2(xjS)dxdsJfyldx fyl^ds = CNnNn-U
а а
b b
где С2 = f f K2(x,s)dxds.
a a
Отсюда Nn ^ CNn-i и an = ?T~ ^ i > 0. Предельный переход
-Lin	Су
при п —У оо дает /i = Игг^^оо ап ^ -^ > 0.
3.	Убедимся в том, что Nn ф 0, а следовательно, 2/п(ж) ^ 0- Дей-
Действительно, у о выбрано так, что у\ — Ауо ф. 0. При этом будет вы-
выполнено Nq > 0 и Ni > 0. Из неравенства N2No ^ N2 следует
N2 Ф 0. Аналогично получаем N<$ ф 0 и так далее. Таким образом,
все 7Vn 7^ 0 для п ^ 0.
4.	Докажем, что четные итерации (/?2п сходятся в среднем к неко-
некоторой функции (р(х), а нечетные итерации (/?2n+i — к (?(ж)-
Функции срп(х) непрерывны и нормированы на единицу. Опера-
Оператор А переводит такие функции в последовательность равномерно
ограниченных и равностепенно-непрерывных функций (см. доказа-
доказательство теоремы 2.6). Поскольку Atpn-\ — ^, то последователь-
ность j— состоит из равномерно ограниченных и равностепенно-
непрерывных функций. По доказанному, тр ^ 7/ • Отсюда следует,
что последовательность срп также состоит из равномерно ограничен-
ограниченных и равностепенно-непрерывных функций.
Таким же свойством обладают в отдельности последовательности
четных Lf2n и нечетных (/?2n+i итераций.
По теореме Арцела существует подпоследовательность ipm после-
последовательности ^р2п-, равномерно сходящаяся к некоторой непрерыв-
непрерывной функции (р(х). Из равномерной сходимости следует сходимость
срт к (р в среднем.

§ 8. Определение собственных значений и собственных функций	43
Докажем, что вся последовательность (р2т, а не только подпо-
подпоследовательность ipm сходится к (р в среднем. Действительно, из
сходимости ipm следует, что для любого г > 0 можно указать но-
номер по(е) такой, что для любых функций ipmi и срт2 из после-
последовательности ipm с номерами mi,m2 > по(е) будет выполнено:
4ьт2 = ll^mi - Vm2|| < е- Пусть, для определенности, т2 > ть
Убедимся, что для всех четных тик таких, что т\ ^ т ^ к ^ Ш2,
выполнено неравенство ||<рт — ^|| < г. Этим будет доказана сходи-
сходимость в среднем всей последовательности (р2п. Действительно, рас-
рассмотрим выражение Jm,k = Цфт — фк\\- Учитывая, что \\ipm\\ =
= \\(рк\\ = 1, имеем 32шк = 2- 2((рт,(рк) или
9 Т2	0(,п ,п \ 2(У™»Ук) 2N(rn+k)/2
Последнее равенство имеет место в силу C.6). Заменяя в C.8) к на
к + 2, получим
2 ~
NmNk _
2 — J и	N'
ТП ,rC	yi ц-\- гъ j / л
/oil	7\7".	Л Г.	......
^ 1,	C.9)
_ N(m+k)/2+l Nk+1 Nk _ fj,k fj,k
так как fi(m+k)/2+i ^ Цк ^ Цк+i ПРИ тп < к. Заменяя в C.8) m на
m — 2, имеем
2 ~ ^m
Из C.9) и C.10) получаем, что Jm,fe+2 ^ Jm,fe и Jm_2,fe ^ Jm,jfe. Уве-
Увеличивая индекс к до т2 и уменьшая индекс т до mi, будем иметь
ll^rn - <Рк\\ = ^ттг,А; ^ Jmlim2 < Е^ чт0 и требовалось доказать.
Аналогично устанавливается сходимость в среднем последова-
последовательности (^2n+i к некоторой непрерывной функции (р{х).
5. Докажем, что из равностепенной непрерывности и сходимости
в среднем последовательности (р2п следует ее равномерная сходи-
сходимость к (р(х).
Рассмотрим разность ujmn(x) = (pm(x) — tpn(x) при четных ттг, п.
В силу равностепенной непрерывности (рт(х) и (рп(х) для любого
е > 0 справедливо неравенство
-umn(x2)\ < г при |xi -х2\ < 5(е)	C.11)

44	Гл. 3. Однородное уравнение Фредголъма второго рода
для всех т, п. Кроме того,
ъ	ъ
J и2шпAх = f[<pm(x) -cpn(x)]2dx < г	C.12)
при т,п > п{е) в силу сходимости последовательности срп(х)
в среднем.
Докажем, что
\иШп\<? при m,n>N(e)	C.13)
для всех х Е [а, Ь]. Отсюда следует справедливость утверждения
настоящего пункта.
Выберем произвольное г > 0. Тогда для любого х Е [а, Ь] найдется
Xk такое, что при \х — Xk\ < S(s/2) справедливо неравенство
\иШп(х) - итп(хк)\ <е/2	C.14)
для всех х G [а, Ь]. Покроем [а, Ь] конечным числом интервалов //,,
длина которых равна S(e/2). Тогда можно утверждать, что для всех
достаточно больших т, п > N(e) и любого //. найдется точка Xk G /&,
в которой
\{)\e/2.	C.15)
Действительно, допустим противное. Тогда найдется интервал Ik
и такие сколь угодно большие номера т, п, что для всех х Е Ik
имеет место неравенство |а;шп(ж)| ^ г/2. Следовательно, для таких
m, n имеет место неравенство
Ь	2
'-'ran — / ^тп ^ / ^тп ^ "
противоречащее C.12).
Из C.14) и C.15) следует, что для любого х G Ik выполнено
\и;тп(хк)\ < | + | = г
при ??г,п > iV(e),
т.е. доказано неравенство C.13).
6. Итак, доказано, что (^2п =^ ф- Аналогично доказывается, что
(f2n+i =^ <Р- Совершая предельный переход в C.7) по последова-
последовательности с четными и нечетными номерами, получим
Ср = /лАср, Ср = \iA(p.	C.16)

§ 8. Определение собственных значений и собственных функций	45
Отсюда (р = ц2А2(р или (fiA + l)(/i-4 — 1)<р = 0. Последнее равенство
возможно в двух случаях:
а)	(цА — 1)(р = 0, т.е. (р = цА(р. В этом случае \i является соб-
собственным значением уравнения C.4), а из C.16) следует, что (р = (р;
б)	z = ([лА - 1)<р ф 0. Тогда (fiA + \)z = 0, или z = -/iAz. Сле-
Следовательно, (—/i) является собственным значением уравнения C.4).
Из C.16) следует тогда, что z = /iA(^ — (р = (р — (p.
Таким образом, либо \ = [i, у = (р = (р, либо Л = —/л, у = (р — (р
являются собственным значением и собственной функцией уравне-
уравнения C.4).
Замечание. Приведенные рассуждения представляют со-
собой независимое от результатов гл. 2 доказательство существова-
существования собственного значения и собственной функции уравнения C.4),
а кроме того, дают возможность эффективного получения собствен-
собственного значения и собственной функции в виде пределов последова-
последовательностей.
Пример. Рассмотрим уравнение
y(x) = Xf(-ex+s)y(s)ds.	C.17)
О
Выбираем начальное приближение у о = 1. Из рекуррентного соот-
соотношения yi+i = Ayi определяем последующие приближения:
У1(х) = }(-ex+s)ds = -ex(e-l
О
У2(х) = |(_е*+«)(-е')(е - 1) ds = -еЦе -
о
Находим НгПу^оо ¦¦ ¦¦ = -^— = |А|. Строим нормированные
Il2/n+i||	e - 1
функции фп = тт^ту = {-l)n^f—• Отсюда
\\Уп\\	е — 1
(р = lim (р2п = 2 Л = - lim (p2n+i = -<Р-
Таким образом, (р — (р = —^— является собственной функцией ин-
интегрального уравнения C.17), соответствующей собственному зна-
чению Л = —^	•
е2-1

46	Гл. 3. Однородное уравнение Фредголъма второго рода
§ 9. Вырожденные ядра
Определение. Ядро K(x,s), представимое конечной суммой
вида
N
K(x,s) = ^2U-(x)u;n(s)	C.18)
71=1
называется вырожденным ядром.
Теорема 3.5. 1°. Вырожденное ядро имеет конечное число*^
собственных значений.
2°. Если симметричное ядро K(x,s) имеет конечное число соб-
собственных значений, то оно вырождено.
Доказательство. Докажем 1°.
Рассмотрим уравнение C.1) с вырожденным ядром. Имеем
ъ
N	N
у(х) = Л J Y, ttn{x)un{s)y{s) ds = X^2 Пп(х)Сп,	C.19)
a n=l	n=l
b
где Сп = f con(s)y(s) ds. Подставим у(х) в виде суммы C.19) в по-
a
следнее соотношение. Получим
ъ	N	N
Cm= I OJm(s) [X Y, Vn(s)Cn] ds = XY, CnPnrn ,	C.20)
a	n=l	n=l
b
где Рпш = f un(s)u;m(s) ds.
a
В результате мы пришли к системе однородных алгебраических
уравнений C.20) относительно Сш. Нас интересует нетривиальное
решение системы C.20). Последнее возможно, если
det{?nm - ХРпш] = 0.	C.21)
Это соотношение является алгебраическим уравнением JV-й степени
относительно Л. Как известно, оно имеет не более N различных
корней. Отсюда следует утверждение п. 1°.
*)В понятие "конечное" число здесь включается также и нуль, т. е. вырожден-
вырожденное ядро, в частности, может вовсе не иметь собственных значений. Очевидно,
в этом случае ядро должно быть несимметричным (см. ниже, пример 3).

9. Вырожденные ядра	47
Докажем 2°. Действительно, по теореме 2.11 ранг каждого соб-
собственного значения симметричного ядра К(х, s) конечен. Следо-
Следовательно, число независимых собственных функций также конеч-
конечно. Пусть 2/i,..., уп — совокупность всех линейно независимых соб-
собственных функций, приведенная к ортономированному виду,
a Ai,..., Ап — соответствующие собственные значения (некоторые
из них могут совпадать). Рассмотрим ядро
п
H(x,s) =K(x,s)-
Допустим, что Н ^ 0. Тогда для ядра Н(х, s) выполнены все тре-
требования C.2) и у него должна быть собственная функция yn+i(x).
Согласно доказанному выше, yn+i(x) ортогональна всем Уг(х)
(г = 1,...,п) и является собственной функцией ядра K(x,s). Так
как, по условию, 2/ъ • • • ? 2М — совокупность всех линейно независи-
независимых собственных функций ядра K(x,s), то yn+i(x) = J^ILi СгУг(х).
Учитывая, что (уп+1, У г) = 0 (г = 1,..., п), получим
п	п
||2/n+i||2 = (Уп+ьг/n+i) = [yni^Ciyi) =^2Ci(yn+1,yi) = 0.
г=1	г=1
Соотношение ||2/n+i||2 = 0 противоречит тому, что уп+\{х) — соб-
собственная функция ядра K(x,s). Полученное противоречие доказы-
доказывает, что Н(х, s) = 0 и, следовательно, ядро К(х, s) является выро-
вырожденным.
Замечание. 1. Утверждение 1° справедливо как для симме-
симметричных, так и для несимметричных ядер. В последнем случае соб-
собственные значения, определяемые из C.21), и собственные функции
могут, вообще говоря, оказаться комплексными.
2. В случае вырожденного ядра собственные функции могут быть
определены путем решения системы алгебраических уравнений
C.20) (в которой А найдено из C.21)) с последующей подстановкой
полученных значений Ст и А в правую часть C.19).
Пример 1. Требуется определить собственные функции и соб-
собственные значения интегрального уравнения
1
у(х) = Xf(x-s)y(s)ds,	C.22)
о
в котором ядро K(x,s) = х — s = х -1 — 1 • s — вырожденное и несим-
несимметричное. Правая часть C.22) представляет собой полином первой

48	Гл. 3. Однородное уравнение Фредголъма второго рода
степени относительно х. Поэтому решение имеет вид у(х) = ах + Ъ.
Подставляя это выражение для у{х) в C.22), получаем
ах + Ъ = X f (х - s)(as + Ъ) ds = х[х(% + b) - (f+ |)]-
о
Приравнивая коэффициенты при нулевой и первой степенях х спра-
справа и слева в этом соотношении, имеем
Нетривиальное решение этой системы алгебраических уравнений
существует, если определитель
1-7 -л
А	л , А
= 0.
Отсюда Л = ±iy/l2. При этом из C.23) следует а = ^(т~^)
Таким образом, получаются два решения:
Ai = гл/12, 2/1 (ж) =С[л/12 + Зх(г-л/3)],
Л2 = -гл/12, у2(х) = С[л/12 - Зж(г + л/3)],
где С — произвольная постоянная.
Комплексные собственные значения получились в результате то-
того, что ядро К(х, s) = х — s не является симметричным.
Пример 2. Рассмотрим однородное интегральное уравнение
y(x) = Xf(x2s2-l)y(s)ds.	C.24)
О
Ядро K(x,s) = x2s2 — 1 является симметричным и вырожденным.
2
Ищем решение уравнения C.24) в виде у(х) = ах2 + Ъ. Имеем
1
= \ f(x2s2 - l)(as2 + b)ds.
о
Приравнивая коэффициенты при х2 и ж0, получим
1
а = X J s2(as2 + b)ds = Af^ + |V
о
1	,	ч
Ь= -X Г (as2 + b)ds = \(-% -b).

9. Вырожденные ядра	49
Нетривиальное решение этой системы алгебраических уравнений
относительно а и Ъ существует при условии
1-
А	А
5 ~3
1 + А
= 0.
г,	л 9 + Зл/П л 9-Зл/14
Отсюда находим Ai = 	<^—, А 2 = 	<f-—, а из первого уравне-
уравнения алгебраической системы следует b = 3a(j- — jr).
Таким образом получаются две собственные функции, соответ-
соответствующие собственным значениям Ai и А2:
1
Значение а можно найти из условия Г у}(х) dx = 1.
о
Собственные функции у\ и у<± отвечают различным собственным
значениям. Проверим ортогональность у\ и у2'.
\ J y1(x)y2(x)dx =
Пример З. Рассмотрим уравнение
7Г
у{х) = А Г cos х sin s 2/(s) (is.	C.25)
0
Из уравнения C.25) следует, что у(х) имеет вид у{х) = С cos ж, где
7Г
С = \ Г sins • y(s)ds. Подставляя в последнее соотношение у(х)
о
7Г
в указанном виде, получим С = А Г sins • С cos sds = 0. Следо-
о
вательно, уравнение D.23) имеет лишь тривиальное решение при
любых значениях А.

ГЛАВА 4
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
§ 10. Теорема Гильберта—Шмидта
В предыдущей главе было доказано, что существует ортонор-
мированная последовательность собственных функций однородного
интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Тем самым, для
любой f(x) Е /i[a, b] можно построить ряд Фурье по этим собствен-
собственным функциям. Возникает вопрос: при каких условиях построенный
ряд Фурье будет сходиться к функции /(ж)? Ответ на поставленный
вопрос дает так называемая теорема Гильберта—Шмидта.
Определение. Будем говорить, что непрерывная функция /(ж)
представима через ядро K(x,s), если существует непрерывная на
[а, Ь] функция h(x) такая, что
ъ
f(x) = I K(x,s)h(s)ds	D.1)
а
или, записывая иначе,
/ = Ah.	D.2)
Теорема 4.1 (теорема Гильберта-Шмидта). Если f(x) предста-
представима через симметричное ядро K(x,s), то она может быть разложе-
разложена в ряд
f(x) = J2fiyi(x)>	D-3)
г=1
Ъ
где fi = Г f(x)yi(x)dx, причем ряд D.3) сходится на [a,b] к f(x)
a
абсолютно и равномерно.
Доказательство. Сначала докажем, что в случае невыро-
невырожденного ядра, т. е. бесконечного множества собственных значений,
ряд в правой части D.3) сходится абсолютно и равномерно. Вос-
Воспользуемся критерием Коши и рассмотрим сумму Yl^™ l/*l |2/*(жI-
Выражение для коэффициента Фурье /i, указанное в теореме, имеет
вид fi = (/, yi). Поэтому в силу C.2)
fi = (Ah, Vi) = (h, Ayi) =(h,3j?) = k	D.4)

10. Теорема Гильберта-Шмидта
51
Тогда
п+га
n+ra
n+m
n+ra о/ \
yj(x)
D.5)
(последнее звено в этой цепочке неравенств основано на неравен-
неравенстве Коши-Буняковского применительно к скалярному произведе-
произведению вида (a, b) = Yl^=i аЛ в конечномерном линейном простран-
пространстве, элементами которого являются системы чисел ai,..., ар).
Для дальнейшего заметим, что величина -
в силу соотноше-
у-(х)
у-(х)
ния \ = Г K(x,s)yi(s)ds является коэффициентом Фурье ядра
а
K(x,s), рассматриваемого как функция s.
Воспользуемся теперь неравенством Бесселя [14] для h(x) и K(x,s):
j <: J h2(s)ds,
г=1
D.6)
D.7)
Из D.7) следует (применяем обозначение К = sup	\K(x, s)\, как
и в гл. 2), что	^
п+га
г=1
а из D.6) (в силу необходимости критерия Коши для сходящегося
при
Kz(b-a)
числового ряда слева в D.6)) следует, что ^1=7™ ^
п > N(e), m > 0. Поэтому из D.5) имеем
п+га
\fi\ \Уг(х)\ ^ Т-т %	К^Ь ~ а = е ПРИ п> N(s),m>0
г=1
для всех х G [а, Ь], а это, в силу достаточности критерия Коши, озна-
означает абсолютную и равномерную на [a, b] сходимость ряда справа
в D.3) к некоторой функции /(ж):
г=1

52	Гл. 4. Разложение по собственным функциям
Функция f(x) непрерывна на [а, Ь] в силу известной теоремы анали-
анализа.	_	_
Остается доказать, что f(x) = f(x). Обозначим uj(x) = f(x) — f(x).
Убедимся, что и ортогональна ко всем yi. Действительно, учитывая
доказанную равномерную сходимость ряда справа в D.3) и вытека-
вытекающую отсюда возможность его почленного интегрирования [14], бу-
будем иметь (u,yi) = (f,yi)-(f,yi) = fi-Y^=ifn(yn,yi) = fi-fo = 0.
Следовательно, по теореме 2.12, Аио = 0. Далее:
|И2 = {ш,ш) = (tv,f-f) = (u,f) - (tvj) =
(X)
= (w, Ah) - Y, fM Vi) = (Аи,h) = @. Л) = 0.
Следовательно, ||o;|| = 0, а значит, u(x) = 0, то есть, f(x) = f(x).
Теорема доказана.
§11. Повторные ядра
1. Определение и свойства повторных ядер. Выше мы ввели
оператор Фредгольма А формулой
Ау= I K(x,s)y(s)ds.	D.8)
а
Рассмотрим теперь операторы А2у,..., Апу,.... Оказывается, для
оператора Апу можно дать интегральное представление, аналогич-
аналогичное D.8):
Апу= fKn(x,s)y(s)ds,	D.9)
а
где Kn(x,s) — так называемое повторное ядро порядка п.
Получим выражение для Кп(х, s) через ядро K(x,s), которое бу-
будем называть основным. Обозначим Ay = z. Имеем
А2у = Az=f K(x, s)z(s) ds= J K(x, s) I J K(s, t)y(t) dt\ ds =
a
\
ъ г ъ	ь
= J y(t)\ J K(x,s)K(s,t)ds\ dt= J K2(x,t)y(t)dt.
a	a	a
Итак, повторное ядро порядка 2 выражается формулой
ъ
K2(x,s) = I K(x,t)K(t,s)dt.	D.10)

11. Повторные ядра	53
= Az= f K(x, s) [ f Kp(s, t)y(t) dt\ ds =
a	a
b	r b	b
= f y(t) [ / K(X, S)#P(S, t) dsj dt= / Kp+1 (X, *
Теорема 4.2. Для повторных ядер справедливо соотношение
ъ
Kn(x,s) = I K(x,t)Kn-1(t,s)dt.	D.11)
a
Доказательство по индукции. Формула D.11) справедли-
справедлива для п = 2 (см. D.10)). Допустим, что она справедлива для
п = 1,..., р. Докажем ее справедливость для п = р + 1. Обозначим
Ару = z. Имеем
b
/
a	a	a
Таким образом, Kp+i(x,s) выражается формулой
ь
Kp+I(x,s) = I K(x,t)Kp(t,s)dt
a
и теорема доказана.
Теорема 4.3. Если ядро К(х, s) удовлетворяет условиям C.2),
то этими же свойствами обладает повторное ядро любого порядка.
Доказательство. Проверим сначала симметрию K2(x,s).
Имеем
ъ	ъ
K2(s,x) = I K(s,t)K(t,x)dt= I K(t,s)K(x,t)dt = K2(x,s).
a	a
Докажем теперь симметрию Kn(x,s), рассуждая по индукции.
Пусть Kn(x,s), n = 2,...,р, симметричны. Пользуясь D.11), име-
имеем
b	b
Kp+I(s,x) = Г K(s,t)Kp(t,x)dt = Г K(s,t)Kp(x,t)dt =
a	a
= I K(s, t) dt f K(x, OKp-i (?, t) d? =
a	a
= fK(x,?)dZ I K(s,t)Kp_1(t,Odt= f K(x,0Kp(s,
a	a	a
b
I	= Kp+I(x,s).

54	Гл. 4. Разложение по собственным функциям
Доказательство непрерывности и вещественности ядра Kn(x,s)
(также по индукции) сложности не представляет.
Докажем, что Kn(x,s) ^ 0. Допустим противное. Предположим,
что Ki(x,s) ф 0 для г = 1,...,п — 1, a Kn(x,s) = 0. Рассмотрим
вначале случай, когда п четно: п = 2т. Имеем
/ К2т(х, s)y(s) ds = A2my = Ат(Ату) =
а
Ь	Ь	Ьг. Ь	-,
= J Km(x,t) I Km(t,s)y(s)ds = f[f Km(x,t)Km(t,s)dt\y(s)ds.
a	a	a a
Отсюда
b
K2m(x,s) = J Km(x,t)Km(t,s)dt.
a
Полагая в этом равенстве s = ж, получим
ъ
К2т(х,х)= f K2m(x,t)dt.
а
По условию, К2ш[х^х) = 0 при любых х G [а, Ь]. Отсюда имеем
Km(x,i) = 0, что противоречит сделанному выше предположению.
Пусть теперь п нечетно: п = 2т + 1, Ki(x,s) ф 0 при г < п,
а Кт(х, s) = 0. Тогда, очевидно,
ъ
Kn+I(x,s) = I K(x,t)Kn(t,s)dt = 0.
а
В то же время п + 1 = 2т + 2 есть четный номер, и по доказанному
Kn+i(x, s) ф 0. Теорема доказана.
2. Разлолсение повторного ядра по собственным функци-
функциям. Равенство D.11) говорит о том, что Kn(x,s) как функция х
представима через ядро K(x,s), а роль h(t) играет Kn-i(t,s) как
функция t. Поэтому по теореме 4.1 для Kn(x,s) справедливо пред-
представление D.3), которое запишем в виде
i—l a
(X)	?
Кп(х, s) = Y,[f Kn{t, s)Vi(t) dt\ yi(x).	D.12)
i=l
i выражение д
ние Г Kn(t,s)yi(t)dt. Имеем
Рассмотрим выражение для коэффициента Фурье, т. е. выраже-
ъ
= A?A2!/i = ... = A?AnJ/j.

11. Повторные ядра	55
\Подставляя г\
Это означает, что Г Kn(t, s)yi{t) dt = \п . Подставляя г\ в D.12),
J	Ai	Ai
а
приходим к окончательной форме разложения
±Щ^.	D.13)
Теорема 4.4. При п ^ 2 справедливо разложение D.13), при-
причем ряд сходится абсолютно и равномерно по совокупности аргу-
аргументов.
Доказательство. Абсолютная сходимость ряда D.13) и его
равномерная сходимость по каждому аргументу, если другой аргу-
аргумент фиксирован, следует из теоремы Гильберта-Шмидта. Чтобы
доказать равномерную сходимость по совокупности аргументов, вос-
воспользуемся критерием Коши. Имеем
г=р
г=р
\
Г
г=р
D-14)
Так как п ^ 2, а |Л^| —> оо, то члены ряда
Е шг	D-15)
г=1
начиная с достаточно большого номера г мажорируются членами
РЯДа	ос ?
Е ^'	DЛ6)
сходящегося в силу уже доказанного к K^ix^x). Так как К^[х^х)
является непрерывной функцией, а члены ряда D.16) неотрицатель-
неотрицательны, то в силу теоремы Дини [14] ряд D.16) сходится равномерно.
Следовательно, мажорируемый им ряд D.15) также сходится равно-
равномерно. Тогда в силу необходимости критерия Коши для этого ряда
получим, что для \/г > 0 справедливо неравенство
р+т 2
5/i 0*0 ^ „
для всех х G [а, Ь], если только р > N(e), m > 0. Теперь из D.14)
будем иметь YU7 |g<(affi(a)l < е при р > N(e), т > 0, х е [а, Ъ],
s Е [а, Ь], а это значит, что ряд D.13) сходится абсолютно и равно-
равномерно по совокупности аргументов. Теорема доказана.

56	Гл. 4. Разложение по собственным функциям
§ 12. Теорема Мерсера
Разложение Фурье типа D.13) можно формально написать и для
самого K(x,s)
Kn(X,s) = f:y-^^.	D.17)
г=1
Но поскольку K(x,s), вообще говоря, не является представимой
через симметричное ядро функцией, то вопрос о сходимости ря-
ряда D.17) к K(x,s) остается открытым.
Ответ на этот вопрос дает теорема, называемая теоремой Мерсе-
Мерсера.
Определение. Ядро K(x,s) называется положительно опре-
определенным, если все его собственные значения А« удовлетворяют не-
неравенству Xi > 0.
Теорема 4.5 (теорема Мерсера). Для положительно опреде-
определенного ядра K(x,s) справедливо равенство D.17), причем ряд схо-
сходится абсолютно и равномерно по совокупности аргументов при
х е [a,b], s е [a,b].
Доказательство основано на нескольких леммах.
Лемма 4.1. Пусть р(х) — любая непрерывная на [а, Ь] функция,
а K(x,s) — положительно определенное ядро. Тогда справедливо
неравенство
1=1/ К{х, s)p{x)p{s) dxds ^ 0.	D.18)
а а
Доказательство. Запишем / в виде
ь	ь
I — f p(x) dx I K(x, s)p(s) ds.
a	a
Ъ
Величина Г К(х, s)p(s) ds является, очевидно, функцией, предста-
a
вимой через ядро K(x,s). Следовательно, по теореме Гильберта-
Шмидта, справедливо равенство
ъ	оо
/ К(х, s)p(s) ds = J2 fMx)>	D-19)
a	i—\
причем ряд сходится абсолютно и равномерно. Умножая равен-
равенство D.19) на р(х) и интегрируя (справа можно интегрировать по-
почленно в силу равномерной сходимости ряда), получим / = X^i хг>
где правая часть, очевидно, неотрицательна. Таким образом, / ^ 0.
Лемма доказана.

12. Теорема Мерсера	57
Лемма 4.2. Если K(x,s) — положительно определенное ядро,
то К(х, х) ^ 0 при а ^ х ^ Ъ.
Доказательство проведем от противного. Пусть К(хо,хо)<0,
где а < хо < Ъ. В силу непрерывности K(x,s), найдется окрест-
окрестность точки (жо,жо), задаваемая неравенствами хо — 5 ^ х ^ хо + ?,
^о — ^ ^ s ^ хо + й, в которой К(х, s) < 0.
Пусть р(х) — непрерывная функция вида
Г ро(х) > 0 при х0 - S < х < х0 + S,
{ 0	при а ^ х ^ хо — й, жо + ? ^ ж ^ Ъ.
Такая непрерывная функция, очевидно, существует, и для нее
xq-\-8	xq-\-8
1= J p(x)dx Г K(x,s)p(s)ds < 0,
xq — 5	xq — 5
что противоречит утверждению леммы 4.1. Мы доказали, что
Х(жо,жо) ^ 0 при хо G (а, 6). Соотношение Х(жо,жо) ^ 0 остается
выполненным при хо = а и хо = & в силу непрерывности функции
К(х,х). Лемма доказана.
Лемма 4.3. Пусть ряд справа в D.17) сходится равномерно от-
относительно одной из переменных (для определенности, относитель-
относительно s), а другая переменная (для определенности, х) фиксирована.
Тогда равенство D.17) справедливо.
Доказательство. Рассмотрим выражение
а	г=1
= /V(M ds - 2 /К(х,а)
г=1 г	г=1
В полученном равенстве
г=1	г=1 г
перейдем к пределу при п —> оо. В силу D.13) справа получим нуль.
Слева же предельный переход совершим под знаком интеграла (что
возможно в силу равномерной сходимости относительно s [14]). То-
Тогда получим
откуда следует справедливость равенства D.17).

58
Гл. 4. Разложение по собственным функциям
оо
Лемма 4.4. Ряд Yl^i
сходится, причем
D.20)
г=1
Доказательство. В силу следствия теоремы 4.3 выражение
D.21)
г=1
представляет собой ядро, имеющее те же собственные значения, что
и K(x,s), за исключением Ai,...,An. Таким образом, K^n+I\x,s)
также положительно определенное ядро. Тогда в силу леммы 4.2
имеем К^п+1\х,х) ^ 0, т.е.
г=1
другими словами, частичная сумма ряда в D.20) ограничена сверху.
Так как члены этого ряда неотрицательны, то он сходится и выпол-
выполнено неравенство D.20). Лемма доказана.
Обратимся теперь непосредственно к доказательству теоремы
Мерсера. Имеем
п+р
\
п+р 2
\
n+p
В силу леммы 4.4,
п+р
Е;
В силу критерия Коши для сходящегося ряда слева в D.20)
П+Р 2/ ч	о
E^<f
i—n
при n > N(x,e), \/p > 0. Таким образом,
п+р
\	1^^ V / I 1^ V Л ^ _
/	\	\ С

§ 13. Ослабление требований на ядро	59
при п > N(x,e), Vp > 0, Vs G [а, Ь], а это означает, что ряд в D.17)
сходится равномерно относительно s при фиксированном х. Следо-
Следовательно, равенство D.17) обеспечено леммой D.3).
Остается доказать равномерную сходимость ряда в D.17) по сово-
совокупности аргументов. В силу равенства D.17), которое теперь дока-
у?(х)
зано, в D.20) также имеем равенство Yl^=i г\. = К(х?х), а отсюда
в силу теоремы Дини [14], делаем заключение о равномерной сходи-
сходимости этого ряда относительно х. Дальнейшие рассуждения в точ-
точности совпадают с приведенными в теореме 4.4 для доказательства
равномерной сходимости ряда D.13) по совокупности аргументов.
Теорема доказана.
Замечание. Теорема Мерсера остается справедливой, если
ядро K(x,s) наряду с положительными имеет конечное число от-
отрицательных собственных значений. Действительно, в этом случае,
начиная с некоторого номера, собственные значения An+i, An+2, • • •
положительны. Тогда if (n+1) (ж, s) (см. D.21)) является положитель-
положительно определенным ядром и, по теореме Мерсера, K^n+I\x,s) =
= Х^п+1 ~—л~^—' пРичем РЯД сходится абсолютно и равномер-
равномерно относительно х и s. Пользуясь теперь D.21), получим то, что
требуется.
§ 13. Ослабление требований на ядро
До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых ядро пред-
предполагалось действительным, непрерывным и симметричным, а х и s
были координатами точки на прямой. Однако многие задачи мате-
математической физики приводят к уравнениям с ядрами, не облада-
обладающими указанными свойствами, а в качестве переменных фигури-
фигурируют координаты точек пространства (см. §2). Поэтому уточним,
какие из наложенных требований существенны, а какие взяты ради
простоты изложения.
1. То, что ядро действительно, не является существенным. Часто
рассматриваются интегральные уравнения с комплексными ядра-
ядрами. Ядро K*(x,s) (* означает комплексно сопряженную величину)
называется эрмитово сопряженным ядру K(x,s). Если при этом
K*(s,x) = K(x,s), то ядро называется эрмитовым.
Можно развивать абстрактную теорию операторов в комплекс-
комплексном линейном пространстве и получить для интегральных урав-
уравнений с эрмитовыми ядрами теорему существования собственных

60	Гл. 4. Разложение по собственным функциям
значений, аналогичную полученной в гл. 2. Можно также повто-
повторить с некоторыми видоизменениями рассуждения, проведенные
в гл. 3 и 4, используя в качестве скалярного произведения (ср, ф)
ъ
величину Г (р(х)гр*(х) dx, и получить аналогичные результаты. От-
а
личие состоит лишь в том, что разложения в ряды будут содер-
содержать функции, комплексно сопряженные к собственным. Напри-
Например, разложение в ряд для повторного ядра Km(x,s) имеет вид
Km(x,s) = Yl^Li П \гаП—• Остальные результаты, включая до-
доказательство действительности Л, остаются в силе [1].
2.	Все полученные результаты устанавливаются совершенно ана-
аналогично в случае, когда в интегральном уравнении интегралы явля-
являются многократными, а вместо х и s фигурируют координаты точек
пространства.
3.	Требование непрерывности ядра можно ослабить [1]. А именно,
результаты, относящиеся к существованию собственных значений,
останутся справедливыми и для полярных ядер, т. е. ядер, предста-
вимых в виде
где Ф(х, s) — непрерывная функция, а а — число, меньшее размер-
размерности п пространства X. Например, в одномерном случае а < 1,
а в трехмерном (когда х — совокупность координат точки в трех-
трехмерном пространстве) а < 3. Под \х — s\ в последнем случае следует
понимать расстояние между точками х и s.
Если ядро имеет вид D.22) и а < п/2, то оно называется слабопо-
слабополярным. Можно показать, что теорема Гильберта-Шмидта и след-
следствия из нее остаются в силе для слабополярных эрмитовых ядер.
4. Требование симметрии или эрмитовости ядра при доказатель-
доказательстве существования собственных значений снять нельзя. У несим-
несимметричного ядра может не существовать собственных значений (см.,
например, уравнение C.25)).

ГЛАВА 5
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
(ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ)
§ 14. Задача о колебаниях струны
Чтобы пояснить постановку задачи на собственные значения, рас-
рассмотрим характерный физический пример — задачу о поперечных
колебаниях струны [27]
р(х)ии = кихх, 0 < х < Z, t > 0;	E.1)
Ц0,*) = 0, u(l,t)=0]	E.2)
и(х, 0) = и°(х), щ(х, 0) = v°(x).	E.3)
Считаем плотность материала струны р(х) > 0, а и°(х) и v°(x) —
дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, равными ну-
нулю при х = 0 и х = I. Величина к является параметром и пред-
представляет собой абсолютную величину силы натяжения покоящейся
струны.
Будем сначала искать частное решение уравнения E.1), удовле-
удовлетворяющее только краевым условиям E.2). Попытаемся найти его
в виде u(x,t) = X(x)T(t). Подставляя решение в таком виде в E.1),
получим рХТ" = кХ"Т, откуда hT),{ = , l;v Левая часть это-
го равенства зависит только от ?, а правая — только от х. Равенство
может быть выполнено при всех значениях t и х лишь в случае, ко-
когда обе его части равны константе:
T"(t) _ х"(х) _ А	,. ,,
ШЩ р(х)Х(х) ~ ~А'	E-4)
где Л — некоторая пока неизвестная постоянная. Отсюда
Х"(х) + Хр(х)Х(х) = 0.	E.5а)
Из условий D.2) находим X@)T(t) = 0 и X(l)T(t) = 0. Поскольку
нас интересуют нетривиальные решения и T(t) ф 0, то
Х@) = 0, ХA) = 0.	E.56)

62	Гл. 5. Задача Штурма-Лиувилля
Итак, для функции Х(х) мы получили краевую задачу E.5), со-
состоящую из уравнения E.5а) и условий E.56). В этой задаче тре-
требуется определить значения Л, при которых имеются нетривиаль-
нетривиальные решения Х(х), а также определить сами эти решения. Числа
Л называются собственными значениями, а Х(х) — собственными
функциями задачи E.5). Задача E.5) является частным случаем
так называемой задачи Штурма-Лиувилля, более общая постанов-
постановка которой будет рассмотрена в § 15.
Решение уравнения E.5а), а следовательно, и всей задачи E.5),
не может быть найдено элементарным образом. Как оказывается,
теория интегральных уравнений дает возможность доказать суще-
существование решения задачи E.5) и установить те свойства собствен-
собственных значений и собственных функций, которые позволяют довести
решение исходной задачи E.1)—E.3) о колебаниях струны до конца.
Чтобы понять, что это за свойства, рассмотрим задачу E.1)—E.3)
в простейшем случае, при р = const, когда она решается элементар-
элементарно.
Итак, пусть р = const. Нетрудно видеть, что при Л < 0 нетриви-
нетривиального решения задачи E.5) не существует. Действительно, если
Л < 0, то Х(х) = Ae~V\^\Px + BeV\^\Px. Из условия Х@) = 0 полу-
получим В = -А. Условие ХA) = 0 дает ХA) = 2В sh \J\\\pl = 0, откуда
В = 0 и, следовательно, Х(х) = 0. Если же Л = 0, то Х(х) = ах + Ъ,
Х@) = Ъ = 0, X(l) = al = 0. Следовательно, а = 0 и Х(х) = 0.
Рассмотрим случай Л > 0. Тогда X(х) = A cos y/Xp x + В sin y/Xp x.
Краевые условия E.56) дают Х@) = А = 0, ХA) = Bsiny/Xpl = 0.
Условие В ф 0, обеспечивающее нетривиальность Х[х), приводит
к требованию sin \f\pl — 0, откуда получим последовательность соб-
собственных значений \f\pl = тгп или Лп = (™) ^ Соответствующие
собственные функции имеют вид Хп{х) = Вп sin ™ж, где постоян-
постоянная Вп остается неопределенной. Заметим, что п = 0 дает триви-
тривиальное решение, а отрицательные п дают собственные функции, от-
отличающиеся от полученных только знаком, и новых собственных
функций, линейно независимых от построенных, значения п < 0 не
дают.
Каждому Лп отвечает, согласно E.4), следующее уравнение для
T(t) (Т тоже получает, тем самым, индекс п): ТЦ + к\пТп = 0. От-
Отсюда
Tn(t) = Сп cos ™at + Dn sin ™ at, а= у j|.
(Заметим, что величина к\п имеет смысл квадрата частоты соб-
собственных колебаний струны.) Тем самым мы получаем последова-

§ 14. Задача о колебаниях струны	63
тельность решений уравнения E.1):
ип(х, t) = ТпХп = (cos Щ^ at + Dn sin Щ± at) sin Щ± х
(постоянные СпВп и DnBn вновь обозначим через Сп и Dn).
Попытаемся удовлетворить начальным условиям E.3), разыски-
разыскивая решение уравнения E.1) в виде
(X)
7/1 Т* /l ^3 » 7/ I Т* ~t\ ^3 » I i7 РОЧ	л/ —I— /у Q1TI	л/ I QTH	'Т*
Lt/l«/>, LI 	 7 LLf^\Jb^ Li 	 7 I \y fi KsKJ\5 i Ubb \^ ±Syi Dill 1 Ubb I Dill 1 Jb.
E.6)
Краевые условия E.2) при этом будут удовлетворены, так как ка-
каждое un(x,t) им удовлетворяет. Решение задачи E.1)—E.3) в такой
форме имеет смысл разложения функции, описывающей колебания
струны, по системе стоячих волн. Подставляя E.6) в E.3), получим
71=1
(X)
7j°(x) = V^ a ?f Dn sin ?f x.
n=l
Написанные равенства представляют собой разложения и0 (ж) и г'0 (ж)
в ряд Фурье по sin ™ х. Пользуясь теорией тригонометрических ря-
рядов Фурье [14], можно определить Сп и Dn:
о
f u^{x)sm
о
= } fv° (x) sin ?f x dx.
0
Таким образом, мы построили ряд E.6), удовлетворяющий крае-
краевым условиям E.2) и начальным условиям E.3) при р = const. Но
выражение E.6), строго говоря, нельзя считать решением задачи
E.1)—E.3), так как для этого нужно исследовать сходимость ряда
и возможность его почленного дифференцирования по х и t. Мы
не будем здесь останавливаться на этом, отсылая интересующихся
к монографии [27]. Выражение E.6) часто называют формальным
решением задачи E.1)—E.3). В дальнейшем при рассмотрении зада-
задачи о колебаниях струны для случая р ф const, мы также ограни-
ограничимся построением только формального решения.

64	Гл. 5. Задача Штурма-Лиувилля
Проанализируем процесс построения решения E.6). Он основан,
во-первых, на существовании бесконечной последовательности по-
положительных значений Л и соответствующей последовательности
ортогональных между собой собственных функций задачи E.5);
во-вторых, на возможности разложения начальных условий и°(х)
и г?0 (ж) по этим собственным функциям. Если доказать, что отмечен-
отмеченные свойства задачи E.5) сохраняются при произвольном р(х) > О,
то решение задачи E.1)—E.3) о колебаниях струны может быть по-
построено тем же методом, что и в случае р = const.
В следующем параграфе мы изучим задачу Штурма-Лиувилля
в более общем виде, чем E.5), и установим свойства ее собственных
значений и собственных функций. Пользуясь этими свойствами, мы
в конце § 15 вернемся к задаче E.1)—E.3) и построим ее решение при
произвольном р{х) > 0.
§ 15. Исследование задачи Штурма—Лиувилля
сведением к интегральному уравнению Фредгольма
второго рода
1. Сведение к интегральному уравнению. Рассмотрим сле-
следующее уравнение и краевые условия:
j L[u] + Хр(х)и = 0,	E.7а)
|ца) = 0, и(Ъ) = 0.	E.76)
Здесь Л — параметр, a L[u] = -j- lp(x) ^ J — q(x)u. Функция p(x)
предполагается непрерывно дифференцируемой на [а, 6], функции
q(x), р(х) — непрерывными. Кроме того, будем считать, что р(х) > 0,
р(х) > 0, q(x) > 0.
Определение. Значения параметра Л, при которых существу-
существует нетривиальное решение задачи E.7), называются собственны-
собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а сами нетривиальные
решения называются собственными функциями задачи Штурма-
Лиувилля.
Задача Штурма-Лиувилля E.7) заключается в определении соб-
собственных значений Л и собственных функций и(х). Очевидно, что
задача E.7) охватывает случай, рассмотренный в § 14.

§15. Исследование задачи Штурма-Лиувилля	65
Замечание. Краевые условия могут иметь и более сложный
вид (см. [25]), но мы ограничимся рассмотрением краевых усло-
условий E.76).
Лемма 5.1. При р(х) > 0 и q(x) ^ 0 отличное от константы ре-
решение уравнения L[u] = 0 не может достигать положительное мак-
максимальное значение или отрицательное минимальное значение во
внутренних точках отрезка [а, Ь].
Доказательство. Пусть решение уравнения L[u] = О достига-
достигает в некоторой внутренней точке xq максимальное на [а, Ь] значение
и(хо) = М > 0. Обозначим через {х} совокупность тех точек ин-
интервала [а, 6], где и{х) = М. Поскольку u{x) ^ const, то найдется
точка xi, которая будет являться внутренней для [а, Ь] и гранич-
граничной для множества {х}. Для определенности, будем считать, что
Хо ^ Х\ < Ъ. В точках множества {ж} выполнено uf(x) = 0. По непре-
непрерывности, это соотношение остается справедливым и в точке х\. Да-
Далее, в силу непрерывности и'(х) найдется ^-полуокрестность точки
х\ такая, что при х\ < х ^ х\ + е = х<± ^ Ъ имеет место неравенство
0 < и{х) < М и выполнено и'{х2) < 0. Интегрируем соотношение
L[u] = 0 на участке от х\ до Ж2, учитывая, что u'(xi) = 0. Полу-
х2
чаем р(х2)и'{х2) — Г q@u@ d? = 0. Это равенство невозможно,
Х\
Х2
поскольку р(х2)и'{х2) < 0, а интеграл Г q(?)u(?) d^ ^ 0.
Х\
Полученное противоречие доказывает, что решение уравнения
L[u] = 0 не может достигать во внутренних точках положитель-
положительное максимальное значение. Аналогично доказывается утверждение
леммы о минимальном значении.
Замечание. Если решение некоторой задачи не может дости-
достигать максимальное значение во внутренних точках области, то го-
говорят, что решение задачи удовлетворяет принципу максимума.
В лемме 5.1 доказано, что решение уравнения L[u] = 0 удовлетво-
удовлетворяет принципу максимума.
Лемма 5.2. Задача
L[U] = Л	E 8)
u(a) = 0, u(b) = 0	У ' J
имеет единственное решение.
Доказательство. Допустим, что существуют два различных
решения щ(х) и и^(х) задачи E.8). Пусть z(x) = Ui(x)—U2(x). Функ-
Функция z{x) ^0 удовлетворяет условиям z(a) = z(b) = 0. Отсюда следу-
следует, что z{x) достигает либо положительное максимальное значение,

66
Гл. 5. Задача Штурма-Лиувилля
либо отрицательное минимальное значение (либо и то и другое) на
интервале (а, Ь). Это противоречит лемме 5.1, поскольку L[z] = 0.
Лемма 5.2 доказана.
Из леммы 5.2 следует [25], что решение задачи E.8) представимо
в виде
и(х) = I G{x,s)f{s)ds,
E.9)
где G(x,s) — функция Грина. При этом G(x,s) = G(s,x).
Пользуясь E.9), можно свести задачу E.7) к следующему инте-
интегральному уравнению (для этого надо перенести Хри в правую часть
и рассматривать как /):
и(х) = —Л Г G(x, s)p(s)u(s) ds.
E.10)
Ядро полученного интегрального уравнения E.10) несимметрично.
Преобразуем E.10), умножив левую и правую части на у
ъ
\/р(х) и(х) = -А Г G(x, s)y/p(x)y/p(s)y/p(s) u(s) ds.
a
Полагая теперь
y/p(s)u(x) =y(x),
-G(x, s)yfp(x)yfp{s) = K(x, s),
E.11)
приходим к следующему интегральному уравнению относительно
у (х) с симметричным ядром
у(х) = Л J K(x,s)y(s)ds.
E.12)
Интегральное уравнение E.12), как видно из самого построе-
построения, эквивалентно задаче Штурма-Лиувилля E.7), т.е. если и(х)
и Л собственная функция и собственное значение задачи E.7), то
у(х) = л/р(х) и(х) и Л являются собственной функцией и собствен-
собственным значением интегрального уравнения E.12), и наоборот, если
у (х) и Л собственная функция и собственное значение интеграль-
интегрального уравнения E.12), то и{х) = ^х' и Л являются собственной
функцией и собственным значением задачи E.7).

§15. Исследование задачи Штурма-Лиувилля	67
Определение. Ядро K(x,s) называется замкнутым, если из
ъ
равенства Af = Г К(х, s)f(s) ds = 0 следует, что /(ж) = 0.
а
Лемма 5.3. Ядро K(x,s) интегрального уравнения E.12) явля-
является замкнутым.
ъ
Действительно, пусть Г К(х, s)f(x) ds = 0. Обозначим
a
z(x) = I G(x, s)y/rts)f(s) ds.	E.13)
a
b
Из условия леммы имеем — \/р(х) z(x) = Г K(x,s)f(s)ds = 0, т.е.
a
z(x) = 0. С другой стороны, в силу E.13) функция z(x) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Lz = -y/pf, а так как z = 0, то и L2: е 0, а значит,
y/p(x)f(x) = 0. Отсюда следует, что /(ж) = 0. Лемма доказана.
Полученные результаты можно сформулировать в виде следую-
следующей теоремы.
Теорема 5.1. Задача Штурма-Лиувилля E.7) эквивалентна
интегральному уравнению E.12) с симметричным замкнутым ядром.
2. Свойства собственных значений и собственных функ-
функций задачи Штурма—Лиувилля. Пользуясь интегральным
уравнением E.12), можно изучить свойства собственных значений
и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля E.7).
Теорема 5.2. Задача Штурма-Лиувилля E.7) имеет бесконеч-
бесконечное число (последовательность) собственных значений.
Доказательство. Существование собственных значений вы-
вытекает из теоремы 3.1. Нужно только убедиться, что их число не
может быть конечным. Для этого достаточно доказать, что замкну-
замкнутое ядро имеет бесконечно много собственных значений.
Действительно, допустим, что интегральное уравнение имеет ко-
конечное число собственных значений Ai,..., Хр и им отвечают соб-
собственные функции 2/i,..., ур. Так как пространство /i[a, b] бесконеч-
бесконечномерно, то найдется функция у(х) ^0и такая, что у\,... ,ур,у ли-
линейно независимы. Можно считать, что у ортогональна всем з/ъ • • •
... ,ур (если нет, то можно построить такую у(х) методом ортогона-
лизации). Из того, что (у,Уг) = 0 (г = 1,... ,р), следует, что Ау = 0
(теорема 2.12), а тогда в силу замкнутости ядра имеем у = 0 и по-
получаем противоречие. Тем самым теорема 5.2 доказана.

68	Гл. 5. Задача Штурма-Лиувилля
Теорема 5.3. Собственные функции задачи Штурма-Лиувил-
Штурма-Лиувилля E.7), отвечающие различным собственным значениям, удовле-
удовлетворяют соотношению
ъ
f Ui(x)uj{x)p{x) dx = 0 (Xi ф Xj)	E.14)
a
(т.е., как принято говорить, щ и Uj ортогональны с весомр).
Функции щ(х) могут быть нормированы с весом р(х), т. е. для них
будет выполнено
I u2(x)p(x)dx = 1.	E.15)
a
Действительно, собственные функции yi(x) интегрального урав-
уравнения E.12), отвечающие различным собственным значениям, орто-
ортогональны между собой (теорема 3.1). Они могут быть нормированы
на единицу. Отсюда, учитывая первое соотношение E.11), получа-
получаем E.14) и E.15).
Теорема 5.4. Каждое собственное значение задачи Штурма-
Лиувилля E.7) имеет ранг, равный единице.
Допустим, что ранг собственного значения Л больше единицы. То-
Тогда существуют по крайней мере две линейно независимые собствен-
собственные функции u\ (x) и U2 (х). Из теории линейных дифференциальных
уравнений [25] следует, что любое решение уравнения E.7а) явля-
является линейной комбинацией щ(х) и и^(ж), поскольку они образуют
фундаментальную систему решений. Получается, что любое реше-
решение уравнения E.7а) удовлетворяет (как и и\, и^) условию и (а) = 0.
Это абсурдно, так как заведомо существует решение E.7а), удовле-
удовлетворяющее, например, условиям и (а) = 1, и' (а) = 1. Теорема дока-
доказана.
Теорема 5.5. Для любого Хп справедливо неравенство
Xn > inf Щ > 0.
[a,b] p(x) ^
Доказательство. Так как L[un] + Xnp(x)un = 0, то
ь
0 = у un{L[un] + inPUn} dx =
a
b	b	b
= f un(pu'n)'dx - f qu2n dx + An f pu2n dx.

15. Исследование задачи Штурма-Лиувилля
69
Отсюда, учитывая E.15) и применяя интегрирование по частям, по-
получим
ъ	ъ ъ
\п= Г qu2ndx - [ип(х)р(х)и'п(х)] + [ p(u'nJdx
J	a J
так как [ ] \ьа = 0, а интеграл, содержащий и'п, положителен. Отсюда,
согласно теореме о среднем,
р{х
ж*) / п(х)и2 (х) dx -
х*) J P[X)U^X) йХ ~
inf
Ц, р(х)
и теорема 5.5 доказана.
Теорема 5.6 (теорема Стеклова). Пусть f(x) — дважды не-
непрерывно дифференцируема, причем /(а) = f(b) = 0. Тогда f(x)
разлагается в абсолютно и равномерно на [а, Ь] сходящийся ряд по
собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля E.7):
E.16)
71=1
где fn= f f(x)p(x)un(x) dx.
a
Доказательство. Так как f(x) — дважды непрерывно диф-
дифференцируема, то L[f] = —h(x), где h(x) — непрерывная функция.
Кроме того, /(а) = f(b) = 0. Тогда
ъ
f{x) = - I G{x,s)h{s)ds.
Отсюда следует равенство
Ъ
/p(s)
Ъ
= f K(x,
J
означающее, что F(x) = f(x)^/p(s) представима через ядро (см. § 10).
Следовательно, по теореме 4.1 Гильберта-Шмидта получаем
П=1

70	Гл. 5. Задача Штурма-Лиувилля
Ъ
где Уп(х) — собственные функции ядра К(х, s), Fn = ГF{x)yn{x) dx,
а
причем ряд сходится абсолютно и равномерно. Отсюда
(см. 5.11), где
ъ			ь
Fn= f f(x)y/p(x)yn(x) dx = f f(x)p(x)un(x) dx.
a	a
Мы получили с точностью до обозначений (Fn вместо /п) предста-
представление E.16), причем доказали абсолютную и равномерную сходи-
сходимость этого ряда. Теорема доказана.
Вернемся теперь к задаче E.1)—E.3) о колебаниях струны и, поль-
пользуясь доказанными теоремами, доведем до конца ее решение.
Рассмотрим задачу E.5). Здесь Лп, собственные значения, суще-
существуют и образуют последовательность
0 < Ai < Л2 < • • • < Лп < ...
Им отвечают собственные функции Xi(x),... ,Хп(х),.... Так как
Ап > 0, то каждому значению Ап отвечает решение Tn(t) уравнения
ТЦ + к\пТп = 0 вида Tn(t) = Cn cos y/kKt + Dn sin y/D^t.
Решение задачи E.1)-E.3) по аналогии с E.6) ищем в форме
(X)	(X)
и{х, t) = ^2 un(x, t) = ^^ хп(х) (Сп cos y/kXnt + Dn sin л/к\п t).
n=l	n=l
Из начальных условий E.3) имеем
n=l
(X)
„О/
у"(х) =
71=1
Функции IX0 (ж) и г?0 (ж) удовлетворяют условиям теоремы Стеклова.
Поэтому написанные равенства представляют собой разложения ти-
типа E.16) и, следовательно,
Сп= fu°(x)p(x)Xn(x)dx,
О
к\п Dn = Г v°(x)p(x)Xn(x) dx.
о

§15. Исследование задачи Штурма-Лиувилля	71
Тем самым решение u(x,t) задачи E.1)—E.3) построено.
Замечание. Мы рассмотрели случай граничных условий E.76).
Все доказанные теоремы остаются справедливыми и для так назы-
называемых граничных условий второго рода
и'(а) = 0, и'{Ь) = 0.	E.17)
Единственное различие имеет место в отношении теоремы 5.5 при
q(x) = 0. Для краевой задачи E.76) неравенство, утверждаемое тео-
теоремой 5.5, в случае q{x) = 0 имеет вид Лп > 0, п = 1, 2,..., так как
inf ( , = 0. Но для краевых условий E.17) наименьшее собствен-
собственное значение Ai равно нулю и ему отвечает собственная функция
и\ = const, в чем можно убедиться непосредственно. Неравенство
Лп > 0 имеет место, начиная с п = 2.

ГЛАВА б
НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ВТОРОГО РОДА
§ 16. Случай симметричного ядра
Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма второго рода
ъ
у(х) = А / К(х, s)y(s) ds + /(ж),	F.1)
а
в котором /(ж) является вещественной, непрерывной на [а, Ь] функ-
функцией, ядро K(x,s) удовлетворяет условию C.2), a A — заданное
число. Исследуем вопрос существования решения уравнения F.1).
Допустим, что решение существует. Положим д(х) = у(х) — f(x).
Обозначая, как и раньше, оператор Фредгольма с ядром К(х, s) че-
через А, имеем из F.1):
9 = ХАу.	F.2)
Отсюда видно, что д(х) представима через ядро K(x,s). Следова-
Следовательно, по теореме Гильберта—Шмидта, функция д(х) может быть
разложена в ряд д(х) = J2m=i 9тУт(х), где ут(х) — собственные
функции ядра К(х, s), а дш = (д, уш) — коэффициенты фурье (если
ядро имеет конечное число собственных функций, то д{х) предста-
представляется, соответственно, конечной суммой ряда).
Из F.2) и D.4) следует, что gw = %^ = A (/+f Ут) =\ Ь+gSL,
Лт	Лт	Лт
где /ш = (/, 2/ш). Таким образом, если решение у(х) существует, то
у(х) = f(x) + X)m=i 9тУт(х), где дт определяется соотношением
Возможны два случая:
1. А ф Ат, т.е. параметр А не совпадает ни с одним собственным
значением ядра К(х, s). В этом случае из F.3) получаем дш— х *ш
у(х) = f{x) +
лта-А '
ш=1
Убедимся, что в случае, когда ядро K(x,s) не вырождено и, сле-
следовательно, собственных функций бесконечно много, ряд
У ^#	F.5)
т=1

§ 16. Случай симметричного ядра	73
сходится равномерно. Действительно, в этом случае, согласно тео-
теореме 3.1, имеем linim^oo |АШ| = оо. Следовательно, при достаточно
больших т справедливо
|ЛГО-Л| ^ |А
В силу теоремы Гильберта-Шмидта,
2 fK(x,a)f(8)ds=
а	т=1
причем ряд сходится равномерно и абсолютно. Члены функцио-
\fm\ \Ут(х)\
1
oV^oo \fm\ \Ут(х)\	г
нального ряда 2 2_^т=1 ——,1 ¦ при достаточно больших т в си-
силу (б.б) являются мажорирующими для членов ряда F.5). Следо-
Следовательно, ряд F.5) сходится абсолютно и равномерно.
Мы получили решение в виде F.4), предположив, что оно су-
существует. Поэтому нужно проверить, что выражение F.4) действи-
действительно является решением, т. е. удовлетворяет F.1). Для этого под-
подставим F.4) в уравнение F.1). В силу равномерной сходимости ря-
ряда F.5), его можно интегрировать почленно. Получим
ОО
XAy=XA(f + X У рЩ) =XAf + X2
т=1
frnVm | л 2 V^ frnVm _
—л	Г Л / -J\	ГТ^	—
^^ (Am-A)Am
\т \т )т/
т=1	т=1
что и требовалось проверить. Таким образом, доказано, что решение
уравнения F.1) существует и определяется выражением F.1).
Убедимся, что решение единственно. Действительно, пусть име-
имеются два решения уравнения F.1) и у(х) — их разность. Тогда у(х)
удовлетворяет однородному уравнению у = ХАу. По предположе-
предположению, А не совпадает ни с одним собственным значением ядра К(х, s),
а тогда однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение. От-
Отсюда, у(х) = 0, а значит, решение F.1) единственно.
Представим у(х), пользуясь F.7), в виде
= / + / K(x, s)f(s) ds + X2Y, лГ(Ат-А)-

74	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
Ъ
Подставляя сюда (f,ym) = Г f(s)ym(s) ds и переставляя суммиро-
суммирование и интегрирование, получим
у(х) = f{x) + А / {К(х, 8) + А ? gig^il} f{x) ds.
а	т=1
Перестановка суммирования и интегрирования допустима в силу
следующей
ym(x)ym(s)
р	д
равномерной сходимости ряда Y^=i F7;? f;, следующей из
абсолютной и равномерной сходимости ряда J^m=i
= K2(x,s), доказанной выше (теорема 3.4), и F.6).
В результате получаем, что решение уравнения F.1) дается вы-
выражением
у(х) = f(x) + А / R(x, s, X)f(s) ds,	F.8)
а
гДе
R(x,s,X) =K(x,s) + >
m=l
Если решение интегрального уравнения представимо формулой
типа F.8), то в этой формуле R(x,s,X) называется резольвентой
ядра K(x,s). В рассматриваемом случае резольвента выражается
рядом F.9).
2. Рассмотрим случай А = Ап, т.е. параметр А в уравнении F.1)
равен некоторому собственному значению ядра K(x,s). Пусть
Ут •> • • • •> Упр — собственные функции ядра, соответствующие соб-
собственным значениям Ап (ранг Ап равен р).
Допустим, что решение уравнения F.1) существует. Тогда прихо-
приходим к соотношению F.3) так же, как в случае 1.
Если хотя бы один из коэффициентов fn. ф 0 (г = 1,...,р),
то F.3) при т = щ противоречиво, следовательно, предположение
о существовании решения исходного уравнения F.1) ошибочно.
Пусть все /n. = (/,2/nJ = 0 для г = 1,... ,р. Тогда из F.3) полу-
получаем, что значения коэффициентов дп. не определены, а остальные
дт определяются однозначно. Следовательно, если решение суще-
существует, то оно имеет вид
р	°° р
г=1	m=i
где Сi — некоторые константы.

§ 16. Случай симметричного ядра	75
Аналогично тому, как это было сделано в случае 1, можно про-
проверить, что сумма
т=1
двух слагаемых правой части F.10) удовлетворяет неоднородному
уравнению F.1). Так как при любых d сумма Y^=i С'гУгц удовле-
удовлетворяет однородному уравнению F.1), то все выражение F.10) удо-
удовлетворяет неоднородному уравнению F.1).
Нетрудно убедиться, что любое решение уравнения F.1) пред-
ставимо в форме F.10). Действительно, пусть у{х) — произвольное
решение уравнения F.1). Тогда разность у{х) — у(х) удовлетворяет
однородному уравнению F.1), а любое решение однородного уравне-
уравнения является собственной функцией ядра К(х, s), отвечающей дан-
данному значению Л, и следовательно, является линейной комбинацией
Ут,---,Упр- Отсюда следует, что у(х) = у(х) + Y7i=i СгУгы •
Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 6.1. Пусть ядро K(x,s) удовлетворяет требовани-
требованиям C.2). Тогда если X не совпадает ни с одним собственным значе-
значением ядра K(x,s), то решение интегрального уравнения существует,
единственно и представимо в виде F.4) или F.8).
Если Л = Хп, где Хп — некоторое собственное значение ядра
K(x,s) и функция f(x) ортогональна всем собственным функци-
функциям, соответствующим Хп, то решение уравнения F.1) существует,
не является единственным и представимо в виде F.10).
Если же X = Лп и f(x) не ортогональна хотя бы одной собственной
функции уп. (х), то решения не существует.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
7Г
у{х) = Л I sin(x + s)y(s) ds + sin ж — cos ж.	F.11)
о
Исследуем решение при различных Л. Из F.11) следует, что
7Г
у{х) = Л Г (sin х cos s + cos x sin s)y(s) ds + sin x - cos ж =
о
[7Г	7Г	-,
Л I cos s y(s) ds + 1 + cos x А Г sin s y(s) ds — 1 =
о	о
= A sin x + В cos x,	F.12)

76	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
где А и В — некоторые коэффициенты. Подставляя F.12) в F.11),
имеем
7Г
As'mx + Bcosx = \ Г sm(x +s)y (s)[Asm s +В cos s]ds +sin x —cos x =
о
Г п	1
= sinx A Г coss(As\ns + Bcoss) ds + 1 +
о
Г п	1
А Г sins(Asms + Bcoss) ds — l\ =
о
Приравнивая коэффициенты при sin ж и cos ж, получаем систему ал-
алгебраических уравнений
F.13)
Обратимся к однородному уравнению F.11). Ему соответствует
однородная система F.13). Приравнивая в этом случае определи-
-AS
тель системы уравнений F.13) нулю, т.е. полагая
-А§ 1
= 0,
находим собственные значения Ai52 = =Ь^. Им соответствуют реше-
решение А = ±В однородной системы F.13) и следующие собственные
функции однородного уравнения F.11): yi,2(x) = Smx С0!5Ж. Мно-
Множитель 1/v^F выбран из условия нормировки собственных функций
7Г
на единицу: Г (yi^Jdx = 1.
о
Вернемся к неоднородному уравнению F.11).
1.	При А ф ±2/тг из F.13) находим А = A + Атг/2)-1, В = -А
и решение у(х) = S1^х . с<?|!х. Таким образом проиллюстрировано
первое утверждение теоремы 6.1: при А ф ±2/тг решение уравне-
уравнения F.11) существует и единственно.
2.	Пусть А = 2/тг. Тогда из F.13) получаем В = А — 1. При этом
у (х) —A sin х + (А — 1) cos ж, где А — произвольная константа. Таким
образом, решение уравнения F.11) существует, но не единственно.
Собственному значению Ai = 2/тг ядра К(х, s) = sin(x + s) соответ-
соответствует собственная функция у\{х) = smх + CQSх^ Нетрудно прове-
проверить, что выполнено условие
f f(x)yi(x)dx= /(sin ж - cos ж)sin х + cos x dx = 0.

§17. Случай "малого" А
Этим иллюстрируется второе утверждение теоремы 6.1.
3. Пусть Л = —2/тг. Тогда система уравнений F.13) несовместна.
Решения у интегрального уравнения F.11) нет. Собственному
значению Л2 = —2/тг соответствует собственная функция у2{х) =
= 	-т=	. Легко видеть, что в рассматриваемом случае не
выполнено необходимое условие существования решения уравне-
уравнения F.11), поскольку
f f(x)y2(x) dx = I (sinж - cosx)sinx~^osx dx = 2^ ф 0.
0	0	^
Этим иллюстрируется третье утверждение теоремы 6.1.
Пример 2. Рассмотрим интегральное уравнение
1
у{х) = А Г A + xs)y(s) ds + ax2 + Ьх + d.
-1
Исследуем решение этого уравнения при различных значениях па-
параметров Л, a, b, d.
Сначала найдем собственные функции соответствующего одно-
однородного уравнения. Ищем решение однородного уравнения в виде
у = Fx + D. Подставляя у в такой форме в однородное уравнение,
имеем
Fx
D = Л J A + xs)(Fs + D)ds = | XFx + 2XD.
-1
Отсюда Ai = 1/2, ух(х) = D; А2 = 3/2, у2(х) = Fx.
Вернемся к неоднородному уравнению. При А / 1/2 и А / 3/2
ищем его решение в виде у = ах2 + С\х + С2- Подставляя у в такой
форме в уравнение и приравнивая члены с одинаковыми степеня-
степенями ж, находим значения С\ и С2. Получаем
При А = 1/2, согласно теореме 6.1, решение существует лишь при
условии
1	1
I f(x)yi (x) dx — Г (ах2 + bx + d)D dx = 0,
-1	-1
т. е. при а + 3d = 0. В этом случае 2/(ж) = ах2 + ibx + С, где С —
произвольная константа.

78	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
При Л = 3/2 решение существует лишь при условии
1
Г (ах2 + Ъх + d)Fx dx = 0,
-1
т. е. при Ъ = 0. В этом случае у(х) = аж2 + Сх — at .
§17. Случай "малого" Л
Пусть K(x,s) и f(x) — произвольные непрерывные при ж, s G
G [а, 6] функции. Симметрии К(х, s) не требуем. Обозначим
f(>,s)| = К.
1. Теорема существования и единственности. Имеет место
следующая
Теорема 6.2. Если |А| < _ 	, то решение уравнения F.1)
Х(а — 6)
существует и единственно. Решение может быть найдено как предел
равномерно сходящейся последовательности приближений фп(х),
определяемых рекуррентным соотношением
ifn+1 = \Aipn + /,	F.14)
где if о (х) — произвольная непрерывная функция.
Доказательство. Используем принцип сжатых отображений.
Рассмотрим полное метрическое пространство С [а, Ь] непрерывных
на [а, Ь] функций, где p(ipm,Vk) = suP[a,&] \ipm(x) - 4>k{x)\ (см. [25]).
Рассмотрим оператор
ъ
z = Lip = X I K(x, s)ip(s) ds + f(x).	F.15)
a
Если ip(x) непрерывна, то и z(x) непрерывная функция. Следова-
Следовательно, оператор L отображает элементы пространства С [а, Ь] снова
в элементы С [а, Ь]. Кроме того,
ъ
\Lipm -Lifk\ = A J K(x,s)(ipm(s) -ipk(s))ds
a
^ \X\K(b - a) sup \ipm(x) - (pk(x)\.
[a,b]

§17. Случай "малого" А	79
Отсюда
pm - Lipk\ ^ ар(<рт,<рк),
[a,b]
где а = \X\K(b — а). Из условий теоремы следует, что а < 1 и, тем
самым, оператор L — сжимающий.
Таким образом, выполнены все условия, при которых имеет ме-
место принцип сжатых отображений. Согласно этому принципу, опе-
оператор L имеет единственную неподвижную точку, которая может
быть найдена как предел сходящейся по метрике пространства
С [а, Ь] последовательности приближений, определяемых соотноше-
соотношением F.14). Неподвижная точка оператора L, как видно из F.15),
совпадает с решением интегрального уравнения F.1). Следователь-
Следовательно, решение F.1) существует и единственно. Наконец, последова-
последовательность приближений F.14) сходится равномерно относительно
х Е [а,Ь], поскольку сходимость в метрике пространства С [а, Ь] озна-
означает равномерную сходимость.
Замечание. Если ядро К имеет собственные значения,
то |Afc| ^ _ 	. Действительно, допустим противное. Тогда при
К(Ъ — а)
некотором А& таком, что IA&I < —	, существует нетривиаль-
К(Ъ — а)
ное решение уравнения у = XkAy. С другой стороны, очевидно,
у(х) = 0, что также удовлетворяет этому уравнению. Тем самым
приходим к противоречию с доказанной в теореме 6.2 единственно-
единственностью решения. Противоречие доказывает справедливость неравен-
неравенства |А*| ^ ^-1—-.
К(Ъ — а)
2. Резольвента. Построим выражение для резольвенты ядра
К(х, s) в рассматриваемом случае. Положим сро = /. Тогда из F.14)
имеем
ц>! = XAf + /,
Vi = XA(XAf + /) + / = X2A2f + XAf + f,
(p.
¦„ = y; xmAmf + /.	(еле)
m=l
Согласно D.9), справедливо представление Amf = ГКт(х, s)f(s) ds,
a
где Km(x,s) — повторное ядро порядка т (считаем Ki(x,s) =
= K(x,s)).

80	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
Имеем последовательность оценок
I Ь
sup \Кт(х, s)\ = sup f K(x,t)Km-i(t, s) dt
Отсюда ряд Ylm=i ^m~1Km(x,s) равномерно сходится при |А| <
< _ 	. Это позволяет перейти к пределу при п —у оо в F.16)
К(Ь- а)
и поменять местами операции суммирования и интегрирования. По-
Получим
оо	оо	ь
ум = / + Е x™Amf = / + Едт / к-(ж' *)/мds =
т—1	тп—1	а
Ъ
= f + \fR(x,s,\)f(s)ds,	F.17)
где
R(x, s, Л) = К(х, s) + Е ^ш~1Кт{х, s)	F.18)
т=2
— резольвента ядра К(х, s).
Соотношения F.9) и F.18) определяют резольвенту соответствен-
соответственно в случае симметричного ядра и в случае произвольного ядра
и "малого" Л. Проверим, что в случае, когда ядро симметрично,
а |А| < _ 	, выражения F.9) и F.18) эквивалентны.
К(Ь — а)
Действительно, в этом случае, согласно D.13), для т ^ 2 спра-
ведливо представление Km(x,s) = X^i % \m •> где yi(x) — соб-
ственные функции ядра K(x,s). Подставим Km(x,s) в этом виде
в F.18). Учитывая, что |А| < -=	 ^ l^fel? имеем
К(Ъ — а)
Д(ж, s, A) = K(x,s) -f
га=2	i=l
оо	оо
—	1л it* el —I— л i/'i т ii/'f el \
—	i\yx,t>) -\- т. Уг\х )Уг\ь) / J \ri
T^	—' i
i=l	m=2
m — 1
что совпадает с выражением F.9) для резольвенты, что и требо-
требовалось. Абсолютная и равномерная сходимость полученного ряда
оправдывает проделанную перестановку порядка суммирования по
г и m [30].
Итак, доказана следующая

§17. Случай "малого" А	81
Теорема 6.3. При |А| < _ 	решение уравнения F.1) дает-
К(Ъ — а)
ся формулой F.17), в которой резольвента Д(ж, s,A) определяется
как сумма равномерно и абсолютно сходящегося ряда F.18). Если
при этом ядро К(х, s) симметрично, то F.18) совпадает с F.9).
Пример. Построить резольвенту для уравнения
7Г
у[х) = A Г sin(x — s)y(s) ds + f(x).
о
Имеем
K(x,s) = sin(x - s);
7Г
^2(ж, s) = Г sin(x - s) sin(t — s)dt =
о
- s)] dt = — ^ cos(x - s);
= h
о
7Г
K3(x,s) = /" sin(x - t)(-|:cos(t - s)) dt =
о
7Г
— ~\ \ [sin(x — s) + sin(x + s — 2t)] dt = — ^ sin(x — s).
о
Очевидно,
i^2m+l(^,s) = (~|) msin(x-s), i^2m(^,s) = (~|) Ш~ COs(x -
для ттг = 1, 2,.... Получаем
oo
Д(ж, s, A) = ^2 У1~1Кп{х, s) =
n=l
При | A| ^ < 1 ряды, стоящие в квадратных скобках, сходятся и пред-
представляют собой геометрические прогрессии. Отсюда, при |А| < ^
получим
_ ship -3)-$f cos(x - з)
K{xsA)
1 +
В данном примере ряд Yl^Li ^n 1^n(x,s) сходится при |А| < ^,
в то время как в теореме 6.3 указана оценка |А| < _ 	= ^. Это
К(Ь — а)

82	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
говорит о том, что оценка |А| < _ 	 является достаточной, но
К(Ъ — а)
не является необходимой для сходимости ряда F.18).
3. Обобщение результатов на случай полярных ядер. На-
Напомним, что полярным ядром называется ядро вида
где 0 < а < 1, а Ф(х, s) — непрерывная функция. Рассмотрим опе-
оператор Фредгольма с полярным ядром
<х) = АУ= / fr$
)ds.
Он отображает ограниченные функции у(х) в непрерывные функ-
функции z{x). Действительно, обозначим
sup \Ф(х, s)\ = Н,	sup \у(х)\ = уо.
Тогда
а
Ь
и _ а\1-с
sup
+ (Ь-х2I~а - {Ъ-х^ + 4(^^I"] -+ О
при \х\ — х2\ —У 0. Отсюда следует непрерывность функции z(x).
ъ
Обозначим supa^^6 Г \K(x,s)\ ds = Р. Тогда
а
Ь
\Ауг -Ау2\ ^ \yi -у2\ f \K(x,s)\ds ^P\yi -2/2|.
а
Следовательно, оператор z = ХАу + / сжимающий, если |А| < -р.
Отсюда видно, что теорема 6.2 остается в силе и для полярных ядер,
если условие |А| < _ 	 заменить условием |А| < -к.
К(Ь — а)	"

§17. Случай "малого" А	83
Обратимся к выражению для резольвенты F.18) в случае поляр-
полярного ядра K(x,s). Убедимся в том, что повторные ядра Kn(x,s)
могут иметь особенность лишь до некоторого конечного номера п,
а ядра более высокого порядка — непрерывные функции.
Действуем по индукции. Пусть n-е повторное ядро имеет вид
Фп ( X S)
Кп(х, s) = -— 0 , где 0 < /3 < 1, \Фп(х, s)\ < Нп (для п = 1 условия
| X S
выполнены). Тогда
Kn+I(x,8)= [K(x,t)Kn(t,s)dt= *(*t)*(t8])
J
а
b
х -t\a \t- s
Если a-\-C < 1, то Kn+i(x,s) ^ HHn f 	—	-т. Этот инте-
Ja \x-t\a\t-sf
грал, а следовательно, и Kn+i(x,s) — ограниченная величина при
любых х и s.
Если а + C ^ 1, то делаем замену переменной t = s + ?(ж — s).
Обозначаем ai = ах ~ ^, bi = ^~ ^. Тогда из F.19) получаем
ifn+i(x,s) = |ж - ^^"""^^(ж, s), где
При а + /3 > 1 очевидно \F(x,s)\ < HHnI, где / = | 	^—^ —
сходящийся интеграл. При а + C = 1 выполнено
|F(x,s)| ^ /" 	^ /з = g(x?s)ln |ж - g|,
где g(x,s) — ограниченная функция. Поскольку \nz = o(z^~) при
z^O, то \F(x,s)\ ^ Clx-sl^1.
Итак, ядро Kn(p,s) имело особенность О(\х — s\~@). Ядро Kn+i(p,s)
при а + /3 < 1 ограничено, а при a + /3 ^ 1 имеет особенность
более низкого порядка, чем Kn(x,s), а именно: в последнем слу-
случае Kn+I(x,s) представимо в виде Kn+I(x,s) = 	n+p-(i-l)/2 > где
\х — s\
Фп+1 (ж, s) — ограниченная функция. Поскольку при повышении ин-
индекса повторного ядра на единицу порядок особенности убывает не
менее, чем на —2~~^> т0 повторные ядра Kn(x,s), по крайней мере,
с индексами п > по, где по — целая часть числа ( _л + 1) •> —
ограниченные функции.

84	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
При п > По ядра Kn+i(x,s) являются непрерывными функция-
функциями. Действительно, выше было показано, что оператор Фредгольма
с полярным ядром переводит ограниченные функции в непрерыв-
непрерывные. Поскольку Кп ограничены, то i^n+i = АКп непрерывны при
п > по.
Ряд F.18) можно разбить на две части. В одну войдет конечное
число слагаемых, которые могут иметь особенность, в другую —
бесконечная сумма ограниченных и непрерывных повторных ядер:
R(x, s, А) = Ri(x, s, А) + i?2(x, s, Л), где
n~lKn(x,s), R2(x,s,\)=
n=l	n=no-\-l
Ограниченные повторные ядра при |А| < 1/Р связаны соотношением
ь
sup \XKn+1(x,s)\ = sup \XjK(x,t)Kn(t,s)dt\< sup \Kn(x,s)\,
x,s?[a,b]	x,s?[a,b] a	x,s?[a,b]
из которого следует равномерная сходимость ряда К<±. Отсюда вид-
видно, что формулы F.17), F.18) остаются в силе и для полярных ядер
при условии |А| < 1/Р.
4. Ослабление требований на А. В примере, рассмотренном
в п. 2, была построена резольвента в виде ряда, который оказался
сходящимся при |А| < 2/тг, в то время как теорема 6.3 гарантирует
сходимость при |А| < 1/тг. Это наводит на мысль о том, что требова-
требования на А являются в теоремах 6.2 и 6.3 чересчур ограничительными.
В настоящем пункте мы докажем теорему 6.2 при более слабых
ограничениях на А.
Пусть K(x,s) и f(x) по-прежнему непрерывные функции. Обо-
/ ь ь
значим В = * Г Г К2(х, s) dx ds. Заметим, что -^ ^ — 	. Имеет
V I	B ^b-«)
V
место следующая
Теорема 6.4. Утверждение теоремы 6.2 остается в силе при
Доказательство. Выберем произвольную непрерывную
функцию ipo(x). Обозначим ||<?о|| — Со, где норма берется в про-
пространстве h[a, b] (см. §4), т.е. под || || понимается величина

§17. Случай "малого" А	85
Обозначим С = max {[.п? Со • Рассмотрим последовательность,
L1 — \л\п J
задаваемую рекуррентным соотношением F.14): <pn+i = ЛА(^П + /.
Пусть (рп(х) — непрерывная функция и \\(рп\\ ^ С. Это имеет
место при п = 0. Тогда <?n+i(x) обладает теми же свойствами. Дей-
Действительно, непрерывность (fn+i(x) очевидна. Для доказательства
того, что ||(^n+i|| ^ С, предварительно оценим ||^n+i ~ /II- Имеем
b , b	.2
||^n+i - /||2 = ||AA(pn||2 = A2 f [J K(x, s)ipn(s) ds) ds
a a
b,b	b	.
^ A2 Г [ Г K2(x, s) ds Г tp2n(s) ds) dx =
a a
= A2 f ip2n(s)ds f f K2(x,s)dxds <C \2B2C2.
a	a a
Отсюда получаем ||y>n+i|| ^ ||<pn+i - /|| + ||/|| ^ |A|BC + ||/|| ^ С
Последнее неравенство выполнено в силу того, что С ^ -— ,[, .
1 - \\\В
Итак, (рп(х) образуют последовательность непрерывных, ограничен-
ограниченных (равномерно относительно п) по норме функций.
Из доказательства теоремы 2.6 следует, что оператор А пере-
переводит ограниченную по норме последовательность функций срп(х)
в последовательность равномерно ограниченных и равностепенно-
непрерывных на [а, Ь] функций zn(x) = Acpn. Так как f(x) непрерыв-
непрерывна на сегменте [а, Ь], то она ограничена на нем и равномерно-непре-
равномерно-непрерывна. Поэтому последовательность ipn+1= \Acpn + f' = \zn + f также
будет равномерно ограниченной и равностепенно-непрерывной.
Итак, последовательность функций (рп(х) является равномерно
ограниченной и равностепенно-непрерывной. Тогда по теореме Ар-
цела существует подпоследовательность срПк (х), равномерно сходя-
сходящаяся к некоторой непрерывной функции (р{х). Докажем, что вся
последовательность срп равномерно сходится к Ср. Допустим, что это
не так. Тогда существует 8 > 0, подпоследовательность срПр и такие
хПр G [а, 6], что \(Рпр(%пр) — Ф(хпр)\ > 8. Из последовательности срПр
в силу той же теоремы Арцела можно выделить подпоследователь-
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой непрерывной функции (р(х). Будем
считать срПт такой подпоследовательностью. Тогда при достаточно
большом пт будем иметь \(рПт (х) — Ср(х)\ < 8/2 для всех х G [а, Ъ] и,
в частности, \^пЛхпт) ~ <р(хПт)\ < <V2- Поэтому
^8-8/2 = 8/2.

86	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода
Отсюда можно заключить, что sup^^ \(р(х) — ip(x)\ ^ E/2, т.е.
(р(х) ф. (р(х), а следовательно, \\(р — (р\\ = \± > 0.
Докажем, что срп(х) является фундаментальной последователь-
последовательностью в смысле сходимости по норме. Действительно,
ДЪ	ч 2
Л I K(x, s)((pn(s) — ipn-i(s)) ds) dx ^
a	a
b b	b	2
^ A2 J f K2(x,s) dsdx • f ((pn(s) - (pn-i(s)) ds =
a a	a
где D = Ну?! - y?o||. Отсюда ||y?n+i - <Pn\\ ^ (XB)nD. Далее имеем
^-1 + (\B)n+lp-2 + • • • + (ЛБ)П] ^ DJ^^.
Из полученного неравенства можно сделать вывод о том, что для
любого г > 0 можно указать Nq такое, что ||^п+р — фп\\ < ?/3, если
п > No, & р — любое целое число.
Так как (рПк(х) ^^ ^(ж)? а ^nm (ж) ^=> <р(ж), то при достаточно
больших nk и nm имеем \\(р — (рПк\\ < г/3, \\ф — ^nm|| < ^/3. Пусть,
кроме того, nk > Nq и nm > TVo- Тогда
что противоречит соотношению \\ср — cp\\ = \i при e < \i.
Полученное противоречие доказывает равномерную сходимость
всей последовательности (рп(х) к непрерывной функции (р(х). Пере-
Переходя к пределу в F.14), получаем, что ср является решением урав-
уравнения F.1).
Осталось доказать единственность. Пусть ср и (р — два различных
непрерывных решения уравнения F.1). Тогда
ъ , ъ
1|2
= / (А / К(х, s) (ф) - ф)) ds^j dx ^
а	а
К2(х, s) dxds I (ф) - ?p(s)fds ^ X2B2\\tp - (р\\.

18. Теоремы Фредголъма	87
Поскольку \2В2 < 1, получаем \\ср — ср\\ = 0 и, следовательно, тео-
теорема доказана.
Вернемся к рассмотренному в п. 2 примеру, в котором величина
/ 7Г 7Г
В = > Г Г sin2 (ж — s) dxds = ^. Согласно теореме 6.4, сходимость
у о о
ряда для резольвенты имеет место при |Л| ^ -щ = ^, что совпада-
совпадает с результатом, полученным в данном примере непосредственным
расчетом.
§ 18. Теоремы Фредгольма
Целью этого параграфа является обобщение результатов § 1 на
случай произвольного непрерывного ядра.
Интегральные уравнения
у{х) = А / К(х, s)y(s) ds + f(x)	F.20)
а
и	ь
z(x) = X* I K*(x, s)z(s) ds + g(x)
а
называются союзными, если K*(x,s) — эрмитово сопряженное по
отношению к K(x,s) ядро. При этом сами ядра K(x,s) и K*(x,s)
также называют союзными.
Если К(х, s) и А вещественны, то союзным к уравнению F.20)
является уравнение
ъ
z(x) = A I K(x, s)z(s) ds + g(x).	F.21)
а
Мы, для простоты изложения, будем рассматривать случай веще-
вещественных функций K(x,s), /(ж), д(х) и вещественного А. Для слу-
случая, если эти функции и А — комплексные, можно провести рассу-
рассуждения, аналогичные нижеприведенным, и все результаты настоя-
настоящего параграфа останутся справедливыми.
1. Случай вырожденного непрерывного ядра. Вначале рас-
рассмотрим вопрос разрешимости уравнений F.20) и F.21) для выро-
вырожденного ядра, а затем покажем, что все полученные результаты
переносятся также и на невырожденные ядра.

88	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
Итак, пусть
п
К(х, s)=J2 Пт(х)и;т(з).	F.22)
ra=l
Пусть все функции Qm(x) линейно независимы между собой (это-
(этого всегда можно добиться, выразив зависимые функции через не-
независимые и сократив соответственно число слагаемых, входящих
в сумму F.22)).
Из F.20), учитывая F.22), имеем
ъ п
у(х) = Л J ^ um(x)u;m(s)y(s) ds + f(x) =
а т=1
п
= \Y,Slm(x)Cm+f(x),	F.23)
m=l
где
Ст= I u)m{s)y{s)ds.	F.24)
а
Умножая F.23) на Ui{x) и интегрируя, получим
mOLim = <U,	F.25)
га=1
ГД6
otim = f ил(х)пт(х) dx, di = J f{x)uoi{x) dx.	F.26)
a	a
Интегральное уравнение F.20) и алгебраическая система F.26)
эквивалентны. Действительно, если у(х) — решение F.20), то С«,
определяемые из F.2), удовлетворяют системе уравнений F.25). На-
Наоборот, пусть Сi определяются из F.25). Тогда функция у(х), по-
построенная согласно F.23), удовлетворяет уравнению F.20):
ъ
у(х) - Л I K(x, s)y(s) ds - /(ж) =
а
Ъ п
)Ст -XJJ2 V
m=l	a m=l
т(х) [Ст -\Y,Ciaim - dm] = 0.
f(s)] ds =

18. Теоремы Фредголъма
Проделав аналогичные преобразования для решения z(x) союз-
союзного уравнения F.21), получаем
п
z(x) = X Y^ UmQm + д(х),	F.27)
га=1
где коэффициенты
ъ
а
удовлетворяют системе алгебраических уравнений
п
- А 53
= Ъ,	F-28)
т=1
ъ
Ъ = / g(x)ili(x)dx.
а
Итак, союзные интегральные уравнения F.20) и F.21) соответ-
соответственно эквивалентны системам алгебраических уравнений F.25)
и F.28) с транспонированными друг относительно друга главны-
главными матрицами. Обозначим через Е единичную матрицу, через а —
матрицу с элементами a^m, звездочкой обозначим транспонирова-
транспонирование. Тогда согласно сказанному выше главные определители си-
систем F.25) и F.28), т.е. определители detji? — Ха} и detji? — \a*},
равны. Обозначим и тот и другой через D(X).
Корни определителя D(X) совпадают с собственными значениями
ядра К(х, s). Действительно, пусть Л — собственное значение ядра
K(x,s), т.е. при /(ж) = 0 имеется нетривиальное решение урав-
уравнения F.20). При этом, как следует из F.23) и F.26), существует
нетривиальное решение однородной системы F.25). Это возможно
только тогда, когда D(X) = 0. Наоборот, пусть Л не является соб-
собственным значением ядра K(x,s). Тогда при f(x) = 0 существует
лишь тривиальное решение уравнения F.20). Следовательно, в си-
силу F.24) существует лишь тривиальное решение однородной систе-
системы F.25), а это возможно только тогда, когда D(X) ф 0.
Точно так же можно убедиться, что корни D(X) совпадают с соб-
собственными значениями союзного ядра K(s, x). Таким образом, имеет
место
Теорема 6.5. Собственные значения ядер K(x,s) и K(s,x) со-
совпадают.
Рассмотрим различные случаи.

90	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
1.	Пусть Л не является собственным значением ядра K(x,s) или
ядра K(s,x). Тогда, по доказанному, D(X) ф 0. Следовательно, су-
существует единственное решение систем F.25) и F.28) при любых di
и 7г? а значит, существует единственное решение уравнений F.20)
и F.21). Тем самым доказана
Теорема 6.6. Пусть А не является собственным значением ядра
K(x,s). Тогда решение интегрального уравнения F.20) и решение
союзного уравнения F.21) существуют и единственны при любых
функциях f(x) и д{х).
2.	Пусть Л является собственным значением ядра К(х, s), a f(x) =
= д(х) = 0. Тогда D(X) = 0, d\ = 0, 7i = 0- Матрицы однородных
систем F.25) и F.28) являются транспонированными друг относи-
относительно друга. Следовательно, их ранг одинаков и существует рав-
равное число линейно независимых решений однородных алгебраиче-
алгебраических систем F.25) и F.28). Пусть таких решений I. Обозначим их
р р	р	р р	р
С = {Сь... ,СП} и Q = {Qi,.. .,Qn}, соответственно,/? = 1,...,/.
Убедимся, что функции у{х) = J^m=i ^n(x)Cm, отвечающие раз-
различным р, линейно независимы между собой. Допустим противное.
Пусть Y!p=i VpV(z) = 0, гДе T!p=i V% Ф °- Тогда
In	n	i
^2 Цр • ^ пт(х)Ст = ^ ^rn{x)^2 llpC ш = 0.
В силу линейной независимости функций Qm(x) получаем
для всех т = 1,2,..., п. Это противоречит линейной независимости
решений однородной системы F.25).
Аналогичным образом соотношения z(x) = ^2^n=1 ujm(x)?}m опре-
определяют I линейно независимых решений однородного уравнения
F.21). Таким образом, доказана
Теорема 6.7. Если Л является собственным значением ядра
K(x,s), то однородное уравнение F.20) и союзное с ним однород-
однородное уравнение F.21) имеют одинаковое число линейно независимых
собственных функций.
3. Пусть Л является собственным значением ядра K(x,s),
a f(x) ф. 0. Тогда вопрос разрешимости уравнения F.20) сводит-
сводится к вопросу о разрешимости неоднородной системы F.25) с опре-
определителем D(X) = 0. Как известно из линейной алгебры [23], для

18. Теоремы Фредголъма	91
m=l a
существования решения в этом случае необходимо и достаточно,
чтобы правая часть системы F.25), т.е. d — {di,... ,dn}, была ор-
ортогональна всем решениям однородной системы с транспонирован-
транспонированной матрицей. Такой системой является однородная система F.28).
Отсюда для существования решения уравнения F.20) необходи-
необходимо и достаточно, чтобы было выполнено ^2rn=1 dmQm = 0, где
ъ	~
Qm = Г z(s)Q,m(s) ds, a z{x) — произвольное решение однородно-
а
го уравнения F.21). Пользуясь выражением F.26) для dm, имеем
>	ъ
f(x)u)m(x) dx I z(s)um(s) ds =
a
= / f(x) f \^2 um(s)u)m(x)\z(s)dsdx =
a	a m=l
b	Г b	1	b	z(x)
= / f(x) f K(s?x)z(s) ds\dx= Г f(x) -j^- dx = 0.
a	a	a
Полученный результат сформулируем в виде теоремы:
Теорема 6.8. Если Л является собственным значением ядра
K(x,s), то для существования решения неоднородного уравнения
F.20) необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была ортого-
ортогональна всем собственным функциям союзного ядра K(s,x), отвеча-
отвечающим тому же Л.
Доказанные теоремы 6.6-6.8 называются теоремами Фредголъма.
2. Случай невырожденного непрерывного ядра. Покажем,
что результаты предыдущего пункта могут быть перенесены и на
случай невырожденного ядра.
Пусть K(x,s) — непрерывная при х G [а, Ь] и s G [а, Ь] функ-
функция. По теореме Вейерштрасса [19] функция К(х, s) в этом случае
может быть сколь угодно точно приближена полиномами, т. е. суще-
существует такой полином Р(х, s) = J2n+k<N ankXnsk, что при ж, s G [а, Ь]
\K(x,s) — P(x,s)\ < s, где s > 0 — любое наперед заданное число.
Выберем 0 < е < ...,}	г. Таким образом, K(x,s) = P(x,s) + Q(x,s),
\Що -а)
где \Q(x, s)\ < г, а Р(х, s) — вырожденное ядро. Интегральное урав-
уравнение F.20) принимает вид
ъ	ъ
у(х) - Л f Q(x, s)y(s) ds = Xf P(x, s)y(s) ds + f(x).	F.29)

92	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
Введем функцию
ъ
Ф{х) = у(х) -X J Q(x, s)y(s) ds.	F.30)
а
Ядро Q(x,s) таково, что |A||Q|(b — а) ^ \X\s(b - а) < 1. Тогда, по
теореме 6.1, функция у{х) однозначно выражается через Ф:
где R(x,s,X) — резольвента ядра Q(x,s). Уравнение F.29) прини-
принимает вид
ь г	ь	1
Ф = X I Р]Ф + А I RФdЦ ds + / =
а	а
Ъ
= Х f Т(ж, s, Х)Ф(8) ds + /(ж),	F.31)
а
где
ъ
Т(х, s, A) = P(x, s) + A I P(x, ?)R(?, s, A) d? =
а
Х-
— вырожденное и непрерывное ядро.
Решение уравнения F.20) — функция у(х) — взаимно однозначно
связано с решением Ф(х) уравнения F.31). При этом, как видно из
соотношения F.30), функции у{х) и Ф{х) одновременно либо равны,
либо не равны тождественно нулю. Отсюда нетривиальное решение
однородных уравнений F.20) и F.31) существует при одних и тех же
значениях А, т. е. А является (или не является) собственным значе-
значением ядер К и Т одновременно.
Мы свели уравнение F.20) с невырожденным ядром К(х, s) к урав-
уравнению F.31) с вырожденным ядром T(x,s,X) таким образом, что
неоднородность /(ж) в этих уравнениях одинакова. Теперь преобра-
преобразуем союзное уравнение F.21) к уравнению с вырожденным ядром,
союзным с Т(ж, s, А), сохраняя функцию z{x). (Этот способ преобра-
преобразования связан с теоремой 6.8.)
Представим уравнение F.21) в виде
ъ	ъ
z(x) — X f Q(s, x)z(s) ds = A f P(s, x)z(s) ds + g(x).

18. Теоремы Фредголъма	93
Рассматривая правую часть последнего соотношения как неоднород-
неоднородность, согласно F.17) получаем
ъ
z(x) = A J P(s, x)z(s) ds + g(x) +
a
b	Г b	1
+ A I R(x, t, А) [Л I P(s, t)z(s) ds + дЩ dt =
a	a
b _
= Л I Т(ж, s, X)z(s) ds + pi (ж),	F.32)
a
где Д(ж, s, Л) — резольвента ядра Q(s, ж),
ь _
0i (ж) =д{х) + J R(x, t, X)g(t) dt,
Г(ж, s, A) = P(s, ж) + I P(s, t)R(x, t, A) dt.	F.33)
a
Убедимся в том, что Т(ж,з,А) = Т(з,ж,А). Действительно, пусть
Qn{x,s) — повторное ядро для Q(x,s) порядка п, а Qn(x,s) — по-
повторное ядро того же порядка для Q(s,x). Тогда из D.11) следует,
что Qn(x,s) = Qn(x,s). Далее, согласно F.18), имеем
оо
f>(	\\ _ г\(т <Л _|_ \ \п~1П (т я} —
п=2
оо
п=2
Тогда из F.33) следует Т(ж, s, A) = Т(ж, s, А), что и требовалось.
Таким образом, союзные интегральные уравнения F.20) и F.21)
эквивалентны уравнениям F.31) и F.32) с вырожденными союзны-
союзными ядрами. Параметр А является или не является собственным зна-
значением ядер К(х, s) и Т(ж, s, А) одновременно; совпадают неоднород-
неоднородности /(ж) в F.21) и F.31); совпадают решения однородных урав-
уравнений F.21) и F.32). Это позволяет перенести утверждения теорем
Фредгольма 6.6-6.8 на случай невырожденных ядер. А именно:
1.	Если А не является собственным значением ядра K(x,s), то
F.31) и F.32), а следовательно, F.20) и F.21) разрешимы при любых
собственных /(ж) и д(х).
2.	Пусть А является собственным значением ядра. Покажем, что
линейно независимым между собой собственным функциям Ф\,...

94	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода
..., Ф\ однородного уравнения F.31) соответствуют линейно незави-
независимые собственные функции у±,..., у\ однородного уравнения F.20).
Действительно, допустим противное, пусть Ф\,..., Ф\ линейно неза-
независимы, а для соответствующих yi,... ,у\ выполнено соотношение
^2i=i CiVi(x) = 0, где ^2i=1 Cf ф 0. Тогда, умножая F.30) последова-
последовательно на Ci (г = 1,...,/) и суммируя, получим слева 5^=1 ^г^г(х)^
а справа — нуль. Равенство ^2i=1 С^Ф^х) = 0 противоречит предпо-
предположению о независимости Фг(х).
Однородные союзные уравнения с вырожденным ядром F.31)
и F.32) согласно результатам п. 1 имеют равное число линейно неза-
независимых собственных функций. Следовательно, аналогичным свой-
свойством обладают однородные уравнения F.20) и F.21).
3. Если Л является собственным значением ядра K(x,s), то для
разрешимости F.31), а следовательно, и F.20) необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось условие ортогональности
ъ
(/,*)= f f(x)z(x)dx = 0,
а
где z(x) — любая собственная функция союзного ядра K(s,x), со-
соответствующая собственному значению Л.
Таким образом, результаты п. 1 (теоремы 6.6—6.8) переносятся на
случай невырожденных ядер.
Замечание. Из теорем 6.6 и 6.8 следует так называемая
Альтернатива Фредгольма. Либо интегральное уравне-
уравнение F.20) имеет единственное решение при любой функции f(x), ли-
либо существует нетривиальное решение союзного однородного урав-
уравнения.
3. Обобщение теорем Фредгольма на случай полярных
ядер. Покажем, что полярное ядро K(x,s) = -,— L может быть
\х — s\
приближено непрерывным вырожденным ядром Р(х, s), так что для
ь
функции Q(x,s) = K(x,s) — P(x,s) выполнено f \Q(x,s)\ds < т^т,
т.е. Q(x,s) является "малым" полярным ядром.
Действительно, рассмотрим ядро S(x,s), определенное следую-
следующим образом:
К(х, s) При \х — s\ ^ 7;
S(x,s) = i ф(х,з)	, .
о ПРИ х — s ^ !•>
7

19. Резольвента непрерывного несимметричного ядра	95
П-а11/A-а)„ „¦
где у . __, л, , a 11 sup
|_4Я|А|] ^а^п
Ifb
b ж+7
Г \K(x,s) - S(x,s)\ds = [ K(x,s) - S(x
a x-
ж+7
< H f
-7
х-а\'
Ядро S(x, s) является непрерывной
гут быть приближенно полиномом
В результате получаем
ь
г. При
функцией
P(x,s) =
этом f \S(
a
огда
,s)\ds ^
/ 2Я „,1-a ^ 1
и, следовательно
Y,n+k<:NankXnSk
x,s) — P(x,s)\ ds<
, мо-
так,
1
2|Л|-
I \K(x,s) -P(x,s)\ds ^
а
<: [ \K(x,s)-S(x,s)\ds+ f \S(x,s)-P(x,s)\ds< ^
a	a	|A|
Итак, Q(x,s) является "малым" полярным ядром в том смысле,
как указано выше. Используем результаты п. 3 § 17 о разрешимости
уравнений Фредгольма с малым полярным ядром и представлении
решения при помощи резольвенты. Тогда можно повторить рассу-
рассуждения п. 2 § 18 и убедиться, что теоремы Фредгольма переносятся
на случай полярных ядер.
§ 19. Резольвента непрерывного несимметричного ядра
при "больших" Л
В § 16, 17 настоящей главы было рассмотрено понятие резольвен-
резольвенты для интегрального уравнения
b
у(х) = Л f K(x, s)y(s) ds + f{x)	F.34)
а
в случае симметричного ядра и в случае "малых" Л. Резольвента
определялась как функция, при помощи которой решение уравне-
уравнения F.34) дается в виде
ъ
у(х) = f{x) + А / R(x, s, X)f(s) ds.	F.35)

96	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода
Было показано, что для произвольного непрерывного ядра при
|А| < ттгГ	г? гДе М = sup	\K(x, s)\, резольвента равна сумме
Муо — а)	а<^х<^ь
ряда
(X)
Д(ж, s, A) = Y^ У1~1Кп{х, s).	F.36)
71=1
Остается открытым вопрос: существует ли резольвента несимме-
несимметричного ядра при |А| > , 	г, т.е. при таких А, при которых
ряд F.36), вообще говоря, расходится? Покажем, что резольвента
существует при любом А, отличном от собственного значения ядра
K(x,s).
Убедимся прежде всего в том, что резольвента в виде ряда F.36)
при |А| < , 	г удовлетворяет соотношению
1VJ. 1С/ iX J
ъ
Д(ж, s, A) = K(x, s) + A J К(х, ОД(?, s, A) d?.	F.37)
а
Для этого в F.36) заменяем обозначение х на ?, умножаем обе ча-
части F.36) на \К(х,?) и интегрируем по ^. Получаем
ъ	ъ	г °°	.,
А I К(х, ?)#(?, s, \)d?= f К(х, О \J2 An^nK, s)J d?. F.38)
а	а	п=1
Меняем порядок суммирования и интегрирования в правой ча-
части F.38), что можно сделать в силу равномерной сходимости ряда.
Имеем
ъ	°° ъ
A J K(x, f)д(?> s> А) ^ = ^ An J К(х, 0кп(^ s) ds =
а	п=1 а
(X)	(X)
га=1	п=2
(X)
= ^ А^1^^, 5) - К(Ж, 5) = Д(Ж, 5, А) - К(Ж, 5),
п=1
что и требовалось проверить.
Пусть ядро K(x,s) непрерывно и А ф А^, где А^ — собственные
значения ядра K(x,s). Рассмотрим соотношение F.37) при фикси-
фиксированном s, считая R функцией х. Согласно доказанной выше те-
теореме 6.6 существует единственное решение интегрального уравне-
уравнения F.37). Это решение определяет зависимость R от х при фик-
фиксированном s. Изменяя значение s на интервале [а, 6], получаем,
что соотношение F.37) однозначно определяет некоторую функцию
R(x, s, А) при А ф Af, х G [а, Ь] и s G [а, Ь].

§ 19. Резольвента непрерывного несимметричного ядра	97
Имеет место следующая
Теорема 6.9. Пусть K(x,s) — непрерывное (в общем случае
несимметричное) ядро интегрального уравнения F.34), а Л не со-
совпадает ни с одним собственным значением этого ядра. Тогда суще-
существует единственное решение уравнения F.34), которое может быть
представлено в форме F.35), где резольвента R(x, s, Л) определяется
соотношением F.37).
Доказательство. Существование и единственность решения
уравнения F.34) в рассматриваемом случае следует из теоремы
Фредгольма 6.6, а существование и единственность решения уравне-
уравнения F.37) показаны выше. Осталось проверить, что решение в фор-
форме F.35), где R(x,s,X) определяется из F.37), действительно удо-
удовлетворяет уравнению F.34).
Подставим выражение F.35) в уравнение F.34) и перенесем все
слагаемые влево. Получим
ъ
/0) + А I R(x,s,\)f(s)ds-
a
b	г	b	-.
- A I K(x, s) [/(s) + A I R(x, t, X)f(t) ей] ds - f(x) =
a	a
b	b
= A I R(x, s, X)f(s) ds-X I K(x, s)f(s) ds-
- А2 / /(а) [ / К(х, t)R(t, s, A) dt] ds =
а	а
= X I f(s) I Д(ж, s, А) - if (ж, s) - X I K{x, t)R(t, s, A) d? I ds = 0.
а	а
Последнее равенство имеет место в силу F.37). Тем самым прове-
проверено, что решение в форме F.35) при условии F.37) удовлетворя-
удовлетворяет F.34), что и требовалось. Теорема доказана.
Таким образом, резольвента определена уравнением F.37) не
только при "малых" А, там, где сходится ряд F.36), но и при про-
произвольных X ф Xi. Для симметричных ядер существование резоль-
резольвенты при X ф Xi следует также из ранее полученного соотноше-
соотношения F.9).
Пример. Вернемся к интегральному уравнению
у(х) =Х I 8'т(х - s)y(s) ds + /(ж),	F.39)
о

98	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредголъма второго рода
рассмотренному в качестве примера в § 17. Там при помощи со-
соотношения F.36) при |А| < 2/тг была найдена резольвента ядра
К(х, s) = sin(x — s)
R(x, s, А) =	-^-2	.	F.40)
Эта функция является аналитической по переменному Л всюду, кро-
ме точек Л = =Ь^—. Согласно доказанному выше Д(ж, s,A) удовле-
удовлетворяет соотношению F.37) внутри круга равномерной сходимости
ряда F.36), т.е. при |А| < 2/тг. Как известно [22], при этом аналити-
аналитическое продолжение R(x,s,X) на комплексную плоскость также удо-
удовлетворяет соотношению F.37). Следовательно, выражение F.40)
определяет резольвенту не только при |А| < 2/тг, но и при любых
А ф ±г ^. (Нетрудно проверить, что А = ±г ^ являются собственны-
собственными значениями ядра K(x,s).)
§ 20. Уравнение с ядром,
зависящим от разности аргументов
Многие задачи математической физики приводят к интеграль-
интегральным уравнениям, в которых ядро зависит от разности аргументов:
K(x,s) = K(x — s). При решении таких уравнений часто бывает целе-
целесообразно использовать преобразование Лапласа или Фурье. В на-
настоящем параграфе изучается случай, когда ядро зависит от раз-
разности аргументов и интегрирование производится по бесконечному
промежутку.
Рассмотрим уравнение
оо
у(х)=Х f K{x-s)y{s)ds + f(x).	F.41)
— оо
Обозначим символом G класс функций, абсолютно интегрируемых
на бесконечном участке и разложимых в интеграл Фурье. Иными
(X)
словами, если g(x) G G, то Г \д(х)\ dx < оо, определена функция
— сю
оо	оо
д(ио) = I eluJXg{x) dx, определен интеграл Г e~lujxg{uo) duo и вы-
— оо	—оо
оо	, оо	.
полнено равенство -^- Г е~гшх < Г elu;sg(s) ds > duo = д(х). В част-
— оо	—оо
ности, к классу G относятся кусочно-гладкие, абсолютно интегри-
интегрируемые на участке х G (—оо, оо) функции [14].

§ 20. Уравнение с ядром, зависящим от разности аргументов	99
Пусть функции f(x) и К(х), заданные в уравнении F.41), при-
принадлежат классу G. Предположим, что существует решение урав-
уравнения F.41) — функция у (х) Е G. Найдем его, используя преобра-
преобразование Фурье.
Умножаем F.41) на eluJX и интегрируем по х. Имеем
оо	оо
I eiujxy(x)dx- I eiu;xf(x)dx =
— оо	—оо
оо	, оо
= Л / е*шж| I K{x-s)y{s)ds}dx.
В силу абсолютной интегрируемости К(х) и у(х) можно поменять
порядок интегрирования в правой части последнего равенства [17].
Обозначим у (со), f(co) и К(ш) изображения Фурье соответственно
функций у (ж), /(ж) и К(х). Получаем
_	оо	, оо	>.
у (со) - /И = Л / t/(s)eiws| f K(x - s)eiu>(x-^ dxj ds =
— оо
оо	, оо
= А / у{з)е^{ f
— оо	—оо
Отсюда у (и) = 	 ^ L	. Сделав обратное преобразование Фурье,
1 — Л • К (и)
находим
оо	7( \
^4F.42)
оо
L
Итак, если существует решение уравнения F.41) из класса G, то оно
определяется формулой F.42) и, следовательно, единственно в рас-
рассматриваемом классе функций.
Пусть Л, К(х) и f(x) таковы, что соотношение F.42) определя-
определяет у(х) G G. Тогда, подставляя эту функцию в F.41) и повторив
преобразования, проведенные выше, получим тождество. Это озна-
означает, что у(х), определяемая из F.42) и принадлежащая классу G,
действительно является решением интегрального уравнения F.41).
Приведем теперь достаточные условия, при которых соотноше-
соотношение F.42) определяет функцию у(х) G G:
1)	значение параметра Л таково, что 1 — Л • К (и) ф 0 при
uj G (—оо, оо);
2)	f(uj) и К (и) дважды дифференцируемы и абсолютно интегри-
интегрируемы вместе с производными до второго порядка при ио G (—оо, оо).

100	Гл. 6. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода
Функция у (и) = 	———	 и две ее производные при выпол-
1 — А • К{и)
нении перечисленных условий абсолютно интегрируемы по uj на
бесконечной прямой. В этом случае (см. [14]) преобразование F.42)
определяет непрерывную функцию у(х), для которой справедлива
оценка \у(х)\ = о(|ж|~2). Следовательно, функция у{х) абсолютно
интегрируема на бесконечной прямой.
Далее, функция у (и) при наложенных на А, К (и) и f{uj) усло-
условиях является гладкой, абсолютно интегрируемой функцией и, сле-
следовательно, могут быть разложена в интеграл Фурье. Это означа-
означает, что определено преобразование F.42) и обратное к нему пре-
оо
образование, т.е. существуют интегралы Г y(x)eluJX dx = y{uj)
— оо
оо
и Г e~lujxy(uo) duo = 2тгу(х). Следовательно, функция у(х), опре-
— оо
деляемая из F.42), разложима в интеграл Фурье и у{х) G G.
Пример. Рассмотрим уравнение
оо
у(х) = Х f e-a\x-s\y(s)ds + e-b\x\ (а > 0, Ъ > 0).	F.43)
— оо
Производим преобразование Фурье ядра и неоднородности уравне-
уравнения
—	оо
~	оо
К (и) = Г еги;хе-а\х\ dx = а .
J	a + uj
—	оо
а. Пусть А < ft. При этом выполнено условие 1 — \K(uS) ф 0 для
любых действительных uj. Соотношение F.42) получаем в виде
оо	26
- duj.	F.44)
— оо	а2—со2
Несобственный интеграл F.44) сходится абсолютно, равномерно
по ж и определяет непрерывную функцию у(х). Вычисляем инте-
интеграл F.44) при помощи теории вычетов, используя лемму Жордана.
При х > 0 замыкаем контур интегрирования дугой в полуплоскости
Im ио < 0, при х < 0 — дугой в полуплоскости Im uj > 0. Получаем

§ 20. Уравнение с ядром, зависящим от разности аргументов	101
б. Пусть Л ^ а/2. Тогда существует нетривиальное решение од-
однородного уравнения
оо
у(х) = Х I e-alx-sly(s)ds.	F.45)
А именно, рассмотрим соотношение 1 — \K(uj{) = 1 — Л 9 9 = 0.
r + (
9
or
Из него находим ио\ = л/2аА — а2. Нетрудно проверить, что 2/(ж) =
= Gе~га;1Ж, где G — произвольная константа, является решением
уравнения F.45). Действительно, подставляем эту функцию в F.45),
делим соотношение на e~luJlX и переносим слагаемые в одну часть.
Имеем
оо
оо
C-\eitVlX I e-alx-sl С e~iu;is ds =
— (X)
Г
= C[l-A / e"a|a;-s|e^l(a;-s)
— ОО
= C[l-A f e-alale-iwiadaj =C[1-X-K(u>1)] = 0,
— оо
что и требовалось проверить.
Замечание. Из рассмотренного примера видно, что множе-
множество собственных значений уже не является последовательностью,
а представляет собой полупрямую Л ^ а/2. Это характерно для рас-
рассматриваемого класса интегральных уравнений.

ГЛАВА 7
УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА
§ 21. Существование и единственность решения
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
у{х) = А / К(х, s)y(s) ds + /(ж),	G.1)
а
где K(x,s) и /(ж) — непрерывные функции при а ^ s ^ ж ^ Ъ.
Теорема 7.1. Уравнение G.1) имеет единственное непрерывное
решение при любом значении А. Это решение может быть найдено
путем последовательных приближений.
Доказательство. Докажем существование решения. Для это-
этого рассмотрим последовательность функций, определяемых рекур-
рекуррентным соотношением
yn+i(x) = A f K(x, s)yn(s) ds + /(ж),	G.2)
a
где 2/о0е) = 0. Функции уп{х), очевидно, непрерывны. Представим
Уп(х) в виде
п
Уп = Уо + B/1 - 2/о) Н	Ь B/п - 2/n-i) = 2/о + ^2(Ук ~ Ук-i)- G.3)
Обозначим sup	|Х(ж, s)| = М, йира^ж^6 |/(ж)| = F. Имеем по-
следовательность оценок:
\У1 - Уо\ = \f\ ^ F,
K(x, s)f(s) ds 4: |А| М(х - a)F,
\Vk+i-Vk\ = \\\\fK(x,s)(yk(s)-yk-1(s))ds 4 \\\kMk{x k<a) F.
k{x a)

§ 21. Существование и единственность решения	103
Члены ряда ^2^=1(ук —Ук-i) мажорируются членами числового ря-
да FJ2T=i |A|Mffi~a) = Fe^Mi-b-^ - F. Следовательно, по при-
знаку Вейерштрасса ряд ^2^=1(ук — 2/fc-i)? частичная сумма кото-
которого присутствует в G.3), сходится равномерно: уп(х) => у(х), где
у (х) — непрерывная на [а, Ь] функция. Для у(х) выполнена оценка
\у{х)\ ^Fe\x\M^b-a\	G.4)
В силу равномерной сходимости {уп(х)} можно перейти в G.2)
к пределу при п —У оо. Получим соотношение G.1). Таким образом,
функция у (х) — предел равномерно сходящейся последовательно-
последовательности {уп(х)} — является решением уравнения G.1).
Докажем единственность решения уравнения G.1). Пусть у\(х)
и ?/2 (х) — два непрерывных решения уравнения G.1), а у(х) — их
разность. Тогда у{х) удовлетворяет однородному уравнению
у(х) = A I K(x, s)y(s) ds.	G.5)
а
Обозначим supa<a,<6 \y(x)\ = С. Оценивая мажорантным способом
правую часть G.5), получим \у(х)\ ^ |А| МС(х — а). Подставляя эту
оценку в правую часть G.5), получим новую оценку
I-/ м ^ л,г2^1л12 ?/ ч у \Х\2М2С(х - аJ
\у(х)\ ^ М2С\Х\2 f(s-a)ds = и	^	'-.
а
И так далее. После k-vo шага имеем оценку
G-6)
Если у(х) ф 0, то найдется жо, при котором у(хо) отлично от
нуля. С другой стороны, для \/г > 0 при достаточно больших к вы-
„\\\кМкС(х-а)к	тт ,^п.
полнено неравенство G ¦LJ	rf	 < s. Из G.6) получаем, что
|^"(жо)| < е, где г — произвольная сколь угодно малая величина. Вы-
брав 0 < е < 2 ? получим противоречие. Следовательно, у(х) = 0
и решение уравнения G.1) единственно.
Замечания. 1. В силу доказанной теоремы однородное урав-
уравнение G.1) имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, од-
однородное уравнение Вольтерра второго рода не имеет собственных
значений.
2. Поскольку собственных значений не существует, то множи-
множитель А в записи уравнения Вольтерра обычно опускают.

104	Гл. 7. Уравнения Волыперра второго рода
Пример. Решить уравнение
X
у(х) = f (х - s)y(s) ds + ж2.	G.7)
о
Найдем решение двумя различными способами.
а.	Продифференцируем уравнение G.7) дважды:
у'(х) = f y(s)ds + 2x, у" =у + 2.
о
Решая получившееся дифференциальное уравнение с учетом усло-
условий у@) = 0, у'@) = 0, находим у{х) = 2(ch x — 1).
б.	Найдем решение путем последовательных приближений. Выби-
Выбираем у о (ж) = 0. Последующие приближения определяем по формуле
х
Vn+i(x) = J (х - s)yn(s) ds + x2.
о
Находим
ух (х) =ж2,
х	4
у2(х) = Г (х — s)s2 ds + х2 = х2 + jtj,
24
•2.
Отсюда 2/(ж) = linin^oo ?/n(x) = 2(ch ж - 1).
Рассмотрим теперь интегральное уравнение
fK(x,s)y(s)ds = f(x)	G.8)
а
Вольтерра первого рода. Пусть K(x,s) и f(x) — непрерывные функ-
функции при а ^ s ^ х ^ 6. Мы не будем заниматься общей теорией та-
таких уравнений, заметим только, что при произвольной непрерывной
f(x) непрерывное решение у(х) может не существовать. Действи-
Действительно, необходимым условием существования непрерывного реше-
решения является, очевидно, условие /@) = 0, так как левая часть G.8)
в случае непрерывного у{х) обращается в нуль при х = 0.
При некоторых условиях уравнение G.8) может быть сведено
к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Пусть K(x,s)

§ 22. Резольвента для уравнения Волыперра	105
и f(x) дифференцируемы по ж и К(х,х) ф 0 всюду на [а, Ь]. Тогда,
дифференцируя соотношение G.8), имеем
X
у{х)К{х,х) + I K'x{x,s)y{s)ds = f'{x).
о
Деля на К(х,х), приходим к уравнению Вольтерра второго рода
х
у(х) = I Р(ж, s)y(s) ds + g(x),
а
где P(x.s) = Tr( { , а(ж) = г^/ \.
у ' J К(х,х) ' yv J K(x,x)
Пример. Получим решение уравнения
X
Г (х + s + 1J/E) ds = ж2,
о
Дифференцируя, имеем
х
у(х)Bх + 1) + /" 2/(s) ds = 2ж.
о
При этом ?/@) = 0.
Полученное уравнение Вольтерра второго рода будем также ре-
решать путем дифференцирования. Получим у'Bх+1)+Зу = 2, откуда
§ 22. Резольвента для уравнения Вольтерра
Обозначим оператор Вольтерра через В:
X
By = J K(x,s)y(s)ds.
а
Определим повторное ядро оператора Вольтерра аналогично то-
тому, как это было сделано для оператора Фредгольма в гл. 4:
Впу= I Kn(x,s)y{s)ds.	G.9)

106	Гл. 7. Уравнения Волыперра второго рода
Проделывая вычисления, аналогичные проведенным в гл. 4,
х	t
В2у = I K(x, t) dt I K(t, s)y(s) ds =
a	a
xx	x
= f y{s)ds I K(x,t)K(t,s)dt= I K2{x,s)y{s)ds,
as	a
получим выражение для
x
K2(x,s)= I K(x,t)K(t,s)dt.
s
Методом индукции нетрудно получить представление для
Kn(x,s), аналогичное D.11):
X
Kn(x,s)= Г K(x,t)Kn-1(t,s)dt.
S
(Предлагается это сделать самим в порядке упражнения.)
Пусть М = supa^s^^6 \К(%, s)\. Тогда для повторных ядер спра-
справедлива оценка
Мп(т - ч)п~1
i^(v)K (;_;{, ¦	G.Ю)
Действительно, имеем
\K2(x,s)\ ^ f M2dt = M2(x-s),
S
\K3(x,s)\ ^ I [ K(x,t)K2(t,s)dt
Рассуждая далее по индукции, приходим к G.10).
В предыдущем параграфе было показано, что решение у(х) урав-
уравнения G.1) может быть получено как предел последовательности
Используя G.9), имеем
Уп(х) = f(x) +
i=l a
= f(x) + Л / [J2 У-1К^х, s) | f{s) ds.	G.11)
a i—\

§ 22. Резольвента для уравнения Волыперра	107
Из оценки G.10) следует по признаку Вейерштрасса равномерная
сходимость ряда
при любом Л, поскольку его члены удовлетворяют неравенству
|Л Къ[х,8)\ ^ 	(^Т)!	 ^ 	(г- 1)!	'
а правая часть этой цепочки неравенств представляет собой общий
член сходящегося ряда.
Обозначим	^
R(x, s,\) = J2 Xn~lRn(x, s).	G.12)
n=l
В силу равномерной сходимости ряда функция R(x,s,X) является
непрерывной при a^s^x^bn любых Л. В силу той же равно-
равномерной сходимости можно перейти в G.11) к пределу под знаком
интеграла. Получим
у(х) = f(x) + Л / R(x, s, X)f(s) ds.	G.13)
а
Это соотношение представляет собой выражение для решения урав-
уравнения G.1) через резольвенту R(x,s,X). Результат можно сформу-
сформулировать в виде теоремы:
Теорема 7.2. Решение уравнения G.1) представимо в виде
G.13), где резольвента R(x, s, Л), определяемая рядом G.12), явля-
является непрерывной функцией при a^s^x^bn любом Л.
Пример. Построим резольвенту для уравнения G.7). Имеем
К(х, s) = х — s,
K2(x,s) = f(x-t)(t-s)dt= (^~tg) ,
S)
Следовательно,
n=l	n=l

108	Гл. 7. Уравнения Волыперра второго рода
Таким образом, при Л = 1 получаем решение уравнения G.7)
X	X
у(х) = х2 + 1 J R(x, s, l)s2 ds = х2 + J sh (x - s)s2 ds = 2[ch x - 1].
§ 23. Уравнения Вольтерра с ядром,
зависящим от разности аргументов
1. Случай непрерывного ядра. Рассмотрим уравнение
X
у(х) = I К(х - s)y(s) ds + /(ж) @ ^ х < оо).	G.14)
о
Пусть К(х) и f(x) — непрерывные функции при х ^ 0, причем
Ко = sup0^<oo|if(x)| < оо, /о = sup0^<oo|/(x)| < оо. Из G.4)
следует, что для решения у{х) уравнения G.14) справедлива оценка
\у(х)\^ foeKoX.	G.15)
При этих условиях для К(х), f(x) и у (х) определено преобразо-
преобразование Лапласа. Как известно (см. [22]), это преобразование ставит
в соответствие оригиналу — функции действительной переменной
(р(х) — функцию комплексной переменной Ф(р) (которая называ-
оо
ется изображением) по правилу Ф(р) = Г е~рхср(х) dx. Тот факт,
о
что функции (р(х) и Ф(р) связаны преобразованием Лапласа, будем
обозначать символом Ф(р) = ц>(х).
Пусть Y(p) = у (ж), F(p) = f{x) и L(p) = К{х). Интеграл, входя-
входящий в уравнение G.14), представляет собой свертку функций К(х)
и у (х). Изображением свертки является произведение изображений
X
Г K(x — s)y(s)ds = L(p)Y(p). Таким образом, уравнению G.14) соот-
о
ветствует соотношение между изображениями Y(p)=L(p)Y(p)+F(p).
Отсюда
Поскольку функция у (ж) удовлетворяет неравенству G.15), то
функция Y(p) регулярна в полуплоскости Re p > Kq [22]. Следо-
Следовательно, можно выбрать такое а, что а > Re pi для всех особых
точек pi функции Y(p). Сделав обратное преобразование Меллина
а+гоо	р, ч
У^ = Ш I ePX	dp' находим у№'

§ 23. Уравнения Вольтерра	109
Пример. Рассмотрим интегральное уравнение
X
у(х) = [ sin(x - s)y(s) ds + е~х.	G.17)
о
В данном случае
оо	оо
F(p) = f e-pxe~xdx = -L-, L(p) = / e~pxs]nxdx = -TJ—.
о	о	P +1
Соотношение G.16) имеет вид
1	9 . -
Функция Y(p) имеет полюс первого порядка при р = — 1 и полюс
второго порядка в нуле. Поэтому в качестве а можно выбрать лю-
любое положительное число. Замыкаем контур интегрирования дугой
полуокружности, лежащей слева от прямой (а — гоо,а + гоо), и ис-
используем лемму Жордана. Получаем решение уравнения G.17):
а+гоо
= Res\epx f + l ,
L P2(p + 1)
2. Уравнение Вольтерра с ядром вида K(x,s) =
а. Рассмотрим интегральное уравнение
fjf=ir	@<«<l)	G.18)
о ^ }
(при а = 1/2 уравнение G.18) называется уравнением Абеля). Урав-
Уравнение G.18) относится к уравнениям типа Вольтерра первого ро-
рода. Специальный вид ядра позволяет получить решение уравне-
уравнения G.18) эффективным образом.
Пусть f(x) является непрерывно дифференцируемой функцией.
Найдем решение у(х) в явном виде. Для этого умножим G.18) на
(t — х)а~г и проинтегрируем по х. Получим
г /О) dx	г Г ? y(s)ds I dx
(t-xI-*	I (x - s)a \ (t - xI-*
I 4
t г t	-,
= / У(8) [ 	Г5	a] ds-
о	Ls (*~ж) a(^-^)aJ	^7Л9)

110
Гл. 7. Уравнения Волыперра второго рода
Заменой переменных х = s + (t — s)z внутренний интеграл в правой
части G.19) сводится к известному табличному интегралу
t	1	1
г 	ах	 _ г 	ал	 _ тг
/ (t-xI-a(x-s)a ~ I (l-zI~aza ~ sinTra*
В левой части G.19) делаем замену переменных х — tz. Тогда
из G.19) получаем
1 /?/. \.а	t
Г ^^ z\	dz — -r^-— f y(s) ds.
о ^ Z)	о
Дифференцируя последнее равенство по t, находим
б. Аналогичным образом может быть найдено решение следую-
следующего интегрального уравнения Вольтерра второго рода:
У(х)= /^tt + /(rr),	G.20)
о у/Х S
где /(ж) — непрерывно дифференцируемая при х ^ 0 функция.
Умножаем G.20) на (? — ж)~1//2 и интегрируем по х. Получаем
I y(x)dx _ I f(x)dx = I dx xr y(s)ds _
J y/t - X	J y/t - X	J y/t-X J
/x - s)
= fy(s)[f-

/t — x y/x — s
1 ds = n г y{s
— s J	J
0	s v	v	0
Используя G.20), заменяем первое слагаемое в левой части этого
равенства на у — /. Дифференцируя полученное соотношение, нахо-
находим	t
Из G.20) имеем условие 2/@) = /@). Решая уравнение G.21)
с этим начальным условием, получаем решения исходного уравне-
уравнения G.20):
y(t) =
dr =

ГЛАВА 8
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
ПЕРВОГО РОДА
§ 24. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
как некорректно поставленная задача
1. Понятие корректно поставленной задачи. Решение вся-
всякой количественной математической задачи обычно заключается
в нахождении "решения" у по заданным "исходным данным" /. За-
Запишем это в форме у = Д(/), где R — некоторые оператор. Будем
считать у и / элементами метрических пространств У и F с рассто-
расстояниями между элементами ру(у 1,1/2) и Др(/ъ/2)-
Определение. Решение у называется устойчивым, если для
любого е > 0 можно указать такое S(e) > О, что из неравенства
(Л? /2) ^ S(e) следует /0у B/1,3/2) ^ ?, где Д и /2 — произвольные
элементы F, у1 = Д(Д) Е У, у2 = Д(/2) G У.
Определение. Задача 2/ = R(f) называется корректно поста-
поставленной на паре метрических пространств (У, F), если выполня-
выполняются условия:
1°. Для всякого элемента / G F существует решение у G Y.
2°. Решение определяется однозначно.
3°. Решение устойчиво.
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называ-
называются некорректно поставленными.
Замечание. Метрики в пространствах Y и F характеризуют,
в каком смысле понимается малое изменение у и /. От того, ка-
каким образом выбрана метрика, может зависеть, будет ли решение
у устойчиво при изменении / или нет, а следовательно, будет ли
задача у = R(f) корректна.
В качестве примера рассмотрим задачу определения производной
у(х) от заданной на [а, Ь] функции /(ж): у = -*-. Будем измерять
близость элементов как в пространстве У, так и в пространстве F,

112	Гл. 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
в метрике равномерного приближения, т. е.
ру(уиУ2) = sup I2/1 (ж) - ?/20)|,
[а,Ъ]
рИЛ,/2) = sup |Д(ж)-/2(ж)|.	(8.1)
[а,Ч
Тогда, очевидно, решение поставленной задачи неустойчиво: мало-
малому изменению / может соответствовать сколько угодно большое из-
изменение у.
Теперь сохраним в пространстве Y старую метрику, а для / вве-
введем метрику по-другому. Будем рассматривать /(ж) как элемент
пространства F\ непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций
с метрикой
PF1(fi,f2) = max {sup |/i (ж) - /2(ж)|, sup \f[(x) -/sO
l[a,b]	[a,b]
Пусть 2/i = t^j 2/2 = т^г. Тогда /0y B/1,2/2) ^ pFAhih)- Следова-
Следовательно, малому изменению / в метрике F\ соответствует малое из-
изменение у в метрике Y и решение поставленной задачи устойчиво.
Таким образом, говоря о корректности или некорректности ма-
математической задачи, мы всегда должны указывать, в какой метри-
метрике измеряются решение и входные данные. В то же время следует
учитывать, что в реальных физических задачах выбор метрики не
произволен, а определяется постановкой задачи.
Обратимся снова к рассмотренному выше примеру вычисления
производной у(ж) по функции /(ж). Пусть /(ж) определяется из экс-
эксперимента. Тогда в результате погрешности наблюдений будет най-
найдена не "точная" функция /(ж), а некоторая приближенная функ-
функция /(ж). Не зная /, по известной точности наблюдений обычно
можно оценить отклонение / от / в метрике (8.1) или в метрике
p(fi, /2) — \ [ (Л(ж) ~ fz(x)) &х-> н0 невозможно оценить или пред-
V а
полагать малым отклонение / от / в метрике F. При этом вопрос
устойчивости у (ж) мы должны решать, исходя из (8.1). Таким обра-
образом, выбор методики определяется содержанием задачи.
Обратимся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода
ъ
у(х) + Л f K(x, s)y(s) ds = /(ж).	(8.2)
а
Пусть ядро К(х, s) непрерывно, а Л не является собственным значе-
значением ядра. Рассмотрим метрические пространства Y и F непрерыв-
непрерывных на [а, Ь] функций с расстоянием (8.1). В гл. 6 было показано,

§ 24. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода	113
что решение у Е Y однозначно определяется из уравнения (8.2) по
функции / Е F. Согласно F.35),
ъ
у(х) = Л J Д(ж, s, A)/(s) ds = /(ж),
а
где Д(ж, s, А) — непрерывная функция. Отсюда видно, что решение
поставленной задачи устойчиво — малому изменению /(ж) соответ-
соответствует малое изменение у{х) в смысле (8.1).
Таким образом, задача (8.2) является корректно поставленной.
2. Анализ интегрального уравнения Фредгольма первого
рода с точки зрения корректности задачи. Обратимся к урав-
уравнению
fK(x,s)y(s)ds = f(x).	(8.3)
а
Пусть ядро К(х, s) непрерывно. Будем считать по-прежнему у и /
элементами пространств непрерывных на [а, Ь] функций с метри-
метрикой (8.1).
Если ядро К(х, s) замкнуто (см. § 15), то решение (8.3) единствен-
единственно. Приведем некоторые соображения, касающиеся существования
решения поставленной задачи.
Нетрудно видеть, что непрерывность /(ж), вообще говоря, не га-
гарантирует существование непрерывного решения. Действительно,
пусть функция /(ж) непрерывна, но имеет разрывы производной
при некоторых значениях х Е (a, b), a ядро K(x,s) непрерывно
дифференцируемо по х. Тогда при любой непрерывной у(х) левая
часть (8.3) всюду на (а, Ъ) имеет непрерывную производную, в то
время как правая часть имеет непрерывную производную не при
всех х. Следовательно, соотношение (8.3) невыполнимо ни при ка-
какой непрерывной функции у(х), т.е. непрерывного решения (8.3) не
существует.
Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких необходимых услови-
условиях может существовать непрерывное решение (8.3) в случае, когда
K(x,s) удовлетворяет требованиям C.2). Из (8.3) следует, что f(x)
является представимой через ядро функцией. Коэффициенты Фу-
Фурье fn и уп по системе собственных функций ядра K(x,s) связаны
формулой Лп/П = уп (см. § 10). В силу неравенства Бесселя для у{х)
ряд Y^=i Уп сходится, а следовательно, сходится и ряд ?)^=i A^/^,
т. е. коэффициенты fn должны убывать достаточно быстро. Непре-
Непрерывность /(ж) обеспечивает сходимость ряда Yln^Li fni следующую
из неравенства Бесселя для /(ж), но, вообще говоря, не обеспечивает

114	Гл. 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
сходимость Y^=i tfifn- Следовательно, решение (8.3) может суще-
существовать не при любой непрерывной функции /(ж), а лишь при та-
такой, для которой сходится ряд Yl^Li tfifn (напомним, что |ЛП| —у оо
при п —у оо).
Обратимся к вопросу об устойчивости. Пусть у{х) является ре-
решением уравнения (8.3). Введем z(x) = у(х) + coscjx, где uj — неко-
некоторый параметр. Получим уравнение, которому удовлетворяет z(x)
в предположении, что К(х, s) непрерывно вместе с производной по s.
Имеем из (8.3)
ь
Г K(x,s)[z(s) - cosujs] ds = /(ж),
а
откуда
ъ	ъ
Г К(х, s)z(s) ds = g(s) = f(x) + Г K(x, s) cos us ds =
a
= f(x)+K(x,s)
Очевидно, sup[a?b] \f(x) — g(x)\ ^ ^-, где С — не зависящая от и по-
постоянная. Поэтому при достаточно большом uj значение pF^f-,9) —
— sup[a6] \f(x) — g(x)\ как угодно мало. В то же время py(y,z) =
= sup[a 6] |coscjx| = 1, т.е. эта величина малой не является. Отсю-
Отсюда следует важный вывод: решение интегрального уравнения Фред-
Фредгольма первого рода неустойчиво относительно возмущения функ-
функции /(ж). Поэтому уравнение (8.3) принадлежит к классу некоррект-
некорректно поставленных задач или, как принято говорить для краткости,
является некорректной задачей.
Это свойство уравнения первого рода создает большие трудности
при практическом использовании таких уравнений, а, между тем,
целый ряд физических процессов описывается именно такими урав-
уравнениями (см. [5]; некоторые физические примеры приведены в гл. 1).
Малая погрешность в задании входных данных может столь сильно
изменить решение, что оно не будет иметь ничего общего с тем фи-
физическим процессом, который описывает уравнение, и даже может
привести к тому, что решение просто не будет существовать.
Долгое время считалось, что по этой причине уравнение Фред-
Фредгольма первого рода (а также другие некорректные задачи, см. [5])
нецелесообразно использовать для описания физических процессов.
Но в последние десятилетия это взгляд коренным образом изменил-
изменился, и некорректные задачи стали объектом интенсивного научного
исследования.

§ 25. Сглаживающий функционал и его свойства	115
С общей теорией некорректно поставленных задач можно ознако-
ознакомиться по книге [5], а мы продолжим изучение интегрального урав-
уравнения Фредгольма первого рода и построим для него так называ-
называемый регуляризирующий алгоритм Тихонова, позволяющий найти
функцию, как угодно близкую к точному решению уравнения (8.3).
§ 25. Сглаживающий функционал и его свойства
1. Вывод уравнения экстремалей. Обратимся к уравнению
(8.3). Пусть функции, входящие в это уравнение, являются непре-
непрерывными, причем /(ж) определена на интервале х Е [с, d], y(x) —
при х Е [а, Ь], а ядро К(х, s) — в прямоугольнике х Е [c,d],sG [а, Ь].
Запишем уравнение (8.3) в виде
Ау = /,	(8.4)
где А — оператор Фредгольма. Рассмотрим функционал
Ma[y,f}=N[y,f}+aU[y},	(8.5)
где
N[y,f}= f(Ay-fJdx,	(8.6)
С
П[у] = / [р{х){у'J + q(x)y2] dx, p(x) > 0, q(x) > 0. (8.7)
а
Здесь а > 0 — некоторый параметр, называемый параметром
регуляризации. Функционал (8.7) называется регуляризирующим,
а функционал Ma[y,f] — сглаживающим функционалом.
В дальнейшем будет показано, что в случае, когда в уравне-
уравнении (8.3) правая часть задана с погрешностью, в качестве прибли-
приближенного решения уравнения (8.3) целесообразно выбирать функ-
функцию, дающую минимальное значение функционалу Ma[y,f], где
/ — приближенное значение правой части (8.3). Поэтому займемся
исследованием свойств функционала Ma[y,f].
Поставим вариационную задачу на экстремум функционала
Ма[у, /]. Экстремум будем искать в классе Y функций у(х), дважды
непрерывно дифференцируемых и удовлетворяющих условиям
у'(а) = у'(Ъ) = 0.	(8.8)

116	Гл. 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Пусть у(х) и у(х) + Sy(x) — две функции, принадлежащие Y.
Вычислим приращение функционала Ма, отвечающее приращению
Sy, т. е. вычислим величину Ма[у + Sy, /] — Ма[у, /]. Имеем
Ma[y+6y,f} =
d	Ь
= I [А(у + 6у) -ffdx + af \р(у' + 5у'J + q(y + 5yJ] dx =
= f[Ay + ASy - ffdx + a f \p(y' + 5y'f + q(y + 5yf] dx =
с	а
d	d	d
= f(Ay- /J dx + 2 I (Ay - f)ASy dx + f (A5yJ dx+
с	с	с
b f	b
+ a J[py2 + qy2] dx + 2a J (py'Sy' + qySy) dx+
+ f[p(SyfJ+qSy2}dx.
a
В этом выражении сумма первого и четвертого слагаемых предста-
представляет собой Ма[у, /]. Перенесем их влево и тогда получим, что при-
приращение функционала Ма[у+5у, /] — Ма[у, /] распадается на линей-
линейную относительно 5у часть (эта сумма второго и пятого слагаемых),
называемую вариацией функционала и обозначаемую 5Ма, и сумму
третьего и шестого слагаемых, зависящую от 5у нелинейно, которую
обозначим R[Sy] и которая, как нетрудно видеть, при любом 5у(х)
неотрицательна:
Ма[у + 6у, /] - Ма[у, /] = 6Ма + R[6y].	(8.9)
Из вариационного исчисления известно, что если у(х) реализует
экстремум функционала Ма, то 8Ма = 0, т. е.
/ (Ау - f)ASy dx + a f (py'Sy1 + qySy) dx = 0.	(8.10)
с	а
Это равенство представляет собой необходимое условие экстремума.
Преобразуем первое слагаемое, изменив порядок интегрирования:
/ { [ fK(ж, s)y(s) ds - /(ж)] / K(x, tNy(t) dt) dx =
с	а	а
dr b
= I Sy(t) dt | [ | K(x, s)K(x, t)y(s) ds] dx-
а	с а
- I 5y(t)dt I K(x,t)f(x)dx =
а	с
= f Sy(t) [ f K(s, t)y(s) ds - f(t)] dt,

§ 25. Сглаэюивающий функционал и его свойства	117
где
d
K(s,t) = f K(x,s)K(x,t)dx,
f(t) = /K(x,t)f(x)dx.
Во втором слагаемом в (8.10) произведем интегрирование по частям.
Получим
ъ	ъ ъ
J (py'Sy' + qySy) dx = py'Sy + f(qy- (py')')Sy dx =
так как внеинтегральный член в силу (8.8) обращается в нуль. Со-
Соотношение (8.10) принимает тогда вид
JSy(t){fK(s,t)y(s)ds-f(t)+a(qy-?t(py'))}dt = O. (8.11)
а	а
Поскольку Sy(t) — произвольная вариация, то, в силу основной лем-
леммы вариационного исчисления, выражение в фигурных скобках рав-
равно нулю. Получаем уравнение, определяющее экстремали функци-
функционала Ма:
- q(t)y(t) = 1 jK(s,t)y(S)ds - l/(t).	(8.12)
Таким образом, если у(х) G Y осуществляет экстремум функци-
функционала Ма при условиях (8.8), то у удовлетворяет уравнению (8.12).
2. Исследование уравнения экстремалей. Теорема о мини-
минимальном значении сглаживающего функционала. Докажем,
что уравнение (8.12) при краевых условиях (8.8) имеет единственное
решение. Уравнение (8.12) является интегро-дифференциальным
уравнением. Сведем его к интегральному уравнению Фредгольма
второго рода.
Рассмотрим уравнение
?(PV')-QV = O	(8.13)
при условиях (8.8). Убедимся, что эта задача имеет только триви-
тривиальное решение. Действительно, пусть y(t) имеет положительное

118	Гл. 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
максимальное значение, достигающееся в некоторой точке to G [а, Ь].
Тогда у(t0) > 0, у'(t0) = О, у"(to) ^ 0. Учитывая, что p(t0) > 0,
q(to) > 0, имеем 4т(ру') — qy = ру" — qy < 0 при t = to, что противо-
противоречит равенству (8.13). Следовательно, sup[a 6] y(t) ^ 0. Аналогично
доказывается, что inf[a&] y(t) ^ 0. Отсюда следует, что y(t) = 0.
В силу доказанного, существует функция Грина G(t,?) и уравне-
уравнение (8.12) при условиях (8.8) эквивалентно интегральному уравне-
уравнению	ъ	ъ
у(х) = 1 / G(t, О [ / К{8, Oy(s) ds - Щ d^,
а
ИЛИ
y(t) = fT(t,s)y(s)ds-F(t),	(8.14)
где	^
T(t,a) = ± f
а
— некоторое ядро, а
Уравнение (8.14) представляет собой интегральное уравнение
Фредгольма второго рода. Докажем, что оно имеет единственное ре-
решение. Для этого, согласно теореме 6.6, достаточно доказать, что
соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное
решение. А это эквивалентно тому, что однородное уравнение (8.12)
при условиях (8.8) имеет только тривиальное решение. Допустим
противное, т. е. что уравнение
= fK(s,t)y(s)ds	(8.15)
а
имеет нетривиальное решение y(t). Умножая (8.15) на y(t) и инте-
интегрируя, получим
а / (у ?t(py') ~ qy2) dt= I y(t) dt f K(s, t)y(s) ds.	(8.16)
a	a	a
Интегрированием по частям преобразуем левую часть к виду
ъ
—a f[(p(y'J + qy2] dt. Правую часть преобразуем, пользуясь выра-
а
жением (8.11) для K(s,t) и изменяя порядок интегрирования:
Ь	Ь	d
I y(t) dt I y(s) ds I K(x, s)K(x, t) dx =
а	а	с
d	b	b	d j- b	-|2
= I dx I K(x,s)y(s)ds I K(x,t)y(t)dt = f dx\ f K(x,t)y(t)dt\ .

§ 26. Построение приближенного решения	119
После этих преобразований (8.16) принимает вид
-a f\p(y'J + qy2] dt = fdx[fK(x,t)y(t) dtf.
а	с	а
Так как y(t) ^ 0, то левая часть отрицательна, а правая нео-
неотрицательна, и мы имеем противоречие, доказывающее, что зада-
задача (8.15), (8.8) имеет только тривиальное решение, а следовательно,
уравнение (8.14) (или задача (8.12), (8.8)) имеет единственное реше-
решение.
Нетрудно видеть, что это решение реализует минимальное зна-
значение функционала Ma[y,f]. Это непосредственно следует из (8.9),
поскольку 8Ма = 0 при у = у(х), a R[Sy] ^ 0 при любом Sy(x).
Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 8.1. Для любой непрерывной функции f (х) существу-
существует единственная функция у(х) из класса Y, на которой реализуется
минимальное значение функционала Ма[у, /].
§ 26. Построение приближенного решения
уравнения Фредгольма первого рода
В настоящем параграфе показано, что функция уа(х), реализую-
реализующая минимальное значение функционала Ма[у,д], приближает ре-
решение у (х) некорректно поставленной задачи (8.3) с любой степенью
точности, если только функция д(х) с достаточной степенью точно-
точности приближает /(ж).
1. Вспомогательная теорема. Сначала докажем вспомогатель-
вспомогательную теорему из функционального анализа.
Пусть имеются два метрических пространства: Y (с элементами
у) и F (с элементами /).
Пусть определен оператор А, который каждому элементу у G Y
ставит в соответствие элемент / G F: f = Ay и одновременно одно-
однозначно определен обратный оператор А~г, т.е. закон соответствия
У = А-1/.
Замечание. Обратный оператор определен, вообще говоря, не
на всем множестве F, а лишь на его части, на подмножестве F, эле-
элементы которого определяются по закону / = Ау, у G Y.
Определение. Последовательность ^/n G Y называется сходя-
сходящейся в метрике пространства Y к некоторому элементу у G К,
если ру(Уп,у) —* 0 ПРИ п —У оо.

120	Гл. 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Определение. Последовательность уп Е Y называется ком-
компактной в У, если из каждого бесконечного подмножества ее эле-
элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к не-
некоторому элементу у Е Y.
Определение. Оператор А, переводящий элемент у Е Y в эле-
элемент / Е F, называется непрерывным, если какова бы ни была по-
последовательность уп, сходящаяся в Y к у, соответствующая после-
последовательность fn = Ауп сходится в F к / = Ау.
Обратим внимание на то, что все эти определения строятся по
типу определений гл. 2.
Теорема 8.2. Пусть в пространстве Y имеется последователь-
последовательность уп, которой в пространстве F отвечает последовательность
fn = Ayn. Пусть fn^f^F,A является непрерывным оператором,
а последовательность уп является компактной. Тогда yn^y = A~1f.
Доказательство проведем от противного. Пусть уп -& у =
= А~х/. Тогда найдется е > 0 и такая подпоследовательность уПк,
для которой справедливо неравенство
Рг(уПк,у)>е,	(8.17)
в то время как подпоследовательность fnk —у /. Но последователь-
последовательность уп является компактной и поэтому из уПк можно выбрать еще
одну подпоследовательность, сходящуюся к некоторому у G Y. Пере-
Перенумеруем и обозначим эту подпоследовательность через уп. Имеем
Уп -> У-	(8.18)
В силу непрерывности оператора А получим тогда fn = Ауп —>¦
—у Ау = /, т. е. / = /. Отсюда в силу однозначности обратного опе-
оператора, получим у = у. Тогда (8.18) означает, что уп —у у, т.е.
при п > N(s). Но согласно (8.17)
Рг(Уп,у) > ?
для Vn (yn является подпоследовательностью уПк). Полученное про-
противоречие доказывает теорему.
2. Алгоритм построения приближенного решения. Будем
считать, что решение задачи (8.3) существует при некоторой фик-
фиксированной функции /(ж), и обозначим его у{х). Ядро K(x,s) будем

§ 26. Построение приближенного решения	121
считать непрерывным и замкнутым, что обеспечивает единствен-
единственность решения, как уже отмечалось в § 24.
Пользуясь теоремой 8.2, построим последовательность функций,
позволяющую получить с любой степенью точности решение у(х)
некорректной задачи (8.3) по приближенно заданной функции /(ж).
Приближенное задание функции /(ж) будем понимать как зада-
задание последовательности дп(х) непрерывных на [с, d] функций таких,
d
что Г [f(x) — дп(х)]2 dx ^ 5^1 где 5п —> 0 — некоторая числовая по-
с
следовательность. Таким образом, дп(х) аппроксимирует /(ж) даже
не обязательно равномерно, а в смысле среднего квадратичного.
Алгоритм построения приближенного решения уравнения (8.3) по
заданной последовательности дп(х) состоит в том, что выбирается
некоторая числовая последовательность ап = jS^, где 7 — не зави-
зависящая от п постоянная, и для каждого ап находится функция 2/"(ж),
реализующая минимальное значение сглаживающего функционала
М%[у,дп]. В § 25 мы обозначали функцию, реализующую минималь-
минимальное значение сглаживающего функционала через у(х), опуская зна-
значок ап, хотя, фактически, у зависит от ап. Так как теперь мы специ-
специально интересуемся зависимостью у от а, то будем эту зависимость
указывать верхним индексом, что уже и сделали, написав у^{х).
Равенство ап = jS^ означает, что параметр регуляризации ап со-
согласован с точностью 8п задания дп.
Оказывается, при достаточно большом п функция у%(х) обеспе-
обеспечивает равномерное приближение к у(х) с произвольной степенью
точности, что можно выразить следующей теоремой:
Теорема 8.3. Пусть у(х) — решение уравнения (8.3). Пусть
дп(х) — последовательность непрерывных функций, являющихся
приближениями для f (x) так, что
С
где 8П —У 0 при п —У оо. Пусть функция у^{х) реализует минималь-
минимальное значение сглаживающего функционала M%[y,gn], где an = jS^
G = const не зависит от п). Тогда для \/е > 0 найдется N(e) такое,
что при n > N(e) справедливо неравенство
sup\y(x)-y«(x)\<s.	(8.19)
[a,b]
Доказательство. Воспользуемся теоремой 8.2. Рассмотрим
два конкретных пространства Y и F. В пространстве F, элемента-
элементами которого являются непрерывные на [с, d] функции, определим

122	Гл. 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
расстояние следующим образом:
то есть,
где || • || — норма, введенная в пространстве h[c, d], рассмотренном
в § 4. В пространстве У, элементами которого также являются не-
непрерывные на [а, Ь] функции, расстояние определим как
ру(уиУ2) = sup I2/1 (х) -у2(х)\.
[а,Ъ]
Построим последовательность у^(х) (или, для простоты записи,
обозначим ее уп), указанную в формулировке теоремы. Ей отвечает
последовательность fn = Ayn. Поскольку ядро К замкнуто, то ото-
отображение последовательности уп на fn взаимно однозначно. Чтобы
делать заключение о том, что ру(у,Уп) —> О при п —У оо (это озна-
означает выполнение (8.19)), надо согласно теореме 8.2 убедиться, что:
1°. Оператор А является непрерывным в смысле определения,
данного в настоящем параграфе.
2°. fn -+ /, то есть, pF(fn, /) -)> 0.
3°. Последовательность уп компактна.
Убедимся в справедливости 1°. Действительно, пусть последова-
последовательность ип сходится к и в метрике пространства У, т. е. сходится
равномерно. Тогда ип сходится к и и в среднем. Такую последо-
последовательность ип (как было показано в § 4) оператор Фредгольма А
с непрерывным ядром K(x,s) переводит в последовательность Аип,
сходящуюся в метрике пространства F к Аи. Это означает непре-
непрерывность оператора А, осуществляющего отображение элементов
метрического пространства Y на элементы метрического простран-
пространства F.
Для того, чтобы убедиться в справедливости 2° и 3°, докажем два
вспомогательных неравенства. Поскольку уп реализует минималь-
минимальное значение функционала М%[у,дп], то
MZ\yn,gn]^MZ\y,gn],
где у есть решение уравнения (8.3), т.е.
ЩУтЯп] + апп[уп] ^ N[y,gn] + апп[у] =
d	d
= I (Ay - gnf dx + апп[у] = f(f - gnJ dx + anC ^
с	с

§ 26. Построение приближенного решения	123
где С > 0 — постоянная, равная ?1[у]. Итак,
, 9п] + апп[уп] <С ап (± +
Поскольку оба функционала в левой части не отрицательны, то ка-
каждый из них в отдельности не превосходит постоянной, написанной
в правой части, и следовательно,
N[yn,gn]^anD,	(8.20)
Щуп] <: D.	(8.21)
Это и есть требуемые вспомогательные неравенства.
Докажем теперь 2°. Имеем, согласно неравенству треугольника,
PF(f,9n)+PF(9n,fn) =
d	,1/2 г d	,1/2
/(/J^] [/(/Jrf]
С	С
Первое слагаемое в правой части равно
[ f (Ауп - дпJ dx\ = [N[yn, gn}]V" ^
с
согласно (8.18). Второе слагаемое
г
[f(9n-f)
согласно условию теоремы 8.3. Поэтому pF(fmf) ^ Sn(l +
откуда следует, что р^(/п, /) —>¦ 0 при п —>- оо, т. е. fn —> /.
Докажем 3°. Для доказательства компактности последователь-
последовательности уп(х) нужно убедиться, что из любого бесконечного подмно-
подмножества ее элементов можно выделить равномерно сходящуюся под-
подпоследовательность (сходимость в Y означает равномерную сходи-
сходимость). Для этого согласно теореме Арцела [14] достаточно дока-
доказать, что любая подпоследовательность уп{х) равномерно ограниче-
ограничена и равностепенно-непрерывна.
ъ
Неравенство (8.21) означает, что f [p(y'nJ + qy%\ dx ^ D, а тогда
в отдельности
/ p(y'nf dx^D, I qy2n dx < D.	(8.22)

124	Гл. 8. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Так как р(х) > 0 по условию, то ро = inf [а&] р(х) > 0 и, следователь-
следовательно,
'	ъ	ъ
ро I (y'nJ dx ^ D, то есть, J {y'nf dx ^ ^ = D±.
а	а
Рассмотрим уп(х2) — Уп(х\) = I y'n{x)dx. Применяя неравенство
Коши-Буняковского, получим
х2
\Уп{х2) -yn(xi)\ = f y'ndx
Отсюда следует, что последовательность уп(х) равностепенно-не-
равностепенно-непрерывна.
Докажем равномерную ограниченность последовательности уп(р).
Для этого воспользуемся вторым из неравенств (8.22). Имеем
ъ
[ yi(x) dx < ^-, где go = inf q(x) > 0.
/	qo	[».ч
Следовательно, найдется точка ?n G [а, Ь] такая, что Уп(^п) ^
^ —тт^—г- При этом равномерно по х и п будет выполнено
qoyo- a)
\Уп(х)\ ^ \Уп(?п)\ + \Уп(х) ~ Уп(?п)\ *
Итак, последовательность уп(х) равномерно ограничена и равно-
равностепенно-непрерывна. В силу теоремы Арцела, отсюда следует ком-
компактность последовательности уп(х). Тем самым, доказано свой-
свойство 3°, а вместе с ним и вся теорема 8.3.

ГЛАВА 9
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Настоящая глава носит справочный характер и изложение мате-
материала не претендует на обоснование всех утверждений. Это опре-
определяется стремлением авторов не загромождать пособие специаль-
специальными вопросами. Более подробное изложение затронутых в главе
вопросов можно найти в [2, б, 8, 10, 16, 21].
§ 27. Интегральные уравнения второго рода
При численном решении интегральных уравнений второго рода
задачу сводят к решению системы алгебраических уравнений. Рас-
Рассмотрим основные случаи.
1. Замена ядра вырожденным. Рассмотрим неоднородное
уравнение Фредгольма второго рода
y(x) = Xf K(x,s)y(s)ds + f(x).	(9.1)
а
Как было показано в гл. 6, в случае вырожденного ядра урав-
уравнение (9.1) эквивалентно системе алгебраических уравнений F.25).
Решая эту систему, находим коэффициенты Сп и из F.23) — функ-
функцию у (х).
В случае невырожденного ядра можно искать приближенное ре-
решение уравнения (9.1), заменяя в (9.1) ядро K(x,s) на близкое выро-
вырожденное ядро К(х, s). В качестве К(х, s) можно выбрать, например,
частичную сумму ряда Фурье ядра K(x,s) по некоторой системе
ортонормированных функций |(^п(ж)|:
N	ь
К(х, s) = ^2 vn(s)<Pn(x), где u;n(s) = J K(x, s)(pn(x) dx.
n=l	a
Если ядро K(x,s) является аналитической функцией s, то при-
приближенное ядро K(x,s) можно искать в виде отрезка степенного
ряда
N
K(x,s) = ^2Cn(x)(s -d)n, где de[a,b],
п=0

126	Гл. 9. Численные методы решения интегральных уравнений
Можно показать, что в случае, когда Л не совпадает с собствен-
собственным значением ядра K(x,s), решение уравнения может быть сколь
угодно точно приближено решением уравнения с ядром K(x,s) при
условии достаточно малой разности \К(х, s) — К(х, s)\.
Пример. Рассмотрим интегральное уравнение
1
у(х) = Г xsm(xs)y(s) ds + cos ж.
о
Найдем его приближенное решение, заменив ядро К(х, s) = х s'm(xs)
на близкое вырожденное ядро К(х, s).
а. В качестве такого вырожденного ядра выберем
Соответствующее приближенное решение обозначим у^\х). Имеем
yW(x) = J x2(s- ^x2s3)y^(x)ds-\- cos x.
0
Ищем у^(х) в виде у^\х) = cos ж + ax2 + ЬхА. Получаем
cos x + ax2 + bx4 = Г x2[s — hx2s3) (cos s + as2 + bs4) ds + cos x.
о
Приравнивая слагаемые при х2 и ж4, имеем
а=
о
Решая полученную систему двух алгебраических уравнений, на-
находим а « 0,4742, b « -0,1569. Таким образом, у<у1\х) = cos ж +
+0,4742 ж2 — 0,1569 ж4. Точным решением исходного интегрального
уравнения, как можно непосредственно проверить, является функ-
функция у(х) = 1. На отрезке [0,1] максимальное отклонение у^\х) от
у (ж) составляет 0,14.
б. Аппроксимируем ядро К(х, s) более точно, чем в первом слу-
случае, а именно, возьмем ядро К^(ж, s) = x\xs — ^— + ^^- . Тогда

§ 27. Интегральные уравнения второго рода	127
ищем приближенное решение в виде у^ (х) = cos х + ах2 + Ьх4 + сх6.
Проделав выкладки, аналогичные вышеприведенным, находим
?/2)(ж) = cos ж + х2 • 0, 5076 - ж4 • 1,41 • 1(П2 + ж6 • 3, 562 • КГ1.
Максимальное отклонение у<у1\х) от точного решения у(х) на от-
отрезке [0,1] составляет величину 0,034, т. е. погрешность вычислений
примерно в 5 раз меньше, чем в первом случае.
Аналогичным образом можно действовать в задаче на собствен-
собственные значения для однородного уравнения (9.1). Замена невырожден-
невырожденного ядра K(x,s) на близкое вырожденное ядро К(х, s) позволяет
свести интегральное уравнение к системе однородных алгебраиче-
алгебраических уравнений C.20) с последующим определением собственных
значений матрицы TV-го порядка.
2. Метод квадратур. Пусть требуется решить уравнение (9.1).
На сегменте [а, Ь] вводим сетку с узлами Xi (г = 1,..., N) так, что
ъ
хо = a, xn = Ь. Интеграл Г F(x, s) dx при любом значении х будем
а
аппроксимировать какой-нибудь квадратурной формулой — фор-
формулой трапеций, Симпсона или формулой более высокого порядка
точности. Получаем
ъ	*
f F(x, s)ds = Y, PnF(x, xn) + Я,	(9.2)
а	п=0
где /Зп — весовые множители, a R — погрешность аппроксимации
интеграла суммой. Для формул трапеций и Симпсона сетка выби-
выбирается равномерной, ее шаг h = a^+i ~ х% — -^' ^ слУчае формулы
трапеций: /30 = /3N = ^, /Зп = h (n = 1,..., N — 1); при аппрокси-
аппроксимации интеграла по методу Симпсона: N — четно, /Зо = Ду = ^,
fan = |, /W = § h (n = 1,..., f - 1).
Используя соотношение (9.2) при значениях х—хт (т=0,..., N),
имеем из (9.1):
N
у(хт) = Х^2 /ЗпК(хт,хп)у(хп) + f(xm) + \R.	(9.3)
п=0
Положим в этих уравнениях R = 0. Обозначим К(хт,хп) = Ктп,
а f(xm) = fm. Рассмотрим систему алгебраических уравнений отно-
относительно неизвестных ут:
N
ут = Х^2/3- пКтпУп + /т (т = 0,1,...,N).	(9.4)
п=0

128	Гл. 9. Численные методы решения интегральных уравнений
Эта система представляет собой разностную схему, отвечающую
уравнению (9.1). Ее решение принимается за численное решение ин-
интегрального уравнения (9.1) в точках х = хт.
Значения ут определяются из (9.4) при помощи какого-либо мето-
метода численного решения системы алгебраических уравнений, напри-
например, метода исключения Гаусса. Величина N выбирается, исходя
из возможности решения системы уравнений (9.4) на компьютере.
Обычно приходится ограничиваться небольшим N, поэтому для по-
получения малой погрешности целесообразно выбирать квадратурные
формулы высокого порядка точности, например, формулы Гаусса-
Кристоффеля.
Для однородного интегрального уравнения (9.1) имеем разност-
разностную схему
Ут = А ^2 (ЗпКтпуп.	(9.5)
п=0
Из этой системы могут быть определены собственные значения
\У матрицы {{ЗпКтп}, которые являются приближениями к первым
собственным значениям А^ ядра K(x,s).
Пусть решение уравнения (9.1), а также ядро и неоднородность
в этом уравнении — достаточно гладкие функции, и квадратур-
квадратурные формулы имеют порядок аппроксимации O(hp). Если значение
А в (9.1) не является близким к собственным значениям А/ ядра
К(х, s), то при уменьшении шага сетки h решение ут системы (9.4)
ведет себя устойчиво и будет отличаться от точного решения инте-
интегрального уравнения в узлах сетки на величину O(hp).
Если же А « Af, то малые изменения схемы или изменение ша-
шага h могут привести к существенному изменению решения, т. е. си-
система (9.4) становится, как принято говорить, плохо обусловленной.
Методом квадратур можно решать и уравнения Вольтерра второ-
второго рода. Будем рассматривать уравнение Вольтерра как уравнение
Фредгольма, в котором K(x,s) = 0 при s > х. Тогда разностная
схема для уравнения Вольтерра имеет вид
т
Ут = А^ РпКтпуп + fm (т = 0,1, ... ,N).	(9.6)
п=0
Поскольку матрица системы (9.6) является треугольной, то для
решения этой системы на компьютере путем последовательного
определения ут требуется меньший объем вычислений и, соответ-
соответственно, значение N можно выбрать значительно большим, чем
в случае уравнения Фредгольма.

§ 28. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода	129
3. Метод последовательных приближений. Для численно-
численного решения интегральных уравнений в ряде случаев целесообразно
применять метод последовательных приближений. Этот метод мо-
может быть легко реализован, если интегралы заменить квадратур-
квадратурными формулами и определять значения решения в узлах сетки.
Как видно из изложенного в предшествующих главах, метод по-
последовательных приближений может использоваться в следующих
случаях:
а.	Решение уравнения Вольтерра
X
у(х) = J K(x, s)y(s) ds + /(ж),
а
как показано в гл. 7, является пределом равномерно сходящейся по-
последовательности приближений, определяемых соотношением G.2).
б.	Из § 17 следует, что последовательными приближениями мо-
может быть найдено решение неоднородного уравнения Фредголь-
Фредгольма (9.1) при |А| < м^_ а), где М = sup^sGM] \K(x,s)\.
в.	В § 8 приведен метод последовательных приближений Келлога
для решения задачи на собственные значения и собственные функ-
функции для однородного уравнения Фредгольма второго рода.
§ 28. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода
Рассмотрим уравнение
ъ
Ау= f K(x, s)y(s) ds + f(x) (c^x^d)	(9.7)
a
с замкнутым ядром K(x,s). Как было показано в гл. 8, уравнение
Фредгольма первого рода является некорректно поставленной за-
задачей. Малые возмущения функции /(ж), неизбежные, например,
при экспериментальном определении этой функции или даже при
округлении чисел в процессе счета на компьютере, могут приводить
к существенным изменениям функции у(х) или к тому, что решения
уравнения вообще не существует. В гл. 8 было показано, что в этом
случае следует использовать методы регуляризации. Разобранный
в гл. 8 метод регуляризации рекомендует в качестве приближенного
решения использовать функцию уа(х), реализующую минимальное

130	Гл. 9. Численные методы решения интегральных уравнений
значение сглаживающего функционала
Ma[yJ] = / [ fK(x,s)y(s)ds - f(x)]2ds+
с а
+ a f(p(s)(y'J(s) + q(s)y2(s)) ds.	(9.8)
При применении метода регуляризации возникают два вопроса:
как выбрать параметр регуляризации а и как находить уа(х) при
заданном а?
1. Определение уа(х) при заданном а. При фиксированном
значении а функция уа(х) может быть определена двумя способами:
а)	методами минимизации функционала Ma[y,f], например,
методом скорейшего спуска, методом сопряженных градиентов
и др. [24];
б)	решением краевой интегро-дифференциальной задачи (8.12),
определяющей экстремали функционала (9.8).
Замечание. Если на функцию у(х) в задаче (9.7) накладыва-
накладываются дополнительные ограничения, например, требование, чтобы
у (х) не выходило за пределы определенной области, то применяется
лишь первый способ.
Задачу (9.8), вообще говоря, приходится решать приближенно
с использованием конечно-разностной аппроксимации. Мы рассмо-
рассмотрим простейший случай р = q = 1. Решение строим в области
х Е [с, б?], s G [а, Ь]. Вводим равномерную сетку по ж и по s. Узлы
сетки по ж: жо = с, xi,... ,ждг_1, xjy = d. Узлы сетки по s: so = a,
d — с
si,..., sl-i, sL = Ъ. Шаг сетки по х равен hx = д^ , шаг сетки по s
равен hs = ^а. Тогда функционалу Ма будет соответствовать
сумма
[]2[
[][
п=0	1=0	1=0	1=0
(9.9)
где то = In = Щ-, fa = 0L = !%, 0, = hx (I = 1,...,L- 1),
jn = hs (n = 1,...,JV — 1). Величина М зависит от выбора у\\
М — М(з/1,..., 2/l). Минимальное значение М достигается при ?//,
определяемых из условия
0 (l = 0,l,...,L).	(9.10)

§ 28. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода	131
Для удобства записи введем два числа: у-\ и уь+\ •> считая у_1=у0,
а Уь+i — Уь- Тогда, вычисляя производные QML из (9.9) и прирав-
приравнивая их согласно (9.10) нулю, получаем
а
[Vl+1 fe^' " Ш] = ^=о PrKirVr -91 (I = 0,1,..., L),
(9.11)
где
N	N
n=0	n=0
Полученная задача (9.11) представляет собой разностную схему,
соответствующую задаче (8.12), (8.8). Эта схема имеет порядок ап-
аппроксимации 0{h2s-\-h2x). Соотношения (9.11) являются системой ал-
алгебраических уравнений и могут быть решены, например, методом
исключения Гаусса.
2. Выбор параметра регуляризации а. Пусть решается урав-
уравнение (9.7), причем точное значение функции / неизвестно, но за-
задана функция fs(x) и оценка погрешности S такие, что \\fs — /|| < S,
а ||/^|| > S (символ || || понимается в том же смысле, что и в §4).
Пусть yf(x) — функция, реализующая минимальное значение сгла-
сглаживающего функционала Ma[y,fs] при значении параметра реали-
реализации а. Если выбрать а слишком малым, то в выражении (9.8)
ъ
влияние регуляризующего слагаемого аП[з/] = а Г (p(yfJ + qy2) ds
а
будет малым и решение у? окажется "сильно разболтанным". Если
же а выбрать чересчур большим, то, наоборот, решение окажется
"заглаженным".
Проиллюстрируем сказанное на примере интегрального уравне-
уравнения	1
/ K(x,s)y(s)ds = f(x),	(9.12)
-1
где K(x,s) =	тр. Ядро подобного типа встречается в за-
7Г[1 + (X - ЗУ]
дачах гравиметрии (см. гл. 1).
В работе [11] представлены результаты следующего численного
эксперимента. Положим у{х) = A — ж2J. Тогда из (9.12) можно вы-
вычислить /(ж) с заданной степенью точности, например, 8 = 0,001.
Попытаемся теперь, располагая приближенным значением /(ж), вос-
восстановить у (ж), т.е. решить интегральное уравнение Фредгольма
первого рода.

132
Гл. 9. Численные методы решения интегральных уравнений
На рис. 3 представлены результаты расчета, которые получают-
получаются непосредственным применением конечно-разностного метода без
регуляризации. Использовалась разностная схема
(9.13)
Сплошная кривая на рисунке представляет собой график точного
решения у(х) = A — ж2J. Числа, помеченные возле вертикальных
линий, представляют собой значения у^ вычисленные из алгебраи-
алгебраических уравнений (9.13). Как видно, эти значения сильно разбро-
разбросаны и отвечающие им точки даже не умещаются в пределах чер-
чертежа, что отмечено стрелками. Эти точки не имеют ничего общего
с графиком кривой у = A — ж2J, которую, как можно заключить,
получить описанным путем не удается.
26,1
о
19,017,3 21,5 22,4 24,9
\
\
\
-10,1
-14,1
-19,6
1-17,9
22,2
-57,2
-20,6-19,6-14,9^9,8-51,5-17,0
Рис. 3
Рис. 4
На рис. 4 представлен результат решения той же задачи с приме-
применением метода регуляризации. На этом чертеже сплошная кривая
снова означает график решения у(х) = A — ж2J. Кривые I, II и III
получены в результате выбора а = 10, а = 10~6 и а = 10~9 соот-
соответственно. При этом видно, что кривая II в пределах точности чер-
чертежа совпадает с графиком точного решения. В случае I параметр
а оказался чересчур большим, а в случае III — чересчур малым.

§ 28. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода	133
Чтобы избежать обеих нежелательных крайностей в выборе а,
целесообразно использовать так называемый принцип невязки.
А именно, рассмотрим функцию
p(a) = \\Ay%-fs\\2,	(9.14)
которая называется невязкой. Имеет место следующее утверждение:
S(а) при а > 0 является монотонно возрастающей дифференци-
дифференцируемой функцией а. При этом lima^o+o p{ot) < ?2, Ит^^оо р(а) =
= ||/E1|2 > S2. Следовательно, уравнение р{а) = S2 имеет единствен-
единственный корень а = a(S) > 0. Это значение а и следует выбирать в ка-
качестве регуляризации. (Можно показать, что при таком а функция
у? реализует минимум функционала Q[y] в классе функций, удо-
удовлетворяющих условию \\Ау — fs\\ ^ S.)
Итак, рассматриваемый алгоритм регуляризации состоит в том,
что численными методами (например, методом Ньютона) ищется ко-
корень уравнения р(а) = S2. При этом величина р(а) при нужных зна-
значениях а вычисляется согласно (9.14), где у? — функция, реали-
реализующая минимум Ма[у, f$]. Эта функция определяется методами,
указанными в п. 1.
:е Суда НЛ
1РОИЗВОДСТ1-
соизволете
Рис. 5
Во введении, в п. 3 § 2, в качестве одного из примеров задач, при-
приводящих к уравнению Фредгольма первого рода, была указана за-
задача восстановления размытого изображения. В этой задаче требу-
требуется определить освещенность и(х,у) неразмытого изображения по
известной освещенности v{x,y) размытого. Функции и и v связаны

134	Гл. 9. Численные методы решения интегральных уравнений
соотношением
v(x, y)= I /F((x- О2 + (У~ Я?Ш, V) <%dri,	(9.15)
где
Г 0 при а > г ,
<1	г,	/О	Т —
| -^ при 0 < а ^ г2,
В работе [12] уравнение (9.15) решалось с помощью рассмотрен-
рассмотренных выше методов регуляризации. На рис. 5 приведены результа-
результаты расчетов. Расплывчатый текст — заданная функция v(x,y). Яс-
Ясный текст в середине рисунка — восстановленная из (9.15) функция
и(х,у).

ГЛАВА 10
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
§ 29. Различные виды
интегро-дифференщгальных уравнений
Интегро-дифференциальным уравнением называется уравнение,
содержащее неизвестную функцию как под знаком интеграла, так
и под знаком производной. В качестве простейших можно привести
уравнения
g = А(х)у(х) + / К (х, s)y(s) ds + f{x),	A0.1)
а
g = А(х)у(х) + I K(x, s)y(s) ds + f(x),	A0.2)
a
Поскольку уравнения A0.1) и A0.2) содержат производную -^,
то требуется задание начального условия
У(а) = у0.	A0.3)
Интегро-дифференциальные уравнения очень разнообразны.
В них могут входить производные более высоких порядков, напри-
например,
Ly = ill + V% + qy = f K(x, s)y(s) ds + f(x).	A0.4)
a
Тогда в качестве дополнительных условий следует взять
у(а)=у°, у'(а)=у1	A0.5)
(начальная задача) или
у(а)=у°, у(Ъ)=у1	A0.6)
(краевая задача). Заметим, что с задачей типа A0.4), A0.6) мы уже
встречались в гл. 8 (см. (8.12)).

136 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
Производные могут входить, кроме того, под знак интеграла. Мо-
Могут быть интегро-дифференциальные уравнения с частными про-
производными, в которых интегрирование ведется, вообще говоря, по
многомерной области.
Встречаются уравнения, в которых интегрирование ведется по
одному аргументу, а дифференцирование — по другому. Например,
gf = A(x, t)y(x, t) + f K(x, t, s)y(s, t) ds + f(x, t).	A0.7)
a
Встречаются также более сложные случаи, например, системы
интегро-дифференциальных уравнений и нелинейные уравнения.
В рассмотренных ниже физических примерах мы встретимся и с те-
теми, и с другими.
Читателям, желающим получить более полное представление
о видах интегро-дифференциальных уравнений, можно рекомендо-
рекомендовать специальную литературу, указанную, например, в [20].
§ 30. Физические примеры
1. Пусть человек совершает некоторую работу А. Со свежими си-
силами он может развить мощность ^ = Wo, где Wo = const. Если
же человек до этого уже работал, то производительность его труда
меньше вследствие усталости. Эта усталость определяется как ве-
величиной ранее затраченных усилий, так и временем восстановления
сил после предыдущей работы. В результате получаем, что произ-
производительность труда определяется уравнением
t . .
- г) dr,	A0.8)
где f(t — т) характеризует влияние мощности ^гЧ^), затраченной
в момент г, на усталость человека в момент t. Интегрируя по частям
последнее слагаемое в соотношении A0.8) и обозначая /'(?) — ^"(?)?
получаем интегро-дифференциальное уравнение
^ = Wo - A(t)f(O) + / A(r)K(t - г) dr, A@) = 0,
о
которое и определяет работу, совершенную человеком к моменту t.

§ 30. Физические примеры	137
Замечание. Дифференцируя A0.8), можно получить интегро-
дифференциальное уравнение относительно W(t), где W = ^,
*W = -W(t)f@) - f K(t- t)W{t) dr, W@) = WO.
о
2. В качестве второго примера рассмотрим задачу из теории
электрических цепей, о которой уже говорилось в п. 2 § 2. Тогда за-
задача была сведена к интегральному уравнению относительно %l-
Убедимся, что эту задачу можно свести к интегро-дифференци-
интегро-дифференциальному уравнению относительно и. Действительно, воспользуемся
тем, что il = — ^ — Си. Без магнитного сердечника справедливо
соотношение %l — %•> где Ф — Г udt, а при наличии магнитного сер-
сердечника возникает явление гистерезиса и имеет место более слож-
сложное соотношение	t
%l — — + f P(t s)^(s) ds	A0.9)
to
где функция P(t, s) учитывает влияние значения потока индукции
в момент s на силу тока в момент t и определяется эмпирическим
способом. Учитывая выражение для Ф через и, получим
ч = \ I «(О d? + / p{t, s) ds j «(о d{, = H(t, o
to	to	to
H(t,Z) = ±; + /P(t,s)ds.
Таким образом,
Cu = "l" / H(t,Z)u(Z)dt, u(to)=uo,	A0.10)
to
что и требовалось.
Замечание. Соотношение A0.10) можно получить из A.6), ис-
используя формулу F.35).
3. Этот пример относится к области экологии. Рассмотрим так
называемую модель "хищник-жертва". Пусть в некоторой среде оби-
обитания сосуществуют два вида живых организмов. Один из этих ви-
видов "жертвы" может неограниченно получать питание из окружаю-
окружающей среды. Обозначим число особей этого вида Ni(t). Второй вид —

138 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
"хищники" в количестве N2 (t) — питается только представителями
первого вида. Число встреч, кончающихся гибельным исходом для
первого вида, пропорционально N1N2. Отсюда следует, что за время
dt изменение числа JVi будет dNi = (fciiVi -SiNiN2) dt, где k\ харак-
характеризует скорость размножения "жертв" в отсутствие "хищников".
"Хищники" умирают естественной смертью и их убыль за время
dt выражается величиной —k2N2 dt. Что касается их рождаемости,
то она зависит от питания в течение некоторого времени Т, предше-
предшествующего появлению потомства. Отсюда
dN2 = [-k2N2(t) + e2N2(t) f N!(T)f(t - t) dr\ dt,
t — T
где функция f(t — т) характеризует влияние количества пищи, съе-
съеденной "хищником" в момент т (это количество пропорционально
iVi(r)), на рождаемость в момент t.
В результате получаем, что численность рассматриваемых попу-
популяций удовлетворяет системе нелинейных уравнений
I	_ т) dT) N2(t),
t-T
одно из которых является дифференциальным, а другое — интегро-
дифференциальным.
Замечание. Если процесс рассматривается начиная с некото-
некоторого момента t = to, то нижний предел можно положить постоян-
постоянным и равным to — Т, а функцию f{t — r) считать равной нулю, если
t - т > Т.
Обратим внимание читателей на монографию [9], которая являет-
является одним из классических трудов по математическим задачам эко-
экологии.
4. К уравнениям "типа A0.7)" относится хорошо известное в фи-
физике так называемое кинетическое уравнение Больцмана. Оно име-
имеет значительно более сложную структуру, но характерным являет-
является то, что дифференцирование производится по одному аргументу,
а интегрирование — по другим. Это уравнение описывает состояние
идеального одноатомного газа с учетом столкновений частиц.
В случае однородного и изотропного газа и отсутствия внешних
сил оно имеет вид [19]:
%	f(vut)] |v - V

§ 31. Уравнения с оператором типа Вольтерра	139
Здесь г;1,г;2,г;3 — координаты вектора v; /(v,?) — плотность рас-
распределения частиц газа (т.е. /(v, t) dv1dv2dv3 — это число частиц
газа, координаты скорости которых в момент t заключены в интер-
интервале dv1 dv2 dv3); v, vi — скорости частиц газа до столкновения;
v', v^ — скорости частиц после столкновения; duj — элемент пло-
площади в плоскости, перпендикулярной вектору v—vi; a — некоторый
параметр. Скорости vi и v^ связаны с v и vi законами сохранения
энергии и импульса. Связь эта зависит от предполагаемого механиз-
механизма взаимодействия частиц.
5. Интегро-дифференциальные уравнения, встречающиеся в фи-
физике, весьма разнообразны. Объектом интенсивного изучения в на-
настоящее время является так называемое уравнение Уизема [29]
ии
оо
+ f K(x-y)uy(y,t)dy = O,	A0.11)
описывающее распространение нелинейных волн в диспергирующих
и диссипативных средах. Ядро К (а) в этом уравнении имеет особен-
особенность при а —у 0.
Это уравнение было предложено Уиземом для изучения поверх-
поверхностных волн на мелкой воде. При этом функция u(x,t) описывает
свободную поверхность жидкости.
Различные частные случаи уравнения A0.11) применяются так-
также в гидродинамике неизотермической плазмы без столкновений
и при изучении так называемых стратифицированных (слоистых)
сред.
§ 31. Интегро-дифферешщальные уравнения
с интегральным оператором типа Вольтерра
1. Линейное уравнение. Рассмотрим сначала интегро-диффе-
интегро-дифференциальное уравнение A0.1) с начальным условием A0.3)
& = A(x)y(x) + f K(x,s)y(s)ds + f(x), y(a)=y°. A0.12)
а
Предположим, что А (ж) и /(ж) непрерывны при а ^ х ^ 6, К(х, s)
непрерывно при а ^ s ^ х ^ Ъ.
Задачу A0.12) можно свести к интегральному уравнению типа
Вольтерра, рассмотренному в гл. 7. Действительно, решая A0.12)
как дифференциальное уравнение с неоднородностью
X
Г К(х, s)y(s) ds + /(ж),

140 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
получим
у(х) = 2/V" А^ dr] + / е# А^ dv [ f K(Z, s)y(s) ds\ d^+
a	a
+ fef*A{ri)dvf(Z)dZ.	A0.13)
Меняя во втором слагаемом порядок интегрирования, будем иметь
у(х) = / К(х, s)y(s) ds + f{x),	A0.14)
а
где f(x) есть сумма первого и третьего слагаемого в A0.13), а
K(x,s)= fK(Z,s)eKAMdridZ.
s
Уравнение A0.14) относится, очевидно, к классу G.1). Применяя
теорему 7.1, делаем вывод, что решение задачи A0.12) существует
и единственно на отрезке а ^ х ^ Ъ.
2. Нелинейные уравнения. Пусть задана система уравнений
вида
Jylj...Jynj J K1(xJsJy1(s)J...Jyn(s)) ds,...
a
X	V
..., I Kp(x, s,y!(s),... ,yn(s)) dsy	A0.15)
i = l,...,n, l^p^n
при начальных условиях
yi(a)=yl	A0.16)
Здесь Jri(x,y1,...,yn,z1,...,zp) и Kt(x, s,yu ... ,yn) — заданные
функции своих аргументов.
Приведенная в п. 2 предыдущего параграфа система уравнений,
описывающая модель "хищник-жертва", принадлежит этому классу.
Метод последовательных приближений, которым мы пользова-
пользовались в гл. 7, может быть развит и применен к исследованию вопроса
существования решения нелинейной задачи A0.15), A0.16). Изло-
Изложенный ниже способ доказательства представляет собой обобщение
схемы, описанной в [25] для нелинейных обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений.
Мы здесь рассмотрим случай п = р = 1. Исследование общего
случая р ф 1, п ф 1 принципиальных осложнений не представляет.
Итак, имеем задачу
,у(х), / К(х, s,y(s)) ds),	A0.17)

31. Уравнения с оператором типа Вольтерра
141
Справедлива
Теорема 10.1. Пусть в области R = {жо ^ ж ^ хо+а, \у—у°\ ^ Ь,
хо ^ s ^ ж} функция K(x,s,y) непрерывна по совокупности аргу-
аргументов и удовлетворяет условию Липшица по у:
\K(x,s,y) -K(x,s,y)\ ^ L0\y-g\
((x,s,y) G R, (x,s,y) G R, L — одна и та же постоянная для любой
пары точек из R), а функция Т{х, у, z) непрерывна по совокупности
аргументов в D = {х0 ^ х ^ х0 + а, \у - у°\ ^ b, \z\ ^ Ка}, где
X = sup^ |i(T|, и удовлетворяет условию Липшица по у и z
\T{x,y,z) -T{x,y,z)\ ^ L^y-gl + L2\z- Щ
((x,y,z) G G, (x,y,i) G D, L\ и L2 — одни и те же постоянные для
любой пары точек из D).
Тогда при О^ж — жо ^ h = minja, -4}, где F = sup^ |JT| суще-
F
ствует единственное решение задачи A0.17).
Доказательство. Перейдем от задачи A0.17) к интегрально-
интегральному уравнению
у(х)=у°+ f r(t,y(t),f K{t,s,y(s))ds)dt
Хо	Хо
и построим последовательность приближений
A0.18)
(°) о
У =У ,
У (x)=y°+ f F(t,y(t), f K(t,s,(y\s))ds)dt. A0.19)
Методом индукции нетрудно доказать непрерывность функций
rl).	(п+1)
у (ж) и неравенство у —у
Оценим у
(к)
— у . Имеем
(к+l)	(к)
у (х)-у(х)
), f K(t,s,(y\s))ds)-
/
(k) (k-1)
у - у
+ L0L2 f
y(s))- У
t. A0.20)

142 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
Из A0.19) имеем
A) (о)
У - У
Предположим, что для k ^ 1 выполнено
(к)	(к-1)
у (х) - у (х)
в
A0.21)
где L = Li + Lol/2a. Тогда из A0.20) получим
у (х) - у (х)
= LlFL
0 f
¦ ds
> dx =
(lfe
_i (x-xp)
k+2
= FL	(jfe + 1)! (L1
т.е. оценка A0.20) справедлива для номера, на единицу большего.
Итак, неравенство A0.21) справедливо для любого &. Отсюда сле-
дует равномерная сходимость ряда с членами у [х) — у [х) и рав-
(к)
номерная сходимость последовательности у при х — хо ^дк неко-
некоторой непрерывной функции у(х), так как
(к), ч
У (х) =
Лги)
2/
о
2/
Предельный переход при п —>- оо в равенстве A0.19) дает соотно-
соотношение A0.18).
Отсюда следует дифференцируемость у(х) и обращение в тожде-
тождество уравнения A0.17).
Доказательство единственности можно провести также одним из
традиционных способов. Предположим, что имеются два решения
у\(х) и 2/2(ж) задачи A0.17). Тогда z = у\ — у<± удовлетворяет нера-
неравенству (которое получается так же, как неравенство A0.20))
\z\ ^ / (Li|z| + L0L2 f |*(«)| d«) dt, z(x0) = 0.	A0.22)
xo	xo
Пусть z = max \z\ при 0 ^ x — xo ^ h. Так как z ^ 0, то z Ф 0.
Рассмотрим промежуток 0 ^ ж — xo ^ S = L/2. Из A0.22) следует,
что на этом промежутке либо z = 0, либо справедливо неравенство
z ^ (Li + LqL2Cl)z8 = LfJ,

§ 32. Уравнения с оператором типа Фредголъма	143
т.е. 1 ^ L5 = 1/2, что является противоречием. Следовательно,
z{x) = 0 при х — хо ^ S. Тогда в неравенстве A0.22) можно заме-
заменить хо на хо + 6 и, повторив рассуждения, получить, что z(x) = 0
при х ^ хо + 28. Продолжая процесс, через конечное число шагов
получим, что z(x) =0 при хо ^ х ^ хо + ft. Теорема доказана.
Замечание. В отличие от линейного случая, разобранно-
разобранного в п. 1, утверждение теоремы 10.1 носит локальный характер, т.е.
существование решения гарантируется не на всем заданном проме-
промежутке Хо ^ х ^ Хо + а изменения ж, а на некотором достаточно
малом отрезке хо ^ х ^ хо + h.
Точку х\ = хо + h, у\ = у{хо + ft) можно принять за новую на-
начальную точку и применить описанные выше построения к задаче
% = Г(х,у(х), f1K(x,s,y(s))ds+ / K(x,s,y(s))ds),
Хо	Xi
УЫ)=У1.	A0.23)
Тем самым можно доказать существование решения задачи на
некотором отрезке [xi,x2], х2 = х\ + h\.
Решение у(х) задачи A0.23) можно рассматривать как продолже-
продолжение решения у{х) задачи A0.17) на отрезок [жьЖг].
Продолжая шаг за шагом описанные рассуждения, можно "дове-
"довести" график решения у{х) до границы заданной области
хо ^ х ^ хо + а, \у - уо\ ^ Ъ.
§ 32. Интегро-дифферендиальные уравнения
с интегральным оператором типа Фредгольма
Обратимся сначала к задаче A0.2), A0.3). Сведем эту задачу к ин-
интегральному уравнению, пользуясь способом, уже применявшимся
в п. 1 предыдущего параграфа. Рассматривая A0.2) как дифферен-
дифференциальное уравнение с неоднородностью
ъ
I K(x,s)y(s)ds + f(x),
а
получим
у{х) = / е% А{п) dn / К($, s)y(s) ds+
а	а
Ц Мч) dvf(Q ^ + yoef: A(V) dv
f
A0.24)

144 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
Меняя порядок интегрирования в первом слагаемом, будем иметь
у{х) = / К(х, s)y(s) ds + /(ж),	A0.25)
а
где f(x) — сумма двух последних слагаемых в A0.24), а
K(x,s) = fe
Таким образом, задача A0.2), A0.3) свелась к линейному инте-
интегральному уравнению типа Фредгольма A0.25), ядро которого, во-
вообще говоря, несимметрично, даже если К(х, s) симметрично. Для
этого уравнения справедлива теория, развитая в § 18.
Точно так же, если существует функция Грина G(x,?) оператора
Ly при условиях A0.6), то задача A0.4), A0.6) сводится к интеграль-
интегральному уравнению вида A0.25), где
~	ь	~
f(x) = J G(x, Of @ <% + у(х)
а
(у(х) — решение однородного уравнения Ly при условиях A0.6)), а
K(x,s) = Г K(?,s)G(x,?)d?.
а
Именно таким приемом мы пользовались в § 25.
Рассмотрим теперь уравнение A0.7). Зададим начальное условие
у(х,0) = Ф(х)	A0.26)
(подчеркнем, что в отличие от A0.3) здесь начальное значение явля-
является функцией х).
Способ, примененный выше к уравнениям A0.1) и A0.2), в данном
случае приводит к интегральному уравнению с двойным интегралом
t ъ _	_
11 A* ¦/¦ I ^^ / /in~ I Tf (т* q / т w/i q т]г1я —I— f (т 1~\	i10^7i
и I JL, Li — / CXI / XV l«^, <J, i/ j / J W l о« / I Ct/O n^ J V 5 / 5	I lU.^i J
to	a
где /(ж, t) = Ф(ж)е^*о ^'^ ^ + f e^ A(^x'^ dr] f (x, r) dr,
о
А"(ж, s, t, r) = Х(ж, s,:
to
О
К A(x'v) dr>

§ 32. Уравнения с оператором типа Фредголъма	145
Интегральные уравнения вида A0.27) нами не рассматривались,
однако для них можно провести рассуждения, аналогичные приве-
приведенным в §21. При этом получим, что решение A0.27) существует,
единственно и может быть найдено путем последовательных при-
приближений.
Можно выделить случай, когда решение задачи A0.7), A0.26)
удается построить в виде разложения по собственным функциям
ядра. Пусть А = A(t), К = K(x,s) = K(s,x), f = /(ж), т.е. уравне-
уравнение имеет вид
з| = A(t) у(х, t) + / К(х, s)y(s, t) ds + f(x).	A0.28)
a
Будем строить решение задачи A0.28), A0.26) при а ^ х ^ Ь,
0 ^ t ^ Г. Представим y(x,t) в виде
y(x,t) =g(x,t) + y(x,t),	A0.29)
где у(х, t) удовлетворяет соотношениям:
Щ^1 = A(t)y(x,t) + f(x), у(х,0)=Ф(х),
и, следовательно,
у(х, t) = Ф{х)еК А{г]) dr] + f(x) f eti A^ d4r.	A0.30)
о
Тогда
Щ = A(t)g(x,t) + / K(x,s)g(s,t)ds+p(x,t), A0.31)
a
<?(x,0) = 0.
Здесь	ь
p(x,t) = Г К(x, s)y(s, t) ds.
a
Функцию g(x,t) будем искать в виде
^2x),	A0.32)
n=l
где уп(х) — собственные функции ядра K(x,s). Подставляя A0.32)
в A0.31), приравнивая слагаемые при уп(х), получим
f	^	^ 9п@) = 0,	A0.33)

146 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
Ъ
где yn(t) = Г у(х, t)yn(x) dx — коэффициент Фурье функции у(х, t).
а
В отличие от F.3), для gn(t) получилось обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид
9n(t) = I e^ A™ d"+^r HI^l dr.	A0.34)
0
Для yn(t) из A0.30) имеем
Vn{t) = f y(x, t)yn{x) dx = ФпеХ АМ dtl + fnf eK A(il) d4r,
a	0
где Фп, fn — коэффициенты Фурье функций Ф(х) и /(ж). Поскольку
при t ^ Т
еРт А(г,) dV
гдеС*! и С2 — некоторые константы, то тах^ \yn(t)\ ^ Ci|^
Так как |ЛП| —у оо при п —у оо, то экспоненты, стоящие под знаком
интеграла в A0.34), равномерно ограничены по t и п. Из A0.34)
получаем оценку для gn(t):
max\gn(t)\ ^ ?(d|«Pn|+С2|/„|).	A0.35)
В силу этой оценки ряд A0.32) мажорируется рядом
ji;	(ю.36)
71=1
представляющим собой сумму двух рядов, равномерная сходимость
каждого из которых доказывается так же, как в теореме Гильберта-
Шмидта в § 10. Поэтому ряд A0.32) сходится равномерно относи-
относительно х и t и g(x,t) является непрерывной функцией х и t.
Для того, чтобы обосновать проведенные выше преобразования,
необходимо убедиться в существовании непрерывной производ-
производной -щ и в возможности ее вычисления почленным дифференциро-
дифференцированием ряда A0.32). Для этого надо убедиться в равномерной схо-
сходимости ряда
оо
d-Sflyn{x).	A0.37)
71=1
Из A0.33) видно, что -^ имеет такую же оценку A0.35) (мо-
(может быть, лишь с другой константой С). Поэтому ряд A0.37) так-
также равномерно сходится. Тем самым функция g(x,i), определяемая
рядом A0.32), является решением задачи A0.31), а следовательно,
y(x,t) является решением задачи A0.28), A0.26). Таким образом,
справедлива

§ 33. Сингулярно возмущенные уравнения	147
Теорема 10.2. Решение задачи A0.28), A0.26) дается фор-
формулой A0.29), в которой функция y(x,t) определяется из A0.30),
а функция g(x,t) представляется рядом Фурье A0.32) по собствен-
собственным функциям уп{х) ядра K(x,s). Коэффициенты gn(t) определя-
определяются формулой A0.34), в которой yn(t) есть коэффициент Фурье
функции у(х, t), a Xn — собственное значение ядра K(x,s), отвеча-
отвечающее собственной функции уп(х).
Полученное решение является единственным, поскольку зада-
задача A0.26), A0.28) является частным случаем задачи A0.7), A0.26),
а решение последней, как было указано выше, единственно.
§ 33. Сингулярно возмущенные
интегро-дифференщгальные уравнения
Нередко в интегро-дифференциальное уравнение входит в каче-
качестве множителя при производных малый параметр \±. Если фор-
формально положить \i — 0, то либо порядок уравнения понижается,
либо оно вообще не содержит производных и становится интеграль-
интегральным. Такие системы называются сингулярно возмущенными систе-
системами.
Ставится следующий вопрос: если параметр \i достаточно мал,
будет ли решение системы с параметром \± близко к решению систе-
системы, которая получается из исходной, если положить \± — 0? Такая
система, как правило, проще исходной и поэтому ответ на поста-
поставленный вопрос (если этот ответ положительный) существенно об-
облегчает исследование исходной системы.
Примером сингулярно возмущенного интегро-дифференциально-
интегро-дифференциального уравнения является уравнение A0.10) в случае малой емкости.
Уравнение (8.12) также является сингулярно возмущенным, по-
поскольку параметр а считается малым.
В настоящем параграфе мы рассмотрим поставленный вопрос
для простейших случаев. Более обстоятельные сведения содержатся
в [7]. Основы теории сингулярных возмущений для дифференциаль-
дифференциальных уравнений изложены в учебнике [25].
Пусть задано интегро-дифференциальное уравнение
ц g = А(х)у(х) + I K(x, s)y(s) ds + /(ж),	(Ю.38)
а
в котором А(х) ф 0 (а ^ х ^ 6), \± > 0 является малым параме-
параметром. Неизвестная функция у фактически является функцией двух

148 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
переменных: х и /i, то есть, у = у(х, /i). Поставим начальное условие
У(аф)=у°.	A0.39)
Положив в A0.38) формально \± — 0, получим интегральное урав-
уравнение	ж
0 = А(х)у(х) + | К(х, s)y(s) ds + /(ж).	A0.40)
а
Будет ли решение у(х,/л) задачи A0.38), A0.39) при /л ->• 0 стре-
стремиться к решению уравнения A0.40), которое мы обозначим че-
через уо(хO Согласно терминологии теории сингулярных возмущений
уравнение A0.40) называется вырожденной задачей.
Мы докажем, что так же, как и для дифференциальных уравне-
уравнений (см. [25]), ответ на этот вопрос является положительным, если
выполнено некоторое условие устойчивости, которое в данном слу-
случае имеет вид
А(х) < 0, а ^ х ^ Ь.	A0.41)
При этом условии предельный переход у(х,/л) —У уо(х) имеет ме-
место при а < х ^ Ъ и не является равномерным. Для построения
асимптотической формулы, которая дает равномерное приближение
к 2/(x,/i), нужно к решению вырожденной системы ^о(^) прибавить
так называемую пограничную функцию По. Определим ее диффе-
дифференциальным уравнением
^	0^)	(Ю-42)
при условии
U0\i=0 = y°-y0(a).
Выражение для По может быть выписано явно, а именно
По = [у0 - уо(а)}еА(т = [у0 - уо(фА{О)^-	(Ю.43)
Докажем следующую теорему:
Теорема 10.3. При достаточно малых \i ^ /iq для решения
у(х,/л) задачи A0.38), A0.39) на сегменте а ^ х ^ Ъ справедливо
представление
y(x,ii) = г/о (я) +П0 + Ri(x,ii),	A0.44)
где \Ri\ ^ C\i (С — не зависящая от \± постоянная).
Доказательство. Подставим 2/(x,/i), выраженное в виде
A0.44), в A0.38) и A0.39). Свойства R\ пока неизвестны, так что,

§ 33. Сингулярно возмущенные уравнения	149
тем самым, мы просто перешли к новой неизвестной функции R\.
Имеем
dy dU0 dRi_
= A(x)(yo + Uo + R1)+ f K(x,s)[yo(s) + Uo(s,/i) + R1(s,ii)}ds + f(x).
a
Учитывая определение у о и По, получим для R\ уравнение
Aix)^ (х, ц) + I К(х, s)R! (я, ц) ds + F(x, ц), A0.45)
где F{x, ц) = [А(х) - А@)]По + / К(х, s)U0 (^) ds - ц^.
a
Пользуясь A0.43), для F(x,/i) нетрудно получить при а ^ х ^Ь
и достаточно малых \i ^ /io оценку
\F(x,n)\<Clfi,	A0.46)
где С\ — некоторая не зависящая от \i постоянная. Начальное усло-
условие для Д]_, очевидно, следующее:
i?i(a,/x) = 0.	A0.47)
Из A0.45), A0.47), интегрируя уравнение A0.45) как дифферен-
дифференте
циальное с неоднородностью f (...) ds -\- F, имеем
a
iJi(a;,/i) = febb"AMdridZ i / K(?, e)iii(e,
Изменяя в первом слагаемом порядок интегрирования, получим
R\(x,\i) — Г K(x,s,/jl)Ri(s,/jl) ds
a
где K=fe* A" AM dri J КЩ, s) <Ц, F = f eb XT
s	s
Пользуясь тем, что А(х) ^ -/3 = const < 0 в силу A0.41), и оцен-
оценкой A0.46), нетрудно получить неравенства
\K(x,s,fj)\ ^ К = const, \F(x,[i)\ < С2{1.

150 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
Отсюда оценка \R±\ ^ С\± получается точно таким же способом,
как в [25, с. 202].
Доказанная теорема говорит о том, что выражение у о (ж)+По (^тг^)
является асимптотической формулой для решения y(x,[i) зада-
задачи A0.38), A0.39) с остаточным членом R1(x,/i) = O(/i). Можно
получить более точную асимптотическую формулу с остаточным
членом Rk (ж, /i) = O(/ik). Мы увидим, что наличие интеграла в урав-
уравнении несколько видоизменяет алгоритм, описанный в [25].
Будем искать y(x,/i) в виде формального ряда
=2-^), A0.48)
где Уг{х) называются регулярными членами, а П^ — пограничными
членами. Ряд A0.48) нужно подставить в A0.38), A0.39) и прирав-
приравнять члены с одинаковыми степенями \i. При подстановке в A0.38)
надо приравнивать отдельно члены, зависящие от ж и отдельно —
члены, зависящие от ?. Имеем
,dUl
= А(х)[уо(х) + wi(x) + ...] + A(a + /xf)[no(O + /JIi(f) + ...] +
X
+ Г K(x,s)[yo(s) + /^yi(s) + ...] ds+
a
ж	Г / — \	/_\	1
+ J K(x,s)\U0l2—^) +/ЛЫ ^j-^J + ... ds. A0.49)
a
Прежде чем проводить операцию приравнивая членов с одинако-
одинаковыми степенями /i, преобразуем последнее слагаемое в правой части,
перейдя к переменной интегрирования т] = (s — a)/\i и записав его
оо С
в виде суммы двух интегралов Г + Г (^ = (ж — а)/ц):
О оо
оо
\i Г К(х,а + цг]) [По(rj) + /alii G7) + ... 1 dr]-\-

33. Сингулярно возмущенные уравнения	151
[оо	С	-I
I K(x,a)no(rj)dr)+ I K(a,a)no(ri)dri\
О	оо
г ОО	ОО
+ V2[ f K{x,a)Til{ri)dri+ I К'8(
о	С
+ J K(a,a)Tl1(r])dr]+ J [К'х(а, а)? + К'8(а, a)rj\no(ri) dq\
После подстановки полученного выражения в A0.49) можно при-
приравнять члены с одинаковыми степенями \±. Приравнивание членов,
содержащих /i°, дает уравнения для у о и По, которые уже были вы-
выписаны ранее (см. A0.40)) и A0.42), а приравнивание членов, содер-
содержащих /i, приводит к уравнениям для у\ и Щ:
= А(х)у! + / К(х, a)yi(a) da - К(х, а)
У° ~
A0.50)
Первое из этих уравнений является интегральным, а второе —
дифференциальным, и поэтому второе уравнение A0.50) надо снаб-
снабдить начальным условием. Это начальное условие мы получим, под-
подставляя A0.48) в A0.39),
2/о (а) +№(о) + -- + По@) + /xIIi@) + • • • = ^Л
Приравнивая члены, содержащие /i°, получим условие По@) =
— У° ~ 2/о@M которое уже было использовано при построении По,
а приравнивая члены, содержащие /i, имеем
ni@) = -уг{а).	A0.51)
Из A0.50) видно, что у\(х) является решением интегрального
уравнения f -^- — величина известная, поскольку у о найдено J, а П1
фф
является решением дифференциального уравнения при начальном
условии A0.51). Выражение для Щ можно найти, как и выражение
для По, в явной форме.
Подобным же образом можно построить следующие члены раз-
разложения A0.48) и доказать теорему о том, что
С/+1 (а ^ х ^ Ъ).	A0.52)

152 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
Пусть теперь в A0.38) верхний предел постоянный:
li$L = А(х)у(х) + I K(x, s)y(s) ds + f(x),	A0.53)
а
у(а,ц)=у°,	A0.54)
и вырожденное уравнение является уравнением Фредгольма
ъ
0 = А(х)у(х) + J K(x, s)y(s) ds + f{x).	A0.55)
а
Будем предполагать, что выполнено условие устойчивости A0.41)
и что однородное уравнение, соответствующее A0.45), имеет только
тривиальное решение, т.е. само уравнение A0.45) имеет единствен-
единственное решение уо(х).
Заметим без доказательства, что в данном случае также спра-
справедливо утверждение, аналогичное теореме 10.3, и более общее не-
неравенство A0.52), но алгоритм построения асимптотики несколько
изменится. Форма разложения A0.48) и соотношения A0.49) (с за-
заменой в верхнем пределе х на Ь) сохраняются. Последнее слагаемое
в A0.49) имеет вид
сю	Ъ/ц
= ц f (...)dri + n f (...) drj =
= /i[ f K(x,a)H0(i1)di1+ f K(a,a)^
0	oo
A0.56)
В отличие от случая интеграла с верхним пределом ж, второе
слагаемое в группе членов с множителем \i равно
Ь/{I	0	/ \
ц I Kia^Uoi^dr, = цК(а,а) У "ff^ eA{a^,	A0.57)
т. е. оказывается экспоненциально малым. Поскольку целью всего
построения является получение асимптотики с остаточным членом
порядка некоторой степени \± (см. A0.52)), то величины типа A0.57)
при построении можно отбрасывать (привносимые ими невязки бу-
будут много меньше степенных по \± невязок, которые дают остальные
члены).

§ 33. Сингулярно возмущенные уравнения	153
Таким образом, член /i[... ] в разложении A0.56) вообще не содер-
содержит экспоненты е 'а^. Как оказывается, тем же свойством обла-
обладают и следующие члены разложения A0.56). Поэтому последнее
слагаемое A0.47) учитывается только при построении регулярных
членов. Итак, имеем
ъ
А(х)уо(х) = J К(х, s)yo(s) ds + /(ж),
o=yo-yo(a);	A0.58)
А{х)уг (х) = f K(x, s)y1 (s) ds-^- K(x, a) V''~ffa),
Мы познакомились с простейшим случаем уравнения A0.53), ко-
когда вырожденное уравнение A0.55) имеет единственное решение.
Возникает естественный вопрос: какова будет асимптотика реше-
решения задачи A0.53), A0.54), если Л = — 1 является собственным зна-
значением ядра К(х, z)/A(x) и, таким образом, вырожденное уравне-
уравнения A0.55) либо имеет бесконечное множество решений, либо ни
одного?
Не имея здесь возможности рассмотреть детально все эти вопро-
вопросы, отсылаем читателя к специальной литературе [7], а здесь огра-
ограничимся рассмотрением некоторых примеров.
Примеры. 1. Найти решение уравнения
цу' = -у(х) + f sy(s) ds + 1, y\x=Q = у0	A0.59)
о
и исследовать его при \i —у 0.
Дифференцируя, имеем цу" = — у', откуда у = С\е~^ + Съ-
В качестве дополнительных условий для определения С\, С<± бу-
будем использовать начальное условие A0.59) и начальное условие,
получаемое из уравнения A0.59) и имеющее вид
1
ds + L
Подставляя у = С\е~^ + С2 в эти условия, получим два уравнения
для определения Ci, C2, найдя которые, получим окончательное

154 Гл. 10. Некоторые сведения об интегро-дифференциальных уравнениях
выражение для у
v(x U)
l + 2/i(e /* +/xe ^-/i) 1 + 2/ife /* + /xe /* - /i 1
A0.60)
l
Найдем теперь из A0.58) уо(х) и По. Имеем 2/0 0*0 = ( syo(s) ds + 1,
о
откуда 2/о0е) = 2. Имеем также —тг- = —По, По@) = у0 — 2, откуда
По = B/°-2)е-?.
Нетрудно усмотреть из вида точного решения A0.60), что
2/(x,/i) = 2/о 0е) + По ( д J + O(/i), т.е. для данного уравнения A0.59)
с оператором Фредгольма теорема 10.3 оказывается справедливой.
На данном примере можно убедиться в важности условия устой-
устойчивости A0.41), которое здесь выполнено. Но если бы при у(х) спра-
справа в A0.59) был коэффициент +1, т.е. было А{х) > 0, то в решении
появилась бы растущая экспонента и представление A0.44) потеря-
потеряло бы смысл.
2. Решить уравнение
1
М1 = -у(х) + 3 J xsy(s) ds, y\x=0 = у0,	A0.61)
о
и исследовать решение при \i —у 0.
1
Имеем /ну' = —у+/3х, /3 = 3 Г sy(s) ds. Отсюда у = Се~%+/3х — /3/л.
о
Постоянные С и C определяются из уравнений у0 = С — /3/л,
1
C = 3 Г s(Ce~~t + /3s — /3/i) (is и для них получаются выражения
C = y°°+O(ii2),f} = O(fi).
Следовательно, решение задачи A0.61) имеет вид
При \i —У 0 функция у(х,/л) имеет пределом у о = 0. Это одно из
решений вырожденного уравнения (которое имеет семейство реше-
решений у = Сх, так как Л = 3 является собственным значением ядра
K(x,s) = xs).
3. Видоизменим уравнение A0.61), сделав его неоднородным:
1
т/ = -у(х) +

§ 33. Сингулярно возмущенные уравнения	155
Тогда у = Се~~^ + /Зх + A — /i/З), причем
1
^° = С + 1 - /х/3, Р = 3 f s(Ce~i + /3s + 1 - fis) ds,
= у0 + O(/i2) /3 =
откуда С = у0 + O(/i2), /3 = 	д	 и решение имеет вид
,ц) = [у0
При /i —>- 0 это решение имеет полюс по /i (второе слагаемое). Это
связано с тем, что в данном случае вырожденное уравнение не имеет
решения, поскольку " неортогональна собственной функции х.

ЛИТЕРАТУРА
Основная литература.
1.	Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Изд. 5-е. — М: Наука,
1988.
2.	Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
3.	Краснов М.П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. — М.: Наука,
1975.
4.	Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. 6-е изд. — М.: Наука, 1974.
5.	Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Изд.
2-е. — М.: Наука, 1979.
Дополнительная и цитированная литература.
6.	Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. Изд. 2-е. — М.: Физ-
матгиз, 1962.
7.	Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений син-
сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.
8.	Верланъ А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы,
программы: справочное пособие. — Киев, Наукова думка, 1986.
9.	Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: На-
Наука, 1976.
10.	Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. — М.: Наука, 1971.
11.	Гласко В.Б., Заикин П.Н. О программе регуляризирующего алгоритма для
уравнения Фредгольма первого рода // Вычислительная математика и про-
программирование. М.: Изд-во МГУ, 1966.
12.	Гончарский А.В. Обратные задачи оптики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15.
Вычисл. матем. и кибернетика. 1986. № 3. С. 59-76.
13.	Ильин В.А., Познак Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. Изд. 5-е,
стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
14.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 4.2. Изд. 5-е,
стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
15.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Изд. 5-е, стереотип. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001.
16.	Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Интегральные уравнения,
некорректные задачи и улучшение сходимости. — Минск, Наука и техника,
1984.
17.	Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. Изд. 3-е. — М.: Выс-
Высшая школа, 1981.
18.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Изд. 5-е, стереотип. — М.: ФИЗ-
ФИЗМАТЛИТ, 2001. (Издание в серии: Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Курс теоре-
теоретической физики. Учебное пособие для вузов в 10 т. — Прим. ред.)

Литература	157
19.	Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Советская энциклопедия. 1977.
20.	Математическая энциклопедия. Т. 2. — М.: Советская энциклопедия, 1979.
21.	Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифферен-
дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965.
22.	Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.
Изд. 4-е. — М.: Наука, 1979.
23.	Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 1. Изд. 10-е. — М.: Наука,
1974.
24.	Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизаций. —
М.: Наука, 1986.
25.	Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные урав-
уравнения. Изд. 3-е, стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
26.	Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелиней-
нелинейных задачах // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1965. Т. 5, № 3.
С. 463-473.
27.	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд.
5-е. — М.: Наука, 1977.
28.	Треногий В.А. Функциональный анализ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 (в пе-
печати).
29.	Уизем Дэю. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.
30.	Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. 2. Изд. 10-е. — М.: Наука, 1970.
31.	Шилов Г.Е. Математический анализ, специальный курс. Изд. 2-е. — М.:
Физматгиз, 1961.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альтернатива Фредгольма 94
Гильберта-Шмидта теорема 50, 69, 72, 73, 146
Келлога метод 41
Компактная последовательность 24, 120, 123
Корректно и некорректно поставленная задача 111
Коши-Буняковского неравенство 20, 51
Мерсера теорема 56
Норма оператора 22
—	функции (вектора) 20
Однородное уравнение 10, 36
Оператор вполне непрерывный 24
—	непрерывный 23, 120
—	ограниченный 22
—	симметричный (самосопряженный) 26
—	Фредгольма 21, 38
Ортонормированная система собственных функций (векторов) 33, 39
Представимая через ядро функция 50
Пространство метрическое 20, 111, 119
—	нормированное 19
Ранг собственного значения 33, 68
Разложение ядра по собственным функциям 54, 56
Регуляризации метод (алгоритм) 115, 121, 129
—	параметр ИЗ 115, 130, 131
Резольвента 74, 79, 95, 105
Сглаживающий функционал 115, 117
Собственное значение 17, 36, 39
—	функция (вектор) 17, 36, 39
Стеклова теорема 69
Уравнение интегральное Абеля 109
—	Вольтерра 1-го рода 10, 104, 109
—	Вольтерра 2-го рода 10, 11, 102
—	Фредгольма 1-го рода 10, 13
—	Фредгольма 2-го рода 10, 15, 36, 72, 112
Уравнение интегро-дифференциальное 117, 135
—	типа Вольтерра 139
—	типа Фредгольма 144
—	сингулярно возмущенное 147
Фредгольма теоремы 87, 91
Штурма-Лиувилля задача 62, 64

Предметный указатель	159
Ядро интегрального уравнения 9
—	вырожденное 46
—	зависящее от разности аргументов 98, 108
—	замкнутое 66, 113
—	повторное 52
—	положительно определенное 56
—	полярное 60, 82
—	слабо-полярное 60
—	союзное 87
—	эрмитово 59
—	эрмитово-сопряженное 59

Учебное издание
ВАСИЛЬЕВА Аделаида Борисовна
ТИХОНОВ Николай Андреевич
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Редактор И. Л. Легостаева
Оригинал-макет: К. Е. Панкратьев
Оформление переплета: А. Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 23.07.02. Формат 60x90/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 10. Уч.-изд. л. 10. Тираж 3000 зкз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099 Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0275-3
9 785922 102759