«А И НАЧАЛА АНАЛИЗА
действительные числа
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
0; 1 ;~3;~5; 0,8,'
0,(7); 5,8(31);
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
0,1010010001...;-/5;
'2;si;e;lg7;sin
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
у= 0х
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФУНКЦИИ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
У=1одах
ГРИГОНОМЕТРИЧЕС.МЕ
ОБРАТНЫЕ
ТРИ ГОНОМ ЕТРИЧЕСК ИЕ
y^sinx, y~tgx
y-cosx . y-ctqx
y^arcsinx, y-arctgx
y-arccosx,/-arcctgx

АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ 10—12 КЛАССОВ
ВЕЧЕРНЕЙ (СМЕННОЙ)
ШКОЛЫ И САМООБРАЗОВАНИЯ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Д. ГЛЕЙЗЕРА
Допущено
Государственным комитетом
СССР по народному образованию
5-а ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
МОСКВА
ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989
ББК 22.14я72
Л 45
Л и т <> р i.i: Г. Д. Глейзер, С. М. Саакян, И. Г. Вяльцева, А. С. Алексеев
Алгебра и начала анализа: Учеб, пособие для 10—12 кл.
А45 веч. (смен.) шк. и самообразования/Г. Д. Глейзер, С. М. Са-
акян, И. Г. Вяльцева, А. С. Алексеев; Под ред. Г. Д. Глей-
зера.— 5-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1989.— 431 с.:
ил,— ISBN 5-09-000587-7.
В учебном пособии содержится систематическое изложение алгебры и
начал анализа средней школы. Органическое сочетание теоретического
материала с практическими приложениями, наличие разнообразных приме-
ров, решений типовых задач, заданий для самопроверки, справочного мате-
риала позволяет применять учебное пособие в вечерней школе, на подготови-
тельном отделении вуза, в процессе самообразования.
4-е издание вышло в 1986 году под названием «Алгебра и начала
анализа. Учебное пособие для 9—11 классов вечерней сменной школы».
. 4306020400—659
А----------------инф. письмо — 89, доп. п 1
103(03)—89
ББК22.14я72 + 22.161я72
ISBN 5-09-000587-7
© Издательство «Просвещение», 1983
©Глейзер Г. Д., Саакян С. М., Вяльцева И. Г., Алексеев А. С., 1989, с изменениями
ГЛАВА I.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ числа
$ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Число является важнейшим математическим
понятием. Это понятие возникло еще в первобытном обществе.
Натуральные числа появились в связи с потребностью счета
предметов. Постепенно люди осознали бесконечность множества
натуральных чисел. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...
нудам обозначать буквой N. На этом множестве определяются
дне операции: сложение и умножение. Натуральные числа можно
складывать, причем сумма двух натуральных чисел есть число
н.п yp.uii.ное, по лому говорят, что операция сложения на множе-
1НИ- N цы и, >./| и има. Натуральные числа можно перемножить.
11р"и чн	двух н.п уральпых чисел на туральное число.
1 ’in рапин 1 .поженив и умнпаа ння на гуральных чисел обладают
। ч. И ..ими cnoiH i нами:
I ) <1 I 1>	1> \ а	— переместительный закон
сложения;
и | (Ь -|- с) — (а -|- Ь) -|- с — сочетательный закон сло-
жения;
.4) а • I) — Ь • а	— переместительный закон ум-
ножения;
1) а • (Ь • с) = (а • Ь) • с — сочетательный закон умно-
жения;
,г>) а • (Ь 4- с) = ab 4- ас — распределительный закон
умножения относительно
сложения.
15 множестве натуральных чисел существует также единица,
такое число 1, что а • 1 = 1 • а = а.
В основе всех вычислений на множестве натуральных чисел
лежат приведенные выше законы.
Первым расширением понятия натурального числа явилось
присоединение к множеству натуральных чисел дробных чисел.
Возникновение дробных чисел было вызвано необходимостью из-
мерять величины. Измерение какой-нибудь величины заключается
к « равнении ее с другой качественно однородной с ней величиной,
.....имаемой за единицу. Например, при измерении длины данного
«и резка на нем откладывают последовательно другой отрезок,
принятый за единицу длины (1 см, 1 м и т. д.). Так с помощью опе-
3
рации «откладывания» единицы измерения и счета производят
измерение длины. Ясно, что не всегда единичный отрезок уложится
на измеряемом отрезке целое число раз. Поэтому возникает необ-
ходимость рассматривать дроби — половину, треть, четверть и
другие доли единицы измерения.
С развитием арифметики — науки о числах и операциях над
ними — люди стали рассматривать дробные числа (или дроби) с
любыми натуральными знаменателями и дробное число представ-
лять как частное от деления двух натуральных чисел, из которых
делимое нацело не делится на делитель.
Вообще же обыкновенной дробью называют число вида — ,
где т и п — натуральные числа.
Две дроби -у- и -у называются равными, если а • d = b • с.
Пользуясь этим определением, нетрудно доказать, что дроби
-у и —- также равны. Отсюда следует основное свойство дроби:
если числитель и знаменатель дроби умножить (или разде-
лить) на одно и то же натуральное число, то получится дробь,
равная данной:	. По основному свойству дроби одно
и то же дробное число можно представить по-разному равными
2	4	20
обыкновенными дробями, например	= чтг = ••• •
<3	О	oU
Дальнейшее расширение понятия о числе было вызвано по-
требностями самой математики. В связи с решением линейных
уравнений с одной переменной стало необходимым введение от-
рицательных чисел. В конкретных задачах отрицательный ответ
истолковывается как значение направленной величины (положи-
тельные и отрицательные температуры, передвижение в направле-
нии, противоположном выбранному, прибыль — долг и т. п.).
Особенно отчетливо проявился смысл понятия отрицательного
числа с введением координатной прямой и координатной плоско-
сти. Важным моментом в математике явилось введение числа
нуль.
Множество целых чисел (положительных, нуля и отрицатель-
ных) будем обозначать буквой Z:
Z = {...,— 5, — 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.
Объединение множества целых и множества дробных чисел
называют множеством рациональных чисел. Множество рацио-
нальных чисел обозначают буквой Q. Латинское слово ratio оз-
начает отношение.
Всякое рациональное число можно представить в виде дроби
, где р и q — целые числа (как положительные, так и отрица-
тельные) , причем 4? #= 0.
4
На множестве рациональных чисел определены операции сло-
жения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на
пуль, которое не имеет смысла). Это означает, что результат
выполнения названных операций над двумя рациональными чис-
лами есть опять число рациональное. Указанные операции обла-
дают Следующими свойствами:
1)	о 4-ft = ft 4-о
2)	а + (Ь + с) = (а + Ь) +
3)	а 4- 0 = а
1)	а 4- (— а) = О
!>) а • I) = b • а
(!) а • (Ь  с) = (а • 6) • с
7) а • (/> |- с) -- - ab 4- ас
Н) п I ,i
) 'I	I , I II / ()
н
10)	а  О О
—	переместительный закон сло-
жения;
с — сочетательный закон сло-
жения;
—	существует число нуль (0);
—	сумма противоположных чи-
сел равна нулю;
—	переместительный закон ум-
ножения;
—	сочетательный закон умно-
жения;
—	распределительный закон ум-
ножения относительно сло-
жения;
су шествует число едппп-
tia (I);
произведение двух взаимно
обратных чисел равно 1;
— произведение любого числа
на нуль равно нулю.
В основе всех вычислений на множестве рациональных чисел
лежит названные выше законы.
Множество рациональных чисел упорядочено относительно
понятий «больше» и «меньше». Подчеркнем еще одно свойство
рациональных чисел: между любыми двумя различными рацио-
нальными числами находится бесконечно много рациональных
чисел. Действительно, если а и & — различные рациональные
числа и а < о, то рациональное число —— находится между
ними: а < °	6 < Ь. Поступая аналогично и далее, можно до-
казать, что между а и b бесконечно много рациональных чисел.
Каждому рациональному числу соответствует единственная
точка координатной прямой, причем двум различным рациональ-
ным числам соответствуют различные точки координатной прямой.
Несмотря на то что рациональные числа обладают свойством
плотности, они все же не «заполняют» всю координатную прямую,
г. е. существуют точки прямой, которым не соответствуют ни-
какие рациональные числа.
5
Особо важную роль в математике и в практических расчетах
играют десятичные дроби. Известно, что каждое натуральное
число можно разложить единственным образом на простые множи-
тели. Если разложение знаменателя обыкновенной дроби на
простые множители состоит только из двоек и пятерок, то такую
дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби. Напри-
3	3-2	6 П с 7	7	7-5
МеР’ 5	5 - 2	~ 10	— °’6, 20	~ 2-2-5	— 2 • 2 • 5	• 5	—
Если же данная обыкновенная дробь несократима и разло-
жение ее знаменателя на простые множители содержит числа,
отличные от двух и пяти, то такую дробь можно записать в виде
бесконечной периодической десятичной дроби, т. е. такой десятич-
ной дроби, у которой число десятичных знаков бесконечно и одна
или несколько цифр после запятой последовательно повторяются.
2
Представим, например, обыкновенную дробь — в виде деся-
тичной дроби. Будем делить число 2 на число 3, получим 0,66666... .
Эту бесконечную десятичную дробь называют периодической; циф-
ру 6 называют периодом этой дроби. Для краткости записи перио-
дических дробей период записывают только один раз, заключая
2
его в круглые скобки. Например, у = 0,66666... = 0,(6) (читают:
«пуль целых и шесть в периоде»). Период у дроби может начи-
наться не сразу после запятой и содержать не одну, а несколько
цифр. Например, 2 -Ц- = 2,3(5); -у- = 0,(45).
Условились десятичные дроби с периодом 9 заменять дробями
с периодом 0, т. е. конечными десятичными дробями. Например,
2,45(9) = 2,46(0) = 2,46. Поэтому десятичные дроби с периодом
9 мы в дальнейшем рассматривать не будем.
Важно запомнить следующее:
1) любое рациональное число представимо в виде бесконеч-
ной периодической десятичной дроби;
2) любую десятичную периодическую дробь можно предста-
вить в виде обыкновенной дроби, т. е. любая десятичная перио-
дическая дробь есть число рациональное.
Обращением обыкновенной дроби в периодическую проверьте
правильность таких преобразований:
0,(24) =^- = А; 3,(8) =ЗА; 4,(521) = 4-g-;
г	572 — 5	567	63	„	„ 513 — 51
0,->(/2)	; 2,51 (3) = 2	(J()()
-> -16'.!	,? 77
‘ЛЮ	*' 15() 
6
Сформулируем без доказательства
правило обращения десятичной периоди-
ческой дроби в обыкновенную: дробная
часть периодической дроби равна такой
обыкновенной дроби, у которой числитель
есть число, стоящее между запятой и вто-
рым периодом, минус число, стоящее меж-
ду запятой и первым периодом, а знамена-
тель — число, состоящее последовательно
из стольких цифр 9, сколько цифр в пери-
оде, и стольких нулей, сколько цифр между
запятой и первым периодом. Например,
0,2(31)
231 - 2
990
229 о	о 756 — 75 о 681
990" : 3’75(6) = 3 —900------ = 3 900- '
Это правило заучивать не следует, им можно пользоваться
как справочным.
В заключение на рисунке 1 в виде кругов приведено соот-
ношение между числовыми множествами: N с Z с Q.
Классификацию множества рациональных чисел можно про-
нести по расположению их на числовой прямой относительно
нуля. Такая классификация будет выглядеть так:
Упражнения
1.	Составьте тезисы параграфа.
2.	Приведите примеры чисел: а) натуральных, б) целых, в) ра-
циональных. Какие числа называют рациональными?
3.	Разрешимо ли уравнение а + х = Ь, где а и b — числа,
х — переменная, иа множестве: а) натуральных чисел; б) целых
чисел; в) рациональных чисел?
4.	Разрешимо ли уравнение ах = Ь, где а и b — числа,
х — переменная (а =/= 0), на множестве: а) натуральных чисел;
б) целых чисел; в) рациональных чисел?
5. Представьте дроби в виде десятичных: а) -хтг; б) —;
ZU	ZO
,26	, с 9
*’) ТГ: г) 5 20-•
7
6.	Представьте дроби в виде обыкновенных дробей: а) 0,(3);
б) 0,2(5); в) - 7,(36); г) 7,2(25).
7.	Найдите значения выражений:
а)	0,(3) + ±;
б)	(2,(1) + 3,(12)) : 0,5;
в)	13,7 • 0,1 + (16	• 0,5 - 1	• 2) + 19,89 : (4,75 +
+ S : 2-3>;
>'	) (5	— 1 -Ц- - 2) : 3	+ 0,4 • (15,25 :-у —988:32,5)+
+ 4,15 • 0,4.
8.	Какие операции определены на множестве: а) натуральных
чисел, б) целых чисел, в) рациональных чисел?
9.	Сформулируйте известные вам свойства операций, выпол-
нимых на множестве рациональных чисел.
10.	Покажите, что между числами -у и 1 существуют ра-
циональные числа. Назовите три таких числа.
§	2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Процесс измерения привел к представлениям не только о
дробных числах, но и к представлениям о новых числах, отличных
от рациональных. Рассмотрим процесс измерения отрезка АВ
(рис. 2). Для нахождения длины этого отрезка необходимо вы-
бран. другой отрезок в качестве единицы длины. За единицу длины
примем сторону квадрата, для которого отрезок АВ является
диагональю. Будем теперь измерять отрезок АВ отрезком
АС (|ЛС| - 1).
Измерение 1. Отложим отрезок АС на отрезке АВ от точ-
ки А. На отрезке АВ отрезок АС уложится только один раз:
|ЛК| = |ЛС|. На отрезке КВ единица измерения (отрезок АС)
больше не уложится. Поэтому при точности измерения, равной
1, длина отрезка АВ равна либо 1 (с недостатком), либо 2 (с из-
бытком).
Измерение 2. Увеличим точность измерения. В качестве
единицы измерения возьмем 0,1 часть отрезка АС. Отложим эту
новую единицу на отрезке КВ. Нетрудно заметить, что на отрезке
КВ уложится четыре новые единицы измерения; при этом в ка-
честве остатка останется отрезок МВ, длина которого меньше
<|.1 I IC'I. Поэтому длина отрезка АВ равна либо 1,4 (с недостат-
|>"м). 4iii.ii 1,5 (с избытком) при точности измерения 0,1.
ti
Измерение 3. В нашем случае про-
цесс измерения но окончен, поэтому продол-
жим его, увеличив точность измерения.
В качестве единицы измерения возьмем 0,01
часть отрезка АС и будем откладывать эту
единицу измерения на отрезке МВ. При до-
статочно аккуратном выполнении измерений
можно заметить, что на отрезке МВ уложится
только один отрезок длиной 0,01 |ЛС| и оста-
нется остаток, длина которого меньше 0,01 |ЛС|.
Поэтому длина отрезка АВ равна либо 1,41
Рис. 2
(с недостатком),
либо 1,42 (с избытком) при точности измерения 0,01.
Аналогично выполним измерение 4, выбрав в качестве едини-
цы измерения 0,001 часть отрезка АС. Достаточно точные из-
мерения дадут результат: |АВ\ ж 1,414 (с недостатком) или
|АВ| « 1,415 (с избытком) при точности измерения 0,001.
Результаты измерения занесем в таблицу:
№ измерения	Точность измерения	Длина отрезка Л В (при единице измерения L4CI)	
		с недостатком	с избытком
1	1	1	2
2	од	1,4	1,5
3	O.OI	1,41	1,42
4	0,001	1,414	1,415
Практически процесс измерения прервется, какими бы точными
инструментами мы ни пользовались. Однако теоретически можно
предположить, что этот процесс будет бесконечным и с увели-
чением точности измерений мы будем получать все новые и новые
десятичные знаки значения длины отрезка АВ.
Таким образом, теоретически можно предположить возмож-
ность следующих трех случаев: 1) длина отрезка АВ будет
выражаться конечной десятичной дробью (если процесс измерения
прервется); 2) длина отрезка АВ будет выражаться периодиче-
ской бесконечной десятичной дробью; 3) длина отрезка АВ будет
выражаться непериодической бесконечной десятичной дробью.
В первых двух случаях длина отрезка выражается рациональ-
ным числом, так как конечная десятичная и бесконечная десятич-
ная периодическая дроби есть числа рациональные (см. § 1).
В третьем случае (если он возможен) длина отрезка выражается
бесконечной десятичной непериодической дробью. Но с такими
числами мы до сих пор не встречались. Существуют ли они?
Пример числа а = 0,101001000100001... показывает существова-
ние бесконечных десятичных непериодических дробей (в записи
число нулей, следующих за единицей, каждый раз увеличивается).
По этому же принципу можно построить и другие числа:
2,7171171117...; 0,8383383338... .
9
Докажем, что длина отрезка АВ также выражается бесконеч-
ной десятичной непериодической дробью, если единицей измере-
ния служит отрезок АС. Пользуясь теоремой Пифагора, из
Л АСВ найдем квадрат длины отрезка АВ : IAB|2 = 2. Докажем
теперь, что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат
которого равен 2.
Теорема. Не существует рационального числа, квадрат
которого равен 2.
Доказательство. Доказательство теоремы проведем
методом от противного. Предположим, что существует рациональ-
ное число, квадрат которого равен 2. Тогда это число может быть
представлено в виде обыкновенной несократимой дроби — , где
р, q е N и числа р и q взаимно простые.
Предположим, что ) = 2. Из предположения следует,
что
2 = -4- 2<?2 = р2.
ч
Так как 2q2 — четное число, то и р2 — четное число, и р — также
четное число. Если р — четное число, то его можно представить
в виде р = 2п, где п е N. Это значение р подставим в равенство
2q2 = р2, получим: 2q2 = (2n)2, 2q2 = 4п2, q2 = 2п2. Последнее
равенство означает, что q — число четное. Получили противоре-
чие: мы предполагали,что дробь у- несократима, а пришли к тому,
что ее числитель и знаменатель — четные числа, т. е. эта дробь
сократима. Следовательно, наше предположение о том, что
= 2, ложно. Это означает, что среди рациональных чисел
нет такого, квадрат которого равен 2.
Возвращаясь к задаче измерения отрезка АВ, мы можем за-
ключить, что наше теоретическое предположение оправдалось:
если в качестве единицы измерения выбрать сторону квадрата,
то длина его диагонали не выражается рациональным числом,
а выражается бесконечной десятичной непериодической дробью:
|АВ| = V2 = 1,4142135... ,
Число, которое может быть представлено в виде бесконечной
десятичной непериодической дроби, называют иррациональным
числом.
Выше было показано, как можно конструировать иррациональ-
ные числа (например, 0,5050050005...). Было также доказано, что
\[~2 — число иррациональное. Аналогично можно доказать, что
корень квадратный из любого натурального числа, не являюще-
10
Ми я точным квадратным, есть число иррациональное. Поэтому
\/ з, у/~5, -у/~6, -у/~7, V”io и т< п-—иррациональные числа.
II римером иррационального числа служит и число л =
3,1415926535... , выражающее отношение длины окружности к
< поему диаметру (доказательство иррациональности числа л
ювольно сложное). Таким образом, если за единицу измерения
принять диаметр окружности, то ее длина будет выражаться
иррациональным числом.
Задание. Докажите, что не существует рационального
числа, квадрат которого равен 5.
Теперь нам стали ясны причины введения иррациональных
чисел. Одна из этих причин заключается в том, что рациональ-
ных чисел недостаточно для измерения длин отрезков. Например,
выше было показано, что длина диагонали квадрата не выража-
> гея рациональным числом, если за единицу измерения принять
стропу этого квадрата. Другая причина введения иррациональ-
ных чисел заключается в том, что на множестве рациональных
чисел многие алгебраические уравнения с рациональными (в том
числе и целыми) коэффициентами не имеют решений. Например,
\ p.HiiieniiH г' 2, х'2 — 3, ? = 5, ? = 6ит. п. на множестве
I' 1Н1ПП1.1ЛЫ1ЫХ чисел решении не имеют, ведь числа V2, 7з,
>, •>. \/<>. г. п, мы K in pi. iiijpm, 11pp;11иi<>11,)лi,111,ie.
I Ipn и ....ин иурса мы часто (гудем встречаться с иррацио-
п hh.iii.imii ЧП» памп (значения корней уравнений, значения триго-
п'|м< । рпч< скп.х и других функций).
11ррац||<>палы1ые числа могут быть как положительными, так и
<>। рицатгльнымн.
Упражнения
I.	Составьте конспект параграфа.
2.	Приведите пример иррационального числа, записанного
ТОЛЬКО при помощи цифр 1 и 3.
3.	Какие из приведенных ниже чисел рациональные, а какие
иррациональные:	; 7; -у/?; 0; — -/2; 4; 0,(8); 5,7(3);
'..’,13113111311113... (число единиц после каждой тройки увели-
ч 11 и астся)?
4.	Приведите примеры положительных и отрицательных ирра-
циональных чисел.
5.	Докажите, что д/~3 — иррациональное число.
6.	Докажите, что — иррациональное число.
7.	В качестве единицы измерения возьмите произвольный
отргюк. Постройте отрезок, длина которого выражается: а) ра-
циональным числом; 6) иррациональным числом.
11
8.	Даны два отрезка |ЛВ| = 2 см и | CD\ = 3 см. Приняв
отрезок CD за новую единицу измерения, найдите длину отрезка
АВ. Каким числом выражается искомая длина?
9.	В качестве единицы измерения возьмите произвольный от-
резок. Постройте отрезок длиной: а) д^2; б)
$	3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Объединение множества Q рациональных чисел и множест-
ва иррациональных чисел называют множеством действитель-
ных чисел. Множество действительных чисел обозначают бук-
вой R.
Между множеством действительных чисел и множеством
бесконечных десятичных дробей существует взаимно однозначное
соответствие. Действительно, каждая бесконечная периодическая
десятичная дробь является представлением некоторого рациональ-
ного числа (напоминаем, что мы исключаем из рассмотрения
периодические дроби с периодом 9). Каждая бесконечная не-
периодическая десятичная дробь является представлением неко-
торого иррационального числа. Таким образом, каждая бесконеч-
ная десятичная дробь является представлением некоторого
действительного числа. С другой стороны, каждому действи-
тельному числу соответствует единственная бесконечная десятич-
ная дробь: рациональному числу — периодическая десятичная
дробь или конечная, которую можно представить в виде беско-
нечной десятичной дроби с периодом 0; иррациональному числу —
бесконечная непериодическая десятичная дробь. Поэтому действи-
тельное число можно определить как число, которое может быть
выражено бесконечной десятичной дробью.
Теперь становится понятным, что действительных чисел доста-
точно для измерения длин отрезков. В самом деле, в § 2 было
показано, что длина может быть выражена либо рациональным,
либо иррациональным числом, т. е. бесконечной десятичной
дробью. А каждая бесконечная десятичная дробь есть некоторое
действительное число. Примем без доказательства утверждение:
каждой точке координатной прямой соответствует определенное
действительное (рациональное или иррациональное) число. Спра-
ведливо и обратное утверждение: всякое действительное число
определяет одну и только одну точку координатной прямой.
Это соответствие устанавливается так:
а)	если точка А принадлежит положительному лучу, то за ее
координату х принимают длину отрезка ОА;
б)	если точка А принадлежит отрицательному лучу, то за х
принимают отрицательное число, модуль которого равен длине
отрезка ОЛ;
в)	если точка А совпадает с началом отсчета — точкой О, то
х = 0.
12
1 X
Рис. 3
При этих условиях каждой	А
точке А координатной прямой --------
соответствует некоторое число
л, называемое координатой точ-
ки А (рис. 3). Запись Л(х) озна-
чает, что точка А имеет координату х.
Таким образом, между множеством действительных чисел и
множеством точек координатной прямой установлено взаимно
однозначное соответствие. Как известно (см. § 1), точки, соответ-
ствующие рациональным числам, не заполняют всей координат-
ной прямой. На прямой имеются точки, которым не соответ-
ствуют никакие рациональные числа. Каждой такой точке соответ-
ствует некоторое иррациональное число. С введением действитель-
ных чисел координатная прямая стала непрерывной.
На рисунке 4 показано, как на координатной прямой можно
построить точки, соответствующие некоторым иррациональным
числам — квадратным корням из натуральных чисел, не являю-
щихся точными квадратами. Способ построения разберите само-
стоятельно (ОАВВ} — квадрат, из Л OBBi находим |ОВ| =
V 2. | ()('t | = |О/?|; точке С, координатной прямой соответ-
< ।пуст число J 2).
Miiozio i i но щ iic । си ।глi.iii.iх чисел, как и множество рациональ-
ных 4ine.ii, \ ||1>р’,пюч<ч1о oiпоенгельно понятий «больше» и «мень-
ше 11ок,1жсм, как cpaiiiiiinaioг действительные числа.
Например, п предыдущем параграфе при измерении диагонали
квадрата с помощью его стороны, принятой за единицу, нами
были получены десятичные приближения действительного
числа -\^2:
1	< V} < 2
1,4	< -у/2 < 1,5
1,41 <2-\Г~2 < 1,42
1,414 < п/2 < 1,415
(с точностью до 1),
(с точностью до 0,1),
(с точностью до 0,01),
(с точностью до 0,001),
13
Пользуясь калькулятором (либо таблицей квадратных корней),
запишем десятичные приближения действительного числа
1 < л/3 < 2
1,7 < -/З < 1,8
1,73 < V < 1.74
1,732 < V < 1.733
(с точностью до 1),
(с точностью до 0,1),
(с точностью до 0,01),
(с точностью до 0,001),
При сравнении двух действительных чисел аир будем считать
число а меньше р (а < Р), а число р больше а (Р > а), если
какое-нибудь приближенное значение числа а с недостатком мень-
ше соответствующего приближенного значения числа р с не-
достатком (слово «соответствующего» означает «взятого с той же
точностью»). Например, прн точности 0,1 приближенное значение
числа д/ 2 с недостатком равно 1,4; приближенное значение
числа д/ 3 с недостатком при той же точности равно 1,7. Так
как 1,4 < 1,7, то -^2 <	3 пли л/3 > -\^2.
Задание!. Сравните числа: а) 3,14159265... и 3,141141114...;
б) 0,(6) и 0,6767767776... .
Рассмотрим два числа х1 и хг и соответствующие им точки
координатной прямой 4(xi) и В (х2) (рис. 5). Число |х2 —х(|
выражает расстояние от Л до В: |4В| = |х? — Х| |.
Задание 2. Найдите расстояние между точками: а) Л (— 2)
и В (4); б) С(3) и D (0); в) М(- 8) и N ( — 1); г) К (2) и Е (6).
Рассмотрим некоторые подмножества множества действитель-
ных чисел, называемые числовыми промежутками.
Множество действительных чисел х, удовлетворяющих нера-
венству а х Ь, называют замкнутым промежутком (отрез-
ком), его иначе записывают так: [а; 6] (рис. 6), а множество чи-
сел х, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь — открытым
промежутком (интервалом). В математике часто рассматривают и
полуоткрытые промежутки. Ниже в таблице приведены некоторые
промежутки, которые нам часто придется рассматривать при
решении задач.
А	В
О 1 xf	х2	х
Рис. S
а& х46
0 1 a [a;bJ b X
Рис. 6
14
Множество действительных чисел, заданное неравенством	Числовые промежутки		Изображение промежутка на координатной прямой				
а < х < b	[а; Ь] - замкнутый промежу- ток (отрезок)		*  - - «-				
			1 0	г 1	а	ь	X
а <х <Ь	(а; Ь) - открытый промежу- ток (интервал)						
			1 0	1 1	а	ь	X
а <х <Ь	[а; Ь) - полуоткрытый про- межуток						
			1 0	1 1	а	ь	X
а<х <Ь — “ < X < “	(а; Ь} - полуоткрытый про- межуток						
			1 0	1 1	а	ь	X
	К	i J — [а; °°);	прямая	1 0	1 1			X
х> а							
			1 0	1 1	а		X
х> а	(«; “);						
		лучи - (полупрямые)	1 0	1 1	а		X
	( - л)						
х< а			0	1	а		X
	(—•»;«)	j						
			0	1	а		X
Над действительными числами выполняются такие же ариф-
метические операции, что и над рациональными числами (сложе-
ние, вычитание, умножение и деление). Ранее этн операции
определялись только применительно к рациональным числам.
С помощью специальных определений можно установить их смысл
для произвольных действительных чисел (бесконечных десятичных
дробей). При введении таких операций заботятся о том, чтобы
они не противоречили уже введенным определениям таких же
операций для рациональных чисел (периодических дробей) и
вместе с тем обладали теми же свойствами. Рассмотрим, как
определяются лишь две операции — сложение и умножение
действительных чисел. Пусть даны два действительных числа
х и у, а также их десятичные приближения по недостатку хп и
уп и по избытку Хп и t/л с точностью до 10-л. Тогда верны не-
равенства: Хп < X < Х'п, уп < у < Уп.
Определение 1. Суммой двух действительных чисел
называется такое действительное число, которое не меньше
суммы любых десятичных приближений этих чисел по недостатку,
15
но меньше суммы соответствующих их десятичных приближений
по избытку при любой точности.
По определению х + у = г, если хп + Уп z < х'п + у'п при
точности 10“", п ?= N.
Определение 2. Произведением двух неотрицательных
действительных чисел называется такое действительное число,
которое не меньше произведения любых десятичных приближений
этих чисел по недостатку, но меньше произведения соответ-
ствующих их десятичных приближений по избытку при любой
точности.
По определению х • у = z, если хп • уп z < х’п • у'п при
точности 10", п £= N.
Можно доказать, что для любых действительных чисел х и у их
сумма и произведение существуют, и притом единственны.
Пример. Даны действительные числа х= 1,2121121112...
и у = 3,616616661... . Найдем два десятичных знака суммы этих
чисел и три значащие цифры их произведения.
Напомним, что десятичными знаками числа называют все
его цифры, стоящие справа от запятой, а значащими цифрами
числа — все его цифры, кроме нулей, стоящих слева (например,
у числа 0,05081 пять десятичных знаков и четыре значащие
цифры). Найдем десятичные приближения чисел х и у с точностью
до 1, IO"1, ЮГ2, 1СГ3:
1 < х < 2;
1,2 < х < 1,3;
1,21 < х < 1,22;
1,212 < х < 1,213;
3	<	у	<	4
3,6	<	у	<	3,7
3,61	<	у	<	3,62
3,616	<	у	<	3,617
(с точностью до 1);
(с точностью до 10“');
(с точностью до ЮГ2);
(с точностью до ЮГ3).
Найдем теперь соответствующие десятичные приближения сум-
мы х + у и произведения х • у:
4 < х
4,8 < х
4,82 < х
4,828 < х
+ У < 6;
+ У < 5,0;
+ у < 4,84;
+ у < 4,830;
3 <
4,32 <
4,3681 <
4,382592 <
ху <
ху <
ху <
ху <
8;
4,81;
4,4164;
4,387421.
Получим, что х + у = 4,82...; ху = 4,38....
Для произвольных действительных чи-
сел х и у считают, что х • у = ]х| • |у|,
если данные числа одинакового знака, и
х • у = — |х[ • |у|, если они разных зна-
ков.
Операции вычитания и деления дейст-
вительных чисел определяются как опера-
ции, соответственно обратные операциям
сложения и умножения.
В заключение на рисунке 7 в виде
кругов приведено соотношение между чис-
ловыми множествами: N с Z с Q с R.
16
Упражнения
1.	Составьте тезисы параграфа.
2.	Найдите десятичные приближения по недостатку и по из-
бытку с точностью до 10-2 следующих чисел: а) 3,2153;
о) 2. ; в) V7; Г) 7,858858885...; д) - 2,156.
3.	Как сравнивают два действительных числа?
4.	Сформулируйте определение суммы и произведения двух
действительных чисел.
5.	Постройте на координатной прямой точки, соответствующие
числам: а ) б) д/Ъ; в)	г) — -\^7; д) — д/Ъ.
6.	Найдите два десятичных знака суммы и три значащие
цифры произведения чисел: а) х = 3,5151151115... и у =
0,4343343334...; б) х = 2,36; у = 1,020020002... .
7.	С помощью калькулятора найдите два десятичных знака
суммы и три значащие цифры произведения чисел -\/"з и д/"5.
8.	Докажите, что число -\^2 + "\^3 иррациональное.
Указание. Предположите, что эта сумма есть число
рациональное. Обозначьте его. Возведите в квадрат обе части
равенства и найдите из него Получите ложное утверждение
о том, что ч/7> — рациональное число.
9*1. Может ли: а) сумма двух рациональных чисел быть
числом иррациональным; б) сумма рационального и иррацио-
нального чисел быть числом рациональным; в) сумма двух ирра-
циональных чисел быть числом рациональным?
§ 4. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Вычислите:
а)	12 4 + (17 4~8-25 ' 4г)'(И Т: 2 4 + 3>5);
б)	3,6 : (б8,1 • 7 4 “ 8 4^ + 2-02) + 2>75 • 1>6;
4	3
2,128:0,07 + 12^- 0,25	1,518 : 0,03 — 12 — . 0,25
,	5	,	5
В	_ 4 32^ 1	’ Г (2— - 1 А) - 1 2?
V 25	4,32/'3	V 36	24/	36
1 Здесь и далее знаком * отмечен необязательный материал.
17
2.	Вычислите с помощью калькулятора:
л/Тб56 + 20,7 •	.
2,832
4,56 • <f8jT
0,00735 • 8,07 •
. 50,8 • 0,0375 • V 4,95
а> 1860 • 0,00356 • 4,03 ’	°'
ч 6,08 • V 0,0495 .	.
'	15,8  0,00834 ’
3. Вычислите:
а) З-2 + (- АГ’ _ 7°.
г) (3 • 4)“2 + (З-1)-2 - (144-1)05 + (З-2)0.
4.	Упростите выражения:
/ а + 3 а — 3\ . 2а2 + 18 .
\ а — 3 "Т” а + 3 / ’ а2 _ 9 ’
/ m — 4 т 4- 4 \	32 т
' m 4- 4 m - 4/ • m2 _ 16 ’
х -|- 6 . х2 — 9 х — 3 Зх \ х — 2
х2 — 4 х2 + 4х + 4 х + 2	2 — х ' х
а2 — 4 а 4- 3	а + б \ а
а2 4-6а+ 9 а — 2	9 — а2'	а2 — 9
5.	Упростите выражение
а2 - Ь2
а — Ь
+ 2а^6^)
—	6
(V^ + Vd)
и найдите его числовое значение при а = 4, b = 9.
6.	Упростите выражения:
а)	~\[а3 + a^Joa----
б)	4а д/ ab2c3 — Зе a3b2c — abc ~\/~ас ;
в)	3 -\/m3n5 + тп2 -Jrnn---------------------yJm7n.7.
tn2n
7. Запишите основные свойства операций, выполняемых на
множестве рациональных чисел. Найдите в тексте § 3 утвержде-
18
ние о том, что этими свойствами обладают операции над действи-
тельными числами.
8.	Представьте в виде бесконечной десятичной дроби числа:
а) 3,9; б) - 2,15; в) 2 А; г) Н ; д) 0,(32); е) 2,7 (5).
9.	Докажите, что -/12 — иррациональное число.
10.	Докажите, что произведение рационального числа, отлич-
ного от нуля, на иррациональное число есть число иррациональное.
II.	Найдите пересечения и объединения следующих множеств:
a) N П Q; б) N U Q; в) R П Z; г) R U Z; д) N П Z.
12.	Постройте на координатной прямой точки, соответствующие
числам: а) -\/7; б) -\/з + -\/2; в) — 2^/ь.
13.	Найдите десятичные приближения числа — 3,73... по
недостатку и по избытку с точностью до 0,1.
14.	Найдите два десятичных знака суммы н три значащие
2 Г~
цифры произведения чисел 1 уИ-\/2.
15.	Найдите объединение и пересечение промежутков:
а) [- 1; 5] и (2; 7]; б) [- 3; - 1] и (- 1; 3]; в) (- оо; 7]
и [5; оо). Покажите данные и полученные множества на коор-
динатной прямой.
$ 5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
, ,,	( 4а + 1 4а — 1 \ 8а
I.	Упростите выражение 4а , - 4- q_T; :	_ -
2.	Вычислите с помощью микрокалькулятора
20,75 • 0,0732 + V275.73
V 127,3 — 2 д/ 0,383
3.	Упростите выражение	: (— -/а).
(1)	3 + (8 • з-2)0
4.	Вычислите ---------------.
’•(4Г
5.	Найдите два десятичных знака суммы и три значащие цифры
произведения чисел 1 и 0,8673578....
6.	Докажите, что -у/ 18 — иррациональное число.
19
ГЛАВА II.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ И
НЕРАВЕНСТВ
§ 6.	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Вспомним основные сведения о линейных
уравнениях.
Уравнение вида ах — Ь, где х— переменная, а и Ь — числа,
называют линейным. Корень (или решение) уравнения — это
такое .значение переменной, которое обращает уравнение в верное
числовое равенство. Решить уравнение — это значит найти все его
корни. При решении линейного уравнения ах = b могут предста-
виться следующие случаи:
1)	если а =# О, то уравнение имеет единственное решение:
Ь
х = — ;
а
• 2) если а = 0 и Ь = 0, то уравнение принимает вид 0 • х = 0;
корнем этого уравнения является любое действительное число;
3) если а = 0 и b Ф 0, то уравнение принимает вид 0 • х = Ь;
такое уравнение корней не имеет (левая его часть при любом
значении х равна нулю, а правая отлична от нуля).
Два уравнения называются равносильными, если они имеют
одно и то же множество решений, т. е. если каждое решение пер-
вого уравнения является решением второго и, обратно, каждое
решение второго — решением первого.
Процесс решения уравнений, сводящихся к линейным, основан
на замене их равносильными уравнениями. При решении таких
уравнений руководствуются следующими свойствами равносиль-
ных уравнений:
1.	Если перенести член уравнения с противоположным знаком
из одной части уравнения в другую, то получим уравнение, равно-
сильное исходному.
2.	Если все члены уравнения умножить или разделить на отлич-
ное от нуля число, то получим уравнение, равносильное исходному.
3.	Если в левой или в правой части линейного уравнения при-
вести подобные члены, то получим уравнение, равносильное исход-
ному.
Рассмотрим примеры решения уравнений, сводящихся к линей-
ным.
Пример 1. Решите уравнение 7х — 2 + х — 14 = 0.
Решение. В левой части уравнения приведем подобные чле-
ны, получим: — 16	0.
20
Число —16 с противоположным знаком перенесем u правую
часть уравнения: 8х = 16. Все члены уравнения разделим на
8, получим х = 2.
Проверка: если х = 2, то 8 • 2 — 16 = 0 — верное числовое
равенство.
Ответ: х = 2.
Пример 2. Решите уравнения:
а) Зх — 7 — 2х = х + 1; б) 6х + 3 — 2х = 4х + 3.
Решение.
а)	Зх — 7 — 2х = х + 1,
Зх — 2х — х = 7 + 1,
О • х = 8.
Такое уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
б)	6х + 3 — 2х = 4х + 3,
6х — 2х — 4х = 3 — 3,
О • х = 0.
При любом значении х получается верное числовое равенство.
Любое действительное число — решение данного уравнения.
Ответ: (— оо;	оо).
Пр	имер 3. Решите уравнение разложением левой части на.
линейные множители:
х3 - Зх2 - х + 3 = 0.
Решение.
(х3 - Зх2) - (х - 3) = 0, х2 (х - 3) - (х - 3) = 0,
(х - 3) (х2 - 1) = 0,
х - 3 = 0,
х + 1 = 0,
х — 1 = 0,
Ответ: 3; — 1; 1.
(х - 3) (х + 1) (х - 1) = о,
X| = 3;
Х2 = — 1;
х3 = 1.
Упражнения
1.	Запишите общий вид линейного уравнения и расскажите
о возможных случаях его решения.
2.	Для какого из уравнений:
а) = 2 (4 + х), б) = 5 + х
число —3 является корнем?
3.	При каком значении переменной х следующие выражения
принимают равные значения:
21
a) 7 - 2x и Зх + 27; б) 12 3 — и ;
в) и 12х - 12; г) 2 (х~и —р ?
4.	При каком значении переменной х:
। з 2х_________________________ 7
а)	сумма выражений —--- и-----§— равна — 4;
у*\	« 5х Ц- 6 Зх — 1	ел
б)	разность выражении —-— и ----— равна о?
5.	Решите уравнения:
. 7	, г, 3	,5	х — 5	2 — х
а) 8 х + 2 — 4*+2’	6)	9	6
В) 7х + 1--4 ~ Ч- 3.
6.	Решите уравнения, сводящиеся к линейным:
ч 6х — 37	2 (5х — 39) _ 7
а' 2(х —8)	3(х—8)	~ 8 ’ '
И Зх — 5	_ Зх — 1	I
2 (х + 2) — 2х + 5 х 4- 2 ’
в)	(х - З)2 - (х + 4) х = 15 - 10х;
г\ 5х + 9 _ 7х - 1 = _ о-
} х	х — 1
д)	2 (х - 4)3 + 3 (х - 4)2 = 0;
е)	х3 + Зх2 — 4х — 12 = 0;
ж)	2 (х - I)2 + 3 (х - 1) = 0;
3)	2х 1 I х ____________ б*2 + х
7 2х - 1 2х + 1 — 4х2 - 1 ’
§ 7. НЕРАВЕНСТВА И ИХ, СВОЙСТВА.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Два числовых выражения, соединенных одним из знаков
• .	 /, называют числовым неравенством.
Неравенства, образованные при помощи знаков или
называют нестрогими, а при помощи знаков > или < — строги-
22
ми. Неравенства вида а > b и с > d или а < b и с < d называют
неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > Ь и с < d
или а < b и О d — неравенствами противоположного смысла.
Приведем основные свойства числовых неравенств:
1)	если а > Ь, то Ь < а;
2)	если а > b и b > с, то а > с;
3)	если а > b я с = d, ю а ± с> b ± d.
Из этого свойства следует, что любой член неравенства можно
переносить из одной его части в другую с противоположным зна-
ком;
4)	если	а >	b	я	О d,	то	а + О b	+	d;
если	а <	b	и	с > d,	то	а — с <_ b	—	d;
5)	если	а >	Ь	и	m > 0,	то	am > bm;
6)	если	а >	b	и	m < 0,	то	am < bm.
Задание. Сформулируйте свойства числовых неравенств,
используя представленную выше их символическую запись.
Запись, содержащая числа, переменные, знаки математических
действий, скобки, называется выражением с переменными.
Неравенство может содержать выражения с переменными. Та-
кое неравенство при одних значениях переменных обращается в
верное неравенство, а при других — в неверное. Например, нера-
венство х — 5 > х + 3 при х = 8 преобразуется в верное не-
равенство, а при х = 3 — в неверное неравенство.
Неравенство, содержащее переменные, называют тождествен-
ным, если оно при каждом допустимом значении входящих в него
переменных преобразуется в верное числовое неравенство. До-
пустимыми значениями переменных, входящих в неравенство,
называются такие значения, при которых левая и правая части
неравенства принимают действительные значения.
Решить неравенство — значит найти множество всех значений
входящих в него переменных, при которых данное неравенство об-
ращается в верное числовое неравенство.
Доказать неравенство — значит показать, что оно выполняется
при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Линейное неравенство с одной переменной имеет вид ах > b
(или ах < Ь) (а #= 0). Решением неравенства ах > b будет
Л	Ь	- f\
х > —, если а > 0, или х < — , если а < 0.
а	а ’
Если а = 0, то неравенство ах > b (ах < Ь) принимает вид
0 • х> b (О‘Х<Ь). В зависимости от значений b это не-
равенство либо не имеет решений, либо решением его служит
любое действительное число.
Линейные неравенства могут быть и нестрогими: ах
b (ах Ь).
Приведем примеры решения линейных неравенств и доказа-
тельств неравенств.
Пример 1. Решите неравенство Зх + 5 > 15 — 2х и пока-
жите на координатной прямой множество его решений.
23
^////////////	V///////4^zzzzzzzzzzzz „
2	X	3	*	Ut	х
Рис. 8	Рис. 9	Рис. 10
Решение. Перенесем члены, содержащие переменную, в ле-
вую часть неравенства, а свободные члены — в правую и приведем
подобные члены, получим:
Зх + 2х > 15 — 5, 5х > 10, откуда х > 2 (рис. 8).
Ответ: (2; + оо).
П р и м е р 2. Решите неравенство 2х + 6 Чх — 9 и покажи-
те на координатной прямой множество его решений.
Решение. 2х - 7х — 9 — 6, — 5х — 15.
Разделим обе части последнего неравенства на — 5 и поменяем
знак неравенства на противоположный, получим (рис. 9).
Ответ: (— оо; 3].
Пример 3. Решите неравенство
5х — 10	4 — 2х , _
—-------Х> —3—+ 9.
Решение. Приведем к общему знаменателю выражения,
стоящие в левой и правой частях неравенства:
3 (5х — 10) - 12х	4 (4 — 2х) + 108
12	>	12	‘
Умножим обе части неравенства на 12 и раскроем скобки:
15х - 30 - 12х > 16 - 8х + Ю8.
Далее решаем линейное неравенство:
Зх + 8х > 124 + 30, 11х > 154, х > 14 (рис. 10).
Ответ: (14; оо).
Пример 4. Докажите, что (а + b)2 > 4аЬ.
Доказательство. Составим разность левой и правой
частей неравенства и преобразуем эту разность в выражение, знак
которого установить нетрудно:
(а + b)2 — 4ab = а2 + 2ab + b2 — 4ab = а2 — 2аЬ + Ь2 =
= (а- Ь)2.
Получили квадрат разности. Он при всех значениях букв а и b
неотрицателен. Поэтому
(а - Ь)2 > 0.
Значит, (а + b) — 4аЬ > 0. Следовательно, (а + b) > 4аЬ
при любых значениях букв а и Ь. Данное неравенство доказано.
24
Упражнения
1.	Приведите примеры числовых неравенств и неравенств с
переменными. Сформулируйте свойства числовых неравенств.
2.	Приведите примеры верных и неверных числовых неравенств.
3.	Запишите в виде числовых промежутков множества действи-
тельных чисел, заданных неравенствами:
а) х > 5;	б) х < 3;
г) х > 0;	д) — 3 < х С 7;
ж) — 2 < х С 4.
в) х < - 7;
е) 0 С х < 4;
Покажите эти промежутки на координатной прямой.
4.	Докажите, что число — 1 является решением неравенства
5х — 1^3, а число 2 — решением неравенства -^-х — 2 >
1	*
3
5.	Решите неравенства:
а)	2х + 5 >	11;	б)	х — 1 <	Зх + 9;
в)	- 7х + 5	< Зх + 15;	г)	+	2 > х -	1;
. 5-Зх . с	, 2х — 3	5х — 2
Д)	—у— < 5	+ х;	е)	—------р	х > ——.
6.	Докажите,	что °	й	д/ ab,	если а > 0, b >	0.
7.	Докажите, что при любых а, Ь, с выполняется неравенство
а2 + Ь2 + с2 + 3 > 2 (а + b + с).
$	8. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИИ
Напомним основные сведения о квадратных уравнениях.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах2 -\-bx + c — 0,	(1)
где х — переменная, а, Ь, с — данные числа (а=#0).
Числа а и b называют соответственно первым и вторым коэффи-
циентами, а число с — свободным членом.
Если в уравнении (1) а = 1, то такое уравнение называют
приведенным квадратным уравнением. Его принято записывать
в виде
х2 + рх + Q = 0.
Всякое квадратное уравнение можно представить в виде при-
веденного, разделив обе его части на первый коэффициент.
25
Если в квадратном уравнении 6 = 0 или с = 0 или Ь = с = 0,
то такое квадратное уравнение называют неполным. Ниже в таб-
лице приведены неполные квадратные уравнения и способы их
решения:
Неполные квадратные уравнения (а* 0)	Способы решения
ах’ + с = 0	.	1	с ах* = —с, х* =	; ’	а ’ с	! с если —— > 0, то xt>i = ± у ——, если —^~ < 0, то решений нет
ах* + Ьх = 0	х (ах + Ь) = 0, х = 0, ах + b = 0, Xi = 0, х, = - -у
ах* = 0	х,= х, = 0
Примеры.
Решите неполные квадратные уравнения:
1)	25х2 - 16 = 0; 2) Зх2 + 5=0; 3) 7х2-Зх = 0; 4) 5х2 = 0.
Решение. 1) 25х2 —16 = 0, 25х2 = 16, х2 = ^| ;
Х1
4 .	4
5 , Х2 — 5 .
4	4
Ответ:----=-; -=-.
55	5
2)	Зх2 + 5 = 0, Зх2 = — 5, х2 = — -у. Так как квадрат
любого действительного числа неотрицателен, то уравнение
Зх2 + 5 = 0 не имеет действительных корней.
Ответ: решений нет.
3)	7х2 —Зх = 0, х(7х —3) = 0, xi=0, 7х-3 = 0, х2 =	.
з
Ответ: 0;	.
4)	5х2 = 0, х2 = 0. Существует только одно число — нуль,
квадрат которого равен нулю. Данное уравнение имеет единствен-
ный корень х = 0, или условно считают, что оно имеет два совпа-
дающих корня: Xi = Х2 = 0.
Ответ: 0.
Корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с находят по фор-
муле
26
Пользуясь формулой (2), можно решить и неполные квадрат-
ные уравнения.
Выражение Ь2 — 4ас называют дискриминантом квадратного
уравнения.
Существование корней квадратного уравнения зависит от
знака его дискриминанта, что показано в таблице:
Знак дискриминанта D = b2 — 4ас	Корни квадратного уравнения ах1 + Ьх + с = 0, а * 0
D > 0	-b+'/D	-b-JD Х' = 2а ’*’= 2а действительные различные числа
0=0	b Xi = X'= ~2i~ действительные равные числа.
D< 0	Действительных корней нет
Примеры. Решите квадратные уравнения:
5)	х2 — х — 12 = 0;	6) х2 — 6х + 4 = 0;
7) 25х2 - ЗОх + 9 = 0; 8) 2х2 - 4х + 3 = 0.
Решение. 5) D = b2 — 4ас, D = ( — I)2 — 4• 1 • (— 12) =
= 49> 0, х,.2 = ~Ь^ГО- , х1>2 = Ц-7, л-, = -3, х2 = 4.
Ответ: —3; 4.
6)	D = b2 — 4ас, D = ( —6)2 — 4-1-4 = 36 — 16 = 20> 0,
у ___ 6 ± л/20 у ____ 6 ± 2-\/5	_ „	/7	_ о I /с
Xi,2 = ---2--, Х1.2 — --2----> *1 — J — у*-*1 Х2 — о Т у0-
Ответ: 3 — -\/5; 3 + -\/5.
7)	D = Ь2 — 4ас, D = ( —30)2 — 4-25-9 = 900 — 900 = 0,
Ь	3
Л1’2 = ~а 1 X1 = Х2 = Т •
Ответ: 4- .
О
8)	D = Ь2 — 4ас, D = (-4)2 - 4-2-3 = 16-24= -8<0.
Ответ: решений нет.
Если Xi и х2— корни квадратного уравнения ах2 + 6х + с = 0,
то они связаны между собой зависимостями (теорема Виета):
27
,	b	с
Xi + x2 =-----, Xi-x2 = —.
a	a
Для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = О
эти зависимости выглядят так:
xi + х2 = —р, xi-x2 = q.	(3)
Верна теорема, обратная теореме Виета: если числа Xi и х2
связаны зависимостями xi + х2 = —р, xi*x2 = q,то эти числа —
корни квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.
Напомним также формулу разложения квадратного трехчлена
на линейные множители:
ах2 + Ьх + с = а(х —xi)(x —х2),	(4)
где xi и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
П р и м е р 9. Составьте квадратное уравнение, корни которого
-5 и 2.
Решение. Если данные числа — корни квадратного уравне-
ния, то число — (xi + х2) = р — второй коэффициент, а число
Xi-X2 = <7 — свободный член квадратного уравнения х2 + рх +
+ <7 = 0. Поэтому — р = —5 + 2, р = 3, q = ( — 5)-2 = —10.
Искомое квадратное уравнение имеет вид:
х2 + Зх - 10 = 0.
Пример 10. Установите знаки корней уравнения х2 — 725х +
+ 263 = 0, не вычисляя сами корни.
Решение. D = ( —725)2 — 4-263> 0. Уравнение имеет два
различных корня. Произведение корней — число 263 положи-
тельно. Корни имеют одинаковые знаки. Сумма корней — число
725 — положительна. Корни данного уравнения положительны.
Пример И. Разложите квадратный трехчлен Зх2 —20х+17
на линейные множители.
Решение. Приравняем данный трехчлен к нулю и решим
полученное квадратное уравнение:
Зх2 — 20х + 17 = 0.
D = 400 - 204 = 196, Х1.2 = xi = 1, х2 = Ц .
о	3
По формуле (4) имеем:
Зх2 - 20х + 17 = 3(х—1)(х - Ц).
Упражнения
1.	Сформулируйте определение квадратного уравнения. За-
пишите виды неполных квадратных уравнений.
2.	Найдите корни неполных квадратных уравнений:
а) ах2 + Ьх = 0; б) ах2 + с = 0; в) ах2 = 0.
28
3.	Что называют дискриминантом квадратного уравнения?
При каком значении дискриминанта квадратное уравнение: а) име-
ет два различных действительных корня; б) имеет два равных
корня; в) не имеет действительных корней?
4.	Решите уравнения:
а) х2 + Зх = 0; б) Зх2 - 48х = 0; в) 2х2 - 8 = 0;
г) 4х2 + 6х = 9х2 — 19х.
5.	Решите уравнения:
а) х2 — 5х + 6 = 0;	б) Зх2 + 14х — 5 = 0;
в) 2х2 — 8х + 2 = х2 — 10; г) х2 — 2х + 1 = 6х2 + х— 1.
6.	Один из корней уравнения х2 + рх — 14 = 0 равен 7.
Найдите р.
7.	Составьте квадратные уравнения по данным их корням:
а) 5 и —3; б) 3 и —5; в) —3 и —5; г) 3 и 5.
8.	Применяя теорему, обратную теореме Виета, устно решите
уравнения:
а) х2 —5х + 6 = 0; б) х2 + 5х + 6 = 0; в) х2 + 7х — 18 = 0;
г) х2— 12x4-35 = 0; д) х2 + 9х+14 = 0; е) х2 — Зх — 18 = 0;
ж) х2 + 9х — 36 = 0.
9.	Упростите выражения:
. 2ха + 5х-7	.	2х2+х- 6
а’ х2-Зх + 2	’	2х2- 13х-Ь15
10.	Разложите квадратный трехчлен х2 — 2ах-|-а2 — Ь2 на ли-
нейные множители.
§ 9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а а, Ь,
с — данные числа, называют линейным уравнением с двумя пере-
менными. Любую пару чисел, обращающую такое уравнение в
верное числовое равенство, называют решением этого уравнения.
Например, пары чисел ( — 1; 3), (0; -^-) являются решениями урав-
нения 5х + 2у=1, так как обращают его в верные числовые
равенства, а пары (1; 0), (—2; 3) не являются его решениями,
поскольку не обращают уравнение в верное равенство.
Линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное
множество решений. Например, из уравнения 2х —Зу=—4 при
4	4
х = 0 получаем у = пара чисел (0;	) есть решение этого
<3	<3
уравнения. Если же х = 1, то из этого уравнения находим у = 2;
пара чисел (1; 2)—также решение уравнения. Вообще, если
х = t, где t — любое действительное число, то из данного уравне-
29
2t + 4 г,	,	/,	2/ + 4 \
ния находим у = —. Поэтому любая из пар	—у— ) ,
где / g R, есть решение данного уравнения.
Кроме линейных уравнений с двумя переменными, вы знакомы
с уравнениями второй степени с двумя переменными, например:
у = 5х2	3, ху = 5, х2 + у2 = 16.
Каждое из приведенных уравнений имеет бесконечное множест-
во решений.
Два уравнения с двумя переменными, рассматриваемые сов-
местно, образуют систему двух уравнений с двумя переменными.
Приведем примеры систем уравнений с двумя переменными:
Г 2х + у = 6, / х - у = 5, /4х2 - Ьху + Зу2 = 16,
I Ьх — Зу = 4; I ху = 6; I 6х2 — ху + у2 = 8.
Решением системы называют пару значений переменных, ко-
торая обращает в верное числовое равенство каждое уравнение
этой системы.
Две системы уравнений называются равносильными, если каж-
дое решение первой системы является решением второй и обратно.
В процессе решения системы ее последовательно заменяют
другой равносильной ей системой. При этом множество решений
этих систем не меняется.
Рассмотрим на примерах некоторые способы решения систем
уравнений.
Способом подстановки систему двух уравнений с двумя пе-
ременными решают по следующему плану:
1.	Из одного уравнения системы выражают одну из перемен-
ных через другую переменную и известные величины.
2.	Найденное выражение подставляют во второе уравнение
системы, получают уравнение относительно другой переменной.
3.	Решают полученное уравнение и находят значение этой
переменной.
4.	Подставляя найденное значение в выражение первой пере-
менной, получают соответствующее ее значение.
5.	Записывают ответ.
Пример!. Решите систему уравнений способом подстановки:
{ 5х - Зу = - 7,
I 2х + у = — 5.
Решение. Из второго уравнения системы выразим у через
х: у — — 5 — 2х. Полученное выражение подставим в первое урав-
нение системы: 5,г — 3 ( — 5 — 2х) = —7, откуда 11х= —22,
х = — 2. Подставив значение х в выражение у = — 5 — 2х,
получим значение у. у = —5 —2-( —2), у = —1.
Ответ: (—2; —1).
Запись решения может быть такой:
30
( 5х — Зу = — 7,
12х + у = — 5; у = — 5 — 2х;
5х — 3 ( —5 — 2х) = — 7, 11х = — 22, х = — 2;
у = -5 - 2-(-2), у = - 1.
Ответ: (— 2; —1).
П р и м е р 2. Решите систему уравнений способом подстановки:
(7х - 14у = 21,
1х - 2у = 3.
Решение. х = 2у + 3, 7 (2у + 3) — 14у = 21, 14у + 21 —
— 14у = 21,0 • у = О, у — любое действительное число. Система
имеет бесконечное множество решений: если у = t, то х = 2^ + 3,
.'eR.
Ответ: бесконечное множество решений вида (2/ + 3; /), (eR.
ПримерЗ. Решите систему уравнений способом подстановки:
( х — 5у = —3,
13х - 15у = -1.
Решение. х = 5у — 3; 3(5у — 3) — 15у = —1; 0• у = 8.
При любом значении у последнее уравнение обращается в невер-
ное числовое равенство. Система уравнений решений нс имеет.
Ответ: решений нет.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя перемен-
ными способом алгебраического сложения выполняют по такому
плану:
1.	Уравнивают коэффициенты при одной из переменных путем
почленного умножения обоих уравнений на соответствующим
образом подобранные множители.
2.	Складывая (или вычитая) почленно уравнения системы,
исключают одну из переменных.
3.	Решают полученное уравнение с одной переменной.
4.	Значение другой переменной можно найти таким же спосо-
бом либо подстановкой найденного значения переменной в любое
из данных уравнений системы.
5.	Записывают ответ.
П р и м е р 4. Решите способом алгебраического сложения си-
стему уравнений:
(Зх + 2у = О,
I 5х — Зу = 19.
Решение. Умножим почленно первое уравнение системы
на 3, а второе — на 2:
Г Зх + 2у = О, I 3	f Эх + бу = О,
15х — Зу = 19; I 2	110х — бу = 38.
Коэффициенты при у равны по абсолютной величине. Сложим
почленно уравнения, получим 19х = 38, откуда х = 2. Подставляя
31
х = 2 в первое уравнение системы, получим 3 • 2 + 2у = 0, от-
куда 2у = — 6; у = — 3.
Ответ: (2; —3).
П р и м е р 5. Решите способом алгебраического сложения си-
стему уравнений:
(Зх — 9у = 7,
17х - 21у = 5.
Решение.
f Зх — 9у = 7, I 7	Г 21х — 63у = 49,
17х — 21у = 5; | —3	I — 21х + 63у = —15.
0-х + О’у = 34
Полученное уравнение решений не имеет. Следовательно, система
решений не имеет.
Ответ: решений нет.
П р и м е р 6. Решите способом алгебраического сложения си-
стему уравнений:
f 2х — Зу = 5,
I 12х — 18у = 30
Решение.
12х — Зу = 5, 1—6	( — 12х+18у = —30,
112х—18у = 30; | 1	112х — 18у = 30.
0-х + 0-у = 0.
Система имеет бесконечное множество решений. Если х = t, то
2t — Зу — 5, у = -^-,
Ответ: бесконечное множество решении вида (г, —) ,
feR.	3
Рассмотрим примеры решения систем нелинейных уравнений.
Пример 7. Решите систему уравнений:
Г х 4- 2у = 5,
I х2 + Зх = у + 2.
Решение. Из первого уравнения имеем х = 5 — 2у. Полу-
ченное выражение подставляем во второе уравнение:
(5 - 2у)2 + 3 (5 - 2у) = у + 2,
25 — 20у + 4у2 + 15 — бу — у — 2 = 0,
4у2 — 27у + 38 = 0, D = 121,
У=^ =2,у2=2Ш=И».
Найдем соответствующие значения переменной х:
31
Xi = 5 - 2-2 = 1, x2 = 5-2-y = -y.
Ответ: (1; 2), ( - | ; у ) .
Пример 8. Решите систему уравнений:
Решение.
У2 — 2у = 8.
У2 — 2у — 8 = 0, yi = — 2, у2 = 4.
При yi = —2, х2 + 2-(—2) = 1, х2 = 5, л, = у/5, х2 = —-\/5.
При уз = 4, х2 + 2-4 = 1, х2 = —7, решений нет.
Ответ: (у/5; — 2), ( —у/5; —2).
Пример 9. Решите систему уравнений:
Г х — ху = 4,
12у + ху = —9.
Решение. Сложим почленно уравнения системы, получим
х-\-2у = —5, откуда х = —5 — 2у. Подставляя найденное вы-
ражение во второе уравнение системы, имеем:
2у + (-5-2у) у = -9, 2у — 5у — 2у2 = -9, 2у2 + Зу-9 = 0,
D = 81;
—3+9	3	-3-9	„
= ---4--- = Т И У2 = ----4-- = -3-
Если yi = — , то Xi = — 8, если у2 = — 3, то х2 = 1.
Ответ: (1; —3), (—8; у ).
Упражнения
1.	Приведите пример линейного уравнения с двумя перемен-
ными. Покажите, что такое уравнение может иметь бесконечное
множество решений.
2.	Найдите три решения уравнения х+2у = 7.
3.	Приведите примеры систем двух линейных уравнений с
двумя переменными. Что значит решить систему двух уравнений
с двумя переменными?
4.	Является ли пара чисел (—3; 1) решением системы урав-
нений:
а) !х — у + 4 = 0, б) (2х + у = — 5,
I Зх + 4у = —5;	1х2 _|_ 7Х = у _ 13?
2 Алгебра н начала анализа
33
5.	Решите способом подстановки системы уравнений:
а) Г 2х — Зу 4- 7 = О,	б){ Зх 4- 4у — 5 = О,
I Зх 4- 4у - 1 = 0; I 6х + 8у + 11 = 0;
в) Г х — 5у + 1 = 0,
I Зх — 15у + 3 = 0.
6.	Решите способом алгебраического сложения системы урав-
нений:
а) |7х — у + 1 = 0,	6Н Зх — 4у — 2 = 0,
I 2х + У — 3 = 0; I 6х — Зу — 4 = 0;
в) ( 9х — Зу + 6 = 0,
I Зх — у 4" 2 — 0.
7. Решите нелинейные системы уравнений:
а) (у 4- 2х = — 5, б) ( х2 4- у2 = 9,
I ху = 2;	1'х 4- 2у = 3;
в) (2у = х2 — 4,
I х2 4- 2х — 2у = 8.
$ 10. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ
Вспомним решение системы двух линейных неравенств с одной
переменной, т. е. системы вида:
I aix> bi,	( dix > bit
I a.2X> i>2 или I 02X <z Ьг.
Решить систему неравенств — значит найти множество значе-
ний переменной, обращающих каждое неравенство системы в
верное числовое неравенство. Каждое неравенство системы ре-
шают отдельно, а затем находят решение системы как пересечение
множеств решений неравенств.
Возможные случаи решения представлены в таблице:
Система линейных неравенств (а > Ь)	Решение и его геометрическая иллюстрация	Примеры
I х > а,	Ь	а	х	| X > 3, I X > - 2,5
1 х > b		к	-2,5	J	х
	(а; + «»)	(3; +
34
Пример 1. Решите систему неравенств:
[ 2х - 1 > 9,
I Зх — 9> 12.
Р о in е п п е.
1 2х —1> 9,	( 2х> 10,	J х> 5,
I Зх —9> 12; 13х>21;	( х> 7;	х> 7 (рис. 11).
Ответ: (7; оо).
Пример 2. Решите систему неравенств:
/ 4 — х <2х — 3,
I 3 -х> — 7.
Решение. f 4 — х < 2х 1 3 - х > - , — Зх<—7, 1 -х> -10; 2T<J Ответ: ( 2 у- ; 10 ). 5	7	X Рис. 11	— 3,	Г — х — 2х <—3 — 4, 7;	1 -х> -7 — 3; 1х>2т- 1 х<10; t < 10 (рис. 12). 2j	10 х Рис. 12
35
£///////* Пример 3. Решите систему неравенств:
'	12	*	| 16х - 3 < 7 + 6х,
Рис. 13	I 2 < х — 10.
Решение.
16х — 3 С 7 + 6х,
2 < х - 10;
16х - 6х < 7 + 3,
— х < -10-2;
10х С 10,
х> 12;
х < 1,
х> 12;
решений нет (рис. 13).
Ответ: решений нет.
Примеры решения нелинейных неравенств с одной переменной.
Примеры. Решите неравенства:
4) ^т4>°;	5)	>2; 6)— < —
х — Л	' х— I	' х—5 х—2
Решение этих неравенств основано на том, что дробь принимает
положительные значения, если значения числителя и знаменателя
имеют одинаковые знаки, а отрицательные значения, если значе-
ния числителя и знаменателя имеют разные знаки.
Решение. 4) ——> 0.
' х — 3
а) (2х — 5> 0,	( 2х> 5,	( х> 2,5,	о.
1х —3>0;	I х> 3;	I х> 3;	’
б) / 2х —5<0,	( 2х<5,	/ х<2,5,
lx-3<0;	I х<3;	I х<3;	Х<^
Решением данного неравенства будет объединение найденных
решений.
Ответ можно записать так: (— оо; 2,5) и (3; + оо) или
(— оо; 2,5) U (3; + оо).
5)	2,	— 2 > 0, -2<~1~2*±2->0, —. >0.
' х—1	X —1	X—I	X—1
При отрицательном числителе дробь положительна, если зна-
менатель ее отрицателен: х — 1<0, х<1.
Ответ: (— оо; 1).
1	1	1	1	<< (1 * —2 —*+5	п
°' х-5	х-2 ’ х-5	х-2 U’ (х —5)(х —2)	’
3
(х-5) (х-2)
< 0, (х-5) (х - 2) < 0.
а)	Г х — 5 < О,
I х - 2 > 0;
б)	(х — 5 > О,
I х - 2 < 0;
Ответ: (2; 5).
Г х < 5,
I х > 2;
Г х > 5,
I х < 2;
2 < х < 5;
решений нет.
36
Примеры. Решите неравенства:
7)	|х| < 5; 8) |х| >5;	—5	0	5 х
9) |х - 2| < 6; 10) |2х - II > 7;	Рис 14
11) |х - 2| < - 7; 12) |2х + 3| > - 9.
Прежде чем решать данные неравенства, вспомним определе-
ние абсолютной величины (модуля) числа:
х, если х > 0,
— х, если х <. 0.
Решение.
7)	I х| < 5.
0<х<5;
I х < 5;
б)	I Х < °’ ^5 < х < 0.
1 —х < 5;
Объединив найденные промежутки, получим ответ: —5 < х <5
или ( — 5; 5).
Таким образом, неравенства |х| <5и —5 < х < 5 опреде-
ляют один и тот же промежуток (— 5; 5), поэтому эти неравенства
равносильны. Вообще равносильными будут неравенства
— а < х < а и | х| < а.
8)	I х | > 5.
а) ( *' <». х . 5 ; 6) ( х<°’
I х > 5;	'	’	1 —х > 5;
Решением данного неравенства будет объединение двух лучей.
Ответ: (—оо; —5) и (5; Н-оо) (рис. 14).
Таким образом, решением неравенства | х | >• а, где а > 0,
будет объединение двух лучей (— оо; —а) и (а; оо).
9)	| х — 2 | <6. Данное неравенство равносильно двойному
неравенству: —6 х — 2^6. Далее, решая это двойное нера-
венство, получим:
2 — 6^х^6-|-2, —4 С х С 8.
Ответ: [ —4, 8].
10)	| 2х — 1 I > 7. Решение данного неравенства сводится к
решению двух систем неравенств:
а)	( 2х - 1 > 0,	( 2х > 1,	( х>0,5,
I 2х — 1 > 7;	I 2х > 8;	I х>4;	х>4;
б)	( 2х — 1 < 0,	( 2х < 1,	J х < 0,5,
I—(2х—1)>7;	I 2х С — 6;	I х < — 3;	х< —3.
Ответ: (— оо; — 3] U [4; оо).
37
11)	Неравенство | х — 2| < —7 не имеет решений, так как
| х - 2 | >0.
Ответ: решений нет.
12)	Неравенство | 2х + 3 | > —9 выполняется при любых
действительных значениях х, поскольку | 2х + 3 |	0.
Ответ: (—оо; -|-оо).
Методы решения неравенств второй степени с одной перемен-
ной ах2 + Ьх + с > 0 (или ах2 Ьх + с < 0), где а =#= О,
весьма разнообразны. Повторим решение таких неравенств в про-
цессе рассмотрения конкретных примеров.
Примеры. Решите квадратные неравенства:
13)	2х2 + 7х - 15 < 0;	14) 9х2 - 12х + 4 > 0;
15)	х2 - 8х + 20 > 0;	16) х2 - Зх + 5 < 0;
17)	4х2 — 20х + 25	0.
Решение.
13)	2х2 4- 7х - 15 < 0, D = 49 + 120 = 169 > 0. Квадрат-
ный трехчлен, стоящий в левой части неравенства, имеет два
__7___ J3	_7	13	з
корня: Xi = ------------ — 5, х2 =------у---- = -у, поэтому
его можно разложить на линейные множители. Исходное нера-
з
венство принимает вид: 2(х + 5) (х------%) <0. Его решение
сводится к решению систем неравенств:
а)	(х +
I х —
6)	(х +
IX —
5 > 0,
4<0;
5 < 0,
4>0;
( х > —5,
I з
< 2 ;
[х < —5,
{	3
1Х> Т>
с _ з
-5<х<у;
решений нет.
Ответ: ( — 5; -у ).
14)	9х2 — 12х + 4 > 0; D = 144 — 144 = 0, х, = х2 =	=
1о
2	(	2 \2
= -у; неравенство принимает вид: 9 ^х---------у) >0. Так как
квадрат действительного числа — число неотрицательное, то не-
2
равенство выполняется при любом действительном значении х=#=у.
Ответ: (— оо; у) (J ; оо).
15)	х2 — 8х + 20 > 0; D = 64 — 80 = —16 < 0, а > 0.
Неравенство выполняется при любом действительном значении
х. В этом можно также убедиться, выделив полный квадрат у
квадратного трехчлена: х2 — 2х • 4 + 16 + 4 > 0, (х — 4)2 +
+ 4 > 0.
Ответ: ( — оо; -|-оо).
38
Хо	X
Рис. 15
2	3
Рис. 16
16)	х2 — Зх + 5 < О, D = — 11 < О, а > 0. Неравенст-
во не выполняется ни при каких действительных значениях пере-
менной. В этом можно также убедиться, выделив полный
2 с» 3	|	9 . 11 Л
квадрат у квадратного трехчлена: х — 2х • у +	< 0;
(	3 У I 11 Л
Ответ: решений нет.
17)	4.г — 20х + 25 < 0, £) = 0, xi = %2 = у • Неравенство
принимает вид: 4 х----0 и выполняется лишь при х = -у.
Ответ: — .
Рассмотрим решение неравенств методом интервалов.
Возьмем координатную прямую и отметим на ией точку хо
(рис. 15). Точка хо делит координатную прямую на два луча:
1) для любого х,. находящегося справа от хо, х — х« > 0; 2) для
любого х, находящегося слева от х(), х — ху < 0.
На этих свойствах основан-метод интервалов.
Примеры. Решите методом интервалов неравенства:
18)	х2 — 5х + 6 < 0;	19) (3 — х) (х2 — Зх + 2)< 0;
20) (Л' ~ -3)(* +-5) < 0.
' х — 2
Решение.
18)	Рассмотрим функцию f(x) = х2 — 5х + 6. Найдем нули
этой функции:
х2 — 5х + 6 = 0, xi - 2, х'2 = 3.
Точки 2 и 3 делят координатную прямую на три промежутка, в
каждом из которых /(х) сохраняет постоянный знак (рис. 16).
Замечаем, что /(х) < 0, если 2 < х < 3.
Ответ: (2; 3).
19)	Разложим квадратный трехчлен х2 — Зх + 2 на линейные
множители х2 — Зх + 2 = 0; xi = 1, х2 = 2. Данное неравенство
равносильно следующему:
(х — 3) (х — 1) (х - 2) > 0.
Рассмотрим функцию f(x) = (х -— 1)(х — 2) (х — 3). /(х) = 0,
если Xi = 1, Х2 = 2, хз = 3. Эти точки делят координатную
прямую на четыре промежутка, в каждом из которых f (х) сохраняет
39
1	2	3
о О »
2 3 х
Рис. 17
Рис. 1В
постоянный знак (рис. 17). Замечаем, что f(x) > 0, если 1<х<2,
х> 3.
Ответ: [1; 2] (J [3; оо).
20)	Рассмотрим функцию /(х) = -х ~ + 5-. Найдем значе-
ния х, при которых f(x) < 0. Эта функция определена при всех
х#=2 и обращается в нуль при х = 3их= —5. Точки — 5, 2 и 3
делят координатную прямую на четыре промежутка (рис. 18).
Определим знак f(x) на каждом из этих промежутков.
Замечаем, что f(x) < 0, если х < —5, а также если 2<х<3.
Ответ: (— оо; — 5) (J (2; 3).
Задание. Решите методом интервалов неравенства:
а) х2 < 4; б) х2 > 9.
Упражнения
1.	Приведите пример системы линейных неравенств с одной
переменной. Что значит решить систему линейных неравенств?
2.	Укажите по три решения каждой системы неравенств:
а) ( х > 5,	б) f х <3,	в) f х > — 2,
I х < 7;	lx < — 2;	I х > 0.
3.	Решите системы неравенств и покажите на координатной
прямой множества их решений:
а) ( 2х + 5 > 0, б) { Зх - 4 < 0, в) ( -х + 3 < 0,
1-х + 3>0; I х — 2 > 0; I х + 7 < 0;
г) ( 6х	—	4	>	Зх	— 2,	д)(	5х 4- 3 > 2х 4- 6,
I 8х	4-	7	>	Зх	4- 18;	I	х — 3 > Зх — 5;
е) ( 2х	—	5	>	5х	— 14,	ж)	( 2х — 1 > х — 2,
I 7х 4- 1 < 9х 4- 13; I Зх - 1 < 2х - 3.
4.	Решите неравенства:
г)	е) |х| <7; ж) |х| >7;
X -f- i	X -f- I	Al
з) | 2x 4- 4 | < 0; и) | x — 5 | ^8; к) | x — 1 | > 2x4-1;
л) |x - 2 | > | x - 4 |.
5.	Является ли число-решением неравенств:
а) х2 - 1 < 0; б) 7х2 - 46х - 21 > 0; в) х24-5х4-1<0?
40
6.	Решите неравенства:
а) 2х2 > 6; б) 1 — х2 0; в) х2 — 2х < 0; г) (х + 3)2> 0;
д) х2 — 2х < 3; е) х2 > 12 —х; ж) х24-9> 6х; з) х24-4<4х.
7.	Решите методом интервалов неравенства:
а) х(х + 5) (х — 1) < 0; б) 2у+ 3	0; в) х2 + 5х > 0;
г)
х2 + 5х + 6	х2
х24-12х + 32 > х- 1
>0; е)
- < 3
х x-f-5 ’
§ 11. ПОВТОРЕНИЕ
1. Решите линейные уравнения:
а) Зх — 7 = 2; б) 5х — 8 = Зх + 4; в) х — 2 = 3;
' г)	Зх = 0; д) л/2х - 4 = 2^2;
Зх + 2 _ 4х —3 _ 4	х-_2.
5	7	35 ’
ж) 5-(1,14х + 1.44 - 0,171х) = 0,05(319,77 + 69х);
з) В -	= Дт ; и) -2)3 = + ЗОх.
2.	Решите квадратные уравнения:
а) Зх2 = х; б) 0,5х2 = 8; в) х2 —9x4-14 = 0; г) х2—10x4-25 = 0;
д) Зх2 — 8х 4- 5 = 0; е) х2 —3x4-10 = 0; ж) (2х — З)2— х = 3х — 7;
.	2________1_	_1_
31 х2_! + х41	X-1
3.	Решите уравнения:
а) | х — 1 | = 5; б) | Зх — 4 | = 0; в) | х2 — 5х | = 6.
4.	Найдите сумму и произведение корней квадратных уравне-
ний, не решая их:
а) х2 -|- х — 6 = 0; б) Зх2 — 5х 4- 2 = 0; в) х2 — 5х = 0;
г) х2 4- 12х 4- 36 = 0; д) 7х2 - Зх - 4 = 0; е) х2 - 4 = 0.
5.	Составьте квадратное уравнение по данным его корням:
а) 3 и 1; б) —5 и —2; в) у и — у ; г) 0 и —5; д) 3 и
6.	Не решая уравнений, выясните, имеют ли они корни, и
если имеют, то установите знаки корней:
а) 5х2 —7х -9 = 0; б) Зх2 4- 6х - 5 = 0;
в) 9х2 4- Зх - 7 = 0; г) 4х2 - 12х 4- 3 = 0.
41
7.	При каких значениях а уравнения имеют по два равных
корня:
а) х2 + 12х + а = 0; б) 9х2 + 6х + а = 0?
8.	При каких целых положительных значениях k уравнение
х2 —-4х + k .= 0 имеет два различных действительных корня?
9.	Разложите на множители и сократите дроби:
х2 + х —2	2х2 —2х—12	.	5х2 —2х-3
—1-----; б) ------------; в) -----------
х2-1	Зх2 + х - 10	5х2 + Зх
10,	Решите линейные неравенства:
а) 2х + 5 > 0;	б) 3 — 2х < 5;
в) 7 — х 4х — 8;	г) 2х — 1=^3 — х.
11.	Решите квадратные неравенства:
а)	х2 - 11х + 28	<	0;	б)	х2 - 18х +	81 >	0;
в)	4х2 - 12х + 9	<	0;	г)	Зх2 + 6х +	17 >	0.
12.	Решите неравенства:
а)	| х — 3 | < 5;	б)	I 2х + 7 | > 23;
в)	2^4- > о;	г)	<	0.
13.	Найдите три решения каждого из уравнений:
а) Зх — у = 5; б) х2 + у2 = 9.
14.	Решите системы линейных уравнений:
а) ( Зх + 5у = 17,	б) ( х — 7 = 2 (у — 7),
I 5х + Зу = 23;	I х + 1 = 1,5(у + 1);
в) Г 2х + 7у = - 7,	г) ( 2х — 1у = 21,
I 4х -|- 14у = 3;	I 8х — 28у = 84.
15.	Решите системы нелинейных уравнений:
а)	1 х2 — у = 0,
I у — х = 6;
в) / Зх + 2у = 11,
I х2 + ху + у2 = 13;
б)	(х2 +у = 3,
I х + у = 1;
г) р +± = Л ,
r' J х - у 7 ’
(ху + 2у = — 14
16.	Методом интервалов решите неравенства:
а)
(х-4)(х-3)
х + 5
> 0;
б)
(X - 4)2
х + 3
, Эх — 8	5
в) 7^ПГ> т;
г)
х2 - 4
х2 - 1
0;
42
хг - 4х + 3	0.	. (X1 + х - 2)(х - 1)	0
д' f _ Зх + ю и’	х + 1	и‘
17.	Решите системы неравенств:
а) Г Зх — 5 < 2х + 1,
I 2х + 8 < 14;
б)
х2 — 14 С 5х,
х2 — 4х 5.
§ 12. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Решите линейные уравнения:
a) - х =	+ 9; б) ^4^- + х =	+ 20.
2.	Покажите на координатной прямой множества решений
линейных неравенств:
а) 2х + 5 > 15 — Зх; б) 2х + 8 5х — 7.
3.	Решите квадратные уравнения:
а) (х — 4)2 + х(5 — х) = 5; б) (х — 4)2 — х(5 — х) = 5.
4.	Решите системы линейных уравнений:
а) ( х — Зу = 6, б) ( —5х + у = 7,
I х + у = 2; I 2х — Зу = — 8.
5.	Решите системы нелинейных уравнений:
а) Г 2х = у — 5,	б) (у + х = 3,
I х2 + 2у = 5х + 16; I х2 + у2 = 5.
6.	Решите системы неравенств:
а) 1 — Зх > 8 — 5х, б) ( х — 1 < 2х + 3,
I Зх — 10 < 2х;	l2x + 3>x— 1.
7.	Решите неравенства:
а>57+Т>0:	б)Т+^<0-
8.	Решите неравенства:
а) |2х - 3| < 1;	б) |2х - 3| > 1.
9.	Решите неравенства второй степени:
а) х2 — 4 > 0;	б) х2 — Зх + 2	0.
10.	Решите методом интервалов неравенства:
\ х — 1	__	3	5
х1 + 7х + 10 < U'	°* х - 1 х — 2 •
43
ГЛАВА III.
ФУНКЦИИ
§ 13. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
С понятием функции и свойствами некоторых
функций вы уже знакомы. Повторим некоторые сведения о функ-
циях.
Рассмотрим вначале пример квадратичной функции. График ее
изображен на рисунке 19. Функция f(x') = х2 выражает закон
(правило), по которому для каждого значения аргумента (любого
действительного числа) может быть найдено единственное соответ-
ствующее значение функции f(x) (квадрат значения аргумента —
неотрицательное число). Например, при х = 1 f(x) = 1; при
х = 2 f(x) = 4; при х = — 2 f(x) = 4. Область определения
функции /(х) = х2 есть множество действительных чисел, а множе-
ство ее значений — множество неотрицательных чисел.
Функцией у = f (х) с областью определения D называют
правило соответствия,'Которое каждому числу х из множества D
сопоставляет единственное число у.
Область определения функции у = f(x) обозначают D(f),
а множество значений — E(f). Так, у функции у = х2 D(J) =
= (—«>; + оо), E(j) = [0; + оо).
Если при задании функции не указана область ее опреде-
ления (или какие-то ограничения), то имеется в виду, что область
определения этой функции есть множество всех значений ар-
гумента, при которых значения функции — действительные
числа.
Рис. 19
44
Рассмотрим примеры на нахождение области определения
функций.
Пример 1. Функция /(х) =—-— определена (или, как
говорят, имеет смысл) для всех х =/= О, так как при этих значениях
выражение ------ принимает действительные значения. Поэтому
D(f) = (- оо *0)0(0; оо).
Пример 2. Функция f (х) =	имеет смысл при
Zx (х — Ь)
2х (х — 5) =/= 0, т. е. при всех х =/= 0 и х =/= 5. Поэтому D (f) =
= (— оо; 0) U (0; 5) U (5; °о).
Пример 3. Функция f(x) =	—- определена для
всех х, не являющихся корнями уравнения х2 — 2х — 3 = 0,
т. е. при х =/= — 1 и х =/= 3.
D(/) = (- оо; - 1)U(- 1; 3)0(3; оо).
Пример 4. Функция f(x) = д/(х — 1) (х -h 2) имеет смысл
при (х — 1) (х + 2) ^5 0. Решая
это неравенство методом интер-	~	+
валов (рис. 20), получаем:	_* о 1 х
х 2? 1, х < - 2. D(f) =
= (- оо; - 2] (J (1; «>)•	Рие- 20
Значение функции у = f(x), вычисленное при х = а, обозна-
чается f(a). Символы f(l), f (-0 , f(2b) выражают значения функ-
ции у = f (х) при х, соответственно равном 1, Ц-, 2Ь.
Пример 5. Дана функция f(x) = ух — 1 . Найдите /(5),
/(25).
Решение.
Д5) = -д/5 - 1 = 2; /(25) = V25 ~ 1 = 2л/б •
Функцию обычно задают одним из следующих способов:
1) аналитически; 2) таблично; 3) графически.
В первом случае функция задается формулой, указывающей,
какие операции и в каком порядке надо выполнить над аргументом,
чтобы получить соответствующее значение функции. Функция
может быть задана несколькими формулами. Например, функция
У = I х | + 1 может быть задана и так:
_ Г х + 1, если х > 0;
“ I —х -|- 1, если х < 0.
При табличном способе функцию задают таблицей. Например,
45
ниже приведена в виде таблицы функция, характеризующая
зависимость между днями недели и соответствующей темпера-
турой воздуха:
X (дли недели)	1	2	3	4	5	6	7
t = f (х) (t, °C)	-10	-8	-6	-4	-2	0	+2
Таблицы квадратов, кубов чисел, квадратных и кубических
корней являются соответственно примерами задания функций
2	.3	/	* /	v
у = х , у = х , у = ~\Jx, у = -ух для некоторых значении аргу-
мента.
График функции — это множество точек координатной плоско-
сти, абсциссы которых — значения из области ее определения,
а ординаты — соответствующие значения этой функции.
На рисунке 21 функция у = /(х) задана графически: D(f) =
= [а; 6], Е([) = [с; 4
На рисунках 22—25 приведены примеры графического за-
дания некоторых функций. Рядом записано их аналитическое
задание.
46
Упражнения
1.	Сформулируйте определение функции. Приведите примеры
функций.
2.	Найдите область определения функций:
а)	Дх) = Зх — 1;	б)	Дх) = ^±Л;
в)	№ = *(/+ 6)':	г)	= х2 - 4х + 5;
д)	у = Vх — 2 ;	е)	f (*) = -7==- •
ух — 3
3.	Дана функция Дх) = 5х2	—	4х + 7. Найдите:
а)	/(0); б) Д-1);	в)	Д2); г) f(k + 1).
4.	Расскажите о способах задания функций и приведите соот-
ветствующие примеры.
5.	Запишите аналитические задания функций, графики кото-
рых представлены на рисунках 26—28.
у| /	у| 1-^ / о 1	*	-10	1	** Рис. 24	Рис. 27	У,. / —Я	 / 0 1	* -1^— -1 Рис. 28
47
$ 14. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Линейной функцией называется функция вида у = kx + Л
где х — переменная, k и / — действительные числа.
Область определения линейной функции — множество действи-
тельных чисел: D(y) = R. Известно, что график линейной функ-
ции — прямая. Число k называют угловым коэффициентом этой
прямой, число I — ординатой в начале. Угловой коэффициент
прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к положитель-
ному направлению оси абсцисс: k = tga (рис. 29).
Прямая определяется двумя точками, поэтому для построения
графика линейной функции достаточно найти две произвольные
точки, принадлежащие графику. Проще всего найти точки пере-
сечения прямой с координатными осями: если х = 0, то у = Г,
если у = 0, то х = —(при ft =/= 0).
Например, на рисунке 30 изображен график функции
у =-----х + 3. При х = 0 у = 3, при у = 0 х = 6. Прямая
построена по точкам (0; 3) и (6; 0).
Прямая у = 2х (рис. 31) построена по точкам (0; 0) и (1; 2).
Линейная функция у = f(x) может быть задана линейным
уравнением ах -j- by + с = 0 при b ф 0. При b = 0, а ф 0 такое
уравнение принимает вид ах + с = 0, графиком его служит
48
прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку осн
асбциссх =----^-.Приа = О, b ф 0 линейное уравнение с двумя
переменными принимает вид by 4- с = 0, графиком его служит
прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку
оси ординат у =----.
Например, график уравнения 2х — 6 = О или х = 3 есть
прямая, параллельная оси ординат (рис. 32); график уравнения
2
Зу + 2 = 0 или у = —з------прямая, параллельная оси абсцисс
(рис. 33).
Заметим, что уравнением у = с задана функция, график кото-
рой — прямая, параллельная оси абсцисс. Однако уравнение
х = с функцию не задает, график этого уравнения — прямая,
параллельная оси ординат.
Упражнения
1.	Какую функцию называют линейной? Приведите примеры.
2.	Приведите примеры линейной функции, график которой:
а) проходит через начало координат; б) параллелен осн абсцисс.
3.	Найдите угловой коэффициент прямой Зх -[- 2у -Г>.
4.	Постройте графики уравнений:
а) У =-----^х;	б) у = 2х + 1;
в) 5х 4- 2у — 1 = 0; г) 7у — 3 = 0.
5.	Не решая систем, установите, какая из них имеет одно
решение, бесконечное множество решений, не имеет решений:
а)	( 2х 4- у = 11,
I х + Зу = 18;
в) ( 5х + Зу = 15,
I 10х - бу = 0;
д) ( 6х — 9у = 4,
I 4х — бу = 9;
б)	f 2х + Зу = 4,
I 4х + бу = 8;
г) ( Зх + 1 Оу = 16,
I 6х + 20у = 32;
е) ( 4х + 10у = 12,
I 6х 4- 15у = 18.
$	15. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Функцию вида у = ах2 4-6x4- с, гдех—переменная, а, Ь,с—
числа (а =/= 0), называют квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции служит кривая линия, назы-
ваемая параболой. Ветви параболы при а > 0 направлены в
положительном направлении оси ординат (вверх), при а < 0 —
в отрицательном направлении оси ординат (вниз). Парабола
симметрична относительно прямой, проходящей через ее вершину
параллельно оси ординат.
49
Рис. 36
Абсциссы точек пересечения параболы у = ах2 + Ьх + с
с осью Ох есть нули квадратичной функции, т. е. такие значения
переменной, при которых функция обращается в нуль. Чтобы их
найти, надо решить уравнение ах2 + Ьх + с = 0 относительно х.
г,__ „	—ь — -Jd	—ь + ~Jd
Прн D > 0 xi  ------*— и Х2 =---------*—, где дискрими-
нант D = Ь2 — 4ас.
Таким образом, нули квадратичной функции у = ах2 +
+ Ьх + с — это корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Если D > 0, то парабола в двух точках пересекает ось Ох;
если D = 0, то она касается оси Ох; если D < 0, то она не имеет
общих точек с осью Ох. Схематические графики функции
у = ах2 + Ьх + с при а > 0 изображены на рисунках 34—36.
Задание 1. Изобразите схематически графики функции
у — ах2 4- Ьх + с при а < 0 для случаев: a) D > 0; б) 0 = 0;
в) D < 0.
Форма и расположение параболы на координатной плоскости
зависит от значений а, Ь, с (рис. 37—42).
50
У
Рис. 40
Рис. 42
Задание 2. Проанализируйте рисунок 37 и вспомните,
как можно получить график функции у = ах2 из графика функции
у = х2 при а > 0 и а < 0.
Задание 3. Проанализируйте рисунки 38, 39 и вспомните,
как можно получить график функции у = ах2 + b из графика
функции у = ах2 при fr > 0 и fr < 0.
Задание 4. Проанализируйте рисунок 40 и вспомните,
как можно получить график функции у = а(х + т)2 из графика
функции у = ах2 при т > 0 и т < 0.
Задание 5. Проанализируйте рисунки 41, 42 и вспомните,
как можно получить график функции у = а(х + т)2 + Ь из
графика функции у = ах2.
Задание 6. Постройте графики функций: а) у = х2 -— 1;
б) у = 2 - 2х2; в) у = 2(х - З)2; г) у = 2(х - 3/ - 1.
Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с можно преобразовать
(	, ь \2 D г,	,
к виду а ^х + — j — — . Из этой записи следует, что абсцисса
51
Хо вершины параболы может быть вычислена по формуле
хо = —	. Ординату уо вершины теперь можно найти, под-
ставив значение Хо в квадратный трехчлен (можно также пользо-
ваться формулой у0 = —После построения вершины пара-
болы находят пули квадратного трехчлена (если они существуют),
точку пересечения параболы с осью ординат и ей симметричную
относительно оси симметрии параболы, а также несколько про-
извольных точек параболы.
Если D > 0, то абсциссу вершины параболы можно найти по
формуле х() =	—> где xi и Х2 — нули квадратного трехчлена.
Пример 1. Постройте график функции у = — Зх2 + 8х + 3.
Решение. 1) а = —3 < О, ветви параболы направлены
вниз.
2)	D = 64 4-4«3-3 = 100 > 0, парабола пересекает ось
абсцисс в двух точках. Находим эти точки: —Зх2 + 8х -|- 3 = 0,
-8 ± тДоо" -8 ± 10	1	„
Х1'2	2 • ( — 3)	~	—6	’ Х| — з • Х2 — 3.
3)	Находим координаты вершины параболы:
1/0= -з(4) +8.4 + 3 = 4-
(1-у; 8-|~)—вершина параболы.
4)	Находим точку пересечения параболы с осью Оу: если
х = 0, то у = 3.
5)	Строим точку, симметричную точке (0; 3) относительно оси
параболы.
По найденным пяти точкам схематически изображаем график
данной функции (рис. 43).
Пример 2. Постройте график функции у = 4х2 — 4х + 1.
Решение. 1) а = 4 > 0, ветви параболы направлены
вверх.
2)	D = 16 — 16 = 0, парабола касается оси абсцисс. Нахо-
дим точку касания, являющуюся вершиной параболы: 4х2 — 4х +
+ 1 = 0, (2х — I)2 = 0, хо = -у ;	(-у ; о) — вершина па-
раболы.
3)	Находим точку пересечения параболы с осью Оу: если
х = 0, то г/ = 4 • 0 — 4-0 + 1, у = 1.
52
4)	Строим точку, симметричную точке (0; 1) относительно
оси параболы.
По найденным трем точкам схематически изображаем график
данной функции (рис. 44).
Задание 7. Постройте график функции у = Зх2 —
— 12х + 15.
Используя график квадратичной функции, можно найти реше-
ние соответствующего квадратного неравенства.
Примеры. Решите графически неравенства:
3)	-Зх2 + 8х + 3 > 0;	4) 4х2 - 4х + 1 < 0;
5) Зх2 — 2х + 5 > 0;	6) 2х2 — Зх + 7 < 0.
Решение. 3) График функции у = — Зх2 + 8х + 3 изо-
бражен на рисунке 43. Из графика следует, что у 0 при
Ответ: [ —; з] .
4)	График функции у = 4х2 — 4х 4~ 1 изображен рисун-
ком 44. Из графика следует, что нет значений аргумента, при
которых функция принимает отрицательные значения.
Ответ: решений нет.
5)	Построим схематически график функции у = Зх2 — 2х + 5
(постройте самостоятельно). Ветви параболы направлены вверх,
так как а > 0. D = 4 — 60 < 0, поэтому парабола не пересекает
ось Ох. Из этого следует, что у > 0 при любом действительном
значении х.
Ответ: (— оо; оо).
53
6)	Построим схематически график функции у = 2х2 — Зх 4- 7
(постройте самостоятельно). Ветви параболы направлены вверх,
так как а = 2 > 0. D = 9 — 56 < 0, поэтому парабола не пере-
секает ось Ох. Из этого следует, что отрицательные значения
данная функция не принимает.
Ответ: решений нет.
Замечание. При графическом решении квадратных не-
равенств координаты вершины параболы можно и не определять.
Упражнения
1.	Расскажите о свойствах функции у = х2.
2.	На одном чертеже изобразите графики функций:
а) у = х2 и у = —х2; б) у = х2, у = 2х2 и у = -у х2;
в) у = х2, у — х2 + 3 и у = х2 — 3.
3.	Как определяется направление ветвей параболы в зависи-
мости от первого коэффициента квадратичной функции?
4.	Определите координаты вершины параболы:
а)	у	=	х2 — 7;	б)	у	=	Зх2 — 7;
в)	У	=	— (х — 2)2;	г)	у	=	3(х + I)2 — 4;
д)	у	=	Зх2 — 12х 4-	8;	е)	у	=	2х2 + 8х — 5.
5.	Какой вид примет уравнение параболы у = х2, если вы-
полнить следующие перемещения: а) перенести ее на 3 единицы
вверх; б) перенести ее на 5 единиц вниз; в) перенести ее вправо
на 2 единицы; г) перенести ее влево на 6 единиц?
6.	Найдите точки пересечения с координатными осями графи-
ков функций:
а)	у =	х2 — 4;	б)	у	—	4х2 — 4х +	1;
в)	у =	х2 — 7х + 12;	г)	у	=	2х2 — 5х 4-	6.
7.	Найдите нули функций:
а)	у =	2х2 — 50;	б)	у	=	— х2 4* 1;
в)	у =	х2 — 8х 4- 15;	г)	у	=	Зх2 — 5х 4-	2.
8.	Постройте графики функций:
а)	у =	2х2 — 3;	б)	у	=	х(х — 2);
в)	у —	х2 — 4х 4- 4;	г)	у	=	2х2 4* Зх —	2;
д)	у =	—Зх2 — х 4- 2;	е)	у	=	х2 4- х 4- 5.
9.	Установите промежутки знакопостоянства следующих
функций:
а) у = х2 — 7х 4* 6; б) у = —Зх2 4* 8х 4- 3;
в) у = 4х2 4- 12х 4- 9; г) у =---------|-х2 4- 2х — 3;
д) у = х2 — Зх 4* Ю.
54
10.	Решите следующие квадратные неравенства:
а) — х2 + 4х — 4 < 0; б)
в) (2х — 3) (3 — х) > 0; г)
д) 2х2 — х < 4х — х2 — 2; е)
2х2 - Зх + 7 > 0;
— 4х2 + 12х — 9 < 0;
4х2 + 5х + 8 < Зх2 - 7х - 12;
ж) х2 — 6х 4-	> 8 — 4х —
11.	Найдите область определения функций:
а) у = -\[х2 — 7х + 12 ; б) у = -	1
у2х2 + Зх —.2
в) у = л/,’7-з+< 
§ 16. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
С понятием степени вы уже знакомы. Первоначально степень
определялась для натурального показателя п > 1 и произволь-
ного действительного основания а. Именно, если п — натуральное
число на — произвольное действительное число, то степень а"
есть произведение п множителей, каждый из которых равен а:
ап = а • а • а • ... • а.
п раз
При п = 1
а — а — а.
Опираясь на эти определения, были доказаны свойства степени,
которые можно подразделить на две группы:
I. Свойства степени, выражающиеся равенствами:
1)	ат • ап = а,п+п;
2)	(am)n = атп;
3)	(а • Ь)п = ап •
4)	(т)" = 4“’ где b
а"-" , если /и > п и а =# 0;
I 1
а" -----------
а’-"1 , если п > т и а =# 0.
II.	Свойства степени, выражающиеся неравенствами:
1)	если 0 < а < Ь, то ап < Ьп\
2)	если а > 1 и т > п, то ат > ап\
3)	если 0 < а < 1 и т > п, то ат < ап;
4)	если а < 0, то ап > 0 при п = 2k (п — четное) и ап < 0
при п = 2k — 1 (п — нечетное).
55
Для степеней с нулевым и целым отрицательным показателями
вводились специальные определения:
а° = 1 при а Ф 0;
a~k = при а Ф 0, &gN.
Принятые определения степени с нулевым и целым отрица-
тельным показателями позволяют распространить свойства
степени с натуральным показателем на степени с любым целым
показателем.
Следующим этапом расширения понятия степени является
рассмотрение степени с любым рациональным показателем.
Если г — произвольное рациональное число,
т.
где п е N, т е Z и а > 0, то а' = ап =
Подчеркнем, что степень аг определяется для
ного основания а и сама степень аг Также является
ным числом; если г > 0, то а' имеет смысл и
положитель-
положитель-
при а = 0;
О' = 0.
Свойства степени, установленные для степени с натуральным,
а затем и произвольным целым показателем, верны и для степени
с любым рациональным показателем.
► ‘ Докажем, например, что свойство а’ • ар = а'+р верно
для рациональных показателей г и р и а > 0.
п	т\	тг
Пусть г = — , р = —- , где п\, пг — натуральные числа,
П2
a mi и m2 — целые числа. Тогда
аг • ар — ап' • ап> =	• n\[aF' = nini\Jamini • n'n\jam,n' =
Следовательно,
ar • ap = ar + p .
Аналогично доказываются и другие свойства степеней с рацио-
нальными показателями. -4
Итак, следует помнить, что выражение аг, где г g Q, имеет
следующий смысл:
1 Здесь и далее материал, расположенный от знака ► до знака 4 > пред-
назначен учащимся, проявляющим интерес к математике.
56
ar =
a • a •	• а при r = n, n e N;
n множителей
1	при г = 0, а е R, а ф 0;
при г = — п; п е N, а е R, а ф 0;
yjam	ПРИ г = —, /п, n е N, а 0;
1	/И	_ * ,	Л
-п,—	при г =--------, т, п е N, а > 0.
\ат	л
--- 0	/	1 '
Пример. Найдите значение выражения д/ 27 • Зт:
I-	5 /	1 \ з 3	5	3
Решение. ->j27 . Зт: (9Т) = Зт-Зт: 9r = З4 : 3 = 27.
Упражнения
1.	Сформулируйте определение степени числа а с натуральным
показателем п.
2.	Сформулируйте свойства степени с натуральным показа-
телем.
3.	Представьте следующие выражения так, чтобы они не со-
держали отрицательных показателей:
5	.
(а + ft)-3 ’
п) _________• е) --------------------•
' 9(х —у)-4 ’	’ 3~1  х^3  у-" •	’
. ________ ЗЬ2_________
Ж' 5“4 • (а + ft)-™ • (а - ft)“‘ ‘
4.	Сравните с 1 числа:
. ч 3	z ч 3	, v 2	, ч 2
(4)т; (т)~Т; (4Г (4Г;
(2.5)°.
5.	Какое заключение можно сделать о положительном основа-
3	5	2	4	5	7
. 7Г Т к *Т *3"	.	"б"	"6" ~
нии xt если: а) х < х ; б) х > х ; в)х > х ?
$ 17. ПРИМЕРЫ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИИ
Обобщим изученные ранее сведения о степенных функциях.
Степенной функцией с рациональным показателем называется
функция вида у = хг, где г е Q.
При фиксированных х и г число х' является степенью, поэтому
свойства степенной функции у = хг вытекают из свойств степени
(см. предыдущий параграф).
57
Ниже в таблице приведены некоторые степенные функции и их
графики.
58
Аналитическое задание функции	График функции	
у = X -3	У	1	*
1 у = X2	У / 0	1	X
1 у = х*	У, 1	 0 1	*
Анализ графиков степенных функций показывает:
1. При х > 0 степенная функция у = хг определена н при-
нимает положительные значения для любого рационального по-
казателя степени г.
2. Если г = п, где п е N, то степенная функция у = ха опре-
делена при всех действительных значениях х, а функция
у = х~п — — определена при х #= 0.
Xя
Следует обратить внимание на то, что при четном п графики
функций у = х4, у = х6, у = х® и т. д. имеют сходство с параболой
у = х2. Все они касаются оси Ох в точке (0; 0), проходят через
точки (1; 1) и (— 1; 1), ветви их симметричны относительно оси Оу.
При нечетном п графики функций у = х5, у = х7, у = х9 и т. д.
имеют сходство с кубической параболой у = х3: проходят через
точки (0; 0), (1; 1), (— 1; — 1), ветви их симметричны относительно
начала координат.
3. Степенная функция у = х" (п е N) определена для х 0
при п четном, для всех действительных х — при п нечетном.
Задание. Схематически изобразите графики функций:
a) ZW = б) f(x) = х5; в) /(х) = х-4; г) f(x) = х-5.
59
Примеры. Решите графически уравнение и систему урав-
нений:
1) х3 - 2^/х = 1;
2)
У + х2 = 2,
у +	= °-
Решение. 1) Уравнение х3 — 2 ух = 1 приводим к виду
х3 = 2л[х + 1. Строим в одной и той же системе координат
графики функций у = х3 и у = 2л[х + 1 (рис. 45). Абсцисса
точки пересечения графиков есть решение данного уравнения:
х ж 1,52.
Ответ: л 1,52.
2)	Систему уравнений приводим к виду:
{У = —х2 + 2,
1
- V
Строим в одной и той же системе координат графики функций
у = —х2 + 2 и у =--------(рис. 46). Они пересекаются в точках
А (« - 1,6; « - 0,4) и В (ж 1,6; л - 0,4).
Ответ: (— 1,6; — 0,4), (1,6; — 0,4) с точностью до 0,1.
Упражнения
1.	Сформулируйте определение степенной функции. Приведите
примеры степенных функций.
2.	Запишите область определения степенной функции у = хг,
если показатель степени г принимает значения: а) гг, б) —п;
в) —, где п е N.
3.	Постройте график функции у = -yfx.
60
4.	Постройте график степенной функции у = хг, если:
.	1	1 х	2
а) г=	б) г = - в) г = т.
§ 18. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Сформулируйте определение функции. Укажите область
определения функции: a) h = -^-gt2, где h — путь, пройденный
падающим телом, g — ускорение свободного падения, / — время;
б) С = nd, где С — длина окружности, d — диаметр,
ла?3,14 — постоянное число.
2.	Какими способами может быть задана функция? При-
ведите примеры.
3.	Запишите площадь квадрата как функцию длины его сто-
роны.
4.	Функция /(х) задана графически (рис. 47). Укажите D(f)
и Е(/).
5.	Постройте графики функций:
а) у = Зх — 2; б) у = Зх2 — 1; в) у =	; г) у = х3.
Как они называются?
6.	Найдите область определения функций:
а)	у = -\jx	—	3	;	б)	у	=	д/х —	4	;
в)	у = V5	“	х	•	г)	у	=	s/—x2	;
Д)	У =	е>	У	=
ж)	у = д/1	—	х2 ;	з)	у	=	-\/х2 —	15х	+ 26 .
7.	Постройте график функции у =-^-х2 + 2х и по графику
найдите значения х, при которых: а) у 0; б) у < 0.
8.	Найдите координаты вершины параболы у = х2 — 8х + 7
и запишите уравнение оси симметрии параболы.
9.	Объясните, почему функция у = х2 — 10х + 25 не при-
нимает отрицательных значений.
10.	Решите графически неравенства:
а)	х2 — 4 < 0;
в) 9х2 — 12х + 4 < 0;
б)	х2 + 2х — 3 > 0;
г) — х* + 4х + 21 > 0.
11.	Решите графически системы уравнений:
а) f х — У = 2,
I х + у = 8;
б) (У = -х2 + 1,
I X + у = 1.
61
12.	Вычислите:
2“’ • 162 • 8-’ - 0,6г	2	2	11
а)-----------------: б) “ 1бТ +
в) 36Т + 64^ — 625Т; г) (0,04)-05 - (0,125) У - (-±_) т.
13.	Запишите данные выражения, используя дробные показа-
тели, и выполните действия:
14.	Для каких значений п g N кривые у = хп симметричны
относительно: а) начала координат; б) оси Оу?
§ 19. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Постройте график функции:
a) f(x) — — 2х + 6; б) f(x) = Зх — 9.
2.	Решите графически системы уравнений:
а) { Зх + 2у = 6,	б) { х у = 1,
I х + 2у = 0;	I х — 2у - 4.
3.	Постройте график функции:
а) у = —х2 Нт х + 2; б) у — х2 — х — 2.
При помощи построенного графика определите:
1) наибольшее (наименьшее) значение функции;
2)	значения х, при которых у 0, у > 0, у < 0.
4.	Вычислите:
a)	((i)’)-e'5-7.5.4"l-(-2)-1 + 81«s;
б)	0,02?"* - (- -j-)”’ + 256”'7Б - 3-' - 5.5”.
5.	Решите графически системы уравнений:
а) ^-^ = 0^
1у — т/« + I;	1	г
( у — 1 = -ух .
62
ГЛАВА IV.
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 20. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ И
НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
Понятие предела функции является одним
из ведущих понятий математики. Прежде чем ввести это понятие,
рассмотрим пример. Пусть дана функция f (х) = 2х + 3. График
этой функции изображен на рисунке 48.
Выберем некоторую последовательность значений аргумента,
например 3, 2-^- , 2-i- , 2 4- ,..., стремящуюся к числу 2, и выясним,
к какому числу будет приближаться последовательность соответ-
ствующих значений функции. Из рисунка видно, что при прибли-
жении значений аргумента к числу 2 соответствующие значения
функции приближаются к числу 7.
Говорят, что число 7 является пределом функции f(x) = 2х -|- 3
при х, стремящемся к 2, и записывают это так:
limf(x) = lim (2х + 3) = 7.
х->-2	Х-.2
Уточним понятие предела функции.
Рассмотрим функцию f(x) = х2. Пусть аргумент х прибли-
жается к числу 3. Выясним, к какому числу будут приближаться
значения функции х2. Составим таблицу, в которую занесем зна-
чения аргумента, соответствующие значения функции и их абсо-
лютные погрешности. (Вычисления выпол-
нены на калькуляторе.)
Напомним, что абсолютной погрешностью
приближенного значения х числа а называет-
ся модуль разности между числом и его
приближенным значением, т. е. абсолютная
погрешность приближенного равенства х « а
есть число |х — а|.
Если |х — а| О, то х называют при-
ближенным значением числа а с точностью
до й. Очевидно, что с уменьшением й значе-
ния х приближаются к числу а.
63
X	|Х- 31	f (х) = хл	l/(x_)-9l = lx1 - 91
2	1	4	1-51 = 5
2,9	0,1	8,41	18,41-91 = 0,59
2,99	0,01	8,9401	18,9401-91 = 0,0599
2,999	0,001	8,994001	18,994001-91 = 0,005999
2,9999	0,0001	8,9994	18,9994-91 = 0,0006
3	0	9	0
Из таблицы видно, что при приближении значений аргумента
к числу 3 значения функции приближаются к числу 9, при этом
погрешность значений функции может быть сделана как угодно
малой путем уменьшения погрешности значений аргумента. Гово-
рят, что функция х2 стремится к пределу, равному 9, при х, стремя-
щемся к 3, так как погрешность | х2 — 9 | может быть сделана
как угодно малой с уменьшением погрешности | х — 3 |.
Число Ь называют пределом функции f{x) при х, стремящемся
к числу а, если погрешность I f(x) — b | может быть сделана как
угодно малой с уменьшением погрешности | х — а I.
Это записывается так: f (х) -> Ь при х->а или lim f(x) = b.
х-+а
Знак lim — сокращенная запись латинского слова limes (лимес),
в переводе означающего «предел». Читается: предел /(х) при х,
стремящемся к а, равен Ь.
Рассмотрим функции
{X2 — 1
х— I ’ еСЛИ х 1’
4,	если х = 1.
Графики этих функций приведены соответственно на рисунках 49
и 50. Каждая из этих функций определена на множестве всех дей-
ствительных чисел. Говорят, что первая из них непрерывна в
64
точке х = 1, а вторая в этой точке терпит разрыв. Уточним смысл
этих понятий. Найдем пределы этих функций при х, стремящемся
к 1, используя соответствующие графики:
lim f (х) - lim (2х + 1) = 3; lim <р (х) = lim * ~ 1 = 2.
х-*1	х-► 1	х-*1 Х 1
Вычислим значения данных функций в точке х = 1: f (1) = 3;
<р (1) — 4. Получили, что lim f (х) = f (1), a lim ср (х) =#= <р (1), т. е.
Х -1	X -► 1
в первом случае предел функции в точке равен ее значению в
этой точке, а во втором — предел функции не равен ее значению
в рассматриваемой точке.
Определение. Функция называется иепрерывиой в точке,
если ее предел и значение в этой точке равны.
Если limf(x) = f(a), то функция f(x) непрерывна в точке а.
Например, функции у — Зх + 8; у = х2; у = |х| непрерывны
в каждой точке области определения. Функция у = — также не-
прерывна в каждой точке области своего определения, хотя
график ее состоит из двух отдельных ветвей, потому что в точке
х = 0 эта функция не определена.
Функцию, непрерывную в каждой точке некоторого проме-
жутка, называют непрерыв.ной на этом промежутке.
Приведем примеры разрывных функций.
l)fW = {з/хХ<0;’	2)	=
g W
3)
2х, х > О,
• 5, х = О,
— 3, х < 0.
Каждая из данных функций определена на множестве всех
действительных чисел, в том числе и в точке 0. Графики этих
функций приведены соответственно на рисунках 51—53. Однако
каждая из них в точке х = 0 терпит разрыв.
3 Алгебра и начала анализа
65
Рассмотрим еще два примера разрывных функций.
Пример 1. Рассмотрим функцию у = [х]. Выражение [х]
обозначает целую часть числа х — наибольшее целое число,
не превосходящее данное число. Например, [2,3] = 2; [7,85] =
= 7; [5] = 5; [-1,8]= -2; [-9,1]= -10. График функ-
ции у = [х] изображен на рисунке 54. Например, если х е [0; 1),
то у = 0; если х <s [1; 2), то у = 1; если х е [—2; —1), то
у = —2. Таким образом, функция у = [х], определенная на
множестве всех действительных чисел, имеет бесконечное мно-
жество точек разрыва. Каждое целое число есть точка разрыва
этой функции.
Пример 2. Рассмотрим функцию у = [х], обозначающую
дробную часть числа х. Она определяется как разность числа х
и его целой части: {х) = х — [х]. Например, [0,13] = 0,13;
{7,5} = 0,5; [-2,3] = -2,3 - (-3) = 0,7; {-7,25} = -7,25 -
— ( — 8) = 0,75; {8} -= 0. График функции у = {х} изображен
на рисунке 55. Например, если х е [0; 1), то у = х; если
х е [1; 2), то у = х - 1; если х е [ — 1; 0), то у = х — ( — 1) =
= х + 1.
Таким образом, функция у = {х}, определенная на множе-
стве всех действительных чисел, имеет бесконечное множество
точек разрыва. Каждое целое число есть точка разрыва этой
функции.
Упражнения
1. Какие из функций, графики которых изображены на рисун-
ках 56—61, непрерывны и какие разрывны в точке О?
2. Постройте графики следующих функций:
а)	х < 3, б) Г — х2, х < 0,
у ~ I 6, х > 3; у ~ I 2х + 3, х > 0;
в) ( И - — 2 < х < 2,
у ~ I 4, х < - 2; х > 2;
г) ( — х2 + 2, — х/2 < х < х/2,
у ~ I - 5, х < - ^2, х > /2.
66
$21. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1. Если функция f(x) при х, стремящемся к а,
имеет предел, то этот предел единственный.
Теорема 2. Если функции f(x) и ф(х) имеют пределы
при х, стремящемся к а, то сумма (разность) этих функций также
имеет предел при х, стремящемся к а, равный сумме (разности)
пределов данных функций:
limff (х) ± <р (х)) = lim f (х) ± lim ср (х).
ж—*-а	ж~+а	лс-*-а
Теорема 3. Если функции f (х) и ф (х) имеют пределы при
х, стремящемся к а, то произведение этих функций также имеет
предел при х, стремящемся к а, равный произведению пределов
данных функций:
\im (f (х) • ф (х)) = lim f (х) • lim ср (х).
ж-+-а	ж-*а
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за
знак предела:
67
lim(c-/(x)) = c-lim/(x).
x-*a	x-*a
Действительно:
lim(c-f(x)) = limc-limf(x) = c-limf(x).
x-*a	x-*a x-^a	x-*-a
Теоремы 2 и 3 верны для суммы и произведения любого конеч-
ного числа функций, имеющих пределы при х, стремящемся к а.
Теорема 4. Предел частного двух функций при х, стре-
мящемся к а, равен частному пределов этих функций, если
последние существуют при х, стремящемся к а, и предел дели-
теля отличен от нуля:
lim f (х)
lim	< если lim а> (х)	0.
Х^о	1"П ф(х)	ж_а V ' '
х -+ а
Теоремы 2—4 применяются при нахождении пределов функций.
Пример 1. Найдите lim(5x — 12).
Решение. Применяя теоремы о пределах, получим:
lim(5x — 12) = lim5x — lim 12 = 51imx — 12 = 5-2 —12=—2.
x-*-2	x-*2	x-*-2	x-t-2
Пример 2. Найдите lim
*-►1
5x —3
2x + 8 ’
Решение. Найдем lim(2x-j-8) = lim2x + lim8 =
Л'—-1	х-И	*-*!
= 21 im x + 8 = 2 • 1 + 8 = 10 =/= 0.
x—
Поэтому можно воспользоваться теоремой 4:
lim(5x —3)	lim5x— lim 3
,. 5x — 3	x—।	x-l x-l
lim ------ = ------------- = ------------
x-l 2x4-8 lim (2x4-8)	10
51imx — 3
__ х-и _______ 5-1—3 ___ 1
— Гб — Гб T 
Упражнения
1.	Сформулируйте основные теоремы о пределах функций и
запишите их в символической форме.
2.	Найдите пределы:
a) lim (Зх + 4); б)
в) Jim	г)
х-НО
.. 4х —2
1^.5 2х + 3
68
3.	Может ли функция иметь два различных предела при стрем-
лении аргумента к одному и тому же числу?
4.	Известно, что limfi(x) = 2; КтД(х) = —2. Найдите
Х-*Хо	Х->Хо
а) 1йп(Д(х) ± f2(x)); б) lim(fi(x).f2(x)); в) lim.
х-»хо	х-^Хо	X—х„	'
§ 22.	ПОНЯТИЕ О ПРИРАЩЕНИИ
АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИИ ФУНКЦИИ
Поведение функции (ее возрастание, убывание, средняя ско-
рость изменения) может быть охарактеризовано путем сравне-
ния разности значений аргумента с разностью соответствующих
значений функции. Покажем это на примерах. Вначале введем
два определения.
Определение 1. Функция у = f (х) называется возраста-
ющей на промежутке D, если для любых Xi и х2, принадлежащих
этому промежутку, из условия x2>xi следует, что f (x2)>f (xi).
Определение 2. Функция у = f (х) называется убыва-
ющей на промежутке D, если для любых х( и х2, принадлежащих
этому промежутку, из условия х2>Х| следует f (x2)<zf (xt).
Пример 1. Дана функция f (х) = х2. Докажите, что функция
возрастает на промежутке [0; оо).
Решение. Рассмотрим два любых значения аргумента х( и
х2, принадлежащие данному промежутку. Пусть х2> Xi. Докажем,
что f (х2) > f (xi). Найдем знак разности значений функции:
f(x2) — f (xi) = х2 — Xi = (х2 -ф xi)(x2 — Xi) > 0; так как х2 +
+ Х|>0 и х2 — xi > 0, значит f (х2) > f (xi). По определению 1
данная функция возрастает на промежутке [0; оо).
Задание 1. Докажите, что функция f (х) = х2 убывает
на промежутке (— оо ; 0|.
Рассмотрим функцию у = f (х). Пусть х и xi — два значения
аргумента из области ее определения, тогда Дх) и f (xi) — соот-
ветствующие значения функции (рис. 62).
Разность xi — х двух значений аргумента называют прира-
щением аргумента в точке х и обозначают Дх (читается: «дель-
та х»): Дх = Х| —х.
Разность соответствующих значений функции Дх1) — Дх)
называют приращением данной функции в точке х и обозначают
ДДх) (читается: «дельта эф от икс»):
ДД*) = К*») — f(x) = f(x + Дх) — Дх) (см. рис. 62).
Приращение функции у = f(x) можно обозначать также через
Ду.
Приращение аргумента и приращение функции в точке могут
быть числами положительными, отрицательными и нулем.
Рассмотрим вычисление приращения функции на примере.
69
Дана функция Дх) = х2. На рисунке 63 изображен ее график.
Пусть х = 1 — первоначальное значение аргумента. По оси
абсцисс продвинемся вправо от точки х = 1 до точки Xi = l,5.
В этом случае аргумент в точке х = 1 получил приращение
Дх = 1,5— 1 =0,5. Вычислим соответствующие значения функции:
Д1) = 1 и /(1,5) = 2,25. Приращение функции в точке х = 1
будет А/(1) = /(1,5)—/(1) = 2,25-1 = 1,25.
Понятие приращения функции часто применяется в физике
(приращение времени Д/, температуры ДТ, работы ДД и т. п.).
Приращение функции в заданной точке х, соответствующее
приращению аргумента Дх, находят следующим образом:
1)	находят значение х + Дх;
2)	вычисляют значение Дх);
3)	вычисляют значение f(x + Дх);
4)	находят приращение функции ДДх) = Дх + Дх) — Дх).
П р и м е р 2. Найдите приращение функции Дх) = х2 — х + 5
в точке х = 1, если Дх = 0,2.
Решение. 1. х + Дх = 1 + 0,2 = 1,2.
2.	f (1) = I2-1 +5 = 5.
3.	/(1,2) = 1,22 - 1,2 + 5 = 5,24.
4.	Д/(1) = /(1,2) - Д1) = 5,24 - 5 = 0,24.
Задание 2. Докажите, что функция f(x) = ах + b при
а~> 0 возрастает на всей области ее определения.
Задание 3. Докажите, что функция Дх) = ах + b при
а< 0 убывает на всей области ее определения.
Упражнения
1.	Повторите основные определения и правила, содержащиеся
в параграфе.
2.	Найдите приращение аргумента при переходе от точки х
к точке xi, если:
а) х = 3, xi = 3,7; б) х = 2, xi = 1,7; в) х = 7, xi = 5,8.
70
3.	Дана функция у = Зх — 7. Найдите Ду, если: а) х —- 3,
Дх = —0,4; б) х = —1,6, Дх = 0,7.
4.	Дана функция Дх) = — 5х -Д 2. Найдите Д/(х), если:
а) х = 2, Дх = 0,6; б) х = —3,2, Дх = —0,1.
5.	Запишите приращение функции в точке х, соответствующее
приращению аргумента Дх, если:
а) Дх) = Зх -Д 2;	б) <р(х) = х2 — 5х;
в) А (х) = —;	г) $(х) = ЗдД-4.
6.	По рисункам 64, 65, 66 установите знаки значений прира-
щений аргумента и функции при переходе от точки х к точке хь
7.	Найдите Дх -Д Дх), Дх -Д Дх) — Дх),	для
функций:
a) Дх) = Зх -Д 5; б) Дх) = -2х2.
8.	Докажите, что функция у = -^ убывает на промежутке
(0; оо).
9.	Докажите, что у = 2х2 -Д 3 убывает на промежутке ( — оо ; 0].
10.	Докажите, что функция у — — Зх2 возрастает па проме-
жутке (— оо ; 0].
11*	. Докажите, что функция у = -у/х возрастает на всей об-
ласти ее определения.
12.	Диаметр диска измерен с погрешностью в 1%. По этому
приближенному значению вычислена площадь диска. Докажите,
что при вычислении площади допущена погрешность, не пре-
восходящая 2%.
13.	Ребро куба измерено с погрешностью в 1%. Докажите, что
объем куба, вычисленный с указанной погрешностью, приводит
к погрешности, составляющей примерно 3% объема куба.
14.	Найдите промежутки возрастания и убывания функций:
a) f(x) = |х - 1|; б) f(x) = х2 + 1.
71
§ 23. СКОРОСТЬ
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
Изучение различных процессов (механического движения,
химических реакций, расширения жидкости при нагревании, те-
чения электрического тока и др.) приводит к необходимости вы-
числения скорости изменения различных величин.
Рассмотрим примеры.
Средняя скорость прямолинейного движения материальной
точки.
Пусть материальная точка М. движется по прямой, на которой
указано начало отсчета (точка О), направление движения и
единица измерения длин (рис. 67). В начале движения при t = О
материальная точка занимала положение О. В момент времени t\
точка заняла положение М\. В момент времени /2 она заняла
положение М2.
Таким образом, каждому моменту времени t соответствует
определенная координата S материальной точки М. (В нашем
примере эта координата совпадает с величиной пути, пройденного
материальной точкой.) Поэтому положение материальной точки,
движущейся по прямой, есть функция времени /: s = Д/), t^O.
Движение считается заданным, если известна функция f, ко-
торая позволяет определить положение движущейся точки в
любой момент времени t.
Функцию s = f (/) называют законом (или уравнением)
движения точки М.
Для характеристики изменения пути со временем служит по-
нятие скорости. Средняя скорость движения точки есть отно-
шение пройденного пути ко времени его прохождения. Если si =
= f(t), s2 = Д6) (рис. 67), то
на участке ОМр. иСр — у-=	;
на участке ОМ2: vcp
si = ((/г) .
ti ti '
на участке МхМг'. иср
$2— $1
/2— /1
№)-/(<)
ti— 6
Пусть Д/ — приращение времени, a As — соответствующее при-
ращение пути, когда /2 = 6 + А/, $2 = si + As и на участке
As
Mi М2 средняя скорость иср = — . При равномерном движении
~	S|	S2	S2 — S|	AS
Ucd	постоянно на	любом	участке пути:	-- =	—	=	-—-	=	— .
r	h	‘2	12—‘1	А/
Если на разных участках пути средняя скорость движения
будет различной, то движение называется неравномерным. При
72
-<----------;----------о *0,--------------------------м,
0 1	^rs
Рис. 67	Рис. 6В
неравномерном движении нельзя говорить о скорости движения,
не указывая того участка пути, для которого эта скорость вы-
числена.
На практике поезда, самолеты, автомобили, корабли дви-
жутся, как правило, неравномерно.
При эксплуатации транспорта средней скоростью характе-
ризуют и неравномерное движение, однако она не дает точ-
ного представления о быстроте движения на отдельных участ-
ках пути. Решение многих вопросов техники связано с понятием
мгновенной скорости. Точные расчеты в теории высшего пилотажа,
в ракетной технике, в баллистике требуют знания скорости дви-
жения в любой наперед заданный момент времени. В связи с этим
возникает необходимость понятия скорости в данный момент вре-
мени, т. е. мгновенной скорости.
Точное определение.понятия мгновенной скорости основано па
том факте, что движение материальной точки в течение неболь-
шого промежутка Д/ времени мало чем отличается от равно
мерного. Это отличие тем меньше, чем Mdii.ine промежуток Л/
времени, т. е. определение понятия мгновенной скорости связано
с понятием, предела.
Мгновенная скорость прямолинейного движения материаль-
ной точки.
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по зако-
ну s = f(t) (рис. 68). В момент времени to она заняла положение
Мо и прошла путь so = f(/o). Найдем скорость точки в момент
времени to-
Допустим, что за произвольно выбранный промежуток времени
Л/, начиная с момента to, точка продвинулась на расстояние
As и заняла положение М|. Тогда Л = /0 + Д/, si = f(/j) = so -f-
As.
За промежуток времени А/ материальная точка проходит путь
As = f(f.) - f(to) = f(t0 + А/) - f(/0).
Средняя скорость иср движения на участке AloATi равна:
„ _	_	((/о + Д/)-((/о)
₽ А/	А/
Эта величина дает лишь примерное представление о скорости
движения материальной точки на рассматриваемом промежутке.
Это представление будет тем точнее, чем меньше промежуток
времени Л/.
Таким образом, можно считать, что при Л/, стремящемся к
73
нулю, средняя скорость точки иср = будет приближаться к
скорости в момент времени to.
Мгновенной скоростью прямолинейно движущейся точки в мо-
мент времени /о называется предел средней скорости при А/,
стремящемся к нулю:
Vmfh = lim иср = lim-^r = lim .	~ I W
дг->о д/->о	д/->о A t
Итак, мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки
есть предел отношения приращения пути As к соответствующему
приращению времени А/, когда приращение времени стремится
к нулю.
Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону s(/) =
= З/2 — At -|- 2. Найдите: а) скорость в любой момент времени
£о; б) скорость в момент времени t = 2 с.
Р е ш е н и е. а) Мгновенная скорость точки в момент времени
As
/о равна: и(/о) = limucp = lim-ту. Пусть значение аргумента to
д/—о	дм-о
получает приращение А/, найдем соответствующее приращение
функции:
As = f(tQ + А/) - /(/о) = 3(/0 + АО2 - 4(/0 + А/)+2-3/§ +
4- 4/0 — 2 = 3/§ + 6/0А/ + ЗА/2 - 4/0 - 4А/ - 3/§ + 4/0 = (6/0 +
+ ЗА/ - 4) А/.
Найдем среднюю скорость за промежуток времени А/:
— == (6<° + ЗА< ~ 4)А- = 6/0 + ЗА/ — 4.
Д/	Д/	1
Найдем мгновенную скорость в момент времени /о:
имгн = lim ^- = lim (6/0 + ЗА/ — 4) = 6/0 — 4.
д/->одг->о
Итак, при заданном законе движения s(/) мгновенная скорость в
любой момент времени / вычисляется по формуле и(/) = 6/ — 4.
б) При t = 2 с имеем: и(2) = 6-2 —4 = 8 (м/с).
Пример 2. Путь s(/), пройденный свободно падающим
телом за время /, выражается формулой s(/) = у, где g —
ускорение свободного падения. Найдите: а) скорость падающего
тела в любой момент времени; б) мгновенную скорость при / = 3 с.
Решение, а) В момент времени / путь s(/) = у gt2, в
момент времени /1 = / + А/ путь
s(6) =	+ 2/А/ + (А/)2).
74
За промежуток времени от t до 11, равный Д/, тело пройдет путь
As = $(/,) - s(t) = 1 g(t2 + 2t\t + (АО2) - y St2 =
= gtM + у g(M)2.
По определению мгновенной скорости имеем:
v(f) = lim = lim ( gt + у gM ) = gt.
Д/—0 ш Д/—0	z
Итак, при свободном падении тело движется со скоростью
и (0 = gt.
б)	При t = 3 с получим: и(3) = g-3 « 9,8<3 = 29,4 (м/с).
Упражнения
1.	Сформулируйте и запишите определения средней и мгно-
венной скорости прямолинейного движения.
2.	Расстояние от Москвы до Новосибирска 3200 км. Скорый
поезд проходит его за 64 ч. Определите среднюю скорость дви-
жения поезда.
3.	Что принимается за величину мгновенной скорости прямо-
линейно движущейся точки?
4.	Точка движется прямолинейно, координата ее изменяется
по закону $ (/) = Ы2 + t + 3 ($ — путь в метрах, t — время в се-
кундах). Найдите мгновенную скорость движения через 5 с после
начала движения.
5.	Точка движется прямолинейно, координата ее изменяет-
ся по закону s (J) = vot + у- , где v0 — начальная скорость,
а — ускорение. Найдите мгновенную скорость в момент време-
ни to = 2 с.
6.	Величина угла ср поворота точки вокруг оси в зависи-
мости от времени t задана функцией <p(f) = Зг — 2t + 7 (рад).
Выведите формулу для вычисления мгновенной угловой скорости
и вычислите ее значение при t = 6 с.
7.	При нагревании тела его температура Т изменяется в за-
висимости от времени нагревания t по закону Т (/) = 0,6<2 -j- 4t.
Выведите формулу для вычисления мгновенной скорости изме-
нения температуры тела и найдите мгновенную скорость при
t = 5 с.
75
§ 24.	ПРОИЗВОДНАЯ
Из приведенных в предыдущем параграфе примеров видно,
что часто приходится находить предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю.
Рассмотрим функцию Дх), заданную на промежутке (а; Ь),
и хо — некоторую точку этого промежутка.
Определение. Производной функции в данной точке на-
зывается предел отношения приращения функции в этой точке
к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится
к нулю. (Производная функции обозначается у' или f' (х).)
т-г	и, \	1-	Д/(*о) I- f(X<> + Дх) — !(хо)
По определению f (х0) = lim —= *1ГП --------XT------•
Лх-0 АХ	Лх-0
Операция нахождения производной от данной функции f(x)
называется дифференцированием этой функции. Если предел
lim -г1- в точке х0 существует, то говорят, что данная функция
Дх-0
имеет производную или дифференцируема в этой точке.
Функция у = Дх), х е (а; Ь), имеющая в каждой точке проме-
жутка (а; Ь) производную, называется дифференцируемой на
этом промежутке. Следует заметить, что для существования
производной в точке х0 необходимо, чтобы функция была опре-
делена в некоторой окрестности точки х«, включая эту точку.
Это видно из такой записи производной:
Д(х0) = lim 	~ (если х-*-х01 то Дх = х — хо->-О).
х-х» х - ха
План отыскания производной функции:
1.	Находят приращение функции: Ду = f(x + Дх) — Дх).
2.	Находят отношение приращения функции к приращению
Д|/	/ (х + г\х) — [ (х)
аргумента: — =-------1------—.
1	Дх	Дх
3.	Вычисляют предел этого отношения при Дх, стремящемся к
нулю: У (х) = lim .
Дх-0Дх'
Пример 1. Найдите производную линейной функции
Дх) = ах + с в точке х = —2.
Решение. Выполняем последовательно операции 1—3.
1.	Находим приращение функции:
Д/ = Дх -|- Дх) — f(x) = а(х -|- Дх) -j- с — (ах -Д с) = а&х.
76
2.	Находим отношение приращения функции к приращению
аргумента:
А/ = f(x + Дх) - f(x) = аЬх = а
Ь*	Ьх	\х
3.	Находим производную данной функции:
Г(х) = lim = lim а = а.
Таким образом, (ах 4- с)' = а, т. е. производная линейной
функции есть постоянная величина, равная угловому коэффици-
енту прямой у = ах + с.
4.	Значение f'(x) в точке х = — 2 равно ['(— 2) = а.
Рассмотрим частные случаи формулы (ах 4- с)' = а.
а)	для функции f(x) = х имеем: (х)' = 1;
б)	для функции f(x) = с имеем: (с)' = 0; производная постоян-
ной равна нулю.
Последний результат очевиден. Так как f(x 4- Ах) = f(x) = с,
то Af - - с — с = 0;	= 0, у' = lim = 0.
А*	дх-0 Дх
Пример 2. Найдите производную функции ф(х) = х2.
Вычислите <р' (1), <р'(— 2,5).
Решение.
1. Аср = ф(х 4- Ах) — ф(х) = (х 4- Ах)2 — х2 = 2хАх 4- (Ах)2.
2_ Дф = 2xAx+(Ax)j = 2х + Ах.
Дх Дх
3.	ф'(х) = lim = lim (2х 4- Ах) = lim 2х 4- Нт Ах = 2х 4-
Дх-*-0	Дх_^0	Лх-*0	Дх--0
4- 0 = 2х.
Итак, (х2)' = 2х.
4.	ф'(1) = 2-1 =2; ф'(-2,5) = 2-( —2,5) = -5.
Пример 3. Найдите производную функции /(х) = у .
Решение.
1	AfW = _J_________L = х~^х + М =	.
' х + Дх х	х (х + Дх)	х (х + Дх)
2	ДКх) =	-1
Дх х(х + Дх)
о ш \ I- Д^(х)	1-	— 1	—1	1
3	. '(х) = lim -^2- = lim ———— = ——— -----------— =----a .
Дх^о Дх дх-о х(х + Дх)	x2 + xlim Дх	х
77
Итак, (—) =----•
4 X	JC
Пример 4. Найдите производную функции f (х) = -ух, х > 0.
Решение.
1.	ДДх) = ^+&х	= (Vra-^.)(^+^+ £) =
д/хЧ-Ах + д/х
х Ч~ Ах — х _ Ах
д/х Ч- Дх -]—	~^х Ч~ Дх Ч- ~^х
2	А/(х) =
Дх
1
3.	f'(x) = lim
Лх--0
Итак, (-у/х)' =
1
2д/х
Пример 5.
числите у' (2).
Решение,
принадлежащие
1. Ду = у(х + Дх) — у(х) =
у __ 1
Найдите производную функции у = —-г-. Вы-
Рассмотрим значения аргумента х и х + &х>
одному из промежутков области определения.
2 (х + Ах) — 1 2х — 1 __
Дх(2х + 2 — 2х + 1)	_ ЗДх
((х + 1) Ч- Лх)(х + 1) ~ ((х + I) + Дх) (х + 1) ’
2	Ду ___	ЗДх	___ з
 Дх ((х + 1) + Дх)(х + 1)Дх ((X + 1) + Дх) (х Ч- 1)
3	. у' = lim — = lim ------------------—------------- =------3 ,,
Дх--*0 Ах	Дх—0 ((х + 1) + Дх)(х Ч- 1) (х Ч- 1)
3	1
4. /(2) = —•
К '	(2 ч- I)2	3
Упражнения
1. Сформулируйте определение производной функции и за-
пишите план нахождения производной.
2. Пользуясь определением производной, найдите производные
следующих функций:
а) /(х) = Зх + 1 в точке х = 5;
б) <р(х) = 4х2 — 1 в точке х = 2;
в) /г(х) = 5х2 + Зх + 8 в точке х = —4;
\ f Л\	2/ -(- 1	г Л
г) g(t) — —в точке t = 9;
78
д)	у = ах2 + Ьх + с в точке х = 3;
2
е)	*ф(0 — 7+7 в точке < = 1;
ж)	h (х) = д/Зх + 7 в точке х = 3;
з)	т] (х) = -2*27/ в точке х = 2.
3.	Заполните таблицу:
f(x)	с	X	X3	X3	\/~Х	1 X	ах + Ь	ах1 + Ьх + с
A/(X)								
A-f(x) Ах								
,	Af(x) f(x)= hm —	 дх-о Дх								
/'(2)								
4.	Какая функция называется дифференцируемой: а} в точке;
б) на числовом промежутке?
5.	Найдите производную функции f (х) = 4х2 + 1 и докажите,
что 4/'(1) - Д2) ~ 15.
6.	Найдите производную функции Дх) = 5х2 + 6х и до-
кажите, что Д2) + 2Д(— 2) = 4.
7.	Докажите, что производная от площади квадрата с пере-
менной стороной равна его полупериметру.
8.	Пользуясь определением производной, докажите, что про-
изводная площади круга при переменном радиусе равна длине
окружности этого круга.
$ 25*. ПРОИЗВОДНАЯ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Существование производной функции в точке связано с не-
прерывностью рассматриваемой функции.
Теорема. Если функция у = f (х) в точке хо имеет произ-
водную, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть в точке хо функция у = Дх)
имеет производную Д(х0). Докажем, что lim Дх) = f(x0).
Представим Дх) в виде суммы: Дх) = Дх) + Дх0) — Дхо) =
= f(xo) + (Дх) - Дхо)) = f (хо) + ДДхо) = Дхо) + ^--Дх.
79
Найдем предел /'(х) при х, стремящемся к хо, т. е. при Дх, стремя-
щемся к нулю:
lim /(х) == lim (/(х0) +	• Дх) =
л • • V|,	Л'-^Л'о
= lim f(xo) + lim • lim Дх = f(x0) + f'(x0) • 0 = /(х0).
х— хо	Дх—О	Дх—О
По определению непрерывности функции в точке (см. § 20)
функция f(x) непрерывна в точке х0.
Подчеркнем, что для непрерывной функции Дх) если Дх->-0,
то Д/'(х)->0.
Обратная теорема неверна. Приведем пример функции, непре-
рывной в некоторой точке, но не имеющей производной в этой
точке. Функция у = | х — 11, заданная на множестве всех дей-
ствительных чисел, непрерывна в точке х = 1 (рис. 69). Однако в
этой точке данная функция производной не имеет.
Действительно, попытаемся найти производную при х = 1:
д/(х) = | (х + Дх) - 1 | - | х - 1 | ;
Д/(1) = | Дх | ;
Л/(I)   J_Yv|  Г 1, если Дх> 0,
Дх	Дх	I — 1, если Дх<0.
Поэтому в точке х = 1 не существует lim Следовательно,
Дх—о
данная функция в этой точке не имеет производной.
Данный пример показывает, что существуют функции, непре-
рывные в некоторых точках, но не дифференцируемые в них.
3 г-к-
Другим примером такой функции является функция у = -ух ,
определенная на множестве всех действительных чисел (рис. 70).
В точке х = 0 эта функция непрерывна, но не дифференцируема.
80
$ 26. ПРОИЗВОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО
ФУНКЦИЙ.
ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
В предыдущих параграфах мы научились находить производ-
ные некоторых функций. Докажем теперь несколько теорем, позво-
ляющих находить производные выражений, составленных из та-
ких функций.
Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функций,
каждая из которых имеет производную, равна сумме (разности)
производных этих функций.
Доказательство проведем для суммы функций.
Дано: u(x), v(x); u'(x) = lim и v'(x) = lim .
Дх—О	Дх—О
Доказать: (u(x) + v(x))' = ц'(х) + v'(x).
Обозначим и(х) -|- v(x) = Дх) и найдем производную функции.
Пусть х и х + Лх — значения аргумента, принадлежа-
щие £>(/).
1	- AfW = (ч(х + Ах) -|-.и(х ч- Ах)) — (/z(x) -I-
= (и(х + Ах) — и(х)) -|- (у(х -|- Ах) — и(х)).
2	А/ _ “(х + Ах) — и(х) . и (х + Дх) — у(х) _
Дх	Дх	Дх
„ ,. Д/ ..	/Ди . Ди \	.. Ди , ..
3	. lim = lim (--------1---) - lim---------1- lim
дх—о Ах	дх—о 'Ах Ах ' дх—о Ах дх—о
Ди , Ду
Дх Дх
Ду
Дх ’
Тогда Д(х) = и'(х) Ч- и'(х). Учитывая, что Дх) = и(х) Ч- “W>
имеем:
(“W Ч- v(x) )' = и'(х) Ч- “'W-
Задание. Докажите, что (ы(х) — v(x))' = u'(x) — v'(x).
Замечание. Можно доказать справедливость теоремы 1
для суммы любого конечного числа дифференцируемых функ-
ций, т. е.
(Ui(x) Ч- иг(х) Ч- “з(х) ч- - ч- “nW У = “i W + “5W ч- ч- “nW-
Пример!. Найдите производную функции Дх) = х2 -|- х — 7.
Вычислите Д(—1), Д(0), Д(3).
Решение. f'(x) = (х2 + х — 7/ = (x2)'4-W'—(7)'= 2х Ч-
’+ 1 - 0 = 2x4- 1; Д(-1) = 2-(-1)4- 1 = -1; Д(0) = 2-0 +
4-1 = 1; Д(3) = 2-3 4-1=7.
Теорема 2. Производная произведения двух функций, каж-
дая из которых имеет производную, равна сумме произведений
каждой функции на производную другой функции.
В1
Рис. 71
Дано: u(x),
v'(x) = lim^-.
Лх—О Д*
v(x); u'(x)=lim^;
Дх—О Ш
Доказать: (и(х) • v(x))' = u'(x)X
X v (х) + v'(x)-u(x).
Доказательство. Обозначим
f(x) = u(x)-u(x) и найдем производную f(x).
Пусть х и х + Дх — значения аргумен-
та, принадлежащие D(f).
l.Af = и(х + Дх)и(х + Дх) — u(x)u(x),
но так как и (х + Дх) = и(х) -f- Ди
(рис. 71) и v(x + Дх) = v(x) + Ди, то
Д/ = (и + Ди) (и + Ди) — uv = uv + иДи + иДи + ДиДи —
— uv = u&v + иДи + ДиДи.
„ Af иДи 4- иАи 4- ДиДи Ди . Ди . Ди .
2. — = -------!!---------- = U-----k U----------Ди.
Дх	Дх	Дх Дх Дх
3. lim #= lim ( и^+ и^
Дх—О ^Х Лх—0 АХ	Дх
Дх-»-0
Дх->-0
Дх-^О
Множители и(х) н и(х) не зависят от Дх. Функция и(х) имеет
производную, поэтому она непрерывна и lim Ди = 0.
Дх—о
Имеем:
,. Af	..	Ли .	Ди . Ди .
lim -г2- =	и lim	-—к	и lim -—к	lim -т-	• lim Ди	=
Дх-О^	Дх—0 АХ	Дх-О^ Лх-О^ Дх-0
= u-v' + и-и' + и'-0 = U'v + v'u.
Итак, доказано, что
(и(х) • и(х))' = и'(х)и(х) + и'(х) • и(х).
Полученная формула называется формулой Лейбница. (Гот-
фрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) — выдающийся немецкий
математик и философ. Наряду с И. Ньютоном является основа-
телем математического анализа.)
Замечание. Можно доказать, что производная произве-
дения любого конечного числа множителей равна сумме про-
изведений производной каждого из них на все остальные,
например:
(u-u-iu)' = и'vw + uv'w + uvw'.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за
знак производной: (с • и(х))' = с • и'(х).
Действительно, по теореме 2 имеем: (с • и (х))' = с'и(х) +
+ с • и'(х), но </ = 0, поэтому (с • и(х))' = с • и'(х).
82
Следствие 2. Производная степенной функции f(x) == х",
где п е N, п^2, равна произведению показателя п на степень
хя~т. е. (хл)' = пхп~‘.
Доказательство.
f'(x) = (хл)' = (ххх...х)' = х'(хх...х) + Х'(ХХ...Х) +
л-множителей	(л—I) множителей (л-* I) множителей
+ ...+ х'(хх...х).
(л — I) множителей
Так как х' = 1 и хх...х = х"-1, а число слагаемых рав-
(n — I) множителей
но числу множителей, т. е. п, то имеем:
Г(х) = (хл)' = пхп~1.
Пример 2. Найдите производную функции Дх) = х3(х— 1).
Решение. Д(х) = (х3(х — 1)), = (х3)' (х — 1) + (х — l/x3 =
= 3х2(х - 1) + (1 — 0)х3 = Зх3 — Зх2 + х3 = 4х3 — Зх2.
Пример 3. Найдите производную многочлена
f(x) = аох" + а,х" + ... + an-tx + ап.
Решение. Д(х) = (аохл + а1х"_| +... + ая_|Х + ая)' =
= (аох")' + (а|Хл-1)' + .„+ (an^ixY + (а„)' = паохл_| +
+ (n — l)aixn-2 + ...+ 2а„_2х + ая_ь
Таким образом, многочлен есть дифференцируемая функция
на множестве всех действительных чисел. Производная много-
члена есть многочлен степени на единицу меньше исходного.
Теорема 3. Производную частного двух функций и (х)
и v (х), каждая из которых имеет производную, находят по фор-
муле
(где v (х) #= о.
’ V (х) '	V3 (х)
Дано:
fW =	* °-	= I™	
Доказать: №) - ( -^-)' =	~	
'	'	v (х)
Доказательство, х и х + Д* — значения аргумента,
принадлежащие D(f).
83
1.	Af = “;X j~ ----------77-.	Так как u(x	+ Ax)	= u(x)	+ Au,
v(x + hx)	v(x)	'	'	' '
v(x + Ax) = y(x) + Ay (рис. 71), то Af =	— 2L =
__ vtxu— Ul\-J
o24-oAo	.	.
Au Ao
u — — и —
Af	vAu —uAo	1	Ax Ax
2.	— ---------------------------------=-----------------.
Ax	Ax	o24-oAo	o24-oAo
Au	Ao
о ----и -—
о i-	Af(x)	i-	Ax	дх
3.	Ilin —= hm ------------------------.
Лх-.O	Ax	A.r—>0	O2 +	о Au
Так как н(х) и u(x) не зависят от Ах, a lim Ay = 0, то
имеем:	Лх-°
o(x)lim — — u(x) lim
jjm AJ’(x) __	Ах~>0______Ах~>0	__ о (х) и' (х) + и (х) у' (х)
Дл—о Ах	о2(х) + о(х)-0	у2(х)
Итак, доказано, что
f “(*) У =	у{х)-и'(х) —и(х)у'(х)
' о(х) '	о2(х)
П р и м е р 4. Найдите производную функции:
a)	б) aw = tJ?-
Решение.
„ч ..//.л f 3I/-2 Y	(Зу —2)'(1 — 4t/) — (1 — 4t/)'(3(/ —2)
а) »(0 = 1.Тм7/ =-----------------------------------------
= 3(1 —4у) + 4(3у —2)	; _	5
(1 - 4(/)2	(1 - 4у)2 ‘
h'(t\ - ( '3 + 5 V -	(*3+5У(1+*г)-(1+т<3 + 5)	=
’ U X 1 _|_/2 /	(1+/2)2
_ 3/2(1 + <2) - 2<(<3 + 5) _ /(f3 + 3< - 10)
“	(1 + Z2)2	~	(1 + <2)2
Пример 5. Найдите производную функции <р(х) = х п, где
п е N, х #= 0.
п	,, .	, _„v	( 1 У о • х" — пх"~'
Решение. Ф'(х) = (х )' = — ) = ----------—------ =
= —пхп 1 2л = — пх
Замечание. Производную степенной функции h (х) =
= хк с любым целым показателем k можно найти по формуле
84
(хк)' = kxk~'. Причем если k^2, то формулой можно пользо-
ваться при любом х е R; если же то формулой можно
пользоваться при любых х, отличных от нуля.
В дальнейшем будет показано, что формулой (хк)' = kxk~l
можно пользоваться для нахождения производной степенной
функции с любым действительным показателем г при х > 0:
t	_ t
(х')' = гхг~'. Например, если г = — и х> 0, то (х )' = ух ,
т. е. (д/х)' =
2 -ух
Доказанные правила дифференцирования и найденные произ-
водные некоторых функций сведем в таблицу:
Функция	Производная
у = с	(с)' = 0
у=х	(х)’ = 1
у = хп, п t 1	(хп)' = пх'1-1
у = у[х, х > 0	('f*) ~ 2^’
у =	, X / 0	( х >' ~ i
У^си	(си)' = си'
у = U + V	(и ± V)' = и' ± v'
у = ии	(uv)' = u'v + v'u
у = —, v 40 '	V ’	, ii \'	~ v'u V f ~	v2
Упражнения
1.	Сформулируйте теорему о производной алгебраической
суммы дифференцируемых функций.
2.	Истинно ли высказывание: а) если функции f(x) и <р(х)
дифференцируемы в точке хо, то в этой точке дифференцируема
и функция u(x) = f(x) + ф(х); б) если функция f(x), равная сумме
функций и(х) и у(х), дифференцируема в точке хо, то в этой
точке дифференцируемы и функции и(х) и и(х)?
3.	Известно, что функции и(х) и и(х) дифференцируемы в
точке хо. Чему равна производная функции f(x) в этой точке, если:
а)	f(x) = и(х)-ц(х); б) f(x) = причем и(х0) =# 0?
85
4. Пользуясь таблицей,
f(x), если:
a) f(x) = х — 2;
в) Кх) = *2 + 6х;
Д) Дх) = х2 + у — 4х;
найдите производную функции
б)	Дх) = х2 + 5;
г) Дх) = Xs — 7х2 + 8;
е) Кх) = у х (х + 4);
ж) Кх) = (Зх — 4) (2х + 5); з) Дх) =	(5х + 3) (7х — 2);
и) Дх) = (х + 2)(2х - 3)(^х + 5);	к) Дх) = х^7.
5. Найдите производную функции Д/) и вычислите ее значе-
ние при I, равном —1 и 1, если:
а) Д/) =	; б) ДО =	; в) ДО =
г) = ~ьГ^7; д)	е) =	•
$ 27. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ
ФУНКЦИИ
Рассмотрим функции у = Да) и г = ф(х). Функцию, заданную
формулой у = Д<р(х)), называют сложной функцией. Например,
Дх) = 2х+1— сложная функция; она образована из функций
Да) = 2г н а = ф(х) - х2 + 1.
Пример 1. Составьте сложные функции Дф(х)) и <ДДх)),
если <р(х) = 2х + 1, Дх) = 5х2 — 2.
Решение. Дф(х)) = 5(2х + I)2 — 2 = 20х2 + 20х + 3;
ф(Дх)) = 2 (5х2 - 2) + 1 = 10х2 - 3.
Из решения примера видно, что сложные функции Дф(х)) и
<р(Дх)) различны.
Область определения сложной функции f(<p(x)) состоит из
таких значений аргумента х, которые содержатся в области
определения функции ф(х) и для которых значения функции ф
принадлежат области определения функции Д
В образовании сложной функции у = Дф(х)) участвует
промежуточный аргумент и = ф(х). Поэтому при нахождении
производной сложной функции будем указывать, по какому
именно аргументу взята производная, применяя при этом спе-
циальные обозначения:
у'х = lim — производная функции у по аргументу х;
86
у'и = lim	— производная функции у по аргументу и;
и'х = lim	— производная функции и по аргументу х.
дх—о
Теорема. Производная сложной функции у = f (<р (к)) на-
ходится по формуле
Ух = Уа‘ и'х, где и — ф (х).
Иначе эту же формулу можно записать так:
У' = ГМ) • ф'(4
Этой формулой можно пользоваться при условии, что функция
ф(х) дифференцируема в точке х, а функция f(x) дифферен-
цируема в точке и = ф(х). При этих условиях сложная функция
у = Яф(х)) также дифференцируема, и ее производная может быть
вычислена по приведенной выше формуле.
Докажем теорему только для одного случая, если Ди =
= ф(х + Дх) — (р(х) -f- 0.
Д а н о: у = /(ф(х)), <р(х) = и; lim = у'и, lim = и'х.
Лм-0	Лх—0
Доказать: lim = у'х = у',  и',.
Лх >0
Доказательство. Пусть аргумент х получил приращение
Дх, тогда промежуточный аргумент и получит приращение
Ди =/= 0. Поскольку и(х) получает приращение Ди, то функция
у (х) также получает приращение Ду = f (и + Ди) — f (и). Прира-
щение Дх вызывает приращение Ди и Ду.
Представим	. Перейдем к пределу при Дх->0.
lim =
Лх —О Лх
lim • lim
Ди —0 Ли	Дх —О
Ли
Дх
ИЛИ
Ух = у'и • и'х.
Пример 2. Найдите производную функции у = (Зх2 — I)5.
Решение. Обозначим Зх2 — 1 = и, тогда у = и5. Восполь-
зуемся формулой у'х = у'и • и'х. Найдем:
у'и - (и5.)' = 5и4,
и'х = (Зх2 — 1)' = 6х.
Тогда
у'х = 5 (Зх2 - I)4 • 6х = 30x(3x2 - I)4.
8Z
И вообще (и")' = ri‘Un '-и'.
При вычислении производной сложной функции явное
введение вспомогательной буквы и для обозначения проме-
жуточного аргумента не является обязательным. Поэтому произ-
водную данной функции находим сразу как произведение
производной степенной функции и5 на производную от функции
Зх2 - 1:
у' = ((Зх2 - I)5)' = 5 (Зх2 - I)4 • (Зх2 - 1)' = 5 (Зх2 - I)4 X
X 6х = 30x(3x2 - I)4.
Пример 3. Найдите производные следующих функций:
а) у = (х2 + Зх + I)5; б)// = (^2)3; а) у = J-.
Решение.
а) У' = ((х2 + Зх + I)5)' = 5(х2 + Зх + I)4 (х2 + Зх + 1)' =
= 5 (х2 + Зх + I)4 (2х Н- 3);
Упражнения
1. Приведите примеры сложных функций.
2. Найдите область определения функции:
а) f(x) = 2 -\/9 — х2 ; б) h (у) =------!---;
V5!/ — 8
в)	У(и) = лА1 —“) (3 + 7и).	____
3.	Даны функции: /(х) = 2х + 3, <р(х) = ~ух —5 и /;(х) =
= sin х + 2х. Составьте функции: a) /(<р(х)); б) f(ft(x)); в) <р(Л(х));
г) й(ф(х)).
4.	Найдите значения производных следующих функций в точ-
ках х = 0 и х = 2:
а) у = (Зх - 2)50; б) у = (Ь - 7х)10;
г)	У = (7 — 8х2)“; д) t/ = -yz5 —2х; е)
ж)	У =-------—; з) у = —1—; и)*
(2х + 5)3	7	х2 + 8
к) * у = (5 - 2х)7 • д/Зх + 4 .
в) У = (х2 + З)4;
у = Л/х2+6х+12 ;
88
$ 28. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Сформулируйте определение предела функции в точке.
Приведите пример функции, имеющей предел в точке х 2.
Приведите пример функции, не имеющей предела в точке х = 3.
2.	Постройте графики функций:

6)
Найдите lim Дх); lim Дх); lim<p(x); lim<p(x); lim g(x); limg(x).
x-*-2	x-^ —2	x-HO	x-^0	I	x—7
3.	Сформулируйте определение непрерывности функции в
точке. Докажите, что функция Дх) = х3 + 2х — 4 непрерывна
в точке х = —5.
4.	Выясните существование предела в точках —2; —1; 0;
1; 2 для функции:
5.	Найдите	для функций:
а) Дх) = Зх2; б) Дх) — 2х3.
6.	Для функций: а) Дх) = —2х + 1; б) Дх) = Зх — 1 най-
дите Д(х), пользуясь определением производной.
7.	а) Решите уравнение А'(х) = 0, если Л(х) = 2х3 — Зх2 + 1.
б)	Решите уравнение А'(х) = 0, еслиА(х) = х3 + 1,5х2 + 3.
8.	а) Для функции <р(х) = (2х — 1У® найдите <р'(х) и <р'(1).
б)	Для функции <р(х) = (Зх + 2)‘5 найдите ср'(х) и <р'( — 1).
9.	Дана функция f (и) = и5 — 4u4 + Зи3 — 2и2 + и — 1.
Найдите f' (и), f' (— 2), f' (- 1), f' (0), f' (1).
10.	Заполните таблицу:
f(x)	2x + 3	(5 - 3x)J	5x-x’ + 7	1 2x+ 7	x/4x-9
bfW					
Af(x) Дх					
AfM f (x) -- Inn . Дх-о Д*					
f'(3)					
89
11.	Найдите производную функции:
а) *	= о" ’ б) и (х) = -у + х -у/х.
12.	Дана функция s(f) = -i-f + -|-/3---?-/2 -|- 0,2/ — 8.
Найдите s'(/), s'(0), s'(S),
13*	. Докажите, что функция ф(х) = |х — 2| не имеет произ-
водной в точке х = 2.
14.	Решите уравнение /Дх)-7 Дх) = 0, еслиДх) = 4х3 + 2х.
15.	Решите неравенство:
а)	/Дх) < ф'(х) пРи Кх) = 2х2 — 5х + 1 и ф(х) = 2х —
___х3 7;
б)	Г(х) + ф'(х) С 0 при f(x) = 2х3 + 12х2 и ф(х) = 9х2 +
+ 72х.
16.	Найдите производную функции:
а) у = д/х7 ’ б) Кх) = (2 — х) (5х + 3);
в) (/(«)=(«--!-) («--L) («-2-) ;
д) s(/) = 3< 2 f ; е) Ф(х) = л/5х + 8 + X2 ;
17.	Выясните знак производной функции f(x) в точке х = 1,
если:
а) Дх) = Vx + 9(x - 1); б) Дх) =
18.	Определите знак произведения Д(х) • ф'(х) в точке х = 3,
если Дх) =	-- и ф(х) = -1	 + 0,1х2.
у2х + 3	— J
19.	Найдите производную функции:
а) Дх) = (х + З)10;	б) ф(х) = (2х - I)5;
В) у(х) = (х2 + х)4;	г) 2(0 = (/3 + 5/2 — 8)3.
20.	Дана функция Дх) = -\/х3 + х2 — 5х + 7. Найдите f'(x~).
21.	Дана функция ф(0 = -д/(2/3 — I)5. Найдите ф'(1).
/ и2 _ 5
22.	Дана функция а(и) = ~у -^2 t -. Найдите зДб).
23.	Найдите производную функции:
90
а) = (7^7) 
В) z(0 = -	1
V(2/ - 7)(4 4- /)
б> л<“) = л/(1тг)’:
$ 29. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Найдите область определения функции
2. Для функции у = Зх2 найдите At/, если х = 1, Дх = 0,2.
3. Постройте график функции Дх) = ( * пр~ * **=	.
Вычислите Д — 1), /(1), ДЗ).
4. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции Дх) = 2х + 3.
5. Найдите производные следующих функций:
а) Д*) = —2х2 + Зх — 5; б) ф(х) = (Зх2 — 1)(4х + 2);
в) У(х) = х • \[х ;	г) ф (х) =	;
д) й(х) = (Зх4 5 - 2х2 + I)3.
ГЛАВАХ.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 30. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ПРОИЗВОДНОЙ к приближенным
ВЫЧИСЛЕНИЯМ
С понятием производной тесно связано по-
нятие главной части приращения функции, которое играет важную
роль в различных разделах математического анализа и его практи-
ческих приложениях. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найдите приращение функции Дх) = ах + Ь.
Решение. Дадим аргументу х приращение Ах, тогда функ-
ция Дх) примет значение Дх + Ах) = а(х + Ах) + Ь. Прираще-
ние функции равно: АДх) = Дх + Ах) — Дх) = а(х + Ах) + b —
— (ах + Ь) = а • Ах. Равенство АДх) = а • Ах показывает, что
приращение линейной функции линейно зависит от приращения
аргумента и не зависит от выбора точки х.
Пример 2. Найдите приращение функции Дх) = х2.
Решение.
АДх) = (х + Ах)2 — х2 = 2х • Ах + Дх2.
Для квадратичной функции Дх) = х2 ее приращение Af со-
стоит из суммы двух слагаемых: первое 2х • Ах линейно относи-
тельно Ах; второе — (Ах)2 содержит Ах во второй степени. Изучим
изменение с уменьшением значений Ах.
Сравним изменение величин обоих слагаемых А/ с уменьше-
нием Ах, например, при х = 5.
Дх	1	0,1	0,01	0,001	0,0001
2х  Ах	10	1	0,1	0,01	0,001
(Дх)1	1	0,01	0,0001	0,000001	0,00000001
Из таблицы видно, что с уменьшением Ах уменьшаются оба
слагаемых: 2х • Ах и (Ах)2, причем первое уменьшается про-
порционально Ах, а второе значительно быстрее. При малых
значениях Ах значение приращения функции Af зависит главным
образом от величины первого слагаемого. Поэтому при вычисле-
нии приращения функции при достаточно малых значениях
Ах слагаемым (Ах)2 можно пренебречь. Таким образом, при
малых значениях Ах приращение дайной функции можно вы-
числить по приближенной формуле Af л; 2х • Ах.
92
Пример 3. Найдите приращение функции /(х) = х3.
Решение.
hf = (х + Дх)3 — х3 = Зх2 • Дх + Зх • (Дх)2 4- (Дх)3.
Для кубической функции Дх) = х3 приращение Д/ состоит из
суммы трех слагаемых: Зх2 • Дх (линейное относительно Дх);
Зх • (Дх)2 (содержит Дх во второй степени); (Дх)3 (содержит
Дх в третьей степени).
При малых значениях Дх значение приращения функции
зависит главным образом от величины первого слагаемого.
В рассмотренных примерах приближенное значение прираще-
ния функции линейно зависит от Дх:
для функции Дх) = ах + b, = а • Дх;
для функции f(x) = х2, Д/ « 2х • Дх;
для функции Дх) = х3, Д/ « Зх2 • Дх.
Найдем погрешность 6, получаемую при применении этих
приближенных формул.
Если Дх) — линейная функция, то б = 0.
Если Дх) — квадратичная функция, то б = 2х • Дх 4~ Ах2 —
— 2х • Дх = (Дх)2. При этом lim-Д- - lim = lim Дх = 0.
Если Дх) — кубическая функция, то б = Зх2 • Ах + Зх • (Ах)2 -(-•
4- (Дх)3 — Зх2 • Дх = Зх • (Дх)2 + (Дх)3 и также lim-Д— =
Дх-*0 АХ
= lim (Зх • Дх + (Дх)2) = 0.
Дх-»0
Таким образом, приращение каждой из функций ах + Ь,
х?, х3 можно представить в виде суммы двух слагаемых: линей-
ного относительно Дх и такого слагаемого б, что lim-Д- = 0.
Дх-0 Л*
Множители а, 2х, Зх2 в выражениях Д/ представляют собой
значения производных соответствующих функций, поэтому при-
ращение каждой из рассмотренных функций представимо в виде
А/' = Д(х) • Дх + б, где lim-Д- = 0.
Дх-М)
Можно доказать, что приращение Af любой функции у = f(x),
имеющей производную в точке х, можно записать в таком виде:
Л/ = f'(x)Ax 4- б, где lim = -Д- = 0. Выражение f'(x) • Дх,
линейно зависящее от Дх, называется главной частью приращения
функции у = )(х) и обозначается символом dy.
Пример 4. Найдите главную часть приращения функции
f(x), если f(x) = 4х3 — Зх2 4- 1-
93
Решение.
dy = f'(x) • Лх = (4x3 — Зх2 + 1)' Лх = (12х2 — 6х) Лх =
= 6х(2х — 1)Лх.
Покажем на примерах применение производной к приближен-
ным вычислениям.
Приращение функции, дифференцируемой в любой точке хо
области ее определения, выражается формулой Лу = /'(хо)Лх + 6.
Известно также, что 6-+) при Лх->-0, поэтому Лу « /'(хо)Лх или
f(x0 + Лх) — /(х0) « /'(х0)Лх, откуда
f(x0 + Лх) « /(х0) + /'(х0)Лх.	(1)
Полученная формула позволяет приближенно вычислять значе-
ния функции /(х) для значений х, достаточно близких к числу хо,
если известны значения функций /(хо) и /'(хо). При этом точность
вычисления значения функции повышается с уменьшением |Лх|.
Рассмотрим на примерах вычисление приближенных значений
функций по формуле (1).
Пример5. Найдите /(1,001), если /(х) = х3 — 2х2 + 5х — 1.
Решение. Найдем приближенное значение функции, при-
меняя формулу (1). Для этого значение аргумента, равное 1,001,
целесообразно представить в виде суммы двух чисел (хо + Лх) так,
чтобы нетрудно было вычислить /(хо) и f (хо) • Лх.
Представим 1,001 = 1 + 0,001, тогда х0 = 1, а Лх = 0,001.
/(хо) = /(!) = I3 - 2. I2 + 5. 1 - 1 = 3,
/'(х) = Зх2 - 4х + 5, а /'(хо) = /'(1) = 3 - I2 - 4- 1+5 = 4.
По формуле (1) имеем:
/(1,001) = /(1 + 0,001) « /(1) + /'(1) • 0,001 = 3 + 4 • 0,001 =
= 3,004.
Пример 6. Пользуясь формулой (1), найдите приближен-
ное значение (1,95)6.
Решение. Число (1,95)6 можно рассматривать как значение
у = х6 при х = 1,95. Значение аргумента 1,95 представим в виде
суммы 1,95 = 2 + ( — 0,05), тогда х0 = 2, а Лх = —0,05.
/(хо) = /(2) = 2® = 64, /'(х) = 6х5, /'(хо) = /'(2) = 6 - 25 = 192.
По формуле (1) имеем:
(1,95)®	= (2 - 0,05)® « 2® + 6 • 25 • ( — 0,05) = 64 - 192-0,05 =
= 54,4.
Опираясь на решения рассмотренных примеров, сформули-
руем план отыскания приближенного значения функции /(х) при
заданном значении аргумента х.
1.	Данное значение аргумента х представляем в виде суммы
двух чисел Хо и Лх: х = Хо + Лх.
2.	Вычисляем /(хо).
3.	Находим /'(х) и вычисляем /'(х0).
4.	Находим приближенное значение /(х) по формуле
94
f(x0 + Ax) « f(x0) + f(x0)Ax.
Пример?. Выведите формулу для вычисления приближен-
п Г~	п
иого значения \х, где х > 0.
Решение. Воспользуемся приведенным выше планом на-
хождения приближенного значения функции.
1.	Пусть х = хо + Ах.
2.	Вычисляем f(x0): f(x0) = д/хо~.
i	1 , пГ
Г—	*й”	1	"я-”- *
3.	f(x) = (V^)' = (х )' = -х	=
П I—
4.	\fx = ^/хо + Ах « д/хо~ Н----• Ах.	(2)
Пример 8. Пользуясь формулой (2), вычислите прибли-
женное значение ^/241 .
Решение. Представим ^241 в виде \/243 — 2 , хо = 243,
Ах = -2.
5 /-------------------------------------------------------
5 I------- 5 I------	“\/243
По формуле (2) имеем: -д/243 — 2 « -^/243 --------$ 243 • 2 =
= 3 - - 33л< -2 = 3-	« 3 - 0,00493 « 2,9951.
5 • 243	405
Итак, ^24? « 2,9951.
Упражнения
1.	Запишите формулу для вычисления приближенного значе-
ния дифференцируемой функции в заданной точке.
2.	По формуле f(x0 + Ах) « f(x0) + f'(xo)hx найдите прибли-
женное значение функции f (х) = 5х3 — 2х + 3 при х = 2,01
и х = 1,98.
3.	На миллиметровой бумаге постройте графики функций
у = х2, у = х3, у = д/х, у = д/х при х > 0. Найдите прибли-
женные значения (2,4)2; (1,9)3; -\/4~2; ^/7^8 : а) по графикам;
б) по таблицам В. М. Брадиса или с помощью калькулятора;
в) по формуле (1).
4.	Найдите приближенные значения: а) -\/1,004 ; б) ^27,02 ;
в) У13Г; г) Д) Vi00~-
§ 31. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОИЗВОДНОЙ
Понятие производной тесно связано с понятием касательной
к кривой. Уточним смысл понятия касательной.
В курсе геометрии вы познакомились с определением каса-
тельной только к окружности. Касательная к окружности опре-
деляется как прямая, лежащая в одной плоскости с окруж-
ностью и имеющая с ней только одну общую точку. Такое
определение касательной к окружности не может быть перенесено
на все кривые. Например, ось Оу имеет только одну общую
точку с графиком функции у = х3 и тем не менее считать
ее касательной к кубической параболе в точке О (рис. 72) нельзя.
Прямая у = 1 и синусоида у = sin х имеют бесконечное множе-
ство общих точек (рис. 73). Однако прямую у = 1 естественно
считать касательной к графику функции у = sin х. Для введения
определения касательной к кривой рассмотрим функцию у = f(x)
и ее график — кривую линию (рис. 74). Зафиксируем на этой
кривой произвольную точку А40 и проведем через иее секу-
щую МоМ.
Пусть точка М, двигаясь по кривой, приближается к точке Af0.
При этом секущая М0М будет поворачиваться вокруг точки
Мо и в предельном положении при Af-*-A40 займет положение
прямой М0Т. Прямую МоТ называют касательной к данной кривой
в точке Мо-
Определение. Касательной МоТ к графику функции
у = f(x) в точке Мо называется предельное положение секущей
AfoAI, когда точка М, двигаясь по кривой, стремится к точке Afo.
Очевидно, введенное определение касательной к кривой являет-
ся обобщением известного из геометрии определения касательной
к окружности. Касательная к любой кривой (графику функции)
96
в отличие от касательной к окружности может иметь с этим графи-
ком более одной общей точки.
Например, на рисунке 75 касательная МоТ в точке Мо к кривой
у = <р (х) имеет еще две другие общие точки Мi и М2 с этой кривой.
Касательная у = 1 в точке х = -£• к графику функции у = sin х
имеет бесконечное множество общих точек с этой кривой (рис. 73),
и все они будут точками касания. Следует иметь в виду, что не
в любой точке кривой можно провести к ней касательную. Кривая
АМоВ, изображенная на рисунке 76, в точке Мо не имеет касатель-
ной. Эта кривая состоит из двух частей АМо и МиВ. Возьмем на
первой из них точку L и проведем секущую MoL, а на второй —
точку М и проведем секущую МоМ.
При стремлении точки L к точке Мо по первой части кривой
секущая LMo займет предельное положение МоТ. При прибли-
жении точки М к Мо по второй части кривой секущая МоМ зани-
мает предельное положение М0К. Получаем две различные пря-
мые: М0Т и МоК. Это означает, что в точке Мо к данной кривой
касательной не существует.
Возникает вопрос: при каком условии кривая у = f(x) в
заданной на ней точке имеет касательную? Ответ на этот вопрос
можно получить, выяснив геометрический смысл производной.
Геометрическое истолкование производной функции в данной
точке связано с понятием касательной к графику этой функции.
Рассмотрим непрерывную функцию у = f(x) и ее график — кри-
вую I (рис. 77).
Пусть в точке М (х; f(x)) кривой существует касательная МТ
к данной кривой. Дадим аргументу х приращение Дх и отметим
на кривой / точку ЛДх + Дх; f(x + Дх)). Проведем секущую MN
и обозначим через <р величину угла, образованного секущей
с положительным направлением оси Ох.
Из треугольника MNK (рис. 77) следует, что отношение
= tg <р. Если Дх стремится к нулю, то точка М будет пере-
мещаться вдоль кривой, приближаясь к точке М. При этом секу-
щая MN поворачивается вокруг точки М и величина угла <р
меняется с изменением Дх. Предельным положением секущей
при Дх-»-0 будет касательная МТ, которая образует с положи-
тельным направлением оси Ох некоторый угол, его величину
обозначим через а. Так как а = lim <р, то tg а = lim tg ср =
Дх-*-0	Дх-*-0
= lim-^- = f'(x). (О непрерывности функции y = tgx будет
Лх—0
сказано ниже.)
Таким образом, если график функции у = Дх) в точке кривой
(х; Дх)) имеет касательную, не перпендикулярную оси абсцисс,
то функция у = Дх) имеет в этой точке производную, которая
равна угловому коэффициенту касательной.
Верно и обратное утверждение: если функция у = Дх) в
некоторой точке х имеет производную, то в точке (х; Дх)) сущест-
вует касательная к ее графику. Значение производной в точке х
равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции в точке касания.
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в
том, что значение производной функции у= f(x) в точке х равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с
абсциссой х:
f'(x) = k= tga.
Пример 1. Найдите угол, образованный касательной к кри-
вой Дх) = 2х2 + Зх -j- 1 в точке х = — 1с положительным на-
правлением оси абсцисс.
Решение. Обозначим величину искомого угла через а,
тогда tga = f' (—1).
f (х) = (2х2 + Зх + 1)' = 4х + 3, Д(-1) = 4 • (-1) + 3 = -1,
tga = — 1, a = 135° (рис. 78).
Пример 2. Найдите угловой коэффициент касательной
к графику функции <р(х) = х(х — I)3 в точке х = 2.
Решение... Угловой коэффициент касательной к кривой
98
<р(х) = х(х — I)3 в точке с абсциссой х = 2
равен значению производной (х-(х—I)3)'
в этой точке, т. е. k = <pz(2), но ф'(х) =
= (х - I)3 + 3(х - 1)2-х = (х - I)2 X
X (4х - 1), <р'(2) = (2 - 1)2-(4-2—1)=7,
поэтому k = 7.
Пример 3. В каких точках графика
X3 о	1
функции f (х) =	— х + 5х + каса-
тельная к нему параллельна прямой у =
= 8х + 5?
Решение. По условию касатель-
ные к графику и заданная прямая парал-
лельны, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны между
собой.
Угловой коэффициент прямой у = 8х + 5 известен, он
равен 8. Угловой коэффициент касательной к кривой в неко-
торой точке х равен значению производной:
Г(х) = (4 - х2 + 5х + 4)Z = х2 - 2х + 5.
'О	О'
Для нахождения угловых коэффициентов искомых прямых
составим уравнение х2 — 2х + 5 = 8. Решив его, найдем абсцис-
сы двух точек касания: х = — 1 и х = 3.
Из уравнения кривой определяем ординаты точек касания:
У = -Ц^-(-1)2 + 5.(-1) + 4= ~6 и
у = 4-з2 + 5-з + 4 = 154-
Таким образом, получим точки касания: (— 1; —6) и (з; 15 4) •
Заметим, что понятие производной возникло в результате
многовековых усилий, направленных на решение двух задач:
проведение касательной к заданной кривой и нахождение скорости
переменного движения. И в том и в другом случае задача
сводится к нахождению предела отношения приращения функции
к приращению аргумента.
Задание 1. Найдите угол между касательной к графику
функции у = х2 в точке х = 0,5 и положительным направлением
оси абсцисс.
Задание 2. Дана функция у = 2х2 + 3. Найдите угловой
коэффициент касательной к графику этой функции в точке
х = -2.
Упражнения
1.	Сформулируйте определение касательной к кривой в задан-
ной на ней точке.
99
2.	Может ли касательная к кривой иметь с ней несколько
общих точек?
3.	Проведите касательную в каждой точке, отмеченной на
графике функции у = f(x) (рис. 79).
4.	Имеет ли график функции у = | х | касательную в точке с
абсциссой: а) —1; б) 0; в) 1?
5.	Постройте схематический график какой-либо функции, не-
прерывной на промежутке [ — 5; 5] и не имеющей касательной
в точке (0; 0).
6.	Постройте схематический график функции, непрерывной
на промежутке [ — 3; 3] и не имеющей касательной в точке (— 1; 0).
7.	В чем состоит геометрический смысл производной?
8.	Найдите угловой коэффициент касательной к параболе
у — х2 — 4х в точке с абсциссой х = — 1.
9.	В каких точках угловые коэффициенты касательных к
кривой у = х3 равны 3?
10.	Найдите угол между касательной к кривой f(x) = 4-^-х2
и положительным направлением оси абсцисс в точке: а) хо = 0;
б) хо = —2,5.
11.	В какой точке касательная к кривой у = д/х образует с
положительным направлением оси абсцисс угол 45°?
12.	Найдите угол между касательной к параболе у = —х2 +
4* 2х — 3 и положительным направлением оси абсцисс в точке:
а) хо = 0,5; б) хо = 1; в) хо = —1.
§ 32. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ
Рассмотрим функцию у = f(x). Ее график изображен на
рисунке 80. В точке М(хо; уо) проведена касательная к кривой
у = f(x). Составим уравнение касательной АВ, зная коорди-
наты точки М(хо', уо) касания и уравнение у = f(x) кривой.
100
Касательная — это прямая. Уравнение любой прямой имеет
виду = kx + b, где k и b — параметры. Для составления уровне
ния касательной необходимо выразить параметры k и b через
координаты точки касания, зная уравнение кривой.
Известно, что k = f'(xo). Поэтому уравнение касательной
примет вид:
у = /'(*>)* + b.	(1)
Найдем Ь. Для этого воспользуемся тем, что касательная про-
ходит через точку Л4(хо; уо) и поэтому ее координаты удовлетво-
ряют уравнению касательной: уо = /'(хо)хо + b, откуда
b = уо — f'(xo)xo.
Подставим теперь найденное значение b в уравнение (1) каса-
тельной, получим: у = /'(хо)х + уо — Г(хо)хо или у — уо =
= f'(xo) (х — хо). Итак, уравнение касательной к кривой у = f(x)
в точке Af(x0; Уо) имеет вид:
y—yo=f'(x0)(x—x0).	(2)
Если функция у = f(x) в точке хо не дифференцируема, то у
данной кривой в точке с абсциссой хо нет касательной.
Практически уравнение касательной к кривой у = f(x) в задан-
ной точке хо можно отыскать по следующему плану.
1.	Записываем уравнение (2) касательной: у — у()
= f'(.xo) • (х — хо).
2.	Находим уо = Дхо).
3.	Находим производную у' = f'(х).
4.	Вычисляем значение f'(x) в точке хо: f'(xo).
5.	Подставляем значения хо, уо и f'(xo) в уравнение (2).
Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику
функции у = х2 — 2х в точке хо = —1. Выполните схематиче-
ский рисунок.
Решение. 1. у — уо = f'(xo)(x — хо) — уравнение иско-
мой касательной.
2.	уо = (-1)2 — 2 • (— 1) = 3.
3.	f'(x) = (х* - 2х)' = 2х - 2.
4.	f'(-l) = 2 • (-1) - 2 = -4.
5.	Подставляем значения хо, Уо и f'(xo) в уравнение касатель-
ной:	у — 3 = —4(х — (—1)) или у — 3 = —4х — 4,
у = —4х — 1 (рис. 81).
Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе
и = — в точке с абсциссой х0 = 0,5. Выполните схематический
X
рисунок.
Решение. 1. у — уо = Д(хо)(х — х»)-
3.	rw = (4-)' = - ±.
101
4-	f'(0.5)= - ’ = -4.
U|D
5.	у — 2 = — 4(х — 0,5); у = — 4х + 4 (рис. 82).
Упражнения
1.	Найдите уравнение касательной к параболе у = Зх2 — 2
в точке: а) хо = —2; б) хо = 0; в) хо = 1.
2.	Найдите уравнение касательной к кривой у = 2х3 — Зх2 +
+ 4х — 6 в точке:
а) хо = 0; б) хо = 1; в) хо = 3.
3.	Найдите координаты точки, принадлежащей параболе
у = х2 — 2х + 6, если известно, что касательная, проведенная
к параболе в этой точке, образует с положительным направле-
нием оси абсцисс угол 45°.
4.	В каких точках кривой у = х3 — Зх2 —- 9х + 6 касательная
параллельна оси Ох?
5.	Покажите, что на графике функции у = х3 + х2 + х — 5
нет точек, касательная в которых параллельна оси абсцисс.
6.	Найдите уравнение касательной, проведенной к кубической
параболе у = х , параллельно прямой у = 12х — 5.
$ 33. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
В ФИЗИКЕ
Производная широко применяется в физике.
Пример 1. Если материальная точка движется прямоли-
нейно и ее координата изменяется по закону х(/), то скорость
ее движения v(t) в момент времени t равна производной х'(£):
»(0 =
102
Пример 2. Если Q(/) — закон изменения количества веще
ства, вступившего в химическую реакцию, то скорость у(/)
химической реакции в момент времени t равна производной:
о(С = Q'(/).
Пример 3. Если v(p) — закон изменения объема жидкости
от внешнего давления р, то производная v'(p) есть мгновенная
скорость изменения объема при внешнем давлении, равном р.
Производная широко применяется при решении различных
физических задач. Рассмотрим несколько таких задач.
Задача 1. Тело движется прямолинейно по закону
x(t) = З/2 + 2/ + 1, где x(f) измеряется в метрах, время t —
в секундах. Найдите скорость движения тела в момент вре-
мени t = 4 с.
Решение. x'(f) = 6/ + 2, v (4) = х* (4) = 6 • 4 + 2 =
= 26 (м/с).
Задача 2. Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с,
тормозной путь определяется по формуле s(/) = 30/ — 16/2, где
s(/) — путь в метрах, t — время торможения в секундах. В течение
какого времени осуществляется торможение до полной останов-
ки машины? Сколько метров будет двигаться машина с начала
торможения до полной ее остановки?
Решение. Мгновенная скорость и(/) машины при торможе-
нии равна производной:
у(/) = $'(/) = (30/ - 16/2)' = 30 - 32/.
В конце тормозного пути и(/) = 0, поэтому имеем: 30 — 32/ — 0,
откуда / = -pg- с. Значит, торможение осуществлялось в течение
15	-	„	( 15 А „„	15
-pg- с. Тормозной путь машины составит: s^-yg-/ = 30* -pg- —
- 'б(тг)’ « К “•
Задача 3. Тело движется прямолинейно по закону х(/) =
= 3 + 2/ + /3, где х(/) измеряется в метрах, время / — в секун-
дах. Найдите ускорение движения тела в момент времени / = 3 с.
Решение. Функция х(/) есть закон прямолинейного движе-
ния. Мгновенная скорость у(/) этого движения равна производ-
ной х'(/). Мгновенная скорость и(/) есть функция от времени.
Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому
ускорение движения в момент времени / равно производной и'(0-
Таким образом, ускорение движения в момент времени / равно:
v'(f) = (х'(/))', т. е. равно производной от производной. Эту про-
изводную называют второй производной от функции %(/) и обозна-
чают х"(/). Поэтому ускорение движения а(/) равно второй про-
изводной х"(/).
Итак, а(/) = х"(/); х'(/) = (3 + 2/ + /3)' = 2 + З/2; а(/) =
=--	= (2 + З/2)' = 6/; а(3) = 6.3--= 18 (м/с2).
3 д а ч а 4. Тело, масса которого т (в кг), движется прямо-
103
линейно по закону х(/) = З/2 + t (в м). Докажите, что движение
тела происходит под действием постоянной силы.
Решение. Ускорение а(/) = х" (/), х' (f) = (З/2 + f)' =
= 6/4-1; а(/) = x"(t) = (6/ + 1)' = 6.
При данном законе движения тело движется с постоянным
ускорением a(t) = 6 (м/с2). Масса тела т постоянна, значит, по
второму закону Ньютона действующая на него сила F = та =
= 6/п (Н) также постоянна.
Упражнения
1.	В чем состоит механический смысл производной?
2.	Как найти скорость и ускорение, зная закон прямолинейно-
го движения материальной точки?
3.	Найдите скорость изменения функции у = 0,2х3--х2 + 1
в точке х.
4.	Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t2 — 6/ +
+ 5, где x(f) измеряется в метрах, время t — в секундах. Найдите:
а) скорость в момент времени t; б) скорость в момент времени
t = 2 с; в) ускорение в любой момент времени.
5.	Найдите ускорение движения в момент времени t = 4 с
по заданному закону движения: a) x(t) = t3 — З/2; б) х(/) =
= д/2/ , где x(i) измеряется в метрах, время t — в секундах.
6.	Найдите скорость движения, заданного уравнением
s = у (в м), в момент времени t = 8 с.
7.	Докажите, что ускорение тела, движущегося по закону
s = 8t2 — t + 5 (в м), постоянно.
8.	Закон движения частицы х(/) = t3 — t, где x(Z) измеряется
в метрах, время t—в секундах. Каково ускорение частицы в
момент времени, когда скорость ее равна 11 м/с?
9*. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной
скоростью ио- На какой высоте h он будет в момент / (вс)? Опре-
делите скорость и ускорение движения снаряда. Через сколько
секунд снаряд достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии
от поверхности земли он будет находиться?
10*. Камень опущен с высоты 81 м. Через сколько секунд
он ударится о землю? Какова будет его скорость в момент удара?
11*. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону
x(J) = t3 — З/2 + 2, где х(/) измеряется в метрах, время t — в се-
кундах. Найдите силу, действующую на тело в момент времени
i = 3 с.
12*. Тело массой 500 кг помещается в гидравлический лифт,
толкающий его вверх. С какой силой лифт должен действовать
на тело, чтобы оно двигалось с постоянным ускорением 0,5 м/с2?
13*. Найдите вторую производную от функции f(x), если:
a) f(x) = х5 4- 2х3 - 7; б) f(x) = ^х - 8 .
104
§ 34. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
При помощи производной можно устанавливать возрастание
или убывание функции на различных промежутках области ее
определения.
На рисунке 83, а изображен график функции у = f(x), возра-
стающей на промежутке [а; Ь], а на рисунке 83,6 — график функ-
ции у = ср (х), убывающей на промежутке [с; d\.
Известно, что функцию у = f(x) называют возрастающей на
промежутке D, если для любых xi и х2, принадлежащих этому
промежутку, из условия х2 > xt следует, что f(x2) > f(xi). Функ-
цию у = ф(х) называют убывающей на промежутке D, если для
любых xi и х2, принадлежащих этому промежутку, из условия
х2 > XI следует, что f(x2) < /(*1).
Касательная в каждой точке графика возрастающей функции,
как видно из рисунка 83, а образует с положительным направле-
нием оси Ох либо острый угол, либо угол, равный нулю (в по-
следнем случае касательная параллельна оси Ох). Исходя из
геометрического смысла производной tgcp = ['(хо). Это означает,
что производная в каждой точке промежутка [а; Ь] неотрицательна,
поэтому для возрастающей функции f(x) выполняется условие
f'(x)	0.
Касательная в каждой точке графика убывающей функции
(рис. 83, б) образует с осью Ох либо тупой угол, либо угол, равный
нулю, поэтому для функции ф(х), убывающей на с!}, выпол-
няется условие ф'(х)	0.
Из рисунка 84 видно также, что одна и та же функция может
на одних промежутках области ее определения возрастать, а на
других — убывать. Характер поведения функции на каждом из
этих промежутков определяется знаком ее производной.
Итак, наглядные представления позволяют сформулировать
следующие утверждения, выражающие необходимые признаки
возрастания и убывания функции на промежутке:
105
Если функция f (х) дифференцируема и возрастает на про-
межутке (а; Ь), то ее производная на этом промежутке не отри-
цательна.
Если функция f(x) дифференцируема и убывает на проме-
жутке (а; Ь), то ее производная на этом промежутке не поло-
жительна.
Для решения задач особенно важны обратные утверждения,
выражающие достаточные признаки возрастания и убывания
функции на промежутке.
Для доказательства этих утверждений рассмотрим предвари-
тельно, опираясь лишь на наглядные соображения, теорему о
среднем значении функции, играющую важную роль в математи-
ческом анализе.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке [а; Ь] и
дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то
существует внутри этого отрезка такая точка с, что
f (b) - f (а) = Г (с) (Ь - а).	(1)
Геометрический смысл этой теоремы легко понять, если
записать равенство (1) в виде:
= т.	(2)
Левая часть равенства (2) представляет собой угловой коэф-
фициент tga хорды, соединяющей концевые точки графика функ-
ции на рассматриваемом отрезке (рис. 85). Равенство же (2) озна-
чает: внутри этого отрезка существует такая точка с, что касатель-
ная к графику, проведенная в точке Л1(с; /(c)), параллельна этой
хорде. В самом деле, рассмотрим всевозможные прямые, парал-
лельные хорде АВ и имеющие с графиком хотя бы одну общую
точку. Та из этих прямых, которая дальше других отстоит от хорды
АВ, и будет касательной к графику в некоторой промежуточной
точке М (рис. 85). Поэтому абсцисса с точки М удовлетворяет
равенству (2), а следовательно, и равенству (1).
Теперь применим теорему 1 к нахождению промежутков
возрастания и убывания функции.
106
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на некотором
промежутке. Тогда:
а)	если f'(x)>Q во всех внутренних точках промежутка,
то функция f (х) возрастает на этом промежутке;
б)	если f' (х) < 0 во всех внутренних точках промежутка,
то функция f (х) убывает на этом промежутке.
Доказательство. Доказательство проведем для случая а).
Для случая б) оно аналогично.
Пусть xi и х2 — две точки рассматриваемого промежутка,
причем xt < х2. По теореме 1 имеем:
Дх2) - f(x,) = f'(c)(x2 — Xi),
где с— некоторая внутренняя точка отрезка [xt; х2] (рис. 85). По
условию пункта а) имеем f'(c) > 0.
Правая часть приведенного выше равенства положительна,
поэтому положительна и его левая часть, т. е.
Дх2) — Д*|) > о или Дх2) > Дх().
Таким образом, если Х|<х2, то f(xi) < Дх2). А это означает,
что функция Дх) на рассматриваемом промежутке возрастает.
Задание. Докажите пункт б) теоремы 2.
Приведем примерный план отыскания промежутков возраста-
ния и убывания функции.
1.	Находим область определения заданной функции у = Дх).
2.	Вычисляем производную Д(х).
3.	Решая неравенство:
а)	f'(*) > 0, находим промежутки возрастания функции
У = f(x);
б)	f'(x) < находим промежутки убывания функции у = Дх).
Решение неравенств выполняется аналитически, графически
либо методом промежутков.
Пример 1. Найдите промежутки возрастания и убывания
функции Дх) = х3 — 5х2 — 32х + 9.
Решение. 1. Область определения функции:
£)(Д = (— оо; оо).
2. Вычисляем производную: Д(х) = Зх2 — 10х — 32.
3. Решаем неравенства: а) Д(х) > 0; б) Д(х) < 0. При этом
замечаем, что Д(х) = 0 при х = и х = —2, поэтому Д(х) =
□
= Зх2 - 10х - 32 = 3 (х-----!£-) (х + 2).
а)	Д(х) = Зх2 - 10х - 32 > 0; з(х-------£-) (х + 2) > 0;
/Дх) > 0 в каждом из промежутков -)	—_______
(-оо; -2); ( ”>; оо ) (рис. 86);	~2	16 X
б)	/Дх) = Зх2 — 1 Ох — 32 <0;	Ри1 86
107
3 (х — у) (х + 2) < 0; ГМ < о в промежутке ( — 2; у)
(рис. 86).
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков
(—оо; —2] и [-у-1 00)’ убывает на промежутке [ — 2; -у-] -
Пример 2. Найдите промежутки возрастания и убывания
х3
функции Дх) = -у- — х2 — Зх + 5.
Решение. 1. Данная функция определена на множестве
всех действительных чисел:
D(f) = ( — оо; оо).
2.	Находим производную заданной функции: Д(х) = х2 —
— 2х - 3.
3.	Решая уравнение х2 — 2х — 3 = 0, определяем точки х =
= — 1 и х = 3, в которых производная равна нулю.
4.	Точками х = — 1 и х = 3 разбиваем область определения
функции (—оо; оо) на числовые промежутки (— оо; — 1);
(-1; 3); (3; оо).
5.	Определяем знак производной на каждом из полученных
числовых промежутков и делаем заключение о поведении функции
на этом промежутке. (Знак производной на каждом из промежут-
ков может быть найден непосредственным вычислением ее зна-
чения в одной из точек этого промежутка.) Результаты иссле-
дования оформляем в виде таблицы:
X	(—; -1)	(-1; 3)	(3; ~)
f’(x)	+	—	+
fix)	возрастает	убывает	возрастает
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков
(— оо; —1], [3; оо), убывает на промежутке [—1; 3].
Пример 3. Найдите промежутки возрастания и убывания
функции Дх) =	.
Решение. 1. Область определения функции: (— оо; —1),
(— 1; 1) и (1; оо).
2.
3.
F'fH - 9	1 - *° +	- 2<‘ + *’)
{	(1,- х’)2	(1 - х2}2 ’
['(х) =	+	> 0 при хе£)(Д (значения х = 1их= — 1
(1 X )
не рассматриваются; в этих точках функция не определена).
4.	На промежутках (—оо; —1); (—1; 1); (1; оо) заданная
функция возрастает.
108
Упражнения
1.	Сформулируйте определения возрастания и убывания
функции. Приведите примеры возрастающих и убывающих функ-
ций.
2.	Приведите пример функции, заданной на промежутке
[— 2; 2], возрастающей на промежутке [— 2; 0] и убывающей на
промежутке [0; 2].
3.	Изобразите схематический рисунок графика функции,
заданной на промежутке (—1; 4), имеющей положительную
производную на промежутке (—1,; 2) и отрицательную производ-
ную на промежутке (2; 4), если: а) /'(2) = 0; б) f'(2) не существует.
4.	Запишите символически теоремы о связи возрастания и
убывания функции со знаком ее производной.
5.	Расскажите о плане исследования функции на возрастание
и убывание с помощью производной.
6.	Постройте в одной и той же системе координат графики
функций у — х2 и у = 2х. Расскажите о связи убывания (возра-
стания) функции и знака ее производной.
7.	Найдите область определения функций:
а> у - ТТз • б>„  > fW = 2
г) У -	л) У = л/Зх’-5« + 2; е) Ми)=^
8.	Анализируя рисунок 87, объясните, почему производная
функции / (х), убывающей на промежутке (a; ft), не положительна.
9.	Установите промежутки возрастания и убывания функции
по ее графику, изображенному на рисунке: а) 88; б) 89; в) 90.
10.	Вместо точек восстановите соответствующий текст:
а)	если f(x) 0 при всех хе(а; ft), то ...;
б)	если ..., то f (х) не возрастает на этом промежутке.
109-
11.	В каких точках области определения дифференцируемой
функции ее возрастание сменяется убыванием и обратно: убыва-
ние — возрастанием?
12.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
у(х), если:
а)	у	=	Зх + 2;	б)	у = — Зх + 7;
в)	У	=	х2 + х — 2;	г)	у = 2х3 — 24х;
д)	у	=	х3 — 2х2 + х	— 1;	е)	у = -1- х" 1-х3;
ж) у = х1 — 2х2 + 4;	з) у =	;
и) * у = -1- -|- 4х2 ;	к) у = 2 -у/х ;
л) у = 2х3 — 5х2 -j- 4х — 1.
$ 35. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ
В предыдущем параграфе была установлена связь между
знаком 'производной и возрастанием или убыванием функции на
некотором промежутке.
В данном параграфе рассмотрим внутренние точки области
определения функции, в которых ее производная обращается в
нуль или не существует.
Такой точкой, например, является точка х = с (рис. 91).
f'(c) = 0, так как касательная к графику функции в точке
(с; f(c)) параллельна оси абсцисс (а = 0, поэтому f'(c) = tga = 0).
110
Пусть на промежутке (a; ft) задана непрерывная функция
у = f(x). График ее изображен на рисунке 92. Рассматривая его,
видим, что в точках xi и Хз функция имеет значения, большие
по сравнению с ее значениями во всех точках, достаточно близ-
ких к точкам x^ и хз.
В точках Х2 и Xi значения этой функции меньше по сравнению
с ее значениями во всех точках, достаточно близких к точкам
хг и Xi.
Значения аргумента xi и хз называются точками максимума
функции, а Х2 и Xi — точками минимума функции.
Значение функции у = /(х) в точке максимума называют
максимумом функции, а в точке минимума — минимумом функции.
Обратите внимание на то, что в точках максимума и мини-
мума производная данной функции равна нулю или не существует.
Так, f'(xi) = 0; Г(хг) = 0; Г(хз) не существует; = 0.
Определение 1. Точка х0 из области определения функ-
ции f(x) называется точкой максимума этой функции, если
существует такая окрестность точки хо, что для всех х =/= хо
из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(xo)
(рис. 93).
Определение 2. Точка хо из области определения функ-
ции f (х) называется точкой минимума этой функции, если сущест-
вует такая окрестность точки Хо, что для всех х ¥= Хо из этой окре-
стности выполняется неравенство f(x) >f(x0) (рис. 94).
in
Еще раз подчеркнем, что хо — внутренняя точка области
определения функции.
Точки максимума и минимума функции /Дх) называют точками
ее экстремума, а значения функции в этих точках (максимум и
минимум функции) — экстремумами функции. («Экстремум» —
латинское слово. В переводе на русский язык означает «крайний».)
Одна и та же функция в области определения может иметь
несколько максимумов и минимумов, причем минимум может
оказаться равным или большим максимума.
Функция у = f (х) (рис. 92) в области определения (а; Ь) имеет
два максимума f (xi), f (х3) и два минимума f (х2), f (х4), причем
минимум функции f(xt) больше ее максимума f^x^.
Задание 1. Начертите схематический график функции
у = ф(х), которая: а) определена на промежутке [ — 5; 5] и
К-5) = Д5) = 3;
б) имеет два максимума в точках х = —3 и х = 4, равные
соответственно 5 и 7, и минимум в точке х = 2, равный —1.
Теорема Ферма (необходимое условие существования экст-
ремума дифференцируемой функции).
Если Хп — точка экстремума функции f (х) и в этой точке
существует производная, то она равна нулю: f' (х0) = 0.
Ограничимся геометрической иллюстрацией этой теоремы для
функции у = Дх), дифференцируемой в некоторой окрестности
точки Хо, график которой изображен на рисунке 95. Значение
производной равно угловому коэффициенту касательной. Каса-
тельная к кривой у = Дх) в любой ее точке М\, расположенной
левее точки Мо, образует острый угол с положительным направ-
лением оси Ох, а в любой точке М2 кривой, расположенной правее
точки Мо, образует тупой угол с положительным направлением
оси Ох. Значит, Д(х)> 0 при х е (а; хо) и Д(х)<0 при
х е (хо; Ь).
По условию производная существует в каждой точке про-
межутка (а; Ь). При переходе через точку х0 ее положитель-
ные значения меняются на отрицательные, поэтому в точке Хо
производная обращается в нуль: f'(x0) = 0. Касательная АВ к
кривой у = Дх) в точке Мо параллельна оси Ох, так как Д(хо) =
= tg а = 0, откуда а = 0.
Задание 2. Разъясните геометрический смысл теоремы
Ферма для случая, когда хо е (а; Ь) есть точка минимума функ-
ции у = Дх).
Из теоремы Ферма следует: 1) если функция имеет производ-
ную иа промежутке (а; Ь\ то ее экстремум надо искать в точках,
в которых производная обращается в нуль; 2) если функция на
промежутке (а; Ь) имеет производную, которая не обращается в
нуль ни в одной точке этого промежутка, то данная функция
экстремума не имеет.
Замечание. Функция может иметь в некоторой точке,
112
Рис. 97
принадлежащей области ее определения, максимум или ми-
нимум и в случае, если производная в этой точке не суще-
ствует.
Например, функция f(x) = 1 — |х| (рис.96) в точке х = 0 име-
ет максимум: f(0)=l, однако производная ее в этой точке не
существует.
Аналогично функция <р(х) = ух2 (рис. 97) в точке х = О
2
имеет минимум: <р(0) = 0, одиако ее производная ср'(х) = —— в
точке х = 0 не существует.
Определение. Внутренние точки области определения
функции, в которых ее производная равна нулю или не существует,
называются критическими.
П р и м е р 1. Найдите критические точки функции у = х2 — 4х.
Р е ш е н и е. у' = 2х — 4, у' = 0, 2х — 4 = 0, х = 2 — кри-
тическая точка.
Пример 2. Найдите критические точки функции у = у .
Решение. Область определения данной функции (— оо; 0) (J
U (0; оо), у' =-----, у' =/= 0 при хеО((/); у' не существует
х !
при х = 0, но 0	D(y). Функция у = — не имеет критических
точек.
Функция может иметь экстремум только в критических точках.
Однако наличие критических точек у функции у = f(x) не гаран-
тирует существование у нее экстремумов. Так, для функции у = х3
точка х = 0 критическая (у'= Зх2, у’= 0 при х = 0), но экстре-
мума в этой точке функция ие имеет (рис. 98).
Функция может не иметь экстремума в критической точке,
производная в которой не существует.
Так, функция
(. J х + 1 при х<0,
f W — I ?+ 1 при х> 0,
1'3
Рис. М
как видно из рисунка 99, в точке х = 0 не имеет экстремума. Одна-
ко эта точка для данной функции является критической, так как
не существует касательной к графику этой функции в точке М,
поэтому производная в этой точке также не существует.
Итак, наличие у функции критических точек является необхо-
димым условием Для существования у нее экстремума, но это усло-
вие не является достаточным.
Теорема (достаточные условия существования экстремума
функции). Дана функция f(x), непрерывная в точке хо и диф-
ференцируемая в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть
может, в самой точке хо. Если производная f(x) при переходе
через точку ха:
а)	меняет знак с плюса на минус, то точка хо является точ-
кой максимума функции;
б)	меняет знак с минуса на плюс, то точка хо является
точкой минимума функции.
Проведем доказательство теоремы только для случая а).
Дано: f'(x) > 0, если х е (хо - 6; Хо);
Г (х) < 0, если х е (хо; х0 + 6);
f (х) непрерывна в точке хо.
Доказать: Хо — точка максимума, т. е. f(х) < Дхо) при
х е (хо - б; Хо + б), х =#= Хо.
Доказательство. По условию при хе(хо— б; хо)
Г(х)> 0, функция /(х) слева от точки хо возрастает. Так как
она непрерывна в точке хо, то Дх)</(хо) для всех хе (хо - б; хо).
При х е (хо; Хо + б) f'(x)<0, функция у = f(x) убывает.
В силу ее непрерывности в точке хо f(x) < f(xo) для всех
х е (хо; Хо + б).
Таким образом, для любого х, принадлежащего окрестности
точки хо, Дх)<Дх0). Это означает, что хо — точка максимума
функции f(x).
Задание. Докажите теорему для случая б) самостоятельно.
На рисунке 100 изображен график функции у = f(x). При пере-
ходе через точку хо знак производной ['(х) меняется с плюса на
114
Рис. 102
минус (tga> 0, tgP<0). Поэтому по доказанной теореме точка
Хо является точкой максимума данной функции.
На рисунке 101 изображен график функции у --- <р(х). При пере-
ходе через точку х0 знак производной ср'(х) меняется с минуса на
плюс (tg а < 0; tg [3 > 0). Поэтому точка х0 является точкой ми-
нимума данной функции.
На рисунке 102 изображен график функции у — g(x). При
переходе через точку хо знак производной g'(x) не меняется
(tga>0; tgP> 0). Поэтому точка х(> не является точкой экстре-
мума данной функции, хотя данная точка является критической,
так как Д(хо) = 0.
Необходимое и достаточное условия существования экстрему-
ма функции f (х) позволяют наметить план нахождения ее экстре-
мумов иа промежутке (а; Ь) ее области определения.
1.	Находим Д(х).
2.	Определяем критические точки функции Дх), т. е. точки,
в которых /Дх) = 0 или Д(х) не существует. Располагаем кри-
тические точки в порядке их возрастания.
3.	Определяем знак /Дх) на каждом из промежутков, на
которые разделили промежуток (а; Ь) критические точки.
4.	Пользуясь достаточными условиями существования экст-
ремумов, находим точки максимума и минимума.
5.	Находим экстремальные значения функции в точках макси-
мума и минимума.
Если не указан интервал, на котором исследуется функция
у = Дх) на экстремум, то вначале следует найти область ее опре-
деления, а потом проводить исследование на этой области по
приведенному выше плану.
Пример 1. Исследуйте на экстремум функцию
Дх) = х3 — Зх.
Решение. Область определения данной функции — мно-
жество всех действительных чисел.
1.	/Дх) = Зх2 - 3 = 3(х2 - 1) = 3(х - 1)(х + 1).
115
2.	Решая уравнение 3(х — 1)(х 4* 1) = 0, находим критические
точки функции: xi = —1 и ха = 1.
3.	Разбиваем точками Xi = — 1, хг = 1 область определения
функции на промежутки (— оо; —1); (—1; 1); (1; оо), уста-
навливаем знак производной на каждом из них и находим
экстремумы функции, составляя таблицу (символ Z означает,
что функция возрастает, а символ х означает, что функция
убывает):
X	-1)	-1	(-1; 1)	1	(1; «)
f'(x)	+	0	—	0	+
f (х)		2	ж	-2	
		max		min	
В точке х= — 1 функция f(x) = x3 — 3x имеет максимум:
/(—1) = 2, в точке х = 1 — минимум: f(l) = —2.
График данной функции схематически изображен на рисун-
ке 103.
Упражнения
1.	Вместо точек вставьте слова, чтобы получились верные
утверждения: а) если функция f (х), непрерывная на промежутке
(а; Ь), на промежутке (а; хо) убывает, а на промежутке (хо; Ь)
возрастает, то данная функция в точке хо имеет б) если функ-
ция f (х), непрерывная на промежутке (а; 6), на промежутке (а; Хо)
..., а на промежутке (хо; Ь) то данная функция в точке Хо имеет
максимум.
1U
2.	Укажите точки экстремума и экстремальные значения функ-
ции у = f(x), график которой изображен на рисунке 104.
3.	Какие точки называют точками экстремума функции?
4.	Какие значения функции называют экстремальными и как
они обозначаются?
5.	Изобразите схематический график какой-либо функции
у = fix'), определенной и непрерывной на промежутке ( — 2; 2)
и имеющей максимум в трех точках, а минимум в двух точках.
6.	Может ли функция f (х), непрерывная на промежутке
(а; Ь), иметь на этом промежутке три максимума и один ми-
нимум?
7.	Начертите схематический график какой-либо функции
у = Дх), которая: а) определена на промежутке [0; 6] и ДО) =
= Д6) = 0; б) имеет два минимума в точках х = 2 их = 4 и мак-
симум в точке х = 3, причем Д2) = Д4) = — 3, ДЗ) = 0.
8.	В чем состоит необходимое условие существования экстре-
мума функции?
9.	Какие точки называются критическими точками?
10.	Верны ли утверждения:
а)	если точка Хо есть точка экстремума функции Дх), то она ее
критическая точка;
б)	если точка хо есть критическая точка функции Дх), то она
ее точка экстремума?
11.	Верны ли утверждения:
а)	если функция не имеет критических точек, то она не имеет
и точек экстремума;
б)	точки, в которых Д(х) = 0, являются точками экстремума
функции;
в)	в точках экстремума функции ее производная равна нулю;
г)	в точках экстремума функции ее производная существует?
12.	Сформулируйте достаточные условия существования эк-
стремума функции.
13.	Проиллюстрируйте на графиках достаточные условия
существования экстремума функции.
14.	Расскажите о плане исследования функции на экстремум.
15.	Проанализируйте график функции у = f (х), изображен-
ный на рисунке 105, проверьте правильность заполнения таб-
лицы:
X	-1)	-1	(-1; 0,5)	0,5	(0,5; 2)	2	(2; -)
Г(х)	—	не существ.	+	0	—	НС существ..	+
f(x)	ж	0	>7	2	ж	0	
		min		max		min	
117
16.	Проанализируйте график функции у = f(x), изображенный
на рисунке 106, и заполните таблицу:
X	(- -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; »)
f'(x)							
f(x)							
							
17.	Постройте схематический график функции, определенной
и непрерывной при х е R, исходя из ее свойств, указанных в
таблице:
X	-3)	-3	(-3; 2)	2	(2; »)
f (х)	+	0	—	0	+
f(x)		2		-3	
		max		min	
18. Исследуйте на экстремум функции:
a) f(x) — 5х — 3;
в) g(x) = 2х +	;
д) ф(х) = 2х3 — Зх2;
б)	<р(х) = у х2 — 5х;
г) и(х) = 4х3 -|- 12х2 — 3;
е)* ц(х) = -дДх —2)2.
19.	Докажите, что функция ф (х) = 34-3х--х3 принимает
положительные значения при х^2.
118
20.	Исследуйте на экстремум функцию у = /(х) и постройте
ее схематический график, если:
a) /W = 1 + 4х — х2; б) f(x) = -^ х4 — х2 + 5;
в)	Кх) = TZ7J	г)* № =
X “7“ 1 □
$ 36. ИССЛЕДОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ
В данном параграфе на примере квадратичной функции будет
показано применение производной к исследованию функции и
построению их графиков. Напомним, что квадратичной функ-
цией называют функцию вида /(х) = ах2 + Ьх -|- с, где а, Ь, с —
действительные числа, а Ф 0, х — переменная. Графиком квадра-
тичной функции является парабола.
П р и м е р 1. Исследуйте функцию /(х) = х2 — 2х — 3 и по-
стройте ее график.
Решение. 1. Областью определения квадратичной функции
является множество всех действительных чисел: £)(/) = R.
2.	Функция f (х) непрерывна на всей области своего опреде-
ления как целая рациональная функция.
3.	Найдем критические точки функции. Для этого необходимо
решить уравнение f'(x) = 0, /Дх) = 2х — 2, 2х — 2 = 0, х = 1.
4.	Найдем промежутки возрастания и убывания функции,
точку экстремума и экстремальное значение функции. Составим
таблицу:
/(1) = 1 - 2 - 3 = -4.
X	(- <•; 1)	1	(1; ~)
см	—	0	+
f(x)		-4	
		min	
5.	Находим нули функции. Для этого вычисляем ее дискрими-
нант: D = b2 — 4ас, D = (—2)2 — 4( — 3) = 16>0. Так как
D> 0, то данная функция имеет два нуля (корня):
_ -Ь+^Ь	_ 2 + V16
to ’	L— 2
-b-^D
Х2 = —^—= - 1.
X2 = "to
6.	Находим точку пересечения параболы с осью ординат: при
х=0 у= —3. Парабола проходит через точку (0; —3). Известно,
119
что парабола симметрична относительно
прямой, проходящей через ее вершину
параллельно оси ординат. Поэтому точка
(2; —3), симметричная точке (0; —3)
относительно прямой х = 1, также при-
надлежит параболе. Строим параболу
по найденным пяти ее точкам (рис. 107).
Задание 1. Исследуйте функцию
f (х) = — x2-J-3x-|-10 и постройте ее гра-
фик.
Рассмотрим теперь исследование
квадратичной функции f (х) = ах2 Ьх+
+ с(а#=0) в общем виде.
1. Областью определения квадратич-
ной функции является множество всех
действительных чисел: D (/) = R.
2. Функция f(x) = ах2 -}-bx+c непрерывна на всей области
своего определения как целая рациональная функция.
3. Найдем критические точки функции: f'(x) = 2ах + Ь,
2ах b = 0, х = — А. Квадратичная функция имеет только
одну критическую точку.
4.	Найдем промежутки возрастания и убывания функции,
точку экстремума и экстремальное значение функции. Составим
две таблицы для случаев а> 0 и а<0. Для удобства опре-
деления знака производной данной функции в окрестности точки
х = — А представим ее в виде f'(x) = 2а(х — ( — ^ )) •
Случай а > 0
X	(- - А) '	’2а7	ъ 2а	(-А-. -) '2а	7
f(x)	—	0	+
f (х)		D_ 4а	
min
Случай а <0
X	(- А) '	’ 2а'	ь -2а	(-А;-) ' 2а ’ 7
гм	+	0	—
f (х)		4а	
max
Квадратичная функция /(х) = ах2 + Ьх + с в точке х = —
при а> 0 имеет минимум
_ b2 — 4ас ______ ___D .
4а '	4а	4а ’
120
при а<0 имеет максимум f J = — —.
5.	Найдем нули (корни) квадратичной функции:
а)	если D = Ь2 — 4ас> 0, то функция имеет два нуля:
— Ь-\-Д)	—b—Д)	л
xi = —, Х2 = —2а "' в этом слУчае парабола пере-
секает ось абсцисс в двух точках;
б)	если D = Ь2 — 4ас = 0, то функция имеет один нуль:
х = — 2^> в этом случае парабола касается оси абсцисс;
в)	если D = Ь2 — 4ас<0, то функция нулей не имеет, в этом
случае парабола не имеет общих точек с осью абсцисс.
6.	Для построения параболы удобно найти точку пересечения
ее с осью ординат (0; с) и ей симметричную точку относительно
прямой х = —	— оси симметрии параболы.
Исследование квадратичной функции приводит к следующим
случаям расположения параболы на координатной плоскости:
График квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с позволяет
находить решение квадратных неравенств: ах2-\-Ьх
ах2 + Ьх + с<+.
Пример 2. Решите неравенство Зх2 + 4х —7> 0.
Решение. Вычисляем дискриминант: D = Ь2 — 4ас = 16 +
+ 84 = 100> 0. Парабола у = Зх2 + 4х — 7 пересекает ось Ох
в двух точках. Из уравнения Зх2 + 4х — 7 = 0 находим корни
7
квадратичной функции: xi =-----5-, Х2 = 1. Парабола пересекает
□
121
ось Ох в двух точках:
Рис. 109	Рис. 110
( О) и (1; 0).
Схематический
график функции у = Зх2 + 4х — 7 представлен на рисунке 108.
Из этого рисунка видно, что у> 0 при х<—т или при х> 1.
и
Ответ: (— оо ;--^-)U(U 00 )
О
ПримерЗ. Решите неравенство — х24-6х—9<0.
Решение. D = 36 — 36=0. Парабола у = — х2 4- 6х — 9
касается оси Ох. Абсциссу точки касания параболы с осью Ох
находим, решая уравнение х2 — 6х 4-9 = 0; х = 3. Схематический
график квадратичной функции у = —х24-6х— 9 изображен иа
рисунке 109. Из рисунка следует, что квадратичная функция
у = —х2 + 6х — 9 принимает отрицательные значения при любом
х=/=3.
Ответ: (— оо; 3) U (3; оо).
П р и м е р 4. Решите неравенство х24-5<4х.
Решение. х2 + 5<4х, х2 —4x4-5 <0, D = 16 — 20 <0.
Квадратный трехчлен х2 — 4х-|-5 не имеет действительных
корней, поэтому его график ие имеет общих точек с осью
абсцисс.
Схематический график функции у = х2 — 4x4-5 изображен
на рисунке ПО. Из рисунка видно, что функция у = х2 — 4х 4- 5
отрицательных значений не принимает.
Ответ: решений нет.
Задание 2. Решите неравенство 5х24-9х—14^0.
Упражнения
1. На рисунках 111 —114 изображены графики квадратичных
функций. По графику каждой из них установите: а) знак па-
раметра а; б) знак дискриминанта; в) знаки корней; г) реше-
122
Рис. 112	Рис. 113	Рис. 114
ния неравенств у > 0, у < О;
функций.
2. По образцу, приведенному
д) экстремальные значения
в таблице, заполните пустые
клеточки.
3. Известно, что функция у = ах2 Ьх + с в точке х =
= — имеет: а) максимум; б) минимум. Какой вывод мож-
но сделать относительно параметра а для каждого из этих
случаев?
4. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее гра-
фик:
a) t/(x) = х2 — 7х + 12;
в) ф(х) = — 4х2 + 2х— 1;
д) z(x) = 2х2 + 7х;
5.	Решите неравенства:
а)	х2> 2х;
v 1	2
в) уГ<х;
д) — 4х2 4х — 1 <0;
б)	Кх) = ух2 + ух + 5;
г) /г(х) = 2х — х2 — 3;
е) g(x) = — Зх2 + 5х — 4.
б) х2 - 4>0;
г) 2х2 - 13х + 15> 0;
е) Зх2 — 5х + 4> 0;
123
ж) — Зх2 + 4х — 10> 0; з) -|-х2 — х + 1,5<0;
и) (2х — 1) (х + 3) — (х 4-7) (х — 1) — 4х<0.
6. Докажите, что касательная, проведенная к кривой
f(x) = х3 — 5х2 + 9х + 12, в любой ее точке образует острый
угол с положительным направлением оси абсцисс.
§ 37.	ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ
ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА
Одна из основных задач математики состоит в исследовании
функций (нахождении экстремальных значений, нулей, проме-
жутков возрастания или убывания и других свойств). Применение
производной значительно облегчает задачу исследования функции,
а вместе с тем и построение ее графика.
Исследование функции и построение ее графика будем вы-
полнять по такому плану.
1.	Находим область определения функции.
2.	Находим промежутки непрерывности функции.
3.	Находим критические точки функции.
4.	Находим промежутки возрастания и убывания, точки эк-
стремума и экстремальные значения функции.
5.	Находим нули (корни) функции, если они существуют.
6.	Строим график функции.
Следует иметь в виду, что при построении графика функции не
всегда нужно точно следовать указанному плану. Например, не
всегда мы сможем найти нули функции, даже если они существуют.
Иногда дополнительно находят координаты некоторых точек
графика, например точку пересечения с осью ординат.
Пример 1. Исследуйте функцию f(x) = х3 — Зх2 и постройте
ее график.
Решение 1. Область определения данной функции —
множество действительных чисел: D(j) = R.
2.	Данная функция непрерывна на множестве действительных
чисел как целая рациональная функция.
3.	Найдем критические точки функции:
Г(х) = Зх2 - 6х = Зх(х—2),
f'(x) = 0, Зх(х —2) = 0,
xi = 0, хг = 2.
4.	Составим таблицу:
X	(- «; 0)	0	(0; 2)	2	(2; -)
f'(x)	+	0	—	0	+
f(x)		0		— 4	
		max		min	
124
Критические точки разбивают координатную прямую на три
промежутка (рис. 115): (— оо; 0), (0; 2), (2; оо). На рисунке
115 указаны знаки производной )'(х) на каждом из этих проме-
жутков, которые могут быть найдены непосредственным вы-
числением значений f'(x) в одной нз точек каждого промежутка
либо решением неравенств /?/(х)> 0 и /'(х)<0; f(0) = 0,
f(2) = 23 — 3 • 22 = —4.
5.	Найдем нули функции: х3 — Зх2 = 0, х2(х — 3) = 0, xi = 0,
Х2 = 3.
Найдем координаты еще одной точки графика: если х = — 1, то
/(-1) = (-1)3-3.(-1)2= -4.
6.	График данной функции изображен на рисунке 116.
Пример 2. Исследуйте функцию у = ух3 — Зх2 + 8х и
постройте ее график.
Решение. 1. Область определения функции: D(y) = R.
2.	Данная функция непрерывна на множестве действительных
чисел.
3.	Найдем критические точки функции: у' = х2 — 6х 8,
у' = 0, х2 — 6х + 8 = 0, Х| = 2, Х2 = 4.
4.	Составляем таблицу:
X	2)	2	(2; 4)	4	(4; ~)
.у'	+	0	—	0	+
У		20 3		16 3	
		max		min	
125
5. Найдем нули функции: ух3 — Зх2 + 8х = 0, х ( у х2 —
— Зх + в) = О, х 0 или -^-х2 — Зх4-8 = 0. х2—9x4-24 = 0,
f	о
D = 92 — 4-24<0, квадратное уравнение корней не имеет.
Данная функция имеет только один нуль: х = 0. При х = О
у = 0 — график функции проходит через начало координат.
6. График данной функции изображен на рисунке 117.
Пример 3*. Исследуйте функцию f (х) = —------
ее график.	х ~1
и постройте
Решение. I. Находим область определения функции:
х2—1#=0, х=/=1, х=#-1, 0(f) = (-оо; -1) и (-1; 1) U (1; оо).
2.	Данная функция непрерывна во всех точках области своего
определения.
3.	Находим критические точки функции:
Зх2(х2-1) - 2х-х3 _ х2(х2 —3)
(х2 — I)2	(х2 — I)2
Производная определена при х е D(f). f'(x) = 0, х2(х2 —3) = 0,
откуда X] = — д/3, х2 = 0, Хэ =
Критические точки и точки х = I, х = — I, в которых данная
функция не определена, разбивают координатную прямую на
промежутки, изображенные на рисунке 118.
Для более удобного определения знака производной на
каждом из этих промежутков представим производную в виде
ГМ =
х2(х —д/3)(х+-УЗ)
(х2 - I)2
126
(х2 — 1)2>0 при любых х#=±1, х2> 0 при х#=О,
f'(x)> 0 на (— оо ; — д/3) U (д/3; оо),
Г(х)<0 на (—д/3; - 1) (j (-1; 1) U (1J д/3).
4.	Составим таблицу:
X	(- -ч/З)	-л/Г	(-'/з'; -1)	(-1;0)	0	(0; 1)	(Ux/T)	ч/З	(ч/З;»)
f’(x)	+	0	—	—	0	—	—	0	+
f(x)	л	-Зу/З 2			0			з ч/Г 2	Л
		шах			нет экстре- мума			min	
Я-<3) = ^=^,
«о) = 4i-= °-
f(V3) =
5.	Нули функции: f(x) = 0 при х = 0.
6.	График данной функции изображен на рисунке 119.
'Упражнения
1.	По графику функции у = f(x), изображенному на рисунке
120, установите: а) область определения функции; б) нули
функции и интервалы ее знакопостоянства; в) точки экстремума,
127
Рис. 121
у
X
Рис. 122
экстремальные значения функции и интервалы ее возрастания
и убывания.
2.	Функция у = ф(х) определена и непрерывна при х е R.
На рисунке 121 указаны все ее характеристические точки: х,; хг; хз;
Хч — нули функции; тип — точки минимума, 0 — точка макси-
мума (соответствующие им точки Mi, Мз, Мя принадлежат графи-
ку). Начертите схематический график этой функции. По графику
назовите промежутки ее знакопостоянства, возрастания и убыва-
ния.
3.	На рисунке 122 изображен график функции у = ф(х),
определенной и непрерывной при х е R. По графику функции
у = ф(х) укажите ее свойства и заполните таблицу:
X	(- »; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; -)
4>‘(х)					
Ф (х)					
					
4.	Свойства функции у — f(x) описаны в таблице. Изобра-
зите схематический график функции, если она непрерывна на
множестве всех действительных чисел.
X	(- 1)	1	(i; -)
f(x)	—	0	+
f(x)		1	
		min	
5.	Изобразите схематически график функции у = /г(х), обла-
дающей следующими свойствами: а) функция определена и непре-
128
рывна при xeR; б) функция обращается в нуль в точках
х = — 4, х = 0 н х = 4; h (х) < 0 на промежутках (— оо; — 4) U
U (0; 4); h (х)> 0 на промежутках ( — 4; 0) U (4; оо); в) х = — 2 —
точка максимума функции, h( — 2) = 4; х = 2 — точка минимума
функции, Л(2) = —4, На промежутках (—оо; —2), (2; оо) функ-
ция возрастает и на промежутке (— 2; 2) — убывает.
6.	Назовите основные пункты плана исследования функции.
7.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) /(х) = 12х — х3;	б) ср(х) = х3	-	х2;
в) ф(х) = х4 - х2;	г) у (х) = х4	-	18х2	+ 17;
д) z(x) = (х — 1)(х	4- I)2;	е)* /г(х) = х	+	;
»)*£(*) = г^2.
§ 38.	НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
На рисунках 123 и 124 изображены графики функций f(x)
н ф(х), заданных на промежутке [a; ft]. Первая из них воз-
растает, а вторая убывает на этом промежутке. На промежутке
[a; ft] наименьшее значение функции дх) равно /(а), а наименьшее
значение функции <р(х) равно <p(ft). Соответственно наибольшие
значения этих функций на данном промежутке равны f(ft)
и <р(а). Таким образом, если функция непрерывна и возрастает
(убывает) на каком-то промежутке, то наибольшее и наименьшее
значения достигаются ею на концах этого промежутка.
На рисунке 125 изображены графики четырех функций. Анализ
этих графиков показывает, что наибольшие и наименьшие значе-
ния функций, непрерывных на промежутке [a; ft], достигаются
этими функциями либо на концах промежутка, либо в критических
точках. Итак, функция на заданном промежутке принимает
наибольшее или наименьшее значение в критических точках или
на концах промежутка.
5 Алгебра и начале анализа
129
Рис. 125
Наибольшее или наименьшее значение функции у = f(x),
непрерывной на промежутке [а; &], будем находить по плану.
1.	Найдем критические точки функции у = f(x) на промежутке
[а; 6].
2.	Вычислим значения функции в этих точках и на концах
промежутка [а; 6].
3.	Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее
или наименьшее.
Пример. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f(x) — 6х3 —Зх2 — 12х + 7 на промен<утке [—1; 2].
Р е ш е н и е. 1. Находим критические точки заданной функции:
Дх) = 18х2 - 6х - 12, Дх) = 0;
18х2 - 6х - 12 = 0,
х, =--- 1, х2 = — 4 •
2. Вычисляем значения функции в критических точках и на
концах заданного отрезка [—1; 2]:
/(-т) = в-(-т)’-3-(-т)’- !2-(-т) + 7=
/(1) = 6.13 - 3-12 - 12-1 + 7 = -2;
f(-l) = 6-(-1)3 - 3-(—I)2 - 12-(-1) + 7 = 10;
/'(2) = 6-23 - 3-22 - 12-24-7=19.
3. Из полученных значений функции выбираем наименьшее
и наибольшее: [иаим = f(l) =• —2, f„a„6 = f(2) = 19.
Задание 1. Найдите наибольшее и наменынее значения
функции f(x) = 2х3 — 6х -J-1 на промежутке [0; 2].
Заметим, что если функция принимает наибольшее (или наи-
меньшее) значение на промежутке в некоторой точке хо, то на
любом промежутке, являющемся частью данного и содержащем
точку хо, эта функция будет принимать наибольшее (или
наименьшее) значение в той же точке. Например, функция
у = g(x), график которой изображен на рисунке 125, принимает
наибольшее значение на промежутке [а; Ь] в точке Хь Ясно, что
во
эта функция в точке Xi будет принимать наибольшее значение
на любом промежутке [аг, Z>|], являющемся частью промежутка
[а; Ь] и содержащем точку хь Этим свойством можно вос-
пользоваться при решении практических задач.
Задача 1. Имеется проволока длиной 200 м. Требуется огра-
дить ею прямоугольный участок наибольшей площади. Найдите
размеры участка.
Решение. I. Обозначим длину одной нз сторон искомого
прямоугольника х(в м), тогда длина другой стороны будет равна
(100—х) (в м), где 0<х<100.
2. Площадь S(x) прямоугольника выражается формулой
S(x) = х>(100 — х) = — х2 + ЮОх.
3. Найдем критические точки функции S(x): S'(x) = —2х 4-
+ 100, -2x4-100 = 0, х = 50 — критическая точка.
Если х<50, то S'(x) = 2(50 — х)> 0. Так как функция S(x)
непрерывна в точке х = 50, то она возрастает на промежутке
(0; 50]. Если х> 50, то S'(x)<0 и функция Х(х) убывает на про-
межутке [50; 0]. Это означает, что 5(50) — наибольшее значение
функции.
Таким образом, .Su.„i6 - - 5(50)	2500.
Ответ: участок имеет форму квадрата 50X50 м.
Пусть функция Цх) непрерывна па промежутке [а; />] и
Хо [а; Ь] ее критическая точка. Тогда /(а») наибольшее (наимень-
шее) ее значение па [а; /?[, если опа па промежутке [а; х«] возра-
стает (убывает), а на промежутке [хр; О] убывает (возрастает)
(рис. 126, 127).
Задание 2. Требуется огородить забором участок земли
прямоугольной формы заданной площади 800 м2. Данный учас-
ток примыкает к зданию, поэтому с одной из сторон ограду
строить не надо (рнс. 128). Найдите размеры такого участка,
чтобы длина забора была наименьшей.
Задача 2. Прочность балки с прямоугольным сечением
изменяется прямо пропорционально произведению ее ширины на
131
с
А
Рис. 128
Рис. 130
Рис. 129
Рис. 131
квадрат высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки
наибольшей прочности, если балка выпилена из круглого бревна
диаметра d (рис. 129).
Решение. 1. Пусть х (в м) —длина одной из сторон се-
чения балки, тогда xjdI 2— х2 (в м) —длина другой стороны се-
чения.
2. Прочность Р балки как функция аргумента х согласно
условию выражается формулой Р = kx • (d2— х2), где k — не-
которое число. По условию задачи 0<х<: d.
3. Исследуем функцию Р(х) на экстремум: Р'(х) = k(d2 — Зх2),
Р'(х) = 0, d2 — Зх2 = 0, х = —--критическая точка (берем
л/3
положительный корень).
Функция Р(х) непрерывна на всей числовой прямой, поэтому
можно найти ее наибольшее значение на промежутке [0; d]:
Р(0) = 0, Р (	) = 2^М' > 0, Р (d) = 0.
V3
Таким образом, Р„аиб = Р —г) = У д-------------•
V3
I АВ | = ± ; | ВС | = xld2 — x2 = -д/d2 - (- )
V3	v чл/з
Ответ:
Примечание. На практике плотники пользуются следую-
щим простым приемом выпиливания балки наибольшей прочности
из бревна цилиндрической формы. Диаметр сечения MN делят на
три отрезка равной длины (рис. 130). Из точек деления А и В
проводят перпендикуляры АС и BD к диаметру. Точки С, N, D, М
последовательно соединяют отрезками. В сечении получается
прямоугольник MCND. Докажите, что такой прием выпилива-
ния балки из бревна обеспечивает ее наибольшую прочность.
3 а д а ч а 3. Требуется изготовить закрытый ящик с квадрат-
ным дном, объем которого 8 дм3. Каковы должны быть линейные
132
размеры ящика, чтобы его полная поверхность была наименьшей
(рис. 131)?
Решение. Пусть х (в дм) — длина стороны основания приз-
мы. По смыслу задачи х е (0; оо). Используя формулу для вы-
числения объема призмы, находим: x2-h = 8, h. =	.
Найдем площадь полной поверхности призмы.
S(x) = 4х • 4 + 2х2, S(x) = ^ + 2х2,
хг	л
S'(x) = 4х -	4-	=4(4~8)	,
х	х
х = 2— единственная критическая точка.
Рассмотрим любой отрезок, содержащий критическую точку.
Для простоты вычислений рассмотрим отрезок [1; 4].
S(l) = 34, S(2) = 24, S(4) = 40.
51Г;1„„ = 5(2) = 2'1; x =--= 2, h = 2.
Упражнения
1.	Функция <|>(x) -- --2х -|- 3 задана па отрезке [ — 3; 10].
Вычислите ее наибольшее и наименьшее значения на этом от-
резке.
2.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = х3 — Зх2 + 4 на промежутке [1; 3].
3.	Вставьте соответствующие слова в текст: «Если функция
непрерывна на отрезке [а; 6] и имеет на нем единственную крити-
ческую точку, то в случае максимума это будет ... значение функ-
ции, в случае минимума ... на этом отрезке». Проиллюстрируйте
полученные утверждения на рисунках.
4.	Расскажите план отыскания наибольшего и наименьшего
значения функции, заданной на промежутке [а; Ь].
5.	Разложите число 40 на два таких слагаемых, чтобы их
произведение было наибольшим.
6.	В круг радиуса R впишите прямоугольник. При каком
соотношении длин сторон прямоугольника его площадь будет
наибольшей?
7.	Сумма длин катетов прямоугольного
треугольника равна 20 см. Установите вид
прямоугольного треугольника с указанной
суммой длин катетов и наибольшей пло-
щадью.
8.	Из прямоугольного листа жести раз-
мером 8X3 дм по его углам вырезаны
квадраты и из оставшегося куска жести
изготовлена открытая коробка (рис. 132).
Найдите длину стороны вырезанного квад-
133
рата, если необходимо изготовить коробку наибольшего объема.
9*. В прямоугольной системе координат через точку (1; 2) про-
ведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая
с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть
отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь
треугольника была наименьшей?
10*. Каковы должны быть размеры консервной банки ци-
линдрической формы, имеющей наибольший объем при заданной
площади поверхности S?
$ 39. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Найдите главную часть приращенйя функции:
а) ф(х) = — х2 + 7х; б)* Дх) = Vx2 + тД-
2.	Применяя формулу f(xo + Дх) « Дх0) 4- Д(х0)Дх, найдите
приближенные значения:
а) (3.1)5; б) (2,ОЗ)7; в) д/^98 ; г)*
3.	Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = -у/х
в точке с абсциссой х = -г .
4
4.	Найдите, под каким углом парабола у = — х2 4“ х пере-
секает ось абсцисс в начале координат.
5.	В какой точке графика функции у = х3 касательная к нему
образует с положительным направлением оси Ох угол, рав-
О Л -V
ныи ?
о
6.	Докажите, что касательные, проведенные к графику функ-
х — 4
ции у = 7—2 в точках пересечения его с осями координат, па-
раллельны между собой.
7.	Докажите, что касательная, проведенная в любой точке
кривой Дх) = х3 4“ 2, наклонена к положительному направлению
оси Ох под острым углом.
8.	Напишите уравнение касательной к параболе у = Зх2 4-
4- 4х — 2 в точке графика с абсциссой х = — 3.
9*. Прямая у = — х — 2 является касательной к кривой, за-
данной уравнением у = х3 — 4х. Найдите координаты точек
касания.
10.	На кривой у = х3 4- х2 — 7х 4- 2 найдите точки, касатель-
ные в которых параллельны прямой у = — 2х 4- 1-
11.	Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 0,5/4 —
— 5/3 4- 12/2 — 1, где путь — Sb метрах, время — t в секундах.
В какие моменты времени ускорение движения тела равно нулю?
12.	Угол а (в радианах), на который повернется колесо через
/(в с), равен a(t) = 4/2 — 32/ 4- 21. Найдите угловую скорость
134
колеса в момент времени t = 3 с и определите, через сколько
секунд оно остановится.
13*. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону
Л(/) = 2 + 6/ — 4/2. Найдите наибольшую высоту подъема тела.
14.	Найдите промежутки возрастания и убывания функций:
a) f(x) = № — 4х;	б) <р(х) = х 4-	;
в) ф(х) = —х2 4- 5х — 7;	г) /1(х) = х(1 4- 2д/х);
д) * s(x) = -у/ (х2 — 9)3 ;	е) у(х) — х — | х |.
15.	Исследуйте на возрастание, убывание, экстремум функции:
a) Дх) = х2 4- 2;	б) <р(х) = Зх2 4~ 5х 4- 1;
в) ft(x) = —х2 4- 6х — 9; г) s(x) = 2х3 — Зх2;
Д)* g(x) — х • ~\/l—x2;	е)* у(х) = х2 4- ~\[х5.
16.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = Дх) на заданном промежутке, если:
а)	Дх) -- х1 — 2х:‘ | Г>, х | — 2; 2|;
б)	Дх) = х 4- 2 у/х, х < ~ |0; 1|;
в)* Дх) = у 4- 4- х с-1- - Ч;
г)* Дх) = 33^х- I)2 + *, хе [I; 2].
17.	Число 24 разбейте на такие два слагаемых, чтобы сумма
их квадратов была наименьшей.
18.	Найдите такое положительное число, которое, будучи
сложено с обратным ему числом, даст наименьшую сумму.
19.	Докажите, что из всех прямоугольных треугольников,
вписанных в круг радиуса R, наибольшую площадь имеет
равнобедренный треугольник.
20.	Требуется изготовить коробку с квадратным основанием
наибольшего объема без крышки. Площадь поверхности коробки
должна быть равной 12 см2. Найдите размеры коробки.
21.	Найдите отношение высоты конуса к его диаметру, если
при заданном объеме V конус имеет наименьшую площадь бо-
ковой поверхности.
22.	В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямо-
угольник наибольшей площади. Вычислите, эту площадь.
23*	. Найдите высоту трапеции наибольшей площади, вписан-
ной в полукруг радиуса г и имеющей нижним основанием
диаметр полукруга.
24.	Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
а) у = 4х2 — 4х 4- 1; б) у = 2х2 4- х — 3; в) у = 8 —2х —х2;
г) у = х2 4- 5х 4- 8; Д) У = Юх—х2 —25; е) у=3х—х2 —6.
135
25.	Решите неравенства:
а) 2х2 —7х—30> 0;
в) ,2х2 - 9х - 35> 0;
б) х2< + 2х— 15<0;
г) х2 — *4-6<0.
26.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = 4х — х2; б) у = у — х2 — Зх; в) у = у Ц- ;
г) У = х2(1 —х); д) у =	;
е) * у = 2х — 3\[х2;
з /—«
ж)* у = ~\/хг — 1.
§ 40.	ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Составьте уравнение касательной к графику функции
у = х2 — Зх в точке его с абсциссой х = — 1.
2.	Материальная точка движется по закону s(/) =	.
Найдите ее скорость в момент t = 2.
3.	Укажите промежутки возрастания и убывания функции
у = х3 — Зх2 — 9х.
4.	Исследуйте функцию у = 0,5х2 — 2х — 6 и постройте ее
график.
5.	Исследуйте функцию у = 2х3 —Зх24-5 и постройте ее график.
6.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = х3 — Зх2 — 9х на промежутке [ — 2; 1].
7.	В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и
боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей
площади так, что две его вершины принадлежат основанию,
а две другие — боковым сторонам треугольника. Найдите длины
сторон прямоугольника.
ГЛ ABA VI.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ТОЖДЕСТВА
$41. ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН.
ВРАЩЕНИЯ И ПОВОРОТЫ
В градусной системе измерения угловых ве-
личин (углов, дуг, поворотов) единицами измерения служат гра-
дус, минута, секунда. Между этими единицами существует связь:
1° = 60', 1' = 60". С помощью калькуляторов можно найти деся-
тые доли градуса. В градусной системе единиц измеряются и углы
поворота. Напомним, что поворотом вокруг точки О на угол а
называют такое геометрическое преобразование, при котором:
а) точка О отображается па себя; б) каждый луч ОХ. отображает-
ся па луч ()Х\, такой, что Z_ ХОХ| = а и | ОХ| = |OXi |. Запись
X, = R', (X) чптают гак: «точка Xi есть образ точки X при поворо-
те вокруг точки О па угол а» (рис. 133). Принято считать величину
угла поворота против движения часовой стрелки положительной,
а по движении) часовой стрелки отрицательной (рис. 134). Отобра-
жение одного луча па другой может быть осуществлено враще-
ниями плоскости с одним и тем же центром и различными вели-
чинами углов вращения: В = /?о° И) = Ro33°° И) (рис. 135).
Вращение на 360° есть тождественное преобразование плоскости:
/?360’ = ro __ е Вращения плоскости относительно одного и того
же центра на углы а, а + 360°, а — 360°, а + 2 • 360°,
а — 2 - 360°, .... а + 360° • п, где п — целое, совпадают, т. е.
Ro + 3G0,‘ = Ro Для всех n е Z. С помощью этой формулы
можно любые вращения сводить к поворотам с углами из про-
межутка [— 180°; 180°]. Например, R'o°‘= Ro°“+ = Ro’
1Э7
Рис. 136
И вообще, если вращение Ro необходимо свести к повороту Ro,
где а е [— 180°; 180°], то поступают следующим образом: чис-
ло ф делят на 360, пусть п — частное, а — остаток такого деления
(а е= [- 180°; 180°]); тогда /?о = /?“ + 360’п = R*.
Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале коорди-
нат (рис. 136) .Такую окружность называют единичной. Единичная
окружность есть график уравнения х2 + у2 = 1. Пусть Ро есть
точка с координатами (1; 0), Найдем образы этой точки при
различных вращениях плоскости с общим центром — началом
координат:
R%'(Po) = Pt, Ro5°(Po) = Рг, Ro™' (Ро) = Рг,
Ro™' (Ро) = Рз, Ro°' (Ро) = Р<, Ro 9°° (Ро) = Р5,
Ro°" (Ро) = Ро.
Итак, каждому углу вращения соответствует единственная
точка окружности — образ данной точки Ро. При этом каждая
точка единичной окружности соответствует не одному, а бесконеч-
ному множеству углов вращения. Например, точка Pi есть образ
точки Ро при вращении R™°+ SG0°n, поэтому точке Pi единичной
окружности соответствует бесконечное множество углов: 90° +
+ 360° • п, где п е Z.
Упражнения
1.	Вычислите величины углов, образуемые часовой и минутной
стрелками, если часы показывают: а) 4 ч; б) 6 ч; в) 13 ч 30 мин.
2.	Найдите величины центральных углов для шага зубчатого
колеса, имеющего: а) 48 зубьев; б) 36 зубьев.
3.	Вычислите величину угла поворота зубчатого колеса, имею-
щего 72 зуба, если каждый последующий зуб занял положение
предыдущего.
4.	Сцеплены два зубчатых колеса, одно из которых имеет 10,
другое 80 зубьев. На сколько градусов повернется второе колесо,
если первое сделает полный оборот?
13в
5.	Найдите повороты, отображающие данный отрезок на себя.
6.	Ai = R'o°° (Л). Запишите множество всех вращений с
центром О, отображающих точку А на точку Ль
7.	Следующие вращения сведите к поворотам плоскости
Ro, где - 180° < а < 180°: R° ; /?4О50’; R'o°a°°.
8.	Дана единичная окружность. Постройте образы точки
Р (— 1; 0) при повороте /?£, где О — начало системы координат, а
а принимает значения: а) 180°; б) 220°; в) — 180°; г) — 220°.
$ 42. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН
Напомним, что в радианной системе измерения угловых вели-
чин за единицу измерения выбран угол поворота, при котором
конец начального радиуса описывает дугу длиной, равной длине
радиуса (рис. 137). Величину такого угла называют 1 радиан
(сокращенно 1 рад). Длина дуги в 1 радиан равна радиусу окруж-
ности. Поэтому для нахождения радианной величины дуги (или
центрального угла, ей соответствующего) необходимо длину этой
дуги разделить на ее радиус:
I
а - —,
R
где R — радиус дуги, I — ее длина, а — радианная величина.
Длина окружности радиуса R равна 2л/?, поэтому полный угол
содержит 2л/? : R = 2л радиан. Таким образом, 360° = 2л рад,
180° = л рад.
Выразим величину угла в 1 рад в градусах: 1 рад =
=	« 57° 17'45" ж 57,29578°.
2л л
Выразим величину угла в 1° в радианах: 1° = -	=
obU
=	« 0,01745 рад.
Пусть данная дуга содержит Л ° или а радиан. Выведем форму-
лы перевода градусной величины в радианную и обратно:
Л° =
величины в радианную.
Л° = -^-а
л
величины в градусную.
а рад; юи = л рад.
(1)—формула перевода градусной
(2) — формула перевода радианной
139
При выполнении вычислений часто обозначение «рад» опу-
скают. При измерении углов поворотов в радианах следует иметь
в виду, что вращение плоскости на 2л радиан, т. е. на 360°, есть
тождественное преобразование плоскости R2n = R360° = Е и при
любом целом п выполняется равенство
^а + 2лп   go.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Выразите величины углов 30°, 45°, 60°, 90°, 180°,
270°, 360° в радианах.
Решение представлено в таблице:
Единицы измерения	Значения угловых величин						
Градус	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Радиан	тг 6	ТГ 4	тг 3	тг 2	тг	ЗЛ 2	2Л
Пример 2. Выразите величины углов у;	,----;
Зл
----у в градусах.
Решение. Применяя формулу (2), получим:
4 = 60°; - 4 = - 90°;
4 = 135°; — 4 = — 270°.
4	2
ПримерЗ. Дана точка Ро (1; 0). На единичной окружности
постройте образы точки Ро при поворотах плоскости вокруг начала
„	.л л Зл 5л Зл 7л п
координат на углы величиной у ‘> у I y ’ л’ Т ’ Т ’ Т ’ %л'
Решение изображено на рисунке 138. Символами Pi; Рг; Рз',
Рс Рз', Ро', Р?\ Ра обозначены соответст-
вующие образы точки Ро при данных по-
воротах плоскости.
Каждому значению угловой величины
в радианах соответствует одна и только
одна точка единичной окружности — об-
раз точки Ро (1; 0) при повороте плоско-
сти на угол заданной величины. Значе-
нию 0 соответствует точка Ро; значению
----точка Pi; значению у — точка Рг и
т. д., значению 2л — снова точка Ро; зна-
чению 2л + -у — снова точка Pi и т. д.
140
-7-2л-6 -5 -‘t-л-3 -2*-f
2
О 1 Z2 Зл 4 5 6 2л 7
2
Рис. 139
При этом каждая точка окружности соответствует не одному, а
бесконечно многим значениям угловых величин. Так, точка Ро
соответствует значениям 0; 2л; 4л; 6л; ...; —2л; —4л; —6л; ....
т. е. числам вида 2лп, где п е Z. Точка Ра соответствует числам л;
Зл; 5л; .... —л; —Зл; —5л; т. е. числам вида л-|-2л/г =
= л(1+2л), где п е Z. Нетрудно заметить, что если числу а
соответствует единственная точка Ра (рис. 139, а), то точке Рп
будет соответствовать бесконечное множество чисел вида
а -|- 2лл, где п Z.
Иначе обстоит дело с соответствием между множеством зна-
чений угловых величин и множеством точек координатной прямой.
Это соответствие взаимно однозначно: каждому значению угловой
величины соответствует единственная точка координатной прямой
и обратно: каждой точке координатной прямой соответствует
единственное значение угловой величины. На рисунке 139,6 изо-
бражено описанное соответствие.
Перевод градусной величины угловых величин в радианную
и обратно на практике выполняют с помощью калькуляторов. Для
этой цели имеются также специальные таблицы (В. М. Брадис
«Четырехзначные математические таблицы», табл. XI).
Пример 4. Найдите радианную величину угла 37°24'.
Решение. В левой колонке таблицы XI находим число граду-
сов: 37°, в верхней (или нижней) строке таблицы находим число
минут: 24'. На пересечении строки с числом 37° и колонки с числом
24' находим десятичные знаки приближенного ответа 6528. Целая
часть ответа записана только в первой колонке. Поэтому
37°24' « 0,6528 рад.
Пример 5. Найдите радианную величину угла 60°20'.
Решение. В левой колонке таблицы XI находим число
градусов: 60°. Й верхней (или нижней) строке таблицы нет 20',
поэтому находим ближайшее к нему число, им будет 18'. На пере-
сечении соответствующей строки и колонки находим:
60° 18' « 1,0524 рад.
В правой части таблицы есть три колонки поправок (десятиты-
сячные значения радиана для углов 1', 2', 3'). На пересечении
141
строки, содержащей число 60°, и колонки поправок, содержащей
2', находим: 2' « 0,0006.
Теперь можно найти нужный ответ: 60°20' « 1,0530. Решение
оформляют в виде:
60° 18' - 1,0524
+	2' -	6
60°20' « 1,0530 рад.
В таблице XI приведены значения в радианах углов от 0°
до 90°. Однако с помощью этой таблицы можно находить радиан-
ную величину любого угла, разбивая его градусную величину на
части, не превосходящие 90°.
Пример 6. Найдите радианную величину угла 136°43/,
Р е ш е н и е. 136°43' = 90° + 46°43'.
По таблице XI находим:
90°	—	1,5708
46О42' - 0,8151
1' -	3
136’43' « 2,3862 рад.
Таблица XI позволяет также решать обратную задачу —
находить градусную величину угла, величина которого дана в
радианах.
Пример 7. Найдите градусную величину угла 0,9658 рад.
Решение. Находим в таблице число 0,9652, близкое к
0,9658. Найденное число есть радианная величина угла 55° 18'.
В строке, содержащей 55°, в колонке поправок 0,0006 рад соответ-
ствует 2'. Поэтому 0,9658 рад « 55°20'.
Решение оформляется в виде:
0,9652	- 55’18'
6-2'
0,9658 рад « 55’20'.
Упражнения
1.	Применяя формулы перевода градусной величины в радиан-
ную и обратно, заполните таблицы:
а)
Градусная величина дуги	10’	20’	35*			
Радианная величина дуги				8	я 4	7тг б
б)
Градусная величина дуги	32’5'			-63’45’		93’
Радианная величина дуга		1,2	1,51		-0,8	
142
2.	Величины углов, прилежащих к боковым сторонам трапе-
ции, относятся как 2 : 7. Найдите градусную и радианную вели-
чины этих углов.
3.	Величины углов прямоугольного треугольника образуют
арифметическую прогрессию. Определите градусные и радианные
величины этих углов.	я
4.	Постройте образ точки Р (— 1; 0) при повороте Ro, О —
начало координат. Найдите координаты построенной точки.
5.	Постройте образ точки Р (0; —1) при вращении R от+ 2"*>
k е Z, где О — начало системы координат. Найдите координаты
построенной точки.
6.	Постройте образы точки Ро (1; 0) при вращении вокруг
л л Зл	5л Зл
начала координат на углы —-	; —-	; —- ;	—л; —-	; — -у	;
—	; —2л.
4
7.	Поворот вокруг центра О единичной окружности отобра-
жает точку Ра (I; 0) на точку Р\ (0; - 1). Найдите множество
углов вращении, сводящихся к данному повороту.
8.	Колесо машины за 2 с делает 6 оборотов. Выразите в
градусах и радианах величину угла, па который повернется колесо
за 1 с, за 10 с.
9.	Пользуясь таблицей XI из таблиц В. М. Брадиса, найдите
радианную и градусную величины дуги:
Градусная величина дуги	28’56*	36’40*	172’15’			
Радианная величина дуги				0,6981	-0,8727	1,4643
10.	Окружность морского компаса делится на 32 равные дуги,
называемые румбами. Найдите величину одного румба в градусах
и радианах.
11.	В артиллерии применяется специальная система измерения
угловых величин. В этой системе единица измерения называется
делением угломера. Величина развернутого угла содержит 3000 де-
лений угломера. Выразите в градусах и радианах величину угла,
содержащую 100 делений угломера.
12.	При помощи калькулятора найдите градусную и радианную
величины углов:
Градусная величина угла	28,73°	123,25’	85,15’			
Радианная величина угла				0,732	1,232	2,173
143
§ 43*. ДЛИНА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
Рассмотрим окружность с центром в точке О радиуса /?
(рис. 140). Выведем формулу для вычисления длины I дуги
АВ этой окружности, если известна радианная величина а этой
дуги. Известно, что длина всей окружности равна 2л/?. Длина дуги
этой окружности в 1 рад равна = /?. Длина дуги АВ, со-
держащей а радиан, равна Ra. Итак, получили формулу длины
дуги окружности
I = Ra,
где I — длина дуги, R — радиус дуги, а — величина дуги в ра-
дианах.
Пример 1. Найдите длину дуги окружности радиуса 24 см,
если дуга содержит у рад.
Решение.
I = 24 • -£ = Зл (см).
О
П р и м е р 2. Найдите длину дуги окружности радиуса 20 см,
градусная величина которой равна 40°.
Решение. Найдем радианную величину дуги 40°.
а =	• 40 =	. Длина I дуги равна:
I = Ra = 20 • х 14 (см).
Пример 3. Дуга окружности содержит 200° и имеет длину
50 см. Найдите радиус этой окружности.
Решение. Найдем радианную величину дуги 200°:
А =	• 200 = рад. Найдем радиус R окружности:
18U	У
Упражнения
1.	Найдите длину дуги окружности радиуса
80 см, если дуга содержит радиан.
2.	Найдите градусную величину дуги ра-
диуса 18 см, содержащей-^- радиан.
3.	Найдите длину дуги, содержащей 120°,
если ее стягивает хорда длиной 10 см.
144
4.	Окружность радиуса 12 см разогнута в дугу радиуса 30 см.
Найдите градусную величину этой дуги.
5.	Найдите периметр сектора радиуса 20 см, радианная вели-
чина дуги которого равна .
□
§ 44*. ПЛОЩАДЬ КРУГОВОГО СЕКТОРА
Рассмотрим окружность с центром в точке О радиуса R.
Выведем формулу для вычисления площади S сектора ОАВ
(рис. 140).
Известно, что площадь круга равна л/?2. Площадь сектора,
^>2
дуга которого содержит 1 рад, равна	. Площадь 5
сектора ОАВ, дуга которого содержит а радиан, равна
R2
— . а (кв. ед.).
Итак, получили формулу площади кругового сектора:
где S — площадь, R -  радиус дуги, а величина в радианах
дуги сектора.
_	2л
Пример 1. Величина дуги сектора в радианах равна —,
а его радиус равен 9 см. Найдите площадь сектора.
2	92 . 2П
Решение. S =	2 а ; S = —%—— = 27л (см2).
Пример 2. Радианная величина дуги кругового сектора
равна 3, его площадь 584 см2. Найдите радиус сектора.
Решение. По формуле площади кругового сектора
S = найдем: R2 = —; R2 =	= 256; R = -/256 =
z	а	о
= 16 (см).
Упражнения
1.	Найдите площадь кругового сектора, радиус которого равен
18 см, а величина дуги в радианах у.
2.	Радиус кругового сектора равен 12 см, дуга его содержит
50°. Вычислите площадь сектора.
3.	Длина дуги кругового сектора равна 120 см. Найдите пло-
2л
щадь сектора, если величина его дуги в радианах равна у.
145
43°
Рис. 141
Рис. 142
4.	Вычислите площадь плоской детали, изображенной на рисун-
ке 141 (размеры проставлены в мм).
5.	Площадь кругового сектора равна 300 см2, а величина его
дуги в радианах равна 1,5. Найдите радиус сектора.
6.	Площадь сектора равна 400 см2, а его радиус 15 см. Найдите
величину дуги сектора в радианах и градусах.
$ 45. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Вы уже знакомы с тригонометрическими функциями углов. Так,
вы знакомы с функциями у — sin а, у = cos а, у = tg а,
у = ctg а, где а — некоторый угол. Введение радианной системы
измерения угловых величин и установление взаимно однозначного
соответствия между множеством значений угловых величин и мно-
жеством действительных чисел позволяет расширить представле-
ние о тригонометрических функциях. Введем теперь тригонометри-
ческие функции числового аргумента.
Рассмотрим координатную плоскость и единичную окружность
х2 + у2 = 1 (рис. 142). Точка Ро имеет координаты (1; 0).
Рассмотрим вращение плоскости вокруг начала координат на
а радиан (здесь а — любое действительное число). Пусть в этом
вращении образом точки Ро будет точка Ра с координатами (х; у).
Точку Ра будем называть соответствующей числу а.
Определение. Синусом числа а называется ордината
точки единичной окружности, соответствующей числу а.
Обозначение: sin а = у.
Определение. Косинусом числа а называется абсцисса
точки единичной окружности, соответствующей числу а.
Обозначение: cos а = х. Область определения функций sin а
и cos а есть множество всех действительных чисел, так как любому
действительному числу соответствует определенная точка единич-
ной окружности.
146
Определение. Тангенсом числа а называется отношение
синуса этого числа к косинусу этого числа.
Обозначение: tg а =	, cos а 0.
® cos а
Функция тангенс определена только для тех значений аргумен-
та а, которые не обращают в нуль cos а.
Определение. Котангенсом числа а называется отноше-
ние косинуса этого числа к синусу этого числа.
Обозначение: ctg а = --?-s —, sin а #= 0.
” sin а
Функция котангенс определена только для тех значений аргу-
мента а, которые не обращают в нуль sin а.
Функции sin а, cos а, tg а, ctg а называют тригонометриче-
скими функциями числового аргумента.
Иногда рассматривают еще две тригонометрические функции —
секанс (sec а) и косеканс (cosec а), которые определяются так:
sec а —- —-— (cos а 0); cosc-c а — —— (sin а 0).
cos а	'	sin а v	'
Пример 1. Заполните таблицу:
Функция	Аргумент				
	0	я 2	?г	ЗЯ 2	2я
sin a					
cos a					
tg a					
ctg a					
Решение. Рассмотрим единичную окружность (рис. 142).
Если а = 0, то Ро (1; 0) -> Ро (1; 0). Поэтому sin 0 = 0, cos 0=1,
tg 0 = cos0 = — = 0, ctg 0 ие существует, так как sin 0 = 0.
Полученные результаты занесите в первую колонку таблицы.
Заполним еще одну колонку этой таблицы. Если а = ^,
то Ро (1; 0) Рзл (0; — 1). Рассмотрим единичную окружность:
Зл
• Зл	. Зл п , Зл Sin 2
sin — = — 1; cos -g- = 0; tg -g- =-----------— не существует, так
cos-y-
147
Зл
COS —
как cos = 0; ctg =----------— = —-= 0. Остальные колонки
2	2	,3л	— 1
sin —
заполните самостоятельно.
Укажем области определений и множества значений тригоно-
метрических функций числового аргумента.
Так как ордината и абсцисса любой точки единичной окруж-
ности по модулю не превосходят единицы, то множеством значений
функций sin а и cos а является отрезок [— 1; 1].
Область определения функции tg а есть множество всех дей-
ствительных чисел, при которых значение косинуса отлично от
нуля. Функция косинус обращается в нуль при следующих значе-
л Зл 5л	л Зл 5л
НИЯХ аргумента:	- - ; - — ; - — ;	...,
т. е. при всех значениях аргумента вида у + ли, где п = 0;
± 1; ±2; ± 3; .... т. е. п е Z. Поэтому областью определения
функции тангенс служит множество всех действительных чисел,
кроме чисел вида у + лп, где п е Z.
Область определения функции ctg а есть множество всех дей-
ствительных чисел, кроме тех, при которых значение синуса
равно нулю. Функция синус обращается в нуль при следующих
значениях аргумента: 0; л; 2л; Зл; ...; — л; — 2л; — Зл; ...,
т. е. при всех значениях аргумента вида лп, где п е Z. Поэтому
областью определения функции котангенс служит множество всех
действительных чисел, кроме чисел вида лп, где п е Z.
Множество значений функций tg а и ctg а есть множество
всех действительных чисел.
	Функция			
	sin а	cos а	tg а	ctg а
Область определе- ния	R	R	, я , а + — + яп, я=0; ±1; ±2;...	ос ф лп, я=0; ±1; ±2;...
Множество значе- ний	[-1; Ц	(-1; П	R	R
1 л
П р и м е р 2. Известно, что sin а = у и у < а < л. Найдите
значения функций cos a, tg а, ctg а.
Решение. Задачу нетрудно решить, пользуясь единичной
окружностью (рис. 143). Пусть Ра = Ro (Ро). Рассмотрим прямо-
угольный треугольник ОВРа: sin а и cos а есть соответственно
ордината и абсцисса точки Ра, | ОРа | = 1, | О В | = у. Восполь-
зовавшись теоремой Пифагора, найдем |Р^В| = |cos <z|:
148
2
Упражнения
1.	Сформулируйте определения тригонометрических функций
числа. Запишите области определения и множества значений
этих функций.
2.	На миллиметровой бумаге постройте единичную окруж-
ность. На ней постройте точки Ра для таких значений аргумента
а: а) у-; б) у ; в) ~ ; г)—у-. Найдите приближен-
ные значения тригонометрических функций при данных значениях
аргумента.
3.	-Сравните значения функций: a) sin — и sin
в) sin -7- и cos — ; г)
о	4
Зл
COS — и
4
б) cos и cos ( —£•);
и	\ О /
7л	ч я	5л
cos ; д) cos-д- и cos .
4	с	4
4. Дано: cos а = -у и < а < 2л.
sin а, tg а, etg а.
5. На единичной окружности постройте
п л	л л 2л
щие числам: 0; -т-; v ; -=; -т-;
4	3	2	3
2л. Найдите значения функций sin a, cos a, tg а, etg а
о 4 О
при этих значениях аргумента. Заполните таблицу:
Зл ф 5л ф
Т’ 6"’
Найдите
значения
точки, соответствую-
7л ф 5л ф 4л _ Зл ,
л; Т’ Т’ Т’ Т’
149
Функция	Аргумент															
	0	Я 4	я 3	я 2	2п 3	Зя 4	5я 6		7я 6	5я 4	4я 3	Зя 2	5я 3	7я 4	11Я 6	2я
sin а																
cos а																
tg а																
ctg а																
6.	Вычислите:
а)	2 cos у — у tg л + sin у ;
б)	2 sin а + cos 2а — 5 sin За — 4 cos 6а при а = у .
7.	Верно ли равенство
cos 3O°tg 30° — 1 = ctg 60°(1 + sin245°)?
8.	Найдите множество значений аргумента х, при которых
разность 1 — sin х: а) положительна; б) равна нулю; в) отри-
цательна.
§ 46. ИЗМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ С ИЗМЕНЕНИЕМ АРГУМЕНТА
Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней еди-
ничную окружность (рис. 144). Оси координат делят множество
точек плоскости, не принадлежащих осям, на четыре непере-
секающихся подмножества, называемых четвертями или квадран-
тами. Обычно четверти (квадранты) нумеруются, как показано
на рисунке 144. Точкам единичной окружности, лежащим в пер-
вой четверти (I), соответствуют действительные числа а из проме-
жутка (0 + 2лл; у + 2лн), где « е Z. Точкам единичной ок-
ружности, лежащим во второй четверти (II), соответствуют дейст-
вительные числа а из промежутка (у + 2лп; л + 2л/г) , где
п <= Z.
Задание 1. Запишите числовые промежутки, соответствую-
щие точкам единичной окружности, лежащим: а) в III четверти;
б) в IV четверти.
Рассмотрим изменение значений тригонометрических функций
с изменением значений аргумента по четвертям от 0 до 2л.
Проследим вначале, как изменяются значения функции sin а с
изменением а. Вспомним, что sin а — это ордината точки единич-
ной окружности, соответствующей числу а. Пусть а возрастает от 0
150
— до л, то sin а убывает от 1 до 0; при дальнейшем возрастании
аргумента а от л до у значения sin а продолжают убывать от 0
до — 1, а затем с возрастанием а от у до 2л значения sin а воз-
растают от — 1 до 0.
Построим схематический график функции у — sin х (рис. 145)
для х е [0; 2л]. Обратим внимание па знаки значений функции
sin а с изменением аргумента а по четвертям. Схематически знаки
значений функции sin а с изменением аргумента а по четвертям
представлены на рисунке 146.
Задание 2. Проследите изменение функции cos а с воз-
растанием аргумента а от 0 до 2л.
Схематически знаки значений косинуса с изменением аргумен-
та а по четвертям представлены на рисунке 147.
Схематический график функции у — cos х изображен на ри-
сунке 148.
Пользуясь определениями функций tg а и ctg а, можно про-
следить их изменение с изменением аргумента а.
151
Задание 3. Проследите изменение тангенса и котангенса
с изменением аргумента а от 0 до 2л.
На рисунках 149—152 показано, как можно установить знаки
значений тангенса и котангенса по четвертям.
На рисунке 153 схематически представлено изменение знаков
значений тангенса и котангенса с изменением аргумента по
четвертям.
Наши выводы можно свести в таблицу:
Четверть	Функция			
	sin а	cos а	tg а	etg а
I	+	+	+	+
II	+	—	—	—
III	—	—	+	+
IV	—	+	—	—
У
Рис. 150	Рис. 151
152
Рис. 152
Рис. 153
Упражнения
1.	Проследите изменение синуса и косинуса с возрастанием
л Зл
аргумента от до .
2.	Найдите знаки значений тригонометрических функций по
заданным ниже в таблицах значениям аргумента:
Аргумент	Функция			
	sin а	cos а	tg а	ctg а
285е				
-150’				
390’				
660’				
Аргумент	Функция			
	sin а	cos а	tg а	ctg а
_ 7Г 8				
15 9 Я				
11 3 я				
5 4Я				
153
в)	Аргумент	Функция			
		sin а	cos а	tg о.	ctg а
	1,6				
	-2,3				
	-6				
	3,1				
При помощи калькулятора найдите значения тригонометрических
функций и заполните таблицы а), б), в).
3.	Найдите знаки значений выражений: a) sin 200° cos 320°;
-.	rr , ( л \ , Юл ч	t g 5
б) cos — tg I----—) ctg —5—; в)---------—* . , '— .
о	4/ & 3	cos ( —3) sin( —2)
При помощи калькулятора найдите значения этих выражений.
$ 47. ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Приближенные значения функций sin а и cos а можно найти
при помощи единичной окружности. На рисунке 154 изображена
единичная окружность в масштабе 1 ед = 5 см. На окружности
обозначены точки, соответствующие числам от 0 до 2л через
каждые 0,05 радиана. С помощью такой окружности можно
находить значения sin а и cos а с точностью до 0,02 — 0,03.
Для нахождения значений тригонометрических функций с
большей точностью составлены таблицы. В «Четырехзначных ма-
тематических таблицах» В. М. Браднса таблицы VIII, IX, X
позволяют находить значения sin a, cos а, tg а, ctg а, если задано
значение аргумента а в градусах от 0 до 90°; таблица XII позво-
ляет находить значения этих функций при значениях аргумента в
радианах от 0 до л.
Позднее будет показано, что этими же таблицами можно
воспользоваться для нахождения значений тригонометрических
функций при любых значениях аргумента.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найдите sin 50° 18'.
Р е ш е н и е. Воспользуемся таблицей VIII. Число градусов
(50°) находим в левой колонке, а число минут (18') — в верхней
строке. Значение синуса находим на пересечении строки, со-
держащей 50°, и колонки, содержащей 18': sin 50° 18' « 0,7694
(целая часть числа указана только в колонке 0°).
Пример 2. Найдите sin 65°20'.
Решение. В левой колонке находим число градусов (65°),
154
Рис. 154
в верхней строке нет числа 20', поэтому берем ближайшее к нему
число 18'. На пересечении строки, содержащей 65°, и колонки,
содержащей 18', находим: sin 65° 18'« 0,9085. Необходимо те-
перь учесть поправку на 2'. Поправки (десятитысячные) на Г, 2'
и 3' содержатся в трех последних колонках. Так как на промежутке
от 0 до 90° с возрастанием аргумента возрастает значение синуса,
то найденную поправку прибавляем к значению sin 65° 18'.
Приведем запись решения:
, sin 65° 18' - 0,9085 ,
+ 2' - 2 +
sin 65’ 20' « 0,9087
Пример 3. Найдите cos 34° 13'.
155
Решение. Для нахождения значений косинуса пользуются
той же таблицей VIII, что и для нахождения значений синуса.
Только число градусов берут из правой колонки (четвертая колон-
ка справа, перед колонками поправок), а число минут — из
нижней строки. В нижней строке нет числа 13', поэтому находим
ближайшее к нему число 12'. На пересечении строки, содержа-
щей 34°, и колонки, содержащей 12', читаем: cos 34° 12'as
as 0,8271. В этой же строке находим поправку на 1', равную
2 десятитысячным. Вспоминаем, что с увеличением аргумента на
промежутке от 0 до 90° значения косинуса убывают, поэтому
найденную поправку надо вычесть от значения cos 34° 12'.
 cos 34° 12' — 0,8271 _
cos 34° 13' « 0,8269
Аналогично значения тангенса и котангенса при градусной
величине аргумента находят по таблице IX.
По таблице X находят тангенсы углов, близких к 90°, и ко-
тангенсы малых углов.
По таблице ХП находят значения тригонометрических функ-
ций числового аргумента.
П р и м е р 4. Найдите cos 1,47.
Решение. По таблице XII в колонке х (значения аргумента)
находим 1,47. На пересечении строки, содержащей это значение
аргумента, и колонки cosx читаем ответ: cos 1,47 as 0,1006.
Пример 5. Найдите tg 1,7832.
Решение, tg 1,7832 as tg 1,78 as — 4,7101.
Упражнения
1.	Найдите при помощи таблиц:
a)	sin	56°30',	б)	cos32°18',	в)	tg 17’12',	г) ctg 16°30',
sin	59°40',	cos 61’10',	tg 48°49',	ctg 47’35',
sin	78’5';	cos 74’2';	tg 64’53';	ctg 78’23'.
2.	Найдите при	помощи таблиц значения	синуса, косинуса
и тангенса следующих чисел:
а) 1,48; б) 0,26; в) 2,381; г) 3,051.
3.	Найдите при помощи калькулятора значения следующих
тригонометрических функций:
Функции	Значения аргумента			
	25,71’	-18,53’	137,12’	-235,17’
sin а				
cos а				
tg'a				
156
Функции	Значения аргумента			
	0,83	-1,75	2,32	-3,74
sin а				
cos а				
tg а				
§ 48. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ НА ОТДЕЛЬНЫХ
ПРОМЕЖУТКАХ
Простейшими тригонометрическими уравнениями обычно на-
зывают уравнения вида sin х = a, cos х — a, tg х = а и etg х = а.
В таких уравнениях переменная находится под знаком тригоно-
метрической функции, а — данное число. В этом параграфе мы
научимся решать лишь первые два уравнения на заданном про-
межутке. Заметим, что | sin х |	1 и | cos х| 1, поэтому урав-
нения sin х = а и cos х = а имеют решения при | а |	1. Рас-
смотрим конкретные примеры.	'
Пример 1. Решите уравнение sin х = 0,5, х е [0; 2л].
Решение. Рассмотрим единичную окружность (рис. 155).
Найдем на ней точки, ординаты которых равны 0,5. Таких точек
две: А и В.
Радианные величины дуг МА и МВ и будут решением данного
уравнения на промежутке от 0 до 2л: xi = МА = у, хч = МВ =
= л — BN, замечаем, что BN = МА, поэтому хч = л — -£ =
0	0
Пример 2. Пользуясь единичной окружностью, изображен-
ной на рисунке 154, решите уравнение cos х = —0,4 на промежут-
ке 0 х 2л,
Решение. На единичной окружности находим точки,
абсциссы которых равны — 0,4. Таких точек две, этим точкам
на промежутке от 0 до 2л соответствуют числа 2,0 и 4,3.
Ответ: xi х 2,0; хч х 4,3.
Пример 3. Решите уравнение cos х = 1 для х е [0; 2л].
Решение. На единичной окружности имеется только одна
точка с абсциссой 1. Это точка М (рис. 155), ей соответствуют
числа 0 и 2л. Поэтому Xi = 0; хч = 2л.
Пример 4. Решите уравнение cos х = 0 для х е [0; 2л].
Решение. На единичной окружности имеются две точки
с абсциссой 0. Это точки С и D (рис. 155). Этим точкам соответст-
л Зл
вуют числа -g- и —, поэтому рассматриваемое уравнение имеет
157
два решения Х| = и хг — па промежутке [0; 2л].
Пример 5. Решите уравнение sin х -------% па промежутке
[-л; 0].
Решение. На единичной окружности (рис. 156) имеются две
точки М и N, ординаты которых равны---. Точке М из данного
промежутка соответствует число —, а точке N — число
5л
— "6 ’
я	ал
Ответ: Xi =	%2 =----г- 
о	о
Задание 1. С помощью единичной окружности решите на
промежутке [ —2л; 2л] уравнения: a) sin х — — у-; б) cos х =
_ _ VL
2 ’
Простейшими тригонометрическими неравенствами обычно
называют неравенства вида sin х a (sin х а) или cos х > а
(cos х a), tg х > a, ctg х > а. В этих неравенствах переменная
находится под знаком тригонометрической функции, а а — данное
число. В данном параграфе мы с помощью единичной окружности
научимся решать такие неравенства только на промежутке
[0; 2л]. Рассмотрим примеры.
Прим е р 6. Решите неравенство sin х 0,5 на промежутке
[0; 2л].
Решение. Рассмотрим единичную окружность (рис. 157).
Найдем па ней точки, ординаты которых равны или меньше 0,5.
Ясно, что этому условию удовлетворяют точки дуги AMDNB.
Множеству точек этой дуги соответствует объединение двух
числовых промежутков: [О; у] (J 1 2л], где промежуток [о; у]
соответствует дуге МА, а промежуток [у; 2л] — дуге BNM.
Ответ: [о; £ ] U [£; 2„].
158
Пример 7. Решите неравенство cos х> ~ на промежутке
[0; 2 л].
Решение. Рассмотрим единичную окружность (рис. 158).
Найдем на ней точки, абсциссы которых больше у. Ясно, что
этому условию удовлетворяют внутренние точки дуги АМВ. Точке
В соответствует число у, точке Л — число 2л------у =	. Внут-
ренним точкам дуги ЛМВ соответствует объединение числовых
промежутков: [б; у) U (у; 2л].
Ответ: [о; у ) U (у; 2л].
Задание 2. С помощью единичной окружности на проме-
жутке [0; 2л] решите неравенства:
ч •	V2 кч	V2
a) sin х -----у-; б) cos х <_-----у.
Упражнения
1.	С помощью единичной окружности (рис. 154) решите следую-
щие тригонометрические уравнения на промежутке [0; 2л] :
a) sin х х 1,5;	б) cos х « 0,45;	в) cos х « — 0,65;
г) sin х х 0,85; д) sin х ж — 0,65; е) cos х х — 2.
2.	Следующие тригонометрические уравнения решите на про-
межутке [0; 2л]:
a) sin х = 1;	б) cos х = 0;	в) sin х = -у-;
г) cos х = -у-;	д) sin х = — 0,5; е) cos х = — 0,5;
ж) sin2 х + 2 sin х + 1 = 0;	з) cos2 х = cos х.
159
3.	Решите тригонометрические уравнения на заданных про-
межутках:
a) sin х = —	[ — л; 0]; б) cos х = — 1, [б; у];
в) tg х = — 1; [ — у ; -J ]; г) etg х = — п/З, [0; л].
4.	Решите неравенства на промежутке [0; 2л]:
a) sin х^ 0,5; б) cosx^0,5] в) sin х < —0,5;
г) cos х > —0,5; д) sin х <	; е) cos х ;
,	.	Л ч	л/2
ж) sinx<-----; з) cosx^-^-.
5.	С помощью единичной окружности (рис. 154) решите сле-
дующие тригонометрические неравенства на промежутке [0; 2л] :
a) sin х > 0,52; б) sin х 0,7; в) sin х — 0,21;
г) cos х — 0,25; д) cosx> 0,7; е) cos х 0,44.
§ 49. ЗАВИСИМОСТИ
МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ
АРГУМЕНТА
Некоторые зависимости между тригонометрическими функция-
ми нам уже известны:
,	sin а . л ,	~
tg а =-----------, а =# -тг- 4- лп, где л е Z.
ь cos а	2 1	’
(1)
etg а = cos “ , а =# л/г, где л е Z.	(2)
ь sin а
Эти зависимости введены как определения. Установим еще
несколько зависимостей.
Рассмотрим единичную окружность (рис. 159) и некоторую
ее точку Ра (х; у), соответствующую числу а. Координаты любой
точки Р (х; у) единичной окружности связаны соотношением
х2 + у2 = 1. По определению х = cos а, у = sin а. Поэтому
sin2 а + cos2 а = 1, где а е R.	(3)
Тождество (3) показывает, что, зная значение одной из
функций sin а или cos а, можно найти соответствующее значение
160
другой из них. Так, если известно значение cos а, то из равенст-
ва (3) находим:
I sin а | = -\/ 1 — cos2 а.
Чтобы найти sin а, надо еще знать, какой четверти принад-
лежит точка единичной окружности, соответствующая числу а. На-
1
пример, если известно, что cos а = у, то по заданному значению
можно найти два различных значения sin а (рис. 160): sin а =
или sin а
\/3	.	д«
-у- (ординаты точек М
и N).
Если же нам, например, известно, что точка, соответствующая
числу а, принадлежит IV четверти, т. е. у < а < 2л, то значе-
л/3
ние синуса определяется однозначно: sin а = —
Аналогично обстоит дело с нахождением значения cos а при
заданном значении sin а:
I cos а | = -д/1 — sin2 а.
Перемножив почленно равенства (1) и (2), получим:
,	,	sin а
tg а • ctg а =-----
&	& cos а
Это равенство справедливо только при тех значениях аргумента,
при которых определены функции tg а и ctg а, т. е. при
а =# у + лп и а =# лп, где п е Z. На единичной окружности
(рис. 161) кружочками выделены точки, соответствующие числам
вида у лп, для которых не определена функция tg а, а также
6 Алгебра и начала анализа	161
cos а ____ ।
sin а
точки, соответствующие числам вида лп, для которых не опреде-
лена функция ctg а. Объединением этих множеств будет множест-
во действительных чисел вида , где п е Z. Поэтому рассматри-
ваемое равенство справедливо при всех действительных числах,
кроме чисел вида -%, где п е Z.
Итак,
tg а • ctg а = 1, а Ф ™, где п е Z.	(4)
Равенство (4) позволяет находить значение tg а по заданному
. , . 1 . 1
значению ctg а и обратно: tg а =	; ctg а =	.
ь	1	Б ctg а ’ Б tg а
Тождество (3) разделим почленно на cos2 а, что возможно
при всех значениях а, не обращающих cos а в нуль, т. е. при
а =А у + лп, где п е Z. Получим:
sin2 а । cos2 а  	1
cos2 а cos2 a	cos2 а
1 + tg2a = —, а #=	+ лп, где я е Z. (5)
cos a	z
Тождество (3) разделим почленно на sin2 а, что возможно
при всех значениях а, не обращающих sin а в нуль, т. е. при
а =А лп, где п е Z. Получим:
sin2 а । cos2 а  	1
sin2 a. sin2 a.	sin2 а
1	-j- ctg2 a = —J—, a #= лп, где п е Z.	(6)
sin2 a
Формулы (3) — (6) являются теоремами в отличие от формул
(1) - (2), введенных как определения.
Пример 1. Выразите через tg а: а) cos a; б) sin a.
Решение, а) Воспользуемся соотношением (5). Из него
найдем:
2	1	.	.	1
cos а =----------— , откуда | cos a I =---------.
1 + te a	V 1'+
б)	Воспользуемся соотношением (1). Из него найдем:
sin a — tg a cos a. Теперь, зная выражение cos a через tg a, полу-
чнм: Isinal — -  -
< 1 + tg7*
162
Пример 2. Упростите выражение (1 — cos а) (1 + cos а) —
♦ 2
— sin а.
Решение. (1 — cos а) (1 + cos а) — sin2 а = 1 — cos2a —
— sin2 а = 1 — (cos2 а + sin2 а) = 1 — 1 = 0.
п	о лг	sin41 4- cos41 — 1
Пример 3. Упростите выражение ---------1.
sin6 t + cos6 t — 1
Решение.
sin4 t + cos4 t — 1   (sin21)1 + cos4 t — 1   (1 — cos2 t)2 -f- cos4 t — 1  
sin6 t + cos61 — 1	(sin2 /)э + cos61 — 1	(1 — cos2 t)3 4~ cos6 t — 1
I — 2 cos21 4- cos4 t 4- cos4 t — 1	_ 2 cos21 (cos2 t — 1)   2
1 — 3 cos2 <4-3 cos4 t — cos6 t 4- cos6 t — 1	3 cos21 (cos21 — I)	3
П p и м e p 4. Докажите тождество:
sin3 a (1 4~ ctg a) -|- cos ’ a (1 |- tg a) = sin a 4~ cos «.
P e in e и и e. sin3 a (1 4~ ctg «) + cos3 a (1 4~ tg a) =
= sin2 a (sin a 4- cos a) 4- cos2 a (sin a 4~ cos a) =
—(sin a 4- cos a) (sin2 a 4~ cos2 a) = sin a 4- cos a.
Пример 5. Известно, что cos a =------и -у < a < л. Най-
дите значения sin a, tg a, ctg a.
Решение. 1. Из соотношения (3) находим:
| sin a
cos’ a,
I sin a |
y[2i
5 '
В заданном интервале -у <
V2T
поэтому sin a — -V-.
a < л значения sin a положительны,
2,	sin a	,
. tg a =----------- tg a =
ь cos a	b
n x	cos a ।
3. ctg a =-----------, ctg a = —
sin a
2
Т2Г
2^21'
" 21
2
5
2
163
Упражнения
1.	По данному значению одной из тригонометрических функций
и интервалу, в котором находится аргумент, найдите значения
остальных функций:
1	л	2	Зл
a) sin а = -s-,	< а < л; б) cos а =--------х-, л < а <	;
£ Z	U	i
в) tg а = 2, л < а < г) ctg а = —	-у- < а < 2л.
2.	Существует ли такое значение
ч •	2	.	1
a) sin х = -х- и tg х =	б)
и	и
в) sin х = 0 и cos х = 0; г)
аргумента х, при котором:
sin х ; 1 и cos х = 1;
12	,	5 ,
Sin X = п И ctg X = -rr ?
3.	Найдите значение выражения:
а)
б)
sin а + tg ct
cos a + ctg a
если tg a = — 1 и g- < a < 2л;
3 sin a cos a
2 sin2 a — 3cos2 a
если ctg a = — 2;
в) sin a cos a, если sin a + cos a = 1;
r) tg3 a + ctg3 a, если tg a + ctg a = 5;
д) tg a cos2 a, если sin a + cos a = у .
4.	Упростите выражения:
1____
cos a ’
а)
sin a •
6) tg a
1___.
sin a ’
в) sin a cos a tg a; r)
5. Упростите выражения:
а) 2 — sin2 a — cos2 a;
в) sin2 a + cos2 a + tg2 a;
д) —!--------ctg2 a — cos2 a;
sin2 a
.	2 sin2 a. — 1
ж) —---------------;	з
' sin a — cos a
sin a cos a ctg a.
6) 1 + cos2 a — sin2 a;
r) sin2 a + ctg2 a + cos2 a;
e) —--------tg2 a — sin2 a;
cos2 a
sin4 a + cos2 a + sin2 a cos2 a,
6.	Докажите тождества:
.	1 — cos2 a	,
a)		 = 1 — cos a
sin2 a + ctg a sin a + cos2 a
6)	(1 + tg2 a) (1 — cos2 a) = tg2 a;
. tg a . ctg a	2
B)	—----------------— = —-------------;
*	. 9	’	9	«1П ft СПЯ ft
164
г)	(-EJ1LL)2 + (-М)2 =_______!____.
\cosa/ ^Vs.na/ sin2 a cos2 a ’
д)	cos2 a + sin2 a sin2 p + sin2 a cos2 p = 1;
e)	sin4a + cos4a + 2 sin2 a cos2a = 1;
ж)	(sin a + cos a)2 + (sin a —cos a)2 = 2;
4	1 + cos a 4- cos 2a	n
3)		------------- cos a.
1 +Ц- + —
cos a cos a
7. Упростите выражения:
1 — sin4 a
cos2 a
1 — (sin x — cos x)2
1 + sin2 x — cos2 x
I I tg*____________1 .
cos x "t” sin x	cos x ’
sin a ।	1 — cos a
1 — cos a	sin a
Д)
sin2 a + 2 cos2 n
2 sin2 a — 1
1 — 2 cos2 a
I___________1
cos21	etg21
sin2 t
tg’*
8.
a)
6)
в)
Докажите тождества:
tg2 x — sin2 x = tg2 x sin2
cos2 a + 2 sin2 a -f- sin2 a
cos’ a + sin’ a । _________
(1 — cos a sin a) sin a
tg2 a
_ I
cos2 a ’
etg a;
r)
3------7—
sin’a
1 — 3 sin2a
+ ctg2a = — 1;
Д)
e)
ж)
з)
cosx + sin xctgx , „ .	2
-------4--------г----b 2 SIH x - -r—;
tg x-----------sin x’
(1 + etg x) sin2 x + (1 + tg x) cos2 x _ J
(sin x + cos x)2
sin21	sin t 4- cos t . , ,	.
-Г------------------—:---------= sin t + cos t;
sin t — cos t tg2 t — 1
etg2 a — cos2 a . sin a cos a ____ ।
etg2 a	cti^ ~
9. Упростите выражение	“ V Yasina • если
л
у < a < п.
165
$ 50. ПОНЯТИЕ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ
ФУНКЦИИ
Рассмотрим функции f (х) = х2 (рис. 162) и <р (х) = х3
(рис. 163). Каждая из них задана на всем множестве действитель-
ных чисел. Зафиксируем два различных значения аргумента,
равных по абсолютной величине и отличающихся знаком, напри-
мер 2 и — 2. Сравним соответствующие значения каждой из
рассматриваемых функций:
f (2) = 22 = 4 и Н- 2) = (- 2)2 = 4, т. е. f (2) = f (- 2);
<p (2) = 23 = 8, однако ф (— 2) = (— 2)3 = — 8, т. е. ф (— 2) =
= — Ф (2).
Нетрудно догадаться, что для функции f (х) = х2 справедливо
следующее равенство: f( —x) = f(x); такую функцию называют
четной. Для функции ф (х) = х3 справедливо равенство ф (— х) =
= — ф (х); такую функцию называют нечетной.
Существуют, однако, функции, не относящиеся ни к четным, ни
к нечетным. Рассмотрим, например, функцию ф(х) = х + 1, за-
данную на всем множестве действительных чисел, ф(—х) =
= - х + 1. Ясно, что ф (— х) =/= ф (х), а также ф (— х) =#= — ф (х),
поэтому функцию ф (х) = х + 1 нельзя отнести ни к четным, ни к
нечетным функциям.
Рассмотрим функции, области определения которых сим-
метричны относительно начала координат, т. е. вместе с произ-
вольным числом х область определения содержит и число (— х).
Для таких функций определены понятия четности и нечетности.
166
Функция f (х) называется четной, если для любого х из ее
области определения выполняется равенство f ( —х) = f (х).
Задание 1. Докажите, что функция f (х) = |х| четная.
Функция f (х) называется нечетной, если для любого х из ее
области определения выполняется равенство f (—х) = —f (х).
Задание 2. Докажите, что функция f (х) = х нечетная.
Задание 3. Докажите, что функция f (х) = 2 — х не
является ни четной, ни нечетной.
Из определения четной функции непосредственно следует,
что ее график симметричен относительно оси ординат (см.
рис. 162). Действительно, если у = f(x) —четная функция, то
f (—х) = f (х) и точки М(х; f (х)) и Mi (—х; f (х)) графика
рассматриваемой функции симметричны относительно оси орди-
нат.
Из определения нечетной функции непосредственно следует,
что ее график симметричен относительно начала координат
(см. рис. 163). Действительно, если у = f (х) — нечетная функ-
ция, то f (—х) = — f (х) и точки К (х; / (х)) и К\ (—х; —/(*))
графика рассматриваемой функции симметричны относительно
начала координат.
Графики функций, не являющихся ни четными, ни нечетными,
не симметричны относительно оси ординат и не симметричны
относительно начала координат.
Нетрудно доказать и обратные утверждения.
1. Если график функции f (х) с областью определения D
симметричен относительно оси ординат, то эта функция четная.
2. Если график функции <р (х) с областью определения D
симметричен относительно начала координат, то эта функция не-
четная.
Докажите эти утверждения самостоятельно.
Упражнения
1.	На рисунках 164— 171 изображены графики функций, за-
данных на множестве [а; Ь]. Установите, какие из приведенных
функций: а) четные; б) нечетные; в) ни четные и ни нечетные.
2.	Докажите, что функция f (х) = х4 четная.
3.	Докажите, что функция f (х) = х5 нечетная.
167
4.	Докажите, что функция f (х) = 2х — 1 ни четная и ни не-
четная.
5.	Какие из приведенных ниже функций четные, какие не-
2
четные, какие ни четные и ни нечетные: а) у = 2х; б) у = —;
в)у = х2 4- 4; г) у = (х — 3)2;д) у = 2х — 5; е) у = |2х — 5|;
ж) у = х2 — х + 3?
§ 51. ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Докажем, что функция cos а четная. Она задана на мно-
жестве всех действительных чисел. Рассмотрим единичную
окружность (рис. 172), произвольное значение аргумента а
и значение аргумента — а. Найдем соответствующие значе-
ния функции косинус. Числу а соответствует точка Ра единич-
ной окружности, а числу —а — точка Р-а этой окружности.
Точки Ра и Р-а симметричны относительно оси абсцисс, поэтому
их абсциссы (значения косинуса) совпадают. Таким образом,
при любом а выполняется равенство cos (— а) = cos а, означаю-
щее, что функция cos а четная.
2.	Рассмотрим функцию sin а, заданную на множестве всех
действительных чисел. Найдем значения этой функции для —а.
Из симметрии точек Ра и Р_а единичной окружности (рис. 172)
относительно оси абсцисс следует, что их ординаты (значения
синуса) противоположны. Таким образом, при любых а выполня-
ется равенство sin (— а) = — sin а, означающее, что функция
sin а нечетная.
3.	Докажем нечетность функции тангенс. Вначале заметим,
что если а е D (tg), то и — а е D (tg).
, ,	, sin (— а)	— sin а	,
tg ( —а) =----)--г- =-------= — tg а.
°	' cos (— а)	cos а	ь
Равенство tg( — а) = —tga означает, что функция тангенс
нечетная.
4.	Докажем нечетность функции котангенс. Заметим, что если
а е Ь (ctg), то и —a.^D (ctg).
168
cos (— a)   cos a  
sin ( — a) — sin a
= — ctg a.
Равенство ctg( — a) = —ctg a означает,
что функция котангенс нечетная.
Пример 1. Вычислите значения
функций sin a, cos a, tg a, ctg a при a =
= 330°.
Решение. R3q°° = Ro 3°”. поэтому
sin 330° = sin (— 30°) = — sin 30° =-------;
cos 330° = cos (— 30°) = cos 30° =	;
tg 330° = tg (-30°) = - tg 30° = — -A ;
ctg 330" cig (- -30") -ctg 30° =	-д/3.
Пример 2. Упростите выражение:
(cos (— a) -|  sin (— a))2 — 1
cos2(— a) — sin2 (— a) — 1
Решение. Воспользуемся равенствами sin (— a)
= — sin a, cos (— a) = cos a. Получим:
(cos (— a) + sin (— a))2 — 1   (cos a — sin a)2 — 1  
cos2 (— a) — sin2 (— a) — 1	cos2 a — sin2 a — 1
cos2 a — 2 cos a sin a + sin2 a — 1 _ — 2 cos a sin a _
cos2 a — sin2 a — (sin2 a + cos2 a)	— 2 sin2 a
Упражнения
1.	Докажите четность функции косинус.
2.	Докажите нечетность функции синус.
3.	Вычислите значения тригонометрических функций при
значении аргумента, равном 315°.
4.	Вычислите значения тригонометрических функций при зна-
5
чении аргумента, равном -у л.
5.	Вычислите значения выражений:
.	1 4-tg(-60°)	.	2 - sin (—45°) cos (-45°)
sin 60° + sin (-30°) ’	tg (—45°) • ctg 45°
169
6.	Упростите выражения:
. (cos ( — а) — sin ( — а))2
1	— 2 sin ( — а) cos ( — а) ’
cos ( — а)	sin ( — а)
1	— 2 sin2 ( — а)	1 — 2 cos2 ( — а)
7.	Докажите, что функция f (х) = sin х + tg * нечетная.
8.	Докажите, что функция f (х) — sin 2х tg х четная.
хг
9.	Докажите, что функция f (х) = cos четная.
10.	Докажите, что функция [ (х) = х3 sin х четная.
11.	Докажите, что функция f (х) = х2 + sin х не является
ни четной, ни нечетной.
§ 52.	ПЕРИОДИЧНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Процесс, который повторяется через один и тот же промежуток
времени, называют периодическим. В природе и технике мы часто
встречаемся с периодическими процессами. Например, вращение
Земли вокруг Солнца — периодический процесс с временным про-
межутком (периодом) в один год. Земля вращается вокруг
Солнца по траектории, близкой к эллипсу. Расстояние между
Землей и Солнцем с течением времени меняется, однако в любой
момент времени и ровно через год после этого расстояние
между Землей и Солнцем одно и то же.
Функции, описывающие периодические процессы, также на-
зывают периодическими. Для каждой периодической функции,
таким образом, существует число, отличное от нуля (период
функции), прибавление которого к произвольному значению ар-
гумента не меняет значения функции.
Пример 1. Рассмотрим функцию f (х) = {х) — дробную
часть числа. График функции f (х) = (х) = х — [х] изображен
на рисунке 173. Ясно, что если прибавить к любому числу х еди-
ницу, то дробная часть этого числа не изменится. Поэтому
f (х -|- 1) = (х + 1} = f (х). Например, {5,3} = {6,3} = 0,3. Это
равенство означает, что функция f (х) = {х} периодическая с пе-
риодом, равным 1. Очевидно, любое целое число, отличное от
нуля, будет периодом рассматриваемой функции, число же 1
является ее наименьшим периодом.
Определение. Функция f (х) с областью определения D
называется периодической, если существует такое число / =# 0,
что для любого х е D числа х + t и х — t также принадлежат D
и выполняется равенство f (х + t) = f (х).
Из этого определения следует, что f (х — t) = f (х) .
Докажем теперь, что тригонометрические функции периоди-
ческие.
170
Рис. 171
Теорема 1. Функции sin а и cos а периодические с наи-
меньшим положительным периодом 2я.
Доказательство. Областью определения функции синус
и косинус является множество всех действительных чисел.
Поэтому числа а, а 4~ 2л, а — 2л, ... принадлежат области
определения функций sin а и cos а. Рассмотрим единичную
окружность (рис. 174). Пусть Ра — точка этой окружности,
соответствующая числу а. Вращение плоскости R2o есть тождест-
венное преобразование, поэтому
/?<*>1	 Ro - Ro '
Числам а, а -ф 2л, а — 2л соответствует одна и та же точка
единичной окружности Ра. Поэтому
sin (а + 2л) = sin а = sin (а — 2л),
cos (а + 2л) = cos а = cos (а — 2л).
Таким образом, функции sin а и cos а периодические с
периодом 2л.
Из приведенных равенств следует, что числа 4л, 6л, 8л, ....
— 4л, — 6л, — 8л, .... т. е. числа вида 2/гл, где k е Z, также
периоды функций sin а и cos а:
sin (а + 2лй) = sin а, cos (а + 2лЛ) — cos а.
В градусной системе измерения угловых величин эти равен-
ства записывают так:
sin (а + 360°&) = sin а, cos (а + 360°k) = cos а.
Число 2л является наименьшим положительным периодом
функций sin а и cos а.
> Докажем, что число 2л есть наименьший положительный
период функции cos а. Доказательство проведем методом от
противного. Предположим, что существует такое число 0 < т-<
< 2л, что для всех значений а выполняется равенство
cos (а + tri) — cos а. Покажем, что существуют такие значения а,
при которых это равенство не выполняется. Пусть а = 0, тогда
cos m = cos 0=1. На единичной окружности есть только одна
171
точка с абсциссой 1. Это точка А (1; 0). Точке А соответствуют
только числа вида 2йл, где k е Z. Среди этих чисел нет ни одного
числа т, такого, что 0 <т < 2л. Поэтому cos т =# 1. Получен-
ное противоречие доказывает, что число 2л — наименьший поло-
жительный период функции cos а. Аналогично можно дока-
зать, что число 2л — наименьший положительный период функ-
ции sin а. ◄
Теорема 2. Функции tga и ctgа периодические с наимень-
шим положительным периодом л.
Доказательство. Рассмотрим единичную окружность
(рис. 175). При любом значении аргумента а из области определе-
ния функции tg а значения a + л и a — л также принадлежат
области определения этой функции. Пусть точка Ра, соответ-
ствующая числу а, имеет координаты (х; у), тогда точка Ра+„,
соответствующая числу а + л, симметрична точке РЛ относитель-
но начала координат и имеет координаты ( —х; — у). Таким обра-
зом, имеем:
sin a = у, cos а = х;
sin (a + л) = — у, cos (a -f- л) = — х;
*_/	।	\ sin (a + л) — и у sin a ,
tg (a + л) =---т——= —— = — = ------------= tg a.
6 '	' cos (a + л) — x x cos a s
Это означает, что число л — период функции тангенса.
Аналогично:
\ cos (а + л) —х х cos а ,
ctg (а + л) =	—------= — = —:—= ctg а.
'	' sin (а + л) —у у sin а ь
Это означает, что число л — период функции котангенс.
Очевидно, что числа 2л, Зл, 4л, .... — 2л, — Зл, — 4л, ....
т. е. числа вида /?л, где k s Z, также будут периодами функций
тангенс и котангенс.
Следовательно,
tg (a + л/г) = tg а, /г е Z;
ctg (a + л/г) = ctg a, k e Z.
В градусной системе измерения угловых
величин эти равенства имеют вид:
tg (a + 180°/?) = tg a, k e Z;
ctg (a + 180°/?) = ctg a, k e Z.
Можно доказать, число л — наимень-
ший положительный период функций tg a
и ctg a.
► Докажем, например, что число л —
наименьший положительный период тан-
генса. Доказательство проведем методом
от противного. Предположим, что сущест-
вует такое число 0 < т < л, что для всех
172
значений а выполняется равенство tg(a + tn) = tga. Пусть
a = О, тогда tg т = tg О — 0. Но на промежутке (0; л) функция
tg а в нуль не обращается. Поэтому нет такого числа т е (0; л),
при котором tg т = 0. Полученное противоречие доказывает, что
число л — наименьший положительный период функции tga.
Аналогично можно доказать, что число л — наименьший по-
ложительный период функции ctg a. ◄
В дальнейшем наименьший положительный период функции
мы часто будем называть основным периодом функции.
Пример 2. Вычислите sin 1470°.
Решение. Период синуса равен 360°. Разделим число
1470 на 360, получим:
1470° = 360° • 4 + 30°,
sin 1470° = sin (360° • 4 + 30°) = sin 30° = у .
Пример 3. Вычислите tg 945°.
Решение. Период тангенса равен 180°. Разделим число
945 на 180, получим: 945° — 180° • 5 + 45°.
tg 945° = ig (180° • 5 + 45°) = tg 45° = 1.
Пример 4. Найдите наименьший положительный период
функции у = cos Зх.
Решение. Пусть т — период функции cos Зх. Тогда
cos 3 (х + tn) = cos Зх для любого х е R. Пусть х = 0, тогда
cos Зт = cos 0=1. На промежутке [0; 2л] уравнение cos Зт = 1
имеет два решения: Зт = 0 и Зт = 2л. По условию т #= 0,
2л	2л
поэтому т = -Х-. Следовательно, m = —— наименьший положи-
о	<3
тельный период функции у = cos Зх.
Пример 5. Найдите период функции f (х) = sin 6х.
Решение. Так как основной период функции у = sin х
равен 2л, то основной период функции у = sin 6х равен у-,
т. е. у-. Действительно,
/(х + у-) = 5ш(б( х-ф -5-)) = sin (6х + 2л) = sin 6х = f(x).
Пример 6. Найдите основной период функции
f (х) = sin 2х + cos 4х.	2л
Решение. Основной период функции sin 2х равен у- = л,
основной период функции cos 4х равен у- = у-. Нетрудно до-
гадаться, что основной период данной функции есть наимень-
шее общее кратное чисел я и у , т. е. число л.
173
Действительно,
f (х 4- л) =
= sin (2(х 4- л)) 4- cos(4(x 4- л))=sin(2x 4- 2л) 4- cos(4x 4- 4 л) =
= sin 2х 4- cos 4х = f (х).
Упражнения
1.	Найдите значения:
a) sin 1500°;	б) cos 1140°;	в) tg I8600;
г) etg 1125°;	д) sin(— 780°); е) cos(— 1110°);
ж) tg(— 390°); з) etg (- 420°).
2.	Найдите значения:
a) sin-*—; б) cos-g—; в) tg-g-; г) etg — .
3.	Найдите наименьший положительный период у функции:
a) sin 2х; б) cos 4х; в) tg (х 4- •£-) ; г) etg Зх.
4.	Упростите выражение:
ч cos (а — 2л) tg (а + л) sin (а — 4л) _
'	3 sin (6л 4- а) • tg (“ — Зл) ’
cos (a + 2л) tg (а —л) + etg (a +л) sin (2л —а)
cos (а4-4л) cos (a — 2л) + sin (2л + a) sin (a — 4л)
5.	Найдите основной период функций:
a) f W = sin Зх 4- cos 5х; б) f (х) = cos 12х 4- tg 4х.
§ 53.	ГРАФИКИ ФУНКЦИИ sin х И cos х
Прежде чем строить графики тригонометрических функций,
отметим, что каждая из них непрерывна на каждом промежутке
области определения. Эти утверждения можно доказать, однако
мы примем их без доказательства.
1.	График функции у = sin х.
Вспомним изученные свойства функции у = sin х. Функция
у = sin х:
1)	определена на всем множестве действительных чисел: xeR;
2)	имеет множеством значений отрезок [ — 1; 1], поэтому ее
график расположен в полосе, ограниченной прямыми у = 1
и у = — 1;
3)	нечетна, поэтому ее график симметричен относительно
начала координат; можно построить его вначале для х > 0, а
174
график для х < О будет симметричен построенной части относи-
тельно начала координат.
4)	периодична с наименьшим положительным периодом 2л;
можно построить ее график вначале для х е [0; 2л]; поведение
функции на оставшейся части числовой прямой будет повторяться
с периодом 2л;
5)	с возрастанием х от 0 до —- возрастает от 0 до 1;
с возрастанием х от ~ до л убывает от 1 до 0;
с возрастанием х от л до у убывает от 0 до —1;
с возрастанием х от ~ до 2л возрастает от —1 до 0.
Теперь мы можем приступить к построению графика функции
у = sin х. На рисунке 176 показано построение графика для
х е [б; -у]; слева изображена единичная окружность. На ри-
сунке 177 изображен график функции у = sin х для х е [0; 2л].
На рисунке 178 изображен график функции у = sin х для
х е [ — 2л; 2л], полученный из графика этой функции для
х е [0; 2л] с помощью центральной симметрии с центром в начале
координат.
Задание. Проследите выполнение сформулированных выше
свойств 1—6 функции у = sin х по ее графику.
2.	График функции у = cos
Вспомним вначале свойства
функции у = cos х. Функция
у = cos х:
1)	определена на всем мно-
жестве действительных чисел:
X е R;
2)	имеет множеством значе-
ний отрезок [— 1; 1], поэтому ее
график расположен в полосе,
ограниченной прямыми у = 1 и
У = -1;
175
Рис. 178
3)	четна, поэтому ее график симметричен относительно оси
ординат; можно построить его часть вначале для х 0, а часть
графика для х < 0 будет симметрична построенной части относи-
тельно оси ординат;
4)	периодична с наименьшим положительным периодом 2л;
поэтому можно построить ее график для х е [0; 2л]; поведение
функции на остальной части числовой прямой будет повторяться
с периодом 2л;
5)	с возрастанием х от 0 до у- убывает от 1 до 0;
с возрастанием х от у до л убывает от 0 до — 1;
ЗЛ	« А
с возрастанием х от л до -% возрастает от — 1 до 0;
с возрастанием х от до 2л возрастает от 0 до 1.
Приступим теперь к построению графика функции у = cos х.
На рисунке 179 показано построение графика для х е [0; 2л].
На рисунке 180 изображен график функции у = cos х для
х s [— 2л; 2л], полученный из графика этой функции для
х s [0; 2л] с помощью осевой симметрии SOy.
Упражнения
1.	Пользуясь графиком функции у = sin х (рис. 177), решите
неравенство sin х> 0, если
х е [0; 2л].
2.	Пользуясь графиком
функции y = cosx (рис. 179),
решите неравенство cosx<0,
если х е [0; 2л].
3.	Найдите нули функций
у = sin х и у = cos х на проме-
жутке [ — 2л; 2л], пользуясь
графиками этих функций.
176
4.	Пользуясь графиками функций у = sin х и у = cos х, найди-
те множество решений уравнения: a) sin х = 1; б) cos х = 1;
в) sin х - — 1; г) cos х = — 1.
5.	Постройте графики функций:
а)	у = sin 2 х; б) у = cos 2 х;	в) у — 2 + sin х;
г)	у = — 2 4- cos х; д) у = 2 sin х;	е) у = — sin х;
ж)	у = 2 cos х;	з) у = sin (х + у-) ; и) у = | sin х |;
к)	у = |cosx|;	л) у = sin |'х|;	м) у = cos |х|.
$ 54. ГРАФИКИ ФУНКЦИИ tg х И etg х
1.	График функции у = tg х.
Вспомним свойства функции y = tgx. Функция y = tgx:
1)	определена на множестве всех действительных чисел, кроме
чисел вида у + тг, где п — 0; ±1; ± 2;	;
2)	имеет в качестве множества значений множество всех
действительных чисел;
3)	нечетна, поэтому ее график симметричен относительно
начала координат;
4)	периодична с наименьшим положительным периодом л;
5)	с возрастанием х от 0 до у возрастает от 0 до оо, с возраста-
нием х от у до л также возрастает от — оо до 0, в точках
— У и У не оиреде-леиа-
График функции у = tg х изображен на рисунке 181. Он
состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей.
2.	График функции y = ctgx изображен на рисунке 182.
Сформулируйте известные вам свойства функции у = etg х,
пользуясь ее графиком.
177
Рис. 181
Рис. 102
Упражнения
1.	Пользуясь графиком функции у = tgx (рис. 181), найдите
ее нули.
2.	Пользуясь графиком функции у = ctg х (рис. 182), найдите
ее нули.
3.	Пользуясь графиком функции у = tg х (рис. 181), решите
неравенство tg х < 0 для х е [0; л].
4.	Пользуясь графиком функции у = ctg х (рис. 182), решите
неравенство ctgx> 0 для х е [0; л].
5.	Постройте графики функций:
а) у = tg 2 х; б) у = ctg ; в) у — | tg х |; г) у = | ctg х | ;
д) у = 2 + tgх; е) у = tg |х|; ж) у = ctg |х|.
$ 55. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
НА МНОЖЕСТВЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Выше в § 48 мы решали простейшие тригонометрические урав-
нения sin х = а и cos х = а на заданном промежутке. Рассмотрим
решение таких уравнений на множестве действительных чисел.
Уточним задачу. Если задано некоторое число х, то существует
единственное значение функции sin х. Обратное утверждение
неверно. Определенному значению функции sin х соответствует
не одно, а бесконечное множество значений переменной х.
1. Решение уравнения sin х = а.
Множеством значений функции у = sin х является отрезок
[— 1; 1], поэтому рассматриваемое уравнение имеет решения
лишь при | а | I.
Пусть, например, 0 < а < 1, тогда на промежутке [0; 2л]
данное уравнение имеет два корня хо и Xi (рис. 183), причем
xi = л — хо. Графически эти корни есть абсциссы точек пересече-
178
ния синусоиды у = sin х и прямой у = а. В силу периодичности
функции у = sin х для нахождения множества всех решений дан-
ного уравнения надо к каждому из найденных корней прибавить
числа вида 2лА, где k е Z. Поэтому решением уравнения sin х = а
в рассматриваемом случае будет объединение двух множеств
значений переменной: х = х0 + 2лЛ или х = л — хо + 2л/г =
= — хо + (2k + 1)л, где k (= Z.
Для — 1 < а < 0 получаются аналогичные множества реше-
ний.
Полученные множества решений уравнения можно искусствен-
но объединить в одну формулу. Для этого заметим, что (— 1)" рав-
но 1 при п = 2k (четном) и равно— 1 при п = 2k + 1 (не-
четном). Поэтому вместо двух установленных формул можно
написать одну:
х = (— 1)п хо + лп, где п е Z.
Мы вывели формулу корней тригонометрического уравнения
sin х = а (| а|	1). Эта формула выражает множество всех кор-
ней данного уравнения через один из них хо. В качестве %о можно
было выбрать любой корень данного уравнения.
Например, множество решении уравнения sin х = — можно
записать формулой х = (— 1)и -^ + л».11 <= Z, а можно записать
t	и	/	1 \ /1	>	Л
и формулой х — (— 1) -(Г -|- л/z, так как числа -- и —кор-
ни данного уравнения. Каждая из приведенных формул определяет
одно и то же множество решений, хотя вид их различен. Такое
различие в формах ответов неудобно, поэтому договорились Хо
выбирать из таких промежутков, на которых рассматриваемая
тригонометрическая функция принимает все свои значения, причем
каждое из них только один раз. Например, для функции у = sin х
в качестве такого промежутка выбирают отрезок [---; у]. На
этом отрезке sin х принимает все свои значения от — 1 до 1, причем
каждое из них только один раз.
Решение Хо уравнения sin х = а, взятое из промежутка
179
[ —g- ; у ], называют главным; его обозначают arcsin а (читает-
ся: «арксинус a»): xq = arcsin а.
Арксинусом числа а называют такое число из промежутка
[----- ; у ], синус которого равен а. Таким образом, стандартная
формула для множества решений уравнения sin х = а имеет вид:
х = (— 1)" arcsin а + лп, где п е Z.
Для решения уравнения sin х = а важно также иметь в виду,
что arcsin (— а) = — arcsin а, что нетрудно установить по еди-
ничной окружности (рис. 184). Например:
. (	1 \	.1	л
arcsin (--S-) = — arcsin =---------;
х	2 '	2	□
arcsin ( — уу) = — arcsin =--------у.
Пример 1. Решите уравнение sin х = ^у-.
Решение. Множество решений данного уравнения можно
V2
записать в стандартном виде: х = (— 1)" arcsin + лп,
п Z. Найдем arcsin -у^-. Это угловая величина дуги из проме-
жутка [ —; у], синус которой равен у-. Ясно, что
arcsin -у- = -у. Поэтому множество решений данного уравнения
имеет вид:
х = (— 1)п у + лп, где Г! е Z,
Если некоторая функция f (х) определена, непрерывна и воз-
растает (убывает) на некотором промежутке D, то множество
ее значений есть некоторый промежуток Е. Можно доказать,
что в этом случае на промежутке Е определена некоторая непре-
рывная функция <р (х), обратная функции f (х). Причем если функ-
ция f (х) возрастает на промежутке D, то функция ф (х) также
возрастает на промежутке Е\ если же функция f (х) убывает на
промежутке D, то и функция ф (х) убывает на промежутке Е.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно
прямой у = х.
Так, функция у = sin х на промежутке [--; у] возрастает
и непрерывна, в силу этого она принимает все свои значения
180
Рис. 184
от —1 до 1. Поэтому на промежутке [— 1; 1] существует обрат-
ная синусу функция, которую называют арксинус и обозначают
arcsin х. График функции у — arcsin х изображен на рисунке 185,
он симметричен графику функции у = sin х относительно прямой
у = х. Областью определения функции у = arcsin х служит про-
межуток [— 1; 1], а ее множеством значений — промежуток
[---Г’ У ] ’ эта ФУНКЦИЯ возрастающая и нечетная.
Значения arcsin х, где х е [—1; 1], находят в таблице VIII (из
таблиц В. М. Брадиса). Радианную величину arcsin х затем на-
ходят в таблице XI. Например, если надо найти arcsin 0,5736, то
в таблице VIII находим 0,5736 « sin 35°, т. е. arcsin 0,5736 я» 35°;
затем находим радианную величину этой дуги. По таблице XI
35° « 0,6109, т. е. arcsin 0,5736 « 0,6109. Многие электрон-
носчетные машины, например микрокалькулятор «Электроника»,
позволяют сразу находить arcsin х в радианах.
Пример 2. Решите уравнение sin х = — 0,72.
Решение, arcsin (— 0,72) = — arcsin 0,72 ~ — 0,8. Те-
перь записываем ответ в стандартном виде:
х « (— 1)" (— 0,8) + лп « (— I)” + 1 • 0,8 + л • п, п ее Z.
/з
Задание 1. Найдите значения: a) arcsin -у-;
б) arcsin (—	; в) arcsin 1; г) arcsin (—0,25); д) arcsin 0.
/з
Задание 2. Решите уравнения: a) sin х = ~~;
б) sin х = —	; в) sin х = 0,54.
2. Решение уравнения cos х = а.
Множеством значений функции у = cos х является отрезок
181
[— 1; 1], поэтому рассматриваемое уравнение имеет решение
лишь при |a| 5^ 1. Пусть, например, 0 < а < 1, тогда на проме-
жутке [0; 2л] данное уравнение имеет два корня xq и xi (рис. 186),
причем Xi = 2л — хо или xi = — хо.
В силу периодичности функции у = cos х для нахождения
множества всех решений данного уравнения надо к каждому из
найденных корней прибавить числа вида 2лЛ, где k е Z. Поэтому
решением уравнения cos х = а будет объединение двух множеств
значений переменной х = хо + 2л/г или х = — хо + 2л/г, где
k Е Z.
Для — 1 < а < 0 получаются аналогичные множества реше-
ний. Полученные множества решений записывают в виде одной
формулы:
х = ±х0 + 2л/г, где А е Z.
Мы вывели формулу корней тригонометрического уравнения
cos х = а. Эта формула выражает множество всех корней данного
уравнения через один из них хо. В качестве хо можно было
выбрать любой корень данного уравнения. Например, множество
решений уравнения cos х — можно записать формулой
хо = ± -£ + 2лп, п е Z, а можно записать и формулой
х = ч- -т + 2лл, п е Z, так как числа ти 2л -	= -т — кор-
ни данного уравнения. Каждая из приведенных формул опреде-
ляет одно и то же множество решений, хотя вид их различен.
Договорились для функции у = cos х значение хо выбирать из
промежутка [0; л]. На этом промежутке cos х убывает от 1 до — 1,
т. е. принимает все свои значения, причем каждое из них только
один раз.
Решение хо уравнения cos х = а, взятое из промежутка [0; л],
называют главным, его обозначают arccos а (читается: «аркко-
синус а»).
182
Арккосинусом числа а называют такое число из промежутка
|0; я], косинус которого равен а.
Таким образом, стандартная формула для множества решений
уравнения cos х = а имеет вид:
х = ± arccos а + 2яп, где п е Z.
Для решения уравнения cos х = а важно также иметь в виду,
что arccos (— а) = я — arccos а, что нетрудно установить по
единичной окружности (рис. 187). Например:
(	1 \	1	я	2л
arccos I---—)	= л —	arccos -н-	= я---5-	=	-5-;
X	A f	А	О	О
(	-J2\	-J2	л Зл
arccos ----= я — arccos = я-------------у = -— .
/з
Пример 3. Решите уравнение cos х = -у-.
/з
Решение. х = ± arccos -у- -|- 2л/г, где п е Z, или
х = ± у + 2л/г, где п <= Z.
Пример 4. Решите уравнение cos х = — 0,61.
Решение, arccos (—0,61) = л — arccos 0,61 х л —
— 0,91 « 2,23. х х ± 2,23 2я • п, где п е Z.
Задание 3. Найдите значения: a) arccos -у-;
б) arccos (— -у-); в) arccos (— 1); г) arccos 0,73.
Задание 4. Решите уравнения: a) cos х = у;
б) cos х = — у ; в) cos х = 1; г) cos х = 0,37.
Функция у = cos х на промежутке [0; я] убывает и непрерыв-
на, в силу этого она принимает все свои значения от —1 до 1.
Поэтому на промежутке [0; я] существует обратная функция,
которую называют арккосинус и обозначают arccos х. График
функции у = arccos х изображен на рисунке 188; он симметричен
графику у = cos х относительно прямой у = х. Областью опреде-
ления функции у = arccos х служит промежуток [— 1; 1], а ее
множеством значений — промежуток [0; л]; это убывающая
функция.
3. Решение уравнений tg х = а и ctg х — а.
Множеством значений функций у = tg х служит множество
действительных чисел. Поэтому уравнение tg х = а имеет реше-
ние при любом значении а.
На промежутке (----; у) уравнение tg х = а имеет только
183
одно решение хо (рис. 189). Графически х — это абсцисса точки
пересечения тангенсоиды у = tg х и прямой у = а на промежутке
(----£; у) - Функция у = tgx на этом промежутке возрастает
от — оо до оо, т. е. принимает все свои значения, причем каждое
из них только один раз. Решение хо уравнения tg х = а, взятое
из промежутка ( — у 1 у )> называют главным, его обозначают
arctg а (читают: «арктангенс а»).
Арктангенсом числа а называют такое число из промежут-
ка (---у ; у ), тангенс которого равен а. В силу периодичности
функции у = tg х (с периодом л) стандартная формула для мно-
жества решений уравнения tg х = а имеет вид:
х = arctg а + ли, где п е Z.
В градусной системе измерения угловых величин эта формула
имеет вид: х = arctg а + 180°л, п е Z и arctg а выражен в
градусах.
Для решения уравнения tg х = а важно также Иметь в виду,
что arctg (— а) = — arctg а. Это равенство следует из симметрич-
ности графика функции y = tgx на промежутке (--------; у)
относительно начала координат (рис. 190) : xi = — Хо. Например:
arctg (— 1) = — arctg 1 = — у;
arctg (— л/З) - — arctg -^3 = — у.
л/з
Пример 5. Решите уравнение tg х = —
и
Решение, arctg ( — -у^) = — arctg -у^- =-------у ;
х = —у + лл, л е Z.
Задание 5. Найдите: a) arctg 1; б) arctg (— 3,7).
Задание 6. Решите уравнения:
a) tg х = 0; б) tg х = — 1; в) tg х = 2,1.
► Функция у = tg х на промежутке (----у ; у) возрастает и не-
прерывна, в силу этого она принимает все свои числовые значения
из промежутка (— оо; оо). Поэтому на множестве действи-
тельных чисел существует обратная тангенсу функция, которую
184
Рис. 189	Рис. 190	Рис. 191
называют арктангенс и обозначают arctg х. График функции
у — arctg х изобразите самостоятельно; он симметричен графику
функции у = tg х относительно прямой у = х. Областью опре-
деления функции у = arctg х служит множество действительных
чисел, а множеством значений — промежуток (------это
возрастающая функция. ◄
Уравнение ctg х — а имеет решение при любом значении а,
так как множеством значений функции у = etgx является мно-
жество всех действительных чисел. На промежутке (0; л) урав-
нение etgx = а имеет только одно решение Хо (рис. 191). Графи-
чески Хо — это абсцисса точки пересечения котангенсоиды
у = ctg х и прямой у = а на промежутке (0; л). Функция
у — etgx на этом промежутке убывает от + оо до — оо, т. е.
принимает все свои значения, причем каждое из них только один
раз.
Решение Хо уравнения ctg х = а, взятое из промежутка
(0; л), называют главным, его обозначают arcctg а (читают:
«арккотангенс а»).
Арккотангенсом числа а называют такое число из промежутка
(0; л), котангенс которого равен а. В силу периодичности функ-
ции у = ctg х (с периодом л) стандартная формула для множест-
ва решений уравнения etgx = а имеет вид:
х = arcctg а + ля, где п е Z.
Для решения уравнения ctg х = а важно также иметь в виду,
что arcctg (— а) = л — arcctg а.
Например:
arcctg (— V^) = л — arcctg n/з = л-----;
arcctg (— 1) = л — arcctg 1 -= л —	= у.
185
Пример 6. Решите уравнение ctg х = —	.
О
Решение, arcctg (------^-) = л — arcctg = л----------=
2л
— "3 ’	2
х = -у л + лп, п е Z.
Задание 7. Найдите: a) arcctg 1; б) arcctg (— 2,31).
Задание 8. Решите уравнения:
a) etgx = д/3; б) etgx = 0; в) etgx — — 1,73.
Приведем сводную таблицу стандартных формул решений
простейших тригонометрических уравнений на множестве дейст-
вительных чисел:
Уравнение	Формула решений	Примечания
sin х=а	х= (—l)narcsina + яп	arcsin (—я) = —arcsin а, |а| < 1, я е Z
саз х = а	х = ± arccos а+ 2яп	arccos (—а) = я — arccos а, |а| <1, я е Z
tg х=а	х= arctg а + яп	arctg (—а) = — arctg а, a eR, neZ
ctg х = а	х= arcctg а + яп	arcctg (—а)= я— arcctg а, a eR, neZ
Задание 9. Найдите множество значений аргумента, при
которых функции у = sin х и у = cos х принимают наибольшее
и наименьшее значения.
Ответы: a)	sin х	=	1, если х = у + 2лл, п е Z;
‘ б)	sin х	—	—	1,	если х = — у + 2лп, п е	Z;
в)	cos х	=	1,	если х = 2лл, п е Z;
г)	cos х	=	—	1,	если х = л (2л -|-1), ле Z.
Упражнения
1.	Выпишите формулы решений тригонометрических уравнений.
2.	Найдите нули функций:
а) у — sin х; б) у = cos х; в) у = tg х; г) у = ctg х.
Примечая и е. Нулем функции называют значение аргу-
мента, при котором значение функции равно нулю.
3.	Найдите:
a) arcsin (—0,8); б) arccos (—0,4); в) arctg (—3,2);
г) arcctg (— 1,3).
186
4.	Найдите значения аргумента, при которых значение функ-
ции у = tg х равно 3.
5	Решите уравнения:
a)	sin х = — 0,3; б) cos х = 0,3; в) tgx = 2,4; г) ctgx =
= - 0,89.
6.	Решите графически уравнения:
. . 1
a) sin х = у х; б) cos х = — х.
$ 56. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В § 48 было показано, как решаются простейшие тригономет-
рические уравнения на отдельных промежутках. В § 55 были
решены такие уравнения на множестве действительных чисел. Сей-
час мы продолжим рассмотрение примеров решения тригонометри-
ческих уравнений.
Пример 1. Решите уравнение sin Зх = — 1.
Решение. Воспользуемся формулой решения уравнения
sin х = — 1 (см. задание 9 в предыдущем параграфе), получим:
3 х = — v + 2лп, п е Z, откуда х = — ~ + 4“-, п е Z.
z	о J
Задание 1. Решите уравнения:
a) sin Зх = у; б) cos Зх + 1 = 0; в) tg 2х = — 1.
Пример 2. Решите уравнение 2 cos (х — у) — -/з = 0.
Решение, cos (х------у) = -у-. Воспользуемся формулой
решения уравнения cos х = а (см. предыдущий параграф), по-
лучим: х —|- = ± arccosy- + 2шг, п Z. Так как
arccos = -р-, то х---------г=±-г + 2лп. Откуда х =
= ±-б-+т + 2я«-
Ответ может быть записан в виде двух формул: х = 4 + 2лл,
х = 2лп, п Z.	3
Задание 2. Решите уравнения:
a) sin (у — х) = 1; б) cos ^2х — у) = — у;
в) л/з etg (4 — х) = 1 •
X и	'
107
Пример 3. Решите уравнение 2 sin23x = 5 sin Зх — 2.
Решение. Замечаем, что данное уравнение, представляет
собой квадратное уравнение относительно sin Зх. Если sin Зх обо-
значить буквой у, то данное уравнение примет вид: 2у2 = 5у — 2,
2уг — 5у + 2 = 0. Откуда у = 5	, у, = 2, у2 =	.
Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению
двух тригонометрических уравнений:
a)	sin Зх = 2, это уравнение решений не имеет, так как
I sin Зх| 1.
б)	sin Зх = у , откуда Зх = (— 1)" arcsin у + лп, п е Z.
Найдем х: Зх = ( — 1)я -£- + лп, х = (— 1)я	п е Z .
О	10 о
Задание 3. Решите уравнения:
а) 2 cos2 х -j- -\/2 cos х = 0; б) 2 sin2 х — sin х = 0;
в)	cos2 х = 2 — cos х.
П р и м е р 4. Решите уравнение 2 sin2 х = 3 cos х.
Решение. Данное уравнение содержит различные триго-
нометрические функции sin х и cos х. Воспользовавшись формулой
(3) (см. § 49), мы можем выразить sin2x через cos2x: sin2x =
= 1 — cos2x. Получим: 2 (1 — cos2x) = 3cosx, 2 cos2 x +
+ 3 cos x — 2 = 0. Последнее уравнение является квадратным
относительно cos х. Так как его дискриминант D = 9 + 16 =
= 25 > 0, то уравнение имеет два корня: cos х =---------- =
о	—3 4-5	1
= — 2 ИЛИ COS X =- ---7!  = -77 .
4	2
Таким	образом,	решением	данного	уравнения будет объеди-
нение решений двух простейших тригонометрических уравнений:
a)	cos х = — 2, это уравнение решений не имеет, так как
I cos х |	1;
б)	cos х = у , х = ± arccos у -|- 2лп, п е Z, т. е.
х = ± -£• + 2лп, п е Z.
Задание 4. Решите уравнения:
a) sin2 х = cos2 х — 1; б) 1 + tg х — sin2 х = cos2 х.
Пример 5. Решите уравнение 1 -|- sin х cos х = sin х +
+ COS X.
Решение. Как и в рассмотренном выше примере 4, дан-
ное уравнение содержит разные тригонометрические функции.
Но при замене одной из функций через другую получается
188
сложное уравнение, содержащее радикалы, так- как, например,
sin х = ± л/1 — cos2x. Поэтому поступим в данном случае иначе.
Перенесем все члены уравнения в его левую часть и попытаемся
разложить ее на множители:
1 + sin х cos х — sin х — cos х = О,
(1 — sin х) + (— cos х + sin х cos x) = 0,
(1 — sin x) — cos x (1 — sin x) = 0,
(1 — sinx)(l — cosx) = 0.
Как видим, в данном случае это удалось. Решение уравнения
сводится к решению простейших тригонометрических уравнений:
а)	1 — sin х = 0, sin х = 1, х = у + 2лп, п е Z.
б)	1 — cos х = 0, cos х = 1, х = 2лп, п е Z.
Как видно и-з рассмотрения примера 5, если левая часть уравне-
ния есть произведение нескольких функций, а правая часть равна
нулю, то решением этого уравнения будут все значения пере-
менной, обращающие в нуль хотя бы один из сомножителей,
причем эти значения переменной должны принадлежать области
определения функции, стоящей в левой части уравнения.
Пример 6. Решите уравнение (1 — sin х) tg х = 0.
Решение.
а)	1 — sin х = 0, sin х = 1, х = у + 2лн, п е Z;
б)	tg х = 0, х = arctg 0 + л/г, k ее Z, х — fen, fe е Z.
Замечаем, что корни первого уравнения х = -у + 2лп, п е Z,
обращают в нуль первый множитель 1 — sin х данного уравнения,
однако эти значения переменной не принадлежат области опреде-
ления второго множителя tg х (при этих значениях переменной
tgx теряет смысл). Поэтому числа у + 2лл, и е Z не являются
решениями данного уравнения.
Ответ: л/г, k е Z.
Пример 7. Решите уравнение tg х etg х = cos х.
Решение. Так как tg х etg х = 1 при х^™, neZ
(см. формулу 4 из § 49), то cos х = 1, х = 2лп, п е Z. Однако эти
значения переменной не принадлежат области определения
функции etg х (в этих точках эта функция теряет смысл). Поэтому
данное уравнение решений не имеет.
Ответ: 0.
Задание 5. Решите уравнения:
a) tg х etg х = sin х; б) sinxctg2x = 0;
в)	sin х = sin х cos x.
189
Упражнения
1.	Решите уравнения:
а) 2 cos 4х = 1; б) 3 sin 5х — 2 = 0;
в) 4 — 3 tg х = 0; г) ctg 4х = 5.
2.	Решите уравнения:
a) cos (бх +	± ; б) tg (бх + -£ ) = 3;
в) 2 соз(бх-----) = — -\/3; г) sin	— 2х) = — 1.
3.	Решите уравнения:
a)	sin2 х — sin х = 0;	б) cos2x = cos х + 2;
в)	tg2 х = 4 tg х — 3;	г) 2 cos2 2х = cos 2х;
д)	sin2 2х + 2 = 3 sin 2х.
4.	Упростите выражения:
а) 2 sin tt ~ 1 . б) cos а /j fg а\ _ Sin а (j	ctg ау
, sec2 а — tg2 а .о ч	sin2 а . .	\
в) -------г-*------tg2a; г) (ctg a — cosa)(-----------1- tg а) .
cos2 а	' cos а	'
5.	Докажите тождества:
а)	(tg2 « — sin2 a) ctg2 a = sin2 a;
6)	(1 + ctg2 a) (1 — sin2 a) = ctg2 a;
в)	у (sec2 a — 1) (1 — sin2 a) = | sin a | ;
r) tg2 a — sin4 a — sin2 a cos2 a = tg2 a sin2 a.
6.	Найдите области определения функций:
а) y =	б) у=^.
sin X	COS X
7.	Решение уравнения:
а) cos2 х = sin2 х — 1; б) 2 cos х + cos2 х = 2 — sin2 х;
в) ------1-1 = 0;	г) —-----1-1=0.
8.	Решите уравнения:
а)	tg Зх tg 2х tg 5х = 0; б) sin2 х + I = — 2 sin х;
в)	sin х cos х — 1 = cos х — sin x;
г)	tg x ctg x + 3 tg x = ctg x + 3;
Д)
tgx
sin 3x
= 0;
e)
sin 2.x
tgx
190
$ 57. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
В § 48 было показано, как решаются простейшие тригонометри-
ческие неравенства на отдельных промежутках с помощью единич-
ной окружности. Сейчас мы рассмотрим примеры решений три-
гонометрических неравенств на множестве действительных чисел.
Пример 1. Решите неравенство sin х <_ -у-.
Решение. Решим это неравенство графически:
1)	Построим в одной и той же системе координат графики
функций у = sin х и у = у- (рис. 192).
2)	Находим корни уравнения sin х = — на каком-либо про-
межутке длиной 2л (2л — период функции у = sin х). Напри-
мер, иа промежутке [0; 2л] корнями этого уравнения будут
л Зл	Г	Зл л ]	5л . л
числа — и — ; на промежутке [----; у] — числа-----у и
Г я 5л 1	Зл 9л
на промежутке |у ; J — числа и .
3)	На каком-либо промежутке длиной 2л находим решения
данного неравенства. Например, если за промежуток длиной
2л выбрать отрезок (0; 2л], то решением данного неравенства
на этом отрезке будет объединение промежутков
(о; у) U • 2л) ! если за промежуток длиной 2л выбрать
[л 5л I
Т ’ Т J ’ то Решением данного неравенства на этом
191
отрезке будет промежуток у ; у j; если
за промежуток длиной 2л выбрать отрезок
Г Зл л]
[--2-; у], то решением данного неравен-
ства на этом отрезке также будет проме-
(5л л \
- т: т/ •
Для нахождения одного из таких мно-
жеств решений можно воспользоваться и
единичной окружностью, как мы поступи-
ли в § 48.
Из рисунка 193 видно, что на промежутке [0; 2л] .реше-
V2 й -
нием неравенства sin х <_ будет объединение промежутков
4)	Выбираем любой из найденных промежутков и, пользуясь
периодичностью функции у — sin х, записываем множество всех
решений данного неравенства.
Если, например, в качестве одного из промежутков решений
(5л л \
---Г ’ Т / ’ т0 Решением данного неравенства
будет множество промежутков:
(— у + 2лл; у + 2лл), п е Z.
Задание 1. Решите неравенства: a) sin х —-^у-;
б)	cos х > —.
Пример 2. Решите неравенство tg х -/з.
Решение. Решим неравенство графически: а) построим в од-
ной системе координат графики функций у = tg х и у = -\/3
(рис. 194);
б)	находим корни уравнения tg х = -/3 на одном из проме-
жутков длиной л (л — период функции у = tg х). Например, на
промежутке ( — у I у )  * = у I
192
Рис. 194
в)	на этом промежутке находим решения данного неравенст-
г)	пользуясь периодичностью функции у = tg х, записываем
множество всех решений данного неравенства:
л . л .	\	—
у + л/z; — л/гу , /г е Z.
Задание 2. Решите неравенства:
a) tgx < V3; б) ctgx 1.
Упражнения
1. Решите неравенства:
а)	sin х >	0;	б)	sin X	< 0;	в)	COS X	> 0;
г)	cos х <.	0;	д)	tgx:	> 0;	е)	ctgx	0;
ж)	sin х	V3. 2 ’	з)	COS X		1_. 2 ’	и)	ctgx:	> - 1
2.*	Решите	неравенства:						
а)	sin 2 х <	- VI- - 2 ’		б)	к |ч< 1 ьо ч—«	3= 1;		
в)	etg (х -	Л \  "6 / <	V з " 3 ’	г)	2 sin (х	 \	J /	) —		0.
§ 58. ПОВТОРЕНИЕ
1.	В равнобедренном треугольнике величина угла при основа-
нии равна 36° 42'. Найдите величины углов этого треугольника
в радианах.
7 Алгебра и качала анализа	193
2.	Найдите на единичной окружности образ точки Ро (1; 0)
при повороте Ro , если: а) а = у + 2лп; б) а = л + 2лп;
в) а = — у + 2ли; г) а — —у + 2ли, где п е Z.
3.	С помощью таблиц найдите значения величин углов в
градусах по заданным их значениям в радианах: а) 0,3274;
б) 1,2513; в) 0,9153; г) 1,0213.
4.	Найдите длину дуги окружности и площадь кругового
сектора, если радиус окружности равен 10 см, а величина дуги
равна: а) 60°; б) 50° 19'.
5.	Сформулируйте определения тригонометрических функций
числового аргумента. Пользуясь единичной окружностью, най-
дите значения функций cos a, tg а, ctg а, если sin а = —и
л<а< — л.
6.	Найдите значения синуса, косинуса и тангенса следующих
чисел: а) 0,83; б) 1,31; в) 2,35; г) 3,12.
7.	Известно, что cos а =-и -£- < а < л. Найдите sin а,
tg a, ctg а.
8.	Известно, что tga = — 2 и у < а < л. Найдите sin а,
cos a, ctg а.
9.	Какие функции называются четными? Приведите примеры
четных функций. Докажите, что функция f (х) = х4 cos 2х четная.
10.	Какие функции называются нечетными? Приведите приме-
ры нечетных функций. Приведите примеры функций, не обладаю-
щих свойствами четности или нечетности. Докажите, что функция
f (х) = х5 + sin 2х нечетная.
11.	Установите знак произведения и частного:
а) (- ctg 300°) • sin 300°; б) -	.
12.	Вычислите:
а)	х2 sin2 ( — у ) + у2 cos20 + tg л + 2 ху sin у ;
б)	2 sin 2a + 3 cos (3a — 180°) + ctg (a — 75°) при a = 45°;
в)	a2 sin 2л + b2 tg 0 — 2 ab cos л + b2 cos ( — л).
13.	Какие функции называют периодическими? Какой наи-
меньший положительный период имеют функции: а) sin х; б) cos х;
в) tg х; г) etgx?
14.	Найдите наименьший положительный период функций:
а) sin Зх; б) cos ( х —; в) tg 4х.
194
15.	Вычислите:
4cos (- т)с^2(~ т) _ 2sin (~ т)
а) ------7---г—-----------------;
4 sin2 -у у — 2 -/2 sin ~ — 1
16.	Запишите известные вам тригонометрические тождества.
Укажите допустимые значения аргумента в каждом из них.
17.	Докажите тождества:
а) (1 + tg2 а) (1 — cos2 а) = tg2 а; б) tg g ~ sin g — sin2 а;
tg а
_x (	1 i \ sin а .	/	1	\ cos cl
в) cos а I--------1) = ------; r) sin а (-------1) =------;
cos a z cig a	v sin2 a ' Ig а
v sin а_______. 1 — cos а  	2
f 1 — cos а ' sin a	sin а
18.	Упростите выражения:
a)	sin4 а + cos2 а + sin2 a cos2 а;
б)	(1 — cos	а)2 +	(1	+	cos а)2 — 4 cos2 а;
в)	° tg« +	& <g ft	(sin а + cos а)2—1
ft ctg a +	a ctg ft	’	'	cig a — sin a cos a
19.	Постройте графики функций:
а) у = sin (х —; б) у = 2 cos х; в) у = — 2 sin х;
г) у = cos (х + -J-) ; д)у=— tgy; е) у = ctg 2 х.
20.	Решите уравнения:
а)	cos 2 х = у ;	б) sin 2 х = — у ;
в)	sin2 х — 3 sin х = 0; г) ЛД±+_!_ = о-
tgx
д)	cos2 х — 3 cos х + 2 = 0; е) 2 sin х + cos2 х = 2 — sin2 х;
ж)	tg х ctg х = cos 2 х.
195
21.	Найдите нули функции:
а) У = cos(sx -	: б) У = sin(y - т)'
22.	Найдите область определения функций:
.	etg 2 х	tgx
а) у = —5---------; б) у =	.
' s . х ' а cos 2 х
sm —
23.	Решите неравенства:
а) 2 sin х > — 1; б) 2 cos х < — -/2; в) tg х > 2.
24.	Решите графически уравнения:
а) sin х = х — 1; б) cos х = — х; в) | sin х | = — х — 1.
§ 59.	ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Величины двух углов треугольника равны 25° и 53°. Найдите
с помощью таблиц величины углов этого треугольника в радианах.
2.	Найдите длину окружности, дуги и площадь сектора, если
радиус окружности равен 100 см, а дуга содержит 0,86 рад.
12	3
3.	Дано: sin а = — и л<а<у л. Найдите значения
cos а и tg а.
Jf2 _L 4
4.	Докажите, что функция у = --^х~ четная.
5.	Найдите наименьший положительный период у функции
у = cos (ъх — -j) .
6.	Упростите выражения:
а) (2 sin а + 3 cos а)2 + (2cos а — 3 sin а)2; б)	•
_ rr	COS а ,	,
7.	Докажите тождество ----------1- tg а = — 1.
1 — 2 cos а
8.	Решите уравнения:
а) (1 — cos2 х) tg 2 х = 0; б) cos2 х + sin х + 1 = 0.
9.	Найдите нули функции у = sin ------) .
10.	Решите неравенство — 2 cos х > 1.
11.	Постройте графики функций:
а) у = — sin 2 х; б) у = cos (х + у
196
ГЛАВА VII.
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
$ 60. ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
ВЕКТОРОВ (ПОВТОРЕНИЕ)
Из курса геометрии мы знакомы с понятием
вектора, операциями сложения, вычитания векторов, умножения
вектора на число, скалярным умножением векторов (повторите
этот материал). Для дальнейшего изложения материала о триго-
нометрических функциях нам потребуются некоторые сведения
о скалярном умножении векторов. Вспомним эти сведения.
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых
векторов называется произведение числовых значений длин этих
векторов на косинус угла между этими векторами.
Скалярное произведение векторов а и b (рис. 195) по опреде-
лению может быть записано так: а • b = |д| - |Z?| • cosip, где
Ф = (а,6), а =#= О, Ь. =/= 0.
При этом согласно определению, принятому в геометрии, уг-
лом между двумя векторами называют угол между направлени-
ями этих векторов, т. е. <ре [0°; 180°].
Рассмотрим ненулевой вектор а, отложенный от начала коорди-
нат. Пусты' и j — перпендикулярные единичные векторы, отложен-
ные по осям от начала координат: |i| = |/| = 1, i ± j. Тогда
вектор может быть единственным образом разложен по неколли-
неарным векторам i и j, т. е. существует единственная пара чисел
х и у, таких, что а = xi + yj.
Числа х и у называют прямоугольными координатами век-
тора а. Вектор а с координатами х и у записывают так: а = (х; у).
Рассмотрим теперь два вектора а = (хг, yi) и b = (х2; у2),
отложенные от начала координат. Пусть величина угла между
ними равна ф (рис. 196). Разложим эти векторы по неколлинеар-
ным единичным векторам I и /:
а = хц' + yij, b = x2i + y2j.
197
Рис. IM
Вычислим скалярное произведение этих векторов, воспользо-
вавшись известными из геометрии свойствами умножения век-
торов:
а • b = (хц‘ + t/ij) (x2i + t/2/) =
= *ix2? + yiX2ji + xty2ij + У\Угр.
Заметим, что i • j = j • i = 0, так как i _L j, ? = P = 1,
поэтому a • b = xix2 + y\y2.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Упражнения
1.	Сформулируйте определение скалярного произведения двух
векторов.
2.	Как определяется угол между двумя векторами?
3.	Чему равно скалярное произведение двух векторов, заданных
своими координатами?
4.	Найдите а • Ь, если: а) | а\ = 3, | 6| = 7, <р = (а,6) = 60°;
б)	| а| = 2, | Ь\ = 4, <р - (а,6) = 120°.
5.	Вычислите а • Ь, если: а) а = (2; 3), b = (— 1; 5);
б) а = ( — 2; -3), Ь = (4; 2).
6.	Заданные повороты сведите к поворотам Rao , где
11л
а) /?®п ; б) .
$ 61. КОСИНУС СУММЫ И КОСИНУС
РАЗНОСТИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ
Применим теперь известную нам формулу а • b = Х|Х2 +
+ У\У2, где xi и 4/1 — координаты а, х2 и у2 — координаты Ь, к вы-
воду косинуса суммы и разности двух аргументов.
198
Теорема, cos (а — 0) = cos a cos 0 + sin а sin 0, где а и
0 — произвольные действительные числа.
Доказательство. Рассмотрим единичную окружность
(рис. 197) и два действительных числа а и 0. Этим числам
соответствуют точки Ра и Рр единичной окружности.
Найдем скалярное произведение векторов ОРа и ОР$, имея
в виду, что величина угла между двумя векторами по опреде-
лению принадлежит промежутку [0; л] (см. рис. 197):
ОРа • ОРр = | ОРа| • | ОРр| • cos (а — 0) = 1 • 1 • cos (а — 0) =
= cos (а — 0).
Запишем скалярное произведение этих векторов в координатах,
учитывая, что ОРа = (cos а; sin а), a ОРр = (cos 0; sin 0):
ОРа • ОРр = cos а • cos 0 + sin а • sin.0.
Таким образом,
cos (а — 0) = cos а cos 0 + sin а sin 0.	(1)
Угол между векторами ОРа и ОРр равен а — 0 (рис. 197) или
2л — (а — 0) (рис. 198), либо может отличаться от этих значений
на целое число оборотов. Во всех случаях скалярное произ-
ведение этих векторов в соответствии с определением равно
1 • 1 • cos (а — 0) = cos (а — 0). Поэтому формула (1) верна для
любых действительных значений а и 0.
Следствие, cos (а + 0) = cos а cos 0 — sin а sin 0 для
любых действительных чисел а и 0.
Доказательство.
cos (а + 0) = cos (а — ( — 0)) = cos arcs (— 0) +
+ sin a sin (— 0).
Так как cos-( —0) = cos 0, sin ( — 0) = — sin 0, получаем:
cos (a + 0) = cos a cos 0 — sin a sin 0.	(2)
199
Пример. Вычислите cos 75°.
Решение. 75° можно представить в виде суммы 30° + 45°.
Значения функций синуса и косинуса для 30° и 45° нам известны,
поэтому, воспользовавшись формулой (2), получим:
cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° — sin 30° sin 45° =
Упражнения
1.	Упростите выражения:
a)	cos 5x cos 2 x + sin 5 x sin 2 x;
6)	cos 3a cos a — sin 3 a sin a.
2.	Вычислите:
a)	cos 40° cos 20° — sin 20° sin 40°;
6)	cos 70° cos 40° + sin 70° sin 40°;
B) cos cos sin JLsinJL;
r) 4 cos sin TT :
д)	(cos 18° cos 27° — sin 18° sin 27°) — 1.
3.	Вычислите: a) cos 105°; 6) cos 15°.
4.	Докажите, что cos a + cos (120° + a) + cos (120° — a) = 0.
5.	Докажите, что cos a cos 0 = C05 (a+-c- s ~.
Указание. Сложите почленно равенства (1) и (2).
6.	Докажите, что sin a sin 0 =
cos (<x—p) — cos (tz + P)
2
Указание. Вычтите почленно из равенства (2) равен-
ство (1).
7.	Решите уравнения:
а)	cos 2 х cos х — sin 2 х sin х = 1;
б)	cos 3 х cos х = sin 3 х sin х — 0,5;
в)	cos (2х + -j-) cos х + sin (2 x + -у-) sin x =	;
r)	cos (3- + *) + cos (y- — x) = 1.
200
§ 62.	СИНУС СУММЫ И СИНУС РАЗНОСТИ
ДВУХ АРГУМЕНТОВ
Теорема. Для любых действительных чисел аир верны
равенства:
sin (а + Р) = sin а cos р + sin р cos а	(1)
sin(a — р) — sinacosp — sin р cos а	(2)
Доказательство. Вначале докажем формулы
cos (у — у) = sin Y! sin (у ~ y) — cos У- В формуле cos (a — Р)
положим, что a = у; р = у. Получим:
cos ^у — у) = cosy cos Y + sin v sin y;
cos (y — y) = sin y.
Теперь, воспользовавшись последней формулой, получим:
(Л	( л	\\	( л	\
Т —	\ Т	— v//	= S1” \ У	— v /	;
sin ( у — у ) = cos у.
Для доказательства теоремы воспользуемся формулой для
cos (a + Р) (см. предыдущий параграф), двумя полученными
формулами, а также свойствами четности косинуса и нечет-
ности синуса:
sin (a + Р) = cos(y — (а + Р) ) = cos ((у — а) — р) =
= cos ( у — а ) cos р + sin ( у — а ) sin р =
= sin a cos р + sin р cos а.
Формула (1) доказана.
Для доказательства формулы (2) представим a — р как
« + ( — ₽)• Тогда
sin (a — Р) = sin (a + ( — р)) =
= sin a cos (— p) + sin ( —p) cos a =
= sin a cos p — sin p cos a.
Формула (2) доказана.
Пример. Вычислите sin75°.
Решение. 75° можно представить в виде суммы 30° + 45°.
201
Значения функции синуса и косинуса для 30° и 45° нам известны,
поэтому, воспользовавшись формулой (1), получим:
sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° +
+ cos 30° sin 45°= у +	= £ (-V34-1).
Упражнения
1. Упростите выражения:
a) cos a sin 5a —Sin a cos 5a;
в) sin (a + P) — cos a sin p;
д) sin a cos p — sin (a — p);
4 cos a 4- sin a
Ж) -----------;
6) sin3xcos2x + sin2xcos3x;
r) cos (a — p) — sin a sin p;
e) cos a cos P — cos (a —p);
, cos a — -J3 sin a
3>------г------
2.	Вычислите:
a)	sin 20° cos 40° + sin 40° cos 20°;
6)	-ycos 15° - 1 sin 15°;
sin -Д- COS 75 + Sin 75 COS ;
1Z	J л/	о
г)	cos 75° + y sin 75°;
\	• f я ,	\	i	7	..	.. 3n
Д) sin T + a ) , если ctg a =	, л < a < у ;
e)	sin ( a — у) , если tg a — —	, у <a<2n;
ж)	cos ( ~ — a ) , если sin a = —0,6, л<а<тг ;
3)	tg( a — у) , если sin a = ^ , 0<a<y .
3.	Вычислите, не пользуясь таблицами значений тригономет-
рических функций:
а)	sin	105°;	б)	cos 105°; в) sin 15°;
г)	cos	15°;	д)	sin 15° — tg 30° cos 15°;
е)	sin	(a —	P),	если	cos a = -^, sin p = — 0,6,	0<a<’-£ ,
Id	2
„ о 3n
Л<Р< 2 •
4.	Упростите выражения:
а)
sin 38° cos 12° + cos( —38°)sin 12o> .
cos 40° cos 10° + sin ( — 40°) sin 10°
202
sin 17° cos 8° + cos 17° sin 8°
r) cos (150° — a) — cos (210° 4~ a);
д) sin (a 4- 120°) — sin (60° — a);
e)	sin 748° — cos 77° cos 213° — cos 13° sin 33°;
ж)	cos (45° — x) cosx — sin (45° — x) sin x.
5.	Докажите тождества:
a)	sin (30° + x) cos x — cos (30° 4- x) sin x = у ;
6)	cos (60° + a) cos a + sin (60° 4- a) sin a — 4 ;
в)	sin (45° — x) cos x cos (45° — x) sin x — — ;
/ \
0,5 sin 20° — cos ( -7-20" )
x 4 b / = V-J .
sin 3° sin 17° — cos 3''cos 17”	2
ч sin2(a + P) + sin2 (a — 11)	. 2	11 ->u
Д) ——h——	a -1- lk P;
2 cos a • cos p
e) sin(a4-|3) — sinacos30 — cosasin30 = sin0 cos 0 cos(a —0).
6.	Докажите, что
Psin (a + fl) + sin (a — 0)
_ ---\------J.-
2
Указание. Сложите почленно равенства (1) и (2), приве-
денные в рассматриваемом параграфе.
7.	Решите уравнения:
а)	sin ( х — у ) = 2 sin ( у — х ) ;
б)	sin(^ 4- х) 4- л/2соз(^ — х) = 0;
в)	sin (— х ) 4- cos (-J 4- х) = 1;
г)	3 cos ( у — х ) = sin х;
д)	sin ( х — у) = sin х;
е)	sin ( у — х ) = cos х.
203
§ 63. ТАНГЕНС СУММЫ И ТАНГЕНС
РАЗНОСТИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ
Выведем формулы для tg(a + 0) и tg(a — 0), пользуясь
соответствующими формулами для синуса и косинуса, а также
/.	sin a	.
определением тангенса (tg a = cos a=/=0).
. ,	I о\   sin (а + р)   sin a cos р + sin р cos а
® '	cos(a-|-p)	cos a cos р — sin a cos р ’
где cos (а + 0) =/= 0, т. е. а + Р =/= у + л/г, k е Z.
Разделим числитель и знаменатель полученного выражения
на произведение cos a cos 0 =/= 0, чтобы в окончательном виде
формула выражала тангенс суммы через тангенсы заданных
чисел а и 0:
sin a cos p + sin p cos a
tg (a -4- 0) = _ _l°s«cosp _
° '	1	cos a cos p — sin a sin p
cos a cos p
sin a cos p	sin	p cos a
__ cos a cos p	cos	a cos p ___
cos a cos p	sin	a sin p
cos a cos p	cos	a cos p
_ tg a + tg р
1—tgatg р
Получили:
tg (a + р) =	,
к < -r I )	1 —tgatg р
где а, 0,
a + 0 не являются числами
вида у + лй, k (= Z.
Зада
н и е. Докажите, что
te (a — В) =
g ' Р' 1 + tgatg р ’
a — 0 не являются числами
где а, 0,
вида у -|- л/г, k е Z.
У к а з а н и с. tg (a — 0) = tg ( a + (— 0)), затем воспользуй-
тесь формулой (1) и свойством нечетности тангенса.
Упражнения
1.	Упростите выражения:
в)
tg 2x + tg 3x .
1 - tg 2x tg 3x ’
1-tgx .
l+tgx ’
g. tg 3x - tg 2x .
1 + tg2xtg3x
r) tg(y + *)  tg(y - x) ;
204
Зл л Зл л
5л	л , . 5л	. л
COS -7г • COS -5- 4- Sin -£- • sin —
и	J	о □
ж)	tg a tg р 4- (tg а + tg 3) • ctg (а + p);
. л 4л	л । 5л
tgl5 +tgl5	tgT + tg36
з)		; и) ---------------------------.
14л 4л	8л 5л
+ 4g 15 ’ 4g 15	+ 4g 9 4g36
2.	Вычислите без таблиц:
a)	tg 15°; б) tg75°; в) tg( | к), если ctg а -- \1'Л\
х . ( л ।	\	4 л
г)	\ “з" + а / > ссли ct)S а -у и а < л;
д)	tg (а — Р), если sin а = — ~ , lg |$ =	< а<2л.
3.	Докажите:
a)	ctg (а 4- р) = C^g°pC^ gt~ 1 • гДе а, р, а + Р не являются
числами вида л/г, k е Z;
б)	ctg (а — р) =	ctg* * 7^-. гДе а, р. а — р не являются
числами вида nk, k е 7.
4.	Докажите тождества:
а)
в)
г)
5.
а)
tg (<х — Р) + tg р _ cos (а + р) . gv 3 — tg2tx tg За .
tg (<x + P) + tg p cos (a — p) ’	1 + 3 tg2a tg a
_____cos а + sin tx___	1	__
cos a sin a (tg a + ctg a) ^] + tg2a “
*	tg a + ctg a . .	. cos3 a
*	———— ---------1 4- cos a 4—r-r-
sec a cosec a 1	sin-a
Решите уравнения:
, / л   \  COS x	.
® \ 4	X /	sin x + cos x *
sin a, где 0<a<
2
= cos a cosec a.
Л
T •
6)	tg2x — 5 sec x 4- 7 = 0;
4g(x + T)+4gT r
b) ----7-----г---= л/3:
1 -4g(x + T)4gT
г) 2seC2x - 3tg2x = 1;
205
д)
tg(2x-y) + 1 J.
!-tg(2x-A)
e) cos x = 2 cos у — x
§ 64.	ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Найдем значение sin 237°. Таблицы VII1, IX, X «Четырех-
значных математических таблиц» В. М. Брадиса позволяют
находить значения тригонометрических функций, если значение
аргумента задано в градусах от 0° до 90°. Поэтому, чтобы
найти значения тригонометрических функций произвольного аргу-
мента, надо научиться выражать значение этой функции через
значение какой-либо тригонометрической функции аргумента,
принадлежащего промежутку от 0° до 90°. Можно, например,
воспользоваться формулой sin (а 4- 0), предварительно пред-
ставив 237° как сумму 180° 4- 57°. Так мы и поступим:
sin 237° = sin (180° 4* 57°) = sin 180° cos 57° 4*cos 180° sin57° =
= 0-cos57° 4- (- 1) sin 57° = —sin 57° « —0,84.
Поступая аналогичным образом, мы можем с помощью формул
sin(a±0), cos(a±0), tg(a±0), ctg(a±₽) вывести формулы,
выражающие значения тригонометрических функций произволь-
ного аргумента через значения тригонометрических функций
аргумента, принадлежащего числовому промежутку от 0 до -у .
Такие формулы называют формулами приведения.
В качестве примера приведем вывод одной группы таких
формул:
sin ( у 4- a ) = sin у cos а 4* cos у sin a = 1 - cos a 4"
4- 0-cos a = cos a;
( Л I \	Л	. Л .	„
cos у 4* “ ) = cos у cos a — sin у sin a = 0-cosa —
— 1 • sin a = — sin a;
206
Задание 1.С помощью теорем сложения для тригонометри-
ческих функций выведите формулы:
sin ( у — а ) = cos а;	tg ( у — а ) = etg а;
cos ( у — а ) = sin а;	etg ( у — а ) = tg а.
Задание 2. С помощью теорем сложения для тригонометри-
ческих функций выведите формулы:
sin (л — а) = sin а;	tg (л — а) = — tg а;
cos (л — а) = —cos а;	etg (л — а) = —etg а.
Задание 3. С помощью теорем сложения для тригонометри-
ческих функций выведите формулы:
sin ( у + а ) = —cos а;	tg ( у + а ) = —etg а;
cos ( у + а ) = sin а;	etg ( у + а ) = — tg а.
Задание 4. С помощью теорем сложения для тригонометри-
ческих функций выведите формулы:
sin ( у — а ) = —cos а;	tg ( у — а ) = etg а;
cos ( у — а )= — sin а;	etg ( у — а ) = tg а.
В силу периодичности тригонометрических функций их значе-
ния не меняются при изменении аргумента на целое число 2л.
Поэтому:
sin (2л + а) = sin а;
cos (2л 4- а) = cos а;
tg(2n + а) = tg а;
etg (2л + а) = etg а;
Полученные формулы
таблиц:
sin (2л — а) = sin ( —а) = — sin а;
cos (2л — а) = cos (— а) = cos а;
tg (2л — а) = tg (— а) = — tg а;
etg (2л — а) = etg (— а) = — etg а.
приведения представим в виде двух
Функция	Аргумент				Функция	Аргумент			
	ir+ a	тг — а	2ir + a	2ir — a		ТГ 1 2 +“	7Г 2~a		
sin х	—sin а	sin а	sin а	—sin a	sin x	cos a	cos a	—cos a	—cos a
cos X	—cos а	—cos а	cos а	cos a	COS X	—sin a	sin a	sin a	—sin a
tg*	tg a	-tga	tga	-tga	tg*	-etg a	etg a	-etga	etg a
etg X	etg a	-etg а	etg a	—etg a	etg x	-tga	tga	-tga	tga
207
Для лучшего запоминания формул приведения можно вос-
пользоваться мнемоническим правилом. Пусть у и а — угловые
величины дуг единичной окружности, причем у е (0; 2л),
а е ( 0; у). Для того чтобы привести тригонометрическую функ-
цию числа у к тригонометрической функции числа а, необходимо:
1)	величину у представить в одном из следующих видов:
у ± а, л±а, у ± а, 2л — а;
2)	сохранить наименование функции, если дуга величиной а
откладывается от горизонтального диаметра (л ± а, 2л — а); из-
менить наименование функции на кофункцию (синус на косинус,
тангенс на котангенс и обратно), если дуга величиной а откла-
( л , Зл \
дывается от вертикального диаметра ^у±а;у±а^;
3)	установить, в какой четверти расположен конец дуги ве-
личиной у, и определить знак приводимой тригонометрической
функции; этот же знак поставить перед значением приведенной
функции.
Пример 1. Найдите tg .
Решение. Функция tg х периодическая с периодом л,
поэтому
tg^=tg91.n = tg(^ + ^) = tg^=l (рис. 199).
Пример 2. Найдите cos .
Решение.
14л	(	.	.	2	\	2
cos -z- — cos I 4л	+	—	л )	= cos	-5- л	=
и	\	О	/	и
(л \	л	1
Л-у;=-СО5у=-у.
Упражнения
1.	Найдите значения: a) sin 150°;
б)	cos 210°; в) tg^ ; г) ctg^ .
2.	Вычислите: a) sin 751°17';
б)	cos 1205°24';в) tg (-420°17');
г) ctg571°37'.
3.	Вычислите:
а)	2 cos 600° + sin 300° ctg 510°;
б)	sin 690° ctg 1200° — у tg 750°;
в)	y (-870°)cos 330°;
208
г)	cos (—1230°) ctg 1050;
д)	sin (—1920°) tg 60° — cos 1020°;
e)	у sin 300° tg( —690°);
ж)	у cos ( — 330°) tg 690°;
з)	ctg 1200° sin 690° + у tg ( — 750°).
4.	Докажите, что:
(3	\
у л -|- a J = sin a; 6) tg (2л — a) = —tg a;
в) ctg ( y — a ) = tg a;	r) sin ( у — a ) = cos a.
5.	Найдите:
a)	sin (л — 3) + cos ( у + 3 ) ;
6)	sin (— 240°) — cos (—150°);
в)	sin2 + cos2 + sin25n.;
о	о
г)	sin2402° + sin248° 4- tg2225°;
д)	sin299° + cos281° + ctg2315°;
v cos2(—135°) + sin2( —300°) .
L tg (-225°) + cos (-240°) ’
v 6 cos2( —240°)-ctg 210°	.
sin (-300°) • cos2180°
sin2315° cos 300° + tg( —315")
sin (-120°) cos 150°
6.	Упростите выражения:
a)	cos (a — 90°) ctg (180° -|- a) — cos ( — a);
6)	sin (a — 270°) tg (180° — a) -J- sin ( — a);
в)	cosec 402° sec 408° + tg (— 225°);
r) sec240° + tg( —225°);
, д) —2 cos 240° — tg 150° sin (—120°) — sin 270°;
1
e)	cos 45° sin 3105° + у ctg ( —315°) — cos 270°;
ж)	cos 686° sec 34° 4- cos 18° sin (— 72°);
з)	8 cos 330° tg 210° - 4 ctg 945°.
7.	Упростите:
а) 1 — cos (л — a) sin ( у — a ) ;
209
tg (-660°) sin (-870°)	.
°' cos (-600°) • ctg 225°	’
в) Sin2( у — p ) cosec P — tg2 (p — y) sin (л — p);
r) ctg (270° + a) + ctg (a - 270°);
Д) tg ( у - a ) tg ( у - a ) sin (2л - a);
cos (n — a) sin ( у + P )
e)	—------------------ ~1 >
’ sin (n + p) cos (4л — a)
ж)	sin2 2 (л 4-1) -|- cos2 (2л —2);
cos у — 6a ) + sin (л + 4a) + sin (3л — 4a)
3)	~\‘
sin у 4- 6a J + cos (4a —2л) + cos (4a + л)
8.	Докажите тождества:
(9л \
cos I —— al	,	.
\	'2	. / Зл \ , 2 /	\
a)		= sin ( у — a ) tg2 (л — a);
ctg (-a)
. ( 5л \
slr4T~a/ /	, \
6)	--— = c°s (a - у ) ctg2a;
в)	sin2(n — a) — sin2 (a — 2л) = sin2 ( у -|- a ) —
— sin2 ( у + a) .
9.	Решите уравнения:
а)	5 sin2 ( у — x )	+	8 cos (л	+ x)	=	0;
б)	3 cos ( x--)	—	7 sin (2л	— x)	=	0;
в)	sin2 ( у + x ) = cos (2л — Jt) 4- 2;
г)	л/3 ctg2(8л	+ x)	+	tg (3,5л	— x)	=	0;
д)	sin2 ( у —	x ) — 3	cos (4л	+ x)	=	4;
e)	3 tg2(13n + x) + V3 ctg (6,5л — x) = 0;
ж)	2 cos (3,5л + x) tg (8л — x) = 0;
з)	2 cos2(6n — x) — sin (5,5л -|- x) = 1.
210
§ 65. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА
Если в формулах сложения тригонометрических функций
sin (а + Р), cos (а + р) и tg (а + Р) (см. §§ 61—63) положить
а = р, то получим формулы, выражающие тригонометрические
функции двойного аргумента 2а через функции аргумента а.
sin (а + а) = sin а cos а + sin а cos а = 2 sin а cos а,
sin 2а = 2 sin а cos а.	(1)
cos (а + а) = cos а cos а — sin а sin а = cos2 а — sin2a,
cos 2а = cos2a — sin2a.	(2)
Формулы (1) и (2) верны для любых действительных значе-
ний а.
1 — (|>а1|'а	1 — Ig’a
tg 2 а = - 2	.	(3)
1 - 1и а
Последняя формула имеет моего при 2а -/= у + л/е, k е Z,
т. е. при а #= у + у k, k е Z, а также при a =# у + nk, k е Z.
Пример. Выразите sin За через sin а.
Решение.
sin За = sin(2a + а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а =
= 2 sin a cos a cos а + (cos2a — sin2a) sina =
= 2 sin a cos2 a + sin a cos2 a — sin3 a =
= 3 sin a cos2 a — sin3 a = 3 sin a (1 — sin2 a) — sin3 a =
= 3 sin a — 4 sin3 a.
Упражнения
1.	Применяя формулы (1), (2) и (3), выразите sin х, cos х,
tg х через тригонометрические функции аргумента у .
2.	Вычислите: а) sin 15° cos 15°; б) cos215° — sin2l5°.
3.	Выразите: а) cos За через cos a; 6) sin 4a через sin a и cos a.
4.	Вычислите: a) sin 2a, cos 2a, tg 2a, если cos a --,
«5
< a < л; 6) cos 2a, если sin a = —0,6,	< a < 2л.
z	z
211
5. Упростите выражения:
а)	sin 2х		cos 2х
	2 cos х ’	б)	sin х + cos х ’
в)	4 X	. а X COS4 у — sin4y ;	г)	1 + cos 2х + 2 sin2x
д)	2 sin2x — 1;	е)	• 2 I	4	3 sin x 4- cos x	r ; 1	4
ж)	tg“ .	з)	cos2a
	l+tg2a’		a	ct tgy-ctgy
			
6. Упростите выражения:
а) 2 cos2a — 1;
в) cos42a — sin42a;
д) cos2a — 4sin2y cos2y;
. cos 2a , sin 2a .
' sin a ' cos a ’
6) sin a sin (— a j cos 2a
. cos 2a	sin 2a
r)----------:—;
cos a sin a
e) 1 — 4 sin2a cos2a;
з) ctg a — ctg 2a.
7. Докажите тождества:
а)	4 sin a cos3a — 2 sin 2a sin2a = sin 4a;
6)
tg a	ctg a
1 + tg2a 1 + ctg2a
- sin 2a.
8. Решите уравнения:
a) sin x = sin 2x;
в) 4 sin4* + sin22x = 2;
д) sin4* — cos4x = 0,5;
6)	4 sin x cos x = -/3;
r) tg2x = 3tg x;
e) sin22x —4sin2(y +*) -f- 4=0.
§ 66*. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
Выведем формулы, позволяющие выражать тригонометриче-
ские функции аргумента через тригонометрические функции
аргумента а.
Положим в формуле, выражающей косинус двойного аргу-
мента, cos 2х = cos2x — sin2x, х = у . Получим:
о a . 9 а
COS у — sin у = cos a*
(*)
212
Для нахождения выражений для cosy и siny необходимо еще
одно соотношение, связывающее эти величины. Таким выраже-
нием может служить известное тождество
sin2y + cos2 у = 1.	(**)
Вычтем почленно из равенства (**) равенство (*), получим:
2 sin2 у = 1 — cos а>
откуда найдем:
. о а 1 — cos а
S1" -2 = —2— ’
I sin-jl = V-M-	о
Сложим почленно равенства (**) и (*), получим:
2cos;’ --™ = 1 cos а,
откуда найдем:
ч а COS~--		1 -]- <’os а
		2
или
leos^l	(2)
Формулы (1) и (2) позволяют находить значения sin у и
cos -у . Для этого необходимо иметь некоторые дополнительные
сведения об аргументе а.
Воспользовавшись определениями функций tgx и etg х и
формулами (1) и (2), получим:
Ml =	<3>
«)
Функции tgy и etg-— могут быть более просто выражены
через тригонометрические функции аргумента а. По определе-
нию
а
s,nT
tgy =-----где cosy =/= 0.
C0ST
(***)
213
Умножим числитель и знаменатель последней дроби на 2 sin у,
получим:
2sin2-^-
1	а	2	1 — cos а	. «
tg V = --------------=-----------, где sin а =# 0.
2	„ . а а sin а
2 sin у cos у
Умножив числитель и знаменатель формулы (***) на 2 cos у,
получим другую формулу для tgy :
„ . а а
2 sin — cos -7-
, а	2	2 sin а	, .	. «
tg — = ------------------=--------------, где 1 + cos а =# 0.
2	„	, а 1 Ч-cos а
2 cos y
О	t	1
Воспользовавшись известным соотношением ctg х =	, где
tgx #= 0, получим две аналогичные формулы для ctgу :
.а sin а	«	, ~
ctg— = ч-----------» где 1 — cos а =# 0;
ь 2	1 — cos а	-т- >
.а 14 cos а	.	, Л
ctg— = —, где sin ai =# 0.
ь 2 sin а ’
Пример 1. Найдите без таблиц tg 22°30'.
Решение. Воспользуемся формулой tgy =
tg 22°30' = —TCOSJ5°
Б	sin 45°
П р и м е р 2. Решите уравнение
4 sin2x( 1 + cos 2х) = 1 — cos 2х.
Решение. В данном уравнении содержатся тригонометри-
ческие функции от аргументов х и 2х. Выразим функции аргумен-
та 2х через функции аргумента х. Воспользуемся формулами
1 + cos 2х = 2 cos2x, 1 — cos 2х = 2sin2x.
Данное уравнение примет вид: 4 sin2x-2 cos2x = 2 sin2x, или
2 sin2x (4 cos2x — 1) = 0, откуда:
a)	sin х - 0, х = лп, п Z;
б)	4 cos2x - 1 = 0, 2 (2cos2x) —1=0, 2 (1 + cos 2Jt) — 1 =0;
214
cos 2x = -4- , 2x = ±	+ Inn, x — ± -г -|- лп, n e Z.
Zu	3
Ответ: лп; ± у + лп, п е Z.
Упражнения
1.	Найдите:
> а		5	л .
a)	cos -fr	, если sin а	= -pj,	<	а < л;
£,	1U Z
®	12	5л	о
о) sin — , если cos а = — -р?,	< а < Зл;
2	1 и	2
ч . а	j	4	Зл
в)	tgy , если ctg а = у, л < а < у;
г)	sin у, если sin а = —0,8, л < а < у .
2.	Упростите выражение:
. Л . 9 Ct
1 —2 sin2—
)2
--------;
2cos2y — 1
в)	cos4x — sin4x — cos 2x;
6) 2sin2(y -I- у ) - 1;
г)	2 cos2 ( -J - f) - 1;
ч 1 4-cos 42°
Д' I-sin 48° ’
Ct
I —2 cos — + cos а
Ж) -----------a---------
1 + 2 cos у + cos а
3.	Решите уравнения:
I + sin а
1 — sin а
• ^2(т - т) - sir,2a:
Л . X
1 — 2 sin —-----cos x
x
1 + 2 sin ------cos x
a)	2 cos2 (x — л) -|- 3 sin (л + 2x) = 0;
6)	2 sin ( у — x ) -|- 5 cos (1,5л — 2x) = 0;
в)	2 cos2' (-2л — x) = 3 sin (л — x) + 2;
r) 1 — sin x = cos2 ( у + у ) :
д) 1 + sin x = sin2 (-J + 4);
e) sin2x — cos2x = cos22x.
215
§ 67*. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС
ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
В § 49 мы видели, что каждую из тригонометрических функций
можно выразить через любую другую тригонометрическую
функцию того же аргумента. Некоторые из таких выражений
содержат квадратные корни, поэтому их применение, например,
при решении уравнений приводит к иррациональным уравне-
ниям. Однако удобнее выражать тригонометрические функции
рационально (только с помощью действий сложения, вычита-
ния, умножения и деления) через другие тригонометрические
функции.
Сейчас мы выведем формулы, позволяющие выражать функции
sin х, cos х, tg х, etg x через tg у .
Пример 1. Выразите sin х через tg у .
Решение. Две известные формулы sin х = 2 sin у cos у
и sin у cos у = 1 позволяют выразить sin х через tgy;
2 sin у cos у	2 sin у cos у
sin X =-------:------=-----------------.
1	. .X	,*
sin-y + cos-y
Предположим, что cos у =#=(), и разделим числитель и знаме-
натель дроби на cos2y#=0, получим:
2	sin cos -77-
2	2
cos2y	2 1g у
sin х =--------------= ----------------.
sin’y	1 + tg2y
Итак,
l-Hg’y
216
Формула (1) верна для всех значений х, при которых cos у =# О,
т. е. для всех х =# л + 2лп, п е Z.
Пример 2. Выразите cos х через tg у.
Решение. Две известные формулы cos х = cos2y — sin2y
и cos у 4- sin — — 1 позволяют выразить cos х через tg у :
о X	п X
COS'-t;-SIH —
2 х • 2 х	2	2
COS X = COS -s----sin =	.
2	2	,X ,	. , X
COS — + Sin- у
Предположим, что cos у =# 0. Разделим числитель и знамена-
тель дроби на cos2 у#= 0, получим:
л
	cos'-y	1 - 1 try- COS X = 	— —	— . si”’?,	1 1 •): .1 -I	— cos24
Итак,	1 - ^4 cosx = 	.	(2) 1-He2y
Формул для всех х Прим Реше аргумента:	a (2) верна для всех x, при которых cos ~	0, т. с. л + 2лп, it е Z. е р 3. Выразите tg х и ctg х через tg у . н и е. Воспользуемся формулой тангенса двойного 2tg^- tgx= 	(3) 1 - ‘е2Т
Из фор	мулы (3) можно получить выражение для etgx:
etgx =
2tB-|
(4)
217
Задание. Найдите множество допустимых значений аргу-
мента в формулах (3), (4).
Полученные в этом параграфе формулы (1), (2), (3), (4)
удобно применять при выполнении преобразований выражений,
содержащих тригонометрические функции, и решении тригоно-
метрических уравнений, когда необходимо различные тригоно-
метрические функции одного и того же аргумента заменить
только одной функцией.
Пример 4. tgy = 3. Найдите sin х, cos х, tg х, etg х.
Решение. По формуле (1): sin х = 4^ = Л = 4- •
1 *Т" У	I и и
По формуле (2): cos х = }—ъ = - А = - А .
1 | w	1 и	О
По формуле (3): tgx =	= - -| = -Ь ctgx =	=
_ _ _4_
—	3 ‘
Пример 5. Решите уравнение 3 sin х + 4 cos х = 5.
Решение. Выразим sin х и cos х через tgy по формулам
(1) и (2), получим:
2 tgy	1- tg’y
3-------— + 4-----------2- = 5, где 1 + tg24 + О,
i+tg24	i+tgy
6tg4 + 4 - 4tg24 = 5 + 5 tg2|, 9tg24 - 6tg4+ 1 = 0.
Получили уравнение второй степени относительно tg4 . Ре-
шим его:
х _ 6 ± +36-36	1
2	18	~ 3 ’
4 = arctgl + лп,
х = 2 arctg4 + 2лп, где п е Z.
При выводе формул (1) и (2) были исключены числа вида
х = л + 2лп, где п е Z. Поэтому такие числа не могут быть
получены в качестве корней данного уравнения в случае при-
менения такого способа его решения. Однако эти значения пе-
ременной могут удовлетворять данному уравнению, т. е. при нашем
способе решения данного уравнения мы можем потерять корни
вида х = л + 2лп, п е Z. Поэтому необходимо проверить, не
218
удовлетворяют ли эти числа данному уравнению. Подставим
эти значения в его левую часть: 3 sin (л-р2лп) -р 4соз(л-р2лл) =
= 3 sinn + 4соэл = 3-0-р4-( — Г) = — 4 #= 5. Рассматривае-
мые значения переменной данному уравнению не удовлетворяют.
Ответ: 2 arctg 4- -р 2лл, п е Z.
•J
Пользуясь формулами (1) и (2), можно аналогично решить
любые тригонометрические уравнения вида a sin х -р b cos х = с.
П р и м е р 6. Решите уравнение 2 sin х -р 3 cos х = —3.
Решение.
1 + tg2y	1 + tg2y
4tg| + 3-3tg2^ = — 3 — 3 tg2y ,
4 tgy = - C>, tgy - -1,5,
у = arctg (— 1,5) -p лп, ti e Z.
x = — 2 arctg 1,5 -|- 2nn, ti c~ L.
Проверка чисел вида л -р 2n/i, п ge Z:
2 sin (л + 2лл) + 3 cos (л + 2лл) = 2 sin л + 3 cos л = 2 • 0 +
+ 3(-1)=-3.
Таким образом, числа вида л -р 2лл, п е Z также являются
решениями данного уравнения.
Ответ: —2 arctg 1,5 -р 2лп; л -р 2лп, п е Z.
Упражнения
1.	Упростите выражения:
. tg а  cos 2а	cos 2а — cos 2а tg2a
1 + tg2a ’	1 + tg2a
2.	Дано: ctg у = 2. Найдите sin х, cos х, tgx, ctg х.
3.	Решите уравнения:
а) 5 sin х -р 12 cos х = 13; б) 3sinx-p4cosx-p3tgx-р 4 = 0;
в) sin х — 4 cos х = 4; г) 1 — cos 6х = tg3x;
д) 3 sinx — 2cosx = 2.
4.	Вычислите:
2 sin a — 3 cos a
4 sin a + 5 cos a
если tgy = 3.
21?
5*. Решите уравнение a sin х 4* b cos х = с, где а, b с — про-
извольные действительные числа.
к	1
6*. Найдите tg-^- , если sin х + cos х =	.
Z	□
§ 68. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Иногда при выполнении вычислений, преобразований, при
решении уравнений приходится преобразовывать сумму (или
разность) тригонометрических функций в произведение функций.
Выведем формулы для преобразования в произведение таких
сумм и разностей тригонометрических функций:
sin а + sin 0, sin а — sin 0, cos а + cos 0, cos а — cos 0.
Преобразуем в произведение сумму sin а + sin 0- Предполо-
жим, что а = х у, 0 = х — у. Это предположение допустимо,
так как для любых действительных значений а и 0 найдутся
такие единственные х и у.
Решая систему уравнений
а = х + у,
Р = х - у
а + Р	а — В
относительно х и у, получим: х = 2 , у = 2 к .
Запишем теперь две известные формулы (см. §62):
sin а = sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у,
sin 0 = sin (х — у) = sin х cos у — cos х sin у.	(**)
Сложим почленно эти равенства, получим:
sin а + sin 0 = 2 sin х cos у = 2 sin cos .
Итак,
sin а + sin 0 = 2 sin -у- cos —(1)
Задание 1. Докажите, что
sin а — sin 0 = 2 cos sin '	(2)
Указание. Вычтите почленно из равенства (*) равен-
ство (**).
Преобразуем в произведение cos а + cos 0. Пусть
а = х + у, 0 = х — у, тогда х =	, у -
Рассмотрим известные формулы (см. § 61):
220
cos a = cos (x + y) = cos x cos у — sin x sin y, (***)
cos p = cos (x — y) = cos x cos у + sill x sin y.	(****)
Сложим почленно эти равенства, получим:
cos a + cos p = 2 cos x • cos у = 2 cos “ftft cos —ft.
' r	»	2	2
Итак,	n I о n____о
cos a + cos P = 2 cos ^ftftcos £ .	(3)
Задание 2. Докажите, что
cos a — cos p = —2 sin a~^-sin .	(4)
Указание. Вычтите почленно из равенства (***) равенст-
во (****).
Пример 1. Преобразуйте сумму sin 84° + sin 26° в произ-
ведение.
Решение. Воспользуемся формулой (1):
sin84° + sin 26° = 2sin —ft— cos 8Г 2 sin 55°cos 29°.
П р и м е р 2. Преобразуйте сумму функций tg а | 1ц р в про-
изведение функций.
Решение.
। х_ о sin a . sin В sin a cos В + cos a sin В
tg a + tg P =-------------— = -------11--------— =
cos a cos p	cos a cos p
sin (a + p)	, я .	„ , я ।	___ ~
= — a , где a: #= -5- + лп, p^ #= -=- + лп, n e Z.
cos a cos P	i	2
Упражнения
1.	Преобразуйте в произведение:
а)	cos 47°	— cos 15°;	б)	cos 58° +	cos 24°;
в)	sin 70°	+ sin 30°;	г)	sin 17° -	sin 35°;
ч я • я	v	. ( a -	я \	( a - я	\
д)	cos 12 - sin^; e) sin — + — J -C0S^ + ?A
2.	Преобразуйте в произведение:
a) tg a — tg P;	6) etg a + etg P;	в) etg a — etg P;
r) 1 + tg a;	д) 1 + etg a.
3.	Преобразуйте в произведение:
а) 1 + cos a + cos ft ;	6) 3 — tg2a;
в) cos a — sin a sin 2a;	r) ctg2a — 3;
221
д) cos а + sin 2а —cos За; е) -1, +\g а ;
’ 1- tga
ж) 1 — tg а + sec а;	з) 3 — 4 sin2a;
и) 1 — 4 cos2a;	к) cos2a — cos2P;
л) sin2a — sin2p.
4.	Упростите выражения:
sin а + sin р
cos а + cos р ’
tg2a + tg а
tg2a —tga ’
sin (a+P) + sin (a — p)
sin (a + p) — sin (a— p)
a)	sin 5x — sin 3x + sin x = 0;
6)	sin x + sin 3x = sin 2x + sin 4x;
a) cos ( у — Зх ) = sin ( у + 2x ) ;
г) cos (	— 3x )
д) sin x — cos x
c) sill X + COS X :
' sill а + cos а ’	'
. 2 sin p —sin2p .	.
’ 2sinp + sin2p ’	'
tg2alga -H 1 ’ e)
5. Решите уравнения:
= sin (л — x);
= л£.
2 ’
= 1.
$ 69. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Пример 1. Решите уравнение
sin2x + 2 sin х cos х — 3 cos2x = 0.
Решение. Замечаем следующее: а) левая часть уравнения
состоит только из алгебраической суммы, причем каждое сла-
гаемое этой суммы является произведением числового множителя
и функций синуса или косинуса одного и того же аргумента;
б) сумма показателей степеней синуса и косинуса в каждом
слагаемом одна и та же (в нашем примере равна 2); в) свободный
член в уравнении отсутствует, т. е. равен 0. Такое уравнение
называют однородным относительно sin х и cos х, а число 2 —
порядком его однородности.
В данном уравнении cosx#= 0. Действительно, если предпо-
ложить обратное, т. е. что cos х = 0, то из уравнения следует,
222
что sin2x = 0 и sin х = 0. Однако не существует таких значений х,
при которых одновременно выполняются равенства sin х = 0 и
cos х = 0. Разделим все члены данного уравнения на cos2x=/=0,
получим:
sin2x । 2 sin х cos х 3 cos2x __ g
cos2x	cos2x	cos2x
или
tg2x 4* 2 tg x — 3 = 0.
Мы получили квадратное уравнение относительно tg х. Решив
его, получим:
a)	tg х = 1, х = у 4* лп, п е Z;
б)	tg х = —3, х = arctg ( — 3) 4“ лп = — arc(g3 + лп, п cz Z.
Ответ:	4- лп; —arctg3 4- лп, n ez Z.
Задание 1. Решите уравнения:
a)	2 sin2x 4" 3 cos2x = 5 sin x cos x;
6)	sin x — -\/3 cos x = 0;
в)	3 cos2x — sin2x — sin 2x = 0.
Пример 2. Решите уравнение 3 sin x cos x — 5 cos2x = 0.
Решение. Замечаем, что корни уравнения cos х = 0 (т. е.
числа у 4* лп, п е Z) удовлетворяют данному уравнению.
Поэтому можно левую его часть разложить на множители (вы-
нести за скобки cos х) и затем решить уравнения (cos х — 0
и однородное уравнение первого порядка). Мы поступим иначе.
Заметим, что sinx=#0 (в противном случае из уравнения сле-
дует, что И cos х = 0, что для одних и тех же значений переменной
не выполняется). Разделим каждый член данного уравнения на
sin2x=A0, получим:
3sinxcosx _5cos^ = о 3 ctg х - 5 ctg2x = 0,
sin2x sin2x ’
ctg x (3 — 5ctg x) = 0.
a)	etgx = 0, x = у 4* лп, n e Z;
3	3
6)	3 — 5 ctg x = 0, ctg x = -д-, x = arcctg 4* лп, n e Z.
□	Э
Ответ:	4* лп, arcctg 4- лп, n e Z.
223
Задание 2. Решите уравнения:
a) sinxcosx — ^3 cos2x = 0; б) 2sinxcosx — sin2x = 0.
Пример 3. Решите уравнение 5 sin2x + 3 sinxcosx —
— 4cos2x = 2.
Решение. Данное уравнение не удовлетворяет всем при-
знакам однородного тригонометрического уравнения (см. решение
первого примера) потому, что в нем есть отличный от нуля свобод-
ный член, равный 2. Однако это уравнение нетрудно свести к
однородному уравнению второго порядка, если этот свободный
член умножить на выражение sin2x + cos2x, равное единице.
5 sin2x + 3 sinxcosx — 4cos2x — 2(sin2x + cos2x) = 0,
3sin2x + 3 sinxcosx — 6cos2x = 0.
Получили однородное уравнение относительно sin х и cos х второго
порядка. Разделим каждый его член на 3cos2x#=0. Получим:
tg2x + tgx — 2 = 0,
a)	tgx = 1, х = -у + лп, n^Z-,
б)	tgx = —2, х = arctg( —2) лп = — arctg2 -|- лп, neZ.
Ответ: -у + лп, — arctg2 + лп, neZ.
Задание 3. Решите уравнения:
a)	sin2x — 3sinxcosx -j- 1 = 0;
б)	5sin2x — 4cosxsinx + 3cos2x = 2.
Упражнения
1.	Сформулируйте признаки однородного относительно sinx
и cos х тригонометрического уравнения. Приведите примеры
таких уравнений.
2.	Решите уравнения:
a)	sin х + cos х = 0;
б)	д/з sin2x---sin 2х = 0;
в)	sin2x + 0,5 sin 2х — 2 cos2x = 0;
г)	sin2x — д/з sinxcosx = 0;
д) 2sin2x -|- 7 cos2x = 6 — 3sinxcosx.
$ 70. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Как может быть задан вектор?
2.	Сформулируйте определение коллинеарных векторов.
3.	Как вводятся прямоугольные координаты вектора?
224
4.	Сформулируйте определение скалярного произведения двух
векторов. Запишите формулу скалярного произведения двух
векторов в координатах.
5.	Найдите а • Ь, если: а) | а | = 2, | b | = 8, ср = (а,Ь) == 135”;
б)	а = (3; 1), b = (-5; 6).
6.	Не пользуясь таблицами, найдите: a) cos 105°; б) sin 105°
7.	Упростите выражения:
, sin 65° cos 5° — sin 5° cos 65°
a' cos 40° cos 10° + sin 40° sin 10° ’
.	tg!2° + tg213° .
’ 1 - tg 12° ctg 237° ’
8. Докажите тождества:
cos 75° cos 25° — sin 75° sin 25°
sin 20° cos 10° — cos 20° sin 10° ’
tg 225° + tg 171° tg21°
tg(-171°) + tg201° •
(cos a — sec a) • sin a
elg a cosec’’a;
cos'a	9
cos a • cosec a;
sura
cos 2a;
В) 1 ~ f+tg*x =2sin-x;
ч sin 2a	cos 2a 1
r) —:--------------= —— ;
sin a	cos a	cos a
\	2	j • О ОЬ	2 Ot
д)	cos a — 4 sirr • cos2 =
e)	-ysin2 a + cos 2a = | cos a I .
9. Решите уравнения:
a)	cosx = 2 sin (30° — x);
6)	sin (30° + x) + sin (30° — x) = 0;
в)	sin4x — cos4x = 0,5;
r) sin2x — cos2x = cos22x;
д)	cos ~2----stn -y = sin2x;
e)	4cos2x(l — cos 2x) = 1 + cos 2x;
ж)	sin 2xcosx + cos2xsinx = 0;
з)	8sin2-^- + 3sinx + 4 = 0;
и)	sin4x — cos4x = sin2x;
к)	(sinx + cosx)2 = 1 — cos2x;
л)	1 — д/з sin x = cos 2x;
m) sinx + cosx«ctg-|- = — д/з.
8 Алгебра и начала анализа
225
10. Упростите выражения:
sin
sin (л — a) sin (2л — а)
б) sin (а —
11. Представьте в виде произведения тригонометрических
функций:
а) д/з — 2 sin а; б) 0,5 + cos а;
в) cos2a — cos2P; г) sin2a — cos2£;
д) cos2 (а-----у) — cos2 -------а) ;
е) * sin а + cos а + sin 2а + cos 2а + sin За cos За.
12*. Решите уравнения:
а)	2cos2x — cos х sin х = 1 — sin2x;
6)	sin 2x — sin 6x — sin lOx + sin 14x = 0;
в)	sin x cos x + cos2x + 3sin2x = 3;
r) sin4x — cos4x + sin 2x + 3 = 0.
$ 71. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Вычислите й’Ь, если:
а)	|a| = 7, |6| = 4, <р = (а, Ь) = 150°;
б)	а = ( — 2; 3), b = (7; -4).
2.	Не пользуясь таблицами значений тригонометрических
функций, вычислите:
ti) tg75°; б) sin 65° cos 5° — cos 65° sin 5°;
в)	cos 75° cos 15° — sin 75° sin 15°.
3.	Докажите тождества:
a)	cos (-у + a) cos a + sin (-y + a) sin a = 0,5;
6)	sin + x) cos x — cos + x) sin x = 0,5.
4.	Вычислите tg (a-----, если sin a =-----и < a < 2л.
226
5.	Упростите выражения:
sin За cos За
sin а cos а *
1 + cos 2а + cos а
cos а + 0,5	’
cos а — cos 5а
sin 5а + sin а
6.	Решите уравнения:
а)	2 — 2cos2x + sinx = 0;
б)	2 sin2 (л + х) + 3cos(-^--х) = 0;
в)	sin2-^- — cos2 = sinx.
ГЛАВА VIII.
ПРОИЗВОДНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
§ 72.	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Прежде чем рассматривать производные три-
гонометрических функций, сформулируем две вспомогательные
теоремы, которые мы примем без доказательства.
Теорема!. Каждая из функций у = sinx, у = cosх, у = tgx,
у = ctgx непрерывна на каждом промежутке своей области опре-
деления.
Эта теорема означает, что
1)	lim sin х = sin a, aeR,
2)	lim cosх = cos а, asR,
3)	lim tg x = tg a, a #=	+ лп, n s Z,
x->a	*
4)	lim ctg x = ctg a, a #= nn, neZ.
«-►a
В силу непрерывности тригонометрических функций предел
каждой из них равен ее значению, вычисленному в предельной
точке, если эта точка принадлежит области определения функции.
Пример 1. Найдите lim sin х.
Л
л 1
Решение, lim sin х = sin — = — .
л	Ь 2
Пример 2. Найдите lim tgx.
Решение, lim tg х = tg = 1.
Л
Теорема 2.
sin х ,
lim-------= 1.
228
Заметим, что областью опре-
деления функции f (х) = 51П**
будет множество действитель-
ных чисел, отличных от нуля.
Предел же этой функции при х,
стремящемся к нулю, суще-
ствует и равен единице. Эта
теорема помогает находить пре-
делы тригонометрических функ-
ций.
Теорема 2 может быть
истолкована геометрически. Рассмотрим график функции у = sin х
(рис. 200) на промежутке [О;	] . Пусть прямая ОМ — некоторая
секущая синусоиды, проходящая через начало координат. Точка М
имеет координаты (х; sinx). Тогда отношение ' есть угловой
коэффициент прямой ОМ. Представим себе теперь, что точка М
движется по синусоиде, приближаясь к началу координат. Тогда
секущая ОМ будет поворачиваться вокруг точки О, приближаясь
к касательной, проведенной к графику функции у — sin х в этой
точке.
Равенство lim sm - = 1 означает, что угловой коэффициент
х->-0 х
касательной, проведенной через начало координат к графику функ-
ции у = sinx, равен единице. Касательной служит прямая у = х.
График функции у = sin х для х> 0 проходит под прямой
у — х — биссектрисой первого и третьего координатных углов,
касаясь этой прямой в начале координат. В силу нечетности
функции у = sinx ее график для х<0 проходит над прямой
у = х, также касаясь этой прямой в начале координат.
Пример 3. Найдите lim-----------.
х-»-0 х
Решение. Мы могли бы воспользоваться теоремой о пре-
деле отношения синуса к аргументу, если бы в знаменателе
дроби было не х, а 5х. Умножим числитель и знаменатель дроби
на 5 и воспользуемся теоремами о пределах функций (см. § 21):
sin 5х ,.	5 sin 5х _ sin 5х е . е
lim-------= lim —=------= 5 lim — = 5-1 =5.
х-0 х	х-0 5х	х-*-0 5х
Пример 4. Найдите lim . \ .
X->*0 Sill лХ
Решение.
.. X	..	1	,.	1	1	||
lim . „ = lim - . „ = lim „ . n —--------------—т— = —— = —L_
ж-о sin 2х х_0 sin 2х х_0 2 sin 2х 2 sin 2х 2-1	2
х	2х	х™ 2х
229
Пример 5. Найдите lim .
х->0
Решение.
lim-^ = lim^L_= ‘ nm^L. Ит_1
x-o 2* x—q2*cos* 2 * 4 x_^0 X x-o cos
J_. i!_ = _L. i. i =±
2 1 cos 0	2	2 ’
Пример 6.
Решение.
Найдите lim
x—0
sin 2x
sin 3x
,. sin 2x
lim . o
2 sin 2x
Inn---------
x-o 2*
3 sin 3x
lim
x->0
Зх
sin 2x
2 lim —----
x-o 2*	= 2- 1
„ sin 3x 3-1
3 l,m ~зГ~
r—► П &X
2
з
Упражнения
1.
Найдите:
а)
lim sin x;
г”’”з’
б)
lim cosx;
Л
“ 4
в)
lim tgx;
г)
lim ctgx;
Д)
sin lx +
lim-------—
'-2L	tg*
4
е)
lim (sinxcos
л
_>-6’
2.
Докажите, что: a)
Найдите:
3.
lim —----= 1; 6)
x-o sinx
lim-^ = 1.
а)
.. sin 4x
lim —2—
x-o 'b
б)
.. sin 6x
lim-------
x-0	*
в)
 . 6x
lim . c ;
x—о 5111 ®*
г)
lim
3
Л
т
д)
. 2x
lim —;
x-0
е)
।. sin 4x
lim . .— ;
о sin 5x
ж) lim tg 2x ;
x-0	*
3)
lim —-—;—
л OX + Л
” “ 6
4. Объясните геометрический смысл предела
.. sinx
hm-------
1.
230
§ 73.	ПРОИЗВОДНАЯ СИНУСА
Теорема. Производная sin х равна cos х:
(sin х)' = cos х.
Доказательство. Напомним, что производной функции
У = Кх) в точке х называется предел отношения приращения
Д/(х) функции в этой точке к приращению Дх аргумента, когда Лх
стремится к нулю: f' (х) = lim .
Лх-*0 Лх
Пользуясь определением производной, найдем производную
функции у = sin х:
1)	Пусть аргумент х получает приращение Дх;
х + Дх :— новое значение аргумента.
2)	Новое значение функции будет sin(x + Дх).
3)	Найдем приращение функции: Ду = sin(x + Дх) — sinx.
4)	Найдем отношение приращения функции к приращению
аргумента: -g-	.
5) Найдем производную функции у — sinx:
,	, •	Л</	.. sin (х I- Лх) - sin х
у = (sinx) = 11П1	-- 1'П. -----1--!---L-------
Лх . I) ЛХ
Лх
sill -у-
1 ini
Ar-— О
Лх
2 cos
lim-------
Лх-*0
Ах
lim cos
Ах —О
Лх
sin —
2
Ах —О
COS X.
sin -	/	ft к
lim —т-----= cos (х + -г-) • 1 
дх-о Лх	\	2/
2
Получили, что производная синуса равна косинусу:
(sin х)' — cos х.	(1)
Пример 1. Найдите производную функции у — sin Зх.
Решение. Воспользуемся формулой (1) и теоремой о про-
изводной сложной функции (см. § 27). Получим:
у' = (sin Зх)' = cos Зх • (Зх)' = 3 cos Зх.
Пример 2. Найдите производную функции у = sin(2x—
Решение.
у' = (sin(2x - -J-))' =
= cos(2x - -i) .(2х	= 2cos(2x - f) .
Пример 3. Найдите производную функции
у = 4xsin(-^- — 2х) .
231
Решение. Воспользуемся теоремами о производной про-
изведения функций и производной сложной функции (см. § 26, 27).
Получим:	,	/
у' = (4х • sin (— — 2х) )	-
= 4 sin (-£• — 2х) + 4х • cos — 2х) •	— 2х) =
= 4sin(-^- — 2х) — 8xcos(-y — 2х) .
Пример 4. Докажите, что функция f (х) = sinx — 4х убы-
вает на множестве всех действительных чисел.
Решение. Найдем производную данной функции:
У (х) = (sin х — 4х)' = cos х — 4.
Так как |cosx| 1 при любых действительных значениях х,
то f' (х) = cos х — 4 < 0 при xeR. Поэтому данная функция
f (х) = sin х — 4х убывает на множестве всех действительных
чисел (см. § 34).
Упражнения
1. Составьте конспект доказательства теоремы о производной
синуса.
2. Найдите производную следующих функций:
а) у = 3sinx;	б) y = sin5x;	в) y = x2sinx;
г)	у = sin2x — sin 2х;	д) у = sin(x +	;
е)	у = sin^Sx-----;	ж) у = 3sin(-^-	— 4х) ;
з)	у = 2х3 + sin3x;	и)	у = xsin -\[х ;	к)	у =	.
3.	Докажите, что функция у	= Зх + sin(-^- —	2х)	возрастает
на множестве всех действительных чисел.
4.	Докажите, что функция f(x) == sin(-^- — 2х) — Зх убывает
на множестве всех действительных чисел.
5.	При каких значениях параметра а функция f(x) = ах +
+ sin Зх возрастает при всех xeR?
6.	При каких значениях параметра а функция f(x) = Зх +
+ sin ах возрастает при всех xeR?
7*	. Найдите производные функций:
а) f W = * • sin2 д/х ; б) f (х) = * - ;
232
§ 74. ПРОИЗВОДНЫЕ КОСИНУСА,
ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
Производную функции у = cosx можно найти так же, как
мы находили производную синуса, т. е. пользуясь определением
производной. Мы поступим иначе. Воспользуемся одной из
формул приведения: cosx = sin (-^- — х) . Зная производную
синуса и правило дифференцирования сложной функции, получим:
(cos х)' = (sin (-£- — х) )' = cos (-^ — х) • (-у — х) =
= sinx-(—1) = —sinx.
Итак,
(cos х)' = — sin х.
Пример 1. Найдите производную функции у = 3 cos 2х.
Решение.
у' = (3 cos 2х)' = 3 (— sin 2х) • (2х)'	3 sin 2х • 2 -= — 6sin2x.
Пример 2. Найдите производную функции
f (х) = sin 2х • cos (-^- — Зх) .
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования
произведения функций, получим:
f' (х) = (sin 2х)' cos (-^- — Зх) + sin 2х • (cos (-^- — Зх) ) =
= cos 2х • (2х)' • cos (-у — Зх) -ф sin 2х - ( — sin (-^- — Зх) ) X
X (-j- — Зх) = 2 cos 2х • cos (-у- — Зх) -ф
+ sin 2х • ( — sin (-£- — Зх) ) • ( — з) =
= 2 cos 2х • cos (-^- — Зх) + 3 sin 2х sin (-^- — Зх) .
Производные функций у = tgx и у = etgx найдем, восполь-
.	,	sin х .	cos х
зовавшись формулами tgx = - , ctg* = sin х . правилом
дифференцирования частного и известными формулами производ-
ных синуса и косинуса:
,, у ___ / sinx __ (sinx)'cosx — (cos х)'sin х _
' ® '	\ cos х /	cos’x
__ cos х • cos x — (— sin x) sin x _ cos’x + sin2x _	1
cos2x	cos2x	cos2x
233
Итак,
(tgx)' = —=—, если х #= -тг + лп, neZ.
COS X	X
, , у ___ / cos х V _ (cos х}' sin х — (sin х)' cos х _
ictg X) — V-^iKT/ —	—
__ (— sin x) sin x — cos x cos x 	 — sin2x — cos2x 		1
sin2x_____________________________________________sin2x_sin2x
Итак,
(etg x)' = —	1 , -, если x #= лп, neZ.
sin X
Пример 3. Найдите производную функции у = — tg3x.
Решение, у' = (- tg Зх)' = - —1—.(Зх)' = - —.
Пример 4. Найдите производную функции у = ctg(2x — 0,3).
Решение.
у = (ctg(2x - 0.3))- = - „п,(2;_од-<2х - 0.3)' =
__________2
sin2(2x — 0,3)
Задание. Найдите производные функций:
у = sin (ах + /;), у — cos (ах Ь), у = tg(ax + b).
Приведем таблицу ироне,иодных тригонометрических функций:
Функция	sin х	COS X	tg X	etg X
Производная	COS X	— sin x	1 cos’x	_ 1 sin’x
Упражнения
1.	Выведите формулу производной функции у = cos х, вос-
пользовавшись определением производной.
2.	Запишите вывод формул производных тангенса и котан-
генса.
3.	Найдите производные следующих функций:
a) у = cos 5x;			6)	у — x • cos x;
в)	У =	sin x • cos x;	r)	у = — sin^2x —
Д)	У =	tg7x;	e)	у = x2tgx;
Ж)	У =	ctgx . 3x ’	з)	1 + COS X U = 	1	I 3	1 + sin x
234
и) у = 5х2 — sin2 х cos х; к) у = — 3sin^x —	+
+ 5cos0,2x.
4.	Найдите производные следующих функций:
а)	у = x2sinx;
б)	у = x2cos х;
в)	у = (1 — 2 sin х) (2 — cos х);
г)	у = (3 + 4 cos х) (х — 3 sin х);
д)	у = A sin Ьх;
е)	у = A cos (t»x -ф с).
§ 75.	ПОНЯТИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть дана функция f(x) = х3. Ее производная равна f' (х) =
= (х3)' = Зх2. Эту функцию называют первой производной данной
функции. Значение первой производной в каждой точке есть
мгновенная скорость изменения данной функции. Можно найти
производную от первой производной. Такую производную на-
зывают второй производной данной функции. Ее обозначают
так: f" (х) (читают: «эф два штриха от икс»);
Г(х) = (Л(х)У = (Зх2)' = 6х.
Таким образом, второй производной [" (х) функции f(x) на-
зывают производную первой производной f'(x) данной функции.
Пример 1. Найдите /"(х), если f(x) = 2х3 -j- 5х2 — 1.
Решение, f' (х) = (2х3 + 5х2 — 1)' = 6х2 + 1 Ох;
f"(x) = (f'(x))' = (6х2 + 10х)' = 12х + 10.
Пример 2. Найдите f" (х), если f(x) = sinx.
Решение, f' (х) = (sin х)' = cos х;
f" (х) = (cosx)' = —sinx.
Пример 3. Найдите ["(%), если f (х) = 3 sin 2х.
Решение, f' (х) = (3 sin 2х)' = 3 cos 2х • (2х)' = 6 cos 2х;
/" (х) = (6 cos 2х)' = 6 • (— sin 2х) • (2х)' =
= — 12 sin 2х;
= _ 12. sin 2 /4) = - 12 sin4 = —12.
Пример 4. Найдите /" (у), если f (х) = 2 cos ( Зх-.
Решение.
Г(х) = (2cos(3x----у~) У =
= 2-(-sin(3x - (зх -	= -6sin(3x -	;
'	'	J//\	о /	\	о /
235
f" (x) = (-6sin(3x--^-))' =
= — 6соб(зх - (зх - ~У =
= — 18 cos(зх--^-) ;
\	O'
= — 18 cos4 = — 18-4 = —9.
«	4
Значение второй производной в каждой точке есть мгновен-
ная скорость изменения скорости данной функции. Если по знаку
первой производной функции можно судить о ее возрастании
или убывании, то по знаку второй производной можно судить
о том, как происходит это изменение — ускоренно или замед-
ленно.
Упражнения
1.	На рисунке 201 изображен график непрерывной функции
У = f (х)> определенной на промежутке (а; Ь). Назовите числовые
промежутки, на которых данная функция: а) постоянна; б) убы-
вает; в) возрастает.
2.	Найдите вторую производную следующих функций:
а)	у = х3 — 2х;
б)	у = sin Зх;
в) у = 2sin(3x — 4) ;	г)
д) у = — 3sin(0,2x + л) + 2qos3x; е)
у = cosx + 2 sinx;
у = x2-sin(y -4)
3.	Исследуйте поведение функции у = х2 — х — 2 при по-
мощи производной.
4.	Исследуйте поведение функции f(x) = etgx на промежутке
(0; л) при помощи производной.
§ 76. ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ
УРАВНЕНИИ.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Многие процессы, происходящие в природе, могут быть
описаны с помощью особых уравнений, содержащих производную
неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциаль-
ными.
Например, дифференциальными уравнениями будут урав-
нения: f (х) + 2f(x) = 0, f" (х) — f' (х) = 3f (х). Первое из них
называют дифференциальным уравнением первого порядка, а
236
второе — второго порядка. Порядком дифференциального урав-
нения называют порядок наивысшей производной, входящей
в него.
Решением дифференциального уравнения называют такую
функцию f(x), определенную на некотором промежутке (а; Ь),
при подстановке которой в данное дифференциальное уравнение
оно обращается в тождество при любом хе (а; Ь).
Изучение методов решения дифференциальных уравнений
выходит за рамки программы средней школы, поэтому рассма-
триваемые ниже примеры дифференциальных уравнений мы
будем решать методом подбора, т. е. будем предполагать, что
некоторая функция является решением данного дифференциаль-
ного уравнения, а затем подстановкой этой функции и ее про-
изводных в уравнение убеждаться, что это предположение верно.
Пример 1. Решите уравнение f' (х) — 2х = 0.
Решение. Если предположить, что f (х) = х2, то [' (х) = 2х
Так как (х2)' — 2х = 0 при любых значениях хг- R, то / (х) г
является решением данного дифференциального уранпення на
множестве R. Нетрудно заметить, что функции <р(л) г' | !>,
ф(х) = х2 — 3 и вообще I/ (л )	\ ? где С любое число,
являются решениями данного дифференциального уравнения
(проверьте это подстановкой). Можно доказать, что других
решений данное уравнение не имеет.
Задание 1. Найдите одно из решений дифференциаль-
ного уравнения: a) [' (х) — sinx; б) /" (х) = cosx; в) /'(х) =
= Зх2 + 2.
Гармонические колебания. Изучение в физике и технике раз-
личных колебательных процессов связано с рассмотрением
тригонометрических функций. С примерами колебательных дви-
жений приходится встречаться довольно часто: движение
маятника часового механизма, колебания струны музыкаль-
ного инструмента, колебания воды от брошенного в нее камня
и др. Наиболее простые колебательные движения это гармо-
нические колебания.
Говорят, что физическая величина совершает гармонические
колебания, если ее изменение с течением времени описывается
функцией f(/), являющейся решением дифференциального урав-
нения
Г(0=-*2Ж	(1)
где и — некоторая положительная константа. Таким образом,
при гармоническом колебании вторая производная функции,
описывающей изменяемую величину, пропорциональна самой
функции. Уравнение (1) называют дифференциальным уравне-
нием гармонических колебаний. Можно доказать, что любое
решение уравнения (1) имеет вид:
f (/) = A cos (со/ + <р),	(2)
237
где А, со, ср — некоторые константы, носящие специальные на-
звания: А — амплитуда, со — частота, ср — начальная фаза ко-
лебания.
Величину Т = называют периодом гармонического коле-
бания, а величину со/ + ф — его фазой. Физический смысл пе-
риода таков: период Т — это время, в течение которого фаза
колебания меняется на 2л. Покажем, что функция (2) является
решением уравнения (1). Найдем:
f' (/) = (Л cos (со/ + ф))' = — A sin (со/ + ср)-(со/ + ср)' =
= —Лео sin (со/ -j- ср),
f" (/) = (— А со siп (со/ + ср))' = — А со cos (со/ + ср) • (со/ + ср)' =
= —Л со2 cos (со/ + ср).
Подставив f" (/) и f (/) в уравнение (1), получим тождество.
Поэтому функция (2) есть решение дифференциального уравне-
ния (1.). Аналогично можно доказать, что гармоническое колеба-
ние описывается также уравнением f(/) = A sin (со/ + ср).
Задание 2. Докажите, что функция у = A sin (со/ + ср)
является решением уравнения (1).
Примером гармонического колебания может служить движение
по прямой материальной точки массы m под действием силы F,
притягивающей эту материальную точку к некоторой точке О,
принадлежащей той же прямой. Модель такого движения изо-
бражена на рисунке 202. За начало системы координат принята
середина О отрезка ВС. Отклонение точки М от точки О будем
обозначать х(/), где / — время. Согласно второму закону Ньютона
ma = F, где F — сила упругости, действующая со стороны пру-
жины на материальную точку М; F = —kx, где k — коэффициент
упругости пружины, а = х" (/) —ускорение движения. Тогда
второй закон Ньютона примет вид дифференциального уравнения
второго порядка: тх" (I) = —kx(f) или х" (/) = —Если
А 2
положить, что — = со , и в качестве со
т
_. Л
взять значение у — , то полученное урав-
нение примет вид уравнения (1). Как было
сказано выше, величина, изменение кото-
рой описывается таким уравнением, совер-
шает гармоническое колебание. Решением
полученного уравнения будет функция
ф(/) = A cos
(л/1-' + *)-
238
Частота о колебания материальной точки М может быть
_. га
вычислена по формуле со = у —, откуда следует, что частота
колебания определяется лишь массой т и упругостью k пружи-
ны. Если задать некоторые начальные условия задачи, например
положение х(/о) материальной точки в некоторый момент вре-
мени /о и скорость к' (/о) в этот момент времени, то можно найти
значение амплитуды А и начальной фазы ср колебания и тем
самым полностью найти закон движения материальной точки М.
Задание 3. Движение материальной точки задано урав-
нением f (х) = 3sin^2x —. Какое это движение? Чему равна
амплитуда, частота и начальная фаза колебания? Постройте
график колебания.
Сложение гармонических колебаний. Можно доказать, что
сумма двух любых гармонических колебаний с одним и н м же
периодом (частотой) снова является гармоническим колебанием
с тем же периодом (частотой):
j4|COS(co/ + ф|) + ?12COs(tof + фг) = ЛзС03(<|)/ + фз).
В общем виде мы это утверждение доказывать не будем.
Рассмотрим лишь частный случай. Гармоническое колебание
f (t) = A cos (со/ + ф) можно представить в виде:
f (/) = A (cos at • cos ф — sin at • sin ф) =
= A cos at • cos ф — A sin at • sin ф.
Введем обозначения:
A cos ф = a\ —A sin q> — l>,	(3)
где а и b — некоторые числа. Теперь гармоническое колебание (2)
можно записать в виде
A cos (at + ф) = a cos at + b sin со/.	(4)
Уравнение (4) показывает, что произвольное гармоническое
колебание A cos (at -f- ф) может быть представлено в виде суммы
двух более простых гармонических колебаний a cos at + b sin at
с той же частотой и нулевыми начальными фазами.
Докажем обратное, что сумма двух гармонических колебаний
a cos at и b sin at с одной и той же частотой и нулевыми фазами
есть снова некоторое гармоническое колебание Л cos (со/+ ф)
с той же частотой, т. е. что a cos at + b sin со/ = A cos (со/ + ф).
Для доказательства этого, очевидно, необходимо подобрать
такие значения А и ф, чтобы они удовлетворяли равенствам (3).
„	- f A cos ср -- - а.
Решим систему двух уравнении | _/jsjn<p= Ь относительно
переменных А и ф.
239
Возведем каждое уравнение этой системы в квадрат и сложим
почленно полученные уравнения:
।	(A2 cos2m = а2,
+ I Л2 sin2(p = fr2____________
Л2 (cos2 ср + sin2 ф) = а2 + Ь2,
так как cos2cp + зш2ф = 1, то А2 = а2 + Ь2,
А = д/а2 + Ь2.	(5)
Из равенств (3) могут быть получены два равенства:
cos ф = -^- =	---, sin ф =-----тг =----,	, (6)
4 А	1	д/а2 + Ь2
позволяющие однозначно находить ф.
Итак, мы доказали, что a cos со/ + b sin со/ = A cos (со/ + ф),
т. е. что сумма двух гармонических колебаний a cos со/ b sin со/
с одинаковой частотой и нулевыми фазами есть также гармониче-
ское колебание A cos (со/ + ф) с той же частотой.
Пример 2. Даны гармонические колебания ф(/) =
= д/Зсоэу/ и ф (/) = sin — /. Найдите результирующее ко-
лебание.
Решение. Так как данные колебания имеют одну и ту же
частоту, то их сумма будет гармоническим колебанием с той же
частотой:
f(/) = ф(/) + ф(/) = д/Зсозу / + sin у /.
Для нахождения амплитуды А результирующего колебания
воспользуемся формулой (5). Имеем: а = д/з, b = 1,
А = \ja2 + b2 = д/(д/3)2 + I2 = -д/4 = 2.
Для нахождения начальной фазы результирующего колебания
воспользуемся формулами (6). Имеем:
а ~\/з	.61	я
COS ф = -д- = -у- , sin ф = — — = — у , поэтому ф = — — .
Итак, получили результирующее колебание:
/(/) = д/Зсоэу + sin у = 2cos(-^---------£) .
ля	» ля	V *
Это колебание является также гармоническим с той же частотой
240
На рисунке 203 изображены графики данных колебаний и резуль-
тирующего.
Задание 4. Найдите результирующее гармоническое коле-
бание двух гармонических колебаний <р(/) = — cos2/ и ф(/) =
= -\/3sin2/. Постройте его график.
Замечание. Результатом сложения гармонических коле-
баний с различными частотами служит более сложное колебание,
вообще говоря, отличное от гармонического колебания. Например,
на рисунке 204 изображены два гармонических колебания ср(/) =
= cos t и ф (t) = sin 2t. Суммарное колебание f (/) = cos t 4- sin 2/
уже не будет гармоническим.
Пример 3*. Найдите наибольшее значение функции
у = 3sinx -f- 4cosx иа множестве действительных чисел.
Решение. Воспользуемся формулой (5) нахождения
амплитуды результирующего гармонического колебания
А = -^а2 + Ь2 = n/з2 + 42 = 5. Запишем данную функцию в
з .4	\
виде у = 5 ^-g- sin х + -g- cos xJ .
з
Обозначим = cos <p, тогда
□
= sin ср. Получим:
у = 5 (sin x cos cp + cos x sin cp) =
= 5 sin (x + cp).
Теперь видно, что наибольшее
значение данной функции рав-
но 5.
241
Упражнения
1.	Приведите примеры дифференциальных уравнений.
2.	Найдите одно из решений дифференциального уравнения:
a) /'(х) = Зх2; б) /'(х) — 2х + 5 = 0; в) f'(x) = — cosx.
3.	Докажите, что дифференциальное уравнение /'(х) = 5х4
имеет бесконечное множество решений, отличающихся друг от
друга лишь постоянным слагаемым.
4.	Запишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания.
5.	Докажите, что функция f(t) = sin 5/ описывает гармони-
ческое колебание.
6.	Даны гармонические колебания <р(/) = — -\f3cost и
ф(/)= —sin/. Найдите результирующее гармоническое коле-
бание.
7.	Докажите, что сумма двух гармонических колебаний с
одной и той же частотой и нулевой начальной фазой есть гармони-
ческое колебание.
8.	Постройте графики гармонических колебаний:
а) у = 3cosy- ; б) у = 1,5 sin (2/ — 0,5).
9.	Найдите амплитуду, частоту, период и начальную, фазу
гармонического колебания:
а) у = cos 2х — sin 2х; б) у = 3 sin -i- + cos .
10*. Решите тригонометрические уравнения:
а) 2sinx = 1 — 3cosx; б) 4sinx = 4 — cosx.
§ 77. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
В этом параграфе рассмотрим некоторые задачи, решаемые
с помощью производных тригонометрических функций.
Пример 1. Найдите угол, образованный касательной, про-
э . ( 3 п \	п
веденной к синусоиде у = 3 sinI -%- х-т-) в точке х = — , с по-
\	о /	О
ложительным направлением оси абсцисс.
Решение, f' (х) = (з sin(-|- х-----) =
= 3 cos (-|- X-• 4 = 4,5 cos (4 х---£) 
K-г)= 4’5cos(4‘t_t) = 4’5 cos 4 = 4-54 = 2>25-
242
tga = 2,25, a as 75° 37'.
Задание 1. Найдите угол, образованный касательной к
косинусоиде у = 2 cos (х — т) в точке х = у с положительным
направлением оси абсцисс.
Пример 2*. Найдите точки максимума функции j (х) —
= 2sinxcos2х на промежутке (о; у) .
Решение. Находим производную данной функции:
f' (х) = (2 sin х cos 2х)' = 2 (sin х)' cos 2х + 2 sin х (cos 2х)' =
= 2cosxcos 2х — 4sinxsin 2х.
Находим критические точки:
Г(х) = О,
2 cos х cos 2х — 4 sin х sin 2х = О,
cos х cos 2х — 2 sin х sin 2х = О,
cosx cos 2х — 2 sinx 2 sinx cosx О,
cosx(cos 2x — 4sin2x) —0.
a)	cosx = 0. На промежутке ((); это уравнение решений
не имеет.
б)	cos 2х — 4 sin2x = О,
cos2x — sin2x — 4sin2x = 0,
cos2x — 5 sin2x = 0.
Получили однородное тригонометрическое уравнение. Разделим
обе его части на cos2x =й= 0:
,	_ sin2x „	,	_ , о л J 2 I
1	— 5 —= 0,	1—5 tgx	= 0, tg х	= —	,
cosx	Г>
, 1 , 1
tgx = —=• ИЛИ tgx =-----7Г-,
-у 5	-у5
х = arctg —L-	яп или х = — arctg —+ лп, п е Z.
у/5
На промежутке (б; у) получили только одну критическую точку:
х = arctg —. Испытываем этот корень: вычислим знак про-
у/5
изводной в	точках,	расположенных левее и правее
arctg---as 0,4 рад:
д/б
f' (0,3) = 2 cos 0,3 • cos 0,6 — 4 sin 0,3 • sin 0,6 as 2 • 1 • 0,8 —
— 4 • 0,3 • 0,6 = 1,6- 0,72 > 0;
243
Рис. 206
f' (0,5) = 2 cos 0,5 • cos 1 — 4 sin 0,5 • sin 1 « 2 • 0,9 • 0,5 —
— 4-0,5-0,8 = 0,9 — 1,6 < 0.
Следовательно, x = arctg——точка максимума.
д/5
Задание 2*. Найдите экстремум функции f (х) = sin х cos2x
на промежутке (о; у) .
Задание 3. На рисунке 205 изображен график функции
f (х)=2 cos x+sin 2х, где D(f)=R. По графику установите:
а) нули функции, б) промежутки возрастания и убывания, в) точки
экстремумов, г) наибольшее и наименьшее значения.
Пример 3. Найдите наибольшую площадь боковой поверх-
ности правильной четырехугольной призмы, длина диагонали
которой равна -у[2 м.
Решение. Пусть ABCDAiB\CtDt — данная призма
(рис. 206), Z-BiDB = <р, S = 4|ЛВ| • |ВВ\ | .
Из ABBiD: | ВВ\ | = -y/iT sin ср, | BD | = -\/2cos(p.
Из Л ABD: |ЛВ| = | BD\ sin 45°,
|ЛВ| = "\/2 cos ср—
Л/2 ’
| АВ | = cos ср.
S (ср) = 4 cos ср • -у/2 • sin ср = 2 sin 2ср.
Полученную функцию теперь нужно исследовать на максимум.
Это исследование мы, как правило, выполняем с помощью произ-
водной. Однако нетрудно заметить, что на промежутке (о; у)
функция S (<р) принимает наибольшее значение, если sin 2<р = 1,
244
т. е. при ср =	. Поэтому наибольшее значение площади боко-
вой поверхности призмы получаем при ф =	; S = 2 дАГ м2.
В данной задаче при нахождении наибольшего значения
функции 5(ф) можно, таким образом, обойтись без применения
производной.
Задание 4. Расстояние от центра нижнего основания
цилиндра до точки окружности верхнего основания равно
-\f2 м. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы площадь
его боковой поверхности была наибольшей?
Указание. Площадь боковой поверхности цилиндра вы-
числяют по формуле S = 2nRh, где R — радиус основания,
h — высота цилиндра.
Упражнения
1. Найдите производные функций:
а) f (х) = sin 5х — cos 5х -j- tg у; б) ф (х) = cos 2х • tg 5х.
2. Найдите угол, образованный касательной, проведенной
к графику функции у = 2sin(x-----в точке х =	, с поло-
жительным направлением оси абсцисс.
§ 78. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Сформулируйте определение производной функции f(x) в
точке хо.
2.	Сформулируйте определение непрерывности функции в
точке. Как записывается условие непрерывности: а) функции
f(x) в точке х = а; б) функции cosx в точке х = Хо?
3.	Найдите lim coslx -|—£-) .
Дх->0	'	7
4.	Найдите пределы:
a) lim sinx; б) lim cosx; в) lim cosx;
' л	' n	' Зл
\	Х~*’ 3
г) lim sinx; д) lim tgx.
2я	5л
х~т	х^т
5.	Найдите пределы:
а)
lim
sin х
б) lim
х — О
sin 8х
8х
х —о
245
в)
lim
sin 5x
Qx COS X
r) lim
x- 0
sin 6x
3x
6.	Запишите правила дифференцирования сложных функций:
а) (/(ф(х)))'; б) (sin (ах + &))';	в) (Л sin (<at + ср))';
г) (cos(ax + &))'; д) (/lcos(a)/ + ср))'; е) (tg(ax + &))'.
7.	Найдите производные функций: а) f (х) = sin 2х;
б) ср (х) = sin 0,5х — х2; в) g(x) = sin 2х — 2 cos Зх.
8.	Докажите, что функция f(x) = sinx — Зх убывает на мно-
жестве всех действительных чисел.
9.	Составьте уравнение касательной к графику функции
у = cos(x — y) в точке с абсциссой х = 0.
10.	Найдите производные функций:
а)	fW = sin2хcosx + cos2хsinx;
б)	g (х) = cos 2х cos х — sin 2x sin x;
в)	ф (x) = 3 sin (n — x) + 2 tg Д- ;
r)	h (x) = 4 sin x cos x.
11.	Найдите вторую производную функций:
а) у = х5 — 7х2; б) у = — 2cos3x; в) у = sinxcos23x.
12*. Исследуйте функции и постройте их графики:
а)	у = cos 2х;	б)	у = cost 2х + 4) ;
в)	у = l,5cos^2x +	И	у = — sin Зх;
д)	у = — зт(зх —	т).	')	у = —2sin(3x - -1
ж)	У = —tg2x;	3)	У = -tg(2x - -j) ;
и)	У = — 2tg (2х —	т)-	
13*. Найдите угол, образованный касательной, проведенной к
графику функции у = 2sin(x —у) в точке х = 0, с положи-
тельным направлением оси абсцисс.
246
§ 79.	ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Найдите: a) lim cos 2х; б) lim sin Зх; в) lim si".7a .
2.	Найдите производные функций:
а) у = 3cos^2x — у) ; . б) у = tg2x;
в) У = (1 — 2cosx)(3 + sinx).
3.	Докажите, что функция f(x) = 5х + 3cosx возрастает на
множестве действительных чисел.
4.	Опишите свойства функции у = 3cosx и постройте ее гра-
фик.
5.	Найдите угол, образованный касательной, проведенной к
графику функции у = 3sin -у х в точке х = 0, с положительным
направлением оси абсцисс.
6.	Составьте уравнение касательной к графику функции
У = sinx в точке с абсциссой х() л. Выполните схематический
рисунок.
ГЛАВА IX.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 80.	ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ функции
Под дифференцированием функции f (х) по-
нимают нахождение ее производной f' (х). Рассмотрим примеры
дифференцирования функций.
1.	Если f (х) = х3, то f' (х) = Зх2 для всех х е R.
2.	Если f(x) = x^, то [' (х) = (х^)' =	4^* Для
всех х > 0.	2
3.	Если f (х) = созЗх, то f'(x) = — sin3x • (Зх)' = — 3sin3x
для всех xeR.
4.	Выше мы решали также задачи на нахождение ско-
рости и ускорения прямолинейного движения, зная закон
изменения координаты х (/) материальной точки: v (/) = х' (/),
а (/) = v' (/) = х"(/).
Так, при свободном падении тела в начальный момент
времени t = 0, скорость v (0) = 0. Путь вычисляется по формуле
s (/) = а скорость и ускорение находят при помощи диф-
ференцирования: v (/) = s' (/) = gt, а (/) = v'(t) = g.
Важно уметь решать задачи, обратные рассмотренным выше,
именно находить функцию f (х) по заданной ее производной
f' (х). Например, в механике часто приходится определять
координату х (/), зная закон изменения скорости v (/), а также
скорость v (/), зная закон изменения ускорения а (/).
Нахождение функции f (х) по данной ее производной
/' (х) называют операцией интегрирования.
Таким образом, операция интегрирования обратна операции
дифференцирования. Операция интегрирования состоит в том,
что по заданной производной f' (х) находят (восстанавливают)
функцию f (х) (латинское слово integratio означает «восстано-
вление») .
Пример 1. Пусть f' (х) = Зх2. Найдем f (х). Опираясь на
правило дифференцирования, можно догадаться, что f (х) = х3.
Действительно, (х3)' = Зх2. Однако нетрудно заметить, что f (х)
находится неоднозначно. В качестве [ (х) могут быть взяты
функции f (х) = х3 + 1, f (х) = х3 — -д/F, f (х) = х3 + 3,2 и другие,
так как производная каждой из них равна Зх2. Все эти функции
отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому
248
общее решение задачи можно записать в виде [ (х) = х3 4- С,
где С — произвольное действительное число. Любую из най-
денных функций f (х) называют первообразной для функции
[' (х) = Зх2.
Определение. Функция F (х) называется первообразной
для функции f (х) на заданном промежутке I, если для всех х из
этого промежутка F'(x) = f(x).
Так, функция F (х) = х3 есть первообразная для функции
f (х) = Зх2 на промежутке ( — оо; оо), так как для всех х <ее R
справедливо равенство
F' (х) = (х3)' = Зх2.
Данная функция f (х) = Зх2, как было показано выше, имеет
бесконечное множество первообразных.
Пример 2. Функция F (х) = -у/х есть первообразная для
функции Их) = —!— на промежутке (0; '<4. гак как для всех \
2 дД
из этого промежутка выполнят гея равенство
I	1
г-х)_ (х;,Г • х ?
Пример 3. Функция	tg Зх есть первообразная
для f (х) = —3— на промежутке ( — — ; — так как для всех
cos- Зх	'22'
х из этого промежутка справедливо равенство
F' (х) = (tg Зх)' = -А- • (Зх)' = -А- .
cos Зх	cos’3x
Пример 4. Функция F (х) = 3 sin 4х + 4 -]- 2 есть перво-
образная для функции f (х) = 12cos4x-------- на промежутке
х
(0; оо), так как для всех х из этого промежутка F' (х) =
= (3sin 4х + 4 + 2/ = 3cos4x(4x)' — 1 • х-2 = 12cos4x------
Упражнения
1.	Сформулируйте определение первообразной функции.
2.	Найдите производные следующих функций:
_ 2
a) f (х) = х5; б) f (х) = с; в) f (х) = х
г) f W = х’' > гДе n е N;	д) f (х) = х“, где х > 0, а е R;
249
e) f (х) = sin х;
и) g (х) = ctg Зх;
\ с / \ ___2х“ -|- 1
л) f W = —;
ж) f (х) = cos х; з) <р (х) = tg х;
к) h (х) = хд/х;
М) f(x) = (1 + 2х)5.
В упражнениях 3—9 докажите, что функция F (х) есть перво-
образная для функции f (х) на заданном промежутке, если:.
3.	a) F (х) = Зх4, f (х) = 12х3, (—оо; оо);
б)	F (х) = 4х5, f (x) = 20х4, ( - оо; оо).
4.	a) F(x) = 0,Зх-3, f(x)= -0,9х-4, (-оо; 0);
б)	F(x) = — 0,4х-2, f(x) = 0,8х 3, (0; оо).
5.	a) F (х) = 2 Ух , f (х) =---------, (0; оо);
3^?
б)	F (х) = У^х , f (х) =----, (— оо; 0).
2у — х
6.	a) F (х) - —sin х + 1, f (х) = —cos х, ( — оо; оо);
б)	F (х) = cos х — 2, f (х) = — sin х, ( — оо; оо).
7.	a) F(x) = 3tgx,f(x)=-V.(—I у):
б)	F (х) = 2 ctg х, f (х) = — —, (0; л).
8.	a) F (х) = 2х3 + f (х) = 6х2 —	, (0; оо);
б)	F(x) = (2х + ?)3 f(x) = 6 (2х + I)2. (-оо; оо);
в)	F (х) = sin У — 4д/х, f (х) = у cos у-, (0; оо) .
9.	F (х) = sin2x, f (х) = sin 2х, (0; оо). Л
10.	Найдите одну из первообразных для каждой из сле-
дующих функций: a) f (х) = 5; б) f (х) = — 1; в) f(x) = x2;
г) f W = cos х-	1
И. Является ли функция — первообразной для функции
1 х
-----на промежутке (0; 2)?
X2
12. Является ли функция — первообразной для функции
---L на промежутке (— 2; 2)?
$ 81. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО
ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ
При изучении первообразной будем опираться на утверждение:
если на промежутке I производная (х) функции (х) равна
нулю, то на этом промежутке функция ср(х) постоянна. Это
общее утверждение, называемое признаком постоянства функции,
можно иллюстрировать геометрически. Известно, что ф' (хо) =
250
Рис. 207
Рис. 208
= tg а, где а — угол наклона касательной к графику функции
<р(х) в точке с абсциссой хо (рис. 207). Если <р'(х) = 0 в любой
точке промежутка /, то tg а = 0 для любой касательной к графику
функции ф(х). Это означает, что касательная к графику функции
в любой его точке параллельна осп абсцисс. Нонпму на укп
занном промежутке график функции «[(») cmni.i/i.n-i с ik<>м
прямой у = (' (рис. 208).
Признак постоянства фупкппи импт гакгкс фн испчкую пн
терпретацпю. Пусть функция <р (/) a.i/i.nr шли и пн /ы-ппи нпп.н
ПО прямой. Рассмотрим ’л у функцию II.I цримсжу I ИС /	|/|. / I
Известно, что v(t) = </(/). Гели <р' (/) о. н> .•>(/) о < гирш и.
материальной точки в любой момепг времени / p.inn.i о. •!<•
означает, что в рассматриваемом промежутке времени млн-
риальная точка находилась в состоянии покоя. Если, н.тприм< р,
в момент времени 1\ <р (/,) = С, то на промежутке времени 1 график
функции <р (/) будет отрезком, параллельным оси t (рис. 209).
Признак постоянства функции: функция f (х) = С — постоян-
ная на промежутке I, если f' (х) = 0 на этом промежутке.
Действительно, для произвольных Х| и х2 из промежутка /
по теореме о среднем значении функции можно записать
f (х2) — f (Х|) = f' (с\Х'> — Х|). Так как f (с) = 0, то f (х2) = f (х().
Это означает, что функция f (х) постоянна на промежутке /.
Справедлива следующая теорема, выражающая основное
свойство первообразной функции.
251
Теорема. Если F (х) одна из первообразных для функции
f(x) на промежутке I, то множество всех первообразных этой
функции имеет вид: F (х) + С, где С — любое действительное
число.
Доказательство. Пусть F'(x) = f (х), тогда (Г(х) + С)' =
= (F(х))' + (С)' = f(x) для всех хе/. А это означает, что
при любом постоянном С функция F (х) + С есть первообразная
для f (х) на /.
Пусть функция Ф (х) — другая первообразная для f (х) на
/, т. е. Ф' (х) = f (х). Тогда (Ф(х) — F (х))' = Ф'(х) — F' (х) —
= f(x) — f(x) = 0, (Ф(х) — F(x))' = 0 для всех хе/. Это озна-
чает, что Ф(х) — F(x) постоянна на промежутке /. Следовательно,
Ф (х) — F (х) = С, откуда Ф (х) — F (х) + С.
Этим доказано, что если F (х) — первообразная для f (х) на
промежутке /, то множество всех первообразных для f (х) имеет
вид: F (х) + С, где С е R.
Подчеркнем еще раз, что выражение F (х) + С исчерпывает
множество всех первообразных для заданной функции f (х).
Любые две первообразные данной функции отличаются друг
от друга постоянным слагаемым.
Пример 1. Найдите множество первообразных функции
f ( х) = cos х. Изобразите графики трех первообразных.
Решение. Одна из первообразных для функции cos х есть
sin х. Множество всех первообразных имеет вид: F (х) = sinx + С.
В частности, можно назвать следующие первообразные: Fi (х) =
= sin х, F2 (х) = sin х + 1, F3 (х) = sin х — 1 (рис. 210).
Геометрически основное свойство первообразной Ф (х) =
= F (х) + С для некоторой функции можно проиллюстрировать
следующим образом: график любой первообразной F (х) + С
можно получить из графика первообразной F (х) при помощи
параллельного переноса г = (0; С).
Пример 2. Для функции f(x) = 2х
найдите первообразную, график которой
проходит через точку (1; 4). Выполните
схематический рисунок.
Решение. Множество всех перво-
образных данной функции имеет вид:
Г(х) = х2 + С. По условию задачи
Г(1) = 4, следовательно, I2 -f- С = 4,
С = 3, F(x) = х2 + 3 (рис. 211).
Пример 3. Скорость точки, дви-
жущейся прямолинейно, изменяется по
закону v(t) = 2t + 1 (в м/с). Найдите
путь, пройденный точкой за промежуток
времени от t = 1 до t = 4, если изве-
стно, что в момент времени t = 1 путь
равен 3 м.
252
Решение. Пусть путь, пройденный точкой за промежуток
времени t, равен s (/). Известно, что s' (/) = о (/), s (/) есть перво-
образная для v (/), следовательно, s (/) можно найти при помощи
интегрирования: s '(/) = 2t Д- 1, s (О — t2 + t + С (справедли-
вость этого ответа проверьте дифференцированием). По условию
задачи s (1) = 3, следовательно, 3 = 1 Д- 1 + С, С= 1, s(/) =
= t2 4- t 4- 1. Подставим в выражение s(f) значение / =
S(4) =16 + 4+1=21; s(4) - s(l) = 21 - 3 = 18.
Ответ: 18 м.
Рассматривая таблицу производных таблицу первообразных функций: Правильность записи в таблице мно- жества первообразных может быть про- верена дифференцированием. Например: = т+т + С: = - (*“+1 _i_ Д' _ (g+	_ v- ~ \ a + 1	1	a + 1 —x = f(x), a =A - - 1. Проверьте правильность записей всех первообразных в таблице. Упражнения 1. Сформулируйте основное своГвтво первообразной функции. Проиллюстри- руйте его геометрически на примере.	функций, составим	
	Функция f(x)	Множество ее первооб- разных F(x)
	k (const)	kx+h
	х° а / 1 sill А* (о*» Л’ 1 . .Р.'л	..П 1 1 .  1 < (* 1 1 i ICI Л 1 < МП Л 1 t 1 Г. Л 1 '
	1 sin’x	ctg х н- С
2. Сформулируйте признак постоянства функции на про-
межутке.
3.	Объясните признак постоянства функции, используя гео-
метрический смысл производной.
4.	Объясните признак постоянства функции, используя меха-
нический смысл производной.
5.	Для данной функции [ (х) найдите первообразную, график
которой проходит через заданную точку А:
a)	f (х) = х4; А (— 1; 0), постройте график функции f (х);
б)	f(x) = V*. А (1; 2);
в)	Дх) =	~%) » постройте график функции /Дх);
г)	f (х) — х2, А (1; у) , постройте графики функций f (х) и F (х);
д)	f (х) = — , Л(1; —1), постройте график функции F (х);
№
е)	f W — s*n А (л; 2);
ж)	f (х) = cos х, А (2) , постройте графики функций
f (х) и F (х);
253
3) f(x)
=—v~. а(-; -1
cos х '4
И) f(x) = -l-, Д (у;о) ;
к) f(x) = V*> Д (9; 19), постройте график функции f(x);
л) f (*) = 5, А (2; 12), постройте графики функций f (х) и F (х);
М) /(*) = !, 4(1; 4).
$ 82. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ
ПЕРВООБРАЗНЫХ
В предыдущем параграфе была приведена таблица перво-
образных некоторых функций. В этом параграфе мы установим
правила, позволяющие находить первообразные различных функ-
ций, составленных из приведенных в таблице.
Теорема 1. Первообразная суммы двух функций равна
сумме первообразных этих функций, рассматриваемых на одном
и том же промежутке.
Доказательство. Пусть F(x) есть первообразная для
f(x) на промежутке I, т. е. F'(x) = f(x); G(x) есть первообразная
для g(x) на этом же промежутке /, т. е. G'(x) = g(x). Докажем,
что F(x) + G(x) есть первообразная для f(x) + g(x) на про-
межутке I, т. е.
(F(x)+ G (х))' = f (х) + g (х).
Используя правила дифференцирования суммы двух функций,
находим:
(F (х) + G (х))' = F' (х) + G' (х) = f (х) + g (х).
Теорема справедлива для суммы любого конечного числа
функций.
Пример 1. Найдите множество всех первообразных для
функции f (х) = X2 + -у/х .	J
Решение. Одна из первообразных функции х2 есть -^х3.
О
Г~ 1	+1	2	3
Одна из первообразных функции -ух = х7 есть ---= —х^ =
Т+ 1
2 Г"
= -х-хл/х. Множество всех первообразных данной функции
о
имеет вид: F(x) = J-x3 + 4-хл/х + С, где хе(0; оо).
О	О’
Примечание. Первообразная -^-х3 определена на мно-
О
2 г"
жестве Л = (—<»; оо), первообразная — х-ух определена на
О
254
множестве 12 = (0; оо). Каждая из первообразных данной
функции определена на множестве I = h f) /2 = (0; оо).
В упражнениях на нахождение первообразных сумм функций
имеется в виду, что все первообразные рассматриваются на
одном и том же промежутке, на котором рассматривается и
первообразная суммы, поэтому отыскивать этот промежуток
не надо.
Теорема 2. Первообразная произведения числа на функ-
цию равна произведению этого числа на первообразную данной
функции.
Доказательство. Пусть F(x) есть первообразная
функции f(x), т. е. F'(x) = f(x), k — данное число. Докажем,
что k • F(x) есть первообразная функции kf(x).
Используя правило вынесения постоянного множителя ла знак
производной, находим: (kF (х))' = kF'(x) = kf(x).
Пример 2. Найдите множество всех нервообра шы х для
функции f(x) = 5 cos х.
Решение. Одна из первообразных функции иг; \ ecu,
sinx, поэтому множество всех первообразны х данной ф у и к i hi и
имеет вид: F (х) -- 5 sin х |
Теорема 3. Если F(x) есть одна на нерчооиралных функ
ции f(x), a k и b — постоянные, причем k / 0, то F(kx | Ь)
есть одна из первообразных функции f (kx -ф b).
Доказательство. Известно, что F'(x) = f (х), тогда
( 2. F(kx + b))' = ^F'(kx + b) = ±f(kx + b) (kx + b)' = f(kx + b).
Пример 3. Найдите множество первообразных функции
f (х) = sin (Зх — 4).
Решение. Одна из первообразных /(х) есть функция F\(x) =
=-----^-cos(3x — 4). Множество всех первообразных данной
функции имеет вид: F(x) =-cos(3x — 4) -ф С.
О
Упражнения
1. Найдите множество первообразных функций:
а)	f W = — 7х + 4;	б)	f(x) = ах + Ь;
в)	f(x) = Зх2 + 4;	г)	f(x) = 2х2 + Зх - 8;
Д)	f(x) = а*2 + Ьх +	с;	е)	f(x) = ах3 -ф Ьх2 -ф сх	+ d.
2. Найдите множество первообразных функций:
a) f W = —2 - 2sin Зх; б) f(x) = —2L_;
х	sin^ 2х
255
в) f(x) = 4Н--------;— ; г) f(x) = 3 cos 4-------------2sin 4x;
cos 3л	4
д) f W = 0,5 sin 0,2 x + -\[x ; e) f (x) = 3 (1 — 2x)4 + x~2;
ж) f(x) = — 2	; з) f(x) = -—|----------!-----•
R ) x3 (2x- I)3
§ 83. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И
ЕЕ ПЛОЩАДЬ
В предыдущих классах вы научились вычислять площади
треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции,
произвольного многоугольника, т. е. площади фигур, границами
которых являются ломаные линии. Научились также вычислять
площадь круга и его частей (сектора, сегмента).
В математике разработаны методы, позволяющие вычислять
площади фигур, границы которых состоят из кривых линий,
например частей парабол, синусоид и др. (если, конечно, пло-
щади этих фигур существуют).
Теперь, используя знания о первообразной функции, мы
научимся находить площади фигур, называемых криволинейными
трапециями.
На рисунках 212 — 217 штриховкой выделены различные
криволинейные трапеции.
Рис. 21S
256
Рис. 218
Определение. Криволинейной трапецией называется
фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей
на отрезке [а; 6] знака функции f(x), прямыми х = а, х = Ь и
отрезком [а; &].
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графи-
ком функции f(x) (рис. 218), прямыми х = а, х = b и отрезком
[а; Ь] оси абсцисс. Вначале рассмотрим случай f(x) > 0.
Пусть х е [а; Ь]. Площадь криволинейной трапеции, заштри-
хованной на рисунке, есть функция от х. Обозначим ее через 5 (х).
Ниже будет показано, что 5' (х) = f (х). Это равенство озна-
чает, что переменная площадь 5 (х) есть первообразная для
функции f (х). Поэтому площадь криволинейной трапеции S может
быть вычислена при помощи интегрирования. Из рисунка видно,
что 5 (а) = 0, так как заштрихованная фигура при х = а превра-
щается в отрезок, S (b) = S есть площадь рассматриваемой
криволинейной трапеции. В случае f (х) < 0 (рис. 219) вычисле-
ние площади криволинейной трапеции будем заменять вычисле-
нием площади трапеции, симметричной данной относительно оси
абсцисс. Такая криволинейная трапеция ограничена прямыми
х = а, х = Ь, осью абсцисс, графиком функции у = — f (х),
принимающей положительные значения на рассматриваемом про-
межутке.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Вычислите площадь трапеции, заштрихованной
на рисунке 220. Установите связь между 5' (х) и f (х).
Решение. Мы имеем дело с обычной прямоугольной трапе-
цией, так как графиком функции f (х) = 2х является прямая.
По известной из геометрии формуле найдем площадь этой
трапеции:
S = i^L+ !££L . |др| ,
но |ЛВ| =2-1=2, I cm = 2х, |4D| = х — 1,
5 (х) =-Ц2£.(х- 1) = (х + 1) (х - 1) ^х2 - 1.
9 Алгебра и начала анализа
257
Рис. 220
Рис. 221
Найдем S' (x):S'(x) — (х2—1/ = 2х. Замечаем, что S'(x) =
= f (*)-
Пример 2. Используя равенство S' (х) = f (х), вычислите
площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями и = х2
х = 1, х = 2, у = 0.
Решение. Пусть xs[l; 2] (рис. 221). Так как S' (х) = f (х),
то S' (х) = х2. Таким образом, S (х) есть первообразная для
функции f (х) = х2. Найдем множество таких первообразных:
S (х) = —|- С. Значение постоянной С можно найти из усло-
вия S (1) = 0, 0 = 4- + С, С = - 4-.
о	о
х3	1
Таким образом, S (х) =-=---------Площадь данной криво-
О	«J
23 I
линейной трапеции получим при х = 2: S (2) = -^--------j- =
Пример 3. Используя равенство S' (х) = f (х), вычислите
площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у =
= sinx; у = 0, л к 2л (рис. 222).
Решение. На заданном промежутке график функции у =
= sin х лежит под осью абсцисс. Поэтому вычисление площади
этой трапеции заменим вычислением площади трапеции, симме-
тричной данной относительно оси абсцисс, т. е. ограниченной гра-
фиком функции у = — sin х и осью абсцисс
S' (х) = — sin х,
S (х) = cos х + С, S (л) = 0;
0 = cos л + С, С = 1.
Таким образом, S (х) = cos х + 1. S (2 л) = cos 2л + 1 —
= 1 + 1=2.
Ответ: S = 2 (кв. ед.).
258
Поясним подробнее смысл равенства S' (х) = f (х), принято-
го выше без доказательства (рис. 223).
Для простоты рассуждений рассмотрим функцию f (х), непре-
рывную и возрастающую на отрезке [я; Ь\. Площадь криволиней-
ной трапеции ARCD будет также непрерывной функцией от х,
обозначим ее S (х). Дадим х некоторое приращение Ах > 0, тогда
S (х) получит приращение AS (х). Найдем AS (х):
S (х) = Sahcu, S (х -{ Ах) S,\umn< A S (х)
AS (х) = S (х 4- Ах) - S (х).
Пользуясь рисунком, заметим, что:
S DCFN < -S DCMN < SdEMN'
f (х) А х < A S (х) < f (х 4- А х) А х,
f(x) <-AT7L<Hx4- Ах).
В силу непрерывности функции f (х) имеем: lim f(x-|~Ax) =
Л*-<-0
= f (х). Функция Л д**) заключена между двумя функциями
f (х) и f (х 4- Ах), имеющими один и тот же предел [ (х) при
Ах-»-0. Поэтому предел А д при Ах->0 также равен f (х)
Получили, что S' (х) = f (х).
Упражнения
1.	Сформулируйте определение криволинейной трапеции.
2.	Какие из заштрихованных на рисунках 224—230 фигур
являются криволинейными трапециями, а какие не являются?
3.	Для фигуры, заштрихованной на рисунке 231 (ограни-
ченной линиями у = х 4- 1, у = 0, х = 0 и прямой, проходящей
через точку (х; 0) параллельно оси ординат), докажите справед-
ливость равенства S' (х) = f (х).
259

$ 84. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Используя равенство S' (х) = f (х), где f (х)	0 па проме-
жутке [а; 6], выведем формулу для вычисления площади криво-
линейной трапеции (рис. 232). Из этого равенства видно, что
S (х) есть первообразная для f (х) на промежутке [а; Ь\. Пусть
F (х) — другая первообразная для f (х) на этом же промежутке.
В силу основного свойства первообразных имеем: S (х) =
= F (х) + С. Это равенство верно при всех х е [а; &], так как
функции 5 (х) и F (х) определены в точках а и Ь. Подставим вме-
сто х число а, получим: S (а) = F (а) + С. Но S (а) = 0, поэто-
му 0 = F (а) + С, откуда С = — F (а). Таким образом,
S (х) = F (х) — F (а). Искомую площадь получим путем под-
становки в последнее равенство х = Ь:
S = F(b) - F(a).
Пример I. Постройте криволинейную трапецию, ограни-
ченную линиями [ (х) = 0,5 х2, х = 1, х = 2, у = 0. Вычислите
ее площадь.
Решение. Криволинейная трапеция изображена па рисун-
ке 333. Одна из первообразных для функции /' (х) -- 0,5 х2 есть
F(x) =4-х3.
S = F (2) - F (1), S = -L (23 - I3) = -|- = 1 -1-.
Пример 2. Вычислите площадь криволинейной трапеции,
ограниченной линиями f (х) = со*2у, у = 0, х = 0, х =
Решение. На промежутке [О; значения / (х) положи-
тельны. Одна из первообразных для функции f (х) = есть
F (х) = tgx. Следовательно, S =	— F(0) = tg-^------
261
Рис. 234
Пример 3. Постройте криволинейную трапецию, ограни-
ченную линиями г/ = cos х, I/ = 0, у < х С -у-. •’ вычислите
ее площадь.
Решенп е. Криволинейная трапеция изображен . на ри-
сунке 234. Вычислим площадь криволинейной трапепеи. ограни-
ченной линиями у = — cos х, у = 0, х -у- ;икэ вз
первообразных функции у = —cos х есть F (л )	- sin х,
s = f(v-) - r(f ) = -(sin^- - sinf) - 2.
Ответ: S = 2 (кв. ед.).
Упражнения
В упражнениях 1 — 5 вычислите площади фигур, ограничен-
ных линиями:
1.	а) у = х2, у = 0, х = 2; б) у = х3, у — 0, х = 2.
2.	а) у = sinx, у = 0, 0 х л; б) у = cos х, у = О,
Л	- л
2" < х < -у •
3.	а) у = <х, у = 0, х = I, х = 4; б) у = у у = О,
к = I, х = 9.
4.	а) у = 2sin х, у = О, О С х <1 л; б) у = 2cos х. у — О,
Л	л
5.	а) у = х2 — 2х + 1, у = 0, х = 0, х = 2; б) и = х2 +
-1-- 4х + 4, у = 0, х = 0, х = - 3.
§ 8S. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛА
Вернемся к задаче вычисления площади криволинейной трапе-
ции. Рассмотрим другой способ вычисления ее площади. Внача-
ле решим примеры.
Пример 1. Вычислите площадь трапеции, ограниченной ли-
ниями у = 2х, у = 0, х = 1, х = 2.
262
Решение. Площадь этой трапеции (рис. 235) можно вы-
числить по известной из курса геометрии формуле:
|ЛВ1 ±	- IAD\
s - -ЦД -1=з.
Однако для вычисления площади этой трапеции применим
другой способ, который нам позволит находить площади любых
криволинейных трапеций.
Разделим отрезок [1; 2] на п отрезков равной длины. Обоз-
начим абсциссы точек деления через хь х2, х3, .... xn-i, а соот-
ветствующие ординаты через t/i, уз, Уз, Уп-\- На каждом из
этих отрезков построим прямоугольник, как это показано на ри-
сунке 235.
Высота прямоугольника, построенного на отрезке [х0; х(],
равна у0 = f (х0), высота прямоугольника, построенного на от-
резке[хь х2], равна t/i = f (xi) и т. д„ высота прямоугольника,
построенного на отрезке |х„._ ь х„|, равна у„_ । = f (х„_ i). Длина
I
основания каждого прямоугольника равна —.
Объединение всех п прямоугольников есть некоторая ступен-
чатая фигура (рис. 235). Площадь этой ступенчатой фигуры
обозначим через Sn. Тогда
$п =	‘ f (х°) +	' f (х>) +	* f (*2) + ••• + ~ • f (хп-1) =
=	(2х0 2xi -J- 2х2 2xrt _ i) =	)
263
В скобках получили сумму членов арифметической прогрессии
(ап), у которой а, = 1, d = -±-, п — число членов.
Найдем эту сумму по формуле суммы членов арифметиче-
ской прогрессии:
„	2а, + d (п — 1)
о--------2------- '
с 2,1 +—(«-*) 2м + п - 1 За — 1
S= -------2-------П =------2--- =
Подставим значение S в равенство (1), получим:
с 2	Зп — 1	3/1—1
— и 2	— п
При неограниченном увеличении числа делений отрезка [1; 2]
и стремлении при этом к нулю длины каждого из них пло-
щадь ступенчатой фигуры сколь угодно близко приближается
к площади данной трапеции. Естественно предположить, что
площадь S рассматриваемой, трапеции выражается формулой
S = lim S„,
п -* оо
Как видим, результаты подсчета площади трапеции различ-
ными способами совпали.
Пример 2. Вычислите приближенно площадь криволиней-
ной трапеции, ограниченной линиями у = х2, у = 0, х = 1,
разделив отрезок [0; 1] на 10 равных частей и построив вписан-
ную ступенчатую фигуру из прямоугольников (рис. 236). Найдите
абсолютную погрешность полученного значения.
Решение. Длина основания каждого прямоугольника рав-
1	с ( 1 А г ( 2 \
на —, высоты прямоугольников равны:	f \”]У/
> •••> f (-^-) • Площадь ступенчатой фигуры равна:
I2 + 22 + З2 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92	285 п пог
— ' ' ~			- -		—	-	==	— = и
10’	1000
Найдем точное значение площади:
f(x) = х2, F (х) = ^-, S = F(l) — F (0), S=-|~
264
Абсолютная погрешность равна
IS-S,I= 14-^1 = 44» 0,048.
Решение аналогичной задачи делением отрезка [0; 1] на
п равных частей показано ниже в примере 3.
Рассмотренный в примере способ вычисления площади кри-
волинейной трапеции можно применить к вычислению площади
любой криволинейной трапеции.
Рассмотрим положительную и непрерывную на отрезке [а; 6]
функцию f(x). Разделим отрезок [а; 6] на п равных частей
и обозначим абсциссы точек деления через Х|, х2, х3, .... xn-i>
а соответствующие ординаты через у\, у2, уз, .... yn-i- На каж-
дом из этих отрезков построим прямоугольник, как это показано
на рисунке 237. Высота прямоугольника, построенного на отрезке
[х0; Х|], равна yo = f(xo); высота прямоугольника, построен-
ного на отрезке [ай; х2], равна yi = f (xi); высота прямоугольни-
ка, построенного на отрезке [х2; Хз], равна f (х2) и т. д.; высота
прямоугольника, построенного на отрезке [х,,_ i; хл], равна
f (хл —i).
Длина основания каждого прямоугольника равна 6 ~ а ;
обозначим Ь-~- а = Дх. Заметим, ч-roxi — х() = х> — х> = х3—
— х2 = ... = хп — хп- 1 = Дх. Объединение всех п прямоуголь-
ников есть некоторая ступенчатая фигура. Обозначим ее площадь
через Sn, тогда
S,i = Нх0)Дх + f(xC)bx + f(x2)bx + ... + Нхп_1)Дх. (2)
п — I
Это выражение можно записать короче: S,( = 2 f (х*) Дх.
Знак S (греческая буква «сигма») означает, что вычисляется
сумма однотипно образованных членов. Давая букве k значения
0, 1, 2, 3,..., п — 1, получим первый, второй, третий и т. д.
(п — 1)-й члены рассматриваемой суммы. Сумму (2) называют
интегральной суммой.
Опираясь на наглядное представление (см. рис. 237), пред-
полагаем, что при неограниченном увеличении числа делений
отрезка [а; Ь] и стремлении к нулю длины каждого из них
площадь ступенчатой фигуры сколь угодно близко приближается
к площади данной трапеции. Тем самым принимаем без строгого
обоснования существование предела lim Sn.
п -► оо
Определение. Интегралом функции f (х) от а до Ь назы-
вается предел интегральной суммы: lim 5я.
265
b
Интеграл обозначается так: J f (х) dx — читается: «интеграл
а
от а до b эф от икс дэ икс».
В обозначении интеграла все указывает на способ его об-
разования. Знак интеграла напоминает удлиненную латинскую
букву S — первую букву слова summa (сумма). Латинское слово
integer означает «весь, целый». Подынтегральное выражение
f (х) dx напоминает внд каждого отдельного слагаемого f (xj Ax
интегральной суммы. Множитель dx в математике называют
дифференциалом. Число а называется нижним пределом интегри-
рования, а число b верхним пределом. Таким образом,
»
lim Sn =	(х) dx.
П-* ао	J
а
Пример 3. Вычислите площадь криволинейной трапеции,
ограниченной линиями f (х) = х2, у = 0, х = 1.
Решение. Применим способ, приведенный в решении пер-
вого примера. Отрезок [0; 1] разделим на п отрезков равной
длины и на каждом из них построим прямоугольник, как это
показано на рисунке 238. Длина основания каждого прямоуголь-
.	1 п
Ника равна —. Высоты прямоугольников соответственно равны:
f(xi) = Xi, f(x2) = xl, f(x3) = Хз. и т. д., f(Xa-i) = х„_,.
Найдем площадь ступенчатой фигуры:
Sn-1 = -+-f (х,) + ±f (х2) + 4/ (хз) + ... +	(х„_,) =
Tv	Tv	IV	Tv
1	/ 2	।	2 t 2 t	t 2	\
= — (Xj + X2 + X3 + ... + x„_,).
Из рисунка видно, что
266
_ Р + 2= + З2 + ... + (п - 1)г
-	-з	
Существует следующая формула для вычисления суммы квад-
ратов п первых натуральных чисел: I2 + 22 + З2 -J- ... + п2 =
п (л 4- 1) (in + 1) г,	,
= —11—у-----------Применим эту формулу для вычисления
суммы квадратов первых (п — 1) натуральных чисел. Для этого
заменим в указанной формуле п на п — 1, получим:
(п — 1) п (2л — 1)	1 л — 1 2л — 1
6л5	6 ’ п	п

Естественно предположить, что площадь S криволинейной
трапеции есть предел площади ступенчатой фигуры при п -► оо:
= lim S„_ । - 4 ,irn ( 1 -	) lim ( 2 “
fl -*• «X»
= 441- lim —) -(2 — lim —) = 4- • 1 • 2 = 4“-
6 \	n / \	n/o	3
Л-*- OO	n —► CP
Заметим, что эту задачу можно решить и по формуле S =
= F(b) - F(o):
f W =х2, F (х) = S = F (1) — F (0), S =.
Упражнения
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,
у = 0, х = 1, при помощи составления интегральной суммы,
разделив отрезок [0; 1] на п равных частей.
2*. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
У = х + у = 0, х = 2, при помощи составления интегральной
суммы, разделив отрезок [—1; 2] на п равных частей.
3*. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ной линиями f (х) = 0,5х2, у = 0, х = 1, при помощи составле-
ния интегральной суммы, разделив отрезок [0; 1] на п равных
частей.
267
$ 86. ФОРМУЛА НЬЮТОНА —ЛЕЙБНИЦА
Из изложенного выше (см. §85) следует, что предел инте-
ь
тральных сумм, т. е. J f (х) dx, для неотрицательной и непре-
а
рывной на промежутке [а; Ь] функции f (х) равен площади S соот-
ь
ветствующей криволинейной трапеции S = J f (х) dx.
а
С другой стороны, площадь криволинейной трапеции можно
вычислить по формуле S = F (b) — F (а), где F (х) —одна из
первообразных для f (х) (см. §84). Сравнивая эти две формулы,
получаем:
ь
\f(x)dx = F(b) — F (а).
Это равенство называется формулой Ньютона — Лейбница. Для
удобства вычислений формулу Ньютона — Лейбница записыва-
ют так:
ь	|»
\t(X)dx = F(X)\ = F(b) — F(a).
а	а
Пример 1. Вычислите j х2 dx.
1
Решение.
Пример 2. Вычислите $ cosxdx.
о
л	л
т	If-
Решение. $ cosxdx = sin х |	=
о	о
= sin — sin 0 = 1 — 0 — 1.
Пример 3. Вычислите площадь фи-
гуры, ограниченной линиями у = х3,
у = О, х — 1, х = 2 (рис. 239).
2	4 I 2
Решение. S = \ х3 dx = -4-	=
; 4 1
_ 24_____I4 _ 15 _ „ 3
— 4	4 — 4 — d 4 ’
268
Упражнения
1. Изобразите схематически фигуры, площади которых вы-
ражаются следующими интегралами:
12	1	з	т
a)	j х dx\ б) J 2х dx; в) J 2х2 dx\	г)	J х2 dx;	д)	J	sin х dx.
0	10	2	0
Найдите площадь каждой из этих фигур.
2*. Используя график функции 1 		у = -yjl—x2, объясните, по-
чему $ V 1 — *2 dx = -1	2	
В упражнениях 3—7 вычислите	интегралы:
3. а) 5 х* dx; — 2	6) ’J А ' dv. I
л	
4. a) j cos 2x dx;	<») \ '.in </>.
л _т	()
4	8
5. a) J x^/xdx; i	б) Jx^/xdx. i
-1 Л \ с dx	3 f dx
6. а	- ;	б) - •
-3 *	1 X3
	
л	
7. а) $ (х2 + 2sin x)dx; 0	б) $ (х3 — д/з cos x)dx, 0
В упражнениях 8—11 вычислите площади фигур, ограни-
ченных линиями:
8.	а) у = -х2 + 4, у = 0;
б)	у = х2 - Зх, у = 0.
9.	а) у = — , у = 0, х = 1, х = 2;
X
6)	y=^,y = Q, Х = —2, х = — 1.
X
4	/ч \	л _____ 2 л
10.	а) у = sin х, у = 0, х — -s-, х =	;
О	□
\	г\	л	л
б)	у = cos х, у = 0t х = — 7 ’ х ~ Т '
269
11.	a) у = 2 cos x, у = О,
л ~ Зл
2 < Х < Т ;
б)	у = 2 sin х, у = 0, 0 < х < 2л.
$ 87. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Нам известно, что при вычислении площади криволинейной
ь
трапеции необходимо вычислять интегралы $ f(x)dx. Но для
а
вычисления этого интеграла необходимо знать функцию f(x)
и пределы интегрирования а и Ь.
Если требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной
несколькими линиями, то находят криволинейные трапеции,
пересечение или объединение которых есть данная фигура,
вычисляют площадь каждой из них и находят разность или
сумму площадей этих криволинейных трапеций.
Задача!. Вычислите площадь фигуры, ограниченной лини-
ями у = № и у = —х -|- 2.
Решение. Изобразим схематически графики данных функ-
ций (рис. 240). Замечаем, что искомая площадь есть разность
площадей двух криволинейных трапеций:
S = SABcd — $ABOCD'
Из рисунка видно, что пределы интегрирования для обеих
трапеций одни и те же, это абсциссы общих точек графиков данных
функций. Для нахождения пределов интегрирования решим
уравнение:
х2 = — х + 2, х2 + х — 2 = 0, xt = — 2, Хч = 1.
270
Найдем искомую площадь:
S .-= $ ( — х + 2}dx — $ x*dx = (— -у 4- 2х) |	— 41	=
-2	-2	-2	’	-2
“( -4 + 2) -( -4 -«) -4 -|=1.5 + 6-3 = 4.5,
Ответ: 4,5 (кв. ед.).
Задача 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = 1 + sin х, х = 0, у = О, х = 2л.
Решение. Из рисунка 241 замечаем, что искомую пло-
щадь SOaBCDEF можно вычислить при помощи интеграла:
2п	2л
S = J (1 4- sin х) dx = (х — cos х) | =
о	о
= (2л — cos 2л) — (0 — cos 0) = 2л — 1 4* 1 = 2л.
Ответ : 2л (кв. ед.).
Полученный ответ очевиден: фигуры ЛИСА и CDEC симмет-
ричны относительно точки С, поэтому они равновелики. Иско-
мая площадь равна площади прямоугольника OAEF, длины сторон
которого 1 и 2л.
Задача 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у — cos х, у = 0, если —х у (рис. 242).
Я	я
т	т
Решение. Si = $ cos х dx = sin х |	=
-т	т
Зл
= sin у — sin( —£-) = 1 — (— I) = 2. S2 = $ ( — cos х) dx = 2,
Л
S = Si 4* s2.
Ответ: 4 (кв. ед.).
271
Задача 4. Найдите путь, пройденный точкой за промежу-
ток времени от t = 0 до t = 5, если скорость точки меняется по
закону
и (0 = З/2 + 2t + 1.
Время измеряется в секундах, скорость в м/с.
Решение. Путь, пройденный точкой за промежуток времени
от 0 до 5, есть
5	5
s(5) - s(0) = $ v(t}dt = J(3/2 + 2t + V)dt =
°	5	°
= (t3 + t2 + Г) | = 125 + 25 + 5 = 155.
о
Ответ: 155 м.
Упражнения
1.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х2 и прямой у = —х.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс
и графиком функции у = f !’ если х 2'
н	а	I — х 4-1, если х > 0.
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = — х2 + 2х 4- 3, прямой у = 4х и осью абсцисс, х 0.
4.	Докажите, что площадь параболического сегмента ВОСК.В
(рис. 243) равна двум третям площади прямоугольника ABCD.
5.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х3, у = 8, х = 0.
6.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = cos х, у = 0,5, где--------------- С х С •
7.	Тело движется со скоростью и =
= (6/ 4- 2) (в м/с). Найдите длину пути,
пройденного телом за 10 с от начала
движения.
8.	Тело движется прямолинейно с ус-
корением а = (3<2 4- 2) (в м/с2). Найди-
те закон движения тела, если в момент
t = 1 с скорость v = 3-~ и путь s = 5 м.
9.	Вычислите площадь фигуры, огра-
ниченной линиями у = 0,5х2, у = 0,5,
х = 2.
10.	Вычислите площадь фигуры, огра-
ниченной линиями у = 0,5 cos х, у = 0,
Зл
X —	-g- .
272
J 88*. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ИНТЕГРАЛОВ
Пусть требуется вычислить интеграл от непрерывной на отрез-
ке [а; Ь] функции /(х). Если Е(х) одна из первообразных для f (х), то
ь	ь
по формуле Ньютона — Лейбница J f(x)dx = F(x)| = F(b) — F(a).
а	о
Однако не для каждой функции f(x) может быть найдено аналити-
ческое выражение первообразной Е(х). В таких случаях прибегают
к приближенным методам вычисления интегралов.
Известно, что интеграл J f(x)dx равен площади криволинейной
а
трапеции (рис. 244), а площадь криволинейной трапеции может
быть найдена как предел площади ступенчатой фигуры, вписанной
в трапецию при неограниченном увеличении числа делений отрезка
[а; 6] и стремлении к нулю длины каждого из них.
ь
В качестве приближенного значения интеграла $ f(x)dx может
а
быть принята площадь ступенчатой фигуры. При этом точность
вычисления интеграла будет зависеть от числа делений отрезка
[а; Ь], а также способа построения ступенчатой фигуры.
На рисунках 245—248 показаны различные способы построения
273
ступенчатой фигуры для данной криволинейной трапеции. Рас-
смотрим подробно один из способов приближенного вычисления
интеграла (рис. 249).
Разделим отрезок [а; 6] на п равных частей точками xi, хг, Хз,
..., Xn-i и на каждом из отрезков [хо; *i], [JFi; х2],	х„]
построим прямоугольник, как это показана на рисунке 249. Высоты
этих прямоугольников равны соответственно Дхо), f(xi), Дх2),
..., f(Xn-i), а длина основания каждого прямоугольника равна
Ь—а
п
Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей всех
прямоугольников, следовательно,
ь	,
J f(x)dx » 4^- (Дх0) + Дх.) + Дх2) + ... + f(xn_1)).
а	11
b—a	b	n~l
Обозначим -----= Ax, тогда J f(x)dx ж 5 Дх*)- Ax, т. e. получили
"	a	ft=l
выражение интегральной суммы.
Заметим, что в качестве высот прямоугольников, составляющих
ступенчатую фигуру, могут быть выбраны соответствующие коор-
динаты правых концов отрезков оси абсцисс либо координаты их
середин. Площадь ступенчатой фигуры может быть найдена также
сложением площадей трапеций (см. рис. 246—248).
4
Пример 1. Вычислите приближенно интеграл $ 2'“* dx,
о
разделив отрезок [0; 4] на четыре равные части (рис. 250).
Решение.
Построим по точкам график функции Дх) = 2*_| на отрезке
[0; 4]. Длина основания каждого прямоугольника равна 1. Найдем
высоты прямоугольников:
ДО) = 0,5, f(l) = 1, Д2) = 2, ДЗ) = 4.
274
J 2X-Idx « 1- (0,5 4-14-2 + 4) = 7,5.
°	f 2
П p и м e p 2. Вычислите приближенно интеграл j — dx, разде-
i x
лив отрезок [1; 4] на 6 равных частей (рис. 251).
Решение.
2
/(х) = — . Длина основания каждого прямоугольника равна
4-1	1 D
—g— = у . Высоты прямоугольников равны:
/(1) = 2, /(2) = 1, /(3) = |,	/(1,5) =	= 1 |, /(2,5) =
_ _2_ _ 4 сч 2 _ 4
2,5	5 ’ К3,5) — 3,5 — 7 ’
г 2	1
dx«± (/(!) + /(!,5) + /(2)+/(2,5) + /(3) + /(3,5)) =
—	1 й 13	223	„13
-у^+’т+Ч-у+т +т>’=У 6 35 = -7б-=3 70да
« 3,186.
Упражнения
1. Вычислите приближенно интегралы:
4
a) J 2х dx; б) у dx; в) $ 2 sin х dx
275
§ 89. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
Понятие интеграла может быть использовано для доказатель-
ства формул объемов тел: наклонной призмы, пирамиды, конуса,
шара и др.
На рисунке 252 изображено произвольное тело, объем кото-
рого необходимо вычислить. Предположим, что данное тело заклю-
чено между параллельными плоскостями х = а и х = Ь. Введем
систему координат так, чтобы ось абсцисс была перпендикулярна
этим плоскостям. Обозначим через S(x) площадь сечения тела
плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс и пересекающей ее
в точке х; функция S(x) непрерывна на отрезке [а; Ь].
Разделим отрезок [а; 5] на п равных отрезков точками Хо = а,
xi, х2, хз.хя-1. хп = Ь и через точки деления проведем плоско-
сти, перпендикулярные оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное
тело на п слоев. На рисунке 252 тангирно выделен один из таких
слоев. Тогда Xi—хо = хг — Xi — хз — х2 = ... = хп — xn-i = Ax.
Если сечение тела есть круг, то объем заштрихованного слоя
равен приближенно объему прямого кругового цилиндра с пло-
щадью основания S(x) и высотой Ах. Если сечение тела многоуголь-
ник, то объем слоя равен приближенно объему соответствующей
прямой призмы. Объем данного тела приближенно равен
сумме объемов цилиндров или призм с основаниями S(x0), S(xi), ....
S(Xn-l) и высотой Ах.
V « Vn = S(xo)- Ах 4- S(xi)* Ах 4- S(xj)• Ax4-.-.4-S(xn-i)* Ах =
n— 1
= S S(x*)- Ax.
k = 0
Точность этого приближенного равенства тем выше, чем больше
п, т. е. тоньше слои. Примем без строгого обоснования, что объем
276
данного тела равен пределу объема Vn при п-»-оо; И = lim Vn.
П-*-оо
Сумма Vn является интегральной суммой для непрерывной на
ь
отрезке [а; 6] функции S(x), следовательно, V = J S(x)dx.
а
Пример 1. Объем наклонной призмы равен произведению
площади основания на высоту.
Доказательство. Пусть площадь основания призмы
равна S, а ее высота Н. Поместим начало системы координат в од-
ной из вершин верхнего основания призмы, а ось Ох направим
перпендикулярно плоскости основания призмы (рис. 253). Сечение
призмы плоскостью, перпендикулярной оси Ох, равно основанию
призмы, следовательно,
н	ин
V = J Slxjdx, V = \Sdx = Sx| = S- И.
О	0	0
П р и м е р 2. Объем пирамиды равен одной трети произведения
площади ее основания на высоту.
Доказательство. Пусть площадь основания пирамиды
равна S, а ее высота Н. Поместим начало координат в вершину
пирамиды, а ось Ох направим перпендикулярно плоскости основа-
ния пирамиды (рис. 254). Сечение пирамиды плоскостью, перпен-
дикулярной ее высоте, на расстоянии х от вершины есть много-
угольник, подобный основанию,
откуда S(x) = -~ х2.
I7 f S 2 j S
V ~ j “й5"  х 'dx
о
следовательно,
= 4- SH.
о
277
Пример 3. Объем конуса равен одной трети произведения
площади ее основания на высоту.
Доказательство. Пусть площадь основания конуса рав-
на S, а ее высота Н. Поместим начало системы координат в верши-
ну конуса, а ось Ох расположим перпендикулярно плоскости
основания конуса (рис. 255). Сечение конуса плоскостью, перпен-
дикулярной его высоте, на расстоянии х от вершины есть круг. До-
пустим, что радиус этого круга равен г. ДОЛВсо ДОС/), следова-
„ , АВ ОВ г х	R
тельно, — = — или F , откуда г = — х.
Площадь круга равна S(x) = х.
°	о	о
nR2 И2
Н2 ' 3
±nR2H.
Пример 4. Пусть криволинейная трапеция ограничена от-
резком [а; Ь] оси абсцисс, графиком функции f(x). неотрицательной
и непрерывной на отрезке [а; 6], прямыми х = а и х — b (рис. 256).
При вращении этой трапеции вокруг оси абсцисс образуется тело,
ь
объем которого можно вычислить по формуле V = J S(x)dx.
а
b
Но S(x) = лу2 или S(x) = л(/(х))2, следовательно, V = л- J f2(x)dx.
а
Пример 5. Объем шара радиуса R вычисляется по
формуле V = -у л/?3.
Доказательство. Шар образуется вращением полукруга
вокруг диаметра. В плоскости полукруга введем прямоугольную
систему координат, как это показано на рисунке 257. Из уравнения
окружности х2 + у2 = R2 находим у2 = R2 — х2.
278
R
V = л • J y2dx.
— R
Ось ординат делит полукруг на две рав-
ные части, следовательно, объемы тел, по-
лученных вращением этих частей, равны:
Я	R
V = 2n-\y-dx = 2л$(Я2 - x2)dx =
о	о
Рис. 25В
= 2л (т?2х - 4) I = 2л (r3 - -^) = 2л • ^-= 4 л/?3,
х	О /	\	О /	о	О
о
Пример 6. Вычислите объем фигуры, образованной вра-
щением фигуры, ограниченной линиями у = -\[х, у = 1, х = 4,
вокруг оси абсцисс (рис. 258).
Решение. Искомый объем V равен разности объемов 1Л п
Vi двух фигур, образованных вращением криволинейных трапе-
ций АВСК и ABDR: V = V, — V,.
В примере 4 получена следующая формула для вычисления
объема фигуры вращения:
/>
V. = л$ f\x)dx.
а
Применим эту формулу к вычислению объема Vi. Найдем
пределы интегрирования. Из уравнения -Jx = 1 находим х=1,
I О4| = 1.
У| = л$ (^x)2dx = njxcfx = 4^| = л ( 8------) = 7,5л.
Фигура, образованная вращением прямоугольника ABDR,
есть цилиндр, поэтому V2 = n.R2H, где R = | 4В| = 1,
н = | ЛX| = 4 — 1 = 3, V2 = л- I2- 3 = Зл, V = V, - Vi,
V = 7,5л — Зл = 4,5л.
Ответ: V = 4,5л (куб. ед.).
Упражнения
1. Вычислите объем тела, полученного при вращении вокруг
оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) у = Зх, у = 0, х = 2; б) у = -\[х, у = 0, х = 2;
в) у = х2 + 1, у = 0, х = 0, х = 2;
г) у = х3, у = 1, х = 2; д*) у = sin х, у = О, 0 х л;
е) у = 2х2, у = 8.
279
$ 90. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Найдите первообразные для функций:
a) f (х) = 8х — 3; б) f (х) = 4- х2 + 1; в) f (х) — 2 cos х.
2.	Какие из функций Fi(x) = х cos х, F2(x) = sin2x, Рз(х) =
= 7 — cos2x, Ft(x) — 5 cos2x, F$(x) = 11 — у cos являются
первообразными для функции f (х) = sin 2х?
3.	Для функции f (х) = 6х2 — 2х + 5 найдите первообразную
F(x), если известно, что F( — 2) = —20.
4.	Вычислите площадь S (х) фигуры, ограниченной осью абс-
цисс, прямой f (х) = 2х + 3 и ординатами точек этой прямой,
абсциссы которых равны 0 и х> 0. Найдите производную S'(x).
5.	Вычислите интегралы:
а)	5	9 5 3dx;	б) 2	-	| Ху/х л Т	2
в)	J 3 sin х dx;	г) J (2х + Зх2) dx; о	о Л Т	л
д)	$ "V1 — cos 2xdx;	е) J 2 sin 4- cos dx; 0	0	1	1 3	4
ж)	S -	dx;	3)\^Ldx; 1	*	1 V* л	л т	T r sin 2jc—3 sin’x ,	, г (	? x	 2 * \ j
и)	\ 		dx; к) \ 1 cos -77 — sin ) dx; J	sin x	' j \	2	2 / л	Л т	—г
2-ул
л) $ ( sin ( х + -у) + sin ( х — у)) dx.
2Т"
6.	Пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, докажите сле-
дующие основные свойства интеграла:
л	Ь	а
a) \f(x)dx = 0; б) $f(x)dx= -Jf(x)dx;
а	а	b
280
ь	ь
в) $ kf (х) dx — k\ f (x) dx;
a	a
b	b	b
Г) $ (f W + Ф WMx = $ f (x) dx + $ <p (x) dx\
o	a	a
ebb
д) если a С c < b, to $ f (x) dx + $ f(x) dx = \ f (x) dx.
аса
7.	С помощью интеграла вычислите площадь треугольника,
ограниченного прямыми у — 2х — 6 = 0, у = 0, х = 1. Проверь-
те ответ вычислением площади треугольника по формуле, извест-
ной из курса геометрии.
8.	С помощью интеграла вычислите площадь трапеции, ог-
раниченной прямыми у = х + 2, х=1, х = 3, // = 0. Проверьте
ответ вычислением по формуле, известной из курса геометрии.
9.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = (х + I)2 и прямыми х = —4, у = 0.
10.	Вычислите площадь параболического сегмента, отсекае-
мого от параболы у = х2 — 4х осью абсцисс.
11.	Изобразите трапецию, площадь которой вычисляется с
з
помощью интеграла J (2x4~3)dx, и вычислите эту площадь.
— ।
12.	Найдите, при каких значениях k площадь фигуры, огра-
ниченной параболой f(x) = х2 + 2йх+4 и прямыми х = — 2,
2
х = 2, у = 0, можно вычислить по формуле $ f (х) dx. Выберите
— 2
одно из найденных значений k и вычислите указанный интеграл.
13.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у  cos х, у = cos х + 2, х = —> х =	.
14.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = -\/х и у = х3.
15.	Изобразите криволинейную трапецию, площадь которой
о
вычисляется с помощью интеграла $ (х2 + 2х + 1) dx, и вычис-
-2
лите эту площадь.
16.	Изобразите криволинейную трапецию, площадь которой
2
вычисляется с помощью интеграла J (—х2 + 2х) dx, и вычислите
о
эту площадь.
281
17.	Найдите, при каких значениях параметра т площадь
фигуры, ограниченной линиями у = sinx, у = т (где т> 1),
х = 0, х = л, равна 2 (л — 1).
18.	При каком значении параметра k > 0 площадь фигуры,
ограниченной линиями у = cos у (0 х л), х = 0, у = 0,
х = k, равна 1?
19.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками
функций у = (х-{-1)(2—х), у = Х+1-
20.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной на отрезке
[ 75 : 75 ] графиками функций у = sin 2х, у = 1 — sin 2х.
21*. Найдите множество первообразных для функции f (х) =
1
— О2
22*. Найдите множество всех первообразных для функций:
a) f(x) = | х|; б) f(x) | х - 1|.
23.	Вычислите интегралы:
Л
a) J sin2x dx;	б) $ cos 2х dx;
— л	О
У = IVе), у = <р
у^у>(х)
Рис. 259
24*. Вычислите площадь фигуры, ограниченной осями коор-
динат и линией у = 2 —7-х3.
25.	Докажите, что площадь фигуры, ограниченной линиями
х = а, х = Ь, где f(x)> <р (х), равна
ь
$ (J (х) — <р (х)) dx (рис. 259).
а
26*. Вычислите площадь фигуры, ог-
раниченной линиями у = —х2 + 2, у=х.
27*. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями:
a)	y = sin23x + 3, у = sin23x, х = 1,
х = 3;
б)	у - sin22x, у = — cos22x, х = — 1,
х = 2.
282
28*. Найдите такие числа А и В, чтобы функция вида
! !х) = A sin лх + В удовлетворяла условиям: f' (1) = 2 и
j । > / dx = 4.
<i
29.	Прямая у = kx делит пополам площадь фигуры, ограни-
ченной линиями у = -yfx, у = 0, х = 4. Найдите k.
30.	Найдите, при каких значениях параметра а выполняется
неравенство
а
J sin 2х dx 0,25.
о
а
31*. Найдите все числа а > 0, для которых $ (2 —4% + 3x2)dx
С а.	°
32*. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной ли-
ниями у — х2 + 4х + С, где С > 0, х = 0, х --- 2, у--(), равна 12.
Найдите значение С.
33*. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
[(х) = 2.Г2, у — 0, х — 2, при помощи составления интегральной
суммы, разделив отрезок [0; 2] на п равных частей.
5
34*. Вычислите приближенно интеграл j 2l + lt/x, разделив
о
отрезок [0; 5] на 8 равных частей.	5
S3
— dx, разделив
।
отрезок [1; 5] на 6 равных частей.
36.	С помощью интеграла выведите формулы объемов следую-
щих геометрических тел:
а)	пирамиды;
б)	конуса;
в)	усеченной пирамиды;
г)	усеченного конуса;
д)	шара.
$ 91. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Докажите, что функция F(x) = 2 -Jx--у + 3 есть перво-
1	2	х
образная для функции f(х) = —— -|--- на промежутке (0; оо).
-д/х	х
2.	Для функции f (х) = 2 sin х найдите первообразную, график
которой проходит через точку (л; 0).
3.	Найдите множество первообразных функций:
a) f (х)= —Зх2 + 7; б) <р(х) = 3 sin у ; в) g(x) = (5—х)- (2х+ 1).
4.	Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
\	зт	Л	а
а)	у = cos л*, к =----х = —э у = 0;
б)	У = у = 0, х = у, х = 2;
в)	у = х = 4, х = 9, у = 2.
5.	Вычислите интегралы:
л
Т	2	л
a)$sin2xcfx; б) $ х д/х dx\ в) J cos (зх — -£•) dx.
о	1	5-
ГЛАВАХ.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ И ИХ
ПРОИЗВОДНЫЕ
$ 92. СТЕПЕНЬ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Степень с рациональным показателем и ее
свойства были рассмотрены в главе III (см. § 16).
Напомним, что первоначально степень определялась для
натурального показателя. Опираясь на это определение, были
доказаны свойства степени. Затем были введены определения
степеней с нулевым, целым отрицательным и, наконец, с любым
рациональным показателем таким образом, чтобы для них сохра-
нялись свойства степени с натуральным показателем.
Заключительным этаном расширения понятия степени является
рассмотрение степени ип с любым действительным показателем а
и положительным основанием а.
Множество действительных чисел есть объединение множества
рациональных и множества иррациональных чисел. Степень с
рациональным показателем уже определена, поэтому остается оп-
ределить степень с иррациональным показателем. Вводится такое
определение, которое позволяет для степеней с иррациональными
показателями сохранить свойства степеней с рациональными пока-
зателями.
Выскажем некоторые соображения, которые позволяют понять,
как определяется степень а“ с любым иррациональным показа-
телем. Рассуждения проведем на примере. Пусть а = 10, а = -\]2.
Рассмотрим последовательность все более точных приближений
числа -\/2 с недостатком и с избытком (вычисления выполняются
с помощью калькулятора):
1 <	: -V2 <	;2с точностью 1,		
1,4 <	: -72 <	С 1,5	«	0,1,
1,41 <	: -\/2 <	С 1,42	«	0,01,
1,414 <	: <	С 1.415	«	0,001,
1,4142 <	: -у/2 <	С 1,4143	«	0,0001,
1,41421 <	: -у/2 <	С 1,41422	«	0,00001,
1,414213 <	: ^2 <	С 1,414214	«	0,000001
С помощью калькулятора найдем приближенные значения сте-
пеней 10* с недостатком и с избытком, придавая х соответствую-
щие значения д/2.
285
Значения степени 10х при х « yfY с недос- татком	Значения степени 10х при х » ,/2” с избытком	Разность значе- ний степеней, вычисленных с избытком и не- достатком
10* = 10 10*»« « 25,11886 Ю1-41 « 25,70395 10**«м а 25,94179 10*’*1’2 « 25,95374 Ю*.’**2* м 25,95433 1омима « 25,95451	10’ = 100 10*»’ « 31,62277 Ю‘>« «. 26,30267 10*>’*« м 26,00159 Ю1»’*4’* 25,95971 Ю*»41422 «, 25,95493 101,«шм « 25,95457	90 6,50391 0,59872 0,05980 0,00597 0,00060 0,00006
Мы видим, что последовательность значений 10х, найденных
с недостатком, возрастает; последовательность значений 10х, най-
денных с избытком, убывает. Разность между ними уменьшается
и стремится к нулю. Можно доказать, что приведенные в таблице
последовательности значений 10х стремятся к одному и тому же
числу, которое и принимают за значение 10А Таким образом,
степень 10"^ определяют как предел: Ю^2 = lim 10х.
Аналогично вводится определение степени аа с любым ирра-
циональным показателем а и положительным основанием а.
Именно:
а“ = lim ах при а > 0.
х-*а
Таким образом, устанавливается смысл понятия степени по-
ложительного числа с любым иррациональным показателем. Те-
перь выражение ах имеет смысл при а 0 для любого действи-
тельного показателя х. Можно доказать, что для степеней с
любыми действительными показателями сохраняются все свой-
ства, установленные для степеней с рациональными показа-
телями.
Пример 1. Выполните действия: 7л/3_| • 12~^.
Решение, 7V3~I • 72-1/3 = 7(^-1) + Р-Ю == 7.
П р и м е р 2. Выполните действия: (3^+1)^-1.
Решение. (3^+‘)V5-> = 3(^+1)h/5-i) = з« = 81.
Упражнения
1.	Сформулируйте свойства степени с рациональными показа-
телями, выражающиеся: а) равенствами; б) неравенствами.
2.	Укажите основные этапы расширения понятия степени.
3.	Как вводится понятие степени положительного числа с
любым рациональным показателем?
286
4. Выполните действия и ответ запишите с помощью ради-
калов:
—А А	_—	_ 4	1
а	а	(c + d) ‘ < d“2
а) ~б) ----------П—Л—Л-’ в) ----------
а3 - Ь 3	а 3 • b 4 - d 3	(с + d) 1  (/’
5. Представьте данные выражения в виде степеней с рацио-
нальными показателями:
a) 5 _	; 6)	_  •; в); r) ya2~\/aya .
y/a* • yjb2	yfa 3	~\l(o + b) ya
6. Вычислите:
// -1 \ o\ -0.5	_ 3
a)((A)}	_ 7,5 • 4 T-( —2)-4 + 81025;
MGrV-ar --G) ( Л
2
5-
7.	Выполните действия:
а) 2^ • 22-л/5;
— 53 + v5 : 5^ + (2^)^; д) 8^ : 4А
8.	Упростите выражения:
б) 21+л/5 : 2Л в) (2^)^; г)6^ • б3-^5 —
а)
^г) • 2 • (ах)
б)
2 •
(о4 -г fr4)(o4 — Ь*
а2 - Ь2
2
в)
(1-х)3
\ * а°
’ I
а~
(д -
а
- (1 - а
9. Найдите числовое значение выражения:
у[а — fb а2 — Ь2	]
а) -у—— - — -----------.если а =
О4 + а2ь* а4 . ьч

287
б)*
А 3
аг + Ь2
(а1 - abf
ayia — byfb
3
если а = 1,2 и b - -=-.
о
10. Докажите тождество:
$ 93. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Определение. Функция д = ах, где а > 0, х е R, назы-
вается показательной функцией.
Например, функции у = 2х, у = (-0 , у = (0,3)х являются
показательными.
В определении показательной функции указывается, что а —
положительное число. Это ограничение вызвано тем, что степень с
рациональным показателем определяется только для положитель-
ных оснований. Многие процессы (радиоактивный распад, ох-
лаждение тела, изменение атмосферного давления с изменением
высоты) математически описываются с помощью показательной
функции. Например, колония живых организмов (в частности,
бактерий) растет в результате размножения. Если за равные
промежутки времени число живых организмов увеличивается
в одно и то же число раз, то число /V организмов по истечении
времени t после начала наблюдения выражается формулой
N = па1, где п — число организмов в начальный момент времени,
а — постоянная величина. Число а (а > 1) характеризует быст-
роту роста данной колонии. Это число зависит от биологического
вида организмов и от условий внешней среды. Например, для
бактерии, являющейся возбудителем холеры, число а близко к
четырем.
График показательной функции у — ах при а> I изображен
на рисунке 260, при 0<а<1 —на рисунке 261, при а=1 —на
рисунке 262. Изучение функции у = а1 при а = 1 не представляет
интереса, так как в этом случае функция при всех действительных
значениях переменной принимает одно и то же значение, равное
единице.
288
У,
1 у=а*,а=1
~о "Г
Рис. 262
Основные свойства функции у = а*
при а> 1
при 0<а< 1
1. Область определения
функции — множество действи-
тельных чисел:
1.	Область определения
фу 11КЦПН множество действи-
тельных чисел:
/>(!/) = R
2.	Множество значений
функции — множество положи-
тельных действительных чисел:
Е(У) = R+
3.	Функция возрастает на
всей области ее определения,
т. е. если x2>x(, то ut’>aX1.
4.	При х = 0 ах = 1; если
х е (— оо, 0); то 0<Сах<1;
если х е (0; оо), то а'у- 1.
Д(у) - R
2.	Множество значений
функции множество положи-
тельных действительных чисел:
£(у) = R+.
3.	Функция убывает на
всей области ее определения,
т. е. если х2 > Xi, то ах><ах‘.
4.	При х = 0 а* = 1, если
х е (—оо; 0), то ах> 1; если
х е (0; оо), то 0<ах< 1.
Одно из важных свойств показательной функции состоит в
ее непрерывности: lim а‘ = а*. Этот факт мы примем без дока-
х-+к
зательства.
Пример 1. Сравните с единицей следующие числа:
а) О,130,5; б) 3.7-0,4.
Р е ш е и и е. а) Функция у = 0,13х убывающая (см. рис. 261).
Если х> 0, то у < 1, поэтому 0,130,5 < 1.
б)	Функция у = 3,7х возрастающая (см. рис. 260). Если
х < 0, то у < 1, поэтому 3,7-0>4<1.
Пример 2. Докажите: если значения аргумента показа-
тельной функции образуют арифметическую прогрессию, то соот-
ветствующие им значения показательной функции образуют гео-
метрическую прогрессию.
10 Алгебре и начала анализа
289
Решение. Пусть у показательной функции у = ах{а> О,
а 1) аргумент принимает значения, образующие арифмети-
ческую прогрессию: х0, х0 + d, хо + 2d, .... х0 + (А — 1)<А ....
тогда соответствующие значения показательной функции обра-
зуют последовательность ах°, ax, + d, a*‘ + 2d, .... а*>+ (*-*>* .... Най-
дем отношение двух любых соседних членов этой последова-
тельности:
„	*о+(п-1М
отсюда
Уп+1 = ynad.
По определению последовательность (ax“+(A-l)d) является гео-
метрической прогрессией со знаменателем ad.
На рисунке 263 приведен график функции у = 2х для х2>0,
а на рисунке 264 — график функции у = 2х, х е N, т. е. изображе-
ние членов геометрической прогрессии 2, 22, 23, ..., 2я, ....
Из сказанного следует, что показательной функцией и соот-
ветствующей геометрической прогрессией можно математически
описать один и тот же процесс изменения некоторых величин,
с той лишь разницей, что показательная функция описывает
этот процесс непрерывно, а геометрическая прогрессия — дискрет-
но (учитываются лишь отдельные состояния этого процесса).
Упражнения
1.	Сформулируйте определение показательной функции.
2.	Приведите пример процесса, математически описываемого
с помощью показательной функции.
3.	Постройте график функции у = 3х. С помощью графика
найдите:
а)	значения аргументов, при которых значения функции равны
0,5; 1; 3,7;
б)	решения неравенств 3х <1 и Зх> 3.
290
4.	Постройте график функции у=(у). С помощью по-
строенного графика найдите:
а)	значения аргумента, при которых значения функции равны
0,5; 1; 3,7;
б)	решения неравенств (у) <1 и(у)>3.
5.	В одной системе координат постройте графики функций
у = 3х, у = 2Ь, у = (у) . Как изменяются графики с уменьше-
нием основания?
6.	Опишите: а) общие свойства функций у = 2хиу = (у) ;
б) различные свойства функций у = 2х и у = (у) .
7.	Пользуясь свойствами показательной функции, сравните
числа:
а) (А) и I; б) (у) Т и I; в) (у) н (-1) ; г) (0,4) 2
и (0,4)'; д) (2,55)° п (0,312)"; е) (1,7) 3 п (1,7) :>; ж) (у)” и
(у)52: -3) (4) 3 и (4)?; и> (М "5 и 55“; к) З-12
и (4) = л) (^т) ' « L
8.	Какие значения может принимать основание показатель-
ной функции у = а“, если:
а) а а?; б) а* > а*; в) а* < an t' ; г) а 71 < а0,2 ;
д) а-2> а-06?
9.	Сравните числа аир, если:
а) 1,34“<1,34₽; б) -д/о,364а < -д/о,364р; в) <29у/Т&.
10.	Сравните с единицей число а, если а0'4<а0,5.
11.	Сравните числа: а) л1'5 и 3.141-5; б) 2,71828...-°8 и 2,72“°’®.
12.	Существует ли у функции у = (у) : а) наибольшее зна-
чение; б) наименьшее значение?
13.	Постройте графики функций у = 2|х| и у = (у)1*1- Су-
ществуют ли у данных функций: а) наибольшее значение;
б) наименьшее значение?
291
( 1 V
14.	Установите, как изменяется функция у =	) с возрас-
танием аргумента от —3 до 0. Вычислите значение у при х = —.
15.	Найдите область определения функций:
1 _L г	/ t \ т/х’ — 4	7
а) У = 5	; б) f(x) =	; в) z(x) =	.
16.	Найдите множество значений функций:
а) у = 2|х| ; б) у = — 2х; в) у = | 3х-31 .
17*. Исходя из графика функции у = 10 х, постройте график
функции:
а) у = 10х + 2;	б) у = 10х - 2;	в) у = 10х-';
г) у = 10х + 2;	д) у = -10х;	е) у = 10|х|.
18. Докажите, что последовательность значений функции
у = (-у-) при натуральных значениях аргумента составляет
геометрическую прогрессию.
§ 94. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Показательным называют уравнение, содержащее переменную
в показателе степени, например 2х = 4; 3х-1 = 2х; 2|х| = 5;
3х = -9.
Рассмотрим некоторые приемы решения показательных урав-
нений.
1.	Приведение показательных уравнений к виду а1М =
= а^х\ Известно, что показательная функция у = а“ при а> О
и а^=\ возрастает или убывает, поэтому каждое свое значение
она принимает только при одном значении аргумента. Из равенст-
ва аи = а“ следует равенство и = и. Этим утверждением руковод-
ствуются при решении показательных уравнений вида а!м =
= '
Пример!. Решите уравнения: а) 53х-2 = 510-х ; б) ( ) =
-(т)’"**; •) (т)'-(т)' = п-- г) 2'- 5' = 0.1-(10-7.
Решение, а) 53х"2 = 510-х, Зх - 2 = 10 - х, 4х = 12,
х = 3.
292
\— 5x4-4 = 0, Xi = 1, Х2 = 4.
•>(4Г(4)' = £.(4-т)'-(4)‘. (4)‘-(4)” •
А = 3.
г) 2х- 5* = 0,1- (10х-*)3, 10х = 10-‘. 103х~3, 10х = 103х-4, х=
— Зх—4, х = 2.
К уравнениям рассмотренного выше типа приводятся урав-
нения вида а^х) = 1 (а> 0; а#=1) путем представления единицы
в виде степени числа с нулевым показателем: а^х) = а0.
П р и м е р 2. Решите уравнения: а) 17х’~5х+6 = 1; б) 7,+1х| =
= 1.
Решение, а) 17х’“5х + G = 1, 17х’-г,хЧ 6 = 17°, х2 — 5х -f-
4-6 = 0, xi = 2, хл — 3.
6)	7,Нх| = 1, 7* 11,1 =7°, 1 4- 1x1 =0, |х| = — 1. Решений
нет.
Задание. Решите уравнения: а) 32х“’ = - 9; б) 2х ~4 = 1.
2.	Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 3. Решите уравнения: а) 3х — 2 • 3х 2 = 63;
б) б2*-1 -52‘4- 22х 4- 22х + 2 = 0; в) 23Vx + 2 — 23Vx + ‘ = 12 4-
Решение. а) 3х — 2 • Зх~2 = 63, Зх~2 (З2 — 2) = 63,
3х"2.7 = 63, Зх“2 = З2, х = 4.
б) 52х-‘ — 52х 4- 22х 4- 22х 1-2 = 0, 22х 4- 22х+2 = 52х—52х-1,
22х(1 4- г2) = 52х(1 - 5- *), 22х- 5 = 52х- ±	, ( А )2Х =
= (4?, 2х = 2, х = 1.
в) 2^+2_______2а^г + 1= 12 4- 23л^-1,
23VJ-4-2___23V*4~i_____23V*“i ______
= 12, 23^-‘(23 — 22 — 1) = 12, 23^-'- 3 = 12, 23^-' = 4,
23^-‘ = 22, Зл[х — 1 = 2, -фс = 1, х = 1.
3.	Приведение показательного уравнения к квадратному.
Пример 4. Решите уравнения: а) 72х — 8-7х 4-7 = 0;
б) 22+х - 22~х = 15; в) 22х 4- 6х = 2- 32х.
Решение, а) 72х — 8- 7х 4- 7 = 0. Обозначим 7х через t,
тогда получим: t2 — 8t -|- 7 = 0, 6 = 1, 6 = 7.
1)	7х =1; 7х = 7°; х = 0.
293
2)	Т = 7; х = 1.
Ответ: 0; 1.
б) 22+х - 22~х = 15, 22-2х - - = 15. Замена: 2х = t,
у
4/-у =15, 4/2 — 15/— 4 = 0, /1=4, /2=-±.
1) 2х = 4, х = 2.
2) 2х =----— решений нет.
Ответ: 2.
в) 22х + '6х = 2 • 32х, 22х + 2х • 3х - 2 • 32х = 0,
Замена: (у) = /, /2 + / — 2 = 0, t\ = — 2, /2 — 1.
1) (у) — —2 — решений нет.
2) (4)'-.(!)' = (4)".-о.
Ответ: 0.
4. Графическое решение показательных уравнений.
Пример 5. Решите графически уравнения: а) 2х = х
б) 2~х = х2 - 2х.
Решение, а) Строим графики
функций у = 2х и у = х (рис. 265).
Графики функций у — 2х и у = х не
имеют общих точек. Уравнение 2х = х
решений не имеет.
б) Строим графики функций у — 2-х
и у = х2 — 2х (рис. 266). Графики
функций у = 2-х и у = х2 — 2х пере-
Рис. 266
294
сскаются в трех точках, абсциссы которых xj « —0,6, х? « 2,1
и х3 ~ —5,3 являются решениями данного уравнения.
Упражнения
1. Приведите примеры показательных уравнений, имеющих
только: а) одно решение; б) два решения. Приведите пример
показательного уравнения, не имеющего решения.
2. Расскажите об известных вам способах решения показа-
тельных уравнений и покажите их применение на примерах.
3. Решите показательные уравнения приведением их к виду
= а’(х):
а) 63'х = 216;
б) 23х = (512)3х:
в) 5V2 = 625:
ж) 2х’-Пх-2П = 1GV2;
х 5
з) 32'^ = 0,25- 128
и)* (0,11 )х’-5=0,001331; к) 2х"'°- 5х”’ = 0,01 • (!()'~х )3;
м) 5^ + 2 • 0,2^ + 2 = 125х-4 • 0,04х-2.
4.	Решите показательные уравнения способом вынесения об-
щего множителя за скобки:
а)	2х — 2х-2 = 3;
б)	3х — 3х-2 = 8;
в)	2- Зх+3 — 5- 3х 2 = 1443; г) 10х + 10х-1 = 0,11;
д)	5х-4 — 5х-5 — 2- 5х-6 = 2 • 3х-4;
е)	— 7д/зГГз8 = 162;
ж)	52х - 7х - 52х- 35 + 7х- 35 = 0;
^х —0,5 __ дх + 0.5 __	*
з)	4* — 3	• = Зх+и:> — 2
и) 2Х‘-1— 3х’ = 3х’-' - 2х’+2.
5.	Решите показательные уравнения способом приведения к
квадратным уравнениям:
а)32х — 30- 3х + 81 = 0;	б)	72х - 8-7х + 7 = 0;	'
В) 4< + 2х+‘ = 80;	г)	22х-‘ + 2х+2 = 64;
д) 4х — 2Х+3 + 16 =	0;	е)	54Vx — 14- 52<х —	275 = 0;
ж) 22+х — 22-х = 6;	з)	2-73х - 5- 49Эх + 3	=	0;
295
и) 4^ + 16 = 10- 2^2; к) 4х+<7=2 -5-2x+Vx^2-1 =6;
л) 32х-и + 45- 6х —9-22х+2 = 0; м) 22х+1 + 32х+1 = 5- 6х;
н)* (V2 -л/3)х + h/2 +л/3)х = 4;
о)* (V4-V15)x + ( V4+V15)x = 8.
6.	Решите графически уравнения:
а) 2х-2 =1; б) 2х = х + 2; в) 3х = 1
г) 2х = х2;	д) 2х = у;	е) 3|х| = 6.
$ 95. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Простейшие показательные неравенства вида ах> b или а‘<.Ь
решаются на основе известных свойств показательной функции
У = аг:
при а > 1, если а’2 > а‘\, то х2> (рис. 267);
при 0<а< 1, если аХ!<ах‘, то х2> (рис. 268).
Рассмотрим примеры.	_7
Пример!. Решите неравенства: а) 36-х> 1; б) ( у) <
< ( Z. У'-’; в) б,х|_| < 216.
Решение, a) 3G х> 1; З6 х> 3°, 6 — х>0, х<6.

10х> 10. х> 1.
в) 6|х|-1<216,	6|х|-1<63,	|х| — 1<3.	|х| <4.
— 4 С х С 4.
Пример 2. Решите неравенство 2х — 2х-2	3.
296
Решение. 2х - 2Х“2<3, 2Х~2 (22 - 1)<3, 2х-2<1,
2х-2<2°, х — 2<0, х<2.
Пример 3. Решите неравенство 52х_|	5х+1> 250.
Р е ш е н и е. 52х~ 1 -|- 5х +	250,	|- 5* • 5 . • 250,
52х + 25 • 5х — 1250> 0.
Замена: 5х = у, у2 + 25у — 1250> 0, (у -|- 50) (у — 25)> 0,
у < —50 или у> 25. Неравенство 5х < —50 решении ие имеет,
5Х> 52, х> 2.
Пример 4. Решите графически неравенства: а) Зх> 4;
6)	+ И в) 21х|<5.
Решение, а) На рисунке 269 изображены графики функ-
ций у = 3х и у = 4. Находим приближенно абсциссу точки их пе-
ресечения: х х 1,3. Из рисунка видно, что Зх> 4, если х> 1,3.
б)	Из рисунка 270 следует, что решение неравенства
+ 1 есть промежуток х>0.
в)	Из рисунка 271 следует, что решение неравенства 2|х|<5
есть промежуток — 2,3<х<2,3.
Упражнения
1.	При каких значениях а из неравенства ах’> а' следует
неравенство: a) хг>Х|; б) хг < Х|?
2.	Назовите известные вам способы решения показательных
неравенств.
3.	Найдите множества решений неравенств:
а) 5Х<625;	б) 3“х+2>27;
297
ж) 1000 • (0,1)“ < 100х;	з)* 0,32+4+6+-+2n> 0.372, weN.
4.	Методом вынесения общего множителя за скобки найдите
множества решений неравенств:
а) 2Х+2 - 2Х> 96;	б) 7Х>7Х"' + 6;
в) 5х+'<24 4- 5х"';	г) 32х“' 4- 32х~2 - 32х-4<315;
Д) 2Х+2 — 2х+3 — 2х+4> 5х+‘ — 5х+2.
5.	Решите неравенства:
а) 72х _ 50. 7х 4- 49 > 0; б) 52х+‘> 55х+4;
в)	9х — 6- Зх<27.
6. Выше на рисунках изображены графики функций:
у = х2 и у = 3х (рис. 272); у = —и у = -р (рис. 273);
у = 2 — х и у = ~ (рис. 274); у — и у = — х (рис. 275),
где а, Ь, с, d, е — абсциссы точек пересечения графиков. По соот-
ветствующим рисункам установите множество решений каждого из
неравенств:
а)	Зх> х2;
б)	3х <х2;
д) -^ > 2 — х;
е) ± <2 -х;
В) f.
ж) ------—х;
2|х|
7. Найдите область определения функции:
a)	f (х) = л/3'+‘ - 27;
в) у = д/х2- 3х — Зх+‘ ;
б)	<р (х) = —,
т/0,008'—125
Г) h (х) =	' • =.
•V2sinx — 1
29В
$ 96. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Для любого положительного основания а и действительного
числа х может быть найдено единственное значение степени ах.
i	—т	1
Например. 23 = 8; 4^=2; 8	Можно поставить за-
дачу найти показатель степени по данной степени и ее основанию.
Например, найти х, если 2х = 8. Очевидно, х = 3.
Показатель х степени, в которую надо возвести основание 2,
чтобы получить число 8, называют логарифмом числа 8 по основа-
нию 2. Символически это записывается так: х = loga 8.
Логарифмом числа N по основанию а (а > 0, а ф 1) называет-
ся показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы
получить число /V: если az = N, то х = loga iV.
Например, logs 125 = 3, так как 53 = 125;
log-^зЗ = 2, так как (-/З)2 = 3;
logo.sl6 = —4, так как (0,5)' 1 --- 16.
Из определения логарифма следует основное логарифмическое
тождество: а'08^ = АЛ Согласно этому тождеству: З1"8’5 = 5;
2logi 0.7   д у. у2 log, 8 _ (уlog, 8)2   g2  
Задание 1. Найдите x, если: a) logo.i x = — 1; 6) logx216 =
= 3; в) log3-27" = x.
Задание 2. Вычислите: a) 2'°8’32; б) 41 + loe*2; в) 10loe,“0,01 “2.
Показательная функция у = а1 возрастает или убывает при
а > 0 и а -Ф 1 и непрерывна на множестве всех действительных
чисел. Эта функция обратима.
Определение. Функция, обратная показательной, назы-
вается логарифмической.
Логарифмическая функция обозначается так: у — loga х.
D(y) = (0; оо); Е(у) = R. Известно, что графики взаимно
обратных функций симметричны относительно прямой у = х.
299
На рисунке 276 схематично изображены графики функций у = ах
и у = loga х при а> 1, на рисунке 277 графики этих функций
при 0 < а < 1.
Свойства функции у = logax
при а > 1
при 0 < a < 1
1.	Область определения
функции — множество положи-
тельных чисел: £)(logo х) = R+-
2.	Множество значений
функции — множество действи-
тельных чисел: E(logox)=R,
при этом каждое значение при-
нимается функцией только при
единственном значении аргу-
мента.
3.	Функция возрастает на
всей области ее определения:
еслих2> *1, то logo%2 > logaXi.
4.	Если х $= (0; 1), то
logax < 0; если х = 1, то
loga х = 0; если х е (1; оо), то
loga X > 0.
1.	Область определения
функции — множество положи-
тельных чисел: D (logox) = R + .
2.	Множество значений
функции — множество действи-
тельных чисел: Е (logox) = R,
при этом каждое значение при-
нимается функцией только при
единственном значении аргу-
мента.
3.	Функция убывает на всей
области ее определения: если
Х2 > Xi, ТО 10ga Х2 < loga Хь
4.	Если х е (0;	1), то
logo х > 0; если х = 1, то
loga х = 0; если хе(1; оо), то
loga X < 0.
Важным свойством логарифмической функции у = logo х является
ее непрерывность на всей области определения.
Задание. Постройте график функции у — 3-х и ей обрат-
ной функции. Расскажите о свойствах этих функций.
Упражнения
1.	На основании каких свойств показательной функции можно
утверждать, что она обратима?
2.	Запишите функцию, обратную функции:
а) у = 2х; б) У = (у) ; в) у = ах (а > 0, a =# 1).
3.	На рисунке 278 изображен график функции у = logiX.
т
Найдите по графику значения функции при следующих значениях
1	1 I г» л
аргумента: у; у; 1; 2; 4.
4.	Сформулируйте свойства логарифмической функции.
5.	Объясните, на основании какого свойства логарифмической
функции можно утверждать, что а) log2 5>0; б) logi5<0;
т
в) logs 3 > 0; г) log5 у < 0; д) log3 7 > logs 5; е) logo.3 7 < logo.3 5.
300
6.	Используя свойства логарифмической функции, сравните
числа:
a) loga4 и logs 6; б) logj 7 и log j 9;
3	3
в) logs 5 и loge 5; г) log । 3 и log,3.
т т
7.	Решите неравенства:
a) log., 3 < log.,x; б) logo.e 5 > logo.e х.
8.	Установите знак выражения:
a) logo.e 4 • log । 5; б) log310 — 2; в) log0,2 18 — logos 17.
"2"
9.	Докажите, что графики функций у = logs* и у = log^ х
симметричны относительно оси абсцисс.
10.	Найдите области-определения функций:
а) у = logo (х + 1);
в) у =.= logu (— 2х);
Д) У = l«g.. (4 — х2);
ж) У = logo I х |;
и) у = logo.s (5х — х2 — 6).
11. Для каких значений х из
выражения:
б) У = log,, (-V	1);
г) у = log,, д"';
с) у :х= loga (3.v2 + 1);
з) у log,, 7 х -н 1;
промежутка [0; 2л] имеют смысл
a) log-i (sinx); б) log3 (tgx); в) log2 (cosx); г) log±(ctgx)?
2	3
12. Постройте графики функций:
a) y = 10g3x+l;	б) y = !og3x—1;	в) у = !og3(x-H);
г) у= log3(x — 1);	д) у= | log3x|;	с) у == log3 | х |.
13. Какое заключение можно сделать об основании логариф-
ма, если при любом х из области определения функции имеет
место неравенство:
a) loga (х2 + 3) > loge х; б) loga (х2 + 3) < logo X?
§ 97. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Сформулируем основные свойства логарифмов.
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных
чисел по основанию а(а>0, а=^ 1) равен сумме логарифмов
множителей по тому же основанию:
logafxi • xt) = log^i + logaX2, где Xi > 0 U X2 > 0.
301
Доказательство. Обозначим: loga Xi = yi, loga xi = t/2.
Тогда по определению логарифма можно записать:
xi = ayi	(1),
Х2 = ау'	(2).
Перемножим почленно равенства (1) и (2): х\ • Xi = ау'+у\
По определению логарифма получим:
loga (Xt • Xi) = yi + t/2 = loga Xt + loga Xi.
Теорема доказана.
Пример!. Дано: logs 3 = a, logs 7 = b. Вычислите: logs 21.
Решение, logs 21 = logs (3*7)= logs 3 + logs 7 = a + b.
Можно обобщить теорему 1 на случай любого конечного
числа множителей:
loga (Х1 • Xi • Хз • ... • Х„) = loga Xi + loga Xi + logaXs + •••
... + logaXn, гдех„ > 0, п е N.
Теорема 2. Логарифм, частного двух положительных
чисел по основанию а (а >0, а 1) равен разности логарифмов
числителя и знаменателя по тому же основанию:
loga-^-= logaXi — 10ge*2. где xt > 0 и х2 > 0.
*2
Теорему 2 докажите самостоятельно, разделив почленно
равенство (1) на равенство (2).
Пример 2. Дано: log2 10 = а. Найдите log2 5.
Решение. log2 5 = log2 у = log2 10 — log2 2 = a — 1.
Теорема 3. Логарифм степени ха по основанию а (а >• 0,
а 1) равен произведению показателя а на логарифм числа
х по основанию а:
loga*“ = a • logo*, где х > 0.
Доказательство. Обозначим logaх = у, тогда х = ау.
Возведем обе части полученного равенства в степень а: ха = аау.
По определению логарифма получим:
loga х“ = a • у = a • loga х.
Теорема доказана.
Примерз. Вычислите: а) logs 9; б) log2 .
Решение.
а)	log3 9 = logs З2 = 2 • logs 3 = 2 • 1 = 2;
б)	logs = log2 2" 6 = — 6 log2 2 = (— 6) • 1 =  — 6.
При нахождении логарифма корня его заменяют степенью
с дробным показателем.
302
Пример 4. Найдите logs
5
з I—	т 5
Решение, logs “х/45 = logs 4 = -5- logs 4 = -- logs 22 =
5	9 _ 10 _ Q 1
: — • 2 - — - d -y .
Теоремы 1—3 свидетельствуют о том, что действия умножения,
деления, возведения в степень могут быть сведены к более простым
действиям — соответственно сложению, вычитанию логарифмов,
умножению логарифма на некоторое число.
Для выполнения вычислений с помощью логарифмов надо
уметь логарифмировать алгебраические выражения и выполнять
обратную операцию, называемую потенцированием. Потенциро-
вание состоит в нахождении алгебраического выражения по его
логарифму.
Ниже приведены основные правила логарифмирования и
потенцирования.
Правила логарифмирования (теоремы о логарифмах)	Правила потенцирования
loga (*,*») ==- l°ga*i + bga*.	loga*i + log(J*, = bga (*,*»)
loga ~ = loga*i — l°ga*»	loga*, — l°ga*» = loga
loga*° = a loga*	a loga* = l°ga*°
В практических расчетах часто применяют логарифмы с осно-
ванием 10 (десятичные логарифмы). Такие логарифмы записы-
вают сокращенно: logic N = lg N.
п	сп	100 70ДЮТаГ u ।
Пример 5. Дано: х =------ —. Найдите 1g х.
10а
Решение. По правилам логарифмирования находим:
Igx = 1g 100 + ±lg0,001 + -|-lga - 4-lg Ю - -у Iga =
U	0	4	4
-2 + 4-. (-3) +4-lga_4-.|_-l.|6a = 4. + 4-lea.
G3 -\ГЬ
Пример 6. Дано x = ——, где a, b,c,k — положительные
числа. Найдите logm x.
Решение. По правилам логарифмирования находим:
logm х = 3 logm а + -у 10gm Ь — 2 logm С-у logm k.
ЗОЭ
Пример?. Применяя правила потенцирования, найдите х,
если:
a)	log2 х = 4 log2 3----log2 216 + 4" 1°£?2 25;
О	Z
б)	logs X = у logs т — 2 logs п — у logs р + logs q.
Решение.
a)	log2 х = 4 log2 3----log2 216 + 4- l°g2 25 = log2 З4 —
О	z
1	I
- 10g2 216 ’ + 10g2 25 2 = log2 4^- = log2 = 10g2 67,5.
-/216'	6
Из равенства log2 x = log2 67,5 находим x = 67,5.
6)	logs X = у logs m — 2 logs n — у logs p + logs q =
_1_	_2	5 .-
= logs m6 — logs n2 — logsp’ + logs q = logs ' q .Из равен-
n2 •
i	i л/w • Q	лПп • а
ства logs х = logs —----— находим x = —----------- .
пг	л2 • V?
Теорема 4. Логарифм положительного числа по данному
основанию равен частному от деления логарифма этого же числа
по новому основанию на логарифм данного основания по новому
основанию:
loga* = где х > 0, а > О, Ь > 0, а 1, b =£ 1.
Доказательство. Прологарифмируем по основанию
b(b> О, b #= 1) основное логарифмическое тождество
а'°е“ = х:
logo х • logs а = log* х.
Из полученного равенства найдем:
loga х =
logs X
logs а
Теорема доказана.
Последнее соотношение называют формулой перехода от
логарифма при основании а к логарифму при основании Ь.
Пример 8. Вычислите logis 64.
Решение. Заметим, что числа 16 и 64 являются степенями
числа 4. Поэтому удобно перейти от данного логарифма к лога-
рифму с основанием 4. Получим: logie 64 =
logs 64
logs 16
2
2
304
Формула перехода позволяет логарифмы действительных чи-
сел с произвольным основанием выражать через десятичные
логарифмы. Это находит применение в практике вычислений, так
как для десятичных логарифмов составлены специальные таблицы
(см., например, Брадис В. М. «Четырехзначные математические
таблицы»). Значения этих логарифмов можно также легко на-
ходить с помощью калькулятора.
17
Пример 9. Вычислите: a) log0,2 56; б) log3 .
г.	. , ес	1g 56	1,7482   о сит
Р е ш е н и е. a) log0,2 56 =	~ - ^990- ~ “ 2-5010;
_ ,	17 1g 17-1g 14	- 1,2304 —1,1461 п 17С7
б> |0£’ТГ = lg3 — ~ -------------0Л771---- ~ °’1767-
Пример 10. Докажите, что если значения аргумента ло-
гарифмической функции образуют конечную геометрическую про-
грессию, то соответствующие им значения функции образуют
арифметическую прогрессию.
Доказательство. Рассмотрим функцию у = logn х
(а > 0, а =# 1), аргумент шпорой принимает значения, образую-
щие геометрическую прогрессию: х(>; Xoq; x»q2; ...; Xoqk ~ '. Тогда
соответствующие значения логарифмической функции образуют
последовательность: logo х; log„ (хо<?); loga (х(и/2);...; Ioga (xoqk ~ ').
Найдем разность двух любых соседних членов этой последо-
вательности:
t/ft+i — Uk = loga (xoqk) — loga (xoqk ~ ') =
= loga Xo + fcloga q — loga xo — (A — 1) loga q = loga q.
Разность yk + । — Ук постоянна и равна loga q. Откуда ук + i =
= ук + loga q- Это означает, что последовательность
(loga (xoqk _|)) является арифметической прогрессией с раз-
ностью loga q-
з
Пример 11. Решите уравнение logx 64 =----------.
Решение, х = 64, (х 2) 3 = 64 3 , х = (43) 3 =	.
Упражнения
1.	Сформулируйте определение логарифма.
2.	Запишите следующие равенства, применяя знак логарифма:
а)	63 = 216;
б)	45 = 1024;
Д) 2-5 = -32-;
в) (0,1/ = 0,0001;
е) (I)’3 = 343.
I
27 ’
305
3.	Запишите без знака логарифма следующие равенства:
a) log2y= —3;	б) log^8 = —3;	в) log5 625 = 4;
г) log2 1024 = 10; д) logo.i 0,0001 = 4; е) log<-^- = —3.
j"
4.	Найдите логарифмы чисел по основанию 10:
а) 10; б) 1000; в) 0,1; г) 0,0001; д) 10'*; е) дЖ: ж)
з)	л/100 ; и) —^=; к) ------
-710	10-710
5.	Найдите логарифмы чисел по основанию 2:
а) 32; б) 4; в) 4: г) V2; Д) 2V2; е)-L; ж)
20	V2
з) -4-
•72
6.	Решите уравнения:
a) log2x = 5;	б) log, 36 = 2; в) log^x = — -1;
г) *%•/;* = — Т: д) ~ —3; е) l°g*27 = 4’
ж) logx4^/4 = — -1; 3) log^x = — 6; и) log^x = 4;
к) logx2 = —0,5.
7.	Логарифм какого числа равен основанию данного лога-
рифма?
8.	Вычислите: а) 51 + “*В52; б) 34 + “*в’5; в) 721°в’4; г) 8,_",в’3;
д) o, + l0B‘fr; е) а,-,ов-6; ж) а3'°е‘ь-, з) ‘°в< и) а2-1°в‘4;
к) ~\/252+’*‘°b‘36; л) 21ов^3 + 4|ов’-,б; м) 9>‘°в’7 + 21°в,‘4 .
9.	Сформулируйте теоремы о логарифмах.
10.	Известно, что 1g 2 = 0,3010, a 1g 3 — 0,4771. Не пользу-
ясь таблицами логарифмов, вычислите: a) 1g 6; б) 1g 12; в) 1g 5;
г) 1g 15; д) 1g ; е) 1g 4 4 ; ж) 1g 0,6; з) 1g 0,12.
И. Как изменится логарифм данного числа, если, не изменяя
основания: а) число возвести в квадрат; б) из числа извлечь квад-
ратный корень; в) число возвести в куб; г) из числа извлечь куби-
ческий корень; д) число увеличить в три раза; е) число уменьшать
в 4 раза?
12.	Прологарифмируйте по основанию 10 выражения:
а) к = Заб; б) х =	; в) х =	; г) х = 4 (а + Ь);
а	с3
306
з) х = -\/р (р — а) (р — Ь) (р — с); и) х = 5а ^/а4(а — ft)2 .
13.	Прологарифмируйте по основанию 10 выражения:
z-x	с . а з /
б)	v = —g—sin л/cos а ;
14.	Представьте в виде произведения следующие выражения:
а)	х = 1 —	cos а;	б)	х = 1 + cos а;
в)	х = 1 +	sin 2а;	г)	х = 1 — 2sina;
д)	х = sin За + ”\/3 cos За; е)	х —3 — 4 sin2 а;
ж) х =.-= 1 -	2 sin2 а;	з)	х = sin2 (а + 0) — sin2 (а — 0);
и) х — -^3 -|- 1g	к) х — 1 — clg22a._
15.	Выполните потенцирование выражений:
а)	log х = 3loga + log ft;
6)	log x = log a — 4 log ft;
в)	log x = 2 log a — 3 log ft + 4 log c;
r)	logx = 21og(a + ft) — y log(a — ft);
д)	log x = у log a + у log ft;
e)	log x = у (log a — log ft) — log (a — ft).
16.	Найдите x по данному его логарифму:
a)	logx = log7 — log3 + log8;
6)	logx = 2 log3 + log6 — у log9;
в)	logx = у log3 + у log5 — у log4;
r)	logx = у log (a + ft) — (loga + 2 log (ft + c)).
17.	Известно, что lg3 = а и 1g 2 = ft. Найдите: a) logs 6;
6) log2S 12.
18.	Дан о: log« 125 = a. Выразите lg64 через a.
19.	Вычислите: a) logi265; 6) log^49; в) log^V^i
r) log^V^S; Д) log20,125 + logy39; e) log2 log2 -y/^/2.
307
20.	Д а н о: 1g 3 = a, 1g 2 = b. Найдите logo.i 6.
21.	Докажите:
a) logex = -1^lT;	б) loga. х =-^-logax;
в)	loga,X* = logax;	г) = 1 4- loga Ь.
$	98. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержа-
щее переменную под знаком логарифма.
Примеры логарифмических уравнений: log2 х = 1 — х;
log2(x 4- 6) = 3; logx(х — I) = 2; V'S* = 'g V* и т- Д-
Решить логарифмическое уравнение — это значит найти все
его корни или доказать, что их нет. Рассмотрим некоторые способы
решения логарифмических уравнений.
Отметим, что в описанных ниже способах решения логариф-
мических уравнений применяются только такие преобразования,
которые не приводят к потере корней, а могут лишь привести
к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого
из полученных корней обязательна, если нет уверенности в рав-
носильности уравнений.
Решение логарифмических уравнений на основании опреде-
ления логарифма.
Пример 1. Решите уравнение Iog3(2x 4- 1) = 2.
Р с ш е п и с. По определению логарифма имеем: 2х 4- 1 = З2,
2х — 8, х = 4.
Проверка: log3 (2-44 1) = logs 9 = 2.
Ответ: 4.
Пример 2. Решите уравнение logx + i (2х2 4- 1) = 2.
Решение. По определению логарифма имеем: 2х2 4" I =
= (х 4- I)2» 2х2 4- 1 = х2 + 2х 4- 1> х2 — 2х = 0, xi = 0,
х2 = 2.
Проверка: 1) Значение х = 0 не может быть корнем данного
уравнения, так как основание логарифма х 4 1 не должно рав-
няться 1.
2)	log, + ! (2 • 22 4- 1) = logs 9 = 2.
Ответ: 2.
Пример 3. Решите уравнение log„log2log33x = 0.
Решение. Применяя последовательно определение лога-
рифма, получим: log2log33x = л°, log2log33x = 1, log33x = 21,
log33x = 2, Зх = З2, х = 3.
Проверка: log„ log2 Iog3 3 • 3 = log„ log2 log3 9 = log„ log2 2 =
= 10gn 1 = 0.
Ответ: 3.
308
Задание 1. Решите уравнения: a) log2 (Зх 4-7) = 4;
°) logx l (Зх2 — 8х + 1) = 2; в) log2 log3 log4 (6х + 4) = 0.
Метод потенцирования.
Пример 4. Решите уравнение logs х = logs (6 — х2).
Решение. Из равенства логарифмов чисел следует:
х = 6 — х2, х2 + х — 6 = 0, xi = —3, Х2 — 2.
Проверка: 1) Число —3 корнем данного уравнения быть не
может, так как логарифмы отрицательных чисел не существуют.
2) logs х = logs 2, logs (6 — х2) = logs (6 — 22) = logs 2.
Ответ: 2.
П p и м e p 5. Решите уравнение logs (x + 4) — logs (1 — 2x) =
= — logs (2x 4- 3).
Решение. Потенцируя данное равенство, получим:
10^Т=^= logs (2х + 3)-', £±^ = (2х + 3)-',
X -I 1	_ I
I — 17 ’' 2x I- 3 ’
2x2 4- 3x 4- 8x 4- 12 = I — 2x, 2x2 4- I3x 4- 11 = 0,
X| = — I, x2 == — 5,5.
Проверка: I) logs 3 — logs 3 = 0, — logs I — 0, x = — I —
корень.
2)	logs (— 1,5) — не существует.
Ответ: — I.
Пример 6. Решите уравнение
log.x_6(x2 — 5) = logx_6(2x 4- 19).
Решение, x2 — 5 = 2x 4~ 19, x2 — 2x — 24 = 0, xi = — 4,
x2 = 6.
Проверка: I) log_(oll —не существует, x = —4 — не корень.
2) logo 31 — не существует, x = 6 — не корень.
Ответ: уравнение решений не имеет.
Задание 2. Решите уравнения:
a)	log2 (х 4- 13) = 2 log2 (х 4- I);
б)	logs (х 4- 2) 4- logs (х 4- I) = logs (х 4- 5).
Приведение логарифмического уравнения к квадратному.
Пример 7. Решите уравнение lg2 х = 3 — 2 lg х.
Решение. Обозначим Igx через у. Данное уравнение
принимает вид: у2 = 3 — 2у, у2 + 2у — 3 = 0, ух = — 3,
i/2=l, 1g х = —3, Х| = 0,001, 1g х = 1, х2 = 10.
Проверка: 1) lg20,001 = 9, 3 — 2 IgO.OOl = 9, х = 0,001 —
корень. 2) 1g210 = 1, 3 — 2 1g 10 = 1, х = 10 — корень.
Ответ: 0,001; 10.
309
3 а д а н и е 3. Решите уравнения: a) logs* — logs х = 2;
б)	logs 4 х + logs = 8.
Уравнения, решаемые приведением логарифмов к одному и
тому же основанию.
Пример 8. Решите уравнения:
a)	logux + log4x + logsx = 7; б) log3j3 = log?3.
Решение.
a)logl6x + log4x + log2X = 7,^ + -^+logsx = 7,
1	1	7
-4 logsx + у log2x + logsx = 7,^- logsX = 7, logsx = 4, x = 16.
Проверка: logie 16 4- log416 4- logs 16 =14-24-4 = 7.
Ответ: 16.
6)	j— =	,1оВзЭа,	. ,--= -st-!—,	2 logsx	= 1 4- logsx,
'	logs Эх	logs x2 *	14-log3x 21og3x Б	 Б •
logsx = 1, x = 3.
Проверка: logs.33 = log93.
Ответ: 3.
Задание 4. Решите уравнения: a) log3x — 21ogi х = 3;
б) logx,9 + log3x81 =3.	Т
Уравнения, решаемые логарифмированием его обеих частей.
Пример 9. Решите уравнение xlgx + 2 = 1000.
Решение. Логарифмируя обе части уравнения (х > 0),
получим:
(Igx + 2) • Igx = IglOOO,
lg2 х 4- 2 lg х - 3 = 0.
Заменим lg x = у. Уравнение принимает вид: у2 4- 2у — 3 = 0,
У\ = — 3, 1/2=1.
Igx = -3, xi = 10-3 = 0,001;
1g х = 1; х2 = 10.
Проверка: 1) O.OOl1*0,001+2 = 0,001-3 + 2 = 0,001 “ 1 = 1000;
х = 0,001 — корень данного уравнения.
2) Ю1в10 + 2 = 101+2 = 103 = 1000, х = 10- корень уравне-
ния.
Ответ: 10; 0,001.
igx + 5
Задание 5. Решите уравнение х 3	= 10s + lftx.
зю
Графическое решение логарифмиче-
ских уравнений.
Пример 10. Решите графически
уравнение log2x = 3 — х.
Решение. В одной и той же
системе координат строим графики
функций f (х) = log2 х и ф (х) = 3 — х
(рис. 279). Абсцисса точки пересечения
графиков функций f (х) и ф (х) равна при-
мерно двум. Нетрудно проверить, что это
точный корень данного уравнения.
Задание 6. Решите графически
уравнения: a) log । х = х — 3; б) logsx —
= 0,5х — 0,5.	7
Упражнения
1.	Приведите примеры логарифмических уравнений.
2.	Почему при решении логарифмических уравнений потенци-
рованием возможно появление посторонних корней?
3.	Назовите способы решения логарифмических уравнений.
4.	Составьте план решения уравнения:
a) logofW = logn<p(x); б) log,,/(х) + log„fP (х) =
= loga g (х).
5.	Решите уравнения:
а) log^(2x + 3) = 0;	б) log3 (х + 5) = — 1;
в) logo,2 (х — 1) = 4;	г) log4log2x = у ;
д) log5log3log2 (х2 4- 7 х) = 0; е) log2 (9 — 2х) = 3 — х;
ж) logs х2 = 2.
6.	Решите уравнения:
a)	logo.i (х2 + 1) = logo.i (2 х — 5);
б)	log2 (х + 12) =2 Iog2x;
в)	1g (х + 1,5) = — 1g х;
г)	logs (х — 1) + logs (х — 2) = logs (х 4- 2);
д)	1g (х2 4- 75) - 1g (х - 4) = 2;
е)	1g (х 4- 6) - A 1g (2 х - 3) = 2 - 1g 25:
ч 2 1ogo.3x = .
7 logo.3 (5 х — 4)	’
з)	0,5 1g (2х — 1) = 1 — 1g х — 9.
7.	Решите уравнения:
a)	log2 х — 3 log2 х = 4;
б)	± 1s2jc = 4---r ‘е*
311
в)	"ё--1	4" “i—ПГ~1-- — 1»
' 5 — logs x 1 14- logs x
г)	log2 x3 — 20 log2 Vх 4- 1 = 0;
д)	3 (log2sinx)2 + log2 (1 — cos 2 x) = 2;
e)	0,1 lg4 x — lg2 x 4- 0,9 = 0.
8.	Решите уравнения:
a) x'°e,x = 3;	6) x’og,x + 2 = 8;	b)x’-JT-=5;
r) х2-^|0ЕГ = ±; д) ± xioE.x-2 = 4; e) x’-025'2'= 10;
ж) x'BX = ЮОх; з) х2,в’х= 10x3; и) х2,вг“4'сх = V10.
9.	Решите уравнения:
a)	Iog2 x — log । x = 4;	6)2 logsx 4- 2 log, 5 = 5;
в)	logx,16 + log2,64 = 3; r) 3 log, 16 — 4 log)6x = 2 log2x;
д)	logx(5x2) • logjx = 1.
10.	Решите графически уравнения:
a)	x 4- lg* = 1;	б) iog2x = x 4- 1;
в)	lg x 4- 2 = x2;	r) logs x 4- | x | = 0;
д)	2 log2 x = sin x.
11.	Решите уравнения:
a) Ig5x + |g (x — 1) =	1;	6)	2log3 (2x — 1) = logs (3x 4-	1);
B) >g2* + Igx2 = — 1;	r)	lg (2x — I) — 2 = lg0,3;
д) x'BX = 10;	e)	log< x — logons x = 4;
ж) lg (x2 — 5x — 9) — lg (2x — 1) = 0;
з) x4’BX = 10; и) x^('eX + 7) = 1°'EX + 1; K)lgx = 2-X.
$ 99. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
На рисунках 280, 281 приведены графики логарифмической
функции у = logo х для случаев а> 1 и 0 < а < 1. Из возраста-
ния функции у = logo х в первом случае и убывания — во втором
следует:
1) при а> I, если loga Хг > IogaXi, то хг > Х|, где Х| > 0,
Хг > 0;
2) при 0 < a < 1, если logaX2 < logoxi, тохг > хь где Xi> 0,
Хг > 0.
312
Сформулированные утверждения используются при решении
логарифмических неравенств. Логарифмическое неравенство
в конечном счете сводится к неравенству вида
logo f (х) > logfl ф (х),	(1)
где а > 0, а 1. Если а> 1, то неравенство (1) равносильно
системе неравенств
( Г (х) > о,
<	Ф (х) > О,
( f (х) > Ф (х).
Если 0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе не-
равенств
(F (х) > о,
<	ф (х) > о,
( f (х) < ф (X).
Рассмотрим примеры.
Решите неравенства: 1) logs(x— 3) < 2; 2) logo,5 (2х — 4) > — 1;
3)	1ое7,8 ттт < 0; 4) 1ое°5 1о^8 \ _ з~ < 0;	5) log4- х<
< х 4- 2 (графически); 6) lg (х — 1) + 1g (х — 2) < 1g (х + 2).
Решение.
1)
logs (х - 3) < 2, logs (х - 3) < logs 25,
2)
logo,5 (2x — 4) > — 1, logo.s (2x — 4) > logo.s (0,5)
logo.s (2x — 4) > logo.s 2,
2x -
2x -
4> 0,
4 < 2,
x> 2,
x < 3,
2 < x < 3.
3) log7.8T^T> 0,
X
X +"3~
> 1,
313
3
z
-=i>o. x + 3<o, x<—3.
X о
<2	0
4)	logo,s log» у < 0,
log»—^-3- > 1, log» x_3 > log»8,
№ + 8x
~ . a
Рис. 282
№+8x	n №+24
"T^T - 8 > 0.
x — 3 > 0, x > 3.
5)	Строим графики функций у = log |Хиу = х + 2в одной
т
системе координат (рис. 282). Графики пересекаются в точке
А с абсциссой хо ~ 0,1. Из рисунка видно, что множеством реше-
ний неравенства log)x<x + 2 служит промежуток (хо; оо),
где хо «0,1. э-
х - 1 > 0,
х — 2 > 0,
х + 2 > 0,
lg (х — 1)'(х —2) <lg (х + 2),
х - 1 > О,
х — 2 > О,
х + 2 > О,
(х — 1) (х — 2) < х + 2,	(х2 — 4х < О,
{х 2,	f х 2,
х (х — 4) < О, I 0 < х < 4,	2 < х < 4.
Упражнения
1.	Приведите пример логарифмического неравенства и реши-
те его.
2.	Запишите план решения неравенств:
a)	logaf (х) > logacp (х) при a> 1;
б)	logaf (х) < logotp (х) при О < а < 1.
3.	Установите знак выражения:
а) logo.3 ЮО — logo.3 9; б) logij (у (1 — log73));
в) logo.3 (у (log2 5 — 1)).
314
4. Решите неравенства:
a) log2 (5х — 2) > 1 ;
в) logs I 2х — 7 | < 1;
Д) 'ogs (х2 — 11х + 43) >
5. Решите неравенства:
б) log! (5х - 2) > 1;
т
Г) logo.3 (х2 — 5х + 7) > О
2; е) log2 (х2 — Зх) < 2.
a)	logs (5х — 8) < logs (2х + 7);
б)	log2 (х — 1) — log2 (2х — 4) > 0;
в)	logo.3 (х2 + 1) — logo.s 2х < 0;
г)* log„ (х — 1) + log, (х — 2) < log„ (х + 2);
Д)* Igx — lg (2х — 5) < lg2 — lg (х — 3).
6*. Решите неравенства введением вспомогательной пере-
менной:
a) 1g2 х — 2 Igx — 3 < 0; б) (log0,2 (х — I))2 > 4;
в) 4 log2х — log4x> 3;
7. Решите графически неравенства:
a) 1g (2 — х) < х — 1 ; б) loga х 4 — х; в) * log2 I х | < 2х.
$ 100. ПРОИЗВОДНАЯ
ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
Прежде чем найти производную показательной функции,
сделаем два важных предварительных замечания.
График показательной функции у = ах проходит через точ-
ку (0; 1). Пусть а — величина угла, образованного касательной
к графику функции у = а‘ в точке (0; 1) с положительным на-
правлением оси абсцисс. Можно показать, что величина этого
угла зависит от значения основания а. Например, вычислено,
что при а = 2 величина угла а приближенно равна 34° (рис. 283),
а при а = 3 а « 47° (рис. 284). Если основание а показательной
функции у = ах возрастает от 2 до 3, то величина угла а воз-
растает и принимает значения от 34° до 47°. Можно доказать, что
315
найдется такое значение а, при котором касательная, проведен-
ная к графику функции у = ах в точке (0; 1), образует с поло-
жительным направлением оси абсцисс угол 45° (рис. 285). Такое
значение а принято обозначать буквой е. е — число иррациональ-
ное, е = 2,718281828459... . Если основанием логарифмов служит
число е, то такие логарифмы называют натуральными: loge х =
= In х (запись In х читают: «натуральный логарифм числа х>).
Натуральные логарифмы (логарифмы с основанием е) широко
применяются в математике и практике.
Таким образом, касательная к графику функции f (х) = е*
в точке (0; 1) образует с положительным направлением оси
абсцисс угол, равный 45°.
В соответствии с геометрическим смыслом производной дан-
ный вывод означает, что значение производной функции f (х) =
= е* в точке х = 0 равно tg 45° = 1. Таким образом, /' (0) =
Выведем теперь формулу производной функции f(x) = ех.
Будем пользоваться планом нахождения производной функции
(см. §24).
1)	Пусть аргумент х получает приращение Дх.
2)	Находим приращение функции Д f:
Д/ = e,+&t-ex = ех(е4х - 1).
3)	Находим отношение приращения функции к приращению
аргумента:
AL = е* ~ ч
Д х	Ах
4)	Вычисляем предел отношения уу, считая х постоянной,
а Дх переменной, стремящейся к нулю.
д/	е'(е4х-1) ах е4х - 1	,
lim —— = lim ---5-------= е lim ---------= е • 1 = е .
Дх-И> А X ДХ--0 Д X	Лх-^0 Д X
Таким образом, производная функции ех равна самой функции:
(ех)' = ех.
Найдем теперь производную показательной функции f (х) =
= а1 (а > 0, а Ф 1). Исходя из геометрических представлений,
можно предположить, что эта функция дифференцируема, так как
в любой точке графика существует не вертикальная касательная.
Воспользовавшись основным логарифмическим тождеством
(^'□g,a _ а, см § 96), любое число а можно представить в виде
а = е|п0. Поэтому показательную функцию можно представить
в виде а1 = ех ’°.
316
Воспользуемся правилом нахождения производной сложной
функции:
(ах)' = (е"па)' = ех'па • (xlna)' = ех'"“ • In а.
Учитывая, что е1'™ = ах, получим:
(ах)' = ах • In а.
Производная показательной функции равна произведению
зтой функции на натуральный логарифм ее основания.
Решим несколько примеров на применение производной показа-
тельной функции.
Пример 1. Найдите производную функции:
а) 5х; б) е-5х; в) е3"2х; г) (0,3)sin2x.
Реше н ие. По формуле производной показательной функции
и правилу дифференцирования сложной функции имеем:
а)	(5х)' = 5х In 5;
б)	(е-5х)' = с ~5х(- 5х)' = - 5с
.. в) (в3"2') = ея~ 2х • (3 — 2х)' = - 2с3' ?х;
г) ((0,3)sln 2х)' - 0,3""21 • In 0,3 • (sin 2х)' = 2 • 0,3s"’2х X
X In 0,3 • cos 2х.
Пример 2. Найдите уравнение к.зсатольпон к графику
функции f (х) = е'х в точке с абсциссой х» — — 1.
Решение. Уравнение касательной к графику функции
У — f (*) в произвольной точке (х0; t/0) имеет вид; у — у0 =
= f' (хо) (х — хо). По условию х0 — — 1, поэтому у0 =
=	= е. f' (х) = (е-х)' = — е~х, тогда f' (— 1) = — е.
Подставляя найденные значения хо, г/о, f' (х0) в уравнение каса-
тельной, получим уравнение искомой касательной:
У — е = е (х + 1), у = — ех.
Упражнения
1.	Расскажите, как можно ввести число е.
2.	Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = ех в точке (0; 1).
3.	Какие логарифмы называют натуральными? Найдите:
In е; In е3; In —; In -\[е.
•	е ’
4.	Составьте план вывода формулы производной функции
У = ех.
5.	Составьте план вывода формулы производной функции
У = ах.
6.	Найдите производную показательной функции у = ах, если
ее основание а равно: а) а = е; б) а = 2; в) а =	; г) а = л.
317
7.	Вычислите производную функции:
а) 53х; б) (±)2' в) е2х + 3~х; г) x-2s,nx; д)
□
е) -/х (0,5х + 1); ж) -^-cos-|—е-7х;	з) tgex+l;
8.	Вычислите значения производных функций в точке х = 0:
а) у (х) = Зх’“5х+В; б) z (Х) = 22х • -д/2 — 22х; в) h (х) =
= у
~ vmi-‘
9.	Найдите уравнение касательной к графику функции
У = f (х) в точке с абсциссой хо, если: a) f (х) = е“х, х0 = 1;
б) f (х) = 2х, хо = — 1; в) * у = х2 • е~х, хо = 1.
10.	Найдите величину угла между положительным направле-
нием оси Ох и касательной к графику функции у = е~х — е-2х
в точке с абсциссой х = 0.
$ 101. ПРОИЗВОДНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Прежде чем выводить формулу производной логарифмиче-
ской функции, покажем, исходя из геометрических соображений,
ее дифференцируемость в каждой точке области определений.
На рисунке 286 изображены графики двух взаимно обратных
функций f (х) = а1 (а > 1) и g (х) = loga х (а > 1). Эти
графики симметричны относительно прямой у = х.
Показательная функция f (х) = а"
имеет производную в каждой точке:
(ах)' = аг 1п а =/= 0. В каждой точке кри-
вой f (х) = ах существует негоризонталь-
ная касательная. Поэтому симметричная
ей относительно прямой у = х кривая
g (х) = loga х имеет в каждой точке не-
вертикальную касательную. Следователь-
но, логарифмическая функция имеет в
каждой точке производную, т. е. она диф-
ференцируема во всей области ее опреде-
ления.
Перейдем теперь к выводу формулы
производной логарифмической функции.
Воспользуемся равенством а|ое“х = х.
310
Дифференцируя обе части этого равенства, получим: (а|ов“х)' = *'•
или а|ОВоХ" In а • (logax)' = 1, откуда (logax)' =-!-= —!—.
а|ов“х • 1п а х 1п а
Следовательно, формула производной логарифмической функции
имеет вид:
Если основанием логарифмической функции служит число е,
то формула ее производной проще:
(1п х)' = -у-
Пример 1. Найдите производную функции: а) у = logax;
б)	у = 1g 5 х; в) у = In2 (5 х + 1); г) у = 1п^2*-
Решение, а) у' = (log3x)' = -7^; б) у' = (Ig5x)' =
1	ч	1
5х1п 10	' Х* 5х1п10	xln 10
в)	Применяя правило дифференцирования сложной функ-
ции, имеем:
у' = (In2 (5х + 1))' = 2 In (5х + 1) • (In (5х + 1))' =
= 21n(Sx + I) •	(Sx + 1)' =	
г)	Для упрощения процесса дифференцирования выполним
предварительно логарифмирование:
In VFx = 4 In (2 х) = 4 In 2 + 4 In х.
О	Ou
Теперь имеем:
(lnV2;)-=(|ln2 + ±lnx)'=±.l = ^ .
Пример 2. Составьте уравнение касательной к графику
функции у = In х в точке (е; 1).
Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид:
у — f (х0) = /' (хо) (х — хо). По условию f (х) = 1п х, Хо =
= е, f (хо) = 1, значит, f' (х) = (In х)' = -4» /' (хо) =
Уравнение искомой касательной: у — 1 = (х — е), у = у- х.
319
Пример 3. Постройте график функции f (х) = х — In х.
Решение. Исследуем данную функцию:
1.	D (f) == (0; оо); f (х) непрерывна в каждой точке области
определения.
2.	Функция f (х) не является ни четной, ни нечетной.
3.	График функции не имеет общих точек с осью Ох, поскольку
х — In х =# 0.
4.	Найдем критические точки:
Г (х) - (х — inх)' = 1 — y =	;
f' (х) = О, х *--- := 0, х — 1 = 0, х =/= 0; х = 1.
Критическая точка: х = 1.
f (1) = 1 - In 1 = 1 — 0 = 1.
Составим таблицу:
X	(0; 1)	1	(1;»)
f’(x)	— -.	0	+
f(x)		1	
		min	
5.	Строим график функции (рис. 287).
Упражнения
1.	Исходя из геометрических соображений, объясните, почему
логарифмическая функция дифференцируема в любой точке об-
ласти ее определения.
2.	Запишите формулу производной логарифмической функции:
а) у = loga х; б) у = In х.
3.	Найдите производные функций:
у
1	a) y = log2x; б) у (х) = 3 logs х;
I у-х-^х в) <p(x) = 4-logo.t (х- 1);
\	г) f (х) = 2 cos х + In х;
1	д) у = х3 In х;
---------Jе) Л (х) = (2 х2 + 5) log2 х;
ж) z (х) = е* In х;
Рис. 287	э) £ (*) = 1 _ 1пх •
320
4.	Вычислите:
a)	f' (2), если f (х) = log4 x;
6)	cp'(l), если ср (x) = lg (2x + 1);
в)	h' (-у), если h (x) = in cos x;
r) f' (1), если f (x) = 2ex in x;
д) z' (e), если z (x) = In2 x.
5.	Найдите производную функции, предварительно выполнив
логарифмирование:
a) f (х) = In фх + Г;	б) <р (х) = In 5^(x2 - 6)2 ;
в) g w = in у •
6.	Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = в точке с абсциссой х0 — е.
7.	В какой точке касательная к кривой у = in х параллельна
прямой у = х + 1?
8.	Найдите промежутки возрастания н убывания функции:
а) у = in у ; б) у = у х2 — In х.
9.	Исследуйте на экстремум функцию: а) у = х — 2 in х;
б) f (х) = X In X.
10*. Постройте график функции: а) у = х + 1пх; б) f (х) =
__ In X
X
§ 102. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ
Степень числа а с любым действительным показателем а была
определена ранее (см. §92). Это позволяет ввести понятие степен-
ной функции у = ха. Степенная функция определена:
1)	на множестве действительных чисел при натуральных а;
2)	на множестве действительных чисел, отличных от нуля,
при целых отрицательных а либо при а = 0;
3)	на множестве неотрицательных чисел при несократимых
положительных дробных и иррациональных положительных по-
казателях а;
4)	на множестве положительных чисел при несократимых
отрицательных дробных и иррациональных отрицательных пока-
зателях а.
Разъясним определение степенной функции:
11 Алгебра и качала анализа
321
Функция у—ха		
Значения показателя степени	Область определения степенной функции	Примеры функций
aeN	7///7///7^////7/^ 0 (-оо ; + оо)	Ч Ч Ч II II II Я я я ш ь> *
а - целое отрицательное число либо а = 0	77///7///7///7/7/^ 0 (-оо;о) и (о;+ ©о)	w " « * <4 * 11 1 1	1 о я я я я II II II II гч >1 гчгч
а - положительная несократимая дробь либо положительное ирра- циональное число		^777777/777/^, 0 £ 0; + ©о)	ч ч ч II II II я я я “1“ м|.и|”
а - отрицательная несократимая дробь либо иррациональное отри- цательное число	1//77////7/7/Г б (о;+©о)	ч чч II	II II я	я я 1	1	1 “1“
На рисунках 288—291 изображены графики степенных функ-
ций при некоторых натуральных показателях.
Задание!. Пользуясь графиками функций (рис. 288—291),
расскажите о свойствах степенной функции с натуральными
показателями.
На рисунках 292, 293 изображены графики степенных функций
при некоторых целых отрицательных показателях.
Задание 2. Пользуясь графиками функций (рис. 292, 293),
расскажите о свойствах степенной функции с целым отрицатель-
ным показателем.
На рисунках 294, 295 изображены графики степенных функ-
ций с дробными показателями.
Рис. 291
322
На рисунке 296 приведен график функции у = х^, а на
рисунке 297 — график функции у = х~^2.
Задание 3. Пользуясь графиками функций (рис. 294—
297), расскажите о свойствах степенной функции с дробным и
иррациональным показателем.
3 а д а н и е 4. Постройте графики функций: а) у = х5; б) у =
= хт; в) у = х т.
Перейдем к нахождению производной степенной функции.
Ранее мы дифференцировали некоторые степенные функции. На-
пример, (х2)' = 2х, хе R; (х3)' = Зх2, xeR; (х-4)'= — 4х~5,
х =/= 0; (хт)' = у х т , х > 0. При этом мы пользовались фор-
мулой (х“)' = a • х“-1, не зиая ее доказательства для любых
действительных значений а. Сейчас рассмотрим
этой формулы для значений х > 0 и любых
значений а.
Теорема. Для значений х >0 и любых
доказательство
действительных
действительных
323
Упражнения
Доказательство. Запишем ос-
новное логарифмическое тождество: е|п *=
= х. Возведем обе его части в степень а,
получим: ха = еа'пх.
По правилу вычисления производной
сложной функции имеем:
(х“)' = (е“1пх)' = е“|пх • (а In х)' =
= (е|,,х)° •	= х“ • - =
Итак,
(х°)' = а • х’"1.
1.	Расскажите, как определяется степенная функция.
2.	На рисунке 298 приведены графики степенной функции
у = ха для случаев а = 1, 0 < а < 1, а > 1 при х 0.
Анализируя графики этих функций, укажите общие их свойства и
различные свойства.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
у = х", п е N, если: а) п — четное число; б) п — нечетное число.
4.	Вычислите производные функций:
а) у = х-3,1; б) у = х~2; в) у = х^; г) у = х3,5.
2	3
5.	Докажите, что функции у = хти у = хт взаимно обратны.
Постройте графики этих функций. (
6.	Постройте график функции у = хт и с его помощью решите
уравнение и неравенства:
а) хт = 3; б) хт< 3; в) V* > 3.
7.	Постройте графики функций: а) у = -/х; б) у = -V—х;
в) У = — -уГх\ г) у = -/\х\.
$ 103. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И
СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИЙ
С ПОМОЩЬЮ КАЛЬКУЛЯТОРА
Основная цель данного параграфа — показать, как вычис-
ляются значения показательной, логарифмической и степенной
функций на калькуляторе «Электроника БЗ-34» и ее модификациях
«МК-54», «МК-56» и т. д.
Передняя панель калькулятора «Электроника БЗ-34» изобра-
жена на рисунке 299. Калькулятор имеет 30 клавишей с двойным
или тройным управлением. Основная операция, вводимая нажати-
ем клавиши, обозначена прямо на ней. Операции, обозначенные
324
ЭЛЕКТРОНИКА
вкл] БЗ-34 Г₽”
Х<0 Х=0 х>0 х#0
10	L1	12 и
sin COS	tg	Jt
arcsin arccas arctg 1/x
аааш
ex ig in xy Bx
HI1* 4x АКТ ПРГ CF
код A D С Д
Рис. 299
* имволами красного цвета над клавиша-
ми, вводятся после нажатия клавиши F,
। операции, обозначенные символами чер-
ного цвета под клавишами, вводятся после
нажатия клавиши К, которая используется
также для ввода операций косвенной ад-
ресации. При включении калькулятора
автоматически устанавливается режим ав-
томатических вычислений. В этом режиме
калькулятор обеспечивает выполнение
арифметических операций, вычисление
функций, запись чисел в регистры памяти
и вызов их из регистров, изменение знака
числа х в регистре X, обмен регистров X и
Y и проведение сложных последователь-
ных вычислений по обратной бесскобочной
схеме вычислений. Все вычисления на
микро-ЭВМ могут проводиться вручную
или по введенной программе. Ручные вы-
числения и вычисления но заданной про-
грамме идентичны.
В приведенных ниже примерах мы
рассматриваем ручной принцип работы калькулятора. Поскольку
результат вычислений микро-ЭВМ выдает с конечным числом
знаков, то ему всегда присуща погрешность округления. Обычно
ее считают равной ± 1 последнего разряда.
Погрешность, получаемая в результате проведения операций
над приближенными числами, называется операционной погреш-
ностью. Операционная погрешность арифметических опера-
ций равна сумме погрешностей чисел, над которыми проводят-
ся эти операции. Существуют правила уменьшения этой по-
грешности:
а)	начинать суммировать числа рекомендуется с меньших зна-
чений;
б)	при выполнении операции умножения следует умножать
меньшее число на большее; если промежуточный результат при
этом больше единицы, его надо умножить на меньшее из оставших-
ся чисел, если меньше единицы — то на большее;
в)	операции умножения и деления следует чередовать друг
с другом, избегая переполнения операционного регистра X;
г)	следует избегать вычитания близких по значению чисел,
так как результат может попасть в область «машинного нуля»,
что иногда приводит при последующих операциях к большим по-
грешностям.
Для уменьшения операционной погрешности следует проводить
преобразования выражений с учетом отмеченных правил.
Окончательный результат всех вычислений на микро-ЭВМ
округляется с точностью до четырех десятичных знаков.
325
а)
Д)
Пример 1. Вычислите с помощью калькулятора:
1О°’205; б) е3,56; в) 1g 32,84; г) 1g 0,0003473;
In 3,789; е) log3 726,3; ж) 3,56° ™.
Решение, а) Вычисления проводим по программе:
0,205
10х
на
индикаторе получаем результат 1,6032454,
Ю°’205 « 1,6032.
б)	Вычисления проводим по программе:
3,56
F	ех
на
индикаторе получаем результат 35,16319,
ез,5б 35Д 632.
в)	Вычисления проводим-по программе:
32,84
F	lg
индикаторе получаем результат 1,5164031,
1g 32,84 « 1,5164.
г)	Число 0,0003473 приводим к стандартному виду 3,473 • 10-4
и вычисляем по программе:
на
3,473 ВП 4 /—/
1g .
F
на индикаторе получаем результат — 3,4592952,
1g 0,0003473 « —3,4593.
д)	Вычисления проводим по программе:
3,789 F In
на индикаторе получаем результат 1,3321021,
In 3,789 « 1,3321.
е)	По теореме 4$ 97 переходим к логарифму с основанием 10:
1 -7ПС о 1g 726,3	„
loga 726,3 = —3—. Вычисления проводим по программе:
726,3
F 1g 3 F 1g
326
программе:
F	ху
n.-i индикаторе получаем результат 5,99662290,
logs 726,3 х 5,9966.
ж)	Вычисления проводим по программе:
0,78 | 3,56 F ху ,
па индикаторе получаем результат 2,692347,
3,560,78 « 2,6923.
Пример 2. Вычислите на калькуляторе числовые значения
выражений:
а) (1 + лА7з)-°Л б) ^/lg sin^3 37°15' + (0,249)-0J.
/- /	-4 — xy —>	F	xy
F	tn	F	
Решение.
а)	(1 + лАеЗ-)’0'4 = (1 + (lg 3)V<
Вычисляем по программе:
1 + 0,4
на индикаторе получаем результат 7,9377048	0,1,
(1 + W3~)-°л « 0,7938.
б)	Vigsin-?374 57+ (0,249)-°J = -д/lg (sin 37,25°)-3 +
+ (O.249)-0,7.
Устанавливаем переключатель в положение «Г» и вычисляем
по программе:
/-/	t
F	sin	F	xy	F	•g	F		П	A
F	xy	ИП	3	+
на индикаторе получаем результат 3,4551956,
Vlgsin-3 37°15/ + (0,249)-°J « 3,4552.
Упражнения
1. Вычислите с помощью калькулятора значения показатель-
ной функции: а) 102,356; б) ю-0,00356785; в) е-3,25; г) е^386 ;
Д) Ю»1"32’10'; е) garcslnO.8
2. Вычислите с помощью калькулятора значения логарифми-
ческой функции: a) 1g 0,07856; б) In 35,68; в) logs7,210~3;
г) lg sin 78°; д) In tg 55°40'; е) Iog2ctg34°.
327
3. Вычислите с помощью калькулятора значения степенной
функции: а) (0,32)7'вз; б) (-у-)-0’586; в) (0,25)si’’2; г) (3,8)"^;
д) (0,273)-'•573.
4. Вычислите на микро-ЭВМ числовые значения выражений:
а)	1,894'* • 23,4Э	. 44,152 • 0,9647 "		б)	0,8972 • V0-0792	
				2.153 • А/12.762	3,5’ • я
	23 5 .	\\ 6,05	.•			
					
		V sin 35° ’	Г)	V ig ig во зо +	
§ 104. ПОВТОРЕНИЕ
1.	Выполните действия:
а)
З-1 • 3° + 15 • (1-0
ю • ю — ^u.i;
в) (4а-3/> - 0,125-' • fl-2 + 4а-'	• 2~2 ab~1;
г) (0,04а-3Ь2 — ~ а 2 £ + 5 2 а ') : 5 2 а 1 Ь2\
д) (- з° ~ * - 0 ~ ^) • (£Ль~- ь~*)-';
а1 + а2Ь*	а* + Ь*			
е)	/	2	З^^/а	а — -Jab + b \	: -\/ab
	~^а — -\jb	а^[а + b^Jb	•у/а — -у/b	
2-Jb
у/a + Jb
/ ал/а + b-Jb	\
ж) (—------------------Jab) : (а — Ь) +
4 -Ь Vft	'
2.	Средн следующих иррациональных чисел найдите наиболь-
1111
шее число:-----, -ч—,	, -г—.
V2 \[3 V» ^5
3.	Сравните числа:
а) ° и (4У°; б) log<3 и log3 4; в) log7 3 и log59;
\ о /	X О '
* 101999 + 1	10'997 + 1
Ю1’97 + 1	101999 + 1 ’
д)* log,4- и logo-
's- т
128
4.	На рисунках 300—302 изображены эскизы графиков
функции у = хр для различных peR. Для каждого случая уста-
новите возможные промежутки значений показателя р.
5.	На рисунках 303—304 изображены графики функции у = а*,
а на рисунках 305—306 графики функции у = 16gox. Для каждого
случая установите возможные промежутки значений оспопапня а.
6.	Постройте в одной и той же системе' координат графики
двух функций и расскажите о сходстве и различии их свойств:
а) У = (0,3)* и у =	; б) у л' и у (-J-) ; в) у =
= log5x и у = log । х.
7.	Не строя графика функции у -- (-£-) , определите, как
изменяется у с возрастанием х от —3 до 0. Вычислите значение
1
у при X = -у .
8.	Не строя графика функции у = (-§-)	. определите, как
изменяется у с возрастанием х от —9 до —3. Вычислите значение
у при х = -	.
9.	Найдите наибольшие и наименьшие значения функций:
а) у = 3C0SX; б) у = 2'-sinx; в)* у = 5 + 5,5“,х|.
329
yi	10. С помощью производной найдите
промежутки, в которых существует функ-
I у=1.одах Ция, обратная для функции:
\	а) у = ^-х3 — х + 1;
О ГЧ	б) у =-----х3 4х — 5.
11.	Для данной функции найдите об-
ратную и постройте их графики в одной и
Рис эоб	той же системе координат: а) у = 2х — 1;
б)	у = 2х-1.
12.	Докажите, что последовательность значений функции
/ 1 V
у = при натуральных значениях аргумента х есть геомет-
рическая прогрессия.
13.	При каких значениях х: а) последовательность 1gх,
1g (х + 6), 1g (2х + 7) будет арифметической прогрессией; б) по-
следовательность х, \li0x, х'ех будет геометрической прогрессией?
14.	Найдите области определения функций:
а) у = 2Т=Х ;
В) Z(x) =	;
Д) g(x) = 1g I х | ;
ж) у = log2n(2 — Зх);
и) У = logi.5(x2 + 4х + 4);
л) /У) = 1g(4 — х) Н- 1g д/Т
н)* f(x) = logo,2 *Х ;
6) /W =	:
Г) У = log4(x + I);
е) /=(х) = logo.i (х — 2);
з) У = 1g (6 + х — х2);
к) z = 1п(5 — Зх — 2х2);
х ; м) у = Igcosx;
о) * у = loga sin х.
15.	Вычислите:
а) Igtgr-j- — lg cos 0; б) lg sin у log2tg у + log2l;
logs ctg у + 2 log3 sin у + log2 sin у ;
_^jiog,4 + log^-v/2.	д) 2,OBV5'^3 + log.9.
100,-lef.
16. Вычислите на калькуляторе:
5,094 • Ау0,00315
а) Х =	0,065912	’
sin1 42’ 19' y<:tg51’52'
в) х
6)
tg476° 37'
У cos1 37’ 13' • 0,001582
Х ~~	tg262’22'
з^ / 0,1 юз + д/одайз"'
7J12
x
ззо
17.	Решите неравенства:
< + 9
а) 0,6 «+3 > 1;	б)
в) х2х ~ 1 > 1;	г)
Д) 10ё±1^т < 0;
ж) log4(2x — 5) > 0,5;
и) * logo,3(x2 + 2) < log0,3(3x — 7);
18.	Решите уравнения: •
а) 5 х • 2 х = (10х-1)5 • 0,1;
в)	42-х = 3х-2;
д) 2l+2sinxcosx = 2 /2;
ж) 7Х| ’ - 4- • 7х' ' - 14 • 7(
з) 9х + 1 — 4 • 3х - 69 = 0;
к) 2 • 3^ — 3~ — 27 = 0;
7,2	- 1 < 0;
°;
е) log 1 (Зх — 7,5) < 1;
т
3> ''’«’77^4? > 0;
к)* log2 |2х - 51 < 1.
‘>(4)"'-(4)М;
г) 9х + 2 - 132х-';
е) 3 1 1 i,,v	1
’ |- 2-7' -- 48;
и) 3 •	° -- 2^х = 8;
। । ।
л) 9 х — (> х’ == 4х.
19. Решите графически уравнения:
а) 3“х	3; б) 2х = х2 - 2х; в) 10х = sinx; г)*2х = ^4 - х2 .
20. Решите неравенства:
2х.-Ь5	/ V -I
а) (А)	<32; 6) 2'— > ±; В> (±)	> 3
г) Зх’-ж-6<1; д) 32ж 1 -|- З2' 2 - 3?х 1 •< 315;
е) 4<*+т <4 64 • 2^^ ; ж)* | х|х’ ' 2 < I;
21*. Докажите, что 3^ + 3 не меньше 2 при любых
значениях переменной х.
22.	Существуют ли такие значения х, при которых принимают
равные значения функции:
а)	у = 2Х + 4 + 2х + 3 + 2х и у = 5Х+* - 5х;
б)	у = Х1ех-' и у = 10^/х?
23.	Решите уравнения:
a) log4sinx =-----; б) logioolog2(x — 1) = Ц- ;
331
в) log2log3ln(x + 1) = 0; г) log2je_ i(3x2 — 4x + 5) = 2;
д) lg2x + lg(5x — 15) = 2; e) lg2x — lg 4* = 0,5;
ж) i—1-------h -о—i-4— = i;
' 4 — Igo, 2X	2 + Igo.ox
3) 2 lg4x + 2 logi 0,2 = 2,5+4
И) log3x + logs* + log27x = 5,5;
к) logx2 • Iog2x2 = log4x2.
24.	Решите уравнения:
a)	21OBs(“2x) = log381;	6) 4'°B'T=0,5;
,) 4’"- • 5"' - 6400:	r)	= -+ • 5"-' ;
Д) 5'8* _ 3-1 + ie* = 31 + 1BX _ 5-i+igx.
e)	lg(10x + sinx------0 = x;
ж)	log2(2x+cosx------= x;
з)	log3(log9x + 4 + 9х) = 2x;
и)	log2(17 - 2х) + log2(2x + 15) = 8;
к)	91оЕях’ _|_ |0g^2 42 = 4(91 + IOB1SX - 910B,iX) ;
л)	х'в(т+Т +7Г+ •) = 1.
25.	Решите графически уравнения:
a) log3x = х — 1; б) logox = х2 — 2;	в) Igx = 2-х;
г) \gx= -y/x; д) Inx — cosx = 0.
26.	Докажите неравенства:
a) log35 + log33 > 2; б) lpg3n + 4 logn3 > 4.
27*. Решите неравенства:
a)	log^(4cos(2x-------0) < — 1;
б)	1g 2 + log2cos(2x------0 < — lg 5;
\ 1	1 I “I” Л
B) log^log2 1'+j.'> °;
r) 4 log3(x + 1) — 10g3 Vx + 4 < — 2 + log34,5;
332
д):,‘ ~ log? (х — 6) — log? д/х — 3 > log? ------2;
е\	- 3 1g* + 3
4	lg* - 1	’
;к) 1g 2 + lg(4x-2 + 9) < hie + lg(2x- 2 + 1);
з)	1;
и) 0,8'°в!х“ 1 < 0,642 + 1oMx;
к) (4-)'°V^ > Ine;
л) x'ex > 0,lx2.
28.	Решите графически неравенства:
a)	2	'x > 2 — x;	б)	2х	+	1 < — 2x;
в)	logs* > sinx;	r)	Igx	x2 — 3.
29.	Найдите производные функций:
а)	у	= 0,3x5 — 2x'' — 10;	6)	у x - ~	-----j-;
в)	У	= Л- + -p- -	;	г)	у - 4 \jx	- 6 Vx2 ;
д) у = (1 - x3)(x - 5) + -^-+ 1.
Vх
30.	Найдите производные функций:
a) e2x; б). 2^"; в) ; г)' (—У; д) e2cosx; с) е31йХ;
ж) 2х; з) 5-7х; и) ; к) (-рл) (0,7/' г,‘ 1 3; м) 6' :,,":х;
н) е3х + 4~х- о)*--------7х, . ; п)*	.
31.	Найдите производные функций: a) logsx; б) logo,i>x;
в) logo,2 (2х — 5); г) logs (6 — 7х); д) IglOx; е) In(cosx);
ж) Igtgx; з)*2х1п(3х); и) 5 • Зх+1 + log2(2х — 1); к)
л)	; м) 10х In х; н) х" In (4х + 9); о) logs (х3 + 2 д/х — 4).
1п ох
32.	Напишите уравнение касательной к графику функции f
в точке с абсциссой хо, если:
а) /(х) = х2,Б, хо = 1;	б) f(x) = (-х)1'5, хв-------1;
в) / (х) = ех, хо = 0;	г) f(x) = ет, х# = 2;
333
д) f(x) = 2 х, Хо = 1; е) f(x) = In (Зх), х0 =	•
ж) Дх) = 1g (5 v), хо = 4 •
33.	Найдите величину угла, образованного касательной к
кривой у = 1пх в точке (1;0) с положительным направлением
оси абсцисс.
34.	Найдите промежутки возрастания и убывания и точки
экстремума функции: a) f(x) = 12х2 — х3; б) f(x) = ех -Зх + 2;
в) f(x) — Зх’~2х; г)* f(x) = xln2x; д)* f(x) = -^-excosx.
35.	Докажите, что следующая функция не имеет ни макси-
мума, ни минимума:
а) у = _L х3 — х2 + х - 2; б) у = 6х5 — 15х4 + 10х3.
36.	Схематически изобразите график функции, предвари-
тельно исследовав ее: а) у = х3 — 9х; б) у =---------х4 — х2;
в) у = 4х3 — Зх4; г) у == 2х2“2х; д) у = log^- — 1;
.	_ / 2х 1, если х	О,
' У ~ I 2х, если х > 0.
37.	Схематически изобразите разными цветами в одной и
той же системе координат графики следующих функций:
а)	у = 2х — 1, у = | 2х — 1 |, у = 2 | х | — 1;
б)	у = х2, у = х2 — 4, у = | х2 — 4 |;
в)	у = л/7, У = — У = "Vх — 2 - У л/1х1 - 2;
г)	У = log2x, у=—log2x, у= |log2x|, y = log2|x|;
Д) у = 3х, у = -3х, у = З'х|, у = | 3х |;
е)	у = sinx, у = | sinx|, у = sin | х I, у = —sinx;
ж)	у = cosx, у = —cosx, у = cos | х |;
з)	У = tgx, у = —tgx, у = tg|x|, у = | tg |.
$ 105. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Вычислите:
(5,6)°	+ 0,027	- 3-! + 25 60,75 - ( - 4
334
2.	Найдите производные функций:
а) у = 3 • 4х;	б) у = e-2xcos3x;	в) у = 1п(4х — х') ;
г) у = 2х10;	д) у = -1—.
X-\JX
3.	Постройте графики функций:
а) у = (-0 ; б) у = log2(x 4-2); в) у = — х/х .
4.	Решите уравнения:
а) 3х - 2 • У- 1 = 3; б) log3(2x2 - 9) - log3x = 1.
5.	Составьте уравнение касательной к графику функции
у = 3х в точке с абсциссой Хо = 1. Выполните схематический
рисунок.
6.	Решите неравенства:
а) х]о,У~3> 0,09\ б) log2(3 - х) < -1.
7.	Вычислите с помощью калькулятора числовое значение
выражения:
0,732*
2.1831 • -763574" '
ГЛАВ A XI.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ,
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 106. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
Как известно, уравнением с одной пере-
менной называют равенство f(x) = ф(х) двух функций, по отно-
шению к которому ставится задача нахождения значений пере-
менной, обращающих его в верное числовое равенство.
Число хо называется корнем уравнения f(x) = ф(х), если,
во-первых, это число принадлежит как области определения
функции f(x), так и области определения функции ф(х) и, во-
вторых, значения этих функций в точке хо совпадают.
Например, число 2 не является корнем уравнения
(х — 2) (х + 3) п . ,
-—х _ 2—~ = 2х 4* 1 •так как это число не принадлежит области
определения функции f (х) =	® , стоящей в левой части
уравнения; число 5 не является корнем уравнения х 4- 1 = 2х — 1,
так как значения функций, стоящих в левой и правой его частях,
при х = 5 не равны:
f (5) = 54-1=6; Ф(5) = 2 • 5 - 1 = 9; [(5) =# ф(5);
число 5 является корнем уравнения [ х | = х, так как, во-первых,
это число принадлежит области определения как функции [(х) =
= I х | , так и функции ф(х) = х, во-вторых, f (5) = ф(5).
Вы уже умеете решать многие виды уравнений—алгебраи-
ческие, тригонометрические, показательные, логарифмические.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или до-
казать, что их не существует.
Множество корней уравнения зависит от того, на каком число-
вом множестве рассматривается данное уравнение. Например,
уравнение (х — 2) (х2 — 3) = 0 на множестве рациональных
чисел имеет только один корень х = 2; это же уравнение на
множестве действительных чисел имеет три корня: xi = 2;
Х2 = 'Тз ; хз = — л/3 . Поэтому если поставлена задача решить
уравнение, то должно быть указано множество, на котором оно
решается.
В пособии, если рассматриваемое числовое множество не
указано, имеется в виду, что уравнение необходимо решить
на множестве действительных чисел.
При решении уравнения над ним производят различные пре-
336
 >i,разевания: раскрывают скобки, переносят члены из одной части
II другую, приводят подобные члены и др.
В процессе этих преобразований данное уравнение последо-
вательно заменяется другими уравнениями до тех пор, пока
не придем к уравнению, решать которое мы умеем. При выполне-
нии таких преобразований получается цепочка уравнений, в
которой каждое новое уравнение может быть, а может и не быть
равносильно предыдущему.
Напомним, что два уравнения называют равносильными,
если множества корней этих уравнений совпадают. Когда в
процессе решения уравнения мы уверены, что производимые
преобразования не нарушают равносильности каждого из урав-
нений цепочки, множество решений последнего уравнения будет
множеством решений данного уравнения. Поэтому в этом случае
проверка корней уравнения не обязательна.
Однако может случиться, что преобразования нарушают
равносильность уравнений. В этом случае нас могут подстерег
гать две опасности: мы можем «потерять» корпи пли «приобрести»
посторонние корни. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решите уравнение х2--------'- = 2х---(1).
Решение. Перенесем все члены уравнения в его левую
часть. Получим уравнение х'2----------2х -J—= 0 (2). Вы-
полненное преобразование не нарушает равносильности уравне-
ний. Теперь приведем подобные члены, получим: х2 — 2х = О (3),
х(х — 2) = 0(4); Xi = 0, х2 = 2. В процессе приведения подобных
членов (при переходе от (2) к (3) ) была нарушена равносиль-
ность уравнений. В результате приобретен посторонний корень
х = 0, который Не является решением исходного уравнения, так
как в него входит выражение -у , теряющее смысл при х = 0;
поэтому х =/= 0.
Ответ: 2.
Рассмотренный пример показывает, что если в процессе ре-
шения уравнения могут быть приобретены посторонние корни,
то их можно выявить проверкой.
Пример 2. Решите уравнение х2 = 2х.
Решение, х2 — 2х = 0, х(х — 2) = 0.
Ответ: 0; 2.
Если бы мы разделили обе части данного уравнения на х,
то получили бы один корень х = 2. Однако деление на х обеих
частей уравнения нарушает его равносильность, мы в этом случае
теряем корень х = 0. Выполнять над уравнением преобразования,
приводящие к потере корней, нельзя.
Из рассмотренных примеров можно сделать вывод: в про-
цессе решений уравнений над ними можно выполнять только
такие преобразования, которые не нарушают равносильности
337
или нарушают ее, приводя к приобретению посторонних корней.
В последнем случае посторонние корни должны быть выявлены
(путем проверки) и отброшены. Выполнение преобразований,
приводящих к потере корней, недопустимо. Решая, например,
уравнение вида f(x) • g(x) — <PW • я(х) (0. мы не имеем права
делить обе его части на g (х), так как такое преобразование может
привести к потере корней. Необходимо перенести все члены
уравнения в одну его часть: f (x)g(x)—<p(x)g(x) = 0 (2),
разложить левую часть уравнения на множители
g(x) (7W — <₽(•*)) = 0 (3), приравнять каждый из множителей
нулю. Получим совокупность уравнений	_ о W-
Решаем каждое из них.
Множество корней совокупности (4) совпадает с множеством
корней уравнения (2), если все эти корни принадлежат множеству
допустимых значений переменной данного уравнения; множество
корней данного уравнения есть подмножество корней совокуп-
ности (4), если некоторые из корней совокупности не принадлежат
множеству допустимых значений переменной данного уравнения.
Поэтому переход от уравнения (2) к совокупности уравнений (4)
не может привести к потере корней.
Поясним теперь на примере, в каком случае могут быть при-
обретены посторонние корни уравнения f(x) = g(x). Введем новое
понятие: множеством допустимых значений переменной уравнения
f(x) = Я(х) будем называть пересечение (общую часть) областей
определения функций f(x) и <р(х).
Пример 3. Решите уравнение д/х = 6 — х.	(1)
Решение. Обозначим /(х) = ~\[х , <р(х) = 6 — х. D(J) =
= [0; оо), /)(ф) = (— оо; оо), множество допустимых значений
переменной: [0; oo)f)(—оо; оо) = [0; оо). Решим теперь приведен-
ное уравнение. Возведем обе его части в квадрат, получим
х = 36 — 12х + х2 (2). Замечаем, что множество допустимых
значений переменной уравнения (2) шире множеств допустимых
значений исходного уравнения. Преобразование, в результате
которого множество допустимых значений переменной расши-
ряется, может привести к приобретению посторонних корней.
Выполнение такой операции допустимо, однако необходимо про-
верить корни. Продолжим решение данного уравнения:
х2 - 13, + 36 = 0. , =	. = д*д,
Xi = 9, Х2 = 4.
Проверка: 1) д/э ^6 — 9; к = 9 — посторонний корень.
2)	-у/4 — 6 — 4. Ответ: 4.
Сформулируем теперь без доказательства некоторые важные
приемы решения уравнений.
338
1.	Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую
т огда приводит к уравнению, равносильному даппему.
2.	Прибавление к обеим частям уравнения [(х) • • <-{х) вы-
ражения g(x} приводит к уравнению Дх) + /Дх) = <р(л) -|- <Дл),
равносильному данному, если область определения выражения
/;(х) содержит в себе множество допустимых значений переменной
данного уравнения.
3.	Приведение подобных членов может привести либо к урав-
нению, равносильному данному, либо к уравнению, содержа-
щему посторонние корни.
Пример 4. Решите уравнение 2х + х2 = Зх — 1 + х2.
Решение. 2х + х2 — Зх — х2 = — 1, — х = — 1, х = 1.
Приведение подобных членов х2 и —х2 привело к уравнению,
равносильному данному.
Ответ: 1.
Пример 5. Решите уравнение 2х + в/х = Зх + 1 + ~\[х.
Решение. 2х + в/х — Зх — ~\fx - 1, — х = 1, х = — 1.
Приведение подобных членов \/х и — з/х привело к расширению
множества допустимых значений переменной. Для исходного урав-
нения это множество — промежуток |(); оо), а для полученного
после приведения подобных членов,- множество всех действи-
тельных чисел. В этом случае возможно приобретение посторон-
них корней. Проверка исходного уравнения является обязательной
частью решения.
Проверка: 2 • (— 1) + -д/ — 1 — не имеет смысла на множестве
действительных чисел. Число — 1 — посторонний корень. Данное
уравнение решений не имеет.
4.	Умножение обеих частей уравнения на выражение, область
определения которого содержит множество допустимых значений
переменной данного уравнения, приводит либо к уравнению, равно-
сильному данному, либо к уравнению, содержащему посторонние
корни.
2 _ 2х
Пример 6. Решите уравнение х _	= х + 3.
Решение. Умножим обе части уравнения на выражение
х — 1. Область определения этого выражения — множество
действительных чисел — сожержит множество допустимых значе-
ний переменной данного уравнения (х =/= 1). Поэтому это преобра-
зование не может привести к потере корней, а может привести
лишь к приобретению посторонних корней. Получим:
2 - 2х = (х + 3) (х - 1), —2(х - 1) = (х 4- 3) (х - 1),
(х - 1)(х + 3 + 2) = 0, (х- 1) (х + 5) = О,
Xi = 1, х2 = — 5.
Проверка: 1) х = 1 — посторонний корень, так как при х = 1
2 — 2х
выражение х _ теряет смысл.
339
2) 2 _g ‘21 ~ = —2, — 5 + 3 = — 2, х = — 5 — корень
данного уравнения.
Ответ: — 5.
Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержа-
щее переменную, может привести и к потере корней, если область
определения этого выражения не содержит множества допустимых
значений переменной данного уравнения. Выполнение такого пре-
образования недопустимо. Например, обе части уравнения
2{х — 1) = х(х — 1) нельзя умножить на выражение 1 , , так
, 1
как область определения выражения х _ 1---множество дейст-
вительных чисел, отличных от единицы, не содержит множества
допустимых значений переменной данного уравнения — множе-
ства всех действительных чисел. Применение этого преобразова-
ния в нашем примере привело бы к потере корня х = 1.
5. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нату-
ральную степень может привести либо к уравнению, равносиль-
ному данному, либо к уравнению, содержащему посторонние
корни.
Переход от уравнения /(х) = <р(х) (1) к уравнению (J(x)')n =
= (ф(х)У (2), где п — натуральное число, допустимо, но примене-
ние такого преобразования может привести к приобретению посто-
ронних корней, поэтому проверка обязательна. Возведение обеих
частей уравнения в натуральную степень часто применяется при
решении иррациональных уравнений.
Мы рассмотрели без доказательств некоторые правила пре-
образования уравнений и проиллюстрировали их на примерах.
Еще раз подчеркнем, что недопустимы такие преобразования
уравнений, которые приводят к потере его корней. Наиболее
распространенной ошибкой, приводящей к потере корней, является
деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее
переменную.
Упражнения
1.	Приведите примеры уравнений, имеющих или не имеющих
решения. Что значит решить уравнение?
2.	Какие уравнения называют равносильными?
3.	Расскажите о правилах преобразований уравнений. Какие
из них допустимы?
4.	В каких случаях при решении уравнений возможно появле-
ние посторонних корней? Приведите примеры.
5.	В каких случаях при решении уравнений возможна потеря
корней? Приведите примеры.
6.	Всегда ли при решении уравнений обязательна проверка
его корней?
340
7.	Равносильны ли уравнения:
a)	Igx + lg(x — 1) = lg 2 и lgx(x — 1) = lg2;
б)	x + Igx — 5 = 2x — Igx и x — 5 = 2x — 2 Igx?
8.	Решите уравнения:
a) (x - 2)(x + l)2(x2 + 2) = 0;	6)	= -^;
в) = °’	r> (x + 4)2 = 3(x + 4>;
д) -x2~-rL + Tri = -4; e) 's*2 =2;
ж) (x — 2) ~\](x + 1) (3 — x) lg(x — 5) = 0.
9.	Покажите на примере, что приведение подобных членов не
всегда приводит к уравнению, равносильному данному.
10*. Докажите, что уравнения Дх) = <р(х) + g(x) и Дх) —
— ё(х) = ф(х) равносильны.
И*. Найдите условие, при котором уравнения Дх) = ср(х)
и Д(х) = <р2(х) равносильны.
$ 107. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Уравнение, содержащее переменную под знаком радикала,
называют иррациональным. Например, уравнения -д/2х —3=1,
-\[х + 4 = х, хт— 2хт+ 8 = 0 являются иррациональными.
Мы будем рассматривать иррациональные уравнения на
множестве действительных чисел. Решение иррационального
уравнения основано на сведении его с помощью некоторых
преобразований к рациональному уравнению. Обычно это
достигается возведением обеих частей иррационального уравне-
ния в одну и ту же степень (иногда несколько раз).
Известно, что при возведении обеих частей уравнения в
одну и ту же степень могут появиться посторонние корни,
поэтому проверка полученных корней обязательна.
При решении иррационального уравнения необходимо также
иметь в виду, что радикалы с четными показателями и их под-
коренные выражения неотрицательны; подкоренное выражение
радикала с нечетным показателем может быть любым действитель-
ным числом, знак радикала при этом совпадает со знаком под-
коренного выражения.
Пример 1. Решите уравнение -y/bx = — 2.
Решение. Уравнение -y/bx = — 2 не имеет решения, так
как радикал с четным показателем не отрицателен.
341
Пример 2. Решите уравнение 1 + ух 4-5 =0.
Решение. Уравнение 1 + ух 4-5 = 0 не имеет решения,
так как ух4-5 =/= —1.	______ _________
Пример 3. Решите уравнение -у/х 4- 1 4- у2х — 4 = —4.
Решение. Ни один из радикалов, входящих в данное
уравнение, не может быть отрицательным числом, поэтому
ни при каких действительных значениях переменной х сумма
этих радикалов не может равняться —4. Следовательно, дан-
ное уравнение решений не имеет.  
Пример 4. Решите уравнение уЗ — х 4- ух —10 = 2.
Решение. Допустимые значения переменной должны
удовлетворять системе неравенств:
13 — х Js 0,	1 х 3,
L- 1бЪ о, откуда ю.
Последняя система несовместна, поэтому данное уравнение
решений не имеет. 
Пример 5. Решите уравнение ух — 2 = 2 — х.
Ответ: 2.	------
Пример 6. Решите уравнение у2х —1=3.
Решение. д/2* “ 1 = 3, (W - *)3 = З3, 2х - 1 = 27,
х = 14.	_________
Проверка: д/2 «14 — 1 = 3.
Ответ: 14.	------ ---------
Пример 7. Решите уравнение у2х 4-34- уЗх 4-3=1.
Решение. -\/2х 4- 3 = 1 — д/Зх 4- 3 ,
(д/2х 4- 3 )2 = (1 — д/Зх 4- 3 )2 ,
2х 4- 3 = 1 — 2 д/Зх 4- 3 4- Зх 4- 3,
2 д/Зх 4- 3 = х 4- 1,
(2 л/з^-Гз)2 = (х 4- I)2.
4(3х 4- 3) = х2 4- 2х 4- 1,
х2 — 10х — 11 = 0, X, = 11, х2 = — 1.
Проверка: 1) д/2  11 -р 3 4- д/3 -114-3 = д/25 4- д^36 =
= 54-6=11=/=!.
2) д/2-(-1)4- 3 4- л/3 4-1) + 3 = V? 4- л/0 = 1.
Ответ: —1.
342
Пример 8. Решите уравнение
\/:’\ —6 = 5 — ~\jx + 4.
Решение. Обе части данного урав-
нения возведем в квадрат. Получим:
’V - 6 = 25 — 10 д /х + 4 + х + 4, или
после уединения радикала: — 10 д/х-р4 =
х —35. Вновь возведем в квадрат обе
части полученного уравнения:
100 (х + 4) = (х - 35)2,
ЮОх + 400 = хг — 70x4-1225,
х2 - 170х + 825 = 0,
откуда Xi = 5, Х2 = 165.
Проверка: 1) д/2 • 5 — 5 = д/Г = 2, 5— д/5~р4 = 5 —3 = 2.
2) д/2 -165 — 6 Ф 5 — д/165 + 4.
ОтвеТ: 5.
Пример 9. Решите графически уравнение х — 1 = д/Зх — 5.
Решение. В одной и той же системе координат строим
графики функций у = х — 1 и у = -\/зх — 5 (рис. 307) и
определяем абсциссы точек их пересечения: х, а; 2 и Хг « 3.
Заметим, что эти решения являются точными.
Ответ: 2; 3.
Упражнения
1. Какое уравнение называется иррациональным? Приведите
примеры иррациональных уравнений.
2. Найдите множество допустимых значений переменной
иррациональных уравнений:
а) д/2х + 5 = 3;	б) 1 -р д/^х — 3 = 4;
в) д/х + 5 — д/2х — 5 = 0; г) д/7.— 5х -р д/х -р 3 = 4;
д) д/х — 1 + д/х -р 5 -Р 1 = 0.
3. Решите уравнение д/х — 10 =10 — х.
4. Объясните устно, почему приведенные ниже уравнения
не имеют решений:
а) д/х = -3;	б) д/х -р 1 = -2;
в) д/Зх -р 6 -р 2 = 1;	г) д/бх — 2 -р д/х -р 3 = 0;
д) д/7 + д/5х -Р 3 = 2;	е) д/х — 1 + д/1 — х = 7;
ж) д/х — 9 — д/б — х = 2.
343
5. Решите уравнения:
а) д/б — х = х;
в) д/<х + 3 = х — 3;
д) д/бх + 4 — 3 \[х = 0;
ж) (х - 3)^= (2х - l)t
и) ~\[х — 1 • д/2х + 6 = х + 3;
л) д/з — х -|---6	= д/э"
д/3 — х
м) 5 д/2х + 3 — д/18х — 5 =
б) д/х2 — 4 — s/б;
г) 3 + д/2х + 1 = 1;
е) -\[х - д/1 — х = х;
з) д/х3 — 2х — 3 = х — 1;
к) д/4х-3 = 3Д—L ;
д/Зх - 5
5х ;
4(х +_3)
д/2х + 3
6.	Решите уравнения:
а) -д/1 + х д/2х2 — 8 — 1 = 0;
б) х = 1 — д/1 — хд/2х2 - 17 ;
г) Vх + 1 + Vх + 5 = 6;
д)	д/х — 3 — д/х — 6 = 1;
е)	д/х + 7 + л/3х — 2 — 9 = 0;
ж)	д/4 — х + д/б + х = 3;
з)	д/25 — х + д/9 + х = 2;
и)	д/х + 2 + -д/х — 4 = 2 д/х + 1 ;
к)	д/бх + 7 — д/Зх + 1 = д/х + 3 .
7.	Решите уравнения методом введения новой переменной:
д/х — 2 д/х — 6	.-----	4 ,-----
а) ——--------= ——---------; б) д/х — 3 + 6 = 5 -ух — 3 ;
д/х — 4 д/х — 7
в) х2 — х + 9 + -у/х2 — х + 9 = 12;
Д) Ю д/х2 - х - 1 + -	— - = 13;
д/х2 — X — 1
Э44
е) х2 + 2 -\х? — Зх + 11 = Зх 4- 4;
ж) 8 4- х/х3 4- 8 = 6;
3> V-T+3-+ V-2^r = T'
и)* -д/х3 4- X2 — 1 4- xjx3 4- X2 4- 2 = 3.
8.	Решите графически уравнения:
а) -у/х = х; б) -\[х = х 4- 1; в) -д/х = 2х2 — 1.
§ 108. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ
И ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнением с двумя переменными называют уравнение вида
f (х, у) = ф (х, у), где / и ф — некоторые функции переменных х и у.
Например, х — I = 2х 4~ У, х2 4- у2 = 4, 2ху — х = у — урав-
нения с двумя переменными.
Упорядоченную пару чисел (х«; уо) называют решением урав-
нения /(х; у) ф(х; у), если при подстановке их соответственно
вместо переменных х и у уравнение обращается в верное число-
вое равенство f (хо; уо) = ф(хо; уо). Например, пара (2; 1) — реше-
ние уравнения 2х — 3 = у, так как 2 • 2 — 3 = 1 - - верное
числовое равенство; пара (0; —1) — решение уравнения 2Х~У =
= х — 2у, так как 20-(~15 — 0 — 2 • (—1)—верное числовое
равенство.
Уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечное
множество решений, так как, давая одной из переменных про-
извольное (допустимое) значение, из уравнения можно найти
соответствующее ему значение второй переменной.
Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все
его решения или доказать, что их нет.
Геометрически решения уравнения с двумя переменными
изображаются точками плоскости, координаты которых удовлетво-
ряют этому уравнению; множество всех этих точек называют
графиком уравнения.
На рисунках 308—310 изображены соответственно графики
уравнений х -|- 2у = 4, х2 4- у2 - 4, у 4- х2 = 4.
Рис. 308	Рис. 309	Рис. 310
345
Уравнением с тремя переменными называют равенство вида
f(x; у, z) — <р(х; у, г), где f и <р — некоторые функции переменных
х, у и z.
Например,-2х — Зу + z = 5,х2 + у2 + z2 = 4 — уравнения
с тремя переменными.
Упорядоченная тройка чисел (х0; Уо', £о) называется решением
уравнения с тремя переменными, если при подстановке их соответ-
ственно вместо переменных х-, у, z уравнение обращается в верное
числовое равенство.
Уравнение с тремя переменными в общем случае имеет беско-
нечное множество решений, так как, давая переменным х и у про-
извольные (допустимые) значения, из уравнения можно найти
соответствующие им значения третьей переменной.
Геометрически решения уравнения с тремя переменными
изображаются точками трехмерного пространства, координаты
которых удовлетворяют этому уравнению. На рисунках 311 и 312
изображен^ соответственно решения уравнений х + у + г = 3,
где х > О, у > О, z 0 (треугольник), и х2 + у2 + z2 = 4
(сфера).
Напомним, что график функции у = kx + I есть прямая.
Эта прямая проходит через точку (0; /) (рис. 313). Число k
называют угловым коэффициентом этой прямой: k = tga. Этот
коэффициент определяет угол а между прямой и положительным
направлением оси абсцисс. Число I определяет точку пересечения
прямой с осью ординат; назовем число
/ ординатой в начале.
Задача. Найдите расстояние от
точки М (5; 3) до прямой АВ, заданной
уравнением 2х — у + 8 = 0.
Решение. Пусть точка N (х; у) при-
надлежит данной прямой (рис. 314). Так
как Ne ИВ), то ордината у точки 7V вы-
ражается через ее абсциссу следующим
образом:
Рис. 314
у = 2х + 8.
346
Найдем квадрат расстояния | MN | по известной формул^
расстояния между двумя точками, заданными своими коорди-
натами:
| МУ |2 - (х - 5)2 + (у - З)2 = (х - 5)2 + (2х + 8 - З)2 =
= х2 — 10х + 25 + 4х2 + 20х + 25 = 5х2 + 10х + 50.
Обозначим 5х2 +'10х -|- 50 = f(x). Квадрат расстояния отточки
М до прямой АВ есть минимум квадратичной функции f(x). Най-
дем экстремум этой функции:
Г(х) = 10х + 10, 10х + 10 = 0, х = -1.
Точка х = —1—точка минимума, так как график функции
f(x)— парабола, ветви которой направлены вверх.
I MN |2 = 5 • (-1)2 + 10(— 1) + 50 = 45,
I MN | = лДб” = 3 д/5.
Упражнения
1.	Найдите по три решения каждого из следующих уравнений
и постройте их графики: а) х 2у = 0; б) 2х — Зу — 6 = 0.
2.	Найдите угол наклона соответствующей прямой к положи-
тельной полуоси абсцисс: а) х — у = 5; б) 2х -|- 2у = 3;
в) у = л/Зх — 1.
3.	Составьте уравнение прямой, если дан угол наклона ее к
положительной полуоси абсцисс и ордината в начале:
а) а = 45°, I = 1; б) а = 30°, I = -2; в) а = 135°,
I = -3.
4.	При каком значении коэффициента а график уравнения
ах -|- у = 0 образует с положительной полуосью абсцисс угол 60° ?
5.	При каких значениях коэффициентов а и b график уравне-
ния ах -|- by = 0 служит объединением биссектрис: а) первого
и третьего координатных углов; б) второго и четвертого коорди-
натных углов?
6.	Составьте уравнение множества точек, каждая из которых
находится от оси абсцисс на расстоянии 3.
7.	Постройте множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют условиям: а) 2х-|-у = 0, х^0; б) Зх — 4у = 0,
3<у < 10.
8.	Найдите какое-нибудь уравнение с двумя переменными,
имеющее единственное решение (0; 0).
9.	Изобразите графически множества решений уравнений:
а) у —х =2;	б) sinx—2у = 0;'
в) х2-|-у2 = 16;	г) ху = 2;
Д) х2 ф-у2 + z2 = 25;	е) (х + 4)2 + (у — 3)2=25.
10.	Найдите расстояние от начала координат до прямой
Зх—уф-6 = 0.
347
$ 109. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
С примерами решения некоторых нелинейных уравнений мы
уже встречались. Например, мы решали показательные, логариф-
мические, тригонометрические, иррациональные, алгебраические
уравнения второй (в частных случаях и более высокой) степени.
В данном параграфе рассмотрим отдельные приемы решения
нелинейных систем уравнений. Систему уравнений называют
нелинейной, если хотя бы одно из ее уравнений нелинейно. Приме-
рами нелинейных систем уравнений могут служить системы:
а) | х-у=1,	б) |± + ± = 2,
| х3 —у3 = 7;	1х —у = 0;
в) { log2X-|-log2£/= 1 -|-log29, г) ( sin х + cosx = 0,
(х + у = 3;	I sin2x + cos2y = у .
Приемы решения нелинейных систем уравнений весьма раз-
нообразны. Общим для всех них является замена исходной
системы равносильной ей более простой системой или совокуп-
ностью более простых систем. Допустимо также при решении
систем выполнять над уравнениями такие преобразования, кото-
рые приводят к расширению множества допустимых значений
переменных, т. е. переходить к неравносильным системам. При
таком переходе, как известно, возможно появление посторонних
корней. Такие корни необходимо выявить и отбросить, например
путем проверки исходной системы. В этом случае проверка стано-
вится обязательным элементом решения системы.
Выполнять над системой (или отдельными ее уравнениями)
преобразования, приводящие к потере корней, недопустимо.
Рассмотрим некоторые приемы решения систем нелинейных
уравнений.
Подстановка.
Пример 1. Решите систему уравнений (у + х2 = 5,
[у2 4- х4 = 17.
Решение.
(У + х2 = 5,	f у = 5 — х2,	( у = 5 — х2,
ly2 + x4 = 17; I (5 — х2)2 + х4 = 17; I х4 — 5х2 + 4 = 0.
Второе уравнение полученной системы представляет собой би-
квадратное уравнение. Решим его отдельно:
х4- 5х2+4 = 0,
обозначим х2 через и, получим:
и2 — 5u + 4 = 0, ui = 4, u2=l.
348
x2 = 4, Xi =2, х2=—2;
х2 = 1, Хз = 1, х4 = — 1.
Из первого уравнения системы находим соответствующие
шачеиия переменной у: yi = l; у2=1; уз = 4; у* = 4.
Так как примененные нами преобразования ие нарушали
равносильности систем уравнений, то проверка полученных ре-
шений не обязательна.
Ответ: (2; 1); (-2; 1); (1; 4); (-1; 4).
Пример 2. Решите систему уравнений:
f 2х —у —ху=14,
1 х + 2у + ху= — 7.
Решение. Замечаем, что почленное сложение уравнений
системы позволяет исключить выражение ху. Выполнив это пре-
образование, получим уравнение Зх-|-у = 7.
Присоединив к полученному уравнению одно из уравнений
дайной системы, получим систему, равносильную данной:
( 2х—у —х//==14,
( Зх + у-7.
Далее систему решаем способом подстановки:
f 2х — у — ху=14,	г 2х —(7 —Зх) — х(7 —Зх)= 14,
I у = 7 — Зх; 1 у = 1 — Зх;
( Зх2 —2х —21=0,
I у = 7 —Зх.
Первое уравнение системы есть квадратное уравнение. Решаем
его отдельно:
Зх2 —2х —21 = О,
2±л/4 + 252	2±16	„	7
X = -----т.-----, X = —— , Xi = 3, Хг -----т .
О	О	о
Из уравнения у = 7 — Зх находим соответствующие значе-
ния переменной у: у1 = —2; у2= 14.
Проверка полученных решений не обязательна, так как при-
мененные нами преобразования не нарушали равносильности
систем.
Ответ: (3; — 2); (— у ; и).
Пример 3. Решите систему уравнений:
г 32* . 3-а — 81=0,
I 1g* + 1g У = 1 + 1g 3.
Решение. Левую и правую части второго уравнения мож-
349
но потенцировать. При этом нарушится равносильность этого
уравнения и всей системы: будет расширена область допустимых
значений переменных, что может привести к приобретению по-
сторонних корней. Проверка полученных решений, таким образом,
становится обязательной.
Г 32х~* = З4,	| 2х - у = 4,
t lg ху = 1g 10 + lg 3; I xy = 30.
Теперь применяем метод подстановки:
Г у = 2х — 4, | у = 2х — 4, f у = 2х —4,
1 ху = 30;	I х(2х—4) = 30; t 2х2 —4х-30 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
х2 — 2х — 15 = 0, Xi = — 3, х2 = 5.
х = —3 — посторонний корень, так как при этом значении пе-
ременной Igx, входящей в систему, теряет смысл.
Находим значение у при х = 5: у = 2-5 —4=6.
Проверка:
32 5-3~6 _ 81'= 3'° • 3“6 — 81 = 0,
1g 5 + 1g 6 = lg 30 = lg (10 • 3) = 1 + lg 3.
Ответ: (5; 6).
Задание 1. Решите системы уравнений:
а) г х — у = 2,
I х2 4- Зху = 70;
в) | ху — х 4- у = 7,
I ху 4- х — у = 13;
Разложение одного из
Пример 4. Решите систему уравнений^
( ху 4*- 4х — 5у = 20, j.
I х2 4- Зху 4- 2у2 = 42.|
Решение. Рассмотрим отдельно первор уравнение системы:
ху 4- 4х — 5у = 20,
ху 4- 4х — 5у — 20 = 0.
Теперь левую его часть можно разложить на множители
способом группировки:	i
(У + 4) — 5 (у 4- 4) *= 0,
(у 4- 4) (х - 5) = 0. \
Таким образом, данную систему удалось преобразовать в равно-
сильную ей систему:
х 4- ху = 8,
Зху 4- 2у =j, 24;
1
х
г)
«	/ 8 ’
на линейные множители.
350
| (у + 4)(x — 5) = О,
1 x2 + Зху + 2у2 = 42.
Полученную систему нетрудно свести к равносильной совокуп-
ности систем, каждую из которых можно решить методом под-
становки:
I г х4-4 = 0,	( у= —4,
I x2-|-3xy4-2y2 = 42; I х2 + 3ху-\-2у2 = 42;
I У=-4,
I х2-12х + 32 = 42;
II (X — 5 = 0,	( х = 5,
I х24-Зху-|-2у2 = 42; I х24-Зху-|-2у2 = 42;
( х = 5,
1 254- 15у4-2у2 = 42.
Вторые уравнения в каждой системе представляют собой квад-
ратные уравнения, которые решаем отдельно:
а)	х2— 12x4-32 = 42, х2—12х-10 = 0, х = 6±\/зб4-10 =
= 6±д/46, Х|=6 -|- х2 = 6 — \/-1б;
б)	25 4-15у 4- 2у2 = 42, 2у2 4- 15у - 17 - - 0. у = ~ l5^ V2254-136 =
Полученная выше совокупность двух систем сводится, таким
образом, к равносильной ей совокупности четырех систем:
Г х = 6 4- -\/46,  I х = 6 — т/46, I х=5, / х = 5,
I у = — 4, I у = — 4;	I у = I; I у= — 8,5.
Проверка полученных решений* не обязательна, так как приме-
ненные преобразования не нарушали равносильности систем.
Ответ: (6 4- т/46; —4); (6 — т/46; -4); (5; 1); (5; —8,5).
П р и.м е р 5. Решите систему уравнений:
г х2 — 2ху — Зу2 = 0,
I х2 — ху — 2х — Зу = 6.
Решение. Левую часть первого уравнения системы можно
разложить на линейные множители способом группировки:
х2 — 2ху — Зу2 = 0, х2 4- ху — Зху — Зу2 = 0,
х (х 4- у) — Зу (х 4- у) = 0; (х4-у) (х — Зу) = 0.
Данную систему можно преобразовать следующим образом:
I (х — Зу) (х 4- у) = 0,
I х2 — ху — 2х — Зу = 6;
35Т
I г x — Зу = О,	( х = Зу,
t х2 — ху — 2х — Зу = 6; I 2у2 — Зу — 2 = О;
IIГ х + У = О,	Г х = —у,
I х2 — ху — 2х — Зу = 6; t 2у2 — у — 6 = 0.
Решая эти системы, получим:
j х = —1,5,	( х = 6,
I у = —0,5;	I у = 2;
/ х = —2,	х = у ,
I у = 2; ’	3
{У=--2-
Ответ:	- ±), (6; 2), (-2; 2), (|; -
Задание 2. Решите системы уравнений:
а) ( х2 + Зху + 2у2 = 0, б) | 2х2 — 5ху4-2у2 = 0,
t Зху4-7у=1;	I х2 — Зху + у2 = \;
в)	Г Зу2 —2ху=160,	г) | х2 — 2ху — у2 = 2,
I у2 — Зху — 2х2 = 8;	I ху + у2 = 4.
Сведение системы к квадратному уравнению.
Пример 6. Решите систему уравнений:
(х + у = 8,
\ ху = 1.
Решение. Составим квадратное уравнение z2 — 8z 4-7 = 0.
Найдем его корни: Zi = l, Za = 7. Данная система свелась к сово-
купности систем:
( х = 1,	f х = 7,
1 у = 7;	I у = 1.
Ответ: (1; 7); (7; 1).
Пример 6 нетрудно было решить и методом подстановки.
П р и м е р 7. Решите систему уравнений
г х2+у2=10,
1 ху = —3.
Решение. Умножим второе уравнение на 2 и сложим почлен-
но с первым, получим
х2 + 2ху + у2 = 4, (х + у')2 = 4,
откуда
x-j-y = 2 или х + у=— 2.
К каждому из полученных уравнений присоединим второе
352
уравнение данной системы. Данная система уравнений равносиль-
на совокупности систем:
I (х + у = 2; II (х + у=—2;
1 ху = — 3;	I ху = — 3.
Решение первой системы: (3; —1); (—1; 3).
Решение второй системы: (1; —3); (— 3; 1).
Так как мы не выполняли операций, нарушающих равносиль-
ность уравнений или систем, то проверка найденных решений не
обязательна.
Ответ: (3; -1); (-1; 3); (1; -3); (-3; 1).
Пример 8. Решите систему уравнений:
I У + 1g* = 1.
I x‘J = 0,01.
. Решение. Прологарифмируем по основанию 10 обе части
второго уравнения системы. Это преобразование не приведет к
изменению области допустимых значений переменной, так как
ху> 0; 0,01 > 0 и х> 0 (см. первое уравнение). Получим систему,
равносильную данной:
f У +• 1g х = 1,	/ у + 1g х = 1,
1 У • 1g х = lg 0,01; I у lg л- = — 2.
Теперь полученную систему сведем к квадратному уравнению:
z2 — z — 2 = 0, откуда Z\ = — 1, z^ = 2. Данная система свелась
к совокупности систем:
I	|	Igx =	-1,	|	х	=	0,1,
1	У = 2;	I	у	=	2;
H	I	Igx =	2,	f	х	>=	100,
\у - -1;	1	У	₽	-1.
Ответ: (0,1; 2); (100; -1).
Задание 3. Решите систему уравнений:
а) { * + У= -3. б) [х-у = 2,
1 ху = 2;	1 ху = 15;
в) ( х2 + у2 = 10,	. I Igx + 1gу = 1,
1 ху - 4;	4gx • Igy = — 2.
Замена переменных.
Пример 9. Решите систему уравнений:
( х~‘ — у~‘ = 2,
1 х~2 — у-2 = 16.
Решение. Введем новые переменные: х-1 = и, у~' = v.
Система примет вид:
12 Алгебра и начала ааалаза
353
{	и	—	v	=	2,	Г и —	v = 2,	(	и	— и	=	2,
*	и2	—	и2 = 16;	I (и +	и)	(и — и) =	16;	t	2	(и +	и)	= 16;
г	и -	v = 2,	f	и — v =	2,	(	и =	5,
I	и +	v = 8;	I	2и = 10;	I	и =	3.
Возвратимся теперь к исходным переменным:
( х~‘ = 5, х = 4-,
У-'=3;	?
°твет: (1; ±).
Пример 10. Решите систему уравнений:
\fx + y — \]х — У = ~ 2,
\х + У — \х~У = 8.
Решение. Введем новые переменные: \/х + у = и,
\/х— у — v. Данная система принимает вид:
(и — v = 2,	(и — о = 2	(и— v = 2,
I и2 — и2 = 8; I (и — и) (и + и) = 8;	I 2(и + и) = 8;
[и— v = 2,	t u — v = 2,	{ и = 3,
I и + у = 4;	I 2и = 6;	I у=1.
Возвратимся к исходным переменным:
Обе части каждого уравнения возведем в четвертую степень.
Это преобразование может привести к приобретению посто-
ронних корней. Проверка становится обязательной частью
решения.
г х + у = 81,	Г х+у = 81,	Г х = 41,
I х-у=1;	I 2х = 82;	I у = 40.
Проверка: п/41 -|-40 — ^41 —40 = 3 — 1=2.
•д/41 +40 — -у/41 —40 = 9—1=8.
Ответ: (41; 40).
Задание 4. Решите системы уравнений:
\	I х । У 31
а) J 7 + т = 15’ I
I х2 + у2 = 31;
. x + z/ = 41;
354
в) г V*+ 2^4 = 9- г) (5^-2^ = 200,
I х — 4у = 9;	I 25^ + 22а/5 = 689.
Графическое решение.
Пример 11. Решите графически систему уравнений:
/ У — х'2 = 4х 4- 4,
I 2х + у = —4.
Решение. Строим в одной и той же системе координат
параболу у = х2 + 4х-|-4 и прямую у = —2х — 4 (рис. 315). На-
ходим значения координат точек пересечения параболы и прямой:
А ( — 4; 4) и В ( — 2; 0). Получили решения данной системы:
(-4: 4), (-2; 0).
Пример 12. Решите графически систему уравнений:
( х2+у2 + 2х —бу —6 = 0,
I х2 + у2 + 8х + 2у- 32 = 0.
Решение. Первое уравнение системы можно преобразо-
вать, выделив полные квадраты:
х2 + 2х1 — 1 + у:' — бу | - 9.9	(> --(),
или
U+ 1)2Ч-(У- 3)2= 16.
Получили уравнение окружности с центром в точке Oi (— 1; 3)
радиуса 4 единицы. Построим эту окружность (рис. 316).
Аналогично можно преобразовать второе уравнение системы:
х2 + 8х+ 16 — 16 + у2 + 2у + 1 — 1 — 32 = 0,
или
(х + 4)2 + (у + 1)2 = 49.
355
Получили окружность с центром в точке Ог( —4; —1) радиуса 7
единиц. Построим эту окружность (рис. 316). Построенные
окружности пересекаются в двух точках А и В, координаты
которых служат решением системы. По рисунку находим прибли-
женные значения координат.
Ответ: (-3,5; 6); (2,6; 1,2).
Задание 5. Решите графически системы уравнений:
а) | у — 2х = 0,
I у4-2х = х24~4;
б)
х2 — 4х — бу = 20,
ху = — 8.
Упражнения
1.	Составьте конспект параграфа. Приведите по одному при-
меру систем уравнений, решаемых каждым из рассмотренных
способов.
2.	В каких случаях проверка полученных решений системы
обязательна, а в каких не обязательна?
3.	Решите системы уравнений:
а)	( х — у = 3,
I ху = 10;
В) ( х34-у3 = — 19,
' х + у = — 1;
д) 1 log3x4-log;)y= 1,
I х4-у = 4;
ж)( х2 — у2=0,
I х24-2х-у=12;
и) ( х2 — ху4-2у2 = 0,
I 2х2 — 5у + ху = — 1.
б)	/ х2 + 3ху + 2у2 = 42,
I (х-5)(у + 4) = 0;
г) / (х + у) (х2 — у2) = 63,
1 х + у = 3;
е) ( х24-у2= 10,
1 ху= — 3;
з) 1 -{х 4- д/у = 9,
I Vxy = 6;
4.	Решите графически системы уравнений:
а) (х24-у2 = 36,	б)*|х=у2 +5у,
(х2 4-бу = 36;	(у = х24-5х.
5.	Решите системы уравнений:
a)	I х2 — 3ху4-5у2 = 3,
I 2х24-х:у-3у2 = 7;
б)	1 Igx 4- Igy = 5
I lg * ’ lg У = 6;
_______1_
д/х т/у
ху = 36;
6 ’
г)* 2cosx 2cos!/ = 5,
2C0SX . 2^ = 4.
356
§ 110*. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ
И СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Решить неравенство f (х; у) > 0 — это значит найти множество
всех значений переменных, при подстановке которых в данное
неравенство получается верное числовое неравенство.
Если неравенство содержит только две переменные, т. е. имеет
вид f (х; у) > 0, то множество его решений — множество упорядо-
ченных пар чисел. Каждая такая пара геометрически изображает-
ся точкой плоскости. Множество решений неравенства с двумя
переменными графически изображается множеством точек плос-
кости, т. е. фигурой на плоскости. На рисунках 317—322 при-
ведены соответственно решения неравенств:
у<х; у> — х2-|-2х; у2-|-х2<4; у>х3; у>х2 + 4х-|-3; у> х '.
Для изображения множества решений неравенства f (х; у) > 0
на координатной плоскости поступают следующим образом:
1.	Строят график уравнения f (х; у) = 0; линия разбивает
плоскость на несколько областей.
2.	Проверяют выполнимость неравенства f (х; у) > 0 для про-
извольной точки (х; у) каждой области.
Рис. 320
357
Рис. 323	Рис. 324
Рис. 325
3.	Если неравенство выполняется в этой точке, то оно выпол-
няется и во всей рассматриваемой области.
Если неравенство нестрогое, то множество точек линии
f (х; у) = 0 (границу области) включают в множество решений
данного неравенства. В этом случае границу фигуры изобра-
жают сцлошной линией. Если неравенство строгое, то точки
линии f (х; у) = 0 не включают в множество решений и границу
фигуры изображают штриховой линией.
Пример 1. Изобразите на координатной плоскости множе-
ства решений неравенств:
а)	Зу — 2х> 6; б) у^х24-2х; в) х2 — 4ху2бу — 12<0.
Р е ш е н и е. а) 1. Штриховой линией строим график уравне-
ния Зу — 2х = 6.
2.	Пусть А (0; 3) — контрольная точка, тогда 3-3 — 2 • 0> 6.
3.	Для каждой точки (х; у) верхней полуплоскости (рис. 323)
выполняется неравенство Зу — 2х> 6.
б)	1. Строим параболу у = х2 + 2х.
2.	Пусть А (0; 3) контрольная точка, тогда З^О24-2-0.
3.	Для каждой точки заштрихованной на рисунке 324
области, включая точки ее границы, выполняется неравенство
у >х24-2х.
у»0,5х
Рис. 326
358
y=sinx
Рис. 329
в)	1. Строим окружность х2 — 4х + у2 + бу — 12 = О,
(х-2)2 + (у + З)2 = 25.
2.	Пусть Л (0; 5) контрольная точка, тогда 0—4-0 +
+ 25 + 30—12> 0.
3.	Для каждой точки заштрихованного круга, включая
точки его границы (рис. 325), выполняется неравенство
х2 — 4х + у2 + бу — 12^0.
Задание 1. По рисункам 326—331 запишите неравенст-
ва, считая их решением заштрихованные области координатной
плоскости.
Задание 2. Изобразите множества решений неравенств
на координатной плоскости:
а)	у>х + 3;	б) у<х —4;
в) (х-6)2 + (у-5)2^4;
Д)*У + 4 <0:
г) у+х2 — Зх> 0;
е)* у> (х—1)“'.
Решением системы неравенств с двумя переменными называет-
ся упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому нера-
венству системы. Множество решений системы неравенств — это
пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в эту
систему.
На рисунке 332 показано решение
системы двух неравенств с двумя пере-
менными:
/ у > f W,
I У + ф(х).
Пример 2. Изобразите множество
решений системы неравенств на коорди-
натной плоскости:
а) J х + у + 1 +’ 0.
х2+у2<25;
359
2х+у<4,
х + 4у > — 1,
х + 4у<:3;
в) f у + 4х+18>2у + 2х + 9,
I £/ + 6х^2х2 + 4х —7.
Решение, а) Для каждой точки полуплоскости, покрытой
штриховкой, с границей х-|-у+1=0 (рис. 333) выполняется
неравенство х + у+1^0- Для каждой точки круга с границей
х2 + у2 = 25 (рис. 334) выполняется неравенство х2 + у2^25.
Множество решений данной системы есть пересечение полученных
множеств точек — круговой сегмент (рис. 335).
б)	Множество решений каждого из неравенств данной системы
изображается точками полуплоскости (см. соответственно
рис. 336—339). Множество решений данной системы неравенств
есть пересечение четырех полуплоскостей, т. е. множество точек
параллелограмма (рис. 340).
в)	( У+4х + 18>2£/ + 2х-}-9,	( у^2x4-9,
I у + 6х 2х2 + 4х — 7;	i у 2х2 — 2х — 7.
Решение неравенства у^2х4-9 изображено точками полу-
плоскости, заштрихованной на рисунке 341. Решение нера-
венства у^2х2 — 2х — 7 изображено на рисунке 342. Множе-
ство решений системы — пересечение двух множеств (рис. 343).
360
Задание 3. Изобразите на координатной плоскости мно-
жества решений систем неравенств:
а)	Г	х + у — 2>0,	б)	f	|х| >3,	в)	Г	|х| < 1,
I	у<1+х;	I	x + y<0;	I	у + х> 0;
г)	|	х2 + у2<9,	д)	Г	у + х2<0,	е)	|	2х2+у—1<0,
I	х — 2у> 0;	tx'-’+y2<l;	lx + y> —1.
Задание 4*. Изобразите на координатной плоскости об-
ласти определения функций:
а)* = л/ИГ = “ + igto-/');
в)	z = J---- + Vх + У •
ух — у
Упражнения
1. Что понимают под множеством решений неравенства с
двумя переменными?
2. Дано неравенство 2х—у1 ^5. Установите, какие из следую-
361
ЩИХ 1 (5; - 3. нерав а) г) ж] к)	тар чисел являются решениями этого неравенства: (0; 1); -2); (3; -1); (1; 3); (2,5; 0); (-1; -1). Изобразите на координатной плоскости множество решений енства: У	< х\	б)	у	>	х;	в)	у	<	х2; у х2\	д)	у	+	х>	1;	е)	у	—	х < 2; I у	+ х2 <	1;	з)	у	+	х2 >	—	1;	и)	у2 + х2< 4; (у - I)2 + (х-1)'2> 1.
4. венет 5. смете!	Что понимают под множеством решений системы нера- в с двумя переменными? Изобразите на координатной плоскости множество решений и неравенств:
а)	( У <	б) ( у < 1 — х, 1 у > х;	1 у + х > 2;
и)	Г у > 1 — х,	г) ( у < 1 — X, 1 у + х < 2;	1 у + X < 2;
д)	J У > х2 + 1,	е) f х2 + у < 0, 1 у + х2 < 2;	1 2х2-\-у — 1<0.
6. гнете!	Изобразите на координатной плоскости множество решений и неравенств:
а)	/ 2х — у > 1,	б) Г у > х2 + 1, 1 2у > 4х + 5;	1 у + 2 < 2х;
в)	Г У > х2,	г) г 2х — у > 1, 1 х2 + у2 < 1;	1 2у < 4х + 5;
д)	| у < —х2 +1.	е) (х2 + у2 < 9, 1 X + у > 2;	< х + у > 0, * х — у < 0;
ж)	f lyl <2,	з) Г //>х2 + 1, 1 у + 2х<3;	1 х2 + у2 ^4;
и)	f у + 2х>х2+1,	к)* Г |у| + |х| < 1, 1 х2+у2 —2х —2у+1 >0;	1 x + j/>0;
л)	* | у> х2,	м)* |у>|х2 + 2х|, 1у2<х;	|х2-|-у2 — 2х —6у-|-9< 0.
362
$ 111. ПОВТОРЕНИЕ
1. Сформулируйте основные преобразования, применяемые
при решении уравнений. Какие из них могут привести к приобре-
тению посторонних корней?
2. Является ли число 2 решением уравнения:
а) 3х+1=5х-3;	6)^=1;
в)	= 2х; г) lg(7x —4) -1=0;
д) 1g (4 — 7х) —1=0; е)д/х2 —20 = 4?
3,	Найдите такое значение параметра р, при котором урав-
нение х2 —2х + р = 0 имеет корень: а) х= —1; б) х = 0;
в) х = 2.
4.	При каком значении параметра а число 2 является ре-
шением уравнения х’ +Зх2-|-ах=0?
5.	Найдите множество допустимых значений переменных в
уравнениях:
а) 7^7= 1g (5-х); 6)-L--± = 0;
]	у
в) 2 sinx = sin у\	г) д/х —3 = х —5.
6.	Решите уравнения:
а)	2х-3 (Зх— 1) -д/(2 —х) (х + 5) • log2(5 —х) = 0;
б)	lg(x + 3) = 1g х — lg(x —3);
в)	log4(3x —4) — log.i(5 —х2) = 0,5;
г)	1 + log2(3x+ 1) = log2(x2 — 5).
7.	Какие из названных ниже преобразований могут привести
к уравнению, не равносильному данному: а) приведение подобных
членов; б)перенесение членов уравнения из одной части в
другую; в) деление обеих частей уравнения на выражение,
содержащее переменную; г) умножение обеих частей уравнения
на выражение, содержащее переменную; д) возведение обеих
частей уравнения в степень; е) извлечение корня из обеих
частей уравнения; ж) потенцирование; з) логарифмирование?
Почему это происходит?
8.	Найдите несколько решений каждого из следующих
уравнений:
а) х —2у = 0; б) Зх —2у + 5 = 0.
9.	Расскажите план решения системы двух линейных уравне-
ний с параметром.
363
10.	Решите системы уравнений:
а)	Г х + у = 1, б) f х — 2у = 0,
I	ах + у — 2;	I	ах + у = 2;
в)	(	Зх + 2Ьу = 4,	г)	(	ах + у = 3,
I	—4bx-h 5у = 2;	I	Зх + 2у = 6;
д)	г ах + у = 3.
I 2х — у = 5.
11.	Для каждого из следующих уравнений найдите угол
наклона соответствующей прямой к положительной полуоси
абсцисс:
а) х — у = 5\ б) 2х + 2у = 33; в) у = д/3х—1.
12. Найдите, при каком значении параметра а график
уравнения ах + 2у-|-5 = 0 образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. 13. Решите системы уравнений:		
а)	(х-\-у — 2 = 3,	б) < 2х — y + z==0, (х— 2у — 2z = 1;	f х ~1~ у ~1~ z — 2, ! 2х — у — 2z = 2, ( Зх — 2у + 4z = — 5;
в)	fx + y — z = 6,	г)	(х — у — z = —2,
	<2x + 3y + z = 9, (x + 2y + 4z=-l;	{ х + 2у + z = 3, 1.2х + у — 3z = 7.
14.	Решите системы уравнений:	
а) ( х2 + 2ху —4у2 —5х + 4 = 0, б) 1 х — у = 2; в) f х2 + ху=15,	г) 1 ху — х2 = 2; д) Г ху + х + у=11,	е) 1 х2у+ху2 = 300; ж) |4 + j = 5’	з> | -2 + -2 = 13 ; \ х2	уг и) (х + у = 2,	к) 1 х2 = 2у — 1; л) fx3 + f/3=16,	м) 1 ху = 4; *. 1 1 1 .* H*)	= -R- •	°) '	з г-	з I—	о л/х	\У 3/—	с ~^ху - 6;	[ 4х2 + 7у2=148, 1 Зх2-у2 = 11; f х2 + ху + 4у2 = 6, 1 Зх2 + 8у2= 11; f ху (х2 + у2) = 300, 1 ху + х2 + у2 = 37; Г Зх2 — ху + 4у2 = 14, ' 2х2 —ху + 2у2 = 8; ( х2 — 2ху — Зу2 = 0, 1 х2 + 2ху + у2 = 1; Г х2+ху+У2 = 7, 1 5х2 — 4ху + 2у2 = 5; 4 sin х — sin у — 2, 1 sin X — sin у = = .
364
15. Решите системы уравнений:
а) г 3X + 3V = 4,
I 3x+v = 3;
в) Г х2 + у2 = 80,
I log2x + log2t/ = 5;
Д) f log3(t/ — х)=0,
I х2 + у2 = 25;
ж) Г logo.6(x2 — у2}= 1,
I log2x —log2t/ = 2;
16. Решите уравнения:
a) -\]x2 — 5x+ 6 = x— 1;
в) x — д/х-|-2 = 4;
6) f lg (x2 + y2) = 2- lg2,
I lg(*+l/) + lg(* —t/)=lg48;
г) f 3х — 3y = 6,
I 3x+v + 3y_1 = 28;
e) г x —9y = 6,
I log2x + log2t/ = 3;
з) r 2|OE!!/ — log2x = 1,
I у log2x = 2.
6) Vl	24 = x—1;
r) 2-|-/2x-{-l -x — -5;
д) ~^2x+ + -Jx — 3 = 4.
17. Изобразите на координатной плоскости множества реше-
ний неравенств:
а) у — 2х> 2; б) у-\-2х> х2—1.
18. Изобразите на координатной плоскости множества ре-
шений систем неравенств:
а)	/	—	'X V+ 1 1 - 1 + ’ /A\V О о	б)	Г 2у-\-х2 — 2x^0, 1 Зу + х + 3>0;
в)	’ x2 + t/2<4, t/ + x>0, L х^ 0;	г)	f !/ — х^ 1, 1 у-[-2х> х2 + 2;
Д) [У>х,
1 х2 + у2 — 8х — бу <_ 11.
$ 112. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Решите уравнения:
a)	3x + 2V(jc-3) (5 + х) 1g (х2-8) = 0;
б)	^2 =
2.	Найдите значение параметра а, при котором прямая
2ах-^-Зу—1=0 образует с положительной полуосью абсцисс
угол 45°.
365
3.	Найдите значения а, при которых система имеет един-
ственное решение:
|	2х — ау = 3,
I — ах + 8у = — 6.
4.	Решите системы уравнений:
а) (х2+у2=13,	б) ( 3‘ • 2* = 324,
lxy = 6;	I log2(x —у)= 1.
5.	* Решите систему уравнений:
( х-\-у + 2г = 3,
< 2х — 2у-\-г = 2,
k5x+y + 7z = 11.
6. Изобразите на координатной плоскости множества решений
неравенств:
а) 2у — х<2; б) y-i-x2 <z2x + 1.
7. Изобразите на координатной плоскости множества решений
системы неравенств:
а) (У ~ х — 1 О, б) Гх2 + у2^9,
Ч у + х + 1 > О, Чу — х < О,
\х — 2 <2 0;	(х > 0;
в) ( 2у — х2 + 4х > 0,
I Зу - х - 3 < 0.
ГЛАВА XII.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Представьте в виде десятичной дроби ра-
1 о 6	34
циональные числа.; у ; —2 у ;	.
2.	Представьте в виде обыкновенной дроби рациональные
числа: 2,375; 0,(32); 0,45333	— 1,03(25).
3.	Докажите, что не рациональное число.
4.	Решите неравенства:
а) | 2х — 11 < 3; б) |4х + 1| > 5.
5.	Решите неравенства:
а) |х2 - Зх| < 2; б) |х - 1| + |х - 2| < 3.
6.	Найдите области определения функций:
в) у = Чх~1;	,	/ Г~
7.	Найдите области определения функций:
а)	у	=	-д/ 2х —	1 I	б) у =	Зх2 +	1 Ох — 5 ;
в)	у	=	log4(2x	—3)	—	log±x;	г) у = log0,5x +	log2(3x —	2);
Д) У	=	л/ 4х —	х3 +	lg (*2	— 1); е)	у = lg ;
ж)	У	=	— х In	х\	з) у =	х — i	+ 2 -д/ 3 —	х.
8.	На рисунках 344, 345 изображены графики функций, за-
данных соответственно на промежутках [0; 6], (— оо; оо).
Найдите аналитические задания этих функций.
9.	Задайте аналитически функцию, обратную данной функ-
ции: а) у = 2х; б) у = *-у3- ; в) у = х3; г) у = 2х.
10.	Исходя из определения, установите, какие из следующих
функций являются возрастающими, а какие — убывающими:
а) f (х) = х; б) g (х) = 2х; в) <р (х) = 5 — х; г) h (х) =
= — х2 + 4х.
367
Рис. 344
11.	Какая из следующих функций: а) у = 5; б) у = х; в) у =
= х2; г) у = [х]; д) у = sin 2х — является периодической? Най-
дите ее основной период.
12.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) f (х) = — х' + 6х; б) <р (х) = 2х — 1; в) g (х) =
= 2 sin 0,5 х.
13.	Постройте график функции у = log3 -—h log3 -у/х.
( Хх	х V
14.	Постройте график функции у = ^sin-у + cos-yj .
15.	Какое наименьшее число членов прогрессии 2; 5; 8; начи-
ная с первого, надо-взять, чтобы их сумма была больше 100?
16.	Найдите формулу, выражающую произведение членов гео-
метрической прогрессии U3-U5-u7-...-и2п+ i через ее первый член
и знаменатель.
17.	Докажите, что чистая периодическая дробь 0, (т) с одной
цифрой в периоде равна обыкновенной дроби .
18.	Сумма трех членов арифметической прогрессии равна 15,
а девятый ее член равен 26. Сколько надо взять членов этой
прогрессии, начиная с первого, чтобы их сумма была равна 155?
19.	Сколько членов геометрической прогрессии надо сложить,
начиная с первого, чтобы получить сумму 3069, если uj -|- и5 =
= 51, «2 + «6 = Ю2?
20.	Найдите такие значения и, при которых последователь-
ность т/ 5и + 4, -\/ 12и + 13 обращается в арифметическую
прогрессию.
21.	Сумма первых трех членов бесконечной убывающей гео-
метрической прогрессии на 1 больше ее суммы. Найдите эту прог-
рессию, если ее сумма равна 27.
22.	Точка движется по закону s (/) = 2/2 + 3/ + 1, где t —
время в секундах, $ (/) — путь в метрах. Найдите среднюю ско-
рость движения точки в течение первых пяти секунд.
23.	Число 27 разложите на три положительных слагаемых
так, чтобы одно слагаемое было в два раза меньше другого, а
произведение всех трех слагаемых было наибольшим.
24.	Найдите производные функций:
а) у = 2 т/х2 + 5х • Vх +	; б) у = (х4 + Зх2 — I)3;
368
в) У = (х + 1) -yfx* \
г) у = 1 sin ( Зх —
25.	Найдите уравнение касательной к кривой у = 1,5х2 —
— Зх -|- 1 в точке с абсциссой х = 2.
26.	Найдите промежутки возрастания и убывания и экстрему-
мы функций:
а)	Нх)= -4-х2 + 7х;	в> Ф W = х-±;
6)	£ (х) = х5 — 5х4 + ^х3 + 1; г) Л (х) = 2х2 — х4.
27.	Следующие функции исследуйте на экстремум:
а)/(х)=-^;	б)	f(x)	=	х2-е2';
В)	f (х) = 1 ~	;	Г)	f	(х)	=	(х	—	З)2 (х — 2)2;
Д) Нх)=-^£±{; е)
Ж) f (х) =	з)	f	(х)	=
28.	Найдите наибольшие и наименьшие значения функций
на заданных промежутках:
a)	f (х) = 2х3 - 9х2 + 12х, [0; 3];
б)	f	(х)	=	х3 - 6х2 + 9х, [0; 3];
в)	f	(х)	=	9х + Зх2 — х3, [ — 2; 2];
г)	f	(х)	=	2 cos х + 3 sin х, [о; -у ]	;
д)	f	(х)	=	2 cos х + sin 2х. [-;	2л] ;
е)	f (х) = 32 + '|£з2-— +	2- Ч-
29.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) f (х) = х3 - Зх2 + 2; б) <р (х) = 8 + 2х2 - х4;
В) g (х) = t +	;	г) Л (х) = —-—.
30.	Для функции f (х) = Зх2 найдите первообразную, график
которой проходит через точку (1; 2).
31.	Применяя правила нахождения первообразной, найдите
первообразные функций:
13 Алгебра и начала анализа	369
a)	f (x) = x - x2;
в) f (x) = sin 3x;
7
д> ,w= *757'
6)	f (x) = 3 sin x;
r) f (x) = -qzt + x;
e) f (x) = е2ж ~ 3.
32.	Исследуйте с помощью производной функции и постройте
их графики:
а)	f (х) = — х2 + Зх + 10;	б)Нх)=-уХ3-	4х;
в)	Их) = 1 + Зх - х3;	г) f (х) = х4 - 2х2	+ 3;
д) ж) и) л) 33. а)	Их) = 4х3 — Зх4;	е) f (х) =	; Их) =ТТ7-;	3) Их) =4х-4; Их) =	;	к) f (х) = X + 4-; Найдите первообразные для функций: f (х) = 4х3 — 1;	б) f (х) =	+ 2 sin Зх;	
в) д) 34. а) г)	/х=1пЗ-5х;	, г	з	г) Их) = х - — ; f(x) = х^х - -4-;	; sin х	е) f (х) = 2cos(3x — Вычислите интегралы: Л — л	V	I $ sin xdx;	б) $ cos xdx; в) $ х5 dx; — 2л	л	. -т	-< .	.	* / 9 1	1	1 -у X	Т-)
35.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (вы-
полните рисунки):
а)	У = х2 + 2; у = х + 4;
б)	у = — х2 + 4; у = 2 — х;
в)	У = V*; У = 4 + Ь5; х=1.
36.	Решите уравнения:
а)
б)
2х — 1 5х + 2 х — 3 . .
3	12	—	4	•" 1
4__________7	=	37	.
х + 2 х + 3 ~ х2 + 5х + 6 ’
Э70
в) I х + 11 - 2 = 0; г) | 2x + 3| + 1 = 0.
37.	Решите уравнения:
а)	3	— X‘^j 5 —	x	=	0;	б)	x + 1 = 2 — д/ x —	1;
в)	1	-	д/х - 2 =	x	-	1;	г)	д/х 4- 7 + V Зх -	2 =	0;
д)	х	=	8 + 2 д/х/	е)	х — 8 -у/~>Г= 9;
ж)	д/ (2х + 1) (9х + 5) — 2х = 1;
д/ х + 2 — д / х — 2~ х
3)	;------—г—=~ = ~г-
yj х + 2 + д/х - 2
систем
уравнений:
2,4х — у = 2
12х — 5у = 1
38. Какие из следующих
а) ( 0,5х — 1,2у = 2,9,
' х 4* Зу = — 5;
в) Г 6х + Зу = 9,
1 2х у = 3
имеют единственное решение; бесконечное множество решений;
не имеют решений?
39*. Решите системы уравнений:
а)
40.
а)
41.
б)
2х + Зу — 5г = 13,
х — у 4- 2г = — 3,
Зх 4~ 2у + 7г = 0;'
Зх — у -|- z - 3,
х — 5у -j- 2г = — 2,
4х — бу 4- 3f = 7.
Решите системы уравнений:
( хг U2
— 4- — = 18, б)
(ух	'
(х 4- у = 12;
Решите неравенства:
а) 12х — 4х2 — 9^0;
в)
42.
х — // + 2г — 4,
2х + Зу - г = 3,
5х + 5у = 10;
/ х -|- Зу = 4,
I Зху = 3.
б)
хг - 7х + 10	’
Решите систему неравенств:
2 + х х — 2
хг - 2х + 1
хг - 7х + 10
б)
Jx-Л + 19-2х < 2х
1 (х-1) + |.
Рис. 348
43.	На координатной плоскости изобразите множество реше-
ний неравенства:
а) у > 2х — 1; б) у + х2 < 3; в) у2 + х2 > 9.
44.	Запишите систему неравенств, решением которой служит
заштрихованная область координатной плоскости, изображенная
на рисунках 346—348.
45.	Выполните действия:
а)	(9 V-(25f) 7D + O’,-(4)^°:(36)’i+(V5)-1;
б)	~yJa~Tb~' • ат. Ьт • д/а~'Ьт.
46.	Найдите производные функций: а) у = х~ь; б) f (х) =
= хт; в) ft (х) = х,п2; г) g (х) = х~‘; д) <р (х) = sin д/Fx + 5.
47.	Найдите первообразную функции: a) f (х) = х3; б) <р (х) =
= х"^; в) g (х) = у хЛ г) ft (х) = х'"2.
2	32	I
48.	Вычислите интегралы: a) [x2dx\ б) J в) $ x^dx.
О	1 V*	о
49.	Решите неравенства: а) 2х-2 > 4; б) 32х + 3 < 1;
в) (тУ > (тУ; г) 3*+' + 3х < 108; д) 32х - 3х > 72.
50.	Найдите производные функций: a) f (х) = 2х + 3;
б) f (х) = е3-4х; в) f (х) = 3sinx; г) f (х) = (0,2)xsin Зх;
Д) f (*) = е~ 2x-cos 5х.
372
51.	Найдите первообразные функций: a) f (х) = 23х; б) f (х) =
= д/з57®7; в) f (х) = 4е2х; г) f (х) = — .
л/ё7
52.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у - 3х, у = 3-х и х = 4“-
и
53.	Найдите х, если:
a)	log3 х =	log3 18-----j- logs 8;
б)	log2 х =	2 logs 3	+	-у logs 9;
в)	log3 х =	2 logs 7	+	-|" lo&3 32 -Г loS3 196‘
54.	Решите уравнения:
a)	lg 5х + lg (х — 1) = 1; б) 1 ogx + , (2х2 + 1) = 2;
в) lg2x + 1g х2 = — 1;	г) 2 log3 (2х — 1) =
д)	x4l6X = Ю;	= loS3 (3 + О;
е)	lg (2х — 1) —2 = 2 1g 0,3.
55.	Какое заключение можно сделать относительно чисел /п
н п, если: a) logs пг < logs п\ б) logo.s т > logo.s п; в) logo.i т <
< logo.i п?
56.	Какое заключение можно сделать относительно основания
логарифма а, если:
a) logo3 = — 0,2; б) loga5<loga3; в) loga-|-> loga-|-?
57.	Вычислите производные функций:
а) у = logsx; б) f (х) = 31п5х; в) <р(х) = 1g (3 — 4х).
2	I
58.	Вычислите интегралы: а) j -у- ; б) ] 3 + 2<-.
59.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у =
= —, у = 0, х = 1 и х = е.
х ’ а
60.	Упростите выражения:
а)	_ ctg3 a + tg2 P; 6) (sl"' + CO5')2 ~.
'	: sin2 a cos2 p 6	' ь. r / ctg t — sin t cos t
61.	Докажите тождества:
a)	(sin a + sin p) (sin a — sin p) + (cos a + cos p) X
X (cos a — cos P) = 0;
6)	(1 - ctg a)2 + (1 + ctg a)2 = -Гт— .
373
62.	Какие из функций четные, а какие нечетные: a) sin3 х;
б)	cos 2х; в) —-—; г) sin х -|—^-?
' COS X '	’ COS X
63.	Докажите тождества:
я\	sin (а + 3)	- 2 sin a cos 3 _ .	.
)	2 sin a sin 3	+ cos (а + Р) 1»	IP	' >
бч	tg a + tg 3 tg a - tg р _ 9
’ tg (a + p) “r tg (a - p)
64.	Найдите производные функций:
a) f (*) = 0,4 sin 5x;	6) q> (x) = cos 2x 4- -\^3?
в) g (x) = sin Зх-cos 0,5 x; r) h (x) = JBCps4^ •
65.	Проверьте, является ли функция у = 3 cos (2х-----
решением дифференциального уравнения у" = — 4у.
66.	Решите уравнения:
а)	2 sin х — 1 = 0; б) 2 cos2 х + cos х — 1 = 0;
в)	tg2x = 2 tg х; г) 6 sin2 — 3 sin х cos х — cos2 х = 1;
д)	sin х + -\j~3cos х = 1.
67.	Решите уравнения:
a)	cos х — cos (л — 2х) = 0;
б)	cos х — sin (1,5 л + 2х) = — Г,
в)	sin 2х — 4(1 + cos 2х) — 0;
г)	2 cos2x — 3 sin х = 0;
д)	sin2 х = 1 — sin 2х;
е)	2 cos2x — 2 sin 2х + 1 = 0;
ж)	4 sin х — 2 cos 2х = 1;
з)	sin2x + -|-sin 2х = 1;
и)	5 sin2x -|- sin 2х + cos2x = 4;
к)	2 cos2x — sin х = 1.
68.	Решите системы уравнений:
б)
у
х + 1
1 — х2 = у.
374
в)
= 6,
у — 1
2у — ху = 4;
х + 1
{ху —
 3
У — 2 _ |.
х	1
ж) ( х2 - 2ху — Зу2 = О,
I х2 — ху — 2х — Зу = 6;
и) f х2 — ху + у2 = 21,
I у2 — 2ху + 15 = 0;
л) I -\[х — -\[у = — 1,
[ V*F = 6;
у - 2 _ 1
5 ’
Зх = 1;
1
3 '
х + 3 __ । _
У ~ '
3)	J2L_ JL= 5
< У х 6
1х2 — у2 = 5;
к) | 2у2 — 4ху + Зх2
. 1 1	1
м)---------------= —
' ~'Гх	-yfy	6
ху = 36.
= 17,
69. Решите уравнения:
a)	log2 (21 — <Г) — log2 С/Т— 3) = 1;
б)	log2 (2х + 3) — log2 х = log2x;
в)	logs (х2 — 8) = log3 (х — 2);
г)	log2 (4 — х) + log2 (1 — 2х) =2 log2 3;
д) X,g3x + 5,gx = 10l2lg'x:
70. Решите уравнения:
а) 5-52-4х = 25х+ 3;
в) 81 г- 3	2 = 0;
д) 3х+ ’ + 3х = 108;
б) 32 + 6х = 3-92х“’;
г) 4х-2 — 17-2х“4 -
е) xlgx = 100.
1 = 0;
71. Решите системы уравнений:
а)	( 1g (х + у) + 1g (х — у) = 1 + 21g2,
I 10i + 1в (х - у) = 40.
б)	1 ю’ + ""х + !,) = 60,
11g (х — у) + 1g (х + у) = 1 + 1g 3;
в)	f log3 х2 = 2,
I loga х — log3y = 1.
72. Решите системы уравнений:
а)	f 1g х + 1g У = 4,
(xlg!/ = 1000;
в) J ху = 40,
lxlgg = 4;
б)	J 1g х — Igy = 4,
I х’е!/ = 1000;
г) f 32х - 2У = 725,
I 3х - 2^ = 25.
375
73.	Решите неравенства:
a)	cos 2х > — -у- ;
б)	sin Зх	;
в)	cos -у cos х + sin -у sm х ;
г)	sin л cos х — cos л sin х -------у;
д)	2 cos (2х----у) + 1 > 0.
74.	Решите неравенства:
a)	log« (1 — 4х)	>	—	1;	б)	log0,2 (15 — 2х)	>	—	1;
в)	logo,в (6 + 5х) < — 2;	г)	logie	(0,6 + 2х)	>	—	0,25;
д)	log2 (4 - Зх)	<	-	1;	е)	log;j	(_^+-3)- >	0;
ж)	7,ов7 (4 -9ж) <	49.	з)	(0.4)2	> 0,4'ое”(3-2х);
И) log, (х + 2) > 2; к) 32х+5 < Зх+2 + 2;
л) log2»_ 6 (х2 — 9) < 2; м) (logi х)2 -|- logi х — 2	0.
т	т
75.	На координатной плоскости изобразите множество реше-
ний системы неравенств:
а)
в)
д)
+ х 1
у + х2 < 2х — 2;
у + х2 < О,
У — 2х + 3	0,
У + 1 < 0;
Г Зх + 2у + 1 < О,
2х — у + 4 > О,
(У > -2.
б) ( х2 + у2 + 6х — 4у < 3,
I у х;
г) ( Зх — 2у + 4 <• О,
J 2х + у - 1 > О,
I У < 4;
76.	ABCD — квадрат, длина стороны которого равна а.
[ЛЛ4) — луч с началом в точке А, пересекающий сторону DC
или ВС, образует с лучом (AD) угол ф. Найдите выражение 5(ф)
площади фигуры, отсекаемой лучом от квадрата, как функцию
переменной ф.
77.	Найдите наибольший объем правильной треугольной
пирамиды, апофема которой равна 2д/з дм.
78.	Найдите наибольший объем правильной треугольной пира-
миды, периметр боковой грани которой равен 6 дм.
79.	Основанием призмы служит равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник. Наибольшая диагональ боковой грани призмы
равна 2-\/з дм. Найдите наибольший объем призмы.
376
80.	Найдите наибольшую площадь боковой поверхности
правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна
-^2 м.
81.	Найдите наибольший объем правильной четырехугольной
призмы, периметр диагонального сечения которой равен 6 дм.
82.	Найдите длину образующей конуса наибольшего объема,
если сумма длин его высоты и радиуса основания равна 3 дм.
83.	В цилиндре расстояние от центра нижнего основания до
точки окружности верхнего основания равно ~\[2 м. Какова
должна быть высота цилиндра, чтобы площадь его боковой
поверхности была наибольшей?
84.	Периметр осевого сечения конуса равен 10 м. Каков дол-
жен быть радиус основания конуса, чтобы его объем был наи-
большим?
85.	Периметр осевого сечения цилиндра равен 8, а длина
диаметра основания может принимать любые значения, при-
надлежащие промежутку [1; 3]. Найдите площадь боковой по-
верхности цилиндра, имеющего наибольшую площадь осевого
сечения.
Ниже приведены примерные контрольные работы по курсу.
Вариант 1
, у*	cos’a	1—sin a	,,
1. Докажите тождество -----------— = -----------. Укажите
2 cos a + sin 2a	2
множество, на котором данное равенство не является тождеством.
Решение.
cos3a _____	cos’a	__ cos’a __________
2 cos a + sin 2 a 2 cos a + 2 sin a cos a \	2 cos a (1 + sin a)
__ cos* 2a ____	1 — sin2a _ (1 — sin a)(l + sin a) _ 1 — sin a
2 (1 -f- sin a) 2 (1 -f- sin a)	2 (1 4- sin a)	2
Данное равенство не является тождеством на множестве, на
котором 2 cos a -|- sin 2a = 0, cos a (1 -|- sin a) = 0.
a) cos a = 0, a = у + лп, n e Z;
б) 1 -|- sin a = 0, sin a = — 1, a =-----+ 2л1г, k ее Z.
Множество чисел-----у + 2лй, k е Z, является подмножест-
вом первого множества.
Ответ. Данное равенство не является тождеством на множе-
Л I	_ г»
стве чисел у + лп, п е Z.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
Ф (х) = х in (х — 2) в точке хо = 3.
377
Решение.
У — Уо = ф' (*о) (х — хо). уо = 3 In 1 =0.
<р' (х) = (х)' 1п (х — 2) + х (In (х — 2))' =
= !п (х - 2) + х = in (х - 2) + ^-2.
ф' (3) = In 1 + 3 = 3.
у — 0 = 3 (х — 3), у — Зх — 9.
Ответ, у = Зх — 9.
Примечание. Можно пользоваться уравнением прямой
у = kx + b с последующим нахождением соответствующих коэф-
фициентов: k = <р' (хо), ф' (3) = 3, у — Зх + Ь, хп = 3, у0 = 0.
Точка касания принадлежит прямой. О = 3-3 + b, b = —9,
у = Зх — 9 — уравнение касательной.
3.	Найдите для функции f (х) = 2х — 2х-1 + 2 первообразную
F, график которой проходит через заданную точку М (—1; 1).
9
Р е ш е н и е. f (х) = 2х-— + 2.
Если х < 0, множество всех первообразных у имеет вид
1п( — х) + С. Множество всех первообразных данной функции
имеет вид:
F (х) = х2 - 2 In (-х) + 2х + С.
График искомой первообразной проходит через заданную точку,
следовательно, F(—1) = 1.
1 = 1 — 2 In 1 — 2 + С, С = 2.
F (х) = х2 - 2 1п ( —х) + 2х + 2.
Ответ. F (х) = х2 — 2 In ( —х) 2х + 2.
4.	Решите неравенство 1о*
х______________________________________________9
Решение. Рассмотрим функцию f (х) = [р .
Найдем область определения функции.
D (loga) = R + , поэтому X — 6 > О, X > 6.
Деление на нуль не определено, поэтому logs (х —6) #= 0, х —6=/=1.
х#=7.
Найдем нули функции.
х — 9 = 0, х = 9.
Используя метод интервалов, найдем значения х, при которых
Нх)> 0.
378
Если х > 9, то f (х) > 0, если 7 < х < 9, то f (х) < 0; если
6 < х < 7, то f (х) >• 0.
Ответ. (6; 7) U (9; оо).
Вариаит2
1.	Решите уравнение ^/3 sin2x + 0,5 sin (л + 2х) = 0.
Решение.
л/3 sin2x — 0,5 sin 2х = О,
у/3 sin2x — sin х cos х = 0,	(1)
sin х (д/3 sin х — cos X) = 0.
Произведение двух множителей в данном случае равно нулю, если
хотя бы один из них равен нулю.
a)	sin х = 0, х = лп, п е Z;
б)	-\/3 sin х — cos х = 0. Это — однородное уравнение первой
степени. В этом уравнении cos х #= 0, так как в противном случае
получим sin х = 0, но синус и косинус одновременно не могут быть
равны нулю. Разделив обе части этого уравнения на cos х, получим
равносильное ему уравнение.
у/З tg х — 1 =0, у/З tg х = 1, tg4x = —, х = -тг + л/г, k е Z.
т/З	°
Ответ, яп, /г е Z; у + як, k е Z.
Другие способы оформления записи решения:
1. В уравнении (1) cos х =/= 0. Обе части его можно разделить
иа cos2x. Получим равносильное ему уравнение-^3 tg2x — tgx = O.
Г~	л/з	1
2. -уЗ sin х — cos х = 0, -у sin х-cos х = 0,
sin х cos — cos х sin =: 0, sin ( х --£-) = 0, х----= як,
о	о	\ о /	о
х = у + як, k е Z. Этот способ решения лучше тем, что не при-
ходится писать словесных пояснений, так как нет деления на выра-
жение, содержащее неизвестное.
о г»	0,5	.
2. Решите неравенство	—-> 4.
Решение 2“' 2~	> 22, 2~ '^+1 > 22.
Функция у = 2' возрастающая. Большее значение функции
соответствует большему значению аргумента, следовательно,
2
— 1,5х + 1 > 2, — 1,5х > 1, х <------- .
о
379
_	(	2\
Ответ. ( — оо;-------.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х2 +
+ 4x4-2 и у = х + 2. (Рисунок выполните самостоятельно. Обо-
значьте через DBCO криволинейную трапецию, ограниченную
прямой, а через DBACO — криволинейную трапецию, ограничен-
ную параболой. Точки D, А, О принадлежат оси абсцисс.)
Решение. График функции у = 2х2 + 4х + 2 — парабола.
у = 2(х2 + 2х + 1), у = 2 (х + I)2.
График функции у = х + 2 есть прямая.
$АВС = Зовсо — SDBACO •
Найдем пределы интегрирования.
2х2 + 4х + 2 = х + 2, 2х2 + Зх = О, х (2х + 3) = О,
Xi — 0, х2 — — 1,5.
С _____ ОС + ВО , ЛП
&DBCO —	2 и и.
OD = 1,5, ОС = 2, BD = -1,5 + 2 = 0,5.
с ______ 2 + 0,5 , с _ ,7
Одасо-------2-1,0 — * -§- •
SDbaco =1152(х+	= 2-Ц^[|5 = 4(1 +4) =|.
<?	_ । 7   з _ . 1
ЬАВС “ 1 "ц	Т — * 8 •
л	1 1
Ответ. 1 v
О
4. Решите систему уравнений
г х + 2у2 = 3,
I 2 log2(y + 1) = 2 + log2x.
Решение.
| х + 2у2 = 3,	( х + 2у2 = 3,
I 2 log2 (у + 1) = 2 + log2x; I log2 (у + I)2 = log2 (4х);
( х + 2у2 = 3,	( х = 3 - 2у2,
I (у + I)2 = 4х;	I (у + I)2 = 4 (3 — 2у2);
( х = 3 - 2у2,
I 9у2 + 2у - 11 = 0;
4 = 1 + 99 = 100, у =
ЭВО
У\ = 1.
х = 3 — 2у\	{ х --- 1,
«/=1;	4=1.
,2	,
у = — 1 у не удовлетворяет условию у > —1.
Проверка. 1 -|- 2-12 = 3 — верное равенство;
2 log22 = 2 + log2l; 2 = 2 — верное равенство.
Ответ. (1; 1).
ВариантЗ
1.	Упростите выражение	t
2.	Решите уравнение sin2x + sin (л + 2х) = sin л.
3.	Решите систему уравнений
5Х-25У = 0,2,
2'-s г-
-— = л/8.
2»
4.	Найдите промежутки возрастания функции у = 4х (2х2 — 3) —
— 7 (Зх2 — 2).
5.	Найдие площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2 -|- 2х +1,
У = (х- З)2, у = 0.
В ариант 4
1.	Решите уравнение log3(3 —х) + logs (4 —х) = 1 + 21oga2.
2.	Решите систему уравнений
{8х- 2У = 0,5.
За+5 = J
3 х ~
3.	Упростите выражение etg 5°	•
4.	Найдите промежутки возрастания функции у = -у/х —	.
9—х^
5.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = —у и
у = —х2 + х + 6.
Ва ри ант 5
1.	Упростите выражение 2	°’5 ~ •
2.	Решите уравнение cos (2л — х) + cos 2х = cos 5л.
381
3.	Решите систему уравнений
(2Х-8У = 0,5,
=д/5.
5'-’ v
4.	Найдите промежутки убывания функции у = 11 (х;
— 2х (х2 + 6).
5.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у =
у = х2 — 8x4*16, у=0.
~ 1)-
(X 4* 2)2,
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
1. Обозначения, принятые в учебном пособии
N — множество всех натуральных чисел;
Z — множество всех целых чисел;
Q— множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел;
R+ — множество положительных действительных
чисел;
[а; &]—замкнутый промежуток (отрезок), а < Ь;
(а; Ь)— открытый промежуток (интервал), а < Ь;
(а; 6], [а; Ь) — полуоткрытые промежутки, а < Ь;
(—оо ; +оо) — числовая прямая (множество всех дейст-
вительных чисел);
[а; оо); (а; оо);
(—оо;а];(—оо ; а)—числовые лучи (полупрямые);
Ох — ось абсцисс;
Оу — ось ординат;
(а; Ь~) — упорядоченная пара чисел; координаты
точки, принадлежащей координатной плос-
кости;
М (х; у) — точка М с координатами х и у,
е — знак принадлежности элемента множеству;
neN — число п принадлежит множеству натураль-
ных чисел N;
— знак непринадлежности элемента множеству;
a^N — число а не принадлежит множеству нату-
ральных чисел N;
с — знак включения подмножества в данное
множество;
NcZ — множество натуральных чисел есть подмно-
жество множества целых чисел;
П — знак пересечения множеств;
U — знак объединения множеств;
f(x), <р (х), -ф (х), g(x) и т. л.— обозначения функций;
f(xo)— значение функции f(x) в точке Хо;
D(f)— область определения функции f (х);
Е (f) — множество значений функции f (х);
[х] — целая часть числа х;
383
[х] — дробная часть числа х;
I х | — модуль (абсолютная величина) числа х;
lim хп = а — число а есть предел последовательности;
х -► а — переменная х стремится к числу а;
Нт/(х) = й— число b есть предел функции f(x) при х,
х^а	стремящемся к а;
Дх — приращение аргумента;
Д/(х) — приращение функции;
f' (х) — производная функция от функции f (х);
f' (хо) — значение производной функции f (х) в точке Хо;
е — основание натуральных логарифмов;
е = 2,71828... ; (ех)' = ех;
л — отношение длины окружности к ее диаметру;
л = 3,14159... ;
1п х — логарифмическая функция с основанием е;
ь
$ f(x)dx — интеграл функции f (х) в пределах от а до Ь;
а
а\ АВ — обозначения вектора.
2.	Законы арифметических действий
Переместительный: а + b = b + а (сложения); ab = Ьа
(умножения);
Сочетательный: а + (й + с) = (а + Ь) с (сложения);
а(Ьс) = (ай) с (умножения).
Распределительный закон умножения относительно сложения:
а(Ь + с) = ab + Ьс.
3.	Тождества сокращенного умножения
а2 —	й2 = (а — й)(а + й)	— разность квадратов;
а3 +	й3 = (а + й)(а2 — ай	+ й2)	— сумма кубов;
а3 —	й3 = (а — й)(а2 -|- ай	+ й2)	— разность кубов;
(а ±	й)2 = а2 ± 2ай + й2	— квадрат двучлена;
(а ±	й)3 = а3 ± За2й + Зай2 ± й3	— куб двучлена.
4.	Линейное уравнение с одной переменной ах = й
а)	а #= 0, х = —;
7	а
б)	а = 0, й =/= 0, решений нет.
в)	а = 0, й = 0, х — любое действительное число.
5.	Квадратное уравнение ах2 + йх + с = О, а =/= О
D = х2 — 4ас > О,
— Ь ± -y/b2 — 4ас
Х1.г =
D = й2 — 4ас = О,
Xi = Х2 =
ь
2а ’
384
D = b2 — 4ac < 0, действительных решений нет.
Теорема Виета:
если D 0, то *1 + хг =--------—; xi • хг = — .
1	а	а
6.	Разложение квадратного трехчлена на множители
ах2 + Ьх + с = а (х — xi) (х — Хг).
7.	Система двух линейных уравнений с двумя переменными
fatx + bty = ci,
I агх + b2y = Ci
I I	I Cifti ।	। aid I
A I	а?Ьг I	= d\b2 Cl2bi,	Ax = | сгЬг I	I Ay = I a2C} |	.
, ,	Дх	Д,
a)	A^O, x = —,y = —;
6)	A = 0, Ax =/= 0 или A = 0, Ay #= 0, решений нет;
в)	A = 0, Ax = 0, Ay = 0 и хотя бы один из коэффициентов
при неизвестных отличен от нуля, бесконечное множество решений.
8.	Степени
ап = а • а • а • ... • a, neN, п =/= 1;
п множителей
а1 = а;
а° = 1, а =/= 0;
а~п =-V • а =/= 0. neN;
а" = "д/а"" , а> 0, meZ, neN.
Свойства степеней:
атап = ат+п;
ат : а" = ат ~п, а =/= 0;
(а"1)" = атп;
(ab)n = апЬп;
9.	Логарифмы
а108'* = Ь, а > 0, а =#= 1, b > 0;
logc (аЬ\ = logc а + logc b, а > 0, b > 0, с > 0, с =/= 1;
logc(-y-) = logc а — logc 6, а > 0, b > 0, с > 0, с =/= 1;
logc а* = k logcQ, а > 0, с > 0, с =/= 1;
385
logc л/а =togca, a> 0, neN, c > 0, с Ф 1;
loga b =	. t a > 0, b > 0, c > 0, a =#= 1, c =#= 1.
10.	Геометрическая прогрессия
(fei; bi\ Ьз\ ... ; bn), neN.
bn = bi • qn ~ *, bi 0, q =#= 0.
11.	Арифметическая прогрессия
(ai; аг; аз; ... ; an), neN.
an = a( + d(n — 1).
ai + a, c 2ai +</(л— 1)
—	2	'	—	2
12.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
(bl-, biq; biq2; biq3; ... ; fci?'1-1; ...), nsN, | q | < 1, bi Ф 0.
&„ = 61/-'; 8 = -^-.
13.	Степенная функция f(x) = xa
a)	aeN; D (f) = (— oo; oo);
6)	a — целое отрицательное число либо a = 0;
D(f) = (-oo; 0)U(0; +oo);
в)	a — положительная несократимая дробь либо положитель-
ное иррациональное число;
D(D = [0; оо);
г)	a — отрицательная несократимая дробь либо иррациональ-
ное отрицательное число;
D(f) = (0; оо).
14.	Показательная функция f (х) = ах, a > 0, D(J) = R.
15.	Логарифмическая функция f (х) = logax, а > 0, a =#= 1,
D(f) = (0; оо).
16.	Длина С окружности радиуса R (диаметра D).
С = 2л/?; С = лО.
17.	Длина I дуги окружности в а радиан.
I = aR (R — радиус дуги).
18.	Площадь S круга радиуса R (диаметра D).
S = л/?2; S =
386
19.	Площадь S сектора, дуга которого равна а радиан.
S =	- (R — радиус дуги).
20.	Область определения и множество значений тригонометри-
ских функций:
	Функция			
	sin х	cos x	tg x	ctg X
D(f)	R	R	x Ф + irn, neZ	X Ф irn, n e Z
E(f)	[-1; И	[-1; И	R	R
21.	Знаки значений тригонометрических функций:
Четверть	Функция			
	sin x	cos x	tg*	ctg X
I	+	+	+	+
II	+			—	—
III				+	+
IV	—	+	—	—
22.	Значения тригонометрических функций при некоторых зна-
ниях аргумента:
Функция	Аргумент							
	0	я ~6	Я 4	Я 3	Я 2	я	Зя 2	2 я
sin a	0	2	V2 2	ч/з 2	1	0	-1	0
cos a	1	ч/З 2	ч/2 2	1 2	0	-1	0	1
tg a	0	1 ч/З	1	ч/з	-	0	-	0
ctg a	-	у/З	1	1 у/З	0	-	0	-
Э87
23. Простейшие тригонометрические уравнения:
Уравнение	Формула решения	Примечание
sin x = a	x = (— 1)" arcsin a + tin	arcsin (— a) = — arcsin a, |я|< 1, я e Z
cos x = a	x = + arccos a + 2яя	arccos (— a) = я — arccos a, I a | < 1, я e Z
tg x—a	x = arctg a + 7ГЯ	arctg (— a) = — arctg a, a e R, я e Z
etg x = a	x = arcctg в + Яя	arcctg (— a) = тг — arcctg a, a e R, n e Z
24. Зависимости между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента:
sin а	. я .	~
tg а =-------,- а + лп, ne Z;
® cos а	2 1	’	’
.	cose	,	—
etg а — —.--, а пп, n.^Z;
°	sin а	*
sin2 а + cos2 а = 1, aeR;
tga • etg а =1, а =/=	, neZ;
1 + tg2 а = —, а =/= Д-+ лп, neZ;
cos' а	2
1 + etg2 а = -Д—, а =И= лп, neZ.
sin' «
25. Формулы сложения для тригонометрических функций:
sin (а + 0) = sin a cos 0 + cos a sin 0,
sin (а — 0) = sin a cos 0 — cos a sin 0;
cos (a + 0) = cos a cos 0 — sin a sin 0;
cos (a — 0) = cos a cos 0 + sin a sin 0;
tg(a + 0)= i^g^tgT’ а^Т + лП’ ₽^т + лм’
a + 0	Д—h лп, zigZ;
tg(a — 0) =	а¥=-^-+лп, 0 Ф ± + лп,
a — 0 =/= -^- + лп, neZ.
388
26. Формулы приведения:
Функция	Аргумент						
	Я 2	“	Я - + a	n — a	n + a	3it 2	“	3" , -T +a	2я — a
sin a	cos a	cos a	sin a	—sin a	—cos a	— cos a	—sin a
cos a	sin a	—sin a	—cos a	—cos a	—sin a	sin a	cos a
tg a	ctg a	-ctg a	-tg a	tg a	ctg a	-ctg a	-tga
ctg a	tga	-tga	-ctg a	ctg a	tg a	-tga	-ctg a
27. Тригонометрические функции двойного аргумента:
sin 2а = 2 sin а cos а;
cos 2а = cos1 2 а — sin2 а;
2 tg а	, л . л	, л .	~
tg2a = -—, а ф -т- + -у п, а =/= V + лп’ rteZ-
1 — lg а	*	*	*
28.	Тригонометрические функции половинного аргумента:
I . al _. / 1 — cos a I _______al _. / 1 + cos a
I sinT I = V---------2-: .1 COST I = V--------2---;
I , al _/ 1 — cos a I  al _. I 1 + cos a
I ‘gjl = V 1 + co~; I CM = V l-cosa;
,	a   1 — cos a .	. a   sin a	.
2	sin a	’	C “ 2	1 — cos a	*
,	a ___ sin a	t , a ____ 1 + cos a
g 2	1 + cos a * C 2	sin a
29.	Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента:
2tgT
sinx ----------, х =/= л + 2лп, neZ;
1 + ‘g’y
l-tg*y
cosx =---------, x л + 2лп, neZ;
2‘gy	„
tgx =---------—, x =/= -5- -|- лп, x ф л + 2лп, neZ;
1 -tfy
ctg x  -------—, x =/= лп, neZ.
389
30.	Формулы суммы и разности синусов и косинусов:
i „	п . а + р а — Р
sin а +	sm р	=	2 sin —cos —g—	;
n * а — Р а + в	.
sin а —	sin р	=	2 sin —cos —'•
. о	n а + р а — р
cos а + cos р = 2 cos—j— cos —%— I
„ п . а + р. а — р
cos а — cos р = — 2 sin —sin —g-2-.
31.	Формулы понижения степени тригонометрических функ-
ций:
о 1 + cos 2а .о 1 — cos 2а
cos а =-----g----; sin а =-----?----•
32.	Формулы преобразования произведения тригонометри-
ческих функций в сумму:
sin a sin р = (cos (а — р) — cos (а ф- Р));
cos a cos Р = -g- (cos (а — р) + cos (а + р));
sin а cos р = — (sin (а + Р) + sin (а — Р)).
33.	Формулы дифференцирования функций:
Функция	Производная
у = с	с' = 0
У = *	х'= 1
у = ха, а=£ 1	(ха)'= аха~ 1
у = sin х	(sin *)' =cos х
у = cos X	(cos х)' = — sin х
У =tg х	(tg x)‘ = —— ' b	cos2»
у = ctg х	(ctg ж) - sin ЭС
у=ах	(ax)' = axlna
у = ех	(«?*)' = ex
у = In X	(in ж)' = ±
У =loga*	,,	V	1 (log^a:) = —	• “	x In я
390
Продолжение
Функция	Производная
у = си, с = const	(си)' = си'
у = и ± V	1+ Q II » 1+
у — UV	(uv)' = u'v 4- uv'
у — — , v=f= 0 V	/ и ч» ___ u’v — v'u ' v >	v*
У =f('P (*))	(/(«P (*)))’ =f'(4> (*)) </>'(*)
34. Первообразные:
Функция	Первообразная
у = xa, a =# — 1	va +1 —+ c a + 1
у = k, k = const	kx + C
у - sin x	— cos x + C
У = COS X	sin x 4- C
1 у =	 cos’x	tg x + C
1 5/= - a- sinax	-ctg x 4- C
1 у = — Л	X	In |x| 4- C
y=ex	ex+ C
y = ax	ax t— + c In a
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава I
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1
3. а) Нет; б) да; в) да. 4. а) Нет; в) да. 5. а) 0,85; б) —0,32; в) 2,(36); г) 5,45.
„ , 1	23	,	_ 4	,„ 223 „ , 2 „	46
в- а) Т; б) -90-= в) “7^T;r)7W7-a)T; б) 10-9Г= в) 10: г) 2Л
8. а) Сложение, умножение; б) сложение, умножение, вычитание; в) сложение,
умножение, вычитание, деление (кроме деления на нуль).
§ 2
3. ^7 ; 7; 0; 4; 0,(8); 5,7(3) — рациональные числа; -^7; — -^2;
2,13113111311113...— иррациональные числа. 5. Решение. Предположим,
что -^3 — рациональное число, т. е. -^/з =где —несократимая дробь.
Тогда 3 = Дг или 3<у2 — р2. Число 3<?2 кратно трем, значит, р2 кратно трем, что
<7
возможно, если р = Зл, но тогда 3q2 = (3n)2, q2 = Зп2, т. е. q = 3m. Дробь — со-
Я
кратима на три, это противоречит предположению, уЗ не есть рациональное
число. 8. 0, (6).
§ 3
2. а) 3,21; 3,22; б) 0,66; 0,67; в) 2,64; 2,65; г) 7,86; д) —2,16; —2,15.
6. а) х + у х 3,94; х • у as 1,52. 7. л/з + -тД « 3,96; л/з • -тД « 3,87.
9. а) Нет; б) нет; в) да.
§4
2. а) 0,122; б) «13,16; в) 16,9; г) 334. 3. а)-б) -200; в) 30; г) 9-J||-.
4< а) 1; б)—0,5; в) 4; г) 3 (а + 2). 5. -i-. 6. а) Зал/а; б) 0; в) 0.
§ 5
2. «1,8. 3. а2 - 2. 5. «2,70; 1,59.
Глава II
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 6
2.	б) .3. а) -4; б) 3; в) 7; г) 11.4. а) -1; б) 3. 5. а) 4; б) 10,4; в) 2. 6. а) 12;
б) — 11; в) нет решений; г) 3; д) 4; 2,5; е) —3; —2; 2; ж) 1; —0,5; з) нет решений.
§ 7
3.	а) (5; +«); б) (- оо; 3); в) (-оо; -7]; г) [0; + оо); д) (-3; 7]; е) [0; 4];
ж) [ — 2; 4]. 5. а) [3; + оо); б) ( — 5; +°о); в) [—1; +°°); г) ( — 8; +оо);
д) [ — 3; + оо); е) ( — оо; 0]. 6. Указание. Из неравенства (-у/а — -yfbf 2г 0
392
следует, что а — 2 -y[ab + 6^0, откуда ° -y[ab . 1. Указание.
Воспользуйтесь верным неравенством (а — I)2 4- (6 — I)2 4- (с — I)2 > 0, тогда
а2 —2а+1+ ft2 —26 4-1+с2 —2с+1 >0, откуда а24-624-с24-3 > 2(а-|-Ь4-с).
§ 8
4.	а) -3; 0; б) 0; 16; в) -2; 2; г) 0; 5. 5. а) 2; 3; б) -5; у; в) 2; 6; г) - 1; 0,4.
6. —5. 7. а) х2 - 2х — 15 = 0; б) х2 4- 2х - 15 = 0; в) х2 4- 8х 4- 15 = 0;
Г) х2 - 8х 4- 15 = 0. 9. а) 2*	; б) ^-22. 10. (х - а - Ь)(х - а + 6).
5 9
(25	23 X
------------—; - --J ; б) нет решений; в) бесконечно много решений
вида (51 — 1; t), где (ей. в. а) (2- '.у) ; б) (|-; о) ; в) (1; 3/ 4- 2), где t е R.
7. а) (-2; -1), (- 2 ; -4) ; б) (3; 0), (-1,8; 2,4); в) (2; 0).
§ Ю
3. а) ( — 2,5; 3); б) нет решений; в) нет решений; г) (2,2; 4- °°); Д) 1; е) ( —6; 3);
ж) нет решений. 4. а) ( — оо; —1,5); б) {— оо; 0,5)0 (3; 4- 00); в) (з; у) ; г) {— оо;
— 7)0(2; 4- оо); д) (— оо; 1); е) ( — 7; 7); ж) {— оо; —7)0(7; 4- °°): з) нет решений;
и) (— оо; — 3]0(13; 4- оо); к) (— оо; 0]; л) [3; оо). 6. а) {— оо; — -у/з )0С^З; 4- °°);
б) [-1; I]; в) (0; 2); г), (-оо; -3)0(-3; 4-оо); д) (-1; 3);
е) (-оо; —4)0(3; 4-0°); ж) (—оо; 3)0(3; 4-о°); з) нет решений.
7. а) (-оо; -5)0(0; 1); б) [-1,5; 4); в) (-оо; - 5|0[0; 4-оо);
г) (-оо; — 8)0( —4; -3)0{-2; 4-°°): Д) 0 и (1; 4-00); е) (-5; 0)0(2,5; 4-оо).
§ П
1. а) 3; б) 6; в) 6; г) 1; д) 2 4- 2-J2; е) нет решений; ж) 6,3;
а2 — Ьг	2
з) ---2^----• а =/= 5, а #= 0; при а = 0, 6 =# 0 нет решений; и) —2,-—.
2- а) 0; 2; б) —4; 4; в) 2; 7; г) 5; д) 1, 2; е) нет решений; ж) 2;
0	3
з) !,где!еР, 1 #= ± 1.3.а) -4;6;б)2;в) - 1; 2; 3; 6. 4. а) -1; -6;б)2-;2;
0	3 3
в) 5;	0; г)	-12;	36; д) у; -2;	е) 0; -4. 5. а) х2 - 4х	4-3 =	0;
б)	х2	4- 7х 4-	10 =	0; в) 4х2 - 1 = 0; г)	х2 4- 5х = 0; д) 5х2 - 17х	4- 6 =	0.
7.	а)	36; б)	1. 8.	1; 2; 3. 9. а) * f ; б) — $*—-9- ; в)	* ~ '	.
х + I	Зх — 5	х
10.	а) (-2,5; 4-оо); б) (-1, 4-оо); в) {-оо; 3]; г) (-оо; 2 ] . 11. а) [4; 7];
б) (—оо; 9)0(9; 4-°°): в) нет решений; г) (—оо; оо). 12. а) [ — 2; 8];
б) (-00; -15]0[8; 4-оо); в) (2; 4-°°) ; г) (1,5; 4-<»)- 14. а) (4; 1); б) (23; 15);
в) 0; г) (2(71 4- 21); /), leR. 15. а) (-2; 4); (3; 9); б) (-1; 2); (2; -1);
В) (3; 1); (у; 2)  г) (5; -2); (-7; 2,8). 16. а) (-5; 3)0(4; 4-~)1
393
б) (-оо; -3); 4; в) (-оо; у) U (2; + оо); г) (-2; -1)U(1; 2);
Д) (-«>; 1)11(3; +оо); е) (-оо; -2)U(-1; 1)U(1; +<»). 17. а) (-оо; 3);
б) [-2; - 1JU15; 7].
§ 12
1.	а) 28; б) 12.3.а) у ; б) 1;у .4.а) (3; — 1); б) (-1;2).Б.а) (-2; 1)(J(3; 11);
б) (l;2)U(2; 1).6. а) (4; 10); б) (-4; + оо). 7. а) (- оо; - у)и(2; + °°); б)(-3;
у]. 8. а) (1; 2): б) (-оо; 1)0(2; + оо). 9. а) (-оо; -2)U(2; +оо);
б) [1; 2]. 10. а) (-оо; -5)0(-2; 1); б) (-оо; — _L]u(l; 2).
Глава 111
ФУНКЦИИ
§ 13
2.	a) R; б) (-оо; 0)0(0; + оо); в) (-оо; -6)0(-6; 0); г) R; д) [2; + оо);
е) (3; +оо). 3. а) 7; б) 16; в) 19; г) 5Л2 + 6Л + 8. 5. у = х; у = | х I;
( — 1 при X < — 1,
у = < х при —1 < X < 1,
I 1 при X > 1.
§ 14
3
3.	<Г • 5- Едииствениое решение имеет система а); бесконечное множество
решений имеют системы б), е), г); не имеют решений системы в) ид).
§ 15
4.	а) (0; -7); б) (0; -7); в) (2; 0); г) (-1; -4); д) (2; -4); е) (-2; -13).
5. а) у = х1 + 3; б) у = хг — 5; в) у = (х — 2)2; г) у - (х + 6)2.
6. а) (-2; 0), (2; 0) и (0; -4); б) (у ; °) и (0; 1); в) (3; 0), (4; 0) н (0; 12); г) (0; 6).
2
7. а) —5; 5; б) — 1;	1; в) 3;	5; г) — ; 1. 9. а) у > 0 при хе(- оо; 1) и (6;	+ оо);
У < 0 при »е(1; 6);	б) у>	0 прн ле(------; 3); у < 0 прн хе(-оо;--------------1-) и
(3; + °0): в) у > 0 при хе( — оо;----|-) и (---; +°°); г) У < 0 при
»е(-оо; 3) н (3;	+°°);	д) у> 0 при	xsR. 10. а) (—оо; 2)(J(2;	+°о);
б) (—оо; оо); в)	[у; з] ; г) (—оо;	оо); д) (А; 1); е) [—10;	—2];
Ж) ( —оо;---; оо) . П. а) (—оо; 3]U[4; + оо); б) (—оо; — 2)о(у; оо);
в) [1; 3)U[4; +оо).
§ 16
3. а) 2abc\ б) ; в)	г) 5(fl + 8)3; д)	Т ;
е) 21xV • z*; ж) 187582(а + 8)” • (а - Ь)\
§ 17
2.	a) R; б) (—оо; 0)0(0; оо); в) (—оо; оо) при п нечетном и [0; + °°)
прн п четном. 4. а) Рис. 349; б) рис. 350; в) рис. 351.
394
§ 18
в.	а) [3; +<»); б) R; в) (-оо; 5]; г) 0; д) (-оо; 3), (3; +оо);
е) (-оо; -1), (-1; 1), (1; -j-oo); ж) (-1; 1]; з) (-оо; 2], [13; + оо).
7. а) [0; 4|; б) (- оо; 0)U(4; 4-оо). 8. (4; 9), х = 4. 9. х1 - 10х + 25 = (х - 5)2.
о
(х — 5)2 > 0 при xeR. 10. а) [ — 2; 2]; б) (—оо; —3)11(1; +«»); в) — ;
г)	[-3; 7]. 11. а) (5; 3); б) (0; 1), (1; 0). 12. а) 1; б) 5; в) 207; г) 239.
_з	—
13	. а) (-у) ; б) т 3 • п3; в) х* • (х — у) 3; г) • 14. а) п = 2Л — 1;
б) п = 2k.
§ 19
g
2.	а) (3; — 1,5); б) (2; — 1). 3. а) у„В11б = —;у = 0прих=—1 н х = 2;
9
у > 0 при хе(— 1; 2); у < 0 при хе(- оо; — 1) и хе(2; + оо); б) уит11 --;
у = 0 при х = — 1 н х = 2; у> 0 при хе(- оо; 1) и хе(2; + оо); у < О
при хе(-1; 2). 4. а) 3; б) 30. 5. а) («1,16; «1.50); б) («0,73; «1,85).
Г л а в в IV
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 20
1. В точке х = 0 непрерывна функция, график которой представлен на рисун-
ке 56, а остальные функции в точке х = 0 разрывны.
§ 21
2. а) 1; б) — 19; в) — 1; г) 0. 3.
Нет. 4. а) 0 и 4; б) — 4; в) — 1.
$ 22
4. а) —3; б) 0,5.	5. а) ЗДх; б) Д х (Д х + 2 х — 5);
в)
Ду	—
--——-—	; г) 3 (	- 4 + Дх - V-t - 4). 6. На рнсун-
(х + 2) (х + 2 + Дх)
ке 64 Дх > 0, Af > 0; на рисунке 65 Дх < 0, Ду > 0; на рисунке 66 Дх < 0,
ДА < 0. 7. а) Зх + 3 • Дх + 5, ЗДх, 3; б) - 2 (х2 + 2хДх 4- (Дх)‘), - 2Дх (2х +
+ Дх), — 2 (2х + &х)- 12. Решение. 5 = D1 — формула площади круга,
имеющего диаметр D. Тогда: 1) f (D) = ~~ D1;
395
2) I (D + AD) = -1 (D + AD)1 = -1 (D2 + 2DAD ± (AD)2);
4	4
3) AS = f (D + AD) - f (D) = у (2DAD ± (AD)2).
По условию AD = ± 0,01D, значит, AS = у (2D (±0,0ID) ± (±0,01 D)2) аг
~ ± у • 2D • 0,01 D = ± 0.02S. Таким образом AS составляет около 2% от
величины S. 13. У к а з а н и е. См. решение задачи 12. 14. а) Убывает (— оо; 1].
возрастает [1; оо); б) убывает (— оо; 0], возрастает [0; оо).
$ 23
2. 50 км/ч. 4. 51 м/с. 5. vo + at, vo+2a. 6. 6/ — 2,34. 7. 1,2/ ± 4,10.
$ 24
2. а) 3; б) 16; в) -37; г) - А-; д) 6а + Ь; е) --2_; ж) -Ь 3) А
ol	Z	Z	4
$ 26
2. а) Да; б) нет, рассмотрите, например, функцию f (х) = [х] ± (х). 4. а) 1;
1	14
б) 2х; в) 2х + 6; г) 5х4 — 14х; д) 2х-----------4; е) —- (х + 2); ж) 12х + 7;
х2	3
3)	4-(70х ± 11); и) 4-(бх2 + 62х + 9). 5. а) ---------------—-------, 11,5,2,875;
л	4	(/ + З)1
6)-=^-
(7 + 8Г)
-2-; в) - 4<	-1. 1; г) +
15	(/’ ± I)2	(6/ + О1
, _LL; e)______
(c - 6)2	(6 ± c)2	5	5	5	(/- 1)2V7
и f (1) не существуют.
$ 27
2. а) [— 3; 3]; б) (1,6; оо); в) [- у ; 1]. 3. а) 2 /х — 5 4- 3;6)2sinx 4-4x4-
4- 3; в) Vsinx 4- 2х — 5; г) sin V* — 5 4- 2 /х — 5. 4. а) — 75 • 25°, 150 • 29‘;
в) 0; 5488; г) 0, - 352 • 25'°; д)------, - 1;
V5
2 ч „	1	.	1	1
-----; з) 0. — — ; и) -у , ——,
2187-36	9	5-/5
б) — 70 • 5s 6 * *, 70 • 9’;
е) V3 ,	;
2	14 ’
.	5* • 97
к)--------------, -
4
; ж)
6
625
277
2-/10
$ 28
2.	а)	Рис. 352; б) рис. 353; в)	рис. 354. 4. а) 0, 0, не	существует, 2, 2; б) — 1,
— 4~,	0,	-2-, ие существует. 5.	а)	6x4-3 «Дх;	б)	6 х1 4-6 х • А х 4-2 Ах2.
6. а) - 2; б) 3. 7. а) 0; 1; б) 0; -	1.	8. а) 32 (2х -	I)'5, 32; б)	45 (Зх 4- 2)н, 45.
9. 5и*	-	16иэ 4- 9u2 - 4и 4- 1; 253;	35; 1; -5. 11.	а)	-----; б) - — 4-
(2х — З)2	х3
396
a	q 4
+ yVi. 12. 2/3 + у t- - у t + 0,2; 0,2;
7
15. a) _ ' < x < J; 6) - 4 C * C ~ 3.
J
10183 407	1	1
140 = 560 •	'	•
16. a) у Vjc5; 6) 7 — Юх; в) 3u2 —
— П----------; r) --------------------- ;
6	8	(3/ - 5)2
Д)
19
(7-/)2’
e)---L+2,----.
2 V5x + 8 + x2
ж) - —-------9-X +-— . 17. a) I' (1) > 0; 6) /'(«)> 0. 18. f' (3) • <p' (3) > 0.
(x2 - 7x + 12)1
19. a) 10 (x + 3)’; б) 10(2x — l)4; в) 4 (x2 + х)э (2x + 1);
r) 3/ (/’ + 5/2 - 8)2 (3/ +- 10). 20. - 3<2_+ 2x ~ 5 ... 21. 15. 22. ———.
2Vx3 + x2 - 5x + 7	37VH47
3 (1 4-x)2 (1 - 2x - x2)	39	/ 2u — 3
---------------------------•	6> ------------Г V------------:
(x2 - x)«	2 (5 + u)2 y 5 -+ u
2V((2/ - 7) (4 + /))’
397
$ 29
1. (-3; 0]. 2. -1,32. 3. Рис. 355; f (- 1) = f (1) = 1, f (3) = 1.
4. 2. 5. a) - 4x + 3; 6) 4 (9x2 + Зх - 1); в) -1 r)----------------------
3	(x + 4)1
д) 12x (Зх1 - 2x2 + l)2 (Зх2 - 1.)
Глава V
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 30
2. « 39,58; « 37,84. 4. a) « 1,002; б) « 3,0007; в) «5,08; г) « 2,8241;
д) « 1,9375.
§ 31
4. а) Имеет; б) не имеет; в) имеет. 8. — 6. 9. (— 1; — 1),	(1;	1).	10.	а)	0;
б)	-у. II. (у; у)- 12. а) 45°; б) 0°; в) arctg 4.
5 32
1. а) у = — 12х — 14; б) у = — 2; в) у = 6х — 5. 2. а) у =	4х	—	6; б) у	=
=	4х - 7; в) у = 40х - 87.3. (1,5; 5,25). 4. (- 1; 11), (3; - 21).6.1/	=	12х	+	16
и у — 12х — 16.
$ 33
О	М
3. 0,6х2-— х. 4. а) (4/ — 6) —; б) 2 м/с; в) 4 м/с2. 5. а) 18 м/с2;
3	с
б)----------—. 6. 8g м/с. 8. 12 м/с2. 9. Решение. Так как s (/) =
16-/2 с2
•о
= vol---, то v (0 = vo — gt, a (0 = — g; через ----секунд после начала
2	S
движения снаряд достигнет наивысшей точки, наибольшее удаление от поверх-
ности земли — (в м). 10. » 40 м/с. 11. 24^^. 12. 5250 Н. 13. а) 4х (5х2 + 3);
2g	с
О------------;
4^^8р
$ 34
7. а) (- оо; - 3) и (- 3; оо); б) (- оо; - 7) U (- 7; 2) U (2; оо);
2
в) [—3; оо); г) (1; оо); д) (— оо; — ] (J [1; оо). 12. а) Возрастает на всей числовой
J 1
прямой; б) убывает на всей числовой прямой; в) возрастает при х >-----— , убыва-
1 2
ет при х ------— ; г) возрастает при х < — 2 н х > 2, убывает при — 2 < х 2;
д) возрастает при х и х > 1, убывает при 4- х 1; е) возрастает при
3	3
398
х > 1, убывает при х<ОиО<х< I; ж) возрастает при -1<xSs0hx>1,
убывает при х — 1 и 0< х< I; з) убывает в каждом интервале, ие содержа-
щем точку х = 1; и) возрастает при х >	, убывает при х<0и0<х^у,
2
к) возрастает при х > 0; л) возрастает при х^-т-и х > 1, убывает при
$ 3S
6. Да. 10. а) Да; б) нет. 11. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет. 1S. Таблица верно
отражает свойства функции. 16.
X	(-<*»; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; oo)
f'(x)	+	0	—	0	+	0	—
f(x)		3		2		3	
		max		min		max	
18. а) Функция не имеет экстремумов; б) q> (5) = — 12,5; в) g ( — 0,5) = — 2,
g (0,5) = 2; г) и (- 2) = 13, и (0) = - 3; д) ф (0) = 0, ф (1) = - 1;
е) v (2) = 0. 19. У к а з а н и е. Исследуйте на экстремум функцию и проанализи-
руйте результаты. 20. а) См. рис. 356; б) см. рнс. 357; в) см. рис. 358; г) см. рис. 359.
§ 36
4. б) См. рис. 360; в) см. рис. 361. 5. а) х < 0, х> 2; б) х<—2, х>2;
3
в) 0<х<2; г) х < —, х > 5; д) (— оо; оо); е) — оо < х < оо; ж) реше-
ний нет; з) решений нет; и) 1^х<4. 6. Указание. Покажите, что tg а =
= (хэ — 5х2 + 9х + 12)' > 0 при любых действительных значениях х.
Рис. 358
Рис. 359
399
Рис. 362
б)
$ 37
4. См. рис. 362. 5. См. рис. 363. 7. а) См. рис. 364;
см. рис. 365; в) см. рис. 366; г) см. рис. 367; д) см.
рис. 368; е) см. рис. 369; ж) см. рис. 370.
$ 38
1 фааии = ф ( 10) , фиаиб = ф (	3) . 2. /каин = f(2) ~ ” 0.
fuaas = f(3) = 4. 5. Искомые слагаемые 20 и 20. 6. Пря-
моугольник имеет наибольшую площадь, если ои квад-
рат, длина стороны которого 7. Прямоугольный
треугольник равнобедренный, длина его катета 10 см.
2
8. — дм. 9. На оси Ох отсекаемый отрезок имеет длину 2,
<j	1 ~
/ S
на оси Оу — 4. 10. h = D = 2Д/ — .
V 6л
400
$39
1.	a) (-2x4- 7) Дх; б) (—— 4----—) Дх. 2. а) « 283,5; б) « 141,44;
2^
11. t = 1 с и t = 4 с. 12. —8 Ру-1 4с. 13. 4,25 м. 14. a) f (х) возрастает при
х <------и х >-----, убывает при----< х <-----; б) ф (х) возрастает
V3 V3	V3 ^3
при х < — 1 и х > 1, убывает при — 1<х<0и0<х<1;в)ф(х) возрас-
тает при х 2,5, убывает при х > 2,5; г) h (х) возрастает при х > 0; д) s (х) воз-
растает при х > 3, убывает при х < — 3; е) у (х) возрастает при х < 0, а при
х > 0 принимает постоянное значение, равное нулю. 15. a) f (х) убывает при
5
х 0, возрастает при х > 0, f (0) = 2; б) ф (х) убывает при х  у, воз-
растает при х > , ф( fi') = — тк в) Л (х) убывает при х > 3, воз-
растает при х 3; h (3) = 0; г) s (х) убывает при 0<х^ 1, возрастает при
х < Оих > 1, s (1) = — 1, s (0) = 0; д) g (х) убывает при — 1 < х <-
1 11 ( 1 \ 1
и --- х 1, возрастает при--------<х< ------; g (------) =-----------,
V2	V2 V2 V V27	2
g(4= ) =----я(4=) = 4-; е) ’W возрастает при х > 0. 16. a) faa„e =
'т/2 '	2	'-у/2'	2
= f (±2) = 13, fuaMM = f (zfc 1) = 4; б) f цаиб = f (4) =8, f „а1н - - f (0) = 0;
14 Алгебра и начала анализа	401
в) fM1, = f(-V3) = - 4л/27. /.«-=/(- 6)= - 72,5; г) = f (2) = 5,
О
f...M =/(!)= 1. 17. 12 и 12. 18. 1. 21.2^.22.-^ .23.^-. 25. a) x < -2,5,
x> 6; 6) —5 < x < 3; в) x < —2,5, x > 7; г) решений нет. 26. б) См. рнс. 371;
в) см. рис. 372; г) см. рис. 373; е) см. рис. 374; ж) см. рнс. 375.
$ 40
1. у = — 5х — I. 2.---3. у (х) возрастает при х < — 1 и х > 3,
убывает — 1 х 3. 4. См. рнс. 376. 5. См. рнс. 377. 6.	= f (— 1) =5,
/..» = f (1) = - Н- 7. 20 см, 30 см.
402
Глава VI
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ТОЖДЕСТВА
§ 41
1. а) 120°; б) 180°; в) 135°. 2. а) 7’30'; б) 10°. 3. 5°. 4. 45* 5. 2лЛ, k s Z.
в. 7?i>00"+360’-t(41), h s Z. 7. /?о20", Ro-
$ 42
1.
a)
Градусная величина дуги	10°	20’	35°	-22,5’	45’	210’
Радианная величина дуги	7Г 18	7Г 9	7я 36	8	7Г 4	7я 6
6)
Градусная величина дуги	32° 5'	68° 45’	86’ ЗГ	-63° 45'	-45’50'	93°
Радианная величина дуги	0,5734.	1.2	1,51	-1,1127	-0,8	1,6232
2. 40° « 0,6981; 140° да 2,4435. 3. 30° = -1, 60° = 4, 90° = 4.4. R^ (P) =
D	J	2
- -J-+ 2лЛ	„
= Pi, Pi (0; - 1). 5. Ro 2	(P) = P., P, (- 1; 0). 7. -	+ 2лЛ, k s Z.
8. 1080° да 18,8496; 10800° да 188,4960.
9.
Градусная величина дуги	28’ 56'	36° 40'	172° 15'	40°	-50’	83° 54'
Радианная величина дуги	0,5050	0,6399	3,0064	0,6981	-0,8727	1,4643
10. 11°15' at 0,1964. 11. 6° да 0,1047.
§ 43
1.	at 25.12 cm. 2. 30°. 3. at 12,09 cm. 4. 144°. 5. 60,94 cm.
§ 44
1.	at 169,6 cm2. 2. at 62,83 cm2. 3. at 5730 cm2. 4. 600 мм2. 5. 20 см.
6. 3,5556 да 203°43'.
§ 45
3.	a) sin > sin ( — 4); 6) cos 4 = cos f — 4); B) sin > cos "5Г- •
“	'	4f	и	'O'	и	4
403
- л/з,
г)
7л	Зл	. л	5л
cos — > cos--; д) cos —> cos—.
4	4	о	4
4.
1
V3’
в. а) 1; б) —. 7. Нет. 8. а) х — любое действительное число за исключением
значений + 2лЛ, k е Z; б) х =	+ 2лй. k е Z; в) нет таких значений
аргумента.
§ 46
3. а) Отрицательно; б) отрицательно; в) отрицательно.
§ 47
1. а) 0,8339; 0,8631; 0,9784; б) 0,8453; 0,4823; 0,2750; в) 0,3096; 1.1430;
2,133; г) 3,376; 0,9137; 0,2056. 2. а) 0,9959, 0,0907, 10,983; б) 0,2571, 0,9664,
0,2660; в) 0,6894, —0,7244, —0,9516; г) 0,0905, —0,9959, —0,0908.
§ 48
1. а) Нет решений; б) ~ 1,1 н ~ 5,2; в) 2,3 н 4; г) 1 н 2,1, д) 3,8 н 5,6;
.	. „	, я ,, л Зл , л Зл , л 7л . 7л
е) нет решений. 2. а) б) уи у; в) — н —; г) уи —; W
Пл . 2л 4л . Зл , „ л Зл _ „ л 2п
н ~б-• е) — н —: ж) —: э> °-Т’ — -2л-3- а>	:
. л . 5л л . л	5л	я	5л
б) л; в)-—; г) —•	4. a) -g	б) - < х < -- ;
в) < х <	; г] 0 < х < и < х < 2п; д) 0 < х < и
о	О	□	э	J
< х < 2л; е) 0 < х < и < х < 2л; ж)	< х <	,
з) о < х < 4 и < х < 2л. 5. а) 0,55 < х < 2,6; б) 0 С х < 0,77
4	4
н 2,37 < х < 6,28; в) 3,35 < х < 6,07; г) 1,82 < х < 4,46; д) 0 < х < 0,8
н 5,48 < х < 6,28; е) 1,11 < х < 5,17.
§ 49
12
2. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да. 3. а) 3 + 2 -/2; б) 0,6; в) 0; г) 110; д) —	.
4. a) tga; б) sec а; в) sin2 а; г) cos2 а. 5. a) 1; б) 2 cos2 а; в) ------5--------;
cos2 а
г) --------; д) sin2 а; е) cos2 а; ж) sin а + cos а; з) 1. 7. a) sin2 а; б) -----------;
sin2 a	cos х
2
в) ctgx; г) —-------, д) 1; е) sin2 i. 9. 2 tg а.
sin Ct
404
§ 50
5. а) Нечетная; б) нечетная; в) четная; г) ни четная, ни нечетная; д) нн четная,
нн нечетная; е) ни четная, ни нечетная; ж) ни четная, ни нечетная.
§ 51
3.	sin 316° = -	; cos315° =	tg315° = - 1; ctg315° = - 1.
. 5я V3 5я 1	. 5я щ . 5я 1
4.	sin---=-------—.;	cos----= тг I tg-------= — V 3;	ctg---------------.
3	2	3	2	3	3 V3
5.	a) - 2; 6) - 2,5. в. a) 1; 6)	}-----.
sin a + cos a
2.
6)
$ 52
1. а) б) у; в) -fi; г) 1; д) ; e) ж) -
' д/2	1	1	я
а) -у-; б) у ; н) —д; г) 1. 3. а) я; б) у; в) я; г)
sin а — cos а. 5. а) 2л; б) у.
з)
a)
__1_
t/3 *
1
— cos a.
о
1
л/з ’
$ 53
1.	0<х<я. 2. у<х<уя. 3. —2я, —я, 0, я, 2я; —у. — у,
, у. 4. a) -J + 2яп’; б) 2яп; в) + 2яп; г) я (2п -J-1).
§ 54
I. ЯП. 2. у + ЯП. 3. у < х < л. 4. 0 < х < у.
$ 55
2. а) ял; б) у -J- ял; в) яп; г) у -J- ял- 4. arctg 3 -f- яп,
5. а) (— 1)"+ 1 arcsin 0,3 + яп; б) ± arccos 0,3 + 2яп; в) arctg 2,4 + яп;
г) — arcctg 0,89 -f- я (п 1).
§ 56
1. а) ±-Аг + -у-; б)	arcsin у-f--у-; в) arctgy + ял;
г)	у	arcctg 5-|--у-.	2.	а)	± 2L - 2L + А ял; б)	А arctg 3 -	-у +	;
в)	±	+ хт + у ;	г)	у	+ яп. 3. а) яп; -£• + 2яп;	б)	я + 2яп; в) arctg 3	• |-
ОО л4 О О	4
।	।	\ Л	।	ЛЯ	Л . « Л .	1	—.	ж.
+	яп;	у + яп;	г) у	+	у	I	± ’g- + ял; Д) у + яп.	4.	a) sm а -|-	cos а; б)	0;
1 Здесь н ниже в ответах к решениям тригонометрических уравнений п —лю-
бое целое число.
405
в) 1; г) cos2 а. в. а) х Ф ; б) х ™ . 7. а) л + ял; б) ± Л + 2ял;
л	л	2	J
1	* Ч	• л ч ЯЛ ЯЛ ЯП
в) нет решений; г) нет решении. 8. а)	исключая значения
Z о D
л ял я , ял л , ял л	ял ял
у Ч—у, у Ч—у. -jg- Ч—у. Ответ можно записать короче: —у; —у ;
б)------Ч- 2ял; в) у Ч- 2лл; я Ч- 2ял; г) у + ял; — arcctg 3 4- я (л Ч- 1):
д) нет решений; е) нет решений.
J 67
1. а) 2ял < х < л(2л Ч- 1)1 б) л(2л Ч* 1) 2я(л Ч- 1); в) -у~ Ч*
Ч" 2лл х < у Ч 2лл; г) у Ч- 2ял < х < у Ч 2лп; д) ял < х < у Ч- пл;
е) 4г Ч- «л < х < л (л Ч- 1); ж) т + 2яя < х < "Т Ч" 2лЯ; 3) "Т + 2ля
£,	и	и	«5
< х С -г Ч 2ял; и) ял < х < — Ч- ял. 2. a) -j- 4- ял < х < -g- 4- ял;
о	4	о	о
б) у Ч- ял < х < у Ч- «л; в) у Ч- ял < х < у Ч- ял; г) л (2л Ч- •) < * <
< У ч 2ял.
и
§ 58
1. 0,6405 ; 0,6405; 1,8605; 3. а) 18°45'; б) 71’42'; в) 52’26'; г) 58’31'.
4. а) «10,5; « 52,36; б) «8,8; 43,91. Б. cos а = —	, tga = — ,
2	V3
ctg а = в. а) 0,7379;	0,6749;	1,0934 ;	6) 0,9662; 0,2579; 3,747;
в) 0,7115; —0,7027; —1,0125; г) 0,0216; —0,9998; —0,0216. 7. sin а =;
5
4	4	3	„ -	2	1	1
tg а = — у ; ctg а = —	Т	. 8. sin а =	; V5	; cos а =	; ctg а V5	= — ~2‘
			4 Ч- Зл/2 — 2л/з	
11. а) Минус; б) минус.		12. а) (х - </)2;	б) —	—	-« 2,39;
в) 6 (2а - 5). 14. а) ; б) 2я; в) -1. 15. а) 2 + V2 ~ 5,83; б) 1,25;
й	4	2-^/2
в) 2,5.	18. а) 1; б) 2 sin2 а; в) tgatgP; г) 2 tg2 а. 20. а) ± 4г Ч-пл;
и
б) (— 1)"+ 1 уу ч- —у- : в) ял; г) нет решений; д) 2ял; е) (—1)'*уЧ-ял;
ж) нет решений. 21. а) -тх-Ч* —; б) 4г Ч* 2ял. 22. а) х — любое действн-
1Z	О	£
тельное число за исключением -у- ; б) х — любое действительное число за исклю-
406
ченнем -y-(2n + 1), 4г (2п + 1).	23. а)----+ 2лп < х < —+ 2лп;
4	2	6	6
б) -дг- + 2лп < х <	+ 2лл; в) arctg 24-лл<х<4г + лп.
4	4	Z
$ 59
к
1. 0.4363; 0,9250; 1,7802; 2. 628; 86; 4300. 3. cos а = — — ; tg а = 2,4.
1 о
л	0
5. л. 6. а) 13; б) tg а. 8. а) 4г п; б) + 2лп. 9. л (Зп 4- 1). 10.	+ 2лп < х <
С,	1	□
4л , _
< у + 2пл.
Г л а в а VII
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
$ 60
4. а) 10,5; б) —4. 5. а) 13; б) —14. 6. a) R°o; б) Ro2.
§ 61
1. a) cos Зх; б) cos 4а.	2. а) у ; б) ; в) ; г) -^у- ;
. д/2 — 2	„ ; д/2 - д/б	д/2 + д/б	„ х 2лп
д) -^4----•	3. а) 4.	 ; б) -^-4 -v--.	7. а) —;
б) ± у +	; в) ± у - у + 2лп; г) 2лп.
§ 62
1. a) sin 4а; б) sin 5х; в) sin а cos р; г) cos а cos Р; д) sin р cos а;
/	л\	/	л\	д/з	д/2
е) —sin а sin Р; ж) cos! а — —) ; з) cos I а + -^-1 . 2. а) —; б) -у— ;
'	4 '	'	о <	2	2
г)£; Д)Л!^;	е)^1;	-о.з^
„	3.	.)	.)	..
т/б — 3 т/2	33
д) " -т——; е) —	4. a) tg 50°; б) etg 25°; в) etg а; г) 0; д) 0;
б	Оо
е) sin 28° — sin 20°; ж) . 7. a) — лл; б)-^- + лл; в)-----± 4г +
2	о	4	4	□
+ 2лп; г) — arctg Зт/З + ял; д)-5-+ лп; е)-— + лп.
’	JO
$ 63
1. a) tg 5х; б) tgx; в) tg(y— х) ; г) 1; д) 0; е) 0; ж) 1; з) д/3; и) 1.
V3 - 1	V3 + 1 _ , Л5 „ , _ч 4 - 3 V3
2. а) —-------- sa 0,27; б) "	
1 +	V3 —
407
« — 0,12. Б. а) лп; б) ± -5- + 2лп; ± arccos-у- + 2лп; в) 4к + — лп при
О	о	1о □
, л ,	,	, л , л , 2	, л , л , л , лп
х =/= — 4- лп, Х=#л + 2лп, х =/= у 4- у лп; г) у 4- у п; д) — 4- у при
, я , як , 5л , лп .
Т +	+у;е) яп-
$ 64
1 л/з	1	1
1. а) у ; б) -	; в) 1; г)-—. 3. а) 0,5; б) 0; в) у ; г) 1,5; д) -2;
“у 3
11
е) у ; ж) — у; з) 0.5. а) 2 sin 3 » 0,2822; б) п/3; в) 1; г) 2; е) — у ; ж) 3;
о
з) 1 у. 6. а) 0; б) — 2 sin а; в) ctgI 2 42°; г) tg2 40°; д) 1,5; е) 0; ж) sin2 18°; з) 0.
7. a) sin2 а; б) д/З; в) 0; г) — 2 tg а; д) — cos а; е) — ctg р; ж) 1; з) tg6a.
9. а) у 4- лп; б) лп; в) л 4- 2лп; г) у 4- лп; у 4- лп; д) л (2п 4- 1); е) лп;
---4- лп; ж) лп; з) ± у 4- 2лп; л (2п 4- 1).
$ 65
/з
2. а) 0,25; б) -у-. 3. а) 4 cos3 а — 3 cos а; б) 4 sin а cos3 а — 4 sin3 а cos а.
4. а) ----д  ;-----: 4 V®; б) 0,28. 5. a) sin х; б) cos х — sin х; в) cos х; г) 2;
д) — cos 2х; е) у cos2 2х; ж) у sin 2а; з)----------------sin 2а. 6. a) cos 2а;
б) 4- sin 4а; в) cos 4а; г)----------—; д) cos 2а; е) cos2 2а; ж) - -; з) -?-L—.
'4	cos а	sin а sin 2а
8. а) лп; ± 4г + 2лп; б) (— 1)’ у 4- -у-; ») -т + -у-; г) лЯ; ±
□	О X	*1	л»	и
д) ± У 4- лп; е) лп.
$ 66
I	5
L а) ——« 0,1961; б)------------------« —0,9806; в) -3; г) «0,89. 2. а) I;
у/26	д/2б"
б) sin За; в) 0; г) sin За; д) ctg2 21°; е) cos2 а; ж) — tg2 у ; з) — tg2 (у--).
3. а) 4г + лп, arcctg 3 4- лп; б.) 4г + лп, (— I)" arcsin -4 4- лп; в) лп; г) 4г 4"
2	2	о	2
I л	\ Зл , —	, л , лп л ,
4- 2лп; Д) у 4- 2лп; е) у 4- у, у + лп.
408
$ 67
1	4	3	4	3	1
1. a) — sin 4a; 6) cos2 2a. 2. — ; — ; — ; — . 3. a) 2 arctg — 4-2лп;
4	о	о	о	4	о
б) л + 2лп, 2 arctg 2 4- 2лп, — 2 arctg -i- 4- 2лп; в) 2 arctg 4 4- 2лл; л + 2лп;
&
.	, „ пп л лп	, л , лп . „	, 2	, п	,
г) л + 2лп,_—=—, -nj- + -5-, где х =/= -X- + -х-; д) 2 arctg -х- + 2лп; л +
О 1Z и	0	0	О
4- 2лп. 4. — 2,25. 5. 2 arctg Д-~ '°	---------—|- 2лп, если а2 4- Ь2 > с2; нет
решений, если а2 + 62 < с2. 6. 2;---i-.
О
1. _а) — 2 sin 31° • sin 16°
$ 68
б) 2 cos 41° • cos 17°; в) 2 sin 50° • cos 20°;
г) — 2 sin 9° • cos 26°; д) ; e) sin у. 2. a)
sin (a — p) . sin (a 4~ P) .
cos a cos p '	' sin a sin p ’
 la \	t/2 sin (“ + "t)	-/2 sin (® + Hr)
sin (P — a)	v \	4 /	’ x 4 /
-----—-------— ; r) --------------------------------; д) ------------------:-------------
sin a sin p	cos a	sin a
в) cos a cos 2a; r)
4sin(~6' + °t) sin
sin2 a
д) 4 sin 2a sin (y 4- X
Xcos(y~n);
e) tg(a 4--j)l
2 <2 sin (A_JL)cos|-
ж)
cos a
3) 4 sin (y — a) sin (y 4- a); и) — 4 sin (у 4- a) sin(y — a);
к) sin (a 4- p) sin (P — a); л) sin (a 4- p) sin (a — p). 4. a) tg(a-
6) tg	; в) tg2 у; г) у”3” ; д) cos 2a; e) tg a • ctg p. 5. а) лп;
z	z sin a
, л лп л ,	л , 2лп . л . „	л 2лп
±т + ^~: б) т + лп; 2лп:1- + —: в> -у + 2^; -Тб + —:
г)у;д) (- 1)лу+ у 4-яп; е) ± .1 4-± 4-2лп.
409
$ 69
2. a)----2- + лл; б) лл; у 4- лл; в) у 4- лл; —arctg 24-лл; г) лл; у 4-
4- лл; д) у + лл; — arctg у 4- лл.
§ 70
г-	д/2—д/б д/б-|-д/2
5. а) — 8 д/2; б) -9. 6. а) —-------—; б) —-------—. 7. а) 1; б) —1;
4	4
в) 1; г) д/з. 9. а) лл; б) у 4-пл; в) ±	+ лл; г) -£• +	; -£- + лл;
£	О	тг Z Z
V Л .	1	• \Д Л I	V Л	Л	к ЛМ	у	М
Д) тг +	(— 1) > т + ял; е тг + л«; ±	+ лл; ж) —5—; з) нет решений;
Z	О	Z	о	о
и) +	~Т + Т: л) <—1)" ТГ + лл; м> тг + 2лл;
о z	о Z	□	□
12. а) у 4- лл; у 4- лл; б) у 4- лл; arctg 2 4- лл; в)-----------у 4- лл;
, 1
arctg у 4- лл.
$ 71
1. а) -14д/3; б) -26. 2. а) 2'4-д/3; б) в) 0. 4. 2у. 5. а) 2;
б) cos (-?+“); в) 2 cos а; г) tg2a. 6. а) лл; ( — 1)"+1	4- лл; б) лл;
ч лЧ 4	'	6
в) — у 4- лл.
Глава VIII
ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
$ 72
д/3	д/2	6
1. а) -у-; б) -у-; в) -1; г) 0; д) 1; е) 0. 3. а) 1; б) 6; в) у ; г) 1; д) 2;
е) А; ж) 2; з) 1.
§ 73
2. а) 3 cos х;	б) 5 cos 5х; в) 2х sin х 4- х° cos х; г) sin 2х — 2 cos 2х;
Д) cos (х 4- у) ; е) 5 cos (бх — у) ; ж) — 12 cos (у — 4х) ; з) 6х2 4- 3 cos Зх;
>	• Г . У* Г \ sinx —х cos х	.	.
н) sin д/г 4- v сояд/х: к) --------------------------. о. (3; оо). 6. (3; оо).
-\]~х	!— sin2x — х • sin 2х
7. a) sin2 д/х 4--------г— sin2 \/x; б)	~	1
*	2	’	sm’x
. sin x — 2x cos x
в) ---------------------
х sin x
г)
2 sin х — х cos х
2 sinx • д/sin х
$ 74
3. a) — 5sin5x, 6) cos x — x sinx; в) cos 2x; r) — 2cos^2x-------------y) ;
410
.	7	. хг + х sin 2х . 2х 4- sin 2х .	1 4- sin х 4- cos x
д) —2^-;e) ---------5-----: ж>-----; з)----------------- - -Л x2— ;
cos2 7x	cos x	6r sin X	(1 + sin xy
и) Юх — 2 sin x cos2 x + sin3 x; к) —3 cos (x-£) — sin 0,2x. 4. a) 2x sin x +
+ x2 cos x; 6) 2x cosx — x2 sin x; в) sin x — 4 cos x + 2 cos 2x; r) — 12 cos 2x —
— 5 cos x — 4x sin x + 3; д) Ab cos bx; e) —Ab sin (bx + c).
$ 75
2. a) 6x; 6) —9 sin Зх; в) — 18sin^3x—; r) —cosx —2 sinx;
д) 0,12 sin (0,2x + n) — 18cos3x;	e) 2sin(-^-----^-) + 2xcos(-^-—
'Z	'	'л □ '
-T*’-Sin(f-f)-
§ 76
2. a) x3; б) x2 — 5x; в) —sin x. 6. —2 cos (t-. 9. a) -JU; 2; n; ;
.— j.	j	3	1
6) л/10 ; -5-; 4л; 2 arccos —==-. 10. a) arccos —==- ± arccos —==- + 2nft;
2	V10	V13	V13
1	4
6) arccos —==- ± arccos —==- + 2л£.
V17
§ 77
1.	a) 5 cos 5x + 5 sin 5x -|--!-; 6) — 2 sin 2x tg 5x +	•
x	cos 5x
4 cos —
2.	« 62®40'.	4
$ 78
-J2	1	-J2	-J3
3.	cosx. 4. а) -у-; б) у; в)------— ; г) -у-; д) 1. 5. а) 1; б) 1; в) 5;
2
г) 2. 7. а) — cos 2х; б) 0,5 cos 0,5х — 2х; в) 2 cos 2х + 6 sin Зх. 8. У к а з а н и е.
□ /“ /—
V2 V2
Докажите, ' что	f' (х) < 0 при — оо < х < оо. 9. у = х -|-------------— .
10. a) 3cos3x; б) —3 sin Зх; в) 3cosx; г) 4 cos 2х. 11. а) 20х3 — 14; б) 18cos3x;
в) —sin х cos23x — 6 cos х sin 61Х — 18 sin x cos 6x. 13. 45°.
$ 79
1.	а) у ; б) -у-; в) 7. 2. a) —6sin^2x ; в) cosx+ 6 sinx —
— 2 cos 2x. 3. Указание. Докажите, что f'(x) > 0 при xe(- 00, 00). 5. 45°.
в. у = л — х.
Глава IX
ГЮТООБРАЗНАЯ И ЮЛГЕГРАЛ
§ 80
2
2.	а)	-— для всех х > 0; г) f(x) = (х")' = пх" если п > 2,
ЗхЦх^
411
xeR; /'(x) = (x)' = 1, если n = 1, xeR. 10. a) 5x + C; 6) — x + С; в) -i-x3 +
+ С; r) sinx + С. И. Является. 12. He является.
§ 81
_	.	1 s ,	1	4	4 f~ , 6	1	.	1	3	.	1
5-a> + б) T^+y B) -T; r) -3X\^ “T;
e) — cos x + 1; ж) sin x + 1; з) tg x — 2; и) —ctg x -f- к) -г- x-^x + I;
4j
л) 5x + 2; м) - —Ц- + 1.
3x
$ 82
1. a) - |x! + 4x + С; б) у x2 + bx + С; в) x3 + 4x + C; r) +
+ x2 — 8x + С; д) -5- x3 + x2 + ex + d; e) -5-? + ^-x3 + -^-x2 + dx + e.
Z	О	Z	*i	о z
2. a)-------1—cos ЗХ 4~ C; ---------s’ ctg 2x 4~ Cl в)	-|—— tg 3x -f- C;
x о	z	□
v	1	2	i—
r) 12 sin -j- + — cos 4x + С;	д) — 2,5 cos 0,2x + — x ~\jx + C;
4	z	<j
_	_ JL + с- ж) -V4x-1 + С; з)-------!---------?--- + C.
’	10	*	V	2x2	4(2x—I)2
$ 83
2. He являются криволинейными трапециями фигуры, заштрихованные иа
рисунках 225, 226, 230. Остальные фигуры являются криволинейными трапециями.
3. S(x) = у х2 -|- х, S' (х) = (у х2 +	= х 4- I-
§ 84
1.	а) 2^-; б) 4. 2. а) 2; б) 2. 3. а) 4-|-; б) 1?4. 4. а) 4; б) 4. 5. а) ; б) 3.
О	о	о	о
§ 85
,	1	,,	п	.	.	я	о 2ai+d(n—1)
1.	у. Указание. Воспользуйтесь формулой суммы 5Л =-----у-*------- п
первых п членов арифметической прогрессии, в которой первый член — , разность
I	, „ I
— , число членов л — 1. 3.	.
л	6
§ 86
1	2	1	I--------
1.	а) ; б) 3; в) у ; г) бу ; д) 1. 2. График функции у = -^/1 — х2 есть
верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.
д ]2 д	2	2 ]
Площадь полукруга равна —— = —. 3. а) 6-=-; б) 20; 4. а) -----------;
2 2Ь	4
б) 0,75. 5. а) 12,4; б) 54-|- 6. а) А: б) 4 • 7‘ а) 4+4; б> Й “ 3’
I	О	7	О	04
412
2	л/^ + 1	л/^ 4" л/^
8. а) 10-=-; 6) 4,5.9. а) 0,5; б) 0,5. 10. а) —5------« 1,3660; б) v - «1,573.
11. а) 8; б) 8.
§ 87
1	1	1	Зл/З — я
1.=-. 2. 14-. 3. 7^-. 5. 12. 6. —Ц------------------------« 0,6848. 7. 320 м.
о	о	3	3
8. s (/) = 4- /4 + /2 + з4 • 9- 4 • 1°- ‘-5-
§ 88
1. а) « 10,8; б) « 8,32; в) 2.
§ 89
1. а) 24л; б) 2л; в) 13 -! *- л; г) 17 4 л; д) 0,5л2; е) 204 4 л.
1 о	(	о
'	§ 90
1. а) 4х2 — Зх +, С; б) -^-х3 + х -f- С; в) 2 sinx -f- С. 2. Fj(x), Fj(x), Fе (х).
3. 2Х3 - х2 + 5х + 10. 4. S (х) = х2 + Зх; S' (х) = 2х + 3. 5. а) 9; б) 14; в) 3;
г) 12; д) т/2; е) 2; ж) 10; з) 1 44; и) 0,5- -\/3; к) -^3 t-1 ; л) 1.
6. a) Jf(x)dx = F(x) | ’ = F.(a)-F(a) = 0;б) J f (х)</х = F(x) | ‘ = F(b)-
a	a
- F(a) = - (F(a) - F(b)) = -J f (x)dx;	д) J f (x)dx + J f (x)dx=
b	a	e
= F{x) | ‘ + F(x) | \ = (F(c) - F(a)) + (F(6) - F(c)) = F(6) - F(a) =
*	2
= $f(x)dx. 7. 16. 8. 8. 9. 9. 10. 10-y. 11. 20. 12. -2 < k < 2. 13. л « 3,14.
14 _5_. 15. 4.18. 1 4- >7. 2. 18. k = 4- 19.14- 20. -ч/з - 4 « 0,6848.
12	3	3	3	3	v 3
21. Зт/x — 1 + С, если x> 1; 3^/1 — x + С, если x < 1. 22. а) -^-x2 + C.
1	1	2
если x > 0; —	если x < 0; б) — x2—x + C, если x > 1;
1	VF
---5-x2 + x — 1 + С, если x < 1. 23. а) л; б) л; в) 4—; г) 4. 24. 3. 26. 4,5.
2	О
27. а) 6; б) 3. 28. Л = - — ; В = 2. 29. fe = 4 • 30. 4 + лл < а С 44 + ял;
л	3	3	3
9
лег. 31. а = 1. 32. С = 4-
3
§ 91
2. — 2 cos х — 2.	3. a)	—х’ + 7х + С; б) —6 cos 4 +С;
в) - А х2 + 4-L х2 + 5х + С. 4. а) 1 + 2^1 « 1,866; б) 1,5; в) 2-^--
5. а) 1; б) y(4V2 - 1): в) ^6~ 2 
413
Главах
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ
$ 92
b2'^	d* ^/a-\/d	2\/(с + d)9 *  **	б6
4. а) -------—; б) — --------------1; в) —!>--------------. Б. а) --------;
V—	1,3	* Fl	rl	13
а	о	-у/Ь	“	азз
 3 I	г 17	19	.
б) а 1(1 • 6 2; в) (а + Б)” • а39; г) а,в. 6. а) 3; б) 0; в) 6^-. 7. а) 4; б) 2; в) 64;
г) 99; д) 2А 8. а) 4; б) 10; в) жд/(1 - х)2; г) о - 1. 9. а) у ; б) 2,52.
5 93
3. а) « — 0,7; 0; « 1,3; б) х < 0, х > 1. 4. а) « 0,7; 0; « —1,3; б) х > 0,
«<-• 7. .) (А)"<ь « (|Г>.;	(4)’>(4)’;
г) (0,4)-2 > (0.4)3; д) (2,56)° = (0,312)°; е) 1,7-’ < 1,7"*; ж) (у) >
>(!)“••> (4)-<(l)t «>	43->(i)’‘
л) (tgy) < 1- 8- а) 0 < а < 1; б) 0 < а < 1; в) не существует; г) а > 1;
д) 0 < а < 1. 9. Во всех случаях а < р. 10. а > 1. 11. а) л1,8 > 3,141,8;
б) е_°'8 < 2,72-0,в. 12. а) Нет; б) нет. 14. Убывает от 64 до 1, </( у) = 2.
15. а) (—оо; 3)и(3; оо); б) (—оо; — 2]|_|[2; оо); в) (—оо; оо). 16. а) у 1,
б) у < 0; в) у > 0. 18. У к а з а н н е. Найдите отношение	.
У W
$ 94
г-	з ± -\/кГ
3. а) 0; б) ±1; в) 4-^2; г) 1; д) —1; е) -------у------; ж) — 1 и 7; з) 10;
н) 2; к) —4 и 1; л) —2,5; 3; м) 9. 4. а) 2; б) 2; в) 3; г) — 1; д) 6; е) 66; ж) 0; з) 1,5;
н) ±	5. а) 1; 3; б) 0; 1; в) 3; г) 3; д) 2; е) 1; ж) 1; з) 0; и) 3; 11; к) 1,5; л) —2;
м) 0; —1; н) ±2; о) ±2. 6. а) 2; б) « -1,8; 2; в) -1; г) « -0,8; 2; д) 0,8;
е) « ±1,5.
§ 95
1. а) а > 1; б) 0 < а < 1. 3. а) х < 4; б) х < — 1; в) х < 4; г) х > 4-;
□
2	1
д) х >--------з"; е) х > 3: ж)	0 < х С у , х > 1; з) 1,2................. 7. 4. а) х > 5;
б) х >	1;	в) х < 1; г) х С 3;	д) х > 0. 5. а) х	< 0, х > 2;	б)	х > 0; в) х < 2.
6. а) х >	а-, б) х С а; в) х	С Ь, х > 0; г)	b < х < 0;	д)	х < с и х > d;
е) с < х	< d; ж) х<с;	з) х > с. 1.	а) [2; оо);	б) (—оо; — 1);
в) (—оо; — -^3]U[-^3; оо); г) (2л£; л + 2лЛ), k s Z.
§ 96
2. а) у = log2x; б) у = logjx; в) у = logax, где а > 0, а =/= 1. 3. 2; 1; 0;
414
— 1; —2. 6. a) log34 < log36; 6) log±7>log±9; в) log65 > loge5;
3	3
r) logi3> log_i_3. 7. a) x> 3; 6) x > 5. 8. a) Iog0,34 • log£5 > 0;
T	»	2
6) logslO — 2> 0; в) logo.alS — logo,317 < 0. 9. Указание. Установите
зависимость между этими функциями. 10. а) (—1; оо); б) (1; оо); в) (—оо; 0);
г) (— оо; 0)U(0; оо); д) ( — 2; 2); е) (— оо; оо); ж) (— оо; 0)U(0; оо); з) (—1; оо);
и) (2; 3). 11. а) (0; л); б) (о; у)и(я; 4"): в) [0; т)и(4"; 2"1;
г) (о; у)и(я; у л) - 13. а) а > 1; б) 0 < а < 1.
$ 97
2. a) loge216 = 3; б) log«1024 = 5; в)	logo.10,0001 = 4;	г) logi-^=- = 3;
д)	l°g2-^5- = - 5; е) Iog±343 = -3.	3. а)	2-’=41 б) (4)	=8;
в)	5’= 625; г) 2” = 1024; д) (0,1)* =	0,0001;	е) (4)	= 44 • 4.	а) 1;
б)	3; в) —1; г) —4; д) л; е) 4; ж) 4;	з) 4; и)	— 2-; к)	—4-
5. а)	5; б)	—1;	в)	—3;	г)	4 ;	д)	; е)	— 4 > ж) 4 1	3) 4 • 6.	а) 32;
б)	6;	в) 4= г)	4: д)	64; с)	9;	ж)	т:	э)	Пб^О-’ н)	9; к) 4" 7‘ °’-
8.	а)	10;	б) 405;	в)	16;	г)	д)	ab,	где а > 0, а =/= 1,	Ь > 0;
е)	—•, где	а >	0,	а #=	1,	Ь >	0;	ж)	где	Ь > 0; з)	А/&, где	Ь > 0;
и
а2	9
н) -у, где а > 0, в =/= 1, 6 > 0; к) 150; л) ; м) 28.
10. а) 0,7781; б) 1,0791; в) 0,6990; г) 1,1761; д) —0,2731; е) 0,6811;
ж) —0,2219; з) —0,9209. 11. а) Увеличится в два раза; б) уменьшится в два
раза; в) увеличится в три раза; г) уменьшится в три раза; д) увеличится на loga3;
е) уменьшится на log04. 12. a) lg x=lg 3-j-lg a-f-lg b\ 6) lgx = lg2+lg& +
+ lg c — lg a; в) lg x = 2 lg a + 5 lg b — 3 lg с; r) lg x = lg 4 + lg (a + b);
Д) lg* = lg(a + 6) — lg(a—6); e) lgx = 4 >8 “ + 4 lg c — 2 lg (a + c);
о	о
ж) Igx = Igsin a + lg cos a — lg a — lg b — Igc; з) Igx = v (lgp + lg(p — a)+
4	2
+ lg (p-6)+ lg (p-с)); и) lg x=lg 5 + — lg a +-Y lg (a —6). 13. a) lg h =
5	5	о о
= y ige + 72lg6-T,g3: 6) lg ° = 31gc + lg siny + з"lgcos “ “ lg6;
в) igs = ig6+41S" ~ у igsin 2a “ 4lgcos“:r)’e* = уlg0 + y lg6 —
— lg 2; д) lg 1 = lg 3 + 4 lg + у lg " — lg 4' 14‘ a) lg * = 'g 2 + 2 lg sin у !
6) lg x = lg 2 + 2 lg cos у ; в) lg x = lg 2 + 2 lg cos ( 4 — a) ; r) lg x = lg 4 +
+ lgcos +y) + lgsin(j5 - y) i Д) lg* = lg2 + Igsin (за + y) J
e) lg* = lg4 + lg cos (4 + “) + lg cos( у — “) : ж) lg * = lg cos 2a ;
415
з) Igx = lg sin 2a + lg sin 20; и) Igx = lg 2 + lg sin ( у + a ) — lg cos a;
к) lg x = lg 2 + lg sin (	+ 2a ) + lg sin ( 2a-— 2 lg sin 2a. 15. a) x =
= a3b; 6) x = £ ; в) x = г) x = ^±^-; д) x =	 e) x =
6 b	-T^b
= ^-VW- *в- “) x = “-Г 6) x = 18; в) x = V3«V|7
.	+a+b .6+a	26 + a .	18	.1	. . „ , .
r) x =	17. a)—; 6) y:—rr. 18. 5——. 19. a) —-; 6) 4; в) 3; г) 4;
a(b + c? 1— b 2(1—6) 2a + 3	3
д) 1; e) —3. 20. —(e + 6). 21. Указание. Примените в каждом случае модуль
перехода от одной системы логарифмов к другой.
§98
2
5. а) — 1; б) — 4— ; в) 1,0016; г) 4; д) —8; 1; е) 0; 3; ж) ±5. 6. а) Нет реше-
ний; б) 4; в) у; г) 4; д) 5; 95; е) 6; 14; ж) 4; з) 13. 7. а) -1; 16; б) 0,0001; 10;
в) 9; 27; г) ^2; 2; д) ( —1)*-£- + пк; е) 0,1; 10; 0,001; 1000. 8. а) Д-; 3; б) Д-; 2;
о	о 8
1 - Уз I +уз	j
в) 25. г) 4-; д) 4-. 8; е) 100; ж) ОД; 100; з) 0,1; 10	; 10	; и) 3-— •
у 2	-yio
-/10. 9. а) 4; б) -^5; 25; в) --. 4. г) . 4. д) _1_ . -^5 ю. aj ]. б) нет решений;
т/~2	4	5
в) « 0,08; «1,47; г) «0,6; д) «1,2. 11. а) 2; б) 1 -j-; в) 0,1; г) 15,5; д) 0,1; 10;
е) 16; ж) 8; з) ——; <10; н) 0,0001; 10; к) «1,3.
<10
§99
3. a) logo.alOO — log0,39<0; б) logi.r ( Д (1 — log73)) <0;
(10	\	4	2	1
(log25 — 1) ) < 0. 4. а) х >	; б) -^ < х < -к-; в) 2 < х < 3,5;
I	/	а	о	2
3,5<х<5; г) 2С*СЗ; д) х<2; х> 9; е) — 1 С * < 0;	3 < х < 4.
Б. а) 1,6<х<5; б) 2<х<3; в) 0<х<1; х> 1; г) 2<х<4; д) 3<хС5.
6, а) 0,1	Ю00; б) 1<х<1,04; х>26; в) 0<х<——; х> 4;
^8
г) 0,1<х<10. 7. а) 1<х<2; б) 0<хСЗ; в) х< —1,3.
§ 100
2. ft = 1. 3. 1, 3, -1, Д-. 6. а) е1; б) 2'1п 2; в) — Д- In 3; г) л'In л.
2	и*
(1 \2х~ I	1П Q
1п 3; в) 2 • е-‘ - г) 2sinx(l + xcos • In 2);
J /	3г
. x
1^2x103	^0,5/(1-2x10 2)+! .	.
32'	2^	6л
416
з) e'+'-sec2 е'+1; и)
2«(ln2(l-sin37x) +84 sin27x^17x) g a) _32805,n 3;
4(1 —sin37x)2
б) In 2; в)
л/8
9. a)
х + ei/ = 2; б)
у = у 1п(е • 2' + ');
в) ye — x = 0.
10. 45°.
$ 101
3
— 2 sin х + — ;
х
3. а) —-----------.
х In 2
б)
х In 5
- и»
д) х21п(е • х3); е) 4х • log2x + * g-; ж)
в)
2(x—1) In 0,1 ’
1
х(1 —1пх)2
«Л
2(Зх+1) ’ б) 5(х2 —6) ’
2
3 In 10 ’
в. у = —. 7. (1; 0). 8. а) Убывает при x > 0; б) возрастает
4- а)71Ьг;б)
В) " 3(1-х2) '
при х> 1 и убывает при 0<х<1. 9. а) При х = 2
1 —
УпНп = 2 0 ~,п 2); б) при * = — функция имеет
10. б) Рис. 378.
функция имеет минимум,
1
минимум, j/mln = — — .
$ 102
3. а) При — оо<х<0 функция убывает, а при
б) возрастает в области своего определения. 4. а) —3,1х
в) V2 • х^_|; г) 3,5х2,6. 6. а) 27; б) 0<х<27; в) 27<х<оо.
0<x< оо — возрастает;
; б) — 2х-3;
e
2
e
3
$ 103
1. а) 226,9865; б) 0,9918; в) 0,0388; г) 15,1430; д) 3,4071; е) 2,5277.
2. а) — 1,1048; б) 3,5746; в) —3,0655; г) —0,0096; д) 0,3813; е) 0,5681. 3. а) 0,0001;
б) 1,6430; в) 0,2835, г) 0,1514; д) 7,7075. 4. а) 87,6827; б) 0,0079; в) 51,5374;
г) 82,0817.
§ 104
; в) (4-т)2;г) д) е) 2?Ду):
. 3. а) (у) > (у) ; б) log34> log<3; в) logs9 >
512 до 1, у
1
93’ У
1. а) —7; б) 1;
О
ж) 1; з) 2 \[ах. 2. т-!—
75
ю,в6в4-1
> lofr3;г) ,«т •
101М7 + 1
> log^-=-. 7. Убывает от
з 2
8, Возрастает от — до
9. а) j/ианб = 3; t/нанм =	> б) t/наиб == 4; у
□
в) t/нанб 10j t/нзиы == 6. 10. а) (— ОО j — 1 );
(1; оо); б) ( — оо; —2), ( — 2; 2), (2; оо). 12. У к а з а-
и и е. Вычислите отношение	_ 13, а\ х = 9;
</ (л)
1019t’+l ’
Ум
1
2 '
Рис. Э78
417
б) х = 0,1 или X = V10. 14. а) (—оо; 1) J (1; оо); б) (—оо; — 3) U (3;
2
оо); в) (—оо; оо); г) (—1; оо); д) (—оо; 0) U (0; оо); е) (2; оо); ж) (—оо; —);
V
3) (-2; 3); и) (-оо; -2) (J (-2; оо); к) (-у ; 1); л) (-оо; 1);
м) ( - 4 +* 2"*: 4 + 2я*)- fteZ;	2):
2	2	-72	-72
о) (2лй; л + 2лй), ft е Z. 15. а) 0; б) 0; в) -у; г) 4; д) 9; е) 16. 16. а) ж18,27;
б) «0,0003080; в) «0,0009014; г) «0,2182. 17. а) х<-3; б) х<3; d) х> 1;
2	1	2
0<х<0,5; г) х < —2-5-; д) х> -z-; е) х> 2-=-; ж) х> 3,5; з) 1,25<х<2;
J	А	о
1	Q__./Га
х> 2; и) х>2-=-; к) 1,5<х<2,5; 2,5<х<3,5. 18. а) 1,5; б) ----------4.
о	2
+ лй, ft е Z; ж) 0; з) 1; и) 4; к) у; -у ; л) logi+TsLS. 19. а) —1; б) «—0,5;
— 3,14; « —6,28; г)
— 1,8; «0,5.	20. а) х < 5; б) х < — ;
3
в) х < 2; г) — 2 < х < 3; д) х < 3; е) — 1 < х < 35; ж) 1 < х < 2;
0 < х < 1; х > loga4;
по условию выражении выделите полный квадрат. 22. а) 2; б) -; 100.
л/То
23. а) (-1)‘4 + nft; б) 1025; в) е3 4 - 1; г) 2; д) 5; е) —; 10; ж) 0,2, 0,04;
6	V10
з)	0,1; 10; и) 27;	к)	2"Л 2Л 24. а)	-18; б) 9; в)	100; г) 0,01; 100;
д)	100; е) ( —1)*4	+	ж) ±4 + 2nft; з) 4-; и) 0; к)	1; 5; л) множество
действительных чисел за исключением нуля. 25. а) 1; б) « 0,2; « 1,5; в) « 1,6;
г)	нет решений; д) «1,2. 27. а) як <х<4	+ лй, ft Е Z; б) — 4 + лй <х<лй;
4	+ лй<*<Т5 +	лй,	й е Z; в) О0;	г) — !<х<0;	д) х> 7; е) 10<
<х<100; х> 100; ж) 2^х^4; з) х>2; н) 0<х^у; х>32; к) х< —1,5;
х> 4; л) х>0. 28. а) х<—2; х> 1,8; б) х<«—0,6; в) х> «2; г) 0<х<
2	3
<«0,001; х> «2. 29. a) Ь&^-вЖ*; б) 1-х+х2-хэ; в) — А — —; +
+ — ; г) 4-----— ; д) 1-4*3 + 15х2-------— . 30. а) 2е^; б) -е 2 ;
. V?	2х^
в) -4-; г) - —; д) - 2slnx • е2с<иж; е) ; ж) 2Чп 2;
418
V , е—7ж| г	.	— 161П4	.	-161П1.3
з)	-7.5 7'1п5;	и)	—1 к)	=
л) (2х—5) . 0,7ж'-5'+3 . in 0,7; м)--3 1п 6  ;
sin2x-63c,8'
Н) з^эх _	. о) 7-(cosx + xsinx + 4) .
4' ’	(cos х + 4)2
. cos х + 2х• sin х .	1	1
n) ------!-------.31. а) —r-s- ; б)----------;
2д/х-соз2х	х Ind	xln2
2	7	1
в) --------------; г) ------------; д) --!---;
(2х—5) In 0,2	(7х-6) In 5 х In 10
е) -tgx; ж) -----—; з) 2' •( In 2-1п Зх + — ) ;
sin 2х	'	х /
и) 5-3'+‘-1пЗ Н--------------;
(2х—1)1п2
sin х—х cos x.ln 2х д/х in Зх — 2 (д/х-j-1)
x-sln2x ’	2x-tn23x
м) 10' • In 10 In х + -j-
и) х"-' ( п In (4х+9) +	; °)
Зх2 • д/х + 1
д/х(х3 + 2д/х-4)-1п5
32. а) у =
= 2,5х—1,5; б) у = — 1,5х — 0,5; в) у = х + 1; г) у = -i- ex; д) у = -^-(1 -Ь In 2 —
—xln2); е) у = Зх—1; ж) у = lne-(5x—1). 33. 45°. 34. а) Функция убывает при
х < 0 и х>8, возрастает при 0 < х < 8; /(0) = 0, /и1ж = f (8) = 25,6; б) функция
убывает при — 1 < х < 1, возрастает прн х<-1 и х> 1; f (1) = 1, f (— 1) = е4;
в) функция убывает при х<1, возрастает при х>1; </(1) = -|-; г) функция
убывает при е-2<х<1, возрастает при 0<х<е-2 и х>1;	= 4е~\
f (1) = 0; д) функция убывает при + 2лй<х<^р + 2л/г, где 4 е Z, возрастает
при 2nfe^x<-j- + 2лй, л + 2nk^x-^2n -|- 2nfc, 4 е Z; /( "у "Ь 2Л^Е) ~
= — е* +2п*. f (— 4- 2лА^ = — е* 1 2" . 35. а) Указание. Докажите, что
4	\ 4	'	4
данная функция возрастает при х е D(y). 36. в) Рис. 379; г) рис. 380; д) рис. 381;
е) рис. 382.
419
§ 105
1. 32. 2. a) 3-4'ln 4; 6) -e“2,(2 cos 3x +
+ 3 sin Зх); в) 4!rZrT : г) 20x9; A)-T--
‘	Зх2^
3. в) Рис. 383. 4. a) 2; б) 3. 5. у = З^Зх in 3 +
+ In 4) - б-а) х<5;б) 2,5<х<3.7. «0,08612.
□ '
Г л а в а XI
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ,
СИСТЕМ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВ
§ 108
7. а) Нет; б) да. 8. а) — 1; 2; б) 6; в) 4; г) —4; — 1; д) —4; е) ± 10; ж) нет
решения. 10. Указание. Докажите, что уравнения определены для одних
и тех же значений переменной х.
$ 107
2. а) х>-2,5; б) хе(-оо; оо); в) х>2,5; г)
Б. а) 2; б) —3; 3; в) 6; г) нет решений; д) е) 0;
—3<х< 1,4; д) х> 1.
1; ж) —2; з) - ± ;
1	55
2; и) 5; к) 7; л) -3; м) 3. 6. а) ±2; б) -7; в) -	; г) 4; д) 7;
V	У
е) 9; ж) —5; 4; з) нет решений; и) нет решений; к)
- -jij-. 7. а) 100; б) 19; 84;
в) 0; 1; г) 10; д) -1; 5	; 2; е) 1; 2; ж) 2; з) -2; 1; и) 1.
8. а) 0; 1; б) нет решений; в) 1.
§ Ю8
ч/З
2. а) 45°; б) 135°; в) 60°. 3. а) у = х+1; б) у = х - 2; в) у = —х —
— 3. 4. а = —у/3. 5. а) а = —6; б) а = Ь. 6. у = 3. 7. а) Рис. 384; б) рис. 385.
9. д) Рис. 386; е) рис. 387. 10. Искомое множество точек.
420
Рис. ЭВВ
$ 109
3. а) (-2; -5); (5; 2); б) (5; -8,5); (5; 1); (6 -746; -4); (6 +746; -4);
в) (-3; 2); (2; -3); г) (5; -2); д) (1; 3); (3; 1); е) (1; -3); (-1; 3); (3; -1);
(-3; .); ж) -Ч; (3; 3); (fc>; Ц&); (-Ц^;	:
3) (34,5 —4,5 л/57; 34,5 + 4,5 757); (34,5 + 4,5 757; 34,5 — 4,5 757); и) решений
нет. 4. а) (6; 0); (0; 6); (-6; 0); б) (0; 0); ( — 4,6; --1,9); (-4; —4); (—1,9; -4,6).
5. а) (2; 1); (-2; - 1);	; ' — ) , ( -	; б) (100; 1000);
х 7м 1 7'4i у 7м 1 7м 1 '
(1000; 10); п) (4; 9); г) ( " | пк; I “• -| 2ля ) . к, п с= Z.
§ но
2. (5; —2), (3;	I). (2,5; 0). 3. к) Рис. 388. 5. с) Рис. 389. в. а) Рис. 390;
б) рис. 391; в) рис. 392; ।) рис. 393; д) рис. 394; с) рис. 395; ж) рис. 396; з) рис. 397;
и) рис. 398; к) рис 399, л) рис. 400; м) рис. 401.
§ 111
2. а) Да; б) пег; в) uri, г) да; д) пег; <•) in i'. 3. л) />  —3; 6) р = 0;
в) р = 0. 4. а -  Ю 5. а) 3- >• 5; Г») множество всех точек плоскости,
кроме точки (— 3; О); и) мп<1 но всех точек плоскости, кроме точек прямых
421
Рис. 400	Рис. 401
х = лй, k е Z; г) х>3. 6. а) ; —5; 2; б) * в) 2; г) 7. 7. Преобразо-
1	2—а
вания а), в), г), д), е) ж), з). 10. а) х = -—j , у = -j—- ; б) при а =^= — 0,5
4	2	..	,	20 — 46
х = , , „—, у = , , „ ; при а = — 0,5 иет решений; в) х =---------- ,
1+2а	’	1+2а	15 + 862
6+166
у =---------; г) при а^1,ох = 0, у = 3; при а = 1,5 система имеет бесконечное
15+862
422
множество решений; д) при а^= — 2 х =
6— 5а
Т+2";
8
а + 2 '
при а =
— 2 нет
У =
решений. 11. а) 45°; б) 135°; в) 60°. 12. -2^/3. 13. а) (I; 1; —1); б) (I; 2; —1),
в) (1; 3; -2); г) (-1; 3; -2). 14. а) (3; 1); (4; 2); б) (3; 4); (3; -4);
(-3; 4); (-3; -4); в) ( -^/Й; --7=); (	; -рт ) ; г) (-1; -1);
2	т/26	2	V26
( ; 7—\. (-7^;—•); д) (2; 3); (3; 2); (1; 5);
(5; 1); е) (-4; -3); (-3; -4); (3; 4); (4; 3); ж) ( у ; у) ; ( у ; у) ;
2Vt):(Vt- -2Vt); (~2-	(2:
и) (1; 1);	(-3; 5); к) ( |; ±),	(-|;	-±); л) (2; 2);
м) (-1; -2); (1; 2); ( — -у : — -у ) ; ( -у—J -у-) ; и) (-27; -8); (8; 27);
у/	-у/	-у/	-\]7
о)((—1)‘у + nfe; лп).Л, « е= Z. 15. а) (0; 1); (1;0);б) (7; - 1); (7; 1); в) (4; 8);
(8; 4); г) (2; 1); д) (-4; -3); (3; 4); е) (12; у); ж) ( у ; у ) ; 3) (2; 2).
16. а) ; б) 7; в) 7; г) 12; д) 4.
§ И2
1. а) 3; —5; б) 10.2. —	. 3. При а ±4 система имеет единственное решение
( 4Va •’ - 4Т2. ) ' 4’ ( 2 ~ Т С “ Т Z:') ’ Z Е R< 5> Э) (~2; “3): ("3;-2):
(2; 3); (3; 2); ft) (4: 2). 6. а) Множество точек полуплоскости, расположенных
ниже прямой // — —у | I; б) множество точек впугреши-й области параболы
у = —х’ + 2х+1, исключая точки, принадлежащие этой параболе. 7. а) Рис. 402;
б) рис. 403; в) рис. 404.
423
Глава XII
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. 4- = 0,5; -2-3-= — 2, (857142);	= 0,45(3). 2.	2,375 = 2-4;
2/70	8
°’<32> = is- • °-45333-
_34.
— 75 ’
- 1,03(25) = - 1 ™-. 4. а) - 1 < х < 2
б) х > 1, х < —1,5. в. а) х < I, х > 1; б) х < 1, 1 < х < 2, х > 2
.	_ .	_1	_ —5 — V40	____—5-}--\/40
в) х > 1; г) х > — 2. 7. а) х > —; б) х	, х >-------—
Z	□	3
2
в) х > 1,5; г) х >	; д) х < — 2, 1 < х < 2; е) — 1 < х < 1; ж) х > О
з
{х при 0 х < 2,	(— 1 при х < 0
2 при 2 < х < 4,	и у = |	1 при х > О
— х + 6 при 4 < х 6
9. а) у =	; б) у = 4х — 3; в) у = т[х; г) у = log2 х, если х > 0. 10. а) Возра-
стающая функция; б) возрастающая; в) убывающая; г) возрастает при х < 2
и убывает при х> 2. 11. а) Периодическая, Т е R; б) непериодическая; в) не-
периодическая, г) непериодическая, д) периодическая, Т = я. 15. п = 9.
1(L ut • qn + ". 17. У к а з а и и е. Представьте 0,(/п) в виде 0, (/п) =	—|-
+ ТйлК + ••• • 18- 10- 19- 10- 20- 1 "ли 9. 21. 36; - 12,4; - 4; .... 22. 13 м/с.
1UUU	3	э
э г—
1	—	3	4	20 л1х
23. а) 1,5; б) 4-; в) 3; г) 2,5; д) 0,5; е) — ; ж) - 4; з) 16. 24. а) —у— +--------
4	'	3-д/х	°
-А; б) 6х(х4 + Зх2—1)2(2х2 + 3); в) (2,5х + 1,5) д/х; г) 3 cos ( Зх -	.
хэ	°
25. у = Зх — 5. 20. a) f (х) возрастает при х < 7, убывает при х > 7,
f (7) = 24,5; б) g (х) возрастает на множестве действительных чисел; в) <р (х)
возрастает при х < 0, и х > 0; г) Л (х) возрастает при х < — 1; 0 х 1;
убывает при —1 < х < 0, х > 1, Л(—1) = Л(1) = 1, й(0) = 0. 27. a) f (0)=0,
f (2) =±;6)f(-l) =4- /(0) = 0; в) /(	= ~^;г) f (2) = 0,
е2	е	£
/(2,5) = 0,0625, / (3) = 0;д) / (-д/2) = - (17 + 12д/2),/ (д/2) = 12 д/2-17;
е) f (1,5) =6,75; ж)/(- 1) = 1,/(1) = 3; з) f = - g-. 28. a) f ,.,в =
О	' 1 1 z	УО
= f (3) = 9, /».,« = f (0) = 0; б) f„.„e = /(!) = 4. Л.-ИМ = f (0) = f (3) = 0;
в)	= f (2) = 22,	= J ( — 1) = - 5; г) /мкб = f(-l) = 3,	=
424
Рис. 409	Рис. 410
Рис. 412	Рис. 413
3
= f (0) = 2; д) = I (2л) = 2, f„„„ = f (-1) = f (А л) = 0; е) f,.,6 =
ЯЗ	9
= f(I) = Л-Г-.7- I- з. f1)ailH = f (-1) = Т^г-- з. 29. а) Рис. 405; б) рис. 406;
о 1И<>	1П О	j _
в) рис. 407; г) рис. 408. 30. х1 + 1. 31. а) -------------------------5- + С; б) — 3 cos х + С;
t»	J
425
в) - 1 cos Зх + С; г) 4V? + 4г + С- Д> ~ -Tct8 Зх + С; е) V®*'"’ + С-
32. а) Рис. 409; б) рис. 410; в) рис. 411; г) рис. 412; д) рис. 413; е) рис. 414;
ж) рис. 415; з) рис. 416; л) рис. 417; 33. а) х* — х + С; б)---------5---
2х2
cos 3x4-С; в) Зх-А^ + С; г) -In |х| + С; л)1-хг^Гх +
о	z	z	о
4- ctg 2х + С; е) -j-sin (зх - у) + С. 34. а) 2; б) 1; в) - 682,5; г) 1;
4
д) 18,6; е) 3. 35. а) 4,5; б) 4,5; в) —. 36. а) Нет решений; б) 1; в) — 3; 1;
□
г) нет решений. 37. а) 3; б) 1; в) 2; г) иет решений; д) 16; е) 81; ж) —
з) 2. 38. а) Единственное решение; б) пустое множество решений; в) беско-
( 3 28	\
—;	; 11; б) (3 — I; 1—1; I), (ей;
5	5'
в) иет решений. 40. а) (8; 4); (4; 8); б) (1; 1);
У	/	1 \	з
( 3; т ). 41. а) х = -д-; б) х < — 2 и х> 2;
\ □ / £
У	20
S в) 2 < х < 5; г) 2 < X < 5. 42. а) - рр <
S	10
/	< х <	; б) 2,7 < х < 6. 44. На рис. 346
J _	о
“d ° S2	/ У < X - 3,	/ у > - X2 + 2,
/	( у > х2; иа Р“с- 347 ( у - X > 0;
.<-2
/	Г V2 4- х2 4	1
И ?	иа рис. 348 | у Г •	45. а) 6 4- ;
I у < х2.	3
Рис 417	б) \/aF. 46. а) —	; б) -^х, в) In 2х1п2-1,
426
6	V4'!’ ।
Г) - д) sin & 47‘ а) Т + С- б) 2^ + С; в) 4 •	--- + С;
’	2	Л^+1
х1п2 + 1	8	75
г) 1п 2+1 "* С' 48’ а) У ’ б) Т ’ в) ~ *' 49’ а) х > 4: б) х < —;
в) х < 5; г) х < 3; д) х > 2. 50. а) 2 х+ 3 In 2; 6) — 4е3-4х; в) 3sinx • cos х • In 3;
г) (0,2)x (In 0,2 • sin Зх + 3 cos х); д) — 2е~2х • cos 5х + б^-21 • sin 5х.
51. а) + С; б)	С; в) 2е2х + С; г) - -^-+ С. 52.	.
3 In 2	In 3	]п з
53. а) 9; б) 27; в) 7. 54. а) 2; б) 2; в) 0,1; г) 4; д) <Тб; 4=- ; е) 5. 55. а) т > 0,
4	<10
л > 0 и т < л; б) т > 0, л > 0 и т < л; в) т > 0, л > 0 и т > л.
1	3
56. а) 0 < а < 1; б) 0 < а < 1; в) а > 1. 57. а) -г—,-; б) —. 58. а) In 2;
х in 2	х
б) у In 5. 59. 1. 60. а) 0; б) 2 tg2t. 62. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) не-
четная. 64. а) 2 cos 5х; б) —2 sin 2х; в) 3 cos Зх cos (),5х— 0,5 sin Зх sin 0,5х;
г) - Cos2x ~ 3sin2* . 65. Да. 66. а) (-1)‘4 + л*. * е Z; б) л + 2лй;
8 sin2x cos’x	°
л	2
±	+ 2лл, k, л е Z; в) nk; arctg 2 -|- ял. й, л е Z; г) — arctg + лй;
О	Э
4 + лл, k, л е Z; д) (—!>*•-?-------+ лй, й е Z. 67. а) 4 + 4 лй и л +
4	V О	О v
л	2	л
+ 2лл, й, л е Z; б) у + лй; ± — л-f- 2лл, й, л е Z; в) -- + лй и arctg 4 + лл,
й, л е Z; г) (— 1)‘ • 4 + лй, й е Z; д) + лй; arctg+ лл, й, л е Z;
е) 4 + arctg 3 + лл, й, л е Z; ж) (— 1)‘ •	+ nk, й е Z; э) 4 +
4	о	z
4 + лп, й, л е Z; и) 4 + arctg ( — 3) + лл; й, п е Z; к)----------+ 2лй;
4	4
(->)"4 + лл- ft. « е Z. 68. а) (0; — 1); б) (0; 1); в) (-4;у);г) (5:у):
д) (-4; — 2); е) (3; 6); ж) (у;	(-2; 2); (6; 2); (-А ; -1);
з) (3; 2), (- 3; - 2); и) (- 4; - 5); (4; 5); (— 3 <3; — <3); (3 <3; <3); к) (3;
427
Рис. 420
5); ( —3; -5);(4; “Т")’ (“4^	<4; 9>;м) (4;9)-в9.а) 81; б) 3;
\ О О' » О	О '
1	6	1	9
в) 3; г) - 4-; д) 1; -fi. 70. а) -б) - 1,5; в) -j-f—; г) 0; 4; д) 3;
X	X	1О£з х
е) ЮЛ 10“ А 71. а) (7; 3); б) (5,5; 0,5) в) (3; 1). 72. а) (10; 1000), (1000; 10);
в) (4; 10), (10; 4); г) (3; 2). 73. а) - 4 + х < V +	* е Z;
О	о
,,	2	2	л 2 , ,	_	7	, „ . . л ,
б) — —л + -х-лй<х<— ^- + -s-nfe, k s Z; в) — л + 2л/г < x < -— +
У О	У о	о	о
+ 2nfe, k е Z; г)-f- л + 2лй < х < —+ Znk, k s Z; д)-5- +
OO	D
+ nk < x c 4 + "*• * e Z. 74. a) x < 4; 6) 5 < x < 7,5; в) x > —0,4;
X	io
7	111	9	4
Г) X < - 0,05; д) 1 =7 < X < 1 -5-; e) —	<x<--^-;m)-5<x< — ;
X*i	О	1У	О	У
з) 1,42 < х < 1,5; и) 1 < х 2; к) х — 2; л) 3 < х 3,5; х > 5;
а2
м) 0,5 С х С 4. 75. б) Рис. 418; в) рис. 419; д) рис. 420. 76. -у (2 — tgq>).
77. 16 V3. 78.	79. 4 дм3. 80. 2^2. 81. 2. 82. -J5. 83. 1 м. 84. 2. 85. 4л.
О
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Действительные числа ................................................. 3
$	1.	Рациональные числа............................................... 3
$	2.	Иррациональные числа................................. 8
$	3.	Действительные числа................................. 12
§	4.	Повторение...................................................... 17
$	5.	Задании для самопроверки........................................ 19
Глава II. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств ...	20
$	6.	Решение линейных уравнений.......................................20
$	7.	Неравенства и их свойства. Линейные неравенства..................22
6	8.	Решение квадратных уравнений.....................................25
§	9.	Примеры решений систем уравнений....29
§	10.	Примеры решений систем неравенств.34
§ 11.	Повторение ...............................z........................41
$ 12.	Задания для самопроверки...........................................43
Глава III. Функции.............................................................44
§ 13.	Понятие функции..................................................  44
§ 14.	Линейная функция...................................................48
$ 15.	Квадратичная функция...............................................49
$ 16.	Степень с рациональным показателем.................................55
| 17.	Примеры степенных функций..........................................57
§ 18.	Повторение ........................................................61
$ 19.	Задания для самопроверки...........................................62
Глава IV. Производная .........................................................63
§ 20.	Понятие о пределе и непрерывности функции..........................63
§ 21.	Основные теоремы о пределах........................................67
$22.	Понятие о приращении аргумента и приращении функции ...	69
$ 23.	Скорость прямолинейного движения...................................72
§ 24.	Производная........................................................76
§ 25*	. Производная и непрерывность......................................79
$ 26.	Производная алгебраической суммы, произведения и частного
функций. Производная степенной функции..............................81
$ 27.	Производная сложной функции........................................86
$ 28.	Повторение ........................................................89
$ 29.	Задания для самопроверки...........................................91
Глава V. Применение производной ...............................................92
$ 30.	Примеры применения производной к приближенным вычисле-
ниям ..........................................................92
§ 31.	Геометрический смысл производной...................................96
$ 32. Уравнение касательной к кривой....................................100
$33. Применение производной в физике....................................102
$ 34. Возрастание и убывание функции....................................105
$ 35. Максимум и минимум функции.........................................ПО
$ 36. Исследование квадратичной функции.................................119
$ 37. Общая схема исследования функции и построение ее графика 124
$38. Наибольшее и наименьшее значения функции...........................129
429
§ 39.	Повторение ...............................................134
$ 40.	Задания для самопроверки..................................136
Глава VI. Тригонометрические функции и тождества......................137
$ 41.	Градусное измерение угловых величин. Вращения и повороты 137
$ 42.	Радианное измерение угловых величин.......................139
§ 43*	. Длина дуги оиружности..................................144
§ 44*	. Площадь кругового сектора..............................145
§ 45.	Тригонометрические функции числового аргумента............146
$46.	Изменение тригонометрических функций с изменением аргумента 150
$ 47.	Таблицы значений тригонометрических функций числового аргу-
мента ..........................................................154
$ 48.	Решение простейших тригонометрических уравнений и нера-
венств на отдельных промежутках	........................157
$ 49.	Зависимости между тригонометрическими	функциями одного и
того же аргумента..........................................160
$ 50.	Понятие четной и нечетной функции.........................166
§51.	Четность и нечетность тригонометрических функций..........168
§ 52.	Периодичность тригонометрических	функций...........170
$ 53.	Графики функций sin х и cos х.............................174
§ 54.	Графики функций tgx и ctgx................................177
§ 55.	Решение простейших тригонометрических уравнений па множе-
стве действительных чисел.......................................178
§ 56.	Примеры решения тригонометрических	уравнений.............187
§ 57.	Примеры решения тригонометрических	неравенств.............191
§ 58.	Повторение ... г..........................................193
§ 59.	Задания для самопроверки..................................196
Глава VII. Теоремы сложении для тригонометрических функций
и их следствии........................................................194
§ 60.	Векторы. Скалярное умножение векторов (повторение) . . . 194
§61.	Косинус суммы и косинус разности двух аргументов..........198
§ 62.	Сннус суммы и синус разности двух аргументов..............201
§ 63.	Тангенс суммы и тангенс разности двух аргументов..........204
§ 64.	Формулы приведения........................................206
§ 65.	Тригонометрические функции двойного аргумента.............211
§ 66*	. Тригонометрические функции половинного аргумента .... 212
§ 67*	. Выражение тригонометрических функций через тангенс поло-
винного аргумента ....	.......................216
§ 68.	Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических
функций.........................................................220
§ 69.	Примеры решения однородных	тригонометрических уравнений 222
§ 70.	Повторение ...............................................224
§ 71.	Задания для самопроверки..................................226
Глава VIII.	Производные тригонометрических функций...................228
§ 72.	Вспомогательные теоремы...................................228
§ 73.	Производная синуса........................................231
§ 74.	Производные косинуса, тангенса	н котангенса.........233
§ 75.	Понятие второй производной................................235
§ 76.	Понятие о дифференциальном уравнении. Гармонические колеба-
ния ............................................................236
§ 77.	Решение задач.............................................242
§ 78.	Повторение ...............................................245
§ 79.	Задания для самопроверки..................................247
Глава IX. Первообразная и интеграл....................................248
§ 80.	Понятие первообразной функции.............................248
§ 81.	Основное свойство первообразной функции...................250
§ 82.	Три правила нахождения первообразных......................254
§ 83.	Криволинейная трапеция и ее площадь.......................256
$ 84.	Вычисление площадя криволинейной трапеции.................261
430
§ 85.	Понятие интеграла.......................................262
§ 86.	Формула Ньютона — Лейбница..............................268
$ 87.	Применение интеграла к решению задач....................270
$ 88*	. Приближенное вычисление интегралов....................273
$ 89.	Применение интегралов к вычислению объемов тел..........276
§ 90.	Повторение .............................................280
$ 91.	Задания для самопроверки................................284
Глава X. Показательная, логарифмическая, степенная функции
и их производные....................................................285
$ 92.	Степень с действительным показателем...................285
$	93.	Показательная функция, ее свойства и график..........288
$	94.	Примеры решения показательных уравнений..............292
$	95.	Примеры решения показательных неравенств.............296
$	96.	Логарифмическая функция..............................299
§	97.	Основные свойства логарифмов.........................301
$	98.	Примеры решения логарифмических уравнений............308
$	99.	Примеры решения логарифмических неравенств...........312
$ 100.	Производиаи показательной	функции......................315
$ 101.	Производная логарифмической функции....................318
$ 102.	Степенная функция и ее производная.....................321
$ 103.	Вычисление значений показательной, логарифмической и сте-
пенной функций с помощью калькулятора.........................324
§ 104.	Повторение.............................................328
$ 105.	Задания для самопроверки...............................335
Глава XI. Решение уравнений, систем уравнений и неравенств..........336
$ 106.	Понятие о равносильных уравнениях......................336
§ 107.	Примеры решения иррациональных уравнений...............341
$ 108.	Уравнения с двумя и тремя переменными . . >............345
$ 109.	Некоторые приемы решения нелинейных систем уравнений . . 348
$ 110*	. Примеры решения неравенств и систем неравенств с двумя
переменными...................................................357
§ 111.	Повторение.............................................363
$ 112.	Задания для самопроверки...............................365
Глава XII. Упражнения для повторения................................367
Справочный раздел...................................................383
Ответы и указания к упражнениям.....................................392
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
ГЛЕЙЗЕР ГРИГОРИЙ ДАВЫДОВИЧ
СААКЯН САМВЕЛ МАНАСОВИЧ
ВЯЛЬЦЕВА ИННА ГЕОРГИЕВНА
АЛЕКСЕЕВ АНАТОЛИЙ СТЕПАНОВИЧ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Учебное пособие для 10—12 классов
вечерней (сменной) школы и самообразования
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. М. Котова
Младший редактор Т. Н. Клюева
Художник Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Р. Дащук
Технический редактор Т. П. Локтионова
Корректоры О. И. Кузовлева, Г. И. Мосякина
ИБ № 10943
Сдано в набор 01.11.88. Подписано к печати 04.08.89. Формат 6ОХ9о)|а. Бум. типограф. № 1.
Гарант, литературней. Печать высокая. Усл. печ. л. 274-фор. 0,25. Усл. кр.-отт. 27,69. Уч.-изд. л. 25,71 4-
4-форз. 0,42. Тираж 285 500 эка. Заказ № 617. Цена 65 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР
по делам издательств, полнграфнн н книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с дкапознтнвов ордена Трудового Красного Знамени ПО «Детская книга» Госкомиздата
РСФСР, 127016, Москва. Сущевский вал, 49, на Саратовском ордена Трудового Красного Знамена
полиграфическом комбината Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфия
к книжкой торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
ПРОИЗВОДНАЯ
ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ	ПРОИЗВОДНАЯ
с	0
Xй	OL Xй-1
0х	axlna
1одах	xlna
sinx	COSX
COSX	-sinx
tgx	7	 COS2X
ctgx	7 sin2x
ФУНКЦИЯ	ПРОИ ВВОДНАЯ
Си	Си'
u±v	u'±v‘
u-v	u'v t-v'u
и V	u'v-v'u V2
u(v),v(x)	u'x=u'v-vx
}f(x)dx= a	•F(b)-F(a),	F'(x)=f(x)
ФУНКЦИЯ	У ПЕРВООБРАЗНАЯ
Xй, об ¥=-7	xa+? ot+7+C	y-W
0х	a* 	 Ina
1 X	Inlxl 4-C
sinx	-cosx+C
cosx	Sinx+C	0 a-x. X, X,	I.
7 C0S2X	tgX+C	Unit f(Xn)AX n .	« (>
7 sin2x	-ctgx+c	-}f(x)dx it
У	y-i (x) $“/ l(x)dx Й
0 a	b