Физико-
Математическая
Библиотека
Инженера
Б. Г. КОРЕНЕВ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1971

517.2
К 66
УДК 517
Введение в теорию бесселевых функций. Коре-
Коренев Б. Г. Главная редакция физико-математической
литературы нзд-ва «Наука», М., 1971
Книга рассчитана на лиц, интересующихся функциями Бесселя
С точки зрения их приложений. В первой части книги излагаются
основы теории бесселевых функций. Здесь рассматриваются свойства
бесселевых функций: представления функций в виде степенных ря-
дсв, интегральные представления, асимптотические разложения,
функциональные уравнения типа вронскианов, формулы сложения
и др. Наряду с этим подробно рассматриваются дифференциальные
уравнения второго и четвертого порядка, приводимые к уравнениям
Бесселя, а также неоднородные уравнения Бесселя; излагаются
основные сведения о функциях, родственных функциям Бесселя, и
о функциях Ломмеля двух переменных. Сравнительно подробно
рассматриваются несобственные интегралы, ряды Фурье — Бесселя и
ряды Шлемильха Приводятся решения парных интегральных урав-
уравнений, основанные на использовании аппарата теории бесселевых
функций.
Вторая часть книги, основанная главным образом на работах
автора, посвящена приложениям бесселевых функций, она содержит
решения различных задач, относящихся, в основном, к теории упру-
упругости и колебаниям упругих систем. Книга написана простым язы-
языком и ее основная часть вполне доступна лицам, имеющим образо-
образование в объеме втуза.
Книга содержит табл 1, илл. 38, библ. 85 на^в.
2-2-8
M-7I

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие б
Введение 9
ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Глава I. Уравнение Бесселя. Свойства бесселевых функций 13
§ 1. Дифференциальное уравнение Бесселя. Применение
степенных рядов. Цилиндрические функции первого рода 13
§ 2. Цилиндрические функции второго рода (функции Ней-
Неймана) 17
§ 3. Цилиндрические функции третьего рода (функции
Ганкеля) 18
§ 4. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента ¦ . 19
§ 5. Цилиндрические функции комплексного аргумента . . 20
§ 6. Формулы дифференцирования, рекуррентные формулы 23
§ 7. Цилиндрические функции с полуцелым индексом . . 26
§ 8. Некоторые обозначения для функций полуцелого и
дробного индекса. Интеграл Эйри 27
§ 9. Определитель Вронского 29
§ 10. Интеграл Бесселя и разложения Якоби 34
§ 11. Теоремы сложения 39
§ 12. Разложение Лонмеля 45
§ 13. Дифференциальные уравнения, приводимые к уравне-
уравнению Бесселя 46
§ 14. Интеграл Пуассона 53
§ 15. Некоторые неопределенные интегралы 57
§ 16. Функции, родственные бесселевым функциям. Частные
решения неоднородного уравнения Бесселя 61
§ 17. Об интегрировании неоднородного уравнения Бесселя.
Функции Коши 71
§ 18. Произведения бесселевых функций 78
§ 19. Интегральные представления бесселевых функций . . 83
Глава II. Определенные и несобственные интегралы. Ряды по
бесселевым функциям 90
§ 20. Определенные интегралы . 90
§ 21. Несобственные интегралы 95
§ 22. Парные интегральные уравнения 120
§ 23. Корни бесселевых функций 129
§ 24. Ряды Фурье — Бесселя н Динн 134
§ 25. Ряды Шлемильха 145
§ 26. Ряды Неймана 156
§ 27. Функции Ломмеля двух переменных ........ 158

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 28. О неполных цилиндрических функциях 165
§ 29. Асимптотические разложения бесселевых функций . . 173
§ 30. О бесселевых функциях с большим индексом . . . .176
ЧАСТЬ II
ПРИЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Глава I. Задачи теории пластинок и оболочек 180
§ 1. Колебания круглой пластинки 180
§ 2. Равновесие круглой пластинки, лежащей на упругом
основании. Осесимметричная деформация 196
§ 3. Равновесие круглой пластинки на упругом основании.
Неосесимметричная деформация 201
§ 4. Расчет круговой конической оболочки на действие осе-
симметричных нагрузок и неравномерного нагрева . . . 206
§ 5. Метод компенсирующих нагрузок в задачах о мембра-
мембранах и пластинках 216
§ 6. Задачи о равновесии неограниченной пластинки, лежа-
лежащей на однородном упругом основании, модель кото-
которого обладает круговой симметрией 234
Глава II. Задачи теории колебаний, гидродинамики и тепло-
теплопроводности 243
§ 7. О колебаниях нити 243
§ 8. Действие импульса на цилиндрические и призматиче-
призматические резервуары, наполненные жидкостью ..... 249
§ 9. Плоские тепловые волны в полупространстве и слое;
тепловые волны в стержне 256
§ 10. Штамп, лежащий на упругом полупространстве, мо-
модуль упругости которого является степенной функцией
глубины 264
§11. Применение интегральных уравнений к решению неко-
некоторых задач о мембранах и пластинках 268
§ 12. О распространении волн в линиях электропередач . . 276
Приложение. Краткие сведения о гамма-функциях .... 279
Литературные указания 281
Литература , 283

ПРЕДИСЛОВИЕ
Большое число различных задач, относящихся прак-
практически ко всем важнейшим разделам математической
физики и к самым разнообразным техническим вопро-
вопросам, связано с применением бесселевых функций. Ли-
Литература, в которой встречаются эти функции, практиче-
практически просто необозрима.
Различные разделы теории бесселевых функций
широко используются при решении задач акустики, ра-
радиофизики, гидродинамики, задач атомной и ядерной
физики и др.
Весьма многочисленны приложения функций Бесселя
к теории теплопроводности, в том числе к к динамиче-
динамическим и связанным задачам.
В теории упругости решения в бесселевых функциях
охватывают все пространственные задачи, решаемые в
сферических и цилиндрических координатах, различные
задачи о колебаниях пластинок и о равновесии пласти-
пластинок на упругом основании, ряд вопросов теории оболо-
оболочек, задачи о концентрации напряжений вблизи тре-
трещин и др.
В каждой из этих областей приложения бесселевых
функций очень разнообразны.
Функции Бесселя хорошо изучены. Имеется обшир-
обширная справочная литература, содержащая формулы и
различные таблицы.
Ознакомление с теорией бесселевых функций под
углом зрения их приложений должно представить инте-
интерес для широкого круга инженеров и научных работни-
работников. Изложению теории бесселевых функций посвящены
специальные разделы различных курсов математической
физики (см. курсы Р. Куранта и Д. Гильберта,
Р. И Морса и Г. Фешбаха, А. Н. Тихонова и А. А. Са-
Самарского и др.). Наряду с этим изучению бесселевих
функций уделяется, естественно, серьезное внимание в

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
монографиях, посвященных специальным функциям. Это
относится, например, ко второй книге «Курса современ-
современного анализа» Э. Т. Уиттекера и Г. Н. Ватсона, книге
Н. Н. Лебедева «Специальные функции и их прило-
приложения», книге А Н. Кратцера и В. Франца «Трансцен-
«Трансцендентные функции», монографии Н. Я. Виленкина
«Специальные функции и теория представлений групп»
и др.
На русском языке имеется несколько книг по теории
бесселевых функций. Среди них мы отметим два издания
книги Р. О. Кузьмина «Бесселевы функции», перевод
книги Э. Грея и Г. Б. Мэтьюза «Функции Бесселя и их
приложения к физике и механике», а также, конечно,
перевод наиболее подробного курса по теории бесселе-
бесселевых функций — книги Г. Н. Ватсона «Теория бесселевых
функций».
Предлагаемая книга содержит краткое изложение
основ теории бесселевых функций, сопровождаемое при-
примерами приложений теории к решению различных фи-
физических задач.
Книга предназначается для читателя, который в ос-
основном интересуется приложениями теории, а не самой
теорией. Это определило как выбор материала, так и
характер изложения. Автор стремился к тому, чтобы
читатель мог почерпнуть здесь наиболее необходимые
сведения и в дальнейшем сознательно пользоваться спра-
справочной литературой и самостоятельно применять бессе-
бесселевы функции к решению прикладных задач.
Применяя аппарат теории бесселевых функций, ин-
инженер-исследователь должен обязательно иметь общее
представление об основах теории в целом и ясно пред-
представлять взаимные связи между ее различными разде-
разделами. Именно поэтому выводы формул, даваемые в
большом количестве в этой книге, важны для читателя,
интересующегося приложениями. По той же причине при
выборе схем вывода здесь отдавалось предпочтение тем,
которые используют одни свойства бесселевых функ-
функций для выяснения других свойств. Взаимные связи
между отдельными разделами теории при этом просмат-
просматриваются более ясно.
Цели выявления связей теории с физическими прило-
приложениями служат и отдельные краткие замечания или

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
вводные разделы, носящие эвристический характер.
Именно с этой точки зрения следует рассматривать от-
отдельные выводы, относящиеся, например, к формулам
сложения, интегралу Бесселя, несобственным интегра-
интегралам и др., а также приложения бесселевых функций, рас-
рассматриваемые во второй части книги.
Книга состоит из двух частей.
Первая часть книги содержит изложение основ тео-
теории бесселевых функций, вторая часть — их приложе-
приложения. Первая часть для удобства чтения разделена на
две главы.
В первой главе, содержащей сравнительно простой
материал, сначала рассматриваются основные свойства
решений однородного уравнения Бесселя, основанные на
представлении решений в виде рядов по возрастающим
степеням аргумента. Далее приводятся интеграл Бессе-
Бесселя, интеграл Пуассона и, в § 19, некоторые их обобще-
обобщения (которые, в связи с их определенной сложностью,
можно опустить при первом чтении). Рассматриваются
теоремы сложения Неймана и основы теории произведе-
произведений функций Бесселя. Сравнительно подробно изла-
излагаются вопросы о дифференциальных уравнениях, при-
приводимых к уравнениям Бесселя, и о неоднородных урав-
уравнениях Бесселя; в этой связи здесь, в частности,
рассматриваются функции, родственные функциям Бес-
Бесселя. Кроме того, здесь рассматриваются некоторые
интегралы, получение которых непосредственно выте-
вытекает из разобранных в этой главе свойств бесселевых
функций.
Вторая глава может быть пропущена при первом
чтении, в этом случае к ней следует возвращаться лишь
по мере надобности. В нее входят теория определенных
и несобственных интегралов и элементы теории парных
интегральных уравнений. Далее излагается представле-
представление функций рядами Фурье — Бесселя, Дини, Шлемиль-
ха и Неймана. Этой группе параграфов предшествует
рассмотрение корней бесселевых функций. Затем рас-
рассматриваются более сложные, чем в первой главе, за-
задачи о неоднородных уравнениях Бесселя, которые при-
приводят к функциям Ломмеля двух переменных. С этих
же позиций вкратце обсуждаются отдельные сведения
о неполных цилиндрических функциях. В заключение

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
главы очень кратко рассматриваются асимптотические
разложения бесселевых функций.
Вторая часть книги, посвященная приложениям, так-
также состоит из двух глав; в первой рассматриваются за-
задачи о пластинках и оболочках вращения. Среди них,
наряду с задачами о колебаниях круглых пластинок и
о равновесии пластинки на винклеровском основании,
рассмотрены задачи, сводящиеся к использованию ме-
метода компенсирующих нагрузок. Применительно к за-
задаче об осесимметрической деформации круговой кони-
конической оболочки подробно рассмотрен метод начальных
параметров.
Во второй главе объединены сравнительно разнооб-
разнообразные задачи, относящиеся к вопросам теории коле-
колебаний, гидродинамики, теории теплопроводности и др.
Несколько особняком стоит § 11 этой главы, в котором
рассматриваются краевые задачи, решение которых сво-
сводится к сингулярным уравнениям, хотя формально здесь
идет речь о пластинках и мембранах, но решение носит
несколько более общий характер и менее тесно связано
с конкретными приложениями. Вторая часть книги при
желании читателя может быть прочитана независимо
от первой, в этом случае читатель может считать вторую
часть продолжением введения и при этом обращаться
к первой лишь для справок.
Автор считает своим приятным долгом выразить глу-
глубокую благодарность профессору С. Г. Михлину, вни-
матечьно прочитавшему рукопись, за сделанные им
весьма ценные замечания и, отнюдь не в меньшей мере,
за большое внимание, проявленное к этой работе, и со-
советы, высказанные при ее обсуждении.
Автор искренне благодарит своих учеников
А. И Цейтлина за замечания, высказанные при чтении
рукописи, Л. М. Резникова и М. Я- Волоцкого за по-
помощь при подготовке рукописи к печати и проверке мно-
многочисленных формул.
Б. Коренев

ВВЕДЕНИЕ
Во многих задачах математической физики, реше-
решение которых связано с применением цилиндрических и
сферических координат, процесс разделения переменных
приводит к дифференциальному уравнению
d4 ' t- + (*2-v2)« = 0, @.1)
которое называется уравнением Бесселя, а его реше-
решения—цилиндрическими или бесселевыми функциями.
Покажем на нескольких примерах, какие задачи при-
приводят к уравнению Бесселя, а затем перейдем к рас-
рассмотрению различных свойств бесселевых функций и их
приложениям.
Рассмотрим малые свободные колебания тонкой од-
однородной круговой мембраны. Дифференциальное урав-
уравнение колебаний мембраны имеет вид
1 d2w d2w , 1 dw , 1 d2w ,_ „..
!2~~д12~~~дРг^7~дГ + 72~~д$г> ({j-2'
где w — прогиб мембраны, t — время; г, ср — полярные
координаты, l/c2 = plN, р— масса мембраны, отнесен-
отнесенная к единице площади, N — натяжение мембраны.
Применим метод разделения переменных, положив
<в = и(г)Г(/)Ф(ф); @.3)
из @.2) сразу получим
Т @ = sin (<xrf + A),
где а, А — соответственно круговая частота и началь-
начальная фаза колебаний, п — число узловых диаметров, В —
постоянная, которая легко выражается через угол, об-
образованный первым узловым диаметром и полярной
осью; и (г)—функция переменной г, подлежащая опре-
определению,

10 ВВЕДЕНИЕ
После подстановки @.3) в @.2) получается следую
щее уравнение относительно и:
d2u . 1 du . / а2 п2\ Л ,Л .
ТТП Т"Т \— т)и = 0. @.4)
аг2 г аг \ с2 г2 }
Если ввести новую переменную | = аг/с, то уравнение
@.4) принимает вид
В введении будем обозначать функцию и = «„(?), на-
называя I—аргументом, а п — индексом. В рассматри-
рассматриваемой задаче \ — действительное, а индекс п — нату-
натуральное число; нецелые индексы будем обозначать че-
через V.
Рассмотрим, далее, задачу о колебаниях мембраны,
имеющей форму кругового сектора с центральным уг-
углом у. считая, что мембрана жестко закреплена по все-
всему контуру.
Будем искать решение уравнения @.2) в виде
w = uv(r) sin (at + A) sin "(^+1) ер, к = 0, 1, 2, ....
где k — число узловых радиусов, расположенных внутри
сектора. Если v = n(k + 1)/y — нецелое число, то задача
сводится к решению уравнения Бесселя
--0 <0-6»
с нецелым индексом v.
В качестве следующего примера применения урав-
уравнения Бесселя рассмотрим задачу об интегрировании
уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Та-
Такие задачи встречаются в математической физике очень
часто. Например, при рассмотрении задачи теории теп-
теплопроводности в случае, когда температурное поле яв-
является стационарным и отсутствуют источники тепла,
температура T{r,q>,z) удовлетворяет уравнению
дг2 ~*~ дг2^ г дг ^ г2 df

ВВЕДЕНИЕ И
Если частное решение уравнения @.7) искать в виде
Tn = e-a*sin(ti<p + B)un(r), @.8)
то, внося @.8) в @.7), для функции «„(г) получаем
уравнение
Рассмотрим задачу об определении перемещений
w(r, ф) мембраны, лежащей на упругом винклеровском
основании (это означает, что, кроме нагрузки, на мем-
мембрану действуют еще и реактивные усилия, пропорцио-
пропорциональные с коэффициентом k0 ее прогибам).
Дифференциальное уравнение упругой поверхности
незагруженного участка мембраны имеет вид
@.9)
здесь N — натяжение мембраны, ko называется коэффи-
коэффициентом постели. Если уравнение @.9) записать в
полярной системе координат и считать, что мембрана за-
занимает круговую область, то разыскивая частное реше-
решение в форме wn = un(g)sin(mp + В), получим для функ-
функции и»
где I = Хг.
Введем новую переменную х = i%, тогда уравнение
@.10) перейдет в уравнение Бесселя с мнимым аргу-
аргументом.
Рассмотренная еще Герцем задача о равновесии пла-
плавающей пластинки сводится к решению уравнения
4
V2V2iw + A4ffi) = 0, K^YJJD, @.11)
где у — объемный вес жидкости, D — цилиндрическая
жесткость пластинки.
Если искать частное решение уравнения @.11) в
виде

12 ВВЕДЕНИЕ
то, как это легко проверить, функцию мп(Е) можно пред-
представить в виде
где одна из функций, стоящих в правой части, удовлет-
удовлетворяет первому, а другая второму из уравнений1) @.12)
375 ГТ 1Z 75" + 1 Мя = и. (U.12)
Решение этой задачи приводит, таким образом, к
функциям Бесселя от комплексного аргумента % Yi.
Можно указать еще много различных прикладных
задач, решение которых, связанное с интегрированием
уравнения Лапласа, волнового уравнения, уравнения
теплопроводности, системы волновых уравнений и др.,
в цилиндрических, сферических и конических коорди-
координатах приводит в результате разделения переменных
к уравнению Бесселя. К этому уравнению приводятся
также некоторые дифференциальные уравнения второю
порядка с переменными коэффициентами. В тех случаях,
когда имеются источники, распределенные по объему,
задачи зачастую сводятся к интегрированию неоднород-
неоднородных уравнений Бесселя. Целый ряд подобных задач рас-
рассматривается во второй части книги.
') Этот вопрос подробно рассмотрен на стр. 196.

ЧАСТЬ 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ
ФУНКЦИЙ
§ I. Дифференциальное уравнение Бесселя. Применение
степенных рядов. Цилиндрические функции первого рода
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя с
индексом v
Уравнение A.1) является линейным дифференциаль-
дифференциальным уравнением второго порядка и, следовательно, его
общий интеграл может быть записан в форме
и (г) = C{Ui (г) + С2и2 (г),
где U\(z), Uz(z)—линейно независимые частные реше-
решения уравнения A.1). Предположим, что z и v могут при-
принимать любые комплексные значения. В тех случаях,
когда индекс v является целым числом, будем обозна-
обозначать его буквой п. Если аргумент z будет вещественным,
будем обозначать его буквой х. Введем оператор Бесселя
индекса v
V — z2 d* +z — + z2 — v2 П 21
и перепишем A.1) в следующем виде: Vv« = 0.
Будем искать решение уравнения A 1) в виде обоб-
обобщенного степенного ряда по возрастающим степеням ар-
аргумента z
aB)=Sv« A.3)
m=0
где а0 ф 0.

14 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
Определим здесь а и коэффициенты ат ряда A.3).
Для этого найдем первую и вторую производные A.3)
() Ц>т( )\
т=0
оо
и" (г) = 2 ат (т + а) (т + а - 1) гт+а~2
т=0
и внесем в левую часть уравнения A.1) взамен функ-
функции и{г) и ее производных полученные ряды.
Собирая слагаемые, содержащие одинаковые степени
2, получим следующий ряд:
= [а(а—l)+a-v2]a02a+[(a+l)a + (a+ 1) - v2]a,2a+1 +
+ 2)(a+l) + (a + 2)-v2]a2 + a0}2a+2+ ... =
= а0 (а2 - v2) 2а + а, [(а + IJ - v2] 2a+1 +
00
2 2 . A.4)
2{m[( )]
m=>2
Так как Vvm = 0, то, очевидно, каждый из коэффи-
коэффициентов при za+m в A.4) должен равняться нулю.
Это условие дает бесконечную систему
ao(a2-v2) = O, [(a+l^-v^a^O,
m_2 = 0, m = 2,3, 4...
Для четных и нечетных значений т получаем соот-
соответственно две системы уравнений:
(a2-v2)a0 = 0, [(a + 2J-v2]a2 + a0 = 0,
[(a + 4J-v2]a4 + a2 = 0..., (L6)
[(a+lJ-v2]a, = 0, [(a + 3J-v2]a3 + a, = 0, ... A.6)
Так как «о ф 0, то из первого уравнения системы A.5)
получаем уравнение а2 — v2 = 0, которое называется
определяющим; из него следует a = ±v.
Второе и последующие уравнения системы A.5) по-
позволяют выразить коэффициенты ат с четными номераг
ми через а0 и приводят к рекуррентным формулам
„ ао п --.
4(а+1) ' 4 8 (а+ 2) 4-8-(а + 1) (а+ 2) ' ' • ¦

§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ 15
Уравнения A.6) удовлетворяются, если положить щ =
= а3 = «5 = ¦ • • = 0.
Приняв а = v, получим формально первое частное ре-
решение уравнения A.1) в виде
[
l~ 4-l-
' 42-2! (v+l)(v + 2)
z*
43-3!(v+l)(v + 2)(v + 3)
при a = —v получим второе частное решение
г z2 z*
.г>~ааг L 41 (—v+ I) ' 42-2t(-v + l)(-
?
4»-3!(-v+l)(-v + 2)(-v
Обычно постоянным а0 и а'а придают следующие зна-
значения:
_ l , l
a°~ ' а° 2"vr(-v+l) •
Используя свойства C) гамма-функций, можно за-
записать полученные ряды в более компактном виде1).
Первый ряд «1 (z) определяет функцию, которая на-
называется бесселевой или цилиндрической функцией пер-
первого рода или функцией Бесселя индекса2) v от аргу-
аргумента z
0
т=>0
второй ряд определяет функцию Бесселя отрицательного
индекса —v
mir(-
m=>0
') Сведения о гамма-функциях даны в приложении; все ссылки
на формулы приложения содержат номер, состоящий из одного
числа, более подробные данные о гамма-функциях можно найти, на-
например, в [4], [53]
2) Иногда взамен термина «индекс» употребляют равносильный
термин «порядок».

16 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
Нетрудно показать, что полученные степенные ряды
сходятся во всей плоскости комплексного переменного z
(за исключением, быть может, 2 = 0) и допускают по-
почленное дифференцирование.
Действительно, ряд для Jv(z) сходится абсолютно и
равномерно в любой ограниченной области изменения
индекса v и в любой замкнутой области изменения z
(если Rev<0, то при 2 = 0 функция имеет особенность
типа 2Rev, и поэтому начало координат не включается
в область). Справедливость этого утверждения следует
из того, что при |v|-<^yV и |г|<с? модуль отношения по-
последующего члена ряда к предыдущему меньше единицы
-г2/4
m (v + m)
±
m(m-N)
если т больше, чем положительный корень уравнения
т2 — mN — d2/4 = 0, который не зависит от v и 2.
"Признак Вейерштрасса доказывает указанное выше
свойство ряда. Следовательно, функция Бесселя Jv(z) яв-
является аналитической функцией для всех значений v в
окрестности любого значения 2, кроме, быть может,
2 = 0. Отсюда, в частности, следует заключение о воз-
возможности почленного интегрирования и дифференциро-
дифференцирования полученных рядов.
Очевидно, что при нецелом индексе функции Jv(z),
J-V(z) являются линейно независимыми. Если v = n —
целое число, то Т(п)= (п—1)! и функцию Jn(z) можно
записать в следующем виде:
;+„,„
Покажем, что в этом случае между функциями Jn(z)
и J-n(z) существует следующая зависимость:
/_n(z) = (-l)"/n(z). A.10)
В самом деле, если k — целое положительное число
или нуль, то, как отмечено в приложении (стр. 279),
Г(—k) = оо. Поэтому при целом и положительном v = п
каждый из первых п членов ряда A.8) обращается в

§ 2] ФУНКЦИИ НЕЙМАНА 17
нуль; переписав A.8), начиная с (я+1)-го члена, по-
получим
(-\)п(г/2Гп+2п (-!)" + ' (г/2) ~п+2п+2
J-n\Z) „| Г(_« + «+ !) "г (л+ |)! г (-я + л+ 2) ¦*¦ * * ¦
(z/2)"+2 (z/2)"+4 ]
Щ/i+l)! "•" 2!(« + 2)! " ш\
= (-!)"/» (z). A.11)
§ 2. Цилиндрические функции второго рода
(функции Неймана)
В § 1 было показано, что при нецелом индексе общее
решение уравнения Бесселя можно записать в виде
Очевидно, что в этом случае решением будет также
u = B3Jv(z) + B4Zv(z),
где
Здесь Вь В2, В3, В4, Си С2 не зависят от аргумента г;
С2Ф0.
Если положить С] = ctgvn, С2 = —cosecvn, то полу-
получим функцию, которая была введена Вебером и обозна-
обозначается Yv(z):
V (^ — Mz)cosvn-/-V (г) ,0 ..
В литературе она часто называется функцией Неймана и
иногда обозначается через Nv(z). Функция Yv(z) назы-
называется также бесселевой или цилиндрической функцией
второго рода индекса v от аргумента г.
При целом значении v = n правая часть B.1) являет-
является неопределенностью типа -^. Для нахождения Yn(z)
раскроем неопределенность по правилу Лопиталя и опре-
определим
-г— [Jv (г) cos \п - /_v (г)]
-^
-f- sin vn
B.2)

18 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ 1
В результате получается формула
г . „\ 1 V4 (п-т-\)\ (г\~п+2т
+ C) 1 Ы
m=0
„ fti+m
(-\)m(z/2)n+2m I У 1
m!(m + /i)! | Zi k
m=o I fe=-l fe=l
где С — постоянная Эйлера; ее приближенное значение
равно 0,5772157.
Функция Неймана Yv(z) и функция /v(z) образуют
фундаментальную систему решений уравнения Бесселя
при любом, в том числе и целом, индексе.
Остановимся на выводе формулы B.3). Достаточно
получить ее для частного случая п = 0 (после этого с
помощью рекуррентных формул, рассмотренных далее,
в § 6, можно получить результат для любого п).
Из B.2) имеем
-г- [Jv (z) cos vn - J-v (г)]
3-
-^—sinvn
dv
дифференцируя A.7) no v почленно и используя форму-
формулы (9), A1), получим
§ 3. Цилиндрические функции третьего рода
(функции Ганкеля)
Любая линейная комбинация решений, полученных в
§§ 1, 2, также является интегралом уравнения Бесселя.
Рассмотрим функции
М° B) = /v B) + |TV B), Н? B) = /v B) - iYv B), C.1)
которые называются цилиндрическими функциями треть-
третьего рода. Их называют также функциями Ганкеля соот-
соответственно первого и второго рода,

§ 4] ФУНКЦИИ МНИМОГО АРГУМЕНТА 19
Как видно из C.1), между функциями Ганкеля, Бес-
Бесселя и Неймана имеют место зависимости, аналогичные
связи между экспоненциальной функцией мнимого аргу-
аргумента, косинусом и синусом.
Если в задаче об интегрировании волнового уравне-
уравнения функция Бесселя действительного аргумента являет-
является образом стоячей волны, то функции Ганкеля позво-
позволяют дать образ распространяющейся волны. Поэтому
очевидно, какую важную роль играют функции Ганкеля
в приложениях, особенно при изучении волновых процес-
процессов в неограниченных областях.
§ 4. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента
В этом параграфе рассматриваются бесселевы функ-
функции мнимого аргумента z = ix. Если в A.1) произвести
замену z = ix, то получим уравнение
х'^ + х
Одним из решений уравнения D.1) будет бесселева
функция мнимого аргумента Jv(ix), определяемая выра-
выражением A.7), если в нем произвести замену г на ix.
Функция Jn(ix) при четном п является вещественной, а
при нечетном принимает мнимые значения. Для того
чтобы избавиться от этого неудобства, обычно вводят в
рассмотрение модифицированную функцию Бесселя
Iv{x)-e-™»*Jv{lx), D.2)
вещественную при любом v. Разложение функции Iv(x)
в степенной ряд имеет следующий вид:
ш!Г(у + ш
m=0
В качестве второго интеграла уравнения D.1) обыч-
обычно принимают функцию
\УЦхУ, D.4)
она является вещественной при любом вещественном
значении индекса.

20 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ (ГЛ I
Эта функция называется функцией Макдональда; при
целом v = n разложение этой функции в степенной ряд
имеет вид
где С —по-прежнему постоянная Эйлера. Эту формулу
можно легко получить, если в D.4) внести /v(z) и Yv(z)
с помощью первой из формул C.1), а затем произвести
замену аргумента z на 1х в формулах A.9) и B.3) и вы-
выразить /„(г*) через /«(*) с помощью D.2).
Заметим, что приведенные выше формулы для моди-
модифицированных функций можно применить, если х заме-
заменить комплексным аргументом z; однако при этом моди-
модифицированная функция /v(z) определяется следующим
образом:
/v (z) = е^ят /v (ze-w«2)t i < arg 2 < я.
При больших значениях аргумента а: функции /п(а:) и
Кп(х) ведут себя подобно экспоненциальной функции
соответственно вещественного положительного аргумента
и вещественного отрицательного аргумента. Поэтому
иногда табулируют функции ехКп(х) и е~х1п(х).
§ 5. Цилиндрические функции комплексного аргумента
Если в уравнении A.1) положить v = 0 и z = x Y — i,
то оно примет вид
х dx
E.1)
Одним из двух решений этого уравнения является
функция комплексного аргумента /о (х yi), разложение

§ 5] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА 21
которой в степенной ряд состоит из чередующихся веще-
вещественных и мнимых членов.
Вещественная и мнимая части этого выражения обо-
обозначаются соответственно через ber x и bei л: и называют-
называются обычно функциями Томсона. _
Заменив в D.3) аргумент х на х У i и положив
v = 0, получим
ibei*, E.2)
где
bcr.._ V (-i)m(*/2Lm
ber х- 2j Bml)i »
m=0
m=I
Аналогично функция
/0 О У~0 = ber * - / bei x E.5)
является одним из решений уравнения
d2u . \ du , . п /г л\
-гт-\ -г- + ш = 0. E.6)
Сравнивая D.3) и A.9), получим
Таким образом, функции Jq(x У—i) и 10{х У i) яв-
являются соответственно решениями уравнений E.1) и
E.6).
Введем для сокращения записи обозначения
ы0 (х) — ber х, v0 (x) = — bei x,
которые используются во многих работах.
В качестве второго решения уравнения E.6) можно
принять функцию комплексного аргумента
^ fo(x) + igo(x), E.7)

22 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ !
где на основании A.9), B.4) и C.1)
h (*) = "^ -1 [*i (*) + *о (*) In Щ, E.8)
goW—E2Ti- + |-[/?2W + «oWlnf-], E.9)
причем
m=i
Y = expC.
В качестве второго решения уравнения E.1) примем
функцию
Я<2> (х У~) = /0 (х) - ig0 (х). E.10)
Решениями более общего уравнения
+
2 x dx
будут соответственно функции комплексного аргумента
Jy(x У"±Т) = uv(x) ± ivv{x), E.11)
&У>{х V±l) = fy(x) ± igjx). E.12)
При целом индексе разложения функций ип, vn, fn, gn
по-прежнему могут быть получены при помощи выраже-
выражений A.9), B.3) и C.1), если в них заменить z на х\/ ±i
и разделить затем вещественную и мнимую части.
В различных задачах физики и механики и, в част-
частности, в рассмотренных во второй части задачах о круг-
круглых пластинках, сжатых или растянутых осевыми сила-
силами, встречаются функции аргумента pe'f = а + Ы.
Введем обозначения
/v(pe±"p) = «v(p)±^v(p)( E.13)
M!'2V±<*)=Mp)±'?v(p)> E.14)

§ 6] ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 2»
где ф — постоянная, a mv, Sv, fv, gv определяются по-
прежнему при помощи формул A.9), B.4), C.1), если
в них вместо z подставить ре±1ч> и разделить затем дей-
действительную и мнимую части; некоторые формулы, от-
относящиеся к этим функциям, приводятся в § 6.
Заметим, что при р—>0
E.15)
•1--^. E.16)
При ф = л/4 выражения E.13), E.14) переходят в E.11),
E.12).
Представляют практический интерес также цилиндри-
цилиндрические функции комплексного аргумента, у которого мни-
мнимая часть мала по сравнению с вещественной, т. е. слу-
случай, когда ^ф|<С 1. Этот случай, часто встречающийся
в задачах теории колебаний и акустики, будет вкратце
рассмотрен в § 6.
§ 6. Формулы дифференцирования, рекуррентные
формулы
Разделив A.7) на zv, находим
/у (г) _ 1 V (-1)т(г/2Г* .
продифференцировав это равенство по аргументу г, по-
получим соотношение
d /у (г) _ 1 у (-\)т (г!2)ш-х /v+, (г)
йг 2V 2V ^ (/n-l)ir(v + m+l) г1 '
1
которое можно переписать в следующем виде:
1 d /у (г) _ /y+i (г)
F.1)
Аналогичным образом получается формула
^r[2VvB)]=2*-7v_,B). F.2)

24 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
Выполняя дифференцирование в левой части формул
F.1) и F.2), после упрощений находим
JLjv(z)=-Jv+1(z) + ^S±, F.3)
A/vB) = /v_lB)_v^W, F.4)
откуда получаем следующие рекуррентные формулы:
/v-.(z) + /v+.(z) = -^—> F.5)
/v_,(z)-/v+1(z) = 2^/v(z). F.6)
Во всех этих формулах можно заменить /v(z) на лю-
любую из функций: yv(z), Нф(г), Я12)(г). Из формул F.1)
и F.2) можно, повторно выполнив дифференцирование,
получить
F.7)
). F.8)
Для модифицированных цилиндрических функций
имеем следующие формулы дифференцирования, которые
получаются в результате замены аргумента г на ix и по-
последующего выражения функций Jv(z) и НA](г) через
функции Iv(x) и Ку{х):
F.9)
^ j F.10)
Соответствующие рекуррентные формулы имеют вид
/V_,W-/V+IW = ^/VW, F.П)
tfv-.(*)-*v+.M=--TKv(*)- FЛ2)
При комплексном аргументе z = x\/i формулы диф-
дифференцирования функций и, v, f, g по модулю х можно
получить, заменяя в выражениях F.3) и F.4) аргу-

§ 6] ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 25
мент z на х Yi и разделяя затем вещественную и мни-
мнимую части:
u'v(x) = y=r К-1 (*) - ov_, W] - j«v (*), F.13)
^-i (*) + »v-i (*)] -7M*), F-14)
^ 7^D F-16)
Практический интерес представляют следующие фор-
формулы, которые получаются из дифференциального урав-
уравнения Бесселя заменой аргумента z пах Yi:
Av«v = vv, Avuv = - «v, Av/V = g-V) Avg-V = - /V) F.17)
где
. rf2 , 1 d v2 ,„ 1R,
Для функций комплексного аргумента z — ре'ф фор-
формулы дифференцирования по модулю р принимают вид
"v(P)= --^-йу(р) + йу_,(р)созф-уу_1(р)з1пф, F.19)
5v (Р) = ~ J 5v (Р) + «v-i (Р)sin Ф + 5v-i (Р)cos Ф. F.20)
/>)=-^MP) + fv-i(p)c°sq>-?v_,(p)sinq>, F-21)
gv (P) = - J§Ap) + fv-i (Р)втф + fv_i (p)cos Ф. F.22)
При v = 0
«о(р)= -Й1(р)созф + У1(р)з1пф, F.23)
5о(р) = - й, (р) sin ф - 5, (р) cos ф. F.24)
Приведем еще формулы, аналогичные F.17), при
0
Ао"о — ~ й0 cos 2ф + v0 sin 2ф,
sin 2ф — 50соз2ф J '

26 УРАВНЕНИЕ БЁССЁЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
В F.23) — F.25) U и v можно заменить соответствен-
соответственно на / и д.
Рассмотрим функции комплексного аргумента z =
= хA + «/), где |х|-С 1. Введем следующие обозначения:
Zv [х A+ Hi)] = и<» (х) + М» (х), F.26)
тде Zv—цилиндрическая функция индекса v.
Если в соответствующих степенных рядах после заме-
замены аргумента сохранить только члены, содержащие х
в степени не выше первой, то в результате получим сле-
следующие приближенные формулы:
~ZV(*), 00>(*)«,«*2х1?1, F.27)
которые практически пригодны, однако, только при срав-
сравнительно малых значениях \х\.
§ 7. Цилиндрические функции с полуцелым индексом
Полагая в разложении для Jv(z) индекс v = 1/2 и за-
заменяя гамма-функции их значениями по формуле A5),
получим после элементарных упрощений
/О
1
Дифференцируя G.1), получим
Далее воспользуемся формулой F.4); положив v= 1/2,
легко получить
24 B)+ -1-/V,(Z) = 2/-у, B),
после этого находим
/-,/lB) = ]/r1|-cos2. G.3)
Используя рекуррентные формулы, приведенные в
§ 6, можно найти функцию Бесселя при любом индексе

§ 8] ОБОЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ДРОБНОГО ИНДЕКСА 27
вида п + 1/2, где п — целое, и доказать, что при целом
положительном п справедливы следующие формулы:
т /,ч (-l)"Bz)"+l/' dn isinz)
«4 /я (dz»)n l г
, _ (-1)"Bг)"+У' d" /cosz\
-«4 /* «**т\ z r
Формулы, аналогичные G.1) —G.4), можно таким же
путем получить для модифицированных функций; в част-
частности,
с помощью рекуррентных формул легко получить фор-
формулы и при других значениях полуцелого индекса.
§ 8. Некоторые обозначения для функций полуцелого
и дробного индекса. Интеграл Эйри
Функции полуцелого индекса часто встречаются в
приложениях и, в частности, в задачах математической
физики, решаемых в сферических координатах. Метод
разделения переменных при этом приводит к решениям,
в которые входит в качестве слагаемого произведение
цилиндрической функции полуцелого индекса на сте-
степенную функцию того же аргумента. Разные авторы
в этой связи дали свои наименования различным произ-
произведениям этого типа, сводку которых можно найти в [7];
приведем здесь обозначения Зоммерфельда
1|>„(г) = (у nzjA/„+./, (z),
?„(z) = A mLt [/„+,/, (z) + (- If */_„_,/,(z)].
Во многих работах функции
?/» + ¦/, B), ¦/? rn+V,B), )/¦?¦#&•/. B)
называются сферическими функциями Бесселя соответ-
соответственно первого, второго и третьего рода.

28
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
[ГЛ I
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение
U" (s) + saU (s) = 0. (8.1)
Решения уравнения (8.1) выражаются1) через так назы-
называемые обобщенные функции Эйри U\{s,a) и Uz{s, a)
U = CiUl(s,a) + CsUi(s,a). (8.2)
Эти функции и их производные по аргументу s связаны
с функциями Бесселя соотношениями:
Ul(s,a) =
= (а + 2
U2 (s, а) =
2)
~1/(а+2)
1/D+2),
?/2(s>a) = (a + 2)™X
(8.3)
При а = 1 получаем функции, называемые функциями
Эйри:
1/3
(8.4)
Функции f/i, f/г получили свое наименование в связи
с тем, что они тесно связаны с интегралом Эйри
cos (P ± xt) dt,
(8.5)
См также стр. 47.

§ 9] ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО 29
а именно,
оо
Г cos(/3 + xt)dt = -n -\f — [/-¦/,( 2x^I) - 1ч12хК- )} =
=11^,A^:), (8.6)
oo
J cos(t3-xt)dt =
(8.7)
Чтобы доказать справедливость этих формул, сле-
следует дважды продифференцировать по параметру х ин-
интеграл (8.5), заметив при этом, что он удовлетворяет
дифференциальному уравнению
d2v ^ 1 Л
которое является частным случаем уравнения (8.1).
Приведем следующие обозначения для интеграла
Эйри:
jy ) (8.8)
о
и присоединенной функции
^ J [ехр (- tz - -i /3) + sin (te + у ^3)] dt = Bi (z). (8.9)
о
§ 9. Определитель Вронского
Если u\(z) и u2(z) суть линейно независимые реше-
решения уравнения Бесселя, то они удовлетворяют соотно-
соотношению
«,«2 —«[ = С,/2, (9.1)
где Ci — некоторая постоянная.
В самом деле, внося в уравнение Бесселя A.1) сна-
сначала иь а затем и%, умножая первое уравнение на и2.

30 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ |ГЛ I
а второе — на щ и вычитая затем первое из второго,
после простых преобразований напишем
ИЛИ
J-[г («,«?-«[«,)]-0,
откуда сразу получаем (9.1).
Заметим, что левую часть (9.1), представляющую
определитель
щ и2
i 
(9.2)
обозначают через SB(«i, иг) и называют определителем
Вронского, или вронскианом уравнения Бесселя.
Значение постоянной С\ легко определяется, если в
формуле (9.1) перейти к пределу при z—»0, воспользо-
воспользовавшись полученными в §§ 1—3 разложениями бесселе-
бесселевых функций.
Положим, что уравнение имеет нецелый индекс v,
и найдем вронскиан
2B(/VB), /_vB))-C,/2. (9.3)
Заметим, что если v нецелое, то при z-*Q
/v (г)-r^j-[1+0B»)],
где О (г2) означает величину, отношение которой к г2
при г-*0 ограничено.
Внося эти выражения в (9.1), получаем
/vB)/lvB)-/CB)/-vB) =
= TLT(v+l)r(-v) ~ r(v)T(-v+l) J~*~° ^ =
<9-4>
при выводе была использована формула C).

§ 9] ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО 31
Умножив (9.3) на г и используя (9.4), после пере*
хода к пределу при z->0 получим
Г 2 sin Jiv
Ci тг~
и, следовательно,
/v B) /lv B) - /С B) /_v B) = (- 2 Sin nv)/(jK). (9.5)
Точно так же, воспользовавшись соотношениями B.1)
между бесселевыми функциями первого и второго рода,
можно получить
/v B) П B) - К B) Kv B) = 2/(я2). (9.6)
Для функций Iv(z) и Kv(z) определитель Вронского ра-
равен
/v B) *С B) - /С B) /Cv B) = - 1/2, (9.7)
а для /v (г), Я^ (г) и Я*,1' (z), Я® (г) соответственно
имеем
Ш^-^^.-»±. (9.8,
..^. (9.9)
Полагая в (9.8) z = x Yi и разделяя веществен-
вещественную и мнимую части, для функций uv(x), vv(x), fv(x),
gv(x) получим
x)-v'v(x)gv(x), (9.10)
v
(9.11)
где штрих обозначает дифференцирование по перемен-
переменной х.
Во многих задачах оказываются очень удобными
также формулы Бассета, при получении которых

32 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
используются вронскиан и дифференциальное уравнение
Бесселя.
/v (z) Y" (г) - Yv (г) j" (z) = - -Jr, (9-12)
К (z) Y" (z) - Y'v (z) К (z) = ^ A - -J-), (9.13)
jv(z)Y':'(z)-YAz)K"(z) = -^(^--l), (9.14)
(9.15)
(9.17)
(9.18)
Формулу, устанавливающую соотношение между ци-
цилиндрическими функциями, индексы которых отличаются
на единицу, получили Ломмель и Ганкель; она имеет
вид
1 (?) Y (?) — Т (у) V (?) = — ЧКтх?) (Q IQ^
Используя определитель Вронского и рекуррентные
формулы, можно сразу получить аналогичные соотноше-
соотношения между цилиндрическими функциями, индексы кото-
которых отличаются на целое число; мы будем называть их
формулами Ломмеля — Ганкеля, так, например,
/v (z) Yv+2 (z) - /v+2 (z) Yv (z) = - ^J^-, (9.20)
+_Lt (9,21)
2)(v
Если обозначить
/v (z) Yv+m (z) - Jv+m (z) Yv (z) = В (v, m; г), (9.23)
m=\, 2, 3, ...,

§ 9] ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО 33
то можно сразу установить рекуррентную формулу
В(\, т + \; г) = -^~^-В(v, т;г)-В{\, т-\;г). (9.24)
С помощью (9.24) легко установить, что правые части
формул Ломмеля — Ганкеля представляют полиномы от-*
носительно 1/2, которые можно представить в виде
В (v, /л; 2) =
nz O1" 2
т-1
-,„+A-1J 2
(9.25)
где
qI-\ _ (m-i)t
[ {т— 1)/2, если т нечетное,
~\ т/2, если т четное.
Аналогичные формулы можно получить для модифици-
модифицированных функций
1У {х) Kv+i (х) + /V+I (x) Kv (x) = ^t (9.26)
/v (x) Kv+2 (x) - /v+2 (x) Kv (x) = ^^-, (9.27)
M*)/Cv+3(*) + /v+3(*Kv(*)=4(V + 11(V + 24y, (9.28)
/v (x) /Cv+4 (^) - /v+4 (a;) /Cv U) =
.. 8(v+l)(v + 2)(v+3) . 4 (v + 2) (929)
Представляют интерес функциональные уравнения
типа определителя Вронского, в которые входят функции
с различными индексами; они также легко получаются
2 Б. Г Коренев

34 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
с помощью рекуррентных формул. Так, например,
/v B) У v+I B) - /v+I B) К B) = - ~, (9.30)
)yvB)= 2V(^7V) + |г, (9.31)
/С B) yv+2 B) - /v+2 B) Y" B) = *V^-V;+ ^ . (9.33)
Для модифицированных функций легко получаются
аналогичные зависимости, например
/v {x) /Cv+i (x) - /v+i (x) K'v (x) = v/x2. (9.34)
§ 10. Интеграл Бесселя и разложения Якоби
Рассмотрим разложение функций ехр (г//2) и
ехр(—г/-'/2) в степенные ряды. Так как
то произведение этих разложений дает
Положив s = т, г = т + п и вспомнив, что при п < —т
=0' пеРепишем A01) в следующем виде:
.?(/_±У|_ V
т=0п=-т
оо оо
«+1)Г(т+1J«+2т*
m=0n = -oo i \ i
и вследствие A.7) сразу получим

§ 10] ИНТЕГРАЛ БЕССЕЛЯ 35
Воспользовавшись соотношением A.10), представим
A0.2) в виде
Положив здесь t = ±expi"9, получим
оо
exp (± lz sin 9) = /0 (г) + 2 2 hn (г) cos 2/г9 ±
оо
±2/ 2 hn+i (г) sin B/г + 1) 9. A0.3)
Отсюда следует
оо
cos (г sin 9) =/0 (г) + 2 2 hn B) cos 2/г9, A0.4)
оо
sin (г sin 9) = 2 2 hn+i (г) sin B/г + 1) 9. A0.5)
п=0
Если заменить в A0.4) и A0.5) 9 на я/2 — т), полу-
получим
оо
cos (г cos ti) = /о (г) + 2 2 (- 1)"/2»(г) cos 2/гть (Ю.6)
sinBC0STi) = 2 2 (-l)%n+IB)cosBn+l)Ti. A0.7)
n=0
Эти разложения были получены Якоби и носят его имя.
Они дают представление плоской волны через цилиндри-
цилиндрические волны.
Заменяя в A0.4) 9 на ф, умножив левую и правую
части на cos nq> и проинтегрировав затем по ф от 0 до я,
получим
Г / • \ a inJn(z) ПРИ «четном,
cos (г sin ф) cos tup d<p = < „ A0.8)
q1 10 при п нечетном.
Аналогично из A0.5) получим
Г . / . ч . , @ ПРИ га четном, ,,„ ч
sin (z sm ф) sin пф d<p = < A0.9)
jj I я/» B) при «нечетном.
2*

36 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Складывая A0.8) и A0.9), находим, что при любом
целом п
я
— Г cos(zsinq>-nq))dq) = /n(z). A0.10)
о
Интеграл, стоящий в левой части A0.10), называет-
называется интегралом Бесселя; Бессель принимал это равен-
равенство (точнее, почти такое) в качестве определения функ-
функции Jn(z). Заметим, что при нецелом индексе интеграл
уже не дает функцию Бесселя и его обозначают
я
- Г cos (v9 - 2 sin 9) dQ = Jv B), A0.11)
0
где JvB)—-функция, называемая обычно функцией Ан-
гера; вопрос о свойствах этой функции разбирается в
§ 16.
Интеграл A0.10) при п = 0 называется интегралом
Парсеваля
я
¦?• Г cos B sin 9) dQ = /0 (г). A0.12)
о
Выводы формул, которые излагались выше, в какой-то мере
иллюстрируют характер приложений интеграла Бесселя Он появ-
появляется естественным образом в тех случаях, когда от решения урав-
уравнения Гельмгольца в декартовых координатах необходимо перейти
к решению в полярных координатах, ниже будет показано, что ин-
интегралы типа интеграла Бесселя получаются и при переходе от
других координатных систем к полярной системе В приложениях
интеграл Бесселя появляется и при переходе от полярных коорди-
координат к декартовым. Во второй части приводится одна из типичных
задач, связанных с применением интеграла Бесселя (стр. 266).
Рассмотрим вновь интеграл Парсеваля. Возьмем частное реше-
решение уравнения Гельмгольца
в виде « = cosX| = cos (XRcosQ); здесь R, 6 — полярные координаты
точки с декартовыми координатами |, г\
Образуем суперпозицию таких решений при 0^6^ 2л, счи-
считая, что ось | вращается вокруг начала координат
2Я
U*(R)= f cos (KR cos 6)

§ 10) ИНТЕГРАЛ БЕССЕЛЯ 37
Очевидно, что u*(R) является решением осесимметричной задачи
для уравнения Гельмгольца, не имеющим особенности в начале ко-
координат, и, следовательно, и* (R)"BJ0(XR). Положим /? — 0; так
как /о @) = 1, то В = Г dQ = 2л и
t
cos (АЛ? cos 6) d6. A0.13)
о
2я
о
о
В случае, если и = sin A,g, то
2Я
и* (R) = J sin (АЛ? cos 6) (В = В/„ (АЛ?);
о
полагая здесь /? = 0, получим В =¦ 0.
Нетрудно получить также измененный интеграл Парсеваля,
который лишь несколько отличается от интеграла A0.12).
Положим и <= cos o| cosfJri, гДе а2 + Р2 = А,г; тогда
2я
BJ0(\R)= J cos(ct#cos6)cos(P#sine)de,
о
Очевидно В = 2я и, следовательно,
2я
/0 (/а2 + р2 /?) - -^ j cos (а« cos 6) cos ф# sin 6) dQ. A0.14)
Если заменить функцию «E, г|) любой функцией, являющейся
решением уравнения Геломгольца и не имеющей особых точек в
рассматриваемой конечной области, то при вращении она также
даст с точностью до постоянного множителя функцию Бесселя нуле-
нулевого индекса.
Так, если воспользоваться эллиптической системой координат и
положить (см. [37]) и(|, Г|)>= сеоE)Сео('П)> то, очевидно,
2я
В/о (Я) = J се„ (R cos 9) Се0 (/? sin 6) dQ. A0.15)
Можно осуществлять дальнейшие обобщения, связанные с тем, что
у функций сео и Сео можно переставить аргументы и, кроме того,
ввести другие, отличающиеся от нуля индексы.
Таким образом, интеграл Парсеваля A0 13) можно рассматри-
рассматривать как суперпозицию плоских волн, а интегралы A0.14), A0.15)—
как суперпозицию воли, имеющих более сложную структуру.

38 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Следует заметить, что с помошью интеграла Парсеваля можно
разложить функцию Бесселя индекса нуль в степенной ряд; для
этого достаточно представить в A0.13) косинус в виде степенного
ряда, обозначить kk = г и поменять порядок интегрирования и сум-
суммирования.
Интеграл Парсеваля легко обобщается на случай, когда А,=1'у —
чисто мнимое число.
Взяв частное решение уравнения
A2a-v2" = 0 A0.16)
в виде
«1 (V) = Л ch ax ch fiy = A ch [ar cos qp] ch @r sin qp),
где г = У*2 + y2, y/x = tg ф, a2 + P2 = v2. a. P - параметры, прини-
принимающие действительные значения; получим сразу
Io(\r) = -^- ch (ar cos ф) ch (fir sin qp) dqp A0.17)
0
Теперь перейдем от интеграла Парсеваля к интегралу Бесселя; для
дальнейшего существенным является требование, чтобы индекс и
был целым числом.
Рассмотрим интеграл
2Я
Г A cos и(9 — ф) cos (ar cos ф) cos (Pr sin ф) dy =
0
2Я
¦= A cos, «9 cos «ф cos (ar cos ф) cos (fir sin ф) dy =» un (yr) cos «9.
Функция un (yr) cos «6 удовлетворяет уравнению V2a + у2" = 0,
и, следовательно, с точностью до постоянного множителя, ип(\г)
явчяется функцией Бесселя индекса п и аргумента y^. Таким обра-
образом, при подходящем выборе постоянной А выполняется равенство
2я
A cos «ф cos (ar cos ф) соз(Рг8Шф) d<$ = Jn (yr).
о
Постоянная А определяется в результате несложных выкладок и
равна
А = 1/Bл cos «б); б = arcsin (a/v).
Здесь уместно упомянуть о другой суперпозиции плоских волн,
с помощью которой можно представить также и функции Бесселя
нецелого индекса; она отличается тем, что ось, по которой направ-
направлено движение плоской волны, вращается вокруг вершины круго-
кругового конуса, оставаясь все время на его поверхности; этот резуль-
результат изложен в монографии [50].

§ 11] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 39
Иной эвристический прием принадлежит Вейриху [84], который
рассматривал цилиндрическую волну и ее математический образ —
соответствующую бесселеву функцию — как суперпозицию симмет-
симметричных относительно центра сферических волн, если центр переме
шается вдоль прямой. Способ Вейриха допускает такие очевидные
обобщения, как, например, рассмотрение задачи о движении диполя
или источника с обильностью, изменяющейся по синусоидальному
закону.
§11. Теоремы сложения
Теоремой сложения для функции Бесселя нулевого
индекса называется равенство
оо
2' Jm{x) Jm (у) cos пир, A1.1)
o
m=o
где символ 2' отличается от 2 тем, что при т = О
т-0 т=0
вводится дополнительный множитель, равный 1/2.
Равенство A1.1) носит название теоремы сложения
Неймана. Дадим ему геометрическую интерпретацию,
полагая, что х, у, ф вещественны.
Вершины Oi, О, С треугольника
О\ОС (рис. 1) назовем соответ-
соответственно первым и вторым полю-
полюсами и точкой наблюдения, дли-
длины сторон О\О, ОС, О\С обозна-
обозначим соответственно х, у, г; углы
при вершинах О\ и О обозначим
соответственно \р и <р; очевидно,
г = Ух2 + у2 — 2ху cos ф.
Левая часть A1.1) представ-
представляет стоячую цилиндрическую
волну с полюсом Oi, каждое из Рнс- '¦
слагаемых в правой части описывает цилиндрическую
волну со вторым полюсом. Таким образом, формула
A1.1) дает возможность решить вопрос о разложении
цилиндрической волны на цилиндрические волны, имею-
имеющие другой полюс.
Доказательство этой теоремы можно легко вы-
выполнить с помощью интеграла Парсеваля. Приведем

40 УРАВНЕНИЕ БЕССЁЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
доказательство более общего равенства
cos ntyJn (Ух2 + у2 — 2ху cos ф) =
оо
= 2 2'/m+n(*)/m0/)cosm<P, (П.2)
где п — целое. Это равенство можно, очевидно, интер-
интерпретировать точно так же, как A1.1).
Представим функцию Бесселя с помощью интеграла
Бесселя
я
= -^- J cos (z sin 9 - nQ) dQ =
о
J
о
я
Эта формула верна при произвольных значениях а. Вы-
Выберем а равным Z СО\О, тогда г sin \р = у sin ф,
2cos\1j = jc — г/соэф и, следовательно, zsin(9 + \J)) =
= х sin 9 + у sin (ф — 9).
Теперь воспользуемся формулами Якоби A0.6),
A0.7), выполним элементарные преобразования и вновь
воспользуемся интегралом Бесселя, получив при этом
f (?) = -L-P-tyni pix sine ply sin(<f-6) p-
Jn(Z) 2л e J e e e
—я
" /
¦OO
2
2л
m=—во —я
отсюда сразу следует A1.2).
Заметим, что положенный в основу вывода интеграл
Бесселя переходит при нецелом индексе в интегральное
представление функции Ангера (см. § 16), и, следова-
следовательно, при нецелом индексе проведенный выше вывод
дает формулу сложения для функции Ангера, в правую

§ 11] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 41
часть которой взамен функций Jm+n(x) войдут функции
Ангера Jm+V{x).
Теоремы сложения для функций Бесселя с произволь-
произвольным индексом выводятся по аналогичной схеме, но при
этом взамен интеграла Бесселя используются другие
интегральные представления (вывод теорем сложения
для бесселевых функций произвольного индекса приве-
приведен в [7], [4]).
Приведем без вывода теоремы сложения для функ-
функций Бесселя, когда индекс v представляет произвольное
число; этот результат, принадлежащий Графу, можно
записать в следующем виде:
A1.3)
где M) =
Поменяв в этой формуле знаки у ф и if, получим
e-'*/v(zH 2 Jv+m(x)Jm(y)e-"**. A1.4)
Из формул A1.3), A1.4) следует
Если в A1.5) поменять знаки у v и т и вспомнить со-
соотношения, связывающие цилиндрические функции пер-
первого, второго и третьего рода, то можно получить
(П.6)
где под Zv(z)—понимается цилиндрическая функция
первого, второго или третьего рода.

42
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
[ГЛ. 1
Если заменить в A1.5), A1.6) z, х, у соответственно
на iz, ix, iy, то легко получаются следующие формулы
Формулы A1.3) — A1.8) справедливы при условии
±]ll
]ll
Нетрудно вывести формулы сложения для цилиндри-
цилиндрических функций комплексного аргумента. Положив в
A1.6) вместо z, х, у соответственно zVi, xVi> У УЛ
v = 0 и Zv(z) = #о * (z) и разделяя вещественную и мнимую
части, получим
2 2 ' [fm (У) Um (X) - gm (у) Vm (x)] COS /Пф
пг—0
при х < у,
оо
2 1>'[fm(x)um(y)-gm(x)vm(y)]cosm<p
т—0
при
A1.9)
2 S' [от (у) fm (x) + ит (у) gm (x)] cos
при
оо
2 2 '
0
' A1.10)
m (У)] COS /Пф
при х^у.
В начале этого параграфа указывалось, что формула A1.1)
представляет разложение решения уравнения Гельмгольца в поляр-
полярных координатах в ряд по решениям того же уравнения, но при
другом полюсе Физический смысл формул сложения заключается в
перестройке решения в полярных координатах при необходимости
изменения положения полюса.

§ ll] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 43
Этот взгляд на формулы сложения хорошо иллюстрируется мно-
ючисленными приложениями, в которых рассматривается неосесим-
метричное решение уравнения Гельмгольца для круговой области
(см §§ 1, 3 ч. II).
Для того чтобы последующее изложение имело с физической
точки зрения более четкий характер, рассмотрим для примера одно
из таких приложений, а именно, задачу о круглой мембране на
упругом основании. С учетом сказанного, дадим вывод формул
сложения, основанный на использовании разложения сосредоточен-
сосредоточенной силы в ряд по тригонометрическим функциям и на применении
определителя Вронского уравнения Бесселя.
Рассмотрим основную функцию Грина уравнения V2u — и = О,
которая представляет решение этого уравнения, ограниченное на
бесконечности и имеющее в начале координат особенность типа со-
сосредоточенной силы, т. е. удовлетворяющее условию
2л
Г ди . I .
— Г -;— <Щ\ -> 1.
J дг * |г-»о
о
Очевидно, что указанная функция имеет вид -^- Ко (г).
Теперь перейдем к другой полярной системе и рассмотрим точку
наблюдения (/?, 9); обозначим расстояние между этой точкой и точ-
точкой (г, ф), в которой приложена сила, через
г = Yr2 + R2 - 2Rr cos F - q>).
Представим функцию Ко(г) в виде, более удобном для решения за-
задач, связанных с применением второй координатной системы. Рас-
Рассмотрим окружность радиуса г с центром в начале второй поляр-
полярной системы координат; в точке г, ф этой окружности приложена
единичная сосредоточенная сила. Разложим силу в тригонометри-
тригонометрический ряд
00 ОО
nr
m-\ m-0
Соответственно представим функцию Грина в виде
wm (Я) cos [m @ — ф)].
т-0
Очевидно, что функция wm(R) является решением уравнения Бес-
Бесселя мнимого аргумента с индексом т; она должна быть аналити-
аналитической в начале координат и стремиться к нулю на бесконечности.
При R = г производная указанной функции должна иметь разрыв
непрерывности, при котором
dwm
dR
dwm
r-0 dR
r+0 ЛГ
A1.11)

44 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
Будем искать решение в виде
._. (AmIm(R), #<г;
из условия непрерывности функции wm{R) имеем
AmIm(r)-BmKm(r)=Q.
Кроме того, из A1.11) следует
Решая эту систему и используя для упрощения формулу (9.7), по-
получим
и, следовательно,
Ко (г) ¦
2 2'/m(*)KmMcos[m(e-<p)]f R<r,
oo
m=0
A1.12)
Дифференцируя A1.12) по переменной г, можно получить решение
задачи о мембране, на которую действует сосредоточенный момент.
В заключение этого параграфа приведем формулу,
называемую теоремой сложения Гегенбауэра, которую
можно получить из (П.1), продифференцировав это ра-
равенство п раз по соэф:
оо
Jn (г) __о V' Jm+n(x) Jm+n(y) dncos (m + п) ф _ ,.. .„,
zn JmU xn yn [d (cos (()]"¦ ' \ • '
здесь на отношение х/у не накладывается ограничений.
Теорема Гегенбауэра для цилиндрической функции
Zv(z) имеет вид
^ = 2T(VJ; (г + т)^Ш^^Ш.С(со5ф)
A1.14)
при | уе±19 \<\х\. Здесь Cm (cosф) есть коэффициент при
слагаемом, содержащем рт в разложении A —2рcos ф+

§ 12] РАЗЛОЖЕНИЕ ЛОММЕЛЯ 45
§ 12. Разложение Ломмеля
Разложим функцию (z + h)~vl2Jv(Yz + h), являю-
являющуюся аналитической функцией аргумента (z + h) при
всех его значениях, в ряд по степеням А, воспользовав-
воспользовавшись при вычислении производных формулами F.8).
При этом получим
Функция (z + h)vl2Jv(Yz + h)— аналитическая всюду,
за исключением точки h = —z; если |А|<|г|, то
m!
Полагая в разложении A2.1) v = 1/2 и v = —1/2,
получим соответственно
оо
— У глс \Л/72 — 9?t )— Л — I 1/ (?\ (\ 9 Ъ
г, ^ /^\ I /I <* _L I ^ I (\2 A\
)
В формулах A2.1), A2.2) при |А|<|г| можно заменить
функции первого рода функциями второго или третьего
рода; обе формулы остаются верными и в том случае,
когда индекс является целым. Некоторые дальнейшие
результаты, относящиеся к разложению Ломмеля, изла-
излагаются в § 14 и 16,

46 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
§ 13. Дифференциальные уравнения, приводимые
к уравнению Бесселя
В настоящем параграфе рассматривается вопрос о
том, какие дифференциальные уравнения можно приве-
привести к уравнению Бесселя и как выполнить при этом не-
необходимые преобразования уравнений. Этот вопрос рас-
рассматривается с практической точки зрения и его изло-
изложение, следующее установившейся традиции, вряд ли
можно назвать полностью систематическим. Оно скорее
представляет сводку наиболее удачных и интересных ре-
результатов, расположенных в порядке возрастания слож-
сложности их получения. Большая часть этих результатов
принадлежит Ломмелю.
Многие дифференциальные уравнения можно приве-
привести к уравнению Бесселя с помощью преобразований
зависимой и независимой переменных. Начнем с наибо-
наиболее простого частного случая.
Рассмотрим уравнение
AUL+ilB. 03.1)
Положим v = г~1/2ы, относительно новой переменной v
уравнение примет вид
Обозначим р + 1/2 = v, icz = х, тогда написанное выше
уравнение преобразуется к виду
» d2v . dv
* ~dS+x~dT
т. е. оно перейдет в обычное уравнение Бесселя. Следо-
Следовательно, v = Zv(x), где Zv(x) — цилиндрическая функ-
функция индекса v. В результате обратной замены получаем
и = zV'Zp+y, (icz).
Если положить в A3.1) u = wz~p, to в результате
подстановки получается уравнение

§ 13] УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К БЕССЕЛЕВУ 47
решение которого имеет вид
w=z*>u = zP+4>Zp+y, (icz). A3.3)
Положив в A3.2) z = Iяjq, q = 1/Bр +1), получим урав-
уравнение
^-<**-*-<>. A3.4)
Решение этого уравнения найдем, заменив в A3.3)
аргумент z на ?,q/q; таким образом
Прямым преобразованием можно свести к уравнению
Бесселя и уравнения более широкого класса; Ломмель,
в частности, показал, что общим решением уравнения
A3.5)
будет
^aZ(^) A3.6)
Для получения A3.6) следует ввести новые переменные
w = uza~^v, t = yz$; нетрудно показать, что функция
w(t) удовлетворяет уравнению Бесселя с индексом v.
Приведем несколько частных случаев уравнения
A3.5):
-g ± zu = 0, и = z'/,zVs (| z%), и = zttZv, (f- fob); A3.7)
+ d^f « 0 u z^Z{iVz)- A3.9)
03.10)
A3.11)
;A3Л2)

48 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
Дадим вывод еще более общего результата, также
принадлежащего Ломмелю. Рассмотрим для этого урав-
уравнение A3.2). Заменяя в нем w на y/%(z), z на ty(z), 2p
на 2v— 1 и полагая с = i, получим
1 ч! (z)
= 0. A3.14)
Решением уравнения A3.14) будет
Введем в рассмотрение новую функцию (p(z), опре-
определяемую уравнением
и исключим из A3.14) функцию %(z), при этом получим
d*y Ф' (г) dy . f 3 Г Ф' (г) V 1 у" (г) 3 Г Г (г) 12
&2 Ф (z) rfz "f" 1 4 L Ф (z) J 2 ф (г) 4 L ^' (г) J "*"
^o. (.зле)
Решение уравнения A3.16) имеет вид
В частном случае, когда <p(z)= 1,
d>y ¦ f l iT(z) 3[4>*(zI2 I
rfz-1 "f"  2 i|)'(z) 4 L i|)'(z) J
Решение уравнения A3.17) есть
Возвращаясь к исходному уравнению A3.2) и
рассматривая случай % (z) ss [ty (z) Jm^-v, находим, что

§ 13J УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К БЕССЕЛЕВУ 49
решение уравнения
d2y ()
имеет вид
t/ = №(z)fZv№(z)].
Частным случаем A3.18) является уравнение
§ -v2)t/ = O, A3.19)
решение которого доставляет функция
y=Z,,((*). A3.20)
Следующие несколько уравнений приводятся к урав-
уравнению Бесселя с помощью преобразований Ломмеля1):
% + [b2 ехр (Щ - 1?рЦ у = 0, у = Vz Zp (bz);
d*y a dy Г a (a-2) 1
+ +L 4Z2 +Z4
y = exp[-Az/2]-ZpB&Vrz);
= exp [- Az/2] г*1
rf2y 1 26 dy b2 /. p2 \ .,_
rfz2 "Г 262 + c rfz "^ 26z + c \ 2bz + c)y~ '
') Эти уравнения заимствованы нз [80], где в приложении при-
приводится обширная и полезная сводка аналогичных уравнений,

50 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
Перейдем к рассмотрению уравнений четвертого порядка. За-
Заметим, что во многих задачах математической физики метод разде-
разделения переменных приводит к обыкновенным дифференциальным
уравнениям следующего вида:
2 _n d2 I d v2
dz z dz z
Если уравнение имеет вид
Av«-2*,Avu+X4u = 0, A3.21)
то, перейдя к переменной | = кг и сохранив те же обозначения для
л /» d2 \ d v2\
оператора Av I Av ~ ,»2 ~^~г"~Зг W)' полУчим
AvAv« — 2i0Avu + u = 0, bo = bi/X2. A3.22)
Заметим, что Av=—2-Vv —1, где Vv—оператор Бесселя Будем
искать решение в виде
и внесем это выражение в уравнение A3 22); в результате получим
характеристическое уравнение s2 + 2bos +1=0, корни которого
суть s,2=-*0± Vbl-l.
Если bo равно нулю, то Si,2= ±« и имеет место случай, кото-
который подробно рассматривается на стр. 201
Если bo отлично от нуля, но мало по сравнению с единицей, то
можем приближенно считать sU2» — bo ± i. В более общем случае,
при 0 < *0< 1.
«1,2 = а ± ib,
Полагая | у а ± ib = ре * и возводя это равенство в ква-
квадрат, получим
|2 (a ± ib) = р2 (cos 2ф ± i sin 2ф).
Так как | а | ^ 1, | b | ^ 1, то, положив
I = р, а = cos 2ф, b = sin 2ф,
1 , а
где ф = -т-arcctg-r-, можно записать решение в следующем виде:
и = A\JV (ре"") + А\НУ W) + AlJv (ре-*) + А<Н® (ре~*),
или
и =• Atuv (р) + A2vv (р) + ЛзА, (р) + A4gv (p),
где
\ \ (l*)

§ 13) УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К БЁССЕЛЁВУ 51
Если bQ = 1, то характеристическое ураввевие имеет кратвые
корни.
При &о> 1 оба корня характеристического уравнения дей-
действительны, и решение уравневия A3.21) в этом случае можво за-
записать в следующем виде.
при 60< -1
и = A:Jy A У^7) + A2Yy (I V7T) + А3]у AVJT) + A*Yy
при bo> 1
«=h,/vF VuT\) + л2Ку d /ы) + ^з/v
Рассмотрим теперь задачи, в которых переход к си-
системе уравнений Бесселя является менее очевидным.
Приведем принадлежащий Ломмелю результат, впо-
впоследствии обобщенный Ватсоном.
Уравнение A3.5) можно записать в виде
(D + a)(D + a-2$v)u Р2\22%, D = z-^. A3.23)
Приведем уравнение
П (D + а - 2rp) (D + а - 2pv - 2г0) и = (-1)" ^с^г^Ч,
A3.24)
которое при п = 1 переходит в A3.23); легко проверить,
что решение уравнения A3.24) имеет вид
где
у = с exp (rni/n), r = 0, \,...,п— 1.
Давая г последовательно значения 0, 1, ..., п—1, по-
получаем п решений, образующих фундаментальную си-
систему.
Положив в A3.24) п = 2, получим уравнение четвер-
четвертого порядка
(D + a) (D + а - 20) (D + а - 2pv) (D + а - 2pv - 20) и =
= Р4с4г%. A3.25)
Кирхгофф рассмотрел уравнение
'таг)-А.
A3.26)
описывающее поперечные колебания конического стер-
стержня. Если ввести новую независимую переменную

52 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Р = 2]/г и обозначить «р2 = у, то уравнение A3.26)
сводится к системе двух уравнений
откуда
+ A3I2B Yz) + ЛД2B y7)]. A3.27)
Уравнение, рассмотренное Мононобе
имеет решение, которое можно получить, положив в
A3.27) индексы равными 1 и заменив 1/г на \\YZ- Это
уравнение встречается в задаче о колебаниях клина.
Более общая задача изучалась А. Н. Динником [12], ко-
который рассматривал дифференциальное уравнение ко-
колебаний стержня, имеющее вид
очевидно, что задачи Мононобе и Кирхгоффа получаются
как частные случаи задачи А. Н. Динника. Решение
уравнения Динника запишем в виде
Л27ОТ_2B
+ Л3/т_2B Yz) + А,Кт-2B VI)).
Приведем недавно опубликованный результат, при-
принадлежащий Т. Ларднеру [32], который показал, что ре-
решение дифференциального уравнения
¦pznu = 0 A3.30)
можно выразить через бесселевы функции, если m = P/Q,
n = (P + 2)/Q — 4, где Р и Q — натуральные числа, и
Q=?0; кроме того, числа |Р| и \Q\ не являются одно-
одновременно четными.
Ларднер не приводит в [32] общего решения, указы-
указывая на его сложность, и ограничивается рассмотрением
частного случая Р = 9, Q = 2.

§ 14] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА S3
д
Если положить 2! = -^-, < = 1пDг'/'), то уравне-
уравнение A3.30) можно переписать в виде
[D, (D, - 4) (D, + 6) (D, + 10) - в4'] и @ = 0, A3.31)
где Di = rf/Л.
Решение уравнения A3.31) имеет следующий вид:
u(t) = e-12tDi(Dl-2)(Dl-4f(Dl-8J(Dl-\2)<D(t),
где Ф@ — решение уравнения
[Я?ф,-2J-е4']ф@-0,
выражающееся через бесселевы функции,
Ф @ = Л,/о (в*) + Л2К0 (в*) + Л3/<> (в*) + ЛДо (в*).
Рассмотренные уравнения второго и четвертого по-
порядка являются однородными. Использование функций
Коши, приведенных в § 17, позволяет легко получить
решения соответствующих неоднородных уравнений.
§ 14. Интеграл Пуассона
Наряду с интегралом Бесселя в теории бесселевых
функций и их приложениях важную роль играет другое
интегральное представление, принадлежащее Пуассону,
который в своих работах по теории теплопроводности
рассматривал интегралы типа
я я
J cos (z cos 8) sin2re+1 8 dQ, J cos (zcos 8) sin2" 8 dQ,
где n — целое положительное число или нуль.
В дальнейшем аналогичные интегралы рассматривал
Ломмель.
Рассмотрим интеграл Пуассона
/,'¦.¦ cos(zcos 8)sin248<
12) * 1/2/ J
0

54 УРАВНЕНИЕ БЕССЁЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
Для доказательства A4.1) заменим первый сомножи-
сомножитель подынтегрального выражения правой части рядом
, A4.2)
поменяем порядок суммирования и интегрирования и
воспользуемся затем формулами G), (8).
В результате получим
l> ГBт+1)
m-0 О
Г cos2m в
JC0S 0
= V (-l)m (z/2)a»+v22M Г (v + '/,) Г (m + y2)
1>+У2)Г(У2)ГBт+1)
m-0
m=0
что и доказывает справедливость A4.1). В отличие ог
интеграла Бесселя полученный результат справедлив не
только при целом индексе п, но и при любом веще-
вещественном v > —1/2, а также при комплексном v, если
Rev>—1/2.
Учитывая, что
я
J sin (г cos 9) 3111^9^9 = 0, A4.4)
о
формулу A4.1) можно записать и в таком видег
Если теперь произвести замену cos 9 = t, то интеграл
Пуассона можно записать так:
1

§ 14] ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА 55
В § 19 будут рассмотрены некоторые обобщения это-
этого интеграла.
В качестве примера использования интеграла Пуассона приве-
приведем вывод разложения Ломмеля, рассмотренного в § 12, при v = 0.
Заметим, что до получения приведенного в § 12 общего решения,
Ломмель рассмотрел частный случай разложения, когда v = 1 (см.,
например, [7]). Приведенный ниже вывод основан на очевидном со-
соображении о том, что интеграл Парсеваля A0.12) не изменяется
при переносе начала отсчета полярного угла, поэтому его можно
записать 8 виде
я
/0 (/¦) = — I cos [/• cos F — ф)] rf<p =
о
я
•= — cos [/• cos 6 cos ф + г sin 6 sin ф] dq> =
о
я
•= — [cos (/• cos 6 cos ф) cos (/• sin 6 sin ф) —
я J
0
— sin (/• cos 6 cos ф) sin (r sin 6 sin ф)] dq> =
я
•= — cos (/• cos 6 cos ф) cos (/• sin 6 sin ф) <Лр, 2я > 6 > 0.
я J
о
Заметим, что подобная формула была уже ранее получена в
§ 10 другим путем (см. A0.14)). Разложим второй сомножитель
подынтегрального выражения в степенной ряд, поменяем порядок
интегрирования и суммирования и воспользуемся интегралом Пуас-
Пуассона; таким образом, получим
/о(г)-± J cos (,cose созф)
0
J
0 т=0
S (" 1ГBШ 6JСТ J C0S {Г C0S 6 C0S ф)
я JU Bm)! /If (/• cos
m=0
m!2m (/-cose)
A4.7)

56 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Обозначив г cos 6 = }Лг, /-sine = VT, /• = У z + h, найдем
A4.8)
m!
Отсюда, воспользовавшись формулой дифференцирования
¦М*)= (~ХJП!гп(г) .
легко вытекающей из формул F.2) и A.10), и формулой F.8), пос-
после простых выкладок получаем для целых значений п
/n+m(V^).
in i
m=0
Разложения аналогичного типа можно построить и для инте-
интеграла
я
J cos[zcosF-^)]sin2^Ap, A4.10)
о
который является очевидным обобщением интеграла Пуассона A4.1)
и при v = 0 переходит в интеграл Парсеваля.
Интеграл Пуассона, умноженный на 2V, можно рассматривать
как суперпозицию моментов степени v смещений, носящих характер
плоских волн, относительно оси, совпадающей с неподвижным ра-
радиусом
Разложение интеграла A4.10) в ряд, аналогичное разложению
Ломмеля, получаем точно так же, как это было выполнено при рас-
рассмотрении A4.1); таким образом,
я
cos [r cos F - ф)] sin2v ф йф =
о
я
О
cos (Y~z cos ф) cos (Ун sin ф) sin2v ф dq> =
(/FcosФ)
m=0
Если 6 = 0, то, очевидно, получаем интеграл Пуассона, так как при
этом h = 0 и в разложении сохранится только первый член.

§ 15) НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 57
§ 15. Некоторые неопределенные интегралы
Сначала рассмотрим некоторые неопределенные ин-
интегралы, являющиеся следствием формул дифференци-
дифференцирования и соотношений, вытекающих из рассмотрения
определителя Вронского и формул Бассета.
Рекуррентные формулы и формулы дифференциро-
дифференцирования дают возможность сразу получить следующие не-
неопределенные интегралы:
IB), A5.1)
J z-^Zv (z) dz=- 2-v+'Zv_, B). A5.2)
В случае, когда z = ре~1ф, v = 0, имеем
J p/o (p) dp = Р [fi (p) cos ф + g, (p) sin ф], A5.3)
{ РЙо (Р) dp = p [Jfi (p) cos ф - fI (p) sin ф]; A5.4)
в этих формулах fug можно заменить на й и v соот-
соответственно.
Ломмелю принадлежат полученные путем использо-
использования вронскиана уравнения Бесселя следующие ин-
интегралы, содержащие две бесселевы функции или квад-
квадрат бесселевой функции:
I
dz
zJ^(z) 2sinvn /v(z)
dz it , /v (z)
J
Jv (z) /_v (г)
rfz
Z/v (г) 7V (г)
J-
J
4(z) 2 /v(z)

S8 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Для доказательства первой из этих формул рас-
рассмотрим производную дроби
z)-l_y(z)j'y(z) 2sinvn
d Г/-у(гI_ J-
dz [ /v(г) J
/2 (z) jiz/2 (z) '
(При этом была использована формула (9.5).) Интегри-
Интегрируя по z, сразу получим A5.5); при этом предпола-
предполагается, что v — нецелое число. Заметим, что таким же
образом можно получить аналогичные формулы для
других цилиндрических функций.
Рассмотрим теперь производную от логарифма дроби
¦М*)
dz LUI /-v (z) J /v (*) /-v (z) яг/v (z) /_v (z) *
Отсюда, интегрируя по г, получим при v нецелом
rfz я . jv (z)
177(гO17(гГ ~ TsTnwT m /_v (z) '
что и доказывает A5.6).
Таким же образом могут быть доказаны и формулы
A5.7) — A5.9), в которых v — нецелое число. Укажем
еще, что
(z) Ai Hy(z)
где v может быть и целым числом.
Аналогичным образом, но с помощью формулы Бас-
Бассета (9.13) получаются неопределенные интегралы, в
которые входят производные цилиндрических функций
z[Y'y(z)}2
(l-v2/z2)rfz Y'v(z)
A5.11)
A5.12)
-Г
я J
L » J
2 Г (v2/z2-l)rfz j'v(z)
— —-, т =1п—т , A5.13)
я J zJv (z) Kv (z) Kv (z)
— —; -, = ln—j—. A5.14)
я J zJv(z)Yv{z) /v(z)

§ 15] НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 59
Произведение правых частей формул A5.8) и A5.11)
можно с помощью формулы Бассета (9.13) и опреде-
определителя Вронского представить в следующем виде:
l'v (г) Y'v (г) - A - v2/z2) yv (г) /v (г)
1 [Ь
п J
, =
z[ly(z)Y'y{z)f Jy(z)Y'y(z)'
A5.15)
Очевидно, не представляет никакого труда ввести в эти
интегралы функции #v'(z), H{^{z), /_v(z) взамен функ-
функций Jv(z) и Yv(z); легко получить и родственные фор-
формулы для модифицированных функций /v(z) и Kv(z)\
так, например,
- /С (г) К'у (г) + A + У2/г2) /v (г) ftv (г) /С(г)/(у(г)
.То Q& "~" . ' 1" / .' ' '
[
A5.17)
Рассмотрим интеграл
znJ0 (az) dz - - J г» -^ [г/, (az)] dz =
= -^- /, (az) + -^^- zre-70 (az) - ~t J z"-2/0 (az) dz.
A5.18)
Очевидно, что в результате последовательного при-
применения к интегралу fzre/0(az)dz формулы A5.18) при
нечетном п можно получить выражение, содержащее
только функции Jo(az) и /i(az); если п четное, то в ре-
результат войдет еще слагаемое, содержащее Г J0(az)dz.
Аналогичные результаты будут получены и в слу-
случае, когда под интегралом находятся функции znY0(az)
и z"#(I)(az).
Более общую формулу
= z»+lZy+l (z) + (ц - v)z»Zy(z) - (ц2 - v2) j z»-*Zv (г) dz

60 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
можно легко проверить, выполнив дифференцирование
и воспользовавшись формулами F.3), F.4).
Рассмотрим полученные Ломмелем весьма важные
неопределенные интегралы, которые получаются в ре-
результате использования различных преобразований урав-
уравнения Бесселя, приведенных в § 13. Если у и ч\ суть
решения уравнений
то справедлива следующая формула:
^ A5.19)
Положим, что Р(г) определяется из A3.17) при
|() = &г и v = (Xi; соответственно Q(z) получается,
если положить в A3.17) \|э(г) = /г, v = цг> кф1. Тогда
-Р)г- (ц? - ц2)/г} Z^ (кг) Т^ Aг) йг =
m^~K.Mib^L}. (I6.20)
Полагая Ц1=ц2 = Ц. получим
dz ^Л12' dz }
-lZii(k2)Zl+1(tz)}, 11Ф1; A5.21)
при / = k приходим к неопределенности типа -гг.
С помощью правила Лопиталя можно получить
jzZll(kz)Zl(kz)dz =
= 2^/4 [2ZV> (кг) Z; (kz) - Z^ (kz) Z;+1 (кг) -
-Zii+l(kz)Z;_l(kz)}, A5.22)

§ 16] ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ БЕССЕЛЕВЫМ 61
Если положить Р (z) = е2*-*, Q(z) = e2z+V\ то, как
видно из A3.19), A3.20),
J'
. A5.23)
Несложно получить подобные формулы для решений
неоднородных уравнений Бесселя (см. § 16).
§ 16. Функции, родственные бесселевым функциям.
Частные решения неоднородного уравнения Бесселя
В приложениях значительное место занимают функ-
функции, являющиеся частными решениями неоднородного
уравнения Бесселя Vv« = z\(z).
Наиболее простыми из этих функций являются те,
к которым приводит уравнение Бесселя с правой ча-
частью, представляющей степенную или линейную функ-
функции аргумента, и которые называются функциями, род-
родственными функциям Бесселя. Этн функции н рассмот-
рассмотрены в настоящем параграфе; в зависимости от вида
правой части и соотношений между индексом уравнения
и показателем степени они носят название функций
Ломмеля, Струве, Ангера, Вебера. Несколько дальше,
в § 27, будут рассмотрены функции Ломмеля двух пе-
ременных и их частные случаи — интегралы вероятностей
и интегралы Френеля; § 28 посвящен значительно более
общему и широкому классу функций — неполным ци-
цилиндрическим функциям; все эти функции можно рас-
рассматривать как частные решения неоднородного урав-
уравнения Бесселя с правой частью, представляющей произ-
произведение степенной и экспоненциальной функций.
В § 17 будут рассмотрены еще два простых класса
частных решений уравнения Бесселя: 1) когда правая
часть представляет ступенчатую функцию; 2) когда пра-
правая часть представляет бесселеву функцию.
Целесообразно еще до того, как будут разобраны
по отдельности различные частные решения неодно-
неоднородных уравнений Бесселя, остановиться на рассмотре-
рассмотрении некоторых общих свойств этих решений, которые

62 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
устанавливаются весьма простым образом. Этому во-
вопросу и посвящен п. 1 настоящего параграфа.
1. Здесь будут рассмотрены следующие вопросы:
1) функциональные уравнения, содержащие вронскиан,
2) неопределенные интегралы, 3) разложения Ломмеля,
4) интегральные представления, для получения которых
можно использовать функции Грина уравнения Бесселя,
фундаментальные функции Коши, обладающие свойст-
свойством единичной матрицы, или воспользоваться методом
вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим сначала вронскианы неоднородных урав-
уравнений Бесселя. Обозначим через и.\ и «2 соответственно
решения однородного и неоднородного уравнений Бес-
Бесселя с индексом v и аргументом z
Умножим первое из этих уравнений на и2, второе на щ
и вычтем из первого второе, при этом получим следую-
следующее уравнение:
Ж К - U1<\ + 7 К - UH = - "l<Pl (Z)-
Обозначим /, = «,«2 — «,«2 и будем разыскивать t{ в ви-
виде U = р(г)/2, тогда
f/ (г)/г = - ы,ф, (г), р (г) = - J 2ы,ф, (г) dz
и, следовательно,
г
(и[и2 - и^и,) |о = - 7 J
о
Если функция «1 вместе с первой производной обра-
обращается в нуль при z = 0, то
и[и2 - «2"i = ~ 7

§ 16] функций, родственные бесселевым 63
Воспользовавшись рекуррентными формулами для
функций и\ и «2, легко получить различные модификации
этого равенства с тем, чтобы в левой части находились
функции различных индексов, отличающихся на целое
число, а также написать формулы Бассета и Ломмеля —
Ганкеля для неоднородного уравнения (см. § 9). Осо-
Особенно простые результаты будут для того частного слу-
случая, когда правая часть неоднородного уравнения Бес-
Бесселя представляет степенную функцию.
Если обе функции и2 и ы3 — частные решения неод-
неоднородных уравнений Vv« = z\{z), у которых правые ча-
части равны соответственно z\\{z) и 22ф2B). то
и'2иъ - и'3и21* = -j J z [ы3ф2 (z) - «2Фз (*)] dz.
В § 15 приведены некоторые неопределенные инте-
интегралы, в подынтегральную часть которых входят бессе-
левы функции; покажем, как аналогичным путем можно
получить интегралы, в которые входят функции, род-
родственные функциям Бесселя.
Обозначим
г
~TJ z"i<P(z
Имеем
d I u\"\ u\u2 — u'2ui Ax (ф, z)
lz
Отсюда
щ _ f
(ф, г) dz
2 »
«2
аналогично
Ut_= _ Г Aj (ф, 2) dZ
н, J h2
Далее
d
d2
"г J 4 н,'

64 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
и, следовательно,
А\ (ф, г) dz_ _ . _uj_
u2
Различные интегралы, содержащие функции, род-
родственные функциям Бесселя, можно получить с помощью
метода Ломмеля.
Положим, что функция «1 удовлетворяет однород-
однородному уравнению и" + Рм, = 0, а функция и2 — неодно-
неоднородному уравнению и2 + Qu2 = ср (г), которые могут быть
приведены к уравнению Бесселя; нетрудно проверить,
что
= Ui^-u2^- j Ul<?(z)dz;
отсюда легко получить различные интегралы от произ-
произведений цилиндрических функций на функции, родствен-
родственные функциям Бесселя. Точно так же можно в резуль-
результате очевидного обобщения получить соответствующие
интегралы от произведений двух различных родственных
функций.
Приведем без вывода несколько определенных ин-
интегралов, содержащих функцию s^ v(z), которая будет
определена ниже формулами A6.10) — A6.12). Эти ин-
интегралы легко получаются с помощью использования
способов Ломмеля, примененных им для цилиндрических
функций и изложенных в начале § 15:
J
(ц + v- 1) А, (г) 5ц_1, v-i (г) - /v-i (г) «ц, v (г)
. dz =
4 (г)
«ц, v (г)
г (n + v-l)Mz)s(i_1,v-,(z)-/y_1(z)s(i,y(Z)
^м dz =
J Sa, у (г) /у (Z)
^, у (г)

16} ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ БЕССЕЛЕВЫМ 65
I
(ц + v- 1) Jv (г) 5д_ь v_, (г) - /v_, (г) sM, v (г)
= 1п[(ц + V - l)zJ4(z)s^u v-,(z) -2/v_, B)v v(z)], A6.4)
г Г 2 2 1
J [d - a2) + ^-p-j z/v, B) Sv, v, (az) rfz =
vi - 1) /Vl (z)s^_i. v,-i B) -
-/v,-i(z)s|llv1(z)]. 06.5)
Интегральное представление функции Фу(г), являю-
являющейся частным решением дифференциального уравнения
dz2 2 dz
можно, согласно методу вариации произвольных по-
постоянных, разыскивать в виде
Нетрудно показать, что
при нецелом индексе
г
Z>20,
при целом индексе
г
&, A6.7)
2>Z0.
В тех случаях, когда правая часть является степен-
степенной функцией, в частное решение входят интегралы
г
At» AVz~+h) =\{z + hf /v(VzTA")d(VzTA),
0
3 Б Г. Коренев

66 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ [ГЛ I
которые можно представить в виде ряда, являющегося
аналогом разложения Ломмеля:
-
кЦп-kV A2*-m-2k.v-
Рассмотрим частное решение неоднородного урав-
уравнения Бесселя в некоторых случаях.
В п. 2 будет получено частное решение в случае,
когда правая часть представляет степенную функцию.
Это решение выражается через функции Ломмеля.
В п. 3 мы рассмотрим частный случай, когда показа-
показатель степени на единицу больше индекса оператора Бес-
Бесселя и решение выражается через функции Струве.
В п. 4 рассмотрены функции Ангера и Вебера, которые
позволяют найти частное решение в случае, когда пра-
правая часть представляет некоторую линейную функцию
аргумента z.
2. Рассмотрим частное решение уравнения
Vvii = kz»+\ A6.9)
где k, ц — постоянные. Нетрудно убедиться в том, что
частное решение этого уравнения, представленное в виде
степенного ряда по возрастающим степеням аргумента
г, имеет вид
+ IJ —
X
= 4.v(z)- A6-10)
Функция S|i, v(z) называется функцией Ломмеля.
Разложение A6.10), очевидно, становится непригод-
непригодным, когда ц ± v оказывается отрицательным нечетным
числом.

§ 16] ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ БЕССЕЛЕВЫМ 67
Для того чтобы дать другое представление функции
Ломмеля, применим к уравнению A6.9) метод вариации
произвольных постоянных.
В соответствии с формулами A6.6), A6.7) опреде-
определим функцию Ломмеля s^v(z) следующим образом:
[г г -.
/v (z) J *V_v (z) dz - /_v (z) J z4v (z) dz
0 0-1
A6.11)
при v нецелом и
.12)
[z г -i
yv(z) jz4v(z)dz - Jv(z)j^Yv(z)dz A6.
о о J
при v целом.
Если ц ± v — нечетное положительное число, то част-
частное решение уравнения A6.9) при k = 1 можно пред-
представить в виде функции Ломмеля SlliV(z), которая при
нецелом v имеет вид
sinv;
X [cos A (и - v) я) /_v B) - cos A (и + v) я) /v B)]. A6.13)
Если же v целое, то
«V v (г) = V v B) + 2*-'Г Aц -1 v +1) X
()]. A6.14)
Непосредственно из A6.11) и A6.12) можно получить
рекуррентные формулы, принадлежащие Ломмелю [7]:
SA+2>v(z)=2^1-{(n+lJ-v2}S(i,vB;)> A6.15)
S;,v(z) + 7Vv(z)=((* + v-1)Vlv-.B)> A6.16)
^(^^^(^((t-v-l)^^^ A6.17)
3*

68 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ 1
Из этих формул можно сразу получить
— V vB) = (|* + V— I) Vi, v-i (Z) - 0* - V - 1) *„_,, v+i (z).
A6.18)
2s;tV(z) = fti + v-l)s|l_I>v_1(z) + Oi-v-l)s|l_lfV+1(z).
A6.19)
Заметим, что в A6.15) — A6.19) функции s^ v(z)
можно заменить на S,i(V(z).
Случай, когда ц, ± v есть нечетное отрицательное
число, требует сравнительно сложных рассмотрений, ко-
которые можно найти у Ватсона.
В литературе встречаются работы, в которых рас-
рассматриваются интегралы J Ai (/) dt; jBi(/)d/ (см. §8),
легко выражающиеся через функции Ломмеля.
С практической точки зрения функции Ломмеля яв-
являются очень важными специальными функциями, по-
поскольку большое число задач математической физики
сводится к уравнениям Бесселя с правой частью, пред-
представляющей степенную функцию.
Функции Ломмеля позволяют получить в удобном
виде частное решение в тех случаях, когда правая часть
неоднородного уравнения Бесселя есть кусочно непре-
непрерывная функция, представляющая собой некоторый по-
полином в пределах каждого участка непрерывности.
3. Функцию Струве с индексом v обычно определяют
выражением
J ° ~
о
я/2
= r(v+(V?r('/2) J sinBCOse)sin2v6rfe' A6.20)
где t = cos 6.
При условии, что Rev>—1/2, функция Uv(z) может
быть представлена степенным рядом
v+2m+l
S (—l)m (z/2)v+2m+l
r(/n + 3/*)r(v + « + 3/2) • A6.21)

§ 16] ФУНКЦИИ, РОДСТВЕННЫЕ БЕССЕЛЕВЫМ 69
Это легко показать, разложив в A6.20) sin (г cos 0) в
ряд по возрастающим степеням z и выполнив затем вы-
выкладки, аналогичные проведенным в § 14 при рассмот-
рассмотрении интеграла Пуассона.
Воспользовавшись этим разложением, можно полу-
получить следующие рекуррентные формулы:
Hv_, (г) + Hv+1 (z) = ^ Hv(z) + Г (v+(gr A/г) , A6.22)
v(z) = Hv-iB). A6.24)
\~Ш ~TJ Hv ® = ~ 2Г (v + 3/2) г C/2) ~ Hv
v+1
которые, очевидно, являются частным случаем соответ-
соответствующих рекуррентных формул для функции Ломмеля.
Из этих формул следует, что функция Струве удов-
удовлетворяет неоднородному уравнению Бесселя
A6.26)
у которого правая часть — степенная функция с пока-
показателем степени, превышающим на единицу индекс опе-
оператора Бесселя. Таким образом, функция Струве может
рассматриваться как частный случай функций Ломмеля.
Если все члены ряда в разложении Hv(z) взять с поло-
положительным знаком, то он представит функцию Lv(z),
изученную (в случае v = 0) Никольсоном.
4. В качестве определения функции Ангера может
быть принят интеграл Бесселя
я
j (Z) = i_ f Cos(v8-zsin8)rf8. A6.27)
Если v принимает целые значения п, то функция Ангера
совпадает с функцией Бесселя /„(z), если v — нецелое,
то Jv(z) отличается от функции Бесселя индекса v^

70 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
Функция
л
Ev B) = -i- J sin (v9 - 2 sin 9) cfe A6.28)
0
называется функцией Вебера.
В результате преобразования интегралов, связанных
с разложением подынтегральной функции в ряд по воз-
возрастающим степеням 2, получаются равенства
1 V
I = COS -y VK ?
m /,/o\2m
(-\)тЫ2
г— Т
т=о Г т-— v + -
2 ' 2
(-1)'
зг 0^.30)
Функции JvB), Ev(z) удовлетворяют уравнениям
A6.31)
VVEV B) = - 1±* - (г-^СО5™ . A6.32)
Таким образом, очевидно, что обе эти функции свя-
связаны с функциями Ломмеля, поскольку они представ-
представляют сумму решений неоднородного уравнения для слу-
случаев, когда показатель степенной функции равен нулю
и единице. Отсюда вытекают формулы
(z) - - ±±^ so. v B) - v A -cos m) »., v B). A6.34)

§ 17] ФУНКЦИИ КОШИ ?1
§ 17. Об интегрировании неоднородного уравнения
Бесселя. Функции Коши
При решении неоднородных линейных дифферен-
дифференциальных уравнений наряду с функциями Грина боль-
большую роль играют фундаментальные функции Коши,
использование которых облегчает получение решений.
В п. 1 рассматриваются функции Коши для урав-
уравнения Бесселя и системы двух уравнений Бесселя; в п. 2
рассматривается решение уравнения Бесселя со спе-
специальной правой частью, основанное на использовании
фундаментальных функций Коши.
1. Будем рассматривать решение неоднородного
уравнения
Avu + u = ~Vvti = f(z) A7.1)
при начальных условиях
Частное решение, которое разыскивалось в § 16
(стр. 65), имеет вид
U' <2> = 2ii^T j *f W ^ W 7-vB) - '-v(*) /v B)] dx,
где v нецелое. Общее решение уравнения A7.1) можно
представить в виде
где Л) и Л2 подлежат определению из начальных усло-
условий A7.2).
Введем функции Коши
О, z < х;
У, (*,*)- _^_[rMJv{z)_K{x)J vB)]t2>je;
[О, z < х\

72
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
[ГЛ
Очевидно, что каждая из этих функций удовлетворяет
уравнению Бесселя с индексом v; кроме того, что легко
проверить, при z = х эти функции и их производные при-
принимают следующие значения:
Y
Y'
К, (х, х)
1
0
Y2 (x, x)
0
1
Приведем иные выражения для функций Коши, при-
пригодные и при целых значениях индекса:
f 0, z<x;
УЛг,х) = \^[ГЛх)Ш_уп{х)?п{2I z>x. A7.5)
О, z < х;
Y2(z,x) =
Решение уравнения A7.1), удовлетворяющее усло-
условиям A7.2), теперь можно записать в виде
и (z) = u0Yi (z, Zq) + vQY2 (z, zQ) + | Y2 (z, x) f (x) dx.
Рассмотрим частное решение уравнения
d*u , \ du (. v2
правая часть которого является ступенчатой функцией;
таким образом, f(z) — O при z<z\, f(z) = q] при 2j <
k
<z<z2, ..., f (z)= 2 qi при zk<z<zk+u где qt no-
стоянные. Нетрудно убедиться в том, что при zh <

§ 17] ФУНКЦИИ КОШИ 73
< z < 2h, частное решение имеет следующий вид:
k
и'(г) = 2 <?,. {s1( v(г) - s^ v(^) Г, (г, г,.) +
2
[гГ\
В [20] рассмотрена аналогичная задача для урав-
уравнения Бесселя нулевого индекса, правая часть которого
является ступенчатой функцией; в этом случае в част-
частное решение, полученное с помощью интегрирования
функции Грина, входят только бесселевы функции.
Если правая часть рассмотренного выше уравнения
представляет непрерывную функцию
/(z) = 2P«(z-z<) при 2*<г<г*+1( ? = 1,2,3
то частное решение можно записать в таком виде:
* f
«' B) = S Р. \ «2. v B) - Si, ч (Z,) У, B, Zj) +
+ [4 *2. v B|) - О + V) S,. „-, (Z,)] К2 B, Z,) } ,
где р,- — некоторые постоянные.
Перейдем к уравнению четвертого порядка, которое
сводится к системе двух уравнений Бесселя. Сначала
рассмотрим неоднородное уравнение
u = f(z), A7.7)
где L — линейный дифференциальный оператор второго
порядка. Нетрудно доказать, что общее решение урав-
уравнения A7.7) имеет вид
и = щ+ и2,
где функции «1 и ы2 удовлетворяют соответственно урав-
уравнениям
L{uU2)± щ, 2= + -^-/(z).
Если L = Av = -^ + - -^ - -р-, то для каждого
из двух уравнений можно получить частное решение,

74
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
[ГЛ. I
как это было показано на стр. 50. Положим, что индекс
оператора — целое число, тогда, объединяя частные ре-
решения и\, и*2, получим формулу вида
A7.8)
где
У4 (z, x) = Ц- { /„ (z) Yn (х) - Yn (z) Jn (x) +
при нецелом индексе п заменяется на v.
Нетрудно убедиться в том, что
У4B,2) = 0, yj B, 2) = 0, Д„У4B,2)=0,
2, 2) =
Отсюда сразу следует, что в качестве одной из фунда-
фундаментальных функций Коши можно принять У4, а в ка-
качестве трех других — производную этой функции по х,
результат применения оператора Д„ и его производную
по х. Таким образом, будем выражать решение постав-
поставленной задачи в виде суммы частного решения и* и не-
некоторой линейной комбинации фундаментальных функ-
функций Коши
У, (z, х), Y2(z, x), Y3(z,x), У4B, х),
которые при z < х тождественно равны нулю и при
z > х удовлетворяют уравнению L2 (и) — и = 0; при z = х
выполняются следующие условия:
т
1
2
3
4
1
0
0
0
0
1
0
0
&nYm
0
0
1
0
&'nYm
0
0
0
1

17]
ФУНКЦИИ КОШИ
75
Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае
эти функции при 2^ х имеют вид
Г, B, X) = -И- { - Уп (X) Yn (z) + Yn (X) Jn (z) +
+ 1[1п(х)Кп{г)-Кп{хIп(г
Y2 (z, х) = Цг { /„ (х) Yn (г) - Yn (x) Jn B) -
Y3 (z, x) = ^-\j'n (x) Yn (z) - Y'n (x) ln (z)
(z, *) = -^ { - /„ (x) Yn (z) + Yn (x) Jn (z) -
A7.9)
-¦§-[/„ (*)*B(z)-*„(*)/»
Приведем формулы дифференцирования фундамен-
фундаментальных функций
т
1
2
3
4
yt
У2
у3
у*
у\
У'2
У'г
у\
"nYm
у3
^4
"У 2
y'
у:
-у'
'У'2
Решение уравнения A7.7) при начальных условиях
можно записать в виде
U B) = UQYi B, 20) + V0Y2 B, 20) + С*Г3 B, 20)

76 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
В работах автора [18], [20] фундаментальные функции Коши
использованы в задачах о колебаниях стержней переменного сече-
сечения, колебаниях круглой пластинки, равновесии конической оболоч-
оболочки, теории тепловых волн, а также задачах об изгибе круглой пла-
пластинки на упругом основании и др
Функции Коши при полуцелом индексе уравнения Бесселя вы-
выражаются через элементарные функции (см [24]).
При решении некоторых физических задач в начальные усло-
условия, определяющие вид функций Коши, входят линейные диффе-
дифференциальные операторы второго и третьего порядка, отличающиеся
от рассмотренных здесь операторов Av и Av, однако это не вызы-
вызывает каких-либо существенных затруднений (см, например, [20]).
В начале параграфа упоминалось о функциях Грина.
Между фундаментальными функциями Коши и функ-
функциями Грина K(z, х) существует непосредственная связь,
вытекающая из определения функции Грина дифферен-
дифференциального оператора.
Рассмотрим решение уравнения
+ « = 0, A7.10)
не имеющее особенностей при z = 0 и непрерывное при
z — x вместе с первой производной и оператором Д, причем
\их+о ~ \w*-o ~ ' >
и-*0 при 2-* оо. Это решение называется функцией
Грина уравнения A7.10). Из формул A1.9) можно сра-
сразу получить (обозначения и0, v0, f0, go см. на стр. 21—22)
A7.11)
^-[uo(x)fo(z)-vo(x)go(z)], 2>л;.
Покажем, что из K{z, x) можно простым способом
получить функцию Y^{z,x). Образуем разность функции
K(z, x) и выражения, представляющего верхнюю строку
A7.11), записанную без ограничения x^-z; очевидно,
эта разность является функцией Yi(z,x) и имеет вид
О, х > z;
-тг К (*) /о (г) - у0 (х) g0 (z) - fQ (х) «о (z) + go {х) v0 (z)],

$ 17] ФУНКЦИИ КОШИ 77
формулы для функций Yx{z,x), Y2(z,x), Y3(z, х) приве-
приведены в [20].
Рассмотрим частное решение неоднородного урав-
уравнения
— и = f{z).
Положим, что при гф zk f(z) = 0, k = 1, 2, 3, ... Пусть
также
" Ц+о= и l*ft-o + "о, *5 "' Ц+о = "' Ц-о + уо, *;
тогда частное решение при г& < z < Zfc+i имеет следую-
следующий вид:
и* (z) = 2 (и Y (z z \ + v Y (z z) +
2. Рассмотрим частные решения неоднородного урав-
уравнения Бесселя в случаях, когда правая часть представ-
представляет произведение цилиндрической функции на квадрат
аргумента. Начнем с другой простой задачи.
Пусть правая часть уравнения Бесселя представляет
цилиндрическую функцию, имеющую индекс, отличный
от индекса оператора:
d2u , 1 du | /, v2
+Ч1
Частное решение этого уравнения имеет вид
Частное решение неоднородного уравнения
-4-— - 4-11 — I и = 7 {"к?\ И 7 19^
имеет вид
Этот результат становится непригодным, если %= 1. Ре-
Решение неоднородного уравнения A7.12) в этом случае

78 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
будем называть резонансным решением; для его разыс-
разыскания воспользуемся предельным переходом.
Решение уравнения A7.12) при начальных условиях
u(zo) = O, u'(zo) = O можно записать в виде
где штрихом обозначено дифференцирование по аргу-
аргументу Xz. При Я = 1 знаменатель и выражение в скоб-
скобках обращаются в нуль; используя правило Лопиталя,
получим
u(z) =
Рассмотрим более простой частный случай. Решение
уравнения
d2u , 1 du
при начальных условиях м@) = 0, ы'@) = 0 и при кф 1
имеет вид
Применяя предельный переход (Я—>-1)( получим резо-
резонансное решение
u = — Jt {z).
§ 18. Произведения бесселевых функций
В этом параграфе рассматриваются некоторые свой-
свойства произведений бесселевых функций, уже встречав-
встречавшихся в §§ 11 и 17. Здесь выводятся дифференциальные
уравнения, которым удовлетворяют эти произведения, и
даются интегральные представления последних. Вопрос
о разложении произведений бесселевых функций в сте-
степенные ряды рассмотрен в [7].
Вначале, следуя Ватсону [7], Орру и Аппелю, рас-
рассмотрим два дифференциальных уравнения
g §Чг)ш = 0. 08.1)

§ 18] ПРОИЗВЕДЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 79
Обозначив произведение vw через у, получим
у" = v"w + 2v'w' + vw" = - (Я, + R2) у + 2a'да'.
Отсюда
Дифференцируя это уравнение, будем иметь
/?2)/ + (/?;+/?^ = (/?1-/?2)(о'в;-ов;/). A8.2)
Частный случай Ri = R2 приводит к дифференциаль-
дифференциальному уравнению третьего порядка
y'" + 4Rly' + 2R'ly = 0. A8.3)
Если Ri ф R2, то
d
A8.4)
Остановимся на случае R\ = —R2, который приводит
к произведению, содержащему две функции, аргументы
которых отличаются множителем, равным мнимой еди-
единице. Имеем
'"\ г/
Положим Rx = c2z2q-2, тогда A8.5) принимает вид
/jIV _ Of/, _ ]\ л LA/^yM?-1)// — О MS 9\\
При принятых выражениях Ri и R2 уравнения A8.1)
приводятся, как это показано в § 13, к уравнению
Бесселя; следовательно (см. стр. 47), решением A8.6)
будет
у = zZ\n2q) (czqlq) Zi,{2q) (cizqlq).
Здесь Z* и Z могут быть различными цилиндрическими
функциями, например, Z* — функция Бесселя, Z — функ-
функция Ганкеля. При q = 1 имеем тривиальный случай
z/IV + 4с4г/ = 0. Если q = 3/2, то
у = zZ./,Bczll5/3)Z./,B/cz' 5/3). A8.7)

80 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
При z = *|, q = zk
w-Tw-4ci?y=0> A8-8)
у = iz'4lBci УТ|1Л/3) zVlBc VTs!>5/3).
Положив y = zt(z), получим при <7 = 3/2
/'V + ЗГ'/г - 3/"/22 + 4с4г2/ = 0, t = y/z, A8.9)
где у выражается формулой A8.7).
Если положить У?, = R2, то для случая Ri=e2z — v2
будем иметь (см. стр. 49)
и, следовательно,
Дифференциальное уравнение, имеющее указанное
решение, получим сразу из A8.3)
Если решение представлено произведением
то соответствующее уравнение имеет вид
2/z
-v2
П tJ Р — V . Р^ -+• V? IP — V I
-^- + 4—^^-4 +2Z? У-у = О. A8.11)
Если R2 — kR\, кф 1, то
d
dz \ {\~k)Rx
или
AjL.+2A+fe)/ + (l+fe)|t/} +A-^^ = 0. A8.12)
Рассмотрим задачу о построении фундаментальных
функций Коши для уравнения A8.5).

§ 18] ПРОИЗВЕДЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИИ 81
Имеем по-прежнему
y = vw, и" + /?,и = 0, w" - R{w = 0. A8.13)
Обозначим фундаментальные функции Коши1) уравне-
уравнений A8.1): vu v2, w\, Щ', при этом, если z < а, то vu v2,
Wi, W2 равны тождественно нулю; при z = a
и,(а) = 1; v[(a) = 0; v2(a) = 0; v'2(a) = l;
wl(a) = l; w[(a) = 0; w2(a) = 0; w'2(a) = l.
Прежде всего построим функцию
yl = vlwl, z^a.
Очевидно,
+ 2v[w[ = 2v\w\,
yiv = _ 4R2ViWi + 2R[ [- vlW[ + v[wt].
При z = a
y,(a) = l, y[(a) = 0, y['(a) = 0, y["{a)
Введем функции
У2 = 2
VoW\ —
У*= 4 (а)
У2 = Уз = У4 = 0 при z < a.
Выполнив дифференцирование этих функций и опреде-
определив значения г/г, #з> У* и их производных при z = а,
получим сразу, что у\, Уг, Уз, Уь образуют систему
') Эти функции можно легко построить, воспользовавшись ре-
результатами п. 1 § 17,

82 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ [ГЛ I
фундаментальных функций Коши, т. е. при г = а имеем
у
Ц'
и"
У'"
Ух
1
0
0
0
У-
0
1
0
0
У->
0
0
1
0
У<
0
0
0
1
Перейдем к интегральным представлениям произве-
произведений бесселевых функций. Существенным для дальней-
дальнейшего является использование теорем сложения бессе-
бесселевых функций.
Приведем теорему сложения Неймана (см. § 11)
2
т=0
/т(а) Ym(l)cosmQ, A8.14)
Положим а = |, тогда левая часть A8.14) примет вид
(л \
2asin-2-j- Обозначим затем 8/2 = ср; умножив это
равенство на cos2ncp и проинтегрировав, получим
A8.15)
Аналогичные формулы сразу получаются и для функ-
функций чисто мнимого и комплексного аргумента из соот-
соответствующих теорем сложения, приведенных в § 11.
Воспользуемся теперь обобщением теоремы сложения
Неймана (см. §11)
Zv(/a2 + |2 -2a| cos8)cosv^ = 2 2' Zv+m (|) Jm (a) cos mQ,
положим а = |, умнол<ив обе части равенства на cos «9
и проинтегрировав, получим
2Л
-21- J Zv Ba sin |) cos [ 2<Zf*L] cos n8 d8 = Zv+n (a) /„ (a).

§ 19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 83
Аналогичным образом можно получить при а^?
2Я
Zv+n (I) 4(а) = i | Zv(Vra2 + |2-2a|cos8)cosi|yvcosrt8rfe.
о
Формула
Я/2
/v+|l Ba cos 8) cos [(ц - v) 8] dQ = ¦? /v (a) /„ (a), A8.16)
может быть получена в результате представления бес-
бесселевых функций, входящих в произведение, в виде сте-
степенных рядов [7].
Для произведения бесселевых функций с различными
аргументами доказана формула [7]')
X
l7vi+f+i) -v-fcii+lja2/*2). A8.17)
§ 19. Интегральные представления бесселевых функций
Выше, в §§ 10, 14, рассматривались два интеграль-
интегральных представления функции Бесселя — интеграл Бес-
Бесселя и интеграл Пуассона. В этом параграфе с помощью
теории функций комплексного переменного будет рас-
рассмотрено несколько контурных интегралов, являющихся
обобщением интеграла Пуассона; после этого без вы-
выводов будут приведены некоторые результаты, связан-
связанные с аналогичными обобщениями интеграла Бесселя.
Напомним, что интеграл Пуассона дает для функции
Бесселя следующее представление:
1
г (v + >/,) Г G2) J u >
') См. также Кратцер А. и Франц В., Трансцендентные
функции, ИЛ, 1963.

84 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Постараемся обобщить этот результат, рассмотрев кон-
контурные интегралы типа
v(z)= J T{t)eutdt. A9.1)
с
Выясним, каковы должны быть контур С и функция
T(t) для того, чтобы функция zvv была решением урав-
уравнения Бесселя с индексом v.
Функция v(z) удовлетворяет уравнению
zv" + Bv+l)v' + zv = 0. A9.2)
Дифференцируя A9.1), внесем затем полученные вы-
выражения в A9.2) и проинтегрируем по частям произве-
произведения zv" и zv; в результате получим
- IJ [РГ (t) + 2tT (t) - Bv + \)tT- Г (/)] еш dt = 0. A9.3)
с
Здесь символ |с означает приращение величины, стоя-
стоящей перед вертикальной чертой при обходе контура С
в положительном направлении.
Для того чтобы равенство A9.3) выполнялось, оче-
очевидно, достаточно, чтобы каждое из двух слагаемых, на-
находящихся в левой части, равнялось нулю; приравнивая
нулю первое слагаемое, получим
и, учитывая, что второе слагаемое обращается в нуль,
если выражение в квадратной скобке равно нулю, бу-
будем иметь
±[T{t){fi-l)] = {2v + l)T{t)t. A9.4)
Интегрируя A9.4), получим с точностью до постоян-
постоянного множителя
r@ = (/2-l)v~'/2. A9.5)
Будем полагать, что индекс v не принимает значе-
значений v = я + 1/2 (где я = 0, 1, 2, ...), так как в этом
случае подынтегральная функция будет аналитической
при / -- ± 1 и интегралы типа A9.1) обратятся в нуль.

19]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
85
При принятом допущении функция A9.5) много-
многозначна.
Если контур представляет замкнутую кривую, вну-
внутри которой находится одна из точек t= ±1, то при
ее обходе в положитель-
положительном направлении аргу-
мент увеличивается на
(v— 1/2) да".
Приняв контур С в
виде, изображенном на
рис. 2, будем обходить Рис 2.
обе указанные точки п
различных направлениях, и поэтому функция сохранит
свое значение при обходе всего контура. Следовательно,
применяя интегрирование по указанному замкнутому
контуру, можно получить представление
интеграла уравнения Бесселя в виде
2- \)v~'heztidt. A9.6)
Придавая контуру ту или иную форму,
можно получить различные интегральные
представления бесселевых функций.
Вторая группа интегральных представ-
представлений может быть получена, если конту-
контуром является незамкнутая кривая и в бес-
бесконечно удаленных точках произведение
{t2 — l)v~'l2ezti стремится к нулю.
Если интегрирование производится по контуру, изо-
изображенному на рис. 3, то для точки контура Ь + iy вхо-
входящая в подынтегральное выражение экспоненциальная
функция будет иметь вид
Рис 3.
exp[iz(b
Rez>0.
При у-*оо подынтегральная функция стремится к нулю,
а интеграл A9.6) сходится абсолютно.
Остановимся на случае, когда контур имеет вид, изо-
изображенный на рис. 2.
Условимся приписывать многозначной функции
(I2—l)v-v» дЛЯ контура такого вида знак плюс при
t> 1.

86 УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ [ГЛ I
Интеграл A9 6) сходится при Rez>0; дифференци-
дифференцирование под знаком интеграла законно, и интеграл есть
аналитическая функция от v при всех значениях v.
Покажем, что при определенном выборе постоянного
множителя интеграл A9.6) представляет функцию Бес-
Бесселя Jv(z). Ниже будет доказано, что интеграл по вось-
восьмерке, который является обобщением Ганкеля интеграла
Пуассона, сводится к обычному интегралу Пуассона
(рассмотренному в § 14)
и, следовательно, пред-
представляет функцию Бессе-
Бесселя Jv(z).
Будем интегрировать
Рис. 4. по симметричному кон-
контуру1), изображенному
на рис. 4. Достаточно рассмотреть интеграл по поло-
половине контура, расположенной в правой полуплоскости
и состоящей из двух наклонных отрезков ОА и ОЕ,
двух горизонтальных отрезков АВ и ED и дуги BCD,
имеющей центром точку t A,0). Обозначим радиус
дуги через р, р-^1; очевидно, что на дуге справедливо
неравенство
где С—некоторая постоянная.
Отсюда следует, что интеграл по дуге не может быть
больше, чем Срч~Ч>2пр = 2nCpv+1/2. Таким образом, при
v + 1/2 > 0 интеграл по дуге стремится к нулю при
р-*0. Очевидно, что при стремлении р к нулю, одновре-
одновременно стремятся к нулю длины отрезков ОЕ и ОА, а на
отрезке АВ функция Т имеет модуль (t2 — l)v~'/2 и аргу-
аргумент —ni(v— 1/2).
На участке ED модуль функции T(t) по-прежнему
равен (t2 — l)v~/2,a аргумент ее будет — ni(v— 1/2). Оче-
Очевидно, что по наклонным отрезкам модуль подынтеграль-
подынтегральной функции будет меньше единицы. Следовательно, ин-
интеграл по правой половине петли равен сумме интегра-
интегралов по отрезкам АВ и ED, длины которых в пределе
') См. [28].

§ 19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 87
при р—>0 стремятся к единице, поэтому
и = 2zA е-« <*-'/•>' J A - t2)v~y' eltz dt -
L о
l
= 2zvi sin (v - V2) я J A -
-1
Сравнивая этот результат с интегралом Пуассона,
получим окончательно
2i у л cos vnT (v + ]/г)
A9.7)
что и является обобщением Ганкеля интеграла Пуас-
Пуассона.
Ограничение v + 1/2 > 0 не является обязательным,
поскольку обе части равенства являются аналитическими
функциями v, и по принципу аналитического продолже-
продолжения результат является верным для любого v.
Рассмотрим теперь петлеобразный контур (см.
рис. 3) и покажем, что, интегрируя по этой петле, при-
приходим к представлению функции Бесселя /_v(z). Потре-
Потребуем, чтобы круг |^|= 1 был внутри контура, тогда
(f — i)v~1/2 можно разложить в равномерно сходящийся
на контуре ряд по убывающим степеням t:
{t2 _
Здесь t — комплексная переменная с аргументом ф
(—Зл/2 < ф < л/2), а ее модуль больше единицы. То-
Тогда почленное интегрирование является возможным и

88 УРАВНЕНИЕ ВЕССЕЛЯ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ [ГЛ. I
поэтому
(-1+. 1+)
oof
(-I+. 1+)
л
J
m=0
Известно [7], что
j /2v-2m-V"dt = {~l)T{z™_2vZ+i) ,
с,
где С| — контур, изображенный на рис. 3, и, следова-
следовательно,
еш (t2 - l)v~1/2 dt =
oof
M
Это обобщение интеграла Пуассона получено при
следующих ограничениях: Rez>0 и v + 1/2 не яв-
является целым положительным числом.
Через функции /v(z) и J~v(z) можно выразить функ-
функции #vJ (z) и Я® (z). He проводя выкладок, напишем
сразу формулы
J С2 - 1Г'/2 ^' dt. A9.9)
— f (t2 -
i у л cos \'лГ (v + V2
здесь v — нецелое число, а контуры Я,з и Д.4 изображены
на рис. 5 (формулы верны и при целых индексах).

191
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
89
Из этих формул можно получить обобщенные ин-
интегралы Мелера — Сонина. Изменяя в интегралах A9.9)
и A9.10) контур интегрирования, получим интегралы по
контурам, изображенным на
рис. 6.
Деформируя эти конту-
контуры соответственно в бес-
бесконечные полуинтервалы
t--r
Рис. 5.
Рис. 6.
вещественной оси (— оо, —1] и [+1, оо), каждый из ко-
которых взят два раза, можно получить формулы
я<?
1 A9.11)
оо
{х) = r(V;-y)V [1 - e*<v-V,> «<] J е-'" (f - I?-'1' dt.
1 A9.12)
Обобщения интеграла Бесселя получены в работах
Шлефли и Сонина. Приведем без вывода формулу
@+)
J
(
J
A9.13)
Если в этой формуле положить t—-^-zew, то полу-
получается выражение
СО + Л1
4a J
CO-Kl
О
I
-nl
Рис. 7.
A9.14)
при этом контур интегрирова-
интегрирования представляет три стороны
прямоугольника, изображенного на рис 7, с вершинами
в точках (оо;—яг), @;—ш), @;пг), (оо; +ni).

ГЛАВА II
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ. РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ
ФУНКЦИЯМ
§ 20. Определенные интегралы
В этом параграфе рассматриваются интегралы Со-
нина и некоторые их обобщения. Кроме того, здесь при-
приводятся очень краткие сведения о тригонометрических
интегралах Каптейна.
Роль определенных интегралов Сонина в последую-
последующей части курса достаточно велика. Они используются
в теории несобственных интегралов (§ 21), а также при
изучении парных интегральных уравнений (§ 22). Опре-
Определенные интегралы Сонина от функций Струве и Лом-
меля также используются в § 21 для разыскания не-
несобственных интегралов от этих функций. Читатель мо-
может обратить внимание на связь некоторых выводов,
приводящихся в этом параграфе, с содержанием § 14.
Указанная связь объясняется тем, что интеграл Пуассона
есть частный случай первого интеграла Сонина.
Можно отметить, что эвристические подходы, о ко-
которых шла речь при изложении интеграла Бесселя, мо-
могут быть в известной мере использованы и при изложе-
изложении теории интегралов Сонина. Нетрудно, в частности,
показать, что в простейшем случае рассмотренный ниже
интеграл B0.1) дает образ симметричной относительно
центра сферической волны как суперпозицию осесимме-
тричных цилиндрических волн.
Сначала рассмотрим первый интеграл Сонина
^^H), B0.1)
-1, Rev>-1.
Вывод этой формулы можно провести по той же схе-
схеме, которая была принята в § 14 при рассмотрении ин-

§ 201 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 9)
теграла Пуассона. Разложим подынтегральную функцию
B0.1) в ряд по степеням г и воспользуемся формулой
(8), получив при этом
Я/2
J
J /tlBSin0)sin'i+I0cos2v+I0d0 =
о
оо Я/2
.ч 2т+а Si
(I + 1п + 1) 22m+>1 J
m=0"" "
2vr(l+v)
2V+I
Очевидно, что при \х = —1/2 первый интеграл Сонина
переходит в интеграл Пуассона.
Выполнив выкладки, аналогичные приведенным вы-
выше, и воспользовавшись разложением функции Ломмеля
s^, v(z) в степенной ряд, получим
я/г'
/
J
B0.2)
При v = —1/2 равенство B0.2) переходит в следующее:
я/2
J /ц (г sin 0) sin'-^ 0 dQ = (я/Bг))% Нц_1/г (г). B0.3)
о
Рассмотрим первый интеграл Сонина от функций
Струве. Для этого сначала разложим, воспользовавшись
A6.21), в ряд по степеням г интеграл
Я/2
J HtlBsin0)sin4+I0cos2v+I0d0 =
Г (m
"/2
( — 1) (г/2) <-;пц+й+2т+2й rn<;2v+! fl /ffl —
m + »/2) Г (ji + m + 3/2) J S1" H C0S b ЙН ~
Г {т + 3/2) Г (ц + т + 3/2)
щ=0

92 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ 11
полагая затем k = ц, получим
я/2
J H, (z sin 0) sin"*' 0 cos 2v+. 0 dQ = J^+Ц H,+v+, (г);
B0.4)
если же положить k = —ц,, то в результате неслож-
несложных преобразований, вводя обозначения |xi = |х + v + 1,
Vi = v — \i + 1, будем иметь
я/2
J Htl(zsin0)sin'-'10c
о
2
m=0
Выведем интеграл Сонина для функций Ломмеля.
разложив в ряд по степеням z интеграл
я/2
J v v (z sin 0) s№+>+*> 0 cos2v+* 0 d0 =
2
г ((ц - у + 1)/2) Г ((ц + у
Г ((ц - v + 2m + 3)/2) Г ((ц + v + 2m + 3)/2)
я/2
X I sin2m+2^+2+^0cos2v+fcGu?0 =
о
У-
2Г / ц - у + 2т + 3 \ г / jij- v + . я + 3 \
X
X

I 20] ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 93~
Полагая затем k\ = v — \i, после некоторых преобразо-
преобразований получим
я/2
Г Sp, v (z sin 0) sinv+10 cos2v+* 0 dQ ¦¦
X Sm-v+ft/2+Vi, 2v + ft/2+'/i (z)' B0.6)
Представляют известный интерес интегралы, у кото-
которых аргумент бесселевой функции пропорционален ква-
квадрату синуса. Нетрудно показать [73], что
Я/2
J /v (z sin2 9) з!пэт+3 9 cos 9 dQ = — /v+1 (г), B0.7)
о
Я/2
J Hv (г sin2 9) sin2v+3 9 cos 9 dQ = -^ Hv+1 (г), B0.8)
Rev>- 1.
Приведем важную формулу, доказанную Рутгерсом,
а затем Ватсоном:
Я/2
J
/
J /v (г sin2 9) /v (г cos2 9) sin2^1 9 соз^+1 9 dQ =
1/a(,)
)^ ' K > /2" l ^
Ссылки на источники, в которых помещены обобщения
этой формулы, см. в [4].
Рассмотрим второй интеграл Сонина
Я/2
I /ц (aq соэф) /v (az sin ф) cos^+1 ф sinv+1 ф dq> =
-, B0.10)
-1, Rev>-1,

94 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. Г Г
Для доказательства этой формулы, разложим подынте-
подынтегральную функцию в ряд по степеням aq, поменяем по-
порядок интегрирования и суммирования и воспользуемся
первым интегралом Сонина; полученный ряд можно про-
просуммировать с помощью разложения Ломмеля
Я/2
/д {aq cos ф) Jv (az sin ф) cos1* ф sinv+1
о
a<?y*+2m (-1)
/ m\ Г
m=0
я/2
X J /v {az sin ф) sinVH
i (-1)
m,r(M.m-H)U
Вкратце рассмотрим некоторые тригонометрические
интегралы Каптейна.
Решение дифференциального уравнения
¦§• + « = <p(z), B0.11)
с нулевыми начальными условиями имеет вид
г
и= | Ф @ sin (z~0 ^^*
о
Вычисление этого интеграла в случае, когда правая
часть B0.11) выражена через бесселевы функции, при-
приводит к интегралам Каптейна. Положим ф (z) =/0 (z);
как это легко показать,
г
J /0 {t) sin {z -t)dt = 2/, (г). B0.12)

§ 21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 95
Положив ф(г) = Ji(z), при вычислении и имеет интеграл
г
J 7,@ sin (z - 0 d* = sin z-z/0(z). B0.13)
о
Справедливость этих равенств легко установить провер-
проверкой, для чего их нужно внести в уравнение B0.11).
Приведем еще один интеграл Каптейна
Z
J /0 @ cos (z -t)dt = zJ0 (г). B0.14)
о
Напишем два интеграла Каптейна, содержащих функ-
функции Струве,
Z
j"H0(Osin(z-Q<ft-=zH, (г)-Ц-, B0.15)
о
г
[ Н, @ sin (z - t) dt = - - zH0 (г), B0.16)
о
проверка которых также не вызывает затруднений.
Весьма важный интеграл, полученный Бейтменом,
v(z-fl)/p+i(a) —, B0.17)
приводится в [7]; на основе использования этого инте-
интеграла Рутгерсом получено в [81] довольно много (более
четырехсот) различных определенных интегралов, содер-
содержащих функции Бесселя.
§ 21. Несобственные интегралы
В этом параграфе рассматриваются несобственные
интегралы, в подынтегральные выражения которых вхо-
входят бесселевы функции или функции, родственные им.
Многие из этих интегралов встречаются при получении
интегральных преобразований Бесселя [5], [6], [13].
В п. 1 этого параграфа рассматриваются несобствен-
несобственные интегралы от функций Бесселя, в п 2 вычисляются

96 РЯДЫ ПО БСССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
интегралы от функций Струве и Ломмеля; вопрос о при-
применении интегральных преобразований Бесселя для вы-
вычисления некоторых интегралов вкратце разбирается в
п. 3; в п. 4 рассматриваются интегралы по индексу; п. 5
посвящен рассмотрению вопроса об улучшении сходи-
сходимости некоторых несобственных интегралов.
1. Сначала рассмотрим интеграл Липшица
ОС
/
e-"%(bt)dt= ,, ' , B1.1)
У а2 + Ь2
где Rea>0 и оба числа Re(a±ib) положительны.
Значение корня выбрано так, чтобы | а + У а2 + b21 >
>\Ь\.
Для доказательства заменим бесселеву функцию под
знаком интеграла через интеграл Бесселя, который в рас-
рассматриваемом случае переходит в интеграл Парсеваля,
и переменим порядок интегрирования; таким образом,
получим
I» ев Л
=-^ J e-atdt
0 0
л
= J_ Г
я у a — l
ib cos 9 у «
u
Аналогичным образом можно доказать более общую
формулу
где п — целое число (см. [11]).
Для доказательства воспользуемся интегралом Бес-
Бесселя в форме
я
jn (х) = iziil Г etx cos <r cos щ dq>,

§ 21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 97
а затем переменим порядок интегрирования; таким
образом,
(X) °° Я
f e-a4n{bt)dt = ^—^- Г e-a<d/ Г еш cos * cos mp dqp =
0 0 0
Я oo
= i^ j cos гаер dep Г е-(а-гь cos ч»' rf/ =
о
о о
- (~')" Г cos n(P rf(P _ ' Г Уаг + б2 - a I 2. g.
31 J a — ib cos ф у a + b2 i b J
При выводе этой формулы предполагалось, что п —
целое число, однако эта формула справедлива и при не-
нецелых индексах v, если Rev>—1
Рассмотрим принадлежащее Ганкелю обобщение ин-
интеграла Липшица.
Если бесселеву функцию разложить в степенной ряд
и поменять порядок интегрирования и суммирования, то
в результате почленного интегрирования получим
{Ы(Ъа) )v Г (ц + у) -, /ц + у Ц+у+1 . .
~ а^Г(у+1) ^Ч~2~' ^~' V+ l' '
Равенство B1.4) справедливо при условии, что
-т—!-<1,так как только в этом случае почленное инте-
интегрирование законно; для сходимости интеграла в B1.4),
кроме того, необходимо выполнение неравенства
Re(a)>0. С помощью аналитического продолжения
можно доказать, что B1.4) справедливо для более ши-
широкой области значений Ь при одновременном выпол-
выполнении условий Re(a±/6)>0. Нильсен [76] назвал этот
интеграл интегральным представлением гипергеометри-
ческой функции.
4 Б. Г Коренев

98 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
Формулу B1.4) можно переписать в следующем виде:
со
I е-,
6
_ (&/2)v Г (ц + у) / ц + у 1-ц + у .
~ 1^2/М~~
Г(у+1)(а2
B1.5)
Аналогичные результаты можно получить и для слу-
случая, когда подынтегральная цилиндрическая функция
является функцией Неймана, для этого следует восполь-
воспользоваться формулой B.1).
Этот общий результат содержит много важных част-
частных случаев; некоторые из них были рассмотрены выше.
Интересные результаты можно получить для случаев,
когда гипергеометрическая функция сводится к элемен-
элементарным; в частности, при ц, равном v + 1 и v + 2, имеем
формулы, впервые полученные Гегенбауэром:
dt =
at
ОО
J e~atJv(bt),
I e Jv{bt)t dt = ^рт—j==-; B1.7)
здесь Rev>—1/2 и Rev>—1 соответственно. Приве-
Приведем без вывода (см. [7]) формулу
, B1.8)
где Rea>—1; если положить в B1.8) a = ib,
\lmb\ < 1, то
о
B1.9)
B1.10)

§ 21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 99
Перейдем к рассмотрению интеграла Вебера
-, B1.11)
J
где b > О, 0 < Re |i < Re(v) + 1/2. Вебер доказал этот
результат только для целых значений п; на любые зна-
значения v этот результат был распространен Н. Я. Сони-
ным. Формулу B1 11) можно получить из B15) в ре-
результате предельного перехода, полагая а -> 0.
Приведем вывод этой формулы, используя интеграл
Пуассона и перемену порядка интегрирования и полагая,
что 0 < Re ц < Re v + 5/4:
/
jY | t»~l dt \ cos (bt cos <p) (sin <pJ
о
^гГ f v + -j J
Я/2 oo
9Jvc?9 ^"' cos (bt cos y) dt =
о
Я/2
j
7 о
Я/2
Г (ц) cos (яц/2) f /_;_42v/ ,-ц.
f,. ,2
J (sin<P)
При этом, используя формулы G) и (8) приложения,
получаем B1.11).
Рассмотрим теперь первый экспоненциальный инте-
интеграл Вебера
со
f J0(at)exp{- p2t2)tdt =^rexp{a2/{4p2)), B1.12)
для сходимости которого необходимо, чтобы было
|arg/j|< л/4.
Для доказательства этой формулы функция Бесселя
раскладывается в степенной ряд, а затем изменяется по-
порядок суммирования и интегрирования.
4*

100 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Обобщением интеграла Вебера является формула
со
J /v(a/)exp(-^2)r+1^=-^Trexp(-^-)( B1.13)
Rev>- 1;
она доказывается точно так же, как и B1.12), а именно:
оо
J Jv(at)exp(-pY)tv+1dt =
о
_ V (- 0* (a/2)v+2* f -p>
fe=o о
Более общая формула, которая доказывается аналогич-
аналогичным образом, имеет вид
оо
J /v(a*)exp(- p2f)f~1dt =
о
J
о
avr ((|Х + v)/2) /I 1 a \ ,nl , ..
AVl1;v)' BM4)
Приведем частный случай формулы B1.14)
CO
J /2v(a0exp(-^2)^ = -!g-exp(-^)/v(^); B1.15)
заменяя v на—v и комбинируя эти два решения, получим
со
J Y2v(at
о
B1.16)
при | Re v | < 1/2.

§ 21]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
101
Если воспользоваться теоремами сложения (см.
§ 11), заменив в B1.14) а на 5 = |/«2 + b2 — 2abcosy,
и положить затем ц = 2, то, как это показано в [7],
B1.17)
Эта формула верна при |argp|<jt/4, Rev>—1.
Рассмотрим еще интегра-
интегралы Ганкеля
1 f гр~'я''
— J _ г2
выберем замкнутый контур
L, изображенный на рис. 8.
Имеем при z = х
Рис. 8.
при z = xeni, т. е. на левой половине горизонтальной оси,
/-'М" (az) = - хГ
Если R —* схэ, /¦] —>• 0, то
оо
2-r2)m+l
(x2-r2)
B1.19)
где выражение в правой части представляет умноженный
на 2ш вычет при z = г.
Из B1.19), используя равенство Н1У (z) = /v {z) +
+ t'Fv (г) и положив г = ik, получим при Re k > 0
J [cos [-i- (p - v) я] /v (ад;) +
_ (-0
m+l
2mm\

102 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Мелер указал частный случай этой формулы
¦ = K0{ak). B1.21)
Большое число интегралов, являющихся, по существу,
обобщениями B1.21), можно получить, полагая, что в
числителе стоит произведение двух бесселевых функций
на степень аргумента, а в знаменателе — четный поли-
полином четвертой степени'). Здесь возможен такой путь:
сначала, не меняя числителя B1.21) положим, что в зна-
знаменателе стоит четный полином четвертой степени. При
этом можно воспользоваться интегрированием по тому
же контуру. Затем с помощью формул сложения можно
получить решение для случая, когда числитель подынте-
подынтегрального выражения является произведением двух
функций Бесселя. Далее можно ввести под интеграл сте-
степенные функции или заменить одну из функций Бесселя
функцией Ломмеля, Струве или Ангера. Заметим, что
фактическое вычисление некоторых из этих интегралов
было проведено автором несколько иным путем в [20]:
все эти интегралы являются решением задачи об инте-
интегрировании уравнения
(AvAv + 6Av + l)ffi) = <7(a B1.22)
где *7(Е)—либо дельта-функция, либо некоторая финит-
финитная функция, например, степенная на каком-либо уча-
участке и тождественный нуль всюду, кроме этого участка.
Приведем лишь один из интегралов этого типа, когда
аргумент х и числа a, b вещественны (см. стр. 199, 241):
I
xJo («) dx п , , , ..
2sin2q> fo\P), B1.23)
несколько таких интегралов приведены в [20], а также
во второй части книги.
>) Вопрос об интегралах (являющихся другим обобщением
B121)), у которых не выполняется условие четности полинома, яв-
являющегося знаменателем подынтегрального выражения, рассматри-
рассматривается в п. 5 этого параграфа.

§ 21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЮЗ
Приведем важные для приложений разрывные ин-
интегралы ') Вебера — Сонина — Шафхейтлина
" л dt, B1.24)
о '
которые были для некоторых частных случаев вычислены
Вебером; для всех значений параметров А, ц, v, при ко-
которых этот интеграл сходится, он был вычислен Сони-
ным; Шафхейтлин в своем последующем исследовании
отметил, что интеграл терпит при а = Ъ разрыв непре-
непрерывности. В общем случае интеграл Вебера — Сонина —
Шафхейтлина выражается через гипергеометрические
функции
X
при 0<b <a,
j
p /ц + v
2 '\
при 0<а<6; предполагается, что интегралы B1.25) и
B1.26) сходятся (условия сходимости см. в [7]).
Доказательство формул B1.25), B1.26) можно полу-
получить, воспользовавшись интегральным представлением
произведения бесселевых функций с различными индек-
индексами и аргументами, которое имеет вид
я/2
)v J em (^v) (cos 0)v+tl (A^-^V^v (Xz)
-л/2
Re (v + ц) > - 1, Я = V2 cos 0 (а2ею + 6 Vе); B1.27)
') Ватсон называет их интегралами Вебера и Шафхейтлина.

104
РЯДЫ ПО ВЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ
[ГЛ 1!
если положить z = t, внести B1.27) в интеграл B1.24),
переменить порядок интегрирования и воспользоваться
затем интегралом Вебера B1.11), то в результате полу-
получим определенный интеграл, который выражается через
гипергеометрическую функцию') (см. [4]).
Рассмотрим частные случаи формул B1.25) и B1.26),
положив в них v = 1/2, А = —1/2:
оо
J JVi{at)sinbtdt =
о
sin {ц, arcsin (bid)}
оо или О,
0й cos (ця/2)
оо
J
cos btdt =
Re(n)>-2;
cos{m, arcsin (b/a)}
Va2 - b2
оо или О,
ай sin (ця/2)
полагая затем ц = 0, получим
0,
/0 {at) sin bt dt =
оо
J J0 (at) cos btdt =
0°,
o,
b<a,
b = a,
b>a,
B1.28)
b<a,
b = a,
b>a,
B1.29)
b<a,
b=a, B1.30)
b>a;
b<a,
b = a, B1.31)
b>a.
Последние два интеграла нося г название разрывных
множителей Вебера. В конце параграфа будет дан про-
простой вывод для другого частного случая интеграла Вебе-
Вебера— Сонина — Шафхейтлина (см. формулу B1.43))
') Сравни со стр. 97.

§ 21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 105
Перейдем к рассмотрению важных для приложений
несобственных интегралов Сонина. Сначала рассмотрим
интегралы Сонина, содержащие под знаком интеграла
одну бесселеву функцию, а затем рассмотрим разрывный
интеграл Сонина, в подынтегральное выражение кото-
которого входит произведение двух бесселевых функций от
различных аргументов.
Рассмотрим сначала полученную Сониным формулу
? /у(дУ7? + 7») ,2ц+1 .. _ 2»Г(ц+1)
J (t2 + 22)v/2 а»+1гу-»-
+ 22)
а>0,
Эту формулу можно доказать, воспользовавшись разло-
разложением Ломмеля (§ 12), с помощью которого находя-
находящееся под знаком интеграла отношение
можно представить в виде ряда, а затем воспользоваться
интегралом Вебера B1.11). При этом получим
Г /у(аУ
J (^2 +
¦\)т(г2аУ2)та-т Г . , ,.
-S
in!
m-0 6
(-\)т(г2а212)та-т Г A
m=0
2^r(n+l)
от! г (v -

106 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Приведем еще один интеграл, который является обобще-
обобщением предыдущего и получается аналогичным образом:
оо
Г /у (а У t2 + Z2) ,2 +k .. __ n+(ft_l)/2 u-v+(ft+l)/2 -n-(ft+l)/2 v
J (/J + z2)v/2
0
зг),
где
Вспоминая, что разложение Ломмеля легко обобщает-
обобщается на любую цилиндрическую функцию, в том числе, оче-
очевидно, и на функцию Ганкеля, переходя от действитель-
действительного аргумента к мнимому и повторив выкладки, прове-
проведенные на стр. 105, получим важную формулу
DO
I
2,1+1 . _ 2^Г(ц+1) „ , .
где а>0, Re(X> - 1.
Рассмотрим разрывный интеграл Сонина
B1l34)
0
0,
tf-b2}, а>Ь
при Rev>Ren>-l, а>0, Ь>0.
Для доказательства воспользуемся разложением Лом-
Ломмеля (стр. 45), поменяем порядок интегрирования и
суммирования и воспользуемся разрывным интегралом
Вебера — Сонина — Шафхейтлина B1.24), в частном

§ 21]
случае !
oo
0
=
=
oo
1
V
a
) Я = 1
Mai
(t>-
m (~ 1
(-\)mar
/v-,-,1
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
f + т — ц-
/~t2 + г2] ,ц+
)т(агут Г
2mm' J
n
4z2m2ti-v-m +
m\ 2'T
'г ]/a2 _ ^,2)
1
*
(V
o,
П
o,
при этом получим
bt)Jv+m{at)f-^d
,-v-m(e2_62)V+ffl-|i-l
- ц + m) '
z I
107
*
a<b,
a>b,
a<b.
2. Рассмотрим несобственные интегралы от функций
Струве. Для их получения можно было бы (см. [7]) вос-
воспользоваться теми способами, которые уже применялись
в этом параграфе, а именно разложением подынтеграль-
подынтегральной функции в степенной ряд, либо использованием
интегрального представления типа Пуассона (см. § 16)
с последующей переменой порядка интегрирования.
Здесь результат будет получен с помощью предста-
представления функции Струве, даваемого формулой B0.3)
с последующей переменой порядка интегрирования. При
этом будут, очевидно, сначала использованы ранее по-
полученные в этом параграфе интегралы от функций Бес-
Бесселя, а затем — определенные интегралы, рассмотренные
в § 20.
Положим
J J,(az)O(bz)z»dz = f(a, 6, ц, v),
о
где выражения Фи/ должны удовлетворять условиям,
обеспечивающим сходимость интегралов и законность
последующей после использования формулы B0.3)
') См формулу B1.43).

108 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
перемены порядка интегрирования. Тогда, очевидно,
00
J Hv(az)
о
оо я/2
О О
я/2
= У я J /(asin0> b' V + T> v+-j)sin'/»-v0d0. B1.35)
Рассмотрим в качестве первого примера интеграл Ве-
бера от функции Струве
00
f Hv (г) dz _
оо Я/2
/v+i/, (z sin 0) sin'/*-v 02-v+^-^ dz dQ =
Я/2
г Г
I oitr~U Д >^Д
Г (v + 1 - A/2) 2^ УН
При этом мы воспользовались формулами B0.3), B1.11)
и соотношением F).
Рассмотрим затем интеграл
г /v(fl<)Hv_v
0
оо Я/2
0 0
' UV~V' Rev>0, b/a<l. B1.37)
я а

§ 21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 109
При выводе была использована формула
оо
J Jv(at)Jv-l(bt)dt = bv-llav, если Rev>0, Ь/а<1,
о
являющаяся частным случаем B1.25); эта формула бу-
будет выведена ниже (стр. 111).
Рассмотрим интеграл Сонина для функции Струве
. B1.38)
Аналогичным образом можно вычислить несобствен-
несобственные интегралы, если в подынтегральное выражение вхо-
входит функция Ломмеля. Так, например, воспользовавшись
формулой B0.2), в результате несложных преобразова-
преобразований можно получить
J
i (az) Jk (az) z^-v~k dz =
= (v + a.^rV-n) ' B1 -39)
Rev> - 1,
в частном случае
оо
J
(az) /„-v-i (az) z dz = - 2^ Шл ( B1>40)
Rev>- 1, Re(n-v
Этот прием применяется и для получения интеграла
от произведения двух бесселевых функций первого рода,
имеющих одинаковые аргументы, но различные индек-
индексы. Для этого используется формула Неймана A8.16).

ПО РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
Использование различных обобщений этой формулы
дает возможность получить интегралы от произведения
двух различных цилиндрических функций одинакового
аргумента. Если аргументы у цилиндрических функций
различны, то нужно воспользоваться формулой Нейма-
Неймана A8 17).
Несобственный интеграл от функции Ломмеля диу.х
переменных (см. стр. 161) аналогичным образом вычис-
вычисляется ниже, в § 27.
3. Рассмотрим отдельные примеры применения инте-
интегральных преобразований Бесселя к задачам о вычисле-
вычислении несобственных интегралов.
Если в интегральном преобразовании
ядро K(Xt) есть цилиндрическая функция, то преобразо-
преобразование называется преобразованием Бесселя. Наиболее
важным из преобразований Бесселя является преобразо-
преобразование Ганкеля
оо
f'(u)= J //(/)/„(ut)dt, 0<ы<+оо, ц>-'/2, B1.41)
о
которое имеет следующую формулу обращения:
оо
/(/)=/ «Г(«)/Д«0du, 0</< + oo. B1.41')
о
Свойства интегрального преобразования Ганкеля вкратце
изложены в [13], более подробно в [47]. Таблицы инте-
интегральных преобразований Ганкеля приведены в [47], [5],
[6]. Получим с помощью преобразования Ганкеля и опре-
определенных интегралов Сонина, рассмотренных в § 20, не-
некоторые разрывные несобственные интегралы.
Рассмотрим функцию
Ш-fff. 0<t<a,
' I 0, а</<оо. v ;

§ 21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Щ
Преобразование Ганкеля функции f(t) имеет вид
а
f*(u)=j(a2-f)vtli+]Jli(ut)dt,
о
положив t = a sin 0, преобразуем интеграл к виду
Л/2
/*(«)= J a2v+li+2cos2v+1esin'i+1e/li(a« sin 6)dQ.
о
Таким образом, задача свелась к вычислению интеграла
Сонина, B0.1), и, следовательно,
П, л _ ~2v+n+2 2 Г (у + 1) . (тЛ —
и)—<* . .v+i J\i+v+\\au) ~
(аи)
= 2vr(v+l)av+^+' j , ,
Формула обращения сразу дает интеграл
оо
J u-Vli+v+l(au)Jll(ut)du=f(t) 2vrA .A v+ih-1 » <21-43)
о
который является частным случаем интеграла Вебера —
Сонина — Шафхейтлина. В качестве второго примера
рассмотрим Н-преобразование (см. [6])
/;(«) = / Hy(tu)(tuL'f(t)dt B1.44)
о
и соответствующую формулу обращения
оо
f(t)=\ Yv(tu)(tuffl(u)du. B1.45)
о
Если положить, что f(t) выражается формулой
Ш=( (a2-'T'V+'/2, 0<t<a,
I 0, a</<oo,
то, используя первый интеграл Сонина для функции
Струве, получим

112 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
и из формулы обращения B1.45) получаем сразу
t4a2-ef п^
О, a<*<oo.
B1.46)
Этот разрывный интеграл аналогичен интегралу Всбе-
ра — Сонина — Шафхейтлина.
4. Рассмотрим несобственные интегралы по индексу.
Сначала вспомним, что задача о свободных колебаниях мембра-
мембраны, имеющей форму кругового сектора, обычно сводится к опреде-
определению функции, представленной рядом, общий член которого есть
произведение функции Бесселя на тригонометрическую функцию
угла 9; зафиксировав 9, получаем ряд Фурье — Бесселя; предель-
предельный переход позволяет перейти от ряда к интегралу с бесконеч-
бесконечными пределами. Если же зафиксировать г, то функция угла О
будет представлена рядом Фурье, коэффициенты которого суть функ-
функции Бесселя, зависящие от индекса. Здесь также возможен предель
ный переход, позволяющий перейти к интегралам по индексу. При
получении интегралов по индексу, очевидно, во многих случаях мо-
может быть использовано преобразование Фурье
В настоящее время вопрос об интегралах по индексу
приобрел большое значение в связи с различными при-
применениями преобразования Конторовича — Лебедева.
Рассмотрим несколько интегралов по индексу; при
этом в основу получения интегралов будет сначала по-
положена формула обращения Фурье, примененная к раз-
различным определенным интегралам, подынтегральные
выражения которых содержат в качестве параметроз
аргумент и индекс бесселевой функции; идея вывода за-
заключается в том, что интеграл умножается на соответ-
соответствующее ядро Фурье, в котором переменным является
индекс, проводится интегрирование и используется фор-
формула обращения.
Воспользуемся формулой A8.16)
Я/2
J /Vl+|11 Bг cos 6) cos [(ц, - v,) 6] d% = | /Vl (z) J^ (z),
0
Re(v,-

§ 211 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРЛПЫ ИЗ
обозначим |Л1 — vi = |, fxi + vi = fx, введем функцию
J2vLBzcosB), 0<|е|<я/2,
и перепишем приведенный выше интеграл в виде
оо
J fц Bг cos 6) cos B|6) rf6 = я/^+| (г) /^ (г).
Таким образом, с точностью до постоянного множителя,
правая часть является косинус-преобразованием функции
fwBzcos6).
Воспользовавшись формулой обращения, получим
оо
J JVL+l(z)JVL.l(z)cosB^Q)dl = jJ2llBzcosQ), B1.47)
о
o<iexf.
Довольно много интегралов от функций, родственных
функциям Бесселя, можно получить, используя обобще-
обобщения интеграла Бесселя (см. формулы § 16, а также [4]).
Рассмотрим в качестве примера интеграл (см. [3])
л
j sin(zsin6)cos(v0)<i0 = A + cosvn)s0i v(z);
о
воспользовавшись формулой обращения, сразу получим
оо
j (I +cosvn)s0lV(z)cos(ve)<iv=-7f sin(zsin6), B1.48)
о<е< л.
Другой способ получения интегралов по индексу свя-
связан с использованием интегральных представлений, по-
полученных в результате преобразования интеграла Бессе-
ля (см. § 19).
Если взять, например, интеграл
оо
/Cv(z)= J e-*ch'ch(v0<tf, Rez>0,

114 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
то, положив v = ix и воспользовавшись той же формулой
обращения, можно получить
оо
J
0</<оо. B1.49)
Некоторые более сложные интегралы сравнительно
легко получаются в результате применения формул обра-
обращения к несобственным интегралам, подынтегральное
выражение которых содержит функции ch(v*) или
sh(vx), а также ch(v± ц)*, sh(v ± ц)*.
В качестве примера можно взять, например, следую-
следующий интеграл, приведенный в [4]:
оо
[Ку {x)f sin (vn) = я J /0 {2x sh t) sh Bvf) dt,
о
|Rev|<3/4, x>0;
используя замену v = ix и формулу обращения, получим
оо
J [Ktv (x)V sh (vn) sin BvO dv = ~J0 Bx sh 0, B1.50)
о
0</<oo.
Вопрос об интегралах по индексу подробно рассмо-
рассмотрен в книге Н. Н. Лебедева [34].
5. Рассмотрим вопрос об улучшении сходимости не-
некоторых несобственных интегралов. Для этого здесь ис-
используется метод контурного интегрирования; в резуль-
результате его применения интеграл выражается в виде суммы
некоторого простого выражения, содержащего бесеелевы
функции, и другого несобственного интеграла, сходяще-
сходящегося лучше, чем исходный [22].
Рассмотрим несобственный интеграл
оо
— Г
F{X)

21]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
115
где У*1 (Я,)—функция, аналитическая во всей плоскости;
подынтегральная функция представляет однозначную
функцию аргумента К. С помощью фор-
формулы
представим интеграл в виде суммы
где
12A)
-, ш=
Рис. 9.
Преобразуем h(l), 1з(?), интегрируя
в плоскости комплексного переменного
z = к + it по контурам, изображенным на рис. 9, и счи-
считая затем, что радиус дуги стремится к бесконечности.
При этом, имея в виду, что интеграл по дуге обращается
в нуль, и используя приведенную в § 4 зависимость
между функцией Ганкеля от мнимого аргумента и функ-
функцией Макдональда, получим
I,
y1(z) = Hii)(z)/F(z);
аналогичным образом преобразуется Ь(|).
В результате получим
B1.52)
I
оо
(t\-± f Kn
™ ~ п J
о
F (О F (it)
"¦"
®
+ 2п/ J] res -ф, B) + 2яг J] res -ф2 (z), -ф2 (г) = Я® {z)/F {z).
B1.53)
Остановимся на вычислении этого интеграла для слу-
случая, когда F(z) является полиномом.
Эта задача имеет значение в связи с расчетом неогра-
неограниченной плиты, лежащей на упругом однородном

116 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Изотропном полупространстве и загруженной сосредото-
сосредоточенной силой Р. В этом случае прогиб w (r) и реактив-
реактивное давление р{г) выражаются следующим образом:
а, М
Г J
J
о
— Г
2яО J 1 + Я3
00
Г
J
О
где % = r/t; E, а — модуль упругости и коэффициент Пу-
Пуассона материала плиты; Ео, а0 — соответственно модуль
упругости и коэффициент Пуассона основания; h — тол-
толщина плиты; D — цилиндрическая жесткость;
Обозначим
со
J J(fJX ¦ B1.55)
о
Воспользовавшись формулой
// y\ Г W ^ / y^ -4
о V / — "о" L ^ \ / "*
получим
т /t\ ' гт /t\ д. т /t\i /91 c\fi^
'(I) \Ъ) 2~1 B) «' *f" C) \ьI> (Z.I.DD)
где
'"' (Ч) dX
о
-J
Для вычисления 12(?) будем интегрировать функцию
i|)B) = Яо)(^2)/A +23) в плоскости комплексного пере-
переменного 2 = а + it по замкнутому контуру Г (см. рис. 9),
обходя его в положительном направлении.

§21] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 [7
Легко видеть, что при R—>¦ оо интеграл вдоль дуги
обращается в нуль, и поэтому
dk
f° #0'> («|) Л v<
*'J 1+ (/<)» =2n/2^res^. B1.58)
о
Функция о|з имеет в области, ограниченной рассматри-
рассматриваемым КОНТурОМ, ТОЛЬКО ОДИН ПОЛЮС В ТОЧКе Z[ = '/2 +
+ /]/3/2;с помощью несложных выкладок можно пока-
показать, что
, , Я^>и ('/, + /КЗ/2I
res ib (г,) =
Таким образом, из B1.58) получаем
I«(E) = ^rJ ТГ^ + 4та з(-1+//з) • BL59)
Аналогичным образом преобразуем второй интеграл
B1.57), принимая в качестве пути интегрирования кон-
контур Гь изображенный на рис. 9 и полагая, что радиус
дуги стремится к бесконечности. В отличие от первого
случая будем вести обход в отрицательном направлении.
В результате, используя соотношение Н^{— х) = Н^()
получим
Подставляя B1.59) и B1.60) в B1.56) и B1.55), находим
где
7j i + ^a +-з" Lfo (Ю V 3 + g0
о
PI2 i. | ПО A61 Ш I il l? /,\l/n , - /c\\ /fI СП
7о (|) = Re Я?» [| ('/2 + * V3/2)] - Re Я?» fee**),
g0 F) = Im Яо" [| 0/2 + г 1/3/2)] = Im Яо" (бе1*1),
фо = п/3.
С вычислительной точки зрения полученное реше-
решение удобнее исходного B1.54). Действительно, B1.61),

118 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
состоит из суммы двух слагаемых. Одно из них представ-
представляет линейную комбинацию табулированных бесселевых
функций. Другое — интеграл, который сходится зна-
значительно быстрее, чем исходный. Для удобства вычисле-
вычислений интеграл, входящий в B1.61), можно представить
в виде суммы двух интегралов с пределами от 0 до а
и от а до оо, где а мало по сравнению с единицей; тогда
первый из интегралов можно выразить через табулиро-
табулированную функцию.
Если, например, принять ос = 0,2, то
0,2 0,2
При этом наибольшая погрешность в величине подынте-
подынтегральной функции будет равна 1/15625; введя новую пе-
переменную х = t\, приведем интеграл к виду
¦ = | J K0(x)dx.
Полученный интеграл протабулирован в [7], т. 2, и,
таким образом, остается лишь вычислить интеграл с пре-
пределами а, оо с помощью формул механических квадра-
квадратур. Верхний предел этого интеграла можно приближен-
приближенно принять равным 3-н4 в связи с очень быстрым ростом
знаменателя и еще более быстрым убыванием стоящей
в числителе функции Макдональда.
Заметим, что при дифференцировании B1.61) (с целью
получения углов поворота и внутренних усилий в плите)
интеграл в правой части остается еще достаточно хорошо
сходящимся.
Изложенный прием преобразования интеграла легко
обобщается на случай, когда в числителе подынтеграль-
подынтегрального выражения находится более сложная функция; вы-
выкладки в случае, когда знаменатель подынтегральной
функции представляет полином более сложного вида,
становятся более громоздкими.
В качестве примера рассмотрим задачу о вычислении
интеграла, встречающегося в расчете неограниченной

21]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
119
плиты, лежащей на упругом полупространстве, и поло-
положим, что плита в средней плоскости растянута равно-
равномерным усилием ро. В этом случае прогиб и реактивное
давление имеют вид
Г
Jo (Я1) .
XJ0 (Я1) dX
1 + аЯ + Я3 '
а =
B1.62)
Определение первого интеграла B1.62) сводится к вы-
вычислению двух интегралов по контурам, изображенным
на рис. 9.
Дадим сразу окончательный результат
Г Jo (Я|) dk _ 2 Г Ко № dt
J 1+аЯ + Я»-яЛ 1 + (а<-<«)*+
{ '
где
/о (I) + igo (I) = Я?» [(а, + ф,) |] = Я?» (регф'); Р = 1/6,
tg<Po = Pi/a,, a, = 6/2, р, = 1/1/Ь-&2/4,
у = Ь2/2-2/Ь, 6 = :
где Ь = —Zq, zq — действительный корень уравнения
г3 + az + 1 = 0.
Вычислим интегралы для случая, когда нагрузка рас-
распределена по круговой области и может быть предста-
представлена в виде
Рассмотрим для краткости только интегралы типа
B1.56). Пусть нагрузка ^„cosnG распределена по ок-
окружности радиуса R.

120 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Используя принцип суперпозиции, найдем прогиб в
точке с координатами gi =/?//, ф. Расстояние между точ-
точками в принятой безразмерной системе координат (g, ф)
и (||, 6) обозначим через
Воспользовавшись формулами сложения бесселевых
функций, можно, интегрируя по 0, сразу получить при
gi<g
AD
± Г Kn
я J
W)In(ht)dt
1-Й6
+ 2n(g)In(g,) + 0n(gOn(g.)]), B1.64)
где обозначения ггл(|), г?„(|), fn(g), <7n(g) приведены на
стр. 22; при g < gi выражение для w получится из B1 64)
переменой мест g и gi в фигурных скобках.
Следует обратить внимание на то, что, хотя функция
/„(х) при х—>оо возрастает как exJVx, асимптотиче-
асимптотическое представление произведения In(t?,)Kn{th) будет
содержать экспоненциальный множитель ?-'<&'-&>, кото-
который при gi > g обеспечивает должное убывание числи-
числителя. То же будет при g>gi. Ясно, что при g = gi
преимущества, связанные с наличием в числителе экспо-
экспоненциального множителя, исчезают.
При нагрузке q(l\) cos nQ, распределенной по круго-
круговому кольцу, необходимо провести интегрирование по
аргументу g,. Если <7(g,) = ^g"(«= 1. 2» 3. •••)» то ре-
результат выражается через цилиндрические функции.
Если q (gj) = A\^, ц ф п, то в результат войдут функции
Ломмеля комплексного аргумента.
§ 22. Парные интегральные уравнения
Как известно, многие задачи математической физики,
сводятся к решению парных интегральных уравнений.
К их числу принадлежат различные контактные задачи
теории упругости, задачи о напряженном состоянии
вблизи трещин, некоторые задачи электростатики и др.

§ 22] ПАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 121
Теория парных уравнений очень развилась за последнее
время и является предметом многочисленных исследо-
исследований.
Интересно отметить, что при решении парных инте-
интегральных уравнений с бесселевыми ядрами в последнее
время широко используются различные интегралы Со-
нина и ряд других результатов, относящихся к теории
бесселевых функций
Сначала рассмотрим парные уравнения
d, B2.1a)
J A(t)J4(pt)dt = g(p), p>d, B2.16)
где A(t)—неизвестная функция, /(р) и g(p)—извест-
g(p)—известные функции, а — заданная константа
Уравнения B2.1а), B2 16) рассматривали многие ав-
авторы. Следует отметить первые работы, принадлежащие
Титчмаршу и Басбридж. Результаты Титчмарша опу-
опубликованы на русском языке в его монографии [51], а
результаты Басбридж изложены в книге Снеддона [47].
Оба эти автора получили решения, применяя довольно
сложные выводы; в последнее время были опубликованы
работы, в которых решение было получено более про-
простым путем.
Ниже будет приведен вывод, основанный на исполь-
использовании интегралов Сонина и принадлежащий Ноблу [77].
Приведем сначала первый определенный интеграл
Сонина
я/2
/v+6+i (г) = g?]f + l} J /v (г sin 0) sin^1 9 cos2^1 9 dQ,
где v>—1, ?>—1.
Внесем в этот интеграл z = xt, p = xsin9, получив
при этом
X
/~|-I/V+E+1 (xt) = *z^~\} J /v (PO Pv+i (*2 -- P2)S dp. B2.2)

122 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Умножим обе части интегрального уравнения B2.1а)
на
?_v-l
и проинтегрируем по р от 0 до х, переменим порядок ин-
интегрирования в левой части и используем преобразован-
преобразованную формулу Сонина B2.2), при этом получим
0<x<d, v>-l, 6>-l. B2.3)
Приведем другой результат Сонина, относящийся
к несобственным интегралам:
X J /v [f (s2 + rf2] (s2 +
0
1
)~^ v
где v/2 — 1/4 > т] > —1. Положив здесь s2 + x2 = p2,
получим
J /v(pOp-+4p2-x2)^dp.
B2.4)
Теперь умножим левую и правую части уравнения
B2.16) на
„V —Т1—1
Р (Р Х}
и проинтегрируем по р от х до схэ, после этого переменим
порядок интегрирования и воспользуемся несобственным

§ 22] ПАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
интегралом Сонина B2.4), получив в результате
B2-5)
где d<x<oo, v/2— 1/4 > г) >— 1.
В левых частях равенств B2.3), B2.5) постараемся
сделать одинаковыми индекс бесселевой функции и по-
показатель степени при t; затем, объединяя эти два равен-
равенства, можно будет сразу получить преобразование Ган-
келя искомой функции. Таким образом, получим сле-
следующие уравнения: v + ? + 1 = v — ц — 1, а — % — 1 =
= —т] — 1, откуда I = — 1 + а/2, ц = — 1 — а/2.
Так как ? + ц = —2, то невозможно, чтобы | и т] од-
одновременно были больше, чем —1. Перейдем к дальней-
дальнейшим выкладкам, рассмотрев по отдельности два част-
частных случая.
а) 0<а<2. Из ограничений, которые наложены на
интегралы B2.3), B2.5), следует, что v > 1/2 — а. По-
Положим I = — 1 + а/2 и г] = —а/2. Внеся значения ? и ц
в полученные выше формулы, найдем
X
I
B2.6)
v+a/2-l Г
J(V^ rfp> X>"- B2J)

124
РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ
[ГЛ 11
Умножив левую и правую части уравнения B2.7) на
x-v-a/2+i и дифференцируя затем по х, получим
ГA-а/2) Их
> x>d.
B2.8)
Уравнения B2.6) и B2.8) можно, воспользовавшись
тем, что их левые части одинаковы, переписать в виде
одного уравнения
оо
J ta'2A (t) /v+a/2 (xt) dt = ф (х), 0<x<oo, B2.9)
где
„-V-O/2
2O/2Jrv+a/2-l
ГA-а/2)
x>d.
Нетрудно видеть, что с точностью до множителя Ух
функция ty(x) представляет преобразование Ганкеля от
неизвестной функции A(t). Используя теорему обраще-
обращения, сразу получаем ответ для случая v > 1/2 — a, a > О,
d
A (t) = У(д/2) J x-v-<V2+yv+e/2(jrf) f, (x) dx +
0
oo
+ ГA-а/2),!Х /v+a/jiXIJU^^flx, (^.1U)
4

§ 22] ПАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 125
где
х
Л (*) = J f (P) Pv+1 (*2 ~ Р2Г'+а/2 dp, {22.11)
Формула B2.10) дает результат Титчмарша [51], ко-
который рассмотрел случай 0 < a < 2.
б) Пусть — 2<a<0, v>max(—3/2 —а, — 1 —а/2).
Положим, что | = а/2, ц = —1 — а/2, отсюда следует,
что в B2.3), B2.5) мы должны иметь —2 < а < 0,
v>—3/2 —а. Внося в B2.3), B2.5) вместо | и ц их
значения, получим
оо
\r1+af*A(t)Jv+a/2+1{xt)dt =
ГЧ , B2.12)
vv+a/2
B2.13)
Преобразуем первое из этих уравнений; умножим
обе его части на х^+т+1 и продифференцируем затем
по х, получив в результате
y- f f (p) pv+! (л2 - p2f2 dp, 0 < x < d;
dx J
B2.14)

126 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
левая часть уравнения B2.14) имеет такой же вид, как
и левая часть уравнения B2.13), что и являлось целью
выполненных преобразований.
Теперь остается, так же как и в предыдущем случае,
произвести обратное преобразование, в результате ко-
которого получим
А W =
ГA+с/2)
О
d
J *-V-a/2'v+a/2(*0 F2 (X) dx +
0! + a/2,!-a/2 /•
+ г (-a/2) J ^v+a/2+!^+a/2(A;0 G2{x) dx, B2.15)
d
J
d
где
Произведя интегрирование по частям, можно приве-
привести результат к виду, который совпадает с решением,
полученным Басбридж [52]. На этом закончим рассмот-
рассмотрение уравнений B2.1а), B2.16) и перейдем к другой
более сложной задаче.
Рассмотрим парные уравнения
, B2.16)
9>d, B2.17)
где H(t) — убывающая на бесконечности функция.
В отличие от уравнений B2 1а), B2.16) здесь не
удается получить решение в квадратурах; конечной
целью является сведение задачи к решению интеграль-
интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Если 0<а<2, уравнения B2.16), B2.17) можно
преобразовать, используя тот же путь, который позво-

§ 22] ПАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 127
лил получить из B2.1а), B2.16) уравнения B2.6),
B2.8):
x>d, B2.19)
где F\{x) определяется формулой B2 11).
Обозначим
со
J ta'2B (t) h+al2(xt)dt = lJ2T 9 (x),
B2.20)
учитывая B2.19) и используя обратное преобразование
Ганкеля, получим
а
J ^'/20 ft) W(IO 4- B2.21)
Внесем в левую часть B2.17) (полагая 0-<p<d), кото-
которую мы обозначим /г(р), вместо B(t) выражение B2 21)
и используем разрывный несобственный интеграл Ве-
бера—Сонина—Шафхейтлина
Г /ц(а
—^- , a>b,
0, a<b,
B2.22)
получив в результате
d
TW I Г"^"+^0 A) (I2" Р2)^' 4- B2.23)

128 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Для того чтобы получить уравнение относительно
6(|), внесем B2.20) в B2.18)
сю
6 (х) + х1/г2~1+а/2Г (а/2) J f!2H (t) В (t) /v+«/2 (xt) dt =
B2.24)
Использовав теперь B2 21), преобразуем уравнение
B2.24) к уравнению Фредгольма второго рода
й
6 (х) + — [ М (х, |) 6 (|) d% = x'A-v-cvj/?, (x), B2.25)
с ядром
оо
М (X, |) = Я (Xlf J tH (t) /v+a/2 (Xt) /v+a/2 (&)dt. B2.26)
о
Для того чтобы проведенный выше анализ был должным
образом обоснован, необходимо, чтобы интеграл B2.26)
был сходящимся.
Выясним, каким условиям должна удовлетворять
функция H(t) для того, чтобы М(х,1) был сходящимся
интегралом.
Очевидно, для этого необходимо, чтобы при t—> <)
H(t) стремилось к нулю как t\ где % > — Bv + a + 2),
и при ^->оо H(t)-*O; если H(t) при t—>• оо стремится
к нулю как №, ц < 0, то для того, чтобы ядро не имело
особенности при х = \, нужно, чтобы было г\ < —1; если
же 0 > т] >—1, то ядро имеет особенность при х = ?.
Если —2 < a < 0, то таким же путем получаем
d
V{X)-r Ml \X, b)v\b)ub — ¦* '2 \x)>
Л J
B2.27)
2"/2ГA+а/2)

§ 23| КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИИ 129
Приведенный вывод решения парных интегральных
уравнений с бесселевыми ядрами принадлежит Ноблу
[77] Такие уравнения рассматривались и в ряде других
работ'). Аналогичные результаты для парных интеграль-
интегральных уравнений с ядрами в виде линейной комбинации
цилиндрических функций первого и второго рода полу-
получил Шривастав [83]; парные уравнения с ядрами в виде
функций Струве рассматривал А. И. Цейтлин, которому
принадлежит метод решения парных интегральных урав-
уравнений и уравнений с парными рядами достаточно широ-
широкого класса, основанный на применении так называемых
операторов преобразования [56], [57].
§ 23. Корни бесселевых функций
Задачи об определении корней бесселевых функций
играют важную роль в приложениях. В качестве при-
примера рассмотрим перемещения круглой мембраны, кото-
которая совершает свободные осесимметричные колебания:
w = AJ0(Xr) sin (со/ + ф0), где со — круговая частота коле-
баний; Я = и Vp/T, р — поверхностная плотность; Т — на-
натяжение.
Это решение должно обращаться в нуль на контуре
мембраны: w(R) = 0. Отсюда получаем, что для суще-
существования нетривиального решения задачи необходимо,
чтобы было
O. B3.1)
Хорошо известно, что уравнение B3.1) имеет бес-
бесчисленное множество простых вещественных корней и не
имеет ни кратных, ни комплексных корней. Из физиче-
физических соображений очевидно, что, при достаточно боль-
больших номерах корней задача сведется к рассмотрению
колебаний мембраны, у которой имеется большое число
узловых линий, представляющих концентрические ок-
окружности, центр которых совпадает с центром контура,
и поэтому следует ожидать аналогии с задачей
') См С оо k e J. С, A solution of Tranter's dual integral equa-
equations problem, Quarterly Journ. Mech. and Applied Math 9, № 1
A956); Лебедев Н. Н, Распределение электричества на тонком
параболоидальном сегменте, ДАН СССР 114, № 3 A957); Лебе-
Лебедев Н Н и Уфлянд Я. С, Осесимметричная контактная задача
для упругого слоя, ПММ 22, № 3 A958).
5 Б. Г. Коренев

130 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ 11
о колебаниях струны. Есть поэтому все основания пола-
полагать, что большие корни функции Бесселя будут от-
отстоять друг от друга на расстоянии, которое стремится
к постоянной, равной л.
Совместное решение двух и более уравнений Бесселя
приводит к задачам о корнях более сложных выраже-
выражений, в которые входят функции Бесселя различного ар-
аргумента. Так, например, задача о колебаниях круглой
пластинки без отверстия с защемленным краем, являю-
являющаяся одной из простейших задач этого типа, приводит
к изучению корней функции
Изучение свойств решений соответствующих задач
математической физики дает в ряде случаев возмож-
возможность облегчить рассмотрение свойств корней бесселе-
бесселевых функций. На это обстоятельство указывает, в част-
частности, Г. Н. Ватсон, который пишет о том, что значи-
значительная часть результатов, относящихся к изучению
корней бесселевых функций, изложенная в его моногра-
монографии, может быть непосредственно получена из резуль-
результатов Рэлея, связанных с решением отдельных конкрет-
конкретных задач математической физики.
В книге Г. Н. Ватсона [7] рассматриваются доказа-
доказательства многочисленных теорем, относящихся к изуче-
изучению свойств корней бесселевых функций (стр. 525—
573). Ряд интересных результатов содержится в упоми-
упоминавшейся ранее монографии А. Кратцера и В. Франца
(стр. 374—416).
Приведем несколько простейших выводов, относя-
относящихся к случаю, когда индекс v является вещественным.
Теорема 1. Если индекс v > — 1, то функция
Jv(z) имеет только вещественные корни.
Так как
(-l)m(z/2J'"
m=0
то, полагая, что z = ta, получим ряд, содержащий толь-
только положительные члены; отсюда следует, что функция
Jv(z) не может иметь чисто мнимых корней.

$ 23] КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 131
Докажем, что Jv(z) не имеет комплексных корней.
Положим, что а является комплексным корнем рассмат-
рассматриваемой функции. Так как Jv(z) разлагается в степен-
степенной ряд с вещественными коэффициентами, то а также
должно быть ее корнем. Теперь воспользуемся интегралом
. B3-2)
доказательство которого дано в § 15 [см. A5 21)].
Положив в формуле B3 2) х = 1 и приняв во вни-
внимание, что р и р суть корни функции /v(z), получим
Это, однако, невозможно, потому что Jv(fit) = /v(p0> и>
следовательно,
Отсюда следует, что Jv(z) не имеет также и комп-
комплексных корней. Следовательно, при v > —1 функция
/у(г) имеет только вещественные корни
Теорема 2 Все корни функции Zv(z), кроме
z = 0, являются простыми.
Рассмотрим цилиндрическую функцию Zv(z). Пред-
Предположим, что го— корень порядка п > 1, тогда Zv(zQ) и
Z'v(zQ^ равны нулю. Воспользовавшись дифференциаль-
дифференциальным уравнением Бесселя, получим сразу что Z'^(z0) рав-
равняется нулю. Теперь продифференцируем уравнение Бес-
Бесселя и внесем значения Z"(z^ и Z'v(z^, получив
Z^"(zo) = O. Таким же образом можно показать, что все
производные функции Zv(z) обращаются в нуль при
z = z0. Отсюда следует Zv(z) = 0, что неверно, и, следо-
следовательно, функция Zy(z) может иметь только простые
корни.
5*

C2 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
Теорема 3. Корни функций Zp(z) и Zp+1(z) пере-
перемежаются друг с другом.
Приведем формулу дифференцирования
Рассмотрим два последовательных корня функции
Zv(z), которые, как показано выше, вещественны. Тогда
по теореме Ролля между этими двумя значениями дол-
должен находиться хотя бы один- корень производной, а сле-
следовательно, и корень функции Zv+1{z).
Теорема 4. Корни двух цилиндрических функций,
имеющих одинаковый индекс, перемежаются.
Рассмотрим две различные цилиндрические функции
Z*v(x) и Zv(x). Поскольку они линейно независимы, то
их определитель Вронского отличен от нуля, т. е.
ZvZy ZvZv )
где с ф 0.
Пусть Xi и х2 — два последовательных корня функции
Zv(x); по доказанному выше xt, х2 вещественны и
Положим, что в интервале Х\ < х < х2 функция Zv(x)
положительна, очевидно, что
Воспользовавшись определителем Вронского и поло-
положив последовательно z = xt и z = x2, получим
Z* (х.) =
v\ 1/
Отсюда следует, что знаки Z*(x,) и 2*(х2) разные. Не-
Нетрудно сообразить, что тот же вывод будет получен,
если Zv(x) <0 при Xi < х < х2. Следовательно, функ-
функция Zv(x) имеет хотя бы один корень между х^ и xz-

§ 23] КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 133
Так как между двумя корнями функции Z*v (х) распо-
расположен по крайней мере один корень функции Zv(x), то
отсюда следует, что Zv (x) имеет между х\ и х2 только
один корень.
Приведем без вывода некоторые свойства корней ци-
цилиндрических функций. Более подробные сведения при-
приведены в [7] и [4] (см. также сноску на стр. 83).
1. Функции Jv(z) и Jv+m(z), т = 1, 2, 3, ...., не
имеют общих корней, за исключением г = 0 (предпо-
(предположение Бурже).
В этой связи отметим результат Зигеля, который до-
доказал, что если v — рациональное число, z— не равное
нулю алгебраическое число, то Jv(z) не является алге-
алгебраическим числом.
2. Для наименьших корней yv, y'v, у" функций Jv(x)
•СМ> ¦'"W имеем
Vv(v + 2) <YV < /2(v + l)(v + 3), v>О,
l/v(v + 2) <yC </2v(v + 1), v>0,
Vv(v-1) <Yv<]/^I7T, v>l.
3. Функция
Jv{ax)Yv(bx)-Jv(bx)Yv(ax), a>0, b > 0,
имеет только вещественные и простые корни, множество
этих корней бесконечно.
4. При v > 0 функция Kv (z) не имеет корней, для ко-
которых |arg г|^я/2. Она имеет вещественные корни при
чисто мнимых индексах.
5. Функции Ганкеля при вещественном индексе не
имеют положительных корней.
6. Большие корни функции Zv(z) = /v(z)cosa —
— Yv(z)s\na можно вычислять с помощью асимптоти-
асимптотического разложения
4v2- I Dv2- I)B8v2-31)
8 {(« + v/2 - V<) л - a} 384 {(« + v/2 - V4) я - a}3

134 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ 11
7. Всякий положительный корень функции Zv(z)
можно рассматривать как непрерывную возрастающую
функцию вещественного переменного v.
8. Любой положительный корень трансцендентного
уравнения
Jv(kz)Yv(z)-Jv(z)Yv(kz) = O
является непрерывной возрастающей функцией вещест-
вещественного переменного v при условии, что v положи-
положительно.
§ 24. Ряды Фурье — Бесселя и Дини
В этом параграфе рассматриваются ряды Фурье —
Бесселя, имеющие важное значение в приложениях,
а также и некоторые другие аналогичные ряды, являю-
являющиеся их естественным обобщением.
Если функции u{z) и v(z) удовлетворяют уравне-
уравнениям
d2u . n n d2v
+ Р« 0
то
ь
B4.1)
Положим Р = а2 - Dv2 - 1)/г2, Q = р2 - Dv2 - 1)/г2. В этом
случае
что легко проверить, выполнив дифференцирование. Из
B4.1) следует
ь
(a2-p2) JzZv(a2)Zv(pz)rf2-
а
C (<xz) Zv (pz) - pzZC (pz) Zv (аг) |*. B4.2)
Докажем, что функции Бесселя обладают свойством
ортогональности, которое можно записать в следующем

§241 РЯДЫ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ И ДМНИ 135
виде:
1
J xJv (jmx) Jv {jkx) dx = 0, k Ф m, v > - 1, B4.3)
где x — вещественная переменная; jm, ju — вещественные
корни функции Бесселя.
Положим в B4.2) Zv(az) = Jv(ax), Zv(fiz) = /У(Р*),
a = 0, b = l, и заметим, что при а — 0 правая часть
B4.2) при v > — 1 обращается в нуль
Отсюда следует [см. также A5 21)]
xJv (ax) Jv (fix) dx = — v ft2_ 2V — . B4.4)
При р = а правая часть B4.4) есть неопределен-
неопределенность; раскрывая ее по правилу Лопиталя и воспользо-
воспользовавшись F.3), получим
1
J xj\ (ax) dx «= Д+1 (а)/2. B4.5)
о
Если аир являются различными корнями функции
Бесселя индекса v, т. е.
то правая часть B4.4), обращается в нуль и, следова-
следовательно, функции Бесселя ортогональны с весом х.
Функции
/2"
как это видно из B4.5), нормированы на интервале
@,1).
Функции Jv(ymx), т — 1, 2, 3, ..., образуют полную
систему; доказательство этого можно найти в различ-
различных курсах, и, в частности, см. [30], [7] и др.
Указанные выше свойства функций Бесселя позво-
позволяют получить разложение функции
/W = Sa»/v (/»*), B4.6)
m-l

136 РЯДЫ ПО ВЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. 11
где по-прежнему jm, т = 1, 2, 3, ..., — корни функции
Бесселя.
Если, полагая, что указанное разложение существует
и допускает почленное интегрирование, умножить пра-
правую и левую части B4.6) на xJv(jkX) и затем проинте-
проинтегрировать, то для коэффициента а& получим следующее
выражение:
1
f 4 (х) /v (lkx) dx. B4.7)
\li) о
ak =
Ряд B4.6), коэффициенты которого определяются по
формуле B4.7), называется рядом Фурье — Бесселя.
Приведем без доказательства теорему.
Теорема. Пусть f(t) — произвольная функция, за-
заданная на интервале @,1); интеграл f t4lf (t) dt суще-
о
ствует и абсолютно сходится. Положим, что а^ выра-
выражается формулой B4.7), где v > —7г- Пусть х — какая-
нибудь внутренняя точка интервала {а,Ь), 0 < а < b <
< 1, и f(t) имеет на этом интервале ограниченное пол-
полное изменение. Тогда ряд
оо
2 amJv (jmx)
сходится и сумма его равна -^ {/ {х + 0) + f (x — 0)}.
Эта теорема доказана Гобсоном и приведена в [7].
Если f(t), удовлетворяя перечисленным выше ус-
условиям, будет непрерывной функцией в интервале
(а, Ь), то разложение Фурье — Бесселя функции f(t)
сходится равномерно к функции f(x) во всяком интер-
интервале (а + А, Ь — А), где А — любое положительное чис-
ло [7].
Для равномерной сходимости вблизи х = 1 необхо-
необходимо, чтобы /A—0) = 0.
Вопрос о равномерной сходимости при х = 0 требует
видоизменения разложения, а именно умножения на
V7 (см. [7]).

§24] РЯДЫ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ И ДИНИ 137
Если <"v/@ непрерывна в интервале @,6) и t'hf(t)
имеет ограниченное полное изменение на @,6), то [7]
ряд
оо
т=1
равномерно сходится на @,6 — А) и имеет своей сум-
суммой хЩх).
Если %т — положительные корни функции xJv {x) +
+ HJv{x), где Я не зависит от х и v, то ряд
оо
2 6m/v (Xmx), B4.9)
где
2А.2 Г
6т=— —-2 ~ ^г I tf(t)Jv(KJ)dt, B4.10)
называется рядом Лини.
Функции Jv(Kmx) обладают свойством ортогональ-
ортогональности
1
I xJv(kmx)Jv(kkx)dx = O,
о
которое непосредственно следует из B4.4) и условия
Полагая в B4.4) а = р = кщ и раскрывая получен-
полученную неопределенность, получим условие нормировки, ис-
использованное в B4.10). Если ряд B4.9) сходится
к функции f(x) в любой точке интервала @, 1), то он
называется разложением Дини функции f{x). При
Я = —v к разложению Дини B4.10) нужно добавить
начальный член
vjf+lf{t)dt.
а.

138 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Если Н < —v, то начальный член равен
Во (х) = 2,2fv(VJ/2 f tf (t) /v (V) dt,
где ±iko — чисто мнимые корни функции
В качестве примера приведем разложения функции
xv в ряд Фурье — Бесселя
оо
,-у — V 2/v (i™*) о < >- <Г 1 (94 111
** lmJv+l \}m)
m-1
и в ряд Дини
оо
, = VI 2Ят/у (Ятх) Уv+, (А, „)
m=
0<jc<1, Я + v^O- B4.12)
Для разложения степенной функции х»- в ряд
Фурье — Бесселя и ряд Дини требуется вычисление ин-
интегралов
1 1
JV+I/V(/**)d* и j x»+lJ4{Xkx)dx,
о о
которые при ц Ф v выражаются через функции Ломмеля
по формулам, приведенным в § 16 4); в отдельных слу-
случаях, когда в правую часть входят экспоненциальные и
тригонометрические функции, коэффициенты указанных
рядов выражаются через функции Ломмеля двух пе-
переменных и неполные цилиндрические функции (см.
§§ 27, 28). Рассмотренные ряды являются частным слу-
случаем рядов по собственным функциям задачи Штурма —
Лиувилля для уравнения Бесселя.
Рассмотрим разложения в ряды по цилиндрическим
функциям, пригодные для положительных конечных ин-
интервалов.
') В отдельных случаях (см. стр. 59) они выражаются через
функции Бесселя.

s 24] РЯДЫ ФУРЬЕ —БЕССЕЛЯ И ДИНИ 139
Если функция f (х) определена в интервале а < х < Ь,
а > О, то разложение, полученное Титчмаршем, есть
f(x)= iam[Jv(ymx)Yv(ymb)-Yv(ymx)Jv(ymb)]; B4.13)
m -I
здесь ym есть m-положительный корень уравнения
Jv(az)Yv(bz)-Yv(az)Jv(bz) = O,
X
ft
(yma)Y J
Граничные условия этой задачи аналогичны граничным
условиям задачи, порождающей ряды Фурье — Бесселя;
с физической точки зрения они соответствуют, например,
задаче о свободных колебаниях закрепленной по конту-
контуру мембраны, занимающей область в виде кругового
прямоугольника.
В рассматриваемой мембране криволинейная часть
контура суть отрезки дуг, радиусы которых соответ-
соответственно равны а и 6; отрезки радиусов, соединяющие
концы дуг, образуют между собой угол, равный \п. Рас-
Рассматриваются только такие формы колебаний, у кото-
которых узловые линии суть дуги окружностей, концентри-
концентрических окружностям, которым принадлежат дуги конту-
контура. Формы этих колебаний, с точностью до множителя
Csinv9, где С = const, и будут выражениями, стоящими
в квадратных скобках B4 13).
Получим формально ряд Дини для отрезка. Для
этого сначала запишем функции, ранее рассматривав-
рассматривавшиеся в § 17:
(аа, ах) = j^~ [j'v (aa) /_v (ax) - /_v (aa) Jv (ax)],
/v(aa)/_v(ax)—/_v(aa)/v
.0, K2 = 0, Y'2=l.

140 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ I)
Положим, что функция w(x), являющаяся реше-
решением уравнения Бесселя с индексом v и параметром а,
удовлетворяет при х = а условию
w + H^ = 0, B4.14)
а при х = b
ш +Я2-^ = 0. B4.15)
Очевидно, что первому граничному условию удовлетво-
удовлетворяет функция
Фу(аа, ах) = а#1К1 (аа, ах) — Y2(aa, ax). B4.16)
Из второго граничного условия получаем трансцендент-
трансцендентное уравнение относительно а
aH2\aHiY'i(aa, ab)-Y'2{aa, ab)] +
+ aHlYl(aa, ab)-Y2(aa, ab) = 0, B4.17)
корни которого обозначаются через цт. Так же как и
выше, для доказательства ортогональности функций
Фу(\1тх, \ima) и Ф„((Ыс, \iha), k Ф т, рассмотрим инте-
интеграл
ъ
ъ
№п ~ V% J X% Ka> VmX) % {На> VkX) dx
Ka> V-J)- B4-18)
Из условия B4.15) следует, что правая часть B4.18)
равна нулю.
Для того чтобы пронормировать полученные функ-
функции, рассмотрим интеграл
ь
J х [Zv (ax)Y dx = 4 {№ (ax)f + I1 - -?t) %(ax)} I'
B4.19)

§24] РЯДЫ ФУРЬЕ —БЕССЕЛЯ И ДИНИ 141
Здесь Zv(ax)—произвольная функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению Бесселя с индексом v и параметром а.
Выражение B4.19) может быть получено либо инте-
интегрированием по частям, либо в результате применения
правила Лопиталя [7].
При Z4(ax) = Фч(аа, ах) получим
ь
J х[Фч(аа, ax)fdx =
а
= -^\[ф'Ааа, ab)f+(l --^)ф*(аа, ab)} -
Учитывая B4.15), преобразуем B4.20) к следующему
виду:
О
Jx№v(aa, ax)fdx =
±[(< , _j Уия1а/;(аа) + /,(аа)] 2_
2 Ц Я|2 V/ [^/'F) + /F)]2 2"
-1- 1 --УТ Я2а2[ = В(а). B4.21)
Обозначив правую часть B4.21) через В (а), запи-
запишем разложение в ряд Дини в следующем виде:
B4.22)
где
Рассмотрим разложение в ряд по собственным
функциям задачи, описываемой дифференциальным

142 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ (ГЛ II
уравнением
AvAvo\, - a%v = 0 B4.23)
и граничными условиями
a>v(aa) = 0, t<(aa) = 0, wJab) = 0, w'v (ab) = 0,
где
. _ d* ,\ d v2
Собственные функции этой задачи во многом яв-
являются аналогом балочных функций, рассматриваемых
в теории колебаний упругих систем в связи с изучением
свободных колебаний стержня постоянного сечения, и
широко применяемых в различных приложениях.
Нам необходимо найти собственные значения а* и
собственные функции, которые будем обозначать
Фу(ака, акх).
Для получения собственных функций будут исполь-
использованы рассмотренные ранее в § 17 функции Коши, об-
обладающие свойством единичной матрицы. Чтобы удов-
удовлетворить граничным условиям при г = а, примем
Ov(afta, akx) = Y3(aka, akx) +AY4(aka, akx),
где А — величина, подлежащая определению.
Из граничных условий при х = b получим трансцен-
трансцендентное уравнение, корни которого являются собствен-
собственными числами ак; кроме того, из этих условий находим
коэффициент при втором слагаемом; таким образом, по-
получаем
<DV (ака, akx) = Y3 (aka, akx) - y^ ^ °*ft. YA (aka, akx).
B4.24)
Остановимся на доказательстве ортогональности по-
полученных функций; для этого уравнения, которым удов-
удовлетворяют функции Фу(отп, атх), Фу{апа,апХ), умно-
умножим соответственно на хФч{апа,а,пх), *ФУ (ama, <XmX),
проинтегрируем по х от а до b и вычтем одно из

§24] РЯДЫ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ И ДИНИ 143
другого:
ь
(«» - О / ХФ* К"' йтХ) Фv («„«. %Х) dX =
а
Ь
OV (ата, атлг) Д,Д„Ф„ (а„а, алд;) -
Ь
- | xOv (а„а, а„дс) AVAVOV (ата, ат
а
Интегрируя по частям, легко получить
*<Dv(ama, amx) AVAVOV (ana, anx)dx =
v
a
= *OV (ama, amx) -^- AVOV (ana, an.
d ^
ь
ь
J xAvOv(ama, атд;) AVOV (а„а, апх) dx.
При заданных краевых условиях внеинтегральные члены
обращаются в нуль.
Учитывая соотношение, которое получается из пре-
предыдущего, если поменять местами ат и ап, получим
ь
При вычислении коэффициентов аи разложения
00
f (x) = 2 акФ^ (aka, akx), B4.25)
где
ь
j xf (x) Фv (aka, akx) dx
x\<b (a. a, a.x)Vdx
9

144 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ U
может быть полезной следующая формула:
ь
J х [ш„ (ад:)]2 dx = -?¦ { К Ml2 + К«Ч (<**)]2 -
о
- 2 [\vwv (ax)}' w'v (ах) + 2 ¦? и»у (ах) Avo»v (ах) +
+1 [A>v (ах) - Avo>v (ах) < (ах)]} [ , B4.26)
где дифференцирование производится по аргументу ах
и, кроме того, в B4.26) положено:
д v2
д
(ал:)
V
ах a (ax)
(axJ ¦
Это равенство аналогично B4.19) и может быть по-
получено тем же путем.
При заданных краевых условиях получим
ь ь
(aka,
. B4.27)
Учитывая, что
= — У,
K. a 6
4 V fc к /
после элементарных упрощений получим
dx =
2
"T
2t2 2
X
v Г1 _
A [l
где
я — 2Akv sin уя "I2
я — 2Bftv sin уя
(аф) /v (п^а)
К (ЧЪ) J-v (aka) - J-v (ЧЪ) Jv (av«) '
К (akb) К (ча) - К (чь) 7v (а/,а)
I2 _ i )
J ' J'

§ 25] РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 145
При рассмотрении различных частных задач об ин-
интегрировании дифференциальных уравнений, приводя-
приводящихся к уравнению Бесселя или к системе уравнений
Бесселя (см. § 17), могут быть без существенных изме-
изменений использованы результаты этого параграфа1).
§ 25. Ряды Шлемильха
Рядом Шлемильха обычно называется ряд вида
оо
ао/2+2 amJv(mx), B5.1)
у которого индекс не зависит от номера, а аргумент ¦
пропорционален номеру.
Рассмотрим сначала ряд Шлемильха при нулевом
индексе функций Бесселя. Докажем, что непрерывная
функция {(х) при 0 ^ х -^ я допускает разложение
в ряд
_ B5-2>
где
я я/2
ао-2/@) + -! JJ uf'(и sin у) dydu,
0 ° B5.3)
я я/2 ч '
ат— — «/' (« sin ф) cos mu dq> du.
о о
При этом требуется, чтобы f (x) была непрерывна и
имела ограниченное полное изменение при 0^1*^ я.
Доказательство основано на том, что решением ин-
интегрального уравнения
я/2
B5.4)
') См., например, Б. Г. Коренев, Л. М. Резников, О ко-
колебаниях конструкций с динамическими гасителями при стационар-
стационарных случайных воздействиях, Строительная механика и расчет со-
сооружений, № 4 A969),

146 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
которое называется интегральным уравнением Шле-
Шлемильха, является функция
Я/2
g(x)=f@) + x f (х sin ф) dcf. B5.5)
о
Уравнение B5.4) легко приводится к уравнению Абе-
Абеля, которое имеет вид
; = f (у), 0 < а < 1, а = const, B5.6)
(У — ч
и является частным случаем интегрального уравнения
Вольтерра первого рода. К уравнению Абеля легко
можно привести уравнение вида
Это уравнение рассмотрено, например, в [15] и [43].
Уравнение Шлемильха B5.4) переходит в уравнение
Абеля B5 7) при а = 0 в результате следующих замен:
< = *sin9, x = y, u(t) = — g(t).
Если положить, что в уравнении Шлемильха нижний
предел интегрирования равен а, то в уравнении Абеля
B5.7)
а = у sin a.
Решение уравнения Абеля в этом частном случае
приведено в [15], его можно получить заменив у на s и
умножив обе части уравнения на 2s(y2 — s2)'2; если
теперь проинтегрировать по переменной s в пределах от
а до х, то в результате получим
у
и (и\ -2lA.{ sf <5> ds @*, R\
"М- я dy J УуПГ?- {25-8>

§ 25] РЯАЫ ШЛЕМИЛЬХА 147
Полагая s = ysin9, при а > 0, а^Су получим
и М = f
sin в)
= arcsin
B5.9)
Заменяя у на *, после элементарных преобразований
при а -> 0 приходим к B5.5).
Функция g(jc), которая играет важную роль в полу-
получении разложения f(x), непрерывна и обладает ограни-
ограниченным полным изменением; при СКх^я она допу-
допускает разложение
оо
gW = T"+2j am cos тх> 0 ^ X ^ Я,
о-т — ^: g(u) cos tnu du =
Л J
о
Я Я/2 -•
/ @) + и \ f (и sin ф) dtp cos ты
j 1
о J
B5.10)
Учитывая B5.4), получим
Л/2
= ! J g(xsinQ)dQ =
о
Т Г
о L i
m=I
m-I
B5.11)
При этом, очевидно, был использован интеграл Парсе-
валя
Обобщение ряда Шлемильха может быть получено
при замене бесселевых функций индекса нуль на

148 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ 1|
бесселевы функции произвольного индекса v. Кроме того,
возможна замена в общем члене ряда функции Бесселя
линейной комбинацией функции Бесселя и либо функции
Неймана, либо функции Струве. Эти ряды записываются
в виде
2T(\+v)
оо
+Zt
(тх) + bmYv (тх)
^ (^5 > —<v<~.125.13)
Ряды B5.13), изученные более детально, получаются
при разложении функции f(x) в интервале (—я, я) и
называются обобщенными рядами Шлемильха. Теория
этих рядов, подробно рассмотренная в книге Ватсона,
была развита и упрощена Куком [63].
Для получения разложения функции f(x) в обобщен-
обобщенные ряды Шлемильха, можно воспользоваться приведен-
приведенным у Ватсона интегральным уравнением типа уравне-
уравнения Шлемильха, которое, по существу, имеется в не-
несколько ином виде у Нильсена [76],
я/2
/ (х) = rtv + '/jro/,) J cos2vЭgixsin9)dQ' 0<v< 1/2"'
B5.14)
непрерывное решение уравнения B5.14) имеет вид
Я/2
+ r(vl-v) J sec2V+' 9Ж tsin2V 9 </ {х sin 9)-
B5.15)
Поскольку v положительно, слагаемые, содержащие
f@), могут быть опущены (см. [7]).
Уравнение B5.14) приводится к уравнению Абеля
B5 6) с помощью замен
g (х) = хи (х2), f (х) = (Г (v + J/2) Г G2) х2-)'1 U
2v - 1 - 2а, х2 = у, х2 sin2 9 -= t,

25]
РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА
149
и в этом случае нижний предел в B5.14) можно поло-
положить равным р = arcsin У а/у.
Если функция g(x) допускает разложение B5.10),
то, воспользовавшись B5.14), B5.15), получим
fix)-
gm/v (mx) +
(тх)
т-\
(mx/2)v
где
я я/2
= J JТ
-я 0
Ж
("sin9)~
- / @)} ] cos mu dQ du,
я л/2
bm=
-я 0
- /@)}] sin mudQdu.
B5.16)
При этом был использован интеграл Пуассона и ана-
аналогичная формула A6.20), являющаяся интегральным
представлением функции Струве.
Заметим, что, следуя Куку, можно было бы сразу
получить разложения, не используя интегральных урав-
уравнений Шлемильха, опираясь при этом на интегралы Со-
нина. Этот путь будет использован ниже при рассмотре-
рассмотрении некоторых обобщений рядов Шлемильха; последние
могут быть легко получены следующим образом:
1) разложение функции g(x) в некоторые другие
ряды по функциям gm(x) таким, что интегралы
Я/2
где ф(9) не зависит от номера члена ряда, можно до-
достаточно просто выразить через цилиндрические фун-
функции;
2) использование интегралов Сонина, с помощью ко-
которых получаются разложения по бесселевым функциям
аргумента х Ym? + k2;
3) рассмотрение с помощью решений уравнений Абе-
Абеля при нижнем пределе афО измененных уравнений

ISO РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Шлемильха, что приводит к разложениям в ряды по не-
неполным цилиндрическим функциям.
Все отмеченные выше выкладки можно производить
раздельно или совместно, последнее в свою очередь при-
приведет к некоторому дальнейшему видоизменению рядои
Шлемильха.
Сначала положим '), что разложение функции g(x)
в ряд Фурье — Бесселя имеет вид
?(*) = ? а»/о(/»*). B5.17)
где
1
dm = yi (/m)j2 J Ug (") ^ 0 O'm") du,
Ji/2
g(u)=f@) + u | Y (u sin 9) dQ.
о
Тогда из B5.4) получим
Я/2
2 VI Г
^ М = я" 2j а™ J /о О'тЛ: sin
т-\ 0
Воспользовавшись формулой
я/2
/
J /0 (г sin ф) сГф = у /о (j) >
которая получается из формулы на стр. 82, если поло-
положить v = 0, п = 0, Zv(a)=/V(a), окончательно найдем
B5.19)
Это разложение по квадратам бесселевых функций,
полученное по схеме Шлемильха, не обладает, однако,
основным свойством рядов Шлемильха, которое заклю-
заключается в том, что аргумент пропорционален номеру чле-
члена ряда.
') См Thielmann H P., Bull. Amer. Math. Soc. 40 A934).

25] РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 151
Введем вспомогательную функцию
Теперь построим функцию g(x):
я/2
/
= 4 J F(*sine)de, B5.21)
о
я/2
J ^'(jc sin6)rfe. B5.22)
J
о
я/2
В соответствии с B5.10), B5.11) справедливо разло-
разложение
g(x)=-j- + ^ amJ0(mx).
Пусть функция f(x) связана с g(x) соотношением
я/2
g {х) = f @) + х J f (x sin 6) rf6. B5.23)
о
Воспользовавшись B5.4), получим разложение, в кото-
котором аш находим из B5.3), заменяя f(u sin ф) на g(u sin ф)
по формуле B5.23):
я/2
2 Г
Я J
о
я/2 |
Г Г
¦=|-J x
о L
я/
^X + IS^J
m=\ 0
= -j-+2ia»/H'TL • B5<24)
щ-1

152 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Теперь положим, что функция g(x) раскладывается
в ряд Фурье — Бесселя или Дини на отрезке [а, Ь] (фор-
(формулы B4.13) или B4.22)). В этом случае функция g(x)
раскладывается в ряд, общий член которого представ-
представляет линейную комбинацию цилиндрических функций
одинакового индекса. Ограничиваясь случаем, когда ин-
индекс равен нулю, получим, что если g(x) раскладывает-
раскладывается в ряд с общим членом
B5.25)
if-)]. B5.26)
Здесь использована формула
Я/2
то разложение
оо
m=-I
С«/оО"
функции
\ с i2 (i'
LtmJo I 2
m^)-t
fix)
" ^т^О О
имеет
dmYa (i
ВИД
' jmX
, 2
/
j
о
YQ (z sin ф) йф = -j /0 {jj YQ
которая получается из A8.15) при п = 0.
Рассмотрим ряды Шлемильха, у которых аргумент
цилиндрической функции равен z = Yk2 + т2х, где т —
номер члена ряда; k — отличная от нуля постоянная.
Разложение функции f (x) в ряд
i, B5.27)
m-I
где
! (у b\ Ay
0
Gm(x, *)-
я
/n2 - л;2 J Vt*~x2 *
x
иолучено в [67]; доказательство аналогично проведен-
чому ранее при получении разложения B5.2), отличие

5 231 *>ЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 153
заключается в том, что взамен B5.4) рассматривается
уравнение Шлемильха, полученное в [67]
Я/2
B5.28)
которое также сводится к уравнению Абеля.
Представляя функцию g{x) в виде ряда Фурье по
косинусам и используя интеграл Парсеваля, сразу полу-
получаем "B5.27).
Приведем, следуя схеме Кука [4], несколько иное до-
доказательство, опирающееся на использование интеграла
Сонина.
Рассмотрим интеграл Сонина (см. § 20).
Я/2
J 1^ {a sin 0) /v (b cos 0) s№+1 0 cosv+I 0 dQ =
-1, Rev>-1.
Положим
a = xYm2 + k2, b = ikx, v = — \i — l/2.
Тогда
n/2
J ]yWm? + k2 x sin 0] /-n-i/, (ikx cos 0) X
= [x2 (m2 + k2)f2 {ikxT*-*11 {mx)-'h hk (mx). B5.29)
Воспользовавшись формулами
/i/2 (mx) = Y2/(vcmx) sin mx,
/-H-V, {ikx cos 0) = exp [— -у (ц + y)j /_n_Vj (fex cos 0),
перепишем B5.29) в следующем виде:
л/2
J /JyV + fe2xsin0]/_ц_у2(fexcos0)sin>1+1ecos-t1+'/'0d0 =
0
= [x2 {m2 + k2)f2 {kx)-»->h л/^~~. B5.30)
f эх mx

154 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Положим, что для функции f(x) имеется разложение
B5.31)
В общем члене ряда заменим х на xsin8 и умножим
обе части на
(sin Qf~'h (cos еГ11^2 /_„../, (kx cos 6).
Проинтегрируем от 0 до л/2 и применим формулу
B5.30), получив при этом формально
Я/2
J / (х sin 6) (sin6f -'1г (cos 6)-A+1/2 /_„_,,, (kx cos 6) dQ =
= 2j amsinmx, B5.32)
m-l
где
П Я/2
am = ~^ sin tnt dt J / (t sin 6) (sin 6)~'/2+tl X
о о
x (cos ег^1'2 /_ц_./, (kt cos e) de.
Полагая (x = 0, получаем результат, который, как это
можно показать, имеет весьма простой вид.
Нильсен [76] рассмотрел различные ряды Шлемиль-
ха, дающие в сумме нуль. Простейший из таких рядов
имеет вид
-1)т/0(тл;) = 0) 0<л;<я; B5.33)
т=1
при х = 0 этот ряд колеблется; при х = я ряд расхо-
расходится.
Этот факт показывает, что если функция, заданная
в интервале (—л, я), может быть представлена рядом
Шлемильха, сходящимся в этом интервале (за исключе-
исключением, быть может, конечного числа точек), то такое
представление не является единственным.

§ 25] РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 155
В [67] показано, что нуль в сумме дает также ряд
0<х<п, B5.34)
где k — вещественное число.
Доказательство формулы B5.33), данное Ватсоном,
легко обобщается для суммы ряда B5.34).
Вернемся к ряду B5.2). Если положить, что нижний
предел а в интеграле, входящем в уравнение Абеля, от-
отличен от нуля и, следовательно, в интегральном уравне-
уравнении Шлемильха нижний предел равен arcsin Уа/х, то
при разложении функции g(x) в ряд по косинусам и по-
последующем вычислении интегралов
я/2
j cos {tnx sin 0) dQ,
arcsin (a/x)
кроме функций Бесселя, получим неполные функции
Бесселя (см. § 28) и ряд Шлемильха примет вид
00
/ (х) = ао/2 + 2 ат [/0 (тх) - /„ (wm, x)], B5.35)
где wm = arcsin \f aj{mx), обозначение JQ(wm,x) см. в §28.
Очевидно, что и в других рассмотренных выше фор-
формулах, где встречались интегралы Парсеваля или инте-
интегралы Пуассона, вводя
нижщш предел, отличный
от нуля, мы получим со-
соответствующие неполные
цилиндрические функции.
В приложениях часто
встречаются ряды, весьма
близкие к рассмотренным ря-
рядам Шлемильха и получаемые
в результате очевидных физи- рис jq
ческих соображений Они по-
появляются при решении краевых
задач для неоднородного уравнения Гельмгольца с периодиче-
периодической правой частью такой, что для части области она обращается
в нуль, а участки, где она отлична от нуля, имеют характеристи-
характеристический размер, малый но сравнению с периодами правой части
уравнения (см. рис. 10) Для определенности рассмотрим пример.
О

156 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Пусть функция w(%, r\) удовлетворяет уравнению
V2w — w = q (|, r|),
где q = 0, если точка находится вне заштрихованных кругов,
Я = Ятп = fmn (V (I - по)» + (Ч - тбJ),
где /п, я — числа, характеризующие номер центра круга, координаты
которого |тп = па, г\тп = я*й. если точка принадлежит заштрихо-
заштрихованному кругу.
Найдем w@,0), использовав для этого осесимметричные реше-
решения, соответствующие влиянию каждой из нагрузок qmn.
Очевидно, что решение, отвечающее влиянию нагрузки, распо-
расположенной по кругу (т = 0, п = 0), имеет вид, определяемый форму-
формулами, приведенными в [20], и отыскивается в результате интегриро-
интегрирования основной функции влияния; для всех других значений т, п
вклад, даваемый нагрузкой, распределенной по соответствующему
кругу, приближенно равен
wm, п = АтпК0 (/т2а2 + «262).
При этом числа ЛОо и Атп вычисляются так, как это показано
в [20], где рассматривается влияние точечного источника и прово-
проводится интегрирование соответствующей функции влияния. Таким об-
образом, решение имеет вид
ю@. 0) = Л0+2 2 AmnKoiVm
т~\ п = 1
Эту задачу можно интерпрегировать как определение прогиба мем-
мембраны, лежащей на упругом винклеровском основании.
Представляет интерес решение аналогичной задачи для пластин-
пластинки, лежащей на винклеровском упругом основании (см [20])
§ 26. Ряды Неймаиа
В §§ 24, 25 рассматривались ряды, которые в опреде-
определенной мере аналогичны рядам Фурье. Здесь будут рас-
рассмотрены ряды по бесселевым функциям, в какой-то
мере аналогичные степенным рядам.
Рядом Неймана называется ряд вида
оо
2 a*/v+n(z). B6Д)
я=о
С рядами Неймана читатель, по существу, уже встре-
встречался при рассмотрении формул сложения и при выводе
разложения Ломмеля.

26]
РЯДЫ НЕЙМАНА
157
Приведем два примера разложений функций в ряды
Неймана, которые получаются из формул сложения
00
h(z + y)= 2 /v-m(«/)/mB),
Ко(г-у) =
2 24
m=0
M-0
Приведем без вывода (см. [7]) разложение в ряд
Неймана функции f(z), для которой задано представле-
представление в виде ряда Маклорена:
оо
п=0
Коэффициенты ряда Неймана B6.1) в этом случае
имеют вид
<п/2
т~\ "п-Чт-
т\
В случае, когда функция f(z) может быть предста-
представлена в виде ряда Лорана
/B) = 2^ + 2
п-0 п=1
ряд Неймана имеет вид
Г<|2|</?,
п=0
B6.2)
где On(z)—полином Неймана, который выражается
формулой
J Y "
cos2 [(m±n) л/2]
r(n/2-m/2+I)(Z/2)
M+1

158 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ И
а0, ..., ап имеют такое же выражение, как и для ряда
Маклорена, а коэффициенты а'п определены формулой
у
т\(т+п)\
§ 27. Функции Ломмеля двух переменных
Функции Ломмеля двух переменных можно опреде-
определить с помощью рядов Неймана следующими равенства-
равенствами:
Un (а», 2) = 2 (~ l)m (w/z)n+2m Jn+2m (z),
B7.1)
m=0
Если индекс v — нецелое число, то
Uv (а», г) = 2 (~ 0m (w/z)v+2mJv+2m (z). B7.2)
m=0
Между функциями U н V при целом индексе имеют
место соотношения
Un{w, z)-V-n+2(w, 2) = COS^-2-+-2^--
= sin -^-4--r г—I. !
Un+i (w, z) - V-n+l (а», г) = sin {j + 2^ —2). j
Если индекс v — нецелое число, то
Vy{w, z) = ?/_
f/v (a», z) + f/v+2 (a,, 2) = (w/z)v Jv (z),
Vv (a», z) + Vv+2 (a», 2) = (w/z)~v /_v B).
B7.4)
Рассматриваемые функции были введены Ломмелем
при изучении задач дифракции. Их можно рассматри-
рассматривать как некоторые частные решения неоднородного
уравнения Бесселя. Можно установить соотношения ме-
между этими и ранее рассмотренными функциями, род-
родственными функциям Бесселя.

§ 27] ФУНКЦИИ ЛОММЕЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 159
Нетрудно получить дифференциальное уравнение, ко-
которому удовлетворяют функции Ломмеля двух пере-
переменных
Воспользовавшись формулой
и продифференцировав по z ряд B7.2), получим
J-Uv(w,z) = -^Uv+i(w,z).
Повторное дифференцирование дает
-gr Uy (w, z) = -? Uv+2 (w, z) - ± ?/v+1 (ш, 2). B7.5)
Эти формулы дают возможность, воспользовавшись пер-
первым из уравнений B7.1), получить следующий резуль-
результат:
д2 1 д . г
= ^2{Uy+2(w,z)+Uv{w,z)} = \^j /v(z). B7.6)
Функция Ломмеля Uv(w, z) является частным реше-
решением полученного дифференциального уравнения, кото-
которое с помощью замены переменной z = Y2wt можно за-
записать в виде
где у= Uv{w,z).
Общее решение соответствующего однородного урав-
уравнения имеет вид
г2 гг
у— A cos -х—f- fi sin -x— ¦
у 2a» 2a»
Нетрудно показать, что Vv(w, z) есть частное реше-
решение уравнения
д2у 1_ j5y_ z2y
дг2 ~z dz ' w2 '

160 РЯДЫ ПО БЕССЁЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Приведем интегралы, дающие представление функции
Ломмеля в виде
1
, (йу, 2) = -^-] Jv-i(zt)cos^~w{l-t2)^tvdt,
B7.8)
i(tiy, z)=—-py- /v-i B0 sm It w (\ ~~ ^Ц^ dt.
о
Эти формулы справедливы при Rev > 0; для других зна-
значений v формулы получаются в результате интегрирова-
интегрирования в плоскости комплексного переменного. Объединяя
приведенные выше две формулы, находим
Uv(w, z) ± iUv+l (w, z) =
i
= -^г f 7v-i B0 exp {± i iw A - f) \ f dt.
В результате интегрирования в плоскости комплексного
переменного получаются формулы
v-I J 'v-I
w\ , , .COS
О
Sin \ 2 ^ 2a»
которые справедливы при w > 0, г >0, 3/2 > Re(v) > 0.
Приведем еще формулы, для получения которых нуж-
нужно воспользоваться B7.9), B7.4), B7.8),
cos {I» A -
B7.10)

§ 27] ФУНКЦИИ ЛОММЁЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 161
В частном случае, если положить в B7.9) v = 1, по-
получаем
Г COS / „.ft \ 1 Sin / ,а \
•№) . [¦^-)tdt = — Uf- • B7.11)
J 'sin \ 2 У w cos \2ai / v '
0
Этот результат тесно связан с первым экспоненциаль-
экспоненциальным интегралом Вебера.
Приведенная ранее формула дифференцирования по г
является рекуррентной формулой для Uv(w,z); для по-
получения дальнейших формул следует вычислить произ-
производную по аргументу w
-?-Uv{w, z) = j[uv-{(w, z) + (-^J Uv+l(w, г)].
Для функции Vv(w,z) можно получить аналогичные
формулы:
-3J- Vv (w, z) = — ~ Wi (w, z),
2 -^ Vv{w, z) = Vv+l{w, z) + -^-Vv-i{w, z).
Рассмотрим несобственный интеграл от функции
Ломмеля двух переменных, аналогичный несобственному
интегралу Вебера от функции Бесселя. Для этого вос-
воспользуемся первой из формул B7.8) и поменяем поря-
порядок интегрирования, получив при этом
uv\w, z)z az —
= J -ёг Z~V+k dz J 'v-1 B/) COS {j W A - /2)} f dt =
0
CO
J
о
1
iV 2Cv-ft-3)/2r(Cv_fe_1)/2)
¦(v_(yfe_v+l)/2L „Cv-*-l)/a x
X t/Cv-ft-l)/2 (W, 0) =
б Б. Г. Коренев

162 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. П
Воспользовавшись формулой обращения для преобразо-
преобразования Меллина [5], можно сразу получить представле-
представление для функции Ломмеля двух переменных в виде ин-
интеграла от функций Ломмеля s№iV
a+loo
J e(8v-*-fl/a.%(-f-J-*~I X
a-ioo
¦ dk
r(Cv-*-3)/2J<2-*+v>/2
vUv(w, z),
где z?~xz-* Uv{w, z) <=L@,+00) (a R/ A)
Остановимся теперь на некоторых частных случаях
функций Ломмеля от двух переменных и их связи с дру-
другими специальными функциями.
Рассмотрим сначала функции Ломмеля при w = cz,
с = const. В этом случае приведенные выше формулы по-
позволяют показать, что частными решениями уравнения
"И + (С + ТГ У =
являются функции Uv{cz,z) и V_v+2(cz,2).
Из интегральных представлений функций Ломмеля
двух переменных видно, что при 2 = 0, воспользовавшись
разложением функции Бесселя в степенной ряд, получим
(см. также B7.17)), что эта функция сомножителем,
имеющим весьма простой вид, отличается от функции
Ломмеля одной переменной, рассматривавшейся ранее,
в § 16:
P^^) B7.12)
B7.13)
При целом положительном индексе и при w = 2 спра-
справедливы следующие простые соотношения, при получении

§27] ФУНКЦИИ ЛОММЕЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 163
которых использованы разложения Якоби (стр. 34):
Uo (г, г) = Vo (z, z) = \ (/„ B) + cos 2),
U2n (z, z) = V2n(z, z)=±(- 1)" | cos 2-2 2, (- l)m J2m (z)\,
B7.14)
[/1B,2) = -K1B,2) = (sin2)/2)
U2n+l (Z, 2) = — V2n+l (Z, Z) =
B7.15)
-lf_n»(sin2_2 V
Эти соотношения справедливы при условии, что в B7.14)
п>\, в B7.15) п>0.
Представляют интерес формулы, связывающие функ-
функции Ломмеля индекса 1/2 и 3/2 с функциями того же
индекса, у которых вторая переменная обратилась в
нуль
?/./, (w, 2) ± Ш>,, (w, 2) = 4- е^ {иъ Bа, 0) ± Ш>ы Bа, 0)} +
+±.e±l*{Uih B6, 0) ± Ш*1г B6, 0)}, B7.16)
где
/2а»
Воспользовавшись интегральными представлениями,
имеем при 2 = 0
B7.17)

164 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. 11
При v = 1/2, обозначив w = nu2, получим
ч,{2г, 0)cosz+UVl{2z, 0)sin2]/V'2 =
+ \У B2> 0) sin 2 + V4, B2, 0) cos z]l /2;
= [Uy, B2, 0) sin 2 - t/3/2 B2, 0) cos 2]/V2 =
= у - [V.A B2, 0) cos2 - V./, B2, 0) sin2]/]/2.
Эти формулы устанавливают связь между функция-
функциями Ломмеля двух переменных и интегралами Френеля
X X
S{x)—%=г f sin/2 Л, С{х)—— [ cosfidt.
В приложениях часто встречается связанный с инте-
интегралами Френеля интеграл вероятности
Не-
Некоторый, очевидно, также связан с функциями Ломмеля
двух переменных.
Интересно отметить, что функции Ломмеля двух переменных на-
нашли широкое применение в теории прохождения через резонанс ди-
динамических систем при линейном изменении частоты возмущаю-
возмущающего воздействия.
В задачах о прохождении через резонанс встречаются следую-
следующие интегралы, к которым приводит и рассмотрение функций Лом-
Ломмеля двух переменных с индексами 3/2 и 1/2, если г мнимое:
t t
Г eKt cos ij wtA dt, \
eKt sin (^ ю/2] dt,

& 28] НЕПОЛНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 165
Эти интегралы могут быть выражены через функции S и Г, где
S = 2~' У~п ехр (дс2 - у2) (и sin 2ху + v cos 2xy),
Т = 2 У~п ехр (дс2 - у2) A + v sin 2ху - « cos 2xy),
а через u(z) и v(z) обозначены вещественная и мнимая части ин-
интеграла вероятности в комплексной области
u(z)+iv(z) = W(z).
Приведем следующие формулы:
t
Л, (/) = Г e4t cos ij со/2) dt =
-<о-1/г {(sin p - cos р) [Г (/НО + Т (т)] -
- (sin Р + cos P) [S (У^р) + S (т)]};
Л2 @ = J e*' sin Ц и/2\ dt
=со-1/2 {(sin р - cos Р) [Т (У~Ц) + Т (т)] +
+ (sin p + cos P) [S (V4) + S (т)]},
где Р = Х2/Bсо), т = У^/4 [(/ - х/со) + / (/ + х/со)].
§ 28. О неполных цилиндрических функциях
В предыдущих параграфах рассматривались различ-
различные частные решения неоднородного уравнения Бесселя.
Некоторые из них, как, например, функции Ангера и
Вебера, получались естественным образом в результате
некоторого обобщения интегралов Бесселя, другие опре-
определялись в результате использования метода вариации
произвольных постоянных. В этом параграфе будет
рассмотрен вкратце весьма широкий класс решений не-
неоднородных уравнений Бесселя.
Эти решения носят название неполных цилиндриче-
ских функций и чаще всего определяются из интеграль-
интегральных представлений Бесселя, Пуассона и Сонина — Шле-
фли, в которых пределы интегрирования являются пере-
переменными. При этом указанные функции определяются
так, чтобы при некоторых значениях пределов они пере-
переходили в обычные цилиндрические функции. Неполные
цилиндрические функции зависят от трех независимых

166 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
переменных — индекса, аргумента и параметра неполно-
неполноты, обозначаемого w. Это обстоятельство и дает воз-
возможность в рамках теории неполных цилиндрических
функций рассмотреть очень широкий класс решений не-
неоднородных уравнений, куда входят, в частности, и рас-
рассмотренные ранее, в § 16, частные решения неоднород-
неоднородного уравнения Бесселя. Теория этих функций очень под-
подробно разработана в монографии • М. М. Агреста и
М. 3. Максимова [2]. В этом параграфе даны самые
краткие сведения из теории неполных цилиндрических
функций, заимствованные из указанной монографии
Рассмотрим функцию
w
E${w, z)^~ j е'*™< sin24 tdt, B8.1)
Re(v+l/2)>0,
которая при w = я/2 переходит в обычный интеграл Пу-
Пуассона, и поэтому
Рассматривая z как аргумент, w как параметр, най-
найдем последовательно первую и вторую производные
B8.1), после этого используем полученные выражения
при применении оператора Бесселя индекса v к функ-
функции ?* (w, z). В результате несложных выкладок полу-
получим для функции E${w, z) следующее дифференциаль-
дифференциальное уравнение:
Vv?v+ (да, z) = 2izv+1 sin2v+1 wAW cos " = Wv (w, z). B8.2)
Формулы, которые неоднократно были использованы
выше (см., например, § 16) и основаны, по существу, на
применении функций Коши для уравнений с правой ча-
частью, дают
?v+ (w, z) = /v (w) \cv (w)-jj Yv (t) 4V {w, t) 4-1 +
+ rv (z) I Dv {w) +1 J/v (/) 4^v (w, t) f\, B8.3)

§ 28] НЕПОЛНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 16?
где, как это показывает изучение асимптотики Е$ (w, z),
w
Cv(w) = 2 г{чТ+{?мгШ J sin^ t dt, Dv(w) = 0. B8.4)
о
Используя эти результаты и заменяя Ч^(до, t) его выра-
выражением B8.2), получим
t(w, z) = 2/v (z) r^^j J si
0
z
M2)J/v(f]
dt\. B8.5)
V
0
z
Введем еще функцию
E7 {w, z) = -~ J е~'г cos" sin2* и du B8.6)
о
и приведем выражения для неполной функции Бесселя
Jv{w, z) и неполной функции Струве Hv(ziy, 2):
?+(», z)+e~{w,z)
Jv(w, z) = g =
= 2-?-JcosBcos9)sin2v9d9, B8.7)
v 0
?Lv{w, z) = ——'¦—2j—^—'— =
w
= 2 -J J sin B cos 9) sin2v 9 dQ.
0
Очевидно, что
/„(я/2, 2)e/v(г), Н,(я/2, 2)-HvB), B8.8)

168
РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ
[ГЛ. II
Замена аргумента г на iz приводит к следующим фор-
формулам:
Jv(w, iz) =
где
B8.10)
W
/v (w, z) = -=^- J ch {z cos 9) sin2v 9 dQ,
о
fa
Lv(t», z) = -^-J si
Функция /v(o), г) называется неполной функцией
Бесселя от чисто мнимого аргумента, Lv(w,z) — непол-
неполной функцией Струве от чисто мнимого аргумента.
Функция Ev{ — iw, г)при w—*—гоо переходит в функ-
функцию Ганкеля первого рода, поэтому неполной функцией
Ганкеля называют
Очевидно,
B8.11)
B8.12)
при вещественном ch р > 1, Re(v'+ 1/2) > 0.
Переходя, далее, к комплексному аргументу iz, при-
придем к неполной функции Макдональда
ch w
nzv
(•
+ V2)>0. B8.13)
Приведем теперь рекуррентные соотношения между не-
неполными цилиндрическими функциями. Для этого нужно

§ 28)
НЕПОЛНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
169
воздействовать на функцию Е$ (w, z) операторами:
2v
B8.14)
— f
dz iv>
что дает следующие соотношения:
= 2zv sin2v-'
B8.15)
Из этих формул при Imz>0, w ->—гоо непосред-
непосредственно получаются обычные рекуррентные соотношения
для функций Ганкеля первого рода. Имеем
E$(w, z) = Jv(w, z) + iHv(w, z),
eiz cos w _ cos (z cos j^ ^_ j sjn
B8.16)
С помощью этих формул из B8.15) получим
Lv[Jv(w,z)] = gv (w, z);
L'v[Jv(w, z)] = gv (w, z),
где
: (w, z) = 2zv sin2v-' w с^" cos (z cos w)±
sin2 w
sin
B cos w) .
J
Приведем аналогичные формулы для неполных функций
Струве
Lv [Hv (w, г)] = /v+ (w, z), С, [Hv (a», 2)] = /7 (a», 2),
где
/v (И), 2) =
= 22vsin2v~' да L0^ffil sin B cos w) ± Sl? w cos {z cos шI.
Неполные цилиндрические функции полуцелого ин-
индекса имеют в качестве аналога цилиндрически?

170 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
функции полуцелого индекса, например:
?у8 (и», г) = 2 УЩпк (е1* - el*cos »)/2Л
Все рассмотренные выше функции называются не-
неполными цилиндрическими функциями в форме Пуассо-
Пуассона. Кроме этих функций, рассматриваются неполные ци-
цилиндрические функции, связанные с другими интеграль-
интегральными представлениями функций Бесселя.
Неполные цилиндрические функции в форме Бесселя
определяются следующим образом:
B8.17)
По аналогии с тем, что имеет место для обычных ци-
цилиндрических функций, эти функции при w = 2яг пере-
переходят в функции Бесселя только при целых значениях
индекса: епBш, z) = 2Jn(z); отсюда также следует, что
неполные функции в форме Бесселя и функции в форме
Пуассона принадлежат, как это подробно рассматри-
рассматривается в [2], к различным классам функций. В этом слу-
случае также можно ввести неполные функции Бесселя от
чисто мнимого аргумента в форме Бесселя, неполные
функции Ганкеля в форме Бесселя и др.
Неполные цилиндрические функции в форме Бесселя
удовлетворяют неоднородному дифференциальному ура-
уравнению
Vvev (w, z) = [(v+z ch w) exp B sh w — vw)—(v+z)]/ni. B8.18)
Между функциями ?v (w, z) и ev(ziy, 2) существует од-
однозначная связь только при целых индексах.
Рассмотрим неполные цилиндрические функции в
форме Сонина — Шлефли.
Интегральное представление Сонина — Шлефли
функции Бесселя имеет вид
c+ioo
l
J
C-loo
где с>0, Rev> — 1,

§ 28] НЕПОЛНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 171
Контур интегрирования разомкнутый, его концы —
две бесконечно удаленные точки, расположенные в пра-
правой полуплоскости и имеющие одинаковые конечные аб-
абсциссы1). Если провести интегрирование по контуру, на-
начало и конец которого заданы комплексными числами
р, q, то очевидно, что в тех случаях, когда р = с — too,
q = с + too, мы получим по-прежнему функцию Бесселя,
в остальных случаях этот интеграл представит функцию,
которую можно назвать неполной цилиндрической функ-
цией в форме Сонина — Шлефли
Sv (p, g; z) = JL- (|)V J rv-' exp [t - -J) dt.
B8.20)
Если положить р = г/2, q = (z/2)expw и произвести за-
замену переменной интегрирования / = (г/2)ехр«, то
W
Sv(|, l^,z) = JLj ezsh«-™du=lev(o>, z). B8.21)
о
Это показывает, что функции Sv(p,q;z) являются более
общими, чем рассматривавшиеся выше ev(w, z).
Воздействуя оператором Бесселя на Sv(p, q\z), мож-
можно получить неоднородное уравнение Бесселя
VVSV (p, q\ z) = V (г, q)-W (г, р), B8.22)
которому удовлетворяет эта функция, где
Интегральные представления Sv(p,q;z) позволяют
непосредственно получить рекуррентные формулы:
B8.23)
') См. [7], где контур интегрирования, аналогичный B8.19), есть
прямая, параллельная мнимой оси.

172 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Интегральное представление Sv(p, q;z), основанное на
получении решения неоднородного дифференциального
уравнения Бесселя, имеет следующий вид:
где
q; z) = ~2f Yv (z) [Qv (q> z) — Qv (p.
+ -1- /v (г) [Pv (q, z) - Pv (p, z)], B8.24)
z
Qv(дс, /) = Bx)-v-' ex Г /v+1 /v(/) exp (- -?-) rf/,
J
о
exp fk
J
p
J
Rev> —1, при фиксированном х должно выполняться
неравенство | 2А, — arg д: | < л/2.
Функции Qv(x, t) и Pv(x,t) имеют самостоятельное
значение и носят название неполных интегралов Вебера
от цилиндрических функций первого и второго рода.
В [2] проведено подробное изучение свойств этих инте-
интегралов.
Представление неполных цилиндрических функций
через неполные интегралы Вебера наглядно показывает
естественную связь между функциями Ломмеля двух пе-
переменных и неполными цилиндрическими функциями.
Сравнивая неполные интегралы Вебера и приведенные
в § 27 формулы для функций Ломмеля, можно получить
следующие соотношения:
B8.25)
Qv(x, z) = r+l\Uv+](z2lBix), z) +
), z)\ exp(x - z2/Dx)),
где
z
Qv (x, z) = Bx)~v-' ex J /v+ 7V (/) exp (- /2/Dx)) dt.

§ 29) АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 173
§ 29. Асимптотические разложения бесселевых
функций
Как правило, практические вычисления, связанные
с применением бесселевых функций, опираются на ис-
использование таблиц этих функций. В отдельных слу-
случаях возможно проведение вычислений, основанное на
использовании приведенных в начале книги обобщенных
степенных рядов или рядов, содержащих в некоторых
случаях множитель In г; эти ряды по возрастающим
степеням аргумента удобны для вычислений только при
малых значениях аргумента. Если аргумент велик, воз-
возникает вопрос о построении приближенных решений
уравнения Бесселя, пригодных при больших значениях
аргумента. Указанная задача связана с построением
асимптотических разложений; при ее решении прихо-
приходится оперировать с расходящимися рядами, которые,
однако, обладают тем свойством, что в опреде-
определенной области значений аргумента они удобны для
вычислений и допускают простую оценку погреш-
погрешности.
Здесь с самого начала нужно подчеркнуть разницу
в решении задач различных классов, в зависимости
от поведения аргумента и индекса v цилиндрической
функции:
1. г-уоо, v фиксировано (разложение Ганкеля).
2. Аргумент и индекс бесконечно возрастают; при
этом z — v = у, гДе Y — постоянная.
3. Отношение z/v фиксировано, z—»oo, z/v = ch b,
6>0.
Наибольший интерес представляет первая задача,
решение которой является наиболее простым.
Для получения асимптотических разложений при
больших значениях аргумента и фиксированном индексе
можно воспользоваться обобщением интегрального пред-
представления Пуассона, данным Ганкелем; эти разложения
иногда называются разложениями Ганкеля.
Опишем в общих чертах процесс получения асимпто-
асимптотического разложения, данный Ганкелем и несколько
видоизмененный Ватсоном.

174 РЯДЫ ПО БЁССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ II
Интегральное представление функции Ганкеля пер-
первого рода
2 у/i ехрг(г-яу/2-я/4)
nz) r(v+'/2) X
те ехр «Р
X J e-«Mv-'/> (l + Щ du B9.1)
о
имеет место при л/2 > р > — л/2,
- л/2 + р < arg z < Зл/2 + р, Re (v + >/2) > 0.
Получение решения основано на биноминальном раз-
разложении с остатком множителя A + iu/Bz))v~'1', входя-
входящего в подынтегральное выражение. Если в интеграл
внести указанное разложение, проинтегрировать почлен-
почленно и оценить остаток, то получим
оо
#<!> (г) ~ B/(лг) )v> ехр i (z - nv/2 - л/4)
B9.2)
где
Аналогичным образом может быть получена фор-
формула
те
Я? (г) - B/(лг) )'/г ехр [ - I (z - гл/2 - л/4)] ^ (g| f B9.3)
т-0
при — 2л < arg г < л.
Сохранив только первый член асимптотического раз-
разложения, называемый асимптотическим представлением,
получим
Н$ (г) - B/лг)'/г ехр i (z - vn/2 - л/4),
Н(? (г) - B/лг)'/г ехр [-i(z- vn/2 - л/4)].
Имея асимптотические разложения функций Ганке-
Ганкеля, по формулам § 3 нетрудно получить разложения

§ 29] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 175
функций Бесселя и Неймана, пригодные при |argz|<n:
/v (г) ~ B/nzf' [cos (г - vn/2 - л/4)
т=-0
т=-0
[
sin (z - vn/2 - л/А)
[
sin (z -
B9.4)
Используя соотношение между функцией Ганкеля и
функцией Макдональда, находим
*v (г) - (?)'/l ^"г Ё 1&F-' I arg * |< f-. B9.5)
m=0
Из зависимости между функциями Бесселя и модифи-
модифицированными функциями Бесселя вытекают следующие
формулы:
ехр[-г + (у + У2)яг] VI (у, т)
при Зл/2 > arg г > — л/2;
е* V (-l)m(v, m)
Bг)т
ехр[-г-(у + '/2)я/] yi (у, m)
+ B]B)V. Z^ B2)m
при — Зя/2 < arg г < л/2').
') Формулы B9.6) и B9.7) при —я/2 < arg г < я/2 кажутся
противоречивыми, это связано с явлением Стокса, рассмотренным в [7].

176 РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. II
Точно таким же образом получаются асимптотиче-
асимптотические разложения для вещественной и мнимой частей
функций комплексного аргумента.
Остаточный член разложений для функций Ганкеля
имеет тот же порядок, что и первые отбрасываемые
члены. Для цилиндрических функций первого и второго
рода имеют место более тонкие оценки: при положитель-
положительных z и вещественных v остаток численно меньше пер-
первого отбрасываемого члена и имеет тот же знак; если
при вещественных v и z величина 2z — т + 1/2 мала по
сравнению с z (m — номер первого отброшенного чле-
члена), то остаток приблизительно равен половине первого
отброшенного члена.
Асимптотические разложения могут быть непосред-
непосредственно получены из рассмотрения дифференциального
уравнения Бесселя.
Если в интегральные представления функций, род-
родственных бесселевым функциям, внести при больших
значениях аргумента z асимптотические разложения
бесселевых функций, то интегрирование дает сразу
асимптотические разложения для указанных функций.
§ 30. О бесселевых функциях с большим индексом
Прежде чем перейти к краткому изложению свойств
бесселевых функций при больших индексах, сделаем
несколько связанных с физическими представлениями
замечаний, поясняющих в известной мере постановку
задачи.
Ограничимся сначала рассмотрением функций Бесселя Jn(x),
предполагая, что индекс — целое положительное число, х — веще-
вещественное число Как уже указывалось во введении, задача о свобод-
свободных колебаниях круглой однородной мембраны с жестким контуром
приводит к рассмотрению трансцендентного уравнения Jn(XkR)= 0
Здесь п — индекс бесселевой функции, который равен числу узловых
диаметров формы собственных колебаний, k — порядковый номер
корня, равный числу узловых окружностей, включая и контурную
окружность; R — радиус этой окружности, который, не теряя общ-
общности, можно принять равным единице.
Положим сначала, что п невелико, a k — большое число, и рас-
рассмотрим область, заключенную между двумя смежными узловыми
окружностями с радиусами pj и pj+i (ft -С / + 1 < k) и двумя смеж-
смежными узловыми радиусами мембраны.
Очевидно, что для такой области форма колебаний мембраны,
за исключением участков, прилегающих к радиусам, близка к форме

. эд
О ФУНКЦИЯХ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
177
колебаний мембраны, у которой узловые линии суть параллельные
прямые, расстояние между которыми равно pj+i— pj. Таким об-
образом, аппликаты формы колебаний изменяются вдоль радиуса по
закону, близкому к синусоидальному. Если
взять противоположный случай, считая что k
мало по сравнению с я, то рассматривае-
рассматриваемая часть мембраны будет вытянута в на-
направлении радиуса и форма колебаний при
этом такова, что вдоль АВ (рис. 11) ее
аппликаты быстро изменяются только вбли-
вблизи точек Л и В, по остальной же части от-
отрезка они изменяются весьма медленно.
Очевидно, что в случае, который рассма-
рассматривается в настоящем параграфе (наряду
со случаями, когда индекс мало отличается
от аргумента), нужно исходить из асимпто-
асимптотических представлений, отличных от тех,
которые были получены в § 29. При неце-
нецелых значениях индекса следует рассмотреть
мембрану, имеющую форму кругового сек-
сектора. Задача о мембране с отверстием при-
приводит к таким же задачам для функции
второго рода.
Здесь будут приведены лишь от-
отдельные весьма немногочисленные
сведения, относящиеся к этому до-
довольно сложному вопросу, чрезвы-
чрезвычайно подробно рассмотренному в монографии Ватсона [7].
Наиболее простой вид имеет решение Мейсселя.
Преобразуем уравнение Бесселя с помощью замены
Рис. 11.
/v(vz)"
expl u(z)dz\
к виду
z2 [uf (z) + {и (г)}2] + zu (г) - v2 A - г2) = 0.
Представим решения этого уравнения в виде ряда по
убывающим степеням v
«3
здесь «о, «ь «2. ••• — функции от z. Подстановка ряда в
уравнение, сравнение коэффициентов при степенях с оди-
одинаковыми показателями и последующее интегрирование

178
РЯДЫ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ
[ГЛ II
дают следующий результат:
, /.,> ... (vz)v ехр {у У~\ - г2} ехр ( - Vv)
где
24v
v--22)/! I
5760v3 1
16v2(l-z2K
-15 12z2-3654z4-3752e
— 16 + •.,
Первое приближение, получаемое из (ЗОЛ),
есть формула Карлини.
Если z вещественно и больше 1, то разложение C0.1)
непригодно. В этом случае используется второе разло-
разложение Мейсселя (см. [7]); сохранив в нем лишь главные
члены, получим следующие приближенные формулы для
Jv(x) и Yv(x):
л у х2 - v2
cos
Y4(x)~(—
0v
- v2 - vn/2 + v arcsin (v/л:) - л/4.
C0.2)
Перейдем к асимптотическим разложениям для ци-
цилиндрических функций, у которых разность аргумента
и индекса есть постоянное число.
Приведем результат, относящийся к случаю г—»оо,
z — v = у, где у — некоторая постоянная.
Lsin2lt(/
з
у з
, B,(Y)- полином степени /;

§ 30] О ФУНКЦИЯХ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 179
Во (*) = !, В] (*)-*; В2(х) = х2/2-У2О, В3(х) = ±х3-
- ,5 X, ... J.
Если разность г — v при г->оо есть величина по-
порядка г1/з или v1/3, то можно воспользоваться приближен-
приближенными формулами Никольсона
/ 2у
3W ' - ' C0.4)
BI "-' "'
Задача об асимптотических представлениях цилин-
цилиндрических функций подробно рассмотрена Шебе [82].
В заключение этого параграфа приведем следующую
формулу:
оо
ev<th*-*' V Pl
при v —> oo, b > 0, причем
ЛA) 1 P(l)l P(t) ^+ 13
1260
463 я 1
9 072 000 & + 226 800 & + 900
>'
Ряды C0.3) и C0.5) называются рядами Дебая.
В [7] приводится очень подробное изложение теории
асимптотических разложений бесселевых функций при
больших значениях индекса. Сводка различных асимпто-
асимптотических разложений приведена в [4]; весьма подробные
сведения об асимптотических разложениях имеются так-
также в справочнике Янке, Эмде и Леша [61].
') В [82] подробно рассматривается вопрос о построении поли-
полиномов В((у) и приводятся таблицы этих полиномов.
2) Построение полиномов Pi(Q рассмотрено в [82].

ЧАСТЬ II
ПРИЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛАВА I
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК
§ 1. Колебания круглой пластинки
Рассмотрим задачу о колебаниях круглой пластинки;
будем полагать, что прогиб пластинки w мал по срав-
сравнению с ее толщиной /г, а толщина в свою очередь мала
по сравнению с радиусом пластинки. Расположим по-
полярную систему координат г, ф в средней плоскости и
примем ее начало в центре окружности, по которой бо-
боковая поверхность пластинки пересекается со средней
плоскостью.
Обозначим через D цилиндрическую жесткость пла-
пластинки, h — толщину, у — плотность.
Сначала рассмотрим свободные колебания пластинки.
Положим, что пластинка жестко оперта по контуру, ра-
радиус которого обозначим Ь.
При г = Ь имеем W = О и -^- = О, где W (г, ф, /) — ди-
динамический прогиб пластинки.
Дифференциальное уравнение упругой поверхности
пластинки имеет следующий вид
?)V2V2W + yh ——— = 0. A.1)
Для интегрирования уравнения A.1) воспользуемся
методом разделения переменных, приняв частное реше-
решение в виде
W{r,q,t) = w{r,q>)F{f). A.2)
Подставляя A.2) в уравнение A.1), получим
4^=-f/f. A.з)
yh w dt2 I ^ '

§ 1] КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 181
Так как левая часть уравнения A.3) представляет функ-
функцию только переменных г, ф, а правая зависит только
от времени t, то очевидно, что каждая из величин
DV2V2w/yhw и —212~/^ Должна быть постоянной; обо-
обозначим указанную постоянную через ы2, тогда
d?
откуда
F = Asin((nt +¦ Фо)-
Таким образом, а> является круговой частотой колеба-
колебаний. Функция w называется формой колебаний, она удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Я% = 0, A.4)
где
Перейдем от переменной г к безразмерной величине
| = "кг (в дальнейшем | будем называть приведенным
расстоянием), тогда уравнениеA.4) примет вид
2 , 1 д . 1 д
Обозначим
и будем разыскивать решение уравнения A.5) в виде
w (г, ф) = да, (г, ф) + w2 (г, ф),
где функции W\(r, ф) и а»г(Лф) удовлетворяют уравне-
уравнениям
«;,= 0, A.6)
a>2 = 0. A.7)
Вновь воспользуемся методом разделения переменных,
полагая, что частные решения уравнений A.6) и A.7)
имеют вид
о», =/?, (г) Ф, (ф), A.8)
а>2 = Д2(г)Ф2(ф). A.9)

182 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ I
Внося A.8) и A.9) соответственно в A.6) и A.7), по-
получим, опуская индексы у функций R(r) и Ф(ф),
= - Ф"/Ф-
Так как левая часть зависит только от |, а правая
только от ф, то
8, 1
_Ф7Ф = 8, J Aли)
где в2— некоторая постоянная; из уравнения A.10) имеем
Ф = sin (еф + а),
где а — постоянная. Поскольку добавление к ф угла, со-
содержащего целое число раз 2я, не должно изменить
значение функции, е может равняться только целому
числу п. Таким образом, для функции R мы имеем сле-
следующие уравнения:
l2R" + lRf-(n2±l2)R = 0. A.11)
Каждое из уравнений A.11) представляет уравнение
Бесселя и поэтому
/?ш + #2„ = С,„/„ (?) + C3nYn (I) + С2пГп (I) + С4пКп (I).
Форму колебаний представим в следующем виде:
ву„ (г, ф) =
= [С,„/„ (I) + С3„К„ (I) + C2nln (I) + CwKn (l)\ sin (гор + а„).
Постоянные С, а и круговая частота ш, от которой зависит
X, а следовательно, и | = Кг, должны быть определены.
Рассмотрим сначала во всех подробностях наиболее
важный частный случай — осесимметричные колебания
круглой пластинки; форма колебаний будет иметь вид
w = С,/о (I) + C3Y0 (I) + С2/0 (I) + С4Ко (I).
Если пластинка сплошная и в центре пластинки нег
опоры, то при | = 0 прогиб должен быть конечным;
функции Уо(|) и Ко(|), как это следует из их разложе-
разложения в степенные ряды, при | —>¦ 0 стремятся к бесконеч-
бесконечности. Однако отсюда вовсе не следует, что С3 = 0 и
С4 = 0. Указанные функции в окрестности точки | = 0

§ 1] КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
можно представить в виде 1)
183
A.12)
Точками обозначены невыписанные члены, которые
вместе с производными, появляющимися при выполняе-
выполняемом здесь дифференцировании, при | —> О стремятся
к нулю, в силу чего отбрасывание их не отразится на ре-
результате наших выкладок. Положим С4 =
= 2С3/я и образуем сумму второго и чет- Р
вертого слагаемых
Щ = С3[?0A) + 2К0A)/л], A.14)
которая при |, близких к нулю, имеет вид
йH= -С3?21п|/я+ ...
Таким образом, эта часть решения
при |->-0 также стремится к нулю; пока-
жем, что с механической точки зрения
решение A.14) содержит особенность типа сосредото-
сосредоточенной силы.
Для этого найдем поперечную силу по окружности
малого радиуса |, подсчитаем сумму поперечных сил по
этой окружности и перейдем к пределу при | —> 0. Оче-
Очевидно, что из условий равновесия части плиты, ограни-
ограниченной окружностью радиуса g/Xi, следует, что этот пре-
предел должен равняться взятой с обратным знаком сосре-
сосредоточенной силе Р, действующей на плиту (рис. 12). Та-
Таким образом, для определения постоянной необходимо
внести выражение A.14) в следующее уравнение:
рИс. 12.
При проведении выкладок полезно воспользоваться за-
зависимостями
d2Ko (I)
¦+г
dKo (I)
dl
A.16)
A.17)
') См. стр. 18, 20,

184 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ I
Внося выражение A.14) в уравнение A.15) и восполь-
воспользовавшись уравнениями A.16) и A.17), получим
lim { - ОСзЯ? [ - Ко(Ю + 4 *о(?)]2я?} = - Р. A.18)
Воспользовавшись выражениями A.12) и A.13), выпол-
выполнив дифференцирование и предельный переход, для
определения С3 получим — 8ОС3Я? = Р, откуда Съ =
Pl(8DXf)
l
Таким образом, выражение A.14) можно написать
в следующем виде:
Если бы пластинка имела опору в центре, то функцию
ш>(|) следовало бы записать в виде
w (Е) = С,/о Ц) + С210 Ц) - -^ [Уо (I) + ^Ko (g)], A.20)
где Р — опорная реакция.
В случае, когда в центре нет ни опоры, ни сосредоточен-
сосредоточенной силы, имеем
Так как пластинка зажата по контуру, то при | = р =
= Kb имеем w = 0, dw\d\ = 0.
Из граничных условий получаем следующие однород-
однородные относительно Ci и С2 уравнения:
С,/о (Р) + С2/0 (р) = 0, С,/о (р) + С2/о (р) = 0.
Для того чтобы эта система имела нетривиальное реше-
решение, необходимо равенство нулю определителя, состав-
составленного из коэффициентов при неизвестных.
Отсюда получаем следующее уравнение:
/о(р)/о(Р)-/о(Р)/о(р) = О. A.21)
Очевидно, что если рассматривать общий случай ко-
колебаний, то каждой форме, имеющей п узловых диамет-
диаметров, соответствует выражение
wn (|, ф) = [С,„/„ (|) + С2„/„ (|)] sin {ny + а);

§ П КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 185
в этом случае имеем
/„(р)/„(р)-/„(р)/„(Р) = О. A.22)
Корни уравнений A.21), A.22) дают значения р, зная
которые, нетрудно определить частоты колебаний.
Если обозначить корень трансцендентного уравнения
A.22) через р^, где i — порядковый номер корня, то
Корни уравнения A.22) приведены в различных спра-
справочниках и, в частности, в справочнике Е. Янке, Ф. Эмде,
Ф. Леш [61].
Нетрудно рассмотреть колебания шарнирно опертой
пластинки. В этом случае граничные условия при г = Ъ
имеют вид: w — О,
d2w . а_ dw . а d2w ~
" "Г "Г ~л7 г "
дг2 [ г дг г2 d<f2
где о — пуассоново отношение. Второе из граничных ус-
условий можно записать в следующем виде:
так как
V2 [/„ (%пг) cos /мр] = - Я„/„ (%пг) cos /мр,
V2 [/„ (Я„г) cos /мр] = Я2,^ (Я„г) cos /мр,
то из A.23) имеем
- A - а) {[С,/„ (Xinb) + C2Ifn (Xinb)\lb) = 0.
Рассматривая это уравнение совместно с уравнением
получим трансцендентное уравнение, из которого опре-
определяются частоты свободных колебаний.
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях круглой
пластинки, имеющей точечную опору в центре. Будем
пользоваться методом, именуемым в строительной меха-
механике методом сил, считая амплитуду реакции опоры
неизвестной X. Мысленно отбросим опору, заменим ее

186 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК |ГЛ. I
действие силой Xsinco^ и рассмотрим вынужденные ко-
колебания пластинки, вызываемые этой силой. Положим,
что круглая пластинка зажата по контуру; тогда с по-
помощью результатов, полученных ранее, используя фор-
формулу A.20), получим уравнение формы колебаний в сле-
следующем виде:
w = ш0 + wk = С10/0 (?) + С20/0 (?) - ~, [Уо (I) + 4 К, (?)],
где Я4 = a^hfD; Ао и Во определяются из граничных ус-
условий на контуре. Напишем формулу для амплитуды
прогиба в центре пластинки
w0@) = ад @) + ад@) - ^ [Yo (i) +¦§¦ к0 (i)] |?_>o
Так как пластинка имеет опору в центре, то ш@) = 0.
Упростим выражение A.24), заметив, что /о(О) = 1,
/0@) = 1 и что, как было показано выше, при | = 0
сумма —Kq{%) + Y0{%) обращается в нуль. Перепишем
с учетом сказанного A.24) и, кроме того, из граничных
условий для зажатого края найдем С10 и С2о; далее, со-
сократив полученное выражение на X/(8DXZ), приведем
его к виду
I 2 [л (р) Ко (р) - /о (р) /Ci (Р)]/я + 2/(пр) _ п
+ /о (Р) /i (Р) + Л (Р) /о (Р)
Отсюда окончательно имеем следующее трансцендентное
уравнение:
/, (Р) ^0 (Р) + /о (Р) ^1 (Р) + ^ /i (Р) ^Со (Р) -
-|/o(P)^Ci(P)+^ = 0. A.25)
Найдя корни pi этого трансцендентного уравнения, мы
тем самым определим и частоты собственных колебаний
формы которых таковы, что в опоре возникают реакции.

§ 1] КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 187
Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях круг-
круглой защемленной по контуру пластинки, вызванных на-
нагрузкой, равномерно распределенной по окружности ра-
радиуса а, концентричной с контуром; обозначим через q
амплитуду нагрузки q sin pt.
Представим форму колебаний в виде суммы основ-
основного решения wo и компенсирующего решения Wh.
Основное решение можно искать как решение задачи
о загружении пластинки, не ограниченной в плане, т. е.
бесконечной пластинки. Естественно, что основное реше-
решение, как правило, не может одновременно удовлетворить
и граничным условиям, если рассматриваются задачи
о пластинках, ограниченных в плане.
Для того чтобы удовлетворить этим условиям, вво-
вводится так называемое компенсирующее решение.
Из изложенного выше ясно, что компенсирующее ре-
решение должно удовлетворять однородному дифферен-
дифференциальному уравнению задачи (и, следовательно, не
должно содержать каких-либо особенностей в области,
занятой пластинкой) и, совместно с основным решением,
удовлетворять граничным условиям задачи.
Предположим, например, что на контуре пластинки
прогиб и угол поворота должны быть равны нулю. Ос-
Основное решение не удовлетворяет этому условию, и
поэтому на контуре пластинки возникнут отличные от
нуля прогибы w0 и углы поворота <p0, соответствующие
основному решению. Задачу можно будет считать ре-
решенной, если нам удастся найти такое компенсирующее
решение wu, которое на контуре пластинки будет удов-
dw.
летворять условиям wk — — w0, —g— = — <p0. Тогда сум-
сумма основного и компенсирующего решений даст нам ис-
искомое решение поставленной задачи.
Остановимся сначала на отыскании основного реше-
решения. Для этого мысленно разобьем нагрузку на ряд эле-
элементарных сил и просуммируем результат действия этих
элементарных нагрузок. Возьмем на окружности, по ко-
которой действует нагрузка, точку с координатами (а, 0);
элементарная нагрузка, приходящаяся на участок дуги
длиной a dQ, будет равна
qadQ = qa dQ Д,, Я,, = Vp2yh/D. A.26)

188
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ I
Найдем w в точке с координатами г = |iAi, ф (рис. 13).
Для этого воспользуемся формулой A 19), подставив
вместо Р выражение A.26) и вместо | — приведенное
Ч
г
=ш,
Рис. 13.
расстояние от точки приложения элементарной силы до
рассматриваемой точки пластинки, которое равно
z=
и проинтегрируем затем полученное выражение. Таким
образом,
2я
2я
Yo (/a2 + g2 - 2ag cos F - ?))d6 +
J
A.27)
Для вычисления интегралов, входящих в выражение
A.27), воспользуемся формулами сложения цилиндриче-
цилиндрических функций, которые в рассматриваемом случае
имеют вид:
при |^ a
1 A.28)
Ко A/а2 + |2-2а|соз(е-ф)) = 2 2 '/„ (?) /С„ (a) cos п F - <р);
A.29)

КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 189
при |> а
A.30)
A.31)
Внося в A.27) соотношения A.28) — A.31) и инте-
интегрируя, заметим, что все члены ряда, содержащие коси-
косинус, при интегрировании дают нуль; таким образом, в
решение войдет только результат интегрирования нуле-
нулевого члена и поэтому
при |-<а
[h {l) F°(a)+\h (|) Ко (а)]' (К32)
при |>а
^[ ^] A-33)
Добавляя к основному решению компенсирующее, полу-
получим решение поставленной задачи
Граничные условия имеют вид
Теперь из "граничных условий определим Ло и Во; при
защемленное крае имеем следующие уравнения:
Ло/О (Р) + Во/о (Р) - -^г \уо (Р) ^ (а) + - Ко (Р) /о (аI = О,
4DA! L п }
- Ло/, (р) + Во/. (Р) + -^r \Yi Ф) /о (a) + -Ki<&) /о (аI = О,
41Д,! L я J

190 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ. I
решая которые и используя вронскиан1), получим
4m?
0
2DK\
Заметим, что изменение граничных условий отразится
только на уравнениях для определения постоянных Ао и
Во, входящих в компенсирующее решение.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания, вызы-
вызываемые нагрузкой qi sin pt, равномерно распределенной
по кольцу, приведенный внутренний радиус которого ра-
равен cci, а наружный аг-
Для определения основного решения разобьем коль-
кольцо на концентрические элементарные кольца; приведен-
приведенный внутренний радиус элементарного кольца обозна-
обозначим через а, наружный — через a + da. Нагрузка, при-
приходящаяся на единицу длины кольца, будет равна
q = q\ da/Xi, где размерность qx будет уже кг/см2; ре-
решение, соответствующее действию такой элементарной
нагрузки, дается формулами A.32) и A.33), в которых
нужно тблько заменить q на qida/Xu интегрируя эти вы-
выражения по а в пределах от ai до аг, получим решение
поставленной задачи; если | ^ сц, т. е. сечение находит-
находится во внутреннем круге, свободном от внешней нагруз-
нагрузки, то нам нужно интегрировать A.32) и поэтому
lF \ [J(|) Y°(a) + 7Г/о ® *°(a)]a da- (I -34)
Воспользовавшись формулами
X X
J xY0 (x) dx = xY1 (x), J xKo (x) dx = - xK, (х),
можно переписать A.34) в следующем виде:
2yi (°2) " а,У, (а,)] /0 (I) -
') См. стр. 31.

§ 1) КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 191
Для | > аг нужно интегрировать A.33), при этом сле-
следует воспользоваться формулами
X X
J xJ0 (x) dx = */, (*), | xlo (x) dx = xli (x).
Таким образом, при | > а2
Щ = ~ J [Jo(*)Yo(l) + j;Io(a)
Если рассматриваемая точка пластинки находится в пре-
пределах области, занятой нагрузкой, т. е. аг ^ I ^ (Zi, то
для решения задачи нужно при (ц-«Са-<! интегриро-
интегрировать A.33), а при |-sCa-sC<X2 интегрировать A.32), за-
заменив в них, как и всюду, q на qtda/Xi. При этом полу-
получим следующий результат при аг > | > ai:
1- fe/i (I) - а,/, (а,)] ^о (I) + [а2Г, (а2) - |Г, ft)] /0 ft) -
Перегруппировав в этой формуле отдельные члены, по-
получим
Щ = ~ ~
\
- 4 а,/, (а,) /Со ft) + a2K, (a2) /0 ft) - A a2/C, (a2) /0 ft)}.
Слагаемые, стоящие в квадратных скобках, можно уп-
упростить, воспользовавшись определителем Вронского;

192 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ. I
после этого получим
- а'7' (°') У0 (I) - - «l/l («l) ^0 (I) +
я
а2) /0 (|) - ~ a2Ki (а2) /0 (
Суммируя полученное основное решение с компенсирую-
компенсирующим, будем иметь
w = wo + wk=wo + A0J0 (|) + B0I0 (I),
где Ло и Во определяются из граничных условий.
Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях круг-
круглой пластинки, на которую действует сосредоточенная
сила Р sin pt, приложенная в точке А, находящейся на
приведенном расстоянии а = "K\Z от центра пластинки;
обозначим угол, образованный прямой ОА и неподвиж-
неподвижным радиусом, через 0. Напишем основное решение, ко-
которое, по существу, было определено выше. Для этого
заменим в формуле A.19) аргумент | на z
где z ш= у а2 +12 — 2а| cos @ — ф). С помощью формул сло-
сложения запишем A.35) при |^а
оо
ш° = ~ "ш? S' [у«® 7«(а> + 7^(|)/п (аIcos"(е~ф)>
1 п=0
A.36)
Представим компенсирующее решение wh в виде
wk = 2' [Л„/„ (|) + fin/n (|)] cos я (в - Ф). A.37)
л=0
Коэффициенты Л„ и Б„ найдем из условий на контуре
пластинки. Предположим, что пластинка зажата по кон-
контуру, приведенный радиус которого равен р, тогда при
4?- = О, w = 0, A.38)
где w = гс0 + ^&.

§ п
КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
193
Внося в условия A 38) вместо w суммы A.36) и
A.37) и приравнивая коэффициенты при косинусах оди-
одинаковых аргументов, получим следующие уравнения от-
относительно неизвестных Ап и Вп\
~ 7^2 \уп (Р) /»(а) + - *» (Р) /„ (аI + AJn (р) + Вп1п (р) = О,
- -?-, |Yn (р) /„ (а) + -Кп (Р) /» (аI + Л,,/; (р) + Bnl'n (p) = 0.
4Дл^ L я J
Решая эту систему уравнений, получим после простых
преобразований, связанных с использованием врон-
вронскиана.
4DX*
/П(Р)/П(Р)-/П(Р)/„(Р)
/П(Р)/П(Р)-/„(Р)/„(Р)
. A.40)
^
Приведем числовой пример. Рассмотрим вынужден-
вынужденные колебания круглой пластинки, зажатой по контуру
и загруженной силой
Р sin pt, приложенной на
расстоянии а = 0,5Ь от
центра, где b — радиус
контура (рис. 14).
Примем следующие
основные данные, считая
пластинку железобетон-
железобетонной: модуль упругости
Е = 2 • 106 т/м2, пуассоново
отношение а = 1/6, объем-
объемный вес yi = 2,4 т/м3,
плотность у = yi/g, ча-
частота вынужденных коле-
колебаний р = 480 • 2я/60 ^ 50 l/сек, толщина пластинки
h = 0,2 м, радиус пластинки b = 3 м.
Определим цилиндрическую жесткость
D = ?/г3/[12A - а2)] = 2-106-@,2K/[12A - A/6J)] = 1370 тм.
7 Б Г Коренев

194
Вычислим
4
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ I
= /2,4 • 0,2 • 502/A370 • 9,81) = 0,69 1/ж,
=ХХЬ = 0,69-3 ~ 2,
а =
множитель P/8DX2\ при выкладках считаем равным 1.
Вычисления проводятся по формулам A.35), A.37),
A.39), A.40). Нас будет интересовать не только
-0,00030
Рис. 15.
процесс получения решения, но и быстрота сходимости
рядов. Поэтому приведем ниже, кроме ординат упругой
поверхности (рис. 15), сводную таблицу вычислений.
В табл. 1 в первом столбце указаны координаты то-
точек, для которых определялись прогибы; Wq означает ос-
основное решение; wun означает гс-й член ряда A.37), пред-
представляющего компенсирующее решение, где Ап и Вп

§ 1]
КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
195
o"o"o"o'o*o"o"oo"o"o"o o*o*oo*o*o"o"o"o"o*o"o"o"o o'o'ooo
|
o"o"o"o"o"o о о*о"о"о* о"о*о"о о"о"о"о"о"о*о'о о о*о"о о о" о о
II I I I I I I I I I I I I I I I II I I I I I I I
к я
СХ 73
ooo S8qqS8Sooqq
o'o'ddododo'oo оооооооооо"ооо"о"сГооо"о"о
I I I I I I I I I I I
o"o ooooooooooooooooooooooooooooo
I II I I I I I I I I I I I I I I I I II
«
о.
s a
2 ч
о
1 R
га |
g <L>
>> О
о.
* °
Soo n» ^m оо сД оо CO OJ cb ^л oo
lO О OJ 00 Ф CO C5 00 CO 00 1Л О OJ СО ет Э О 0
^ СО ^ tO ^Э СО СО 1Л OJ О ^^ СО 1Л СО СО Ь^ СО 1Л vj О О
^5 о о о ^5 о о ^d о ^5 о ^d о о о ^d о о о ^5 о
о о" о" о" о" о* о* о* о" о* о ооооооооо о о о" о* о" о" о* о" о о" о
I I I I I I I I I + I
¦«я
-_ °
я
о.
о'о'о о"о о"о"о о"о"о"о о о оо'о" ооо"о"оо"о"о"о о"о"о'о"о*
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I II I I
я Я
а с
CQ О
к о
о. ?
с "

196 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ I
вычислялись по формулам A.39) и A 40). Промежуточ-
Промежуточные очевидные выкладки, которые сводились к подста-
подстановке числовых значений в формулы, опущены. В таб-
таблице опущен постоянный множитель P/8DA?.
§ 2. Равновесие круглой пластинки, лежащей
на упругом основании. Осесимметричная деформация
В этом параграфе рассматриваются задачи о круг-
круглой пластинке, лежащей на упругом винклеровском ос-
основании, для которого реактивное давление основания р
в некоторой точке прямо пропорционально прогибу пла-
пластинки в той же точке:
р = kow.
Коэффициент пропорциональности k0 называется коэф-
коэффициентом постели. Кроме того, предполагается, что на
пластинку действуют радиальные усилия — сжимающие
или растягивающие.
Такие задачи возникают при расчете пластинки, ко-
которая сжимается или растягивается вследствие темпе-
температурных воздействий, а также при расчете предвари-
предварительно напряженных покрытий.
Дифференциальное уравнение упругой поверхности
пластинки, лежащей на винклеровском основании, с уче-
учетом влияния радиальных сил имеет следующий вид:
DV2V2«y - po^w + kow = q, B.1)
где D — цилиндрическая жесткость, k0 — коэффициент
постели, q — интенсивность внешней нагрузки, р0 — ра-
радиальные усилия, которые мы считаем положительными
в случае растяжения. В этом параграфе рассматривает-
рассматривается только осесимметричная задача, поэтому оператор
Лапласа будет иметь вид V2 = -^-+- — -^. Обозначим
4
l = YD/k0, ! = /¦// и перепишем B.1) в следующем виде:
2 , 1 d \2 _. / d1 , 1 d
где
bo = p0l2/BD).

§ 2] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЛАСТИНКИ 197
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение
+ w = 0' B-2)
будем искать решение этого уравнения в виде
w = AZ0(V!& B.3)
где Zo — цилиндрическая функция с нулевым индексом.
Внесем выражение B.3) в уравнение B.2) и восполь-
воспользуемся при этом соотношением
<PZ0(yTQ , 1 dzAVIz) /,гл
dp ¦" Т di. ~ ~ ° ^' ^-
После сокращения на AZ0(|/s ?,) получим характеристи-
характеристическое уравнение
s2 + 2bos+l=O. B.4)
Если корни этого уравнения обозначим через S\ и s2 и
положим, что Si Ф s2, то решение дифференциального
уравнения B 2) можно записать в следующем виде:
w = A\h (l VTi ) + A2Y0 (l V^) +
+ AlJQ(l у!Г) + л1Уо(б VsT). B.5)
Остановимся несколько подробнее на рассмотрении кор-
корней характеристического уравнения B.4), которые рав-
равны S]>2= — h ± Vbl— I ; положим b0 < 1. Обозначим
и перепишем B.5) в следующем виде-
w = A]Jo(pei*)+A2H(t)(pei'f) +
+ Ал1о(ре-1*) + А*Ж)(ре-1'*). B.6)
Воспользуемся обозначениями
/0 (ре* '<") = й0 (р) ± /б0 (р), Нф {ре" (ф) = То (Р) + /go (Р)
и положим
i = A]+ A\, Ai = i (A] - Л1);

198 ЗАДАЧИ ТСОРПП ПЛАСТИНОК [ГЛ I
тогда B.6) примет вид
w = Л,м0 (р) + A2v0 (р) + А3Т0 (р) + A4g0 (p). B.7)
При растяжении пластинки bo > 0 и ф > я/4; при сжа-
сжатии Ьо < 0, ф < я/4; если fe0 = 1, характеристическое
уравнение имеет кратные корни.
Рассмотрим задачу о пластинке бесконечного радиу-
радиуса, загруженной сосредоточенной силой; примем точку
приложения силы за начало координат.
При комплексных корнях характеристического урав-
уравнения в решении B.7) однородного дифференциального
уравнения нужно положить Ai и Л2 равными нулю, так
как линейно независимые функции и0 и v0 при р—> <»
также стремятся к бесконечности. Функции fo и g0, вхо-
входящие в это решение, на бесконечности стремятся к ну-
нулю. Для того чтобы определить коэффициенты при этих
функциях, перейдем к рассмотрению условий в начале
координат.
Этих условий два: первое из них заключается в том,
что прогибы пластинки ограничены; второе условие но-
носит статический характер и состоит в том, что сумма по-
поперечных сил, действующих по окружности с центром
в начале координат, стремится к заданной силе, если
приведенный радиус окружности стремится к нулю. Та-
Таким образом, второе условие, так же как и в предыду-
предыдущем параграфе, можно записать в виде
Р ^, d2 . 1 d д
Приведем разложения действительной и мнимой ча-
частей функции Ганкеля комплексного аргумента, ограни-
ограничиваясь только теми слагаемыми, которые повлияют на
выкладки, связанные с проведением предельного пере-
перехода р—»0:
где С—постоянная Эйлера.
Первая из этих формул показывает, что коэффициент
ПРИ §о(р) нужно положить равным нулю, так как ре-

§ 2) ОСЁСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЛАСТИНКИ 199
шение не должно при р—*0 обращаться в бесконечность.
Таким образом, w — Л3/о(р). Нетрудно заметить1), что
при р-*0
откуда А3 = P12/DD sin 2q>); если ф = я/4, то А3 =
= P/2/DD).
Рассмотрим неограниченную пластинку, загруженную
силами, равномерно распределенными по окружности
радиуса а; приведенный радиус этой окружности а = а/1.
Для того чтобы получить решение этой задачи, вос-
воспользуемся уравнением упругой поверхности пластинки,
загруженной сосредоточенной силой Р. Рассмотрим эле-
элемент дуги окружности, имеющий длину ds = adQ; сила,
действующая на этот элемент, равна qds. Опреде-
Определим прогиб, вызванный этой силой в точке В, поляр-
полярные координаты которой обозначим (г, 8i). Расстоя-
Расстояние между точкой, где приложена элементарная сила,
и той точкой, в которой мы ищем прогиб, равно
У г2 + а2 — 2ar cos (9 — б,), а прогиб, вызванный элементар-
элементарной нагрузкой, будет равен
dw = IdIeWReH*]("T"
Для того чтобы определить прогиб, вызванный заданной
нагрузкой, нужно проинтегрировать полученное выра-
выражение
2Я
-2
Re я<о1) {^г Vr2 + a2~2ar cos(е -
Для вычисления этого интеграла нужно по-прежнему
воспользоваться формулами сложения цилиндрических
функций; эти формулы имеют вид
при аО
(у Vr2 + a2-2arcos@-0,)) =
= 2 % Jn {a/I) Я1,0 (г//) cos n @ - в,),
') См. стр. 23, 25.

200 3 УДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ 1
при а ^ г
Н[Х) (у l/r2 + a2-2arcos@-0,)) =
= 2 2' Я*," (а//) /„ (г//) cos n @ - 0,).
Выполнив интегрирование, и разделив действительную
и мнимую части, получим решение задачи в следующем
виде:
при г *Са
при r^- a
^' t"o (a) То (Р) - ^0 (a) go (p)].
где р = г//, а = а//.
Как показывает проверка, функции w(r), w'(r) и
Aaw(r) непрерывны при г = а; непрерывны вследствие
этого также моменты G\ и G2', функция Дову' терпит раз-
разрыв непрерывности на величину q/D, и, следовательно,
поперечная сила имеет нужный разрыв на величину q
Решение задачи о пластинке, загруженной по окруж-
окружности радиуса а моментами qM, векторы которых направ-
направлены по касательной к окружности, можно получить,
приложив две равные по величине и направленные
в противоположные стороны нагрузки по окружностям,
приведенные радиусы которых равны а и а + е, поло-
положить <7м = qe и найти предел, к которому стремится ре-
решение при е—*0; полученное таким образом уравнение
упругой поверхности имеет вид
при р<а
w
при
Это решение остается при р = а непрерывным вместе
с ау'(р) и Аову'(р); функция Аову(г) и радиальный мо-
момент G\ терпят разрыв непрерывности.

§ 3] НЕОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЛАСТИНКИ 201
Рассмотрим задачу о загружении пластинки угловой
деформацией Во; решение, давая при р = а разрыв
в угле наклона на заданную величину 9о, должно оста-
оставаться при р = а непрерывным вместе с моментом Gt и
поперечной силой N\.
Это решение имеет вид:
при а ^' р
w = 2""п '\у IГ/о (а) cos 2ф + g0 (а) sin 2ф ^~f'o (а) "о(р) +
+ [ - go (а) cos 2ф + Го («) sin 2ф + -Ц-^ g'o (а)] va (p) |,
при а-С р
W = 2""п2Ф { ["о ^а) C0S 2<Р + б° ^а) S'n 2<Р ~ ^Г "о (а)] То (Р) +
4- [ - щ (a) cos 2ф + щ (a) sin 2ф + -Ц^ v'o (a)l g0 (р)}.
При а = р и Доиу, и кольцевой момент бг терпят раз-
разрыв непрерывности.
§ 3. Равновесие круглой пластинки на упругом основании.
Неосесимметричная деформация
В этом параграфе, в отличие от предыдущего, рас-
рассматривается пластинка, лежащая на винклеровском уп-
упругом основании, но не нагруженная осевыми усилиями;
поэтому ро нужно положить равным нулю, а в аргументе
pe"P принять ф = л/4; в обозначениях для действитель-
действительной и мнимой частей бесселевых функций при этом бу-
будут опущены черточки над буквами и, v, f, g.
Как это следует из § 2, решение задачи о неограни-
неограниченной пластинке при загружении сосредоточенной си-
силой Р имеет вид
w = ppfQ (?)/DD).
Интегрируя это выражение, которое при Р = 1 яв-
является основной функцией влияния, будем получать ос-
основные решения для отдельных частных задач.
Рассмотрим пластинку, нагруженную силами qcosnQ,
распределенными по окружности, приведенный радиус
которой обозначим #¦

202 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК И Л I
Воспользовавшись принципом сложения воздействий,
представим прогиб в точке с координатами |, <р в сле-
следующем виде:
да = ^5~ { fo(Vv2 +?- 2<х? cos(9 - ф) )cos л9 rfe.
о
Для вычисления этого интеграла по-прежнему восполь-
воспользуемся формулой сложения цилиндрических функций
2n()n(?)(p)> A)
где значок ' обозначает, что при п = 0 вводится коэффи-
коэффициент 1/2. Эта формула справедлива при а -^ |; если
a > ^, то в правой части C.1) а и \ следует поменять
местами. Положив
Zo = Н
интегрируя и отделяя действительную часть, получим
при ?<а
w = да, = naql3 [«„ (g) f„ (а) - о„ ft) gB (a)] cos /wp/BD), C.2)
при ? > a
да = да„ = яш//3 К (a) f „ ft) - о„ (a) gB ft)] cos «p/BD). C.3)
Положив в выражениях C.2), C.3) п = 0, мы придем
к формулам для осесимметричной задачи.
Воспользовавшись вронскианом уравнения Бесселя,
можно показать, что полученные решения удовлетво-
удовлетворяют условиям сопряжения при \ = а.
Интегрируя выражения C.2), C.3), можно решить
задачу о неограниченной пластинке, загруженной по за-
закону ^(^cosnO, где х?A)—заданная функция.
Если на пластинку действует нагрузка ?(<р), распре-
распределенная по окружности приведенного радиуса а, то,
разлагая эту нагрузку в ряд Фурье
ею
Я — 2 (ап cos nQ + bn sin nQ)
n-0
И используя формулы C.2) и C.3), получим решение

НЕ0СЁС11ММЕТРИЧП\Я ДЕФОРМАЦИЯ ПЛАСТИНКИ 203
при а
w = ^- | 2j а« ["и (а)/и (I) - vn (°) ^п Ш sin Пф +
и=0
при
ла/3
Ьп [ип (а) fn (I) - vn (а) gn (I)] cos щ \; C.4)
n=0
а) — vn (fe) ^„ (а)] sin ,
и—О
К [ип (|) /„ (а) - vn (|) ^„ (а)] cos щ . C.5)
При помощи формул C.4), C.5) удобно выполнить
построение основного решения для нагрузки, предста-
представленной в виде ряда
ею
q = Е ч;« (I) К cos лЭ + 6„ sin пв].
Если нагрузка, приложенная к пластинке, может быть
представлена в виде
bns\nnQ) C.6)
n = i
ИЛИ
со
<7 = S Г" («и cos n9 + й„ sin n9), C.7)
и=-1
где п — целое положительное число, то интегрирование
проводится особенно просто1).
') Если в C 6) и C.7) показатель степени при | отличен от
±п, то решение получается в функциях Ломмеля комплексного ар-
аргумента.

204 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК |ГЛ I
Напомним формулы дифференцирования бесселевых
функций
Полагая 2 = |]//, интегрируя и отделяя действитель-
действительные и мнимые части, получаем следующие формулы:
J ГЧ-> (I) 4 = V [иа (I) + vn H)]IV2,
J \»vn-i (I) dl = -ln [un (I) - vn (?)]/VT,
J Г7„-, (I) d\ = Iя [fn (I) + gn (?)]/VT,
j rgn-i (D d\=-1» [fn (D - gn ml ут.
Решение задачи при нагрузке, изменяющейся по за-
закону C.6) и распределенной по площади кругового
кольца, можно получить, интегрируя выражения C.2)
и C.3). Для этого следует предварительно заменить
в этих выражениях нагрузку q элементарной нагрузкой
qoan dz = qoanl da, где </о имеет размерность кг/см2. За-
Заметим, что при этом появится множитель 14/D = \/k0.
Далее, проинтегрируем эти выражения в пределах от
а = ai до а = аг.
При ?4Ccci < сс2 решение имеет вид
w = J 52g_ [Un (I) fn (а) - vn (I) gn (a)] cos щ da

§ 3]
НЕОСЕСИММЕТРИЧН4Я ДЕФОРМАЦИЯ ПЛАСТИНКИ
205
при
При а2 <^ ? ^
дующей форме:
«I+l K+1 (а.) - »„+. М]} 8п (Ю)созпф.
решение может быть записано в сле-
слеЭти формулы дают выражение для п-го члена ряда,
представляющего прогиб при нагрузке, заданной C.6).
Рис. 16
Самостоятельное практическое значение имеет слу-
случай л = 1, т. е. загружение силами, изменяющимися по
закону <7(s)cos0 (рис. 16, а, б). Такая нагрузка может
появиться при расчете фундаментов, на которые

206
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ 1
опираются круговые цилиндры, находящиеся под дейст-
действием горизонтальных сил; при такой нагрузке окружно-
окружности с центром в начале координат остаются плоскими,
поворачиваясь одна относительно другой.
В работе [21] приведены таблицы функций, при по-
помощи которых можно получить числовые результаты для
случая п = 1.
§ 4. Расчет круговой конической оболочки
на действие осесимметричных нагрузок
и неравномерного нагрева
Рассмотрим расчет на действие осесимметричных сит
и расчет на неравномерный нагрев круговой конической
оболочки постоянной толщины. Для упрощения расчетов
здесь может быть применен метод, получивший в строи-
строительной механике название метода начальных параметров.
Этот метод особенно подробно разработан в связи
с задачами об изгибе балки, изгибе балки на винклеров-
ском упругом основании и о колебаниях балки, которые
сводятся к решению дифференциальных уравнений чет-
четвертого порядка
<*4У г,„\ &
rix4
Его основы изложены, например, в книгах А. Н. Кры-
Крылова [25], [26]. Как известно, существенной особенностью
этого метода является специальный выбор фундамен-
фундаментальной системы решений Yb Y2, Y3, Y4, которые при
значении аргумента х = 0 удовлетворяют условиям
Y
Y'
Y"
Y'"
Y,
I
0
0
0
Y2
0
1
0
0
Y,
0
0
1
0
Y
0
0
0
I
что позволяет упростить выполнение условий сопряже-
сопряжения в процессе отыскания частного решения при раз-
разрывной правой части и определения произвольных по-
постоянных, входящих в выражение для общего решения

§ 4]
РАСЧЕТ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
207
однородного уравнения Применение этого метода к за-
задачам, описываемым системой двух уравнений Бесселя,
излагалось в [18]—[20].
Метод начальных параметров наиболее целесообраз-
целесообразно применять для оболочек небольшой длины или имею-
имеющих большой угол при вершине. Основы метода началь-
начальных параметров применительно к задаче о конической
оболочке были рассмотрены в работе [20].
Приведем сначала основные расчетные формулы
Г, = В [du/dr + a (u/r - w/(r tg у))], D.1)
Т2 = В [a du/dr + (и- w/tg у)/г],
G, = - D (d2w/dr2 + о dwRrdr)),
С2 = - D (ad2w/dr2 + dw/{rdr)),
N = - Г, ctg Y-
D.2)
D.3)
D.4)
D.5)
Здесь в соответствии с рис. 17 через Ти G, и N соот-
соответственно обозначены нормальная сила, изгибающий
момент и поперечная сила в сечениях, нормальных к об-
образующей, а через Тг и G2 —
нормальная сила и изгибаю-
изгибающий момент в сечениях по об-
образующей; обозначим через и
и w — составляющие перемеще-
перемещения по образующей и норма-
нормали к поверхности; г — расстоя-
расстояние от рассматриваемой точки
срединной поверхности до
вершины конуса, 2у — угол
при вершине конуса. Через D
обозначена цилиндрическая
жесткость оболочки; нако-
наконец, 5 = ?А/A—а2).
Из уравнений равновесия и совместности, и из D.1)—
D.5), как известно (см., например, [36]), получаются
дифференциальные уравнения
rf2| . 1 d\ 4g . 24
rf2T] . 1 rfr] 4ii 2A-a2)
17.
ia
1-2
D.6)
D.7)
где | = dw/dr, ц = Nr/B, I = \ 2r .

208 ЗЛДЛЧИ ТЕОРИИ ПЛЛСТШЮК [ГЛ. I
Положив &4 = 48A — o2)/(h2 tg2 y) и перейдя к аргу-
аргументу * = &?, получим уравнения
¦ 1 d% At 2/3Jgv __.Q
x dx x2 h \r\ a'
dx2 x dx x2 h \r\ -a'-
dx2 х dx x2 2 [^3 tg y
которые, после введения оператора L = -j-j- -(- •—т г" •
можно записать сокращенно в такой форме:
L (I) + 2*/ tgV ij = 0, D.8)
а' 5=0. D.9)
L(Ti)^
2КЗ tg v
Исключая из уравнений D.8) и D.9) неизвестную т], по-
получим уравнение
L2(l) + Z = 0, D.10)
интеграл которого можно записать в следующем виде
(см. § 13,ч. I):
где /г — цилиндрическая функция первого рода второго
порядка, Уг — цилиндрическая функция второго рода
второго порядка.
Мы будем представлять | и ц в виде линейной ком-
комбинации четырех функций Yi(x,a), У2(л:, a), Y3(x,a),
Y^(x,a), которые удовлетворяют уравнению D.10) и
некоторым соотношениям, записанным ниже и облег-
облегчающим выполнение условий сопряжения. Эти функции
образуем из функции Бесселя J2(xYi ) = и2(х) + iv2 (x)
и функции Ганкеля первого рода Н^ (х ]/Т) = f2 (х) +
+ ig2(x). Положим для этого, что
при х < а
Yn{x,a) =0 (п = 1,2,3,4),

§ 4]
РАСЧЕТ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
209
при х > а
У, (х, а) = Ц- [ - и'2 (a) g2 (х) + f'2 (a) v2 (x) -
-v2(a)f2(x) + g2(a)a,2(x)],
+ f2 (a) v2 (x) - v2 (a) f2 (x) + g2 (а) Щ (*)]>
D.11)
Уз (x, a) = Ц- \u'2 (a) f2 (x) - f2 (a) u2 (x) -
-v'2(a)g2(x) + g'2(a)v2(x)},
?<{х, a) = ^ [u2 (a) f2 (x) - f2 (a) u2 (x) -
-v2(a)g2(x) + g2(a)v2(x)].
Функции Yn(x,a) выбраны так, чтобы при х — а они
удовлетворяли следующим условиям:
D.12)
Между функциями и2(х), v2(x), f2(x), g2(x) суще-
существуют такие зависимости:
L(u2)^v2, L(V2)=-u2, L(f2) = g2, L(gi)=-f2, D.13)
u2 (x) f2 (x) - v2 (x) g'2 (x) - u'2 (x) f2 (x) + v'2 (x) g2 (x) = 0, D.14)
v2 (x) f2 (x) + u2 (x) g'9 (x) - u'2 (x) g2 (x) - v'2 (x) f2 (x) = 2/(jtx).
D.15)
Формулы D.13) легко непосредственно проверить;
формулы D.14) и D.15) получаются из рассмотрения
определителя Вронского.
Между функциями Yu Y2, K3, Y^ существуют также
дифференциальные зависимости
= У3, L(Y2) = Yk, L(Y3) = -У,, L(Y,) --= -У2.
п
1
2
3
4
Yn
1
0
0
0
У'п
0
I
0
0
-ь (уп).
0
0
1
0
~L' (Yn)
0
0
0
1

210 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ I
Напишем теперь решения уравнений D 8) и D.9)
в следующем виде:
ri=- "syf^l (ЛУз + Ао^-ЛзУ.-А^). D.17)
Зная г), можно получить выражения для усилий
л/ _ о 1 _ Eh k I А У л. А V А У А V \
1\ — и — — = \Л|/ з т Л2/ л — "з/ 1 — Лл1 )),
г хг уз A — a2) tg \
D.18)
Тх = - ~Т~ N = 2l/f^2 2, И1У3+ W* ~ W, - AAY2),
ctg v a:2 Iх3A -а2)
D.19)
d
-^У;-Л4У0. D.20)
Изгибающие моменты определим из формул D.3) и
D.4), которые с помощью вышеуказанных обозначений
| и х принимают вид
r DA-2 (di ,2о А р DA-2 / d\ , 2 \
и, следовательно,
4Ч^ У4)]; D.21)
G2 = =^L=
* У 3A-a2) tgv
+ Аз (оУз + | У,) + А< (оУ4 + 4 У4)]. D.22)
Таким образом, все внутренние усилия могут быть
определены, если известно одно из усилий JV или 7\.
В последнем случае по формуле D.5) находим N, а сле-
следовательно, и г), после чего путем сравнения D.16) и
D.17) определяем |, а затем и изгибающие моменты.

РАСЧЕТ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
211
Перемещения и и до могут быть определены из ра-
равенств D.1), D.2) и D.19), D.20).
Однако для наших целей нет необходимости нахо-
находить эти перемещения, так как в дальнейшем понадо-
понадобится определять абсолютные удлинения радиусов
параллельных окружностей, полученных в результате се-
сечения конической оболочки плоскостями, перпендикуляр-
перпендикулярными к ее оси. Эти удлинения назовем поперечными пе-
перемещениями и обозначим их буквой б; для их опреде-
определения можно пользоваться формулой
6 i — и» cos y- D.23)
Из равенства D.23) следует
б/(г sin y) = u/r - w/(r tg y),
откуда согласно формулам D.1) и D.2) получим
б = г sin y G - оТ,I[В A - ст2)]. D.24)
Из формул D.1) и D.2) получаем также
du/dr = (T1-oT2)/[B(l-o%
D.25)
Приведем несколько примеров использования метода
начальных параметров при расчете конической оболоч-
оболочки на действие различных нагрузок.
1. Рассмотрим сначала коническую оболочку
(рис. 18), у которой меньшее основание защемлено, а
к большему основанию прило-
приложена равномерно распределен-
распределенная радиальная сила Qi.
Граничные условия будут
иметь следующий вид:
при г = гв,
при г = гс,
0
= Qi sin
р
G, = 0.
Рис 18.
Решение задачи состоит в
определении постоянных АиА2,
Аз, /44. Положим, что начало координат принято на за-
защемленном конце, т. е. a — k Y2rB. Так как при х — а
^1=1, Y2 = Y3 = Yi = 0, то из D.16) и из условия

212 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ. I
равенства нулю угла поворота в сечении В следует, что
Л, = 0.
Из второго условия в сечении В получаем, что при
х = а Т2 — оТ] = 0; в то же время, согласно D.19),
D.20) и D.12), при х = а
-) ( Ал)' 12 ~ 2« КЗ A-0») ( 4)>
следовательно, Л4 = 2аЛ3/а.
Таким образом, основные неизвестные функции | и
т) примут вид
Для определения оставшихся пока неизвестными по-
постоянных Л2 и Л3 воспользуемся условиями в сечении С;
положив b = k Y2rc , получаем следующие уравнения:
= Q, sin у, D.26)
2) tgY
A3\Y'3(a, ^ ^
^l}] Q. D.27)
Решая D.26) и D.27), находим Л2 и Л3. Если не поль-
пользоваться методом начальных параметров, то для опре-
определения произвольных постоянных пришлось бы решить
систему, состоящую из четырех уравнений.
Рассмотрим другие случаи закрепления сечения В.
Если в В шарнирное опирание, то при х = a Gl = 0 и
6 = 0.
Из первого условия следует, что 2cb<4i/a + Л2 = 0,
второе же условие дает, как это показано в предыдущем
примере, Л4 = 2оА3/а.

§ 41 РАСЧЕТ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 213
Если в сечении В имеется опорное закрепление, пре-
препятствующее только повороту, тогда при х = а ? = 0 и
г] = 0, откуда Ai = 0 и А3 = 0.
Наконец, если в сечении В оболочка свободна, то
при х = a Gi = 0 и г) = 0, откуда 2oAJa + А2 — 0 и
Л3=0.
2. Перейдем к расчету оболочки, загруженной ра-
радиальными силами, действующими в плоскостях попе-
поперечных сечений и равно-
равномерно распределенными „
по сечению (рис. 19). '
Интенсивность этих
сил обозначим через Ри
Рг, Рг, сечения, по кото-
рым приложены силы —
Ви В-2, В3, а соответствую-
соответствующие им значения аргу- Рис. 19.
мента х — через ah a2, а3.
Положим, что меньшее основание конуса закрепле-
закреплено против поворота. Рассмотрим участок а{ > х > а.
Обозначим для сокращения записи выражение для Tt
на этом участке через Titi
[A'lY"(а> х) ~ Aj2(a> х}]' D8)
Перейдем ко второму участку, где а.г~> х~>пи обо-
обозначим нормальное усилие 7\ на этом участке через Т^ц.
Прибавим к rlf i такое решение, которое дает нужный
разрыв в поперечной силе и усилии 7\, не нарушая не-
непрерывности изгибающего момента Gi и перемещений и
и |.
Попытаемся удовлетворить этим требованиям, приба-
прибавив к D.28) выражение A3Yi(x, a.[), где под аг подра-
подразумевается приведенное расстояние от вершины конуса
до сечения В\, т. е. a^ = k ]/г^гв1 ¦
Как видно из выражений D.18) — D.20) и D.11),
при этом будет разрыв в N, Тх и 72; G4 и бг останутся
непрерывными, так же как и \\ однако наличие разрыва
в Т2 приведет к разрыву в перемещении б. Для того что-
чтобы избежать этого, будем искать дополнительное реше-
решение в следующей форме:
Т\. и - 7\ ! = A'3Yi (x, ai) + AJ2(x, a,);

214 ЗЛД\ЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ I
и в соответствии с D.20) получим
74 и - Т2,, = | [АУ (х, а{) + АУз (х, а,)].
Теперь потребуем, чтобы при х = а4 было Г2,ц — 7,i —
— 0(^1,11—7Yi) = 0. отсюда получим Л* = 2оА]/а{ и
7\ и - Т\, i = /41 [Г, (х, о,) + 2аГ, (х,
Для того чтобы определить Л3, заметим, что при х = Я]
Л, и — 7\, i = Л sin у, откуда А] = Pi sin y-
Таким образом, окончательно получаем
Т\. II = ти i + Pi sin Y \Ух (х, а,) + 2а74 (х, а,)/а,].
Для следующего участка а3 > д: > а2
Тит = 7"i.ii + ^sin y[F, (x, a2) + 2aF4(^, a2)/a2].
Для последнего участка х > а3
Ти ,v = 71,, „, + Р3 sin y [Yl (х, а3) + 2oY4 (x, а3)/ал].
Очевидно, что произвольные постоянные Л2 и Л4, вхо-
входящие в выражение D.28), могут быть определены из
граничных условий в сече-
сечении С оболочки.
С помощью формул
D.18), D.20), D.21), D.22),
D.24) и D.25) можно отсю-
^' да непосредственно получить
все усилия и перемещения.
Рис. 20. Перейдем к построению
решений, дающих разрыв
d Gi. Пусть в сечении 5, к оболочке приложен равно-
равномерно распределенный по сечению момент, интенсив-
интенсивность которого равна G\ (рис. 20). Обозначим усилия и
перемещения при х <. аи т. е. левее сечения 5Ь индексом
I, а при х > а.1 — индексом II. Будем по-прежнему
искать дополнительное решение, равное разности усилий
или перемещений с индексами II и I в виде линейной
комбинации функций A*nYn(x, a{).
Используем для определения постоянных Л„ условия
D.12); так как ?, ц в сечении Вг должны быть непрерыв-

§ 4] РАСЧЕТ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 215
ными, то из D.16) и D.18) следует, что А\ = 0, А^ = 0, и
наконец, из условия непрерывности поперечного смеще-
смещения, используя D.19), D.20) и D.24), найдем, что /? =0,
Таким образом, остается определить только Л2; для
этой цели используем формулу D.21), которая дает сле-
следующее уравнение:
G] = - ЕН'АЩщ /3A -a2) tgY],
откуда
А; = - С; /3A-а2) а, tg y/(?A2). D.29)
Следовательно, если при х <с а( T't = 7'1> j, то при
х > аи принимая во внимание D.19), получим
Eh2k2 *
или, используя D.29),
Таким же точно образом можно построить решения,
дающие разрыв в угле поворота или в поперечном сме-
смещении. Эти решения имеют значение в связи с расчетом
на неравномерный нагрев.
3. Рассмотрим теперь вкратце задачу о неравномер-
неравномерном нагреве конической оболочки. Будем полагать, что
температура t, оставаясь постоянной по толщине обо-
оболочки, изменяется вдоль образующей. В этом случае в
формулах D.1), D.2) нужно правые части изменить так,
чтобы они выражали удлинения, вызванные только на-
напряжениями.
Для этой цели нужно в формулах D.1) и D.2) вза-
взамен полных удлинений, равных соответственно et = du/dr
и 82 = u/r — w/(rtgy), ввести в* = е,—а/ и В2 = е2-а/,
где а — коэффициент температурного расширения; после
проведения указанной замены нормальные усилия будут
выражаться через перемещения следующим образом:
B{\ +a)at, D.30)
(u-w/tgy)/r]-B{\ +a)at, D.31)
Изменение выражений для нормальных усилий повлечет

216 ЗАДАЧИ ТСОРШ1 ШНСТИ1ЮК [ГЛ 1
за собой появление правой части в уравнении D.7),
а уравнение D.6) останется без изменений.
В самом деле, уравнение D.6) является следствием
условия равновесия и формул D.3) и D.4), в которые
учет температуры не внес изменений.
Уравнение D.7) получено из условия совместности,
в котором относительные удлинения заменены их выра-
выражениями по формулам D.1) и D.2); в результате замены
формул D.1) и D.2) на D.30) и D.31), естественно по-
появляется правая часть.
Таким образом, взамен уравнений D.8) и D.9) будем
иметь следующую систему уравнений:
т ( \ bVl-o* r ^r hV\-o* d(at)
tgy § 2^3 dr
После исключения ц получим неоднородное уравнение
которое удобно решать, используя метод начальных па-
параметров, в особенности, если правая часть имеет раз-
разрывы.
Метод начальных параметров можно было использо-
использовать и во всех задачах предыдущих трех параграфов.
При этом можно было бы показать (см., например [20]),
что частное решение полученных уравнений определяется
при применении метода начальных параметров, с точ-
точностью до постоянного множителя, как интеграл вида
1
J Z4(|, x)q{x)dx,
о
где q — правая часть, Z4 — четвертая функция метода
начальных параметров.
§ 5. Метод компенсирующих нагрузок в задачах
о мембранах и пластинках
В этом параграфе будут рассматриваться некоторые
задачи теории мембран и пластинок, решаемые с по-
помощью метода компенсирующих нагрузок. При этом ре-
решение разбивается на сумму двух решений— основного

§ ь] МЕТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК 217
!! компенсирующего. При построении обоих решений вме-
вместо заданной области рассматривается расширенная об-
область, в большинстве случаев неограниченная. Как отме-
отмечалось ранее, основное решение удовлетворяет неодно-
неоднородному дифференциальному уравнению и граничным
условиям для расширенной области.
Компенсирующее решение должно удовлетворять од-
однородному дифференциальному уравнению и, совместно
с основным решением, граничным условиям. Компенси-
Компенсирующее решение рассматривается при этом как резуль-
результат действия некоторых, специальным образом выбран-
выбранных нагрузок, приложенных к плите или мембране,
занимающей расширенную область. Очевидно, что
компенсирующие нагрузки должны быть приложены
только в той части расширенной области, которая нахо-
находится вне заданной области.
Выбор линии или системы линий, по которой распре-
распределены компенсирующие нагрузки, предоставляет мнео
возможностей для того, чтобы использовать упрощения,
подсказываемые характером рассматриваемой задачи.
Кроме того, произвол в выборе типа нагрузок, а именно,
возможность выбрать нагрузки в виде сил, моментов,
разрывов в перемещениях и углах поворота, также рас-
расширяет возможности построения эффективных расчет-
расчетных приемов.
Для фактического решения задач нужно, в зависи-
зависимости от типа граничных условий, приравнять полные
прогибы, углы поворота или усилия на контуре нулю или
некоторой заданной функции. При этом будут получены
интегральное уравнение или система интегральных урав-
уравнений Фредгольма первого рода. Решая эти уравнения,
найдем компенсирующую нагрузку, а затем и полное ре-
решение задачи. Указанные интегральные уравнения здесь
решаются приближенно; тем или иным способом они за-
заменяются системой линейных уравнений относительно
параметров, через которые выражаются компенсирую-
компенсирующие нагрузки.
В рассматриваемых здесь задачах основные функции
влияния представлены через бесселевы функции, поэтому
все ядра полученных интегральных уравнений также вы-
выражаются через эти функции.

218 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [t Л 1
Вычисления, результаты которых изложены в этом
параграфе, показывают эффективность примененного
метода.
1. Рассмотрим задачу о колебаниях мембраны. Поло-
Положим, что мембрана, имеющая постоянные толщину h и
объемный вес уи растянута постоянным натяжением То.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний мем-
мембраны имеет вид
E.1)
Обозначим \}h/(Tog)= 1/c2 и будем искать решение
уравнения E.1) в виде
W(x,tr,t) = w(x,y)sin(«it),
где ш — круговая1) частота свободных колебаний, а
функция w(x, у) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
У2ш + %2w = 0, E.2)
где % = а/с.
Как известно, к интегрированию этого уравнения сво-
сводится большое число задач математической физики.
Для того чтобы выявить эффективность метода ком-
компенсирующих нагрузок, применим его в первую очередь
к задачам, имеющим точное решение.
Определим частоты и формы свободных колебаний
мембраны. В рассматриваемом случае основное решение
тождественно равно нулю, а граничные условия одно-
однородны. Представим решение задачи в виде
w =
где С — линия, по которой распределена компенсирую-
компенсирующая нагрузка (эту линию назовем особой), а — дуговая
координата на этой линии; х, «/ — координаты рассматри-
рассматриваемой точки мембраны; ?, т^ — координаты точки особой
линии; функция К представляет основную функцию влия-
') Для краткости слово «круговая» иногда будет опускаться.

§5] МЬТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК 219
ния, в рассматриваемом случае она выражает форму ко-
колебаний неограниченной мембраны, вызванных единич-
единичной силой 1 • sin at. С точностью до постоянного множи-
множителя, функция К представляет собой бесселеву функцию
второго рода с индексом нуль от действительного аргу-
аргумента r = A V(x — ЪJ + (у— т|J, где г — приведенное рас-
расстояние между точкой особой линии и рассматриваемой
точкой мембраны. Это легко проверить, выполнив вы-
выкладки, аналогичные тем, которые необходимы для по-
получения формулы A.14). Так как прогибы на контуре
мембраны равны нулю, то для любой точки контура
jq(o)Y0(r)do-0. E.3)
Если приложить вместо сил моменты, то ядра будут пред-
представлять бесселевы функции первого порядка, умножен-
умноженные на косинусы соответствующих углов1). Задача сво-
сводится к отысканию значений параметра %, при которых
уравнение E.3) имеет нетривиальное решение. При вы-
вычислениях интеграл будет приближенно заменяться сум-
суммой, и задача сведется к определению корней некоторой
системы трансцендентных уравнений.
В качестве числового примера рассмотрим задачу
о свободных колебаниях квадратной мембраны, натяну-
натянутой на жесткий контур. Попутно заметим, что эта задача,
по существу, совпадает с задачей об определении крити-
критического давления, равномерно распределенного по шар-
нирно опертому контуру квадратной пластинки, а также
с задачей о свободных колебаниях такой же пластинки.
Определим основную частоту колебаний. Известно,
что эта задача имеет точное решение. Покажем, что, при-
применяя полярную систему координат и исходя из метода
компенсирующих нагрузок, можно получить сравнитель-
сравнительно просто приближенное решение, которое имеет вполне
достаточную с практической точки зрения точность.
Кроме того, проиллюстрируем возможность применения
различных вариантов вычисления первого собственного
числа.
') См. стр. 268, 269.

220
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ I
Пусть особой линией будет окружность; положим, что
компенсирующие нагрузки q(a) представлены в виде
ряда, который из условий симмет-
симметрии имеет вид
Q (°) = 2 В4п cos 4пф,
где ф — полярный угол, с верши-
вершиной в центре квадрата (рис. 21).
Воспользовавшись теоремой
сложения, можно записать урав-
уравнение E.3) в виде
A0J0 (XRS) +
+ A4J4(IRS) cos
... =0, E.4)
где^?5 — полярная координата точки контура Если в E 4)
сохранить три слагаемых и потребовать, чтобы гранич-
граничное условие выполнялось в трех точках A, 2, 3) контура,
показанных на рис 21, то в результате получим систему
трех уравнений. В этих уравнениях углы ф заданы, а все
величины Rs можно выразить через длину стороны квад-
квадрата а или через ее приведенную длину а' = ка Прирав-
Приравнивая определитель этой системы нулю, получим
/о(М')
/о (МО
/о {ha')
/4 (k2a') cos 4ф2
/4 (k3a') cos 4ф3
(/Ejtz') COS 8ф,
(k2a') cos 8ф >
(k3a') cos 8ф3
= 0.
Как видно из рис. 21
/г, = /1 + GбJ.
Ф, = arcsec B/г,),
= 1/1+ С/2J. 2k3 = 1/1
= arcsec B/г2), ф3 = arcsec Bk3).
Раскрывая определитель и вычисляя наименьший корень
полученного трансцендентного уравнения, найдем приве-
приведенную длину а', откуда сразу получим X == а'/а и ча-
частоту собственных колебаний ш. Полученный результат,
вычисленный с тремя значащими цифрами, с достаточной
для практики точностью совпал с точным решением. По-
Полученное решение приближенно удовлетворяет !ранич-

§ 5)
МЕТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК
221
ным условиям, и представляет интерес оценить неточ-
неточность, которая вносится в результат.
Узловая линия, т.е.линия, на которой прогибы равны
нулю, проходит через точки 1, 2, 3 и через точки, им сим-
симметричные, имея всего 24 точки, общие с точками кон-
контура (рис. 22). Для того чтобы выяснить, насколько узло-
узловая линия отклоняется ог контура, проведем радиус-век-
радиус-векторы через равноотстоящие точки контура /, //, ///,
i / /
I / /
I / /
I//
Рис. 22.
Рис 23
находящиеся на равном расстоянии от узлов интерполи-
интерполирования, и через точку IV—вершину квадрата; далее,
определим положение точек пересечения этих прямых и
узловой линии. Если бы решение было точным, то эти
точки, обозначенные /', //', ///', IV, лежали бы на кон-
контуре мембраны. Для того чтобы узловая линия не сли-
слилась с контуром, на рис. 22 потребовалось увеличить
разность радиус-векторов KR и радиус-векторов соответ-
соответствующих точек контура (на чертеже эта разность уве-
увеличена в двадцать пять раз). Аналогичные вычисления
были проведены при сохранении двух членов ряда.
В обоих случаях было получено хорошее совпадение как
частот колебаний, так и координат узловой линии.
Аналогичные вычисления были проведены для мем-
мембраны в форме правильного треугольника. Здесь частота
определялась из условия, что форма колебаний, соответ-
соответствующая основному тону, имеет узловую линию, прохо-
проходящую через равноудаленные друг от друга точки 1, 2, 3
контура (рис. 23).

222 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ 1
Приближенно решение можно представить в виде
суммы
w = A0I0 (IR) + A3I3 (XR) cos Зф + Л6/6 (XR) cos 6<p. E.5)
Приведенная длина стороны треугольника а' опреде-
определяется из уравнения
Jo(kW) Jaiktycantofl Ja(k\a') cos 6q>;
J0{k'2a') /3(^а')со5 3Ф; /6(/гУ)со5бФ; =0.
J0(k\a') /3(^а')со8 3Ф; /6(*;а')со8бФ;
Здесь, так же как и в предыдущем примере, коэффи-
коэффициенты к\ и углы ф* определяются из геометрических
соображений. Зная а', определяем частоту основного
тона, которая почти совпадает со строгим решением (точ-
(точное значение параметра а' = 7,25, приближенное а' —
= 7,29).
При сохранении только первых двух членов выраже-
выражения E.5) погрешность оказалась равной 0,2%.
Приближенное компенсирующее решение можно
представить в виде линейной комбинации бесселевых
функций нулевого порядка; для этого следует задать
особенности типа сосредоточенной силы в различных
точках, находящихся вне рассматриваемой области.
Рассмотрим вынужденные колебания мембраны.
В этом случае частота колебаний задана. Интегральное
уравнение, служащее для построения компенсирующего
решения, будет иметь вид
jq(a)K(s,a)da=-fl(s), E.6)
с
где fi(s) —значение основного решения на контуре.
Так же как и в предыдущем случае, заменим инте-
интегральное уравнение E.6) системой линейных уравнений,
полагая, что особая линия является окружностью, а ком-
компенсирующая нагрузка раскладывается в ряд по косину-
косинусам, и определим коэффициенты суммы 2^rt/n (XR) cos гаф,
которая дает приближенное решение задачи о вынуж-
вынужденных колебаниях квадратной и треугольной мембран,
загруженных силами, интенсивностью </isinco/, прило-
приложенными по окружности, как это показано на рис. 24,25.

МЕТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК
223
Основное решение будет иметь вид
при М?<а ш0 = /0 (Щ Yo (а),
при XR > а wo = Jo (а) Уо
Сохраняя в компенсирующем решении три первых
слагаемых, получаем для квадратной мембраны систему
линейных алгебраических уравнений
Л/о (ЛЯ J + V4 (ЛЯ J cos 4фт + Ve (ЛЯ«) cos 8Фт + wom = О
где т = 1, 2, 3 — индексы, показывающие номера точек
контура, в которых удовлетворяются граничные условия,
значения основного решения в этих точках.
Рис 24
Рис 25
Результаты вычислений для квадратной мембраны
приведены на рис. 26, где показан план в горизонталях
и приведен график функции до на контуре.
Результаты вычислений для мембраны в форме рав-
равностороннего треугольника приведены на рис. 27.
Следует отметить, что с точки зрения вычислений эти
задачи являются менее трудоемкими, чем рассмотренные
выше задачи на собственные значения.
Во всех приведенных выше примерах решение на-
находилось, по существу, способом точечного интерполи-
интерполирования.
Нетрудно наметить другие приемы приближенного
численного решения интегрального уравнения. К одному
из таких способов мы сейчас перейдем. Будем искать
решение задачи о колебаниях мембраны по методу
Треффтца. Этот метод можно рассматривать как один из
вариантов аппроксимации интеграла в уравнении E.3).

224
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ
Рис. 26.
Рис. 27.

§ 5] МЕТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК 225
Будем по-прежнему приближенно представлять ком-
компенсирующее решение в виде суммы
т
2
где tyi(x,y) удовлетворяют уравнению E.2); пусть иско-
искомое решение будет ш/,; обозначим разность wk — w*k =wka.
Найдем коэффициенты Ь{ так, чтобы обратить в мини-
минимум функционал
где D — область, занятая мембраной.
В связи с тем, что wua представлено с помощью фор-
формулы E.7), вариационная задача сводится к обычной за-
задаче минимума, решение которой приводит к системе ли-
линейных уравнений
dF/dbi = O, i=l, ..., т. E.8)
Перейдем от интеграла по области D, занятой мем-
мембраной, к интегралу по контуру С.
Применяя теорему Гаусса, получим при этом, что си-
система E.8) эквивалентна системе
где п — внешняя нормаль к контуру. Внося в уравнение
E.9) значения w*k из выражения E.7), получим
где индекс i = 1, ..., т.
Отметим одну очень важную для практических целей
особенность рассмотренного приема, которую Треффтц
показал для задач, описываемых уравнением Лапласа,
а Фридрихе [65] — для более широкого класса задач:
8 Б. Г. Коренев

226 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ 1
этот прием дает значение рассматриваемого функцио
нала с недостатком.
В соответствии с приведенной выше схемой вычисле-
вычислений рассмотрим опять задачу о собственных колебаниях
квадратной мембраны.
Определим частоту, приравнивая нулю определитель
системы E 8) при w (s) = 0.
Если положить
w\ = bljo (XR) + b2Ji (XR) cos 4ф + b3Js (XR) cos 8Ф> E.10)
то уравнение частот примет вид
х-а/2 х=а/2 х-=а/2
о х=0
х=а
*fcdx J
O
х—0 х=0 Х=0
х -а/2 х=а/2 х=а/2
х=0 х=0 х=0
х=а/2 х=а/1 х-а/2
E.11)
-о.
В этом уравнении введены обозначения
-Фз = ^8 {Щ cos 8ф.
Интегралы, входящие в уравнение E.11), вычислены
приближенно; при подсчете было получено значение
Ка = 4,42.
При проведении дальнейших вычислений мы ограни-
ограничились лишь первым слагаемым E.10); уравнение E.11)
при этом приняло вид
х=а/2
J /0 (Щ /, (A,/?) cos (л, 7?) их = 0, E.12)
где R = yV + а2/4.

§5]
МЕТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК
227
Сведем в таблицу значения интеграла, стоящего в
левой части уравнения E.12), при различных значе-
значениях а' = ка.
Ха
а/2
дп
dx
4,1
-0,053
4,2
-0,027
4,3
-0,0012
4,4
0,0175
Как видно из таблицы, корень трансцендентного урав-
уравнения E.12) меньше корня, полученного из точного ре-
решения, равного, как только что было отмечено, 4,42, и
дает достаточно хорошее приближение.
Приведем таблицу вычислений, проведенных для мем-
мембраны в форме правильного треугольника:
Ха
all
Г i ^h j
i an
0
7,1
-0,0177
7,2
-0,0038
7,3
0,003
7,4
0,0159
Дифференциальное уравнение задачи о равновесии
мембраны, лежащей на упругом основании, имеет виц
S/2w — l2w = 0, где к = YkJT , k0 — коэффициент постели
упругого основания, Т — натяжение мембраны.
Положим, что мембрана имеет несмещаемый контур.
Основной функцией влияния в этом случае будет, с точ-
точностью до постоянного множителя, функция Макдо-
нальда нулевого порядка, представляющая решение за-
задачи о неограниченной мембране, лежащей на упругом
основании и загруженной сосредоточенной силой [20].
2. Рассмотрим задачу о пластинке, на которую дей-
действуют равномерно распределенные по контуру силы, ле-
лежащие в плоскости пластинки и направленные по нор-
нормали к контуру; на пластинку, кроме этих сил, могут
действовать любые нагрузки, направленные перпенди-
перпендикулярно к срединной плоскости.

228
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ I
Дифференциальное уравнение упругой поверхности
пластинки в этом случае, как известно, имеет вид
DV2V2m) + р Vw = q, E.13)
где р — интенсивность сил, приложенных к контуру и
лежащих в его плоскости, q — нагрузка, перпендикуляр-
перпендикулярная к срединной плоскости, w — прогиб, D — цилиндри-
цилиндрическая жесткость пластинки.
Предварительно получим решение уравнения E.13),
имеющее особенность типа сосредоточенной силы для
неограниченной области. Если эту силу положить равной
единице, то такое решение дает основную функцию влия-
влияния; оно имеет вид
К] {х, у; I, ц) = - -^ [Yo (г) -1 In ±], E.14)
где г = Л И*-6Г + '.. .
Это решение легко получить, проводя выкладки, ана-
аналогичные тем, которые приведены в § 1, ч. II при рас-
рассмотрении задачи о колебаниях пластинки.
Решение, имеющее единичную особенность типа со-
сосредоточенного момента, имеет следующий вид:
К1 {х, у; |, т
где ф1 — угол между направлением отрезка г и плос-
плоскостью действия момента.
Как уже отмечалось выше, основное решение можно
получить, интегрируя основную функцию влияния. Этот
путь особенно удобен при нагруз-
нагрузках, распределенных по круговой
области. В этом случае основное
решение можно, пользуясь фор-
формулами сложения, представить
в виде хорошо сходящихся ря-
рядов или в отдельных случаях
получить его в замкнутом виде.
Мы не будем здесь заниматься
этим вопросом; перейдем сразу к
Рис 28 построению компенсирующего ре-
решения.
Напишем в общем виде уравнения метода компенси-
компенсирующих нагрузок для пластинки с защемленным краем.

§ 5] МЕТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК 229
Положим, что полученные из основного решения прогиб
и угол поворота нормали к контуру С представлены со-
соответственно в виде fi(s) и /2(s). Компенсирующее ре-
решение представим, задав по двум несовпадающим осо-
особым линиям Ci и С2 (рис. 28) компенсирующие нагрузки
?i и Цг, интенсивность этих нагрузок найдем, исходя из
того, что сумма компенсирующего и основного решении
должна удовлетворять условиям на контуре, а именно —
прогиб и угол поворота нормали к контуру равны нулю
q2(a2)K\(s, a2)da2=-f,(s), E.15)
С, Сг
4 l~> J « С / ч /Г 1СЧ
—-^ '-do2 = —/2E). E.16)
Ci
Здесь /Ci(s, а) получим из решения E.14), внеся
в эту формулу вместо х, у координаты точки контура и
взамен |, т] — координаты точки соответствующей особой
линии.
Для пластинки со свободным краем уравнения ме-
метода компенсирующих нагрузок примут следующий вид;
jq^a,) С C,0,) da, + J q2 (a2) L<M) (в, а2) <*а2 = - f, (в),
с, с2
(а;) Lf (s, а;) da, + j q2 (a2) LBQ) (s, a2) da2 = - f4 (s),
Ci C,
E.17)
где fz{s) и /4(s) —значения изгибающих моментов и при-
приведенных поперечных сил на контуре пластинки, взятые
из основного решения; L<M' и HQ1 вычисляются соответ-
соответственно как изгибающие моменты и приведенные попе-
поперечные силы на контуре, вызванные единичной силой,
приложенной к точке особой линии. Для определения LW
над функцией К\ нужно провести операцию вычисления
момента
L = — j

230 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ 1
где р — радиус кривизны контура, \\т — пуассоново от-
отношение. Для прямолинейных участков контура следует
совместить сторону пластинки с одной из осей декарто-
декартовых координат; при этом, полагая, что ns направлена по
оси х, получим хорошо известную формулу
дх2 ' т ду2
Для подсчета L(Q) над функцией K*i нужно провести опе-
операцию
1
где Пл, Si — фиксированные оси, совпадающие с нор-
нормалью и касательной в рассматриваемой точке контура.
Если пластинка шарнирно оперта по контуру, то ре-
решение дается системой уравнений E.15) и первого из
уравнений E.17).
Уже упоминалось о возможности различных вариан-
вариантов составления уравнений метода компенсирующих на-
нагрузок. Так, например, можно задаться силами по одной
особой линии, а моментами по другой особой линии;
в этом случае можно и совместить обе особые линии, за-
задав по одной линии силы и моменты. Наконец, можно
задаться типом одной нагрузки и искать ее интенсив-
интенсивность и уравнение соответствующей особой линии. В этом
случае, однако, вычисления становятся более сложными,
и поэтому в примерах мы всегда задавались уравнением
особой линии.
Перейдем к приближенным решениям задач с по-
помощью метода компенсирующих нагрузок.
Рассмотрим задачу об устойчивости квадратной пла-
пластинки, зажатой по контуру. Определим величину крити-
критического давления р из системы уравнений типа E.15) и
E.16) при U = 0, h = 0.
Рассмотрим решение, имеющее особенности по окруж-
окружности, центр которой лежит в точке пересечения диаго-
диагоналей квадрата, а радиус не меньше половины длины
диагонали; разложим интенсивность этих особенностей
в тригонометрический ряд; ограничимся при этом пер-
первыми двумя членами, использовав симметрию. В резуль-

§5|
метод компенсирующих нагрузок
231
тате прогиб в произвольной точке F пластинки будет
представлен приближенным выражением
w =
(KR) + Л4/4 {KR) cos 4<р+В0 + J34 (XR)* cos 4ф. E.18)
Обозначения ясны из рис. 29.
Рассмотрим первый числовой пример.
Потребуем,чтобы в точках контура/,2 (и симметрич-
симметричных им) прогиб и его производная по радиусу равнялись
-Ifrfri!
Рис 29.
Рис. 30
/4(?1а')соз4ф1 1 (feia'L cos 4ф!
h (k2ar) cos 4ф2 1 (fe2a'L cos 4ф2
/4'(й1а')соз4ф1 0 4 (kp'f cos 4<р,
О 4 (fe2a'K cos 4ф2
нулю. Это приводит к следующему трансцендентному
уравнению:
= 0, E.19)
где ku k%, ф1, фг определяются из элементарных геометри-
геометрических соображений.
Отсюда находим а'12 = Ял/2 = 3,58.
Перейдем ко второму примеру, изменив точки интер-
интерполирования и взяв их по рис. 30; в результате вычисле-
вычислений получим Ал/2 = 3,62.
В третьем примере та же задача будет решена сле-
следующим способом: по-прежнему задавая w в виде E.18),

232
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ I
находим критическое давление из трансцендентного урав-
уравнения,
= 0,
6П 612 а'/4 614
62i 622 а /4 624
64i 642 0 644
\i= j J0(lR)dx, 612= | /4 (Я,/?) cos 4ф dx,
АВ
АВ
б14 = [ (IRY cos 4ф dx, 621 = J /0 (Я,/?) dx,
дв вс
622 = { h (Я-/?) cos 4ф dx, 624 = | (Щ* cos 4ф dx,
ВС ВС
= J Ж 70 ^) <**> б32 = J Ж [Л (Л/?) COS 4ф] dx,
АВ ' АВ
= J ж[я4^4 cos 4ф] dx> e4i = / -^т /о (л/г) <**,
АВ ВС
= J -Ш[/4 (Я;?) cos 4ф] dx> б« = J Ж[Я^4 cos 4ф] dx'
которое получается из условия, что интегралы от прогиба
и его нормальной производной, взятые по участкам АВ
и ВС контура, должны равняться нулю (рис. 31). Вычи-
Вычисления дали значение а'12 = Ал/2 = 3,62, близкое к полу-
полученным ранее.
Таким образом, в результате вычислений, проведен-
проведенных различными способами, получены весьма близкие
друг другу значения критического давления.
Численное решение этой задачи было получено ранее
другими авторами различными методами, отличающи-
отличающимися от методов, примененных в этом параграфе.
Введем величину \х = pKVa2/(n2D), где а — длина сто-
стороны квадрата; заметим, что число а', найденное нами,
связано с критической силой соотношением Ркр — a' D/a2.

МЕТОД КОМПЕНСИРУЮЩИХ НАГРУЗОК
233
Приведем сводную таблицу значений, полученных раз-
разными авторами 4).
Тэйлор
между
5,30
и 5,33
Се-
Сезава
5,61
Фак-
сен
5,304
Треффтц
между
5,30
и 5,32
Игуши
5,3036
Автор
при-
пример 1
5,18
при-
пример 2
5,31
при-
пример 3
5,31
Как видно из этой таблицы, результаты, полученные
всеми авторами, весьма близки (исключение представ-
представляет неточный результат Сезава).
~Р
ттттттттт
Рис. 32.
В заключение приведем приближенное решение за-
задачи о расчете сжатой равномерным давлением р пла-
пластинки, зажатой по контуру и загруженной, кроме того,
сосредоточенной силой Р в центре (рис. 32). Пусть
Р1{№№) = 1, Ы = 6. Тогда, удовлетворяя граничным
условиям примера 1, т. е. обращая в нуль прогибы и про-
производные их в радиальном направлении в точках /, 2
(рис. 29), получим систему четырех уравнений относи-
относительно Ао, Ait Во, В4, причем коэффициентами при не-
') Эта таблица и литературные источники приведены в [20].

234
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ I
известных в этих уравнениях являются соответствую-
соответствующие элементы строк определителя в левой части E.19),
а их правые части получаются с помощью формулы
Рис 33
E.14). В результате решения системы уравнений полу-
получим значения прогибов, которые показаны на рис. 33.
§ 6. Задачи о равновесии неограниченной пластинки,
лежащей на однородном упругом основании,
модель которого обладает круговой симметрией
Рассмотрим пластинку, лежащую на сплошном ос-
основании; положим, что верхняя граница основания пред-
представляет горизонтальную плоскость; если на эту плос-
плоскость действует вертикальная единичная сила, то в ре-
результате деформирования верхней границы основания
будет образована некоторая поверхность, аппликату
которой можно назвать ядром модели упругого основа-
основания. Положим, что уравнение этой поверхности, чапи-

§ С] РАВНОВЕСИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 235
санное в системе координат, имеющей начало в точке
приложения силы, остается одинаковым при изменении
положения силы. Такое основание будем называть од-
однородным.
Для того чтобы перейти к изучению изгиба балок и
плит, лежащих на линейно деформируемом однородном
основании, рассмотрим сначала важную вспомогатель-
вспомогательную задачу о зависимости между вертикальными сила-
силами, действующими на основание, и прогибами основания.
Здесь рассматриваются ядра, которые можно пред-
представить графически в виде поверхности вращения, т. е.
ядра вида
Они наиболее важны для приложений.
Многие важные свойства упругих однородных осно-
оснований с круговой симметрией относятся и к ядрам не-
несколько более общего типа
где ц — некоторая постоянная. Соответствующие мо-
модели основания могут иметь значение при анизотропии
в плоскости оху, а также при решении некоторых дина-
динамических задач.
С помощью ядра упругого основания можно легко
выписать интегро-дифференциальную систему уравне-
уравнений рассмотренной задачи, допускающую в случае не-
неограниченной области простое решение, основанное на
использовании преобразования Фурье. Мы, однако,
приведем это решение в несколько другой, более на-
наглядной с механической точки зрения форме, в основу
которой положим задачу о нагружении основания дав-
давлениями, изменяющимися по закону q = a sin a x sin p/y.
Покажем, что для любого однородного упругого осно-
основания при такой нагрузке осадка дается выражением
до = be sin ax sin p«/, F.1)
где с(а, Р) —функция, вид которой зависит от того, ка-
какова модель основания.
Обозначим ах = хь рг/ = уи а% = ?i, fto] = i\i', при за-
замене переменных х, у, |, т] на хи у\, gi и ти ядро
К(х — |, у — у\) примет вид Ki(xt — |ь у}— щ).

236 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК |ГЛ 1
Применяя принцип сложения воздействий, получим
00 00
до = \ Ь sin (ax) sin (ру) К (х — |, y — r\)dxdy =
00 ОО
= -^ J J sinxisinyxKi{xx-lb У1-Л1)<**i dyu F.2)
— oo —oo
введем теперь переменные х\ — ?1 = 2Ь */i — тн = 5i и
перепишем выражение F.2) в следующем виде:
оо оо
=^з J J sin (h + г,) sin (n, + ?,) /*C (г,/а, Ci/Э) ^i ^i =
— oo —oo
= -^|- sin |! sin tii
— oo —oo
oo oo
J J cos Zi cos Si/C (zi/а,
и, следовательно, ш = 6csin|iSinT]i, где
oo oo
= -^ J J cos z, cos bKfa/a, ?,#)&:,<*?„ F.3)
— 00 —00
что и требовалось доказать.
Для решения задачи о перемещениях основания при
рассматривавшейся здесь периодической нагрузке нуж-
нужно определить с при помощи формулы F.3). Перейдем
к этим вычислениям для различных типов оснований.
Начнем рассмотрение с наиболее распространенной
модели, а именно, рассмотрим упругое однородное изо-
изотропное полупространство. В этом случае, как известно
из теории упругости,
=-> F.4)
где Е — модуль упругости, a — Пуассоново отношение.
Обозначим
вычисляя с по формуле F.3), можно получить [19]
с =

§6) РАВНОВЕСИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 237
и, следовательно,
до = —г sin ах sin 8«.
k Va2 + р2 н
Этот результат хорошо известен в теории изгиба
плит, лежащих на упругом полупространстве (Войнов-
ский-Кригер [85]).
Для различных приложений удобно преобразовать
формулу F.4), перейдя от декартовых координат к по-
полярным. Проделаем это сначала для частного случая
ядра с осевой симметрией.
Приведем формулу, являющуюся следствием интег-
интеграла Бесселя:
оо оо
J J cos (ax) cos (pt/) К (V*2 + y2)dxdy=
rK(r)JQ(r)dr, F.5)
— ОО —ОО
где у2 = а2+Р2'> г2 = х2 + у2. Таким образом, формулу
F.3) можно записать в следующем виде:
оо
с = 2л J rK (г) /о (у) dr, F.6)
о
т. е. в виде преобразования Ганкеля.
В тех случаях, когда ядро, не обладая осевой сим-
симметрией, может быть представлено в виде
К =
получим
где
При помощи F.6) можно найти функцию с(у) для
тех задач, в которых известно ядро К.
Приведем в виде таблицы несколько типов ядер К,
для которых, используя хорошо известные несобственные

238
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
[ГЛ 1
интегралы, можно получить достаточно простые выра-
выражения функции с (у).
К (г)
В
УН + 62
В ( г2 \
262 6Хр \ 462 )
ВКо Fл)
2Лг6Хр( 6Г)
В
2я(г2 + 62)
c(V)
2лВ . . .
-у- схр (- 6Y)
2л5 ехр (- 6У)
2пВ
Г + 62
В
Уу2 + 62
ВК0 (Y6)
Таким образом, здесь получено несколько ядер, ко-
которыми, в частности, можно аппроксимировать экспери-
экспериментально полученные поверхности осадок. В этой таб-
таблице Б, б—параметры, которыми можно распоря-
распоряжаться, /Со — функция Макдональда.
Если ядро К имеет вид ВКо(Ъг), то оно соответствует
основанию с двумя упругими характеристиками.
Для полупространства, модуль упругости которого
меняется с глубиной по степенному закону, Г. К Клейн
[17] получил ядро
где Dn — некоторая константа; п — число, характери-
характеризующее закон изменения модуля упругости по глубине,
В этом случае, как следует из теории несобственных
интегралов с бесселевыми функциями (см. стр. 99),
имеем при 0,5 < п < 1
где Г — гамма-функция.

§ 6] РАВНОВЕСИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 239
Перейдем непосредственно к задаче о расчете не-
неограниченной пластинки.
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу об из-
изгибе неограниченной пластинки, на которую действует
нагрузка
q = a cos ax cos рг/.
Дифференциальное уравнение упругой поверхности
пластинки имеет вид DV2V2a> = q —р, где V2 =-3-5- +
"т~"д"т» положим, что реактивное давление
р = b cos ax cos рг/, F.7)
и представим прогиб пластинки в виде
w = be* cos ax cos fit), с* = c + \/k0. ^-8)
Внося F.7) и F.8) в дифференциальное уравнение
упругой поверхности пластинки, получим уравнение
bc'D (а2 + р2J = а - Ь,
откуда Ь = а/[ 1 + c*D (а2 + р2J].
Если теперь рассмотреть задачу о пластинке, на ко-
которую действует нагрузка
оо оо
q = 2 S Omn cos amx COS Р„«/,
то, используя приведенные выше формулы, получим
Если перейти к задаче о пластинке, равномерно загру-
загруженной по прямоугольникам со сторонами 2а и 26, рас-
расположенным так, что их оси симметрии образуют прямо-
прямоугольную сетку, и считать, -гго расстояние между прямо-
прямоугольниками стремится к бесконечности, а затем поло-

240 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ I
жить, что при а->0 и 6->0 имеем 4qab = Р, то, выпол-
выполнив предельный переход1), получим искомое решение в
следующем виде:
00
_ , с* cos'cw cos р</ da a?p
1 + рос* (а2 + р2) + c*D (а2 + Р2J '
б о
Эту формулу можно легко преобразовать, вводя обозна-
обозначения
а2.}- р2 = у2, х2 + у2 = г2, а/р = tg ф;
тогда
Применив опять формулу
2я J 1 + pocV + c*?)Y4 "
Рассмотрим некоторые частные случаи, положи» при
этом, что ро = 0 (ро — растягивающее усилие в средней
плоскости).
1. Основание — у п р у го е полупростран-
полупространство.
В этом случае с* = с = 1/&у> где k = ?/BA —a2)).
Введем обозначения t = VD/k, X = yvD/k, r]l = \. Ре-
Реактивные давления и прогибы даются выражениями
J
о
Г
о
о
где / имеет размерность длины.
') Взамен этого можно воспользоваться интегральным предста-
представлением дельта функции.

§ 6] РАВНОВЕСИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 241
Формулы F.9), F.10) другим путем были получены
в 1932 г. С. Войновским-Кригером, рассматривавшим,
однако, только задачу об упругом полупространстве; эта
задача, а также ряд важных и более сложных задач
о плите на упругом слое и т. д. были решены
О. Я. Шехтер [59], которая составила также необходи-
необходимые для расчета таблицы.
2. В и н кл е р ов с ко е основание (модель
коэффициента постели). Для этого случая мы
4
= l/k0. Введем обозначения 1Х = у D/k0, Kt = y'i,
тогда
Г
Нетрудно проверить, что это решение совпадает с реше-
решением, приведенным в § 2 ч. II, если ро = 0, т. е.
для этого нужно обратиться к § 21 (стр. 102), в котором
рассматриваются несобственные интегралы.
С помощью теоремы сложения (стр. 39) нетрудно
показать, что если решение задачи о неограниченной пли-
плите, загруженной сосредоточенной силой, имеет вид
J
то для нагрузки, распределенной по окружности (приве-
(приведенного радиуса р) по закону <7cosn9, имеем
w = 2щ1А9cosпЭ J Jn(^)Jn
Перейдем к решению задачи об изгибе пластинки,
загруженной распределенной нагрузкой q, изменяю-
изменяющейся по закону q = Bpn cos n9i и действующей по пло-
площади кругового кольца, радиусы которого равны р2 и

242 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ I
pi, причем р2 > pi. Используя принцип сложения воз-
воздействий, проинтегрируем F.11)
Рг со
w = 2ABl2n cos пЭ J p»+' dp J J" (Яр{/("я)(ЯЮ dK ;
Pi О
меняя порядок интегрирования, перепишем полученный
интеграл в следующем виде:
со р2
w = 2ABPn cos пЭ f Jn{v}}?K [ pn+4n(lp)dp.
о p,
При помощи A5.1) получим
w = 2ABPn cos пЭ
При п = 0 имеем решение для случая нагрузки, равно-
равномерно распределенной по площади кругового кольца:
»• -
W -
J
О
если pi = 0, то кольцо переходит в круг радиуса рг = р
и решение принимает форму

ГЛАВА II
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ,
ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ 7. О колебаниях нити
В этом параграфе рассматривается задача Бернулли
о свободных колебаниях висящей нити, а также задача
о вынужденных колебаниях нити; рассматривается и
случай, когда нить имеет переменную плотность.
Рассмотрим свободные колебания гибкой тяжелой
однородной нити. Положим, что нижний конец нити сво-
свободный; ось х направим вверх по вертикальной прямой,
проходящей через ось нити в состоянии равновесия; на-
начало координат примем в конце нити. Обозначим погон-
погонную массу нити р, ускорение силы тяжести g, перемеще-
перемещение точки нити в направлении, перпендикулярном к оси
х, через у; рассматриваются только малые колебания.
Рассмотрим элемент длины dx; поперечная сила в се-
сечении xQx = Ndy/dx, где ./V — нормальная сила. Из ус-
условия равновесия элемента длины ниги имеем, проекти-
проектируя силы, приложенные к элементу, на ось у,
d I,, dy \
где q— нагрузка на единицу длины, направленная па-
параллельно оси у.
В случае, когда нить совершает свободные колеба-
колебания,
д'у „ д(мду
если положить у(х, t) = w(x) sin(w/ + фо), то
d I., dw
N

244 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
Если плотность р постоянна, то нить растягивается
силой N = pgx; в этом случае имеем
d I dm \ , w2
Полагая х = gs2l{4a>2), приведем полученное уравнение
к уравнению Бесселя с индексом нуль и аргументом s
d2w . 1 dw , ~
-d^ + T^T + w = 0>
откуда
w (s) = А /о (s) + BY, (s) = A Jo Bco Vxjg) + BY0 Bco Vx/g).
Постоянная В равна нулю, так как при х = 0 функ-
функция w не может обращаться в бесконечность; таким об-
образом, получаем решение
у (х, t) = Л/о B© Vx/g)sin № + Фо)-
Из граничного условия в месте заделки при х = I полу-
получаем y(l, t) = 0.
Следовательно, /0 [2© j/f/g ] = 0.
Обозначив корни бесселевой функции индекса нуль
через а\, а2. • • •. Оь, получим сразу частоты собственных
колебаний ©ft = ak Vg/l/2', коэффициенты Ah и началь-
начальные фазы сроь определяются из начальных условий.
Если начальная форма искривления нити и началь-
начальные скорости равны соответственно fi(x) и /гМ, то, ра-
разыскивая общее решение в виде
оо
у(х, 0 = 2 Ak
получим при / = 0
оо
2 А*/о Bcoft /x/g) sin фой = f i (л),
fte 1
оо
©* V^/g) cos фой -= f2 (x);
2
отсюда, воспользовавшись ортогональностью функций
Бесселя, легко определить Ah и срОй.

§ 7] О КОЛЕБАНИЯХ НИТИ 245
Если заделка нити упруга, то граничное условие при
х = I имеет вид
Nx=ll
где с — так называемый квазиупругий коэффициент за-
заделки, и если Nx=i = gpl, то
- gpU1 B(oft УШ <»klYlg = do B@, УШ)-
В этом случае задача сводится к рядам Дини.
Следует заметить, что в последнее время в задачах
динамики и сейсмостойкости зданий рассматриваются
так называемые сдвиговые колебания зданий, при кото-
которых дифференциальное уравнение сходно с уравнением
колебаний нити; зачастую полагают, что р зависит от х
и обычно является степенной функцией.
Рассмотрим колебания нити, считая N переменной
и обозначив ее Nx; положим, что плотность р является
некоторой заданной функцией координаты х.
Тогда дифференциальное уравнение формы свобод-
свободных колебаний принимает вид
-г— Nx —т— + р (х) arm = О,
dx \ х dx } ' к v ' '
где нормальная сила, равная сумме внешних сил, при-
приложенных к стержню на участке @, х), равна
= g \ P (z) dz,
и, следовательно,
,, d2w , / \ dw
Рассмотрим простейший закон изменения р (х):
р(х)~ ро(а^)й, тогда
о
и, следовательно,
0т?
gx

246 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЦ И
Последнее является частным случаем уравнения
х2 d2w/dx2 + Bа, - 2pv + 1) х dw/dx +
+ [pY*2p + («i - 2pv) а,] w = О,
решение которого имеет вид (как это следует из § 13
(стр.47) w =x^~a Zv(yx&). Положив
2<x,-2pv + l =ц+1, <x,-2pv = 0,
2р=1, рУ = со2(ц + 1)/^,
получим решение рассматриваемой задачи в виде
w = С,/,, B@ Y(vi+l)lg хч')х
„ B
@
Принимая по-прежнему начало координат в нижнем
конце стержня, получим сразу С2 = 0, а для определения
частоты свободных колебаний будем
иметь трансцендентное уравнение
Остановимся на вопросе о колеба-
колебаниях нити постоянной плотности, име-
имеющей на конце сосредоточенную мас-
массу М; предельные случаи приведут
к задаче о математическом маятнике
и к задаче о нити в классической
постановке, которая рассматривалась
в начале этого параграфа. Если по-
Рис 34. прежнему принимать начало коорди-
координат в конце нити, то Nx = Mg + pgx.
Перенесем начало координат в точку Ai (рис. 34), где
а = М/р.
В этом случае
у (z) = AJ0 B(o VWg) +BYQ B
2@
первое граничное условие задачи: при z = a Q = —Мсо2у.
Следовательно,
Ndy/dz\z=a= -
или

О КОЛЕБАНИЯХ НИТИ
247
второе граничное условие не изменяется по сравнению
с ранее рассмотренными задачами, и если нить имеет
жесткую опору, то второе граничное условие имеет вид
У\
,=¦0.
G.3)
Оба граничные условия однородные; для существова-
существования нетривиального решения необходимо, чтобы удовле-
удовлетворялось следующее трансцендентное уравнение:
вытекающее из G.2) и G.3).
Нельзя всегда считать, что нормальная сила вызва-
вызвана только собственным весом нити; очевидно, что могут
возникнуть задачи, в ко-
которых дополнительное
сжатие или растяжение
стержня вызвано иными
причинами, например вли-
влиянием натяжения тросов
(рис. 35). Таким образом,
возникает необходимость
рассмотреть влияние нор-
нормальной силы, которая не
зависит от погонной мас-
массы. Простейший при-
пример — стойка постоянного
сечения, работающая на
сдвиг, сжата тросами на конце; массой тросов при
колебаниях пренебрегаем. В этом случаев = —No — gpx.
Начало координат по аналогии с предыдущим приме-
примером нужно перенести в точку А, находящуюся на рас-
расстоянии а = No/gp от конца стойки, и ввести координату
г = х + а.
В заключение остановимся на задаче о вынужден-
вынужденных гармонических колебаниях нити, вызванных дейст-
действием нагрузки q = ср(#) sin pi. При этом положим, что
частота возмущающей нагрузки р не совпадает ни с од-
одной из частот свободных колебаний нити.
Рис. 35.

248 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ И
Тогда дифференциальное уравнение примет вид
sinpt.
Полагая у(х, t) = w(x) sin pt, получим неоднородное
обыкновенное дифференциальное уравнение
Остановимся сначала на рассмотрении вынужденных
колебаний нити постоянной плотности^тогда, переходя
к независимой переменной s= 2p Yx/g, получим сле-
следующее неоднородное уравнение:
d2w . 1 dw , g
Если правая часть представляет степенную функцию
Ф = А*х*, то имеем
Частное решение задачи в этом случае выражается че-
через функции Ломмеля s^, v.
Общее решение уравнения имеет при ранее рассмат-
рассматривавшихся граничных условиях вид
w = А /0 (s) + 2~2>i(g/p2)l+>lA's2]i+U0(s).
Заметим, что здесь в переменную s входит заданная ча-
частота р\ и из граничного условия при х = I определяется
постоянная А; таким образом, обозначив значение s
при х = / через р, получим
Заметим, что если р постоянно, a N(x) изменяется по
закону, отличающемуся от линейного, можно в качестве
независимой переменной принять N(x)dw/dx = Qx, тогда
уравнение относительно функции Qx примет вид
d2QJdx2 + PP2N~{ (x) Qx = 0.
В заключение этого параграфа заметим, что боль-
большое число задач, описываемых дифференциальными

§ 8] РЕЗЕРВУАРЫ, НАПОЛНЕННЫЕ ЖИДКОСТЬЮ 249
уравнениями второго порядка, которые в результате
замены переменных приводятся к уравнению Бесселя,
возникает в самых различных приложениях. Задачи
устойчивости стержней переменного сечения, которые
сводятся к уравнению Бесселя, рассматривал наиболее
подробно А. Н. Динник [12].
§ 8. Действие импульса на цилиндрические
и призматические резервуары, наполненные жидкостью
В этом параграфе рассматривается вопрос о коле-
колебаниях жидкости в вертикальном цилиндрическом или
призматическом резервуаре. Предполагается, что
жидкость идеальная, а причиной колебаний является
действие горизонтального импульса; рассматривается
вопрос о том, какие давления передаются при этом на
стенки, днище и внутренние колонны резервуара.
Колебания жидкости в вертикальном круговом ци-
цилиндрическом резервуаре изучал Джекобсен [68], этот
автор рассмотрел также задачу о колебаниях жидкости
вблизи вертикальной круглой колонны. А. А. Охоцим-
ский [42] решил задачу для цилиндрического резервуара
с центрально расположенной круглой колонной. Автор
в работе [23] дал общее решение аналогичной задачи
для кругового цилиндра с внецентренно расположенной
колонной.
Рассмотрим сначала круговой цилиндрический ре-
резервуар с одной внецентренно расположенной круглой
колонной.
Предположим, что в начальный момент, т. е. при
t = О, жидкость находится в покое. Цилиндрический ре-
резервуар, вначале неподвижный, начинает в момент t =
= 0 двигаться поступательно в горизонтальном направ-
направлении, которое считаем совпадающим с направлением
оси х, по закону х = f(t).
Рассмотрим движение жидкости относительно дви-
движущегося резервуара, считая верхнюю поверхность
жидкости свободной. Будем искать потенциал скоростей
в виде
Ф(г,г, 9; /) = Ф1(г, г, 9) ПО-
Функция <Di удовлетворяет уравнению V2CDi = 0, где
V2 — оператор Лапласа в цилиндрических координатах.

250
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
[ГЛ И
Граничные условия на боковой поверхности ци-
цилиндра получим, исходя из того, что относительная ско-
скорость движения жидкости в точках, расположенных на
боковой поверхности, направлена по касательной к этой
поверхности; это является условием непроницаемости.
Поэтому, имея в виду известное выражение скорости v
через потенциал скоростей Ф, получим следующие
граничные условия на боковых поверхностях:
b=n0cos8, (8.1)
!?)= ПО cos p,
(8.2)
где г, Г\ — соответственно расстояния от оси цилиндра и
оси колонны до точки А; 8, р— полярные углы, имею-
имеющие вершины на оси цилиндра и оси колонны; b, a —
радиусы цилиндра и колонны; е — расстояние от оси
колонны до оси цилиндра
(рис. 36).
На нижней поверхности
цилиндра вертикальная со-
составляющая скорости долж-
должна равняться нулю, т. е.
(—з— I =0. На свободной
\ °z /г-0
45
поверхности давление
няется нулю; поэтому
дФ
Рис. 36.
рав-
где у—плотность; функция
F(t) может быть включена
в Ф, так как ее производные по координатам равны
нулю и, следовательно, она не влияет на распределение
скоростей; полагая, таким образом, в (8.3) F(t) = 0, по-
получим у -дг — 0 при z = h,n, следовательно, Ф(г, h, 8; t) =
= 0. Так как в начальный момент жидкость находилась
в покое, то Ф! (г, 8, /г) = 0.
Будем искать решение задачи в виде
Ф (г, z, 8; 0 = Ф, (г, z, 8) Г @ = S Ф» (г, 6) Тп (г)Г (t).
п=0

§8] РЕЗЕРВУАРЫ. НАПОЛНЕННЫЕ ЖИДКОСТЬЮ 251
Положим, что
Г„(г) = Ancosknz. (8.4)
Из условий на верхней поверхности имеем cos knh =
— 0. Следовательно, k — я/2/i, и при четных п в (8.4)
нужно положить Ап = 0.
Очевидно, что производная по z каждого из членов
ряда при z = 0 обращается в нуль, так как
2 <р„(/\ е)/'(Ол„*пsin*nz|0.
n=-I, 3, 5, • •
Функция ф„ удовлетворяет уравнению V2<pn — k2n2<pn — 0,
и, таким образом, рассматриваемая задача сводится к
решению уравнения Гельмгольца. Разыскивая решение
этого уравнения в виде
получим
оо
Фп (Г, 6) = 2 2_'Umn/m (ktir) + В°тпКт (knr)} X
X {Amn cos mQ + Втп sin mB), (8.5)
т -0
где Im(knr), Km(knr)—модифицированные функции
Бесселя соответственно первого и второго рода целого
индекса т.
Вследствие симметрии следует положить В'тп = 0
и выражение для CDi запишется в следующем виде:
a>i (г, е, z) = 2 2' S fcWm (*«/•) + smra/<:m (*«•)} х
m=0 n-I, 3, 5,
X cos&nzcosm0,
Если перейти к координатной системе, ось которой
совпадает с осью колонны, необходимо в (8.5) заме-
заменить г на г\, а 0 на р.

252 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
Будем искать функцию Oi в виде суммы двух рядов
00 00
<!>! = 2 2' S AmJm (knr) cos knz cos m9 +
m-0 n=l, 3, 5, ...
OO 00
+ 22' 2 ЯямКт (*Wi) cos ЙП2 cos mp. (8.6)
m=0 n=l, 3, 5, •••
Положим, что радиус колонны мал по сравнению с ра-
радиусом цилиндра, и возьмем во втором из рядов, вхо-
входящих в (8.6), только два первых слагаемых по индек-
индексу т. Таким образом, выражение для потенциала скоро-
скоростей принимает следующий вид:
00 ( ОО
Ф = 2 2 2 ' AmJm (ktir) COS «в + ВО/Ао
/1=1, 3, 5, ... I m=0
cos p | cos
Здесь символ 2', как и всюду, означает, что при сумми-
суммировании при т = 0 вводится множитель 4/г. Займемся
определением коэффициентов Атп, ВОп, Bin.
Для этого перейдем от координат ru p к координа-
координатам г, 9 и воспользуемся следующими формулами сло-
сложения бесселевых функций:
оо
Ко (knrt) = 2 2' Кт (knr) Im (kite) cos mQ,
m=0
00
Ki(knr{)cosp = 2 ^'Кm+1(knr)Im(kne)cosmQ,
0
Г[ = |/r2+ e2 — 2recos9,
Таким образом, из условия (8.1) на внешнем конту-
контуре получим после выполнения необходимых выкладок
- 2В0пК'у Jbnb) /v (Ые) - 4В)Х (knb) l[ (kne) + ф/(йя)
Л™= 27^6) *
где
l(-lf-m4/(nn) при v = l,
0 при v ф 1.

§ 8] РЕЗЕРВУАРЫ, НАПОЛНЕННЫЕ ЖИДКОСТЬЮ 253
Рассмотрим условие (8.2) на внутреннем контуре,
положив Г\ = а. Для того чтобы удовлетворить этому
условию, нужно все слагаемые (8.6), содержащие Атп,
с помощью соответствующих формул сложения перепи-
переписать так, чтобы перейти к системе координат гь р. Пос-
После этого можно собирать все слагаемые, содержащие
одинаковые множители cosvp; однако это не позволяет
удовлетворить условиям при всех v, так как с самого
начала было положено, что остались лишь слагаемые,
содержащие ВОп и Вт. Поэтому для определения ВОп
и В1п необходимо иметь только два уравнения; эти
уравнения можно получить, удовлетворив граничным ус-
условиям при v = 0 и v = 1.
Не приводя промежуточных выкладок, напишем
окончательный результат. Для определения ВОп и Вы
имеем два уравнения
где
oo
Cm = - 2 У!к'т (knb) -ttS- 7» (kna) 'm (kne) + Ко (kna),
m^O lm(knb)
Km (knb) -~~ /o (kna) Im (kne),
lm(knb)
oo
C2n =-2l[(kna)YrKm(knb)
mO
X [Im-i(kne) + /m+i(kne)] + 2/Ci(kna),
F2n = - f ^[h{kne)+I2(kne)] + (!)±
kn /[ (knb) я « kn

254
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
[ГЛ II
М
м
Если оставить в решении (8.6) вместо двух членов,
содержащих Втп, р таких слагаемых, то Лтп с помощью
условий на внешнем контуре можно выразить через р
неизвестных Втп. На внутреннем контуре можно было
бы получить р уравнений с неизвестными Bvn, где
v= 1,2, 3, .... р. '
Подробные вычисления проведены в работе [23].
Задача о прямоугольном резервуаре, движение кото-
которого происходит в направлении, параллельном одной из
сторон прямоугольника,
fit) образующего днище, яв-
f ляется значительно бо-
более простой и хорошо
изученной. Очевидно, что
если в выражение по-
потенциала скоростей по-
прежнему входит ряд
х 2 Ф« (х, у) cos knz, то
уп{х, у) = уп{х), т.е. соот-
соответствующая плоская за-
задача об определении
функции ф„ становится
задачей одномерной.
Задача о прямоуголь-
прямоугольном резервуаре в случае,
когда он движется по
прямой, не параллельной
сторонам основания, не-
несколько сложнее. В этом
случае основной трудно-
трудностью является при пред-
представлении потенциала ско-
скоростей в виде произведения f[ {t) 2 ф„ {х, у) cos йпгопреде-
ление функций цп{х, у), удовлетворяющих уравнению
У2ф„ — й2и2фп = 0 и граничным условиям, которые полу-
получаются из того, что стенка резервуара является непро-
непроницаемой. Эти условия сводятся к тому, что нормальная
производная функции ф„ на контуре равна некоторой
заданной функции точки контура. Для решения этой
задачи применим один из вариантов метода компенси-
компенсирующих нагрузок. Существо метода изложено в §5, ч. II.
Q
Рис. 37.

§ 8] РЕЗЕРВУАРЫ, НАПОЛНЕННЫЕ ЖИДКОСТЬЮ 255
Будем искать решение для резервуара, не имеющего
внутренних колонн, в следующем виде:
оо
Ф« {г, ф) = 2 AkIk {knr) [cos kQ + ak sin kQ],
k=i
и будем так подбирать коэффициенты Ah и аи, чтобы
удовлетворить в определенном смысле граничным усло-
условиям на контуре.
В качестве примера рассмотрим задачу об определе-
определении давления на стенки квадратного резервуара,считая,
что импульсивное перемещение f{t) направлено по его
диагонали. Будем искать функции фп(Л 9) в виде
7
ф«(г, 9)= 2 AmnIm {knr) cos m9,
m=l,3
где 9 и г — полярные координаты рассматриваемой точ-
точки (рис. 37). Потребуем, чтобы условия непроницаемос-
непроницаемости выполнялись в точках М, N, P, Q одной из сторон
квадрата, являющихся серединами отрезков, полученных
при делении стороны на четыре равные части. Очевидно,
что эти же условия будут выполняться и в соответствую-
соответствующих точках всех остальных сторон. Указанные условия
дадут следующую систему уравнений:
\ dljknr.)
+ А3пI 3Kdr l> cos39sinD5° + 9)-
- /з (knrt) j- 3 sin 39cosD5° + 9I +
+ A5n \^tH cos 5e sin D5o + e) _
- /5 {knr,) -i- 5sin 59cos D5° + 9I +
Г dl.lknr.)
+ A7n [ 7\r l) cos79 sin D5° + 9) -
-/7(*w,)i 7 sin 79 cos D5° + 9I= %=-{-\)
rf J ny2 n
(n-W
»

256 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ It
где п = 1, 3, 5, 7, i = M, N, P, Q (в нашем случае гм =
= Tq, Гц = Гр) .
Здесь нужно сначала положить п = 1, а затем п = 3.
Принимая следующие числовые данные: длина стороны
квадрата а = 1, высота слоя жидкости h = л, плотность
у = 1, и считая в соответствии с рис. 37
гл, = 1,25, гдг = 1,03078, /> = 1,03078, rQ = 1,25;
вл, = 0,1419, 6^ = 0,5404, 9Р = 1,0304, 9Q= 1,4289,
получаем при п = 1 следующую систему уравнений:
0,41321Л и + 0,00616Л 31 + 10-0,209^51— 10-7-0,58Л71 =
= 0,90032,
0,41177Лц — 0,00246Лз1 — Ю • 0,479Л51 — Ю~7 • 0,84Л71 =
= 0,90032,
0,32008Лц - 0,00815Л31 + 10~5 • 0,56Л51 + Ю- 0,117Л71 =
= 0,90032,
0,21809^11 — 0,01104^31 + 10- 0,1093Л51 —Ю-0,403Ап=>
= 0,90032.
Решая ее, получим
Ли = 2,33813, Лз1=-17,0810, Л51=2003,44, Л71 = 42569,9.
Аналогичным образом при п = 3 имеем
Л13= - 0,14973; Л33 = 0,28253; Л53 = —1,45713;
Л та = —0,19584.
Теперь, сохраняя в выражении для потенциала скоро-
скоростей только слагаемые с п = 1 и п = 3, можно легко най-
найти давления на стенки по формуле
7
Р=-Vf"@ 2 2 AmJm{knrt)cosm9t-.
n=I,3 m=I,3
§ 9. Плоские тепловые волны в полупространстве
и слое; тепловые волны в стержне
В этом параграфе рассматриваются некоторые одно-
одномерные задачи теории тепловых волн, описываемые диф-
дифференциальными уравнениями с переменными коэффи-
коэффициентами, которые приводятся к уравнениям Бесселя.
Расположим плоскость оху в одной из двух Парал-
Параллельных плоскостей, ограничивающих слой; ось г на-

§ 9] ПЛОСКИЕ ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ 257
правлена внутрь слоя, толщина которого равна h. Будем
рассматривать только задачу о плоских волнах, т. е.
положим, что температура точки слоя Т(х, у, z, t) =
= f(z,O.
Задачи о плоских тепловых волнах в слое детально
рассматриваются в строительной теплотехнике в связи
с изучением влияния периодических изменений наруж-
наружных температур на тепловые поля в ограждениях — сте-
стенах и покрытиях зданий; эти задачи представляют инте-
интерес и в других технических вопросах, а также в задачах
геофизики. Так, например, при изучении тепловых полей
в верхнем слое почвы, возникающих вследствие суточ-
суточных колебаний температуры, приходится решать задачу
о тепловых волнах.
В задаче о тепловых волнах в грунте обычно прини-
принимают объемную теплоемкость постоянной, а коэффи-
коэффициент теплопроводности считают заданной функцией ко-
координаты z, т. е. полагают, что k = k(z) зависит от глу-
глубины. Случай, когда k(z) является линейной функцией
глубины, был рассмотрен А. Ф. Чудновским [58]. Реше-
Решение этой задачи получается в бесселевых функциях ну-
нулевого индекса. Более сложную задачу о тепловых вол-
волнах в слое с переменными теплофизическими характе-
характеристиками разобрал А. А. Дородницын [14].
Здесь будет рассмотрено несколько задач о тепловых
волнах при различных законах изменения коэффициен-
коэффициента теплопроводности k(z) по глубине слоя. Дифферен-
Дифференциальное уравнение теплопроводности в рассматривае-
рассматриваемом случае имеет вид
4И4] (9Л)
Граничные условия задач о тепловых волнах должны
содержать в правой части заданные функции времени
типа DnSinnt и D^cosxf, где % — круговая частота из-
изменения теплового воздействия. Для примера запишем
граничные условия первого и второго рода рассматри-
рассматриваемой ниже задачи о слое.
В первом случае должна быть задана температура
при z = 0 Т = Dlsm%t + D2cob%t, (9.2)
при z = h Т = D3s'mx.t + Dtcosnt. (9.3)
9 Б. Г. Коренев

258 ЗЛД.\ЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ [ГЛ II
Во втором случае задается величина потока тепла
через границы слоя:
при z = 0 q = D\sinxt + D2cosx,t,
при z = h q = Dl sin nt + D] cos xt,
где q — поток тепла.
При решении задач о тепловых волнах будем пола-
полагать, что температура в слое равна
T{z, t) = ф! {zjsinnt + ф2 (z) cos и/, (9.4)
а поток тепла в направлении оси z равен
q{z, t) = 'ф1 (z)sinxt + i|J(z) cos и/.
Очевидно, что
г|), (z) = - X (z) d<p, (z)/dz, г|J (z) = - X (z) dq2 (z)/dz.
Внося выражение (9.4) в (9.1) и приравнивая множи-
множители при sin xt и cos y,t, получим следующую систему
уравнений:
?[*^] (9.5)
0-6)
Умножив уравнение (9.5) на i и сложив его затем с
уравнением (9.6), получим
Введем обозначение Ф{г) = cpi(z) +1^2B;); тогда (9.7)
можно записать в следующем виде:
В некоторых случаях будет удобно вводить в рассмотре-
рассмотрение функцию
Ч> (z) = г|>, (z) + ify (z)=-l (z) dO/dz. (9.9)
Поток тепла q(z) при постоянном с удовлетворяет урав-
уравнению
d2q _ с dq

§ 9) ПЛОСКИЕ ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ 259
Из приведенных выше зависимостей легко получить сле-
следующие уравнения для функций грь грг:
^J(9.10)
(9.11)
Из (9.10) и (9.11), пользуясь обозначением (9.9), на-
находим
Перейдем к рассмотрению различных законов изме-
изменения коэффициента теплопроводности.
Рассмотрим сначала задачу о тепловых волнах при
коэффициенте теплопроводности, изменяющемся по сте-
степенному закону: пусть k{z) = ЯоA + daz)-m.
В этом случае дифференциальное уравнение (9.8)
примет вид -jr- \?~т-^-) = г2Ф, где t, = l+dt>z, б2 =
= cxlkodl; заметим, что б и Z, являются безразмерными
величинами.
Полученное уравнение, которое мы перепишем в виде
//2ff) m /iffy „, _
4^-f ^-О2Ф = 0, (9.12)
является частным случаем уравнения
~"'21 '=0. (9.13)
Уравнение (9.13) с помощью замены переменных у =
= л:ау, 2 = Pjcv (см. стр. 47) может быть сведено к урав-
уравнению Бесселя относительно функции v и, таким обра-
образом, имеет решения типа у = jc°Zp(Pjcv). В нашем слу-
случае 1—2а = —m, a2 = /?V, 2(Y— 1) = т, -i62 = PY
и поэтому при нецелом (т + 1)/(т + 2) решение урав-
уравнения (9.12) может быть записано в следующем виде:
26 г
26

260 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
Если (т + 1)/(т + 2) — целое, то
26 »(m+2)/2
+ 2 g
B) f 26 (т + 2)/2
1)/B)^ g
(т + 2)/2 ,/ г\ 1 /Q I
g К ~ ' J | • (9.1
Заметим, что, приняв в качестве искомой функции
мы получили бы дифференциальное уравнение
Если 1/(т + 2)—нецелое число, то решение этого
уравнения имеет следующий вид:
если 1/(т + 2) — целое число, то
iAITfm/2+1
Покажем, как найти действительные функции фь фг,
i|)i, г|J, входящие в решение задачи о тепловых волнах.
Для примера остановимся на определении ф1 и фг в
случае, когда Ф определяется по формуле (9.15). Обо-
Обозначим Ai = Bi + iB2, Аг = В3 + iBk, где В и В2, Bs, B4 —
действительные числа.
Обозначим
/v(z Y~l) = «v(г) - ivv (z), H(?(z V^=7) = fv(z)-igv(z).
Внося в выражение (9.15) вместо Ль А2 их значения,
а вместо /v(z), M2) (z) правые части равенств E.11),
E.12) и разделяя действительную и мнимую части,

ПЛОСКИЕ ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ 261
получим
„, _f(l+m)/2 f R „ ( 26 Нт+2)/2
ф,—С, )Dl"(m+l)/(m+2)^m + 2 *>
^т у"*" °з'(+1)/() \т + 2 ^ Ш+2 )
ф2 =
*> т J~ °з?(т+1)/(т+2)\^Г+2^т
+ 2 * J ^
(^)[ (9-19)
Решение задач о тепловых волнах в слое здесь вы-
выражено через бесселевы функции комплексного аргумен-
аргумента. Очевидно, что с практической точки зрения в первую
очередь следует использовать такие решения, которые
выражаются через табулированные функции.
Известно, что функции комплексного аргумента х Yi
протабулированы для значений индекса 0; 1 и 1/3.
Остановимся на этих трех случаях.
1. Для первого из них v = (tn + l)/(m + 2) = 0. Та-
Таким образом, т = —1. Это означает, что коэффициент
теплопроводности изменяется по линейному закону;
здесь мы имеем упомянутую выше задачу, разобранную
А. Ф. Чудновским [58].
В этом случае
Ф = AihB6?!/2 Y^l) + А2Н^B6?'/2 V^i). (9.20)
Обозначая для сокращения записи 26 V%> = I. получим
Ф, = Я,Ио (|) + B2v0 (|) + В Jo (|) + В4?0 &)¦ (9.21)
Функция ф2 может быть с помощью формулы (9.6)
выражена через ерь поэтому
ф2 = - В,у0 (|) + В2и0 A) - B3g0 (I) + Btfo (D- (9-22)
Функции «о, v0, fo, go и постоянные Si, В2, В3, В4 —
вещественные.
Для определения Bit Bz, B3, Bit нужно обратиться к
граничным условиям. Разберем случай, когда заданы

262 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
граничные условия первого рода; если внести q>i и фг из
выражений (9.21) и (9.22) в (9.4), а затем в (9.2) и
(9.3) и приравнять коэффициенты при синусах и при
косинусах, получим
?>2 = Ф2 Fо)>
D3 = Ф1 (W,
При 2 = 0 ^ = 1 и, следовательно, |0 = 26; при г = h
? = I + doh и поэтому |А = 26 \Л +doh. Запишем полу-
полученную систему в развернутом виде:
В,«о (So) + B2fo (h) + Вз/о (lo) + Bigo (У = ?>„
В i v0 Fo) ~ B2u0 Fo) + B3g0 (|o) - В Jo (h) = - D2,
2Уо Fft) + B3f0 ffiA) + 64^0 Fft) = #3,
После того как из этой системы уравнений будут опре-
определены Ви Bz, B3, Bi, задачу можно считать решенной.
В частном случае /г-voo следует положить Si = 0,
В2 = 0, так как функции и0 и v0 неограниченно возра-
возрастают при |—*¦ оо.
При этом
Vi-BJoM + Btgoit), (9.23)
Ф2=-Вз&>F) + В4Ш- (9-24)
2. Перейдем к рассмотрению такого закона изме-
изменения коэффициента теплопроводности, при котором
решение выражается через функции индекса 1;
пусть (т + \I{т + 2)= — 1, тогда т = —3/2 и
Я = ЯоA + dozL*. Решение задачи, даваемое формулой
(9.15) при т = —3/2, имеет вид
Ф = ?-I/4Mi/-i D6 V^tU) + A2HA\ D6 /^7?Vi)}. (9.25)
Перейдем к функциям положительного индекса с по-
помощью формул
m_i(z)=-u,(z), f_,(z)=-fl(z),
V-i(z)= - y,(z), g-i(z) = -g,(z),

§ 9] ПЛОСКИЕ ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ 263
Таким образом, функции q>i и ср2 можно записать в
следующем виде:
Ф, = Г'Л {5i«i (Л) + B2V[ (тО + Вз/, (тО + Bigl (n)}, (9.26)
ф2 = rV<{- BlV[ (тО + fl2u, (тО - В3?, (тО + В4/, (тО}, (9.27)
где т] — 46?|/4.
3. Рассмотрим случай изменения коэффициента теп-
теплопроводности, когда
(т+1)/(т + 2) = '/з;
отсюда имеем т = —1/2, и, следовательно, в этом
случае
Я = Яо \A+doz.
Нам удобно записать решение в виде
(9.28)
Решение поставленной задачи о тепловых волнах в
слое с коэффициентом теплопроводности, изменяющим-
изменяющимся по степенному закону, может быть выражено через
элементарные функции в том случае, когда в (9.19) вхо-
входят бесселевы функции полуцелого индекса. Найдем та-
такие значения т, при которых индекс бесселевой функ-
функции, равный v = (т + \)/(т + 2), есть целое число с
половиной.
Положим, что (т + 1)/(т + 2) = п + 1/2, где п —
целое число. Дадим п последовательно значения: п =
= 0, 1, 2, 3; при этом получим соответственно т = 0, —4,
—8/3, —12/5. Случай т — 0 не представляет интереса,
так как он соответствует задаче о слое с постоянным
коэффициентом теплопроводности.
Разберем для примера в общих чертах случай п = 1;
при этом т = —4 и, следовательно, Я, = ЯоA + doz)i.
Функция Ф(г) может быть записана в следующем виде:
Ф = Г72 М,/*/,(бГ' V^) + А21-ч, (вГ' V^T)}. (9.29)
Обозначим
/-•/,(z V±T) = u_./,(z) ± fo-«/,(z),
/•/, (z /±7) = U./, (Z) ± IO-/, (Z).

264 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. II
Кроме того, введем обозначение 6?-' = |ь тогда реше-
решение задачи можно написать в виде Ф = q>i + ирг, где
Ф, = ?-''' {Вт-;, (h) + B2v-Vj (I,) + В3ш,2 (|i) + BtV4, F0).
ф2 = Г>А {- 5,0_./, (|0 + В2«_»,2 (Ю - 530»/, F0 + В4«>/2 (SO)-
Температура в слое по-прежнему будет выражаться
формулой Т = ф! sin xt + фг cos и*.
ДЛЯ ВЫЧИСЛенИЯ ФУНКЦИЙ Ы3/2> u_s/2> Рз/> У_з/2 МОЖНО
воспользоваться (см. G.4)) формулами
/./,B) = B/(nz))'/2(sinz/z- cos 2),
/_i/, B) = B/(Я2) )'/2 (- C0SZ/2 - Sin 2).
Нам нужно в эти формулы внести 2 = х YT, а затем
найти мнимую и действительную части полученного вы-
выражения. Имеем
sin (х УТ) = sin \xj /2 + xij У2 ] =
= sin(x/1^2) ch(x/\/2)+г cos(x//2) sh (x//2),
cos (x V7) = cos [х/1/2 + хг/1/2~] =
= cos (х//2) ch (х/ /2)- г sin (*//2~) sh (x//2),
откуда
/±v,(* уТ)-B/(я*уТ))''"х
Не представляет труда получить решение аналогичной
задачи, если К(г) изменяется по экспоненциальному
закону (см. [20]).
§ 10. Штамп, лежащий на упругом полупространстве,
модуль упругости которого является степенной
функцией глубины
Вопрос о распределении давления по подошве штам-
штампа, вдавливаемого в упругое полупространство, при-
привлекал внимание многочисленных исследователей. Ряд
важных задач о штампах решили Н. И. Мусхелиш-
вили, А. И. Лурье и др. Особенно детально этот вопрос

§ 10] ШТАМП НА ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ 265
разобран в монографиях И. Я. Штаермана [60] и
Л. А. Галина [9]. Большинство этих работ посвящено во-
вопросу о штампе, лежащем на упругом однородном полу-
полупространстве.
В этом параграфе формулируется задача о штампе,
лежащем на основании с однородным осесимметричным
ядром, т. е. предполагается, что осадка точки (х, у)
основания от единичной вертикальной силы, приложен-
приложенной в точке (|, ti), будет функцией только расстояния
между этими точками К (г) = К (У{х — ?J + (У ~ лJ )•
Эта задача решается для случая, когда модуль упру-
упругости основания изменяется с глубиной по степенному
закону.
Если на поверхность основания действует нагрузка
р(х,у) (для сокращения выкладок положим, что р—
четная функция относительно каждой из координат), то
оо оо
о» (х, У) = / / с (Уг\ + г\ ) a (z,, z2) cos zxx cos z2y dz{ dz2t
о о
oo oo
p(x, y)= J J a(zu z2) cosz{xcosz2y dZi dz2,
о о
oo oo
a (zu z2) =-^2 \ J p(x, y) cos zxx cos z2y dxdy,
о о
oo oo
c{zu z2) = J J K{x, y) cos zxx cos z2y dy dx.
о о
где
«-oo —oo
Если положить, что для точек В(х,у), находящихся
в пределах области F, осадка w — qp(x,у), а для точек,
находящихся вне этой области, р(х, у) = 0, причем ср(х, у)
есть известная, а р(х,у) неизвестная функции, то задача
о штампе формулируется следующим образом:
в пределах области, занятой штампом,
оо оо
J J c{zu z2)a{zu z2)cosz1xcosz2ydz1dz2 = (p{x, у),
о о

266 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
вне этой области
оо оо
a{zu z2) cosz,x cosz2ydz, dz2 = 0.
о о
Решая эти уравнения относительно функции a(zuz2),
можно затем легко найти р(х,у).
В осесимметричном случае, используя интеграл Пар-
севаля, получим
оо оо
2~ p(Yxz+ (/2)cosz, x cos zzydxdy =
— оо —оо
оо
о
где
— 1/ ?% _l ^2 •- ==х Л/ *-2 _l /»2
у Л-1 | К/п j / у Л I I/ •
Таким образом,
a (y) = 2p (v)/n, A0.2)
и задача о штампе радиуса R, имеющем осадку wo(r),
будет формулироваться следующим образом: ,
оо
J Ус (Y) а (у) /0 (Yr) dy = 2wo/n, r<R,
о
оо
J Ya (y) /о (У) dy = 0, r>^,
о
где
оо
с (у) = 2л J гД" (г) /0 (Yr) dr.
о
Если обозначить r/R = р, y# = Р, то а (у) = а ф/R) = а, (Р),
= Ci(P)> wQ(r)=wl(p) и
оо
J рс, (Р)а, (р) /0(рр)dp = 2/?a»;(р)/я, р<1, A0.3)
0
оо
Jpa,(p)/o(pp)d|3 = O, р>1. A0.4)

§ 10] ШТАМП НА ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ 26?
Решение этой системы уравнений для случая, когда
с4(Р) является степенной функцией, хорошо известно
(см. § 22); оно и будет использовано ниже при рассмо-
рассмотрении штампа, находящегося на основании с модулем
упругости, изменяющимся по степенному закону.
В этом случае ядро имеет вид
Положим, что модуль упругости увеличивается с глуби-
глубиной, т. е. п > 0.
В этом случае
с (у) = 2п\ гК (г) /0 (yr) dr =
Обозначим для сокращения записи
2'-" Г(A-в)/2)
Еп
тогда уравнения A0.3) и A0.4) примут вид
оо
Jf(p)/o(pp)dp = O, 1<р<оо,
о
Положим 1 > п > 0, тогда a < 0 и решение задачи
можно получить, используя результат, приведенный на
стр. 126; учитывая, что правая часть второго интеграль-
интегрального уравнения обращается в нуль, а индекс функции
Бесселя равен нулю, получим формулу
[1
V+al2Jal2(®l y(\-y2f2g(y)dy +
о
1 1 -¦
¦f J U A - U2f2 du\g (Уи) (p(/J+a/2/l+a/2 № dy .
0 0 J

268 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
Если положить g = go = const, т. е. считать, что штамп
имеет плоскую нижнюю границу, то в результате выкла-
выкладок, которые сводятся к определению f(p), а следова-
следовательно, и ai(P), получим при помощи соотношений
A0.2) и A0.1), что реактивное давление
J P(I-")/2'<
Теперь задача сводится к вычислению несобственного
интеграла Вебера — Сонина — Шафхейтлина, которое
в нашем случае приводит к следующему результату:
"go
§ 11. Применение интегральных уравнений
к решению некоторых задач
о мембранах и пластинках
В этом параграфе рассматривается несколько задач,
сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма
второго рода, ядра которых выражаются через бессе-
левы функции.
Рассмотрим сначала зад'ачу о вынужденных колеба-
колебаниях мембраны, которая сводится к решению внутренней
задачи для уравнения
при условии, что на контуре С (простом, кусочно глад-
гладком), ограничивающем рассматриваемую область (ко-
(конечную, односвязную), w = w(o) = f, где с— дуговая
координата точки контура.
Представим решение задачи истокообразно в виде
w (с) = J |х (s) К] (о, s) ds,
где |x(s) — некоторая подлежащая определению плот-
плотность моментов, векторы которых направлены по каса-
касательной к контуру; s — дуговая координата текущей

§ 11] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 269
точки контура; уравнение упругой поверхности мембра-
мембраны, к которой приложен сосредоточенный момент, можно
представить в виде
Kl-Y^r) COS fa, Г), A1.1)
па — нормаль, г = У(х — If + (у — цJ, х, у— координаты
точки наблюдения, принадлежащей рассматриваемой об-
области; |, Ti — декартовы координаты точки контура, имею-
имеющей дуговую координату о.
Как это следует из разложения цилиндрических функ-
функций второго рода с целым индексом в степенные ряды,
ядро К\ можно представить в виде
У, (г) cos (па, г) = (- 2/(яг) + я|>) cos (л,, г), A1.2)
где \|з — регулярная функция; отсюда, пользуясь резуль-
результатами классической теории логарифмического потен-
потенциала, сразу получаем интегральное уравнение для опре-
определения |x(s)
2ц(а) + jix(s)K\(s, а,
Единственность решения этого уравнения следует из
того, что ядро (П.1) является мнимой частью потенциа-
потенциала, удовлетворяющего принципу излучения Зоммер-
фельда; исследование существования и единственности
решения проводится обычным путем.
Вводя ядро K*2 = Y0 (r), можно получить интегральные
уравнения для задачи Неймана.
Вопрос о получении, исследовании и решении уравне-
уравнений этого типа в задачах о распространении плоских волн
неоднократно и подробно обсуждался в литературе.
Здесь в первую очередь должны быть названы работы
В. Д. Купрадзе [29]. Для неограниченной плоской области
в ядра интегральных уравнений входят функции Ганкеля
второго рода, что позволяет удовлетворить условиям на
бесконечности, представляющим принцип излучения Зом-
мерфельда.
Перейдем к задаче, в которой ядром интегрального
уравнения является модифицированная функция Бесселя.

270 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. II
Рассмотрим равновесие мембраны, лежащей на упру-
упругом винклеровском основании; эта задача сводится к ин-
интегрированию уравнения
У2ш-Я2ш = 0. A1.3)
Рассмотрим внутреннюю задачу, положив, что на кон-
контуре w = f. Представим решение задачи в виде
с
где /С, = /Сj(г)cos(ns, гJ/я; Ki(r) —функция Мак-
дональда первого порядка; замечая, что для ядра /С*
также справедлива формула, аналогичная A1.2), полу-
получаем для определения ц, уравнение Фредгольма: —2^(о) +
+ Г |х (s) K\ (s, o)ds = f (о).
с
Очевидно, что решение уравнения A1.3), представлен-
представленное интегралом A1.4) для бесконечной области, при ус-
условии, что на С w = 0 или dw/dn = 0, есть тождествен-
тождественный нуль. Это непосредственно следует из асимптотиче-
асимптотического разложения функции Макдональда /(„(г) при боль-
больших значениях аргумента
, . Г(р + т + '/2)
где (р, т) = т, г /р —т + V ) ' в нашем слУчае положим
Отсюда несложно доказать, что интегральное уравне-
уравнение этой задачи имеет решение и притом единственное.
В задачах теории теплопроводности и, в частности,
при рассмотрении плоской задачи теории тепловых волн
возникают задачи, подобные рассмотренным выше, од-
однако отличающиеся от них тем, что ядра выражаются че-
через цилиндрические функции комплексного аргумента;
они рассматривались в [20].

§ 11] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 271
Перейдем к рассмотрению плоских задач, которые
сводятся к системе двух уравнений Гельмгольца. Такие
задачи возникают, в частности, в теории дифракции пло-
плоских упругих волн. Их подробно рассматривал В. Д. Ку-
прадзе [29]. Эти задачи сводятся к решению системы
двух сингулярных интегральных уравнений с ядрами,
выражающимися через цилиндрические функции; в ре-
результате регуляризации эти уравнения переходят в ин-
интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Здесь
будут рассмотрены задачи о пластинках с защемленным
краем; граничные условия этих задач существенно от-
Личаются от тех, которые были рассмотрены в дифрак-
дифракционных задачах. Здесь будет в большой мере использо-
использована работа Лауричелла [70], который с помощью введе-
введения специальных потенциалов свел первую основную
задачу бигармонического уравнения к интегральным
уравнениям Фредгольма второго рода. Интересно отме-
отметить, что введенные Лауричелла потенциалы тесно свя-
связаны с основной функцией Грина бигармонического урав-
уравнения, которая с точностью до постоянного множителя
имеет вид К(г) = г2\п г, г = У(х — If + (у — г\J. Введен-
Введенные им потенциалы можно легко выразить через функ-
функцию К {г) следующим образом
"О дх2 > v0 "О дх ду • V0 ду2 •
Рассмотрим задачу о пластинке, лежащей на винк-
леровском упругом основании, занимающей конечную
односвязную область и ограниченную простым контуром
с непрерывно вращающейся касательной. Задача о рав-
равновесии пластинки, лежащей на упругом основании, сво-
сводится, как уже отмечалось в предыдущих примерах, к ин-
интегрированию дифференциального уравнения V2V2ffi> +
+ №w = q/D, где Я4 — положительное постоянное число.
В нашем случае граничные условия на контуре имеют
вид &> = 0, -~ = 0. Обозначим
Решение будем искать, сводя задачу к решению одно-
однородного дифференциального уравнения при неоднородных

272 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ [ГЛ II
граничных условиях, которые запишем в таком виде:.
w = f I (s), dw/dn = f2 (s).
r\ /i i i»\ ди до
Заметим, что из A1.5) следует ~я~ = ~д~-
Пусть М (х, у) — точка области; Р (|, г|) — точка кон-
контура,
« ¦./-, ..о . , го- 1 дг 1 дг
Г АУ(л:|J + (г/Т1J СО5ф
где ф — угол, составленный радиус-вектором г и осью х.
Введем функции (обозначения go(r), g2(r) см. на
стр. 22):
К = ?2 (О cos 2Ф ~ §о (г)> К = ё2 (г) sin 2Ф,
vо = ?2 (r)sin 2Ф. ио' - ~ ?2 (r)cos 2(P ~ ?о (г)-
Между этими функциями существуют соотношения
ди0 ovq ди0 до0
И
ду = дх #
Функции Ug, Уц, и", у" можно записать в виде
v'o = [- 1/я + ^;] sin 2Ф, < = [ - 1/я + Щ sin 2Ф,
где ^; (г) = 2 Атг*» + 2 fim'-4 In г,
т=\ т=\
Образуем функции и = -^--^—и у =-^-^—с помощью
выражений

§ 11] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 273
которые удовлетворяют однородному дифференциаль-
дифференциальному уравнению и соотношению A1.5); здесь па означает
внешнюю нормаль.
Перепишем ядра выражений A1.6) и A1.7) в виде
du'o 2 2 cos (n, r)
(I)i2i( )
dv0 2
-—= Ф2-| СО8 2ф8ш(я, Г),
Аи'! 2
-=Ф2-| СО8 2ф8ш(я, Г),
drir
»о . , 2 2 cos(«, r)
— = Фз+— sin2q>sin(n, г)- —
dna ~3 ' яг
Здесь Фь Фг, Фз — регулярные функции.
Положим, что точка М области стремится изнутри
к контуру; тогда, принимая во внимание формулы тео-
теории логарифмического потенциала, получим интеграль-
интегральные уравнения для определения ц и р
u(ff)=-2p(or) + v. p.Jp(s)[~^rsin2q>sin(n,
с
+ v. p. J ц (s) [~p cos 2Ф sin (n, r) + Ф2] ds, A1.8)
с
i>(a) = -2|*(<r) + v. p. j p (s) [-^r cos 2ф sin (rt, r)+O2Jrfs +
c
+ v.p.jn (s) [-^r sin 2Ф sin (n, г) + Ф3] ds. A1.9)
с
В уравнениях A1.8), (П.9) интегралы понимаются
в смысле главных значений.
Эти уравнения образуют систему сингулярных инте-
интегральных уравнений. Преобразуем полученную систему
в регулярную. Процесс регуляризации проведем, следуя
С. Г. Михлину, который в [38] свел систему сингулярных
интегральных уравнений плоской задачи теории упруго-
упругости анизотропной среды к регулярной системе.
Для этого прежде всего заметим, что выражения
sin (n,r)/r, имеющие особенность типа простого полюса,

274 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
можно записать в виде
sin (я, г) , 1 , x — t
YLds = ctg
dr + p(t, т),
где т, t — параметры, меняющиеся от 0 до 2я; p(t,x) —•
непрерывная функция. Для регуляризации можно вос-
воспользоваться формулой Гильберта
2Л I 2Л
l
2Л
о
Перепишем полученную ранее систему в виде
Lj= - 2p(or) +v. p. j p(s)[--^rsin2qpsin(n, r
c
Г Г 2
+ v. p. n(s) —cos2<psin(n, r) + O2
С
Г Г 2 1
L2 = — 2ц. (or) + v. p. p (s) —— cos 2ф sin (n, r) + Ф2 ds +
.' L ЛГ J
С
+ v. p. и (s) [— sin 2ф sin (n, r) + Ф31 ds = u, (or).
с
Положим
li(^p Pi)= 2Pi H +
+ v. p. J pi(s)^- -^p sin2qism{n, г) + Ф,]^5 +
с
+ v. p. J Hi (s) [-^r cos 2ф sin (n, r) + Ф2] ds,
с
-Ч(Мч> Р,) = 2ц., (or)+
+ v. p. J Pi (s) [-Jr cos 2ф sin (n, r) + Ф2] ds +
с
Г Г 2
v. p. I (s)[

11] ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 275
Если мы образуем систему интегральных уравнений
и воспользуемся формулой Гильберта, то получим регу-
регулярную систему уравнений
2р(сг)+ ... =L\(uv и,),
2ц(о) + ... =l;(Ui, у,).
Здесь многоточием обозначены регулярные интегралы.
Задача об установившихся колебаниях пластинки, за-
защемленной по контуру, сводится к интегрированию урав-
уравнения
- X4w = 0.
В этом случае функции и'о, v'o, и", v" нужно взять
в следующем виде:
< = [Y2 @ + |-^2 И] COS 2ф + Уо (Г) -±К0 (Г),
< = - [Y2 (г) + ^К2 (г)] cos 2Ф + Уо (г) -|-/Г0 (г),
Легко убедиться в том, что
ди0 dv0 ди0 ди0
ду дх ' ду дх
Задача об изгибе пластинки, сжатой гидростатиче-
гидростатическим давлением р, сводится к интегрированию диффе-
дифференциального уравнения D^SPw + pV2w = q(x,y).
Для пластинки, защемленной по контуру, задача сво-
сводится к интегрированию этого уравнения без правой ча-
части при следующих условиях на контуре u(s) =fi(s),
v{s) = /2(s), где по-прежнему и=-^-, v = -^-.

276 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
Для решения этой задачи следует ввести функции
Y0(r),
Получение интегральных уравнений в двух последних
задачах проводится также, как и в предыдущей задаче
о пластинке на упругом основании.
§ 12. О распространении волн в линиях
электропередач
Рассмотрим задачу о распространении волн в линиях
электропередач [55].
Напряжение и ток в однопроводной системе обозна-
обозначим соответственно v и i\ кроме того, обозначим индук-
индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость соот-
соответственно L, С, R, G. Как известно, напряжение и ток
удовлетворяют следующей системе уравнений:
__di_ = c^- + Gv, A2.2)
если R = 0, G = О, линия называется неискажающей,
а система уравнений A2.1), A2.2) приводится к хорошо
изученному одномерному волновому уравнению
d2v _ r r дЬ>_
дх2 ~ LL dt2 '
В общем случае система уравнений A2.1), A2.2) при-
приводит к дифференциальному уравнению второго порядка,
иногда называемому телеграфным уравнением
аналогичное уравнение можно записать и относительно
функции t.

§ 12] ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ 277
Такое же уравнение получается при рассмотрении за-
задачи о колебаниях струны, имеющей вязкое сопротивле-
сопротивление и опирающейся на упругое основание; в этом случае
прогиб струны w удовлетворяет уравнению
kw O, A2.3)
где ka—коэффициент постели, Т — натяжение, m — по-
погонная масса, у — число, характеризующее зависимость
диссипативной силы от скорости.
В обоих случаях, очевидно, предполагалось, что все
физические характеристики постоянные, а возмущения
приложены только по концам линии электропередачи
или струны.
Поскольку у читателя может возникнуть желание
рассмотреть некоторые аналогии между поставленной
здесь задачей и ранее рассмотренными задачами меха-
механики, будем при изложении исходить из уравнения A2.3).
При этом физическая интерпретация будет строиться для
задачи о продольных колебаниях стержня постоянного
сечения, находящегося в упругой среде; здесь только
нужно будет в уравнении A2.3) полагать, что w — про-
продольное перемещение, заменить Т на EF, где Е — модуль
упругости, F—площадь поперечного сечения, ka — коэф-
коэффициент постели, отнесенный ко всему периметру сече-
сечения; заметим, что производная искомой функции w по
координате х связана с нормальной силой соотношением
N = EF-~—. Проведем сначала необходимые выкладки
в случае, когда затухание отсутствует. Рассмотрим полу-
полубесконечный стержень, начало координат примем в его
конце, ось х направим в сторону стержня. Положим, что
на конце стержня действует сила 1 -е~ш, тогда при у = О
решение уравнения A2.3) имеет вид
w —
где р = — Ы, ii = VkJT, с = ]/Т/пг.
Рассмотрим задачу о действии единичного мгновен-
мгновенного импульса. С физической точки зрения следует
рассмотреть суперпозицию гармоник, дающих в сумме
мгновенный импульс. Если воспользоваться терминоло-

278 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ II
гией операционного исчисления и рассматривать не за-
зависящий от времени сомножитель A2.4)
как изображение некоторой функции ty(x,t), т. е. счи-
считать, что г|)(х, t) удовлетворяет соотношению
'(х, р) = J e~Px^(x, t)dp,
то 1|з(х, t) и является искомым решением.
Вычисление оригинала дает
О, t < х/с,
W (x t)= г / г ч
Ш\л,1) _?_ . / ,/,2 _ ( /с\2) t~> xlc
гр J Q \(-*1^ у v I Л/1/I /j Ь ^^- Л/ U •
Решение в случае, когда уравнение A2.3) содержит
первую производную по времени, положив у = Ьх, запи-
запишем в виде
L е~ПсЧ^ (с Vv?-rf<? VP-x^Ic1), t > х/с,
I 0, t<x/c,
где п = Ьх/{2Т).
Если затухание вызвано внутренним трением, то, по-
положив EF = ГоA —Ы), где S'Cl, получим
и = -y==r [Re /о (р,^) -1 Im /0
где р, = К
х2д
х2д 1 / б \ /
tg<P= Г~2 гТТ' с = со 1--0. со=уТо/щ, г|з=2б.
Не представляет никакого труда рассмотреть задачу
о действии импульса, изменяющегося по произвольному
закону.

ПРИЛОЖЕНИЕ
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ГАММА-ФУНКЦИЯХ
Гамма-функция аргумента г, которая называется также эйлеро-
эйлеровым интегралом второго рода и обозначается Г(г), определяется
с помощью равенства
Г (г)= e'V-'dx. A)
Этот интеграл сходится, если Re г > 0.
При Re г > 0 функция Г(г) является регулярной, с помощью
аналитического продолжения можно рассмотреть Г(г) при Re г < О
и показать, что она является мероморфпой и выражается формулой
Г (*> " L ЧГ- TTW + е-1?~Х dt. Re z < 0. B)
Отсюда видно, что функция Г (г) имеет простые полюсы в точках
г = —п, где п = 0, 1, 2, .,. Основное свойство гамма функций вы-
выражается равенством
гГB)=Г(г+1), C)
которое легко получить из A).
Полагая, что г находится внутри отрезка [0, 1], можно, пере-
перемножив Г(г) и ГA—г), представленные с помощью формулы A),
после несложных выкладок получить важную формулу
Т (г) Т (I - г) = n/sin пг. D)
По принципу аналитического продолжения формула D) распростра-
распространяется на всю плоскость комплексного переменного Приведем еще
два функциональных соотношения
г (V. + *) г (•/,-*)--5=-, E)
Г(г)ГA-г)
последнее является следствием D), E)
Формула удвоения гаммй функций имеет вид
G)

280 ПРИЛОЖЕНИЕ
Через гамма-функции выражается интеграл
я/2
О
(8)
Для логарифмической производной гамма-функции
имеет место следующее разложение*
о
[I] A0)
где С — постоянная Эйлера; ее приближенное значение равно
0,5772157.
Если я — целое положительное число, то
1|)(я+1) = -С+1+'/2+ ... +1/Я. (И)
Приведем частные значения гамма-функции
оо
ГA) = ГB)= Г e~xdx = l, A2)
о
оо
Г('/2)= Г e-xx~ll*dx = fn. A3)
о
Если я — натуральное число, то
Г (я) = (я-1I, A4)
A5)
где Bя — 1)!! " 1-3-5 ... Bя—1).
Более полные сведения о гамма функциях приводятся в [31, [311,
[53], [72].

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Наиболее подробным руководством по теории бесселевых функций
является известный трактат Г. Н. Ватсона «Теория бесселевых функ-
функций» [7] В курсе Г. Н. Ватсона имеется обширная библиография.
Книга Г. Н. Ватсона содержит детальное и полное изложение
теории бесселевых функций; следует отметить, что из всех источ-
источников, которыми пользовался автор, она является наиболее важным.
Не утратила еще своего значения книга Н. Нильсена [76], яв-
являющаяся наиболее подробным курсом, из числа вышедших ранее
появления работы Г. Н Ватсона и содержащая ряд важных ориги-
оригинальных результатов Представляет значительный интерес книга [49],
в которую включен ряд классических исследований Н. Я. Сонина
по цилиндрическим функциям и специальным полиномам и коммен-
комментарий Н И. Ахиезера.
Краткое изложение теории бесселевых функций приводится в
седьмой главе руководства «Высшие трансцендентные функции» [4];
в эту главу входит и очень полезный справочный раздел, включаю-
включающий много формул, полученных после 1922 г. и, таким образом, не
отраженных в книге Г. Н. Ватсона Отдельные вопросы теории бес-
бесселевых функций рассмотрены с различных позиции в курсах урав-
уравнений математической физики и теории специальных функций, ко-
которые здесь перечислять нецелесообразно.
Интегралы от бесселевых функций рассмотрены в очень полез-
полезной книге [73]. Она содержит весьма подробную сводку неопределен-
неопределенных интегралов от функций Бесселя и их произведений на степен-
степенную и экспоненциальную функции. Специальная глава посвящена
функциям Эйри. В книге имеется ряд формул, относящихся к опре-
определенным, повторным и несобственным интегралам. Очень много
внимания уделено интегралам от функций Струве. В приложении
даны таблицы бесселевых функций и интегралов от бесселевых
функций К книге приложена обширная библиографическая справка.
Подробная сводка интегральных преобразований, ядрами кото-
которых являются бесселевы функции, приведена в известном двухтом-
двухтомном справочнике «Таблицы интегральных преобразований» [5], [6].
В этом издании содержится очень много важных несобственных ин-
интегралов, а также таблицы различных интегралов от бесселевых
функций.
Ряд важных несобственных интегралов содержится в весьма по-
полезной справочной книге «Интегральные преобразования и опера-
операционное исчисление» [13].
Много формул, относящихся к различным разделам теории бес-
бесселевых функций и особенно интегралов, содержится в справоч-
справочнике И С Градштейна и И. М Рыжика [10]
Вопросы теории неполных цилиндрических функций подробно
рассмотрены в монографии М. М Агреста и М. 3. Максимова [2],
таблицы этих функций приведены в [1].

282 ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
В недавно вышедшей книге Н М Советова и М. Э Авербуха
[48] рассмотрены функции, которые называются в настоящей книге
фундаментальными функциями Коши уравнения Бесселя, а в других
работах автора (например, [20]) назывались функциями, обладаю-
обладающими свойством единичной матрицы
В книге [48] рассмотрены различные обобщения этих функций,
приведены полезные формулы и таблицы.
Следует отметить известную книгу Э Грей и Г Мэтыоза [11],
которая является одним из лучших руководств по теории бесселе-
бесселевых функций и в которой многие вопросы рассмотрены детальнее и
строже, чем в настоящей книге
Среди работ, посвященных изложению теории бесселевых функ-
функций, следует назвать весьма полезную книгу Р. О Кузьмина «Бес-
селевы функции» [28], которая была первой специальной моногра-
монографией учебного характера по бесселевым функциям, вышедшей в
СССР, и сыграла большую роль в популяризации теории бесселевых
функций.
Краткая сводка таблиц бесселевых функций приведена в [20],
там же содержатся ссылки на более подробные справочники по таб-
таблицам, среди которых следует отметить весьма подробный справоч-
справочник [33]
Представляет интерес, носящее в большой мере справочный ха-
характер, подробное руководство [78]
Читатель, который заинтересуется применением аппарата теории
функций комплексного переменного и, в частности, контурных инте-
интегралов к задачам теории бесселевых функций, может воспользо-
воспользоваться книгой М А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [31]. В этой книге
имеется специальная глава, посвященная бесселевым функциям
Большой популярностью пользуется книга Е. Янке, Ф. Эмде,
Ф. Леш «Специальные функции» [61], в которой наряду с форму-
формулами содержатся графики и таблицы бесселевых функций.
Применение интегральных преобразований, ядра которых яв-
являются цилиндрическими функциями, подробно отражено в моно-
монографиях Снеддона [47] и Я С Уфлянда [54] Ряд приложений тео-
теории цилиндрических функций к операционному исчислению можно
найти в монографии А. И. Лурье [35]. Приложения теории цилин-
цилиндрических функций к отдельным задачам математической физики
имеются в многочисленных работах В частности, задачи, связанные
с использованием интегральных уравнений, нашли широкое примене-
применение в монографии В Д Купрадзе [29].
Вопросам приложения бесселевых функций к задачам теории
упругости посвящена широкоизвестная монография А. Н. Динника
[12]. Теория бесселевых функций и их приложения к радиотехнике
изложены в книге Т. А. Розета [44] Приложения бесселевых функ-
функций рассмотрены также в [20].
Все перечисленные работы рассматривают теорию бесселевых
функций с позиций классического анализа. Применение к теории бес-
бесселевых функций современного анализа и, в частности, теории пред-
представлений групп имеет большое значение; ему посвящена моногра-
монография Н. Я- Виленкина [8].

ЛИТЕРАТУРА
1. Агрест М М,Бекаури И. Н, Максимов М 3. и др.,
Таблицы неполных цилиндрических функций, Гос. ком. по ис-
польз. атомной энергии СССР, 1966
2. Агрест М М. и Максимов М. 3., Теория неполных цилин-
цилиндрических функций и их приложения, Атомиздат, 1965.
3. Бейтмен Г. иЭрдейи А., Высшие трансцендентные функ-
функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра, перев.
с англ. (в серии «Справочная математическая библиотека»),
«Наука», 1965
4. Бейтмен Г. и Э р д е й и А., Высшие трансцендентные функ-
функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, орто-
ортогональные многочлены, перев. с англ (в серии «Справочная ма-
математическая библиотека»), «Наука», 1966
5 Бейтмен Г. иЭрдейи А, Таблицы интегральных преобра-
преобразований, т. I Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, перев.
с англ (в серии «Справочная математическая библиотека»), «На-
«Наука», 1969
6 Бейтмен Г. иЭрдейи А, Таблицы интегральных преобра-
преобразований, т. П. Преобразования Бесселя. Интегралы от специаль-
специальных функций, перев. с англ (в серии «Справочная математиче-
математическая библиотека»), «Наука», 1970.
7. ВатсонГ Н, Теория бесселевых функций, ч. I, II, перев. со
2-го англ. изд, ИЛ, 1949
8. Виленкин Н. Я-, Специальные функции и теория представле-
представлений групп, «Наука», 1965
9 Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости, Гостехиз-
дат, 1953.
10. Г р а д ш т е й н И. С. и Рыжик И. М , Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, изд. 4-е, Физматгиз, 1963.
11 Грей Э. и Мэтью з Г, Функции Бесселя и их приложения
к физике и механике, изд. 2-е, перев. со 2-го англ изд., ИЛ,
1953.
12. Дин ник А Н, Избранные труды, т. II (Приложение функций
Бесселя к задачам теории упругости), Изд-во АН УССР, 1952.
13. Диткин В А. и Прудников А П, Интегральные преоб-
преобразования и операционное исчисление (в серии «Справочная ма-
математическая библиотека»), «Наука», 1961.
14 Дородницын А А, К теории суточного хода температуры
в слое перемешивания, ДАН СССР XXX, № 5 A941).
15. Забрейко П П, Коше л ев А И, Красносель-
Красносельский М А , М и х л и и С Г , Р а к о в щ и к Л С, С г е ц е н-
ко В Я-, Интегральные уравнения (в серии «Справочная мате-
математическая библиотека»), «Наука», 1968.

284 ЛИТЕРАТУРА
16. Карслоу Г.,Егер Д., Теплопроводность твердых тел, перев.
с англ., «Наука», 1964.
17. Клейн Г. К, Расчет балок на линейно-деформируемом полу-
полупространстве, Советский метрополитен, № 12 A940).
18. Коренев Б. Г., О методе начальных параметров в задачах
о круглых плитах и оболочках вращения, ПММ 10, вып 1
A946).
19. К о р е н е в Б. Г., Вопросы расчета балок и плит на упругом
основании, Госстройиздат, 1954.
20. Коренев Б. Г., Некоторые задачи теории упругости и тепло-
теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях, Физматгиз, 1960.
21. Коренев Б. Г., Черниговская Е И, Расчет плит на
упругом основании (пособие для проектировщиков)', Госстрой-
Госстройиздат, 1962.
22. Коренев Б. Г., К расчету неограниченных плит, лежащих на
упругом основании, Строительная механика и расчет сооруже-
сооружений, №2 A966).
23. Коренев Б Г., Действие импульса на цилиндрические и приз-
призматические резервуары, наполненные жидкостью, Строительная
механика, юбил. сб., посвященный И. М Рабиновичу, Госстрой-
Госстройиздат, 1968
24. К о р е н е в Б. Г., Б у к е й х а и о в С. Р., О колебаниях стерж-
стержней переменного сечения, Строительная механика и расчет соору-
сооружений, № 6 A969).
25. К р ы л о в А. Н., О расчете балок, лежащих на упругом осно-
основании, изд 3-е, Изд-во АН СССР, 1932
26. Крылов А. Н, Вибрация судов.-ОНТИ, 1936.
27. Кузнецов Д С, Специальные функции, изд. 2-е, Высшая
школа, 1965.
28. Кузьмин Р. О, Бесселевы функции, изд 2-е, ОНТИ, 1935.
29. Купрадзе В. Д, Граничные задачи теории колебаний и ин-
интегральные уравнения, Гостехиздат, 1950.
30. Курант Р. и Гильберт Д, Методы математической фи-
физики, т. I, перев. со 2-го нем. изд., Гостехиздат, изд. 3-е, 1951.
31. Лаврентьев М А. иШабат Б. В., Методы теории функ-
функций комплексного переменного, изд. 3-е, «Наука», 1965.
32. Ларднер Т, Решения в обобщенных гипергеометрических
функциях задач о поперечных колебаниях одного класса стерж-
стержней переменного сечения (обсуждение), Прикладная механика
(Тр. Амер. общ. инж мех., перевод) 35, сер Е, № 1 A968).
33. Лебедев А. В. и Ф е д о р о в а Р. М., Справочник по матема-
математическим таблицам, Изд-во АН СССР, 1956').
34. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, изд.
2-е, Физматгиз, 1963.
35. Лурье А. И., Операционное исчисление и его приложения к за-
задачам механики, Гостехиздат, изд. 2-е, 1951.
36 Л я в А., Математическая теория упругости, перев. с англ.,
ОНТИ, 1935.
37. М ак - Л ах л а н Н. В., Теория и приложения функций Матье,
перев. с англ , ИЛ, 1953.
') См также Н М. Б у р у н о в а, Дополнение № 1 к [331,
Изд-во АН СССР, 1959.

ЛИТЕРАТУРА 285
38 М и х л и и С. Г., Плоская деформация в анизотропной среде,
Изд-во АН СССР, 1936.
39. Михлин С. Г., Приложения интегральных уравнений к неко-
некоторым проблемам механики, математической физики и техники
(в серии «Физико-математическая библиотека инженера»), Гос-
техиздат, 1947.
40. М и х л и н С. Г., Прямые методы в математической физике (в
серии «Физико-математическая библиотека инженера»), Гостех-
издат, 1950.
41. Морс Ф. М. и Фешбах Г., Методы теоретической физики,
перев. с англ., ИЛ, т. I, 1958, т. II, 1960.
42 О х о ц и м с к и й А А., К теории движения тела с полостями,
частично заполненными жидкостью, ПММ, № 1 A956).
43. Привалов И. И., Интегральные уравнения, изд. 2-е, ОНТИ,
1937.
44. Розе т Т. А., Элементы теории цилиндрических функций с при-
приложениями к радиотехнике, «Советское радио», 1956.
45. Р у ч и м с к и й М. Н., К расчету конических и пологих сфери-
сферических оболочек при осесимметричном загружении, Гостоптехиз-
дат, 1958.
46. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. II, изд.
8-е, Физматгиз, 1969.
47. Сне д дон И., Преобразования Фурье, перев. с англ., ИЛ,
1955.
48. С о в е т о в Н. М и А в е р б у х М. Э., Разностные бесселевы
функции и их применение в технике, Изд-во Сарат. ун-та, 1968.
49. Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и спе-
специальных полиномах, Ред. и коммент. Н И. Ахиезера, Гостех-
издат, 1954.
50. Стрэттон Д. А., Теория электромагнетизма, перев. с англ.,
Гостехиздат, 1948
51. Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, перев.
с англ., Гостехиздат, 1948
52. Т и х о н о в А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математи-
математической физики, изд. 3-е, Гостехиздат, 1966.
53. Уиттекер Э Т. иВатсон Г. Н, Курс современного ана-
анализа, ч. II, перев. с англ., изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
54. У ф л я н д Я. С, Интегральные преобразования в задачах тео-
теории упругости, изд. 2-е, «Наука», Л., 1967.
55 X а я с и С, Волны в линиях электропередачи, перев. с англ.,
Госэнергоиздат, 1960.
56 Цейтлин А. И., Об изгибе круглой пластинки, лежащей на ли-
линейно деформируемом основании, Изв. АН СССР, Механика
твердого тела, № 1 A969).
57. Ц е й т л и н А. И., О методе парных интегральных уравнений и
парных рядов и его приложениях к задачам механики, ПММ,
№ 2 A966).
58. Чудновский А. Ф, Физика теплообмена в почве, Гостех-
Гостехиздат, 1948.
59 Ш е х т е р О Я., Расчет бесконечной плиты, лежащей на упру-
упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной
сосредоточенной силой, сб. НИС Фундаментстроя, J\fo ю, 1939.

286 ЛИТЕРАТУРА
60. Ш т а е р м а н И. Я.., Контактная задача теории упругости, Гос-
техиздат, 1949.
61. Янке Е, Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции (фор-
(формулы, графики, таблицы), перев. с 6-го нем изд, «Наука»,
1968.
62 Bowman F., Introduction to Bessel functions, Dover books on
mathematics, N. Y., 1958
63 Cooke R. G., On the theory of Schldmilch series, Proc. of the
London Math. Soc, second series 28 A928), 207—241.
64 Farrel O. J., and Ross B, Solved problems: gamma and beta
functions, Legendre polynomials, bessel functions, Macmillan,
N. Y.; Collier Macmillan, London, 1963
65. F rie d r i chs K- O., Ein Verfahren der Variationsrechnung, Na-
chrichten der Ges. d. Wiss zu Gottingen, 1929.
66 G о u d e t G., Les fonctions de Bessel et leurs applications en phy-
physique, 2-eme ed., Masson, Paris, 1954.
67. Hayes W. D., Neo-Schlomilch series, J. of Math, and Physics,
XXXIV, №2 A956).
68 Jacob sen L. S., Impulsive hydrodynamics of fluid inside a cy-
cylindrical tank and fluid surrounding a cylindrical pier, Bulletin
of the Seismological Society of America 39, № 3 A949).
69 Jeffrevs H and Swirless В (Lady Jeffreys), Methods
of mathematical physics, 3-d ed , Univ press, Cambridge, 1956.
70 L a u r i с e 11 a G., Sur l'integration de l'equation relative a
l'equilibre des plaques elastiques encastrees, Acta Math. 32
A909)
71. Lorn me 1 E., Studien fiber die Bessel'schen Functionen, Teubner,
Leipzig, 1868
72. Losch F. und Schoblik F, Die Fakultat (Gammafunktion)
und verwandte Funktionen mit besonderer Berucksichtigung ihrer
Anwendungen, Teubner, Leipzig, 1951.
73. Luke Y. L., Integrals of Bessel functions, Me Graw-Hill, N. Y.—
Toronto — London, 1962
74. McLachlan N. W., Bessel functions for engineers, 2-d ed., Cla-
Clarendon Press, Oxford, 1955
75. Neumann C. G., Theorie der Bessel'schen Funktionen. Ein Ana-
logen zur Theorie der Kugelfunktionen, Teubner, Leipzig, 1867.
76 Nielsen N, Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen,
Teubner, Leipzig, 1904.
77 Noble В., The solution of Bessel function dual integral equa-
equations by a multiplying — factor method, Proc Cambridge Philos.
Soc. 59, № 2 A963).
78 P e t i a u G., La theorie des fonctions de Bessel, exposee en vue
de ses applications a la physique mathematique, Centre National
de la Recherche Scientifique, Paris, 1955.
79 R e h w a 1 d W., Elementare Einfuhrung in die Bessel, Neumann
und Hankel Funktionen, Wesentliche Eigenschaften der Zylinder-
funktionen mit zahlreichen Anvvendungsbeispielen aus Physik und
Technik, Hirzel, Stuttgart, 1959
80 Rey Pastor J. у de Castro Brzezicki A, Funciones de
Bessel Teoria Matematica у aplicationes a la ciencia у a la tecnica,
Dossat, Madrid, 1958.

ЛИТЕРАТУРА 287
81 Rutgers J. Q, Sur des series et des integrates definies conte-
nantes les fonctions de Bessel, Nederl Akad. Wetensch. Proc. 44
A941), 464—474, 636—647, 744—753, 840—851, 978—988, 1092—
1098.
82 S с h б b e W., Asymptotische Entwicklung fur Zylinderfunktionen,
Acta Math 92, 1—2 A954).
83 Srivastay R P, A pair of dual integral equations involving
Bessel functions of the first and the second kind, Proc. Edinburgh
Math Soc 14, № 12 A964).
84 W e у r i с h R., Die Zyllnderfunktionen und ihre Anwendungen,
Teubner, Leipzig und Berlin, 1937
85. Woinowsky-Krieger S, Uber die Biegung diinner rech-
teckiger Platten durch Kreislasten, Ingenieur Archiv III, H. 3
A932).

Борис Григорьевич Коренев
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИИ
М., 1971 г., 288 стр. с илл.
Редактор И. М. Овчинникова
Техи. редактор С #. Шкляр
Корректоры О. А. Бутусова
и Г. С. Смоликова
Сдаио в набор 30/Х 1970 г. Подписано к печа-
печати 2/III 1971 г. Бумага 84X108'/sz. Фнз. печ. л. 9.
Услови. печ. л. 15,12. Уч.-изд. л. 15,36. Тираж
10 000 экз. Т-02216. Цена книги 1 р. 21 к.
Заказ № 832.
Издательство «Наука>.
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпроча
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.