Ю.Г ПАВЛЕНКО ПОСОБИЕ
ПО ФИЗИКЕ
для поступающих
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
19 7 9

УДК 53(075.4)
Рецензенты:
профессор А. А. Соколов, доцент И. А. Квасников
Павленко Ю. Г.
Пособие по физике для поступающих в вузы.
Изд. 2-е, перераб. и дополн. М., Изд-во Моск.
унта 1978, с. 480, с илл.
Пособие содержит достаточно полное изложение курса "физики,
изучаемого в средней школе. Важная особенность книги состоит в том,
что содержание основных законов и уравнений, физики
иллюстрируется на основе удачно подобранных примеров и задач. Разбор этих
примеров (их более двухсот) позволяет овладеть эффективными
методами решения задач. Выбор материала в «Пособии» определяется
программой по физике для средней школы, пособие по физике
предназначено для школьников 8—10 классов и учащихся подготовительных
отделений.
Юрий Григорьевич Павленко
ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ
для поступающих в вузы
Редактор издательства А. Н. Матвеева
Технический редактор Г. Д. Дегтярева
Корректоры Л. А. Костылева, Л. А.* Айдарбекова
Заказная __^
Сдано в набор 6/IV 1977 г. ^ .Подписано к печати 10Д1 1978 г.
Формат 84Х108/з2. Бумага № 3 Физ. печ. л. 15,0 Усл. печ. л. 25,20
Уч.изд. л. 22,65 Зак. 125. Тираж 15.000 Цена 80 коп.
Издательство Московского университета. Москва, К-9, ул. Герцена, 5/7.
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
(6) Издательство Московского университета, 1978 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I, МЕХАНИКА
§ 1. Скаляры и векторы 8
§ 2. Основные понятия механики . . ' 15
§ 3. Кинематика равномерного движения ...... 18
§ 4. Относительность движения 24
§ 5. Переменное движение 31
§ 6. Кинематика прямолинейного движения с постоянным
ускорением . 38
§ 7. Кинематика криволинейного движения с постоянным
ускорением 50
§ 8. Первый закон Ньютона . 59
§ 9. Второй и третий законы Ньютона „ 62
§ '10. Закон сохранения количества движения 79
§ 11. Статика 87
§ 112- Работа и энергия ...'.' 102
§ Ю. Движение тел по окружности *. 126
§ 14. Закон всемирного „тяготения • 135
§ 115. Гидростатика и аэростатика • 144
§ 16. Гидродинамика и аэродинамика • 158
§ (17. Гармонические колебания • 163
§ 18. Движение тел в неинерциалыных системах отсчета . . 176
§ 19. Волновое движение. Звук . ' 186
Глава II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕПЛОТА
§ 20. Основные лонятия и 'положения молекулярно-кинетиче-
ской теории вещества 195
§ 21. Внутренняя энергия, работа, количество тепла . . . 208
§ 22. Уравнение состояния разреженного газа. Процессы
изменения состояния газа . 214
§ 23. Жидкие и твердые вещества. Закон Гука .... 226
§ «24. Тепловое расширение тел. Газовая шкала температур . 233
§ 26. Изменение агрегатного состояния вещества. Свойства
паров. Влажность . *237
§ 26. Тепловые двигатели ..*.... • . . . . 249

Глава III. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 27. Закон Кулона. Свойство суперлозиции 256
§ 28. Электрическое поле. Напряженность и потенциал
электрического поля. Проводники в электрическом поле . . 263
§ 29. Электроемкость. Конденсаторы. Диэлектрики в
электрическом поле • 281
§ «30. Постоянный ток 289
§ 31. Замкнутая цепь постоянного тока. Э. д. с. источника тока 307
32. Правила Кирхгофа 322
33. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока . . 333
34. Электролиз . . . . * 340
95. Магнитное поле 343
36. Электромагнитная индукция • 357
37. Переменный ток ж ... 368
Глава IV. ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА
§ 38- Электромагнитные волны и свет 381
§ '30. Фотометрия 390
§-40- Волновые свойства света ... 395
§ 41.-Отражение и преломление света 403
§ 4*2. Призма. Дисперсия света. Цвет 413
§ 4)3. Плоские и сферические зеркала . . . . " . . . 418
§ 44- Линзы 432
§ 45. Оптические приборы :- , 446
§ 46. Понятие о фотонах. Фотоэффект . 462
§ 47. Строение атома. Излучение и поглощение света. Лазеры.
Металлы и изоляторы 469
Ответы к задачам . 477
Некоторые справочные данные • 479

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено для учащихся
подготовительных курсов естественных факультетов МГУ.
Цель пособия — углубить и расширить понимание
физики будущими абитуриентами и научить их активно
применять физические законы к решению конкретных задач.
Главное внимание мы уделяли важнейшим
физическим явлениям и физическим законам. В пособии
достаточно полно освещаются те вопросы, которые, как
показали практика приемных экзаменов и опыт работы
подготовительных курсов, наиболее сложны для усвоения. Мы
стремились изложить физику, насколько это возможно,
в том виде, в каком она изучается в высших учебных
заведениях, не выходя, однако, за рамки программы
средней школы. Ряд важных вопросов, о которых
вскользь упоминается^ в существующих пособиях (и
которые входят в действующую в настоящее время
программу по физике для поступающих), рассмотрен нами
значительно лолнее. Мы надеемся, что это?
дополнительный материал поможет читателю более глубоко
представить физические основы соответствующих разделов
физики.
В пособии приведено более двухсот примеров и
задач, иллюстрирующих применение физики в жизни и
современной технике. Каждый параграф начинается
с изложения теоретического материала, затем разбира-
е!ся несколько примеров и задач, которые часто служат
дополнением к тексту и помогают яснее понять
физические понятия и законы. Приведенные в тексте задачи,
как нра.вило, среднего уровня трудности. Практически
все задачи снабжены решениями. В конце каждого
параграфа указаны номера задач для самостоятельного
разбора. Мы ссылаемся Ъа два сборника задач:
5

1. БендриковГ. А., БуховцевБ. Б., Кержен-
ц е в В. Д., М я к и ш е в Г. Я. Задачи по физике. Изд-во
МГУ, 1968.
2. Зубов В. Г., Ш а льнов В. П. Задачи по
физике. М., «Наука», 1967.
Работе с этими задачниками мы придаем важное
значение, поскольку в них помещены задачи,
предлагавшиеся на приемных экзаменах по физике на естественных
факультетах МГУ за целый ряд лет. Рекомендуемые для
решения задачи представляют минимальный набор.
В остальном учащиеся должны сами выбрать для себя
индивидуально «непонятные» задачи и обратить особое
внимание на постановку задач, осмысливание
физических законов, лежащих в'основе того или иного явления,
анализ и обсуждение полученного решения. К
сожалению, в ближайшее время курсы не имеют возможности
обеспечить учащихся этими задачниками.
Теперь сделаем несколько .методических замечаний
практического характера, цель которых — обратить
внимание учащихся на основные понятия, физические зако- -
ны и методы решения задач. Прежде всего необходимо
изучить § 1, освоить понятие вектора; ясно представлять,
что вектор в отличие от скаляра задается тремя числами.
Умение обращаться с векторами понадобится во всех
разделах физики.
Вся кинематика (§ 3—7) содержится в формулах (3)
и (4) примера 5.2. С их помощью могут быть составлены
и решены всевозможные задачи по кинематике. При
изучении второго закона Ньютона (§ 9, 1Г, 13) надо
обратить внимание на его векторный характер: ma=F дает
три соотношения, а не одно. Силы, действующие на тело,
возникают от его взаимодействия с другими телами.
В механике Мы имеем дело только с тремя типами сил:
1) гравитационные силы, 2) при деформации
соприкасающихся с телом поверхностей, нитей и т. д. возникает
сила упругости, 3) сила трения.
Чрезвычайно важно овладеть законами сохранения
импульса (§ 10) и законами сохранения и изменения
полной энергии-(§ 12).
В главе «Молекулярная физика» необходима усвоить
пойятия равновесного состояния, температуры, процесса,
влажности, первый и второй законы термодинамики,
6

свойства газов, насыщенного пара, уравнение
Клапейрона — Менделеева.
В главе «Осноры электродинамики» надо* обратить
внимание на векторный характер закона Кулона,
свойство суперпозиции, закон сохранения заряда, понятия
напряженности, потенциала и их связь. Важно
понимать, что электрические цепи, содержащие
сопротивления, э. д. с. и емкости, могут быть рассчитаны на основе
закона сохранения заряда и закона. Ома для участка
цепи, содержащего э. д. с.
В разделах «Магнитное поле» и «Электромагнитная
индукция» основными являются формулы (35.3) и (36.3),
закон Ленца.
В главе «Оптика» следует обратить в-нимание на
современную формулировку закона преломления,
явление полного внутреннего отражения, разобраться в
понятиях действительное и мнимое изображение и предмет.
Оптические системы, содержащие линзы и сферические
зеркала, рассчитываются на основе формулы (43.1).
Кандидат физико-математических наук
Ю. Г. Павленко

Глава I. МЕХАНИКА
§ 1. Скаляры и векторы
Физика, как и,любая другая наука, основывается на
наблюдениях. При описании различных явлений физики
стремятся получить количественные соотношения между
физическими величинами. Какие же величины
используются в физике? В школьном курсе мы сталкиваемся
с величинами^вух типов. Величины первого типа
определяются только своими числовыми значениями в
соответствующей системе единиц — их называют скаляра-
м и. Например, число молекул в некотором объеме,
масса, температура, работа, энергия, путь, пройденный
телом, плотность являются скалярами. Величины
второго типа характеризуются числовым значением и
направлением в пространстве — это векторы. Сила,
перемещение, скорость, ускорение, напряженность
электрического и (магнитного полей являются векторами. Векторы
изображаются в видег направленных отрезков (стрелок).
Стрелка указывает направление вектора* а длина
стрелки дает числовое значение вектора в выбранном
масштабе. Иногда определяют вектор как направленный отрезок.
Это определение неверно, так как не всякий
направленный отрезок может быть вектором. Мы не будем давать
строгого определения векторной величины, отметим
только, что два направленных отрезка*только тогда являются
векторами, когда их сумма может быть представлена
в виде одного направленного отрезка, построенного по
правилу параллелограмма.
Векторы обозначаются буквами, напечатанными
жирным шрифтом, или буквами со стрелкой или чертой над
ними. Числовое значение вектора а («длина» стрелка),
взятое со знаком плюс, называется "модулем вектора, или
абсолютной величиной вектора, и обозначается через |$|
8

или а. Модуль eeKtopa — Положительная скалярная
величина. Векторы называют равными, если они лежат на
параллельных прямых, имеют одинаковое направление
и длину. Из этого определения следует, что каков бы ни
был вектор а, всегда можно перенести его в точку Р и
Рис. 1.1
построить вектор Ь=а. Заметим, что если Ь==а, то а=Ь.
Обратное заключение, конечно, недопустимо. Понятия
«больше», «меньше» применимы только к абсолютной
величине векторов, но не к самим векторам.
1. Система координат. Чтобы задать положение
точки, лежащей на прямой линии, выбирают произвольно
начало отсчета ("точка О на рис. 1.1), единицу масштаба
и одно из двух возможных направлений в качестве
положительного. Такая прямая называется
координатной, или числовой, осью. Полупрямая, идущая
в положительном направлении, называется
положительной полуосью; полупрямая, идущая в противоположном
направлении, — отрицательной полуосью. Координат
той точки Ми находящейся на числовой оси, называют
расстояние Х\ от начала отсчета, взятое со знаком плюс,
если точка лежит на положительной полуоси, или со
знаком минус, если точка лежит на отрицательной полуоси.
Для того чтобы задать числами положение точки на
плоскости, выбирают на ней две координатные оси,
пересекающиеся, вообще говоря, под произвольным углом
(разумеется, отличным от 0 и 180°). Мы будем
использовать две взаимно перпендикулярныеv числовые оси,
образующие, как говорят, декартову, или прямоугольную,
систему координат. Одну из осей назовем осью а:,
другую— осью у. Точку пересечения осей называют началом
координат. Начало координат является началам отсчета
каждой из координатных осей '(рис. 1.2). Пусть Мх
произвольная точка на плоскости. Спроектируем точку М\
на координатные оеи, т. е* проведем через Мх
перпендикуляры к прямым ох и оу и обозначим основания этих
9

перпендикуляров сботбетственно МХх и МХу.
Координатами Х\ и у\ точки М\ называются координаты точек Мщ
и М1у.
Положение точки М\ в пространстве определяется
координатами х\, уи Z\ оснований перпендикуляров,
опущенных «из точки на три взаимно перпендикулярные
координатные оси ох, оу и ог. '
2. Задание вектора. При решении физических задач
приходится иметь дело с векторами, расположенными
в различных плоскостях. Мы рассмотрим часто
встречающуюся в школьном курсе ситуацию, когда все
векторы, характеризующие некоторую систему, лежат4 в одной
плоскости. Поэтому для задания вектора а введем
прямоугольную систему координат (рис. 1.3) с осями х и у.
В отличие от скалярной величины для характеристики
вектора одного числа недостаточно. Нетрудно видеть, что,
задавая абсолютную величину вектора а, угол а,
который вектор образует с осью х, и положение плоскости хуу
мы полностью определим векторную величину а в 'вы.-
бранной системе координат. Указанный способ задания
вектора не является единственным. Мы будем
пользоваться другим, более удобным ори решении задач
заданием вектора. Прежде чем говорить о нем, вспомним
определение 'проекции вектора на числовую ось:
проекция любого вектора на какую-либо ось равна
произведению абсолютной величины вектора на косинус угла
между положительным направлением оси и направлением
Ю

самого вектора. На рис. 1.4 изображены четыре вектора
а, Ь, с, d. Их проекции на ось х соответственно равны:
Рис. 1.3
a cos а, ^
а проекции на ось у:
acos f-|— aj=asina,
— у) = — rf cos у.
Возвращаясь к рис. 1.3, нетрудно 'понять, что два
числа ах и ау, являющиеся проекциями ©ектора на оси х
и у, также могут быть использованы для определения
направления и величины вектора.
Из рис. 1.3 следует связь между двумя способами
задания вектора:
a«=acosa, au = asina,
(1.1)
= -^. (1.2)
11

Рис. Ы
Два числа аХ9 ау> определяющие векторную величину,
называют составляющими (или компонентами) вектора
в направлении соответствующих координатных осей.
Часто для вектора используется следующая форма
записи: а=(ах, ау). Подчеркнем еще раз, когда мы говорим
о векторе, расположенном в * плоскости, то речь идет
о двух числах.
Следствие 1. Если вектор а=Ь, то ах=ЬХ9 Оу=Ьу. Все
составляющие нулевого вектора с=Ю равны нулю: сх=0,
y
Вектор называют постоянным, если в любой момент
времени его длина и направление остаются
неизменными. Очевидно, компоненты постоянного вектора не
зависят от времени. В общем случае длина вектора и его
направление в пространстве могут изменяться с -течением
времени. Компоненты такоцо вектора являются
функциями времени.
Рассмотрим некоторые операции с векторами.
3. Умножение вектора на скаляр. Допустим, мы
имеем вектор v и скаляр t. При умножении вектора v на
скаляр / абсолютная величина вектора изменится в t раз,
а его направление останется прежним или изменится на
противоположное в зависимости от знака i. В
результате образуется некоторый вектор r=W с компонентами
vjy vyt. Пусть, например, v — постоянный вектор, скажем
скорость, a t—время. Тогда вектор перемещения г,
12

изменяясь с течением времени, является переменным
вектором.
Умножая вектор а на —1, получим новый вектор
с=—а, 'который называют обратным вектору а. х
4. Сложение векторов. Определим сумму двух
векторов а и Ь. .
У
V
йу<
0
1
1
1
1
1
!
Рис. 1.6
Суммой двух векторов а и b называется вектор с,
который идет из начала вектора а в конец вектора Ь^ при
условии, что начало вектора b приложено к концу век-»
тора а.
" Из рис. 1.5 видно, что вектор с идоеет компоненты
сх=ах-{'ЬХу су=ау-\-Ьу. В векторных обозначениях эти
соотношения записываются в виде c=a-f-b.
По определению, абсолютная величина вектора с равна:
с—Vc*x-\-c*y. Учитывая, что "вектор а=(a cos a, a sin а),
а вектор b = (6cosp, frsinp), найдем
Этим соотношением, связывающим стороны а, 6, с
векторного треугольника, мы доказали теорему
косинусов. Согласно определению (1.2) угол 7 между вектором
с и осью ох определяется соотношениями:
acostt + ftcosg
13

Складывая полученный вектор с с некоторым
вектором d, аналогичным образом получим сумму трех векто-.
ров. Продолжая этот-процесс, можно определить сумму
любого числа векторов. При этом компоненты
результирующего вектора равны суммам компонент слагаемых
векторов по соответствующим осям. Из этого построения
следует полезный рецепт для нахождения величины и
2
Рис. L6
направления вектора c=ai-f-a2+ ...: достаточно найти
сумму компонент слагаемых векторов по осям х и у.
Следствие 2. Сумма векторов a-f-b+ ... равна нулю,
если равны нулю суммы компонент слагаемых векторов
цо осям х и у:
Соотношение с=а+Ь (см. рис. 1.5) можно, если
угодно понимать, как разложение вектора с на два
составляющих его вектора а и Ь.
5. Вычитание векторов. Разность d векторов аи b
можно определить как результат сложения вектора* а и
—to или из эквивалентного соотношения a=b-f-d. Вектор
d=(ux—bXy ay—by). Весьма важным при решении ряда
задач является вывод о том, что если разность двух
векторов d=0, то эти векторы равны друг другу.
14

Единичный вектор. Поясним понятие единичного
вектора е. Абсолютная величина этого вектора равна
единице. Если вектор е имеет направление вектора а, то
вектор а может быть представлен в ваде а=ае.
До сих пор рассматриваемые векторы лежали в
плоскости ху. Однако если эту плоскость выбрать так, как
показано на рис. 1.6, то вектор а будет иметь три
компоненты: аХу Оу, аг. Три числа ах, Оу, а2 являются
проекциями вектора а на оси прямоугольной системы координат
х, у, г. Теперь становится понятным, что векторы, изо-
браженные'на рис. 1.3—1.5, имеют компоненту по оси г,
равную нулю: az=Q. Поэтому правильной формой записи
для этих векторов будет следующая: а=(ах, ау, 0), так
как произвольный вектор определяется заданием трех
чисел ах, ау, аг.
В заключение (подчеркнем, что, говоря о векторе а„
мы всегда имеем в виду его компоненты. Из
рассмотренных выше примеров видно, что такие действия с
векторами, как сложение и вычитание, умножение на скаляр,
мы свели к более 'понятным операциям сложения и
вычитания компонент, умножению компонент вектора на
скаляр) Это упрощение достигнуто благодаря заданию
вектора с помощью компонент.
§ 2. Основные понятия механики
Основным понятием механики является понятие
движения, а именно простейшая его форма — перемещение
макроскопических тел (т. е. тел, состоящих из большого
количества атомов и .молекул) по отношению к другим
телам. Реальные дела могут при движении вращаться.
Наиболее просто можно описать движение тела, размеры
которого настолько малы, что мы можем не принимать
во внимание вращение. В этом случае .можно ввести
понятие материальной т,о ч к и, т. е. тела, размерами
которого можно пренебречь при описании его движения.
Вопрос о возможности рассматривать движение
некоторого тела как движение материальной точки зависит от
конкретных условий физической задачи. Например,
рассматривая движение Земли вокруг Солнца, можно
считать и Землю и Солнце материальными точками,
несмотря на то что радиус Земли ^6,4 -106 м, а радиус Солнца
^7-108 м, поскольку эти размеры весьма малы по срав-
15

нению с расстоянием между Солнцем и Землей,
примерно равным 1,5-1011 м.
Важную роль в механике играет понятие абсолют-
нр твердого тела — системы материальных точек,
расстояния между которыми остаются неизменными во
время движения. Важность этого понятия состоит в том,
что без этих тел мы не можем говорить о движении
материальной точки, поскольку абсолютное движение
в пустом пространстве безотносительно к другим телам
лишено смысла. Поэтому для описания движения
изучаемого тела необходимо указать систему^тсчета,
относительно которой оно рассматривается. Системой
отсчета называется совокупность твердых тел (вместе
с часами), которые условно считаются неподвижными и
по отношению к которым рассматривается движение
других тел.
- При решении конкретной задачи мы можем
пользоваться в качестве системы отсчета различными телами.
Системы отсчета, возникающие- при выборе различных
телг являются равноправными и одинаково допустимыми
ори описании движения материальной точки. Однако
естественно выбрать систему отсчета таким образом,
чтобы движение выглядело в ней наиболее просто. В
выбранной системе отсчета необходимо как-то математически
описать движение, т. е. задать какие-то величины,
позволяющие однозначно определить положение тела. Для
этого (если тело движется в плоскости) с системой
отсчета связывают систему координат, в которой
положение тела в момент времени t определяется
радиус-вектором r=*(x, у) у идущим из начала координат в точку, где
находится тело (рис. 2.f,a). Координата или проекций
радиус-вектора х и у на координатные оси являются
одновременно координатами этого тела. Кривая, которую
при своем движении описывает материальная точк#;л\ е.
конец радиус-вектора г, называется траекторией.
При этом координаты хну тела в различные моменты
времени принимают различные значения. Другими слова?
ми, х и у являются функциями времени: x(t) и y(t). Если
эти функции заданы, то, очевидно, известно положение
радиус-вектора r(f)=(*(rf), y(t)) в момент времени/.
Задание зависимости г (Л) позволяет определить закон
движения материальной точки, т. е. определить ее оюло-
жение в любой момент времени.
16

Зависимость x(t) коордийа1ы тела ot времени
вают законом движения по оси х, зависимость y(t) —
законом движения по оси у.
В различные моменты времени t\ и fe радиус-вектор
имеет различные значения: ri=r(*i) и Г2==г(^2). Разность
Дг=г2—ri векторов гг и ri называют перемещением за
Рис. 2Л
время h—1\ {рис. 2.1,6). Греческая буква А (дельта)
обозначает приращение какой-либо величины.
Проекциями вектора Аг на оси х и у являются компоненты Ах и
Ау. Очевидно, Ах>0, Д#<0.
Необходимо отличать перемещение от пути —
расстояния, отсчитываемого вдоль траектории. Путь —
величина скалярная. Нетрудно видеть, что если тело,
двигаясь от некоторой точки, снова возвращается в нее
в некоторый момент времени, то перемещение равно
нулю (нулевому вектору), в то время как путь,
проделанный телом, отличен от нуля.
Нужно ясно понимать различие между системой
отсчета ич системой координат. Систему отсчёта образуют
реальные тела. Перемещение, скорость, ускорение тела
bl выбранной системе отсчета — это та реальность, с
которой мы имеем дело при решении конкретной задачи.
Система координат является математической
абстракцией. Один и тот же вектор 'В различных системах
координат имеет различные компоненты, однако его положение
относительно системы отсчета остается неизменным.
2—125
17

Обычно выбор системы координат определяется
соображениями удобства (см. задачи 6.6; 7.5).
Задача 2.1. Тело движется в плоскости. Определить
траекторию точки, если известен закон движения *(/) =
Решение. Вид траектории определяется уравнением,
которое связывает функциональной зависимостью
координаты xf у точки. Чтобы получить эту связь, достаточно
из закона движения исключить время. Подставляя
величину ^—~~ из закона движения по оси х в закон
движения по оси у, найдем уравнение траектории: y=yo-jr
-f- -Ь- х. Это уравнение прямой линии. Из полученного
уравнения следует, что тело движется по прямой,
которая образует с осью х угол a: tga«—#
§ 3. Кинематика равномерного движения
Движение по прямой в заданном направлении
называют (Прямолинейным движением.
Равномерным прямолинейным движением называется
такое движение, когда тело за любые равные
промежутки времени перемещается на равные расстояния в
заданном направлении. Пусть тело в моменты 'времени to и t
последовательно занимает положения Ао и А% (рис. 3.1).
На рисунке изображены также положения
радиус-вектора r(t) в эти моменты времени: &4о==г0=г(*о), OAt=r{t).
Разность г—Го является перемещением точки за
промежуток времени t—г0. Частное ЛЦ*а определяет
перемещение точки за произвольно выбранную единицу
времени, и согласно определению равномерного движения
оно не зависит от момента U и промежутка t—fa. В этом
случае скоростью тела является вектор
Так как этот вектор не зависит от времени, то
необходимое и достаточное условие равномерного движения
можно записать в виде v(tf)=Vo, где vo — постоянный
18

вектор скорости. Радиус-вектор точки r{t) можно найти
из (3.1):
. r{t) = r. + v,(t-t.). (3.2)
Действительно, из рис. 3.1 видно, что если в момент
времени t0 радиус-вектор, равец г0, то за время t—/0
перемещение точки равно AoAt=vo{t—10). Следовательно,
Рис. ел /
радиус-вектор равен сумме векторов г0 и vo(t—/о).
Векторное соотношение (3.2) равносильно
определению двух функций x(t) и y(i):
x(t) = x. + v%x(t-t.)9 (3.3)
Здесь Хо, уо — компоненты радиус-вектора начального
положения тела го=(я<ь Уо)> vox, vOy — компоненты
вектора скорости Vo по'осям х и у.
Пример 3.1. Тело движется по прямой с постоянной
скоростыо v=*(i>i, 02). Определить закон движения тела,
если в момент времени *—0 радиус-вектор го=(О, уо)„
Для нахождения закона движения мы должны
определить проекции ху у вектора- r(f) в произвольный
момент времени t. В момент *о=О вектор г имеет
составляющие 0 и уо, т. е. г(О)=го=(О, у0). Скорость тела по
условию задачи равна v=(i>i, v2) (см. рис. 3.1). Проек-
2* • 19

тируя векторное уравнение i(3.2) на координатные оси,
получим:
Таким образом, можно утверждать, что в направлении
осей х и у точка перемещается равномерно со скоростя-
М
8 С
Рис. 3.2
ми, равными проекциям скорости v на соответствующие
оси. Уравнение траектории точки мы уже определили
в задаче 2.1.
Заметим, что в нашем примере прямолинейное
равномерное движение выглядит сложным движением, т. е.
суммой двух движений. Это обстоятельство связано
с использованием «неудобной» системы ""координат (см.
рис. 3.1). Поскольку движение точки прямолинейное, мы
могли бы совместить с этой прямой, скажем, ось х.
В этом случае для описания движения точки достаточно
одной координаты. Однако мы использовали
«неудобную» систему координат для того, чтобы показать
условность понятий «простое» и «сложное» движения и с
единой точки зрения описать движение по прямолинейной
и криволинейной траекториям (см. § 7).
20

Задача 3.2. Регулярно в определенное время за
инженером приезжает заводская автомашина, которая
доставляет его на место работы. Однажды инженер вышел
из дома на 1 ч раньше обычного и, не дожидаясь
машины, пошел на ^завод пешком. По дороге он встретил
автомашину и приехал на завод на 10 мйн раньше
обычного. Сколько времени шел инженер пешком до встречи
с автомашиной? Решить задачу графически,
предполагая, что дом инженера и завод находятся на
прямолинейном участке шоссе.
Решение. Поместим начало координат О в точку, из
которой инженер начал свой путь. Координата завода
равна *б>0. На рис. 3.2 ломаная M0N изображает
зависимость ^-координаты машины от времени при ее
обычном движении, отрезок АЕ — зависимость jc-коорди-
наты инженера от времени до встречи с машиной,
отрезок EN'— зависимость дс-координгаты машины от
времени после встречи с инженером. Эти графики не совсем
корректны. Например, в точке О проекция скорости
машины на ось ххскачком изменяется от отрицательного до
положительного значения. Такой скачок скорости
машины, вообще говоря, невозможен, так как любые
физические величины должны изменяться плавно. Однако для
упрощения графиков этим требованием можно
пренебречь.
Согласно условию задачи ЛЪ=1 ч, NN'=BO=
— 10 мин. Поскольку ВЕ=ЕО, то
вс=со=±
Время движения инженера до встречи с машиной
АС = АО—i-£O = 55 мин.
Задача 3.3. Два тела равномерно движутся но
прямым, которые пересекаются под углом а. Скорости тел
одинаковы и равны v. В начальный момент времени
тела находились в точках О\ и О2 (рис. 3.3). Расстояние
OiO2=/. Определить промежуток времени, череа
который расстояние между телами будет наименьшим, й
каково это расстояние.
Решение. Из теоремы косинусов нетрудно найти
расстояние s(t) между точками 4, момент времени t>0:
21

s2(t) = (vt)2 + (l—vt) 2—2Ы (l—vt) cos а. Раскрывая это
выражение и выделяя полный квадрат, находим, что
s1 = /' sin8 -J-+4 cos2 -f (* —г)2 >/f sin2 тЬ
поскольку всегда urf—g-j ^0. Таким образом, в
момент времени /1=-^j- расстояние между точками
минимально и равно
Рис. 3.3
Задача 3.4. Теплоход движется по озеру с
постоянной скоростью ai==25 км/ч параллельно берегу. Через
какой наименьший промежуток времени Т катер,
имеющий скорость 02=40 км/ч, догонит теплоход? В
начальный момент времени теплоход и катер находились на
одной нормали к берегу на расстоянии 5=1 км друг от
Друга.
Решение. Эту несложную задачу можно решить
исходя из очевидного соотношения {v2T)2={v\T)2+s2.
Однако мы используем общий метод решения, который
позволяет с единой точки зрения решать более сложные
задачи.
Прежде всего для описания движения теплохода и
катера выберем удобную систему координат. Проще
всего направить ось х вдоль берега, а ось у провести
22

йбрмаЛьно к берегу через 1-очки, в которых Находились
теплоход и катер в начальный момент времени
(рис. 3.4).
Запишем далее закон движения теплохода и катера.
Для этого мы должны' записать проекции
радиус-векторов теплохода rx(t) и катера г2(*) (имеющих вид 3.2)
Рис. 3.4
на оси координат. В начальном положении
радиус-векторы равны соответственно rio=(0, s), г20=0. Скорость
теплохода v\=(vu 0), скорость ^катера v2= (t>2cos a,
t/2sina). Проектируя радиус-векторы rii(tf) и г^(/) на
оси х и у, найдем законы движения теплохода и катера
по соответствующим осям:
xt(t)=vtcosat, y2{t) = v2sinat (1)
Полученные соотношения позволяют определить
положение Теплохода и катера в любой момент времени, так
как связывают функциональной зависимостью
(взаимнооднозначно) коордийаТы и время. В момент времени Т
тейлоход и катер находятся в одной точке.
Следовательно,
(2)
23

Подставляя из (1) в (й) значения функций *ь х2, У и #2
в момент времени Т, получим два уравнения,
содержащие две неизвестные величины Г и а:
(3)
s = vtsinaT. • (4)
Соотношение (3) имеет простой физический смысл: для
того чтобы догнать теплоход, проекция скорости катера
на направление скорости теплохода должна равняться
скорости теплохода. Из уравнений (3), (4) йаходим
Рекомендуем" решить задачи ДЬ 1, 2, 3
из задачника [1].
§ 4. Относительность движения
Абсолютного движения тела не существует, оно^
всегда происходит только по отношению к какому-нибудь
другому телу или системе тел, которую мы называем
системой отсчета и рассматриваем условно как
неподвижную. Действительно,, все данные о положении,
скорости и ускорении тела будут иметь смысл только тогда,
когда мы одновременно назовем систему отсчета, по
отношению к которой изучается его движение. Однако
то же движущееся тело (или другие явления) может
также изучать наблюдатель, находящийся в другой
системе отсчета, движущейся относительно первой. Его
выводы о положении, скорости и ускорении тела будут
иными, чем у первого наблюдателя. Выясним связь
между утверждениями двух наблюдателей.
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого
объекта, скажем -велосипедиста, со скоростью v
относительно вокзальной платформы, которую вместе с
Землей примем за неподвижную систему, отсчета К
Параллельно велосипедисту движется поезд (система отсчета
К') со скоростью и. Чему будет равна скорость
велосипедиста относительно пассажира, находящегося в вагоне
поезда? Свяжем с каждой системой отсчета систему
координат (рис. 4.1). Если скорость поезда м=1>, то
скорость велосипедиста относительно поезда и'=0,
24

Если скорость поезда u<v9 то велосипедист обгоняет
поезд, и проекция его скорости на ось V в системе К',
связанной с поездом, v'=v—w>0. Если u>v9 то
велосипедист отстает от поезда, проекция скорости в системе
К' равна v'=v—м<0. Таким образом, связь проекций
-
к $
<**
к'i
1ST
It
X
Рис. 4Л
скоростей в двух системах отсчета определяется
соотношением
. y=u+v'. (4.1)
Найдем теперь соотношение, связывающее скорости
тела v и v' в двух различных системах отсчета К и К'
Рис. 4.2
в общем случае, когда направления скоростей v и и не
совпадают. При этом будем предполагать, что система
отсчета К' движется поступательно относительно
неподвижной системы /С. Обозначим радиус-вектор тела
в системе К (К') в момент времени t посредством г (г'),
25

а радиус-вектор, указывающий положение начала О'
движущейся системы, — IV (рис. 4.2). Очевидно,
r=ro, + r'. <4.2)
В момент времени tMtsi радиус-векторы принимают
значения:
где Аг(Аг')—перемещение тела относительно системы
К(К'), а Дго' — перемещение системы /С'. При этом
по-прежнему
(4.3)
Из соотношений (4.2) и (4.3) следует, что
(4.4)
Тем самым перемещение тела в системе отсчета К
является суммой перемещения системы К! относительно
системы К и перемещения тела относительно системы. К!\
Если интервал времени Ы достаточно мал, то Ar=vA/,
!Ar'=v'A£, ArO'=uAtf, где значения скоростей берутся
в момент времени i (см. 5.3). Из (4.4) находим vAt=
=uAf+v/Ai. Разделив обе части этого равенства на At,
получим искомую связь
vzrxu+v7. (4.5)
Мы видим, что скорость тела в неподвижной системе
отсчета равна сумме скорости движущейся системы
отсчета и скорости тела относительно движущейся
системы. Соотношение (4.5) позволяет без особых
затруднений решать задачи, в которых мы вынуждены изучать
движение тел по отношению к движущимся системам
отсчета. Например, если v — скорость капель дождя
относительно Земли (рис. 4.3,а), и — скорость
автомобиля, то V — скорость капель относительно автомобиля;
или v — скорость лодки относительно берегов, аи —
скорость течения реки, то v' — скорость лодки в системе
отсчета, связанной с водой (например,- относительно
плота на воде). При движении по течению скорость
лодки равна скорости течения реки и плюс- скорость лод-

ки v' относительно покоящейся воды (рис. 4.3,6) и f. Д.
Связь ускорений тела а в системе отсчета К и а'
в системе отсчета К\ движущейся прямолинейно
относительно системы К с ускорением w, записывается
аналогично (4.5)
(4.6)
S)
О)
Рис. 4.3
Задача 4. 1. Приборы, установленные на берегу,
показывают, что ветер дует с юго-запада, а величина
скорости ветра и=5 м/с. Что покажут аналогичные
приборы, установленные на корабле, идущем на запад со
скоростью и=36 км/ч?
Решение. В задаче идет речь об определении
скорости ветра в двух системах отсчета: неподвижной системе,
связанной с Землей, и системе, движущейся на запад
со скоростью и. В неподвижной системе отсчета вектор
скорости ветра известен и равен v.
Из соотношения v=u+v', связывающего скорости
ветра в неподвижной и движущейся системах, находим
вектор скорости ветра v' относительно корабля
(рис: 4.4) :
v'=v—и. (1)
Соотношение (1) представляет фактически два
независимых уравнения, являющихся проекциями (1) на
оси х и у прямоугольной системы координат. Пусть а —
27

угол между век1ором v' и осью х (см. рис. 4.4). Тогда
из (1) получим систему уравнений: *
fl'COS(
Рис. 4.4
из которой находим:
(последнее соотношение можно получить
непосредственно, применяя теорему косинусов к треугольнику,
образованному векторами v, u и v'). Подставляя числовые
данные, находим
a =15°, я'= 14 м/с.
Задача 4.2. Проплывая под мостом против течения,
гребец потерял соломенную шляпу. Обнаружив пропаду
через т=10 мин, он повернул назад и, гребя по течению,
подобрал шляпу в 5=Ькм ниже моста. Определить
скорость течения реки (предполагается, что гребец гребет
одинаково интенсивно).
28

Решение. Очевидно, Скорость течения реки "=-—-,
где U— время, за которое шляпа проплыла путь s.
Величину #i проще всего найти, рассматривая движение
в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе
вода неподвижна, а гребец т плыл от шляпы и т
подплывал к ней с одной и той же скоростью.
Следовательно,
Задача 4.3. Колесо катится по горизонтальной
поверхности со скоростью. и без проскальзывания
(рис. 4.5,а). Определить скорости точек Л, В, С обода.
ft I I (.1 I ( I ITif ////// / // //у
А
Рис. 4.6
Решение., Скорость перемещения оси колеса и.
Введем систему отсчета К', движущуюся поступательно
вместе с осью колеса. Скорость v' любой точки обода
в этой системе направлена по касательной к ободу.
Согласно (4.5) скорость любой точки колеса
относительно Земли является векторной суммой скорости и и
скорости v'. Направление v' в каждой точке обода
известно. Определим величину скорости V. Для этого
рассмотрим точку А. Так как колесо движется без
проскальзывания, то в любой момент времени точка
касания колеса с поверхностью неподвижна относительно
этой поверхности,-т. е. скорость точки А равна нулю.
, • 29

Проектируя векторное равенство (4.5) на
горизонтальное направление, находим
vA = 0 = u — v'
А •
Таким образом, v' = u. Теперь нетрудно найти скорость
точки В относительно Земли (рис. 4.5,0): ив = У2ии
скорость точки С: vc=2u.
Задача 4.4. Две параллельные рейки движутся в одну
СТОрОНу С ПОСТОЯННЫМИ СКОрОСТЯМИ 01 = 6 М/С И 02=4 М/С.
Между рейками зажат диск радиусом #=0,5 м,
катящийся по рейкам без проскальзывания. Найти скорость
центра диска и угловую скорость вращения.
Рис. 4.6
Решение. Рассмотрим неподвижную систему отсчета,
в которой заданы скорости реек Vi и v2, и систему
отсчета, движущуюся со скоростью и, равной скорости
центра диска. Поскольку диск катится по рейкам без
проскальзывания, то в неподвижной системе скорости
точек А я В па рис. 4.6 равны (в любой момент
времени) скоростям реек. В движущейся системе центр диска
неподвижен, а диск вращается с угловой скоростью со.
При этом скорости v'ah v'b точек Л и В направлены, как
указано^ на рис. 4.6, и равны по величине cot/?. Записав
соотношение v=u+v' (связывающее скорость любой
точки диска в неподвижной и движущейся системах)
для точек А и В в проекции на горизонтальное
направление, получим систему уравнений:
30

из которой находим:
'«=4"fa
Подставляя числовые данные, получим и=5 м/с, ю=
=2 дад/с.
Задача 4.5. Скорость бутсы футболиста в момент
удара по неподвижному мячу равна и. Определить
скорость мяча после удара. Удар абсолютно упругий.'
Предполагается, что скорость бутсы после удара не
изменяется (т. е. масса бутсы значительно больше массы
мяча).
Решение. После упругого столкновения мяча с
бутсой его скорость изменится по направлению, оставаясь
по величине неизменной. Это утверждение справедливо
только в системе отсчета, относительно которой бутса
неподвижна. Поэтому для решения задачи необходимо
рассмотреть процесс соударения в системе отсчета,
связанной с бутсой и движущейся со скоростью и
относительно Земли. В этой системе мяч налетает на бутсу со
скоростью —и; а после удара скорость мяча становится
равной и. Таким образом, после удара мяч летит со
скоростью и относительно бутсы, а бутса движется со
скоростью и относительно Земли. Тем самым скорость мяча
после удара относительно Земли равна 2и, т. е., по
определению, равна сумме скорости движущейся
системы и скорости тела относительно движущейся системы
(см. также пример 12.13).
Рекомендуем решить задачи №10, 11,
14 из задачника [1].
§ 5. Переменное движение
При равномерном движении направление скорости и
ее величина не изменяются с течением времени.
Большинство же реальных движений таково, что вектор
скорости зависит от времени очень сложным образом.
Движение, при котором скорость изменяется по величине
или цо направлению, является неравномерным.
Очевидно, что движение по искривленной траектории
(например, по окружности) с постоянной по величине
скоростью не. является равномерным, поскольку' вектор
3!

скорости в различные моменты времени, оставаясь
неизменным по величине, меняет направление.
1. Мгновенная скорость неравномерного движения.
Рассмотрим тело, движущееся по прямой, с которой
совместим ось х. При равномерном движении график
зависимости координаты от времени x{t)=xo+vt
изображается црямой линией (рис. 5.1). _
р«с. 5.1
Важной характеристикой этого графика является наклон
прямой к оси времени, который мы определим как
отношение перемещения тела . Д^=хг—Х\ к промежутку
времени А/=/г—*ь
Очевидно, наклон прямой
U-
определяет проекцию скорости тела на ось х. Для
вычисления наклона прямой мы можем использовать лю-
букмгару точек Х\ и х*
Рассмотрим теперь неравномерное движение. На
рис. 5.2 изображен график x(t) в том случае, когда
скорость тела непрерывно изменяется. Каким образом
теперь следует определить проекцию скорости на ось х
в определенный момент времени t\? Мы покажем, что
мгновенное значение скорости можно определить с
помощью формулы (5.1)/ еслц на Д* наложить допол-
32

нительное условие. С этой целью проведем
касательную К к кривой в точке А\ и прямую С\2> соединяющую
точки А{ и Л2. Наклон прямой С\2 определяет среднее
Ах
значение проекции скорости тела на ось х: (v)*cp=-jf
и зависит от интервала At. Секущая С\2 и кривая x(t)
в интервале At заметно различаются. Однако если про-
X
Л* ■•—•»• ^- т~
Y ___. -
Рис 5.2
межуток At брать все меньше и меньше, то в интервале
(t9 t+At) различие между ним;и становится настолько
малым, что они становятся почти неразличимыми между
собой. Это означает, что в интервале Atf-^О движение
очень близко к равномерному, а секущая С\2 почти
совпадает с касательной в точке t. Тем самым
соотношение (5.1) позволяет определить мгновенную скорость
тела при условии, что Af стремится к нулю (Д£->0).
Символически это утверждение можно записать -в виде:
^ x(t), (5.2)
т. е. проекция мгновенной скорости на ось х равна
пределу отношения проекции перемещения на ось х к
интервалу At при стремлении его к нулю. Условие Д/->-0
гарантирует независимость vx(t) от величины Af.
При движении тела в пространстве вектор скорости
3-125
(5.3)
33

где Аг — перемещение тела за интервал At.
Действительно, пусть в момент времени t радиус-вектор тела
-занимал положение г(/), а в момент t+iAt— положение
г(*+Д0 (рис. 5.3). Тогда за промежуток времени At
тело получило перемещение Ar=r(/+iAtf)—r(t).
Отношение Ar/At является вектором, расположенным на секу-
Рцс. б.З
щей. В пределе At-*O направление вектора Аг/А<
совпадает с направлением касательной к траектории в
сторону движения тела.
Соотношение (5.3), записанное в проекциях на оси
координат, имеет вид:
vy = lim •
At
2. Мгновенное ускорение. Если при прямолинейном
движении тела график проекции скорости vx(t)=v0+at
на ось х изображается прямой линией, то наклон этой
прямой определяет проекцию ускорения на ось х:
В этом случае проекция ускорения на ось х постоянна.
Если же зависимость vx(t) изображается кривой, то ана-
34

логично (5.2) проекция мгновенного ускорения на Ось х
При движении тела в пространстве вектора ускорения:
Av *A- -IA ' A^4 -v(0. (5.4)
В общем случае векторы ускорения и скорости обра-
зуют некоторый угол, изменяющийся со временем.
ч Рис. 5.4
Задача 5.1. Тело движется по прямой (оси х) с
переменным ускорением. На рис. 5.4 изображена
зависимость проекции ускорения ах от времени. В какой
момент времени проекция скорости тела на ось х будет
наибольшей?
Пример 5.2. Тело движется с постоянным
ускорением а0. Найти зависимость скорости и радиус-вектора
от времени. Известно, что в момент времени /=0
скорость равна v0, а радиус-вектор г0.
Согласно определению ускорения (5.4)
Av
(1)
Поскольку в левой части стоит постоянный вектор,
то зависимость v(£) должна иметь вид
' ^ v(0 = a/ + C, . (2)
где С — произвольный постоянный вектор. Подставляя
(2) в (1), легко убедиться, что наше предположение
3* • - - . 35

верно. Определим теперь С. Если в (2) выбрать /=0,
то получим Vo=C. Следовательно,
Далее, воспользовавшись определением (5.3),
получим уравнение * . *
Аг
Опять-таки проверкой убеждаемся, что решением этого
уравнения является вектор
где В — произвольный вектор. Учитывая начальные
условия, находим В=Го.
Следовательно,
3. Величина скорости. Пусть путь, пройденный телом
по некоторой траектории за время t, определяется зави*
симостью пути s(t) от времени. Определяя путь,
пройденный телом по траектории, за время At, т. е. s(t+
+At)—s(t), и разделив его на этот промежуток,
получим при Д£-^0 мгновенное значение величины скорости
Одной из приближенных характеристик переменного
движения является средняя величина скорости за
какой-то промежуток времени. Средняя величина скорости
определяется отношением пути As, пройденного телом,
к промежутку времени At, в течение которого этот путь
"пройден:
Задача 5.3. Автомобиль первую половину пути
прошел равномерно со скоростью ^1=35 км/ч, а вторую —
равномерно со скоростью у2=15 км/ч. Какова его
средняя скорость?
Решение. Пусть 25 — все пройденное расстояние.
Согласно определению
0Cp--f-. (О
36

Здесь Т — время движения, причем Г=^+<2, где t\ —
время движения со скоростью v\ по первой половине
пути, ti — по второй. Очевидно,
*t ——, tt = — и, следовательно, Т--—\-—.:.
Подставляя это выражение в формулу (1), получим:
=21 км/ч.
*-*•
Рис. 5.5
Пример 5.4. Показать, что путь, пройденный телом,
движущимся со скоростью v(i)t за время h—ta равен
площади фигуры, отграниченной отрезком \jfa> h] кривой
v(t) и прямыми ti=ta, t=tib (рис. 5.5).
Обозначим расстояние, пройденное телом от
некоторой фиксированной точки траектории, через s(t).
Если бы скорость v(t) была постоянна, то путь
равнялся бы произведению v (4—ta). В случае переменной
скорости путь можно определить следующим образом.
Разобьем отрезок [tat h] точками to=fa, tu ..., tn=tb
(ti<t2<... <in) на п отрезков '[4, ^i], [tu ^2]...
... [tn-u tn]\ и. выберем на каждом- отрезке А^=
=1[^г-1, ^г] (0^'1^Л) НеКОТОруЮ ТОЧКу Гг. СкОрОСТЬ V (t)
на%отрезке [tir-u И\\ меняется от точки к точке, но если
длина отрезка мала, то ее значение мало отличается
37

от значения в точке 7\* (мы предполагаем, что функций
v(t) не имеет резких скачков). Поэтому путь As и
пройденный за время [/*-ь Ь]> естественно считать
приближенно равным пути, пройденному за то же время, с
постоянной скоростью v(Ti):
Выражение, стоящее в праЁой части, — площадь
прямоугольника с основанием &U и высотой v(Ti). Проведя
такие рассуждения для каждого отрезка деления,
получим приближенно значение йути, ^пройденного за время
(Греческая буква 2 (сигма) означает сумму.) Здесь
правая часть — площадь ступенчатой фигуры,
составленной из прямоугольников. Точное значение пути
получим в.пределе Д£->0 при неограниченном увеличении
числа отрезков деления:.
Этот предел равен площади криволинейной трапеции,
образованной отрезком [ia, tb\\ оси t, кривой vif) и пря-,
мыми t=taj t—ib-
§ 6. Кинематика прямолинейного движения
с постоянным ускорением
Из многообразия переменных движений в школьном
курсе физики рассматривается простейшее —
равнопеременное. Пусть в момент времени £о тело имело скорость
Vo, в момент времени i — скорость v. Приращение
скорости v—v0 за время t—10 является вектором,
направление которого зависит от векторов vo и v. В нашем случае
прямолинейного движения векторы- v0, v и их разность
также лежат на одной прямой. Если ускорение
постоянно, то скорость за любые равные промежутки времени-
получает одинаковые приращения, т. е. быстрота
изменения скорости (5.4)
4 а = -1=Ь- (6.1)
38

не зависит от интервала t—U в любой момент
времени t. Обычно ~ момент времени Ц
принимают за начало отсчета времени, т. е. считают, что
/0=0. Скорость в начальный момент времени v(0)
равна Vo.
Если значение .скорости v0 задается в момент
времени ЛоФО9 то в приведенных ниже формулах t надо
заменить на t—#0 (докажите это утверждение).
Очевидно, что если заданы скорость Vo тела в момент
времени 4=0 и ускорение, то "формула (6.1) позволяет
определить значение скорости в произвольный момент
времени i
' v(0 = ve + *tf. . (6.2)
В учебнике физики приводится зависимость
координаты тела
от- времени. Отметим,. что иногда &(t)
ошибочно называют путем, проходимым телом за время t.
Действительно, пусть тело движется с начальной
скоростью ао=20 м/с и ускорением а=—10 м/с2. Если
считать s(t) путем, то получим бессмысленный результат:
за 2 с тело прошло путь 20 м, за 3 с—15 м, а за 4 с
пройдет путь, равный нулю. .
Чтобы подчеркнуть векторный характер указанной
формулы, запишем ее в векторных -обозначениях. Если
в момент времени /0=0 радиус-вектор равнялся г0, то
перемещение за время t равно
т. е. радиус-вектор, определяющий положение тела на
прямой в момент времени #, равен
r(0 = re+;v^ + a^- (6.3)
(см. пример 5.2).
При решении задач о движении в поле тяжести Зем^
ли в формулах (6.-2) и (6.3) вектор а надо заменить
вектором ускорения свободного падения g. Вектор
g направлен к центру Земли, его величина равна
9,8 м/с2. Для того чтобы не учитывать изменение g
с высотой (см. § 14), мы везде будем предполагать, что
39

начальная скорость много меньше первой космической
скорости.
Таким образом, закон движения тел в поле.тяжести
Земли, записанный в векторной форме, имеет вид
r(Q = r, + V + g-f-~ (6.4)
Зависимость скорости от времени определяется
уравнением
- v(/) = vo-{-g*. (6.5)
Необходимо твердо усвоить, что законы движения тел,
перемещающихся с постоянным ускоренней, во всех
случаях описываются формулами (6.2) —(6.3) или
(6.4) — (6.5). Задачи, которые могут быть предложены
для решения, отличаются только разными значениями
векторов начального положения г0 и начальной
скорости Vo.
Важно понимать,, что различие между понятиями
равномерно ускоренного и равномерно замедленного
движения является условным. Например, тело брошено
вертикально вверх с начальной скоростью. а0. Часто
неверно говорят, что движение вверх замедленное, а
движение вниз ускоренное. Разберемся, в чем здесь ошибка.
Для описания движения тела проведем через точку
бросания координатную ось и выберем в качестве
положительного направления, окажем, направление вверх от
Земли. После этого найдем проекцию скорости на ось
координат. С этой целью проектируем векторы,
входящие в (6.2) на координатную ось. Знак проекции
вектора v(/) заранее не известен: мы обозначим ее через v(t).
Проекция вектора Vo входит со знаком плюс, проекция
вектора g — со знаком минус. Итак, получим
v(t) = vo-gt. (6.6)
График этой функции построен на рис. 6.1 (прямая а).
До момента tx=— тело движется вверх, после него —
о
вниз. В момент £ =— тело находится на максимальной
=—
ё
высоте. Имеет л» смысл рассматривать движение до
момента ^=— как замедленное, а затем как равноускорен-
40

Рис. 6.1
ное? Конечно, не имеет. Действительно, соотношение
(6.6) является функциональной зависимостью,
определяющей проекцию скорости как функцию времени, и
позволяет найти скорость тела .в любой момент времени.
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то
единственной силой,
действующей на тело, будет сила
протяжения mg. Из
второго закона Ньютона (см.
9Л) находим, что
ускорение те#а a=g постоянно
и одинаково в любой
точке траектории, в том
числе и в точке, где его
скорость равна нулю.
Проекция скорости на
вертикальное
♦направление монотонно
уменьшается от значения v0 до
—оо (так как
отрицательное число меньше
положительного ).
Если для описания движения выбрать координатную
ось с положительным направлением вниз, то из (6.2)
найдем , ч
*{*) = -*. + &• % (6.7)
Проекция скорости в этом случае монотонно
увеличивается от значения —Vo до оо (прямая Ъ на рис. 6.1).
Итак, поскольку ускорение тела постоянно,
бессмысленно говорить о различном характере движения до и после
момента tx = -±-.
Еще раз подчеркнем, что соотношения (6.2) и (6.3)
позволяют найти скорость и положение точки в любой,
а не только в «конечный» момент времени. Эти соотно-
шения^ содержат всю информацию, необходимую для
решения задач, в которых рассматривается движение
с постоянным ускорением. Полезно придерживаться при
этом следующей последовательности: сначала ввести
систему координат, в которой движение тел выглядит
наиболее просто. Затем записать компоненты радиус-
вектора в начальном положении, начальной скорости и
41

ускорения. После этого записать проекции на оси
координат соотношений (6.2) и (6Ч3). Далее, рассматривая
положение тела в моменты времени, интересующие нас
по условию задачи, получим систему алгебраических
уравнений При этом надо проследить, чтобы число
независимых уравнений равнялось числу неизвестных
величин.
Пример 6.1. Камень брошен вертикально вверх с
начальной скоростью 0о из точки, находящейся на
высоте Н от поверхности Земли. Определить время, через
которое камень упадет на Землюч скорость камня в
момент падения на Землю, высоту наибольшего подъема.
Для описания движения выберем координатную
ось А, направленную вертикально вверх. За начало
отсчета примем точку на поверхности Земли. Проекция
вектора g «а эту ось равна — g. Проекции (6.4) и (6.5)
определяются соотношениями:
j£-, (1)
v(t)=v.-gt. (2)
Первое соотношение определяет высоту камня над
Землей в любой момент времени f>0,
второе—проекцию скорости на вертикаль также в любой момент
времени.
Для того чтобы используемый нами метод решения
стал более ясным, предварительно начертим графики
функций h (t) и v(t) (рис. 6.2), v(i)—линейная
функция времени, h(t)—обычный квадратный трехчлен.
В точках ts, *'з. пересечения графика с осью i значения
функции h(t) равны нулю.
Реальное движение тела описывается той частью
графиков, которые лежат в области />0. Согласно
сказанному выше соотношения (1) и (2) содержат всю
информацию, необходимую для решения задачи. Сейчас
мы проверим это утверждение. :
Определим сначала время падения U камня на Зем- *
лю. Очевидно, в момент падения U высота, на которой
находится камень, h(f^)=O. Подставляя сюда значение
функции (1) в момент времени /з, получим уравнение
для определения fa
^ (3)
42 -

Из этого уравнения находим
(4)
Второй корень со знаком минус, соответствующий
точке пересечения #'3 трафика h{t) с осью времени, надо
отбросить, исходя из очевидного требования: время
Рис. 6.2
43

движения камня от момента бросания t=Q до момента
падения U должно быть больше нуля. Итак,
(Теперь сравните наш способ определения /з с тем,
который Вы обычно используете.) Скорость тела в момент
падения на Землю найдем,, подставляя в (2)
значение fa:
Знак минус перед радикалом указывает на то, что
скорость в этот момент направлена вниз.
Найдем далее момент времени t\9 в который камень
находился йа максимальной высоте h\. В этой точке
скорость тела равна нулю: v(t\)=O. Подставляя сюда
значение функции v(i) из (2) в момент времени 4и
получим уравнение для определения t\i
Высота h\ равна значению функции h(t) в момент
времени t\. Подставляя U в (1), получим:
А, = *('.) =
Определим попутно момент -^, в который тело вновь
окажется на высоте Я. Для этого имеем уравнение
h{t2)=H. Подставляя сюда значение функции fti(tfi)
в момент времени t2, получим уравнение для
определения t2:
яя+0А4ч /,2»,.
Заметим, что на всех этапах решения не возникала
необходимость считать движение вверх» замедленным
(область O^t^t\, на рис. 6.2), а падение — ускоренным
движением (область t>U) и соответственно этому
разбивать перемещение на отдельные участки.
Задача 6.2, Решить задачу 6.1, взяв в качестве
положительного направления вертикали, по которой дви*
44

жется тело, направлений вниз. Начало отсчета выбрать
на высоте Н. Нарисо'ватк графики, аналогичные
приведенным на рис. 6.2.
Задача 6.3. Камень брошен вертикально^ вверх. На
некоторой высоте камень .находится в моменты времени
tl и t2. Опреде/ *ть начальную скорость калГня.
Решение. Выберем координатную ось, направленную
вертикально вверх. Начало отсчета находится в точке
бросания, т. е. вектор начального положения го=в.
Проекция векторного соотношения (6.4) на вертикаль дает
зависимость координаты h(t) камня от времени:
^ * (1)
По условию задачи в моменты времени 4 и U камень
находится на одной и той же высоте, т. е. h(t\)=h{t<^.
Подставляя в это соотношение из (1) значения
функции h(t) в моменты времени t\ и t2, получим уравнение
ч 2 ' 1==0©'* <р
из которого определим
Задача 6.4. Жонглер бросает с одного и того же
уровня два шарика вертикально вверх с начальными
скоростями vo=5 м/с один за другим через промежуток
времени /0=0,31 с. Определить, через какое время после
бросания первого шарика оба шарика окажутся на
одной высоте.
Решение. Выберем координатную ось h так, чтобы
направление «вверх было положительным. Начало
отсчета совместим с положением руки жонглера в моменты
бросания. Время отсчитывает секундомер, запущенный
одновременно с бросанием первого шарика. Зависимость
координаты первого шарика от времени имеет вид
Движение второго шарика началось в момент времени
?о>О с начальной скоростью v0. Согласно сказанному
45

выше зависимость высоты этого шарика h2(t) от
времени определяется выражением
На рис. 6.3 показаны графики функций h\\(t) и h2(t),
из которых видно, что когда первый шарик движется
вниз (h\ уменьшается), второй еще летит вверх (h2
растет). В некоторый момент времени Т оба шарика
окажутся на одной высоте. При построении рис. 6.3 исполь-
h№
о.
Рис. 6.3
зовались числовые данные задачи. В момент времени Т:
h{(T)=h2(T),T.e. .
Из этого уравнения находим искомое время
7-=|l+4-=0'65 с-
Задача 6.5. Тело брошено с поверхности Земли
вертикально вверх. На высоте. #=8,6 м оно побывало
дважды с интервалом - времени 2т=3 с. Определить
Начальную скорость бросания.
Решение. Закон движения по вертикали и
зависимость скорости от времени определяются " функциями
(1) и (2) задачи 6.1, в которых надо положить #=0.
Пусть t\ — момент времени, в который тело, двигаясь
46

Efcepx, оказалось на высоте Я. Согласно условию
задачи H=h(ti)—h(ti+2x). Поставляя значение функции
h(t) в соответствующие моменты времени, получим два
уравнения с двумя неизвестным^ t\ и v0:
решая которые, находим
=l9fi ujc.
Если переписать полученное выражение в виде
то оно приобретает простой физический смысл:
максимальная высота подъема 4р- складывается из высоты
Н и перемещения тела с максимальной высоты до
высоты Н j(b течение времени т).
Задача 6.6. Хоккейная шайба, скользя по льду, прог
ходит последовательно два равных отрезка пути
длиной / каждый и продолжает двигаться. Первый отрезок
она проходит за Т с, второй — за 2Г с. Найти скорость
шайбы v\ в конце первого отрезка пути, если
сопротивление движению шайбы считать постоянным.
Решение. Выберем координатную ось s в
.направлении движения с началом отсчета в конце первого
отрезка (точка О\ на рис. 6.4). Возьмем ^качестве
начального момента времени J=0 момент времени, в который
шайба находилась в точке О\у имея скорость vx (это
значение V\ надо найти по условию задачу). Тогда
в конце второго отрезка шайба была при Ь=»2Г, а в
начале первого при t=^T. Учитывая, что ускорение
направлено в сторону, противоположную
положительному направлению осц, получим из_(6.3) выражение для
координаты шайбы s(t) в любой момент времени:
*W=*i'—тг. ' (1)
Начальная скорость v\ и ускорение а в этой формуле
П *2Т
р ур фру
неизвестны. По условию задачи в момент времени ***2Т
значение координаты s(2T)=L Следовательно, из^ fl)
находим.
Ш,. ~(2)
47

В момент времени t=—T к<юрдината шайбы
отрицательна: s(—Т) =—/. /
Поэтому из (1) следует^Хто
Из уравнений (2) /и (3) находим скорость шайбы
в конце первого отрезка пути:
Рис. 6.4
Решим теперь эту задачу, помещая начало отсчета
в начале первопг отрезка (точка О на рис. 6.4).
Предположим, что в начальный момент времени t=0 шайба
находится в точке О, имея скорость а<ь Тогда из (6.3)
получаем следующую формулу для координаты шайбы
вдоль выбранной оси:
* s(t) = vot-^. (Б)
Зависимость проекции скорости на ось 5 от времени
определяется из соотношения (6.2): * ~"
v(t)=vu-at. (6)
В момент времени t=T шайба находится в конце
первого отрезка s(T)—l. Подставляя сюда значение s(T)
из (5), находим:
l = vtT-^-. (7)
В момент времени t=3T шайба находится в конце
второго отрезка. Ее координата 5(ЗГ)=2/. Из (5) получим
2/=г>0ЗГ—ifipi. (8)
Из уравнений (7) и (8) находим, что
7 / ^ 1 /
48

Теперь нетрудно найти и^ (6) искомую скорость V\ в
момент времени t=T> Тч е. в^онце первого, отрезка:
Очевидно, этот способ
решения более громоздок
по сравнению с первым.
Задача 6.7. Тело пада»
ет с башни с нулевой
начальной скоростью.
Известно, что вторую половину
пути оно прошло за т=
=0,8 с. Определить
высоту башни Я.
Решение. Если начало
координат оси у поме-
кстить на поверхности
Земли, то зависимость у-
координаты тела
определяется функцией (1) за-
.дачи 6.1 (ао=0):
H~J%-. (1)
н
**'
Рис. 6.6
Пусть tx — момент времени, в который тело находится
на половине пути (рис. 6.5), т.. е. значение координаты
\)=-2~. Учитывая (1) из этого соотношение, .получим
уравнение
(2)
По условию задачи в момент /2=^+т тело достигает
Земли, т. е. tf(t\+x)=O. Подставляя в это соотношение
значение* функции (1),- получим еще одно уравнение:
Из системы уравнений (2)-
неизвестных Я, t\, получим
-(3), содержащей в качестве
4—125
49

Подставляя числовые Данные, р&йдем //=40 м.
Рекомендуем решить4 зад ач и №20,23,27,
28, 30, 32, 37 из задачника [t] и №23, 32, 34, 35 из
задачника [2].
§ 7. Кинематика криволинейного движения
с постоянным ускорением
В § 6 мы рассмотрели несколько примеров движения
тела в поле тяжести, когда начальная скорость
направлена по вертикали и, следовательно, движение йыло
прямолинейным. Если начальная скорбеть v0 'образует
с вертикалью угол, неравный нулю, то движение тела
будет криволинейным. Поскольку нет причин,
вызывающих смещение тела в направлении, перпендикулярном
вертикальной плоскости, проходящей через вектор Vo,
то траектория тела будет лежать в этой плоскости. Так
как тело движется в плоскости, -то для определения
положения точки* в которой оно находится в момент
времени ?, надо задать две координаты. Выберем
взаимно перпендикулярные оси h и s, как показано на
рис. 7.1. При движении тела координаты h и s,
характеризующие перемещение, изменяются с течением
времени. Скорость тела v является вектором, направленным
в каждый момент времени по касательной к траектории,
и поэтому изменяется с течением времени по величине
и направлению. Наша задача состоит, в том, чтобы
установить зависимость A, s и v от времени.
Как же найти законы движения h(t) и s(t)? Одна
из возможностей — с помощью эксперимента.
Оказывается, криволинейное движение нашего тела можно
представить как совокупность двух независимых движений:
по вертикали и по горизонтали, которые происходят
одновременно. В выбранной системе координат
движение/ по вертикали — обычное, движение с постоянным
ускорением — g и начальной скоростью uosina, равной
вертикальной составляющей начальной скорости,
описывается функцией
. A(*) = t>esinotf—«£-, (7.1)
уже рассмотренной нами в § 6. В. горизонтальном
направлении тело перемещается равномерно со скоростью,
50

равной горизонтальной составляющей начальной
скорости a<ycosa. Поэтому зависимость перемещения по
горизонтали:
5 (/)=*;, cos a*. (7.2)
Разбиение сложного криволинейного движения на
два простых — прямое следствие векторного характера
скоростей и ускорений. Действительно, единственной
силой, действующей на тело, является сила притяжения
Рис. 7Л
Земли (мы пренебрегаем сопротивлением воздуха). Из
второго закона Ньютона определим вектор ускорения:
ma=P=mg, т. е. a==g. Проектируя полученное
равенство на выбранные оси, мы видим, что вертикальная
составляющая ускорения равна —g, а ^горизонталь;
ная — нулю. Таким образом, этими соотношениями
определяется характер движения тела по вертикали и
горизонтали. • •
. Поскольку h и 5 являются компонентами, радиус-
вектора г(*) (см. рис. 7.1), то можно объединить
уравнения (7.1) и (7.2) в одном векторном соотношении:
(7.3У
Когда начальное положение тела не совпадает с
началом координат, а определяется радиус-вектором г0,.
то соотношение (7.3) можно записать в самом общем
виде:
(7.4)
К> а
Сравнивая (7.4) с (6.4), видим, что прямолинейное
и криволинейное движения описываются одними и те-
4* 61

ми же формулами (см. также пример 5.2).
Единственным отличием является различие в задании начальной
скорости, о чем мы уже говорили в начале этого
параграфа.
То же заключение следует из соотношения (4)
задачи 5.2, в которое надо подставить a=g. ^Теперь ясно,
что зависимость скорости v(i) от времени имеет .вид
v(0 = vf + rf- . . (7.5)
Поясним эту запись. Скорость v(t) в момент времени
£5*0 направлена по касательной к траектории и имеет
вертикальную vB и горизонтальную vr составляющие.
Поскольку движения по горизонтали и вертикали
являются независимыми, то vB(t) определяется формулой
(6.4), в которой в качестве со^авляющей начальной
скорости по вертикали ^должно стоять выражение
t>osin а, т. е.
vB(t) = v.slna-gt. (7.6)
Горизонтальная компонента vr(t) во все моменты
времени остается одной и той же и совпадает с
горизонтальной составляющей начальной скорости:
-
vr(t) = v0cosa. (7:7)
Нетрудно видеть, что уравнения (7.6) и (7.7)
являются проекциями уравнения (7.5) на координатные
оси. Величина скорости в момент времени t равна:
v (i) = Vv\ + v\ =Vv\ - 2gojt sin a
При движении тела вверх vB(t)>09 а при движении
вниз vB{t)<0. Для решения ряда задач (см. 7.4)
необходимо знатб зависимость угла (($(/) между вектором
скорости'и горизонтальной осью от времени. Нетрудно
Ъидеть, что
t;0cosa • .
Если угол a >0, то при значении t — iJ=VnS*a угол
8 обращается в нуль. При t<^tx угол р лежит в первой
четверти, а при *>£, — в четвертой.
Пример 7.1, Ракета стартует с начальной скоростью
ао=1 км/с. При каком угле а между направлением
скорости и горизонтом ракета упадет на расстоянии
52

/=102 км? Определить также время полета и
максимальную высоту подъема ракеты. •
В системе отсчета, связанной с Землей, выберем
прямоугольную систему координат (см. рис. 7.1). Тогда
координаты* и скорость ракеты определяются
уравнениями (7.1), (7.2) и (7.6), (7.7). Через время U пос^е
старта ракета {окажется в высшей точке траектории, где
вертикальная составляющая скорости vB(ti)=O, т. е.
Поскольку время подъема U на максимальную высоту
равно времени падения с этой высоты, то полное время
полета
г of _r2posina
~"1 ё # *
Подставляя это значение в формулу (7.2), получим
дальность полета ракеты D как функцию угла а:
Прежде чем подставить численные данные,
исследуем полученный результат (1). Зависимость дальности
от угла а построена на рис. 7.2. Как видно, при
заданной скорости дальность полета в зависимости от угла a
принимает значения от нуля до °-L. При этом двум
о
различным углам а, симметрично «расположенным
относительно a=jt/4, соответствуют две различные
траектории с одинаковой дальностью полета: настильная (при
a=ai) и навесная (при а=аг). Дальность полета
максимальна при старте под углом а=я/4. По условию
задачи s(7")=/, т. е. \
sin 2a «-$-.
4
Подставляя числовые данные, находим <х=я/4. Полное
время полета оказывается равным 2 мин 24 с, высота
подъема 25,4 км.
Отметим, что формулы (7.4) и (7.5) могут быть
использованы для решения задач о движении тел только
в том случае, если на протяжении всей траектории мож-
53

но пренебречь кривизной поверхности Земли. Легко
видеть (нарисовав дугу большого круга Земли), что
это условие сводится к требованию
iD<R, (2)
Где^Я-, радиус Земли. Подставляя bJ(2) выражение (1)
для дальности при a==-j-, найдем, что начальная ско-
Рис. 7.2
рэсть яв должна удовлетворять условию
v9 < VgR ^ 8 км/с,
т. е. начальная скорость должна быть меньше первой
космической скорости (см. § 14).
Задача 7.2. Два тела брошены под углами <xi и щ
к горизонту. Каково отношение сообщенных им
скоростей, если они упали в одном и том же месте?
Задача 7.3. Самолёт снижается под углом а<0 к
горизонту со скоростью V\. Движущаяся цель удаляется
от него по Земле со скорсЛлъю v2. Скорости v\ и v2
лежат в одной плоскости. На каком расстоянии по
горизонтали от цели самолет, находясь на высоте Я, должен
бросить бомбу, чтобы поразить цель? Сопротивление
Ьоздуха не учитывать.
64

Решение. Выберем координатные оси Таким образом,
чтобы в момент бросания бомбы (/=0) цель находилась
по горизонтали на расстоянии s от начала координат,
а самолет — на высоте Н. Требуется определить
расстояние $ (рис. 7.3).
Рис. 1Л
Начальная скорость бомбы совпадает со скоростью
самолета. Ее ■ горизонтальная и'вертикальная
составляющие равны соответственно v\ cos а и —Pisfaia. Закон
движения бомбы в поле тяжести определяется
функциями:
(1)
(2)
Закон движения цели в выбранной системе ко<}рдинат:
*,Ю=*+*А - (3)
Л(0 = Р. (4)
В момент Т поражения дели х- и ^/-координаты цели и
бомбы совпадают, т. е.
55

Подставляя в эти соотношения значения функций
*и *ь Уи У2 в момент времени 7, получим систему двух
уравнений с двумя неизвестными Т и s:
Н — v^maT—^Р-=
н
V.
••■•X
Рис. 7.4
Разрешая эту систему, находим искомое расстояние
1 '_
s = — (t\ cos a—v2) (y v*t sin2 a -f- 2gH — t\ sin a).
Задача 7.4. Тело бросают с высоты #=4 м под
углом а=45° к горизонту так, что к поверхности Земли
оно подлетает под углом р=60°. Какое расстояние по
горизонтали пролетит тело? Сопротивление воздуха не
учитывать.
Решение, Выберем оси х и у, как показано на
рис. 7.4. Начальное положение тела определяется
координатами jco=O, уо=Ну составляющие начальной
скорости по осям х и у равны соответственно Uocosa и
56

Vq sin а. Следовательно, законы движения по осям- х и у
имеют вид
X (t) = v0 cos a/, y(t) = H + v0 sin at- ^-.
Зависимость проекций скорости на оси координат от
времени определяется формулами:
vx (t) = v0 cos a, vy (t) = v0 sin a — gt.
Пусть t\ — момент падения тела на Землю. Искомое
расстояние полета тела по горизонтали
D = jc(^) = t;0cosctfr . (1)
В этот момент времени ^(*i)=0, т. е.
О = // + !>, sin <--«£-, (2)
а значения проекции скорости соответственно равны:
** Л) = уо cos a, vy (tt) = v0 sin a - gtt < 0.
Далее по условию задачи в момент t=U
vx (*i) = v cos P. ^ ^ (*i) = — t; sin p, (3)
где у — величина скорости в момент i=4\. Приравнивая
отношения Vy(t\) к vx(t\)9 из (3) и (2) получим*
(4)
v0 cos a
Система уравнений (1), (2), (4) содержит 3
неизвестные величины Д Vo и t\. Подставляя из (4)
(5)
в (2), найдем
Теперь из (1), (5) и (6) получим
D 2Я
Ответ: £>=11,42 м.

Задача 7.5. Спортсмен толкает ядро. Иод каким
углом к горизонту должна быть направлена скорость,
чтобы ядро упало ка£ можно дальше? Начальная
скорость ядр а а0 = 13,5 м/ с, высота точки^бросания ядра
Н=2и
Рис. 7.5
Решение. Закон движения ядра приведен в
предыдущей задаче. В момент t\ падения ядра на Земдю
y(ii)=sOf а дальность D=x(ti):
D = v0cosat19 (1)
0 = H-\-vosinat1 - Щ±-. (2)
Исключая tx из (1), (2), находим
D (а) = РоС05а- (v0 sin а + Vv\ sin2 ос + 2gH). (3)
о
Нам необходимо найти значение а0, при котором функция.
D(a) достигает "максимума! Для этого надо рещить
уравнение -^-==0, где -^~ производная функции D> Проще,
однако, воспользоваться следующим приемом: Изобразим
примерный вид графика функции D(a) (рис. 7.5) и найдем
58 . . •

Шченйя угл&в а, й а2, при которых дальность равйа
Подставляя tx из (1) в (2) и учитывая, что cos~2a=l
-f-tg2a, получим уравнение
f^O. - (4)
Следовательно,'
При S=tDmax уравнение (4) должно иметь один корень,
Определяющий значение искомого угла ао.
Следовательно/
Из (6) и (7). находим: - -
(8)
При Я==0 получаем уже известный результат задачи 7.1.
На основе формул (8) и (9) можно давать вполне
обоснованные тренерские указания спортсмену: для
достижения максимальной дальности точка бросания ядра
должна быть расположена как можно выше, угол
бросания определяется формулой (9). Подставляя числовые
данные, находим ао=42°, Dmax=20 м.
Рекомендуем решить задачи №43, 45, 46,
49, 55, 58 из задачника [1] и № 37, 43, 46 из
задачника [2].
§ 8. Первый закон Ньютона
В предыдущих разделах, рассматривая движение
тела, мы не интересовались, почему в одном случае тело
движется равномерно, а в другом равноускоренно.
Кинематика не исследует причин возникнювения движения.
Повседневный опыт создает впечатление, что движе-
59

йиё тела с постоянной скоростью требует определенных
усилий. Такое представление было высказано
Аристотелем (384—322 гг. до н. э.). Только в XVII веке Галилей
(1564—1642 гг.) .путем логических рассуждений и ряда
опытов пришел к выводу, что утверждение Аристотеля
неверно. Любопытно, что поскольку часы в то время
еще не были изобретены, Галилей определял время,
взвешивая воду, вытекающую из резервуара за время
перемещения тела. Он утверждал, что «любая скорость,
сообщенная телу, устойчиво сохраняется до тех пор,
пока нет никаких причин к возникновению торможения
или ускорения». Позднее Ньютон (1642—1727 гг.)
придал ясность выводам Галилея, сформулировав закон
инерции: если на тело не действуют другие тела, то оно
движется прямолинейно с постоянной скоростью или
остается в покое. Под телом в этой формулировке
понимается материальная точка. Таким образом, в законе
инерции речь идет о свободном (т. е. не
подвергающемся внешним воздействиям) теле.
Почему о первом законе Ньютона говорят как о
законе инерции? (inertia (лат.)—бездеятельность). Под
инерцией следует понимать свойство тел сохранять свою
скорость (по величине и направлению) или состояние
покоя при отсутствии воздействия со Стороны других
тел. В силу этого под воздействием других тел данное
тело, «стремясь» сохранить прежнее значение скорости,
изменяет ее не сразу, а постепенно.
В повседневной практике закон инерции
непосредственно не проявляется. Ведь по закону инерции тело,
которому сообщили начальную скорость, должно
двигаться с этой же скоростью прямолинейно без конца.
Однако из наблюдений нам известно, что любое тело,
получив толчок, через некоторое время остановится.
Это- замедление Галилей понял как вторичный эффект,
который следует приписать трению о поверхности и
воздух. Улучшая условия опыта, уменьшая силы трения,
можно приблизиться к идеальным условиям,
необходимым для наблюдения закона^инерции.
Следует сделать еще одно замечание о первом
законе Ньютона. Мы уже говорили в § 2, что для
изучения движения тел. мы выбираем определенную систему
отсчета. Системы отсчета, в которых выполняется закон
инерции, называют инерциальными. Пусть в некоторой
инерциальной системе тело движется равномерно. Если
60

Наряду с имеющейся у нас инерциальной системой ot-
счета К мы введем другую систему К', движущуюся
относительно первой равномерно и прямолинейно, то
с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе
К', это тело согласно формуле (4.5) также будет
двигаться равномерно. Наблюдатели, изучающие движение
тела в двух инерциальных системах, придут к одной
точке зрения: сумма сил, • действующих на тело, равна
нулю. Этот и другие примеры показывают, что во всех
инерциальных системах законы механики одинаковы.
Другими словами, все инерциальные системы
равноправны. Это утверждение составляет содержание
принципа относительности Галилея.
Вследствие принципа относительности мы не можем
говорить об абсолютном прямолинейном равномерном
движении. Можно наблюдать только относительное
прямолинейное равномерное движение.
Весьма важно, что мы всегда можем найти
положение тела в одной системе, если знаем его положение
в другой системе отсчета. Из рис. 4.1 видно, что
координата некоторой точки вагона х' к системе К' и
координата х той же точки в системе К связаны
преобразованием Галилея
х=ш+х\ у=у', z=z\ i=d'..
Последнее равенство означает, что время есть нечто
абсолютное и течет одинаково для двух наблюдателей
в системах К и К'.
Система отсчета, движущаяся ускоренно
относительно инерциальной системы, называется неинерциальной
(см. § 18). Б этих системах закон инерции не имеет
места. Если в качестве системы отсчета взять далекие
«неподвижные» звезды, то в этой системе Земля не
является инерциальной системой, поскольку движется по
эллипсу вокруг Солнца со скоростью —30 км/с с
отличным от нуля ускорением. Кроме того, неинерциальность
системы отсчета, связанной с Землей, возникает в связи
с суточным вращением.
Как случилось, что Галилей на движущейся Земле
открыл принцип, строго справедливый только для
инерциальных систем? Нетрудно видеть, что
неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, чрезвычайно
мала, поскольку в течение малого времени наблюдения
61

Земля двиэке!ей по Дуге элЛипСа, ко!1 opyto • с * большой
степенью точности можно считать отрезком прямой
линии. Медленное суточное вращение Земли также было
несущественно в опытах Галилея.
§ 9. Второй и третий законы Ньютона
1. Понятие силы. В § 8 мы говорили, что проверить
закон инерции -очень трудно. Однако можно проверить
обратное, а именно: у всех движений обнаруживается
одна общая черта-г-изменение скорости тела, т. е.
появление ускорения обусловлено взаимодействием этого
тела с другим телом. Если тела удалить на достаточно
большое расстояние, то ускорение тела обращается
в нуль. Если данное тело 1 взаимодействует с
несколькими телами, то, как показывает опыт, ускорение am,
сообщаемое телу 1 телом п, не зависит от присутствия
других тел. При этом ускорение ai тела 1 равно сумме
ускорений
Для количественной меры взаимодействия тела 1
с другими телами вводят понятие силы Fb действующей
на тело 1 со стороны других тел. Постулируется, что
сила Fi является вектором, параллельным ускорению
тела ai и равным векторной сумме сил Fi2+Fi3+ ...,
действующих на тело 1 со стороны тел 2, 3, ....
Если уЯкорение тела a=0i то результирующая сила
также равна нулю. Это свойство можно использовать
для измерения сил путем сравнения их с силой —
эталоном. Пусть в результате действия силы — эталона Fet
и некоторого тела 2 ускорение тела равно нулю. Тогда
Fet+Fi2=0 и, следовательно, FI2=—Fet.
Итак, сила является векторной величиной,
характеризующей взаимодействие тел. Все силы (кроме сил
инерции в § 18), с которыми нам придется встречаться,
будут удовлетворять этому определению. Поэтому для
того чтобы перечислить все силы, действующие на
данное тело, необходимо перечислить все тела, с которыми
оно взаимодействует. Заметим, что описание
взаимодействий тел с помощью понятия силы является
приближенным — в механике считается, что силы, действующие
62

на тело в данный момент времени, зависят от
расположения тел в тот же самый момент времени.
2. Силы в механике. Природа сил во многих
случаях может быть установлена из физических законов,
которые лежат в основе взаимодействия .между
атомами, однако эти вопросы выходят за пределы школьного
•курса. Мы ограничимся лишь рассмотрением вопроса,
какие силы возникают в том или ином случае.
Все силы, которые встречаются в механике, условно
можно разделить на два класса: 1) силы, действующие
между телами на расстоянии, 2) силы, возникающие
при непосредственном соприкосновении тел.
Рассмотрим силы первого типа. Взаимодействие тел
на расстоянии обусловлено наличием различного вида
полей, создаваемых этими телами. Если на тело в
каждой точке пространства действует со стороны других тел
определенная сила, то всю эту совокупность сил
называют силовым полем. В общем случае силы меняются
от одной точки пространства «"другой и могут зависеть
от времени.
Однородным постоянным полем называется силовое
поле, во всех точках которого величина и направление
силы одинаковы. Таково поле притяжения Земли
вблизи поверхности, т. е. на расстояниях, малых по.
сравнению с ее радиусом. Электростатическое поле между
обкладками плоского конденсатора, размеры которых
много больше расстояния между ними, также можно
считать однородным (см. § 28).
Рассмотрим теперь взаимодействия второго типа —
силы упругости и силы трения.
Тела, с которыми соприкасается при своем движении
данное тело, называются связями. Обычно такими
связями служат различные поверхности, нити, стержни
и т. д. Связи не только накладывают .ограничения на
движение тела, но и действуют на него с некоторыми
силами. Эти силы приложены в точках соприкосновения
тел и называются силами реакции. Силы реакции
иногда называют пассивными силами в отличие от
активных сил, к которым относят все остальные силы..
.Силы реакции заранее не известны, они зависят от
характера связей и действующих активных сил и могут
быть определен^ лишь в ходе решения задачи.
Силы реакции —проявление упругих сил, которые
возникают при непосредственном соприкосновении в ре-
-63

зультате деформации тел (см. § 23). Реальные твёрдые
тела под влиянием приложенных сил в той или иной
степени деформируются, т. е. меняют свою форму или
Объем, причем величина небольшой деформации
пропорциональна приложенной силе. Хотя деформации
твердых тел, с которыми мы имеем дело в механике,
очейь малы, тем не менее они приводят к
возникновению сил упругости, стремящихся вернуть тело в
первоначальное состояние. Вследствие этого появляется сила
реакции, направленная п<? нормали к поверхности и
приложенная к телу, которое является причиной
деформации. Опыт показывает, что для каждых двух
соприкасающихся тел их силы реакции равны по величине
и противоположны по направлению.
Если соприкасающиеся тела движутся относительно
друг друга, то кроме сил реакции появляются силы, не
зависящие от характера деформации, — силы трения
скольжения.
Рис. 9.1
Обсудим некоторые свойства сил трения. Пусть
тело А движется по поверхности тела В (рис. 9.1). Как
показывает опыт, со стороны тела В на тело А
действует сила R, направленная под некоторым углом к
поверхности. Разложим ее на две составляющие:
нормальную чк поверхности FH и составляющую.,
направленную по касательной к поверхности FTV. Нормальная
составляющая— уже известная нам сила реакции. Она за-
Ьисит от.величины деформации тел и не зависит от
* свойств поверхностей соприкасающихся тел.

Составляющая FTV зависит только от состояния
поверхностей и величины сцлы нормального давления. Ее
называют силой трения скольжения. Эта сила
направлена ч по касательной к поверхности в сторону,
противоположную скорости тела А относительно тела В
(или среды, в которой тело движется), вызывающего
торможение тела А. Если обозначить величину силы
нормального давления через N, то для величины силы
трений скольжения будет справедлива простая формула
FkN
где k — коэффициент трения, зависящий от состояния
соприкасающихся поверхностей. Зависимость силы
трения от скорости изображена на рис. 9.1,6 сплошной
кривой. В,действительности, как показывает опыт,
зависимость ^р(v) имеет вид, изображенный пунктирной
кривой. Однако это отличие невелико, и в большинстве
задач можно считать, что /7тр=йА/г.
Если при скольжении трение настолько мало, что им
можно пренебречь, то поверхности тел называют
абсолютно гладкими.
Сила трения между твердыми телами обладает
характерной особенностью: она не обращается в нуль,
кЬгда соприкасающиеся тела неподвижны, т. е.
существует так называемая сила трения покоя.
Величина и направление силы трения покоя определяются
внешней силой F, которая стремится вызвать
скольжение. В системе отсчета, в которой тело неподвижно,
сила трения покоя всегда равна по величине и
противоположна по направлению составляющей внешней силы
!F(n, касательной к поверхности. С ростом внешней силы
растет величина силы" трения покоя, пока не достигнет
определенного значения, которое называют
максимальным значением силы трения покоя Fmax=kN. Как
только величина составляющей Fn достигнет значения
kN, начинается скольжение. При дальнейшем
увеличении внешней силы сила трения остается постоянной,
равной по величине kN независимо ог скорости тела.
Зависимость проекции силы трения от проекции внешней
силы Fn изображена на рис. 9.2 (имеется в виду
проекция вектора силы на'плоскость, касательную к
поверхности, на которой находится тело). Обратите внимание,
что направление силы трения противоположно
направлению составляющей Ец.
5-125 65

Силы трения, которые возникают при движении
твердого тела в жидкости или газе, называют силами
жидкого трения. Одно из отличий жидкого трения
от сухого заключается в отсутствии трения покоя. Если
тело пакоится относительно жидкости или газа, то со
стороны последних на него может действовать только
-rtf
кН
Рис. 9.2 •
сила, перпендикулярная к поверхности соприкосновения.
Вследствие отсутствия трения покоя можно сколь
угодно малой силой сдвинуть предмет, находящийся в воде
или воздухе. Что же касается величины силы трения,
возникающей при движении тела* в жидкой или
газообразной среде, то она зависит от относительной скорости
тела и среды, формы тела и от свойств среды. При
малых скоростях сила трения прямо пропорциональна
скорости, при больших — квадрату скорости.
Задача 9.1. Тело находится на шероховатой
плоскости, образующей угол а с горизонтом. Какие силы
действуют на тело и плоскость.
Решение. Наше тело взаимодействует с Землей,
значит, на него действует сила притяжения P=mg,
направленная к центру Земли. Далее, в результате небольшой
деформации со стороны плоскости, на тело действует
сила реакции Ni, направленная нормально к
поверхности плоскости. На плоскость действует сила давление

W2(A^i=^2). Кроме Tofo, на тело действует сила трекий,
равная F\=kNu если тело скользит, или F2=mg srn a*
если оно покоится (рис. 9.3). На плоскость со стороны
тела действует сила
трения F\ или F2 роответ-
ственно.
В том случае, когда
тело лежит на
горизонтальной плоскости, на
тело действуют две силы:
сила притяжения и
реакИ
Рис. 9.3
р р
ция плоскости. Их сумма,
очевидно, равна нулю.
Задача 9.2.
Однородная балка массой m
подвешена горизонтально на двух невесомых нитях. На
балку положен груз массой /п0. Найти силы, действующие
на балку и груз (рис. 9.4).
Решение, Балка взаимодействует с Землей двумя
нитями и грузом. Следовательно, на нее действуют сила
притяжения Земли P=mg, сила натяжения нитей Т\ и
Т/
'////////.
ь
W
'/////////
J L
Рис. 9.4
Т2 и сила давления N груза на балку (рис. 9.4,а). Груз
взаимодействует с Землей и балкой. Первому
взаимодействию отвечает сила притяжения Po=/nog. Co
стороны балки на груз действует сила реакции No (рис. 9.4,6).
Вследствие третьего закона Ньютона (см. ниже) N%=N.
Ю

3. Второй закон Ньютона. На основании ряда опытов
можно установить, что отношение величины силы,
действующей на тело, к величине ускорения, вызываемого
этой силой, является величиной постоянной для данного
тела. Эту постоянную т называют инертной массой или
просто массой. Этот вывод перестает быть верным при
движении тел со скоростями, близкими к скорости света.
Второй здкон Ньютона устанавливает связь между
массой, ускорением тела и приложенной к нему силой F:
ma=F. (9.1)
Из этого соотношения видно, что направление вектора
ускорения совпадает с направлением силы. Скорость
при этом может быть направлена как угодно, в
зависимости от того, как тело двигалось до того, как на него
стала действовать сила F.
Если на тело действуют несколько сил, то F является
результирующей силой, т. е. векторной суммой всех сил,
действующих на тело:
Второй закон Ньютона имеет векторный характер,
а поскольку любой вектор в общем случае имеет три
независимые составляющие, то, говоря об уравнении (9.1),
мы на самом деле имеем в виду три уравнения:
max = Fx, may = Fy, maz = Fz, (9.2)
где ах, ау> az, Fx> Fy, Fz — составляющие векторов
ускорения и силы по осям декартовых «координат х, у, z i(cm.
§ 1). Если имеется несколько взаимодействующих тел,
то соотношение (9.1) или (9.2) можно записать для
каждого тела в отдельности. Существенным преимуществом
векторной записи (9.1) является то, что формулировка
второго закона Ньютона в векторной форме не зависит
от выбора определенной системы координат.
При движении тела по криволинейной траектории во
многих случаях более целесообразно использовать не
проекции уравнения (9.1) на неподвижные оси
декартовых координат (9.2), а проекции на подвижные оси.
В случае движения тела в плоскости одна из них
выбирается вдоль вектора скорости, другая ось направлена
68

Перпендикулярно скорости (см. § 13). Составляющая &ь
ускорения, направленная вдоль скорости, связана
с изменением величины скорости, а йерпендикулярная
к ней составляющая ал—с изменением скорости по
направлению. Проектируя обе части (9.1) на подвижные
оси, получим два уравнения:
mak = Fk9 (9.3)
maH = FH9 (9.4)
где Fk, FH—проекции силы на.касательную и нормаль
^траектории.
В системе СИ единицей силы является ньютон. Сила
в 1 н сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. В
системе СГС единица силы — дина. Сила в 1 дину
сообщает телу массой 1 г ускорение 1 см/с2. Сила в 1 Г
сообщает телу массой 1 г ускорение 980 см/с2, поэтому 1 Г=
=980 дин, 1 кГ=9,8 н. Единицы силы в системах СГС и
СИ связаны соотношениями: 4 дина=10-5 н.
4. Третий закон Ньютона. Этот закон утверждает,
что для любых двух взаимодействующих тел сила F21,
с которой первое тело действует на второе, равна по
величине и противоположна по направлению силе Fi2, с
которой второе тело действует на первое:
Необходимо помнить, что сила F2i приложена ко
второму телу, а сила Fi2 приложена к первому телу, поэтому
они не уравновешивают друг друга. Таким образом,
в механике все силы возникают парами. По этой
причине со стороны тела А (см. рис. 9.1) на тело В
действует сила — R. Составляющую — FH этой силы называют
силой нормального давления, составляющая — F-грЯвля-
ется силой трения, действующей на тело В.
Три закона Ньютона являются фундаментом
классической механики. Они были оформулиробаны в 1687 г.
ч Классическая механика позволяет объяснить
огромное количество различных явлений. Необходимо, однако,
иметь в виду, что классические понятия имеют
ограниченную область применимости (см. § 45).
Соотношение (9.1) или (9.2) называют у р а в н е -
ниями движения.
Они позволяют решать задачи двух типов.
69

а). Йрямая задача. Если заданы внешние силы и ни-
чальные условия .(т. е. положение и скорость тела в
начальный момент времени), то уравнения движения
позволяют определить ускорение и найти характер и закон
движения. Например, если мы изучаем движение тела
массой т в поле тяжести Земли, пренебрегая
сопротивлением воздуха, то единственной силой, действующей на
тело, является сила притяжения Земли F=mg.
Подставляя это значение силы в уравнения движения (9.1),
находим, что ускорение, испытываемое телом, a=g
постоянно и не зависит от массы тела. Разумеется, это
равенство' справедливо в любой точке траектории тела.
Поскольку ускорение постоянно, то закон движения тела
определяется формулой (7.4). х .
б). Обратная задача. Известны начальные условия
и закон движения. Требуется определить силу,
действующую на тело. . ^
Для успешного применения второго закона Ньютона
надо правильно расставить все силы, приложенные
к телу. Для этого необходимо перечислить все тела,
с которыми взаимодействует данное тело.
Еще раз напомним, что при решении конкретной
задачи удачный вцбор системы координат играет важную
роль, облегчая ее решение.
Задача 9.3. Два тела массой тх=Ъ кг и т2= 6 кг
лежат на абсолютно гладком столе. Тела связаны
невесомым шнуром, который разрывается, если к телу
с меньшей массой приложить силу Fi=24 кГ. Какую
минимальную силу F2 надоу приложить к телу с большой
массой, чтобы разорвать шнур?
<
Рис. 9.6
Решение. Условие задачи мы используем для того,
чтобы найти максимальную силу натяжения шнура Го.
Силы, действующие по вертикали, взаимно
уравновешиваются и нас не интересуют* поскольку не влияют на
70

движение тел в горизонтальном направлении. В
горизонтальном направлении на первое тело действует сила Fi
и fcnjra натяжения нити Ть на второе тело — сила
натяжения нити J2 (рис. 9.5). Так как нить имеет
пренебрежимо малую (по сравнению с mi и т2) массу, то
величины сил натяжения Т\ и Т2 одинаковы.
Действительно, если бы нить имела массу т, то
уравнение движения нити имело бы вид та=Т\—Т2. Здесь
Т\ и Т2— силы, действующие (согласно третьему закону
Ньютона) со стороны первого и второго тел на нить. Из
написанного уравнения следует, что Т\ФТ2. Поскольку
по условию задачи т=0, аФО, то Ti=r2=7\ Поэтому
уравнения движения первого и второго тел имеют вид
(учитывая, что оба тела имеют одинаковые ускорения):
пгга=Т,
Решая эту систему, находим
Р F
При значении внешней силы F\=24 кГ натяжение
^достигает предельно допустимого значения Г0=16 кГ.
Если теперь сила F2 приложена ко .второму телу, то
оба тела движутся с ускорением а'. Следовательно, если
сила F2 удовлетворяет уравнениям:
m1ai=Tof
m2a' = F2-T0, '
то шнур разорвется. Решая эту систему и учитывая
значение Тр9 находим
^^r0--^F1 = 48 кГ.
Задача 9.4. Два груза с массами т\ = М и m2=Af
подвешены на нерастяжимой нити, перекинутой через
блок. На один из них положен перегрузок массы /п3=
=пг. Определить'ускорение системы, натяжение нити Г,
давление N перегрузка на груз М, давление Р на ось
блока (рис. 9.6,а). Массы нити и блока считать исчезаю-
ще малыми.
Решение, Прежде всего заметим, что силы натяжения
Т\ и Т% нитей одинаковы только в том случае, когда
71

массой нити (см. задачу 9.3) и блока можно
пренебречь. При ускоренном вращении блока момент сил
Т\Я—ТУ?, действующих на него, пропорционален массе
блока и угловому ускорению. Поэтому еслц пренебречь
массой блока, то силы натяжения можно считать
одинаковыми. Силы, действующие на каждое тело системы,
Рис. 9.6
показаны на рис. 9,6,6. Поскольку нить нерастяжима, то
ускорения каждого^тела равны друг .другу.
Следовательно, второй закон Ньютона можно записать в виде:
1) для первого тела
(N — сила'давления перегрузка на груз Ш\)\
2) для второго тела
(2)
(3)
(N — сила реакции со стороны тела mi).
Складывая уравнения (1) — (3), получим ускорение
3) для перегрузка
ma=mg — N

Затем из (U) и (4) найдем силу натяжений
—
а из (3) и (4) найдем
Давление на ось блока
т_ 2М (М + гп)" ^
— 2M + m g*
N— пжл——
2M +
(о)
Задача 9.5. Два бруска с массами Ш\ и т2 движутся
по гладкой поверхности под действием силы F,
приложенной к бруску 1. Определить силу, действующую на
брусок 2 (рис. 9.7)
Рис. 9.7
Решение. На первое те#о действуют сила F, сила
притяжения Pi, сила реакции Ni со стороны плоскости
и сила реакции Ti со стороны второго тела. На второе —
сила притяжения Рг, сила реакции N2 со стороны
плоскости и сила реакции Т2=—Ti со стороны первого тела.
Поскольку ускорения тел одинаковы, то второй закон
Ньютона можно записать для каждого тела в виде:
(1)
(2)
Выбирая положительное направление осей декартовых
координат по направлению движения и вертикально
вверх, из (1), (2) получим:
mfi = Nl — mxgy m20 = N2 — m2g.
Следовательно, искомая сила
73

Пример 9.6. Тело подвешено к динамометру.
Определить вес тела, если измерения производятся в кабине
лифта, движущегося с* ускорением а:1) ускорение
направлено вверх; 2) ускорение направлено вниз.
- Благодаря гравитационному взаимодействию на все *
тела действует сила притяжения Земли mg. He следует
путать эту силу с силой веса. Как известно, весом тела
называют силу, которая в положении равновесия
растягивает пружину, если к ней подвесить тело; Эта сила
равна по величине силе натяжения пружины. Можно
также определить вес тела, как силу, с которой тело
давит на подставку.
В этой задаче мы можем определить вес тела с
помощью динамометра, который показывает величину
натяжения пружины. С точки зрения наблюдателя,
находящегося вне лифта, на массу действуют две силы: сила
притяжения Земли P=mg и сила натяжения
пружины N. Под действием этих сил тело движется с
ускорением а. . -
. Уравнение движения тела имеет вид
. Проектируя это равенство на вертикальную ось
в случае (1), находим
, (1)
а во втором случае
. (2)
(Покажите, что ^аналогичные выражения* получаются,
для силы давления тела на пол .кабины, когда тело
лежит на полу.) Следовательно, вес тела равняется силе
притяжения только в том случае, когда лифт движется
равномерно или покоится. При движении лифта с
ускорением, направленным вверх, вес тела становится больше
сиды притяжения. На человека, находящегося в таком
лифте, действует дополнительная сила, равяая та (см.
§ 18). Иногда выражение для силы веса записывается
в виде #=т£Эф, где эффективное ускорение свободного
падения gB$=g+q. Без существенной опасности для
жизни человек способен выдержать перегрузку в £Эф=
= (10-f-12)g в течение десяти секунд. При выводе
космического корабля на орбиту космонавты оказываются
74 1 • • '

в такой ситуации, когда значительные перегрузки
приходится выносить в течение десятков секунд.
При движении лифта с ускорением, направленным
вниз, вес меньше силы притяжения. При свободном
падении лифта, т. е. когда a=g, вес тела становится
равным нулю. Следовательно, для создания невесомости
4 нет нужды выходить в космическое пространство за
пределы сферы тяготения — тела невесомы, например в
самолете, который движется
в разреженной атмосфере
с выключенным
двигателем в поле тяготения
Земли по траектории,
близкой «к параболе.
Задача 9.7. К телу
массой т=4 кг, лежащему
на горизонтальной -шеро- рис. 9.8 -
ховатой плоскости,
приложена сила F(F<mg), направленная под углом а к
горизонту. Коэффициент трения между телом и
плоскостью &=0,2. а) Какое ускорение а сообщит телу эта
сила, если /=19,6 н, а=30°. б). При какой величине
силы движение будет равномерным? в) При какой
минимальной величине силы движение будет
равномерным?
Решение. На тело кроме силы F действуют сила
притяжения Земли Р, сила реакции N и сила трения FTp
(рис. 9.8). Согласно второму закону Ньютона,
/
Проектируя это векторное соотношение йа оси коордит
нат, получим систему уравнений: _ ^
ma = F cos a _-FTp, (1)
O[=Fsma-{~N — mg. ' (2)
Обратим внимание на то. что реакция
N — mg —- F sin a < mg.
Здесь мы сделаем важное замечание, чтобы
предостеречь от возможных ошибок в дальнейшем. Прежде
чем разрешить уравнение (1) относительно а,
необходимо провести исследование. Дело в том, что из-за
существования силы треиия покоя тело может остаться не-
75

подвижным, если проекция внешних сил на
горизонтальное направление меньше силы трения скольжения,
равной hN:Fcosa<kN=k(mg—Fsina). При этом сила
трения покоя /7Tp=/7cosa, а ускорение а=0. Если же
F cos а>'Ш, то тело движется с ускорением, при этом
в уравнении (1) FTV>=ikN. Если же величина силы
удовлетворяет условию F cos a=kN, то тело движется
равномерно, а FTp=:kN. Следовательно,
f a = 0, ^Tp=
Fcosa>kN, a^0f Fjp=kN.
а. Подставляя числовые данные, находим, что
Fcosa=16,66 н, N=29,4 н, kN=5,88 н, т. е. Fcosa>kN.
Следовательно, уравнение (1) имеет вид:
та=F cos a — k (mg'— F sin a), (3)
p
a= — (cos a-f Л sin a) — kg = 2,7 м/с*.
б. Полагая в (3) a=0, найдем величину силы,
которая, будучи приложена под углом „а, обеспечивает
равномерность движения тела:
F=8, 15 н. - (4)
COSa
в. Теперь наша задача — исследовать зависимость
величины силы (4) от угла а. Проще всего это сделать,
записав знаменатель в виде одной тригонометрической
функции. Вводя угол р соотношением fe=tgp,
представим (4) в виде
p. v kmgcosjJ
W cos (a — p) •
Теперь видно, что функция ^(a) имеет минимум при
• (Б)
Подставляя числовые значения, находим р=11°,
F (р) =0,196 mg.
Задача 9.8. Брусок массой т = 1 кг находится на
горизонтальной доске, движущейся с ускорением: 1) а=
=1 м/с2, 2) а=3 м/с2/ Коэффициент трения между
76

бруском и доской &=0,2. Определить величину силы,
действующей на брусок.
Решение. Эту задачу проще всего рассмотреть в не-
инерциальной системе отсчета, связанной с доскбй,
используя уравнение (18.1). #Предоставим эту .
возможность читателю и решим задачу в инерциальной системе,
в которой доска движется с ускорением а.
- В вертикальном направлении брусок не ускоряется,
значит, реакция доски N равна весу бруска Р: N—P.
В горизонтальном направлении на брусок действует
сила трения jFtp, направленная в сторону движения
доски. Уравнение движения бруска имеет вид
где а\ — ускорение бруска.
Предположим, что проскальзывания нет, тогда а\=а,
а сила трения удовлетворяет неравенству F^^JiN^kmg,
т. е. a<kg. Если ускорение удовлетворяет условию а>
>{kg, то возникает скольжение бруска относительно
доски. При этом F1,T>=kN=kmg.
Таким образом, зависимость силы трения между
бруском и доской от ускорения доски имеет вид:
та, a<kg,
тр \krng, a>kg.
[
р \
Подставляя числовые данные, находим, что в первом
случае брусок неподвижен относительно доски.
Действующая на него сила является силой трения покоя
FTV=tna=l н.
Во втором случае на брусок действует сила трения
скольжения FTp=&N=l,96 н.
Задача 9.9. Тело массой т находится на наклонной
плоскости, которая составляет угол а=10° с
горизонтом. Определить ускорение а тела относительно
наклонной плоскости, если коэффициент трения &=U0,2.
Нарисуйте график зависимости силы трения от угла
наклона а.
Задача 9.10. Доска массой т\ лежит на гладкой
горизонтальной плоскости, по которой может двигаться
без трения. На доске лежит тело массой т2, <к которому
приложена в горизонтальном направлении сила F.
Коэффициент трения между телом и доской равен k. При
каком значении силы F тело начнет скользить по доске?
77

Решение. На тело т2 действуют сила F и
противоположно направленная сила трения FTV со стороны доски.
Согласно третьему закону Ньютона на доску действует
такая же по величине, но направленная в
противоположную сторону сила Ftp.
Уравнения движения тела и доски имеют вид:
Г» / | \
т (I __ р р в /2\
Если проскальзывания нет. (/^тр^б/тед), то ускорения
тела и доски совпадают: ai=a2=a. В этом случае из
(1), (2) нрходим
Следовательно, скольжение возникает при значении
силы
Задача 9.11. Маляр работает в подвесном кресле.
С какой силой он должен тяйуть за веревку, чтобы
подниматься вверх с ускорением а. Чему равны давление
Рис. 9.9
маляра йа кресло я полная нагрузка на блок? (Масса
кресла т2=24 кГ, масса маляра mi=76 кГ ( о==-|- g

. Решение. Перечислим силы, действующие ha ^
сила тяжести m2g, сила упругости веревки Г, сила дав-'
ления N со стороны маляра. На маляра действуют: сила
тяжести migy сила упругости веревки Т и сила реак-'
ции N со стороны -кресла (рис. 9.9). Согласно второму
закону Ньютона (положительное направление выбрано
вертикально вверх),
(1)
mlg. (2)
Из (I) и (2) находим
т (\ I а\т Т —*•
Здесь Го — сила упругости веревки в равновесии (
=0),
Подставляя числовые значения, находим Г=»бО кГ,
-N=31,2 кГ. Полная нагрузка на блок равна 2Г==120 кГ.
Рекомендуем решить задачи № 73, 75, 78,
'87, 90, 99, 105, 106 из задачника [1] и № 67, 70, 75, S0
из задачника [2].
§10. Закон сохранения количества движения
1. Второй закон Ньютона — закон изменения
количества движения. Важную роль в физике играет
величина р, равная произведению массы тела на его скорость:
p=/nv. Вектор р называют количеством движения тела,
или импульсом тела. Согласно определению приращения
импульса и скорости связаны соотношением Ap=/nAv.
Используя это соотношение, запишем второй закон
Ньютона (9.1) в виде
т. е. скорость изменения импульса тела равна силе,
действующей на тело. В механике Ньютона масса "тела
постоянна. Поэтому уравнения (10.1) и (9.1) эквнвал«гг-
79

ны. Соотношение (10.1) строго справедливо только
тогда, когда сила не изменяется в течение интервала М.
Для произвольной силы это имеет место при. условии
At—нО. Уравнение (10.1) можно также представить
в виде
Ap = FA*. (10.2)
Величину FAt называют импульсом силы.
Соотношения (10.1) и (10.2) очень, удобны для качественного
анализа взаимодействия тел.
В ряде прикладных задач требуется сообщить как
можно большую скорость первоначально покоящемуся
телу. Из формулы (ЮЛ) видно, что для этой цели
необходимо получись максимально возможное произведение
силы на время. Например, при одинаковом заряде
пороха в патроне длинноствольные ружья бьют дальше и
точнее, чем короткоствольные. Действительно, большая
длина ствола увеличивает продолжительность действия
пороховых газов на пулю, в результате она приобретает
* большую скорость.
При ударе клюшкой по шайбе, в толкании ядра,
метании копья, молота и других спортивных упражнениях
скорость может быть .увеличена увеличением времени
действия силы или увеличением самой силы.
Задача 10.1. Используя формулу (10.1), объясните:
а) почему при приземлении после прыжка для
смягчения удара о землю рекомендуется не напрягать мышцы
ног? б) как ослабить силу удара при приеме
волейбольного мяча?
2. Теорема о сохранении количества движения тела.
Из (10.2) следует, что* если сумма сил, действующих
на тело, равна нулю, то импульс тела не изменяется со
временем
Др = mv'fc—[mvj=Pfy Pi=mv 1= Po
Следует подчеркнуть, что импульс является вектором и
сохранение всех его компонент имеет место, лишь когда
все компоненты Р равны нулю. Однако отдельные
компоненты импульса могут сохраняться и при наличии сил.
Например, рассмотрим движение тела в поле тяжести
Земли. В этом случае из соотношения (10.2) находим
(поскольку F=P=mg)
80

Располагая прямоугольную систему координат в
вертикальной плоскости, в которой движется тело, мы можем
написать это уравнение в проекциях:
Из этих уравнений видно, что проекция количества
движения на горизонтальное направление сохраняется.
Проекция же количества движения на- вертикальное
направление изменяется.
3. Закон сохранения импульса для системы тел.
В практике мы в основном имеем дело не с одним,
а с системой взаимодействующих тел. Каждое из этих
тел может взаимодействовать как с телами,
принадлежащими системе, так и с телами, не входящими в нее.
Силы, действующие между телами системы, называют
внутренними силами, остальные силы,
действующие на систему, называют внешними. Систему тел,
взаимодействующих друг с другом и не
взаимодействующих с окружающими телами, называют %замкнутой
системой. В замкнутой системе действуют только
внутренние силы, в результате действия которых состояние
системы непрерывно меняется, т. е. изменяются с
течением времени скорости и положения тел системы.
Однако для замкнутой системы существует величина, которая
постоянна во времени, — полный импульс
системы. Он представляет собой векторную сумму
импульсов каждого из тел, входящих в состав замкнутой
системы. Полный импульс системы равен:
где m^ tn2, ... — массы тел системы, vi, v2, ... —
скорости этих тел. Эта величина не меняется с течением
времени.
Если полный импульс механической системы
равняется нулю, то говорят, что система покоится. Это
определение является естественным обобщением понятия
покоя отдельного тела. Очевидно, равенство нулю
полного импульса не означает, что все тела системы
покоятся. Полный импульс двух тел может быть равен нулю,
несмотря на непрерывное изменение импульсов обои?:
тел, если их скорости связаны соотношением Ш\\\=
6—125 81

==—m2v2. Такое соотношение свйзывает, например,
сы » скорости протона и электрона в изолированном
атоме водорода в системе отсчета, в которой импульс
атома равен нулю.
Покажем, что сохранение импульса .системы является
следствием второго и третьего законов Ньютона. Для
простотьГпредположим, что имеются только два
взаимодействующих тела. Обозначим результирующую всех
внешних сил, действующих на тело 1, через Fi,
результирующую всех внешних сил, действующих на тело 2, —
через F2. Запишем для каждого из этих тел второй
закон Ньютона в форме (1.0.1):
Силы fi2 и f2i являются внутренними: fi2 — сила,
действующая со стороны второго тела на первое, f2i — сила,
действующая со стороны первого тела на второе.
Складывая эти уравнения, получим
Первая сумма сил в правой части представляет
результирующую внешних сил, действующих на
рассматриваемую систему, а вторая сумма равна нулю, так как
согласно третьему закону Ньютона fi2=—hi-
Итак, изменение полного импульса системы Р=
^Pi+p2+ ••• равно сумме всех, внешних сил F=Fi +
+F2-P ..., действующих на систему:
4FF. ' (10.3)
Пример 10.2. Космический корабль, имеющий среднее
лобовое сечение S=5 м2, и скорость и=10 км/с,
попадает в облако миярометеоров, плотность которых D=2X
' Х10~9 -кг/м3. Приближенно будем считать соударения
микрометеоров с кораблем абсолютно неупругими.
Определить, какая тормозящая сила действует на корабль за
счет столкновения с облаком.
. Для решения этой задачи удобно перейти в систему
отсчета, связанную с кораблем. В этой системе в момент
8Г

времени t корабль покоится, а метеоры налетают со
скоростью— v. В близкий момент времени t'=t+At
(Думало) скорость корабля практически не меняется и
остается равной v, поскольку масса корабля много
больше массы метеоров Am, «прилипших» к кораблю за
малый интервал времени Д1 Долетев до поверхности
корабля, метеоры ударяются со скоростью — v и остаются
на поверхности, т. е. в система отсчета, связанной с
кораблем, скорость метеоров после соударения равна
нулю. Удары метеоров о поверхность корабля приводят
к возникновению сиЛы, тормозящей корабль.
Для определения силы торможения F необходимо
предварительно определить сумму сил F', действующих
со стороны поверхности на все метеоры, так как
согласно третьему закону Ньютона F=—F'. Применяя второй
закон Ньютона в форме (10.3), находим
т AP=[F'Af= —FA*. (1)
Изменение импульса метеоров . ДР=0—- (—ту—т\—
— ...)=уДМ, поскольку за интервал At масса метеоров
ДАТ изменила -свою скорость от —v до нуля. За время
At с поверхностью взаимодействуют все метеоры,
находившиеся в объеме, равном Sv№, следовательно, ДМ=
=pSvAt9 AP=pSvvAt. Теперь из (1) находим силу
торможения - '
F = — pSvv:
Знак минус говорит о том, что сила торможения
направлена в сторону, противоположную скорости корабля.
Подставляя исходные данные, получим величину силы
торможения F=pSv2=l н.
В том случае, когда сумма внешних сил,
действующих на систему, равна нулю (система замкнута), то
полный импульс системы сохраняется. Это утверждение
можно записать в виде
или Р(<,1)==Р(£2)= ..., где U — различные моменты
времени.
Каждое из слагаемых m{Vi(t) в левой части (10.4)
является функцией времени, однако их сумма от време-
йи не зависит. Таким образом, если нет результирующей
сйЛы, действующей на систему извне, то внутренние

силы никогда не смогут изменить' полный импульс
системы.
Если система не замкнута, полный импульс системы
не сохраняется. Однако может случиться, что сумма
проекций внешних сил на некоторое направление будет
равна нулю. Тогда сохраняется проекция полного
импульса системы на это же направление.
Необходимо подчеркнуть большую роль, которую
играет законы сохранения импульса, энергии (§ 12);
электрического заряда (§ 27) и другие в современных
физических исследованиях. Сейчас физики приходят
к выводу, что законы сохранения являются наиболее
важными законами природы. Например, природа сил'
взаимодействия между элементарными частицами еще
не раскрыта и не существует уравнений, подобны^
второму закону Ньютона, с помощью которых можно было
бы описать превращения и поведение частиц при
взаимодействиях. Здесь на помощь приходят законы
сохранения, позволяющие предсказать многие характерные
особенности распадов,- взаимодействий и превращений
элементарных частиц.
Задача 10.3. Плот массой ш\ скользит по поверхности
воды со скоростью V\. На плот с, берега прыгает человек
массой т2. Скорость человека перпендикулярна
скорости плота и равна V2. Определить скорость плота с
человеком. Силами сопротивления воды пренебречь.
Решение. Поскольку в горизонтальном направлении
силь! не действуют, импульс системы человек — плот до
и после взаимодействия сохраняется. Обозначив
скорость плота с человеком через v, получим
тх\х -f m2v2 = (m, + m2) v,
или
«, _m1v1-f rh2\2 /n
V~ m;+m2 • W
Выбирая направление оси х по течению, реки, а оси
у йерпендикулярно берегу, как показано на ряс. 10.1,
найдем компоненты скорости, проектируя равенство (1)
на оси координат:
84

. Величина скорости
Угол а, который скорость v образует с осью х9
определяется из соотношения
1
Г
Рис. 10.1
Задача 10.4. По горизонтальному пути без трения
движется платформа весом Pi 'со скоростью а=10 м/с,
~ йр которой лежит камень весом Р%. Через некоторое
время в платформе открывается люк, и камень
проваливается вниз.' С какой скоростью после этого движется
платформа?
Решение. При решении этой задачи следует
использовать закон сохранения горизонтальной составляющей
полного импульса системы платформа — камень. В
начале эта составляющая равна \m\-\-m<i)v. После того
как открыли люк, камень начал падать в поле тяжести,
получив начальную скорость, направленную по
горизонтали и равную скорости платформы v. Горизонтальная
составляющая скорости к^ддття рк мм знае/пр^шде
.меняется.
Обозначим скорость платформы без камня через v'.
Тогда сумма горизонтальных составляющих импульса
платформы и падающего камня равна m\v'+m2v.
Согласно закону сохранения импульса
(m^mjv — my -\-mj). (1)
Из (1) следует, что v'=v — платформа продолжает
двигаться с первоначальной скоростью 0=10 м/с.
85

Задача 10.5. На платформе, движущейся со
скоростью 0=36 км/ч, укреплено орудие. Ствол орудия
направлен в сторону движения платформы под углом
<х=60° к горизонту. Определить скорость V\ платформы
после выстрела, если масса платформы с орудием М=
=16 т, масса снаряда т=20 кг к он вылетает со
скоростью 0о=6ОО м/с. -
Задача 10.6. Два конькобежца с массами mi =80 кг
и /п2=50 .кг, держась за концы длинного натянутого
невесомого щнура, неподвижно стоят на льду, один против
другого. Один из них начинает укорачивать шнур,
выбирая его со скоростью vo=l м/с. С какой * скоростью
будет двигаться по льду каждый из конькобежцев?
Трением пренебречь.
Решение, Поскольку внешние силы в горизонтальном
направлении отсутствуют (трением пренебрегаем); сила
натяжения шнура, являясь внутренней силой, не может
изменить горизонтальной составляющей Полного
импульса конькобежцев. В начальном состоянии импульс равен
нулю. После того' как конькобежцы начали двигаться
навстречу друг другу, горизонтальная составляющая
суммарного импульса стала равна m\V\—m2v2i где
vi и v2—величины скорости в системе отсчета,
связанной с поверхностью льда. Согласно закону ^сохранения
импульса
OWm,*/—"/lyy м (1)
С другой,стораны, относительная скорость
конькобежцев V\ + v2 равна скорости выбирания шнура:
о,+>. = ».. (2)
Из уравнений (1) и (2)~находим;
Задача 10.7. Лодка массой М стоит в неподвижной
воде. На корме и на носу сидят рыболовы, массы
которых щ и т2. Рыболовы смещаются навстречу друг
другу на расстояния h и /2 соответственно. Насколько
переместится при этом лодка? Сопротивлением воды
пренебречь. - •
86

ч Решение. Поскольку сохраняется проекция импулЬсй
на горизонтальное направление, то в любой момент
времени
О, (1)
где Ар, Api, Д/?2 — проекции приращения импульсов на
горизонталь. Обозначим через и — скорость лодки
относительно воды, Vi(v2)—скорости рыбаков относительно
лодки. Тогда, выбирая положительное направление от
первого рыбака ко второму, из (1) получим
или
-Учитывая, что иД*=Д/, UiA/=A/i, VzAt—Ak, найдем
смещение лодки:
Рекомендуем, решить задачи № 111, 414,
116, 122, 125, 127 из задачника [1] и № 82, 83, 89; 90 из
задачника [2]. ?
§ 11. Статика*
Тело находится в статическом равновесии в
определенной системе отсчета, .если силы, действующие на
него, таковы, что оно остается в покое в любой момент
времени.
Согласно второму закону Ньютона условие
равновесия тела может быть записано в виде равенства нулю
равнодействующей всех сил, приложенных к телу. В
законах Ньютона под телом мы подразумеваем
материальную точку. Протяжённое тело может не только
перемещаться, но и вращаться. Обсудим условия, при которых
твердое тело не вращается.
1. Момент силы. В школьном курсе, механики
статика— единственный раздел, где мы имеем дело с
твердым телом. До сих пор мы всегда могли заменить тело
точкой. Теперь этого делать нельзя, так как поведение
твердого тела зависит не только от величины, но и от
точки приложения силы.
_ 87

-На рис. 11.1 показано тело с осью вращения,
проходящей через точку О, г —вектор, лежащий на
перпендикуляре, опущенном из точки приложения силы на ось
вращения.
Ясно/что силы, направленные параллельно оси
вращения,1 не могут произвести вращение тела. Мы можем
поэтому не принимать во внимание таких сил и
рассматривать только силы, лежащие в плоскости,
перпендикулярной оси вращения. .
По определению величиной момента силы
относительно оси называют, произведение
L = rFsinat (11.1)
где'а — угол между векторами F и г. Иначе можно
записать
L=hF, (1L2)
где h=rsina — плечо силы относительно оси (длина
перпендикуляра, опущенного из О на направление силы).
Если точку приложения
силы смещать вдоль
направления силы, то" плечо Л,
а вместе с ним и момент
силы не будут меняться.
При решении задач
необходимо помнить, что плечо
равно расстоянию от оси до
точки приложения силы
только тогда, когда угол
Рис. 11.11 а=90°. Вообще говоря,
момент силы является
вектором, направленным по оси
вращения. Векторный характер момента силы
учитывается тем, что отрицательный знак приписывается
моментам сил, стремящихся повернуть тело, в направлении
движения часовой стрелки, а положительный знак —
моментам сил, стремящихся повернуть тело в
противоположном направлении.
Если на тело действуют несколько сил, то полный мо-
jteHT сил равен алгебраической сумме моментов
отдельных сил. Условием равновесия твердого тела, могущего
вращаться вокруг некоторой оси, является равенство
нулю алгебраической суммы моментов всех действующих
на тело сил относительно этой оси.
88

Итак, два условия статического равновесия твердого
тела гласят: 1) векторная сумма всех приложенных сил
равна нулю; 2) алгебраическая сумма моментов всех
сил равна нулю.
Если мы имеем дело с системой соприкасающихся
друг с другом твердых тел, то условия равновесия
должны выполняться для каждого тела в отдельности. При
этом в число сил должны быть включены также и силы,
действующие на данное тело со стороны остальных
соприкасающихся с ним тел, т. е. силы реакции и силы
трения.
Сделаем несколько замечаний о -рациональном
применении условий равновесия. Если на тело f действуют
несколько сил, то нет необходимости складывать силы
как векторы. Действительно, любой вектор определяется
в общем случае тремя числами (см. §
1)—составляющими в направлении координатных осей. Поэтому при
использовании условия 1) целесообразно выбрать
прямоугольную систему координат и приравнять нулю
сумму проекций всех сил на* каждую из осей координат.
Если силы лежат в одной плоскости, то в результате
(согласно следствию 2 § 1) получим два независимых
уравнения.
Второе условие справедливо как для тела, которое
действительно может вращаться вокруг реальной оси,
так и для тела, которое вообще не связано с реальными
осями. При этом ось, относительно которой
определяются моменты сил, может быть выбрана произвольным
образом. Действительно, ось вращения проходит через
неподвижные ?очки тела, а поскольку все точки
покоящегося тела неподвижны, то любую прямую, проходящую
через тело, можно считать осью, около которой могло
бы происходить вращение? В силу тех же причин в
качестве оси вращения можно взять прямую, которая
вообще не проходит через данное тело. При решении
конкретных задач желательно выбрать ось вращения так,
чтобы условие равенства моментов имело наиболее
простой вид. Например, можно достигнуть упрощения,
проводя ось вращения через точку, к которой
приложено несколько сил. Моменты этих сил равны нулю и не
войдут в уравнения равновесия.
2. Центр тяжести.* Любое тело состоит из большого
количества связанных между собой частичек, на каждую
89

из которых действует сила тяжести. Так как мы будем
рассматривать не очень протяженные тела, то все эти
Ьилы параллельны друг другу. Заменим совокупность
всех действующих на тело сил тяжести одной силой Р,
которую называют равнодействующей.
.Поскольку тело*'нельзя рассматривать как
материальную точку, то положение результирующей силы
зависит от формы тела и характера распределения частиц
в нем. Очевидно, что сила Р равна сумме всех сил
тяжести, а. ее точка приложения должна быть выбрана
таким образом, чтрбы ее действие было бы равноценно
действию сил тяжести всех частиц. Для этого ее^момент
относительно произвольно выбранной оси должен быть
равен сумме моментов сил тяжести каждой частицы
тела относительно той же оси.
Точка приложения равнодействующей силы Р
называется центром тяжести тела. По отношению к оси,
проходящей через эту точку, момент силы Р равен- нулю.
Но тогда сумма моментов сил тяжести всех частиц по
отношению к оси, проходящей через центр тяжести,
тоже должна равняться нулю-. Математическая запись
этого утверждения приводит к условию, определяющему
положение центра тяжести. Разумеется, у тела только
один центр тяжести, и он не обязательно находится
внутри тела.
Вычисление центра тяжести тела произвольной
формы— сложная математическая задача. Для симметрич-
нпйх тел эта задача значительно упроща.ется. Например,
рассмотрим тонкую однородную палочку. Если
мысленно разбить ее на поперечные полоски, то каждой из них
-соответствует другая, расположенная симметрично по
другую сторону центра. Момент силы тяжести каждой
пары таких полосок относительно центра равен нулю.
„ Значит, сумма моментов всех сил тяжести" относительно
середины ч палочки равна нулю. Следовательно, центр
тяжести лежит посередине палочки.
При нахождении положения центра тяжести
необходимо прежде всего, исходя из симметрии задачи,
попытаться определить положение прямых и плоскостей, на
которых должен находиться центр тяжести. Далее, для
точного вычисления положения центра тяжести можно
воспользоваться одним из двух*формально различных
способов,
90

- Первый способ. Выбирая произвольным образом ось
вращения, запишем уравнение, где момент
равнодействующей силы тяжести относительно произвольной оси
равен сумме -моментов сил тяжести всех тел,
составляющих сложное тело, относительно той же оси. Если мы
предположим, что ось вращения проходит через
произвольно выбранное положение центра тяжести, то
условие, определяющее его положение, можно
сформулировать так: алгебраическая судама моментов сил тяжести
Рис. U.2
всех тел, составляющих сложное тело, относительно оси,
проходящей через его центр тяжести, равна нулю.
а. Определим, например, положение центра тяжести
двух тел массой Ш\ ujn2i находящихся ,на расстоянии L.
Введем числовую ось с началом в точке о (рис. 11.2).
Выберем в качестве оси вращения ось, проходящую
через точку о. Координаты тел х\ и х2 заданы (х2—*i=Z,).
Сила тяжести, действующая на тело ти равна4 m\g, а ее
плечо относительно оси, проходящей через точку о, есть
координата аг± этого тела. Поэтому суммарный момент
сил тяжести равен:
Равнодействующая сила равна (/Ид+тг)^ и если
обозначить координату ее точки приложения через хс, то>
ее момент равен-
Приравнивав эти выражения, найдем
Хс= тх+т2 - <
Если начало координат совмещено с телом л%и то
б. Ось вращения проходит через центр тяжести,
91

Предположим, что он находится между ^точками х± и %г*
Тогда моменты сил тяжести, действующих на первое и
второе тела, соответственно равны:
—Wig (Xc—Xi) , m,2g {Х2—Хс) .
Приравнивая их сумму нулю, получим снова выражение
(11.3). Покажите, что равенство нулю алгебраической
суммы моментов сил /nig"' и m^g относительно центра
тяжести приводит к выражению (11.3) независимо от
предложений: а) центр тяжести находится левее тела
m,i\ б) правее тела тг\ в) между телами т^и т%
Второй способ. Найдем центр тяжести первого и
второго тела и после этого мысленно заменим их точкой
массы mi+m2,
расположенной в центре тяжести этих
тел. Далее найдем центр
тяжести точки массы т,\-\-
+W2 и точки массы тг
и т. д. . Таким образом,
в ксГнце концов мы
найдем центр тяжести всей
данной системы.
Пример 11.1. Из
квадратной однородной
пластинки с длиной ребра а
вырезали
равнобедренный треугольник высотой Л, основание которого равно а.
Определитьцентр тяжести полученной фигуры (0<Л<:а).
Для решения задач этого типа проще всего
мысленно выделить в первоначальной фигуре (фигура А) вы-
резанную часть (фигура В) и остающуюся часть
(фигура С). Центр тяжести первоначальной и вырезаемой
фигур обычно легко находится. Центр тяжести
остающейся фигуры неизвестен и подлежит определению.
Поскольку алгебраическая сумма моментов сил тяжести
фигур В и С относительно центра Тяжести фигуры А
равна нулю, то это условие дает уравнение для
определения центра тяжести фигуры С.
В нашем примере (рис. 11.3) центр тяжести
вырезаемого треугольника лежит на высоте на расстоянии -^- h
от основания всегда слева от центра пластины (так как
h<a). Масса этого треугольника пропорциональна пло-
92
Рис. 11.3.

щади -j-ah. Центр тйжести фигуры С находится ria
Средней линии квадрата на расстоянии хс от центра пластины.
Масса этой фигуры также пропорциональна ее площади:
а2 о~ай. Условие равенства моментов относительно
центра квадратной пластинки приводит к уравнению
(4) <о
Из уравнения (1) находим
хс— 6 (2а-Л) w
Мы фактически повторили вывод формулы (11.3).
Действительно, координатная ось х совпадает со средней
линией квадрата, а начало отсчета находится в его
центре. Координата центра тяжести квадрата согласно
(11.3)
_ /%xB + mc*c твхв + /ис*с /о\
Здесь *а,в,с— координаты центра тяжести фигур Л, В,
С; ягА,в,с — соответственно массы этих фигур.
Учитывая, что
х —0 х Л-^- l-h\
•^А —V) лв— 1 2 3
/Ид^о8, тв~-£-а/г, mc=mA — mB>
из (3) получим выражение (2).
Нетрудно видеть, что центр тяжести фигуры С
находится справа от центра пластины. Поэтому можно
вырезать треугольник такой высоты hi> чтобы центр
тяжести фигуры С совпадал с вершиной треугольника, т. е.
a ■<afl — 2ft1)*1
2 ' 6 (2а — hx) 1#
Из этого уравнения находим
Если высота вырезанного треугольника h>hiy то центр
тяжести остающейся части лежит вне ее.
93

Задача Н.2. При выплавке в свинцовом шаре
радиусом R образовалась сферическая полость радиусом —,
поверхность которой касается поверхности шара и
проходит через его центр. Найти положение центра тяжести
получившегося тела. .
Решение. Рассмотрим сплошной шар (тело С) и
будем считать, что
он'образован двумя телами:
шаром, который заполняет
искомую сферическую
полость, (тело Л), и телом,
остающимся после
образования сферической по-
лости (тело В); масса
шара С равна М, масса
шара А равна т.
Предполагая, что центр
тяжести образовавшегося тела
находится на расстоянии
х от центра шара С,
запишем условие равенства
нулю моментов сил веса
тел А и В относительно
центра .О (рис. 11.4).
рис# п.4
п
— т) gx —■ mg —=0.
Из этого уравнения находим
х=-
т
М—т 2 #
Учитывая, что массы Ж, т пропорциональны объемам
получим окончательно
R
1Г
n
Ответ: центр тяжести находится на расстоянии -^
от центра шара.
94

Задача 11.3. В равностороннем треугольнике со
стороной а две стороны сделаны из проволоки плотностью рь
а третья сторона —* из проволоки плотностью рг/
Определить положение центра тяжести треугольника.
Задача 11.4. Однородная гибкая нить„ЛВ длиной /
удерживается за конец А так, что другой конец 5
касается Земли. Предоставленная затем самой себе нить
падает. Определить время Т падения х центра тяжести
нити на Землю.
Решение. 'Центр тяжести нити окажется на Земле
только в том случае, когда вся нить упадет на Землю.
Пока конец А не упал на Землю, высота центра тяжести
нити не равна нулю. Поскольку нить гибкая, то на нее
действует только сила тяжести. Поэтому время падения
центра тяжести равно времени свободного падения
конца Л с высоты /, т. е.
■-/?
g
Задача 11.5. Рычаг длиной /=1 м, на концах которого
подвешены грузы весом Pi=3 кг и Ръ=2 иг, находится
в равновесии. В какую сторону сместится рычаг, если
к каждому грузу добавить по перегрузку Ро=1 кг. На
какое расстояние нужно перенести точку опоры рычага,
чтобы восстановить равновесие? Весом рычага
пренебречь. .
D*
Рис. 11.5
Решение. На рычаг действуют три силы (рис. 11.5)*
силы натяжения Ti=Pu T2=Pz и сила реакции опоры
AT=Pi+P2. Выбирая в качестве оси вращения прямую,
прохбдящую через точку опоры, находим моменты си-
fлы, стремящейся повернуть рычаг против часовой .стрел-

ки Mi=xP±f и силы, стремящейся повернуть его по
часовой стрелке М2=(1—х)Р2. Здесь х — расстояние от
левогб конца рычага до точки опоры. '
По условию задачи
или
После добавления перегрузков момент Мх увеличивается
на величину хР0=0,4 кГ/м, а момент М2 — на (/—х)Р2=
=0,6 кГ/м, т. е. момент сил, вращающих рычаг по
часовой стрелке, станет больше момента сил, вращающих
рычаг против часовой стрелки. В силу этого правое
плечо опустится. Чтобы восстановить равновесие,
необходимо увеличить момент сил, вращающих рычаг против
часовой стрелки. Для этого, очевидно, нужно увеличить
плечо х, перемещая точку опоры вправо до значения х'.
Из равенства моментов при равновесии находим:
,_ 3 ,_ 3
Г-1— 7 1— 7 Мф
Расстояние, на которое нужно при этом переместить
точку опоры, оказывается равным
/:' — -^"35" м' '
Задача 11.6. Найти натяжение нитей Ti и Т2 в задаче
9.2. Вес балки Р=100 кГ, вес груза ^0=20 кГ. Длина
балки /=5 м, груз Ро лежит на расстоянии а=1 м от
середины балки.
Решение. Первое условие равновесия приводит
к уравнениям (см. рис. 9.4):
Ро-ЛГ0 = 0, (1)
7\ + Г1--#-Я = 0. ' (2)
При этом необходимо учесть, что в силу третьего
закона Ньютона N=N0. Недостающее уравнение
следует из условия равенства моментов относительно
центра тяжести балки:
7у/2 + Ю»=7у/2. (3)
96

Вместо этого уравнения мы мргли бы воспользоваться
уравнением моментов, составленных относительно
левого
чпи правого концов балки
Решая систему уравнений (1), (3), находим:
± Qa/l = 64 кГ,
Задача 11.7. Однородный шар весом Р лежит на
двугранном угле {$, одна грань которого образует с
горизонтальной плоскостью угол
а. Определить величину
сил реакций, действующих
на шар.
Решение. Вначаледелаем
чертеж (рис. 11.6) и рас- «■
ставляем все силы,
действующие на шар: силу тяжести Р,
реакции Ых и N2,
направленные 'Перпендикулярно
соответствующим плоскостям.
В положении равновесия сумма этих сил равна нулю:
Следовательно, равны нулю и суммы проекций этих ■
сил на горизонтальную и вертикальную оси
прямоугольной системы координат. Вектор Ni образует с
горизонтальным направлением угол а+Р—90°, а вектор N2 —
угол а+90° (положительное направление
горизонтальной оси вправо). Проекция уравнения (1) на
горизонталь приводит к уравнению:
Проекция уравнения (1.) на вертикальное направление
имеет вид:
" N2 cos a — N% cos (а + р) — Р = 0. (3)
7—125 97

Обратите внимание, что для тупого угла р,
изображенного на рис. 11.6, р + а>90°. Следовательно, cos (а+Р)<
<0. Решая систему (2), (3), находим:
sina
sinp
sinp
P.
Рис. 11.7
Если шар лежит на двугранном угле, одна сторона
которого горизонтальна (а=0), то Afi=O, Nz=P. В этом
случае шар не давит на боковую стенку, а только
касается ее.
Задача 11.8. Лестница АВ весом Ро упирается в
гладкую стену и опирается на горизонтальный
шероховатый пол. Под каким
наименьшим углом а' к полу
надо доставить лестницу,
чтобы по ней мог подняться
доверху человек, вес
которого Р? Коэффициент трения
скольжения лестницы о пол
равен k.
Решение. Сделаем
чертеж (рис. 11.7) и, принимая
лестницу за стержень
длины /, изобразим приложенные
к нему силы. Со стороны стены на лестницу действует
реакция NA, со стороны пола — реакция NB и сила
трения покоя FTp. При скольжении лестницы FTP=^B.
Очевидно, лестница не будет скользить, пока
Сила притяжения Ро приложена в середине лестницы.
Со стороны человека, стоящего на расстоянии 5 от
конца В лестницы, действует сила давления, равная весу
человека Р.
Выберем д^а взаимно перпендикулярных
направления по горизонтали и вертикали (оси х и у). Тогда
первое условие равновесия принимает вид:
FTP = 0. (3)
Запишем далее второе условие равновесия.
98

Выбираем в качестве оси вращения оеь, проходящую
через точку В (в этом случае моменты сил FTT> и Nb
равны нулю), находим согласно (11.1) момент силы Na,
равный A^A^sina, и моменты сил Ро и Р, равные - Ро cos a
и sP cos a. Составим уравнение моментов, учитывая их
знаки:
Г4~ Р. + sP) cos a = ША sin a. • (4)
Из уравнений (3) и (4) получим
tFrpsma==(±- Po
cos a.
(5)
Учитывая (1), найдем, что человек сможет подняться
доверху (s=0 по нескользящей лестнице при условии
(-J- Pt
cos«r< lkNB sin a.
Подставляя сюда значение NB из (2), находим искомое
условие
tga;
2k(P+Pt) •
(6)
Задача 11.9. Кубик массой т лежит на шероховатой
горизонтальной поверхности (рис. Ц,8). Пр*г каком
наименьшем значении
горизонтально направленной силы F
можно повернуть кубик
вокруг ребра на очень малый
угол? При каком значении
коэффициента трения ребро
не будет при этом скользить
по плоскости?
Решение. Силы,-
действующие на кубик,
изображены на рис. 11.8.
Приравнивая нулю сумму моментов
сил относительно оси, проходящей через ребро,
получим
р
99

Для того чтобы кубик не скользил, должно
выполняться условие
или
Задача 11.10. Концы*однородного тонкого стержня
находятся на гранях прямого двугранного угла. Одна из
граней образует угол а с ' горизонтальной плоскостью.
Рис. 11.9
Найти угол ф между стержнем и другой гранью в
положении равновесия и силы реакции граней. Вес
стержня Р, поверхности граней абсолютно гладкие.
Решение L В положении равновесия сумма сил,
действующих на стержень, равна нулю (рис. 11.9,а):
Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на
горизонталь и вертикаль, получим:
TVjCOsa — N2sina = 0i (1)
Nisin<x-\-N2cosa — P = 0. - (2)
Следовательно,
Nt=Psmat N2=Pcosa. (3)
Записывая равенство нулю моментов сил относительно
центра тяжести стержня, получим уравнение
Из (3) и (4) находим ф=а.
100

Решение 2. Угол ф можно найти более простым
способом, если заметить, что при смещениях стержня центр
тяжести движется по окружности с центром в точке О
(рис. 11.9,6) {ее радиус равен -^-j. Поэтому в
положении равновесия центр тяжести должен находиться в
точке С пересечения этой окружности и вертикали, прохр-
дящей через точку О. Поскольку ДЛ"СО —
равнобедренный, то
Очевидно, положение равновесия стержня
неустойчиво.
Задача 11.11. Квадрат из однородной проволоки, у
которого 'отрезана одна сторона, одним углом повешен
на гвоздь.. Определить угол,
образуемый средней стороной х t»
с вертикалью.
- Решение. Поскольку мы
можем мысленно заменить любое ^
тело одним грузом, сосредото- *" "Z7*~]~gi *•
I
ченным в центре тяжести, ясно,
что в равновесии этот груз бу-. у
дет лежать на вертикали. Зна- .
чит, для решения задачи доста- i
точно найти положение центра р,ис. и.ю
тяЖести квадрата (рис. 11.10).
Центры тяжести сторон лежат на их серединах в
точках Л, J3, С. Тоыки Л и С расположены симметрично,
поэтому удобно найти вначале центр тяжести этих
точек. Он лежит на середине прямой, соединяющей точки
Л и С в точке D. Теперь найдем центр тяжести рамки,
т. е. точки D массой 2т и точки В массой т. * Сумма
моментов сил тяжести точек В и D относительно центра
тяжести (точка Е) должна быть равна нулю. Учитывая,
что BD—a/2 (а —сторона квадрата), запишем условие
равновесия в явном виде:
BE-mg = (a/2 — BE) 2mg,
или
Если квадрат подвешен «за вершину О, то угол средней
101

стороны с вертикалью найдем из прямоугольного
треугольника О BE:
tga =BEfOB=^.
Рекомендуем решить задачи № 132, 134,
141, 145, 148, 149, 151, 153, 156 из задачника [1] и
№ 150, 154, 159, 166, 168, 169 %из задачника [2].
§ 12. Работа и энергия
1. Работа, совершаемая силой. Пусть к телу
приложено несколько сил, под действием которых оно
перемещается по определенной траектории. Определим
элементарную работу, совершаемую одной из этих сил F при
бесконечно малом перемещении тела на пути от s до
s+As скалярной величиной
AA{s)=F(s)Ascosa(s), (12.1)
где a(s) —угол между направлением силы и скоростью,
F(s) —значение силы в тот момент времени, когда тело
прошло путь 5. Зиак работы определяется знаком
косинуса угла а. Если направление силы и перемещения
образуют острый угол, то работа, совершаемая данной
силой, положительна, если угол тупой — отрицательна.
Заметим, что работа силы трения может быть как
отрицательной, так'и положительной (см. задачу 12.10).
Очевидно, что сил-а, направленная под прямым углом к
перемещению, никакой работы не производит.
AA(s)=FsAs,
где FS=F cos a — проекция силы на направление
перемещения. Мы видцм, что работу производит только
составляющая силы F8. Для того чтобы определит^
работу силы не на бесконечно малом, а на конечном пути,
следует разбить этот путь на бесконечно' малые участки
As и, определив работу на каждом из них, сложить все
эти работы. Отсюда можно заключить (см. пример 5.4),
что если дан график зависимости проекции силы на
направление перемещения от пути (рис. 12.1), то рабо-
102

та силы на пути от si до s2 равна площади,
ограниченной кривой АВ, осью и прямыми As\ и As2:
Если проекция силы Fs остается постоянной в любой
момент времени, то работа на конечном пути
р ч/с с \ /1О 9\
Напомним некоторые энергетические единицы. В
системе СИ единицей
работы является джоуль
(дж). О
б
у
() Один джоуль —
работа силы 1 н при
перемещении ею тела
на расстояние 1 м в
направлении действия
силы. В системе СГС
работа измеряется в
эргах: 1 эрг=1 дн«1 см.
Джоуль и эрг связаны
соотношением 1 дж=
=107 эрг. Несистемные
в
А
Рис. 12Л
единицы: ватт-час=3600 дж; 1 кал=4,186 дж; 1 кГм=
=9,8 дж — работа, совершаемая силой в 1 кг на пути
В 1 IM.
Эрг* довольно мелкая единица. Она соответствует
кинетической энергии тела массой 2 г, движущегося со
скоростью v=l см/с; и все же эрг оказывается больше
тех энергий, с которыми мы сталкиваемся в микромире.
Здесь обычно используется другая единица измерения—
электрон-вольт (эв). 1 эв равен энергии, приобретаемой
частицей, заряд которой равен заряду электрона, при
ее ускорении разностью потенциалов в 1 вольт (см.
§28): 1 эв=1,6.Г(Н9.1 В=1,6-10-19 дж=1,6.10-12 эрг,
1 эрг=6,4-10и эв. По-видимому, очень многие читатели
убеждены, что максимальная энергия в 70 Гэв (Гэв —
миллиард электрон-вольт), приобретаемая протонами на
крупнейшем в мире серпуховском ускорителе,
невообразимо большая величина. Нетрудно, однако, вычислить,
что кинетическая энергия букашки массой т=6,32 г,
ползущей со скоростью р=1 см/с, равна 100 Гэв. Этот
103

пример показывает, как важно представлять масштабы
физических величин при анализе различных физических
явлений.
Пример 12.1. а. Чему равна работа сил трения при
вытаскивании пробки из горлышка бутылки? Длина
пробки а. Пробка находится от края горлышка тоже на
расстоянии а (рис. 12.2,а). Наибольшее- значение силы
трения мфкду пробкой и бутылкой F.
а)
Рис. 1-2,2
При перемещении пробки сила трения направлена
в сторону, противоположную перемещению. Поэтому
график зависимости проекции силы трения на
направление перемещения имеет вид, изображенный на~рис. 12,26.
Действительно, чтобы вытащить пробку, ее надо
переместить на расстояние 2а. Сила* трения постоянна при
движении1 пробки в горлышке (отрезок 0—а), затем
становится пропорциональной длине части пробки,
соприкасающейся с горлышком (отрезок сС— 2а).
Вычисляя заштрихованную площадь, находим, что искомая
работа v
б. Чему равна работа сил трения при
соскальзывании гибкой нити массой т, длиной /0 с горизонтально
расположенной йоверхности стола? Первоначально часть
нити длиной /i свешивалась с драя стола. Коэффициент
трения между нитью и поверхностью стола равен к.
При соскальзывании сила трения FTP = —:kN, где N—
сила давления части нити, лежащей на столе: # =
104

= —1—tngt / — длина Свешивающейся Со Стола чаСтй
нити, Следовательно,
Аналогично предыдущей задаче находим
Работа силы упругости при* растяжении пружины.
Предположим, что в ненапряженном состоянии длина
пружины равна fo. Будем считать, что пружина
подчиняется закону Гука (см. § 23), т. е. сила упругости,
возникающая при изменении длины пружины до
значения /, пропорциональна смещению пружины I—4 из
свободного- состояния и направлена против этого
смещения:
где k — постоянный коэффициент, характеризующий
упругие] свойства пружины, называемый жесткостыбТ
Из этой формулы ясно: жесткость равна сиде,
необходимой для растяжения (или сжатия) пружины на
единицу длины. Размерность жесткости н/м или дну см.
Пусть к телу, прикрепленному к невесомой пружине,
приложена внешняя сила F. Вычислим работу сил упру-
Li '
Рмс. 12.3
105

при- перемещении тела из положения k в пбло-
жение /2., Сила Fynp является функцией положения
тела /. Поэтому искомую работу проще всего вычислить
по графику зависимости Fynp от координаты /. Как
видно из рис. 12.3, работа, совершаемая силой упругости,
отрицательна и равна площади трапеции, образованной
графиком силы, осью / и прямыми /=/± и /=tf2:
.=—f С -
(12.3)
Очевидно, если тело перемещается так, что не
приобретает кинетической энергии, то F=—^ущь а работа
внешней силы АЛвн=—АА\2^>0.
Работа силы тяжести. Если тело не поднимается до
высот, сравнимых с радиусом Земли, то поле тяжести
можно считать однородным. Определим работу,
совершаемую силами поля при перемещении тела из какой-
нибудь точки Pi в точку Р2. Для простоты рассмотрим
движение тела массой т в одной плоскости ху.
Элементарней работа на участке As. (рис. 12.4)
определяется формулой (12.1), где F=mg. В нашем случае
проекция силы тяжести на перемещение
FJ=jng[cos a.
i I
А*
Рис. 12.4
106

Поэтому работа на пути As
AA=F8ks=mg cos a As = — m
где Ay— приращение #—координаты тела.
Полная работа, совершаемая силой тяжести при
перемещении тела из точки Р4 в точку Ръ равна сумме
элементарных работ:
уг- yt). (12.4)
Мы видим, что работа силы тяжести не зависит от
пути, а определяется только начальным и конечным
положениями тела.
Мощность силы — работа, созершаемая силой в
единицу времени. Из (12.1) следует, что мощность
развиваемая силой F
р АЛр As
где i> —величина скорости тела. Единица мощности —
ватт — названа в честь Д. Уатта: 1 вт=1 дж/с, 1 л. с.=
=736 вт. .
Пример 12.2. а. Оценить мощность, развиваемую
двигателем при зависании вертолета в воздухе. Масса
вертолета т=6250 кг, размах лопастей 2Л=20 м, плотность
воздуха р=1,2 кг/м3.
Вращение лопастей сообщает покоящейся массе
воздуха скорость v. За время At масса воздуха,
пришедшего выдвижение, Am=pSvAt, где S=nRz. Силу i7,
действующую на эту массу со стороны лопастей, найдем из
второго закона Ньютона (10.3). Выбирая
положительное направление оси координат вертикально вверх,
найдем
или
(1)
107

По третьему закону Ньютона точно такая же по
величине сила тяги FT приложена к лопастям винта р
направлена вверх. Если вертолет висит неподвижно, то
(2)
Мощность, развиваемая двигателем, ^
i (3)
Подставляя числовые значения, находим Р=780 квт.
б. Оценить силу давления F на. пол и мощность,
которую развивает человек, вставая с корточек во весь
рост, со скоростью i>=2 м/с. Масса человека т=100 кг,
рост 1=2 м. Аналогично предыдущей задаче находим:
^-^l20 кГ,
=5£L = 400 вт.
2. Теорема об изменении кинетической энергии.
Кинетическая энергия материальной точки массой /п,
движущейся со скоростью v, определяется скалярной
положительной величиной У
*
Если к телу приложена сила F9 совершающая работу
при перемещении тела, то скорость и, следовательно
кинетическая энергия тела изменяются. Найдем
соотношение," связывающее изменение кинетической энергии
с работой этой силы на малом перемещении As=vAt
вдоль траектории тела -
Подставляя сюда величину составляющей Fs из (9.3),
найдем
Далее, поскольку а5 = -^-, то
Нетрудно ввдеть, что с;Дс;=Д-|-(так как
10$

— v* = 2v&v-\-(kv)2-xz 2vAv с точностью до величин
второго порядка малости). Поэтому окончательно % находим
■Л=£.= ДА . . (12.5)
В том случае, когда к телу приложено несколько сил,
в правой части (12.5) должна стоять сумма работ всех
сил, действующих на тело. Мы видим, что приращение
кинетической энергии тела равно работе приложенных
сил. ' ^
Если в начале пути тело имело скорость vq, to, прой-'
дя по траектории конечный путь .s, оно приобретет
скорость v. Из (12.5) находим
где А — работа всех сил, приложенных к телу на пути s.
- Итак, сформулируем важнейшую теорему механики:
приращение кинетической энергии тела равно работе
всех сил, приложенных к телу. -Силы, действующие на
тело, могут быть силами упругости, тяготения, трения
и т. д.
Задача 12.3. Чему равна скорость груза массой т=
= 1 кг на высоте Л= 10 м, если его поднимать силой
F=3 кг?
Решение. На груз действуют сила притяжения Земли
Р и сила F. Сила F направлена параллельно
перемещению тела, а сила Р — противоположно перемещению.
Применяя теорему об изменении кинетической энергии,
найдем, учитывая, что начальная, скорость равна нулю:
или
Сила F совершает при этом работу, равную Л = 294дж.
Пример 12.4. Найти работу всех сил, действующих
на маятник, за один период. (Маятник — небольшой
грузик, подвешенный на невесомой, нерастяжимой
нити.) Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.
Очевидно, сила натяжения не совершает работы,
поскольку направлена всегда под прямым углом к переме-
109

щению. Остается вычислить работу сил тяжебти.
Формулой (12.3) в данном случае пользоваться нельзя, так
как, несмотря на то, что сила тяжести постоянна, угол
а между перемещением и силой меняется со временем.
Здесь на помощь приходит теорема об изменении
кинетической энергии., Грузик, находящийся сначала
в некоторой точке, через время, равное периоду,
вернется в эту же точку и будет иметь ту же скорость.
Значит, кинетическая энергия не изменится, и,
следовательно, работа силы тяжести за .период равна нулю.
, По этой же причине оказывается равной нулю
работа, совершаемая силой притяжения, действующей на
спутник, за один оборот независимо от того, движется
ли спутник по ^ круговой или эллиптической орбите
(силой торможения пренебрегаем).
3. Потенциальная энергия. Понятие потенциальной
энергии возникает при рассмотрении не одного тела,
а системы тел. Пусть некоторое тело взаимодействует
с силовым полем, создаваемым другими телами (см.
§ 9). Постоянное, т. е. не зависящее от времени, силовое
поле обладает следующим свойством: работа сил поля
при перемещении тела из некоторой точди по любому
замкнутому пути в ту же точку равна нулю. Из этого
свойства следует, что работа. АА& сил поля по
перемещению тела из точки Pi в точку Р2 не зависит от пути,
по которому движется тело, а определяется только
положением начальной и конечной точек Pi и Рг. Но
отсюда следует, что ДА^ можно представить в виде
разности Wn(Pi)—Wn{P2), где Wn (P) — некоторая
функция, зависящая только от координат тела. Функция
Wn(P) называется потенциальной энергией тела в
точке Р. Таким образом, работу потенциальных сил на пути,
соединяющем точки Р4 и Рг, можно записать в виде
bAn = Wni-Wni = -Wn, (12.7)
где AWn=Wn2—Wm— приращение потенциальной
энергии.
В правой части формулы (12.7) стоит приращение
потенциальной энергии. По этой причине соотношение
(12.7) не изменится, если к потенциальной энергии
прибавить любую постоянную величину, ибо физический
смысл имеет только разность потенциальных энергий
в двух точках. Эта неоднозначность в определении
потенциальной энергии позволяет произвольно выбрать нуле-
НО

вой уровень, ?. ел^казать (в каждой конкретной задаче)
такое расположен**^ тела относительно тел, создающих
силовое поле, кото$юм*у соответствует значение
потенциальной энергии, равное нулю.
Заметим, что работа^ совершаемая силами поля при
перемещении тела из точки Pi в точку Рг, равна работе,
которую должна совершить против сил полз
приложенная к-телу внешняя сила,* перемещая его из точки Рг
в точку Pi. При этом тело надо перемещать таким
образом, чтобы оно не приобретало кинетической энергии.
Потенциальная энергия тела на пружине.
Сопоставляя определение потенциальной энергии (12.7) с
формулой (12.3) для работы силы упругости, приходим к
выводу, что потенциальная энергия тела, прикрепленного
к деформированной пружине,
Wn(l)=±(l-h)\ ' (12.8)
Графиком этой фуркции является парабола.
(Покажите, что если взяты две последовательно соединенные
пружины, то потенциальная энергия также определяется
формулой (12.8), в которой надо положить
где kit kz — жесткости первой и второй пружин.)
Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли.
Аналогичным образом из (12.7) и (12.4) найдем
потенциальную энергию тела массой т в поле тяжести Земли
'W(y) = mgy. ^ (12.9)
Здесь у — значение вертикальной координаты тела (ось
у выбрана перпендикулярно поверхности Земли и
направлена вертикально вверх).
Потенциальная энергия протяженного тела также
определяется формулой Wn—mgy, где т — масса тела,
у — высота центра тяжести тела. Заметим, что в (12.8)
за нулевой уровень потенциальной энергии принята па-
верхность Земли.
Если в формулу (12.7) подставить выражение -для
работы силы, то полутам соотношение
ill

связывающее проекцию силы на направление вектора,
проведенного из некоторой точки Pfi близкую точку Р'
(расстояние PP'=As):
А
Следовательно, сила, действующая на тело, всегда будет
иметь то направление, в котором потенциальная энергия
убывает (см. также 28.4). Зто общее свойство
взаимодействующих тел. Таким образом, потенциальная энерг
гия является скалярной характеристикой
взаимодействия тел.
Очевидно, работа сил трения на замкнутом пути
всегда отлична от нуля. По этой причине нельзя ввести
понятия потенциальной энергии сил трения.
4. Устойчивость тела в положении равновесия. В
положении устойчивого равновесия тело обладает
наименьшим значением потенциальной энергии (вопрос
о движении тела* вблизи положения устойчивого
равновесия рассмотрен в § 17). Например, из (12.8) следует,
что в положении равновесия потенциальная энергия
тела на пружинке минимальна.
Различные тела в положении равновесия обладают
различной степенью устойчивости. Мерой устойчивости
состояния равновесия является наименьшая работа,
которую надо затратить для того, чтобы переместить тело
в такое положение, откуда предоставленное самому
себе оно уже не сможет вернуться в исходное состояние.
Из двух тел более устойчивым является тело, для
выведения которого! из положения равновесия требуется
большая работа.
Пример 12.5. На горизонтальной шероховатой
плоскости лежат два кубика, равных массе т. Длина! ребра
первого кубика ai=a, а второго а2=2а. Показать, что
второй кубик более устойчив, чем первый.
Потенциальная энергия первого кубика ^„i=-^f^-
менынё потенциальной энергии второго — Wn2=mga.
Однако второй кубик более устойчив. Для того чтобы
убедиться в этом, сравним минимальную величину
работы, которую надо совершить, выводя каждый кубик из
положения равновесия. Работа At равна работе по
112,

подъему центра\гяжести первого кубика на высоту
(рис. 12.5): ^
' (/2-1)а,
А = т^Л, ^4- (К2 - 1) mga. .
(1)
Рис. И2.5
. Для второго кубика найдем
=«iSrAt=(Vr2J— l)mga.
(2)
Поскольку А2>А\, второй кубик более устойчив.
5. Полная энергия. Если из всех сил, действующих на
тело, можно выделить такие, работа которых
выражается соотношением (12.7), то закон изменения
кинетической энергии (12.5) удобно представить в несколько
ином виде. Предположим, что элементарная работа
всех сил
- * ДЛ = — Д\Ря-|-ДЛ', . . 412.7а)
где АЛ' — работа сил, которая не может быть
представлена в форме (12.7). Такими, как говорят,
непотенциальными силами являются силы трения, силы реакции
абсолютно гладких движущихся поверхностей.
Подставляя (12.7а) в (12.6), получим
8—125
113

или • / ■
р )А (12.10)
Сумма кинетической и потевдиальной энергии
называется полной энергией. Полная энергия тела
складывается из кинетической энергии, величина которой всегда
положительна, и потенциальной, которая может быть
как положительной, такйи отрицательной.
Следовательно, в зависимости ох потенциальной энергии полная
энергия может быть/величиной положительной,
отрицательной или равнри нулю.
Соотношение (12Д0) можно записать в компактном
виде
=ЬА\ W =£!%- +Wn9 (12.11)
где AU7=<fl72—Wt—приращение полной энергии тела.
Таким образом, приращение полной энергии тел'а равно
работе всех непотенциальных сил. Соотношение (12.10)
для конечного перемещения в поле тяжести принимает
вид
(Q)-(^ + mgyt) = Ar9 (12.11а)
где А' — работа всех сил, действующих на тело помимо
силы тяжести. Полученное соотношение выражает
закон изменения полной энергии тела при движении
в однородном поле тяжести. Поскольку работа сил
тяжести не зависит от пути, по которому движется тело,
то нетрудно понять, что (12.11) выполняется при
движении тела по произвольйой траектории.
Если Л'=0, то полная энергия тела постоянна, т. е.
имеет одно и то же значение в любой момент времени.
В этом случае имеет место закон сохранения полной
энергии.
Использование закона сохранения может оказать
существенную помощь при решении задач о движении тел.
В частности, он позволяет найти величину скорости
тела в зависимости- от его положения и определить
границы движения тела. Рассмотрим, например, движение
тела, брошенного с поверхности Земли вертикально
114

вверх с начальной\скоростью Vo. Из закона сохранения
полной энергии следует, что
Квадрат скорости тела на высоте h
Рис. 12.6
Теперь изобразим график зависимости потенциальной
энергии о* h (рис. 12.6): Wn=mgh — это прямая линия,
пересекающая начало координат- Для того чтобы найти-
границы движения тела, проведем параллельно оси h
прямую Wn=W.
Эта прямая пересечет график потенциальной энергии
в точке, абсцисса которой ht=^. В области А>А,
v2(fo)<0, следовательно, эта область недоступна для
тела; h\ — максимальная высота подъема. Тело
достигнет высоты hi и начнет двигаться вниз. Отрезки
вертикальных прямых на рис.* 12.6 равны значению
кинетической энергии тела,на соответствующей высоте.
Рассмотрим теперь случай А'фО. Тогда из (12.11)
заключаем, что полная энергия не сохраняется и
изменение полной энергии происходит за счет работы всех
внешних сил, которые могут быть приложены к телу
помимо силы тяжести,
8» ' Пб

Если тело движется по шероховатой поверхности, то
полная механическая энергия тела уменьшается, так как
работа сил трения отрицательн^/Ьднако это не
означает исчезновения энергии. Наличие трения приводит
к превращению части механической энергии в
определённое количество теплоты^Для объяснения механизма
этих потерь мы должны выйти за рамки механики.
Действительно, в механике Mj/рассматршваем движение тела
как целого (тело — материальная точка), не учитывая
«внутреннего» движения молекул, из которых оно
состоит. По этой причине механическая энергия тела как
целого есть только часть полной энергии, которая на
самом деле складывается из механической и внутренней
энергии тела (см. § 21). Изменение внутренней энергии
тела связано с выделением или поглощением тепла. При
движении твердого тела по поверхности другого^ тела4*
неровности поверхностей сминаются. Силы
молекулярного сцепления приводят к взаимодействию атомов тел и
возрастанию внутренней энергии обоих тел. Однако
сумма механической энергии тела и внутренней энергии
этого тела и окружающей среды всегда остаётся
неизменной. Уменьшение полной механической энергии тела
сопровождается* возрастанием внутренней энергии
данного тела и соприкасающихся с ним тел. Сохранение
полной энергии замкнутой системы, равной сумме
механической и внутренней энергии, является частным
случаем всеобщего закона сохранения и превращения
энергии всех форм движения материи. . .
Задача' 12.6. Тело массой /п4 соскальзывает по
наклонной плоскости высоты Ну образующей угол cti с
горизонтом, а тело массой тг — по наклонной плоскости той
же высоты Я, но образующей с горизонтом угол аг.-
Сравнить величины скоростей тел vi и а2*У основания
наклонных плоскостей. Трением пренебречь.
Решение. Примем основания горок за нулевой
уровень потенциальной энергии. Тогда полная энергия тела
на вершине горки, складываясь из кинетической (равной
нулю) и потенциальной (равной mgH) энергии,
оказывается равной mgH. У основания горки кинетическая
энергия равна ти2/2, потенциальная энергия равна
нулю. Поскольку трение отсутствует, полная энергия имеет
одно и то же значение в любой точке траектории.
Приравнивая значения полной энергии на вершине горки
116

и у основания, по&учим уравнение для определения
скорости v: \
rngH =-<£-.
Отсюда находим, что величина скорости
зависит только от высоты горки и не зависит от массы
тела. Итак, "величины скоростей vi и. v2 одинаковы.
19 9*999 999 99999999 999 9 999 НИЦ
Рис. Ш
Задача 12.7. Небольшое тело • начинает скользить
с высоты" Я по наклонной плоскости, образующей угол
а=45° с горизонтом. В конце наклонной плоскости тело
встречает абсолютно упругую горизонтальную
плоскость. Найти максимальную высоту подъема тела после
упругого удара о горизонтальную плоскость. Начальная
скорость тела равна нулю, трением пренебречь.
Решение. После отскока тело будет двигаться по
параболе (рис. 12.7). Для определения искомой высоты h
проще всего воспользоваться законом сохранения
полной энергии. На высоте h скорость тела имеет только
горизонтальную составляющую скорости vr. Применяя
закон сохранения полной энергии, получим уравнение
mgH = mgh+mp. (1)
Величина скорости тела у основания наклонной плоскости
t> = yr2g7/(см. задачу 12.6), а горизонтальная
составляющая скорости
V2Ho&* (2)
117

при отскоке не изменяется. Подставляя (2) в (1),
находим;
Пример, 12.8. Тепловая скорость v молекул воздуха
у поверхности Земли при температуре 15°С равна
приблизительно 590 м/с. Определить среднюю высоту Н
атмосферы, ^
Рассмотрим движение какой-либо молекулы воздуха,
скажем молекулы азота массой т, имеющей у земной
поверхности скорость t>, направленную под^углом][а к
горизонту. У поверхности Земли полная энергия молекулы
то
равна -^-;. В верхней точке траекторда ее энергия равна
•, так как в верхней точке траектории
Скорость молекулы равна v cos а. Используя закон
сохранения энергии
находим
H=g-sin'a. ■
Максимальной высоты достигнут те молекулы,
начальная скорость которых направлена вертикально вверх
(а=90°). Эту высоту можно считать средней высотой
атмосферы:
• * Н =^-=12,5 км.
Разумеется, приведенная оценка является
приближенной— мы не учитывали столкновений молекул и других
явлений, оказывающих влияние на движение молекул
воздуха.
Задача 12.9. Через ребро равнобедренной призмы
с углом а при основании перекинута нить АВ длиной /,
так что свешивающиеся концы равны и нить находится
в равновесии. В какой-то момент времени равновесие
нарушается и нить начинает соскальзывать. Определить
скорость нити в м'омент соскальзывания конца А с
ребра призмы,
П8

Задача 12.10. ^опользуя условия задачи 9.8,
определить, какую энергшр приобретает брусок, после того как
он переместится на расстояние 5=10 м.
Решение. В первом случае (а=1 м/с2) брусок под
действием силы трения покоя перемещается вместе
с доской, не двигаясь относительно нее. Работа силы
трения покоя приводит к изменению кинетической
энергии бруска на величину
Шк = mas = 98 дж.
Во втором случае (а=3 м/с2) брусок движется по доске
под действием силы трения скольжения FTP=kN.
Энергия, которую он приобретает, равна
дж.
Задача 12.11. Груз массой т=103 кг опускается с
помощью лебедки с постоянной скоростью v=4 м/с.
Какова будет максимальная сила натяжения Т троса при
внезапной остановке лебедки. Коэффициент упругости
троса А=5«102 кГ/см. Весом троса и трением
пренебречь. * ч
Решение. При движении груза с постоянной
скоростью удлинение троса Ajri=/i—k определяется из
второго закона Ньютона:
mo=mg — kkxv r (1)
Пусть U — длина троса в момент остановки лебедки, /о—
длина того же троса в ненапряженном состоянии. После
остановки лебедки трос растягивается до длины /2.
Очевидно, максимальная сила натяжения троса
T=kAxt9 t (2)
где A*2=fo—/о. При перемещении груза на расстояние
/2—/i=Ax2—A*i кинетическая и потенциальная энергии
груза переходят в энергию деформации троса.
Используя закон изменения полной энергии (12.11а), находим
Здесь нулевой уровень потенциальной энергии —
наинизшее положение груза. В правой части (3) стоит работа
силы натяжения при удлинении троса от длины U до /*
Из (1)—(3) находим
* T=mg+Vkmvt=\QT.
119

6. Столкновение тел. Если в начальный момент
времени два тела находятся достаточно далеко друг от друга,
а их начальные скорости направлены так, что с течением
времени происходит сближение тел, то в результате
взаимодействия их скорости изменятся как по величине,
так и по направлению. В этом случае говорят, что
произошло столкновение тел. Столкновение тел
определяется характером их взаимодействия. Мы будем
предполагать, что тела взаимодействуют при
непосредственном контакте. (Заметим, что если тела
взаимодействуют vHa расстоянии, то столкновение может
происходить и без непосредственного соприкосновения тел.)
В зависимости от упругих свойств тел столкновения
могут быть упругими, частично4 упругими и неупругими.
Столкновение двух тел называется упругим, если оно
не сопровождается изменением их внутреннего
состояния. Кинетическая энергия тел превращается сначала
в потенциальную энергию упругого сжатия, а затем
полностью цереходит в кинетическую энергию
разлетающихся тел.
При абсолютно неупругом ударе те^а
объединяются— их относительная скорость равна нулю.
Неупругий удар сопровождается энергетическими
превращениями. При этом кинетическая энергия тел после
удара меньше, чем до удара, и может даже обратиться
в нуль. Убыль ^кинетической энергии механического
движения тел переходит в энергию теплового движения
этих тел. Внутренняя энергия сталкивающихся тел
после удара возрастает. Следствием этого является
превращение части (или всей) кинетической энергии в трп-
лоту.
Если столкновение происходит в поле тяжести
Земли, то при любом характере взаимодействия
сохраняется горизонтальная составляющая количества движения
соударяющихся тел.
Более того, иногда систему сталкивающихся тел
можно считать замкнутой в течение времрни взаимо-.
действия. Это возможно только в том случае, если
длительность взаимодействия очень мала. При этом
согласно (10.1) возникают столь большие силы, что
можно пренебречь всеми «внешними силами, действующими
на соударяющиеся тела.
120

Задача 12.12. На идеально гладкой горизонтальной
плоскости лежит шар массой т2. На него налетает шар.
массой mi. Какая часть энергии переходит в теплоту
при абсолютно неупругом ударе?
Решение. При неупругом ударе-изменение
механической энергии системы согласно (12.10) равно работе сил
трения, возникающих при деформации шаров. Если
обозначить через Wo энергию, перешедшую при ударе
в теплоту, то кинетическая энергия налетающего шара
равна сумме кинетической энергии шаров, движущихся
вместе после удара со скоростью v плюс Wo:
Здесь Vi — скорость первого шара до удара.
Закон сохранения количества движения дает связь
скоростей шаров до и после столкновения:
mivl = (m1^rn2)v. (2)
Из уравнений (1) и (2) находим искомое отношение
Если шар т± налетает на очень массивный шар,
т. е. ni2>mi, то вся кинетическая энергия налетающего
шара переходит в теплоту, так как в этом слутае
Пример 12.13. На идеально гладкой горизонтальной
плоскости лежит шар массой гщ. На него налетает шар
массой n%u скорость которого vi. Между шарами
происходит упругий центральный удар. Определить скорости
шаров после столкновения и величину энергии,
переданной первоначально покоящемуся шару.
Обозначим величины скоростей первого и второго
шариков пЪсле удара через щ и ,ы2. Поскольку удар
централ>ный, то Vi, ui, u2 лежат на прямой, проходящей
через центры шаров. Предположим, что после удара
скорости Ui и и2 направлены'параллельно вектору vi.
Если в результате вычислений мы получим
отрицательный знак у Mi или у и2> то это будет означать, что
скорости на самом деле направлены в противоположную
121

сторону. Из закона сохранения энергии и импульса
следует, что ,
m1ul^m2v29 (1)
тхи\ j_ т2и\ о
^ 2 '"Т"« \А)
Из уравнения (1) найдем
Подставляя это выражение в (2), получим уравнение,
из которого найдем скорость первого „шара после удара
Используя значение Wi, из (3) найдем скорость второго
шара после удара
Энергия, переданная первоначально покоящемуся шару,
равна его кинетической энергии после удара ,
2 (Щ+Щ)2 * 2
Кинетическая энергия первого -шара после удара
-2
Проанализируем полученные формулы. Из (4)
видно, что налетающий шар отскакивает назад, если его
масса тх'<т2. Если т\>>т2} то шар продолжает
движение в направлении удара, но с меньшей
скоростью. Если массы шаров равны, то налетающий шар
остановится, а второй начнет движение со скоростью
налетакяцего. Шары обмениваются скоростями.
Интересно исследовать различные предельные
случаи. Если масса первого шара т{&т&> то из* (4) и (5)
следует, что Тяжелый налетающий шар почти не
изменит свою скорость, в то время как первоначально по-,
коящийся легкий шар начнет двигаться со скоростью,
приблизительно равной 2vx (сравни, с задачей 4.5).
Если, наоборот, масса первого шара т\<^т%, то, как
видно из (4), (5), он отскакивает назад, причем ско-
122

pocfb sforo itiapa после удара почти не йзм1ейяе?ся йб
величине^ а первоначально покоящийся массивный шар
приобретает небольшую скорость % ~£r~vi* Поэтому
энергия, переданная шару массой тг, незначительна
(это следует также из (6)).
Энергия (6), переданная покоящемуся шару,
максимальна только в том случае, когда массы шаров равны.
Этот вывод, полученный при рассмотрении центрального
удара, справедлив также и при нецентральных
соударениях. Иоэтому, когда в
ядерной технике
возникает необходимость
уменьшить скорость нейтронов,
выделяющихся при
ядерных реакциях, это
осуществляется пропусканием
пучка нейтронов через
вещества с небольшим
атомным весом.. Например, из
(7) следует, что при •
упругом лобовом ударе
нейтрона с ядром
дейтерия, масса которого
равна удвоенной массе
нейтрона (m2=2rai), энергия
нейтрона уменьшится в 9 раз, а при столкновении с
ядром углерода в блоке графита (m2=l2mi) уменьшится
только в 1,4 раза.
Задача 12.14. Два одинаковых гладких шара
испытывают упругий нецентральный удар (скорости шаров не
лежат на прямой? соединяющей' их центры). Второй
шар до столкновения покоился. Определить угол
разлета шаров.
Решение. Обозначим скорость первого шара до
удара через vi, а скорости первого и второго шаров после
удара через ui и ti2. Угол между векторами и4 и и2
является искомым углом разлета шаров после удара.
Согласно закону сохранения энергий и импульса
Рис. 12.8
i^muz1 I mu22
О * 9 •
123

(Зократив на ма^су, получим
v1 = «1 + "2,. • О)
- . . v\=u\+u\. (2)
Из. (1) следует, что векторы Vt, Ui, щ образуют
треугольник, а из (2) ясно, что этот треугольник
прямоугольный с катетами ui и иг. Следовательно, угол
разлета равен 90°. Этот- же вывод можно получить более
привычным образом, учитывая, что векторное
уравнение (1) представляет два соотношения, которые мы
получим, если записать проекции левой и правой
частей (1) 'на два взаимно перпендикулярных
направления. "Обозначая через сц и щ углы, образуемые
скоростями U] и и2 с вектором Vi (рис. 12.8), получим:
v1=u1cosa1-{-u2cosa2f ' (3)
0 = «1sina1—w2sina2. - (За)
Возводя в квадрат (3) и (За) и складывая их,
получим * . ' "
v\=u\+u\ + 2Ulu2 соЦа, + <х2). (4)
Сравнивая (4) и (2), видим, что cos(ai+a2)=0, т. е.
угол разлета шаров ai+a2=90°.
Этот результат можно получить еще одним способом,
разлагая скорость vi на две составляющие, одна из
которых Vjj параллельна линии, соединяющей центры
шаров, а другая v^ перпендикулярна ей. Составляющая
v^ не изменится при столкновении, так как шары
гладкие (удар упругий). Составляющая vn обратится после
столкновения в нуль, так как шары имеют равные
массы (см. пример 12.13). Поэтому после удара
налетающий шар будет иметь скорость ui=v^ , а второй
шар —г скорость, равную и2=Ун; шары разлетаются под
прямым углом.
Задача 12.15. На пути тела массой ту скользящего
по гладкой плоскости, находится горка высотой Я,
массой М. При какой минимальной скорости v тела оно
сможет преодолеть горку? Горка может скользить без
трения по плоскости, не отрываясь от нее.
124

Решение, Эта задача решается с помощью законов
сохранения полной энергии и горизонтальной
составляющей импульса системы тело — горка. Поскольку
потенциальная энергия горки по условию задачи не
меняется, ее можно не учитывать при использовании
закона сохранения полной энергии.
В начальном состоянии импульс системы равен mv+
а полная энергия системы является суммой полных
энергий тела и горки, т. е. равна ^-. В конечном состоянии
тело находится на вершине горкиv (покоясь относительно
нее), . ижущейся со скоростью vv Импульс системы равен
[т \-M)viy полная энецгия (
Законы сохранения .приводят к уравнениям:
mv=(m-\-M)vlf (1)
S*-fr + У*' +mgH. (2)
Из второго уравнения видно, что часть кинетической
энергии тела идет на сообщение горке кинетической
энергии, при этом полная энергия тела становится
равной ^^-j-mgH. Исключая из (2) vi, найдем искомое
значение скорости
Г хм i ZT
(3)
Из (3) видно, что если М*>т, то минимальное
значение, скорости
как в случае закрепленной горки.
Задача 12.16. Ядро распадается на две части, массы
которых гп\ и т2, общая кинетическая энергия W.
Определить их скорости.
Рекомендуем решить задачи № 158, 160,
164, 171, 177, 180, 184, 187, 192, 194 из задачника [1] и
№ 106, 107, 110, 113 из задачника [2].
125

§ 13. Движение тел no окружности
1. Кинематика. ПоЛ)жение тела на окружности
можно определить двумя способами: задавая угол -<р
между прямой, проходящей через центр окружности и тело,
и фиксированной прямой, проходящей через центр
окружности, или задавая длину дуги окружности 5 от
фиксированной тбчки до тела. Скорость изменения угла
(выраженного в радианах) определяется угловой ско-
Рис. Ш .
ростью <о, а скорость изменения длины дуги ь —
величиной^ линейной скорости. Если Д<р и As — приращение
угла и длины дуги за время Аи, то
(13.1)
рад
Угловая скорость измеряется в —#
Линейная-скорость простым образом связана с
угловой. Поскольку по определению угла в радианах Д<р =
As
* = 4г = ЯЗг=«К. (13-2)
tXt Alt
При равномерном вращении тело за любые равные
промежутки времени проходит равные дуги. Время,
126

в течение которого точка совершает один оборот,
возвращаясь в исходное положение, называется пориодом
обращения и обозначается через-Г. За период Т угол
поворота радиуса Аф=2я. Следовательно, угловая ско-
2я*
рость и период связаны простым соотношением «>= -у.
Скорость точки всегда направлена по касательной
к траектории, т. е. в нашем случае под прямым углом
к радиусу ОА0, О А и т. д. Если v0 и v — скорости точки
в положении Ао и А, то, очевидно,. vo#v, хотя величины
этих векторов одинаковы.
Движение точки по окружности является^
ускоренным, так как вектор скорости точки постоянно изменяет
свое направление (см. § 5). Для вычисления ускорения
тела в момент времени / рассмотрим два
близких^положения тела,Л0 и А (рис. 13.1). Пусть At=t—to — очень
малый промежуток времени, за который тело изменило
скорость от v0 до v. По определению (6.4) ускорение
точки
f Av
a/Avvv
Определим величину вектора а. Из подобия
треугольника ОА0А и треугольника, образованного векторами
Vo, v и Av, находим
Jfcric. т. е. to=iA4.. -
Хорду AAq в этом отношении можно считать равной дуге
AAo=vAt. Совершенно ясно,- что очшибка от такой
замены может быть сделана как угодно малой, если взять
интервал At достаточно малым. Таким образом,
Отсюда величина ускорения, называемого
центростремительным,
а=-£. (13.3)
При равномерном вращении величина ускорения
постоянна в любой момент времени.
Поскольку ускорение является вектором, то
необходимо . знать его направление. Очевидно, что при до-
127

статочяо малых интервалах At угол между скоростью Vo
и Av близок к прямому. В пределе КЬ—Я) в каждое
данное мгновение ускорение направлено по радиусу
к центру окружности перпендикулярно к скорости.
Отметим, что центростремительное ускорение меняет
только направление скорости, совершенно не влияя на ее
величйнуг-поскольку ускорение не имеет составляющей
вдоль скорости.
В общем случае, когда скорость меняется по
величине и направлению, ускорение имеет две
составляющие: одну, вдоль скорости и. другую, перпеникулярную
к ней. Первая, так называемая касательнак
(тангенциальная), составляющая изменяет скорость по величине.
Вторая уже знакомая нам составляющая называется
нормальной, характеризует изменение скорости по
направлению и обусловливает центростремительное
ускорение тела. Важно отметить, что, несмотря на то, что
величина скорости v(t) изменяется со временем,
центростремительное ускорение по-прежнему определяется
формулой (13.3). Таким образом, при. неравномерном
вращении по окружности величина
центростремительного ускорения изменяется со временем.
2. Динамика вращательного движения. Основным
уравнением динамики как вращательного, так и
поступательного движения тела является второй закон
Ньютона:
ma = F1 + Fi + .... (13.4)
В общем случае движения по окружности ускорение
тела имеет две составляющие: одну аК вдоль скорости по
касательной к окружности и другую, перпендикулярную
к первой,-направленную к центру окружности.
Учитывая векторный характер второго закона Ньютона, из
(13.4) получим три уравнения движения;
L = F1/? + F?fi+..., (13.5а)
+ ...,- (13.56)
+.... (13.5b)
Здесь FR, FK,,F± — проекции сил на направления к
центру вращения, касательное к окружности и
перпендикулярное к плоскости, в которой flejKHf окружность. Урав-
128

нение (13.5а) гласит: произведение массы тела на
центростремительное ускорение равно сумме проекций всех
действующих сил на направление к центру вращения
(это направление считается положительным). Сумму
проекций сил, стоящих в правой части (13.5а), часто
называют центростремительной силой. Отсюда видно,
что центростремительной силы как «таковой» в природе
нет, движение по окружности происходит под действием
известных ранее сил — тяжести, реакции, силы трения
и т. Д; Из уравнения (13.5в) следует, что сумма
проекций сил на направление, перпендикулярное к плоскости
окружности, равна нулю.
Рассмотрим подробнее равномерное вращение тела
по окружности. Согласно второму закону Ньютона
ускорение параллельно силе, приложенной к телу. Поэтому
тело, вращающееся по окружности с постоянной по
величине скоростью, должно находиться под действием
силы; направленной по радиусу к центру окружности.
Эта сила является результирующей всех сил,
возникающих при взаимодействии рассматриваемого тела с
какими-либо другими телами, и удерживает вращающееся
тело на окружности. Так как при равномерном
вращении составляющая ускорения ак равна нулю, то соцлас-
но (13.56) сумма проекций всех сил на направление,
касательное к окружности, также равна нулю.
Мы видим, что решение задач на динамику враща-^
тельного движения аналогично решению задач на
прямолинейное движение. Для решения задач на
вращательное движение необходимо:
а) перечислить все силы, приложенные к телу,
движущемуся по окружности;
б) составить уравнения движения (13.5).
В связи с этим следует сделать важное замечание.
При равномерном вращении (ак=0) уравнение (13.56)
примет простой вид: 0=FiK+i72K+ .... При
неравномерном вращении (акФ0) уравнение (13.56),\£сли не
использовать айпарат высшей математики, не дает
существенной информации для решения задачи. В этом
случае вместо уравнения (13.56) надо записать закон
изменения (или сохранения) полной энергии (12.10),
который является следствием уравнений (13.5).
Пример 13.1 Оценить частоту вращения электрона
вокруг протона в атоме водорода.
9—125 189

Поскольку масса электрона т^ЛО-28 г много
меньше массы протона Af=1,67-10-14 г, то при решении
задачи будем считать, что электрон вращается вокруг
неподвижного протона. Единственной силой, действующей
на электрон, является сила электрического. притяжения
qz/r2, направленная к протону. Согласно второму закону
Ньютона произведение массы электрона на ускорение
должно быть равно проекции силы притяжения на
направление к центру вращения, т. е.
*-■«-.
Отсюда находим
7*"-
f_ со 1 f д* \
1 9* 2тс ^ mr* J
2п
Подставив сюда значение массы и заряда электрона
?=1,6-10-19 к и положив радиус атома водорода
равным г=10~8 см,
найдем, что /v-ЛО15 с-1. Мы
видим,«что частота
вращения электрона того
же порядка, что и
частота видимого света.
Задача 13.2.
Бусинка массой т продета
сквозь проволочное
кольцо, поставленное
вертикально, и
находится в его верхней
точке. Найти
зависимость величины давле-
Рис. 13.2 ния N бусинки на
кольцо при ее
соскальзывании от угла а между вертикалью и радиусом,
проведенным через бусинку. Трением пренебречь.
Решение; Рассмотрим бусинку в положении В
(рис. 13.2). На нее действует сила тяжести Р и сила
реакции N. Под действием этих сил бусинка движется
по окружности с возрастающей по величине скоростью.
Составим уравнение движения, бусинки:
130
= P-f-N,

В положении В сумма проекций всех сил на
направление к .центру равна произведению массы бусинки на
центростремительное ускорение:
Pcosa — N. (1)
Здесь R — радиус кольца, v — скорость бусинки в
положении В, которую можно найти, используя закон
сохранения полной энергии. Для этого выберем в Качестве
нулевого уровня отсчета потенциальной энергии
горизонтальную прямую, проходящую через точку А. Тогда
полная энергия в точке А равна нулю, а в точке В
полная энергия равна сумме кинетической ^— и
потенциальной энергии, равной — mgR(l—cos a).
Следовательно,
^ (2)
Из (1) и (2) получим
— 2). (3)
Сила давления бусинки на кольцо по величине равна N.
Когда бусинка проходит положение, определяемое углом
a0 =-^-j
a0 f cos a0 =-^-j, она находится в невесомости, так как
N=0. При O^a^ao сила давления направлена к центру
окружности, а при ао<а^я сила давления направлена
по радиусу от центра. т
Задача 13.3/ Какова должна быть наименьшая
скорость мотоцикла для тоцо, чтобы он мог ехать по
внутренней поверхности вертикального кругового цилиндра
радиусом R=Q м по горизонтальной окружности, если
известно, что коэффициент трения скольжения между
шинами и поверхностью цилиндра &=0,4. Определить
угол наклона корпуса мотоциклиста к вертикали
Решение. На мотоциклиста действуют три силёл:
сила реакции N, перпендикулярная поверхности цилиндра,
сила тяжести Р и сила трения покоя FTp (рис. 13.3).
Согласно второму закону Ньютона ma=P+N + FTp.
Запишем проекцию этого векторного соотношения на
направление к центру вращения:
131

бчевйдно, что сумма проекций всех сил ни
вертикальное направление равна нулю:
0=Др-Л (2)
При движении по окружности с наименьшей скоростью
сила трения Fiv=kN. Подставляя, это значение в (2),
определим величину реакции, зная которую, из (1)
найдем наименьшую скорость движения:
0 = ^^=12,1 м/с.
Рис. 113.3
Рис. 13.4
Угол а, образуемый корпусом мотоциклиста с
вертикалью, найдем, записав равенство нулю моментов сил
трения и реакции относительно центра тяжести
мотоциклиста (см. рис. 13.3):
FTp sin а — N cos а = О,
- -.' .*« = -{—:§-. «=б*>12\
Задача 13.4. В вагоне поезда, идущего со скоростью
а=72 км/ч по закруглению радиусом /?=200 м,
производят взвешивание груза массой т=Ъ кг с помощью
динамометра. Определить вес груза.
Решение. В данном случае весом,тела является сила,
которая растягивает пружину динамометра, т. е.. сила
натяжения* Г. При движении вагона по дуге окружности
радиусом R пружина отклоняется от вертикали на угол
со (рис. 13.4). На груз действуют сила притяжения Зем-
132

ли и сила, упругости Т. Из второго закона Ньютойй
ma=/ng+t находим:
—- = 7sma,
m0 = Tcosa — mg.
Из этих уравнений получим, что показание динамометра
равно
^rJ^ = 5992 кГ.
N
Пример 13.6. Определить вес тела массой т=1 кг на
географической широте <р.
Пусть тело лежит на поверхности Земли. На него
действуют * сила притяжения Земли mg, направленная
к центру, и сила
реакции N. Мы уже
говорили (ом. пример 9.6),
что вес тела равен силе
давления тела на поД-
ставку, численно
равную реакции N. Данное
тело вращается вместе
с Землей с угловой ско-
ростью со, находясь от
оси вращения на
расстоянии r=R cos ф (R—
радиус Земли). Это
значит, что
равнодействующая сил лритяже-
ния и реакции должна ' Рис. 13.5
быть направлена
перпендикулярно оси вращения. Поэтому сила реакции
образует некоторый угол а^ф (рис. 13.5) с
перпендикуляром к оси вращения, Запишем уравнение движения
ma=mg+N, из которого найдем, что произведение
массы на ускорение <о2г равно сумме проекций сил тяжести
и реакции на направление к оси вращения:
mo>2/?cos<p = mgcos<p — JVcosa. (1)
Поскольку тело не движется в направлении,
параллельном реи вращения, то сумма проекций сил на это
направление равна нулю:
O=Afsina — mgsiiKp. (2)
133

Из уравнений (1) и (2), содержащих дйе неизвестные
величины N и а, находим вес тела
- mWR (2g — (d2/?) cos1 <p ' (3)
Рассмотрим два крайних случая. 1. Тело находится
на полюсе. Тогда <р = -^-, и вес тела P=mg равен силе
притяжения. 2. Тело находится на экваторе. В этом
случае широта <р = 0, и вес тела
принимает наименьшее значение. Поскольку радиус Земли
tf = 6350 км, т=^= 24.ео.6О =7,3» Ю-8 сЛ то масса
в 1 кг имеет вес Р=1 кГ — 3,3 Г. Таким образом, из-за
вращения Земли вес тела на экваторе уменьшается
примерно на 0,3°/о веса на полюсе. Из формулы (4) следует,
что если бы Земля вращалась с угловой скоростью а>2 =
=-Ц-, то тела на экваторе были бы невесомы. В этом
случае линейная скорость тел на экваторе v = «>R —
—Y]rR; т. е. равнялась бы первой космической скорости.
Заметим, что при вычисле-
.. нии силы веса (3) мы не
I учитывали сплющенность
/ 1П • m Земли у полюсов.
ГП и, |У _ щ Задача 13.6. Невесомый
I ' стержень может вращаться
' / без трения вокруг горизон-
/ тальнойоси, проходящей ч^-
! / рез точку 0 и перпендику-
\_^^^ лярной к стержню (рис.
- 13.6). На концах стержня
Рис 13б укреплены грузы равных
масс, находящиеся на
расстояниях а и 2а
соответственно от точки 0. В начальный момент стержень
расположен горизонтально и отпущен. Определить
линейную скорость грузов в момент прохождения стержнем
положения равновесия.
Решение. Пусть скорости грузов в момент
прохождения положения равновесия равны v\ и #2. Тогда, прене-
134

брегая трением, из закона сохранения полной энергии
находим
(1)
Поскольку угловая скорость «о вращения грузов
одинакова, то
vt=ma9 v2=a>2a. * (2)
Учитывая (2), из(1) находим ©=!/,-—-. Следовательно,
искомые скорости соответственно равны
—
Задача 13.7. Небольшое тело начинает соскальзывать
без начально^ скорости из верхней точки неподвижной
полусферы радиусом </?. Как высоко оно подскочит после
удара о поверхность, на которой находится полусфера?
Удар считать абсолютно упругим, полусфера жестко
закреплена на плоскости.
Рекомендуем решить з а д а чи № 68, 71, 197,
199, 202, 208, 216, 217 из задачника [1] и № 118, 123, 132,
137, 142 из задачника [2].
§ 14. Закон всемирного тяготения
1. Мы в § 9 уже говорили о силе притяжения тел
Землей. Это притяжение является частным
случаем.закон а всемирного тяготения, открытого Ньютоном
в 1665—1666 гг.
Обобщая ряд опытных фактов, он установил, что
между любыми телами существует гравитационное
взаимодействие. Согласно Ньютону, сила притяжения,
действующая на любую из двух материальных точек,
пропорциональна произведению масс этих точек, обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними и
направлена по прямой, соединяющей точки. Таким
образом, величина силы притяжения
F = 4?b^. (14.1)
В этой формуле y~универсальный
коэффициент пропорциональности, т#к как многократные опыты
W5

показали, что значение у одно и то же независимо от
материала притягивающихся тел. Коэффициент у
называется гравитационной постоянной. В системе
СИ
т = 6.в7.10-« ■=£.
Мржно учесть векторный характер силы притяжения,
если ввести единичный вектор п, направленный от тх
Рис. 14.1
к Шг (рис. 14.1). Тогда сила Fi2, с которой масса п%2
притягивает массу ти приложена к телу т\ и имеет вид
Сила F2i, с которой масса /ni притягивает массу т2,
приложена к телу т2:
Формула (14.1) написана для случая взаимодействия
материальных точек, т. е. для тел любой формы, когда
расстояние между ними много больше их размеров,
исключая один частный случай. Оказывается, что если
твла являются -однородными шарами, то они
притягиваются как материальные точки, расположенные в их
центрах и имеющие массы соответствующих тел. Это
обстоятельство позволяет использовать формулу (14.1) при
вычислении силы взаимодействия шара и точечного тела,
расположенных на любых расстояниях относительно
друг друга. • "
^ Для нахождения силы притяжения между двумя
протяженными телами, расположенными на близком
расстоянии, необходимо мысленно разбить эти тела на ма-'
ленькие кусочки, каждый из которых можно считать
материальной точкой. Затем найдем силы взаимодействия
между ними и, векторно складывая эти силы, получим
полную силу притяжения между протяженными темами.

Задача 14.1. Определись массу Земли, если йз6ест*Ш
ее радиус #=6350 км, ускорение силы тяжести g=
=9,81 м/см2 и гравитационная постоянная.
Решение. Сила притяжения тела массою т у земной
поверхности
С другой стороны, сила притяжения F равна mg. Значит,
ускорение силы тяжести
Подставляя данные задачи, находим массу Земли:
Л* = ^1 = 5,98.1084 кг.
Заметим, что выражение для й*лы притяжения,
действующей между Землей и телом массой т, можно
представить в виде:
PLmg(±yr . (14.2)
где г —расстояние между телом и центром Земли.
Математическая формулировка закона тяготения
Ньютона чрезвычайно похожа на закон Кулона. Однако
в отличие от электрических сил, которые могут^ быть как
силами притяжения, так и силами отталкивания, силы
тяготения всегда являются силами притяжения. Малая
величина у показывает, что сила гравитационного
притяжения может быть значительной только в случае
больших масс. Если мы измерим силу притяжения электрона
и протона Fep, возникающую из-за того, что у них есть
заряд, и силу притяжения Fv возникающую оттого, что
у них есть- масса, тр. отношение/^ JFep не зависит от
расстояния и оказывается равным фантастически малой
величине
(/пе = 9,1-Ю-18 г, тр=1,67.10-24 г, ? = 1,6-10-|§ К),
р
По этой причине гравитационное взаимодействие можно
не учитывать при рассмотрении движения .атомов и
молекул. . ^,
137

Пример 14.2. Два тела, соединенных стержНёМ
кой I пренебрежимо малой .массы, образуют гантель.
Найти силу, действующую на гантель в поле,тяжести
точечной массой М, находящейся на расстоянии г от оси
в плоскости, перпендикулярной оси гантели и проходя-
т
щей через ее середину. Массы тел тх = т2 = -^-.
Величины^ сил, действующих на массы гп\ и /яг,
одинаковы и равны
р —р _
r* — r* —
Результир)*)щая сила равна векторной сумме сил: F =
=Ft +^t; она направлена по прямой, соединяющей массу
М и центр тяжести, и равна
Любопытно, что сила притяжения гантели меньше силы
притяжения точечного тела той же массы. Для того
чтобы оценить величину эффекта, предположим, что 1
В этом случае угол а мал. Поскольку
Теперь учтем, что для малых углов
Следовательно,
Т г8 \ * 8 г2
Пример 14.3. Спутник вращается по круговой орбите
радиусом г вокруг Земли. Определить скорость и период
обращения спутника.
Поскольку масса Земли много больше массы
спутника, то при решении задачи можно считать Землю
неподвижной и выбрать ее в качестве системы отсчета.
Единственной силой, действующей на спутник,
является сила притяжения. Поскольку спутник движется по
окружности, то, согласно второму закону Ньютона, про-
138

изведение массы спутника на центростремительное уско-
рейие равно силе притяжения:
• =?-=«*£. а)
Отсюда сразу получаем
Запишем этот результат, вводя в него выражение для
первой космической скорости vx. По определению, Pi —
это скорость, которую необходимо сообщить телу вблизи
поверхности Земли в направлении, перпендикулярном
радиусу окружности, чтобы оно стало двигаться по этой
окружности. (Если сообщить скорость под углом,
неравном прямому, то тело будет двигаться по эллиптической
орбите.)
Расстояние от тела до центра Земли есть r=R-\-ht
где h — высота тела над поверхностью. Если высота
очень мала по сравнению с радиусом Земли R, то ею
можно пренебречь. Заменяя в этом случае г на радиус
Земли, получим из (2) выражение для первой
космической скорости:
я, = VgR= 7,9 км/с.
Итак, скорость <(2) движения спутника по круговой
орбите радиувом г меньше первой космической скорости и
равна
• 1> = |
Полученная формула для v позволяет найти период
обращения по орбите радиусом г. Учитывая, что а = а>г=
=-я^-, получим
Наименьший период обращения имеет спутник,
движущийся в непосредственной близости от земной
поверхности. Полагая в (4) /W?, находим
=1,4 ч.
139

Из формулы (4) следует, что квадраты периодов
обращения спутников пропорциональны кубам радиусов
орбит.
2. Потенциальная энергия взаимодействия тела и
Земли. До сих пор мы говорили о потенциальной энергии
тела V?=mgh массой т, поднятого на небольшую
высоту h над поверхностью
.Земли. Рассмотрим
теперь более общий
случай, когда тело может
находиться на любой
высоте над Землей. Найдем
потенциальную энергию
взаимодействия точечного
тела массой т и Земли.
Для этого подсчитаем
работу, совершаемую силой
поля тяжести при
перемещении тела из положе-'
_ Рис. il4.2 ния г в бесконечно
близкую точку it—Аг (рис.
14.2). Поскольку отрезок Аг очень мал (Аг—*0),
то силу притяжения при .перемещении тела на этом
отрезке можно считать постоянной и равной у 2Ц-.
Работа сил поля при движении тела на отрезке As:
Согласно (12;7) эта работа связана с приращением
потенциальной энергии соотношением
Нетрудно видеть, что мы удовлетворим этому
соотношению, выбирая выражение для потенциальной
энергии тела, находящегося на расстоянии г от центра
Земли, в виде
\Р„=-Тпг. (14.3)
Действительно,
140
тМ
тШг
г2— Mr

так как r2>fA/* йри Дг—Я). Учитывая, что yM/R2=g
(14.3), М9ЖН0 представить . также в виде (R — р.адиус
Земли)
Wn=-meR(-£-
Из (Н-3) следует, что щш увеличении расстояния
между телами потенциальная энергия возрастает, и
достигает максимального значения Wn=09 когда тело
находится на бесконечно большом расстоянии от Земли.
В этом положении взаимодействие между телом и
Землей отсутствует. Тем самым нулевой уровень
потенциальной энергии, определенной формулой (14.3),
соответствует положению тела, удаленному от Земли на
достаточно большое расстояние. При приближении тела к
Земле потенциальная энергия тела уменьшается. Как видно
из (14.4),'потенциальная энергия тела нз поверхности
Земли • /
Покажем, что из (14.4) следует известное выражение
для потенциальной энергии тела Wu=rrigh, пригодное
только для высот А<С1#. Действительно, для малых
высот- -д- < 1 можно с достаточной степенью точности
считать
R + h~ I'+h/R 1 (h/R l
I'+h/R 1 — (h/Ry ±* l R
Учитывая это-приближение, из (14.4) найдем.
Постоянная величина — mg,R в этой формуле может быть
опущена, что соответствует выбору нулевого уровня
потенциальной энергии на поверхности Земли (напомним,
что потенциальная энергия определяется неоднозначно —
с точностью до произвольной постоянной, так как
физический смысл имеет лишь разность потенциальных
энергий).
Используя теорему об изменении, кинетической
энергии (12.10) и определение (14.3) или (14.4), нетрудно
заключить, что полная энергия
141

тела массой т(т<^М) в поле тяжести Земли
сохраняется, если работа всех прочих сил равна нулю.
Формула (14.3) получена три рассмотрении
взаимодействия тела с Землей. Нетрудно понять, что
потенциальная энергия взаимодействия двух точечных масс Ш\
и т2 определяется тем же выражением:
' {14.6)
Задача 14.4. Какую начальную скорость Vo
необходимо сообщить телу вблизи поверхности Земли, чтобы за
пределами сферы тяготения (т. е. на бесконечности) оно
двигалось со скоростью v? Силы сопротивления
движению не учитывать.
Решение. Поскольку силы торможения со стороны
атмосферы не учитываются, то полная энергия тела
сохраняется. На поверхности Земли полная энергия равна
^-mgR. "(!)
По мере отдаления от Земли потенциальная энергия
растет, а кинетическая уменьшается. Для того чтобы тело
не вернулось на Землю, его кинетическая энергия не
должна обращаться в нуль до тех пор, пока тело не
уйдет на бесконечность. В нашем случае полная энергия
на бесконечности
^ (2)
Приравнивая (1) и. (2), находим
(3)
Выразим полученный результат через величину
второй космической скорости vn. По определению, Уъ —
минимальная скорость, которую надо сообщить телу,
чтобы оно покинуло Землю. Из формулы (1) видно; что
если на бесконечности v=0f то скорость v0 принимает
наименьшее значение, равное второй космической
скорости, т. е. ,
vu = V^gR^ 11,2 км/с.
Эта скорость в"|/5"=1Л1 раза больше первой
космической скорости vl = y]rR9 т. е. vll = \f2vI/ -
Н2

Таким образом, наш результат можно записать в виде
Задача 14.5. Телу на поверхности Земли сообщили
в вертикальном направлении начальную скорость,
равную первой космической скорости. На какую
максимальную высоту поднимется тело? Сопротивлением
атмосферы пренебречь.
Решение. Используем для решения задачи закон
сохранения полной энергии. Полная энергия тела на
поверхности Земли согласно (14.5) равна
' ' (1)
так как по условию [задачи v^ = YgR- На максимально
достижимой высоте к скорость тела будет равна нулю.
Полная энергия на этой высоте равна
f \ (2)
Приравнивая (1) и (2), находим
h=R.
Очевидно, достигнув высоты, равной радиусу Земли, тело
начнет падать на Землю.
Задача 14.6. Чему равна потенциальная энергия
тонкого кольца массой ти радиусом а и точечного тела
массой /и2, находящегося на прямой, перпендикулярной
плоскости кольца, на расстоянии г от его центра?
Исследовать случай г^а9 /г<С#.
Решение. При вычислении потенциальной энергии мы
не можем воспользоваться формулой (14.6), так как для
небольших расстояний г кольцо нельзя считать
материальной точкой. Поэтому поступим следующим
образом. Разобьем кольцо на N малых элементов Amiy
которые уже можно считать материальными точками. Тогда
энергия взаимодействия Wi такого элемента массы Am*
с точечной массой определяется формулой (14.6):
Здесь |/af + r* — расстояние между массами Lmi и т%.
Потенциальная энергия взаимодействия кольца с телом
массой /п2 равна сум^е потенциальных энергий взаимо-
143

действия всех элементарных масс Дт< с точечной
массой т?. .
(2)
* Если г'Эхх, то в сумме а2-\-г2 под радикалом можно
пренебречь слагаемым а2 по сравнению с г2; (В этом
случае кольцо можно считать материальной точкой.)
Тогда энергия взаимодействия (2), как и в случае
взаимодействия точечных масс, имеет вид (14.6)
W^-f^bpi. (3)
Если же масса т2 находится вблизи кольца на таких
расстояниях, что г<а, то-в радикале (2) можно
опустить слагаемое г2. В этом случае энергия
взаимодействия ' . * *
=? (4)
Задача 14.7. Какую скорость Нужно сообщить
ракете, чтобы она достигла Луны? Расстояние до Луны
равно 60 земным радиусам.
Рекомендуем решить задачи № 220, 224,
227, 228, 229 из задачника [1] и № 174, 177 из
задачника [2]. I
§ 15. Гидростатика и аэростатика
1. Закон Паскаля. По характеру взаимодействия
молекул жидкость ^ занимает промежуточное положение
между твердыми телами и газами. Поэтому между
жидкостью и газом есть ряд существенных отличий.
Однако сейчас нас интересуют, наоборот, общие черты,
отличающие их от твердых тел. Общим свойством
жидкостей и газов являетседеспособность оказывать
сопротивления изменению формы^(без изменения объема)
под действием сколь угодно малых сил. Однако для
изменения объема требуются значительные усилия.
144

При исследовании поведейий жидкостей (или газов)
изучают не движение каждой отдельной молекулы, а
поведение так называемых «жидких частиц»
—объема, достаточно малого по сравнению со всем объемом
жидкости, но достаточно большого, чтобы флюктуации
(см. § 20) не оказывали влияния на измеряемые на
опыте средние значения физических величин. Далее
предполагается, что структура жидкости идеально непрерывна,
а физические величины (масса, импульс и т. д.),
связанные с веществом, которое содержится в
рассматриваемом объеме, равномерно распределены по этому объему.
Таким образом, приходят к представлению о жидкости
как о сплошной среде.
Можно различать два вида сил, действующих на -
жидкость. К первому относятся силы дальнего действия
(подобные силе тяжести), действующие на каждый
элемент объема. Эти силы называют объемными, или
массовыми. Ко второму виду относятся силы близко-
действия, возникающие в результате непосредственного
контакта между взаимодействующими элементами
жидкости, *газа и твердых тел на их общей границе. Эти
силы называют поверхностными.
*В этом .параграфе мы будем рассматривать жидкости
и газы, находящиеся в состоянии равновесия. Под
действием внешних сил жидкость или газ, как и твердое тело,
деформируется, т. е. изменяет свою форму и объем.
Работа сжатия совершается против сил давления,
действующих со стороны жидкости (газа), на поверхность
поршня^ССилы давления имеют двойную природу/ТВо-
первых, поскольку молекулы среды находятся в
движении, то часть силы давления связана с кинетической
энергией теплового движения (см. § 20 п. 6). Во-вторых,
надо учесть, что при сжатии между молекулами
действуют силы отталкивания, в результате этого возникает
сила, давления, связанная с потенциальной энергией
взаимодействия молекул между собой.
Мы знаем, что важной характеристикой силы как
вектора является ее направление. Оказывается, что вне-
подвижной жидкости (газе) сила давления,
действующая со стороны одной жидкой частицы на другую (или
на стенки сосуда), обусловлена только изменением объ-^
ем а — деформацией сжатия — навсегда перпендикулярна
к малому плоскому элементу поверхности раздела этих *
частиц]?Если эти силы были бы направлены не перпен-
10-125 145

ур поверхности, f6 сосггабДйющай силы, кйсй-
тельная к поверхности, стремилась-бы изменить ее
форму без изменения объема. Поскольку этого не
наблюдается, то касательная составляющая равна нулю.
При равномерном распределении сил давления по всей
поверхности AS площадки давлением 'на нее называют
отношение величины силы давления &F к величине
площади AS:
Давление является скалярной величиной. Сила
давления— величина векторная и, направлена
перпендикулярно к выбранной площадке. Давление характеризует
силовое воздействие, распределенное по поверхности, и,
следовательно, подчиняется третьему закону Ньютона.
Итак, давление на элемент площади поверхности
жидкости (газа) одинаково при любой ее ориентации.
Впервые этот закон открыл Б. Паскаль.
Если силы, действующие на жидкость (газ),
приложены к ее поверхности, то создаваемое ими давление
одинаково во всех точках жидкости (газа). Такими
силами могут быть сила атмосферного давления или сила,
действующая на жидкость со стороны соприкасающихся
с ней тел* Например, если в стакан с водой опустить
палец, то давление в каждой точке внутри воды возрас- '
тет на одинаковую величину. Если же внешние силы j
приложены к каждому элементу объема жидкости
(газа), то давление в разных точках жидкости (газа) не-"
одинаково.
При изменении внешних сил изменяется степень
деформации жидкости и, следовательно, изменяется
давление. Давление в данном месте жидкости зависит отсте?
пени сжатия в нем. Поскольку несжимаемых сред в
природе не существует, то при сжатии изменяется также и
плотность. Если в каком-либо процессе изменение
плотности объема среды, вызванное изменением давления,
пренебрежимо мало, то такую среду можно
рассматривать как несжимаемую.
В системе СИ единицей давления является паскаль
(Па). 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 н,
равномерно распределенной по поверхности площадью 1 м',
146

В системе CFG единицей давления является 1 -^-^
н * *
= 0,1 -^ = 0,1 Па или более крупная величина 1 бар==
= 10е -^ = 10*. Па. Несистемные единицы давления могут
быть переведены в систему СИ с помощью соотношений:
1 физ. атм. = 760 мм рт. ст. = 1,0132- 10е -^г=1,0132Х
ХЮ1 Па, 1 -^-г = 1*атм = 9,8-10* Па. В шинах
автомашин воздух сжат до 2,5-^-4 атм. При выстреле-
максимальное давление пороховых газов в орудийном-стволе
(5-4-6)-103 атм. При превращении графита в алмаз
давление достигает 100000 атм.
' Пример 15.1. Какая работа затрачена на подъем
груза весом Я1==1,5 т с помощью гидравлического пресса,
если при этом малый поршень переместился на 1%=
=40 см? Его площадь в 20 раз меньше площади
большого поршня. . « • *
Работа уравновешивающихся сил равна нулю, т. е.
работа некоторой силы при перемещении малого
поршня рарна работе против силы тяжести при перемещении
большого поршня на расстояние 1\\
Определи^ 1\. Сколько жидкости вдавит внутрь пресса
малый поршень, столько же жидкости войдет под
большой поршень. Из равенства этих объемов следует
условие Siti=S2l2, где Si и S2 — площади большого и малого
поршней. Следовательно,
Значит,
A=PJ2^ = 294 дж.
Можно определить и силу F2, приложенную к малому
поршню. Так как давление на оба поршня одинаково, то
•^-в-^1-* что дает
Ft=P, -|- = 75 кГ = 735 н,
Ю* Н7

т. е. выигрыш в силе сопровождается проигрышем
в пути.
Задача 15.2. Острие иглы имеет площадь 5=
=0,00001 см2. Какое давление создает сила F=l кГ,
вонзающая иглу в некоторую поверхность?
Помимо внешних сил F* приложенных к поверхности
жидкости (газа), на каждую единицу ее объема
действует сила тяжести pg. Благодаря силе тяжести верхние
слои жидкости (газа)
оказывают давление на
нижние. Поэтому в
жидкости (газе) наблюдается
еще так называемое
гидростатическое давление,
обусловленное тяжестью
жидкости (газа).
Давление в жидкости,
следовательно, является суммой
давления, создаваемого
силами Fs, и
гидростатического давления. Плот-
Рис. 16.1 ность р" жидкости (газа)
можно считать
^постоянной, «пока рассматриваются изменения
гидростатического давления при не очень больших разностях высот.
Для того чтобы найти зависимость давления p(h) от
глубины К рассмотрим жидкий параллелепипед, одно
основание которого находится на поверхности, а
другое— на глубине А. На этот столбик жидкости
действуют сила тяжести и 'поверхностные силы, приложенные
к его поверхности cd стороны окружающей среды. В
неподвижной жидкости сумма этих сил равна нулю. В
горизонтальном направлении поверхностные силы
уравновешивают друг друга (рис. 15.1). В вертикальном
направлении на столбик действуют сила* тяжести mg=
=4pghS, поверхностная сила F1=pa-rMS (на верхнее
основание) и поверхностная сила F&=p(h)S (на нижнее
основание) . Приравнивая нулю^проекцию на вертикаль
суммы всех сил, найдем :
: (15,2)
Слагаемые pgh называют гидростатическим давлением.
Гидростатическое давление не зависит от формы сосуда,
а зависит только от глубины h и плотности жидкости.
143

На боковые стенки сосуда также действует сила
давления, направленная перпендикулярно к стенкам.
У верхнего края сосуда давление равно атмосферному
Ратм, а у дна равно ратм+pgA- Если ширина стенки L,
а высота Н, то сила, действующая на полоску площадью
LAH, расположенную на глубине Я, равна Д/7=(Ратм+
-Hpg#)LA#. Результирующую силу F, действующую на
стенку, можно найти суммированием элементарных'сил
(15,3)
2. Гидростатический парадокс. Может показаться
странным, что, несмотря на то что в сосудах содержится
разное количество воды, силы, "действующие на дно
каждого из них (рис. 15.2), одинаковы, если только их до-
т-«я)5' s=lh:
h
о)
Рис. 15.2
нышки имеют равные площади S. С формальной стороны
здесь все понятно. Гидростатическое давление на дно
равно pghy где Л — высота уровня воды, и, следовательно,
сила давления на дно каждого сосуда F=pghS.
Попытаемся истолковать этот вывод. В случае б) давление
создается только весом жидкости, расположенной над дном,
поскольку сила давления остальной части жидкости
уравновешивается упругой силой деформации
горизонтальных участков стенок сосуда. В случае в) давление
149

1
I
на участки дна, расположенные' под горизонтальными"
участками стенок, складывается из гидростатического
давления pgh2 и внешнего гидростатического давления
на основание горлышка pghx (см. формулу (15.2)),
которое, согласно закону Паскаля, передается во все части
сосуда. Таким образом, давление в любом участке дна
оказывается равным p£/*i+
-\-pgh2=pgh. Анализируя
силы давления, действующие
на дно, мы придем к тому
же выводу. Действительно,
, на высоте h2 на
горизонтальный" участок стенки
площадью S2 действует со
стороны жидкости,
находящейся в горлышке, направлен^
ная вверх сила F2=pgh\S2.
Она приводит к деформации
стенки, и вследствие третьего
закона Ньютона «стенка
давит на часть жидкости, ле-
,жащей под ней, с силой
pghiS* Добавляя' эту силу"
к весу этой же части
жидкости, определим силу давления на часть дна,
расположенную под горизонтальным участком стенки: pgftiS2+
-}-pgh2S2=pghS2. Складывая эту силу с силой давления
pghSi на часть дна площадью Si, расположенную под'
горловиной, найдем, что полная сила давления на дно
равна pghS (поскольку Si-f-S2=S). Теперь становится
ясно, почему давление на площадку А в сообщающихся
сосудах (рис. 15.3) определяется не высотой столба
жидкости, расположенного непосредственно над площадкой,
а высотой свободной поверхности жидкости.
Если у сосуда, изображенного на рис. 15.2,в,
горлышко достаточно узко/ а площадь дна велика, то, как
показывает простой расчет, можно небольшим весом воды
создать огромное давление внутри сосуда. Например,
полстакана воды достаточно, чтобы поднять человека
весом 60 кГ. Для этого присоединим резиновую трубку *
к грелке размером 30 смХ20 см, нальем некоторое
количество воды в грелку и трубку и, встав на доску,
положенную на грелку, продолжим приливать воду в трубку.
я
Рис. 15.3
150

Если высота трубки 1 м й площадь её с^еяия 1 см^, тд
давление в грелке
p==Pgft==dh= 100 Г/см8. .
Сила, действующая на верхнюю поверхность грелки,
равна F=Sp=&0 кГ, и эта сила вызвана всего лишь 100 г
воды, налитыми в трубку. Очевидно, грелка с трубкой
фактически является, системой типа гидравлического
пресса.
3. Давление атмосферы; В газе (как и в жидкости)
изменение давления с высотой определяется весом
столба газа, расположенного между двумя данными
уровнями. Однако вес одного и того же столба газа с
изменением высоты меняется, так как степень сжатия на
разных уровнях различна. Поэтому плотность газа на
разных высотах неодинакова. По этой причине формулой
paLiM=pgh можно пользоваться только для малых
изменений высот.
Экспериментально атмосферное давление можно
измерить с помощью ртутного барометра. Атмосферное
давление, при которой высота ртутного столба равна
760 мм, называют нормальным атмосферным давлением.
Поскольку давление во всех точках, принадлежащих
одному уровню, одинаково, то, приравнивая величину
атмосферного давления на поверхность ртути давлению
столба ртути высотой Арт, найдем /?а?м=ррт£Йрт, где ррт —
плотность ртути. Если бы мы использовали вместо* ртути
воду, то в водяном барометре вода поднялась бы на
высоту, определяемую условием
М^М»» *.=**" Ю.ЗЗ м.
Атмосферное давление на поверхность Земли создается
весом всей атмосферы, т. е. /w=-§""» где S — площадь
земной поверхности, равная приблизительно 4nR2 (\R —
радиус Земли). Подставляя в формулу Р=4я#2/?атм
значения нормального атмосферного давления и радиуса
Земли, найдем вес всей атмосферы Я=5-1015 т. .
Задача 15.3. Объясните, почему вода будет
перетекать из сосуда А в сосуд В (рис. 15.4)? Рассмотрите
также случай, когда pBgfti=PaTM.
151

Задача lS.4. Площадь S поверхности е
тела равна в среднем 1,8 м2. Какую силу давления
испытывает человек на поверхности воды и на глубине А=
=10 м? Атмосферное давление считать равным 1 кГ/см2.
Задача 15.5. В резервуар с водой погружают сосуд
в форме усеченного прямого конуса, нижнее, меньшее,
основание которого закрыто невесомой пластинкой (рис.
15.5). На пластинку действует сила F=l кГ. Отпадает
ли пластинка, если в сосуд влить 1 кг воды?
Решение. Силы гидростатического давления,
действующие на пластинку, показаны на рис. 15.5 стрелками.
Предположим, что пластинка находится на глубине А,
v«\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\N
s
ч
ч l\
4
A L
ч
s
s
Рис. 15.4
_-_-!+ 1+1 +.
Рис. il5.5
152

а площадь нижнего основания конуса равна S. Тогда
сила давления на пластинку F=pS, где p=pBgh.
Следовательно, сила давления F=pBghS=l кГчисленно равна
ве9У, столба высотой А, площадь основания которого 5
(этот столбик выделен пунктиром).
Если в конус влить. 1 кг воды, то он займет объем
высотой h\<.h. Вследствие этого результирующая сила,
действующая на пластинку, направлена вверх и.равна
F—pBghtS=p*gS(h-::hi)=£O. Эта сила будет удерживать
пластинку, не дозволяя ей оторваться от нижнего
основания конуса.
Задача 15.6. В двух цилиндрических сообщающихся
сосудах налита ртуть. Сечения одного из сосудов вдвое
больше другого. Более широкий сосуд доливают до
края водой. На сколько поднимется при этом уровень
ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути
был в а см от верхнего края сосудов.
о-
о
л
Рис. 15.6
Решение, Делаем чертеж (рис. 15.6), на котором
прямой 00 обозначен первоначальный уровень ртути.
После того как долили до края водой правый сосуд, ртуть
в нем опустилась до уровня Л, а в левом сосуде
поднялась до уровня Л', т. е. ртуть, занимавшая в первом
сосуде объем между уровнями О и Л, перетекла в левый и
заняла объем между уровнями Л' и О.
Обозначим через х искомое расстояние между
уровнями Л' и О. Тогда, в силу того, что сечение правого со<-
суда вдвое больше сечения левого, расстояние ОА равно
153

^гупят давления
^y£OBH22LJiaBHwJ Запишем, например, условие равенства
давлений на уровне Л:
Из этого уравнения определяем
— Рв
Задача 15.7. Определить давление столба жидкости
высотой А, если сосуд с жидкостью будет двигаться
вертикально вниз с ускорением a(a<.g).
Решение. Выделим
внутри жидкости столбик
высотой h (рис. 15.7.) На верх-
нее основание этого
столбика действует сила атмо£фер-~
ното давления, на нижнее —
. силы атмосферного и
гидростатического давлений.
Уравнение движения этого
столбика:
Рис. 16.7 *
где р — давление на
глубине h в ускоренно
движущемся сосуде. Следовательно, p=*p(g—а) Л. Здесь р —
плотность жидкости.
4. Закон Архимеда. Мы уже знаем, что на площадку
(скажем, резиновую пленку манометра) в жидкости
(газе) действует сила давления, зависящая от глубины
погружения и ее площади* Посмотрим теперь, какие
силы будут действовать на брусок" высотой Н и площадью
основания S, погруженный на глубину h (рис. 15.8).
Поскольку давление в любом месте во всех направлениях
одинаково, то полная сила, действующая на брусок,
может быть обусловлена только изменением давления от
точки к точке.
На боковые стороны бруска действуют силы,
стремящиеся сжать брусок. Эти силы взаимно
уравновешиваются. Сила, с которой жидкость (газ)' действует на ниж-
154

titoto грань бруска, найравлена вверх й равйа по ЁеЛй-
чине
Сила, действующая на верхнюю грань, направлена вниз
и равна ' .
3Jjl Кйййй
я н да
Рис. 15.8
Результирующая сила, действующая со стороны
жидкости (газа) на брусок, называется выталкивающей силой.
Она направлена вверх и равна
где V—HS — объем бруска, m — масса жидкости (газа),
вытесненная бруском. Таким образом, на тело,
погруженное в жидкость (газ), действует сила, направленная
вверх и раъная весу жидкости (газа), вытесненной
телом. Возникновение выталкивающей силы обусловлено
различием гидростатических давлений на нижнее" и
верхнее основания бруска.
* Выталкивающая сила приложена к центру тяжесФи
вытесненного объема жидкости (газа). Если вес тела
больше выталкивающей силы, тело тонет, если же
меньше, то тело всплывает до тех пор, пока выталкивающая
сила не станет равной весу тела. Тело будет находиться
в состоянии безразличного равновесия* когда вес тела
равен весу жидкости, вытесненной телом. В таком
положении находится, например,, любой мысленно
выделенный объем воды в сосуде с водой.
155

Предположим теперь, что сосуд, изображенный йа
рис. 15.8, движется вниз с ускорением а. Тогда согласно
выводу, полученному в задаче 15.7, выталкивающая
сила
a)Vt (15.4)
где V—объем погруженной части тела.
В состоянии невесомости закон Архимеда
несправедлив. В самом деле, выталкивающая сила' обусловлена
различием гидростатических давлений на нижнее и
верхнее основания тела. В состоянии невесомости это
различие исчезает и выталкивающая сила становится равной
нулю. Формально этот результат следует-из (15.4), если
положить a=g.
Задача 15.8. На дне аквариума лежит пластина
стекла в форме диска радиусом /?=10 см, толщиной d=
=0,5 см, плотностью р=2,5 г/см3. Чтобы е§ достать,
в аквариум опустили трубку радиусом г=5 см,' плотно
прижали к стеклу, выкачали из" трубки воду и стали ее
медленно поднимать вверх. Определить, до какого
расстояния h от поверхности воды можно* поднять диск.
Решение. После того как из трубки откачали воду,
выталкивающая сила, действующая на диск, стала
равной -
Ршш=?ш8№& + *) ~ «(«•- О х] = *?&№ + г*х], (1)
где х — расстояние от поверхности воды до верхней
плоскости диска. Если глубина аквариума такова, что
/7/wg', то диск будет прижат к трубке -силой
т—rag. В положении равновесия сумма сил,
действующих на диск, равна нулю:
mg + N-FBUT = 0f (2)
где N — сила реакции трубки, приложенная к диску. По
мере подъема трубки выталкивающая сила (1)
уменьшается, и как только на некоторой'глубине h
выталкивающая сила станет равной силе притяжения, реакция
N обратится в нуль — диск отвалится от трубки. Под-
ставлйя в (2) N=09 x=h9 найдем
. A=£zit 4^=3 см.
Задача 15.9. Тело плавает в воде так, что под водой
находится объем V\. Какая часть объема тела будет по-
156

гружена в воду, если сосуд с водой, в котором плавает
тело, будет двигаться вниз с ускорением a<.g?
Решение. Для неподвижного сосуда условие
плавания, следующее из второго закона Ньютона, имеет вид
m-0=mg —
или
Здесь т — масса тела, р — плотность воды. ^При
движении сосуда вниз тело движется с ускорением а под
действием силы тяжести и выталкивающей силы,
определяемой формулой (15.4). Согласно второму закону
Ньютона
ma = mg — p{g — a) Vx, (2)
где Vx — объем погруженной части. Из (2) находим, что
V —HL—v
Задача 15.10.-Тонкая однородная палочка шарнирно
закреплена за верхний конец. Нижняя часть палочки
погружена в воду, причем равновесие достигается, когда
в воде находится половина длины палочки. Определить
удельный'вес материала, из которого сделана палочка.
Решение. На палочку действуют сила притяжения Р,
приложенная к середине палочки, выталкивающая сила
F> приложенная в середине погруженной ^части, и сила
реакции со стороны-шарнира. Приравнивая моменты
этих сил относительно шарнирно закрепленного, конца
палочки, найдем -
^-P=^lF, (1)
где Л — длина "палочки. Пусть d — удельный вес палочки,
V —ее объем. Тогда P==dV. Выталкивающая сила F
равна произведению удельного веса воды dB на объем
погруженной части: F = dB -^ . Подставляя значение Р и F
в (1), получим значение удельного веса палочки d=
Пример 15.11. В сосуде с "жидкостью, удельный вес
которой du плавает кусок льда. Как изменится уровень
смеси жидкости и воды после того, как лел растает?
157

На тело действуют сила fяжecтй й выталкивающая
сила. Условием плавания является равенство этих сил.
Обозначим через V объем льда, V\ — объем
погруженной части льда. Кусок льда имеет вес daV,
выталкивающая сила равна d\V\. Условие плавания
dJ/=dlVl
позволяет найти объем погруженной части льда (d\ —
удельный вес жидкости):
После таяния лед превращается в воду, объем
которой можно определить, приравняв вес льда и
образовавшейся после таяния воды:
daV=d9V*Vu=idJ<QV.
Чтобы ответить на вопрос о положении уровня смеси,
надо сравнить объемы VB и Vi:
V -V ={£l—!
Удельный йес льда ^л=0,9 dB. Если лед плавает в воде,
т. е. di=dB, то уровень воды не изменится после таяния
льда, так как V\=VB. Если лед плавает в ртути di=dpT=
=13,6 dBt то после таяния общий уровень повысится, так
как VB>V\. Если же лед плавает, скажем, в масле,
удельный вес которого di=0,95 dBf то уровень смеси
понизится: V\>VB.
Рекомендуем решить задачи № 231, 234,
235, 239, 245, 250, 251, 252, 253 из задачника [1] и № 190,
197, 205, 210, 214, 218 из задачника [2].
§ 16. Гидродинамика и аэродинамика
1. Уравнение непрерывности и закон Бернулли. Ги-
дро- и аэродинамика занимается изучением движения
жидкостей и газов. Если в какой-либо области жидкости
(газа) создать избыточное давление^ то жидкость (газ)
будет перемещаться под действием сил давления в
область, где давление меньше. Кроме избыточного
давления, вызванного внешними силами, на элемент объема
в жидкости действуют еще силы внутреннего трения (или
сила вязкости), возникающие при скольжении одного
слоя по другому. В этом пункте мы будем предполагать,
158

что силы вязкости отсутствуют, однако читателю при
качественном анализе движения реальных жидкостей
(газов) необходимо помнить, что вязкость — важнейшее
свойство жидкости, существенно влияющее на ее
поведение.
Движение частиц жидкости в общем случае имеет
сложный характер. Мы ограничимся рассмотрением
стационарного по- „
тока. Стационарным
называется такое движение
частиц жидкости, когда
скорость и ускорение
частиц, проходящих через
фиксированную точку
пространства, не изменяются.
Частицы жидкости в этой рис \\^:\
точке постоянно заменя- ^
ются новыми, однако их
скорость и ускорение в этой точке имеют те же значения,
что и у предыдущих частиц. В таком потоке можно
провести линии тока как такие динии, касательные к
которым совпадают с направлением скорости.
Следовательно, отдельные частицы движутся по линиям тока.
Поэтому через поверхность, образованную линиями тока, не
выйдет ни одна из частиц, находящихся внутри такой
трубки. Если сечение трубки выбрать достаточно малым,
то скорость частиц жидкости v во всех точках одного и.
того же сечения можно считать одинаковой. Такие
трубки носят название т о к о вы х трубок (рис. 16.1).
Предположим, что при течении не происходит
заметных сжатий или расширений жидкости. В этом случае
плотность жидкости р можно считать постоянной. За
малый интервал времени At жидкость, занимавшая
первоначально объем между сечениями 12, оказалась в
объеме между сечениями Г2' (см. рцс. 16.1). При этом на
одном конце трубки жидкость перемещается на
расстояние viAt, а на другом конце —на расстояние v2At.
Очевидно, объемы жидкости, заключенные между сечениями
И' и 22', должны быть равны. Поэтому Am=>pviAtSi=
==p02A#S2, или
°А = *А- (16.1)
Это соотношение называют уравнением
непрерывности. Отсюда видно, что на рассматриваемом
159

участке происходит непрерывное изменение скорости
жидкости от #1 до v2. Следовательно, на этом участке
жидкость движется ускоренно и на нее действует сила.
Исходя из соображений, которые были использованы
при выводе закона Архимеда (см. § 15), можно сделать
общее утверждение: направление полной силы,
действующей на выделенный объем жидкости, совпадает с
направлением, в котором уменьшается давление. Отсюда
следует, что давление Р2 на жидкость в узком сечении
S2 меньше давления Pi в широком сечении Sb Этот
вывод следует также из закона Бернуллигв
стационарном потоке несжимаемой жидкости (газа) давление
выше в тех местах, где скорость течения меньше. В
более точной формулировке закон Бернулли гласит: для
всех точек вдоль линии тока
Р + т-+Р£А = const. . (16.2)
Здесь р, v — давление и скорость на высоте h над
некоторым нулевым уровнем. Закон Бернулли является
следствием закона сохранения энергии, если пренебречь
силами вязкости и теплопроводностью.
Пример 16.1. Вода подается в фонтан из большого
цилиндрического бака высотой Ai=7,35 м, радиус'
которого Ti=l м, и бьет из отверстия фонтана радиусом гг=
=1 см, расположенного на уровне основания бака.
Определить скорость ю\ понижения уровня воды в баке,
скорость v2 истечения из фонтана и высоту струи h2i
выходящей из фонтана.
Так как сечение S\=nr2i много больше сечения S2=
=л?г22, то поток воды можно считать стационарным.
Согласно уравнению непрерывности (16.1) .
v1Sl = v2S2. _ (1)
Недостающее уравнение для определения Vi-и v2 можно
найти из формулы Бернулли (16.2). Полезно, однако,
получить ее непосредственно из закона изменения
полной* энергии жидкости, заключенной в баке. При этом
приращение полной энергии всей воды за время At
фактически равно разности полных энергий- масс А/и,
заключенных между сечениями И' и 22' (см. рис. 16.1).
Внешней силой является сила атмосферного давления

p, действующая на верхнее сечение, и- poS2— на
нижнее сечение. Согласно (12.10) находим:
j PoSiViAt _ pjSfjU. . (2)
В силу (1) правая часть (2) обращается в нуль, й,
следовательно, Л
Из (1) и (3) находим
i-f-52-
Подставляя числовые данные, получим из (4) скорость
вытекания .жидкости из отверстия: и2=12 м/с. Из (1)
получим значение скорости понижения воды в баке:
^ = ^^ = 0,0012 м/с.
Как видно, эта скорость очень мала. Если сечение бака
очень велико Si>S2, то падением уровня воды в баке
можно пренебречь, т. е. считать >v\^0. В этом случае
скорость течения воды через низшее отверстие равна
скорости падения тела^с высоты h\:
Зная скорость, с которой вытекает вода, можно найхи
высоту h2, на которую она будет выброшена:
Ai=^.=A1 = 7.36 м.
Однако на опыте высота h2 всегда ниже уровня воды
в баке.- Если бы скорость v2 точно определялась
формулой-(4а), то струя воды должна была бы подняться до
уровня воды в резервуаре. Однако уравнение (3) явля-#
ется приближенным, не учитывающим силы вязкого трё-"
ния. В силу этого скорость истечения v2 на самом деле
будет меньше вычисленной с помощью этого уравнения.
Задача 16.2. В стенках большого сосуда,
наполненного водой, просверлены два маленьких отверстия на
расстояниях Я от основания и края сосуда. Показать, что
струи, вытекающие из отверстий, пересекутся на уровне
основания.
11-125- 161

Решение. Обозначим через h расстояние между
отверстиями. Пренебрегая падением уровня воды в сосуде,
найдем скорость истечения из верхнего vl = Y2gH-in
нижнего отверстий v2 = \/*2g(H-{-h). Время «падения» tt
воды от верхнего отверстия до основания tx =|/ 2* -
/ 2/7
и от нижнего отверстия до основания t2=y —.
Расстояния от сосуда до точек пересечения струй с
горизонтальной прямой, проведенной на уровне основания
сосуда, оказываются равными, так как vtfi=pr}t2.
Задача 16.3. Объясните, почему изогнутые участки
шланга, по которому течет вода, стремятся
распрямиться.
Решение. Рассмотрим интервал времени, за который
масса воды Л/n переместилась по изогнутому участку
шланга. При движении воды импульс массы. Am
изменяется по направлению. Согласно (10.2) изменение
количества движения равно импульсу силы, действующей
со стороны шланга в направлении центра кривизны
шланга (см. § 13). По третьему закону Ньютона, вода
с такой же по величине силой действует на изогнутую
часть шланга в направлении, противоположном изгибу.
2. Обтекание тел реальными жидкостями. При
обтекании тел потоком скорость жидкости различна в
разных местах поверхности тела. Согласно закону Бернулли,
это приводит к различию давлений в разных точках
поверхности, а следовательно, и сил, с которыми жидкость
давит на поверхности. Эти дополнительные* силы, с
которыми поток действует на рбтекаемое тело, представляют
обычные силы давления и появляются из-за того, что
давление в текущей жидкости отличается от давления
в покоящейся. Возникающая сила направлена
перпендикулярно скорости потока и называется подъемной силой.
Помимо подъемной силы на тело действует также сила
лобового сопротивления, направленная параллельно
скорости потока. Возникновение силы лобового
сопротивления обусловлено тем, ита все. реальные жидкости и
газы обладают вязкостью.
Наличие силы вязкости существенно изменяет
характер течения вблизи поверхности тела и приводит к тому,
что слой жидкости, прилегающей к телу, не скользит,
а «прилипает» к поверхности. Экспериментально прове-
162.

рено, .*гго скбрость жидкости на поверхности твердогб
тела равна нулю и быстро возрастает по мере удаления
от поверхности. Силы вязкости тормозят движение
жидкости в пограничном слое, вследствие чего частицы
жидкости движутся со скоростями, гораздо меньшими,
чем те, которые они имели бы в случае отсутствия
вязкости. Вследствие этого стационарность потока
нарушается, и за телом образуется* область, заполненная вихре-
образно движущейся жидкостью, давление в которой
делается меньше давления в набегающем потоке, —
возникает область разрежения. Давление на передней части
тела, где скорость жидкости близка к нулю, наоборот,
больше давления в набегающем потоке (область
избыточного давления). Результирующая сила давлений на
обтекаемое тело оказывается неравной нулю и
направленной в сторону течения жидкости. Она называется
сопротивлением давления.
Лобовое сопротивление, которое испытывает тело со
стороны обтекающей его вязкой жидкости, представляет
сумму силы сопротивления давления и силы
сопротивления трения, обусловленной трением между слоем,
прилипшим к телу, и потоком.
Подъемная сила и. сила лобового сопротивления
зависят от формы, размеров тела, его ориентации в потоке
и скорости потока.
Изменение полной энергии тела в единицу времени
равно мощности сил сопротивления. Космические
аппараты при спуске на Землю входят в атмосферу со сверх,-
звуковыми скоростями. При этом впереди себя они
создают волну сжатого до 50 атм воздуха, температура
которого повышается^ ца 8000°К. Это приводит к
возникновению дополнительного волнового сопротивления,
обусловленного затратами энергии на нагрев и сжатие
воздуха. Волновое и сопротивление давления играют
основную роль при торможении космических кораблей.
Рекомендуем решить задачи № 254, 256,^
258, 259 из задачника [1].
§ 17. Гармонические колебания
В этом параграфе мы рассмотрим колебательное
движение тела в отсутствие сил трения. ~
В природе существует множество различных видов
периодических движений, т. е. повторяющихся через рав-
11* г . * ~ 163

йые промежутки времени. Если Т — период движений,
то в моменты времени i и t^-T тело имеет одно и то же
положение "и скорость. Одним из частных случаев
периодических движений являются колебания, которые тело
совершает вблизи положения устойчивого равновесия.
\ В положении равнове-
* * сия сумма сил,
действующих на тело, равна нулю.
Для того чтобы вывести
тело из положения
равновесия, ему нужно
сообщить начальную скорость
или просто отклонить из
этого лоложения. При
движении в окрестности
положения равновесия на
тело - могут действовать
силы: а) стремящиеся
отклонить его от положения
равновесия или б) стре-
Рис. 17.1
мящиеся вернуть его обратно, т. е. результирующая сила,
действующая на тело, направлена в сторону,
противоположную смещению. В последнем случае положение
равновесия называется устойчивым, если тело при
достаточно малом отклонении и достаточно малой начальной
скорости не выйдет за пределы малой окрестности
положения равновесия.
Устойчивому равновесию соответствует такое
положение тела, в котором его потенциальная энергия имеет
минимальное значение. В отсутствие внешних
воздействий тело может покоиться в положении равновесия
неограниченно долго. Однако если тело испытало
небольшое отклонение, то предоставленное самому себе оно
будет колебаться около положения устойчивого
равновесия. Простейшим видом колебаний будет такое
движение, при котором координата х, характеризующая
отклонения материальной точки от положения равновесия,
изменяется по гармоническому закону (рис. 17.1):
Коэффициент
аргумент синуса
164
. (17.1)
А называется амплитудой колебаний,
Ф = у t -f- a — фазой колебаний, а —

начальная фаза колебаний — значение фазы в момент
времени /=0. Обсудим физический смысл входящих
сюда постоянных величин Г, Л, а. Следуя определению
периода x(t)=x(t-\-T) и подставляя значение х из
(17.1), находим, что Т является периодом
колебаний. Частота колебаний связана с периодом обратно
пропорциональной 'зависимостью v = -=г*
Единица измерения частоты герц=1 с~! — полное
колебание в секунду. Частота колебаний v определяет
число колебаний в секунду. Обычно вместо периода
используют величину (0 = -=?-, называемую круговой, или
циклической, частотой колебаний. Таким
образом, смещение при гармонических колебаниях имеет
вид
л: = Л sin («/ + *)• (17.1а)
Так как максимальное значение синуса равно единице,
то максимальное значение координаты равно Л.
Величина х изменяется в пределах |л:|^Л.
1. Кинематика гармонических колебаний. Найдем
зависимость скорости-и ускорения от времени. Это
можно, сделать, дифференцируя последовательно смещение
(17.1). Мы найдем эти величины более элементарным
путем. Для этого рассмотрим движение по экрану тени
от шарика, равномерно вращающегося по окружности
радиусом А с угловой скоростью ш=-^- (Т — период
вращения). Смещение тени х мы будем откладывать
от среднего положения (положительным считается
направление вверх на рис. 17.2).
В крайних положениях смещение максимально и
равняется радиусу окружности Л. В момент времени /=0,
когда тень смещена на величину Л sin а, угол Ф1
равняется начальному значению а. За время t угол Ф
изменится на величину 2%у-=Ы и станет равным со/+а.
В этот момент времени тень отойдет от средней точки О
на величину
) = Asin{<*>t-\-a). (17.2)
165

Таким образом, движение тенет на экране представляет
собой простое гармоническое движение, период которого
Т равен периоду вращения шарика по окружности (так
как ш=-^Л, а амплитуда А равна радиусу
окружности. В силу этого полученные ниже формулы справед-
1 Ах
4 - Рис. 17.-2
ливы для любых тел, совершающих-гармонические
колебания.
Рисунок 17.2 позволяет пояснить понятие фазы
колебаний. Определенному смещению точки соответствует
определенное положение шарика на окружности, а
определенному значению времени i соответствует значение
угла — фазы Ф=о^+а. Следовательно,. положение тела
в момент времени t •можно*найти, задавая вместо
времени соответствующее значение фазы Ф (см. рис. 17.1).
При этом одно полное колебание (один цикл)
соответствует изменению фазы на 2л; радиан.
Величина arf определяет часть цикла (умноженную
на 2тс), на которую изменилась фаза по сравнению с на-
^ / т
чальной фазой. Например, через четверть дикла u=-^-
фаза изменится на 0)-^-=-^-радиан и т. д. Значение фазы
на рис. 17.1: fc = -g-. *
166

Известно, что ускорение шарика а=Лсо2 направлено
к центру окружности. Ускорение тени равно нроекциина
ось х центростремительного ускорения шарика. Проекти-
* руя ускорение по известным правилам, находим
ах = а cos (ф+-?г) = -rA<*>*sm((*>t-\-a) = ~т2х. (17.3)
Мы получили важное соотношение: ускорение тела
пропорционально смещению. Коэффициент пропорциональ-
ности постоянен и равен — ш = — f -=- J .
Скорость колеблющейся точки также можно найти
чисто геометрически: она равна проекции скорости на
ось х, т. е. величине скорости ©Л> умноженной на
косинус угла проекции:
vx(t) = v cos Ф = Л«) cos (co^ + a)- (17.4)
Иными словами, скорость точки также меняется по
гармоническому закону, ^
2. Динамика гармонических колебаний. Мы знаем,
что второй закон Ньютона позволяет по заданным силам,
найти ускорение, т. е. определить характер движения.
'Например, если сила, действующая на тело, равна нулю,
то движение равномерной, если сила постоянна, то
движение равнопеременное. При изучении колебаний нас
интересует вопрос: какого вида силы приводят к
гармоническому движению? Оказывается, что для этого
результирующая всех сил, действующих на тело,
выведенное из положения равновесия, должна иметь вид
cx9 (17.5)
где х — смещение от положения равновесия, с —
постоянный коэффициент, зависящий от свойств конкретной
механической системы. Смысл знака минус уже обсуж-
. дался в начале параграфа.
Проверим это утверждение. Второй* закон Ньютона
для движения тела вблизи положения равновесия
запишется в виде --•
ma = Ft т. е.'а^ — ^х. (17.6)
Но, как было показано выше (см. формулу (17.3)),
именно пропорциональность ускорения смещению
характеризует гармоническое" движение. Сопоставляя форму-
167

лы (17-6) и (17.3), находим для круговой частоты и
периода колебаний выражения:
У
Таким образом, движение под действием силы (17.5)
является гармоническим колебательным движением. При
этом зависимости смещения точки и ее скорости от
времени имеют вид:
x(t) = Asm(<*>t-\-a), (1,7.8а)
v (f) = А<*> cos (а>/ -f а). (17.86)
Подчеркнем, что второй закон Ньютона позволил нам
по заданной силе (17.5) определить характер движения
и частоту колебаний. Согласно формуле (17.7) частота
всецело определяется свойствами механической системы
(коэффициентом с и массой). Поэтому понятно, почему
эту частоту называют собственной частотой
колеблющейся системы.
Начальная фаза а и* амплитуда А определяются
обстоятельствами, при которых началось движение, т. е.
начальными условиями. Пусть в начальный момент £=0
тело сместили из положения равновесия на вгеличину xQ
и сообщили в этой точке скорость Vq. Вычислим 4 и а.
Выражения (17.8) справедливы для всех к Если в'них
положить tf=0, то мы должны получить слева х0 и ро.
Следовательно,
xo=Asinaf
v0m=A(o'cosa.
Из этих соотношений находим амплитуду и
начальную фазу через начальное положение и скорость тела:
А=Л/ *\+Э> ♦ (17.9а)
(17.96)
3. Масса на пружине. Простейшей механической
системой, совершающей гармонические колебания,
является масса, прикрепленная' к невесомой пружине. Пусть
k — жесткость пружины, k — ее, д^ина в ^напряженном
состоянии. Рассмотрим вначале движение тела массой m
по горизонтальной гладкой. плоскости (рис. 17.3,а).
168

В положения рзьновесйй пружина йе действует на тело.
Если тело находится на расстоянии х от положения
равновесия, то .длина пружины l=k-\-x, а сила,
действующая на тело со сторойы пружины, направлена влево и
равна
-ЛЛЛ/WV-
////////////do
г
—х
//о
Рис. 17.3
Запишем второй закон Ньютона для движущегося тела,
считая направление вправо положительным:
ma= — kx,a= л:.
п
В нашем примере коэффициент1 с в формуле (17.7) име-^
ет смысл -жесткости пружины. Следовательно, период
колебаний
Закон движения груза x(t) зависит от начальных
условий. Если грузик сместили из положения равновесия
на Хо и отпустили, не сообщив начальной скорости (vo=
=0), то, как следует из (17.9), амплитуда А=х0, а
начальная фаза а = *у-, т. е.
х (t) = х0 sin Ш-\—^- J = х0 cos ®t.
169

Если Же *ё положении {эавйбБеСйя (#о=О) грузику
сообщить начальную скорость vo9 то амплитуда колебаний
будет равна А=-~, а начальная фаза а=0. При этих
условиях
Найдем изменение потенциальной энергии грузика со
временем. Согласно формуле (12.8)
Используя выражение для скорости (17.8), найдем
также зависимость от времени кинетической энергии:
mv2 mcoM «
=cos 2
Кинетическая и потенциальная энергии
положительны ^изменяются с течением времени.. Кинетическая
энергия достигает максимума, когда грузик проходит
положение равновееия х=0, и равна нулю, когда смещение
максимально. Однако полная энергия остается
Постоянной. В самом деле, так как &=mot>2, находим
W =W 4- W = ,m<°2^2 П7 10}
w полн — w пот \ w к — 2 * Vх •ш)
Полная энергия пропорциональна квадрату
амплитуды колебаний.
Рассмотрим теперь вертикальные колебания грузика.
Определим вначале положение равновесия. После того
как подвесил и, груз (рис. 17.3,6), пружина растянется
до длины \1\9 чтобы уравновесить силу тяжести. В
положении равновесия k(l\—k)=mg. Таким образом, длина
пружины в положении равновесия
=' + -1Г
(17.11)
Отклонение вниз от положения равновесия обозначим
170

через х: 1=1х-\-х. Считая направление вниз
положительным, из второго закона Ньютона
получим уравнение та=—k(lx-\-x—io)-{-tng, или,
учитывая (17.11),
т. е. уравнение вида (17.6), описывающее гармонические
вертикальные колебания с частотой <о. •
Мы рассмотрели колебания, не учитывая сил трения.
Такие колебания будут продолжаться неограниченно
долго. Наличие трения приводит к затуханию
колебаний— весь запас энергии в системе будет израсходован
на работу против сил трения, и через определенный
промежуток времени колебания совершенно прекратятся.
Задача 17.1. К пружине подвесили грузик, в
результате пружина растянулась на Д/=9 см. Определить
период колебаний грузика, если его заставить
колебаться около положения равновесия (см. рис. 17.3,6).
Решение. Согласно формуле^ (17.11) удлинение
пружины
At — I —I —mg
Следовательно, необходимое для вычисления периода
отношение 4г=—. Период колебаний
Задача 17.2. Тело, масса которого га, подвешено на
пружине жесткостью k. Затем .в положении равновесия
телу сообщают начальную скорость а0 в вертикальном
направлений. Определить амплитуду колебаний тела.
Решение I. Отклонение от положения равновесия
обозначим через x{t). Согласно условию задачи начальные
условия имеют вид ^(О)=лго=О, v(0)=v0. Поэтому из
(17.9а) находим, что амплитуда д — £lY(o=i/ — V
о> \ f m J
Решение II. Приведенное ниже решение основано на
применении закона сохранения полной энергии.
Потенциальная энергия тела складывается из потенциальной
энергии в поле тяжести и потенциальной^ энергии, обу-
171

словленной действием на тело упругой силы пружины.
В начальнсИм положении полная энергия равна
^T ' (1)
(Д/ — удлинение пружины в положении равновесия).
В точке максимального отклонения от положения
равновесия (х=±А) полная энергия тела равна:
O + ^^A + Mf + mgA. (2)
В (2) надо взять верхний (нижний) знак, если
начальная скорость направлена вертикально вниз (вверх).
Приравнивая (1) и (2) и учитывая (17.11) (kAl=mg),
найдем амплитуду Л-=-^-.
Задача 17.3. Ареометр, имеющий форму цилиндра,
погрузили в молоко и затем предоставили самому себе,
в результате чего он стал совершать гармонические
колебания. Найти период этих колебаний (удельный вес
молока dM=l,03 Г/см3). Масса ареометра т=50 г,
радиус цилиндра г=0,5 см. (рис. 17.4).
Решение. На ареометр действуют выталкивающая
сила F и сила тяжести. В равновесии ареометр'
погружается до определенного уровня А и имеет объем
погруженной части, равный V\. По условию плавания сила
тяжести уравновешивается выталкиваквдей силой:
Если смещение уровня А от положения равновесия
обозначить через х (смещение считается
положительным при погружении), то объем -погруженной части
становится равным У\-]-х(пг2), а выталкивающая сила
направлена вверх и равна dM(V\-{-Tcr2x). Запишем
проекцию на вертикаль всех векторов, входящих в выражение
для второго закона Ньютона ma=F-J-wg, считая
положительным направление вниз:
та = - dM {V, + жг*х) + mg. (2)
Учитывая условие (1), из (2) находим:
та = — dMitr2x.
172

Таким образом, сила, действующая на ареометр,
выведенный из положения равновесия, имеет вид (17.5);
коэффициент с в нашем примере равен dMnr2. Поэтому,
используя формулу (17.7), можно определить период
колебаний:
Рис. 17.4
Пример 17.4. Определить период гармонических
колебаний грузика, подвешенного на нити длиной I.
Положение грузика маятника^ определяется длиной
дуги 5, отсчитываемой от положения равновесия (рис.
17.5). Угол ф отклонения нити от вертикали связан
с длиной дуги 5 соотношением s=lq> (угол <р должен
быть при этом выражен в радианах).
Грузик маятника находится под действием силы
тяжести mg и силы натяжения нити Т. Под действием этих
сил грузик перемещается по дуге окружности с ускорен
нием а, определяемым вторым законом Ньютона:
со
Скорость грузика изменяется не только по
направлению, но и по величине. Поэтому его ускорение имеет две
173

I/2
составляющие: центростремительную, равную -у, и
составляющую по касательной к окружйости, которая
изменяет величину скорости (см. § 13). Обратите внимание
на то, что результирующая сил Т и mg всегда
направлена внутрь окружности. Проекция векторного
соотношения (1) на прямую,,
проходящую через точку подве-
I \ >саи грузик,
mv2
—
— Т — mg cosy,
вместе с законом
сохранения полной энергии
позволяет найти зависимость силы
натяжения от угла •ф.
Проекция уравнения (1)
на прямую, касательную к
окружности
(положительное направление выбрано
вправо по дуге от
положения равновесия), дает
уравнение
Рис. 17.5
= — mg sm <р.
(2)
Поскольку-длина дуги $ = /?, то возвращающая сила
F = —. mg sin -j- отнюдь не пропорциональна смещению s
и, следовательно, колебания в общем случае не являются
гармоническими. Однако если, мы условимся изучать
малые колебания грузика вблизи положения равновесия,* то.
можем заменить sin-^- значением--|- (так как для малых х
В этом, случае возвращающая сила
станой
)
вится равной
;•__ ЩЕ-s.
(3)
Пропорциональность возвращающей силы "смещению 5
гарантирует гармонический характер колебаний.
Сравнивая (3) с (J7.5), находим, что c——j~ и* следователь-
174

йо, период Малых колебаний майВДикй
(4)
Заметим, что колебания могут считаться малыми,
если угол отклонения маятника от вертикали не
превышает 10—12°.
Задача 17.5. Период колебаний маятника на
поверхности Земли 7V=2 с. На сколько изменится период
колебаний маятника, если его поднять на высоту &=10 км
над поверхностью Земли (радиус Земли #=6350 км)? ,
Решение. На высоте л.период колебаний маятника
определяется формулой
где, g— величина ускорения свободного падения на
высоте А. Эту величину можно. определить, приравнивая
(14.2) mg:
Здесь £в = уог = 9»8 м/с2 — ускорение свободного паде-
ния на поверхности Земли. Поэтому период колебания на
высоте h
Период маятника увеличится на величину ДГ:
ДГ = ~-Г§ = 0,0031 с.
Задача 17.6. Часы с маятником на поверхности Зем-
лр спешат на А£=1,5 мин в сутки. На какой высоте над
поверхностью Земли они будут идти верно? Радиус
Земли i?=6350 км.
Решение. Период колебаний маятника наших часов Т
меньше периода колебаний маятника Го в точных
часах. Это происходит вследствие того, что у нас длина
маятника меньше длины маятника в точных часах.
Период колебаний Маятника часов, находящихся на
Земле:
175

На высоте h период колебаний маятника определяется
формулой (2) задачи 17.5. Чтобы часы шли верно,
можно, не мейяя длину маятника U поднять их на высоту А.
При этом период увеличится й станет равным
о 1 24-60
За сутки маятник совершает -у— полных колебании, т. е.
на ~ колебаний больше, чем чцсйо колебаний, соверша-
24*60
емых маятником в точных часах -^г—. Следовательно,
1 о
24.60_£4.60_|_1,5 /оч
Решая совместно (1) и (2)* найдем искомую высоту:
fl= ]~ZT^ у* 24^60* Л==Ь,4 КМ.
Задача 17.7. Найти период гармонических колебаний
заряда вблизи положения равновесия в задаче 28.12.
Рекомендуем решить задачи № 260, 263,
265 из задачника [1] и № 184, 185 из задачник^ [2].
§ 18. Движение тел в неинерциальных системах отсчета
1/До сих пор мы рассматривали движение тел
в инерциальных системах отсчета. В таких системах
ускорения тел вызываются реальными силами, т. е.
действием каких-либо тел друг на друга. Если же сумма
сил, действующих на тело, равна нулю, то оно либо
покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.
Система отсчета, в- которой это условие не выполняется,
называется неинерциальной системой. В
неинерциальных системах даже в отсутствие сил тело движется
неравномерно. Поэтому для объяснения ускоренного
движения свободного тела в неинерциальной системе
вводят дополнительные силы — силы инерции,
возникновение которых уже нельзя объяснить действием каких-либо
тел. Их появление обусловлено особыми свойствами
самой системы отсчета, а именно ее ускорением,
относительно инерциальной системы.
176

Чтобы сделать яснее сказанное, вернемся к примеру,
рассмотренному в § 4. Однако теперь предположим, что
поезд движется с ускорением а<> относительно
платформы. Велосипедист по-прежнему движется равномерно со
скоростью v относительно платформы. Выясним, каким
будет казаться это движение наблюдателю,
находящемуся в вагоне и считающему его неподвижным. Он
установит, что относительная скорость велосипедиста и
вагона, т. е. скорость велосипедиста относительно системы
К'у равна v'=v—(u+aoO. Другими словами, в системе
К! велосипедист движется с ускорением, равным —ао,
хотя мы знаем, что сумма "всех реальных сил,
действующих на него, равна нулю. Если наш наблюдатель верит
в справедливость второго закона Ньютона (т. е. в то,
что силы вызывают ускорение), то для объяснения
поведения велосипедиста он должен предположить, что
ускорение —а0 создается некоторой силой F=—/nao.
Другими словами, в неинерциалвной системе отсчета на тело
помимо «истинных» сил будет действовать добавочная
псевдосила F=—mao. Эта дополнительная сила не
вызывается действием каких-либо тел, так как действие
этих тел остается таким же, как в инерциальной системе
отсчета, а возникает вследствие ускоренного движения
самой системы ^ отсчета. Подобного рода сцлы называют
силами инерции. По определению, сила инерции
равна по абсолютной величине произведению массы,тела на
ускорение неинерциальной системы отсчета и
направлена в сторону, противоположную этому ускорению.
Итак, если тело, «движение которого изучается в
неинерциальной системе отсчета, находится во
взаимодействии с другими телами, то второй закон Ньютона
записывается в виде
ma'=F—ma0, (18.1)
где а7 — ускорение тела относительно неинерциальной
системы отсчета, F — результирующая сил, обусловлен-*
ных взаимодействием тел.
Важным свойством сил инерции является их
пропорциональность массе тела, на которое они действуют.
Только одна сила в природе — сила тяготения обладает
тем же свойством. Аналогия между поведением тел
в гравитационном поле и неинерциальной системе
отсчета видна на следующем примере. Человек, помещенный
в изолированный яЩик, находит, что он даяит на пол
12—125. - 177

б силой, пропорциональной массе P=mg. Если бы йё
было Земли (т. е. в отсутствие поля тяготения), а ящик
двигался с ускорением g, то человек опять бы
обнаружил силу (инерции), прижимающую его к полу, равную
также mg. Равноценность ускорения и действия силы
тяжести представляет содержание так называемого
принципа эквивалентности Эйнштейна.
п
(ПА.
П
той
Ртс. 18.1
Пример 18.1. Рассмотреть пример 9.6 с точки зрения
наблюдателя, находящегося в~Лифте.
Система отсчета, связанная с ускоренно движущимся
лифтом, является неинерциальной. Поэтому
наблюдатель, находящийся в лифте, ^ля объяснения
механических явлений должен считать, что на тело, кроме сил
притяжения к Земле и упругости пружины действует
также сила инерции, равная —та. Тело под действием
этих сил покоится относительно наблюдателя, и,
следовательно, сумма сил, приложенных к телу, равна нулю.
В первом случае находим Хрис. 18.1,а):
178

Во втором случае (рис. 18.1,6):
N2 — m'g-f-та = О, N2 = m(g — d).
Этот пример еще раз показывает, что силы инерции
обладают всеми свойствами сил тяготения. Влияние
ускорения лифта на величину веса тела таково, как
будто существует дополнительное поле тяготения с
ускорением свободного падения, равным а в первом случае и
—а — во втором случае. Это приводит к тому, что
в ускоренном лифте ускорением свободного падения
можно назвать величину gдф=gdza.
В том случае, когда неинерциальная система
движется с ускорением а, направление которого не совпадает
с вектором g, механические явления в такой системе
можно описать, считая, что ускорение свободного
падения есть векторная сумма g и —а, т. е. согласно (18.1)
Так,-например, если в лифте находится маятник, то
период его колебаний можно найти, заменяя в формуле
. •• Т=2
величину g на g±a. В лифте, движущемся ускоренно
вверх, ' ,
— %\ g+a •
В лифте, движущемся ускоренно вниз,
g
Эта формула имеет смысл при a<Cg. При a=g (лифт
свободно падает) наступает состояние невесомости. При
этом грузик может висеть непо'движно в любом
фиксированном положении (если начальная скорость равна
нулю). .
Определим период колебаний, если лифт движется
вниз с ускорением a>g. В этом случае в положении
равновесия грузик находится над точкой подвеса и при
небольшом отклонении от положения равновесия колеб-'
лется с периодам
12* • ' . 179

Пример 18.2. Определить положение равновесия и
период колебаний маятника, помещенного в вагоне,
движущемся с ускорением а относительно Земли (рис.
18.2,а).
В системе отсчета, связанной с вагоном, на грузик
действуют сила притяжения Земли mg9 натяжение нити
Т и сила инерции —та. В положении равновесия сумма
та
/
и
РисГ18.2
этих сил равна нулю. Это условие в явном виде может
быть записано как равенство нулю суммы проекций сил
на вертикаль и горизонталь, т. е.
Т sin а — та = О,
Т cos а — mg = 0. ,
Отсюда находим величину* угла отклонения а от
вертикали в положении равновесия:
^<x = arctg~~-.
Наблюдатель, находящийся в вагоне, почувствует, что
в вертикальном положении стоять трудно. Чтобы не
упасть, он будет стремиться расположить свое тело,
подобно нити маятника, т. е. под углом а к вертикали..
Таким образом, он обнаруживает, что его «вертикаль»
косая и направлена под углом 90°—а к направлению
движения (рис. 18.2,6). Если вагон движется равномерно,
то а=0, и наблюдатель может стоять спокойно,
поскольку его система отсчета стала инерциальной.
Определим период малых колебаний вблизи
положения равновесия. Для этого в формулу для периода коле-
180

баний надо подставить величину вектора g9<j>=g—а. Из
рис. 18.2,6 видно, что £эф = </g2 + я2- Итак, период кот
лебаний маятника, помещенного в ускоренно
движущемся вагоне, равен
Г = 5
Задача 18.3. Сосуд с водой движется по
горизонтальной, плоскости с ускорением а: Определить положение
поверхности воды.
Задача 18.4. Нить длиной / с грузиком на конце под-
•вешена на тележке; которая без трения соскальзывает
с наклонной плоскости с углом наклона а. Определить
отклонение нити от вертикали в положении равновесия
и период малых колебаний маятника.
Пример 18.5. На краю тележки длиной /, массой т2
лежит груз массой т\. С какой минимальной силой JF
надф тянуть тележку по горизонтальной поверхности,
чтобы- груз соскользнул за время т? Коэффициент
трения между тележкой и грузом к, трение между
тележкой и плоскостью отсутствуют.
В систем'е отсчета, связанной с неподвижной
плоскостью, на груз действует только сила трения скольжения
со стороны, тележки. FTJ>=kmig в направлении
движения. Согласно второму закону Ньютона, под действием
этой силы груз движется с ускорением
*ax^kg. _ (I)
Тележка движется с ускорением а2 под' действием силы
F и силы трения kmxg со стороны груза. Из второго
закона Ньютона следует, что
Р — Ы&. . (2)
В системе отсчета, связанной с тележкой, груз,
двигаясь относительно нее с ускорением а'\Фаи пройдет
путь / за время т, т. е.
i=*£. ' (3)
Определим а\ из второго закона Ньютона, записан:
ного в неинерциальной системе отсчета, связанной с
тележкой. В этой системе на груз кроме силы трения
действует сила инерции —т^. Выбирая в качестве
положительного направления координатной оси направление
181

движения груза относительно тележки, из уравнения
(18.1) получим
т'\ах = тха2 - kmxg> a't=a2 — kg. (4)
Исключая из уравнений (2) —(4) а2 и а'и найдем
Ускорение а\ груза относительно "тележки можно
также найти, не прибегая к понятиям, введенным в этом
параграфе. Действительно, согласно § 4 ускорение груза
ai относительно,неподвижной плоскрсти равняется
ускорению тележки &2 плюс ускорение груза относительно*
тележки a'i:
a1=a2+a'i-
Проектируя это равенство на горизонтальное
направление, найдем
at=at — cft.
Ускорение а\ уже определено'соотношением (1). Таким
образом, в соответствии с (4) а\=а2—й#.
-2. Центробежная сила инерции. Мы рассмотрели
поведение тел в неинерциальных системах, движущихся
поступательно с постоянным по величине и направлению
ускорением относительно некоторой" инерциальной
системы. Рассмотрим теперь вопрос о том, какие силы
инерции появляются в системе отсчета, которая равномерно
вращается с угловой скоростью <о, т. е. в системе
отсчета, ускорение которой направлено к оси вращения.
Ограничимся при этом только тем случаем, когда тела
неподвижны относительно этой системы. ~ ^
Для простоты представим, что системой отсчета
является-вращающийся диск. Наблюдатель, находящийся на
диске, установит, например, что отвес образует с
вертикалью некоторый угол, поверхность воды в сосуде будет
наклонена к горизонтали и т. д. Учитывая только
«истинные» силы и написав условия равновесия,
наблюдатель не сможет объяснить эти явления.
Однако если он помимо «истинных» сил введет
добавочную силу"—та, направленную от центра по радиусу
и равную тю2г (г — расстояние от центра диска до
тела), то теперь услЬдия равновесия дадут правильное
.объяснение поведению тел на вращающемся диске. Эта
дополнительная сила инерции, которую приходится вво-
182 . •• .

Дить во вращающейся системе отсчета, называется цей-
тробежной силой инерции, она равна ягш2г и
направлена от оси вращения. Для точек, лежащих на
одной окружности, центробежная сила одинакова,
поскольку угловая скорость о одна и та же для всех
точек диска. Пропорциональность центробежной силы
массе тела позволяет утверждать, что с точки зрения не-*
инерциального наблюдателя возникает дополнительная
сила тяжести, направленная по радиусу от центра.
Рис. 18.3
Пусть, например, с помощью динамометра
производится взвешивание тела массой т ь вагоне поезда,
движущегося со скоростью v по закруглению радиусом J?.
На тело действуют истинные силы притяжения к Земле
mg и упругости пружины *Т (рис. 18.3,а). Весом тела
является сила, растягивающая пружину, равная по
величине Т. С точки зрения наблюдателя, находящегося на
Земле, ускорение тела направлено к центру закругления
и удовлетворяет уравнению
ma = mg + T. (18.2)
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям для
компонент векторных величин a, g и Т в вертикальном и
горизонтальном направлениях:
(18.3)
тО = Г cos а — mg,
(18.4)
183

С точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне,
тело покоится пой действием истинных сил и
центробежной силы инерции -д— (рис. 18.3,6). Поэтому условие
равновесия приводит к двум уравнениям, формально" не
отличающимся от уравнений (18.3) и (18.4):;
ПОР ежл . Л
-ъ * Sin а = О,
Г cos а—-mg = 0.
Если т равно Ъ кг, uf=72 км/ч, </?=200 м, то вес тела
будет равен 5,92 кГ.
Другой пример: состояние невесомости в спутнике.
Вьспутнике на подставке лежит тело массой т.
Допустим, что оно давит на подставку (с силой, равной,
конечно, весу тела Р)> а подставка действует на него с
силой реакции, равной N=P. С точки зрения наблюдателя,
находящегося на Земле, сумма действующих сил
(реакции N и силы притяжения к Земле mg) должна
создавать центростремительное ускорение, поскольку тело
вместе со спутником вращается по круговой орбите со
скоростью v:
Но центростремительное ускорение спутника равно g
(так как v2=gR). Таким образом, N=0. Это рзначает,
что вес тела на спутнике равен нулю.
В системе отсчета, связанной со спутником, на тело
кроме сил реакции и притяжения действует также
центробежная сила инерции —j£"=mg- Под действием
этих сил тело покоится относительно спутника.
Следовательно, из условия равновесия
— N—£-
находим, что с точки зрения наблюдателя, находящегося
на спутнике, вес тела также равен нулю.
Итак, если тело покоится в неинерциальной системе
координат, вращающейся с постоянной угловой
скоростью, то пдмимо «истинных» сил на него будет действо*
184 . ■ .

вать добавочная центробежная сила инерции m®2r,
направленная от оси вращения.
Если тело движется относительно неинерциальной
системы, то н^ него кроме центробежной силы действует
еще сила Кориолиса, свойства которой мы здесь не
рассматриваем. Эту силу необходимо принимать во
внимание при объяснении различных явлений, возникающих
при движении тела относительно Земли, так как Земля
является неинерциальной системой (см. $ 8).
Пример 18.6. Какова должна быть
продолжительность земных суток, чтобы тела на экваторе были
невесомы (радиус Земли i/?=6350 км)?
В неинерциальной системе отсчета,,связанной с
вращающейся Землей, тело покоится под действием сил ре-
акциц опоры \N, притяжения Земли и центробежной
силы m®2R. Поскольку сумма этих сил должна равняться
нулю, находим, что реакция опоры (равная по величине
давлению тела на подставку, т. е. весу тела)
R. (О
Из этой формулы видно, что центробежная сила
проявляет себя как дополнительная сила тяжести,
уменьшающая вес тела.
Нетрудно подсчитать, что центробежная сила
уменьшает вес тела массы, скажем, в 1 г на 3,3 дины (см.
задачу 13.5) (Г== 24 ч). Для того чтобы тела на экваторе
Земли были невесомы (т. е. N=0), период вращения
Земли (или продолжительность земных суток) должен
быть равен
В примере 14.3 мы уже .вычислили эту величину: Т=
=1,4 ч. Эта величина, разумеется, равна периоду
обращения спутника, вращающегося вблизи поверхности
Земли.
Решим эту же задачу с точки зрения наблюдателя,
находящегося на оси вращения, т. е. в инерциальной
системе. Он увидит, лто тело массой пг вращается с
угловой скоростью со на расстоянии \R от оси вращения с
ускорением (о2#,-направленным к центру Земли. Это
ускорение возникает в результате действия на тело реальных
185

сил притяжения Земли и реакции опоры. Согласно втог
рому закону Ньютона,
u)*R = mg — N,
т. е. вес тела
как и при рассмотрении* движения в неинерциальной
системе.
§ 19. Волновое движение. Звук
1. Волновое движение. Волновые процессы играют
большую ]эоль во всех областях физики. Мы изучим
некоторые свойства волнового процесса на примере
натянутой струны. Пусть^в начальный момент времени
струна располагалась вдоль оси х (рис. 19.1). Будем
предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно
186

оси х. Отклонение малого участка струны Ах,
находящегося на расстоянии х от начала координат,"
обозначим через 41. В процессе колебания смещение будет
функцией х^и t: u=u(x, t). При постоянном значении
х=х0 функция и(хо, i) дает закон движения элемента Ах
с абсциссой Хо. При фиксированном "времени /0 график
функции и(х9 to)
представляет форму струны в
момент времени t^
Если вывести струну из
положения равновесия
(например, оттянуть некоторый
участок или ударить по не- р 192
му), то значения смещения * "
и скорости станут
отличными от нуля. В последующие моменты времени смещения
и скорости соседних элементов становятся также
отличными от нуля: первоначальное возмущение
перемещается по струне. Процесс распространения возмущений по
некоторой среде — струне, жидкости, газу и т. д. —
называется волной. Война возникает в том случае, если из-
мене.ние состояния в одной точке среды приводит к
изменению состояния в "соседней точке. На рис. 19.1
показано распространение волны отклонения вдоль струны.
В момент времени £=0 отклонение изображается
графиком и(х, O)=f(x). На рцс. 19.1,6, в, изображены
графики этой функции при возрастающих значениях времени
t\y h\ ...; каждый из них сдвинут* относительно первого
на величину \vtu vi^ ..., где v — скорость волны. Если по
очереди проектировать эти рисунки на экран, то зритель
увидит, что график, изображенный на рис. 19г1,а,
побежит вправо. При этом, если перемещаться вдоль .струны
со скоростью vy то отклонение струны будет казаться
все время постоянным. Начав движение в точке #о, мы
переместимся за время t в точку x=Xo-\^ot. Но тогда
смещение в момент времени t равно
u(x9t) = f{x0) = f(x-vt). (19.1)
Соотношение (19.1) описывает волну смещения,
движущуюся вправо со скоростью |У. Волна,
распространяющаяся вдоль фиксированной оси, называется плоской.
На рис. 19.2 изображен импульс смещения в момент
t и пунктиром — в близкий момент времени /+А£. Стрел-
187

ками обозначены перемещения точек струны за
время At.
2. Монохроматическая плоская волна. Предположим,
что /точка 0 струны колеблется по гармоническому
закону
u(x = 0, t) = acosmt. . (19.2)
Здесь а — амплитуда колебаний, Т = —: — период
колебаний точки с координатой х = 0. Запишем смещение точки
и(х, t) c_ координатой х. в момент времени t. Очевидно,
ее смещение имеет то же значение/какое имелось в точке
х = 0в момент времени t——, поскольку время'движе-
ния смещения u(x = 0, t) до точки х равно — . Поэтому
смещение и (х, t) точки х в мо#мент времени t
определяется правой частью (19.2), в которую надо подставить
вместо t значение t —2L. Итак,
U^\ (19.3)
На каком наименьшем расстоянии лежат точки,
смещения которых одинаковы в любой момент времени?
Расстояние % между ними найдем с помощью (19.3) из
условия и(х-\-К; t)=u(x, t):
Величина Я, определяющая пространственный период ко-
лебаний, называется длиной волны. Поскольку о>=-у-,
то X = vT. Поэтому смещение может'быть записано также
в эквивалентной форме:
Y /I ■ П tfVW / i Г —» ——
из которой видно, что смещение является периодической
функцией координаты х и времени t.
Зависимость и(х, U) в фиксированной момент
времени to дает мгновенную «фотографию» волны (рис. 19.3),
показывая, в каких положениях находятся в это время
разные точки струны.
График функции и(хо, t) показывает зависимость от
времени смещения точки, находящейся на расстоянии а:о
188

от начала координат (рис. 19.4). Величина, обратная
периоду,— частота v=—, равна числу волн,
проходящих через данную точку в каждую секунду.
Рис. 19.3
Рис. 19.4 /
3. Звуковые волны. Рассмотрим волны в сплошной
.среде — твердых телах, жидкостях и газах. В состоянии
равновесия среда покоится, и вывести ее из этого
состояния может только внешнее воздействие.
Представим, что в газе находится колеблющееся
тело. В какой-то момент времени происходит сжатие газа,
прилегающего к поверхности тела. В области
уплотнения давление увеличится. Избыточное давление повлечет
189

за собой возникновение силы, йайравленной в сторону
областей с меньшими давлениями. В эти области начнут
переходить частицы из места первоначального
уплотнения, причем движение частиц не прекращается- и тогда,
когда давление достигает равновесного значения.
(Объясните, почему это происходит.) Пр этой причине там,
где было сжатие, возникает разрежение, в соседних
областях разрежение сменяется сжатием. Возникшее
в них избыточное давление снова приводит к движению
частиц в смежные области и т. д. Таким рбразоод^весь
воздух слой за слоем придет в колебательное движение.
При этом в каждой фиксированной точке воздуха
разрежение периодически сменяется сжатием.
Распространение в газе, жидкости или твердом теле
возмущений давления, и плотности (т. е. отклонений
давления и плотности от равновесных) называется
звуковой волной, или просто звуком. В плоской
монохроматической волне зависимость избыточного давления (т. е.
отклонения давления от равновесного значения в
отсутствие звука) от времени имеет вид
= A cos f^rt - х
Волны, образованные- источником в безграничной
среде, называются бегущими. Важное свойство бегущих
волн заключается в том, что они переносят энергию и
импульс, так как, для того чтобы привести частицы в
колебательное движение," им необходимо сообщить
энергию. Перенос энергии не сопровождается переносом
газа, так как молекулы газ-а совершают только
"колебательные движения, передавая начальный . импульс
соседним молекулам. Поскольку волновое движение,
передается молекулами, то неудивительно^ что скорость
звука в газах примерно равна тепловой скорости движения
молекул газа.
В средах могут распространяться звуковые волны
двух типов: продольные и поперечные. Продольной
называется волна, в которой колебания частиц среды
происходят в направлении распространения волны.
Продольные волны наблюдаются в жидкостях, газах и
твердых телах. Поперечные волны, в которых колебания
частиц среды происходят в направлении, перпендикуляр-
190

ном к направлению распространения волны,
наблюдаются только в твердых телах. При распространении волн
на поверхности жидкости частицы последней движутся
по столь сложным- траекториям, что вблну нельзя
считать ни продольной, ни поперечной.
Скорость распространения звуковой волны зависит от
свойств среды: в воздухе при 0°С она равна 332 м/с,
в воде—1450 м/с, в твердых телах — примерно 0,5Х
X Ю4 м/с.
•В неоднородных средах различные области имеют
различную внутреннюю структуру, и поэтому скорости
распространения волн в этих областях будут различны.
При переходе волн из одной области в. другую меняется
скорость ее распространения, а на границе раздела
областей возникают отраженная и преломленная волны.
Какая часть энергии падающей волны перейдет в
отраженную и преломленную 'волны, зависит от того,
насколько свойства обеих областей отличаются друг от
друга. Например, 'при падении звука на твердые или
жидкие поверхности (или, наоборот, из плотной ср^ды
в ^воздух) энергия отраженной волны лишь на 1/1000
меньше энергии падающей, т. е. происходит почти
полное отражение (эхо).
4. Слышимый звук. Человеческое ухо способно
воспринимать звуковые колебания, лежащие 1в интервале
от 16 до 20 000 гц, им соответствуют длины волн от 20 м
для низких до 2 см для высоких частот. Колебания с
частотами, превосходящими 20000 гц, называются ультра-
звуком, а колебания с частотами ниже Щ гц —
инфразвуком. :
Громкость звука, определяемая его действием
на ухо, является оценкой субъективной. Чем больше
поток энергии, притекающий к уху, тем больше громкость.
Удобной для измерений является* интенсивность
звука — энергия, переносимая волной за единицу
времени через единичную площадку, перпендикулярную
к направлению распространения волны. Интенсивность
звука возрастает при увеличении амплитуды колебаний
и площади тела, совершающего колебания.*
Порог слышимости, г. е. едва заметная на слух
интенсивность, зависит от частоты. При частоте 440 гц
порог слышимости близок к Ю-16 вт/см2. При этом ухо
воспринимает избыток давления Др=2-10-10 атм, приво-

дящий к колебаниям частиц воздуха с ничтожной
амплитудой 10"8 см, равной диаметру атомов. Разговор,
"ведущийся в умеренном тоне, приводит частицы воздуха
в колебание с амплитудой смещения порядка
нескольких тысячных долей сантиметра. Интенсивность звука
при этом порядка Ю-6 вт/см2. Интенсивность сильных
звуков, вызывающих у нас болезненные ощущения, лежит
в пределах КИ-ь-КН вт/см2. Избыточное давление
составляет при этом 6-10-4 атм, а амплитуда колебаний
частиц воздуха 2,5-КН см. Таким образом, ухо —чрез-
Рис. 19.5
Рис. 19.6
вычайно чувствительный прибор, способный реагировать
на интенсивность звука, отличающуюся в 1012 раз.
Отметим, что ухо болезненно воспринимает именно
волну давления. Увеличение постоянного атмосферного
давления на указанную величину 6-10~4 атм остается
незаметным для уха.
Звуки, воспринимаемые нами, отличаются различной
формой графиков зависимости избыточного давления от
времени. Например, обычному шуму соответствует
график, изображенный на рис. 19.5/ Музыкальные звуки,
или музыкальные тона, создаются периодическими (но
не гармоническими) колебаниями определенной частоты
v0 (рис. 19.6). Частота звуковых колебаний
воспринимается как высота звука (тона). Однако характер
звучания одного и того же тона, произведенного, например,
на скрипке и флейте, отличается окраской звука —его
тембром. Различие между двумя тонами одной частоты
уже видно из рис. 19.6. Более точный анализ звука
192

основан на разложении на гармонические
составляющие. Оказывается, периодическую функцию можно
представить в виде суммы простых гармонических функций:
Ар (0 = A, cos К* + *,) + А2 cos (2сов* + а,) +...
с определенными амплитудами Ап и фазами <xn, too=
=2ttvo. Колебание с наименьшей частотой vo задает
высоту основного, или чистого, тона. Колебания с более
высокими частотами v=nvo{n=2, 3, ...) называются
обертонами, или высшими гармониками. Амплитуды Ап
обертонов обычно убывают при увеличении номера
гармоники. Различные голоса одного тона отличаются
величиной амплитуд обертонов. Наличие обертонов и
-создает окраску звука — его тембр. Способность уха
отличать одну и ту же ноту, цзятую на разных
инструментах, основывается на разложении звука на
гармонические составляющие и физиологическом анализе
величины амплитуд обертонов.
Задача 19.1. Ультразвукрвой сигнал, посланный
кораблем вертикально вниз, возвратился через /о=8 с.
Определить глубину моря. Скорость звука в воде v=
=1450 м/с.
Решение. Сигнал проходит через толщу воды, и часть
энергии звука отражается от дна. Время прохождения
звуковой волны от корабля до дна и от дна к приемнику
2/г
te = —, т. е. глубина моря А=5800 м.
Пример 19.2. Длины звуковой и электромагнитной
волн в воздухе одинаковы Х=2 см. Определить частоты
этих волн.
Частота волны v связана £ ее длиной А, соотношением
X=vT.= ~ (v — скорость волны).. Для звуковой ьоляы
а=335 м/с, следовательно, ее частота v=l,67-103 гц.
Скорость электромагнитной волны равна скорости
света. Поэтому ее частота v=l,5-1010 гц.
Интересно отметить, что, несмотря на существенно
различную природу, электромагнитные и звуковые
волны одной длины ведут себя одцнаковым образом в
явлениях дифракции и отражения от металлических экранов.
13—125 г 193

Задача 19.3. Поток воды течет по водопроводной
трубе со скоростью v=l м/с. Найти давление на заслонку
при внезапном закрывании крана.
Решение. Столкнувшись с заслонкой, часть воды,
прилегающая к ней, останавливается, сжимается и
возбуждает волну давления, распространяющуюся
навстречу потоку со скоростью звука в воде и. Если бы вода
была несжимаема, то скорость всего потока
уменьшилась мгновенно до нуля. Однако благодаря сжимаемости
вода продолжает движение и до нуля падает скорость
только той части столба, которая может быть
достигнута волной давления. Выбирая положительное
направление оси в направлении скорости потока v, запишем
закон изменения количества движения за время At:
Сила, действующая на заслонку, Fz = — F = piivS.
Следовательно, давление p=zpuv. Подставляя числовые
значения v—l м/с, и=1400 м/с, найдем /7=14 атм.
Рассмотренное явление внезапного контакта воды с
преградой называется гидравлическим ударом.
Разрушительное действие капель также объясняется этим явлением.
Рекомендуем решить задачи № 269, 271,
273, 275 из задачника [1].

Глава II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕЙЛОТА
§ 20. Основные понятия и положения
молекулярно-кинетической теории вещества
Молекулярно-кинетическая теория строения вещества
возникла в результате обобщения большого
экспериментального материала. Обсудим основные положения и
понятия этой теории.
1. Атомы и молекулы. Все тела состоят из не очень
большого числа простых веществ — химических
элементов. Наименьшей частицей элемента является атом.
Атомы элементов, соединяясь друг с другом, образуют
Молекулы. Возможны два вида молекул: содержащие
одинаковые атомы и содержащие два или более
различных атомов. К первым, относятся одинаковые молекулы
инертных газов, молекулы, состоящие из двух атомов,
например азот, кислород и т. д., образующие собственно
элементарное вещество. Соединение или сложное,
вещество состоит из двух или более различных атомов. •
Массы атомов измеряют в специальных единицах.
В* соответствии с международным соглашением,
принятым в 1960 г., в качестве такой единицы выбрана масса
одной двенадцатой части массы атома изотопа
углерода С12. Отношение массы т атома какого-либо элемента
к единице массы то называется атомным весом и
обозначается обычно буквой Л:
* т 12т
А= т
Очевидно, атомный вес углерода равен 12. В выбранной
шкале атомный' вес водорода оказался равным 1,008.
Молекулярный вес молекулы равен сумме атомных ве-.
сов составляющих ее атомов. Различные эксперименты
позволили установить, что единица атомного веса то=
=1,66- 1<Н4 г.
На практике приходится иметь дело не с одним
отдельным атомом или молекулой, а с большой совокуп-
13* • 195

ностью этих частиц. Поэтому для сравнения количеств
различных веШеств выбрали единицу, называемую
грамм-атомом (или грамм-молекулой). Эта
единица содержит такое количество вещества, масса
которого численно равна атомному (или молекулярному)
весу, выраженному в граммах. Покажем, что грамм-атом
любого элемента содержит одно и то же число атомов.
Действительно, пусть М г элемента с атомным весом А
содержит N атомов, т. е. M=N'Amo. Если взять один
грамм-атом вещества (Af=±^4), то количество Na атомов
в нем
одинаково для всех элементов. Это число называется'
числом Авогадро. Злая NAi можно оценить среднее
расстояние между атомами или молекулами вещества,
находящегося в любом агрегатном состоянии.
Задача 20.1. Оценить объем, занимаемый ' атомом
свинца. Плотность свинца р=11,3 г/см3, атомный вес
Л=207.
Решение. Очевидно, масса одного атома свинца
равна pV, где V — объем, занимаемый одним атомом.
Учитывая, что Nj± атомов свинца должны иметь массу Л,
получим уравнение A=.NApV, из., которого находим
искомый объем:
. 0)
Таким образом, на каждый атом свинца приходится ку-
бик со стороной . ~
£=(^)1/3=3,12-Ю-'см. . (2)
Радиусы различных атомов, т. е. размеры области
вокруг .ядра, в которой движутся электроны, того же
порядка 10~"8 см. Радиусы ядер значительно меньше —
10~13 или 1(Н2 см (см. § 47). Контурная длина
молекулы ДНК порядка миллиметра, диаметр около 20 А.
Существуют около 90 элементов, .которые
встречаются в природе, и свыше десяти, которые могут быть
получены методами ядерной физики. Относительное
содержание основных элементов, из которых состоит Земля,
следующее: кислород (46,6%), кремний (27,7%).
Представляет интерес также относительное содержание основных
196 *

элементов в человеческом теле: кислород (60%), углерод
(20,2%), водород (10%), ааот (2,5%).
2. Взаимодействие атомов и молекул. Силы,
действующие между молекулами и атомами, образующими
молекулы, — это силы электрического происхождения.
Хотя атом (или молекула) электрически нейтрален, он
тем не менее обладает электрическими свойствами (см.
задачу 27.3). Закон взаимодействия атомов определяется
их структурой и специфическими квантовыми
эффектами, которые не могут быть объяснены в рамках
классической механики. Все основные свойства газов,
жидкостей и твердых тел непосредственно связаны с
природой сил, действующих между молекулами и атомами.
Опишем некоторые основные свойства
взаимодействия двух атомов. Наибольший интерес представляет вид
потенциальной энергии, позволяющий выяснить
характер сил взаимодействия между атомами. Вполне
понятно, что потенциальная энергия взаимодействия атомов
представляет сложную функцию, зависящую от их
взаимной ориентации, расстояния г между ядрами и
характера движения эле^ронов. При образовании
молекулы обычно происходит перестройка электронной
оболочки свободного атома. Химическая связь, не
сопровождающаяся заметным смещением электронов одного
атома к другому, получила название ковалентной.
Возможна и более существенная перестройка
электронной оболочки, когда электроны одного атома
смещаются к другому атому, образуя ионную связь. В
разных электронных состояниях потенциальная энергия
взаимодействия атомов различна. На рис. 20.1
качественно изображена зависимость от расстояния между
ядрами потенциальной энергии двухатомной молекулы
для двух электронных состояний. Мы уже упоминали
(см. § 12),лто сила взаимодействия всегда направлена
в сторону уменьшения потенциальной энергии. Кроме
того, чем круче идет кривая, тем больше сила.
Используя эти соображения, можно заключить, что на
расстояниях, больших Го, атомы притягиваются. При
сближении притяжение ослабевает и на расстоянии г0
обращается в нуль. Это расстояние отвечает устойчивому
равновесному расположению атомов, поскольку в этом
состоянии потенциальная энергия имеет наименьшее
значение. При сближении атомов на расстояние,, мень-
197

шее г0, возникают силы отталкивания. Значения
параметров £/о и го зависят от рода атомов.
Полная энергия двух взаимодействующих атомов
£12>0. В связанном состоянии энергия £м<0. Поэтому,
для того чтобы из двух атомов образовалась молекула,
в момент столкновения атомы должны, отдать избыток
энергии, равный Е\2—Ем, какому-то третьему
телу—атому или молекуле. В этом случае реакция идет с
выделением тепла.
Рис. 20Л
3. Тепловое движение атомов и молекул. Все
частицы, из которых состоит тело: молекулы, атомы,
электроны, ядра, находятся в непрерывном движении, которое
называется тепловым. Все тепловые процессы
обусловлены этим движением. Беспорядочность,
хаотичность движения микрочастиц — важнейшая черта
теплового движения.
Три состояния вещества: газообразное, жидкое и
твердое— отличаются одно от другого характером теплового
движения составляющих их атомов. Более
точно-г-данное агрегатное состояние вещества возникает в
результате конкуренции двух видов энергии — энергии связи
между молекулами и энергии их теплового движения.
Взаимодействие между молекулами становится
значительным лишь тогда, когда молекулы находятся на
расстояниях, сравнимых с их собственными размерами.
Основная особенность разреженных газов (с которой
связано большинство их характерных свойств) заключа-
198

ется в том, что молекулы газа в среднем- находятся на
таком большом удалении друг от друга, что между ними
действуют чрезвычайно слабые силы притяжения,
Поэтому потенциальная энергия взаимодействия молекулы
с ее соседями пренебрежимо мала по сравнению с ее
кинетической энергией. Тем самым газы должны
обладать свойствами, не зависящими от характера сил
взаимодействия между молекулами. Вот почему все
разреженные газы ведут себя одинаково при изменении
давления, температуры и объема (см. § 22).
В конденсированном состоянии вещества, т. е. в
твердых и жидких телах Х% 23), расстояние между
соседними молекулами мало отличается от их размеров.
Поэтому каждая молекула все время- находится под действием
интенсивных сил, обусловленных соседними с ней
молекулами.
В твердых телах свды взаимодействия настолько
велики, что пространственное расположение молекул
фактически не изменяется. Тепловое движение атомов
в твердых телах представляет собой малые колебания
вокруг определенных положений устойчивого
равновесия. В кристаллах этим положением являются узлы
кристаллической решетки. Характер колебаний хаотичен
в том смысле, что амплитуды и фазы колебаний
различных атомов, не связаны между собой. Величина
потенциальной энергии взаимодействия частиц в твердом теле
много больше энергии теплового движения.
Сведения о жидком состоянии остаются еще
неполными. В жидкости движение молекул носит,
по-видимому, промежуточный характер. Силы взаимодействия
достаточно велики, чтобы удержать группу молекул
вблизи друг друга, но все-таки недостаточны, чтобы
препятствовать ее движению относительно других групп
молекул. Благодаря этому жидкости обладают свойством
текучести и не имеют собственной формы.
' 4. Основная задача и методы молекулярной физики
и термодинамики. Молекулярная физика изучает
свойства и поведение макроскопических систем, т. е. систем,
состоящих из огромного числа ахрмов и молекул.
Типичные системы, с которыми мы сталкиваемся в
повседневной жизни содержат около 1О25 атомов.
Молекула ДНК состоит из 108—1010 атомов. Клетка
живого организма имеет 1012—1014 атомов.
199

Мы ограничимся рассмотрением систем, состояние
которых не меняется со временем. Состояние
макроскопической системы, в котором она может находиться
неопределенно долгое время, называется равновесным
(о нем говорят так же, как о состоянии теплового
равновесия). При исследовании таких систем
важнейшими являются макроскопические величины,
непосредственно измеряемые опытным путем и
характеризующие свойства всей совокупности молекул в целом.
Равновесное макросостояние системы может быть
описано при помощи нескольких макроскопических величин
(или.параметров): температуры, давления и т. д.
Поясним основные детали подхода, с помощью кото-»
рого могут быть описаны равновесные состояния
макросистемы. Различные молекулы, системы имеют
различные полные энергии. Энергия выделенной молекулы не
является строго постоянной: благодаря взаимодействию
с другими молекулами ее энергия будет меняться. Учесть
взаимодействие всех молекул и рассчитать их скорости
и положения — задача практически неосуществимая, и
на первый взгляд может показаться, что с увеличением
количества частиц возрастают сложности в описании
системы. В действительности это не так, поскольку
совокупность большого числа взаимодействующих молекул
является системой, качественно отличной от системы,
состоящей из небольшого числа молекул. В ней
проявляются закономерности особого типа, совершенно не
свойственные простым механическим системам и
получившие название статистических
закономерностей. Оказывается, что в макроскопической системе
в состоянии теплового равновесия независимо от началь*
ных условий устанавливается статистическое
распределение молекул по энергиям: п\ молекул
имеют энергии Е\9 #2 молекул имеют энергии Е2 и т. д.
(полное число молекул N=n\+n2+ ...). Статистические
закономерности носят вероятностный характер. Если бы
мы смогли проследить за каждой химически одинаковой
молекулой, то оказалось бы, что в каждый момент
времени статистическое распределение реализуется
совершенно различными индивидуальными распределениями.
Другими словами, не имеет значения, какие именно л*
молекулы в каждый момент времени обладают
энергией Ei. Для определения макроскопических параметров
200

достаточно знать, как часто* п\ молекул будут иметь
значение энергии, равное Ей т. е. знать вероятность
ю(£,) = ^- того, что произвольно выбранная молекула
попадет в состояние с энергией £*. Зная статистическое
распределение, мы можем ввести фундаментально ваэк-
ное* в молекулярной физике понятие средней величины.
Например, среднее значение энергии £ср определяется
как
Е + Е + ... ^ (201)
Еср= ^
Чтобы не писать слово «среднее» при величине, ее
принято заключать в угловые скобки £ср—<£>. Из
определения (20Л) видно, что ЕСр характеризует совокупность
молекул, т. е. является статистической величиной: для
отдельной молекулы она не имеет смысла. Аналогично
(20.1) можо вычислить среднее значение любой
физической величины, характеризующей систему частиц.
Возникает естественный вопрос, в какой мере среднее
значение характеризует реальное значение.этой величины.
Ответ состоит в том, что относительная погрешность,
которую мы совершим, заменив значение величины ее
средним значением, -обратно пропорциональна корню из
числа частиц системы. Поэтому для систем с большим
количеством частиц средние значения будут с огромной
точностью совпадать с истинными значениями величин;
Если же макросистема содержит/ относительно малое
число частиц, то возможны отклонения физических
характеристик от средних значений, которые носят
название флуктуации.
Задача молекулярной физики—.дать рецепт
вычисления средних значений физических величин,
характеризующих равновесное состояние на основе известных
законов взаимодействия атомов и молекул. В § 22
изложенный выше подход использован при-выводе уравнений
газового состояния.
Значительно раньше молекулярной физики
сложилась область физики, изучающая тепловое поведение
макроскопических тел, — термодинамика. Слово
термодинамика происходит от греческих слов термос —
теплота и динамик —силовой. Термодинамика не
рассматривает внутреннее строение тел. Она оперирует
с так называемыми термодинамическими величинами,
201

характеризующими макроскопическое состояние тел:
давление, температура, энергия, объем. Среди этих
величин есть и такие, которые имеют механический смысл.
Термодинамика в узком смысле этого слова изучает
свойства вещества в состоянии теплового равновесия
при изменениях температуры, давления и химического
состава, не опираясь на какие-либо представления» об
их структуре, а исходя из некоторых законов,
являющихся обобщением опытных данных. Такой подход оказался
возможным тоЛько потому, что равновесные свойства
систем сравнительно мало зависят от конкретных свойств
частиц, из которых они состоят.
Два принципа термодинамики основаны
на обобщении многочисленных опытных данных:
/. Теплота есть вид энергии: механическую энергию
можно превратить в тепловую и, наоборот, тепло— в
механическую энергию. *
2. Тепло не может переходить само собой от
холодного тела к горячему.
Первый принцип термодинамики обсуждается в§ 21,
второй — в § 26. В настоящее время термодинамика и
молекулярная теория тепловых процессов составляют
неразрывное целое и взаимйо дополняют друг друга.
5. Температура. Рассмотрим два 'тела, составляющие
вместе замкнутую систему. Если привести их в контакт,
то соударения (вернее, взаимодействия) быстрых
молекул с медленными на границе соприкосновения и^в
каждом теле обычно приводят к передаче энергии от
быстрых молекул к медленным. Это означает, что тепловая
энергия движения атомов в одном теле уменьшается,
в другом — увеличивается. Тело, которое теряет
энергию, называют более нагретым, а тело, к которому
энергия переходит, — менее нарретым. Такой переход
энергии продолжается до тех пор, пока не установится
состояние теплового равновесия. Тепловое равновесие
является динамическим равновесием — отдельные
частицы будут по-прежнему обмениваться энергией, но не
будет происходить никакого суммарного перехода
энергии из одного тела в другое. Таким образом, в
состоянии теплового равновесия степени нагретости тел
одинаковы. В термодинамике для характеристики степени
нагретости тела вводят понятие температуры.
Говорят, что температуры двух тел, находящихся в теп-
202

ловом равновесии друг с другом, одинаковы или
энергия переходит от тела с более высокой к телу с более
низкой температурой.
Для количественного определения температуры
необходимо найти такую величину, которая была бы
одинакова у любых двух тел, находящихся в тепловом
равновесии друг с другом. Этим свойством обладает
средняя (в смысле определения (20.1)) кинетическая,
энергия <£> поступательного движения центра
тяжести атома или молекулы. По этой причине за меру
температуры может быть выбрана средняя кинетическая
энергия поступательного движения, приходящаяся на
один атом системы. Проще всего было бы измерять
температуру в энергетических единицах: дж, эрг, эв и т. д.
Однако принято измерять температуру в градусах,
исходя из соотношения
,(E) = ^kT (20.2)
(коэффициент 3/г введен для того, чтобы избежать
появления этого множителя в других формулах)..
Переводной коэффициент k называется постоянной Больц-
мана:
£= 1,38.10-" эрг/град=0,86.10-10 Мэв/град.
Согласно определению (20.2) при нулевой
температуре тепловое движение вовсе прекращается^ Однако
известно, что при нулевой температуре гелий остается
жидким и не прекращается движение электронов в
атомах. Это противоречие связано с тем, что перечисленные
явления обусловлены квантовыми свойствами частиц,
а определение (20.2) основано на классической
механике. Поэтому связь (20.2) между температурой и
энергией теплового движения справедлива только в тех
случаях, когда это движение может быть описано
законами классической механики. В настоящем пособии нет
необходимости давать определение температуры в
квантовом случае. Отметим только,' что при температуре
абсолютного нуля остается некоторая доля-энергии.
Шкалу, в которой температуру отсчитывают от
абсолютного нуля, назьйзают шкалой Кельвина. Наряду
с этой используется также шкала Цельсия, в которой за
0°С принята температура тающего льда, а за 100° —
температура кипения воды при нормальном давлении
203

760 мм рт. ст. Для перевода температуры из одной
шкалы в другую необходимо знать абсолютную температуру
точки замерзания воды. Современные измерения дают
значение J273,16°K. В настоящее время удалось достичь
низкой температуры ^КНК. Верхнего - предела
абсолютной температуры не существует. В звездах или при
термоядерных взрывах достигается температура 107К.
" Чтобы определить температуру как физическую
величину, необходимо указать способ ее измерения.
Обычно процесс измерения заключается в сравнении
измеряемой величины с эталоном — единицей этой величины.
Однако для определения температуры этот способ
непригоден. Действительно, в силу формулы (20.2)
температуру, скажем, в 300° нельзя рассматривать как
сумму трехсот единичных "градусов. Поэтому значение
температуры определяют по изменению какого-нибудь
удобного для измерения свойства вещества, зависящего
от температуры (см. § 22).
Пример 20.2. В герметически закрытом сосуде
смешали два газа, масса молекул которых равна mi и тг.
Каково отношение тепловых скоростей движения
молекул после установления равновесия?
Тепловой"скоростью называют vr = K(tf2)cp. В
состоянии равновесия средняя кинетическая энергия
движения молекул одинакова. Следовательно,
2
Из этого соотношения .находим отношение тепловых
скоростей молекул: ~
6. Давление. Благодаря тепловому движению
молекулы газа (или жидкости), сталкиваясь со стенками
сосуда и отскакивая от них, изменяют количество
движения. Изменение импульса согласно (10.1) определяет
силу, действующую на молекулы. По третьему закону
Ньютона точно такая же по величине сила действует на
поверхность стенки сосуда. ТакПсак молекул очень
много и ударяются они о стенку очень часто, то можно
заменить их суммарное действие на поверхность стенки
одной непрерывно действующей -средней силой. Величи-
204

на этой силы, отнесенная к единице поверхности
стенки, определяет давление, оказываемое на стенку
сосуда.
7. Уравнение состояния. Состояние любой системы,
находящейся в тепловом равновесии, определяется
совокупностью термодинамических величин, называемых
параметрами. В качестве параметров простейших систем
(газов, жидкостей) достаточно выбрать давление р,
температуру Т и объем V. Изменения этих параметров
не являются независимыми, тад как р, Т9 V связаны
функциональным соотношением, . которое называется
уравнением состояния. Уравнение состояния
имеет вид p=f(T, V). Из него следует, что состояние
системы определяется двумя независимыми
параметрами, а третий однозначно определяется уравнением
состояния.
Обычно уравнение состояния получают из
экспериментальных, данных. Для простых систем уравнение
состояния можно установить теоретически (см. § 22).
8. Термодинамические процессы. Чтобы вывести
систему из состояния теплового равновесия, необходимо
внешнее воздействие. Переход системы из одного
равновесного состояния в другое называется
термодинамическим процессом, или просто процессом.
Термодинамика изучает равновесные состояния. Однако
каждое промежуточное состояние не является
равновесным и в общем случае не определяется заданием йа-
раметров, поскольку последние, например температура,
определены лишь как свойства системы при
равновесии. Возникает вопрос: можно ли . изучать процессы
в рамках термодинамики? Указанную трудность можно
обойти, если ограничиться рассмотрением процессов,
идущих настолько медленно, что каждое
промежуточное состояние бесконечно мало отличается от состояния
равновесия. В этом случае реальный процесс является
как бы непрерывной последовательностью равновесных
состояний, в каждом из которых параметры связаны
уравнением состояния. На практике это условие во
многих елучаях выполняется. Чтобы пояснить это,
рассмотрим процесс сжатия газа. При движении поршня
энергия молекул, находящихся вблизи него, становится
больше энергии остальной части молекул — газ
переходит в неравновесное состояние. Однако благодаря про-
205

цессам соударения между молекулами равномерное'
распределение энергии между ними восстанавливается
за время twlO-10—10~9 сек. Если время, требуемое для
продвижения поршня на заметное расстояние, больше т,
то газ будет успевать приходить в состояние
равновесия, соответствующее данным внешним условиям.
Процесс изображают графически в координатах
давление — объем, давление — температура и т. д.
Каждая точка на графике процесса совершенно однозначно
определяет состояние системы. Если в результате
процесса Ьистема возвращается в первоначальное
состояние, то процесс называется круговым, или циклом: Один
из возможных круговых- процессов изображён на
рис. 21.3.
Задача 20.3. В результате процесса pVn=a объем
газа изменился от значения Vt до Vz>Vi. Как при этом
изменилась температура, если уравнение состояния газа
pV=RT (R, а и п — постоянные. положительные
величины, причем я>1)?
Решение. Поскольку в задаче речь идет о связи
температуры и объема, то, исключая из уравнения
процесса и уравнения состояния давление р, находим
Пусть Т± и Тг — температуры начального и конечного
состояний. Тогда
Поскольку V2>Vu то Tz<Tu следовательно,
расширение газа сопровождается охлаждением. Для того чтобы
этот результат стал более наглядным, построим в
координатах (р, V) график процесса
Р = Уп (1)
и нанесем на него сетку изотерм, соответствующих
различным значениям Т=(Ти Т^, %Г3).
Так как и>1, то кривая (1) на рис. 20.2 идет круче, чем
изотерма (2). Поэтому ясно, что, расширяясь по
закону (1), газ, переходя с изотермы 7^ на изотерму Т2<Ти
будет охлаждаться.
206

• Задача 20.4. Н,а рис. 20.3,а показана диаграмма
кругового процесса в координатах V, Т. Начертить
диаграмму того же процесса в координатах V, р.
Уравнение состояния pV=CT.
Рис. 20.2
•*
ч
iA
Г,
с
А/
\ 1
(г
г» т
Рис. 20.3
207

Решение. Точки с и а находятся на одной изотерме.
Поэтому, начертив на рис. 20.3,6 изотерму, найдем на
ней две точки с и а. Наклонные прямые V — — Т на
Р
рис. 20.3,а — изобары, причем меньшим значениям
давления соответствует больший угол наклона. Проведя
изобару из точки с, найдем точку d. Далее построим
изохору da, затем изобару db и, наконец, изохору be.
§ 21. Внутренняя энергия, работа, количество тепла
1. Внутренняя энергия/ В термодинамике движение
тела как целого обычно не рассматривают. По этой
причине полная энергия системы складывается из
кинетической энергии теплового движения частиц и
потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. жЭту
энергию и называют внутренней энергией системы. Из
закона сохранения энергии (см. § 12) следует, что если
система является замкнутой, то внутренняя энергия
сохраняется. В каждом состоянии система обладает
определенным значением внутренней энергии. Следователь-
ног внутренняя энергия —функция состояния. Поэтому
если под-влиянием внешних воздействий система
переходит из одного состояния в другое, то изменение
внутренней энергии зависит лишь от параметров начального
и конечного состояний и не зависит от параметров
промежуточных состояний. Тем самым при рассмотрении
термодинамических задач физическое значение имеет
только изменение внутренней энергии, а не ее
абсолютное значение. Очевидно, при круговом процессе полное
изменение внутренней энергии равно нулю. В других
процессах внутренняя энергия изменяется. Если система
теплоизолированна, то уменьшение энергии связано с
работой, производимой системой над внешними телами,
а увеличение — с работой, производимой внешними
силами над данной системой.
Возможно, однако, и Чакое взаимодействие двух
систем, которое происходит без совершения механической
работы. Этот тип взаимодействий, называемый
тепловым, возникает в результате обмена энергиями,между
хаотически движущимися атомами и молекулами двух
систем. Часть внутренней энергии, переданной таким
208

образом, называется количеством тепла AQ. Мы
примем, что Д0|>0, когда тело получает тепло. Таким
образом, если система получает количество теплоты AQ
и одновременно^ совершает работу, то изменение
внутренней энергии равно
= AQ — ДА . (21.1)
Это соотношение можно • переписать в эквивалентном
виде
•
§
г
i
1
I
i
т. е. подведенное к системе тепло идет на изменение
внутренней энергии и на произведенную системой
работу. . '
Соотношение (21.1), представляющее частный случай
закона сохранения энергии
в~ применении к тепловым
процессам, называют пер-
вы«м законом
термодина (М И К И.
В л системе СИ за
единицу количества тепла
принимается джоуль. Калория
является внесистемной
единицей количества тепла. Me- Рис. 21.1
ханическая работа,-
эквивалентная одной калории тепла, называется механическим
эквивалентов работы. Найдено, что 1 кал=4,18 дж.
Ежесуточный пищевой-рацион человека составляет не
менее 3000 ккал, т. е. человек потребляет мощность
р^ 4,18-3000.10^ 12,54.10» , gA
24-60.60 '— 8,64-10* —lbU ватт#
За счет энергии, потребляемой человеком в день, можно
поднять тело массой 100 кг на высоту
и_ 12,54- lQg _ 1О
100-9,8 ^ КМ
или нагреть 38 л воды от 20°С до кипения.
2. Работа, совершаема» системой. Найдем теперь
выражение элементарной механической работы в таком
виде, как оно используется в термодинамике.
Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре под поршнем
(рис. 21.1). Пусть в результате некоторого процесса гаа
14-125 ш

расширяется, и поршень смещается на расстояние А/.
В общем случае при этом изменяется давление и
температура. Будем считать перемещение А/ настолько
малым, чтобы в течение процесса давление пренебрежимо
мало отличалось от исходного давления p(V),
соответствующего объему газа V. Тогда элементарная работа,
совершаемая силой F=p(V) -S (5 — площадь поршня),
действующей на поршень со стороны газа, есть ДЛ=
=p(V)SAl. Замечая, что произведение SAI есть
изменение объема ДУ, окончательно находим выражение
AA=p(V)AV (21.3)
для работы, совершаемой, газом над внешними телами
при,изменении объема от V до V+AV. Согласно (21.3)
работа положительна при р*асширении (AF>0), когда
газ совершает ее против действия внешних сил. При
сжатии (AV<0) работа отрицательна, так как работа
производится внешними силами над газом.
Полная работа А, производимая газом при
расширении от некоторого объема Vi до объема V% в общем
случае определяется характером процесса и уравнением
состояния газа. Наиболее простой вид имеет работа,
совершаемая газом при изобарическом процессе
(давление— постоянная величина):
A=p(V2-Vi). (21.4)
3. Передача теплоты. Мы уже знаем, что носителем
тепловой энергии являются движущиеся атомы и
молекулы вещества, средняя кинетическая энергия
поступательного движения которых пропорциональна
температуре. В состоянии теплового равновесия температура
любых частей тела одинакова. Если же в различных
местах тела температура различна, то молекулы из
более нагретых мест, сталкиваясь с молекулами соседних,
менее нагретых участков, передают им часть своей
энергии— возникает тепловой поток из мест, более
нагретых, в места, менее нагретые. Такой способ передачи
теплоты называется теплопроводностью.
К хорошим проводникам тепла относятся металлы,
к плохим — так называемым теплоизоляторам —
относятся дерево, стекло, пластмассы. Жидкости и газьГтак-
же проводят тепло, но много хуже, чем металлы. Самым
цучшим теплоизолятором является вакуум, так как в
пустоте нет молекул — переносчиков тепловой энергии.
510

Задача 21.1. Стенки сосуда, в котором находится газ,
имеют температуру Т. Начальная температура газа 7V
В каком случае давление газа на стенки сосуда
больше: когда стенки сосуда холоднее газа (Г<7о) или
когда теплее (T>Tq)?
Другим способом передачи тепла является
конвекция (латинское слово, обозначающее перемешивание)»
Конвекцией называют перенос теплоты из одного
места в другое вместе с движущимися молекулами.
Конвекция существует только в жидкостях и газах и
является основным способом
их нагревания.
Возникновение конвекции обуслов- Pi
лено выталкивающей
силой, действующей на
более нагретые объемы
жидкости или газа. В
невесомости конвекция от- yf у у
сутствует.
Передача тепла воз- Рис. 21.2
можна также в результате
излучения илоглощения телом
электромагнитных волн. Все тела, температура которых больше
абсолютного нуля, теряют внутреннюю энергию (и,
следовательно, охлаждаются), испуская электромагнитные волны
всех частот. Однако при определенной температуре Т
основная часть излучения (определяющая его энергию)
состоит из совокупности электромагнитных волн, длины-
которых лежат в небольшом интервале вблизи
определенной длины волны. Тела, имеющие высокую
температуру, такие, как раскаленный уголь, излучают в
основном световые волны, наблюдаемые глазом. Менее
нагретые тела, такие, как горячая печь, излучают невидимые
инфракрасные волны. Поглощение этих волн приводит
к увеличению средней кинетической энергии молекул
поглощающего тела и, следовательно, к их нагреванию.
Таким образом, любое тело излучает
электромагнитные волны и в то же время поглощает излучение,
испущенное окружающими телами. Если температура тела
выше (ниже) температуры окружающих тел, то оно
охлаждается (нагревается). Энергия, теряемая телом
в единицу времени, пропорциональна разности
температур тела и окружающей среды.
14* ' 2П

Задача 21.2. Вода нагревается на электрической
плитке постоянной мощности. На что требуется больше
времени, чтобы нагреть- ее от 10 до 20° или от 80 до 90°?
Часто говорят о «количестве тепла, заключенном
в теле», или о «тепловой энергии»: тела. Эти выражения
некорректны. В каждом состоянии тело обладает
определенным значением внутренней энергии, но никак не
определенным количеством тепла или работы. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим круговой процесс,
изображенный на рис. 21.2. Какую работу производит газ на
пути а—Ъ—с—d? На участке а—-Ь совершается работа,
которая может быть вычислена по формуле (21.4):
Ааъ=Р2(У2—V\). На участках Ь—с и d—а поршень
остается на месте, и, следовательно, газ работы не ео-
вершает. На участке с—d работа газа ACd:=Pi(Vi—V2)
отрицательна, так как фактически внешняя сила
производит над газом работу: Полная работа
ДЛ = (а-А)(У2-1/1) (21.5)
равна площади прямоугольника, изображенного на
рис. 21.2. После процесса газ возвратился в исходное
положение, и его энергия стала такой же, как и до
процесса, т. е. изменение энергии AW=0. Для того чтобы
газ при этом совершил работу ДА, к нему надо было
согласно (21.2) подвести количество тепла AQ=AA. Это
количество тепла, как и работа, определяется
характером процесса. Если бы газ в определенном состоянии
обладал определенным количеством тепла Q, то я
результате кругового процесса изменение тепла AQ=0.
Однако мы §наем, что AQ=AA=^0. Поэтому энергию
тела нельзя делить на тепловую и механическую. Такое
деление возможно лишь., в смысле уравнения (21.1) —
два слагаемых в правой части соответствуют двум
способам передачи внутренней энергии от системы к
внешним телам. Количество тепла AQ, полученное системой,
обусловлено переходом энергии хаотического движения
молекул тела в энергию хаотического движения молекул
системы. Работа ДА, произведенная системой над
внешними телами, — это переход энергии хаотического дви-
^жения молекул системы в энергию упорядоченного
движения внешних тел. Значения Д-Q и АЛ зависят от
характера процесса, в котором произошла та или иная
передача внутренней энергии.
212

Заметим, что при проведении процесса 21.2 в
направлении, обратном указанному, AA=—(p2^Pi)(V2—Vl)<
КО
Задача 21.3. Рассмотрим два процесса. В первом
процессе d—а—Ъ (см рис. 2L2) газу сообщается
количество тепла Qt. Какое количество тепла Q2 сообщается
газу во втором процессе d—с—6?
Решецие. Поскольку в обоих процессах изменение
внутренней энергии одинаково, то согласно (21. lj
Учитывая, что ААаь=р2(У2— Vt), AAdc=pi{V2— Vi),
находим
4. Теплоемкость. Предположим, что системе массой М9
находящейся при температуре Г, мы сообщили
количество тепла AQ, причем некоторые параметры системы
связаны уравнением процесса. В результате процесса
температура системы изменится на величину AT,
которая зависит от свойств системы, а также от вида
уравнения процесса. Отношение
*= <216>
называют удельной теплоемкостью системы.Эта
величина, как и AQ, зависит от значений параметров
системы и определяется характером процесса, в
результате которого получено количество тепла AQ. В связи
с этим возможны различные определения теплоемкости.
В простейшем случае такой параметр, как объем,
может остаться постоянным в процессе передачи телу
тепла. Возможно также нагревание тела при постоянном
давлении и т. д. В первом случае согласно (21.3) и
(21.2) все тепло идет на увеличение внутренней энергии
тела, так как AQ==AW. Следовательно,
c 4 (217)
Во втором случае тепло идет не только на
увеличение внутренней, энергии, но и на совершение работы.
- % 213

Удельную теплоемкость в этом случае можно написать
в виде
_ j AQ _л ^jjr , 1 дл_ , 1 АЛ ,21 m
Жидкости и твердые тела при нагревании
расширяются незначительно (см. § 24). Поэтому обычно
пренебрегают работой ДА, совершаемой телом при
расширении. В этом случае теплоемкость не зависит от условий
нагревания, и, следовательно, теплоемкости ср и cv
твердых и жидких тел практически совпадают. Поэтому
изменение внутренней энергии можно записать в виде
AW = AQ = McAT. (21.9)
Большинство тел, имеет теплоемкость меньше, чем
вода. Теплоемкость всех тел, как правило, уменьшается
с понижением температуры.
Рекомендуем решить задачи № 290, 291,
296, 303, 346, 383/388 из задачника [1] и № 235, 366 из
задачника [2].
§ 22. Уравнение состояния разреженного газа.
Процессы изменения состояния газа
1. Уравнение Клапейрона — Менделеева. Объединяя
полученные опытным путем законы Бойля — Мариотта,
Шарля и Гей-Люссака, французский физик Клапейрон
вывел уравнение состояния газа-, которое связывает три
параметра р, V и Т при неизменной массе газа:
Щг= const. (22.1)
Значение постоянной в правой части (22.1) зависит от
массы газа m и его молекулярного веса \i. Для
определения этой постоянной Д. И. Менделеев использовал
следствие закона Авогадро: один грамм-моль любого
газа при одинаковом давлении и одинаковой
температуре занимает один и тот же объем. В частности, при
Г=273°К (0°С) и давлении ро=1 атм объем однопг
моля любого газа уо=^22,4 л/моль=22,4 м3/кмоль. Если же
214 ' ,.

взять не один моль, а т г газа, то он займет объем
— v0. Поэтому
const =— £pL=2!LR. (22.2)
Величина /?• одинакова для всех газов. Поэтому она
называется универсальной газовой постоянной. В системе СГС
#=0,082 л-атм/моль-град=в,ЗЫО-7 эрг/моль-град,
в системе СИ
/? = 8,31 • 101 дж/кмоль • град.
Уравнение (22.1) с постоянной (22.2) называется
уравнением газового состояния Менделеева — Клалейрона:
&-=— R. (22.3)
Из него следует полезное соотношение для плотности
газа.
В результате тщательных измерений установлено, что
реальные газы лишь приближенно подчиняются
уравнению (22.3). Так, произведение pV для 17 г аммиака при
температуре 25°С не является постоянным. Оно
изменяется от 24,45 при 0,1 атм до 23,1 при 9,8 атм, когда уже
начинается конденсация. Однако при достаточном
разрежении поведение всех газов удовлетворительно
описывается уравнением состояния (22.3). Газ, обладающий
ствойствами разреженного газа, называют идеал ь-
н ы м. Под этим термином подразумевают газ, молекулы
которого очень слабо взаимодействуют друг с другом
и занимают пренебрежимо малый объем по сравнению
с объемом, занимаемым газом. Следовательно,
потенциальной энергией молекул идеального газа можно
пренебречь по сравнению с кинетической энергией.
Подставляя, например, в формулу (2) задачи 20.1
плотность воздуха при нормальных условиях, найдем,
что среднее расстояние L между молекулами ^35 А.
Эта величина значительно больше размеров молекул
о
кислорода и азота (<—4 А), составляющих основную
215

часть воздуха. Поэтому столкновения молекул в таком
разреженном газе происходят настолько редко, что
взаимодействием между ними можно пренебречь. Не следует,
однако, забывать, что именно благодаря взаимодействию
молекул становится возможным установление теплового
равновесия в газе или его конденсация при охлаждении.
Поскольку взаимодействие между молекулами
идеального газа мало, то давление р смеси газа равно
сумме давлений pi9 p2, ..., которые производили бы
отдельные газы этой смеси, занимая весь объем (закон
Дальтона):
p=Pl+p2+ г... (22.5)
Дйя каждой компоненты смеси справедливо уравнение
состояния (22.3):
В результате внешних воздействий, испытываемых
газом, его параметры могут меняться. Для решения за*
дач, в которых рассматривается одно фиксированное
состояние с неизменной массой газа или состояния, в
которых масса газа различна, целесообразно пользоваться
уравнением состояния в форме (22.3). Если при
решении этих задач использовать, уравнение Клапейрона
(22.1), то для получения численных значений
параметров необходимы дополнительные данные, которые
обычно берутся из таблиц или приводятся в условии. Для
процессов, в которых масса газа не меняется, уравнения
(22.1) и (22.3) равноценны. Поэтому наиболее общий
метод решения задач состоит в использовании уравнения
состояния (22.3), *
Задача 22.1. Найти плотность.воздуха при-температу-
ре 127°С и давлении 720 мм рт. ст.
Решение. I. Значение плотности определяется
непосредственно из (22.4). В системе СИ давление должно
быть выражено в н/м2. Учитывая, что молекулярный вес
воздуха ji==29 кг/кмоль, а давление соответствующее
720 мм рт. ст., равно
^9,8-10* н/м\
находим:
216

II. Пусть т г воздуха занимают объем V при
температуре Г=400°К и давлении р=720 мм рт. ст< Та же
масса воздуха при нормальных условиях (7о=273°К,
ро=76О мм рт. ст.) занимает объем Vo. Поэтому из
уравнения (22.1) следует
Т То • W
Учитывая, что по определению плотности
Р=Т". Р.=-^ (2)
{ро — плотность воздуха при нормальных условиях), из
<1) и (2)/получим искомую плотность
Подставляя из таблиц числовое значение ро=129Х;
!ХЮ~5 г/смэ, найдем р=0,83 кг/м3.
Задача 22.2. Определить подъемную силу
наполненного водородом аэростата радиусом R=3 м,
сообщающегося с атмосферой. Температура наружного воздуха
*1=17°С, температура водорода 4=27°С, давление
воздуха р=1 атм, вес оболочки Ро=ЗО кГ (р,4=29, цг=2 —
молекулярные веса воздуха и водорода).
Решение. Подъемная сила F равна разности
выталкивающей- силы pigV и силы веса аэростата,
заполненного водородом, равной Po+pzgV (pi и рг — плотности
воздуха и водорода, V — объем аэростата)-. Учитывая
формулу (22.4), находим
Задача 22.3. Внутри нетеплопроводного цилиндра,
расположенного горизонтально, имеется тонкий
нетеплопроводный подвижный поршень. На каких расстояниях
от концов цилиндра расположен поршень, если с одной
стороны в цилиндре находится кислород при постоянной
температуре *i=127°C, а с другой — водород при
температуре /2=27°С? Массы обоих газов одинаковы, общая
длина цилиндра /=65 см.
Решение. Поршень будет перемещаться до- тех пор,
пока давления, создаваемые кислородом и водородом,
станут одинаковыми. Пусть U и k — расстояния от кра-
217

ев цилиндра до поршня в положении равновесия. Тогда
в силу (22.3)
tn RT1 _ т RT 2 /1 v
(S— площадь поршня). Учитывая, что 2=^+/2, находим
Подставляя числовые значения jxi=32, |i2=2, Г1=400°К,
Г2=300°К, находим h=5 см, /2=60 см. ч
Задача 22.4. Определить плотность смеси т4=32 г
кислорода и т2=8 г азота при давлении р=1 атм и
температуре /=:0°С (|xi=32 и (Х2=28 — молекулярные
веса кислорода и азота).
Решение. По определению, плотность
где V.— объем смеси. Согласно закону Дальтона (22.5)
давление р равно сумме парциальных давлений,
создаваемых каждой компонентой смеси:
Из (1) и (2) находим
" '" " 1 О)
Подставляя числовые данные, находим р=1,34 кг/м3. Из
сравнения (3) и (22.4) можно получить формулу для
молекулярного веса смеси двух газов:
Задача 22.5. В атмосферном воздухе на долю азота
приходится /i=76°/o, а на долю кислорода /2=24%
массы (если пренебречь примесями других газов). Найти
парциальные давления азота и кислорода, если
атмосферное давление равно р.
218

2. Вывод уравнения состояния идеального газа.
Малая величина взаимодействий между молекулами
идеального газа позволяет простым образом связать
давление с температурой. Рассмотрим газ, содержащий N
молекул и заключенный в объем V. В состоянии
теплового равновесия л4 молекул имеют скорости vi, #2
молекул— скорости v2 и т. д. Вычислим давление газа на
элемент поверхности AS (рис. 22.1). Для этого будем
считать, что можно проследить^ за поведением
отдельной молекулы, несмотря на их полную неразличимость,
и рассмотрим движение молекулы массой га,
обладающей скоростью Vi. Далее предположим, что стенки
объема являются идеально отражающими; если v\z —
составляющая скорости молекулы, перпендикулярная
стенке, то после удара она становится равной —viz.
Изменение импульса при одном столкновении Ар=
=—2mv\z. По третьему закону Ньютона стенка получит
равный по величине и противоположный по
направлению импульс 2mv\z. Если За время Ш на площади AS
происходит ANX соударений, то сила, действующая на
эту площадь со стороны молекул, имеющих скорости vi,
равна
219

Сколько же столкновений ДЛГ4 происходит за время At?
В силу хаотичности движения половина молекул,,имею-
щих скорость ~|t>i*|, движется от стенки, половина —
к стенке. Ясно, что за время At успеют долететь до
стенки только те молекулы, которые в начальный
момент находились от нее на расстояниях, меньших vuAt.
Чтобы подсчитать ANiy построим над площадкой AS
параллелепипед, образующая которого параллельна
скорости Vi, а высота v^At (см. рис. 22.1). Очевидно,
Следовательно,
Полная сила, действующая на площадку AS со стороны
всех молекул, имеющих всевозможные скорости, F—
=/71+/72+ . — Учитывая, что F=pAS, получим давление
газа
. ^=тК4 + ^и+-4 (22.6)
Величина, стоящая в скобках, согласно (20.1)
определяет среднее значение квадрата составляющей скорости
молекулы в направлении, перпендикулярном стенке
(у22)сР, т. е.
p = lLN(v\)cp. (22.7)
Выразим теперь (i>2z)Cp через величину, не связанную
с выбранным направлением. С этой целью запишем
квадрат полной скорости через квадраты ее
составляющих по трем перпендикулярным осям: • ,
Используя определение (20.1), вычислим среднее значе*
ние от обеих частей равенства:
Так как направление координатных осей выбрано
произвольным образом, а молекулы движутся хаотически,
то
220

Следовательно, (i>2)Cp=3(02z)Cp. Подставляя это
соотношение в (22.7), имеем
pV=-^-N(E), (22,8>
где (£)=-j-(t;a)Cp—среднее значение кинетической энер-
гии молекул, равное, по определению (20.2), -z-kT. Итак,
окончательно получим следующее уравнение состояния
идеального газа:
pV = NkT. (22.9>
Уравнение (22.9) совпадает с уравнением
Клапейрона— Менделеева (22.3). Действительно, записывая
число молекул N в виде — NA, где NA — число Авогадро,.
уравнение (22.9) можна представить в виде (22.3) с i?=
A
Если предположить, что газ представляет собой смесь
различных идеальных газов, то из (22.9) сразу же
следует закон Дальтона:
..м (22.10)
где Ni — число молекул t-того сорта, pi— парциальное
давление газа /-того сорта.
Из уравнения (22*9) следует также закон Авогадро
(1811): равные объемы газов при одинаковых
температурах и давлении содержат одинаковое число
молекул.
Задача 22.6. Определить тепловую скорость молекул
азота при, комнатной температуре (7W300°K).
Решение. Из (20.2) находим тепловую скорость
Учитывая, что молекулярный вес \i=mNAy a R=kNAr
получим (ц=28 кг/кмоль) т
. Vr==y^L.^ 500 м/с.
В состоянии теплового равновесия есть молекулы,
которые движутся со скоростями, большими и меньшими
221

средней скорости. Часть молекул имеет скорости, даже
большие первой или второй космической скоростей.
Однако доля таких молекул при умеренных
температурах ничтожно мала.
Пример 22.7. Найти энергию поступательного
движения молекул М=\ г азота при комнатной темпера-
туре.
Кинетичеркая энергия поступательного движения
молекул идеального газа равна сумме кинетических
энергий его молекул. В состоянии теплового равновесия
согласно (20.1)
Принимая во внимание результат предыдущего
примера, находим (M=Nm)
Для численных оценок представим W в виде,
^ = ^=125 дж. ' s
Теплоемкость одноатомного газа. В этом случае
внутренняя энергия газа представляет собой сумму
кинетических энергий поступательного движения его
частиц: W-—^—. Из (21.7) найдем теплоемкость при
з/?
постоянном объеме су = ^—. Учитывая, что согласно
(22.15) при постоянном давлении ДЛ*= — RT, из (21.8)
найдем теплоемкость при постоянном давлении
3. Процессы изменения состояния газа. Рассмотрим
теперь закономерности некоторых простейших тепловых
процессов.
Изохорический процесс- В изохорическом
процессе объем не меняется, т. е. AV=0. Газ не
является теплоизолированным и согласно (21.1) AQ==AW.
Таким образом, изменение внутренней энергии (т.'е.
нагревание или охлаждение газа) происходит только за счет
222

теплообмена с внешней средой. Количество тепла,
необходимое для - нагревания газа на ДГ°, определяется
формулой (21.6) Г
mcvAT. (22.12)
Изобарический процесс. В изобарическом
процессе давление газа не меняется. Из (21.6) следует,
что количество тепла, получаете газом при повышении
его температуры на АГ°: <
AQ=mcpbT. (22.13)
Работа, совершаемая газом над внешними теламц jip»
изменении объема на AV=Vz—У и определяется
формулой (21.4):
-Чх). (22.14)
Для идеального газа с помощью уравнения состояния
формула (22.14) может быть представлена в виде
Л = ^./?(Г2-Г1), * (22.15)
Из первого закона термодинамики (2.1.1) следует, что
п^и изобарическом процессе внутренняя энергия
изменяется за счет теплообмена и работы, совершаемой газом
или внешними телами над газом.
Изотермический процесс. В изотермическом
процессе температура газа постоянна. Поскольку вну
тренняя энергия идеального газа зависит только от
температуры, то в изотермическом процессе она-не
меняется: ДW=Q. Из (21.1) находим 0=AQ—АЛ. Это
соотношение означает, что газ может получать тепло от
.внешней среды и, расширяясь, обращать его в работу
по перемещению внешних тел. Либо, наоборот, газ,
отдавая тепло внешней среде, сохраняет энергию постоян-
,ной за счет работы, производимой над ним внешними
Челами.
Адиабатический процесс. При этом процессе
газ теплоизолирован от внешней среды. Поскольку
теплообмен с внешней средой отсутствует (A'Q=0), то
первый закон термодинамики записывается в виде ДЧ?=
——д^ф Это соотношение означает, что изменение
внутренней энергии возможно только за счет механической
работы. Следовательно, если газ расширяется, то
работа над внешними телами совершается вследствие умень-
22а

-тения внутренней энергии —газ охлаждается.
Напротив, при адиабатическом сжатии внутренняя энергия
увеличивается — газ нагревается.
Работа, совершаемая внешними силами при
деформации упругого тела (—АЛ)=—/7ДУ+ДЛтр, где Д4тр>0—
работа сил трения, приводящая согласно (21.1) к
увеличению внутренней энергии и температуры тела.
Возможность адиабатического изменения
температуры позволяет шпонять ошибочность распространенного
мнения о том, что в отсутствие трения (ДЛтр=={)) и
теплообмена (AQ=0) температура упругого тела должна
быть неизменной. Этот вывод основан на другом
заблуждении: повышение температуры считается
важнейшим признаком подвода теплоты. Сейчас мы знаем, что
повышение температуры не всегда свидетельствует
о подводе теплоты — в адиабатических процессах
можно менять температуру тела не подводя к нему теплоты.
Задача 22.8. Тонкостенный цилиндрический стакан,
имеющий тонкое тяжелое дно, закрыт невесомым
поршнем. Между поршнем и
дном в стакане
вставлена пружина. Внутри
стакана находится
воздух при атмосферном
давлении /?0. Стакан
плавает в воде, как
показано на рис. 22.2:
расстояние от
поверхности воды до поршня
равно а, глубина
погружения равна Ъ.
Площадь поршня 5,
жесткость пружины k,
плотность воды р. На какую
максимальную глубину
можно погрузить
стакан под воду, чтобы он
еще мог всплыть? Температура воздуха в процессе
погружения не меняется.
Решение. Для того чтобы стакан еще всплыл,
необходимо, чтобы выталкивающая сила равнялась весу
стакана:
224
Рис 22.2

где х — смещение поршня. С другой стороны, из условия
плавания-стакана следует -
Р. (2)
Из (1) и (2) следует, что смещение поршня не должно
быть больше а. (Этот результат можно получить также
качественно из физических соображений.) Поскольку
температура*воздуха не меняется, то объем и давление
связаны уравнением
(3)
Давление воздуха на глубине h (от поверхности воды
да поршня) можно найти из условия равенства нулю
сил, действующих на поршень:
(4)
Из (3) и (4) находим искомую глубину:
Задача 22.9. Один моль азота является рабочим
веществом в .замкнутом цикле, изображенном, на
рис. 21.2. Известно /?i=2 атм, Fi=10 л, р2=4 атм, 1^=
^=20 д, удельные теплоемкости Cv=0,179 кал/г*град,
ср=0,25 кал/г «град. Какое количество тепла и на каких
участках поступает в систейу?
Решение. Определим вначале температуру газа в
состояниях а, 6, cf d. Записывая уравнение состояния для
точки а, получим
Аналогично находим
Ть = 27а, Тс =
Поскольку Td<Ta<Tb9 Tb>Tc>Tdy тю тепло поступает
в систему на участках d—а—6. Соответствующие коли^
чества тепла равны
da v
где Л1=ь28 г — масса азота. Подставляя числовые
данные, находим Qad=3416 кал, Qdo=1220 кал.
15—125 " 225

Задача 22.10. Над m=2 г воздуха совершают
процесс, изображенный на рис. 21.2. Известны температуры
Г* и' Т2 соответственно в точках d и ft. Определить
работу, совершаемую газом, если точки а и с лежат
на одной изотерму Г2=400°К, Г4=300°К, ц=29 кг/моль.
Решение. Полная работа, совершаемая газом,
определяется формулой. (21.5):
которую, используя уравнение состояния, можно
переписать в виде
ДЛ = JL * (г2+ 77- Г3 - 7\). (2)
Пусть T3=Ti=T. Поскольку точки Ь и с, d и а лежат
на изохорах, то
У2 У /4 • /
Из уравнений (3) находим Т — У^Т2Т4. Следовательно,
ДЛ = i?- R (Г2#+ Г4 — 2 j/777) = 4»58 дж.
Задача 22.11. Идеальный газ массой т,
находящийся при температуре Г, охлаждается изохорически так,
^то давление падает в п раз. Затем газ расширяется
при постоянном давлений. В конечном состоянии его
температура равна первоначальной. Определить
произведенную газом работу.* Молекулярный вес газа р.
Рекомендуем решить задачи №317, 318, 323,
326, 328, 340, 341, 354, 360, 369, 372, 375, 377, 379, 380,
382, 384, 385, 390 из задачника [1] и № 243, 246, 248,
257, 259, 267, 269, 271 из задачника [2].
§ 23. Жидкие и твердые вещества. Закон Гука
1. Структура жидкостей. В газах средняя кинетическая
энергия теплового движения молекул значительно
превосходит потенциальную энергию. В этом случае силы
взаимодействия между* молекулами весьма слабо
влияют на характер их относительного движения. Кроме
того, в газах молекулы находятся на достаточно большом
расстоянии друг от друга. Однако по мере уменьщени;?

*емпературы или лрй сжатий бзаимодействие молёкуЛ
начинает играть настолько существенную роль, что гдз
в конце концов переходит в конденсированное состоя*
ние — жидкость. В жидкости средняя энергия
взаимодействия молекул примерно равна средней энергии
теплового движения. Поэтому тепловое движение легко
нарушает связь между молекулами и приводит к
перемещению их относительно друг друга внутри объема
жидкости.
Среднее расстояние L между молекулами жидкости
можно оценить используя формулу (2-) задачи 20.1. Для
воды, взятой при нормальных условиях fx=18 кг/кмоль,
Р=Л0* кг/м8),
Так как размеры молекулы воды ^2,6-К)-* см, то,
очевидно, они сближены «вплотную» — каждая данная
молекула взаимодействует сразу с несколькими
окружающими ее соседними молекулами. В результате этого
взаимодействия из-за тесноты в расположении молекул
возникает связь между положениями ближайших
соседей. Однако в силу большой подвижности молекул
жидкости имеется лишь связь между положениями на
сравнительно близких расстояниях, исчезающая при
увеличении расстояния, т. е. жидкости обладают лишь
ближним порядком в пространственном расположении
молекул. Легкость, с которой данная молекула может
менять своих соседей, связана с вязкостью жидкости.
2. Поверхностное натяжение. Если молекула находится
внутри объема жидкости», то силы межмолекулярного
притяжения действуют на каждую молекулу
равномерно со всех сторон и потому взаимно компенсируются.
Иначе обстоит /дело в поверхностном слое, толщина
которого меньше радиуса действия молекулярных сил.
Здесь молекулы имеют одинаковых с ними соседей лишь
с одной стороны. В этом случае силы притяжения дают
результирующую силу, направленную внутрь жидкости.
Под действием этой силы молекулы стремятся перейти
во внутренние слой, а жидкость стремится принять та-'
15* • . 227

кую форму, площадь поверхности которой имела бы
наименьшее значение. Поверхностный слой жидкости
шри этом сокращается и находится в состоянии
натяжения. Поверхностное натяжение проявляет себя как сила,
направленная по касательной к поверхности жидкости.
Эта сила называется силой поверхностного натяжения.
При увеличении поверхности внешние силы должны
совершить работу против сил поверхностного натяжения,
препятствующих растяжению поверхности жидкости. ,
Рекомендуем решить задачи № 278, 280,
281, 283, 286, 287 из задачника [2].
3. Структура твердых тел. Под твердыми телами в
тепловом равновесии обычно подразумеваются кристал-
л ы. Характерной особенностью кристаллов является
регулярное расположение в них атомов. О совокупности
точек, в которых расположены атомные ядра, говорят
как о кристаллической решетке, а сами эти
точки называют узлами решетки. * Структурной
единицей кристалла является элементарная
ячейка— параллелепипед, содержащий одинаковое
количество одинаково расположенных атомов. Размеры,
форма и расположение атомов в ячейке полностью
определяют структуру кристалла, так ка*к последний
представляет собой совокупность элементарны^ ячеек,
периодически повторяющихся в пространстве. В этом смысле
можно говорить о порядке на дальних расстояниях, или
о дальнем порядке, в расположении узлов
решетки в кристаллах. В кристаллической решетке атомы
связаны силами взаимодействия, зависящими, конечно, от
расстояния между ними. Наибольшим является
взаимодействие атомов со своими ближайшими соседями.
Тепловое движение атомов кристалла носит в
основном колебательный характер — каждый атом совершает
колебания около положения равновесия — узла решетки.
Однако поскольку в кристалле* кинетическая энергия
колебательного движения атомов значительно меньше
абсолютного значения потенциальной энергии
взаимодействия, то тепловое движение не может разрушить
евязь между атомами. Поэтому твердое тело* в отличие
от жидкости сохраняет свою форму и обладает большой
механической прочностью.
Реальные кристаллы никогда не имеют идеально
правильной решетки. Правильное периодическое располо-
228

женйе atoMOB в пространстве нарушается из-за
теплового движения и наличия различных дефектов
кристаллической решетки. Наиболее простой тип дефектов
состоит в отсутствий атома в узле решетки, атома,
смещенного, из своего узла в новое положение (в так
называемое междоузлие), в замене «своих» атомов атомами
чужеродных примесей и т. д. В металлах к дефектам
относятся прежде всего нарушения периодичности ре- .
шетки, связанные с наличием совокупности .мелких
кристалликов, имеющих различную ориентацию. Такие тела
называют поликрйсталлическими.
Наряду с кристаллами в природе существуют также
и аморфные'твердые тела, в которых атомы
обладают лишь ближним порядком в расположении частиц и
этим не отличаются от жидкостей.
4. Закон Гука, Под влиянием внешних сил тела в той
или иной степени деформируются, т. е. изменяют свою*
форму й* объем. При деформации молекулы тела
смещаются, и тело выводится из состояния равновесия,
в котором оно находилось первоначально. При этом
вследствие взаимодействия молекул (см. § 20), в теле
возникают силы, стремящиеся вернуть его в состояние
равновесия. Эти силы действуют на каждый элемент
поверхности некоторого объема тела со стороны
окружающих его частей. Давления, возникающие в теле при
деформации, обычно называют внутренними
напряжениями.
Мы ограничимся рассмотрением деформаций одно-*
родных изотропных тверды^ тел, исчезающих после
прекращения действия внешних сил. Такие деформации
называют упругими.
Простейшим, видом деформации является
растяжение (или сжатие) тонкого горизонтального стержня,
один из концов которого закреплен, а к другому
приложена сила F, стремящаяся растянуть стержень. 5 —
площадь поперечного сечения стержня.
При деформации стержня меняются расстояния
между его частями. Если до деформации малый элемент
стержня, расположенный на расстоянии х от тбчки
закрепления, имел длину Ах, то в деформированном
состоянии его длина станет равной Ах+Аи. Отношение
Да
j— характеризует относительное удлинение элемента
22

А*. Упругие деформации обычйб йевеликй — величина
относительного удлинения очень мала. Для достаточно
малых деформаций относительное удлинение
пропорционально напряжению, р (х).= -ip-, т. е. силе,
действующей на единицу площади поперечного сечения стержня.
Это утверждение называется законом Гука (1676 г.). Мы
запишем его в виде
д^—-g- Рух)=-ё5~> (23Л)
где постоянный коэффициент Е называется модулем
Юнга. Модуль Юнга определяется только свойствами
материала стержня. Его размерность совпадает с
размерностью давления. Для резины, например, Е=
=1Q7 н/м2, для стали — 1811 н/м2.
Величина деформации всего стержня
характеризуется полным удлинением Д/=/—/о (/о и / — длины стержня
до и после деформации) и относительным удлинением
~7— Для того чтобы найти полное удлинение, нужно
0
просуммировать элементарные удлинения Ащ каждого
элемента А**. В равновесий на каждый элемент Ах со
стороны прилегающих элементов действуют одинаковые
F
силы IF. Это означает, что напряжение /? = -^-одинаково
.ёдоль всей длины стержня, и поэтому полное удлинение
Д/=£д«г=-§-2]дл;,=£К (23.2)
Полученное соотношение можно переписать в виде*
> Д/=А ^_ или F = kM, (23.3)
го
где & = -т-называют коэффициентом жесткости стержня
Для резинового жгута длины /0=1 м и сечения S= 1 см2
жесткость k=iO* н/ы.
При упругих деформациях относительные удлинения,
как правило, не превосходят 0,001. Это значит, что при
межатомных расстояниях порядка 2 А положения
равновесия атомов смещаются на величину не более 0,002А,
230

При больших смещениях тело уже не возвращается к
исходному виду при снятии внешних нагрузок. Существует
определенная для каждого тела критическая величийа
напряжения, при котором тело начинает разрушаться.
Эта величина называется пределом прочности. Таким
образом, закон Гука применим в широком, интервале
напряжений вплоть до критических.
' 'ft*
// / / / У У У У У У У У У У
23. к • Рис. 23.2
Задача 23.1. Между двумя столбами натянута медная
проволока. К проволоке точно посередине подвешен
фонарь весом Р. Определить относительное удлинение
проволоки, считая его малым. Площадь поперечного
сечения проволоки S=l мм2, £=10в кГ/см2, Р=0,28 кГ.
Решение. Натяжение проволоки, как видно из
рис. 23.1,
Из закона Гука следует, что
очевидно,
=7- = — 1 = (3)
/0 COS a COS а v l
При малых углах sin а ~^ а, cosccvil. Учитывая это,
из (3) получим а! = 2у. Приравнивая (1) и (2), [найдем
искомое удлинение:
А/ 1 ff\ V/i_ о г; ю-«

Задача 23.2. Динамометр, который находится на
гладкой горизонтальной поверхности, тяцут с силой F^==A н
(рис. 23.2). Что показывает динамометр, если масса
корпуса М=3 кг, масса пружины т=\ кг? Градуировка
динамометра проводилась при закрепленном корпусе.
Решение. Поскольку при градуировке корпус был
закреплен, то показание динамометра будет равно:
Г==£Д/. (1)
Найдем теперь полное удлинение пружины А/. Если
масса пружины была бы пренебрежимо малой, то любые
равные элементы пружины удлинялись бы на
одинаковые величины (так как в этом случае напряжение р
постоянно) и динамометр показывал бы силу F. При
N
тфО это не так. Определим напряжение /?=—=• асече-
о
нии, которое находится на расстоянии х от левого
конца пружины. Силу N, действующую ц этом сечении,
найдем из второго закона Ньютона:
(т—~-
Следовательно, напряжение
меняется от сечения к сечению. В этом случае согласно
. (23.1) различные элементы AXi первоначально недефор-
мированной пружины удлиняются на разную величину
в зависимости от положения х< элемента Аде* (*о=О, хп=
=/о> /)
Полное удлинение М равно
232.

Нетрудно 6йДё?ь, что последняя сумма в (4) равна плб-
щади, треугольника с основанием /0 и высотой /0.
Поэтому
ES
Учитывая, что k — -j-ч из (I) и (5) получим показание»
'—2<Af+«)F- ' W
Подставляя числовые данные, найдем 7" = -g- F|= 3,5 н.
Исследуем некоторые частные случаи: *
1) т — О, T = F, т
§ 24. Тепловое расширение тел. Газовая шкала
температур
При нагревании газообразные и большинство
жидких и твердых тел расширяются. Объясняется это тем,
что при возрастании температуры среднее расстояние
между молекулами растет. Различные вещества
расширяются при нагревании неодинаково..
1. Расширение твердых тел. По отношению к твердым
телам обычно различают изменение линейных размеров
(длины, диаметра и т. д.) —линейное расширение и
изменение объема — объемное расширение. Измерения
показывают, что относительное удлинение или
относительное изменение объема пропорционально изменению
температуры
(24.1)
(24.2)
Здесь /о, Vq относятся к температуре 0°С, величины а
и р, характеризующие тепловое расширение материала,
различны для различных веществ и называются
соответственно коэффициентами линейного и объемного рас-
233

Шипения. Й таблиц видно, что величины а и $ можнд
считать постоянным*} только в некотором интервале
температур, в котором изменения коэффициентов малы
по сравнению с величиной этих коэффициентов. В
задачах обычно приводят средние значения коэффициентов
в определенных интервалах температур. Величины а и
Р связаны соотношением 0=?=3а.
В том случае, когда заданы длина /4 и объем V±
тела при температуре t°iC=£O °С, топри условии a£, a#i<Cl,
f#> ftfi<!-l можно пользоваться простыми проближенны-
ми формулами, достаточно точными для практических
расчетов:
.)]. (24.3)
^)1. v (24.4)
Пример 24.1. Ка^ую силу нужно приложить к
стальному стержню, чтобы воспрепятствовать его
расширению при нагревании на t=l°C? Коэффициент линейного
расширения стали а=1,Ы0"5 град-*1, модуль Юнга Е=
=2-104 кГ/см2, площадь сечения стержня 5=1 см2.
При нагревании на f в свободном состоянии4
относительное удлинение стержня составило бы
Чтобы воспрепятствовать расширению стержня на А/,
его нужно сжать силой
F=*ES^- = ESat = 22 кГ.
При нагревании на 50°С эта сила достигла бы зна-
.чения 1100 кГ. Огромные силы, возникающие при
тепловом расширении, необходимо учитывать в технике. Так,
чтобы избежать действия этих сил, рельсы
железнодорожного полотна укладывают с зазорами.
Задача 24.2. Какой должен быть оставлен зазор
между рельсами, если укладка производится при
температуре #1=—20°С, а максимальная летняя температура
fa=40°C. Длина рельса L=12,5 м, а=1,Ы0"5 град-1.
Решение. Из формулы (24.3) находим удлинение А1
рельса при изменении температуры от t\ до /&:
Д/ = La (/t-^/1) = 0,82 см.
234 .

Задача 24.3. Какую работу может совершить
стальной стержень при нагревании на £=ГС? (Длина
стержня L=\ м, площадь поперечного сечения 5=1 см2.)
Решение. При нагревании стержня с закрепленными
концами на Р сила, действующая со стороны стержня
на тело, препятствующая его расширению, *
• ч
Если этому телу дать возможность перемещаться, то
длина стержня увеличится на Ы=Ьо&. При этом сила
линейно уменьшится от значения \F до нуля. Работа,
совершаемая стержнем (см. § 12):
A=^ESLaH2<v,l,2.10-5 дж.
2, Расширение жидкостей. Тепловое расширение
жидкостей существенно больше, чем' тепловое расширение
твердых тел. Изменение объема с увеличением
температуры происходит по закону
Здесь Уо — объем жидкости при* 0°С, у — коэффициент
объемного расширения жидкости.
. Особенности расширения воды. При понижении
температуры до 4°С объем химически чистой воды
непрерывно сокращается. Но как только достигнута
температура 4°С, наступает обратное явление: вместо
дальнейшего сокращения объема, по мере понижения
температуры от 4° до точки замерзания, вода постепенно
расширяется. Вода, замерзая и превращаясь в лед,
увеличивается в объеме примерно на -уу по сравнению с
объемом жидкой фазы. Другими словами, плотность воды
р=103 кг/м3 максимальна при температуре 4°С и
уменьшается с*уменьшением или увеличением температуры.
Эта особенность расширения воды связана с тем, что
начиная с 4°С происходит перестройка ближнего
порядка— между молекулами воды возникают связи,
характерные для кристаллической структуры льда. В
интервале температур от 4 до 0°С влияние этих связей
сильнее, чем тенденция сжиматься вследствие уменьшения
подвижности молекул воды с уменьшением температу-
235

ры. Поэтому при понижении температуры от 4° вода
расширяется до тех пор, пока не затвердеет при 0°С. '
3. Газовая шкала температур. Под термометром мы
понимаем макроскопическую систему, устроенную т#-
ким образом, что при отдаче или поглощении тепла у нее
может изменяться только один параметр, зависящий от
температуры. Если термометр находится в состоянии
теплового равновесия с какой-то системой Л, то этот
параметр принимает некоторое значение, определяющее
температуру системы А.
В основе устройства жидкостных термометров лежит
свойство вещества расширяться при повышении
температуры— различным температурам соответствуют
различные объемы жидкости. Однако поскольку
коэффициент объемного расширения у зависит от температуры,
то шкала термометра будет неравномерной. Кроме того,
различные жидкости расширяются по-разному, а
водяной термометр был бы совсем непригоден для измерения
температуры. Этими недостатками не обладают
разреженные газы — любые из них расширяются при
нагревании одинаково. Действительно, в уравнение газового
состояния (22.9) входит одна характеристика газа —
число, молекул. Это позволяет дать определение
температуры, не зависящее от каких-либо частных свойств
газа.
Предположим, что мы имеем возможность точно
измерять объем газа, заключенного в баллоне при
постоянном давлении р. "Т^кая система образует
газовый термометр постоянного давления. Параметром,
связанным с температурой, является объем газа.
Опустим баллон с газом в лед, тающий при атмосферном
давлении. Обозначим объем газа в баллоне после уста»
новления равновесия через Vo. Очевидно,Vo= •
(m — масса газа). Если же баллон опустить в кипящую
воДу;. в равновесии объем газа' будет равен: •
к- p.
Произвольной температуре Т соответствует объем F =
Г — То _У—Ур
236

Примем далее, что интервал между температурой
таяния льда и температурой кипения воды Гк—Г
=100°. Тогда объему V соответствует температура
Этим равенством определяется универсальная газовая
шкала температур.
Рекомендуем решить задачи № 281, 283, 287,
288 из задачника [1] и №222, 225, 227, 228 из
задачника [2].
§ 25. Изменение агрегатного состояния вещества.
Свойства паров. Влажность
Понятия «твердый»,, «жидкий» и «газообразный» вт-
носятся к агрегатному состоянию вещества, а не к
самому веществу. Переход из одного состояния в 'другое
(при постоянном давлении) происходит всегда при
строго определенной температуре и всегда связан с
выделением или поглощением некоторого количества тепла.
При изменении давления меняется и температура
перехода. Переход вещества из одного состояния в другое
происходит не мгновенно, а в течение некоторого
времени, когда два состояния вещества существуют
одновременно в тепловом равновесии.
1. Плавление тел. В твердом теле атомы совершают
малые колебания около фиксированных положений
равновесия. По мере возрастания температуры атомы
движутся* все интенсивнее. Наконец, наступает такой
момент, когда связи между атомами начинают
разрываться. Это означает, что постепенно исчезает -дальний
порядок и твердое тедо будет переходить в жидкое
состояние. Такой переход называется плавлением. При
плавлении работа по разрушению решетки совершается
за счет тепла, подводимого телу извне. Плавление
сопровождается увеличением потенциальной энергии
системы атомов, а кинетическая энергия не меняется.
Поэтому плавление происходит при постоянной температу-'
ре (называемой температурой плавления). При данном
давлении плавление'происходит при строго
определенной теМпературег Количество тепла, необходимое для
превращения единицы массы вещества в жидкость при
2S7

температуре плавления, называют удельнрй теплотой
плавления Я. Для плавления т г вещества необходимо
затратить количество тепла
bQ = Xm. • (25.1)
Поскольку изменение агрегатного состояния
происходит при постоянном давлении,* то теплота перехода AQ
согласно (21.2)
-V1), (25.2)
•
где Wt (ТРг)—внутренняя энергия вещества в твердом
(жидком) состоянии, Vi (V2) — объем вещества массой
т в твердом (жидком) состоянии, р — давление, при
котором происходит переход. Последнее .слагаемое
в (25.2) — работа по расширению против сил внешнего
давления.
При охлаждении расплавленного твердого тела
происходит обратный процесс, называемый
кристаллизацией. Образование кристалла происходит при
определенной температуре, равной температуре плавления.
Затвердевание сопровождается уменьшением потенци1
альной энергии системы атомов, так как атомы, образуя
кристаллическую решетку, переходят в более устойчивое
состояние. При этом эквивалентное количество тепла,
равное теплоте плавления тела отдается во внешнюю
среду, а кинетическая энергия атомов не меняется. В
силу этого кристаллизация происходит при постоянной
температуре. При кристаллизации т г жидкости
согласно (25.2) выделяется количество тепла AQ'=Xm.
Аморфные тела в противоположность кристаллам не
имеют определенной температуры плавления.
Задача 25.1. В теплоизолированный калориметр,
содержащий mi=2 кг воды при температуре #i=;30oC,
положен кусок льда массой тг=4 кг, имеющий
температуру #2——20°С. Определить температуру 0 после
установления теплового равновесия и содержимое
калориметра. Удельные теплоемкости: воды Ci=420 дж/кг-град;
#ьда с2=2120 дж/кг-град. Удельная теплота плавления
льда А,=3,3-105 дж/кг.
"Решение. Поскольку в силу малой сжимаемости воды
и льда АЛ=0, а калориметр теплоизолирован, то
согласно первому закону термодинамики (21.1) внутренняя
энергия системы Остается Неизменной, перераспределяв
238

*йсь Между телами системы. Для всей системы в Ц
AQ=O: Поэтому уравнение теплового баланса может
быть записано в виде
] ' AQ. + AQ^O, , (1)
г!де AQt и AQ2 —приращения количества тепла для воды
и льда. В задачах рассматриваемого типа заранее не
ясно, в каком агрегатном состоянии находится система
после установления теплового равновесия. Поэтому
сначала нужно провести анализ возможных конечных
состояний и только после этого записать*уравнение
теплового баланса (1) с учетом агрегатных превращений.
Пусть- Qi—miCth — количество тепла, выделяемого
водой при ее остывании до 0°С, Q2=/n2fe | fe |
—количество тепла, поглощаемого льдом при нагревании до 0°С,
Q'i=A,mi— количество тепла, отдаваемое, водой при
замерзании, Qf2=km2 — количество тепла, поглощаемое
льдом при плавлении. Предположим, что Q\>Q^ Тогда
возможны два случая: 1) Qi>Q2+Q'2 — весь лед
растает й температура смеси будет выше 0°С, 2) Qi<Q#4-
+]Qf2 — часть льда растает и температура будет 0°С.
Теперь предположим, что Qi<Q2. Тогда, учитывая, что при
замерзании воды выделяется тепло, возможны два других
конечных состояния: 3) Qi+Q'i<Qz— вся вода
замерзнет и температура смеси будет ниже 0°С, 4) Qi-f Q'i>
;>Q2 — часть воды замерзнет и температура смеси
будет 0°С
В нашей задаче Qi=4,2-105 дж, Q2=l,68-105 дж. Так
как Qi>Q2, то возможны случаи 1 или 2. Поскольку
Q^iissz 1,32• 106 дж, то реализуется случай 2, так как Q\<>
<Q2+Q/2. Следовательно, температура смеси 6=0°С.
Составив для этого случая уравнение теплового
баланса (см. формулы (21.9)):
найдем из него массу растаявшего льда
тх = -}- [СгШ, (tt - Ь) + с2тг (*, - 9)] = 0,763 Rr
Таким образом, в калориметре будет содержаться
2,763 кг воды и 3,237 кг льда при 0°С.
2. Испарение. Пар образуется при испарении и
кипении жидкости. Рассмотрим процесс испаревия.
Молекулы в жидкости связаны силами притяжения (см. § Щ,
239

удерживающими их внутри жидкости. При переходе из /
жидкости в пар молекулы затрачивают часть
кинетической энергии, совершая работу по преодолению сил
притяжения. Поэтому испаряются' в основном самые
быстрые молекулы, обладающие достаточным запасов
кинетической энергии. Средняя кинетическая энергия
остающихся молекул уменьшается, и, следовательно,
жидкость, из которой идет испарение, охлаждается.
Для испарения при постоянной температуре
жидкости необходимо сообщить тепло. В состоянии теплового
равновесия температуры жидкости и пара одинаковы,,
несмотря на то, что испаряются молекулы с анергиями
выше средней энергии. Объясняется это тем, что при
переходе из жидкости в пар молекулы теряют избыток
кинетической энергии, преодолевая силы притяжения.
Поэтому средняя кинетическая энергия пара
оказывается равной средней кинетической энергии молекул
жидкости. Количество тепла, которое необходимо сообщить
жидкости для испарения единицы ее массы при
постоянной температуре, .называется удельной
теплотой парообразования/ С ростом температуры величина
удельной теплоты парообразования уменьшается.
Количество теплоты, которое надо затратить, чтобы
перевести в пар т. г жидкости, AQ=rm, где г — удельная
теплота парообразования.
3. Свойства насыщенных паров. Если испаряющиеся
молекулы все время отводятся от поверхности
жидкости, то процесс испарения будет продолжаться до
полного превращения жидкости в пар. При испарении
жидкости в замкнутом сосуде молекулы, испытав
несколько соударений, могут снова попасть в жидкость.
В начале процесса испарения число молекул,
вылетающих из жидкости, больше числа молекул, вновь
возвращающихся в нее. Плотность и давление пара
возрастают. Испарение продолжается до тех пор, пока не
установится динамическое равновесие, характерное
для данной температуры: в жидкость возвращается
столько молекул, сколько вылетает из нее. При % этом
плотность и -давление пара остаются неизменными. Пар,
находящийся в равновесии со своей жидкостью,
называют насыщенным, а его давление называют
упруго с т ь ю насыщенного пара. Давление насыщенных
паров— наибольшее давление, какое могут иметь пары
при данной температуре. Величина этого давления при
240

данной температуре одинакова независимо от
величины объема. Поэтому если в процессе изотермического
изменения объема сохраняется динамическое
равновесие между паром и жидкостью, то давление пара не
меняется. Не меняется также и плотность пара: ^
Следовательно, масса пара изменяется
пропорционально его объему. Из сказанного следует, что
поведение насыщенного пара при изотермическом процессе
отличается от поведения обычного газа — в отличие от
газа давление соприкасающихся с жидкостью паров
нельзя изменить, увеличивая или уменьшая объем, при
неизменной температуре.
При увеличении температуру давление насыщенных
паров возрастает.
* 4. Кипение. Если жидкость находится в открытом со^
суде, то при образовании пара часть воздуха над
жидкостью вытесняется паром. Жидкость будет непрерывно
испаряться, поддерживая давление пара у поверхности,
равным упругости рн. Испарение происходит при любой
температуре вне зависимости от давления. Однако
атмосферное давление р9 под которым находится жидкость,
существенно влияет% на ход процесса испарения. Если
давление насыщенных паров рн при данной температуре
Меньше давления р, то происходит сравнительно
медленное испарение жидкости с ее поверхности. Если'же
давление насыщенных паров достигает давления
атмосферы, то возникает бурное испарение — кипение. Оно
характеризуется тем, что пар образуется не только с
поверхности жидкости, но и при разрыве всплывающих
из толщи пузырьков, заполненных насыщенным паром.
Центрами их образования являются мельчайшие
пузырьки посторонних газов или частицы различных
примесей. Процесс превращения жидкости в пар требует
затрат энергии на разрыв межмолекулярных связей
. в жидкости. При постоянной температуре (в состоянии
теплового равновесия) все подводимое жидкости тепло
расходуется на парообразование.
Определенному внешнему давлению соответствует
определенная температура кипения. При неизменном
внешнем давлении жидкость закипает при нагревании
до температуры, при которой давление насыщенных
паров становится равным внешнему давлению. Можно за-
«
16—125 "- 241

кипеть жидкость й при Неизменной температуре,
понижая внешнее давление. Так, можно заставить
кипеть воду при 20°С при внешнем Давлении, равном
17,54 мм рт. ст. (поскольку давление насыщенных паров
при этой температуре равно 17,54 мм рт. ст.).
Тщательно очищенная и обезгаженная жидкость
может существовать при температуре выше точки кипения.
Такая жидкость называется перегретой (так как
существует в условиях, при которых она должна быть
в газообразном состоянии) .» Перегрев жидкости можно
осуществить как подводом тепла, так и уменьшением
давления. Перегретая жидкость находится в
неустойчивом состоянии. Так, перегретая жидкость мгновенно
закипает при внесении в нее центров парообразования.
Пример 25*2. Объяснить, почему летучие^ жидкости,
например эфир и другие, быстро испаряются и кипят
при более низкой температуре, чем вода.
У летучих жидкостей сила притяжения между
молекулами слабее, чем у молекул воды. Поэтому у них
давление насыщенного пара рн больше, чем у воды
(у эфира при комнатной температуре рн=437 мм рт. ст.,
у воды — 17,5 мм рт. ст.). При испарении давление пара
у поверхности жидкости довольно быстро становится
равным давлению насыщенных паров, характерному для
данной температуры: Следовательно, чем больше
упругость пара, тем быстрее испаряется жидкость. При
сравнительно небольшом увеличении температуры
давление насыщенных паров летучих жидкостей достигает
атмосферного давления, и они закипают.
5. Свойства ненасыщенного пара. Пока часть
вещества остается в жидком состоянии, давление пара в
замкнутом сосуде при неизменной температуре остается
постоянным. При увеличении объема или температуры
жидкость может испариться полностью. Динамическое
равновесие нарушится. Если плотность и давление пара
станут меньше, чем плотность и давление насыщенного
пара, то такой пар называют ненасыщенным.
Ненасыщенный пар ничем не отличается от обычного газа.
Разница в этих понятиях сложилась в силу привычки
называть «газами» те вещества, у которых при
комнатных температурах давление насыщенного пара выше
атмосферного давления. Например, давление
насыщенных паров, жидкого кислорода достигает 1 атм еще прг
242

температуре — 183°С. Поэтому при атмосферном
давлении жидкий кислород кипит при любой температуре,
большей—183°С. Если же вещество при нормальных
условиях остается в жидком состоянии, то, изменяя
температуру или давление, мы получаем «пар».
Ненасыщенный пар подчиняется уравнению
состояния идеального газа (22:3). Однако при значениях
давления пара, близких к давлению насыщенных паров,
возникают отклонения от теории идеального газа,
связанные со взаимодействием молекул. С этой оговоркой
уравнение газового состояния может быть применено и
для насыщенных паров. Следует, однако, помнить, что
при изменении параметров р, V и Т может меняться
также и масса газа.
6. Конденсация. Переход вещества из газообразного
состояния в жидкое называется конденсацией. При
переходе из пара в жидкость кинетическая энергия
молекулы увеличивается настолько, насколько она теряла
ее при испарении. Поэтому если кокденсация
происходит при постоянной температуре, то в. окружающую
среду, должно выделиться количество тепла, равное
теплоте парообразования.
Пар, находящийся над поверхностью жидкости,
сразу конденсируется. Для конденсации пара, не
соприкасающегося с жидкостью, необходимо наличие центров
конденсации, роль которых играют пылинки или.
поверхности, смачивающиеся данной жидкостью.
Тщательно очищенный от примесей пар может быть доведен до
состояния с давлением, превышающим давление
насыщенных паров при данной температуре.. Пар в таком
состоянии называют йересыщенным, или
переохлажденным. Это состояние неустойчиво. Если
через пересыщенный пар пролетает заряженная
частица, то вокруг нее образуются мельчайшие капельки,
которые можно наблюдать визуально. На этом явлении
основано устройство камеры Вильсона, служащей для
наблюдения следов различных заряженных частиц.
Удельная теплота парообразования воды г==
=539 кал/г. Благодаря большому значению г земная
атмосфера запасает огромное количество солнечной
энергии. Происходит это следующим образом: каждую
минуту под действием солнечных лучей испаряется
1 млрд тонн воды. Когда пар попадает в холодные слои
16* . 243

атмосферы, он обращается в воду: каждый грамм пара
при конденсации выделяет 539 кал., нагревая
окружающий воздух. Таким образом, каждую минуту атмосфера
получает столько энергии, сколько производят 40 млн.
электростанций мощностью 1 млн квт. каждая. Часть
этой энергии проявляется в опустошительных ураганах
и тайфунах.
Задача 25.3. Почему пар обжигает сильнее воды той
же температуры?
Рекомендуем решить задачи № 293,295,
297, 298, 300, 303 из задачника [1].
7. Влажность. Для того чтобы судить, много или мало
водяных паров нахвдится в воздухе, вводят понятие
влажности. Абсолютная влажность —это
количество пара (в кг), содержащееся в 1 м3 при данной
температуре, т. е. абсолютная влажность равна
плотности паров воды. Относительная влажность
. В — отношение (выраженное обычно в процентах)
абсолютной влажности к плотности насыщенного пара рн
, при той же температуре, т. е.
'В=Ь^ (25-3>
Это отношение меньше или равно единицы, так как при
данной температуре р<рн. Формула (25.3) может быть
записанаJb эквивалентном виде (так [как P=^sf-> (для
паров[воды [а =18 кг/кмоль):
■ ' В = £. (25.4)
Здесь р—давление паров воды, находящихся в воздухе.
Общее давление р влажного воздуха складывается
Ъз давления сухого воздуха рв и давления паров воды
рп:р=рв+рп.
Точка росы. Пубть абсолютная влажность воздуха,
взятого при температуре /, равна р. При понижении
температуры абсолютная влажность не меняется,
однако плотность насыщенных паров при этом уменьшается.
При некоторой температуре t\<t абсолютная влажность
станет равной плотности насыщенных паров рш при
температуре ti. Дальнейшее понижение температуры
приведет к конденсации пара. Температура U, при которой

пар, взятый при температуре t, становится насыщенным,
называется трчкой росы. По значениям двух температур
/i и /i с помощью таблиц можно определить абсолютную
и относительную влажности:
где рн — плотность насыщенного пара при
температуре L ,
Задача 25.4. В замкнутом объеме V=3 м3
относительная влажность воздуха 5=60%. Сколько воды надо
еще испарить в этот объем, чтобы водяной пар стал
насыщенным? Плотность насыщенного пара при данной
температуре рн=17,3-10~3 кг/м3.
Решение. Пусть т — первоначальная масса пара.
Тогда по определению (25.3)
Если испарить еще Am г воды, то плотность пара
должна стать равной
Рн=- £-. (2)
Из уравнений (1) и (2) находим
Д/п = (1 -Я)Рй1/= 6,92 г.
Задача 25.5. Смешали объем V\ воздуха влажности
В\ и объем V$ воздуха влажности Вг. При этом Обе
порции взяты при одинаковой температуре. Смесь занимает
объем V\ + V2. Определить ее. относительную влажность.
Решение. Пусть рн — плотность насыщенных паров,
соответствующая температуре, при которой взяты
объемы, pi и рй — плотности паров в объемах V\ и V2. По
определению относительной влажности
• *■ = ■£-• в'=£- <»
Абсолютная влажность смеси равна
а относительная
Q t _ P.Vi
24Б

Исключая из (2) pt и р2 с помощью (1), получим
Задача 25.6. В* помещении объемом V=50 м3 нахо-
дится воздух, влажность которого Bi=40%L После
испарения /л=230 г воды влажность стала В2=60%.
Какова плотность насыщенного пара воды при температуре
помещения?
Задача 25.7. Определить, насколько меньше масса
кубического метра влажного воздуха (при относительной
влажности В=60%,-температуре (=27°С и
атмосферном давлении) по сравнению с массой кубического
метра сухого воздуха при тех же температуре и
давлении: Молекулярный вес пара [хп=18 кг/кмоль, воздуха
|лв=29 кг/кмоль, давление насыщенных паров воды при
27°С равно рн=26,74 мм рт. ст.
Решение. Масса влажного «воздуха, находящегося
в объеме V=\ м3, равна сумме масс пара и воздуха:
. (1)
Учитывая, "что атмосферное давление равно сумме
давлений-пара и воздуха:
а относительная влажность согласно (25.4)
А=£. , (3)
из уравнений (1) —(3) найдем
^H (4)
Поскольку масса сухого воздуха при тех же условиях
равна ^-V, то искомая разность масс ♦
н = 9А6 г.
Уменьшение массы влажного воздуха по сравнению
с массой сухого следует из закона Авогадро: при
одинаковых условиях в одном* кубометре сухого и влажного
воздуха должно содержаться одинаковое число молекул.
Поэтому при увеличении влажности замещение части
246

йолёкул воздуха более Легкими молекулами воДы
приводит к уменьшению массы влажного воздуха.
Задача 25.8. В объеме V0=l м3 находится т=Х2 г
воды, насыщенный пар и сухой воздух при давлейии
ро=76О мм рт. ст. Плотность и давление, насыщенного
пара при данной температуре 11°С соответственно равны
рн=10-2 кг/м3, /7Н=9,84 мм рт. ст. Какое установится
давление при изотермическом расширении объема Vq
до значения V\: " *
■ ' a) Vi=2V0, б) Vi = 5V0.
Решение. Давление в объеме Vo равно сумме
парциальных давлений сухого воздуха ро—ря и насыщенного
пара рн. Давление в объеме V\ также равно сумме
парциальных давлений сухого воздуха рй и пара рп:
Давление воздуха определяется из уравнения (22.3)
Определим давление пара. Для этого предварительно
найдем, при каком значении объема Vx испарится
масса пг воды. Поскольку в процессе испарения плотность
насыщенного пара не меняется, то _
Следовательно,
Если V\<VX, то испарится лишь часть воды, и давление
пара останется равным рн. В этом случае
Р = Р* + Рн = (Ро-Рн)^+Рп- .. (2)
«*
Если V\ > VXt то испарится вся вода, я пары воды станут
ненасыщенными. Давление пара можно найти из
уравнения состояния s
7 Г^э Т "~?—*'
PvVo
"7
247

В этом случае полное давление
/г-А^+^-йЬ • (3)
Подставляя числовые значения, находим, что V^=2,2 Vo.
Поэтому в случае а) давление определяется
отношением (2):
/7="2~ КРо-гРн)^6™ ММ рТ. СТ.
В случае б)
1 . т р %СА~
4- е ., ,Ри= 104 MM DT. СТ.-
Задача 25.9. В объеме V—1 м3 находятся масса
т воды, насыщенный пар и сухой воздух при давлении
/?0=760 мм рт. ст. и температуре /0=Ю°С. Какое
установится давление при нагревании объема до
температуры *i=20°C в случае: а) т=10 г/б) т=\ г.
Плотность и давление насыщенных паров при температурах
*о и i\ соответственно равны:
Рно = 9»4 ~г, >но=9,2 мм рт.ст.; рН1=17,3 ^
./?я1=17»5 мм рт. ст.
Решение. Давление при температуре U равно
Давление сухого воздуха находится из уравнения
(22.3)
f
«Определим давление пара при температуре 7\. Для
этого найдем массу воды тх, которую надо испарить,
чтобы при температуре Т\ пары воды оставались
насыщенными:
Phi = V
Следовательно»
m,=(pHI-PH.)V. (1)
248

Если т>тх, то давление пара при температуре 7*i
останется равным ря. В этом случае общее давление.
н,- (2)
Если же т<тх, то пары воды станут ненасыщенными.
Давление пара можно найти из уравнения состояния
РтУ _ Ря<У р РдУ т+ РноУ' г» *
Т, н- к* Tt— j* *•
В этом случае полное давление
( _
Подставляя в (1) числовые данные, находим тх=799 г.
Поэтому в случае а) давление определяется
соотношением (2):
р=Ш (760 - 9>4>+17*б-=820»6 мм р?-ст-
В случае б)
=Ш (t60+ о9>2)==
(60+ о>)81* мм рт-ст-
Рекомендуем решить-задачи № 401, 403,
407, 409, 413—417 из задачника [1] и № 289, 290, 292,
293 из задачника [2].
§ 26. Тепловые двигатели
Механическая энергия тела есть только часть полной
энергии, которая складывается из механической и
внутренней энергии тела. Благодаря трению движение
любого тела замедляется. В силу закона сохранения
полной энергии замкнутой системы изменение механической
энергии равно изменению внутренней энергии тела и
окружающей среды. Тем самым механическая энергия
идет на увеличение кинетической энергии хаотического
движения молекул и изменение их взаимного
расположения—тело и окружающая среда нагреваются.
Каким же образом можно осуществить обратный
переход—превратить часть внутренней энергии тела в
механическую энергию упорядоченного движения тела как
249

целого? Это превращение осуществляется в
тепловом двигателе. Тепловым двигателем, или тепловой
машиной, называется физическая система,
преобразующая тепло в механическую -энергию. Тепловые машины
можно разделить на два типа. Машины первого типа
совершают некруговые процессы, производя при этом
полезную работу. К ним относятся устройства
однократного действия. Машины второго типа выполняют
полезную работу за счет последовательности круговых
^процессов. К ним относятся двигатели внутреннего
сгорания, паровые машины, турбины и т. д. Физические
принципы, лежащие в основе устройства тепловых
машин, являются следствием второго закона
термодинамики. Мы ограничимся рассмотрением машин второго
типа.
1. Второй закон термодинамики. Возьмем два тела
с различной температурой. Если мы приведем их в
соприкосновение, то через некоторое время тепло перейдет
от горячего тела к холодному, и оба тела окажутся в
состоянии теплового равновесия. Первый закон
термодинамики в принципе допускает и обратный
самопроизвольный (без внешних воздействий) процесс, т. е.
процесс, при котором проходят те же тепловые состояния,
но только в обратном порядке. При этом тепло будет
самопроизвольно переходить от менее нагретого к более
нагретому телу. Однако многочисленные опыты
свидетельствуют о том, что, достигнув состояния равновесия,
система сама по себе из него уже не выходит. Другими
словами, все тепловые процессы являются
необратимыми. Второй закон термодинамики
представляет обобщение опытных фактов. В
формулировке Клаузиуса (1850) он гласит: тепло не может
самопроизвольно переходить от менее нагретого тела
к более нагретому. Если такая передача
осуществляется, то неизбежны изменения в заданной нам системе тел
или в окружающей среде.
Молекулярная теория позволяет более глубоко
понять физический £мысл второго закона термодинамики.
Макроскопическая система может находиться в
различных * физических состояниях. Каждое состояние
осуществляется с определенной вероятностью. Однако из
опыта известно, что состояние изолированной системы
с течением времени стремится к равновесному. Тем са-
250

мым равйоЁесное состояние является наиболее
вероятным. Переход из равновесного состояния в
неравновесное настолько маловероятен, что необратимость
тепловых процессов можно считать' принципиальной.
Второе начало термодинамики неприменимо к
системам со сравнительно малым числом частиц. В таких
системах могут- наблюдаться флуктуации, связанные
с самопроизвольным переходом системы из более
вероятных состояний в менее вероятные. Типичный пример
проявления флуктуации — броуновское
движение, обнаруженное в 1827 г. на пыльце растений,
взвешенной в воде. Наиболее характерной особенностью
броуновского движения является то, что скорость
частицы все время меняется по направлению. В случае
большой поверхности частицы отклонения давления,
создаваемого молекулами, от среднего значения
несущественны. ЕслЬ же поверхность мала, то давление в разных
местах ^поверхности частицы различно. Движение
броуновской частицы не является непосредственно
молекулярным движением, а обусловлено флуктуациямй
давления, оказываемого молекулами среды на частицу.
2. Условия работы теплового двигателя. В то время
как механическую энергию можно полностью
превратить в тепло, обратный процесс возможен лишь при'
определенных ограничениях, вытекающих из второго
закона термодинамики.
Покажем вначале, что невозможно построить
тепловую машину, которая, отнимая тепло от одного
нагретого тела, систематически бы превращала его в работу.
Если бы мы могли совершить работу, отобрав тепло
у тела Л, то эту рабосу можно было бы снова
превратить в тепло и нагреть другое тело, имеющее
температуру, большую, чем у тела А. Полный результат
процесса в этом случае сводится к охлаждению «холодного»
тела А. Машину, работающую за счет получения тепла
от единственного теплового резервуара, называют
вечным двигателем второго рода. Закон сохранения энергии
при этом выполняется, поскольку требует только
уменьшения внутренней энергии тела А. Однако работа такой
машины противоречит второму закону термодинамики.
Из сказанного вытекает, что для получения работы
необходимо иметь по крайней мере два тела, имеющих
различные температуры, т. е. систему тел, не находя-
251

ЩиХСя в равйовесии. Вудем условно называть более
нагретое тело с температурой Т2 нагревателем, а более
холодное с температурой ТХ<Т2—холодильником, или
охладителем. При этом предполагается, что
температуры Т\ и Т2 поддержийаются постоянными.
Заметим прежде всего, что непосредственный
тепловой контакт между нагревателем и холодильником при-
0x/iQ9ume/ib
а)
Рис. 26.1
водит к необратимому переходу тепла и установлению
теплового равновесия. Однако мы только показали, что
с помощью тел, находящихся в равновесии, цевозможно
произвести никакой работы. Для того чтобы не
допустить непосредственного контакта между ними,
необходимо ввести еще одно вспомогательное тело. Это тело
называется рабочим веществом, или рабочим телом.
Обычно рабочим телом служит газ, пар или продукты
сгорания топлива в некотором объеме. Рабочее тело
совершает определенный .круговой процесс.
Схема преобразования тепла в работу в общем
случае периодически действующей машины цредставлена
на рис. 26.1. Рабочее тело приводится в соприкосновение
с нагревателем, получает от него количество тепла 4Q2
и, расширяясь, совершает работу А2 над внешними
телами. Приращение внутренней энергии при этом
&Wa.b = Q2—A2. Для того чтобы тепловая машина
действовала циклически, рабочее тело надо вернуть в
начальное состояние, сжимая его. Если не прерывать кон-
52

Такта рабочего,Тела с Нагревателем, то на эТо
Потребуется работа Л2. В конечном результате полезная
работа, совершенная рабочим телом, будет равна нулю.
Чтобы избежать этого, контакт с нагревателем
прерывается, и на участке be.рабочее вещество продолжает
расширяться без притока тепла извне; его температура
достигнет значения Ть рабочее телр приводится в
контакт с холодильником. Поскольку давление рабочего
тела уменьшилось, то в процессе сжатия на участке cd
внешние тела совершают работу Аи меньшую А2, а
холодильнику отдается тепло Q\. Изменение внутренней
энергии в этой части цикла AWCd=—\Q\+A\. Далее, на
участке da, прервав контакт с холодильником,
продолжим сжимать рабочее тело, пока его температура не
станет равной Г2. Поскольку рабочее тело по
проведении каждого цикла возвращается в исходное состояние,
то изменение внутренней энергии за цикл равно нулю:
Наиболее важен для термодинамики цикл Карно, для
которого AWbc+&Wda=0. Следовательно, АА=А2—Ах =
?=z&Q=zQ2—Qi. При проведении цикла по часовой
стрелре AQ>0. Поэтому совершаемая рабочим телом
полезная работа A=Q2—Qi. Следовательно, получая от
нагревателя энергию Q2, тепловая* машина превращает
в полезную работу только часть ее, равную Q2—Q\.
Остаток Qi передается холодильнику* Однако для
циклической работы двигателя, как мы видели, необходимы
и нагреватель и. холодильник.
Таким образом, количество тепла Q2 принципиально
не может быть полностью превращено в работу — часть
его идет' на нагревание холодильника.
Очевидно, коэффициент полезного действия
теплового двигателя
ч=-а££ч * (26Л)
Французский инженер Сади Карно доказал, что
к, п. д.,теплового двигателя не может быть больше,
величины
Для увеличения к. п. д. необходимо повысить
температуру нагревателя и понизить температуру холодиль-
253

кика. Ё реальных двигателях к. й. д. значительно ниже,
чем максимально возможный. ' ,
Цикл, обратный рассмотренному, используют для
охлаждения тел. Принцип работы холодильной машины
показан на рис, 26.2. Вначале рабочее тело приводится
в контакт с холодильником и создаются условия для
Haw eb am ель
I I
Р
Рис. 26.2
его расширения. При этом рабочее тело совершает
работу'Ль а холодильник отдает рабочему телу
количество тепла Qi, охлаждаясь еще больше. Изменение
внутренней энергии AW\ = Q\—Ль Для того чтобы
возвратить рабочее тело в исходнре состояние, необходимо
произвести сжатие и цередать нагревателю количество
тепла Q2. Работа, совершаемая внешними телами при
сжатии, равна Лг, а изменение внутренней энергии
рабочего тела AW2=—Ф2+Л2. Изменение внутренней
энергии за цикл AW=AQ—нДЛ=0, где AQ=— Q2+Q1,
ДЛ=—Л2+Ль Прскольку при прбведении цикла в
направлении против часовой стрелки AQ<0, то
совершаемая рабочим телом работа ДЛ=ф|—Q2<0.
Следовательно, при работе холодильной машины внешние тела
должны затрачивать работу Л=—&A = Q2—Qi>0.
Таким обра'зом, переход тепла от менее нагретого тела
к более нагретому возможен только за счет работы,
совершаемой внешними телами над рабочим веществом.
Поэтому для работы холодильной машины необходим
посторонний' двигатель. Очевидно, холодильная машина
передает нагревателю (или окружающей ее среде) теп-
254

лоту Q2, большую, чем теплота Qb отбираемая от более
холодного тела, на величину работы, затраченной
посторонним двигателем: Qz=Qi+i4>0. Следовательно,
каждая холодильная машина нагревает . окружающую
среду.
^ В бытовых холодильниках рабочим телом елужит
. газ, который может превращаться в. жидкость в
конденсаторе, расположенном в нагревателе. В испарителе
(расположенном в холодильнике) давление значительно
ниже, чем в конденсаторе. Проходя через испаритель,
жидкость испаряется, поглощая тепло Q\. После этого
газ нагнетают в конденсатор — газ сжижается и
выделяется количество тепла Q2.
• Задача 26.1. Определить к. п. д. цикла,
изображенного на рис. 21.2.,Начальные данные взять из условия
задачи 22.9.
Решение. Полезную работу A=Q2—Qu совершаемую
рабочим телом* проще всего определить из формулы
(21.5): Л=(р2—px)-(V2— Vi) =2 атм-10 л=2.9,8.104Х
Х10"3 дж. Учитывая, что 1 кал=4,18 дж, находим
А=488 кал. Количество тепла, полученное от
нагревателя, уже найдено в решении задачи 22.9: Q2=Vab +
+ Qda=4636 кал. Следовательно, к. п. д. цикла
Пример 26.2. Скорость струи пара перед попаданием
на лопатки паровой турбины равна v. Какова должна
быть скорость и лопаток, чтобы вся кинетическая
энергия струи пара могла перейти в энергию вращения
турбины?
Для того чтобы вся кинетическая энергия струи пара
перешла в энергию вращения турбины, скорость струи
„пара v' после отражения от лопатки должна равняться
нулю. Предположим, что столкновение струи с лопаткой
является упругим процессом."В системе отсчета,
связанной с лопаткой, скорость струи до соударения равна
v—щ а после соударения—(v—и)=и—v. _ Скорость
струи после соударения в системе отсчета, связанной
с Землей (см. § 4), равна v'=—v + 2u. Полагая v'=0>
находим и = -g-.
Рекомендуем решить задачи № 305—ЗДО
ир задачника j]lj.

Глава III. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 27. Закон Кулона. Свойство суперпозиции
1. Понятие об элементарных частицах и заряде.
Большое количество экспериментальных данных
позволило заключить, что наименьшая частица химического
элемента — атом г—имеет сложную структуру. Атом
состоит из ядра и движущихся йокруг него частиц —
электронов, образующих электронную оболочку атома.
Ядро, в свою очередь, состоит из протонов и нейтронов.
Протоны, нейтроны и электроны называют
элементарными частицами. Существуют и' другие эле-;
ментарные частицы.
Одной из характеристик элементарных частиц
является масса. Другой характеристикой является заряд.
Заряд — мера способности частиц к электромагнитным
взаимодействиям. Важным свойством электрического
заряда Является его существование в двух видах; которые
названы положительными и отрицательными зарядами.
Наряду с заряженными частицами существуют
нейтральные, не обладающие зарядом (например, нейтрон).
Опыт показывает, что величина заряда всех элементарг
ных частиц одинакова и равна абсолютной величине
заряда электрона:
е = 4,8.10-10 СГСЭ ед. заряда = 1,6-10~" к.
Поэтому любое заряженное тело содержит множество
элементарных зарядов постоянной величины е. Заряд
тела кратен элементарному заряду е. Таким образом,
заряд тела, как и его масса, может изменяться только
скачками. Однако заряд е настолько мал, что во многих
исследованиях электрический заряд удобно считать
непрерывной величиной.
На основе большого числа экспериментов,
проводившихся до сих пор, был сделан вывод: алгебраическая
266

сумма зарядов в изолированной системе всегда остается
постоянной. Под изолированной мы лонимаем такую
Систему, через границы которой не может проникнуть
вещество. В любыг процессах превращения и
взаимодействия элементарных частиц или макроскопических
тел выполняется закон сохранения заряда.
2. Закон Кулона. В-курсе физики средней школы мы
изучаем в основном явления, обусловленные действием
двух фундаментальных сил: гравитационных и сил
электромагнитной природы. Изучение последних составляет
предмет электродинамики или теории
электромагнетизма. Круг явлений, рассматриваемый этой теорией, чрез-.
вычайно велик, так как физические и химические
свойства этих веществ в
значительной степени
объясняются
электромагнитными силами. Известные в
механике силы трения,
реакции опоры и
натяжения также являются
проявлением сил
электрического взаимодействия.
Самым простым разде- Рис- 27^
лом теории
электромагнетизма является электростатика. В этом разделе мы
имеем дело с неподвижными или жестко закрепленными
зарядами. Изучая электростатику, часто используют
понятие точечного заряда. Точечным зарядом
называется заряженное тело, размеры которого малы по
сравнению с расстоянием'его до других тел. Взаимодействие
точечных зарядов описывается законом, открытым
в 1785 г. французским ученым Ш. Кулоном: на каждый
из двух точечных зарядов q\ и q2 находящихся в ва-
кууМе на расстоянии г друг от друга, действует сила,
прямо пропорциональная произведению зарядов и
обратно пропорциональная квадрату расстояния" между
ними. Сила направлена по прямой, соединяющей
заряды (рис. 27.1).
В векторной форме закон Кулона имеет вид
. (27,1)
Здесь F2i—сила, действующая на заряд q2 со стороны
заряда <7ь ~е<—единичный вектор,-направленный от q\
17—125 • - 257

к <7г> & — коэффициент, определяемый выбором системы
единиц. Согласно третьему закону Ньютона сила Fi2,
действующая на заряд <7i со стороны заряда q^ равна
Fi2=— F2i. Из (27.1) видно, что одноименные заряды
отталкиваются, а разноименные — притягиваются. '
3. Единица заряда. Любая система единиц должна
быть построена таким образом, чтобы все физические
величины можно было выразить через минимальное
число основные независимых единиц, представленных в ви-
.де физических эталонов. В качестве основных единиц
в механике выбирают единицы длины, массы и
времени. Для описания электромагнитных явлений
необходимо ввести еще четвертую независимую единицу.
Рассмотрим один из способов определения единицы заряда,
основанный на законе Кулона.
Численное значение силы взаимодействия двух оди-
- а2
наковых зарядов qi = q2=q в вакууме равно k -~ш
Из этого выражения мы можем определить только
размерность произведения kq2, но ничего не можем
сказать в отдельности о размерности k и q. Это
естественно, так как^закон Кулона оперирует с новым понятием —
электрическим зарядом, не встречавшимся ранее. Мы
можем, однако, выбрать величину k безразмерной и
положить ее равной единице. Тем самым мы
устанавливаем определенную единицу заряда и ее размерность.
Так поступают, когда пользуются системой С ГС.
Размерность заряда:
-1
[q]= (дн>см2)* = г2 -см2 -с
Однако найденная размерность q не есть ее размерность
в механической системе СГС, а размерность в другой,
новой системе, в которой коэффициент й=1. Эту новую
систему единиц называют абсолютной
электростатической системой единиц СГСЭ. В такой системе
основными единицами являются сантиметр, грамм, секунда и
абсолютная электростатическая единица заряда. В
системе СГСЭ за единицу заряда выбрали такой заряд,
который действует в вакууме на равный ему заряд,
находящийся на расстоянии 1 см, с силой в 1 дн.
В системе СИ основными единицами являются метр,
килограмм, секунда и единица силы jok^ —ампер. 3$

единицу заряда в Системе СИ принят кулон. Эта
единица является производной и определяется как заряд,
прошедший за 1 с через поперечное сечение
проводника, ток в котором постоянен и равен 1 а (.1 к=1 а*1 с).
1 кулон=3-109 еД. СГСЭ. Поскольку единица заряда
в СИ уже выбрана, коэффициент к в формуле закона
Кулона становится размерным.
Найдем значение k, вычисляя силу взаимодействия
двух зарядов^ равных 1 К каждый и расположенных на
расстоянии 1 м друг от друга. Сила взаимодействия
этих зарядов должна быть одной и той же, независимо
от того, в единицах какой системы она измеряется, т. е.
Учитывая, что 1 н=10а дн, находим 77=9«109 н. В
системе СИ сила
* F = k -*1 = 9.1O* н.
м
Из этого соотношения находим:
Обычно в системе СИ используется
рационализированная запись законов электричества, в которой
коэффициент k полагают равным -j^-. Постоянная е0
называется электрической постоянной.
*=Т5Г« *=HC3=*V К7н-м'=8,85.10-« К-/—'.
Закон Кулона в рационализированной форме в
системе СИ имеет вид:
Вьвделение коэффициента — из k предпринято для ис-
!ключения иррационального множителя 4я в наиболее
часто встречающихся в практике формулах за счет
введения этой величины в другие формулы (как, например,
в данном случае в закон Кулона).
17* * 259

Если заряд q\ содержит П\ элементарных ^зарядов,,
а ?2 — **2 зарядов, то сила взаимодействия может быть
представлена в виде
£ = 2,306-10-28 Ц± (н).
Т
Пример 27.1. Какой величины достигнет сила
притяжения между двумя одинаковыми свинцовыми
шариками массой т=10 г, расположенными на расстоянии
г=10 м, если бы можно было у каждого атома свинца
первого шарика отнять по'одному электрону и
перенести на второй шарик? .Атомный вес свинца Л=207.
После указанной процедуры -шарики получат
противоположные по знаку заряды Ney где е — заряд
электрона, JV-r-7 число атомов свинца в шарике. В Л г свинца
содержится число атомов, равное числу Авогадро Na»
Очевидно, что в m г свинца число атомов в -^- раз
больше: N<=~rNA. Сила взаимодействия шаров
оказывается равной:
F-— Y— V =_L №*У
. ~ 4^в V г ) 4Яе0 V Аг ) *
Подставляя числовые данные, находим:
207Л0—:
Принимая во внимание, что 1 кГ=9,8 н, получим
колоссальное значение силы притяжения /7=2«1011 т.
Разобранный пример весьма поучителен. В каждом
предмете нашего умира число положительных зарядов
почти в точности равно числу отрицательных зарядов.
Эти заряды почти полностью компенсируют друг друга.
Электрические явления, изучаемое в обычных условиях,
возникают от ничтожного нарушения баланса
положительных и отрицательных зарядов. Если же баланс
нарушается сильно (как в нашем примере), то возникают
невообразимо большие силы электрического
взаимодействия.
260

4. Свойство суперпозиции. Из опыта следует, что
сила взаимодействия между двумя зарядами не зависит
от присутствия других зарядов. Поэтому независимо,от
числа зарядов уравнение (27.1) можно использовать для
вычисления сил Fb F2, ..., действующих на данный
заряд <7о со стороны остальных зарядов qu q2, ... Отсюда
можно заключить, что результирующая сила Fo,
действующая на данный заряд qOi равна векторной сумме
сил:
Это утверждение носит название свойства супер-
поз и цци, или свойства наложения. Свойство
.суперпозиции используется в электростатике при рассмотрении
взаимодействий тел, которые нельзя считать «точечными.
Для этого каждое тело следует мысленно разбить на
достаточно малые части так, чтобы каждую из них
можно было рассматривать как точечный заряд. После
этого, используя закон Кулона, вычислим силы
взаимодействия между малыми частями двух тел и векторно ело-,
жим их. Сила взаимодействия получится тем точнее,
чем меньше будут составные части, на которые мы
разбивали тела. В пределе мы,должны брать бесконечно
малые объемы, чтобы получить точный ответ.
Задача 27.2. В четырех точках замкнутой,
нерастяжимой и непроводящей нити на равных расстояниях
закреплены четыре одноименных заряда Q^ q, Q и ' q.
В положении равновесия нить принимает форму ромба.
Определить его углы.
Решение. Для удобства перенумеруем заряды, как
показано на рис. 27.2 (q\=qz=Q, g2=q4=q). На каждый
заряд действуют силы электростатического
отталкивания и. силы натяжения нитей. Для решения задачи
в силу симметрии зарядов достаточно использовать
условие равновесия зарядов 1 и 2. Согласно § 11
условия равновесия имеют вид —
= Of (1)
= 0. (2)
Проекция (1) на горизонтальное и (2) вертикальное
направления дает тождество 0=0. Проекция (1) на вер-
- ' 261

Тикальное и (2) на горизонтальное напраблейия
приводит к уравнениям:»
Q'g-sm-^-2rsin^- = 0, (3)
2а sin
Т
■)■
t qi , v +2§ cos-2--27cos -f• = 0 (4)
f 2д cos -g- J
(a — расстояние между зарядами).
2J
Рис. 27.2
Система (3)—(4) содержит две неизвестные величины
аи Та2. Из.(З) и (4) следует, что
Задача 27.3. Определить величину и направление
силы взаимодействия, протона и нейтрального тела
(диполя), представляющего собой систему из двух зарядов
q и — q, жестко закрепленных на расстоянии d друг от
друга. Протон находится в точке, расположенной на
одинаковом расстоянии г от каждого из зарядов
±^(?=5-10-10 кл, d=02 м, г=\ м, заряд протона Q=
=1,6.1(Н9кл).
262

Решение. Изобразим
силы Fi, F2 взаимодействия '
между зарядами ±q и заря- \
дам Q (рис. 27.3). Величины \ /
этих сил одинаковы и равны у /
1 аО
~а— 2 . Остается сложить \ /
эти силы (©екторно!). Ре- ( v /
зультирующая сила '"*
Вертикальная составляю- -Л
щая сил^л F равна нулю, а г
горизонтальнай
Учитывая, что cosa=-2^,
находим величину силы Рис. 27.3
F -L-L
~ 4пе0 г» '
Сила направлена параллельно прямой, соединяющей
заряды ±q. Отметимг что сила взаимодействия диполя
и точечного заряда изменяется обратно
пропорционально кубу расстояния.
Подставляя числовые данные, находим:.
F = 9109.5.10-10.1,610-19.0,2 = 1,4410-19 н.
* *
§ 28. Электрическое поле. Напряженность и потенциал
электрического поля. Проводники в электрическом поле
I. Электрическое поле. Рассмотрим взаимодействие
двух точечных зарядов q\ и Q и определим силу,
действующую на заряд q\ со стороны заряда Q. Эта сила
Fi=?i£e, (28.1)
где г — расстояние между зарядами q\ и Q, е —
единичный вектор, направленный OT/Заряда Q к q\. Поскольку
сила взаимодействия зарядов пропорциональна
заряду <7ь то, заменяя заряд q\ другим зарядом q2,
помещенным в той же точке пространства, мы обнаружим,
что отношение величины силы к заряду q2 не
изменилось:
263

Следовательно, в этой точке пространства существует
лечто неизменное, именно постоянный вектор
Е = -£-е/ (28.2)
определяемый только зарядом Q и расстоянием г. Этот
вектор называется вектором напряженности
электрического поля, создаваемого зарядом Q~b данной точке,
а заряд Q — источником поля. Таким образом, сила,
действующая на помещенный в некоторой - точке
электрического поля заряд <7> равна произведению этого
заряда на напряженность поля в месте нахождения
заряда q:
F=?E. (28.3)
' Следуя этому представлению, мы связываем с
каждой точкой пространства вектор Е. -Именно поэтому
вектор Е называют полем, так как согласно1 принятому
в векторном анализе определению поле — это любая
физическая величина, принимающая в разных, точках
пространства определенные значения. Поскольку в общем
случае вектор силы F, действующей «на, заряд,
находящийся в точке с координатами х, у, z в ,момент
времени ty зависит от положения заряда и времени ty то,
очевидно, три компоненты вектора Е являются функциями
координат и времени Б(х, у, z, i\).
Тагким образом, понятие поля дозволяет перейти
к другому способу описания электрического
взаимодействия. Вместо того чтобы говорить о том, что заряд Q
действует с силой F на заряд qy можно сказать, что
заряд Q создает электрическое поле, а на заряд q9
находящийся в этом поле, действует сила (28.2). Разумеется,
заряд q также создает электрическое поле, в котором
на заряд Q действует сила, равная —F. Полевой способ
описания взаимодействия оказался очень плодотворным
для развития физики, так как при описании
электромагнитных'явлений существенными оказываются
только свойства самого поля. Различие же источников поля
несущественно,
264

Поясним теперь, почему электрическое поле явлйетея
одним из видов материи, самостоятельной физической-
реальностью. Если изменить положение заряда Q, то
сила F изменится" лишь спустя некоторый промежуток
времени. Это значит, что должен существовать
переносчик взаимодействия—поле. Смещение заряда Q
приводит к изменению (возмущению) создаваемого. им поля.
Эти возмущения распространяются в вакууме со
скоростью света.
Электрическое поле неподвижных зарядов
называется электростатическим. Формула (28.2) определяет
напряженность поля, точечного заряда. Направление
вектора Е определяется направлением вектора е. Поэтому
если Q>0, то вектор напряженности направлен от
заряда, если Q<0, то вектор Е направлен к заряду. Be-,
личина напряженности электрического поля,
создаваемого* изолированным зарядом Q^ на расстоянии г:
£ = -5-(в СГСЭ),
' В системе ЧХСЭ 'единицей напряженности является
1 сгсэ (О) * В системе си -единица напряженности н/к
или в/м.
Мы видели, что напряженность поля
характеризуется силой, действующей на положительный единичный
* заряд. Поэтому векторы напряженности, как и векторы
сил электрического взаимодействия, обладают
свойством суперпозиции. Отсюда можно заключить, что
напряженность поля, создаваемого системой зарядов,
равна векторной сумме напряженностей полей,
создаваемых каждым зарядом в отдельности.
Задача 28.1. Три одинаковых положительных
заряда q расположены в вершинах равностороннего
'треугольника. Сторона треугольника равна а. Найти
напряженность поля: а) в точке, являющейся центром
описанной окружности, б) в точке, лежащей на середине
любой из сторон, в) в вершине правильного тетраэдра,
для которого треугольник служит основанием (q=
=10-10к, а=5см)\
265

Решение, а) Каждый заряД создает в точке 0 напри-.
женности Еь Е2, Е3 (рис. 28.1,а), величины которых
равны. Полная напряженность Ё равна сумме трех
векторов:
Нетрудно проверить, что суммы горизонтальных и
вертикальных составляющих этих векторов обращаются
в нуль. Итак, £=0. б) Из рис. 28.1,6 видно, что сумма
' Е,
3 i^WA3
векторов Е3 и Ei равна нулю. Напряженность в точке К
оказывается равной
в) Каждый заряд создает в точке Р напряженность
q/а2 (рис. 28.1,в).. Векторы напряженности образуют
с вертикалью угол 90°—а. Сумма горизонтальных
составляющих векторов Ei, E2 и Е3 равна нулю, а сумма
вертикальных составляющих
£ = 3 JLCOs(90o-a).
Из геометрических соображений следует, что sina =
=l/^JL. Поэтому
F 3
Е = fQ-1. =0,03 СГОЭ (Е).
266

2. Силовые линии. В общем случае электрическое
поле имеет сложную структуру, ^представить которую
очень трудно, если напряженность задается с помощью
формулы. Гораздо проще изобразить поле графически
силовыми линиями. Силовой линией называется
такая линия, касательная к которой в каждой точке
совпадает с направлением напряженности поля в этой
точке. Поэтому силовые линии направлены от
положительных зарядов к отрицательным. Величина
напряженности поля при таком способе изображения
пропорциональна числу силовых линий, пересекающих единицу
Площади, расположенной поперек линий.
Силовые линии обладают следующими свойствами:
1. Силовые линии непрерывны. Они «выходят» из
положительного заряда и
«входят» в отрицательный заряд
или уходят в бесконечность.
2. Силовые линии нигде не —-
пересекаются. Если бы они
пересекались, то в точке оерёсе- ^
чения вектор напряженности
имел бы два различных
направления. -^
Пример 28.2. Электрическое
поле заряженной безгранич-
ной плоскости. 1
Рассмотрим тонкий
плоский слой, по которому
равномерно распределен
положительный электрический
заряд (рис. 28.2). Поскольку плоскость безгранична, то
вследствие симметрии электрическое поле по обе
стороны слоя должно быть направлено перпендикулярно
к плоскости, а число силовых линий, выходящих
направо и налево, в точности одинаково. Следовательно,
в точках, расположенных на равных расстояниях по
разные стороны от слоя, векторы напряженности имеют
одинаковую величину, но противоположные
направления. Величина напряженности Е не зависит от
расстояния до слоя,~а определяется только поверхностной
плотностью заряда (см. задачу 29.1). Если плоскость не
безгранична, то у края пластины силовые линии
искривляются.
Рис. 28.2
267

Пример 28.3. Поле двух параллельных заряженных
пластин.
Пусть изолированная - отрицательно заряженная
пластина создает пале напряженности £ь а
положительно заряженная —напряженности Е2 {ЕХ>Е2).
Расположим теперь эти пластины параллельно друг другу
и определим поле, создаваемое такой системой, прёне-.
брегая краевыми эффектами. В .силу свойства суперпо-
1
Рис. 28.3
зиции результирующее поле представляет собой сумму
полей, создаваемых каждой пластиной в отдельности
'(рис. 28.3). Поэтому слева от первой и справа от второй
пластины напряженность поля имеет величину Е\—£2,
а между пластинами jEi-j-£2. В частном случа#е, когда
величина поверхностной плотности зарядов каждой из
пластин одинакова, одинакова и величина поля,
создаваемого каждой из пластин, ^. е. Е\=Е2=Е. Поэтому
поле вне пластин равно нулю и полностью
сосредоточено между пластинами. Величина поля разна 2£.
Результирующее' поле может быть изображено параллельными
силовыми линиями одинаковой густоты. Поле с такими
свойствами называется однородным.
Пример 28.4. Поле внутри равномерно заряженной
сферы.
Задача обладает сферической симметрией. Поэтому
внутри и вне сферы силовые линии должны -быть на-
Ъравлены перпендикулярно ее поверхности. Однако
если бы силовые линии существовали внутри сферы, то
они пересекались бы друг с другом. Поэтому поле
внутри равномерно заряженной сферы равно нулю.
Напряженность поля вне сферы на расстоянии г от ее центра
268

совпадает с напряженностью поля, создаваемого
зарядом Q, помещенным в центре сферы
£=-§-(в СГСЭ).
Задача 28.5. Две концентрические металлические
сферы с радиусами R\ и \R2 имеют полные Наряды Q\
и Q2. Найти напряженность поля: а) вне сфер, 6) между
сферами, в) внутри первой сферы (Ri<\R2).
Указание. Воспользоваться результатами примера
28.4 и свойством суперпозиции полей.
Рекомендуем решить задачи №441, 442
из задачника [1] и № 310, 312, 314, 315 из
задачника [2].
3. Движение заряда в постоянном, однородном
электрическом поле. В любой точке постоянного однородного
поля напряженности Е на заряд q действует постоянная
по величине и направлению сила ^Е. Кроме того, в
однородном поле тяжести Земли на заряд массой т
действует сила тяжести rag. Характер движения заряда
определяется зависимостью ускорения от времени и
положения заряда. Из второго закона Ньютона
находим, что ускорение заряда является постоянным
вектором. В дальнейшем ограничимся рассмотрением
движения заряда при условии qE^mg. В этом случае
ускорение заряда а=<7/гаЕ. Поэтому в направлении,
параллельном вектору Е, заряд движется с постоянным
ускорением, а в направлениях, перпендикулярных Е,—
равномерно. Мы видим, что движение заряда в поле Е
во многом cxoднo^ с движением тел в однородном поле
тяжести Земли. По этой причине зависимость радиус-
вектора г(<) и скорости vi(tf) от времени определяется
формулами (7.4) и (7.5), если сделать замену:
s m
^В«, (23.5)
' vW=v. + -J-Ef,. (28.6)
здесь го — радиус-вектор начального положения заряда,
v0 — начальная скорость.
269

Задача 28.6. Электрон влетает в плоский
конденсатор с начальной скоростью ti0==107 м/с, параллельной
пластинам. Насколько сместится точка вылета
электрона из конденсатора, если напряженность поля внутри
конденсатора £=100 в/м. Чему равны скорость и угол
а между скоростью и пластинами после вылета
электрона из конденсатора? Длина конденсатора
L=0,l м. Отношение заряда электрона к его массе
-£-=1,758.10" к/кг.
т
Рис. 28.4
Решение. Введем прямоугольную систему координат
ху9 изображенную на рис. 28.4. Из (28.5) следует, что
законы движения по осям х и у имеют вид:
*(0=*Л (1)
y(t) = ^Et2 (2)
(<7 — абсолютная величина заряда электрона). Пусть
ui —момент вылета электрона из конденсатора. Тогда
1
x(t\)=L й, следовательно,
(3)
270

искомое расстояние А, йа которое сместится
при вылете из конденсатора:
(4)
Из (28.6) следует, что зависимость от времени проекции
скорости на оси х и у имеет вид
ЧЮ=».. " (5)
Отсюда находим, что в
момент|вылета^/=-^-£—.Поэтому величина скорости электрона после вылета из
конденсатора
а угол а определяется соотношением
Подставляя числовые данные, находим А=0,8-10~8 м,
^+1,5-10* м/с, tga = 1,758-10"2. Поскольку тангенс
угла а мал, то a=5sl,758«10~2 рад. Учитывая, что 1 рад=
=^-=57°, находим, что a ^ 1°.
Задача.28.7. Электрон влетает в плоский кондёйса-
тор под углом а к вектору напряженности поля, а
вылетает под углом, р. Определить . первоначальную
энергию электрона, если напряженность поля внутри
конденсатора равна Е9 а длина конденсатора L.
Рекомендуем решить задачи №446, 447,
448 из задачника [1] и № 319, 321, 322, 325 из
задачника [2].
4. Потенциал электрического поля. Электрическое
поле можно характеризовать не только векторной
величиной— напряженностью, но и связанной с ней
скалярной величиной — потенциалом. Для того чтобы
ввести понятие электрического потенциала, определим
работу А сил поля по переносу заряда +q из точки а
в другую точку Ъ в пространстве, где имеется электри-
271

ческое пдле. В курсе физики средней школы
доказывается, что работа электростатических сил при переносе
заряда не зависит от формы пути, а определяется
только конечными точками пути. Поэтому работа А может
быть представлена в виде разности двух чисел так, что
Aab = Wa-Wb. (28.7)
В этом можно убедиться следующим образом.
Выберем некоторую точку с (рис. 28.5) и обозначим рабо-
• ту сил поля при
перемещении заряда от точки а к
точке с и от точки Ъ к точке с
соответственно через Wa
и Wb. Предположим теперь,
что заряд переводится из
точки а в точку Ь, затем из
точки Ь в точку с и далее
в точку а. Работа, совершае-
D Oft- . мая при этом силами поля,
Рис- 2*5 . равна Aab+Wb— Wa (знак'
минус появляется из-за того,
что на участке са заряд движется против сил поля),
а поскольку работа сил поля.зависит только от конеч-.
ных точек пути, то общая работа по neperfocy заряда по
замкнутому контуру равна нулю. Поэтому мы можем
написать уравнение
из которого следует ,(28.7).
Функция Wa, зависящая от положения точек а и с,
называется потенциальной энергией заряда
в точке а. Из этого определения следует,- что
потенциальная энергия определяется неоднозначно и зависит от
выбора точки с. Чтобы устранить эту неоднозначность,
часто выбирают точку с на бесконечности. Как только
точка с выбрана, потенциальная точка заряда Wa
однозначно определяется в любой точке а пространства (так
как является только функцией координат точки а).
Соотношение (28.7) можно переписать , в виде
Ааъ=—AW, где AW=Wb—Wa — приращение
потенциальной энергии. Смысл этой записи очевиден.
Если Д№<0, то при движении заряда от точки а
к точке Ъ силы поля совершают работу Ааь>0 за счет
уменьшения потенциальной энергии. При этом, если нет
272 '- •

других сил, возрастает (см* 12.6) кинетическая энергия
заряда. Следовательно, направление сил поля совпадает
с направлением, в котором потенциальная энергия
убывает. Если же AW>09 то работа сил поля
отрицательна—кинетическая энергия убывает (при отсутствии
прочих сил).
Покажем теперь, что потенциальную энергию можно
представить -как энергию, запасенную зарядом в
результате работы Аш, затраченной внешней силой.
Предположим, что внешняя сила выбрана таким образом, что
заряд не приобретает кинетической энергии. Тогда из
'(12.6) найдем 0=Аь+>1вн или, учитывая (28.7), Лвн=
=—Aib=AWr. Смысл этой записи очевиден — работа,
совершаемая внешней силой, идет на увеличение
потенциальной энергии.
Так как работа пропорциональна силе, а сила про-~
порциональна заряду q, то потенциальная энергия
заряда в поле W~q. Отношение —, которое обозначают
через ф, не зависит от величин^ заряда q и является
лишь фуйкцйей "координат. Эта величина является
энергетической характеристикой поля и называется
потенциалом. Электрический потенциал в данной точке
численно равен работе сил поля по перемещению
единичного положительного заряда из данной -точки
в бесконечность. Потенциальная энергия заряда в поле
и потенциал связаны соотношением
W = q<f. (28.8)
В каждой точке поля потенциал имеех вполне
определенное, значение. Разность потенциалов двух точек
Фа—Фь называется разностью потенциалов или
напряжением между этими точками. Из формул (28.7) и (28.8)
следует, что работа сил поля по перемещению заряда q
из точки поля с потенциалом фа в точку с
потенциалом фь
А* = ?(?«-?*). . (28.9)
Другими словами, разность потенциалов между точками
а и b определяется работой сил поля по перемещению
единичного заряда из точки а в точку Ь.
Единицей потенциала в системе СГСЭ. является
эрг/1СГСЭ(<2), а в системе СИ —дж/к. Единица по-
18—125 - 273

tf в СИ получила название ЬоЛьт. Учитыйай,
1 дж=107 эрг, а 1 к=3.109 ед. СГСЭД), получим
в=1 дж/к=
Потенциал точечного заряда Q на расстоянии г от
этого заряда
(28.10)
Эти же формулы определяют потенциал равномерно
заряженной сферы. В этом случае г—'расстояние от
центра сферы. Потенциал точек, лежащих на
поверхности сферы, <р = -^-> где Q — заряд, /$—радиус сферы.
Потенциал любой точки, лежащей внутри сферы, также
равен -£-. х -
Если поле создается не одним, а многими зарядами,
то из свойства суперпозиции сил следует, что потенциал
этого поля в какой-либо точке пространства есть сумма
потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в
отдельности.
Пример 28.8. Три заряда q\> q<i, Цъ расположены на
расстояниях /i2, /13, кг Друг от друга. Какую нужно
совершить работу,ч чтобы поменять местами заряды
<7i и q2.
Согласно теореме об изменении полной энергии
(12.11) искомая работа
где AW — приращение потенциальной энергии системы
зарядов.
Потенциальная энергия может быть найдена как
работа, которую нужно совершить для создания ^этой
системы из отдельных зарядов этой системы, находящихся
вначале на бесконечно больших расстояниях друг от
друга. Более просто, однако, найти потенциальную энер-
274

гию системы как сумму энергий взаимодействия
зарядов;
Лг Лз ^23 '
— Я1Я2
\*23 . 1\Ъ
Следовательно,
5. Связь разности потенциалов с напряженностью
поля. Выше мы уже приводили качественные
соображения о связи потенциальной энергии и силы. Сопоставляя
формулы (28.3) и
(28.8), нетрудно
понять, что потенциал и
напряженность поля
связаны аналогичным
образом. Получим
теперь соотношение меж- >
ду Е и ф. Для этого
рассмотрим поле Е
некоторой системы
неподвижных зарядов. В
общем случае
направление и величина вектора
Е изменяются от точки Рис. 2S.6
к точке. Пусть в
произвольной точке а напряженность поля равна Е.
Перенесем теперь заряд q из точки а в точку Ь на расстояние
Д5 вдоль некоторого направления, задаваемого
постоянным вектором s. На рис. 28.6 изображены вектор
напряженности Е (направленный всегда по касательной и
силовой линии) в точке а и вектор перемещения As. Если
точка а и Ь расположены бесконечно близко друг к
другу, то напряженность поля можно считать постоянной
в пределах перемещения As. В этом случае работа сил
поля по перемещению заряда из точки а в точку b
равна произведению перемещения As на проекцию силы
Fs=qEs на направление перемещения, т. е.
= qE8Ls.
18*
•275

С другой стороны, работа по переносу заряда силами
поля (28.9)
Сравнивая эти формулы, мы видим, что в пределе Ь-^а
величина
£,=-limg- (28.11)
(где \к<р=хрь—<Ро — приращение потенциала) равна
значению проекции вектора напряженности (в точке а) на
направление s.
Если напряженность поля имеет одно и то же
значение в любой точке пространства, то формула (28.11)
применима для любых As. В частности, напряженность
поля между двумя параллельными пластинами,
находящимися на расстоянии d и имеющими потенциалы <pi
и ф2, равна:
. Е= у'~*2 » (28Л2)
Для неоднородного поля равенство (28.12) выполняется
тем точнее, чем меньше rf:
Задача 28.9. Сфера радиусом #==30 см заряжена до
потенциала фО==500 в. Определить напряжённость и
потенциал поля в точке, удаленной на расстояние а=70см
от поверхности сферы.
Решение. Напряженность электрического поля вне
сферы на расстоянии а от ее поверхности
Е=-
где Q — полный заряд сферы. Заряд сферы определим,
из соотношения Q=i/?tp0. Итак, напряженность поля
Задача 28,10. Определить потенциал, создаваемый
системой зарйдов, описанной в задаче 28.1, в случаях
а), б), в).
Задача 28.11. Электрон в начальный момент времени
покоился в некоторой точке поля с потенциалом <рь Че-
276

му равна скорость электрона в точке ,с потенциалом
ф2 (<Р2—ф1 = 500 В).
Решение. При движении заряда в электростатическом
► поле сохраняется полная энергия
Приравнивая полную энергию заряда в начальной и
конечной точках пути, -находим искомую скорость (^=
=— до): ■-___
*°=V^{<f* ~*»>=1>33'107 м/с-
Задача 28.12. На концах гладкой непроводящей
трубки длиной, 2а закреплены положительные заряды
одинаковой величины +iQ. Hat расстоянии Ь (Ь<а) от
середины трубки помещают заряд + q к отпускают его
без начальной скорости. Определить ускорение «
скорость заряда q в момент времени, когда он проходит
через середину трубки. Масса заряда т.
Решение. Расположим координатную ось х вдоль оси
трубки и поместим начало координат лосередине
трубки. Пусть х — смещение.заряда q. Тогда согласно
второму закону Ньютона
ускорение равно
4Qa*
Полагая х=0, находим ускорение а=0.
Скорость в точке #=0 можно найти,
воспользовавшись законом сохранения полной энергии. В начальный
момент времени полная энергия складывается из равной
нулю кинетической энергии и потенциальной, равной
согласно формулам (28.8), (28.10) и свойству
суперпозиции
cfi I qQ
После того как заряд переместился под действием сил
поля в точку с координатой „х, то полная энергия равна
mv2 I qQ [ qQ
~2 ""а — х ' а+х'
277

Приравнивая полные эергии, находим:'
*&L f-i Х
т \а*-Ь* а\-х
Полагая х=0, находим искомую скорость
Рекомендуем решить задачи №450, 451,
452, 456, 462, 464 из задачника [1] и № 328, 331, 336,
337 из задачника [2].
6. Проводники в электрическом поле. По своим
электрическим свойствам все тела делятся на две категории:
проводники и диэлектрики. Основное
свойство проводников состоит в том, что электрическое поле
вызывает в них движение зарядов — электрический ток.
Диэлектрики не проводят электричество.
Внесем заряженный (шги незаряженный) проводник
в электростатическое поле. В электростатике движение
зарядов отсутствует, и мы должны сделать вывод, что
в силу основного свойства проводников электрическое
поле внутри проводника должно быть равно нулю.
Отсюда следует, что вся область внутри проводника
должна иметь одинаковый потенциал (см. формулу (28.11)).
Поверхность проводника имеет тот же потенциал,
образуя, как говорят, эквипотенциальную поверхность, т. е.
множество точек, обладающих одинаковыми
потенциалами. Если в проводнике имеется замкнутая полость,
внутри которой нет заряда, то электрическое поле в ней
также -равно нулю. Отсутствие поля внутри проводящей
оболочки служит основой для создания
электростатической защиты.
При внесении проводника во внешнее поле
перемещение электронов приводит к разделению
положительных и отрицательных зарядов на его поверхности. Это
явление называется электростатической индукцией,
а' образовавшиеся заряды наведенными, или
индуцированными. Полное электрическое поле в любой точке
представляет собой суперпозицию полей, образованных
всеми зарядами и внешним полем. Поэтому наведенные
заряды распределяются таким образом, чтобы
создаваемое ими поле и внешнее поле компенсировали друг
друга, внутри проводника. Вне проводника
электрическое поле образуется в результате наложения внешнего
278

й образуемого поверхностными зарядакй полей.
Силовые линии результирующего поля вблизи поверхности
проводника должны быть направлены перпендикулярно
поверхности в каждой ее точке, так как наличие
касательной составляющей привело бы к движению
электронов вдоль поверхности.
Основная задача электростатики проводников
заключается в определении поля вне проводников и характера
распределения зарядов по их поверхности при
определенных условиях: 1) мы можем задаться определенной
величиной потенциала на каждом проводнике (это
достигается - соединением проводника с источникрм э.д.с.
или заземлением); 2) мы можем задаться величиной
полного заряда на каждом проводнике (в этом случае
проводники изолированы).
Задача 28.13. Чему равен заряд заземленной
металлической сферы радиусом i?, если на расстоянии а
(а>Я) от* ее центра находится точечный заряд ф
Решение. Поскольку сфера заземлена, то лотенциал
любой точки внутри и на поверхности сферы должен
быть равен нулю. Под действием заряда q сфера
вследствие индукции получит отрицательный заряд Q,
притекший на нее с Земли. Величина этого заряда и
характер распределения по поверхности сферы должны
быть такими, чтобы сумма потенциалов полей <pi и крг
зарядов q и Q была равной нулю в любой точке внутри
сферы и на ее поверхности. Для определения заряда^
проще всего подсчитать потенциал в центре шара.
Заряд Q распределен неравномерно, но если поверхность
шара разбить на маленькие участки с зарядами AQ, то
потенциал поля де, создаваемого зарядом шара, можно
.выразить как сумму потенциалов полей точечных
зарядов
Поскольку <Pi=-^-f то
Отсюда находим Q = — ?—.
279

Задача 28.14. Чему равен потенциал изолированного
незаряженного металлического шара радиусом J?, если
на расстоянии a (q>\R) от его центра находится
точечный заряд <7?
Решение. Потенциалы всех точек шара одинаковы.
Поэтому для решения задачи проще всего найти потенциал
центра шара. Он равен потенциалу <?1$ созданному
зарядом q ЫХ=ЛЛ9 плюс потенциал <ft, созданный зарядами,
наведенными на шаре вследствие электростатической
индукции. Как и в предыдущей задаче,. fu=-jL • Однако
поскольку общий заряд Q, наведенный на первоначально
незаряженном изолированной шаре, остается равным
нулю, то <р2==0. Итак, потенциал сферы -—-.
Задача 28.15. Системе проводников, состоящей из
двух сфер радиусами R\ и #2, соединенных проводом,
сообщили некоторый заряд. Определить отношение напря-
женностей поля у поверхности каждой из сфер. Сферы
находится достаточно далеко друг от друга.
Исследовать случай #i<C^2 (модель острия).
Решение. Заряды будут перемещаться от одной сфе-
{Ш к другой до тех пор, пока потенциалы сфер не станут
одинаковыми. После выравнивания потенциалов сферы
будут обладать зарядами q\ и q29 которые
распределяются по поверхностям сфер неравномерно. Однако
если расстояние между сферами значительно больше их
радиусов, то можно пользоваться формулами для
напряженности (28.2) и потенциала (28.10) равномерно
заряженной сферы.
Искомое отношение напряженности
. *2 ~ Яг R\ • ^ К Ч
Равенство потенциалов дает соотношение
Из (1) и (2) находим, что
280

Предположим, чтсг i?2'>l#i. Тогда Ei^>E2. Таким
образом, напряженность поля больше у тех мест проводящей
системы, где радиус кривизны меньше. " , -
Рекомендуем решить задачи №322, 334
из задачника [2].
§ 29. Электроемкость. Конденсаторы! Диэлектрики
в электрическом поле
1. Электроемкость. Проводник, заряженный
определенным количеством электричества, как показывает
опыт, принимает вполне определенный потенциал.
Значение потенциала зависит не только от заряда,
сообщенного самому проводнику, но и от зарядов,
имеющихся на окружающих проводник телах (или возникших
на них вследствие электростатической индукции).
Следовательно, заряды и потенциалы проводников не могут
быть заданы одновременно произвольным образом:
между ними существует определенная связь. Проще
всего записать эту связь для уеДиненного проводника,
удаленного от всех проводников настолько далеко, что они
не влияют на его пртенциал. Потенциал уединенного
проводника прямо пропорционален его заряду. Опыт
показывает, что отношение заряда, сообщенного
проводнику, к его потенциалу является Постоянной
величиной для данного уединенного проводника. Тем самым
это отношение определяет некоторое физическое
свойство проводника, которое называют
электроемкостью, или просто емкостью, проводника.
Поскольку Q~q>, то можно записать, что - .
Q=C<p. (29.1)
Коэффициент пропорциональности С называется
емкостью уединенного проводника. Эта величина опр#г
деляется размерами и формой проводника. Так,
например, из формулы для потенциала уединенйой сферы
<р= — и (29.1) следует, что в системе СГСЭ емкость
сферы равна ее радиусу.
Емкость уединенного проводника — величина,
численно равная количеству электричества, которое надо
сообщить ранее незаряженному проводнику, чтобы его
потенциал стал равен единице.
281

В системе СГСЭ единица емкости имеет размерность
длины —см. В системе СИ единица емкости —
фарада (ф):
1ф* = 3'10>СГСЭЦ>=9.10"см.
На практике обычно используют более мелкие
единицы емкости: микрофараду (1 мкф=10-6 ф) и пико-
фараду (1 пф=1(Н2 ф). Величина пикофарады
примерно равна 1 см.
Отметим, что размерность коэффициента
пропорциональности 8о в СИ (см. формулу (27.2)) может • быть
записана в виде ф/м: ео= (ЗбяНО9)-1 ф/м.
2. Конденсаторы. Два изолированных друг от друга
проводника любой формы называют конденсатором.
Простейший из них представляет собой две одинаковые
плоские проводящие пластины площадью 5,
расположенные параллельно друг другу на расстоянии d.
Заряды на пластинах равны Q и —Q. Пластины обладают
потенциалами <pi и ф2, разность которых обычно
называют напряжением £/=Kpi—ф2. Нас интересует
соотношение между зарядом Q и напряжением С/. Из примера
28.3 мы знаем, что поле, создаваемое зарядами ±Q,
сосредоточено между пластинами и поэтому не зависит
от расположения окружающих тел. Как показывает
опыт, отношение заряда Q к «напряжению является
постоянной величиной и определяется размерами пластин
и расстоянием* между ними. Отношение заряда к
напряжению называется емкостью конденсатора и обычно
обозначается буквой С, т. е.
Q=CU. (29.2)
Расчеты показывают, что для нашего конденсатора
емкость
С = ^ (в СГСЭ), (29.3а)
С=^Г (в СИ). (29.36)
Эти формулы строго верны для бесконечно
протяженных пластин, образующих однородное поле. Поле,
возникающее между пластинами конечной площади S,
282

Неоднородно на краях конденсатора. Однако если
расстояние между пластинами много меньше их линейных
размеров, то электрическое поле между ними можно
считать почти однородным. Поэтому мы можем. пользо- *
ваться формулами (29.3) в том случае, если
неоднородность поля на краях конденсатора невелика, т. е. при
условии^ i^S.
Задача 29.1. Вывести формулу для
напряженности Е бесконечной заряженной плоскости с плотностью
поверхностного заряда а исходя из формул (29.3).
Решение. Из примера 28.3 следует, что величина
напряженности поля внутри конденсатора равна
удвоенной напряженности Е> создаваемой одной заряженной .
пластиной. Поэтому согласно формуле (28.12)
2Я=-£. (1)
С другой стороны, заряд пластины и. напряжение
связаны соотношением (29.2)
Q = CU. (2)
Из (1) и (2), учитывая (29.3), находим
—2d ~2dC~ S '
Поскольку o=-~-, то .
=2iro (в СГСЭ),
Задача 29.2. Плоский конденсатор имеет емкость С
На одну из пластин поместили заряд Q, а на другую —
4Q. Определить разность потенциалов между
пластинами конденсатора.
Указание. Использовать результаты задачи 29.1 и
свойство суперпозиции полей.
Задача 29.3. Определить емкость С батареи,
состоящей из двух конденсаторов с емкостями Сх и С2,
соединенных: а) параллельно, б) последовательно.
Решение, а) При параллельном соединении
напряжение на всех конденсаторах одинаково. Заряды на
конденсаторах Qi = Cif/ и Q2=C2Ut Полный заряд на
283

пластине зкЁйвадентйого батарее конденсатора Q=
=iQi + Q2=(Ci + C2)f/. С другой стороны, для
эквивалентного конденсатора имеет место связь Q=CU, где
С — его емкость. Сравнивая оба выражения,; находим
C=Ci + C2. б) При последовательном соединении
одинаковым для всех конденсаторов будет заряд Q.
Напряжение* на конденсаторах ^i==^- и ^2=(Г~#
Напряжение на батарее конденсаторов *
Поскольку для эквивалентного, конденсатора [/=-—-, то
его емкость определяется соотношением
-L—-Lx_L
с ~сг "т"с2 •
Задача 29.4. В плоский конденсатор вводится
параллельно обкладкам ^металлическая пластина, толщина
которой a<d. Определить
SS£ "SSSZ" i£%
обкладками d, площади об-
Решение. Электрическое
поле индуцирует <на верхней
поверхности пла€тины
положительный, а на нижней —
Рис- 29.1 ' отрицательный заряды.
Результирующее лоле в
проводнике равно нулю. Поэтому конденсатор с пластиной
можно представить в виде двух последовательно
включенных конденсаторов с расстояниями между
обкладками х и d—а—х и емкостями
с — s г — s
Их общая емкость
4я (d — a) i
не зависит от положения металлической пластины.
284

Задача 20.5.. Плоский конденсатор заряЖей до
напряжения t/o=50 в и отключен от источника. Найти
напряжение на конденсаторе после введения
параллельно обкладкам металлической пластины толщиной а=
= 1 *&ш. Расстояние между обкладками d=5 мм.
Решение. Поскольку заряд на обкладках не
меняется, то
CU = C.Ut, (1)
где Со — емкость пустого конденсатора. Из~(1) находим
Задача 29.6. Какое количество электричества
пройдет по проводам, соединяющим обкладки плоского
конденсатора с зажимами аккумулятора, после введения
параллельно обкладкам металлической пластины
толщиной а=1 мм. Э.д.с. аккумулятора >U=IO в, расстояние
между обкладками d=5' мм, площадь пластины и
обкладок S= 100 см2.
Решение. Напряжение на конденсаторе остается
неизменным и равным э.д.с. аккумулятора. До введения
пластины заряд на обкладке Qo=Cof/. После введения
пластины заряд «а обкладке стал равен Q=CU.
Количество заряда, протекающего по проводам (в СИ),
к.
Задача 29.7. Конденсаторы емкостью Ci = l мкф и
С2=2 мкф заряжены до разности потенциалов {/1=10 в
и ,£/2=50 в соответственно и соединены обкладками,
имеющими одноимённые заряды. Определить
напряжение на. конденсаторах.
Решение. Общая емкость конденсаторов после
соединения C = Cl-f-C2- Искомое напряжение U = -^- , * где
Q — общий заряд на обкладках после соединения, равный
Си\Срг. Следовательно,
Более сложные случа"й включения конденсаторов
рассмотрены в задачах 32.4—32.8.
285

Рекомендуем решить Задачи № 468, 474,
479, 483, 493 из задачника [1] и № 347, 348, 354, 356,
357 из задачника [2].
3. Энергия, запасенная в конденсаторе. Подсчитаем
работу, которую нужно затратить, чтобы зарядить
незаряженный конденсатор. Пусть пластина 1 имеет
положительный заряд Q, а пластина 2 — заряд — Q. Разность
потенциалов между ними £/=«pi—ф2. Перенесем теперь
положительный заряд AQ с пластины 2 на пластину 1.
Согласно § 28, (28.9) и (29.2) эта работа равна:
ДЛ = -АШ1 = - AQ (ft - ft) = AQU = -i- Q*Q-
Полная работа, совершаемая внешней силой для того,
чтобы первоначально незаряженные пластины
приобрели заряд ±\Q\:
Очевидно, эта сумма равна площади прямоугольного
треугольника с основанием Qi и высотой Q
Поскольку согласно (28.12) Ul=Ed9 а С=^, то
А=-т (га) ?аг=ж8а=Е^гу <■ сг°э).
где V — объем, занимаемый электрическим полем. Это
выражение определяет потенциальную энергию W,
запасенную конденсатором.
Если конденсатор присоединен к источнику э. д. с, то
при увеличении расстояния между обкладками энергия
конденсатора уменьшается, а внешняя сила совершает
при этом положительную работу. Энергия источника
тока возрастает. Вследствие закона сохранения энергии
где Q — количество тепла, выделяющегося в проводах,
1Мист<0 — работа, которую совершает источник при
перемещении заряда от зажима «-J-» к зажиму «—».
Если же конденсатор изолирован, то его энергия
возрастает, внешние силы совершают положительную
работу. В этом случае
286

4. Диэлектрики в электрическом поле. Для того
чтобы понять поведение диэлектрика в электрическом поле,
необходимо рассмотреть, как ведут себя в поле
электрические заряды отдельного атома. В диэлектриках нет
свободных зарядов. Каждый атом, из которых состоит
диэлектрик, можно представить в виде точечного
положительного ядра и связанного с ним облака
отрицательно заряженных электронов. В дальнейшем мы
ограничимся рассмотрением таких веществ, в атомах которых
отрицательный заряд распределен симметрично
.относительно ядра. Поместим теперь, атом в электрическое
поле: В присутствии поля ядро притягивается в одну,
сторону, а электроны — в другую. Иначе говоря, в
состоянии равновесия положительные и отрицательные заряды
смещаются относительно друг друга — атом
поляризуется. Характер смещения зарядов зависит от структуры
электронной оболочки атома.
Тот же эффект возникает при помещении молекулы
в электрическое поле. Внутри сплошного однородного
диэлектрика индуцированные внешним полем
положительные и отрицательные заряды -компенсируют друг
друга, а снаружи возникает поверхностный заряд.
Согласно свойству суперпозиции напряженность
электрического поля Е ^внутри диэлектрика равна сумме напря-
женностей полей внешнего, Ео и Е', образованного
поверхностными зарядами. Следует подчеркнуть, что поле
Ё' существует только благодаря наличию поля Ео.
Очевидно, направление вектора Е' противоположно
направлению вектора Ео. Число, показывающее, во сколько раз
величина напряженности внешнего поля Ео больше
напряженности поля внутри диэлектрика £, называется
диэлектрической проницаемостью вещества:
• = ТН (29.4)
Величина е зависит от природы диэлектрика и его
состояния (т. е. давления и температуры).
Пример 29.8. Конденсатор, заполненный
.диэлектриком.
Рассмотрим плоский пустой конденсатор емкости Со,
пластины которого - изолиррваны и несут заряды ±Q.
Заряд (Q и напряжение 00 на конденсаторе связаны
соотношением Q=CoUq. Поместим теперь между
пластинами диэлектрик. В результате поляризации на гра-
?87

нице диэлектрика и отрицательно (положительно)
заряженной пластины образуется положительный
(отрицательный) поверхностный заряд. Поляризационные
заряды являются связанными и н$ могут быть
скомпенсированы свободными зарядами на проводящих пластинах.
Определим емкость конденсатора, заполненного
диэлектриком. Поскольку поле Е внутри конденсатора
однородно, то напряжение между пластинами
Заметим, что напряжение на изолированном-кондейЬа-
торе уменьшилось в е раз. Следовательно, емкость,
определяемая формулой (29.2),
• C=-g-=£8-8C,. (29.5)
Мы видим, что постоянство заряда на конденсаторе
приводит к условию C0U0=CU.
Определим теперь поверхностную плотность о'
связанных зарядов, появившихся на поверхности
диэлектрика. Согласно результату задачу 29.1 напряженность
поля в пустом конденсаторе
£e = 4ico0, o0=-^-', (1)
Электрическое поле Е в диэлектрике определяется
той же формулой, однако вместо <хо должна стоять
полная поверхностная плотность зарядов. Очевидно, ао и* а'
имеют'разные знаки, так что
' -о'). (2)
Учитывая, что (1) и (2) связаны соотношением (29.4),
находим:
До сих пор мы предполагали, что заряд конденсатора
постоянен. Теперь предположим, что конденсатор
включен в цепь с э.д.с, равной Е. При заполнении
конденсатора диэлектриком напряжение на обкладках не
изменяется и остается равным £. Поскольку поляризация
диэлектрика ослабляет поле, то ясно, что сохранение
напряженности неизменной возможно лишь при увели-
288

челии свободных зарядов на обкладках за счет зарядов,
поступающих из источника э. д. с. Нетрудно понять, что
первоначальный заряд возрастает в е раз.
. Рекомендуем решить задачи №472,473,
485, 487, 495, 496 из задачника [1] и № 344, 358 из
задачника [2].
5. Закон Кулона для зарядов, помещенных в
диэлектрик. Рассмотрим систему проводников, полностью
погруженных * в газообразный или жидкий, однородный,
изотропный диэлектрик. В этом случае поле в
диэлектрической среде в а» раз меньше поля, которое
существовало бы в вакууме. Разности потенциалов на
проводниках также уменьшаются в е раз. Сила, действующая
между двумя зарядами:
(29.6)
Отметим, что формула (29.6) выражает закон Кулона
для зарядов' в газообразном или жидком диэлектрике и
не имеет места для зарядов, помещенных в твердый
диэлектрик. Вычисление силы взаимодействия зарядов
в твердом диэлектрике затруднительно, поскольку
внесение заряда внутрь тела меняет его диэлектрические
свойства.
-Рекомендуем решить задачи № 430—433,
440 из задачника [1].
§ 30. Постоянный ток
Электрический ток представляет собой направленное
перемещение носителей заряда: электронов или ионов.
Одним из способов приведения зарядов *в движение
является простое механическое перемещение. Другая
возможность— движение зарядов под действием сил
электрического поля, возникающего при изменении
магнитного потока (см. § 36). В обычных батареях
перемещение носителей заряда производится с помощью энергии;
выделяющейся в химических реакциях.
В электротехнике условно принято считать, что
направление" электрического тока совпадает" с направле-
19-125 289

нием движения положительных частиц. Поэтому
приходится говорить, что ток направлен в сторону,
противоположную движению электронов. .
Если длина проводника велика по сравнению с его
йонеречным еечением, то удобно ввести понятие полного
тока /, протекающего через сечение проводника,
перпендикулярное к его оси:
где AQ — величина заряда электронов, прошедших через
поперечное сечение за промежуток времени At. В том
случае, когда ток обусловлен движением частиц обоих
знаков, AQ=AQ++AQ-, где AQ+ и AQ_ — величины
положительного и отрицательного зарядов, движущихся
в противоположных направлениях, AQ—AQ+—AQ- —
при движении зарядов в одном направлении.
Если сила тока не меняется со временем,* то такой ток
называется постоянным. Сила постоянного тока /== —.
В системе СГСЭ единица силы тока ф
1 СГСЭ(/)=1 CrC3(Q).l с1.
В системе СИ единица тока — ампер (а). 1а
соответствует переносу заряда в один кулон за одну секунду, что
эквивалентно переносу 6,2«1018 электроров в секунду.
Очевидно,
1 а = ^ = 3109 СГСЭ(7).
Пример 30.1. Согласно теории Бора атом водорода
состоит из протона и электрона, вращающегося вокруг
протона по круговой орбите. Радиус боровской орбиты
электронгГ R■*= 5,3 -10-9 см. Какому току эквивалентно
движение электрона по орбите (масса электрона т=
= 9,1-10-28 г)?
Сила трка численно равна заряду, переносимому
-через некоторую площадку з'э единицу времени. За одну
секунду электрон, обращаясь вокруг протона,^ пройдет
f раз через данную точку орбиты (/ — частота
вращения). Иначе говоря, через данную точку орбиты за
секунду пройдет заряд qfy т. е.
/=:<7/. (1)
290

Выражение (1) определяет ток, соответствующий прэхож-
дению одного электрона за период (так как f=-f" и
поэтому 1 = ЛЛ
Определим частоту вращения ^электрона /.
Единственной силой, действующей на электрон, является сила
притяжения, определяемая из закона Кулона: /7 = -^2-.
Поэтому из второго закона Ньютона
находим
Подставляя (2) в (1), получим значение тока
- / = —#=-= 1,05.Ю-1 а.
2тс \frnR*
- 1. Закон Ома для участка цепи. Рассмотрим участок
металлического проводника аЪу по которому идет ток
в направлении от точки Ь к точке а. Потенциалы этих
точек равны соответственно «ерь и фа. Если проводник
поддерживать при одной и той же температуре, то сила
текущего по нему тока оказывается пропорциональной
разности потенциалов: £/=кр&—tp^,
/=-у. (ЗОЛ)
Величина R называется сопротивлением
проводника. Соотношение (30.1) было получено впервые
немецким физиком Г. Омом в 1827 г. в результате
обобщения опытных данных. В системе СИ сопротивление
измеряется в омах (Ом).. 1 Ом — сопротивление такого
проводника, в котором при напряжении между, его
концами в 1 в течет ток силой 1а. '*
Зависимость сопротивления от длины проводника'/,
сечения 5 и свойств материала, из которого он состоит,
определяется формулой
Я^р4- • (30.2)
19* - . - 291

Здесь р —удельное сопротивление материала пройоднй-
ка. Значение удельного сопротивления р0 при £=0°С
можно найти в таблицах. На опыте наблюдается
линейная зависимость удельного сопротивления от
температуры:
Р = Р.О + *О. (30-3)
где а — температурный коэффициент сопротивления,
имеющий различные значения для разных проводников
и зависящий от их внутренней структуры. Подставляя
значение (30.3) в формулу для сопротивления
проводника (30.2), получим
^ (l+*t)'R.(l+*f), (30.4)
где /?0=р0 —^ сопротивление данного проводника при
/=0°С. • . "
Кривая, изображающая зависимость тока,
протекающего через какой-либо элемент цепи, от напряжения,
называется вольт амперной' характеристикой
соответствующего элемента. Для обычного сопротивления
эта зависимость изображается прямой линией.
Пропорциональность тока напряжению означает неизменность
величины сопротивления. Вольт-амперная
характеристика диода (рис. 36.1) имеет существенно нелинейный
характер. По этой причине для диода закон Ома
нарушается.
Задача 30.2. При температуре t=4\0°C медная
проволока имеет сечение 5=1 мм2 и сопротивление R=
= 1 Ом. Чему равна масса проволоки?
2. Элементарные представления о теории
проводимости, металлов. Следует сразу же подчеркнуть, что
объяснение строения и свойств вещества стало
возможным только с появлением квантовой механики. В сильно
упрощенном ШГде современные представления о природе
металлов сводятся к следующему. Электроны,
расположенные на внешних орбитах атомов, наиболее
удалены-от ядер и весьма слабо связаны в~ атоме. При
образовании кристалла, когда атомы приближаются
достаточно близко друг к другу, внешние- электроны будут
притягиваться и к соседним ядрам. Это..притяжение
ослабляет связь электрона со своим ядром. В конечном
итоге внешние электроны теряют связь с определенным
292

атомом и могут перемещаться по всему кристаллу в
любом направлении. Таким образом, электроны как газ
заполняют пространство между ионами решетки, Ндау-
меется, перемещаясь по кристаллу, они взаимодействуют
с положительно заряженными ионами решетки. Из
квантовой теории (см* § 47) следует, что даже электроны
внутренних атомных оболочек могут двигаться по
кристаллу. Однако" они не дают вклада в проводимость.
Например, для меди можно принять, что на каждый
атом решетки приходится один «свободный» электрон.
Рис. 30.1
Эти электроны и являются носителями тока в металлах.
Слово свободный взято в кавычки, так как свойства
электронов в металле значительно отличаются от
свойств действительно свободных электронов в вакууме.
Задача 30.3. Оценить число свободных электронов
в единице объема меда, считая, что каждый атом меди
теряет всего один электрон. Плотность меди р=8,9 г/см3,
атомный вес Л=64.
Решение. Согласно сделанному предположению
число электронов в объеме металла равно числу атомов.
Определим поэтому число атомов в кубическом
сантиметре. В Л г меди содержится число атомов, равное
числу Авогадро NA, значит, в 1 г меди содержится
—1 атомов, а в 1 см3 содержится р-~ атомов. Сле-
* 293

довательно, концентрация электронов
Согласно квантовой теории идеальная, не
содержащая искажений решетка не оказывает никакого
сопротивления прохождению тока. Электрическое
сопротивление появляется в тех случаях, когда в решетке
имеются различные виды нарушения ее правильного
периодического строения — дефекты. Выше, в § 23, были
рассмотрены различные виды дефектов. Важнейший из
них — тепловые колебания ионов решетки — обусловлен
тем, что металл находится не при температуре
абсолютного нуля. Таким образом, сопротивление
металлического проводника при ТФО имеет конечное значение.
Лишь при 7=0 сопротивление проводника, не
имеющего искажений решетки, должно равняться нулю. Такой
проводник получил название идеального.
Идеальный проводник не следует отождествлять со
сверхпроводящим. Эффект сверхпроводимости состоит
в исчезновении сопротивления при конечной, отличной
от Г=0°К температуре.
Последовательная теория проводимости металлов
основывается на квантовой теории. Однако
возникновение тока в металлах можно объяснить и на основе
простых представлений молекулярно-кинетической теории
строения вещества.
Тепловое движение в металле сводится к колебаниям
ионов решетки и хаотическому тепловому движению
электронов. Средняя скорость этого движения при
комнатной температуре составляет около 103 км/с.
Отдельный электрон движется по прямой, пока не столкнется
с каким-нибудь атомом решетки. При этом скорость
электрона v изменится по величине и направлению.
Столкновения являются независимыми, случайными
событиями, поэтому направление скорости электрона после
нескольких столкновений не зависит от первоначального
направления скорости. Полный заряд, переносимый
электронами через любое сечение проводника, равен
нулю — электрический ток отсутствует.
Теперь приложим к проводу длины / разность
потенциалов. В этом случае электрическое поле внутри
проводника становится отличным от нуля. Силовые линии
в проводнике сбудут направлены почти параллельно его
294 • ■

оси, а вне проводника располагаются наклонно к его
поверхности. Напряженность электрического поля в
проводнике E = -j-, Согласно второму закону Ньютона
электроны под действием электрической силы дЕ
приобретут ускорение
\q — заряд, т —масса электрона). Поэтому скорость
электрона через время t станет равной vx -f- -~ Е*. Здесь
vi — скорость, которую имел электрон сразу за
последним столкновением. Если ноле Е не слишком велико, то
следующее соударение произойдет приблизительно через
такое же время t\> как и в отсутствие электрического
поля. Поэтому скорость электрона перед следующим
столкновением равна
V+-J-E*,. ' ' (30.5)
После каждого столкновения скорость электрона
определяется формулой, аналогичной (30.5), только
с другими значениями v* и t\. Поскольку скорости
Vi электронов направлены "произвольным образом,
а приращение скорости, обусловленное полем, является
всегда малым вектором с одним и тем же направлением,
то средняя скорость электронного газа оказывается
равной:
«ср=-^-Ех, (30.6)
где т — среднее время, в течение которого происходит
значительное изменение направления импульса
электрона, Таким образом, благодаря столкновениям с ионами
решетки электроны в металле движутся не
равноускоренно, а со средней постоянной скоростью,
пропорциональной приложенной силе дЕ. Тем самым электроны,
♦хаотически движущиеся с тепловыми скоростями,
систематически смещаются в направлении, противоположном
полю, со скоростью (30.6).
Подсчитаем теперь заряд, переносимый электронами
через сечение проводника площадью S. Пусть п —
концентрация электронов (их число в единице объема).
295

За время Д* через площадку 5 пройдут все электроны,
заключенные в объеме исрД/5, т. е. nucpMS электродов.
Они перенесут заряд
Это значит, что в проводнике • появится электрический
ток. Величина тока определяется величиной заряда,
переносимого через сечение 5 в единицу времени, т. е.
' = ?T-№pS. \ (30,7)
Таким образом, электрический ток появляется
вследствие того, что электрическое поле-сообщает электронам
среднюю скорость #ср.
Если в (30.7) подставить выражение для иСр из
(30.6), найденное исходя из упрощенных представлений
о движении электронов в металле, то мы получим закон
Ома. Действительно, учитывая, что £ = -у, из (30.7)
и (30.6) получим соотношение
в котором через i/? обозначена величина
р т I
Таким образом, представление о свободных
электронах в металле позволило получить закон Ома и
правильно предсказать зависимость сопротивления от
длины и сечения. Более того, это представление позволяет
делать качественные выводы о поведении удельного
сопротивления Р^-^Г • с ростом температуры
возрастает скорость теплового движения, среднее время т
между столкновениями уменьшается, поэтому удельное
сопротивление возрастает.
Задача 30.4. Определить величину средней скорости
направленного движения электронов вдбль медного
провода сечением 5=1 мм2, по которому идет ток /=10 а.
Решение. Согласно формуле (30;7)
/ ~ /14

Значение концентрации электронов в меди возьмем из
решения задачи 30.3: /1=0,9-1023 см~3. Подставляя в (I)
числовые данные, находим
10а»
0-«M« — U'U/ СМ/С#
Несмотря на то что средняя скорость движения
электронов очень мала, ток в проводнике возникает
практически мгновенно. Это связано с тем, что при
подключении проводника к источнику электродвижущей
силы скорость установления электрического поля равна
скорости света.
3. Последовательное и параллельное соединения
проводников. В электрической цепи всегда можно выделить
часть, имеющую два зажима, к которым присоединены
4 Рис. В0.2
провода, связывающие ее с остальной' частью цепи.
Сила тока, втекающего через один зажим, должна быть
равна силе тока, вытекающего через другой.
Выделенная часть цепи может состоять из многих проводников,
соединенных между собой различными способами. Если
в этой части цепи нет источников тока, то ее можно *
- заменить одним-единственным сопротивлением (или, как
говорят, заменить эквивалентной схемой).
Найдем сопротивление /?, эквивалентное
сопротивлению цепочке последовательно соединенных проводников
Ль Лг, ..., Rn (рис. 30.2,а). Напряжение на концах цепи
Ф1—<рЛ+1=»£/, очевидно,
?,-- ?.) + ■•• +(?*-?,,+,). (30.8)
297

При пo€лeдo6ateльнoM соединении ?оки во всех
сопротивлениях одинаковы: фг—<pt+i=/i?;. Для общего
сопротивления U=JR. Подставляя разности потенциалов
в (30.8), получим
-К..-.+*«■ ' (30.9)
При параллельном соединении начала и концы
проводников сходятся в два узла, разность потенциалов между
которыми £/. Очевидно, сила трка /, втекающего в узел,
равна сумме токов, текущих в отдельных
сопротивлениях (£ис. 30.2,6):
Поскольку напряжение U на каждом проводника
одинаково, то /, = -£-. Для эквивалентного сопротивления R
также /=-^. Подставляя значения токов в (30.10),
получим
Решение задач на вычисление сопротивлений
сложных соединений надо начинать с отыскания
проводников, соединенных друг с другом параллельнр или
последовательно. Если в схеме удается найти такие
проводники, их следует, используя формулы (30.9) и (30.11),
заменить одним эквивалентным сопротивлением и
получить более простую схему. Полученную схему надо
стремиться упростить аналогичным путем. '
Если в схеме нет ни последовательно, ни
параллельно соединенных проводников, то общее сопротивление
можно вычислить, применяя, закон Ома (см. задачу
30.8). '
Задача 30.5. Вычислить общее сопротивление Rab
цепи, изображенной на рис. 30.3.
Решение. На первый взгляд, в этой схеме нет ни
параллельных, ни последовательных соединений. Однако
нетрудно заметить, что в схеме сопротивления включены
симметрично. В силу этого в узле А (или В) ток
разделится на две равные части, поскольку верхняя и нижняя
ветви схемы совершенно одинаковы. Одинаковыми будут
также и напряжения на сопротивлениях г. Вследствие
298

• - Рис. 30.3
этого потенциалы точек а и Ь оказываются равными
друг другу, и по сопротивлению R\ ток не идет. Эти
точки можно разъединить, не изменяя распределения токов
в схеме. После этого сопротивления г и R оказываются
соединенными последовательно, а верхняя и нижняя
ветви — параллельно. Общее сопротивление .
Если в верхней ветви, поменять местами сопротивления
г и R, то симметрия схемы нарушится. В этом случае
вычисление общего сопротивления приведено в задаче
30.8.
Задача 30.6. На рис. 30.4а, изображен
четырехполюсник
Я, =*,=/?,=*, = Дв = Б Ом, /?4=10 Ом.
Найти сопротивления между точками а, Ь\ с, d\ а, с;
Ь, d.
Решение. Найдем вначале Яаъ> Нетрудно видеть, что
сопротивления Rs и R& соединены последовательно. Их
общее сопротивление #56= Ю Ом. Сопротивление /?5е,
эквивалентное /?5 и R& соединено с i?4 параллельно. Их
общее сопротивление #456=5 Ом и т. д. ^=8^ Ом.

[=3—i—C=b
Рис: 30.4
Вычислим теперь i/?c<*. Очевидно, через
сопротивление R\ ток не пойдет и его можно не учитывать.
Аналогично предыдущему случаю находим Rcd = 3J~-Ом.
Для определения i?ec схему можно начертить в более
удобном для вычислений виде (рис. 30.4,6). Очевидно
(? £ R
Рис. 30.5
т
(см. задачу 30.5), ток через сопротивление /?4 не пойдет.
Элементарным путем находим i/?ac=10 Ом.
Сопротивление Rbd=0.
Пример 30.7. Лестничная цепь состоит из
сопротивлений /?1=/?2=#з=#4=#, Г1=г2=гз=г4=г (рис. 30.5) и*
сопротивления /?*, образующих пять звеньев.
Чему должно быть равно сопротивление RX9 чтобы
сопротивление цепи не зависело от числа звеньев?
Найти напряжение Un на сопротивлении гп. Напряжение на
входе фа—фь=£Л • .
Сопротивление цепи ле будет зависеть от числа
звеньев, если сопротивление участка цепи, находящегося
300

справа от точки 4, будет равно Rx\ справа от точки 3 —
тоже Rx и т. д. Это условие приводит к уравнению
из которого находим
Очевидно, напряжение на сопротивлении Rn равно
ц,-^+1=/Л=/л (2)
где 1п — ток, текущий через сопротивление Rn. С другой
стороны, если учесть, что сопротивление части цепи,
лежащей справа от точки я, можно заменить
сопротивлением Rx (рис. 30.5,6), то
Ц.=/,Л- ; (3)
Из (2) и (3) получим соотношение
Учитывая, что U\=*U, из (4) окончательно найдем
Если #=5 Ом, г = 10 Ом, то #,= 10 Ом, (/д+1 =
Задача 30.8. Разность потенциалов между * точками
а и Ь цепи, изрбраженной на рис. 30.6, равна U.
Определить сопротивление
цепи и токи, текущие
«1ерез сопротивления.
Решение. В этой
цепи нет ни
параллельно, ни последова1
тельяо соединенных
сопротивлений.
Поэтому для расчета иско- - ' Рис 30 6
мого сопротивления R
используем закон Ома.
Обозначим ток, втекающий в узел а, через /. В силу
симметрии цепи токи I\, h, h между узлами
распределены так, как показано на рис. 30.6. Из закона
301

сохранения заряда для узлов а (Ь) и c(d) получим два
независимых уравнения
/=Л+-/,. ' (1)
Согласно закону Ома ч
Складывая (3) и (4), а затем-(3), (5) и (6), получим
еще два независимых уравнения
' (7)
Система (1) — (2), (7) — (8) содержит 4 неизвестных
тока. Исключим вначале токи /ь /2, /з. Подставляя
в (7) и (8) 12=1—Л, /3=2/1—/, получим:
Л («,-*,) + /*. = ". (9)
/ /«,=?l/. (10)
Из (9) и (10) находим:
~~ Г/ 7Г) П * (# 1
I/ /К, i<
in
Очевидно, /? является искомым сопротивлением цепи.
Для того чтобы убедиться в корректности полученного
решения, рассмотрим ряд частных случаев. 1. Пусть
R%=0. В этом случае общее сопротивление равняется
сумме сопротивлений двух групп параллельно
соединенных сопротивлений R\ и /?2:
2. Если /?8 > R19'R29 то цепь можно считать разомкнутой
между точками С и D. В>том случае R = -g-(/?, + /?2)
3. Пусть i?12=/?2=r. Тогда ббшее сопротивление не
зависит от Rz (так как ток /,=10), следовательно, общее
Сопротивление /?=г»
302

*Гоки через' сопротивления соответственно равны:
г #2 + #а 11
2~ (R1 + R2)Rt+2R1R2u>
I — fl Й
г~ (
Обратите внимание на то, что в случае /?а=0, раз--
ность потенциалов <рс—cpd=O, однако ток /з^О.
Задача 30.9. Определить заряд на конденсаторе
С=2 мкф, включенном в цедь, изображенную на
рис. 30.7ч/=За, /?!=100 Ом, R2=200 Ом.
Решение. В ветви, содержащей . конденсатор, ток
отсутствует. Следовательно, все толки сопротивления
L_
1
Ь 'с
Рис.
_J
J—
30.7
"Г-
/?2 должны иметь один и тот же потенциал. Поэтому
напряжение на конденсаторе должно равняться
напряжению на сопротивлении R\\
Заряд на обкладках конденсатора
Q = a/ = C/R1 = 2.10-e.3-100 = 6-10-4 к. ' '
Задача 30.10. К участку аЬ цепи (рис. 30.8)
приложено постоянное напряжение. Изменится ли показание
амперметра, если замкнуть ключ /С?
Решение. Предположим, что до замыкания ключа
амперметр показывал ток Л. Тогда падение напряжения
U на участке ab:
и=Л(*.+*.). (О
где /?а — сопротивление амперметра.
303

После замыкания ключа амперметр покажет ток /2.
В этом случае падение напряжения на амперметре и
сопротивлении /?i также равно U:
U = / ~(R' —I— R ^ (2\
Сравнивая (1) и (2), видим, что /i=/2, т. е.
показание амперметра не изменится. (Однако изменится
полный ток через цепь ab)
-О-
а
б
Рис. 30.8 ^
Задача 30.1*1. Определить заряд на конденсаторе
Рис. 30.9
С=3 м»ф, включенном в цепь, изображенную на
рис. 30.9. t/=100 в, /?2=200 Ом, /?3=100 Ом.
Решение. Ток через сопротивление R4 отсутствует.
Поэтому разность потенциалов на конденсаторе должна
304

равняться напряжению на сопротивлении
Следовательно, заряд на обкладках конденсатора
Интересно рассмотреть некоторые частные случаи:
1) пусть /?2=0, тогда напряжение на конденсаторе
равно U; 2) положим теперь #з=0. В этом случае разность
потенциалов на обкладках конденсатора равна нулю.
Задача 30.12. На сколько равных частей надо
разрезать проводник сопротивлением /?=25 Ом, чтобы при
параллельном соединении этих частей получить
сопротивление г=1 Ом?
Задача 30.13. Из куска проволоки сопротивлением
#=5 Ом сделано кольцо. Где следует присоединить
провода, подводящие ток, чтобы сопротивление кольца
равнялось г=0,45 Ом?
4. Измерение тока. Пусть U—постоянная разность
потенциалов между точками а и Ь. Сила тока на этом
участке 1=-]г '
Для измерения силы тока последовательно с
сопротивлением R включается амперметр (рис. 30.10,а).
Очевидно, его включение изменит силу тока в цепи до
значения
V " 1
■'+■%■•
о, г. _
Рис. ЭОЛО
20—125 * 305

Однако если выполняется соотношение Ra <^ R1 то
амперметр покажет ток / «~/а. В этом случае относительная
погрешность в измерении тока
~Т а
жимо мала.
Обычно амперметр рассчитан для измерения
величины силы тока до некоторого значения Imax. Для из'мере-
ния токов />/Шах к амперметру параллельно
подключают сопротивление кш> называемое шунтом
(рис. 30.10,6). Найдем соотношение, связывающее ток /
и показание амперметра /а. Обозначая ток,
протекающий через шунт /ш, запишем систему уравнений
* ==*а I Л
из которой найдем
Если значение силы тока, который нужно измерить,
удовлетворяет неравенству /тах</<Лпах*1Рп (я=1»
2...), то, выбирая
Г)
ш
Rg
получим удобное для практических целей соотношение
//l(K
5. Измерение напряжения. Пусть / — сила тока,
протекающего по участку аЬ (рис. ЗОЛ l,a), U=I\R — напря-
Рис. ЭО.М
жение на этом участке. Для измерения напряжения
параллельно этому "участку подключают вольтметр.
Очевидно, включение вольтметра изменяет сопротивление
306

участка ab, и, следовательно, показание вольтметра
будет равно
П
Разница между показанием вольтметра и напряже:
нием U будет несущественна только в том случае, если
Если необходимо измерить напряжение £/, большее
того напряжения UmaXy на которое рассчитан вольтметр,
tq последовательно с ним включают дополнительное
сопротивление Rn (рис. 30.11,6). Очевидно,
где t/д — падение напряжения на дополнительном
сопротивлении. Исключая (Уд, найдем связь между
показанием вольтметра и напряжением:
Если (ЛпаХ<(/<(/тах*10п (я=1, 2...), то, выбирая
получим простую связь: U=UB-l0n.
Рекомендуем решить задачи № 514, 518,
524, 529, 532, 540. 546, 554, 556 из задачника [1] и
№ 369, 371, 374, 376 из задачника. [2].
§ 31. Замкнутая цепь постоянного тока.
Э. д. с. источника тока
1. Источники тока. Поддержание постоянного тока
в проводнике требует поддержания постоянной разности
потенциалов на его концах. Выясним, каким образом
можно добиться,-этого. Рассмотрим проводник в виде
незамкнутого кольца (рис. 31.1). Сообщим двум его
концам одинаковые по величине и противоположные по
знаку заряды: на конце а избыток электронов, а на конце Ь
недостаток электронов. Эти заряды вызовут появление
в проводнике электрического поля, направленного от
точки Ь к а. Под действием этого поля электроны
начнут двигаться в проводнике: избыток электронов на
конце а начнет переводить в соседние слои, и в силу того
21* 307

что между электронами существует электростатическое
отталкивание, недостаток электронов на конце Ь начнет
компенсироваться электронами, пришедшими из
прилежащих к нему слоев. После выравнивания зарядов все
точки проводника приобретают одинаковый потенциал,
электрическое поле исчезает, и ток прекращается.
Чтобы длительное время поддерживать
электрический ток, надо создать внутри проводника постоянное
электрическое поле, т. е. непрерывно подводить к
концу а такое количество
электронов, какое уходит от него в
соседний слой, и отводить от конца Ь
такое же количество электронов.
Для этого надо заставить все
отводимые от конца Ъ электроны
вернуться к концу а по пути Ъа
(вне проводника). Однако на
этом участке электроны должны
Рис. 31.1 двигаться против сил
электрического поля. Для того чтобы
сделать возможным такое движение,, на электроны должны
действовать какие-то сторонние силы
неэлектростатического происхождения, сообщая им определенное
количество энергии. Их условно называют
электродвижущими силами. Из начальных букв этого названия образов
вался термин э, д. с. источника тока.
Э. д. с. называют энергию Ло, которую затрачивает
источник для перемещения элементарного заряда е по
всей цепи. Во внешней части цепи этим зарядом
является, как правило, электрон; во внутренней части цепи
в роли элементарного заряда может быть электрон
или ион (как положительный, так и отрицательный).
Поэтому э. д. с. источника удобнее определить как
отношение энергии Д передаваемой источником заряду Q==
=/f, протекающему по цепи (t—время действия
источника), к величине этого заряда
Мощность Р, выделяющаяся в цепи, характеризует
скорость,, с которой энергия передается заряду Q.
Согласно (31.1)
Р=1Е, (31.2)

В гальваническом элементе на отрицательном
электроде происходит реакция окисления — часть вещества
этого электрода теряет электроны и в виде
положительных ионов переходит в электролит. Электрод
заряжается отрицательно. У другого электрода идет реакция
восстановления — положительные ионы электролита
присоединяют электроны: электрод приобретает
положительный заряд. На каждой из поверхностей электродов
ионы движутся против сил электрического поля.
Энергия, необходимая для этого, выделяется в химической
реакции, поддерживая э. д. с. постоянной. Обычно эта
энергия составляет около 10~19 дж на один
элементарный заряд. Поэтому за единицу э. д. с. — 1 вольт
принята величина такого же порядка: 1 вольт определяется
как 1,6-10~19 джоуля на элементарный заряд. Единица
заряда — кулон — выбрана таким образом, что 1 к -1в==
=1 дж. Следовательно, "
1 «= i,6.io-«.^. заряд =6,25.10" элГзарядов.
Если внешняя цепь разомкнута, то
окислительно-восстановительные реакции прекращаются. На
отрицательном электроде имеется избыток электронов, а на
положительном— недостаток электронов. В результате
между электродами возникает разность потенциалов, равная
значению Е. При подключении внешней цепи разность
потенциалов на зажимах источника уменьшается.
При длительной работе гальванического элемента его
состав претерпевает изменения и э. д. с. уменьшается.
Если химическая реакция в элементе обратима, то,
пропуская ток в обратном направлении, можно
восстановить химическую энергию элемента. Именно это
происходит при зарядке батареи аккумуляторов.
В других источниках энергия, сообщаемая зарядом,
может быть получена при совершении механической
работы по их переносу и в других явлениях (например,
в явлении электромагнитной индукции, § 36).
Любой источник тока создает на одном электроде
недостаток, а на другом — избыток электронов. Между
ними возникает постоянная разность потенциалов:
Аф=фб—<ра. Знаки « + »' и «—» на зажимах источника
обозначают электроды соответственно с недостатком и
избытком электронов. Потенциал зажима «+» считается
809

больше потенциала зажима «—». Таким образом,
возникновение тока в цепи обусловлено процессами, в
результате которых на участке, где действует э. д. с,
заряды перемещаются в направлении, противоположном
направлению сил, создаваемых электрическим полем.
2. Закон Ома для полной цепи. Рассмотрим цепь,
изображенную на рис. 31.2: источник тока, э. д. с.
которого Я, внутреннее сопротивление г, соединен с
проводником сопротивлением /?. Через это сопротивление течет
ток от точки с потенциалом фА к точке с
потенциалом фв. Напряжение на этом участке £/=фА—фв. Точки
а и Ъ лежат на границе электродов и электролита.
Изобразим теперь графически распределение
потенциалов вдоль цепи.'На рис. 31,3,а по вертикали
отложено изменение потен-
циалов вдоль1 цепи, по го-
ризонтали — различные
Д
р р
точки- ц'епи: Для
потенциала точки В условно
принято нулевое значение.
Согласно условию,
принятому в электротехнике,
мы считаем, что ток во
всех участках цепи созда-
J\ Q ется движением
положительных зарядов. Поэто-
Рис. 3L2 му на любом участке,
содержащем
сопротивление, ток течет от точки
с большим потенциалом к точке с меньшим
потенциалом. Во внешней части цепи потенциал падает на
сопротивление R и согласно закону Ома
W = fA-9± (ЗЬЗ)
Во внутренней части цепи Ьа ток должен течь от точки
Ь к точке а. Из рис. 31,3,а*видно, что это возможно
только при наличии скачков потенциала еа и еь на границе
электродов а и Ь с электролитом. Потенциал в точке а
становится равным фа=фл—еа, а в точке Ь — равным
фЬ=фВ4-8б>фа. Следовательно, внутри электролита
существует электрическое цоле, направленное в ту же
сторону, что и ток. Сумма скачков потенциалов есть
значение э. д. с, равное Е. Существование скачков непрерывно
поддержиэается за счет химических реакций в элек*
310

троЛите й создает э. д. с. гальванического, Элемента.
Между точками Ъ и а значение потенциала уменьшается
вследствие падения напряжения на внутреннем
сопротивлении:
1г = <?ь-9а = Е-(<РА-?в)- (31.4)
Учитывая (31.3) и (31.4), получим соотношение
/г + /# = £, (31.5)
представляющее закон Ома для полной цепи.
Его удобно сформулировать (и применять) следующим -
образом: сумма падений напряжений на всех участках
замкнутой цепи равна электродвижущей • силе
источника.
Распределение электрического потенциала вдоль
цепи, разомкнутой в точке В, изображено на рис. 31.3,6.
Из него видно, что в отсутствие тока разность потен-
Риг. 31.3
циалов на зажимах, (т. е. между точками Л и В, так -как
сопротивление при разомкнутой цепи не играет никакой
роли) наибольшая, равная э. д. с. источника. При
протекании тока напряжение на зажимах (равное,
очевидно, напряжению на внешнем сопротивлении R), как
видно из рис. 31.3,а или формулы (31.3), меньше
значения Е на величину падения напряжения на внутреннем
сопротивлении источника. При большом внутреннем
сопротивлении источника сила тока и напряжение на
внешней цепи могут быть очень малыми величинам^.
Пример 31.1. При измерении э. д. с. долго
работавшей батарейки вольтметр показал 3,5 в. Почему лампоч-
311

ка, рассчитанная на это напряжение, подключенная
к батарейке, не горит?
У старой батарейки внутреннее сопротивление
становится очень большим. Поэтому напряжение на лампочке
сопротивлением i?
=*q-7%fi4" <так как
оказывается значительно меньшим, чем необходимо для
ее свечения.
Важно понимать, что^напряжение на внешней цепи
зависит от значений трех величин:/?, г и R. Зависимость напря-
ER
жения д . на внешнем сопротивлении (сплошная
кривая) и напряжения R ' на внутреннем сопротивлении
(пунктирная кривая) в зависимости от значений R (при
фиксированных значениях Е и г) изображены на
рис. 31.4. При значении /?=г эти напряжения одинако-
и
8
0
-
R
Рис. 31.4
вы. Если #>Л . то напряжение на сопротивлении R
очень близко к значению Е. В пределе, когда
сопротивление внешней цепи будет бесконечно велико (т. е. при
разомкнутой цепи), напряжение между зажимами
источника равняется значению э. д. с. В другом предельном
случае, когда источник замкнут накоротко (т. е. \R=Q),
312

напряжение на внутренней цепи максимально и равной,
сила тока короткого замыкания
/=4-/ ^ <31-6>
„ Пример 31.2. Какую допускают относительную
ошибку в измерении э. д. с. источника тока, если показание
вольтметра, присоединенного к его полюсам, принимают
за э..д. с? Сопротивление источника тока г=0,5 Ом,
сопротивление вольтметра #=200 Ом.
Показание вольтметра U — это напряжение между
его зажимами:
Это значение напряжения отличается от величины э. д. с.
источника на величину
£-(7= ££-^=£.0,0025.
Таким образом/ относительная ошибка при измерении
э. д. с. составляет
^-=0,25*/,.
Задача 31.3. Найти условия, при которых изменение
сопротивления R\ не влияет на показание амперметра
(рис. 31.5). , - ~
. Решение. Показание амперметра
7 э (1)
где U — напряжение между точками а и Ь> Яа —
сопротивление амперметра. Очевидно, ' •. -
(2)
. (3)
Сопротивление участка ab зависит от сопротивления Л\
и равно:
Из (1) — (3) находим:

1. Предположим, что r<^Rab. Тогда ток
не зависит от R\. В этом случае участки цепи,
содержащие Ru и амперметр фактически включены параллельно
в сеть с постоянным напряжением Е.'
2. Пусть /?+3?а<#1+#2> г. Тогда Rab^R+Rai а ток
Е
также не зависит от R\. В этом случае весь ток, не
разветвляясь, идет через амперметр.
3. Закон Ома для участка цепи, содержащего э. д. с.
Запишем закон Ома для участка замкнутой цепи, содер-
Рис. 31.5
Рис. 31.6
жащего сопротивление R и источник тока,
сопротивление которого г. Н-аправление тока указано на рис. 31.6.
кассмотрим вначале рис. 31.6,а. Между точками А и
С может быть включена некоторая «вйешняя» по
отношению к рассматриваемой часть цепи, содержащая
сопротивления и источники тока, соединенные
произвольным образом. Очевидно, выделение внешней части
в замкнутой цепи является условным.
Вольтметр, присоединенный к точкам А и С цепи,
покажет напряжение фл—фс>0. Во «внешней» части
цепи ток идет от положительного полюса к
отрицательному. Согласно закону Ома для полной цепи,
состоящей из участка АС и «внешней» части,
314

ИЛИ
9д-?с=£-/(Я + г). (31.7)
Формула (31.7) выражает закон > Ома для участка
цепи, содержащего э. д. с, и описывает известные
частные случаи. Если участок не содержит э. д. с, т. е. Е=
=0, г==0, то из (31.7) получим формулу (30.1). Если
«внешняя» часть цепи отсутствует, т. е. точки Л и С
совпадают, то фа=Фс и (31.7) выражает закон Ома
(31.6) для полной цепи, содержащей сопротивление R
и источник тока.
Выражение (31.7) может быть получено несколько
иным способом, используя закон сохранения энергии.
Энергия, сообщаемая цепи источником тока, равная со-'
гласно (31.1)
A = IEtt (31.8)
выделяется в виде тепла Q на внутреннем
сопротивлении г источника, сопротивлении R и затрачивается на
работу А ас по переносу заряда во внешней цепи от
А к С. ч
4; + Q = '%;-?c) + /2(* + '')'. (31.9)
Приравнивая эти выражения, получим формулу (31.7).
Обратимся теперь к рис. 31.5,6. На участке АС ток
идет навстречу э. д. с. Это возможйо в том случае, когда
в цепи действуют другие источники тока, не входящие
в рассматриваемый участок, суммарное значение э. д. с.
которых больше значения э. д. с. данного участка.
Фактически по отношению к этим 'источникам тока участок
АС играет роль внешней цепи. Именно таким образом
включается батарея, аккумуляторов при зарядке.
Запишем уравнение, выражающее закон сохранения энергии
в полной цепи. .
Работа, совершаемая внешними источниками по
переносу заряда Q=It на участке АС, равна:
При этом в цепи выделяется тепло на всех
сопротивлениях I2(R-\-r)t, а источник э. д. с. запасает энергию
НЕ. На основании закона сохранения энергии
Следовательно,
?A-?c = 7(* + r) + £- (311°)
315

Соответствующее распределение лртенЦиалов в
(рис. 31.6,6) изображено на рис. 317,6.
Обратите особое.внимание на соотношения (31.7) и
(31.10), выражающие закон Ома для,участка цепи, со-
1
¥
1
i
■ 1 \
J
1
с
: 4
V
в
J
i
a.
1
i
i
J
1
1
1
1
i
n
-
\
1
I
С i
Ъ
1
# с
[
1
Г
Рис. 31.7
держащего в. д. с. Ясное понимание и правильное их
использование гарантируют быстрый расчет сложных
электрических цепей, содержащих несколько э. д. с.
При расчете различных_цепей необходимо: 1)
начертить схему и указать на ней все элементы цепи:
источники тока, сопротивления и конденсаторы; 2) обозна-
316

чйть на кйясдом участке цепи Фокй и произвольно
указать их направления; 3) испольвуя закрн Ома в форме
(31.5) или (31.7) и (31.10), установить связь между
токами, э. д. с. и разностями потенциалов различных точек
цепи. В результате должна быть получена система
уравнений, учитывающая условия задачи и позволяющая
определить неизвестные величины. Если после
подстановки числовых значений сила тока окажется
отрицательной величиной, это будет означать, что соответствующий
ток течет в направлении, противоположном
выбранному.
Задача 31.4. При токе /i=l,5 а напряжение на
участке некоторой цепи U\=20 в. При токе /2=Ю,5 а
напряжение на том же участке £/2=8 в. 1. Какова э. д. с,
действующая на этом участке? 2. Каково будет
напряжение Uz, если ток уменьшить до 73=0,1 а?.
Решение. Поскольку напряжение не цропорционально
току f-r-i-^-r-M, то на участке цепи имеется э. д. с.
\ *i *i /
Пусть R—.сопротивление этого участка, включающее
сопротивление источника э. д. с. Применяя закон Ома
для участка цепи, получим два уравнения:
Ut±ItR = E, \ (1)
=Е. - (2)
Верхний знак соответствует течению тока в
направлении э. д. с. (ток внутри источника идет от
отрицательного полюса к положительному), а нижний — течению
тока навстречу э. д. с. участка. Вычитая (1) из (2),
находим:
£^ (3)
Поскольку сопротивление участка — положительная
величина (соответствующая выбору нижнего знака), то
можно заключить, что э. д. с. источника включена
навстречу току. Из (1) и (3) находим значение Е:
*1— '2
Напряжение £/3 теперь может быть найдено из
соотношения, аналогично (1) и (2):
317

Задача 31.5. Вычислить э. д. с. Ё и BftyfpeHHee Сойро-
тивление г батареи, показанной на рис. 31.8. Дано Е\=
=£2=10 в, гх=\ Ом, г2=3 Ом.
Решение, Предположим, что точки А и В
подсоединены к внешней цепи и. через батарею идет ток /. На-
правления токов /, 1Х и /2, идущих через Ег и £2,
заранее неизвестны. Выберем их направления, например,
так, как показано на рис. 31.8,а. Пусть потенциалы то-
7
ъ
к
7г
Рис. 31.8
чек А и В равны фл и <рв. Для участка цепи,
содержащею Еи на основании (31.7) имеем
v (1)
(2)
(3)
а для участка с Е2
Очевидно, общий ток через батарею
Наша цель—представить батарею в,виде одного
эквивалентного источника тока (рис. 31.8,6) и определить
величину электродвижущей силы Е и внутреннего
сопротивления- г. Для участка цепи, содержащего
эквивалентную э. д. с, также можно записать закон Obfa:
?в-?а + 1г = Е. * ' (4)
Определим Е и г. Для этого умножим (1) на f r*r , a (2)
на —у—, сложим их и учтем (3). В результате получим
Г\ ~Г ^2
гв
(5)
318

Сравнивая (5) и (4), заключаем, что э. д. с. Е и
внутреннее сопротивление г эквивалентного источника
соответственно равны
• ££а-£^. = 5 (6)
Г + г
Положительность величины Е означает, что
направление тока выбрано нами правильно, т. е.
отрицательный полюс батареи находится в точке А, а
положительный— в точке В.
Задача 31.6. Три гальванических элемента
соединены, как показано на рис. 31.9. Определить токи /i, /2, h
в элементах (£1==193 в, Е2=1,5 в, £з=2 в, г1=г2=>'з =
= 0,2 Ом, R = 0,55 Ом).
Решение, Пусть в ,неразветвленной части цепи течет
ток /3. Ток Л течет через Еи а /2 — через Е2. Потенциа-
— •
1—
Рис. 3(1.9
—S ,
•
v 4
1
I
с
С
+
| !
i i
Рис. 31,1С
лы точек А и В равны фл и фв. Рассмотрим участок
цепи между точками Л и В, содержащий Е\. Закон Ома
для этого участка имеет вид:
Закон Ома для участка цепи АВ9 содержащего Е2:
?в-?а + 1^ = Е2' • (2)
Для участка цепи между точками Л и В, содержащего
бопротивление Я и £з> закон Ома приводит к уравнению
£з. (3)
319

К этим уравнениям нербходимо добавить уравнение,
связывающее токи:
Л = Л + Л. (4)
Система уравнений (1) — (4) содержит четыре
неизвестные величины:
Умножая (1) на г2, (2) на ги складывая их и учитывая
(3) и (4), получим выражение для тока /3:
Отсюда, кстати, следует, что электродвижущая сила
батареи, эквивалентная источникам Еи Е2, Еъ>
определяется выражением, стоящих в скобках формулы (5). Далее
из i(3) найдем, что <рв—<рл=/з(^з+^)— Еъ=\ в. Затем из
(1) определим-
Из ^2) получим значение
Jt=-f-[Et-(?B-fA)] = 2t5 я.
Пример 31.7. Найти условия, при которых
отключение источника Е2 приводит к возрастанию тока в цепи
(рис. 31.10).
Искомое условие
приводит к .неравенству
t. (1)
Это условие означает, что ток в цепи больше тока
короткого замыканий для источника E2:Ikf= —£-. Действительно,
записав закон Ома для участка ab9 найдем (U = <ра — <р&)
U + Ir2 = E~2. (2)
Подставляя сюда значение тока
/=-
320

получим
Согласно (1) находим i/ = <pa — р&
Учитывая (2), запишем ток в виде
В этом случае источник Е2 работает «ненормально»:
мощность, выделяющаяся на его внутреннем солротивле-
нии, больше максимальной
нии, больше максимальной
мощности (см. § 32), которую Л
Т
I
в
он может развить. Тем самым i 1 i — i
источник Е2 играет роль
нагрузки для источника Е\. По- рл м J.
этому если тзкой источник —
«паразит» убрать, ток_ в цепи
возрастет.
Задача 31.8. В схеме,
изображенной на рис. 31.11, вклю- У J
чены три батареи (Е\=1*в> £"2= Рис. 31.11
=4 в, £"з=2 в, гг=1 Ом, г2=
=2 Ом, г3=3 Ом). Найти н!апряжение на
зажимах*первой батареи. Сопротивлением соединяющих проводов
пренебречь.
Решение. Зажимы первой батареи обозначены
буквами Л и В, потенциалы этих точек мрл и <рв. Величина
напряжения на зажимах \<рв—<Фа|.
Предположим, что в цепи течет ток / в
направлении, указанном стрелкой (см. рис. 31.11). Запишем
закон Ома для участка цепи, содержащего Ех:
Теперь запишем закон Ома для участков цепи,
содержащих Е2 и Ег: '
9 (2)
?с-Ъ=Е*-1гг. (3)
Из уравнений (1),[(2) и^(3) найдем:
21-125 . 321

Отрицательный знак указывает на то, что истинное
направление тока противоположно выбранному.
Подставляя значение тока (3) в (1), найдем искомое
напряжение на зажимах первой батареи:
Рекомендуем решить задачи № 565, 570, 573,
580, 584, 590 из задачника [1] и № 394, 396, 399, 401,
403 из задачника [2].
§ 32. Правила Кирхгофа
Мы видели, что на основании закона Ома для
участка цепи, содержащего э. д. с, в принципе можно
рассчитывать цепи любой сложности. Однако значительно
удобней применять правила Кирхгофа, которые
являются несложным обобщением закона Ома.
В общем случае в цепи можно найти точки, в
которых сходится не менее трех проводников. Такие точки
называются узлами. Очевидно, любой заряд,
покинувший один элемент цепи, должен входить в какой-либо
другой элемент цепи. Поскольку в узлах токи
разветвляются, то сумма токов, входящих в узел, должна
равняться сумме токов, выходящих из узла (заряды не
накапливаются в узлах). Эти простые соображения лежат
в основе первого правила Кирхгоф а:
алгебраическая сумма токов, втекающих в узел, равна:
S/, = /,+/, + ...=(>. (32.1)
В такой формулировке ток, входящий в узел, считается
положительным, а выходящий из узла —
отрицательным. Направления токов мы заранее не знаем и
выбираем произвольно. Если в результате решения для
какого-либо тока / получится отрицательное значение, то это
означает, что на данном участке цепи в
действительности ток течет в направлении, обратном выбранному.
Второе правило относится к произвольным
замкнутым контурам, которые можно выделить в
данной цепи. Оно гласит: в любом замкнутом контуре
сумма падения напряжения на сопротивлениях равна сумме -
э. д. с, имеющихся в этом контуре.
322

Падение напряжения считается положительным/есЛй
выбранное направление тока на этом участке совпадает
с направледаем обхода контура, и отрицательным, если
направление тока противоположно направлению обхода.
Э. д. с. считается положительной, если источник тока
проводит от отрицательного полюса к положительному,
и отрицательной, если источник идет от положительного
к отрицательному полюсу.
риже мы покажем, что второе правило Кирхгофа
является следствием закона Ома для участка,
рассмотренного в пункте 3 § 31.
+
Рис. 32.1
В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную
на рис. 32.1,а. Первое уравнение Кирхгофа для любого
из узлов дает соотношение
/-/, —/, = 0. (32.2)
Потенциалы узлов а и Ь равны соответственно фа
и <р&. Из закона Ома для участка аЕЬ
1ь-?а = Е-1гГ ' (32.3)
для участка &RJ)
?«-ft = A*i. '32 4)
для участка aR2b
?а-<р,=:/2Я2. * (32,5)
21* , • 323

Исключая потенциалы из {32.3) й (32.4), получим
соотношение
/г + /А = Я. (32-6)
следующее из второго правила Кирхгофа для контура
aEbJRi. Для контура, содержащего Е и R2, из (32.3) и
(32.5) найдем
/r + /2R2 = £. (32.7)
Для контура, содержащего R\ и R2, из (32.4) и (32.5)
найдем
гО. . '(32.8)
Правила Кирхгофа могут быть использованы и для
вычисления сопротивления цепи, состоящей из многих
сопротивлений. Действительно, выражение для тока /,
получающееся в результате решения независимых
уравнений (32.6), (32.7) и (32.8), имеет вид
• Kl2~ *.+*, .
Из Hefo сразу же следует правильное соотношение для
сопротивления, эквивалентного двум параллельно
соединенным сопротивлениям R\ и R2.
В ряде цепей наряду с э. д. с. и сопротивлениями мо:
гут быть включены конденсаторы. Разумеется, ток через
конденсатор равен нулю. Его пластины заряжаются
противоположными по знаку зарядами ±Q и имеют
определенные потенциалы. Разность этих потенциалов
определяет напряжение U на конденсаторе. Величина заряда
Q=CU зависит от емкости конденсатора, и напряжения
на пластинах. Знаки зарядов на пластинах
конденсаторов заранее не известны и расставляются произвольно,-
за, исключением очевидных ситуаций. Если в цепи
имеется участок (выделенный на рис. 32.1,6 пунктиром),
изолированный от других проводников, то за'кон сохранения
заряда приводит к уравнению
CxUx-.CJJ% = q9 (32.9)
где заряд q равен сумме зарядов правой пластины С\ и
левой пластины С2 до включения конденсаторов в цепь.
Уравнение (32.9) является следствием первого закона
Кирхгофа в применении к цепям, содержащим
конденсаторы: заряд изолированной части цепи не изменяется.
324 . -

Покажем теперь, что второй закон Кирхгофа применим
и для цепей,-содержащих конденсаторы.
Произвольную цепь можно представить как
совокупность заключенных между узлами участков,
содержащих э. д. с, сопротивления и конденсаторы. Рассмотрим,
например, -контур, изображенный на рис. 32.1,в. Он
содержит три узла, потенциалы которых равны <pi, <рз и фз.
Пусть напряжение на конденсаторе, равйо U. Тогда,
очевидно, ;
Из закона Ома для участка 3—2
а для участка 1—2, содержащего э. д. с. (см. (31.7)),
Исключая "из этих уравнений потенциалы узлов,
получим соотношение
которое является выражением второго закона Кирхгофа
для данного контура. Правило знаков дополняется
следующим: напряжение на конденсаторе считается
положительным, если при обходе контура конденсатор
проходит от положительно заряженной пластины к
отрицательной, и считается отрицательным-—в противном
случае.
Приступая к расчету произвольной цепи, надо
прежде все^о обозначить токи между узлами, напряжения на
конденсаторах и произвольно выбрать направления
токов и знаки зарядов на обкладках. Полное число
уравнений, составленных по правилам Кирхгофа, должно
равняться числу различных токов и напряжений на кон-~
денсаторах в данной цепи. При этом . необходимо
следить, чтобы все уравнения были независимы.
Независимые уравнения можно составить для тех контуров,
которые не получаются в результате наложения уже
рассмотренных. Например, любое из уравнений (32.6) —(32.8)
является следствием двух других оставшихся уравнений.
Кроме того, при составлении уравнений для токов
в цепи с N узлами независимыми оказываются только
N—1 уравнений.
325

Задача 32.1. Записать систему уравнений Кирхгофа
для цепи, показанной на рис. 31.9.
Решение. Первое правило позволяет написать
уравнение
/,-/. = 0. . (1)
Для определения трех токов два недостающих уравнения
следуют из второго правила Кирхгофа. Для контура,
содержащего £+ и £2, при обходе по часовой стрелке
а для контура, содержащего Еъ ц Е2, при обходе по
часовой стрелке
(3)
При обходе в направлении против часовой стрелки
знаки в обеих частях уравнений (2), (3) (согласно
правилам) изменятся на обратные. .Очевидно, (2) и (3)
являются следствиями уравнений (1) — (3) задачи 31.6.
Задача 32.2. Определить, при каком значении Е, ток
через сопротивление R будет равен нулю (рис. 32.2).
Внутренними сопротивлениями источников тока
пренебречь.
Решение. В цепи два узла А и В. Для любого из них
первое-правило Кирхгофа дает уравнение
/,_/_/,=<>.
26

Для контура AEiBE2Af используя второе правило,
находим:
2
Для кобура ЛЕВЕ?А
I2R2-IR = -E2 + E. (3)
По условию задачи /=0. Подставляя это значение
в (I)1—'(3) и исключая 1\ и /2, находим искомое
значение
р £2/
Задача 32.3. Два элемента соединены по схеме,
показанной -на рис. 32.3. Определить напряжение на
зажимах элементов (£i=1,4b, £2=1,1в, Г1=0,ЗОм, г2=
=0,2 Ом). При каком условии разность потенциалов
между точками а'и b равна нулю?
Решение. Напряжения, на зажимах э. д. с. одинаковы
и равны разности* потенциалов <ра—Ф*>.-Применяя к
контуру Е2аЬ (часть контура ab показана пунктиром)
второе правило Кирхгофа, получим
Обратите внимание на то, что применение второго
правила к рассмотренному контуру приводит к^закону
Ома (31.7) для участка цепи, содержащего э. д. с. Это
же правило для .контура Е2аЕ\Ь позволяет записать
уравнение
Из (1) и (2) находим
Г\ "4" Г2
При
£, _ г2 _j0 Рис. 32.3
Задача 32.4. К батарее с э. д. с, равными Ех и Е2,
подсоединены два незаряженных конденсатора с
емкостями С\ и С2, как показано на рис. 32.4. Определить
разности потенциалов на каждом конденсаторе и
разность потенциалов между точками а и bt
Решение. При подключении батареи конденсаторов
к э. д. с. на левой обкладке С\ появится заряд — qu> а на
правой обкладке С2 — заряд q2. Вследствие электроста-
327
1
+
£4

тической индукции на правой обкладке С{ возникнет
заряд qu а на левой обкладке С2 — заряд — q2. Поскольку
правая обкладка С\ и левая С2 изолированы от других
проводников ц первоначально не заряжены, то их
общий заряд не должен измениться. Таким образом,
сохранение заряда на изолированной части цепи
(обведенной пунктиром на рис. 32.4,а) приводит к уравнению
0 = q1 — qi = ClUl — CJUfL9 (1)
где Uи U2 — напряжения на конденсаторах С\ и Q2.
Второе правило Кирхгофа позволяет написать еще
одно уравнение, связывающее напряжения Ц\ и U2:
(2)
Разрешая систему уравнений (1) и (2), получим
Определим теперь разность потенциалов между
точками а и Ь. Пусть фа и фь — потенциалы этих точек.
Разность потенциалов фа—щ на части цепи, содержащей
Рис. 32.4
Е2 и С2, и на части, содержащей Е\ и Си одинакова.
Поэтому мы можем заменить цепь на рис. 32.4,а
эквивалентной схемой, изображенной на рис. 32.4,£. Применяя
к ней второе правило Кирхгофа, получим-
_L // ———■ Р Г4^
Из (3) в (4) найдем
328

Задача 32J>. В схеме, изображенной на рис. 32.5,
сначала все ключи разомкнуты. Конденсаторы, емкости
которых d и С2, разряжены; э. д. с. батарей Ео и Е.
Затем выполняются следующие переключения: 1) замыка-*
ют ключи К\ и /С2, 2) затем через некоторое время
ключи К\ и /С2 размыкают, а ключ Kz замыкают. Найти,
заряды на конденсаторах после указанных переключений.
шшт «■
яв mm
ГСа
Лч, * $
Рис. Э2.5
Решение. После первого переключения верхние
обкладки С\ и С2 заряжаются положительно. Второе
правило Кирхгофа позволяет найти разности
потенциалов U\ и i/2 на конденсаторах С\ и С2: £/i=£0, £/2=?£о.
Заряды верхних пластин равны соответственно gi=CiEOy
q2=C2Eo, заряды нижних — (—С\Е0), —С2£0.
После второго переключения конденсаторы
соединяются последовательно. Верхние обкладки С\ и*С2
образуют изолированную систему, заряд которой (Ci + C2)£0.
Предположим, что в результате подключения батареи Е
этот заряд перераспределяется: верхняя обкладка С\
будет иметь положительный, а верхняя обкладка С2 —
отрицательный заряды. Обозначая через К'ь i£/'2
разности потенциалов на С\ и С2,.из закона сохранения
заряда изолированной части цепи найдем
Применяя второе правило. Кирхгофа, получим уравнение
Разрешая эту систему, найдем
329

Заряды на верхних обкладках Сх и С2 соответственно
становятся равными
■Е.
(1)
Заряды нижних обкладок, будут иметь заряды —q\
и — q'2. Из (1) следует, что при условии (Ci+C2)i7o<'
<С\Е заряд верхней обкладки С2 будет действительно
отрицательным.
' Задача 32.6. Определить величину и знак заряда,
который протечет через ключ К после его замыканий
(рис. 32.6). Ci=l мкф, С2=2 мкф, £i=5 в, £2=3 в.
Решение. До замыкания ключа суммарный заряд
изолированной части цепи, обведенной пунктиром, равен
С//
Рис. 32.6
нулю. Замкнем ключ. Предположив, что на правой пла-
'стине С\ появится отрицательный заряд —C\Uu а на"
верхней пластине С2 — отрицательный» заряд —С2£/2.
Используй второе правило Кирхгофа, получим
уравнение:
для контура, содержащего Сь Еи Е2у и уравнение
[/2=-£2 - (2)
для контура, содержащего С2, £2. Из (2) видно, что мы
ошиблись, предполагая, что верхняя пластина С2
заряжена отрицательно — на ней появится положительный
заряд _С2[/2=С2£2=^'1^"6 к- На правой пластине Сх
330

действительно появится отрицательный заряд —CiV\—
=—Ci'(/ii—Е2)=—2-10—6 к. Таким образом,
первоначально равный нулю заряд обведенной части цепи
становится равным
С2Е2—СХ (Е{—Е2) =4 • Ю-6 к
только за счет того, что через .ключ от пластин протек
отрицательный заряд 4 • ГО""6 к.
Задача 32.7. Определить разность потенциалов на
обкладках конденсаторов в цепи, изображенной на
рис. 32.7. Чему будет равна разность потециалов 'нач
обкладках, если сопротивление i? отсоединить в точке В
и-заземлить?
Решение, Поскольку ток яерез .конденсаторы не
течет, то, следовательно, не течет и через
сопротивление R. В таком случае все его точки должны иметь один
Л
д
Рис. Э2.7
Рис. 32.8
и тот же потенциал. Значит, <рл=Фв- Поэтому разность
потенциалов на конденсаторах С\ и С2 равна
напряжениям U\ и U2 на сопротивлениях \R\ и R2:
п> г/ тп
Е. (1)
Если отключить R\ в -точке В и не заземлять его,
то разность (1) потенциалов не изменится, так как
правая обкладка С\ и левая С2 образуют изолированную
систему, заряд которой q==C2U2—C\Ui_He меняется. При
заземлении сопротивления заряд этой части становится
равным нулю. Будем считать, что правая пластина С\
331

зарядится отрицательно, а левая пластина С2 —
положительно. Тогда ^
CP^-CJJ'^O, (2)
где U'u U'2 — напряжения на конденсаторах после
заземления конца В .сопротивления #. Очевидно, теперь
разности потенциалов U\%2 на конденсаторах не равны
напряжениям \U\t2 на сопротивлениях, хотя, как и
прежде, U'i + U'2=U\ + U2. Действительно, используя второе
правило Кирхгофа для контура, содержащего Е, С\, С2,
получим'уравнение:
U\+V.t-+Ir = E (3)
и уравнение
/(*, + «. + ') = * (4)
для контура, содержащего Ru Я2, г. Из (3) и (4)
следует, что
£У,+ [/», = /(« + «,). _ (5)
Из системы уравнений (2) и (5) получим:
fit ^2 R\ ~4" -^2 р
l/>— C. + C, R1 + R2j-rC>
F./ ^1 ^1 "Г ^2
р
Задача 32.8. В схеме, Изображенной на рис. 32.8, оба
ключа К—К первоначально разомкнуты, конденсатор С3
заряжен, конденсаторы С\ и С2 заряжены' и имеют
одинаковый заряд q, полярность пластин указана на схеме.
Найти заряд на конденсаторе Сз после того,, как оба
ключа будут замкнуты. Емкости всех конденсаторов
одинаковы.
Решение. Предположим, что после замыкания
ключей верхняя обкладка С\ и левая С3 имеют
положительный заряд, а правая обкладка Сз и верхняя С2 имеют
отрицательный заряд. Применяя к изолированным
частям цепи закон сохранения заряда, найдем:
о=-си1+сиг,
где Ui — разность потенциалов на i-том конденсаторе,
С —емкость любого из конденсаторов. Очевидно, только
332'

два уравнения являются независимыми. Второе правило
Кирхгофа позволяет записать еще одно уравнение
Разрешая систему из трех уравнений, находим:
Следовательно, заряд на конденсаторе С, равен -^-q.
Рекомендуем решить задачи № 592, 593,
594, 596, 600, 603, 607, 612 из задачника [1].
§ 33. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
1. Закон Джоуля—Ленца. В § 30 мы видели, что
электрический ток в. проводнике возникает вследствие
упорядоченного движения электронов ч под действием
электрического поля. Электроны приобретают
добавочную кинетическую энергию лишь на протяжении пути
между столкновениями с кристаллической решеткой.
При столкновении часть кинетической энергии
электрона переходит в энергию теплового движения решетки.
Под действием приложенного поля электрон снова
приобретает добавочную кинетическую энергию и вновь
отдает ее решетке. Вследствие этого процесса (за счет
работы сил электрического*поля) металл нагревается.
С термодинамической точк*и зрения электронный газ
в металле представляет собой систему, температура
которой Тэ выше температуры Ги, соответствующей
энергии теплового движения ионов решетки. Тепло, как
всегда, переходит от более нагретой системы
(электронов) к менее нагретой (кристаллической решетке).
Энергия, отдаваемая электронами, компенсируется
путем непрерывного «нагревания» электронов внешним
электрическим полем. *
Количество теплоты, выделяющееся в проводнике,
пропорционально квадрату силы тока /, проходящему
по участку, величине сопротивления \R и времени
прохождения тока:
Q=k№t. . (33.1)
Здесь k — коэффициент пропорциональности.
Соотношение (33.1) является математическим выражением зако-
ззз

на, открытого в 1841—1842 гг. английским физиком
Д. Джоулем и независимо от него в 1842—1843 гг.
русским физиком Э. Ленцем. Количество теплоты
выражается в джоулях, если (33.1) положить k=ly ток
измерять в амперах, сопротивление в омах, а время в се-<
кундах. Широко используемая единица теплоты* калория:
в систему СИ не входит и связывается с джоулем
соотношениями 1,дж=0,24 кал, 1 кал=4,18 дж.
Перемещая электроны по проводнику, силы
электрического поля, совершают над ними работу, сообщая им
энергию, которая в конечном счете выделяется в виде
тепла. Действительно, работа А электрических сил на
участке АВ в цепи (см. рис. 31.2) определяется
количеством перенесенного заряда q=It и разностью
потенциалов и=*$А—<рв на концах участка. Используя формулу
(28.9), находим:
^<?В). (33.2)
Поскольку разность потенциалов на участке АВ, не
содержащем э. д. с, определяется формулой (30.1), то -"
- A=PRt\ ,(33.3)
Сравнивая это выражение с (33.1), видим, что в системе
СИ A=Q. Это равенство выражает собой не что иное,
как закон превращения и сохранения энергии на- участке
цепи, не* содержащем э. д. с.
Мощностью токи называется величина, измеряемая
работой электрических сил. на участке цепи за единицу
времени:
В системе СИ Единицей мощности является ватт (вт),
I вт—мощность, при которой работа 1 дж совершается
за_ время 1 с. В системе С ГС мощность измеряется
в эрг/с: 1 эрг/с=10-7 вт.
-Используя формулу (33.3), получим формулу для
мощности постоянного тока на участке цепи, не
содержащем э. д. с.:
' Р =/«Я=-!£- = Я/. . (33.5)
Вся энергия,- выделяющаяся в цепи тока, должна
непрерывно пополняться за счет источников
электродвижущих сил неэлектростатического происхождения.
334

В замкнутой цепи все выделяемое тепло
равно работе, совершаемой источником тока (31.1) по
разделению зарядов.
Полная мощность, развиваемая источником тока,
равна:
Мощность, выделяемая в нагрузке R9 называется
полезной мощностью:
~~ (33-6)
Коэффициент полезного действия источнику, в этой цепи
R
■Ц=-б-=
r+R
(33.7)
Зависимость полезной мощности от сопротивления
нагрузки изображена на рис. 33.1. Интересно отметить, что
одно и то же значение мощности Ро выделяется при двух.
р
р
"^Г*
/ 1
—/"4"
/1 1
/ \ \
(?4 г
! ^— ж
Рис. 33.1
разных значениях R\ и i?2 сопротивления нагрузки.
Подставляя Рн=Ро в (33.6), получим уравнение,
определяющее Rx и /?2^
Мы не будем выписывать значения R\ и R2y отметим
только связь между ними (следующую из теоремы
Виета):
335

Очевидно, при значении Л)=Лпах оба корня
совпадают. Отсюда следует вывод, что полезная мощность
достигает максимального значения
*««=-?- • • <33-8>
при равенстве сопротивления нагрузки и внешнего
сопротивления: R=r.
Каким путем получают электроны энергию,
растрачиваемую ими на создание теплоты? Детальное
обсуждение этого вопроса выходит за рамки школьной
программы. Отметим, только следующее. Энергия является мерой
движения материи и связана с определенным
материальным носителем. Например; тепловая энергия
вещества в некотором ч объеме равна сумме кинетических
энергий всех частиц этого объема. Носителем электро-'
магнитной энергии является электромагнитное поле.
Вдоль проводника, вне и внутри его существует
электрическое поле, а наличие тока порождает магнитное
поле вне проводника (см. § 35). Энергия источника тока,
превращаясь в электромагнитную энергию, щлходит из
источника и движется в среде вдоль направления
проводов, соединяющих источник тока с нагрузкой. Вблизи
нагрузки поток электромагнитной энергии .поступает
внутрь проводника, в котором энергия поля
превращается в тепловую энергию.
2. Линии передачи энергии. Обычно проводящие
линии служат для 'передачи энергии от источника э* д. с.
к нагрузке, в которой она превращается в тепловую,
механическую и другие виды энергии. Соединительная
линия имеет небольшое сопротивление. По ней ток течет
в одном направлении от генератора к нагрузке, затем от
нагрузки к генератору, но поток электромагнитной энёр-
ги движется в противоположных направлениях от
положительного и отрицательного полюсов генератора к?
нагрузке. Роль соединительной линии 'заключается не
в том, чтобы служить трубами, внутри которых течет
энергия, а в том, чтобы направить движение энергии
вдоль проводов к полезной нагрузке. Хотя передаваемый
вдоль линии поток энергии движется во всем
пространстве, окружающем провода, однако его плотность
максимальна в непосредственной близости от проводников,
где напряженность электрического и магнитного пол£й
наиболее значительна., Скорость передачи энергии так-
-336

же определяется свойствами среды, окружающей
провода.
Работа, совершаемая током в полезной нагрузке,
называется полезной работой, а работа, совершаемая
во всех остальных элементах цепи (соединительных
проводах, внутреннем сопротивлении источника и т. д.),
называется работой потерь. Коэффициент
полезного действия линии передачи равен отношению полезной
работы ко всей затраченной работе.
Задача 33.1.. Паяльник рассчитан на напряжение
U\=22Q в. Как нужно изменить его сопротивление,
чтобы он работал нормально при. напряжении [/2=110 в?
Решение, Пусть сопротивление паяльника Я\. В
нормальном режиме работы в сети с напряжением f/гна
паяльнике выделяется мощйость N\. Поскольку
то в сети с напряжением V^ выделяется мощность
в четыре раза меньшая. Для того чтобы паяльник
работал нормально под напряжением С/2, его
сопротивление R\ надо изменить до значения J?2. Тогда из условия
учитывая (1), находим:
3
Сопротивление jR надо уменьшить на —. Для этого
достаточно, не укорачивая спираль, изменить схему
включения (рис. 33.2).
Рис. 33.2
22—125 337

Задача 33.2. Имеются две электрические лампочки на
220 в мощностью Pi=100 вт и Р2=60 вт. Какая из этих
лампочек имеет большее сопротивление?
Задача 33.3. Э. д. с. батареи £=12 в, сила тока
короткого замыкания /о=5 а. Какую наибольшую
мощность Ртах может дать батарея во внешней цепи?
Решение. Пусть сопротивление внешней цепи R.
а внутреннее сопротивление батареи г. Сила тока в цепи
определяется законом Ома (31.5):
/ " (1)
Мощность, выделяемая во внешней цепи:
. (2)
Исследуем, как изменяется полезная мощность Р при
изменении сопротизления R (при постоянном
внутреннем сопротивлении). Для этого введем обозначение
R
х = — и представим (2) в виде
Из (3) следует, что максимальная полезная мощность
Pmix = ^— выделяется при условии
т. е. при равенстве внутренней и внешнего
сопротивлений. Учитывая, что ток короткого замыкания /0=—,
находим, что
♦ Задача 33.4. Две лампочки, мощности которых Р\=
=25 ът и Р2=100 вт, рассчитанные на напряжение U,
соединены последовательно и включены в сеть с
напряжением U. Найти отношение мощностей Р\ и Р2,
'выделяемых в лампочках.
338

Задача 33.5. Определить работу электрических сил
и количество теплоты, выделившейся- в 1. с на участке
АС (см. рис. 31.6). В случае а) /=1а, фд^с=2в,
£=5в, в случае б) /=1а, фА—фс=2в, £=1в.
Решение, а) Работа А электрических сил при
перемещении заряда It из точки с потенциалом фс веточку
с потенциалом ц>а'
A = It(9cT-?A) = -2 дж. (1)
Работа отрицательна, так как ток идет от меньшего
потенциала к большему. Количество тепла
Q = /2(# + r)7. (2)
Сопротивление участка определим из закона Ома (31.7).
В результате найдем:
б) Этот случай соответствует зарядке аккумулятора
с э. д. с, равной Е. Работа электрических сил
Л = /%л —<рс) = 2 дж.
Количество тепла найдем, по общей формуле' (2),
подставив в нее значение \R + r из закона Ома (31.10)
участка цепи АС:
Задача 33.6. Имеются две лампочки, рассчитанные
на напряжение Uo, мощностью Рю= 100 вт и Рго=2ОО вт
и сопротивлением i/?i=484 Ом, i?2=242 Ом. Определить
мощности Pi и Рг, выделяемые в каждой лампочке, если
их параллельно присоединить к динамо-машине, э. д. с.
которой £='£/о, а внутреннее сопротивление г=1 Ом..
Решение. Мощности лампочек в сети
динамо-машины будут меньше номинальных Рю и Р2о, так как из-за
падения напряжения на внутреннем сопротивлении
напряжение на них меньше Uo. При параллельном
соединении лампрчек полный ток -в цепи
/
Через первую лампочку идет ток Л, а через вторую —12.
Очевидно,
/ = /,+/,• (2)
Падения напряжения на лампах одинаковы и равны
/А=/А. (3)
22* 339

Из уравнений (1) —(3) нетрудно найти токи, текущие
через лампочки, и выделяемые мощности:
^]"1-, (4)
При этом мы учли, что поскольку лампочюо рассчитаны
на напряжение- [70, то
Подставляя в (4) и (5) числовые значения, получим
Р1г=Р10.0,993=99,'3 вт, Р2=198,6 вт-
'Задача 33.7. Определить к. п. д. линии передачи, если
источник тока развивает мощность Р при
напряжении U. Сопротивление линии передачи R.
* р \
Решение. Ток в "линии / = -^-. Потери мощности в
линии
п л» P2R
Передаваемая полезная мощность
р - р р- р __ РгК
Г П *^ ^1 * /72
Следовательно, коэффициент полезного действия линии
передачи
увеличивается, с увеличением напряжения на зажимах
источника тока и с уменьшением сопротивления
проводов.
Рекомендуем решить з.адачи № 617,, 621,
627, 632, 635, 638, 643, 650, 654, 658, 664 из задачника
[1] и № 409, 416, 417 из .задачника [2].
§ 34. Электролиз
Целый ряд веществ при растворении в воде
оказывается распределенным в растворе частично в виде
молекул, частично в виде заряженных частей молекул —
ионов. Такие вещества называются электролитами.
340

Отрицательные ионы содержат избыточные электроны,
положительным ионам не достает электронов. О
молекулах, которые при растворении распадаются на
заряженные части (ионы), говорят, что они диссоциируют, а само
явление- называют электролитической
диссоциацией.'
Электролит является проводником тока.
Подсоединим к источнику тока два электрода и опустим их
в электролит. Согласно установившейся терминологии
электрод, соединенный с положительным полюсом
источника, называют анодом, а соединенный с
отрицательным полюсом — катодом. При включении источника
между электродами образуется электрическое поле,
в котором отрицательные ионы (они называются
анионами) , движутся к аноду, а положительные (катионы) —
к катоду. Дойдя до электродов, ионы разряжаются я,
став обычными атомами и молекулами, выделяются на
них или вступают в химические реакции. Выделение
вещества на электродах называется электролизом.
Рассмотрим, например, процессы, идущие в растворе
медйого купороса CuSO4. Молекулы CuSO4
диссоциируют на'ионы Си++ и SO4—. Молекула воды частично дис-
социирует^ образуя ион водорода Н+ и ион гидроксила
ОНг. Далее, ион SO4-~, соединяясь с двумя ионами Н+,
образует серную кислоту, а в растворе остаются ионы
Си++ и ОН-. Последние, достигая анода, отдают ему
лишние электроны и образуют воду и .кислород
согласно реакции 4ОН=2Н2О+О2. Ионы Си++ достигают
катода и, присоединяя к себе недостающие электроны,
образуют атомы меди и оседают на катоде. .Из
рассмотренного примера видно, что протекание тока через
электролит связано- с переносом вещества и выделением
его на электродах. Явление электролиза описывают два
закона, открытых М. Фарадеем.
Первый закон Фарадея. Масса т вещества,
выделившегося на каждом электроде, прямо пропорциональна
заряду q, прошедшему через электролит, т. е.
m = kq = klt, (34.1)
здесь k — коэффициент пропорциональности,
получивший название электрохимического эквивалента, k
принимает различные значения для различных веществ.
341

Второй закон Фарадея. Электрохимические эквива-.
денты различных элементов пропорциональны атомным
весам А этих элементов и'обратно пропорциональны их
валентностям п:
F-r величина, называемая числом Фарадея. Ее значение
F=9,64-107 к/кгэкв. Отношение х=— называется хими-
ческим-эквивалентом вещества.
Подставляя в (34.1) выражение для k из (34.2),
получим объединенный закон Фарадея:
j -±- + It. (34.3)
Из (34.3) следует, что число Фарадея показывает, какой
заряд должен пройти через электролит, чтобы на
электроде* выделился один килограмм-эквивалент вещества.
Выведем теперь закон Фарадея (34.3) исходя из-
современных представлений- о строении вещества.
Очевидно, число 5 атомов вещества, образующихся на
электроде,
г,— Я
где q-=lt — полный заряд, прошедший через электролит,
е — заряд электрона. Поскольку масса одного атома
равна -jj— \NA — число Авогадро), то масса вещества, выде-
•А
лярцегося на электроде,
"ж=т£-£- (34'4)
Сопоставляя это выражение с (34.3), находим F=Ne.
Следовательно, заряд электрона выражается через две
физические постоянные ♦
е = -^=1,6.Ю-19 к.
Задача 34.1. Медь выделяется из раствора C11SO4
- при напряжении 100 в. Найти расход электроэнергии на
выделение 1 кг меди. Электрохимический эквивалент
меди £=3;3-10-7 кг/к.
342

Решение. Работа, затрачиваемая источником тока
при электролизе,' ч
_A=IUt. (1)
За время t на электроде выделилась масса меди
т=Ш: (2)
Из (1) и (2) находим:
A U
—=-£ =3- 108-дж/кг = 83 квт-ч/кг. .
Рекомендуем решить задачи №669, 673,
677, 680, 682 из задачника [jl].
§ 35. Магнитное поле
1. Силы, действующие между токами. При движении
электрических зарядов возникают новые явления,
зависящие от величины и направления скорости зарядов.
Одно из них открыто Ампером: два незаряженных
параллельных провода, по которым' текут одинаково
направленные токи, притягиваются друг к другу с силой,
зависящей от величины токов и расстояния между
проводами (рис. 35.1,а). При перемене направления одного
из токов сила притяжения сменяется силой
отталкивания. Проводники с током в целом электрически
нейтральны. Поэтому кулоновское взаимодействие между
ними отсутствует. Следовательно* силы взаимодействия
между проводниками — силы новой природы,
возникающие только благодаря движению электронов. Сила
взаимодействия между зарядами, зависящая от их скорости,
называется магнитной силой. Если проводники
с током являются бесконечно длинными, то сила Fi2,
действующая со стороны тока h на участок провода
длиной А/, по которому идет ток /ь- может быть
записана в виде
F12 = 2kl^. (35.1а)
В этой формуле г — расстояние между проводниками,
k — коэффициент пропорциональности (двойка в (35.1а))
введена для упрощения записи других формул. Сила F2u'
действующая на элемент Л/ тока h со стороны тока /ь
равна по величине силе Р\г и направлена в противопо-
343

ложную сторону. В системе СГСЭ размерность
коэффициента [&] = (см/с)-2. Измеренное на опыте значение k
оказалось равным-^-, где с=3-1010 сад/с — скорость
света. В системе СГСЭ единица тока равна IX
ХСГСЭ (Q) с-1.
Подобно тому как на основе закона Кулона (27.1)
была построена система единиц СГСЭ, соотношение
(35.1а) может быть использовано для определения
единицы силы тока 1а в системе СИ.
Ампер — сила такого постоянного тока,
протекающего по двум тонким и бесконечно длинным проводникам,
J1\
At
fc
4 Рис. 35.1
расположенным в вакууме на расстоянии 1 м, если на
каждый метр длины проводников действует сила
2 • К)-7 н. Следовательно,
к—10^7 —
В системе СИ коэффициент k полагают равным
}ie называют магнитной постоянной:
где
В системе СИ сила взаимодействия
344

Найдем соотношение, связывающее единицу силы тока
в системах СГСЭ и СИ. Для этого в (35.16) положим
/1=/2=/=la, /s=A/=l м и найдем F=*2.10-7 «==
=2-10""2 дн. Подставляя это значение * в (35.1а),
получим
. =1а=-^Кдн = 3109 СГСЭ (/) или 1 к = 1 а>1 с==
= 3.109 CrC3(Q).
. Взаимодействие токов может быть описано с
помощью понятия магнитного поля. Мы говорим, что
вокруг движущихся зарядов или проводников с токсйд
возникает магнитное поле. В магнитном поле на
движущиеся заряды и токи действует сила. Таким образом,
для нахождения силы взаимодействия между токами
надо решить две задачи: 1) определить магнитное поле,
создаваемое движущимися зарядами, - т. е. токами,
2) определить силы, действующие со стороны маГнитно-
го поля на ток. Рассмотрим сначала вторую задачу.
2. Магнитная индукция. Силы, действующие на
проводник с током в Магнитном поле. После изобретения
итальянским физиком Вольта источника тока
возможности эксперимента расширились. Однако только в
середине 1820 г. датским физиком Эрстедом была
обнаружена связь между электрическими и 'магнитными
явлениями. Он заметил, что стрелка компаса,
расположенная параллельно проводу, при включении тока
отклонялась от своего первоначального положения. Этот
простой опыт произвел сильное впечатление на
современников и положил начало новой области физики —
электродинамике. Под влиянием этого открытия в том
же году были изобретены электромагнит
(Араго),-электромотор (Фарадей) и обнаружен эффект притяжения
параллельных токов (Ампер).
Магнитное поле-в каждой точке пространства может
быть описано вектором магнитной
индукции В. Условились за направление магнитного поля В
в месте расположения магнитной стрелки принимать
направление северного конца стрелки. Для графического
изображения магнитного поля часто используют понятие
силовых линий. Линии, касательные к которым в
каждой точке совпадают с направлением вектора В,
называют силовыми линиями магнитной индукции. Величина
345

магнитной индукции пропорциональна чщ:лу силовых
линий, пересекающих единицу площади.
Как определить величину магнитной индукции? Для
этого поместим в'магнитное поле проводник с током i
и будем измерять величину силы А/7, действующей на
элемент длины проводника А/. Мы обнаружим, что от-
ношение -щ- не зависит от величин i и А/, но зависит
от ориентации элемента А/ относительно направления
силовых линий магнитного п-оля. Пуйъ угол-между
направлениями тока и силовых линий равен 90°. Тогда
указанное выше отношение принимает наибольшее
значение. Вспомним, что в § 28 отношение силы,
действующей со стороны заряда Q на пробный заряд q, к
величине этого заряда оказалось не зависящим от q. Поэтому
указанное отношение характеризовало только заряд и
создаваемое им электрическое поле. Подобно этому
отношение тдт" не зависит от тока и Это обстоятельство
позволяет ввести величину индукции магнитного поля,
создаваемого током /, как отношение силы,
действующей на отрезок провода к длине провода А/ и току
в нём i:
В=с^- (СГС), (35.2а)
^ ' (35.26)
Единицей магнитной индукции в СГС является гаусс
(1 гс). 1 гс — магнитная индукция такого поля, в
котором на элемент провода длины А/=1 см с током i=
=3-1010 СГСЭ(/)=10 а действует сила AF=±1 дн.
Размерность В совпадает с размерностью напряженности
электрического поля. В системе СИ (основные
единицы.— м, кг, с, единица тока=1 а) единицей магнитной
индукции является тесла (т) — индукция магнитного
поля, действующего с силой AF= 1 н на отрезок провода
А/=1 м, по которому течет ток 4=1 а. Полагая
в (35.2а) AF=1 н=105 дн, f=la=3-109 СГСЭ(/),
найдем В=104 гс. Следовательно, 1 т=104 гс.
Индукция магнитного поля Земли вблизи ее
поверхности составляет 0,5 гс. В электромагнитах, используе-
"346

мых в лабораториях, В~105 гс. Магнитные поля пуль*
саров В—1013 гс. *
Закон.Ампера. Из формулы (35.2) следует, что на
прямолинейный проводник с током i длиной А/ в
магнитном поле с индукцией В действует сила AF=iBAl.
Проводник в этом случае расположен перпендикулярно
к силовым линиям, а сила AF оказывается направлен-
ь
Рис. 35.2
Рис. 35.3
ной перпендикулярно к проводнику и силовым линиям.
В общем случае направления магнитной индукции
произвольного магнитного поля и тока в элементе А/
провода могут образовывать угол а. В этом случае
величина силы, действующей на элемент А/, равна
1
= — IB sin aM (СГС),
с
(35.3а)
AF = IB sin аД/ (СИ), (35.36)
где а — угол между вектором магнитной индукции и
направлением тока в элементе А/, В — значение
магнитной индукции в месте расположения элемента Л1. При
этом предполагается, что размеры А/ проводника
должны быть такими, чтобы на всей его длине индукция В
была постоянной. Направление силы AF определяется
правилом левой руки: расположим левую руку так,
чтобы силовые линии магнитного поля входили в ладонь,
э направление средних пальцев совпадало с
направлением тока, .тогда направление отогнутого в сторону
большого пальца совпадает с направлением силы,
действующей на проводник (рис. 35.2). Таким образом,
вектор силы перпендикулярен плоскости, проходящей через
провод и вектор магнитной индукции. Эта сила отлична
от нуля лишь в том случае, если i=^=.O, т. е. если в про-
347

воднике происходит движение электрических зарядов.
Очевидно, на каждый движущийся в проводнике
электрон в.магнитном поле действует аналогичная сила и
сообщает ему соответствующее приращение количесцра^
движения, которое при столкновение электронов с
ионами решетки передается проводнику и вызывает его
движение в магнитном поле. Если ток отсутствует, то
электроны находятся в хаотическом тепловом движении и
равнодействующая сила, приложенная к решетке, равна
. нулю — проводник- покоите**.
Задача 35.1. Электрическая цепь, состоящая из
источника э. д. с. и сопротивления 7?=3 Ом,
расположена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля
с индукцией В=2-ч10~2 тл (рис. 35.3). Определить силу,
действующую на проводник А В. Э. д. с. источника тока
£■=60 в, внутреннее сопротивление г=\ Ом, длина
проводника АВ /=0,5 м.
Решение. По проводнику-идет ток /, определяемый
из закона Ома:
Так как угол между направлением магнитного поля и
направлением тока равен 90°, то "согласно (35.3) сила,
действующая на проводник,
= /B/ = ^L = 0,15 н.
* Пример 35.2. Прямоугольная рамка со сторонами
а и Ъ подвешена за подводящие провода. Нормаль п
к рамке образует угол а с направлением горизонтально
расположенных "силовых линий однородного магнитного
поля с магнитной индукцией В. Определить момент сил,
действующих на рамку, при пропускании- тока /.
Согласно правилу левой руки сила, действующая на
проводник с током, перпендикулярна плоскости, вв
которой расположены ток и магнитные силовые линии^
проходящие через проводник. Используя это правило,
нетрудно определить направление сил, действующих на
каждый из проводников рамки. На верхний и нижний
проводники действуют силы, направленные
соответственно вверх и вниз> приводящие к деформации'рамки. На
348 • ^

о
-боковые стороны действуют силы F=IbB, создавая
вращательный момент. На рис. 35.4 изображен вид рамки
сверху. Из него ясно видно, что момент силы F,
действующей на сторону Ь, равен произведению -у sin a*F.
Полный момент силы М
равен сумме двух одинаковых
моментов сил, действующих
на обе стороны длиной Ь.
Таким образом,
M=IBab sin a. (1)
Рамка поворачивается до
тех пор, пока момент М
станет равным нулю (при
значении а=0). Следовательно,
рамка ориентируется так,
что ее плоскость становится
перпендикулярно силовым
линиям однородного
магнитного поля. При этом, глядя
в направлении магнитного
поля, мы видим ток в рамке
идущим по часовой стрелке.
Выражение (1) можно
переписать в следующем виде:
M = BI{]ab. (2)^
Следовательно, момент
зависит только от
составляющей магнитного поля В{{ =
=£sina, параллельной
плоскости рамки.
Действительно, составляющая,
перпендикулярная рамке, вызывает только ее деформацию.
Составляющая 5|( создает вращающий момент.
Окончательно (2) можно представить как
Рис. 36.4
где 5 —площадь рамки. В таком виде выражение для
момента справедливо для плоской рамки любой формы.
349

Задача 35.3. Медный Провод сечением 5 = 2 мм*,
согнутый в виде трех сторон квадрата, может вращаться
вокруг горизонтальной оси. Провод находится в
однородном магнитном поле с индукцией £=3,5-102 тл,
направленном вертикально. Определить угол а отклонения
плоскости квадрата от вертикали, если по.проводнику
идет ток силой /=10 а. Плотность меди р=8,9 г/см3
(рис. 35.5,а):
Решение. Рамка будет находиться в равновесии
в том случае, если сумма вращающих моментов,
действующих на нее> будет равна нулю. В данном случае на
о)
I I
Рис. 35.5
рамку действуют два момента: момент сил тяжести М{
и момент M2f с которыми магнитное поле действует на
v рамку с током (рис. 35.5,6).
Нетрудно подсчитать (см. задачу 11.11), что сила
тяжести рамки P=3pgSa приложена в точке, находящейся
на расстоянии уй от середины средней стороны. Из рис.
2 • ^
35.5,tf видно, что iW1=P-^-asina. *
о
Силы, действующие со стороны магнитного поля на
боковые стороны рамки, не создают вращательного
момента, так как направлены параллельно оси вращения и
вызывают только растяжение рамки. Вращательный1
момент М2 создается силой F=IaBt приложенной к
середине средней стороны. Ее момент M2=Fa cos a.
Приравнивая моменты, найдем угол отклонения
350

IB
Подставляя числовые данные, находим tga=l.
Следовательно <х=45°.
Пример 35.4. По двум параллельным длинным
проводам текут соответственно токи /1=10 а и /2=20 а.
Расстояние между проводами d=l см. Вычислить силу;
действующую на элемент 1=\ м. каждого провода.
Пусть по проводникам текут параллельные токи.
Каждый из токов создает магнитное поле. Силовые
линии магнитного поля с индукцией 5Ь создаваемые
током /ь пересекают провод с током /2 под прямым углом.
Используя формулы (35.3), (35.4), нетрудно ^найти
силу F2\, действующую на отрезок провода длиной /, по
которому течет ток /г, со стороны магнитного поля,
создаваемого током 1\\
F.,=
21
21
(в СГС).
(1)
Подставляя числовые значения, найдем jF2i=4- 10"~4 н=
= 4 • 102 дн. Аналогично находится сила Fi2,
действующая со стороны магнитного поля, создаваемого током /2,
на отрезок провода с током 1\. Величина F2\=Fi2. Если
токи текут в противоположных направлениях, то
проводники отталкиваются с силой, величина которой
определяется формулой (1).
3. Напряженность магнитного поля. Обычно
электрическое и магнитное поля наблюдают в веществе.
Правда, не всегда в плотном веществе, но по крайней
мере в газе, например в воздухе. Вектор магнитной
индукции характеризует именно магнитное поле внутри
вещества (см. пункт 4). Наряду с индукцией магнитного
поля используют векторную величину Н, называемую
напряженностью магнитного поля. Эта величина
является характеристикой намагничивающего внешнего
поля, не зависящего от атомной структуры вещества.
Другими словами, вектор Н определяет магнитное поле
в вакууме. Если среда отсутствует, то векторы В и Н
должны совпадать. Однако в системе СГС, несмотря на
одинаковую размерность, единицу магнитной
индукции Б назвали гауссом (гс), а единицу напряженности
^ * 351

Я — эрстедом (э). Более того, за единицу
напряженности магнитного поля в системе СИ принимается,
ампер/метр — напряженность магнитного поля, индукция
которого в вакууме равна 4jt-10~7 тл. Тем самым
вектор В отличается от вектора Н в системе СИ и
размерностью и численным значением. Связь между,
напряженностью поля и" магнитной индукцией в системе СИ
можно найти по формуле B=*\iqH. Единицы напряженности
магнитного поля в системах СИ и СГС связаны
соотношением
1 JL=4iu.lO-7 тл = 4я-10-8 э.
Рассмотрим магнитное поле, создаваемое в вакууме /
током /, текущим по очень длинному прямолинейному
проводнику. Мы уже говорили о характере силовых
линий магнитного поля прямого тока. Для определения их
направления можно воспользоваться правилом
правой руки: если большой палец правой руки
направлен по току, то остальные четыре пальца,
обхватывающие проводник, укажут направление Н.
Направление силовых линий, полученное с помощью этого
правила, совпадает с направлением северного конца
магнитной стрелки, поднесенной к току. Существенное
отличие магнитных силовых линий от силовых линий
электрического поля состоит в том, что они всегда
замкнуты или уходят в бесконечность. Объясняется, это
тем, что в природе не существует магнитных зарядов,
создающих магнитное .поле, подобно тому, как
электрические заряды создают электрическое поле.
Найдем теперь величину магнитного поля,
создаваемого проводником с током /. Очевидно, выражения
(35.1а) и (35.2а) будут совместными (см. рис. 35.1,а, б),
если
В (гс) = Я (э) = 4- 4- (* СГС) (35.4а)
• с г
ИЛИ
В системе СИ
. • в(тл>=тУг (35-4б)
В системе СИ напряженность магнитного поля
352

(35.4в)
ix0 2n r (m)
Магнитное поле прямого тока является
неоднородным, так как его величина меняется от точки к точке.
Если магнитное поле создается не одним, а
несколькими токами, то результирующая напряженность в
некоторой точке равна векторной сумме напряженностей,
создаваемых-каждым током в отдельности (свойство
суперпозиции). Возьмем, например, два параллельных
проводника, в которых токи текут в противоположных
Рис. 35.6
направлениях. Каждый из токов создает магнитное поле
(рис. 35.6,а). Так кЪк токи в проводах направлены
в противоположные стороны, то в области между
проводами силовые линии обоих полей направлены в одну
и ту же сторону, а по обе стороны от проводов — в
противоположные стороны. Складываясь, эти поля
усиливают друг друга в области между проводами «и
ослабляют друг друга во всей остальной области. Силовые
линии результирующего поля имеют вид, изображенный
на рис. 35.6,6.
Магнитное поле соленоида (т! е. системы круговых
токов с общей прямолинейной осью) образуется в
результате наложения магнитных полей, создаваемых
каждым витком. В средней части соленоида магнитные
силовые линии представляют систему почти параллелъ-
23—125 ) 353

ных оси соленоида прямых одинаковой густоты
(магнитное поле почти однородно). По мере приближения
к концам соленоида силовые линии превращаются в
расходящиеся кривые (неоднородное магнитное поле),
замыкающиеся во внешней области соленоида.
Задача 35.5. Два длинных параллельных провода
находятся на расстоянии а=5 см один от другога.
Найти напряженность Я магнитного поля в точке Л,
находящейся на расстоянии гх=А см от одного и г2=3 см
от другого провода, если по проводам текут одинаковые
токи силой /=12 а: а) в одном направлении, б) в
противоположных направлениях.
Решение. Напряженность Н в некоторой точке
является векторной суммой напряженности Нь
создаваемой первым проводом^ и Н2, создаваемой вторым
проводом: H=Hi + H2. Величины этих полей
„ 0,2/ и 0,2/
Условиям задачи удовлетворяют четыре точки, для
которых a2=r2i + r22. Силовые линии, проходящие через
одну из них в случае а), изображены на рис. 35.7. В си-
" щ Рис. 36.7
лу геометрии задачи векторы Hi и Н2 взаимно
перпендикулярны (так как угол О\АО2—прямой, поскольку
a2==r2i + r22). Поэтому напряженность Нч в каждой из
четырех точек имеет одну и ту же величину, но разные
направления. Складывая векторы Hi и Н2, находим
напряженности
|1 + 2 = ^- = 1 э.
354

В случае б) величина напряженности также равна 1 э.
Задача 3-5.6. Два бесконечно длинных" прямых
провода скрещены под прямым углом. По проводникам
текут токи Л=80 а и /2=60 а. Расстояние между
проводниками d=10 см. Определить напряженность
магнитного поля в точке, лежащей на середине расстояния
между проводами. . *
Задача 35.7. Прямоугольная рамка, описанная в
примере 35.2, помещена вблизи вертикально
расположенного длинного провода с током. Определить положение
плоскости, в которой расположится рамка.
Задача 35.8. Описать поведение контура с круговым
током, подвешенного вблизи северного полюса прямого
постоянного магнита.
Рис. 35.8
Решение. Магнитное поле у полюсов прямого
магнита является неоднородным. Разложим напряженность
магнитного поля Н на две составляющие: Н^
перпендикулярную плоскости рамки, и Н(|—параллельную
рамке. Если ток течет в направлении, указанном на
рис. 35.8, то Н± вызовет силу, лишь деформирующую
рамку. Составляющая. Нп согласно правилу левой руки
обусловливает возникновение силы, направленной пер-
23* . 355

пендикулярно к плоскости рамки в сторону северного
полюса. Следовательно, контур с выбранным
направлением течения тока притянется к северному полюсу
магнита. Если направление тока обратное изображенному
на рис. 35.8, то рамка отклонится от полюса, окажетсй
в состоянии неустойчивого равновесия (докажите),
повернется на 180° и снова притянется к магниту.
4. Магнитные свойства вещества. Магнитные
свойства вещества весьма многообразны. Отметим сразу, что
в основе магнитных эффектов лежат квантовые явления.
Поэтому ограничимся обсуждением магнитных свойств,
известных из опыта.
ч Подобно тому как внесение диэлектриков в
электрическое поле, вызывает изменение этого поля, так и
внесение магнетиков во внешнее магнитное поле вызывает
его изменение. При этом магнетиками называют
вещества, присутствие которых способно либо видоизменять,
либо возбуждать магнитное поле. Всякий магнетик,
находящийся во внешнем магнитном поле
напряженностью Н, намагничивается. В этом состоянии магнитное
поле внутри вещества является векторной суммой
напряженности Н и добавочной напряженности Н'. Это
дополнительное поле образуется за счет магнитных
полей, создаваемых каждым атомом и молекулой
вещества в присутствии внешнего поля. Векторная сумма
Н + Н' получила название вектора магнитной индукции:
(в СГС),
(35.5)
(в СИ).
Большинство магнетиков, намагничиваясь под
воздействием внешнего магнитного поля, по исчезновении
этого поля полностью размагничивается (парамагнетики
и диамагнетики). Наряду с этим существуют вещества
(ферромагнетики), способные оставаться
намагниченными и после исчезновения внешнего поля.
Ферромагнетики— железо, никель, кобальт и другие сплавы — часто
используют д,дя создания постоянных магнитов, для
записи информации на магнитных пленках и т. д.
В неферромагнитных телах и в не слишком сильных
полях напряженность Н' дропорциональна
приложенному полю. Поэтому магнитная индукция может быть
представлена в виде B = jxH. Коэффициент р, назы-
556

вается магнитной проницаемостью вещества. Величина
|i безразмерная; она является количественной
характеристикой магнитных свойств среды, показывая, во
сколько раз результирующее поле в веществе отличается
от внешнего магнитного поля.
В парамагнитных веществах (алюминий, платина
и т. д.) под влиянием внешнего магнитного поля
возникает наведенное магнитное поле (создаваемое
электронами атомов вещества), направление которого
совпадает с направлением внешнего поля. Это означает, что
В>Н, т. е. |л>1. В диамагнитных веществах (вода,
стекло, висмут и т. д.) внутреннее магнитное поле #',
наоборот, ослабляет внешнее поле. В этом случае В<#,
следовательно, ц<1. В неоднородном магнитном поле на
парамагнетики (диамагнетики) действует сила в
направлении, в котором увеличивается (уменьшается)-
напряженность поля. „ • •
Магнитная проницаемость большинства пара-"и диа-
магнетиков близка к единице, поскольку Hf<^H. В
ферромагнетиках наведенное магнитное поле Н' может
быть во много раз больше, чем вызывающее его
внешнее поле Я.
Рекомендуем решить задачи № 687, 689,
692 из задачника [1] и № 423, 426, 433, 435, 445, 458,
459, 460, 464, 470 из задачника [2].
§ 36. Электромагнитная индукция
1. Поток вектора: магнитной индукции. Рассмотрим
в пространстве м'агнитное поле и некоторую
поверхность. Разделим ее на столь малые части, чтобы в
пределах каждой из них поверхность можно было считать
плоской, ^ вектор магнитной индукции постоянным.
Тогда магнитное поле в пределах площадок Д5 можно
считать однородным. Ориентацию площадки можно
описать вектором п, перпендикулярным плоскости.
Проекция вектора магнитной индукции В, пересекающего
элементарную площадку, равна В cos а, где а —угол
между направлениями векторов В и п. Величину
A<b=BcosaAS (36 J)
называют потоком магнитной индукции через
элементарную площадку AS. Если сложить потоки через все
357

элементарные площадки, то получим поток магнитной
индукции Ф через всю поверхность:
> Ф = 2 Bt cos a/ASi.
(36.2)
В системе СГС единица потока называется
максвелл (мкс): -
1 мкс =1 гс • 1 см2.
В системе СИ поток магнитной индукции измеряется
в веберах (вб): ..
1 вб = 1 тл-1 м*.
4 Очевидно, 1 вб=108 мкс'
2. Законы Фарадея и Ленца. Надо заметить, что
М. Фарадей (1791—1867 гг.) был величайшим
экспериментатором. Его работы имели' фундаментальное
значение для науки. Под, влиянием открытия Эрстеда Фа-
.Рис. 36.1
радей записал в своем дневнике: «Превратить
магнетизм в электричество». Спустя 11 лет открытое Фара-
деем (1831 г.) явление электромагнитной индукции
вскрыло полную взаимосвязь электрических и
магнитных явлений. С одной стороны, электрический ток
порождает магнитное поле, с другой — электрический ток
возникает при всяком изменении магнитного потока,
пронизывающего контур замкнутого проводника. Этот
ток называется индукционным, а возникающая э. д. с. —
электродвижущей силой индукции.
Рассмотрим три ойыта по исследованию явления
индукции (рис. 36.1) Г L Цепь 2. движется, а цепь 1
неподвижна. Стрелка гальванометра отклоняется. 2. Цепь 2
неподвижна, а цепь 1 движется. Стрелка гальванометра
отклоняется. 3. Обе цепи неподвижны, но мы меняем ток
358

в катушке перемещением движка реостата. Стрелка
гальванометра снова4 отклоняется. В любом из этих
опытов появление э. д. с. индукции связано только .с
изменением потока магнитной индукции через
произвольную поверхность, ограниченную замкнутым контуром 2,.
и не зависит от причин, обусловливающих это
изменение. Величина э^д. с. индукции, возникающей в
проводнике, связана со скоростью изменения потока
соотношением
** = -ТГ. " (36-3)
Здесь ЛФ — изменение магнитного потока, At —
промежуток времени, в течение которого произошло это
изменение. Если поток выражен в вб, а время в с
(система СИ), то э.д.с. выражается в вольтах. Если поток
индукции выражен в мкс, а время в с, то величина
электродвижущей силы имеет размерность напряженности
электрического поля СГСЭ(£) и определяется
выражением ' . \
Е=—г ж- ■ «"•*)
Важно отметить, что в описанных выше опытах
цепь 2 играет вспомогательную роль: в ней возникает
ток, что подтверждает 'существование электрического
поля. Само же возникновение электрического поля при
изменении магнитного потока через любую
воображаемую поверхность ни в какой мере не связано с
присутствием цепи 2.
Индукционный ток создает вокруг проводника
собственное магнитное поле, силовые линии которого
пересекают исходный контур, т. е. возникает магнитный поток,
уменьшающий или увеличивающий влешний магнитный
поток в зависимости' от направления тока. Направление
э. д. с. индукции (или индукционного тока), определяется
правилом Ленца: магнитный поток, создаваемый
индукционным током, препятствует изменению
магнитного потока, вызывающего появление индукционного тока.
На рис. 36,2,а показан проволочный контур, размеры
которого могут меняться. Контур состоит из двух частей:
неподвижной, замкнутой на сопротивление, и подвижной
перемычки, которая-может окользить вдоль двух плеч.
Этот контур помещен в однородное магнитное поле,
359

Цепь замкнута, „ но -площадь ее может меняться. При
движении перемычки вправо магнитный поток через
контур возрастает, а ток имеет такое направление, . что
внешнее магнитное поле внутри контура ослабляется,
складываясь с магнитным полем, созданным
индукционным током (рис. 36.2,6). При движении перемычки вле-
R
Q)
5)
Рис. 36.2
•во ток в соответствии с правилом Ленца течет в
обратном направлении, увеличивая уменьшающийся
(вследствие перемещения перемычки) поток внешнего магнитного
поля через контур.
Знак минус в формулах (36.3) и (36.4) означает
стремление системы противодействовать изменению
состояния: при возрастании магнитного потока,
пронизывающего контур, возникающая э.д. с, индукции создает
ток; магнитное поле которого препятствует возрастанию
магнитного потока через контур.
Для определения направления тока в проводнике,
движущемся в магнитном поле, можно пользоваться
правилом правой руки (эквивалентным правилу Ленца):
направление - средних пальцев укажет направление
э. д. с. и тока, если расположить правую руку так, чтобы
магнитные силовые линии входили в ладонь, а
направление движения проводника совпадало с направлением
отогнутого большого пальца.
Пример 36.1. Определить * мощность, которую надо
затратить, чтобы в установке;#изображенной на рис. 36.2,
получить ток силой /. Магнитная индукция поля В,
сопротивление R, длина перемычки /.
360

При перемещении перемычки в течение времени At
магнитный поток через контур изменился за счет
изменения его площади на величину AO=BAS=BlvAty где
v — скорость перемычки. Поэтому возникает э. д. с.
индукции, величина которой согласно (36.3)
Е = -ВЬ. (1)
Ток в цепи пропорционален этой э.д. с. и обратно
пропорционален сопротивлению цепи:
j_E _ Blv (2
Мощность Р, выделяемая на сопротивлении:
P=1E=**!*L; . (3)
Каков источник энергии, выделяемой на
сопротивлении? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим силу,
действующую на ток в перемычке со стороны
магнитного поля. Как только по цепи пойдет ток /, на передоычку.
будет действовать сила
Ft = lBt, (4)
направление которой определяется правилом левой
руки. Подставляя /, из (2) получим: '
F. — J»-* • (5)
Сила пропорциональна скорости перемещения
перемычки, ее направление противоположно скорости.
Мы видим, что возникающая сила F\ тормозит
перемычку, препятствуя .возрастанию магнитного потока
в соответствии с правилом Ленца. Если на перемычку
не действуют внешние силы, то она, испытывая действие
силы (5), через некоторое время остановится и ток пре-.
кратится. Чтобы поддерживать постоянным ток силой
(2), необходимо, чтобы перемычка двигалась с
постоянной скоростью v. Для этого к перемычке надо
приложить внешнюю силу F=—F\^ Механическая работа
в единицу времени (мощность), совершаемая этой
силой при движении перемычки:'
Сравнивая (3) и (6), видим, что механическая
энергия, затраченная на перемещение перемычки,
выделяется в виде тепла.
361

Пусть #=10 Ом, Я=1 тл, /=0,25 а, /=0,5 м. В атом
случае находим £"=—2,5 в, v=5 м/с, F=0,125 н,
Р==а,625 вт.
Пример 36.2. Объяснить возникновение тока в
контуре (см. рис. 36.2) с точки зрения электронной теории.
Свободные электроны в контуре, находясь в хаоти-*
ческом тепловом движении, испытывают со стороны
магнитного поля действие силы. Если перемычка неподвиж-,
на, то направления сил, приложенных к разным
электронам, также распределены хаотически. Поэтому ток
в контуре равен нулю (нет преимущественного
направления движения электронов). Однако если перемещать
перемычку вправо со скоростью v, то все электроны
в. ней приобретут такую же добавочную скорость v. Это
движение электронов можно рассматривать как ток
в направлении смещения перемычки. Применяя правило
левой руки, видим, что сила, действующая на все
электроны, имеет направление, указанное на чертеже
стрелкой. Эта сила толкает электроны вдоль перемычки. Они
начинают двигаться и смещают в остальной части цепи
(За счет электрического отталкивания) другие
электроны: в контуре возникает электрический ток.
3. Двигатели постоянного тока. Электрический мотор
состоит из якоря и магнита. Якорь содержит множество
проволочных петель прямоугольной формы, надетых на
сердечник, выполненный в виде цилиндра. Обычно
в электромагнит и якорь ток поступает от одного
источника. Мы рассмотрим электромотор с независимым воз^
буждением. В. этом случае магнит постоянный или
.питается от отдельного источника.
- Поскольку намотка якоря пересекает линии
магнитного поля, то в ней возникает э. д. с. индукции,
направленная навстречу э.д. с. внешнего источника £.
Поэтому закон Ома для цепи якоря принимает вид:
т=Е-Ешя (36.5)
(R — сопротивление обмотки якоря).
Полная мощность, затрачиваемая источником, идет
на совершение механической работы и нагревание
обмотки:
/£=Рмех + /*Я. (36.6)
Из (36.5) и (36.6) следует, что
P«e*=IEmA=I(E-IR). (36.7)
362

Коэффициент полезного действия мотора
(36.8)
При наибольшей нагрузка якорь заторможен,
£шзд=О. В* этом случае в цепи якоря ток достигает
максимального значения /0:
Поэтому (36.8) можно представить в виде т]=1—j-.
'о
В режиме холостого хода нагрузка отсутствует,
Лиех=0. Ток в цепи также равен нулю, так как якорь
вращается с максимальной скоростью и э. д. с. индукции
становится равной э. д. с. источника Е.
Пример 36.3. По двум параллельным металлическим
рейкам, расположенным в вертикальной плоскости
(рис. 36.3,а) и замкнутым на источник с E=U, может
В
*-F
Рис. Эб.З
двигаться без трения невесомый проводник длиной L.
К нему прикреплен груз весом F. В£я система
находится в однородном магнитном поле, индукция которого В
направлена перпендикулярно плоскости рисунка.
Исследовать условия работы такого подъемника в^
стационарном режиме, найти зависимость тока в цепи,, полной
363

потребляемой мощности, механической мощности и
коэффициента полезного дейстЁия от величины силы F.
После включения источника в цепи пойдет ток ~^-
(R — сумма сопротивления движущегося проводника и
внутреннего сопротивления источника тока). В магнитном
поле на проводник с током действует сила -h-^L. Если
Г] ВТ
>Л то проводник начнет двигаться вверх со
скоростью v(t). При этом возникает э. д. с. индукции
Е = — BLv. Вследствие этого ток уменьшается до
значения
j } (1)
а сила, действующая на проводник в поле, становится
равной
0
Согласно второму, закону Ньютона,
скорость движения груза растет до значения v0, при
котором ускорение а=0:
Далее груз движется равномерно со скоростью v0.
Развиваемая подъемником механическая мощность
При этом в цепи идет ток
Мощность Р, потребляемая подъемником от источника,
может быть найдена из закона сохранения энергии:
или согласно определению и (4)
Р=Ш=Ж- (5)
364

Коэффициент полезного действия подъемника
Зависимость P(F) и PMex(F) изображена на рис. 36.3, б.
е4^
Максимальное значение Рмех, равное4^-, достигается при
R/ З = —» а СКОРОСТЬ
подъемника уо= 2Ж"* ^ри р=^тах мощность,
потребляемая источником, достигает наибольшего значения: ^„^х—
и2 ^
=—^-, а механическая мощность и скорость груза
обращаются в нуль.
В режиме холостого хода груз отсутствует (F = 0)»
.Проводник движется вверх с максимальной скоростью
vu — ~gj-. Полный ток в цепи равен нулю, так как э: д. с.
индукции £-становится равной —-U.
Мощность,-потребляемая от источника, равна нулю.
При F>Fm3LX груз будет опускаться, а подъемник
будет работать как динамо-машина.
Задача 36.4. Прямоугольная рамка расположена
в плоскости длинного прямолинейного проводника с
током (рис. 36.4). Рамку можно перевести в новое
положение (отмеченное на рисунке пунктиром) двумя
способами: 1) перемещая ее параллельно самой себе,
2) вращая вокруг ВС на 180°. В каком случае заряд
протекший через прьводник ВС, больше?
Решение. Сила тока, индуцируемого в рамке за счет
изменения магнитного потока:
,'Е _ 1 АФ .
1 (?)
где R — сопротивление рамки. Заряд Д#, протекающий
через любую сторону рамки:
Aq = IAt. (2)
Из (1) и (2) следует, что
Д<7= —-^-ДФ. (3)
365

Если в течение рассматриваемого промежутка времени
поток изменился от значения Фо до значения Фь, то
величина заряда q, протекающего через контур:
Применим эту формулу к нашей задаче.
Для оценки магнитного потока через рамку мы
должны ввести нормаль п к плоскости рамки. Пусть ток
течет в направлении-, указанном стрелкой на рис. 36.4.
' Л
я
) С
1
1
I '
Рис. 36.4
Силовые линии магнитного поля тока перпендикулярны
к плоскости рамки. Выберем направление нормали*
к рамке так, чтобы в начальном положении поток Фо
был положителен (в этом случае угол между силовыми
линиями и вектором п равен нулю). При изменении
положения в первом случае поток, оставаясь
положительной величиной, изменяется от значения Ф до значения
Фь=ф'<ф0, так как магнитное поле убывает с
увеличением расстояния от провода. Во втором случае поток
изменяется от Фо до значения Ф&=—Ф', так,как после
поворота рамки угол между силовыми линиями и йек-
тором становится равным 180° для всех силовых линий,
пересекающих рамку.
Следовательно, во втором случае через проводник ВС
пройдет заряд <72 = -^-(ф' + фо)» больший, чем заряд
71==-^-(Ф0 —Ф') в первом случае.
366

4. Самоиндукция и взаимоиндукция. Рассмотрим
замкнутый контур, в котором\с помощью батареи
создается ток, силу которого / можно менять (перемещая^
например, движок реостата). При изменении тока
магнитное поле, создаваемое этим током, также является
переменным. Поэтому поток магнитной индукций через
площадь, ограниченную контуром самого тока, меняется
со временем и, следовательно, в не^ возникает э. д. с.
индукции. Это явление, открытое Д.\Генри в 1837 г.,
называется самоиндукцией. Изменение потока
пропорционально изменению тока А/ и зависит от
геометрической формы контура' и среды, в которой он расположен.
Эта зависимость выражается через коэффициент
самоиндукции, или индуктивность L. Если коэффициент
самоиндукции L не меняется (т. че. форма контура и
свойства среды не зависят от времени), то ДФ=£Д/, а э. д. с.
самоиндукции
* = -ТГ = -*-П-. - . (36-9)
Знак, минус •показывает, что электродвижущая сила
всегда направлена таким образом, чтобы
препятствовать изменению тока.
В системе СИ за единицу индуктивности
принимается индуктивность такого контура, собственный
магнитный поток которого изменяется на 1 вб при изменении
тока на 1 а. Эта единица имеет название генри (гн):
- вб ТЛ'М2 Н«М
j РН — " *—- ~
а • а а*
Согласно (36.9) при индуктивности контура в 1 гн
изменение тока на Г а в секунду возбуждает в нем
э. д. с. самоиндукции в 1 в.
В «системе СГС единица
индуктивности—сантиметр (см):
Очевидно, магнитная постоянная может быть записана
в виде |ю=4л*10-7 гн/м. „
Явление взаимоиндукции состоит в том, что
при изменении силы тока в каком-нибудь контуре или-
положения контура изменяющийся магнитный поток
индуцирует э. д. с. в соседних контурах.^
367

Задача 36.5. По катушке, цадуктивность которой L=
=2 гн, течет ток силой /=Qy6 а. При выключении тока
он падает до нуля за время т=1,2«10-4 с. Определить
э. д. с. самоиндукции, возникающей в контуре.
Решение. Для определения э. д. с. самоиндукции по
формуле (36.9) необходимо знать зависимость от
времени силы тока. Ошшко поскольку время т мало, то
можно считать, чтр ток изменяется пропорционально
времени, т. е. ^/=—. Подставляя числовые данные,
находим:
£= — £ — = — 10* в.
Задача 36.6. По прямолинейному проводнику течет
ток /. Второй такой же провод приближают к первому,
а затем удаляют от него, причем об^а провода все время
остаются параллельными Друг другу. Определить
направление индуцированного во втором проводе тока при
сближении и при удалении проводников.
Задача 36.7. В первичной обмотке трансформатора
ток растет пропорционально времени. Каков характер
зависимости тока от времени во вторичной обмотке,
замкнутой~на некоторое сопротивление?
§ 37. Переменный ток
До сих пор мы имели дело с источниками
постоянного напряжения. Теперь будет считать, что
напряжение, приложенное к цепи, зависит от времени. В общем
случае эта зависимость имеет произвольный вид. В этом
параграфе мы будем рассматривать частный случай"
переменного напряжения, когда его величина меняется по
гармоническому закону
(37.1)
Наибольшее* значение напряжения (70 называется
амплитудным значением, или просто амплитудой, Г —период
колебаний, v = -=,— частота. Величину -у-1 называют
фазой колебаний (см. § 17). Для упрощения записи мы
368

будем использовать-круговую частоту а> напряжения
«=-y- = 2*v. ~ (37.2)
Частота напряжения в электросети v=50 гц. ^Используя
(37.2) значение напряжения в любой момент времени,
можно записать в виде
t/(/) = C/0sinco/. (37.3)
Мы рассмотрим цепь, содержащую последовательно
включенные сопротивление, конденсатор (емкость),
индуктивность и источник э. д. с. (р-ис. 37.1). Переменное
напряжение создает переменное электрическое поле;
€>-
Рис. 37 1
распространяющееся в проводнике, и, как следствие
этого, возникает переменный ток>Ясно, что изменение
тока в различных участках цепи происходит не
мгновенно, а по истечении времени порядка — (L — линейные
с ~~—
размеры цепи), необходимого для распространения ёто-
го изменения по проводу. Мы будем предполагать, что
величина — много меньше времени, в течение
которого заметно изменяется напряжение, т. е. периода:
4-.<r==V' (37.4)
В этом приближении "скорость распространения
электрического поля можно считать бесконечно большой, и,
следовательно, ток в любой точке цепи также изменяется
по гармоническому закону. Для L<—Л см условие (37.4)
выполняется до частот v—3-1010 гц. Условие (37.4)
можно записать в виде L<C^, где К=сТ — длина
электромагнитной %волны, распространяющейся вдоль
провода (§ 38).
24—125 369

Рассмотрим цепь (см. рис. 37.1) в установившемся
режиме. Это значит, что амплитуда тока не меняется,
а величина тока колеблется с частотой ©:
= /. sin (со/-<р).
(37.5)
Наша задача — определить амплитуду /0 и сдвиг фазы
Ф между напряжением и током. Для этого рассмотрим
сначала поведение отдельных элементов в .цепи
переменной э. д. с: £(/)=£о sin®t.
1. Сопротивление в цепи переменной э. д. с. Если к
цепи (рис. 37.2) приложено напряжение (37.3), то
согласно закону Ома
!±-
(37.6)
Сопоставляя (37.5) и (37.6), находим Io=EolR:y <p=0.
Характер изменения двух величин I(t) и E(t) одинаков
при любом значении момента времени / (или соответ-
Рис. 37.2
т
ствующем значении фазы cot). В этом случае принято
говорить, что изменения тока и напряжения совпадают
по фазе. .
2. Конденсатор в цепи переменной э. д. с. Поскольку
между обкладками конденсатора находится диэлектрик,
электроны не могут двигаться через конденсатор.
Однако переменный ток может входить и выходить из
обкладок конденсатора. При некотором направлении тока
электроны покидают одну пластину конденсатора и
притекают к другой. При перемене направления тока на
370

обратное электроны также меняют направление
движения, при этом знаки зарядов на обкладках конденсатора
также Меняются на обратные. Изменение заряда
пластин может быть выражено через ток, текущий от одной
пластины к другой ^через э. д. с. Будем считать, что
стрелка на рис. 37,3, указывает положительное
направление тока, если верхняя пластина конденсатора
заряжается положительно. Из рис. 37.3 видно, что
Рис. 37.3
в момент t=0 скорость изменения заряда максимальна,
поэтому ток достигает наибольшего значения. В этот
момент конденсатор полностью разряжен, и на верхнюю
пластину начинает притекать положительный заряд.
В первой четверти периода скорость увеличения заряда
падает, т. е. ток уменьшается, не меняя направления,
и в момент *=-j-7V когда заряд достигает
наибольшего значения, ток падает до нуля. Далее, ток меняет
направление — положительный заряд верхней пластины
уменьшается. Наибольшая скорость изменения заряда
при t = ~y Гсоответствует наибольшему значению тока
в направлении, противоположном направлению стрелки
на рис. 37.3.
Таким образом, напряжение и ток в цепи, содержа-
-щей конденсатор, изменяются по гармоническому закону
с одинаковым периодом, но сдвинуты по оси времени на
четверть периода, так что максимумгтока наступает на
—раньше, чем максимум э. д. с. Указанное различие
24*
371

соответствует сдвигу фаз между током и
напряжением — ток опережает напряжение по фазе на 90°.
После качественного анализа перейдем к точному
расчету амплитуды тока. Электрический ток в цепи
конденсатора можно определить как предел отношения
приращения заряда AQ на верхней пластине
конденсатора (см. рис. 37.3,а) за время А? . к* величине этого
интервала:
Учитывая, что Q = CE(t), найдем
j п Д£ пп Д sin со/
Запишем приращение Д sin а>/ = sin а> (t -}- Д/) — sin «rf=
= sin ю/ cos соД/ -f- sin юД/ cos mt — sin arf.* Так как при «>Д£ <^
< 1, cos (*>&t ^1, sin соДtf >; шД/, то Д sin ш^ = гоД? со$ (о/.
Следовательно,
/ (/) = СЕош cos со/ = С£ош sin К + 90°). (37.7)
Сопоставляя (37.7) и (37.5), находим
/0 = Ссо£0, 9 =-90°.
Первое соотношение Чюжно представить в
виде,/аналогичном закону Ома:
/ — J?o_ у _ 1 --. 1 — °>16
7°~ ^с ' С— Сю """ 2nCv ~ Cv #
Величину Хс называют емкостным сопротивлением.
Ясно, что конденсатор оказывает большее
сопротивление низкочастотным токам. Чтобы получить
сопротивление в омах, емкость С должна быть выражена в
фарадах, а частота v — в герцах. Из (37.7) или рис. 37.3
видно, что ток опережает напряжение по фазе на 90°.
Это означает, что фазы тока arf-|—~ и напряжения
&t принимают одинаковые значения в разные моменты
времени: фаза напряжения в момент г, а фаза тока
т
в момент t ---Т-.
3. Индуктивность в цепи переменной э. д. с.
Предположим, что мы присоединили к источнику переменной
э. д. с. катушку с самоиндукцией L, как показано на
372

рис. 37.4,а. Сопротивлением источника тока и катушки
пока пренебрегаем. Поскольку ток в контуре меняется,
то в катушке индуцируется э. д. с. самоиндукции:
Полная электродвижущая сила в контуре v будет
равна E+EL. "Согласно второму правилу Кирхгофа
А/
Это уравнение можно переписать в виде
й рассматривать левую часть как падение напряжения
на индуктивности (разность потенциалов между точка-
Рис. 37.4
ми а и 6). Следовательно, напряжение на
индуктивности
Нетрудно проверить (вычисляя приращение foKa (37.1)) ^
что зависимость тока от времени имеет вид
/ (t) = — lj± cos Ы = -j± sin (ш/ — 90е). (37.8)
Сопоставляя (37.8) и (37.5), находим
373

Первое выражение запишем,в виде, аналогичном закону
Ома: щ ' ' •
Величину XL называют индуктивным сопротивлением
катушки переменному току. Если индуктивность L
измеряется в гн, частота v в герцах, то XL выражается
в омах.
В реальных условиях сопротивление проводов
катушки индуктивности хотя и мало, но отлично от нуля.
Сопротивление катушки индуктивности при постоянном
токе называют омическим сопротивлением катушки.
Из сопоставления (37:8) и (37.3) следует, что ток
запаздывает (отстает) во времени от напряжения на
четверть периода, т. е. по фазе на 90°. На рис. 37.4,6
синусоида, изображающая падение напряжения^
сдвинута влево по отношению к синусоиде, изображающей
ток. Одно и то же значение фазы тока и напряжения
принимают в разные моменты времени: фаза
напряжения в MOMeHt времени tf а фаза тока в более поздний
мом.ент времени t +~4~. '
4. Переменный ток в цепи с сопротивлением,
конденсатором и катушкой индуктивности. Вернемся к вычисле-"
нию тока в цепи, изображенной на рис. 37.1. Согласно
второму правилу Кирхгофа в любой момент времени
сумма падений напряжений на отдельных элементах
равна э. д.-с: .
(37.9)
В установившемся режиме ток одинаков в любом
элементе цепи неравен /=/oSin(cof—ф). Определим /0 и
фазу ф.
Из (37.6) следует, что напряжение на сопротивлении-
£/A=/osin(<of—ф). Согласно пункту 2 амплитуда
напряжения на конденсаторе равна hXc, а напряжение на
нем Uc=IqXc sin (at—ф—90). Из рассмотрения
индуктивности в пункте 3 следует, что амплитуда напряжения,
на катушке индуктивности равна IqXl, а напряжение на
ней UL=I0XLSm((dt—ф+90°). Следовательно, из (37.9)
находим
tfosinrc*==/oflsin(orf-- yJ + Zo^ —Arc)cos(<o/~x). (37.10)
374

Теперь преобразуем ггравую часть: -
Uo sin Ы = /0 sin Ы [R cos 9 — (XL ~ XL sin <p] —
— /0 cos tsri [R sin 9 — (XL — Xc) ccs <p].
Полученное соотношение должно выполняться -в любой
момент времени. Для этого необходимо,-чтобы
UQ = I0[Rcos9-(XL-Xc)sin9]9
О=R sin <р — (JfL — Xq) cos у.
Из этих равенств окончательно находим
R , XL—Хс
COS 9 = — , Sin <p = ^
(37.11)
(37.12)
Из (37.11) видно, что амплитуды, тока и напряжения
связаны соотношением, аналогичным закону Ома. В
силу этого величину Z называют полным'сопротивлением
ц
'to
v.
Рис. 37.5
цепи. ,Угол ф определяет сдвиг фаз между
мгновенными значениями напряжения и тока, его значения лежат
в первой и четвертой четвертях. Поэтому
V Y
4
Соотношение (37.11) можно представить в виде
\o Lo-UCoT> : (37.13)
где Um=IoR> ULo=IoXLjUco=IoXc — амплитудные
значения напряжений соответственно на сопротивлении,
индуктивности и емкости. Отсюда видно, что амплитудные
значения напряжений надо складывать как векторы,
изображенные на рис. 37.5. Следовательно, всегда Uo^
375

о, однако значения С/до и £/Со могут быть как
больше* так и меньше амплитудного значения напряжения
£/0 на ^концах цепи.
Задача 37.1. Какое максимальное напряжение U
можно приложить к цепи, изображенной на рис. 37.1 без
опасности пробить конденсатор, если он рассчитан на
напряжение не более [/i=400 в (v=50 гц, С=10~4 ф„
1=0,1 гн, R= 2 Ом).
Решение. Напряжение нд конденсаторе
(1)
Из (1) получим
Подставляя числовые значения, найдем Хс—31,8 Ом,
- • Z<^2 Ом, £/Оэф^25 в.
Итак, напряжение, большее 25 в, приведет к пробою
конденсатора, выдерживающего напряжение 400 вольт.
5. Мощность переменного тока. В идеальной
индуктивности потерь энергии нет. Когда через индуктивность
течет переменный ток, поток энергии магнитного поля
катушки изменяется по величине и направлению. При
этом в катушке энергия магнитного поля не
растрачивается. Точно так же поЛный поток энергии
"электрического поля конденсатора за каждый период колебаний
равен нулю. Идеальный конденсатор не поглощает
электрической энергии. Энергия, отдаваемая источником
э. д. с, поглощается только сопротивлением, где она
тратится на его нагревание. Поэтому сопротивление R
называют активным, а сопротивление емкости Хс и
индуктивности XL переменному току — реактивными
сопротивлениями.
В момент времени t мощность, выделяемая в цепи,
Практический интерес представляет средняя мощность
РСр за много периодов пТ (п — целое число»). РСр
определяется отношением площади, лежащей под кривой
(37.14), к интервалу пТ. Учитывая, что
sin2 х = 4- (1— cos 2x\
376

найдем:
Последняя сумма равна нулю, так как cos 2 (со/—ф)
одинаково часто принимает как положительные, так и
отрицательные значения. Итак,
В электротехнике обычно пользуются эффективными
значениями амплитуд:
/^ = -^ = 0,707/., ГУ9ф=-^ = 0,
Значение постоянного тока /Эф, выделяющего за
одинаковый промежуток времени в проводнике такое же
количество тепла, что и переменный ток с данным
амплитудным значением /о, называется его эффективным
значением. Поэтому можно переписать (37.15) в виде
Учитывая, что согласно (37.11) и (37.12)
представим (37Л5) в другой форме:
Рср = ЛЬ- cos 7 = /эф(/9ф cos 9, (37.16)
где [/Эф==/эф2 — эффективное значение напряжения на
концах всего участка цепи.
Задача 37.2. Напряжение на участке цепи (см.
рис. 37.1) £/Эф=Ю в. При этом емкость и индуктивность
находятся под напряжением £/1Эф=6 в. Сопротивление
R=2 Ом. Определить эффективное значение силы тока
и напряжения UR на сопротивлении R и мощность,
выделяемую в цепи.
Решение. < Используя формулу (37.12), находим
л ^эф = /эф//?2 + (^~^сЛ (1)
• и — / \х X I. (2)
Возводя в квадрат и вычитая второе соотношение из
первого, полечим
377

отсюда находим эффективное значение силы тока
и эффективное значение падения напряжения на
сопротивлении
Мощность, «выделяемая,в цепи,
P = /V? = 32 вт.
Задача 37.3.- Катушка индуктивности, соединенная
последовательно с сопротивлением /?4 и сопротивлением
#2=20 Ом, присоединена к сети переменного тока с
напряжением (/=120 в. При этом катушка и
сопротивление Ri находятся под напряжением [/i=91 в, а
сопротивление #2 — под 'напряжением £/2=44 в. Какие
мощности Pi и Р2 потребляет каждое из сопротивлений?
Решение. Мощность, выделяемую на сопротивлении
R2t находим сразу: " ■" .
• : Р8 = 1^-=97вт (1)
Если по цепи идет ток /Эф, то мощность, выделяемая, на
сопротивлении /?4:
Определим эту величину. По условию задачи С/^/
(2)
ВозвоДя (2) и (3) в квадрат и вычитая из первого
второе соотношение, получим (учитывая, что £/2=/эф#2):
tf1 ~ tf\-*/•. = 2/V?,/?,-. (4)
Из этого уравнения находим
6. Резонанс. Предположим, что нам ^известны
параметры цепи (см. рис. 37.1) и задано определенное
значение и0 электродвижущей силы. Тогда формула (37.11)
378

определяет амплитудное значение тока в цейи,
зависящее от значений R, С, Lf Uo и частоты v переменной
электродвижущей силы:
(37.17)
Максимальный ток возникает в том случае, когда
(&!** "~~ат ,-t -— '
или
(37.18)
Максимальное значение тока
соответствует току в контуре, состоящем из одного
активного сопротивления /?. Частота coo(vo) называется
собственной Частотой контура, а явление совпадения
*
>
/
/
Рис. 37.6
частоты переменной э. д. с. с собственной частотой
контура называется резонансом.
При резонансе сдвиг (или разность) фаз между
напряжением и током в цепи равен нулю. Это равенство
следует из формулы (37.12).
379

На рис. 37.6 изображена зависимость /о(о>) от отношения
—, найденная по формуле (37.17) при 1/0=100в, С=
==10—8 Ф, L=10~4 гн для трех значений сопротивления
#=20 Ом, 60 Ом, 200 Ом. Резонансная частота соо равна
106 рад/с. Из графика видно, что чем меньше R> тем
уже и выше, максимум при о)=соо, однако при этом
уменьшается мощность, выделяемая на сопротивлении.
Резонансный контур, изображенный на рис. 37.1,
используют в приемниках электромагнитных волн.
Источником э. д. с. в этом случае является антенна,
принимающая электромагнитные волны. При настройке
приемника для приема радиостанции, работающей на
частоте vi, величины L и С изменяют таким образом,
чтобы удовлетворить равенству vy—— --—., ЦрИ
этом собственная частота контура становится равной
частоте станции, и наступает резонанс: ток достигает
максимума, и это обеспечивает наиболее благоприятные
условия для приема данной станции.
Рекомендуем "реш-ить задачи № 695, 698,
701, 703, 709 из задачника [1] и № 475, 477, 482, 483
из задачника [2].

Глава IV. ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА
§ 38. Электромагнитные волны и свет
1. Электромагнитные волны. Постоянные
электрическое и магнитное поля могут существовать одно в
отсутствии другого и независимо друг от друга. Но если
электрическое или- магнитное поля • изменяются со
временем, то картина оказывается существенно иной.
Прежде всего изменение магнитного поля вызывает
появление электрического поля. В основе этого эффекта лежит
явление электромагнитной индукции (см. § 36): при
изменении магнитного потока, пронизывающего
замкнутый виток, в последнем появляется электрическое поле,
действующее во всех точках витка и вызывающее в нем
электрический ток. Силовые линии этого поля
представляют за'мкнутые кривые, охватывающие силовые линии
магнитного поля.ч В этом явлении , виток проволоки
играет вспомогательную роль: в нем возникает ток, что
подтверждает существование электрического поля, само
же возникновение поля ни в какой мере не связано
с присутствием витка. Английский физик Максвелл
в 1864 г. теоретически обосновал, что аналогично
рассмотренному явлению изменение электрического поля
вызывает появление в окружающем пространстве
изменяющегося магнитного поля. Его силовые линии
подобны силовым линиям магнитного поля тока, текущего
в направлении электрического поля, т. е. также
являются замкнутыми кривыми. Изменяющееся магнитное^
поле, в свою очередь, возбуждает переменное
электрическое поле и т. д. Таким образ©м, переменные
электрическое и магнитное поля образуют электромагнитнор
поле, распространяющееся в пространстве.
381

Распространение электромагнитного поля в
пространстве представляет волновой процесс —
электромагнитную волну.
Электромагнитное поле является особой формой
материи и полностью определяется векторами
напряженности электрического Е и магнитного Н полей. Сумма
энергий электрического и магнитного полей волны
представляет собой полную энергию, переносимую
электромагнитной волной. Теория Максвелла предсказала
Рис. 38.1
также, что электромагнитные волны в пустоте
распространяются со скоростью света. Скорость света в
вакууме обозначается буквой с и равна приблизительно
3*108 м/с. Эксперименты Герца (1888 г.)-подтвердили
эти следствия теории Максвелла.
Согласно Максвеллу, векторы напряженностей
электрического Е и магнитного Н полей волны,
распространяющейся в пустом неограниченном пространстве,
перпендикулярны друг другу, а также направлению
-распространения волны. По этой причине электромагнитная
волна в неограниченном пространстве является
поперечной волной. Кроме того, Е и Н имеют одну и ту
же величину. -
Важным случаем электромагнитных волн являются
волны, в которых векторы ЕиН изменяются во времени
по гармоническому закону с частотой v. Такая волна
называется монохроматической. Если векторы Е
и Н (оставаясь взаимно перпендикулярными) вращают-
382

ся в плоскости, перпендикулярной к направлению
распространения волны, то такая волна называется
эллиптически поляризованной. При этом концы векторов Е и
Н (|Е| = |Н| в любой момент времени!) описывают
эллине. При круговой поляризации эллипс заменяется
окружностью. Наконец, если вектор Е или Н направлен
в любой момент времени параллельно (или антипарал-
лельно) одному и тому же направлению, то волну
называют линейно-поляризованной.
Для линейно-поляризованной волны, изображенной-
на рис. 38.1, зависимость проекций электрического поля
Е на ось х и магнитного Н на ось у от времени и
координаты, вдоль которой она распространяется, имеет вид,
аналогичный (19.3):
№ \ (38.1)
Здесь А—амплитуда напряженности электрического и
магнитного полей волны, <р — фаза источника волны,
Г-^ее период, Хо=сТ — длина волны. Частота волны
v= -jT-, Геометрическое место точек, в .которых поля
Е и Н одновременно имеют одинаковое значение,
называется волновой поверхностью* или фронтом волШ.
Очевидно, положение фронта волны определяется
условием
т. е.
z ==*,+*. г, = ^-(9-const).
Это означает, что если в момент времени /=0 в
некоторой точке Zi поля имели определенное значение, то через
промежуток времени t те же значения поля имеют на
расстоянии ct вдоль оси г от первоначального места.
Следовательно, все значения электромагнитного поля
распространяются в пространстве вдоль оси z со
скоростью с.
В средах, прозрачных для электромагнитных волн
определенной частоты, скорость распространения волны
383

v связана с коэффициентом преломления п
соотношением v=—. Частота колебаний v и период Т не
изменяются при переходе электромагнитной волны из
одной среды в другую, однако длина волны при этом
меняется. Действительно, за период колебаний 7* = -^
волна в среде распространяется на расстояние, равное
длине волны X=vT. Следовательно, длина волны в
.среде А, связана с длиной волны в вакууме Ко
соотношением
Я=£; • (38.2)
2. Свет — электромагнитная волна. Электромагнитные
волны могут иметь различные частоты. Классификация
электромагнитных волн по частотам называется
спектром электромагнитных волн,
Волны с низкими частотами менее 100 кгц.
называются длинными врлнами (килогерц=103 гц, мегагерц=
10е гц, гигагерц=109 гц). Этим частотам* соответствуют
в вакууме длины волн от 3000 м и выше. Радиодиапазон
лежит в области от 100 кгц до тридцати гигагерц
(длины волн лежат соответственно от 3000 м до одного
сантиметра). К нему примыкает микроволновая область —
миллиметровые волны длиной от одного сантиметра до
0,5 мм. Источниками излучения в этЬй области частот
являются электрические токи в антеннах, электроны
небольших энергий (до 1 мэв), движущиеся в
электрических и магнитных полях.
Далее следует инфракрасный, диапазон (до 4,3X
ХЮ14 гц). Интенсивными источниками инфракрасных
волн являются молекулы нагретого вещества.
Электромагнитное излучение в интервале длин волн
от 0,76 мк (частота 4,3-1014 гц) до 0,38 мк (частота
7,6/1014 гц) лежит в области чувствительности
человеческого глаза: это видимый свет от темно-красного до
темно-фиолетового цвета. Для измерения длин световых
волн' обычно пользуются особой единицей — ангстре-
о
мом (А):
1А=10-8см.
384

Далее лежат ультрафиолетовые волны, занимающие
область частот до 5• 101в гц (длина волны 60А).
Источниками видимого и ультрафиолетового излучения
являются возбужденные электрическим_разрядом и другими
способами, атомы, заряженные частицы, движущиеся
с большими энергиями (для электрона >500 мэв),
наконец, за областью ультрафиолета лежит область
рентгеновского излучения (до 3-Ю19 гц). Длина<волны
рентгеновских лучей порядка размеров атома. Рентгеновские
лучи испускаются электронами при столкновениях с
тяжелыми металлами. Излучение с более короткими
длинами волн называется гамма-излучением. у-Лучи
испускаются в процессах распада некоторых радиоактивных
элементов. ' •
3. Некоторые свойства электромагнитных волн. Хотя
все электромагнитные волны по своей природе
одинаковы, взаимодействие волн с веществом зависит от
частоты, направления распространения и состояния
поляризации. Так, например, показатель преломления в общем
случае зависит or частоты (см. § 42). Показатель
преломления некоторых кристаллов зависит еще от
направления распространения волны (пространственная
дисперсия).
Радиоволны свободно проходят через диэлектрики и
поглощаются в металлах. Рентгеновские лучи
проникают через легкие металлы. Ультрафиолетовые лучи
поглощаются большинством тел.
Когда свет падает на твердые тела, газы, жидкости,
он так или иначе действует на них. При. поглощении
световой волны (или других электромагнитных волн)
энергия, которую она несет с собой, превращается
в тепло и нагревает непрозрачное тело. Свет оказывает
также давление на тела, на которые он падает
(П. Н. Лебедев, 1900 г.).
Важное значение имеют процессы, в которых
поглощение электромагнитных волн веществом вызывает
химические реакции. Важнейший из них — фотосинтез:
в результате поглощения энергии излучения Солнца из
энергетически бедных веществ образуются энергетически
более богатые соединения — углеводы и др.
Аккумулируемая энергия излучения выделяется затем в виде
тепловой энергии в реакциях окисления.
25—125 - 385

При взаимодействии с веществом проявляются
также квантовые свойства света (§ 46, 47).
В настоящее время' благодаря появлению мощных
источников излучения — квантовых оптических
генераторов — возник еговый раздел оптики — нелинейная
оптика. Лазеры- позволяют получить световые
волны, напряженность электрического поля которых
E^WP-t-lO** в/см совпадает по величине с полем,
действующим со стороны ядра на электроны атома.
(Напряженность электрического поля световой волны,
пришедшей от Солнца, —10 в/см.) При распространении
такой волны меняются оптические свойства среды.
Показатель преломления становится функцией
напряженности электрического поля волны.
Плоская монохроматическая волна (38.1) является
идеализацией, так как она неограничена в пространстве
и времени. В реальной» электромагнитной волне,
регистрируемой в некоторой Т9чке г, поля также имеют вид
(38.1), но с тем отличием, что амплитуда А и фаза
являются функциями времени. (Частоту v (38.1) обозначим
через vo и,назовем средней частотой.) В этом случае поля
Е и Н можно представить в виде наложения
монохроматических волн, частоты которых принимают
непрерывный ряд значений, а амплитуды, и фазы являются
функцией частоты: A(v)9 (p(v). Зависимость A(v)
называют t спектром амплитуд, а указанное выше представ1
ление — спектральным разложением. Это разложение
имеет различный характер в зависимости от вида
функций A(v) и <p(v). Теоретически спектр имеет бескойеч-
ное протяжение по частоте, но практически амплитуды
А(\) заметно отличны от нуля лишь в некоторой
области частот Av, называемой шириной спектра. В том
случае, когда амплитуда и фаза заметно меняются в
течение промежутка времени т, ширина спектра Av=
=|v—vol^ —.Мы видим, что волна действительно тем
более монохроматична (Ду мало), чем больше tl
В качебтве примера разберем случай, когда Л(/) =
=Л0+Лс(0, где
Ас {t) = A, cos (2itv/), v, < v0. (38.3)
Подставляя полную амплитуду в (38.1), получим после
тригонометрических преобразований
386

Ё = Ал cos (2*v0* + Д) + -i- A cos (2* (v0 + v.) t + a] -f-
2
"Y Aicos l2*К — vt)/ + a], a = cp - ^ г. (38.4)
Это означает, что амплитудно-модулироваиный сигнал
представляет сумму трех монохроматических сигналов
с частотами vo, vo+vi, vo—v* Зависимость А (у)
показана на рис. 38.2.
Пример 38.1. Оценить шцрину полосы частот: а)
радиовещательных станций, б) телевизионных станций. .
Электромагнитная волна, с помощью которой
передается информация,
называется несущей волной, л($)
Чтобы - передать £ этой
волной информацию, ее
нужно промодулироЁать,
т. е. изменить один из
параметров волны —
амплитуду, частоту или фа- . . ^ ^ ^
зу — в соответствии сиз- - ° * ° * i
менением смыслового сиг- Рис. 38.2
нала. При амплитудной
модуляции амплитуда сигнала равна сумме членов вида
(38.3) с частотами vi., лежащими в интервале 0<vi<
<vimax, так как микрофон, преобразует изменение
звукового давления в электрическое напряжение.
Поскольку характерное время изменения сигнала
t^= , то ширина .спектра волны, излучаемой пере-
vlmax
датчиком, Av=—=vimax. Обычно радиостанциям
предоставляется диапазон частот шириной 10 кгц. Этого
диапазона вполне хватает для передачи речи и музыки. Эта
полоса расположена симметрично относительно несущей
частоты vo.
Для передачи телевизионного изображения, объекта
последнее проектируется на тонкий листок слюды,
передняя часть которого покрыта N=Ni «^-частицами це-
зиевого серебра (Ni — число частиц в горизонтальной
линии, Ыг — число горизонтальных линий), а задняя —
слоем электропроводящего материала, который
соединен с выгодной нагрузкой. Это устройство действует как
25* 387

совокупность множества конденсаторов с одной общей
пластиной. Вследствие явления фотоэффекта частицы,
находящиеся в областях с большей освещенностью,
теряют больше электронов и приобретают больший
потенциал. Эти электроны собираются на металлическом
кольце, соединенным сопротивлением с задней
пластиной слюды. При пробегании электронного луча по
горизонтальной, линии частицы серебра восстанавливают
свой потенциал, т. е. происходит разряд крошечных
конденсаторов. В результате на сопротивлении
возникает * импульс напряжения, называемый видеосигналом.
При следующем пробеге просматривается соседняя
линия и так далее — все изображение.
. Если луч пробегает кадр за время Tk% то частота
смены кадров vk=y-9 Поэтому каждая частица ощупы-
вается лучом за -^-=-^—с. Следовательно, длительность
каждого импульса не должна превышать ъ^ш-. В
соответствии с этим ширина спектра видеосигнала
Если Ni=Nz=5009 vfe=25 гц, то Av=6,25-107 гц=±=
=62,£ мгц.
Почему передача одного кадра изображения Луны
советской автоматической станцией^ длилась Ть=
=25 мин? Дело в том, что наряду с полезным сигналом
приемная, станцря принимает случайные сигналы
—шумы. Чем шире полоса частот, воспринимаемая
приемником, тем выше уровень шумов. Если полезный сигнал
слаб, то его ,можно не заметить на фоне шумов.
Мощности передатчиков на космических кораблях малы.
Поэтому уровень шумов можно снизить уменьшением
полосы частот. Для этого достаточно увеличить время
передачи одного кадра.-
Пример 38.2. Показать, что чем больше частота
волны, тем больше сведений в единицу времени можно
передать* с ее помощью.
Допустим, мы хотим передать сообщение азбукой
Морзе, используя несущую волну частотой v. Для этой
цели волну необходимо модулировать сигналами,
соответствующими точкам и тире. Специальный генератор
сигналов создает очень короткие импульсы несущей
волны, изображенные на рис. 38.3.
388

Пусть точка составляет /i4 периодов колебаний,
тире— п2, пауза между знаками — из п3 периодов. На
передачу телеграммы, состоящей из к± точек, /fc тире и
(ki+fa) пауз, нужно затратить промежуток времени,
равный &ini+fe>*2+(&i+&2)/4 периодов, т. е.
[Mi + *Л + (^1 + К) пг\ 4" с.
Это означает, что за 1 с можно передать
(ft, + fr) у
2)n3\
знаков, т. е. точек и тире. Таким образом, чем больше
частота волны, на которой ведется передача, тем боль-
Рис. 38.3
ше информации7 можно передать в единицу времени.
Например, на длине волны Я=1 мм мы можем передать
за 1 с в тысячу раз больше знаков, чем на волне
длиной Я=1 м.
4. Геометрическая оптика. Электромагнитная волна,
определяемая соотношениями (38.1), называется
плоской монохроматической волной. Непременным
признаком плоской волны является то, что ее амплитуда и
направление распространения постоянны.
Плоская-волна не ограничена в пространстве и распространяется
прямолинейно в направлении, перпендикулярном
фронту волны. Для плоской .волнк (38.1) волновые
поверхности— плоскости, перпендикулярные оси г. Графически
плоскую волну можно представить как совокупность
ЛуЧей — параллельных прямых, перпендикулярных
фронту волны.
Произвольная электромагнитная волна, разумеется,
не является плоской волной. Ее фронт представляет
ограниченную поверхность, перемещающуюся в про-
389

странстве. Понятие направления распространений волны
как целого в этом случае не существует. Однако если
амплитуда и фаза маро изменяются на расстояниях
порядка длины волны, то волновая поверхность в
небольшом участке пространства является частью
плоскости. Поэтому можно говорить, что на таких участках
волна распространяется в направлении,
перпендикулярном волновой поверхности. Если мысленно представить
положения волновой поверхности в пространстве в
различные моменты -времени, То световые лучи можно
определить как линии, перпендикулярные волновым
поверхностям. Это обстоятельство позволяет в
рассматриваемом приближении, представить волну как пучок лучей,
распространяющихся в пространстве. Касательная к
лучу в данной точке совпадает с направлением
распространения волны в этой точке. При этом надо помнить,
что вдоль" луча распространяется электромагнитная
волна, ограниченная малым участком волновой поверх^
йости. Обычно при изучении распространения лучей
отвлекаются от волновой природы электромагнитного
поля, которое они представляют. В этом случае
распространение волны описывается, как говорят, законами
геометрической, или лучевой оптики, рассмотренными
в § 41. В тех местах, где амплитуда волны резко
меняется, например на границах непрозрачных экранов,
зеркал, в фокусах линз и зеркал проявляются
отклонения от законов геометрической оптики. Явления, kojo-
рые наблюдаются np\i этом, называют дифракцией
света (§40).
§ 39. Фотометрия
Различные источники света излучают в окружающее
пространство разное количество электромагнитной
энергии. Чтобы охарактеризовать источники света в
отношении .освещения, которое они создают, пользуются
понятием светового потока. Световой поток Ф
определяется как энергия, переносимая светом в единицу
времени через какую-либо поверхность. Поток световой
энергии имеет размерность мощности и фактически
определяет мощность излучения, падающего на данную
площадку.
390

Другой важной величиной в светотехнике является
освещенность, характеризующая распределение
светового потока в разный местах освещаемой
поверхности.
Если световой поток АФ, создаваемый пучком лучей,
нормальных к площадке AS, равномерно распределен по
ней, то освещенность в точке определяется пределом
£ = Шп 4|-. (39.1)
Освещенность определяет количество энергии^ падающее
на единичную площадку в единицу времени. Часто^ту
величину называют интенсивностью.
Если площадка расположена не перпендикулярно
лучам, образующим поток, то ее освещенность будет
зависеть от угла падения. Пусть лучи падают под углом
а к нормали освещаемой поверхности (рис. 39.1). Най-
Рис. 39.1
дем освещенность £4 поверхности Si. Освещенность Е
поверхности S, перпендикулярной к лучам, равна i? —
= -^-, а освещенность Е^ поверхности -Si равна £, = -«-.
Из рис. 39.1 видно, что S=SiCosa. Следовательно,
£,:=:£ cos a, ^ " (39.2)
Рассмотрим точечный источник света, излучающий
лучи по всем направлениям равномерно. Выделим далее
мысленно часть светового потока АФ,
распространяющегося внутри узкого конуса с малым телесным, углом
391

А©. Величина телесного угла определяется отношением
площади AS поверхности, вырезаемой телесным углом
из сферы, центр которой^ совпадает с источником,
к квадрату радиуса этой сферы. Силой света /по
направлению оси конуса называется отношение
светового потока АФ, идущего внутри конуса, к величине
телесного угла (Аса при его вершине, т. е.
'ȣ. . <393>
. Поскольку сила света точечного} источника по всем
направлениям одинакова, то, его сила света равна
отношению полного светового потока* Ф к полному телесному
углу 4я стерадиан.
Опишем теперь вокруг точечного источника сферу
радиусом г. В силу того что полный поток ф=4я/,
освещенность всей поверхности сферы S=4nr2 равна
E = -L. (39.4)
Зная освещенность, можно вычислить полную -мощ-.
ность излучения, т. е. поток, излучаемый в телесный
угол, равный 4я стерадиан:
Of=£.4*rf.. -" (39.5)
Определим, например, мощность излучения Солнца.
Измерения количества тепла, переданного солнечными
лучами-различным телам, показали, что освещенность
на границе земной атмосферы £о=1>37*103 вт/м2. Эта
величина называется солнечной постоянной. Подставляя
значение Ео и расстояние.от Солнца до Земли г=1,5Х
Х1011 м в формулу (39.5), получим полную мощность,
излучаемую Солнцем:
Ф = 3,85.10"вт. .
Заметив, что проектная мощность крупнейшей в мире
Саяно-Шушёнской гидроэлектростанции равна - 6,36 X
Х109вт.
В фотометрии используются специальные единицы
измерения. Основной единицей является свеча. Свеча —
это сила света некоторого источника — эталона. Люмен
(ли) —световой поток, создаваемый источником с силой
света в 1 ев в пределах телесного угла в один
стерадиан. Если источник излучает монохроматические лучи
о
с длиной волны Я=5550А, то 1 лм=1,55-10-3 вт. За
39? ,

единицу освещенности принимается люкс (лк) —
освещенность, создаваемая потоком в 1 лм, равномерно
распределенным на площади 1м2.
Освещенность места работы должна лежать в
пределах 20-*-200 люксов. Освещенность, создаваемая
Солнцем, достигает 104 люксов.
Задача 39.1. Параллельный пучок света падает
нормально на поверхность, создавая освещенность £о=
=1,37 «10* вт/м. Определить объемную плотность
световой энергии пучка.
^Решение. Обозначим объемную плотность энергии
буквой w. По^ смыслу этой величины ее размерность ^ъем^
Поскольку электромагнитная энергия переносится
волной со скоростью света с, то цветовая энергия,
падающая на площадку \S за время Д/, равна wScAt (с —
скорость света), а световой поток 0>=wSc. Используя
формулу- (39.1), найдем связь E=cw. Таким образом,
я,=А=4,6-10-в дж/м3.
Задача 39.2. При печатании фотоснимка негатив
освещался лампочкой силой света /i=60 ев с расстояния
П=г100 см в течение 4=30 с. Сколько секунд /2 нужно
освещать негатив лампочкой с силой света /2=15 ев
с расстояния г2=50 см, чтобы получить отпечаток с
такой же „степенью почернения, как и в первом случае?
Решение. Если размеры негатива много меньше
расстояния до источника, то можно считать, что лучи
надают почти перпендикулярно пластинке. Поэтому
освещенность в любой точке негатива определяется формулой
(39.4), а поток, падающий на негатив, — площадью S:
Степень почернения отпечатка определяется, однако,
не потоком, а величиной энергии, падающей на негатив
за время / экспозиции, т. ?. величиной
По условию задачи в двух различных случаях падаю-
' . . 393

щая световая эйергйя должна быть одинакова:
S
Г2
Отсюда находим t2 = tx f^\ f-уА . Произведя
вычисления, найдем /2 = 30 с. Время экспозиции не изменилось, так
как, уменьшая расстояние в 2 раза, мы_в 4 раза умень-
• шили!' силу^света лампы.
Задача 39.3. Лампочка
S создает в точке М,
находящейся от нее на
расстоянии а=10 см,
освещенность Е0=2% лк.
Найти освещенность точки М,
если на расстоянии h=
=12 см от отрезка SM
расположить идеально
отражающее плоское зерка-
ло, noBepxHoctb которого
перпендикулярна
плоскости, проходящей через
отSM
Рис. 39.2
резок SM.
Решение. Освещенность £0, очевидно, равна:
0 а2'
(1)
где / — сила света лампочки.
Поскольку зеркало отражает часть лучей, то
освещенность точки М возрастает (рис. 39.2). Это >измене-
ние можно учесть, рассматривая изображение лампочки
S' как новый источник той же силы света / (так как
зеркало' плоское). Полная освещенность становится
равной
==*. (2)
Из (1) и (2) находим
0 = 21,2лк.
Рекомендуем решить задачи № 785, 789,
792, 796, 797, 800 из задачника [1] и № 500, 603, 505
из задачника [2].
394

§ 40. Волновые свойства света
1. Интерференция света. Бели имеется не один, а
несколько источников света, то электрическое и
магнитное поля результирующего электромагнитного поля
являются векторными суммами электрических и магнит-
ных-полей волн, излучаемых каждым источником. Пусть
имеются два тождественных источника, излучающие
одинаково поляризованные световые волны одной и той
же частоты. Расстояния от этих источников до точки
наблюдения равны г\ и г2. Фазы получаемых волн
соответственно равны ф1 и <р2.
В точке наблюдения происходит наложение
электромагнитных волн. В результате векторного сложения двух
волн мы получим волну той же частоты, но с амплиту-
дой, зависящей от величиры Д = -=— (г2 — rt)—|— <р2 — <рг
Расстояние г2—Л называется разностью хода двух
волн, к — длина волны. Поскольку световая энергия
пропорциональна квадрату амплитуды напряженности
электрического или магнитного полей, то освещенность
в точке наблюдения зависит от разности хода и разности
начальных фаз. Расчеты показывают, что если
(40.1а)
то волны ослабляют друг друга и в точке наблюдения
освещенность равна нулю. Если же
{ГГ) + (9ъ) Ъ* k = 0, 1, 2,..., (40.16)
то волны будут усиливать друг друга и освещенность
в точке наблюдения будет в 4 раза больше
освещенности, создаваемой одним источником. В тех местах
экрана, где условия (40.1) не выполняются, освещенность
принимает промежуточные значения.
Наложение волн, при котором происходит явление
усиления или ослабления освещенности, называют
интерференцией.
^ Если фазы источников одинаковы <<р1=ф2), то
условия (40.1) упрощаются, а именно усиление
освещенности будет наблюдаться в тех точках, для которых
. 395

в разности хода г2—г\ укладывается четное число
полуволн, т. е. ч
г2 — r1 = ?Q=kX. (40.2а)
Если в разности хода укладывается' нечетное число
полуволн, то наблюдается ослабление освещенности. При
этом
г2- ^ = (2*+1)А. (40.26)
Разность хода волн — величина, имеющая вполне
определенное значение, зависящее от взаимного
расположения источников и точки наблюдения; Разность фаз
чф2—ЯН в зависимости от типа источника может меняться
во времени. Устойчивая интерференционная картина
будет наблюдаться лишь в том случае, если разность фаз
фг—Ф1 налагающихся волн постоянна за время
наблюдения. В таком случае две волны называют
когерентными. Бели же разность фаз меняется со временем, то
через некоторые интервалы времени освещенность в
точке наблюдения принимает различные значения. В том
случае, когда регистрирующий прибор в состоянии
зафиксировать эти изменения освещенности, мы можем
установить наличие меняющейся интерференционной
картины. Если же изменения освещенности следуют столь
быстро, что мы не в состоянии обнаружить эти
изменения, то наш прибор будет фиксировать среднее
значение освещенности, постоянное во всех местах экрана.
В этом случае говорят о некогерентных волнах.
Освещенность, создаваемая двумя некогерентными
источниками, равна сумме освещенностей, создаваемых
каждым Отдельным источником.
Рассмотрим излучение тепловых источников света,
скажем, обычной лампочки накаливания. Процесс
излучения света атомом не может продолжаться бесконечно
долго и обрывается спустя некоторое время % после
начала. Можно допустить, что колебания,
продолжающиеся в течение интервала времени т, являются
синусоидальными, т. е. отдельный атом испускает
электромагнитные волны в виде так называемых цугов.
Другими словами, в виде импульсов, изображенных на
рис. 38.3, с тем отличием, что в одном цуге
укладывается около 107 периодов колебаний. Длительность цуга
составляет около 10-* с, а протяженность в простраист*
396

ве ст=3 м. Поскольку в тепловом источнике света
отдельные атомы излучают независимо друг от друга, то
начальные фазы световых волн, испускаемых разными
атомами и одним и тем же атомом в последующие
моменты времени, не связаны. Поэтому в точку
наблюдения при регистрации освещенности придут волны,
разность фаз которых может оставаться постоянной только
в течение КЬ8 с. Однако большинство приборов не
может регистрировать освещенность за такое . короткое
время и не обнаруживает интерференции.
Следовательно, освещенность, создаваемая тепловым источником,
равна сумме освещенностей, создаваемых каждым
атомом. Мы приходим к выводу, что тепловые источники
испускают некогерентный свет (об источниках
когерентного излучения — лазерах см. § 47).
Как же -удается получить наблюдаемую
интерференционную картину, используя тепловые источники?
Для этого надо располагать таким устройством, в
котором можно разделить волну, идущую от каждого атома,
по меньшей мере на две взаимно-когерентные волны и
заставить обе волны налагаться друг на друга после
того, как они пройдут разные пути. В качестве такого
-устройства можно использовать зеркала,
плоскопараллельные пластинки, бипризмы и т. д.
Интерференционная картина вдзникает только в том случае, если в точке
наблюдения налагаются друг на друга каждый
электромагнитный цуг и его «копия». Для этого длины путей
Г\ .и Гг, проходимые этими волнами, должны 0ыть
такими, чтобы разность хода |г2—Г\\ была * меньше длины
цуга волн, т. е. - ,
Это условие накладывает ограничения на взаимное
расположение устройств, расщепляющих луч на две части,
и экрана .для наблюдения четкой интерференционной
картины.
2. Дифракция света. При распространении
электромагнитных, волн в пространстве, содержащем какое-либо
тело, результирующее электромагнитное поле будет
отличаться от поля, которое существовало бы в отсутствие
тела. В самом деле, переменные электрическое и
магнитное поля падающей световой волны действуют на
электроны атомов тела с^ силой, носящей колебатель^
ный характер. Вследствие этого электроны приобрета-
397

ют дополнительное переменное ускорение и сами
становятся источниками вторичных световых волн. Вторичные
волны являются когерентными, так как их.начальные
фазы определяются фазой падающей (первичной)
волны. В результате интерференции первичной и всех
вторичных волн образуется результирующее
электромагнитное поле, которое регистрирует наблюдатель. Это
явление приводит к дифракции света, под которой
понимают отклонение направления результирующей
волны от направления падающей. Из этого определения
следует, что реального различия между интерференцией
и дифракцией нет. Обычно дифракцией называют
интерференцию волн, образованных'непрерывно
распределенными источниками, т. е. всеми колеблющимися в теле
зарядами.
Рассмотрим, например, действие непрозрачного
экрана на электромагнитную волну. В' прямом направлении
суперпозиция падающей волны и волн, образованных
электронами экрана,, дает поле (за экраном), равное
нулю.
Если поверхность экрана, блестящая, то суперпозиция
падающей и вторичных воли в обратном направлении
дает отраженную волну. Если же поверхность экрана
черная, то.отраженной волны не возникает:
суперпозиция вторичных волн равна нулю. %
Дифракция света на экране конечных размеров
приводит к тому, что вместо резкой границы между-светом
и тенью за экраном получается сложная картина
распределения освещенности. Рассмотрим качественно
дифракцию плоской волны (т. е. пучка параллельных
лучей) на непрозрачном экране, в котором вырезано
круглое отверстие диаметром D*>X. Такая волна может быть
создана достаточно удаленным от отверстия точечным
источником.
Действительно, если разность хода в центре
отверстия и на его периферии <—, то амплитуда волны в
пределах области ^j— постоянна. Этр условие согласно
(40.26) имеет вид
398

где гс — расстояние от источника до экрана. Из него
находим
Таким образом, точечный источник должен находиться от
экрана на расстоянии ге^-я-и
х Мы будем регистрировать освещенность в
определенном направлении. Это означает, что приемник
излучения находится очень далеко от экрана, или мы
используем линзу, чтобы сфокусировать излучение в
некоторой точке.
Рис. 40.1
После прохождения отверстия большая часть лучей
распространяется прямолинейно в направлении OS
(рис. 40.1). Разность хода этих лучей равна нулю. Для
этого направления мы будем иметь максимум
интерференции. Меньшая часть лучей отклоняется от
направления 05 под различными углами, Разность хода лучей,
распространяющихся в направлении а, уже не равна
нулю, а зависит от значения угла а. В некотором
направлении cti разность хода достигает значения -у, и
399

возникает первый интерференционный минимум
освещенности. В интервале ja|<tei освещенность
уменьшается от максимального значения до нуля (см. рис. 40.1,6).
Для других лучей, отклоняющихся на большие углы,
разность хода может составить целую длину волны.
Тогда их интерференция приведет к усилению
освещенности. Однако освещенность в этом направлении будет
меньше, чем при а=0, так как с увеличением угла a
число отклоняющихся лучей уменьшается. На рис. 40.1
показана зависимость освещенности от угла а.
Дифракционный максимум, образованный в направлении <х=0,
называют главным, или максимумом нулевого порядка.
Положение первого минимума си,, как показывает
расчет, определяется условием;
^sinai = 3,8. (40.3)
Обычно угол сы .очень мал. Например, для /)=1 см и
Х=6000 A, sin>ai=6-10-5. Для малых углов, о которых
здесь идет речь, sin a и tg a равны углу а, выраженному
в радианах.
Основная особенность углового распределения
освещенности заключается в том, что освещенность велика
только в интервале углов (рис. 40.1,6)
Да = 1,22 -~ (в радианах),
(40.4)
Да = 1,22 ~- — (в градусах), .
между углами — 0,61-—- и 0,61 -~.
Этот вывод имеет важное практическое значение,
поскольку становится „ясно, что , невозможно создать
ограниченный в сечении пучок параллельных лучей.
Всегда возникает обусловленный дифракцией угловой
разброс в направлениях распространения лучей за
экраном. Аналогичный эффект возникает при отражении
света от зеркала диаметром С и т. д. С увеличением
отношения -^- прошедшая через экран волна (или
отраженная от зеркала) становится менее направленной.
400

На расстбяйий jcot экрана Сечейие пучка расширяется от
z~ A° ТГП5") • Например, лазерный пучок света D=
=1 см, Л=6000 А, направленный на Луну (
=384(ТОО км), создал бы освещенную поверхность
диаметром ^20 км. Однако на расстояниях, меньших
некоторого расстояния L, расплываниеили расходимость
пучка еще не проявляется, и здесь отклонения от
геометрической оптики пренебрежимо малы. Насколько же
Рис. 40.2
велико расстояние L? Из рис; 40.2 видно, что ширина
пучка на расстоянии х равна:
Подставляя- в это соотношение Дел из (40.4), найдем
искомое условие . *'
*<!=£-. (40.5)
При D!=icM, Я
Если после экрана поставить линзу с фокусным
расстоянием F, то в фокальной плоскости образуется
дифракционное изображение точечного источника.
Зависимость освещенности от расстояния до фокуса имеет вид
кривой, изображенной на рис. 40.1,6, с тем отличием,
26—125 401

по оси абсцисс должна быть отложена величина
Fa, Следовательно, пучок света, все лучи -которого
согласно геометрической оптике должны были бы
собраться в одной точке, в действительности дает изображение
в виде светлого пятна диаметром FAa = —,
окруженного темными 'и светлыми кольцами с убывающей
освещенностью. »
Обычно электромагнитные волны,
распространяющиеся в данном направлении, имеют ограниченное
сечение, обусловленное конечными размерами излучающих
или принимающих устройств^ Таково,
например,»излучение точечного источника в фокусе рефлектора,
излучение, образованное отраженной от зеркальца плоской
волны, излучение, принимаемое объективом телескопа,
зрачком глаза, и т. д. В любом случае явление
дифракции приводит к тому, что пучок волн состоит из лучей,
направления распространения которых лежат в
интервале углов*-р-, где D — поперечный размер системы.
Например, расходимость пучка, отраженного* от блестящей
поверхности, проявляется на расстояниях L>-y-. Для
зеркальца D=l см, L=200 м, для снежинки D=0tl см,
L=2 м. Поэтому с высоты человека среднего роста еще
можно увидеть сверкающие снежинки. С большей
высоты снежное поле будет выглядеть равномерно
освещенным.
Другой пример: дифракция плоской волны на оправе
линзы приводит к тому, ^то изображением удаленного
точечного источника является светлое пятно в
фокальной плоскости, угловые размеры которого -^-, а
величина Ax~oF-q-, где D — диаметр линзы, F — фокусное
расстояние. Для линзы £>=3 см, JF=5 см, Дх=10-4 см, для
глаза Z)=O,2 см, F=Q,3 см, Ах*-0,7-К)-3 см. Интересно,
что в процессе эволюции расстояние между
фоторецепторами на сетчатке глаза достигло той же величины
~Л0-3 см.
Рекомендуем решить задачи № 487, 489,
490 из задачника [2].
402

§ 41. Отражение и преломление света
1. Законы отражения и преломления. Обсудим, почему
и как лучи света^ отражаются и преломляются на
границе вакуума и"полупространства, заполненного
прозрачной средой. Мы уже говорили, что в результате
взаимодействия падающей электромагнитной волны
с электронами атомов среды в* последней возникает
вторичная волна. В результате интерференции падающей
и всех вторичных волн внутри среды формируется
преломленная волна, распространяющаяся со скоростью
v= —. В результате сложения падающей и вторичных
волн вне среды возникает отраженная волна.
ПояснрЙл теперь, почему изменение направления
распространения плоской монохроматической волны
обязано изменению скорости волны в среде. На рис. 41.1
пунктиром изображены волновые поверхности волны в
вакууме и в среде. Максимальное расстояние между ними
в вакууме равно длине волны АА'=Хо, а в среде
ВВ' = -^- Волновые по-
верхности
распространяются вдоль лучей,
два из которых
изображены на рисунке.
После того как луч 1 до- *
стигнет поверхности
раздела, он пройде,т
в среде за период коле- -
баний Т расстояние г
BB'=vT. В та же вре- ^
мя луч 2,
распространяясь в вакууме,
пройдет расстояние АА'=
=сГ. Поэтому
моментальный снимок волны
будет иметь вид,
изображенный на рйс. 41.1.
Выражая сторону А'В из треугольников AAfB и А'В'В^
найдем
vT _ сТ
gin 9 sjn6Q*
26* • 403
Рис. 41.1

Подставляя значение c=ftv9 получим закон
преломления: . ч
nsine=sin90. . (41.1)
Если имеются не две среды, а несколько
плоскослоистых сред с различными коэффициентами преломления
(рис. 41.2), то, рассматривая преломление луча на
каждой из границ, получим: щ sin fo=rti sin н=пг sin fe=
=const. Мы видим, что закон преломления имеет вид
закона сохранения величины nsini. Поясним это
обстоятельство. v
Световая волна переносит энергию и обладает
импульсом, направление которого совпадает
с^направлением распространения волны. На границе раздела
энергия падающей волны перераспределяется между
отраженной и преломленной волнами. Из закона сохранения
энергии следует, что падающий^ световой поток равен
сумме отраженного и преломленного световых потоков.
При этом сохраняется проекция импульса преломленно-.
го и отраженного лучей на поверхность раздела двух
сред. Математическим выражением этого
обстоятельства г является закон преломления (41.2) и отражения.
. Граница раздела, отражающая все падающие на нее
л>*чи,. называется идеальным зеркалом. Лучшие зеркала,
покрытые серебром, отражают 0,94 падающего
светового потока. Зеркала с многослойным диэлектрическим
покрытием отражают "до 0,995 светового потока. При
отражении от идеального зеркала импульс волны не,
меняется по величине, а нормальная к поверхности
составляющая меняет знак. Вследствие этого угол
падения равен углу отражения.
Итак, законы отражения и преломления можно
сформулировать в следующем виде.
Закон-.отра ж-е н и я. Падающий и отраженный
лучи и нормаль к поверхности раздела сред лежат
в одной плоскости. Угол отражения луча равен углу
падения луча. • . " ^
Закон преломления. Падающий, преломленный
лучи и нормаль к границе раздела сред с показателями
преломления п2 и я4 лежат в одной плоскости.
Произведение коэффициента преломления на синус угла
падения луча является постоянной величиной для любой из
404

сред:
n siru=const. (41.2)
Возвращаясь к рис. 41.2, нетрудно видеть (полагая
з=%), что если на пути луча в среде с показателем
преломления гц поставить ряд плоскопараллельных
пластинок с различными коэффициентами преломления, то
направление луча по выходе из них не изменится.
\
ч
к
\
\
1
1
ч
к
\
По
-
Па
Рис. 41.2
_ Пример 41.1. Пучок параллельных лучей падает на
плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом
/=60°. Ширина пучка в воздухе а=20 см. Определить"
боковое смещение пучка h после выхода из пластинки и
ширину пучка а^ в стекле. (Толщина пластинки d=5 см,
коэффициент преломления стекла л=1,5.)
На рис. 41.3 показаны два граничных луча пучка А
и В. Определим смещение AC=h пучка. Для этого
проведем прямые ВС перпендикулярно падающему пучку и
AN перпендикулярно пластинке. Угол преломления
A"AN=r и угол падения связаны законом преломления:
sinf=nsinr. (1)
Поскольку угол AA"C=i—r, то из ЬАА"С находим:
h=AA" sin (i—r). - (2)
Из AAA"N, учитывая, что AN=dy находим:
"" d . (3)
cos/
405

Таким образом, из (1—3) получим:
<*>sr V W — sin2//
Подставляя числовые данные, найдем Л=1 см.
Определим далее ширину пучка (ц=А'Вг в стекле. Учитывая,
что в прямоугольных треугольниках АВ'В и АВ'А* гипо-
Рис. 41.3
тенуза АВГ является общей, a ZBB'A=i, Z-A'B'A=r9
получим:
(5)
j
cos i cosr "
Учитывая (1), найдем:
Заметим, что если угол падения" пучка i настолько мал,
что синус этого угла можно заменить самим углом, вы-
406

р&женнЫм в радианах, а кбсйнус единицей (т. е.
**d9 costal), то смещение ti=dl (\ М>а ширина
пучка в стекле ^
Задача 41.2. Узкий цилиндрический пучок света
падает на сферическую колбу, наполненную некоторой
жидкостью, так, что ось пучка проходит через центр колбы.
Определить коэффициент преломления жидкости, если
Рис. 4К4
известно, что площадь сечения пучкр на входе в колбу
в 4 раза больше площади сечения на выходе.
Решение. Обозначим через аир углы падения и
преломления (рис. 41.4). По закону преломления
sin сс=/г sin p. (l)v
Радиус пучка на входе равен i?sina, где R — радиус
колбы, а на выходе ^siny. Угол у нетрудно найти из
условия a+ ZAOB+у=л. Поскольку треугольник
АОВ — равнобедренный, то ААОВ=ц—2р.
Следовательно, Y=2p—a. По условию задачи отношение радиусов
на выходе и входе равно:
2 =
sin a
sin(2p —a) '
(2)
Поскольку пучок узкий, то угол падения а, а
следовательно, и р очень малы. Поэтому мы вправе заменить
синусы углов самими углами. В результате такой заме-
407

ны уравйейия (1) и (2) упрощаются:
" ' 4
Решая эту систему,^находим /г = -^-.
Пример 41.3. Две преломляющие среды с
коэффициентами преломления п± и Пг разделены сферической
поверхностью радиусом R. Найти положение изображения
точечного источника Оь находящегося в первой среде^а
расстоянии d от преломляющей поверхности.
Мы рассмотрим формирование изображения только
теми лучами, которые проходят вблизи от оси OiOz
(рис. 41.5), где С — центр сферической поверхности.
Такие лучи называются параксиальными. Для того чтобы
построить изображение, необходимо найти точку
пересечения по крайней мере двух лучей, выходящих из
источника и претерпевших преломление на сферической
поверхности. В качестве одного из таких лучей возьмем
луч, идущий перпендикулярно преломляющей
поверхности. После преломления направление распростране-
* ния этого луча не изменится. Второй луч, выходящий из
источника под малым углом к первому, пересекает
поверхность под углом iu угол преломления обозначим i%
Из закона преломления
пх sin i x =\п2 sin i2.
Расстояния OiP=rf, PO2=f, PC=R. В силу теоремы
синусов из треугольников О\АС и О^АС следуют
соотношения: •
R _R + d JR f-R
sin у, "■*"" sin./j э siny8 sin
408

Так как мы считаем, что точка А близка к оси, то все
углы малы. Заменяя синусы углов самими углами, мы
значительно упростим наши уравнения:
ntlx = njv (1)
Я _# + <* R f-R /9ч
Замечая, что <pt-}-а = ^, it-\-y% = at из (2) находим fx =
= П + -g-j a, t2 = м —уЛ а. Подставляя значения [it
и f2 в (1), получим уравнение для определения f:
Поскольку f не зависит от ti, то, очевидно, все лучи,
выходящие из источника под малыми углами,
пересекутся в точке О2. Обсудим формулу (3). Если на
поверхность падает слева параллельный пучок света, т. е.
d, то он собирается в точке О2 на расстоянии
Г ,!
Разумеется, в нашем доказательстве ничего не
изменится, если источник находится в точке О2. Тогда
лучи соберутся в точке Оь Это обстоятельство-известно
как принцип обратимости луча. Обозначая РО^'
POi=f, можно записать:
(4)'
Если источник О2 находится на бесконечности, то пучок
соберется в точке на расстоянии f = F2 = —^-—.
* Интересен случай, когда источник О1 находится*на
расстоянии d'<Fr Формула (3) показывает, что в этом
случае ~ расстояние до изображения !=Пх (u-1f2) ^^
Это означает, что изображение источника является мни-
*мым и лежит на продолжении пересечения
преломленных лучей слеза от преломляющей поверхности.
409

Рассмотрим теперь предельный случай плоской гра*
ницы раздела, т. е. в формулах <(3) и (4) надо устремить
радиус R к бесконечности. Например, из (4) получим:
W-+jr — °> I —lT2d'
Это условие означает, что если из вакуума (ni=l)
смотреть на некоторую точку, находящуюся на
расстоянии dr от поверхности раздела сред, то она кажется
ближе, поскольку \f'\<d\ Изображение точки мнимое.
Заметим, что формула (3) была получена на основе
закона преломления. В геометрической оптике законы
отражения и преломления, а следовательно, и формула
(3) могут быть получены из принципа Ферма: из всех
возможных путей, соединяющих две точки, луч света
движется по такому пути, который требует
наименьшего времени для его прохождения.
Если свет приходит из одной точки в другую
различивши путями, то время прохождения различных
лучей одинаково.
Задача 41.4. Получить формулу (3) предыдущего
примера, считая, что времена прохождения лучей по
путям OiAO2 и О±РО2 одинаковы.
Решение. Слева от преломляющей среды скорость
света равна—, а справа — -^-. Приравнивая времена
прохождения лучей по путям ОгРО2 и ОХАО„ найдем
^ ^ (1)
или
пЛО1А-с1)+п2{АО2-П = 0. (1а)
Разности OiA—d и АОг—/ можно найти следующим
путем. Обозначим РК через А, а АК — через h. Тогда из
треугольников О\АКУ О2АК и САК получим:
)9 (2)
А2 = АО\ _ (/ - А? = {АО, - f + А) {АО2 + / - A)t (3)
' А2=Я2-(/?-Д)2 = Д(2_Я--Д). (4)
4Ю

Поскольку мы рассматриваем параксиальные пучки,
то высота AK=h мала по сравнению с расстояниями
dy fy R. В силу этого разности ОАч—dy АОъ—f и Д будут
малыми величинами одного порядка и приближенно
можно считать OiA+d+A^2dt AOz+f—Д^2/, 2R—Д^
^2/?. Таким образом, из (2) —(4) найдем
Подставляя эти значения в (1а), получим уже знакомое
уравнение, связывающее d и f: ,
2Ll4^L
2. Полное внутреннее отражение. Если свет идет от
источника, расположенного в среде, оптически более
Рис. 41.6
плотной Щу в среду, оптически менее плотную (nz<rii)
(рис. 41.6), то согласно закону преломления
щ sin ii=n2 sin fa,
угол преломления fa больше угля падения U.
Отраженный луч распространяется в среде л4 под
углом, равным углу падения. Если увеличивать угол
падения, то мы увидим, что преломленный луч будет
приближаться к поверхности раздела и делаться менее
ярким, а отраженный .луч —все ярче. При некотором
углб падения преломленный луч идет параллельно
границе раздела, т. е. fa=90°, и совсем слабеет, а
отраженный луч делается столь же ярким, как и падающий.
Соответствующий угол падения-называется
критическим, или предельным, углом полного
отражения. При этом п\ sin /Kp=fl2 s*n 90°> или sin (кр=-jjl.
411

У сильно преломляющих веществ (nt>n2) предельный
угол мал. По отношению к вакууму у воды" 11ф=48<\.
у_стекла /Кр=42°, у алмаза tKp=24°. Если угол падения
луча ti становится больше предельного угла, то пр.елом-
ленный луч отсутствует и наблюдается только
отраженный луч.
С эффектом полного внутреннего отражения мы
часто сталкиваемся в различных явлениях: миражах,
распространении радиоволн в .ионосфере и т. д. При
рассмотрении этих явлений- в естественных условиях надо
учитывать, что коэффициент преломления среды
изменяется непрерывно. По этой причине траекторией луча
является не ломаная, а плавная кривая с выпуклостью,
обращенной .в хторону уменьшения коэффициента
преломления. Подобную-траекторию имеет, например, луч
света, отраженный от более нагретых слоев воздуха
(поскольку коэффициент преломления нагретого воздуха
меньше, чем холодного). В этом нетрудно убедиться,
если разбить среду на тонкие слои и в каждом из них
считать коэффициент преломления постоянным.
-Пример 41.5. Луч света испытывает да поверхности
воды полное внутреннее отражение. Выйдет ли он в
воздух, если на поверхность воды положить
плоскопараллельную пластинку?
По условию задачи луч падает на границу раздела
вода—воздух под углом ti>*Kp. Угол tKp определяется
соотношением
rtBsinfKP=l. ^ . (1)
Закон преломления, записанный в форме (41.2),
позволяет сразу же решить задачу.. Если луч выходит
через пластинку в воздух под углом г, то . -
nBsiru —sinr. (2)
Из (1) и (2) находим
sinr = nBsini> nBsiruKP=l.
Отсюда следуем вывод: луч света не выйдет в воздух.
Выясним теперь, пройдет ли луч света в стеклянную
пластинку? Критический угод Гщ, для границы вода—
стекло определяется условием
A, t'KP>tKP.
412

Если hv<i<i%, to'луч пройдет в Пластинку, так как
согласно закону преломления (а — угол преломления^
Затем луч испытает полное внутреннее отражение на
границе стекло — воздух. Если же 1>/'кр, то луч не про-
дикнет в пластинку, поскольку
since >1.
Рекомендуем решить задачи № 7б6, 763,
765, 769, 771, 775, 777, 779, 780 из задачника [1] и№512,
540, 542, 543, 546 из задачника [2].
§ 42. Призма. Дисперсия света. Цвет
1. Призма. В оптических приборах часто используются
призмы. Угол а между гранями, через которые проходит
луч, называется преломляющим углом призмы
(рис. 42.1 )г Пусть луч падает под углом i на грань АВ.
Рис. 42.1
При прохождении через призму луч света всегда
отклоняется к основанию ВС. Угол у между направлениями
падающего J и отклоненного луча V называется углом
отклонения луча в призме. Определим этот угол у,
считая, что показатель преломления стекла равен л.
413

После преломления на грани АВ луч идет в призме,
образуя с нормалью N угол г. Согласно закону прелом*-
ления #
sin i= n sin r. '(421)
На ррань-АС луч падает под^тлом г',, зависящим от
преломляющего угла призмы а. В А РАР' сумма углов
равна я:
т.е.
а = г + г'. (42.2)
Если угол г' меньше угла полного внутреннего
отражения Я, определяемого условием rcsinA,=l, то после
преломления через грань АС луч выходит из призмы под
углом Г к нормали N'. 3*акон преломления связывает
углы V иг': -
й sin r' = sin V. - (42.3)
Угол отклонения у можно найти из АКРР': у=
= (|_г) + (Г-О,т.е/
f = f-|-i'-a. (42.4)
Формулы (41.1) — (42.4) позволяют определить угол
отклонения у через угол падения I и преломляющий
угол а. Однако выражение, для угла у имеет довольно
сложный вид и упрощается только в том случае, *когда
угол падения и преломляющий угол малы.
Действительно, заменяя в (42.1) й (42.3) синусы малых углов
самими углами, получим i=nr,' nr'=i\
Подставляя значения /, V в (42.4) и используя (42.2),
получим:
Мы видим, что угол отклонения не зависит от угла
падения, если последний достаточно мал.
Определим теперь условия, которые должен
удовлетворять угол а, чтобы лучи зеркально отражались от
грани АС, испытав полное внутреннее отражение. Для этого
необходимо, чтобы г'=а—г&*К т. е.
а^Я + г. (42.5)
414

Из (42.1) следует, что 0<г^к9 причем наибольшему
значению г==А, соответствует угол падения /=90°. Таким
образом, если а^2Я, ни один из лучей, падающих на
грань АВУ не выйдет из грани АС (рис. 42.2).
В
Рис. 42.2
Если сс<2А,, то лучи, падающие на грань А В в
области I (рис. 42.3), испытывают на грани АС полное
внутреннее отражение и не выйдут из призмы. Лучи,
распространяющиеся во второй области, выходят из
приемы.
А
Рис. 42.3
Задача 42.1. Покажите, что угол iQ (см. рис. 42.3)
определяется условием
$in 1Щ = sin a J/V — 1 :— cos a.
"' " ' 415

Задача 42.2. Параллельный пучок
монохроматического света падает нормально на боковую поверхность
призмы, преломляющий угол которой а=30°. Найти
отклонение светового пучка от первоначального
направления по выходе из призмы. Показатель преломления для
этого света л=1,5.
Решение. Из соотношений" п sin X=l определим
критический угол Я=42°. Из формулы (42.5) следует, что
нормально падающий луч не^ выйдет из ^призмы, если
cl^X. В нашей задаче предельный угол равен 42°, а
преломляющий угол 30°. Поэтому #уч выходит.из второй
грани под углом *', который можно найти из закона
преломления:
п sin 30°=sin i\ i'^48°30\
Угол отклонения светового пучка Y—30°=18°30/.
2. Дисперсия света. Приведенные выше формулы
относятся только к монохроматическому свету, т. е. свету
определенной частоты. Глаз воспринимает
монохроматический луч света как свет определенного цвета. При
переходе из одной среды в другую частота света и его
цвет не изменяются. - .
Если на пути прошедшего через узкую щель луча
белого цвета поставить призму, то луч отклонится
призмой и на экране мы увидим растянутую полоску
непрерывно меняющейся окраски — непрерывный спектр.
Наименее отклоненный край спектра — красный,
наиболее отклоненный — фиолетовый. Таким образом, белый
свет характеризуется целым набором
монохроматических лучей разных частот, которые воспринимаются
глазом как лучи разной окраски. Этот опыт,
демонстрирующий явление дисперсии света, показывает, что
показатель преломления вещества зависит от частоты света.
Вещества, достаточно нагретые для того, чтобы
испускать свет, дают спектры, состоящие из отдельных
цветных линий или полос. Спектры светящихся твердых тел,
жидкостей или газов называются спектрами испускания.
Если на пути лучей белого света, между, источником
и призмой, поместить раскаленное вещество в газообраз-,
ном состоянии, то на экране получим сплошной хпектр,
пересеченный темными линиями, — спектр поглощения.
416

Положение этих линий соответствует положению
цветных' линий в спектре испускания того же вещества. Это
явление есть следствие закона Кирхгофа, согласно
которому вещество в газообразном состоянии погло'щает
световые волны такой же частоты, какой оно само
испускает.
Различные вещества отличаются внутренней
структурой и дают различные спектры поглощения и
испускания,-Поэтому спектральный анализ активно
используется в физических исследованиях и позволяет получить
информацию о строении вещества.
3. Цвет. Цвет тела зависит от его способности по-
разному поглощать/ отражать и пропускать свет
различных цветов. Обычно мы рассматриваем
непрозрачные предметы в отраженном светб. В этом случае
цветом предмета называют цвет отраженного света.
Предмет белого цвета отражает лучи всех цветов. Тело
красного цвета отражает из падающего на него белого света
главным образом красные, а остальные .поглощает.
Предмет, не отражающий никакЬго света, кажется черным.
Поэтому мы видим черным красный предмет,
освещенный, например, зеленым светом.
Почти прозрачные тела можно рассматривать в
проходящем и отраженном свете. При прохождении пучка
света через мутное вещество (лед, туман, атмосферу
и т. д.) часть света поглощается, а часть рассеивается
в стороны, благодаря этому пучок -света становится
видимым при наблюдении сбоку. Интенсивность
рассеиваемого света обратно пропорциональна длине волны
в четвертой степени. Отношение длины волны. синего
о —
света (А,с=4500 А) к длине волны красного света (А,к=
=6500 А) равно 1,44. Следовательно, интенсивность
рассеиваемого синего света в (1,44)4^4,3 раза больше
интенсивности рассеиваемого красного света. Поэтому
небо кажется голубым, а закат желто-красным, так как
проходящий свет обедняется синими лучами.
Рекомендуем решить задачи № 754, 768,
773,. 774 из задачника [1] и № 485, 545, 547, 549 из
задачника [2].
27—125 417

§ 43. Плоские и сферические зеркала
Каждый самосветящийся, или освещенный предмет
является совокупностью светящихся точек или точечных
источников света. От каждой точки предмета на
оптическую систему падает пучок лучей. Каждый из них
распространяется в соответствии с законами
геометрической оптики (отражения и преломления). Поскольку
Рис. 43.1
точка определяется пересечением двух прямых, то для
построения изображения точки достаточно взять только
два луча. Построив изображение каждой точки, получим
изображение всего предмета.
Разберемся теперь в терминологии, которую исполь-.
зуют в теории оптических изображений. Оптическая
система может состоять из многих элементов — зеркал и
линз. Рассмотрим изображение, формируемое одним из
элементов системы, не принимая во внимание другие
элементы. На выходе этого элемента пучок лучей, может
418

быть сходящимся (рис. 43,1, о) или расходящимся
(рис. 43,1,6). В первом случае точку пересечения /
лучей называют действительным изображением, во
втором -т- точку пересечения продолжения лучей У в
направлении, противоположном направлению
распространения света; называют мнимым изображением.
Вышедший из рассматриваемого элемента пучок света падает
на следующий. Если этот элемент расположен так, что
на него падаеу расходящийся пучок света, то точку /
на рис. 43.1,в и точку /' на рис. 43.1,г называют
действительным предметом. Если же на вход этого элемента
падает сходящийся пучок света, то точку / на рис. 43.1,5
называют мнимым предметом.
Любое освещенное тело является действительным
предметом, так как каждая его точка располагается
в вершине расходящегося пучка пересекающихся лучей/
Действительное изображение на выходе цоследнего
элемента системы "можно спроектировать на экран и
наблюдать его с различных направлений.
1. Плоское зеркало. Построим изображение
светящейся точки S в плоском зеркале (рис. 43.2).~Чтобы найти
положение изображения, надо найти точку пересечения
каких-нибудь двух отраженных лучей. Пусть это будут
хлучи 2 и 3. Далее согласно закону отражения построим
отраженные лучи 2' и 3'. Эти лучи оказываются
расходящимися и нигде не пересекаются. Продолжая их за
зеркало, получим точку S' пересечения реально не
существующих лучей. Эта точка является мнимым
изображением светящейся точки S, так как наблюдателю ка-
.жется, что свет излучается из этой точки. Изображение
S' увидят наблюдатели, котррые будут находился в
пределах угла, образованного лучами 1' и 4'. Предмет S
и его изображение S' находятся на одинаковых расстоят
»ниях от зеркала и да одном и том же перпендикуляре
к нему или к его продолжению.
Можно ли с помощью плоского зеркала получить
действительное изображение?* Оказывается, возможно,
если на зеркало будет падать сходящийся пучок лучей.
В этом случае источник оказывается мнимым, так как
из-за присутствия зеркала пересекаются не сами лучи,
а их продолжения. Изображение образуется в точке
пересечения лучей, отраженных от зеркал, и является"
действительным. Рассмотрим, например, изображение Ai
27* * 419

41
//л
^_ L..-1
Si
420

источника А в собирающей линзе (рис. 43.3,а). Если на
пути пучка света поставить зеркало (рис. 43.3,6), то
точку А\ можно рассматривать как мнимый источник, а
точку A'i — его действительным изображением в плоском
зеркале.
Задача 43.1. Объект в виде буквы Г находится между
двумя плоскими параллельными зеркалами М и М'.
Построить изображение объекта.
в а/
и. г j.
Рис. 43.4
Решение. Каждая точка буквы Г излучает пучок
лучей. Рассмотрим отражения зеркалами пучка лучей,
который первоначально падал на зеркало М'. На рис. 43.4
подробно показан ход двух лучей пучка, падающего от
основания буквы на правое зеркало. После первого
отражения лучи сформируют мнимое изображение А±
буквы Г в зеркале М'. Второе отражение дает мнимое
изображение А2 буквы Г в зеркале М^третье отражение—
изображение А3 в зеркале М' и т. Д. Аналогично можно
показать, что часть пучка, первоначально падающая на
зеркало Му формирует бесконечную последовательность
изображений, которые на рисунке обозначены буквами
В{ (t=l, 2, ...).
Задача 43.2. Два зеркала М4 и М2 образуют прямой
двугранный угол. Достроить изображение светящейся
точки Л, находящейся внутри угла.
Решение. Изображения точки А\ и Л'2, формируемые
лучами, однократно отраженными от зеркал Afi и ЛГ2,
находятся просто. Из рис. 43.5 видно, что лучи,
исходящие из -точки Aif могут испытать также два отражения:
421

сначала of одного зеркала, з&тем of другого. Ход Двух
таких лучей показан на рис. 43.5. Пересечение
продолжений этих лучей определяет третье изображениеМ'з
точки Л4
Р«с. 43.5
Задача 43.3. Построить изображение светящейся
точки в системе из четырех одинаковых взаимно
перпендикулярных зеркал (четырехгранный калейдоскоп).
Задача 43.4. Плоское зеркало в виде квадратной
пластинки со стороной а=1 м расположено в вертикальной
плоскости. На расстоянии Л=1,5 м от центра зеркала
расположен небольшой предмет. Определить расстояние
между исходным изображением предмета и
изображением, которое образуется после поворота зеркала
вокруг горизонтальной оси на уг;ол а=30°.
Решение. Пусть точка А — предмет, At — его
первоначальное изображение, А\ — изображение точки А
после поворота зеркала на угол а (рис^43.6). Отрезок A At
перпендикулярен к зеркалу в исходном положении, а
отрезок АА\ перпендикулярен к зеркалу, повернутому на
угол а. При этом, очевидно, /-А±АА'±=а. Из построения
изображений А\ и А\ ясно, что точки Л, А\ и А\ лежат
422

на окружности радиуса
A'ft=Aft=АО = уh2 + 4-
с центром в точке О. Следовательно, Z-AiOA'i=2a> г
поскольку треугольник АхОА\ являетдя равнобедренным,
то искомое расстояние между изображениями Ах и А\:
+-£- « 1,52 м.
' Рис. 43.6
2. Вогнутые и выпуклые зеркала. Кроме плоских
зеркал часто пользуются кривыми — вогнутыми и
выпуклыми. Практически проще всего создать сферические
поверхности, отражающие свойства которых мы подробно
рассмотрим. , ч
Центр сферы, часть которой образует поверхность
зеркала, называется центром кривизны С. Вершина
шарового сегмента О называется полюсом зеркала.
Прямая, соединяющая центр кривизны с полюсом О
зеркала, называется .главной осью. Другие прямые,
проходящие через центр кривизны, называются побочными
осями.
Чем отличается плоское зеркало от сферического?
Если параллельный пучок упадет на плоское зеркало,
то после отражения лучи остаются параллельными. Если
параллельные лучи падают вдоль главной оси вогнутого
зеркала, то они соберутся в главном фокусе F.
Поэтому вогнутое зеркало называется
собирающим.'Расстояние от полюса зеркала О до точки F называется фокус-
423

Рис, 43.7
ним расстоянием (рис. 43.7). "Лучи, падающие на
выпуклые зеркала парадлельнс^ главной оси, отражаются
таким образом, что кажутся исходящими из одной
точки F, расположенной за зеркалом (рис. 43.8). Эта точка
является мнимым фокусом.
Плоскость, проходящая через фокус зеркала
перпендикулярно главной оптической оси, называется
фокальной плоскостью. Заметим, что в точку F фокусируются
только те лучи, которые проходят достаточно близко
от оси, — так называемые параксиальные лучи. Для та-
Рис. 43.8
424

ких лучей фокусное расстояние равно половине радиуса
кривизны зеркала (см. задачу 43.5).' Все дальнейшие
построения справедливы только для лучей,
составляющих с главной осью малые углы.
При построении изображения в выпуклом зеркале
можно взять два из трех лучей, изображенных на
рйс. 45.9, ход которых после отражения очевиден. Луч /
падает параллельно главной оси, лучи 2 и 3 падают со-
Рис. 43,9
ответственно по направлению к центру кривизны и
фокусу. Если необходимо построить ход произвольного
луча / (рис. 43.10), образующего угол с главной осью, то
проще всего воспользоваться побочной осью. Для этого
через центр С проведем побочную ось параллельно
лучу U Пучок лучей, падающих на зеркало параллельно
побочной оси, кажется расходящимся из точки
фокальной плоскости \Fi9 в которой ее пересекает данная
побочная ось. На рис. 43.10 изображены также лучи 2 и 3,
параллельные данному лучу /.
Нетрудно видеть, что выпуклое зеркало дает только
мнимое изображение независимо от того, где находится
предмет. Однако если источник в присутствии зеркала
является мнимым, то изображение получается
действительным.
При построении изображения точки в вогнутом
зеркале обычно берут два из трех лучей, показанных на
425

Рис. 43.10 •
рис. 43.11, или прослеживают ход произвольного луча
с помощью побочной оптической оси (рис 43 12)
При изучении изображения необходимо определить
его положение и величину, выяснить, действительное
Рис. 43Л1
n ое* ПрЯМое Или пеРевеРнУтое. Соотношение
™«? Расстоянием от полюса до предмета d,
расстоянием от полюса до изображения / и фокусным расстоя-
426

нй£м F имеет вид:
-H-J--
1
"Г-
(43.1)
Эта формула применима как' к вогнутым, так и к
выпуклым зеркалам. Различные члены в (43.1)
выбираются со знаком плюс, если предмет, изображение и фокус
I
Рис. 43.112
являются действительными, или со знаком минус, если
п
они мнимые*. Для вогнутого зеркала F=—, дЛЯ
выпуклого F = 2~ (Я — радиус сферы, образующей
зеркало).
Линейное увеличение к, определяемое отношением,
размера изображения к размеру предмета, дается
формулой:
(43.2)
ч-н
Задачи на тему этого параграфа — это задачи на
определение размеров и взаимного расположения
изображений, предметов и зеркал. Решение задачи надо
начинать с выполнения построений. Для этого нужно
нарисовать зеркало, провести главную оптическую ось,
отметить на рисунке фокус, центр, полюс. Используя чис-
427

ловые данные, указать положение предмета, а затем
построить изображение. После этого можно перейти к
составлению уравнений на основании формулы зеркала и
формулы увеличения.
В том случае, когда имеется система зеркал,
предметом для второго зеркала служит изображение, даваемое
первым зеркалом, которое может быть как
действительным, так и мнимым. Увеличение, даваемое системой
зеркал, равно произведению увеличений, даваемых каждым
зеркалом в отдельности.
Задача 43.5. Луч света падает на вогнутое
сферическое зеркало радиусом R параллельно оптической оси
U-tf* >/
Рис., 43:13
СО на расстоянии а от нее и после отражения
пересекает оптическую ось в точке F (рис. 43.13). Определить
фокусное расстояние OF для этого луча.
Решение. Расстояние от полюса зеркала до-точки
пересечения луча с оптической осью равно фокусному
расстоянию OF=tR—CF. Треугольник CFA —
равнобедренный. Поэтому i/?=2CFcos«<z, т. е.
Косинус угла а нетрудно найти из прямоугольного
поскольку Л/С = }/Я2 —а2 $ AC = R. Следовательно,
428

Подставляя (1) и (2) в выражение для фокусного
расстояния, найдем
OF=R\l-
[
(3)
Если а < R, то в (3) можно пренебречь отношением -|-
п
3 этом случае фокусное расстояние OF = -~ и не зави-
сит от. а. В силу этого jiy4OK лучей, для которых а < R
(т. е. пучок параксиальных лучей),- собирается в фокусе
п
на расстоянии -тг от полюса зеркала.
Задача 43.6. В центре вогнутого сферического
зеркала радиусом /?1=40 см находится выпуклое сферическое
зеркало радиусом i?2=20 см. Между центром и фокусом
а)
Рис. 43.14
вогнутого зеркала на расстоянии /i=28 см от его полюса
поставлен предмет высотой #о=4 см перпендикулярно
главной оптической оси. Определить величину и
положение первого изображения в выпуклом зеркале, даваемом
лучами, отраженными от вогнутого зеркала, и величину
и положение изображения в вогнутом зеркале, даваемом
лучами, отраженными от выпуклого зеркала. .
Решение. - Рассмотрим. сначала первую часть задачи.
Построим изображение АХВХ предмета АВ (рис. 43.14, а)
^ 429

в вргнутом зеркале. По условию, /71 = -^-, rft=/r
Используя уравнение зеркала - # ч
находим /i=70 см; Изображение в отсутствие выпуклого
зеркала получалось бы за ним на расстоянии rf2=fi—
—JZi^=30 см. Следовательно,' на выпуклое зеркало
падает отраженный от вогнутого зеркала сходящийся, пучок
лучрй ТТттпму п.ри пр^роении изображения, даваемого
выпуклым зеркалом.» изображение AjBx необходимо
рассматривать как-^шцщый" предме^. Поскольку фТГкус и
предмет мнимые, то *""~—-^ 1
-I =-f+f.. Я. = я'1^.. (2)
Подставляя числовые данные, находим, что /2=—15 см,
т. е. изображение Л2#2 также является мнимым,
величина его
# _#0LM.£-= 5см.
2 ° «2 «I
Решим вторую часть задачи. Построим изображение
A'iB'i предмета АВ в выпуклом зеркале (рис. 43.14,6).
Предмет находится от его полюса на расстоянии d/2=
=Ri—/i=12 см. Из основного уравнения
А2 О 2 / 2 "2
находим расстояние f2 от полюса до изображения /'2 =
ЯП
= — ур см, т. е. изображение является мнимым. На
вогнутое зеркало падает отраженный от выпуклого
зеркала расходящийся пучок лучей. Поэтому при построении
изображения Л'гВ'г в ^вогнутом зеркале изображение
А\В i надо рассматривать как действительный предмет,
находящийся на расстоянии d'i=jRi+|f'2| от полюса
вогнутого зеркала. Используя уравнение зеркала
430

йаходйм расстояние ft от полюеа до изображения f\=s
.+—СМ( Изображение является действительным, его
величина
Задача 43.7. Вогнутое зеркало дает изображение
Солнца в виде кружка радиусом г=14 мм. Диаметр
Солнца виден на небе под углом 32'. Определить радиус
Я кривизны зеркала. J
Пример 43.8. На рис. 43.15 указаны положения
главной оси зеркала, предмет АВ и его изображения; а) изо-
Рис. 43.15
бражение АХВХ — мнимое, б) изображение А2В2 —
действительное. Определить построением положение центра
зеркала и его полюса.
а) Мнимое изображение может возникнуть как в
вогнутом, так и в выпуклом зеркале. В вогнутом зеркале
мнимое изображение образуется только в том случае,
если предмет находится между фокусом и зеркалом.
При этом его величина больше величины предмета.
Изображение в выпуклом зеркале всегда мнимое, прямое
и уменьшенное. Следовательно, между предметом и
изображением стоит выпуклое зеркало. Очевидно, прямая,
проходящая через точки В и Ви пересечет главную ось
в центре зеркала. Далее рассмотрим луч ВО,
падающий на полюс зеркала О, и построим точку В'и
симметричную точке Вх относительно главной оси. В срответ-.
ствии с законом отражения прямая 50, являющаяся
продолжением луча 50, должна пересечь точку В\. По-
431

этому точка пересечения отрезка ВВ'\ и главной оси
определит нам положение полюса зеркала О.
б) Очевидно, в этом случае зеркало вогнутое, а
действительное, перевернутое и уменьшенное изображение
возникает между фокусом и центром зеркала. При этом
расстояние между предметом и зеркалом всегда больше
радиуса зеркала. Прямая, проходящая через точки В
и fl2, пересекает главную ось в центре зеркала С. Точка
пересечения прямой ВВ'ъ (2J'2 — точка, симметричная
точке В% относительно главной оси) с главной осью
определяет полюс выпуклого зеркала О.
Рекомендуем решить задачи №761, 805,
808, 811, 817, 822, 824, 827, 833, 836, 839 из задачника
[1] и № 513, 515, 516, 522, 524, 525, 527, 529, 533 539
из задачника [2],
§ 44. Линзы
*
Наиболее существенной частью почти всех
оптических приборов являются линзы — прозрачные,
стеклянные тела, ограниченные сферическим» поверхностями
(рис. 44.1),-Мы будем рассматривать только тонкие
линзы, толщина которых мала по сравнению с радиусами
кривизны Ri и /?2 этих поверхностей. В силу этого
полюса сферических поверхностей можно считать
совпадающими в одной точке, которую называют оптическим цен-
тром- линзы. Прямая, .проходящая через оптический
центр и центры сферических поверхностей, называется
главной оптической осью. Остальные оси, проходящие
через центр линзы, называются побочными.
Рис. 44.1
432

Линзы можно разбить на два типа: собирающие
линзы, имеющие большую толщину в середине, чем по
краям; рассеивающие линзы, которые^ наоборот, толще
у краев. Собирающую линзу можно представить как
совокупность большого числа призм, расширяющихся
к середине, а рассеивающую — как ряд ' призм,
расширяющихся к краям. Так* как призмы отклоняют лучи
к основанию, т. е. к расширяющейся часта призмы, то
линзы более толстые посередине отклоняют лучи к оси
линзы, а более -толстые у краев — отклоняюг лучи от
оси. Луч, проходящий через оптический центр линзы не
меняет своего направления.
Точка, в которой пересекаются после преломления
лучи, падающие на линзу пучком; параллельным
главной оптической оси, называется фокусом, а плоскость
проходящая через фокус и перпендикулярная главной
оптической оси, — фокальной плоскостью. В случае
собирающей линзы фокус действительный (рис. 44.2,а), для
рассеивающей линзы фокус мнимый (рис. 44.2,6), так
как в точке F{ пересекаются не сами лучи, а их продол-
Рис. 44.2
28—125
433

жения. Собирающая линза концентрирует направленный
поток энергии в фокусе. Рассеивающая линза
преобразует направленный поток в> расходящийся. Если линза
находится в однородной среде, то у нее имеются два
фокуса по разные стороны линзы, расстояние до которых
от центра линзы (фокусные расдрояния) одинаковы.
1. Вывод формулы линзы. Рассмотрим для
определенности двояковыпуклую собирающую линзу (рис. 44.3).
Точки Сх и С2 — центры первой и второй сферических
поверхностей, радиусы которых равны соответственно R\
и /?2- Пусть .линза находится в> среде с показателем
преломления По, а показатель преломления вещества
линзы— п. Рассчитаем положение f изображения точечного
источника, находящегося на оптической оси на
расстоянии d от линзы. Для *этого найдем положение точки
пересечения луча, идущего вдоль главной оптической
оси, и одного из лучей, выходящего из источника S
под малым углом <pt к главной оптической оси.
Направление распространения первого луча после преломления
не изменяется, а второй луч преломляется линзой точно
так же, как луч, падающий на призму, грани которой
АВ и АС перпендикулярны прямым СХР и С2Р'
* Рис. 44.3
(см. § 42, рис. 42.1). Сохраняя обозначения, принятые
в § 42, находим y^i+i'—r—r*, a=r+r/. В том случае,
когда угол i падения луча на линзу мал, из закона
преломления находим, что rioi=nr, nr'—noi' и,
следовательно, y
=f—
- Далее, из простых геометрических
соображений (см. рис. 44.3) находим, что Y—ф1+ф2* а=
=ai+O2, т. е.
434

= (■£■-
Поскольку толщина линзы очень мала, то можно
считать, что точки Р и Р' практически совпадают и
находятся на расстоянии h от главной оптической оси.
Учитывая малость углов фЬ <р2, щ и аг, можно написать:
?* а~ а^
Следовательно, формула линзы имеет вид
4-+-Н+* ~ (44Л)
где фокусное расстояние линзы определяется
соотношением
Из вывода формулы (44.1) следует, что изображение-
формируется только теми лучами, которые проходят
вблизи главной оптической оси.. Более удаленные лучи
будут пересекать * Оптическую ось на расстояниях, не
равных f из (44.1).
• Для произвольной линзы фокусное расстояние также
определяется формулой (44.2). При этом знаки'перед
членами, содержащими радиусы кривизны, берутся
положительными для выпуклых поверхностей,
отрицательными— для вогнутых. Линза, изображенная на
рис. 44.1,а, — собирающая, для этой линзы
а линза на рис. 44.1,в, —рассеивающая, так как
, ибо
Собирающая линза, помещенная в оптически более
плотную среду {по>п)у как показывает формула (44.2),
становится рассеивающей, и, наоборот, рассеивающая
линза превращается в собирающую. По этой причине
пузырек воздуха в воде играет роль рассеивающей
линзы.
Заметим, что формулы (44.1), (44.2) могут быть
получены последовательным (двукратным) применением
28* .435

соотношений (3), (4), полученного в примере 4КЗ, к
каждой из преломляющих поверхностей (поскольку
изображение точки, даваемое первой поверхностью, является
мнимым или действительным источником для второй
поверхности) .
Действительно, предположим, что преломляющая
поверхность АС отсутствует.
Полагая в (3) ni=n0, n2=h, Ц=Ли найдем, что
первое изображение точки S находится справа от линзы на
расстоянии х:
Это изображение является мнимым предметом для
поверхности Л С. Полагая в (4) Л1=/г, п2=п0, Я=—&2,
d=—х9 получим:
* "*- / -«■ #
После сложения из этих соотношений следуют формулы
(44.1) и (44.2). .'•'--
[Фокусное расстояние системы линз. Оптической
силой линзы называют величину D=-jr-. Величина D
может быть как положительной, так и отрицательной.
Оптическую силу собирающей линзы с фокусным
расстоянием в 1 м принимают за единицу и называют
диоптрией. Если тонкие линзы сложены вплотную, то
общая оптическая сила системы линз равна алгебраи^
ческой сумме оптических сил отдельных линз.
v Это утверждение легко проверить из следующих
соображений. Из вывода формулы линзы ясно, что первая
линза отклоняет луч на угол -=-# Если вто|рая линза рас-
положена вплотную к первой, то луч войдет в нее на
том же расстоянии h от оси и отклонится на угол у-ф
Полное отклонение двумя линзами равно у—к"]Г"в Такое
же отклонение можно получить, заменив две линзы одной
с фокусным расстоянием F, определяемым из условия
т-тг+тг • (44'3)
436

Если же между линзами имеются зазоры, то это условие
не выполняется. Рассмотрим, например, две
собирающие линзы (с фокусными расстояниями F\ и F2) >
находящиеся на расстоянии a(Fu F2>u). Если параллельный
пучок лучей падает на первую динзу, то в отсутствие
второй линзы он фокусируется на расстоянии F\ от нее.
Поэтому эта точка является мнимым предметом для
второй линзы. Применяя формулу (44.1) для второй
линзы
найдем фокусное расстояние jP системы линз
1 1 . , 1 ,
При а=0 из этой формулы следует приведенное выше
условие (44.3). , <
Для определения положения изображения А'
светящейся точки А берут два луча, ход которых легче всего
построить. На рис. 44.4 показаны лучи, которые чаще
Рис. 44.4
всего используются при, построениях. Следует, однако,
помнить, что изображение формируется в результате
пересечения большого числа лучей, излучаемых
источником, и их количество .определяет яркость
изображения.
Если возникает необходимость построить ход
произвольного луча, падающего под некоторым углом к
главной оптической оси, то обычно, используются побочные
оптичедкие оси. Например, пусть требуется найти
направление луча / после его прохождения через собира-
437

ющую (рис. 44.5,а) и рассеивающую линзы (рис. 44.5,6).
Проведя побочную ось параллельно лучу 19 найдем
в точке пересечения фокальной плоскости данной осью
побочный фокус F\. В случае собирающей линзы луч 1
должен сам пройти через точку F\\ в случае
рассеивающей—"через F\ проходит "продолжение преломленного
луча.
Имеется определенное сходство в характере
изображений, полученных с помощью линз и зеркал. Если
действительный источник находится между фокусом и
центром собирающей линзы (полюсом вогнутого зеркала),
Рис. 44.5
то образуется мнимое изображение. Если предмет
находится за фокусным расстоянием, то изображение
всегда действительное. Изображение действительного
предмета в рассеивающей линзе (или выпуклом зеркале)'
всегда мнимое и уменьшенное независимо от расстояния
между предметом и линзой (полюсом зеркала).
Как и в зеркалах, когда на линзу пада'ет сходящийся
пучок лучей, которые из-за присутствия линзы не
пересекаются в действительности, источник является
мнимым. На рис. 44.6 построено действительное
изображение А' мнимого, источника Л, образованного пучком,
ограниченным лучами / и 2, в собирающей линзе. На
рис.' 44.7 дано построение действительного
изображения А' мнимого источника А в рассеивающей линзе.
Используя правило знаков, которое полностью
совпадает с аналогичным для сферического зеркала, цз
формулы (44.1) можно получить арифметическое значение
438

одной из величин dt f и F. Коэффициент линейного
увеличения k определяется формулой Л= \— .
1
Рис. 44.6
• Рис. 44.7
2. Дефекты линз. Один из наиболее крупных
недостатков линз заключается в цветной кайме, которая
окружает изображения предметов. Это явление
называется хроматической аберрацией и объясняется
дисперсией света. Когда преломляется белый свет, то фокусные
расстояния различны для света различных цветов.
Наименьшее фокусное расстояние у фиолетовых лучей,
наибольшее — у красных. Поэтому изображение -
пятна' получается цветным. Комбинируя несколько линз
различных сортов стекла, можно /странить хроматиче-
439

скую аберрацию и получить, как говорят,
ахроматическую линзу.
Другой недостаток линз, называемый сферической
аберрацией, приводит к тому, что центральная часть
изображения оказывается Наиболее резкой, а
периферийные участки размыты. Этот дефект изображения
связан с тем, что сферическая форма преломляющих
поверхностей линзы не обеспечивает фокусировку всех
Рис. 44.8
лучей широкого лучка, падающего на линзу. В то время
как лучи, близкие к оси, еще проходят через фокус,
внешние лучи широкого пучка пересекаются ближе
к линзе. В результате изображение точечного предмета
получается нечетким в виде расплывчатого пятна.
Эффект сферической кберрации можно устранить, если
использовать только центральную часть линзы, т. е.
диафрагмированием линзы. Однако при этом яркость
изображения уменьшается. Аберрацию можно ослабить,
изменив форму линзы вблизи краев или склеив
несколько линз, аберрации которых .взаимно компенсируются.
Пример 44.1. Найти построением ход луча 2 до
рассеивающей линзы, если известны положение линзы и ее
оптической оси, ход луча 1 до и после (У) преломления
и ход луча 2' после преломления (рис. 44.8,а).
Продолжим преломленный луч Г за - линзу
(рис. 44.8,6) и-проведем через оптический центр линзы
прямую (побочную ось), параллельную падающему лу-
440

чу Л Точка пересечения этих лучей определит побочный
фокус F\. Проведем через эту точку прямую,
перпендикулярную главной оптической оси. Она пересекает
оптическую ось в главном фокусе линзы и лежит в
фокальной плоскости. Далее, точка пересечения *Р2
продолжения луча 2Г за линзу с этой прямой определяет
побочный, фокус для луча 2'. Соответствующую побочную
оптическую ось получим, проведя прямую через точку F^
и оптический центр линзы О. Луч 2 до отражения
должен быть параллелен этой оси.
Задача 44.2. Светящийся предмет и экран находятся
друг от друга на расстоянии а. Тонкая собирающая
линза с фокувным расстоянием F дает действительное
изображение на экране при двух положениях. Найти
расстояние / между этими положениями и отношение
размеров двух указанных выше изображений.
Решение. Так как изображение действительное, то
расстояние от предмета до линзы d>F и расстояние от
линзы до изображения *f>0. Согласно формуле линзы*
(44.1)
т-т+-г " 0)
Условие постоянства расстояния между предметом и
экраном приводит к уравнению:
d+f=a. (2)
Из системы уравнений (1) и (2) находим два значения
расстояния от предмета до' линзы:
Расстояние между двумя положениями линзы
Если Но — линейный размер предмета,.то величина
изображения Нх в первом положении
а во втором положении:
, 441

Отношение размеров в двух положениях:
Задача 44.3. Фокусное расстояние собирающей линзы
F==10 см. На каком расстоянии d от линзы нужно
поместить предмет, чтобы его мнимое изображение
получалось на расстоянии f=25 см от линзы.
, Задача 44.4. Расстояние между предметом и
мнимым изображением в собирающей линзе а=Ъ см,
изображение больше предмета в k = -^- раз. Определить
расстояние d от линзы до предмета, если предмет
установлен перпендикулярно главной оптической оси, и
оптическую силу линзы.
Решение. Так как изображение мнимое, то
f-d=a. (1)
Коэффициент лицейного увеличения
k=-L. ' (2)
Из уравнений (1.) и (2) находим
Оптическую силу линзы определим с помощью формулы
линзы
1 1 1 (k— l)2 1
Пример 44.5. На расстоянии d=8 см от собирающей
линзы с фокусным расстоянием jF= 10 см помещен
точечный источник света О силой 7=100 св. Определить
освещенность экрана, расположенного перпендикулярно
главной оптической оси на расстоянии а=60 см от
линзы в точке пересечения экрана q главной оптической
осью.
Построим вначале ход лучей в линзе. Так как
источник расположен между линзой и главным фокусом, то
получается его мнимое изображение О'. Из формулы
линзы:
j__J 1_
F ~~ 4 f v
442

найдем расстояние между изображением й Линзой
/=40 см. Из рис. 44.9 видно, что расстояние между
экраном и изображением r=f+a. Освещенность экрана
в точке на главной оптической оси
E= (1)
Здесь /' — сила света изображения, н£ равная силе
света источника. Эту величину можно определить, исходя
из того, что световой поток Ф=/(о (см. формулу (39.3),
падающий на линзу от источника, равен световому
'потоку ф, идущему от изображения, т. е.
/'ш'=/ш. (2)
Здесь ю, со'— соответственно телесные углы, под
которыми линза видна из места расположения источника и
изображения. Поскольку мы обычно ограничиваемся
Рис. 44.9
случаем параксиальных лучей, то должны считать
телесные углы со и.ю' малыми. Поэтому телесный угол
может быть определен как Отношение, площади линзы So
к квадрату расстояния до линзы от источника. Из
рис. 44.9 следует, что
(3)
(4)
' Подставляя эти выражения, в (2), находим
/'=/(-Lу=/-25 = 2500 св.
Мы видим, что сила света в пучке возрастает по
сравнению с силой света самого источника.
443

Подставляя (4) в (1), нахбДим освеЩеййосТь Экрана
на оси
Если бы линза отсутствовала, то освещенность той же
точки оказалась бы равной
. Нетрудно видеть, что освещенность экрана в точке
пересечения с главной оптической осью совпадает со
средней освещенностью Ecv экрана. По определению
средней освещенности (см. пример 39.3)
Q>' = <* = EcpS, (6)
где S — площадь освещаемого на экране пятна.
Подставляя Ф=/<о в (6) и учитывая (3), находим
Из подобия треугольников О'АВ и О'А'В' следует, что
4Ш'
Подставляя (8) в (7) и сравнивая подученный
результат с (5), находим, что EC$=E.
Пример 44.6. Экран установлен на расстоянии
ai=30 см от тонкой собирающей линзы. В точке О,
находящейся на расстоянии Л=40 см от экрана,
помещен точечный источник света. Во сколько раз изменится
средняя освещенность экрана, если линзу приблизить
к экрану на расстояние Я2=25 см? Фокусное расстояние
линзы jF=5 cm.
Положение изображения источника О', образуемое
линзой в первом и во втором случаях^ можно найти из
основного уравнения линзы .
-a>>f*=3T=F> rf.=A-^r (1)
Подставляя числовые значения, находим fi = 10 см,
/2=7,5 см, т. е. изображение в первом случае находится
на расстоянии а,\—/i=20 см от экрана, а во втором —
444

на Лг—/2=17,5 см. Таким образом, в обоих случаях ход
лучей* будет таким, как на рис. 44.10 (в первом случае
а=аи во втором — а=а2).
Пусть / — сила источника.. Согласно определению
средней освещенности поток, падающий #на линзу,
Q)=I(Oi=ECp-Si. Здесь Si — площадь освещаемого на
экране круга диаметром А'В'\ <di — телесный угол, под
которым видна линза площадью So из места
расположения источника:
So < ,
Таким образом, средняя освещенность
5Г
(2)
Используя^ подобие треугольников АВО' и А'В'О\
находим:
(3)
Расстояние \л от изображения до линзы легко найти
из (1), Подставляя \х из (1) в (3), а^2- из. (3) в формулу
(2), находим после простых преобразований
[F I2
Д|(д_а,)-М ] ' W
445

Поскольку расчет средней интенсивности £2Ср при втб-
ром положении линзы аналогичен приведенному, то
интересующее нас отношение
F г /. \ Fh 1*
Рекомендуем решить задачи № 844, 845,
850, 855, 856, 862, 864, 876, 882, 894, 895 из задачника
[1] и № 551, 553, 554, 556 из задачника £2].
§ 45. Оптические приборы
* Если имеется оптическая система, состоящая из
нескольких линз и зеркал, то положение изображения
некоторого объекта можно найти следующим образом.
Сначала найдем изображение объекта, создаваемое
первой линзой (или зеркалом). Положение изображения
определяется формулами (44.1) или (43.1). При этом
остальная часть оптической системы не принимается во
внимание. Затем рассмотрим первое изображение как
источник (мнимый или действительный) для следующей
линзы (или зеркала), по-прежнему не принимая во
внимание остальной части оптической системы. Положение
второго изображения также определяется формулами
(44.1) или (43.1) и может быть построено с помощью
побочных оптических осей. Аналогичную процедуру надо
проделать последовательно для каждого элемента
оптической системы. В результате получим изображение
объекта, создаваемое всей оптической системой.
Оптические приборы конструируются из линз и
зеркал на основе изложенных выше законов оптики.
Прежде всего рассмотрим глаз, который также является
оптическим прибором.
1. Глаз. Оптическая система глаза представляет ряд
преломляющих тел (хрусталик, стекловидное тело)
и радужной оболочки, играющей -роль диафрагмы.
Хрусталик — прозрачное тело, похожее на собирающую
линзу, состоит из прозрачного вещества, коэффициент
преломления которого ^1,4. На сетчатке (которой
зыстлано дао глазного яблока) благодаря преломлению
света в хрусталике образуется действительное
изображение предметов. Поскольку расстояние между
хрусталиком и сетчаткой неизменно, то для получения на сет-
446

чатке резкого изображения разноудаленных предметов
хрьусталик должен менять фокусное расстояние. Это
происходит путем деформации хрусталика с помощью
глазных мускулов. В соответствии с формулой (44.1) (f —
постоянно) фокусное расстояние хрусталика
уменьшается при приближении предмета к глазу. Способность
глаза приспосабливаться к видению на близком и
далеких расстояниях называется аккомодацией.
Пределы аккомодации для нормального глаза от 12 см до
бесконечности.
Чтобы рассмотреть подробнее предмет, мы
приближаем его. При этом увеличивается угол зрения, под
которым виден предмет, т. е. угол, образованный
лучами, идущими в наш глаз от крайних точек предмета.
Человеческий глаз способен видеть раздельно две
точки, если угол между лучами, исходящими от, этих
точек, не меньше V. Если угол меньше 1'9 то обе точки
проектируются на один светочувствительный элемент
сетчатки и сливаются в одну точку. Чем больше угол
зрения, тем больше изображение на сетчатке и тем
большее число деталей предмета воспринимается
глазом. Однако не всегда возможно приблизить предмет
к глазу, так как нельзя без утомительного напряжения
глазных мышц рассматривать слишком близкие
предметы.
* Оптическое расстояние, на котором глаз может
работать не утомляясь, называется расстоянием наилучшего
зрения (для нормального глаза около 25 см). Если
интересующие нас детали не видны с этого расстояния,, то
дальнейшее увеличение угла зрения возможно с
помощью лупы или микроскопа. Однако часто нельзя
приблизиться к рассматриваемому предмету. В этом случае
для увеличения угла зрения применяют телескоп.
Задача 45.1. На сколько диоптрий возрастает
оптическая сила хрусталика при переводе взгляда с очень
удаленного предмета на предмет, находящийся на
расстоянии наилучшего зрения?
Решение. Когда глаз аккомодирован на
бесконечность, то лучи попадающие на хрусталик, почти
параллельны, глазные мускулы расслаблены. В этом случае
хрусталик принимает такую форму, что его фокусное
расстояние F равно глубине глаза — расстоянию от
хрусталика до сетчатки f. Когда человек переводит
447

взгляд на предмет, находящийся на расстоянии d,
фокусное растояние хрусталика становится равным F2<F\
При этом
Оптическая сила хрусталика изменяется на величину
2. Очки. Аккомодация близоруких и дальнозорких
глаз не в состоянии дать на сетчатке четкое
изображение предмета, находящегося на расстоянии наилучшего
зрения do=25 см. Если фокусное расстояние хрусталика
мало (велико) по сравнению с нормальным, то
изображение образуется перед (за) сетчаткой. Этот дефект
глаза называется близкорукостью (дальнозоркостью). Для
исправления близорукости надо поместить перед глазом
дополнительную линзу — очки с отрицательной^ ойтиче-
ской силой, а для исправления дальнозоркости — очки
с положительной' оптической силой. Оптическая сила
системы хрусталик — линза очков должна равняться
оптической силе нормального глаза.
Нетрудно рассчитать оптическую силу Dn очков,
которые должен носить человек, чтобы исправить
недостатки своего зрения. Предположим, что он без*
утомления глаз читает книгу, держа ее на расстоянии йфй
Поэтому
Надев очки, человек сможет ^читать книгу, держа ее
на расстоянии наилучшего зрения do, т. е.
Следовательно,
D.—k-T-lB*- ■. (45Л)
Если d<do (близорукий глаз), то'необходима
рассеивающая линза, так как Dn<0. Если d>d0 (дальнозоркий
глаз), то необходима собирающая линза, так как /)л>0.
Если d=?do, то оптическая сила линзы /)л=0, т. е. мы
имеем шшскопараллельную пластинку и очков не нужно.
3. Лупа. Предмет высотой А, рассматриваемый с рас-
448

стояния наилучшего~зренияс/0, виден под углом a=5=tga =
=-j- (рис. 45.1, а). Если мелкие детали предмета плохо
различимы с этого расстояния, то приходится
приближать предмет к глазу. При этом для фокусировки
изображения на сетчатке аккомодационный мускул глаза
должен увеличить оптическую силу хрусталика. Однако
это утомительно для глаза. Для того чтобы не'
переутомлять глаз, применяют лупу, т. е. собирающую линзу
н
или систему линз с положительной оптической силой.
Лупу надо держать возможно ближе к глазу. Если
предмет расположить так, чтобы изображение в лупе
возникало на расстоянии наилучшего зрения, то увеличение
(рис. 45.1,6)
29—125 449

|)l + f74 . (45.2)
Нетрудно видеть, что коэффициент, увеличещш равен
отношению угла зрения а', под которым мы видим
изображение высотой Я, пользуясь лупой, к углу зрения а,
под которым мы видим предмет без лупы, когда он
находится на том же расстоянии. Действительно, из
рис. 45,16 видно, что
4=4=4= i+ib (45-3>
Если предмет находится в фокальной плоскости
линзы, то каждая его точка дает за линзой параллельный
пучок лучей, падающих на хрусталик (рис. 45.1,в).
В этом случае глазные мышцы полностью расслаблены.
На сетчатке возникает изображение, угловой размер
которого а'г=-у в -р- раз больше углового размера
изображения а предмета, рассматриваемого с
расстояния наилучшего зрения без помощи лупы.
. 4. Микроскоп.' Простейший микроскоп состоит из
трубки (тубуса), на концах которой находятся две
линзы—объектив и окуляр. Объективом служит
короткофокусная линза, пропускающая широкие пучки.лучей.
Рассматриваемый предмет помещается перед
объективом между фокусом и двойным фокусным расстоянием,
ближе к фокусу.
Действительное, увеличенное и перевернутое
изображение, даваемое объективом, рассматривается в окуляр,
играющий роль лупы. Увеличение микроскопа k = kl-k2>
где кх = -^- (L — длина ^ тубуса, Fo6 — фокусное расстоя-
* об
ние объектива), &2 = -=А- (dp = 0,25~M, F0K—фокусное рас-
■*ок
стояние окуляра, выраженное в метрах). Оптический
микроскоп дает увеличение до 2000 раз.
5. Телескоп. Если предмет находится достаточно
далеко, то лучи света, излучаемые различными точками
предмета, идут к глазу иод очень малым углом зрения
так, что невозможно рассмотреть какие-нибудь детали
предмета. В этом случае для увеличения угла зрения
применяют телескоп,
450

Телескопическая система (зрительная труба
Кеплера) из двух линз — длиннофокусного объектива н
короткофокусного окуляра —показана на рис. 45.2. При
большом удалении предмета от объектива попадающие
в трубу лучи, исходящие из каждой точки предмета
будут практически параллельными. Поэтому
действительное, перевернутое, и уменьшенное изображение предмета
лежит в фокальной плоскости. Это изображение
рассматривается в окуляр, как в"лупу. Для этого окуляр
помещают относительно объектива так, что его передний
^
Рис. 45.2
вблизи заДнег° Фокуса объектива Из
Z ЧТ°/Г0Л °' обРазУем"й лучами вышед-
У ЯРЗ> б0ЛЬШе угла а' т* вторым виден
Z3 глазом- Не™но ви^ь, дчто
(45.4)
Для большего увеличения необходимо брать
длиннофокусный объектив, и короткофокусный окуляр Каза-
болышш НИЧеГО не мешает сделать увеличение очень
Действительно, согласно геометрической оптике, если
от одной точки в телескоп попадает луч под углом at
»^л1,' а °Т ВТ°Р°Й —под Углом си, то должны быть два
изображения независимо от величины углового расстоя-
n^Lo |a2~HC°1' между точками. Однако явление
дифракции света, рассмотренное в § 40, приводит к
тому, что невозможно различить две точки, угловое
расстояние между которыми меньше определенного
значения. Различные лучи, проходя через объектив,
дифрагируют—отклоняются под разными углами от своего
первоначального направления. Эти когерентные лучи
затем интерферируют и образуют в фокальной плоско-
29* " 451

сильно освещенную центральную часть, вокруг ко-
торой расположены темные и светлые концентрические
кольца — дифракционное изображение светящейся
точки. При удалении от центра яркость светлых колец
быстро спадает. Мы видели (см. § 40), что угол между
главным максимумом и первым минимумом
освещенности после прохождения лучей через круглое отверстие
определяется формулой (40.5):
Да = 1,22-£-. (45.5)
Если свет приходит от двух различных точек, то
возникают две системы колец. Когда точки лежат близко
друг от друга (т. е. б мало), то эти системы почти
совпадают, и вместо двух течек мы увидим весьма рас-
Рис. 45.3
плывчатое светлое пятно. Чтобы увидеть две различные
точки, их угловое расстояние должно быть таким, чтобы
два главных максимума освещенности не
перекрывались. Минимальный сдвиг, при котором получается
такая картина, будет тогда, когда первый минимум одной
системы колец падает на середину главного максимума
другой. Этот случай изображен на рис. 45.3. По оси
ординат отложена освещенность. Пеэтому соотношение
(45.5) определяет минимальное угловое расстояние, при
котором две точки можно видеть раздельно. Таким
образом, разрешающая способность телескопа тем выше,
чем больше диаметр его объектива. Большой диаметр
объектива позволяет также собрать возможно большее
количество света, доходящего до нас от предмета.
Однако наличие объектива большого диаметра еще
не означает, что мы увидим эти, точки. Мы добьемся
этого, если фокусное расстояние объектива и окуляра
452

подобрано так, чтобы согласно формуле (45.4)
увеличить угол а до значения а', соответствующего
разрешающей способности глаза илц*другого регистрирующего
устройства. Дальнейшее увеличение может сделать
изображение очень большим,^ однако число различных
точек на единице поверхности от этого не станет больше.
Самый крупный в мире телескоп обсерватории
Академии наук СССР имеет диаметр объектива iD=6 м.
Подставляя в формулу (45.5) значение длины эолны
видимого света А,=6500А, найДем его разрешающую силу:
Нетрудно рассчитать, что этот телескоп позволяет
различить на Луне две точки, наименьшее расстояние
между которыми составляет «50,7 м (расстояние до Луны
г=384 400км).
Задача 45.2. Две тонкие собирающие линзы с общей
главной оптической осью имеют фокусное расстояние
F\=8 см и ^2=4 см и расположены на расстоянии
а=18 см. Предмет расположен на расстоянии d=l2 см
от первой линзы. Определить положение изображения и
линейное увеличение системы.
Рис. 45.4
Решение. Изображение, образованное первой линзой,
промежуточное и служит предметом (действительным
или мнимым, если оказывается перед или за второй
линзой) для второй линзы. Применяя формулу собирающей
линзы
453

получим:
f 5E=_f!Ei£JL_ 94 ru
Это изображение располагалось бы на расстоянии
d2=/i—а=6 см от второй линзы, справа от нее.
Следовательно, на вторую линзу падает сходящийся»пучок
лучей, и поэтому предмет АоВо (рис. 45.4) для этой
линзы является мнимым. По формуле линзы
найдем расстояние f2 от второй линзы до изображения:
f _ **?* _2 4 см.
Увеличение
На рис. 45.4 показан ход лучей-/, и 2 через'систему
из двух линз. Ход луча / через линзу Л2 построен с
помощью побочной оптической оси O2F'2. Прямая F2F'2
лежит в фокальной плоскости линзы Л2.
Задача 45.3. Собирающая линза Л\ с фокусным
расстоянием F\=Q0 см находится на расстоянии а=50 см
от рассеивающей линзы Л2 с фокусным расстоянием
fl2=36 см, а предмет находится на расстоянии di=28cM
от собирающей линзы. Определить положение
изображения и увеличение системы.
Решение. Используя формулу собирающей линзы
находим, что расстояние до изображения
больше расстояния между линзами и расположено на
расстоянии d2—f\—a=20 см за линзой Л2, т. е.
промежуточное изображение является мнимым предметом для
второй линзы. Применяя формулу рассеивающей линзы
454

имеем
Увеличение
—fl /s_45
На рис. 45.5 показан ход лучей 1 и 2 через систему
линз Л\ и Л2. Ход луча / после линзы Л2 построен с
помощью побочной оптической оси O2F'2. Прямая F2F'2
лежи1!* в фокальной плоскости линзы «Яг.
Рис. 46.5
> Задача 45.4. Лупа дает увеличение в два раза,
Вплотнуючк ней приложили собирающую линзу с
оптической силой Di==20 дп. Какое увеличение будет давать
такая составная лупа?
Решение. Согласно приведенной в параграфе
формуле увеличение лупы
где фокусное расстояние Лупы Fo
Тогда из услория задачи
о t . 0,25
выражено в метрах.
455

находим
Fo = 0,25 м.
После того как приложили дополнительную линзу,
оптическая сила системы стала равной
фокусное расстояние
Подставляя это значение в формулу (45.2), получим
увеличение составной лупы
^=1 + 0,25.24 = 7.
Задача 45.5. При фиксированном удалении объектива
от пленки фотоаппарат дает резкие снимки^ предметов,
находящихся на расстоянии ^=1,3 м. С какого
наименьшего расстояния можно будет получать резкие
снимки, если на объектив насадить собирающую линзу
с оптической силой D=2 дп?
Решение. Пусть фокусное расстояние объектива
равно F\y а расстояние до изображения, которое по условию
задачи не меняется, равно f. Тогда
• -L+J L (1)
d^ f —Fr \ Ki)
После того кай на объектив надели насадочную
линзу, фокусное расстояние уменьшилось и стало равным F2:
Теперь объектив дает резкие снимки предметов,
находящихся на растоянии. d^ определяемом формулой
линзы:
Этих уравнений достаточно для определения d2. Из
(1) и (3) находим
—,=—,—7;+-^. (4)
Используя (2), получим

Задача 4S.6. Параллельный пучок падает на
собирающую линзу > после нее на вогнутое зеркало с фокусным
расстоянием F\=18 см. Расстояние между линзой и
зеркалом а=32 см. Каше фокусное расстояние F2 долж*
но быть у линзы, чтобы свет, отразившись от зеркала,
собрался в точке, удаленной от зеркала на /=6 см?
Решение. Из построения (рис. 45.6) следует, что от-
Рис. 46:6
раженные от зеркала лучи пересекутся между полюсом
зеркала и фокусом в том случае, когда' на зеркало от
линзы падает сходящиеся пучок лучей. Продолжения
этих лучей пересекаются за зеркалом в уочке F2,
которая является фокусом линзы. Следовательно, точку F2
можно рассматривать как мнимый источник,
находящийся на расстоянии F2—а за зеркалом. По формуле
вогнутого зеркала (43.1)
1
Ft
f Fs-a
находим:
Задача 45.7. На оптической оси собирающей линзы
с фокусным расстоянием /7=12 см помещен точечной
источник света S на расстоянии di=36 см от линзы.
За линзой на расстоянии а=27 см расположено плоское
зеркало. Определить положение изображения S' источ-v
ника после прохождения света через линзу, отражения
от зеркала и вторичного прохождения через линзу.
^ " 457

Решение. После прохо&Деййй ^ерез лййзу
изображение источника Si находится на расстоянии
=^=18 см
от линзы, т. е. между линзой и зеркалом на расстоянии
а—fi=9 см от зеркала. После отражения лучей от
зеркала получается новое вспомогательное изображение
источника 5г, расположенное на расстоянии d,2=a+
+ а—fi=36 см от линзы (рис. 45.7). Это изображение
Кис. 45.7
является действительным источником для линзы, так
как от него идет расходящийся пучок лучей. Из
формулы линзы найдем расстояние /г от изображения Sr до
линзы:
f — Fd*
'8~ d2 — F —
см.
Пример 45.8. Вогнутая сторона плоско-вогнутой
тонкой линзы с коэффициентом преломления я=1,5 и
радиусом кривизны (/?=?30 см посеребрена. Найти фокусное
расстояние F этой системы. • -
1-й способ. Фокусное расстояние выпуклого зеркала,
покрытого стеклом, не равно половине радиуса
кривизны, так как луч, отраженный от посеребренной
поверхности, изменяет направление при переходе из стекла
в воздух. Расстояние OF от полюса 0 (рис. 45.8) до
точки пересечения продолжения этого луча с главной
458

оптической осью равно величине фокусного расстояния.
Определим OF. Из AONF и AONFq яаходим /учиты-
вая, что OF0 = -~-
Закон преломления связывает углы ai и схг
соотношением
sina2 —nsiriar (2)
Поскольку мы рассматриваем только параксиальные
пучки, то углы ai и а& должны быть настолько малыми,
Рис. 46.8
что синусы и тангенсы этих углов можно заменить
самими углами (выраженными в радианах). В этом случае
вместо (1) и (2) получим уравнения
из которых находим OF^=g^". бледовательно, F = — -gS"
459

2-й способ. Найдем сначала положение первого
изображения в линзе, не обращая внимания на то, что
поверхность посеребрена. Применяя (44.1), получим:
где F\ — фокусное расстояние линзы. F\ можно найти
из (44.2), полагая один из радиусов кривизны равным
бесконечности, а другой — R:
Первое изображение находится слева от линзы.
Затем рассмотрим это изображение как действительный
предмет для зеркала. Используя (43.1), получим
п— 1 , 1 J_ F 2_ f__5±J
R "*" f2~F0-f •"" R* j2~ R *
Изображение находится справа и может быть
рассмотрено как действительный предмет для линзы. Применяя
(44.1), найдем
л+1 i 1 1 f _p R
3-й способ — самый простой. Полученный выше
результат можно представить в виде
J 2, J 2(п—1) 2 2^ ,оч
F ~ F^ Fo— R " R — R' W
Это соотношение — следствие того, что оптическая сила
сложной системы равна сумме оптических сил
отдельных ее элементов. При этом поскольку черей линзу свет
проходит дважды4 (к зеркалу и ^от зеркала), то надо
складывать оптические силы зеркала и двух линз.
Подставляя числовые значения, находим F=—10 см.
Задача 45.9. На расстояние d= 1 мот линзы с
оптической силой D=5 дп поставлен предмет. Между линзой и
изображением помещают перпендикулярно главной
оптической оси плоскопараллельную пластинку толщиной
а=18 см с коэффициентом преломления я=1,5. Где
возникнет новое изображение предмета?
Решение. Вначале изображение А'В' находилось на
расстоянии (рис. 45.9)
460

После того как поставили пластинку, все лучи,
падающие на нее, смещаются в направлении,
перпендикулярном пластинке. Покажем, нто когда на пластинку
падает параксиальный пучок (именно в этом
приближении справедлива формула линзы), смещение всех лучей
Рис. 45.9
одинаково и не зависит от угла падения. ,В этом случае
они формируют новое,изображение А\В\ иа расстоянии
(2)
Определим, например, смещение луча 1, падающего
на пластинку под малым углом i © точке С. Поскольку
ZNKP^^i, то из APNK находим:
Величина PN определяется из АСМР и ACMN (СМ=а)
PJV = atgi — algr^a{i — r). (4)
Угол преломления г связан с углом падения заколом
преломления:
sin i = n sin г или i ^nr. * (5)
Из ^уравнений (3)—(5) находим, что смещение луча
pis # (я~~- *) - //?\
\ • п
не зависит от угла падения и Таким образом, новое
изображение возникает на расстоянии
L
d
Dd~\
=31 см.
461

Задача 45.10 На оправе собирающей линзы
находится точечный источник света 5. Каким образом надо
расположить плоское зеркало, чтобы лучи света*
отразившись от него и пройдя через линзу, вышли из нее
параллельным пучком в направлении, указанном стрелкой
(рис. 45.10,а).
Решение. Проведем главную оптическую ось и
фокальную плоскость. Затем проведем побочную оптиче-
f
•а
Рис. 45.10
екую ось, параллельную стрелке. Она .пересечет
фокальную плоскость в точке S\ Earn расположить зеркало
перпендикулярно прямой SS' на расстоянии SO=-5" SS',
то точка S' будет мнимым изображением источника S
в зеркале и одновременно действительным источником
для линзы. Поскольку она лежит в фокальной ллоско-
сти, то из линзы выходит пучок параллельных лучей
(рис. 45.10,6).
Рекоменду-ем* решить задачи № 907, 909,
913, 917, 919, 923, 925, 928, 933, 936, 939 из задачника
[1] и № 563, 568, 570 из задачника [2].
* § 46. Понятие о фотонах. Фотоэффект
Волновая теория правильно объясняет явлеьйш
интерференции и дифракции и успешно применяется для
расчетов современных приемных и передающих
устройств. Однаксг волновая теория и механика Ньютона
оказались йе в Состоянии объяснить строение атома, фо-
тФЗффект и другие явления, последовательное и
непротиворечивое истолкование которых стало возможным
только на основе квантовой теории,
462

Первый шаг к построению квантовой теории сделал
М. Планк (1900 г.). Для объяснения законов излучения
он предположил, что излучение и поглощение световой
энергии .молекулами и атомами происходят не
Непрерывно, а отдельными порциями — квантами энергии hv.
Здесь v — частота света, h — постоянная Планка,
равная 6,62-Ю-27 эрг-с, или 6,62-Ю-34 дж-с. В 1905 г.
А. Эйнштейн, не ограничиваясь гипотезой квантовых
свойств процессов излучения и поглощения, предложил
считать что такие свойства присущи свету вообще.
Эйнштейн предположил, что почти монохроматическое
излучение частоты v, распространяющееся в некотором
направлении, состоит из «частиц» — квантов
электромагнитного поля. Эти частицы называют фотонами. Фотон
обладает энергией hv, импульсом — *и движется со
с
скоростью света. Фотоны могут поглощаться или
излучаться атомами только поодиночке. Фотон нельзя
расщепить на две части так, чтобы сумма их энергий была
равна Av, но частота каждого из них оставалась бы
равной V.
Соответствие между квантовым и классическим
(волновым) представлениями состоит в следующем: большое
число фотонов воспринимается нами как световая волна.
При этом освещенность лропорциональна числу фотонов,
падающих в то или иное место пространства в единицу
времени (см. задачу 46.1).
Имеется целыйг ряд явлений, которые, невозможно
истолковать в рамках волновой теории, но которые
становятся понятными с точки зрения гипотезы квантов.
К числу таких явлений относится фотоэффект.
Наблюдения А. Г. Столетова (1880—1890) и
последующие эксперименты позволили установить
следующие закономерности. При освещении металлов светом
последние заряжаются положительно. Это означает,
что металл отдает отрицательный электрический заряд,
т. е. происходит испускание электронов как с
поверхности, так и из объема металла. Это явление называется
внешним фотоэффектом. Скорость иссекаемых
электронов не зависит от интенсивности падающего света. С
ростом освещенности увеличивается до некоторого значения
число испущенных электронов. Фотоэффект- возникает
при освещении 'металла светом, частота которого больше
463

некоторой вполне определенной для каждого металла
частоты vo- Значение этой частоты называют порогом,
или красной границей, фотоэффекта, С ростом
частоты света возрастает энергия испущенных
электронов.
Согласно классическим представлениям увеличение
освещенности должно увеличить силу воздействия на
электроны металла. Вследствие этого кинетическая
энергия испускаемых электронов должна возрасти.
Увеличение частоты при постоянной освещенности должно
привести к уменьшению энергии электронов, так как
электрон благодаря наличию массы слабее реагирует на
более быстропеременное электромагнитное поле. Таким
образом, эти выводы противоречат опытным данным,
В 1905 г. А. Эйнштейн дал правильное объяснение
фотоэлектрического эффекта на основе квантовой теории
света.
Внутри металла электроны могут двигаться почти
свободно, но их выходу наружу в вакуум препятствует
потенциальный барьер. Теория фотоэффекта
основывается на предположении, что электроны металла
поглощают фотоны, увеличив'ая свою энергию*
Исходя из этих представлений весь процесс
внешнего фотоэффекта можно разделить на три этапа:
поглощение фотона электроном, перемещение электрона к
поверхности металла, преодоление потенциального
барьера при выходе в вакуум. Согласно закону сохранения
энергии энергия фотона Av расходуется на работу А для
отрыва .электрона с поверхности металла и на
сообщение ему кинетической энергии
^. (46,1)
Работа выхода А обычно не превышает нескольких
электрон-вольт: для меди она составляет 4,3 эв, для
платины — 6,3 эв.
Приведенная выше элементарная квантовая теория*
легко объясняет основные закономерности фотоэффекта,
Например, более интенсивная волна несет большее
число квантов, и соответственно этому увеличивается число
элементарных актов, приводящих к выбиванию
электронов из металла — фототок растет. Из формулы (46Л)
следует линейная зависимость кинетической энергии
электронов от частоты света. Красная граница фотоэф-
464

фекта, т. е. наименьшая частота v0, При которой еще
может наблюдаться фотоэффект, определяется условием
hA
Фотоэффект и другие явления позволяют убедиться,
что электромагнитное излучение представляет
совокупность фотонЬв.-Однако, обладая перечисленными выше
свойствами частицы, фотон не ведет себя подобно бил-
лиардному шарику. Корпускулярные свойства
излучения сохраняются для всех частот, однако они
обнаруживаются тем более явно, чем меньше длина волны.
В тех опытах, где мы измеряем освещенность,
создаваемую большим числом фотонов, проявляются волновые
свойства излучения.
Итак, .эксперименты указывают, что свет в бдних
процессах ведет себя как волна, а в других — как
обычная частица. В истории учения о природе света эти две
точки зрения всегда выступали как диаметрально
противоположные. Более того, в 1924 г. французский ученыйг
де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой каждой
.частице присущи волновые свойства. Эта гипотеза
в 1928 г. была подтверждена опытами, в крторых,
пропуская пучок электронов через металлическую фольгу;
удалось получить интерференционную картину
распределения плотности электронов. Дифракционные явления —
признак волнового поведения электронов. Движущийся
электрон, импульс которого р, ведет себя подобно волне.
Связь между длиной волны и импульсом Я=—
справедлива для любых частиц^ Тем самым опыт показывает, что
электрон не есть частица в классическом смысле этого
слова. Согласно классическому описанию электроны,
имеющие одинаковые начальные положение и скорость,
должны были бы попасть в одну и ту же точку.
Возникновение дифракционной картины позволяет сделать
вывод, что поведение электронов не может быть описано
механикой Ньютона. Теряет смысл также понятие
траектории. В настоящее время корпускулярные и волновые
свойства фотонов, электронов, протонов, атомов и т. д.
подтверждены многочисленными экспериментами. Тем
самым согласно современной теории корпускулярные и
волновые свойства частиц следует рассматривать не как
взаимоисключающие, а как взаимодополняющие друг
друга.
30—125 465

Этот ёыйод кажется йарадоксальным и
удивительным. Причина этого в том, что мы безуспешно пытаемся
использовать привычные нам понятия и законы
классической физики. Однако анализ экспериментальных
фактов вынуждает признать ограниченность старых понятий
как не соответствующих реальности.* По этому поводу
А. Эйнштейн заметил: «Наука вынуждает нас создавать
новые теории. Их задача — разрушить стену
противоречий, которые часто преграждают дорогу научному
прогрессу. Все существенные идеи в. науке родились в
драматическом конфликте между реальностью и нашими
попытками ее понять».
Для описания поведения микрочастиц в двадцатые
годы' нашего столетия была разработана квантовая
механика. Только после ее создания стало возможным
правильное объяснение объективных закономерностей
природы, проявляющихся в различных явлениях и
экспериментах по изучению свойств ядер, атомов, молекул и т. д.
Квантовая теория является основой для применения
явлений микромира в технике. Построение квантовой
механики привело к отказу от привычных понятий
классической физики и использованию нового математического
аппарата. Разумеется, новая теория не отменяет законов
классической физики, а включает их как предельный
случай, указывая пределы применимости классических
понятий (траектория, координата и т. д.). Впервые это
заметил немецкий , физик JB. Гейзенб'ерг в 1927 г.; он
сформулировал принцип неопределенности,
ограничивающий возможность классического описания поведения
микрочастиц. Например, нельзя утверждать^ что частица
занимает определенное положение и обладает
определенным импульсом. Согласно Гейзейбергу, в любом
эксперименте
LxLp^h, (46.2)
где Ах и Ар — неопределенности в определении
координаты и импульса. Следовательно, в отличие от
классического описания нельзя точно одновременно измерить
положение и импульс частицы.
Важным является то, что невозможность
одновременного точного определения координаты и импульса не
связано с несовершенством процесса измерения, а явля*
ется особенностью поведения микрочастиц. Однако если
неопределенности
466

Ax <^at Ар<^ p9
где а — размеры области, в которой движется частица,
р — ей импульс, то частицу можно считать классической.
В этом случае для описания движения частицы можно
применять классическую механику. *
Задача 46.1. Параллельный пучок луч^й с дли-ной
волны А,=5000 А падает нормально на поверхность,
создавая освещенность £=1,37-103 вт/м2.
Определить: 1) число фотонов в 1 см3 пучка; 2)
число фотонов, падающих на 1 см2 в одну секунду.
Решение. Число фотонов \N0 в единице объема (т. е.
концентрация фотонов) может быть найдено как
частное от деления энергии фотонов в единице объема w
^объемной плотности энергии пучка) на энергию
одного фотона:
0 Av he w
Их решения задачи 39.1 следует, что t»= —. Подстав-
с
ляя это значение w в (1), находим
Рассмотрим вторую часть задачи. Число фотскнов,
падающих в единицу времени на единицу поверхности,
равно энергии пучка, падающей в единицу времени на
единицу поверхности (т. е. освещенности), деленной на
энергию юдного фотона:
Учитывая, что 1 вт=107 эрг/с, получим
■ у-,1-2;£*У-'-м-10»»»/^-«:
Задача 46.2. К. п. д. 100-ваттной электролампы в
видимой области равен 1%. Оценить число фотонов,
излучаемых за 1 с.
Решение. Для оценки будем считать, что излучается
о
свет с длиной волны А,=5-103 А. Тогда число фотонов,
излучаемых в секунду, равно
t)P_t)PX 0,0Ы00.5.10-7 _Qg 1Оифот.
Av — he ~ 6,62- 10-а*-3»Ю-8 ' W С #
30*. . • 467

Задача 46.3. Найти энергию фотона в излучении:
а) радиоволн с длиной волны А,=30 м (v=10 мщ), б)
инфракрасных лучей X=10~2 см, ©) видимого света Х=
=5- Ш3 А, г) рентгеновских лучей А,=0,1 А. Результат
выразить в электрон-вольтах.
Решение. Энергия протона s=hv. Поскольку частота
связана с длиной волны соотношением v= -у-э
•=х-
Учитывая, что 1 Дж=6,25-1018 эв, А=4,08-Ю-15 эв-с,
найдем в случае: а) е=4-10-8 эв, б) е=1,2*10~2 эв, в) е==
=2 эв, г) 120 кэв.
Задача 46.4. Определить работу выхода электронов
из оксидноцезиевого слоя, если красная граница такого
слоя лежит в инфракрасной области около Яо=11 100 А.
Решение. Согласно определению красной границы
фотоэффекта работа выхода
Задача 46.5. Красная граница фотоэффекта для цезия
Яо=653О А. Определить скорость фотоэледтронов при
облучении цезия фиолетовыми лучами с длиной волны
Я=4000А.
Решение. Скорость электронов найдем из уравнений
Эйнштейна для фотоэффекта
4fl (1)
Зная красную границу фотоэффекта Ло, нетрудно найти
работу выхода
Л=Н = -г. - (2)
Заменив в (1) величину Л, из формулы (2) найдем
скорость электрона
v—
[
Подставляя числовые * значения массы электрона т=
=9,8-10~28 г, скорости света с=3* 1010 см/с и постоянной
Планка, получим величину и=6,6-107 см/с.
468

§ 47. Строение атома. Излучение и поглощение света.
Лазеры. Металлы и изоляторы
1. Строение атома. Современная количественная
теория строения атома ведёт начало от экспериментов Ре-
зерфорда (1911 г.) по рассеянию а-частиц,
падающих на тонкие листочки различных металлов. Эти
частицы представляют собой положительно заряженные ядра
гелия Не4, испускаемые радиоактивными элементами
с энергией пйрядка нескольких Мэв. а-частица состоит
из двух протонов и двух нейтронов. "Ее масса равна
2(1836+1838,5) масс электрона. По этой причине а-ча-
стицы не отклоняются сколько-нибудь заметным
образом при столкновении с электронами атома, и,
следовательно, результат рассеяния существенно зависит от
размеров области, в пределах которой распределен^по-
ложительный заряд атома. Если частицы рассеиваются
на золотой фольге толщиной d~10;"7 м, то согласно
формуле (1) задачи 20,1 на толщине фольги
укладывается
атомов золота. (Плотность золота р=2- 104кг/м3,
атомный вес Л=197.) Опыты показали, что в основном
частицы рассеивались под малыми углами (<10°) к
направлению движения, но некоторые а-частицы —
примерно одна на 2Q000, — как заметил сотрудник Резер-
форда Марсден, отклонялись на углы, большие 90°. Это
позволило Резерфорду нрийти к выводу, что где-то
внутри атома находится массивный положительно
заряженный центр — ядро атома и те а-частицы, которые
проходят на весьма малом расстоянии от него, сильно с ним
взаимодействуют.
Радиус ядра можно оценить из закона сохранения
полной энергии, записанного для случая лобового
столкновения/ Потенциальная энергия взаимодействия
а-частицы, заряд которой равен 2е (e=4,8-il(H0 ед. СГСЭ),
и ядра заряда Ze равна (см. § 28)
Wu=2Ze*/r.
До столкновения а-частица находится на очень
большом расстоянии от ядра, и поэтому потенциальная
энергия в этом положении равна нулю. Кинетическая энер-
469

гйя а-частицы, излучаемой радиоактивным источником,
известна и равна W& При движении а-частицы к ядру
потенциальная энергия возрастает, а кинетическая
уменьшается. В тот момент, когда а-частица находится
на наименьшем расстоянии -R от центра ядра, ее кинети-
ческая энергия равна нулю, а потенциальная равна
Приравнивая полные энергии в двух положениях,
найдем значение
Таким образом, а-частица с данной энергией WK не
может приблизиться к ядру на расстояние меньше R.
Предполагая, что а-частица имеет энергию WK=5 Мэв
(именно таков порядок величины энергии «-частиц от
радиоактивных источников, которые использовал Резерфорд)
-и рассеивается на золотой фольге (Z=79), получим R=
=4,5- 1(Н2 см. Отсюда следует, что.размеры ядра свинца
не превышают 5-10~12 см. Измерения размеров ядер
различными методами дают величину, лежащую в пределах
(1,2-4,3). Ю-1* см.
Открытие Чэдвиком (1932 г.) нейтрона позволило
Д. Д. Иваненко (1932 г.) предложить модель атома,'
в которой ядро считается составленным из п нейтронов
и р протонов. Число, определяющее заряд (атомный
номер), Z=p, а массовое число (т. е. атомный вес) ядра
А=р+п. В ядре протоны и нейтроны притягиваются
йдерными силами, которые действуют лишь на очень
малых расстояниях порядка 1,5-10""18 см. В целом атом
нейтрален, так.как вокруг ядра движутся р электронов,
которые заполняют область ~10~8 см.
Теорией, объясняющей основные свойства
молекулярных, атомных и ядерных явлений, является
квантовая механика. Построение квантовой механики
потребовало существенного изменения основных физических
законов, основанных на классических представлениях
(механике Ньютона и волновой теории). Стало ясно, что
законы классической физики являются приближенными,
применимыми при определенных ограничениях. Таким
образом, квантовая теория, включая классическую как
частный случай, выражает более общие законы природы:
Согласно классической теории ускоренно
движущиеся заряды излучают электромагнитные волны. Напри-
470 "

Мер, эЛектрон, вращающийся в атоме, должен нейрерый-
но излучать, а стало быть, его энергия должна
постепенно убывать. Вследствие этого он будет двигаться не по
круговой орбите, а по спирали и в конце концов.упадет
на ядро. Однако из опыта следует, что атом
представляет собой устойчивое образование.
Постулаты Н. Бора (1913 г.), сформулированные
задолго до создания квантовой теории (следствием
которой они являются), объяснили устойчивость
атома*наличием основного энергетического состояния. Согласно
"Б," !
Ч : г-
А.
>
Рис. 47.1
Рис. 47.2
современным представлениям, атом может находиться,
как говорят, в стационЪр.ном состоянии. Каждому
такому состоянию соответствует некоторый вид
движения частиц (из котррых состоит атом), не
сопровождающийся излучением электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атом, имеет определенное
значение полной энергии. Полная энергия электронов,
связанных с ядром атома, может принимать лишь
дискретные значения. Энергии различных, состояний можно
изобразить графически, как показано на рис. 47.1.
Горизонтальные линии указывают энергии различных
состояний и потому называются уровнями энергии.
Взаимное расположение уровней энергии различно для
атомов различных элементов. Очень важно отметить, что
атом не имеет состояний с энергией, меньшей некоторого
значения Ео. Стационарное состояние с энергией Ео
называется основным, а остальные —г возбужденными.
В- возбужденных состояниях атом живет недолго.
Обычно он излучает квант света (в среднем за время ~10-*с),
471

-йе{)е)содит в более низкое энергетическое состояние й
в конце концов, излучив один или несколько квантов,
Оказывается в основном состоянии. Из сказанного
следует, что основное состояние является наиболее
устойчивым, так как обладает наименьшим значением полной
энергии.
2. Излучение и поглощение света. Рассмотренные
переходы с более высоких энергетических уровней на
более низкие называются -самопроизвольными или
спонтанными, поскольку они возникают без каких-либо
внешних воздействий; Механизмом спонтанного
излучения объясняют спектры испускания. Квант света,
излученный атомом, уносит с собой энергию, равную той
энергии, которую теряет атом. Если до излучения
электрон имел энергию Еп, а после излучения энергию Ет,
то энергия фотона должна быть равна Еп—Ет. Фотоны,
образующие свет определенной чаето!ы, тождественны,
и каждый фотон обладает энергией hv. В нашем примере
частота излучения определяется из закона сохранения
энергии
^пт=Еп-Ет.] (47.1)
Каким образом могут появляться атомы,
находящиеся в возбужденных состояниях? Одна из причин —
неупругие столкновения атомов. При неупругом
столкновении атом может перейди из основного состояния в
возбужденное. При этом энергия атома увеличивается за
счет кинетической энергии сталкивающихся Частиц. На
практике этот эффект можно получить, нагреванием-газа
атомов, бомбардировкой атомов электродами или
другими частицами, пропусканием тока через газы и т. д.
Другой тип возбуждения связан со способностью
электромагнитного поля передавать свою энергию атомам,
молекулам или ионам и таким образом вынуждать их
перейти на более высокий уровень энергии. Так, когда
на атом падает излучение от внешних источников с
частотой, совпадающей с одной из возможных частот vnm>
которые определяются формулой (47.1), то атом
переходит из состояния с энергией Ет в состояние с большей
энергией Еп. Увеличение энергии атома происходит за
счет энергии поглощенного кванта. Энергия
электромагнитного поля при этом уменьшается. Рассмотренный
механизм вынужденного поглощения делает теперь
понятным возникновение спектров поглощения.
472

Под действием внешнего электромагнитного поля
может происходить также переход из возбужденного
состояния в более низкое. При этом происходит излучение.
Такое излучение называется выну.жденным, или
и нду ци рованным.
Индуцированное излучение обладает важным
свойством: излученная волна полностью тождественна внешней
волне, вызвавшей ее излучение,'—совпадают частоты,
фазы, направления распространения и ^векторов (но не
величин) напряженностей электрического и магнитного
полей. Это означает, что излученная и внешняя волны
являются когерентными. Складываясь, они составляют
одну волну, амплитуда которой возрастает
пропорционально числу актов индуцированного излучения. Таким
образом, в результате индуцированного излучения
энергия электромагнитного поля возрастает. Этот процесс
является физической основой нового направления
квантовой механики — квантовой радиофизики. В 1954 г.
советские физики Н. Г. Басов и А. М. Прохоров и
американский физик Ч. Таунс предложили использовать
индуцированное излучение квантовых систем для генерации
и усиления электромагнитных волн. В 1954 г. был создан
мазер — прибор, работающий в диапазоне
ультракоротких волн. В конце 1960 и в начале 1961 г. появились
квантовые генераторы света — лазеры.
3. Лазеры. Основным элементом широкоизвестных
рубиновых лазеров является цилиндрический стержень
кристалла рубина длиной З-г-20 см и диаметром 0,5-4-
2 см. Торцы стержня представляют плоские поверхности,
расположенные перпендикулярно оси стержня и
покрытые тонкой пленкой серебра, которая используется в
качестве зеркала.' Одно из зеркал делают частично
прозрачным для вывода излучения. Выясним, какие условия
необходимы для генерации света?
На рис. 47.2 показано расположение тех уровней
энергии кристалла рубина, которые используются для
получения красного луча на волне Я=6943 А.
В состоянии теплового равновесия атомы стремятся
занять состояние с ^наименьшей энергией. Вследствие
этого число атомов N\9 имеющих значение энергии £ь
больше числа атомов А/г, имеющих энергию Е2. Поток
света частоты V21, проходя через рубин, вызывал бы
переводы из состояния 1 в состояние 2 (с поглощением света)
. 473

и переходы из состояния 2 в / (с индуцированным
испусканием). Следовательно, изменение светового потока
Дф—N2—N\. Поскольку разность N2—М\—величина
отрицательная, наша система будет поглощать свет.
Для того чтобы система работала как генератор,
необходимо выполнение условия N2>Nh Для его
реализации используют внешний источник света частотой V31
(генератор^накачки). Под действием накачки атомы
переходят с уровня Е\ на уровень Е3 и с уровня' Е3 на Е{.
При этом число атомов кз в- состоянии с энергией Е$
становится больше N\. Уровни энергии подбирают таким
образом, что за время /^10~7 с вследствие не сопровожу
дающихся излучением потерь энергии атомы переходят
на уровень Е% время жизни которого-составляет
несколько тысячных долей секунды. Поэтому за промежуток
времени <М0-3 с описанный механизм приведет к
накоплению возбужденных атомов в состоянии Е2. В результате
такого накопления N2 может стать значительно больще
#ь Теперь достаточно появиться одному кванту
частотой V21, движущемуся вдоль кристалла, чтобы возникло
индуцированное излучение. .
Излучённые кванты, отражаясь от зеркальных
стенок, многократно пролетают возле возбужденных
атомов, вызывая появление все новых и новых квантов.
Световой поток, лавинообразно нарастает и через
полупрозрачное "зеркало выходит наружу.
Важнейшая^ особенность лазерного излучения — мот
нохроматичность и направленность. Энергия излучения
рубинового лазера заключена в очень узком интервале
длин волн ^0,1 А в окрестности основной длины %=
=6943. А. Ширина спектра лампочки накаливания
составляет примерно 3000 А, т. е. в 30000 больше. Первые
рубиновые лазеры излучали ♦ импульс света с энергией
порядка одного джоуля за" время около 10~3 с.
В настоящее время лазеры с активной средой из
водорода, СО2 и других газов излучают за lO-9-*-!.©-11 с
мощность до Ю13 вт. -Энергия импульса достигает
ЮЗ-г-Ю4 дж. При фокусировке излучения оптической
системой достигается интенсивность порядка 1017 вт/см2,
а напряженность электрического поля волны в фокусе
£*—1010 в/см.
Сейчас лазеры позволяют усиливать свет от инфра-
474

красной до ультрафиолетовой областей спектра. Свет
можно^получить как импульсами, так и непрерывно.
Замечательное свойство излучения лазеров—кбгерентный
свет большой интенсивности — открывает широкие
возможности, для многочисленных применений лазеров.
4. Металлы и изоляторы. Твердые, жидкие и
газообразные вещества состоят из типичнб квантовых
объектов — атомов. Поэтому мы вправе ожидать, что при
изучении свойств различных веществ могут выявиться
явления, объяснение которых можно получить только в
рамках квантовой теории. Мы обсудим один аспект
квантовой теории кристаллов — установим причину, по которой
твердые, тела разделяются на металлы, диэлектрики и
полупроводники."
Все электроны в кристалле, в том. числе и
принадлежащие внутренним оболочкам атома, могут
перемещаться по всему кристаллу. Ответ «а вопрос, будет ли кри-
сталл^металлом или диэлектриком, дается при квантово-
механическом рассмотрении состояния . электронов
в поле кристаллической решетки.
В основе представлений о металлах и изоляторах
лежит понятие об энергетическом спектре
электронов этих тел. Оказывается,, что, так же как и
в случае атома, энергия электрона в решетке не может
принимать любые значения. Однако теперь возможные
значения энергии не резко разграничены, .как в атоме,
а образуют практически непрерывные интервалы
уровней энергии, разделенных интервалами запрещенных
значений энергии (рис* 47.3,а). Полосы разрешенных
значений энергии называют энергетическими зонами.
Характерной особенностью энергетического спектра
является то, что с увеличением энергии ширина
«разрешенных» полос увеличивается, а «запрещенных»
уменьшается. •
При температуре, равной абсолютному нулю",
наиболее устойчивым состоянием кристалла является
состояние с наименьшей энергией. Поэтому все электроны
стремятся занять состояния с возможно меньшими
значениями энергии. При этом должен выполняться закон,
установленный в 1925 г. немецким физиком В. Паули:
одним и тем же значением энергии могут обладать не
более двух электронов. Следовательно, электроны
заполняют все нижайшие энергетические уровни ^вплоть до
475

некоторого значения Ео. Для серебра, например, Е&=
=5 эв. Скорость электронов, соответствующая этой
энергии," равна 1,39-108 см/с. Тем самым при нулевой
температуре электроны обладают кинетической энергией
нетеплового происхождения. После размещения всех
электронов (в зависимости от характера их взаимодействия
с решеткой) могут появиться' как полностью (рис. 47.3,
П
Рис. 47.3
в, г) у так и частично (рис. 47.3,6) заполненные зоны.
В соответствии с этим кристалл будет обладать
свойствами диэлектрика или проводника.
В отсутствие внешних воздействий число электронов,
движущихся" в одном, направлении, оказывается точно
^равньш числу электронов, движущихся в
противоположном направлении — так равен нулю. Если .зона
заполнена полностью, то электрическое поле не изменит этого
положения. Действительно, при наложении внешнего
электрического поля электроны*не могут ускоряться, так
как это означало бы их переход на более высокие
энергетические уровни, в то время как зона полностью
заполнена и свободных уровней нет. В случае частично
заполненной зоны часть электронов под воздействием
электрического поля перейдет в свободные состояния, порождая
электрический ток. Поэтому кристаллы с
незаполненными зонами являются" хорошими проводниками
электричества. Естественно, что в проводимости могут
участвовать только те электроны, энергия которых близка
к энергии £0 (см. рис. 47.3,6). Для перевода «глубинных»
электронов на свободные уровни требуется
значительная энергия, так как ближайшие к ним энергетические
476

состояния заняты. Целиком заполненные зойы также
можно не рассматривать при исследовании явлений
проводимости. Поскольку в проводимости участвуют только
электроны частично заполненных зон, то такие зоны
называют зонамипроводимости.
Таким образом, энергетический спектр,
изображенный на рис. 47.3,в, г, характерен для изоляторов, а на
рис. 47.3,6 — для металлов.
Тепловое движение вносит существенные изменения
в .эту классификацию: благодаря тепловому движению
электроны могут перейти из заполненной зоны в
свободную зону. В этом,случае электроны обеих зон могут
участвовать в проводимости. Если ширина
энергетической щели велика по сравнению" с энергией теплового
движения, то вещество остается изолятором даже при
высоких температурах. Однако имеется целая группа
веществ, у которых уже при комнатной температуре
заметное число электронов перебрасывается из
заполненной зоны в свободную. Для этих веществ заполненная и
свободная зоны расположены сравнительно близко друг
к другу (см. рис4. 47.3,г). Такие вещества называют п п.-
лупроводниками.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
5.1. В момент
времени tz.
9.9. Ускорение равно
нулю. График зависимости
силы трения от угла а
изображен на рис. 1.
10.5. vt=v-%X
X (v0 cos a — v), 9i = 34,7
км/ч.
щ
кюд
*
90е
11.3. Центр тяжести находится на расстоянии
Pi а*ъ от середины стороны, плотность которойр2.
12.9. 0= У ~Y
n a
477

13.7. Тело подпрыгнет на высоту ^-R*
14.7, 0=J/ -QQ-Vnt где ип—вторая космическая скорость.
15.2. р=105 кГ/см2.
15.3. В левом конце горизонтальной трубки
давление ратм — pgh\ больше давления в правом конце,
равного ратм —р#Л2.
15.4. .На поверхности воды сила давления ^18Т, на
глубине — '-'Зб Т.
17.7. Т—УЩ.
18.3. Поверхность воды образует угол a = arctg —
с горизонтальным направлением.
18.4. В положении равновесия нить образует угод а
с вертикалью
g cos a
21.1. Давление больше в случае T>Tq9 так как
молекулы газа отскакивают от стенки с большим импульсом,
чем в случае Г<Г0.
21.2. Больше тепла требуется на. нагревание от 80
до 90°.
= 0,22/7.
22.11. A = -j-
25.3. Потому, что при конденсации пара выделяется
тепло.
28.5. а) £= 1*7 '» r^R» б) /7=^L,
в) £=0, 0<г<#г
28.7. IF ^L -
2 sin2 a ctg а — ctg p
478

30.2. т= ро (f^) =207 г, D — плотность меди.
30.12. n=V ■£-=
, 33.2. #, = 4,84 01*, #8=8,07 Ом.
33 4 ^i—£?-— 4
36.6. #=4 э.
35.7. Рамка расположится в вертикальной плоскости,
проходящей через провод.
ч 36.6. При сближении проводников направление
индуцированного во втором проводнике тока будет
противоположно току /. При удалении второго проводника
направление индуцированного тока будет совпадать с
направлением тока /.
. 36.7. Во вторичной обмотке индуцируется
постоянный ток.
43.7./? =^1^2=60 см.
44.3. d=: 7^=7,1 см.
НЕКОТОРЫЕ СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
масса электрона ' 9,1X10-28 г
масса протона v 1,67Х10 -2* г
масса Луны 7,35X102» г
масса Земли 6X1027 г
масса Солнца 2X1081 г
размер ядра ^10%-12 см
размер атома *\Л0-« см
радиус Земли 6,38X108 см - . -
радиус Луны 1,74X108 см
радиус Солнца 9,46ХЮ10 см
радиус орбиты Луны 3,84Х1.010 см
радиус орбиты Земли ЬбХЮ11 см
479

световой год 9,46ХЮ17 см
парсек 3,08X10" см
сутки 8,64X10* с.
1 год 3.16ХЮ7 с
возраст Земли * 4,5X109 лет
гравитационная постоянная 6,67><10-u н«м2-кг-*
число Авогадро 6,0225X10" моль"1
газовая постоянная 8,31ХЮ* дж-кмоль-'град-1
нормальное атмосферное дав- 101325 н-м*"8
ление
скорость света ЗХЮ8 м-с"1
скорость звука при нормальных 330 м-с*1
условиях
начальная скорость пули 700 м^с"1
скорость истребителя МИГ-21 ' 2200 км-ч5-1
заряд электрона 1.6ХШ"1* к
отношение заряда к массе элек- е
трона —=«1,76X10» к-кг-1
постоянная Планка - 6,63Х10 - •* дж • с == 4,1X
XW-16 эв-с
Интенсивность звука
громкая речь * Ю-5 вт-м-8
сирена Ю~2 вт-м"2
гром 1 вт*м~2
Освещенность
Земли Солнцем (в полдень) 108 лк
Земли Луной (в полнолуние) 0,24 лк
экран кинотеатра , 50-г-ЮО лк
Плот ность
медь 8,3X10* кг-м-*
бетон 2ХЮ« кг.м-«
стекло 2.5ХЮ8 кг-м-«
сухая земля . 1.6ХЮ1 кг-м-«
человеческое тело 1,01 к-гм"1
Р = 0,000291 рад
1* = 0^0174 рад
-J- = 0,5235 1/^ = 0,32 1/4«=0,08
~ = 0,7854 К5Г = 1,77 К^ = ЗЛЗ
-Y = 1,0472 l/W = 0,56 1/g = 0,102
Приставки для образования десятичных кратных и дробей:
пико 10"12 дека 10
нанр 10- • гекто 102
микро 10-в кило 103
милли 10"» мега 10е
сантг 10 ~2 гига 109
деии 10-х тера 1012
480