ББК 22.3
Ч 57
УДК 53(075)
ц 57 Методическое пособие по физике для поступающих в вузы / Под ред. Чеше-
ва Ю. В. — М.: Физматкнига, 2006. — 288 с. ISBN 5-89155-143-8
В методическое пособие включены задачи по физике, предлагавшиеся абитуриентам на
вступительных экзаменах в Московском физико-техническом институте с 1991 по 2004 год.
Для систематизации знаний и удобства задачи структурированы по тематическим разделам.
Для школьников старших классов и преподавателей, абитуриентов, а также студентов
технических вузов, техникумов, студентов младших курсов вузов и лиц, занимающихся
самообразованием.
Авторы задач: доценты Чешев Ю. В., Можаев В. В., Шеронов А. А., Чивилёв В. И.
ISBN 5-89155-143-8

1. МЕХАНИКА
1.1. Сани с седоком и собакой общей массой М съезжают с
постоянной скоростью v0 с горы (рис. 1.1), имеющей уклон a (cos а = 6/7).
Собака массой т спрыгивает с саней по ходу их движения и
приземляется, имея скорость v, направленную под углом р (cos р = 3/7) к
горизонту. Сани после этого продолжают двигаться по горе вниз. Найти
скорость саней с седоком после прыжка собаки. (Билет l, 199U
Рис. 1.1. Рис. 1.2.
1.2. Мальчик массой т съезжает на санках массой М с постоянной
скоростью vl (рис. 1.2) с горы, имеющей уклон a (cos а = 8/9). Другой
мальчик такой же массы т бежит за санками и запрыгивает в них,
имея в начале прыжка скорость, направленную под углом у
(cos у = 7/9) к горизонту. В результате этого санки с мальчиками
движутся по горе со скоростью v2. Найти скорость прыгнувшего мальчика
в начале прыжка. (Билет 2, 1991)
1.3. С горы с уклоном a (cos а = 5/6) съезжают с постоянной
скоростью сани с седоком общей массой М. Навстречу саням бежит и
запрыгивает в них собака массой т, имеющая при прыжке в момент
отрыва от поверхности горы скорость и, направленную под углом р
(cosp = 2/3) к горизонту (рис. 1.3). В результате этого сани
продолжают двигаться по горе вниз со скоростью и. Найти скорость саней
ДО прыжка собаки. (Билет 3, 1991)
Рис. 1.3. Рис. 1.4. .
1.4. Девочка со снежным комом в руках съезжает на санках с
постоянной скоростью и, с горы, имеющей уклон a (cos а = 7/8).
Снежный ком выбрасывается через голову в направлении, обратном
движению (рис. 1.4), и падает на склон горы, имея скорость и,
направленную под углом у (cos у = 3/4) к горизонту. В результате этого

4
МЕХАНИКА
санки с девочкой продолжают двигаться по горе со скоростью v2.
Найти массу снежного кома. Общая масса девочки, санок и кома
М. (Билет 4, 1991)
1.5. Тележка и ящик с равными массами удерживаются упором А
(рис. 1.5) на поверхности горки, наклоненной под углом a (tga = 0,4)
к горизонту. Упор убирают, ящик и тележка
приходят в движение. Во сколько раз при этом
уменьшается сила давления тележки на ящик?
Коэффициент трения скольжения между ящиком
Рис. 1.5. и поверхностью горки (д. = 0,2. Соприкасающиеся
поверхности стенок ящика и тележки считать гладкими и
расположенными перпендикулярно поверхности горки. (Билет 5, 1991)'
1.6. На наклонной плоскости (рис. 1.6) с углом наклона a = 60°
неподвижно удерживают доску. На верхней гладкой поверхности доски
лежит брусок, прикрепленный с помощью нити к гвоздю, вбитому в
доску. Нить параллельна наклонной плоскости. Если доску отпустить,
то она начинает скользить по наклонной плоскости, и сила натяжения
нити уменьшается в 10 раз. Найти значение коэффициента трения
скольжения между доской и наклонной плоскостью. (Билет 6, 1991)
Рис. 1.6. Рис. 1.7. Рис. 1.8.
1.7. Брусок и тележка с равными массами связаны легкой нитью
(рис. 1.7) и удерживаются неподвижно за брусок на наклонной
плоскости с углом наклона a (tga = 3/7). Брусок отпускают. Система
приходит в движение, и сила натяжения нити уменьшается в 3 раза.
Найти коэффициент трения скольжения бруска о наклонную
плоскость. Нить параллельна наклонной плоскости. (Билет 7, 1991)
1.8. Ящик прямоугольной формы с шаром удерживается на
наклонной плоскости с углом наклона a = 30° (рис. 1.8). Ящик
отпускают, и он начинает скользить. Во сколько раз уменьшится сила
давления шара на переднюю стенку ящика? Внутренние поверхности ящика
гладкие. Коэффициент трения скольжения ящика о наклонную
плоскость |Л = 0,25. (Билет 8, 1991)
1.9. Космический аппарат массы М = 40 кг движется по круговой
орбите радиуса R = 6800 км вокруг Марса. В аппарат попадает и
застревает в нем метеорит, летевший со скоростью V = 50 км/с
перпендикулярно направлению движения аппарата. При какой массе
метеорита отклонение в направлении движения аппарата не превы-

МЕХАНИКА
5
сит угол а = 10 4 рад? Масса Марса М0 = 6,4-1023 кг.
Гравитационная постоянная 7 = 6,67 Ю-11 м3/(кг-с2). (Билет 9, 1990
1.10. После разрыва неподвижного снаряда образовались четыре
осколка. Осколок массы mv = 4 кг полетел вертикально вниз со
скоростью г>, = 150 м/с, осколок массы т2 = 3 кг — горизонтально на юг
со скоростью г>2 = 100 м/с, осколок массы т3 = 1 кг — горизонтально
на восток. Осколок массы т4 = 3,5 кг — полетел со скоростью
v4 = 200 м/с. Найти скорость осколка с массой тг. (Билет 10, 1991)
1.11. Искусственный спутник Луны массой А/= 8 кг движется
иблизи ее поверхности по круговой орбите. Метеорит массой
/я = 0,1 г, летящий со скоростью v = 40 км/с, перпендикулярной
скорости спутника, попадает в спутник и застревает в нем. На какой
угол повернется из-за этого вектор скорости спутника? Радиус Луны
R = 1740 км. Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше,
чем на Земле. (Билет 11, 1991)
v, м/с
16
12
8
4
о
] 2 3
Рис. 1.9.
4 /, с
1.12. Неподвижный снаряд разорвался на четыре осколка.
Осколки массами тх = 3 кг, т2 = 2 кг, тг = 4 кг полетели соответственно
со скоростями D, =200 м/с вертикально вверх, v2 = 150 м/с
горизонтально на север и г>3 = 100 м/с горизонтально на восток. Под
каким углом к горизонту полетел четвертый осколок? (Билет 12, 1991)
1.13. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости вниз,
скользит по ней, ударяясь об упор, отскакивает от него и
возвращается к месту броска. График зависимости модуля скорости
шайбы от времени дан на рис. 1.9. Найти угол наклона плоскости к
горизонту. (Билет 1, 1992)
1.14. По плоскости с углом наклона к горизонту а
(sin а = 4/9) соскальзывает брусок. Коэффициент трения
скольжения (д. между бруском и плоскостью меняется вдоль плоскости.
График зависимости скорости бруска от времени представлен на
рис. 1.10. Найти минимальное значение \х. (Билет 2, 1992)
1.15. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по
ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска. График
зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рис. 1.11.
НаЙТИ уГОЛ Наклона ПЛОСКОСТИ К горизонту. (Билет 3, 1992)

МЕХАНИКА
1.16. Брусок соскальзывает с плоскости с углом наклона к
горизонту a (sin а = 1/7). Коэффициент трения скольжения (Л между бруском
и плоскостью меняется вдоль плоскости. График зависимости скорости
бруска от времени представлен на рис. 1.12. Найти максимальное
значение (X. (Билет 4, 1992)
и, м/с
6
4
2
О
\
V
Л"
\
I 2345678 Г, с
Рис. 1.11.
, м/с
5
4
3
2
1
О
1 2 3
Рис. 1.12.
4 г, с
1.17. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой
горизонтальной поверхности стола (рис. 1.13). Брусок в пять раз тяжелее
доски. Система совершает колебания с амплитудой А = 8 см и
периодом Т = 0,8 с по поверхности стола под действием пружины,
прикрепленной к бруску. Доска и брусок при колебаниях неподвижны
относительно друг друга. При каких значениях коэффициента трения между
доской и бруском такие колебания возможны? (Вилет 5, 1992)
1.18. Два груза общей массой m = 1 кг, соединенные упругой
пружиной жесткостью к = 100 Н/м, висят на нити (рис. 1.14). Найти все
возможные расстояния, на которые следует оттянуть вертикально
вниз и затем отпустить нижний груз, чтобы при последующих его
колебаниях верхний груз оставался неподвижным? (Билет 6, 1992)
к\\ч\\ч\\ч\чччч\\ч\ччччч\чч
Рис. 1.13.
1ШШ
Рис. 1.14.
Рис. 1.15.
Рис. 1.16.
1.19. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой
горизонтальной поверхности стола (рис. 1.15). Система совершает
колебания под действием упругой пружины вдоль прямой с периодом
Т=1 с и максимальным значением скорости v = 0,5 м/с. При этом
доска и брусок неподвижны друг относительно друга. При каких
значениях коэффициента трения скольжения между доской и бруском
такие колебания ВОЗМОЖНЫ? (Билет 7, 1992)

МЕХАНИКА
7
1.20. Два груза общей массой т = 1 кг, связанные нитью, висят на
упругой пружине жесткостью к = 100 Н/м (рис. 1.16). Найти все
возможные расстояния, на которые следует оттянуть вертикально вниз
грузы и затем отпустить их, чтобы при последующих колебаниях
трупов НИТЬ не провисала. (Билет 8,1992)
1.21. Между шариками массой т и М, связанными нитью,
«ставлена легкая пружина жесткостью к, сжатая на некоторую
величину. Система шариков движется со скоростью v0 вдоль
прямой, проходящей через центры шариков (рис. 1.17). Нить
пережигают, и один из шариков останавливается. Найти начальную
величину Сжатия пружИНЫ. (Билет 9, 1992)
1.22. Два груза массой т каждый связаны нитью. Между грузами
вставлена легкая упругая пружина, сжатая на величину х. Система
движется со скоростью v вдоль прямой, перпендикулярной ее оси
(рис. 1.18). Нить пережигают, и грузы разлетаются под углом 90°.
НаЙТИ коэффициент упругости пружИНЫ. (Билет 10, 1992)
м
о»
Зш
Рис. 1.17.
Рис. 1.18.
Рис. 1.19.
Рис. 1.20.
1.23. Шарики массами т и Ът связаны нитью; между ними
вставлена легкая пружина жесткостью к, сжатая на величину х0.
Система движется с некоторой скоростью вдоль прямой,
проходящей через центры, шариков (рис. 1.19). Нить пережигают, и
скорость шарика массой т увеличивается в 7 раз. Найти начальную
СКОрОСТЬ шарИКОВ. (Билет 11, 1992)
1.24. Грузы с одинаковыми массами связаны нитью. Между ними
вставлена легкая пружина жесткостью к, сжатая на величину х0.
Грузы движутся со скоростью v вдоль прямой, составляющей угол
а с осью системы (рис. 1.20). После пережигания нити один из грузов
полетел перпендикулярно первоначальному направлению движения.
Найти массу груза. (Билет 12, 1992) г
1.25. На горизонтальной гладкой по- _L=
верхности стола покоится доска массой М
(рис. 1.21). На доску со скоростью V
въезжает шайба массы т. Какой должна быть
длина доски, чтобы шайба не соскользнула с нее? Коэффициент
трения скольжения между шайбой и доской К, размер шайбы мал по
сравнению С ДЛИНОЙ ДОСКИ. (Билет 1, 1993)
м
Рис. 1.21.

8
МЕХАНИКА
1.26. Брусок, двигавшийся по горизонтальной поверхности стола
со скоростью г>0, сталкивается с неподвижным бруском вдвое большей
массы. На какое расстояние разъедутся бруски после столкновения?
Удар упругий центральный. Коэффициенты трения брусков о стол
Одинаковы И равны Ц. (Билет 2, 1993)
1.27. На длинную доску массой М, скользящую по гладкой гори-
» зонтальной поверхности стола со скоростью
v V, кладут с нулевой скоростью
относительно стола шайбу массы т (рис. 1.22). Какое
расстояние пройдет шайба по доске к
моменту, когда ее скорость относительно до-
М
Рис. 1.22.
ски станет равной нулю? Коэффициент трения между шайбой и доской
равен К. (Билет 3, 1993)
1.28. Брусок, двигавшийся по горизонтальной поверхности стола
со скоростью К0, сталкивается с неподвижным бруском, вчетверо
меньшей массы. На какое расстояние разъедутся бруски после
столкновения? Удар центральный, упругий. Коэффициенты трения
брусков О СТОЛ Одинаковы И равны Ц. (Билет 4, 1993)
1.29. Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх с
некоторой скоростью, упало на Землю через 3 с. Через какое время
упадет тело, брошенное вертикально вверх с той же скоростью на
Луне? Радиус Земли в 3,8 раза больше радиуса Луны, а масса Земли
в 81 раз больше массы Луны. (Билет 5, 1993)
1.30. Во сколько раз отличаются минимальные периоды обращения
спутников для Марса и Земли? Масса Марса составляет а = 0,11 массы
Земли, а радиус (3 = 0,53 радиуса Земли. (Билет 6, 1993)
1.31. Максимальная высота подъема тела, брошенного
вертикально вверх с некоторой скоростью на Земле, оказалось 10 м. Найти
максимальную высоту подъема тела, брошенного вертикально вверх
с той же скоростью на Луне. Радиус и масса Земли больше радиуса
и массы Луны в 3,8 раза и 81 раз соответственно. (Билет 7, 1993)
1.32. Во сколько раз отличаются максимальные скорости
движения спутников по круговым орбитам для Земли и Марса? Масса
Марса составляет а = 0,11 массы Земли, а радиус
Р = 0,53 радиуса Земли. (Билет 8, 1993)
1.33. Шар вращается с частотой v = 0,7 с-1
вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр
(рис. 1.23). К верхней точке шара прикреплена нить
с небольшим телом. Длина нити равна четверти
Рис 1 23 длины окружности большого круга шара. С
поверхностью шара соприкасается 2/3 длины нити. Найти
радиус шара. (Билет 9, 1993)
1.34. При какой продолжительности суток на Земле камень,
лежащий на широте ф = 60°, оторвется от поверхности Земли? Радиус
Земли 6400 КМ. (Билет 10, 1993)

Ill
МЕХАНИКА
1.42. От неподвижного мяча удаляется массивная плита с посто-
миной скоростью и = 2 м/с, направленной вертикально вниз и
перпендикулярно поверхности плиты. В момент, когда плита находилась
на расстоянии L = 0,3 м от мяча, мяч отпускают. На какое
максимальное расстояние от плиты удалится мяч после упругого удара о
плиту? Масса мяча намного меньше массы плиты. (Билет 6, 1994)
1.43. По гладкой горизонтальной поверхности льда скользят в
одном направлении массивный брусок со скоростью и = 1 м/с и
небольшая шайба со скоростью v = 3 м/с, догоняющая брусок. В некоторый
момент времени шайба находилась в точке В на расстоянии L = 1 м
от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шайба
вернется в точку 2J? Столкновение шайбы с бруском упругое. Скорость
шайбы перпендикулярна грани бруска, о которую она ударяется.
Масса шайбы намного меньше массы бруска. (Билет 7, 1994)
1.44. По направлению к неподвижному шарику движется
массивная плита с постоянной скоростью г>=4м/с, направленной
вертикально вверх и перпендикулярно поверхности плиты. В момент,
когда плита находилась на расстоянии Н = 1 м от шарика, шарик
отпускают. На какое максимальное расстояние от плиты удалится шарик
после упругого удара о плиту? Масса шарика много меньше массы
плиты. (Билет 8, 1994)
1.45. С верхней точки шара радиуса Л = 54 см, закрепленного
на горизонтальной поверхности стола, соскальзывает без начальной
скорости и без трения
небольшой шарик. На какую
максимальную высоту от стола
поднимется шарик после упругого
удара О СТОЛ? (Билет 9, 1994)
1.46. Небольшой шарик
соскальзывает без начальной
скорости с высоты 2R, двигаясь без
трения по желобу, расположенному в вертикальной плоскости
(рис. 1.25). Горизонтальный участок желоба плавно переходит в
полуокружность радиуса R = 81 см. Какой максимальной высоты Я
достигнет шарик после отрыва от желоба? (Билет 10, 1994)
1.47. Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости и
без трения с верхней точки шара, закрепленного на горизонтальной
поверхности стола. Под каким углом к поверхности стола шайба
ударится О СТОЛ? (Билет 11, 1994)
1.48. С высоты 1,5./? соскальзывает без начальной скорости
небольшой шарик, двигаясь без трения по желобу, расположенному в
вертикальной плоскости (рис. 1.26). Горизонтальный участок желоба
плавно переходит в полуокружность радиуса R. Под каким углом р к
горизонту упадет шарик на горизонтальный участок желоба после отрыва
ОТ желоба? (Билет 12, 1994)
Рис. 1.25.

МЕХАНИКА
9
1.35. Шар радиуса R = 12 см вращается вокруг вертикальной
оси, проходящей через его центр (рис. 1.24). К верхней точке шара
прикреплена нить с небольшим грузом. Длина нити
равна жЛ/2. При каком периоде вращения с
поверхностью шара будет соприкасаться третья часть
длины нити? (Билет 11, 1993)
1.36. Груз висит на нити в Москве. При какой
продолжительности суток Земли нить расположилась бы
параллельно оси вращения Земли? Радиус Земли
R = 6400 КМ. (Билет 12, 1993)
1.37. По доске, наклоненной к горизонту под углом сс =
= arcsin (1/3), можно передвигать вверх или вниз грузы,
прикладывая силу вдоль доски. Чтобы передвинуть ящик массой т = 30 кг вниз
на расстояние L = 3 м, надо совершить минимальную работу
Л = 100 Дж. Какую минимальную работу потребуется совершить,
чтобы вернуть по доске этот ящик назад? (Билет 1, 1994)
1.38. Мальчик съезжает на санках без начальной скорости с горки
высотой Н = 5 м по кратчайшему пути и приобретает у подножия
горки скорость v — 6 м/с. Какую минимальную работу необходимо
затратить, чтобы втащить санки массой т = 7 кг на горку от ее подножия,
Прикладывая СИЛу ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПОВерХНОСТИ ГОрКИ? (Билет 2, 1994)
1.39. На наклонной плоскости с углом наклона а = arctg (1/4)
лежит коробка. Чтобы передвинуть коробку вниз по наклонной
плоскости на некоторое расстояние, нужно совершить минимальную работу
Л, = 15 Дж. Для перемещения коробки вверх вдоль наклонной
плоскости требуется совершить работу не менее Л2 = 65 Дж. В обоих
случаях силы к коробке прикладываются вдоль наклонной плоскости.
Определить по этим данным коэффициент трения скольжения между
коробкой и наклонной плоскостью, если величины перемещений
вверх И ВНИЗ равны. (Билет 3, 1994)
1.40. Чтобы затащить от подножия на горку санки массой
т = 5 кг, прикладывая силу вдоль поверхности горки, необходимо
совершить работу не менее А = 480 Дж. С какой скоростью
достигнет подножия девочка на санках, если она съедет с горки без
начальной скорости по кратчайшему пути? Угол наклона
поверхности горки к горизонту а = arctg (0,2). Коэффициент трения
СКОЛЬженИЯ между Санками И ГОРКОЙ Ц = 0,1. (Билет 4, 1994)
1.41. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль
одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью
и = 1 м/с и небольшой шарик со скоростью и = 2 м/с. В некоторый
момент времени шарик оказался в точке Л на расстоянии S = 1,5 м от
бруска. Через какое время, считая от этого момента, шарик снова
окажется в точке А1 Столкновение шарика с бруском упругое. Скорость
шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется.
Масса шарика намного меньше массы бруска. (Билет 5, 1994)

МЕХАНИКА
11
1.49. Призма находится на горизонтальной поверхности
шероховатого стола (рис. 1.27). На поверхность призмы, наклоненную под
углом а к горизонту, положили брусок массой т и отпустили. Он стал
соскальзывать, а призма осталась в покое. Коэффициент трения
скольжения между бруском и призмой \а. Найти силу трения между призмой
и СТОЛОМ. (Билет 1, 1995)
1,5 R
Рис. 1.26.
Рис. 1.27.
1.50. Призма находится на горизонтальной поверхности гладкого
стола и упирается в гладкую стенку (рис. 1.28). На гладкую
поверхность призмы, наклоненную под углом а к горизонту, положили
шайбу массой т и стали давить на нее с постоянной горизонтальной
силой F. Найти силу давления призмы на стенку при движении
шайбы вверх. (Билет 2, 1995)
1.51. Призма массой М находится на горизонтальной поверхности
гладкого стола и упирается в гладкую стенку (рис. 1.29). На
поверхность призмы, наклоненную под углом а к горизонту, положили
брусок массой т и отпустили. Брусок стал соскальзывать. Коэффициент
трения скольжения между бруском и призмой \i. Найти силу давления
ГфИЗМЫ на СТОЛ. (Билет 3, 1995)
Рис. 1.28.
Рис. 1.29.
Рис. 1.30.
Рис. 1.31.
1.52. На горизонтальной поверхности гладкого стола находится
призма массой М, упирающаяся в гладкую стенку (рис. 1.30). На
гладкую поверхность призмы, наклоненную под углом а к
горизонту, положили брусок массой т и стали давить на него
вертикально вниз с постоянной силой F. Найти силу давления призмы
на СТОЛ при движении бруска ПО призме. (Билет 4, 1995)
1.53. Шары с массами mv тг и тг подвешены к потолку с
помощью двух невесомых пружин и легкой нити (рис. 1.31). Система
покоится. Определить силу натяжения нити. Определить ускорение
(направление и модуль) шара массой т, сразу после пережигания
нити. (Билет 5, 1995)

12
МЕХАНИКА
1.54. Бруски с массами т, и т2 соединены невесомой пружиной
(рис. 1.32) и прикреплены с помощью легкой нити к упору А,
закрепленному на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а.
Система покоится. Найти силу натяжения нити. Найти ускорение
(направление и модуль) бруска с массой т, сразу после пережигания
нити. (Билет 6, 1995)
1.55. К потолку с помощью легкой нити и двух невесомых пружин
подвешены грузы с массами т,, т2 и т3 (рис. 1.33). Система покоится.
1) Определить силу натяжения нити.
2) Определить ускорение (направление и модуль) груза массой
т1 сразу после пережигания нити. (Билет 7, 1995)
Рис. 1.32. Рис. 1.33. Рис. 1.34.
1.56. Бруски с массами тх и т2 соединены легкой нитью
(рис. 1.34) и прикреплены с помощью невесомой пружины к упору А,
закрепленному на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а.
Система покоится.
1) Найти силу натяжения нити.
2) Найти ускорение (направление и модуль) бруска с массой т1
сразу после пережигания нити. (Билет 8, 1995)
1.57. Луна движется вокруг Земли с периодом Т = 27,3 суток
по орбите, которую можно считать круговой. Радиус Земли
г = 6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли
g = 9,8 м/с2. Определить по этим данным расстояние между
Землей и Луной. (Билет 9, 1995)
1.58. Спутник Фобос обращается вокруг Марса по орбите радиуса
r = 9400 км с периодом Т = 7 ч. 39 мин. Радиус Марса R0 = 3400 км.
Найти по этим данным ускорение свободного падения на поверхности
Марса. (Билет 10, 1995)
1.59. Период обращения Луны вокруг Земли Г = 27,3 суток.
Радиус Земли г = 6400 км. Ускорение свободного падения на
поверхности Земли #= 9,8 м/с2. Определить по этим данным скорость
Луны, считая ее Орбиту круговой. (Билет 11, 1995)

14
МЕХАНИКА
У
v/2
2т
77*77777*777777777
Рис. 1.39.
1.67. Кусок пластилина массой пг = 200 г (рис. 1.39) попадает в
брусок массой 2т, двигающийся по гладкой горизонтальной
поверхности стола, и прилипает к нему. Перед ударом
скорость куска пластилина v = 6 м/с и направлена под
углом а = 60° к горизонту, а скорость бруска равна
v/2 и лежит в одной вертикальной плоскости со
скоростью пластилина.
1) Определить скорость бруска с пластилином
после удара.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска,
пластилина и окружающих тел? (Билет 4, 1996)
1.68. Чашка с гирями пружинных весов покоится. На чашку
поставили еще одну гирю массой т. Найти амплитуду колебаний
чашки. Жесткость пружины к. (Билет 4, 1996)
1.69. На наклонной плоскости с углом наклона а = 30°
удерживаются неподвижно тележка и брусок, расположенные рядом (рис. 1.40).
Их отпускают. Какое расстояние будет между
тележкой и бруском к моменту, когда тележка
пройдет расстояние L = 50 см? Коэффициент
трения скольжения между бруском и наклонной
плоскостью \i = 0,3. Массу колес тележки и трение
качения не учитывать. (Билет 5, 1996)
1.70. Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена ртутью и
закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси так, что ртуть не выливается и
заполняет полностью горизонтальное колено трубки (рис. 1.41).
Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры
установки указаны на рисунке. Атмосферное давление Р0, плотность ртути р.
1) Найти давление ртути в месте изгиба трубки.
2) Найти давление ртути у запаянного конца трубки. (Билет 5, 1996)
3R
Рис. 1.40.
■I г г I"
I I III
1111 I I
Тч III
со со
Рис. 1.41. Рис. 1.42.
1.71. По горизонтальной поверхности стола скользит брусок
массой пг и сталкивается неупруго с неподвижным бруском массой 2т,
имея перед ударом скорость v = 2 м/с. Какое расстояние пройдут
слипшиеся бруски до остановки? Коэффициент трения скольжения
между брусками И СТОЛОМ \к = 1/18. (Билет 6, 1996)

МЕХАНИКА
13
""""<<
1.60. Радиус Марса /?0 = 3400км. Спутник Фобос обращается
нокруг него по орбите радиуса R = 9400 км с периодом Т = 7 ч.
Ю мин. Найти по этим данным первую космическую скорость для
Марса. (Билет 12, 1995)
1.61. Из бункера с высоты Н = 1 м высыпалась порция
песка массой m = 100 кг и попала в вагонетку массой 2т,
движущуюся горизонтально со скоростью v = 3 м/с.
Сопротивление движению вагонетки со стороны рельсов не
учитывать.
1) Найти скорость вагонетки с песком.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя
энергия вагонетки, песка и окружающих тел? (Билет 1, 1996)
1.62. Пружина жесткостью к прикреплена к потолку и бруску
массой m (рис. 1.35). Брусок лежит на подставке так, что ось
пружины вертикальна и пружина сжата на величину L. Подставку
быстро убирают. Найти амплитуду колебаний
бруска. (Билет 1, 1996)
1.63. Кусок пластилина массой m = 32 г
(рис. 1.36) попадает в брусок массой 6т, двигающийся
по гладкой горизонтальной поверхности стола, и
прилипает к нему. Перед ударом скорость куска
пластилина равна v = 7 м/с и направлена под углом а = 60° к
Рис. 1.35.
т
6т
77777
V/4
"""""
7777777
Рис. 1.36.
горизонту, а скорость бруска равна v/4 и лежит в одной вертикальной
плоскости со скоростью пластилина.
1) Определить скорость бруска с пластилином после удара.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска,
пластилина и окружающих тел? (Билет 2, 1996)
1.64. На пружине жесткостью к висят два груза,
связанные нитью (рис. 1.37). После пережигания нити верхний
груз стал колебаться с амплитудой А. Найти массу нижнего
груза. (Билет 2, 1996)
1.65. Камень массой m = 1 кг подняли на некоторую
высоту и отпустили без начальной скорости. Через время рС
/ = 1 с практически свободного падения камень попал в '—'
ящик с песком массой 5т, скользивший по гладкой гори- Рис- 1-37.
:юнтальной поверхности со скоростью v = 6 м/с.
1) Найти скорость ящика с камнем.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия ящика,
песка, камня и окружающих тел? (Билет з, 1996)
1.66. Груз массой m привязан нитью, пе- к
рекинутой через блок, к другому грузу, кото- I Ьщщ.;
рый удерживается на гладком горизонтальном rVAvJ^^UwwA^^
столе пружиной, прикрепленной к стене
(рис. 1.38). Нить пережигают, и груз на столе tJ
начинает колебаться с амплитудой Л. Найти рис i з§
жесткость пружины. (Билет 3, 1996)

МЕХАНИКА
15
Рис. 1.43.
1.72. Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена водой
и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси (рис. 1.42). Открытое и
запаянное колена трубки вертикальны. Геометрические размеры
установки даны на рисунке. Атмосферное давление Р0, плотность воды р.
1) Найти давление воды в месте изгиба трубки, расположенном на
оси вращения.
2) Найти давление воды у запаянного конца трубки. (Билет 6, 1996)
1.73. На наклонной плоскости с углом наклона
(I = 30° удерживаются неподвижно тележка и
брусок, расположенные рядом (рис. 1.43). Их
отпускают. На каком расстоянии друг от друга
окажутся тележка и брусок к моменту, когда брусок
пройдет расстояние 5 = 31 см? Коэффициент
трения скольжения между бруском и наклонной плоскостью ц = 0,4.
Массу колес тележки и трение качения не учитывать. (Билет 7, 1996)
1.74. Тонкая запаянная с одного
конца трубка заполнена жидкостью и
закреплена на горизонтальной
платформе, вращающейся с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси
(рис. 1.44). Открытое колено трубки
вертикально. Геометрические
размеры установки указаны на рисунке.
Атмосферное давление Р0, плотность
жидкости р.
1) Найти давление жидкости в месте изгиба трубки.
2) Найти давление жидкости у запаянного конца трубки.
(Билет 7, 1996)
СО
7
III 1 1 1
5Я
1 1 1 1II
Рис. 1.44.
"77777!
Рис
о о
7777777777
V
У*-
1.45.
1.75. Слипшиеся брусок и тележка движутся
по горизонтальной поверхности стола (рис. 1.45).
В некоторый момент, когда скорость равна
у = 1 м/с, брусок отлипает от тележки. На каком
расстоянии друг от друга окажутся тележка и
брусок к моменту остановки бруска? Коэффициент трения скольжения
бруска о стол ц = 0,1. Трением качения пренебречь. (Билет 8, 1996)
1.76. Тонкая трубка, запаянная с
одного конца, заполнена маслом и
закреплена на горизонтальной
платформе, вращающейся с угловой скоростью
со вокруг вертикальной оси так, что
масло не выливается и заполняет
полностью горизонтальное колено трубки
(рис. 1.46). Открытое колено трубки
вертикально. Геометрические размеры

16
МЕХАНИКА
установки даны на рисунке. Атмосферное давление Р0, плотность
масла р.
1) Найти давление масла в месте изгиба трубки.
2) Найти давление масла у запаянного конца трубки. (Билет 8,1996)
1.77. В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда
вертикальны) плавает деревянная дощечка. Если на нее сверху положить
стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на плаву и
уровень воды в сосуде увеличится на ДЛ. На сколько изменится
уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную
пластинку бросить на дно сосуда? Плотность стекла рс, плотность
ВОДЫ рв. (Билет 9, 1996)
1.78. Металлический прут в форме дуги окружности радиусом L
висит на двух легких нитях длины L каждая (рис. 1.47). Масса прута
т, его поперечное сечение постоянно. Угол между
. нитями 2ip.
^ \ 1) Найти силу натяжения нитей в положении
равновесия.
2) Найти период малых колебаний такой «дуги» в
вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью
Рис. 1.47. «дуги». (Билет 9, 1996)
1.79. В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны)
опустили кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В
результате уровень воды в сосуде поднялся на hx = 11 мм, а лед стал
плавать, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень
воды в сосуде за время таяния всего льда? Плотности стекла
рс = 2,0 г/см3, ВОДЫ рв = 1 г/СМ3, льда р = 0,9 г/СМ3. (Билет 10, 1996)
■„„,,„„ 1.80. Конструкция из жестко соеди-
g ненных легкого стержня и небольшого по
размерам шарика массой т может
совершать колебания в вертикальной плоско-
т
i О сти под действием пружины с жесткостью
рис. 1.48. к, двигаясь при вращении без трения
вокруг горизонтальной оси О (рис. 1.48).
Пружина легкая, ее точка прикрепления к стержню делит его длину
в отношении 1 : 2, считая от шарика. В положении равновесия
стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия системы.
2) Найти период малых колебаний конструкции. (Билет ю, 1996)
1.81. В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда
вертикальны) плавает деревянная дощечка, на которой сверху лежит
стеклянная пластинка. На какую величину Д/г изменится уровень воды в
сосуде, если стеклянная пластинка свалится с дощечки и окажется на
дне сосуда? Известно, что если стеклянную пластинку бросить на дно

МЕХАНИКА
17
сосуда с плавающей дощечкой, то уровень воды в нем увеличится на
Л. ПЛОТНОСТЬ Стекла рс, ПЛОТНОСТЬ ВОДЫ рв. (Билет 11, 1996)
1.82. Груз массой т подвешен с помощью пружины
жесткостью к, легких нитей и невесомого блока (рис. 1.49).
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия
системы.
2) Найти период вертикальных колебаний груза при
условии непровисания нитей. (Билет 11, 1996)
1.83. В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда
вертикальны) опустили кусок льда, в который была
вморожена металлическая проволока. В результате уровень воды ^
н сосуде поднялся на Л1 = 36 мм, а лед с проволокой стал Ь;
плавать, целиком погрузившись в воду. За время таяния рис ^ 4д
всего льда уровень воды опустился на h2 = 3,4 мм, и
проволока оказалась на дне сосуда. Найти плотность материала проволоки.
ПЛОТНОСТЬ ВОДЫ рв = 1 г/СМ3, льда — р = 0,9 г/СМ3. (Билет 12, 1996)
1.84. Конструкция из жестко соединенных легкого стержня и
небольшого шарика массой т может совершать колебания под действием
двух пружин с жесткостями кх и к2,
двигаясь при вращении без трения
вокруг вертикальной оси О по гладкой \—^ —
горизонтальной поверхности стола ЛО с
(рис. 1.50). Пружины легкие, их оси S*1
горизонтальны, а точки прикрепления
к стержню делят его на три равные ча- Рис- 1 -50-
сти. В положении равновесия оси пружин перпендикулярны стержню
и пружина с жесткостью к1 растянута на величину Ll.
1) Найти деформацию второй пружины в положении равновесия.
2) Найти период малых колебаний конструкции. (Билет 12, 1996)
1.85. Пуля летит горизонтально со скоростью VQ, пробивает
лежащую на горизонтальной поверхности стола коробку и вылетает в том
лее направлении со скоростью втрое меньшей. Масса коробки в пять
раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между
коробкой и столом \l.
1) Найти скорость коробки сразу после
вылета из нее пули.
2) На какое расстояние передвинется
коробка? (Билет 1, 1997)
1.86. На столе лежит брусок. На легкой
нити длиной L висит шарик, касаясь бруска Щ I
(рис. 1.51). Нить вертикальна. Масса бруска в ^
7 раз больше массы шарика. Шарик
отклоняют в сторону так, что нить занимает горизонтальное положение, и
отпускают. После неупругого удара о брусок шарик останавливается,

МЕХАНИКА
19
поверхность гладкая. От незначительного толчка вправо шайба
приходит в движение. Найти скорость
шайбы на правой вершине, если:
1) горка закреплена на столе;
2) горка не закреплена.
Считать, что при движении шайба не 'WW;////?;////;///;/';////};///,
отрывается от поверхности горки, а по- Рис 1.52.
l гупательно движущаяся горка — от стола. (Билет 9, 1997)
1.94. В лунку размером 10x10x10 см3, целиком заполненную
водой, опускают цилиндрическое тело (ось цилиндра вертикальна).
\\ результате часть воды из лунки выливается, а тело начинает пла-
нать в ней (рис. 1.53). После этого из лунки отлили еще т. = 250 г
воды, так что цилиндр стал плавать, касаясь дна лунки.
1) Какая масса воды М осталась в лунке?
2) Чему равна плотность р материала цилиндра?
Диаметр цилиндра d немного меньше 10 см, высота цилиндра
равна его диаметру. (Билет 9, 1997)
н
---- =_-
\Ът
Рис. 1.53.
Т7777777777777777777777777777777777777.
Рис. 1.54.
Рис. 1.55.
1.95. Трубка в форме петли укреплена на бруске, находящемся
на гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 1.54). Нижний
конец трубки горизонтален и находится на расстоянии h от стола.
Шарик массой ш, который может скользить по трубке без трения,
удерживается на высоте Н от стола. Масса платформы с трубкой
Зт. Вначале система покоилась. Шарик отпустили. Найти скорость
вылетевшего из трубки шарика, если:
1) платформа закреплена на столе;
2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется
поступательно. (Билет 10, 1997)
1.96. В лунке размером 10x10x10 см3, полностью заполненной
водой, лежит шарик (рис. 1.55), плотность материала которого
р = 2 г/см3. Диаметр шарика d немного
меньше 10 см. Какую минимальную по
величине работу А надо совершить, чтобы
вытащить шарик ИЗ ВОДЫ? (Билет 10, 1997)
1.97. На гладкой горизонтальной
поверхности стола покоятся две горки с гладкими
поверхностями, плавно переходящими в
поверхность стола (рис. 1.56). Горка А закреплена на столе, и на ней на
высоте Н удерживают шайбу массой т. Масса горки В равна 6т. Шай-

18
МЕХАНИКА
а брусок смещается по горизонтальной поверхности стола на
расстояние 5.
1) Найти скорость бруска сразу после удара.
2) Найти коэффициент трения скольжения между бруском и
столом. (Билет 2, 1997)
1.87. На горизонтальной поверхности стола покоится ящик. Пуля
массой в 50 раз меньше массы ящика летит горизонтально со
скоростью V0, пробивает ящик и продолжает лететь в прежнем
направлении со скоростью вдвое меньше. Коэффициент трения скольжения
между ящиком и столом \i.
1) Какую скорость приобретает яшик сразу после вылета из него
пули?
2) Найти время движения ящика по столу. (Билет з, 1997)
1.88. На легкой нити длиной L висит шар. Пуля летит
горизонтально со скоростью V0, пробивает шар и продолжает лететь в
прежнем направлении. В результате максимальный угол отклонения шара
на нити оказался а = 60°. Масса шара в 10 раз больше массы пули.
1) Найти скорость шара сразу после вылета из него пули.
2) Найти скорость вылетевшей из шара пули. (Билет 4, 1997)
1.89. Два камня брошены из одной точки с одинаковыми
скоростями: один — вертикально вверх, другой — вертикально вниз. Они
упали на землю с интервалом времени т. С какой скоростью были
брошены камни? Сопротивление воздуха не учитывать. (Билет 5, 1997)
1.90. Снаряд разорвался на несколько осколков, полетевших во
все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок, полетевший
вертикально вниз, достиг земли за время tv Осколок, полетевший
вертикально вверх, упал на землю через время 1г. Сколько времени падали
осколки, полетевшие горизонтально? Сопротивление воздуха не
учитывать. (Билет 6, 1997)
1.91. Из одной точки на высоте h от поверхности земли брошены
с одинаковыми скоростями камень А вертикально вверх и камень В
вертикально вниз. Известно, что камень А достиг верхней точки
своей траектории одновременно с падением камня В на землю. Какой
максимальной высоты (считая от поверхности земли) достиг камень
Л? Сопротивление воздуха не учитывать. (Билет 7, 1997)
1.92. Осколки от разорвавшегося на некоторой высоте снаряда
полетели во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок А,
полетевший вертикально вверх, упал на землю через время а
горизонтально полетевший осколок В — через время t2. Какое расстояние
по горизонтали пролетел осколок В'! Сопротивление воздуха не
учитывать. (Билет 8, 1997)
1.93. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится
горка с двумя вершинами, высоты которых Я и ЗЯ. На левой вершине
горки находится шайба массой т (рис. 1.52). Масса горки 5т, ее

20
МЕХАНИКА
бу отпускают. Найти максимальную высоту (считая от стола) подъема
шайбы по горке В, если:
1) горка В закреплена на столе;
2) горка В не закреплена. (Билет п, 1997)
1.98. На дне лунки размером 10 х 10 х 10 см3 лежит шар, диаметр
которого d немного меньше 10 см. В лунку наливают воду до тех пор,
пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в
лунку пришлось долить еще т = 250 г воды, чтобы она оказалась
заполненной водой до верха (рис. 1.57).
1) Какую массу воды М налили в лунку вначале?
2) Чему равна плотность материала шара?
Указание. Объем шарового сегмента высотой h равен
Рис. 1.57. Рис. 1.58. Рис. 1.59.
1.99. Трубка в виде петли жестко укреплена на платформе,
находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Правый
конец трубки горизонтален, его расстояние до стола h. В трубке на
высоте Н удерживается шарик массой т, который может скользить
по трубке без трения (рис. 1.58). Масса платформы с трубкой 4т.
Система покоится. Шарик отпускают. Найти скорость вылетевшего
из трубки шарика, если:
1) платформа закреплена на столе;
2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется
поступательно. (Билет 12, 1997)
1.100. В лунке размером 10x10x10 см3, целиком заполненной
водой, лежит на дне металлический цилиндр (рис. 1.59). Диаметр
цилиндра d немного меньше 10 см. Высота цилиндра равна его
диаметру. Для того чтобы вытащить цилиндр из воды, необходимо
совершить работу не меньше величины Л = 0,185Дж. Чему равна
плотность р материала цилиндра? (Билет 12, 1997)
1.101. Человеку массой m требуется подтянуть к стене ящик
массой М = Зт с помощью каната, перекинутого через блок. Если
человек стоит на горизонтальном полу, то для достижения цели ему надо
тянуть канат с минимальной силой = 600 Н (рис. 1.60). С какой
минимальной силой F2 придется тянуть этому человеку канат, если он
упрется в ящик ногами? Части каната, не соприкасающиеся с блоком,
горизонтальны. Массами блока и каната пренебречь. (Билет 1, 1998)

22
МЕХАНИКА
1.106. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными
трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен
водой (рис. 1.65). После того как
«тройник» стали двигать по горизонтали (в
плоскости рисунка направо) с
некоторым ускорением, из «тройника»
вылилось 1/8 массы всей содержавшейся в
нем воды. Чему при этом равно
давление Р в жидкости у закрытого конца
(точка О) горизонтальной трубки?
Внутреннее сечение всех трубок
одинаково, длина трубок равна L. (Билет 3, 1998)
1.107. Бруски с массами т и М=2т привязаны к концам нити,
перекинутой через блок. Система находится на наклонной плоскости
с углом наклона а = 60° (рис. 1.66). При каком минимальном
значении коэффициента трения к между нижним бруском и наклонной
плоскостью бруски будут покоиться? Трением между брусками
пренебречь. (Билет 4, 1998)
О
L
L
Рис. 1.65.
Рис. 1.66.
Рис. 1.67.
Рис. 1.69.
1.108. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными
трубками и одной закрытой целиком заполнен водой (рис. 1.67).
Когда «тройник» стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением
(в плоскости рисунка), то из него вылилось 1/8 всей массы
содержавшейся в нем воды. Чему равно давление в жидкости в нижней
части (точка О) закрытой трубки? Внутреннее сечение всех трубок
одинаково, длина трубок равна L. (Билет 4, 1998)
1.109. На доске, наклоненной под углом а = 30° к горизонту,
удерживают в покое однородную гибкую веревку длиной / = 40 см
так, что на доске лежит 4/7 длины веревки, а 3/7 висит вертикально
(рис. 1.68). Трение веревки о доску и направляющий желоб Р
пренебрежимо мало. Веревку отпускают, и она движется, оставаясь в
одной и той же вертикальной плоскости.

МЕХАНИКА 21
1.102. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными
трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен
водой (рис. 1.61) После того, как «тройник» стали двигать по
горизонтали (в плоскости рисунка влево) с некоторым постоянным ускорением,
на него вылилось 1/16 массы всей воды. Чему при этом равно давление
и жидкости у закрытого конца (точка О) горизонтальной трубки?
Трубки имеют одинаковое внутреннее сечение и длину I. (Билет 1, 1998)
Рис. 1.60. Рис. 1.61.
1.103. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны
бруски с массами т и М = 4т, находящиеся на гладкой наклонной
плоскости с углом наклона а = 30° (рис. 1.62). При каком минимальном
тачении коэффициента трения к между брусками они будут
покоиться? (Билет 2, 1998)
Рис. 1.62. Рис. 1.63. Рис. 1.64.
1.104. «Тройник» из трех вертикальных открытых в атмосферу
трубок полностью заполнен водой (рис. 1.63). После того, как
«тройник» стали двигать в горизонтальном направлении (в плоскости
рисунка) с некоторым ускорением а, из него вылилось 9/32 всей массы
содержавшейся в нем воды. Чему равна величина ускорения а? Внутреннее
сечение трубок одинаково, длины трубок равны /. (Билет 2,1998)
1.105. Человек массой т, упираясь ногами в ящик массой М,
подтягивает его с помощью каната, перекинутого через блок, по
наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 1.64). С какой
минимальной силой надо тянуть канат человеку, чтобы подтянуть
ящик к блоку? Коэффициент трения скольжения между ящиком
и наклонной плоскостью — к. Части каната, не соприкасающиеся
с блоком, параллельны наклонной плоскости. Массами блока и
каната пренебречь. (Билет з, 1998)

МЕХАНИКА
23
Рис. 1.70.
1) Найти ускорение веревки в начальный момент движения.
2) Найти скорость веревки в момент, когда она соскользнет с доски
и примет вертикальное положение. (Билет 4, 1998)
1.110. Однородный гибкий канат массой т и длиной L = 75 см
прикреплен к бруску массой 2т, находящемуся на горизонтальной
поверхности стола (рис. 1.69). Со стола свешивается половина длины
каната. Коэффициент трения скольжения бруска о стол |л = 0,15.
Трением каната о стол и направляющий желоб Р пренебречь. Брусок
удерживают в покое, а затем отпускают.
1) Найти ускорение бруска в начале движения.
2) Найти скорость бруска в момент, когда канат соскользнет со
стола. (Билет 6, 1998)
1.111. Цепочку длиной / = 20 см удерживают
в покое на клине так, что на наклоненной под
углом a (sin а = 3/5) к горизонту поверхности
клина лежит 2/3 цепочки, а 1/3 висит
(рис. 1.70). Трение цепочки о клин и
направляющий желоб Р пренебрежимо мало. Цепочку
отпускают, и она «заползает» на клин, оставаясь в одной и той же
мертикальной плоскости.
1) Найти ускорение цепочки в начальный момент движения.
2) Найти скорость цепочки в момент, когда она полностью
окажется на клине. (Билет 7, 1998)
1.112. Однородный гибкий канат длиной L = 1 м
и массой т = 1 кг удерживают в покое за верхний
конец так, что 1/3 каната находится на столе, а 2/3
свисает (рис. 1.71). В некоторый момент канат
перестают удерживать и начинают втаскивать на стол, Рис- 1-71-
прикладывая силу F = 8 Н вдоль горизонтальной поверхности стола
перпендикулярно кромке стола. Трением каната о стол и
направляющий желоб Р пренебречь.
1) Найти ускорение каната в начальный момент его движения.
2) Найти скорость каната в момент, когда он полностью окажется
на столе. (Билет 8, 1998) ,
1.113. Небольшой брусок массой т ле- I
жит на гладком столе внутри жесткой
рамы. Длина рамы L, масса — т.
Брусок с помощью легкого стержня и
пружины жесткостью к соединен с неподвижной опорой (рис. 1.72).
Брусок отводят к противоположной стороне рамы и отпускают. В
результате упругих столкновений брусок и рама совершают
периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с
бруском.
2) Найти период колебаний бруска. (Билет 1, 1999)
к к,
Рис. 1.72.

24
МЕХАНИКА
1.114. На тележке, которая может двигаться по горизонтальным
рельсам прямолинейно и без трения, укреплена в горизонтальной
плоскости трубка в форме кольца (рис. 1.73 — вид сверху). Внутри
трубки может двигаться без трения шарик массой т. Масса тележки с
трубкой М, массой колес тележки пренебречь. Шарику, при
неподвижной тележке, сообщают в точке А скорость V0, направленную
параллельно рельсам.
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком точки
В тележки, диаметрально противоположной точке А.
2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется
тележка через время /0, когда шарик совершит несколько оборотов и
окажется в точке В тележки? (Билет 1, 1999)
Рис. 1.73. Рис. 1.74.
1.115. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью к соединен с неподвижной опорой 1.
Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной опорой 2
(рис. 1.74). В начальном положении брусок касался правой стенки
рамы, а пружины не были деформированы. Брусок отводят к
противоположной стенке рамы и отпускают. В результате упругих столкновений
брусок и рама совершают периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с
бруском.
2) Найти период колебаний бруска. (Билет 2, 1999)
1.116. Тележка может двигаться прямолинейно поступательно без
трения по горизонтальной поверхности стола. К тележке прикреплена
горизонтальная ось О, перпендикулярная возможному направлению
движения тележки (рис. 1.75). Вокруг оси О, в
плоскости, перпендикулярной ей, может
вращаться без трения на стержне длиной L
небольшой по размерам шарик массой т. Масса
тележки, оси О и ее крепления — 4т. Массами
стержня и колес тележки пренебречь. Вначале тележка
покоилась, а стержень удерживался под углом
(3 = 30° к вертикали. Затем стержень отпустили.
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком нижней
точки своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний тележки, т. е. половину
расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями
тележки. (Билет 2, 1999)
4ш
777777777777777777777777
Рис. 1.75.

МЕХАНИКА
25
1.117. Небольшой брусок массой т лежит на гладкой столе внутри
жесткой рамы, касаясь ее правой стенки. Длина рамы L, масса —
«i. Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной опорой
(рис. 1.76). Раму отводят направо так, что
брусок касается ее левой стенки, и отпу-
1 кают. В результате упругих столкновений
брусок и рама совершают периодические Рис j 76
лнижения.
1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с рамой.
2) Найти период колебаний бруска. (Билет 4, 1999)
1.118. Брусок может двигаться поступательно без трения по прямо-
чинейным горизонтальным салазкам, не отрываясь от них. На бруске
укреплен в вертикальной плоскости,
параллельной салазкам, желоб
радиусом R, по которому может скользить
без трения небольшой по размерам
шарик массой т (рис. 1.77). Масса
бруска с желобом 6т. Вначале брусок
покоился. Шарику в верхней точки
желоба сообщили горизонтальную Рис- 1-77.
скорость V0.
1) Найти скорость бруска при прохождении шариком нижней точки
желоба.
2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется
брусок через время t0, когда шарик совершит несколько оборотов и
окажется в нижней точке желоба? (Билет з, 1999)
cJ5
3=
-amrnv-e
Рис. 1.78. Рис. 1.79.
1.119. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы длиной L и массой т. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью к соединен с неподвижной опорой 1.
Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной опорой 2
(рис. 1.78). В начальном положении брусок касался левой стороны
рамы, а пружины не были деформированы. Раму отводят налево до
соприкосновения бруска с правой стенкой рамы и отпускают. В
результате упругих столкновений брусок и рама совершают
периодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с рамой.
2) Найти период колебаний рамы. (Билет 4, 1999)
1.120. Муфта может двигаться поступательно без трения вдоль
горизонтальной направляющей ЕЕХ (рис. 1.79). К муфте перпендику-

МЕХАНИКА
27
маленький шарик массой т. Шарик скользит внутри трубки без
трении. С какой силой (по модулю) действует шарик на трубку в точке А,
ми холящейся на горизонтальном диаметре петли? (Билет 8,1999)
Рис. 1.82. Рис. 1.83.
1.125. Монета скользит по наклонной плоскости с углом наклона
к горизонту а и имеет в точке С скорость v0 (рис. 1.84). Через
некоторое время монета оказалась в точке D наклонной плоскости,
пройдя путь S и поднявшись по вертикали на высоту Я.
Коэффициент трения скольжения между монетой и наклонной плоскостью
Найти скорость монеты в точке D. (Билет 1, 2000)
Рис. 1.84. Рис. 1.85. Рис. 1.86.
1.126. Небольшая шайба на нити длиной I может вращаться
нокруг неподвижной оси О, скользя по наклонной плоскости с
углом наклона к горизонту р* (рис. 1.85). Шайбу поместили в
точку А наклонной плоскости, соответствующую горизонтальному
положению нити, и отпустили. Определить скорость шайбы в точке
Н — самой низкой точке траектории. Коэффициент трения
скольжения шайбы о наклонную плоскость Нить всегда параллельна
наклонной плоскости и не задевает ее. (Билет 2, 2000)
1.127. Широкая доска наклонена под углом а к горизонту
(рис. 1.86). Небольшой шайбе сообщили в точке А доски скорость v,
направленную вдоль нее. Через некоторое g|
нремя шайба оказалась в точке В,
сместившись по вертикали на Я вниз и имея
скорость 2v. Какой путь прошла шайба между
точками А и В? Коэффициент трения
скольжения шайбы о доску |Л. (Билет 3, 2000)
1.128. На нити длиной I вокруг
неподвижной оси О может вращаться неболь- рис. 1.87.
шой брусок, скользя по наклонной плоскости с углом наклона к
горизонту 7 (рис. 1.87). Брусок поместили в самую низкую для

28
МЕХАНИКА
v
него точку К (нить наклонена под углом 7 к горизонту). Какую
скорость надо сообщить бруску в точке К, вдоль наклонной
плоскости и перпендикулярно нити, чтобы он достиг точки Р (при
горизонтальном положении нити), имея втрое меньшую скорость?
Коэффициент трения скольжения бруска о наклонную плоскость
(л.. Нить всегда параллельна наклонной плоскости и не задевает
ее. (Билет 4, 2000)
1.129. Шары насажены на
прямолинейную горизонтальную спицу и могут
скользить по ней без трения (рис. 1.88).
К шару массой т прикреплена легкая
Рис- 1 88 пружина жесткостью К и он покоится.
Шар массой 2т движется со скоростью v. Радиусы шаров много меньше
длины пружины.
1) Определить скорость шара массой 2т после отрыва от пружины.
2) Определить время контакта шара массой 2т с пружиной.
(Билет 5, 2000)
1.130. В цилиндрическом стакане с водой на
нити висит проволока, вмороженная в кусок льда.
Лед с проволокой целиком погружен в воду и не
касается стенок и дна стакана (рис. 1.89). После
того как лед растаял, проволока осталась висеть
на нити, целиком погруженная в воду. Уровень
воды в стакане за время таяния льда уменьшился
на АН (Д#>0), а сила натяжения нити
увеличилась в К раз. Найти объем проволоки.
Плотность воды рв, проволоки — р, площадь
внутреннего сечения стакана S. (Билет 5, 2000)
1.131. По гладкой горизонтальной поверхности стола движутся с
постоянной скоростью v два бруска массами т и Зт, связанные
нитью. Между брусками находится пружина жесткостью К, сжатая
на величину Х0 (рис. 1.90). Пружина прикреплена только к бруску
массой т. Размеры брусков малы по сравнению с длиной нити,
массой пружины пренебречь, скорость брусков направлена вдоль нити.
Во время движения нить обрывается и бруски разъезжаются вдоль
начального направления нити.
у
Рис. 1.89.
3)11
Рис. 1.90.
1) Найти скорость бруска массой Зт
после его отделения от пружины.
2) Найти время соприкосновения
пружины с бруском массой Зт, считая от
момента разрыва НИТИ. (Билет 6, 2000)
1.132. Гайка, вмороженная в кусок льда, висит на нити. После
того как снизу поднесли цилиндрический стакан с водой, в которую
целиком погрузили лед с гайкой, сила натяжения нити уменьшилась
на AT (AT > 0), а уровень волы в стакане повысился. Лед с гайкой

26
МЕХАНИКА
лярно ЕЕХ прикреплена горизонтальная ось О, вокруг которой может
вращаться без трения обруч радиусом R с закрепленным на нем
небольшим по размерам грузом массой т. Масса муфты, оси О и ее
крепления Зт. Массой обруча пренебречь. Вначале муфта неподвижна и
обруч удерживают в положении, когда ОР составляет угол а = 30° с
горизонтом. Затем обруч отпускают.
1) Найти скорость муфты при прохождении грузом нижней точки
своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний муфты, т. е. половину
расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями
муфты. (Билет 4, 1999)
1.121. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона а к
горизонту в точке О прикреплена нить длиной I. К другому концу нити
привязан небольшой шарик (рис. 1.80). В начальный момент шарик
находится в положении равновесия в точке А. Какую минимальную
скорость надо сообщить шарику в точке А вдоль наклонной плоскости
в горизонтальном направлении, чтобы шарик совершил полный
оборот, двигаясь ПО ОКруЖНОСТИ? (Билет 5, 1999)
1.122. Обруч в форме окружности закреплен на столе в
положении, когда его плоскость наклонена под углом а к горизонтальной
поверхности Р стола (рис. 1.81). По обручу может скользить без
трения небольшое колечко массой т.. Вначале колечко удерживают в
верхней точке С обруча. В результате незначительного толчка
колечко приходит в движение. Найти модуль силы, с которой колечко
действует на обруч в точке А, находящейся на горизонтальном
диаметре обруча. (Билет 6, 1999)
1.123. Небольшой шарик прикреплен с помощью нити длиной I к
гвоздю, вбитому в доску с гладкой плоской поверхностью,
наклоненной под углом а к горизонту (рис. 1.82). Вначале шарик удерживают
на доске в точке А, слабо натянув нить горизонтально вдоль доски.
Какую минимальную скорость V надо сообщить шарику в точке А вдоль
доски перпендикулярно нити, чтобы шарик совершил полный оборот,
двигаясь ПО ОКруЖНОСТИ? (Билет 7, 1999)
1.124. Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом R
закреплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а
(рис. 1.83). В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии 2R от
горизонтального диаметра петли, опускают без начальной скорости
с
Рис. 1.80.
Рис. 1.81.

МЕХАНИКА
29
Am
Рис. 1.92.
мри этом висит на нити в воде и не касается стенок и дна стакана.
Мосле того как лед растаял, гайка осталась висеть на нити, целиком
погруженная в воду, а уровень воды в стакане за время таяния льда
понизился на АН (АН > 0). Чему равен объем гайки? Плотность
волы рь, льда — рл, площадь внутреннего сечения стакана S, ускорение
»мободного падения g. (Билет 6, 2000) v
1.133. Вдоль прямолинейной горизон-
глльной спицы могут скользить без
трения две муфты. Муфта массой т с
прикрепленной к ней легкой пружиной же- Рис
^г к остью К движется со скоростью v (рис. 1.91). Муфта массой 4т
покоится. Размеры муфт намного меньше длины пружины.
1) Определить скорость муфты массой 4т после отрыва от пружины.
2) Определить время контакта муфты массой 4т с пружиной.
И.илст 7, 2000)
1.134. Деревянный шарик, вмороженный в ку-
юк льда, удерживается внутри цилиндрического
i такана с водой нитью, прикрепленной ко дну
(рис. 1.92). Лед с шариком целиком погружен в
иоду и не касается стенок и дна стакана. После
юга как лед растаял, шарик остался плавать
ниутри стакана, целиком погруженный в воду,
(ила натяжения нити за время таяния льда
уменьшилась при этом в К раз (К>1), а уровень воды в стакане
уменьшился на АН (АН > 0). Чему равен объем шарика, если
плотность воды равна рв, дерева — р (р< рв), площадь внутреннего
сечения Стакана S. (Билет 7, 2000)
1.135. Бруски с массами m и 5 т связаны
нитью, длина которой много больше
размеров брусков. Между брусками вставлена
сжатая на величину Х0 и прикрепленная
Iолько к бруску с массой 5т легкая пружина жесткостью К (рис. 1.93).
Система движется по гладкой горизонтальной поверхности стола вдоль
горизонтально натянутой нити со скоростью v. Нить разрывается, и
бруски разъезжаются вдоль начального направления нити.
1) Найти скорость бруска массой m после его отделения от пружины.
2) Найти время соприкосновения бруска массой m с пружиной,
считая от момента разрыва нити. (Билет 8, 2000)
1.136. Болт, вмороженный в кусок льда, висит на нити. После того
как снизу поднесли цилиндрический стакан с водой, в которую
целиком погрузили лед с болтом, сила натяжения нити уменьшилась
па AT (АТ>0). При этом лед с болтом не касались дна и стенок
стакана. Спустя некоторое время лед растаял, а болт остался висеть
на нити, целиком погруженный в воду. При этом уровень воды в
стакане увеличился на АН по сравнению с уровнем воды в стакане
5т
Рис. 1.93.

МЕХАНИКА
31
1.140. Систему из доски массой т, бруска массой 5т и груза мас-
»ой Зт удерживают в покое (рис. 1.97). Затем систему отпускают, и
доска движется по горизонтальной поверхности стола, а брусок
движется по доске, через время t = 1,4 с брусок достигает края доски, а
ккка еще не доходит до блока. Коэффициент трения скольжения
бруска о доску ц, = 0,10, а доски о стол ц2 = 0,30.
1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении
бруска по доске.
2) На каком расстоянии от края доски находился брусок до
начала движения? Массу нити, блока и трение в оси блока не
учитывать. (Билет 4, 2001)
Рис. 1.96. Рис. 1.97.
1.141. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится
горка, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку (рис. 1.98). Участок
ЛИ профиля горки — дуга окружности радиусом R. По направлению к
горке движется со скоростью vQ небольшая по сравнению с размерами
горки монета массой т. Монета въезжает на горку, движется по горке
без трения, не отрываясь от нее, и достигает точки К, продолжая
движение. Радиус ОК составляет с вертикалью угол |3 (cos |3 = 5/7).
1) Найти скорость монеты в точке К.
2) Найти силу давления горки на стенку в момент прохождения
монетой ТОЧКИ К. (Билет 5, 2001)
Рис. 1.98. Рис. 1.99.
1.142. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится
горка массой М, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку
(рис. 1.99). Участок АВ профиля горки — дуга окружности радиусом
R. По направлению к горке движется со скоростью и небольшой по

30
МЕХАНИКА
до опускания в него льда с болтом. Найти объем болта. Плотность
воды рв, льда — рл, площадь внутреннего сечения стакана S,
ускорение свободного падения g. (Билет 8, 2000)
1.137. Ящик с шайбой удерживают в покое на наклонной плоскости
с углом наклона к горизонту а = 30° (рис. 1.94). Ящик и шайбу
одновременно отпускают и ящик начинает скользить по наклонной
плоскости, а шайба — по дну ящика. Через время t = 1 с шайба ударяется
о нижнюю стенку ящика. Коэффициент трения скольжения между
шайбой и ящиком ^ = 0,23, а между ящиком и наклонной плоскостью
ц2 = 0,27. Масса ящика вдвое больше массы шайбы.
1) Определить ускорение шайбы относительно наклонной
плоскости при скольжении шайбы по ящику.
2) На каком расстоянии L от нижней стенки ящика находилась
шайба до начала движения? (Билет 1, 2001)
1.138. Систему из груза массой т, бруска массой 2т и доски массой
Зт удерживают в покое (рис. 1.95). Брусок находится на расстоянии
S = 49 см от края доски. Систему отпускают и брусок движется по
доске, а доска — по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент
трения скольжения между бруском и доской \л1 = 0,35, а между доской
и столом ц2 = 0,10.
1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении
бруска по доске?
2) Через какое время брусок достигнет края доски? Считать, что
за время опыта доска не достигает блока. Массу нити, блока и трение
в ОСИ блока не учитывать. (Билет 2, 2001)
1.139. Доску с находящимся на ней бруском удерживают в покое на
наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а = 60° (рис. 1.96).
Расстояние от бруска до края доски S = 49 см. Доску и брусок
одновременно отпускают, и доска начинает скользить по наклонной
плоскости, а брусок по доске. Коэффициент трения скольжения между
бруском и доской ц = 0,30, а между доской и наклонной плоскостью
ц2 = 0,40. Масса доски в три раза больше массы бруска.
1) Определить ускорение бруска относительно наклонной
плоскости при скольжении бруска по доске.
2) Через какое время брусок достигнет края доски? (Билет 3, 2001)
Рис. 1.94.
Рис. 1.95.

32
МЕХАНИКА
сравнению с размерами горки брусок массой т. Брусок въезжает на
горку и движется по горке без трения, не отрываясь от нее, и
достигает точки D на высоте Н = R/2, продолжая движение. Радиус OD
составляет с вертикалью угол 7 (cos 7 = 3/4).
1) Найти скорость бруска в точке D.
2) Найти силу давления горки на стол в момент прохождения
бруском точки D. (Билет 6, 2001)
1.143. На горизонтальной поверхности стола покоится чаша с
небольшой по сравнению с размерами чаши шайбой массой т
(рис. 1.100). Нижняя часть АВ внутренней поверхности чаши есть
часть сферы радиусом R. Глубина чаши Н = 3R/5, ее внутренняя
поверхность гладкая. Шайба начинает скользить без начальной
скорости и при движении не отрывается от чаши, а чаша остается в
покое. Шайба достигает точки С, для которой угол между между
радиусом ОС и вертикалью равен а ( cos а = 4/5).
1) Найти скорость шайбы в точке С.
2) Найти силу трения между чашей и столом при прохождении
шайбой ТОЧКИ С. (Билет 7, 2001)
Рис. 1.100. Рис. 1.101.
1.144. Полушар радиусом R покоится на горизонтальной
поверхности стола. В точку А на полушаре помещают небольшую по
сравнению с размерами полушара шайбу массой т и отпускают (рис. 1.101).
Шайба скользит без трения и оказывается в точке В, а полушар при
этом остается неподвижным. Радиусы OA и ОВ составляют с
вертикалью углы at и а2, такие, что cos a = 5/6, cos a2 = 2/3.
1) Найти скорость шайбы в точке В.
2) Найти силу трения между полушаром и столом при
прохождении шайбой ТОЧКИ В. (Билет 8, 2001)
1.145. Во время града автомобиль едет по дороге со скоростью
и = 25 км/час по горизонтальной дороге. Одна из градин ударяется о
переднее (ветровое) стекло автомобиля, наклоненное под углом
a = 30° к вертикали, и отскакивает горизонтально в направлении
движения автомобиля (рис. 1.102). Считая, что удар градины о
стекло абсолютно упругий и что скорость градины непосредственно перед
ударом вертикальна, найти скорость градины:

МЕХАНИКА
33
1) до удара,
2) после удара. (Билет 9, 2001)
1.146. Массивная плита поднимается вверх с постоянной
скоростью. Мяч, брошенный вертикально вверх, нагоняет плиту,
ударяется абсолютно упруго о боковую поверхность плиты, наклоненную
иод углом 7 = 30° к горизонту, и отскакивает в горизонтальном
направлении со скоростью v2 = 1,7 м/с (рис. 1.103).
1) Найти скорость плиты и0.
2) Найти скорость и, мяча непосредственно перед ударом. Масса
ПЛИТЫ намного больше маССЫ МЯЧа. (Билет 10, 2001)
Рис. 1.102.
Рис. 1.103.
Рис. 1.104.
1.147. Идет град, и автомобиль едет со скоростью и = 29 км/час
но горизонтальной дороге. Одна из градин ударяется о стекло заднего
окна автомобиля, наклоненное под углом |3 = 30° к горизонту, и
отскакивает горизонтально в направлении, противоположном
движению автомобиля (рис. 1.104). Считая, что удар градины о стекло
абсолютно упругий и что ее скорость непосредственно перед ударом
вертикальна, найти скорость градины:
1) до удара,
2) после удара. (Билет 11, 2001)
1.148. Кабина подъемника движется вертикально вниз с
постоянной скоростью. В боковую стенку кабины, наклоненную под углом
>р = 30° к вертикали, попадает брошенный вертикально вверх мяч
(рис. 1.105). После абсолютно упругого удара мяч отскакивает в
горизонтальном направлении со скоростью v2 = 3,4 м/с.
1) Найти скорость кабины и0.
2) Найти скорость мяча и, непосредственно перед ударом. Масса
кабины намного больше массы мяча. (Билет 12, 2001)
1.149. Шайба массой т скользит со ско-
ростью vQ по гладкой горизонтальной
поверхности стола, попадает на покоящийся
клин массой 2т, скользит по нему без
трения и отрыва и покидает клин (рис. 1.106).
Клин, не отрывавшийся от стола,
приобретет скорость и0/4. Найти угол а наклона к горизонту поверхности
Рис. 1.106
.' - 2675

36
МЕХАНИКА
1) сосуд неподвижен,
2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а.
(Билет 8, 2002)
1.157. Толстая однородная веревка массой т = 0,3 кг соединена с
бруском массой 6т легкой нитью, перекинутой через блок
(рис. 1.114). Коэффициент трения скольжения между бруском и
наклонной плоскостью ц = 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту
Р = 30°.
1) Найти ускорение бруска.
2) Найти силу натяжения веревки в точке В, для которой
BD = AD/4. Массой блока и трением в его оси пренебречь. (Билет 9, 2002)
Рис. I.1I5.
Рис. 1.116.
1.158. Однородный канат массой т = 1 кг соединен с бруском
массой Зт/2 легкой нитью, перекинутой через блок (рис. 1.115). Канат
находится на наклоненной под углом a (cos а = 0,8) к горизонту
поверхности. Коэффициент трения скольжения между этой
поверхностью и канатом ц = 0,2.
1) Найти ускорение каната.
2) Найти силу натяжения каната в его середине. Массой блока и
трением в его оси пренебречь. (Билет 10, 2002)
1.159. Брусок массой m = 0,5 кг соединен с толстой однородной
веревкой массой Зт легкой нитью, перекинутой через блок
(рис. 1.116). Коэффициент трения скольжения между бруском и
наклонной плоскостью ц = 0,4. Угол наклона наклонной плоскости к
горизонту 8 = 30°.
1) Найти ускорение веревки.
2) Найти силу натяжения веревки
в точке В, для которой BD = AD/6.
Массой блока и трением в его оси
пренебречь. (Билет 11, 2002)
1.160. Однородный канат массой
m = 3 кг соединен с бруском массой 2т легкой нитью, перекинутой
через блок (рис.1.117 ). Канат находится на горизонтальной
поверхности, а брусок — на наклоненной по углом a (sin а = 0,6) к гори-
Рис. 1.117.

34
МЕХАНИКА
верхней части клина. Нижняя часть клина имеет плавный переход к
поверхности стола. Изменением потенциальной энергии шайбы в
поле тяжести при ее движении по клину пренебречь. Направления всех
движений параллельны плоскости рисунка. (Билет 1, 2002)
1.150. Горка массой 4т с шайбой массой т покоятся на гладкой
горизонтальной поверхности стола (рис. 1.107). От незначительного
толчка шайба начинает скользить по горке без трения, не отрываясь
от нее, и покидает горку. Горка, не отрывавшаяся от стола,
приобретает скорость и. С какой скоростью шайба упадет на стол? Нижняя
часть поверхности горки составляет угол у = 30° и находится на
расстоянии Н от стола. Направления всех движений параллельны
плоскости рисунка. (Билет 2, 2002)
Рис. 1.107. Рис. 1.108. Рис. 1.109.
1.151. На вершине покоящейся на гладком горизонтальном столе
горки массой Зт удерживают шайбу массой т (рис. 1.108). Шайбу
отпускают, и она скользит по горке без трения и отрыва и покидает
горку. Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает скорость и.
Найти разность высот Н между вершинами горки. Верхняя часть
поверхности правой вершины горки наклонена к вертикали под
углом (3 = 30°. Направления всех движений параллельны плоскости
рисунка. (Билет 3, 2002)
1.152. Игрушечная пушка может скользить по рельсам,
укрепленным на горизонтальном полу. Ствол пушки наклонен под углом <р к
горизонту (рис. 1.109). Масса пушки без снаряда — Л/, масса
снаряда — т. Из покоившейся пушки произведен выстрел. В результате
пушка, не отрывавшаяся от рельсов, получила скорость и. На каком
расстоянии от места выстрела снаряд упал на пол? Высоту пушки не
учитывать. Направления всех движений параллельны плоскости
рисунка. (Билет 4, 2002)
1.153. Стеклянный шар объемом V и плотностью р находится в
сосуде с водой (рис. 1.110). Угол между стенкой сосуда и
горизонтальным дном а. Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Плотность
воды р. Найти силу давления шара на дно с двух случаях:
1) сосуд неподвижен,
2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а.
(Билет 5, 2002)

МЕХАНИКА
35
1.154. Пробковый шар объемом V привязан ко дну конического
сосуда с водой так, что нить вертикальна, а шар касается гладкой
стенки сосуда (рис. 1.111). Угол между горизонтальным дном и
стенкой сосуда 7. Плотности воды и пробки р и рг Найти силу натяжения
нити в двух случаях:
1) сосуд неподвижен,
2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а.
(Билет 6, 2002)
Рис- 1П0. Рис. 1.1Ц. Рис. 1.112.
1.155. В сосуде с водой находится алюминиевый шар объемом V,
прикрепленный ко дну сосуда нитью АВ (рис. 1.112). Дно сосуда
горизонтальное и гладкое. Плотность алюминия и воды р0 и р. Найти
силу давления шара на дно сосуда в двух случаях:
1) сосуд неподвижен,
2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а, и
НИТЬ Составляет С ДНОМ УГОЛ р\ (Билет 7, 2002)
Рис. 1.113. Рис. 1.114.
1.156. В коническом сосуде с водой находится деревянный шар
объемом V, удерживаемый от всплытия горизонтальной полкой
HD, прикрепленной к стенке сосуда (рис. 1.113). Поверхность
полки и стенки гладкие. Угол между полкой и стенкой сосуда <р.
Плотности воды и дерева р и р,. Найти силу давления шара на
полку в двух случаях:

МЕХАНИКА
37
зонтальной поверхности. Коэффициент трения скольжения каната и
бруска о соответствующие поверхности ц = 0,3.
1) Найти ускорение бруска.
2) Найти силу натяжения каната в точке В, для которой АВ = АС/3.
Массой блока и трением в его оси пренебречь. (Билет 12, 2002)
1.161. Предположим, что между Калининградской и Московской
областями прорыт прямолинейный железнодорожный тоннель,
длиной L = 1000 км. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в
Московской области и отпускают без начальной скорости. 1) Через какое
время вагон достигнет Калининградской области? 2) Найдите
максимальную скорость вагона. Землю считать шаром радиусом
R = 6400 км с одинаковой плотностью по всему объему. Вращение
Земли, сопротивление воздуха и все виды трения при движении не
учитывать. (Билет 1, 2003)
1.162. Представьте себе, что в астероиде радиусом Л = 16 км
пробурен канал вдоль его диаметра. В канал с поверхности астероида
сбрасывают без начальной скорости предмет. 1) Через какое время
предмет окажется первый раз на расстоянии Л/2 от центра
астероида? 2) Найдите скорость предмета в этот момент. Известно, что
первая космическая скорость для астероида Uj = 14 м/с. Плотность
астероида одинакова по всему объему, атмосферы нет. Вращение и
трение при движении предмета не учитывать. (Билет 2, 2003)
1.163. В проекте из области фантастики предлагается прорыть
между Москвой и Парижем прямолинейный железнодорожный
тоннель длиной S = 2400 км. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля
в Париже и отпускают без начальной скорости. 1) Через какое
время вагон достигнет середины тоннеля? 2) Найдите скорость
вагона в середине тоннеля. Землю считать шаром радиусом
R = 6400 км с одинаковой плотностью по всему объему. Вращение
Земли, сопротивление воздуха и все виды трения при движении
не учитывать. (Билет 3, 2003)
1.164. Для транспортировки контейнера с грузом на
противоположную сторону астероида предполагается пробурить шахту вдоль
его диаметра и сбрасывать в нее контейнер без начальной
скорости. Радиус астероида R = 1 км, его плотность постоянна по всему
объему и в 2 раза меньше средней плотности Земли. Атмосферы
на астероиде нет, его вращением можно пренебречь. Радиус Земли
R:i = 6400 км. Не учитывая трение при движении в шахте,
найдите: 1) время, через которое контейнер окажется первый раз на
расстоянии R/2 от центра астероида; 2) скорость контейнера в этот
момент. (Билет 4,' 2003)
1.165. В результате удара шар получил скорость и0 вдоль
горизонтальной поверхности стола и вращение вокруг своего горизонтально-
141 диаметра, перпендикулярного скорости (см. рис. 1.118). После
удара скорость шара уменьшилась в течение времени т, а затем стала

38
МЕХАНИКА
постоянной. 1) Найдите эту постоянную скорость. 2) На каком рас
стоянии от места удара окажется шар через 4т после удара? Коэф
фициент трения скольжения между поверх
НОСТЯМИ шара И СТОЛа — Ц. (Билет 5, 2003)
1.166. Груз уравновешен на чашке пру
жинных весов, при этом в пружине запа-
4\\\\\\\\\\\vK\s\\\\\w\\s- сена потенциальная энергия деформации
Рис- 1118- и0. На чашку весов поставили
дополнительную гирю, так что масса нового груза стала в три раза больше
первоначальной. 1) Во сколько раз величина максимального
ускорения атах во время возникших колебаний отличается от
ускорения свободного падения g? 2) С каким по величине ускорением
движется груз в момент, когда его кинетическая энергия
Т = 3i/0? Затуханием колебаний пренебречь. (Билет 5, 2003)
1.167. Обручу, закрученному вокруг горизонтальной оси,
проходящей перпендикулярно плоскости обруча через его центр, сообщают
вдоль горизонтальной поверхности стола скорость v0, направленную
перпендикулярно оси вращения (см.
рис. 1.119). Обруч сначала удаляется, а
затем из-за трения о стол возвращается к месту
начала движения со скоростью vt = Vq/4,
катясь без проскальзывания. Коэффициент
рис. 1.П9. трения скольжения между обручем и
столом — jla.. 1) Найдите время движения до
места максимального удаления. 2) Через какое время, считая от начала
движения, обруч возвратится назад? (Билет 6, 2003)
1.168. Шарик висит на пружине в поле силы тяжести g. В
положении равновесия в пружине запасена энергия деформации UQ.
Вертикальным толчком шарику сообщается кинетическая энергия,
равная 3UQ. 1) Чему равна величина максимального ускорения
шарика атах во время возникших вертикальных колебаний? 2)
Чему равна кинетическая энергия движения шарика Т в момент,
когда его ускорение а = атах/3? Затуханием колебаний
пренебречь. (Билет 6, 2003)
1.169. Шару сообщили ударом скорость v0 вдоль горизонтальной
поверхности стола и вращение вокруг его
горизонтального диаметра, перпендикулярно
v0 скорости (см. рис. 1.120). В результате ско-
рость шара в течение времени 1п увеличи-
Рис j j 2о лась, а затем шар стал двигаться с
постоянной скоростью. 1) Найдите эту
постоянную скорость. 2) На какое расстояние от места удара удалится

40
МЕХАНИКА
с осью угол айв два раза короче нити, связывающей шарики.
Шарик с массой 4т давит на платформу с силой в два раза большей,
чем другой шарик. Найдите силу натяжения
нити между шариками. Трение между
платформой и шариками пренебрежимо ма-
4ш т ЛО. (Билет 10, 2003)
"а а 1.175. Вокруг вертикальной оси 001 вра-
~| щается с постоянной угловой скоростью си-
Ю стема из двух небольших по размерам ша-
Рис, 1.123. риков различной массы (см. рис. 1.124).
Нить, связывающая шарики, в три раза
длиннее нити, прикрепленной к верхнему шарику и оси вращения.
Нити составляют углы 7 (sin 7 = 3/5) и ц> (sin ц> = 4/5) с
вертикалью. Найдите отношение сил натяжения верхней и нижней нитей.
(Билет 11, 2003)
1.176. Два небольших по размерам груза с массами Зт и т
связаны нитью длиной 12 и прикреплены к оси ОО, нитью длиной lv
составляющей угол (3 с осью ОО; (см. рис. 1.125). Грузы находятся
на горизонтальной платформе и вращаются вместе с ней вокруг
вертикальной оси OOj. При какой постоянной угловой скорости грузы
будут давить на платформу с одной и той же силой? Трение между
грузами и платформой пренебрежимо мало. (Билет 12, 2003)
Рис. 1.124. Рис ! 125. Рис. 1.126.
1.177. На горизонтальной поверхности стола протягивают с
постоянной скоростью v тонкую ленту шириной d. На ленту въезжает
скользящая по столу монета, имея скорость 4/Зи, направленную
перпендикулярно к краю ленты (рис. 1.126). Монета скользит по ленте
и покидает ее со скоростью v (относительно стола) под неравным
нулю углом к краю ленты. 1) Найти скорость монеты (по модулю),
относительно ленты в начале движения по ленте. 2) Найти
коэффициент трения скольжения между лентой и монетой. (Билет 1, 2004)
1.178. Лента транспортера на почте движется с постоянной
скоростью v, находясь в одной плоскости с горизонтальной
поверхностью стола. На ленту попадает небольшая коробка, двигавшаяся
по столу со скоростью и/2, направленной под углом а
(cos а = 1/9) к краю ленты (рис. 1.127). Коэффициент трения

МЕХАНИКА
39
шар за время 3t0 после удара? Коэффициент трения скольжения
между поверхностями шара и стола — ц. (Билет 7, 2003)
1.170. Груз уравновешен на чашке пружинных весов, при этом в
сжатой пружине запасена потенциальная энергия деформации U0.
После того, как часть груза быстро сняли, оставшийся груз стал
совершать вертикальные колебания, в которых величина
максимального ускорения составила атях = 2g (g — ускорение свободного
падения). 1) Во сколько раз масса первоначального груза больше
оставшейся? 2) Чему равна кинетическая энергия оставшегося груза в
момент, когда его ускорение а = ятах/2? Затуханием колебаний
пренебречь. (Билет 7, 2003)
1.171. Обруч, закрученный вокруг горизонтальной оси,
проходящей перпендикулярно плоскости обруча через его центр, бросили
вдоль горизонтальной поверхности стола со скоростью v0,
направленной перпендикулярно оси вращения (см.
рис. 1.121). Обруч сначала удалялся, а затем
из-за трения о стол возвратился к месту
броска, катясь без проскальзывания со скоростью V^^/ v°
v\ = vJ5. Коэффициент трения скольжения
л 14 и Рис- 1121-
между обручем и столом р.. 1) На какое
максимальное расстояние от места броска удалился обруч? 2) Найдите
отношение времени возврата (движения к месту броска) ко времени
удаления (движения от места броска). (Билет 8, 2003)
1.172. Шарик висит на пружине в поле тяжести g. В положении
равновесия в пружине запасена энергия, равная U0. Шарик
оттягивают вниз так, что в пружине запасается энергия Ui = 9Uq/4, а затем
отпускают. 1) Чему равна величина максимального ускорения ятах,
с которым движется шарик во время возникших вертикальных
колебаний? 2) Чему равна кинетическая энергия Т движения шарика в
момент, когда его ускорение а = ятах/2? Затуханием
колебаний пренебречь. (Билет 8, 2003)
1.173. Два небольших по размерам шарика
связаны нитью и прикреплены к оси OOi другой нитью в
раз меньшей длины. Система вращается с
постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси Рис- 1122.
(Ю1 (см. рис. 1.122). Нити составляют углы
а = 30° и р = 60° с вертикалью. Найдите отношение масс шари
ков. (Билет 9, 2003)
1.174. Горизонтальная платформа и находящиеся на ней
небольшие по размерам шарики с массами m и 4т вращаются с постоянной
угловой скоростью вокруг вертикальной оси OOl (см. рис. 1.123).
Пить, прикрепленная к шарику с массой 4т и оси ОО,, составляет

МЕХАНИКА 41
скольжения между коробкой и лентой равен ц. 1) Чему равна
скорость коробки (по модулю) относительно ленты в начале дви-
:. 1.127.
жения по ленте? 2) При какой минимальной ширине ленты
коробка не преодолеет Ленту? (Билет 2, 2004)
1.179. По горизонтальному столу передвигают с постоянной
скоростью тонкую ленту шириной d. На ленту въезжает двигавшаяся по
столу пуговица, имевшая до въезда скорость, равную скорости ленты
и направленную под углом а = 60° к краю ленты (рис. 1.128). Пуго-
ница скользит по ленте и покидает ее со скоростью (относительно
стола), направленной под углом 8 = 30° к краю ленты. Коэффициент
трения скольжения между пуговицей и лентой равен ц. 1) Во
сколько раз отличается модуль скорости пуговицы относительно ленты в
начале движения по ленте от модуля скорости ленты? 2) Найти
скорость ЛеНТЫ (по МОДУЛЮ). (Билет 3, 2004)
1.180. Лента горизонтального тротуара шириной d движется с
Рис. 1.128. Рис. 1.129.
постоянной скоростью v. На ленту попадает шайба с
горизонтальной скоростью Зи, направленной под углом a (cos а = 2/3) к краю
ленты (см. рис. 1.129). 1) Чему равна скорость шайбы (по
модулю) относительно тротуара в начале движения по нему? 2) при
каком максимальном коэффициенте трения скольжения между
шайбой и тротуаром шайба преодолеет тротуар? (Билет 4, 2004)
1.181. Бруски с массами т и 2т связаны легкой нитью,
перекинутой через блок, и находятся на наклонной и горизонтальной по-
иерхностях призмы (рис. 1.130). Угол наклона к горизонту одной из
Рис. 1.130.

44
МЕХАНИКА
менту удара груза с массой, т о стол другой груз не достиг блока, а
брусок сместился на S = 2,5 см. На каком расстоянии от стола нахо-
Рис. 1.135.
дился груз с массой т вначале? Массами блока и штанги
пренебречь. (Билет 10, 2004)
1.187. Бруски с массами т и Зт связаны легкой нитью,
перекинутой через блок, укрепленный на вершине клина с углом наклона
к горизонту a (cos а = 7/9) и массой 4т (рис. 1.136). Клин находит-
Рис. 1.136.
ся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Брусок с массой
Зт удерживают неподвижно на расстоянии L = 24 см от края клина,
а затем отпускают. В результате бруски и клин движутся
поступательно, их скорости лежат в одной и той же вертикальной плоскости.
На какое расстояние сместится клин к моменту удара бруска с массой
Зт о стол? К моменту удара другой брусок еще не достигает блока.
Массой блока пренебречь. (Билет 11, 2004)
1.188. Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда
находится на гладкой горизонтальной поверхности стола. На бруске
Рис. 1.137.

МЕХАНИКА
43
поверхности призмы. Бруски находятся на расстояниях R и 3R от
оси вращения. Коэффициент трения скольжения бруска о наклон-
Рис. 1.133.
ную поверхность призмы [к = 1/2, горизонтальная поверхность
призмы гладкая. При какой минимальной угловой скорости
вращения брусок массой m начнет удаляться от оси вращения?
Трением В оси блока пренебречь. (Билет 8, 2004)
1.185. Клин с массой 2т и углом наклона к горизонту а
(cos а = 2/3) находится на гладкой горизонтальной поверхности
стола (рис. 1.134). Через блок, укрепленный на вершине клина, пере-
Рис. 1.134.
кинута легкая нить, связывающая грузы с массами т и Зт. Груз с
массой Зт может скользить вдоль вертикальной направляющей АВ,
закрепленной на клине. Этот груз удерживают неподвижно на
расстоянии Н = 27 см от стола, а затем отпускают. В результате грузы
п клин движутся поступательно, их скорости лежат в одной и той же
мсртикальной плоскости. На какое расстояние сместится клин к
моменту удара груза с массой Зт о стол? Массами блока и
направляющей АВ пренебречь. (Билет 9, 2004)
1.186. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится
брусок в форме прямоугольного параллелепипеда. На бруске укреп-
1сн ступенчатый блок с радиусами шкивов г и R = 4г и вертикальная
штанга ВС (рис. 1.135). На шкивы намотаны легкие нити, прикреп-
.к'нные к грузам с массами т и 5т. Груз с массой т может скользить
и.юль штанги ВС. Вначале груз с массой 5т удерживали в покое, а
i.ncM отпустили. Брусок и грузы стали двигаться поступательно, их
i корости оказались в одной и той же вертикальной плоскости. К мо-

42
МЕХАНИКА
поверхностей призмы равен a (sin а = 3/5). Коэффициент трения
скольжения бруска о горизонтальную поверхность ц. = 1/6, а о
наклонную поверхность — 2\л. При перемещении призмы с некоторым
минимальным горизонтальным ускорением
а брусок с массой 2т начинает скользить
по призме влево при натянутой нити.
Найти отношение a/g, где g — ускорение
свободного падения. Трением в оси блока
пренебречь. (Билет 5, 2004)
1.182. Небольшие бруски с массами т
и Зт связаны легкой нитью, перекинутой
через блок (рис. 1.131). Брусок массой
Зт удерживают на гладкой наклоненной
под углом р" (cos р" = 3/5) к горизонту
поверхности чаши. Коэффициент трения
скольжения между бруском массой m и
вертикальной стенкой чаши \а — 2/5. Чаша
с брусками может вращаться вокруг вертикальной оси ОО'. Бруски
находятся на расстояниях R и 2R от оси ОО'. Нить и бруски
лежат в плоскости, перпендикулярной поверхности чаши. При
какой минимальной угловой скорости вращения брусок массой m
начнет двигаться вверх, если второй брусок не удерживать?
Трением В ОСИ блока пренебречь. (Билет 6, 2004)
1.183. Грузы с массами m и 2т связаны легкой нитью,
перекинутой через блок, и находятся на наклоненных под углами а
Рис. 1.131.
Рис. 1.132.
(sin а = 4/5) и р" = 90° — а к горизонту поверхностях горки
(рис. 1.132). Поверхность BD гладкая, коэффициент трения
скольжения груза о поверхность АВ \а = 1/3. С каким минимальным
горизонтальным ускорением а надо двигать горку, чтобы груз
массой 2т поднимался вверх по поверхности ВЕР. Трением в оси
блока пренебречь. (Билет 7, 2004)
1.184. На горизонтальной и наклонной поверхностях призмы
находятся небольшие бруски с массами m и 2т, связанные легкой
нитью, перекинутой через блок (рис. 1.133). Призма с брусками
может вращаться вокруг вертикальной оси ОО'. Ось ОО'
составляет угол a (sin а = 4/5) с наклонной поверхностью призмы,
причем ось и бруски лежат в плоскости, перпендикулярной наклонной

МЕХАНИКА
45
укреплены ступенчатый блок с радиусами шкивов г и R = Зг и
вертикальная штанга АС (рис. 1.137). На шкивы намотаны легкие
нити, прикрепленные к грузам с массами т и 4т. Масса бруска
2т. Груз с массой т может скользить вдоль штанги АС. Вначале
груз с массой 4т удерживали в покое. При этом груз с массой
т находился на расстоянии Н = 14 см от стола. Затем грузы
отпустили. Брусок и грузы стали двигаться поступательно, их
скорости оказались в одной и той же вертикальной плоскости. На
какое расстояние сместится брусок к моменту удара груза с массой
т о стол? При ударе другой груз не достигает блока. Массами
блока и штанги пренебречь. (Билет 12, 2004)

2. ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. Резиновый шарик массой т = 2 г надувается гелием при
температуре г=17°С. По достижении в шарике давления, равного
1,1 атм, он лопается. Какая масса гелия была в шарике, если перед
тем, как лопнуть, он имел сферическую форму? Известно, что
резиновая пленка рвется при толщине Д = 2 - Ю-3 см. Плотность резины
р = 1,1 г/см3, молярная масса гелия \л = 4 г/моль, универсальная
газовая постоянная Л = 8,31 Дж/(моль-К). (Билет 1, 1991)
2.2. В кастрюлю-скороварку залили небольшое количество воды
при температуре t0 = 20 °С, причем занимаемый водой объем
намного меньше объема кастрюли. После этого ее герметично
закрыли крышкой и медленно нагрели. Когда температура в кастрюле
достигла г, = 115 "С, а давление трех атмосфер, вся вода
испарилась. Оценить по этим данным, какую часть объема кастрюли
занимала вода до начала нагрева. Давлением водяных паров в
кастрюле при 20 °С можно пренебречь. Универсальная газовая
постоянная /? = 8,31 Дж/(мольК), молярная масса воды \л =
= 18 г/моль, плотность воды р=1 г/см3. (Билет 2, 1991)
2.3. В сферический газгольдер из стали закачан азот при
температуре 17 °С и давлении р=100 атм. Найти массу оболочки
газгольдера, если известно, что она вдвое больше массы
закачанного азота. Плотность стали р = 7,8 г/см3, толщина стенки
газгольдера Л = 1 см много меньше его радиуса. Универсальная газовая
постоянная R = 8,31 Дж-К-1 -моль-1. Молярная масса азота
(Х=28 г/моль. (Билет 3, 1991)
2.4. В герметичный сосуд, содержащий сухой воздух при
температуре 17 "С и некотором давлении, впрыснули немного воды и
стали медленно нагревать. Определить давление воздуха в сосуде
до впрыскивания воды, если к тому моменту, когда испарилась
вся вода, давление воздуха составляло 46% от общего давления в
сосуде. Начальный объем воды составил 1/1200 от объема сосуда.
Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К),
молярная масса и плотность воды соответственно \и= 18 г/ моль и
р = 1 г/см3. (Билет 4, 1991)
2.5. В цилиндре под поршнем находится смесь v молей жидкости
и v и молей ее насыщенного пара при температуре Т0. К
содержимому цилиндра подвели количество теплоты Q, медленно и
изобарически нагревая его, и температура внутри цилиндра увеличилась на
Л7Л Найти изменение внутренней энергии содержимого цилиндра.
Начальным объемом жидкости пренебречь. (Билет 5, 1991)
2.6. Жидкость и ее насыщенный пар находятся в цилиндре под
поршнем при некоторой температуре. При медленном
изобарическом нагреве температура системы повысилась до 100 "С, а объем
увеличился на 54%. На сколько градусов нагрели соержимое ци-

ТЕРМОДИНАМИКА
47
линдра, если масса пара вначале составляла 2/3 от полной массы
смеси? Начальным объемом жидкости по сравнению с объемом
системы пренебречь. (Билет 6, 1991)
2.7. В цилиндре под поршнем содержится v молей ненасыщенного
водяного пара при темпертуре Т0. При медленном изобарическом
охлаждении цилиндра половина пара сконденсировалась, а
внутренняя энергия содержимого в цилиндре уменьшилась на AU. Какое
количество теплоты пришлось при этом отвести от содержимого
цилиндра, если температура в цилиндре уменьшилась на ДГ? Объемом
воды по сравнению с объемом пара пренебречь. (Билет 7, 1991)
2.8. Смесь воды и ее насыщенного пара занимает некоторый объем
при температуре 90 "С. Если смесь нагревать изохорически, то вся
вода испаряется при увеличении температуры на 10 °С. Чему равно
давление насыщенного водяного пара при 90 °С, если в начальном
состоянии масса воды составляла 29 % от массы всей смеси? Объемом
воды по сравнению с объемом смеси пренебречь. (Билет 8, 1991)
2.9. Моль идеального одноатомного газа из начального состояния
/ расширяется сначала изобарически, а затем в процессе с линейной
зависимостью давления от объема (рис. 2.1). Известно, что
V^V2~ vilvv Т2~тз- Найти отношение V2/Vt, если количество
теплоты, подведенное к газу на участке 1—2, в два раза больше
величины работы, совершенной газом на участке 2—3. (Билет 9, 1991)
■ 2
Рис. 2.1.
Рис. 2.2.
Рис. 2.3.
2.10. Моль идеального одноатомного газа расширяется сначала
изобарически, а затем в процессе с линейной зависимостью давления
от объема (рис. 2.2). Известно, что V2/V{ = V3/V2, а прямая 2—3
проходит через начало координат. Найти отношение объемов V2/Vv если
количество теплоты Ql2, подведенное к газу на участке 1—2, в
четыре раза меньше величины работы Л2Ъ, совершенной газом на
участке 2—3. (Билет 10, 1991)
2.11. Моль идеального одноатомного газа сжимают сначала
изобарически, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от
объема (рис. 2.3). Известно, что Т2 = Т3 и VXIV2 = V2/V3. Найти
отношение VJV2, если количество теплоты, отведенное от газа на уча-

48
ТЕРМОДИНАМИКА
стке 1—2, в три раза больше величины работы сжатия па участке
2—3. (Билет 11, 1991)
2.12. Моль идеального одноатомного газа
сжимают сначала изобарически, а затем в
процессе с линейной зависимостью давления от
объема (рис. 2.4). Известно, что И,/И2= И2/73,
а прямая 2-3 проходит через начало координат.
Найти отношение объемов если
количество теплоты <212, отведенное от газа на участке
1—2, в 16 раз больше величины работы сжатия
Л23 на участке 2—3. (Билет II, 1ЧЧП
2.13. Колокол для подводных работ объемом 10 м'' опускается
вверх дном с борта корабля на дно водоема глубиной 20 м. Зашедшая
в колокол вода вытесняется из него с помощью баллонов со сжатым
воздухом. Объем одного баллона 40 л, давление внутри 200 атм.
Найти минимальное количество баллонов, которое нужно подсоединить
к колоколу с помощью шланга, чтобы вытеснить из него иоду.
Газовая постоянная Л = 8,31 Дж/(мольК), температуру считать
постоянной. (Билет 1, 1992)
2.14. Аквалангист берет с собой для подводного плавания
баллоны со сжатым воздухом объемом V = 20 л. Найтн разность
времени пребываня аквалангиста на глубинах 5 и 25 м, считая, что
масса воздуха, потребляемая им в этих условиях, остается такой
же, как и без акваланга. В обычных условиях человек делает 20
вздохов в минуту, потребляя при каждом вздохе И, = 2,5 л
воздуха. Газовая постоянная равна R = 8,31 Дж/(моль' К), температуру
Считать ПОСТОЯННОЙ. (Билет 2, 1992)
2.15. Цилиндрический колокол для подводных работ высотой 2 м
опускается вверх дном с борта катера на дно водоема глубиной 3 м.
Найти толщину воздушной подушки, образовавшейся у «потолка»
колокола к моменту его касания дна водоема. Температуру считать
ПОСТОЯННОЙ. (Билет 3, 1992)
2.16. Пустой сосуд наполняется через вентильное устройство
путем подсоединения к нему баллонов со сжатым воздухом. После
выравнивания давлений в сосуде и баллоне вентиль перекрынается,
затем подсоединяется следующий баллон и т. д. Найти отношение
давлений в сосуде после подсоединения одного и двух баллонов со
сжатым воздухом. Известно, что объем сосуда втрое больше объема
одного баллона. Считать, что в процессе выравнивания давлений
выравнивается и температура газа в сосуде и баллоне. (Билет 4, 1992)
2.17. Равные массы гелия Не и водорода Н2 находятся в
теплоизолированном цилиндре под поршнем. Объем цилиндра У0 = 1 л,
давление в нем Р0 = 9 атм. При адиабатическом расширении смесь газов
совершает работу А = 650 Дж. Найти относительное изменение темпе-

ТЕРМОДИНАМИКА
49
ратуры смеси. Внутренняя энергия моля гелия равна ^ RT,
водорода — ^ RT, Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная.
Молярные массы гелия и водорода равны соответственно 4 г/моль и
2 г/моль. (Билет 5, 1992)
2.18. В цилиндре под давлением Р = 2 атм находится смесь гелия
Не и водорода Н2. Изобарический нагрев смеси газов приводит к
увеличению объема цилиндра на AV = 1 л. На сколько изменилась
при этом внутренняя энергия смеси газов? Масса водорода в 1,5 раза
з
больше массы гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна а
водорода — |RT, где Т — абсолютная температура, R — газовая
постоянная. Молярные массы гелия и водорода равны соответственно
4 г/МОЛЬ И 2 г/МОЛЬ. (Билет 6, 1992)
2.19. Гелий Не и водород Н2 находятся в теплоизолированном
цилиндре под поршнем. Объем, занимаемый смесью газов, V0 = 1 л,
давление Р0 — 37 атм. При адиабатическом расширении смеси газов
относительное уменьшение температуры составило 75%. Найти
работу, совершаемую при этом смесью газов, если масса водорода в 1,5
раза больше массы гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна
3 5
jRT, а водорода — 2Л^' где ^ — абсолютная температура, R —
газовая постоянная. Молярные массы водорода и гелия равны
соответственно 2 г/мОЛЬ и 4 г/МОЛЬ. (Билет 7, 1992)
2.20. В сосуде объемом V = 1 л находится смесь гелия Не и
водорода Н2. При изохорическом нагреве смеси к ней подвели
количество теплоты Q = 220 Дж. При этом давление в сосуде
возросло на АР = 1 атм. Найти отношение числа молей водорода к
числу молей гелия в сосуде. Внутренняя энергия моля гелия равна
3 5
а водорода — ^RT, где Т — абсолютная температура, R —
газовая постоянная. (Билет 8, 1992)
2.21. В горизонтально расположенном теплопроводящем цилиндре
под подвижным поршнем заперт воздух при атмосферном давлении
и комнатной температуре. В объем под поршнем впрыснули m = 5 г
легко испаряющейся жидкости. После того, как жидкость
испарилась, оказалось, что объем, занятый воздухом и парами жидкости,
увеличился на ДК = 0,6 л. Найти по этим данным молярную массу
жидкости. Наружное давление равно атмосферному, газовая
постоянная R = 8,31 Дж/(моль- К), t = 27 °С. Объемом, занимаемым
жидкостью в начале опыта, можно пренебречь. (Билет 9, 1992)
2.22. Легкая подвижная перегородка делит герметичный теплопро-
водящий сосуд на две неравные части, в которых находится воздух
при атмосферном давлении и комнатной температуре. В меньшую
часть сосуда впрыскивается легко испаряющаяся жидкость, давление

50
ТЕРМОДИНАМИКА
насыщенного пара которой при комнатной температуре равно
3,5 атм. Спустя некоторое время перегородка перестала двигаться, а
жидкость почти вся испарилась. Объем части сосуда, в которой
находятся воздух и пары, увеличился при этом вдвое по сравнению с
первоначальным. Найти, какую часть объема сосуда составляла
вначале его меньшая часть? Объемом, занимаемым жидкостью в начале
и конце опыта, можно пренебречь. (Билет 10, 1992)
2.23. При «зарядке» сифонов углекислотой часть ее растворяется
в воде. Определить эту часть при зарядке сифона одним
баллончиком, содержащим 10 г углекислоты. Объем сифона, не занятый
водой, равен V = 0,2 л, температура 24 °С. Конечное давление в сифоне
после растворения углекислого газа в воде устанавливается равным
4 атм. Газовая постоянная /? = 8,31 Дж/(моль-К). Объемом
баллончика и изменением температуры в сифоне при растворении
углекислоты пренебречь. (Билет п, 1992)
2.24. Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем.
Изотермическое увеличение давления в (3 = 2 раза уменьшает объем
цилиндра в 7 = 2,5 раза. Какую часть конечного давления
составляет давление пара, если начальная относительная влажность
воздуха равна а = 0,64 (объемом сконцентрировавшейся воды
пренебречь). (Ьилст 12, 1992)
2.25. В ресторане «Седьмое небо» на высоте Н % 300 метров вода
закипает при температуре 99 °С. Давление воздуха в изотермической
атмосфере с высотой h меняется по закону: P(h) = Р(0) х
х ехр(—\agh/RT), где Р(0) — атмосферное давление у поверхности
земли, (д. = 29 г/моль — средняя молярная масса воздуха,
g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения, R= 8,31 Дж/моль-К,
Т = 290 К. Считая, что малые относительные изменения давления
APJPn и температуры ATJTn насыщенного водяного пара связаны
формулой АР /Р = CATJTH, найти величину константы С.
Указание: для малых x<z 1 имеет место формула е~х % 1 — х.
(Ьилст 1, 1993)
2.26. В модели «адиабатической» атмосферы температура воздуха
меняется с высотой h по линейному закону: T(h) — T(0) —
— 2\JLgh/lR, где Г(0) = 273 К (температура у поверхности земли),
\а = 29 г/моль — средняя молярная масса воздуха, g = 9,8 м/сек2 —
ускорение свободного падения, /? = 8,31 Дж/моль-К — газовая
постоянная. В той же модели температура T(h) и плотность р(/г) на
высоте h связаны с температурой Т(0) и плотностью р(0) у поверхности
земли формулой Г5(/г)/р2(/г) = Г5(0)/р2(0). Найти массу воздуха,
содержащегося в 1 литре, взятом на высоте Эльбруса Н = 5,5 км.
Воздух у поверхности земли находится в нормальных условиях.
Указание: для х« 1 имеет место формула (1 — х)а % 1 — ах.
(Ьилст 2, 1993)

ТЕРМОДИНАМИКА
53
изохорическом процессе, если величина работы газа в
адиабатическом процессе оказалась в р раз больше величины работы
изотермического сжатия. Известно, что V2=aVl, а суммарное количество
теплоты, подведенное к газу за цикл, равно Q. (Билет 12, 1993)
2.37. Моль одноатомного идеального газа переводится из состояния
/ в состояние 3 путем изобарического нагрева 1—2 и изохорического
охлаждения 2—3 (рис. 2.9). На участке 1—2 газ совершает работу
Л = 1250 Дж. В процессе всего перехода 1—2—3 газ получает
суммарное (алгебраическая сумма) количество теплоты Q = 750 Дж.
Найти разность температур Т2 и Т3. (Билет 1, 1994)
2.38. В процессе расширения к одноатомному идеальному газу
было подведено количество теплоты, в 4 раза превышающее величину
его внутренней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз
увеличился объем газа, если в процессе расширения он изменялся прямо
пропорционально давлению (К~Р)? Под внутренней энергией газа
понимается сумма кинетических энергий всех молекул. (Билет 2, 1994)
Рис. 2.9.
Рис. 2.10.
2.39. Один моль одноатомного идеального газа переводится из
состояния 1 в состояние 3 путем изохорического охлаждения 1—2, а
затем изобарического нагрева 2—3 (рис. 2.10). На участке 1—2
температура газа уменьшается на AT = 100 К, а в процессе 1—2—3 газ
получает суммарное (алгебраическая сумма) количество теплоты
Q= 1870 Дж. Какую по величине работу совершил газ в процессе
изобарического нагрева? (Билет з, 1994)
2.40. Одноатомный идеальный газ расширяется в процессе с
линейной зависимостью его давления от объема. В итоге этого процесса
к газу было подведено количество теплоты, в 3,6 раза меньшее его
внутренней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз
увеличился объем газа, если в конечном состоянии величина его
внутренней энергии оказалась равной первоначальному значению? Под
внутренней энергией газа понимается сумма кинетических энергий всех
молекул. (Билет 4, 1994)
2.41. В горизонтально расположенной
трубке столбиком ртути длиной /= 12 см
заперт слой воздуха толщиной L = 35 см
(рис. 2.11). Если трубку повернуть один раз
В
Рис. 2.11.

52
ТЕРМОДИНАМИКА
2.33. Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от
температуры Т и объема V по формуле U = сТ — a/V, где сна —
известные константы. Такой газ, расширяясь в процессе 1—2:
Р = рк, (рис. 2.5) совершает работу величиной А (Р — давление,
Р — заданная константа). В процессе изохорического охлаждения
газа 2—3 до первоначальной температуры от него пришлось
отвести количество теплоты Q. Сколько теплоты было подведено к
газу в процессе расширения 1—2, если его объем увеличился при
ЭТОМ В а раз? (Билет 9, 1993)
2.34. Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от
температуры и объема по формуле U = сТ — у, где с и а — заданные
константы. Такой газ из состояния с объемом К, расширяется в
адиабатическом процессе 1—2 до объема V2 = o.Vt (рис. 2.6). Затем его
в изохорическом процессе 2—3 возвращают в состояние с
первоначальной температурой и, далее, в изотермическом процессе 3—1
переводят в исходное состояние. Найти разность конечной и начальной
температур газа в изохорическом процессе, если в изотермическом
процессе от газа пришлось отвести количество теплоты Q, а работа
сжатия при этом оказалась в р раз больше работы расширения в
адиабатическом процессе. (Билет 10, 1993)
Рис. 2.5. Рис. 2.6. Рис. 2.7. Рис. 2.8.
2.35. Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от
температуры Т и объема V по формуле U = сТ — -рг, где сна —
заданные константы. Такой газ в процессе 1—2 (рис. 2.7) при
постоянном давлении Р0 увеличивает свой объем в а раз, совершая
при этом работу величиной А. Если бы газ из того же начального
состояния увеличил свой объем в а раз в адиабатическом процессе
1—3, то он совершил бы работу в р раз меньшую первоначальной.
На сколько градусов AT изменилась бы температура газа в
адиабатическом процессе? (Билет 11, 1993)
2.36.Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от
температуры Т и объема V по формуле: U' = сТ — у, где с и а — заданные
константы. Такой газ из состояния с объемом Vx описывает
замкнутый цикл, состоящий из адиабаты 1—2, изотермы 2—3 и изохоры 3—1
(рис. 2.8). Найти разность конечной и начальной температур газа в

ТЕРМОДИНАМИКА
51
2.27. Для насыщенного водяного пара вблизи температуры
~ 100 °С, малые относительные изменения давления АРН/РН и
температуры АТн/Ти связаны формулой АРн/Ри = 13А7'11/7,11. При какой
температуре закипит вода на высоте Останкинской телебашни
Я = 550 м? Давление воздуха в изотермической атмосфере P{h) с
высотой h изменяется по закону: P(h) = Р(0) ехр(—\igh/RT), где
Р(0) — нормальное атмосферное давление у поверхности земли,
(х = 29 г/моль — средняя молярная масса воздуха, g = 9,8 м/сек2 —
ускорение свободного падения, R = 8,31 Дж/моль - К, Т = 273 К.
Указание: для малых х«\ имеет место е~х « 1 — х.
(Ьилет 3, 1993)
2.28. В модели изотермической атмосферы зависимость давления
P{h) каждого газа, входящего в состав воздуха, от высоты h
определяется барометрической формулой P{h) = Р(0) exp(—\*.gh/RT), где
Р(0) — давление у поверхности земли, \а — молярная масса
компоненты воздуха, # = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения,
R — 8,31 Дж/моль-К, Т = 273 К. В литре воздуха, взятого при
нормальных условиях у поверхности земли, содержится 23% (по массе)
кислорода. Какая масса кислорода содержится в литре воздуха,
взятого на вершине Эвереста (высота Я = 8,9 км)? Средняя молярная
масса воздуха у поверхности земли ^ = 29 г/моль.
Указание: для х«1 имеет место формула е~х « 1 — х.
(Ьилет 4, 1993)
2.29. Мыльный пузырь диаметром d, наполненный газом,
находится в герметичной воздушной камере. После того, как часть
воздуха из камеры откачали, пузырь увеличил свой диаметр вдвое.
Чему равно конечное давление воздуха в камере? Поверхностное
натяжение мыльного раствора равно сг, начальное давление воздуха в
камере — Р0. (Билет 5, 1993)
2.30. Мыльный пузырь надувается воздухом, температура
которого выше комнатной. При диаметре пузыря 0,3 мм он начинает
всплывать (в комнате). На сколько процентов температура воздуха
в пузыре выше комнатной? Поверхностное натяжение мыльного
раствора сг = 38 дин/см. Весом пленки пренебречь. (Билет 6, 1993)
2.31. Мыльный пузырь находится в воздушной камере при
комнатной температуре. Давление воздуха в пузыре вдвое отличается от
давления в камере. При нагревании воздуха в пузыре и в камере до
70°С радиус пузыря увеличивается на 15%, а давление в камере
остается неизменным. Найти отношение коэффициентов
поверхностного натяжения мыльного раствора при конечной и начальной
температурах опыта. (Билет 7, 1993)
2.32. Мыльный пузырь надувается азотом при комнатной
температуре. При каком диаметре пузырь начнет всплывать в
атмосферном воздухе? Поверхностное натяжение мыльного раствора
ог = 40 дин/см, весом пленки пренебречь. (Билет 8, 1993)

54
ТЕРМОДИНАМИКА
открытым концом вниз, а другой раз вверх, то столбик ртути
смещается. Разность величин этих смещений от начального
горизонтального положения равна 2 см. Найдите величину наружного
давления (в мм ртутного столба). (Билет 5, 1994)
2.42. В одно из колен U-образной вертикально расположенной
трубки, частично заполненной жидкостью, долили слой более легкой
жидкости. Возникшая при этом разность уровней жидкости в коленах
составила h = 4 см. Когда толщину слоя легкой жидкости увеличили
еще на 3 см, уровень тяжелой жидкости переместился на 1 см.
Найдите толщину слоя более легкой жидкости, первоначально налитой в
трубку. Жидкости в трубке не смешиваются. (Билет 6, 1994)
2.43. U-образную вертикально расположенную трубку заполнили
частично ртутью, а затем одно из колен трубки закрыли. Если в
открытое колено трубки долить некоторое количество ртути, то
уровни ее в коленах сместятся. Найдите наружное давление (в мм
ртутного столба), если отношение величин этих смещений уровней равно
п = 4, а толщина воздушной прослойки в закрытом колене в
конечном СОСТОЯНИИ равна L=25 СМ. (Билет 7, 1994)
2.44. U-образная вертикально расположенная трубка частично
заполнена жидкостью, так что расстояния от открытых концов трубки
до уровня жидкости в коленах трубки равны А. Какой максимальный
по толщине слой более легкой жидкости можно налить в одно из
колен трубки, чтобы жидкость из трубки не выливалась? Отношение
величин плотностей жидкостей равно к (к> 1). Жидкости не
смешиваются. (Билет 8, 1994)
2.45. В переносном газовом баллоне объемом v0 = 5 л может
поместиться не больше т0 = 2,2 кг жидкого пропана (С3Н8) под
давлением 16 атмосфер и при температуре 17 "С. Сколько пропана в
газообразном состоянии останется в баллоне, если из «полного» баллона
израсходовать 80% пропана? (Билет 9, 1994)
2.46. Транспортный баллон с гелием имеет массу 61,6 кг при
температуре 27 "С и давлении гелия внутри, равном 200 атмосфер.
Часть гелия была использована, чтобы надуть резиновые шарики
объемом 4 литра каждый. Масса оставшегося гелия с баллоном
при температуре —3 °С оказалась равной 60,6 кг, а давление в
баллоне 70 атмосфер. Найти объем транспортного баллона и
количество надутых шариков, если давление в них равно 1
атмосфере. (Билет 10, 1994)
2.47. 300 г пропана (С3Н8) были закачаны при температуре
17 "С и давлении 16 атмосфер в переносной газовый баллон объемом
1 литр. Сколько пропана в газообразном состоянии содержится в этом
баллоне, если при указанных выше давлении и температуре пропан
превращается в жидкость с плотностью 440 кг/м3? (Билет п, 1994)
2.48. По магистральному газопроводу с диаметром труб 1020 мм
подается смесь горючих газов под давлением 10 атмосфер. Ско-

ТЕРМОДИНАМИКА
55
рость движения газов в трубе 10 м/с, температура 17 °С, средняя
молярная масса смеси 44 г/ моль. Какая масса газа перекачивается
по газопроводу за 1 год? (Билет 12, 1994)
2.49. В вакуумной теплоизолированной камере находятся два
масляных пузыря одинакового размера, один из которых наполнен
гелием, а другой водородом до давления Р0 каждый. Найти отношение
давления Р, установившегося в камере, после того, как пузыри
лопнули, к начальному давлению газа в пузырях. Отношение
температуры гелия Tj к температуре водорода Т2 составляет Т1/Т2 = 0,6.
Молярная теплоемкость гелия при постоянном объеме Cv = 3/2 R,
1
водорода Cv = 5/2 R, R — газовая постоянная. Объем пузыря в 160
2
раз меньше объема камеры. Изменением поверхностной энергии
пленок при разрыве пузырей пренебречь. (Билет 1, 1995)
2.50. В сосуде объемом К, = 20 л находится вода, насыщенный
водяной пар и воздух. Объем сосуда при постоянной температуре
медленно увеличивают до V2 = 40 л, давление в сосуде при этом
уменьшается от Р1 = 3 атм до Р2 = 2 атм. Определить массу воды в сосуде
в конце опыта, если общая масса воды и пара составляет m — 36 г.
Газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К). Объемом, занимаемым
жидкостью в обоих случаях, пренебречь. (Билет 2, 1995)
2.51. В вакуумной теплоизолированной камере находятся два
масляных пузыря одинакового размера, один из которых наполнен
аргоном, а другой азотом до давления Р0 каждый. После того как
пузыри лопаются, в камере устанавливается давление Р, которое
в 30 раз меньше Р0. Найти отношение объема пузыря V0 к объему
камеры V, если отношение температур аргона Г, и азота Т2
составляет Т\/Т2 = 0,6. Молярная теплоемкость аргона при
постоянном объеме Cv = 3/2 R, а азота Cv = 5/2 R, где R — газовая по-
1 2
стоянная. Изменением поверхностной энергии пленок при разрыве
пузырей пренебречь. (Билет 3, 1995)
2.52. В сосуде объемом К, = 31 л находятся воздух, вода и
насыщенный водяной пар. Температура в сосуде Т = 373 К, давление
/*! = 2,5 атм. При постоянной температуре объем сосуда медленно
уменьшают, пока давление не станет равным Р2 = 4 атм.
Определить массу воды в сосуде в конце опыта. Общая масса воды и
пара в сосуде составляет m = 22 г. Газовая постоянная R =
= 8,31 Дж/(моль-К). Объемом, занимаемым жидкостью в обоих
случаях, пренебречь. (Билет 4, 1995)
2.53. На диаграмме зависимости давления Р от объема V для
некоторой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя
изобарами в точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 2.12). Найти отношение температур T3/Tt

ТЕРМОДИНАМИКА
57
какой температуры Т2 надо нагреть газ, чтобы его объем увеличился
В (1 = 2 раза? (Билет 10, 1995)
2.59. Закрытый цилиндрический сосуд объемом V = 18 л с
гладкими стенками расположен горизонтально и делится подвижным
теплонепроницаемым поршнем на две части, в которых находятся
различные идеальные газы при одинаковой температуре. Объем,
занимаемый одним из газов, в а = 2 раза больше объема другого газа. В
результате нагрева температура газа в меньшем объеме увеличилась
в р = 2 раза. На сколько увеличился объем этого газа, если
температура газа в другой части сосуда поддерживается постоянной и
равной начальной температуре? (Билет н, 1995)
2.60. На столе стоит цилиндрический сосуд с
гладкими вертикальными стенками (рис. 2.17). К
невесомому подвижному поршню и дну сосуда
прикреплена упругая пружина. Верхняя часть сосуда
сообщается с атмосферой. Под поршнем находится
идеальный газ при температуре Г, и под давлением
в р = 2 раза большим внешнего атмосферного
давления. Во сколько раз надо увеличить температуру
газа в сосуде, чтобы его объем увеличился в п — 2 раза? Длиной неде-
формированной пружины пренебречь. (Билет 12, 1995)
кЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧУ4
Рис. 2.17.
Рис. 2.18.
2.61. На рисунке для v молей гелия показан цикл, состоящий из
двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и
изобары (рис. 2.18). На изобаре 1—2 газ совершил работу А, и его
температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях У и J равны.
Точки 2 и J на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей через
начало координат.
1) Определить температуру Т{ в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл. (Билет 1, 1996)
2.62. Цикл для v молей гелия состоит из двух участков линейной
зависимости давления Р от объема V и изохоры (рис. 2.19). В изохо-
рическом процессе 1—2 газу сообщили количество теплоты Q, и его
температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 а 3

56
ТЕРМОДИНАМИКА
в точках 3 и 1, если отношение объемов в этих точках К3/К, = а.
Объемы газа в точках 2 и 4 равны. (Билет 5,1995)
2.54. На диаграмме зависимости давления Р от объема V для
некоторой массы идеального газа две изобары и две изохоры
пересекаются в точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 2.13). Найти температуры
газа Т, и Г3 в точках I и 3, если точки 2 и 4 лежат на прямой,
проходящей через начало координат, а температуры газа в этих
точках равны соответственно Т2 и Г4. (Билет 6, 1995)
2.55. На диаграмме зависимости давления Р от объема V для
некоторой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изохо-
рами в точках I, 2, 3 и 4 (рис. 2.14). Найти отношение давлений
P3/Pt в точках 3 и 1, если отношение температур в этих точках
ТЪ1Т1 = 6. Давления газа в точках 2 и 4 равны. (Билет 7, 1995)
v v v v
Рис. 2.12. Рис. 2.13. Рис. 2.14. Рис. 2.15.
2.56. Диаграмма зависимости давления Р от объема V для
некоторой массы идеального газа состоит из двух изотерм и двух
отрезков прямых, проходящих через начало координат (рис. 2.15).
Найти объем газа К4 в состоянии 4, если известны его объемы
Vv V2 И V3 В СОСТОЯНИЯХ 1, 2 И 3. (Билет 8, 1995)
2.57. Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический
сосуд с гладкими стенками разделен подвижным
теплонепроницаемым поршнем на две части, в которых находятся различные
идеальные газы с одинаковой температурой Т0 = 300 К. Объем,
занимаемый одним из газов, в а = 3 раза больше объема другого газа.
Газ в большем объеме нагревают, и он увеличивает свой объем
на (3 = 1/20 объема всего сосуда. На сколько
увеличилась температура этого газа, если температура в
другой части сосуда поддерживается постоянной и
равной Г0? (Билет 9, 1995)
2.58. В цилиндрическом сосуде с вертикальными
гладкими стенками и открытой в атмосферу верхней
частью под подвижным тяжелым поршнем находится
v молей идеального газа. К поршню и дну сосуда
прикреплена пружина с жесткостью к (рис. 2.16). При
температуре газа Т1 пружина растянута, и ее длина равна L. До

58
ТЕРМОДИНАМИКА
равны. Точки 1 и 3 на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей
через начало координат.
1) Найти температуру Г, в точке 1.
2) Найти работу газа за цикл. (Билет 2, 1996)
2.63. На рисунке для v молей гелия показан цикл, состоящий из
двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и
изобары (рис. 2.20). На изобаре 3—1 над газом совершили работу Л (А > 0),
и его температура уменьшилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2
и 3 равны. Точки 1 и 2 на диаграмме PV лежат на прямой,
проходящей через начало координат.
1) Определить температуру Г, в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл. (Билет з, 1996)
р
0 V 0 V
Рис. 2.20. Рис. 2.21.
2.64. Цикл для v молей гелия состоит из двух участков линейной
зависимости давления Р от объема V и изохоры (рис. 2.21). В изохо-
рическом процессе 1—2 от газа отведено количество теплоты Q
(Q>0) и его температура уменьшилась в 4 раза. Температуры в
состояниях 2 и 5 равны. Точки 1 и 3 на диаграмме PV лежат на
прямой, проходящей через начало координат.
1) Найти температуру 71, в точке /.
2) Найти работу газа за цикл. (Билет 4, 1996)
2.65. В сосуде находится жидкость и ее насыщенный пар. В
процессе изотермического расширения объем, занимаемый паром,
увеличивается в 6 = 3 раза, а давление пара уменьшается в а = 2 раза.
Найти отношение массы жидкости тг к массе пара т,, которые
первоначально содержались в сосуде. (Билет 5, 1996)
2.66. В сосуде находится водяной пар и вода при температуре
100 °С. В процессе изотермического расширения вода начинает
испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, объем пара
увеличился в 6 = 10 раз. Найти отношение объемов пара и воды в
начале опыта. (Билет 6, 1996)
2.67. В сосуде находится ненасыщенный пар. В процессе его
изотермического сжатия объем, занимаемый паром, уменьшается в
6 = 4 раза, а давление возрастает в а = 3 раза. Найти долю пара,
которая сконденсировалась в этом процессе. (Билет 7, 1996)

ТЕРМОДИНАМИКА
61
жание кислорода (по массе) в атмосфере Земли считать постоянным.
Толщина атмосферы много меньше радиуса планеты. (Билет 7,1997)
2.80. Если бы озон (03), содержащийся в атмосфере Земли,
собрался бы у ее поверхности тонким слоем и имел бы температуру и
давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности
Земли, то толщина этого слоя составила бы h ^ 3 мм. Найти массу
т озона, содержащегося в атмосфере Земли. Радиус Земли
Л3 = 6370 км, температура атмосферы у поверхности 290 К и
давление Р = 1 атм. (Билет 8, 1997)
2.81. Два моля гелия при постоянном давлении PQ = 10 Па
охлаждаются на AT = 1 К, так что относительное уменьшение объема газа
AV/VQ составляет а = 0,25%.
1) На сколько литров уменьшился объем газа?
2) Найти начальную температуру газа. (Билет 9, 1997)
2.82. Моль гелия при постоянном объеме V0 = 200 л охладился на
AT = 1 К так, что относительное уменьшение его давления АР/Р0
составило а = 0,2 %.
1) На сколько атмосфер уменьшилось давление газа?
-2) Какова была начальная температура газа Г0? (Билет ю, 1997)
2.83. Моль гелия нагревается при постоянном давлении
Р0 = 10 атм, так что относительное увеличение объема AV/V0
составило а = 0,5 %. На сколько градусов увеличилась температура газа
AT, если начальная температура составляла Т0 = 400 К? На сколько
литров увеличился объем газа? (Билет п, 1997)
2.84. Моль гелия нагревается при постоянном объеме V0 = 400 л
так, что относительное увеличение его давления составило
АР/Р0= а = 0,4%.
1) На сколько градусов AT увеличилась температура газа, если
его начальная температура Т0 = 500 К?
2) На сколько атмосфер увеличилось давление газа? (Билет 12, 1997)
2.85. Найти величину работы А, которую совершает моль гелия в
замкнутом цикле, состоящем из адиабатического процесса 1—2,
изобары 2—3 и изохоры 3—1 (рис. 2.24). В
адиабатическом процессе разность
максимальной и минимальной температур газа равна
AT. В изобарическом процессе от газа
отпели количество тепла Q. (Билет 1, 1998)
2.86. Моль гелия совершает работу
величиной А в замкнутом цикле (рис. 2.25),
состоящем из адиабаты 1—2, изотермы 2—3,
изобары 3—1. Найти величину работы,
совершенной в изотермическом процессе, если рис- 2-24-

ТЕРМОДИНАМИКА
59
2.68. В сосуде находится насыщенный водяной пар при
температуре 100°С. В процессе изотермического сжатия пар начинает
конденсироваться. Найти отношение.объемов пара и воды к моменту,
когда объем пара уменьшится в <х = 7 раз. (Билет 8, 1996)
2.69. Гелий из состояния с температурой Г, = 200 К расширяется
в процессе PV2 = const (Р — давление, V — объем газа) с
постоянной теплоемкостью С. От газа отвели количество теплоты 415 Дж, и
конечный объем газа стал вдвое больше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоемкость С. (Билет 9, 1996)
2.70. Гелий в количестве v = 2 моля расширяется в процессе с
постоянной теплоемкостью С. В результате к газу подвели
количество теплоты 3000 Дж, и внутренняя энергия газа уменьшилась на
2490 Дж.
1) Чему равна работа, совершенная газом?
2) Определить теплоемкость С. (Билет ю, 1996)
2.71. Гелий из состояния с температурой 7, = 100 К расширяется
в процессе P2V = const (Р — давление, V — объем газа) с
постоянной теплоемкостью С. К газу подвели количество теплоты 2910 Дж.
Конечное давление газа вдвое меньше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоемкость С. (Билет п, 1996)
2.72. Гелий в количестве v = 4 моля сжимают в процессе с
постоянной теплоемкостью С. От газа отвели количество теплоты, равное
изменению его внутренней энергии, и температура газа увеличилась
на 100 К.
1) Чему равна работа, совершенная газом?
2) Определить теплоемкость С. (Билет 12, 1996)
2.73. Вода и водяной пар находятся в цилиндре под поршнем при
температуре 110 "С. Вода занимает при этом 0,1 % объема цилиндра.
При медленном изотермическом увеличении объема вода начинает
испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, пар совершил
работу величиной А = 177 Дж, а объем, который он занимал,
увеличился на AV = 1,25 л.
1) Найти давление, при котором производился опыт.
2) Сколько воды и пара было в цилиндре в начальном
состоянии? (Билет 1, 1997)
2.74. В цилиндре поршнем с пружиной
(рис. 2.22) заперты водяной пар и вода,
масса которой М = 1 г. Температура в
цилиндре поддерживается постоянной и
равной 100 °С. После того, как из цилиндра рис 2.22.
выпустили часть пара массой т = 7 г,
поршень стал двигаться. После установления равновесия объем
содержимого в цилиндре под поршнем оказался в 2 раза меньше первона-

60
ТЕРМОДИНАМИКА
чального. Какая масса пара была в цилиндре и какой объем он
занимал в начале опыта?
Внешнее давление отсутствует, недеформированная пружина
соответствует положению поршня у дна цилиндра, трением между
поршнем и стенками цилиндра пренебречь. (Билет 2, 1997)
2.75. Насыщенный водяной пар находится в цилиндре под
поршнем при температуре 120 "С. При медленном изотермическом
уменьшении объема цилиндра пар начинает конденсироваться. К
моменту, когда сконденсировалось т = 5г пара, объем, им
занимаемый, уменьшился на Д7 = 4,5л. Какая по величине работа
была совершена внешней силой в этом процессе? Сколько пара
было в цилиндре вначале, если в конце опыта вода занимала 0,5%
объема цилиндра? (Билет 3, 1997)
2.76. В цилиндре поршнем с пружиной
(рис. 2.23) заперт водяной пар в объеме
ИЛППППГ\| К, = 4 л. Температура в цилиндре поддер-
г-' " живается постоянной и равной 100 "С. В
цилиндр вспрыскивается 4 г воды, и поршень
Рис. 2.23. начинает перемещаться. После
установления равновесия часть воды испарилась, а
объем цилиндра увеличился в 2 раза.
1) Какая масса пара была в цилиндре вначале?
2) Сколько воды испарилось к концу опыта?
Внешнее давление отсутствует, длина недеформированной
пружины соответствует положению поршня у дна цилиндра. (Билет 4, 1997)
2.77. Атмосфера Венеры состоит в основном из углекислого газа
С02, масса которого по некоторым оценкам составляет М = 6-1016 т.
Чему равна плотность углекислого газа вблизи поверхности Венеры,
если его температура Т = 800 К? Радиус Венеры Rn = 6300 км, а
ускорение свободного падения g = 8,2 м/с2. Толщина атмосферы Венеры
много меньше радиуса планеты. (Билет 5, 1997)
2.78. По некоторым оценкам масса озона (03) в атмосфере
Венеры составляет а= 10_5% от массы всей атмосферы. Какой толщины
слой образовал бы озон, если бы он собрался вблизи поверхности
планеты и имел бы при этом температуру и давление, равные
температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры? Ускорение
свободного падения у поверхности Венеры g = 8,2 м/с2, температура
атмосферы Т — 800 К. (Билет 6, 1997)
2.79. Найти массу кислорода, содержащегося в атмосфере Земли.
Известно, что температура воздуха вблизи поверхности Земли
Т = 290 К, радиус Земли R3 = 6370 км, а ускорение свободного
падения g = 9,8 м/с2. Масса кислорода, содержащегося в одном литре
воздуха, взятого у поверхности Земли, р = 0,26 г/л. Процентное содер-

62
ТЕРМОДИНАМИКА
. разность максимальной и минимальной
температуры газа в цикле равна АГ
градусов. (Билет 2, 1998)
2.87. Моль гелия совершает работу
величиной А в замкнутом цикле, состоящем
из изобары 1—2, изохоры 2—3 и
адиабатического процесса 3—1 (рис. 2.26). Сколько
тепла Q было подведено к газу в
изобарическом процессе, если разность
максимальной и минимальной температур гелия в
цикле равна АГ? (Билет 3, 1998)
2.88. Моль гелия расширяется в изотермическом процессе 1—2,
совершая работу величиной Ап. Затем газ охлаждается в изобарическом
процессе 2—3 и, наконец, в адиабатическом процессе 3—1
возвращается в исходное состояние (рис. 2.27). Какую работу совершил газ в
замкнутом цикле, если разность максимальной и минимальной
температур газа в нем составила величину АГ градусов? (Билет 4, 1998)
Рис. 2.25.
Pk
Рис. 2.26.
Рис. 2.27.
2.89. Чему равна масса т азота, который содержится в воздухе
комнаты объема V = 75 м3? Средняя квадратичная скорость молекул
азота v = 500 м/с. Считать, что воздух состоит из азота и кислорода.
Концентрация молекул азота в р = 4 раза больше концентрации
молекул кислорода. Атмосферное давление Р= 105 Па. (Билет 5, 1998)
2.90. Воздух состоит в основном из азота и кислорода.
Концентрация молекул азота при этом в а = 4 раза больше концентрации
молекул кислорода. Чему равна суммарная кинетическая энергия
вращения всех молекул азота, содержащегося в комнате объемом V = 60 м3?
Атмосферное давление Р = 105 Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного газа равна
5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — температура), она возрастает
по сравнению с энергией одноатомного газа за счет кинетической
энергии вращения молекул. (Билет 6, 1998)
2.91. В воздухе комнаты объемом V = 75 м3 находится m = 20 кг
кислорода. Найти величину средней квадратичной скорости молекул

64
ТЕРМОДИНАМИКА
2.99. После теплого летнего дождя относительная влажность
воздуха у поверхности земли достигла 100%. При этом плотность влажного
воздуха (масса пара и воздуха в 1 м3) оказалась равной р = 1171 г/м3,
его давление Р = 100 кПа и температура 22 °С. Найти по этим данным
давление насыщенного водяного пара Рняс при температуре 22 "С.
Принять, что молярные массы воздуха и пара (лв = 29 г/моль, [лп =
= 18 г/моль, газовая постоянная R = 8,31 Дж/моль-К. (Билет 7, 1999)
2.100. В жарко натопленной парилке объемом V = 20 м3 при
температуре 100 °С относительная влажность воздуха составляет
а, = 20%. Посетители плеснули на печку т = 1 кг воды, которая вся
испарилась и температура воздуха в парилке упала до 90 °С. Какая
относительная влажность воздуха установилась в парилке? Известно,
что уменьшение температуры от 100 °С до 90 °С вызывает
уменьшение давления насыщенного пара на 234 мм рт. ст. Считать, что весь
пар остался в воздухе парилки. (Билет 8, 1999)
2.101. В вертикально расположенной тонкой трубке длиной
3L = 840 мм с открытым в атмосферу верхним концом, столбиком
ртути длиной L = 280 мм заперт слой воздуха длиной L. Какой
максимальной длины слой ртути можно долить сверху в трубку,
чтобы она из трубки не выливалась? Внешнее давление
Р0 = 770 ММ. рт. СТ. (Билет 1, 2000)
L/2
Рис. 2.28.
Рис. 2.29.
2.102. Имеется Г-образная тонкая трубка постоянного внутреннего
сечения и общей длиной 3L = 1260 мм. Между слоем воздуха длиной
L = 420 мм и атмосферой находится слой ртути той же длины L
(рис. 2.28). Какой длины слой ртути останется в трубке, если
вертикальное колено повернуть на 180°, расположив его открытым концом
вниз? Внешнее давление Р0 = 735 мм рт. ст. (Билет 2, 2000)
2.103. В вертикально расположенной трубке постоянного
внутреннего сечения и длиной 3L = 1080 мм с открытым в атмосферу
верхним концом, столбиком ртути длиной L = 360 мм заперт слой
воздуха тоже длиной L. Какой длины столб ртути останется в трубке, если

ТЕРМОДИНАМИКА
65
ее перевернуть открытым концом вниз? Внешнее давление
Р0 = 774 мм рт. СТ. (Билет 3, 2000)
2.104. U-образная тонкая трубка постоянного внутреннего сечения
с вертикально расположенными коленами заполняется ртутью так,
что в каждом из открытых колен остается слой воздуха длиной
L = 320 мм (рис. 2.29). Затем правое колено закрывается пробкой.
Какой максимальной длины слой ртути можно долить в левое колено,
чтобы она не выливалась из трубки? Внешнее давление
Р0 — 720 мм рт. СТ. (Билет 4, 2000)
2.105. Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным
поршнем. Газ нагревают при постоянном давлении, переводя его из
состояния 1 в состояние 2 (рис. 2.30). При этом газ совершает работу А12.
Затем газ сжимается в процессе 2—3, когда его давление Р прямо
пропорционально объему V. При этом над газом совершается работа
(Л23>0). Наконец, газ сжимается в адиабатическом процессе 3—1,
возвращаясь в первоначальное состояние. Найти работу сжатия А31,
совершенную над газом в адиабатическом процессе. (Билет 5, 2000)
о у
Рис. 2.30.
0 У
Рис. 2.31.
Рис. 2.32.
2.106. Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным
поршнем. Газ сжимают в адиабатическом процессе, переводя его из
состояния 1 в состояние 2 (рис. 2.31). Над газом совершается при этом
работа сжатия А12 (А12 > 0). Затем газ расширяется в изотермическом
процессе 2—3, и, наконец, из состояния 3 газ переводят в состояние 1
в процессе, когда его давление Р прямо пропорционально объему V.
Найти работу А^, которую совершил газ в процессе изотермического
расширения, если во всем замкнутом цикле 1—2—3—2—1 он совершил
работу А. (Билет 6, 2000)
2.107. Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным
поршнем. Газ охлаждают при постоянном давлении, переводя его из
состояния / в состояние 2 (рис. 2.32). При этом от газа отводится
количество теплоты Q (Q> 0). Затем газ расширяется в процессе 2—3,
когда его давление Р прямо пропорционально объему V, совершая
работу А^. Наконец, газ расширяется в адиабатическом процессе 3—1.
Найти работу А31, совершенную газом в процессе адиабатического
расширения. (Билет 7, 2000)

ТЕРМОДИНАМИКА
63
кислорода. Воздух в комнате состоит из кислорода и азота.
Концентрация молекул кислорода в р = 4 раза меньше концентрации
молекул азота. Атмосферное давление Р = 105Па. (Билет 7, 1998)
2.92. Воздух состоит в основном из кислорода и азота.
Концентрация молекул кислорода при этом в а = 4 раза меньше
концентрации молекул азота. Чему равна суммарная кинетическая
энергия вращения всех молекул кислорода, который содержится в
воздухе комнаты объемом V = 60 м3? Атмосферное давление
Р= 105Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного газа равна
5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — температура), она возрастает
по сравнению с энергией одноатомного газа за счет кинетической
энергии вращения молекул. (Билет 8, 1998)
2.93. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что
относительные изменения давления АР/Р, объема AV/V и
температуры AT IT газа малы. Найти относительное изменение давления
газа, если над ним была совершена работа А — 15 Дж. Начальная
температура газа Т = 300 К. (Билет 1, 1999)
2.94. Моль гелия расширяется в процессе P*V = const так, что
изменение температуры газа составило АГ = 0,3 градуса. Какую по
величине работу совершил газ, если относительные изменения его
давления АР/Р, объема AV/V и температуры АТ/Т малы? (Билет 2, 1999)
2.95. Моль гелия из начального состояния с температурой
Т = 300 К расширяется в адиабатическом процессе так, что
относительные изменения давления АР/Р, объема AV/V и температуры газа
АТ/Т малы. Найти работу А, совершенную газом, если
относительное изменение его давления АР/Р= —1/120. (Билет 3, 1999)
2.96. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что
относительные изменения давления АР/Р, объема AV/V и температуры
АТ/Т газа малы. На сколько процентов изменяется давление газа, если
относительное изменение температуры АТ/Т = 0,0032? (Билет 4,1999)
2.97. Летним днем перед грозой плотность влажного воздуха (масса
пара и воздуха в м3) р = 1140 г/м3 при давлении Р = 100 кПа и
температуре 30 "С. Найти отношение парциального давления водяного
пара, содержащегося в воздухе, к парциальному давлению воздуха.
Принять, что молярные массы воздуха и пара цв = 29 г/моль, цП =
18 г/моль, газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К). (Билет 5, 1999)
2.98. В парной бани относительная влажность воздуха составляла
(1, = 50% при температуре 100 "С. После того, как температура
уменьшилась до 97 °С и пар «осел», относительная влажность воздуха
стала равной а1 = 45 %. Какая масса воды выделилась из влажного
ноздуха парной, если ее объем V = 30 м3? Известно, что при
температуре 97°С давление насыщенного пара на 80 мм рт. ст. меньше, чем
при 100 "С. (Билет 6, 1999)

66
ТЕРМОДИНАМИКА
Рис. 2.33.
2 2.108. Газообразный гелий находится в
цилиндре под подвижным поршнем. Газ
расширяется в процессе 1—2, когда его давление Р
прямо пропорционально объему V (рис. 2.33).
Затем газ расширяется в адиабатическом
процессе 2—3, совершая работу Агу Наконец газ
сжимается в изотермическом процессе 3—1,
при этом от него отводится количество
теплоты Q31 (Q31 > 0)- Какую работу совершил газ во всем замкнутом
цикле 1—2—3—2—Г? (Билет 8, 2000)
2.109. В цилиндре под поршнем находятся 0,5 моля воды и 0,5
моля пара. Жидкость и пар медленно нагревают в изобарическом
процессе, так что в конечном состоянии температура пара
увеличивается на ДГ градусов. Сколько тепла было подведено к системе
«жидкость-пар» в этом процессе? Молярная теплота испарения
жидкости в заданном процессе равна А. Внутренняя энергия v молей
пара равна U — v-3RT (R — газовая постоянная). (Билет 1, 2001)
2.110. В цилиндре под поршнем находится один моль
ненасыщенного пара при температуре Г. Пар сжимают в изотермическом
процессе, так что в конечном состоянии половина его массы
сконденсировалась, а объем пара уменьшился в к = 4 раза. Найти молярную
теплоту конденсации пара, если в указанном процессе от системы
«жидкость-пар» пришлось отвести количество теплоты Q (Q> 0).
Указание: пар можно считать идеальным газом. Работа,
совершаемая в изотермическом процессе v молями пара при расширении
от объема V{ до V2 равна vRT In {Уг/У{). (Билет 2, 2001)
2.111. В цилиндре под поршнем находится половина моля
ненасыщенного пара. Содержимое цилиндра медленно охлаждают в
изобарическом процессе, так что часть пара конденсируется (vx= 1/3),
а температура внутри цилиндра уменьшается на АГ (АГ > 0).
Определить молярную теплоту конденсации пара, если в этом процессе
пришлось отвести от содержимого цилиндра количество тепла Q
(Q> 0). Пар можно считать идеальным газом с внутренней энергией
V МОЛеЙ U= V-3RT. (Билет 3, 2001)
2.112. В цилиндре под поршнем находятся один моль воды и один
моль пара при температуре Г. К содержимому цилиндра подводится
тепло в изотермическом процессе, так что объем, занимаемый паром
в конечном состоянии увеличился в к = 3 раза. Найти количество
теплоты, подведенной в этом процессе. Молярная теплота испарения
жидкости при указанной температуре равна Л. Газовая
постоянная — R. Объемом, занимаемым жидкостью вначале, пренебречь.
Пар можно считать идеальным газом.
Указание: Работа, совершаемая v молями пара в
изотермическом процессе при расширении от объема Vl до объема К2, равна
vRT In (JV^). (Билет 4, 2001)

ТЕРМОДИНАМИКА
67
2.113. Температура гелия увеличивается в к = 1,5 раза в процессе
PV2 = const (Р — давление газа, V — его объем). При этом
внутренняя энергия газа изменилась на AU = 300 Дж. Найти:
1) минимальное давление Pmin,
2) начальный объем газа Vv Максимальное давление, которое
было у газа в этом процессе составило />тах = 9 ■ 105 Па. (Билет 5, 2001)
2.114. Температура гелия уменьшается в к = 2 раза в процессе
P2V = const (Р — давление, V — объем газа). Найти:
1) начальный объем газа Vv
2) изменение его внутренней энергии в процессе охлаждения.
Начальное давление газа Р1 = 10 Па, а минимальный объем, который он
занимал в процессе охлаждения, составил Vmin = 1 л. (Билет 6, 2001)
2.115. Температура гелия уменьшается в к = 3 раза в процессе
ру2 _ consj (р — давление газа, V — его объем). При этом его
внутренняя энергия изменилась на величину, равную 50 Дж. Найти:
1) максимальное давление газа Ртах,
2) величину объема газа VK в конечном состоянии. Минимальное
давление газа в этом процессе составило Pmin = 105 Па. (Билет 7, 2001)
2.116. Температура гелия увеличилась в к = 3 раза в процессе
P2V = const (Р — давление газа, V — его объем), а его внутренняя
энергия изменилась на 100 Дж. Найти:
1) начальный объем Vx газа;
2) начальное давление Р, газа. Максимальный объем, который
занимал газ в процессе нагрева, равнялся Fmax = 3 л. (Билет 8, 2001)
2.117. Легкий подвижный теплонепроводящий поршень делит
объем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две
части. В нижней части под поршнем находятся в равновесии
жидкость и ее пар, температура которых поддерживается постоянной
н равна Т0. В верхней части цилиндра над поршнем находится
газообразный гелий. К гелию квазистатически подводится
некоторое количество теплоты, и он совершает работу А. При этом часть
пара сконденсировалась, и от пара с водой пришлось отвести
количество теплоты Q.
1) Какое количество теплоты было подведено к гелию?
2) Найти удельную теплоту испарения жидкости. Молярная масса
пара (д.. Трением и теплоемкостью поршня пренебречь. Считать, что
объем жидкости значительно меньше объема образовавшегося из нее
пара. (Билет 9, 2001)
2.118. Легкий подвижный теплонепроницаемый поршень делит
объем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две ча-
ии. В нижней части под поршнем находятся в равновесии пар и вода,
iL-мпература которых поддерживается постоянной и равной Т0. Над

ТЕРМОДИНАМИКА
69
и оказалась равной р. Найти объем примесей Кп, оставшихся в
мешочке после растворения соли, если он остался висеть на нити
целиком погруженным в раствор. Плотность чистой соли — рс, воды —
рв, ускорение свободного падения — g.
Указание: Считать раствор однородным с плотностью
р = (mc + mB)l(Vc + VB), где тв и тс — массы воды и соли, а VB и
Кс — их объемы. (Билет 1, 2002)
2.122. Для приготовления раствора сахара был использован
сахарный песок, содержащий некоторое количество нерастворимых в воде
примесей. Песок с примесями в марлевом мешочке был опущен на
нити в сосуд с водой, стоящий на чашке весов, так что мешочек
оказался целиком погруженным в воду (рис. 2.34). После того как
сахар целиком растворился в воде, показания весов изменились на
АР (АР > 0) по сравнению с их показаниями сразу после опускания
мешочка в воду сосуда. Мешочек с примесями после растворения
сахара остался висеть на нити целиком погруженный в раствор.
После этого измерили плотность раствора и объем примесей, которые
оказались равными р и Vn. Найти первоначальный объем воды в
сосуде VB, если ее плотность — рв. Плотность чистого сахара — рс,
ускорение свободного падения — g. Раствор сахара считать
однородным с плотностью р= (тс + »*„)/( Fc + VB), где тс и тв — массы
сахара и воды, а Vс и VB — их объемы. (Билет 2, 2002)
2.123. Сосуд с водой уравновешен на чаше весов. Для
приготовления соленого раствора была использована крупная соль,
содержащая нерастворимые в воде примеси. Соль с примесями в марлевом
мешочке была опущена на нити в сосуд, так что мешочек оказался
целиком погруженным в воду (рис. 2.34). Сразу после этого
показания весов изменились на АР (АР > 0). После того как соль целиком
растворилась в воде, была измерена плотность раствора р и объем
примесей Кп, оставшихся в мешочке. Найти массу воды тв,
находившейся в сосуде. Плотность чистой соли — рс, воды — рв. Ускорение
свободного падения — g. После растворения соли раствор считать
однородным с плотностью р= (тс + mB)/(Vc + Кн), где mc и mB —
маССЫ СОЛИ И ВОДЫ, а Vс И VB — ИХ объемы. (Билет 3, 2002)
2.124. Для приготовления раствора сахара был использован
сахарный песок, содержащий некоторое количество нерастворимых в воде
примесей. Песок в марлевом мешочке был опущен на нити в сосуд с
водой, стоящий на чашке весов, так что мешочек оказался целиком
погруженным в воду (рис. 2.34). После того как сахар целиком
растворился в воде, а примеси остались в мешочке, показания весов
изменились на АР(АР > 0) по сравнению с их показаниями сразу
после опускания мешочка в сосуд. Найти объем примесей Vn, если
мешочек ними остался висеть целиком погруженный в раствор.

68
ТЕРМОДИНАМИКА
поршнем находится v молей газообразного гелия. К гелию подвели
квазистатически количество теплоты Q. В результате его
температура увеличилась, а часть пара сконденсировалась.
1) Найти изменение температуры гелия.
2) Сколько теплоты необходимо при этом отвести от пара и воды?
Удельная теплота испарения воды к, молярная масса пара ц.
Трением и теплоемкостью поршня пренебречь. Считать, что объем
сконденсировавшегося пара значительно больше объема образовавшейся
ИЗ него ВОДЫ. (Билет 10, 2001)
2.119. Легкий неподвижный теплонепроводящий поршень делит
объем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две
части. Под поршнем находятся в равновесии жидкость и ее пар,
температура которых поддерживается постоянной и равной Т0. Над
поршнем находится газообразный гелий. К жидкости и пару подводится
квазистатически количество теплоты Q. При этом часть жидкости
испаряется, и пар совершает механическую работу Л.
1) Найти удельную теплоту испарения жидкости.
2) Сколько теплоты пришлось отвести от гелия? Молярная масса
пара (х. Теплоемкостью поршня и трением пренебречь. Считать, что
объем жидкости значительно меньше объема образовавшегося из нее
пара. (Билет 11, 2001)
2.120. Легкий неподвижный теплонепроводящий поршень делит
объем вертикально расположенного цилиндра на две части. Под
поршнем в нижней части цилиндра находятся в равновесии вода и пар,
температура которых поддерживается постоянной и равной Т0. В
верхней части цилиндра над поршнем находится газообразный гелий.
1) Какое количество теплоты надо подвести квазистатически к
пару и воде, чтобы часть воды массой Am испарилась?
2) Сколько тепла необходимо при этом отвести от гелия? Удельная
теплота испарения воды X, молярная масса пара ц. Трением и
теплоемкостью поршня пренебречь. Считать, что объем пара
значительно больше объема воды, из которой он образовался. (Билет 12, 2001)
2.121. На чашке пружинных весов
уравновесили сосуд, в котором находится вода
массой пгв. Для приготовления соленого
раствора была использована крупная соль,
содержащая нерастворимые в воде примеси.
Соль с примесями в марлевом мешочке была
опущена на нити в сосуд, так что мешочек
оказался полностью погруженным в воду
\^ |xV-l3t?l=5-v£^I _J (рис. 2.34). После того как соль полностью
—\ растворилась в воде, показания весов изме-
C/J нились на АР(АР>0) по сравнению с их
^ показаниями до опускания соли в воду.
Рис. 2.34. Плотность соленого раствора была измерена

70
ТЕРМОДИНАМИКА
Плотность раствора оказалась равной — р, плотность чистого
сахара — рс, воды — рв, ускорение свободного падения — g. Начальная
масса воды в сосуде — тв. После растворения сахара раствор считать
однородным с плотностью р= (тс + тв)/(Кс + KJ, где тс и тв —
массы сахара и воды, а К и V — их объемы. (Билет 4, 2002)
Pi
Pk
Рис. 2.35.
Рис. 2.36.
Рис. 2.37.
2.125. Моль гелия расширяется из начального состояния / в
конечное состояние 3 в двух процессах. Сначала расширение идет с
процессе 1—2 с постоянной теплоемкостью С = ЗЛ/4 (R — газовая
постоянная). Затем газ расширяется в процессе 2—3, когда его
давление Р прямо пропорционально объему V (рис. 2.35). Найти работу,
совершенную газом в процессе 1—2, если в процессе 2—3 он
совершил работу Л. Температуры начального (/) и конечного (3)
состояний равны. (Билет 5, 2002)
2.126. Моль гелия, расширяясь в процессе 1—2, где его давление
Р меняется прямо пропорционально объему V совершает работу А
(рис. 2.36). Из состояния 2 гелий расширяется в процессе 2—3,в
котором его теплоемкость С остается постоянной и равной С = Л/2 (R —
газовая постоянная). Какую работу Л23 совершит гелий в процессе
2—3, если его температура в состоянии 3 равна температуре в
состоянии 11 (Билет 6, 2002)
2.127. Моль гелия сжимают из начального состояния / в
конечное состояние 3 в двух процессах (рис. 2.37). Сначала сжатие
идет в процессе 1—2, когда давление гелия Р прямо
пропорционально его объему V. Затем из состояния 2 газ сжимают с процессе
2—3 с постоянной теплоемкостью так, что тепло подводится к газу.
В конечном состоянии 3 температура гелия равна его температуре
в состоянии /. Найти теплоемкость газа в
процессе 2—3, если в процессе сжатия 1—2
над газом совершена работа Л (Л>0), а в
процессе 2—3 над газом совершена работа
2А. (Билет 7, 2002)
2.128. Моль гелия из состояния / сжимается
в процессе с постоянной теплоемкостью 1—2 а
Т затем в процессе 2—3, когда давление газа Р
Рис. 2.38. прямо пропорционально его объему (рис. 2.38).
Pi

ТЕРМОДИНАМИКА
71
В конечном состоянии 3 температура гелия равна начальной
температуре в состоянии /. Найти теплоемкость газа в процессе сжатия на
участке 1—2, если работа сжатия на участке 1—2 в К =1,5 раза
больше работы сжатия на участке 2—3. Известно, что в процессе
сжатия тепло к газу подводится. (Билет 8, 2002)
2.129. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине,
делит объем вертикально расположенного откачанного цилиндра на
две части (рис. 2.39). В положении равновесия высота нижней части
Н0, а удлинение пружины равно х0. В нижнюю часть цилиндра
впрыскивается v молей воды. При медленном нагреве до некоторой
температуры вся вода испаряется, а поршень перемещается на величину
х, = ах0 (а = 1/2).
1) Определить конечную температуру Т.
2) Найти работу А, совершенную паром. (Билет 9, 2002)
2.130. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине,
делит объем вертикально расположенного пустого цилиндра на две
части (рис. 2.39).. В положении равновесия высота нижней части
цилиндра Я0, удлинение пружины х0. В нижнюю часть цилиндра впускают
v молей воздуха. После установления равновесия пружина
оказывается сжатой. Величина деформации сжатой пружины х, = ах0 (а = 2).
После этого воздух медленно охлаждают до некоторой температуры,
так что в конечном состоянии деформация сжатой пружины
х2 = axjl.
1) Найти конечную температуру воздуха.
2) Найти работу, совершенную воздухом в процессе
охлаждения. (Билет 10, 2002)
2.131. Подвижный поршень весом mg,
подвешенный на пружине, делит объем откачанного
вертикально расположенного цилиндра на две части
(рис. 2.39). В положении равновесия высота нижней
части цилиндра Я0. Удлинение пружины х0. В ниж- Рис 2.39.
нюю часть цилиндра впрыскивается v молей воды.
После того как вся вода испарилась, поршень переместился на
величину х, = ах0 (а = 3/2).
1) Найти конечную температуру.
2) НаЙТИ работу, Совершенную парОМ. (Билет 11, 2002)
2.132. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине,
делит объем вертикально расположенного откачанного цилиндра на
две части (рис. 2.39). В положении равновесия высота нижней части
цилиндра Я0, а удлинение пружины х0. В нижнюю часть цилиндра
впускают v молей воздуха. После установления равновесия
удлинение пружины оказалось равным хх = ах0 (а = 1/4). Затем воздух в
цилиндре стали медленно охлаждать, так что в конце процесса
охлаждения удлинение пружины оказалось х2 = Зах0.

74
ТЕРМОДИНАМИКА
процессе 2-3 (см. рис. 2.41). В конечном состоянии 3 его внутренняя
энергия оказалась равной начальной. В процессе перехода 1-2-3 тем-
Рис. 2.41.
пература газа уменьшилась в два раза, и к газу пришлось подвести
количество теплоты Q. Найти внутреннюю энергию газа фотонов в
начальном состоянии.
Указание. В пустом сосуде переменного объема V, температура
стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов, которые
излучаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя энергия этого
газа U = а Г4 - V, где а = const. Давление газа фотонов определяется
только его температурой Р = а-Г4/3. (Билет 6, 2003)
2.139. Газ фотонов из начального состояния / сжимают в
изотермическом процессе 1-2, а затем охлаждают в изохорическом
процессе 2-3 (см. рис. 2.42). В процессе перехода 1-2-3 над газом совер-
т
ч
Рис. 2.42.
шена работа А (А>0), а его температура и объем уменьшились в
два раза. Какое количество теплоты пришлось отвести от газа
фотонов в процессе всего перехода 1-2-3'?
Указание. В пустом сосуде переменного объема V,
температура стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов,
которые излучаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя
энергия этого газа U = a-T*-V, где а = const. Давление газа
фотонов определяется только его температурой Л=а-Т'4/3. (Билет 7,
2003)
2.140. Газ фотонов из начального состояния / нагревается в
изохорическом процессе 1-2 так, что его температура увеличилась в
3/2 раза. Затем газ сжимается в изотермическом процессе 2-3 (см.
рис. 2.43). В конечном состоянии 3 внутренняя энергия газа фотонов

72
ТЕРМОДИНАМИКА
1) Найти конечную температуру воздуха в цилиндре.
2) Найти работу, совершенную воздухом в процессе охлаждения.
(Билет 12, 2002)
2.133. Тонкая пробирка частично заполнена водой и
расположена вертикально в камере большого объема, в которой воздух
поддерживается при нулевой относительной влажности и
постоянном давлении, равном наружному атмосферному давлению.
Вследствие диффузии в пробирке устанавливается линейное изменение
концентрации пара с высотой: вблизи поверхности воды пар
оказывается насыщенным, а у верхнего открытого конца пробирки его
концентрация в 2 раза меньше. Пробирку сверху закрывают
крышкой. После установления равновесия оказалось, что плотность
влажного воздуха внутри пробирки отличается от плотности сухого
воздуха в камере вдали от пробирки на величину Др = 5,4г/м3.
Найти давление насыщенного пара при температуре опыта, равной
27 °С. Молярная масса сухого воздуха |хв = 29 г/моль, пара
|хп = 18 г/моль. Изменением уровня жидкости в пробирке во время
опыта пренебречь. (Билет 1, 2003)
2.134. Тонкая пробирка частично заполнена водой и
расположена вертикально, открытым концом в атмосферу. Вследствие
диффузии в пробирке устанавливается линейное изменение
концентрации пара с высотой: вблизи поверхности воды пар оказывается
насыщенным, а у верхнего открытого конца пробирки его
концентрация в 3 раза меньше. Пробирку сверху закрывают крышкой и
увеличивают температуру на AT = 1 К. На сколько изменится
давление влажного воздуха внутри пробирки после установления
равновесия по сравнению с атмосферным давлением? Атмосферное
давление Р0 = 760 мм рт. ст., начальная температура Г = 300 К,
давление насыщенного пара при этой температуре Р =
= 27 мм рт. ст. Известно, что малые относительные изменения
давления насыщенного пара АР/Р связаны с малыми относительными
изменениями его температуры АТ/Т формулой АР/Р = 18Д777Л
Изменением уровня жидкости в пробирке во время опыта
пренебречь. (Билет 2, 2003)
2.135. Тонкая пробирка частично заполнена водой, закрыта
сверху крышкой и расположена вертикально в камере большого
объема, в которой воздух поддерживается при нулевой
относительной влажности и постоянном давлении, равном наружному
атмосферному давлению. Начальная плотность влажного воздуха в
пробирке меньше плотности сухого воздуха в камере на
Ар = 27 г/см3. После снятия крышки вследствие диффузии в
пробирке устанавливается линейное изменение концентрации пара с
высотой: вблизи поверхности воды пар оказывается насыщенным,
а у верхнего открытого конца пробирки его концентрация в 5 раз
меньше. Найти изменение среднего по объему парциального дав-

ТЕРМОДИНАМИКА
73
ления сухого воздуха в пробирке после снятия крышки.
Температура опыта l = 37 °С, давление насыщенного пара при этой
температуре Рп = 47 мм рт. ст., молярная масса сухого воздуха
|ав = 29 г/моль, пара |хп = 18 г/моль. Изменением уровня жидкости
в пробирке во время опыта пренебречь. (Билет 3, 2003)
2.136. Тонкая пробирка частично заполнена водой и
расположена вертикально, открытым концом в атмосферу. Вследствие
диффузии в пробирке устанавливается линейное изменение
концентрации пара с высотой: вблизи поверхности воды пар оказывается
насыщенным, а у верхнего открытого конца пробирки его
концентрация составляет 60% от концентрации насыщенного пара.
Пробирку сверху закрывают крышкой и охлаждают на ДГ = 2 К. На
сколько изменится по сравнению с первоначальным давление
влажного воздуха внутри пробирки после установления равновесия?
Атмосферное давление Р0 = 755 мм рт. ст., начальная температура
/0 = 29 "С, давление насыщенного пара при этой температуре
Рп = 30 мм рт. ст. Известно, что малые относительные изменения
давления насыщенного пара АР/Р связаны с малыми
относительными ' изменениями его температуры ДГ/Г формулой
АР/Р= 18Д777Л Изменением объема жидкости в пробирке во
время опыта пренебречь. (Билет 4, 2003)
2.137. Газ фотонов из начального состояния / расширяется в
изотермическом процессе 1-2, а затем нагревается в изохорическом
процессе 2-3 (см. рис. 2.40). Во всем процессе перехода 1-2-3 газ
т к
3
Рис. 2.40.
совершил работу Л, а его температура и объем увеличились в два
раза. Какое количество теплоты было подведено к газу в процессе
перехода 1-2-31
Указание. В пустом сосуде переменного объема V,
температура стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов,
которые излучаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя
энергия этого газа U = a-T4-V, где а = const. Давление газа
фотонов определяется только его температурой Я = аТ4/3. (Билет 5,
2003)
2.138. Газ фотонов из начального состояния / расширяется в
изотермическом процессе 1-2, а затем охлаждается в изохорическом

ТЕРМОДИНАМИКА
75
оказалась равной начальной. В процессе всего перехода 1-2-3 от газа
пришлось отвести количество теплоты Q (Q > 0). Найти внутреннюю
энергию газа фотонов в начальном состоянии.
тл
i«—«—т2
а
*1
О V
Рис. 2.43.
Указание. В пустом сосуде переменного объема V, температура
стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов, которые
излучаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя энергия этого
газа U = a-T4-V, где а = const. Давление газа фотонов определяется
только его температурой Р = а-Г4/3. (Билет 8, 2003)
2.141. Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем при
температуре 100 °С и давлении Рх = 1,2 атмосферы. Если увеличить
давление на поршень в р = 2 раза в изотермическом процессе, то
объем, занимаемый воздухом, уменьшится в 7 = 2,5 раза, а на
стенках выпадет роса. Найти начальную относительную влажность
воздуха <р в цилиндре. Объемом образовавшейся жидкости
пренебречь. (Билет 9, 2003)
2.142. Влажный воздух с относительной влажностью ф = 0,5
находится в цилиндре под поршнем. Если в изотермическом процессе
увеличить давление на поршень в р = 3 раза, то объем,
занимаемый воздухом, уменьшится в 7 = 4 раза, а на стенках цилиндра
выпадет роса. Какую часть конечного давления в цилиндре
составляет давление пара? Объемом образовавшейся жидкости
пренебречь. (Билет 10, 2003)
2.143. Влажный воздух с относительной влажностью ф = 0,6
находится в цилиндре под поршнем при температуре 100 "С. Если в
изотермическом процессе увеличить давление на поршень в |3 = 2
раза, то объем, занимаемый воздухом, уменьшится в 7 = 2,5 раза, а на
стенках цилиндра выпадет роса. Найти начальное давление влажного
воздуха в цилиндре. Объемом образовавшейся жидкости
пренебречь. (Билет 11, 2003)
2.144. Влажный воздух с относительной влажностью ф = 0,6
находится в цилиндре под поршнем. Если в изотермическом процессе
увеличить давление на поршень в |3 = 2 раза, то объем, занимаемый
воздухом, уменьшится в 7 = 3 раза, а на стенках цилиндра выпадет
роса. Какую часть начального давления в цилиндре составляет
парциальное давление сухого воздуха? Объемом образовавшейся
жидкости пренебречь. (Билет 12, 2003)

76
ТЕРМОДИНАМИКА
2.145. В вертикально расположенной, открытой с одного конца
в атмосферу трубке легкий теплонепроницаемый поршень отделяет
гелий Не от жидкости, налитой поверх поршня
(рис. 2.44). Объемы, занятые в трубке гелием,
жидкостью и атмосферным воздухом, равны соответственно
V0, V0/2, V0/2. Атмосферное давление /,0=105Па,
V0 = 0,5 л. Добавочное давление, создаваемое столбом
жидкости, первоначально налитой в трубку, равно
/>0/8. Гелий медленно нагревают и поршень, медленно
двигаясь, вытесняет всю жидкость из трубки. Какое ко-
Рис. 2.44. личество теплоты получил гелий к моменту, когда вся
жидкость вытекла из трубки? Трением поршня о трубку
пренебречь. (Билет 1, 2004)
2.146. U-образная трубка расположена вертикально и заполнена
жидкостью. Один конец трубки открыт в атмосферу, другой конец
соединен с сосудом объемом 70 = 0,1л,
заполненным гелием (рис. 2.45). Объем всей трубки
равен V0. Гелий медленно нагревают, и он
медленно вытесняет жидкость из трубки. Какое
количество теплоты получил гелий к моменту,
когда вся жидкость вытекла из трубки? Атмосферное
давление Р0 = 105 Па, длина трех колен трубки
одинакова, добавочное давление, создаваемое
столбом жидкости в вертикальном колене, равно
Р0/&. (Билет 2, 2004)
2.147. В вертикально расположенной,
открытой с одного конца в атмосферу трубке, легкий теплонепроницаемый
поршень отделяет водород Н2 от жидкости, налитой поверх поршня
(рис. 2.46). Водород медленно нагревают, и поршень медленно
перемещается. К моменту, когда поршень переместился
настолько, что вся жидкость из трубки вылилась,
водород получил количество теплоты Q= 100 Дж.
Найти объем, занятый водородом в трубке в начальном
состоянии, если известно, что он вдвое больше объема,
занятого жидкостью, который, в свою очередь, равен
объему, занятому в трубке атмосферным воздухом.
Атмосферное давление Р0 = 105 Па, добавочное
давление, создаваемое столбом жидкости, первоначально
налитой в трубку, равно PJ9. Трением поршня о
трубку пренебречь. (Билет 3, 2004)
2.147. U-образная трубка состоит из двух одинаковых колен,
расположена вертикально и заполнена жидкостью. Один конец
трубки соединен с баллоном, заполненным водородом, другой ко-
Рис. 2.45.
Рис. 2.46.

78
ТЕРМОДИНАМИКА
своего объема. Найти плотность дерева. Плотность алюминия
р = 2,7 г/см3, плотность воды pn = 1 г/см3, площадь внутреннего
сечения ведра S = 280 СМ3. (Билет 6, 2004)
2.153. Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа
зависит от температуры Т и объема V по формуле U=cT—a/V,
где с, а — известные константы. Такой газ из начального
состояния с энергией £/] нагревается сначала в изохорическом процессе,
а затем в изобарическом процессе переводится в конечное
состояние, в котором его объем в к (к>1) раз меньше начального. В
результате всего процесса от газа отвели суммарное количество
теплоты Q (Q>0), его внутренняя энергия изменилась, а
температура увеличилась на AT. 1) Найти начальную температуру газа.
2) Найти конечное давление газа. (Билет 7, 2004)
2.154. В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски,
так что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на
АЛ =1,5 см. Затем на доску сверху положили пластину из льда.
В результате доска погрузилась в воду полностью, а пластина льда
на а = 0,6 своего объема. После того как лед растаял, объем воды
в ведре увеличился на Vn = 0,9 литра. Найти плотность дерева.
Плотность воды рп=1г/см3, льда рп = 0,9 г/см3. Площадь
внутреннего СеченИЯ ведра S = 200 СМ3. (Билет 7, 2004)
2.155. Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа
зависит от температуры Т и объема V по формуле U — сТ — a/V, где
с, а — известные константы. Такой газ нагревается сначала в
изохорическом процессе, а затем охлаждается в изобарическом процессе
до первоначальной температуры. Объем газа в конечном состоянии в
к раз (к > 1) меньше начального, а внутренняя энергия в конечном
состоянии меньше, чем в начальном на величину AU (AU > 0). В
результате всего процесса от газа отвели суммарное количество
теплоты AQ (AQ>0). 1) Найти начальный объем газа. 2) Найти
конечное давление газа. (Билет 8, 2004)
2.156. В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски
из дерева, который стал плавать. Когда на доску положили
алюминиевую пластину объемом V = 90 см3, доска с ней осталась на
плаву. При этом доска погрузилась в воду полностью, а пластина
на а = 1/5 своего объема. На сколько изменился уровень воды в
ведре вначале, когда в него пустили плавать обрезок доски?
Плотность алюминия р = 2,7г/см3, воды рв=1г/см3, дерева рл =
= 0,55 г/см3. Площадь внутреннего сечения ведра S = 300 см3.
(Билет 8, 2004)
2.157. В закрепленной длинной гладкой горизонтальной трубе
расположены два поршня с массами тх и т2, между которыми в
объеме VQ находится при давлении Р0 v молей идеального одно-

ТЕРМОДИНАМИКА
77
нец трубки открыт в атмосферу (см. рис. 2.47). Водород в баллоне
медленно нагревают, и он медленно вытесняет жидкость из трубки.
К моменту, когда из трубки вылилось 2/3 всей массы жидкости,
водород получил количество теплоты Q = 30 Дж. Найти объем
баллона, заполненного вначале водородом.
Известно, что объем всей трубки равен объему
баллона. Атмосферное давление Р0 = 105 Па,
добавочное давление, создаваемое столбом жидкости
в вертикальном колене трубки, равно />0/9.
(Билет 4, 2004)
2.149. Внутренняя энергия U некоторой массы
неидеального газа зависит от температуры Т и
объема V по формуле U = сТ — a/V, где с, а —
известные константы. Такой газ из начального рис. 2.47.
состояния с давлением Р{ и объемом 7,
расширяется сначала в изобарическом процессе, а затем в изохорическом
процессе переводится в конечное состояние, в котором его объем в
к раз (к> 1) больше начального. В результате всего процесса
температура газа уменьшилась на Д71 (Д71 > 0), а его внутренняя
энергия не изменилась. 1) Найти Д7Л 2) Какое суммарное количество
теплоты сообщили газу во всем процессе? (Билет 5, 2004)
2.150. В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски,
так что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на
АЛ = 1 см. Затем на доску сверху положили пластину из льда. В
результате доска погрузилась в воду полностью, а пластина льда на
а = 7/10 своего объема. На сколько изменится объем воды в ведре,
когда лед полностью растает? Плотность воды рв = 1 г/см3, льда
рл = 0,9 г/см3, дерева р = 0,6 г/см3. Площадь внутреннего сечения
ведра S = 300 СМ2. (Билет 5, 2004)
2.151. Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа
зависит от температуры Т и объема V по формуле U = сТ — a/V,
где с, а — известные константы. Такой газ из начального
состояния с давлением Р нагревается в изобарическом процессе, а затем
в изохорическом процессе охлаждается до первоначальной
температуры. В результате в конечном состоянии объем газа увеличился
в к раз по сравнению с первоначальным, а внутренняя энергия
изменилась на величину Д{/. 1) Найти начальный объем газа.
2) Какое суммарное количество теплоты сообщили газу во всем
процессе? (Билет 6, 2004)
2.152. Обрезок доски из дерева опустили в цилиндрическое ведро
с водой так, что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился
на ДЛ = 0,5 см. Затем на доску положили алюминиевую пластинку
объемом V = 30 см3. Доска вместе с пластинкой осталась на плаву.
При этом доска погрузилась полностью, а пластинка — на а = 7/10

ТЕРМОДИНАМИКА
79
атомного газа, масса которого много меньше массы поршней.
Наружное давление на поршни пренебрежимо мало. Первоначально
удерживаемые поршни отпускают и к некоторому моменту времени
температура газа между поршнями становится равной Г,.
Определить скорости поршней в этот момент времени, полагая, что газ
между поршнями все время остается равновесным.
Теплопроводностью и теплоемкостью поршней и трубы пренебречь. (Билет 9,
2004)
2.158. В закрепленной гладкой горизонтальной трубе между двумя
поршнями массой т каждый находятся v молей идеального
одноатомного газа. Наружное давление на поршни пренебрежимо мало.
В начальный момент температура газа равна Т0, а скорости поршней
направлены в одну сторону и равны 5v и v (рис. 2.48). Полагая, что
газ между поршнями все время остается равновесным, определите
температуру газа, когда скорости поршней окажутся равными. Масса
газа мала по сравнению с массой поршней. Теплопроводностью и
теплоемкостью поршней и трубы пренебречь. (Нилет ю, 2004)
2.159. В закрепленной длинной гладкой горизонтальной трубе
расположены два поршня с массами mi и т2, между которыми в объеме
К0 находится при давлении Р0 v молей идеального одноатомного газа,
масса которого много меньше массы поршней. Наружное давление на
поршни пренебрежимо мало. Первоначально удерживаемые поршни
отпускают и в некоторый момент времени скорость поршня массой
тх становится равной vv Полагая, что газ между поршнями все
время остается равновесным, определить его температуру в этот момент.
Теплопроводностью и теплоемкостью поршней и трубы
пренебречь. (Билет 11, 2004)
2.160. В закрепленной длинной гладкой горизонтальной трубе
между двумя поршнями массой т каждый находятся v молей
идеального одноатомного газа. Наружное давление на поршни
пренебрежимо мало. В начальный момент температура газа равна Т0, а
Рис. 2.48.
Рис. 2.49.

80
ТЕРМОДИНАМИКА
скорости поршней направлены в одну сторону и равны 3v и v
(рис. 2.49). В дальнейшем в некоторый момент один из поршней
остановился. Полагая, что газ между поршнями все время остается
равновесным, определите температуру газа в этот момент. Масса газа
мала по сравнению с массой поршней. Теплопроводностью и
теплоемкостью поршней и трубы пренебречь. (Билет 12, 2004)

3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.1. В схеме, изображенной на рис. 3.1, в Начальный момент
времени ключи К1 и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не
заряжен. Через некоторое время после замыкания ключа К{
амперметр А показывает величину силы тока /, = 1 мкА. В этот момент
замыкают ключ Кг. Какую величину силы тока покажет амперметр
сразу после замыкания ключа К2, если известно, что R2 = 2Ri = 108 Ом,
а ЭДС батареи = 100 В? Внутренними сопротивлениями
амперметра и батареи пренебречь. (Билет 1, 1991)
3.2. В схеме, изображенной на рис. 3.2, в начальный момент
времени ключи К1 и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не
заряжен. После замыкания ключа АГ, амперметр А показывает
постоянный ток силой /[ = 3 мкА. Затем замыкают ключ К2. Чему будет
равно показание амперметра сразу после замыкания ключа К2, если
известно,что R2/Rl — 21 Внутренним сопротивлением батареи и
сопротивлением амперметра пренебречь. (Билет 2, 1991)
Г
■i
(Кг
1
Рис. 3.1.
Рис. 3.2.
Рис. 3.3.
3.3. В схеме, изображенной на рис. 3.3, в начальный момент
времени ключи К{, и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой
емкости) не заряжен. Через некоторое время после замыкания
ключа К1 амперметр А показывает величину силы тока 1 = 2 мкА.
В этот момент замыкают ключ К2. Сразу после замыкания ключа
К2 амперметр показывает нулевое значение силы тока. Чему равна
ЭДС батареи, если известно, что
/?i = R2 = 108 Ом? Внутренними
сопротивлениями амперметра и батареи
пренебречь. (Билет 3, 1991)
3.4. В схеме, изображенной на рис. 3.4,
в начальный момент времени ключи Кх и
К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой
емкости) не заряжен. После замыкания
ключа Кх амперметр А показывает
некоторое постоянное значение силы тока. Если теперь замкнуть ключ К2,
Н2>
I
к
1 г
Рис. 3.4.

82
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
то показание амперметра сразу после этого возрастет в 3 раза.
Исходя из этого факта, найти отношение R2/R\- Внутренними
сопротивлениями амперметра и батареи пренебречь. (Билет 4, 1991)
3.5. В схеме, изображенной на рис. 3.5, после замыкания ключа
К через некоторое время т установится стационарный режим.
Какая мощность будет выделяться в резисторе R, если начать
изменять емкость конденсатора по закону C(t) — С0(1 + A sin wt),
Л< 1? Рассмотреть случай медленных изменений емкости, т.е.
когда 2л/ш:=5>т. Заданными параметрами считать: W, CQ, R, Л, ш.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 5, 1991)
. к
к
Рис. 3.5.
Рис. 3.6. Рис. 3.7.
3.6. В схеме, изображенной на рис. 3.6, после замыкания ключа К
через некоторое время т установится стационарный режим. Если
теперь начать изменять индуктивность по закону L = LQ(1 + Л sin Ы),
где А < 1, то ток через резистор R будет также меняться. Найти
амплитуду переменной составляющей силы тока с частотой ш.
Рассмотреть случай медленных изменений индуктивности, т.е. когда
2л/ш:=5>т. Заданными параметрами считать L0, Л, R, со.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 6, 1990
3.7. В схеме, изображенной на рис. 3.7, после замыкания ключа К
через некоторое время т установится стационарный режим. Какая
мощность будет выделяться в резисторе R, если начать изменять
расстояние между пластинами конденсатора по закону
d(t) = d0(\ + A sin a>t), А<\1 Рассмотреть случай быстрых изменений
емкости, т.е. когда 2л/ш« т. Заданными параметрами считать 8\ Л, R.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 7, 1991)
3.8. В схеме, изображенной на рис. 3.8, после замыкания ключа
К через некоторое время т установится
стационарный режим. Если теперь начать
изменять индуктивность по закону
L(t) = L0(l + Л sin Ы), где Л<^1, то в
цепи появится переменная составляющая
тока с частотой ш. Найти амплитуду этой
составляющей. Рассмотреть случай
быстрых изменений индуктивности, т.е. когда
2л/ш«т. Заданными параметрами считать Ч, Л, R. Внутренним
сопротивлением батареи пренебречь.
1
Рис. 3.8.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
83
Указание: при а« 1 можно считать, что (1 + а)" % 1 + па.
(Билет 8, 1991)
3.9. Положительно заряженная частица пролетает через три
плоские металлические сетки, между которыми с помощью двух
источников постоянной ЭДС 8^ = 250 В и &2 = 200 В
поддерживаются постоянные разности потенциалов (рис. 3.9). На каком
расстоянии х от первой сетки скорость частицы будет равна скорости,
которую она имела вдали от сеток? Расстояние d между сетками
много меньше размеров сеток. (Билет 9, 1991)
3.10. Через два последовательно соединенных проводника
одинакового сечения S, но с разными удельными сопротивлениями
pt и р2, (р2 > pj) течет ток / (рис. 3.10). Определить знак и
величину поверхностной плотности заряда, возникающего на
границе раздела ПРОВОДНИКОВ. (Билет 10, 1991)
/! 2\ 3\ 1\ 2\ З1.
d -4- d -Д-
I I I
Рис. 3.9.
Рис. 3.10.
Рис. 3.11.
3.11. Протон с удельным зарядом q/m = 0,96-108 Кл/кг
налетает на систему из трех плоских металлических сеток, между
которыми с помощью двух источников с ЭДС 8^ = 500 В и
<?2 = 200 В поддерживаются постоянные разности потенциалов
(рис. 3.11). В точке, находящейся на
расстоянии d/A справа от второй сетки,
скорость протона оказалась равной нулю.
Чему была равна скорость протона на
большом удалении от сеток? Расстояние
между сетками d равны и много меньше
поперечных размеров сеток. (Билет п, 1991)
3.12. Между пластинами J и 3 плоского
конденсатора помещена тонкая
металлическая пластина 2 параллельно обкладкам
конденсатора (рис. 3.12). Образовавшиеся
объемы заполнены диэлектрическими
жидкостями с одинаковой диэлектрической проницаемостью е, но с
разными удельными сопротивлениями р, и р2 (р2> Pi). Найти величину и
I
I
Рис. 3.12.

84
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
направление силы, действующей на пластину 2 со стороны
электрического поля, когда через конденсатор течет постоянный ток /.
Площади всех трех пластин одинаковы и равны S. (Билет 12, 1991)
3.13. Заряженная частица движется в однородных взаимнопер-
пендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый
момент времени ее скорость v0 перпендикулярна Е и В (рис. 3.13).
Чему будет равно отношение изменения кинетической энергии к
начальной кинетической энергии частицы в те моменты, когда
вектор ее скорости будет перпендикулярен v0, если известно, что
E/(vQB) = Р« 1? (Билет 1, 1992)
3.14. Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый
с зарядом q и массой т, связаны нерастяжимыми нитями, каждая
длиной а. Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой
горизонтальной поверхности. Одна из нитей пережигается. Какие
скорости будут иметь шарики в тот момент, когда они будут
располагаться на одной прямой? Радиус шарика мал по сравнению с
ДЛИНОЙ нити. (Билет 2, 1992)
Ов
Ов
т
а
1.
Рис. 3.13.
Рис. 3.14.
Рис. 3.15.
3.15. Заряженная частица движется в однородных взаимнопер-
пендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый
момент времени ее скорость v0 перпендикулярна Е и В, при этом
выполняется соотношение E/(vQB)<sc\ (рис. 3.14). В те моменты
времени, когда скорость частицы направлена в противоположную
сторону к v0, отношение изменения кинетической энергии частицы
к ее начальной кинетической энергии равно 6. Определить
отношение EI(v0B). (Билет 3, 1992)
3.16. Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый
зарядом q и массой т, связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной
а. Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой
горизонтальной поверхности (рис. 3.15). Какую минимальную скорость v
необходимо сообщить центральному шарику, чтобы при дальнейшем
движении шарики смогли образовать равносторонний треугольник?
Радиус ШарИКОВ мал ПО Сравнению С ДЛИНОЙ НИТИ. (Билет 4,1992)
3.17. Неподвижное проволочное кольцо расположено в однородном
магнитном поле, линии индукции В которого перпендикулярны
плоскости кольца (рис. 3.16). По кольцу скользит со скоростью v (без
нарушения электрического контакта) проволочная перемычка РР'

86
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
не 2 находится положительный заряд Q. Пластины 1 и 3 не заряжены
и подключены через ключ К к катушке самоиндукции с
индуктивностью L. Определить максимальное значение силы тока через
катушку после замыкания ключа К. Расстояния dx и d2 между
пластинами малы по сравнению с их размерами. Омическим
сопротивлением катушки пренебречь. (Билет 9, 1992)
3.22. Три одинаковые неподвижные металлические пластины
расположены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга.
Площадь каждой пластины равна S (рис. 3.21). На пластине 1
находится положительный заряд Q. Пластины 2 и 3 не заряжены
и подключены через ключ К к катушке самоиндукции с
индуктивностью L. Определить максимальное значение силы тока через
катушку после замыкания ключа К. Расстояние между пластинами
мало по сравнению с их размерами. Омическим сопротивлением
катушки пренебречь. (Билет 10, 1992)
+ Q
1+G
1+G
L
L
К
Рис. 3.20. Рис. 3.21. Рис. 3.22.
3.23. Три одинаковые неподвижные металлические пластины
расположены в воздухе на расстояниях dy и d2 (d2> dx) друг от друга
(рис. 3.22). На средней пластине 2 находится положительный заряд
Q. Пластины 1 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к
катушке самоиндукции.
Q
1) Определить максимальную величину и
знак заряда на пластинах J и 3 после
замыкания ключа К. Расстояние между dx и d2 малы
по сравнению с размерами пластины.
Омическим сопротивлением катушки пренебречь.
2) Какие заряды установятся на пластинах
1 и 3 при наличии в цепи омических потерь?
(Билет 11, 1992)
3.24. Три одинаковые неподвижные
металлические пластины расположены в воздухе на
равных расстояниях d друг от друга. Площадь
каждой из пластин равна S (рис. 3.23). На пластине J находится
отрицательный заряд — Q. Пластины 2 и 3 не заряжены и
подключены через ключ К к катушке самоиндукции с индуктивностью L.
Рис. 3.23.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
85
(v±PP'). Определить направление и силу индукционного тока в
кольце и в перемычке в тот момент, когда перемычка пересекает центр
кольца, как это изображено на рисунке. Кольцо и перемычка
выполнены из одного куска проволоки с удельным электрическим
сопротивлением р и площадью поперечного сечения S. (Билет 5, 1992)
3.18. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположена в
однородном магнитном поле, линии индукции В которого
перпендикулярны к плоскости рисунка. По перемычке скользит в плоскости
рисунка проволочное кольцо со скоростью v (\±РР') без нарушения
электрического контакта (рис. 3.17). Определить направление и силу
индукционного тока в кольце и в перемычке в тот момент, когда центр
кольца пересекает перемычку. Кольцо и перемычка выполнены из
одного куска проволоки с удельным электрическим сопротивлением р и
площадью поперечного сечения S. (Билет б, 1992)
Рис. 3.17. Рис- 318- рис. 3.19.
3.19. Неподвижная проволочная квадратная рамка расположена в
однородном магнитном поле, линии индукции которого
перпендикулярны к плоскости рамки (рис. 3.18). По рамке скользит без
нарушения электрического контакта проволочная перемычка РР' со
скоростью v (\±РР'). В тот момент, когда перемычка пересекает центр
квадрата, по ней течет ток силой /. Определить величину и
направление индукции магнитного поля. Рамка и перемычка выполнены из
одного куска проволоки с удельным электрическим сопротивлением
р и площадью поперечного сечения S. (Билет 7, 1992)
3.20. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположена в
однородном магнитном поле, линии индукции которого
перпендикулярны к плоскости рисунка (рис. 3.19). По перемычке скользит в
плоскости рисунка проволочная квадратная рамка со скоростью v
(v ±РР') без нарушения электрического контакта. В тот момент,
когда центр рамки пересекает перемычку, по ней течет ток силой /.
Определить направление и величину индукции магнитного поля.
Рамка и перемычка выполнены из одного куска проволоки с
удельным электрическим сопротивлением р и площадью поперечного
сечения S. (Билет 8, 1992)
3.21. Три одинаковые неподвижные металлические пластины
расположены в воздухе на расстояниях dx и d2 (d2> dx) друг от друга.
Площадь каждой из пластин равна S (рис. 3.20). На средней пласти-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
87
1) Определить максимальную величину и знак заряда на
пластинах 2 и 3 после замыкания ключа.
2) Найти производную ^ в этот момент времени (при
максимальном заряде на пластинах 2 и 3), где / — сила тока через катушку.
Расстояние d мало по сравнению с размерами пластин. Омическим
сопротивлением катушки пренебречь. (Билет 12, 1992)
3.25. В схеме, изображенной на рис. 3.24, в начальный момент
ключ К разомкнут, а в замкнутом контуре схемы течет
установившийся ток. Определить величину и направление тока через
конденсатор С сразу после замыкания ключа К. Параметры схемы: ЭДС
батареи = 40 В, внутреннее сопротивление г1 = 20 Ом; ЭДС
<i\ = 80 В, внутреннее сопротивление гг = 5 Ом; сопротивление
резистора Л= 15 Ом. (Билет 1, 1993)
°2-'2,
/
К
L
/
К
■-■\-'\
Рис. 3.24. Рис. 3.25. Рис. 3.26.
3.26. В схеме, изображенной на рис. 3.25, в начальный момент
ключ К разомкнут, а в замкнутом контуре схемы течет
установившийся ток. Определить величину и направление тока через резистор
R сразу после замыкания ключа К. Параметры схемы: ЭДС %v — 10 В,
внутреннее сопротивление г1 = 5 Ом, внутреннее сопротивление
второй батареи г2 = 20 Ом, сопротивление резистора R = 4 Ом. (Билет 2,
1993)
3.27. В схеме, изображенной на рис. 3.26, в начальный момент
ключ К разомкнут, а в замкнутом контуре схемы течет
установившийся ток. Определить величину и направление тока через
конденсатор С сразу после замыкания ключа К. Параметры схемы: ЭДС
батареи £\ = 80 В, внутреннее сопротивление
г, = 5 Ом, ЭДС батареи ^2 = 40 В, внутреннее
сопротивление г2 = 20 Ом, сопротивление
резистора R = 15 Ом. (Билет 3, 1993)
3.28. В схеме, изображенной на рис. 3.27, в
начальный момент ключ К разомкнут, а в зам- | ^ к
кнутом контуре схемы течет установившийся
ток. Определить величину и направление тока
через резистор R сразу после замыкания клю-
Рис. 3.27.

88
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
ча К. Параметры схемы: ЭДС батареи %г = 10 В, внутреннее
сопротивление г2= 20 Ом, внутреннее сопротивление первой батареи
г1 = 5 Ом. Сопротивление резистора R = A Ом. (Билет 4, 1993)
3.29. Прямоугольная проволочная рамка со сторонами а и Ь
{Ь = За) находится вблизи длинного прямого провода с током
(рис. 3.28). При выключении тока рамка приобретает импульс Р0.
Какой импульс получила бы рамка, если бы она была квадратной со
сторонами, равными а? Самоиндукцией рамок пренебречь. (Билет 5,1993)
3.30. Квадратную проволочную рамку с длиной стороны а и
сопротивлением R протягивают с постоянной скоростью v через зазор
электромагнита. Магнитное поле в зазоре однородно, и его индукция
равна В. Плоскость рамки перпендикулярна В (рис. 3.29).
Пренебрегая краевыми эффектами, определить, какое количество теплоты
выделится в рамке, если сторона рамки а меньше продольного размера
зазора Ь, а поперечный размер I > а. (Билет б, 1993)
в©
V
Рис. 3.28. Рис. 3.29. Рис. 3.30. Рис. 3.31.
3.31. Квадратная проволочная рамка с диаметром проволоки d0
находится вблизи длинного прямого провода с током 10 (рис. 3.30).
При выключении тока рамка приобретает импульс PQ. Какой
импульс получила бы рамка, если бы начальный ток в проводе был
/ = 310, а диаметр проволоки рамки d = 2d0l Самоиндукцией рамки
пренебречь. (Билет 7, 1993)
3.32. Квадратную проволочную рамку с длиной стороны а и
сопротивлением на единицу длины р протягивают с постоянной
скоростью через зазор электромагнита. При этом в рамке выделяется
количество теплоты, равное Q. Пренебрегая краевыми эффектами,
определить скорость рамки, если сторона рамки а больше
продольного размера зазора Ь, а поперечный размер I > а. Магнитное поле в
зазоре однородно, а его индукция равна В. Плоскость рамки
перпендикулярна В (рис. 3.31). (Билет 8, 1993)
3.33. Внутри плоского конденсатора, между обкладками которого
с помощью источника напряжения поддерживается постоянная
разность потенциалов U, расположена плоскопараллельная
металлическая пластина толщиной а и массой т. В начальный момент
пластина прижата к левой обкладке конденсатора (рис. 3.32), а затем
отпускается. Чему будет равна скорость пластины в тот момент, когда

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
89
она достигнет правой обкладки конденсатора? Площадь каждой
пластины равна S, а расстояние между обкладками d. (Билет 9, 1993)
3.34. В цепи, изображенной на рис. 3.33, при разомкнутом ключе
К заряд на конденсаторе с емкостью С{ (Сх = С2 / 3) равен qv а
конденсатор с емкостью С2 не заряжен. Через какое время после
замыкания ключа заряд на конденсаторе С2 будет иметь максимальное
значение? Чему будет равен этот заряд? Омическими потерями в катушке с
ИНДУКТИВНОСТЬЮ L пренебречь. (Билет Ю, 1993)
Рис. 3.32.
с2
/
Рис. 3.33.
(I
Рис. 3.34.
C..G
Рис. 3.35.
3.35. Внутри плоского конденсатора, между обкладками которого
с помощью источника напряжения поддерживается постоянная
разность потенциалов U, расположена плоскопараллельная
металлическая пластина толщиной а и массой т. В начальный момент
пластина прижата к левой обкладке конденсатора (рис. 3.34), а затем
отпускается. Чему будет равно ускорение пластины в тот момент, когда
она будет занимать симметричное положение относительно обкладок
конденсатора? Площадь каждой пластины равна S, а расстояние
между обкладками d. (Билет 11, 1993)
3.36. В цепи, изображенной на рис. 3.35, при разомкнутом ключе К
заряд на конденсаторе с емкостью С1 равен Q, а конденсатор с
емкостью С2 (С2 = 4Cj) не заряжен. Определить максимальный ток в цепи
после замыкания ключа. Омическими потерями в катушке с
индуктивностью L пренебречь. (Билет 12, 1993)
3.37. Три конденсатора с емкостями
С, = С„
С2 — 2С0,
С, = зс
0, каждый из
которых заряжен от батареи с ЭДС и
резистор с сопротивлением R включены
в схему, изображенную на рис. 3.36.
1) Чему равен ток в цепи сразу после
замыкания ключа?
2) Какая разность потенциалов
установится на конденсаторе С3? (Билет 1,1994)
3.38. В схеме, изображенной на рис. 3.37, при разомкнутом ключе
К конденсатор CY емкостью С0 заряжен до напряжения II1 = 2%, а

90
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
конденсатор С2 емкостью 2С0 — до напряжения U2 = Ж, где ^ —
ЭДС батареи, внутреннее сопротивление которой равно г.
1) Чему будет равен ток в цепи сразу после замыкания ключа
2) Какая разность потенциалов установится на конденсаторе С,?
(Билет 2, 1994)
/К
Рис. 3.37.
С'з
Рис. 3.38.
3.39. Три конденсатора с емкостями С, — С0, С2 = 2С0, С3 = ЗС0,
каждый из которых заряжен от батареи с ЭДС W, и резистор с
сопротивлением R включены в схему, изображенную на рис. 3.38.
1) Чему будет равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Какая разность потенциалов установится на конденсаторе С,?
(Билет 3, 1994)
3.40. В схеме, изображенной на рис. 3.39, при разомкнутом ключе
К конденсатор С, емкостью 2С0 заряжен до напряжения Ux = 3<f, а
конденсатор С2 емкостью ЗС0 — до напряжения U2 = 4%, где %' —
С] %\ г с2 ЭДС батареи, внутреннее сопротивление
которой равно г.
1) Чему будет равен ток в цепи сразу
после замыкания ключа 1С!
2) Какая разность потенциалов
установится на конденсаторе С2? (Билет 4, 1994)
3.41. В колебательном контуре,
состоящем из катушки с индуктивностью L = 1 Г
и конденсатора емкости С = 1 мкФ с
утечкой (омическое сопротивление диэлектрика, заполняющего
конденсатор R — 103 Ом), происходят затухающие колебания. В некоторый
момент времени амплитуда (максимальное значение) напряжения на
конденсаторе была равна U0 = 2 В. Какое количество теплоты
выделится на конденсаторе от этого момента времени до полного
затухания колебаний В контуре? (Билет 5, 1994)
3.42. В колебательном контуре, состоящем из катушки с
индуктивностью L = 0,1 Г и омическим сопротивлением R= 1 Ом и
конденсатора емкости С = 10 мкФ, происходят слабо затухающие
колебания (в любой момент времени потеря энергии за 1 период
колебаний много меньше энергии контура). В некоторый момент времени,

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
91
ч
И
■<-
когда ток в контуре достигает максимального значения, напряжение
на конденсаторе Uс = 1 В. Какое количество теплоты выделится в
катушке за 1 период колебаний? (Билет 6, 1994)
3.43. В колебательном контуре, состоящем из катушки с
индуктивностью L = 1 мГ и омическим сопротивлением R = 5 Ом и
конденсатора емкости С = 40 мкФ, происходят затухающие колебания.
В некоторый момент времени амплитуда (максимальное значение)
тока в контуре равна Утах = 0,1 А. Какое количество теплоты
выделится в катушке от этого момента времени до полного затухания
колебаний В контуре? (Билет 7, 1994)
3.44. В колебательном контуре, состоящем из катушки с
индуктивностью L = 0,1 Г и конденсатора емкости
С = 10 мкФ с утечкой (омическое сопротивление
диэлектрика, заполняющего конденсатор,
/?=104Ом), происходят слабо затухающие
колебания (в любой момент времени потеря
энергии за 1 период колебаний много меньше энергии
контура). В некоторый момент времени
максимальная сила тока в контуре 10 = 0,1 А. Какое
количество теплоты выделяется в конденсаторе
за ОДИН период колебаний? (Билет 8, 1994)
3.45. По длинному прямолинейному проводу
течет переменный ток. В плоскости, проходящей
через провод, расположены три проволочных
контура, изготовленные из одного куска провода (рис. 3.40).
Контуры У и 2 являются квадратами с длиной сторон а, третий контур
состоит из двух прямоугольников со сторонами а, Ъ и а, с. В
некоторый момент времени токи в контурах У и 2 равны соответственно
/, и 12. Чему равен в этот момент ток в контуре 31 Штриховые линии
на рисунке ПараЛЛеЛЬНЫ проводу. (Билет 9, 1994)
3.46. Два проволочных контура, изготовленные из одного куска
провода, движутся с одинаковыми скоростями к длинному
прямолинейному проводу с постоянным током. Контур 1
является квадратом со стороной а, контур 2 в виде
восьмерки состоит из двух квадратов, стороны
которых равны сторонам квадрата J (рис. 3.41).
Когда они оказались на расстоянии Ь = 2а от провода,
ток в контуре J был равен lv Чему был равен в
этот момент ток в контуре 2, если известно, что
индукция магнитного поля, создаваемая током
провода, обратно пропорциональна расстоянию от
провода? Провод и оба контура расположены в
одной ПЛОСКОСТИ. (Билет 10, 1994)
3.47. По длинному прямолинейному проводу течет переменный ток.
В плоскости, проходящей через провод, расположены три проволочных
Рис. 3.40.
Рис. 3.41.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
93
/•=оТ
Рис. 3.46.
ду пластинами мало по сравнению с линейными размерами
пластин. (Билет 1, 1995)
3.51. Какое количество теплоты
выделится на резисторе R2 в схеме, изображенной на
рис. 3.46, после перемещения ключа К из
положения 1 в положение 2? (Билет 2,1995)
3.52. Два плоских конденсатора с
пластинами площадью S и расстоянием между
ними d включены в цепь через резистор R.
В левом конденсаторе (рис. 3.47)
расположена диэлектрическая пластина толщиной h (h< d), площадью S и
проницаемостью е. Конденсаторы заряжены до напряжения U.
Пластину быстро выдвигают из конденсатора. Пренебрегая изменением
зарядов на пластинах конденсаторов за время удаления диэлектрика,
определить:
1) какую работу пришлось совершить при этом;
2) чему равен и куда направлен ток через резистор сразу после
удаления диэлектрика. (Билет 2, 1995)
3.53. Какое количество теплоты выделится в схеме (рис. 3.48)
после размыкания ключа Ю. (Билет 3, 1995)
R
Рис. 3.47.
R
4ZZH
Рис. 3.48.
Рис. 3.49.
3.54. Между двумя проводящими плоскопараллельными
незаряженными пластинами 1 и 2, закороченными через резистор
сопротивлением R, помещают пластину 3 с отрицательным зарядом q на
расстоянии а от пластины 2 {а < d/2, где d — расстояние между
пластинами У и 2). После того как система пришла в стационарное
состояние, пластину 1 быстро перемещают на расстояние а по
направлению к неподвижным пластинам 2, 3 (рис. 3.49). Полагая, что
за время перемещения пластины 1 заряд на пластинах 7 и 2 не
успевает измениться, определить:
1) какая работа была совершена при перемещении пластины;
2) величину и направление тока через резистор R сразу после
перемещения пластины 1. Площадь пластин S. (Билет 3, 1995)
3.55. Какое количество теплоты выделится на резисторе R2 в
схеме, изображенной на рис. 3.50, после перемещения ключа К из
положения 1 в положение 2? (Билет 4, 1995)

92
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
контура, изготовленные из одного куска провода (рис. 3.42). Контур 1
является прямоугольником со сторонами а и 2а, контур 2 — квадратом
со сторонами а, контур 3 в виде восьмерки состоит из двух квадратов со
сторонами а. В некоторый момент времени токи в контурах 1 и 3 равны
соответственно 1Х и /3. Чему равен в этот момент ток в контуре 21
Штриховые линии на рисунке параллельны проводу. (Билет 11, 1994)
2а
2а
2а
г = 0
4 Ц=
Рис. 3.42.
Рис. 3.43.
Рис. 3.44.
3.48. Два проволочных контура, изготовленные из одного куска
провода, движутся к длинному прямолинейному проводу с
постоянным током. Контур 1 является прямоугольником со сторонами а,
2а. Контур 2 состоит из двух прямоугольников со сторонами 2а, а
(рис. 3.43). Когда оба контура находились на расстоянии Ъ = а от
провода, токи в контурах были равны. Определить отношение
скоростей контуров в этот момент времени, если известно, что индукция
магнитного поля, создаваемая током провода, обратно
пропорциональна расстоянию от провода. Провод и оба контура расположены
в одной плоскости. (Билет 12, 1994)
3.49. Какое количество теплоты выделится в схеме (рис. 3.44)
после размыкания ключа Ю. (Билет 1, 1995)
3.50. Между двумя неподвижными плоскопараллельными
незаряженными пластинами 1 и 2, закороченными через
резистор сопротивлением R (рис. 3.45), помещают
аналогичную проводящую пластину 3 с
положительным зарядом q на расстоянии а от пластины 2
(а < d/2, где d — расстояние между пластинами 1 и
2). После установления равновесного состояния
пластину 3 быстро перемещают в симметричное
положение (на расстояние а от пластины 1).
Полагая, что за время перемещения пластины 3 заряд на
пластинах 1 и 2 не успевает измениться, определить:
1) величину и направление тока через резистор R сразу после
перемещения пластины 3;
2) количество теплоты, выделившееся на резисторе после
перемещения пластины. Площадь каждой пластины S, расстояние меж-
I
1 3
1
1
2
1
1
. ' d
а
R
■ 1
Рис. 3.45.

94
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.56. Два одинаковых плоских конденсатора- с площадью пластин
5 и расстоянием между пластинами d включены в цепь через
резистор с сопротивлением R. Конденсаторы заряжены до напряжения
U. В левый конденсатор (рис. 3.51) быстро вводят параллельно
обкладкам пластину с диэлектрической проницаемостью е, площадью
5 и толщиной h (h < d). Пренебрегая изменением зарядов на
пластинах конденсаторов за время введения пластины, определить:
1) какую работу пришлось совершить при этом;
2) чему равен и куда направлен ток через резистор сразу после
введения пластины. (Билет 4, 1995)
2 Щ
] =
jlc ъщш*
3.57.
Рис. 3.50.
В схеме (рис. 3.52) ключи Кх
Рис. 3.51.
и К2 разомкнуты, а
конденсаторы не заряжены. Ключ Кх замыкают, оставляя К2 разомкнутым. В
результате на конденсаторе емкостью С устанавливается напряжение
Kj = 6 В. Найти ЭДС & источника тока. Каким станет
установившееся напряжение V2 на конденсаторе емкостью С после замыкания
КЛЮЧа К2 при Замкнутом К{? (Билет 5, 1995)
3.58. В модели атома Томсона предполагалось, что положительный
заряд д, равный по модулю заряду электрона, равномерно распределен
внутри шара радиуса R. Чему будет равен период колебаний (внутри
шара вдоль его диаметра) электрона, помещенного в такой шар?
Масса электрона т. (Билет 5, 1995)
2С
2R
У
W,R
J L
К
г
Г
Рис. 3.52.
Рис. 3.53.
3.59. При замкнутом ключе К (рис. 3.53) установившееся
напряжение на конденсаторе V= 27 В. Найти ЭДС источника тока.
Определить установившееся напряжение V2 на конденсаторе после
размыкания ключа. (Билет 6, 1995)
3.60. В закрепленной тонкостенной непроводящей равномерно
заряженной сфере радиуса R имеются два небольших диаметрально
противоположных отверстия. Заряд сферы Q. По прямой, проходя-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
95
щей через отверстия, из бесконечности движется частица, имеющая
на бесконечности скорость VQ. Масса частицы т, ее заряд равен q и
противоположен заряду сферы. Найдите время, в течение которого
частица будет находиться внутри сферы. (Билет б, 1995)
3.61. В схеме (рис. 3.54) ключи Кх и К2 разомкнуты, а
конденсаторы не заряжены. Ключ Кх замыкают, оставляя К2 разомкнутым. В
результате на конденсаторе емкостью С устанавливается напряжение
К, = 15 В.
1) Найти ЭДС \о источника тока.
2) Каким станет установившееся напряжение V2 на конденсаторе
емкостью С после замыкания ключа К2 при замкнутом /С,?
(Билет 7, 1995)
3.62. Определить период малых колебаний в вертикальной
плоскости небольшого тела массы т с зарядом q внутри непроводящей
сферы радиуса R, если в верхней точке сферы закреплен одноименный
точечный заряд Q. Внутренняя поверхность сферы гладкая.
Ускорение свободного падения g. (Билет 7, 1995)
3.63. При разомкнутом ключе К (рис. 3.55) на конденсаторе
устанавливается напряжение Kj = 12 В.
1) Найти ЭДС источника тока.
2) Определить установившееся напряжение К2 на конденсаторе
после замыкания ключа. (Билет 8,1995)
3.64. В закрепленной тонкостенной непроводящей равномерно
заряженной сфере радиуса R имеются два небольших диаметрально
противоположных отверстия. Заряд сферы Q. По прямой,
проходящей через отверстия, из бесконечности движется с некоторой
скоростью VQ частица массы т с зарядом q, одноименным с Q. Известно,
что в течение времени Т частица находилась внутри сферы.
Определите скорость V0 частицы на бесконечности. (Билет 8, 1995)
3.65. Две батареи с ЭДС и <?2 вклю- с,,, ..с.
я2 я3
чены в схему, параметры которой указаны II II L
на рис. 3.56, причем /г, = R2 = R3 = R- В у I j
начальный момент времени ключи Kt и Kl R\[j I
К2 разомкнуты, конденсаторы не
заряжены. Ключи одновременно замыкают.
1) Найти начальный ток через
резистор Rv Рис- 3-56-
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после
замыкания ключей? Внутренним сопротивлением батарей
пренебречь. (Билет 9, 1995)
3.66. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
непроводящее кольцо массой т, вдоль которого равномерно
распределен заряд Q. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном

96
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
поле с индукцией В0, направленной перпендикулярно плоскости
кольца. Внешнее магнитное поле выключают.
1) По какой причине (указать механизм) кольцо начнет вращаться?
2) Найти угловую скорость вращения кольца после выключения
магнитного ПОЛЯ. (Билет 9, 1995) /ч
3.67. Батарея с ЭДС ^ и внутренним сопротивлением г включена
через ключ К в схему, параметры которой указаны на рис. 3.57. В
начальный момент времени ключ К разомкнут, конденсаторы не
заряжены. Ключ замыкают.
1) Определить начальный ток через батарею.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после
замыкания ключа? (Билет 10, 1995)
3.68. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
проволочное кольцо радиуса г. Кольцо находится во внешнем
однородном магнитном поле с индукцией В0, направленной перпендикулярно
плоскости кольца. Индукция внешнего магнитного поля стала
уменьшаться со временем t по закону: B(t) =■ В0 — At, где А — константа.
1) Найти ток в кольце.
2) Чему равна максимальная сила натяжения проволоки кольца,
обусловленная взаимодействием тока в кольце и внешнего магнитного
поля? Сопротивление проволоки кольца R. Самоиндукцией кольца
пренебречь. (Билет 10, 1995)
3.69. Две батареи с ЭДС t каждая включены в схему, параметры
которой указаны на рис. 3.58. В начальный момент времени ключи
К1 и К2 разомкнуты, конденсаторы не заряжены. Ключи
одновременно замыкают.
1) Найти начальный ток через батареи.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после
замыкания ключей? Внутренним сопротивлением батарей
пренебречь. (Билет 11, 1995)
3.70. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
непроводящее кольцо массой т, вдоль которого равномерно
распределен заряд Q. Кольцо находится между полюсами электромагнита,
создающего однородное магнитное поле, направленное
перпендикулярно плоскости кольца. При включении электромагнита индукция
Рис. 3.57.
Рис. 3.58.
Рис. 3.59.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 97
магнитного поля возросла от нуля до некоторого значения В0, а
кольцо начало вращаться с угловой скоростью со.
1) По какой причине (указать механизм) кольцо начало вращаться?
2) Определите В0. (Билет 11, 1995)
3.71. Батарея с неизвестной ЭДС и внутренним сопротивлением
г через ключ К включена в схему, параметры которой указаны на
рис. 3.59. В начальный момент времени ключ К разомкнут,
конденсаторы не заряжены. Сразу после замыкания ключа через батарею
течет ток /0.
1) Определить ЭДС батареи.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после
замыкания ключа? (Билет 12, 1995)
3.72. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
проволочное кольцо радиуса г. Кольцо находится между полюсами
электромагнита, создающего однородное магнитное поле,
направленное перпендикулярно плоскости кольца. За время х (с момента
включения электромагнита) индукция магнитного поля в зазоре между
полюсами электромагнита равномерно нарастала от нуля до
некоторого значения В0. При этом максимальная сила сжатия вдоль
проволоки кольца (обусловленная взаимодействием тока в кольце и
внешнего магнитного поля) оказалась равной F. Сопротивление
проволоки кольца R.
1) Найдите ток в кольце при нарастании магнитного поля, считая
известными г, х, В0, R.
2) Определите В0, считая известными г, х, F, R. Самоиндукцией
кольца можно пренебречь. (Билет 12, 1995) II
3.73. Два одинаковых проводящих диска С?'
радиусами г вращаются с угловыми скоростя- "V^N вф а>2/^~
ми со, и со2 (со, > со2) в однородном
магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной
их плоскостям (рис. 3.60). Центры дисков с Ql
помощью проводников присоединены к кон- Рис. 3.60.
денсатору емкостью С,, а ободы — через
скользящие контакты к конденсатору емкостью С2. Найти
напряжения, которые установятся в конденсаторах. (Билет 1, 1996)
3.74. В простейшей схеме магнитного
гидродинамического генератора плоский
конденсатор с площадью пластин S и i5/?®-^!^"-^^---! П#
расстоянием d между ними помещен в -""-^-^Sz т
расстоянием а между ними помещен
поток проводящей жидкости с удельным
сопротивлением р, движущейся с посто- Рис 3 61
янной скоростью v параллельно
пластинам (рис. 3.61). Конденсатор находится в магнитном поле с
индукцией В, направленной вдоль пластин и перпендикулярно ско-
4 - 2675

98
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
рости жидкости. Найти полезную мощность, которая выделяется в
виде тепла на внешней нагрузке сопротивлением R. (Билет 2, 1996)
3.75. Два проводящих диска радиусами г1
и г2 вращаются с одинаковыми (по модулю)
угловыми скоростями со в противоположных
направлениях (рис. 3.62). Перпендикулярно
плоскостям дисков направлено однородное
магнитное поле с индукцией В. Центры
дисков с помощью проводников присоединены к
Г
с?1
BG
С, II
Рис. 3.62.
конденсатору емкостью Cv ободы — через скользящие контакты к
обкладкам конденсатора емкостью С2. Определить со, если известно,
что на конденсаторе С1 установилось напряжение U. (Билет 3, 1996)
3.76. Между закороченными пластинами
плоского конденсатора с площадью пластин
S и расстоянием d между ними движется
параллельно пластинам с постоянной
скоростью v проводящая лента толщиной h
(рис. 3.63). Ширина ленты больше размеров
конденсатора. Конденсатор находится в
магнитном поле с индукцией В, направленной вдоль пластин и
перпендикулярно скорости ленты. Найти наведенный заряд на пластинах
конденсатора. (Билет 4, 1996)
♦л ве v
к
Рис. 3.63.
Рис. 3.64.
Рис. 3.65. Рис. З.бб.
3.77. В схеме, изображенной на рис. 3.64, сначала замыкают ключ
К1 и после того, как конденсатор емкостью С2 полностью зарядится
от батареи с ЭДС ключ /Cj размыкают и замыкают ключ К2. После
замыкания ключа К2 в схеме происходят свободные незатухающие
колебания. Когда напряжение на конденсаторе емкостью С1
достигает максимального значения, в него быстро (за время, малое по
сравнению с периодом колебаний) вставляют диэлектрическую пластину,
что приводит к увеличению его емкости е раз.
1) Чему равен начальный ток в цепи после замыкания ключа К21
2) Определить максимальный ток в цепи после вставки
пластины. (Билет 5, 1996)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
99
3.78. В колебательном контуре, состоящем из двух
последовательно соединенных катушек с индуктивностями Lx и L2 и конденсатора
емкостью С, происходят свободные незатухающие колебания, при
которых амплитуда колебаний тока равна /0 (рис. 3.65). Когда сила
тока в катушке Lx максимальна, в нее быстро (за время, малое по
сравнению с периодом колебаний) вставляют сердечник, что
приводит к увеличению ее индуктивности в \к раз.
1) Определить максимальное напряжение на конденсаторе до
вставки сердечника.
2) Определить максимальное напряжение на конденсаторе после
вставки сердечника. (Билет б, 1996)
3.79. В колебательном контуре, состоящем из двух параллельно
соединенных конденсаторов с емкостями С{ и С, и катушки с
индуктивностью L (рис. 3.66), происходят свободные незатухающие колебания,
при которых амплитуда колебаний заряда на конденсаторе С2 равна
д0. В конденсаторе Сх расположена диэлектрическая пластина с
диэлектрической проницаемостью е, которая полностью заполняет его
пространство. Когда заряд на конденсаторе Сх достигает
максимального значения, пластину быстро (за время, малое по сравнению с
периодом колебаний) удаляют из конденсатора.
1) Определить новый период колебаний.
2) Определить амплитуду новых колебаний
тока в катушке. (Билет 7, 1996)
3.80. В схеме (рис. 3.67) конденсатор
емкостью С заряжен до некоторого напряжения.
После замыкания ключа К в схеме происходят
свободные, практически незатухающие коле
бания, при которых амплитудное значение то
1С
к
Li
L2
\ШШЖ)
Рис. 3.67.
ка в катушке с индуктивностью L2 равно 10. Когда ток в катушке с
индуктивностью Lj достигает максимального значения, из нее быстро (за
время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают
сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в \к раз.
1) Найти ток через катушку L2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти максимальное напряжение на конденсаторе после
выдвигания сердечника. (Билет 8, 1996) м
3.81. На схему подано постоянное
напряжение V — 70 В (рис. 3.68). Найти
пределы изменения напряжения на
конденсаторе при медленных изменениях
сопротивления резистора Rx в пределах от
/?/4 до 6R. Сопротивление резистора R2
постоянно и равно R. (Билет 9, 1996)
+ -
-0 S&-
V
Рис. 3.68.
4*

100
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3R
+ -
-0 0-
V
-cz>
R
3.82. На схему (рис. 3.69) подано постоянное напряжение
V = 36 В. В каких пределах можно изменять напряжение на
конденсаторе С2 при медленных изменениях
емкости в пределах от С/2 до 8 С?
Емкость конденсатора С2 постоянна и
равна С. (Билет 10, 1996)
3.83. На схему (рис. 3.70) подано
постоянное напряжение V = 60 В.
Сопротивление резистора Rx постоянно и равно
R. Найти пределы изменения напряжения
на конденсаторе при медленных изменениях сопротивления
резистора R2 от R/3 до 5R. (Билет 11, 1996)
3.84. На схему (рис. 3.71) подано постоянное напряжение
V = 120 В. В каких пределах будет изменяться напряжение на
конденсаторе С, с постоянной емкостью С при медленных изменениях
емкости С2 в пределах от С/4 до 7С? (Билет 12, 1996)
Рис. 3.69.
-CZZb
«1
-CZb
2R
+
-0
0~
V
Рис. 3.70. Рис. 3.71.
3.85. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС ^,
сопротивления R и конденсатора переменной емкости, начальное значение
которой равно С0 (рис. 3.72). Через некоторое время после
замыкания ключа К в цепи течет ток 10. Начиная с этого момента времени,
емкость конденсатора изменяется таким образом, что ток в цепи
остается постоянным и равным /0.
1) Определить ток в цепи сразу после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость емкости конденсатора от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 1, 1997)
3.86. Положительно заряженная частица движется в однородных
взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях
(рис. 3.73). В некоторый момент времени скорость частицы
перпендикулярна векторам Е и В и равна VQ. Чему будет равна скорость
этой частицы в те моменты, когда вектор ее скорости будет
составлять 180° с вектором V0, при условии, что Е= V0B7 Поле тяжести
не учитывать. (Билет 1, 1997)
3.87. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС <f, катушки
индуктивности L и переменного сопротивления, начальное значение
которого равно R0 (рис. 3.74). Через некоторое время после замыка-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
101
ния ключа К напряжение на катушке равно U0. Начиная с этого
момента времени сопротивление R меняется таким образом, что
напряжение на катушке остается постоянным и равным U0.
1) Определить напряжение на катушке сразу после замыкания
ключа К.
2) Найти зависимость сопротивления от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 2, 1997)
е|
L
К
-1г
е в
к
Рис. 3.72. Рис. 3.73. Рис. 3.74.
3.88. Вакуумный плоский диод, в котором расстояние между
катодом К и анодом А равно d, находится в однородном магнитном
поле, индукция которого равна В и направлена параллельно
плоскости электродов (рис. 3.75). При каком минимальном напряжении на
диоде электроны с поверхности катода смогут достичь анода?
Электроны у поверхности катода можно считать неподвижными, а полем
тяжести пренебречь. (Билет 2, 1997)
£11
d
К
К
© в
© в ©
Рис. 3.75. Рис. 3.76. Рис. 3.77.
3.89. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС Ч,
конденсатора емкости С и переменного сопротивления, начальное значение
которого равно R0 (рис. 3.76). Через некоторое время после
замыкания ключа К в цепи течет ток 10. Начиная с этого момента времени
сопротивление R изменяется таким образом, что ток в цепи остается
постоянным и равным /0.
1) Определить ток в цепи сразу после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость сопротивления от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет з, 1997)
3.90. Отрицательно заряженная частица движется в однородных
взаимно перпендикулярных электрическом и магнитных полях
(рис. 3.77). В некоторый момент времени скорость частицы
перпендикулярна векторам Е и В и равна V0. Чему будет равна скорость
этой частицы в те моменты, когда вектор ее скорости будет
перпендикулярен вектору V0 при условии, что Е = VQB7 Поле тяжести не
учитывать. (Билет 3, 1997)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
103
поверхностных зарядов ах пластины к периоду колебаний при
сг = 0 Тх/Т0 = а. Определить ах, считая заданными отношение а,
ц — заряд шарика, m — его массу и g — ускорение свободного
падения. (Билет 5, 1997)
3.95. В электрической схеме (рис. 3.82) в начальный момент ключ
К замкнут.
1) Какое количество тепла выделится в цепи после размыкания
ключа?
2) Какое количество тепла выделится на резисторах R}, R2 и R3?
Сопротивления R}, R2, R3, емкость конденсатора С и ЭДС батареи
(с считать заданными. Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь. (Билет 6, 1997)
3.96. Три маленьких одинаковых шарика, каждый
массой m и зарядом с/, расположены на гладкой
горизонтальной поверхности. Шарики связаны друг с
другом тремя нерастяжимыми и непроводящими нитями,
каждая длиной / (рис. 3.83). Все три нити
одновременно пережигают. Пренебрегая силой тяжести,
определить:
1) ускорения шариков сразу после пережигания нитей;
2) импульс каждого шарика после разлета на большие расстояния
друг ОТ друга. (Билет 6, 1997)
3.97. В электрической схеме (рис. 3.84)
ключ К в начальный момент замкнут. После
размыкания ключа в цепи выделяется
количество тепла Q.
1) Чему равна ЭДС батареи $7
2) Какое количество тепла выделится на
каждом из резисторов Rt, R2, R3!
Считать заданными L, R}, R2, R3. (Билет 7, 1997)
3.98. Маленький
Рис. 3.83.
R,
R2
L
Рис. 3.84.
шарик массой m с
положительным зарядом q висит на длинной нерастяжимой нити вблизи
поверхности большой непроводящей
пластины Я (рис. 3.85). Определить период
малых колебаний шарика, когда на
пластине находится отрицательный заряд с
поверхностной плотностью ст,, если
известно, что в отсутствие этого заряда (сг = 0) п
период колебаний шарика равен Т0. Уско- zzzz-
рение свободного падения считать
заданным И равным g. (Билет 7, 1997)
3.99. В электрической схеме (рис. 3.86) ключ К в начальный
момент замкнут. После размыкания ключа на резисторе Л, выделяется
тепло Qv
9, in
Рис. 3.85.

102
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.91. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС
сопротивления R и катушки переменной индуктивности, начальное значение
которой L0 (рис. 3.78). Через некоторое время
л-у-у^^, после замыкания ключа К на катушке падает на-
' I пряжение UQ. Начиная с этого момента времени
индуктивность катушки изменяется таким
образом, что напряжение на катушке остается
постоянным и равным UQ.
1) Определить напряжение на катушке сразу
после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость индуктивности катушки от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 4, 1997)
3.92. На вакуумный плоский диод, в котором
расстояние между катодом К и анодом Л равно
d, подано напряжение U (рис. 3.79). Диод
находится в однородном магнитном поле,
индукция которого направлена параллельно
плоскости электродов. При какой минимальной
величине индукции магнитного поля электроны с
Рис. 3.78.
■+и
1
к-
О в©
т
Рис. 3.79.
поверхности катода не смогут достичь анода
Электроны у поверхности катода можно считать неподвижными, а
полем тяжести пренебречь. (Билет 4, 1997)
3.93. В электрической схеме, показанной на рисунке, в
начальный момент ключ К замкнут (рис. 3.80). После размыкания ключа
на резисторе Rt выделяется количество тепла Q,.
1) Какое количество тепла выделится на резисторе Л2?
2) Чему равна ЭДС батареи?
Сопротивления R}, R2, R3 и индуктивность катушки L известны.
(Билет 5, 1997)
Рис. 3.80. Рис. 3.81. Рис. 3.82.
3.94. Тонкостенный непроводящий цилиндр с гладкой внутренней
поверхностью неподвижно лежит на горизонтально расположенной
непроводящей пластине П (рис. 3.81). Размеры пластины (в
горизонтальной плоскости) много больше радиуса цилиндра. Известно, что
отношение периодов колебаний маленького отрицательно
заряженного шарика внутри цилиндра при некоторой положительной плотности

104
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
1) Какое количество тепла выделится на резисторе Л2?
R 2) Чему равна ЭДС батареи W?
Сопротивления A,, R2, Щ и емкость
конденсатора С известны. (Билет 8, 1997)
3.100. Три маленьких одинаковых шарика,
каждый массой т и зарядом q, расположены на
гладкой горизонтальной поверхности. Шарики
связаны друг с другом двумя нерастяжимыми и
.jl ^. 1 непроводящими нитями, каждая длиной I
(рис. 3.87). Обе нити одновременно
пережигают. Пренебрегая силой тяжести, определить:
1) ускорения шариков сразу после пережигания нитей;
2) импульс каждого шарика после разлета на большие расстояния
0*
Рис. 3.86.
друг от друга. (Билет 8,
о-
2
-О-
• а »
в=о
©в
в0©©©
© © ©
©@
b
<- ©©©©©©©©^
Рис. 3.87.
Рис. 3.88.
©©©©©©©©
Рис. 3.89.
3.101. На двух длинных гладких параллельных и горизонтально
расположенных проводящих штангах лежит проводящая перемычка
П массой М. Расстояние между штангами равно /. Через резистор
сопротивлением R и разомкнутый ключ К к штангам подключена
батарея с некоторой постоянной Ч (рис. 3.88). Штанги расположены
в области однородного магнитного поля с вертикально направленной
индукцией В. Пренебрегая внутренним сопротивлением батареи,
сопротивлением штанг и перемычки, определить ускорение перемычки
сразу после замыкания ключа, если известно, что после замыкания
ключа максимально установившаяся скорость, которую приобретает
перемычка, равна v0. (Билет 9, 1997)
3.102. Проволочный контур в виде квадрата со стороной, равной а,
и общим сопротивлением контура R расположен на гладкой
горизонтальной поверхности (рис. 3.89). Часть контура находится в
однородном магнитном поле с индукцией В0, перпендикулярной плоскости
контура. Контур неподвижен и входит в область однородного
магнитного поля на глубину Ь. После выключения магнитного поля контур
приобретает некоторый импульс. Определить величину и направление
этого импульса, полагая, что за время спадания индукции магнитного
поля смещение контура пренебрежимо мало. Самоиндукцией контура
пренебречь. (Билет 10, 1997)
3.103. На двух длинных гладких параллельных и горизонтально
расположенных проводящих штангах лежит проводящая перемычка П
массой М (рис. 3.90). Через резистор сопротивлением R и
разомкнутый ключ К к штангам подключен конденсатор емкостью С, заряжен-

106
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа К2;
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батарей не учитывать. (Билет 2, 1998)
3.107. В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.94, в начальный момент ключи Кх и К2 разомкнуты. Сначала
замыкают ключ Кх. Когда напряжение на конденсаторе достигает
величины U0 — £72, замыкают ключ К2. Определить:
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа К2\
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батарей не учитывать. (Билет з, 1998)
3.108. В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.95, в начальный момент ключи Кх и К2 разомкнуты. Сначала
замыкают ключ К{. Когда ток через катушку индуктивности
достигает значения /0, замыкают ключ К2. Определить:
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа К2\
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батарей не учитывать. (Билет 4, 1998)
3.109. Три тонкие незаряженные металлические пластины
площадью S каждая расположены на расстояниях d друг от друга,
причем d много меньше размеров пластин. К пластинам 2 и 3
подсоединили батарею с ЭДС % (рис. 3.96). Пластине 1 сообщили заряд а0 и
замкнули ключ К.
1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине I заряда д0.
2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К.
3.110. В схеме, изображенной на рис. 3.97, катушки L, и L2
закорочены через идеальный диод D. В начальный момент ключ К
разомкнут, а конденсатор емкости С заряжен до напряжения UQ. Через
некоторое время после замыкания ключа К напряжение на конденсаторе
станет равным нулю.
Рис. 3.94.
Рис. 3.95.
(Билет 5, 1998)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
105
ный до напряжения U0. Штанги расположены в области однородного
магнитного поля с вертикально направленным вектором индукции.
Пренебрегая сопротивлением штанг и перемычки, определить
ускорение перемычки сразу после замыкания ключа, если при замкнутом
ключе и принудительном перемещении перемычки вдоль штанг с
постоянной скоростью v0 на конденсаторе устанавливается разность
потенциалов, равная £/,. (Билет 11, 1997)
в = о |©©©©©©©©В„
©©©©©©©©
®©©©©©©©
Ов
п
У*
©©©©©©©©*
©©©©©©©©
Рис. 3.90. Рис. 3.91.
3.104. Проволочный контур в виде квадрата со стороной а, массой
М и общим сопротивлением контура R расположен на гладкой
горизонтальной поверхности вблизи от границы области однородного
магнитного поля (х > 0) с индукцией В0, перпендикулярной плоскости
контура (рис. 3.91). Контуру сообщают скорость vQ, направленную
перпендикулярно границе магнитного поля (ось У). Определить
максимальную величину ускорения контура при его дальнейшем
движении, включая область однородного магнитного поля. Самоиндукцией
контура пренебречь. (Билет 12, 1997)
о*.
-■о
Рис. 3.92. Рис. 3.93.
3.105. В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.92, в начальный момент ключи /С, и К2 разомкнуты. Сначала
замыкают ключ /С,, и когда напряжение на конденсаторе достигает
значения UQ = &У2, замыкают ключ К2. Определить:
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа К2;
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 1, 1998)
3.106. В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.93, в начальный момент ключи К1 и К2 разомкнуты. Вначале
замыкают ключ К1. Когда ток через катушку индуктивности
достигает значения /0, замыкают ключ К2. Определить:

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
107
1) Найти ток через катушку L, в этот момент времени. Затем
конденсатор перезарядится до некоторого максимального напряжения.
2) Чему будут равны в этот момент токи в катушках? (Билет 5,1998)
к
2
3
л d ,
^ d 9
Л-
Рис. 3.96.
-кь
•И
Рис. 3.97.
Рис. 3.98.
3.111. Три тонкие незаряженные металлические пластины
площадью S каждая расположены на расстояниях d друг от друга,
причем d много меньше размеров пластин. К пластинам 2 и 3
подсоединили батарею с ЭДС <f (рис. 3.98). Пластины 7 и 2 через ключ К
можно подсоединить к батарее с ЭДС 4S. Пластине 1 сообщили заряд
q0 и замкнули ключ К.
1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине 1 заряда д0.
2) Определить заряд пластины 3 по- ^
еле замыкания ключа К. (Билет 6, 1998) I к] , 1
3.112. В схеме, изображенной на
рис. 3.99, сверхпроводящие катушки с ин-
дуктивностями L, и L2 соединены
последовательно с конденсатором емкости С. В на- (
чальный момент ключи Кх и К2
разомкнуты, а конденсатор заряжен до напряжения
U0. Сначала замыкают ключ Kv а после
того, как напряжение на конденсаторе р 3 gg
станет равным нулю, замыкают ключ К2.
Через некоторое время после замыкания ключа К2 конденсатор
перезарядится до некоторого максимального напряжения Um.
1) Найти ток через катушки индуктивности непосредственно
перед замыканием ключа К2.
2) Найти напряжение Um. (Билет 6, 1998)
3.113. Три тонкие незаряженные металлические пластины
площадью S каждая расположены на расстояниях d друг от друга,
причем d много меньше размеров пластин. К пластинам 2 и J подсоеди-

108
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
нили батарею с ЭДС (рис. 3.100). Пластине 7 сообщили заряд q0
и замкнули ключ К.
1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине У заряда q0.
2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К.
(Билет 7, 1998)
"о
К
2
J
« d »
„ rf ж
-V
Рис. 3.100.
-кь
1
1
2
в с/ „
„ г/ .
Рис. 3.101.
Рис. 3.102.
3.114. В схеме, изображенной на рис. 3.101, катушки с индуктив-
ностями L, и L2 и пренебрежимо малыми сопротивлениями
закорочены через идеальный диод D. В начальный момент ключ К
разомкнут, а конденсатор емкости С заряжен до неизвестного
напряжения U' . Через некоторое время т после замыкания ключа
напряжение на конденсаторе станет равным нулю, а затем конденсатор
перезарядится до некоторого максимального напряжения и в этот
момент через диод D будет течь ток, равный IQ.
1) Определить т.
2) Определить начальное напряжение Uх. (Билет 7, 1998)
3.115. Три тонкие незаряженные металлические пластины
площадью S каждая расположены на расстояниях d друг от друга,
причем d много меньше размеров пластин. К пластинам У и J
подсоединили батарею с ЭДС % (рис. 3.102). Пластине 2 сообщили заряд qQ
и замкнули ключ К.
1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине 2 заряда qQ.
2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К.
(Билет 8, 1998)
3.116. В схеме, изображенной на рис. 3.103, сверхпроводящие
катушки с индуктивностями L{ и L2 соединены последовательно с
конденсатором емкостью С через ключ Kv В начальный момент ключи
Кх и К2 разомкнуты, а конденсатор заряжен до некоторого
неизвестного напряжения Ux. Сначала замыкают ключ К{. Через время т
напряжение на конденсаторе равно нулю и в этот момент замыкают
ключ К2. Через некоторое время после замыкания ключа К2
конденсатор перезарядится до максимального напряжения Um.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
109
1) Определить т.
2) Определить начальное напряжение Ux. (Билет 8, 1998)
3.117. В схеме, изображенной на рис. 3.104, при разомкнутых
ключах /С, и К2 конденсаторы с емкостями С, и С2 не заряжены.
ЭДС батареи %', внутреннее сопротивление — г. Сначала замыкают
ключ /С,, а после установления стационарного состояния в схеме
замыкают ключ К2.
1) Чему равен ток через источник сразу после замыкания ключа /С,?
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после
замыкания ключа К2}. (Билет 1, 1999)
/*2
/*2
т
с.
Рис. 3.103. Рис. 3.104. Рис. 3.105.
3.118. В схеме, изображенной на рис. 3.105, при разомкнутом
ключе К конденсатор емкостью С = 20 мкФ заряжен до
напряжения UQ = 12 В. ЭДС аккумулятора ^ = 5 В. Индуктивность
катушки L — 2 Гн.
1) Чему равен ток, установившийся в цепи после замыкания ключа?
2) Чему равен максимальный ток в цепи после замыкания ключа?
Внутренним сопротивлением аккумулятора и омическим
сопротивлением катушки пренебречь, D — идеальный диод. (Билет 2, 1999)
3.119. В схеме, изображенной на рис. 3.106,
при разомкнутых ключах /С, и К2
конденсаторы с емкостями С, и С2 не заряжены. ЭДС
батареи внутреннее сопротивление — г.
Сначала замыкают ключ /Г,, а после установления
стационарного состояния в схеме замыкают
ключ К2.
1) Чему равен ток через батарею сразу
после замыкания ключа /Г,?
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после
замыкания ключа К21 (Билет 3, 1999)
3.120. В схеме, изображенной на рис. 3.107, при разомкнутом
ключе К конденсатор емкостью С = 10 мкФ заряжен до напряжения
1
с,
/*1
*2 К
Рис. 3.106.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
111
3.124. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска
проволоки со стороной, равной а. Рамка находится в магнитном поле
длинного горизонтального провода с током, расположенного
симметрично над рамкой (рис. 3.111). Масса рамки М, индукция магнитного
поля у боковых сторон рамки 1 и 2 равна В. Коэффициент трения
скольжения рамки о поверхность стола равен |л (|л < 1/3). Какой силы
ток нужно пропустить по рамке, чтобы она начала скользить по столу,
не отрываясь ОТ него? (Билет 6, 1999)
3.125. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС
= 10 В, резисторов Rx = 50 Ом,
R2 = 100 Ом
и конденсатора
(рис. 3.112), замыкают ключ К.
1) Найти напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
2) Найти ток через батарею в тот момент, когда напряжение на
конденсаторе достигло значения &У2.
небречь. (Билет 7, 1999)
Внутренним сопротивлением
прение? сбоку
Рис. 3.113.
3.126. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска
проволоки со стороной, равной а. Рамка находится в однородном
горизонтальном магнитном поле, линии индукции которого
параллельны одной из диагоналей квадрата рамки
(рис. 3.113). Масса рамки М, величина
индукции В. Какой силы ток нужно
пропустить по рамке, чтобы она начала
приподниматься относительно одной из вершин
квадрата? (Билет 7, 1999)
3.127. В электрической схеме, состоящей
из батареи с ЭДС <# = 20 В, резисторов с
сопротивлениями Л, = 10 Ом, Л2=20Ом,
У?з = 30 Ом и конденсатора, замыкают ключ К
(рис. 3.114).
1) Найти ток через резистор R3 сразу
после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в момент
времени, когда напряжение на конденсаторе
равно 0,6^. Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь. (Билет 8, 1999) Рис ЗИ5
Вид сверху
с

по
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
U0 = 10 В. ЭДС аккумулятора W = 15 В, индуктивность катушки
£ = 0,1Гн.
1) Чему равен установившийся ток в цепи после замыкания ключа?
2) Чему равен максимальный ток в цепи после замыкания ключа?
Внутренним сопротивлением аккумулятора и омическим
сопротивлением катушки пренебречь, D — идеальный диод. (Билет 4, 1999)
а:
Рис. 3.107. Рис. 3.108. Рис. 3.109..
3.121. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС
= 15 В, резисторов Rx = 10 Ом и R2 = 30 Ом (рис. 3.108) замыкают
ключ К.
1) Найти ток через резистор R2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти ток через батарею в тот момент, когда напряжение
на конденсаторе равно W/Ъ.
Внутренним сопротивлением
пренебречь. (Билет 5, 1999)
3.122. На непроводящей
горизонтальной поверхности стола
лежит проводящая жесткая тонкая
рамка из однородного куска
проволоки в виде равностороннего
треугольника со стороной, равной а. Рамка находится в однородном
горизонтальном магнитном поле, линии индукции которого перпендику-
R2 К
] *,[
] 6
Рис. 3.110.
Вид сбоку
Вид сверху
Рис. 3.111.
лярны одной из сторон рамки (рис. 3.109).
Масса рамки М, величина индукции В.
Какой силы ток нужно пропустить по рамке
(против часовой стрелки), чтобы она начала
приподниматься относительно одной из
вершин треугольника? (Билет 5, 1999)
3.123. В электрической схеме, состоящей
из батареи с ЭДС W = 30 В, резисторов
Л, = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом и
конденсатора (рис. 3.110), замыкают ключ К.
1) Найти ток через резистор R2 сразу
после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в тот момент
времени, когда ток через резистор R3 равен
/ = 0,3 А. Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь. (Билет 6, 1999)

112
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
2
4
_ 3 1
4
f 1
4
3.128. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка со стороной, равной а.
Рамка находится в магнитном поле длинного горизонтального провода
с током, расположенного симметрично над рамкой (рис. 3.115). Масса
рамки М, индукция магнитного поля у боковых сторон рамки / и 2
равна В. Коэффициент трения скольжения рамки о стол таков, что
при некоторой величине тока, пропущенного через рамку, она
начинает приподниматься (без скольжения) относительно одной из своих
сторон. НаЙТИ величину ЭТОГО ТОКа. (Билет 8, 1999)
/ 3.129. Сложный воздушный конденсатор
состоит из четырех пластин, удерживаемых
на равных расстояниях d друг от друга.
Пластины / и J закорочены. Пластины 2 и 4
подсоединены к источнику с ЭДС ^ (рис. 3.116).
Определить силу, действующую со стороны
электрического поля на пластину 3.
Площадь каждой пластины — S, а расстояние
между ними много меньше размеров пластин. (Билет 1, 2000)
3.130. Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с
малым затуханием, изображенном на рис. 3.117, индуктивность
катушки быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре)
увеличивают на небольшую величину AL (AL<zL) каждый раз, когда ток в
цепи равен нулю, а через время, равное четверти периода колебаний,
также быстро возвращают в исходное состояние. Определить величину
AL, если L = 0,15 Гн, С = 1,5- Ю-7 Ф, R = 20 Ом. (Билет 1, 2000)
3.131. Четыре проводящие пластины удерживают напротив друг
друга. Расстояние между соседними пластинами d. Пластины 7 и 4
подсоединены к источнику с ЭДС пластины 2 и 3 подсоединены
к источнику с ЭДС % (рис. 3.118). Определить силу, действующую
на пластину 2 со стороны электрического поля. Площадь каждой
пластины S, а расстояние между ними много меньше размеров пла-
J
Рис. 3.116.
СТИН. (Билет 2, 2000)
СМ
R
1ТМ
d т
Рис. 3.117.
Рис. 3.118.
Рис. 3.119.
3.132. Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с
малым затуханием, изображенном на рис. 3.119, емкость конденсатора
быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают
на небольшую величину АС (ДС« С) каждый раз, когда напряжение
на нем равно нулю, а через время, равное четверти периода
колебаний, также быстро возвращают в исходное состояние. Определить
величину АС, если L = 0,1 Гн, С = Ю-7 Ф, R = 30 Ом. (Билет 2, 2000)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
113
3.133. Сложный воздушный конденсатор состоит из четырех
пластин, удерживаемых неподвижно. Расстояние между соседними пла-
1
2 '
d
3 '
d
1
,d
стинами d. Пластины 2 и 4 закорочены.
Пластины 1 п 3 подсоединены к источнику с
ЭДС ^ (рис. 3.120). Определить силу,
действующую на пластину 3 со стороны
электрического поля. Площадь каждой пластины S,
а расстояние между ними много меньше
размеров пластин. (Билет 3, 2000) Рис- 3.120.
3.134. Для поддержания незатухающих колебаний тока в
колебательном LCR контуре с периодом колебаний Т = 10~3 с
индуктивность L контура периодически изменяют во времени по закону,
представленному на рис. 3.121 (AL/L0«1). При каком максимальном
значении сопротивления R колебания в контуре не будут затухать,
если ДЬ = 3-10_2Гн?
Указание: уменьшение индуктивности происходит при
максимальном токе в контуре. (Билет 3, 2000)
I
0 Г/2 Т ЗГ/2
Рис. 3.121.
/
2 '
d
1
"Г.?
,d
4
d
Рис. 3.122.
3.135. Сложный воздушный конденсатор состоит из четырех
пластин, удерживаемых неподвижно. Расстояние между соседними
пластинами d. Пластины 1 и 4 закорочены. Пластины 2 и 3
подсоединены к источнику с ЭДС Ч (рис. 3.122). Определить силу,
действующую на пластину 4 со стороны электрического поля. Площадь
каждой пластины 5, а расстояние между ними много меньше размеров
пластин. (Билет 4, 2000)
3.136. Для поддержания
незатухающих колебаний в колебательном
LCR контуре с периодом колебаний
Т = 2-10~4с емкость С контура
периодически изменяют во времени
по закону, представленному на
рис. 3.123 (ДС/С0«1). При каком
максимальном значении сопротивления R колебания в контуре не
будут затухать, если /, = 810~2Гн, ДС/С0 = 8-Ю-2.
Указание: уменьшение емкости конденсатора происходит при
максимальном заряде на конденсаторе. (Билет 4, 2000)
СО)*
Col
i !
"F
о
Т/2 Т ЗГ/2
Рис. 3.123.

114
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.137. В схеме, изображенной на рис. 3.124, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсатор емкостью С = 100 мкФ не заряжен.
Вольтамперная характеристика диода D изображена на рис. 3.125.
ЭДС батареи «? = 6 В, пороговое напряжение диода U0 = 1 В,
R = 1 кОм.
1) Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Какой заряд протечет через диод после замыкания ключа?
3) Какое количество теплоты выделится на резисторе R после
замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь. (Билет 5, 2000)
/1
о и0
Рис. 3.125.
-W-
R
Рис. 3.126.
Рис. 3.124.
3.138. В схеме, изображенной на рис. 3.126, конденсатор емкостью
С = 100 мкФ, заряженный до напряжения UQ = 5 В, подключается
через диод D к резистору с сопротивлением R = 100 Ом.
Вольтамперная характеристика диода изображена на рис. 3.127. В
начальный момент ключ К разомкнут. Затем ключ замыкают.
1) Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Чему равно напряжение на конденсаторе, когда ток в цепи
будет равен 10 мА?
3) Какое количество теплоты выделится на диоде после замыкания
ключа? (Билет 6, 2000)
/, мА1 . П
30
20
10
0 1 2
Рис. 3.127.
3.139.
и, в
к
D
R
0 Un
U
Рис. 3.128. Рис. 3.129.
В схеме, изображенной на рис. 3.128, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсатор С не заряжен. Вольтамперная
характеристика диода D изображена на рис. 3.129. ЭДС батареи
= 3 В, пороговое напряжение диода UQ = 1 В, R = 2 кОм. Ключ К
замыкают. В установившемся режиме ток в цепи равен нулю.
1) Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Чему равна емкость конденсатора С, если известно, что после
замыкания ключа через диод протек заряд <у = 4-10-4Кл?

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
115
3) Какое количество теплоты выделится на резисторе R после
замыкания ключа. Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь. (Билет 7, 2000)
/, мА
16
d/2
d/2
и, в
Рис. 3.130.
Рис. 3.132.
0 1 2
Рис. 3.131.
3.140. В схеме, изображенной на рис. 3.130, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсатор С заряжен до напряжения U0 = 6 В.
Вольтамперная характеристика диода D изображена на рис. 3.131.
Сопротивление резистора R = 125 Ом. Ключ К замыкают.
1) Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Чему равно напряжение на конденсаторе, когда ток в цепи равен
/[ = 8 мА?
3) Чему равна емкость конденсатора, если известно, что после
замыкания ключа на диоде выделилось количество теплоты
Q = 2,5 • 10~4 Дж? (Билет 8, 2000)
1.141. Батарея с ЭДС подключена к удерживаемым
неподвижно пластинам 1 и 3 плоского
конденсатора. Площадь пластин S, расстояние между
ними d. Посредине между этими пластинами
расположена закрепленная неподвижно
металлическая пластина 2, на которой
находится заряд Q (рис. 3.132). Пластину 1
отпускают. Какую работу совершит батарея к
моменту соударения пластин 1 и 2? Силой
тяжести и внутренним сопротивлением
батареи пренебречь. (Билет 1, 2001)
3.142. При замкнутом ключе К и LC контуре (рис. 3.133)
происходят незатухающие свободные колебания тока. В тот момент,
когда напряжение на конденсаторе С, максимально и равно (/,,
ключ размыкают. Определить максимальное значение тока в
контуре после размыкания ключа. Параметры элементов схемы
указаны на рисунке. (Билет 1, 2001)
3.143. Одну из пластин плоского конденсатора, заряженную поло-
с2
НИ
Рис. 3.133.
жительным зарядом qx, удерживают на
расстоянии d от другой закрепленной
пластины с отрицательным зарядом q2. Площадь
каждой пластины S (рис. 3.134). Верхнюю
Рис. 3.134.

118
3JIF.KTPM4FXTB0
торого равно р. В некоторый момент включается однородное
магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости
рамки, какую скорость приобретет стержень за время установления
магнитного поля, если установившееся значение индукции равно
В0? Смещением стержня за время установления магнитного поля
пренебречь. Трение не учитывать. Масса стержня М. (Билет 6, 2001)
©в
if Т С2
I II—
-w—
Рис. 3.143.
Рис. 3.145.
Рис. 3.144.
3.153. В электрической цепи, представленной на рис. 3.144,
диоды £>! и D2 идеальные. Считая параметры элементов цепи
известными, определить:
1) ток через батарею сразу после замыкания ключа К,
2) найти количество теплоты, выделившейся в схеме после
замыкания ключа К. Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь. (Билет 7, 2001)
3.154. Проводник массой М и длинной / подвешен к непроводящему
потолку за концы с помощью двух одинаковых проводящих пружин,
каждая жесткостью к. К верхним концам пружин подсоединен
конденсатор емкостью С. Вся конструкция висит в однородном магнитном
поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости конструкции
(рис. 3.145). Проводник смещают вниз на расстояние h от положения
равновесия, а затем отпускают. Определить скорость проводника,
когда он снова окажется в положении равновесия. Сопротивлением и
самоиндукцией ПРОВОДНИКОВ Пренебречь. (Билет 7, 2001)
3.155. В электрической цепи, представленной на рис. 3.146,
диоды Z), и D2 идеальные. Известные параметры элементов
электрической цепи указаны на рисунке.
1) Определить ЭДС батареи, если ток через нее сразу после
замыкания ключа К равен /0.
2) Определить количество теплоты, выделившейся в схеме,
после замыкания ключа К. Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь. (Билет 8, 2001)
3.156. На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая
проводящая рамка в виде равностороннего треугольника со стороной а.
На рамке лежит стержень, который параллелен основанию
треугольника, а середина стержня находится на середине высоты АС
(рис. 3.147). Рамка и стержень изготовлены из одного куска провода,

116
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
пластину массой М отпускают. Чему будет равна ее скорость после
абсолютно упругого отскока на прежнее расстояние dl (Билет 2, 2001)
3.144. При разомкнутом ключе К в LC-контуре (рис. 3.135)
происходят незатухающие свободные колебания тока. В тот момент,
когда ток в цепи максимален и равен 70, замыкают ключ К. Определить
максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа.
Параметры схемы указаны на рисунке. (Билет 2, 2001)
3.145. К неподвижным пластинам У и 2 плоского конденсатора
подключена батарея с ЭДС К пластине 7 прижата проводящая
пластина 3 (рис. 3.136). Пластину 3 отпускают, и она начинает двигаться к
пластине 2. Какую работу совершит батарея за время перемещения
пластины 3 от пластины 7 к пластине 2, если площадь каждой
пластины равна S, а начальное расстояние между пластинами 2 и 3 равно dl
Силой тяжести пренебречь. (Билет 3, 2001)
jL
II
Ci
-If-
с2
К
L
О
Рис. 3.135. Рис. 3.136. Рис. 3.137.
3.146. В колебательном контуре, изображенном на рис. 3.137,
происходят свободные колебания при замкнутом ключе К. В тот момент,
когда напряжение на конденсаторе С( достигает максимального
значения и равно VQ, ключ размыкают. Определить величину.тока в контуре
в тот момент, когда напряжение на конденсаторе Сх будет равно нулю
При УСЛОВИИ, ЧТО С2 > С,. (Билет 3, 2001)
q2 3.147. Одна из пластин плоского конден-
т I сатора, на которой находится заряд д,
неподвижно закреплена на непроводящей
1 плите. Вторая пластина с зарядом q и
массой М удерживается на расстоянии d от
нее. Площадь каждой пластины S
(рис. 3.138). Верхней пластине сообщают такую начальную скорость
и, что она долетает до нижней пластины и после абсолютно упругого
удара отскакивает от нее. Чему будет равна скорость этой пластины,
когда она снова будет находиться на расстоянии d от нижней
пластины? (Билет 4, 2001)
3.148. В колебательном контуре, изображенном на рис. 3.139,
происходят свободные колебания при разомкнутом ключе К. В тот
момент, когда ток в катушке индуктивностью L достигает
максимального значения, равного 70, ключ размыкают. Определить величину
Рис. 3.138.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
119
омическое сопротивление единицы длины которого равно р. В
некоторый момент включается однородное магнитное поле, вектор индукции
которого перпендикулярен плоскости рамки. Какую скорость
приобретает стержень за время установления магнитного поля, если
установившееся значение индукции равно В0'! Смещением стержня за время
установления магнитного поля пренебречь. Трение не учитывать.
Масса стержня М. (Билет 8, 2001) А
■Я
ТА-
A/j7 =t=c
ис2
/с
Рис. 3.146. Рис. 3.147. Рис. 3.148.
3.157. В схеме, изображенной на рис. 3.148, в начальный
момент ключ К разомкнут, а конденсаторы не заряжены. Какой
заряд протечет через перемычку АВ после замыкания ключа КР.
Сопротивлением перемычки пренебречь. Параметры схемы указаны
на рисунке. (Билет 9, 2001)
3.158. В схеме, изображенной на рис. 3.149, в начальный момент
ключ К разомкнут. Катушка с индуктивностью L обладает
омическим сопротивлением г. Какой заряд протечет через перемычку АВ
после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи и
сопротивлением перемычки пренебречь. Параметры схемы указаны на
рисунке. (Билет 10, 2001)
к"
R
к
L, г
Hi
L, г'
Рис. 3.149.
Рис. 3.150.
Рис. 3.151.
3.159. В схеме, изображенной на рис. 3.150, в начальный
момент ключ К разомкнут, а конденсаторы не заряжены. Какой
заряд протечет через перемычку АВ после замыкания ключа КР.
Сопротивлением перемычки пренебречь. Параметры схемы указаны
на рисунке. (Билет 11, 2001)
3.160. В схеме, изображенной на рис. 3.151, в начальный момент
ключ К разомкнут. Катушка с индуктивностью L обладает
омическим сопротивлением г. Какой заряд протечет через перемычку АВ
после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи и
сопротивлением перемычки пренебречь. Параметры схемы указаны на
рисунке. (Билет 12, 2001)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
117
напряжения на конденсаторе в тот момент, когда ток через катушку
L будет равен нулю при условии, что L2> L.. (Билет 4, 2001)
L2 К
|| С
II
Рис. 3.139.
Рис. 3.141.
Рис. 3.140.
3.149. В электрической цепи, представленной на рис. 3.140, диоды
£>! и D2 идеальные. Считая параметры элементов цепи известными,
определить:
1) ток через батарею сразу после замыкания ключа К,
2) количество теплоты, выделившееся в схеме после замыкания
ключа К. Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь. (Билет 5, 2001)
3.150. Проводник массой М и длиной /
подвешен к непроводящему потолку за
концы с помощью двух одинаковых проводящих
пружин, каждая жесткостью к. К верхним
концам пружин подсоединен конденсатор
емкостью С. Вся конструкция висит в
однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости
конструкции (рис. 3.141). Проводник сместили и отпустили. При
прохождении положения равновесия скорость проводника оказалась
равной vQ. Определить максимальную высоту подъема проводника от
положения равновесия. Сопротивлением и самоиндукцией
проводников пренебречь. (Билет 5, 2001) с
3.151. В электрической цепи,
представленной на рис. 3.142, диоды Dx и D2
идеальные. Известные параметры элементов цепи 1 W~
указаны на рисунке. К/ 1
1) Определить ЭДС батареи, если ток че- —I—
рез нее сразу после замыкания ключа К pa- Т | ^
вен /0. л2
2) Определить количество теплоты, выде- рис. 3.142.
лившейся в схеме после замыкания ключа К.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет б, 2001)
3.152. На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая
неподвижная проводящая квадратная рамка со стороной а. На рамке
симметрично лежит стержень параллельно боковым сторонам рамки
на расстоянии b — а/4 (рис. 3.143). Рамка и стержень изготовлены из
одного куска провода, омическое сопротивление единицы длины ко-

120
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
/, мА
50
40
зо|
20
101
о
3.161. На рис. 3.152 изображена вольтамперная характеристика
двух соединенных параллельно элементов, одним из которых
является резистор с сопротивлением
А =100 Ом, а другим —
неизвестный элемент Z. Используя заданную
вольтамперную характеристику,
постройте вольтамперную
характеристику элемента Z. (Билет 1, 2002)
3.162. На горизонтальном
непроводящем диске по его диаметру
укреплен тонкий проводящий стержень АС.
Диск находится в однородном
магнитном поле с индукцией #=10-2Тл,
перпендикулярной плоскости диска (рис. 3.153) и совершает
крутильные колебания относительно вертикальной оси, проходящей
через точку О: *р = (р0 cos (со<), где t — время. Длина стержня
L = а + Ь, где а — 0,5 м, a b = 1 м. Определить максимальную
разность потенциалов между концами стержня Л и С, если
ф0 = 0,6 рад, а СО = 0,2 рад/С (Билет 1, 2002)
3.163. На рис. 3.154 изображена вольтамперная характеристика
двух соединенных последовательно элементов, одним из которых
является резистор с сопротивлением R = 100 Ом, а вторым —
неизвестный элемент Z. Используя заданную вольтамперную характеристику,
постройте вольтамперную характеристику элемента Z. (Билет 2, 2002)
- -г "Г т т
1 1 1 1
т -
-- + - + -
Н
1 1 1
- + -
Н
_ + _ + _ +
н
1 1 1 1
--+-+-+-+
1 1 1 1
1 1 1 1
1
- + -
1
■
н
12 3 4
Рис. 3.152.
5
V, и
2 3 4 5 К, В
Рис. 3.153. Рис. 3.154. Рис. 3.155.
3.164. Металлический стержень АС одним концом (точка А) шар-
нирно закреплен на вертикальном диэлектрическом стержне АО.
Другой конец (точка С) связан с вертикальным стержнем с помощью
нерастяжимой непроводящей горизонтальной нити ОС длиной R = 1 м
(рис. 3.155). Стержень АС вращается вокруг стержня АО в
однородном магнитном поле, индукция которого вертикальна и равна
#=10~2Тл. Угловая скорость вращения стержня АС со = 60 рад/с.
Определить разность потенциалов между точками АиС. (Билет 2, 2002)

122
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
электрической проницаемостью е (рис. 3.160). Конденсатор
подсоединен к батарее постоянного тока, ЭДС которого равна ^. Правую
пластину конденсатора отодвигают так, что образуется воздушный зазор.
На какое расстояние х отодвинута пластина, если при этом внешними
силами была совершена работа А? Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь. (Билет 5, 2002)
I
z d
шт.
hH
Рис. 3.161.
Рис. 3.162.
Рис. 3.160.
3.170. Плоский конденсатор с площадью пластин 5 и расстоянием
между ними d подключен к источнику с постоянным ЭДС %
(рис. 3.161). Какую минимальную работу необходимо совершить,
чтобы в пространство между пластинами конденсатора ввести
металлическую пластину толщиной L (L< d)1 Внутренним
сопротивлением батареи пренебречь. (Билет б, 2002)
3.171. Плоский конденсатор, квадратные пластины которого
имеют площадь 5 и расположены на расстоянии d, полностью
заполнен твердым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
е (рис. 3.162). Конденсатор подсоединен к батарее, ЭДС которой
равна ^. Диэлектрическую пластину выдвигают из конденсатора.
На какое расстояние х выдвинута пластина, если при этом
внешними силами совершена работа А'! Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь. (Билет 7, 2002)
3.172. В плоском конденсаторе с
площадью пластин 5 и расстоянием между
ними d расположена металлическая пластина
толщиной Конденсатор подключен к
источнику с постоянной ЭДС Ш (рис. 3.163).
Какую минимальную работу необходимо
совершить, чтобы передвинуть верхнюю
обкладку конденсатора на расстояние L2?
Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь. (Билет 8, 2002)
3.173. Частица массой т с
положительным зарядом q находится в однородных электрическом и магнитном
полях. Напряженность электрического поля Е. Линии индукции
магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля. В
Рис. 3.163.

ЭЛРЖТРИЧРХТВО
121
3.165. На рис. 3.156 изображена вольтамперная характеристика
двух соединенных параллельно элементов, одним из которых
является резистор с сопротивлением
R = 200 Ом, а другим — неизвестный
элемент Z. Используя заданную воль-
тамперную характеристику, постройте
вольтам перну ю характеристику
элемента Z. (Билет 3, 2002)
3.166. На горизонтальном
непроводящем диске по его диаметру укреплен
тонкий проводящий стержень АС
(рис. 3.157). Диск находится с
однородном магнитном поле с индукцией
В = 2- 10~2 Тл, перпендикулярной плоскости диска и совершает
крутильные гармонические колебания относительно вертикальной оси,
проходящей через точку О: ф(<) = <р0 cos (со/), где t — время. Длина
стержня Ь= 1м, расстояние а = 0,5 м. Определить максимальную
разность потенциалов между концами стержня А и С, если
ф0 = 0,8 рад, а СО = 0,3 рад/С (Билет 3, 2002)
/, мА
50
/, мА
50
40
1
-- +
- +
|
- + -^-
+ -
Н
30
-- +
- + - + -
+ -
|
Н
20
---h
- + - + -
+ -
|
Н
10
7+
/ 1
- +
1
■
- + - + -
1 1
| 1
+ -
1
Н
0
1
2
Рис
3 4
3.156.
5
V, в
40
30
20
10,
Рис. 3.157.
" Т"
1
т—
"Г т
-- +
- + -
+ -/
- +
-н
-- +
- + -
1 J
- +
-Н
-- +
1
+ - +
- +
-н
-- +
1
1
- + -
1
1
Х" +
|\|
1
- +
1
|
-н
1
1
2
3 4
5
V. в
Рис.
3.158.
Рис. 3.159.
3.167. На рис. 3.158 изображена вольтамперная характеристика
двух соединенных последовательно элементов, одним из которых
является резистор с сопротивлением R = 1 кОм, а вторым —
неизвестный элемент Z. Используя заданную вольтамперную характеристику,
постройте вольтамперную характеристику элемента Z. (Билет 4, 2002)
3.168. Составной стержень, состоящий из проводящего стержня
АС и непроводящего стержня AD (рис. 3.159), вращается с угловой
скоростью со = 100 рад/с вокруг вертикальной оси MN в вертикально
направленном однородном магнитном поле с индукцией
В = 10_2Тл. Длины стержней одинаковы. Определить разность
потенциалов между точками А и С, если точка С описывает в
горизонтальной ПЛОСКОСТИ ОКружНОСТЬ радиуса R = 0,4 М. (Билет 4, 2002)
3.169. Плоский конденсатор, пластины которого имеют площадь S и
расположены на расстоянии d, заполнен твердым диэлектриком с ди-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
123
начальный момент частице сообщают скорость v0, направленную под
углом а к линиям индукции (рис. 3.164). Через некоторое время
частица возвращается в начальную точку. т F
1) Чему равно это время?
2) Найти индукцию магнитного поля
В, при которой возвращение в началь- _
ную точку ВОЗМОЖНО. (Билет 9, 2002)
3.174. Батарею с ЭДС подключа- * R
ют к последовательно соединенным ка- *
тушке с индуктивностью L и незаря- я
женному конденсатору емкостью С Рис 3 164
(рис. 3.165). В контуре происходят
колебания тока. В этот момент, когда ток в контуре становится
равным нулю, батарею отключают от схемы и подключают вновь,
поменяв местами ее выводы. Чему будет равен после этого
максимальный ток в контуре? Внутренним сопротивлением пренебречь.
(Билет 9, 2002)
3.175. Частица массой т с положительным зарядом q находится
в однородных электрическом и магнитном полях. Линии индукции
магнитного поля параллельны силовым линиям электрического
поля. В начальный момент частице сообщают скорость vQ,
направленную под углом а к силовым линиям (рис. 3.166). Через время
х частица оказывается вновь на той же силовой линии
электрического поля, с которой она стартовала, на расстоянии L от
первоначальной точки.
к
Рис. 3.165. Рис. 3.166. Рис. 3.167.
1) Чему равна напряженность электрического поля ЕР.
2) НаЙТИ индукция магнитного ПОЛЯ В. (Билет 10. 2002)
3.176. В схеме, изображенной на рис. 3.167, при разомкнутом
ключе К напряжение на конденсаторе емкостью С равно 5^, где
— ЭДС батареи. Какой максимальный ток будет течь через
катушку индуктивностью L после замыкания ключа? Внутренним
сопротивлением батареи и сопротивлением катушки пренебречь.
(Билет 10, 2002)
3.177. Частица массой т с положительным зарядом q находится в
однородных электрическом и магнитном полях. Линии индукции
магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
125
ft
Сг
HZZb
«2
-CZh
^2
Рис. 3.172.
3.181. В электрической схеме, представленной на рис. 3.172, ключ
К разомкнут. ЭДС батарей %х и Ч2. Емкости конденсаторов —
С1 = С2=С. 1) Найти заряд,
протекший через батарею с ЭДС %2 после
замыкания ключа К. 2) Какое количество
теплоты выделится в цепи после
замыкания ключа КР. (Билет 1, 2003)
3.182. Тонкое проволочное кольцо
радиусом а расположено в однородном
магнитном поле с индукцией В,
перпендикулярной плоскости кольца. По кольцу
скользят в одном направлении две перемычки с угловыми скоростями
coj и со2 (со, > со2) (см. рис. 3.173). Перемычки
и кольцо сделаны из одного куска провода,
сопротивление единицы длины которого равно
р. Определить величину и направление тока
через перемычки, когда угол ц> = л/2. Между
перемычками в точке О и между кольцом и
перемычками хороший электрический
контакт. (Билет 1, 2003)
3.183. В электрической схеме,
представленной на рис. 3.174, ключ К замкнут. Ключ К
размыкают. 1) Определить заряд, протекший
через батарею с ЭДС <£х после размыкания ключа К. 2) Найти ко
личество теплоты, выделившейся в цепи
после размыкания ключа К. Значения
R, L, С, и W2 считать заданными.
(Билет 2, 2003)
3.184. Тонкое проволочное кольцо
радиусом а расположено в однородном
магнитном поле с индукцией В,
перпендикулярной плоскости кольца. По кольцу
скользят в противоположных
направлениях две перемычки с угловыми скоростями со, и
со2 (см. рис. 3.175). Перемычки и кольцо сделаны
из одного куска провода, сопротивление единицы
длины которого равно р. Определить величину и
направление тока через перемычки, когда угол
vp = Зл/4. Между перемычками в точке О и
между кольцом и перемычками хороший
электрический контакт. (Билет 2, 2003)
3.185. В электрической схеме, представленной
на рис. 3.176, ключ К разомкнут. После
замыкания ключа К батарея с ЭДС <ёх совершила работу А. I) Найти ем
#2
К
Рис. 3.174.

126
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
кости конденсаторов С. 2) Найти работу батареи с ЭДС %2 после
Замыкания ключа К (Чх =ь 2W2). (Билет 3, 2003)
с
*1
R
Рис. 3.176.
Рис. 3.177.
R
-cz>
Рис. 3.178.
3.186. Тонкое проволочное кольцо радиусом а расположено в
однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной
плоскости кольца. По кольцу скользят в противоположных направлениях
две перемычки с угловыми скоростями со, и ш2 (см. рис. 3.177).
Перемычки и кольцо сделаны из одного куска провода, сопротивление
единицы длины которого равно р.
Определить величину и направление тока
через перемычки, когда угол <р = л/2.
Между перемычками в точке О и между
кольцом и перемычками хороший
электрический контакт. (Билет 3, 2003)
3.187. В электрической схеме,
представленной на рис. 3.178, ключ К
замкнут. Ключ К размыкают. После этого
батарея с ЭДС 'Sl совершила работу А, а количество теплоты,
выделившейся в цепи, равно Q. 1) Найти емкость конденсатора С.
2) Найти индуктивность катушки L. ЭДС батарей и сопротивления
резисторов R считать заданными (%2 = 2WX = 2W). (Билет 4, 2003)
3.188. Тонкое проволочное кольцо радиусом а
расположено в однородном магнитном поле с
индукцией В, перпендикулярной плоскости кольца.
По кольцу скользят в одном направлении две
перемычки с угловыми скоростями со, и ш2
(со, > ш2) (см. рис. 3.179). Перемычки и кольцо
сделаны из одного куска провода, сопротивление
единицы длины которого равно р. Определить
величину и направление тока через перемычки,
когда угол vp = Зл./4. Между перемычками в точке
О и между кольцом и перемычками хороший электрический
контакт. (Билет 4, 2003)
3.189. В электрической схеме, состоящей из катушки
индуктивностью L и четырех проводящих пластин, каждая площадью S, распо-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
127
ложенных на расстоянии d друг от друга, ключ К разомкнут (см.
рис. 3.180). Пластина 3 заряжена зарядом q0. 1) Найти заряды
пластин после замыкания ключа К в момент, когда ток через катушку
максимален. 2) Найти максимальный ток через катушку.
Омическим сопротивлением в схеме пренебречь. (Билет 5, 2003)
3.190. В электрической схеме, состоящей из батареи с неизвестной
ЭДС, катушки индуктивностью L и четырех проводящих пластин,
каждая площадью S, расположенных на расстоянии d друг от друга,
ключ К разомкнут (см. рис. 3.181). После замыкания ключа
максимальный ток, протекающий через катушку L, равен /0. 1)
Определить ЭДС батареи. 2) Найти заряды пластин после замыкания ключа
К в тот момент, когда ток через катушку максимален. Считать, что
площадь пластин S»d2. Омическим сопротивлением в схеме
пренебречь. (Билет 6, 2003)
"о
(1
(1
d
2
3
4
у
%
d
d
d
2
3
4
\
Рис. 3.181.
Рис. 3.182.
3.191. В электрической схеме, состоящей из катушки
индуктивностью L и четырех проводящих пластин, каждая площадью S,
расположенных на расстоянии d друг от друга, ключ К разомкнут (см.
рис. 3.182). Пластины / и 3 закорочены, а на пластине 4 находиться
заряд qQ. 1) Найти заряды пластин после замыкания
ключа К в тот момент, когда ток через катушку
максимален. 2) Найти максимальный ток через катушку
L. Считать, что площадь пластин S^>d2. Омическим
сопротивлением в схеме пренебречь. (Билет 7, 2003)
3.192. В электрической схеме, состоящей из
батареи с ЭДС катушки индуктивностью L и четырех
проводящих пластин, каждая площадью S,
расположенных на расстоянии d друг от друга, ключ К
разомкнут (см. рис. 3.183). Ключ К замыкают. 1)
Найти заряды пластин в тот момент, когда ток через
катушку максимален. 2) Найти максимальный ток
через катушку. Считать, что площадь S^>dz. Омическим
сопротивлением В схеме пренебречь. (Билет 8, 2003)
d
1
d
d
2
3
4
К/
L
Рис. 3.183.

124
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
in, д
Рис. 3.168.
В начальный момент частице сообщают скорость v0, направленную
ы р под углом а (а > 90°) к линиям
индукции (рис. 3.168). Через время т.
частица возвращается в начальную
точку.
1) Чему равна напряженность
электрического поля ЕР.
2) Найти индукцию магнитного
ПОЛЯ В. (Билет 11, 2002)
3.178. Незаряженный
конденсатор с емкостью С подключают к
последовательно соединенным батарее с ЭДС % и катушке с
индуктивностью L (рис. 3.169). В контуре происходят колебания
тока. В тот момент, когда ток становится равным нулю, конденсатор
отключают от схемы и подключают вновь, поменяв местами его
выводы. Какой максимальный ток будет течь после этого в цепи?
Внутренним сопротивлением батареи и сопротивлением катушки
пренебречь. (Билет 11, 2002)
3.179. Частица массой т с положительным зарядом q находится
в однородных электрическом и магнитном полях. Напряженность
электрического поля Е. Линии индукции магнитного поля
параллельны силовым линиям электрического поля. В начальный момент
частице сообщают скорость v0, направленную под углом а к
силовым линиям (рис. 3.170). Через некоторое время частица
оказывается вновь на той же силовой линии электрического поля, с
которой она стартовала, на расстоянии L от первоначальной точки.
1) Найти это время.
2) Найти индукцию магнитного ПОЛЯ В. (Билет 12, 2002)
Рис. 3.169.
т, д
к
Рис. 3.170.
,+6f
Рис. 3.171.
3.180. В схеме, изображенной на рис. 3.171, при разомкнутом
ключе К напряжение на конденсаторе емкостью С равно Ш', где
<f — ЭДС батареи. Какой максимальный ток будет течь через
катушку индуктивности L после замыкания ключа? Внутренним
сопротивлением батареи и сопротивлением катушки пренебречь.
(Билет 12, 2002)

128
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.193. Вольт-амперная характеристика лампочки накаливания
приведена на рис. 3.184а. Две такие лампочки У/, и У/2 включены в
схему, изображенную на рис. 3.1846. ЭДС батареи ^ = 4 В,
сопротивление резистора R = 8 Ом. 1) Чему равно напряжение на
лампочке У/,? 2) Что покажет амперметр Л? Внутренним
сопротивлением батареи и амперметра пренебречь. (Билет 9, 2003)
4 U, В
л;
Рис. 3.184.
3.194. Плоский воздушный конденсатор подключен к батарее с
постоянной ЭДС ^ и внутренним сопротивлением г. Между
обкладками конденсатора вставлена проводящая
пластина с зарядом д> 0 (рис. 3.185). После
установления стационарного состояния пластину с
зарядом q быстро удаляют из конденсатора так,
что его заряд не успевает измениться.
Определить величину и направление тока через
батарею сразу после удаления пластины. Площадь
обкладок и пластины равна S, расстояние
между обкладками конденсатора — d, а расстояние
между пластиной с зарядом q и левой обкладкой конденсатора равно
b (b < d/2). (Билет 9, 2003)
3.195. Вольт-амперная характеристика лампочки накаливания
приведена на рис
/, А
Рис. 3.185.
3.186а. Две такие лампочки У/, и У/2 включены в
0,4
0,3
0,2
0,1
<>
I
/
/
/
г
о
2 3 4 U, В
а
Рис. 3.186.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
131
массой т со сторонами а и b
денсаторе С2 после размыкания ключа К2. Внутренним
сопротивлением батареи с ЭДС и омическим сопротивлением катушки
пренебречь. (Билет 1, 2004)
3.202. На гладкой горизонтальной поверхности стола расположена
проволочная прямоугольная рамка
(рис. 3.193). Рамка находится в
магнитном поле, составляющая
вектора индукции которого вдоль
оси z зависит только от
координаты х и изменяется по линейному
закону: Bz{x) = BQ{\ — ах), где
BQ и а — заданные константы.
Рамке сообщают вдоль оси х ско- Рис. 3.193.
рость vQ. Пренебрегая
самоиндукцией рамки, определить расстояние, пройденное рамкой до полной
остановки. Омическое сопротивление рамки равно R. Рамка движется
поступательно. (Билет 1, 2004)
3.203. В LC-контуре при разомкнутом ключе К происходят
колебания (рис. 3.194). В тот момент, когда ток в контуре достигает
максимального значения /„, замыкают ключ К. Считая заданными /
0'
L, и
и определить полное количество
теплоты, которое выделится в резисторе
R после замыкания ключа К. Омическое
сопротивление катушек считать равным
нулю. (Билет 2, 2004)
3.204. На гладкой горизонтальной
поверхности стола расположена
проволочная прямоугольная рамка со сторонами
а и b (рис. 3.195). Рамка находится в
магнитном поле, составляющая вектора индукции которого вдоль оси
z зависит только от координаты х и изменяется по линейному закону:
Bz(x) = В0(\ — ах), где BQ и
а — заданные константы. С
помощью нерастяжимой нити и
неподвижного блока рамка связана
с грузом массой М. Сначала груз
удерживают, а затем отпускают,
и рамка приходит в
поступательное движение. Пренебрегая
самоиндукцией рамки, определить
мак$имальную мощность тепловых потерь в рамке. Омическое
сопротивление рамки равно R. (Билет 2, 2004)
3.205. В схеме, изображенной на рис. 3.196, в начальный момент
ключ К. разомкнут, ключ К2 замкнут, а конденсаторы С, и С2 не

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
129
схему, изображенную на рис. 3.1866. ЭДС батареи ^" = 4,5 В,
сопротивление резисторов /?=15 0м. 1) Чему равен ток через каждую
лампочку? 2) Что покажет идеальный вольтметр V? Внутренним
сопротивлением батареи и амперметра
пренебречь. (Билет 10, 2003)
3.196. Два одинаковых плоских
конденсатора с расстоянием между
обкладками d подключены к батарее с
постоянной ЭДС ^ и внутренним
сопротивлением г (см. рис. 3.187). В левом
конденсаторе расположена
диэлектрическая пластина толщиной h (h < d)
с диэлектрической проницаемостью е. После установления
стационарного состояния пластину быстро выдвигают из конденсатора так,
что заряды на обкладках этого конденсатора не успевают измениться.
Определить величину и направление тока через батарею сразу после
удаления ПласТИНЫ. (Билет 10, 2003)
3.197. Вольт-амперная характеристика диода в прямом
направлении изображена на рис. 3.188а. Два таких диода Д, и Д2 включены
Рис. 3.187.
/, мА
д2?
и, В
Рис. 3.188.
в схему, изображенную на рис. 3.1886. ЭДС батареи % = 1,5 В,
сопротивление резистора R = 500 Ом. 1) Чему равно напряжение на
диде Д,? 2) Что покажет амперметр А?
Внутренним сопротивлением батареи и амперметра
пренебречь. (Билет 11, 2003)
3.198. Между обкладками плоского
конденсатора, подключенного к батарее с постоянной
ЭДС и внутренним сопротивлением г,
помещена проводящая пластина с зарядом q > 0 на
расстоянии Ь (b < d/2) от левой обкладки
конденсатора (см. рис. 3.189). Здесь d — расстояние
между обкладками конденсатора. После
установления стационарного состояния пластину с зарядом q быстро
перемещают в положение, находящееся на расстоянии Ъ от правой об-
Рис. 3.189.
5 - 2675

130
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
кладки. Полагая, что заряд на конденсаторе не изменяется за время
перемещения пластины, определить величину и направление тока
через батарею сразу после перемещения пластины. Площадь
обкладок И пластины — S. (Билет 11, 2003)
3.199. Вольт-амперная характеристика диода в прямом
направлении изображена на рис. 3.190а. Два таких диода Д, и Д2 включены
1. мА
4
3
2
1
0,5 1 1,5 2 V, В
—
Рис. 3.190.
в схему, изображенную на рис. 3.1906. ЭДС батареи % = 2 В,
сопротивление резисторов /? = 800Ом. 1) Чему равен ток через каждый
диод? 2) Что покажет идеальный вольтметр V? Внутренним
сопротивлением батареи пренебречь. (Билет
12, 2003)
3.200. Два одинаковых плоских
конденсатора подключены к батарее с
постоянной ЭДС Ч! и внутренним
сопротивлением г (см. рис. 3.191).
Расстояние между обкладками
конденсаторов — d. После установления
стационарного состояния в левый
конденсатор быстро вводят пластину с диэлектрической проницаемостью
е и толщиной h (h < d). Пренебрегая изменением зарядов на
обкладках левого конденсатора за время введения пластины, определить
величину и направление тока через батарею сразу после введение
пластины. Площадь пластины равна
площади обкладок конденсатора.
(Билет 12, 2003)
3.201. В схеме, изображенной на
рис. 3.192, в начальный момент ключ
Рис. 3.191.
к.
к
2 /С, разомкнут, ключ
Кг замкнут, а
Рис. 3.192.
конденсаторы С, и С2 не заряжены.
Сначала замыкают ключ К{, а в тот
момент, когда заряд на конденсаторе С, достигает максимального
значения, размыкают ключ К2. Найти максимальный заряд на кон-

132
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Рис. 3.196.
заряжены. Сначала замыкают ключ К{, а в тот момент, когда заряд
на конденсаторе С, достигает максимального значения, размыкают
ключ К2. Найти максимальный заряд
на конденсаторе С2 после размыкания
ключа Кг. Внутренним
сопротивлением батареи с ЭДС ^ и омическим со-
к2 противлением катушки
пренебречь. (Килст з, 2004)
3.206. На гладкой горизонтальной
поверхности стола расположена
проволочная прямоугольная рамка массой т со сторонами а и Ъ
(рис. 3.197). Рамка находится в магнитном поле, составляющая
вектора индукции которого вдоль
оси z зависит только от
координаты х и изменяется по линейному
закону: Bz(x) = В0(\ — ах), где
В0 и а — заданные константы.
Рамке сообщают вдоль оси х
скорость vQ. Когда рамка, двигаясь
поступательно, проходит
расстояние L, ее скорость уменьшается в 3 раза. Пренебрегая
самоиндукцией рамки, определите ее омическое сопротивление. (Билет 3, 2004)
3.207. В LC-контуре при замкнутом ключе К происходят коле-
м бания (см. рис. 3.198). В тот момент,
когда напряжение на конденсаторе рав-
Рис. 3.197.
1л
R
но U0, а ток через катушку L, равен
/0, замыкают ключ К. Считая задан-
'0'
ными
Ьг и С,
Рис. 3.198.
0, j0, ^2 " определить
полное количество теплоты, которое
выделилось в резисторе R после
замыкания ключа К. Омическое
сопротивление катушек считать равным нулю. (Билет 4, 2004)
3.208. На гладкой горизонтальной поверхности стола
расположена проволочная
прямоугольная рамка со сторонами а и Ъ
(см. рис. 3.199). Рамка
находится в магнитном поле,
составляющая вектора индукции
которого вдоль оси z зависит
только от координаты х и
изменяется по линейному закону:
Рис. 3.199.
Bz(x) = B0(\-ax), где В0
а — заданные константы. С помощью нерастяжимой нити и не-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
133
подвижного блока рамка связана с грузом массой М. Сначала груз
удерживают, а затем отпускают, и через некоторое время
мощность тепловых потерь в рамке при поступательном движении
достигает максимального значения, равного
W„
-cz>
R
с,
,*2
с2
Рис. 3.200.
тах. Пренебрегая самоиндукцией рамки,
определите омическое сопротивление
рамки. (Билет 4, 2004)
3.209. В схеме, изображенной на рис. 3.200,
в начальный момент все пространство между
обкладками плоского конденсатора полностью
заполнено пластиной с диэлектрической
проницаемостью е. Емкость такого конденсатора С,.
Пластину начинают медленно с постоянной
скоростью выдвигать из конденсатора. Через
некоторое время через батарею с ЭДС
устанавливается постоянный ток, направленный против ЭДС этой
батареи и равный /. Для этого установившегося режима определить:
1) напряжение на конденсаторе С2; 2) скорость
перемещения пластины. Размер обкладок кон
денсатора с начальной емкостью С, в направ- ' ' R
лении перемещения пластины равен L.
Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.
Величины £, /, L, ю,, <?Г2, С, и R считать
известными. Обкладки конденсатора и пластина
имеют прямоугольную форму. (Билет 5, 2004)
3.210. В схеме, изображенной на рис. 3.201,
в начальный момент все пространство между
обкладками плоского конденсатора полностью
заполнено пластиной с диэлектрической
проницаемостью е. Емкость такого конденсатора С2.
Пластину начинают медленно с постоянной скоростью выдвигать из
конденсатора. Через некоторое время на конденсаторе емкостью С,
устанавливается постоянное напряжение U с положительным
зарядом на левой обкладке. Для этого установившегося режима
определить: 1) ток через батарею с ЭДС 2) скорость перемещения
пластины. Размер обкладок конденсатора с начальной емкостью С2 в
направлении перемещения пластины равен L. Внутренними сопро-
Рис. 3.201.
тивлениями батарей пренебречь. Величины е, /, L,
>2>
С, и R
считать известными. Обкладки конденсатора и пластина имеют
прямоугольную форму. (Билет 6, 2004)
3.211. В схеме, изображенной на рис. 3.202, в начальный момент
плоский конденсатор емкостью С, — воздушный. В него медленно с
постоянной скоростью начинают вводить пластину с диэлектрической

134
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
R
С i
Со
проницаемостью е. Через некоторое время, когда пластина частично
заполняет конденсатор, через батарею с ЭДС устанавливается
постоянный ток, направленный по направлению
—| 1 1 действия ЭДС ^, и равный /. Для этого
установившегося режима определить: 1)
напряжение на конденсаторе С2; 2) скорость
перемещения пластины. Размер обкладок конденсатора
С, в направлении перемещения пластины равен
L. Внутренними сопротивлениями батарей
пренебречь. Величины е, /, L, Wv С, и Л счи-
\\-^ 11 1 тать известными. Обкладки конденсатора и
пластина имеют прямоугольную форму. (Билет
Рис. 3.202. 7, 2004)
3.212. В схеме, изображенной на рис. 3.203, в
начальный момент плоский конденсатор емкостью С2 — воздушный. В
него медленно с постоянной скоростью начинают вводить пластину с
диэлектрической проницаемостью е. Через
некоторое время, когда пластина частично
заполняет конденсатор, на конденсаторе С,
устанавливается постоянное напряжение U
(<?2< U < с положительным зарядом на
левой обкладке. Для этого установившегося
режима определить: 1) ток через батарею с ЭДС <?,;
2) скорость перемещения пластины. Размер
обкладок конденсатора С2 в направлении
перемещения пластины равен L. Внутренними
сопротивлениями батарей пренебречь. Величины е, U,
L, %,, <?2, С2 и R считать заданными. Обкладки
конденсатора и пластина имеют прямоугольную форму. (Билет 8, 2004)
3.213. В схеме, представленной на рис. 3.204, две одинаковые
проводящие пластины с площадью S
расположены на малом расстоянии d. Пластины
положительно заряжены: на левой — заряд qv а
на правой — заряд q2. Ключ К замыкают.
1) Найти заряды на пластинах после
установления равновесного состояния. 2) Какое
количество теплоты выделится в цепи после
замыкания ключа КР. ЭДС батареи равна
Считать, что до и после замыкания ключа
заряды (по модулю) проводов, резистора и источника пренебрежимо
малы. (Билет 9, 2004)
3.214. В схеме, приведенной на рис. 3.205, при разомкнутом
ключе К конденсатор емкостью С = 20 мкФ заряжен до напряжения
Рис. 3.203.
г-
-CZ3-
Рис. 3.204.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
135
С
К
Рис. 3.205.
U0 = 8 В. Индуктивность катушки L = 0,2 Гн, ЭДС батареи t = 3 В,
диод D — идеальный. 1) Определить максимальный ток в цепи после
замыкания ключа К. 2) Какое напряжение
установится на конденсаторе после
замыкания ключа? (Билет 9, 2004)
3.215. В схеме, представленной на
рис. 3.206, батарея с постоянной ЭДС W
подключена через резистор к двум проводящим
одинаковым пластинам площадью S с малым
расстоянием d между ними. Обе пластины
положительно заряжены, причем на левой
пластине находится заряд qx, а на правой — некоторый неизвестный
заряд. Правую пластину быстро смещают на расстояние d вправо
(заряды пластин за время перемещения не
изменяются). 1) Найти заряды пластин после
установления равновесия. 2) Какое количество
теплоты выделится в цепи после перемещения
пластины к моменту установления
равновесного состояния? Считать, что до и после
смешения пластины заряды (по модулю) проводов,
резистора и источника пренебрежимо
малы. (Билет 10, 2004)
3.216. В схеме, приведенной на рис. 3.207, при разомкнутом
ключе К конденсатор емкостью С = 10 мкФ
заряжен до напряжения UQ = 2 В.
Индуктивность катушки £ = 0,1Гн, ЭДС батареи
\о =5 В, диод D — идеальный. 1)
Определить максимальный ток в цепи после
замыкания ключа К. 2) Какое напряжение
установится на конденсаторе после замыкания
С
Рис. 3.206.
К
ключа: (Билет 10, 2004)
Рис. 3.207.
3.217. В электрической схеме, представленной на рис. 3.208, две
одинаковые проводящие пластины с площадью S расположены на
малом расстоянии d друг от друга. Обе пластины
заряжены, причем на правой находится
положительный заряд qx. Ключ К замыкают.
1) Найти начальный заряд левой пластины
если после замыкания ключа К батарея
совершила работу Л. 2) Какое количество теплоты
выделилось в цепи после замыкания ключа К?.
ЭДС батареи равна Считать, что до и после
замыкания ключа заряды (по модулю)
проводов, резистора и источника пренебрежимо малы. (Билет И, 2004)
3.218. В схеме, приведенной на рис. 3.209, при разомкнутом
ключе К конденсатор емкостью С = 30 мкФ заряжен до напряжения
Рис. 3.208.

136
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3
Рис. 3.209.
U0 — 4 В. Индуктивность катушки L = 0,3 Гн, ЭДС батареи
if = 10 В, диод D — идеальный. 1)
Определить максимальный ток в цепи после
замыкания ключа К. 2) Какое напряжение
установится на конденсаторе после замыкания
ключа? (Билет 11, 2004)
3.219. В схеме, представленной на
рис. 3.210, батарея с постоянной ЭДС ^
подключена через резистор к двум
проводящим одинаковым пластинам площадью S с малым расстоянием
2d между ними. Обе пластины заряжены, причем на левой
пластине находится положительный заряд <?,, а
на правой — некоторый неизвестный заряд.
Правую пластину быстро смещают по
направлению к левой на расстояние d (заряды
пластин за время перемещения не изменяются).
1) Найти заряды пластин после установления
равновесия. 2) Какое количество теплоты
выделится в цепи после перемещения пластины
к моменту установления равновесного
состояло и после смещения пластины заряды (по
резистора и источника пренебрежимо
малы. (Билет 12, 2004)
3.220. В схеме, приведенной на рис. 3.211,
при разомкнутом ключе К конденсатор
емкостью С = 40 мкФ заряжен до напряжения
U0 = 5 В. Индуктивность катушки L =
= 0,4 Гн, ЭДС батареи % = 2 В, диод D —
идеальный. 1) Определить максимальный
ток в цепи после замыкания ключа К. 2)
Какое напряжение установится на конденсаторе после замыкания
ключа? (Билет 12, 2004)
Рис. 3.210.
ния? Считать, что
модулю) проводов,
с
3
Рис. 3.211.

4. ОПТИКА
4.1. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения
показателя преломления газов. Для этого на пути одного из
интерферирующих лучей ставится кювета Г прямоугольной формы и
длиной L = 10 см с исследуемым газом, а на пути другого —
стеклянный компенсатор К, с помощью которого добиваются, чтобы в
центральном максимуме разность хода между интерферирующими
лучами равнялась нулю (рис. 4.1). Чему равен показатель преломления
газообразного азота, если после замены в кювете воздуха на азот
интерференционная картина в плоскости наблюдения Р сместилась
ровно на одну полосу в сторону, что соответствовало увеличению
показателя преломления? Показатель преломления воздуха
пв = 1,000292. Измерения проводились на длине волны света
X = 500 HM. (Билет 1, 1991)
Рис. 4.1.
Рис. 4.2.
4.2. При нормальном падении света на бипризму Френеля
(рис. 4.2) пучки света, преломленные каждой из половинок
бипризмы, интерферируют между собой. На каком максимальном
расстоянии от бипризмы еще будет наблюдаться интерференционная
картина? Расстояние между вершинами бипризмы 5 = 4 см, показатель
преломления материала бипризмы п=1,4; преломляющий угол
а= 10_3 рад. Считать а «к sin a»tg а. (Билет 2, 1991)
4.3. Интерферометр Рэлея
используется для точного измерения
зависимости показателя преломления газов
от давления по смещению
интерференционной картины. Для этого на
пути одного из интерферирующих лучей
ставится кювета Г прямоугольной
формы и длиной L = 10 см с
исследуемым газом, а на пути другого — стеклянный компенсатор К (рис. 4.3),
с помощью которого добиваются, чтобы в центре интерференционной
картины разность хода между интерферирующими лучами равнялась
нулю. Какое минимальное изменение показателя преломления An
можно измерить в таком приборе? Считать, что минимальное надежно
Рис. 4.3.

138
ОПТИКА
регистрируемое смещение интерференционной картины в плоскости
наблюдения Р соответствует появлению на месте центрального
максимума первого минимума. Наблюдение ведется на длине волны
к = 600 нм. (Килст 3, 1991)
4.4. Пучки света, преломленные каждой из половинок бипризмы,
Френеля, интерферируют между собой (рис. 4.4). При каком
расстоянии между бипризмой и экраном Р на нем будет наблюдаться
интерференционная картина максимального размера при нормальном
падении света на боковую грань бипризмы? Расстояние между вершинами
бипризмы 2а = 5 см, показатель преломления материала бипризмы
л = 1,5; преломляющий угол а=10_3 рад. Считать, что
а як Sin а » tg а. (Килет 4, 1991)
2а
Рис. 4.4.
Рис. 4.5.
4.5. Булавка расположена на прямой, параллельной главной
оптической оси тонкой отрицательной линзы, так, что ее ближний конец А
находится на расстоянии d= 19 мм от плоскости линзы (рис. 4.5).
Расстояние между главной оптической осью линзы и булавкой
b = 8 мм. Известно, что длинаизображения булавки в линзе в 8 раз
меньше длины самой булавки. Найти длину булавки, если фокусное
расстояние ЛИНЗЫ F = 15 ММ. (Билет 5, 1991)
К.
11
Г7Т
Т А
Рис. 4.6. Рис. 4.7.
4.6. Спичка расположена на прямой, параллельной главной
оптической оси тонкой положительной линзы, так, что ее ближний конец
В находится на расстоянии а = 81 мм от плоскости линзы (рис. 4.6).
Расстояние между главной оптической осью линзы и спичкой
b = 9 мм. Известно, что длина изображения спички в линзе в два
раза меньше длины самой спички. Найти длину спички, если
фокусное расстояние ЛИНЗЫ F = 40 ММ. (Билет 6, 1991)
4.7. Небольшой кусок проволоки длиной х = 8 мм расположен на
прямой, параллельной главной оптической оси тонкой рассеивающей

ОПТИКА
139
линзы, так, что его ближний конец В лежит в фокальной плоскости
линзы (рис. 4.7). Расстояние между проволокой и главной
оптической осью линзы Ъ = 28 мм. Найти фокусное расстояние линзы, если
известно, что длина изображения куска проволоки в линзе в 4 раза
меньше его собственной длины. (Билет 7, 1991)
4.8. Граммофонная игла расположена на прямой, параллельной
главной оптической оси тонкой собирающей линзы, так, что ее
ближний конец А находится на расстоянии
d = 8 см от плоскости линзы (рис. 4.8). 1 А в _
Расстояние между главной оптической Ь
осью и иглой Ъ = 5 см. Известно, что р
длина изображения иглы в линзе в 13 раз
больше длины самой иглы. Найти длину !
иглы, если фокусное расстояние линзы Рис. 4.8.
F — 12 СМ. (Билет 8, 1991)
4.9. Падающий на тонкую линзу луч пересекает главную
оптическую ось под углом а = 4° (tga » 0,07) на расстоянии а — 12 см
от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние линзы F, если
известно, что преломленный линзой луч пересекает главную оптическую
ОСЬ ПОД УГЛОМ Р = 8° (tgP = 0,14). (Билет 9, 1991)
4.10. На тонкую рассеивающую линзу падает луч под углом
a = 8° (tga = 0,14) к главной оптической оси, пересекая ее на
расстоянии а = 4 см от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние
линзы, если преломленный линзой луч идет под углом (3^12°
(tg|3 = 0,21) К главной ОПТИЧеСКОЙ ОСИ. (Билет 10, 1991)
4.11. Луч, падающий на тонкую собирающую линзу под углом
a = 23° (tga = 0,42) к главной оптической оси, пересекает ось на
расстоянии а = 14 см от плоскости линзы. Под каким углом к главной
оптической оси пойдет преломленный линзой луч? Фокусное расстояние
ЛИНЗЫ 21 СМ. (Билет И, 1991)
4.12. Луч, падающий на тонкую рассеивающую линзу под углом
a = 4° (tga 0,07) к главной оптической оси, пересекает ось на
расстоянии а = 12 см от плоскости линзы. Под каким углом к главной
оптической оси пойдет преломленный линзой луч, если ее фокусное
расстояние 2 СМ? (Билет 12, 1991)
4.13. Трапеция ABCD расположена так, Д|~
что ее параллельные стороны АВ и CD
перпендикулярны оптической оси тонкой
линзы. Линза создает мнимое изображение
трапеции ABCD в виде трапеции с теми же
самыми углами (рис. 4.9). Если повернуть
трапецию ABCD на 180° вокруг стороны
АВ\ то линза создает ее изображение в виде
прямоугольника. С каким увеличением
изображается сторона АВ1 (Билет 1, 1992)
О
О'
Рис. 4.9.

142
ОПТИКА
Рис. 4.12.
4.25. В интерференционной схеме параллельный пучок
монохроматического света с длиной волны X = 5000 А падает под углом а = 60°
на систему из двух плоскопараллельных, полупрозрачных зеркал 1, 2
(рис. 4.13). Часть светового пучка отражается от зеркала 1,
оставшаяся часть, пройдя зеркало 1, частично отражается от зеркала 2 и, снова
пройдя зеркало 1, вместе с пучком, отраженным от зеркала 1, с
помощью собирающей линзы Л фокусируется на приемник Я, сигнал
которого пропорционален интенсивности падающего на него света.
Какова будет частота переменного сигнала, регистрируемого
приемником, в случае равномерного движения второго зеркала (относительно
первого) СО СКОРОСТЬЮ U = 0,01 См/с? (Билет 1, 1993)
4.26. Точечный источник
монохроматического света S с
длиной волны X = 6000 А
расположен между двумя
неподвижными, плоскопараллельными
зеркалами, расстояние между
которыми а = 3 см (рис. 4.14). На
удаленном расстоянии L = 1 м от
,.■/. .W.:vs.:
V,- п
vs.'-:-'///;////' '//■ .V//iV/
L
Рис. 4.14.
источника расположен экран Э,, на котором наблюдается интер
ференционная картина, создаваемая двумя пучками света,
отраженными от зеркал. Прямой пучок света от источника
перекрывается экраном Эг. В плоскости экрана Э, (симметрично
относительно зеркал) расположен приемник Я, сигнал которого
пропорционален интенсивности падающего на него света. Размер
приемника мал по сравнению с шириной интерференционных полос на
экране Эр Учитывая только однократные отражения света от
зеркал, определить частоту переменного сигнала, регистрируемого
приемником, который возникает при движении источника в
направлении, перпендикулярном зеркалам со скоростью v = 0,1 мм/с.
Указание: при р1 имеет место формула VI + Р « 1 + ^ р.
(Билет 2, 1993)

ОПТИКА
141
лую поверхность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного
излучения с энергией W = 4 Дж и длительностью импульса
х = Ю-8 с. Падающий пучок распространяется параллельно главной
оптической оси линзы на расстоянии F/2V3 от оси (F — фокусное
расстояние линзы). Найти величину средней силы, действующей на
линзу со стороны света, если половина энергии лазерного излучения
поглощается в линзе. Отражением от поверхности линзы (без
покрытия) пренебречь. (Билет 7, 1992)
4.20. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией
W = 0,4 Дж и длительностью т = Ю-9 с падает на собирающую
линзу параллельно главной оптической оси. Расстояние от пучка до
оси линзы F (F — фокусное расстояние линзы). Найти величину
средней силы, действующей на линзу со стороны света, если
половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением
от поверхности линзы пренебречь. (Билет 8, 1992)
4.21. За линзой с фокусным расстоянием F = — 5 см расположена
линза с фокусным расстоянием F2 = 25 см так, что их главные
оптические оси совпадают. Эта оптическая система создает изображение
предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси.
Как изменится величина изображения, если линзы поменять местами?
Расстояние между линзами L = 20 см. (Билет 9, 1992)
4.22. Математический маятник
раскачивается с амплитудой А = 1 см в
плоскости рисунка (рис. 4.11).
Равновесное положение нити маятника
находится на расстоянии L = V5 см от
переднего фокуса тонкой
положительной линзы. Расстояние между
изображениями маятника, лежащими на
главной оптической оси линзы, равно
Д = 2 см. Найти фокусное расстояние линзы. (Билет 10,1992)
4.23. Две тонкие положительные линзы расположены друг за
другом так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между
линзами 14 см. Фокусное расстояние первой линзы = 10 см,
второй — F2 = 4 см. Эта система создает изображение предмета,
расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Величина
изображения hl = 4 мм. Какова будет величина изображения А2, если
ЛИНЗЫ поменять местами? (Билет П, 1992)
4.24. Математический маятник колеблется в плоскости рисунка
с амплитудой А = 1 см. Равновесное положение нити маятника
находится на расстоянии а = 4 см от тонкой отрицательной линзы
с фокусным расстоянием 2 см (рис. 4.12). Найти расстояние между
изображениями маятника, лежащими на главной оптической оси
СИСТеМЫ. (Билет 12, 1992)

140
ОПТИКА
О
О'
Рис. 4.10.
4.14. На оси тонкой отрицательной линзы расположена трапеция
таким образом, что ее параллельные стороны перпендикулярны
главной оптической оси. Линза создает изображение трапеции, имеющее
вид прямоугольника. При этом меньшая из параллельных сторон
изображается с увеличением Г{ = 1/3. Если трапецию передвинуть вдоль
главной оси на некоторое расстояние, то получается изображение в
виде трапеции с теми же самыми углами. Найти, с каким увеличением
изображается та же самая меньшая сторона в этом случае. (Билет 2,1992)
4.15. Трапеция ABCD располложена так,
что ее параллельные стороны
перпендикулярны главной оптической оси тонкой линзы
(рис. 4.10). Линза создает действительное
изображение трапеции ABCD в виде
прямоугольника. Если повернуть трапецию ABCD
на 180° вокруг стороны АВ, то линза создает
ее изображение в виде трапеции с теми же
самыми углами. С каким увеличением
изображается сторона АВ? (Билет 3, 1992)
4.16. На оси тонкой положительной линзы расположена трапеция
таким образом, что ее параллельные стороны перпендикулярны
главной оптической оси. Линза создает изображение в виде трапеции с
теми же самыми углами. При этом меньшая из параллельных сторон
трапеции изображается с увеличением Г{ = 0,8. Если теперь
передвинуть трапецию вдоль главной оптической оси к линзе на
некоторое расстояние, трапеция будет изображаться в виде
прямоугольника. С каким увеличением будет изображаться меньшая из
параллельных сторон трапеции в этом случае? (Билет 4, 1992)
4.17. На плоскую поверхность тонкой плоско-вогнутой
отрицательной линзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На вогнутую
поверхность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного
излучения с энергией W = 5 Дж и длительностью т = Ю-8 с. Падающий
луч распространяется параллельно главной оптической оси линзы на
расстоянии F/2 от оси (F — фокусное расстояние линзы). Найти
величину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если
половина лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от
поверхости линзы (без покрытия) пренебречь. (Билет 5, 1992)
4.18. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией
W = 0,5 Дж и длительностью т = 10~9 с падает на рассеивающую
линзу параллельно ее главной оптической оси. Расстояние от пучка
до оси равно F/V3, где F — фокусное расстояние линзы. Найти
величину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если
половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе.
Отражением от поверхности линзы пренебречь. (Билет б, 1992)
4.19. На плоскую поверхность тонкой плоско-выпуклой
положительной линзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На выпук-

ОПТИКА
143
X
Рис. 4.15.
\
:•■//
4.27. Параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны X = 6000 А падает на экран Э,, расположенный в фокальной
плоскости собирающей линзы JI с фокусным расстоянием F = 50 см
(рис. 4.15). В экране Э,
имеются две узкие, симметрич- д л
ные щели (расположенные
перпендикулярно плоскости
рисунка), расстояние между
которыми мало по сравнению
с F и равно а = 6 мм. На
некотором расстоянии за линзой
(в той области, где пучки
света от обеих щелей
перекрываются) расположен экран Э2,
на котором наблюдается интерференционная картина. В плоскости
экрана Эг расположен приемник Я, сигнал которого пропорционален
интенсивности падающего на него света. Размер приемника мал по
сравнению с шириной интерференционных полос. При равномерном
движении приемника вдоль экрана (поперек интерференционных
полос) приемник регистрирует переменный сигнал с частотой
/ = 20 Гц. Определить скорость U приемника.
Указание: при р« 1 имеет место формула VI + р « 1 + j Р-
(Билет 3, 1993)
4.28. Точечный источник монохроматического света S с длиной
волны X = 5000 А расположен посередине между неподвижными
плоскопараллельными зеркалами,
расстояние между которыми
а = 4 см (рис. 4.16). На
удаленном расстоянии L = 2 м от
источника расположен экран Э,, на
котором наблюдается
интерференционная картина, создаваемая
двумя пучками света, отраженными от зеркал (остальными
отражениями пренебречь). Прямой пучок света от источника перекрывается
экраном Э2. В плоскости экрана Э, расположен приемник Я, сигнал
которого пропорционален интенсивности падающего на него света.
Размер приемника мал по сравнению с шириной интерференционных
полос на экране Э{. При равномерном движении приемника вдоль
экрана (поперек интерференционных полос) приемник регистрирует
переменный сигнал с частотой / = 80 Гц. Определить скорость v
приемника,* учитывая только однократные отражения света от зеркал.
Указание: при р« 1 имеет место формула VI + р ~ 1 + ^ р.
(Билет 4, 1993)

144
ОПТИКА
4.29. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием
F = 15 см прикреплена к стенке аквариума, заполненного водой
(п = 4/3). На линзу под углом а падает параллельный пучок света.
Известно, что луч, прошедший сквозь линзу на расстоянии h от ее
оптического центра, не изменяет своего направления. Найти угол а,
если h = 5 MM. (Билет 5, 1993)
4.30. На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной
Н = 3 мм падает узкий пучок монохроматического света. Пучок
параллелен оптической оси ОО', которая перпендикулярна к пластине и
проходит через ее центр (рис. 4.17). Расстояние между пучком и осью
ОО' R = 3 см. Показатель преломления стекла для падающего на
пластинку света имеет радиальную зависимость:
2
п(г) - п0
1
где п0 и А"о — константы (п0 = 1,5, г0=9 см). Определить угол
между выходящим пучком и осью ОО'. (Билет 6, 1993)
О
О'
Рис. 4.17.
Рис. 4.18.
Рис. 4.19.
4.31. Тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием
F = 15 см прикреплена к стенке аквариума, заполненного водой
{п — 4/3). На линзу под углом а падает параллельный пучок света
(рис. 4.18). Известно, что луч, прошедший сквозь линзу на
расстоянии h от ее оптического центра, не изменяет своего направления.
Найти h, если tg а = 0,08. (Билет 7, 1993)
4.32. На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной
Н = 4 мм падает узкий пучок монохроматического света. Пучок
параллелен оптической оси ОО', которая перпендикулярна к
пластинке и проходит через ее центр (рис. 4.19). Расстояние между
пучком и осью ОО' R = 5 см. Показатель преломления стекла для
падающего на пластинку света имеет радиальную зависимость:
2
п(г) = п0
где п0 и rQ — константы (п0 = 1,4, г0 = 10 см). Определить угол
между ВЫХОДЯЩИМ ПуЧКОМ И ОСЬЮ ОО'. (Билет 8, 1993)

146
ОПТИКА
4.40. Цилиндрический стеклянный сосуд заполнен до краев водой
и поставлен на стол. Сверху на сосуд положили лист бумаги с
круглым отверстием так, что его центр оказался на оси симметрии сосуда.
Через отверстие какого минимального радиуса можно разглядеть все
дно сосуда? Глубина сосуда Н = 5,2 см, радиус дна R = 8 см,
показатель Преломления ВОДЫ П = 4/3. (Билет 4, 1994)
4.41. Тонкий пучок лучей света падает перпендикулярно на
плоскую поверхность половины оптически прозрачного шара
(рис. 4.22). Радиус шара R, расстояние от луча до оси ОО',
проходящей через центр шара О, равно а = 0,6/?, показатель
преломления материала шара п = 4/3. Найти расстояние от точки О до
точки А пересечения луча, преломленного на сферической
поверхности, С ОСЬЮ ОО'. (Билет 5, 1994)
Рис. 4.22. Рис. 4.23.
4.42. Оптически прозрачный шар радиуса R помещен в
параллельный пучок лучей света. Минимальное расстояние, пройденное одним
из преломленных лучей внутри шара (до первого пересечения с
поверхностью), оказалось равным VlR/2. Найти показатель
преломления материала шара. (Билет 6, 1994)
4.43. Луч света падает на поверхность стеклянного шара
параллельно некоторой оси ОО', проходящей через его центр. Угол
падения этого луча на поверхность шара <р = arcsin (24/25).
Преломленный луч проходит через точку пересечения этой оси с поверхностью
шара. Найти показатель преломления стекла. (Билет 7, 1994)
4.44. Шар из оптически прозрачного материала помещен в
параллельный пучок света (рис. 4.23). Угол падения одного из лучей на
поверхность шара <р = arctg (4/3). Угол его отклонения от
первоначального направления после двух преломлений на поверхности шара
6 = 2 arctg (7/24). Найти показатель
преломления материала шара. (Билет 8, 1994)
4.45. На главной оптической оси линзы с
фокусным расстоянием 10 см лежит спичка
-1 ^ ^ (рис. 4.24). Линза создает действительное
изображение спички с увеличением 25/3.
Если спичку повернуть на 90° вокруг ее се-
" редины (точка С), то она будет изобра-
Рис. 4.24. жаться с увеличением 2,5. Определить
длину спички. (Билет 9, 1994)

ОПТИКА
145
4.33. Минимальное расстояние, с которого можно снять
фотоаппаратом, равно 48 см. Увеличение при этом оказывается
максимальным и равно 1/7. Какой максимальный размер чертежа можно
переснять этим аппаратом, используя удлинительное кольцо толщиной
А = 1/7 см? Размер кадра на пленке 24 X 36 мм2.
Указание: удлинительное кольцо устанавливается между
объективом и пленкой и служит для дополнительного увеличения
расстояния между НИМИ. (Билет 9, 1993)
4.34. Площадь изображения треугольника ABC в
32 раза меньше площади самого треугольника. Опре- /
делить, с каким увеличением Г изображается
сторона ВС, если точка А лежит в фокусе рассеивающей
ЛИНЗЫ (рис. 4.20). (Билет 10, 1993)
4.35. Максимальное увеличение, с которым мож- Рис. 4.20.
но снимать фотоаппаратом, равно 1/9. Какой
минимальной толщины удлинительное кольцо необходимо
использовать, чтобы переснять чертеж размером 120 X 180 мм? Фокусное
расстояние объектива F = 5 см, размер кадра на пленке 24 х 36 мм2.
Указание: удлинительное кольцо устанавливается между
объективом и пленкой и служит для дополнительного увеличения
расстояния между НИМИ. (Билет и, 1993)
4.36. Линза создает изображение
прямоугольного треугольника, катет АВ которого лежит на
главной оптической оси (рис. 4.21). Площадь
изображения треугольника в 9 раз меньше пло- L ———
щади самого треугольника. Найти, с каким
увеличением изображается катет ВС, если точка
л " л~ Рис. 4.21.
Л лежит на двойном фокусном расстоянии от
ЛИНЗЫ. (Билет 12, 1993)
4.37. Поверхность озера глубиной Н — 1,3 м покрыта тонким
слоем льда со снегом, практически не пропускающим свет. Найти
площадь светлого пятна на дне озера от полыньи в форме круга радиуса
й=2м. Озеро освещается рассеянным светом. Показатель
преломления ВОДЫ П = 4/3. (Билет 1, 1994)
4.38. На горизонтальном дне водоема лежит монета радиуса
г =■ 2 см. На каком максимальном расстоянии от монеты надо
поместить в воде плоский экран радиуса R = 5 см, чтобы монету нельзя
было обнаружить из воздуха при спокойной поверхности воды?
Показатель Преломления ВОДЫ 4/3. (Билет 2, 1994)
4.39. На спокойной поверхности водоема появилось пятно
загрязнения радиуса R = 5 м, не пропускающее свет. Определите размер
области на дне водоема, куда не попадает свет. Поверхность воды освеща-
етс'я рассеянным светом. Глубина водоема Н = 2,6 м. Показатель
преломления воды п = 4/3. Отражение от дна не учитывать. (Билет з, 1994)
О

ОПТИКА
147
4.46. На главной оптической оси положительной линзы с фокусным
расстоянием 5 см лежит спица. Линза создает действительное
изображение спицы. Спицу передвинули параллельно самой себе и
перпендикулярно главной оптической оси на расстояние h. При этом длина
изображения спицы увеличилась в 1,2 раза. Найти h. (Билет ю, 1994)
4.47. На главной оптической оси положительной линзы лежит
булавка так, что ее середина находится на двойном фокусном
расстоянии от линзы. С каким увеличением изображается булавка, если ее
длина втрое меньше фокусного расстояния линзы? (Билет П, 1994)
4.48. Параллельно главной оптической оси тонкой
отрицательной линзы на расстоянии 6 см от оси расположен прямолинейный
кусок проволоки. Если, не меняя расстояния от проволоки до
линзы, переместить проволоку на главную оптическую ось, то длина
ее изображения уменьшится в 1,3 раза. Определить фокусное
расстояние ЛИНЗЫ. (Билет 12, 1994)
7777777777/
Рис. 4.25.
^7777777777
Рис. 4.26.
4.49. Маленький воздушный пузырек всплывает по центру
прямоугольного сосуда, заполненного прозрачной жидкостью с показателем
преломления п =1,4 (рис. 4.25). С помощью собирающей линзы с
фокусным расстоянием f = 24 см его изображение наблюдают на
экране Э. Скорость перемещения изображения пузырька на экране в
момент пересечения главной оптической оси линзы г> = 80см/с.
Определить скорость и пузырька. Линейные размеры: I = 56 см,
L = 10 СМ. (Билет 1, 1995)
4.50. С помощью оптической схемы, состоящей из плоского
зеркала 3, положительной линзы Л и экрана Э, наблюдают за падением
маленьких шариков в сосуде с прозрачной жидкостью, показатель
преломления которой п =1,5 (рис. 4.26). В начальный момент на
экране наблюдается изображение поверхности жидкости и
неподвижного шарика. Затем линзу перемещают направо вдоль главной
оптической оси на расстояние А = 2 см и отпускают шарик. Через время
т = 5 с на экране появляется резкое изображение шарика. Полагая,
чтб шарик падает с постоянной скоростью и, определить ее величину.
Расстояние а = 30 СМ. (Билет 2, 1995)

ОПТИКА
149
1) На каком расстоянии от точки А получится изображение
источника S в системе линза—зеркальце в результате однократного
прохождения лучей от источника S через линзу?
2) Найдите скорость (модуль и угол между вектором скорости
и главной оптической осью) этого изображения в момент, когда
угол между плоскостью зеркальца и главной оптической осью
а = 40°. (Билет 6, 1995)
S
« 0 »
» L >
S
- d »
ч
Рис. 4.30.
Рис. 4.31.
4.55. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с
фокусным расстоянием F = 15 см расположено плоское зеркальце на
расстоянии L = 5F от линзы (рис. 4.31). Зеркальце вращается с
постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через точку А. На расстоянии
d = \ ,2F от линзы расположен точечный источник света S. В
некоторый момент времени скорость перемещения изображения,
полученного в результате однократного прохождения лучей от источника
S через линзу и отражения в зеркальце, была параллельна главной
оптической оси и равна V = 3 см/с.
1) На каком расстоянии от точки А находится изображение?
2) Найти угловую скорость со вращения зеркальца и угол а между
его плоскостью и главной оптической осью в указанный момент
времени. (Билет 7, 1995)
S
Л,_
* с1 >
Рис. 4.32.
4.56. На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с
фокусным расстоянием F = 20 см расположено плоское зеркальце на
расстоянии L = 5,\F от линзы (рис. 4.32). Зеркальце вращается с
постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через точку А. На расстоянии d = 9F
от.линзы расположен точечный источник света S. В некоторый
момент времени скорость перемещения изображения, полученного в
результате однократного прохождения лучей от источника S через лин-

148
ОПТИКА
С
I
Л
Рис.
4.27.
За
4.51. По вертикальной стене С ползет муха со
скоростью v = 2 см/с. С помощью собирающей
линзы Л с фокусным расстоянием F = 24 см
изображение мухи получают на задней стенке Э
прямоугольного сосуда, заполненного
прозрачной жидкостью с показателем преломления
п = 1,4 (рис. 4.27). Определить скорость и
перемещения изображения мухи в момент пересечения главной
оптической оси линзы. Линейные размеры: / = 28 см, L = 10 см.. (Билет з, 1995)
4.52. С помощью оптической системы,
состоящей из плоского зеркала 3 (под
углом 45° к горизонту), положительной
линзы Л и экрана Э, наблюдают за всплытием
маленьких пузырьков воздуха в сосуде с
жидкостью, показатель преломления
которой п = 1,5 (рис. 4.28). В начальный
момент на экране наблюдается изображение
дна сосуда и неподвижного пузырька.
Затем линзу перемещают влево вдоль
главной оптической оси на А = 1 см. Через
время т = 3 с после отрыва пузырька на
экране вновь появляется его резкое
изображение. Полагая, что пузырек все время
движется с постоянной скоростью и,
определить ее величину. Значение а = 20 см. (Билет 4, 1995)
4.53. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с
фокусным расстоянием F = 20 см расположено плоское зеркальце
на расстоянии L = 3F от линзы (рис. 4.29). Зеркальце вращается
с угловой скоростью со = 0,1 рад/с вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через
точку А. На расстоянии а = 5F/4 от
линзы расположен точечный источник света
S. На каком расстоянии от точки А
получится изображение источника S в
системе линза—зеркальце в результате одно-
Рис. 4.29. кратного прохождения лучей от источника
S через линзу? Найдите скорость (модуль и угол между вектором
скорости и главной оптической осью) этого изображения в момент,
когда угол между плоскостью зеркальца и главной оптической
ОСЬЮ а = 60°. (Билет 5, 1995)
4.54. На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с
фокусным расстоянием F = 10 см расположено плоское зеркальце на
расстоянии L = A,2F от линзы (рис. 4.30). Зеркальце вращается с
угловой скоростью со = 0,05 рад/с вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через точку А. На расстоянии а = AF от
линзы расположен точечный источник света S.
Рис. 4.28.
S
. со.
\

150
ОПТИКА
Рис. 4.33.
зу и отражения в зеркальце, была равна V = 12 см/с и параллельна
прямой СБ, составляющей угол р = 10° с главной оптической осью.
1) На каком расстоянии от точки А находится изображение?
2) Найти угловую скорость со вращения зеркальца и угол а
между его плоскостью и главной оптической осью в указанный
момент времени. (Билет 8, 1995)
4.57. В фокальной плоскости тонкой
рассеивающей линзы на расстоянии h = 1 см от ее главной
оптической оси расположен точечный источник
света S. Угол между двумя лучами, один из
которых параллелен главной оптической оси,
а = 0,08 (рис. 4.33).
1) Найти угол р между этими лучами после
преломления в линзе.
2) На каких расстояниях от линзы и от главной оптической оси
получится изображение источника S? Фокусное расстояние линзы
F = 20 см. Считать, что аир малы и (Билет 9, 1995)
4.58. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F = 30 см.
Точечный источник света S находится на расстояниях F/2 от линзы
и h = 3 см от ее главной оптической оси. Угол между двумя лучами,
один из которых параллелен главной оптической оси, равен а
(рис. 4.34).
1) Найти угол а, если угол между этими лучами после
прохождения линзы р = 0,15.
2) Определить расстояния от изображения источника S до линзы
и главной оптической оси. Считать углы аир малыми и h«F.
(Билет 10, 1995)
F/2
Рис. 4.34.
Рис. 4.35.
Рис. 4.36.
4.59. В фокальной плоскости тонкой рассеивающей линзы на
расстоянии h = 1 см от ее главной оптической оси расположен точечный
источник света S. Угол между двумя лучами, один из которых
параллелен главной оптической оси, равен а (рис. 4.35). Фокусное
расстояние линзы F= 12 см.
1) Найти угол а, если угол между этими лучами после
преломления в линзе стал р = 0,24.
2) На каких расстояниях от линзы и от главной оптической оси
получится изображение источника S? Считать, что аир малы и
h<^F. (Билет 11, 1995)

ОПТИКА
151
4.60. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F = 40 см.
Точечный источник света S расположен на расстояниях F/2 от линзы
и h = 5 см от ее главной оптической оси. Угол между двумя лучами,
один из которых параллелен главной оптической оси, а = 0,2
(рис. 4.36).
1) Найти угол й между этими лучами после прохождения линзы.
2) Определить расстояния от изображения источника S до
линзы и главной оптической оси. Считать углы а и й малыми и
h«F. (Билет 12, 1995)
4.61. В отверстие радиусом Л = 1,5 см в тонкой непрозрачной
перегородке вставлена тонкая собирающая линза. Точечный источник
света расположен на главной оптической оси линзы по одну сторону
перегородки. По другую сторону перегородки находится экран.
Экран, соприкасавшийся вначале с линзой, отодвигают от линзы. В
результате радиус светлого пятна на экране плавно увеличивается и на
расстоянии L = 18 см от перегородки достигает значения гх = 3 см.
Если линзу убрать, оставив экран на месте, то радиус пятна на
экране станет г2 = 4,5 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы. (Билет 1, 1996)
4.62. Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом
R = 2,5 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света
расположен на расстоянии d = 15 см от линзы на ее главной
оптической оси. Экран, находящийся по другую сторону ширмы, чем
источник, отодвигают от линзы. В результате радиус светлого пятна на
экране плавно уменьшается и на расстоянии L = 12 см от линзы
становится равным г = 1,5 см.
1) На каком расстоянии от линзы надо поместить экран, чтобы
получить четкое изображение источника?
2) Найти фокусное расстояние линзы. (Билет 2, 1996)
4.63. В отверстие радиусом R — 1 см в тонкой непрозрачной
перегородке вставлена тонкая рассеивающая линза. По одну сторону
перегородки на главной оптической оси линзы расположен точечный
источник света. По другую сторону перегородки на расстоянии L = 24 см
от нее находится экран. Радиус светлого пятна на экране г, = 4 см.
Если линзу убрать, то радиус пятна на экране станет гг = 2 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы. (Билет 3, 1996)
4.64. Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом
R = 2 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света
расположен слева от ширмы на расстоянии d = 30 см от линзы на ее
главной» оптической оси. На экране, находящемся справа от ширмы,
получено резкое изображение источника. После перемещения экрана
вправо вдоль главной оптической оси на расстояние L = 15 см на нем
появилось светлое пятно радиусом г — 0,5 см.

152
ОПТИКА
1) На каком расстоянии от линзы находился экран вначале?
2) Найти фокусное расстояние линзы. (Билет 4, 1996)
4.65. Высота комнаты Нх = 3,3 м. На расстоянии Н2 = 2,2 м от
пола висит лампа. Нить накала лампы можно считать точечным
источником света. На полу лежит плоское зеркальце прямоугольной
формы размерами 4x6 см2.
1) На каком расстоянии от потолка находится изображение нити
накала лампы в зеркальце?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркальца
на потолке. (Билет 5, 1996)
4.66. На стене в комнате висит плоское зеркало в форме ромба с
диагоналями 16 см и 12 см. Лампочка висит на расстояниях 5, = 2 м
от стены с зеркалом и 52 = 1 м от противоположной стены. Нить
накала лампочки можно считать точечным источником света.
1) На каком расстоянии X от противоположной стены находится
изображение нити накала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркала на
противоположной стене. (Билет 6, 1996)
4.67. Лампочка настольной лампы находится на расстояниях
= 0,6 м от поверхности стола и L2 = 1,8 м от потолка. Нить
накала лампочки можно считать точечным источником света. На столе
лежит осколок плоского зеркала в форме треугольника со сторонами
5 см, 6 см и 7 см.
1) На каком расстоянии от потолка находится изображение нити
накала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от осколка
зеркала на потолке. (Билет 7, 1996)
4.68. В комнате на стене висит плоское зеркало в форме эллипса,
большая и малая оси которого равны 15 см и 10 см. Стена с зеркалом
находится на расстояниях Х{ = 1 м от висящей лампочки и Х2 = 3 м
от противоположной стены. Нить накала лампочки можно считать
точечным источником света.
1) На каком расстоянии X от противоположной стены находится
изображение нити накала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркала на
противоположной стене. (Билет 8, 1996)
4.69. Тонкая собирающая линза диаметром D = 5 см с фокусным
расстоянием F = 50 см разрезана по диаметру, и ее половинки
раздвинуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО'
на расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены
двумя зеркальными полуплоскостями П1 и П2, параллельными оси
ОО' и друг другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО'
расположен точечный монохроматический источник света 5 (рис. 4.37).

154
ОПТИКА
я,
—L
а
ч
ч
О
—*-
п2
ч
L
Рис. 4.40.
4.72. Тонкая рассеивающая
линза диаметром D = 7 см с
фокусным расстоянием F = 70 см
разрезана по диаметру, и ее
половинки раздвинуты симметрично
относительно ее главной
оптической оси ОО' на расстояние
а = 1 см. Сверху и снизу
половинки линзы ограничены двумя
зеркальными полуплоскостями Пх и Л2, параллельными оси ОО'
и друг другу. На половинки линзы падает параллельный пучок
монохроматического света от удаленного источника 5 (рис. 4.40).
1) Найти расстояние между изображениями источника 5 в
половинках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э
(около оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от
лучей, предварительно прошедших половинки линзы? (Билет 12, 1996)
"1
"2
0 А
А
II
III
Рис. 4.41.
Рис. 4.42.
Рис. 4.43.
4.73. Показатель преломления некоторой плоской среды имеет
зависимость от координат У: при У<0 n = nQ (га0=1,4); при
0 < У < Н n(Y) = п0 — ^У, где к — константа (к = 0,2 м-1, а
Н = 2 м); при У > Н re = 1. На плоскость У = 0 падает узкий пучок
света под углом падения а = 60° (рис. 4.41). На какую
максимальную глубину h СМОЖет проникнуть Световой Луч? (Билет 1, 1997)
4.74. Высокий прямоугольный сосуд разделен вертикальной
перегородкой на два отсека (рис. 4.42). Первый отсек заполнен
жидкостью с показателем преломления п{ = 1,4, а второй — с показателем
преломления п2< На дно первого отсека падает узкий пучок
света под углом а = 30°. При каких значениях показателя преломления
п2 луч не сможет проникнуть во второй отсек? Все вертикальные
стенки и дно являются прозрачными плоскопараллельными
пластинами. (Билет 2, 1997)
4.75. Показатель преломления некоторой плоской среды имеет
зависимость от координаты У (рис. 4.43). В области I (У<0) п = п0

ОПТИКА
153
1) Найти угол между пучками лучей, вышедших из половинок
линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э
(около оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от
лучей, предварительно прошедших половинки линзы? (Билет 9, 1996)
1
V
ч
О '
(
1
щ
io'
ч
О
'JS////*////////,/////////
//>/
L
Рис. 4.37.
к-Э
•777Ж77777777777777777777777Р77
L
РИС. 4.38.
ц
4.70. Тонкая рассеивающая линза диаметром D = 4,5 см с
фокусным расстоянием F = 100 см разрезана по диаметру, и ее половинки
раздвинуты симметрично относительно ее главной оптической оси
ОО' на расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы
ограничены двумя зеркальными полуплоскостями Пх и Я2, параллельными
оси ОО' и друг другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО'
расположен точечный монохроматический источник света 5 (рис. 4.38).
1) Найти расстояние между изображениями источника 5 в
половинках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (около
оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от лучей,
предварительно прошедших половинки линзы? (Билет 10, 1996)
4.71. Тонкая собирающая линза
диаметром D = 4 см с фокусным
расстоянием F = 60 см разрезана по
диаметру, и ее половинки раздви- с
нуты симметрично относительно ее
главной оптической оси ОО1 на
расстояние а = 0,5 см. Сверху и снизу
половинки линзы ограничены
двумя зеркальными полуплоскостями
Я1 и Я2, параллельными оси ОО' и друг другу. На расстоянии F/2 на
оси ОО' расположен точечный монохроматический источник света 5
(рис. 4.39).
1) Найти расстояние между изображениями источника 5 в
половинках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э
(около оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от
лучей, предварительно прошедших половинки линзы? (Билет 11, 1996)
\а
F/2
Л,
777777777777777777777771
2Г
Рис. 4.39.

ОПТИКА
157
после прохождения ими линзы, если фокусное расстояние линзы
F = 12 СМ. (Килет 4, 1998)
А //^////////////////££///{////////// U
аТ*^> ■——
а
Рис. 4.50.
V>777777>V7777777>V7777777J77777777,
Рис. 4.51.
4.85. В комнате на столе лежит плоское зеркало, на котором
находится тонкая плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием
F = 40 см. По потолку АВ ползет муха со скоростью г> = 2см/с
(рис. 4.51). Расстояние от потолка до зеркала h = 220 см.
1) На каком расстоянии от зеркала находится изображение мухи в
данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения мухи в тот момент, когда она
пересекает главную оптическую ось линзы (точка С)? (Билет 5, 1998)
4.86. Маленький грузик массой т на пружине жесткости К
совершает гармонические колебания относительно главной оптической оси
тонкой плоско-вогнутой линзы с фокусным расстоянием — F (F> 0).
Линза плотно прижата к вертикально расположенному плоскому
зеркалу (рис. 4.52). Расстояние от грузика до зеркала L— A,5F.
1) На каком расстоянии от зеркала находится изображение
грузика в приведенной оптической системе?
2) С какой скоростью изображение грузика пересекает главную
оптическую ось линзы, если амплитуда его колебаний равна А1
(Билет 6, 1998)
Рис. 4.52. Рис. 4.53.
4.87. На столе лежит плоское зеркало, к которому плотно
прилегает тонкая плоско-вогнутая линза с фокусным расстоянием F = 45 см
(рис. 4.53). Над оптической системой параллельно плоскости зеркала
на высоте h = 4F пролетает комар со скоростью v = 9 см/с.

ОПТИКА
155
О0=1,4); в области II (0 < У < Я) n(Y)
kY (к = 0,07 м~
"2
"1
Я = 2м); в области III (Y > Н) п = п(Н) = const. При каких углах
падения узкого светового пучка на границу областей I и II (У = 0) он
СМОЖет проникнуть В область III? (Билет 3, 1997)
4.76. Высокий прямоугольный сосуд разделен
вертикальной перегородкой на два отсека
(рис. 4.44). Первый отсек заполнен жидкостью с
показателем преломления я, = 1,5, а второй —
жидкостью с показателем преломления п2 = 1,22.
При каких углах падения на дно первого отсека
узкий световой пучок сможет проникнуть во
второй отсек? Все вертикальные стенки и дно
являются прозрачными плоскопараллельными пластинами. (Билет 4,1997)
4.77. Точечный источник света 5 расположен на расстоянии
а = 40 см от собирающей линзы на ее главной оптической оси.
Оптическая сила линзы D = 5 дптр. При повороте линзы на
некоторый угол а (рис. 4.45) относительно оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через оптический центр линзы,
изображение источника сместилось на Л/=10 см. Найти угол
поворота ЛИНЗЫ а. (Билет 5, 1997)
Рис. 4.44.
ctV
1
\
\
h
Рис. 4.45.
4.78. С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F
на экране Э, расположенном на расстоянии L = 4,9F от стены С,
получено увеличенное изображение мухи, которая равномерно
ползет по стене по окружности радиуса R = 5 см, совершая один полный
оборот за время Т = 1 мин. Главная оптическая ось линзы
перпендикулярна стене и экрану и проходит через центр окружности, по
которой ползет муха (рис. 4.46). Чему равна
линейная скорость движущегося
изображения мухи на Экране? (Билет 6, 1997)
4.79. Точечный источник света 5 рас- ;
положен на главной оптической оси
рассеивающей линзы в ее фокусе.
Оптическая сила линзы D = — 4 дптр (рис. 4.47).
На какое расстояние сместится
изображение источника, если линзу повернуть на
ctV
Рис. 4.47.

158
ОПТИКА
f
1) На каком расстоянии от зеркала находится изображение комара
в данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения комара в тот момент, когда
комар будет пересекать главную оптическую ось линзы? (Билет 7, 1998)
'/\ 4.88. Маленький шарик массой т на
пружине жесткостью к совершает гармонические
колебания с амплитудой А относительно главной
оптической оси тонкой плоско-выпуклой линзы
с фокусным расстоянием F. Линза плотно
прилегает к плоскому вертикально
расположенному зеркалу (рис. 4.54). Расстояние от шарика
до зеркала L = 3F.
ь ~\ 1) На каком расстоянии от зеркала нахо-
Рис. 4.54. дится изображение шарика в приведенной
оптической системе?
2) С какой скоростью изображение шарика пересекает главную
Оптическую ОСЬ ЛИНЗЫ? (Билет 8, 1998)
4.89. В комнате на горизонтальной поверхности стола лежит
плоское стеклянное зеркало толщиной Я = 7 мм с показателем
преломления стекла п= 1,4. Над зеркалом висит электрическая лампочка.
Определите расстояние между двумя соседними изображениями
светящейся нити лампочки, возникающими из-за многократных
отражений от двух поверхностей зеркала. (Билет 1, 1999)
4.90. На столе под стеклянной пластиной толщиной Я =12 мм
расположен кусок газеты, которая рассматривается с помощью
микроскопа. На какое расстояние нужно передвинуть тубус микроскопа,
чтобы настроиться на буквы текста в отсутствие стеклянной
пластинки? Показатель преломления стекла п = 1,5. (Билет 2, 1999)
4.91. Если рассматривать свое изображение в плоскопараллельной
стеклянной пластинке толщиной Я= 10 см, то можно увидеть ряд
последовательных изображений лица, отстоящих друг от друга на
расстоянии L=14cm. Чему равен показатель преломления стекла
пластинки? (Билет 3, 1999)
4.92. Стакан с тонким дном, наполненный прозрачной жидкостью,
ставится на монету, лежащую на столе. Если сверху через жидкость
нормально к ее поверхности рассматривать монету, то изображение
монеты наблюдается на расстоянии h = 2,6 см от дна стакана.
Определите показатель преломления жидкости, если толщина слоя
жидкости В стакане Я = 8 СМ. (Билет 4, 1999)
4.93. Часовщику необходимо рассматривать детали часов, размеры
которых в N =3 раза меньше, чем то минимальное расстояние между
двумя точками, которое он может рассмотреть с расстояния
наилучшего зрения L = 25 см. Чему равно максимальное фокусное
расстояние лупы (собирающая линза), которую он должен использовать,
чтобы рассмотреть эти детали? При использовании лупы глаз наблю-

156 ОПТИКА
угол а = 30° относительно оси, перпендикулярной плоскости
рисунка и проходящей через оптический центр линзы? (Билет 7, 1997)
4.80. С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F
на экране Э, расположенном на расстоянии L = 4,9F от циферблата
ручных часов Ц, получено уменьшенное изображение секундной
стрелки часов, длина которой /?= 1,5 см (рис. 4.48). Главная
оптическая ось линзы перпендикулярна экрану и плоскости циферблата
часов и проходит через ось вращения секундной стрелки. Чему равна
линейная скорость перемещения кончика изображения стрелки на
экране? (Билет 8, 1997)
Рис. 4.48. Рис. 4.49.
4.81. Изображение точечного источника, расположенного на
главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии а = 60 см от
нее, получено на экране. Между линзой и источником вставили
плоскопараллельную прозрачную пластинку толщиной d = 3 см
перпендикулярно главной оптической оси линзы. Чтобы снова получить
изображение источника, экран пришлось передвинуть вдоль оптической
оси на расстояние А = 1 см. Определить показатель преломления
пластинки, если фокусное расстояние линзы F = 30 см. (Билет 1, 1998)
4.82. Два луча симметрично пересекают главную оптическую
ось собирающей линзы на расстоянии а = 7,5 см от линзы под
углом а = 4° (рис. 4.49). Определить угол между этими лучами
после прохождения ими линзы, если фокусное расстояние линзы
F = 10 СМ. (Билет 2, 1998)
4.83. Сходящийся пучок света, падающий на рассеивающую линзу
симметрично относительно главной оптической оси, собирается в
точку на экране, находящемся на расстоянии b = 90 см от линзы. Если
перед линзой перпендикулярно главной оптической оси, разместить
плоскопараллельную оптически прозрачную пластинку, то из линзы
будет выходить параллельный пучок света. Чему равна толщина
пластинки d, если ее показатель преломления п = 1,5? Фокусное
расстояние линзы F = 10 СМ. (Билет 3, 1998)
4.84. Два луча симметрично пересекают главную оптическую
ось рассеивающей линзы на расстоянии а = 24 см от линзы под
углом а = 6° (рис. 4.50). Определить угол между этими лучами

160
ОПТИКА
положенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая
точка. На сколько сместится эта точка на экране, если убрать сосуд?
Указание: для малых углов х справедливо sin х я» х. (Билет 2, 2000)
4.99. Плоскопараллельная пластина составлена из двух
стеклянных клиньев с малым углом а. Показатели преломления клиньев
п] = 1,53, п2 = 1,73. На пластинку нормально ее поверхности падает
параллельный пучок света. За пластинкой расположена собирающая
линза с фокусным расстоянием F = 50 см (рис. 4.57). На экране,
расположенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая
точка. Если убрать пластинку, то эта точка смещается на экране на
Я = 10 мм. Определить величину угла а.
Указание: для малых углов х справедливо sin х я» х. (Билет з, 2000)
4.100. На стеклянный трапецеидальный сосуд с углом наклона
а = 6° падает параллельный пучок света. За сосудом расположена
собирающая линза с фокусным расстоянием F = 45 см (рис. 4.58). На
экране, находящемся в фокальной плоскости линзы, наблюдается
светлая точка. После заполнения сосуда глицерином светлая точка
смещается на экране на Я = 44,3 мм. Определить показатель
преломления глицерина.
Указание: для малых углов х справедливо sin х » х. (Билет 4, 2000)
4.101. Точечный источник света расположен на главной
оптической оси слева от линзы с фокусным расстоянием Fl = — 10 см.
Расстояние от источника до рассеивающей линзы d = 40 см. На
расстоянии L = 20 см слева от рассеивающей линзы расположена
собирающая линза. Главные оптические оси линз совпадают. Найти фокусное
расстояние собирающей линзы, если из системы линз выходит
параллельный пучОК света. (Билет 5, 2000)
4.102. Точечный источник света находится на главной оптической
оси тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием
Fx = —30 см слева от нее на расстоянии d = 70 см. На каком
расстоянии от рассеивающей линзы надо поместить справа от нее тонкую
собирающую линзу с фокусным расстоянием F2 = 50 см, чтобы из
системы выходил параллельный пучок света? Главные оптические
оси линз совпадают. (Билет 6, 2000)
4.103. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с
фокусным расстоянием Fx = 20 см слева от линзы помещен точечный
э
э
Рис. 4.57.
Рис. 4.58.

162
ОПТИКА
янии от этой поверхности наблюдатель видит источник света?
Указание: для малых углов a tg а « sin а w а. (Билет 3, 2001)
4.108. В стеклянной пластине
толщиной a = 2R вырезана
половина шара радиуса R = 10 см.
Показатель преломления стекла
п = 1,5. Наблюдатель
рассматривает через получившуюся толстую
линзу точечный источник света S,
расположенный на расстоянии R
от плоской поверхности АВ
(рис. 4.62). На каком расстоянии
от поверхности АВ он видит изо-
Рис. 4.62.
бражение источника?
Указание: для малых углов a tg а » sin а w а. (Билет 4, 2001)
4.109. Точечный источник света находится на главной оптической
оси на расстоянии а = 40 см от собирающей линзы с фокусным
расстоянием F = 8 см. Источник сместили вверх на расстояние h = 5 см в
плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и
куда надо сместить линзу, чтобы изображение источника вернулось в
старое положение? (Билет 5, 2001)
4.110. Точечный источник света находится на главной оптической
оси на расстоянии d = 40 см от рассеивающей линзы с фокусным
расстоянием ^=10 см. Источник сместили вверх на расстояние
h — 5 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. на
сколько и куда надо сместить линзу, чтобы изображение источника
вернулось в старое положение? (Билет б, 2001)
4.111. Точечный источник света находится на главной оптической
оси на расстоянии а — 8 см от собирающей линзы с фокусным
расстоянием F=12cm. Источник сместили вниз на расстояние
h = 4 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. На
сколько и куда надо сместить линзу, чтобы изображение источника
вернулось в старое положение? (Билет 7 , 2001)
4.112. Точечный источник света находится на главной оптической
оси на расстоянии а = 60 см от рассеивающей линзы с фокусным
расстоянием F =—15 си. Линзу сместили вверх на расстояние
L = 2 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. на
сколько и куда надо сместить источник, чтобы его изображение
вернулось в старое положение? (Билет 8, 2001)
4.113. С помощью рассеивающей линзы получено изображение
спички, расположенной перпендикулярно главной оптической оси
линзы, с увеличением Г, = 1/2. По другую сторону линзы на
расстоянии а = 9 см от нее перпендикулярно главной оптической оси линзы
установили плоское зеркало. Изображение спички в системе «линза-

ОПТИКА
159
дателя аккомодирован на бесконечность, а рассматриваемые
предметы расположены в фокальной плоскости лупы. (Билет 5, 1999)
4.94. Пожилой человек хорошо видит удаленные предметы,
начиная с бесконечности и до минимального расстояния / = 2м
(хрусталик глаза этого человека не в состоянии сфокусировать на сетчатке
предметы, расположенные ближе / =2м). В каких очках (с
минимальной оптической силой линз) этот человек сможет читать газету
с расстояния наилучшего зрения L = 25 см? Расстоянием между
глазами и линзами очков пренебречь. (Билет 6, 1999)
4.95. Коллекционер марок, вооруженный лупой (собирающая
линза с фокусным расстоянием F=10cm), в состоянии рассмотреть
фрагменты марки с минимальным размером / = 0,1 мм. Какого
размера фрагменты марки он сможет рассмотреть без лупы с расстояния
наилучшего зрения L = 25 см? При использовании лупы глаз
наблюдателя аккомодирован на бесконечность, а рассматриваемые
предметы расположены в фокальной плоскости лупы. (Билет 7, 1999)
4.96. Близорукий человек хорошо видит близко расположенные от
него предметы вплоть до расстояния / = 60 см. Хрусталик глаза этого
человека не в состоянии сфокусировать на сетчатке предметы,
расположенные дальше расстояния / = 60 см. Ему предложили
воспользоваться очками с оптической силой D= —1,5 диоптрий (1/м). На
каком максимальном удалении он сможет отчетливо видеть предметы
в этих очках? Расстоянием между глазами и линзами очков можно
пренебречь. (Билет 8, 1999)
э э
Рис. 4.55. Рис. 4.56.
4.97. Плоскопараллельная пластина составлена из двух стеклянных
клиньев с малым углом а = 5°. Показатель преломления клиньев
п1 = 1,48, п2 = 1,68. На пластину нормально ее поверхности падает
параллельный пучок света. За пластиной расположена собирающая
линза с фокусным расстоянием F = 60 см (рис. 4.55). На экране,
расположенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая
точка. На сколько сместится эта точка на экране, если убрать пластинку?
Указание: для малых углов х справедливо sin х « х. (Билет 1, 2000)
4.98. Стеклянный трапецеидальный сосуд с малым углом а = 6°
заполнен водой с показателем преломления п = 1,33. На сосуд падает
параллельный пучок света. За сосудом расположена собирающая
линза с фокусным расстоянием F = 50 см (рис. 4.56). На экране, рас-

ОПТИКА
161
источник света на расстоянии d = 30 см от линзы. На каком
расстоянии от собирающей линзы надо поместить справа от нее тонкую
рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F2 = — 10 см, чтобы
из системы линз вышел параллельный пучок света? Главные
оптические оси линз совпадают. (Билет 7, 2000)
4.104. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с
фокусным расстоянием Fx = 30 см слева от нее помещен точечный
источник света на расстоянии d = 50 см от линзы. Между источником и
собирающей линзой помещают рассеивающую линзу. Расстояние
между линзами L = 20 см. Главные оптические оси линз совпадают.
Найти фокусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что
из системы линз вышел параллельный пучок света. (Билет 8, 2000)
4.105. Из стеклянной пластинки с показателем преломления
п =1,5 вырезали толстую линзу в форме полушара радиусом
R = 10 см. Через такую линзу рассматривается точечный источник
света 5, расположенный на расстоянии а = R/2 от плоской
поверхности полушара (рис. 4.59). На каком расстоянии от этой поверхности
наблюдатель видит изображение источника света?
Указание: Для малых углов a tg а « sin а « а. (Билет 1, 2001)
s 1
Л
В
Рис. 4.59. Рис. 4.60.
4.106. В стеклянной пластине толщиной a = 2R вырезана
половина шара радиуса R = 10 см. Показатель преломления стекла
и =1,5. Наблюдатель рассматривает через получившуюся толстую
линзу точечный источник света 5, расположенный на расстоянии
5R/2 от плоской поверхности АВ (рис. 4.60). На каком расстоянии от
поверхности АВ он видит изображение источника?
Указание: для малых углов a tg а « sin а « а. (Билет 2, 2001)
4.107. Из стеклянной пластинки с
показателем преломления «=1,5
вырезали толстую линзу в форме
полушара радиусом Л =10 см. Через такую
линзу рассматривается точечный
источник света 5, расположенный на
расстоянии а = 2R от плоской поверхности
полушара (рис. 4.61). на каком рассто- Рис 4 61
6 - 2675

ОПТИКА
163
Рис. 4.63.
зеркало» получилось с увеличением Г = 1/4. Определить фокусное
расстояние ЛИНЗЫ. (Билет 9, 2001)
4.114. На деталь космического аппарата в
форме прямого кругового конуса с
радиусом основания R — 20 см и образующей
L = 25 см падает солнечный свет
параллельно оси конуса (рис. 4.63). Интенсивность
света (мощность, проходящая через единицу
площади плоской поверхности,
ориентированной перпендикулярно световым лучам)
/ = 1,4 кВт/м2. С какой силой свет действует
на деталь? Считать, что деталь отражает свет
ЗеркаЛЬНО И ПОЛНОСТЬЮ. (Билет 9, 2001)
4.115. С помощью положительной линзы с фокусным расстоянием
F — 15 см получено мнимое изображение иголки, расположенной
перпендикулярно главной оптической оси линзы, с увеличением
Г, = 2. По другую сторону линзы перпендикулярно ее главной
оптической оси установили плоское зеркало. Изображение иголки в
системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г2 = 3. Определить
расстояние от линзы до зеркала. (Билет ю, 2001)
4.116. На полупрозрачное зеркало площадью 5= 100 см2,
находящееся на орбите искуственного спутника Земли, падают солнечные
лучи перпендикулярно поверхности зеркала. Зеркало отражает в
обратном направлении 30 % и пропускает в прямом направлении
20 % энергии падающего света, а остальную энергию поглощает.
Найти силу, действующую на зеркало со стороны света. Расстояние
от Земли (зеркала) до Солнца R = 150-106 км. Мощность излучения
Солнца N— 3,9 1026 Вт. (Билет 10, 2001)
4.117. С помощью рассеивающей линзы с фокусным расстоянием
F = 12 см получено изображение гвоздика, расположенного
перпендикулярно главной оптической оси линзы, с увеличением
Г = 1/3. По другую сторону линзы перпендикулярно ее главной
оптической оси установили плоское зеркало. Изображение гвоздика
в системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г = 1/6.
Определить расстояние от линзы до зеркала. (Билет п, 2001)
4.118. Призма (рис. 4.64) отклоняет параллельный пучок света на
угол a (cos а = 7/9). Мощность пучка
N = 30 Вт. Найти силу, с которой свет действует
на призму. Отражением и поглощением света
приЗМОЙ пренебречь. (Билет 11, 2001)
4.119. С помощью положительной линзы на
экране получено изображение булавки,
расположенной перпендикулярно главной
оптической оси линзы, с увеличением Г = 1. Между линзой и экраном на
расстоянии а = 10 см от линзы перпендикулярно ее главной оптиче-
Рис. 4.64.

ОПТИКА
165
та S, расположенного на главной оптической оси линзы между
линзой и зеркалом (рис. 4.67). Расстояний от источника до линзы
a — lF/Ъ, а от изображения даваемого системой, до линзы
Ъ = 2F. Найти показатель преломления пластинки п. Расстояние
между линзой и зеркалом L = 10 см. Отражением от передней
пластинки пренебречь. (Билет 3, 2002)
Si
-*
Si
Kir
Рис. 4.67.
Рис. 4.68.
4.124. Оптическая система, состоящая из рассеивающей линзы с
фокусным расстоянием F = —20 см и плоского зеркала в форме
посеребренной с одной стороны плоскопараллельной пластинки с
показателем преломления п = 1,5 создает мнимое изображение точечного
источника света S, расположенного на главной оптической оси линзы
(рис. 4.68). Расстояние от источника S до
линзы а = | F |, а от изображения S,,
даваемого системой, до линзы Ъ= \F\/2. Найти
толщину зеркальной пластинки. Расстояние
между линзой и зеркалом L = 3 см.
Отражением от передней поверхности пластинки
пренебречь. (Билет 4, 2002)
4.125. Муха пересекает главную
оптическую ось собирающей линзы на
расстоянии а = 3.F, где F — фокусное
расстояние линзы, под малым углом а к оси линзы со скоростью v
(рис. 4.69).
1) Под каким углом изображение мухи пересекает главную
оптическую ОСЬ? \у
2) Чему равна в этот момент скорость
изображения мухи?
Указание: для малых углов
sin а да tg а « а. (Билет 5, 2002)
4.126. Муравей пересекает главную
оптическую ось рассеивающей линзы на
расстоянии* а = 4F, где F — фокусное расстояние
линзы, под малым углом а к оси линзы со
скорость v (рис. 4.70).
Рис. 4.69.
Рис. 4.70.

166
ОПТИКА
1) Под каким углом изображение муравья пересекает главную
оптическую ось?
2) Чему будет равна в этот момент скорость изображения
муравья?
Указание: для малых углов sin а » tg а *в а. (Билет б, 2002)
4.127. Комар пересекает главную оптическую ось собирающей
линзы на расстоянии а = 3F/4, где F — фокусное расстояние линзы,
под малым углом а к оси линзы со скоростью v (рис. 4.71).
1) Под каким углом изображение комара пересекает главную
оптическую ось линзы?
2) Чему равна в этот момент скорость изображения комара?
Указание: для малых углов sin a s» tg а » а. (Билет 7, 2002)
V"
/ч
Рис. 4.71.
Рис. 4.72.
4.128. Жук пересекает оптическую ось рассеивающей линзы под
малым углом а со скоростью v (рис. 4.72). Поперечное увеличение
линзы для данного момента Г = 1/6.
1) Под каким углом изображение жука пересекает главную
оптическую ось линзы?
2) Чему равна в этот момент скорость изображения жука?
Указание: для малых углов sin а « tg а » а. (Билет 8, 2002)
4.129. Оптическая система состоит из двух линз: собирающей и
рассеивающей (рис. 4.73), главные оптические оси которых параллельны
и смещены друг относительно друга на расстояние d = 1 см.
Параллельный пучок света, направленный на систему параллельно главным
оптическим осям, фокусируется системой в точке F, расположенной на
расстоянии а — 10 см от рассеивающей линзы.
1) Найти расстояние между линзами L.
2) Найти расстояние Ъ от фокуса F до главной оптической оси
собирающей
F, = -40 см.
линзы.
(Билет 9,
Фокусные
2002)
расстояния линз F. — 40 см,
4.130. Оптическая система состоит из рассеивающей линзы У/, и
собирающей линзы Л2, расположенных на расстоянии L = 10 см друг
то друга (рис. 4.74). Главные оптические оси линз параллельны.
Параллельный пучок света, падающий перпендикулярно плоскостям
линз, фокусируется системой в точке F, расположенной слева то рас-

164
ОПТИКА
ской оси установили плоское зеркало. Изображение булавки в
системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г = 2. Определить
фокусное расстояние ЛИНЗЫ. (Билет 12, 2001)
4.120. Лампочка излучает изотропно световую энергию
мощностью N = 40 Вт. На расстоянии R = 1 м от лампочки,
перпендикулярно световым лучам, расположено небольшое полупрозрачное
зеркальце площадью S = 1 см. Зеркальце отражает в обратном
направлении 20 % и поглощает 30 % энергии падающего света, а остальную
энергию пропускает в прямом направлении. С какой силой свет
действует на зеркальце? (Билет 12, 2001)
4.121. Оптическая система, состоящая из собирающей линзы с
фокусным расстоянием F = 20 см и плоского зеркала в форме
посеребренной с одной стороны плоскопараллельной пластинки толщиной
d = 6 см с показателем преломления п = 1,5, создает действительное
изображение точечного источника света S, расположенного на главной
оптической оси линзы. Расстояние от источника S до линзы а = 3F/5,
а от изображения даваемого системой, до линзы b=3F/2
(рис. 4.65). Найти расстояние L от линзы до зеркала. Отражением от
передней поверхности пластинки пренебречь. (Билет 1, 2002)
4.122. Оптическая система, состоящая из рассеивающей линзы и
плоского зеркала в форме посеребренной с одной стороны
плоскопараллельной пластинки толщиной d = 3 см с показателем преломления
п = 1,5 создает мнимое изображение (после отражения от зеркала и
прохождения линзы) точечного источника света S, расположенного на
главной оптической оси линзы. Найти фокусное расстояние линзы F,
если расстояние от источника света до линзы b = 2F/3, а от
изображения даваемого системой, до линзы b = 2F/3 (рис. 4.66). Расстояние
между линзой и зеркалом L = 10 см. Отражением от передней
поверхности пластинки пренебречь. (Билет 2, 2002)
4.123. Оптическая система, состоящая из собирающей линзы с
фокусным расстоянием У7 =12 см с плоского зеркала в форме
посеребренной с одной стороны плоскопараллельной пластинки
толщиной d = 9 см создает действительное изображение (после
отражения от зеркала и прохождения линзы) точечного источника све-
Рис. 4.65.
Рис. 4.66.

ОПТИКА
167
сеивающей линзы Лх на расстоянии а = 30 см от нее и на расстоянии
Ъ = 1 см от ее оптической оси.
1) Найти фокусное расстояние F2 собирающей линзы Лг.
2) Определить расстояние d между оптическими осями линз.
Фокусное расстояние ЛИНЗЫ У/, Fx = —10 СМ. (Билет 10, 2002)
Ул,
L
Рис. 4.73. Рис. 4.74.
4.131. Оптическая система состоит из собирающей линзы У/, и
рассеивающей линзы Лг (рис. 4.75), главные оптические оси
которых параллельны и смещены друг относительно друга на
расстояние d = 1 см. На систему со стороны собирающей линзы
параллельно ее главной оптической оси падает параллельный пучок
света. Найти положение фокуса F такой системы:
1) х — расстояние от F до плоскости линзы Л2,
2) у — расстояние от F до главной оптической оси линзы Лу
Расстояние между линзами а = 30 см , фокусные расстояния линз
У/, и Л2 У7, = 10 СМ И F2=— 10 см. (Билет 11, 2002)
\Л,
Y л7
(Л,
Рис. 4.75.
Рис. 4.76.
4.132. Оптическая система состоит из рассеивающей линзы У/, и
собирающей линзы У/2, расположенных на расстоянии L = 8 см друг от
друга (рис. 4.76). Главные оптические оси линз параллельны.
Параллельный пучок света, падающий на систему параллельно оптическим

168
ОПТИКА
осям, фокусируется в точке F, расположенной на расстоянии
b = 0,5 см от главной оптической оси линзы Л2.
1) Определить расстояние d между оптическими осями линз.
2) Определить расстояние а от фокуса системы F до плоскости
собирающей линзы Лг. Фокусные расстояния линз Л{ и Лг
Fx = —16 СМ И F2 = 16 СМ. (Билет 12, 2002)
4.133. На прозрачную усеченную призму, ширина верхнего
основания которой D = 0,4 см, падает узкий пучок монохроматического
света параллельно плоскости основания (см. рис. 4.77). Угол при
вершине призмы а = 0,2 рад. Высота призмы L = 10 см. Показатель
преломления материала призмы в направлении оси х от верхнего основания
имеет вид п(х) = 1,4(1 — x/lL). На каком расстоянии а от верхнего
основания надо пустить узкий пучок света, чтобы, пройдя сквозь нее,
он не изменил своего направления?
Указание. Для малых углов а считать, что sin а » а % tg а.
(Билет 1, 2003)
4.134. Под каким углом 7 к плоскости основания необходимо
пустить узкий пучок монохроматического света через усеченную
равнобедренную призму из прозрачного материала, чтобы пройдя сквозь
нее, он вышел под тем же углом к плоскости основания на
расстоянии а = 5 см от него (рис. 4.78)? Высота призмы L = 10 см. Угол при
вершине призмы а = 0,1 рад. Показатель преломления в
направлении оси х имеет вид п(х) = 1,2(1 + x/6L). Ширина верхнего
основания D = 0,4 см.
Указание. Для малых углов а считать, что sin а ~ а » tg а.
(Билет 2, 2003)
Да
о " "о
Рис. 4.77. Рис. 4.78. Рис. 4.79.
4.135. На усеченную призму, выполненную из прозрачного
материала, ширина верхнего основания которой D — 0,2 см, на
расстоянии а = 5 см от нижнего основания падает узкий пучок
монохроматического света параллельно плоскости основания (рис. 4.79).
Выходящий из призмы пучок света не изменил своего направления. Вы-

ОПТИКА
169
сота призмы L. Считая, что показатель преломления материала
призмы зависит от координаты х как п(х) = 1,2(1 + x/6L),
определить угол а при вершине призмы.
Указание. Для малых углов а считать, что sin а да а да tg а.
(Билет 3, 2003)
4.136. На прозрачную усеченную призму с углом при вершине
а = 0,2 рад под углом 7 = 0,06 рад к плоскости основания призмы
(см. рис. 4.80) падает узкий пучок монохроматического света и
выходит из призмы параллельно плоскости основания на расстоянии
а = 1 см от верхней границы призмы. Зависимость показателя
преломления вдоль оси х имеет вид п(х) = 1,4(1 — x/7L). Определить
высоту призмы L. Ширина верхнего основания £> = 0,1 см.
Указание. Для малых углов а считать, что sin а да а да tg а.
(Билет 4, 2003)
Рис. 4.80. Рис. 4.81.
4.137. Тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием
F= — 15см вогнутой стороной с радиусом кривизны R = 10см при-
топлена в воду (см. рис. 4.81). Показатель преломления воды
п = 1,33. На каком расстоянии от линзы и где будет находиться
изображение Солнца, находящегося в
зените? (Билет 5, 2003) i i hi I I
4.138. Тонкая собирающая линза с фо- .
кусным расстоянием F = 20 см выпуклой r-L<T"r.' /^>~J z==-£
стороной с радиусом кривизны J? = 15 см ^/-■^'■^^'Л^-Зг^'-
притоплена в воду (см. рис. 4.82). Показа- =-v£^Vl-^ i^^vT-E-Vr
тель преломления воды п= 1,33. На каком \,
расстоянии от линзы и где будет находиться \
изображение Солнца, находящегося в зени- 1
те? (Билет 6, 2003) Рис. 4.83.
4*139. Тонкая плосковогнутая линза,
изготовленная из стекла с показателем преломления п2=1,66,
вогнутой стороной с радиусом кривизны R= 14 см притоплена в воду
(см. рис. 4.83). Показатель преломления воды п, = 1,33. На каком

170
ОПТИКА
расстоянии от линзы и где будет находиться изображение Солнца,
находящегося в зените? (Билет 7, 2003)
4.140. Тонкая плосковыпуклая линза, изготовленная из стекла с
показателем преломления п2 = 1,66, выпуклой стороной с радиусом
кривизны R= 12 см притоплена в воду (см. рис. 4.84). Показатель
преломления воды п, = 1,33. На каком расстоянии от линзы и где будет
находиться изображение Солнца, находящегося в зените? (Билет 8, 2003)
4.141. Интерференционная схема состоит из плоского зеркала 3,
экрана Э, небольшого фотоприемника А и точечного источника S,
который движется со скоростью и = 2см/с перпендикулярно оси OA
(рис. 4.85). Определите частоту колебаний фототока приемника,
когда источник света движется вблизи оси OA, если длина волны света
,Ч\\\\\\\\\\\У
о.
4А
Рис. 4.84.
Рис. 4.85.
1
X = 5-10 м, L = 1 м, d = 0,5 см. Фототок приемника
пропорционален освещенности в точке А.
Указание, при малых х полагать VT + х *к 1 + у. (Билет 9, 2003)
4.142. Интерференционная схема, изображенная на рис. 4.86,
состоит из точечного монохроматического (X = 5- Ю-7 м) источника S,
который движется со скоростью
v = 4 см/с перпендикулярно оси OA,
и двух экранов. На экране Э2 наблю-
ф! дается интерференционная картина.
В центре экрана Э2 расположен
небольшой фотоприемник А.
Определите частоту колебаний фототока
Рис. 4.86. приемника, когда источник света
будет вблизи оси OA , если L = 1 м.
Фототок приемника пропорционален освещенности в точке А.
Указание, при малых х полагать VI + х « 1 + у. (Билет ю, 2003)
4.143. Интерференционный схема включает в себя точечный
монохроматический источник света S (Х = 5-10_7м), экран Э,
небольшой фотоприемник А и плоское зеркало 3, которое движется
со скоростью v = 0,2 см/с перпендикулярно оси OA (см. рис. 4.87).
Определите частоту колебаний фототока приемника в момент,
когда зеркало будет находиться на расстоянии d = 0,5 см от оси
4'

ОПТИКА
171
OA, если L = 2 м. Фототок приемника пропорционален освещен
ности в точке А.
Указание, при малых х полагать
VT + X SW 1 + 4- (Вилст 11, 2003)
э
о.
Рис. 4.87.
4.144. Интерференционная схема,
изображенная на рис. 4.88, состоит из
точечного монохроматического (к =
= 5-10_7м) источника S и двух
экранов Э[ и Э2 (см. рис. 4.88). В
экране Э, сделаны два маленьких
отверстия В и С, расстояние между которыми d = 0,5 см. На экране Э2
наблюдается интерференционная картина. Небольшой фотоприемник
Ф движется вдоль экрана к оси OA со скоростью v = 0,4 см/с.
Определите частоту колебаний фототока приемника, когда фотоприемник
будет находиться вблизи точки А,
если L = 2 м. Ось OA перпендикулярна
экранам. Фототок приемника
пропорционален освещенности в месте
нахождения приемника.
Указание, при малых х полагать
О
vtt:
1 +•
(Билет 12, 2003)
Рис. 4.88.
4.145. Параллельный пучок света
падает на систему двух собирающих
линз, главные оптические оси которых параллельны (00||0,0,) и
находятся на расстоянии а = 0,1 см друг от друга, под малым углом
а = 0,1 рад к ним (рис. 4.89) и пройдя через линзы, отклоняется на
О,
Рис. 4.89.
малый угол (3 = 0,2 рад от оптических осей линз. Определить
фокусные расстояния линз F{ и F2, если расстояние между линзами
L = 10 СМ. (Билет 1, 2004)
4/146. Параллельный пучок света падает на систему двух линз:
собирающую Л\ и рассеивающую Л2 под малым углом а = 0,1 рад к
их оптическим осям. Оптические оси линз параллельны и находятся
на расстоянии а = 0,1 см друг от друга (рис. 4.90). После прохожде-

172
ОПТИКА
ния оптической системы пучок света отклоняется от оптических осей
линз на малый угол 6 = 0,2 рад. Найти фокусные расстояния линз
У7! и F2, если расстояние между линзами L= 10 см. (Билет 2, 2004)
Рис. 4.91.
Рис. 4.90.
4.147. Параллельный пучок света падает на систему двух
собирающих линз /У, и Л2, оптические центры которых лежат на прямой ОО,
под малым углом а = 0,2 рад к главной оптической оси линзы /7,
(рис. 4.91). Линза Л2 повернута на
малый угол 6 = 0,1 рад
относительно плоскости линзы //,. Оказалось,
что падающий пучок света, пройдя
через систему линз, отклонился на
малый угол 6 = 0,1 рад
относительно оси ОО. Определить фокусные
расстояния линз F{ и F2, если
расстояние между оптическими центрами
ЛИНЗ L = 10 СМ. (Билет 3, 2004)
4.148. Параллельный пучок света падает на систему двух линз
(рассеивающую Лх и собирающую Л2), оптические центры которых
лежат на прямой ОО на расстоянии L = 10 см друг от друга, под
малым углом а = 0,2 рад к главной
оптической оси линзы Лг (рис. 4.92).
Линза Л2 повернута на малый угол
6 = 0,1 рад относительно плоскости
линзы Л у Оказалось, что падающий
пучок света, пройдя через систему
линз, отклонился на малый угол
6 = 0,1 рад относительно оси ОО.
Определить фокусные расстояния линз
F, и F2. (Билет 4, 2004)
4.149. Луч света падает на оптическую систему параллельно ее
оптической оси ОО' (см. рис. 4.93). Оптическая система включает
в себя собирающую линзу с фокусным расстоянием F и уголковый
отражатель, состоящий из двух плоских взаимно
перпендикулярных зеркал. Отражатель расположен симметрично относительно оп-
Рис. 4.92.

174
ОПТИКА
Рис. 4.95.
F и уголковый отражатель, состоящий из двух плоских взаимно
перпендикулярных зеркал. Отражатель расположен симметрично
относительно оптической оси.
Луч, отраженный от двух
зеркал уголка, выходит из
линзы под углом 6 к
оптической оси линзы. Найти
этот угол, если падающий
луч проходит через
оптический центр линзы, а
расстояние от линзы до уголкового
отражателя L= F. (Билет 7,
2004)
4.152. Луч света падает на
оптическую систему под малым углом а к ее оптической оси ОО',
проходя через оптический центр линзы (см. рис. 4.96). Оптическая
система включает в себя собирающую линзу с фокусным расстоянием
F и уголковый отражатель, состоящий из двух плоских взаимно
перпендикулярных зеркал.
Отражатель расположен
симметрично относительно
оптической оси. Под каким углом к
оптической оси выйдет луч из
линзы после отражения от
двух зеркал отражателя?
Расстояние от линзы до
уголкового отражателя L = F/2. (Билет
8, 2004)
4.153. За тонкой
собирающей линзой с фокусным
расстоянием F = 10 ал поместили плоское зеркало, перпендикулярное
главной оптической оси линзы. При этом оказалось, что при
расположении предмета на расстоянии L перед линзой изображение
в системе линза—зеркало—линза получается прямое при L > 3F и
перевернутое при L < 3F. Найти расстояние от линзы до
зеркала. (Билет 9, 2004)
4.154. За тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием
F = 10 см поместили плоское зеркало, перпендикулярное главной
оптической оси линзы. При расположении предмета на расстоянии
d = F/2 перед линзой ближайший к предмету фокус линзы
оказался посередине между предметом и его изображением в системе
линза—зеркало—линза. Найдите расстояние от линзы до
зеркала. (Билет 10, 2004)
4.155. За тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием
F = 12 см поместили плоское зеркало, перпендикулярное главной оп-
Рис. 4.96.

ОПТИКА
173
тической оси. Луч, отраженный от двух зеркал уголка, выходит
из линзы под малым углом (3 к оптической оси. Найти этот угол,
если падающий луч проходит на небольшом расстоянии d
(d«F) от оптической оси, а расстояние от линзы до уголкового
отражателя L = 3F/2.
Рис. 4.93.
Указание. Для малых углов а считать, что sin a «s а « tg а.
(Билет 5, 2004)
4.150. Луч света падает на оптическую систему параллельно ее
оптической оси ОО' (см. рис. 4.94). Оптическая система включает в
себя рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F (F > 0) и
уголковый отражатель, состоящий из двух плоских взаимно
перпендикулярных зеркал. Отражатель расположен симметрично относительно
оптической оси. Луч, отраженный от двух зеркал уголка, выходит из
линзы под малым углом (3 к оптической оси. Найти этот угол, если
падающий луч проходит через оптический центр линзы, а расстояние
от линзы до уголкового отражателя L = F/2.
О'
Рис. 4.94.
Указание. Для малых углов а считать, что sin а « а я» tg а.
(Билет 6, 2004)
4.151. Луч света падает на оптическую систему под малым
углом а к ее оптической оси ОО' (см. рис. 4.95). Оптическая
система включает в себя собирающую линзу с фокусным расстоянием

ОПТИКА
175
тической оси линзы, на расстоянии L = ^ F от нее. При каких
расстояниях между линзой и предметом, расположенным перед линзой,
его изображение в системе линза—зеркало—линза будет прямым, а
при каких — перевернутым? (Билет 11, 2004)
4.156. За тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием
F = 10 см поместили плоское зеркало, перпендикулярное главной
оптической оси линзы. При расположении предмета на расстоянии
d = -^F перед линзой ближайший к предмету фокус линзы
оказался посередине между предметом и его изображением в системе
линза—зеркало—линза. Найдите расстояние от линзы до
зеркала. (Билет 12, 2004)

5. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
5.1. При некотором максимальном значении задерживающей
разности потенциалов на вакуумном фотоэлементе фототок с
поверхности катода, облучаемого светом с длиной волны kQ,
прекращается. Если изменить длину волны света в а = 2 раза, то для
прекращения фототока необходимо увеличить задерживающую
разность потенциалов в (3 = 3 раза. Определить длину волны Х0,
если известно, что работа выхода материала катода Л=1,89эВ,
а постоянная Планка h = 6,6-Ю-34 Дж-с. Заряд электрона е =
= 1,6- 10~19 Кл. (Билет 9, 1997)
5.2. Неподвижный, находившийся в возбужденном состоянии
атом водорода излучает фотон, а сам атом начинает двигаться. Найти
величину скорости атома после излучения фотона. Энергия
возбуждения атома водорода W = 1,63- Ю-18 Дж, энергия покоя атома
водорода тс2 = 1,49-Ю-10 Дж, где т — масса покоя атома, ас —
скорость света. При расчете движения атома водорода можно
использовать нерелятивистские формулы.
Указание. При х**: 1 можно считать, что (1 + х)а » 1 + ах.
(Билет 10, 1997)
5.3. Катод вакуумного фотоэлемента облучается световым
пучком с длиной волны X = 0,5 мкм и мощностью W = 1 Вт. При
больших ускоряющих напряжениях между катодом и анодом
фототок достигает насыщения (все электроны, выбитые из катода в
единицу времени, достигают анода) 1и = 4 мА (4-Ю-3 А). Какое
количество п фотонов приходится на один электрон, выбиваемый
из катода? Заряд электрона е = 1,6-Ю-19 Кл. Постоянная Планка
h = 6,6-Ю-34 Дж-С. (Билет 11, 1997)
5.4. Неподвижный невозбужденный атом водорода поглощает
фотон. В результате атом переходит в возбужденное состояние и
начинает двигаться. Найти величину скорости, с которой стал двигаться
атом после поглощения фотона. Энергия возбуждения атома
W = 1,63-10~18 Дж. Энергия покоя атома тс2 = 1,49-Ю-10 Дж, где
т — масса атома, с — скорость света.
Указание. Использовать формулу (1 — х)а «s 1 — ах, где х<к 1.
(Билет 12, 1997)
5.5. Гамма-излучением называется электромагнитное излучение
при переходах атомных ядер из возбужденных
в более низкие энергетические состояния, -у-
квант испускается движущимся со скорость
v0 = 63,2 м/с ядром атома олова I19Sn под уг-
0 лом а = 60° к направлению его движения с
энергией, равной энергии перехода ядра из
Рис. 5.1. возбужденного в основное состояние
СУ

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА 177
(рис. 5.1). Найти энергию 7-кванта. Энергия покоя ядра олова
WQ= ШЯС2= 113 ГэВ (1 ГэВ= 103 МэВ = 106 КэВ = 109 ЭВ). (Билет
5, 2002)
5.6. Гамма-излучением называется электромагнитное излучение
при переходах атомных ядер из возбужденных в более низкие
энергетические состояния. 7-квант испускается покоящимся ядром атома
олова 119Sn с энергией Е^ — 23,8 КэВ, а затем поглощается таким же
ядром, движущимся навстречу 7-кванту (рис. 5.2). Какую скорость v
Я Я
Рис. 5.2.
должно иметь ядро, чтобы поглотить испущенный 7-квант? Энергия
покоя ядра олова W0 = тяс2 = 113 ГэВ (1 ГэВ = 103 МэВ =
= 10й КэВ = 109эВ). При испускании и поглощении у кванта
происходит переход между одними и теми энергетическими состояниями
ядра. (Билет 6, 2002)
5.7. Электромагнитное гамма-излучение, поглощаясь атомными
ядрами, переводит их в возбужденное состояние (с основного
энергетического уровня на более высокие уровни энергии), у- квант,
испущенный одним из ядер олова, поглощается движущимся навстречу
под углом а = 60° к направлению его движения ядром олова 119Sn
(рис. 5.3). Найти скорость движения ядра v, если энергия 7-кванта
равна энергии перехода ядра из основного в
возбужденное состояние Е^ = EQ = 23,8 КэВ.
Энергия покоя ядра олова W0 = тяс2 =113 ГэВ
(1 ГэВ = 103 МэВ = 105 КэВ = 109 эВ). При испу- _v
екании и поглощении у кванта происходит
переход между одними и теми же энергетическими
состояниями ядра. (Билет 7, 2002)
5.8. Гамма-излучением (поглощением)
называется электромагнитное излучение (поглощение) при переходах
атомных ядер из возбужденных в более низкие энергетические
состояния и наоборот. Ядро атома олова 119Sn движется со скоростью
я я
Рис. 5.4.
v — 63 м/с и испускает 7-квант с том же направлении, который затем
поглощается неподвижным свободным ядром олова (рис. 5.4). Найти

178
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
энергию "/-кванта. Энергия покоя ядра олова W0 = тяс2 = 113 ГэВ
(1 ГэВ = 103 МэВ = 106 КэВ = 109 эВ). При испускании и поглощении
V кванта происходит переход между одними и теми же
энергетическими СОСТОЯНИЯМИ ядра. (Билет 8, 2002)

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. МЕХАНИКА
Mvn cos a — mv cos 6 2Mvn — mv
11 u — ° L = °
(M — m) cos а 2(M — m)
Ш + 2m)v2— (M + m)vl cos a 8 W + 2m)v2— (M + m)vl
1.2. u. — * — —■ • .
m cos v 7 m
I 3 v (M + m)u cos а + mv cos ft 5(M + m)tt + 4mv
0 M cos а 5M
M(v2 —Vj) cos a 7M(v2 —Vj)
1.4. m =
v2 cos a + v cos -у 7v2 + 6v
1.5. ^-^ = 4 (раза).
2 2
1.7. |a = ^ tg a = -.
1.8. ^ = ^2,3 (раза),
1.9. m =5 — i—^ = 0,2 r.
lift _ V^y/-^)2-^;.)2" ™n,
1.10 гч = = 200 м/с.
lAl- ^а = м?|к-*3-10_4' «^310-4рад.
1.12. tg a =
^(m2v2)2 + (m3v3)2 5
1.13. При движении вниз: mam = mg sin a — kmg cos a; вверх:
a +a 2 + 4
maBB = sin a + kmg cos a. Отсюда sin a = "" 2 BB = -^j- » 0,3;
a « 18°.
1.14. цт1п = (gsin a - amax)/(gcos a) = (10-J - 4) • 10-f « 0,04.
1.15. sin а = ^2£Е^вниз = 2±8^^015. a~Q=.
1.16. Коэффициент трения ц максимален на участке 2—3, когда
ускорение отрицательно (a = —2), откуда:
(g sin а-а) (10/7 + 2) л q
^тах = i COS « = « 0,3.
1.17. (^Л^. Так как ^ = 5, то ^±£«£«0,1.
1.18. Пусть масса верхнего груза равна т{, нижнего — т2
(т\ + т2= т), х0 — удлинение пружины в состоянии равновесия.
Максимальное расстояние «оттягивания» — это амплитуда
колебаний системы А. Верхний груз будет оставаться в покое, если

180
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
к(А — х0) m,g, где х0 удовлетворяет условию кх0= m2g. Отсюда
Л^*0,1м.
1.19. Из уравнения колебаний следует, что v = -^r А, где Л —
амплитуда колебаний. Совместные колебания доски и бруска возмож-
4 л:2 . _ ^2л:и^Пт
ны, если А г£ ug, отсюда u. Ss — - «s U,j.
Т ' g
1.20. Нить не будет провисать при условии со2Л $ g, откуда
— A *£g и Л$-^да0,1 м.
1.21. Остановиться может только шарик массой т. Согласно
законам сохранения импульса и энергии,
\кх2/2 + (т + M)vl/2 = Mv2/2,
(т + M)v0 = Mv,
откуда х = W(mA)(l + т/М).
1.22. В системе координат, движущейся со скоростью v,
грузы покоятся, а после отрыва разлетятся с одинаковыми
скоростями в противоположных направлениях. Так как в
неподвижной системе угол разлета 90°, то в силу теоремы
Пифагора (см. рис.) v, = v. Тогда кх2/2 = 2mv2/2 = mv2 и
к = 2mv2/x2
1.23. Решим задачу в системе координат, движущейся
вместе с шариками с искомой скоростью v. Пусть в этой
системе скорости шариков массами Зт и т равны
соответственно v| и v2- Тогда &Xq/2 = 3mv2/2 + mv\/2 и 3mt>, = mv2, откуда
v2 = 6t> и v = x0V&/48m.
1.24. В системе координат, движущейся с
шариками со скоростью v, шарики разлетятся с
одинаковыми скоростями v, в противоположные
стороны. Так как v, = v/cos а, то kx\j2 = 2mv2/2 и
m = кх20 cos2 а/2 V2.
м
1.25. L>
2Kg М + т
Решение. Сила трения между шайбой и доской Kmg.
Относительно стола ускорение шайбы Kg, а ускорение доски Kmg/М. Ускорение
шайбы относительно доски а = Kg + Kmg/М. Начальная скорость
шайбы относительно доски равна V. Путь шайбы по доске до момента
остановки на доске 5 = V2/ (2а). Длина доски L должна быть больше S.
5v2
1.26. L = , ц .

182
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.38. А = 2mgH - Щ- *» 560 Дж.
tg а я» 0,4.
Л, +/L
1-39. IX = -±-1
1.40. v=
1/2
1.41. * = ■
т tga 4- (л.
2S = 0,75 с.
8м/с.
(v + 2и)
Решение. Решим задачу в неподвижной системе координат.
Скорость сближения шарика и плиты v + и, время до столкновения
h = v + u' за это вРемя шарик удалится от точки А на расстояние
Sv
v + u'
встречу ему плитой его скорость в неподвижной системе координат
равна v + 2и, поэтому после отскока он пройдет расстояние 5, до точ-
S{ = 7-^777. После столкновения шарика с массивной двигающейся на-
ки Л за время t2 =
'1
Sv
(v + 2u) (v + u)(v + 2u)
. Таким образом время, за ко-
2S
торое шарик вернется в точку А, равно tt + t2 = \v + 2uY
1.42. Lnmx = L + J = 0,5 м.
1.43. t =
= 2 с.
1.44. Lmx = H + ^=l,b м.
1.45. Я = |д« 1 м.
Решение. По поверхности шара шарик
движется под действием двух сил: веса mg и
реакции опоры А/, перпендикулярной
поверхности. Условие движения по окружности
2
mv„
—— = mg cos a — N. В точке отрыва реакция
к задаче 1.45. обращается в ноль. Из закона сохранения
энергии для скорости шарика vQ в точке
отрыва находим mv\j2 = mgR( \ — cos a0). Эти два равенства позволяют
2 2
найти значение скорости и ее направление в точке отрыва: v0 = ^ gR и
cos a0 = 2/3. При дальнейшем движении шарика его горизонтальная
составляющая скорости сохраняется г>г = г>0 cos a0 = ^ V2g/?/3 —
максимальная высота отскока, то mg-2R = mgH +
поэтому

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
181
1.27. х =
1.28
1.29. I
2Kg(M-
\\vl
■тУ
X =
M,.R2
16,8 с.
1.30. Период обращения спутника минимален для круговой орбиты
вблизи поверхности планеты. Пусть Мм и М3, Ru и R3, Ти и Т3 —
массы, радиусы и периоды обращения спутника с орбитой вблизи
поверхности планеты для Марса и Земли соответственно. Приравняем
силу, действующую на спутник массой m по закону всемирного
тяготения к центростремительной силе.
Уммт
Отсюда
т
RM — для Марса. ^2- = т 1 — 1 R3 — для Земли.
V.,
1.31. А„ -
м..
(R.
2
1,16 (раз).
Л3 = 56 м.
1.32. v3/vM = V« % 2'2'
1.33. Легко показать, что a = лУЗ (см. рис.). Тело
движется по окружности с радиусом г =
= R sin a + ■j-^-cos a = (6V3 + л.). Ускорение
тела а = (2:rcv)2r. Т.к. сумма силы тяжести mg и
силы натяжения нити F дает центростремительную
силу, равную та, то tg a = mg/(ma). Используя
записанные выше выражения для а и г, находим
Jg
К задаче 1.33.
R =
jtV(18 + jtV3)
26 см.
1.34
1.35
1.36
Т г£ 2л;Д|— "со51 ф ^ 42 мин.
Г = 2n\R(V3 + Jt)/6gJ1/2 «а 0,6 с.
Т = 2л^ % 84 мин.
1.37. Ах = А + 2mgL sin a :
690 Дж.
Решение. При перемещении груза вниз работа А совершается
против разности силы трения и скатывающей силы mg sin a:
При перемещении груза вверх работа А
Л = Д.р — mgL sin a.
совершается против суммы
л\ — АР + mSL sin а. Из
Л, = А + 2mgL sin a « 690 Дж.
i
сил трения и скатывающей силы:
этих двух равенств находим:

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
183
1.46. Н = 2R — ~ R = ~ R = 1,5 м.
1.47. cos (3 = ^.
1.48. cos (3 = ^.
1.49. На призму со стороны бруска действуют две силы: реакция
опоры N — mg cos а и сила трения скольжения между бруском и
призмой FT = [nmg cos а. Со стороны стола на призму действует
неизвестная сила трения покоя F, направление которой выбрано
произвольно. Поскольку призма остается в покое, то алгебраическая
сумма проекций на горизонтальное направление всех сил,
действующих на призму, равна нулю: F + \amg cos2 а — mg cos а sin а = 0.
Отсюда F = mg cos a(sin a — ц cos a).
1.50. N = sin a(F sin a + mg cos a).
1.51. N = Mg + mg cos a(cos a + ц sin a).
1.52. N = Mg + (F + mg) cos2 a.
1.53. 1) Натяжение нити T — (m2 + m3)g; 2) Ускорение шара
массой m, направлено вертикально вверх, ах = (m2 + m3)g/ml.
1.54. 1) Сила натяжения нити Т — (mx + m2)gsin a; 2) Ускорение
бруска массой тх направлено вдоль наклонной плоскости вниз и равно
Ш] +т2
а : g sin a.
mi
1.55. 1) Натяжение нити Т = (mx + m2+ m3)g; 2) Ускорение
груза массой mx направлено вертикально вниз и равно:
in, + т, + т,
а = -^г—
т
1.56. 1) Сила натяжения нити Т = m2g sin a; 2) Ускорение бруска с
массой т, направлено вдоль наклонной плоскости вверх и равно
а = zz1 g sin a
m,
1.57. Обозначим расстояние между Землей и Луной через L. Урав-
(2ж\2 мч
нение движения Луны: 1 — 1 L = у —, где М3 — масса Земли. Отсюда
уМ3 = L3. Ускорение свободного падения на Земле g — ^-^А
Исключая из двух последних выражений произведение уМ3, получим,
что L =
Т 2 п 1/3
t
= 3,8 105км.
1.58. *м = ^(т) ^3,7 м/с2.
1.59. V= №gr2) « 103м/с.

184
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
, з\ 1/2
2ж R3^
1.60. V = ^ ~ % 3,56 км/с
1.61. 1)|«=2м/с; 2) m\j + gH\ % 1,3 кДж.
1.62. L + !f.
1.63. 1) у v = 2 м/с; 2) || ^ = 0,63 Дж.
1.64. —.
8
1.65. 1) и = | v = 5 м/с; 2) Ж = f v2 + «Vj = 63 Дж.
Решение. За время падения камня и его взаимодействия с
песком все внешние силы, действующие на систему из камня и ящика
с песком, были направлены вертикально. Поэтому проекция
импульса системы на направление скорости ящика сохраняется:
5mv = (5т + т)и.
Отсюда скорость ящика с камнем
и = - v = 5 м/с.
о
Обратите внимание на то, что и не зависит от скорости камня
v, = gt перед падением в песок! Это связано с тем, что скорость г>,
направлена вертикально и ее проекция на горизонтальное направление
равна нулю.
Увеличение внутренней энергии ящика, песка, камня и
окружающих тел равно уменьшению кинетической энергии камня и ящика с
песком за время движения камня в песке (время удара):
2
W ~ 1 2 ~*~ 2
С учетом выражений для и и vv имеем
Ж = Т (f"2 + ^j =63 Дж.
1.66. к = ^.
L, Л
Решение. Направим ось х вдоль
направления возможного перемещения
~f груза на столе (см. рис.). До
пережигания нити груз на столе
(какая-нибудь точка груза, например, его центр
масс) находился в точке С и удлинение пружины L = mg/k (здесь
к — жесткость пружины). После пережигания нити равновесное
положение груза на столе окажется в точке О на расстоянии L
К задаче 1.66.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
185
от точки С и будет соответствовать ненапряженной пружине. Груз
на столе будет совершать гармонические колебания около своего
положения равновесия (точка О), периодически возвращаясь в
точку С с нулевой скоростью и перемещаясь между точками С и
С,. Амплитуда А = ОС = ОС, = L= mg/k. Отсюда k = mg/A.
1.67. 1) |= 1 м/с; 2) ^mv2 = 5,l Дж.
1.68.
к
1.69. Lfx ctg а =5 26 см.
1.70. 1) 1\ = Р0 + pgH; 2) Р2 = Р0 + pgH - 4рсо2Л2.
2
1.71. —— « 41 см.
18цк
1.72. 1) 1\ = Р0 + pgH; 2) Рг = />0 + pg(tf - Л) + \ pto2L2.
1.73. ^70 см.
1.74. 1) Я, = />„ + р^Я; 2) Рг = Р0 + pgH + 12рсо2/?2.
2
1.75. ^-«0,51 м.
1.76. 1) /», = Р0 + pgH; 2) Р2 = Я0 + р^Я - § pto2L2.
Р.
1.77. ^ ДА.
1.78. 1) F = -^-; 2) т = 2ял/-^-.
1.79. fiiZP PiZbi и = i мм.
Pc-P Рв
1.80. l) ^ = ^т£; 2) Т = 3тсд|
1.81. Ah = ^^h.
Рв
1.82. 1) ^; 2) Т = л^к.
i в* рв[(УА2)(рв-р)-р1 „ _ . з
1.83. pM = —77—77-T7 г = 2,7 г/см .
r« (Л,/Л2)(рв-р)-Рв
1.84. 1) L2 = ^p-; 2) 7, = 6ял'—^
о
2 „ „V2 2 ^
1.85. 1) V = ^V0; S = -^ = -±--H
' 15 О' 2ц# 225 \ц;
Решение. Считая время взаимодействия пули с коробкой
пренебрежимо малым, запишем закон сохранения количества движения
системы пуля + коробка
mVQ = - mV0 + 5mV,
где V — скорость коробки сразу после вылета из нее пули.

186
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Отсюда скорость коробки
V — — V
V 15 К0-
2) После взаимодействия с пулей коробка приобретает кинетиче-
, которая полностью переходит в работу против
скую энергию
силы трения
5m V
5т V
= 5mg\nS.
Таким образом путь, пройденный коробкой до полной остановки,
2(*.g 225 |*.g"
1.86. 1) К =
/2gL.
2) Ц =
49gS-
1.87. 1) V = -r^; 2) ( = -^ = —f-.
' 100' ' (A.g 100(*.g
1.88. 1) Vw = VgL; 2) Vn
g(t2~tl) _ gT
1.89. v0 =
второго камней).
1.90. l = VTlT2~.
1.91. H = %h.
= Ц- ((, и (,
lOVil.
времена падения первого и
1.92. 5 =
2«,
1.93. 1) K, = 2VW; 2) К2 ="&//.
= 160 г;
1.94. l)M=M3(l-j)(l--^)
2) р = Рп - J = 0,75 г/см3.
1.95. 1) w,=V2*(tf-A); 2) и2 = ^3gW2~A).
1.96. Л = f^l - f j gd* (р - f) = °'37 Дж-
1.97. 1) h = H; 2) h2 = jH.
1.98. 1) М= рн
Р=РВ
л _ £trff 27 _ №
6 32 р,
■ 2
d3 Рв
= 310 г;
= рв-§ = 0,83 г/см3.
32
1.99. 1) t>, = V2g(tf- h); 2) v2 = ^

188
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Следовательно,
X+Y=7/SL (1)
Давление жидкости у дна левой трубки равно Рх = Р0 + pgl, где
Р0 — атмосферное давление. Давление у дна средней трубки равно
Р2 = Р0 + pgX, а у дна правой трубки Р3 = Р0 + pgY.
Запишем уравнение движения горизонтальной части жидкости,
заключенной между левой и правой трубками:
pglS - pgYS = plSa. (2)
Для горизонтальной части жидкости, заключенной между средней
и правой трубками, уравнение движения имеет вид:
pgXS - pgYS = pSla/2. (3)
Совместное решение уравнений (1), (2), (3) дает искомое
ускорение: а = 3/4 g.
< mc с М + т ,. . . .
1.105. F = —2— cos а + sm а)-
1.106. Я0 = Яатм+|р^.
l-"7.* = £Stg« = itga = £
1.108. Р0 = 1\ш+\р8Ь.
1.109. 1) а = ^ (3-4sin a) = £ = 1,42;
2) v = | V2g/(5 - 2 sin a) = 1,6 м/с.
1.110. 1) a = f(l — 4(a) =-^ = 0,65 м/с2;
2) V = gL ~ i м/с.
1.111. 1) Уравнение движения цепочки в начальный момент
имеет вид:
2 . 1
i; mg sin a — - mg = та.
К задаче 1.111.
Отсюда с учетом значения sin a

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
187
1.100. р = ; 8--2.7-103кг/м3
И>4
4
1.101. F2 = ^F{=\F, = m\\.
1.102. P0 = PaTM+{pgl. К задаче 1.103.
1.103. Решение. Пусть нижний брусок с массой М движется
вниз вдоль наклонной плоскости с ускорением а. Введем систему
координат: ось X направим вдоль наклонной плоскости, ось У
перпендикулярно ей. Рассмотрим силы, действующие на нижний брусок.
Это сила тяжести Mg, сила реакции А/, сила натяжения нити Т, сила
давления со стороны верхнего бруска / и сила трения, действующая
со стороны верхнего бруска. Уравнение движения бруска по оси X
имеет вид:
Ma - Mg sin а — F — Т.
Вдоль оси У сумма всех сил, действующих на нижний брусок, равна
нулю. Следовательно:
N = Mg cos а + /.
В силу того, что трос нерастяжим, верхний брусок движется с тем
же ускорением а вверх по наклонной плоскости под действием силы
веса mg, силы реакции Л/,, силы натяжения Т и силы трения со
стороны нижнего бруска FTn . Уравнение движения для него по оси X имеет
вид:
ma = T-mgsma-FTth {Рщ = = F).
По оси У имеем:
Л7! = mg cos а (Л/,=/).
Поскольку система двух брусков покоится, то их ускорения равны
нулю, и система написанных уравнений примет вид:
Т = Mg sin а — kmg cos а и Т = kmg cos а + mg sin а.
Решая систему полученных уравнений для искомого
коэффициента трения, получаем:
1.104. Решение.
Очевидно, что при движении «тройника» с ускорением а вправо
вода будет выливаться из левой трубки. Уровни воды, оставшейся в
средней и правой трубках, обозначим через X и У. Из условия задачи
следует что:
1-Х + 1- У = 9/32-4/.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
189
2) За нулевой уровень потенциальной энергии в поле тяжести
возьмем уровень расположения вершины клина. Тогда
потенциальная энергия висящей части цепочки равна
Потенциальная энергия части цепочки, расположенной на кли-
2 21
не, Еп =— j mg-g-sin а. Полная энергия цепочки в момент, когда
она полностью находится на клине, равна
, 2
Е = — mg ^ sin а + —.
Из закона сохранения энергии имеем:
/ . . mv2 1 12 I .
— mg ^ sin а + -у- = — ^ mgj — j mg-^ sin а.
Откуда v = -j V(5 sin a — « 0,66 м/с.
1.112. 1) a = ^--\g^ 1,5 м/с2;
2)^ = lllL(£-f) ^2'5m/
К задаче 1.113.
1.113. При отклонении бруска влево на расстояние L и
отпускании его, он приходит в движение, совершая гармонические
колебания с периодом
т0 = Щт-
В момент прохождения им положения равновесия и упругого
столкновения с рамой брусок останавливается, передав всю свою энергию
и импульс раме. При этом брусок и рама обмениваются скоростями.
Тогда энергия упругой деформации пружины переходит в
кинетическую энергию бруска
KL2 m V2
Откуда
| m

190
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Через время t{ = 774 брусок останавливается, а рама двигается
поступательно со скоростью V. Через время
'2 V 1 к 2л
рама вновь взаимодействует с бруском, передавая ему свой импульс,
и брусок совершает часть колебания в течение времени
т
г3- 2
до следующего удара о раму. При этом он снова останавливается
на время т
после чего приводится в движение рамой и т. д. Очевидно, что период
колебаний бруска равен
Т = Т0+^ = 2{л+\)^.
1.114. Из закона сохранения энергии и импульса
mV\ _mV2 му2
2 2 ' 2 '
mV0 — mVl + MV,
где К, и К — скорости шарика и тележки в момент прохождения
шариком точки В. Совместное решение уравнений дает
2га V0
V = - °
m+M
Скорость центра масс системы шарик—тележка определяется из
условия
mV0=(m + M)Vu.M.
или
mVQ
Ц-м- m+M'
Следовательно, путь, пройденный тележкой в момент прохождения
шариком точки В, равен
mVn
° кц.м. l0 т+М 10-
1.115. 1) V = l{^; 2)T = 2n{f.
1.116. 1) V = ^f (2+V3); 2) л = ^ = |.

192
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
и работы не совершает. Запишем закон сохранения энергии
mv2 mvl
—2 2~~ = — mgH — \x.mg cos а ■ S.
Здесь Л = \x.mg cos a-S — работа против силы трения. Отсюда
v = Vu2 - 2g(H + \x.S cos a).
1.126. v = Vgl(2 sin p — цгс cos P).
1.127. s = ?8"-2v2
1.128.
2^,g cos a '
3
2
(2 sin 7 + цл. cos 7)
Pb
1.129. 1),1=|; 2). = ^=^.
1.130. V=-A-t SAH
Рп-Рв
1.131. 1) U2=u + U2c = u+^g:; 2) t = ±jf.
1.132. К = — - К. = — — SAH.
Рв« Pb« Рв-Рл
1.133. Для ответа на первый вопрос рассмотрим систему тел,
состоящую из двух муфт. Вдоль горизонтальной оси на данную систему
внешние силы не действуют, а по вертикали сумма внешних сил
равна нулю. Это означает, что в любой момент времени у данной
системы будут сохраняться энергия и импульс. Пусть после отрыва
муфты 4т от пружины она имеет скорость и,, а муфта массой m —
скорость v2, и обе скорости направлены вдоль скорости v. Запишем
законы сохранения полной энергии и импульса наших муфт для двух
моментов времени: когда муфта 4т неподвижна, а муфта массой m
движется со скоростью v и после отрыва муфты 4т от пружины:
mv2 _ Шу] mv\ /j,
2 2 2
mv = 4mu, + mv2. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет найти и,, равное
2
и> = 5 v-
Для ответа на второй вопрос удобно перейти в систему координат,
связанную с центром масс нашей системы. Очевидно, что эта система
будет двигаться со скоростью ицм = \/5v. В этой системе координат в
момент касания пружины с муфтой 4т ее скорость будет равна
— 1/5и, а скорость муфты массой m равна 4/5v. Обозначим длину
недеформированной пружины через L. Тогда расстояние от муфты
4т до центра масс /, = 1/5L, а аналогичное расстояние от муфты

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
191
1.117. 1) K = L^; 2) Т = 2(п + \)Щ.
1.118
1.119
1.120
1) V = -
3Vn
2\~
1) V = L{^; 2)Т = 2*Щ.
-sin g) _ sfgR. ._
. - 2 , i.) /1-
Rm
3m + m
R
4"
1.121. Рассмотрим произвольную
точку В. Силы, действующие на
шарик, показаны на рисунке. Пусть F —
проекция силы веса шарика на радиус
ОВ. Тогда уравнение движения
шарика по окружности имеет вид
,2
• = Т + F.
I.
(Т — сила натяжения нити).
Из рисунка видно, что
F = mg sin а.
Тогда
К задаче 1.121.
Т + mg sin а.
Из закона сохранения энергии следует, что
mV
+ 2mgl sin а.
Чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности,
необходимо, чтобы в точке В нить не провисала, то есть Т > 0. Тогда
искомая минимальная скорость, сообщенная шарику, определяется
из условия равенства нулю силы натяжения нити Т.
Решая систему уравнений при Т = 0, находим
v = V5gZ sin а.
1.122. F= mg Vl + 3 sin2
1.123. V = y/3gl sin a.
1.124. F ■■
mg Vl5 sin2 a + 1.
1.125. Рассмотрим силы, действующие на монету при ее движении
по наклонной плоскости. Это — сила mg, направленная вертикально
вниз, N — сила реакции, перпендикулярная наклонной плоскости и
Frp — сила трения, лежащая на этой плоскости и в любой момент
времени направленная в сторону, противоположную скорости движения
монеты v. Сила реакции
N = mg cos a

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 193
массой т до центра масс /2 = 4/5L. После соприкосновения пружины
с муфтой 4т в системе центра масс обе муфты будут двигаться по
гармоническому закону с круговой частотой
где К{ — жесткость пружины длиной /, (К. = ~ = 5К), а К2 — же-
м
IК 5
сткость пружины длиной L, (К2 = -J— = -7 К). Частота
У 4т '
Очевидно, что муфта 4т оторвется от пружины через время т,
равное половине периода колебаний Т (Т = муфт:
1.134. Натяжение нити до таяния льда равно разности
выталкивающей силы и силы тяжести шарика, вмороженного в лед:
?х = Рп8(Ул + VJ - pngVn - pgVm = gVn(pB - Рл) + gVjpB - р),
где рл — плотность льда, Кл — объем льда, а Кш — объем шарика.
После того как лед растаял, новое натяжение нити
тг = P*sVm - pgVm = gVul(pB - р).
Условие уменьшения натяжения нити в К раз имеет вид
т\ _ ^ 'Урв-р^ + 'Урв-р'
Т2~к- VJ^=T) • (3)
Уменьшение уровня воды в стакане после того как растаял лед,
вызвана положительной разностью плотностей воды и льда
рв — рл > 0. Масса растаявшего льда тл = рлКл, объем воды растаяв-
m р
шего льда К. = — = — К„. Объем образовавшейся воды меньше объ-
В Рв Рв Л
ема льда на величину А К = Кл — VB = Кл(1 — рл/рв)- Это приводит
к уменьшению уровня воды в стакане:
AHS = AV = Vn^^. (4)
Рв
Исключая из уравнений (3) и (4) объем льда Кл, получим, что
объем шарика
5АЯРв
Кш (7С-1)(рв-р)-
7 - 2675

194
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.135. 1) v2 = v + x0^; 2) * = 7 = §l(lf •
1.136. V = SAH-^ *L-1»—.
1.137. 1) a, = g(sin a — cos a) 2,9 м/с2;
2) L = ^ (".2 — M-i)&'*2 cos a = 25 см.
1.138. 1) a, = 9/10 «s 0,98 м/с2, 2) rV3 = l,7c.
Решение. На брусок со стороны доски действует сила трения
скольжения Fx = 2\x.mg, направленная вправо. Применяя второй
закон Ньютона к грузу и к бруску, найдем их ускорение
а, = (/ - 2m)g/3 = g/10 = 0,98 м/с2.
Заметим, что движение доски не влияет на ускорение а,. Это
связано с тем, что при движущейся и закрепленной доске сила трения
F, между доской и бруском одна и та же. Рассмотрим движение
доски. На нее действуют две горизонтальные силы: направленная
влево сила трения F, со стороны бруска и направленная вправо сила
трения F2 = 5[i2mg со стороны стола. Ускорение доски
а2 = (F, — F2)/3m = (2\лг — 5\i.2)g/3 = g/\5< av
Ускорение бруска относительно доски
а = a, — а2 = (I — 4ц, + 5ц2)#/3 = g/30.
С этим ускорением брусок пройдет относительно доски путь S за
время
t = (2S/a)1/2= (6S/(Z-4|i, +5м.2)£)1/2 = \^3с= 1,7 с.
1.139. 1) a, = </(sin a — ц., cos a) = 7 м/с2;
2"\ f — J ?j? ~ i 2 с
; V 2(^2cos a ~ '
1.140. 1) a, = u,,£ = 0,98 м/с2; 2) L = ± (1 - 3u,, - 2u.2)^2 w 72 c.
1.141. 1) , = f2-^/?; 2) F=*£m\g + lj.
1.142. 1) i^u2-**; 2) F = Mg + -^
Решение. По закону сохранения энергии
м.2/2 = ти2/2 4- mgh.
Отсюда с учетом того, что Н = R/2 находим скорость шайбы в
точке D:
v = у/и2 — gR.

1%
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.148. 1) и0 = 4= = 2м/с; 2) и, = v2 tg <р = ^ «* 2 м/с.
1.149. cos а =
1
7ГГ-
Решение. На рисунке изображен
момент соскальзывания шайбы с клина.
Обозначим в этот момент скорость шайбы
относительно клина через v0T]I, а скорость
самого клина через и. Очевидно, что скорость
клина направлена горизонтально, а
относительная скорость шайбы составляет угол а
с горизонтом. Поскольку действующая на систему тел »шайба плюс
клин» в горизонтальном направлении результирующая сила равна
нулю, то горизонтальная составляющая импульса этой системы
остается неизменной:
2ти + m(u0TU cos а + и).
К задаче 1.149.
Поскольку и = v0/4, то уравнение (1) будет иметь вид
По закону сохранения энергии
2ти
+
(1)
(2)
(3)
В данном уравнении уш — скорость шайбы в момент
соскальзывания относительно неподвижной системы координат. По теореме
косинусов
vl = иотн + "2 + 2v0TII« cos а.
После подстановки этого соотношения в (3) и с учетом того, что
и = Vq/4, получим
13-jg = 16uL + 8иотниО cos «• (4)
Из совместного решения (2) и (3) относительно cos а получим, что
1.150. v = V91w2 + 2g#.
1.151. Я =
1.152. S =
2ul
3 +
tg2p
2M(M + m) и2
cos а =
30и
7ТТ-
m
tg Ч>-
8
1.153. l) P2o = (p0-pB)Vg;
2) P2=(Po-pB)V(g + actg a).

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
197
/ F'
К задаче
.153.
Решение. На рисунке изображены силы, которые действуют на
шар в случае движения сосуда с постоянным горизонтальным
ускорением a: F, и F2 — две проекции
результирующей силы давления со стороны воды на
шар, N — реакция стенки сосуда на шар,
Рх — сила тяжести шара, Р2 — сила
реакции дна сосуда на шар. В том случае, когда
сосуд неподвижен, силы F, и N равны нулю,
а сила Р2 = 1\а = Р{- F2= p0Vg- pKVg =
— (р0 — puVg), где g — ускорение
свободного падения, а рв — плотность воды.
Очевидно, что сила давления и
противоположная ей по направлению. В случае движения
сосуда с ускорением а, сила F, = pBVa, а уравнение движения шара по
горизонтали будет иметь вид
p0Va = pBVa + N sin а. (1)
В вертикальном направлении, очевидно, сумма сил равна нулю:
paVg + P2-p0Vg-Ncosa = 0. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет определить Р2.
1.154. 1) T^ip-pJVg; 2) r2=(p-Pl)KQr-actgY).
1.155. 1) /V^Cpo-р)^; 2) N2 = (р0 - р) V(g + a tg а).
1.156. 1) Nt = (р-Pi)Vg; 2) N2=(p-Pl)V(g+actg4>).
1.157. 1) a = ^y^£»0,2l£ = 2,l м/с2;
2) T2 = ^ mg(3 - ц.у/3 ) « 0,3mg « 0,89 Н.
Решение. Уравнение движения системы «брусок плюс толстая
веревка AD»:
Ima = tmg sin 6 — N\l — mg,
где N = tmg cos 6. Отсюда ускорение
бруска
(6 sin p — 6ц. cos p — 1)
a — 7 g-
Очевидно, что кусок веревки BD
движется с тем же ускорением а, поэтому
уравнение движения этого куска будет
иметь вид
4 та 1
■ 4 mS-
К задаче 1.157.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
195
Для ответа на второй вопрос найдем сначала силу давления шайбы
на горку в точке D: Запишем уравнение движения шайбы в проекции
на направление DO:
mg cos у — N = mv2/R.
Отсюда с учетом полученного выражения для v
По третьему закону Ньютона шайба давит на горку с такой же
силой N в направлении DO. На горку еще действует направленная
вертикально вниз сила тяжести Mg, горизонтально направленная
сила давления со стороны стенки и вертикально направленная сила F
со стороны стола. Горка в покое и поэтому
По третьему закону Ньютона горка давит на стол с такой же силой
F, но направленной вертикально вниз.
N- m{l/Ag- u2/R).
F = Mg + N cos 7.
С учетом полученного ранее выражения для N имеем
F = Mg + 3/4m(7/4g - u2/R).
1.145. 1) и, = w/З да 12 м/с; 2) v2 = Зи да 21 м/с.
и2 1—
1.146. 1) v0 = = 1 м/с; 2) и, = v2\3 = 3 м/с.
Решение. Перейдем в систему отсчета,
связанную с плитой. В этой системе отсчета
скорость мяча v = и, — v0 и направлена
вертикально вверх (см. рис.), составляя угол 7 с
нормалью к поверхности плиты (угол падения).
Относительно плиты мяч отскочит со ско-
ростью v = v под углом отражения, равным
углу падения 7. Векторное сложение
относительной скорости v и скорости плиты v0 даст
скорость v2 мяча относительно Земли (см. рис.).
Имеем
К задаче 1.146.
vQ = v2/tg 2у = v2/V3 = 1 М/С,
v = i>2/sin 27,
U[ = v + v0 = v2/tg у = i^V^ = 3 м/с.
1.147. 1) v
= uV3 да 14 м/с; 2) v2 = и
cos 2p
1 = и да 8 м/с.

198
МЕХАНИКА ■ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Отсюда сила натяжения веревки в точке В
Т2 = Т <в + = IT + 81П Р " V- COS Р) =
= ^ mg(3 - м-\^3) «» 0,3mg ~ 0,89 Н.
1.158. 1) а= ''8~'-6>ig^0,3g»2,9M/c2;
2) E = ^mg{\ + sincz + ".cos a) « 0,24(2 + n)mg« 5,2 H.
1.159. 1) a = ^~^g«0,54g=s5,3M/c2;
2) Г = ^ (3 + V3\l) »0,23mg = 1,1 H.
1.160. 1) a= 1,2~2,6|tg»0,14g» 1,4 м/с2;
2) T = \ mg{sm a + (x(l - cos a)) = ^ (3 + \n.)mg «s 4,3 H.
1.161. 1) т = jt^lj « 42 мин;
2) vm = f т/| да 0,6 км/с.
Решение. Пусть тело массой m движется по тоннелю в виде
хорды KL, изображенному на рис. В некоторый момент времени это
тело имеет координату х. В этот момент со стороны Земли на него
действует сила тяжести, равная
F =
СтМ-4лг /3 GmMr
/■2-4яЛ3/3 R3
где М — масса Земли, а г — радиус окружности, проходящей через
тело массой т. Проекция этой силы на ось х равна
„ _ „х СтМх
F„ = —F cos a = —F — = з—
—mg-
где g — ускорение свободного падения на
поверхности Земли. Теперь мы можем записать
уравнение движения нашего тела:
К задаче 1.161.
ИЛИ
тх - —mg
R
Я'
Это уравнение описывает гармонические колебания с циклической
частотой со = Vg/R. Следовательно, наш вагон достигнет
Калининградской области через время, равное половине периода колебаний
(Г = 2 л/со):
42 мин.

200
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
После этого момента скорость шара остается постоянной, а это
означает, что шар покатится без проскальзывания со скоростью v(x).
Путь пройденный шаром за время х,
За оставшееся время Зх шар пройдет путь
S2 = v( х) • Зх = 3v0x — 3|Agx2.
Полный путь, пройденный шаром за время 4х,
7 ,
S = S, + S2 = 4v0x - ^ № ■
1.166. 1) amax = |g; 2) a = \g.
Решение. Введем обозначения (см. рис.). Пусть первоначальная
масса груза М, тогда вторичная масса груза ЪМ. Длина недеформи-
рованной пружины z0, zx — длина пружины в
положении равновесия в случае первого груза,
z2 — положение равновесия для второго случая,
z3 — крайнее нижнее положение при
колебаниях второго груза. Жесткость пружины
обозначим через к. Потенциальная энергия
деформации для первого груза может быть записана в
виде
ч2
*(«п
(1)
К задаче 1.166.
а условие равновесия
k(z0-Zi)=Mg. (2)
Деформация пружины в случае равновесия со вторым грузом в три
раза больше, чем для первого, т. е.
z0 — z2 = 3(z0 — z,).
Амплитуда колебаний для второго груза
— z2 = 2(z0 — Zj) = 2
Mg
Когда груз колеблется около своего положения равновесия, то на него
действуют две силы: сила тяжести и сила упругой деформации
пружины, но действие этих двух сил эквивалентно действию одной
упругой силы kAz, где Az — отклонение от положения равновесия.
Поэтому очевидно, что максимальное ускорение груза при колебани-

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
201
ях во втором случае будет при максимальном отклонении груза от
положения равновесия (z = z2):
ЪМ ~ 3
Рассмотрим колебание груза массой ЗМ относительно положения
равновесия (z = z2). В крайнем верхнем положении полная энергия
системы равна потенциальной энергии груза:
k(zx-z2)2 2(Mg)2
Е = 2 = ^с~-
Потенциальную энергию грузы мы записали через эквивалентную
силу, о которой говорилось выше. Если груз при колебании имеет
кинетическую энергию Т = 3U0, то его потенциальная энергия
L^l = E-T = ^f^-3U0. (3)
Здесь Az — отклонение от положения равновесия.
Из уравнений (1) и (2) следует, что
С учетом (4)
а = |.
1.167.1) 1{ =А 2) и = Ц-\
1.168. 1) anax = V3g; 2) Т = -^.
1.169. 1) v = v0 + \ngt0; 2) S = 3v0t0 + § \iLgil.
1.170. 1)^ = 3; 2) T = 1/0/3.
Ы71. 1) Smax=^-; 2)> = 4^ = |-
' max 2(ig' ' 2ujU2 3
1.172. 1) amax = f; 2) T = ±UV
m, i
1.173. — = ±.
m1 8
Решение. Пусть / — длина нити, связывающей шарик массой
пг1 с точкой О,. Тогда длина нити, связывающей шарики, равна
ZV3,
Силы, действующие на шарики, показаны на рисунке. Здесь Тр
Т2 и Т2 — силы натяжения нитей, причем |Т2| = |Т2| = Т2. Запи-

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
199
Для ответа на второй вопрос будем искать решение уравнения
гармонических колебаний в виде
x(t) = A sin wl + В cos wt,
где А и В — константы. Используя начальные условия: х(0) = L/2 и
х(0) = 0, найдем: В = L/2 и Л = 0. Окончательно получим
х(() = -j cos <ot.
Скорость вагона будет изменяться со временем по закону
v(() = х(() = —~y sm ш1-
Отсюда находим абсолютную величину максимальной скорости
вагона:
= 7 «600 м/с.
Заметим, что максимальную скорость ит можно найти сразу,
воспользовавшись связью при гармонических колебаниях между vm и
амплитудой колебаний, равной L/2: vm = to у.
1.162. 1) т = ~« 20 мин; 2) и = ^—= 7^3 м/с» 12м/с.
' 3iij ' 2
1.163. 1) х = |^«21 мин; 2) v = ^ = 7^3 м/с « 12 м/с.
1.164.1) т = |т^«20мин; 2) и(т) = f « 0,76 м/с.
7 2
1.165. 1) и = и0 — Ц£т; 2) S = 4и0т — - [а&'т .
Решение. Скорость точек шара, соприкасающихся с
поверхностью стола, является разностью скоростей двух движений шара:
поступательного и вращательного. Поскольку после удара скорость
поступательного движения шара уменьшалась, то, следовательно, сила
трения скольжения была направлена противоположно скорости
поступательного движения шара, что означает, что скорость
поступательного движения точек соприкосновения шара больше линейной
скорости вращательного движения этих точек. Сила трения скольжения
FTp = pMg,
где М — масса шара, a g — ускорение свободного падения.
Ускорение поступательного движения
a = F^M = М-Я-
Через время т скорость поступательного движения шара
v = v(x) = v0- [igx.

204
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Координата хс центра масс системы из грузов и бруска не изменяется
и определяется из равенств
(5т + т + Ът)хс = 5тх5 + тх{ + Ътх3 =
= 5т [х5 + Ц- - sj + т(х1 - S) + Зт(х3 - S).
Отсюда Я = | у S = у S = 18 см.
1.187. ^- L = 7 см.
24
1.188. Сместится влево на у у Я = ^Я = 24 см.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
203
1.180. 1) v0TII = WT4; 2) |л= 2
^ а 2м- + 2ц cos а + sin g J>_
# 2 — 2pi sin g + cos a 13'
1.182. 1. со
ad'
= Jl+3sinft g = JWJ
»6cosp-n R 116 R '
Решение. Минимальная угловая скорость со соответствует
ситуации, когда нижний брусок находится на грани скольжения вверх.
Силы, действующие на бруски, изображены на рисунке. Сила трения
FTp = |д.Д/,. Ускорения брусков направлены
к оси вращения:
а, = со R,
= ш2-2Я.
Запишем уравнения движения для
нижнего бруска в проекциях на оси х, и у,:
Nl = mav Т - Frf> - mg = 0.
Для верхнего бруска уравнение движения
запишем в проекциях на ось х:
Т + 3mg sin р = 3ma2 cos p.
Подставив в последние три уравнения
выражения для а,, а2 и FTp и решив систему из этих уравнений,
находим
К задаче 1.182.
-■V
1 +3 sin ft g
I 6 cos
i-r 2 _ 3 „ 4 [T7~T
При (A = J, cos p = j, sin p = j 00=^^.
. .o-. (2 + u.) cos g + sin g
1.183. a = —^r-^ ; g-
(2 — ц,) sin g + cos g °
33
29
, « о л л 2g u. sin g + cos g
1.184. со = \ — - \, . г =
"Л 3 + 2(sin g —^ cos g)
3 CM.
1.185. Влево на Я/9
1.186. Я = I - S = S = 18 см.
5 г 5
Решение. Направим ось л: горизонтально вправо. Пусть вначале
координаты центров масс грузов с массами 5m, т и бруска были х5,
х{ и х3. К моменту удара о стол груз массой т сместился по
вертикали на расстояние Я, груз массой 5т сместился относительно бруска
вправо на расстояние Hr/R. Новые координаты центров масс грузов
и бруска стали
.///•„

202
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
шем уравнения движения шариков в проекциях на оси у и х:
Т, cos а — Т2 cos р = mlg,
Т2 cos р = m2g,
m,to2/ sin а = Г, sin а — T2 sin р,
m2to2(/V3 sin р + / sin а) = T2 sin p.
Решая систему уравнений, получим — = -.
r»'2g
К задаче 1.173.
1Л74. T=2tga(s.na + 2)
5 sin a + 2
I l7S ^i = i»
mg.
1.176. CO:
^JgJ_
4/, sin p + /2'
1.177. 1) ul0III = f u; 2) Ц = ^£т.
1.178. 1) v0TII = |v; 2) d = ^f^.
' °™ 6 ' 54 ш
1.179. 1)
= 1; 2) t, = |VV3>ga\
Решение. Пусть v,0TII и v^,, — скорости пуговицы
относительно ленты в начале и в конце движения по ленте, v, и v2 — скорости
пуговицы относительно стола в начале и в конце движения по ленте,
v — скорость ленты. По правилу сложения
скоростей (см. рис.)
+ V, V, = v.
2отп
+ V.
у2отн
ТО
^1 ^1оти
К задаче 1.179.
Так как по условию v{ = v, a = 60°, р = 30°,
и1от» - V, Vjan = V/2.
Движение относительно ленты —
прямолинейное равнозамедленное с ускорением а = \ng и
начальной скоростью v,0TII, направленной под углом 7 = 60° к краю
ленты. Путь относительно ленты
sin у 7з°'
Имеем
v2oth - v
Iotii
-2aS.
С учетом выражений для v
Ioth' 2отн
, а и 5 находим v = ^ VVTyigd.

2. ТЕРМОДИНАМИКА
Л*
бЛТрД
2.1^ = ^^ = 0,47 г,
2.2.6- 14,0
p^«j-(-273)
(tj + 273)
(f0 + 273)
9,3-10~4.
2.3. « = 9nR2ffAi *> 990 кг.
и- p
~ л n 0,46 1 РЛГо ^ n nc
2'4- Яо = ТЗо^Т2оо—%0'95 атм-
2.5. AU=Q - vRT0 - IvRAT.
2.6. AT = 10°.
2.7. Q = AU + I /?(T0 + AT).
2.8. = 0,7 lp2 y- = 0,69 атм.
2
^7 3
2 0 —- = —
z.v. K] - 2.
2.10. тг = 4.
м
P.
2.11. -jJ- =
V
2.12. -
K2 2-
2.13. Давление на дне водоема Р = 3 атм. Поэтому масса воз-
upV 29-10—3-3- 10s-10 _ т_т
духа в колоколе m = = 8 31-290 кг'
поверхности при Р= 1 атм в колоколе было у-36 = 12 кг воздуха. Значит,
из баллонов в колокол надо перекачать 24 кг воздуха. В одном
баллоне объемом Vх = 40 л при Р = 200 атм содержится т1 =
29-10~3-2-107-40-10 ~3 п _ пг < <
= 8 з 1 ■ 290 ^ 9,7 кг воздуха. Таким образом,
необходимое количество баллонов равно 24/9,7 да 2,5, т.е. достаточно трех
баллонов.
2.14. Разница во времени определяется различием в массах
воздуха, остающихся в баллонах на глубине 5 м (под давлением
1,5 атм) и на глубине 25 м (3,5 атм). Разность этих масс
Дт = \kAPVI(RT) = 29-10_3-2-105-20-10_3/(8,31 • 290) да 0,05 кг.
Расход воздуха для дыхания аквалангиста
*а in п tr 1/ат\ 29-10~3-105-2,5-10_3-20 Л Л, ,
Дт, = 20 • цУ^Ту (Л7) = g 31.290 = 0,06 кг/мин.
Разность времени Ат/Ат1 да 50 сек.

206
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
-=--
Н'--\
К задаче 2.15.
2.15. (См. рис.) Я = 3м, Л = 2 м.
По закону Бойля—Мариотта Уд AS =
|?Д4У? = (Р0 + pgH — pg(h — х)) • xS (S —
площадь основания колокола, Р0 —
атмосферное давление), откуда х2 +
+ (Я + (PJpg) - h)x - P0h/(pg) = 0 и
-ll,5 + Vll,52 + 84 , ,
X = 2 * 1'" м'
2.16. Пусть К — объем сосуда; v — объем баллона; Р0 — давление в
нем и V/v = 3. Тогда
' PX(V + v) = PQv,
P2(V + v) = PlV+P0v,
pi V + v 4
2.17.
A = (-3v,/?/2 - 5v2/?/2)(T, - T0),
3
откуда A = -P0V0\^ + ^;2, r
2.18
о 1 о
ALV = (3v,/V2 + 5v2R/2)AT,
PAV= (vt + v2)/?A7\
3 , v2 \ 9
4
6 Л
И Г„ 13p0KQ
Отсюда А/У = PAF|^ + —— I = -t PAV » 460 Дж.
12 v, + 1 -1
'1T"2
2.19. (См. решение 2.17).
A = -PnVn\± +
0' 0 2
= /yV(9/4)-(3/4) =
2.20.
откуда
= 37-105-10~3-(27/16) = 6250 Дж.
\Q= (3v,/V2 + 5v2R/2)AT,
^APK= (vt + v2)RAT,
v2 _ Q 3 _ 220
Ю-3 105 2 3
и -*«2.
2.21. ц =
mK7'
рДК
210.
2.22. Пусть Vt vi V2 — объемы вначале, V{' и K2' — в конце.
Имеем:
Vl + V2= V; + К2' = V0; V{ = aV0; Vx' = BK0.
Из условия механического равновесия следует, что давления в
обеих частях сосуда равны, т.е. P0VXIVX' + Рп = P0V2IVl,
следовательно, Рп = Р0ф- а)/(\ -6)6. По условию Pn/PQ = 3,5, В = 2а.
Тогда а = 3/7.

208
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Тепло, отведенное на участке изохорического охлаждения Q^,
равно изменению внутренней энергии (работа не производится)
Qt3 = Q = c{T2-T1). (2)
Тепло, подведенное к газу в процессе р = fiV:
Ql2 = Л12 + Ul2 = А + с(Т2 - Г,) + f STi.
Из равенства (1) находим a/Vx = а^(°2/) 1}. Окончательно нахо-
2
Дим Q12
0,а-л + 0 + ал|Р<«->>;<>+«>.
" 2а Л
2.34. т3-Г2 = 4+(а-1)у-1)а.
2.35. 7-3-7-,= -A-^L(„-1)».
2.36. 7-1-7-3 = -F|^TT + f
1 3 сф_1) (/; са
2.37. В процессе всего перехода 1—2—3 подведенное к газу тепло Q
складывается из работы А, совершаемой газом в процессе
изобарического нагрева, и разности величин внутренней энергии газа в конечном
и начальном состоянии, равной соответственно {Ъ/2)кТ3 и (3/2)RT{:
Q = Л + 2 ЩТ3 — Г,). Работа газа в изобарическом процессе А =
= P\(V2 — К,) = R(T2 — 71,). Исключив из этих равенств
неизвестную температуру Т,, находим окончательно: Т2 — Т3 = ^ — -| =
= 190 К.
2.38. В два раза.
2.39. Л = 3/{А7'^+2С? = 1250 Дж, где v = 1 моль.
2.40. В полтора раза.
2.41. Пусть смещения столбика ртути соответственно равны л:, и
х2. По условию х{ — х2 = 2 см. Если Я внешнее давление в см
ртутного столба, то по закону Бойля—Мариотта имеем
(Я — l)(L + ,*,) = HL; (Я + l)(L — х2) = HL. Из этих равенств на-
/ 2L \ 1/2
ходим: Я = /[ 1 Н — = 72 см = 720 мм. рт. столба.
^ х\ хг)
ДА, h
2.43. Р0 = 750 мм рт. ст.

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
207
2.23. Масса углекислоты в одном баллоне т = 10 г, (Зт —
количество растворенной в воде углекислоты, \х = 44 — ее молярный вес. Тогда
от/ /1 а\ ™ от 1 о ^ 44-10 -3-10 -0,2-10'
PV=(l -&-КГ, откуда 1 -(3 = -^—= ——-_-—-
10-10 3-8,31 297
= 0,1 и р = 0,9.
2.24. Для воздуха имеем:
«р _р _^'°ТКУДа^ = Х' Ki = vK2HX = p4^T)=T2-
2.25. Вода закипает, когда давление насыщенного пара в
пузырьках сравнивается с давлением наружного воздуха. На
поверхности земли вода закипает при 100°С, когда давление насыщенного
пара Рп равно давлению у поверхности Р(0). На высоте Я
атмосферное давление уменьшается на величину АР = Р(0) — Р(Н) =
= Я(0)[1 — ехр(— Ц^-)] я» Р(0)^тр-, а температура кипения умень-
шается на АТМ = 1 К. По условию -р— = рщ = г^р- = С . От-
г _ гп \>&Н 373 29-10~3-9.8-300 ^
ДГН Л7" 1 8.31-290 ~
5/2
2.26. р(Я) = р(0) ^1 - » 0,65 кг/м3.
2.27. AT,, = ^ = 2 К.
2.28. р(Я) я» 0,09 кг/м3.
2.29. Pk = $ ро :/"•
2.30. Избыточное давление в пузыре под мыльной пленкой равно
8сг/а\ о! — диаметр пузыря. Масса воздуха в пузыре при температуре
Г, равна т = \хв^-(Р0 + ^ где Р0 — наружное давление, |лв
— молярная масса воздуха, 7? — газовая постоянная. По закону Архи-
меда условие всплытия т =s V-R'—r--Zr~> гДе — наружная темпера-
о К1 0
тура. Окончательно имеем -~—- > -77J- = —Mr—7 я* 0,01.
2.31. —«0,64.
°i
2.32. d> 9-Ю-3 см.
2.'33. Работа газа Ап в процессе p=$V — это площадь трапеции
Л1а=Л = -^(Ка-^)=-^(аа-1) (1)

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
209
2.45. Плотность жидкого пропана р = — = 440 кг/м3, давление в
баллоне Р=16 105Па. По условию осталось т = 0,2т0 = 0,44 кг
пропана. Часть его в газообразном состоянии занимает объем V.
Тогда имеет место равенство: p(VQ — V) + = т, здесь \л = 44-10_3,
Р = 16-105 Па, Т = 290 К и R = 8,31 Дж/(моль- К). Отсюда находим
массу пропана в газообразном состоянии ^j^- = — = 14 Q8 да
да 0,125 кг.
2.46. V = 0,05 м3, УУ да 1560 шт.
2.47. М= 10 г.
2.48. М=5109кг.
2.49. Число молей гелия в пузыре v, = PQV0/RTl, где V0 — объем
пузыря. Во втором пузыре число молей водорода v2 = PqVq/RT2.
После того, как пузыри лопнут и в камере установится равновесное
состояние, смесь гелия и водорода будет иметь некоторую
температуру Т и давление Р. Температура смеси может быть найдена по
закону сохранения энергии: v,CK Т, + v2CK Т2 = (v,CK +v2Cv)T.
Отсюда Т =
V1CV Tl+v2CV Т2
1 z
vxCv +v2Cv
Новое установившееся давление смеси будет складываться из дав-
v.RT v2RT (v.+v2)RT
ления гелия и водорода: Р = —-—| — = --, где V — объем
камеры. После подстановки выражений для v,, v2 и Т получим, что
У (Cv +cv)(\ + г,/г2) _ у
Р = РоТ (ЬуУсу-т,,т2) =Г5РоТ- О™» Р/Р0 = 1/75-
2.50. т = 13 г.
2.51. VJV= 1/64.
2.52. т = 13 г.
2.53. На участке 1-2 отношение температур T3/Tl — V^VX, на уча-
1/2 , > 1/2
Гт) -
стке 3-4 т3/Т1 = V3/V2. Следовательно, у-= у" у- =
а|/2.
2.54. Г, = (Т2ТА)112; Т3 = (Т2Т4)112.
2.55. Р3/Р, = (7ут,)2=Й2.
2.56. V4 = К, К*
__з
' V.
2

210
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.57. V0 — объем всего сосуда. Начальный объем (большей части)
aV 3 ^ 1
V, = -.—— = т Vn, объем меньшей части V7 = -r-r~ = т Vn. Обозначим
1 1 + а 4 0 z 1 + а 4 0
Pj — начальное давление, а Р2 — конечное. Новые объемы V\ =
l+a^PK0- l+a К0> K2-^l+a Pj у0 ]+а к0-
Запишем условия сохранения масс газов для обеих частей сосуда:
аУ0 /> |a + B(l + a)]K0 _ , п
Pi (1+С[)г = d + ajr,—' где Ti ~ новая темпеРатУРа: (1)
PXV0 />2[1-В<1+a)J
Vn. (2)
l+a— (l+a) 0-
После почленного деления (1) на (2) получим, что 7\ =
_ _ a+JHl_+a)_ _ 4 „ д^ _ Р(1+")2^ц _ 1 ^ _ 1 аа ^
~ ' 0 a|l-B(l+a)] з" °' all-SO+a)] 3~ "
2.58. Г2=2(г1+^).
2-59- А^=(Г+Фа7(а + р)=3л-
2.60. Г/Г^^П +и(р-1)] = 3.
2.61. 1)7-, = ^; 2) Л/4.
2.62. D^=|^; 2) Л = |.
2.63. 1) Л = з^; 2) А1231 = ±.
Решение. Если температура в точке / равна Г,, то в точках 2 и 3
температура будет 471,. Пусть Р, — давление в точках / и 3, Р2 —
давление в точке 2, К,, V2viV3 — объемы в точках /, 2 и J. Работа газа на
участке J—/ A3l = -А = Р^К, - V3). Поскольку PiVi = vRTl и
P]V3 = W?-4T,, то -А = vR(T{ - 47/,). Отсюда Г, = A/(3vR).
Работа газа за цикл равна площади внутри кривой, изображающей
цикл на диаграмме зависимости Р от V:
Выразим Р2 через Pv Имеем
Р2 Рх ^тУг p\v\
V2 К,' 4Г, 7', •
Из последних двух уравнений Р2=2Р,. Тогда выражение для
Л1231 принимает вид
Л231=^1(^3-^.)-

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
211
Из записанного выше следует, что Pl(V3—Vl)=A. Итак,
Л1231 = Л/2.
2.64. 1)^=1^; 2) Л = f.
т, я
2.65. — = ^ - 1 = 0,5.
т, а
2-66. X = i;J5I_* 191.
Здесь р = 1 г/см3, ц = 18 г/моль, Р да 105 Па.
2.67. 1-£ = ±
2.68. Р ^/>(а— 1) ^ 2^7. Здесь р=1г/см, ц = 18 г/моль,
У3 да 105 Па
2.69. 1) Т2 = ^-= 100 К; 2) С = 4,15Дж/К.
2.70. 1) 5490 Дж; 2) -30 Дж/К.
2.71. 1) Т2 = 2Г, = 200 К; 2) 29,1 Дж.
2.72. 1) А = —3vRAT = —10 кДж;
2) С = - | v7? да -50 Дж/К < 0.
2.73. 1) />п = 1,5атм; 2) тп = ^ ц = ^ = 0,8 г.
Решение. Процесс испарения воды происходит при постоянном
давлении, так как пар при этом остается насыщенным. Таким
образом, работа, совершенная паром к моменту испарения всей воды,
А - PnAV.
Отсюда давление пара во время опыта
Р" = д17=1>5а™-
В этом процессе вся вода испарилась и, следовательно, заняла объем
А V. Для определения количества испарившейся воды пгв
воспользуемся уравнением Клапейрона—Менделеева
P„AV = — RT = А.
" И-
Масса испарившейся воды равна
тв = ^=1г.
Следовательно, начальный объем цилиндра V = 1 л. Используя
m
уравнение газового состояния для пара PU(V — VJ = — RT, и
полагая, что VB«V для массы пара получим
Р,лУ />кдк AVlL

212
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.74. 1) тп = | (т-М) = 8 г; 2) V = ~^г— = 13,8 л.
2.75. 1) Л = ^ ЛГ = 907 Дж; 2) тп = т{\ + ^) = 6,1 г, где
V — объем, занимаемый паром в конце опыта, V = 1 л.
2.76. 1) тп = = 1,2 г (Рп = 105 Па);
2) Испарилось Am = —^у-1 — тп = 3,6 г.
2.77. р = = 6,6 кг/м3.
2.78. Л = —^ 1,7 мм.
2л9. „« ±^1^10» кг.
2.80. т = —^—=2,8-109т.
2.81. 1) AV = y- АГ= 16,6-10~3 л; 2) Г = ^ = 400 К.
2.82. 1) ДУ> = ^^ 4,15-10~4 атм; 2) Г0 = ^ = 500 К.
2.83. 1) ЛГ = Т0а^2°; 2) АК = ^ = 16,6-Ю-3 л.
2.84. 1) AT = Т0а = 2К; 2) Д/> = ^ = 4 • 10~4 атм.
2.85. Л = f У? ДГ — ^ Q.
2 " "* 5
2.86. Решение. Пусть температура гелия на диаграмме Р, V в
точке У равна Тг Так как точки 2 и 3 лежат на изотерме, то
Г2 = Т3. Точка У лежит выше точек 2 и 3. Следовательно
AT = ТХ — Тг. Запишем уравнение первого начала термодинамики
для адиабатического процесса 1—2:
0 = Л12-СкДГ. (1)
Соответствующее уравнение для изотермы (участок 2-3):
Q-23 = л23- (2)
Наконец для изобары 3-1 имеем:
RAT = A3l. (3)
В силу того, что работа газа в замкнутом цикле 1—2—3-1 равна
А = А12 + А23 + А31, из уравнений (1), (2), (3) получим:
Л23 = Л- 5/2 R AT.

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
213
2.87. Q = Л +1 vR AT, где v = 1 моль.
2.88. Л = Л12 — | vR AT, где v = 1 моль.
2.89. т = -г-^тг ^ 72 кг.
1 +Р и2
2.90. £вр = РК = 4,8 • 106 Дж.
2.91. Атмосферное давление в комнате равно P = PQ + PN или
Р = Рп + вРп . Откуда парциальное давление кислорода Рп =
2 2 2
р \ 1
= -г—£- С другой стороны, Рп = - пп тп v , где пп — концентра-
1 + р 2^22 2
ция, а т0 — масса молекулы кислорода.
Ргл =^-ГТУА —
о2 ъ v " 1 +р-
Теперь для v получим:
2.92. £вр = ^-г/'К^1,2-106Дж.
2.93. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона (PV =
= RT (1)) в приращениях (считаем, что состояние гелия
незначительно изменилось)
Р А V + V АР = RAT. (2)
Из первого начала термодинамики в случае адиабатического
процесса следует, что 6Q= АА + 617 или
0 = Р AV+CV AT. (3)
Работа, совершаемая газом, Л, = Р AV.
Тогда из уравнения (2) следует, что
V &Р _ R ^'f-A1 (4)
р ~ р
Выразив Р из уравнения (1) и подставив в (4), получим
АР _ Д7' А\
Р ~ Т RT'
Согласно (3), работа газа равна
Р AV = Л, = —Су AT,
А\
откуда AT = —
(5)

214
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Учитывая, что А = — Л,, окончательно получаем
д/> = _А_ Cv + R = л £г_ = ()().
Р RT Cv RT Cv '
2.94. A=2R AT = 5 Дж.
2.95. A=-^RT~ = -~RT~ = 12,5 Дж.
2.96. ^ = ^^1 = |^ = 0,008 (0,8 %).
2.97. Давление влажного воздуха складывается из парциальных
давлений воздуха и пара
P = P* + Pa- (П
Кроме того, очевидно, что плотность влажного воздуха равна
Р = Рв + Рп- (2)
Из уравнений Менделеева—Клапейрона следует, что
Pn = ?fRT и PR = ^RT. (3)
Для давления Р имеем / ч
/»= Рп + р»Ьиг. (4)
V-ъ)
Плотность водяного пара равна
Рп = Р - Рв-
Подставляя рп в уравнение (4), получим
RT (х.Л^^в К
Рв 14»—I*»
Рп =
Из уравнения (3)
Рь h Рв
Подставляя полученные значения для плотностей воздуха и пара,
окончательно получаем

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
215
2.98. Aw = ш, - т2 = ~ -у1-^1] « 1,6 кг.
Ри, —pRT
2.99. Р„ „ = , " . да 2668 Па да 2,7 кПа.
2.100. а = а,-А+ w —|-да 0,4.
Г2 ' 1 l*nK/2
2.101. Ясно, что при доливании ртути сверху в пробирку столбик
ртути сожмет запертый воздух на величину х. Тогда количество
долитой в пробирку ртути равно L + х, а длина воздушного столбика
равна L — х. Так как температура во время опыта не изменилась, то
согласно закону Бойля—Мариотта
PK0LS = PKi(L-x)S,
где Рп0 , — давления в воздушной пробке до и после эксперимента,
a S — площадь сечения пробирки. Если Р0 — внешнее атмосферное
давление, то Рп0 = Р0 + pgL и Pnl = Р0 + pg(2L + х).
Будем решать полученное уравнение в мм рт. ст. Тогда Р0 =
= 11/4L, а Рв0 = Р0 + L и Ря1 = Р0 + (2L + х).
Подставляя Рп0 и Рп1 в исходное уравнение, получим
(Р0 + L)L = (Р0 + 2L + x)(L-x).
Отсюда
х = -7 L = 70 мм.
4
Окончательно для длины столбика ртути, долитой в пробирку
находим L + х = 350 мм.
2.102. х = !/- = 315 мм.
4
2.103. х = ~ = 270 мм.
4
р0
2.104. х = 80 мм, L + х = 400 мм. (х2- I — + 2L\х + L = 0).
з
2.105. А31 = 3/123 — ^ А12.
2.106. Л23 = А +| А12.
2.107. На участке 1—2 согласно первого начала термодинамики
отводимое тепло Q = vCv(T{ — Т2) + У, 2(К, — V2), где v — число
молей гелия, Су — молярная теплоемкость при постоянном объеме,
71, и Т2 — температуры в точках 1 и 2. Р12 — давление при
изобарическом процессе 1—2, К, и V2 — объемы в состояниях 1 и 2.
Используя уравнение состояния для идеального газа, можно записать:
Q = vCK(r, - Т2) + vR(Tl - Т2) = v(Cv + R){TX - Т2).

216
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Отсюда
Tl-T2=Q/v(Cv + R).
Работа, совершаемая газом на участке 2—3
(5)
Л2з = -
(V3-V2) =
vR(T3-T2)
2 У 3 ' 2/ 2
Здесь индексы 2, 3 соответствуют состояниям в точках 2 и 3. Из этого
уравнения следует, что
T3-T2 = 2A23/vR. (6)
На участке 3—1 газ расширяется в адиабатическом процессе, и
работа, совершаемая газом
A3i = vCv(T3-Tt).
Для замкнутого цикла изменение внутренней энергии равно нулю.
Это позволяет записать:
Тг~Т1 = {Т3-Т2)-{Т,-Т2).
используя соотношения (5) и (6), получим, что
т3 -тх
2Л,
Q
vR
v(Cw + R)'
2Cv
Тогда Л31=— А
23
C„+R
Q. Поскольку Су
то
Л31 = ЗЛгз - 7 Q
Рп
2.108. Л = з A23-Q31.
2.109. Q13 = y+ 4ЛАГ.
2.110. A = 2(Q-RT In 2).
Решение. При изотермическом сжатии
ненасыщенного пара его давление растет, пока
не станет равным давлению насыщенного пара
ра. При дальнейшем сжатии давление и
температура пара не меняются. Изменение объема
происходит за счет конденсации массы пара
Am: (см. рис.). В процессе изменения
давления на участке 1—2 над паром была совершена
работа величиной vRT In (К,/К2). В процессе
конденсации 2—3 от пара необходимо отвести теплоту конденсации
Л v/2. По условию Q = vRT In (К,/К2) + Л v/2, где Л — молярная
теплота конденсации. Чтобы найти отношение объемов К,/К2,
заметим что при конденсации в процессе 2—3 давление и температура
К задаче 1.110.

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
217
постоянны. Объем изменится в два раза так, что половина пара
сконденсировалась: V2/V3 = 2 = к/2. По условию К,/К3 = к,
следовательно, К,/К2 = к/2. Итак, Q = vRT In {к/2) + Av/2,
Л = 2/3(<2- vRTla (к/2)) = 2(Q — RT In 2).
2.111. A = 3Q-bRAT.
2.112. Q = AvJK + 2RT In |.
2.113. 1) Я, = = = 4-105Па; 2)^=1^-^=^.
(AL/= vftfT,^- 1)).
2.114. 1) K, = 1 л; 2) A £7 = ^'^'д = - 75 Дж.
Решение. Из уравнения процесса PV = const и уравнения
состояния PV = RT находим, что в указанном процессе имеет место
TV = const. По условию температура уменьшается (газ
охлаждается), значит объем V растет. Следовательно, минимальный объем у
газа был в начальном состоянии, т. е. К, = Vmin = 1 л. Изменение
внутренней энергии газа AU = {/, — U2 = vCv(T2 —Г,), где по
условию Т2 = Г, Д. начальную температуру газа Г, можно найти из
уравнения состояния:
Pi К, = vRT{.
Таким образом,
AU= vCvT{(\/k- l) = PlVlCv(l -k)/kR= - 75 Дж.
2.115. 1) ^ = ^„ = 9-10^3; 2) V2 = § ^ ^- = 0,17 л.
J * 1 'mm
2.116. 1) и1=-^ = 1л; 2) Я, =| *L^.= 105 Па.
ft max
2.117. 1) Qr = f Л; 2) Я = ^ /?Г0.
2.118. 1)AT = ^; 2)Q,=^.
Решение. Давление насыщенного пара зависит только от
температуры, которая по условию в нижней части поддерживается
постоянной. Следовательно, давление пара и давление гелия
остается в процессе постоянным (гелий отделен от пара подвижной
перегородкой). При увеличении температуры гелия в процессе с
постоянным давлением подведенное тепло Q идет на увеличение
внутренней энергии и совершения работы гелием против силы
давления пара:
Q = vCv(T2 - Г,) + P(V2 — К,) = v(Cv + R)(T2 - Г,)-

218 ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Итак, для гелия
AT = Q/v(Cv + R) = 2QJ5vR.
При конденсации пара массой Атп при постоянном давлении
выделяется тепло в количестве ХАт, которое и нужно отвести. Чтобы
найти массу Am сконденсировавшегося пара, надо приравнять
величину работы, совершенной гелием
Аг = vR(T2 - Тх) = QR/(CV + R)
к величине работы пара Ап при постоянном давлении и температуре:
К = р(Уг~ vi) = (m2 - mdFTjVb = AmRT^.
Таким образом,
QR/(CV + R) = Am/?V^n;
Am = Q[Lj{Cv + R)T0.
Окончательно тепло, которое необходимо отвести от пара:
<2i = *Am = X[LnQI{Cv + R)T0 = l^XQJSRTv
2Л19. I) Х = ^% 2) Qr = A^ = l А.
2.120. 1) Q=XAm; 2) Qt = \rT0^-.
2.121. vn = ^-^^^fl.
" P8 P PB Pc-P
Решение. Пружинные весы измеряют вес тела. Первоначальные
показания весов Ру = mBg + Mcg.
Здесь Мс — масса сосуда. Массой марлевого мешочка
пренебрегаем. Показания весов после растворения соли в воде
р2 = mBS + MCS + mcg + V„pg.
Здесь mc — неизвестная масса соли. Изменение показаний весов
AP=P2-Pl = mcg+VnPg. (1)
Плотность солевого раствора
(2)
Л р.)
Определяя массу соли тс из уравнения (2) и подставляя это
выражение в (1), найдем объем примеси:
Д/> тв Ро (Р-РВ>
v„ =:
Р8

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
219
2.122. К„ =
2.123. тк =
2.124. V, =
Рс-Рв
Рс-Р
р-р„
АР
g(p-pB)-Kn
ДЯ
8
~^пРв
'"в (Рс-Рп)
2.125. Л
8(Р-Рв> Рв (Рс-Р)
3
12
Решение. По закону сохранения полной энергии для процесса
1—2 можно записать
С(Т2-Т1) = Су(Т2-Т1)+Ап,
Отсюда работа А12, совершенная газом в процессе 1—2, будет
равна
^2 = 7*(7\-r2).
(1)
Работу, совершенную газом в процессе 2—3, можно выразить через
площадь под прямой 2—3:
А = \ {Ръ+ргМУъ -Vi)=k (ръУъ ~ РгУг) = \ R{Ty - Т2). (2)
Из совместного решения уравнений (1) и (2) найдем, что
2.126. Л23 = 2Л.
2.127. С= Л/2.
2.128. С = 0,75.
2.129. 1) Г = ^|(2Я0 + х0); 2)Л = ^.
Решение. Обозначим жесткость пружины через к и запишем
условие равновесия поршня до впрыскивания
воды:
mg = кх0. »8
Для определения температуры водяного пара
воспользуемся уравнением состояния
идеального раза
Т = ^
vR '
К задаче 2.129.

220
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где Р и V — давление и объем пара:
mg — кхЛХ —а) пте
Р = ^-^ = V=(H0 + ax0)S.
После подстановки Р и V в уравнение состояния получим,
amg(tf0 + ax0)
Т =
vR
Работа, совершенная паром, идет на увеличение потенциальной
энергии поршня и на изменение энергии деформированной
пружины:
k(x0 + ax0)2 кх1 mgx0
A = mgax0+ 2 2- = -8--
2.130. 1) Г = ^-(Я0 + 2х0); 2) А= - § mgx0.
2.131. 1) Т = ^(Н0 + ах0); 2) A = ^f = \mgx0.
2.132. 1) Т = ^\ (я0+1х0); 2) А= -\rngx,.
2.133. Р„ = - 4Лр, ЛГ да 3,6 кПа да 27 мм рт. ст.
Решение. При открытой пробирке общее давление воздуха и
пара в любом сечении пробирки равно атмосферному давлению PQ.
Следовательно, парциальное давление воздуха в пробирке так же,
как и давление пара, изменяется с высотой по линейному закону и
равно Р0 — Рп у поверхности воды и PQ — PJ2 у открытого конца
пробирки (здесь Рп — искомое давление насыщенного пара).
Очевидно, что среднее (по высоте) давление воздуха будет равно
Рср = Р0 — - Рп. Массу воздуха в пробирке найдем из уравнения
состояния идеального газа:
Л"
к~т~
где V — объем влажного воздуха в пробирке. После того как
пробирку закроют, воздух равномерно распределится по высоте, но
его общая масса сохранится, а пар во всем объеме будет
насыщенным.
Установившаяся плотность влажного воздуха равна сумме
плотностей воздуха и насыщенного пара:

222
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Используя уравнение (1), окончательно получим, что
Al723 = 6^(24- 1) = 90А
Суммарное количество теплоты, подведенное к газу в процессе 1—
2-3:
Q = А + AUl + AU2 = 94А
2.138. U = j-
2.139. Q = ^A
2.140. U = ~ Q.
2.141. <p = 0,64.
Решение. Если <p — начальная относительная влажность
воздуха в цилиндре, то начальное давление сухого воздуха равно
Р1 — уРнп, где Рнп « 105 Па — давление насыщенного пара в
цилиндре при температуре 100 "С. В случае выпадения росы пар
становится насыщенным и давление сухого воздуха в цилиндре равно
Р2 — Рпп, где Р2 — давление воздуха после сжатия (/>2 = 6/>1).
При изменении давления сухого воздуха в изотермическом
процессе справедлив закон Бойля—Марриота:
(Л-ФЛ,п)^ = (^2-Л,п)^
где Vv V2 — начальный и конечный объемы цилиндров (7, = yV2).
Перепишем последнее уравнение в виде
(Л-ФЛш)7=(6Л-Л,п)-
Отсюда
2.142.
МП \
+ - = 0,64.
у
Р вСу<р-1) 3"
2.143. Р = Ри^^-= Рн—\ атм. (Рн — давление насыщенного
пара при 100 °С).
2.144. x=l-^pf = i.
■ур — 1 4
2.145. Q = gP070« 120 Дж.
2.146. Q = ji P0V0 « 26 Дж.
2.147. V() = ~^-^ 303 см3.
11" "о

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
221
Поскольку
_ '"в г-в- Ср \х-пРч
Рв у кт " Рн кт '
плотность влажного воздуха равна
Рвв rt RT
Плотность сухого атмосферного воздуха составляет
= Кро
Рев •
Разность этих плотностей равна
ДР = Рев ~ Рвв = R-f "
Отсюда находим давление насыщенного пара:
Л, = T^Z^T-^ 3,6 ■ 103 Па « 27 мм рт. ст.
•^вв 4Mti
Заметим, что в процессе решения предполагалось, что рсв > рв
Предположение оказалось правильным, так как Зцв/4 — цп > 0.
2.134. Р-Р0 = Р0Щ-+\рп+ЦЩ-Рлъ\3*м рт. ст.
2.135. АР = — Др + - j
V-в \>в 5
Р да 2530 Па да 20 мм рт. ст.
2.136. Давление уменьшится на АР = Р0 Щ- + ^ Ри — у Ри =
- 2,4 мм рт. ст.
2.137. Q = 94А.
Решение. В процессе 1—2—3 газ фотонов совершил работу на
участке 1—2. Обозначим температуру на участке 1—2 через Tv тогда
работа
.г4 ,„4
А = ^(У2-У,)=^У,. (1)
Изменение внутренней энергии газа в процессе 1—2:
Д£/12=аГ4(К2- К,)=ЗЛ.
Изменение внутренней энергии газа в процессе 2—3:
AU^ = аК2(Т4 - Т\) = 2аК,Г4(24 - 1).

224
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.152. р, =
PBSAh
V + SAH-
= 0,7
з*
Решение. Пусть Vl — объем доски. Можно показать, что
вытесненный вначале объем воды V2 = SAh. Условие плавания доски с
плотностью р1'
Условие плавания доски с пластиной
pB(Vl + aV)g=(plVl + PV)g.
Из записанных уравнений находим
р„5ДЛ
Pi
V + SAh
• = Q,7-V
2.153. I) 7,=^ + ^; 2) />2 = _1_Л,СДГ.
2.154. р — „ e,U__i/'/„ ч =0,5 —-j.
Рл5ДЛ + "В(Рл-аРВ)
2.155. 1) 7,=-^^; 2) />2 =
СМ ;
* Д£/
(Q-A£/).
2.156. ^ Р_^Ев = ii см « 0,92 см.
5 Р= РВ~Рд 12
2.157. г>! =
т,(т, + т2)
1/2
, И2 =
т2(т, + т2)
1/2
2.158. Г = Г0 + ^-
Решение.' Пусть, когда скорости поршней одинаковы и равны
и, температура газа Т. По Закону сохранения энергии ■""
..2
Здесь С„ = 2 R. По закону сохранения импульса
т • 5v + mv = 2ти.
Из записанных уравнений находим

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
223
Решение. Пусть начальный объем водорода равен V0. График
зависимости давления Р водорода от его объема V представлен на
рисунке. Для всего процесса 1—2—3 по закону сохранения энергии
Q=vCv(T3-Tl)+Am.
Здесь v — число молей газа, Cv = | R, Т3 и Т{ — температуры газа в
39
конце и вначале расширения. Л123 = P0V0 — работа газа (находится
как площадь под графиком зависимости Р от V). Используя уравнение
состояния, находим
Ю
vRT3 = 2P0V0, vRT{=^-P0V0.
С учетом записанных равенств Q ■■
= "if povo- Отсюда
k« = t^|-*303 см3-
2-0
К задаче 2.147.
Замечание. Можно показать, что теплоту (при заданных в
условии параметрах задачи) необходимо непрерывно подводить во
время всего процесса и не будет ситуации, когда с некоторого
момента после выливания части жидкости она начнет в
дальнейшем выливаться уже без подвода теплоты.
2.148. У0 = Ц£»0,1 л.
2.149. 1) ДГ = ^=^; 2) Q=PlVl(k — 1).
2.150. V„ = Р;'(Рв~Р\ SAh = 900 см3.
2.151. 1) 7,=^^ 2> Q-M+^JT1^
Решение. Пусть начальный объем газа равен 7,, тогда конечный
объем равен kVy Обозначим через Т начальную и конечную
температуры. Начальная и конечная внутренние энергии
Ul = cT-
По закону сохранения энергии газу сообщили во всем процессе
количество теплоты
Q=AU + Pl(kVl-Vl).
По условию U3 — tVj = AU. Из записанных уравнений находим

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.159. Т = ^-
vR
2.160. Т = Тп
Wo'
m1(.m1 + m2)v1
2mv
vR
2.
8 - 2675

3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
V л2
3.1. / = /, ^1 + Щ - -~- = 0,5 мкА
3.2. / = /, 1+^=9 мкА.
3.3. if = /(У?! + Л2) = 400 В.
R-,
3.4.-* = 2.
3.5. (Wo>AC0)2R.
3-6' 71.0 ^ ^2 •
зл. w~a£.
3.8. /,_0«»-^-.
3-9' X=2?;=5rf•
, .„ ^(Р2~ Р|) .
3.10. а = > 0.
3.11. г- = Д[—!2^-Ll = 1,96-10s м/с.
„„ ,2
3.12. F = ^-(p22-Pl2).
3.13. При условии 8<*с1 можно считать, что частицы движутся
по окружности радиуса Когда vlv0, частица сместится
вниз на расстояние R. Согласно закону сохранения энергии,
mv\l2 + EqR = mv2/2, следовательно, АК = EqR. Отсюда,
учитывая, что E/(vQB) — 8, получим АК/К0 = 2р.
3.14. По закону сохранения импульса скорость центрального
шарика равна v, а крайних —v/2. По закону сохранения энергии
имеем:
_J_3£2_ = _l_/g2_ Я1 + Я2\ , ту2 2 тЫ2)2
4ле0 а 4ле0\а а 2а\ 2 2
_ Я
Отсюда и =
V 6ле0та
3.15. Частица движется по окружности радиуса /? = -^-. Когда ее
скорость v||v0, она перемещается по полю Е на расстояние 2R. По за-

228
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
откуда
max
E0SUd2+dl) "
/
Я
2
+
+ Q 3
Я
Е0
E0
Ei'
d,
d-,
+ q -я
+ 4
3\
К задаче 3.20.
К задаче 3.21. К задаче 3.22.
3.22. (См. решение задачи 3.21). Когда / = /тах, £, = Е0. По
кону сохранения энергии: (z0/2)ElS-2d = (z0/2)E\\Sd + L(/max/2).
Отсюда /тах = ^0 Ve0Srf/L. Так как EQ = Q/(2e0S), то
' max т fc0
'max = (Q/2)Vrf/(E0SL)
-Q
+ Q
как EQ=Q/(2z0S), то
-Q +Q
1
2
+ Q 3
Eo
E0
Eo
E,
К задаче 3.23.
К задаче 3.24.
3.23. После замыкания ключа возникнут колебания (LC —
контур). Когда заряды на пластинах 7, 3 максимальны, ток через катушку
равен / = = 0, а ее магнитная энергия — нулевая. По закону
сохранения энергии имеем (z0/2)E2)(dl + d2) = (zJ2)(EQ + Ei)1di +
+ (ед/2)(£0 — E1)2d2 , откуда находим два возможных значения Ех:
£j = 0 и Ех — 2E0(d2 — dt)/(d2 + d{). Так как EQ — постоянное
поле заряда Qи Е0= Q/(2z0S),aE1 = tfmax/(e0S), то:
D*max = Q^>0;
2) При наличии омических потерь на пластинах 1, 3 установится
заряд а*, который находится из условия равенства нулю напряжения
между пластинами: EQ(d2 — dx) — E*(d2 + dx) = О, поэтому
Е* = E0(d2 - dx)/{d2 + dx) к а* = qmax/2.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
227
кону сохранения энергии mv2/2 + qE-2R = mv2/2, откуда АК/К0 =
= 4E/(v0B) = р и E/(v0B) = 0/4.
3.16. Когда шарики образовали равносторонний треугольник, все
они движутся с одной и той же скоростью г>/3. По закону сохранения
энергии имеем:
5 а2 ^ mv2
4ле0 2 а 2
1 За2
4ле0 а
+ 3
гп(у/3у
откуда v = (а/2) ^3/(2ле()та).
3.17. Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис.). Здесь ^ = Bv2a,
2а п %а . t 4 wBS , 1 , 2 uBS
r = p-,R=p- тогда /п=-т^ = _ —и/к = -/„ = _ —.
■In
R
1
\
К задаче 3.17. К задаче 3.18. К задаче 3.19.
3.18. Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис.). Здесь ^ = vB2a,
4 BvS
S
а — радиус кольца, г = р ~, R = р тогда /п
I = - г = 2 BvS
к_ 2 п ~ 4 + я р"
Я+ /72 4 +л р
3.19. Рассмотрим эквивалентную схему ^£м- рис.). Здесь
= BvaV2 (а — длина стороны квадрата), г = p—z~, R = р тогда
/„ = / = 27 „и / =
т/2 BvS
RI2
T7 = WT72)>OTKy*aB = —jT
2 ' " r S
l + vT /p
3.20. Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис.). Здесь
n=BvaV2~, а — длина стороны. Тогда г = р ~, R=p^^,
. V BvSVJ D /p(l+vT)
/=7TT772 = p(i +^2)'откУда в= VJvS ■
3.21. После замыкания ключа возникнут колебания (LC-контур).
Когда / = /„ dl п ' d'
dl n
имеем -т~ = 0 и
dl
L^ = 0, т.е. напряжение
между пластинами /—3 равно нулю. Если заряды на пластинах /, 3 в
этот момент равны — ц и + ц, то поле между ними складывается из
постоянного поля Е0 заряда Q и поля Ех зарядов — ц и + ц.
Итак, Ul3 = 0 = E0(d2— di) — Et(d\ + di)- Отсюда £\ = Е0 Ф—Ф-.
Так как полная энергия поля сохраняется, то
^ (d, + d2)S = у (£0 + £,)2rf,S +1 (Е0 - E,)2d2S + L %

230
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ности потенциалов на пластинах). Работа, совершенная источником
у2
Л = QU, пошла на кинетическую энергию пластины: QU =
Отсюда скорость пластины г 2Е()5 i 1/2
V = U
mid — а)
3-34- ?2-ах = 01 (С,+С2) ' = ("+!)23lv! LC'' ГДС
я = 0, 1, 2, ...
C„St72
3.35. а = 0
mid-а)2'
ззб / =-1Я-
•'max у[5Щ-
3.37. Сразу после замыкания ключа напряжение на емкостях С, и
С2 минус напряжение на емкости С3: £/, + U2 — tV3 = Поэтому
начальный ток через сопротивление равен / = W/R. Далее, после того
как в схеме закончится процесс перетекания зарядов, между
конечными напряжениями на конденсаторе будет выполняться равенство:
и3 = и2 + и{. (1)
Пусть при этом qv q2 и q3 — конечные значения зарядов на
соответствующих конденсаторах. Условие сохранения зарядов дает
между ними следующие соотношения:
qx = (С, +C3YS-q3 (2)
и
q2=(C2 + C3)W-q3. (3)
Из равенств (1) —(3) находим окончательно:
= [2С2С2 + С3(С| + С2)]Сз
^ ^^2 ^^2^ 3 1 ^ 3
Конечное напряжение t/3 на конденсаторе С3 равно и3 = -тг =
гС^ + СуС^ + С;,) 23
С^^ + С^'з + С^'з 11
3.38. / = — —1; напряжение на емкости £/ = — |
3# 7
3.39. / = -=-; напряжение на конденсаторе U = — -гт^.
К. 1 1
3.40. / = напряжение на конденсаторе U = j
3.41. В начальный момент ток утечки через конденсатор равен
Uq/R, этот ток течет и через последовательно соединенную с
конденсатором катушку индуктивности. Поэтому в контуре в этот момент

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
229
3.24. На пластинах 2, 3 заряд дтах создает поле Et =tfmax/(e0S).
Когда = ± qmax, 1 = 0 и по закону сохранения энергии
ZqE2/2 = е0(£0 — Е{)2/2. Для поля Ех имеем £, = 0 и £, = 2Е0 или
Qmax = Q. В этот момент Ч = 2dl/dt = E0d = Qd/(2v0S), откуда
dl/dt = Qd/(2z0SL).
3.25. До замыкания ключа установившийся ток через резистор
2 и„„_ „ „ т/ in l
IR = „ . Напряжение на конденсаторе Vc = I„■ R= . Сразу
после замыкания ключа ток /Л и напряжение 7С останутся неизмен-
ными. Через батарею W{ будет течь ток /, = — -, а через источник
<?2 ток /2 = /Л. Тогда ток через конденсатор /с = /, + /2 — /Л =
= г (д + г ) = — 1 А- Ток течет слева направо на рисунке,
изображенном в условии задачи.
3.26. /о = —-Ц2- = 1 А.
я +r2) +гхг2
3.27. /г = — + ' . = 5 А.
С r2 (.R + rl)r2
3.28. /„ = /2>"' = 0,25 А.
2
3.29. 1*1 = ~д Р<у
3.30. Э.д.с. индукции, ток в рамке и магнитная сила, действующая
на рамку со стороны магнитного поля электромагнита, будут иметь
место только в том случае, когда рамка не полностью пронизывается
магнитным полем электромагнита. Эта ситуация будет возникать при
входе рамки в зазор электромагнита и при выходе. В этих случаях
ЭДС индукции % = Bva, ток в рамке / = 4IR = (Bva)/R. Магнитная
сила F = BIa = (B^va^/R. Работа, совершенная внешней силой,
будет численно равна количеству теплоты, которое выделится в рамке
Q = 2Fa= (2J9W)/fl.
3.31. Рх = 36Р0.
3.32. v = (2Qp)/(abB2).
3.33. В начальный момент времени на пластине будет находиться
Cr.SU ^
положительный заряд, величина которого Q = ц_ау Этот заряд
будет сохраняться на пластине во время ее движения между обкладками
конденсатора. На левой обкладке конденсатора начальный заряд
равен нулю, а на правой — Q. По мере перемещения пластины к правой
обкладке конденсатора заряды на обкладках будут расти и в тот
момент, когда пластина достигнет правой обкладки, заряд на левой
обкладке будет равен + Q, а на правой — 2Q (условие постоянства раз-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
231
cul i (U0\2 I i \ ul _,
запасена энергия ~Y"^^\R~j = [С "^J Т= Дж- Эта
энергия и выделится в виде тепла.
ж/LCU2 ,
3.42. Q = —£= 3,14-Ю-3 Дж.
3.43. Q - -~^(L + CR2) = 1(Г5 Дж.
3.44. <2 = ^^/2 = 3,14 10-5Дж.
1 (1Ф, 1 (1Ф7
3.45. Ток в контуре / /, = а в контуре 2 /2 = ^ Поток
электромагнитной индукции Ф3, пронизывающий контур 3, равен
разности потоков, пронизывающих его левую (ближнюю к проводу) и
правую части. В силу осевой симметрии магнитного поля прямого
провода эти потоки отличаются от потоков поля Ф, и Ф2, пронизывающих
контуры 1 и 2, множителями, равными соответственно Ь/а и с/а.
Общее сопротивление контура 3 равно 2(а + b)r + 2(а + с)г. Оконча-
1 ft aV2 С
"йГИ ~dT7i 2(6/.-е/2)
тельно ток в контуре 3 равен: h = —, , ,. , , = - , , ,—.
* s 2(а+Ь)г + 2(а + с)г 2а + Ь + с
3.46. /2= /,/4.
3.47. /2=/3+|/,.
3.48. — = L
v2 2
3.49. До размыкания ключа К установившийся ток через резисторы
/ = <?/(/?, + R2), а напряжение на конденсаторе Vс = lSR2/(Rx + R2).
После размыкания ключа конденсатор начнет разряжаться через
резистор R2, и вся энергия электрического поля, запасенная в нем, выде-
2
лится в виде тепла: Q = CVlr = - OS , „
22 \Н\+Н2
3.50. Обозначим величину напряженности электрического поля,
создаваемого пластиной 3, через Е0, а через Ех — величину
напряженности поля пластин / и 2. Запишем условие эквипотенциальности
пластин 7 и 2 до перемещения пластины 3: EQ(d — 2а) — Etd = 0. Откуда
£, = Е0(1 — 2а/d). После перемещения пластины 3 между
пластинами / и 2 возникает разность потенциалов Ui2 = Exd + E0(d — а) —
— Е0а — 2E0(d — 2а). В последнем равенстве была использована
связь между Ех и EQ. Поскольку EQ = q/2t0S, то t/12 =
= q(d — 2a)/(t0S). Возникшая разность потенциалов Ui2 приведет к
появлению тока через резистор R: I = Ul2/R = q(d — 2a)/(tQSR). Ток
будет направлен от пластины / к 2.

232
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
После перемещения пластины 3 будет происходить перезарядка
пластин 1 и 2 до тех пор, пока они не станут снова
эквипотенциальными. За это время в резисторе будет происходить выделение тепла.
Поскольку начальная (до перемещения) и конечная энергии
электрического поля системы трех пластин равны, то суммарное количества
тепла, выделившегося на резисторе, будет равно работе, совершенной
при перемещении пластины 3: Q = qEt(d — 2а) = qE0d 1 |М =
= гл(]_2а\2 к I
2z0S [l dj ■
3.51. Q = (VS2)I2RX(RX +R2).
(z—\)t£0hSU2 h(t—l)U
3.52. A = r; / = ——, ,ln, направление тока слева
2[(d-h)z + h]2 \(d-h)z+h]R'
направо. (L + CR^2
3.53. Q = -—5-.
2(Л,+Л2)2 :,
2 2 2 2
3.54. 1) A — g a(-d ~fa >■ 2) /= g°D, направление тока от 2 к 1.
StoSd2 ^м
3.55. Q = (C^2R1Rl)/2(Rl + Л2)3.
(z-l)zJiSU2 „ (z-\MiU
3.56. 1) Л = ^ ; 2) 7 = lE JRn , направление тока —
против часовой стрелки.
3.57. 1) Ключ /С, замкнут, а /С2 разомкнут. В установившемся
режиме ток течет только через резисторы, поэтому суммарное напря-
жение на конденсаторах U = r+r + 2r ~ 4 Если на конденсаторе
емкостью С напряжение равно К,, то на другом конденсаторе
напряжение Vг — И,/2. Следовательно, суммарное напряжение У, + И2 =
= И, + И,/2 = (3/2) И,. Приравнивая два выражения для общего
напряжения U = И, + И2, получим, что ^ = 2И, = 12 В.
2) После замыкания ключа К2 напряжение на конденсаторе
емкостью С будет равно напряжению на резисторе R. Это напряжение
UR = R + R + 2R = f = Т = 3 В' Следовательно, t/c = -^- = 3 В.
3.58. При смещении Электрона на расстояние г от центра атома
на него действует сила F — E(r)q = q. Уравне-
4яЕоЛ
ние движения электрона:
гп; + ^ = ^т = 2ъ^Щ*=^уГШЗШ.
4я£„Л3 V Q2 Q 0
К задаче 3.58.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
233
3.59. 1) % = %Vl=42B; 2) V2 = = f * = % И, = 35 В.
// п \ 112
3.60. Время пролета внутри сферы т = 2Rj [ v\ — ^1 ■
3.61. 1) ST = | И, = 24 В; 2) К, = А И, = 8 В
3.62. Т = 2
32я£отЛ;
2_ 15
1/2
3.63. 1) 5Г = | И, = 16 В; 2)И2 = ^И, = 5В.
364 И = MI + J_
1/2
3.65. Сразу после замыкания ключей
схема имеет вид, изображенный на
рисунке. Начальный ток I0 = (£l +'%2)/3R.
После установления стационарного состояния
заряды на конденсаторах Q, = CiEi,
Q2 = С2^2. Работа батарей А = Q,<f, +
+ Ог^г — ci£i + с2£2- Энергия конден-
41
R R
К задаче 3.65.
Выделившееся тепло Q = А — W =
саторов И7 = -L1 + -1Л.
2 2 "
3.66. 1) Появляется вихревое электрическое поле, которое
действует на заряды кольца.
2) Пусть г — радиус кольца. Согласно закону электромагнитной
- ^ Суммарная сила на
индукции Е ■ 2жг — —жг2 ^ -*• Е
кольцо вдоль окружности F — QE = — ^ QFvAt = а\~
-» FAt = mAv
mAv = -\QAB -» $ Ato = - $ £^ ДЯ -» со = QBQ/2m.
3.67. 1) 70 = 5f/г; 2) Q = (С' + С2 + Сз>
3.68. 1) / = ^- Л; 2)^тах = ^ЛБ0.
3.69. 1) /0 = 5Г/Л; 2) Q = I С£2.
3.70. Б0 = 2mco/Q.
3.71.1)Sr-V; 2)Q=(C'+C2+2C3)(V)2.

234
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.72. 1) 1 =
l'Ri
xR
1/2
2) В0 = ^—j-J . Максимальная сила сжатия при В = В0.
2,
ПГ 1Ш, — CI>~J 1У "
3.73. I/,
Дг2(Ш[ —ш2) ar'fcoj — ш2)
> ^2
1 2(l+tyC2)' 2 2(1 +С2/С!)
3.74. \-^J\R.
3.75. О):
2£/(l +CJC2)
Решение. Эквивалентная схема дана на
$2 рисунке. Можно показать, что
с,1
К задаче 3.75.
,-^сог2, 4% = \Bw\.
Заряды на конденсаторах одинаковы и рав-
ны q, где q = C.U. Имеем W. + %2 —
Ч ^2
Из записанных уравнений находим выражение для со,
CgSvBll
3-76. <7 = ^гтг-
3.77. 1) /1МЧ = 0; 2) /тах = С2Й
3.78.
4C,C2 + £(C2-C1)i
1
8C,L(C1 + C,)i
(8C1 + C2)L"
1.(6';+ £C2)
. 9, (C1 + C2)g0J j-
' ^ C2 VwCj-t-
3.79. 1) Г = 2л;'
3.80. !)/„., = 0,2; 2) f/max =/0^±^
3.81. От у = 14 В до у И = 60 В.
3.82. От у = 18 В до = 3 В.
3.83. От | V = 45 В до -£ = 10 В.
4 О
3.84. От -| V = 16 В до ^ И = 70 В.
ЕС,) •
3.85. 1) / = §; 2) с(0 = С0+^-£(*-*0)(*»*0).
Решение. 1) Сразу после замыкания ключа К конденсатор не
заряжен, и разность потенциалов на нем равна нулю. Тогда, согласно за-
кону Ома для цепи, Ч + Uc = IR и начальный ток в цепи равен I = —.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
235
2) В дальнейшем конденсатор начинает заряжаться (происходит
процесс накопления заряда). В произвольной
момент времени t < t0 напряжение на
конденсаторе равно
qit)
= %- I(t)R.
_L
К моменту времени tQ ток в цепи достигает
'о
К задаче 3.85.
значения /„
Ао
и в дальнейшем остается постоянным. Тогда измене-
о At
ние заряда на конденсаторе Aq = IQAt и заряд на конденсаторе
q(t) = q0 + I0(t - t0) (*»*„),
где q0 — заряд на конденсаторе С0 в момент времени t0.
С другой стороны, q(t) = (W — I0R)C(t). Из совместного решения
этих уравнений для зависимости емкости конденсатора от времени
получим
С(о
+
Окончательно зависи-
При I = t0 емкость конденсатора С0 ■■
мость С(0 имеет вид
JM-IJ
C{t) = c°+irrj ('
3.86. Vx = -V0±^V20 + 3V20 =-3V0.
Решение. На заряженную частицу,
движущуюся в электрическом и магнитном
полях, действуют сила Кулона со стороны
электрического поля и сила Лоренца со
стороны магнитного поля.
Движение заряженной частицы вдоль оси х обусловлено действием
на нее силы Лоренца. Уравнение движения имеет вид
К задаче 3.86.
т-кТ=-«УуВ>
(1)
т. е. ускорение вдоль оси X связано с движением частицы вдоль оси Y.
Из уравнения (1) имеем
(2)
где. to0 = называется циклотронной частотой. Решая уравнение
(2) для Vх, получим
vx = v0-*0y- (3)

236
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
При движении частица приобретает энергию, обусловленную
работой электрического поля А = дЕу. Сила Лоренца работы не
совершает. Поэтому закон сохранения энергии дает
mvl mV2 ,.4
-^ + qEy = ^f (К, = 0). (4)
Подставляя (3) в (4) и учитывая, что Е= V0B для V х получим
уравнение
V2X + 2V0VX-3V* = 0,
решая которое относительно Vx, находим Vx = У0±уУ^ + ЗК2, =
= -3*v
3.87. 1) V0L = %; 2) R(t) =
3.88.
3.89. 1) 1 = 1; 2) R(t) = R0-^t.
3.90. V= ±V3V0.
3.91. 1) V0L = %; 2) L(t)=L0+^L-Rt.
3.92. В={™±\т = 1Ж
\ qd ) 2 ' Qlm '
3.93. 1) Q2=Q,^ 2)<S = ^f(Il±?iRy
3.94. gj==2ir°(1~a2)w*,
a2q
3.95. 1) Q=C^2 (Ri + R2>2 ".
' 2 <*1+*2+*з)2' Ул*~ 2 . <*1+*2+*3)2' Ул>
3.96. 1) а = -^-; 2) p = Q{^.
3.97. l) $ = R3Jf; 2) а-т^. Q2 = tt^. Qs = o.
3.98. Г, = Г"
I 2r gm

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
237
3.100. 1) а2 = 0, а, = а.
5«'
2) 'i-^-W^'-^-0
3.101. а =
v0UBV
MR
3.102. P = ^B20.
3.103. a-
.Ml
MRv0'
„2 „2
3.104. amax = -г>0.
2) t/c =
К задаче 3.106.
3.105 1) UL = 2%-U0 = \\
3.106. Решение.
Сразу после замыкания ключа
К2 ток через катушку
индуктивности сохраняется и равен 70.
Напряжение на конденсаторе сразу
после замыкания ключа К2 равно
нулю. Обозначим через 7, ток,
протекающий через резистор 7?,, а
ток через резистор R2 — соответс-
венно 12. Согласно первому закону Кирхгофа
/0 = 7,+/2.
Запишем закон Ома для замкнутой цепи 3-4-5-6-3
% — —/l^l + ^2^2- '
Из совместного решения приведенных уравнений находим ток 7,,
который равен
71=-(<<f- 707*2)/(7*1+7*2).
Для нахождения напряжения на катушке индуктивности запишем
закон Ома для замкнутой цепи 1-2-3-4-1
<g = UL + IxRx.
Отсюда
^(2Л]+А2)-/0Я1Я2
Rx+R2
В установившемся режиме напряжение на катушке равно нулю, ток
через резистор R2 равен нулю. Рассмотрим контур 1-2-3-6-5-4-1.
Откуда Uc = 24.
6 " 2) Uc г- г- 1-
3.107. 1) UL =
+ ио = 2
Ri + R2

238
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.108. !)^=^-^W2; 2)Uc_,
3.109. \)q3=^%- 2)q3 = ^W + Qf.
3.110.1)/, =UQ{f; 2) /.=/,=
max " L-л
3.111. 1) ЯЪ=^%\ 2)q3=^% + ?£.
3.112. 1) /тах = с/0-/=^; 2) ия = 1/0^С|
3.113. 1) q3 = -^%.
ч
2 *
F 2
В]
<
<
—5—
-4+
2) Пусть заряды на пластинах после
замыкания ключа К равны qv q2 и q3. По закону
сохранения заряда
Qo = 9i + Яг + Чу С1)
Заряды каждой пластины создают между
пластинами однородные электрические поля с
напряженностями
Е, =
2^'
Е =-2-
Е
3 2%5;
К задаче 3.113.
Между пластинами 2 и 3 поддерживается
постоянная разность потенциалов, равная
^(-*1-*2 + *з) = *- (2)
Условие эквипотенциальности пластин 1 и 3:
2^(*1-*з) = 0. (3)
Совместно решая систему уравнений (1), (2), (3), получим, что:
3.114. 1) После замыкания ключа ^ конденсатор начинает
разряжаться и отдавать свою энергию
катушке L2, так как диод D закрыт.
Имеем колебательный контур, со-
, стоящий из катушки индуктивности
L2 и конденсатора С. Период
колебаний Т{ = 2жу/L2C. Полный разряд
конденсатора произойдет через
четверть периода. Следовательно,
К задаче 3.114. т = л/2 VZ^C.
А/,
-КЪ
D

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
239
2) Когда конденсатор начинает перезаряжаться, открывается диод
D и через катушку индуктивности Ьх начинает протекать ток /,. При
этом через Ьх течет ток 12. Согласно закону Ома
или LXIQ + L2(I0 — I20)■ = О, где 120 — ток через катушку Ь2 в
момент начала перезарядки конденсатора. Из закона сохранения энер-
1стему, получим то:
_ L2 [С"
/o = z., + L, U* VIT-
L2lL сих
гии , = —. Решая систему, получим ток 10
Отсюда
3.115. 1) *з0 = |г^ 2) q3 = ^% + Qf.
3.116. 1) x = i V(L,+L2)C; 2) 1/х = 1/и„-у-
3.117. Сразу после замыкания ключа /С, заряды на
конденсаторах С, и С2 равны нулю. Следовательно, разности потенциалов
на них Uc = Uc = 0. Поэтому ток через батарею /0 = --. В
стационарном состоянии после замыкания ключа Кх начальная
энергия системы равна с с
^ — 1 2 с^2
- с1+с2
После замыкания ключа К2 и установления нового стационарного
с
состояния 1/с =0. Тогда энергия системы Wx =-j—. Начальный
заряд на левой пластине конденсатора С,
<7i
о с1+с2
В конечном состоянии заряд левой пластины конденсатора С, равен
с?
<7, = С.,<?. Изменение ее заряда Д<? = q. — 0О = _ $\ Из закона
с, +с2
сохранения энергии % Aq= Wx — W0 + Q, где Q — количество
теплоты, выделившейся на резисторах. Подставляя W0, Wx и Ад в
последнее уравнение для количества теплоты Q получаем
с2 *?2
^ С, + С2 2

240
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.118. 1) 7 = 0; 2) 1т = ^(и0-Г) = 0,22 А.
3.119. 1) /0 = :
/г:
2) Q =
с1+с2
Г2/2.
3.120. 1) 7 = 0; 2) 7max = ^(5f - U0) = 0,05 А.
3.121. Так как конденсатор мгновенно зарядиться не может, то в
момент замыкания ключа К разность потенциалов на нем равна
нулю. Тогда разность потенциалов на резисторе R равна Ток через
резистор равен
7,2 = J- = 0,5A.
Обозначим токи через резисторы 7?, и R2 через 7, и 72
соответственно. Эти токи меняются в рассматриваемом переходном процессе
данной цепи.
Согласно закону Ома ^ = 727?2 + Uc. Когда Uc = у, ток 72 равен
У2~ 3 R •
Ток через батарею 7 = 1{ + 72 = !
Щ + 2Я1 _ U д
3R{R2 6
3.122. На Проводник с током,
помещенный в магнитное поле, действует сила
Ампера
F = 77i/ sin d,
где а — угол между направлением вектора
индукции магнитного поля В и
направлением тока. На сторону АВ действует сила
F, = 77ia,
К задаче 3.122.
направленная перпендикулярно плоскости
треугольной рамки. На стороны АС и TiC действуют аналогичные
силы, направленные в противоположную сторону
f2 = f3*=ib{.
Эти силы совместно с силой тяжести рамки создают момент
относительно оси ОО', проходящей через вершину С параллельно прямой
АВ. Запишем условие равенства моментов
a VT
= 2F2j±f + mg з
или
IB^f = 2lB^ + mg^.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
243
3.131. F=<^-W + *2>
8d2 0
3.132. ДС = ^=^9,4 10-9Ф.
3.133. F = Q.
3.134. 7? *£^ = 30 Ом.
3.135. F = -^Sen.
8d2 "
3.136. У? =S = 32 Ом.
3.137. 1) /0 = ($? - t70)/7? = 5- 1(Г3 A; 2) Qc = C(if - t70) =
2
= 5-1(Г4£; 3) Жл = Л,- WD- Wc = ^^-= 12,5-10~4 Дж.
3.138. 1) /0 = ^ == 40 мА; 2)Uc=Ud + I, R = 2B;
1)WD=WX+W2 = 4- Ю-4 Дж (И7! = i/flC(i/0 - f/c), W2 =2^-)-
3.139. 1) Поскольку ЭДС батареи больше порогового напряжения
диода (tf > £/„) то начальный ток в цепи /0 > 0. По закону Ома для
замкнутой цепи W = UQ + IQR. Сразу после замыкания ключа
напряжение на конденсаторе равно нулю, найдем начальный ток
/0 = -^=10-3А.
2) После замыкания ключа конденсатор начнет заряжаться. Он
будет заряжаться до напряжения <f — UQ = 2 В. После этого ток в
цепи будет равен нулю. Заряд, протекший через диод, очевидно,
будет равен заряду на конденсаторе: <? = C(<f — tV0). Отсюда емкость
конденсатора С = ql(¥! — {/„) = 200 мкФ.
3) Работа, совершенная батареей А = q¥>. Тепло, которое
выделится на диоде
Wn = \ IU0 dt = j U0 dq = U0q.
Конденсатор приобретет энергию Wc = q2/2C. Тепло,
выделившееся на резисторе 7?, будет равно
WR = A-Wq-Wc=q%-U0q-q 2 °= 2 °=4-10-4Дж.
3.140. 1) /0 = -^^=40мА;
V UCi = 2 В;
3) С = 2 -=50мкФ.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
241
Тогда для искомого тока I получаем
, 4 mg
3 аВ'
IR3 , * 81
3.123. 1) Ч = ^=1,5А; 2) /б - ^ - + ^ = £ А да 4,0 А.
ЗЛ24. ■■&£-.
2аВ cos а аВ
ЗЛ25« }) ^с = ^ = 6,7 В; 2) / = £- = 0,1 А.
ЗЛ26' / = 7&-
ЗЛ27- 1)ч^^^=0-44А; 2)/=!^=°'8А-
ЗЛ28-
3.129. Из закона сохранения заряда следует, что суммарный заряд
пластин У, J и пластин 2, 4 равен 0:
Я{+Яг = 0; д2 + д4 = 0.
Отсюда
03 = - и д4 = — д2.
Обозначим £,и£2 — напряженности электрических полей,
создаваемых зарядами пластин 1, 3 и 2, 4, которые равны
Е =А и е =1±
Разность потенциалов между пластинами /, 3 равна нулю, а
между пластинами 2, 4 — % (% — ЭДС батареи). Согласно принципу
суперпозиции электрических полей
Exd + (Ei + E2)d = 0; E2d + (Ex +E2)d = %.
Решая систему уравнений, находим
в- - _JL. * -1£
nl ~ ■ 3d' C2-*- 3 cf
Заряд третьей пластины равен
_ *««b
*з = ""IT-
Этот заряд находится в поле пластины /, равном -у, и поле,
создаваемом пластинами 2, 4 — Е2. Таким образом, сила, действующая на
пластину 3, равна /Е \ 2
F = g3[^ + E2)=^S4.

242
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.130. Так как сопротивление контура мало, то колебания,
возникающие в контуре, можно считать почти синусоидальными, так что
за период колебаний потери энергии достаточно малы. Тогда период
колебаний определяется по формуле Томсона (см. рис.):
Т = InVZC.
Индуктивность изменяется через время t = Т/2 = юЛОС. При
изменении индуктивности на величину AL в силу сохранения
магнитного потока
ITL= (L + AL)I = Ф.
Здесь /т — амплитуда тока в контуре. Начальная энергия,
запасенная в контуре, равна 2
W =—
1 2(1.+ ДЮ'
где Ф — магнитный поток, пронизывающий катушку индуктивности.
В момент уменьшения индуктивности на величину AL энергия,
запасенная в катушке, увеличилась и равна
^2 2L-
К задаче 3.130.
Изменение энергии равно
AW= И7-, -
AL
Т/2 Т ЗГ/2 t
К задаче 3.130.
<t>2AL
2 IAL + Ш
21/
За время t = Т/2 в контуре происходят потери энергии,
выделяющейся в виде тепла на резисторе с сопротивлением 7?, равные
TIT т1 п 1
потерь 'эф 2'
Для поддержания в контуре незатухающих колебаний требуется
скомпенсировать эти потери за счет увеличения энергии, запасенной
в катушке индуктивности. Следовательно,
iIal iIr-юГПс
AW 3s W или
"потерь
Откуда
AL S» jc7?vTC « 9,4 • 1(Г3 Гн.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
245
По закону сохранения энергии
Ж, = W2
L,iyi = (L, + L2)I2J2 + CUmJ2.
Отсюда
3.145. A ■■
3.146. /
2
i V2-CJ
"0 fi C2 •
3.147. « = «0Ш + 1 2
0 V 4enSMv2
3.148. v
yo V с
i2 "
3.149. 1) J = ^; 2) Q = ^.
3.150, -.M»^-W)2C
17 Л/М+]
Я=^0 V 2
2* * 2 2
3.151. 1) ^ = /0(Л1 + Л2); 2) Q=c2W+^>
Решение. В момент замыкания ключа К разность потенциалов
на конденсаторах С, и С2 равна нулю, а диод D2 заперт.
Следовательно, батарея замкнута на два последовательно соединенных
резистора сопротивлением Rl + R2. Таким образом, согласно закону Ома
ЭДС батареи равна
<<Г = /„(Л, + R2).
В установившемся режиме разности потенциалов на резисторах
равны нулю, диод D{ открыт, а диод D2 закрыт. Разность
потенциалов на конденсаторе Cv равна нулю. Поэтому напряжение на
конденсаторе C2UC = Заряд конденсатора С2 равен
Q=C2$=C2I0(Rl + R2).
Работа, совершенная батареей в процессе зарядки конденсаторов,
равна
A = q$=C2I2Q(Rl + R2)2.
Энергия полученная электрической системой, равна
W = <?2/2С2 = С2/2(Л, + Л2)/2.
Из закона сохранения энергии А = W + Q, где Q — выделившееся
тепло. Очевидно, что Q= C2l'l{Rl + R2)2/2.

246
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
а2В20
ЗЛ52' V = 31p¥-
Решение. Рассмотрим произвольный момент времени в процессе
установления магнитного поля. В этот момент
N в рамке и стержне текут токи, которые
изображены на рис. Из условия непрерывности тока
следует, что
/2=/ + /,.
Закон Ома для контура ACDFA имеет вид
,2/
D
,1,
I
Г
м
К задаче 3.152.
а2/4 AB/At = 3/2ра/, - pal.
Аналогично закон для контура FDNMF позволяет записать
3/4а2 AB/At = 5/2ра/2 + pal.
Из совместного решения предыдущих трех уравнений получим, что
/ = 2а/3\р-AB/At.
Сила Ампера, действующая на стержень DF,
Fa = 1аВ = а2/3\рВ- AB/At.
Импульс силы, подействовавшей на стержень за время
установления индукции магнитного поля, очевидно, равен импульсу стержня,
который он приобрел за это время:
Fa dt = а21Ъ 1 р• d(B2) = a2B]J3lp = Mv.
1 С£2
Отсюда v = а2В2/3\рМ.
3.153.1)/ = ^; 2)Q = iCj+C2
3.154. v = h \
Я2.
2к
К
*[
А\
U г"
- в
М +(В1ГС
3.155. 1) % = I0R{\ 2) Q.
(С!+С2)/2Л2
3.156. v =
аУздр
112рМ"
К задаче 3.158.
3.157. Q = ^f.
3.158. Q =
2r(R + rY
Решение. На рисунке изображены токи в участках цепи в
произвольный момент после замыкания ключа К. Токи через резисторы
R всегда равны. Из непрерывности тока ток через катушку
*L = I- 'п>

244
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.141. А
3.142. /„
3.143. v
_ I 4^2
~ Ui U(C1 + C2)
(г
2 VeqMS'
Решение. После отскока верхней пластины от нижней заряд на
каждой пластине будет равен: q = (qy — q2)/2. Работа электрического
поля до столкновения пластин А{ = q^d/lt^S. Работа поля за время
подъема верхней пластины до прежнего уровня А2 = (q{ — q2)2d/&E0S.
По закону сохранения энергии суммарная работа поля равна
кинетической энергии верхней пластины после отскока на прежнее
расстояние.
Al+A2 = Mv2/2.
После подстановки выражений для Ах и А2 получим, что
+ q2)y/d/E0MS/2.
3.144.
L.L,
1^2
|Са1 + /.2)>
Решение. Сразу после замыкания ключа К напряжение на
конденсаторе остается равным нулю. Сохраняются и токи в катушках:
через катушку Lx течет ток /0, а в катушке L2 ток равен нулю. Затем
начинает нарастать ток через катушку Ьг. Пусть в некоторый момент
ток через катушку L, равен Iv а через катушку L2 ток равен 12.
Пусть токи в катушках текут по часовой стрелке. Запишем закон
Ома для контура, охватывающего обе катушки:
L, dljdt + L2 dl2/dt = 0.
Отсюда следует, что LlIl + L2I2 = const. Очевидно, что константа
равна LJq, поэтому LlIl + L2I2 = Z^/q.
В тот момент, когда напряжение не конденсаторе максимально и
равно £/тах, ток через конденсатор равен нулю, а через катушку
будет течь ток, который обозначим 1т. Тогда (L, + L2)Im = LJQ.
Отсюда Im = V</(Li + Li)-
В момент замыкания ключа энергия контура сосредоточена в
катушке Lx и равна
Wx = LJ\J2.
А в тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально,
энергия, запасенная в контуре, равна
W2=(Ll+L2)I2m/2 + CU2mJ2.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
247
а ток через резистор г
Закон Ома для контура, содержащего катушку и резистор г, имеет
вид
LM JM={I + In)r- 1хг.
После подстановки первых двух уравнений в третье получим
LMJM = (I + /> - (/ - /п)г = 2г/п.
Из последнего уравнения следует, что LAIL = 2rInAt.
Учитывая, что начальный ток через катушку равен нулю, а
конечный равен установившемуся току /уст, находим заряд, протекший
через перемычку АВ
Ы
УСТ
2rQ,
или
Q=LIyJ2r.
Поскольку установившийся ток через катушку
'уст '
l.,„ = %/(R + r),
то заряд равен
Q = WL/2r(R + г).
3.159. Q =
3.160. Q
Ъг(Я + гУ
3.161. Ответ на графике (см. рис.).
Решение. На рисунке проведем вольтамперную характеристику
резистора с сопротивлением R (прямая 2). Поскольку неизвестный
элемент Z и резистор соединены
параллельно, то падения напряжения на
них всегда равны, а их общий ток
равен алгебраической сумме токов через
каждый элемент. Поэтому для
построения вольтамперной характеристики
неизвестного элемента Z нужно при
фиксированных значениях
напряжения V из заданной вольтамперной
характеристики (прямая 1) вычесть
вольтамперную характеристику
резистора R (прямая 2). Полученная
таким способом прямая 3 является вольтамперной характеристикой
неизвестного элемента.
/, мА
50
■ т -г т
1 1 1
Т
40
-- + - + - + -
+ -
Н
1
1
1
1
30
._+_,
+ -
+ -
Н
20
Л-
+ -
1
+ -
н
10
/ 1
<
+ -
1
+ -
1
■
н
0
1 2 3
4
5
V, в
К задаче 3.161

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
249
/, мА
50
Т"
-г "Г
1 1
"Г
Т".^1
40
-- + -
+ -+^
+ -Н
30
20
-- + -
1 у
"~ у
>|
+ -
1
10
1^ 1
1 1
+ -
1
1
+ -Н
1 1
I 1
/, мА
50i
3.169. х
12 3 4 5
К задаче 3.165.
d
30|
20'
К, в
1—
"Г
т
—1—
| У
п
--+-
+ -
+
/1
+ -
Н
--+-
+ -
-+-
|
+ -
Н
1 /
+
- + -
+ -
н
/\
S |
1
|
- + -
Ч 1
+ -
1
н
1
2
3
4
5
к, в
К задаче 3.167.
2dA
— 1
Решение. Емкость исходного конденсатора
г
ci ~ d ■
Емкость конденсатора с отодвинутой пластиной
с - ^
Работа, совершенная батареей,
Аб=(д2-д1)Ч=(С2-Су)Ч2.
По закону сохранения энергии работа, совершенная внешними
силами, и работа батареи пошли на изменение энергии конденсатора:
После подстановки работы батареи получим
A = \%2(Cl-C2)=\z0zSW2f±-
1
d +zx
z0z2S%2x
2d(d + zxY
Отсюда
3.170. A ■
3/171. x --
e„eSS?
Z 4-r: 1
2dA
2rfW-L)'
2Ad

248
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
©В
1 +
3.162. AVac max = <р0йсо = 4,5 • Ю-4 B.
Решение. При вращении стержня в магнитном поле на свободные
электроны стержня будет действовать сила
iv Лоренца (см. рис.). Под действием этой силы
произойдет перераспределение зарядов, ко-
h| -~-<k> ~|+Т торое приведет к появлению в стержне
Н—-—►) / электростатического поля, направленного
к задаче 3 162 вдоль стержня. Распределение
напряженности электрического поля по радиусу Е(г)
находится из условия равновесия свободных зарядов
qvB = qE{r).
Поскольку линейная скорость зарядов
v = фг = — (р0со sin (Ш) г,
то
Е(г) = — (р0со£Л sin (со/)-
Разность потенциалов между концами стержня А и С.
Ь а
Д<Рдс = \ E{r) dr- \ E{r) dr.
о о
После подстановки выражений для Е(г) получим
6 о
^Улс = ~ \ {Ровшг sm (ш0 dr + ^ (p0Btor sin (tof) dr =
„ (b2-a2) . , <ч
Очевидно, что максимальная разность потенциалов между
концами стержня будет равна
А<Рдс тах = <Ро*°> = 4>5 •10"4 В-
/, мА
50
" "Г '
1
г
,
Г ~7Г
1 1
-I
40
-- + --
1 Z
-- +
1
-j<- + -
< 1 1 у1
30
1
- - 7Г
-+-/г-
н
20
1
__ +
1
<Г- +
н
10
1
- + - + -
1 1
' 1
н
1 2 3 4 5 К В
К задаче 3.163.
3.163. Ответ на графике (см. рис.).
3.164. UAC = ^- = 0,3 В.
3.165. Ответ на графике (см. рис.).
3.166.
Uac =
(2ab + b2) = 4,8-10~3 В.
3.167. Ответ на графике (см. рис.).
3.168. UAC = | B<x>R2 = 0,06 В.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
251
заряда на конденсаторе будет равно ЪС&. По закону сохранения
энергии работа батареи при переполюсовке заряда конденсатора
пойдет на энергию, запасенную в катушке, и на изменение энергии
конденсатора: и2 2 2
ЗС& = ^Г + ~2 2~-
Отсюда максимальный ток в контуре
Гс
7max = L ■
Уравнение (1) имеет второе решение: Q = 0. Это означает, что
переполюсовка батареи происходит при напряжении на
конденсаторе, равном нулю. В этом случае закон сохранения энергии имеет вид
Отсюда
3.175. 1) Е = ^\ (L — v0 cos ах); 2) В = -—.
qr 1 т
3.176. /max = 4r^f.
3.177. 1) Е= _ 2m^i^ 2) в=т^
q \ ' q т
3-178. /max = 3^, Imax =r\/f
IK
3.179. 1) / = JL°
cos2 a + 2^/. ■
2) 7i =
III
2kEN
ft0
2 , 2q£ r
cos a+ ——L— vncosa
3-iso. /max = 7arVr-
3.181. 1) (2£-2-<<?,) C; 2) Q = i C(2if2- $?,)2.
Решение. До замыкания ключа суммарный заряд левых
обкладок обоих конденсаторов равен нулю. После замыкания ключа и
установления равновесия заряд левой обкладки конденсатора емкостью
С j равен
ql = C1(V2-Vl) = C(V2-*l),
а заряд левой обкладки конденсатора емкостью С2 равен
<?2 = ^-2^2 =

250
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.173. 1) /--"»-" ; 2) вы = -5^_.
7 1 <;Я ' > N vQ cos а
Решение. На частицу с зарядом д будут действовать две силы:
сила со стороны электростатического поля F3 = gE и сила Лоренца
Fn = qv0 sin аВ. Под действием электрической силы частица движется
сначала равнозамедленно, а потом после остановки равноускоренно, и
после возвращения в начальную точку ее скорость вдоль
горизонтального направления снова равна v0 cos а:
— v0 cos а = v0 cos а — ~" Etx,
где f, — время возврата частицы в начальную точку. Отсюда
2mv0 cos а
fl = Це •
В плоскости, перпендикулярной силовым линиям Е и В, под
действием силы Лоренца частица совершает круговые движения. Найдем
период обращения частицы Т по окружности радиуса R. Уравнение
движения по окружности
7
m(v0 sin а)
= qvQ sin аВ.
Период обращения
j, 2лЯ 2ят
v0 sin а с/В
Условие возвращения частицы а начальную точку
ll = NT = ——, где N= 1,2,3,...
In
Отсюда набор значений BN, при которых частица возвращается в
начальную точку:
д _ 2xmN _ xEN
N ~ ijtl v0 cos a'
3.174. /тах = ЗГ^£, /maXo=^.
Решение. Пусть при нулевом токе в цепи заряд на конденсаторе
равен Q. Работа, совершенная батареей, будет равна Q£. Эта работа
равна энергии заряженного конденсатора:
»-£ m
Отсюда Q = 2C(f, а напряжение на конденсаторе равно 2й\ После
переполюсовки батареи и при максимальном токе в контуре
напряжение на конденсаторе станет равно 3C(f. Следовательно, изменение

252
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Суммарный заряд этих обкладок, а следовательно, и заряд,
протекший через батарею с ЭДС <?2, равен
q = ql+q2=C(2*2-*l).
Теперь перейдем ко второму вопросу. Работа батареи с ЭДС <?2
равна
A2 = qfo2=Cg2{TS2-^,).
Найдем работу, совершенную батареей с ЭДС До замыкания
ключа заряд правой обкладки конденсатора емкостью С, равен
Qi = с^ + с2 ' ~1Г'
После замыкания ключа заряд на этой обкладке составляет
q'l = -с/, = СОТ, - (<Г2).
Следовательно, через батарею с ЭДС <£", протек заряд
До = </','-</', = С (^-5Г2),
и эта батарея совершила работу
Л, = AoST, = С5Г,
Начальная энергия, запасенная в конденсаторах (до замыкания
ключа) равна
Wi-2C^r/°l- —
Конечная энергия этих конденсаторов (после замыкания ключа)
составляет
с,(а-,-#2)2 с2ъ\ с 2 2
И'2 — 2 1 2~ — 2"^1— i»i«2 + lS2>-
По закону сохранения энергии можно записать, что суммарная
работа батарей пошла на изменение энергии конденсаторов и на
выделение искомого количества теплоты:
Л, + Л2= W2-W, + Q.
Отсюда находим
q = л, + Л2 + Ж, - W2 = | %2 - C&Y#2 + 2csl -
- cs;s2 + f с<^2 - ■§ ч\ + се$г - се\ = £ ('<?, - 2w2)2.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
253
4(со, — и>2)Ва
3.182. 1= (]6 + 3я)р • Ток идет от перемычки с ш2 к перемычке
с со,.
Решение. Пересечение перемычками линий магнитного поля
приводит к появлению в них ЭДС индукции. Численно эти ЭДС
равны магнитным потокам, которые
пронизывают площади, заметаемые стержнями
за единицу времени:
и>,Ва
' /2 '
н
К задаче 3.182.
Каждая из перемычек будет эквивалентна
батарее с ЭДС, равной ЭДС индукции, и
внутренним сопротивлением, равным
омическому сопротивлению перемычки. Эквивалентная электрическая
схема будет иметь вид, изображенный на рис. Здесь г, и г2 —
сопротивления перемычек:
г, = r2 = ра,
а /?, и /?2 — сопротивления двух частей проволочного кольца,
заключенных между перемычками:
R
жра
2 '
„ Зяра
к2— 2 '
Согласно закону Ома,
%i-%1=I(rl+r2) + I-^r\-
Отсюда находим ток через перемычки:
/ =
4аВ(а>1 — а>2)
(16 + 3л)ра — (16 + 3л)р '
3.183. 1) Ад = С^^; 2) Q = ^-^ 1 +^
16(о), + <]>~)Ва
3.184. /= (б4+15я)р ' ^0К идет от пеРемычки с ш, к перемычке
с ш,
3.185. 1) С =
6/1
; 2) Ащ = -2А ■
4(а), +и>2)Ва
3.186. / = (1б + зя)р • Ток идет от перемычки с ш2 к перемычке
с со,. *
3.187. 1) С = - = —■, 2) L = \^[q-\a
^(i^ + ir,,)
3iT

254
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.188. /
16(а>2 — о)[)Ва
(64 + 15л)р
2<?о
3.189. 1) qx = '-f, q2=~% q3
<?0
; 2) /„
Решение. В тот момент, когда ток через катушку максимален,
разность потенциалов между пластинами 2 и 4 равна нулю. Также
нулю равна разность потенциалов между пластинами / и 3,
поскольку они закорочены. Заряды на пластинах в этот момент изображены
на рисунке. Из попарной эквипотенциальное™ пластин I, 3 и 2, 4
следует, что напряженности полей в зазорах между пластинами
равны по величине и направлены, как показано на рисунке.
Напряженности полей между пластинами:
2
3
4
Е
Е
Е
*—
v %
2^5
2^5
<?о-2<?1
"23 '
0г_
К задаче 3.189.
Поскольку £,2
Е = -^-
34 ^
2^5
2£oS •
"о
2^5-
(1)
(2)
(3)
-^23 —
Е34, то, приравнивая попарно (1), (2) и (2),
(3), получим систему уравнений для определения и q2:
% = 2<7i - <72>
<7i = 2^2-
2
Из этой системы следует, что qx = - qQ, a q2 =
l

Ч/она
„ „ 2 „1
Заряд на первой пластине — - q0, на второй — —- q0,
1 „ 1
третьей — ^ <?0, на четвертой — ^ <?0.
2) Величину максимального тока через катушку найдем из закона
сохранения энергии. Сразу после замыкания ключа ток через
катушку равен нулю, а заряды на пластинах / и 3 равны по
Напряженность электрического поля между пластинами /, 2 и 2,
3 равна нулю, а между пластинами 3 и 4 — Ех
2^5
Энергия
электрического поля между пластинами 3 и 4
-2
W
1 2
где W — энергия поля вне пластин,
did
+ W .

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
255
В тот момент, когда ток через катушку достигнет максимального
значения, напряженность поля по абсолютной величине во всех
точках пространства между пластинами будет равна Е2 = а энергия
электрического поля
г ■
2
ш — я ^1 sd + W = + w
w, 2 mi 24^5 1ш'
Энергия поля вне пластин остается неизменной и определяется
суммарным зарядом пластин, который равен qQ. Закон сохранения
энергии запишем в виде
LI
где /тах — максимальный ток через катушку. Подставляя значения
для Wt и W2, получаем, что
= Qoi
bt^SL "
[6Ld
3.190. 1) *='0Щ; 2) </,
2 S£o ^
"з!Г" :
-2/.
<?2:
<?0
«о
«о
/
3 d ь>
2 <?о<*
3.191. 1) <у, = у, q2 = у, <73 = -у, ?4 = з q0; 2) /тах = V3 ^rj
2 5£о
1 ^
2 SSo
3 SSgL-
3.192. 1) q.^-f-^g, ?2 = i^> *з = 11Г*. <?4 = -iV^
3.193. 1) c//7 =2B; 2) / = 0,55 A.
Решение. Напряжение на лампочке //, ил^ = 1£ — 1лЯ, где
1Л — ток через лампочку. Последнее уравнение есть так называемое
уравнение нагрузочной прямой.
Пересечение этой прямой (см. рис.) с вольт-амперной
характеристикой лампочки дает
1Л = 0,25 А, ил = 2 В.
для Л1
I, А"
для Лг
Напряжение на второй лампочке °'4
ил = 4 В. По вольт-амперной
характеристике находим ток через нее: 1Л = 0,3 А.
Ток через батарею
I = '//, +^ = 0,55 А.
Именно этот ток и покажет амперметр.
0,3
0,2
0,1
0
1 2 3 4Г
К задаче 3.193.
U, В

256
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.194. /
q(d-2b)
24S
, течет справа налево.
Решение. В установившемся состоянии заряды обкладок / и 3
равны Q и — Q соответственно. Найдем величину заряда Q из
условия, что между обкладка / и 3 конденсатора поддерживается
постоянная разность потенциалов <f.
Пусть Е — суммарная напряженность электрического поля,
создаваемого обкладками / и 3, а Е0 —
напряженность электрического поля пластины 2.
Картина полей при Q > 0 показана на рисунке. Ясно,
что
Еп =
2S%
К задаче 3.194.
Тогда
(E + EQ)(d-b) + (E-E0)b = %
О)
или
Ed + E0d - 2E0b ■■
■if.
Подставляя сюда соотношения (1), имеем
q , 2q
2*b
6 = if.
^ Sco up q(d-2b)
Отсюда Q = <? —
2d
После удаления пластины 2 разность потенциалов между обкладками
I vi 3 равна
'с - с - *
q(d-2b)
2%S
S4
где С — емкость конденсатора, равная С = Для замкнутой цепи
if = Vc + Ir.
а ш q(d — 2b) гг.
Из последних двух равенств находим ток в цепи: / = „_ _„ ■ Ток
через батарею течет справа налево.
3.195.1) 1Л = 1Л = 0,2 А; 2) И = 1,5 В.
A<e-l)i
24S
3.196. /
[2rfe + /i(l -e)]r
, течет слева направо.
3.197. 1) ил =0,75 В; 2) / = 6 мА.
3.198. /
q(d-2b)
4s
, течет справа налево.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 257
(aabJJJ2
о'
3-203-е = 2^4)-
3.204. ^ =
3.205. </ =CY^< 4
' Vc,+c2-
Решение. При максимальном токе ЭДС индукции в катушке
равна нулю, напряжение на конденсаторе С, равно <f, а заряд его
нижней обкладки равен —Cft. После размыкания ключа К2 в цепи
будут происходить колебания, при которых суммарный заряд нижней
обкладки у С, и верхней обкладки у С2 должен оставаться
постоянным и равным —С,^. При экстремальном заряде ц2 на верхней
обкладке С2 заряд нижней обкладки С, равен —q2 — а ток в цепи
равен нулю. К этому моменту прошедший через источник заряд
равен q2 (считая от момента замыкания ключа Кх) и работа источника
равна <?2<f. По закону сохранения энергии
q*a - 2с; + —ж,—•
С2
Отсюда q2 = ± С/^Л/^—гг. По смыслу вопроса в задаче надо найти
I—с—
максимальное значение от \q2\. Итак, <ут = C,<g"\L. +2С .
3(«£aBn)2L
3.206. л —г—^—.
2mv0
Решение. Пусть в некоторый момент времени рамка имеет
скорость v, а координата левой стороны рамки равна х. ЭДС индукции
в рамке равна алгебраической сумме ЭДС в сторонах рамки:
t = Bz{x)va - Bz(x + b)va = BQvaab.
Ток в рамке с сопротивлением R направлен по часовой стрелке и
равен *
. _ j£ _ воуааЬ
R R -
9 - 2675
3.199. 1) 1Д = 1д2 = 1,5 мА; 2) V = 0,5 В.
3.200. / = —2^—> течет справа налево.
3.202. L

258
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Сила, действующая на рамку, равна сумме сил, действующих на все
стороны рамки. Проекция силы на ось х
Fx = -\Bz(x)Ia - Bz(x + b)Ia\ =
v(Il0aab)2
R '
За малое время At проекция на ось х скорости изменится на An,
причем
FvAl = mAv.
С учетом выражения для Fx и того, что vAt = Ах, получаем
■ Ах = mAv.
Ulnaab)2
За время опыта х изменяется от 0 до L, v изменяется от v0 до
и0/3. Суммирование последнего уравнения дает
,2
(ПпааЬ)
aab) (vn \
_(L-0) = m(f-«0J.
Отсюда R ■
3(abal]n)2L
си20 , Wo
3.207. Q 2^ + 20ТТГ^
3.208. R -
(abalin)2W
l ' ^2'
0' " max
(Mg)2
ZL1
3.209. 1)*2-*,-/*; 2) v = -_])C^ + ]R).
3.210. 1) / = —^—, ток течет вправо; 2) v = ■
(E-\)RC2(U-V{)
Решение. Так как U > <f,, то ток / через %{ течет вправо:
Поскольку U = const, то ток через С, не течет и ток через <f 2 равен
/. Напряжение на конденсаторе С2 равно U2 = U — <f2.
За время t пластина выдвинута из конденсатора на расстояние
х = vt, где v — скорость пластины. Емкость конденсатора С2 стала
Заряд левой обкладки
q{t) = U2C{t)=^\zL-{t- \)vt\(U-%2).
Ток через <f2
/ = —п'( 1\
i
/ = -</'(/) =^(1/-5Г2)(е-1)«.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
259
Отсюда скорость с учетом выражения для /
zL(U-% р
V (c-l)RC2W-%{)'
3.211. 1) f/(C,)= I ST. 2) v = - .
3.212. 1) / = —5—, течет влево; 2) v ~
(£-l)RC2(U-%2)
3.213. 1),;=^ + ^,,; = ^-^;
3.214. 1) /max = (£/0 — ) Щ = 50 mA; 2) разность потенциалов
(напряжение) между нижней и верхними обкладками
U = Хё - U0 = -2 В.
3.215. 1) qx =qx +Q2 = Я\ + 2 ~; 2) б = ~Ц~'
Решение. Заряд правой пластины цг до ее перемещения найдем
из условия, что разность потенциалов между пластинами равна <f:
Отсюда ч'г = цх + ^£11
Заряд ^, протекший через батарею слева направо после
перемещения пластины и установления равновесия, найдем тоже из условия,
что напряжение между пластинами равно <f:
Отсюда с учетом (1) q = ^ .
Заряды левой и правой пластин после установления равновесия
e0S% , 3 ZqSW
Я1 = Я1-Ч-Я1+ Яг = Я2 + Я = Я1 + 2 ~ •
Количество теплоты Q найдем, используя закон сохранения
энергии:
A = Q + (W2-W1). (2)
Здесь Л = <yjf = —^— ~ работа батареи, W2 и Ж, — энергии
электрического поля между пластинами после установления равно-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
261
изменение энергии конденсатора
си2 cut>
Aw = —
По закону сохранения энергии
Л' = А1У'С.
Подставив в последнее уравнение выражения для Л' и АИ^С,
получаем U = 1Ж + U0 = 12 В.
3.217. 1) (?2==(7l-_ + —; 2)Q = ^j.
3.218. 1) /max = (ST — 4/0) ^§ = 60mA; 2) f/ = 2if - f/„ = 16 B,
полярность не изменится.
3.219. 1) <?,=</, +^5". Яг = Ях-|V; 2) Q = T-
3.220. /шах = (f/0 + ST) ^ = 70 mA; 2) f/ = 2if + U0 = 9 В,
полярность противоположна начальной.

260
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
весия и сразу после перемещения правой пластины. При этом учтено,
что энергия поля вне пластин не изменилась, так как напряженность
поля вне пластин определяется только суммой зарядов пластин.
Найдем W2 и Wr
После установления равновесия напряженность поля между пла-
стинами Е2 = 7^-, плотность энергии поля w2 = —j-, энергия
W2 = w2Sld = 4(i . Сразу после перемещения правой пластины
заряды пластин не изменились и поэтому не изменилась
напряженность поля: £, = ^г. Плотность энергии wl = -^г", энергия
Wl=wl-S2d = ~-.
znS%2
Подставив в (2) выражения для Л, W{ и W2, находим Q = ^ .
3.216. 1) Imax=(U0 + W) ^ = 70мА; 2) U = XS + U0 = 12 В,
полярность противоположна начальной.
Решение. При максимальном токе 1тах ЭДС индукции в
катушке равна нулю и поэтому разность потенциалов между верхней и
нижней обкладками конденсатора равна Заряд, протекший через
батарею, ц = Cif — (—CU0) — C(<f + U0). Работа батареи Л = cfS =
= C<f(<f + UQ). Изменение энергии конденсатора
По закону сохранения энергии
Л = AWc+^p.
Отсюда, с учетом выражений для Л и AWC, находим
После замыкания ключа начавшиеся колебания прекратятся из-за
диода в момент, когда ток попытается начать течь в обратном
направлении, т. е. по часовой стрелке. В этот момент ток равен нулю,
а напряжение на конденсаторе U (разность потенциалов между
верхней и нижней обкладками). Это напряжение и останется
(установится) на конденсаторе. От момента замыкания ключа до момента
прекращения тока работа батареи
Л' - (CU - (-CU0))V = CV(U - U0),

4. ОПТИКА
4.1. na = nn+j= 1,000297.
4.2. L = 5„ = 50 м.
Ни — Da
4.3. Лп = ^- = 3-10~6.
4.4. L = 25 м.
4.5. х = 26 мм.
4.6. л: = 39 мм.
4.7. У7 = 96 мм.
4.8. х = 1 см.
4.9. У7 = 4 см.
4.10. F = 8 см.
4.11. р«8°.
4.12. (3*26°.
4.13. Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции
пересекаются в оптическом центре линзы.
Второе положение: продолжения боковых сторон трапеции
пересекаются в фокусе линзы. Таким образом, сторона АВ находится на
расстоянии d = F/2; |/|=FHr=-^- = 2.
4.14. Достаточно очевидно, что перемещение Д = F. Для отрица-
„ У г У" J"
тельной линзы имеем: Г, = rf + f-> Г2 = d д + F — d + 2у,-» тогда
/•' F „ „ Г; [
г = г2-р< откудаг2 = г^т = 4-
К задаче 4.13. К задаче 4.15.
4.15. Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции
пересекаются в фокусе линзы.
Второе положение: продолжения боковых сторон трапеции
пересекаются в точке, соответствующей двойному фокусу линзы. Таким
образом, ЛВ находится на расстоянии d= 3F/2 от линзы; / = ЗУ7 и
T = f/d = 2.
4.16. Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции
пересекаются на расстоянии 2F от линзы.
Второе положение: продолжения боковых сторон пересекаются в
фокусе линзы.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
263
Пусть во втором положении расстояние от линзы
до трапеции равно d, тогда в первом положении оно
равно d + F. Для положительной линзы имеем
г _/ ..г, F /■"
1 2- d
d-F
а
d + F—F
откуда
0,8
2 l-r, 1-0,8
4.
IF
К задаче 4.16.
4.17. Рассмотрим ход лучей в линзе (см. рис.). Из
рисунка видно, что АЛОВ — прямоугольный,
АО = ОВ, поэтому а = 45°.
Пусть теперь р0 = W/c — начальный импульс пучка света, р0/2 —
имульс отраженного от зеркала пучка света.
Так как F т = Др, то F = — V5 + 2V2 = 2,3 Н.
2
F.S Л/ а
! Ар Л
О
К задаче 4.17.
4.18. (См. реш. задачи 4.17). Пусть р0 = W/c — импульс
падающего пучка света, р0/2 — импульс прошедшего пучка, а = 30°. Так
1 w
как F т = Др, то F = \ — V5-2V3
г 2 ст
1 н.
4.19. (См. решение задачи 4.17). а = 30°, р0 = W/c — импульс
падающего пучка света, р0/2 — импульс прошедшего пучка света.
Таким образом,
4-^V5 + 2V3
2 ст
1,9 Н.
F/VJ
К задаче 4.18.
К задаче 4.19.

264
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.20. (См. решение задачи 4.17). р0 — W/c — импульс падающего
пучка света, р0/2 — импульс прошедшего пучка
света, а = 45°.
Таким образом, F = ~— V5 — 2V2 «s 1 Н.
2 ст
4.21. По условию система — телескопическая
и останется таковой и после перестановки линз.
Увеличение в обоих случаях не зависит от
положения предмета (см. рис.) и равно в первом
случае Г, =
, а во втором Г2 =
Отноше-
К задаче 4.20.
2
ние увеличений Г2/Г, = F\IF\ = 1/25.
К задаче 4.21.
К задаче 4-22.
2ЛГ
1}-Ат
4.22. (См. рис.). ^+-£ = j, а, 2= F + L±A, A = b2-bl =
По условию, Л = 1, А = 2, L — V5, так что F2 = 4 и F = 2.
4.23. (См. решение задачи 4.21). По условию система —
телескопическая, и h2
У 2
0,4
ню
!6
4.24. (См. рис.). i + i=-i
2,5 см.
_ (а ± Л)Р
21 а±А + Г
A = b2-bt =
= F
а +А
К задаче 4.24.
К задаче 4.25.
4.25. Пусть в некоторый произвольный момент времени расстояние
между зеркалами равно х. Оптическая разность хода между пучками,
отраженными от зеркал А = \ЛВ\ — \ЛС\ = 2х cos а (ВС±ЛС).
Величина сигнала, регистрируемая приемником, будет периодически по-

266
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.34. Г =
= 0,25.
2F-a
4.35. А = 4/9 см.
4.36. Г = 1.
4.37. Ход крайнего луча, попадающего в глаз наблюдателя от
освещенного на дне пятна радиуса г, показан на рисунке. Угол падения
этого луча на поверхность воды а, угол преломления ц> я» у. Тогда из
закона преломления sin а
1/
Радиус пятна на дне г = R + Н tga =
R +
{п2
3,5 м. Площадь пятна лг2 « 38 м2.
4.38. L--
4.39. г =
• 1
(Л-
■ R-
)^пг- 1 « 2,6 см.
2 м.
4.40. г = R —
II
1?
2 см
•1
К задаче 4.37. К задаче 4.41.
4.41. Ход луча, преломленного на сферической поверхности,
показан на рисунке. По условию sin гр = а/г = 0,6. По закону
преломления п sin г\> = sin ip. Следовательно, sin ip = 0,8. Далее находим:
72/? 4/?
АВ = a ctg (ip — г\>) = OZJ = У? cos гр = —. Искомое расстояние
O/l = АВ + ОВ = + |j Л = -у Л.
4.42. п = 4/3.
4.43. п = 1,6.
4.44. п = 4/3.
4.45. d — расстояние от середины спички до линзы, / — длина
спички, F=10cm — фокусное расстояние линзы. Увеличение в
первом случае Г,
= Щ- (вывод формулы мы оставляем
читателю), увеличение во втором случае Г2 = d_/7 = 2,5. Из этих

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
265
■к.
i
R\
&
К
К задаче 4.30.
вторяться с периодом Т при изменении разности хода на длину волны
X, т.е. 2иТ cos а = X. Отсюда Т — k/2u cos а, а частота переменного
сигнала / = j = (2и cos а)/Х = 200 Гц.
4.26. / = |^= 10 Гц.
4.27. £/ = ^= 1 мм/с.
а
4.28. v=Q^-=\ мм/с.
2а
4.30. Пусть поперечный размер пучка равен Ar (Ar«R). Тогда
координата нижней границы пучка равна R, а координата верхней
границы R + Аг. Волновой фронт пучка
после прохождения стеклянной пластинки
повернется на некоторый угол а, величина
которого определяется из условия равенства
оптических путей нижнего и верхнего краев
пучка Hn(R) = Hn(R + Ar) + Ar-sin а, где
n(R) — значение показателя преломления
пластинки при г = R, а n(R + Ar) —
значение показателя преломления при г = R + Аг. Из этого равенства
найдем, что
sin a H —j- - —, a ~ 2 .
4.31. h = (n — l)F tg a = 4 мм.
4.32. sin a = —= 0,056, a « 3°.
ro
4.33. Минимальное расстояние а, с которого можно снять
фотоаппаратом, определяется максимальным расстоянием b между
плоскостями объектива и пленки по формуле линзы: ^ + ^ = j„ где F —
фокусное расстояние объектива. Увеличение объектива Г =~ — j~ 1-
Увеличение объектива без удлинительного кольца Г { = у — 1, а с
удлинительным кольцом Г2 = — 1 = Г, +у. Фокусное расстояние
аТ.
линзы выразить через Г1 и минимальное расстояние a: F = г +).
Окончательное выражение для максимального увеличения с удлини-
I
б-
Д(г, + п 1
тельным кольцом Г2 = Г1 Н — = -. Максимальный размер
чертежа: (24/Г2) х (36/Г2) = 144 х 216 мм
2

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
267
1
находим р- =
11
I2 I I2 л
— = 3 ~ 77г Откуда
4F
4Г
двух равенств
/ == 4 см.
4.46. Л = 3,3 см.
4.47. Г=|.
4.48. F = 7,2 см.
4.49. Распространение света от пузырька через слой жидкости
толщиной 1/2 и преломление на плоской границе жидкость—воздух
эквивалентно прямолинейному распространению света от мнимого
изображения пузырька, расположенного от границы раздела двух
сред на расстоянии h = Ц2п. Здесь и далее речь идет о световых
лучах, распространяющихся под малыми углами к главной
оптической оси линзы (условие параксиальное™). Мнимое изображение
пузырька расположено на расстоянии l/2n + L от линзы, а его
изображение в линзе получается на экране. Воспользовавшись
формулой для тонкой линзы, найдем расстояние х от линзы до экрана:
1 ,1 1 ^ F(L + U2n)
i . > лг- + ~ = т- Отсюда X — , , ,_
L+U2n X Р L + lUn — Г
Г = x/(L + Ц2п) — F/(L + l/2n — F) = 4. Скорость пузырька равна
скорости его мнимого изображения и составляет и = v/Г =
= v(L + l/2n - F)/F = 20 см/с.
:= 120 см. Увеличение линзы
4.50. и =
Зд(а + Д)и
2,4 см/с.
(а-ЗД)т
4.51. и = 0,5 см/с.
4.52. и = 5,9 см/с.
4.53. 1) Расстояние от оси
зеркала (точка А) до
изображения | AS" | = | AS' I, но
I AS'I = I OS'I — L (см. рис.).
Расстояние | OS' | находится no
формуле линзы: — -I X—
a \OS\
Is*
0
if
—~-~-QC-
-. s'
К задаче 4.53.
I OS I = 5F = 100 см.
Следовательно, I OS" I = 40 см.
2) Из геометрии |3 = 2a — л/2, при a = 60° угол |3 = 30°. Скорость
перемещения изображения
AS
2m-2f= 4u>F-
8 см/с.
5F = 50 см;
4.54. 1) Расстояние от точки А до изображения /
2) v = 10coF = 5cm/c.
' 4.55. 1) Расстояние от точки А до изображения / = F = 15 см;
2) ш = v/2F = 0,1 рад/с. Угол а имеет два значения: а, = 45°,
а, — 135°.

268
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.56. 1) Расстояние от точки Л до изображения / — 6F = 120 см;
2) со = и/12F = 0,05 рад/с, а = 50°.
4.57. 1) р = 2а = 0,16; 2) Изображение мнимое, расстояние от
линзы F/2 = 10 см, а от главной оптической оси — Л/2 = 1 см.
4.58. 1) а = 2(3 = 0,3; 2) Изображение на расстояниях / = 30 см
от линзы и Н = 6 см от главной оптической оси.
4.59. 1) <х« (3/2 = 0,12; 2) Изображение на расстояниях / = 6 см
от линзы и Н = 0,5 см от главной оптической оси.
4.60. 1) р= а/2 = 0,1;
2) Изображение на расстояниях / = 40 см от линзы и Н = 10 см
от главной оптической оси.
4.61. 1) d = 9 см; 2)F=18cm.
4.62. 1) у^^ = 30 см; 2) F= 10 см.
4.63. 1) d = 24см; 2)F=-12cm.
Решение. Пусть источник S расположен на расстоянии d от
линзы (см. рис.), а его мнимое изображение S, находится на расстоянии
|/| от линзы. Из подобия треугольников SCB и SAO
(d + L)/d = r2/R. Отсюда с учетом численных значений L, г2 и R
имеем d = 24 см. Из подобия треугольников StKB и 5,у10
(|/| + L)/\f\ =r{/R. Зная численные значения L, г{ и R, находим
|/|=8 см. По формуле линзы
1 + 1 = 1
где / = —8 см. Отсюда фокусное расстояние линзы
F = -ТТ1 = -12 см.
d+f

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
269
4.65. 1) Я, +Н2 = 5,5м;
2) Форма «зайчика» подобна форме зеркальца, 10 х 15 см2.
4.66. 1) *=2S, + S2 = 5m;
2) Ромб с диагоналями 40 см и 30 см.
4.67. 1) L2 + 2L, =3 м;
2) Треугольник со сторонами 25 см, 30 см и 35 см.
4.68. 1) Х = ХХ + Х2 = 4м;
2) Эллипс с осями 60 см и 40 см.
4.69. 1) <р« j = 0,02; 2) L == 300 см.
4.70. 1)| = 0,5 см; 2) L » (f+ g)f = 55 см.
2 ' ' 2D +а
4.71. 1) я = 0,5 см; 2) L = (1)п+.аУ — 54 см.
' О + 2а
4.72. 1) а = 1 см; 2) L — (Z?+g)f = 80 см.
4.73. Л = 1 м.
Решение. Легко показать, что при прохождении луча света через
плосконеоднородный слой угол преломления луча \Ъ на выходе из
среды связан с углом падения на нее а выражением
sin а п(1/) /j^
sin р — и0 '
где п(Н) — показатель преломления среды на выходе светового
луча, а п0 — на входе в среду, и не зависит от вариаций показателя
преломления в самом слое. В том случае когда световой луч
испытывает полное внутреннее отражение выражение (1) переходит в
sin а„ И(А)
здесь h — максимальная глубина проникновения луча в слой.
Следовательно, для угла падения а0 получаем
n(h)
"о '
Используя зависимость n(h) = п0— kh,
n0-kh , kh
откуда h = у (1 — sin <z0) = 1 м.
, 4.74. п2 = ^n2 — sin2 а ^ 1,3, свет не проникает во второй отсек
при п < 1,3.

270
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.75. sin а0 = = -~ = 0,9, Я — глубина проникновения све-
П0 1,4
тового пучка. При а < а0 луч света сможет проникнуть в среду III.
4.76. sin а0 = -ynf — п\ = 0,87, а0 = 60°, а>а0 = 60°.
4.77. cos а = 2" +.А/ -^J- = 0,9, а = arccos 0,9.
а+Д/ Da
4.78. v = ^ R — = 1,3 см/с,
в« = J (» + if1^?) = 3'5^ "г = Т (l - ifl^?) = 1 И*
4.79. / = ^ = ^ tg21 =* 0,87 см.
2D 1 + cos а 2D 2
4.80. и = ^ЛГ=: 0,063 см/с, Г = ^ = 0,4.
(l ~f) =3,SF, a2 = ^ (l -l/l-x) =1'4F-
4.81. n = |[=l,48.
4.82. Решение. Через оптический центр линзы проведем
вспомогательный луч ОС параллельно лучу АВ. Преломленный луч ВС
пересекается с лучом ОС в точке С, принадлежащей фокальной
плоскости линзы. Продолжим луч ВС влево до пересечения с главной
оптической осью линзы в точке А'. Угол САО является половиной
искомого угла (3. Проведем линию BD параллельно OF. Угол CBD
равен (3/2. Из треугольника CBD
$ _(FC-OB) ^'-")'ef
g 2 /•• /•'
Отсюда р = 1,7- Ю-2 рад.
К задаче 4.82.
4.83. d =
ni-
= 0,03 м.
4.84.
tgf =
(n-l)(A + F)
fl + /4gf = 3tgf, p = 2arctg (3tgf
: 0,3 рад.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
271
4.85. 1) h'
2/i
hFj = 22 см; 2)a = «j = 0,2 см/с.
4.86. 1) А = - 27^7 = -0A5F; 2) w,
4.87. Положение изображения
комара, даваемое линзой и равное а,
определяется из формулы линзы
1 = _ 1
изобр
b п 1 л-Гк
При учете зеркала оно снова
является предметом для линзы, которая дает
новое изображение на расстоянии Ь, так
что
_ а + Ъ = ~ Т
Складывая эти уравнения, получаем
К задаче 4.87.
Откуда b = — =-|f = —0,2 м. Изображение ниже зеркала
2Л-
на 0,2 м.
Из подобия треугольников ABC и А1ВС1
— 1 см/с.
4.88. 1) A = 0,6F; 2) „НЗ = 0,2Л^.
4.89. Построим изображения нити
лампочки, полученные путем многократных
отражений от двух поверхностей зеркала. Для
этого пустим луч от лампочки У/ под
небольшим углом а к вертикали. Тогда
пересечение луча 1 с прямой JIJJ,
перпендикулярной плоскости зеркала, даст
изображение Jlj. Преломленный луч проходит в
зеркало под углом р к вертикали, так что
у А<
и At
= т и и
h
ИЛИ -г Я» П.
После отражения от зеркальной
поверхности и преломления на верхней
поверхности зеркала он выходит под углом а к
вертикали (луч 2). Продолжение луча 2 до
пересечения с J1JI дает второе изображение нити
лампочки А2 и т. д. Из геометрии рисунка
К задаче 4.89.

274
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.104. F2 = — 15 см.
d„2
4.105. х = ———г- = 18 см.
г + п — п'-
л mr 1 (би — 1)Л , с
4.106. L = р— = 15 см.
(Зп — 1)п
Решение. Определим положение
изображения источника S', даваемое
преломляющей поверхностью AAV
Ввиду малости углов имеем
а/(3 = п
(см. рис.). Из теоремы синусов для
треугольника OS'D
(6-2Я)/р = ДЛр.
Аналогично для треугольника OSD
К задаче 4.106.
R/2a -
откуда = 2 а или
9 = -ф — а = 3(3п — (3.
Решая второе уравнение относительно Ь, получаем
b=(6n-l)R/(3N- 1).
Определим положение изображения источника S" при
преломлении на границе ВВХ. Очевидно, что S"C = bin. Окончательно
S"C = (6я - \)R/(3n - l)n = 15 см.
4.107. у = ,}R . = 26,7 см.
J п(2 — п) '
4.108. х = *(n ~2) = 0,9 см.
/г+ П- 1
4.109. L = —= 1 см.
4.110. L = ^= 1,25см.
Решение. До смещения источника S' по формуле линзы найдем
расстояние Ь от изображения источника до линзы
\/d + l/b = - l/F.
Отсюда
b=dF/(d + F) = & см.
Источник, его изображение и оптический центр линзы всегда
лежат на одной прямой. Поэтому проведем прямую через смещенный

276
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Используя формулу линзы для предметов S2 и S3 (S2 —
изображение предмета S, в зеркале), получаем
(1+^)/7=<,+Г'«>/7-
Расстояние от линзы до изображения предмета S3, даваемого
сиеной
d = F(r\ + \) = (b + 2c)r\,
или
F(iyr, + 1) = (6 + 2с)1уГг
Отсюда для искомого расстояния с находим
с = F/3 = 5 см.
],INS
4.116. F-
4лЛ2с
Решение. Мощность излучения, падающего на зеркало,
ууз = NS/(4%R2).
Импульс фотона Рф и его энергия Еф связаны соотношением
Рф — Еф/с. Здесь с = 3 -108 м/с — скорость света. Поэтому импульс
Р падающего на зеркало света в единицу времени и мощность W3
(энергия в единицу времени) связаны аналогично:
Р = NJc.
•'отр '"нр •' 1'а В единицу времени импульс отражен-
""" 1 " • •* ного света /* = 0,ЗР, импульс прошед-
к задаче 4.П6. шего света Р = 0,2Р, импульс зеркала
Р3 = Р + Ратр — Ри = 1,1Р, поскольку по закону сохранения
импульса
Р + Р + Р = Р.
отр пр S '
(см. рис.). Сила на зеркало F = Р. С учетом полученных выражений
для Ръ, Р и УУ3 находим силу F
F= \,\NS/4%R2c.
4.117. а = 2см.
4.118. F = ^V2(1 - cos а) = 0,67-10"7 Н.
4.119. F = ^»5,7cm.
4.120. F = ^^^0,7410_I2H.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
275
источник S" и его изображение
(точка В). На рис. это прямая S" В.
Точка О' является новым оптическим
центром линзы. Следовательно,
линзу надо сместить вниз на расстояние
ОО', которое обозначим L.
Расстояние L найдем из подобия
треугольников SS"В и BOO':
L/h = b/(d- Ь).
Отсюда
L = bh/{d -Ь) = hF/d = 1,25 см.
4.111. L = — = 6 см.
а
4.112. h = ^# = 8 см.
4.113. F= la
= 36 см.
1 2 '
„4
К задаче 4.110.
4.114. F = 2л; / « 7,5- Ю-7 Н.
4.115. с = j = 5 см.
Решение. Из формулы линзы (см. рис.)
\la-\lb=\lF
при условии что Ь/а = Г{ следует, что b — F. Общее увеличение,
даваемое системой «линза-зеркало» равно Г2 = Г,Г'1, где
г:
1 Ь + 2с'
Si
S
«я»
1^1
|_
52
* Ь "
1
1"
К задаче 4.115.

278
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.124. d = (F/4 -L)n = 3 см.
4.125. 1) р = 2а; 2) „ =
Решение. По формуле линзы найдем расстояние b от оси линзы
до изображения мухи:
К задаче 4.125. К задаче 4.129.
4.126. 1) tg Р = 5 tg а или р » 5а; 2) u = v ^ ° ^^v.
4.127. 1) tgp = -j-tga; 2) и = „ ^-f « 16w.
/or 4<3i/ a sin (3
4.128. 1) tgp = 6tga; 2) и = г;^-|»^г;.
' ° r ° ' a sin p 36
4.129. 1) I = f. - = 32 cm; 2) b = ^ = 0,25 см.
Решение. Поскольку параллельный пучок света фокусируется
справа от рассеивающей линзы, то это означает, что фокус
собирающей линзы больше расстояния L между линзами, и на
рассеивающую линзу падает сходящийся пучок света. По формуле линзы
можно записать
1 +1=--!-.
1 17
Fx-L ' а
Отсюда
L^Fl-^jr = 32 см.
Для ответа на второй вопрос рассмотрим ход луча, проходящего
через оптический центр собирающей линзы параллельно главным
оптическим осям линз (см. рис.).

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
277
4.121. L = 11 см.
Решение. Сначала найдем изображение источника S в линзе
1 + 1 = 1
а ^ Л, F
J
—f—
S'"
1
л
О
*>
5"
fl,
т v
" b
!
п
К задаче 4.121.
При а = j F расстояние до линзы 6, = ~2F' Изображение в линзе
S' является мнимым и совпадает с изображением S, (см. рис.). После
прохождения линзы световые лучи преломляются на передней
границе зеркала. Преломленные лучи кажутся исходящими из мнимого
источника S". Расстояние от этого источника до передней поверхности
зеркала AS" = n(L + b), где п — показатель преломления материала
зеркала. Это соотношение справедливо для параксиальных лучей, то
есть для малых углов падения, которые мы и рассматриваем. После
преломления лучи отражаются от зеркальной поверхности и кажутся
исходящими из мнимого источника S'". Расстояние от этого источника
до зеркальной поверхности S"'li = AS" + АВ = d + n(L + b).
Зеркально отразившись, лучи снова преломляются на передней границе
зеркала и кажутся исходящими из мнимого источника S"". Расстояние
AS"" = AS'"In = Idln + L + b. После преломления лучи проходят
линзу и собираются в точке Расстояние OS"" = AS"" + L =
= Idln + 2L + h. По формуле линзы можно записать
2dln + 2F + b^ b Г
После подстановки числовых значений получим
1 +-L = -L
38 + 2/, 30 20'
Отсюда L = 11 см.
4.122. F = \ (L + f) =8 см.
4Л23- n = 4Flhl=l>5-

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
279
Из подобия треугольников ЛОВ и BFC следует:
Отсюда
Ь = ~ = 0,25 см.
'9
4Л30. 1) f2='°^y"-40cM; 2)
4.131. 1) а =
(a-F,)F1
(F2-Fl+a) 6'7СМ; 2) У = 7Г* = 0,67СМ.
F7b „ ^(F.+i)
4.132. 1) </ = ^ = 0,25см; 2) fl = = 48 см.
4.133. x = b{l - =9 см.
Решение. Пусть пучок света проходит на расстоянии х от
верхнего основания призмы (см. рис.). Диаметр пучка обозначим через
dx. Поскольку пучок проходит через призму без преломления, его
волновые фронты (плоскости постоянной фазы) на входе и на выходе
призмы параллельны друг другу. Волновой фронт входного пучка
перпендикулярен направлению распространения пучка и,
естественно, параллелен грани призмы АЛ'. Этой же грани будет параллелен
волновой фронт и выходного пучка. Пересечение этого волнового
фронта с плоскостью рисунка изображено в виде линии с/. Такое
положение волнового фронта означает, что
оптические пути ас и kf должны быть равны.
Оптический путь ас включает в себя два
участка аЬ и be:
Лас = Ла& + Л6с = (° + х °)- «(*) + dx tg а-
Оптический путь kf равен
^k/ = (D+ (х + dx)lg а)-п(х + dx).
Приравняем оптические пути:
(£>+xtga)-l,4^1-^-j +dx\ga =
= (D+(x + dx)Xg a) • 1,4 fl -
x+dx
77-
K задаче 4.133.
Пренебрегая малым членом ''4^g a (dx)2 (по отношению к другим
'членам), найдем расстояние пучка от верхнего основания призмы:
D D

280
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.134. 7 =
4.135. а =
4.136. L =
0,l(2aa-D)
6- Ю-3 рад.
D_
2а
0,2(D + 2aa)
0,02 рад.
: 5 СМ.
0,4a-v
пЛ. 1А1
4.137. F' = -б—т-^—ttf = 39,5 см. Изображение над линзой.
Решение. Поместим мысленно между линзой и водой тонкую
прослойку воздуха. Это не повлияет на ход лучей в системе. Можно
считать, что на линзу падает параллельный пучок света. После
прохождения линзы мы будем иметь расходящийся пучок, как от
точечного источника, находящегося в фокусе нашей линзы (точка А на
рисунке, вся картина на рисунке повернута на 90°).
Рассмотрим один из этих лучей, который под малым углом а
падает на выпуклую сферическую границу воздух—вода (луч АС).
После преломления на этой границе преломленный луч распространя-
р
У yN'c
"К
""*
о
D
« R J-
„ 1Л ►
К задаче 4.137.
ется вдоль направления СВ', а его продолжение СВ пересекает
оптическую ось системы в том месте, где находится изображение (точка
В). Расстояние от изображения до линзы равно расстоянию BD на
рисунке. Найдем это расстояние. Весь расчет проведем в
приближении малых углов. Из ААСО найдем связь между углами а и (3:
ILL
R '
Угол падения a + (3 :
. Л+ \F\
0 + 0Ш,
R+ \F\
7 = —с-
7 — (3 = a —
nR
+J
nR
синусов
\BD\
\ВС\
Сумма углов 9 + (3
, 1Л _ „ R-\F\(n-\)
R а nR
nR\F\
. Преломленный угол
7. Отсюда
. Из ABCD по теореме
R- |М(и-1)
39,5 см.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
281
При построении хода одного из лучей мы предположили, что
изображение будет мнимое, и, поскольку числовой результат получился
положительный, то наше предположение оказалось верным.
/2/*"/?
-—; ггтт = 4,75 см. Изображение в воде.
R— (л — 1)/'
4.138. F'
4.139. F'
Ли,
— = 56,4 см. Изображение над линзой.
R. п
4.140. F' = — = 48,4 см. Изображение в воде.
n2-ni
4.141. / = ^=400 Гц.
Решение. Пусть х — расстояние от источника света до оси OA.
Изображение источника света S", создаваемое зеркалом,
расположено на расстоянии 2d + х от оси OA (см. рис.). Для оптического пути
SA имеем
2\
\SA\ = VL2 + .x2 =£Д/1 +71 1+{*2
Длина оптического пути S3 А равна |5*Л|, причем
\S*A\ =VL2+(2d + x)2«L
1 +
1 (d + x)
2\
Разность хода лучей S3A и SA
2dz
2dx
А = \ S*A\ -\SA\(*=j- + Zj±.
Максимум освещенности в точке
Л наблюдается, когда
2d2 , 2dx ,
— + -у- = тк,
S *^
К задаче 4.141.
где т — любое целое число (т —
порядок интерференции), а Я — длина
волны, излучаемой источником S. Если за время At порядок
интерференции изменился на единицу и источник сместился на Ах, то
Ах=vAt и
2dAx ,
—, — Л,
отсюда
At =
LX
2dv'
частота

282
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.142. / = || = 400 Гц.
4.143. / = 7Г = 40 Гц.
4.144. / = ||=20Гц.
4.145. F. —= 7 см, F7 = ——
1 а + р ^ а + р
4.146. F, %^£= 19см, \FA = ^—^ = 9 см.
1 р — а р — а
es 3 Я см P. as -Iй- 6,7 СМ.
3 см.
4.147. F
I ~ —Го ~ 3,3 см, F-);~ ——j
1 а + р z а + р
Решение. Пусть Fl a F2 — фокусные расстояния линзы У7, и
Лг. После прохождения линзы Л{ пучок соберется в фокальной
плоскости BD линзы У/, в точке В (см. рис.). Поэтому AD — Fv Посколь-
Л\ Л 2
\
В
л
D
К задаче 4.147.
ку из линзы Лг пучок выходит параллельно ее главной оптической
оси, то точка В должна быть фокусом линзы У/2 и лежать на ее
главной оптической оси, т. е. ВС = FT Из треугольника ABC по
теореме синусов
F2 л в L
sin a sin р sin (180° —а —р)'
При малых углах а и (3 справедливо: sin а«а, sin (3« р\
а+р, АВ Fy Тогда —~ '1 ~ Л
sin (180° - а-
Отсюда Ft
' а + р
1L
3,3 см, F.
2~ a + P
a£
p а + р'
я» 6,7 см.
= 20 см.
4.148. I I *» = 10 см, F2 «* -^j
1 1 1 a —p z a —p
4.149. p%^r.
4.150. p=»2a.
Решение. Можно показать, что любой упавший на уголковый
отражатель луч SA и отраженный от двух зеркал луч ВК
параллельны (см. рис.). У нас луч SA идет под углом а к оси ОО'.
Следовательно луч ВК идет тоже под углом а к оси ОО'.

284
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
жит предметом для линзы. S3 — второе изображение в линзе
(окончательное изображение в системе) предмета S2.
Из условия задачи следует, что S30 — ^F. По формуле линзы
-L+ = !
If OS2 F
2
Отсюда OS2 — 3F. Так как зеркало должно находиться посередине
между Sl и S2, то
F + L — 3F — L.
Отсюда L = F = 10 см.
4.155. При а > 30 см изображение прямое, при а < 30 см —
перевернутое.
4.156. L = F= 10 см.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
283
Удобно на падающем луче взять точку S. Тогда S, — изображение
от S в верхнем зеркале, a S2 — изображение в отражателе, причем
5>
Г -6
' 1 \
\, \
О
S
^_ »
■—i\''s3 \°'
а_Х—
К
1
л
1
1
■/■72-
I
SS,
К задаче 4.150.
2L = F. Теперь S2 для линзы — источник, его изображение
53 в линзе будет мнимым на расстоянии F/2 от линзы, т. е. попадает
случайно в вершину отражателя. Продолжение вышедшего из линзы
луча проходит через точку Sr Из треугольников SS3K и SS2K
SK = ^\g (3, SK = SS2 tg a.
Поскольку SS2 = F, то tg (3 = 2 tg a. С учетом малости углов а и (3
получаем р1 «к 2а.
4.151. (3= а.
4.152. Луч выйдет параллельно оптической оси, т. е. угол (3 = 0.
4.153. х = 4 F = 12,5 см.
4
4.154. L = F = 10 см.
Решение. Обозначим через L расстояние от линзы до зеркала.
В линзе первое изображение S, от предмета S получается мнимым и
попадает в фокус (см. рис.). S, является действительным предметом
для зеркала. S2 — мнимое изображение в зеркале предмета S, и слу-
I <г/
.If
2 Л
s2
К задаче 4.154.

286
АТОМНАЯ ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.7. V = —С = 63 м/с.
Мс
5.8. ^ = Мс2J = 23,73 КэВ.

5*1* Хл
5.2. v = с
i — a he
■1 А
5. АТОМНАЯ ФИЗИКА
: 0,33 мкм.
1+^-1
тс
^ с —7 ^ 3,3 м/с.
5.3. Число фотонов, падающих на катод в единицу времени,
Л/ф = -j^-. Число электронов, вылетающих в единицу времени,
jVc =J-. Количество фотонов, приходящихся на один электрон,
N. kcl
5.4. v = c"\/l
= 100.
2W
с —z — 3,3 м/с.
mc
5.5. = W0-f = 23,8 КэВ.
Решение. Запишем закон сохранения энергии до испускания
■у-кванта и после испускания:
где EQ — энергия возбужденного состояния ядра, Е^ — энергия у-
кванта, Р0 — импульс ядра до испускания 7-кванта, Ря — импульс
Ро
К задаче 5.5.
ядра после испускания 7-кванта. По условию Еу = EQ. Отсюда
следует, что Р0 = Ря. Закон сохранения импульса для системы «7-квант
и ядро» в вектором виде изображен на рисунке. Поскольку PQ = Ря,
импульсный треугольник является равнобедренным, то
При а = 60°
— — 2Рп cos а.
с 0
р0с =wQ-f = 23,8 КэВ.
5.6. v =
Мс
с = 63,2 м/с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЗАДАЧИ
1. Механика *!
2. Термодинамика j~
3. Электричество
4. Оптика j;L
5. Атомная и ядерная физика 176
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. Механика
2. Термодинамика ZUZ
3. Электричество 2™
4. Оптика ^
5. Атомная и ядерная физика 285