А.К. ГОРБУНОВ
Э.Д. ПАНАИОТТИ
Сборник задач
по ФИЗИКЕ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ
в ВУЗ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
А.К. ГОРБУНОВ, Э.Д. ПАНАИОТТИ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗ
Учебное пособие
Издание третье,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2005
УДК 53(023)
ББК 22.3
Г67
Рецензент
зам. директора по учебной работе, доцент кафедры физики
КГПУ им. К.Э. Циолковского, канд. физ.-мат. наук А.С. Кожевников
Г67 Горбунов А.К., Панаиотти Э.Д. Сборник задач по физике для по-
ступающих в ВУЗ: Учеб, пособие / Изд-е третье, испр. и доп. —
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 240 с., ил.
ISBN 5-7038-2198-3
Пособие по структуре представляет собой совокупность семинарских занятий, в кото-
рых изложен элементарный курс физики. Каждый семинар имеет следующую последова-
тельность изложения материала: теоретическая часть (основные определения и формулы)
и задачи, некоторые из которых даны с решениями. Подбор задач к занятиям выполнен по
единому методу’ от простых — к сложным. В пособие включены качественные задачи.
Приводится список использованной литературы.
Предназначается для слушателей подготовительных отделений и абитуриентов.
УДК 53(023)
ББК 22.3
ISBN 5-7038-2198-3
© Горбунов А.К., Панаиотти Э.Д., 2005
© Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
1.	Скаляры и векторы
В курсе физики оперируют с двумя категориями величин: скалярными и
векторными.
Скалярная величина полностью определяется модулем (числовым значе-
нием) и знаком. Например время, путь, масса, работа. Действия над скаляра-
ми производятся по правилам алгебры, дифференциального и интегрального
исчисления.
Векторная величина характеризуется модулем и направлением (углом).
Векторную величину графически изображают отрезком прямой со стрелкой
на конце. Например скорость, перемещение, сила, ускорение.
Действия над векторами производятся по правилам векторного исчисления.
а)	Сложение векторов (по правилу параллелограмма или треугольни-
ка) — нахождение вектора суммы по данным составляющим векторам
с = а + Ь.
Разложить вектор — найти его составляющие. Это действие неодно-
значное и требует указания направлений составляющих. Нахождение проек-
ций на оси координат — частный случай разложения вектора на взаимно-
перпендикулярные составляющие.
Примеры: V = VX+Vy, У = ^+Уу.
3
б)	Вычитание вектора Ь из вектора а можно заменить сложением а с
вектором (—Ь у.
d = a-b =а + (-Ь).
в)	Скалярное произведение двух векторов —
скаляр, равный произведению модулей этих век-
торов на косинус угла между ними
a-b ~a-b- cos а,
при этом а • b = Ь • а.
Пример: А = F-&r = FArcosa.
г)	Векторное произведение
двух векторов — вектор, числен-
но равный произведению модулей
этих векторов на синус угла меж-
ду ними. Его направление опре-
деляется по правилу буравчика
(винта):
с = axb, с = аЬ$ти .
При этом а х Ь ф b х а, так как вектор с меняет направление. Следова-
тельно, в векторном произведении важен порядок сомножителей.
Пример: V = ®xr9M = F xd.
д)	Произведение вектора а на скаляр b — вектор с , направленный вдоль
заданного вектора а и численно равный произведению сомножителей:
с = ba, с = ab.
Пример: p = mV.
4
ё) Решение векторных треугольни-
ков сводится к применению теоремы
косинусов и теоремы синусов
с = а + b.
Теорема косинусов:
с2 = a2 +b2 -2abcosy,
а2 =Ь2 + с2 -2Z>ccosot
и	Ь2 = а2 + с2 - 2ас cos р.
Теорема синусов:
а _ b _ с
sin a sin р sin у
где R — радиус описанного круга.
Для прямоугольного треугольника (по теореме
Пифагора)
с = yla2 +b2, Z?/c = sina, а/с = cosa, b/a = tga .
2.	Предел
Если переменная величина (скорость, ускорение, сила) в рассматривае-
мом процессе ее изменения неограниченно приближается к какому-то посто-
янному значению, то используется понятие предела (lim):
г? г
V = lim —.
Д/->0 Д/
3.	Производная и дифференциал
Производной функции у = /(х) называется предел отношения приращения
Ду функции к приращению Дх аргумента, когда последнее стремится к нулю
, гч \ г АУ г /(х + Дх)-/(х)
у' = f\x) = — = lim — = lim —.........   ,
dx Дх->0 Дх Лх->0 Дх
где dy и dx называются соответственно дифференциалом функции и диф-
ференциалом аргумента.
Дифференциал функции равен произведению ее производной на диффе-
ренциал аргумента dy = f\x)dx.
Для функций многих переменных определяются частные производные
(Of df}
—— производные по одному из аргументов, вычисленные в предпо-
\дх ду)
ложении, что остальные аргументы постоянны.
5
4.	Интеграл
п
Сумму ^/(xJAX/ при столь малых Лх,, что на каждом из этих интер-
*2
валов /(х) = const, обозначают ^f(x)dx и называют определенным инте-
гретом от функции /(х) на интервале от Xj до х2.
Смысл этого интеграла — площадь фигуры под кривой /(х).
Пример: работа силы на конечном перемещении А= j F(x)dx .
Положение точки М в про-
странстве может быть задано
радиус-вектором г , проведенным
из начала координат выбранной
системы отсчета к этой точке (см.
рисунок), или посредством про-
екций rxiry,r: радиус-вектора на
координатные оси. Эти проекции
одновременно являются координатами точки, так что
= ъ гу = у; rz =z-
6.	Формулы тригонометрии
Корни квадратных уравнений:
— корни неприведенного квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = О,
-b + yjb2 -4ас
х =-------------;
2а
— приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = О,
р , р
х = --^-±J-L^--q, а свойства его корней
X] + х2 = -р, х}х2 = q .
sin 2а = 2sinacosa , sin (a ±p) = sin a cos P± sin p cos a ,
cos2a - cos2 a-sin2 a , cos(a±p) = cosacosp + sinasinp ,
6
• 2	2
sin a + cos a = l,
a'" • an = am+n;	= am~n; (am Г = am".
/ a	'	'
7. Таблицы
Таблица 1
	30°	45°	60°	90°	a ±90°
sin a	1/2	V2/2	л/3/2	1	±cosa
cos a	Тз/2	V2/2	1/2	0	+sina
tga	ч/з/з	1	х/з	00	TCtga
Таблица 2
	Площадь	Объем
Прямоугольник	ab	—
Треугольник	\/2аЬ	—
Круг	nR2	—
Шар	4л/?2	4/Зл/?3
Куб	6а2	3 а
Пирамида	р-А	\/3Sh
Цилиндр	2nRh	nR2h
Конус	kR-1	itR2h/3
Здесь: a,b — стороны, R — радиус, h — высота, р — полупериметр,
А — апофема, / — образующая конуса.
Занятие 1. Элементы математики
Задачи
1.	Автомобиль, двигаясь прямолинейно, прошел 1,5 км, затем свернул на
дорогу, составляющую с первой угол 80°, и проехал по ней еще 1 км. Най-
дите перемещение автомобиля.
Ответ: 1,9 км; 30°.
7
2.	Два вектора расположены по одной прямой и направлены в противо-
положные стороны. Докажите, что модуль вектора суммы равен разности
модулей слагаемых векторов.
3.	Какой угол а образуют между собой два одинаковых по величине
вектора а и b, если величина их суммы (d + b) в л = 3 раза превосходит
величину их разности (а-Ь)2
Ответ: ot = 2arctg — = 38°.
п
4.	Найти угол а между векторами а и b, проекции которых на коорди-
натные оси ОХ и OY равны:
ах = 3, ау = 4, bx - 1, by - -1.
Ответ: ос « 98° .
5.	В координатах х, у заданы два вектора. Определите модуль суммы и
разности данных векторов (рис. 1.1).
Ответ: с = 10; а = 58°; d = 6,3; р = 109°.
6.	Векторы а и b заданы в координатах х, у. Определите модуль и на-
правление суммы и разности этих векторов (рис. 1.2).
Ответ: 5,8; 7; 45°; 300°.
7.	Найти составляющие веса Р = 10 Н по направлениям указанных уст-
8
8.	Модуль вектора перемещения ЛВ = 10 см, направление с осью ОХ со-
ставляет угол 30°, координаты точки А (2,2). Определите координаты точки В.
Ответ’. (11, 7).
9.	Материальная точка переместилась из точки А (1, 4) в точку В (5, 1).
Определите модуль и направление вектора перемещения; векторные коор-
динаты точек А и В.
Ответ.5, 323°; 717,76°; 726, 12°.
10.	Даны координаты начального и конечного положения материальной
точки (г] =4, ф| = л/4) и Л/2(г2 = 5,ф2 = л/6). Определите йх декартовы
координаты, величину и направление вектора перемещения.
Ответ: ^(2,8; 2,8); ЛЛ>(2,5л/3; 2,5); 1,43; 329°.
11.	Известны проекции вектора перемещения на координатные оси Дх = 9 ,
Ду = 12. Определите модуль и направление вектора перемещения.
Ответ’. 15; 53°.
12.	Тело начало движение из точки с координатами = 6, ф1 = л) в точ-
ку с координатами
- О	Л
г2 =8> Ч>2 =~
. Определите модуль и направление пе-
ремещения материальной точки.
Ответ'. 13; 25,5°.
13.	Тело переместилось из положения А = 3, ф1 = 150°) в положение
$(г2 = 4,ф2 = 30°). Определите модуль и направление вектора перемещения.
Ответ’. 6,2; 2°.
14.	Тело совершает последовательно два одинаковых по величине пере-
мещения по Юм каждое под углом 30° и 60° соответственно к направле-
нию оси ОХ. Определите модуль и направление полного перемещения тела.
Ответ’. 19,2 м; 45°.
9
МЕХАНИКА
Виды материи — вещество и поле.
Формы материи — движение, пространство и время.
Источник всех конкретных видов движения— взаимодействие
между материальными объектами.
Взаимодействие — всеобщая форма связи тел и явлений и выражается
в их взаимном влиянии друг на друга, сводится к 4-м классам обменного
взаимодействия: я дер ное (сильное), электромагнитное, слабое
(распадное), гравитационное (сверхслабое).
Кинематика
Основные понятия и определения
Материальная точка — тело, размерами которого в процессе движения
можно пренебречь (И = 0, т * 0).
Механическое движение— изменение положения тела в пространстве с
течением времени относительно других тел (или выбранной системы отсче-
та). Его виды: поступательное, вращательное, колебательное.
Система отсчета —
тело отсчета, система
координат (прямоуголь-
ная, сферическая или
цилиндрическая), вы-
бранный способ изме-
рения времени и рас-
стояний.
В механике положе-
ние материальной точки
в каждый момент време-
ни определяется либо
декартовыми координа-
тами, либо радиус-вектором г, проведенным из начала отсчета в данную
точку (см. рисунок).
Траектория — линия, по которой движется точка. По форме траектории
движения классифицируются на прямолинейные и криволинейные.
Путь S —длина траектории.
Перемещение &г — вектор, соединяющий начальное и конечное поло-
жения точки за время движения, Дг = г2 -г} (см. рисунок).
Время — длительность процесса, промежуток между событиями.
Занятие 1. Средняя путевая и средняя скорость
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Различают среднюю путевую скорость движения (скорость прохождения
траектории)	Vcp^S/t м/с,
где 5 — длина траектории, t— Время движения, и среднюю скорость пере-
Гср
мещения
Дг	—i
-— м/с, где Дг,— перемещение материальной точки, t —
время перемещения.
Средняя путевая скорость —скалярная величина, измеряется спидомет-
ром, характеризует переменное! движение по любой траектории (прямоли-
нейной, криволинейной, пересевающейся).
Средняя скорость перемещения— векторная величина, характеризую-
щая переменное движение, и 1^ожет быть положительной величиной, отри-
цательной и нулем. Величину ^>той скорости можно рассчитать по формуле:
И - ^cpjc + ^сру > где ^ср.|у — проекции средней скорости перемещения
на координатные оси.
Задачи
1.	Мотоциклист проехал 0,4 пути между двумя городами со скоростью
20 м/с, а оставшуюся часть 'пути со скоростью 54 км/ч . Определите сред-
нюю скорость мотоциклиста.!
Ответ'. 16,7 м/с .
2.	Тело прошло первую Головину пути со скоростью в 2 раза большей,
чем вторую. Средняя скорость на всем пути 4 км / ч. Каковы скорости тела
на первой и второй половинах пути.
Ответ'. 6 км/ч,3 км/,ч.
3.	Автомобиль проехал | половину пути со скоростью 60 км / ч, остав-
шуюся часть пути он половину времени проехал со скоростью 15 км/ч, а
последний участок— со Скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость
движения.
Ответ’. 40 км/ч.
11
4.	Катер проехал первую половину пути со скоростью К, а оставшуюся
часть пути — со скоростью 50 км/ч . Определите И, если средняя скорость
катера на всем пути 37,5 км/ч .
Ответ: 25 км/ч.
5.	По графику зависимости (рис. 1.1) скорости движения тела от времени
найдите среднюю скорость на всем пути.
Ответ: 8,25 м/с .
6.	Первую половину времени тело движется со скоростью 20 м/с под
углом 60° к направлению оси ОХ, а вторую половину времени — под углом
120° к тому же направлению со скоростыЬ 40 м/с . Определите среднюю
скорость движения.
Ответ: 26,5 м/с .
7.	Тело совершает два последовательных] одинаковых по величине пере-
мещения со скоростями 20 м/с под углом) 60° к направлению оси ОХ и
40 м/с под углом 120° к тому же направлению. Определите среднюю ско-
рость движения.
Ответ: 22,8 м/с .
8.	Первую половину времени тело движемся со скоростью 30 м/с под
углом 30° к оси ОХ, а вторую — под углом Ц20° к тому же направлению со
скоростью 40 м/с. Найдите среднюю скорорть перемещения. Какой путь
тело пройдет за 4 с?
Ответ:25 м/с; 140м.
9.	На графике (рис. 1.2) изображена зависимость скорости от времени.
Определите среднюю скорость движения.
Ответ: 6,25 м/с.
12
Занятие 2.	Скорость сложного движения
Принцип независимости движений', если материальная точка участвует
одновременно в нескольких движениях, то каждое из них независимо от
другого (совершается по своим законам) и результирующие скорость и пе-
ремещение равны: V = V{+V2\ AF =	+ Дг2.
Закон сложения скоростей связывает между собой скорости движения
тела в различных системах отсчета
И, = V +V
г абс г отн ' г пер ’
где Иабс — скорость тела относительно неподвижной системы координат
(абсолютная скорость); Иотн — скорость относительно движущейся системы
координат (относительная скорость); Ипер — скорость движущейся системы
относительно неподвижной системы (переносная скорость).
Аналогично: яабс = аотн + йпер — для ускорения движения тела.
Из закона сложения скоростей: Иотн = Иабс -^ер — вектор относитель-
ной скорости равен векторной разности абсолютной и переносной ско-
ростей.
Задачи
1.	Катер идет вниз по течению реки 3 ч, обратно — 6 ч. Сколько времени
требуется катеру пройти данное расстояние при выключенном моторе.
Ответ: 12 ч.
2.	Одинаковое ли время потребуется для проезда расстояния S = 1 км на
катере туда и обратно по реке = 2 км/ч) и по озеру, если скорость кате-
ра относительно воды в обоих случаях V =8 км / ч . Решить задачу аналити-
чески и графически.
Ответ'. 16 мин; 15 мин.
3.	Человек переправляется на лодке из пункта А в пункт В, находящийся
на кратчайшем расстоянии от А на противоположном берегу. Скорость лод-
ки относительно воды 2,5 м/с, скорость течения реки 1,5 м/с. Какое мини-
мальное время потребуется ему для этого, если ширина реки 800 м?
Ответ'. 400 с.
4.	Эскалатор метро поднимает стоящего пассажира за 1 мин. По непод-
вижному эскалатору человек поднимается 3 мин. За какое время поднимется
пассажир по движущемуся эскалатору?
Ответ: 45 с.
13
5.	Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин.
Если человек идет вдвое быстрее по эскалатору, то он спустится за 45 с.
Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?
Ответ: 90 с.
6.	Самолёт летит из пункта А в пункт В и обратно со скоростью
И| =300 км/ч относительно воздуха. Расстояние АВ = S =900 км. Сколько
времени затратит самолёт на весь полёт, если вдоль линии полёта непрерыв-
но дует ветер со скоростью У2 =60 км / ч .
Ответ: 6 ч 15 мин.
7.	С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за
2 ч пролететь точно на север путь в 300 км, если во время полета дует севе-
ро-западный ветер под углом 30° к меридиану со скоростью 27 км / ч .
Ответ'. 174 км/ч; 4,5°.
8.	Капли дождя на окне неподвижного трамвая оставляют полосы, накло-
ненные под углом 30° к вертикали. При движении трамвая со скоростью
18 км/ч полосы от дождя вертикальны. Определите скорость капель в без-
ветренную погоду и скорость ветра.
Ответ'.З м/с; 8,62 м/с.
9.	Буер движется по гладкой горизонтальной ледяной поверхности со
скоростью У. Перпендикулярно к направлению движения буера дует ветер
со скоростью 2У. Под каким углом [3 к плоскости паруса установится флю-
гер, помещенный на мачте буера, если парус стоит под углом (р = 45° к на-
правлению ветра?
Ответ'. 18°26'.
10.	По движущемуся эскалатору вниз бегут два человека: один со скоро-
стью У , другой со скоростью 2У. Первый насчитал п} ступенек, второй —
п2 ступенек. Найдите число ступенек и скорость эскалатора U.
Решение
Примем длину пути за /. Число ступенек на единицу длины будет nil.
,	I	/
Время пробега первого человека-----, второго--------.
н	н	V+ U н 2V + U
I	I
Пройденное расстояние первого: V——— , второго— 2Г ——U ^исло
п У1	2У1 п
ступенек первого — п} =	(1); второго — ^у-уууу = л2 (2)-
Делим уравнение (1) на уравнение (2), находим:
14
_Vl(2V + U) _L^2K(n2-n,)
n2 2П(У + и)	2^-п2 (
Подставляя (3) в уравнения (1) и (2), имеем
п, (2Клэ-2Ил|>1 л,л,
п = — V +-=----L =---——.
V 2«] - л2 J 2п} -п2
П\Л2
Ответ', п------——
2«j -п2
Занятие 3. Относительная скорость
Задачи
1.	Сколько времени пассажир, стоящий у окна поезда, идущего со скоро-
стью Kj =54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд,
скорость которого V2 =36 км/ч, адлина А = 150 м?
Ответ: 6 с.
2.	Теплоход, длина которого L = 300 м, движется по прямому курсу в не-
подвижной воде со скоростью V}. Катер, имеющий скорость И2 =90 км/ч,
проходит расстояние от кормы движущегося теплохода и обратно за время
t = 37,5 с. Определите скорость теплохода .
Ответ'. ^ = 15 м/с.
3.	Две подводные лодки плывут в кильватер (друг за другом) на расстоя-
нии / одна от другой с одинаковой скоростью К. Сигнал гидролокатора, на-
ходящегося на задней лодке, достигает передней лодки, отражается и воз-
вращается обратно. Скорость звука в воде равна с. Найдите время между
моментами подачи сигнала и регистрации эха.
Ответ'. 2cll[c2 -И2).
4.	Приборы, установленные на берегу, показывают, что ветер дует с юго-
запада, а величина скорости ветра 5 м/с. Что покажут аналогичные прибо-
ры, установленные на корабле, идущем на запад со скоростью 36 км/ч?
Ответ'. 14 м/с.
5.	Трассы двух самолетов пересекаются над поселком А. Первый летит
точно на север, а второй — на юго-восток. Определите величину и направ-
ление скорости второго самолета относительно первого.
Ответ'. К^/злТ; 157,5°.
15
6.	Если два тела движутся навстречу друг другу, то расстояние между
ними уменьшается на = 16 м за = 10 с. Если тела с прежними по моду-
лю скоростями движутся в одном направлении, то расстояние между ними
увеличивается на s2 = 3 м за /2 = 5 с. Каковы скорости каждого из тел?
Отвепг. 1,1 м/с; 0,5 м/с.
7.	Снаряд летит горизонтально со скоростью =500 м/с. Передняя часть
снаряда имеет форму конуса с углом при вершине а = 60°. Молекула воздуха
движется навстречу снаряду со скоростью И2 = 600 м/с. Определите скорость
молекулы относительно земли после упругого столкновения со снарядом.
Ответ: 953 м/с .
8.	В заднюю стенку башни танка, идущего со скоростью V = 72 км/ч,
ударяется летящая горизонтально со скоростью Ео =750 м/с вслед танку
пуля и упруго отскакивает от неё. С какой скоростью относительно земли по-
летит отскочившая пуля? Стенка наклонена к вертикали под углом (р = 30° .
Ответ: 720 м/с .
9.	По поверхности стола движется с постоянной скоростью V черная дос-
ка. По доске движется кусок мела, пущенный по ней так, что в начальный
момент скорость мела относительно стола перпендикулярна скорости доски
и равна U . Какой формы след оставит мел при своем движении?
Ответ : а = arctg (7/ И.
10.	В точках А и В находятся моторная лодка и катер, движущиеся с за-
данными постоянными скоростями Ил и Ик в направлениях, показанных на
рисунке. Определите графически, каким будет наименьшее расстояние меж-
ду лодкой и катером.
Занятие 4. Равномерное прямолинейное движение
Тело движется равномерно, если за равные промежутки времени оно
проходит одинаковые расстояния.
Ускорение движения равно нулю, скорость постоянна. Уравнения дви-
жения:
r(t) = г0 + Ио/ — закон движения в векторной форме;
16
x(t) = x0 + Vxt — закон движения в координатной форме по оси ОХ;
б(/) = Vt — закон движения в естественной форме.
График функции у = f(x) —траектория движения. График зависимости
координаты (или пути) от времени — прямая линия с утлом наклона к
оси времени. Тангенс угла наклона этой линии определяет величину скоро-
сти движения.
График зависимости скорости от времени— прямая линия, парал-
лельная оси времени. Величина площади под графиком определяет величину
пройденного телом пути.
Задачи
1.	Движение точки описывается уравнениями проекции на координатные
оси
х = a + bt,
у = c + dt.
Найдите модуль и направление скорости точки. Постройте график зави-
симости у* отх.
2.	Из двух городов, расстояние между которыми 180 км, одновременно
навстречу друг другу начали движение два автомобиля со скоростями
40 км/ч и 20 км/ч соответственно. Определить аналитически и графиче-
ски время и место встречи. Какова их относительная скорость в момент
встречи?
Ответ’. 3 ч; 120 км; 60 км/ч.
3.	Два тела движутся в одном направлении со скоростями 5 м/с и
10 м/с. Первое тело начало движение на 2 с раньше второго из места, рас-
положенного на расстоянии 20 м от начального пункта. Когда и где второе
тело нагонит первое? Какова их относительная скорость в момент встречи?
На каком расстоянии находились друг от друга тела в момент начала движе-
ния второго тела?
Ответ’. 6 с; 60 м; 5 м/с.
2 Зак. 51
17
4.	Дан график У = f(t) (рис. 4.1). Начертить график зависимости коор-
динаты х и пути от времени (х0 = 0 ). Определите среднюю скорость пути и
перемещения за 8 с движения.
Отвепг. 2,4 м/с ; 0.
5.	Построить по графику У = f(t) (рис. 4.2) график зависимости коорди-
наты от времени, если х0 = 2 .
6.	Частица движется в плоскости. По графикам зависимости проекции Ух
и Vv от времени построить траекторию частицы, если х0 = 2,	- 1 •
7.	Если на материальную точку действуют уравновешивающие силы, то
какой из графиков скорости и пути будет справедлив для данного случая?
Занятие 5. Равнопеременное движение
Движение с постоянным ускорением — равнопеременное движение, где
а > 0 или а < 0 .
Ускорение а = ——— , откуда / = (И-К0)/а и У = yQ+at —мгновенная
скорость движения.
г (/) = ?о+	+ at2 /2 — закон движения в векторной форме;
18
x(t) = *o +	+*“-----закон движения в координатной форме по оси ОХ;
at2
S(t) = Vt ±—---закон пути равнопеременного движения, или S = Гср/,
где Иср=(Г + Г0)/2 —только для равноускоренного движения.
Если из формулы пути исключить время, получим следующее соотноше-
J/2_JZ2	Г/2	.---
ние: 5=------2-, при Го=О 5=— и V = ^2aS.
2а	2а
Пути, проходимые материальной точкой в равноускоренном движении за
последовательные равные промежутки времени без начальной скорости, от-
носятся как ряд нечетных чисел:
При свободном падении тела с высоты h имеем:
х0=Л, Ио=О, a = -g, h = gt2/2 =>
Задачи
1.	Поезд движется равнопеременно в гору со средней скоростью 10 м/с .
Чему равна начальная скорость его движения, если конечная скорость равна
5 м/с . С каким он двигался ускорением, если подъем длился 1 мин?
Ответ'. 15 м/с; 0,17 м/с2.
2.	Самолет затрачивает на разбег 24 с. Рассчитать длину разбега самолета
и скорость в момент отрыва от земли, если на половине длины разбега он
имел скорость, равную 30 м/с .
Ответ'. 514,3 м; 43 м/с.
3.	При равноускоренном движении тело проходит в первые два равных
последовательных промежутка времени по / = 4с каждый пути 24 и 64 м.
Определите начальную скорость и ускорение движения.
Ответ. 2,5 м/с2;1 м/с.
4.	Локомотив находился на расстоянии 400 м от светофора и имел ско-
рость 72 км/ч, когда началось торможение. Определите положение локомо-
тива относительно светофора через 1 мин. после начала торможения, если он
двигался с ускорением 0,5 м/с2.
Ответ'. 100 м.
2*
19
5.	Путь тела разбит на равные отрезки. Тело начинает двигаться равноус-
коренно и проходит первый отрезок за 1 с. За какой промежуток времени
тело пройдет девятый отрезок пути?
Ответ'. 0,2 с.
6.	Тело, имея начальную скорость 4 м/с, прошло за шестую секунду
путь 2,9 м. Определите ускорение движения тела.
Ответ'. -0,2 м/с2.
7.	Тело, двигаясь равноускоренно с ускорением 2 м/с2 без начальной
скорости, в последнюю секунду своего движения прошло 1/3 пути. Опреде-
лите путь и время движения тела.
Ответ'. 30,25 м; 5,5 с.
8.	Два автомобиля, начальное расстояние между которыми 300 м, дви-
жутся навстречу друг другу. Первый с начальной скоростью 20 м/с и уско-
рением -2 м/с2, а второй со скоростью 10 м/с и ускорением 2 м/с2. Оп-
ределите время и место встречи. Как будет меняться расстояние между те-
лами с течением времени? Постройте график зависимости этого расстояния
от времени.
Ответ: 10 с, 100 м.
Занятие 6. Графики равнопеременного движения
Графический способ решения задачи иногда является единственным спо-
собом из-за сложного характера зависимостей между величинами и всегда
достаточно нагляден.
График зависимости у = /(%)—вид траектории движения.
График зависимости ускорения от времени а = f(t) — прямая линия,
параллельная оси времени. Площадь фигуры под графиком — приращение
скорости АГ = at, а2 =0 (см. рис. А).
ка, м/с2
Рис. А	Рис. Б
20
График зависимости скорости от времени V = f(f) — прямая линия с
углом наклона к оси времени.
Площадь фигуры под графиком — величина пройденного пути
5, tga = а (см. рис. Б).
График зависимости ко-
ординаты от времени
.v = f(t) — парабола.
Если а > 0 — ветви парабо-
лы устремляются вверх от
оси времен ф, если а < О
— ветви параболы прибли-
жаются к оси времени (2).
Если движение происходит с
начальной скоростью, то парабола идет круче параболы при Ио = 0 (3) .
График зависимости пути от времени S = f(t) в равнопеременном дви-
жении — парабола, и она не должна пересекать ось времени в области
отрицательных значений S.
Если движение сложное (состоит из последовательных переменных и
равномерных движений), то график перемещения (координаты) не должен
иметь изломов. Он будет представлять собой линию плавно (в сопряжении)
переходящих прямых и кривых, так как скорость тела не может меняться
скачками.
Задачи
1.	Траектория движения тела дана на графике (рис. 6.1). Уравнение дви-
жения по у: y = ayt2/2‘, ау =2 м/с2. Определите ускорение тела. Какую
скорость имело тело через 5 с после начала движения? Каковы его коорди-
наты в данный момент времени?
Ответ: 4 м/с2, 20 м/с (42,25).
2.	По графику (рис. 6.2) скорости тела, движущегося прямолинейно, на-
чертите график изменения ускорения и координаты. Что означает отрица-
тельное значение времени?
21
3.	Дан график зависимости скорости от времени (рис. 6.3). Как двигалось
тело? Построить графики зависимости ускорения и координаты от времени.
4.	Дан график зависимости скорости от времени (рис. 6.4). Построить
график перемещения и ускорения от времени, если ДОАВ = ABCD = ADEK.
5.	Дан график изменения координаты от времени (рис. 6.5). Построить
график изменения пути и скорости этого движения. Участки АВ и DE —
прямые.
6.	Исследуйте график скорости прямолинейного движения автомобиля
(рис. 6.6). Начертите график пути, соответствующий данному графику.
7.	График зависимости скорости тела от времени для прямолинейного
движения вдоль оси ОХ имеет вид (см. рис. 6.7). Начертите график ускорения
тела и по этому графику определите ускорение тела в момент времени t = 3 с.
Ответ'. 1 м/с2.
8.	График зависимости скорости тела от времени для прямолинейного f
движения вдоль оси ОХ имеет вид (см. рис. 6.8). Начертите график ускоре-
ния тела и определите по графику ускорение тела в момент времени t = 1 с.
Ответ'. 0,5 м/с2.
9.	График зависимости скорости тела от времени для прямолинейного
движения вдоль оси ОХ имеет вид (см. рис. 6.9). Начертите график ускоре-
ния тела и определите по графику ускорение тела в момент времени t = 4 с.
Ответ: 1 м/с2.
22
10.	На рис. 6.10 изображена зависимость скорости прямолинейного дви-
жущегося тела от времени. Чему равен путь, пройденный телом за 10 с?
Ответ: 62,5 м.
11.	На рис. 6.11 изображена зависимость скорости прямолинейного дви-
жущегося тела от времени. Чему равен путь, пройденный телом за 15 с?
Ответ: 125 м.
12.	На рис. 6.12 изображена зависимость скорости прямолинейно движуще-
гося тела от времени. Чему равен путь, пройденный телом за 15 с движения?
Ответ'. 125 м.
13.	График зависимости (рис. 6.13) скорости тела от времени имеет вид
полуокружности. Максимальная скорость тела Ио, время движения /0- Опре-
делить путь, пройденный телом.
Ответ'. тгИ0/0/4.
Рис. 6.1 1
23
Занятие 7. Свободное падение тел
1. Для свободного падения:
у = yQ 4- gyt2 /2 — закон движения в координатной форме;
/7 = gr /2 — закон пути. Отсюда время движения t = yj2h/ g ;
h = Kcp/; h = И2 /2g — формулы пути;
V = gt', V = y/2gh — формулы скорости движения.
Отметим, что в поле силы тяжести конечная скорость, равная yj2gh , не
зависит от формы пути.
2. Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью Ко, то:
у =	+ gvr /2 — закон движения в координатной форме.
Для пути HnVdX = Ио2 /2g, время подъема на максимальную высоту t = K0/g.
Для такого движения отметим следующее:
1)	высота подъема Нтйх равна высоте, с которой тело будет свободно па-
Дать //max = h;
2)	время подъема тела вверх равно времени свободного падения в исходную
точку /под = гпад;
3)	скорость падения но модулю равна начальной скорости: И(1ад = Ко = y/2gh .
Задачи
1.	С вертолета, находящегося на высоте 300 м, сброшен груз. Через какое
время груз достигнет земли, если вертолет: а) неподвижен, б) опускается со
скоростью 5 м/с , в) поднимается со скоростью 5м/с?
Ответ'. 7,8; 7,3; 8,3 с.
2.	Камень падает в шахту. Через 6 секунд слышен удар камня о дно. Оп-
ределите глубину шахты, если скорость звука 330 м/с .
Ответ: 148 м.
3.	С какой начальной скоростью с высоты 19,6 м нужно вертикально вниз
бросить тело, чтобы оно упало на 1 секунду раньше, чем при свободном па-
дении.
Ответ'. 14,7 м/с .
4.	Свободно падающее тело в некоторой точке имело скорость 20 м/с , в
другой— 40 м/с. Определите расстояние между этими точками и время
прохождения этого расстояния.
Ответ: 60 м; 2 с.
24
5.	С некоторой высоты свободно падает тело. Через 3 секунды с той же
(3ь1соты падает второе тело. Через сколько времени удвоится расстояние,
разделяющее тела, до начала падения второго тела.
Ответ', через 4,5 с.
6.	По истечении какого времени от начала падения мгновенная скорость
свободного падающего тела станет численно равной пройденному пути?
Ответ: 2 с.
7.	Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты одно вслед
ш другим через 2 с. Через какое время, считая от начала движения первого
гела, расстояние между телами станет равным 15 м?
Ответ'. 1,75 с.
8.	Тело свободно падает с высоты h = 19,6 м. Какой путь пройдёт тело за
первые 0,1 секунды своего движения, за последние 0,1 с?
Ответ'. 4,9 см; 1,9 м.
9.	Сколько времени и с какой высоты свободно падало тело, если оно за
последние 2 секунды прошло 60 м пути?
Ответ '. 4 с; 80 м.
10.	При свободном падении средняя скорость движения тела за послед-
нюю секунду оказалась вдвое большей, чем в предыдущую. С какой высоты
падало тело?
Ответ :31м.
11.	С высоты 73,5 м сбрасывают два одинаковых по массе камня, связан-
ных веревкой, длина которой / = 39,2 м. Первый камень начинает падать на
т = 2 с раньше второго. Через какое время после начала падения камни упа-
дут на землю? Падение происходит без начальной скорости. Рассмотрите два
случая: а) веревка абсолютно упругая; б) веревка абсолютно неупругая.
Решение
а)	До момента, когда веревка натянется, камни падают свободно:
hx=gt2!2- h2=g(t-x)2/2.
Момент натяжения веревки определяется из условия
2	2	2	2
1	-	2	2	2	2
a t = (l + gv2 /2}/gx = 3c . Поэтому A] =44,1 м , a h2 =4,9 м .
При натяжении веревки происходит упругий удар и камни обмениваются
скоростями. В момент удара Vx = g/ = 29,4M/c; Г2 = g(/-x) = 9,8м/с .
25
Время падения первого камня после натяжения веревки определяется из
условия h-h\ =	4-gZ2 /2 , а второго: h-h2 = V{l2 + gtj отсюда Zj = 1,6 c,
t2 = 1,8 c.
Следовательно, первый камень падает 4,2 с, а второй 4,3 с.
б)	В случае неупругой веревки скорости камней после ее натяжения вы-
равниваются Г = (И] + И2)/2 = 19,6 м/с. Время движения определяется из ус-
ловий h-h} =	+ g/j2 /2; h-h2 = Vt2 + gi2 /2 . Отсюда = 1,2 c; t2 = 3,3 c.
И в этом случае первый камень падает 4,2 с, второй — 4,3 с.
Занятие 8. Движение вертикально вверх
Задачи
1.	Тело, брошенное вертикально вверх, достигло высоты 110 см. С какой
скоростью бросили тело? Чему равно время подъёма? Сопротивление не
учитывать.
(9weew:4,64 м/с; 0,47 с.
2.	С какой начальной скоростью нужно бросить тело вертикально вверх,
чтобы через 10 с оно двигалось вниз со скоростью 20 м/с?
Ответ: 80 м /с.
3.	Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты Н = 680 м. Ка-
кова начальная скорость пули, если выстрел произведен вертикально вверх.
Сопротивление движению пули не учитывать. Скорость звука принять рав-
ной 340 м/с.
Ответ'. 350 м /с.
4.	Тело, брошенное вертикально вверх, проходит высоту Юм дважды с
промежутком 4 с. Найти Ко. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 25 м/с.
5.	Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно вслед за
другим, с интервалом времени в 2 секунды и одинаковыми начальными ско-
ростями 15 м/с. Через сколько времени оба тела встречаются? Какова их
относительная скорость в момент встречи?
Ответ'. 2,5 с; 20 м/с.
6.	Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью Ко. Через
сколько времени нужно бросить вверх второй мяч со скоростью И0/2, что-
бы они встретились в наикратчайшее время?
Ответ'. Ко(1 + \/3)/2g.
26
7.	Первое тело свободно падает с высоты 100 м. Одновременно с земли
брошено вертикально вверх другое тело со скоростью 40 м/с. Через сколько
времени и на какой высоте тела встретятся? Постройте график зависимости
расстояния между телами от времени.
Ответ: 2,5 с; 68,75 м.
8.	Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с.
Одновременно с ним другое тело свободно падает с высоты 20 м с начальной
скоростью 1 м/с. Определить время и место встречи.
Ответ: 1,8 м; 1,8 с.
9.	Упругий шар, падая с высоты 75,4 м, после удара о землю отскакивает
вертикально вверх со скоростью, равной 3/4 скорости его падения. На ка-
кую высоту поднимется шар? Сколько времени пройдёт от начала движения
шара до второго удара его о землю?
Ответ: 42,4 м; 9,8 с.
Занятие 9. Движение тела по параболе
Данное движение — сложное. Оно состоит их двух поступательных дви-
жений (по оси ОХ и по оси OY), характер которых определяется из условия
конкретной задачи.
1.Тело брошено горизонтально с
начальной скоростью Ио (см. рис. 9.1):
а)	по оси ОХ — движение равно-
мерное с , следовательно уравнение
движения 5 = х(/) = Го/;
б)	по оси OY — свободное паде-
ние, следовательно уравнение движе-
ния у = h = gyt2 / 2 . В момент падения
скорость V = ^И02 + (g/)2.
а к горизонту с начальной
2. Движение тела, брошенного под углом
скоростью Ио (рис. 9.2): а) по оси ОХ — движение равномерное со скоро-
стью ИОг = Го cosa, S = Ко cos at, где Г — все время движения, определяемое
из уравнения движения по оси OY; б) по оси OY — движение с ускорением
g > 0 и у0 = 0, следовательно у = Ио sin а • t - gt2 / 2, откуда время движения
И2 sin2 a
/ = 2K0sina/g; в) максимальная высота подъема Н = —-------; г) макси-
2g
мальная дальность полета S = Vq sin2a/ g, следовательно при заданной ско-
27
рости бросания S = 51Пах , если sin 2а = 1, т.е. а = 45° ; д) скорость в момент
падения V - ^(Ко cosa)4* + (К0 sina-gr)2 .
Рис. 9.2
Задачи
1.	Камень, брошенный под углом к горизонту a = 30°, дважды был на
одной высоте спустя = 3с и - 5 с после начала движения. Определите
начальную скорость камня.
Ответ'. 78,4 м/с.
2.	Под углом a = 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью
Ко = 20 м/с. Через сколько времени оно будет двигаться под углом 0 = 45°
к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ'. 0,75 с.
3.	Какую начальную скорость имел снаряд, выпущенный из пушки под
углом a = 30° к горизонту, если он пролетел расстояние S = 17 км . Извест-
но, что сопротивление воздуха уменьшило дальность полета в 4 раза.
Ответ'. 875 м/с.
4.	Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью
4,9 м/с , равна высоте, с которой его бросили. Чему равна высота и под ка-
ким углом тело упало на землю?
Ответ: 4,9 м; 64°.
5.	Под каким углом к горизонту должно быть брошено тело, чтобы даль-
ность полета была равна максимальной высоте подъема.
Ответ: 76° .
6.	Два тела брошены с одинаковыми скоростями под углами а и (90° - а)
к горизонту. Определите отношение наибольших высот подъема этих тел.
Ответ: tg2 a .
28
7.	Камень, брошенный горизонтально с обрыва высотой 10 м, упал на
расстояние 14 м от точки бросания. Какова начальная скорость камня? В
какой момент времени у камня касательное ускорение равно нормальному?
Сопротивление не учитывать.
Ответ'. 9,8 м/с; 0,6 с.
8.	Тело бросили со скоростью 20 м/с под углом 60° к горизонту. Како-
вы будут нормальное и касательное ускорения тела через 0,5 с после начала
движения? Через сколько времени нормальное ускорение будет максималь-
ным? Каков радиус кривизны траектории в верхней точке?
Ответ'. 7,8 м/с1 2; 6,3 м/с2; 1,7 с; 10 м.
9.	Снаряд вылетает из дула орудия под углом 30° к горизонту со скоро-
стью 600 м/с . Через сколько времени и на каком расстоянии по горизонта-
ли от места бросания будет находиться снаряд на высоте 400 м? Какова ско-
рость снаряда в высшей точке траектории?
Ответ'. 1,4 с; 58,6 с; 780 м; 522 м / с.
10.	На какое максимальное расстояние можно бросить мяч в спортивном
зале высотой 8 м, если мяч имеет начальную скорость 20 м/с? Какой угол с
полом зала должен в этом случае составлять вектор начальной скорости?
Ответ'. 39 м; 39°.
11.	Тело брошено под углом а к горизонту с начальной скоростью Ио.
При этом на тело действует попутный горизонтальный ветер, сообщая телу
постоянное ускорение а. Найдите наибольшую дальность полета.
И02 8т2аГ а
Ответ'. ------- 1ч—tga .
g I g J
12.	С высоты 1 м на наклонную плоскость, образующую с горизонтом
угол 30°, свободно падает мяч. Он упруго отражается и второй раз падает на
ту же плоскость. Найдите расстояние от места первого удара до второго.
Сопротивление не учитывать.
Ответ'. 4 м.
Занятие 10. Движение по окружности.
Вращательное движение
1. При равномерном движении материальной точки по окружности ра-
диуса R со скоростью И возникает центростремительное (нормальное) уско-
И2 о
Рение ап = — = со R, характеризующее изменение скорости по направлению.
29
Линейная скорость V =-----= где число оборотов и = у.
Угловая скорость со = qlt = 2л/Т рад/с.
Связь между угловой и линейной скоростя-
/	\ 7 ми V = соТ?.
I О	2. При неравномерном движении (рис. 10.1)
\	/ материальной точки по окружности радиуса R
У	скорость меняется и по направлению (возника-
ет ап), и по величине (возникает ах — каса-
Рис. 10.1
тельное ускорение) ах = (И-К0)/г.
Полное ускорение а = ап+ах или а =	(см. рис. 10.1).
3. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям,
центры которых лежат на одной неподвижной прямой — оси вращения.
Для равномерного вращения: cd = const и угловое перемещение
ср = ср0 + <о/, со = 2лv , где частота v = 1 / Т с'1, Гц.
__	со —со0	. 7
Для равноускоренного вращения с угловым ускорением 8 =----- рад/с
угловое перемещение ср = со0/ ± 8/2 / 2 , а угловая скорость со = со0 ± 8/.
4. Если со± К, то движение тела называют плоскопараллельным. В этом
случае движения тела существует точка, скорость которой равна нулю —
мгновенный центр скоростей (чаще всего это точка соприкосновения с по-
верхностью катящегося без проскальзывания тела).
Задачи
1.	Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью
UQ = 54 км/ч и проходит путь S = 600 м за время t = 30 с, двигаясь равно-
ускоренно. Радиус закругления 1 км. Определите скорость и ускорение в
конце этого пути.
Omeem:25 м/с; 0,7 м/с2.
2.	Материальная точка, начав двигаться равноускоренно по окружности
радиусом 1 м, прошла за 10 с путь 50 м. С каким нормальным ускорением
двигалась точка спустя 5 с после начала движения?
Ответ'. 25 м/с2.
3.	Материальная точка движется по окружности с постоянной скоростью
50 см/с . Вектор скорости изменяет направление на угол 30° за 2 с. Опреде-
лите нормальное ускорение точки.
Ответ'. 13 см/с2.
30
4.	Гладкий диск радиусом R, плоскость которого горизонтальна, враща-
С1ся вокруг своей оси с частотой л/ = 40 об/мин. От поверхности диска на
расстоянии R/2 от оси отрывается небольшое тело, которое без трения
скользит по диску. Через какое время оно соскользнет с диска?
Ответ'. 0,41 с.
5.	На круглой платформе радиусом R = 5 м, вращающейся с угловой ско-
ростью 1 рад/с, стоит человек, бросающий камень со скоростью 10 м/с в
мишень, которая также установлена на платформе. В первом случае человек
находится в центре платформы, а мишень на краю. Во втором случае чело-
век и мишень меняются местами. Найдите угол опережения при бросании
камня в обоих случаях.
Ответ'. 0,5 рад; 0,45 рад = 25,6° .
6.	Ось с двумя дисками (рис. 10.2), расположенными на расстоянии 0,5 м
друг от друга, вращается с угловой скоростью, соответствующей частоте
1600 об / мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска так, что от-
верстие во втором диске от пули смещено относительно отверстия в пер-
вом на угол 12° . Определите скорость пули.
Ответ: 404 м/с .
Рис. 10.2
7.	Колесо радиуса /? = 0,5 м катится без скольжения по горизонтальной
дороге со скоростью 1м/с. Определите скорость и ускорение точек, лежа-
щих на концах вертикального и горизонтального диаметров.
Ответ: 2 м/с; 1,4 м/с;2 м/с2.
8.	Маховик вращается со скоростью, соответствующей частоте 120 об/мин,
и останавливается в течение 1,5 мин. Определите число оборотов, которое
сделает маховик до полной остановки, и угловое ускорение при таком дви-
жении.
Ответ: 90; 0,14 рад/с2.
31
ДИНАМИКА
Сила F, Н — мера взаимодействия тел, причина деформации и ускорения.
Сила задана, если известен ее модуль, направление и точка приложения к телу.
Сила упругости'. F = -/сДх, где к — жесткость резин и пружин,
к = ES/lQ, где Е — модуль упругости (модуль Юнга), 5 — площадь попе-
речного сечения образца, /0 — начальная длина образца.
Сила сухого трения', f - ц0У, где — коэффициент трения покоя
ц0>цск, где цск — коэффициент трения скольжения, который зависит от
свойств поверхностей соприкасающихся тел, качества обработки поверхностей,
материала трущихся тел и не зависит от скорости движения тел; N— сила нор-
мального (перпендикулярного) давления тела на опору, зависящая от опоры:
а)	W = /и • g — если опора неподвижна и горизонтальна;
б)	N = m(g + a) — если опора движется вверх или вниз с ускорением а',
в)	N = mg cos ос — на наклонной плоскости с углом наклона ос.
Сила нормального давления, действующая на опору, равна силе реакции
опоры Гр, действующей на тело (по третьему закону Ньютона):
A< = -Fp.
Силы вязкого трения:
J\ = -ссИ —для малых скоростей,
Л ~ ~Р К2 — для больших скоростей,
где а, Р — коэффициенты сопротивления, зависящие от вязкости жидкости,
формы тела, материала тела, качества обработки поверхности тела.
Сила тяжести — сила притяжения тел к Земле FTJir = mg, где
Л/о	Мо	Э
g = y-------—7>а	—=г~9,8	где —масса Земли, /?3 —сред-
(Л3+/г)	Лз
ний радиус Земли.
Вес тела — сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или на-
тягивает вертикальный подвес вследствие притяжения к Земле: Р = N.
По второму закону Ньютона любая сила природы F-md, или
F \mV = Др, где mV - р — импульс (количество) движения.
32
По третьему закону Ньютона: при взаимодействии тел возникает пара
сил, равных по величине, противоположных по направлению и приложен-
ных к разным телам: Fn = -F2\•
Схема решения задач динамики:
1.	Сделать рисунок, указав все кинематические величины, выбрав инер-
циальную систему отсчета так, чтобы большинство этих величин было по-
ложительными (первый закон Ньютона).
2.	Расставить силы, действующие на каждое тело в отдельности (третий
закон Ньютона).
3.	Написать основное уравнение динамики для каждого тела в проекциях
на выбранные оси координат: ^Fx - тах, ^Fy = mav.
Занятие 1. Динамика поступательного движения
В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ И ВЕРТИКАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ
Задачи
1.	Однородный шар массой 4 кг движется поступательно по поверхности
стола под действием постоянной силы F, приложенной, как показано на
рис. 1.1, где а = 30°. Коэффициент трения между шаром и столом к = 0,2 .
Найдите силу F и ускорение шара.
Ответ: 8,2 Н; 0,03 м/с2.
2.	Горизонтальная доска (рис. 1.2) имеет ступеньку высоты /7, в которую
упирается свободно лежащий на доске однородный цилиндр радиуса R> Н .
Доску двигают в горизонтальном направлении с ускорением а. Определите
максимально возможное ускорение, при котором цилиндр еще не будет под-
ниматься на ступеньку. Трением пренебречь.
Ответ-. а)тх= g^H(2R-H)/(R-Н).
3.	От поезда, идущего по горизонтальному участку пути с постоянной
скоростью отцепляется 1/3 состава. Считая, что сила тяги при разрыве
3 Зак. 51	33
состава не изменилась, определите скорость головной части поезда в тот
момент, когда скорость отцепившихся вагонов уменьшилась в два раза. Сила
трения пропорциональна силе тяжести и не зависит от скорости движения.
Ответ'. (5/4) Цр
4.	Водометный катер движется с постоянной скоростью, забирая заборт-
ную воду и выбрасывая назад струю со скоростью V = 20 м/с относительно
катера. Площадь поперечного сечения струи *5 = 0,01 м2 . Найдите скорость
катера, если действующая на него сила сопротивления пропорциональна
квадрату скорости: F = kv\ к = 7,5 Н -с2/м2.
Ответ'. 13,4 м/с.
5.	Поезд, подъезжая к станции со скоростью 72 км/ч, начинает равномер-
но тормозить. Каково наименьшее время торможения поезда до полной ос-
тановки, безопасное для спящих пассажиров (пассажиры не падают с по-
лок)? Коэффициент трения о полки к = 0,2 .
Ответ'. 10 с.
6.	К нити подвешен груз. Если поднимать груз с ускорением 2 м/с2, то
натяжение нити будет вдвое меньше натяжения, при котором нить разры-
вается. С каким ускорением надо поднимать этот груз, чтобы нить разо-
рвалась?
Ответ'. 14м/с2.
7.	Груз массой 103 кг спускается с помощью лебедки с постоянной ско-
ростью V = 4 м/с. Какова будет максимальна сила натяжения троса при вне-
запной остановки лебедки, если жесткость троса к = 5 • 105 Н/м2. Массой
троса и трением пренебречь.
Ответ'. 68,4 кН.
8.	Парашютист массой т = 80 кг падает при открытом парашюте с уста-
новившейся скоростью V = 5 м/с. Какой будет установившаяся скорость,
если на том же парашюте спускается мальчик массой т = 40 кг? Сила со-
противления воздуха пропорциональна квадрату скорости.
Ответ'. 3,5 м/с.
9.	Шар массой т объемом V падает в жидкости с плотностью р с посто-
янной скоростью U. С какой силой нужно тянуть вверх этот шар, чтобы он
поднимался в той же жидкости со скоростью =4U ? Сопротивление вяз-
кой жидкости движению шара пропорционально его скорости.
Ответ'. 5g(m-pV).
34
10.	Камень бросили вертикально вверх. В какой момент времени ско-
рость и ускорение будут максимальны (минимальны). Учесть сопротивление
воздуха, которое зависит от скорости движения.
11.	Водометный катер забирает забортную воду и выбрасывает ее назад
со скоростью и относительно катера. Сам катер при этом движется со ско-
ростью Ко. К катеру на длинном тросе прицепили буксируемое судно, сила
сопротивления которого при одинаковой скорости движения равна силе со-
противления катера. Определите скорость буксира, если известно, что силы
сопротивления катера и буксируемого судна изменяются пропорционально
их скоростям.
Решение
1. Уравнение динамики при дви-
жении катера без буксира:
ш = -аК0, ———ш = -а,И0 (1),
где а — коэффициент сопротивления.
2. При движении в режиме с буксиром уравнение динамики
777
у(м-Г) = -2аГ (2).
Разделив уравнение (1) на (2), имеем V = К0и/(2д-К0).
п	г/ vou
Ответ: V--——-.
(2п-Г0)
Занятие 2. Динамика поступательного движения
по наклонной плоскости
Задачи
1.	По канатной ж/д с углом наклона 30° к горизонту спускается вагонетка
весом 5000 Н. Определите натяжение каната при торможении вагонетки в
конце спуска, если скорость вагонетки перед торможением 2 м/с, время тор-
можения t = 5 с, коэффициент трения ц = 0,01.
Ответ: 2690 Н.
2.	По наклонной плоскости равномерно спускается велосипедист массой
П1> Масса велосипеда М. Какова по модулю и направлению сила реакции N
Плоскости?
Ответ: (M + m)g.
з*
35
3.	Шайба, пущенная вверх по наклонной плоскости с углом наклона а, со
временем останавливается и соскальзывает вниз. Время спуска в 2 раза
больше времени подъема. Определите коэффициент трения.
о 3tSa
Ответ'. ------.
5
4.	За какое время тело массой М соскользнёт с наклонной плоскости вы-
сотой Н, наклонённой под углом а к горизонту, если по той же наклонной
плоскости с углом наклона Р оно движется равномерно.
Ответ', t = ^2 И/(g-sina(sinoc-tgPcosoc)).
5.	При скоростном спуске лыжник шел вниз по склону с углом наклона
45°, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег к = 0,1. Си-
ла сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости F = aU2,
где постоянная величина а = 0,7 кг/м. Какую максимальную скорость мог
развить лыжник, если его масса т = 90 кг?
Ответ'. 100 км/ч.
Рис. 2.1
6.	Тело массой 50 кг расположено на на-
клонной плоскости с углом наклона а = 30°.
К телу (рис. 2.1) приложена горизонтальная
сила F = 100 Н. Коэффициент трения к = 0,2 .
Определите ускорение тела и силу, с которой
оно давит на опору.
Ответ '. 1,4 м/с2 ; 475 Н.
7.	Небольшой кубик массой т = 100 г по-
коится на поверхности с коэффициентом тре-
ния 0,8, наклоненной к горизонту под углом
а = 30° (рис. 2.2). Определите минимальную
горизонтальную силу, с которой нужно тол-
кать кубик, чтобы он начал двигаться.
Ответ'. 0,47 Н.
Занятие 3. Динамика движения тел в системе
Рассматриваются задачи поступательного движения связанных друг с
другом тел (силами натяжения связей или силами давления).
Составив уравнения динамики для каждого тела системы, получим сис-
тему уравнений. Если число неизвестных больше числа уравнений динами-
ки, к ним добавляют формулы кинематики.
36
Если ускорение при движении тел в системе одинаково и о внутренних си-
лах в условии задачи не спрашивается, то основное уравнение динамики мож-
но составить сразу для всех тел системы, не рассматривая тела в отдельности.
При движении тела или системы тел относительно ускоренно движу-
щейся системы используют формулу для определения относительного ус-
корения яотн ;
^отн ““ ^абс ~ ^пер >
ИЛИ
^абс ~ ^отн ^пер ’
где #абс — ускорение тела относительно неподвижной Земли (абсолютное
ускорение); япер — ускорение движущейся системы (переносное ускорение).
Задачи
1.	Доска массой М (рис. 3.1), наклоненная под углом а к горизонту, ле-
жит на двух опорах А и В, по которым она может скользить вниз без трения.
С каким ускорением айв каком направлении должен двигаться по этой дос-
ке человек массой т, чтобы доска не скользила?
Ответ\ а = gsin ос(1 + М / т) -> к В.
2.	Чтобы сдвинуть с места ящик массой Л/, человек тянет его к себе с си-
лой Г, направленной под углом а к горизонту. Определите величину силы,
если масса человека w, коэффициенты трения о пол человека и ящика оди-
наковы и равны ц. Считать М > т.
Ответ:	.
3.	Призма с углом наклона а движется с ускорением по гладкому горизон-
тальному столу (рис. 3.2). При каком ускорении брусок, лежащий на призме,
начнет подниматься? Коэффициент трения между бруском и призмой ц.
P + tgoc
Ответ', g—-----Е.
l-ptga
37
4.	На идеально гладкой горизон-
тальной плоскости расположен бру-
сок массой Л/, скрепленный с пру-
жинами, жесткость каждой из кото-
рых к. На бруске лежит шайба мас-
сой т. Коэффициент трения сколь-
жения между бруском и шайбой ц.
Определите максимальную амплитуду колебаний, при которой система бу-
дет двигаться как единое целое, т.е. без проскальзывания шайбы по бруску.
Ответ:
pg(A7 + т)
2к
5.	Два бруска одинаковой массы поставили на наклонную плоскость с уг-
лом наклона а. Коэффициент трения верхнего kR, нижнего кн = 1. Опреде-
лите силу взаимодействия брусков при их совместном соскальзывании с на-
клонной плоскости.
Ответ'. F =±mg(l-£B)cosa .
6.	К грузу массой 7 кг подвешен на веревке массой 4 кг другой груз мас-
сой 5 кг. Какое натяжение будет испытывать верхний конец и середина ве-
ревки, если всю систему поднимать вертикально вверх, приложив к большо-
му грузу силу 235 Н?
Ответ'. 134 Н; 104 Н.
7.	Два шарика одинакового диаметра связаны невесомой нитью и опус-
каются один над другим в жидкости с постоянной скоростью. Определите
силу натяжения нити, если масса первого шарика 2 кг, второго 1,6 кг.
Ответ'. 2 Н.
8.	Если пережечь нить (рис. 3.3), соединяющую грузы (D и (2), висящие
на пружине, верхний груз (Т) приходит в движение с ускорением 4,9 м/с2.
Поменяем местами грузы. Определите теперь ускорение, с которым придет в
движение груз © после пережигания нити.
Ответ: 19,6 м/с2.
9.	Наклонная плоскость (рис. 3.4) составляет с горизонтом угол 30°. От-
ношение масс тел т}1т2 =2/3. Коэффициент трения между телом т} и
плоскостью к =0,10. Массой блока и нити пренебречь. Определите модуль
и направление ускорения тела массой т2, если система пришла в движение
из состояния покоя.
Ответ'. 0,05 g.
38
Рис. 3.3
10.	На гладком горизонтальном столе (рис. 3.5) лежит брусок М = 2 кг,
на котором находится тело т - 1 кг. Тела соединены легкой нитью, переки-
нутой через блок. Какую силу F надо приложить к нижнему бруску, чтобы
он стал двигаться от блока с постоянным ускорением а = g/2 ? Коэффици-
ент трения между бруском и телом к = 0,5 .
Ответ'. 24,5 Н.
11.	Система, состоящая из блока, чашечек с грузами и нити (рис. 3.6), на-
ходится в равновесии. М = 3 кг. С одной чашечки сняли груз, и система
пришла в движение. Масса груза т = 1 кг. Определите массу груза /и2, ко-
торый надо положить на другую чашечку, чтобы натяжение нити стало рав-
ным её натяжению в исходном равновесном состоянии.
Ответ'. 0,6 кг.
12. По горизонтальной поверхности
(рис. 3.7) равноускоренно движется тело
тъ соединённое нерастяжимой нитью
с висящим телом массой т2 = 3 кг. Ко-
эффициент трения тела массой т} =1 кг
равен 0,1. Найдите натяжение нити и
силу давления на ось блока.
Ответ: 19,2 Н; 27 Н.
Рис. 3.7
39
Рис. 3.10
Рис. 3.12
13.	Нерастяжимая невесомая нить, пе-
рекинутая через блок с неподвижной
осью, пропущена через щель (см. рис. 3.8)
При движении нити на неё со стороны
щели действует постоянная сила трения/
На концах нити подвешены грузы массой
/771 и т2 • Определите ускорение грузов.
(m}-m2)g-f
Ответ: —------———.
пь + т.
14.	На сколько переместится конец нити
(точка А), перекинутой через неподвижный
невесомый блок (рис. 3.9), если к концу ни-
ти приложить силу F1 Жесткости пружин
равны и К2. Нить нерастяжима.
Ответ: F(4K2 +К})/К}К2.
15.	К концам невесомой и нерастяжимой
нити, перекинутой через невесомый блок
(рис. 3.10), подвешены два груза массой
100 г каждый. На один из грузов положен
перегрузок массой 10 г. Найдите силу, с
которой перегрузок давит на груз, а также
силу давления на ось блока.
Ответ: 0,1 Н; 2,1 Н.
16.	Сила F приводит в движение штифт
© и клин (2) (рис. 3.11). Угол наклона
клина а, массы клина и штифта одинаковы
и равны т. Трение отсутствует. Найдите
силу взаимодействия клина и штифта.
Ответ: Fsin ос +/wgcoscc.
17.	На гладком столе расположена сис-
тема грузов (см. рис. 3.12) Коэффициент
трения между грузами М и т равен р. Пра-
вый нижний груз тянут вдоль стола с силой
F. Найдите ускорения всех грузов системы:
1) если отсутствует проскальзывание; 2) если
есть проскальзывание.
Ответ: 1) F /2(М + /??); 2) (F -\Mng)l М,
yigm/(2m + М).
40
18.	Система: грузы тх и /д2, блок и нить находятся в
кабине лифта, который поднимается с ускорением aQ
(рис. 3.13). Пренебрегая массой блока, нити, трением,
найдите: а) ускорение груза /И| относительно кабины;
б) силу, с которой блок действует на потолок кабины.
Ответ', а = —!
тх + т2
/- = 2Г =-—(g-a0)-
тх + т2
Рис. 3.13
19.	Брусок массой т\ лежит на гладкой
горизонтальной плоскости. На бруске лежит
тело массой т2. Коэффициент трения меж-
ду телом и бруском равен к. При каком зна-
чении силы F, приложенной к бруску в гори-
зонтальном направлении, тело начнёт скользить по бруску? Через сколько
времени тело упадёт с бруска? Длина бруска /.
хч	2/W7i	/	ч
Ответ'. t= I---------!; F > kg(m} + т2).
у F-kg(m} +т2)
20.	Космонавт, отправляясь на Луну, взял с собой среди прочего снаря-
жения пружинные весы, гирю массой т} = 1 кг и блок. Опустившись на по-
верхность Луны, космонавт подбирает камень и взвешивает его на весах.
При этом весы показывают 1 кг. Затем он подвешивает гирю и камень к кон-
цам нити, перекинутой через блок, и обнаруживает, что камень опускается с
ускорением а = 1,2 м/с2. Пренебрегая массами блока и нити, определите мас-
су камня т2.
Ответ'. 6,25 кг.
21.	Два одинаковых шарика связаны невесомой
нитью, перекинутой через невесомый блок, причем
один из шариков погружен в сосуд с жидкостью. С
какой установившейся скоростью U будут двигаться
шарики, если известно, что установившаяся ско-
рость падения одиночного шарика в той же жидко-
сти равна ? Сила сопротивления пропорциональ-
на скорости. Плотность жидкости равна р0, плот-
ность материала шарика равна р.
Решение
Из движения одиночного шарика в жидкости
найдем коэффициент сопротивления.
41
о ♦
ОУ: mg = Fc + FA , где FA — сила Архимеда, или
pFg = kU0 +p0Fg , следовательно
k = l/g(p-p0)/U0.
При установившемся движении системы
1'7’ = mg,
1.7’ + Fa = mg + kU,
ИЛИ
f^ = pgr,
[7>pogr = pgr +(/(p-p0)Kg/£/0.
Откуда U =	.
P-Po
Ответ'. U =
Ц)Рг
P-Po
22.	На стержень длиной 2/ надета бусинка мас-
-	сой т. Бусинка может перемещаться по стержню
бе3 трения и в начальный момент она находится на
I	середине стержня. Стержень поступательно пере-
мешается в горизонтальной плоскости с ускорением
а, составляющим угол а с направлением стержня. Определите ускорение
бусинки относительно стержня, силу реакции со стороны стержня на бусин-
ку и время, через которое бусинка покинет стержень.
Решение
N— реакция стержня, действующая па бусинку
перпендикулярно стержню (см. рисунок).
aN — абсолютное ускорение относительно
Земли, вызываемое силой N.
aQiw — ускорение, направленное вдоль стержня.
&N “ ^огн + ^отн ~	~
Из треугольника ускорений:
aN=tfsina и r = ?wasina, я0Т11 = acosa.
Время движения определяем из уравнения равноускоренного движения
без начальной скорости: / = я0Т||/2 /2 , откуда t =
2/
a cos a
2/
Ответ'. / = .------
N a cos a
42
Занятие 4. Динамика движения тела по окружности
При равномерном движении материальной точки по окружности уравне-
ние второго закона динамики имеет вид:	=	, или / j F, = may R,
где V2/r~^2R —центростремительное ускорение.
Следует помнить, что вектор суммы всех сил, приложенных к телу, на-
правлен по радиусу к центру окружности. Для нахождения этой суммы сил
можно спроецировать все силы на ось, совпадающую с радиусом, и найти
затем сумму проекций по R.
Задачи
1.	По выпуклому мосту, радиус кривизны которого 90 м, со скоростью
54 км/ч движется автомобиль массой 2000 кг. Определить, в какой точке
сила давления автомобиля на мост будет равна 5000 Н?
Ответ'. 60°.
2.	Точка подвеса конического маятника движется вверх с постоянным ус-
корением а. Определить период обращения маятника, если нить отклонилась
от вертикали на угол а, а её длина /.
//cos а
Ответ'. Т = 2л-------
V 8 + а
3.	Поезд движется по закруглению радиусом 765 м со скоростью 72 км/ч.
Определите, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Рас-
стояние между рельсами 1,5 м.
Ответ'. 7,8 см.
4.	Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по окружности радиусом
50 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить
равновесие?
Ответ'. 74°.
5.	Самолёт делает «мёртвую петлю»,
радиус которой 1 км, с постоянной скоро-
стью. При этом максимальная сила давле-
ния лётчика на кресло превышает мини-
мальную в 3 раза. Определите скорость
самолёта.
Ответ: 140 м/с.
т\
*7^
m2
7//&
wZ\
Рис. 4.1
6.	На вертикальной оси укреплена горизонтальная штанга, по которой
могут без трения перемещаться два груза тх и тъ связанные нитью длиной /
43
(рис. 4.1). Система вращается с угловой скоростью со. На каких расстояниях
находятся грузы от оси в положении равновесия? Чему при этом равно на-
тяжение нити 7?
1т2	1тх 1&гтхт2
Ответ: xt =-----—;х2 =----1—; Т =-----
тх + т2 т} + т2 т} + т2
7.	Каков должен быть коэффициент трения резины о внутреннюю по-
верхность конуса с углом у вершины 2а, чтобы мотоциклист мог двигаться
по окружности радиуса R с угловой скоростью со?
g + <o2/?tga
Ответ:	-----s— •
со Я-gtga
8.	Полусферическая чаша радиусом 2 м вращается вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью 3,13 с-1. В чаше лежит маленький шарик, вра-
щающийся вместе с ней. В каком месте чаши он находится?
Ответ'. 60°.
9.	Круговой цилиндр радиуса R = 1 м, ось которого расположена гори-
зонтально, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 1 с-1. На ци-
линдр положили небольшой груз. При повороте груза на угол a = 30° от
вертикали он начинает соскальзывать с цилиндра. Определите коэффициент
трения груза о цилиндр, если угловая скорость цилиндра при наличии на нём
груза не изменилась.
Ответ'. 0,65.
10.	В вагоне поезда, идущего равномерно по криволинейному пути со
скоростью 72 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах
(динамометром). Масса груза 5 кг, радиус закругления пути R = 200 м. Оп-
ределите показания динамометра.
Ответ'. 51 Н.
11.	На диске, вращающемся вокруг
вертикальной оси, укреплён вертикальный
стержень. К верхнему концу стержня при-
вязана нить, а к ней — металлический ша-
рик. С какой угловой скоростью вращает-
ся диск, если нить составляет с вертика-
лью угол a = 45° ? Длина нити 6 см. Рас-
стояние стержня от оси вращения 10 см.
Ответ'. 8,3 рад/с.
13. На внутренней поверхности полого шара радиуса R, вращающегося
вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью оэ, находится ма-
44
ленькая шайба А (см. рис.). Считая угол
ос известным, найдите минимальный ко-
эффициент трения к , при котором шайба
не скользит вниз.
g-co2/?tga
Ответ'. --------г—.
gtga + Gr/?cosa
14. Стержень длиной I = 1 м закреп-
лён жёстко на вертикальной оси под
углом a = 30° к ней и вращается вместе
с осью с угловой скоростью со = 10 с-1.
К нижнему концу стержня прикреплён
шарик массой 1 кг. Найдите силу, с ко-
торой стержень действует на шарик.
Ответ: 50 Н.
Решение
На шар действует сила F, имеющая
составляющие N и f. Величина этой силы равна F = \l N2 + Т2 , где Т —
сила упругости стержня, У— реакция опоры. Уравнения динамики в проек-
циях на координатные оси:
OX: rsinot-Ncosa = mV2/R + mco2/sina ;	(1)
ОУ: Tcosa + Nsina = mg.	(2)
Из уравнений динамики, исключая неизвестные, находим
Т = /г? (со2/ sin2 ос + geos a),	N = w(g-со2/cos ос) sin ос .
Откуда
F = m^g2 + co4/2 sin2 a = 50 H.
Занятие 5. Тяготение. Спутники
Все тела природы притягиваются друг к другу с силой, определяемой по
закону всемирного тяготения: F = у —-1--—-, где у = 6,64-Ю"11 Нм2/кг2 —
г2
гравитационная постоянная.
При движении спутника по круговой орбите вокруг Земли выполняется
уравнение динамики:
45
М-тсп тсп-У2
'	„2
где г — расстояние от центра Земли до положения спутника (г = R3 +h, если
h велико и г = R3 » 6400 км, если h « R3).
При движении спутника или планеты по эллиптической орбите исполь-
зуются законы Кеплера:
1. Радиус-вектор спутника описывает в равные промежутки времени равные
площади: 5] = S2.
2. Квадраты периодов обращения спутников (или планет) относятся как
кубы больших полуосей их эллиптических орбит:
Т? !Тг2 =а3 !аг3.
Задачи
1.	Определите плотность планеты, продолжительность суток которой со-
ставляет 24 часа, если на экваторе её тела невесомы.
Ответ'. 8,3-104 кг/м3.
2.	Планета представляет собой однородный шар с плотностью 9-103 кг/м3.
Каков период обращения искусственного спутника планеты, движущегося
вблизи её поверхности?
Ответ'. 1,1 ч.
3.	Какую среднюю линейную скорость имел на орбите корабль-спутник
«Восток-2», если период его обращения вокруг Земли 88,6 мин? Орбиту счи-
тать круговой. Радиус Земли 6400 км.
Ответ'. 7,8-103 м/с.
4.	На какую высоту надо запустить ИСЗ, чтобы для наблюдателя, нахо-
дящегося на Земле, он казался неподвижным? Считать орбиту спутника ок-
ружностью, концентричной с экватором.
Ответ'. 36800 км.
5.	На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение силы тяжести
составляет 25% от ускорения силы тяжести на поверхности Земли?
Ответ'. h-R3.
6.	Спутник движется по круговой орбите на расстоянии Н от поверхности
Земли. Определите период обращения спутника, считая Rq Земли известным.
Сопротивлением атмосферы пренебречь.
Ответ:
^(Ro+H)3/gC.
Ко
46
7.	С какой минимальной скоростью следует запустить ракету вертикаль-
но вверх с полюса Земли, чтобы она достигла высоты от поверхности Земли,
равной радиусу Земли /?0, g — известно. Сопротивлением атмосферы пре-
небречь.
Ответ'. yjgR0 .
8.	Спутник, запущенный на круговую орбиту высотой Н = 500 км над
поверхностью Земли, тормозится в верхних слоях атмосферы. Угловое уско-
рение спутника р = 3-10“13 рад/с2. На какой высоте окажется спутник через
месяц? 7?з = 6400 км.
Ответ'. /? = 497 км.
Решение
Закон изменения угловой скорости со = соо + р/. За месяц она вырастает
на До) = рг. За это же время период изменяется на величину ДГ:
Т = Tq + ДГ = 2л/(о)0 + Дсо).
Ввиду малости (ДГ-Дсо) получаем:
ДГ/Го = —Дсо/со0 = -р//соо •	(О
Изменение радиуса орбиты определим из III закона Кеплера:
т2 ( у
\ Т J	Rq + д/? J
г.	\R \Т
Пренебрегая всеми степенями — и , получим:
ЗДЯ _ 2ДГ
*о Го
Подставляя (1) в (2), имеем АЛ = -	, где Rq = R3 + Н.
Зо)0
Так как Н « R3, то ускорение спутника равно g, откуда
g =	= oj(‘(/?3 + W) => w0 =A/g//?3 + W,
АЛ = _	= -з км, Л = /7 + АЛ = 497 км.
3Vg
47
СТАТИКА
Основные понятия, определения
В статике исследуются законы сложения сил и условия равновесия твёр-
дых, жидких и газообразных тел.
Твёрдое тело в механике — система материальных точек, расстояния
между которыми остаются неизменными при движении тела.
Равновесием называют такое состояние тела, когда оно находится в по-
кое, движется равномерно и прямолинейно или равномерно вращается во-
круг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. В положении
равновесия тело может находиться как угодно долго.
Равнодействующая — сила, действие которой заменяет действие не-
скольких отдельных составляющих сил.
Уравновешивающая — сила, равная по величине и противоположно на-
правленная равнодействующей силе. Приложена к той же точке, что и рав-
нодействующая.
Виды равновесия. Устойчивость тел
В зависимости от того, как пере-
мещается центр тяжести (центр масс
тела), когда тело приводят в движе-
ние, оно может находиться в устой-
чивом (1), неустойчивом (2), безраз-
личном (3) равновесии (см. рисунок):
1 — при смещении тела центр тяжести
поднимается; 2 — при смещении тела центр тяжести опускается; 3 — при
смещении тела центр тяжести остаётся на том же уровне. Положение тела
устойчиво, если опущенная из его центра тяжести вертикаль проходит через
площадь опоры. Если вертикаль проходит вне
площади опоры, то равновесие неустойчиво и
при малейшем толчке тело опрокинется.
Мерой устойчивости тела служит величи-
на момента, приводящего к опрокидыванию
г _ mgl
h
где F— опрокидывающая сила (см. рис. А).
48
Устойчивость тел тем выше, чем больше сила тяжести, площадь опоры и
чем ниже приложена опрокидывающая сила.
Условием устойчивого равновесия тела является .минимальное значение
его потенциальной энергии', чем ближе положение центра тяжести тела к
площади опоры, тем устойчивее равновесие.
Занятие 1. Центр тяжести (центр масс)
Центр масс (центр инерции) — точка, положение которой определяется
координатой Хс, равной
_т[Хх+т2Х1
Лс -
/И| +/и2
(1)
-
или гс =------.
С М
Движение центра масс наиболее полно описывает механическое состоя-
ние тела (или системы) в целом.
Центр тяжести — точка, в которой приложена равнодействующая всех
сил тяжести, действующих на отдельные точки тела (или системы).
В однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.
Для нахождения положения центра тяжести используют или уравнение
(1), или условие равновесия'.
1. ^F = 0 — исключает ускоренное поступательное движение тела
(системы);
2. М = 0 — исключает ускоренное вращательное движение тела.
Момент силы М = F-d, где d — плечо силы — перпендикуляр, опущен-
ный из точки вращения на линию действия силы.
Задачи
1.	Однородная плоская пластина имеет форму
круга, из которого вырезан круг вдвое меньше ра-
диуса, касающийся первого круга. Определите по-
ложение центра тяжести пластины. Радиус круга R.
Ответ'. R/6.
2.	Определите положение центра тяжести проволочной рамки, имеющей
форму равностороннего треугольника, если две его стороны сделаны из
алюминиевой проволоки, а третья — из медной. Проволоки имеют одинако-
в°е сечение. Сторона треугольника 1 м. Плотность меди 8,9 г/см3, алюминия
— 2,7 г/см3.
Ответ: 16 см от медной стороны.
4 Зак. 51
49
3.	Железный прут массой М изогнут пополам так, что его части образу-
ют прямой угол. Прут подвешен за один край на шарнире. Найдите угол
а, который образует с вертикалью верхняя часть прута в положении равно-
весия.
Ответ', arctg—.
4.	Кирпичи укладывают друг на друга без связующего
pJ---------------pJ вещества так, что часть каждого последующего кирпича
|	| выступает над нижележащим. На какое максимальное рас-
L-,.....I стояние правый край верхнего кирпича может выступать над
правым краем самого нижнего кирпича, служащего основанием всей кладки.
Длина каждого кирпича /.
Ответ’. (11/12)/.
5.	Пять шаров, масса которых соответственно т, 2т. Зт, 4т, 5т , укреп-
лены на стержне так, что их центры находятся на расстоянии / друг от друга.
Найдите положение центра масс системы, массой стержня пренебречь.
п 8.
Ответ'. —I от центра шара массой т.
6.	Штанга состоит из стержня длиной 50 см и массой 2 кг и двух скреп-
лённых с ним шаров радиусами 3 см и 6 см, массы которых соответственно
1,5 кт и 12 кг. Найдите положение центра масс системы.
Ответ'. 49 см.
7.	Балка длиной 10 м и массой 10 т лежит на двух опорах. На расстоянии
2 м от левого края балки лежит груз массой 5 т. Определите силы давления
балки на опоры и положение центра масс.
Ответ'. 60 кН; 90 кН; 1 м от центра балки.
Занятие 2. Статика твёрдых тел
При решении задач необходимо:
1) сделать рисунок, указав все силы, приложенные к телу;
2) определить точку, относительно которой рассматриваются моменты дей-
ствующих сил.
Эту точку можно брать произвольно, но удачный выбор её значительно
упрощает решение уравнения моментов сил: следует выбирать точку пово-
рота так, чтобы через неё проходило как можно больше линий действия
сил. Тогда плечи этих сил будут равны нулю и моменты этих сил тоже
равны нулю.
50
Задачи
1.	Катушку тянут за нить по полу так,
что ускорение катушки постоянно и равно
а. При каком коэффициенте трения между
ободом катушки и полом катушка будет
скользить, не вращаясь.
~	га
Ответ: ц =------.
Я-r g
2.	Как будут двигаться катушки под
действием малой силы F (рис. 2.1).
3.	Через два гвоздя (рис. 2.2), находя-
щиеся на одной горизонтали, переброшена
нить, к концам которой прикреплены грузы
массой т каждый. К середине нити подве-
шивают груз массой М и предоставляют
ему падать без начальной скорости. Опре-
делите наибольшее расстояние, на которое
опустится груз Л/, считая, что длина нити
достаточно велика и М < 2т. Трение нити
о гвозди не учитывать.
Рис. 2.2
Ответ:
1М
^(2т)2 - М2
4.	Трос массой т подвесили за концы. На-
тяжение троса в нижней точке равно Т. Опре-
делите натяжение троса в точках подвеса.
Ответ: ^Т2 +(mg/2)2.
Я
5.	Шар висит на нити, опираясь на стенку. При каком минимальном ко-
эффициенте трения между шаром и стенкой точка подвеса будет находиться
на одной вертикали с центром тяжести.
Ответ: к = 1.
6.	Колесо массой 8 кг и радиусом 0,5 м стоит перед ступенькой высотой
0,1 м. Какую минимальную силу нужно приложить к оси колеса, чтобы оно
могло подняться на ступеньку? Трением пренебречь.
Ответ : 600 Н.
7.	Каким должен быть коэффициент трения
между шариком и плоскостями, чтобы шарик не
выскочил из двугранного угла а, составленного
4*
51
этими плоскостями, при попытке уменьшить этот угол. Силой тяжести пре-
небречь.
а
Ответ', tg—.
2
8.	Кубик стоит у стены так, что одна из его граней образует угол а с по-
лом. При каком значении коэффициента трения кубика о пол это возможно,
если трение о стенку мало.
Ответ', к - (ctga-l)/2.
9.	Тонкий однородный стержень шарнирно укре-
плён в точке А и удерживается нитью ВС. Масса
стержня w, угол его наклона а. Найдите натяжение
нити и реакцию шарнира.
mg mg Г 3
Ответ: —— ctga; ——^4 + ctg a.
10.	Однородный стержень АВ опирается о
шероховатый пол и о гладкий выступ С. Угол
наклона стержня 45°, АС = 0,75 АВ. При каком
коэффициенте трения стержень будет находиться
в равновесии в указанном положении?
Ответ: 0,5.
И. Лестница длиной 4 м приставлена к гладкой стене под углом к по-
лу 60° . Максимальная сила трения между лестницей и полом 200 Н. На ка-
кую максимальную высоту может подняться по лестнице человек массой
60 кг, прежде чем лестница начнёт скользить. Массой лестницы пренебречь.
Ответ: Н «2 м.
7777)7/777
12. Однородное тело, состоящее из цилиндра и по-
лушара, стоит на гладкой горизонтальной плоскости.
При каких значениях Н это положение устойчиво?
Центр тяжести полушара в точке С. ОС = 3/%R .
Ответ: Н ~ R^Fl/2.
/—X	13. При каком наименьшем коэффициенте
трения между одинаковыми брёвнами они не
/	)[)	раскатятся. По земле брёвна не скользят.
777^77^777777	Ответ-. ц = 0,3.
14.	На плоском шероховатом дне чаши находится шар. Дно чаши накло-
нено на некоторый угол по отношению к горизонту. Шар удерживается
в равновесии нитью, параллельной дну. На какой наибольший угол можно
52
наклонить дно чаши, чтобы шар всё ещё оставал-
ся в равновесии? Коэффициент трения о дно чаши
у шара 0,5.
Ответ'. 45°.
15.	В однородной тонкой пластине массой М9
имеющей форму круга радиуса R, вырезали отвер-
стие вдвое меньшего радиуса, касающееся края
пластины. Пластину подвесили на двух невесомых
нитях. Определите силы натяженця нитей.
Ответ'. (5/8)A/g;
16.	Однородная тонкая пластина имеет форму
круга радиуса R. В пластине вырезано отверстие
радиуса R/2, касающееся края пластины в точке
А. Какую вертикальную силу F необходимо при-
ложить к точке А, чтобы удержать пластину в по-
ложении, когда центры круга и отверстия находятся на одинаковой высоте?
Масса пластины с вырезом равна т.
Ответ', mg/в.
17.	Три невесомых шарнирно связанных в
точках С и Д стержня длиной / каждый закрепле-
ны также шарнирно в точках А и В, лежащих на
одной горизонтали. АВ = 2/. К шарниру С под-
весили груз массой т. Определите величину и
направление минимальной силы, при приложе-
нии которой к шарниру Д стержень СД сохраняет
горизонтальное положение.
Решение
Для точки С: шарнир в равновесии, сле-
довательно, в проекции на ось, перпендику-
лярную АС, имеем
g(/w + wlu)sina = Tcosa, (1)
где тт — масса шарнира.
Для точки Д:
Tcosa = FcosP + wlugsina. (2)
Решая уравнения (1) и (2), получим:
Tcosa - w[Hgsina wgsina
г =-----------------=---------,
cosp	cosp
или F >/wgsina.
53
Таким образом, Fmin, при которой средний стержень сохраняет горизон-
тальное положение, равна /^lin = wgsina = mg/2 и направлена перпендику-
лярно ВД (согласно геометрии системы угол a = 30°).
18.	Определите, при каком минимальном
коэффициенте трения к однородного тонкого
стержня о пол человек может медленно без
проскальзывания поднять его с пола до верти-
кального положения, прилагая к концу стержня
силу, перпендикулярную ему.
Решение
Определим условия равновесия в момент
наклона стержня к горизонту под углом а.
За точку поворота удобно выбрать точку О, так как упростится правило
моментов. Длину стержня примем за 21.
Плечи сил: dN=lcosa, dTp =//sina + /sina = /(l + sin2 aj/sina. Усло-
вие равновесия: MN = Л/тр относительно точки О:
У/cos a = FTp/fl + sin2 ay sin a ,
F _^cosa-sina cosa-sina	1
Tp	l + sin2a	2sin2a + cos2a	2tga + ctga
С другой стороны, FTp = kN — сила трения скольжения. Поэтому
к > l/(2tga + ctga).
Для нахождения &min необходимо определить максимум функции
(2tga + ctga)-1 = ^2х2 + 1/х2) , где х2 = tga.
Из тождества 2х2+1/х2 =(V2x + l/x) -2\[2 следует, что максимальное
значение l/2tga + ctga = -\/2/4 достигает при х2 =tga = 2-\/2. Таким обра-
зом, искомый минимальный коэффициент трения &min = V2/4 .
54
ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОМЕХАНИКИ
В гидростатике изучаются условия равновесия идеальной жидкости и ус-
ловия равновесия твёрдых тел, находящихся в жидкости или газе.
Идеальная жидкость — несжимаемая жидкость (плотность не зависит от
давления), в которой отсутствуют силы трения (нет вязкости).
Строение жидкости и газа не учитывается. Они рассматриваются как
сплошные среды, которые не оказывают сопротивления изменению формы
(принимают форму сосуда, в который налиты), но сопротивляются измене-
нию объёма как упругие тела.
Изменению объёма сплошной среды препятствуют силы упругости. Си-
ловое взаимодействие жидкости с твёрдым телом характеризуется скалярной
величиной — давлением', р= F/S — в случае равномерного распределения
силы F по поверхности S в перпендикулярном направлении.
р, Па = Н/м2.
1 атм (физическая атмосфера) = 105 Па (101,325 кПа) = 760 мм. рт. ст.
1 ат (техническая атмосфера) = 98,0665 кПа = 0,98 бар.
1 бар= 100 кПа= 105 Па. 1 мм. рт. ст. = 133,3 Па;
1 м вод. ст. = 0,1 ат = 9,8 Па.
Занятие 1. Закон Паскаля. Сообщающиеся сосуды
Закон Паскаля', внешнее давление, производимое на жидкость или газ,
находящиеся в равновесии, передаётся ими во все стороны без изменения.
Жидкость находится в равновесии, если на любой элемент её действуют
уравновешивающие силы.
Гидростатическое давление жидкости, обусловленное силой тяжести на
глубине Л, определяется р = pgh и не зависит от ориентации площадки, на
которую оказывается давление.
Из закона Паскаля следует:
1) полное давление в любой точке жидкости складывается из давления р0
на её открытой поверхности (чаще всего это давление атмосферы) и гид-
ростатического давления столба жидкости, находящегося над этой точ-
кой р = р0 + pgh\
2) при равновесии жидкости в сообщающихся сосудах давление на поверх-
ности одного уровня внутри однородной жидкости одинаково во всех
точках этой поверхности.
55
а)	Для сообщающихся трубок (не капилля-
ров): для уровня ДА': pog/?B = ppTgAA, т.е.
ЛВ/ДЛ = Ррт/Ро, где ро — плотность воды, ррт —
плотность ртути (см. рисунок).
б)	Для гидравлического пресса. На все
поршни действует одинаковое давление
р2, следовательно F\/F2 = /S2 = ctf /d},
где d\ и d2 — диаметры поршней, S) и S2 — их
площади.
Это соотношение лежит в основе действия различных подъёмных меха-
низмов (домкрат, подъёмник), гидравлических тормозов, преобразователей
давления.
Задачи
1.	В сосуд с водой опущено тело массой т произвольной формы, имею-
щее внутри неоднородности и пустоты и нетонущее. На сколько изменится
уровень воды в сосуде цилиндрической формы с площадью дна S ?
Ответ'. m/pS.
2.	В воде плавает в вертикальном положении труба. Высота выступаю-
щей из воды части трубы 5 см. Внутрь трубы наливают масло плотностью
0,9 г/см3. Какой длины должна быть труба для того, чтобы её можно было бы
целиком заполнить маслом?
Ответ'. 50 см.
3.	В цилиндрический сосуд налиты равные по массе количества воды и
ртути. Общая высота столба жидкостей в сосуде 143 см. Чему равно давле-
ние жидкостей на дно сосуда? Плотность ртути 13,6 г/см3.
Ответ'. 26,1 кПа.
4.	В вертикально расположенном сосуде с сечениями S) и
S2 находятся два невесомых поршня. Они соединены тонкой
проволокой длиной /. Найдите силу натяжения проволоки Г,
если пространство между поршнями заполнено водой. Тре-
нием пренебречь. Концы сосуда открыты в атмосферу.
Ответ'. pglSlS2//\S.
5.	В сосуд с водой опущена трубка сечением 2 см2. В трубку налито 72 г
масла плотностью 0,9 г/см3. Найдите разность уровней масла и воды.
Ответ'. 4 см.
6.	В сообщающиеся сосуды одинакового сечения наливают ртуть. Затем
в одно из колен наливают масло, а в другое — воду. Высота столба масла
56
30 см, воды — 0,6 м. Определите разность уровней ртути. Плотность масла
0,8 г/см3, врды — 1 г/см3, ртути — 13,6 г/см3.
Omeenv. 2,6 см.
7.	В дв^х сообщающихся трубках разного сечения налита сначала ртуть,
а потом в Широкую трубку сечением 8 см2 налито 272 г воды. На сколько
выше будет стоять ртуть в узком колене? Плотность ртути 13,6 г/см3.
Ответ'. 2,5 см.
8.	В одном из сообщающихся сосудов, наполненных жидкостью при тем-
пературе 20° С до уровня // = 10 см, температура жидкости поднялась на
величину [А/ = 10° С. Какая возникает при этом разность уровней, если ко-
эффициент объёмного расширения жидкости а = 2,6 10~3К-1 ? Расширени-
ем сосуда!пренебречь.
Отверг. АЛ = 2,6 мм.
9.	Для подъёма груза на высоту 0,45 м воспользовались гидравлическим
прессом е КПД 0,75. Сколько ходов сделает малый поршень, ход которого
0,2 м, а площадь меньше площади большого поршня в 100 раз?
Ответ'. 300.
Занятие 2. Закон Архимеда. Плавание тел.
Уравнение Бернулли
Закон' Архимеда', на тело, погруженное в жидкость (газ), действует вы-
талкивающая сила, направленная вертикально вверх и численно равная силе
тяжести [жидкости (газа), вытесненной погруженной частью тела:
FA = Р^п.ч •
Направление силы проходит через центр массы
жидкости, вытесненной телом.
Сил^ Архимеда возникает из-за разности давлений
на верхнюю и нижнюю поверхности тела, погружен-
ного в Жидкость (газ) (см. рисунок):
Р2~Р] = Pgh2-pgh\>
Fa = &pS = (р2 - Pl )s = pghS = pgP.
Условия плавания тел', на тело, погруженное в жидкость (газ), действуют
сила тяжести и архимедова сила. Их равнодействующая (FA - mg) называет-
ся подъёмной силой.
В зависимости от величины и знака подъёмной силы погруженное в жид-
кость (газ) тело ведёт себя по-разному.
57
1)	FA>mg\ подъёмная сила положительна, тело поднимается на поверх,
ность и плавает, частично погрузившись в жидкость(газ);
2)	FA-mg: подъёмная сила равна нулю, состояние безразличного равнове*
сия, тело полностью погружено в жидкость и находится в Цей во взве^
шенном состоянии;
3)	FA<mg\ подъёмная сила отрицательна, тело погружается Iв жидкость
(газ) (тело тонет).
При стационарном течении идеальной жидкости выполняется уравнение
неразрывности (закон постоянства потока): расход жидкости должен быть
постоянным \m/t = const, или pSV = const.
Для двух произвольных сечений (при р = const):
VJV2 = S2/S}.
Следствием закона сохранения механической энергии для стационарного
течения несжимаемой идеальной жидкости по трубке тока является уравне-
ние Бернулли: p + pgh + pV2/1 - const, т.е. полное давление жидкости в
движущемся слое величина постоянная: р — внешнее давление (^змеряется
манометром), pg/? — гидростатическое давление, обусловленное силой тя-
жести жидкости на высоте й, рГ2 /2 — динамическое давление жидкости.
Из уравнения Бернулли можно полечить фор-
мулу Торричелли для скорости истечений жидкости
из малого отверстия в закрытом сосуде
Р\ + PSA + Р ,Z|2! 1 = Pi + Pg^2 + р И?. / 2.
nwillllli/	Р\ + P^i + Р ,z|212 = Pi + pgh2 + р И,
Так как р{= р2) а И22 »	, то получим: ghx = gh2 + И2/2 , т.е.
Задачи
1.	В жидкостях с плотностями р| и р2 вес тела равен Рх и Р2 соответст-
венно. Найдите вес тела в жидкости с плотностью р3.
Ответ: (Р, (р2-р3) + Р2(р3 ~Pi))/(Рз "Pi )•
2.	Определите наименьшую площадь плоской льдины толщиной |1 м, спо-
собной удержать на воде груз массой 100 кг. Плотность льда 0,9 г/сЦ3.
Ответ'. 1 м2.
3.	Льдина плавает в воде. Объём её надводной части равен 4 м3. (Опреде-
лите объём всей льдины. Плотность льда 900 кг/м3.
Ответ'. 40 м3.
4.	Один конец нити закреплён на дне, а второй прикреплен к пробковому
поплавку. При этом 0,75 всего объёма поплавка погружено в воду, рпреде-
лите натяжение нити, если масса поплавка 2 кг, плотность пробки 0,25 г/см3.
Массой нити пренебречь.
Ответ'. 40 Н.
5.	Кусок льда массой 1,9 кг плавает в цилиндрической банке, наполнен-
ной жидкостью плотностью 950 кг/м3. Площадь дна банки 40 см2. На сколь-
ко изменится уровень жидкости, когда лёд растает?
Ответ'. 2,5 см.
6.	Полый железный шар плавает в воде во взвешенном состоянии. Чему
равна масса шара, если объём полости 200 см3. Плотность железа 7800 кг/м3.
Ответ'. 230 г.
7.	Тело плавает в ртути таким образом, что в неё погружена половина его
объёма. Какая часть объёма тела окажется погруженной в ртуть, если поверх
ртути налить слой воды, полностью покрывающей тело?
Ответ'. 46%.
8.	Тонкий однородный цилиндрический стержень верхним концом кре-
пится к шарниру. Снизу под стержень подводится сосуд с водой. Стержень
отклоняется на угол а. Определите плотность материала стержня, если в
воде находится половина его длины.
Ответ'. 750 кг/м3.
9.	В цилиндре высотой hx =20 см с площадью основания S, =100 см2
налита вода, объём которой = 1 дм3. В цилиндр опускают стержень сече-
ния S2 = 40 см2, высота которого равна высоте цилиндра. Какую минималь-
ную массу должен иметь стержень, чтобы он опустился на дно цилиндра?
Ответ'. 667 г.
10.	Плотность раствора соли с глубиной h меняется по закону
р = р0 + Ah, где Ро = 1 г/см3, А = 0,01 г/см4. В раствор опущены два шарика,
связанные нитью такой длины, что расстояние между центрами шариков не
может превышать L = 5 см. Объём каждого шарика V = 1 см3, массы т{ = 1,2 г
и т2 = 1,4 г. На какой глубине в равновесии находится каждый шарик?
Ответ'. 27,5 см; 32,5 см.
11.	По горизонтальной трубе течёт горизонтальный поток невязкой жидко-
сти плотности р. Определите массу жидкости, вытекающей из трубы за время
А/, если известна разность давлений Др, измеренных двумя манометрами, ус-
тановленными в местах, где сечения трубы равны Sj и S2 соответственно.
Ответ'. SIS2AZ ^2рАрД5^-52).
59
12.	Определите объём невязкой жидкости плотности р, вытекающей из
горизонтально расположенной трубы за время Az, если известна разность
давлений Др, измеренных двумя манометрами, установленными в местах,
где сечения трубы равны S| и S2 соответственно.
Ответ'. \tSxS2p(s2 -) •
13.	Цилиндр диаметром Д заполнен водой и рас-
положен горизонтально. С какой скоростью переме-
щается поршень, если на него действует сила F, а из
отверстия в задней стенке цилиндра вытекает струя
диаметром сП Трением пренебречь. Силу тяжести не
учитывать.
Решение
Из условия постоянства потока pSV - const
лД2 Ttt/2
имеем SXV - S2U, или	’ 0ТКУда
И = РД2 Id2 (I) — скорость струи жидкости.
Так как силу тяжести не учитывать, то уравнение Бернулли имеет вид:
(A+F/5) + pr2/2 = p0+pt/72 , подставляя (1),
F/S + pV2/2 = (рГ2/2)
2F_ 2(ff,4-d4)
pS~ [ d4 )
с ЛД2
и так как S =----, то
4
2d2 I 2F
Д ^7Гр(Д4-<?) ’
60
МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА.
МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ, ИМПУЛЬС.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
Занятие 1. Работа. Энергия. КПД
Работа — физическая величина, характеризующая действие силы на оп-
ределённом пути.
1.	Если на тело действует постоянная сила (движение с постоянным ус-
корением), то
А = FS cosa,
где А Дж = Нм, a — угол между направлением силы и перемещением (ско-
ростью).
2.	Если на тело действует равнопеременная сила, то
А = FcnS cos a,
ср
где Fcp=(F1+F2)/2.
Работа силы упругости
A = Fyxl2 = kx2/2.
Работа силы тяжести
А = mghc,
I де hc — расстояние, на которое поднимается центр тяжести тела по верти-
кали (координата центра тяжести).
3.	Если сила переменна, то
X
А= jFdxcosa, или A = AW.
о
4.	Графически величина работы определяется площадью фигуры под
’ рафиком зависимости силы F от перемещения S.
5.	Работа, совершаемая при вращательном движении:
А = Му,
где м — момент постоянной силы F, действующей по касательной к вра-
щающемуся телу, ср — угловое перемещение тела.
61
<Р2
Если Л/= Л/(ф), то А = | Л/Уф.
ф|
Механическая энергия IV — мера механического движения материи. Ве-
личина, равная максимальной работе, которую совершает тело (механиче-
ская система) за счёт изменения своего механического состояния. Полная
механическая энергия:
W = IVn+IVK Дж.
Потенциальная энергия обусловлена взаимным расположением тел (или
частей тела) и их взаимодействием друг с другом.
,	т-М
1.	Wn = -у-------энергия тяготения;
г
2.	Wn = mghc — энергия положения центра масс тела (системы) над по-
верхностью Земли;
кх1
3.	Wn = —----энергия упругой деформации.
Кинетическая энергия есть мера механического движения тела.
IVK =mV2/2 — для поступательного движения тела со скоростью V.
„г «/оз2
wK = —— для вращательного движения вокруг неподвижной оси с
угловой скоростью со, где J = тг — момент инерции тела относительно
центра вращения.
Теорема о кинетической энергии', работа равнодействующей сил, прило-
женных к телу, равна изменению кинетической энергии тела:
К2 V?
A = W -IVK = w—- w—.
к2 Kj 2	2
Коэффициент полезного действия (КПД) — характеристика эффектив-
ности системы (устройства, машины) в отношении преобразования или пе-
редачи энергии; определяется отношением полезно использованной энергии
(^пол ) к суммарному количеству энергии (IV), полученному системой:
IV	А
П =-^-100%, или п=~Л2Д“-100%.
IV	А
"	^сов
«Золотое правило» механики
Простыми механизмами называются устройства, совершающие работу с
использованием источников лишь механической энергии: рычаг, блок, винт,
клин, наклонная плоскость и т.д.
Правило', с помощью простого механизма нельзя получить выигрыш в
работе, т.е. цмех<1.
62
Задачи
1.	Чему равна работа сил трения при вытаскивании /	г...— ..<
пробки из трубы? Длина пробки а. Пробка находится ‘Ту
оТ края трубы тоже на расстоянии а. Наибольшее зна- [< ц-----
мение силы трения между пробкой и трубой равна F.
3
Ответ'. — Fa.
2
2.	Снаряд массой 10 кг выстреливается на дальность 2 км по горизонтали.
Найдите работу, совершаемую пороховыми газами, если известно, что сна-
ряд находился в полёте 2 с и на сообщение ему скорости расходуется 70%
всей работы, совершаемой пороховыми газами. Сопротивление воздуха не
учитывать.
Ответ'. 7 МДж.
3.	Из шахты глубиной 200 м поднимается груз массой 0,5 т на канате, ка-
ждый метр которого весит 15 Н. Какая совершается работа по подъёму гру-
ja? Каков КПД?
Ответ'. 1,3 МДж; 80%.
4.	Кубик из пенопласта массой 100 г лежит на горизонтальной под-
ставке. Высота кубика 10 см. Снизу кубик пробивает вертикально летя-
щая пуля массой 10 г. Скорость пули при входе в кубик Ух = 100м/с, при
вылете — И2 =95 м/с. Подпрыгнет ли кубик? Силу сопротивления счи-
тать постоянной.
Ответ'. Да.
5.	Подвеска состоит из стержней, соединённых шар-
нирно. Стержни АД, ВС, ДЕ, СН — сплошные. Между	®
Iочками О и М натянута нить. Определите силу натяжения	D
нити ОМ, если масса всей системы т.
Ответ'. 1,5 mg.	М
6.	Тело массой т9 брошенное под углом к горизонту, упало на расстоянии
Я от места бросания. Зная, что максимальная высота подъема Н, найдите ра-
боту бросания. Сопротивление не учитывать.
Ответ'. mg^H + S2/\6Н).
7.	Небольшое тело массой т = 10 г соскальзывает с высоты Н = 1,2 м по
наклонному желобу, переходящему в «мертвую петлю» радиуса R = 0,4 м .
Найдите величину работы силы трения, если известно, что сила давления
тела на желоб в верхней точке петли равна нулю.
Ответ: 0,02 Дж.
63
8.	Тело массой 2 кг и объемом 10“3 м3 находится в озере на глубине 5 м.
Какая работа должна быть совершена при его подъеме на высоту 5 м над
поверхностью воды. Тело имеет кубическую форму.
Ответ: 150 Дж.
9.	Стеклянный шарик массой 100 г, находящийся у поверхности глице-
рина, погружается на глубину Н- 1 м. Найдите изменение потенциальной
энергии шарика. ргл = 1,2 103 кг/м3; рст = 2,4• 103 кг/м3.
Ответ : - 0,5 Дж.
10.	В водоеме укреплена вертикальная труба с
поршнем так, что нижний конец ее погружен в воду.
Q	Поршень, лежавший вначале на поверхности воды,
медленно поднимается на высоту Н- 15 м. Какую ра-
боту пришлось при этом совершить? Площадь поршня
1 дм2, атмосферное давление /?0 = 105 Па , массой
! ---
_—-3--	поршня пренебречь.
Ответ: 104 Дж .
11.	Из колодца глубиной Н = 20 м достают воду ведром. Внизу ведро за-
полняется водой до краев. Из-за течи при подъеме ведра часть воды вылива-
ется обратно в колодец. Считая, что подъем производится равномерно, а
скорость вытекания постоянна, определите работу по подъему ведра, если к
концу подъема в ведре остается 2/3 первоначальной массы воды. Масса пус-
того ведра т = 2 кг , его объем И = 15 л .
Ответ : 2,9 кДж .
12.	Поршень выгоняет воду из вертикального цилиндрического сосуда
через малое отверстие, находящееся у дна сосуда и имеющее площадь 50.
Высота сосуда Н , площадь основания 5 . Какую работу совершит поршень,
если он движется с постоянной скоростью V ? Учесть действие силы тяжести.
Ответ:
'-PHS
-gH
13.	По прямолинейному склону горы высотой 30 м и основанием 40 м
съезжают сани, которые останавливаются, пройдя горизонтальный путь 28 м
от основания горы. Найдите коэффициент трения, считая его одинаковым на
всем пути.
Ответ: 0,44.
14.	Какую работу надо совершить, чтобы втащить сани с грузом общей
массой т = 30 кг на гору высоты Н= 10 м? Угол наклона горы а = 30°. Ко-
64
эффициент трения между санями и горой линейно убывает вдоль пути от
А] =0,5 у подножия до к2 =0,1 у вершины.
Ответ'. 4,5• 103 Дж.
15.	Небольшая муфта массой т движется в горизонтальной плоскости по
гладкому ободу радиуса R . В точке 1 скорость муфты Ко. Найдите скорость
муфты в точке 2, если:
а)	на нее действует постоянная горизонтальная j
сила F.	।
~	Г/> 2F - R
Ответ'. V = , к0 +------.
V т	о
б)	на нее начали действовать две постоянные си-
лы: F} по оси ОХ и F2 по оси OY.
/ 2R
Ответ: V = JFO2 +—[fj (1 - cosa) - F2 since] .
16.	Локомотив массой т начинает двигаться со станции так, что его ско-
рость меняется по закону V = a>js, где ос — постоянная, aS — путь. Най-
дите суммарную работу всех сил, действующих на локомотив за первые t
секунд после начала движения.
Ответ'. wot4/2/8.
17.	Сани выезжают со льда на асфальт со скоростью V . Определите длину
пути по асфальту, если коэффициент трения об асфальт ц. Длина саней /.
Г2 /
Ответ'. ----+ —.
2
18.	Однородная цепочка длиной 2 м лежит на столе. Когда часть цепочки
длиной 0,2 м опускают со стола, она начинает скользить вниз. Масса цепочки
0,5 кг, сила трения между столом и цепочкой составляет 0,1 веса цепочки,
^акая работа против силы трения совершается при соскальзывании цепочки?
Ответ '. 0,4 Дж.
19.	Небольшое тело массой т медленно втащи-
Л,1 на горку, действуя силой F, которая в каждой
1 °'«ке направлена по касательной к траектории (см.
Рис.)- Найдите работу силы, если высота горки /г,
Длина ее основания L и коэффициент трения к .
Ответ'. mg(h + kL).
5 Зак. 51
65
20.	В сосуде имеются две несмешивающиеся жидкости с плотностями р,
и р2, толщина слоев этих жидкостей равна d} и d2 соответственно. С по-
верхности жидкости в сосуд опускают маленькое обтекаемое тело, которое
достигает дна сосуда как раз в тот момент, когда его скорость становится
равной нулю. Какова плотность материала, из которого сделано тело?
Ответ'.
(р|</, +р2</2)
(t/i + <У2)
21.	Тело без начальной скорости
соскальзывает в яму, стенки кото-
рой гладкие и плавно переходят в
горизонтальное дно. Длина дна ямы
L = 2 м , коэффициент трения о дно
£ = 0,3, глубина ямы Н = 5м. На
каком расстоянии от середины ямы
тело остановится?
Ответ'. 0,33м .
Решение
Потенциальная энергия идет против сил трения. Определим, сколько раз
тело пройдет по дну туда и обратно, прежде чем остановиться: mgH = nkmglL,
откуда п = Н!(k-2L) = 4,167, т.е. после того, как тело пройдет по дну 4 раза
туда и обратно, у него еще останется некоторый запас энергии.
Если х — расстояние от середины ямы до точки остановки, то
mgH - 8 • £ • mgL = £ • mg f - x j,
откуда x = 8,5£---= 0,33 м.
Ответ', п-
22.	Тонкостенный цилиндр радиусом R раскру-
тили вокруг его оси до угловой скорости со и поста-
вили затем в угол. Коэффициент трения между
стенками угла и цилиндром равен ц. Сколько обо-
ротов сделает цилиндр до полной остановки?
/?щ2(1 + ц2)
4jcgp(l + ц)
Решение
Уравнения динамики в проекциях на оси координат:
OX: FTp-y2=0.
66
OY: f + NX = mg, где f, F^ — силы тре-
ния, a 7V15 TV2 — силы реакции стенок угла.
Определяем силу : Nx=---------. Энергия
(1+Ц )
раскрутки идет на совершение работы против
сил трения:
, Jco2
где
Э Z	ч mR2(n2
J = mR2, 2л/?и(ц?/1 + pW2) = —“— j
откуда
7?со2 (1 + ц2)
п =------------.
4Kgp(l + p)
23.	Бетонная однородная свая массой т лежит на дне водоема глубиной
h, большей, чем длина сваи /. Привязав трос к одному концу сваи, ее мед-
ленно вытаскивают из воды так, что центр тяжести сваи поднимается на вы-
соту Н от поверхности воды (//>/). Какая работа совершается при подъ-
еме сваи? Плотность бетона в п раз больше плотности воды. Силами сопро-
тивления пренебречь.
Решение
Н.т. сваи.
Действующая сила
F = (wg-F4) = pgrfl-^2-| = mgfl--\ А\ =
I P6J \ п) 2< и)
5*
67
2. А2 определится из площади фигуры по графику при подъеме ц.т. сваи
над дном водоема:
= (mg - Fa )f h - j + mgH.
Полная работа A = A}+ A2= mg
H + h\ 1 ---
I n
Занятие 2. Мощность. КПД
Мощность — величина, характеризующая быстроту совершения работы:
А
t
р ДЖ
Вт =---
с
, 1 л.с. = 735,5 Вт.
__ г -ocosoc _
Лср =----------= F • Иср cos а — для поступательного движения.
7Vcp = /Умгн /2 — для равноускоренного движения (Ио = 0 или V = 0).
W = bWIt — в общем случае.
N = М - со — для вращательного движения.
N
П = -^LlOO %, где Л/полезн = N - /Употерь.
Задачи
1.	Тело массой т бросили под углом а к горизонту с начальной скоро-
стью Ио. Найдите среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все
время движения и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.
Ответ: JVcp=O; WMrH = mg(gt - Ио sin а).
2.	Клеть с грузом поднимается из шахты глубиной 180 м равноускоренно за
60 с . Определите мощность двигателя, если масса груженой клети 8 • 103 кг .
Ответ'. 0,24мВт.
3.	Локомотив, работая с постоянной мощностью, может вести поезд мас-
сой М = 2000 т вверх по уклону at =0,005 со скоростью ^=30 км/ч или
по уклону а2 =0,0025 со скоростью И2 =40 км/ч . Определите силу трения,
считая ее постоянной.
Ответ'. 98 кН.
68
4.	Автомобиль массой Л/ = 2000 кг трогается с места и идет в гору, наклон
которой а = 0,02 . Пройдя путь 100 м, он развивает скорость 32,4 км/ч . Ко-
эффициент сопротивления £=0,05. Определите среднюю мощность, разви-
ваемую двигателем автомобиля.
Ответ'. 9945 Вт.
5.	Моторы электровоза при движении со скоростью 72 км/ч потребляют
мощность 800кВт. КПД силовой установки электровоза 0,8. Определите
силу тяги мотора.
Ответ'. 3,2-104 Н .
6.	Подъемный кран за 7 часов поднимает 3000 т строительных материалов
на высоту Н = 10 м . Какова мощность двигателя крана, если КПД его 60%?
“ Ответ'. 20кВт.
7.	Из колодца на 3/4 заполненного водой насосом откачивают воду, вы-
ливая ее на землю. Глубина колодца Я = 20м, площадь его поперечного
сечения 5 = 1м2, продолжительность откачки 30мин, площадь сечения
трубы £0 = 25 см2. Определите мощность насоса.
Ответ: 571 Вт .
8.	Вычислить мощность водяной струи, вытекающей из отверстия диа-
метром 20см со скоростью 5м/с. Плотность воды 103 кг/м3.
Ответ'. 2 кВт.
9.	Мощность реки 104кВт, ширина 500 м, глубина 20 м. Определите
скорость течения реки.
Ответ'. 1,3 м/с.
10.	Колодец, имеющий глубину Н и площадь дна £ , наполовину запол-
нен водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность земли через
цилиндрическую трубу радиуса R . Какова мощность насоса, если он выка-
чивает всю воду за время t.
„ 3PogSH2 , p0S3//3
Ответ'. ——------+ --——.
8 t 16л2Я4Г3
11.	Ракета массой М с работающим двигателем неподвижно «зависла»
над Землей. Скорость вытекающих из ракеты газов и . Определите мощность
двигателя ракеты.
Ответ'. Mgu/2.
69
Занятие 3. Закон сохранения энергии
в поступательных ДВИЖЕНИЯХ
Закон сохранения механической энергии', в инерциальной системе отсчета
полная механическая энергия изолированной системы сохраняется неизмен-
ной в процессе движения системы:
W = Wn+WK= const, т.е. AFK = 0.
Система тел, на которую не действуют внешние силы или действие их
компенсируется, называется изолированной. В такой системе происходит
переход одного вида энергии в другой, например потенциальной энергии в
кинетическую: mgH = mV2 /2.
Если энергия изменяется, она идет на работу против внешних сил (чаще
всего это силы трения).
Задачи
1. Веревка длиной 20 м переброшена через блок. В начальный момент
веревка висит симметрично и покоится, а затем в результате незначительно-
го толчка начинает двигаться по блоку. Будет ли движение равноускорен-
ным? Какова скоросты веревки, когда она сойдет с блока? Массой блока и
радиусом блока пренебречь.
Ответ'. 0; 10м/с.
2. На абсолютно гладком столе лежит це-
почка массой т и длиной /, свешивающая-
ся наполовину за край стола. Как изменится
время ее соскальзывания, если к концам це-
почки прикрепить два одинаковых шарика
массы т . Ответ обосновать.
Ответ'. Система быстрее будет дви-
гаться без грузов.
/'77777771 стт~гт-тттт 3- Небольшой по размерам груз массой
1 кг прикреплен к веревке длиной 1 м и мас-
, ......__ сой 0,1 кг, лежащей на гладком горизонталь-
I m
1--------1	ном столе. Под тяжестью груза веревка начи-
нает соскальзывать без начальной скорости через отверстие в столе. Какова
будет скорость веревки в тот момент, когда ее конец соскользнет со стола?
Ответ'. 4,4 м/с.
4.	На мяч с высоты 1 м падает кирпич, подскакивающий затем почти на
1 м. На какую высоту подскакивает мяч?
Ответ'. 0,25м.
70
5.	Гири массами т{ = 1 кг и т2 = 2 кг привяза-
ли к веревке, перекинутой через неподвижный
блок. Груз т2 отпускают, и система начинает дви-
j аться. На какую максимальную высоту поднима-
ется груз массой т{ после приземления т2, если
Н = 3 м ?
Ответ'. 4 м.
6.	Гибкая однородная цепь длиной L может двигаться по желобу,
имеющему форму равнобедренного треугольника с углом при вершине 2а и
расположенному в вертикальной плоскости. Трения нет. Цепь прилегает к
желобу. Какова наименьшая начальная
скорость цепи, необходимая для преодо-
ления этой горки?
(	3	А
Ответ'. Н—£cosa .
V I	4	)
7.	Пружина с прикрепленной к верхнему концу шайбой массой т стоит
на горизонтальной плоскости. На какую высоту относительно горизонталь-
ной плоскости подскочит шайба, если пружину сжать на величину b и от-
пустить? Жесткость пружины Л, длина ее в недеформированном состоянии
. Массой пружины пренебречь.
ХЛ	ГТ Т	* , 2	L
Ответ'. Н = +------- b -I ——	, если b >—— .
2mg к )	к
8.	Легкая пружина с жесткостью к и длиной L
стоит на столе вертикально. С высоты Н над столом
на нее падает небольшой шарик. Определите: а) какую
максимальную скорость будет иметь шарик при своем
движении вниз, если его масса т ; б) какова масса ша-
рика, если при своем движении вниз он достигает мак-
симальную скорость Г1пах; в) с какой высоты Н шарик
массой т должен падать, чтобы при своем движении
вниз он достиг максимальную скорость Г1Пах (массой пружины пренебречь).
Ответ- a) A2g(H-L)+^- ; б) т =	-2g(H - L)];
V	к	gz L	J
в)
H ==Ктах__^ +L
2g 2k
71
9.	Легкая пружина с жесткостью к и длиной L стоит
вертикально на столе и не прикреплена к нему. На пружину
падает небольшой шарик массой т, имеющий начальную
скорость, равную нулю. Пружина упруго деформируется, и
шарик подскакивает вертикально вверх. Максимальная ско-
рость шарика при его движении оказалась Ктах. На какую
высоту поднимется центр тяжести пружины?
Ответ: h = {ylm-mg2 /Z:)/8g.
^7777777777777777
10.	С какой минимальной высоты должен соскальзы-
вать кубик по наклонной плоскости, составляющей угол
30° с горизонтом, чтобы, ударившись у основания плос-
кости о низкий выступ, перевернуться? Сторона кубика
10 см, коэффициент трения кубика о плоскость 0,1.
Ответ: 2,4 см .
11.	Гантель длиной / стоит в углу, образованном
гладкими плоскостями. Нижний конец гантели смещают
горизонтально на очень маленькое расстояние, и гантель
начинает двигаться. Найдите скорость нижнего шарика
в тот момент, когда верхний шарик оторвется от верти-
кальной плоскости.
Решение
Пусть в момент отрыва верхнего шарика от вертикальной плоскости ган-
тель составляет угол а с вертикалью. Скорость верхнего шарика— К , ско-
рость нижнего — и.
т V2 ти2	7/1 ч
ЗСЭ: —-— + ----- + mg&h - mgl(\ - cos а),
где ДА - /(1 - cos а), получим
V2 +и2 = 2g/(l-cosa). (1)
Поскольку стержень жесткий, проекции
скоростей и и V на стержень равны:
К cos а = wsina .	(2)
Из (1) и (2) уравнений:
и2 = 2g/(cos2 a - cos3 a) = 2gl(x2 - x3),
где x = cos a .
До отрыва центра масс гантель двигалась с горизонтальным ускорением
(это ускорение сообщалось силой реакции вертикальной стенки). Поэтому в
момент отрыва скорость и максимальна.
72
Находим значение cos а, при котором выражение у = (х2 -х3) макси-
мально. Так как у - (2х-3х2) = 0 при х = 2/3, то г/2 максимально при
cosa = 2/3 . Максимальная скорость равна
12.	Две пластинки, масса каждой из ко-
торых равна т, скреплены пружиной с же-
сткостью к . Верхнюю пластину опустили
настолько, что деформация пружины стала
равной х0. На какую наибольшую высоту
поднимется центр масс системы после того,
как отпустили верхнюю пластину?
Решение
Высота центра масс от положения центра масс в момент отрыва нижней
пластины от стола Н - V2 /2g. Так как J7C = V12. то Н = V2 /8g.
кх2 mV2
ЗСЭ: —— tngXQ = -у- + mgx + —-— .
В момент отрыва нижней пластинки от стола кх = mg. a x = mg! к:
mV2 кх1 3m2g2
(1)
(2)
2 77	3
Для выполнения (2) необходимо, чтобы х% —-—-—— - > 0 , откуда
к к
mg , 2 mg	-	3mg
х0 - ——— ,т.е. х0 должно быть х0 >—— .
к к	к
кх2 3 г 2
Из (2) определим К: V2 =—~~2gxQ--------, поэтому
т	к
8
4^-2gx0-
8 т
13.	На подставке лежит тело массой т , подвешенное
на пружине с жесткостью к. В начальный момент пру-
жина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с
ускорением а. Через какое время подставка оторвется от
тела? Каким будет максимальное растяжение пружины?
Решение
В момент отрыва уравнение динамики
Ах0 = m(g -а),
12
откуда

время
t - \11х/а = yj2m(g -а)/ка.
Максимальное растяжение определяем из закона сохранения энергии:
mV2
V
A*2 Ах.2 х
+ ——ingx = -^-mgx^
где V - ^2ma(g-a)/к — скорость в момент отрыва подставки.
2ma(g - a) t km2(g-a)2
к + р
2^g<gz£l = _w2(g-a)2 
к	к
*4ах - 2w^n,ax = -m2{g - я)2 !к,
откуда
2 2/wgxmax , w2(g-a)2
Xmax ,	,	у
к к“
имеем xinax = \g + ^a(2g-a)\m/к.
Занятие 4. Закон сохранения энергии
в движениях по ОКРУЖНОСТИ
При решении задач необходимо учесть:
1)	переход одного вида энергии в другой в изолированной системе тел;
2)	при движении тел по окружностям или по дугам окружностей возникает
центростремительное ускорение;
3)	движение по окружности связано с угловым перемещением при
со = const.
Задачи
1.	На нити длиной / подвешен шар. Какую горизонтальную скорость нуж-
но сообщить шару, чтобы он на нити принял горизонтальное положение?
Ответ'. ^2gl.
2.	Люстра висит на цепи длиной 2,5 м. Цепь может выдержать груз не
более 500 Н . Масса люстры 25 кг . На какой максимальный угол от положе-
ния равновесия можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях
цепь не оборвалась?
Ответ'. 60°.
74
3.	Определите отношение максимальной силы натяжения математическо-
го маятника к минимальной при условии, что наибольший угол отклонения
маятника от вертикали при его колебаниях равен 60° .
Ответ'. 4.
4.	Груз массой т, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в верти-
кальной плоскости. Найдите максимальную разность натяжения нити.
Ответ: 6wg.
5.	Вокруг горизонтальной оси О может свободно вращаться легкий ры-
чаг, плечи которого равны /| и /2 . На концах рычага укреплены грузы с мас-
сами тх и т2. Какую скорость будет иметь в нижней точке один из грузов,
если первоначально рычаг находился в горизонтальном положении?
г/ 7 2g(w2/2-w1/])
Ответ'. /.......9,1' ? -2 •
у т]/]2+т212
6.	На концах и в середине невесомого стержня длиной / расположены
одинаковые шарики. Стержень ставят вертикально и отпускают. Считая, что
трение между плоскостью и нижним шаром отсутствует, найдите скорость
верхнего шарика в момент удара о горизонтальную поверхность. Как изме-
нится ответ, если нижний шарик шарнирно закреплен?
Ответ'. 2A/3gZ / 5.
7.	Велосипедист должен проехать по «чертову колесу», радиус которого
8 м. С какой высоты должен начать свой пробег велосипедист, чтобы не
упасть в верхней точке колеса?
Ответ'. 20 м.
8.	С верхней точки сферического купола радиуса R вниз скользит без
трения небольшое тело. На какой высоте тело оторвется от купола?
Ответ'. 2R/3.
9.	Какую минимальную скорость V должен иметь математический маят-
ник, проходя через положение устойчивого равновесия, чтобы он мог вра-
щаться по окружности в вертикальной плоскости? Нить маятника невесома и
нерастяжимая, длина ее равна L.
Ответ: ^5gL .
10.	Математическому маятнику массой т, находящемуся в положении
равновесия, сообщили такой минимальный толчок, что он совершил полный
оборот в вертикальной плоскости. Какова будет сила натяжения нити Т при
прохождении положения равновесия? Силами сопротивления пренебречь.
Ответ: 6mg.
75
11.	Математический маятник отклонили на угол 90° и отпустили. В мо-
мент, когда маятник проходил положение равновесия, точка его подвеса ста-
ла двигаться вверх с ускорением а. На какой максимальный угол отклонил-
ся маятник от вертикали?
~ ( а
Ответ', а = arccos ---- .
Занятие 5. Закон сохранения импульса
Импульс движения — векторная величина — мера механического движения.
р-тУ кг-м/с—для материальной точки.
р = МУС — для механической системы, где М — масса всей системы,
Ус — скорость центра масс системы.
р - тс — для фотонов.
р = т^у/yJl-У2/с2 — релятивистский импульс, где mQ — масса покоя,
с — скорость света в вакууме.
В результате взаимодействия тел импульс меняется по величине и на-
правлению: Др = FA/.
Закон сохранения импульса’, в замкнутой системе тел векторная сумма
импульсов всех тел с течением времени не изменяется, или полный импульс
системы при любых изменениях, происходящих в системе, остается одним и
тем же: р = т^ = МУС = const, или Др = 0.
Из закона сохранения импульса системы следует:
1.	Импульсы отдельных частиц, входящих в изолированную систему, могут
изменяться под действием внутренних сил, но в сумме эти изменения
равны нулю (разрыв, удар, сцепка, отдача при выстреле и т.д.);
2.	Скорость центра масс в замкнутой системе с течением времени не изме-
няется: Ус = const;
3.	В системе отсчета, связанной с центром масс замкнутой системы частиц,
их суммарный импульс равен нулю.
Закон сохранения импульса может выполняться и по отдельным осям (час-
тично изолированная система), вдоль которых сумма проекций сил равна нулю.
Задачи
1.	Тело массой т = 1 кг падает вертикально вниз, имея на высоте 5 м над
поверхностью земли скорость У = 6,7 м/с . Определите импульс тела в мо-
мент падения на землю. Сопротивление не учитывать.
Ответ'. 12 кг-м/с.
76
2.	Тело массой 0,5кг падает свободно с высоты 10м . На высоте 5м в
гсло попадает и застревает пуля массой Юг, летевшая горизонтально со
скоростью 500 м / с. Найти величину скорости тела и угол, который образует
вектор скорости с горизонтом в момент после удара.
Ответ'. 14,2м/с; 45°.
3.	Граната, масса которой 20кг, летевшая со скоростью 15 м/с, разо-
рвалась на две части. Скорость большего осколка 24 м/с в прежнем на-
правлении. Скорость меньшего— 6м/с в противоположном направлении.
Определите массы осколков.
Ответ'. 14кг,6кг .
4.	Снаряд, летящий горизонтально со скоростью 100 м/с , разрывается на
равные части, одна из которых летит вертикально вниз, а другая — вверх
под углом а = 60° к горизонту. Через какое время обе половинки окажутся
на расстоянии / = 200 м друг от друга? Сопротивлением пренебречь.
Ответ'. 0,28с.
5.	Снаряд на высоте h, двигаясь горизонтально, разрывается на 2 осколка
одинаковой массы, один из которых упал на землю через tx после взрыва, а
другой позднее. Время взрыва мало. Сопротивление не учитывать.
1)	Через сколько времени после падения первого осколка упадет на зем-
лю второй?
2)	На какой высоте произведен взрыв, если /2 > h ?
3)	Через какое время после взрыва окажется на земле второй осколок?
.	2h . gtxt2 2h
Ответ: \t-t2 -tx =-----tx',h= ' ,t2 -—•
gt\ 1 gt\
6.	Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте 19,6м на
две одинаковые части. Через время t - 1 с после взрыва одна часть падает на
землю под тем же местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии от
места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на расстоя-
нии 1 км . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 5 км.
7.	Лягушка массой т сидит на конце доски массой М и длиной /. Доска
плавает на поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом а к горизонту
вдоль доски. Какой должна быть скорость лягушки К, чтобы после прыжка
лягушка оказалась на другом конце доски? Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: ^/-g/((l + w/A/)sin2a).
77
8.	На поверхности озера находится лодка. Она перпендикулярна линии
берега и обращена к нему носом. Расстояние между носом лодки и берегом
5 = 0,75 м . В начальный момент лодка неподвижна. Человек, находящийся
в лодке, переходит с носа на корму лодки. Причалит ли лодка к берегу, если
/ = 2 м — длина лодки, масса лодки М = 140 кг, масса человека т = 60 кг.
Ответ'. Лодка причалит.
9.	Тело массой 1 кг брошено под углом к горизонту. За время полета его
импульс изменился на 10 кг-м/с . Определите наибольшую высоту подъема
тела.
Ответ: 1,25 м .
10.	Тело массой 1 кг, брошенное под углом а = л/6 к горизонту, достиг-
ло наивысшей точки траектории через 4 с. Определите максимальную вели-
чину импульса тела за время его полета. Сопротивление не учитывать.
Ответ'. 80 кг-м/с.
11.	Материальная точка /л = 1кг, двигаясь равномерно, описывает чет-
верть окружности радиуса R = 1,2 м за 2 с . Чему равно изменение импульса
точки за это время?
Ответ'. 1,33 кг-м/с.
12.	Самолет массой т = 104 кг, двигаясь равномерно по окружности ра-
диусом R = 1 м со скоростью 360 км/ч, пролетает 1/6 ее длины. Чему рав- 4
но при этом изменение импульса самолета?
Ответ'. 106 кг-м/с.
13.	Огнетушитель выбрасывает в единицу времени массу т- 0,2 кг/с
пены со скоростью 20 м/с . Масса полного огнетушителя М =2 кг. Какую
силу должен приложить человек, чтобы удержать огнетушитель неподвижно
в вертикальном положении в начальный момент его работы?
14.	На две частицы— одну массой /л, летя- .
щую со скоростью V , другую массой 2т, летя-
щую со скоростью V/2 перпендикулярно первой,
в течении некоторого времени действуют одина-
ковые по модулю и направлению силы. К моменту
прекращения действия сил первая частица начинает*
двигаться со скоростью V в направлении, перпендикулярном к первоначаль-
ному. С какой скоростью будет двигаться при этом вторая частица?
Ответ', vjs/2.
Ответ: 20,6 Н.
wO-—► V
Q)2m “‘-х
О
78
15.	Сферическая чаша стоит на гладкой гори-
зонтальной плоскости. По ее внутренней поверх-
ности соскальзывает шарик из точки А. Масса
чаши М , масса шарика т, R — радиус чаши,
г — радиус шарика. На сколько сместится чаша,
когда шарик придет в положение В?
Ответ'. (R- r)2m /(М + т).
М
т
16.	На гладкой горизонтальной плоскости стоит
брусок массой М . К бруску привязана нить длиной
/, на конце которой находится шарик массой т. В
начальный момент нить была отклонена на некото-
рый угол и отпущена без начальной скорости. Найди-
те скорость бруска в момент, когда нить проходит через вертикальное поло-
жение, зная, что ее угловая скорость в тот момент равна со .
Ответ'. т<йИ(М + т).
17.	Кусок однородного каната длиной / висит вертикально так, что его
нижний конец как раз доходит до горизонтального стола. Определите силу
давления каната на стол при падении, если отпустить верхний конец каната.
Масса каната т.
Решение
При падении каната на стол создается дополнительное давление (сверх
части каната, уже лежащей на столе), вызванное потерей импульса падаю-
щими элементами каната при их ударе о стол.
Пусть за время А/ на стол падает элемент каната А/ массой
\т = (/л//)А/.
Сила, действующая со стороны этого элемента на стол:
\F = ^n-VIM = {mll)M-VIM = mV2ll,
где V — скорость, с которой элемент &т достигает стола. При свободном
падении V = y/2gx , где х — длина части каната, лежащей на столе.
Следовательно, AF = 2g-x-m/l. Таким образом, полная сила, дейст-
вующая на стол, F = 3(m/l)g-x.
Занятие 6. Взаимодействия, связанные с законами
СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ДВИЖЕНИЯ
К таким взаимодействиям относятся процессы столкновения тел (абсо-
лютно упругие удары).
79
При упругом центральном (лобовом) ударе векторы скоростей тел на-
правлены по прямой, соединяющей центры этих тел.
При упругом нецентральном (касательном) ударе меняются модули и на-
правления скоростей, происходит «разлет» тел под углом друг к другу. В этом
случае следует учитывать выполнение закона сохранения импульса движения
в проекциях на оси координат, векторный характер импульсов движений.
В случаях квазиупругих взаимодействий тел (движения без трения) спра-
ведливы оба закона сохранения.
Задачи
1.	Молекула м = 4,65-10-26 кг, имеющая скорость ^ = 600 м/с, ударяет-
ся о стенку сосуда под углом а = 60° к нормали и под таким же углом упру-
го отскакивает от нее без потери скорости. Определите импульс силы, полу-
ченный стенкой за время удара.
Ответ'. 2,8-10”23 Н с.
2.	Шар массой т, движущийся со скоростью Ко, налетает на покоящийся
шар массой М. Найдите скорость шаров друг относительно друга после аб-
солютно упругого центрального удара.
Ответ: Иогн = Ко .
3.	В результате упругого лобового столкновения частицы пц с покоя-
щейся частицей обе разлетелись в противоположных направлениях с одина-
ковыми скоростями. Найдите массу второй частицы.
Ответ'. Зт}.
4.	Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после упругого
столкновения с неподвижным атомом водорода, если та = 4т .
Ответ'. 1,7.
5.	На покоящийся шар массой М налетает шар массой т со скоростью V.
Удар шаров центральный и упругий. Найдите долю кинетической энергии,
переданной покоящемуся шару.
Ответ'. 4Мт/(М + т)2.
6.	Частица А массой т после абсолютно упругого нецентрального столкно-
вения с первоначально покоящейся частицей В отклонилась на угол а. Им-
пульс частицы А до удара был по модулю равен р}, а после удара стал рав-
ным р2. Найдите массу частицы В , если система частиц замкнута.
/?!2+ р?-2p,p2cosa
О т в е т: М = ——£-х-5—£-Jp=--т.
A - Pi
80
7.	Шар массой т}, движущийся со скоростью испытывает упругое
соударение с шаром такой же массы, движущимся со скоростью под уг-
яом а к направлению У}. Скорости шаров после удара щ и и2. Определите
угол разлета шаров.
Ответ', р = агссо5(И1И2cosa/w^)-
8.	Доказать, что при упругом ударе двух частиц одинаковой массы угол
разлета их равен 90°, если первая налетает со скоростью V на неподвиж-
ную вторую.
9.	Тело массой т, движущееся со скоростью И, налетает на неподвижное
г ело и после упругого соударения отскакивает от него под углом 90° к пер-
воначальному направлению своего движения со скоростью И/2. Определи-
те массу второго тела.
Ответ'. 5т/3.
10.	На гладком горизонтальном столе вдоль одной прямой лежат не со-
прикасаясь три шара, радиусы которых одинаковы, а массы равны 4w, 2т и
т . Тяжелый шар начинает двигаться со скоростью Ио и налетает на второй
шар, который затем ударяется о третий легкий шар. Найдите скорость, с ко-
торой будет двигаться третий легкий шар. Удары считать абсолютно упру-
гими и центральными.
Ответ: 16И0/9.
11.	Между двумя шарами с массами т} и т2 находится сжатая пружина.
Ьсли один из шаров (массой т2) удержать на месте, а другой освободить, то
он отлетает со скоростью Ио. С какой скоростью будет двигаться шар мас-
сой т}, если оба шара освобождаются одновременно? Деформации пружи-
ны в обоих случаях одинаковы.
Ответ:	= Уо^]т2 /(т} +т2) .
12.	На гладком столе лежат два груза, массы которых относятся как 1:5.
I рузы соединены сжатой пружиной, при распрямлении которой более лег-
кий груз приобретает кинетическую энергию 50 Дж. Найдите потенциаль-
ную энергию сжатой пружины.
Ответ: 60 Дж.
13.	На гладкой горизонтальной плоскости
находятся два бруска с массами тх и т2, со-
единенные невесомой пружиной с жесткостью
£ . Брусок 2 переместили влево на небольшое
6 Зак. 51
81
расстояние х и отпустили. Найдите скорость центра масс системы после
отрыва бруска 1 от стенки.
Ответ: Х'^кт2/(т1 +w2).
14.	На подставке массой М =10 кг установле-
на невесомая пружина с жесткостью к = 80 Н/м, к
которой прикреплен груз массой т = 1 кг. В на-
чальный момент времени пружина сжата на вели-
чину х = 1 м. Определите максимальную скорость
подставки после того, как пружина будет отпущена.
Трением груза о подставку и подставки о стол пренебречь.
Ответ: 0,853 м/с.
15.	Два шарика массами т} и т2 подвешены на нитях одинаковой длины
/ так, что соприкасаются. Шарик т2 отводят в горизонтальное положение и
отпускают. На какую высоту поднимется шарик после абсолютно упругого
центрального удара?
Ответ : 4т21 /(т} + т2^ .
16.	Небольшое тело начинает скользить с высоты Н по наклонной плоско-
сти, образующей угол а = 45° с горизонтом. В конце наклонной плоскости тело
встречает абсолютно упругую горизонтальную плоскость. Найдите максималь-
ную высоту подъема тела после упругого удара о горизонтальную плоскость.
Начальная скорость тела равна нулю, трением пренебречь.
Ответ: НИ.
17.	Клин массой М находится на абсолютно гладкой горизонтальной плос-
кости. На клине лежит брусок массой т. Брусок под действием силы тяжести
может скользить по клину без трения. Считая, что в начальный момент време-
ни система находится в покое, определите скорость клина в тот момент време-
ни, когда брусок опустится по вертикали на расстояние h . Угол клина а.
Ответ: V -
2т gh
М + иг[(Л//т)2 + Н + М//л] -tga
18.	На гладкой горизонтальной плоскости
находится тело массой М и на нем небольшая
шайба массой т . Шайбе сообщают скорость V
в горизонтальном направлении. На какую высо-
ту h поднимется шайба после отрыва от тела МП
Трение между шайбой и телом отсутствует.
Ответ: (v2 !2g\-M/(М + /и).
82
19.	На пути тела массой т, т
скользящего по гладкому горизон-	1
тальному столу, находится незакре-
пленная горка массы 5т и высотой Н -2 м. При какой минимальной ско-
рости тело может преодолеть горку? Тело движется не отрываясь от горки.
Трения нет.
г/ к	гл /
Ответ: Kmin = №gH-------= 6,9 м/с.
V М
20.	На группу из трех гладких одинаковых куби-
ков, лежащих на гладкой горизонтальной поверхно-
сти, налетает со скоростью V гладкая шайба. Масса
каждого кубика равна массе шайбы. Диаметр шай-
бы и ее высота равны ребру кубика. Определите ско-
рости всех тел после соударения.
Решение
В момент удара только крайние кубики соприкаса-
ются с шайбой. Сила направлена перпендикулярно гра-
ни касания шайбы с кубиком и проходит через его
центр. Поэтому средний кубик остается неподвижным.
ЗСИ: mV = 2ти\[212 + mV',	(1)
где т — масса каждого кубика и шайбы, V' — скорость шайбы после со-
ударения, и — скорость каждого движущегося кубика.
ЗСЭ: Г2 =2м2+Г2.	(2)
Решая уравнения (1) и (2), имеем м = К\/2/2; У' = 0. Следовательно, по-
сле удара крайние кубики приобретают скорости И\/2/2, составляющие угол
45° со скоростью И, шайба останавливается, средний кубик неподвижен.
21.	На гладкой горизонтальной поверхности
около стенки стоит брусок массой М с углубле-
нием полусферической формы радиусом R . Из
точки А без трения соскальзывает маленькая
шайба массой т. Найдите максимальную ско-
рость бруска при его последующем движении.
Решение
Брусок касается стенки до момента нахождения шайбы в нижнем поло-
жении. Далее шайба поднимается вверх, а брусок движется вправо, пока
скорости шайбы и бруска не сравняются. Далее шайба скользит вниз, а бру-
сок ускоряется влево. Таким образом, максимальная скорость бруска будет в
моменты прохождения шайбой низшего положения при движении к стенке.
ЗСИ после отрыва бруска от стенки: m^figR = mV2 + МУ} •
6’
83
ЗСЭ: mgR = MVX2/2 + mV^ /2 .
Система уравнений имеет два решения.
1)	= О, И2 = y/2gR — брусок в покое.
2)	К] =2my/2gR/(M + m) ; V2 = y/2gR(m-М)/(т + М).
Используем второе решение, так как определяется максимальная скорость:
2mj2gR
max	М + т
Занятие 7. Неупругие взаимодействия
Такие виды взаимодействия тел всегда связаны с потерей начальной
энергии системы. Но закон сохранения энергии справедлив после взаимо-
действия.
Закон сохранения импульса движения применим и для таких взаимодей-
ствий (учитывать векторный характер импульса движения).
Задачи
1.	Тело массой тх -1 кг, движущееся горизонтально со скоростью
Vx = 1 м/с, догоняет второе тело массой т2 = 0,5 кг и неупруго сталкивается
с ним. Какую скорость будут иметь оба тела, если V2 =0,5 м/с и в том же
направлении, что и первое тело.
Ответ'. 0,83 м/с.
2.	Мяч, летящий со скоростью Vx = 15 м/с, отбрасывается ударом ракетки
в противоположном направлении со скоростью К2 = 20 м/с. Найдите изме-
нение количества движения мяча, если известно, что изменение его кинети-
ческой энергии при этом равно AFF = 8,75 Дж.
Ответ'. 3,5 кг-м/с.
3.	Две частицы массой т и 2т, имеющие импульсы р и р / 2, движутся
по взаимно-перпендикулярным направлениям. После удара частицы обме-
ниваются импульсами. Определите потерю механической энергии при со-
ударении.
Ответ'. Зр2/16т.
4.	Два глиняных комка массами тх = 100 г и т2 = 200 г, летящие со ско-
ростями Vx = 2 м/с и V2 = 3 м/с под углом а = 60° друг к другу, неупруго
соударяются. Найдите количество выделившегося тепла.
Ответ'. 0,24 Дж.
84
5.	Частица 1 сталкивается с частицей 2, в результате чего возникает со-
ставная частица. Найдите ее скорость, если масса частицы 2 в два раза
больше массы частицы 1, а компоненты их скоростей перед столкновением
равны соответственно: К1Л. = 2 м/с, VXy = 3 м/с, V2x = 4 м/с, V2y ~ “5 м/с.
Ответ: 4 м/с.
6.	Частица массой т с кинетической энергией К сталкивается с атомом
массой М. Считая удар абсолютно неупругим, определите энергию возбуж-
дения Q, переданную частицей атому.
Ответ'. X^l - w2/(M + w)2j.
7.	Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком
стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Рас-
стояние от точки подвеса стержня до центра шара 1 м. Найдите скорость
пули, если известно, что стержень с шаром отклоняется после удара пули на
угол 10°.
Ответ'. 600 м/с.
8.	Из духового ружья стреляют в спичечную коробку, лежащую на рас-
стоянии 50 см от края стола. Пуля массой 1 г, летящая горизонтально со ско-
ростью V = 150 м/с, пробивает колобку и вылетает из нее со скоростью VT1.
Масса коробки Л/ = 50 г. При каком максимальном коэффициенте трения
между коробкой и столом коробка соскользнет со стола?
Ответ ’. 0,375.
9.	Молот массой 1000 кг ударяет по раскаленной детали, лежащей на на-
ковальне, деформируя деталь. Масса наковальни с деталью 9000 кг. Считая
работу деформации детали полезной и удар абсолютно неупругим, найдите
КПД процесса ковки.
Ответ: 90%.
10.	На тележку, которая движется горизонтально со скоростью Ко, сверху
спускают тело массы т, равной массе тележки. После взаимодействия тело
остается на тележке. Определите, сколько при этом выделяется тепла.
Ответ'. ----—.
4
11.	На поверхности воды находится тело массой тх. С высоты 1,8 м на
него падает другое тело из такого же материала массой т2 - 0,5^ и после
абсолютно неупругого взаимодействия они погружаются в воду на глубину
8 м за 2 с. Определите плотность тела.
Ответ : 15р0/13.
85
12.	По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол а с горизон-
том, начал соскальзывать с нулевой начальной скоростью ящик с песком
массой М. После того как ящик прошел путь 5, в него попал камень мас-
сой т, летевший по горизонтали. Какая была скорость камня, если ящик с
песком после попадания в него камня на мгновение остановился? Скорости
камня и ящика лежат в одной плоскости.
М I---------:--
Ответ: —cosaA/2g5sina.
т
13.	Пуля массой т, летевшая с начальной скоростью И, пробивает один
подвешенный груз массой т и застревает во втором подвешенном грузе той
же массы. Пренебрегая временем взаимодействия пули с грузом, найдите
количество теплоты Qx, выделившееся в первом грузе, если во взором вы-
делилось количество теплоты Q2.
Ответ: 2Vy[mQ^-4Q2.
14.	Пуля массой т , летящая гори-
зонтально со скоростью И , попадает
в брусок массой М и застревает в нём.
Брусок лежит на гладкой горизонтальной плоскости и соединён с вертикаль-
ной стенкой пружиной с жёсткостью к. Найдите наибольшую деформацию
пружины и максимальную энергию деформации пружин. Считать, что
время проникновения пули в брусок много меньше времени деформации
пружины.
mV	m2V2
Ответ: № =	----; W =-------
у]к(М +гп) 2(М + т)
15.	Шайба 1, скользившая по шероховатой горизонтальной поверхности,
испытала соударение с покоившейся шайбой 2. После столкновения шайба 1
отскочила^ под прямым углом к направлению своего первоначального дви-
жения и прошла до остановки путь 5, = 1,5 м, а шайба 2 — путь S2 =4м.
Найдите скорость шайбы 1 непосредственно перед столкновением, если ее
масса в п = 1,5 раза меньше массы шайбы 2, а коэффициент трения к = 0,17.
Решение
По закону сохранения импульса:
86
Ро = Р\ + Р2,
ГЛИ р2 ~ Ро~Р\ --см. рисунок.
nmuj = wVq + ти2, (им2)2 = Ио2 + и2 .	(О
Кинетическая энергия, полученная шайбами после взаимодействия, идет
на работу против сил трения: т w2/2 = kmgSx, откуда w2 = 2kgS};
пти2 /2 = knmgS2, откуда w2 = 2£g52.	(2)
Решая (1) и (2), имеем Ио = j2kg(n2S2 .
16.	На гладком столе покоятся два маленьких шарика массами 5т и Зт ,
l крепленных невесомым легким стержнем длины L . На шарик массой Зт
налетает и прилипает к нему кусочек пластилина массой 2т, двигавшийся
вдоль стола со скоростью Ио перпендикулярно стержню. Определите силу
упругости, возникающую в стержне, при дальнейшем движении шариков.
Решение
В результате неупругого взаимодействия ку-
сочка пластилина с шариком массой 2т система
из двух шариков с одинаковой массой 5т при-
ходит во вращательное движение вокруг центра
масс системы. Сила упругости, возникающая в
_тержне, равна центростремительной силе:
Fy = тап = т V2 / R , где R - L / 2.
ЗСИ: 2/т?Г0 = 10/иКс,
где Vc — скорость центра масс и Ис = Ио / 5 .
Определим скорость, полученную системой:
2(5/2>Г2 =2/иГо2/2-1ОтГс2/2.
Подставляя в данное уравнение Ис, имеем И2 = 4/??И02 /25, а сила упругости
„	5/иГ2
F’-~
8	1
=---тУд
5L °
87
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Занятие 1. Кинематика механических колебаний
Колебания — процессы (движения), обладающие той или иной степенью
повторяемости.
х = A -sin (со/ + <р0) — смещение материальной точки при гармонических
колебаниях, где А — амплитуда смещения.
Ф = со/ + ф0 — фаза колебания (угловая мера времени), где ф0 — началь-
ная фаза, со = 2л/Г, t —время движения.
V = х = соЛ cos(co/) — скорость движения, где И1пах = соЛ — амплитуда
скорости.
Отметим, что скорость меняется с таким же периодом Т, что и смещение
х, но фаза скорости опережает фазу смещения на л/2. Например, скорость
пружинного маятника максимальна в момент прохождения маятником по-
ложения равновесия х = О, И = Итах. При х = ±А скорость равна нулю.
а = х = -со2 A - sin (со/) = -со2х — ускорение движения, где ятах = со2 Л —
амплитуда ускорения.
Ускорение изменяется по синусоидальному закону с таким же периодом,
что и смещение х, но фаза ускорения опережает фазу смещения на л. При-
мер: ускорение пружинного маятника равно нулю при прохождении им по-
ложения равновесия и достигает максимальных значений при наибольших
смещениях х = ±Л, а = я|пах .
а = а0 sin (со/) — угловое смещение при гармонических колебаниях, где
а0 —амплитуда угла.
7 = 2^7777 — период колебаний математического маятника.
Т = liiylmlк — период колебаний пружинного маятника.
Задачи
1.	Движение материальной точки описывается уравнениями х = 10cos(3/),
у = 10sin(3/) в см. Определите скорость точки.
Ответ: 0,3 м/с.
88
2.	Вычислить амплитуду гармонических колебаний, если для фазы л/4
смещение равно 6 см.
Ответ'. 6>/2 см.
3.	Математический маятник совершает колебания с амплитудой 3 см. Оп-
ределите смещение маятника за время 772 и Г, если начальная фаза равна л.
Ответ'. ±3 см.
4.	Период гармонических колебаний материальной точки Т = 2,4 с, ам-
плитуда А = 5 см, начальная фаза равна 0. Определите смещение точки че-
рез 0,6 с после начала колебания.
Ответ'. 5 см.
5.	Один математический маятник имеет период 3 с, второй — 4 с. Каков
период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме
длин указанных маятников?
Ответ'. 5 с.
6.	Два математических маятника, длины которых отличаются на ДА = 22 см,
совершают в одном и том же месте Земли за одинаковое время один пх = 30
колебаний, другой п2 = 36 колебаний. Найдите длины маятников.
Ответ'. 0,72 см и 0,5 см.
7.	Пружина под действием прикрепленного к ней груза массой 5 кг со-
вершает 45 колебаний в минуту. Каков коэффициент жесткости пружины?
Ответ'. 112,5 Н/м.
8.	Груз массой т = 100 г совершает колебания на пружине с жесткостью
к = 300 Н/м. Найдите наибольшую скорость движения груза, если амплиту-
да колебаний А = 8 см.
Ответ: 4,38 м/с.
9.	Груз висит на пружине и колеблется с периодом Т = 0,5 с. На сколько
укоротится пружина, если снять с нее груз?
Ответ: 0,06 м.
10.	Пружина под действием груза удлинилась на 1 см. Определите, с ка-
ким периодом начнет совершать колебания этот груз на пружине, если его
вывести из положения равновесия.
Ответ: 0,2 с.
11.	Определите ускорение свободного падения на Луне, если маятнико-
вые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.
Ответ: 1,62 м/с2.
89
12.	В неподвижном лифте висит математический маятник, период коле-
баний которого Го = 1 с. С каким ускорением движется лифт, если период
колебаний этого маятника стал равным Г = 1,1 с?
Ответ'. 1,7 м/с2.
13.	В покоящейся на Земле ракете математический маятник колеблется с
периодом Т = 1 с. При движении ракеты вертикально вверх период колеба-
ний маятника уменьшается в п = 2 раза. Определите ускорение ракеты.
Ответ'. 29,4м/с2.
14.	Математический маятник длиной / со-
вершает колебания вблизи вертикальной стенки.
Под точкой подвеса маятника на расстоянии
/j =//2 от нее в стенку вбит гвоздь. Определите
период колебаний в такой ситуации.
Ответ'. \,7ny/TTg .
15.	Шарик массой т совершает гармонические
колебания с амплитудой А на пружине с жестко-
стью к . На расстоянии А/2 от положения равно-
весия установили массивную плиту, от которой
шарик абсолютно упруго отскакивает. Определите
период колебаний в этом случае.
Ответ'. ^Ttylmlk /3.
16.	Тело массой т может переме-
шаться вдоль горизонтальной оси 00'
между двумя вертикальными стенками.
По бокам к телу прикреплены невесомые
пружины с одинаковой жесткостью
к . Если тело располагается симметрично
между стенками, расстояния от концов пружин до стенок равны а. Если
телу сообщить скорость Ио, оно начнет совершать колебания между стенка-
ми. Каков период этих колебаний? Трением пренебречь.
Ответ'. 4а/И0 +2тг\/ю/А.
17.	Определите максимальную скорость тела, участвующего в гармони-
ческих колебаниях, если на расстояниях Х| и х2 от положения равновесия
скорость тела равна соответственно У\ и V2.
У *2 ~ Х|
90
18.	Определите амплитуду и циклическую частоту гармонических коле-
баний тела, если на расстояниях X] и х2 от положения равновесия скорость
тела равна соответственно и Г2.
Отв^.лJ44
v к-»?
19.	Два одинаковых упругих шарика подвешены на
невесомых и нерастяжимых нитях таким образом, что
нити параллельны и центры масс шариков находятся на
одном уровне. Шарики соприкасаются друг с другом.
Длина нити первого /] =1м, второго /2 = 0,25 м. Нить
второго шарика отклонили на небольшой угол и отпус-
тили. Сколько раз за время 4 с столкнутся шарики после
начала движения второго шарика?
Решение
Число столкновений п =	Т — полный период колебаний систе-
мы и Т = 7]/4 + Т2/4.
Определяем периоды колебаний:
Тх=2п4ГЛ- Т’1/4 = (л/2)->/777;
Т2= 2л7/777; Т’2/4 = (л/2)-5/^77 = (л/4)->/^7.
Полный период: Т = (л/2)-^//( 1g +(п/4)-фу 1g =Зл->//| /g/4.
„	4/ [g 16 .
Число столкновении: п = — I— = — « 5 раз.
Зя V1 3
20.	Математический маятник с длиной нити 0,9 м со-
вершает гармонические колебания. Определите промежу-
ток времени, через который угол между нитью и вертика-
лью станет равен половине максимального угла отклоне-
ния. Началом отсчета времени взять момент, когда маятник
отклонится на максимальный угол.
Решение
Напишем уравнение углового смещения маятника а0 / 2 = а - sin (со/), от-
куда sin(2я//Т) = 1/2, т.е. 2л//Т = л/6; / = 7712 .
Так как маятник совершает гармонические колебания, то
T = 2n-JTTg и t = n-Ji7g/6, Z = 0,15c.
21.	Тонкий абсолютно жесткий невесомый стержень, на конце которого за-
креплен точечный шарик, отклонили от положения равновесия на небольшой
91
угол а и отпустили. В момент, когда стержень со-
ставляет угол р < а с вертикалью, произошло абсо-
лютно упругое соударение шарика с наклонной
стенкой. Определите отношение периода 7] / Т ко-
лебаний такого маятника к периоду математическо-
го маятника той же длины.
Решение
Период математического маятника Т = 2л • Jl/g . Период колебаний 7] в
присутствии стенки не равен Т, а меньше на величину времени т, за кото-
рое маятник, совершая свободные колебания, отклонился бы от вертикали
влево на угол Р и вернулся обратно: т = 2/, где t — время отклонения ма-
ятника до угла Р.
Уравнение гармонических колебаний для углового перемещения
P = a-cos(coz), где о) = 2л/7’; cos(co/) = p/a, z = (l/co)-arccos(p/a);
7] = Т-х = 2n'y[i7g -2'y/TTg -arccos(p/a);
т = (2/(o)-arccos(p/a) = (7’/n)arccos(p/a);
7] IT = l-(l/n)-arccos(p/a).
Занятие 2. Динамика механических колебаний
Колебательное движение — ускоренное движение с переменным ускоре-
нием а (меняется по закону sin или cos), которое вызывается переменной
силой F, возвращающей систему к положению равновесия:
F = ma = -пип2 А • sin (со/),
F = -Ах,
откуда к = wco2 .
Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потен-
циальной энергий в любой момент времени или максимальной кинетической
(потенциальной) энергии:
... ...	... mV2 кх2 ... mV2	пип2 А2 ... кх2 кА2
^ = ^кин + ^пот =---+----, или w =—— =------------; W =---=-----•
кин пот 2	2	2	2	2	2
Импульс движения p-mV = пипА - cos (со/).
Собственные (свободные) колебания — движение системы под действи-
ем внутренних сил. Оно сопровождается потерей энергии — затухающие
колебания.
92
Вынужденные колебания — движение системы под действием периоди-
ческой внешней силы, энергия системы восполняется — колебания незату-
хающие.
Автоколебания — незатухающие колебания, совершающиеся за счет
действия квазиупругих сил.
Задачи
1.	Движение материальной точки вдоль оси х описывается уравнением
x = 0,06cos0,57tt м. Масса точки ю = 1кг. Найдите изменение импульса
\рх материальной точки за интервал времени от = 3 с до t2 = 6 с.
Ответ'. -9,4210"2 кгм/с.
2.	Шарик, движущийся горизонтально под действием пружины, соверша-
ет свободные гармонические колебания. Полная энергия равна 0,6 Дж. На
расстоянии 3 см от положения равновесия упругая сила, действующая на
шарик со стороны пружины, равна 10 Н. Определите амплитуду колебаний.
Ответ '. 6 см.
3.	Амплитуда гармонически колеблющейся материальной точки 2 см,
полная энергия ее колебаний 3 10”7 Дж. При каком смещении от положения
равновесия на эту точку действует сила 2,25 • 10~5 Н?
Ответ'. 1,5 см.
4.	Найдите период малых колебаний небольшого тела, скользящего по
внутренней поверхности сферы радиусом R = 1 м. Трением пренебречь.
Ответ: 2 с.
5.	Подставка совершает в вертикальном направ-
лении гармонические колебания с амплитудой 0,5 м.
Каков должен быть наибольший период этих коле-
баний, чтобы лежащий на подставке груз не отде-
лялся от нее?
Ответ: 1,4 с.
6.	Коробка массой М стоит на горизонтальном
столе. Коэффициент трения между столом и ко-
робкой равен ц. Внутри коробки лежит груз мас-
сой т, который может без трения двигаться по дну
коробки. Он прикреплен к стенке коробки пружи-
ной с жесткостью к. При какой амплитуде колеба-
ний груза коробка начнет двигаться по столу?
М

I—
т

Ответ:	+ m)g/к.
93
7.	Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на
двух пружинах, если их последовательное соединение заменить параллель-
ным? Жесткость пружин одинакова.
Ответ', на 1/2.
я
ж

^2

8.	Определите период колебаний тела мас-
сой т = 200 г, прикрепленного к стенкам двумя
пружинами с жесткостями кх = 80 Н/м и
к2 = 40 Н/м. В положении равновесия пружина
не деформирована. Силу тяжести не учитывать.
От вет: 2п^т/(к} + &2) = 26 с.
9.	На горизонтальной поверхности лежат два груза массой 100 г и 200 г,
соединенные невесомой пружиной с жесткостью 1000 Н/м. Трение отсутст-
вует. Каков период колебания такой системы?
Ответ: 0,05 с.
10.	Два шара массами т} и т2 могут
скользить без трения по тонкому гори-
зонтальному стержню. Шарики связаны
невесомой пружиной с жесткостью к.
Первоначально система неподвижна и
пружина не напряжена. Сблизив шары, их отпускают без толчка. Определите
период возникших колебаний.
Ответ: 2пфпхт21(к(тх+т2}} .
лУ
т

11.	Брусок массой М под действием
пружины совершает на гладком столе гармо-
нические колебания с амплитудой А и пе-
риодом Т. Вдоль оси движения летит пуля
массой т. Попав в брусок, она застревает в
нем. В результате соударения колебания
прекратились. Определите скорость пули.
Ответ: (М/m)-2TiA/T.
12.	Жидкость объемом V налита в изогнутую
трубку с площадью поперечного сечения канала S.
Одно колено трубки вертикально, а другое составляет
угол а с вертикалью. Пренебрегая вязкостью, найди-
те период малых колебаний жидкости в трубке.
Ответ: 27C^K/gS(l +cosa).
94
13.	Набухшее бревно длиной L сечение которого одинаково по всей дли-
не, плавает в воде в вертикальном положении. Если выступающую из воды
часть бревна немного погрузить в воду, а затем отпустить, то бревно начнет
совершать колебания. Какую длину должен иметь математический маятник,
чтобы периоды колебаний бревна и маятника были одинаковы? Плотность
воды р и набухшей древесины Р| считать постоянными.
Ответ:
14.	Невесомая штанга длиной L одним
концом закреплена в идеальном шарнире,
а другим опирается на пружину с жестко-
стью к. На расстоянии S от шарнира на
штанге закреплен груз массой т. Опреде-
лите: 1) период малых колебаний штанги;
2) циклическую частоту малых колебаний
штанги; 3) жесткость пружины к, если
известны период колебаний Т и расстояние равно S/2; 4) массу груза т,
если период малых колебаний Т, расстояние равно S .
____	____ T-fil,
Ответ: (2itS / LYjm/к, Ы S-ylkl т , к = тСт/Т2 , w = —
'	’	4л252
15.	Математический маятник длиной / и массой т раскачивается так, что
каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия, на него в течение
короткого промежутка времени т действует сила F, направленная параллель-
но скорости. Через сколько колебаний маятник отклонится на 90° ?
Ответ : m^2gl l(2Fx).
16.	Пружина с жесткостью к присоединена
к оси колеса массой т, которое способно ка-
титься без проскальзывания. Какова частота
малых колебаний системы? Считать массу ко-
леса однородно распределенной по ободу.
Ответ: со =	.
17. Пуля массой т, летящая горизон-
тально со скоростью V, попадает в бру-
сок массой М и застревает в нём. Брусок
лежит на гладкой горизонтальной плос-
М
кости и соединён с вертикальной стенкой пружиной с жёсткостью к. Найди-
те период Т колебаний бруска и частоту колебаний бруска.
Ответ: Т = 2щ](М<+т)/к\ со = ^/(Л/ + /и).
95
18. Тело массой т упало с высоты h на чашу пружинных весов. Масса
чаши и пружины мала. Жесткость пружины к. Прилипнув к чаше, тело на-
чинает совершать гармонические колебания по вертикали. Найдите ампли-
туду и энергию колебаний.
Решение
-ш т


Определим скорость, с которой тело массой т падает
на чашу:
V =	(1)
Энергию колебаний определим из закона сохранения
энергии:
кА* 2 * * * !2 = mV212 + ти212.	(2)
Из положения равновесия определим максимальную
скорость системы: mg = кхт /2 — в положении равновесия;
/о	,, кх2 mV2 k(mg)2 tr2
х-хт/2 и х = mg/к \--= —— или  у7 -тг,
2	2	к
откуда
К = gyjm/к .
(3)
Подставляя уравнения (1) и (3) в уравнение (2), имеем:
_	. mg [ 2hk
Отсюда Я = —— 11 +-.
к у mg
Занятие 3. Механические волны. Звук
Волна — процесс распространения колебаний в упругой среде.
По характеру смещения частиц среды в волне они делятся на поперечные
(смещение частиц происходит перпендикулярно к направлению распростра-
нения волны) и продольные (частицы смещаются вдоль направления распро-
странения волны).
По формам волновой поверхности — плоские, цилиндрические и сфери-
ческие.
Волновая поверхность (фронт волны) — геометрическое место точек
среды, колеблющихся в одинаковых фазах.
Длина волны X— расстояние, пройденное волной за период, или рас-
стояние между ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в оди-
наковых фазах: X = VT (см. рис. А).
96
Разность фаз двух колеблющихся точек в волне, находящихся на рас-
стояниях i\ и г2 от источника волн вдоль прямой, равна
Стоячая волна — случай интерференции двух волн, бегущих во взаимно
перпендикулярных направлениях: наложение отраженной волны на бегу-
щую. В такой волне нет переноса энергии.
Узел стоячей волны — точка, в которой энергия волны равна нулю.
Пучность — точка, в которой амплитуда стоячей волны максимальна и
энергия максимальна.
Длина стоячей волны (Хст) — расстояние между двумя соседними узла-
ми или пучностями: Хст = Хбег / 2.
Звук— продольная волна в жидкостях и газах. Скорость звука не зависит
от амплитуды колебаний, частота (период Т) звука не меняется при пере-
ходе из одной среды в другую; Т - const, если источник волн и приемник
неподвижны.
При встречном движении источника и приемника звука частота меняется
c+V
— продольный эффект Доплера'. v =------v0 , где v — частота приемника
с —и
звука, v0 — частота источника, с — скорость звука в вакууме (в данной
среде), Г— скорость приемника, и — скорость источника звука.
Задачи
1. В каком направлении смещается частица В
в поперечной волне, движущейся влево?
2. На рис. показано направление скоростей
двух точек волны. Какая это волна?
7 Зак. 51
97
3.	Сирена имеет 30 отверстий и делает 600 об/мин. Определите длину
звуковой волны, излучаемой сиреной, если скорость звука 340 м/с.
Ответ’. 1,13 м.
4.	Вдоль упругого шнура распространяется поперечная волна со скоро-
стью 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с, амплитуда колебаний
А = 0,02 м. Определите длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на
расстояние 45 м от источника волн в момент времени 4 с.
Ответ’. 18 м; 1,67 л; -1,7 см.
5.	Волна распространяется от источника колебаний вдоль прямой. Сме-
щение точки для момента времени 0,5Т составляет 5 см. Точка удалена от
источника колебаний на расстояние Х/3 . Определите амплитуду колебаний.
Ответ ’. 5,88 см.
6.	Определите частоту звуковых колебаний в стали, если расстояние ме-
жду ближайшими точками звуковой волны, отличающимися по фазе на
Дф = л/2, А = 1,54 см. Скорость звуковых волн в стали V = 5000 м/с.
Ответ'. 80 кГц.
7.	Волны распространяются вдоль шнура со скоростью 3 м/с при частоте
2 Гц. Чему равна разность фаз двух точек шнура, находящихся на расстоя-
нии 75 см друг от друга?
Ответ', л.
8.	Скорость звука в воде 1450 м/с. Каково расстояние между точками, со-
вершающими колебания в противофазах, если частота колебаний 725 Гц?
Ответ’. 1 м.
9.	От источника звуковых ко-
лебаний распространяется волна.
Длина волны в первой среде ,
а во второй среде Х2=0,73Х1.
Расстояние H2=V5H{. Опреде-
лите время прихода волны в точку А, если время, за которое волна проходит
путь в первой среде, равный расстоянию от источника колебаний до точки Л,
равно t = 2 с.
Ответ '. 2,4 с.
10.	Разность хода двух когерентных волн с равными амплитудами коле-
баний равна 15 см, а длина волны 10 см. Каков результат интерференции
этих волн?
Ответ: Гасят друг друга.
98
11.	Расстояние между первым и четвертым узлами стоячей волны 24 см.
Определите длину бегущей волны.
Ответ '. 16 см.
12.	Два дельфина движутся навстречу друг другу. Один из них издает
звуковые импульсы с частотой v. С какой частотой Vj приходят эти им-
пульсы к другому дельфину, если их скорость относительно воды равна V *!
Скорость звука в воде равна с.
Ответ : v(c+V)l(c-W).
13.	Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частотой 50 Гц,
распространяющийся со скоростью Pj = 330 м/с. При этом на расстоянии от
Л до В укладывалось целое число волн. Опыт повторили, когда температура
была на величину Az = 20 К выше, чем в первом случае. Число волн, укла-
дывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось во втором случае на две.
Найдите расстояние / между А и В, если известно, что при повышении тем-
пературы на 1 К скорость звука увеличивается на 0,5 м/с.
Решение
где п — число длин волн, укладывающихся на расстоянии Z,
. к2=——.
(«-2)
Определим скорости в обоих случаях:
PJ = vXj = v/ / п и К2 = vX2 = v/ /(л - 2).
Так как п = vZ/Pj, то V2 = vZPj /(vZ-2^). Скорость звука меняется по ли-
нейному закону: Г2 = Pj (1 + aAZ), где а = (0,5 / 330), откуда
/=2r,O.-<x^_4so м
vaAz
_	. 2Г1(1 + аАг)
Ответ: 1 = —!------= 450 м.
vaAz
14.	Сверхзвуковой самолет пролетает горизонтально над наблюдателем
на высоте Н. Наблюдатель услышал звук мотора через время z после этого.
Определите скорость самолета, если скорость звука в воздухе равна с.
Решение
Звуковая волна, вызванная самолетом, распространяется от его траекто-
рии перпендикулярно к образующей конуса, в вершине которого находится
7* * '	99
самолет. Если наблюдатель в
точке В, то до него дойдет вол-
на вначале из точки А. Время
прохождения расстояния АВ
равно: АВ/с. За это же время
самолет пролетит расстояние
АД = У—.
с
откуда
V = —c = c!sma. (1)
АВ
За время t с момента наблюдения самолет успел пролететь расстояние АД ,
а звук из точки А' успел распространиться на расстояние А’О :
А! О Н coscl
t = —
с
(2)
С
Так как cos а = Vl-sin2a =
Т7У tc2 I i с2
/ V , то —- = J 1 —-, откуда
Н2 N V2
V2. Н2С2
H2-c2t2'
„ Нс
т.е. скорость равна V = --======.
ylH2-c2t2
„	г,
Ответ'. V = —===
Jh2-c212
100
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Релятивистская механика — теория относительности — описывает дви-
жение тел (частиц), происходящее со скоростями, сравнимыми со скоростью
света.
Основные принципы (постулаты):
1)	постулат эквивалентности', инертные и гравитационные свойства тел
эквивалентны;
2)	принцип относительности', в любых инерциальных системах отсчета все
физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково;
3)	принцип постоянства скорости света', во всех инерциальных системах
отсчета скорость света в вакууме одинакова и не зависит от скорости
движения источника света.
В теории относительности установлено:
1.	События (явления), одновременные в одной инерциальной системе от-
счета, не являются одновременными в другой системе отсчета, т.е. поня-
тие одновременности является относительным.
2.	Промежуток времени между двумя событиями является понятием отно-
сительным: А/ = -т^О-г-г; Дг>Дг0 (замедление времени).
ГЕ
N с2
3.	Линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной сис-
темы отсчета, уменьшается в направлении движения:
I
V с
(сокращение длины), где /0 — собственная (наибольшая) длина тела.
. n	,	u + V	rz
4.	Закон сложения скоростей: и = --....., где V — скорость движущей-
ся системы, и’ — скорость тела в движущейся системе отсчета, и —
скорость тела в неподвижной системе отсчета.
5.	В движущейся системе отсчета масса является понятием относительным и
/и0
равна № = •-?
и
где mQ — масса покоя (наименьшая масса) mQ < т.
101
6.
В теории относительности справедлив закон сохранения релятивистской
массы (а не w0), и масса служит характеристикой поля.
Импульс движения является понятием относительным и равен
г7 т(У
р=т¥= .
О
7. Сила является понятием относительным и равна
4^)
I V2
. 1-~бй
V с1
8. Масса и энергия связаны законом: Е = тс2 — полная энергия. Е = EQ + Ек,
где Eq = mQc2 — энергия покоя частицы, Ек — кинетическая энергия
релятивистской частицы. Ек = Е - EQ = с2(т - w0).
Занятие 1. Элементы теории относительности
Задачи
1.	С какой скоростью относительно Земли должен двигаться космический
корабль, чтобы его продольные размеры для земного наблюдателя были в
2 раза меньше истинных? Скорость света с = 3 • 108 м/с.
Ответ'. 0,85 с.
2.	Какова масса протона в системе отсчета, относительно которой он
движется со скоростью 0,8 скорости света?
Ответ'. 2,810~24 кг.
3.	Нейтрон, летящий со скоростью Vx =100000 км/с относительно на-
блюдателя А, испускает в направлении своего полета электрон, движущийся
со скоростью И2 = 280000 км/с относительно этого нейтрона. Чему равна
скорость электрона относительно наблюдателя А?
Ответ'. 290000км/с.
4.	Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость V = 0,4с. В мо-
мент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения
а-частицу со скоростью и = 0,75с относительно ускорителя. Найдите ско-
рость частицы относительно движущегося ядра.
Ответ'. 0,5 с.
102
5.	Масса тела, движущегося с определенной скоростью, возросла на 20%.
Во сколько раз при этом изменилась его длина?
Ответ: 1,2.
6.	При какой скорости кинетическая энергия любой элементарной части-
цы равна te энергии покоя?
Ответ: 2,6• 108 м/с.
7.	Во сколько раз увеличится масса движущегося электрона по сравне-
нию с массой покоя, если электрон в результате ускорения приобрел кине-
тическую энергию 0,76 МэВ?
Ответ: 2,5.
8.	С какой скоростью, сравнимой со скоростью света, должен двигаться
относительно наблюдателя стальной стержень в направлении своей оси, что-
бы его плотность стала в 1,8 раза больше плотности покоящегося стержня?
Ответ: —с = 2-108м/с.
3
9.	Суммарная площадь поверхности неподвижного тела, имеющего фор-
му куба, равна 50. С какой скоростью относительно наблюдателя должно
двигаться тело в направлении одного из своих ребер, чтобы площадь сум-
марной поверхности тела уменьшилась в 1,5 раза вследствие релятивистско-
го сокращения длин? Скорость движения сравнима со скоростью света.
7з «
Ответ: —с = 2,610 м/с.
2
103
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Занятие 1. Уравнения молекулярно-кинетической теории
С молекулярно-кинетической точки зрения идеальный газ — это газ, мо-
лекулы которого представляют собой материальные точки, не взаимодейст-
вующие друг с другом на расстоянии, но взаимодействующие при столкно-
вениях по закону абсолютно упругого удара.
В термодинамике — это газ, который точно подчиняется газовым законам.
Статистические параметры идеального газа: т, V, Wk .
Термодинамические параметры: р, V, Т, U.
1.	Основное уравнение кинетическоц теории идеального газа'.
—уравнение Клаузиуса, где	=-----концентрация молекул; п = —NA=vNA,
V	ц
v —число молей; NA = 6,022 1023 моль-1 — число Авогадро.
2.	Средняя кинетическая энергия молекул'.
W = mV2/2=-КТп,
2
где К = R/ N= 1,38-10”23 Дж/К — постоянная Больцмана;
R = 8,31 Дж / моль • К — универсальная газовая постоянная;
Т = t °C + 273,15 К — абсолютная температура.
3.	Уравнение Больцмана', р = nQKT .
4.	Уравнение Менделеева-Клапейрона'. pV = (т/ц)• RT .
5.	Средняя квадратичная скорость молекул'.
V =yj3KT! т, или Г =>/37?7’/ц.
Задачи
1.	В закрытом сосуде находится идеальный газ. Как изменится его давле-
ние, если средняя квадратичная скорость его молекул увеличится на 20%?
Ответ'. 44%.
104
2.	Два одинаковых сосуда, содержащих одинаковое число молекул азота,
соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул
равна 400 м/с, во втором — 500 м/с. Какой будет скорость, если открыть кран?
Ответ'. 453 м/с.
3.	Определите число молекул азота, занимающего объем 5 л и находяще-
гося под давлением 105Па, если средняя квадратичная скорость поступа-
тельного движения молекул равна 5 • 102 м/с.
Ответ-. 1,ЗЮ23.
4.	Найдите концентрацию молекул кислорода, если при давлении
р = 0,2 МПа средняя квадратичная скорость молекул равна 700 м/с?
Ответ'. 2,ЗЮ25 м”3.
5.	Определите концентрацию молекул азота, находящегося под давлени-
ем 1 • 105 Па, если средний квадрат скорости поступательного движения мо-
лекул при этих условиях равен 2 • 106 м2/с2.
Ответ'. 3,2-1024 м"3.
6.	Средний квадрат скорости поступательного движения молекул некото-
рого газа, находящегося под давлением 4-104Па, равен 3-105м2/с2. Опре-
делите плотность этого газа при данных условиях.
Ответ'. 0,4кг/м3.
7.	Какова средняя квадратичная скорость движения молекул газа, если
при массе в 6 кг он занимает объем 5 м3, создавая давление 200 кПа?
Ответ'. 700 м/с.
8.	Под каким давлением находится газ, если средняя квадратичная ско-
рость его молекул равна 580 м/с, а плотность р = 9 • 10~4 г/см3 ?
Ответ'. 1,0092-Ю5 Па.
9.	Газ массой т =12-10"3 кг занимает объем 6 -10”3м3 при температуре
180 °C. При какой температуре плотность этого газа будет равна 6 кг/м3 ?
Ответ'. 151 К.
10.	Газ, находящийся в баллоне объемом V = 10 л, создает давление
р = 1 МПа. Определите массу газа в баллоне, если средняя квадратичная
скорость молекул газа равна 600 м/с?
Ответ'. 83 г.
105
11.	Под каким давлением находится в баллоне водород, если емкость
баллона К = 10 л, а суммарная кинетическая энергия поступательного дви-
жения молекул водорода = 7,5 • 103 Дж?
Ответ: 5-Ю5 Па.
12.	В баллоне находится водород под давлением р = 1 МПа. Каков объем
баллона, если суммарная кинетическая энергия поступательного движения
всех молекул водорода в баллоне JVK = 15 • 103 Дж?
Ответ: 10~2м3.
13.	Найдите среднюю кинетическую энергию одноатомного газа при дав-
лении р = 20 кПа и концентрации газа 3 • 1025 м~3.
Ответ: 10~2,Дж.
14.	Вычислить среднюю квадратичную скорость атомов гелия при темпе-
ратуре 27°С. Удельная теплоемкость газа при постоянном объеме
cv =3140 Дж/кг- К.
Ответ: 1370 м/с.
15.	Вычислите удельную теплоемкость при постоянном объеме (сг)
неона.
Ответ: 623 Дж/кг- К.
16.	В комнате объема И = 60м3 испарили капельку духов, содержащую
т = 10~4 г ароматического вещества. Сколько молекул ароматического веще-
ства попадает в легкие человека при каждом вздохе? Объем вдыхаемого воз-
духа Ив = 1 дм3. Молярная масса ароматического вещества ц = 1 кг/моль.
Ответ: 1012.
17.	При взрыве атомной бомбы (Л/ = 1 кг плутония 242 Ри) получается
одна радиоактивная частица на каждый атом плутония. Предпологая, что
ветры равномерно перемешивают эти частицы во всей атмосфере, подсчи-
тайте число радиоактивных частиц, попадающих в объем V = 1 дм3 воздуха
у поверхности Земли. Радиус Земли принять равным Я3 = 6 -106 м.
Ответ: 700-—Ц-.
дм3
18.	Спутник сечения 5 = 1 м2 движется с первой космической скоростью
V = 7,9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте орбиты
106
(h = 200 км) p = 1,37-10 4 Па, температура Т = 1226К. Определите число
столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени.
Решение
За некоторое время t спутник столкнется с молекулами, находящимися в
цилиндре сечением 5 и длиной Vt, объём которого равен SVt.
Число молекул в этом объеме: п = riQSVt — или число столкновений.
Число молекул в единице объема находим из уравнения
ро = Покт,По=^=^-.
Число столкновений: N = nQSVt = pSVtNA/RT = 6-1019с"1.
19.	Некоторая масса водорода занимает объем 10дм3 при давлении
р = 107Па и температуре г = 20°С . Какая масса водорода израсходована,
если при сжигании оставшегося водорода образовалось 0,5 дм3 воды?
Решение
Определим число молей водорода, содержащегося в данной массе:
п = w/p = pVIRT = 41,7 моль. Для образования 0,5 кг воды требуется
m 500	_
= — =---= 27,7 моль водорода.
ц 18
Израсходовано Дм = м-л1 =41,7-27,7 = 14 моль Н2 или
/и = цДи = 2 г/моль-14 моль = 28 г.
20.	Теплоизолированная полость с небольши-
ми одинаковыми отверстиями соединена с двумя
объемами, содержащими газообразный гелий.
Давление гелия в этих объемах поддерживается
Не
рх; Тх
Р\Т
Не
р;2Г
постоянным и равным р, а температуры поддерживаются равными Т в од-
ном из объемов и 2Т — в другом. Найдите установившееся давление и тем-
пературу внутри полости.
Решение
Так как отверстия очень малы по сравнению с длиной свободного пробе-
га, то все молекулы, попавшие на отверстие, переходят из одного сосуда в
другой.
Число молекул, сталкивающихся с единицей поверхности, пропорцио-
г7 р
нально концентрации и средней скорости молекул: z -nV
Переносимая молекулами энергия пропорциональна z и средней темпе-
ратуре молекул: W ~zT~ Ру/т .
107
Потоки молекул и потоки энергии из полости в стационарном состоянии
уравновешиваются соответствующими потоками в полость из обоих сосудов:
^ = -k+-k Ю"2рЛЪ=рГг + р4т (2)- .
*х У2/ у/1
Решая совместно (1) и (2), имеем:
тх = 7’72 = 1,47’. рх = р(>/2+1)/272 ® р.
Занятие 2. Газовые законы
Уравнение, связывающее между собой параметры состояния идеального
газа, называется газовым законом.
		о=э @	V = const ^3 II о о 5 £	1. 2.
	и			
				
	VI		Т = const 		
				
				
0		@	V		
Закон Бойля-Мариотта', при Т = const
и т = const, р • V = const — изотермиче-
ский процесс. График — изотерма (1).
Закон Гей-Люссака', при р = const и
т = const, V = аК0Г или Ух / К2 = 7] / Т2,
где а = 1/Г0 = 1/273 К— термический
коэффициент расширения идеального
газа. График — изобара (2).
3.	Закон Шарля', при V = const и т = const, р = 0роГ или рх /р2 = Тх /Т2, где
0 = 1/ 273 К — термический коэффициент давления. График — изохора (3).
4.	Закон Клапейрона', при m = const и ц = const; рхУх /Тх = р2У2 /Т2.
5.	Адиабатический процесс', процесс без теплообмена с окружающей средой
при постоянной удельной теплоемкости газа с = 0 . График — адиабата (4).
p.ycplcv —уравнение Пуассона, где ср! cv = у — показатель адиабаты:
ср Дж/моль К — молярная теплоемкость газа при р = const;
cv Дж/моль К — молярная теплоемкость газа при V = const.
iR iR
cv = —; ср = — + R, R = ср - Су, где i — число степеней свободы: i = 3
— для одноатомного газа, i = 5 — для двухатомного газа.
6.	Политропический процесс', процесс, в котором удельная теплоемкость
газа с = const, п----— — показатель политропы. Процессы 1-4 — ча-
С-Су
стные случаи политропического процесса.
7.	Закон Дальтона', давление смеси газов равно сумме парциальных давле-
ний. рсм = рх + р2 + ..., где px,Pi — давление каждого газа в объеме
смеси — парциальные давления.
108
Задачи
1.	В сосуде объемом 30 л содержится идеальный газ при температуре 0°С.
После того как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизи-
лось на Др = 0,78-105 Па без изменения температуры. Найдите массу выпу-
щенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях р0 = 1,3 г/л.
Ответ'. 3-10~2 кг.
2.	В откачанном сосуде объема V = 1 дм3 находится т = 1 г гидрида ура-
на (UH 3). При нагреве до температуры t = 400°С гидрид урана полностью
распадается на уран и водород. Найдите давление водорода в сосуде при
этой температуре. Атомная масса урана А = 238.
Ответ'. 34 кПа.
3.	В сосуде объема V = 1 дм3 находится т = 1 г трития (изотопа водорода с
атомной массой А = 3) при температуре t = 27°С . За 12 лет половина ядер три-
тия превращаются в ядра гелия. Найдите давление в сосуде в конце этого срока.
Ответ'. 6,23-Ю5 Па.
4.	Баллончик для приготовления газированной воды имеет объем 5 см3 и
содержит углекислый газ при давлении р- 15 атм. Можно ли на весах с точ-
ностью взвешивания 10 мг заметить разницу в массах полного и пустого
баллончиков?
Ответ: Aw = 0,14 г.
5.	Баллон, содержащий 1 кг азота, при испытании взорвался при темпера-
туре tx = 350°С . Какую массу водорода можно хранить в этом баллоне при
температуре t2 = 20°С, имея пятикратный запас прочности?
Ответ: 759 г.
6.	Внутри закрытого с обоих концов горизонтально расположенного ци-
линдра имеется поршень, который скользит внутри цилиндра без трения.
С одной стороны поршня находится т{ = 3 г водорода, с другой — т2 = 17 г
азота. Какую часть объема цилиндра занимает водород?
Ответ:
7.	Два сосуда соединены трубкой с краном. В первом сосуде находится
2 кг газа под давлением 4-Ю5Н/м2, а во втором — 3 кг того же газа под
давлением 9-105Н/м2. Какое установится давление после открытия крана?
Температура постоянная.
Ответ: 6-Ю5Па.
109
8.	Для приготовления газовой смеси с общим давлением 5 кПа к сосуду с
объемом 10 дм3 присоединили баллон объемом 1 дм3, в котором находится
гелий под давлением 4 кПа, и баллон с неоном под давлением 1 кПа. Найди-
те объём баллона с неоном. Температура постоянна.
Ответ '. 3 дм3.
9.	Одинаковые по массе количества водорода и гелия находятся в сосуде
объемом , который отделен от пустого сосуда объемом У2 полупроницае-
мой перегородкой, свободно пропускающей молекулы водорода и не про-
пускающей гелий. После установления равновесия давление в первом сосуде
упало в 2 раза. Определите отношение У} /У2. Температура постоянна. Мо-
лярная масса водорода 2 г/моль, гелия — 4 г/моль.
Ответ'. И|/У2 = 1/3.
10.	Сосуд объемом 2 дм3 разделен на две равные части полупроницаемой
перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь аргона массой 20 г и
водорода массой 2 г, во второй половине — вакуум. Через перегородку мо-
жет диффундировать только водород. Какое давление установится в первой
половине сосуда после окончания процесса диффузии? Во время процесса
поддерживалась температура 20°С. Перегородка неподвижна.
Ответ'. 2,4106Па.
11.	Моль аргона, имеющий температу-
ру Ту = 900 К в состоянии 1, последова-
тельно переводят в состояние 3. Считая
аргон идеальным газом, определите сред-
нюю квадратичную скорость его атомов в
состоянии 3. ц = 40 г/моль.
Ответ'. 249 м/с.
2ро ~
12.	Моль аргона, имеющий температуру
Г] =100 К в состоянии 1, последовательно
переводят в состояние 3. Считая аргон иде-
альным газом, определите среднюю квадра-
тичную скорость его атомов в состоянии 3.
ц = 40 г/моль.
Ответ'. 706 м/с.
13.	Когда из сосуда выпустили некоторое количество газа, давление в
нем упало на 40%, а температура на 20%. Какую часть газа выпустили?
Ответ'. 25%.
14.	На рТ -диаграмме изображен замкнутый процесс, который совершает
некоторая масса кислорода. Известно, что максимальный объем, который за-
110
нимал газ в этом процессе, Ктах =
16,4 дм3. Определите массу газа и его
объем в точке 1.
Ответ'. 12,3 дм3; 0,016 кг.
15.	На VT -диаграмме изображен
замкнутый процесс, который совершает
некоторая масса азота. Известно, что
минимальное давление газа в этом про-
цессе pinin = 31О5Па. Определите массу
газа и его давление в точке 1.
Ответ: 0,055 кг; 4 105Па.
16.	В цилиндре под поршнем находится газ при
давлении р0 и температуре Го . Поршень удержи-
вается упругой пружиной. Во сколько раз нужно
увеличить температуру газа, чтобы его объем уве-
личился в 1,5 раза? Если газ полностью откачать
из-под поршня, поршень будет находиться в рав-
новесии у дна цилиндра.
Ответ: 2,25.
17.	В баллоне находится некоторое количество газа при атмосферном
давлении р0 = 105 Па. При открытом вентиле баллон был нагрет, после чего
вентиль закрыли, и газ остыл до начальной температуры /0 = 10°С, давление
в баллоне упало до р = 0,7 • 105 Па. Каково максимальное изменение темпе-
ратуры баллона?
Ответ: АТ = 121,7 К.
18.	Некоторая масса газа занимает объем при давлении и температуре
Т|, равный Pj. Затем газ при постоянном объеме нагревают до температуры
Т2 = 27]; после чего происходит расширение газа при постоянном давлении
до объема К2 = 4Р]. Из получившегося состояния газ возвращают в началь-
ное (ри 7]), причем так, что во время этого процесса pVn = const. Оп-
ределите показатель степени п.
Решение
Первоначальное состояние газа с параметрами
А, И, 7],
где pjPj = /?7], переводят во второе при V = const.
Ill
К2 = Kb Т2 = 27], p2V2 - ОД» Р2И = 2Я7] ’ переводят в третье состояние
при р ~ const.
Г3 =4ИЬ р2 = р3, Т3 - р3У3/ R-8TX, а из 3-го состояния в 1-ое так, что
рхУх = 8рхУх, которые связаны уравнением рУп = const.
рхУх = 2рх(4^)", откуда (1/2)Р]" = 4”УХ", т.е. 4" =1/2 и л = -1/2.
Занятие 3. Уравнение теплового баланса
Сумма кинетической энергии теплового движения всех молекул и потен-
циальной энергии их взаимодействия друг с другом называется внутренней
энергией тела: U , Дж.
Внутренняя энергия, получаемая (или теряемая) телами при теплообмене
(теплопроводность, конвекция, излучение), называется количеством тепло-
ты Q, Дж.
Дж
1.	Q = cm&T — при нагревании (охлаждении), где с--------- — удельная
кг К
теплоемкость тела.
О	т АТ	т АТ
2.	Q =—с Д/, Qv =—cv&T —для идеальных газов.
Ц	Ц
3.	Q- \т — при плавлении (кристаллизации), где X Дж/кг — удельная
теплота плавления (кристаллизации).
4.	2 = гт —при парообразовании (конденсации), где г Дж / кг —удель-
ная теплота парообразования (конденсации).
5.	Q-qm — внутренняя энергия, выделяемая при сгорании топлива, где
q Дж/кг —теплота сгорания топлива.
В теплоизолированной системе (без теплопотерь) для тел, участвующих в
теплообмене 20ТД = бПолуч. —уравнение теплового баланса.
При наличии теплопотерь:
п = £полезн....100о/о;
qm
гДе (?полезн. “	“ бпотерь •
С изменением температуры тел изменяются их линейные размеры, объем
и плотность:
/ = /0(1 + <хД7"), Г = КО(1 + РДТ), р = —Н2—,
где а, Р — температурные коэффициенты линейного и объемного расши-
рения. В твердом изотропном теле Р ~ За, для газов Р = (1/273) К'1.
112
Задачи
1.	В калориметре смешиваются три химически не взаимодействующие и
незамерзающие жидкости в количествах = 1 кг, ди2=10кг, /и3=5кг,
имеющие соответственно температуры t} = 6°С , t2 = -40°С , t3 = 60°С и
удельные теплоемкости 2 кДж /кг•К , 4 кДж / кг • К , 2 кДж / кг • К . Опреде-
лите температуру смеси и количество теплоты, необходимое для последую-
щего нагревания до 6 °C.
Ответ: — 19°С; 1,3 МДж.
2.	В воду объемом 2 л при температуре 20°С опустили 400 г льда при
температуре -12°С . Определите состояние системы после того, как устано-
вится тепловое равновесие. Потерями тепла пренебречь. Удельная теплоем-
кость воды 4,2 кДж/кг-К, льда — 2,1 кДж/кг-К, теплота плавления льда
— 3,3 105 Дж/кг.
От в ет: 2,4 кг воды при 3°С .
3.	В калориметр налито 500 г воды при температуре 15°С. В воду опус-
кают кусок льда массы 0,5 кг при -10°С . Найдите температуру смеси после
установления теплового равновесия.
Ответ: 0°С.
4.	Смесь, состоящую из 5 кг льда и 15 кг воды при общей температуре
0°С, нужно нагреть до 80°С с помощью водяного пара при 100°С. Определи-
те массу пара. Удельная теплота парообразования 2,26 МДж/кг.
Ответ: 3,6 кг.
5.	Температура воды, нагреваемой в электрическом чайнике мощностью
420 Вт, за две минуты изменилась на 8°С. Затем чайник выключили, и за
одну минуту вода в чайнике охладилась на 1°С. Определите количество во-
ды в чайнике, если считать, что потери энергии, связанные с теплоотдачей в
окружающее пространство, пропорциональны времени, т.е. Q = кх , где к —
постоянный коэффициент. Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/кг- К .
Ответ: 1,2 кг.
6.	В колбе находится вода при 0°С. Выкачивая из колбы воздух, замора-
живают всю воду путем ее испарения. Какая часть воды при этом испари-
лась, если притока тепла извне нет?
Ответ: 13%.
7.	Некоторое количество воды медленно охлаждается до -10°С. После
этого вода быстро замерзает без дальнейшего отвода тепла. Температура при
этом поднимается до 0°С. Какая часть воды в конце этого процесса обраща-
ется в лед?
Ответ: 12%.
8 Зак. 51
113
8.	Железный шарик радиусом /? = 1см, нагретый до 120°С, положен на
лед. На какую глубину погрузился шарик в лед, если температура окружаю-
щей среды 0°С. сж = 460Дж/кгК , рж = 7,8г/см3 , рл =900кг/м3 , теплота
плавления льда X = 0,33 МДж/кг.
Ответ: 3,25 см.
9.	Колесо локомотива имеет диаметр 1 м при 0°С. На сколько отличают-
ся расстояния, пройденные поездом за 1 ч зимой и летом при температурах
-25 °C и +25 °C , если в обоих случаях двигатель делал 480 об/мин? Терми-
ческий коэффициент стали 12-10"6 К-1.
Ответ: 54 м.
10.	При 0 °C стеклянная колба вмещает 600 г ртути, а при 100 °C — 670 г
ртути. Определите коэффициент линейного расширения стекла. Коэффици-
ент расширения ртути 1810~5 К-1.
Ответ: 10~5 К-1.
11.	В цилиндре сечения S под поршнем массой М находится масса т азо-
та при температуре Т и давлении р. Какова сила трения между поршнем и
стенками цилиндра, если для того, чтобы сдвинуть поршень, газу сообщили
количество теплоты Q? Атмосферное давление равно р0 , удельная теплоем-
кость азота при И = const — cv .
Ответ:
р[
mcvT
S-Mg.
12.	В электроплавильную печь загрузили 3 т стального лома при 20°C.
Какое количество электроэнергии потребуется для расплавления стали, если
КПД печи 0,95? Удельная теплота плавления стали 0,8 105 Дж/кг, удельная
теплоемкость стали 460 кДж/кг-К , температура плавления 1400°С.
Ответ: 2,3 -109 Дж.
13.	В калориметре в воде плавает кусок льда массы М - 0,1 кг, в который
вмерзла дробинка массы т = 5 кг. Какое минимальное количество тепла на-
до затратить, чтобы дробинка начала тонуть? Температура воды в калори-
метре 0 °C . Плотность свинца 11,3 г/см3, льда — 0,9 г/см3, теплота плавления
льда 3,3-105 Дж/кг.
Решение
Минимальное количество тепла 2min -Q, выделенного при вмерзании
дробинки:	'
114
! це M’ — масса льда без дробинки, w0 — масса льда, занятая дробинкой.
Закон Архимеда: (M' + m)g = pogK, где К = КСВ + КЛ.
A/' + m т М'
------=----+ —,
РО Рсв Рл
откуда
М' = ЩР» (рсв ~ Ро \ g = Ja/ _ Ро j т .
Рсв(Ро“Рл)	_ Рсв(Ро“Рл)
14.	В открытый сосуд положили лед массой 10 кг при температуре
10°С. Определите массу воды в сосуде после того, как его содержимому
сообщили q = 2 • 107 Дж тепла. Причем:
св =4200 Дж/кг-К, сл =2100 Дж/кг-К ,
X = 0,34 МДж/кг, г = 23 МДж/кг.
Решение
Для определения массы воды требуется расчет по отдельным процессам,
происходящим со льдом в результате сообщения ему данного количества
тепла.
1.	Нагрев льда до 0 °C : Qx = слтлA/j = 0,21 МДж.
2.	Плавление льда: Q2 = Хтл = 3,4 МДж.
3.	Нагрев полученной воды до 100 °C : Q3 = свдилД/ = 4,2 МДж.
Так как для полного испарения воды потребовалось бы 23 МДж тепла,
что >20 МДж, то q~(Qi + Q2 +8з) = гтп » откуда тп = 5,3 кг.
Следовательно, тв =4,4 кг.
15.	Теплоизолированный сосуд объемом И = 22,4 дм3 разделен тонкой
непроницаемой проводящей тепло перегородкой на две равные части. В пер-
вую половину сосуда вводят тх =11,2 г азота при Zj=20°C, во вторую
т2 = 16,8 г азота при температуре t2 = 15 °C. Какие давления установятся в
каждой части сосуда после выравнивания температур?
Решение
Для определения давления в каждой части сосуда
необходимо установить температуру в процессе теп-
лообмена. Запишем уравнение теплового баланса:
g, =Q2, или с\тх (г, -е)] = ст2 (0-/2),
	тг
Т\	Тг
8'
115
откуда 0 —установившаяся температура 0 =	= 17°С = 290 К.
гщ + т2
Давление в первой половине сосуда определим по уравнению Менделее-
V -	2/й]/?0 or 1л4П
ва-Клапеирона: р} = —1— = 8,5-10 Па, а во второй половине сосуда:
цГ
2m2RQ л	i-т
р2 =—1— = 1,27-10 Па.
цК
Занятие 4. Теплота и работа
Теплообмен и совершение работы — два способа изменения внутренней
энергии тела.
Внутренняя энергия идеального газа U = ЗкТп/2, или U = 3vRT /2.
Изменение внутренней энергии AU = 3v/?AT/2.
Молярная теплоемкость газа Су - цС, где ц — молярная масса, С —
удельная теплоемкость газа.
Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляет-
У1
ся по формуле А- | pdV .
И
При изобарическом процессе р - const:
А - F ^х- p(V2 -Kj), или А = mR&T/ц = vR&T.
При изотермическом процессе'. &U = 0, a Q- А, А = — RTIn —.
При адиабатическом процессе'.
2 = 0; А = — ск(7]-Т2); A = -\U = -—cv\T.
М	Ц
При изохорическом процессе'. Qv =	= Су vAT .
Задачи
1.	Определите внутреннюю энергию 1 кг гелия, находящегося под давле-
нием р = 8-104 Па и имеющего плотность р = 0,2 кг/м3.
Ответ: 600 кДж.
2.	Газообразный гелий, находившийся при нормальных условиях в за-
крытом сосуде объемом 5 л, охладили на ДТ= 32°C. Найдите изменения
внутренней энергии газа.
Ответ: 88 Дж.
116
3.	Идеальный одноатомный газ в количестве v молей участвует в про-
цессе, для которого выполняется условие:	= p2V2, где л — известный
показатель степени. В результате протекания такого процесса объем газа
увеличился в К раз, а его температура стала равной Т2. Определите измене-
ние внутренней энергии газа в этом процессе.
Ответ-. ^vRT2(\-К"-1).
4.	Идеальный одноатомный газ массой т, имеющий начальную температу-
ру 7], участвует в процессе, для которого выполняется условие:	= р2У2 ,
где п — известный показатель степени. В результате протекания такого про-
цесса объем газа уменьшился в К раз. Определите изменение внутренней
энергии газа в этом процессе, если молярная масса газа ц.
Ответ-.
2 ц '	7
5.	В герметичном сосуде объемом К = 5,6 дм3 содержится воздух при
давлении р = 105Па. Какое давление установится в сосуде, если воздуху
сообщить количество тепла Q- 1430 Дж? Молярная теплоемкость воздуха
при постоянном объеме cv - 21 ДжДмоль К).
Ответ'. 2-105Па.
6.	В герметичном сосуде объемом И = 11,2 дм3 содержится воздух при
давлении р = 105 Па. Какое количество тепла необходимо сообщить воздуху,
чтобы давление в сосуде увеличилось в 3 раза? cv = 21 Дж/(моль К).
Ответ '. 5470 Дж.
7.	В цилиндре под поршнем находится некоторая масса водорода при
температуре / = 130°С, занимающая при давлении р} =2105 Па объем
Kj = 8 дм3. Как изменилась температура водорода, если при неизменном дав-
лении объем его уменьшился настолько, что при этом была совершена рабо-
та А = 50 Дж?
Ответ : -12,6 К.
8.	Какая масса водорода находится в цилиндре под поршнем, если при
нагревании его от температуры 7] = 250 К до Т2 = 680 К газ произвел работу
А - 400 Дж?
Ответ: 2,310~4кг.
117
9.	В цилиндре под поршнем находится некоторая масса воздуха. На его на-
гревание идет 5 кДж тепла при постоянном давлении. Найдите работу, произве-
денную при этом газом. ср = 103 Дж /(кг К); ц = 29 г/моль.
Ответ. 1,43 кДж.
10.	В цилиндре сечением S’= 250 см2 находится т = Юг азота, сжатого
поршнем, на котором лежит гиря массой М = 12,5 кг. Какую работу совер-
шит газ при нагревании его на АГ = 600 К. На сколько увеличится при этом
объем газа? Атмосферное давление р0 = 105 Па.
Ответ: 1780 Дж; 1,710-2м3.
11.	Двухатомный водород массой 2 кг при температуре 290 К охлаждают
изохорически так, что его давление падает в 2 раза. Затем газ расширяют при
постоянном давлении. Определите работу, совершенную газом, если в ко-
нечном состоянии его температура стала равной первоначальной.
Ответ: 1205 кДж.
12.	Температура некоторой массы т идеального газа с молярной массой
ц меняется по закону Т = aV2. Найдите работу, совершенную газом при
увеличении объема от до К2. Поглощается или выделяется тепло при та-
ком процессе?
Ответ: mRa^V2 “ И2)/2ц •
13.	Газ меняет свое состояние по закону р = аК. Найдите работу, со-
вершенную газом при изменении его давления от р} до р2.
Ответ: а(к22 - И]2 )/2 .
14.	Шарик массой 5 г и радиусом 15 мм погружен в воду на глубину
30 см. Когда его отпустили, он выпрыгнул из воды на высоту 10 см. Какая
энергия перешла в тепло вследствие трения шарика о воду?
Ответ: 2,210'2Дж.
15.	Два сосуда одинакового сечения
'_____________________________ __т	S’= 10 см2 заполнены до высоты Л = 1м несме-
— —	шивающимися жидкостями. Плотности жидко-
zzzz~ стей в сосудах pj = 1 г/см3 и р2=2г/см3.
— —	В тонкой трубке, соединяющей сосуды, откры-
Z.7LTv вают кран. Какое количество тепла выделится
при переходе системы в положение равновесия?
Ответ: 1,25 Дж.
118
16.	Два сообщающихся сосуда с сече-
ниями Sj =100 см2 и S2 =200 см2 запол-
нены водой и закрыты легкими поршня-
ми. Система находится в равновесии. В
этом положении на больший поршень
помещают гирю массой т = 1 кг. Какое
количество тепла выделится в системе при
переходе в новое положение равновесия?
Ответ: 0,08 Дж.
17.	Моль идеального одноатомного газа переводится из начального со-
стояния с температурой Т = 300 К в состояние, в котором его температура
увеличилась в три раза, а объем уменьшился в два раза. Найдите подведен-
ное к газу количество тепла. Известно, что из всех путей перевода газа из
начального состояния в конечное, на которых давление не падает ниже
начального, был выбран путь, на котором над газом совершена минималь-
ная работа.
Ответ: 6225 Дж.
18.	Идеальный газ массой т, имеющий начальную температуру 7], уча-
ствует в процессе, для которого выполняется условие: pxV" =	, где и —
известный показатель степени. Определите количество теплоты, подведен-
ное к газу в таком процессе, если объем газа уменьшился в к раз. Удельная
теплоемкость газа в этом процессе С.
Ответ: Ст7\(кп~]-1).
19.	Идеальный одноатом-
ный газ участвует в процес-
сах, переводящих его из со-
стояния 1 в 3. В каком из
процессов газу сообщается
большее количество теплоты
и насколько больше, если
известны Kj и И3, pj и р3.
Р
Р\
Рз
0
Ответ: И, (2р3 - р, )-р3И3.
20.	Закрытый с торцов теплоизолированный ци-
линдр перегорожен поршнем массой М. С обеих сто-
рон от поршня находится по 1 молю идеального газа,
внутренняя энергия которого U = сТ. Масса цилин-
дра с газом т. Коротким ударом цилиндру сообща-
ют скорость И, направленную вдоль оси цилиндра.
119
На сколько изменится температура газа после затухания колебаний поршня?
Трением и теплоемкостью поршня пренебречь.
Ответ'. &Т = МтУ2/(4с(М + т)).
М М
21.	В длинной закрытой трубке ме-
жду двумя поршнями массой М каж-
дый находится идеальный газ, масса
которого много меньше массы порш-
ней, в остальном пространстве трубки
— вакуум. В начальный момент пра-
вый поршень имеет скорость 2w, а
левый — 4w. Найдите максимальную
температуру газа, если стенки трубки и поршня теплонепроницаемы. Темпе-
ратура газа в начальный момент То . Внутренняя энергия моля газа U = сТ .
Ответ: Т = Т0+(2Ми2/3R).
22.	Поршень массой М, замыкающий объем Ио, одно-
атомного газа при давлении pQ и температуре То, движется
со скоростью У . Определите температуру газа при макси-
мальном сжатии. Масса газа много меньше массы поршня.
Система теплоизолирована, теплоемкостями поршня и сосуда пренебречь.
Ответ: Т^И-МИ2/Зр0И0).
т У
-- ...ifc
23.	Пуля массой т, летящая горизон-
тально со скоростью И, попадает в брусок
массой М и застревает в нем. Брусок ле-
жит на гладкой горизонтальной плоскости
и соединен с вертикальной стенкой пружиной с жесткостью к. Найдите
количество теплоты Q, выделяющееся в данной системе. Считать, что
время проникновения пули в брусок много меньше времени деформации
пружины.
Ответ'. wA/Г2/(2(Л/+ w)).
24.	Внутренняя энергия U некоторой массы одноатомного газа при темпе-
ратуре / = 32 °C равна 1,0 Дж. Сколько молекул содержит эта масса газа?
Ответ: 2UNJ3RT = 1,51О20.
25.	Один моль идеального одноатомного газа расширяется по политропи-
ческому закону: рУ3 = const от У} до У2. Определите изменение внутрен-
ней энергии газа, если первоначальное давление его р}.
120
Решение
Тепло идет на увеличение внутренней энергии газа:
3
Д1/ = 0 = сгГ(Т2-7]), си = -Я, v = l.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона:
71=^,/Л, p2 = p\VJV2)3, то T2 = p2V2/R,
AT = Pi 21- --£& =	- Г22 )
ЛГ22 R ЛК22 '	'
V 1
26.	В трубе между двумя поршнями массой М д/ д/
каждый находится моль идеального одноатомного ----------------------
V V
газа, масса которого много меньше массы порш- ________г ____________
ней. В начальный момент значения параметров
тела равны р0, Ко, а поршни имеют равные по ве- --------------------
личине скорости V, направленные навстречу друг другу. Определите макси-
мальную температуру газа при дальнейшем движении поршней по инерции.
Система теплоизолирована; теплоемкостями поршней и трубы, внешним
давлением пренебречь.
Решение
По ЗСЭ 2-~-+vc„T0 = vcr ГП1ах,	= vT0, cv = |R,
2	К	2
TO
MV2 3 роио 3
2------1--К-----— —
2	2
v = 1,
R 2 ,nax
откуда
T -- p°y°  2W'
* mav	—	_ —
27.	Над молем идеального газа соверша-
ют замкнутый цикл, состоящий из двух изо-
хор и двух изобар. Температуры в точках
1 и 3 равны 7] и Т3. Определите работу,
совершенную газом за цикл, если известно,
что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.
Решение
Газ совершает работу, расширяясь по изобаре 2-3:
A23 = P2(V3-V2) = R(r3-T2),
где Т3 > Т2
121
На изобаре 4-1 газ совершает работу сжатия:
Чтобы давление не росло вследствие сжатия, от газа отводят тепло.
Полная работа:
Л = Л2з + Al =	+ 7] -27]).
Из процесса 3-4 находим Т2 и подставляем в 4, имеем:
Т2 = а А = r(7] + г3-2^).
Занятие 5. Первый закон термодинамики
Q = AU + А: количество теплоты, сообщенное системе, идет на увеличение
ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними силами.
Работа теплового двигателя характеризуется тепловым КПД:
Т1 = ((7’н“’^х)/7’Н),ЮО%, а КПД идеальной тепловой машины, работающей
по циклу Карно (две изотермы и две адиабаты): г| = ((Тн - Тх) / Ttt) • 100%, где
0Н,	— количество теплоты и температура нагревателя, 0Х,ТХ — коли-
чество теплоты и температура холодильника.
Задачи
1.	При изобарическом расширении одноатомному идеальному газу было
сообщено количество теплоты Q = 500 Дж. Определите изменение внутрен-
ней энергии газа в этом процессе.
Ответ'. &U = 3(2/5 = 300Дж.
2.	На сколько изменяется температура v = 2 молей одноатомного газа в
изобарическом процессе, если при этом к газу было подведено количество
теплоты Q = 2 • 103 Дж. Какую работу при этом совершил газ?
Ответ'. АГ = 48,2 К; 800Дж.
3.	На сколько изменится температура v = 2 молей одноатомного газа при
изохорическом нагревании, если при этом к газу было подведено количество
теплоты 0 = 103Дж?
Ответ '. 40 К.
4.	Аргон массой т = 400 г изобарно нагревается с увеличением темпера-
туры АТ = 10 К. Какое количество теплоты подведено к газу? Чему равна
работа, совершенная при этом газом?
Ответ'. 2070 Дж; Я = 830Дж.
122
5.	Идеальный газ расширяется при постоянном давлении р с изменением
объема от Vx до И2. Определите количество теплоты, поступившее к газу в
этом процессе, если молярная теплоемкость газа при постоянном объеме су
известна.
Ответ', (с^ /Я + 1)р(И2-Pj).
6.	Одноатомный идеальный газ участвует в процессе, для которого внут-
ренняя энергия газа пропорциональна И2. Найдите работу, совершенную
газом в таком процессе, если известно количество теплоты Q, сообщенное
при этом газу.
Ответ: Q/4.
7.	Одноатомный идеальный газ участвует в процессе, для которого внут-
ренняя энергия пропорциональна р2. Найдите количество теплоты, полу-
ченное газом в этом процессе, если известна работа, совершенная при этом
газом —А.
Ответ: 4Л .
8.	В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытым
поршнем массой Л/, находится v моль идеального одноатомного газа. Газ
нагревают. Поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость К.
Найдите количество теплоты, сообщенное газу. Теплоемкостью сосуда и
поршня, а также внешним давлением и трением пренебречь.
Л 5Л/И2
Ответ: -------.
4
9.	В вертикальном изолированном цилиндре с площадью поперечного се-
чения 5 под поршнем массой М находится один моль идеального одноатом-
ного газа. В некоторый момент под поршнем включается нагреватель, пере-
дающий газу за единицу времени количество теплоты q. Определите устано-
вившуюся скорость движения поршня при условии, что давление газа под
поршнем постоянно. Атмосферное давление равно pQ .
2(7
Ответ: —----------г.
5(p0S + A/g)
10.	Два моля идеального одноатомного газа, имеющего температуру
7] = 400 К, сначала охладили изохорически, вследствие чего давление газа
уменьшилось в п = 3 раза. Затем газ изобарически расширили так, что в ко-
нечном состоянии его температура снова стала равной 7]. Найдите количе-
ство теплоты, сообщенное газу в этом процессе.
Ответ: 4,4-103Дж.
123
И. Одноатомный идеальный газ в количестве v молей нагревают в ци-
линдре под поршнем так, что температура и давление связаны соотношени-
ем Т = ар1, где а > 0 — известная постоянная. Какое количество теплоты
нужно подвести к газу, чтобы его давление увеличилось от р} до р22
Ответ'. 2vRa(p% -р2
12.	Идеальный одноатомный газ в количе-
стве v молей участвует в процессе 1-2-3,
изображенном на рисунке. Найдите количест-
во теплоты, подведенное к газу в этом про-
цессе, считая известными Pj и И2, р} и р2.
Ответ: 0 = (И2-И|)(4р,+р2)/2.
13.	В процессе расширения азота его объем увеличился на 2%, а давление
уменьшилось на 1%. Какая часть теплоты, полученная азотом, была превра-
щена в работу? с = 745 Дж/кг • К.
Ответ: 44%.
14.	КПД идеального теплового двигателя равен 30%. Чему равна темпе-
ратура нагревателя, если температура холодильника равна 7°С?
Ответ: 400 К.
15.	КПД теплового двигателя равен 40%. Во сколько раз количество теп-
лоты, полученное двигателем от нагревателя, больше количества теплоты,
отданной холодильнику?
Ответ: 1,67.
16.	Двигатель работает как машина Карно и за цикл получает от нагревате-
ля количество теплоты Q- 2,094 кДж. Температура нагревателя 7] =600 К,
температура охладителя
лем за цикл.
Ответ: 1047 Дж.
Т2 = 300 К. Найдите работу, совершенную двигате-
17.	КПД тепловой машины, работающей по
циклу, состоящему из изотермы 1-2, изохоры
2-3 и адиабаты 3-1, равен т|, а разность мак-
симальной и минимальной температур газа в
цикле равна АТ. Найдите работу, совершен-
ную одним молем одноатомного идеального
газа в изотермическом процессе.
. 3 R\T
Ответ: А =--------.
2 1-т]
124
18.	Найдите КПД тепловой машины, работаю-
щей с v моль одноатомного идеального газа по
циклу, состоящему из адиабатного расширения 1-
2, изотермического сжатия 2-3 и изохорического
процесса 3-1. Работа, совершенная над газом в
изотермическом процессе, равна А. Разность мак-
симальной и минимальной температур газа в цикле
равна ДГ.
Ответ\ r| = 1 -
2А
3vR\T
19.	На р-И-диаграмме изображен цикл, прово-
димый с одноатомным идеальным газом. Опреде-
лите КПД этого цикла.
Ответ: г| = 11,5%.
20.	На p-V диаграмме изображен цикл, прово-
димый с одноатомным идеальным газом. Опреде-
лите КПД этого цикла.
Ответ: rj = 11%.
21.	На р-И-диаграмме изображен цикл, прово-
димый с одноатомным идеальным газом. Опреде-
лите коэффициент полезного действия этого цикла.
Решение
КПД процесса равен
п=(лп/0)-юо%,
где Ап — полезная работа процесса:
А = ДрДК/2 = р0ЗК0 /2 = Зр0К0 /2.
По уравнению Менделеева-Клапейрона:
р0К0 - vRTq > то А = 3vRT0/2.
(1)
По уравнению Клапейрона:	> откуда Т2 = 8Г0
1-й закон термодинамики:
3	1
212 + 42 = 2 v*(^0 - То) + -(2р0 + Ро)(4К0 - Ко) = 15v/?r0 .	(2)
Делим (1) на (2), определяем КПД процесса:
= JVA/0 j 0()% = j 0%
2\5vRT0
125
22.	Определите отношение коэффициентов
полезного действия двух циклических процессов
(см. рисунок), проведенных с одноатомным иде-
альным газом: первый процесс 1-3-4-8-1; вто-
рой процесс 4-5-7-8-4.
Решение
П| =77-,П2 =77-> а так как Л, = Л2 =2р0К0,
И2
а 7] =Т0,то П|/П2 =Qi/Q\-
Q\ = c^v(T3-T0) + cpv(T4-T3) = CyV^Tl+cpv^2.	(1)
cp=^R.
Из уравнений состояния определим изменения температур Д7] и ДГ2:
Ро
откуда Т3 = 3TQ и Д7] = Т3 - Го = 2Г0 .
И=2о_
ТА 2Г0’
откуда Т4 = 2Т3 = 67^ и ДГ2 = 37J) (2) и в (1), имеем:
3	5
Q =|Яу2Г0+-ЯуЗГ0 =10,5v/?r0,
й = c,,v(T4-Tg) + cpv(r5-Г4) = -|яу4Г0 +^1ЫТй = 13,5v/?T0,
где разности температур найдены из уравнений состояния
ZL=2o_
Г8 2И0 ’
откуда Г8 = 2Т0 и Т4 = 6Т0, а (Т4 - Г8) = 4Г0 .
21=2*о.	т =1Т =9Г
Т5 ЗГ0	5 4 4	0
(7’5-Т4) = 37’о.
П| _ g2	13,5у/?Г0
П2 й	1О,5уЛГо	’
126
Занятие 6. Пары. Влажность. Поверхностное натяжение.
Капиллярные явления
Пар называется насыщенным, если он находится в динамическом равно-
весии с жидкостью. Его давление и плотность зависят только от температу-
ры (при t = 100°С, рНГ1 = 105 Па).
Пар, давление которого при Т = const зависит от объема, называется не-
насыщенным.
Ненасыщенный пар, полученный путем перегрева насыщенного, называ-
ется перегретым.
Температура, при которой перегретый пар непрерывно переходит в жид-
кость, — критическая температура. При этом жидкость и пар физически
неразличимы. Давление р, объем V, плотность р, соответствующие этой
температуре, называются критическими.
Воздух, содержащий водяной пар, называется влажным.
Точка росы — температура, при которой пар становится насыщающим при
изохорическом охлаждении. При охлаждении пара ниже точки росы происходит
конденсация пара. Прибор для измерения точки росы — гигрометр Ламбрехта.
Абсолютная влажность*, масса (плотность) водяного пара, содержащаяся
в 1 м3 воздуха при данной температуре.
В таблицах влажности по точке росы можно определить абсолютную
влажность: т, рабс, или рабс.
Относительная влажность*. В = -^£--100% или В = -^L-100%, где рнп
Рнп	Рнп
и рнп — плотность и давление насыщенного пара при данной температуре.
Сила поверхностного натяжения*. F = а/.
Поверхностная энергия*. = где а Дж/м2, или а Н/м —коэф-
фициент поверхностного натяжения, зависящий от рода жидкости, темпера-
туры, примесей поверхностно-активных веществ; / — периметр смачивания;
£ — площадь поверхности жидкости.
Под искривленной поверхностью жидкости, помимо внутреннего давле-
ния, создается еще дополнительное давление, обусловленное кривизной по-
верхности и направленное к центру кривизны: Др = ±2а/7? — для сфериче-
ской поверхности радиуса R («+» — для выпуклой поверхности; «-» — для
вогнутой); \p = ±^/R —для пузыря; &p = ±o/R —для цилиндрической
поверхности.
Капилляры — узкие сосуды (трубки, щели и пр.).
Мениск — изогнутая поверхность жидкости в капилляре (вогнутая - для
смачивающей жидкости, выпуклая — для несмачивающей).
Высота подъема (или опускания) жидкости в капилляре h = 2a cos0/prg ,
где р — плотность жидкости; г — радиус мениска, равный радиусу капил-
127
ляра; 0 — краевой угол (для смачивания он стремится к 0, для несмачивания
— к 180°).
Задачи
1.	Смешали = 1 м3 воздуха с относительной влажностью а, =20% и
Иэ = 2 м3 воздуха с относительной влажностью а2 = 30%. Обе порции влаж-
ного воздуха были взяты при одинаковой температуре. Смесь занимает объем
V = 3 м3. Определите относительную влажность а получившейся смеси.
Ответ'. 27%.
2.	В отростке сосуда, закрытого поршнем, нахо-
дится некоторая масса воды в равновесии с насы-
щенным паром. Диаметры сосуда и отростка
Д = 5см, </ = 2см. Поддерживая температуру 20°С,
поршень опускают на высоту Н = 10 см, уровень
воды в отростке при этом повышается на высоту
h = 1 мм. Определите давление насыщенного пара
воды при 20°C.
Ответ'. 2,13• 103Па .
3.	Насос откачивает пары воды из емкости, на дне которой находится
200 г воды. Определите, через какое время вода из емкости полностью испа-
рится, если температура поддерживается постоянной и равной 20°С, а насос
за каждые 10 с откачивает объем 8 10"3м3 паров воды, ц = 18-Ю’’3 кг/моль,
Аш = 2333 Па-
Ответ'. 1,2-104с .
4.	В сосуде емкостью 100 л при 29°С находится воздух с относительной
влажностью 8,3%. Давление насыщенного пара при этой температуре
рнп =4000Па . Какова будет относительная влажность, если в сосуд ввести
15 мг воды?
Ответ'. 61%.
5.	В запаянной трубке объемом 0,4 л находится водяной пар под давлени-
ем р = 8,5 103Па при температуре 423 К. Какое количество росы выпадает
на стенках трубки при охлаждении ее до температуры насыщенного пара?
Тпп=293 К, рнп = 2,5-103 Па.
Ответ'. 9 мг.
6.	В комнате размером 10x5x3 м3 поддерживается температура
Ту = 293 К, а точка росы равна Т2 = 283 К. Определите относительную влаж-
128
ность воздуха и количество водяных паров, содержащихся в комнате, если
p„t = 2,33-103Па, р„г = 1,2103Па .
Ответ: 54,5%; 1,4 кг.
7.	В изолированную емкость, в которой относительная влажность 40%,
ввели 2-Ю"4 кг воды. Вода полностью испаряется и пар в емкости стано-
вится насыщенным. Определите объем емкости. рН(1 = 14,5 10"3 кг/м3 .
Ответ: 20 л.
8.	Какова будет относительная влажность в квартире, если открыть дверь
между смежными комнатами площадью 10 м2 и 15 м2, относительная влаж-
ность в которых 50% и 60%. Температура одинакова.
Ответ: 56%.
9.	Относительная влажность воздуха вечером при температуре 14°С рав-
на 80%. Ночью температура воздуха понизилась и выпала роса (/2 =6 °C).
Сколько водяного пара сконденсировалось из 1 м3 воздуха? =1,6 кПа,
рН2 =0,9 кПа.
Ответ: 2,4 г.
10.	Восемь шаровых капелек ртути диаметром 1 мм каждая сливается в
одну каплю. Сколько при этом выделяется тепла? Коэффициент поверхност-
ного натяжения ртути 0,47 Н/м .
Ответ: 6-10"6Дж .
11.	Левое колено У-образной капиллярной трубки имеет радиус 0,5 мм, а
правое — 1 мм. Какова разность уровней воды в этой трубке? Коэффициент
поверхностного натяжения воды равен 73 10"3 Н/м, краевой угол равен
нулю (рассмотреть случай полного смачивания).
Ответ : 1,4 см.
12.	Капиллярную трубку опустили в сосуд с водой, а
затем на поверхность воды налили масла. Какова высо-	я
та слоя масла, если известно, что его уровень совпадает
с уровнем воды в трубке? Радиус трубки 1 мм, плот-	FSZ £££
ность масла рм =0,9 г/см3. Рассмотреть случай полно-	Z.Z L_"_"
го смачивания.	Z ~ |jZT
Ответ: 15 см.	-------
9 Зак. 51
129
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Занятие 1. Законы электростатики
Тела приобретают заряды вследствие электризации: трением, соприкос-
новением, влиянием (индукцией). Электрические заряды условно делятся на
положительные и отрицательные. Разноименно заряженные тела взаимно
притягиваются, а одноименно — отталкиваются.
Электрический заряд — источник электромагнитного поля, внутренняя
характеристика элементарной частицы, определяющая ее электромагнитное
взаимодействие
q = It Кл,
где I — сила постоянного тока, t— продолжительность протекания тока.
Элементарным электрическим зарядом называется наименьший заряд,
которым обладают элементарные частицы электрон (-<?) и протон (+с/), и
равный е~ = 1,6022-Ю"19 Кл.
Любой электрический заряд представляет собой целое, кратное элемен-
тарному электрическому заряду е~:
q = п-е~ .
Закон сохранения зарядам в изолированной системе алгебраическая сумма
электрических зарядов остается постоянной
=°-
Закон Кулона', два точечных заряда взаимодействуют в вакууме с силой
F, пропорциональной величинам зарядов q} н q2, обратно пропорциональ-
ной квадрату расстояния г между ними и направленной по линии, соеди-
няющей центры этих зарядов:
F-k ,
где £ =—!— = 9-109м/Ф, е0 = 8,85-10"12Ф/м —электрическая постоянная.
4лв0
Сила взаимодействия точечных зарядов в какой-либо среде (диэлектрике)
в в раз меньше силы их взаимодействия в вакууме.
130
Задачи
1.	Два точечных заряда, находясь в вакууме на расстоянии 20 см друг от
друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии нужно по-
местить эти заряды в масле (е = 5), чтобы получить эту же силу взаимодей-
ствия?
Ответ: 9,2 см.
2.	Каждый из двух маленьких шариков положительно заряжен так, что их
общий заряд <7 = 5-10"5Кл. Как распределен заряд между шариками, если
они, находясь на расстоянии г = 2 м друг от друга, отталкиваются с силой
1 Н?
Ответ- 3,8 10‘5Кл; 1,2 10‘5Кл.
3.	Два одинаковых шарика, заряженные одноименными зарядами и по-
мещенные на расстоянии 10 см друг от друга, отталкиваются с силой
12 10“5Н . Их приводят в соприкосновение и затем помещают вновь в преж-
нее положение. Шарики взаимодействуют теперь с силой 16 10"5Н . Опре-
делите первоначальные заряды шариков.
Ответ’. 2-Ю"8 Кл; 2/3-10’8 Кл.
4.	Два одинаковых заряженных маленьких шарика подвешены на тонких
непроводящих нитях одинаковой длины. Какова должна быть плотность ма-
териала шариков, чтобы угол расхождения нитей в керосине и в воздухе был
один и тот же? рл = 0,8-Ю3кг/м3, гк = 2.
Ответ'. 1,6-103 кг/м3.
5.	Три отрицательных заряда величиной 910“9Кл каждый расположены
в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд надо поместить в
центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии? Будет ли это
равновесие устойчивым?
Ответ'. 510"9Кл.
6.	Два маленьких шарика массой 1 г и зарядом —2 10"5Кл, массой 2 г и
зарядом 10"5Кл соединены легкой непроводящей нитью длиной 1 м. Шари-
ки находятся на гладкой горизонтальной непроводящей поверхности. Какую
минимальную силу нужно приложить к системе, чтобы нить натянулась?
Ответ'. 5,3 Н.
7.	На нити подвешен шарик массой 9,8 г, которому сообщен заряд 1 мкКл.
Когда к нему снизу поднесли заряженный таким же зарядом шарик, сила
9*
131
натяжения нити уменьшилась в 4 раза, Определите расстояние между цен-
трами шариков.
Ответ'. 35 см.
<71 / <72 /
О ........"О.........Q
8.	Три заряда q}9 q2, q3 связаны друг с другом нитями
одинаковой длины /. Найдите силы натяжения нитей Т
„ т (Яз+4Яз)Я\ т Яз(Я1+4Яз)
Ответ: Т]2=-----------, Т23 =—------г-А
16л80/2	16ле0/2
I
q'.B
9.	Четыре заряда q. Q, q и Q связаны друг с
другом нитями одинаковой длины (см. рис.).
Определите силу натяжения нити Г, которая
соединяет заряды Q.
\	(	2 \
Ответ: Т-—-------- Q1—.
Зл/З )
10.	Заряженный шарик массой Юг, подве-
шенный на изолирующей нити, движется с по-
стоянной угловой скоростью Юс"1 по окруж-
ности радиусом 5 см. Под точкой подвеса А
находится другой неподвижный заряженный
шарик. Расстояние АО и ВО равны, угол
а =45° . Заряды обоих шаров одинаковы. Най-
дите эти заряды.
Ответ: 13,5-Ю"8 Кл.
О	11. Шарики, имеющие каждый массу 1 г и заряд
СО	-7
X	2-10 Кл , соединены изолирующими невесомыми стерж-
нями и расположены симметрично относительно центра.
• Система приводится во вращение в горизонтальной плос-
кости со скоростью Юс"1. Найдите силу растяжения стержней, если длина
каждого равна 20 см.
Ответ: 2,5-10 2Н .
12.	Небольшой металлический шарик массой т, подвешенный на нити
длиной /, колеблется по закону математического маятника над бесконечной
равномерно заряженной проводящей горизонтальной плоскостью с плотно-
стью заряда о. Заряд шарика -q. Определите период колебания шарика.
Ответ: Т = 2л- /-—-----
yaq/ 280 + mg
132
13.	Четыре заряда q, Q, q и Q связаны
четырьмя нитями длиной /. Определите
угол р между нитями?
Ответ ’. p = 2arctg((//.
Решение
Условия равновесия:
3
1)	2Гсо5- = 2/л cos~	,
2'2 4ле0/|2
где Г] — расстояние между зарядами Q и r} = 2/cosp/2 ;
2)	27 cos Г 90°-—') = 2F, cos Г 90°-•&!+——г,
I 2/ к 2) 4леог22
гдег2— расстояние между зарядами q и r2 = 2/cos(90°~p/2). Решаем 1 и 2:
2Т = 2F} +------—---------
4ле04/2 cos3 р/2 Q2 q2
q2 [ cos3p/2 sin3p/2
4л804/2 sin3 p/2
и tg3^=^2/e2,
tg(p/2) = (q/Q)2/3 или см. ответ.
14.	Тонкое проволочное кольцо радиусом R
несет на себе электрический заряд q. В центре
кольца располагается одноименный с зарядом q
заряд Q, причем Q^q. Определите силу, с
которой растянуто кольцо.
Ответ’. Т -—.
871280Я2
Решение
Так как q мал, то взаимодействием между от-
дельными элементами кольца пренебрегаем. Вы-
делим малый элемент кольца Д/ = 7?Да . Со
стороны заряда Q на него действует сила
А- АГ, Q\q
&F : AF = —-——,
47180/Г
где Дд = <7Да/2л —заряд элемента Д/.
133
Силы натяжения кольца уравновешивают силу растяжения кольца AF :
bF = 27sin— = 27— = 7Да
2	2
так как sin а » а ;
, т е т = Qq
Да27г4л£0/?2 ’	8л2£07?2
Занятие 2. Напряженность и потенциал
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Электростатическое поле — вид материи. Оно неразрывно связано с за-
рядом, непрерывно распределено в пространстве и способно действовать с
определенной силой на внесенный в поле пробный положительный заряд.
Напряженность поля Е — векторная величина — силовая характери-
стика поля, равная отношению силы, с которой электростатическое поле
действует на внесенный в поле заряд, к величине этого заряда:
£ = — В/м.
q
Электростатическое поле однородно, если во всех его точках напряжен-
ность одинакова.
Графически электростатическое поле изображается с помощью линий
напряженности (силовых линий): линия, касательная к которой в каждой
точке совпадает с вектором напряженности поля.
q
Е =----2—~ — напряженность в точке поля на расстоянии г от заряда
4Л£0£Г2
или заряженной сферы радиусом г.
Е = —... — напряженность поля бесконечной равномерно заряженной
2££q
q Кл
плоскости, где а = — т
S м2
— поверхностная плотность заряда.
Потенциал ср — скалярная величина — энергетическая характеристика
поля, равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с
W
полем к величине этого заряда ср = — В.
Я
Поверхность, в каждой точке которой потенциал электростатического
поля одинаков, называется эквипотенциальной поверхностью.
<р = ^/4л££0г— потенциал поля точечного заряда или заряженной сферы
радиусом г.
134
Принцип суперпозиции: полная напряженность поля в точке равна век-
торной сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами:
Е = Е} + Е2 + £3 + •••’
потенциал поля в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов
полей, образованных в этой точке каждым зарядом в отдельности:
ф = ф]+ф2+ф3+... •
Задачи
1.	Расстояние между зарядами qx =10 нКл и q2 =-1 нКл равно 1,1 м.
Найдите напряженность в точке поля на прямой, соединяющей заряды, в
которой потенциал равен нулю.
Ответ: 990 В/м .
2.	На расстоянии 5 см от точечного заряда в вакууме потенциал поля
180 В. Найти напряженность и потенциал в точке поля, удаленной на рас-
стояние 10 см от этого заряда, если заряд поместить в керосин (гк = 2).
Ответ '. 450 В/м; 45 В .
3.	Определите напряженность и потенциал электрического поля в точке,
лежащей посередине между двумя точечными зарядами qx = 810"9 Кл и
q2 = -6 • 10"9 Кл , в вакууме на расстоянии г = 10 см.
Ответ'. 5,04 104 В/м;360 В.
4.	Расстояние между двумя зарядами q} = 3-10"8 Кл и q2 = -5 10"8 Кл
равно 5 см. Найти напряженность и потенциал электрического поля в точке,
находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрица-
тельного.
Ответ: 440s В/м; 2,2103 В.
5.	В вершинах квадрата, сторона которого а, находятся заряды: q, -q, -2q,
2q. Определите напряженность и потенциал в центре квадрата.
Ответ'. Ео = Зл/2<//(2л80а2); <р0=0.
6.	Однородное электрическое поле слева от
бесконечной плоскости заряженной пластины
Е] , справа Е2. Определите силу F, действую- <
щую на единицу площади пластины со стороны
электрического поля (см. рис.).	<
Ответ'. F = qS(E2-Е})/2.	*
135
7.	Заряд q равномерно распределен по кольцу радиусом г. Чему равна на-
пряженность поля в центре кольца и на расстоянии h от центра кольца?
Ответ'. 0;-------—----гтг.
4ns0(A2+r2)
8.	Определите напряженность электрического поля, созданного диполем
в точке на перпендикуляре к плечу диполя на расстоянии 50 см от центра,
если заряды диполя ±10"8 Кл , а плечо диполя 5 см.
Ответ '. 36,2 В/м.
9.	1000 одинаковых маленьких капелек воды, заряженные равными заря-
дами, сливают в одну сферическую каплю. Во сколько раз потенциал этой
капли больше потенциала малой капли?
Ответ'. 100.
10.	Два одинаковых шарика, расстояние между которыми по центру рав-
но 25 см, взаимодействуют с силой 10"7 Н . До какого потенциала заряжены
шарики, если их диаметры 1 см.
Ответ'. 1530 В.
11.	Большая шарообразная капля воды получена в результате слияния
125 одинаковых мелких заряженных капель. До какого потенциала были
заряжены мелкие капельки, если потенциал большой капли оказался рав-
ным 2,5 В?
Ответ'. 0,1 В.
Занятие 3. Работа поля по перемещению зарядов
При перемещении заряда q в однородном электростатическом поле на-
пряженностью Е силы F поля совершают работу
А = FAr = qE&r Дж,
где Аг — модуль перемещения заряда вдоль силовой линии.
Если заряд q перемещается из точки поля с потенциалом <р| в точку с по-
тенциалом <р2 независимо от формы пути, то силы электрического поля со-
вершают над зарядом работу
Л = ^(ф| -Ф2) = <?£/,
где U = ф| -<р2 — разность потенциалов (напряжение) между двумя точка-
ми поля.
Связь между Е и ф для однородного электрического поля:
136
£ _7Ф|-<Р2 _
Дг Дг ’
т.е. напряженность однородного электрического поля численно равна разно-
сти потенциалов, приходящейся на единицу длины силовой линии.
Работа сил электростатического поля при движении электрического заря-
да по любой замкнутой траектории рана нулю.
Задачи
1.	Два одноименных точечных заряда величиной 210“7 Кл и 1,510"7 Кл
находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Какую работу совершили электри-
ческие силы, чтобы сблизить заряды до 10 см?
Ответ*. -2,43-10”3 Дж.
2.	На сколько изменится потенциальная энергия взаимодействия зарядов
с/, =25 нКл и q2 = -4 нКл при изменении расстояния между ними с 10 см
до 20 см?
Ответ'. 4,5-10"6 Дж .
3.	На сколько изменится кинетическая энергия заряда qx = 1 нКл при его
движении под действием поля точечного заряда q2 = 1 мкКл из точки, уда-
ленной на 3 см от этого заряда, в точку, отстоящую на 10 см от него? На-
чальная скорость заряда д, равна нулю.
Ответ'. 0,2110“3 Дж.
4.	Шарик массой т и зарядом q перемещается из точки поля, потенциал
которой равен ср, в точку, потенциал которой равен нулю. Чему была равна
скорость шарика в первой точке, если во второй она стала равной К?
Ответ'. Jk2 .
V т
5.	Электрон вылетает из точки, потенциал которой 600 В, со скоростью
1,2-107 м/с в направлении линий напряженности электрического поля. Оп-
ределите потенциал точки поля, в которой скорость электрона будет равна
нулю.
Ответ'. 195 В.
6.	Какую работу нужно совершить, чтобы переместить заряд 10"7 Кл
внутрь металлической заряженной сферы радиусом 15 см, имеющей заряд
7 • 10“7 Кл , из точки, находящейся на расстоянии 25 см от поверхности сферы?
Ответ'. -2,5-10“3Дж.
137
7.	Электрический диполь из двух жестко связанных точечных зарядов +9
и -q, расположенных на расстоянии / друг от друга, находятся в положении
устойчивого равновесия в однородном электрическом поле напряженности
Е. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть диполь на 180°?
Ответ'. 2Eql.
Qj	8. Диполь (+q заряды, плечо диполя /) находится в
о о	электрическом поле, созданном двумя бесконечными рав-
q	-q	номерно заряженными плоскостями (см. рис.). Поверхно-
стные плотности зарядов плоскостей Cj и os . Какую ра-
боту совершают силы поля при повороте диполя на 180° в плоскости рисунка?
Ответ: ql<3} /s0.
9.	Диполь (+q заряды, плечо /) находится в электриче-
ском поле, созданными двумя бесконечными взаимопер-
пендикулярными равномерно заряженными плоскостями
(см. рис.). Поверхностные плотности зарядов плоскостей
одинаковы и равны с. Какую работу совершают силы
поля при повороте диполя на 180° в плоскости рисунка?
Ответ'. -Jlqla/80.
10.	В однородное электрическое поле напряженностью
100 В/м, линии которого направлены вертикально, помес-
тили систему из двух одинаковых противоположно заря-
женных шариков, соединенных тонким изолирующим
стержнем длины 10 см. Шарики могут вращаться в верти-
кальной плоскости вокруг оси, проходящей через середину
стержня. Масса каждого шарика 2,5 г, абсолютная величи-
на заряда q -10 мкКл . На какой угол повернется эта система, если шарикам
сообщить начальные скорости 0,1 м/с ?
Ответ'. 45°.
11.	Какую работу нужно совершить, чтобы в плоский
заряженный конденсатор внести электрический диполь
из двух жестко связанных точечных зарядов ±<7, распо-
ложенных на расстоянии / друг от друга. Ориентация
диполя в конденсаторе показана на рис. Поверхностная
плотность зарядов на пластинах конденсатора о .
Ответ'. б/ст-/since/880.
12.	Плоский конденсатор находится в однородном внешнем электриче-
ском поле напряженности Е, направление которого совпадает с направлени-
ем поля в конденсаторе. По пластинам, площадь которых равна 5, равномер-
138
но распределены заряды q и -q. Какую работу нужно совершить, чтобы пе-
ревернуть конденсатор, поменяв местами пластины? Расстояние между пла-
стинами d. Влиянием силы тяжести пренебречь.
Ответ'. 2Eqd.
Занятие 4. Движение заряженных частиц
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Движение заряженных частиц в электрическом поле связанно с:
1)	приобретением касательного ускорения
а _ &q _ &<?q _ Uq
х т т \rm dm ’
где Е — напряженность поля, Дер = U — разность потенциалов или напря-
жение, Дг = d — перемещение частицы, q и т — заряд и масса частицы;
2)	приобретением нормального ускорения ап =К2 / R , при этом траектория
движения частиц искривляется;
3)	изменением кинетической энергии частиц. При этом частицы или уско-
ряются (скорость движения увеличивается), или тормозятся (скорость
уменьшается).
Задачи
1.	Протон, летящий по направлению к неподвижному ядру двукратно ио-
низированного атома гелия, в некоторой точке поля ядра с напряженностью
Е = 100В/см имеет скорость 104м/с. На какое расстояние протон сможет
приблизиться к ядру? Заряд протона 1,6-10"19 Кл , его масса 1,66-КГ27 кг .
Ответ'. 47 нм.
2.	Электрон влетает в однородное поле напряженностью £ = 120В/м и
движется по направлению силовых линий. Какое расстояние он пролетит до
полной остановки, если его начальная скорость равна 106м/с. Сколько вре-
мени электрон будет двигаться до остановки?
Ответ '. 2,4 см; 47 нс.
3.	В пространство, где одновременно действуют горизонтальное и верти-
кальное электрические поля с напряженностью соответственно Ех = 3 • 102 В/м
и Е2 =4-102В/м, вдоль силовой линии влетает электрон со скоростью V.
Электрон пролетел в поле расстояние / = 2,7 мм и при этом его скорость из-
менилась в 2 раза. Определите конечную скорость электрона.
Ответ'. 4105м/с.
139
4.	Вокруг неподвижного протона по окружности радиусом г под действием
электрического притяжения вращаются три электрона, находясь все время в
вершинах равностороннего треугольника. Определите кинетическую энергию
системы. Гравитационным взаимодействием и излучением пренебречь.
Ответ: JVK =
3m Г2 (З-ч/З) е2
2	2	4л80г
 +
I
А \В
5.	На две плоскопараллельные сетки, между которы-
ми приложена разность потенциалов 100 В, падает па-
раллельный пучок электронов под углом а = 60° (см.
рис.). При какой минимальной энергии электроны могут
пройти через сетки?
Ответ'. 6,4-10"|7Дж.
6.	Пластины А и Д заземлены, сетки В и С имеют
по отношению к земле потенциалы 200 Ви 100 В со-
ответственно. Из пластины А без начальной скорости
вылетает электрон. С какими скоростями он пересека-
ет сетки В и С и достигает пластины Д? Отношение
Д заряда электрона к его массе у = —= 1,76-Ю11 Кл/кг .
т
Ответ-. Ve =8,4-Ю6м/с;	= 6-106м/с; VJ( =0.
7.	Одна из пластин незаряженного плоского конденсато-
ра освещается рентгеновскими лучами, вырывающими из
нее электроны со скоростью Г = 106м/с. Электроны соби-
раются на второй пластине. Через какое время фототок ме-
жду пластинами прекратится, если с каждого квадратного
сантиметра пластины вырывается ежесекундно и = 1013 электронов? Рас-
стояние между пластинами d - 10 мм .
Ответ'. 1,56• 10"7с .
8.	Электрон, летящий горизонтально со скоростью 1,6- 106м/с, влетает в
однородное электрическое поле напряженностью Е = 90В/см , направленное
вертикально вверх. Какова будет по модулю и направлению скорость элек-
трона через I нс?
Ответ'. 2,3-106 м/с; а = 45°.
9.	Две заряженные частицы находятся в однородном поле, напряжен-
ность которого равна Е. Частица массой т несет отрицательный заряд -q,
частица массой М— положительный заряд +Q. На каком расстоянии d друг
140
от друга должны находится частицы, чтобы ускориться как единое целое
(т.е. не изменяя взаимного положения)?
Решение	 Е
Сила кулоновского взаимодействия частиц F}<	+*Q ^Fy
f-=qQ/ 4 ЛЕ(//2,	*
а силы, действующие на частицы со стороны поля, F} = qE; F2 - QE. Второй
закон Ньютона к движению тел:
та = -qE + (qQ/4itzQd2 j
Л/а = 2£-(<7(?/4лЕ0а'2)
(g-g)£
М + т
а расстояние d - yl(mQ + Mq)qQE14ле0.
10.	Пучок электронов, пройдя ускоряющую разность потенциалов 104 В,
влетает в середину между пластинами плоского конденсатора параллельно
им. Какое напряжение необходимо подать на пластины конденсатора, чтобы
пучок электронов при выходе из конденсатора отклонялся от своего началь-
ного направления на максимальный угол? Длина пластины 10 см, расстояние
между ними 3 см.
Ответ'. 1,8 кВ.
11. Электрон, имеющий кинети-
ческую энергию 7 = 10 кэВ , влетает
в плоский конденсатор параллельно
пластинам на равном расстоянии от
них (см. рис.). Между пластинами
поддерживается постоянная разность
потенциалов 40 В. Расстояние между
6 = 10 см. На расстоянии А = 20 см (
дите смещение X электрона на экране.
пластинами d = 1 см, длина пластины
>т конденсатора находится экран. Най-
Силой тяжести пренебречь.
Ответ'. 0,5 см.
Решение
Смещение определим: X = Atga + А, где tg a = V /Ко , h — смещение по
вертикали при движении в поле конденсатора и h = at2 /2.
Ускорение равно a-FIm = еЕ/m-eU /dm.
Время движения в поле конденсатора / = 6/К0, а начальная скорость оп-
ределяется из кинетической энергии Т и равна Ио2 = 277 т. Смещение h бу-
, eUb2 „	„ eUb
дет равно h -----. Проекция скорости по вертикали: V - at =--.
4dT	' dm Ко
141
Найденные значения подставляем в X:
eUb eUb2 r eUb
-----+-----= L----
eUb2 eUb( t b\ n e
-----=---- L+— = 0,5 cm .
4 dT 2Td{ 2 J
13. В центре плоского конденсато-
ра, расстояние между пластинами ко-
торого равно 2L, находится заряженная
сетка (см. рис.). Разность потенциалов
между сеткой и положительно заря-
женной пластиной В вдвое больше раз-
ности потенциалов между сеткой и
отрицательно заряженной пластиной А.
Из пластины А под углом а к ее плоскости вылетает положительно заря-
женная частица и достигает точки, расположенной на расстоянии L/2 от
пластины В. Найдите расстояние от точки вылета частицы до точки ее воз-
врата на пластину А. Силой тяжести пренебречь.
Ответ'. 5,12Lctga .
Решение
Пусть ускорение и время движения частицы между пластиной А и сеткой
С равны ах и tx, а между сеткой и высшей точкой: траектории: а2 и t2.
(pj = 0; (pc = (р; тогда ф^ = Зф.
Ускорение а2 = 2ах = 2e<p/mL и L/2 = a2t2!2. Скорость в высшей точке
траектории Уу = 0. По ЗСЭ
2	2	2
/иК0 mV{} cos a _ А __	.
—-------------------+ 2еДср, а Уу = Го sin a - axt} - a2t2.
) = 2(4-V2j£ctga
Искомое расстояние: S = Ко cosa -2(Zj +t2
Занятие 5. Конденсаторы. Соединение
КОНДЕНСАТОРОВ В БАТАРЕИ
Электроемкость — характеристика электрических свойств проводника,
количественная мера его способности удерживать электрический заряд.
Электроемкость определяется геометрическими размерами проводника,
его формой и электрическими свойствами окружающей среды и не зависит
от материала проводника
С = — Ф.
ф
С = 4лее07? — электроемкость шара радиусом R.
142
С = tt0SId — электроемкость плоского конденсатора.
С -----------электроемкость сферического конденсатора.
R-r
Е = U / d — напряженность поля конденсатора.
Е = ст/ее0 — напряженность поля конденсатора, где и — поверхностная
плотность зарядов его пластин.
Электроемкость батареи из нескольких параллельно соединенных кон-
денсаторов
Cg = С| +С*2 + С3 + ... •
При таком соединении напряжение на всех конденсаторах одинаково.
При последовательном соединении конденсаторов
1111
	—----1--+— +... .
С2 С3
При таком соединении заряды на всех конденсаторах одинаковы.
Задачи
1.	Шары емкостью 5,5 пФ и 3 пФ заряжены до потенциалов 1200 В и
4200 В. Найдите распределение зарядов на шарах, если их соединить длин-
ным проводником.
Ответ: 12,410~9Кл и 6,810‘9Кл.
2.	Металлический шар радиусом г} = 2 см, заряженный до потенциала
Ф!=30В, соединили тонкой длинной проволокой с шаром емкостью
С2 =3 мкФ, на котором находится заряд q2 =6 1О“1оКл. Какова будет по-
верхностная плотность зарядов на шарах после их соединения проволокой?
Ответ: 56 нКл/м2, 42 нКл/м2.
3.	Металлический шар радиусом г} = 2 см, заряженный до потенциала
<Pi = 30 В, соединили тонкой длинной проволокой с шаром емкостью
С2 = 3 мкФ, на котором находился заряд q2 = 6 10~10Кл . Каким станет за-
ряд на шарах, если первый шар поместить в центр проводящей оболочки
радиусом R = 3 см, соединенной с землей?
Ответ: 0,4510~9Кл и 0,210'9Кл.
4.	Заряженный до напряжения U = 100 В конденсатор емкостью 50 мкФ
соединили параллельно со вторым незаряженным конденсатором емкостью
С2 =100 мкФ. Определите заряд первого конденсатора после присоедине-
ния второго.
Ответ: 1,67 10~3Кл.
143
5.	Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены после*
довательно и подключены к источнику электрического тока с постоянной
ЭДС 8 . Внутрь одного из них вносят диэлектрик с б = 4 , который заполни*
ет все пространство между обкладками. Во сколько раз изменится напря*
женность электрического поля в этом конденсаторе?
Ответ'. 2,5.
6.	Два плоских конденсатора с емкостями Q и С2, обладающих зарядами
и q2, включают в цепь так, что положительно заряженная пластина одно-
го конденсатора соединяется с отрицательно заряженной пластиной другого.
Определите заряд каждого конденсатора в этом случае.
Ответ'.
с {Чу-Яг) .
'(с1+с2)’
2(с|+с2)’
7.	Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого за-
висит от напряжения на конденсаторе по закону е = а(7, где а = 1 В"1. Парал-
лельно этому «нелинейному» конденсатору, который не заряжен, подключают
такой же конденсатор, но без диэлектрика, который заряжен до напряжения
1/0 = 156В. Определите напряжение, которое установится на конденсаторах.
Ответ'. 12 В.
X U
8.	Два одинаковых плоских
конденсатора подключены к
источнику с напряжением U.
Пространство между пластина-
ми конденсаторов заполнено
слоями диэлектриков одинако-
вой толщины с диэлектрически-
ми проницаемостями е1 и б2. В одном конденсаторе слои располагаются
параллельно обкладкам, во втором — перпендикулярно. 1) Во сколько раз
отличаются электроемкости этих конденсаторов? 2) Во сколько раз отлича-
ются напряженности полей в однородных диэлектриках?
✓-k	4Е|Е2	2е2	2Е|
Ответ'. — =-------L-£-y; 7-- 7-------
С2 (ei+e2)“ (е1+е2) (е1+е2)
9.	Рассчитать электроемкость системы, состоящей
из трех металлических пластин толщиной d и площа-
дью S каждая и одной диэлектрической пластины
толщиной d, площадью S/2 и диэлектрической
проницаемостью б. Расположение пластин и способ
подключения к источнику ЭДС показаны на рисунке.
Ответ: е05(е + 1)/(24/(е + 2)).
144
10.	Рассчитать электроемкость системы, состоя-
щей из трех металлических пластин толщиной d и
площадью S каждая и двух диэлектрических пла-
стин толщиной d каждая и площадью 5/2 . Диэлек-
трическая проницаемость первой пластины е,, а
второй -е2 • Расположение пластин и способ под-
ключения их к источнику ЭДС показаны на рисунке.
e05(ei4-e2)
Ответ'. —
2rf(l + Б| +е->)
11.	Плоский конденсатор находится во внешнем электрическом поле на-
пряженностью £ = 103В/м, перпендикулярном пластинам. Площадь пла-
стины конденсатора 5 = 10~2 м2. Какие заряды окажутся на каждой из пла-
стин, если конденсатор замкнуть проводником накоротко? Пластины кон-
денсатора до замыкания не заряжены. Влиянием силы тяжести пренебречь.
Ответ'. О,91О~10 Кл .
12.	В схеме емкость батареи конденса-
торов не изменится при замыкании ключа
К. Определите емкость конденсатора Сх .
Ответ'. СИ.
13.	Три незаряженных конденсатора, емкости
которых равны С|,С2иС3, соединены, как
показано на рисунке, и подключены к точкам А,
В, К, потенциалы которых равны <рл, ср/у и (р/€ .
Определите потенциал точки О.
Ответ-. CWa+Ci^+C^
Cj + С2 + Су
л
С1
14.	В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной f,
помещена плоская пластина, имеющая заряд q. Расстояние от пластины до
обкладок dx ud2- Площадь пластины S. Определите силу, действующую на
пластину со стороны электрического поля.
Ответ- е05£2/2-((^2 +</22 J/p? -</22)).
Решение
Емкости конденсаторов Cx=zQSldx и C2=e05/J2, так как вследствие
индукции на поверхности пластинки появляются поляризованные заряды
10 Зак. 51	145
и возникает батарея конденсаторов, последовательно соединенных между
собой.
Сила, действующая на пластину:
F = Fj + F2,
где
F=nF _.С|	(Qg)\
1 " 1пл 2е0 2E0S 2е05
e6S2£2 £2e0S
2E0Sd2 2d2
/*2 Я2^2пл
(С2£)2 £2е05
2e0S 2d% ’
e0S£2
2
Занятие 6. Конденсаторные цепи
Соединение конденсаторов в цепи может быть сложным (ни последова-
тельным, ни параллельным).
Общую емкость такого соединения можно найти достаточно просто, если
в схеме есть точки с одинаковыми потенциалами. Такие точки можно соеди-
нять и разъединять, так как распределение зарядов и потенциалов от этого не
изменяется.
Кроме того, применяются следующие правила'.
1.	Согласно закону сохранения заряда алгебраическая сумма разделенных
зарядов любой группы обкладок, изолированных от источника, всегда
должна равняться нулю, поскольку заряды на этих обкладках появляются
вследствие индукции (влияния).
Поэтому в начале решения задачи расставляют знаки на обкладках кон-
денсаторов. Смотрят, нет ли в данной схеме узла — точки соединения трех
пластин конденсатора. Потенциал этой точки может быть принят за нуль и
для нее выполним закон сохранения заряда.
2.	Так как работа сил электростатического поля при перемещении заряда
по замкнутому контуру равна нулю, то алгебраическая сумма напряжен-
ностей на конденсаторах и батареях, встречающихся по обходу любого
замкнутого контура цепи, тоже равна нулю (А = 0).
3.	Если на участке АВ (см. рис.) имеется £ и конденсатор, то заряд конден-
сатора равен
146
a)	q = С(£ + фл -фя), если фл >ф^, или Я = C(£+U), где U = <рл -фя
и направлено по 8;
б)	q = С(£-Ч/), если фя < ф/? и U = <ря -фл и направлено против 8 ;
в)если (фя-фл)>£ , то (? = С(С/--£);
г) если неизвестны ф^ и фй заранее, то следует выбирать один из воз-
можных вариантов (например фя >фв) и исходить из этого при записи со-
ответствующих равенств.
Задачи
1.	Определите заряды конденсаторов в це-
пи, изображенной на рисунке.
Ответ'. С£; С£/2.
2.	Найдите заряды конденсаторов в цепи,
показанной на рисунке.
Ответ*. qx =С|
С2£2-£|(С2 +Q)
Q +Q + С3
С] +с2 +с3
С| +с2 +с3
Яг -Q
С|£। 4- С2£2
Яз -Q
3.	Определите заряды конденсаторов в
цепи, показанной на рисунке.
Ответ*. <7i =С1£1;^2 =С2(^+£2);
Яз ”^з(^1+^2”^з)-
4.	Найдите заряды конденсаторов в цепи,
изображенной на рисунке. Емкость каждого
конденсатора С.
Ответ*.
<71	Я2 -"r(^l”2f2-f3),
<7з =£(£1+2£2-£3), q4 =^(£1+2£2+3£3).
ю*
147
5.	Когда к батарее, изображенной на
рисунке, подвели напряжение U, заряд
среднего конденсатора оказался равным
нулю. Каков Сх.
Ответ: 6С.
6.	В цепи известны емкости Сь С2,С3
и 8. Кроме того, известно, что заряд пер-
вого конденсатора равен Qx. Найдите £2
второго элемента.
Ответ:
7^+а
сз
С} 4"С*2 + С3
7.	Найдите разность потенциалов меж-
ду точками а и Ь.
sctc-cA
Ответ: ®ah = --
ah (с|+с)(с2+с)
8.	Найдите разность потенциалов меж-
ду точками а и b в этой цепи.
8\С\ ~82С2
Ответ: —-—1
С] +С')
9.	Найдите разность потенциалов меж-
ду точками b и к.
Ответ:
£2С3	+^*2)
+ С2 + Су
10.	Найдите силу притяжения между пластинами
плоского конденсатора С{ в схеме, изображенной на
рис., если С|=С0, С2 =2С0,£1 =£о,£2 =2£0, а рас-
стояние между пластинами конденсатора С| равно d.
Ответ: F = 2СО£О2/d.
11.В схеме, изображенной на рис., сила притяжения
между пластинами плоского конденсатора С2 равна F.
Найдите расстояние между пластинами этого конденса-
тора, если С) = 2С0, С2 = Со, 8Х = 2£0,82 = £0.
„	,2 С0£02
Ответ: d =-----
9 F
148
12. Найдите емкость батареи. Емкость
каждого конденсатора равна С .
Ответ'. Сб = 2С.
Решение
В точках B,D,F — узел, следователь-
но потенциалы их можно принять за 0:
Фл = Фв =Фо=Ф/.- =0-
Потенциалы точек: ф^ = ф7 = фЛ7 = ф;фдг =ФГ> Фр ~Ф2-
Считаем, что ф > ф1 > ф2 >0. Находим заряды:
узел Р :	</, =С(<р-ф2); q3 =C(<p,-<p2); q6 = Сф2, a q6 = qx+q3.	(1)
узел У :	q2 = С(ф-ф,); q5 = Сф,; q4 = Сф, a q2 = q3 +q5.	(2)
Заряд батареи: q = q4 + q5 + q6.	(3)
Решаем (1) и (2):
С(ф-ф1) = С(ф1-ф2) + Сф| 1	ф
> => (Di = ф9 = —.
Сф2 =С(ф-ф2) + С(ф|-ф2)]	2
Подставляем в (3): q5 = Сф+Су+Су = 2Сф и q5 = Сбф, т.е. Сб = 2С.
13. Найдите разность потенциалов между точ-
ками А и В в цепи, изображенной на рисунке.
Решение
1. Расставим знаки на конденсаторах. Пусть фя = 0, а ф7; > фя и ф/}=ф:
Фв-Фо=-<и+Флв=>Флв=£1-Ф/:>=<и-Ф-	(О
2. Найдем заряды конденсаторов:	___||Ci
<71 =С|[51-(фя-ф/?)] = С|(£|+ф).	"*	+"
D —нк2—rjH—В
q2 =С2[^2_(фв_Фо)] = С2(^2+ф);	г
I о II
<7з=С3(53+ф).	+||-
В точке В — узел и ^q = 0: Q (£| +ф) + С2 (^2 +ф) + Оз (.^з +ф) = 0,
откуда
_ф =	(2)
Ф Ct+C2+C3
149
Подставляем (2) в (1):
Фля=<и +
+(72^2 + ^з^з
С| +с2 +с3
Занятие 7. Энергия заряженного проводника.
Энергия электрического поля
Энергия заряженного проводника:
2	2 С 2
где q — заряд проводника, С — электроемкость; <р — потенциал.
Потенциальная энергия системы двух точечных зарядов и q2, удален-
ных на расстояние г:
Энергия заряженного конденсатора:
W = CU2/2 = q2l2C = qUI2,
где С — электроемкость конденсатора, U — разность потенциалов на его
пластинах.
Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящая-
ся на единицу объема):
И/ = еое£2/2,
где Е — напряженность электрического поля в среде с диэлектрической
проницаемостью е.
Задачи
1.	Из бесконечности к металлической пластине движется точечный заряд
+7 массой w. Определите энергию взаимодействия заряда и пластины, а
также скорость заряда в тот момент, когда он будет находиться на расстоя-
нии / от пластины. Находясь на очень большом расстоянии от пластины,
заряд имел скорость, равную 0.
Ответ-, -q2 /16ле0/; ^/<у2 /8ttsow/.
2.	Сплошной шар радиусом R равномерно заряжен (объемная плотность
заряда р). Определите энергию электрического поля шара вне его, если шар
помещен в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е.
Ответ'. 2лЯ5р2/9ее0.
150
3.	Точечные заряды q} и q2 находятся на расстоянии / друг от друга.
Какова потенциальная энергия этой системы? Какую скорость будут иметь
эти заряды на бесконечно большом расстоянии, если qx = q2 - е~; I = 1 см,
начальная скорость Го = 0.
Ответ'. W =	- ; V = 160 м/с.
4ле0/
4.	Две частицы равных масс обладают одинаковыми по величине, но раз-
ными по знаку зарядами +q и -q. Под действием электрических сил притя-
жения частицы движутся по окружности радиусом г . Определите полную энер-
гию системы. Гравитационным взаимодействием и излучением пренебречь.
2
Ответ'. W-—-—.
16ле0г
5.	На горизонтальной шероховатой поверхности закреплен заряд qv Тело
массой т, имеющее заряд q2, может перемещаться по поверхности. На ка-
ком расстоянии от заряда q} тело остановится, если в начальный момент
оно покоилось на расстоянии £0 от заряда q} ? Заряды q} и q2 одного знака.
Коэффициент трения равен к .
Ответ'. L=------------.
4Tt£QkmgLQ
6.	Два одинаковых шарика, имеющие одинаковый заряд q, соединены
пружиной. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от
L до 4L. Найдите жесткость пружины, если ее длина в свободном состоя-
нии равна 2L.
2
Ответ'. —-—
8ле0£?
7.	Определите потенциальную энергию электронов, находящихся в вер-
шинах правильного треугольника со стороной /.
Ответ: Зе2/4лЕ0/.
8.	Три электрона движутся под действием сил электростатического от-
талкивания. Какова будет их скорость, когда расстояние станет бесконечно
большим? В начальный момент электроны находились на расстоянии 10”2м
друг от друга и их скорость была равна нулю.
Ответ: 2,2-102 м/с.
151
9.	Два протона и а -частица расположены на одной прямой на расстоя-
нии а = 10”2см друг от друга. В начальный момент частицы неподвижны.
Под действием электрических сил частицы разлетаются по прямой АВ. Оп-
ределите скорости частиц, когда они окажутся на большом расстоянии друг
от друга. <7 = 1,6-Ю"19 Кл, — = 9,58-107 Кл/кг.
т
Ответ'. 800м/с.
А Р а	Р В
-
10.	Между обкладками плоского конденсатора находится парафиновая
пластинка 8 = 2. Емкость конденсатора С = 4 мкФ, его заряд q = 0,2 мкКл.
Какую работу нужно совершить, чтобы вытащить пластинку из конденсатора?
Ответ'. 5-10"9Дж.
11.	Большая тонкая проводящая пластинка, площадь которой £, толщина
d, помещена в однородное электрическое поле напряженности Е, перпен-
дикулярное пластинке. Какое количество теплоты выделится в пластинке,
если поле мгновенно выключить?
Ответ'. Q = sQE2dS/2.
12.	Два плоских конденсатора с емкостями С} и С2 заряжены до разно-
сти потенциалов Ц и 1/2 соответственно. Покажите, что при параллельном
соединении этих конденсаторов их общая электростатическая энергия
уменьшается. Почему это происходит?
Ответ'.
-c,c2(t/2-c/,)2 ;о
2(С,+С2)
13.	Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов
Д<р = 3000 В. Расстояние между пластинами б/ = 2см, площадь пластины
5 = 100 см2. Отключив от источника тока, увеличивают расстояние между
пластинами до 5 см. Определите работу на раздвижение пластин.
Ответ'. Я = 31О"5Дж.
14.	Плоский конденсатор емкостью С = 1О",оФ заполнен диэлектриком с
проницаемостью 8 = 3. Конденсатор заряжен до разности потенциалов
U =600 В и отключен от источника напряжения. Какую работу нужно со-
вершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трением пренебречь.
Ответ: А = 3,6 10”5 Дж.
152
15.	Два небольших тела, связанные нитью длиной L, лежат на одной го-
ризонтальной плоскости. Заряд каждого тела равен q, масса т. Нить пере-
жигают, и тела начинают скользить по плоскости. Какую максимальную
скорость разовьют тела, если коэффициент трения между плоскостью и те-
лами равен к ?
Ответ:	-yjkgL.
у/Ап^тЬ
Решение
1) Сила трения: f = ^N = kN = kmg.
2) ЗСЭ: энергия системы переходит в кине-
тическую энергию и работу против сил
трения на расстоянии (х-£):
2/ЯИ2/2 = ДИ'сист-Лгр,
= ---------
2 4яе0Л 4ле0х
где х — определяется из условия равенства силы трения силе кулоновского
взаимодействия, что обусловит максимальную скорость движения:
, q2
kmg=----------------------------------
4ле0х
получим x = yjqz/4nzQkmg
и подставляем в (1):
(1)
(2)
и
г max
=	? .. --JkgL.
у/Лп^тк
16. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между обкладками
<4=3 см, площадью обкладок S = 60 см2 каждая, присоединен к источнику
постоянного напряжения (У = 2000 В. Параллельно пластинам конденсатора
вводится металлическая пластина толщиной d = 1 см. Какую работу совер-
шают силы поля и каково будет изменение энергии конденсатора, если пла-
стинку вставлять в заряженный конденсатор, отключенный от источника?
Ответ-. А = 1.1710"6 Дж, AH'=-1,17-10-6 Дж.
Решение
При внесении в заряженный конденсатор металлической пластины силы
электрического поля совершают работу по разделению зарядов внутри пла-
стинки, которая равна изменению энергии поля конденсатора: А = AFF.
153
Заряд пластины q = qc, так как лишь при таком условии напряженность
Е внутри пластины равно 0.
Если конденсатор отключен от источника, то заряд на его обкладках ос-
тается постоянным: qc = const.
Напряженность поля внутри пластины уменьшается от Е до Еср по ли-
нейному закону Еср = Е/2.
Определим работу А = q • Еср • dQ = q—— dQ =	=1,17-10 6 Дж.
28qS 2d
Зная, что Е = —; q =	:
85 1 d

2	„2
<7___q__
2C2 2C}
Id'
так как C, = ^-, C2 = -^-: AH'=-IJ7-10'6 Дж.
1 d 2 d-d0
154
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
Занятие 1. Закон Ома для участка цепи. Последовательное
И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ
Электрический ток — направленное движение заряженных частиц (в ме-
таллах это свободные электроны).
Сила тока 1 в проводнике — величина, равная количеству электриче-
ства (величине зарядов), протекающего через поперечное сечение провод-
ника за 1 с:
/=— А, или / = е“ nVS,
t
где п — концентрация носителей зарядов е, V — средняя скорость зарядов.
Плотность тока j
1 _ —
— = е nV, где 5 — площадь поперечного сечения
проводника, перпендикулярная направлению тока.
Электрическое сопротивление R — характеризует способность провод-
ника проводить электрический ток. Для однородного проводника постоянно-
го сечения Я = — Ом, т.е. сопротивление проводника зависит от материала
S
проводника, размеров и формы. При этом р = р0(1 + аДГ), где а —темпе-
ратурный коэффициент сопротивления.
Закон Ома для участка цепи, не содержащей ЭДС:
, (Ф1-Ф2)	, U
/ =-------, или /=—.
Я	Я
Общее сопротивление проводников, соединенных последовательно,
равно сумме сопротивлений отдельных проводников. Для двух проводников:
Я = Я| + Я2 ♦
„ 1
При параллельном соединении проводников проводимость участка —
Я
равна сумме проводимостей отдельных ветвей:
Я
155
Для двух проводников, соединенных параллельно, сопротивление участка
(Л(+Л2)
Сложные цепи (смешанное соединение проводников) можно преобразо-
вать в эквивалентные цепи, пользуясь следующим правилом: точки равных
потенциалов можно разъединять и объединять, так как величина тока в цепи
от этого не изменяется.
Задачи
1.	При перемещении 20 Кл электричества по проводнику сопротивлением
0,5 Ом совершена работа 100 Дж. Найдите время, в течении которого по
проводнику шел ток.
Ответ: 2 с.
2.	Определите среднюю скорость направленного движения электронов в
медном проводнике при плотности тока в нем 0,3 А/мм2, если на каждый
атом меди приходится по одному свободному электрону. Плотность меди
8,8-103 кг/м3, молярная масса 63,5 г/моль.
Ответ: 2 10"5м/с.
3.	Какое количество электричества проходит через поперечное сечение
проводника в течении 10 с, если за этот промежуток времени ток равномер-
но уменьшается от 10 до 2 А?
Ответ: 60 Кл.
t It 3t 4t
4.	Ток в проводнике за равные проме-
жутки времени t меняется (см. рис.). Ка-
кой заряд прошел по проводнику за время,
равное 4/ ?
Ответ : 2Ixt.
5.	Определите температуру вольфрамовой нити лампы в рабочем режиме,
если известно, что ток, прошедший через нее в момент включения, в 12,5 раз
превышает рабочий ток. Температура нити в холодном состоянии 20°С.
Температурный коэффициент 45 10"4 К"1.
Ответ: 2575,5°С.
6.	Угольный стержень соединен последовательно со стальным. Толщина
их одинакова. При каком соотношении длин сопротивление данной комби-
нации не зависит от температуры? pv =410"5 Омм ; av =-0,810~3 К”1,
рст = 1,2-Ю'7 Ом м,аст=6-10"3 К-1.
Ответ: 44.
156
7.	Скользящий контакт А перемещается по про-
воду CD длиной 1 м. СЛ = 0,4 м, ток через галь-
ванометр в данной цепи равен нулю. Сопротивле-
ние R = 10 Ом. Определите сопротивление Rx .
Ответ: 15 Ом.
8.	В цепи (см. рис.) R} = 2 Ом, R2 = 4 Ом,
R3 = 6 Ом. Найдите сопротивление /?4, если
на участке CD тока нет.
Ответ: 12 Ом.
9.	Определите общее сопротивле-
ние участка АВ если каждое сопро-
тивление R.
Ответ: 2JR.
10.	Какими должны быть сопротивления Г|,г2»^ Для тог°, чт°бы «звезду»
можно было включить вместо «треугольника», составленного из сопротив-
лений RbR3,R3.
11.	Определите общее сопротивление
контура, если каждый элемент его имеет
сопротивление г. Контур подключен к
электрической цепи в точках А и В .
Ответ: 0,8г.
12.	Найдите общее сопротивление участка АВ,
составленного из проводников одинакового сопро-
тивления г, если он подключен к электрической
цепи в точках А и В .
Ответ: (5/6) г.
157
13.	Имеется прибор с ценой деления 10 мкА. Шкала прибора имеет
100 делений. Внутреннее сопротивление прибора 100 Ом. Как из этого при-
бора сделать вольтметр для измерения напряжений до 100 В или амперметр
для измерения токов до 1 А?
Ответ: Ядоб = 105Ом, Яш=0,1Ом.
14.	К гальванометру с сопротивлением 290 Ом присоединили шунт, по-
вышающий чувствительность гальванометра в 10 раз. Какой резистор надо
включить последовательно с шунтированным гальванометром, чтобы общее
сопротивление осталось неизменным?
Ответ: 260 Ом.
15.	Присоединение к вольтметру некоторого добавочного сопротивления
увеличивает предел измерения напряжения в и раз. Другое добавочное сопро-
тивление увеличивает предел измерения в т раз. Во сколько раз увеличится
предельно измеряемое вольтметром напряжение, если включить последова-
тельно с вольтметром эти два сопротивления, соединенные параллельно?
Ответ: к = (тп-1)/(т + п-2).
Решение
J(Ri+r) = nU, R.R
—!—£_ — При параллельном соединении сопротивле-
/(Л2+г) = ДИ(/, /?|+/?2
v г |	' ^2	/77	/
нии. / —!—*-+г -ки, где к — увеличение напряжения,
к Я| + Я2 J
Так как /г = U, то
7?! + г = пг,
R2 + г = тг,
г 4- —~— = кг
+ /?2
тп-\
т + п-2
Занятие 2.	Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома: сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна электро-
движущей силе £ источника и обратно пропорциональна сопротивлению
всей цепи:
где R — сопротивление внешней части цепи, г — внутренне сопротивле-
ние источника.
158
ЭДС источника 8 = — В — работа сторонних (непотенциальных) сил
Я
при перемещении единичного положительного заряда q вдоль замкнутой
цепи: 8 = IR + 1г, откуда напряжение на зажимах источника U - IR-8- 1г.
Режимы работы источника
£
1) Короткое замыкание — при /? = 0: /кз=—, а (7 = 0.
2)
Максимальный — при R = г:
г	IlIctA
£
2г’
a U = /тах 'г = ^-
3)	Зарядки —при /?зар=0: /зар =({/-£)/г.
При расчете сложных цепей можно пользоваться методом узловых по-
тенциалов'. потенциал одного узла цепи может быть принят за нуль, а друго-
го за ф, выражают через эти потенциалы все токи; составляют уравнения
для токов узла (сумма токов, «входящих» в узел, равна сумме токов, «выхо-
дящих» из него) и, решая полученную систему уравнений, находят все узло-
вые потенциалы и токи.
Задачи
1.	При замыкании аккумулятора на внешнее сопротивление Rx =5 Ом в
цепи протекает ток Ц = 3 А. При замыкании на сопротивление R2 = 10 Ом в
цепи протекает ток /2 = 2 А. Определите внутреннее сопротивление аккуму-
лятора.
Ответ'. 5 Ом.
2.	Источник тока, внутренним сопротивлением которого можно пренеб-
речь, поочередно замыкали на два разных сопротивления. Зная, что в первом
случае ток был равен 3 А, а во втором — 6 А, найдите ток, который будет
протекать по цепи при замыкании источника тока на эти сопротивления, со-
единенные последовательно.
Ответ: 2 А.
3.	Аккумулятор замыкают сначала на одно сопротивление, потом на дру-
гое, затем на оба, соединенные последовательно. В первом случае ток был
равен 3 А, во втором — 2 А, в третьем — 1,5 А. Какой ток будет в цепи при
параллельном соединении этих сопротивлений?
Ответ: 3,6 А.
4.	Гальванический элемент дает на внешнее сопротивление 4 Ом ток
0,2 А. При внешнем сопротивлении 7 Ом элемент дает ток 0,14 А. Какой ток
будет в цепи, если элемент замкнуть накоротко?
Ответ: 0,47 А.
159
5.	В конце зарядки батареи аккумуляторов током /, присоединенный к
ней вольтметр показывал напряжение Ц. В начале разрядки батареи током
/2 тот же вольтметр показывал напряжение U2 . Пренебрегая током, прохо-
дящим по вольтметру, определите ЭДС батареи.
Ответ-. £ =	+ /2Ц)/(/, + /2).
6.	В схему включены два микроам-
перметра и два одинаковых вольтметра.
Их показания =100 мкА, 12 = 99 мкА,
Ц = 10 В. Найдите показания U2.
Ответ'. 0,1В.
7.	Цепь собрана из одинаковых ре-
зисторов и одинаковых вольтметров.
Показания Ц = 10 В, U3 = 8 В. Най-
дите показания второго вольтметра.
Ответ'. 8,7 В.
8.	Что покажет амперметр в схеме (см.
рис.), если /?] = 15 Ом, R2 = R3 = /?4 = 10 Ом,
£= 30 В. Сопротивлением амперметра и
источника тока пренебречь.
Ответ'. 3 А.
9.	Какое напряжение (см. рис.) покажет
вольтметр, если его сопротивление
Ry = 200 Ом, а другие параметры схемы
соответственно равны: £ = 12 В, Ry = 19 Ом,
Я2=15 0м, /?3=35Ом, сопротивление ба-
тареи г = 1 Ом.
Ответ '. 8 В.
10.	В цепи, показанной на ри-
сунке, £ = 14 В, внутреннее со-
противление источника г равно
нулю, а каждое из сопротивлений
равно по 1 Ом. Найдите все токи
этой цепи.
Ответ '. 8 А; 6 А;
2 А; 4 А.
160
11.	В цепи (см. рис.) Е = 22 В, внут-
реннее сопротивление элемента равно ну-
лю, Rx = 1 Ом, а каждое из остальных со-
противлений равны 2 Ом. Найдите все
токи этой цепи.
Ответ'. 8 А; 7 А; 5 А; б А; 1 А.
12.	Источники тока, имеющие одинаковые внут-
ренние сопротивления г = 0,5 Ом, подключены к
резисторам Rx и R2 • Сопротивление R} = 1 Ом.
ЭДС источников тока £} =12 В, £2 =6 В. Опреде-
лите величину сопротивления R2, при котором ток,
протекающий через источник Е2, равен нулю.
Ответ'. R2 =1Ом.
13.	Источники тока, имеющие одинаковые
внутренние сопротивления г = 1 Ом, подключены
к резисторам, каждый из которых имеет сопротив-
ление R = 4 Ом. ЭДС источника тока £^=12. Оп-
ределите величину ЭДС £2, при которой ток, про-
текающий через источник £2, равен нулю.
Ответ'. £2 =8В.
Занятие 3. Закон Ома в цепи с конденсаторами
Задачи
1.	Конденсаторы емкостью С1? С2 и С3 и рези-
сторы, сопротивления которых R}, R2 включены в
электрическую цепь, как показано на рисунке. Най-
дите установившиеся заряды на конденсаторах.
Ответ'. CxUq,C2UqR} /(R\ + R2), C3UQR2/(Rx+ R2).
2.	Конденсатор емкостью С и резисторы,
сопротивление которых равны R, включены
в электрическую цепь, как показано на ри-
сунке. Найдите установившейся заряд на
конденсаторе. Напряжение UQ известно.
Ответ:	.
1 1 Зак. 51
161
3.	Конденсаторы емкостью Q и С2 и рези-
сторы, сопротивления которых равны R}, R2 и
R3, включены в электрическую цепь, как пока-
зано на рисунке. Найдите установившиеся заря-
ды на конденсаторах. Напряжение UQ известно.
/?1 + /?2	^2	^3
4.	Найдите заряд конденсатора, если 8 = 6 В,
С = 1 мкФ, внутреннее сопротивление г = 5 Ом,
/?i = R2 = R3 = 20 Ом.
Ответ'. 4-10"6Кл.
5.	Найдите заряд на обкладках конденсатора
в схеме (см. рис.). Внутреннее сопротивление
источника равно 0,4г.
Ответ'. 0,2С£.
6.	Определите заряд конденсатора С в схеме.
Внутренним сопротивлением батареи пренеб-
речь.
Ответ', q-2C8i9.
7.	Найдите разность потенциалов между
точками а и b в схеме, изображенной на ри-
сунке. Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь.
f Я] ЗС2 ,
[r} + r2 2С)+зс2;
8.	Найдите разность потенциалов между
точками а и b в схеме, изображенной на ри-
сунке. Внутренним сопротивлением батареи
пренебречь.
п f С2 Ъ
/?1 + R2 С] + С2 J
Решение
Потенциал точки К примем за (р0. Конденсаторы Q и С2 соединены
последовательно, следовательно:
162
сг' ? Q ' С2
9l=?2=% =^б=^7Г-7Г
Cl + с~
£
Ток в такой цепи I = ---------- так как сопротивление параллельного
(Я] + R2)
участка с 2R} равно R}.
<7б с ^2	ID ^1
Фол = — = £—-—; Фол = / • R\ = —1—,
q q+c2 оь 1 r{+r2’
поэтому
*1
с
U = Фол “Фол = £| — -----—
°" Wb ^Д]+Д2	С]+С2
Занятие 4. Правила Кирхгофа
Для разветвлённых цепей применимы правила Кирхгофа:
1. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
£/ = о,
или сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих
из узла.
2. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряже-
ний на сопротивлениях данного контура равна алгебраической сумме всех
ЭДС, встречающихся в этом контуре:
При этом следует:
1)	показать стрелками на схеме направления токов на всех участках от
«плюса» источника к «минусу»;
2)	выбрать произвольно направление обхода контура (по часовой стрелке
или против);
3)	считать токи положительными, если они совпадают с направлением об-
хода контура, а 8 > 0, если в выбранном направлении обхода контура
она повышает потенциал (от «-» к «+»).
Задачи
1.	В схеме, изображенной на рисунке, 8\ = 8 В,
82 = 6 В, Г] = г2 = 0,5 Ом. Определите сопротивление
R , при котором ток в контуре abed равен нулю.
Ответ: 2 Ом.
11
163
2.	В схеме, изображенной на рисунке, 8Х = £2 = 2 В и
внутренние сопротивления по 0,5 Ом. Сопротивления
7?] =0,5 Ом, Т?2 =1,5 Ом. Найдите токи в сопротивле-
ниях и ток, идущий через элемент .
Ответ -. I/?1 =2,22 A, I=1,78 А,=0,44 А.
3.	В схеме, изображенной на рисунке, 5, = 2,1 В,
52=1,9В, 7?! =45 Ом, 7?2=ЮОм и 7?3=ЮОм. Най-
дите величину токов на всех участках цепи. Внутрен-
ним сопротивлением источников пренебречь.
Ответ '. 0,04 А; 0,01 А; 0,03 А.
4.	В цепи (см. рис.) £j = 30 В, 52=60В* £3 = 180 В,
7?!= 3 0м, Т?2=6 0м, 7?3=12 0м. Найдите величину
токов во всех участках цепи. Внутренним сопротивле-
нием источников пренебречь.
Ответ:-10 А; 0; 10 А.
-------1--------1 ~	5. Генератор постоянного тока с 5, = 12 В и
1л 1*
(G)	—(х) внутренним сопротивлением гх =0,2 Ом заряжает
ПО------..I.-----J батарею аккумуляторов с £2= 10 В и г2 = 0,6 Ом.
Параллельно батареи включена лампочка сопротивлением 7? = 3 0м. Опре-
делите ток батареи и ток лампы.
Ответ ’. 1,58 А и 3,65 А.
2£
6.	В схеме, изображённой на рисунке, 8Х = 1 В,
£2 = 1,ЗВ, внутренние сопротивления Г]=3 0м,
г2 = 5 Ом и сопротивление 7? = 7 Ом. Определите
разность потенциалов между точками Л и В.
Ответ'. 1,2 В.
1
7.	В схеме, показанной на рисунке, найдите
энергию конденсатора.
_	C(c5R + Ur}2
Ответ'. — Ь--------- .
2l 37? + 6г )
8.	Определите заряд на конденсаторе в цепи,
показанной на рисунке.
Ответ'. 1С8/3.
164
9.	В цепи, показанной на рис., £х = 15В,
внутреннее сопротивление гх = 3 Ом, £2 = 30 В,
г2 = 6 Ом , сопротивление R = 8 Ом , ёмкость
конденсатора С = 100 мкФ. Найдите энергию,
запасённую в конденсаторе.
Ответ'. 12,8-10 3 Дж.
10.	В схеме, показанной на рисунке, ^=4 В,
£2=2В, внутренние сопротивления rj =0,25 Ом,
г2 = 0,75 Ом, сопротивления Rx - 1 Ом, R2 = 3 Ом,
емкость конденсатора С = 2 мкФ. Определите за-
ряд конденсатора.
Ответ: ТЮ^Кл.
Решение
Ток через R3 не идет. Обход контура с сопротивлениями:
+^2 +г1 +г2)’
откуда I = 0,4 А.
Заряд конденсатора: q = C&y = CUae, a Uae = £x-l(Rx +rt) = 3,5 В, сле-
довательно, q = 2 • 10"6 • 3,5 = 7 • 10"6 Кл.
11. Определите показание вольтметра в электрических цепях, если ЭДС
каждого элемента равно 8, внутреннее сопротивление г. Сопротивлением
подводящих проводов пренебречь.
Занятие 5. Работа, мощность и энергия
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
В любой замкнутой цепи электрическая энергия превращается в другие
виды энергии (внутреннюю, механическую) в соответствии с законом сохра-
нения энергии. Мерой такого превращения является работа поля по пере-
мещению заряда q :
А = qU , или А = IUt — на участке цепи;
165
АР
Б/г
A = iSt — вдоль замкнутой цепи.
Мощность электрического тока
P=-=l-U.
t
Полная мощность источника тока
Р = 18:
а)	Р = 0 при / = 0 и /^=£7 г;
б)	Р = £2/4г при /тах=£/2г (см. график).
Закон Джоуля-Ленца определяет количество теплоты, выделенное в про-
воднике при прохождении по нему электрического тока:
Q = I2Rt — для последовательного соединения потребителей энергии.
Q = U2t / R — для параллельного соединения потребителей энергии.
Q = А - ДИ^ — для цепи, содержащей конденсаторы, где Я = £б (<у2 - Я\)
— работа источника (батареи) по перемещению заряда q ; ДИ^. = W2 -Wx —
изменение энергии конденсатора.
цепи определяется соотношением между ее внешним сопротивлением и
внутренним сопротивлением источника тока.
Задачи
1.	Электродвижущая сила источника тока 8 = 1,6 В, внутренне сопротив-
ление его г = 0,5 Ом. Чему равен КПД источника тока при силе тока
/ = 2,4 А?
Ответ: 25%. •
2.	Аккумулятор с внутренним сопротивлением г = 0,08 Ом при токе
/] = 4 А отдает во внешнюю цепь мощность Рх = 8 Вт. Какую мощность Р2
отдает он во внешнюю цепь при токе /2 = 6 А?
Ответ: 11,04 Вт.
3.	Найдите ток короткого замыкания батареи, если при силе тока 1Х = 2 А
во внешней цепи выделяется мощность Рх = 24 Вт, а при силе тока
/2 = 5 А — мощность Р2 = 30 Вт.
Ответ: 18 А.
4.	Элемент замыкают один раз проволокой сопротивлением 4 Ом, а дру-
гой раз сопротивлением 9 Ом. В обоих случаях количество теплоты, выде-
166
ляющееся в проволоке за одинаковый момент времени одно и то же. Опре-
делите внутреннее сопротивление элемента.
Ответ: 6 Ом.
5.	ЭДС батареи 8 = 12 В, ток короткого замыкания 5 А. Какую макси-
мальную мощность может дать батарея в цепь?
Ответ'. 15 Вт.
6.	Какое добавочное сопротивление требуется присоединить последова-
тельно к нагревательному элементу утюга сопротивлением -50 Ом, рассчи-
танного на 120 В, чтобы при включении утюга в сеть с напряжением 220 В
электрическая мощность утюга не изменилась?
Ответ: 42 Ом.
7.	В электрической плитке имеется две спирали сопротивлением
/? = 1ЮОм каждая. С помощью переключателя в сеть с напряжением
U = 220 В можно включить спирали последовательно и параллельно. Опре-
делите электрическую мощность плитки в каждом случае.
Ответ'. 220 Вт; 880 Вт.
8.	Для отопления вагона установлено шесть электрических печей сопро-
тивлением 600 Ом каждая, соединенных параллельно и подсоединенных к
источнику с напряжением 220 В. Определите количество теплоты, отданное
печами за два часа работы.
Ответ'. 3,5 ПО6 Дж.
9.	В электрическом чайнике вода закипает через 10 мин после включения
его в сеть, если нагревательный элемент изготовлен из 5 м провода. При ка-
кой длине такого провода вода в чайнике закипела бы через 5 мин? Потери
теплоты не учитывать.
Ответ: 2,5 м.
10.	Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из
них вода в чайнике закипает через 10 мин, при включении другой через
15 мин. Через сколько времени закипит вода в чайнике, если включить обе
обмотки: а) последовательно; б) параллельно?
Ответ’. 25 мин, 6 мин.
11.	Имеются четыре тонкие проволочные спирали, каждая из которых
рассчитана на мощность не более 2 Вт. Сопротивление спиралей 10, 20, 30 и
40 Ом. Как из этих спиралей составить нагреватель, в котором источник
8 = 20 В и внутренним сопротивлением г = 25 Ом будет развивать наиболь-
шую мощность.
Ответ’. /;пах=4Вт.
167
3ai ытие 6. Закон Джоуля-Ленца в цепи с конденсаторами
Задачи
1.	Какое количество тепла выделится на ре-
зисторе сопротивлением R после замыкания
ключа К в цепи, показанной на рисунке? Внут-
ренним сопротивлением батареи пренебречь.
СЕ2
Ответ’. ----.
6
2.	Какое количество теплоты выделится на
резисторе сопротивлением R при переключении
ключа К из положения (1.) в положение (2) в
цепи, показанной на рисунке?
Ответ'. 2С82.
3.	Какое количество теплоты выделится в
цепи после переключения ключа К из поло-
жения (1) в положение (2)? Данные цепи счи-
тать известными.
Ответ: С£^ /2.
4.	Какое количество теплоты выделится в цепи
после переключения ключа К из положения (1) в
положение (2)? Данные цепи считать известными.
CCq cl
2С + С0 ’
Ответ:
5.	В схеме электрические емкости плоских
конденсаторов Cj и С2, расстояние между об-
кладками конденсатора Q равно d}. Определите
количество теплоты, выделившейся на сопротив-
лении R после замыкания цепи, если максималь-
ная сила взаимодействия между обкладками кон-
денсатора Cj равна F}.
^^r(Ci+C2)
Ответ: ------------

6.	В схеме перед замыканием ключа К конденсатор емкостью С не был
заряжен. Ключ замыкают и конденсатор заряжается до напряжения U. Оп-
168
ределите количество теплоты, выделившееся на Rx
за время зарядки конденсатора, г = 0.
Ответ'. CU\ 8-^-
I 2
*2
(я1+я2)'
7.	Конденсатор емкостью С, заряженный до
напряжения 45, разряжается через резистор с
большим сопротивлением R и батарею с 8. Най-
дите количество теплоты, выделившееся при раз-
рядке конденсатора.
Ответ'. 4,5С82.
8.	При разомкнутом ключе К один кон-
денсатор в цепи был заряжен до напряжения
(/, а второй — нет. Найдите количество теп-
лоты, выделившееся на каждом из сопротив-
лений /?! и /?2 после замыкания ключа К.
Решение
После замыкания ключа напряжение на конденсаторах станет равным
Т, и ы	.... ш и/ си2 си2 си2
Ц = —. Изменение энергии их: AFr = W2-WX = —----2   = ——.
Так как ток в такой цепи одинаков, a AQ = I2RAt, то
AQ = Rx _ RX_QX
^2	^2 Ql
ы „ ли/ „ „	AFT/?, z. AFT7?2
Ho Q- AW = QX + Q2, следовательно: Qx =------—, Q2 =------— и, учи-
Rx + R2 Rx + R2
тывая AW, имеем
CU2 R, .	_ CU2 R2
4 R, + R2 2	4 R, + R2 ’
Занятие 7.	Электрический ток в электролитах,
ГАЗАХ И ВАКУУМЕ
Электролиты (жидкие проводники) — растворы солей, щелочей и ки-
слот. Ток в них обусловлен движением положительных и отрицательных
ионов, образующихся в результате электролитической диссоциации (распа-
да нейтральных молекул). Прохождение тока через электролит связано с
переносом вещества.
169
Электролиз — явление выделения на электродах веществ, входящих в
состав электролита, при прохождение по нему электрического тока.
Законы Фарадея:
1. Масса т выделившегося при электролизе вещества пропорциональна
количеству электричества (заряду q), прошедшему через электролит:
m = k-q = k'I -I,
где к —электрохимический эквивалент данного вещества.
2. Электрохимический эквивалент прямо пропорционален отношению мо-
лярной ц(или атомной А ) массы вещества к валентности п :
Объединенный закон Фарадея:
1 А г
т =-----1 -I,
F п
где F -е~  NА = 9,65 • 104 Кл/моль — число, одинаковое для всех электро-
литов, называется постоянной Фарадея.
Газы становятся проводниками электрического тока, если они ионизиро-
ваны. Ток в газах обусловлен положительными и отрицательными ионами и
электронами и называется газовым разрядом.
Существует несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды.
Виды самостоятельного разряда} тлеющий, дуговой, искровой, коронный.
В вакууме проводимость обеспечивается наличием источника заряжен-
ных частиц за счет различного рода эмиссий (испусканий): термоэмиссий,
фотоэмиссий, ударных эмиссий и т.д.
Задачи
1.	Какая масса меди выделилась из раствора CuSO4 за время г = 200 с,
если ток, проходящий через электролит, менялся по закону / = (3 + 0,01/) А,
к = 3,3 10-4 г/Кл.
Ответ: 0,26 г.
2.	Какая масса меди выделилась из раствора CuSO4 за время t = 100 с, ес-
ли ток, протекавший через электролит, меняется по закону / = (5-0,02/) А.
Ответ’. 0,13 г.
3.	Чтобы получить 0,5 л кислорода при 57° С через слабый раствор сер-
ной кислоты в течение 60 мин пропускали ток, равный 2,6 А. Сколько ки-
слорода по массе было получено и при каком давлении?
Ответ.Ъ$г} 1,33 105Па.
170
4.	При электролизе воды через ванну прошел заряд 1000 Кл. Какова тем-
пература выделившегося кислорода, если он находился в объеме 0,25 л под
давлением 970 мм. рт. ст.? к =8,29-10'8 кг/Кл.
Ответ'. 1485 К.
5.	Какой заряд нужно пропустить через электролитическую ванну с под-
кисленной водой, чтобы получить V = 1 дм3 гремучего газа при 27° С и дав-
лении р = 105Па?
Ответ'. 5,2103Кл.
6,	Найдите толщину слоя серебра, выделившегося за время t = 20 мин на
катоде при электролизе, если за это время плотность тока увеличилась от
значения у1=103А/м2 до значения j2 = Ю4 А/м2. Плотность серебра
р = 10,5-103 кг/м3, к = 1,1 -10’6 кг/Кл.
Ответ'. 0,69 мм.
7.	Определите толщину слоя меди, выделившегося на катоде площадью
5 = 10 см2 при электролизе медного купороса, если ток сначала равномерно
возрастал за время ij = 15 мин от нуля до /0 = 10 А, а затем равномерно убы-
вал до нуля за время т2=30мин? Плотность меди р = 8,9 103 кг/м3,
к = 3,3-10‘7 кг/Кл.
; Ответ'. 0,5 мм.
I
! 8. В электролитической ванне с раствором сульфата цинка за время
t U10 мин сила тока линейно возрастала от Ц = 4 А до /2 = 6 А. Определите
массу цинка, выделившегося за это время на электроде. Валентность цинка
п = 2, его молярная масса ц = 65 • 10"3 кг/моль.
Ответ: 1 г.
9.	В растворе CuSO4 анодом служит медная пластинка, содержащая
10 % примесей. При электролизе медь растворяется и в чистом виде выде-
ляется на катоде. Сколько стоит очистка 1 кг такой меди, если напряжение
на ванне 6 В, а стоимость 1 кВт ч энергии 20 коп?
Ответ: 90 коп.
10.	Определите энергию, затраченную на производство 100 кг рафиниро-
ванной меди, если электролиз ведется при напряжении 8 В, а КПД установки
80%? £ = 3,3-10’7 кг/Кл.
Ответ: 3-109Дж.
171
11.	При напряженности электрического поля в З Ю4 В/м в воздухе про-
исходит пробой. До какого наибольшего потенциала можно зарядить уеди-
ненный проводящий шарик диаметром 6 см и какова поверхностная плот-
ность заряда на шарике?
Ответ'. 900 В; 3-10"7 Кл/м2.
12.	Вольтамперная характеристика вакуумного диода имеет вид
I = cU3l\ где с — известная постоянная. Считая катод и анод плоскими
пластинами, рассчитайте среднюю силу, действующую на анод за счет уда-
ров электронов, если к диоду приложено напряжение, равное UQ. Началь-
ной скоростью электронов, вылетающих с катода, пренебречь. Удары счи-
тать абсолютно неупругими. Силу тяжести не учитывать.
Ответ'. F~cU
13.	Вольтамперная характеристика вакуумного диода имеет вид
/ = с£/3/2, где с — известная постоянная. Считая катод и анод плоскими
пластинами, определите, во сколько раз возрастет средняя сила, действую-
щая на анод за счет ударов электронов, если сила тока в диоде увеличится в
п раз. Начальной скоростью электронов, вылетающих с катода, пренебречь.
Удары считать абсолютно неупругими. Силу тяжести не учитывать.
Ответ'. — = и4/3.
172
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Занятие 1. Магнитное поле тока. Закон Ампера
Магнитное поле — вид материи, существующий около постоянных маг-
нитов и движущихся зарядов, обладающий силой и энергией.
Вектор магнитной индукции В — силовая характеристика магнит-
ного поля. Направление В определяется «правилом» буравчика: острие бу-
равчика при вращении рукоятки должно перемещаться по направлению тока
в проводнике, а рукоятка — по направлению линий индукции В .
Линии индукции магнитного поля представляют собой замкнутые концен-
трические окружности, касательные к которым в каждой точке совпадают с
направлением вектора В, которые служат для графического изображения
магнитного поля. Так как линии В замкнуты, то магнитное поле называется
вихревым (непотенциальным).
Модуль вектора индукции равен отношению максимального момента сил
М, действующего на рамку с током со стороны магнитного поля, к произ-
ведению силы тока I в рамке на ее площадь S :
1	- М
'	В =----- Тл.
LS
=	----для прямого бесконечно длинного проводника на расстоя-
магнитная постоянная, равная 4л 10 7 Pi, //
м
нии К от него; В =	----в центре кругового витка с током 1 и радиусом
2/?
R \ В = \х\х$1п/£ — на оси соленоида — длинной катушки с числом витков
п и длиной €;	=	, где ц —магнитная проницаемость среды, ц0 —
А
м
— напряженность маг-
нитного ПОЛЯ.
Магнитное поле, индукция (или напряженность) которого во всех точках
одинакова, а лини индукции параллельны, называется однородным
(между полюсами двух постоянных магнитов, по оси соленоида, между по-
люсами подковообразного магнита и т.д.).
173
Принцип суперпозиции: индукция магнитного поля, созданного совокуп-
ностью электрических токов, равна векторной сумме индукций полей, созда-
ваемых этими токами по отдельности В = Вх + В2 + ... .
Закон Ампера: на проводник с током, помещенным в магнитное поле,
действует сила F - Я//? sin a , Н , где .
Направление этой силы определяется «правилом левой руки»: линии ин-
дукции (от /V к S) должны входить в ладонь, четыре пальца — по направ-
лению тока, тогда отогнутый под 90° большой палец покажет направление
F, которая действует на ток.
Задачи
1.	Плоская прямоугольная катушка с числом витков 200 со сторонами 10
и 5 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,05Тл.
Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку в
этом поле, если сила тока в катушке 2 А?
Ответ'. 0,1 Н м .
2.	Линейный проводник длинной 50 см при силе тока в нем 5 А находит-
ся в однородном магнитном поле индукцией 0,16 Тл. Определите силу, дей-
ствующую на проводник, если угол, образованный им с направлением век-
тора магнитной индукции, составляет 60° .
Ответ'. 0,35 Н.
3.	На проводник длиной 10 см с током / = 12 А в нем со стороны магнит-
ного поля действует сила 1,6 Н. Определите индукцию магнитного поля,
если угол между направлением тока и силовыми линиями a = 30°.
Ответ'. Тл.
4.	В проводнике с длиной активной части 8 см сила тока 50 А. Он нахо-
дится в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Найдите совер-
шенную работу, если проводник переместился на 10 см перпендикулярно
силовым линиям.
Ответ'. 810“3 Дж.
5.	Каково расстояние между двумя параллельными проводами, если при
токе 120 А в каждом проводе они взаимодействуют с силой 0,72 Н на каж-
дый метр длинны?
Ответ'. 4 мм.
6.	Определите силу тока в соленоиде без сердечника длиной 64 см, если он
содержит 820 витков, а индукция магнитного поля вдоль его оси 1,2 • 10"3 Тл.
Ответ'. 0,8 А.
174
1. Между полюсами электромагнита в горизонтальном магнитном поле на-
ходится проводник, расположенный перпендикулярно магнитному полю. Ка-
кой ток должен идти через проводник, чтобы он висел, не падая, при индукции
магнитного поля В - 0,01 Тл и массе единицы длины проводника 0,01 кг/м?
Ответ'. 9,8 А.
8.	По горизонтально расположенному проводнику длиной / = 20 см и
массой w = 4r течет ток 10 А. Найдите модуль и направление индукции
магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы сила тяже-
сти уравновесилась силой Ампера.
Ответ'. 2-10"2Тл.
9.	Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии 0,3 м друг от друга.
На них лежит стержень, перпендикулярный к рельсам. Какой должна быть
индукция магнитного поля для того, чтобы стержень начал двигаться, если
по нему пропускать ток 50 А? Коэффициент трения стержня о рельсы 0,2.
Масса стержня 0,5 кг.
Ответ'. 0,067 Тл.
10.	Между полюсами магнита на двух тонких нитях подвешен горизон-
тально линейный проводник массой 100 г, длинной 20 см, по которому про-
текает ток силой 20 А. На какой угол от вертикали отклонятся нити, поддер-
живающие проводник, если индукция магнитного поля 0,25 Тл?
Ответ: 45°.
11.	Медный проводник сечением 2 мм2 согнут в виде трех сторон квад-
рата и подвешен за концы к горизонтальной оси в вертикальное магнитное
поле. Когда по проводнику пропускают ток 10 А, он отклоняется от верти-
кальной оси на угол 45° . Определите величину и направление вектора маг-
нитной индукции. Плотность меди 8,9 кг/дм3.
Ответ'. 3,5610"2Тл.
12.	Жесткое тонкое проводящее кольцо лежит на горизонтальной непро-
водящей поверхности и находится в однородном магнитном поле, линии
индукции которого горизонтальны. Масса кольца 2 г, радиус Р = 4см, ин-
дукция В = 0,5 Тл. Какой ток нужно пропустить по кольцу, чтобы оно нача-
ло подниматься?
Ответ'. 0,3 А.
13.	Катушка, по виткам которой течет ток, вертикально стоит на плоско-
сти. Общий вес катушки Р, число витков п, радиус Р, ток в витках / . При
какой индукции однородного магнитного поля, направленного горизонталь-
ного, катушка под действием этого поля опрокинется?
Ответ'. P/itRnl.
175
Занятие 2. Движение заряженных частиц
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. СИЛА ЛОРЕНЦА
Магнитное поле действует с определенной силой только на движущиеся
заряды. Она была определена Лоренцом:
Fn = gPBsinoc Н,
где угол
Направление этой силы определяется «правилом левой руки» для поло-
жительного заряда.
Если ос = 0, то и =0 и магнитное поле не отклоняет движущийся за-
ряд от его первоначального направления движения.
Если а = ~, то и Fn перпендикулярна направлению скорости движения
заряда и она не совершает работы (не меняет энергию заряда), а лишь ис-
кривляет траекторию движения заряда, являясь причиной возникновения
нормального ускорения.
Задачи
1.	Электрон влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2Тл
под углом а = 30° к направлению силовых линий поля. Определите силу,
действующую на электрон со стороны магнитного поля, если скорость элек-
трона V - 105м/с.
Ответ'. 1,610"13 Н.
2.	В однородном магнитном поле с индукцией В = 10~3Тл электрон дви-
жется по окружности со скоростью V = 3,5 • 105 м/с. Определите радиус этой
окружности.
Ответ'. 2• 10“3м.
3.	Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по ок-
ружности со скоростью 106м/с. Индукция магнитного поля В = 0,ЗТл. Ра-
диус окружности R = 4 см. Найдите заряд частицы, если известно, что ее
энергия равна 12 кэВ.
Ответ: 3,2-10"19Кл.
4.	Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 400 В, попал в
однородное магнитное поле с индукцией 1,5 10”3Тл. Определите радиус,
частоту и угловую скорость электрона в магнитном поле.
Ответ: 4,4 мм; 4,2 107 Гц; 26,5 107с-1.
176
5.	Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется парал-
лельно прямолинейному проводнику на расстоянии 4 мм от него. Какая сила
будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток в 5 А?
Ответ'. 410~16 Н.
6.	Электрон влетает в однородное магнитное	yj
поле со скоростью V в точке А, которая составля- --
ет с направлением индукции В угол а. При ка- 
кой индукции магнитного поля электрон окажет- С *
ся в точке С? АС = L .
„ 2nwKcosoc
Ответ'. ----------.
е L
7.	Электрон движется в вакууме в однородном магнитном поле напря-
женности Н = 75 А/м так, что вектор скорости его составляет угол 30° с
направлением поля. Скорость электрона V = 2,5 106 м/с. Определите радиус
витков траектории электрона и расстояние, пройденное им за три витка.
Ответ: 7,6 см; 2,5 см.
8.	Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 кВ, движется в одно-
родном магнитном поле под углом 30° к вектору индукции В = 29 мТл.
Найдите шаг винтовой траектории электрона.
Ответ'. 21 см.
9.	Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного маг-
нитного поля с индукцией В = 10"3Тл, где движется по дуге окружности
радиусом 7? = 0,2 м, а затем частица попадает в однородное электрическое
поле, где пролетает вдоль направления силовой линии участок с разностью
потенциалов 1000 В, при этом скорость частицы изменяется в три раза. Оп-
ределите конечную скорость частицы.
Ответ '. 3 • 106 м/с.
10.	Пучок протонов влетает в область однородного магнитного поля с ин-
дукцией В = 10"2 Тл, где движется по дуге окружности радиусом R = 0,4 м, а
затем попадает на заземленную мишень. Определите количество теплоты,
которое выделится в мишени за Юс, если ток в пучке /=0,2мА,
тр = 1,610’27 кг, qp =1,6-10’|9Кл.
Ответ'. 1,6 Дж.
11.	Шарик с зарядом q и массой т , подвешенный на изолированной ни-
ти, движется по окружности радиусом R в горизонтальной плоскости со
скоростью Г в однородном магнитном поле. Определите угол, на который
12 Зак. 51
177
отклоняется от вертикали нить, если индукция магнитного поля В направ-
лена вертикально вверх.
Ответ', arctg
g I т R)
12.	По обмотке длинного цилиндрического со-
леноида радиусом R протекает постоянный ток,
создающий внутри соленоида однородное магнит-
ное поле с индукцией В . Между витками соле-
ноида в него влетает по радиусу (перпендикуляр-
но оси соленоида) электрон со скоростью V. От-
клоняясь в магнитном поле, электрон спустя неко-
торое время покинул соленоид. Определите время
движения электрона внутри соленоида.
_	2/и
Ответ'. ----arctg
Ве~
Z?Re~
т V
13.	Электрон со скоростью V = 109 см/с
влетает в область однородного магнит-
ного поля с индукцией 5 = 10~3Тл. На-
правление скорости перпендикулярно
индукции. Определите максимальную
глубину h проникновения электрона в
область магнитного поля.
у = 1,76-1011 Кл/кг, угол а = 30°.
Ответ'. 28 мм.
14.	, Поток проводящей жидкости
(расплавленный металл) течет по кера-
мической трубе. Для определения скоро-
сти течения жидкости трубу помещают в
однородное магнитное поле, перпенди-
кулярное оси трубы, в трубе закрепляют
два электрода, образующие плоский
конденсатор, и измеряют разность по-
тенциалов между электродами. Найдите
скорость потока, если индукция магнит-
ного поля В = 0,01Тл, расстояние между
электродами J = 2cm, измеренная раз-
ность потенциалов 0,4 мВ.
Ответ: 2 м/с.
178
15. Незаряженный металлический брусок
представляет собой прямоугольный параллелепи-
пед со сторонами d, b, с. Брусок движется в маг-
нитном поле вдоль стороны d со скоростью V .
Индукция магнитного поля В перпендикулярна
основанию бруска со сторонами d,c (см. рис.).
Определите плотность электрических зарядов на
боковой поверхности параллелепипеда, образо-
ванной сторонами b, d.
Ответ: ВКе0.
16. По металлической ленте, толщина
которой равна h, течет ток I. Лента по-
мещена в однородное магнитное поле,
индукция которого В и направлена пер-
пендикулярно плоскости ленты. Опреде-
лите разность потенциалов между точка-
ми А и С ленты, если концентрация сво-
бодных электронов в металле равна п .
В/
Ответ'.--------
e-n-h
Решение
Сила Лоренца смещает электрон к краю ленты и внутри нее возникает
дополнительное электрическое поле с напряженностью Е, которая направ-
лена перпендикулярно току. Условие равенства силы Лоренца кулоновской
силе обеспечит прекращение смещения электронов:
-Fn = Fq, -e~-V-B = e~E,
откуда Е = V • В , но Е = —, где d = АС . Отсюда дер = -VBd (1). Из вели-
d
чины тока
1 = е~nVS,
где S = h-d , находим скорость электронов
V =—— = —-—
е nS е nhd
и подставляем в (1):
Дф = --^,
е nh
где знак минус — для движения электронов внутри ленты.
12*
179
Занятие 3. Магнитный поток.
Электромагнитная индукция в проводнике
Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S для однородно-
го магнитного поля с индукцией В равен:
Ф = BScosa Ёб,
где а — угол между В и направлением нормали ns к поверхности контура
площадью 5.
Ф = nBS cos а —магнитный поток через контур, содержащий п витков.
Явление электромагнитной индукции', наведение тока в замкнутом кон-
туре при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего контур.
Ток, возникающий в контуре, называется индукционным.
Закон Фарадея’. ЭДС индукции в замкнутом контуре пропорциональна
скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную
г.
контуром В, =----В.
А/
Причиной возникновения Bt на концах движущегося проводника в маг-
нитном поле является действие силы Лоренца (сторонней силы) на электро-
ны в проводнике.
Если же неподвижный проводник находится в переменном магнитном
поле, то сторонними силами являются силы вихревого электрического поля,
создаваемого изменяющимся магнитным полем, которое разделяет заряды в
проводнике.
Задачи
1.	В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1Тл перпендику-
лярно полю движется проводник длиной 2 м. Какая ЭДС наводится в про-
воднике к моменту, когда он переместится на 30 см? Начальная скорость
проводника 4 м/с, ускорение 15 м/с2.
Ответ'. -0,9 В.
2.	Самолет летит горизонтально со скоростью 720 км/ч. Определите ЭДС
индукции, возникающую на концах крыльев самолета, если их размах со-
ставляет 20 м, а модуль вертикальной составляющей магнитного поля Земли
5 10~5Тл.
Ответ'. -0,2 В.
3.	Плоскость прямоугольной проволочной рамки (abed) перпендикуляр-
на индукции магнитного поля В - 10”3Тл. Сторона рамки Ьс длиной € = 1 см
может скользить без нарушения контакта с постоянной скоростью 10 см/с по
180
сторонам ab и de. Между точками а и d вклю-
чена лампочка сопротивлением /? = 5Ом. Какую
силу нужно приложить к стороне Ьс для осущест-
вления такого движения? Сопротивлением осталь-
ной части рамки пренебречь.
Ответ: -2-10~12Н.
4.	В однородном магнитном поле с индукцией
В = 10~2Тл расположены вертикально на расстоянии
L = 50 см два металлических прута, замкнутых наверху.
Плоскость, в которой расположены прутья, перпендику-
лярна к направлению индукции магнитного поля. По
прутьям без трения и без нарушения контакта скользит
вниз с постоянной скоростью V -1 м/с перемычка ab
массой т = 1 кг. Определите сопротивление R перемычки,
сопротивлением остальной части пренебречь.
Ответ: 2,55-10 3Ом.
5.	По горизонтальным параллельным
рельсам, расстояние между которыми рав-
но d, может скользить без трения пере-
мычка, масса которой т . Рельсы соедине-
ны резистором сопротивлением R и по-
мещены в вертикальное однородное маг-
нитное поле, индукция которого В . Пере-
мычке сообщают скорость Ко. Найдите
путь S, пройденный перемычкой до оста-
новки. Как зависит ответ от направления
индукции В ?
Ответ:
mVQR'
B2d2 ’
ml\}R
B2d2 cos2 a
6. Прямоугольная проволочная рамка co сторо-
ной L находится в магнитном поле с индукцией В ,
перпендикулярном к плоскости рамки. По рамке без
нарушения контакта скользит с постоянной скоро-
стью V перемычка ab сопротивлением R. Опре-
делите ток через перемычку. Сопротивлением ос-
тальных частей рамки пренебречь.
а
“1 □	L t			
Ответ:
BLV
R

181
7.	Две параллельные шины, подключенные к аккумулятору с ЭДС £0 и
внутренним сопротивлением г, находятся в однородном магнитном поле с
индукцией В . Шины замкнуты проводником длинной С и сопротивлением
R9 который перемещается по шинам без нарушения контакта перпендику-
лярно полю со скоростью V . Пренебрегая сопротивлением шин, определите
напряжение на зажимах источника, мощность тепловых потерь в проводни-
ке, а также механическую мощность, подводимую к проводнику.
(8,-BtV)2R (8Q-BtVyVB
)	*	О	9	' ’
(Л + г)2
Я + r
8.	Проводящий стержень длиной / = 10 см
и сопротивлением R = 1 Ом может скользить
по горизонтально расположенным парал-
лельным шинам, которые соединены с ис-
точником постоянного тока с 8 = 10 В и
внутренним сопротивлением г = 1 Ом. К се-
редине стержня прикреплена невесомая пружина с коэффициентом жестко-
сти & = 0,1 Н/м, расположенной в горизонтальной плоскости. Перпендику-
лярно плоскости проводников действует однородное магнитное поле с ин-
дукцией В = 10~2 Тл. Пренебрегая сопротивлением шин и проводов, опреде-
лите энергию деформации пружины.
9.	В однородном магнитном поле, индукция
которого В , вращается с постоянной частотой v
стержень длиной / (см. рис.). Определите 8,
индукции, возникающую на концах стержня.
Ответ'. tivBI2 .
/////
к® В
m,l
10. Проводник массой пг и длиной / подве-
шен к диэлектрику с помощью двух одинаковых
пружин общей жесткостью к. Однородное маг-
нитное поле с индукцией В перпендикулярно
плоскости. К верхним концам пружин прикреп-
лен конденсатор С. Определите период колеба-
ний системы в вертикальной плоскости. Сопро-
тивлением, индуктивностью и емкостью провод-
ников пренебречь.	ч
„ т + СВ2/2
Ответ’. 2л J-------
N к
182
11. По двум параллельным металличе-
ским направляющим, наклоненным под уг-
лом а к горизонту и расположенным на
расстоянии h друг от друга, может сколь-
зить без трения металлическая перемычка
массой т. Направляющие замкнуты снизу
на незаряженную батарею конденсаторов,
емкость каждого из которых равна С. Вся
конструкция находится в магнитном поле,
индукция которого В и направлена верти-
кально. В начальный момент перемычку удерживают на расстоянии L от
основания «горки» (см. рис.). Какую скорость будет иметь перемычка у ос-
нования «горки», после того как ее отпустят? Сопротивлением направляю-
щих и перемычки пренебречь.
J2Lmg sin а
—
С Э Э 9
m +—b~B~ cos а
2
12. По двум параллельным металличе-
ским направляющим, наклоненным под уг-
лом а к горизонту и расположенным на
расстоянии/? друг от друга, может сколь-
зить без трения металлическая перемычка
массой т. Направляющие замкнуты снизу
и сверху незаряженными конденсаторами
емкости С каждый. Вся конструкция нахо-
дится в магнитном поле, индукция которого
В направлена вертикально. В начальный мо-
мент перемычку удерживают на расстоянии L от основания «горки». Какую
скорость будет иметь перемычка у основания «горки», после того как ее от-
пустят? Сопротивлением направляющих и перемычки пренебречь.
Ответ:
2Dwgsin а
m + lCb1 В1 cos2 а
Решение
На перемычку действуют: сила ампера FA и сила тяжести mg, причем
FA тормозит перемычку, которая скользит по направляющим с ускорением
а : та = wgsina + BFbcosa (1).
at1
L =---, откуда t = J— (2). Скорость определим V = at (3).
2	v a
183
Ток равен
/=—; <7 = 2С£, £t =-—=-5K-fecosa ,
t	Ы .
поэтому
V
I = 2СВ—6cosa = 2CZta6cosa .
t
Из (1) определим ускорение, подставив (4):
(4)
wgsina
т + 1СВ2Ь2 cos2 a
2L(m + 2CB2b2 cos2 a)
и во (2) t = —--------:----------
у wgsinot
Находим скорость:
И = а/= / 2Z-Wgsina
V т + 2CB2b2 cos2 a
Занятие 4. ЭДС индукции в контуре.
Правило Ленца
В контуре, как и в проводнике, возникает ЭДС индукции при всяком из-
менении магнитного потока, пронизывающего контур.
5
Возникающий индукционный ток 1 = ~ и имеет направление, опреде-
ляемое правилом Ленца\ индукционный ток имеет такое направление, чтобы
своим магнитным полем препятствовать изменению потока магнитной ин-
дукции, вызывающего этот ток.
Вихревые токи (токи Фуко) — замкнутые индукционные токи, возни-
кающие в массивных проводниках при изменении магнитного потока, про-
низывающего проводник. Эти токи приводят к неравномерному распределе-
нию магнитного потока, нагревают проводник, что приводит к потерям
энергии.
Задачи
1.	Медное кольцо находится в переменном магнитном поле, линии ин-
дукции которого перпендикулярны плоскости кольца. На графиках показана
зависимость величины магнитной индукции В от времени t. Определите,
сколько времени индукционный ток, возникающий в кольце, течет в одном
направлении.
184
2.	Проволочное кольцо радиусом R = 10 см и сопротивлением 1 Ом ле-
жит на столе. Какой заряд пройдет по кольцу, если его перевернуть с одной
стороны на другую? Вертикальная составляющая индукции магнитного поля
Земли 5-Ю"5 Тл.
Ответ'. 3,14-10~6 Кл.
3.	В однородном магнитном поле с индукцией В = 10~2Тл находится
плоский виток площадью 5 = 10 см2, расположенный перпендикулярно ин-
дукции В. Сопротивление витка 5 Ом. Какой ток потечет по витку, если поле
исчезает с постоянной скоростью за 2 с?
Ответ'. 10~6А.
4.	Замкнутый проводник сопротивлением 3 Ом находится в магнитном
поле. В результате изменения индукции магнитного поля поток через про-
водник возрос от 2 10~4Вб до 5 10~4Вб. Какой заряд прошел через попе-
речное сечение проводника?
Ответ'. -10~4Кл.
5.	Замкнутая накоротко катушка диаметром 10 см, имеющая 400 витков,
находится в магнитном поле, индукция которого увеличивается от 2 до 6 Тл
за 0,1 с. Определите мощность джоулевых потерь в катушке, если она изго-
товлена из медного провода диаметром 1 см. Плоскость витков перпендику-
лярна силовым линиям поля. Уд. сопротивление меди рм = 1,7 • 10~7 8 Ом • м .
Ответ'. 0,05 Вт.
6.	Проволочную катушку из п витков помещают в магнитное поле так, что
линии индукции перпендикулярны к плоскости витков, и с помощью гибких
проводников присоединяют к гальванометру. При быстром удалении катушки
из магнитного поля по цепи протекает некоторый заряд q, измеряемый гальва-
нометром. Определите индукцию магнитного поля, считая, что все витки
имеют одинаковую площадь 5, а полное сопротивление цепи равно R.
Ответ'. —.
Sn
7. Проволочный виток, имеющий площадь 100 см2, разрезан в некоторой
точке и в разрез включен конденсатор емкости С = 10 мкФ. Виток помещен в
однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны
плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно распределяется во
времени со скоростью ДВ/Д/ = 5-10~3Тл/с. Определите заряд конденсатора,
пренебрегая индуктивностью витка.
Ответ’. -5• 10~5 Кл.
185
8.	В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл расположен пло-
ский проволочный виток площадью 103 см2 и сопротивлением 2 Ом таким
образом, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции. Виток замк-
нут на гальванометр. Полный заряд, протекший через гальванометр при по-
вороте витка, равен 7,5-10~3 Кл. На какой угол повернули виток?
Ответ'. 120°.
9.	В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,05Тл расположен
плоский проволочный виток так, что его плоскость перпендикулярна маг-
нитному полю. Площадь, охватываемая контуром витка, равна 20 см2. Ви-
ток замкнут на гальванометр. При повороте витка на угол 90° через гальва-
нометр проходит заряд q = 0,002 Кл. Найдите сопротивление витка.
Ответ'. 0,05 Ом.
10.	Круговой виток радиусом 5 см с то-
ком 1 А находится в однородном магнитном
поле с индукцией В = 0,04Тл. Какую работу
нужно совершить, чтобы повернуть виток на
90° вокруг оси, совпадающей с его диамет-
ром?
Ответ'. 3,14-Ю"4Дж.
11.	Три гальванических элемента 5,= ЗВ,
52 = 2 В, = 1 В и внутренними сопротивле-
ниями Г|=2Ом, /2=1,5 0м, >з=0,5 Ом соеди-
нены так, что образуют замкнутый круг-контур
радиусом 40 см. Контур пронизывается перпен-
дикулярно его плоскости магнитным полем, ин-
дукция которого изменяется по закону В = at,
10 Тл
где а =-----. Определите силу тока в цепи,
л с
Ответ: 0,1 А.
12.	Из проволоки, единица длины которой
имеет сопротивление р, сделан плоский замк-
нутый контур, состоящий из двух квадратов
площадью Sj и S2. Контур находится в одно-
родном магнитном поле с индукцией Во, на-
правленной перпендикулярно плоскости кон-
тура. Какой заряд протечет через поперечное
сечение провода при равномерном уменьшении
186
нии индукции поля до нуля? Между пересекающимися на рисунке провода-
ми контакта нет.
Ответ: q = —---------
4р
13.	Из проволоки длиной L , единица дли-
ны которой имеет сопротивление р, сделан
плоский замкнутый контур, состоящий из
двух квадратов, отношение длин сторон кото-
рых равно У. Контур находится в однород-
ном магнитном поле с индукцией Во, направ-
ленной перпендикулярно плоскости контура.
Какой заряд протечет через поперечное сече-
ние провода при равномерном уменьшении
индукции поля до нуля? Между пересекаю-
щимися на рисунке проводами контакта нет.
Ответ
4 16р(У + 1)'
14.	В магнитном поле с большой высоты падает с постоянной скоростью
V металлическое кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плос-
кость кольца все время горизонтальна. Найдите массу кольца, если модуль
индукции В магнитного поля изменяется с высотой Н по закону
|В| = ВО(1 + аН). Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение
Установившаяся скорость кольца К = —, а изменение индукции магнит-
ного поля ДВ = В - Bq = ВоаН . При таком движении сила тяжести кольца
равна магнитной силе:
mg = F; F = \B I t = bBIS/H,
где
I =SJR=ЬФ/М1 =	;
(BoaH)2S2 =	=	2
MRH MRH R&
т = (goaS)2-r = (Досш/2)2-К
Rg \f>Rg
187
Занятие 5. Самоиндукция. Энергия магнитного поля
Самоиндукция — возникновение 8is в каком-либо проводнике при изме-
нении силы тока в нем же самом:
,т.е. \Ф = ЬМ,
ММ
где L Гн — индуктивность проводника, зависящая от формы и размеров
проводника и магнитной проницаемости среды, но не зависит от тока в нем.
, ЦЦ0'725’
L = —--------для соленоида,
а.
где п — число витков, S — сечение соленоида, £ — его длина.
ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию силы тока при включении
и убыванию при выключении тока в цепи.
Магнитное поле неразрывно связано с током: оно появляется, изменяется
и исчезает вместе с появлением, изменением и исчезновением тока. Следо-
вательно, часть энергии тока всегда идет на создание магнитного поля.
Явление электромагнитной индукции основано на взаимных превраще-
ниях энергий электрического тока и магнитного поля.
„7 ы2
w = ------энергия магнитного поля.
Плотность энергии электромагнитного поля:
2 2цц0
Задачи
1. По катушке протекает постоянный ток, создающий магнитное поле.
Энергия этого поля равна 0,5 Дж, а магнитный поток через катушку равен
0,1 Вб. Найдите величину тока.
Ответ'. 10 А.
2. Чему равна индуктивность катушки, если за время А/ = 0,5 с ток в це-
пи изменился от 10 до 5 А, а наведенная при этом ЭДС индукции на концах
катушки равна 25 В?
Ответ'. 2,5 Гн.
3. Катушка имеет 800 витков, длину 0,25 м и диаметр сечения 4 см. Оп-
ределите индуктивность катушки, магнитный поток сквозь ее сечение и
энергию магнитного поля при токе в 1 А.
Ответ-. 410’3 * *Гн; 510’6Вб; 210’3Дж.
188
4.	В соленоиде при токе / энергия магнитного поля W . Сопротивление
обмотки R . Какой заряд пройдет по обмотке при равномерном уменьшении
тока в п раз? На сколько изменится энергия магнитного поля?
2^(и-1) fF(w2-l)
Ответ: ----
IRn и2
5.	Катушку с индуктивностью 2,4 Гн замыкают на источник с £ = 12 В.
Через какой промежуток времени ток в катушке достигнет значения 40 А?
R и г ничтожно малы.
Ответ'. 4 с.
6.	Катушка сопротивлением 20 Ом и индуктивностью 0,01 Гн находится в
переменном магнитном поле. Когда создаваемый этим полем магнитный
поток увеличивается на 0,001 Вб, ток в катушке возрастает на 0,05 А. Какой
заряд прошел за это время по катушке?
Ответ: -2,5-Ю"5Кл.
7.	В цепи Zq =0,02 Гн и
L2 - 0,005 Гн. В некоторый мо-
мент ток /] = 0,1 А и возрастает со
скоростью 10 А/с, а ток /2 = 0,2 А
и возрастает со скоростью 20 А/с.
Найдите сопротивление R .
Ответ: 1 Ом.
R й
8.	Как будет меняться ток при замыкании и раз-
мыкании цепи. Построить график зависимости тока
от времени t (если вместо L включить электромаг-
нит, то в какой момент времени искрение больше: в
момент замыкания или в момент размыкания цепи?).
Занятие 6. Переменный ток
При равномерном вращении плоской рамки площадью £, состоящей из
п витков, с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукци-
ей В на ее концах возникает мгновенное значение ЭДС индукции:
£ = £0 sin со/,
где 8$ = ntoBS —максимальное (амплитудное) значение ЭДС.
Ток, величина и направление которого изменяется во времени, называет-
ся переменным. Переменный ток эквивалентен постоянному току такой же
мощности.
189
Действующим (эффективным) значением силы переменного тока называ-
ется такая сила постоянного тока, который на том же активном сопротивле-
нии выделяет ту же энергию за одинаковое время, что и переменный:
1)	Для цепи, не содержащей L и С , закон Ома I = U/R.
Ток и напряжение совпадают по фазе:
/ = /osincDZ, w = (70sinco/;
2)	Для цепи, содержащей только L, закон Ома 7 = U/xj, где
xL -<^L = 2nvL . Ток о т с т а е т. по фазе от напряжения на л/2 (или
774):
w = T/osincD/; f = 70sin((Dr-7t/2).
3)	Для цепи, содержащей только С, закон Ома I = U/xc , где хс = 1/сос.
Ток опережает по фазе напряжение на л/2 (или Г/4):
u = UQ since/; i = /0 sin (со/ + л/2).
4)	При последовательном соединении R,L,C в контур закон Ома имеет
вид:
/ = V/?2+x2’
где х = X] - хс.
Задачи
1.	Амплитуда ЭДС переменного тока с частотой 50 Гц равна 100 В. Како-
вы значения ЭДС через 0,005с, считая от начала периода.
Ответ: 100 В.
2.	Мгновенное значение силы переменного тока частотой 50 Гц равно 2 А
для фазы л/4 рад. Какова амплитуда силы тока? Найдите мгновенное зна-
чение силы тока через 0,015 с, считая от начала периода.
Ответ: 2,8 А.
3.	Мгновенное значение ЭДС переменного тока для фазы 60° равно 120 В.
Какова амплитуда ЭДС? Чему равно мгновенное значение ЭДС через 0,25 с,
считая от начала периода? Частота тока 50 Гц.
Ответ: 138 В; 0.
4.	Катушка индуктивности 7, = 63 мГн обладает активным сопротивлени-
ем. Полное сопротивление такой катушки при частоте тока 50 Гц равно
190
25 Ом. Найдите полное сопротивление этой катушки в цепи переменного
тока с частотой 100 Гц.
Ответ: 42,4 Ом.
5.	При подаче на катушку постоянного напряжения 15 В сила тока в ней
0,5 А. При подаче такого же переменного напряжения с частотой 50 Гц сила
тока уменьшилась до значения 0,3 А. Какая индуктивность катушки?
Ответ: 0,13 Гн.
6.	Рамка площадью 300 см2 имеет 200 витков и вращается в магнитном
поле с индукцией В = 1,510"2 Тл. Амплитуда ЭДС £0=14 8. Определите
период вращения рамки и значение ЭДС через 0,005 с, считая от начала пе-
риода.
Ответ'. 0,04 с; 10 В.
7.	В цепи, показанной на рисунке, протекает синусоидальный ток. Зная, что
эффективное напряжение UA/i =30 В, эффективное напряжение и()д =15 В,
эффективное напряжение (7ю=10В, найдите эффективное напряжение на
участке AD.
Ответ '. 18 В.
Z R С
8.	Напряжение на конденсаторе емкостью С = 3 мкФ изменяется по зако-
ну О = 100cos(300/ч-тг/2) В. Определите, как изменяется сила тока на участ-
ке цепи, содержащей этот конденсатор?
Ответ: -0,09cos300/.
9.	Рамка вращается в магнитном поле и содержит 100 витков медного
провода сечением 0,5 мм2. Длина одного витка 40 см. Определите дейст-
вующее значение тока в проводнике сопротивлением 5,6 Ом, который при-
соединен к концам рамки, если максимальная ЭДС в обмотке рамки 2 В.
рм = 1,710-8 Омм.
Ответ'. 0,2 А.
10.	Два конденсатора емкостью Q =0,4мкФ и С2 =0,2 мкФ включены
последовательно в цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой
50 Гц. Найдите силу тока в цепи и падение напряжения на каждом конден-
саторе.
Ответ : 9,2110"3 А; 461 В; 920 В.
191
11.	Действующее напряжение в сети переменного тока частотой 50 Гц
равно 120 В. Определите время, в течение которого горит неоновая лампочка
в каждый полупериод, если потенциал зажигания и гашения лампы 84 В.
Ответ ’. 1/150 с.
12.	В цепи переменного тока сопротивление
R = 100 Ом, емкость конденсатора С = 20 мкФ.
В момент, когда £ = 100 В, ток / = 0,5 А на-
правлен так, как показано на рисунке, и возрас-
тает со скоростью А//А Г = 200 А/с. Заряд кон-
денсатора д = 0,6мКл. Найдите индуктивность
катушки. R и г малы.
Ответ: 0,1 Гн.
Занятие 7. Мощность в цепи переменного тока
Активная мощность Р цепи переменного тока связана с превращением
электрической энергии во внутреннюю и равна
P = UJ^cosq Вт,
где cos<p = 7?/z —коэффициент мощности, здесь z —полное сопротивле-
ние цепи. •
При последовательном соединении R, L и С среднее за период значение
мощности, развиваемое источником переменного тока:
PCD = -COS<p , ИЛИ Р = .....
СР 2	ср 2/?об
Мощность на активном сопротивлении без С и L:
i0-u0 i2r
с₽ 2	2 ’
Задачи
1.	Найдите мощность, теряемую в проводах, и КПД линии передачи, если
начальная мощность 100 кВт, напряжение на станции 220 В, сопротивление
проводов 0,05 Ом, сдвиг фаз между током и напряжением 30°.
Ответ'. 14 кВт, 86%.
2.	Из одного пункта в другой передается ток мощностью 736 кВт при на-
пряжении 105 В. Определите сопротивление линии передачи, если ее КПД
90%.
Ответ ’. 14 Ом.
192
3.	Генератор переменного тока отдает в цепь среднюю мощность 8 кВт.
При этом амплитуда тока в цепи 100 А и амплитуда напряжения 220 В. Оп-
ределите сдвиг фаз между током и напряжением в сети.
Ответ'. 38°.
4.	Определите коэффициент мощности, если при включении электродви-
гателя в сеть переменного тока вольтметр показал 220 В, амперметр 4 А, а
ваттметр 600 Вт.
Ответ'. 0,68.
5.	Генератор переменного тока отдает в цепь среднюю мощность
Ро =10кВт. При этом амплитуда тока в цепи 70 = 100А, а амплитуда на-
пряжения на зажимах генератора t/o=2OOB. Определите сдвиг фаз между
током и напряжением в цепи.
Ответ'. 0.
6.	Два проводника сопротивлением Я^ЮОм и 7?2=20Ом подключе-
ны в сеть переменного тока напряжением U = 100 В. Какое количество теп-
лоты выделится за единицу времени в каждом проводнике, если их соеди-
нить последовательно?
Ответ '. НО Дж; 220 Дж.
7.	Электрический паяльник мощности 50 Вт рассчитан на включение в
сеть переменного тока с напряжением 127 В. Какая мощность выделится в
паяльнике, если его включить в сеть переменного тока с напряжением 220 В
последовательно с идеальным диодом.
Ответ'. 75 Вт.
8.	Две электроплитки, включенные в сеть параллельно, потребляют мощ-
ность /V|=1kBt. Какую мощность будут потреблять эти электроплитки,
включенные последовательно, если одна из электроплиток потребляет мощ-
ность N = 400 Вт.
Ответ'. 240 Вт.
9.	Какая мощность выделится в цепи пе-
ременного тока. К клеммам 7 и 2 приложено	^3
напряжение 220 В, сопротивление резисто- ~	1-----
ров R} = R2 = 7?3 = 200 Ом. Параллельно ре- ___эд____ i-------1_
зистору включен идеальный диодД.	। !	|
Ответ'. 423,5 Вт.
10.	Какое количество теплоты выделится за время 1 с в цепи, изображен-
ной на рисунке, если к клеммам 7 и 2 приложено переменное напряжение
13 Зак. 51
193
частотой 50 Гц с амплитудным значением
Ц) =311 В. Сопротивления резисторов =
= R2= R3 = 100 Ом. Диоды Д} и Д2 считать
идеальными.
Ответ'. 604,5 Дж.
11.	Какая мощность выделится на рези-
сторе R} =10 кОм в цепи переменного тока,
изображенной на рисунке? К клеммам 1 и 2
приложено напряжение 127 В, сопротивле-
ние резисторов R2 = R3 = 5 кОм. Диод Д счи-
тать идеальным.
Ответ'. 1 Вт.
12.	Какое количество теплоты выделяется
за 1 с в цепи, изображенной на рисунке, если
к клеммам I и 2 приложено переменное на-
пряжение частотой 50 Гц с амплитудным
значением UQ = 311 В. Сопротивления рези-
сторов R} = R2 = R3 = 200 Ом. Диод Д счи-
тать идеальным.
Ответ'. 322,4 Дж.
Решение
U = U0 /л/2. Количество теплоты выделяется:

*об,	*об2
Находим Яоб1 и Roq2.
1) Диод закрыт'. R} и R2 соединены параллельно, a R{ к ним последова-
тельно и 7?об =	— + R, = 300 Ом.
об’ R{ + R2 3
2) Диод открыт'. Rx и R2 соединены параллельно, а /?, не работает и
Яоб =	=100 Ом.
062 Л, + /?2
( \
1 , 1
J 2 7?об(	/?об2
= 322,4 Дж.
194
Занятие 8. Электрические машины. Трансформатор
Для преобразования механической энергии в электрическую применяют-
ся электрические машины — генераторы.
Для преобразования электрической энергии в механическую — электро-
двигатели.
ЗСЭ для генератора: NMQX =/•£,, где — ЭДС генератора, / — ток в
цепи якоря.
Напряжение на зажимах генератора с постоянным магнитом:
U = 8 -1 • R,
где R — сопротивление якоря.
ЗСЭ для электродвигателя: I-U = N + I2R, где N = M-a=I-£„ М —
вращающий момент на валу двигателя, со — угловая скорость. ЭДС в обмот-
ке якоря 8^=1} -1 R, или 8{ = 8-1-R.
Трансформатор — преобразователь ЭДС, напряжения или тока. Он со-
стоит из двух обмоток с разным числом витков, индуктивно связанных друг
с другом замкнутым железным сердечником.
k= — = — — коэффициент трансформации.
и.
Если нет потерь энергии, то 8} = Ux, 82 = U2 и к = U2IUX.
КПД: п = — 100%.
^2
Задачи
1.	Электровоз движется со скоростью V = 36 км/ч и развивает в среднем
силу тяги F = 5 • 104 Н. Найдите ток, проходящий через мотор электровоза
(без учета тепловых потерь), если напряжение на нем U = 500 В.
Ответ'. 103 А.
2.	Электромотор имеет сопротивление R = 2 Ом и приводится в движе-
ние от сети напряжением U = 110 В. Величина тока / = 10А. Какую мощ-
ность потребляет этот мотор? Какая часть этой мощности превращается в
механическую?
Ответ'. 1100 Вт; 82%.
3.	Чему равен КПД электромотора, если в момент включения его в сеть
постоянного тока, ток, протекающий по его обмотке /0 =15 А, а в устано-
вившемся режиме ток снижается до I = 9 А?
Ответ'. 40%.
13
195
4.	Электромотор питается от батареи с ЭДС 12 В. Какую мощность раз-
вивает мотор при протекании по его обмотке тока I = 2 А, если при полном
затормаживании якоря по цепи течет ток /0 = 3 А?
Ответ'. 8 Вт.
5.	Какую ЭДС развивает генератор постоянного тока, если при сопротив-
лении Rx = 300 Ом на вращение ротора затрачивается мощность 50 Вт, а по-
тери на трение составляют 4% от затраченной мощности? Какую мощность
для поддержания того же числа оборотов необходимо затрачивать при со-
противлении цепи R2 = 60 Ом?
Ответ'. 120 В, 250 Вт.
6.	Электромотор постоянного тока, включенный в цепь батареи с 8 = 24 В,
при полном сопротивлении цепи R = 20 Ом делает пх = 600 об/мин при токе
1 = 0,2 А. Какую ЭДС разовьет тот же мотор, работая в качестве генератора,
при п2 = 1500 об/мин.
Ответ '. 50 В.
7.	Электродвигатель, включенный в сеть напряжением 120 В, развивает
полезную мощность 1,47 кВт. Используя мотор в качестве генератора, при
той же скорости, вращения якоря, что и в первом случае, можно получить
ЭДС 80 В. Чему равно сопротивление цепи?
Ответ: 2,2 Ом.
8.	Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением (или с
постоянным магнитом) поднимает груз со скоростью Ух при помощи нити,
наматывающейся на вал двигателя. В отсутствии груза невесомая нить подни-
мается со скоростью Уо. С какой скоростью У2 будет опускаться тот же груз,
если в цепи якоря произойдет замыкание, в результате которого обмотка якоря
окажется замкнутой накоротко. Трением в подшипниках пренебречь.
Ответ'.
9.	На первичную обмотку трансформатора подается напряжение 220 В.
На вторичной при холостом ходе получается 130 В. Число витков в первич-
ной обмотке 400. Определите число витков во вторичной обмотке, если по-
тери составляют 3,8%.
Ответ'. 246.
10.	Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом
трансформации 8 включена в сеть напряжением 220 В. Сопротивление вто-
ричной обмотки 2 Ом, ток в ней 3 А. Найдите напряжение на вторичной об-
мотке.
Ответ'. 21,5 В.
196
11.	Имеются два идеальных одинаковых трансформатора с коэффициен-
том трансформации 1:3. Первичная обмотка одного из них последовательно
соединена со вторичной обмоткой второго и свободные концы этих обмоток
включены в сеть переменного тока напряжением 100 В. Вторичная обмотка
первого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой
второго. Определите амплитуду переменного напряжения между свободны-
ми концами этих обмоток.
Ответ'. 0; 60 В.
Решение
Так как
8t = -пАФ1 At,
где АФ-ABSn, то ~ п2, т.е.
= а^2, 82 ~ ап2 >
100 В
где п — число витков; a — коэффициент.
Коэффициент трансформации равен
к = п21пх и п2 = кп} = 3a?i, и к = 82 !8Х,
поэтому 82 = a(3^j)2 = 9и2а = 9£1.
Так как Uq-8}+82- 10^ и UQ = 100 В, то 8Х = 10В, а =90В.
Для свободных концов: U = UX±U2, где плюс — в случае одинакового
направления 8 ; минус — в противоположном:
U} =к8} = 38} =30 В,
С72=£2/£ = £2/3 = 30В,
=>U' = 6Q В,
U" = 0.
12.	Груз массой т, подвешенный на нити, намотанной на оси генератора
с постоянным магнитом, опускается со скоростью V . Генератор замкнут на
резистор сопротивлением R. С какой скоростью будет подниматься вверх тот
же груз, если генератор включить в цепь постоянного тока с 8 и сопротив-
лением R ?
Ответ:
Jv (8-yjmgvR^/yjmgR.
Решение
Груз, опускаясь со скоростью К, вращает якорь генератора и в его обмотке
возникает 8{. Цепь якоря замкнута на сопротивление R, следовательно, ток в
цепи / = 8j / R. По ЗСЭ: NMQX = I8i, где NMQX = FV = mgV, следовательно:
с 2	_____
mgV = — и 8j =y/mg¥R.	(1)
R
197
Если генератор работает как мотор, то
£=E, + I}R	(2)
и по ЗСЭ:
ЦЕ=1^ + 1?Я,	(3)
где 8 — ЭДС источника, Ц — ток в цепи якоря элек-
тромотора.
Из (2) и (1):
, _E-£i _£-y]mgVR
1\ —-----—-----------
R R
и в (3) имеем:
8-JmgVR _ (8 -ylmgYR^
mgV2 =----—------8 - ----------- • R, откуда:
7?	/?
ylmgVR-(S-ylmgVR) ^(E-JmgVR)
mgR	y/mgR
Занятие 9. Электромагнитные колебания и волны
Система, состоящая из емкости С и индуктивности А, называется коле-
бательным контуром.
Периодические изменения заряда (тока, напряжения) в колебательном
контуре называются электромагнитными колебаниями.
Т = 2лл/1с — формула Томпсона для периода свободных незатухающих
колебаний.
q = £?sinco/ — уравнение незатухающих электромагнитных колебаний.
При свободных незатухающих электромагнитных колебаниях в идеаль-
ном контуре происходит периодический переход энергии электрического
поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки:
CUll2 = LI1 2 *l2.
Задачи
1. Определите период колебаний в кон-
туре, если С = 2мкФ, L = 0,02 Гн.
Ответ'. 12,6-10"4 с.
198
2.	Идеальный колебательный контур состоит из катушки с L - 0,2 Гн, кон-
денсатора с С = 10-5Ф. В момент, когда напряжение на конденсаторе равно
1 В, ток в контуре равен 0,01 А. Какой максимальный ток в этом контуре?
Ответ: 0,012 А.
3.	Максимальный заряд на пластинах конденсатора колебательного кон-
тура qQ = 10”5Кл, а максимальный ток /0 = 10”3А. Каков период колебаний
в контуре?
Ответ'. 6,3-10-2с.
4.	Колебательный контур состоит из конденсатора с С = 10"6Ф и катушки
с индуктивностью L = 0,01 Гн. Когда ток в контуре равен 0,02 А, то напря-
жение на конденсаторе равно 2 В. Какой максимальный заряд на конденса-
торе может быть в этом контуре?
Ответ: 2,83-10’6Кл.
5.	Частота колебательного контура равна 104Гц. Через какой промежу-
ток времени энергии электрического и магнитного полей этого контура бу-
дут равны, если в начальный момент времени конденсатор имеет макси-
мальный заряд, а ток через катушку индуктивности равен нулю.
Ответ’. 1,25-10’5 с.
6.	В схеме, показанной на рисунке, ЭДС элемента
равно 8 , его внутреннее сопротивление г, емкость
конденсатора С, а индуктивность катушки L. Ка-
кое количество теплоты выделится в сопротивлении
R после размыкания ключа К ?
82 Г 7 "1
Ответ: 0 =---------7 L + CR1 .
2(7? + r)2L	J
7.	Колебательный контур, состоящий из L и С,
через К подключен к источнику 8, имеющему
внутреннее сопротивление г. Первоначально
ключ замкнут. После установления стационарно-
го режима ключ размыкают и в контуре возника-
ют электромагнитные колебания с периодом Т.
При этом амплитуда напряжения на конденсаторе
в п раз больше 8 батареи. Найдите индуктив-
ность и емкость, если R = 0 .
Tnr Т
Ответ'. ---,----.
2л 2ипг
199
8.	Колебательный контур, состоящий из конденса-
та тора емкости С и катушки с индуктивностью L и со-
противлением /?, через ключ К подключен к источни-
ку постоянного ЭДС 8 . Через некоторое время после
— замыкания ключа К установится стационарный ре-
жим: токи во всех элементах цепи будут постоянны.
После этого ключ К снова размыкают. Какое количе-
ство теплоты Q выделится в контуре после размыкания ключа? Внутренним
сопротивлением батареи пренебречь.
Ответ-. £2(CR2 + l)/2R2.
|— ---1	9. Конденсатор емкостью С, заряженный до разности
I % потенциалов СД через ключ К подключен к двум парал-
Л э	j L I лельно соединенным катушкам с индуктивностями L\ и
7 г	( 2 С Li- Если замкнуть ключ К, то через некоторое время кон-
।'	-т- денсатор полностью перезарядится (напряжение на кон-
 денсаторе поменяет знак). Какие заряды qx И q2 протекут
через катушки за это время? Сопротивлением катушек пренебречь.
Ответ: qx = 2001^1(1^ +L1)\ q2 = 2CL£1/(£1 +1^).
_________	10. Колебательный контур с двумя параллельно со-
£,11 единенными катушками с индуктивностью Ц и £2 имеет
== Zj э Z2<	круговую частоту незатухающих колебаний, равную <о.
Г Г	При колебаниях максимальное значение напряжения на
конденсаторе равно UQ. Определите энергию конденса-
тора через 1/6 и 1/12 периода колебаний после начала заряда конденсатора.
Ответ'. W2 -
тЦц+ь^и2
32ti2LxL2
11.	Какова должна быть емкость конденсатора, чтобы с катушкой индук-
тивностью L = 25 10“6Гн обеспечить настройку в резонанс на длину волны
Х = 100м?
Ответ: 100 пФ.
12.	Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 10”3Гн и
двух последовательно соединенных конденсаторов емкостью 500 пФ и
200 пФ. На какую длину волны настроен этот колебательный контур?
Ответ'. 700 м.
13.	При изменении тока в катушке индуктивности на 1 А за 0,6 с в ней
индуцируется 8IS =0,2 мВ. Какую длину волны излучает генератор, колеба-
200
тельный контур которого состоит из этой катушки и конденсатора емкостью
С = 14,1 нФ?
Ответ'. 280 м.
14.	Чему равно расстояние до самолета, если посланный наземным ра-
диолокатором сигнал после отражения от самолета возвратился к радиолока-
тору спустя 2 • 10-4 с.
Ответ'. 30 км.
15.	Радиосигнал, посланный на Венеру, был принят на Земле через 2,5 мин
после его посылки. Определите расстояние от Земли до Венеры в момент
локации.
Ответ'. 22,5-Ю6 км.
16.	Катушки 1 и 2 одинаковой индуктивности
подключены через ключи К\ и К2 к конденсатору
емкости С. В начальный момент времени оба ключа
разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности по-
тенциалов С/о. Сначала замыкают ключ К\, и когда
напряжение на конденсаторе станет равным нулю,
замыкают ключ К2. Определите максимальное напряжение на конденсаторе
после замыкания ключа К2. Сопротивлениями катушек пренебречь.
Ответ'. .
Решение
Из ЗСЭ находим ток через катушку в момент замыкания ключа К2.
=’откуда =где = •
Токи через катушки связаны соотношением: - /2 = Ц.
Когда ток через катушку станет равным 0, ток через катушку Ь2.
Г2 = -Ц, при этом энергия конденсатора равна нулю и значит она должна
быть в середине промежутка времени между этими моментами:
Li2	CU2	cul	. l\	LI?	CU2	си%
---+ = а / = — ;то ——+ = 
2	2	2	2	8	2	2
Определим максимальное напряжение с учетом (1): CU2 -CUq/2 = CU2,
U = U0/ 42.
201
ОПТИКА
Занятие 1. Законы отражения и преломления света.
Полное внутреннее отражение
Тела, излучающие свет в окружающее пространство, называются источ-
никами света (естественные и искусственные).
Точечный источник света имеет пренебрежимо малые размеры по срав-
нению с расстоянием от него до места наблюдения.
В однородной среде свет распространяется равномерно и прямолинейно
по всем направлениям и графически изображается световым лучом.
Законы отражения:
1) Луч падающий (1) и луч отраженный (2) и пер-
пендикуляр к отражающей поверхности, вос-
ставленный в точке падения луча, лежат в од-
ной плоскости (см. рисунок);
2) Угол отражения равен углу падения луча
Zp = Za.
Законы преломления:
1. Луч падающий, луч преломленный (3) и перпендикуляр, восстановлен-
ный в точке падения луча, лежат в одной плоскости.
_ sin а п2
2. -----= —, где — -п2\ — относительный показатель преломления
sin у	щ щ
двух сред:
У} с
21 v2 V
— абсолютный показатель преломления —
показатель преломления данной среды относительно вакуума (воздуха).
Если свет падает из среды оптически более плотной в среду оптически
менее плотную > л2), то на такой границе может возникнуть явление
полного внутреннего отражения.
Наименьший угол падения, начиная с которого наблюдается полное внут-
реннее отражение, называется предельным углом и определяется:
п2 _	,	1
sina0 . Если п2 = 1, то sina0 =—.
пх	п
202
Задачи
1.	Под каким углом световой луч падает на плоскую поверхность стекла,
если отраженный и преломленный лучи образуют между собой прямой
угол? Скорость света в стекле V = 2 • 108м/с.
Ответ'. 56°.
2.	Абсолютный показатель преломления алмаза и стекла соответственно
равны пх =2,42 и п2 =1,5. Каково отношение толщин этих веществ, если
время распространения света в них одинаково?
Ответ: 0,62.
3.	При переходе солнечных лучей из воздуха в стекло угол падения 60°,
а угол преломления 30°. Найдите скорость распространения света в стекле и
предельный угол полного внутреннего отражения.
Ответ-. 1,72-Ю8м/с, 35°.
4.	Палка с изломом посередине погружена в пруд так, что наблюдателю,
находящемуся на берегу и смотрящему вдоль надводной части палки, она
кажется прямой, составляющей угол а с горизонтом. Какой угол излома
имеет палка? Показатель преломления воды 4/3.
Ответ'. л/2-a-arcsin(cosa/«).
5.	Зеркало АО вращается с угловой скоростью
со = Юс’1. С какой скоростью движется отражение
точки 5, если OS = 1 м?
Ответ'. 20 м/с.
6.	Расстояние от источника света до плос-
кого зеркала вдоль его оси вращения равно
OS = 1 м. Определите скорость перемещения
изображения источника света, если период
вращения зеркала равен 2 с, а угол падения
осевого луча a = 45°.
Ответ'. 3,14 м/с.
7.	В кювете с жидкостью на глубине расположен источник света. На дне
кюветы находится плоское зеркало. Слой жидкости в кювете равен 6 см. На
поверхности жидкости над источником света плавает черный диск площа-
дью 314 см2. На какой глубине Н должен быть расположен источник света,
чтобы он был виден внешнему наблюдателю, если показатель преломления
жидкости л/2 ?
Ответ: 2 см.
203
8.	В кювете с жидкостью на глубине 3 см находится точечный источник
света, который начинает смещаться вдоль вертикали со скоростью 10"3м/с.
На дне кюветы находится плоское зеркало. Слой жидкости в кювете 4 см, а
на поверхности над источником света плавает черный диск радиусом 6 см.
Через какое время источник света станет видим для внешнего наблюдателя?
Показатель преломления жидкости п = у/2 .
Ответ: 10 с.
9.	В стеклянном блоке с показателем и = 1,5 имеется сферическая воз-
душная полость диаметром 1 см. На полость из воздуха направлен широкий
параллельный пучок лучей света. Определите диаметр части пучка света,
прошедшего в полость.
Ответ: 0,67 см.
10.	На торец стеклянного стержня пада-
ет свет под углом а. Каким должен быть
наименьший показатель преломления стек-
ла, чтобы свет, вошедший в стержень, не
мог выйти через его боковую стенку неза-
висимо от угла а ?
Ответ: 71 + sin2 а .
11.	Светящуюся точку, находящуюся в
среде с показателем преломления , рас-
сматривают невооруженным глазом из сре-
ды с показателем преломления п2, причем
пх < п2. Каково будет кажущееся расстоя-
ние точки до границы раздела сред, если
точка находится от этой границы на рас-
стоянии , а глаз находится так, что в него
попадают лучи, падающие на границу раз-
дела под небольшими углами.
Ответ: — -h$.
п\
12.	Положение звезды, видимое с Земли, немного отличается от истинно-
го из-за преломления лучей атмосферой. Определите абсолютную ошибку
при фиксировании углового положения звезды, видимой с Земли, под углом
а = 45° к вертикали. Среднее значение показателя преломления лучей атмо-
сферой считать равным п = 1,0003 .
Ответ: 1 мин.
204
Решение
Закон преломления -------= «, где Ду и
sin у
а = у + Ду стремятся к нулю.
sin а = sin (у + Ду ) = sin у cos Ду + sin Ду cos у.
Учитывая, что cos Ду = 1, a sin Ду = Ду , то
sin а = sin у + Ду cos у, «sin у = sin у + Ду cos у,
п = 1 + Ду cos у/sin у, Ду = («-l)tgy = п-1 = 3- 10"4рад « 1 мин.
Занятие 2. Смещение луча света в плоско-параллельной
ПЛАСТИНКЕ И ПРИЗМЕ
При прохождении луча света сквозь плос-
ко-параллельную пластинку происходит
двойное преломление луча на верхней и ниж-
ней границах ее. Выходя из пластины, луч
света линейно смещается на величину Дх,
оставаясь параллельным самому себе.
При прохождении луча света сквозь приз-
му происходит отклонение от первоначально-
го направления распространения. Угловое
смещение определяется углом отклонения о .
Задачи
1.	Определите боковое смещение луча после прохождения через плоско-
параллельную пластинку толщиной 6 см, имеющую показатель преломления
1,6. Угол падения 40°.
Ответ'. 1,85 см.
2.	На дне стакана, заполненного водой на 10 см, лежит монета. На каком
расстоянии от поверхности воды видит глаз наблюдателя монету? Показа-
тель преломления воды 4/3.
Ответ'. 7,5 см.
3.	Луч света, идущий от источника света, помещенного на дне водоема,
падает на поверхность воды под предельным углом полного отражения.
Можно ли будет увидеть этот луч, если на поверхность воды поместить
стеклянную пластинку с показателем преломления 1,5?
Ответ: Нет.
205
4.	Наблюдатель рассматривает горошину через толстое стекло, нижняя грань
которого расположена на расстоянии / = 5 см от горошины. Толщина стекла
Н = 3 см , коэффициент его преломления 1,5. Определите, на каком расстоянии
от нижней грани стекла находится видимое изображение горошины.
Ответ: 4 см.
5.	На грань стеклянной призмы с преломляющим углом 60° падает луч
света под углом 45°. Найдите угол преломления луча при выходе его из
призмы и угол отклонения луча от первоначального направления, если пока-
затель преломления стекла призмы п = 1,5 .
Ответ'. 53°; 38°.
6.	Для обращения изображения часто используют
призму, представляющую собой усеченную прямо-
угольную равнобедренную призму. Определите ми-
нимальную длину основания призмы, при которой
пучок света, целиком заполняющий боковую грань,
полностью пройдет через призму. Высота призмы
h = 2,1 см. Показатель преломления стекла п = 1,41.
Ответ'. 10 см.
7.	Сечение полости в стеклянном брусе имеет фор-
му равностороннего треугольника. Показатель стекла
х/з . Перпендикулярно грани падает луч света. Опре-
делите угол выхода луча из другой грани призмы.
Ответ'. 30°.
8.	На рисунке показан симметричный ход луча
в равнобедренной призме с углом при вершине
а = 30° (внутри призмы луч распространяется па-
раллельно основанию). Найдите угол отклонения
луча Р . Показатель преломления призмы п = 2.
Ответ'. 32°.
9.	Плоско-параллельная пластина толщиной d с
показателем преломления п2 находится в среде с
показателем преломления <п2. Луч света из
точки 5 падает на пластинку под углом ccj . На
сколько ближе будет казаться точка 5, если ее рас-
сматривать через пластинку под малым углом к
нормали?
Ответ'. Y = d(\-п}/П2).
206
Решение
х sin otj _ п2 sin у _ щ
sin а! ’ sin у п} ’ sina2 п2
-----= sin(ai -у),
АВ V 1 "
d
----= cosy,
АВ
_ <7sin(a1 -у) _ ^(sinot] cos у-sin у cos at)
cosy	cosy
. . d sin а, - и. cos a.
- d sin a.---.	 	1,
/2	2-2
yjn2 -n} sm Ct]
Л] cos aj
Г~2	2 ~
n2 -n} Sin CC] J
При очень малых углах у = d\ 1 - —
I П2.
Занятие 3. Построение изображений в линзах
Для построений изображений в линзах пользуются следующими положе-
ниями:
1.	Ход лучей света в линзах обратим.
2.	Луч, падающий параллельно главной оптической оси, после преломле-
ния проходит через главный фокус F.
3.	Луч, проходящий через оптический центр линзы О, не преломляется.
Задачи
1.	Из двух часовых стекол склеили «выпуклую» линзу. Как будет дейст-
вовать эта линза на пучок лучей света в воде? Ответ поясните рисунком.
2.	Когда с помощью собирающей линзы получается мнимое изображение
предмета? Ответ поясните построением хода световых лучей в линзе.
3.	В каком случае высота изображения, полученного с помощью соби-
рающей линзы, равна высоте предмета? Ответ пояснить построением хода
световых лучей в линзе.
4.	Дано: главная оптическая ось линзы MN, предмет АВ и его изобра-
жение А'В'. Определите центр линзы и её фокусное расстояние F (положе-
ние фокуса).
207
5.	Дано: главная оптическая ось линзы и ход одного из лучей. Определи-
те положение фокуса.
6. На рисунке дан луч, прошедший сквозь линзу с фокусным расстоянием
F. Построить ход луча до линзы.
7. На рисунке дан ход луча 1 в линзах. Найдите построением ход луча 2.
8.	Определите положение источника (см. рис. 3.1) S и его изображения
S' в рассеивающей линзе.
9.	Определите ход луча АВ в рассеивающей линзе (рис. 3.2).
Рис. 3.1
Рис. 3.2
10.	Постройте изображение данного предмета в линзе. Какое это изобра-
жение?
208
IF
A
2F
2F
A
2F
Занятие 4.
Оптическая сила линзы. Формула тонкой линзы
Линза — прозрачное тело, ограниченное
Двумя сферическими или сферической и пло-
ской поверхностями.
FOF— главная оптическая ось линзы;
АОВ — побочная ось линзы;
MFN— фокальная плоскость;
F— главный фокус линзы;
О — оптический центр линзы.
Собирающая линза превращает падающие
на нее параллельные лучи в пучок сходящих-
ся лучей.
Рассеивающая линза превращает падаю-
щие на нее параллельные лучи в пучок расхо-
дящихся лучей.
Расчет положения предмета и изображения
нием следующих формул:
±— = ±— ±------формула тонких линз, где d — расстояние до предмета,
в линзе связан с использова-
f— расстояние до изображения.
14 Зак. 51
209
— формула оптической силы линзы, где D дптр = — (диоптрии),
м
— абсолютный показатель преломления вещества линзы,
/?2 — абсолютный показатель преломления окружающей среды,
— радиусы кривизны сферических поверхностей линзы: «+» для
выпуклых, «-» для вогнутых.
Линейным увеличением называется отношение поперечного (или про-
дольного) изображения Н к размеру предмета h\
K = H/h = f/d.
Задачи
1.	Как изменится фокусное расстояние собирающей (рассеивающей) линзы,
если её поместить в оптическую среду (ореховое или коричное масло) с показа-
телем преломления п большим, чем показатель преломления стекла линзы?
2.	Чему равняется коэффициент преломления стекла, из которого изго-
товлена симметричная собирающая линза, если фокусное расстояние этой
линзы равно радиусу кривизны её поверхностей?
Ответ', л = 1,5 .
3.	Определите оптическую силу плосковыпуклой линзы, изготовленной
из материала с показателем преломления п = 2, если радиус сферической
поверхности линзы равен 1 м.
Ответ'. D = 1 дптр.
4.	Предмет помещён на расстоянии 40 см от собирающей линзы. Опреде-
лите оптическую силу линзы, если мнимое изображение предмета оказалось
на расстоянии 160 см от линзы.
Ответ '. D- 1,9 дптр.
5.	Оптическая сила собирающей линзы ровна 2 дптр. Мнимое изображе-
ние оказалось на расстоянии 2 м от линзы. На каком расстоянии от линзы
находится предмет?
Ответ', d = 40 см .
6.	Определите фокусное расстояние стеклянной линзы (/7 = 1,5), поме-
щенной в жидкость с показателем преломления 1,4, если ее фокусное рас-
стояние в воздухе Fq = 10 см.
Ответ: 70 см.
210
7.	На каком расстоянии от рассеивающей линзы с оптической силой
4 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось
в 5 раз меньше самого предмета?
Ответ', 1 м.
8.	На рисунке даны положения источника S
и его изображения Sj, полученного с помощью , / t
собирающей линзы, и ближайший к источнику	5j* --Х--......
фокус линзы F. SF = l;SS}=L. Определите	L
положение линзы и ее фокусное расстояние.
Ответ'. F = 4U-l\ d = 4u.
9.	Предмет и его прямое изображение расположены симметрично отно-
сительно фокуса линзы. Расстояние от предмета до фокуса / = 4 см . Найди-
те фокусное расстояние линзы.
Ответ'. 9,65 см.
10.	Расстояние между двумя точечными источниками / = 24 см . Где ме-
жду ними надо поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием
F = 9 см , чтобы изображение обоих источников получилось в одной точке?
Ответ'. d{ =6 см; d2 = 18 см.
Занятие 5. Расчёт положений предмета и изображения
в линзах
Задачи
1.	Чему равно линейное увеличение тонкой собирающей линзы, если рас-
стояние от предмета до линзы в три раза меньше её фокусного расстояния?
Ответ'. К = 3/2.
2.	С помощью линзы получают действительное изображение предмета с
увеличением К = 1,5 . Затем линзу передвигают на расстояние / = 12 см и
получают мнимое изображение такого же размера. Определите фокусное
расстояние линзы.
Ответ'. 9 см.
3.	Точечный источник света находится на оси собирающей линзы на рас-
стоянии d = 6 см от нее. Фокусное расстояние линзы F = 5 см . Линзу разре-
зали по диаметру на две равные части, которые раздвинули на расстояние
h = 1 см симметрично относительно оптической оси. Найдите расстояние Н
между изображениями источника света.
Ответ: 6 см.
14’
211
4.	Собирающая линза дает изображение некоторого предмета на экране.
Высота изображения при этом равна а. Оставляя неподвижным экран и пред-
мет, начинают двигать линзу и находят, что при втором четком изображении
предмета на экране высота изображения равна Ь. Определите высоту предмета.
Ответ', h = Jab.
5.	Предмет в виде отрезка длины L расположен на, главной оптической
оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F. Середина отрезка распо-
ложена на расстоянии а от линзы так, что линза дает действительное изо-
бражение всех точек предмета. Определите, во сколько раз длина изображе-
ния больше длины предмета?
4F2
Ответ: Г ----------т--
4(F-a)2-L2
6.	Вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием
F = 12 см расположен предмет, один конец которого находится на расстоя-
нии dx = 17,9 см от линзы, а другой конец — на расстоянии d2 = 18,1 см.
Определите продольное увеличение изображения предмета.
Ответ'. К =4.
7.	Чему равно наименьшее возможное расстояние So между предметом и
его действительным изображением, создаваемым с помощью собирающей
линзы с фокусным расстоянием F ?
Ответ '. 50 = 4F .
8.	На каком расстоянии от собирающей линзы надо поместить предмет,
чтобы расстояние между предметом и его действительным изображением
было минимальным? Фокусное расстояние линзы равно F.
Ответ: 2F.
9.	Расстояние между точечным источником света и экраном L. Между
ними помещается собирающая линза, которая дает на экране резкое изобра-
жение точечного источника при двух положениях линзы. Определите фо-
кусное расстояние F линзы, если расстояние между указанными положения-
ми линзы /.
Ответ: F = (L2-I2)/4L .
10.	С помощью линзы с фокусным расстоянием F на экране получают
уменьшенное и увеличенное изображение предмета, находящегося на рас-
стоянии L от экрана. Найдите отношение размеров изображений в обоих
случаях.
Ответ: Hf/Н2 = 16L2F2/(l + FF^4Lf}\
212
11.	Линза с фокусным расстоянием 12 см создает на экране изображение
предмета с увеличением, равным 9. Другая линза при том же расстоянии
между предметом и экранам дает увеличение, равное 3. Найдите фокусное
расстояние второй линзы.
Ответ'. 25 см.
Занятие 6. Оптические системы: линза и зеркало
Совокупность линз или линз и зеркал представляет собой оптическую
систему. Оптическая сила системы равна сумме оптических сил элементов,
входящих в систему, если элементы расположены вплотную'.
D = D}+D2+... .
Если система состоит из нескольких линз, отстоящих друг от друга на не-
котором расстоянии, то нахождение искомых величин идет последовательно:
1.	Строят изображение предмета в первой линзе, считая, что второй лин-
зы нет;
2.	Используя формулу линзы и формулу увеличения сразу рассчитывают
расстояние до первой и второй линзы;
3.	Первое изображение считают предметом для второй линзы и анало-
гично предыдущему находят построением и расчетом положение и размер
второго изображения и т.д.
В оптических системах, составленных из линзы и зеркала, независимо от
того, сложены они вместе (линзы с посеребренной поверхностью) или нахо-
дятся на расстоянии,
^сист =	+ ^3’
так как луч света дважды проходит через линзу. D3 — оптическая сила сфе-
рического зеркала радиусом кривизны R .
1	2
D3 =±— = ±— (+) — вогнутое сферическое зеркало. (-) — выпуклое
F3	R
сферическое зеркало.
Полное увеличение, даваемое оптической системой, равно произведению
увеличений, даваемых каждым элементом системы в отдельности
к = к\к2к3....
Задачи
1.	Плоскую поверхность плосковыпуклой линзы посеребрили (фокусное
расстояние линзы Fn). Найдите фокусное расстояние получившегося зерка-
ла. Свет падает со стороны стекла.
Ответ'. F= Fj2.
213
2.	Выпуклая сторона плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны R по-
серебрена. Свет падает на плоскую поверхность линзы. Фокусное расстоя-
ние такой оптической системы равно F. Определите показатель преломления
материала линзы.
Ответ', п =---.
2F
3.	Вогнутая сторона плосковогнутой линзы с радиусом кривизны R посе-
ребрена. Свет падает на плоскую поверхность линзы. Определите оптиче-
скую силу такой системы, если показатель преломления стекла линзы п.
Ответ'. D = -2п/R.
4.	Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 40 см заполнено водой
(/7 = 4/3). Найдите оптическую силу этой системы.
Ответ'. D-"ljiswp.
5.	Источник света расположен на двойном фокусном расстоянии от соби-
рающей линзы на её оси. За линзой перпендикулярно к оптической оси по-
мещено плоское зеркало. На каком расстоянии от линзы нужно поместить
зеркало, чтобы лучи, отражённые от зеркала, пройдя вторично через линзу,
стали параллельными.
Ответ'. 3F/2.
6.	Слева от собирающей линзы с фокусным расстоянием Л = 40см рас-
положен точечный источник света на расстоянии d = 60 см. Справа от линзы
на расстоянии / = 70 см расположено перпендикулярно главной оптической
оси плоское зеркало. Определите расстояние по отношению к линзе до дей-
ствительного и мнимого изображения источника света.
Ответ '. 20 см; 120 см.
7.	Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным рас-
стоянием F = 30 см и плоского зеркала, находящегося за линзой на расстоя-
нии в = 15 см от нее. Найдите положение изображения в этой системе, если
предмет находится перед линзой на расстоянии d} = 15 см от нее. Постройте
ход лучей.
Ответ: 60 см.
8.	Светящаяся точка 5 с по-
мощью линзы с фокусным рас-
стоянием F = 10 см и вращающе-
гося зеркала LL' проектируется
на круглый экран АЛ' . Опреде-
лите линейную скорость И, с ко-
214
торой перемещается изображение точки по экрану, если зеркало вращается
вокруг оси О с угловой скоростью со = 1 рад/с. Расстояние от центра линзы
до оси зеркала L = 300 см, расстояние от светящейся точки до центра линзы
d -10,2 см.
Ответ '. V = 4,2 м/с.
Занятие 7. Оптические системы линз
Задачи
1.	Расположите две линзы так, чтобы параллельные лучи, пройдя сквозь
обе линзы, оставались параллельными: а) в случае двух собирающих линз;
б) в случае одной рассеивающей и одной собирающей линзы.
2.	Две одинаковые тонкие собирающие линзы сложены вплотную так, что
главные оптические оси их совпадают. Эта система линз дает увеличение в
к = 4 раза действительного изображения предмета, помещенного на расстоя-
нии d = 25 см перед системой линз. Найдите оптическую силу одной линзы.
Ответ'. Dn =2,5 дптр.
3.	Две равнофокусные линзы: выпуклая и вогнутая с F = 80 см, находятся
одна от другой на расстоянии 80 см. Где нужно поместить светящуюся точку
перед выпуклой линзой, чтобы лучи, пройдя через обе линзы, вышли парал-
лельным пучком.
Ответ: 160 см.
4.	Точечный источник света помещен на оптической оси собирающей
линзы с фокусным расстоянием F = 0,2m на расстоянии 0,5 м от нее. По
другую сторону линзы в ее фокальной плоскости помещена рассеивающая
линза. Каким должно быть фокусное расстояние рассеивающей линзы, что-
бы мнимое изображение в ней источника совпало с самим источником?
Ответ: 0,1 м.
5.	Две тонкие линзы с фокусными расстояниями У7] =7 см и F2 =-6см
расположены на расстоянии / = 3 см друг от друга. На каком расстоянии от
второй линзы находится фокус системы?
Ответ: 2,4 см.
6.	Две тонкие выпуклые линзы с оптической силой D каждая расположе-
ны так, что центр одной лежит в фокусе другой линзы. На расстоянии 2F от
первой линзы расположен предмет. Где находится изображение?
Ответ: F/2.
215
7.	На расстоянии 25 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием
F] =20 см помещен предмет высотой 2 см. Вторая собирающая линза с фо-
кусным расстоянием F2 = 40 см расположена на расстоянии 1,5 м от первой.
Оптические оси обеих линз совпадают. Где расположено изображение пред-
мета в системе линз? Какова высота полученного изображения?
Ответ'. 2 м; 32 см.
8.	Параллельный пучок света падает на систему из трех тонких линз с
общей оптической осью. Фокусные расстояния линз соответственно равны
/ = 10 см, /2 = “20 см, /3 = 9 см. Расстояние между первой и второй линза-
ми 15 см, между второй и третьей 5 см. Определите положение точки схож-
дения пучка по выходе из системы линз.
Ответ'. Луч выйдет параллельным пучком.
Занятие 8. Оптические приборы
Глаз — оптическая система, дающая изображение предмета на светочув-
ствительной сетчатой оболочке глазного яблока.
Аккомодация — самопроизвольное изменение фокуса хрусталика глаза,
позволяющая получать изображение предмета на поверхности сетчатки, не-
зависимо от расстояния предмета до глаза.
Недостатки глаза: близорукость и дальнозоркость, которая устраняется
применением очков:
^СИСТ — ^ГЛ + ^ОЧ •
Расстояние наилучшего зрения dQ — максимальное расстояний, на кото-
рое глаз может аккомодироваться без утомления (d0 = 25 см).
Лупа (короткофокусная собирающая линза) — простейший прибор для
увеличения угла зрения.
Увеличение лупы: Г = — — при рассмотрении изображения неаккомо-
F
d.
дированным (настроенным на бесконечность) глазом; Г = — + 1 — при ак-
F
комодации глаза на расстояние наилучшего зрения.
Фотоаппарат и проекционный аппарат — оптические приборы для по-
лучения изображений.
Задачи
1.	Близоруким или дальнозорким является человек нормально видящий в
воде?
2.	Можно ли сфотографировать мнимое изображение?
216
3.	Человек, сняв очки, читал книгу, держа ее на расстоянии 16 см от глаз.
Какой оптической силы были у него очки?
Ответ'. -2,25 дптр.
4.	Для ликвидации недостатка зрения человек пользовался очками с оп-
тической силой +2,75 дптр. Каков ближайший предел аккомодации глаза
дальнозоркого человека?
Ответ'. 78 см.
5.	На сколько меняется сила хрусталика глаза за счёт его аккомодации
при переводе взгляда со звезды на книгу, находящуюся на расстоянии наи-
лучшего зрения?
Ответ'. 4 дптр.
6.	Лупа дает угловое увеличение в 10 раз рассматриваемого объекта. Оп-
ределите ее фокусное расстояние.
Ответ'. 2,5 см.
7.	При пользовании лупой человек с нормальным зрением помещает
предмет на расстоянии 3,8 см от ее центра. Какое увеличение дает лупа? Ка-
кова ее оптическая сила?
Ответ'. 5,5; 22 дптр.
8.	Для топографической съемки с самолета, летящего на высоте 2 км, не-
обходимо получить снимок в масштабе 1:4000. Каково должно быть фокус-
ное расстояние объектива фотоаппарата?
Ответ: 50 см.
9.	Бегун был сфотографирован с расстояния / = 10м фотоаппаратом,
имеющим объектив с фокусным расстоянием F = 50 мм. Размытие деталей
изображения на пленке оказалось равным d -1 мм. Время экспозиции
т = 0,02 с. Определите скорость бегуна.
Ответ'. 10м/с .
10.	В течение какого времени может быть открыт затвор фотоаппарата
при съемке прыжка в воду с вышки высотой 5 м? Фотографируется момент
погружения в воду. Фотограф находится на расстоянии 10 м от прыгуна.
Фокусное расстояние объектива фотоаппарата 10 мм. На негативе допустимо
размытие изображения 0,5 мм.
Ответ'. 5-10“2с.
11.	Изображение предмета на матовом стекле фотоаппарата при фото-
графировании с расстояния 15 м получилось высотой 30 мм, а с расстояния
9 м — 51 мм. Найдите фокусное расстояние объектива.
Ответ'. 3/7м.
217
12.	Фокусное расстояние объектива проекционного фонаря 0,25 м. Какое
увеличение диапозитива дает фонарь, если экран удален от объектива на
расстояние 2 м?
Ответ'. 7.
13.	Демонстрация кинофильма происходит в зале длиной L = 20 м. Раз-
меры экрана 3,6x4,8 м2. Определите фокусное расстояние объектива кино-
проектора. Размеры кадра на кинопленке: 18x24 мм2.
Ответ'. 9,95 см.
Занятие 9. Волновые свойства света
1.	Интерференция света — пространственное перераспределение энер-
гии светового излучения при наложении двух или нескольких когерентных
световых волн, т.е. волн, имеющих одинаковые частоты и постоянную раз-
ность фаз.
пг — оптическая длина пути света.
А = и(г2 ~Г\) — оптическая разность хода лучей.
Условия интерференции:
А 2ЬЬ	А (2£ + 1)Х
А = — -----максимум; А = -—— -------минимум,
где к = 0,1,2,3....
2.	Дифракция света — огибание светом препятствий (отклонение при
распространении от законов геометрической оптики).
Дифракционная решетка — оптический прибор, представляющий собой
совокупность большого числа узких параллельных щелей, имеющих одина-
ковую ширину и расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.
d = (а + Z?) — период дифракционной решетки.
dsin а = к • X — формула решетки.
3.	Дисперсия света — зависимость показателя преломления п вещества
от частоты (длины волны X) света или зависимость фазовой скорости све-
товых волн от их частоты: п = /(v,X).
Дисперсия называется нормальной, если показатель преломления возрас-
тает с увеличением частоты (уменьшением X). В противном случае диспер-
сия называется аномальной.
4.	Поляризация света — явление выделения из всей совокупности коле-
баний векторов Е и Н естественного света единственной плоскости коле-
баний данных векторов. Данное явление служит доказательством поперечно-
сти световых волн.
218
Задачи
1.	Фронт волны зеленого света прошел в стекле путь, равный 4 см. Какой
путь пройдет свет за то же время в воде? Показатель преломления воды 4/3,
а стекла 3 / 2 .
Ответ'. 4,5 см.
2.	При какой минимальной оптической разности хода две когерентные
световые волны с длиной волны Х = 0,6мкм будут ослаблять друг друга при
интерференции?
Ответ'. 3-10“7м .
3.	Равнобедренная стеклянная призма с малыми уг-
лами преломления помещена в параллельный пучок лу-
чей, падающих нормально к ее основанию. Показатель
преломления стекла призмы и = 1,57, размер основания	А
2а = 5 см. Найдите угол преломления а, если в середи- ' 1
не экрана, расположенного на расстоянии L = 100 см от 
призмы, образуется темная полоса ширины 2d = 1 см .
Ответ'. 3°.
4.	Найдите наибольший порядок спектра для желтой линии натрия с дли-
ной волны 589 нм, если период дифракционной решетки равен 2 мкм.
Ответ: к = 3.
5.	Дифракционная решетка содержит 120 штрихов на 1 мм. Найдите дли-
ну волны монохроматического света, падающего нормально на решетку,
если угол между двумя спектрами первого порядка равен 8°.
Ответ'. 580 нм.
6.	При помощи дифракционной решетки с периодом 0,02 мм получено
первое дифракционное изображение на расстоянии 3,6 см от центрального и
на расстоянии 1,8 м от решетки. Найдите длину световой волны.
Ответ'. 400 нм.
7.	Определите угол отклонения лучей зеленого света Х = 0,55 мкм в
спектре первого порядка, полученном с помощью дифракционной решетки,
период которой d = 0,02 мм .
Ответ'. 1,57°.
8.	При нормальном падении на дифракционную решетку света паров
натрия (X = 589 нм) оказалось, что на экране спектр третьего порядка рас-
положен на расстоянии L{ =6,5 см от центра дифракционной картины.
219
Определите период решетки, если она расположена на расстоянии
L2 = 1,5 м от экрана.
Ответ: 4,1 -10~5м .
9.	На стеклянный клин с углом а = 2° перпендикулярно грани клина па-
дает луч белого света. На какой угол р разойдутся после выхода из клина
красный и фиолетовый лучи вследствие дисперсии? Показатель преломле-
ния стекла для красных лучей = 1,74, а для фиолетовых = 1,8 . Счи-
тать sin ос ~ ос.
Ответ'. 0,12°.
10.	В спектре излучения аргонового лазера наиболее интенсивными явля-
ются линии с длинами волн X] = 488 нм и Х2 = 515 нм . При каких углах пре-
ломления а призмы, поставленной на пути лучей, из призмы выйдет пучок,
содержащий компоненту Х2 и не содержащий компоненту ? На первую
грань призмы лучи падают нормально. Зависимость показателя преломления
призмы от длины волны имеет вид п = 1 +-^-, где а = 2,38 • 109 см2.
X2
Ответ '. 30° < ос < 31°45'.
11.	На плоскопараллельную стеклянную пла-
стинку под углом а падает пучок света шириной
а, содержащий две спектральные компоненты с
длинами волн Xq и Х2. Показатели преломления
стекла длй этих длин волн различны: пх (для X])
и п2 (для Х2). Определите минимальную тол-
щину пластинки, при которой свет, пройдя через
нее, будет распространяться в виде двух отдель-
ных пучков, каждый из которых содержит только
одну спектральную компоненту.
Ответ'.
_1_
2
Решение
Закон преломления для каждой длины волны X:
sin a	sin а
--	= пл\ --= л2.
sin у!--------smy2
220
Толщину пластинки определим из условия:
t/tgyj +x = 4/tgy2,
где I = tg Yi (см. рис.),
а
х =------,
cos а
d ~ х - а
tgYa-tgYi cosa(tgy2-tgy1)’
а
tgYi
(	• 2 \
sin Y] _ sm а sin a
cosyi n} и? ,
Подставляя в уравнение (1), находим толщину пластинки:
Занятие 10. Квантовые свойства света. Фотоэффект.
Давление света
Фотон — элементарная частица, квант электромагнитного излучения.
Свет рассматривается как поток фотонов с энергией
, he	_
Бу = hv = — и импульсом pj -т^с,
-34	£ f hv
где h = 6,62 10 Дж с — постоянная Планка, Wy =-у = — — движу-
сь с1
щаяся масса фотона, масса покоя фотона равна нулю.
Для монохроматического света у всех фотонов с частотой v одинаковы
энергия, масса и импульс.
Фотоэффект — испускание электронов веществом под действием элек-
тромагнитного излучения:
внешний (фотоэлектронная эмиссия) — электроны выходят за пределы
освещаемого вещества,
внутренний — электроны остаются внутри освещаемого вещества, уве-
личивая его электропроводность.
Законы Столетова для внешнего фотоэффекта:
1.	Фототок насыщения для данного катода прямо пропорционален мощ-
ности Ф излучения: /н = кФ, где к — фоточувствительность катода.
221
2.	Скорость фотоэлектронов возрастает с увеличением частоты падающе-
го света и не зависит от его интенсивности.
3,	Независимо от интенсивности света фотоэффект начинается только
при определенной минимальной частоте света v0, называемой красной гра-
ницей фотоэффекта.
Закон (уравнение) Эйнштейна: энергия фотона hv, поглощенная элек-
троном, расходуется на совершение электроном работы выхода А и сооб-
щение кинетической энергии фотоэлектрону
где A = hvQ.
Давлением света называется механическое действие, производимое элек-
тромагнитными волнами при падении на какую-либо поверхность:
FF(l + p)
Р =--z----,
с
где W = nhv — энергия излучения, падающего на единицу площади поверх-
ности за 1 с, р — коэффициент отражения поверхности (р = 0 — для абсо-
лютно черного тела, р = 1 для абсолютно отражающего тела).
Задачи
1.	Определите предельный угол полного внутреннего отражения для сре-
ды, в которой свет с энергией фотона Е = 4,4 10"19 Дж имеет длину волны
Х = 310”7м.
Ответ', arcsin 2/3.
2.	Найдите массу, импулье и энергию фотона красных лучей света, для
которых Х = 7 10~5см.
Ответ: 3,210'36кг; 9,610~28 кг-м/с; 28,81О’20 Дж.
3.	Максимальная энергия электронов, вырываемых светом с поверхности
металла, равна 2,9 10"19 Дж. Определите длину волны света, если работа
выхода электрона из этого металла равна 2 эВ.
Ответ'. X = 3,2-10"7 м.
4.	Определите максимальную кинетическую энергия электронов, выры-
ваемых с поверхности металла при облучении его ультрафиолетовым излу-
чением с длиной волны 200 нм, если работа выхода электрона из этого ме-
талла равна 4 • 10-19 Дж.
Ответ '. 5,9 • 10"19 Дж.
222
5.	Определите энергию у -кванта, если соответствующая ему длина вол-
ны X = 1,6-10"12 м.
Ответ: 12,4-10"14 Дж.
6.	Энергия скольких фотонов с длиной волны X = 0,5 мкм равна энергии
неподвижного электрона?
Ответ : 205 • 103.
7.	Энергия скольких фотонов с длиной волны Х = 0,5 мкм равна полной
энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 100 В ?
Ответ: 4-Ю3.
8.	Сколько квантов излучает за одну секунду гелий-неоновый лазер мощ-
ностью Р -10мВТ ? Длина волны, излучаемая лазером, X = 0,6 мкм.
Ответ: 31016 Ф/с.
9.	Фотон рентгеновского излучения с длиной волны X = 2,410-11 м при
рассеянии на электроне передал ему 20% своей энергии. Определите частоту
рассеянного излучения.
Ответ: v = 1019 Гц.
10.	Вольфрамовый шарик радиусом 10 см, находящийся в вакууме, облу-
чается светом с X = 2000 А . Определите установившийся заряд шарика, если
работа выхода для вольфрама /1 = 4,5 эВ. (1А = Ю~10м.)
Ответ: q = 1,02 1О-10Кл.
11.	Определите наибольшую длину волны света, облучение которым по-
верхности меди ещё может вызвать фотоэффект. Работа выхода электрона из
меди >1 = 4 эВ.
Ответ: 3,1 • 10"7 м.
12.	Катод фотоэлемента освещается монохроматическим светом с длиной
волны X. При отрицательном потенциале на аноде щ =-1,6 В ток в цепи
прекращается. При изменении длины волны света в 1,5 раза для прекраще-
ния тока потребовалось подать на анод отрицательный потенциал
и2 = -1,8 В. Определите работу выхода материала катода.
Ответ: 1,9-КГ19 Дж.
13.	Какую задерживающую разность потенциалов надо приложить к фо-
тоэлементу, чтобы «остановить» электроны, испускаемые вольфрамом под
223
действием ультрафиолетовых лучей с длиной волны 130 нм? Работа выхода
электрона из вольфрама 4,5 эВ.
Ответ'. 5 В.
14.	При исследовании вакуумного фото-
элемента оказалось, что при освещении ка-
тода светом частотой v0 = 1015 Гц фототок с
поверхности катода прекращается при за-
держивающей разности потенциалов
U3 = 2 В между катодом и анодом. Опреде-
лите работу выхода материала катода.
Ответ'. 2,1 эВ.
15.	Свет с длиной волны X = 0,66 мкм падает нормально на поверхность.
Какой импульс передает этой поверхности световой фотон, если поверх-
ность:
а)	полностью отражает свет;
б)	полностью поглощает свет.
Ответ', а) 2-Ю"27 кг-м/с; б) 10"27 кг-м/с.
16.	Пучок света с длиной волны Х = 4900 А, падая перпендикулярно по-
верхности, производит давление 5-10~6Па. Коэффициент отражения по-
верхности р = 0,25. Сколько фотонов падает ежесекундно на единицу пло-
щади этой поверхности?
Ответ'. 3-1021.
224
АТОМ И ЯДРО
Занятие 1. Строение атома. Постулаты Бора.
Сериальные закономерности
Строение атома — электронная оболочка и ядро (Я =10~14 -10~15 м,
А = 10~|0м).
Электронная оболочка — совокупность электронов с одинаковыми глав-
ными квантовыми числами п и орбитальными квантовыми числами /. Она
не имеет строго определенных границ и размеры атома зависят от способов
их определения.
Поведение электронов в атоме достаточно точно описывается с помощью
четырех квантовых чисел:
п — главное квантовое число,
I —орбитальное квантовое число,
mt — магнитное квантовое число,
ms — спиновое квантовое число.
Распределение электронов в атоме осуществляется на основе двух прин-
ципов:
1. Принцип Паули\ невозможно существование в атоме или группе атомов
более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел:
N=2«2,
где W — число электронов в атоме, п — главное квантовое число.
2. Принцип минимума энергии', распределение электронов в атоме должно
соответствовать минимуму энергии атома.
Постулаты Бора
1. Электроны могут двигаться в атоме только по определенным орби-
там, находясь на которых, они, несмотря на наличие у них ускорения, не
излучают.
Эти орбиты соответствуют стационарным (основным) состояниям элек-
тронов в атоме и определяются условием
15 Зак. 51
225
где rn — радиус и-й орбиты, те -vn -гп — момент импульса движения элек-
трона на этой орбите, п — порядковый номер, соответствующий главному
квантовому числу, h — постоянная Планка.
Отношение радиусов стационарных орбит электронов в атоме подчиня-
ется равенству
q :г2	=12 :22 :32	л2.
2. Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии при
переходе из одного стационарного состояния в другое.
hv =	- W2 — энергия кванта равна разности энергий до и после перехода.
Энергия атома в стационарном состоянии:
Энергетический уровень — графическое изображение значений энергии
стационарных состояний атома.
Атом в основном (стационарном) состоянии может только поглощать
кванты энергии, а в возбужденном — как поглощать, так и испускать.
Совокупность частот (или X) возможных переходов атома с излучением
определяет оптический спектр атома. Атомные спектры — линейчатые.
Длины волн такого спектра для атома водорода описываются сериальной
формулой
где п2 >щ — главные квантовые числа, R'= 1,097 107 м 1 — постоянная
Ридберга.
Задачи
1.	Пользуясь теорией Бора, определите для атома водорода радиус первой
орбиты электрона и его скорость на ней.
Ответ: О,531О-,ом; 2,2-106 м/с.
2.	Определите напряженность и потенциал поля ядра атома водорода на
первой боровской орбите.
Ответ: 5,1310" В/м;27,2 В.
3.	Определите кинетическую, потенциальную и полную энергию элек-
о
трона, находящегося на первой орбите в атоме водорода. r} =0,53 А.
Ответ'. 13,6 эВ;-27,2 эВ;-13,6 эВ.
226
4.	Определите, возможна ли ионизация невозбужденного атома водорода
внешним электрическим полем напряженностью Е = 108 В/м .
Ответ', нет.
5.	Определите потенциал ионизации атома водорода и первый потенциал
возбуждения атома водорода. = 0,53 А .
Ответ'. 13,6 В; 10,2В.
6.	Резерфорд и Бор предложили модель атома водорода, в которой элек-
трон вращается по круговой орбите вокруг небольшого положительно заря-
женного ядра. При переходе с одной орбиты на другую, расположенную
ближе к ядру, атом испускает фотон. Какова энергия фотона, испущенного
атомом водорода при переходе электрона с орбиты радиуса г2 = 2,1-10"8см
на орбиту радиуса = 5,3 -10-9 см? Заряд электрона е = 1,6-10"19Кл.
Ответ'. 1,63-Ю"18 Дж.
7.	При переходе электрона в атоме водорода с третьей стационарной ор-
биты на вторую излучаются фотоны, соответствующие длине волны
Х = 0,625 мкм (красная линия водородного спектра). Какую энергию теряет
при этом атом водорода?
Ответ'. ДЕ = 3-10~19 Дж.
8.	При переходе электрона в атоме водорода с одной стационарной орби-
ты на другую его энергия уменьшилась на ДЕ = 310-19 Дж. Какова длина
волны света, испущенного при этом атомом?
Ответ: 6,6-10"7 м.
9.	Полная энергия ионизации атома водорода Е, =13,6 эВ. Определите
минимальную энергию фотона, излученного атомом водорода в области ви-
димого света, при переходе с третьей орбиты на вторую.
Ответ: 1,89 эВ.
10.	Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с
X = 1215 А. Определите круговую частоту обращения электрона в возбуж-
денном атоме водорода и энергию этого стационарного состояния.
Ответ: 1,55-1016 рад/с ; 5,4-10“19Дж.
11.	Определите энергию и импульс фотона, испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода с третьей орбиты на первую.
Ответ: 1,77-Ю"18 Дж; 6,47-10"27 кг-м/с.
15’
227
Занятие 2. Строение ядра. Радиоактивность.
Энергия связи атомных ядер
Ядро — устойчивая система нуклонов: протонов и нейтронов. Его важ-
нейшие характеристики — заряд Z и масса Мя.
Число нейтронов в ядре п = А - Z , где А — массовое число.
Нуклоны в ядре связаны между собой особыми силами притяжения —
ядерными силами (сильное взаимодействие). Их свойства', короткодейст-
вующие, зарядовонезависимые, обладают насыщением.
Ядра легких элементов наиболее устойчивы. Тяжёлые ядра, перегружен-
ные нейтронами, неустойчивы и способны к самопроизвольному распаду,
образуя новые ядра и частицы. Такое свойство ядер называется радиоактив-
ностью.
При радиоактивном распаде возникает излучение трёх видов:
а -излучение — поток ядер атомов гелия;
р -излучение — поток быстрых электронов или позитронов;
у -излучение — поток фотонов высокой частоты.
Правила смещения:
1	.При а-распаде массовое число уменьшается на 4, а заряд ядра на
2 единицы, поэтому элемент по таблице Менделеева смещается на два номе-
ра влево с уменьшением массового числа на 4 единицы.
2	. При р -распаде — элемент смещается на один номер вправо без изме-
/ нения массового числа, заряд ядра возрастает на единицу.
Закон радиоактивного распада:
/
N = Noe~)J или N = N02~,
где Nq — начальное число ядер, N — конечное число ядер в момент време-
1п2
ни /, Т =------период полураспада — время, в течение которого количество
X
атомов исходного элемента уменьшится вдвое, X — постоянная распада.
Среднее время жизни радиоактивного атома т = 1 / X, или
Т
т=---= 1,447.
1п2
Активность элемента
Л ХГ X, 1п2
а = XN - N----.
Т
Ядерная реакция — процесс превращения атомных ядер, обусловленный
воздействием на них быстрых элементарных частиц.
В ходе ядерной реакции выполняются законы сохранения: числа нукло-
нов, электрического заряда, полной релятивистской энергии, механического
импульса.
228
Дефект масс — разность между суммою масс покоя нуклонов и массою
ядра Мя:
Д/7? = Zmp + (A -Z)mn - Мя .
Энергия связи ядра
ДЕСВ = А/л с1.
Атомные ядра, как и атомы, имеют дискретные значения энергии.
Цепная реакция — процесс, в котором определённая реакция вызывает
последующие реакции такого же типа. Условия её протекания:
1.	Отсутствие примесей, поглощающих нейтроны.
2.	Наличие критической массы вещества в критическом объёме.
3.	Достаточная для деления ядер скорость нейтронов.
Энергия ядерной реакции — энергия, выделяющаяся при каждом ядерном
превращении:
£ = с2
где — сумма масс частиц, вступивших в ядерную реакцию, ^т2 —
сумма масс образовавшихся частиц.
Задачи
1.	Сколько происходит а- и р-распадов при радиоактивном распаде
92 U238 , если он превращается в 82 РЬ198 ?
Ответ'. 10.
2.	В периодической системе элементов рядом распо-
ложены три элемента, условно обозначенные на рисунке
а, Ь, с. Радиоактивный изотоп элемента а превращается
в элемент 6; тот, в свою очередь, в элемент с. Последний
превращается в изотоп исходного элемента а. Какими процессами обуслов-
лены переходы 6, д -> с, с -> я ?
3.	Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за 8 дней.
Найдите период полураспада.
Ответ’. 4 дня.
4.	Вычислите дефект массы ядра азота l;N, если: тр = 1,00728а.е.м.,
тп =1,00866 а.е.м., Мя = 14,0007 а.е.м.
Ответ-. 1,822348 10’28 кг.
5.	Вычислить энергию связи ядра азота.
Ответ’. 102,3 МэВ.
229
6.	Ядро какого элемента получается при взаимодействии нейтрона с про-
тоном, сопровождающемся выделением у -кванта? Напишите реакцию.
7.	При бомбардировке нейтронами атома азота 14 N испускается протон.
В ядро какого изотопа превращается ядро азота? Напишите реакцию.
8.	Ядро тория 90Th230 превратилось в ядро радия 88Ra226 ..Какую частицу
выбросило ядро тория? Напишите реакцию.
9.	При взаимодействии атома дейтерия с ядром бериллия 4 Be испускает-
ся нейтрон. Напишите ядерную реакцию.
10.	Допишите реакцию:
1 $ В 4- Q и —> ?+ з Li.
11.	При взаимодействии ядра изотопа лития ^Li и протона образуются
две одинаковые частицы и выделяется 17,3 МэВ энергии. Определите пол-
ную энергию, которая выделится, если с протонами прореагируют ядра, со-
держащиеся в 1 г изотопа лития.
Опгвет\ 26,4 1О10 Дж.
12.	При захвате нейтрона ядром изотопа лития 3Li образуется ядро три-
тия ]Н, неизвестная частица и выделяется Д£ = 4,8МэВ энергии. Опреде-
лите энергию продуктов реакции. Кинетической энергией исходных частиц
пренебречь.
Ответ'. Етр =2,74 МэВ, Еа=2,06МэВ.
13.	При слиянии ядер дейтерия и лития выделяется энергия \Е - 3,37 МэВ,
образуется ядро берилия \ Be и неизвестная частица. Считая кинетическую
энергию исходных частиц пренебрежимо малой, найдите распределение энер-
гии между продуктами реакции.
Ответ'. Е„= 2,95 МэВ, £Ве = 0,42 МэВ.
14.	При бомбардировке лития (Li) протонами он превращается в гелий
(4 Не). Определите объем гелия, образовавшегося из т = 1 г лития, если ге-
лий в конце опыта имеет температуру / = 30°С и давление Р = 9,3 104 Па.
Ответ'. V = 7,7-10"3 м3.
15.	Известно, что М = 1 г радия за время т = 1 с дает 3,7• 1010 ядер гелия.
Каково будет давление гелия, образующегося в герметичной ампуле объема
V - 1 см3, в которой в течение года находилось т = 100 мг радия? Темпера-
тура ампулы Z = 15°C.
Ответ'. Р = 4,67• 103 Па.
230
16.	В микрокалориметр с теплоёмкостью С = 100 Дж/К помещен т = 1 мг
изотопа кремния (атомная масса А = 31). При распаде ядра 3lSi выделяется
энергия 2 = 4,4 10’19 Дж. Период полураспада изотопа кремния
т1/2 =2 часа 36 мин. На сколько повысится температура калориметра через
52 минуты после начала опыта?
Ответ'. 0,017 К.
Решение
Время опыта составляет 1/3 полупериода: t = Ti2/3 . Оставшаяся масса:
т = mQ -2",/3 « О,8/ио. Следовательно распалось: О,2шо, или 0,2мг кремния.
Уравнение баланса:
А С At = 0,2mQN aQ , отсюда:
Д/=^^£ = 0,017 К.
КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
1.	Два одинаковых шарика начали одновременно
двигаться с одинаковой скоростью по абсолютно
гладким сферическим поверхностям. Будет ли отли-
чаться время движения каждого шарика к моменту
их прибытия в точку В? Ответ поясните.
2.	Тело соскальзывает из точки А в точку В один
раз по дуге АМВ, другой раз по дуге АКВ. Коэф-
фициент трения один и тот же. В каком случае ско-
рость тела в точке В больше?
3.	Почему при больших скоростях автомобиль
иногда «заносит» на повороте?
4.	На рис. дан график скорости тела,
движущегося прямолинейно. Постройте
график его перемещения и ускорения, если
треугольники ОАВ, ВСД, ДЕК равны.
5.	В какой вид энергии переходит кине-
тическая энергия автомобиля при его тор-
можении?
6.	Брусок скользит по наклонной плоско-
сти MN , преодолевая трение, находясь в по-
ложении В. Будет ли скользить брусок по на-
клонной плоскости в положении А (если он в
этом положении не опрокидывается)?
7.	Куда направлено центростремительное ускорение тела, лежащего на
поверхности Земли и вращающегося вместе с нею?
8.	Камень бросили вертикально вверх. Как направлено ускорение во
время полета камня вверх и вниз?
9.	В два круглых стакана различных диаметров наливают жидкость.
Одинаковы ли результирующие силы давления жидкости на дно стаканов в
случае равенства объемов жидкости в них? Ответ поясните.
10.	В какой воде, морской или речной, легче плавать? Ответ поясните.
Объясните в чем состоит условие плавания тел.
11.	Как объяснить независимость давления насыщенного пара от объема,
в котором он находится?
12.	Объясните, основываясь на молекулярно-кинетической теории иде-
ального газа, почему при адиабатическом расширении идеального газа (или
сжатии) его температура понижается (повышается)?
232
13.	Благодаря какому виду теплопередачи
можно греться у костра?
14.	Как меняется внутренняя энергия рези-
нового шнура при его растяжении?
15.	В каком из изображенных на рисунке
процессов (1-2; 1-3; 1-4; 1-5; 1-6), проведен-'
ных с постоянной массой идеального газа,
температура газа достигает наименьшей вели-
чины? Кривая 2-1-6 описывается уравнением
РУ = const. Ответ обосновать.
16.	Нарисуйте график адиабатного процес-
са в координатах Р - V .
17.	В каком из трех процессов газ совер-
шил наибольшую (наименьшую) работу? От-
вет поясните.
18.	Какой цифрой обозначена сторонняя си-
ла, действующая на положительный заряд ц,
находящийся в пространстве между обкладками
источника постоянного тока? Ответ обосновать.
19.	Что такое электрон-вольт? Каково его соотношение с джоулем?
20.	Нарисуйте схематически устройство вакуумной лампы — диода, триода.
Для каких целей может использоваться вакуумный диод? вакуумный триод?
21.	С помощью силовых линий напряженности изобразите электростати-
ческое поле в плоском заряженном конденсаторе.
22.	Как направлено по отношению к направлению тока в проводнике вихре-
вое электрическое поле при увеличении силы тока? Ответ поясните рисунком.
23.	При каком условии магнитное поле оказывает силовое действие на
заряженную частицу? Ответ поясните рисунком.
24.	Что такое полупроводниковый диод? Каково его практическое при-
менение?
25.	Какой ток через р-п переход называют прямым? обратным?
26.	Нарисуйте вольт-амперную характеристику р-п перехода и объяс-
ните её особенности.
27.	Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и плос-
кого воздушного конденсатора, настроен на частоту электромагнитных коле-
баний V]. Как изменится частота этих колебаний, если:
а)	расстояние между обкладками конденсатора увеличить в 2 раза,
б)	расстояние между обкладками конденсатора уменьшить в 4 раза,
в)	конденсатор заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемо-
стью е. Ответ пояснить.
28.	К батарее аккумуляторов присоединены параллельно две цепи. Одна
содержит лампы накаливания, другая — большой электромагнит. Величина
тока в обеих цепях одна и та же. При размыкании какой из цепей будет на-
блюдаться более сильная искра, почему?
233
29.	В чем состоит физический смысл абсолютного показателя преломле-
ния? относительного показателя преломления света?
30.	Приведите пример практического применения явления полного внут-
реннего отражения света.
31.	Сделав чертеж, объясните сущность полного внутреннего отражения
света.
32.	Нарисуйте ход световых лучей в стеклянной равнобедренной прямо-
угольной призме в случае, когда в результате полного отражения направле-
ние распространения светового пучка меняется на 180°.
33	.В какой среде скорость распространения
света больше, если световой луч преломляется как
показано на рисунке? Ответ поясните.
34.	Может ли свет полностью отразиться от гра-
ницы раздела двух прозрачных сред? Ответ поясните.
35.	Постройте изображение предмета П в плос-
ком зеркале.
36.	Какая среда имеет больший показатель пре-
ломления, если световой луч преломляется как по-
казано на рисунке? Ответ поясните. Может ли свет
полностью отразиться от границы раздела двух
прозрачных сред? Ответ поясните.
37.	Можно ли с помощью собирающей линзы получить мнимое изобра-
жение? Постройте ход световых лучей.
38.	Можно ли с помощью собирающей линзы получить уменьшенное
изображение предмета? Ответ поясните построением хода световых лучей.
39.	Фотонная ракета движется от Солнца со скоростью, равной половине
скорости света в вакууме. С какой скоростью относительно ракеты распро-
страняется свет, испущенный солнцем?
40.	Почему не наблюдается фотоэффект при освещении медной пластин-
ки красным светом?
41.	Почему отрицательно заряженный металлический шар быстро разря-
жается, если его осветить светом?
42.	Какое излучение используется в биноклях и прицелах «ночного виде-
ния»? Где расположено это излучение на шкале электромагнитных волн?
43.	Почему люди загорают особенно быстро высоко в горах?
44.	В чем сущность планетарной модели атома? Начертите ее схему.
45.	Объясните причину рассеяния а -частиц атомами вещества.
46.	В какое ядро превращается ядро полония 84 Ро212
после а-распада? Ядро 92U238 после а-распада?
Ез 47. На рис. представлена схема энергетических
•Е2 уровней атома водорода. Какой цифрой обозначен
переход с излучением фотона, имеющего максималь-
Е| ный импульс? Ответ обосновать.
4
2
234
ЛИТЕРАТУРА
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.	ГольдфарбП.И. Сборник вопросов и задач по физике. — М., 1988. — 386 с.
2.	Гурский И.П. Элементарная физика с примерами решения задач. —
М.: Наука, 1984.—448 с.
3.	Меледин Г.В. Физика в задачах. — М.: Наука, 1980. — 208 с.
4.	Сборник задач по физике / Под ред. С.М. Козела. — М., 1990. — 352 с.
5.	Сборник задач по физике / Под ред. Б.Б. Буховцева: Пособие для самооб-
разования.— М.: Наука, 1987. — 416 с.
6.	Лекционный материал.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ..................................................... 3
1.	Скаляры и векторы ................................................ 3
2.	Предел ..........................................................  5
3.	Производная и дифференциал........................................ 5
4.	Интеграл.......................................................... 6
х 5. Координаты....................................................... 6
6.	Формулы тригонометрии............................................. 6
7.	Таблицы........................................................... 7
Занятие 1.	Элементы математики....................... 8
Задачи	................................. 8
МЕХАНИКА ............................................................... 10
Кинематика.............................................................. 10
Основные понятия и определения....................................... 10
Занятие 1.	Средняя путевая и средняя скорость перемещения.......... 11
Задачи	................................. 11
Занятие 2.	Скорость сложного движения.................... 13
Задачи	................................. 13
Занятие 3.	Относительная скорость...................... 15
Задачи	................................. 15
Занятие 4.	Равномерное прямолинейное движение................ 16
Задачи	................................. 17
Занятие 5.	Равнопеременное движение..................... 18
Задачи	................................. 19
Занятие 6.	Графики равнопеременного движения ............... 20
Задачи	................................. 21
Занятие 7.	Свободное падение тел...................... 24
Задачи	................................. 24
Занятие 8.	Движение вертикально вверх................... 26
Задачи	................................. 26
Занятие 9.	Движение тела по параболе.................... 27
Задачи	................................. 28
Занятие 10.	Движение по окружности. Вращательное движение......... 29
Задачи	................................. 30
ДИНАМИКА ............................................................... 32
Схема решения задач динамики......................................... 33
Занятие 1. Динамика поступательного движения
в горизонтальном и вертикальном направлениях............................ 33
Задачи	................................. 33
Занятие 2.	Динамика поступательного движения по наклонной плоскости..... 35
Задачи	................................. 35
Занятие 3.	Динамика движения тел в системе................. 36
Задачи	................................. 37
236
Занятие 4. Динамика движения тела по окружности................... 43
Задачи ........................................................ 43
Занятие 5. Тяготение. Спутники.................................... 45
Задачи ........................................................ 46
СТАТИКА........................................................... 48
Основные понятия, определения.................................. 48
Виды равновесия. Устойчивость тел.............................. 48
Занятие 1. Центр тяжести (центр масс)............................. 49
Задачи ........................................................ 49
Занятие 2. Статика твёрдых тел.................................... 50
Задачи ........................................................ 51
ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОМЕХАНИКИ	55
Занятие 1. Закон Паскаля. Сообщающиеся сосуды..................... 55
Задачи ........................................................ 56
Занятие 2. Закон Архимеда. Плавание тел. Уравнение Бернулли....... 57
Задачи ........................................................ 58
МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА. МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ,
ИМПУЛЬС. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
И ЭНЕРГИИ.......................................................... 61
Занятие 1. Работа. Энергия. КПД.................................... 61
«Золотое правило» механики .................................... 62
Задачи ........................................................ 63
Занятие 2. Мощность. КПД.......................................... 68
Задачи ........................................................ 68
Занятие 3. Закон сохранения энергии в поступательных движениях.... 70
Задачи ........................................................ 70
Занятие 4. Закон сохранения энергии в движениях по окружности..... 74
Задачи ........................................................ 74
Занятие 5. Закон сохранения импульса.............................. 76
Задачи ........................................................ 76
Занятие 6. Взаимодействия, связанные с законами сохранения энергии
и импульса движения............................................... 79
Задачи ........................................................ 80
Занятие 7. Неупругие взаимодействия............................... 84
Задачи ........................................................ 84
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ	88
Занятие 1. Кинематика механических колебаний...................... 88
Задачи ........................................................ 88
Занятие 2. Динамика механических колебаний........................ 92
Задачи ........................................................ 93
Занятие 3. Механические волны. Звук............................... 96
Задачи ........................................................ 97
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	101
Занятие 1. Элементы теории относительности......................... 102
Задачи ......................................................... 102
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА	104
Занятие 1. Уравнения молекулярно-кинетической теории............. 104
Задачи ......................................................... 104
237
Занятие 2	Газовые законы .............................................. 108
Задачи	............................................................. 109
Занятие 3.	Уравнение теплового баланса.................................. 112
Задачи	............................................................. 113
Занятие 4.	Теплота и работа............................................. 116
Задачи	............................................................. 116
Занятие 5.	Первый закон термодинамики................................... 122
Задачи	............................................................. 122
Занятие 6. Пары. Влажность. Поверхностное натяжение.
Капиллярные явления.........................’........................ 127
Задачи	............................................................. 128
ЭЛЕКТРОСТАТИКА.......................................................... 130
Занятие 1.	Законы электростатики........................................ 130
Задачи	............................................................. 131
Занятие 2.	Напряженность и потенциал электростатического поля........... 134
Задачи	............................................................. 135
Занятие 3.	Работа поля по перемещению зарядов........................... 136
Задачи	............................................................. 137
Занятие 4.	Движение заряженных частиц в электрическом поле............   139
Задачи	............................................................. 139
Занятие 5.	Конденсаторы. Соединение конденсаторов в батареи............. 142
Задачи	............................................................. 143
Занятие 6.	Конденсаторные цепи.......................................... 146
Задачи	............................................................. 147
Занятие 7.	Энергия заряженного проводника. Энергия электрического поля . 150
Задачи	............................................................. 150
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК	155
Занятие 1. Закон Ома для участка цепи. Последовательное
и параллельное соединение проводников................................. 155
Задачи	............................................................. 156
Занятие 2.	Закон Ома для замкнутой цепи................................. 158
Задачи	............................................................. 159
Занятие 3.	Закон Ома в цепи с конденсаторами............................ 161
Задачи	............................................................. 161
Занятие 4.	Правила Кирхгофа ............................................ 163
Задачи .........................:................................... 163
Занятие 5.	Работа, мощность и энергия электрического тока............... 165
Задачи	............................................................. 166
Занятие 6.	Закон Джоуля-Ленца в цепи с конденсаторами................... 168
Задачи	............................................................. 168
Занятие 7.	Электрический ток в электролитах, газах и вакууме............ 169
Задачи	............................................................. 170
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ........................................................ 173
Занятие 1.	Магнитное поле тока. Закон Ампера............................ 173
Задачи	............................................................. 174
Занятие 2. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца.. 176
Задачи	............................................................. 176
Занятие 3.	Магнитный поток. Электромагнитная индукция в проводнике.... 180
Задачи	............................................................. 180
Занятие 4.	ЭДС индукции в контуре. Правило Ленца........................ 184
Задачи	............................................................. 184
238
Занятие 5.	Самоиндукция Энергия магнитного поля .................... 188
Задачи	......................................................... 188
Занятие 6.	Переменный ток .......................................... 189
Задачи	......................................................... 190
Занятие 7.	Мощность в цепи переменного тока......................... 192
Задачи	......................................................... 192
Занятие 8.	Электрические машины. Трансформатор...................... 195
Задачи	......................................................... 195
Занятие 9	Электромагнитные колебания и волны ....................... 198
Задачи	......................................................... 198
ОПТИКА	........................................................ 202
Занятие I. Законы отражения и преломления света. Полное внутреннее
отражение........................................................... 202
Задачи	......................................................... 203
Занятие 2. Смещение луча света в плоско-параллельной пластинке
и призме............................................................ 205
Задачи	.......................................................... 205
Занятие 3.	Построение изображений в линзах.......................... 207
Задачи	......................................................... 207
Занятие 4.	Оптическая сила линзы. Формула тонкой линзы...............209
Задачи	......................................................... 210
Занятие 5.	Расчёт положений предмета и изображения в линзах..........211
Задачи	......................................................... 211
Занятие 6.	Оптические системы: линза и зеркало...................... 213
Задачи	......................................................... 213
Занятие 7.	Оптические системы линз.................................. 215
Задачи	.......................................................... 215
Занятие 8.	Оптические приборы........................................216
Задачи	......................................................... 216
Занятие 9.	Волновые свойства света...................................218
Задачи	......................................................... 219
Занятие 10.	Квантовые свойства света. Фотоэффект. Давление света.... 221
Задачи	......................................................... 222
АТОМ И ЯДРО .......................................................  225
Занятие 1.	Строение атома. Постулаты Бора. Сериальные закономерности. 225
Задачи	......................................................... 226
Занятие 2	Строение ядра. Радиоактивность. Энергия связи атомных ядер. 228
Задачи	......................................................... 229
КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ	232
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ	235
239
Александр Константинович Горбунов
Элла Дмитриевна Панаиотти
А вт оры благодарят
канд. техн, наук Ю. К. Крутоголова
за ценные замечания
по редактированию задачника
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗ
Учебное пособие
Издание третье,
исправленное и дополненное
Редактор С.Н. Капранов
Корректор К.Ю. Савинченко
Техн, редактор М.Р. Фишер
Дизайн обложки М.Р. Фишер
Поди, в печать 01.02.2005. Форма! 60x90%,.
Бумага газетная. Гарнитура «Таймс». Псчап» офсетная Усл. псч. л. 15
Тираж 2000. Заказ № 51
Издательство МГТУ им Н.Э. Баумана
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5
Отпечатано с готового оригинал-макега в ГП «Облндаг»
248640, г. Калуга, пл. Старый Торг, 5
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 9653000 — книги, брошюры
ISBN 5-7038-2198-3
9
785703
821985