ИИ.ГИХМАН. А.ВХЭКОРОХОД
ТЕОРИЯ
СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
том
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
И. И. ГИХМАН, А. В. СКОРОХОД
ТЕОРИЯ
СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Том III
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1975
517.8
Г 51
УДК 519
Теория случайных процессов, т. III. И. И. Гихман,
А. В. Скороход. Изд-во «Наука», Главная редакция
физико-математической литературы, 1975.
В третьем томе монографии излагается теория мар-
тингалов, стохастических интегралов, стохастических
дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено
связи между стохастическими дифференциальными урав-
нениями и процессами Маркова.
Рассматриваются предельные теоремы для стохасти-
ческих дифференциальных уравнений и последовательно-
стей серий случайных векторов.
Библ. 73 назв.
Иосиф Ильич Гихман, Анатолий Владимирович Скороход
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
том III
М., 1975 г., 496 стр. с илл.
Редакторы М. П. Ершов, В. В. Абгарян
Техн, редактор Н. Я- Мурашова	Корректор Л. С. Сомова
Сдано в набор 20/XII 1974 г. Подписано к печати 22/VII 1975 г. Бумага 84х108732
тип, № 2. Физ. печ. л. 15,5. Условн. печ. л. 26,04. Уч. изд. л. 25,85-
Тираж 10800 экз. Т-13130. Цена книги 1 р. 74 к. Заказ № 518
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома приГосударственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский пр., 29
© Главная редакция
г 20203—114 gr g о оА_75 физико-математической литературы
053(02)-75 ™	издательства «Наука», 1975.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................. 6
Глава I
Мартингалы и стохастические интегралы
§ 1.	Мартингалы и их обобщения........................... 7
Обзор предыдущих результатов (7). Квазимартингалы (12)
Остановка и случайная замена времени (17). Теорема о раз-
ложении супермартингалов (24). Обобщения теоремы Мей-
ера (38). Регулярные супермартингалы (41). Квадратично
интегрируемые мартингалы (50). Локальные квадратично
интегрируемые мартингалы (54). Мартингалы с непрерыв-
ными характеристиками (56).
§ 2.	Стохастические интегралы..........................  65
Интегрирование кусочно постоянных функций (65). Стоха-
стический интеграл в смысле сходимости в среднем ква-
дратичном (72). Общее определение стохастического
интеграла по мартингалу (76). Интегрирование по локаль-
ным квадратично интегрируемым мартингалам (82). Век-
торные" стохастические' интегралы (84). Стохастические
интегралы по мартингальным мерам (85).
§ 3.	Формула Ито.......................................  91
Формула Ито для непрерывных процессов (92). Стоха-
стические дифференциалы (99). Некоторые применения
формулы Ито (101). Оценки моментов непрерывных мар-
тингалов (103). Представление мартингалов с помощью
стохастического интеграла по винеровской мере (106).
Разложение локального квадратично интегрируемого мар-
тингала на непрерывную и разрывную компоненты (115).
Стохастические дифференциалы функций от разрывных
мартингалов (128). Обобщенная формула Ито (139). Неко-
торые следствия обобщенной формулы Ито. Обобщение
теоремы Леви (144). Оценка моментов интегралов по мар-
тингальной мере (147). Решение простейшего стохасти-
ческого дифференциального уравнения (150). Пример.
Мультипликативное разложение положительного супер-
мартингала (152).
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава II
Стохастические дифференциальные уравнения
§ 1.	Общие вопросы теории стохастических дифференциальных
уравнений..............................................154
Стохастический криволинейный интеграл (161). Стохасти-
ческий криволинейный интеграл как функция верхнего пре-
дела интегрирования (174). Теоремы существования и
единственности решений стохастических дифференциаль-
ных уравнений (180). Оценки моментов решений стохасти-
ческих дифференциальных уравнений (197). Непрерывная
зависимость решений стохастических уравнений от пара-
метра (203). Конечно-разностные аппроксимации решения
стохастического уравнения (207).
§ 2.	Стохастические дифференциальные уравнения без после-
действия .................................'............211
Решение стохастического дифференциального уравнения
без последействия как марковский процесс (211). Диф-
ференцируемость по начальным данным решений стохасти-
ческих уравнений (224). Уравнение А. Н. Колмогорова
(234). Пример. Распределение аддитивного функционала
от винеровского процесса (243).
§ 3.	Предельные теоремы для последовательностей серий слу-
чайных величин и стохастические дифференциальные урав-
нения .................................................247
О слабой компактности мер в 3), соответствующих после-
довательности серий случайных величин (249). Условия
сходимости к винеровскому процессу (257). Условия схо-
димости к произвольному процессу с независимыми при-
ращениями (264). Предельные теоремы для последова-
тельностей серий случайных векторов с конечными
моментами второго порядка (267). Предельные теоремы
для стохастических дифференциальных уравнений (276).
Пример. Колебания с малой нелинейностью (286).
Глава III
Стохастические дифференциальные уравнения
для непрерывных процессов
и непрерывные марковские процессы в $
§ 1.	Процессы Ито....................................  291
Определение и некоторые свойства (291). Пространство
Ито (300). Процессы Ито и процессы диффузионного типа
(321). Абсолютно непрерывная замена меры (329).
§ 2.	Стохастические дифференциальные уравнения для про-
цессов диффузионного типа..............................339
О мерах, соответствующих решениям уравнения (1) (341).
О существовании решений стохастических дифферен-
циальных уравнений (351). Единственность решения (358).
Процессы Ито и стохастические дифференциальные урав-
нения (367).
ОГЛАВЛЕНИЕ	5
§ 3. Диффузионные процессы в &т...................370
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих диф-
фузионным процессам (371). Существование решения (384).
Единственность решения (395). Непрерывная зависимость
решения от параметров (397), Однородные диффузион-
ные процессы (405). Однородные процессы с интегриру-
емым ядром потенциала (409).
§ 4.	Непрерывные однородные марковские процессы в 420
М-функционалы (421). Дифференцирование M-функциона-
лов (433). Максимальные функционалы. Ранг процесса
(443). Случайная замена времени (450). Непрерывные про-
цессы в (461).
Примечания..............................................489
Литература	492
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первоначально предполагалось, что «Теория случай-
ных процессов» будет написана в двух томах: первый —
посвященный общим вопросам, второй — конкретным
классам случайных процессов. Однако оказалось, что
количество материала, относящегося к конкретным воп-
росам теории, один том вместить не мог. Так возник
третий том книги.
Его содержание составляет теория мартингалов, сто-
хастических интегралов, стохастических дифференциаль-
ных уравнений, диффузионных и непрерывных марков-
ских процессов.
Теория случайных процессов — бурно развивающаяся
область математики, охватить ее в одном трактате (даже
многотомном) — задача бессмысленная и невыполнимая.
Поэтому, естественно, авторы производили отбор мате-
риала, руководствуясь своими соображениями о важ-
ности тех или иных результатов. Они вполне отдают
себе отчет, что их отбор является несовершенным. Тем
более, что ряд разделов, которые авторы считают весьма
важными, в книгу не вошел: так, в ней отсутствуют
предельные теоремы для конкретных классов случайных
процессов, теория случайных полей, условные марковские
процессы, информация и статистика случайных процессов.
Выпуская в свет этот последний том, мы с призна-
тельностью вспоминаем сотрудников, помогавших нам
в работе, и приносим сердечную благодарность Г. Н. Сы-
той, Л. В. Лобановой, Р. В. Бойко, Н. Ф. Рябовой,
Н. А. Скороход, В. В. Скороходу, Н. И. Портенко,
Л. И. Габ.
И. И. Гихман, А. В. Скороход
ГЛАВА I
МАРТИНГАЛЫ
И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Мартингалы и их обобщения
Обзор предыдущих результатов. Напомним и уточ-
ним основные определения и ранее полученные резуль-
таты, относящиеся к мартингалам и полумартингалам
(т. I, гл. II, § 2 и гл. III, § 4).
Пусть (Q, ©, Р} — некоторое вероятностное простран-
ство, Т — произвольное упорядоченное множество (в даль-
нейшем рассматриваются только те случаи, когда Т —
подмножество расширенной числовой прямой [—оо, 4- оо]),
{&, t е Т] — поток ст-алгебр с ©); если it < /2> то St,с
c:g<2. Посредством (£(/),	t<=T\ или, короче, (£(0,
обозначается объект, состоящий из потока о-алгебр
/еГ) на измеримом пространстве {Q, <©) и случайного
процесса l(t), t^T, подчиненного {^/, t^T} (т. е. £(/)
^-измеримо при каждом t е Г). Этот объект в дальней-
шем мы также будем называть случайным процессом.
Случайный процесс {£(/), teT} называют ^-мар-
тингалом (или мартингалом, когда понятно, о каком
потоке о-алгебр 5/ идет речь), если
М||(/)|<оо V/e7
(1)
и
М {£(^)18Л = В($) при s<t,s,t<=T,
и супермартингалом (субмартингалом), если он удовлет-
воряет условию (1) и
М|£(П)<£(«), s<t, s,t<=T (2)
(м.{кош>т s<t).
8
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 1
Отметим, что данное определение отличается от при-
веденного в т. I тем, что теперь мы требуем конечности
математического ожидания величины £(/) во всех слу-
чаях. Ранее предполагалась, например, в случае супер-
мартингала, только конечность величин М£~(/).
Приведенные определения эквивалентны следующим:
U(0, Зь t<=T] является мартингалом (супермартинга-
лом), если для любого множества Bs е и любых s, t
из Т, таких, что s < /,
j g (t) dP = / g (s) dP, ( / l(t)dP^ Jg(s)rfp).
Bs	Bs	\Bs	Bs	/
Супермартингалы и субмартингалы называют также
полу мартингалами.
В настоящем параграфе в основном рассматривают
полумартингалы непрерывного аргумента.
Пространство всех действительных функций на отрезке
[О, Г], имеющих при каждом /е(0, Г) предел слева и
непрерывных на [О, Т) справа, обозначим 3) или ^5[0, Г].
Аналогичный смысл имеют обозначения 0[О, Г), 0[О, оо)
или 0[О, оо].
В теории мартингалов важную роль играет ряд не-
равенств и теорем о существовании предела. В т. I (гл II,
§ 2) были установлены следующие соотношения:
если £(/), t е Г, — сепарабельный субмартингал, то
sup (/)
PJsupg+(O>Cl<^^-----------,	(3)
( tEiT	J	C
M [sup g+(/)?</sup M [g+(0]p,	= P> 1,
Lte=T J te=T	P 1
(4)
.. r ,1	M (g (/) — 6)+
. Mv [a, b < sup —,	(5)
t Q-	U U
где v[a, b) обозначает число пересечений сверху вниз
отрезка [а, Ь) выборочной функцией процесса (более
точное определение дано в т. I, гл. II, § 2).
Напомним определение замыкания полумартингала.
Пусть {£(/), 8ь t^T] — полумартингал и множество Т
не имеет наибольшего (наименьшего) элемента. Слу-
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
9
§ П
чайная величина г] называется замыканием справа (слева)
полу мартингала t,(t), если можно расширить множество Г,
добавив к нему один новый элемент Ь(а), находящийся
с элементами из Г в отношении
t < b (t > a) Vt ее Г,
и дополнить поток а-алгебр /еГ], присоединив к нему
надлежащую а-алгебру ^ь(^а) так, чтобы расширенное
семейство случайных величин £ (/), t е 7', Т' — Т\ U {6},
(T'=T\J{a}) снова образовывало 8гполумартингал.
Теорема 1. Пусть i,(t), t <=Т, — сепарабельный
субмартингал, Т cz (я, Ь), точки а и b являются предель-
ными для множества Т (— оо а < b оо). Тогда су-
ществует такое множество Л вероятности 0, что при
о е= Л:
а)	в каждой внутренней точке t множества Т суще-
ствуют пределы %(t—) и £(/+);
б)	если sup (М£+ (0, Т} < оо, то существует предел
1(Ь—); при этом, если для некоторого семейство слу-
чайных величин {£(/), t^\tQ, b)} равномерно интегриру-
емо, то предел ^(Ь—) существует также и в Ц,иЦЬ —)
является замыканием субмартингала справа*,
в)	если lim М£(/) > — оо, то семейство случайных ее-
t->a
личин {l(t), t^(a,.tQ]} равномерно интегрируемо, предел
£(а+) существует при каждом со еЛ и в смысле схо-
димости в Li, и £(а+) является замыканием субмар-
тингала слева.
Доказательство. Существование с вероятностью 1
односторонних пределов £(/—) и %(t+) для каждого t
из [а, Ь] при условии, что sup (М£+ (t), t g= (а, 6)} < ОО
было установлено ранее (т. I, гл. III, § 4). Остается
доказать утверждение в).
Пусть Z = limM£(/). Этот предел существует, так как
t^a
мио является монотонно неубывающей функцией. Так
как | £(01=2£+(0-£(*)•), то
sup M||(0K2Mg+(fo)-/=C<«>.
t^(a, f0]
*) a+ = a при a 0 и a+ = 0 при a < 0.
10
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
с
В силу неравенства Чебышева	где
Bt = { |g(/) |> Af}, т. е. P(Bf)->0 при Af-> оо равномерно
по t. Пусть е > 0 — произвольное число, /1 таково, что
< для всех t < Тогда, при t е (a,
fl^(OldP= j И0ЙР+ / &(0dP-M£(f)<
Bt	{W>N}
< j + J S(/i)dP-MU0< +
{£ (0 > N} «(0 > -W	Bt
так что j | £(/) |dP < e для всех t^(a, fj и достаточно
в/
больших УУ. Таким образом, семейство {1(f), t <= (а, /0]}
равномерно интегрируемо. В частности, sup М| £(/) | < оо.
^(а, /0]
Так как при этом предел limg(f) существует с вероят-
t^a
ностью 1, то он существует и в смысле сходимости в Z4.
То, что g(a+) является замыканием слева субмар-
тингала (g(0, t^T}, вытекает из возможности перехода
к пределу при s | а под знаком интеграла в неравенстве
f g(s)dP< h(t)dP, s<t, В
в	в
Замечание 1. В формулировке теоремы 1 слово
«субмартингал» можно заменить на «супермартингал»
или «мартингал».
Замечание 2. Утверждение в) теоремы, очевидно,
непосредственно переносится и на последовательности.
В этом случае его можно сформулировать так:
в) если (1. .g(—п), g(— п+1), ..., g(0)} — субмар-
тингал и lim Mg (— п) > —оо, то последовательность g (— п)
п
равномерно интегрируема и предел g0O = limg(—п) суще-
ствует с вероятностью 1 и в и является замыканием
слева субмартингала {g (п), п= ... — k, — k + 1, ..0}.
В дальнейшем будем называть полумартингал равно-
мерно интегрируемым, если соответствующее семейство
$ ij	МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
случайных величин |(i), t^T, равномерно интегрируемо,
и интегрируемым, если sup {М |£(f) |, t е Т] < оо.
Теорема 2. Пусть Т с (а, Ь), а и b являются пре-
дельными точками множества Т(— оо s^a < b оо). Для
того чтобы мартингал {£(/), Ъь t^T\ был равномерно
интегрируем, необходимо и достаточно, чтобы сущест-
вовала случайная величина т), такая что
М|т]|<оо, Н<)=М{Ш t^T. (6)
Если это условие выполнено, то можно положить
n = limg(i), и величина т] в классе всех о i^T}-
t*b
измеримых случайных величин определяется единствен-
ным образом (modP).
Доказательство. Если мартингал {£(/)» t^T}
равномерно интегрируем, то по теореме 1 он обладает
замыканием справа и, следовательно, допускает пред-
ставление (6).
Пусть теперь мартингал £(/) представим по фор-
муле (6). Тогда
А	А
откуда следует, что
/ IUWP< J Inl^P
В	в
(7)
В частности, М| £ (0 М| т] |. Поэтому из неравенства
Чебышева вытекает, что Р ( |£(0 I > Af} —>0 при .V-> оо
равномерно относительно t. Применяя неравенство (7)
к множеству В — Bt = {| g(f) | > JV}, видим, что семей-
ство {£(0, /е Т} равномерно интегрируемо.
Остается доказать единственность представления (6)
в классе всех <?{§/, е 7(-измеримых случайных величин.
Если существуют два таких представления с помощью
случайных величин , i — 1, 2, то
M{£|&} = 0 Xft^T,
где £ = П1 ~ Пг-
Таким образом,
JUP = o
д
12
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 1
для всех Л из В/ и всех t из Т и, следовательно, для всех
А из а{8й t^T}. Так как величина £ а {8/, ^Т}-изме-
рима, то £ = О (mod Р).
Замечание. Если {£(£), t е Т] — мартингал и в Т
существует максимальный элемент, то семейство случай-
ных величин £ (/), t^T равномерно интегрируемо.
a (S/, t €= Т}-измеримую случайную величину т), фигу-
рирующую в представлении (6), называют граничным
значением мартингала £ (/), t^T.
В томе I (гл. III, § 4) было показано при весьма
общих предположениях, что для данного полумартингала
существует стохастически эквивалентный процесс {£(/),
f^O}, выборочные функции которого принадлежат
D[0, оо), и поток а-алгебр непрерывен справа, т. е.
&+ = & V/> 0.
В настоящем параграфе мы постоянно будем предпола-
гать, если противное специально не оговорено, что рас-
сматриваемые полумартингалы этими свойствами обла-
дают.
Квазимартингалы. Пусть {&,	0} — непрерывный
справа поток а-алгебр (§f = g/+).
Определение. Процесс {£(/), /^0}, подчиненный
называется квазимартингалом ($Гквазимартингалом),
если
М|£(01<оо Vf>0
и
sup ЕМ|ш-м{£(^+1)|ад=v < оо,
k—0
где supremum берется по произвольным значениям п и
А)>	• • •» tn> 0 А) < < h. < • • • < tn < 00•
В дальнейшем будет показано, что изучение квази-
мартингалов можно свести к изучению полумартингалов.
Примерами квазимартингалов являются мартингалы,
супер-(суб-)мартингалы, для которых inf М£(0 > — оо
(sup М£ (f) < оо), а также процессы, являющиеся раз-
ностью двух супермартингалов. Оказывается, что все ква-
зимартингады исчерпываются этими примерами.
§11
Мартингалы и их обобщений
13
Положим
б ($, 2) = g ($) — М {g (О Ш (S < 0, а (0 =	(0.
Тогда
72^-1	72““ 1
Z|a(^)-a(WI= SlM6(ffe, fft+1)|<V,
й=0	fe=0
т. е. a (t) является функцией ограниченной вариации.
В частности, для любого t > 0 существуют пределы a(t —)
и а(2+)> а также а(оо) = lim a(t).
t->oo
Неравенства (3) — (5) могут быть обобщены на квази-
мартингалы. С этой целью отметим, что установленные
в т. I (гл. II, § 2) неравенства (21) и (23) для счетных
последовательностей легко применимы к сепарабельным
квазимартингалам, и в этом случае они могут быть запи-
саны следующим образом:
Р {sup g(2) >С) < Au,pM!^(0 +.К ,	(8)
sup М (g (<)-б)+ + 7
Mv [a, b) <	,	(9)
где v[a, b) — число пересечений отрезка [a, b) сверху вниз.
С помощью неравенства (9), так же как и в случае полу-
мартингалов, устанавливается следующая теорема
(т. I, гл. III, § 4, теоремы 6 и 7):
Теорема 3. Сепарабельный квазимартингал g(/),
/>0, с вероятностью 1 при каждом t имеет пределы
слева и справа. При этом {£(/+),	также
является квазимартингалом, выборочные функции кото-
рого непрерывны справа и Р (g (/) = g (t +)} = 1 в каждой
точке t, в которой ^t = ^t+ и Mg(Z) непрерывно.
В силу этой теоремы мы в дальнейшем можем, не
умаляя общности, рассматривать только такие квазимар-
тингалы, выборочные функции которых с вероятностью 1
принадлежат Ф и для которых	Для всех до-
будем считать в настоящем пункте, что эти условия
выполнены.
14
Мартингалы и стохастические интегралы
[Гл. i
Теорема 4. Произвольный квазимартингал допускает
разложение
еде ц (t) — мартингал, и М|£(/)|->0 при
Это разложение единственно.
Если £(/) ~ супермартингал, удовлетворяющий усло-
вию inf М£ (/) > — оо, то £ (/) — неотрицательный супер-
мартингал.
Доказательство. Для каждых s > 0 и t 0 поло-
жим
Us, /) = M{g(* + 0IM
и будем рассматривать сепарабельную модификацию про-
цесса § (s, t). Покажем, что при фиксированном t g (s, t)
как функция от s с вероятностью 1 имеет ограниченную
вариацию.
Действительно,
п—1
O-Hsfe+I, 01=
k=0
= ”£ IМ [g (5fe + 0 - M {g (Sfe+1 + 0	11541=
= X M{|6(s*-H, sk+l + 0 ||&}
£=Э	1
И
n— 1
fe=0
Можно считать, что множество точек сепарабельности
функции i(s, 0 переменных s и t имеет вид ly^I. Для
каждого t^I выберем последовательности {s0, s1( .... sn),
Sfe<=/ так, чтобы при возрастании п они, как множества,
монотонно возрастали и в пределе исчерпывали все I.
п—\
При этом суммы У, | g(sfe) 0 — g(sA+I, /) | монотонно не
k=0
убывают и стремятся к своей верхней грани V (/). Таким
образом,	и V (t) < оо с вероятностью 1 при
каждом t^I. Отсюда следует, что существует такое мно-
жество 7V Р (N) = 0, что если о ё= N, то V (t) < о°
§ П
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
15
уже при любом t. Следовательно, с вероятностью I
существует предел
р (0 = lim g (s, f).
S 4 °°
Пусть sn t oo. Так как
оо
I ц (0 - l(s„, ОI < Е Н (*ъ О -1 (Sk+l, t) к V (t),
' п
то ц (/) — интегрируемая случайная величина и последо-
вательность g (sn, f) имеет интегрируемую мажоранту.
Следовательно, при t\ < t2
M{p(4)l&J = M Him М U(s + f2) Ш &,l =
(S->oo	J
= lim M {g(s + t2) | &,} = p(ii).
S-> OO
Итак, p (0 — ^/-мартингал.
Положим £ (0 == £ (t) — p (f). Тогда М|£(01->0 при
t—> oo.
Действительно, предположим обратное. Тогда найдется
е>0 и для любого N>Q такое t = tN, tl4> N, что
М| £(tN) | > 8. Возьмем некоторое t{. Так как
М |£Ю1=М |В(О- limKfj, s)|= lim М Ш-^i, s)l,
I	S-»oo	|	$-> oo
то найдется такое st, что M | g (^) — g (ft, sj | > в. Положим
t2=t{ + si и найдем t3>t2, для которого M | g (/3) | > 8.
Продолжим этот процесс неограниченно. Тогда
2/2—1	п
м Е I ^+i) 1^м ЕI s(^fe-i> hk) i=
i	i
п
= м Е 11 (4ft) — м {£ (/2ft) I I > tie. -> oo,
что противоречит определению квазимартингала.
Таким образом, существование разложения, удовлетво-
ряющего условиям теоремы, установлено. Докажем его
единственность.
Пусть существуют два разложения: g (t) = рд (t) —
-W0 = H2(n-?2(0- Тогда p1(0-H2(0 = ^2(0-St(0,
причем М| (/) — £г(^) 1~* 0 при t —> оо. С другой стороны,
I Pi (0 — Нг (0 I ~ субмартингал и М | р; (t) — р2 (t) | является
16
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
монотонно неубывающей функцией от t. Следовательно,
МI Hi (0 — Н2 (О I = 0 и (/) = ц2 (0 (mod Р). Наконец, если
£(/) — супермартингал, то
ц (0 = lim I (s, t) = lim M {£ (s + 0 IS/} < I (/),
s 4* 00	s->00
так что в этом случае С (/) = £ (/) — ц (/) ^ 0.
Определение. Неотрицательный супермартингал,
удовлетворяющий условию М£(/)->0 при /->оо, назы-
вают потенциалом.
Заметим, что для потенциала предел = lim | (/)
,	t -> 00
существует и £^ = 0 с вероятностью 1.
Таким образом, супермартингал £(/), удовлетворяющий
условию inf М£(/) > — оо, допускает разложение £(/) =
=ц (0 — л (0, гДе ц (0 ~ мартингал, л (/) —потенциал.
Это разложение единственно. По аналогии с классической
теорией супергармонических функций, оно называется
разложением Рисса. Условимся называть разложение,
установленное в теореме 4, также разложением Рисса,
а квазимартингал £(/), удовлетворяющий условию
М|£(/)|->0 при /~>оо, квазипотенциалом.
Покажем теперь, что произвольный квазипотенциал
может быть представлен в виде разности двух потенциалов.
Пусть £ (/) — квазипотенциал. Положим
б.ъ, п — max (б.^,	0), б&, п — п б'г, /г»
• /±\	« / (0 ~ 1
где / (г) — целое число, определенное из условии L^n—
1 2п ’
Заметим, что при / =
С(О = М s =«+(0-я-(0.
I k=f	)
оо
причем абсолютная сходимость (modP) ряда У и
§ П
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
17
его интегрируемость вытекает из определения квазимар-
тингала. Очевидно, что М (лХ (f) | $s) лХ (s) при s < t,
так что лХ (/) — потенциал.
Покажем, что пп+ (t) лХ+1 (0» «=1,2,... Возьмем
одно слагаемое, входящее в выражение для лХ (/), напри-
мер, M[Sa,J&) (^7Г>ф Имеем
< М fcn+l + t>ik+ I, n+1 ]lsj,
откуда и вытекает монотонность последовательности (f).
Из доказанного следует, что л! (/) также является потен-
циалом и п- (/)	л!+1 (/).
Положим л+(f) = lim л+(/),	(/) == lim л! (/). При
каждом t этот предел существует с вероятностью 1. Так
как М(лХ(0 + л1(0) = м£|б*.„|<У, то Мл±(0<°°-
fe=0
Очевидно, что л± (/) — супермартингал.
Нетрудно также установить, что Мл± при /-> оо
равномерно по п. Следовательно, л± (/) — потенциал.
Определим процессы эт± (/) для всех t^O так, чтобы
их выборочные функции были непрерывными справа
с вероятностью 1. Учитывая, что процесс £ (/) также непре-
рывен справа, видим, что равенство £ (/) = л+ (f) — л_ (О
имеет место для всех с вероятностью 1.
Теорема 5. Если t, (/) — квазипотенциал, выборочные
функции которого принадлежат S), то существуют потен-
циалы л+ (0 и л_ (0, такие, что
£(/) = л+(0-л_(0 Vf>0
с вероятностью 1.
Остановка и случайная замена времени. В настоя-
щем пункте рассматриваются полумартингалы
/еЛ, где 7'=2V={0, 1, ..., п, ...}
или Т — [0, оо).
18
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Если Т — [0, оо), то мы предполагаем, что выборочные
функции процесса £(/) принадлежат ^[0, оо) и
/<=[0, оо).
Напомним определение случайного момента времени
(т. I, гл. I, § 1). Пусть {йь / е Г} — некоторый поток
о-алгебр. Функцию т = /(со), coeQ^czQ со значениями
в Т называют случайным моментом времени на t^T}
(или ^-случайным временем), если |т^ t] для всех
t €== Т.
В дальнейшем будем рассматривать только случайные
моменты, определенные на всем пространстве Q(QT=Q).
Каждому случайному моменту времени т ставят в соот-
ветствие а-алгебру событий называемую а-алгеброй,
порожденной событиями до момента т. Она состоит из
всех тех событий В е @, для которых
Нетрудно проверить, что если Ti^t2, то ст gT2
(т. I, гл. I, § I). В т. I (гл. II, § 2) был доказан сле-
дующий результат.
Лемма 1. Пусть Т — конечное множество, xk, k~
= 1, ..., s,—последовательность случайных моментов
времени на {$/,	Т], определенных на всем Q и таких,
что	... ^т5,	=	— ^алгебра, порожден-
ная случайным временем xk (k—\, ..., s). Если
{£(/), Sg t^T} — супер мартингал (мартингал), то {£(тД
k=l, ..., s] также является супермартингалом
(мартингалом).
Обобщим этот результат на рассматриваемые нами
полумартингалы.
Пусть [l(t), Sf, Т} — супермартингал, удовлетво-
ряющий условию: существует интегрируемая случайная
величина т), такая, что
(Ю)
Рассмотрим случайный момент времени т, прини-
мающий значения из Т и, возможно, еще значение t = оо
Положим
^==0 (a(n), Sb t [0. °°))>
£(/) при т= t, t^T,
Т) при Т= оо.
Случайная величина gT ^-измерима,
^ = {
ill
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
19
Теорема 6. Пусть супермартингал %(t) удовлетво-
ряет условию (10), а, х — случайные моменты времени
ил^т. Тогда величины и интегрируемы и
go-
al)
Доказательство. Рассмотрим, во-первых, случай
Т= N. Пусть <jk — a/\k} xk — x/\k. Положим ЦР) = Ц1) +
+ т) (/), где т] (0 = М (т)|	, £ (0 = g (f) — т] (0- Из условия
теоремы следует, что £ (/)	0 и, кроме того, £ (/) — супер-
мартингал. '
Рассмотрим сначала процесс £ (/). Из леммы 1 следует,
что МЦ, < М£о- Переходя к пределу при k -> оо и исполь-
зуя неравенство Фату, получим М£т = М lim М£о,
&->оо k
так что М?т < оо.
Пусть Ве'йа. Тогда в силу леммы 2
J ^Р< $ ?TdP< J МР= S ^dP‘
ВП{г<Ф	ВП{о<«	ВП{а<й)	ВП{а<й)
Учитывая, что ?г = С0 —0 при а= оо, и переходя в полу-
ченных соотношениях к пределу при k->oo, получим
$£TdP<^adP,	(12)
в	в
откуда и следует утверждение теоремы для процесса g (f).
Перейдем к процессу r| (t). Он является равномерно инте-
грируемым мартингалом. Заметим, что
Пг=М{т11Ш-г=М{т1 |&}.	(13)
Действительно, если	Д* = .АГ) {т = &}, k = Q,
1, ..., л, ..., оо, то
$Т1^Р= $М{Т11&МР= Jn^P-
Ak	Аи	Ak
Суммируя эти равенства по всем значениям k, получим
j »1Т dP = § т] dP.
А	А
Так как т]х—$т-измеримая случайная величина, то и
последнего соотношения вытекает (13) и конечность веди
20
Мартингалы и стохастические интегралы
[ГЛ. I
чины Мт] . Кроме того, из него следует, что для любого
в 6= ба (Й с St),
В	в
Складывая последнее равенство с неравенством (12), полу-
чим соотношение (11).
Рассмотрим случай Т — [0, оо). Введем дискретные
аппроксимации т(П) и <т(П) величин тио, положив
(Л\ k	__ (	~~ I	”1
Т === 2п ’ ОСЛИ Т	J *
т(") = оо, если т=оо,
и аналогично определяя ст(П). В силу предыдущего
j ?т(л) dP %0(п) dP	VА е 5а(П).
А	А
При этом
а <</*>,	Vn.
Поэтому предыдущее соотношение имеет место для всех
Деб0. Из непрерывности справа процесса следует,
что 5г(„)->5т; и	с вероятностью 1. Поэтому для
доказательства теоремы достаточно показать, что после-
довательности случайных величин {^т(п), п — 1, 2,
и {ga(n), п = 1, 2, .равномерно интегрируемы.
Заметим, что о*"’	а*'1-1’. Поэтому
?а<«) М {^«-1) | 80(в)}.
Если положить ga(n) = Ti_„, S0(n) = ®_n, то соотношение
т) М Ь] I ® }
показывает, что {rj^, Л	n, — n + 1, ..., — 1}
образует супермартингал, причем Мт)_^^С, так как
М'П-п= М^а(П) Mg0. Таким образом, семейство случай-
ных величин г]_п равномерно интегрируемо. Это рассужде-
ние применимо и к последовательности
5 11
Мартингалы й ик обобщения
21
Следствие 1. Если	t^Q] — равномерно
интегрируемый мартингал, виг — случайные моменты
времени, а^т, то
£а=М{^Ш
и величина %х интегрируема.
Следствие 2. Если ц(Т) = М {т)| $f) и т — случай-
ный момент времени, то
Пг = П(т)=М{т]|Зт}.
Следствие 3. Если {£(/), Зь ^^0}—равномерно
интегрируемый супермартингал (мартингал), то процесс
h(0, 8f, *>0}, где т1(0 = ?(тА0, =
также является супер мартингалом (мартингалом).
Этот процесс называют остановкой (или т-остановкой)
процесса |(f).
Теорема 6 в дальнейшем используется неоднократно.
В качестве одного из ее применений приведем сейчас
утверждение, также используемое в дальнейшем.
Теорема 7. Пусть (g (t), t 0} — неотрицательный
непрерывный справа супер мартингал. Положим
т = inf {t ’. g (t) — 0 или t,(t —) = 0},
если соответствующее множество значений t непусто, и
т=оо в противном случае. Тогда с вероятностью 1
£ (t) = 0 для всех t т (т < оо).
Доказательство. Пусть T„ = inf{/: g(O<-jj-j
(считается, что inf 0 = оо), х« — индикатор события
тп<оо. Очевидно, что т„^тге+1^т. Пусть <r = supT„ и
%-индикатор события о<оо. Тогда сг^т. Из теоремы 6
следует, что
Mgay£%.
Так как Mg %Л<-Г то MgaW% = 0, т. е. gJ/) = O с веро-
ятностью 1 на множестве t > о, а<оо, при каждом t.
Из непрерывности справа (modP) выборочных функций
процесса g(Z) вытекает, что g(/) = 0 для всех t>a, если
а<оо с вероятностью 1.
Мартингалы И стохастические интегралы [гл. 1
Обозначим 3~ или 3" (Г) семейство всех случайных
моментов времени на t^T}.
Определение. Семейство случайных величин {£(/),
/еТ1}, подчиненных {^, t^T}, будем называть вполне
равномерно интегрируемым или процессом класса D,
если семейство {£т, те3"} равномерно интегрируемо.
Будем называть его процессом класса DL, если для
любого а>0 семейство {£т, те^Г([0, а])} равномерно
интегрируемо.
Теорема 8. а) Равномерно интегрируемый мартин-
гал {£(/), t^T} вполне равномерно интегрируем.
б) Если {£ (/), /е Г} - неотрицательный суб мартингал
и существует случайная величина г), такая, что
п>0,	VfeT,
то семейство {£ (/), / е 7} вполне равномерно интегри-
руемо.
в) Если Т = N и субмартингал {£(£), t s N} равномер-
но интегрируем, то он вполне равномерно интегрируем.
Доказательство, а) Пусть g(0 = М {nl где
т] — lim g (/). Положим В = {| gT | > С}. Так как
t -> оо
P{|gT|>C)<P{sup|gffll>Q< supMp(z)l
то Р(В)->0 при С —> оо равномерно по всем	Так
как 1I — субмартингал, то (теорема 6)
Ji ш мр< Ji л мр vse~xT,
что и доказывает утверждение а) теоремы.
Утверждение б) доказывается аналогично. Во-первых,
J МР< J П^Р,
{ST>C}	{gT>c}
и, во-вторых,
р & > Q <	-> о
равномерно по т при С->оо.
в) Так как равномерно интегрируемый субмартингал
можно представить в виде разности равномерно интегри-
§ И
.4АРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
23
руемого мартингала и потенциала, то учитывая а), можно
ограничиться рассмотрением потенциала n(t). Имеем
*
\ nxdP = ^	\ nxdP+ \ ndP.
{nt>C}	1=1 {лт>С)П(г=/}	{nt>CJ (1 {r>fe}
Учитывая, что {лт > С) П {т > k} е и применяя тео-
рему 6 к моментам времени т и k, получим
лх dP	п (k) dP.
{лт>С}П{т>й)	{Ят >0} П{г>6}
Возьмем произвольное е > 0 и подберем k из условия
Мл(6)<-|-, что возможно, так как Мл(/г)->0. Затем
k
выберем С таким, чтобы	\ л (/) dP < .
1=1 {л(/)>С} л {т=/}
Получим, что независимо от т существует такое С, что
лх dP < е.
{лх>С)
Замечание 1. Соображения, приведенные при дока-
зательстве утверждения в) теоремы, можно перенести и на
субмартингалы непрерывного аргумента.
Обозначим S7"a класс всех случайных моментов вре-
мени т, таких, что (modP). Тогда, если субмартин-
гал {|(0, ^^>0} равномерно интегрируем и при каждом
а > 0 семейство случайных величин {К, т s &~а} равно-
мерно интегрируемо, то семейство {НО, ^0}—-вполне
равномерно интегрируемо.
Действительно, из представления Рисса следует, что
можно ограничиться рассмотрением потенциала {л (0, 0>0}.
Найдем такое а, что Мл(0<-|- при t^a, где е — про-
извольное наперед заданное положительное число. Тогда
nxdP<	nxdP-j-^.
24
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
С другой стороны, величина j лх dP -> 0 при
{лтДа>с}
С —> оо равномерно по т по предположению. Отсюда выте-
кает равномерная интегрируемость семейства {лт, те^}.
Замечание 2. Пусть полумартингал {g(f), t е Т}
принадлежит классу D. Тогда семейство {£(/), t^T}
равномерно интегрируемо и существует lim g (f) = По-
/~>оо
этому можно определить и для случайных моментов вре-
мени, принимающих бесконечные значения. Так как замы-
кание семейства равномерно интегрируемых случайных
величин (относительно сходимости почти всюду) также
равномерно интегрируемо, то семейство {gT,	где
?Г — класс случайных моментов времени, принимающих
значения ^оо, также равномерно интегрируемо.
Рассматривая в дальнейшем равномерно интегрируемые
полумартингалы £(/), /^0, мы будем постоянно считать,
что для х^^Г^ определены именно таким образом.
Теорема о разложении супермартингалов. Начнем
со случая дискретного времени. Покажем, что супермар-
тингал {£n, n = 0, 1,...} можно представить в виде
разности двух последовательностей мартингала и неубы-
вающей последовательности случайных величин.
Положим
^1п—1, п 1 > 2, ...
П1=По + (А^1~М{А^|Ш
ао=О,
а^-ММо},
Пп=Пп-1 + (А^-- М{Д^|	—М{А^
Тогда
— (14)
ап^ап-1 (так как для супермартингала М {Д£п| $„-i}^0),
ап — йп-гизмеримая случайная величина и {т]„, п = 0,1,
2,...} является мартингалом. Соотношение (14) назы-
вают разложением Дуба супермартингала in.
Нетрудно показать, что представление (14), где —
мартингал, а ап подчинено потоку о~алгебр {Sn-ь п=1,
2, ...} и а0 = 0, — единственно.
$ 11
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
25
Действительно, допустим, что величины а&, т]^, k =
= 0, 1, 2, п, определены однозначно (это верно по
определению, при п = 0). В силу ^’Измеримости вели-
чины an+i M{UW = M{Th+i- an+1|gn} = T]n —an+I,
так что ап+ь а вместе с ним и т)д+1, определяются одно-
значно. Заметим, что если вместо ^-измеримости величи-
ны an+1 потребовать только, чтобы an+1 было ^п+ризме-
римой величиной, то единственность представления (14),
вообще говоря, не будет иметь места.
Если — потенциал, то последовательность £п, п~
= 1, 2, ..., равномерно интегрируема (так как она схо-
дится в Lj к нулю). Соответствующий процесс an в соотно-
шении (13) также равномерно интегрируем, так как
0 < «п < an+i а^, где = lim ап, причем Ма <
^lim Мг)д= Мц0. Поэтому мартингал равномерно
интегрируем, так что т]п= М frloj Sn}, где 'п0О = Пт'пд =
= liman=aoo. Мы получим следующий результат.
Л е м м а 2. Потенциал {£д, §д, п = 0, 1, ...} допускает
разложение
М (aM I5J — ап,
где'.
а)	а„ — Ъп-гизмеримая случайная величина п = 1,
2, ..., «о,	0 и < оо, а0= 0;
б)	последовательность ап неотрицательна, монотонно
не убывает и а^ = lim ап.
При условии а) последовательность ап определяется
единственным образом (mod Р).
Процесс {ап, п=0, 1,2, ... }, удовлетворяющий усло-
виям леммы 2, называют процессом, ассоциированным
с потенциалом (супермартингалом)
Преобразуем условие а) к виду, более удобному для
обобщения в случае непрерывного времени.
Условимся говорить, что [an, $п, п е N} является
интегрируемым возрастающим процессом, если а0 = 0,
a„<a„+i, Маоо<оо, где a0O = lima„.
Лемма 3. Для того чтобы интегрируемый возра-
стающий процесс (an> n<=N} был подчинен потоку
n= 1, 2, ...}, где Вл —S^-i, п~ 1, 2, ... необхо-
димо и достаточно, чтобы для любого ограниченного
с вероятностью 1 ^п-мартингала {т]д, п = 0, 1, 2, ...)
26
Мартингалы и стохастические интегралы
[гл. I
выполнялось равенство
оо
М X Па-1Аа„=Мт]0Оа00,	(15)
п—\
где ^ап = ап — ап-ъ ^ == lim т]ге.
Доказательство. Необходимость. Заметим, что
N	7V-1
X 11п-1д«п= X а„(Пл-1 — Пп) + «лгПлг-1- Используя тео-
п= 1	1
рему Лебега о мажорируемой сходимости и ограничен-
ность последовательности получаем
ОО	N
М X Пч-! Aa„ = lim М х Пп-! д«га =
п=\	1
= lim X М {а„М (!]„_! — tj„) I5n-i} + Hm Ma^-i ==
= limMaA,qw_1 = Ma00T]00.
Достаточность. Положим т|0 = rji — ••• ==Tk-i = О,
'П« = 11п+1= ••• =С. где C = n — М	т] — произ-
вольная ^„-измеримая ограниченная величина. Очевидно,
М{Ш„_1} = 0. Из (15) следует, что М^(ате — а„) =
= М^ам или М£аге = 0. Так как М£ф = 0 для любой
S’rt-i-измеримой случайной величины ф, то
М? (a„ — М (а„|^„_!)) = 0,
откуда следует, что
Mt](ara— М (a„|g„-i}) = 0.
Пусть фй обозначает «урезанную» величину ф, т. е.
фс = ф при | ф | с и фс = 0 при | ф | с. Из предыду-
щего равенства следует, что
M(a„ — М (а„| g„_1))c(an— М {а„| 8„-i}) = 0
или
М [(а„ - М {а„| S„_.})c]2= О
для любого с > 0. Таким образом, art = М (an| Bn-i)
(mod Р). Лемма доказана.
В настоящем пункте лемма 2 будет обобщена на
супермартингалы с непрерывным аргументом. В отличие
от случая дискретного времени, соответствующие доказа-
§ 1]	МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ	27
тельства нельзя считать простыми и устанавливаемый
факт является весьма глубоким.
В дальнейшем считаем, что фиксирован некоторый
поток а-алгебр {5Р ^0}, $f = <5<+> и все рассматривае-
мые полумартингалы, если только иное специально не
оговорено, считаем Згполумартингалами. Условимся на-
зывать a(t) возрастающим процессом, если он подчинен
(S<> *>0), его выборочные функции а(/) с вероятно-
стью 1 монотонно не убывают, непрерывны справа и
а(0) = 0.
Возрастающий процесс будем называть интегрируемым,
если sup Ма(0< оо.
Определение. Интегрируемый возрастающий про-
цесс а(/), назовем натуральным, если для произ-
вольного неотрицательного и ограниченного с вероятно-
стью 1 мартингала т)(0
оо
М T](/— )da(t) = Ма(оо)т](оо).	(16)
о
Процесс а(/), удовлетворяющий условию (16), будем
называть натуральным и в том случае, когда он является
разностью двух интегрируемых возрастающих процессов.
Соотношение (16) является аналогом равенства (15)
в случае непрерывного аргумента. Интеграл в левой части
формулы (16) имеет обычный смысл интеграла Лебега —
Стилтьеса и существует с вероятностью 1 для каждой
выборочной функции процесса «(/)• Действительно, моно-
тонная функция а (/)=а(/, со) при фиксированном со
порождает меру а (Л) на [0, оо), причем а (с, d\ = a(d) — а (с)
и интеграл
оо
cp(/)da(O
о
с вероятностью 1 определен для произвольного случайного
процесса ср (/), выборочные функции которого с вероят-
ностью 1 являются борелевскими и интегрируемыми отно-
сительно меры da (или неотрицательны).
Отметим следующую формулу интегрирования по
частям.
28
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Пусть а(/), р(/) —два возрастающих процесса
а (0) = 0(0) = 0, а(оо)<оо, р(оо)<оо.
Тогда
j 0(s)da(s)+^ a(s—)d0(s) = а(оо)р(оо). (17)
о	о
Эту формулу легко получить, если j da(s)dfi(u),
о о
равный а(оо)р(оо), представить в виде суммы интегра-
лов по областям {(s, u): s > и, и е [0, оо)) и {($, и):
ме[0, оо), «^s). Используя теорему Фубини, мы тогда
получим
а(оо)р (оо) =
оо	оо
= 5 №(°°) — P(s)lrfa(s)+ 5 [“(°0) ~ а(«— )И₽(«)>
о	о
откуда вытекает (17).
По поводу равенства (16) сделаем ряд замечаний.
а)	Если т](/) — произвольный неотрицательный равно-
мерно интегрируемый мартингал и a (/) — интегрируемый
возрастающий процесс, то
оо
М 4](t)da(f)= Мт](оо)a(oo).	(18)
о
Действительно, предположим сначала, что а(оо)^я.
Тогда, учитывая, что процесс г) (t) непрерывен справа,
будем иметь следующие равенства
М j T](0da(0 = Mlim П [a (4^) — а (^)]=
о	*=0
= limM
т] (оо) <х(оо) - £ [т] (Ш) _ n (Jl)] a (Д) |
k=0	)
— Mi)(oo)a(oo).
§ 1]
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
29
Здесь мы пользовались тем, что
Ёчт[«т-.(й]<
fe==9
sup ц (/) а (оо) п sup т| (/).
Чтобы перейти к случаю произвольной монотонно
неубывающей функции а (/), положим ап (t) = а (f) А п-
Тогда в соотношении (18) при a(t) = an(t) можно перейти
к пределу при п->оо, и мы получим равенство (18)
в общем случае.
б)	Пусть а (/) — натуральный процесс, ц (/)—положи-
тельный равномерно интегрируемый мартингал. Тогда
М	т](/—)da(/) = M
о	о
(19)
Для доказательства заметим, что равенство (19) имеет
место для мартингала t](n)(/) = M{f]HA« I&}- С дру-
гой стороны, последовательность т/'1*^) монотонно не
убывает и
Р (sup (n (t) —	(t)) > е)< у М h (оо) —	(оо)]	0.
Поэтому существует последовательность такая, что
"/)(/)->т](/) с вероятностью 1 равномерно по t. Пере-
ходя в соотношении (18) при г] (/) =	(t) к пределу
при п/->оо, получим формулу (19) в общем случае.
в)	Непрерывный интегрируемый возрастающий процесс
натурален.
г)	Если а(/) — натуральный процесс, ц (/) — неотрица-
тельный ограниченный мартингал, т — случайный момент
времени, то
М	т](/— )da— Мт](т)а(т).	t (20)
Ю. т)
30
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Действительно, пусть ц (/) = п(0х(^ < ^) + п(т)х(^т).
Тогда л (0 —• также ограниченный мартингал и
оо
Mfj (оо)а(оо)= м —)da —
о
= М	ц(/—)б?а + Мц(т) [а(оо) — а(т)],
[о, т]
откуда и следует равенство (20).
Равенство (20) можно интерпретировать следующим
образом: если а (/) —натуральный процесс, то его оста-
новка а(/Дт) также является натуральным процессом
(относительно потока cr-алгебр д т, 0}).
д)	В частности, при предыдущих предположениях
t
М ц (s —)da (s) = Мц (t) a (t).	(21)
о
е)	Если а (/)-—натуральный возрастающий процесс,
то а (/) = а (/) % (t < т) + а (т) % (t т) также является на-
туральным возрастающим процессом.
В самом деле, требование, чтобы а (/) было натураль-
ным процессом, эквивалентно условию
оо
Мц (оо) а (оо) = М	ц (/—)da=M j ц (/—)da (22)
0	[0, Т]
для произвольного ограниченного неотрицательного мар-
тингала п(0- С другой стороны,
Мц (оо) а (оо) — Мт) (оо) а (т) =
= М {а (т) М {г| (оо) Ю = Ма (т) ц (т),
так что условие (22) совпадает с равенством (20).
Отметим еще следующие варианты равенства (19). Из
формулы (19) и рассуждений, аналогичных тем, которые
привели к соотношению (22), вытекает
ж)	М	ц (t —) da = М	ц (/) da.	(23)
[0, т]	[0, т]
з)	Если а (/) — натуральный процесс, то fi(t) = a(t)/\n
также натуральный процесс.
§ il
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
31
Действительно, если т= inf {/, а(/) то
М$п(*-)^ = М $ Т)(*—Ма =
О	[О, Т)
= Мт] (т) а (т) = Мт) (оо) а (т) = Мт) (оо) р (оо),
так как 0(оо) = а(т).
Для доказательства важной теоремы Мейера (тео-
рема 9), являющейся основной в настоящем пункте, нам
понадобится следующая лемма. В дальнейшем она будет
использована и для других целей.
Лемма 4. Пусть {|(2) (n), п = 0, 1, ...z G Z, —
некоторое множество потенциалов, а(2) (га) — процесс, ас-
социированный с £,2) (га),	— множество всех конечных
^-случайных моментов времени на N. Допустим, что
sup sup	g*.2* dP — р (С) < оо
и р(С)->0 при С —>оо. Тогда семейство случайных вели-
чин {а(2) (оо), z е Z} равномерно интегрируемо.
Доказательство. Для удобства условимся опу-
скать индекс z в обозначениях |<2> (п) и а<2>(«)- Положим
xN = inf {п, ап+1 N}. Так как а (га) — Зп-гизмеРимая
случайная величина, то xN — случайный момент вре-
мени на {Вп, n — Q, 1, ...}. Из соотношения %(п) =
= М {а (оо) | <§„} — а (га) следует, что
М {а (оо) |	| (xN) + а (xN)
И
J а (оо) dP < J % (т„) dP + WP {а (оо) > #}. (24)
{а(оо)>^}	{а(оо)>М}
Используя это неравенство, получим
А'Р {а (оо) > 2Л/}<	(а(оо) — yV) JP =
{а(оо)>2М}
= J (a(oo)-JV)dP< J l(tN)dP
32
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. t
Подставляя в соотношение (24) 2N вместо N и восполь-
зовавшись последним неравенством, видим, что
J a(oo)dP< J g(r2v)dP + 2 J
{а(оо»2ЛГ}	{a(oo)>2W}	{а(оо)>ДГ}
Так как
J UrN)dP^p(C)+ J №МР =
{a(oo)>JVJ	{а(оо)>ЛГ)Л (s (Тдг)<С}
= р (С) + СР {а (ОО) > N},
WP {а (оо) N} Ма (оо) = М| (0),
то
j а(оо) dP <Зр(С) + 5Сз|(0) '.	(25)
{а(оо)>2ЛГ}
Полагая здесь, например, С = Nl/2, получим требуемое.
Теорема 9 (теорема Мейера). Для того чтобы су-
пермартингал £(/), /^0, допускал представления вида
и0 = ц(0-а(0,
(26)
где ц (/) — равномерно интегрируемый мартингал, а а(/)—
интегрируемый возрастающий процесс, необходимо и до-
статочно, чтобы процесс ^(t) принадлежал классу D,
Если это условие выполнено, то процесс а(/) можно вы-
брать натуральным и в классе разложений с натураль-
ными процессами разложение (26) единственно.
Разложение (26), где ц (/) — мартингал, а a (/) — нату-
ральный процесс, называют разложением Дуба супер-
мартингала £(/).
Доказательство. Необходимость условия теоремы
почти очевидна. Если мартингал ц(0 равномерно инте-
грируем, то он принадлежит классу D (теорема 5). С дру-
гой стороны, семейство {«(/),/^0} вполне равномерно
интегрируемо, так как а(т)^а(оо) для любого
и Ма (оо) < оо. Поэтому процесс {£(/), ^^0} вполне рав-
номерно интегрируем.
Пусть теперь, {£(/),	0} — супермартингал класса Z).
Тогда он допускает единственное представление вида
£ (/) = Ц (0 ~ л (0> гДе Л (0 ““ мартингал, а л (t) — потен-
циал класса D. Поэтому достаточно доказать теорему 9
§ 11
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
33
для потенциалов. Итак, в дальнейшем £ (/) — потенциал
класса D.
Для каждого целого п последовательность
k = 0,1,2,..., является потенциалом относительно по-
тока о-алгебр jSfe"* =	> k = 0,	В силу леммы 2
I	in	)
существует последовательность an(k), которую удобнее
обозначить через ап k — 0, 1,..., п= 1, 2, ..., та-
кая, что
= М ( ая (оо) |	- а„ (Й •	(27)
I	I
где ап (оо) ==felirn а„ , а„	и а„ —
Sfe-i-измеримая случайная величина. Так как £(/)—по-
2П
тенциал класса D, то величина
р (С) = sup \ g (т) dP < оо
te<7 ... J
и р(С)->0 при С —> оо, К семейству потенциалов
{(^0’ к ’ = 0> 1> • • •) > м = 1, 2, ..., применима
лемма 4. Следовательно, последовательность величин
{а„(°о), п=1,2, ...} равномерно интегрируема.
Из теоремы Данфорда — Петтиса следует, что суще-
ствует последовательность «/ такая, что аП/ (оо) слабо
сходится к некоторому пределу а^, т. е. для произволь-
ной ограниченной случайной величины tj
МаП/ (оо) т] -* Ма«л].
Заметим, что при каждом г последовательность слу-
чайных величин p„(r) = М {а„(оо)| n = 1, 2, ..., рав-
номерно интегрируема. Действительно,
NP{nn(r)>N}^ J p„(r)dP< Ja„(oo)dP.
2 И. Гихман, А. Скороход, т. III
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Поэтому Р {цл (г) > N} 0 равномерно относительно N,
и из равенства
{^)>N}	{^>N}
(28)
вытекает равномерная интегрируемость последователь-
ности цп(г), п = 1, 2, ... Таким образом, последователь-
ность prt(r) также слабо компактна. С помощью диаго-
нального процесса можно выбрать подпоследовательность
индексов kj такую, что а^.(оо)->аоо и (г) -> goo (г)
для каждого двоично рационального числа г в смысле
слабой сходимости. Так как при любом Br е
Ноо (О = Нш М{аь. (оо)|	=
J	/_>оо J 4	1	2
то poo(r) = M {a J gr}.
= lim J ak. (о) dP = j dP,
Br	Br
Пусть s < r, s и r — двоично рациональные числа.
Из соотношений an (s) ==	(s) — g (s)	(r) — g (г) с по-
мощью предельного перехода получим
5 (Ноо 00 - g 00) dP < J К (г) - g (r)) dP
для любого измеримого В, Таким образом, g(s) —	(s)<J
<UH”Hoo(r)- Положим
aW-MKlSJ-ga), t>0.
При этом, под М {«^13/} будем понимать мартингал,
выборочные функции которого принадлежат 2). Тогда
выборочные функции процесса a (t) также принадлежат 2)
и монотонно не убывают. Покажем теперь, что процесс
a (t) натурален.
Пусть т] (/) —произвольный ограниченный мартингал,
выборочные функции которого принадлежат 2). Тогда
с вероятностью 1
Т] (s -) da (s) = lim £ Т] (^) [a (А+1) - а	)],
§ 1]
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
35
и на основании теоремы Лебега о мажорируемой схо-
димости
00	оо
М $ Ц (s —) da (s) — 1irn £ Мп (jjf) [а (-Ц^) — а (jjt)] •
Из определения а(/), соотношения (23) и леммы 3 сле-
дует, что
оо
fe=0
= i>(A)WAHmi =
k=Q
оо
= £ Мп (^г) [ап - ап (^’)]= Mn(oo)oU«>). (29)
fe=9
По определению величины ах
Мп (°°)	(°°)—* Мп(<»)а00 при ^->оо,
откуда, учитывая предыдущие равенства, получаем
оо
М n (s —) da(s) = Мп (оо) «оо,
э
что доказывает натуральность процесса a(f).
Остается показать, что процесс a(f) единствен (mod Р),
Из предыдущих выкладок вытекает, что последова-
тельность an(°o) слабо сходится к а(оо). Действительно,
во-первых,
Мп (°о) «оо= ^П (°0) ап (°°)-
Пусть п “ произвольная <£-измеримая ограниченная
величина и Поо= М {п I тогда
Мп«оо = ММ {п«соI 8 J = Мпл =
= lim Mn00are(oo) = lim Мп«п (оо),
П-»оо
чем и доказывается, что aft(oo) слабо сходится к а^.
2‘
36
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Предположим, что существует некоторое представление
Ш = м {М ад - ₽(0
потенциала £(/), где 0(f) — натуральный процесс. Из ра-
венства (29) следует, что
00	оо
М j Т] (s — )d0 (s) = Hm У Мт] (^) [а„ (^Ц) - а„ (^)] =
О	fe=0
= lim Мт] (оо) а„ (оо) — Мт) (оо) ая,
П->оо
и в силу натуральности процесса
Мц(оо) == Мг| (оо)0 (оо),
откуда получаем «00 = 0(00) и 6(/) = а(/) (modP).
Теорема доказана.
Замечание 1. Если £ (/) = ц (/) — a (t) — разложение
Дуба супермартингала l(t) класса D, то равенство
I (t А т) = ц(/ Д т) — а(/ А т) является разложением Дуба
супермартингала
Замечание 2. При доказательстве натуральности
процесса a(f) условие ограниченности мартингала ц(/)
было использовано для обоснования возможности пре-
дельного перехода под знаком математического ожида-
ния. Можно, однако, заметить, что равенство (16) будет
иметь место и в том случае, когда Ма^ < оо, мартингал
ц (0 — равномерно интегрируем и Мт]2(оо) < оо. Установим
это. Сначала докажем, что если Ма^ < оо, то
Ма^ (оо)^ 2Ма^.	(30)
Положим
8^ 8 fe •
Из равенств

§ И
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
37
вытекает, что
M(art(A0)2=M
[N'2n—\	-i2
X М{Д„4а|Ы <
&=0	-I
п2 —1	п2 — 1
<М2 £ М{л„*а|&4 £ М{А„/а|ад =
k=o	j=k
п2П-\	(	N2n-l	\
= 2М £ М ] М (Д„*а| &*) 2 М	&/) I &Л =
k=o	i=k	'
n2n-l
= 2М £ M{(aW-a(4))Anfta|S„ft}<
fe=0
п2Л-1
<2Ma(W) £ A„fta = 2Ma2(W)<2M<-
fc=0
Переходя к пределу при Af->oo, получим неравенство
(30). Из неравенства (30) следует, что
M'qart(oo)-> Мт^а^ при п-*оо	(31)
для любой случайной величины т], для которой Мт]2 < оо.
Действительно,
I Mt]an(00) — Mi]aOT |<|	(a„(oo) — aj|+
+ | М (т] — if) (а„ (оо) — a J |<| Mrf (a„(oo) — aj| +
+ [6Ma^M(n-n/v)2]I/2.
где t|v = t] при |т)К^ и ЛЛГ = 0 ПРИ	Вели-
чина- М (т] — г]Л/)2 может быть сколь угодно малой при
достаточно большом а (ага(оо) — а^)-* 0 при вы-
бранном N в силу слабой сходимости ап (оо) к а^. После
этих замечаний доказательство соотношения (16) в слу-
чае, когда Ма2(оо)<оо, мартингал r| (t) равномерно
интегрируем и Mi)2(oo)<oo, обосновывается следующим
38
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
образом. Из неравенств
оо	оо
S г1(^)Да"* Да„й = £а(оо),
£=0	k—0
М£а (оо) < оо,
где Z = sup | т| (/) |, вытекает, что суммы т] Далй
ь=э
равномерно интегрируемы. Этого достаточно, чтобы обо-
сновать выкладки, использованные при доказательстве
теоремы 9.
Замечание 3. При доказательстве единственности
разложения Дуба предположение о монотонности процесса
р(/) фактически не использовалось. Достаточно предпо-
ложить, что процесс р(/) представим в виде разности
двух натуральных интегрируемых возрастающих процес-
сов, и тогда приведенное доказательство показывает,
что р(/) = а(/).
Обобщения теоремы Мейера. Обобщим определение
натурального процесса на произвольные (т. е., вообще
говоря, не интегрируемые) возрастающие процессы.
А именно, возрастающий процесс a(t) будем называть
натуральным, если для произвольного ограниченного
неотрицательного мартингала т] (/) и для любого а > О
а	а
М т] (t —) da (/) = М т] (/) da (t).
о	о
Как вытекает из (23), интегрируемый натуральный про-
цесс будет натуральным и в только что сформулирован-
ном смысле.
Теорема 10. С упер мартингал	допускает раз-
ложение
£ (/) = ц (/) — а (/),	(32)
где ц (/) — мартингал и а (/) — возрастающий процесс,
тогда и только тогда, когда £(/) принадлежит классу DL.
Разложение, для которого процесс а(/) натурален,
единственно.
Доказательство. Пусть § (f) — супермартингал
класса DL. Тогда (/)==! («АО» я > 0, —• супермартин-
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
39
§ И
гал класса D; и в силу теоремы 9
МО = На (0 ~ «а (О,
где (/) — равномерно интегрируемый мартингал, а ай (/) —
интегрируемый натуральный процесс. Пусть b > а. Тогда
М0 = Ы^Аа) = MMa)~ а6(/Да), и из единствен-
ности разложения Дуба вытекает, что (/) =	(/),
ц6(/) = аа(/) при t^.a. Следовательно, с вероятностью 1
существуют пределы ц (/) = lim (/), а(/) = Птай (/), при-
чем, очевидно, ц (0 — мартингал, а (/) — натуральный про-
цесс и I (/) = ц (/) — а (/). Существование разложений (32)
доказано.
Предположим теперь, что процесс g(/) задается фор-
мулой (32). При каждом а>0 соотношение ^(a/\t) =
= ц (а А О — а (а Д t) является разложением Дуба, в ко-
тором ц (а Д /) — равномерно интегрируемый мартингал,
а (а Д /) — интегрируемый натуральный процесс, и в силу
теоремы 9 %(а Д t) — супермартингал класса D и, следо-
вательно, ^(/) — супермартингал класса DL.
Единственность разложения (32) с натуральным а(/)
также легко следует из единственности разложения, уста-
новленного теоремой 9.
Нам понадобится сейчас обобщение понятия мартин-
гала.
Определение. Процесс {£(0, t^O} называется
локальным мартингалом, если его выборочные функции
принадлежат 2) и существует такая монотонно неубы-
вающая последовательность ^-случайных моментов вре-
мени тд, п—1, 2, ..., что
1)	Пштп=оо (modP),
2) t (тп АО — равномерно интегрируемый мартингал
относительно	^^>0}, п=1, 2, ...
Последовательность тл, п = 1, 2, ..., удовлетворяющую
условиям определения, будем называть вполне приводящей
локальный мартингал g (t), а случайный момент времени т,
для которого i (т Д t) является равномерно интегрируемым
мартингалом, — приводящим g (/)•
Теорема 11. Пусть %(t) — неотрицательный супер-
мартингал. Тогда он допускает разложение (32), в кото-
ром [х (t) — локальный мартингал, a a (t) — возрастающий
40
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
интегрируемый натуральный процесс. Это разложение
единственно.
Доказательство аналогично доказательству предыду-
щей теоремы. Введем последовательность случайных
моментов времени Trt = inf{/: g(/)^/z}, п = 1, 2, ..., и
остановленные супермартингалы (/) = g (rrt Л 0- Оче-
видно, что grt(/) принадлежат классу £>, так как grt(/)^
^max(g(rrt), п). Следовательно, в соответствии с теоре-
мой 9 существует разложение grt (/) =	(f) — ап (t), где
аЛ(/) — интегрируемый натуральный процесс. Так же как
и при доказательстве теоремы 10, убеждаемся, что
=	(0 и art(/) = art+1 (f) при для каждого п
и с вероятностью 1 существуют пределы ц (/) = lim (/),
a(/) = limart(f). Так как supg(/) < оо (mod Р), ТО g(f) =
= lim g„ (/) = ц (t) — a(/). Но в данном случае о про-
цессе ц. (?) можно утверждать только, что он локальный
мартингал. С другой стороны, a (t) — интегрируемый про-
цесс. Действительно, в силу теоремы о монотонной схо-
димости
Ma (0 = lim Man (t) = lim M (ц„ (t) — gn (/)) =
= lim M (&n (0) - g„ W) < Um Mg„ (0) = Mg (0).
Единственность рассматриваемого разложения легко выте-
кает из единственности разложения в теореме 9.
Принимая во внимание доказанную теорему и тео-
рему 5, легко получим следующий результат:
Теорема 12. Произвольный квазимартингал допу-
скает разложение
g(/) = p(0 + v (// + ₽(/),	(33)
где ц (0 — мартингал, v (f) — разность двух интегрируемых
неотрицательных локальных мартингалов, р (/) — разность
двух натуральных возрастающих интегрируемых про-
цессов.
Разумеется, справедливо и обратное. Если процесс g(Z)
допускает разложение (33), то он является квазимартин-
галом.
Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что
процесс v(f) является квазимартингалом. Это следует из
того, что неотрицательный локальный мартингал является
супермартингалом. Последнее же вытекает из неравенств
5 1]	МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ	41
(s < t, v 0, v — интегрируемый локальный мартингал)
П-»оо
< lim M {v (тп л t) I	< lim v (rn A s) = v (s).
Регулярные супермартингалы.
Определение. Натуральный процесс а(/), фигури-
рующий в разложении супермартингала £(/), называют
процессом, ассоциированным с %(t).
В свою очередь каждому интегрируемому натураль-
ному процессу а (0 можно поставить в соответствие — и
притом единственным (mod Р) образом — ассоциированный
с ним потенциал
n(0 = M{a(oo)|5J-a(f).
В ряде случаев существуют важные и достаточно про-
стые связи между свойствами ассоциированных процес-
сов. Некоторые из них рассматриваются в настоящем
пункте.
Определение. Полумартингал {£(0, ^0} назы-
вают регулярным, если для произвольной возрастающей
последовательности случайных моментов времени тЛ, схо-
дящейся к ограниченному с вероятностью 1 случайному
моменту времени т,
limMg(Trt) = Mg(T).	(34)
Согласно определению каждый интегрируемый мартин-
гал регулярен.
Заметим, что если супермартингал регулярен и вполне
равномерно интегрируем, то соотношение (34) выполняется
для произвольной неубывающей последовательности слу-
чайных моментов времени, принимающих, возможно, и
бесконечные значения. При этом мы полагаем, что значе-
ние g (т) при т = оо определено ранее указанным образом.
Основной результат настоящего пункта состоит в сле-
дующем.
Теорема 13. Пусть I (t) — супермартингал класса D.
Ассоциированный процесс а (/) непрерывен тогда и только
тогда, когда процесс £(/) регулярен.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится
ряд результатов, имеющих и самостоятельный интерес.
42
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Они связаны с возможностью аппроксимации потенциалов
ограниченными и непрерывными потенциалами.
Теорема 14. Если £(/)— вполне равномерно интег-
рируемый потенциал, a(t)— ассоциированный процесс, то
00
Ma2 (оо) = М J [£ (/) + I (t -)] da (/).	(35)
о
Доказательство. Пусть ап (/) = а (/) Д п и (/) —
ассоциированный с ап (/) потенциал, т\п (/) = М {ап (оо)|
Так как a (t) — натуральный процесс, то
00
Ма(оо)а„(оо) = М	Tin (t—)da(Z).
о
С другой стороны (см. (18)),
Ma (оо) а„ (оо) = М tin (0 da (О,
о
так что
00
2Ма(оо)а„(оо)= М	(т)„ (t —) + ti„ (/)) da(t) =
0
oo	oo
= м J (|„ (0 + In (t -)) da (f) + M J (a„ (/) + a„ (t -)) da (/).
0	0
Из формулы интегрирования по частям (17) вытекает, что
оо
J (a„(/) + a„(/-))<W) =
О
оо
— 2Ма (оо) а„ (оо) -Д [а (/) + a (t —)] dan (t). (36)
О
Следовательно,
ОО	00
М J (|„ (t) + ln {t -)) da (0 = М J [а (/) + а (/ -)] dan (/).
9	О
< 11
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
43
В силу теоремы о монотонной сходимости
lim М ([а (0 + а (t —)] dan (0 = М ( [а (/) + а (* -)] da (/),
n-»°o nJ	,J
что равно, в силу (36), Ма2(оо).
С другой стороны, ln (t) — М {ап (оо) — а„ (/) |&}, п = 1,
2, ..образуют монотонно неубывающую последователь-
ность неотрицательных случайных величин, и для дока-
зательства формулы (35) достаточно убедиться в том,
что существует последовательность индексов п!у такая,
что £ (0 с вероятностью 1 равномерно стремится к £(£)
(тогда и	с вероятностью 1).
Так как £„ (0 =	(/) — ап (t) и sup (a (t) — ап (/)) —
= а(оо) — п Л а(оо)-*0, то наличие нужного свойства
последовательности достаточно проверить у после-
довательности Т]„ (/).
Но
P(suph(0 —(01>е)<
<ysup М h(0 — П«(0 l = “M |а(оо) — а„(оо)|->0.
с	о
В силу леммы Рисса существует такая подпоследователь-
ность индексов что sup | т) (/) — т)п (t) | -* 0 с вероят-
ностью 1.
Теорема доказана.
Следствие 1. В условиях предыдущей теоремы,
если 11 (0 |с, то Ма2 (оо) 2с2.
Действительно,
Ма2 (оо) 2сМа (оо) = 2сМ£ (0)	2с2.
Следствие 2. Так как сумма двух потенциалов
класса D также принадлежит D, то из (35) вытекает
равенство
2М«! (оо) а2(оо) =
00	оо
- м J & (0 + Ц -)] da, (0 + м J W + Ь (t -)] dat (i),
О	о
44
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
где щ (0 — процессы, ассоциированные с потенциалами
₽/ (О, Z == 1, 2. Отсюда следует, что если ц (/) = (/) — £2(/),
g (0 = «1 (0 ~ «2 (0. ТО
М₽2(оо) = м $ [л(О + л(/-W(0.
(37)
Пусть {g (0, iSf, t > 0} — некоторый супермартингал-
Положим
h>0.
Установим ряд свойств процесса лИО-
(а)	Процесс "Пл (0 является супермартингалом. Действи-
тельно, пусть s < /; тогда
МО1У=МШШ}=
= М {М W + /01 &+/JI	/ОШ = Ш
Так как функция Mt]ft (0 = Mg (/+ Л) непрерывна
справа, то существует модификация процесса т)Л(0, выбо-
рочные функции которой непрерывны справа. Именно
эта модификация процесса Лл (0 в дальнейшем рассма-
тривается.
(б)	Если g (0 — потенциал класса D, то лл (0 также
потенциал класса D.
То, что Лл (0 — потенциал, очевидно, а что он вполне
равномерно интегрируем, вытекает из неравенства Лл (0
U0-
(в)	Пусть т — случайный момент времени, конечный
или бесконечный. Тогда
Лл (T)=M{g (т + /г)Ш-
(38)
k
Доказательство. Положим =
Г k — 1 k \	л
ej-gH-, -gnj и пусть
если т е
§ 1]	МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
45
Тогда
Jg(T„ + ft)dP=£	j	=
4	й=0^{г„=^}
= £	$	М{^(-А+А)|В3_1^Р= JnjTjdP,
U	r	h X	„Н *	Л
откуда вытекает формула (38) для т = тп.
Пусть теперь и—>оо. Из непрерывности справа про-
цесса т)л(0 следует, что т)л (тJ x\h (т) с вероятностью 1.
Учитывая равномерную интегрируемость семейства слу-
чайных величин £(rrt + A) и ^(т), видим, что в крайних
частях равенства (39) можно перейти к пределу при п-> оо.
С другой стороны, если это равенство имеет место
для любого A&i$xn, п=\, 2, то оно справедливо
и для произвольного А из 5т-
(г)	Если g (t) — регулярный потенциал класса D, то
также регулярный потенциал.
Пусть тп t т, тп — случайное время. Тогда
Мть (т„) = ММ {в (т„ + h) ISJ = Mg (т„ + /г) -> Mg(r + /г).
Пусть g (0 — потенциал класса D. Положим
t
а* (0 = J----— ds'	(40)
О
Очевидно, что (f) — монотонно неубывающий непре-
рывный процесс. Покажем, что он интегрируем. Имеем
t
hMah (/) = J (М£ (s) - Mg(s + A)) ds =
о
h	t+h	h
= ^M£(s)ds— M£(s)ds< Mg(s)ds,
0	t	0
откуда видно, что Мал(оо)<оо.
46
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 1
Обозначим £/г(/) — потенциал, ассоциированный с воз-
растающим процессом ал(/). Тогда
(/) = М {а/г (ОО) - ал (/) |	= М | j Ш ds
= lim М
АГ->оо
(ш-ма(5+л)ю^
N
= lim |?(MU(s)|SJ-MU(s + A)|O^ =
N-»OO П J
г 1
bm -г
N-+OO
rt+h	N+h
J M (ШШ ds- J M (g (S) Ш ds
- t	N
t -j-h	/ 14" A
= | $ M{g(s)|&)ds=M|y J l(s)ds
t	V	t
Так как при s >/, h > 0,
M{Us + h)\^t} =
= M {M {Us + h) I |	< M {g (S) I &},
т. e. функция M {£(s), I s > /, — монотонно не воз-
растает и непрерывна справа, то из полученной фор-
мулы следует
Теорема 15. Пусть
Процесс
g (t) — потенциал
t+h
t
£ (s) ds
класса D.
(41)

является потенциалом, ассоциированным с непрерывным
возрастающим процессом
t
А) = 4 J (£ <s) — Пл («)) ds.
о
При h | 0 величины Z,h(t) монотонно не убывают и
->UC пРи h-^Q с вероятностью 1 при каждом t. Крэме
того,
§ 1]
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
47
Последнее утверждение вытекает из следующих сообра-
жений. Нетрудно видеть, что те же выкладки, которые
привели к формула (40), применимы и тогда, когда
вместо t подставляется произвольный случайный момент
времени т. Следовательно,
X + h
(т) = м j 4 g (s) ds
откуда для любого Л G получаем равенство
X+h
Jgft(T)dP=4 J
Из равномерной интегрируемости g(0 следует, что для
любого 8 > 0 найдется 6 > 0, такое, что \ g (s) dP < 8
при Р (Д) < 6 для каждого s > 0, откуда следует нера-
венство \	(т) dP < 8 для любого случайного момента т,
что и доказывает равномерную интегрируемость семейства
случайных величин {^(т), теГ}.
Теорема доказана.
Лемма 5. Каждый потенциал £(/) класса D можно
представить в виде
п=1
где (/) — ограниченный потенциал. Если потенциал g (t)
регулярен, то ln(i) можно также выбрать регулярными.
Доказательство. Пусть
g (/)= М {а (ОО) |&} - а (0, а„ (0 = а (0 А п,
₽„ (0 = ап+1 (0 - а„ (/),	(0 = М {рп (оо) I - ₽„ (0.
Тогда g„(0 является ограниченным потенциалом и
Z	X р„(~) &
n=l	X. П=0
Z ₽я(о) = ^(О.
48
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Заметим, что разность g (/) — g„ (/) = £ (/) является
вполне равномерно интегрируемым потенциалом. Положим,
для удобства, (0 = П (0-
Пусть хп — произвольная ограниченная неубывающая
последовательность случайных моментов времени, хп f х.
Так как Mi] (т„) Мт] (т), М£ (т„) М? (т), то из регуляр-
ности процесса g (0 следует соотношение
Мт) (т) + Mg (т) = Mg (т) = lim Mg (т„) =
= lim (Мт) (т„) + Mg (т„)),
что возможно только тогда, когда lim Мг)(т„)= М1](т)
и Mg(r„)=Mg(T), т. е. процесс = регулярен.
Лемма 6. Пусть^(1)—регулярный потенциал класса D,
In (0 ~ произвольная неубывающая последовательность
потенциалов, сходящаяся K^(t) с вероятностью 1, и е > 0.
Положим
Тогда
Tne=inf{/: g(/)-g„(/)>s}.
lim Р {тгеЕ < оо} = 0.
П->оо
Доказательство. Очевидно, что тие— неубы-
вающая последовательность случайных времен. Поло-
жим т = Нтт„Е. Тогда lim Mgp (т„Е) > Mgp (т). Исполь-
зуя регулярность g(/), видим, что М (g (т) — gp (т))
> lim М (g (т„Е) — gp (т„е)). Так как g (тпЕ) — gp (т„Е) >
> £ (тпе) — 1п (т„е) > еХ (т„е<оо), При р < П, . ТО
М (g (т) — gp (т)) > е lim Р{тПЕ<оо} для всех р > 0.
Из последнего неравенства при р-*оо вытекает лемма.
Лемма 7. Пусть выполнены условия предыдущей
леммы и потенциал g(Z) ограничен. Тогда
М[а(оо) — ап (оо)]2-> 0 при п->оо,
где а (/) и ап (/) — натуральные процессы, ассоциирован-
ные с c(t) и g„ (i) соответственно.
Доказательство. Пусть g (/) с, тогда и grt (f) с,
и в силу следствия 1 теоремы 14 Ма2(£)<оо, Ма2 (оо) < оо.
§ U
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
49
Положим г)(/) = % (/) — (0, ₽ (О = а (0 — ап (Z). Вос-
пользуемся теоремой 14. Имеем
М(а(оо) — ап (оо))2 =
оо
= М (n(n' + n(«— )).d$(n) = М (	+ 5
0	Ч0- х«е) [хпе°°У
/	00	\
<2еМ (а(оо) + аге(оо))4- М j % (тпе < оо) 4cd(a+an)
I	о	)
< 4eMg (0) + 8сМ% (т„е < оо) а (оо) <
<4еМ?(0) + 8с(Р(т„е<оо)),/2-
Воспользовавшись леммой 6, получим требуемое.
Доказательство теоремы 13. Не умаляя общ-
ности, можно считать, что £(/) —потенциал. Докажем,
что если он регулярен, то ассоциированный процесс не-
прерывен. Допустим сначала, что потенциал g (t) регулярен
и ограничен. Пусть
n(/) = g(0 + a(0=M{a(oo)|Sf},
Нй (0 = (0 + ал (0 = М {аА (оо) I &},
где а (О и	(f) — процессы, определяемые формулами (40)"
и (41). Из леммы 7 вытекает, что
М (а(оо) — ал(оо)]2—>0 при Л->0.
Следовательно, suр | ц (0 — цЛ (f) I2 -> 0 по вероятности,
t
а в силу леммы 6 и sup | £(/) — th(t) >0 по вероятности.
t
Следовательно, sup|aft^) — a(/)| -*0 при h —> 0 по
вероятности. В силу леммы Рисса существует подпосле-
довательность hj такая, что зир(аЛ/.(0— а(/))—>0 при
/ -> оо с вероятностью 1. Поэтому а (0 с вероятностью 1
является непрерывной функцией.
Допустим теперь, что £(0 не обязательно ограничен-
оо
ный потенциал. На основании леммы 5 £(/)= X
п—1
где ln (f) — регулярные ограниченные потенциалы класса D.
50
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Пусть ап (t) — процесс, ассоциированный С Он
непрерывен. Так как М У ап (оо) = М У (0)=Mg (0)<оо,
то ряд Уа/?(°о) сходится с вероятностью 1. Но тогда
ряд	сходится равномерно по t с вероятностью 1
и является непрерывной функцией. Очевидно, что про-
цесс а(/) натурален и ассоциирован с потенциалом £(/).
Теперь докажем обратное. Если процесс непре-
рывен и ассоциирован с потенциалом £(/), то g(/) ре-
гулярен.
Пусть тп — возрастающая последовательность слу-
чайных времен, сходящаяся к т. Тогда limMafrJ-
= Ма(т). Следовательно,
lim М£ (тп) = lim М (а (оо) — а (rj) =
= М [а (оо) — а (т)] = М£ (т).
Теорема доказана.
Квадратично интегрируемые мартингалы. Пусть
{ц (0, t 0} — мартингал с выборочными функциями
из 3), & = и
sup М| Ц (0 |2 < оо.
t>0
Мартингал, обладающий этими свойствами, будем назы-
вать квадратично интегрируемым, а класс всех квадра-
тически интегрируемых мартингалов относительно задан-
ного потока о-алгебр /^0} и вероятностной меры Р
обозначим Jt2 —	Р}- Подмножество Jl2, выбороч-
ные функции которого с вероятностью 1 непрерывны
(назовем эти мартингалы непрерывными квадратично
интегрируемыми), обозначим Лс2 = Pi-
Так как (см. (4))
М sup | и (/) |2	4 sup М | р (/) I2 < оо,
f>0	*>о
то семейство случайных величин {ц(/), /^>0} равномерно
интегрируемо и предел
ц (оо)= lim ц (/)
t ->ОО
существует с вероятностью 1 и в среднем квадратичном,
причем р (/)= М {р(оо)
Введем в скалярное произведение, положив
(р, v) = Мр (оо) у (оо) (р,
§ 1]
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
51
Нетрудно проверить, что введенная билинейная форма
обладает свойствами скалярного произведения. Более
того, между Ж2 и классом L2 = Ь2{^^, Р} всех ^-изме-
римых случайных величин т], для которых Мг]2<оо,
существует изометрическое соответствие
Л—(О = М fr] ISJ. Ц^)->П= lim n(t),
причем если	то
Мр2(/)<Мп2.
Теорема 16. Ж2 является гильбертовым простран-
ством, а ЖС2 замкнуто в Ж2.
Доказательство. Пусть {цп (t), п=\, 2, ...} —
фундаментальная в Ж2 последовательность. Тогда суще-
ствует lim pft(oo) = Цоо- Построим мартингал р(/) =
—	с выборочными функциями в 3). Он при-
надлежит Ж2,
МИ2 (t) = м (М к I gj)2 < ММ I= Ми2те < оо,
и является пределом в последовательности цп(/).
Так как
Msupl ц„(() — и (012 < 4М | и„(оо) — Роо I2—> О,
то существует подпоследовательность 6=1,2,...,
такая, что sup I и (/) — р(/)|->0 при 6->оо с вероят-
t I nk	I
ностью 1. В частности, если процессы непрерывны,
то мартингал также непрерывен.
Замечание. Мы доказали также, что если
сходится в Ж2 к p(f), то существует подпоследователь-
ность мартингалов выборочные функции которых
с вероятностью 1 сходятся к выборочным функциям ц (/)
равномерно по
Пусть р е Ж2. Тогда р2 (7) — субмартингал и
Н2(0<М{ц(оо)|^ = Ш
Где В (t) — равномерно интегрируемый мартингал. Так как
£(£)•—вполне равномерно интегрируемый процесс, то
р,2(/) — субмартингал класса 3). В силу теоремы Мейера
52
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
существуют единственный интегрируемый натуральный
процесс a (t) и мартингал v (/), такие, что
p2(0 = v(0 + a(/).	(42)
Определение. Натуральный процесс а (/) в разло-
жении (42) назовем характеристикой мартингала р (t)
(р (/) е Jt2) и обозначим (р, р\.
Учитывая, что при t>s
М {(И (0 - И « ш = М {ц2 (/) - И2 ($) | &},
получаем
м {(ц (0 — ц (s)]2 ш = М {(ц,	— (ц,	| &}. (43)
Очевидно и обратное: если (р, р\ — натуральный про-
цесс и для любых t, s (s < t) выполняется равенство (43),
то (р, р\ — характеристика мартингала р (/).
Пример. Пусть р (/)-—процесс с независимыми при-
ращениями и ре J{2. Тогда
Мр (0 = а = const,
М (р (/) — а}2 — о2 (t) < оо
и
М {(р (/) - р «|	= М (р (/) - р « = о2 (/) - о2 (<$).
Таким образом, характеристика процесса с независи-
мыми приращениями (р, р\ = о2(/) и не зависит от случая.
Пусть о и т — два случайных момента времени отно-
сительно потока о-алгебр /^0} и о^т(шобР). Учи-
тывая следствие 1 теоремы 6, получим
М{(р (т)-р«|За} =
= м {ц2 (т) — 2ц (а) М {ц (т) | За} + ц2 (ст) | За} =
== М{ц2(т) —р2(ст)| За},
откуда вытекает следующее равенство, обобщающее фор-
мулу (43),
м {(ц (т) — ц (ст))21 ба} = м {(ц, ц)т — <ц, ц)а IЗа}. (44)
Произведение двух квадратично интегрируемых мартин-
галов, вообще говоря, не является мартингалом.
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
53
§ 1]
Теорема 17. Произведение щ (/)ц2(/) (ц/(/) е
/=1, 2) является мартингалом только в том случае,
когда
(p-i + Н2,	+ РгХ = <Р-ь Р1Х + (р-2, РгХ-
Доказательство. Необходимость вытекает из
единственности характеристики и равенства
(Pi G) + Ц2 (О)2 = Vi (0 + v2 (t) + 2Ц1 (t) ц2 (/) + МО + а2(0),
где ц? (0 = v. (0 4- а. (/) — разложение Дуба субмартин-
гала р2(0- Из этого же равенства вытекает, что если
«1 (0 + аг(0 является характеристикой мартингала ц, (/) +
+ ц2 (0, то pi (0 ц2 (0 — мартингал.
Определение. Взаимной характеристикой мартин-
галов pi (/) и ц2(0 (ц/(0 е ^2, i= 1, 2) называют случай-
ный процесс
<Р1, Р2>/ = У КР1 + Ц2> Н1 + Р2>/ — <Pb Р1Х — <Н2, И2>/1-
Взаимная характеристика мартингалов pj (t) и ц2(0
обладает, очевидно, следующими свойствами: она под-
чинена потоку а-алгебр {&, f^0}, М ^2)0=0 и процесс
(Рь Р2Х представим как разность двух натуральных про-
цессов.
Полезность введения взаимной характеристики двух
мартингалов связана с тем, что процесс
Н1(0Н2(0 —<Рь НгХ
является мартингалом. Это сразу вытекает из легко про-
веряемого равенства
Ц1 (0 Ц2 (0 — <Ц1, Ц2>< =4 (V3 W ~~ v‘ ~ V2 (0),
где v3 (t) = (ц, (/) + ц2 (О)2 — <Ц1 + Ц2, Hi + Н2>ь a Vi(t)
(i=\, 2) имеют то же значение, что и ранее.
Отсюда, в частности, вытекает, что если а и т — слу-
чайные моменты времени и а^т, то
М {Ц1 (т) ц2 (т) — Ц! (ст) |Л2 (ст) | Ва} =
= М {<Н1> НгХ — <Нь Н2>а I3J-
54
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Последнее соотношение можно записать еще в виде
М {(H1 (т) —	(<*)) (м-2 (*) — Ц2 (^)) ISa} =
= м {<Н1, Ц2)т — <Н1, И2>стI Sa}- (45)
Отсюда вытекает, например, что
I м {А <Н1, Ц2)| Sa} I <________________________________
< д/М {А <Ц1, Ц2>I Sa} М {А <Ц2, Ц2> I Sa}> (46)
где А (|1/,	=	“ (Нь и аналогичный смысл
имеет А(ць ц2).
Теорема 18. Для произвольных мартингалов ц, (/),
ц2(/)	*=1, 2) существует процесс (рь ц2\ со
следующими свойствами: (р.ь р2\ является разностью
двух натуральных процессов, а процесс ц, (/) ц2 (0 —
— (ць ц2\— мартингалом.
Этот процесс единствен и удовлетворяет неравен-
ству (46).
Существование процесса ц2\ вытекает из пред-
шествоваших построений. Докажем единственность.
Пусть a(t) обозначает процесс, удовлетворяющий ус-
ловиям теоремы. Тогда р(/) = (р1,	+ 2a (/) + (р2, р2\
обладает следующими свойствами:	является разностью
двух натуральных процессов и (р., (/) + ц2 (t))2 — P(Z)
является мартингалом. В силу теоремы Мейера р (/) =
=(Р1 + Р2, Pi + РгХ, так что a(Z) = у [(щ + ц2, ц, + ц2\ —
— (Hi, ~(Иг, НгМ- Таким образом, процесс a(t) опре-
делен однозначно (mod Р).
Локальные квадратично интегрируемые мартингалы.
Аналогично определению локального мартингала введем
понятие локального квадратично интегрируемого мартин-
гала.
Определение. Процесс {ц(/), Sf, t^Q} будем на-
зывать локальным квадратично интегрируемым мартин-
галом, если его выборочные функции принадлежат 3) и
существует такая монотонно неубывающая последова-
тельность ^-случайных моментов времени тп, п = 1,2, ...,
что
1) lim т^ = оо (mod Р),
2) процесс р(/Дтп) является квадратично интегрируе-
мым мартингалом относительно потока {S дтл> ^>0].
§ 1]	МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ	55
При этом последовательность хп будем называть вполне
приводящей локальный квадратично интегрируемый мар-
тингал р (0, а произвольный ^-случайный момент вре-
мени т, для которого оставленный процесс ц (/ Д т)
является квадратично интегрируемым мартингалом, — при-
водящим ц(/).
Класс всех локальных интегрируемых мартингалов от-
носительно заданного потока о-алгебр {gf, /^0} обозна-
чим 1Л, а класс локальных квадратично интегрируемых
мартингалов — Подкласс	состоящий из
процессов, выборочные функции которых с вероятностью 1
непрерывны, обозначим
Если	и хп— последовательность случайных
моментов времени, вполне приводящая ц (/), то сущест-
вует такая последовательность натуральных возрастаю-
щих процессов ап(У), ^0, /г= 1,2, ..., что процесс £„(/)==
= р2(/Дтп) — aft(f) является мартингалом для любого
п = 1, 2, ... Таккакц2((1/\хп')/\xn) = ii2(t/\xn)n^nn < п\
то вследствие единственности характеристики (t/\xn) =
= an(t). Таким образом, при /<	(/) = art+1 (/)=...,
т. е. для любого t > 0 величины (t), начиная с некоторого
номера /г0 = /г0(со, /), совпадают.
Положим a (t) — lim ап (t). Нетрудно убедиться, что про-
цесс а(/) не зависит (mod Р) от выбора последовательности
хп. Действительно, если другая последовательность слу-
чайных моментов времени, вполне приводящая процесс ц (/),
<4(0—характеристика мартингала р(^ДТп), а'(0 = Ита„(0,
то из соотношения р((/Дт^) Дтт) — ц((тДтт) Дт^) и един-
ственности характеристики получаем, что (0 = ^(0 при
/<ттДт^. При ш и п->0 получим:
a (/) = a' (/) (mod Р).
Те же соображения показывают, что если х — произ-
вольный случайный момент времени, приводящий ц(£), то
р2(/Дт)—а(/Дт) является мартингалом, а процесс а(/Д т)—
натуральным (относительно потока a-алгебр {8Mt,
см. равенство (20). Более того, процесс обладающий
указанными свойствами, единствен.
Приведенные рассуждения применимы и к произведе-
нию двух локально квадратично интегрируемых мартиц-
56
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
галов. Таким образом, мы приходим к следующему ут-
верждению:
Теорема 19. 1. Если р (/) ^1Л2, то существует
неотрицательный возрастающий процесс а(/), /^0, та-
кой, что р2 (tД т) — а (tАт) является ^-мартингалом
для любого случайного момента времени т, приводящего
мартингал р(/), л а(/Ат) — натуральным процессом.
Процесс а(/), обладающий этим свойством, единствен.
2. Если	/=1,2, то существует процесс
Р(0, представимый в виде fi(t) — (/) — а2(/), где —
возрастающие процессы, и такой, что процесс у(/Ат) =
= р-1 А т) р-2 (/ А т) — р (/ А т) является ^-мартингалом
для любого случайного момента времени т, приводящего
мартингалы р! (/) и р2(/)> и	— натуральные про-
цессы (/=1,2). Процесс р(/), обладающий этими свой-
ствами, также единствен.
По-прежнему, мы будем называть процесс а(/) харак-
теристикой локального квадратично интегрируемого про-
цесса р,(/), а р(/) — взаимной характеристикой процессов
р,х (/) и р.2(0> и пользоваться обозначениями
а(/) = <ц, р\, ₽(/) = <Рь р2\.
При этом
<Н1>	= 4 [^1 + f*2’	“ ^1’	“ ^2’ ^1-
Замечание. Нетрудно убедиться, что если т — про-
извольный случайный момент времени, то характеристикой
процесса р,(/Ат)(ц( • )<=М{2) является функция (р,, Р-\Лт.
Мартингалы с непрерывными характеристиками.
Пусть ц(/)е/2 и (р,, р\ —- характеристика p(t). В силу
теоремы Мейера (теорема 13) процесс (р,, р,\ непрерывен
тогда и только тогда, когда для произвольной монотонно
неубывающей последовательности случайных моментов
времени тп, сходящихся к конечному случайному моменту
времени т,
Мр2(т„)->Мр2(т).	(47)
С другой стороны, если это условие выполнено, то
Мр (т) р (т„) = М {р (т„) М {р (т) |&„}} = Мр2 (т„) -> Мр2 (т),
М (р (т) — р (т„))2 = М {р2 (т) — 2р (т) р (т„) + р2 (т„)} -> 0.
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
57
§ И
Так как	то последнее соотношение выполня-
ется тогда и только тогда, когда
Р-1ппц(т„) = ц(т).	(48)
Обратно, если имеет место соотношение (48), то выпол-
няется и (47).
Определение. Мартингал {р(0, Зь ^>0} будем
называть квазинепрерывным слева, если он удовлетво-
ряет условию (48) для любой монотонно неубывающей
последовательности случайных моментов времени тп, для
которой т = lim тп < оо (mod Р). Если р (/) — локальный
мартингал, то будем называть его квазинепрерывным
слева, если (48) выполняется для монотонно неубываю-
щих последовательностей хп, таких, что т приводит р (/).
Теорема 20. Для того чтобы характеристика (р, р)#
процесса р (f) е была непрерывна, необходимо и дос-
таточно, чтобы процесс p(t) был квазинепрерывным слева.
Доказательство легко вытекает из предшествовавших
рассуждений.
Следствие. Если характеристики процессов и
р2 W (н* (0 ^2, i ~ 1,2) непрерывны, то их взаимная
характеристика (рь р2)/ также непрерывна.
Действительно, из квазинепрерывности слева процес-
сов pq (/) и р2(/) вытекает квазинепрерывность слева их
суммы. Установим теперь предложения, позволяющие,
в ряде случаев, находить характеристику мартингалов и
локальных мартингалов.
Пусть = р(0 + a(t), te=[0,T], где р (t) -
{^,	[0, Т]} —- мартингал, a a (t) — произвольный не-
прерывный интегрируемый на [0, Т] возрастающий процесс,
подчиненный потоку а-алгебр {5/, t е [0, Т]}, и а(0) = 0.
Рассмотрим произвольное разбиение Л отрезка [0, Г],
Х = {0, = /0,	• • •, 6г-ь ^п~Т}- Будем писать Х->0, если
max (tk — ^-i) -> 0. Положим
feel...., п
+ м {ш - £ (О I &,}+...+ м Р (О -1 (^-1) I
Тогда
<хх = М {a (fj) | So) + М {“ &) — а (О I &,} + • • •
...
58
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Мы видим, что ак не зависит от ц (/) и целиком опреде-
ляется процессом а(/).
Теорема 21. Если а(/) — непрерывный интегрируе-
мый на [О, Т] возрастающий процесс, то
Итах=а(Т)	(49)
в смысле сходимости в Lx,
Доказательство. Допустим сначала, что Ма2(Г) <оо.
Тогда
|2
М К - а (Г))2 = М [Д(М {Aa, I	- Aa.)
где Aafe = a(4) — Так как различные слагаемые
суммы в правой части равенства ортогональны, то
М (ax — a (D)2 =g м [M {Aafe |	- Aafe]2 =
= t{MAa2 - M [M {AaJ <
M £ Aa2 < M (sup Aafe • a (Г)).
Так как sup Aa^ • a (Г) a2 (T), M a2 (Г) < °° и sup Aa& 0
k
с вероятностью 1, то в силу теоремы Лебега о мажори-
руемой сходимости
М (ax —- а (Г))2—> 0.
Перейдем к общему случаю. Положим 0(О = а(ОА«,
y(t) = a(t) — 0(/). Процессы 0(0 и у(0 непрерывны и мо-
нотонно не убывают, причем 0(О^«- При этом
М|а(Г)-aJ<M[ |0(Г) - 0J +у(Г) + (ах-₽А)].
Из соотношений
0<М(ал^рл)=Му(П<Ма(Лх{а(П>^
следует, что для любого е > 0 при достаточно большом п
независимо от X Му(7’)<у, М(ах — 00 < у. при выб-
ранном пМ|0(7’) — 0J —>0 при А —> 0, ибо М02(Т)^га2.
Отсюда следует, что
М | а (У) — | —> 0 при Л—>0.
§ 1]
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
59
Замечание. Если Ма2(Г) < оо, то соотношение (49)
имеет место и в смысле сходимости в L2.
Следствие 1. Если характеристика мартингала
ц (/) g= Jt2 непрерывна, то
<И,	= Um Е М{(ц(^) — ц(^_1))2|Й/ }.
Следствие 2. Если характеристики мартингалов
Нг (О (н/ (0 е *^2, I — 1>2) непрерывны, то
п
<Нь H2> = lim	Е	М{(Ц1(^)“ Н1(^-1))(ц2(^) —
Л->0	k=l
(50)
При этом следует иметь в виду, что из непрерывно-
сти процессов (ц/, ц/)/ вытекает непрерывность процесса
(Pi + р<2,	+ ЦгХ (следствие теоремы 20).
Следствие 3. Если характеристики мартингалов
Н/(0, /=1,2, непрерывны, то
|Д<Н1. H2>J2<A<H1. Hi)A(p-2. P2)t-
(51)
Это неравенство является существенным усилением
(для рассматриваемого случая) неравенства (46).
Очевидно также, что оно имеет место и для локально
квадратично интегрируемых мартингалов с непрерывными
характеристиками.
В том случае, когда выборочные функции мартингала
или локального мартингала непрерывны (modP), можно
установить другую предельную теорему, позволяющую
вычислять характеристику процесса.
Заметим прежде всего, что если мартингал (локаль-
ный мартингал) непрерывен, то он квазинепрерывен
слева. Далее, в этом случае локальный мартингал является
локально квадратично интегрируемым. Действительно,
пусть
r„=inf {t: | ц(0 |>n},
причем если An={t: | ц(t) |п} = 0, то считаем т„ = оо.
Положим (/)= ц (t Д Х"); тогда, при	и
и в силу непрерывности p(t) |	(t) | = п при
t^x„. Если же ш ё= Ап, то | р.п (t) | < п для каждого t.
60
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Таким образом,	с вероятностью 1. Следова-
тельно, если ц (/) —непрерывный лэкальный мартингал,
то существует последовательность случайных моментов
времени тп, вполне приводящая ц (/) и такая, что ц(/ А та)
является мартингалом, ограниченным с вероятностью 1.
Введем понятие квадратичной вариации процесса.
По-прежнему, пусть Л обозначает некоторое разбие-
ние отрезка [0, Т] точками О = /о</1< ... <tn = T,
а £(/), /е[0, Г] — произвольный случайный процесс.
Определение. Предел при Л->0 в смысле сходи-
мости по вероятности сумм
Я=1
если он существует, называют квадратичной, вариацией
процесса на отрезке [0, Г].
Квадратичную вариацию процесса ^(t) на отрезке
[0, /] обозначим [£, £]„ [£, g]z = P-limo;(0.
х —> о
Замечание. Если выборочные функции процесса
£(/) с вероятностью 1 непрерывны и имеют ограниченную
вариацию на [0, Т], то [ц, ц]г = 0.
Действительно, о; < max | £ (Q — £| Vт (£), где
k
Vr(£) = sup El U^) — C(^-1) I —вариация на [0, Г].
К k=l
Так как max|^(^) —при Л->0, то
с вероятностью 1.
Лемма 8. Если ц(/) — квадратично интегрируемый
мартингал на [0, Г], то семейство величин (Г)| рав-
номерно интегрируемо.
Для каждого К определим потенциал &(п) = ^(п), по-
ложив
ио)=м{И2(П1 So), м {н2(п |ад -
- Н2(У + (I* &) - Ц (^-())2, k = 1, 2, .... п.
При этом
М {£ (k) I = м {р2 (О |	- н2 (/,_,) < g (k - 1)
и
ДаА= (ц (Zfe-J — и (/ft-2))2,
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
61
§ П
где
Aaft = M{g(fA_j) —k=\, 2, .... ti
(здесь следует считать ц (/_]) = ()) и
а(о°) = £ \ak = ol(T).
С другой стороны, независимо от выбора Л
^)<М{р2(7Жй}+4 sup р2(0,
а так как мартингал M{p2(7')ISJ равномерно интегри-
руем, p(c) = sup \ £TdP->0 при с —> оо, где т — про-
{&т > с}
извольчый случайный момент времени т на £=0, ...,nj.
Следовательно, применима лемма 4, в силу которой ве-
личины o[(f) образуют равномерно интегрируемое се-
мейство.
Теорема 22. Пусть	Квадратичная ва-
риация процесса р (t), t е [О, Г], существует для каждого
Т > 0 и совпадает с его характеристикой,
[н> й = (ц» (modP).	(52)
Доказательство. Пусть сначала ц(/) — квадра-
тично интегрируемый мартингал. Определим случайный
момент времени т = хс, положив
r=Tc=inf{s: (|p(s) |>c)U«p, р)5>с2), s е [0, /]},
если множество, указанное в фигурных скобках, непусто,
и x = t в противном случае. Пусть
н'(0 = М* л т), а'(0 = (ц, ц)глт, а(0 = (ц,
п	п
= £ [/ (у - /	= Е [и (У - и (у.)?
k~ 1	к— 1
При этом | р' (О К с, а' (0 < с2.
62
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
(ГЛ. I
Из неравенства
Р { I — <ц, I > е) < Р {|	— а' (/) | > в} + Р {т < t}
и соотношения
Р {т < t} = Р {sup | ц ($) | > с) U (а (/) > с2)} -> 0 при с -> оо
вытекает, что для доказательства теоремы в рассматри-
ваемом случае достаточно показать, что o^->az(7) по
вероятности при Л—>0.
С этой целью заметим, что
М(а2-а'(0)2 =
[п	I2	п
S (4^)’ - М] < 2 S м [(Л(<)’ + (Ла;)’],
к— I	-J	fe= 1
где Д^ = н'(у-ц'0й_1)>	=	пРи
ЭТОМ
М (Ац')4 <4с2М (max | Ац' |2),
У, М (Аа')2 с2М (max | Аа' | Y
fe=l	k
Так как шах(Ац^2->0, гпахАа^->0 с вероятностью 1,
причем эти величины ограничены константой, не зави-
сящей от случая, то М (о2 — а' (0)2~> 0 и для квадра-
тично интегрируемых мартингалов теорема доказана.
Пусть теперь ц (/) е 1ЛС и {гп} — последовательность
случайных моментов времени, приводящая ц(/). Тогда
Р {I - «(О I > е} <Р J (М-)! - »(' л т,)
k=\
+ Р{ |а(/ д тг) — а«)| > у | +
<2Р^<() + Р £ о;р)‘-“('л V)
§ и
МАРТИНГАЛЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
63
где ц(т7) = р (^ Д тг). Утверждение теоремы легко сле-
дует из полученного неравенства.
Следствие. Пусть рДО ^1ЛС. Положим
п
[Ц1, ц2]« = Р-Нт х (Н1(^) — И1 (^-1)) (Н2 (^) — Нг(^-1))-
Х->ОО k=\
(53)
Тогда
(Hi. Н21« = <Н1>
Следующая лемма в дальнейшем часто применяется.
Лемма 9. Пусть	и характеристика (р, р\
непрерывна. Тогда
Р{ sup |р(0| >е}<Д+ Р{(р, ц)г>АГ} (54)
о < t < т	ь
для любых положительных е и N.
Доказательство. Неравенство (54) достаточно
доказать для мартингалов из Л2, так как с помощью
предельного перехода оно очевидным образом может быть
обобщено на локальные квадратично интегрируемые
мартингалы. Итак, пусть р (t) е Ж2. Положим t;V =
= inf{/: (р, p\L>A\ t^.T}, причем если множество зна-
чений /, указанное в { }, пусто, то полагаем ту = Г.
В силу непрерывности процесса (р, р\ неравенство
(р, р)т^Л^ выполняется с вероятностью 1.
С другой стороны,
р { sup | и (0 | > е} = Р {( sup | ц (о I > е) п {т < Г}} +
0< / < Г	0< f
+ Р{( sup I р, (/) | > е) п (т = Т)} С
0</<Т
<Р{т<П + Р{ sup |р(/)|>е}.
О < t < т
Учитывая, что
Р {т < Т} < Р ж йт'Ж},
а (	। /л । х > м I Ц (т) I2 N
Р{ sup | р(0 |> е}< —'—г—
е 8
получаем неравенство (54).
Следствие. Если \in (t) ^1Ж2 и характеристики
(Ц, р)^, п=1, 2, ... непрерывны, то из соотношения
(Нгг+р Ртр Мтг+Р М-пХ > ® V/ > О
64
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
вытекает существование процесса ц (/) е 1Л2 такого, что
Р{ sup | ц (I) — цп(0 | > е} —> О при п-+ оо XfT > 0.
Соображения, использованные при доказательстве
леммы 9, можно применить и к мартингалу с дискретным
временем. Укажем на те моменты доказательства, кото-
рые в этом случае нуждаются в уточнении. Пусть
{Нб, &, &== 1, 2, ..., п} — квадратично интегрируемый
мартингал. Положим
k
д^==^-^_р AaA=M{4^|Vi}>
и пусть т = k в том случае, когда существует такое k
(1 ^.k ^.п — 1), что
a^jV, a2<W, ..., ak^.N, aft+1 > N
и x = n, если такого k нет. Так как aft+1 — ^-измеримая
случайная величина, то т — случайный момент времени.
Положим р./ = р./Лт, i=l, п. Тогда МЦ2<
^Ма/лт^Л<. Повторяя рассуждения, приведенные при
доказательстве леммы 9, придем к следующему резуль-
тату:
Лемма 10. Если {pft,	п} — квадра-
тично интегрируемый мартингал, то для любых е > 0,
А> 0
Р{ max lnft|>8}<-^- + P{an>Af}. (55)
1	< k < п	6
Замечание. Если р (/) = (р1 (/), ..., ps (/)) — вектор-
ный мартингал, то неравенство (54) можно заменить
следующим:
Р{ sup 1р^)1>8)<-^ + р(У(|Л ру>т>лЛ.
I,,	I
Аналогично обобщается неравенство (55). Доказа-
тельство совпадает с доказательством леммы 9.
§2Т
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
65
§	2. Стохастические интегралы
Интегрирование кусочно постоянных функций. Опре-
деление стохастического интеграла
ь
(1)
а
где £(0 —процесс с ортогональными приращениями,
a f (0 — неслучайная функция, было дано в томе I (гл. IV,
§ 4). Нетрудно заметить, что рассмотренная там конст-
рукция интеграла, вообще, говоря, неприменима, если
функция f(f) случайна. Для неслучайной функции f (t)
интеграл (1) есть элемент замыкания ланейной оболочки
значений случайных величин £(/) — £(а), если же Не-
случайный процесс, то это, вообще говоря, будет не так.
Тем не менее, соблюдая некоторую осторожность в опре-
делениях и используя дополнительные предположения
о процессе £(/), можно развить удобную для применений
и достаточно общую теорию интегрирования случайных
функций по процессам £(/), выборочные функции кото-
рых могут, вообще говоря, с вероятностью 1 иметь не-
ограниченную вариацию.
Следующее замечание показывает, какие при этом
могут возникнуть трудности.
Пусть /(/), /е(0, 1] —случайная функция и fn(t) =
п
= У, t At), п=1, 2,	—последовательность
п U4-l’*feJ
простых функций (О = /о < Zj < ... <<„=!), сходящаяся
к f(t). Тогда- последовательность «интегральных сумм»
k=l
которые естественно считать значениями интеграла (1)
от функции вообще говоря, ни к какому пределу
не стремится, даже при весьма сильных предположениях
о сходимости fn(t) к /(/). Покажем это на простейшем
примере.
Предположим, что мы желаем определить интеграл
1
w (t) dw (/),
о
3 И. Гихман, А. Скороход, т. III
66
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
где w (t) — винеровский процесс. Заметим сначала, что
если положить fn(t) = w(Qk), где	^], О = /о<
<ti< ... <fn=l, то fn(f)->w(f) во всех обычно при-
меняемых топологиях.
Так, эта сходимость является равномерной по t с ве-
роятностью 1. Кроме того, М sup | fn (/) — w (t) |2 -> 0 и
1
о
с вероятностью 1. С другой стороны, рассматриваемый
интеграл нельзя определить как предел в среднем квад-
ратичном величин
1	п
5 fn (0 dw (0 = X w <0й) (^) — ® (^-1)1,
о	ы
так как если бы этот предел существовал, то существо-
вал бы и предел последовательности
i	п
М ^fn (t) dw (/)=£ Mu' (0ft) [w (tk)—w (/A-1)]=]P (0ft—
0	/2=1
в то время как множество предельных точек этой суммы
совпадает с отрезком [0, 1].
Мы разобьем определение стохастического интеграла
на ряд этапов возрастающей общности.
В первую очередь мы рассмотрим определение инте-
грала в том случае, когда £(/)-—квадратично интегри-
руемый мартингал. Что касается класса интегрируемых
процессов /(/)> то, начав с кусочно постоянных и огра-
ниченных с вероятностью 1 функций, мы перейдем к ин-
тегрированию функций с конечными моментами второго
порядка, а затем и к классам случайных процессов, не
обладающим конечными моментами какого-либо порядка.
Дальнейшее расширение понятия стохастического инте-
грала связано с обобщением класса интегрирующих про-
цессов. Вместо квадратично интегрируемых мартингалов
5(f) будут рассмотрены локальные квадратично интегри-
руемые мартингалы. Наконец, будут рассмотрены инте-
гралы по мартингальным мерам.
§ 2J
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
67
Вместе с тем, не стремясь к наибольшей общности,
мы в большинстве случаев ограничимся рассмотрением
мартингалов (локальных мартингалов) с непрерывными
характеристиками.
Итак, пусть {&, /^>0}— фиксированный поток
о-алгебр, В/ = §<+> Во содержит все подмножества Р-меры 0
(это предположение в настоящем параграфе постоянно
считается выполненным), р. (/) — квадратично интегрируе-
мый Вгмартингал, выборочные функции которого с ве-
роятностью 1 принадлежат Ф, с характеристикой (ц, ц.\:
sup М|ц(/)Р<оо,
0 t < оо
М {(ц (0 — и «1 ВЛ = М {<р, рХ — (ц,	| ВЛ, s<t.
Заметим, что ц (t) — процесс с ортогональными при-
ращениями. Действительно, при < t2 < /3
М {(ц (/3) - и (У) (и (У - Н ft)) I Bt} =
= (ц М - р (А)) М {и (4) - и (4) I BrЛ = 0, (2)
откуда, в частности, следует, что
М(и(/з)-нО(н№)-цО = 0.
Переходя к описанию класса интегрируемых функций,
условимся прежде всего, что будут рассматриваться только
процессы, подчиненные /^0}.
Под 20 = 20 {В<, ^0} будем понимать класс процессов,
подчиненных {^г, /^0} и принимающих постоянные
ограниченные (mod Р) значения на конечном числе полу-
интервалов в виде («*—1, sft] и равных 0 вне этих интер-
валов. Иными словами, р (/) е 20 тогда и только тогда,
когда
n(0= Е п^Хд (0,
/2=1	«
где Aft = (sfe-i, sft], 0<s0<S!< ... <s№, %A(f) —инди-
катор множества А, т]й — ^-измеримая ограниченная
некоторой постоянной случайная величина (k = 0, 1, ...
..., п— 1). Заметим, что функция r\(f) непрерывна слева.
3*
ба
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Определим сначала интеграл
оо	оо
I (т|) = Т] (s) р, (ds) = Т] d[i
О	)
для процессов ц (f) е 20. А именно, положим
ОО	п
/ 01) = $ П («) И (<&) = У, TU-1 [и (s*) — Н (Sfe-i)L
О	k=\
(3)
Хотя представление функции ц(/) в виде линейной ком-
бинации индикаторов полуинтервалов не единственно,
нетрудно убедиться, что значение /(ц) определяется
однозначно. Очевидно также, что операция/(р) является
линейной,
IW + У2П'2') = Y1/ (п'п) + у2/ М2)).	(4)
где уг — ^-измеримые ограниченные случайные вели-
чины, т)(/| == т]и> (I) е 20> «=1, 2. Так как
М ] Е Па-i [ц (sk) — р (sft-i)] ISo } =
I £=1	)
( п	\
=	Трг- 1М {ц (sk) — Ц. (Sfe-j)	| = о,
ТО
М{/(ц)Ш = о.
(5)
Пусть г], (/) е £0, г = 1, 2. Не умаляя общности,
можно считать, что
п
ж (0= £
Положим, для сокращения, р (sk) — ц Имеем,
учитывая (2),
м {I (ш) / Спг) I So) = М [ S nVl |П/22.1 д На дРу I $01 =
= м[ у Мн,
V «==1	*
§-2]
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
69
где А<ц, ц) =<и, ц) — (ц, ц)
k	k	k
. Таким образом,
, оо	оо	\	/ 00	\
м	WHlBo[=MHni(s)n2(s)d<H,p)J$ol. (6)
(о о	) (о	J
В частности,
М \ Th d\i — \ r|2 d\i
о
оо
= М $ (t]i(s) — Ti2(s))2^<p, р),. (7)
О
Заметим, что (ц,	— монотонно неубывающая функ-
ция и интегралы, фигурирующие в правой части формул
(6) и (7), имеют смысл обычных интегралов Лебега —
Стилгьеса, существующих с вероятностью 1.
Наряду с определенным интегралом рассмотрим не-
определенный интеграл
оо	t
It = It h) БД J X(0, u (s) П (s) p (ds) =f J П (s). p (ds).
0	0
Очевидно, что
k
h = £ n/-i лр/ + Пй [h (t) — и (Sfe)L te («л. Sfe+iL (8)
Отметим ряд свойств процесса It.
а)	Процесс It подчинен потоку <т-алгебр {&, t >= 0};
его выборочные функции непрерывны справа, имеют пре-
делы слева для всех t^O (modP) и
бЛ = т]Ю бр (/),
где бр (/) — скачок процесса р (/) в точке t,
бр (t) = р (/) — р (t —).
б)	Процесс It является §гмартингалом.
. Действительно, пусть 0Й^/1</2- Не умаляя общно-
сти, можно считать, что =sk, t2 = si при некоторых
k и I.
i
Тогда Itl = Е	—h(s/-i)] и
/—fe +1
М{/(/2)-/(Л)1Вц}=Р	(9)
в силу (2).
70	МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
в)	It е ^2> причем
✓ ^2	\
М{(М-7<1)21ад = м| Jr)2(sW,	(Ю)
(. t,	)
Формула (10) легко вытекает из (6).
Нетрудно проверить, что процесс
t
₽ (0 = 5 *i2 d
о
является натуральным. Действительно, если процесс
а(0 = (ц, цХ натурален, то (см. § 1)
М J £ (s —) da (s) — М J £ (s) da (s)
д	д
для любого полуинтервала Д = (а, ft] и произвольного
ограниченного (с вероятностью 1) неотрицательного мар-
тингала £(/). Полагая здесь Д = Ak = (s^-i, sj, умножая
ia и суммируя по всем 6 = 1, 2, п, получим
М J U* —) т)2 (5) da (s) = М J £ (s) т]2 (s) da (s),
о	0
откуда следует (см. § 1, (18)), что
mJ £(s-m₽=mu+ <*>)₽(+ оо),
о
что доказывает натуральность процесса P(f).
Таким образом, равенство (10) можно уточнить сле-
дующим образом:
г)	характеристика стохастического интеграла It равна
t
о
Из полученной формулы легко вытекает следующее вы-
ражение для взаимной характеристики стохастических
§2]
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
71
интегралов rt = It(r\') и Я = А(г)") (г/, т\" е 20):
t
Z"\ = Jn' W' (s)d(ii, Д.
о
(И)
Аналогично можно получить выражение для совмест-
ной характеристики процессов и v(t), где v(t) —
произвольный мартингал из М2. Пусть 0 t{ t2. Будем
считать, что, как и ранее, не является умалением общ-
ности, что /i = sft) t2 = st. Тогда
M{A!v(/2)-7tlv(/i)|g<.} =
, 1	1
“М X	.1=
1/=£+1	)
( 1 \
= м Е П,-,М{Дц Av |8 }|8 1 =
1/=6+1	7	7/	)
Таким образом,
М{(Лг —A,)(v(/2)~ v(/i))I8z,}=m| $ п(з)<Ж L
(12)
Из в) следует, что процесс
t
Jn(s)d(g, v>,
О
является разностью двух натуральных процессов, и
в силу единственности взаимной характеристики двух
мартингалов
</. v)/ = Jn(s)d<|i, v\.
О
Отметим еще следующее неравенство:
оо	. оо	. 1/2
М $1 n(s) МКн» v>||4<(M(v,	M$T)2(s)d<p, |x)J .
и	\ о	/
(13)
72
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 1
Здесь ц, vg/2, 1]е?ои ||(ц, у) ||5 обозначает полную
вариацию функции (ц, v)t на отрезке [0, s].
Для доказательства воспользуемся неравенством (46)
§ 1, в силу которого
м{In.-,|4<ц. »>,,	<
<11.-, 1(М{А(н. ц),4|8ч_,))1в(М{Л(л,. v)JS|gji_|})''> =
= (М«_,А(ц,
Рассмотрим произвольное разбиение t2, .tn
отрезка [s&_х, s*]. Применим к каждому отрезку \tk_{, tk]
последнее неравенство, воспользуясь неравенством Коши
и перейдем к пределу. Получим
М{1п.-, V) IL,-life V> II,,.,)
<(M{nU,A4b I3,,-,))1'2 (М {A(V, V),,., is,
Суммируя эти неравенства и снова воспользовавшись
неравенством Коши, придем к неравенству (13).
Стохастический интеграл в смысле сходимости
в среднем квадратичном. Обобщим определение стоха-
стического интеграла на более широкий класс случай-
ных процессов т](/) и покажем, что установленные ра-
нее для функций т] (f) е 20 свойства стохастического ин-
теграла при этом обобщении сохраняются.
Введем в гильбертову метрику, порождаемую нор-
мой
у оо	\ 1/2
||Т)( • )Н = ( м $ n2(s)^(g, g\) •	(14)
\ о	/
Предыдущие результаты показывают, что соответствие
т] (•)—>/(т]) является однозначным л шейным и изоме-
трическим отображением 20 в Л2. Рассмотрим пополне-
ние 20 по введенной метрике. Полученное гильбертово
пространство обозначим 82==22{gf, ц}- Обозначим Р'
меру на £Х8оо> определяемую соотношением
Р'((а, 6]ХВ) = М((ц,	И)«)
(здесь 2 обозначает а-алгебру борелевских множеств на
[О, оо)) и пусть Р' и (£ X Soo) обозначают пополнения
§ 2J
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
73
меры Р' и cr-алгебры &Х$оо- Пространство 22 является
пространством классов эквивалентных (S X Ъ^-измери-
мых функций g(t, со): g(t, со) и g' (t, со) эквивалентны,
если Р' {(/, со): g(f, со) #= g' (/, со)} = 0. Для простоты,
в дальнейшем мы не будем различать класс эквивалент-
ных в указанном смысле функций и представителей этого
класса. Далее, процесс r](f) = g(/, со) (точнее, соответ-
ствующий класс эквивалентности) является элементом
22(3ь н) в том и только в том случае, когда существует
последовательность простых процессов (t) е 20 (§/), та-
ких, что
оо
м j (Т) (0 — Пп W)2 d (|Л, ii)t 0
о
при П—> ОО.
Так как отображение Г. 'Л”>{Л('пП является линей-
ным и изомётрическим отображением £0 в «^2, то оно
однозначно продолжимо до линейного изометрического
отображения 22{8*> н} в *^2- Продолженное отображе-
ние по-прежнему будем называть стохастическим инте-
гралом и обозначать символом 1 = 1 (тр, а значение про-
цесса I (т]) в момент времени t —
t	t
It (n) = 5 Л (s) и №) = 5 'П
о	о
В следующей теореме перечисляются основные свой-
ства стохастического интеграла, почти непосредственно
вытекающие из предыдущего.
Теорема 1. Каждому процессу т] (/) из 22	ц}
можно поставить в соответствие процесс £> (/) е= Ж2, на-
зываемый стохастическим интегралом процесса	по
мартингалу ц (t) (р (/) е= Ж2),
t
о
так, что
a)	Zoo(X(o. 0])=н(а) —н(0);
б)	/оо(%(о,
74
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
в)	+ С2П2) = cxIt (t]i) + c2It(y\2\,
оо
Г) М/^, (т)1)/«, (ть) = м j П1 (s) П2 (-S) б/<|х, Д;
о
д)	для любого мартингала v (t) е Я2
м {v (f) It (n) — V (s) Is (n) I &} = м { $ n (6) d <H, v)e | &
в частности,
M {/? - Z* | &} = M | J n2 (0) d <H, H>e 18J;
e)	M i)(s)|d||<n, v>lb<
0
(2°	\ 1/2
M J T|2 (s) d<p., (x)j ;
0	/
ж)	если [г/ e Я2, i = 1, 2 и r] e 82 {^, Hi} П £2 {8ь Иг},
то
t	t	t
(Hi + Нг) = П dHj + П dH2J
0	0	0
з)	если p (t) e ЯС2, то £ (f) e Я1
Доказательство. Существование отображения,
обладающего свойствами а)—г), з) было нами только
что установлено. Более того, приведенные ранее построе-
ния показывают, что свойствами а) — г) стохастический
интеграл определяется однозначно.
Докажем соотношения д), ж). Соотношение д) имеет
место для т] е 20. Пусть т](Л) (•) е 20 и т](П) (•) —* П (• )•
Из неравенства
< {м (v ОТ <м d; (n(,I) -1 (п)02}1/2
S3
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
75
следует, что vl (т](П)) I* сходится в Lt к vl (ц) |*. Поэтому
в соотношении
J V/, (П,п)) С dP = Ц $ № v> I dP, Bs е
bs	bs Ч	/
Можно перейти к пределу при п-> оо. Мы получим тогда
равенство, эквивалентное д). Неравенство е), ранее уста-
новленное для функций 1]е20, и соотношение ж) для
этих функций очевидно. В общем случае е) и ж) обо-
сновываются с помощью предельного перехода.
Из доказанной теоремы вытекает, что характеристика
мартингала —
t
(I,I)t=\x?d{^»}.	(15)
о
Заметим, что семейство случайных величин It равномерно
интегрируемо. Действительно,
It < sup It, М (sup /?) 4МЛ> < оо.
t	t
Более того, множество {Л, r^S-Г], где — семейство
всех случайных множеств времени на {&, t [0, оо]},
также равномерно интегрируемо.
Пусть а, и (modP). Положим
т
Def 1°'
а
Из общей теории мартингалов (§ 1, теорема 1, след-
ствие 1 и § 1 (44)) следует
&Д = м{Л-4|8,}=
= М{(/, Z>T —<Z, 1)„ |&}.
76
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Последнему равенству можно придать следующий вид:
|Ж[	(16)
Пусть цх(0— т-остановка мартингала p(Z): цт(/) =
— и (/ А г). Если г] (•) е й2 {&, ц}, то т) (/ Д т) е=
Hr) (§ 1, теорема 6, следствие 3) и интеграл
t
j Л (s А т) щ (ds) определен в соответствии с предыдущим
о
определением.
Лемма 1.
t	Мт	t
J т| ($ Д т) (ds) = Т) (s) ц (ds) = т)т ($) ц (ds), (17)
О	о	и
где ,Пт(О = 'П(^) пРи и 'Пг(О = О при t^zx.
Для функций т] s £0 это равенство вытекает из опре-
деления стохастического интеграла. Для произвольных
процессов т](-) из й2{5ь н} оно следует из замкнутости
в 82 {йь ц} класса функций т]( •), для которых оно имеет
место.
Лемма 2. Если характеристика (р, р^ непрерывна,
т) е 22, то для любых 8 > О, N > О
sup
0С2 < 00
t
J Т) (s) ц (ds)
о
Неравенство (18) непосредственно вытекает из
леммы 9 § 1.
Общее определение стохастического интеграла по
мартингалу. Расширим определение стохастического ин-
теграла на более общий класс функций г)(/).
Назовем последовательность функций (/) е= 20, п =
= 1, 2, Нъ-фундаментальчой, если
оо
Р- lim {(Т)Я(О — %+rnW)2^<P, p>t=o. (19)
n->oo, m>0 g
И1
стохастические Интегралы
П
Если последовательность т]п (/) /^"Фундаментальна,
то существует функция g(f), определенная на [0, оо)ХЙ,
2: X ©-измеримая и такая, что
оо
g2 (t) d <Ц,	< 00 (mod Р),
О
(20)
Р- lim ((g (/) — т)„ (/))2 d (ц, ц)( == 0.
n->=° J
Класс всех таким образом получаемых функций g(t)
обозначим Н2 или Н2 {&, ц}. В Н2 введем топологию:
последовательность функций %(/) из Н2 сходится к пре-
делу g(t, со), если выполняется соотношение (20). Оче-
видно, что Н2 является линейным и полным простран-
ством, т. е. произвольная /^"Фундаментальная последо-
вательность сходится в Н2 к некоторому пределу. Кроме
того, ZZ2 =>22 и 22, а значит, и 20 всюду плотно в Н2.
Мы ограничимся в дальнейшем интегрированием по
процессам ц(/), характеристики которых непрерывны.
Подпространство пространства Л2, состоящее из мар-
тингалов с непрерывными характеристиками, обозначим
через Л\ (если ц( •) е 2, то ц2(0 является регулярным
субмартинга лом).
Пусть ц(-)е=лП>, yj ( •) е //2{§ь ц}, ^(-)е?2,
п= 1, 2, ... и т|п (•) сходится к ц (•) в Н2. Положим
t	t
Ц (Т)) = $ П (5) Н (ds) = P-lim J (s) ц (ds).	(21)
e о	0
Из неравенства (18) вытекает, что предел в правой части
соотношения (21) существует для последовательности
е?2, сходящейся в Н2 к т](*) и, следовательно, этот
предел зависит только от !](•).
Равенство (21) определяет значение /Дц) при каждом t
только с вероятностью 1. Этим обстоятельством можно
воспользоваться и определить процесс /Дц) так, чтобы
его реализация с вероятностью 1 принадлежали ЗЬ.
Действительно, пусть т]п е So и процессы (t)
сходятся к T](f) в Н2. Из неравенства (18) вытекает
существование такой последовательности целых чисел nki
78
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
(ГЛ. 1
что если
sup
I t
t	t
о	и
1
2k
оо оо
то Р(Л*)<2-\ Но тогда событие Е= Г) IJ имеет
П=1 k—tl
/ со \	ОО
вероятность Р (Е) = lim Р ( U Ль) lim У, Р (Л*) = 0.
/ п->оо п
оо
Если	то сое U Ак при некотором v и, еле-
k=V
довательно, sup
t
1
2й
t	t
<
о	о
t	оо / t
Таким обрпом, ряд J	Н *Ц+
о 0	*=1 'о	1
V/г
t
dp —
о
V.
с вероятностью 1 сходится равномерно по t (t^O) и его
сумма с вероятностью 1 непрерывна справа и имеет
пределы слева, так как стохастические интегралы Л(л,г6)
обладают этим свойством. В том случае, когда мартин-
гал у. (•) непрерывен, в силу тех же соображений сумма
рассматриваемого ряда непрерывна для всех Сле-
довательно, для произвольного процесса ц (•) е Я2 {St, и}
можно определить процесс t^O, так, чтобы его
реализации с вероятностью 1 принадлежали а в том
случае, когда мартингал ц(-) непрерывен, были непре-
рывны с вероятностью 1, и, кроме того, для любой
последовательности т]„ (•) е 22 {St, и}, сходящейся в топо-
логии Н2 к т) ( •), и для любого фиксированного />0
выполнялось соотношение (21).
Определение. Стохастическим интегралом
t
Мл)= J ПОО И (ds),
о
где 11 (•)еЛ? и ф ' )е ^2{St> н}, будем называть слу-
чайный процесс, удовлетворяющий при каждом />0
§2]
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
79
соотношению (21) и выборочные функции которого при-
надлежат Ф.
В том случае, когда ц — непрерывный мартингал,
предполагается, что реализации процесса It(x]) с вероят-
ностью 1 непрерывны для всех t^O.
Теорема 2. Если т] (•) е Я2 и Ц (•) е <^2, то сто-
хастический интеграл It(x\) существует и обладает сле-
дующими свойствами:
1)	Процесс It(y\] подчинен потоку а-алгебр {8Ь /^>0}
и если т) е 22, то новое определение интеграла совпадает
с ранее данным.
2)	Л (л) является линейным функционалом от ц.
3)	Неравенство (18) выполняется для произвольных
функций т| (•) е Н2.
4)	Выборочные функции процесса It(v^ с вероят-
ностью 1 ограничены на полупрямой [0, оо).
5)	Если т — ^-случайный момент времени и т]1 = т]2
при t<x, то Ц(т\{) = для всех t^.x с вероят-
ностью 1.
6)	Процесс Ц (ц) является локальным квадратично инте-
грируемым мартингалом относительно потоку а-алгебр
/^>0} с непрерывной характеристикой
t
(J (|)), / (я)>/ = Tl2 (s) d <И,
о
7)	Если	8/} Л Н2 {^2» 84» Игs *^2 {84»
i — 1, 2, то
t	t	t
$ t]d (hi + ц2) =
0	0	0
8)	Если x — ^-случайный момент времени, pT (t) =
== И (t Д т), то
t	Мт
Т] (s Д т) (ds) = ц (s) ц (ds),
о	о
где (/) = т] (t) при t <х и (t) — 0 при t
Утверждение 1) непосредственно вытекает из соотно-
шения (21), 2) очевидно, 3) легко следует из леммы 2,
ц 8) — из леммы 1 с помощью предельного перехода.
80
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Так как
р{supl л(п) 1>	+ Р
j irW> н)> N
о
то Р {sup| Ц (т|) |= оо} = 0. Тем самым, 3) доказано.
Докажем 5). Допустим сначала, что rjz( •) е Й2. Тогда
t д т
МIЛ л Г (’ll) - Л Л Г Oh) Г = М J [’ll (*)-П2 (s)]2 d (н, ц\=0,
о
т. е. . 7/Лх(П1)—• ЛдДЯг) —° ПРИ каждом t с вероят-
ностью 1. Но из непрерывности справа выборочных
функций процесса Ц (ц) следует, что это равенство вы-
полняется с вероятностью 1 и для всех 7^0. Перейдем
к общему случаю.
Пусть TAf = infs/: min \	]i)^N г, если мно-
I 0J	)
жество в фигурных скобках непусто, и Тд, = <х> в про-
тивном случае, (7) = т].(t) при t<x и т]7(7) = 0 при
t^x. Тогда цА ') *= ^2 и	ПРИ N<х> с вероят-
ностью 1. Кроме того,
оо	оо
$ (’ll — nO2 d и) = J ^td и) °
с вероятностью 1. Поэтому, как вытекает из неравен-
ства (18), sup [It (д.) — lt 0 по вероятности при
7V —> оо. Как было показано выше, It (т]^) = It (т|^) для
всех (modP). Переходя в этом равенстве к пределу
при Af—>oo, получим требуемое.
Остается доказать утверждение 6). Пусть
t: т|2г/ (ц, р) > N ?,
о	'
а г]ЛГ (/) определено, как и выше. Тогда т)ЛД/)^й2.
Из {5) вытекает, что lt (т)) — It (т^) при	а из
§2]
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
81
М | A v	(nyv)|2= м 5 01") W, ц) = 0 сле-
ТА
дует, что It (n/v) = AAf(n/v) при t > xN. Таким образом,
для всех t > О
Ад^01)== Л К)-	(22)
С другой стороны, It(r\N) Л2 nxN->^ при N -> оо
оо
в силу конечности	ц) (modP). Это доказывает,
о
что /Дт]) является локальным квадратично интегрируемым
мартингалом и указанная последовательность xN при-
водит ЛСп)-
Кроме того,
</ (П), / Ш л rN = <z W1), 1 01* )>f = j rfd (ц, ц).
О
Следствие 1. Если т\п^Н2 и
оо
P-lim (П —ПпЖн, н) = 0,
О
то
Р < sup
I t
t	t
т] d]i — dix
о	0
>8 f~>0
при
П~+ OO.
(23)
Следствие 2. Если (•) e H2) i = 1, 2, то взаим-
ная характеристика процессов It Cty)
t
(ЛП1), I (Пг))< = 5 ’ll (s) Пг(«) d <ц,
О
Следствие 3. Предположим, что	(/=1, 2),
t
Hi е Н2 {Si, nJ п н2 {Sb ц2}, « пусть 1^1 (т]) == 1] Ф/. Тогда
О
t
<А' (П1)> А2 0]2)\ = j m (s) Пг (s) d <ni, Н?)г (24)
9
82
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Интегрирование по локальным квадратично инте-
грируемым мартингалам. Сделаем еще один шаг в рас-
ширении понятия стохастического интеграла. А именно,
предположим, что ц — локальный квадратично интегри-
руемый мартингал с непрерывной характеристикой. Класс
этих процессов обозначим через 1Л2 или	/^0}.
Определение пространства Н2 {8?, ц}, связанного с про-
цессом ц е 1Л2, точнее, с его характеристикой, не ну-
ждается в видоизменении. Пусть — некоторая последо-
вательность случайных моментов времени, вполне приво-
дящая ц, и цп(/) = ц(/ Д тп).
Как известно из предыдущего (§ 1, теорема 19),
<Нп> =	Положим
t
In(t) = ^Tl(s А т„) p„(ds).
о
Из теоремы 2, 5), слэдует, что при п' > п
*Л*п'
In' (/) — /„(/)= т] (s) р, (ds) = 0 при t < тп.
Таким образом, интегралы In(f) с вероятностью 1, на-
чиная с некоторого п = п0 = п0(®), совпадают. Положим
t	t
I (0 = J П (s) P (ds) Um J t] (s А т„) (ds).	(25)
о	0
Нетрудно убедиться, что 1(f) не зависит от выбора
последовательности т„.
Определение. Предел (25) будем называть сто-
хастическим интегралом (по локальному квадратично
интегрируемому мартингалу ц).
Лемма 3. Стохастический интеграл по процессу
р(•) <= 1ЛГ2 обладает всеми свойствами, установленными
в теореме 2.
Действительно, свойства 1), 2), 3), 5), 7) и 8) имеют
место для In(f), а 1(1) при каждом © совпадает с In(t),
начиная с некоторого п = п(®). Поэтому I (t) также ими
обладает.
Неравенство (18) легко получить, если применить его
К интегрируемому мартингалу pn (t) = р (t А т^), а затем,
§2]
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
83
совершить предельный переход при я—>оо. Чтобы дока-
зать, что I (/) является локальным квадратично интегри-
руемым мартингалом, введем случайные моменты времени
an=infw: т]2й(ц,	и пусть по-прежнему
тд — последовательность случайных моментов времени,
вполне приводящая ц. Положим х'п = оп/\ т:п. Из тео-
ремы 2 вытекает, что /(М4) является квадратично
интегрируемым мартингалом, и, очевидно, т«-*оо с ве-
роятностью 1.
Теорема 3. Пусть p(-)eZJ^, т)(•) е Н2(&, ц),
t
М0 = $ П($) ц (ds).
о
Тогда % (•) е Iи, если £( •) G #2 (So А,), то
t	t
(s) X (ds) = J т] (s) Z (s) ц (ds).	(26)
о	0
Доказательство. В том случае, когда ?(•) — ку-
сочно постоянная функция, формула (26) проверяется три-
виально. Если £( •) — произвольный процесс из Я2(&,К) и
оо
P-lim \(£-£n)2d{k, Л) = 0,
о
то
t	t	t
dK — P-lim j dK = P-lim t] (s) t>n (s) p (ds).
0	0	0
С другой стороны,
00
J (n (s) tn (s) — T| (s) g (s))2 d (p,	=
oo
= J (^(s)-C(s))2n(s)2d(p,	=
0
oo
= \(tn(s)-t(sb2d(k,
0
84
МАРТИНГАЛЫ и стохастические интегралы
[ГЛ. I
по вероятности. Следовательно,
t	t
P-lim $ n (s) g„(s) p. (ds) = n (s) g (s) p. (ds).
0	0
Таким образом, доказано, что равенство (26) имеет
место при каждом t с вероятностью 1. Из непрерывности
справа процессов, фигурирующих в обоих частях этого
равенства,- вытекает, что оно имеет место для всех зна-
чений t с вероятностью 1.
Векторные стохастические йнтегралы. Рассмотрим
векторный процесс ц(/) = (ц,(/), ц2(0, •••» М-т(0)> компо-
ненты которого \tk (t) <=	•••)	= 1, ..., т).
Условимся писать в этом случае ц (/) е Л2 (1Л2, • • • ),
и называть ц (t) векторным квадратично интегрируемым
(локальным квадратично интегрируемым) мартингалом.
m
Пусть Т](/)—скалярный процесс и т] (•) е Г1#2(3/> ш).
£=i
Под интегралом
t
It=\^v(dt)
о
следует понимать векторный процесс с компонентами
t
Jn(O pfe (do.
0	b i
Введем матрицу (ц, с элементами (ц , р/) и назовем
ее матричной характеристикой векторного процесса ц (/).
Заметим, что матрица Д(ц, ц\ = (ц,	—не-
отрицательно определена.
Действительно, для любых чисел zit ..., zm
m	/ m	m	\
E zkz}\ = Д ( E Zk\ik, E ZkV*/ > 0-
k, /=1	u=l	k=\	It
Класс процессов ц (t) <= Л2 (1Л2)> характеристики ком-
понент которых непрерывны, обозначим Л2 (1Л2). Так
как из непрерывности характеристик двух локальных
мартингалов вытекает непрерывность их взаимной характе-
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
85
$2]
ристики (§ 1, теорема 20, следствие), то функции (у?,
с вероятностью 1 непрерывны, если p(/)e/v<2.
Отметим, что матричная характеристика векторного
квадратично интегрируемого мартингала у (/) с независи-
мыми приращениями имеет вид
<ц, у\ = Му (/) у*(0
и является неслучайной функцией. В частности, т-мерный
винеровский процесс w (/) является векторным квадра-
тично интегрируемым мартингалом с независимыми при-
ращениями, выборочные функции которого с вероят-
ностью 1 непрерывны, а компоненты независимы. Его
матричная характеристика (w, w\ = It, где I — единич-
ная матрица.
Стохастические интегралы по мартингальным мерам.
В предыдущем пункте рассматривались стохастические
интегралы, в которых интегрирование производилось
по действительной переменной t. В дальнейшем нам пона-
добятся интегралы по случайным мерам в многомерных
пространствах. При этом следует различать временную
и пространственные переменные, играющие при опреде-
лении интеграла различную роль. В остальном следующие
ниже построения аналогичны предыдущим.
Пусть {S/, /	0} — фиксированный поток а-алгебр
в основном вероятностном пространстве {Q, <5, Р}, {U, U} —
некоторое измеримое пространство, Uo — полукольцо мно-
жеств, порождающих а-алгебру U (U = a{U0}).
Определение. Мартингальной мерой у (/, Л),
t s [0, оо), А е По, будем называть случайную функцию,
обладающую следующими свойствами:
1)	при фиксированном Л еИ0 ц (t, А) является квадра-
тично интегрируемым $гмаРтингал°м с выборочными
функциями в 35, а при фиксированном t |х(/, •) является
аддитивной функцией на Uo:
у(/, AUB) = h(*, Л) + ц(/, В), (Af]B = 0, А,Ве«0);
2)	если А Л В = 0, то произведение у (/, A) у (/, В)
является мартингалом, т. е.
М{у(Д/, А) у (А/, В) ISJ = 0,
где у (А/, С) = у (/ + А/, С) — ц (/, С).
86
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Обозначим А) характеристику мартингала ц(/, Л).
Из 2) следует, что при А(]В—0 характеристика мар-
тингала ц(/, A U В) = ц (/, Л) + ц (/, В) равна л(/, Л) +
4- л (/, В). Таким образом, л (t, A U В) = л (/, Л) + л (/, В),
еслч ЛП В = 0, т. е. л(/, Л) является аддитивной функ-
цией на Uo при каждом t. Предположим еще, что выпол-
няется условие
3)	характеристика л (/, Л) мартингала ц (/, Л) может
быть определена так, чтобы она с вероятностью 1 была
при каждом t мерой на U, а при фиксированном Л s Uo
непрерывной монотонно неубывающей функцией аргу-
мента t.
Из 2) следует, что взаимная характеристика мартин-
галов ц (/, Л) и ц (/, В) для любых Л и В из Но равна
л(/, ЛГ)5)
М {ц (Д/, Л) ц (Д/, В) Ш = М {л (Д/, Л П В) | &}.
Определение. Случайную функцию ц(/, Л) назовем
локальной мартингальной мерой, если существует такая
монотонно неубывающая последовательность ^-случай-
ных моментов времени тп, что lim хп = оо и ц (t Д тп, Л),
п=1, 2, является мартингальной мерой (относи-
тельно потока д t 0}).
Так же, как и в теореме 19 § 1, нетрудно убедиться,
что локальная мартингальная мера обладает единствен-
ной характеристикой л(/, Л), являющейся с вероятно-
стью 1 непрерывной монотонно неубывающей функцией
аргумента t и при фиксированном t мерой на U.
Обозначим #о {^о X Uo} класс всех простых и ограни-
ченных с вероятностью 1 функций на полукольце мно-
жеств вида Д X А, Д = (а, Ь], А е По, подчиненных потоку
{Sf, ^>0}. Таким образом, qp е £0 {^о X Щ} тогда и только
тогда, когда
п
Ф(Л «)= £	«)>
где =	... <tn,	и
8л-1-измеримая случайная величина, ограниченная с ве-
роятностью 1, | Y/г I С, k = 1, ..., п (mod Р), С — неслу-
чайная постоянная.
§2]
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
87
Положим
оо	п
I (ф) = 5 $ ф (5> ") н	55 X Yft(X Ak),
0 U	fc=l
t
It (ф) = J J Ф (5> «) H (ds, du) =f
о и
oo
==$ $%(о./1($)ф(«. «)p(ds, du), f>0,
о и
где Xo, ij (s) — индикатор полуинтервала (0, /], и будем
называть /(ф) и /Дф) стохастическими интегралами по
мартингальной (локальной мартингальной) мере.
Отметим ряд свойств введенных интегралов. Пусть
р, — мартингальная мера ф, <р( и ф2е20{20 X Uo).
а)	Если уг — (VH3MeP™bie случайные величины, огра-
ниченные с вероятностью 1 (г==1, 2), то
I (У1Ф1 + Угфг) = Vil (Ф1) + V2I (фг>,
б)	М {I (ф) I So} = О,
М {/(Фх)/(ф2) ISo) =
= м
ф| ($, и) ф2 ($, и) л (ds, du)
В частности,
М{[7(ф1)-/(ф2)]21Йо} =
в)	Выборочные функции процесса /Дф) непрерывны
справа и имеют пределы слева при каждом t > 0.
г)	Процесс It (ф) является квадратично интегрируемым
мартингалом относительно потока а-алгебр {St. I	0} и
М{(Д/,(Ф))2|^} = М
t + м	'j
J ф2 (5, и) п (ds, du) В/ г»
t и	I /
Я&	МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
где АЛ (ф) =	(ф) — /(ф). Бол^е того, взаимная харак-
теристика мартингалов /Дф^ и Л(ф^) непрерывна и равна
t
{I (фО, 1 ф2)\== S Ф1 (S’ ф2 (S’ Я
о и
д)	Пусть А), Z=l, 2, — две мартингальные меры
(относительно одного и того же потока о-алгебр {$7, t^O})
и Ф/eSq, /=1, 2. Положим,
«Ж А В) =	(- , А>, И2(.,В))Ъ
t
Ilt (ф/) = 5	(s’	№s>
о и
Тогда л*(/, А, В) допускает представление в виде раз-
ности двух мер на U XW(modP), конечных при ЛеИ0)
В €= Uo, и
(Z1 (ф1), /2 (ф2)\ = j jj Ф1 (s, и) ф2 (s, и) л* (dt, du, dv). (28)
о и и
Функцию л*(/, А, В) будем называть взаимной харак-
теристикой двух мартингальных мер.
е)	Для любых N > 0, 8 > О
t
j j Ф (s, и) ц (ds, du)
о и
Ф2 (s, и) л (ds, du)
Сформулированные утверждения доказываются так же,
как в случае интегрирования кусочно постоянных функ-
ций по мартингалу.
Обобщим определение стохастического интеграла на
более широкий класс случайных функций ф (t, и). Введем
пространство Я2 = #2 случайных функций ф(/, и) =
= Ф (/, и, со), (t, и) е [0, оо) X U аналогично тому, как ранее
было введено пространство	ц} функций ф (/)===
ф (/, со).
2]
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
89
А именно, пусть Н2 состоит из тех и только тех
2 X Ы X S-измеримых функций ф (/, и, со), ^-измеримых
при произвольных фиксированных (/, и) е [0, оо) X ДЛЯ
которых существует последовательность ФпеШоХИо)
такая, что
t
P-lim J J | ф (/, и) — фп (/, и) |2 л (dt, du) = О \ft > 0.	(30)
о и
Произвольную последовательность случайных функций
ф(/, и) е Н2 будем называть сходящейся в Н2 к функ-
ции ф(/, и), если выполнено соотношение (30).
Введем также подпространство пространства #2,
состоящее из функций ф (/, и) е /7?» удовлетворяющих
дополнительному условию
t
М J J | ф ($, и) |2 л (ds, du) < оо \ft > 0.	(31)
о и
Условимся говорить, что последовательность фп, п= I,
2, ..., ф^ е S*, сходится в к пределу ф, если для
всех t > 0
t
М J J | ф($, и) Ф„($, и) |2ft(ds, du)->Q при п->оо.
oJ и
Пусть ф(^, и) И фп(/, и) СХОДИТСЯ в #2 К ф(^ иУ
Тогда последовательность фд (/, и) фундаментальна в ,
т. е.
Р- lim J	— yn(s,u)\2 n(ds,du) = 0 Vf>0.
n2-»ooJ
Из свойства e) стохастического интеграла вытекает,
что последовательность случайных величин It (срп) фунда-
ментальна в смысле сходимости по вероятности при
любом t > 0- Более того, из замкнутости Jt2 следует,
что можно определить P-lim It (ф„) = It (ф) так, чтобы
выборочные функции процесса /Дф) с вероятно-
стью 1 принадлежали &[0, оо), а если мартингалы р(7, А)
90
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
непрерывны при каждом А с вероятностью 1, чтобы
реализации процесса Л(ф) были непрерывны для всех
/> 0 (modP).
Определение. Стохастическим интегралом по мар-
тингальной мере ц (/, Л) от функции qp (/, и) е назовем
случайный процесс
t	t
А(ф) § j Ф (s> и) и (ds’ P’lim 5 $Ф» (s> “) и tds’ du)’
QU	QU
выборочные функции которого с вероятностью 1 при-
надлежат 0[О, оо). Здесь ф„(/, и) — произвольная после-
довательность функций из % (£0 X Uo), удовлетворяющая
соотношению (30).
Из сказанного ранее вытекает, что в том случае,
когда р (/, Л) е Ж для каждого Л е Uo, выборочные
функции процесса Ц (ф) с вероятностью 1 принадлежат
^[0, оо).
Так же, как и в предыдущих пунктах, можно дока-
зать следующую теорему.
Теорема 4. Если р(/, Л) — мартингальная мера
с характеристикой л(/, Л) и qp (i, и) е #2, то:
а)	стохастический интеграл Ц (ф) существует и является
локальным квадратично интегрируемым мартингалом
с непрерывной характеристикой
t
(I (qp), I (qp)X = qp2 (s, и) л (ds, du);
о и
б)	если ci (/=1, 2) -—^-измеримые случайные вели-
чины, ф, то
Ц (^1Ф1 + ^гФа) — С\Ц (ф1) + Czh (фг)*,
в)	если Л) (/=1, 2) — две мартингальные меры
(относительно одного и того же потока о-алгебр), zf (qp) —
интеграл по мере р., ф. е то взаимная характери-
стика процессов Г (Ф1) и Z2 (ф2) дается формулой (28)
§3]
ФОРМУЛА ИТО
91
где л* (/, Д, В) — взаимная характеристика мартингалов
Р1(/, Д), ц2М);
г)	неравенство (29) остается в силе для произвольной
функции qpe//£;
д)	для любого ^-случайного момента времени х
t	t
Ф (s, и) p>x(ds, du) =	фт(5, и) ц (ds, du), (32)
о и	о и
где щ (/, А) = ц (t Л т, А), фт (/, и) = ф (/, и) при t <х и
Фт(/, и) = 0 при t^x.
Пусть теперь ц (/, Л) — локальная мартингальная мера,
хп — монотонно неубывающая последовательность слу-
чайных времен, такая, что Нттп=оо (mod Р) и мера
(t, Л) = ц (t Л хп, Л) является мартингальной (п = 1,
2, ...). Обозначим л(/, А) характеристику меры ц(/, Л)
и положим пп (/, А) = л (t Л Л).
Определение. Стохастическим интегралом Ц($)
по локальной мартингальной мере ц (/, Д) называется
процесс, выборочные функции которого с вероятностью 1
принадлежат 2Е) [0, оо) и
t	t
It (ф) J $ Ф («> «) И №> P'lim J ф ^ds' du^
OU	и 0
Теорема 5. На стохастические интегралы по локаль-
ной мартингальной мере распространяются все утвержде-
ния теоремы 4.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству леммы 3 и может быть опущено.
§ 3. Формула Ито
В настоящем параграфе рассматриваются аналоги
формулы дифференцирования сложной функции и неко-
торые следствия из них в том случае, когда под диф-
ференцированием понимается операция, обратная стоха-
стическому интегрированию. Полученные результаты
в дальнейшем играют важную роль.

МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Если противоположное не оговорено, то рассматри-
ваемые случайные процессы предполагаются определен-
ными на фиксированном вероятностном пространстве
{Q, <5, Р} и подчиненными заданному потоку а-алгебр
{W>0},
Формула Ито для непрерывных процессов. Обо-
значим Т или F (S/) класс случайных процессов а(/),
t ^0, подчиненных {?h, представимых в виде раз-
ности двух монотонно неубывающих, непрерывных справа
процессов, а Тс = ТС (§^) — подкласс Т, состоящий из
процессов, представимых как разность двух монотонно
неубывающих процессов, выборочные функции которых
с вероятностью 1 непрерывны для каждого /^0.
Если у (/), /> 0 — произвольный процесс, выборочные
функции которого с вероятностью 1 борелевские и огра-
ниченные на * каждом конечном интервале, а а (/) е F,
то интеграл ^y(s;da(s) определен с вероятностью 1 для
э
всех t > 0 как обычный интеграл Лебега — Стилтьеса от
выборочных функций процессов у(/) и а(/), причем про-
цесс £(/) = ^ y(s)da(s) подчинен потоку о-алгебр его
о
выборочные функции с вероятностью 1 непрерывны
в каждой точке /, в которой функция а(/) непрерывна,
непрерывны справа при любом t и имеют ограниченную
вариацию на произвольном отрезке [0, /]. Пусть
где Ео — йо'измеРимая случайная величина,	и
|1 (/) е /е<2. Положим, по определению,
t	t	t
5 Y («) dl (s) ={ $ у (s) da (s) + $ у ($) dp (s),
0	0	0
если оба интеграла в правой части равенства сущест-
вуют.
Если §(/) — процесс со значениями в Rm, В(0 =
= {В1 (0....Вт (/)}, Y (0 — скалярный случайный про-
§3)
ФОРМУЛА ИТО
93
цесс, то под интегралом ^y(s)d^(s) мы понимаем век-
о
t
торный процесс с компонентами -у (s) d%k (s), k = 1, ..., tn.
о
Положим ^(f) = a*(0 + р?(/), a(/) = (a1 (/),
p,(/) = (p,1 (/), ...» pw(/)). Обозначим к разбиение фикси-
рованного отрезка [0, /] точками /о = О</1< ...
... < tn = t, и пусть
|Л|~ max (tr —
1 < г < п
(М - В А). А <н*. А = ОЛ А - А Г_г
Лемма 1. Пусть <р (/) — непрерывный процесс, под-
чиненный {&, ^0}, ц* (t) е IJ(C. Тогда
п	t
P-lim^(p(/r_|)Agr= <p(s) dl (s),	(1)
Г=1	0
n	t
P-lim ^Ф A,) A^AVr= ^(s)d(nX A (2)
r=1	0
Доказательство. Формулу (1) достаточно дока-
зать для одномерного процесса I (t) — ц (/) е lJtc. На-
помним, что 1ЯС = 1Жъ
Положим Ф^(/) = ф^г-i) при	tr]. Для любого
в>0 найдется такое 6^=S(co, е), что | ф(7) — фх(/) | < 8
при | к | < 6. Но тогда
t
5 [ф (s) — Фь (s)]2 d (и,	< е2 (ц, А
о
и (1) вытекает из леммы 9 § 1. Перейдем к доказатель-
ству формулы (2). Достаточно рассмотреть одномерный
случай
94
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Во-первых,
п	п
2 <р (/.-,)	<р(/г_1)(Ааг)2 +
Г=1	Г—1
п	п
+ 2 X Ф (А—i) АЦг + S Ф (^r-i) (АЦг)2 = Si + 2S2 + S3,
r=l	r=l
причем
IS, К max | ф(s) |72(a) max| Aar |->0
1	1	r
с вероятностью 1. Здесь 7^ (а) —полная вариация функ-
ции a(s) на отрезке [0, /]. Далее,
|S2I< max I <p(s) llz (Aar)2E (Лрт)2) <
0<s<t	U=1	r=l	)
Gn	\»/2
E (Apr)2J
n
Так как X (Ацг)2 -> (ц,	по вероятности (теорема 22
Г=1
§ 1), то |S2|->0 по вероятности.
Остается показать, что
п	t
Р- lim У <р (^-0 (Арг)2 = ф (s) d (ц, Д.	(2')
|Л|-*°г=1	0
Выберем произвольное е > 0 и зафиксируем некоторое
разбиение Ло отрезка [0, /], для которого
Р | J | Фл.о (s> — Ф <s) |<М-> H>s>y|<y.
Пусть Л' обозначает разбиение, получаемое наложением
произвольного разбиения Л и Ло, а S, S' и So — суммы,
стоящие в левой части равенства (2'), соответствующие
разбиениям Л, V и Ло. Очевидно, что суммы S и S' при
фиксированном Ло отличаются друг от друга не более,
чем на ограниченное число слагаемых, каждое из кото-
рых с вероятностью 1 стремится к нулю. Следовательно,
при достаточно малом ( Л | Р{|5' — Sl>-“j<^-.
§3]
ФОРМУЛА ИТО
95
Пусть #!,
V, (/дг = /),
(Z/m = M И
/2, ...» tN — точки, составляющие разбиение
tjk, fe=l, 2,..., m—-точки разбиения Ао
т	ik
•$* = Z <p(z/ft-i) Z (Ацг)2. Тогда
Й=1 v * 17r=/ft_1+l
t
s— 5 ф($)^<Р, h)s
0
t
S*~
0
[<pXo(s) —<p(s)]d(n, n)s
Имеем, далее,
tn Ik
is'-s*i<Z Z |Ф(^_1)-Ф(/г-1)||Анаг)Р<
N
<6Z Mr))2,
r=l
где 6= max |<p(Z) —<p(s)| и d->0 при |A0|->0
с вероятностью 1. Учитывая равномерную интегрируе-
N
мость сумм Z (Ац (tr))2, видим, что при достаточно ма-
Г=1
лом | Ло I и для любых А p||S'— 5* 1> у} < у- Нако-
нец, в силу теоремы 22 § 1 при фиксированном Ао и
|А1->0
S* — Фл0 («)d <Н, P>s = У, Ф (4-1) I У [Ар О —
О	fe=l	I г=/й_,
-[(и,
по вероятности. Таким образом, выбрав сначала над-
лежащее Ао, можно указать затем такое во, что
9g
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
при | А. | < е0
t
S — <р (s) d (р, р\
о
Теорема 1 (формула Ито). Пусть f(x), х^Лт—
дважды непрерывно дифференцируемая функция,
uk (/) е= Тс, ук (/) е Ulc, k=\, tn, g (/) = ?0 + а (/) +
4~ р (0, а (0) = р (0) = 0. Тогда
1 т
(0)=f (и+J £ vfe/ (g (S)) d^ (S) +
0 k=\
p m
+ 4 ) £ ^\fJf(l(s))d{pk, (3)
0 k, /=1
Здесь
\kf (X) =	, w f (x) = 	.
'	' дхк	' V ' dxk dx1
Доказательство. Сначала допустим, что | g (/)
с вероятностью 1, где с — константа. В этом случае, без
умаления общности, можно считать, что f (х) обращается
в нуль вне некоторого компакта. Предположим еще, что
f(x) трижды непрерывно дифференцируема. Тогда
п
f (£ (0) - f q (0))=£ f a (X)) - f (a (x-i))=
r=l
n m
=£ Z vV(ux-i))(^w-gft(x-I)) +
r=l &=1
n m
+4E S
7^1 k, /=1
xa7(x)-^(x-i)) + s,
где
n m
s=zirX E vwhbo(^(x)-^(x-i))x
r=l k, f, i=^l
X (V (X) - У (X-[)) (Sz (X) - (X-1)X
§3]
ФОРМУЛА ИТО
97
£(/,)-— точка, лежащая на отрезке, соединяющем £(/r-i)
и Так как третьи частные производные функции
f(x) равномерно ограничены, то существует такая по-
стоянная С, что
S < С maxi I (tr) - £(Zr_!) | • £ ) g (О - g f,
r	r= 1
и в силу непрерывности процесса £(/) и теоремы 22 § 1,
3->0 в Lx, Учитывая непрерывность функций (£(/))
и лемму 1, получим для рассматриваемого случая фор-
мулу (3).
Пусть теперь f (х) — произвольная дважды непрерывно
дифференцируемая функция. Тогда можно построить
последовательность трижды непрерывно дифференци-
руемых функций /п(х), каждая из которых равна 0 вне
некоторого компакта, равномерно сходящихся вместе со
своим частным производным первого и второго порядка
к f(x) и к соответствующим производным на любом ком-
пакте в Применяя формулу (3) к fn(x), видим, что
мы вправе в полученных соотношениях перейти к пре-
делу при п->оо под знаками интегралов. Таким обра-
зом, в случае	формула (3) доказана.
В общем случае положим
Ту = inf {t: | g(0 OAf},
ay (/) = a (t A tn),	= A Ту),
Ino — loX (I £o I Af), (f) — Z,m +	(0 + Py (t).
К процессу lN(t) применима формула (3). Остается пе-
рейти к пределу при N—><x>. Учтем, во-первых, что
с вероятностью 1	f (gy (/))-> f (£(/)) для всех
Далее,
t A ty
g (Sy) daw =
0	0
g (S) da
t
g (?) da,
0
Af-> oo,
для любых непрерывных функций g(x) и £(/) и функ-
ции а(/) с ограниченной вариацией. Наконец, с
4 И. Гихман, А. Скороход, т. Ill
98
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
вероятностью 1
t	* л tjy	t
\g&N)diiN= $ g (g) dp. -» j g (Ю dp
0	0	0
при тех же предположениях о g(x) и !(/), так как ло-
кальный мартингал	непрерывен. Эти сообра-
о
жения доказывают возможность предельного перехода
в формуле (3) для процесса ^(/) при Af->oo. Теорема
доказана.
Следствие 1. Если	/^0,	непре-
рывно дифференцируема по t и дважды непрерывно диф-
ференцируема по х, то
f(t, Ш-fV, Ы = 04 (/) + ₽(/),	(4)
где
r	m г
ai (Z)=i # (s)) ds+£ S (s’ (s))daik} +
0	fe=l 0
m
+4 E J ^lf d Л <5>
k, /=1 0
t m
₽(0=$E v^(s> ^dpk{S},	(6)
0 fe=l
причем a] (f) e Tc, p (f) e I J(c.
В том случае, когда f (/, x) дважды непрерывно диф-
ференцируема по (/, х), приведенная формула непосред-
ственно вытекает из (3), если рассмотреть (т 4-^-мер-
ный процесс г, (0 = (/), /), последняя компонента которого
T)<m+1> = t е , а ц<,п+!)(0 = 0. Учитывая структуру
формул (4)—(6) и тот факт, что произвольную функцию
/(/, х), удовлетворяющую условиям следствия, можно ап-
проксимировать функциями /„(/, х), дважды непрерывно
дифференцируемыми по (/, х) и сходящимися к f (t, х)
равномерно на произвольном компакте в [0, оо) X ^т>
§3]
ФОРМУЛА ИТО
99
видим, что формулы (4)—(6) имеют место и при усло-
виях, сформулированных в следствии.
Следствие 2. Если w(t)=^{wx (t), ..wm (/)} —
tn-мерный винеровский процесс, f (х) — дважды непре-
рывно дифференцируемая функция, то
t	t
f (w (0) = f (0) + 4 j Af a («)) ds + J (V/ (g ($)), dw (s)), (7)
о	0
где
m
а/=E w=(V7, v2f ’' • ”vm/)-
k—\
Стохастические дифференциалы. Пусть
a (/) = (a(1)
Будем говорить, что процесс т](/) обладает стохасти-
ческим дифференциалом (непрерывного типа)
dr\ = (ф, da) + (ф, d[i) = У ф(*> (0 da{k} (t) + У ф(/г) (t) dy№ (t)
k—\	&=i
при t s [0, T], где e P(ft)) и <p,A:) (Z) — процесс,
подчиненный {§/,	реализации которого являются
с вероятностью 1 ограниченными борелевскими функ-
циями, если
t	t
П (0 = П (0) + (Ф> da) + (ф, dp) =
о	о
= П (0) + S J <P(ft) (s) d<№ (s) + J ф<*> (s) dn<v (s)
Ы 0	fe=»l	0
с вероятностью 1 для каждого /е[0, Т].
Очевидно, что процесс, обладающий стохастическим
дифференциалом непрерывного типа, имеет непрерывную
модификацию. В дальнейшем будут рассматриваться
именно такие модификации процесса т)(0. Теорема 1
4*
100
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
может быть сформулирована с помощью понятия сто-
хастического дифференциала следующим образом:
если процессы £*(/), k=\, 2, m, обладают сто-
хастическими дифференциалами d^k = dak + d\xk, и функ-
ция f (t, x) = f (/, x1, ..., xm) непрерывно дифференцируема
no t и дважды непрерывно дифференцируема по х, то
процесс ц (/) = f (/, g (/)) также обладает стохастическим
дифференциалом и
т
= f' (t, g (/)) dt + 2 Vkf (t, I (/)) dak +
k=l
tn	m
+42d +2 *kf i w =
k, /=1	k=\
tn
= Wdt + ± J] Md(nk, +
fe. /=1
tn
+ S VVtf, l(t))dlk.
fe=i
Отсюда вытекает
Теорема 2. Если c,k(t), k=\, 2, m обладают
стохастическими дифференциалами d^ = dak + dak и
=	£m(t)), TO
d(V + £2) = ^' + ^2,
d = v di2 + l2 dz) + d (p1,
J('h\	hdW, H2)z-g2rf<n', Ц2).
d I — ==------5--------1-------,
\ ?2 /	?2	&2
tn	tn
de^u> = e^u^ u!idlk + ^e^ £ u^dt^,
fe=l	kt /=1
причем формула для	применима при условии
§2(/)>6>0.
Приведенные формулы вытекают непосредственно из
теоремы 1, если ее применить последовательно к функ-
циям X] + х2, х{х2, —, е{х‘ uk
§31
ФОРМУЛА ИТО
101
Некоторые применения формулы Ито.
Теорема 3 (теорема Леви). Пусть ц(/) = (р1 (/), ...
...» цт(/)), ц(0) = 0, ц* (/) ge 1ЛС и	Тогда
ц (/) — m-мерный винеровский процесс.
Доказательство. Применим формулу Ито к функ-
циям т) (/) = е* Получим
Пусть хп — последовательность случайных моментов
времени, приводящая ц(/), ц„(0 = ц(^Дт„),	=
Тогда
/Лтп
4j0 = ’i»(s) + ^(0-b(s)-J4J1 ( «Д
Л
M-r„	t
где ln{t) = i $ t| (0) (и,	— i ^ti(0)(u, </ц„) — квадра-
0	0
тично интегрируемый мартингал (относительно потока
{8?> Следовательно,
М0^М{Пя(01&п} = пЛ*)-^м{ $ n(0)deiSsf.
1»Лт„
(8)
Положим /(/) = М {яЮ ISJ- Покажем, что	(t)
в Ар Имеем
M|4(0-/WI<M|M{nn(/)-n(0l8s}l +
+ м|мШ?}-м{т)1&}|<
< м | п„ Ю - п (0 I + м | М {ш?} - М {п I &} |.
Так как | tj(O К 1, |	(/) | < 1 и r)„ (f)-> г) (/) с вероят-
ностью 1, то М|П„Ю — т)(0 |-*0, при п-»оо. Убедимся
теперь, что Bs = a{gs, п — 1, 2, ...}. Возьмем произволь-
оо
ное множество ЛеВ5. Очевидно, что А= V (АА{тп>з}).
/г=1
102
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Кроме того, (А А {тга > $}) /\ {т„ Л s s для любого
/>0, так что Л A{t,>s}g^As=>^. Отсюда сле-
дует, что А <= o{gs, « = 1, 2, ...} и, тем самым, & =
= о{В”> »=1, 2, ...}. В силу известной теоремы (т. I,
гл. II, § 2, теорема 4) М {rj |§”} -> М {т] | с вероят-
ностью 1. Следовательно, М | М {т] 15з} — М {г] | 5'4 | -* 0.
Таким образом, М| Jn (/) — J (t) |->0 при п->оо.
Аналогично убеждаемся, что
,Mrn	х	z t	-J t
Mj J n(6M9IBs [->мНп(0)^91йЛ = y(Q}dQ
I s A	J s
в L{. Переходя в соотношении (8) к пределу при п->оо,
получим уравнение
t
j(0 = n(S)_l^i Jj(e)d0.	(9)
Оно эквивалентно дифференциальному уравнению J (t)=
I и I2
= —J (s) = t](s), из которого следует, что
/(0 = п(«) ехр{ —-Цг-(/— s)
Таким образом,
М {ехр {г (и, р. (О — и («))} I = ехр {
(/-$)}. (Ю)
Полученное соотношение показывает, что разность
ц (0 — ц (s) не зависит от cr-алгебры и имеет нормаль-
ное распределение со средним 0 и дисперсионной матри-
цей 6ki(t — s).
Теорема доказана.
Предположим, что ц (/) — одномерный процесс.
Теорема 4. Пусть	ц(0) = 0 и a(t) =
= (ц, ц\->оо при /->оо с вероятностью 1. Положим
Tf = inf{s: а («)>/}, п (/)= ц (т<).	(11)
Тогда процесс {т] (/), t 0} является винеровским.
§ 3]
ФОРМУЛА ИТО
103
Доказательство. Заметим сначала, что случай-
ный момент времени xt приводит локальный мартингал
g (/).
Действительно, пусть {art, n= 1, 2, ...} — последова-
тельность случайных моментов времени, вполне приво-
дящая ц (/). Процесс A xt A s), s^O, является квад-
ратично интегрируемым мартингалом. При /г~>оо
М| ц (ап л tt) — ц (on+tn А т,) |2 =
= М [a (an+m A Tt) — а (ап А п)] о,
так как а(<тга А т,)-»а(т,) с вероятностью 1 и а($Ап)^7.
Следовательно, ц (стп А A s) сходится в к некото-
рому пределу.
С другой стороны, ц(а„ А Т/ A s)-> ц(Tf A s) с вероят-
ностью 1, так что	ц (т/ A s) е	Пусть $ и	t —	любые
и s < t < N. Тогда	(следствие 3	теоремы 6 §	1)
М {р (т,) — ц (ts) |= М {р (xN А	и) — ц (ту А	ь) |	ВтJ =
— М {a (т,) —	а (т,) | = t — s.
В силу теоремы Леви процесс ц (т<) является винеровским.
Оценки моментов непрерывных мартингалов. Пусть
p(f)e/^£c, ц (0) = 0. Предположим, что характеристика
a(t) локального мартингала ц(/) абсолютно непрерывна
относительно лебеговой меры и
t
<р, <р(s)ds, <р(/)>0.	(12)
о
Лемма 2. Если функция <₽(/), fe[0, Г], ограничена
с вероятностью 1,
|ф(01<о2, fe[0, Г],
где о2 не зависит от случая, то ц (t) обладает моментами
любого порядка.
Доказательство. Пусть т = Т, если sup{| ц(/) |,
i Т} п и т = inf {/: | ц (0 | п, t е [0, Г]} в противном
•случае, и. pn(/)= ц (t А т). Так как |.ц„ (/) |^п, то ц„(0
обладает моментами всех порядков. Кроме того, цп(/)
104
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
является мартингалом. Применим формулу Ито к
и функции f (х) = еах, а > 0. Получим
t	t
еа^ = 1 + J еа^ ,s»<p (s) ds + a j еа^(s> dpn (s).
и	0
Так как функция ea^n {s} ограничена с вероятностью I,
то последнее слагаемое в правой части полученного
равенства является мартингалом. Следовательно,
t	t
Меа^(<| = 1 + 4 $	,S,T (*) ds < 1 +	ds.
о	о
t
Положив zn (/) = 1 + j	из последнего
о
соотношения получим
z (t) а2а2
—, гге(0) = 1
а2а2 t
откуда следует, что гл(/)^е 2	. Переходя к пределу
при я->оо и используя лемму Фату, придем к неравенству
а;д;
Меа^><е 2 ,	(13)
откуда и вытекает утверждение леммы.
Теорема 5. Если ц (/) е lJtc, р, (0) = 0, выполнено
условие (12) и для некоторого р> 1
т
М<рр (s) ds < оо,
о
то М| ц (/) |2Р < оо при t е [0, Т] и
t
М| ц(0|2₽<р(2р- 1)V“‘ j M<pp(s)ds, /ст. (14)
о
Доказательство. Предположим сначала, что
ф(/)^о2, где о2 — константа. Тогда ц(/) обладает мо-
ментами любого порядка.
§ 31
ФОРМУЛА ИТО
105
Применим формулу Ито к р,(/) и функции /(х) = | х |2Р,
Получим
| Ц (/) |2р = р (2р - 1) JI g ($) |2р-2 ф (s) ds +
о
+ 2р | ц (s) |2р-2 ц (s) dp, ($)
о
и	*
м | ц (/) |2р = Р (2р - 1) J М | ц (s) |2р-2 ф (s) ds <
и
t	p~l t	x—
<p(2p-1)Q M| g(s) |2pdsj ₽ 0Мфр(«)(&у. (15)
t
Положив z(t)= j M| g (s) |2pds, мы можем переписать
полученное неравенство в виде
-^i-<p(2p- 1)Ц Мфр (s)rfsj ,
„ Р	'0	'
откуда следует
t
<[/(2р-1)]р $ Мфр (s) ds.
о
Полученное соотношение, вместе с (15), привадят
к неравенству (14).
Перейдем к общему случаю. Положим
t __
Ф»(0 = (ф(0 А «). Ип Ю = $ л/(s)’
о
106
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
причем, если <р($) = 0, то полагаем	Тогда
(f) И (0 локальный квадратично интегрируемый
мартингал с характеристикой
t ~_______ t
J (V~ О ф (s) ds = S — V¥(sj)2ds,
о	о
стремящейся к 0 при /г->оо с вероятностью 1. Поэтому
существует подпоследовательность nk, такая, что (/)->
—>p(Z) с вероятностью 1. Применяя к неравенству
t
Mlu (/)|2р<р(2р- 1)р/р“' ( M<pp(s)ds
I nk I	J
лемму Фату, получим неравенство (14) в общем случае.
Представление мартингалов с помощью стохасти-
ческого интеграла по винеровской мере. Если {w (/),
/>0} — винеровский процесс и ср (/)—процесс, подчинен-
ный /^>0}, такой, что
t
а (/) = ^ ср2 (s) ds < оо
о
для всех /^0 с вероятностью 1, то стохастический ин-
теграл
ц(0 = J <p(s) dw (s)	(16)
о
существует и является непрерывным локальным мартин-
галом с характеристикой а(/). Нас теперь интересует,
когда локальный мартингал допускает представление (16).
Теорема 6. Если	и характеристика a(t)
процесса ц (/) абсолютно непрерывна относительно ле-
беговой меры, то существует винеровский процесс
8*, />0}, где с: 8*, с помощью которого процесс ц (t)
представим по формуле (16). Если а(/)>0 для каждого
(^0, то можно считать, чтц 8* =8/ для каждого /^0.
§ 3]
ФОРМУЛА ИТО
107
Доказательство. Предположим пока, что <р(/)>0,
Положим
t
j- (f\_ С (s)
j ф (^) ’
о
Этот интеграл существует, так как \	\ da(s) = t < оо
J ф (S)
о
и характеристика процесса £(/),	равна /.
В силу теоремы Леви £(/) является винеровским про-
цессом. При этом £(/) подчинен потоку сг-алгебр {St,
/>0} и
t
Н (0 = $ Ф (5) dt> (s).
о
Тем самым теорема доказана при дополнительном пред-
положении ф(/)>0 для каждого t > 0.
Перейдем к общему случаю. Определим винеровский
процесс иу*(/), t > 0, не зависящий от потока сг-алгебр
{St, t > 0}, расширив для этого в случае необходимости
основное вероятностное пространство {Q,	Р}. Поло-
жим т]е (/) = ц (/) + еш* (/) и пусть St — минимальная
cr-алгебра, содержащая St и cr {w* (s), s Нетрудно
проверить, что процессы т]е (/), ц(/) и (/) являются
St-мартингалами. Поэтому (теорема 17 § 1) характери-
стика процесса це(/) равна
t
<Пв> Пб)/ = 5 (ф2 (s) + е2)ds-
о
Из предыдущего следует, что процесс
t
Св (t) =	-2	(«)
J Уф2 (s) + е2
является винеровским.
108
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ I
Покажем, что при е -> 0 g8 (t) сходится в среднем
квадратичном к некоторому пределу. Действительно, раз-
ность
является локальным мартингалом с характеристикой
С Г_______________ (вл2 — 82)2 <Р2 (s)	।
0^ L (ф2 (s) + 82) (ф2 + 8/2) (д/ф2 ($) + 82 + д/ф2 (5) + е'2 )2
+ ( -7^...........7=^—Y1 ds- (17)
1чд/ф2 + 82 д/ф2 + е/2 ) J
Выражение под знаком интеграла не превосходит 2 и стре-
мится к 0 при е, е'-*0. Следовательно, характеристика
процесса £е(/) —£8Д0 с вероятностью 1 сходится к 0,
поэтому предел lim t8 (/) = £ (/) существует при каждом t.
Очевидно, что для процесса g (t) существует модифика-
ция, являющаяся стандартным винеровским процессом и
мы сохраним для нее то же обозначение. С другой сто-
роны,
t
Пе (0 = Ц (0 + еда* (/) = j д/<р2 (s) + е2 dt* (s) =
о
t	t
= $ V<P2(s) + e2 d£ (s) + J V<p2 (s) + e2 d(£e(s)-£(«)).
о	0
Пусть /Де) и /2(е) обозначают стохастические инте-
гралы в последней части равенства. Из неравенства (18)
§ 2 следует, что
t
P-lim Ц (е) = <p(s)dg(s).
о
Далее, учитывая (17), нетрудно увидеть, что характе-
ристика локального мартингала /2(е) абсолютно непре-
ФОРМУЛА ИТО
109
рывна, ее производная имеет интегрируемую мажоранту
и с вероятностью 1 стремится к 0 при е->0. Поэтому
/2~>0 при е~>0. Таким образом, мы получаем
t
Ц (0 = 5 <Р (s) dl (s).
о
Аналогичный результат имеет место и в многомер-
ном случае.
Теорема 7. Пусть ц* (/) ^1ЛС {gz, 0} и характе-
ристики с? (t) процессов (/) абсолютно непрерывны отно-
сительно лебеговой меры, k=\, ..., m. Тогда найдутся
m-мерный винерозский процесс w(t) = {до1 (/), • • ., w'n (t)}
и матричный процесс ф(/), /^0, подчиненные /^0},
gjfZDgf, такие, что
t
ц (/) = ф (s) dw (s).
о
Доказательство. Положим akl = р% и
пусть	*
ak (t) = akk (0 = \<$kk (s)ds,
о
где q>kk (s)	0. Из неравенства | Aafe/ |2 Ac? Aaz сле-
дует, что функции c?7' (f) с вероятностью 1 имеют огра-
ниченную вариацию на любом конечном интервале и абсо-
лютно непрерывны относительно лебеговой меры. Поэтому
существуют такие функции q?7 (/), что
t
aki (t) = q?z (s) ds.
о
Пусть zk, k=\, m, — произвольные действительные
числа. Тогда процесс
пг	t , гп	.
£ akl (t)zkZj=U £ ФА/ (s) zkzi) ds
k, /=1	0	/=1	/
по
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 1
т
является характеристикой мартингала 2	и по-
k=A
этому монотонно не убывает. Следовательно,
т
X <pfe/ (s) zkZj > О
k, /=1
для любых zk при почти всех s, т. е. матрица O(s) =
— {ф*7 (5)} неотрицательно определена для почти всех s.
Предположим сначала, что матрица Ф($) равномерно
невырождена, т. е.
т	т
У, <pfe/ (s) zkz. > е X z2 е > 0 Vs > 0.
k, 1=1	1	/=1 '
Как известно, положительно определенная матрица Ф(«)
может быть представлена в виде U* (s) D(s) U(s), где
U (s) — ортогональная матрица, U* (s) — матрица, сопря-
женная с U (s), D (s) — диагональная матрица с диаго-
нальными элементами Xz(s), где Л/($)—собственные числа
матрицы Ф ($), Л/ (5)	8.
Положим Ф"1/2 (s) = f/* (s) D~/2 (s) U (s), где D~/2 —
диагональная матрица с элементами 6^/Л/"1/2 (s). Элементы
Vkj(s) матрицы Ф~1/2 (s) ограничены (равномерно относи-
тельно s и <о)
т
I Vft/ (*) | = S Urk (S) V'/2 (s) Ukr (s)
Кроме того, матрица Ф 1/2 (s) симметрична и
Ф~1/2С$)Ф(5) Ф"1/2(5) = /,
где / — единичная матрица.
Рассмотрим процесс
t
иО=5ф-,/2(*)4Ф).
о
Стохастические интегралы, служащие для его определе-
ния, как вытекает из ранее сказанного, существуют
(нетрудно заметить, что являются борелевскими
§ 3]
ФОРМУЛА ИТО
111
функциями от элементов <Pkf(s) матрицы Ф (s)). При этом
</># =	$ Nkt («) dp,1 (s), У yIr (s) du.r (s)\ =
\ i О	Г Э	/ f
t
= X (s) d (pz, ц'Х ylr (s) =
i, r 0
t
=X $ y*z ds=
Из теоремы Леви (теорема 3) вытекает, что £ (/) является
m-мерным винеровским процессом. С другой стороны,
в силу теоремы 3 § 2
t	t
J Ф’/2 (s) dz (s) = J Ф,/2 (s) Ф~',г (s) dp (s) = и (/).
0	-0
Таким образом, при введенном дополнительном предполо-
жении теорема доказана.
Переход к общему случаю осуществляется аналогично
доказательству теоремы 6. Пусть w*(t) — m-мерный вине-
ровский процесс, не зависящий от {^, t^O} и & —
а-алгебра, порожденная и семейством случайных вели-
чин {&>*($), s^/}. Положим це (/) = ц (I) + 8^* (/). Оче-
видно, что 1ЛС ^^0} и
t
(Пе> = (рЛ pOf +	= $ <Pef (s) ds.
о
Матрица ФЕ (s) = {ф^ (s)J уже является равномерно невы-
рожденной,
т	т
Фе' >82 £ Zl,
К, /=1	&=1
и в силу ранее доказанного
t
^{t)=\ф^(s)d^(s)>
о
112
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
где £е (0 — m-мерный винеровский процесс. При этом
t	t
мо= J ф;1/! w>=J фЛиж +
о	о
t
+ 8 J Фе"'/2 ($) dw* (S).
О
Покажем, что процесс £е(/) при каждом t сходится
в среднем квадратичном к некоторому пределу С (t). Оче-
видно, что процесс £ (t) также будет винеровским. Доста-
точно показать, что £г (t) при 8 -> О удовлетворяет усло-
вию Коши. Положим
МО-^ (0=4 (0 + 4(0,
где
t
Ц (/) = J (фе-’/‘ (S) - ф8+2 (S)) du (S),
о
t
12 (/) = J (ефе~,/2 (S) -	(s)) dw* (s).
о
По-прежнему, пусть Ф (s) = £/* (s) D (s) U (s), где U (s) —
ортогональная матрица, D (s) — диагональная матрица
с элементами 6^ у (s), Л/ (s)	0.
Тогда Ф7/2 ($) = U* (^) Di (s)U(s) и ^(^ — диагональ-
ная матрица с элементами (е2 + Z/(s))”1/2. Матричная
характеристика локального мартингала Ц (t) имеет сле-
дующий вид:
t
(Zb lX}t = J (ФГ,/2 (S) - Фе"‘/2 (S)) Ф (s) (Ф8~,/2 (5)-Фе"'/2 ($)) ds.
о
Так как Ф8"’/2 (s) Ф'/2 (s) = U*(s) D\ (s) D'11 (s) U (s), to
t
{II, h)i = J u* (s) (Z)f (s) D,/2 (s) -	(s) D'11 (s))2 U ds =
0
t
= Jtz* (s)Z)2 (s) t/(s) ds,
0
§ 3]
ФОРМУЛА ИТО
113
где £>2 (s) — Диагональная матрица с элементами
/ ^(s)	^(s)	\2_
dkj .—.........—	~~ —/—у ------ I —
kVe2 + X/(s) -у е 2 + Л/(s) J
= fi ___________________Д/ (s) (е2 - е'2)2______________
к1 (е2 + %z (s)) (е'2 + Л/ ($)) (д/е2 + Л/ (s) + Ve'2 + ^(s))2 ‘
Из приведенных выражений непосредственно видно,
что производная матричной характеристики локального
мартингала Ц (t) равномерно ограничена и стремится к О
при s, s'-» О, так что и	ZjX —>0 с вероятностью 1 для
всех t > 0.
Далее, матричная характеристика локального мартин-
гала Z2W имеет следующий вид:
t
{I2, I2>t = J [еФе",/2 (s) - е'Ф?’/2 (s)]2 ds,
о
причем еФГ72 (5) = U* (s) £)3 (s) U (s), а элементы матрицы
D3(s) равны 6^8(е2 + Zf(s))“1/2 и, таким образом, равно-
мерно ограничены и стремятся к 0 при е->0.
Тем самым, доказано, что М| £с(/) — £С'(0 Р->0 при
8,8Z -> 0 для каждого t > 0 и предел lim £8 (?) = g (f)
существует.
В дальнейшем £(0 обозначает непрерывную модифи-
кацию соответствующего процесса.
Нам остается показать, что
t
P-lim т|е (f) == j ф'/2 (s) dt, (s).
0
Имеем
t	t
ne (0 = $	(s) (5) + J & (s) - c (s)) = /3 (0+Л (0.
0	0
t
Очевидно, что /3 (t) —► ф‘/а (s) dQ (s) по вероятности при
о
e->0. С другой стороны, из полученного ранее выраже-
ния для характеристики £е (/) — ge, (t) нетрудно увидеть, что
114
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
матричная характеристика локального мартингала
имеет вид
t
J [/*($) (ъЧ + £>4 (s)) U (s) ds,
о
где I — единичная матрица, а £>4(5) —’Диагональная с эле-
ментами
б ($)
ki (7Ш + 7е2 + Л/ (s) )2 ’
X/(s) — индикатор множества {s: Z;(s) = 0). Таким обра-
зом,
P-lim /4 (t) =0 W > 0.
е->0
Теорема доказана.
Замечание. В том случае, когда функция ф(s) > 0,
8 > 0 или, соответственно, матрица Ф (5) равномерно невы-
рождена, винеровский процесс, построенный в теоремах 6
и 7, подчинен потоку	В частности, если
g^ = a{p(s), 8F = a{£(s), to при упомяну-
тых выше условиях
сгЛ___сгХ
о* — ОЬ
(18)
Если же эти условия не выполнены, то в теоремах 6 и 7
доказывается только следующее: можно построить новое
вероятностное пространство {Q*, 6*, Р*}, поток а-алгебр
{&, />0} и найти процессы р/ (/), £(/), ф(/), /^0, опре-
деленные на {Q*, 0*, Р*}, подчиненные	где
— винеровский процесс, р' (/) — локальный мартингал,
стохастически эквивалентный (в широком смысле) про-
цессу ц(0, так, чтобы
t
К(0= j i|5(s) dz (s).
о
Следствие. Если векторный локальный мартингал
t^Q, имеет матричную характеристику
ФОРМУЛА ИТО
115
§ 3]
с элементами
(s))ds’
о
где <у (х) =	(*)} неслучайная неотрицательно опреде-
ленная борелееская матричная функция, — случай-
ный процесс, подчиненный {§/, /^0}, то процесс, ц(/)
допускает представление
t m
0 /=1
где w (t) — {w] (/), ..., wm (/)} — винеровский процесс, а
b >х) = {bkj (х)} — неотрицательно определенная симметри-
ческая матрица, Ь2 (х) = в(х).
Разложение локального квадратично интегрируемого
мартингала на непрерывную и разрывную компоненты.
Пусть g (t) = (t), .. ., (t)}, t^O,— m-мерный локаль-
ный квадратично интегрируемый мартингал, подчиненный
потоку cr-алгебр	причем cr-алгебра содержит
подмножества Q вероятности 0. В настоящем пункте будет
построено разложение процесса § (/) вида
МО = ш +
где (0 е= 1ЛС2 и произведение г] (/) (0 (/ = 1, ..., т)
является локальным квадратично интегрируемым мар-
тингалом для произвольного непрерывного локального
мартингала По-прежнему, мы ограничимся рас-
смотрением квадратично интегрируемых (локальных
квадратично интегрируемых) мартингалов с непрерыв-
ными характеристиками. Сначала рассматриваются про-
цессы	а затем полученные результаты будут
обобщены на процессы £ (/) е Mtz.
Итак, пусть £(f)GJ2(Sb 0). Обозначим 23™
класс борелевских множеств в замыкание которых
не содержит точки 0 и пусть v(t, Д) — числэ скачков
функции % ($) на промежутке (0, /], значения которых
попадают во множество Д, Д s 23™. Так как выборочные
функции процесса g (t) с вероятностью 1 принадлежат
2)гп[0, оо), то процесс v(t, Д) с вероятностью 1 опреде-
116
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
лэн для всех /^0, ЛеС. Доопределим его на всем Q,
положив v(/, Л)^0, если %(t, со) £Ьт [0, сю). Очевидно,
что процесс v(/, Л), АеС? подчинен потоку сг-алгебр
^^0}, его выборочные функции неотрицательны,
монотонно не убывают, принимают целочисленные зна-
чения и непрерывны справа.
Рассмотрим последовательность случайных моментов
времени о = т0 Tj	хп = т Т и положим
Так как
к= max It* —Tfe-ql.
1 < k С п
I (3) | > 8
а < s < т
f lU^-U^-OI2 (modP),
k=A
I бо($) 12< Нт
А —> 0
где
то
M f у | 6-(s) l2l Sol < м {| fe(T)- E,И21 gj, (19)
S I as (s) I > e	f
l, а < s < T	)
и, если A c {| x |: | x |	e},
M {v (t, 3)-v(a, Л) 133 < M {| Ur) - |(a) Pl =
= 7гМ{а(т) —a(<j)|3J< oo
О
с вероятностью 1, где
m
a (0 = S ФЛ
k=\
В частности, процесс v(Z, Л) при Л е интегри-
руем, и так как функция а(/) непрерывна, процесс v(Z, Л)
регулярен, т. е. для любой монотонно неубывающей
последовательности случайных моментов времени хп)
п= 1, 2, ...	Пттл = т),
limMv(rn, Л) = Mv(t, Л).
По функции v(/. Л) обычным путем можно построить
меру. С этой целью положим v(AX^) = v(A, Л) =
§ 3]
ФОРМУЛА ИТО
117
= v (t + А/, А) — v (^, А). Функция v (А X А) является
аддитивной на полукольце множеств £оХ®о\ где £0 —
полукольцо промежутков вида А = (/, £ + А£]. Она до-
пускает продолжение до меры на cr-алгебре борелевских
множеств пространства [0, оо)Х^т.
Для произвольной борелевской неотрицательной функ-
ции f(s, и) интеграл
t
§ f (s> и) v (ds, du)
о лт
определен, причем
(20)
и сумма в правой части равенства (20) содержит не
более счетного числа слагаемых.
Положив f(s, ^)==ХД (0 | и |2, получим
$ | и |2v(A, du) = У | 6g (s) |2,
лт	s G и, t + Af]
откуда, в силу неравенства (19), следует
М I I и |2 v(A, йы)1ВД<М{|^(/ +AZ) — KOflgJ,
I snm	1
М J | и |2 v(A, du) < М| g(/ +A/) —g(0l2< oo.
ят
Вне связи с процессом g(0 рассмотрим произвольную
случайную меру v(0 А), обладающую следующими свой-
ствами:
1)	функция v(0 Л) определена на [0, ooJX®?1, прини-
мает целые неотрицательные значения и для любых
8>0, Т > 0 М v (Г, $,т \ Se) < оо, где Se — шар в 91т
радиуса 8 с центром в точке 0;
2)	при фиксированном t величина v(/, Л) ^/-измерима,
а при фиксированном Л как функция аргумента t она
монотонно не убывает;
118
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. !
3)	для произвольной монотонно неубывающей после-
довательности случайных моментов времени хп (limr„ =
lim Mv (тп, Л)= Mv (т, Л).
В дальнейшем, функцию v(Z, Л), обладающую свой-
ствами 1)—3), будем называть целочисленной случайной
мерой. Это же название мы сохраним для меры v( • )
на о-алгебре борелевских множеств пространства
[О, оо)Х^7\ определенной равенствами v(AX^) =
— v (t + А/, Л) —v(f, Л), где А = (/, ^ + А/]. При фикси-
рованном Л функция v(t, Л), является регулярным
^-субмартингалэм. В силу теоремы Мейера (теорема 13
§ 1) v(Z, Л) имеет, и притом единственное, представление
вида
v(t, A) = y,(t, Л) +л(^, Л),
где л (/, Л) — непрерывный монотонно неубывающий
интегрируемый процесс, а ц(/, Л) — мартингал.
Заметим, что ц(/, А)^1Л2. Действительно, положим
хп ~ inf {t: (v (/, Л) п) V (л (/, Л) п) V (t = Г)},
vn (£, Л) = v (t /\	Л), лп (t, Л) = л (/ Д тп, Л),
цп(/, Л) = h(Z А тп, Л).
Тогда vn(Z, Л)лп(/, А)^.п и |цп(/, Л)|^/г. Та-
ким образом, A)^lJl2.
Покажем, что характеристика процесса p,(Z, Л) сов-
падает с n(t, Л). Сначала убедимся, что рЛ(/, Л)
является регулярным субмартингалом.
Действительно, пусть т'— монотонно неубывающая
последовательность случайных моментов времени,
limT' = Tz Т,
И*(0=М*> Л), V%(O = 'Vm(Z, Л), «»(/) = Лот Л).
Тогда
М(Х2(т')-И2(т;))<
< 2«М [(v (т') - vt (V)) + М (л (т') - л (Т0)].
В силу непрерывности и равномерной интегрируемости
функции л* (/) М (л. (т') — лДт'))0 при м->оо и, как
§3]
ФОРМУЛА ИТО
119
ранее было показано, M(v (т') — v (т'))->0. Таким
образом, Мц2(т')-> Мц2(т'), т. е. ц^(/) — регулярный
субмартингал.
Из теоремы 13 § 1 снова вытекает, что характери-
стика мартингала цД/) непрерывна. Обозначим ее
через аД/). Чтобы доказать равенство аД/) = лД/), вос-
пользуемся теоремой 21 § 1, согласно которой
“•(')= 1™, £ М(ЧЧУ1М
| 6|->Э	* Д V I *k
в смысле сходимости в где 0 = t0 < t{ < ... < tN = t>
A^(^) = H;(^+i)-^2(Q. |6|=max(fft+1-Q. Имеем
м дм{4|*:(qia,,}-».«) <
<m|'£ м{дll;(Q-Av.(f4)|8,1}| +
+м|s M{4(Q|8,[}-« (0
Второе слагаемое в правой части полученного нера-
венства стремится к 0 в силу определения лДО и тео-
ремы 21 § 1. Что же касается первого слагаемого, то
его можно оценить следующим образом:

< Е Ml [Ar. (WF- Av.ft) К
k=3
<М Z | (Av. (Zj)2-Av. (tk)-2 Av. (tk) Ал. (^)+(Ал. (tk))2 |<
/2=3
<M S (Av.O2—Av.(/ft)4-2maxAn.(/ft)(v.(0+Ji.V))
Выражение, стоящее в квадратных скобках равномерно
(по N), ограничено (оно не превосходит v2 (t) + 2л (t) X
X (v* W “Ь (0)	5п2) и стремится к 0 с вероятностью 1.
120
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Поэтому
->о
при |д|->0.
М
2
Таким образом, а,(/) = л, (/). Отсюда следует, что ха-
рактеристика р(/, А) равна n(t, А).
Пусть Ai е 23О, i = l, 2, Л1('|Л2=0. Так как
v (/, At U А2) = v (I, ЛО + v (t, Л), то в силу единствен-
ности разложения (21) л(/, At U Л2) = л (/, Д1) + л(/, Л2).
Отсюда вытекает, что характеристика суммы локально
квадратично интегрируемых мартингалов р(/, Л]) +
4- р (/, Л2) равна л(/, Л1)4-л(/, Л2), что возможно только
тогда, когда произведение р(/, Л1)р(/, Л2) является ло-
кальным мартингал м.
Определение. Процессы рД/) и р2(Д, P/(/)e/^f2
(pj (0) = р2(0) = 0) будем называть ортогональными, если
Pi (0 Иг (0 — локальный мартингал.
Из определения следует, что если р] (t) и р2 (/) орто-
гональны, т — случайный момент времени, приводящий
Р1 (/) и р2 (/) и pj (/) = цД/ А т), то (8’ = л т)
м {Др; Ар; । з-д = м {а (р>;) ।	=о.
В частности,
Ми;(/)И2*(/) = о V/>o.
Т аким образом, если А{ П А2 — 0, Ле 23™, то ц (t, АО
и ц(/, А2) — ортогональные локальные квадратично инте-
грируемые мартингалы. Остановимся теперь на функции
jx(Z, А). Уже упоминалось, что как функция от А — она
является аддитивной. Более того, если Вп, п=1, 2,—
монотонно неубывающая последовательность борелевских
оо
множеств в Ят, Во=^ U Вп и Во е '-tC, то из равенства
П=1
v (/, Bq) = lim v (/, Вп) следует,
Мл(/, Bn)=Mv(/, Bn)-+Mv(t, Bo) — Mn(t, Bq).
Но тогда Вп)-*т(,(1, Bq) b Lx и с вероятностью 1.
Заметим, что если положить л(/, {0}) — 0, где {0} —
множество, состоящее из одной точки 0, то существует
ФОРМУЛА ИТО
121
§ 31
модификация случайной функции л(/, 4), реализации
которой определены на [0, оо) X (принимающие, воз-
можно, значение ф °°) и с вероятностью 1 при любом
t е [0, оо) являются мерами на S3"2, а при произвольном
фиксированном А е 23™ — монотонно неубывающими не-
прерывными функциями аргумента /.
Доказательство этого утверждения можно получить
аналогично доказательству теоремы 3 § 1 гл. I, т. I
о существовании регулярных условных распределений слу-
чайного элемента.
В дальнейшем под л(/, 4) будем понимать, не огова-
ривая этого особо, именно такую модификацию этой
случайной функции.
Определение. Назовем ортогональной мартингаль-
ной мерой {ортогональной локальной мартингальной
мерой) семейство мартингалов (локальных квадратично
интегрируемых мартингалов) ц (/, 4), 4 е 23О, t О,
р(0, 4) = 0, подчиненных потоку	и удовле-
творяющих условиям:
1)	ц(/, 4i) + p(f, 42) = ц(/, 4i U Л2) при 41П42=0,
2)	р(/, 4J ц(/, 42)g=/X
3)	(ц(«, 4), ц(«, 4)\ = л(/, 4), где л(/, 4) —случай-
ная функция, с вероятностью 1 являющаяся мерой на 23™
при фиксированном t и непрерывной монотонно неубы-
вающей функцией аргумента t при фиксированном 4.
Функцию л(/, 4) будем называть характеристикой
мартингальной меры, н (/, 4). Слово «ортогональная»
иногда будет опускаться, так как мартингальные меры,
отличные от ортогональных, в дальнейшем не рассматри-
ваются.
Предшествующими рассуждениями доказана следую-
щая теорема.
Теорема 8. Произвольная целочисленная случайная
мера v (/, 4), (/, 4) е [0, оо) X 23™, удовлетворяющая
условиям 1)—3), может быть представлена в виде
v{t, 4) = ц(/, 4) + л(/, 4),	(21)
где ц (/, 4) — ортогональная локальная мартингальная
мера с характеристикой л(/, 4).
В полученном разложении меры v (/, 4) функция я (t, 4)
играет двойную роль. С одной стороны, разность
v{t, A) — n{tj А) является мартингалом (локальным
122
МАРТИНГАЛЫ II СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
мартингалом). В соответствии с этим мы будем называть
меры л(/, А) и v (/, Л) ассоциированными. С другой сто-
роны, функция л(/, Л) является характеристикой ц (/, Л).
То обстоятельство, что ассоциированная с v(/, Д) функ-
ция nit, А) оказалась одновременно характеристикой
мартингала ц(/, Д)==^(/, Д) —л(/, Д), является весьма
важным обобщением элементарного факта: математиче-
ское ожидание и дисперсия пуассоновского распределе-
ния совпадают.
Так как л (А, Д) с вероятностью 1 является мерой,
то для произвольной неотрицательной борелевской функ-
ции fit, и), (/, и) е [0, оо) X определен интеграл
j j f it, и) я (dt, du).
о лт
Установим связь между этим интегралом и интегра-
лом по мере v(A, Д).
Напомним, что 80 или £о(ЗоХ23(Г) обозначает класс
случайных простых относительно полукольца множеств
функций, ограниченных с вероятностью 1 и под-
чиненных потоку а-алгебр {^, /^0}, т. е. функций вида
п
ФК «)= Z YaXa. х A.(t, и),
fe=l	R
где (tk-i, 4], 0</0 </]<...< tn, Аб=330 и
Yfe —8^ -измеримая случайная величина, ограниченная
с вероятностью 1 (| l^c, k=l, ..., п, с — неслучай-
ная постоянная). Из формулы (21) следует, что если
е 20, то
оо	оо
М qp (/, и) v (dt, du) = М ф it, и) п (dt, du). (22)
о лт	о лт
Последнее соотношение переносится и на произволь-
ные неотрицательные функции ф(/, и), измеримые по сово-
купности переменных (/, и, со), подчиненные потоку
а-алгебр ^^0}, имеющие при фиксированных (и, со)
для всех t > 0 пределы слева и непрерывные справа.
§3]
ФОРМУЛА ИТО
123
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим сначала функ-
ции ср(/, и), удовлетворяющие еще дополнительным усло-
виям: они ограничены с вероятностью I и обращаются
в 0 при t^T или «eSgl Тогда легко увидеть, что ра-
венство (22) перенссится на функции ф8(/, и) вида
Фе (/, ^) = ф(/^-1, и) при	Совершив предель-
ный переход при max (tk —	0, получим,
k
оо	оо
М <р (/ —, и) v (dt, du) = М	ф (/ —, и) я (dt, du).
о 5tm	0 Ят
Но функции ф (/ —, и) = ф (t —, и, со) И ф (/, и) — ф (t, и, со)
совпадают почти всюду как по мере v (dt, du, со) Р (cZco),
так и по мере л(dt, du, <d)P(d<i>). Отсюда вытекает ра-
венство (22) для рассматриваемого класса функций.
Обычно применяемый предельный переход по монотонно
неубывающим последовательностям функций позволяет
доказать соотношение (22) и для произвольных неотри-
цательных функций, удовлетворяющих ранее указанным
условиям.
В частности, если целочисленная случайная мера
v(t, А) удовлетворяет условию
М | и |2v (t, du) < оо,
я™
то и для ассоциированной с ней меры л (Л Л)
М J | и |2л (t, du)< оо.
я™
(23)
Теорема 9. Пусть t,(t)^Jfr2, t е [0, оо). Тогда
I (О = 1с (0 + J « Н (Л du) Vt > 0,	(24)
ят
где 1с (t) е Jtc2, а ц (t, Л) — ортогональная мартингальная
мера с характеристикой л (/, Л), причем
р (t, Л) + л (t, Л) = v (t, Л),
124
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. т
v (/, Л) — число скачков процесса £(s),	значе-
ния которых попадают во множество А (Л е 2%) и
М | и |2 л (t, du) < оо \ft > 0.
Каждая компонента процесса
= \ и нК du)
ортогональна любому непрерывному мартингалу, подчи-
ненному потоку (j-алгебр {&, / е[0, Г]}.
Доказательство. Пусть р (Л Л) и л(/, Л) опре-
делены, как было указано выше. Так как л (Л Л)
является характеристикой мартингальной меры р (t, А)
и из (23) следует, что uk е Н 2 (u = (w1, и\ ..., ит\
А=1, .т), то интеграл
h (0 = $	(/, du)
определен, является как функция t квадратично инте-
грируемым мартингалом, причем
аа (0£ (^d %d]}t = J Iu I2 n К du).
Пусть Se — шар в SH с центром в точке 0 радиуса е > 0,
Se = Лт \ S8. Положим
й (0 =Л «fl (t, du).
При этом под gd(/) и td(t) будем понимать процессы,
выборочные функции которых принадлежат ^т[0, Т].
Так как
М sup \ld(t) -^(0Г<4МиЛ7’)-Й(П|2 =
= 4М | и |2 л (Г, du)->Q при 8->0,
§3]
ФОРМУЛА ИТО
125
то можно подобрать такую последовательность значе-
ний 8„, чтобы ^(0=^(0 сходились к gd(f) с вероят-
ностью 1 равномерно по t. С другой стороны, из непре-
рывности л(/, Д) как функции от t и конечности
(с вероятностью 1) интеграла | и р л (Г, du) вытекает,
что интеграл
и du)
ss
с вероятностью 1 является непрерывной функцией аргу-
мента t Так как
£®	— ^uv (/, du) — ил (t, du),
Sq	Sg
то скачки функций g® (t) и uv (t, du) совпадают для всех
t s [0, T] (mod P). Следовательно^разность £ (/) — (t) не
имеет скачков co значениями в SG.
Положим (t) = I (t) — td (t). Имеем
sup “) I < sup
+ I (0 - W (0I +1	(^ -) I} <
< 8rt + 2 sup I (t) -	(0|	0 (mod P).
Итак, (t) = (t—) для всех t s [0, Г] с вероятностью
1. Непрерывность процесса %c(t) доказана.
Покажем теперь, что каждая компонента процесса
^(Г) ортогональна произвольному непрерывному мартин-
галу (относительно потока а-алгебр %t). С этой целью
сначала установим ортогональность произвольного мар-
тингала т](£) из ^2 и ц(£, Д) (Де93(Г). Для вычисления
совместной характеристики процессов т] (/) и ц (/, Д) вос-
пользуемся теоремой 21 (следствие 2) § 1.
Имеем, в смысле сходимости в Д,
<Т], ц (•,	(Ёо м {Ari (tk) A[X (tk, Л) |
126
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
С другой стороны,
ft—1
М ЕМ{Ап(Шн(^ А)|М <
<Мтах| Дя(А) l(v(A Д) + л(/, А)),
k
Так как max | Ац (tk) |-> 0 при | S 0 и
k
max Ar](4)(v(£, Д) + л(/, Д))<2 max т) (7) (v (/, А) + л(/, Д)),
k
причем правая часть последнего неравенства является ин-
тегрируемой функцией, то
/г—1
м ЕМ{Дп(Ш.и(А 4)|^}
ЬО	ю
-> 0 при | S|-> 0
и (г), ц (• , Д)\ = 0. Положим теперь
?»(0= 5 du),
$im
где gn (и) — X ck%Ak (и), Ak е ®ог. Из предыдущего следует,
что (т), gn\ = 0. С помощью неравенства | <т),
T)ML Qt ((51) § 1) и предельного перехода нетрудно
получить, что (т), £)t = 0 для любого мартингала £ (f) вида
С(0=
где g(u) неслучайная функция, удовлетворяющая ус-
ловию
М | g (и) |2л (Т, du) =	| g (и) |2 tn (Т, du) < оо,
a m(t, Д)==Мл(/, Д) — мера на %Уп. Полагая ф(^) = ^>
получаем
(ц, С^\ = 0, k= 1, 2, ..tn.
Теорема доказана.
Замечание. Разложение вида
§3]
ФОРМУЛА ИТО
127
где (t) е ^<2, а С (0 — мартингал, компоненты которого
ортогональны каждому непрерывному мартингалу, един-
ственно:
Для доказательства достаточно рассмотреть одномер-
ный случай. Если существует еще одно разложение
I (t) = l'c (0 + (/) такого же типа, то %с (/) — g' (0 =
= £'(/)—£(/). Так как £'(/) и £(/) ортогональны как про-
цессу %c(t), так и £'(/), то
- & Г - = <?с - & le -	= 0.
откуда вытекает, что	(mod Р) при каждом
[0, Г]. Из непрерывности %c(t) и g' (/) следует, что ра-
венство (/)==£'(/) имеет место для всех t е [0, Г] с ве-
роятностью 1.
Следствие. Пусть £(/)	/е[0, Т]. Тогда су-
ществует локальный мартингал (t) е 1Л и ортогональ-
ная локальная мартингальная мера р (/, А) на 23О с ха-
рактеристикой я (t, Л), такие, что
I (0 = Ъ (0 + U (0, h (0 = $ W du),
р(/, Л) + л(/, A)=v(t, Л),
где v (/, А) имеет тот же смысл, что и в теореме 9. При
этом для произвольного ц (t) е lJtC2
~ k = \, m.
Доказательство. Пусть т — произвольный слу-
чайный момент времени, приводящий £(/). В соответствии
с предыдущей теоремой,
& (/Ат) =	(/) +	(0,	(0 = $ ирх (t, du\
причем рт (t, Л) +	(/, Л) = v (t Дт, Л) и Л) является
возрастающим процессом, ассоциированным с субмартин-
галом v(/At, Л). Поэтому лт(/, Л) = л(/Дт, А) и рх(/, Л)==
= ц(£Дт, Л). После этих замечаний доказательство ут-
верждений, приведенных в следствии, становится оче-
видным.
128
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Стохастические дифференциалы функций от раз-
рывных мартингалов. Пусть v(t, A), t [О, Г], — цело-
численная случайная мера (мы предполагаем, что она
удовлетворяет условиям, перечисленным в предыдущем
пункте), ц (/, А) — ассоциированная с ней мартингальная
мера, А) — ее характеристика и
М и2л (7, du) < оо.
Обозначим S некоторое разбиение отрезка (О, Г] на
отрезки Д^, k— 1, п. Очевидно, что для любого
А е 23О с вероятностью 1
lim Е v2 (Д^, А) = v (Г, А).
161 ->□ k=\
Из непрерывности и монотонности по t функции л (t, А)
следует, что
lim X л2 (А*, А) = О,
1 6 |->3 fe=l
lim У, v (Ай, А) и (Aft, А) = О
I 6 |->Э k—1
с вероятностью 1. Если же А1Г)А2=0, А/ е 23О, то
lim Е v(Aft, 41)v(Aft, А2) = 0 (modP).
| 6 |->o
Из предыдущих равенств вытекает, что
у и2(Aft, A)-*v(T, A) (modP), (25)
k='J
Е н (Aft, А,) н (Aft, А2) -> 0 (mod Р).	(26)
fe=0
Пусть у (/,'«) е 20 ($о X ®о) и
t
С (0 = S (z> y) = 5 S Y (~s’ и du^‘
о
§3]
ФОРМУЛА ИТО
129
Используя предыдущие соотношения, нетрудно найти
квадратичную вариацию [£, £] процесса £ (/):
[£, Or бй Р- Um t (? (fr) ~ Z (^-i))2.	(27)
I 6 |-»o r=l
Так как разность £ (tr) — £ (tr^)-> 0 по вероятности при
|d|—>0, то при вычислении предела (27) можно считать,
что точки Sk входят в разбиение S. Применим соотноше-
ние (25) к отрезку (s^-j, (вместо отрезка (0, Т]) и
положим A = Bk. Получим
P-lim X (С (Q - С (tr_,))2 = у2 v (ДА, ВД
sk-l <lk^sk
откуда после суммирования по k следует
т
Ю Ог =	v (ds’ du^ (28)
0
Положим
ОЮ = С(Л¥г)- /=1’2 (у^20(г0> ЭД)
и
[Сь Сг]г 57f Р’ lip S (Ci (Jr) — Ci (6—i)) (C2 (tr) ~~ C2 (tr-i))-
I 6 |->0 r=l
Из формулы (28) вытекает
т
[Ci, Cdr = $ $ Yi (5, P Y2 (5, u) v (ds, du). (29)
0
Установим для процессов Ц (t) формулу интегрирования
по частям.
Сделаем прежде всего “несколько замечаний по поводу
интегралов, которые будут встречаться ниже.
Пусть {ц (/), t е [0, Г]} — случайный процесс с выбо-
рочными функциями из ^[0, Г], £ (t) — введенный выше
процесс. Интеграл
т
JnWC«
о
5 И. Гихман, А. Скороход, т. III
130
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
понимаемый как стохастический интеграл по локальному
квадратично интегрируемому мартингалу, существует.
В самом деле, если для некоторого разбиения 6 отрезка
[0,7’] положить л(б) (0 = Л(^~1), при / е (/*-!,/J, если
I Л (^-i) I < “|У|“ и Л(б)(0 = 0 в противном случае, то
П(б) (/) -> л (/ —) с вероятностью 1, причем г| (/) — т) (t —) =/= 0
не более чем в счетном множестве точек, и поэтому
ц (0 Л —) = 0 для почти всех (/, а) по мере л (•, •)
с вероятностью 1.
Так как sup 1 rj(6) (/)| sup | т) (/) 1= у < оо, то
т
(Л (0 — Л(б) W)2 Y2 и) л (dt, du) -> 0 (mod Р)
о
и т](^) е //2(§ь С( •)) (см. § 2). Это доказывает существо-
вание рассматриваемого интеграла и равенство
т	т
Л (/) (t) = Р- lim f

rt
= P-lim У
где вдчи-ш.
С другой стороны, функция V) (/) у (f, и) является про-
стой функцией из Йо(^оХ^) и, как было доказано
выше,
т
\ \ (л(б) (0 Y а) - Л (0 Y (t, и))2 л (Л, du) -> 0.
о %т
Поэтому т) (t) у (/, и) е Н% и
т	т
Л W Z (dt) = Л W Y “) ц (dt, du),
о	о
(30)
где справа стоит интеграл по локальной мартингальной
мере.
Отметим также, что в рассматриваемом случае суще-
ствуют следующие интегралы, понимаемые как интегралы
§3]
ФОРМУЛА ИТО
131
по соответствующей мере:
т
$ П (О Y (Л и) v (dt, du),
о я™
т
Л (О Y (t> и) л (dt, du),
причем
т	т
*1(О Y и) ц (dt, du) =а jj т] (t) у (t, и) v (dt, du) —
о	о 5?m
т
— S § W Y (t, и) л (dt, du). (31)
О %m
Возвратимся теперь к введенным выше процессам & (/).
Из ранее сказанного следует:
т	п
$ ?! (f) ?2 (dt) = P-lim £ ?, to->) Д?2 to),
о	ы
Переставляя в этом равенстве индексы 1 и 2 местами и
складывая полученные равенства, получим
т	t
\ZAtK2(dt)+^2(t)^(dt) =
о	о
= P-lim ( £ ?, to) ?2 (tk) ~ ?! to-1) ?2 to-1) -
^6=1
- Д?, (tk) Д?2 to)) = ?1 (П ?2 (Т) - [?„ ?2]r (mod Р).
Полученное равенство, очевидно, сохраняется, если
заменить Т на любое t, /е[0, Т]. Так как при этом
в обоих частях равенства фигурируют функции, непре-
рывные справа, то оно будет иметь место для всех t е [О, Т]
5*
132
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
с вероятностью 1. Итак,
t	t
Cl (0 С2 (0 = J Cl (*) С2 (ds) + J g2 (5) (ds) +
О	О
t
+ Yi (s, и) у2 (s, и) v(ds, du) (32)
1 лт
для всех /с=[0, Т] с вероятностью 1, что можно записать
также в дифференциальной форме:
d (Cl (/), ?2 (0) = Cl (0 ^2 (0 + ?2 (0	(0 +
+ Yi d) V2 и) v fdt, du),
°ят
С другой стороны, если а(/)— с вероятностью 1 не-
прерывная функция ограниченной вариации на [0, Г],
подчиненная потоку а-алгебр {gy, Ze[0, Г]}, то для любого
t е= [0, Т]
t	t
а (/) g (/) == j g ($) da (s) + j a (s) dt, (s)
0	0
или
d (a (0 ПО) = C (0 da (/) + a (0 (0 •	(33)
Действительно, пусть Aa (/ft) = a (Zfe) — a (/fe-i), A£ (/&) =
= U^) —И^-i)- Тогда
X C (^fe-i) Aa (^fe) + a (^fe-i)	(^fe) =
ft=i
= a(7')UT)- t Aa(/JAU^). (34)
fe=i
Так как
Aa (tk) Ag (tk)
1 r
max|Aa(/A)|H | у (s, ti) \v(ds du) 4-
k	ят
T
+ ( j | у (s, u) | л (ds, du) j—> 0 при |6|->0,
о л'п	'
5 3]
ФОРМУЛА ИТО
133
то из равенства (34) при |д|—>0 вытекает соотношение
(33).
Положим £* (0 — а1 (/) + t,( (0, i = 1» 2, где <г (/) — не-
прерывная случайная функция ограниченной вариации
на [О, Г], подчиненная потоку а-алгебр {^, t е [О, Г]}.
Из формул (32) и (33) следует
d(№) = W dC2(t) + ^(t)d^(t) +
+ Yi (t> u) У2 (Л «) v (dt, du). (35)
ят
В частности, если положить,
t
Ф (t) = у (s, и) v (ds, du),
a (t) = J J у (s, и) л (ds, du),
0 Я™
то
(f) = 2ф (t)	(t) + у2 (t, u) v (dt, du) =
9lm
—	j (2ф (/) + у (t, и)) у (t, u) v (dt, du) =
—	КФ+ Y (*> u))2 — Ф2(01 v(dt, du).
5im
Нетрудно проверить, пользуясь, например, индукцией и
формулой (35), что для любого целого п
d$n(t)= J ([ф(0 + у(/, «)Г-Ф"Ю)v(dt,du). (37)
134
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Действительно, если предположить, что формула (37)
верна для некоторого п (выше мы убедились, что она
верна для п = 2), то из (35) следует
dtf+l (0 = фге (/)	(/) + Ф (/) d^n (0 + J ([ф (0 + Y (t, и)]п -
— ф" (0) Y (/, и) V (di, du)=^ {ф" (/) Y (z> м) + [ф (0+Y (*> «)Г“
ят
— Ф" (0 + (Ф (t) 4- Y V, «))} V (dt, du) =
= J ([ф (0 + Y (Л <+I - Фп+1 W) v (dt, du),
лт
что и доказывает формулу (37). Из нее вытекает, что
для произвольного полинома Р(х)
dP (ф (/)) = J [Р (ф (/) + у (Л ")) - Р (Ф Ш v (dt, du). (38)
пт
Пусть теперь P(^, xq) — многочлен от q незави-
симых переменных фу(/, и) е 80 (£0 X ®^),	q,
фу (t) — процесс, определяемый выражением (36), в кото-
ром положено у (/, и) = у у (t, и). Будем интерпретировать
последовательности фу (/) и уу(/, zz), /=1, q, как
векторные случайные функции со значениями в
а Р(хь ..., xq) = P(x),	—-как функцию, опре-
деленную в Если положить Ф(0==(Ф1(0) •••> Ф/?^)),
у (/, и) = {yi (/, и), ..., yq (t, и)}, то при этом формула (38)
сохранится. Для доказательства достаточно рассмотреть
я
многочлен Р(хь xq) вида P(xh ..., xq) = J^Pi{x/).
Применим индукцию по числу независимых пере-
менных.
§3]
ФОРМУЛА ИТО
135
Пусть формула (38) верна для многочленов Q(xb */)=
= 11 Pk^kY Тогда в силу формулы (35)
£=1

d(QP/+1 (Ф/+1))— P/+i СФ/+1) dQ + QdPj+i (tpy-j-i) +
г/	i	-]
+ J П АДЫ0 +	- П рИЫ0) X
L^=l	k=l
X [P/+! (Ф/+1 (0 + У/+1 (t, «)) - Pl + 1 (ф/+1 (/))] V (dt, du) =
r/ + l	/+1
= П Pk (Ф* (t) + У к (t, U)) — П Pk (“Ф* (t)) V (dt, du),
Ят U=I	*=1	J
5?
что и доказывает формулу (38) в рассматриваемом случае.
Отметим еще одно обобщение этой формулы. Пред-
положим, что f(t, хь ..., xq) — многочлен от переменных
Xj, ..., xq, коэффициенты которого являются случайными
функциями времени t, подчиненными потоку а-алгебр
{5Ь t е [0, Г]}, непрерывными и имеющими ограниченную
вариацию с вероятностью 1. Тогда из формулы (38)
следует:
df(t,^(t)) = dtf(t, ф(/)) +
+ j [f (t> Ф (0 + У (Л «)) — f (t, Ф (/))] V (dt, du),
где запись dtf(t,x) обозначает, что коэффициенты a(t)
многочлена P(t,x) должны быть заменены на da.
Перейдем в формуле (38) от меры v и интегралов
ФИО к мере ц и интегралам ^(0 = Фй(0 “ ₽й(0. М0 =
“5 j У (s> u)31 (^s’ Она примет тогда следующий вид:
о ^гп
df (t, I (t)) = dtf (t, Z (t)) + J Ld (f, С) л (dt, du) +
+ $ [f Ш + Y (^ «)) - f (U (/))] И (dt, du), (39)
ят
Ld (f, C) = Ld (f) = f(t,£ (t) + у (t, «)) - f (t, g (t)) -
-(Vf(f,C(O), y(t,u)).	(40)
136
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. 1
В полученном соотношении мы совершим два пре-
дельных перехода. Во-первых, перейдем от многочленов
переменной х к произвольным дифференцируемым функ-
циям f (t, х), а во-вторых, от функций у (/, и) е £0 к про-
извольным функциям у (/, и) ИЗ Н2.
Первый предельный переход. Пусть у (/, и) е £0. За-
пишем соотношение (39) в интегральной форме и пред-
положим, что Р (/, х) = Рп (/, х) -> f (/, х). В полученном
соотношении можно заменить Р(/, я) на f (t, х), если вы-
полнены, например, следующие условия:
а)	полиномы Pn(t,x) и функция f (t, я) дифференци-
руемы по t и с вероятностью 1 f (t, х) и f't (t, х) непре-
рывны на [О, Т] X и ~ Рп (/, x)->ft (/, х) для всех
значений х;
б)	функция f(t,x) непрерывно дифференцируема по х
и МРп (/, х) (t, х) для всех х с вероятностью 1.
Здесь Vf — векторная функция \f =	, ...,	.
\ 0X1	eXq /
Очевидно, что последовательность полиномов Рп (/, я),
удовлетворяющая условиям а) и б), существует, если
функция f (/, х) удовлетворяет выше приведенным требо-
ваниям, т. е. если f (t, х) дифференцируема по t и по х
и ее производные f't(t,x), Vf(t,x) непрерывны на [О, Г]Х
X с вероятностью 1.
Второй предельный переход. Пусть функция f (f, х)
дифференцируема по t и имеет ограниченные и непре-
рывные частные производные по х& (/? = !, q) пер-
вого и второго порядка ((/, х) е [О, Т] X $Г) и у (/, и) е Н2.
Рассмотрим последовательность и) е £0 (п = 1, ...)
и предположим, что
т
I Y и) — У« я) I2 л (dt, du) -> 0.
° &71
Из этого соотношения вытекает (см. § 2, (29))
Р{ sup | £ (t) — (t) I > e}-> 0 при n~>oo, Ve > 0,
где Zn W = £ (^> Yn)- Поэтому можно считать, что Zn Щ
сходится к g(/) равномерно по [0, Г] с вероятностью 1.
§ 3]
ФОРМУЛА ИТО
137
Пусть Se — шар радиуса е с центром в точке 0. Тогда
т	т
Ld U п (dt, du)^C j | y„ р л (dt, du),
° Sg	0 Se
и эта величина стремится к 0 при е—>0 равномерно
относительно п с вероятностью 1. Кроме того (см. § 2, (29)),
5 5^	+ — f (*> и] И (dt, du)
° S8
Ш[1 V, + Vn) - f (t, UP л (dt, du) > N | <
e	'
, T
-jr + PH C2\ yn |2л (dt, du) > N
U s8
что также стремится к 0 при 8->0 равномерно относи-
тельно п при любом S > 0.
Теперь нетрудно убедиться, что
т	т
J J Ld(f, tn)n(dl,du)->\ J Ld(f,®n(d',du) (41)
о $tm	° $tm
и
т
J J [f in + Yn) — f (t,	(dt, du) ->
о
-> J J [f (t, i + Y) - f (t, Й] Ц (dt, du). (42)
о
Действительно, в силу предыдущих замечаний, для
доказательства соотношений (41) и (42) можно при интег-
рировании заменить на 31т\ 8ъ. Тогда мы имеем,
138
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
например, следующую оценку:
J J	du)
° %m\se
0 s?m\se
+ 1 Y II Vf (/, £)~W, Ul)n(d(, du)<
<C sup IU0-^(0ln(r,^m\Se) +
+ C sup | W(U(0)~W IX
o<f<r
правая часть которой стремится к 0 при п->оо с веро-
ятностью 1.
Это доказывает соотношение (41). Аналогичные сооб-
ражения применимы для доказательства соотношения (42).
Чтобы доказать равенство (39) для рассматриваемых
функций f(t,x) и y(/,u)e^2, достаточно убедиться
в том, что
т
$ J [f(^^ + Yn)-f(^U~f(^? + v) +
+ f(t, £)]2 n(dt, du)->0.
Это вытекает из соображений, аналогичных предыдущим.
Таким образом, формула (39) верна для функций
обладающих ограниченными и непрерывными частными
производными первого и второго порядка, и у(/, и) е= Н%.
Теперь снова можно воспользоваться соображениями
аналогичными тем, которые приводились на первом этапе
ФОРМУЛА ИТО
139
§ з]
и показать, что формула (39) сохраняется для функций
f(t9x)9 непрерывно дифференцируемых по t и дважды
непрерывно дифференцируемых по х, для которых с вероят-
ностью 1
т
Ld (f, £) л (dt, du) < оо,
О ^п
Т
О
Класс этих функций обозначим Е?.
Теорема 10. Если f (t, х) (= Er, у (/, и) е то функ-
ция f (t, Z (0) обладает стохастическим дифференциа-
лом (39).
Обобщенная формула Ито. Пусть g (/) — ^-мерный
векторный процесс, £ (0 = (£'(0, £2 (0, • • • , £?(0)« компо-
ненты которого имеют вид
&*(О = а*(О + Р*(О + Б*(О,	(43)
где (? (0 <= Тс, р* (0 <= IJ&
t
(0 = 5 $ V (s> «) Н (<&> ^«). Vs Нг (k=l,
° 5?m
p,(‘, •) — локальная мартингальная мера, ассоцииро-
ванная с целочисленной мерой v(Z, А), с характеристи-
кой л(/, Л). По-прежнему будем-считать, что фиксирован
некоторый поток ст-алгебр {§f, t s [0, Т]} и все рассмат-
риваемые ниже процессы, мартингалы и меры под-
чинены {&}.
Пусть f (х) = f (х1, ..., xq) — дважды непрерывно диф-
ференцируемая функция. Рассмотрим процесс
n(0=f(U0).
Покажем, что процесс r\(t) также имеет разложение
вида (43) и найдем выражения для соответствующих
компонент этого разложения.
Предположим сначала, что функция f(x) трижды не-
прерывно дифференцируема, равна нулю вне некоторого
ио
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
компакта, а функция у (/, и) удовлетворяет еще усло-
вию:
т
I У (s, и) | л (ds, du) < оо
о
с вероятностью 1. Тогда
£*	=	\	V du) — у* (s, и) л (ds, du),
°	} еят
причем первый интеграл в правой части равенства ко-
нечен с вероятностью 1 и функции t,k(t) имеют ограни-
ченную вариацию:
п
6	Г=1
т
< I у (s, и) | (v (ds, du} + зт fds, du)),
u ят
с вероятностью 1. Введем некоторое разбиение б отрезка
[О, Т] на отрезки Kk = (tk-b tk}, k—i, 2, п.
Положим
f(l(T))~f(l (0)) = S1 + S2 + S3,
где
s>=t hl (h)+
£=1
s2= t f [(L (^-1) + Z fo)] - f (£ (^-0),
k=l
s3 = Da (h)} - f [l (^-i)+e (wj -
- HL(tk) + Z(+ f [HW
и L(0 = a(0+ 0(0- Покажем, что при |d|->0
P-lim S3 = 0.
§3]
ФОРМУЛА ИТО
141
Сумму S3 можно представить в виде
au
А=1
где
1к=ыь-х) + Qi au, tk=; fo->) + 02 ^k,
№>Ck = Ic (tk) - Ic (tk-t), AgA = C (tk) - £ (tk-i),
0<e(<l, i= 1, 2.
Следовательно,
| s3 |<cmaxi ^ck l-l I4(S)|,
k
где C — некоторая постоянная. Последнее неравенство
показывает, что | S31-> 0 при | 6 |->0 с вероятностью 1.
Рассмотрим сумму Из (3) следует:
f q
s, = J £ (U’ (t) + ($)) dvc(s) +
0 i=l
c q
C i, 7=1
где U”(0 = U^-i) при fE tfj- При этом £,б’(0~>
->£(Z—) при |6|->0 с вероятностью 1, и t,(t)=t,(t—),
всюду, за исключением счетного множества точек. Так
как производные V*f (х), VlV^ (х) ограничены, меры dak
и d(|T, не имеют атомов, то с вероятностью 1
<7
С ’	! С ’
lim s>= J Е V7a(s))ds‘(s) + i J Е Vfv7 (& (S))	0%
0 t=l	0 i, 7=1
Аналогично рассматривается сумма S2. Во-первых,
т
s2 = J J [f (^6) (s) + Us) + V (s, «)) - f (S) +: (S)) -
(} ^m.
T
- (W 0<6) (s) + C (s)), V (s, «))] Л Us, du) + J $ [f (Xе’ <S) +
0
+ g(s) + Y ;s, u)) -	(s) + g (s))] и (ds, du),
142
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
где = при t е= (^_р ^]. Так как выражения,
стоящие под знаком интегралов с вероятностью 1, имеют
интегрируемые по (/, и) мажоранты (при фиксированном со)
вида х |у (/, и) |2 и и|у(/, и) \ соответственно, то и здесь
возможен предельный переход при | 6 | —>0, и мы полу-
чаем
т
lim \ Ld (f, I) л (ds, du) +
о
т
+ 5 5 [fO) + V (s,u)) — f(H0)l du).
0 S?m
В полученных соотношениях можно, разумеется, заме-
нить Т на любое t е [0, Г]. Таким образом, для всех
t ® [0, Г]
t
f«(0HG(0))+J(W da) +
о
q	ГС
+ 4 £	J Ldf(Qn(ds, du) +
i, /=1	0
t	t
+ J (W ©, dp) + J J [f a + Y) - f a)] H (ds, du). (44)
о	о
Нетрудно заметить, что в полученной формуле можно
провести два предельных перехода.
Во-первых, положим у = уп, % = и пусть уп-+у
в Ня. Как было установлено выше, последовательность уп
можно выбрать таким образом, чтобы |п(/)->^(/) с ве-
роятностью 1 равномерно по Z^[0, Т]. Учитывая еще
неравенства | L j (U |<х| у„ |2, | f (g„ + у„)—f (L) |<%| у„ |,
где х не зависит от $, и и п, видим, что в формуле (44)
можно перейти к пределу при п-*оо и, тем самым,
она остается справедливой для произвольных у е Нэ.
Во-вторых, рассуждая так же, как и в предыдущем
пункте в аналогичном случае, убеждаемся, что предпо-
ложение об обращении функции f (х) вне некоторого ком-
§ 3J
ФОРМУЛА ИТО
143
пакта в нуль можно ослабить, заменив его требованием:
f ® Ei, гд'е £| — класс дважды непрерывно дифференци-
руемых функций f(x), для которых
f (а (о+у о,«)) - f а (0) - (W (а (/)), у у, и))
и
1на(/) + у(/, «))-/(аю)р,
с вероятностью 1 интегрируемы по мере n(dt, du).
Таким образом, доказана слздующая теорема.
Теорема 11. Пусть а s Тс, р е 1ЛС, ц — локальная
мартингальная мера, у s /7" функция f (х) дважды не-
прерывно дифференцируема и f^E*. Тогда процесс
nO) = f(aO))> а(0 = а0) + Р(t) +1(у, t), обладает сто-
хастическим дифференциалом
dr] = dr]e + difa,
где
d^ = (Vf (I), da) + 4 £ VzV'f ®d($l, p'\ + (Vf (B), dp),
i, i~l
d^ - J Ld (f, у) л (dt, du) + J [f (B + y) - f (В)] H (dt, du).
Эту формулу будем называть обобщенной формулой
Ито.
Следствие 1. Если f(t,x), х^ЗР, /е[0, Т],—
дважды непрерывно дифференцируемая по х функция,
непрерывно дифференцируемая по t, и f (t, х) е Е$, то
df(t, В (t)) = dx\c + dx\d,
dT\t~fi(t, |(Z))d/ + (Vf (BO)), dBc) +
+ 4 £	P%
i, /-1
d^ = Ld (f, y) n (ds, du) +
+ 5 if и, s (0 + y o,«)) - f (t, a 0))] н (dt, du).
144 МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
Обобщение формулы (45) на функции f(t, х), зави-
сящие от времени, обосновывается так же, как и в слу-
чае непрерывных процессов g (/).
Следствие 2 (правило дифференцирования произ-
ведения). Пусть
t
V (0 = а‘ (0 + р1 (/) + $ J у1 (s, и) ц (ds, du), i = 1, 2.
« 5lm
Применим формулу (45) к функции двух переменных
f(x, у) — ху- После несложных преобразований получим'.
d & (0 h (0) = I2 d^ +	+ d ф1, (П +
+ V1 (t, u)y2(t, u)v(dt, du). (46)
лт
Некоторые следствия обобщенной формулы Ито.
Обобщение теоремы Леви.
Теорема 12. Пусть — регулярный локальный
квадратично интегрируемый мартингал и l(t) = (/) +
+ Id (0 — разложение процесса £, (/) на непрерывную и
разрывную части. Допустим, что функции 0^
л(- , •) не случайны. Тогда £(/)— процесс с независи-
мыми приращениями.
Доказательство. Предположим сначала, что
Положим I (х) = е1 х),	хеяЛ\ и
к функции f (£ (/)) применим обобщенную формулу Ито.
Получим
и
m
ei(UU)) _1 zHddl^c, +
L k, j— i
(г, w) __ J	uy\ n	_|_
Slm
+ i (г, d^c) + (e1 (г- u) — 1) ц (ds, du) j,
причем последние два слагаемых имеют конечные моменты
второго порядка.
§ з]
ФОРМУЛА ИТО
145
Положив /(/)= М {е': (г*|g/0}, мы получим из пре-
дыдущего равенства
t
/(O==n(^o)+ J/(s)d®(s),	(47)
где ® ($) — неслучайная функция ограниченной вариации,
т
k, /=1
(z, и) _ J	^)) л
x](tQ) =	Уравнение (47) имеет единственное реше-
ние, которое легко получить методом итераций:
или
J (/) = el [Zt (/о)) exp f — у (/) zkzf +
I k, /=i
+	(a*(z’— 1 —i (г, и)) л (/, du)
'лт
где а%/(/)==^,
Это равенство показывает, в частности, что распре-
деление вектора £(/) —g(/0) не зависит от а-алгебры
т. е. процесс £(/) является процессом с независимыми
приращениями. Кроме того, оно дает общее представле-
ние характеристической функции регулярного процесса
с независимыми приращениями и конечными моментами
второго порядка.
Обобщение полученного результата на процессы из
1ЛГ<2 можно получить, вводя остановку локального мар-
тингала £(/), аналогично тому, как это было сделано
при доказательстве теоремы Леви (см. соответствующий
пункт настоящего параграфа).
, Рассмотрим произвольный процесс g(f), /е[0, Г],
СО значениями в Й1, траектории которого с вероятностью 1
146
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
постоянны всюду, исключая, быть может, конечное число
точек, в которых они имеют скачки, по величине равные
единице.
Пусть £(0) = 0 и & = <?{£(«)> se=[0,/]}. Тогда {1(f),
^ht^[O,T]} является локальным субмартингалом.
В качестве последовательности случайных моментов
времени xN, вполне приводящей Щ), примем последова-
тельность ryv = inf {t:	(считая inf 0 = Г). Допу-
стим еще, что процесс g(0 регулярен, т. е., что для
произвольной монотонно неубывающей последователь-
ности случайных моментов времени ап и o=lim оп
lim Mg(an А Тду) = М g(a А т^) (N = 1, 2, ...).
П->оо
Такой процесс можно рассматривать как случайную
целочисленную меру v (/, du), сосредоточенную в точке
и = 1 (v (/, А) = 0, если 1 ёЛ). В соответствии с преды-
дущим, существует монотонно неубывающая непрерывная
функция а(/), такая, что g(/) = а (/) + ц (/), где
еи (ц, ц)/ = а(/). В частности, если g(0~ стоха-
стически непрерывный пуассоновский процесс, то а(/) =
= Mg (/) — неслучайная функция и g (/) — регулярный суб-
мартингал. С другой стороны, в силу теоремы 12 это
условие также и достаточно для того, чтобы процесс g(/)
был пуассоновским. Итак, из теоремы 12 вытекает
Следствие. Для того чтобы процесс g(/), выбороч-
ные функции которого постоянны во всех точках, исклю-
чая, быть может, конечное число точек, где они имеют
скачки, по величине равные 1, был стохастически непре-
рывным пуассоновским процессом, необходимо и доста-
точно, чтобы он был регулярным, и непрерывный про-
цесс, ассоциированный с g(/), был неслучайным.
Последнее утверждение можно усилить.
Теорема 13. Пусть v (t, Л) — целочисленная мера,
удовлетворяющая ранее приведенным условиям, а ассо-
циированная с ней мера л (/, Л) неслучайна. Тогда v (/, Д) —
пуассоновская мера, т. е.
а)	при фиксированном A v (/, Л) является пуассонов-
ским процессом',
б)	для любых п, А{, Ап (Л/г^ЗЗо1) процессы
v (/, Л1),..., v (/, Ап) взаимно независимы,
ФОРМУЛА ИТО
147
п
Для доказательства рассмотрим £ (/) = £	(/, Ak),
ь=1
где Л* — произвольные постоянные. Применяя к функ-
ции exp{zz£(0} формулу Ито, получим так же, как
при доказательстве теоремы 12, для функции /(/) =
М {exp [й£ (t) ] уравнение
t
Z(O = e,zt<s> + p(s)n(ds), f<s,
s
n
где П (0 = X (elzKk — 1 — iz^k) л (t, ДД Решение этого
k=\
уравнения легко получить. Оно имеет вид
/(0=
= ехр| X(eizKk~ 1 — zzAfe)(n(/, Ak) — n(s, Дй))-НХ («)г.
Из полученной формулы следует, что величины у (t, Ak) —
— y(s, Ak), k—1, ..., n, взаимно независимы и не зави-
сят от о-алгебры т. е. являются процессами с неза-
висимыми приращениями. Кроме того, величина у (t, Д)
имеет распределение, совпадающее с распределением вели-
чины £ — л (/, Д), где £ — пуассоновская величина со сред-
ним л (t, Д).
Оценка моментов интегралов по мартингальной мере.
Пусть
t
UO = j j Y (s, и) у (ds, du),	(48)
о я
где у (•, •) — мартингальная мера.
Рассмотрим вопрос о существовании и оценке четных
моментов величины 5(0- Предположим, что характеристика
л(/, Д) абсолютно непрерывна по t с вероятностью 1,
и пусть
л (t, Д) — П (s, Д) ds,
.	°	(49)
vk (t) = j | у (t, и) |*II (t, du) < oo, k = 2, ..., 2m,
148 МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. I
для всех /е[0, Т] с вероятностью 1. Заметим, что, если
условия конечности величин vk(t) выполнены при k = 2
и k = 2m, то они выполнены и для всех k = 2, 3, ... 2m.
Действительно, если при 2 < k < 2m положить | у |fe =
. ,а. |В	2m — k о (k — 2) m
— I У I | Y Г, где a = • - - 1 -, p = - -m -- и применить
к соответствующему интегралу неравенство Гёльдера,
получим
у2(/, и) П (/, du)V Р /
/
\2т (/, и) П (/, du)
2 2т — 2	р 2т — 2
= - =	q =	Таким образом,
vk (t) < (v2 (0)(v2m (0)^-	(50)
Возвратимся к оценке моментов стохастического инте-
грала (48).
Используя формулу (45), получим
t
Г (/) = J $ К? (S) + V (S, «Г - Г (*)] Н (ds, du) +
0 Я
t
+ J $ КС (S) + Y (S, u))m - r (s) - my (s, «) Г-1 (S)] X
0 5?
Пусть
XH(s, du)ds.
т = xN = inf {t: | HO I >
причем inf 0 = T. Очевидно, в силу условий (49),
случайный момент времени т приводит локально квадра-
тично интегрируемый мартингал С(0> т- е- С К Ат)—квадра-
тично интегрируемый мартингал.
Далеэ,
МС2'пКАт)<2(/1 + /2),
§3]
ФОРМУЛА ИТО
149
где
t
%Т (5) [(£ (5) + Y ($, и))т — Г ($)] Ц (ds, du)
= м J J %. (s) [(£ (S) + Y (s, u))m - Г (s)]2 II (s, du) ds <
0 ft
t	m
j §XT(S)X (Cm)2£(5)2,"_2ftY2ft(s> м)П($, du) ds
0 5? Ы
Z2 == M ( H XT (s) f У C^m~k (s) Yfe(s, мА П (s, du)
\0 91	\й=2	/	)
и Xt (s)= 1 ПРИ s T> Xt (s) = 0 при s < г. Положим
vk (s) = y* (s, «) IП (s, du).
91
Тогда
t	/	—	\
Л < -M $ Z, ы f	<
0	£=1
t
ds
0
где
М0=М£2"фАт),
m	T m	m
K„=E - «(c9= M 5 z (СУ’ kv£ (s) ds.
A=1	0 k—l
Аналогично можно оценить I2. Получим
t	T m	2т
/S<2K„	+ Вт-2М$2(СХУЬ,* (S)</S.
0	0 k=2
150
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Таким образом,
t
bm (0 3/Ст Ьт (5) ds 4" (Лт + Вт)
о
и

Используя лемму Фату, приходим к следующему резуль-
тату.
Теорема 14. Если
т
м 5 (Y u)i2n<s’ duK +
0 Lw	/
+ I V (5, и) \2т П (s, du)l ds < 00,
№	J
то стохастический интеграл (48) имеет конечные моменты
до порядка 2m включительно и
М| 5(0 |2т< (Лт + Вт)
Для доказательства этой теоремы следует отметить,
что из (50) и неравенства Гёльдера следует, что
1 2гп г	2т —k
Vk (t) k Л < р2 (f) 2m~2
о	о
2m	k—2 2m
~ V2m {t)2m~2 dt <
2	2m—k
Решение простейшего стохастического дифферен-
циального уравнения. Рассмотрим уравнение в стохасти-
ческих дифференциалах вида

(51)
где £ (/) — процесс вида £ (/) = а (/) + Р (0 + J (/, du),
я
а (/) <= Тс, р (/) — непрерывный локальный мартингал, ц, —
локальная мартингальчая мера, ассоциированная со скач-
§3]
ФОРМУЛА ИТО
151
ками процесса 1(f). Сделаем упрощающее предположение,
что v(f, (—оо, —1]) = 0. Для уравнения (51) это озна-
чает, что его решение, если оно существует, не может
скачком изменить свой знак.
Будем искать решение уравнения (51) в виде
t	t
П(0 = Поехр^ y (0 + J bdfi+ j ^<p(s, u)y,(ds, du)} =
0	Oft
= По exp {£(/)}.
Из обобщенной формулы Ито вытекает, что уравнение
(51) эквивалентно следующему:
dy + y&W PX + M+J (еф - 1 - ф) л {dt, du) +
з?
+ j (еф — 1) р {dt, du) = da + dp + «ц {dt, du),
Я	5?
откуда получаем
6=1, еф —l=u,
dy = da —yd(p, Р\— (еф—1—<p) n(d/, du).
s?
Таким образом,
T) (f) = T)o exp { g (f) — у (p, P)/ — (u — In (1 + и)) л {t, du) —
3?
— [u — In (1 + u)] p {t, du) J
з?
или
T|(/) =
= t]0exp{g(/) — y(P, p>#— $ [u — In(l +u)]v(f, du)}. (52)
я
Последнее равенство можно также записать в виде
П (/) = no exp { l{t) - j (р, р)Д П (1 + (s)) е~в5 ,s), (53)
4	7 s<«
где 6g (s) — скачок функции | (/) в точке t = s, 6g (s) =
= Us)-g(s-).
152
МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. I
Полученные выражения показывают, что если спектр
скачков процесса %(t) захватывает область, лежащую левее
точки —1, то решение уравнения (51) в форме
не существует. Однако несложный анализ формулы (53)
показывает, что она остается справедливой и в общем
случае.
В дальнейшем из общей теории стохастических диф-
ференциальных уравнений будет следовать, что получен-
ное нами решение уравнения (51) является единственным.
Из формулы (53; вытекает:
а)	решение уравнения
t
П (/) = 1 + т) (s) р (ds),
О
где ^U(c, имеет вид
П (t) = ехр { Р (t) — 4 <Р, Р)« }.
и г] (t) s 1ЛС\
б)	решение уравнения
t
т] (0 = 1 + П (s) d? (s),
где ? (О =	И ““ мартингальная мера, ассоцииро-
°л
ванная с мерой скачков некоторого процесса, может быть
представлено в виде
П (0 = ехр К (/)} П (1 + 6? ($))
S^t
И Т| (f) €=
Пример. Мультипликативное разложение положи-
тельного супермартингала. Пусть £(/),	— неотри-
цательный квадратично интегрируемый регулярный не
обращающийся в 0 супермартингал. Тогда £ (t—)>0
для всех /, и поэтому inf £ (?) > 0 на каждом отрезке [О, Г].
Рассмотрим разложение Дуба процесса £ (/), % (/) =
= (3(/)—-а(/), где £(/) —локальный мартингал, а(/) —ас-
социированный натуральный возрастающий процесс (§ 1,
теорема 11). В рассматриваемом случае процесс а(/) не-
прерывен и, как нетрудно убедиться, P(f) — локально
квадратично интегрируемый мартингал.
S 31
ФОРМУЛА ИТО
153
Положим
t	t
f (j\_____C (s) f /a________________f da (s)
J l(s) ’	J |(s) ’
о	0
uo=:iW-:2(O.
Здесь gi (/) s Ij%2, C2 (0 — непрерывный возрастающий про-
цесс и di — cd £. Из положительности субмартингала g (t)
следует, что скачки процесса & (/) (а следовательно, и В (/))
больше —1. Следовательно,
В(0 = Воехр{?(/)— уL>; + J [In(1 + «) — «]v£(f, du)},
я
где Zc ~ непрерывная компонента в разложении & (f) на
непрерывную и разрывную части, v£ — мера скачков про-
цесса £(/)•
Полученное выражение можно также записать в виде
£(О = По(Оъ(ОпДО,	(54)
где т)о (0 — непрерывный, невозрастающий процесс
(	*	1
По (/) = В (0) ехр] - J -^- к (0 S1М,
'	о	'
„ (А — ехо { С rfPg (s)_L ( d Pg) 1
exP)J g(s) 2 J g2(s) I’
' 0	0	'
pc(^) обозначает непрерывную компоненту в разложении
локального мартингала 0(0 на непрерывную и разрывную
части, и
О 5?
причем (0 е 1Л\. При этом следует принять во вни-
Xf !А 601 (О 6g (0
мание, что d£i (0 = 'ц'_)-= g(z_) •
Теорема 15. Положительный квадратично интегри-
руемый регулярный супермартингал допускает мульти-
пликативное разложение (54), где т)0 (0 — непрерывный
возрастающий процесс, (0 — положительный непрерыв-
ный локальный мартингал
ГЛАВА II
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 1. Общие вопросы теории
стохастических дифференциальных уравнений
В настоящем параграфе вводится понятие стохасти-
ческого дифференциального уравнения и доказываются
некоторые общие теоремы существования и единствен-
ности решений рассматриваемых уравнений. При этом
понадобится обобщить в некоторых направлениях вве-
денное ранее понятие стохастического интеграла. В общих
чертах наш подход к стохастическому дифференциальному
уравнению основан на следующих соображениях.
Предположим, что рассматривается движение некото-
рой системы S в фазовом пространстве и £(0 обо-
значает положение системы S в Slm в момент времени I
(£ (0 ===	(0, • • •,	(0))- Допустим, что смещение си-
стемы S, находящейся в момент времени t в точке х за
промежуток времени (/, t + АО, может быть представлено
в виде
+ А/) - £(0 = А(хJ + АО - А(х, 0 + б.	(1)
Здесь А(х, 0, вообще говоря, случайная функция;
А (х, t + АО — А (х, t) характеризует действие «внешнего
поля сил» в точке х на S в течение промежутка вре-
мени (0^+А0, а 6 — величина, имеющая в некотором
смысле более высокий порядок малости, чем разность
Д(х, /4-АО — А(х, 0- Если Л(х, 0 как функция от t
абсолютно непрерывна, то соотношение (1) можно заме-
нить обыкновенным дифференциальным уравнением

(2)
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
155
§ 1]
Уравнение (2) вместе с начальным условием =
определяет движение S в SfLm при t > f0, причем At (х, t)
задает поле скоростей в фазовом пространстве в момент
времени t.
Разумеется, уравнение (2) не может описывать такие
движения, как броуновское, т. е. движения, не обла-
дающие в фазовом пространстве конечной скоростью,
или движения, имеющие в фазовом пространстве раз-
рывы. Чтобы получить уравнения, описывающие движе-
ния систем такого рода, целесообразно заменить соотно-
шение (1) уравнением интегрального типа. С этой целью
представим себе, что временной отрезок [/0, разбит
на частичные отрезки точками /2, •••,	= Тогда
из (1) следует
п—1	п—1
uo -1 w = X a a (ti), ti+l) - л а ад, tt) + s бг.
Z=0	Z=1
В силу малости величин б/ естественно считать, что
п— 1
У б/->0 при п->оо, так что последнее равенство фор-
Z=9
мально переходит в соотношение
t
(3)
/о
в котором выражение
t
\A&(s),ds)
О
можно назвать стохастическим интегралом в случайном
поле А(х, t) вдоль случайной кривой £(s), sg[/0,/], и
которое следует понимать как предел, в каком-то смысле,
требующем дальнейшего уточнения, сумм вида
п— 1
Е А(Ш, Ь+1)-А(Ш, ti).
i~0
Соотношение (3) назовем стохастическим дифферен-
циальным уравнением и будем записывать в виде
156
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
При довольно общих предположениях, например, если
А (х, t) при каждом фиксированном х е является
квазимартингалом, можно считать, что
Д(х, /) = а(х, t) + 0(х, /),	(4)
где 0(х,/) как функция от t является локальным мар-
тингалом, а процесс а(х, /) представим как разность двух
монотонно неубывающих натуральных процессов. В связи
с этим имеет смысл предполагать, что правая часть урав-
нения (3) представима по формуле (4) и вводить даль-
нейшие ограничения на функции а(х, t) и 0(х, t) по-раз-
ному. Так, например, условимся считать, что в выра-
жении (4) а(х, t) является функцией, абсолютно непре-
рывной по t, а р(х, t) как функция от / — локальный
квадратично интегрируемый мартингал. (Будут рассмо-
трены и более общие предположения о £ (х, /).)
В дальнейшем уравнение (3) будем записывать в виде
t	t
i (О = Io + J «(I (s), s) ds + J 0 (g (s), ds) (5)
^0	t$
или
dl = a a (0, t) dt + 0 (a (/), dt), g (Zo) = g0.
В том случае, когда 0(x, t) = 0, будем называть урав-
нение (6) обыкновенным дифференциальным уравнением
(со случайной правой частью).
Часто рассматривают поля 0(х, t) = {01 (х, t), .... 0m(x, t)}
вида
t г
(х, t) = у* (х, s) d\J (s), k = 1, ..., m, (6)
о /=1
где р/ (s) — локальные взаимно ортогональные квадра-
тично интегрируемые мартингалы, j = 1, ..., г, у^ (х, s) —
случайные функции, удовлетворяющие условиям, обеспе-
чивающим существование соответствующих интегралов.
В этом случае второй из интегралов в равенстве (5) можно
определить как векторный интеграл с компонентами
t	t г
$0ft(i(s), ds) = J £ y’jdis), s)dp>(s),	tn,
t<i	/=1
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
157
§ П
и воспользоваться теорией стохастических интегралов,
изложенной в § 2. Однако, ограничиваясь функциями
Р (х, /) вида (6), вообще говоря, мы много теряем в общности.
Это видно хотя бы из того, что взаимная характеристика
процессов (х, t) и (у, /), определяемых формулой (6),
имеет вид
t т
фк(х, •), $к(у, •)><= J £ V/(х> 5)Y/ (У, s)d{n>, рД,
О t=l
в то время как в общем случае она дается функцией
Г*(х, у, /), являющейся при фиксированном t произволь-
ным неотрицательно определенным ядром аргументов х и у
Е Гй(хг, yht)ziZt>Q
I, /=i
для всех Zj е $!', j — 1, ..п, п— 1, 2, ... .
Например (ограничимся для простоты одномерным слу-
чаем), пусть функции Y/(x, f) — Cj(x, t), /=1, ..., т,
неслучайны, Ц/ (/) = Wj (t) — независимые винеровские
процессы. Тогда корреляционная функция R'x, у, t) поля
t т
Р(х, t) = Cj (х, dWf (s)
О /=1
равна
t т
R (х, у, t) = Мр (х, t) ₽ (у, t) = £ Cj (х, s) Cj (у, s) ds.
О /=1
С другой стороны, если положить Р(х,/) = w(x,/), где
w(x, t) — произвольное гауссовское поле с независимыми
по t приращениями, то его корреляционная функция
Rw (х> У» = Мдо (х, /) w (у, t) является при фиксирован-
ном t произвольным неотрицательно определенным ядром.
Таким образом, ограничения при рассмотрении стоха-
стических интегралов вдоль процесса g (/) полями вида (6)
приводят к существенному сужению класса рассматри-
ваемых задач. Поэтому целесообразно ввести непосред-
158
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. TI
ственное определение
ческого интеграла
и рассмотреть свойства стохасти-
т
J РШ м
о
понимая его в простейших случаях как предел по ве-
роятности сумм
= a ft) = £ 0 ft ftft-l), Sk) — ₽ ft Sfe-O.
Суммы o' будем называть интегральными.
Уместно отметить, что замечания о недостаточной
общности случайных полей, задаваемых соотношением (6),
не совсем справедливы в том случае, когда рассматри-
ваются стохастические дифференциальные уравнения (5),
в которых а (х, f) = a(x, t) — неслучайная функция,
а р(х>, t)— функция с независимыми приращениями по t.
Действительно, приращение А£(/) решения уравнения (5)
в каждый момент времени t зависит от и от значения
поля Р(х, /) в точке х — £(/) и не зависит от характера
связи между р (х, /) и ₽ (z/, t) в точке у % (/) (при до-
статочной гладкости теоретико-вероятностных характе-
ристик поля р(х, t) как функций от х). Поэтому можно
ожидать, что решения уравнений (5) будут стохастически
эквивалентны для любых двух полей Р(х, /) = ₽i(x, t) и
Р(х, 0==₽2(^, О- при условии, что совпадают между собой
при i = 1 и 1 = 2 все совместные распределения после-
довательности векторов
{₽/ (х, /J, р/ (х, t2), ..., pz (х, tN)} Vxt=0lm, VN = 1,2, ...,
и поля Р/ (х, t) имеют независимые приращения по t.
Пусть, например, w (х, t) — произвольное гауссовское
поле, имеющее независимые приращения по /, В (х, /) =
=	(х, t) wf(x, t) = {Bjk (x, /)}, причем функции B/k (x, t)
дифференцируемы no t, bik(x, = Bkf(x, t). Обозначим
o^x, f) симметрическую матрицу, такую, что о2(х, t) =
=b(x, /), и введем независимые между собой винеровские
§ И
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
159
процессы Wj (/), /=1, п. Положим
t
Pi (*, О = 5°* (*> *)dw w (О = (^i (0, • • •, (0)-
о
Тогда
t	t
MPi (х, f) Р! (х, t) = о(х, s) о(х, s) ds = b (х, s) ds,
о	о
и мы можем ожидать, что решения стохастических диф-
ференциальных уравнений
d^ = a(^, t) dt + wfa dt),
dl=a(l, t)dt + (y(l, t)dw(t),
стохастически эквивалентны, хотя поля w(x, t) и p! (x, /),
вообще говоря, не являются стохастически эквивалент-
ными.
Аналогичные соображения можно высказать и в том
случае, когда р (х, t) является произвольным полем с
независимыми приращениями по t, с конечными момен-
тами второго порядка. Предположим, что приращение
р(х, t + Д/) — р(х, t) имеет характеристическую функцию
М ехр {/ (г, р (х, t + ДО — р (х, 0)} =
✓	t + A t
= expj — у j (b (х, s)z, z)ds +
t
t+дг	\
-f- j ds j [el (г> c Ui«)>—!— i (z, c(x, s, и))] П (s, du) ?
(к такому виду можно привести произвольную характе-
ристическую функцию процесса с независимыми прира-
щениями, если р (х, t) имеет конечные моменты второго
порядка и если она абсолютно непрерывна по t). Тогда
при достаточно гладких функциях а(х, t), b(x, t), с(х, t, и)
естественно ожидать, что решения стохастических урав-
нений
dl=a(l, t)dt + ^(l, dt)
и
dl = а (В, t) dt + о (В, t) dt + $ с (В, t, и) v (dt, du)
Э1т
160
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
будут стохастически эквивалентны. Здесь о (я, г) — сим-
метрическая матрица, о2 (х, /) = b (х, /), v (/, А) — центри-
t
рованная пуассоновская мера, Dv(Z, Л) = П (s, A) ds.
о
Разумеется, предыдущие замечания о возможности
замены в уравнении (5) поля [3 (%, /) более простым, не
сужая при этом класса получаемых решений, не имеют
силы, если приращения по t поля р(х, /) зависимы.
Предыдущую схему определения стохастического диф-
ференциального уравнения целесообразно обобщить еще
в другом направлении. В настоящее время важную роль
в ряде научно-технических проблем играют системы
с «обратной связью». Для таких систем «внешнее поле
сил», действующих на систему в данный момент времени,
зависит не только от мгновенного положения системы
в фазовом пространстве, но и от ее фазовой траектории
в «прошлом»:
=	+	/) + Ч’ (7)
где а (<р |*, s), s~^t>t0,— семейство случайных функ-
ционалов со значениями в ЗГ1, определенных на некото-
ром пространстве функций qp(u),	со значе-
ниями в 31т.
Обозначение a(qp|*o, s) в дальнейшем неудобно, глав-
ным образом, из-за отсутствия фиксированной области
изменения аргументов функционала a (•,$). Чтобы из-
бежать этого затруднения, можно поступить следующим
образом.
Введем пространство 3)™ (3)т [а, 6] ) функций qp (s),
определенных на (— оо, Т] (на [а, Ь]) со значениями в
имеющих в каждой точке области определения пределы
слева и справа (а в случае пространства 3)т, имеющих
также предел при оо) и непрерывных справа. Пусть
3)т = 3>™. Обозначим 0/ (/^Г) отображение 3)? на 3)т>
определяемое соотношением
(0/ф) (s) = ф (t + s), s < 0.
Пусть, далее, а (qp, 0 = а (qp, t, а>) — случайная функция,
определенная на 3)т X [0> Л X Соотношение (7) можно
§ 11
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
161
переписать следующим образом:
и/ + А/) - I (0 = а (0Д, t 4 АО - а (0^, 0 +
а уравнение (5) — уравнением вида
t	t
Ш = + $ а (0Д, s) ds + J р (0Д, ds\ t > /0.	(8)
t0	t
При этом возникает необходимость задания процесса £(/)
во всем «прошлом», т. е. до момента времени /0. В соот-
ветствии с этим к уравнению (8) следует присоединить
соотношение
g(O = <p(O,	(9)
называемое в дальнейшем начальным условием для сто-
хастического дифференциального уравнения (8).
Стохастический криволинейный интеграл. Пусть
/е[0, Т]} — некоторый поток о-алгебр уа фиксиро-
ванном вероятностном пространстве {Q, ®, Р}, cz S),
0(ф,/) — случайная функция, подчиненная {SJ со зна-
чениями в
В дальнейшем рассматриваются два варианта теорем.
Один из них относится к случайным процессам, выбо-
рочные функции которых с вероятностью 1 непрерывны,
а другой — к процессам с выборочными функциями без
разрывов второго рода (mod Р). В соответствии с этим
введем две группы предположений.
Пусть Ът	[и, &]) — подпространство простран,
ства З)1?	[а, Ь\), состоящее из непрерывных функ-
ций. Пространство наделим равномерной нормой
||ф|| =sup| qp(s) |.
Пространство будем считать метрическим с метри-
кой пространства функций без разрывов второго
рода (т. I, гл. VI, § 5). Чтобы упростить рассмотрение
случая разрывных процессов, в ЗУп будет использована
более простая метрика, с помощью которой формули-
руют дальнейшие предположения о рассматриваемых
уравнениях. Эта метрика порождается полунормой || <р 11*>
В И. Гихман, А, Скороход, т. III
162
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ц
определяемой соотношением
{о	у/2
J |cp(s)|2K (ds) J ,	(10)
— оо	'
где /<(•) — некоторая конечная мера, определенная на бо-
релевских множествах полупрямой (—оо,0], К(—оо,0]=
= /С < оо.
Если, например, рассматриваются стохастические
дифференциальные уравнения с запаздыванием, т. е.
уравнения вида
d\(t) = a(l(t--h^ l(t~hr),t)dt +
+	l(t-~hr), dt),
то в качестве p(cp, t) следует рассматривать функции,
зависящие от значений ср (s) в конечном числе точек,
т. е. функции вида р (ср (0), ср (— hx), ..., <р(— hr), t).
В этом случае естественно отождествлять функции ср ($),
принимающие одинаковые значения в точках 0, —hx, ...
..., —hr, и метризовать с помощью метрики
II ф — ФII* = V(ф (0) — Ф (О))2 + (ф (—	— ф (- /г,))2 + .. ?
*• • • + (ф ( — hr) — ф (— йг))2,
т. е. с помощью полунормы (10), соответствующей мере/(,
сосредоточенной в точках 0 = hQ, — h{, ..., — hr и при-
нимающей на этих точках значения К ({—hk})=L
Возвращаясь к функциям P(qp, t), прежде всего пред-
положим, что они удовлетворяют одной из следующих
двух групп условий:
р. 1): а) функция р (ср, s) = р (ср, s, со) определена на
X [0, Г] X й, и при каждом t Т ее сужение на
отрезке s е [0, /] 23^™ X X 8й-измеримо;
б) при фиксированном ср р (ср, t) является квадратично
интегрируемым ^-мартингалом, выборочные функции ко-
торого с вероятностью 1 принадлежат &п[0, 71] и харак-
теристики компонент которого с вероятностью 1 непре-
рывны.
Здесь — минимальная а-алгебра подмножеств
содержащая цилиндрические множества в Zt — о-ал-
гебра борелевских множеств отрезка [0, /].
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
163
§ п
р. 2): функция P(qp, s) удовлетворяет условиям, которые
получаются из р. 1), если заменить	0т[О, Г]
на	Т] соответственно.
Случайную функцию p(qp, /), удовлетворяющую усло-
виям р. 1) (р. 2)), назовем мартингальным полем в
(в <FW) или, проще, полем.
Если P(qp, t) — мартингальное поле в 071, то суще-
ствует случайная функция Л (ф, /), являющаяся при фик-
сированном ф натуральным интегрируемым монотонно
неубывающим процессом, такая, что Л (ф, 0) = О и для
любого А = (t, t + AJ
М {IP (ф, А) |2| &} = М {Л(ф, Д)|ад,
где Л (ф, А) = Л (ф, t + Af) — А (ф, /).
Будем говорить, что поле р(ф, t) линейно ограничено
по полунорме или по норме, если, соответственно,
А(Ф, А)<(1+||ф||2)Л0(А)	(11)
или
Л(ф, А)<(1 + ||ф ||2) Ло (А),
где Ло (/) — непрерывный интегрируемый монотонно неубы-
вающий процесс, подчиненный потоку а-алгебр {^, t е
е[0, Г]}. Если Л(ф,/)—при каждом ф непрерывная
функция от /, то условие линейной ограниченности по
полунорме эквивалентно требованию:
найдется процесс Ло(/), удовлетворяющий предыдущим
условиям, такой, что для любого A cz [0, Т]
М {| р (ф, А) I21 ВЛ < (1 + IIФ IE) М {Ло (А) | &}.	(12)
То, что из (11) вытекает (12), тривиально. Обратное
легко следует из теоремы 21 § 1. Аналогичное замечание
справедливо и для полей, линейно ограниченных по
норме.
Подобные замечания можно сделать и относительно
мартингала Р(ф, /) — р(ф, /). Если для любого /V > 0
существует монотонно неубывающий непрерывный и
интегрируемый процесс ЛдД/), /е[0, Г], подчиненный
потоку а-алгебр {§/, t е [0, Г]}, не зависящий от ф и ф
и такой, что
М {| Р (ф, А) — Р (ф, А) |2| ад <|| ф - Ф ||2 М {A/V (А) |ад (13
6*
164
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
для всех qp, ip е , удовлетворяющих условию || ф ||* А,
|| ip II* то будем говорить, что [3(ф, /) удовлетворяет
локальному условию Липшица (относительно полунормы).
Если существует такой процесс А(/), что можно положить
(/) = Л (/) для всех N > 0, то будем говорить, что (3 (ф, t)
удовлетворяет равномерному условию Липшица (относи-
тельно полунормы). Аналогичную терминологию будем
применять и в том случае, когда в неравенстве (13) вме-
сто полунормы || ф — ip ||* фигурирует норма || ф ф ||.
Дадим сейчас определение стохастического криволи-
нейного интеграла
т
Jp(0/L dt).
о
В дальнейшем оно будет несколько обобщено.
О случайных процессах £(/), / е (— оо, Т] предпо-
ложим следующее:
g. 1) Процесс £(/), t е [О, Т], подчинен потоку о-алгебр
t е[0, Т]}, величины g(s) So-измеримы при $<0и
выборочные функции процесса £, (/) с вероятностью 1
принадлежат ЗУ?; или же
g. 2) Процесс t^.T удовлетворяет условию %. 1)
и его выборочные функции с вероятностью 1 принад-
<79
лежат Ъ»
Пусть 6 — разбиение отрезка [О, Г] точками
/0 — 0 < t{ < /2 < • * • < tn — Т,
|б|== max Mk, = —
В дальнейшем А или А& будем обозначать полуинтервал
(/, t + л/] или (tk,
Теорема 1. Пусть % (t), t е (— оо, Г], удовлетворяет
условию £.1), случайная функция p(q>, t) — условию р.1)
и локальному условию Липшица (13). Тогда предел
т	п
p-iim £	04)
существует.
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
165
Определение. Предел в правой части соотноше-
ния (14), если он существует, будем называть стохасти-
ческим криволинейным интегралом или стохастическим
интегралом в поле Р(ср, f) вдоль кривой £(/).
Доказательство теоремы 1. Пусть
T„ = (inf	VO,
причем полагаем inf {0} = 7\ x'L = inf	> ZJ, и
U (0 = U0 при t<xN, = если t^xNi
₽ (ф, t) = $LN (ф, 0 = ₽ (ф J A <).
Используя теоремы об остановке мартингала, нетрудно
убедиться, что при || ф || < N, || ip||< У
М {| р (ф, А) — Р (ip, А) I2!	<11 ф - ip II2 М {XN (А)| &}, (15)
где
Луу (А) — Луу [(/ + А/) Д — Луу (t Д Тд).
Рассмотрим два разбиения, б{ и б2, отрезка [О, Г],
из которых б2 является подразбиением первого (62 < 61).
Точки, образующие 6Ь обозначим через tk (£=0, 1,	п),
а б2 через tkj (tk tko tk\	< tks^
Положим
A/л = tk —	—
&k = (^-ь	Afc/ = (^/-i, tkj],
с ® = E P As) = E P (е^-Л- м - P h-r),
fe=l	R=l
и пусть a2(£)— интегральная сумма, аналогичная <Ti (£),
но построенная по разбиению й2, б; (£) — интегральные
суммы, построенные по полю Р(<р,/) для разбиения б/
(i= 1, 2). Тогда
РЦ^(g)-<т2® |> 8}<
<Р {т, V < < 7} + Р {I«, (Ev) - 8, (Е„) I > е}.
Так как выборочные функции процессов g(Z) —оо, 7])
и Лдг (/) (t е [0, TJ) ограничены, то вероятность
166
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Р V r'L<T} может быть сделана сколь угодно малой
при достаточно больших N и L = L(N).
Оценим второе слагаемое в правой части последнего
неравенства. Отметим, что
«-i sk
(£#)	^2 (£а) ~	Р	&kr) Р	^kr)*
Используя неравенство (15), получим
М| (ы-а2(Ы12==
п—1 sk
= X S м | 0 (0/fe_,U Aftr) - 0 М |2 <
<М z z	(16)
При этом мы воспользовались тем, что
М | Р (в..-.U М - Р (8,„ _, S», Л.,) I1 = ММ{.. 8,^.,} =
= м [М {(₽ (ф. Л6г)-р (ф. л.,) И	v
Заметим, что сумма, стоящая под знаком математи-
ческого ожидания в правой части неравенства (16), равно-
мерно ограничена. Она не превосходит 4Af2/CA;V (7)^4№/СЛ,
где К = К(—°°, 0]. Далее,
= I Zn (ho + 5) — Zn (hr-\ + s) I2 К (ds),
так что
M I (In) — 52 (lN) |2 =
= M J f£|^(/A_1+s)-lv(^r_1+s)|2A1V(Afer)k№). (17)
— 00 \ k, r	/
С помощью обычно применяемого в интегральном
исчислении приема, нетрудно убедиться, что сумма, стоя-
§ 1]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
167
щая под знаком внутреннего интеграла для всех s О,
стремится к нулю при |6|->0.
Действительно, пусть еА > 0 — произвольно заданное
число. На отрезке [s, s + Т] функция (и) имеет только
конечное число скачков, по величине не меньших чем
~. Пусть это будут точки sb ..., sm. Окружим их
интервалами ir длиной Ло, где h}m < еь Исключив интер-
валы ir из отрезка [s, s + Т], получим замкнутое множе-
ство S. Найдем такое в2, чтобы |	(s') —	(s") |2 < ~-
при | s' — szz 82, s', szz g= S. Легко заметить, что такое е2
существует. В самом деле, предположив противное,мы по-
строим последовательности точек s', sz', n=l, 2,
такие, что | < - < | < 4 > Iim< = lim<=so I
2е
— I ~l~ ’ чт0 в СИЛУ сУЩествования односторон-
них пределов у функции £#(s) возможно только тогда,
когда |	(s0—) —	(50) |	• Но последнее неравенство
противоречит тому, что s0 g= S. Если |	| <	, то каждый
отрезок А& = [/£-!, tk] лежит внутри S или содержит вну-
три себя один из концов интервала ir или лежит внутри Zr.
Обозначим соответствующие множества отрезков А&
через Ц, 12, 13. Пусть I ^ | < (-у А е2) . Тогда
Z = £ I gy (tk, + s)-ZN (tkr-x + s) |2ЛУ (Aftr) <
k, r
<£ + £ + £<^l£ajv (\kr) +
Ц I* h	I\
+ 2m • 4№ • max Av (Л*) + 4A2 У KN (Afe) <
дйе/г	дйе/з
< 2ei + 8m№ max KN (Afe) + 4У2 У XN (ir).
f=]
Учитывая непрерывность функции ЛдД/), видим, что, за-
дав произвольное во, можно выбрать сначала вь а затем
168
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
найти такие /г0 и s2, чтобы	Для всех бн таких,
что | di I < (-у- А (при данном со). Таким образом, z —> О
при |6j 1~>0 с вероятностью 1.
Так как в неравенстве (17) можно перейти к пределу
под знаком интеграла, получаем, что
М| СГ1 (£iV) — б2(Ы |2->0 при ISJ->0.
Таким образом, Р {| crj (g) — cr2 (g) | > в} -> 0 при | Sj | ~> 0.
Отсюда легко вытекает, что для произвольных разбие-
ний б! и б2 отрезка [0, Г] (т. е., когда б2 уже не обяза-
тельно является подразбиением SJ
Р{|П1(Ю — сг2(Ю1>е}-*0 при |6, |, |621~>0.
Теорема доказана.
В том случае, когда рассматривается интегрирование
вдоль непрерывных процессов, предыдущая теорема может
быть несколько усилена.
Теорема 2. Предположим, что процесс Е, (/), tе
е(—-оо, Г], удовлетворяет условию 2), а поле (3 (ср, /)— ус-
ловию р. 2) и локальному условию Липшица {относитель-
но равномерной нормы}, т. е. при || ср || N, 11'фЦ^А/’ и
t е= [0, Т]
М {| ₽(ф, А) - ₽ (ф, A) |2|	<|| Ф - ф ||2 М {Ау (А) | &}, (18)
где — непрерывный монотонно неубывающий инте-
грируемый процесс, подчиненный {^t, t е [0, Г]}. Тогда
стохастический криволинейный интеграл (14) существует.
Доказательство. Рассуждая так же, как и при
доказательстве теоремы 1, получим, что
м | 5, (gy) - cr2 (gy) р < М 2 II	II2 Ay (Aftr),
причем сумма в правой части последнего неравенства
равномерно (относительно со) ограничена. Из предположе-
ний о структуре функций £(/) следует, что с вероят-
ностью 1
J е^.^у -	||2 = sup 11 (tk + S) - g (tkr-1 + S) i2 -> о
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
169
при | 6] |—>0 равномерно по k, г. Поэтому
Im (Ы-а2(Ы12”>о
при |6j |->0, откуда, так же как в случае теоремы 1,
вытекает требуемое.
Замечание. Если выполнены условия теоремы 1
или теоремы 2 и sup |£(01^С> где константа С
неслучайна, то в соотношении (14) сходимость имеет
место не только по вероятности, но и в среднем квадра-
тичном, а стохастический интеграл обладает конечными
моментами второго порядка.
Установим теперь некоторые оценки для введенных
интегралов.
Лемма 1. Пусть поле (3 (<р, /) удовлетворяет усло-
вию р. 1) и локальному условию Липшица, a Ь(0,
fe=l, 2, — условию g. I) и
l|0r^ll = sup{|^(/)|,k=l, 2.
Тогда
dt)- Jp(0^2, dt)
Доказательство. Так же, как при доказатель
стве теоремы 1, получаем неравенство
M{|a(^)-ofe)NSo}
0 z п
М ] Ц £ | (tk + S)-12 (tk + s) I2 An (Aft)) К (ds) g0
oo \fe=l	/	}
Сумма, стоящая под знаком интеграла, равномерно огра-
ничена (по со) и при | 6 |—>0 сходится к пределу
Jlli(t + s)-l2(t + s)^\N (dt).
о
Отсюда легко следует неравенство (19).
170
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Замечание. Если (3(ф, /) и (t), k = 1, 2 удовле-
творяют условиям теоремы 2 и || 0Г^ (/) || /V, то
М
т	т
dt} —	dt}
о	о
<м
II 0^ - 0&H2A;V (dt}
(20)
Доказательство аналогично предыдущему.
Аналогично можно доказать следующую лемму.
Лемма 2. 1. Если выполнены условия теоремы 1 и,
кроме того,
а)	II 0г? 11^ N, где N — неслучайная постоянная,
б)	существует такой непрерывный монотонно неубы-
вающий и интегрируемый процесс A0(Z), подчиненный
потоку в-алгебр {gy, t^ [0, Т]}, что
М {| р(ф, A) I21< (1 +1| ф II2) М {Ло (A/) IM
ТО
(21)
T	2
$ Р (6/S, dt)
о
<М
(22)
2. Если выполнены условия теоремы 2, а) и
в) М {| р(ф, А) |2|	< (1 +||ф||2) М {Л0(А) |М
то
(23)
(24)
Лемма 3. Пусть р (ф, t) и £ (t) удовлетворяют усло-
виям теоремы 1 или 2. Предположим, что т — случай-
ный момент времени на [0, Г], рт(ф, t) — р (ф, t Л т),
St (0 = S (0 при t < т и St (0 = S (т —) при t т.
§ 11
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
171
Тогда с вероятностью 1
t	t	t
J p (0Д, ds) = J рт (0ДХ, ds) == J Pc (0Д, ds) (25)
0	0	0
на множестве
Прежде всего заметим, что если выполнены условия
теорем 1 или 2 для отрезка времени [0, Г], то они вы-
полняются и для суженного отрезка [0, /], t < Г, и в со-
ответствии с теоремой 1 или 2 можно однозначно (mod Р)
определить интеграл
t
$Р(6Д ds).
о
Кроме того, функции рт(ф, t) и gT(f) также удовле-
творяют условиям этих теорем. Поэтому величины, участ-
вующие в соотношении (25), определены. Равенства (25)
вытекают из того, что суммы, служащие для определе-
ния интегралов в равенствах (25), совпадают на множе-
стве t т.
Замечание. Подчеркнем, что (25) имеет место
(modP) и при t = x.
Лемма 4. Пусть р(ф, t) удовлетворягт условию р. 1),
равномерному условию Липшица, а £&(/), & = 1, 2,—
условию g. 1) и
т
м J к и* л (dt) < оо.
о
Тогда неравенство (19) выполняется с AN = A.
( 2
Доказательство. Пусть xN=inf \t: V I Ik (0 f
I	)
И t%(t) = lk(t) При t<XN, ^(/) = ^(Tjv—) при t^XN.
Из леммы 3 следует, что
т	т
$Р(еЛ’ = ds)
о	о
172
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
для всех достаточно больших N. В силу леммы Фату
т	т
$Р(0Л1, ds)- J₽(0^2, ds)
О	о
lim М
т	т
о	о
т
<lirnM J II 0Д* - 0^||;A (dt).
о
Учитывая, что |/г (^) с вероятностью 1 равномерно
по t, получим
т
<М $||0^-0^2 II; Л (Л). (26)
О
Лемма 5. Если поле Р (ср, t) линейно ограничено и
удовлетворяет локальному условию Липшица, удо-
влетворяет условию 1) и
т
м $||0М2Ло(Л)<оо,
о
то неравенство (22) выполняется и без предположения
II 0Г£ II < N.
Доказательство аналогично доказательству леммы 4.
Замечание. Неравенства, аналогичные (22), (26),
имеют место и в том случае, когда р(ф, /), k = 1, 2,
удовлетворяют условиям теоремы 2 и, кроме того, поле
Р (ср, t) линейно ограничено (соответственно, удовлетво-
ряет равномерному условию Липшица), и
т	/	т
М J ||	||2 До (dt) < оо ( М J || Qt^k ||2 Л (dt) < оо
о	\	о
$11
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
173
Лемма 6. Предположим, что случайное поле р(ф, t)
удовлетворяет условиям теоремы 1, а процессы £*(/),
й=1, 2, — условиям леммы 1. Тогда для любых е>0
и N>0
Доказательство. Пусть 6 — некоторое разбиение
отрезка [0, 71] точками #-*=1, 2, п. Последова-
тельность сумм
k
Z P0W1’	л0- * = °> •••’ «’
образует квадратично интегрируемый мартингал и в силу
леммы 10 § 1
п	п
/=1	н
Переходя к пределу при |6|—>0 и используя результаты,
полученные при доказательстве теоремы 1, получим не-
равенство (27).
Замечание. Если выполнены условия замечания
к лемме 1 и || II II 11^ то
dt) - J р(ш dt) >
оо	'
< 4 + Р { J И 0^1 - 0^2 II Л« • <28)
Неравенство (27) позволяет обобщить определе-
ние стохастического криволинейного интеграла на более
174
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
широкий класс процессов g(^), чем в теореме 1. Однако,
поскольку в дальнейшем стохастические криволинейные
интегралы применяются только в теории стохастических
дифференциальных уравнений, решения которых приводят
к процессам с выборочными функциями из ЗУт или
то можно ограничиться ранее данным определением ин-
теграла и введенными выше классами процессов £(/),
для которых эти интегралы существуют.
Стохастический кризолинейный интеграл как функ-
ция верхнего предела интегрирования. Пусть 0 (qp, t) и
(/) удовлетворяют условиям теоремы 1 или 2. Если
то соответствующие условия оказываются
выполненными, если вместо отрезка [О, Т] рассматривать
отрезок [а, Ь].
Таким образом, можно определить стохастический
интеграл
ь
$Р(0До, ds).
а
Очевидно, что он является ^"Измеримой случайной ве-
личиной, и при 0 а < b < с
Ь	с	с
5 р (ЭД, ds) + J р (ОД, ds) = J Р (6Д, ds) (mod Р). (29)
aba
Положим
t
n (0 = J ₽ ds).
О
Процесс ц(0 подчинен потоку а-алгебр {$/, /е[0, Г]}
и при каждом t определен однозначно с вероятностью 1.
Можно воспользоваться неполной однозначностью
процесса ц(0 и в дальнейшем под ц(/) всегда понимать
его сепарабельную модификацию.
Лемма 7. Пусть выполнены условия теоремы 1.
Тогда
а)	процесс ц(/), t <= [О, Т] язлязтся локальным квад-
ратично интегрируемым мартингалом и имеет модифи-
кацию, выборочные функции которой с вероятностью 1
принадл}жат 3)[0, Т];
§1]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
175
б)	если sup 11 (/)	/V, М > 0, и выполнено уело-
— оо < t
вие б) леммы 2, то r|(Z)— квадратично интегрируемый
мартингал и
М
t2	2
$Р(6Д, ds)
в)	если выполнено условие б) леммы 2 с Л0(Д) = С0Д/,
где Со~ неслучайная постоянная, и
т
II2 < оо,
о
то ?](/) — квадратично интегрируемый мартингал, причем
t2 '	2
JlW, ds)
/2
c0 J (i+M {и ел IL2 Wds-, (3i)
г)	положим
T
J Р(6Л, ds) = Т](т),
0
(3T (<p, 0 = ₽(ф, Л т), г^е т — некоторый случайный мо-
мент времени на {^t, t е [О, Т]}; тогда
х	т
J р (ел, ds) = \ рт (ел, ds) (mod Р);	(32)
о	о
д)	для любых 8 > О N > О
Р > sup
(о < t
t
$₽(6Л ds)
о
(1 +11 ел II2) ЛоШ > n (33)
Доказательство. Докажем сначала утвержде-
ние б). Неравенство (30) непосредственно вытекает из
176
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
леммы 2. Так как в рассматриваемом случае сумма
У	Д&) равномерно интегрируема, то в равенстве
a^tk^b
м	Д.) I } = о
можно перейти к пределу при | А, |-—>0 и мы получим, что
М |$р(9Д,	| = 0.
Таким образом, ц (/) — квадратично интегрируемый
мартингал. Аналогично доказывается утверждение в).
Чтобы доказать утверждение г), предположим сна-
чала, что sup | £ (/) | N. Положим
t
а (0 = f . Р	ДО + Р (6/3, 0 - Р (6/Д, //),
если //+1]. Тогда, по определению,
т
Р-Ит<т(т) = j рт (ОД, ds).
о
С другой стороны, | ц (т) —- а (т) | sup | ц (/) — а (/) I, и,
так как ц(/)~ а(/) является квадратично интегрируемым
сепарабельным мартингалом, то
М sup| ц (/) - а(0 |2 < 4М | т] (Г) - а (Г) |2-> 0
в силу замечания к теореме 2. Таким образом,
т
П (т) = Р- lim СГ (т) =Л рт (9Д, ds),
J
что и доказывает равенство (32) в рассматриваемом част-
ном случае.
Чтобы рассмотреть общий случай, введем случайный
момент времени — момент первого выхода за сферу
радиуса N процесса £, (/) (при этом r.v = Г, если | £ (/) N
для всех	и положим ^ (/) = £(/) при /<т и
U (t) = I (Tjv —) при t > т, pTyv (ф, t) = р (ф, t A XN).
§ 1]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
177
Используя лемму 3 и формулу (32), имеем
п(^л^)= 5 Р(еД> ds) = J hN№,N, ds) =
О	о
t
= J (Ч (Ш, ds),
О
так что в силу б) t)(f Д т) - квадратично интегрируемый
мартингал. Так как lim %N = T, то т] (/) —локальный
jV->OO
квадратично интегрируемый мартингал. Существование
модификации, выборочные функции которой с вероят-
ностью 1 принадлежат S)[0, Г], вытекает из общих
свойств локальных мартингалов.
Далее, так как = Т с вероятностью 1 при доста-
точно большом Af, то г) (т) = P-lim г) (т Д т^) для любого
случайного момента времени т. Следовательно,
Т] (т) = P-lim (т Л Tjv) = P-lim J	ds) =
О
т
= P-lim $рхлтлг (еЛ ds).
С другой стороны, в силу леммы 3
( Т	т	\
р 1 J (еЛ ds) — J рт(0Л, ds) #= ol <Р {tjv < т),
\ о	о	)
и, так как Р(т^<т)~>0 при Л/->оо, мы приходим
к формуле (32).
Наконец, неравенство (33) вытекает из того, что
!](/)= ^Р(ОЛ, ds) является локально квадратично интег-
о
рируемым мартингалом, и из замечания к лемме 10 § 1.
Замечание. Если выполнены условия теоремы 2,
то сепарабельная модификация процесса т|(/) является
непрерывным процессом и неравенства (30) —(31) и (33)
выполняются, если в них ||6^|1$ заменить на ||бД||.
178 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Вычислим еще характеристику стохастического инте-
грала Т](0-
Лемма 8. Предположим, что выполнены условия
теоремы 1 и	*
<₽(ф, •), Р(ф, •))<=$ &(ф> 'Ф, SMS>
о
причем при || ф || N, || ф ||<| N
Щф, ф, /) —2&(ф, ф, /) + НФ. Ф> О К *w (011Ф — ФИ2,
где (/) — неотрицательный случайный процесс, под-
чиненный потоку в-алгебр {^, /е[0, Т]} и интегрируемый
на отрезке [0, Т] с вероятностью 1. Положим
t
П/ (0 = $ ₽ (0Л/, ds),
о
где (/=1, 2) также удовлетворяют условиям тео-
ремы 1. Тогда
t
<П1 (•), Т)2 (• )Х = 5 b (0^1- 0Лг, s) ds. (34)
о
Доказательство. Введем «интегральные суммы
с переменным пределом суммирования»
/
(0= Е₽(0^_л-, до+₽(<М> О~Р(0^> 0)
при //+1],
где	h]> Легко проверить, что
<01, 02)1 =
/ Ч	t
0*fe~s^2’ s)^s-E 5^(0гЛь 0/Л2> s)^s-
Л=1	'	tj
§11
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
179
Заметим теперь, что
Д((р(ф, .) —РСФ, •)), (₽(ф, -)-₽(Ф, •))>/ =
/+д«
= [Ь (<р, ф, s) — 2b (q>, -ф, s) — b(ip, ф,
t
t+\t
C IIФ — ФII. (s) ds
t
и
Д(Р(ф, •), ₽(Ф1. •) —₽(^2, *)>t =
t+M
= 5 [6(ф. Ф1. s) — 6(ф, -ф2, s)]ds,
t
откуда следует (для почти всех s):
16(ф, фь я) — Ь(<р, ф2, s)|<
^л/Ь(<$, ф, 8)[6(фь Ф1, s) — 2b!tyh ф2, s) + b (ф2, ф2, s)]<
<	(ф. Ф, 8) Лдг (s) II ф( — ф2 IL,
И
I 6 (Ф1, Ф1, 8) — Ь (ф2, ф2) 8) к
< л/А.Л,(5)(||ф! — ф211« У^(Ф1, Фь 8) +
+ II Ф1 — Ф2 II. VЬ (Ф2, Ф2, 8))
для почти всех s. Таким образом, функция 6(ф, ф, s)
является (для почти всех $) непрерывной функцией аргу-
ментов гриф (относительно полунормы || • ||J. Нетрудно
теперь с помощью тех же рассуждений, что и при до-
казательстве теоремы 1, показать, что при | б | —>0 с ве-
роятностью 1
(огь а2\~> &(6Л1, 6^2, 5) ds.
о
Поэтому из сходимости 01 (/) к тц(/) вытекает равен-
ство (31).
Замечание. Если предположить, что выполнены
условия теоремы 2 и условия леммы 8, в которых
180
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
II <р — ф IU заменено на || <р — ф||, то равенство (34) также
будет иметь место.
Теоремы существования и единственности решений
стохастических дифференциальных уравнений. Пусть
даны некоторый поток а-алгебр {&, /е[0, Г]} и слу-
чайные функции а(ф, /), P(qp, /), подчиненные {^},
/се[0, Т], со значениями в Под решением
стохастического дифференциального уравнения
di = а 0 dt + р (0^, dt), t > 0,	(35)
удовлетворяющем «начальному условию»
U0 = (P(s).
будем понимать случайный момент времени т, 0 <
на {3*/} и случайный процесс £(/), определенный при
/е[0, т), X ^-прогрессивно измеримый и удовлетво-
ряющий при каждом t < т с вероятностью 1 соотно-
шениям
£(0 = ф(0 при t < 0,
t	t
g (t) = I (0) + J a (0S£, s) ds + J p (0^, ds), 0. (36)
о	0
При этом подразумевается, что интегралы в правой
части равенства (36) имеют смысл, первый из них как
интеграл Лебега, а второй — как стохастический инте-
грал.
Случайную величину т будем называть временем
ж 1зни процесса £ U) (решения стохастического диффе-
ренциального уравнения).
Уравнение (35) будем называть регулярным на [0, Т],
если оно имеет единственное решение на всем отрезке
времени [0, Т] (т. е., если существует и единственно
решение уравнения (35) с х — Т).
Введем сейчас общие предположения о функциях
а(ф, t) и Р(ф, t), при выполнении которых правая часть
равенства (36) определена для достаточно широкого
класса процессов t\t), Заметим, что все же не имеет
смысла рассматривать совсем широкие классы процес-
сов £(/), так как правая часть равенства (36) предста-
вляет собой процесс, имеющий непрерывную модифи-
§ И
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
181
кацию или модификацию с выборочными функциями
из Фт и, следовательно, таким должен быть и сам про-
цесс £(/).
Остановимся сначала на функции а(ф, /). Введем
две группы предполэжений.
а.	1). а) Функция а(ф, s) = a(qp, s, со) определена на
X [О, Т] X Й и X X ^-измерима,
б)	при фиксированном со a (qp, -)^2Dm[Q9 Т] с вероят-
ностью 1,
в)	при фиксированном со семейство функций {а(/, •)>
/е[0, Т]} аргумента qp равномерно непрерывно на
относительно метрики р^.
а. 2). Функция a(qp, s) удовлетворяет предположениям
а. 1), если в них заменить 3)т9 и 0[О, 71] на
и [О, Т] соответственно.
Будем говорить, что функция a(qp, t) линейно огра-
ничена (относительно равномерной нормы или относи-
тельно полунормы, если в последующих неравенствах
норму || • || можно заменить на полунорму || • ||*), если
существует непрерывный монотонно неубывающий про-
цесс Ло(/), подчиненный {3/, /е[0, Г]}, такой, что
Л0(Г)<оо с вероятностью 1 и
b	ь
$a(cp, t)dt <(1+11ф11)$МЖ	(37)
а	а
Если для любого N > 0 найдется такой монотонно
неубывающий процесс hN(t), подчиненный {^, /<=[0, 71]},
что
ь
[а (ф, /) — а (ф, 0] dt
а
Ъ
^Иф-'ффлг (t)dt
а
(38)
для всех ф и ф, таких, что || ф || N, ||ф||^ то будем
говорить, что а(ф, t) удовлетворяет локальному условию
Липшица (в равномерной метрике или полунорме). Если
в качестве процесса KN(t) можно выбрать процесс Л(/),
не зависящий от N, то будем говорить, что процесс
а(ф, 0 удовлетворяет равномерному условию Липшица.
Класс процессов а(ф, /), удовлетворяющих условиям
а. 2), (37) и (38), обозначим через 5а(Аю> W, % условиям
182 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
а. 1) и условиям, получаемым из (37) и (38), если в пра-
вых частях соответствующих неравенств заменить равно-
мерную норму || • || на полунорму || • ||*, — через За(Л0, KN).
В том случае, когда речь идет о случайных функ-
циях а (ср, /), удовлетворяющих только одному из не-
равенств (37) или (38), например (37), будем писать
a(qp, Z)eSaUo, •), и аналэгично в других случаях.
Заметим, что qpz = 0^ф (ф е Фг, /е^[0, Г]), со значе-
ниями в 3)т, является борелевской функцией.
Действительно, если В — цилиндрическое множество
п
в @)т с основанием В = ЦВ; над координатами ($ь sn),
<=i
(sA<0), то
{t: <pz е= В} = П {t: qp (t + st) (= В{}.
Z=1
Так как для борелевских множеств Д в 31т мно-
жества {г: ф(г)^ Д} = Zi также борелевские, то таковым
п
будет и множество {t' ф^енВ} = Q {Zz — sj, где Z — s
i=\
обозначает множество {z' z-\-s^Z}. Таким образом,
если §(ф, /) — X ^-измеримая функция аргументов
(ф, /), где — минимальная сг-алгебра, порожденная
цилиндрическими множествами в 3)т, а 2 — сг-алгебра
борелевских множеств на [О, Г], то £(0/ф, /) будет боре-
левской функцией аргумента t.
Следовательно, если поле а(ф, /) удовлетворяет усло-
виям а. 1) или а. 2), то интеграл
т
а (0/ф, 0 dt
о
существует с вероятностью 1.
Далее, если а(ф, /)Е$а(^о, •), то (0=С& <6 ^Т)
ь
а (0^ф, t)dt
а
b
(1+1|0рШМО^ (modP). (39)
а
Доказательство легко вытекает из того, что 0/ф,
[О, Г], является непрерывной функцией со значениями
§ п
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
183
в Фт относительно метрики р^ в 2)т, а а(ф, /) —непре-
рывная функция аргумента ф (равномерно по /).
Аналогично, если а(ф, OGSa(^o, •), то
ь	ъ
J a(M, t)dt (1+110^11)^(0^.	(40)
а	а
Если же а(ф, /)е5а(-, hN) и II + || V |[ ф2 II < то
(41)
и аналогичное неравенство имеет место для а(ф, /) е
sSa(*, Лдг).	*
Что касается интеграла ^р(0Д, ds), то условия су-
о
ществования и его свойства рассматривались в преды-
дущих пунктах.
Введем обозначения для классов полей р(ф, t), ана-
логичные ранее введенным для функций а(ф, t). А именно,
будем писать р(ф, /)е5р(Ло, Kn) (или р(ф, /)е5р(Хо, W),
если поле р(ф, t) удовлетворяет условиям р. 1) (р. 2)),
линейно ограничено, удовлетворяет локальному условию
Липшица относительно полунормы (нормы), мажорирую-
щие процессы Ао(/) и A.N(t) абсолютно непрерывны и
Аю (0 = Ао (/),	(/) = Л-n (0-
Положим
t
А (ф, t) = а (ф, s) ds + р (ф, /),
о
и будем писать А(ф, /)е$(^3, X;V)(5c(X0, Х^)), если
а (ф, t) е 5a (Xq, X#) и р(ф, /) е 5(3 (Хо, KN)
(а (ф, t) е 5a (Ло, ^n) и р (ф, t) 5р (Хо, Хдг)).
184
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Пусть процесс £(/), /е[0, Г], подчинен потоку о-алгебр
{&, /^[0, Т]} и его выборочные функции с вероят-
ностью 1 принадлежат 0т[О, Г]. Доопределим £(/) при
/^0, положив £(/) = ф(/) ПРИ где qp (/)-—заданная
функция из Предположим, что a (qp, t) удовлетворяет
условию а. 1 а), и fJ(qp, 0G^(q ^v)- В дальнейшем эти
условия постоянно предполагаются выполненными, если
только иное специально не оговорено.
Определим новый процесс ц(/)> ^е(—оо, Г], положив
п(г) = ф(/),
t
П(0 = ф(0) + ds), />0,
о
где
t	t	t
J Л(0Л,	ds)=,	Ja(0/O,5)ds+	Jp(6X	ds),	t g=[0,	T],	(42)
0	0	0
При этом	под	стохастическим	криволинейным	интегралом
в правой части равенства (42) будем понимать моди-
фикацию, выборочные функции которой принадлежат
&т[0, Т]. Соответствие £->т| обозначим через I, ц(/) =
=/(*, Ю.
Лемма 9. Если A (qp, Z)g=S(C, Zv), где С — не слу-
чайная постоянная и sup М| £(/) |2 < оо, то
ОС^СГ
м{ sup ।nt + h, i)-i(t,
0</i<a
t + a
<C'[a(l+ll<pll2)+ J z(s)ds], (43)
t
где С' зависит только от С, К и T и
z(s) = sup М {Ц (и) |2 |&}.
t
Доказательство. Так как
sup \I(t + h,^-I(t, £)l2<
0<Л<а
2 sup
0</г<а
а (9Д, s)ds+ р(0Д, ds)
t	t
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
185
то, принимая во внимание, что для сепарабельных ква-
дратично интегрируемых мартингалов г) (/)
М{ sup h(s) PI <4М {| v(t + a) Pl &},
t
и учитывая неравенства (22) и (40), получим
М{ sup \I(t + h, £>) — I(t, £)P|SJ<
Kt 4-a	ч 2
J II	J
+ 4C2( M{|iejpmds<c'(a+ ( м{цод
где С' = 4C2 (T + 2). С другой стороны,
о
М {II ОД II? |&) = J М {Д (s + и) I21 &} A (du) < к (IIФ IP + г («)),
— 00
что вместе с предыдущим неравенством доказывает лемму.
Замечание. Если А(ф, t) еSc(С, Aw), то
И sup |/(/+ Л, £)-/(/,£) Р<
t+a
<C4(l+ll<pll)2a+Jz(s)</s],	(44)
t
где Z (s) = М sup | £ (/) р.
Доказательство неравенства (44) аналогично доказа-
тельству предыдущей леммы.
Аналогично лемме 8 доказывается следующая лемма.
Лемма 10. Если sup М | (О Р < °°> k—\, 2,
0<<<Т
А(Ф, i)eS(. , С), то
а
М sup |/Oi)-/(U2)I2<C" \v(t)dt,
О ^.t^a	J
где С" — постоянная, зависящая только от С и Т, а
v(t)= sup м I (П - (/) I2.
186
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Если же Д (ф, t) е Sc (• , С), то
М sup
< а
а
\ЦЕ I(t, ь) j2<C"' $ V{t)dt,
о
где V (/) = sup (s) — g2(s) |2.
Для удобства записи введем следующие обозначения.
Обозначим И* (Нс) пространство случайных процессов,
удовлетворяющих условиям 1) (£. 2)), а ЯЦЯ0— под-
пространство /7*(ЯС), состоящее из процессов, удовлетво-
ряющих дополнительному условию
Ш- )ll2 = { sup М|ШН'/2<оо (М sup |g(OF<oo).
Отметим еще следующую элементарную лемму, мно-
гократно используемую в дальнейшем.
Лемма 11. Если Z (t) — ограниченная функция на
отрезке [0, Т] и
t
z (/) <1 А + В z (s)ds> В > 0,
о
то
z(t)^AeBt.
Действительно, очевидно, что
V Z1 А
г(/)< А + В ц Л + В J z (s) ds Idt! <
) ' о	'
^A + ABt + AB2^-+ ... +ABn-^- +
+ B,!+I J J ... J z(s)dsdta ... dt{.
0 0	0
Переходя к пределу при п—>оо, получим требуемое.
Теорема 3. Пусть Л (qp,	С). Стохастичес-
кое дифференциальное уравнение (35) при произвольном
начальном условии ср ge ^7 регулярно в Hz, т. е. имеет
единственное решение в определенное для всех
§ И
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
187
/е[0, Г]. Это решение обладает свойствами:
М{ sup 1Ш12Ш<Л(1+||ф||2),	(45)
М{ sup 1Ш-Ш12Ш<3(1+1Ы12)Л,	(46)
t +h
где А и В — постоянные, зависящие только от С,Т и К.
Доказательство. В пространстве HI введем
норму
ц(.)||2 = { sup М|Ш|2}1/2
и будем рассматривать Н2 как подмножество пространства
Н2 случайных функций £(/), /	[О, Т], со значениями
в ЗН1, подчиненных потоку о-алгебр {^, /^0}, для кото-
рых II £ (•) lb < °°, где норма определена предыдущим
соотношением. Пространство Я2 является полным (в от-
личие от Н2\ Как следует из неравенства (43), опера-
тор / отображает Hl в себя, а лемма 9 показывает, что
некоторая степень оператора I является сжимающим
оператором. Отправляясь от произвольного процесса
£0(/) ^Н1 (5о(О) =ф(0)), построим последовательные при-
ближения
у, (')='('• У ,еМ’
и положим
un(/)=Msujj|gn+1(s)— £л($)|, п= 1, 2,
t»o(O= sup М | (s) — ?0 (s) |2, У0==у0(7’).
Из леммы 9 следует, что
Vl(t)<C"Vot, vn(t) ^(C")VQ~.
[(С"Т )п11/з
V°А—^| ] , т0 из неравенства Чебы-
шева следует, что Р {° sup | gre+1 (/) — 1п (/) | > sj < &пг
а так как ряд у сходится, то и ряд
п=1
оо
Z ,s“P<riy.W-E„(OI
/?=1
188
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
сходится с вероятностью 1. Таким образом, lim (/) = £(/)
существует с вероятностью 1 и притом равномерно по
/е[0,Т]. Доопределим £ (/) при t < 0, положив £ (/) = ф (/).
Тогда удовлетворяет условиям: 1)иМ sup |g(/)|2^oo.
Кроме того, М sup | £(/) — £д(0 |2->0. Действительно,
М sup OWn(0l2<M lim sup ( g	(f) — g(f) j2
m->oo t 1	n 1
/n+/n—2	\2
s?pl^	ТцЙтуЦ
oo	oo
n	k=m
у c„2T2	~ Tk-2
< n-l •2и'(^2)Г~>0 ПРИ «-*00-
Теперь нетрудно обосновать возможность предель-
ного перехода в соотношении
t	t
Ui (0 = Ф (0) + J а ( 0Х, s) ds ч- J Р (0Д„, ds),
о	о
Действительно, из равномерной сходимости £п(/)к£(/)
следует, что 8s%n(u) равномерно по и сходится к
Поэтому а (0ДП, $)-> а(05£, $) для всех s е [0, Г] с веро-
ятностью 1. Следовательно, с вероятностью 1
Далее,
t	t
\ а (0Д/г, S) ds -> а (0^, s) ds.
о	о
на основании предыдущего. Таким образом, является
§ п
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
189
решением уравнения
t	t
I (0 = Ф (0) + J а (0Д, s) ds + $ р (0Л, ds)
о	о
при каждом t с вероятностью 1. Так как функция в пра-
вой и левой частях равенства непрерывны справа, при-
веденное равенство имеет место для всех fe[0, Т] с ве-
роятностью 1.
Докажем теперь неравенства (45) и (46). Положим
*(/)=М{ sup |£(s)l2ISo}« Учитывая лемму 8, получим
z(t) <2| ф (0) |2 + 2 М sup |/(s, g) |2<
t
< 21 <p (0) |2 + 2CF [/(1 +/(<p)) + /C J z(s)ds]<
О
t
<С2(||ф||2 + /+ \z(s)ds),
о
где С2 —некоторая новая постоянная, зависящая только
от С, Д' и Т. Из последнего неравенства вытекает, что
* Ю + 1
1|<Р||2+* + p(s)rfs + -^-
или
ztf) < А( ||ф ||2 + 1)е<4
Аналогично, для
z{ (/) = М { sup | g (s) — g (a) I2!
получаем неравенство
(t
Н1+11ф1Р)+$г1 (s)ds
о
откуда следует, что
(t) <(1 +||ф|р)
190
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Докажем единственность в Hi решения уравнения (35).
Если оно имеет два решения, |(Z) и ц(0, то в силу
леммы 9
t
V (/)<C"J V (s) ds,
о
где
V (t) = М sup 11 (s) —- t) (s) |2,
0<s
V it) < C"T sup MI g (s) — n(s) I2 = C'".
Интегрируя полученное неравенство, получим
t tt
V(t)^C"2\dt{ J V(f2)d/2<...
0	0
... J V^dtndtn.x
0 0	0
m
. ,dtx ^C"fC"n-r.
1	nl
Таким образом, У(/) = 0.
Теорема доказана.
Замечание 1. Пусть функции а(ф, t) и £Иф, t)
удовлетворяют условиям теоремы 3. Рассмотрим уравнение
t	t
НО = Ф (0 + J а (ел, s) ds + $ Р (ОД, ds), (47)
0	0
где функция ф(/) обладает следующими свойствами: ее
сужение на полупрямую (—оо,0] является фиксирован-
ной функцией из 0™, а сужение на отрезок (0, Т] при-
надлежит Ht
Очевидно, что та часть доказательства теоремы 3,
которая относится к существованию и единственности
решения уравнения (35) в HI, без изменений перено-
сится на уравнение (47). Таким образом, имеет место сле-
дующий результат:
при предыдущих условиях уравнение (47) имеет в Н\
единственное решение.
§ 1]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
191
Замечание 2. Если А (<р, 0 е Se (С, С) и ср (/) е Hl,
то уравнение (47) имеет единственное решение в Hl, опре-
деленное для всех t е [О, Г], также удовлетворяющее
неравенствам (45), (46).
Доказательство мало отличается от доказательства
теоремы 3, нужно только исходить из начального при-
ближения £0(/), для которого М sup IHOI2<0°-
ОС t <т
Чтобы обобщить теорему существования и единствен-
ности решения уравнения (35), нам понадобится следую-
щий результат.
Теорема 4. Пусть ЛД<р, /) <= S(•, Лд,) или же
А, (ф, /) <= Sc (• , Лд,) и при || ф |[ ^ Л^, || ф II < N, i < т, где
т — некоторый ^(-случайный момент времени, выполнены
соотношения
“1 (ф. О = “2 (ф, О = а (ф, t),
Pi(ф> t) = Рг(ф, О = Р(ф> t).
Тогда, если b(t), 1 = 1, 2, — решения уравнений
dh (0 = а{ (0f^, t) dt + р, (e^z, dt), t > О,
^(«)=ф(«),	s<0,
такие, что sup | МО I < 00 с вероятностью 1, то при
sup | h(s) |^AA (г= 1, 2) для всех t < г с вероятностью 1
s«
£1 (0 = ш.
Доказательство проведем для случая Л(ф,/)е
Второй случай рассматривается аналогично.
Пусть
о = inf {/: t> х, I (t) | > N, | u (t) |> N, (t) > L},
если множество, указанное в фигурных скобках, непусто
и о=7’ в противном случае,
«а(<Р> 0 = а(ф> t) при t < о, а0(ф, f) = 0 при t^a,
Ра (ф, О = р(ф> Ма).
1§2 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Тогда при ИфИ^А/’, || || W
f + Af	t + M
J «м (ф, s) ds — aZa (гр, s) ds
t	t
(t + At)Ao
[af (<p, s) —
Mo
(t + At)/\o
<11 ф — -ф IL J hN (s) ds < LII <p — ф II, M,
t Ao
и аналогично, используя теорему о характеристике оста-
новленного мартингала, получим
М{1Мф, Д)-Мф, А)И^}<
/(МАО А о	г
< М j Zw(s)tZs||<p —ф||,|	<L||<p —г|)||2ДЛ
t А о	'
Положим £ (0 = (О — |2 (0, % (0 = 1 при t < ° и % (О = 1
при t^a. Тогда
Мх(01 НО |2<2МХ(0
t
j [a, (0^i, s) — a2 (0^2, s)l ds
0
+
+ 2Mx(0
= 2Mx(0
+ 2Mx(0
t	2
J [р1 (9Дь ds)-p2(0^2> ^)]
0
t Ao
lala (0^1 > s) ~ ala (0^2, «)] ds
0
t Ao
Pla ds} Pig (6^2> ds)
0
t Ao
<2Mx(0A27' $ II 0Д1 - 0Д2 l£ ds +
0
t A о	*
+ 2ML J || 0Л - 0& 11^ ds < L'M J x («) 110,? II? ds.
о	о
(48)
§ И
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
193
Положим z (t) = sup {Мх (s) |g (s) I2, s<f). Так как
о
Mx (S) II 05g и2 = MX (S) J | g (s + u) p к (du) <
— oo
0
<M x(s •+«) l£(s + M) l2ft (du)s^.Kz (s),
— oo
то из неравенства (48) следует:
t
z (/) < L'K J z (s) ds,
о
откуда вытекает, что z (/) = 0 для всех t е [О, Г] или
% (01 (0 b(0 I — 0 с вероятностью 1 при каждом/.
Учитывая, что (/) и g2(/) непрерывны справа, видим, что
Х(01 (0	Ь(0 1= 0 Для всех / с вероятностью 1 или
gj (/) = g2 (/) для всех / < ст с вероятностью 1. Устремляя L
к оо, получаем в силу ограниченности KN(f), что £i(/) =
= g2(/) для всех / < inf {/: /> т, (/) |> N, | g2 (/)	Л/}.
Теорема доказана.
Теорема 5. Предположим, что А (ср, t) eS (Ло, %N)
(или Л(ср, /) eSc (Ло, Лд^)). Стохастическое дифференциаль-
ное уравнение (35) имеет в Н*(НС) единственное реше-
ние, определенное для всех t е [0, Г].
Доказательство. Так же как при доказательстве
теоремы 4, ограничимся рассмотрением случая Д(ф,/)<=
gS(A0) Kn). Установим сначала существование решения
уравнения (35).
Пусть р > 0. Введем функции «р(ср, /), (Зр (ср, /), такие,
ЧТО «Р (ср, /) е Sa (Ло, V), Рр (ср, /) е S|3 (Ло, V) И «р (ср, /) —
= а(ср,/), Рр (ср,/) = Р (ср, /) при || ср |К г (р), где V = V (/)
не зависит от N, а г (р) — величина, значение которой
уточняется ниже. Положим хр = inf {t: ^(t)^p, X'(ty^dp}>
если указанное множество значений / непусто, и хр = Т
в противном случае, и пусть
ар (ср, /) = ар (ф, /)	при / < Тр, ар (ф, /) = 0 при t > хр,
рр(ф, /) = Рр (ф, t Л Тр) при t <Тр, Рр(ф, /) = 0 при />Тр.
Значения постоянных 1Р также уточняются ниже. Тогда
(ф, /) = а (ф, /), Рр (ф, /) = р (ф, /)
7 И. Гихман, А. Скороход, т. III
194
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
t
при IIф ||<г(р) и /<тр и Лр(ф, t)= j ар(ф, 5)^ + Рр(ф, /)е=
о
eS(p,/р) (аналогичный факт установлен при доказа-
тельстве предыдущей теоремы). Кроме того, ар (ф, t) и
Рр(ф, /) St д/-измеримы и Рр(<р, t) при фиксированном ф
является мартингалом относительно {St д /}• Из теоремы 3
следует, что уравнения
dtp = АР(Ъ&Р, dt), /е[9, Л, ?p(s) = <p(s), s < 0, (49)
имеют на отрезке [О, Г] решение	В силу тео-
ремы 4 при r(p')>r(p), gp(0 = ^'W для всех t на_мно-
жестве Qp = {и: тр — Т, || 9rg || т (р)}. При этом Р (йр)
Р (тр < Г) + Р (|| 9rg ||> г (р)). Из теоремы 3 и нера-
венства Чебышева следует, что
P(ll 0rHI>/-(p))<7^g
где К (т) — функция, зависящая только от т, ||ф|| и Т
(и не зависящая от 1Р).
Пусть К(р)1г2(р) —0 при р—>оо. Тогда, при доста-
точно большом р,
Р (|| 9Ш1>Нр))<|.
Найдем теперь такие значения р и 1Р, чтобы
Р (тр < Т) = Р ({Ло (Г) > р} V {V (Т)> Q) < у •
Тогда Р (Qp) < е. Отсюда следует, что процессы Ц(0
с вероятностью 1 сходятся к некоторому пределу ЦО,
причем l(f) = lp(t) с вероятностью 1 для всех /е[0, Г],
начиная с некоторого значения р = р0(®). В частности,
выборочные функции процесса ЦО можно считать имею-
щими пределы слева и непрерывными справа для всех
t е [9, Т] с вероятностью 1. Так как Ц(0 5трд/-изме-
римо, то £ (/) измеримо относительно а-алгебры Si- На-
конец, если «о е йр, то ар (ф, t) = а (ф, 0, Рр (ф, 0 = Р (ф> О,
§ 1]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
195
и в силу теоремы 4 на с вероятностью 1
t
|(/) = qp(O) + J Л(0Д, s)ds.
о
Следовательно, последнее равенство имеет место с ве-
роятностью 1 на всем Q. Существование решения урав-
нения доказано. Единственность этого решения легко
следует из теорем 3 и 4. Теорема доказана.
Допустим теперь, что A (qp, f) е S(«, Av) (или A (qp, t)
еЗс(‘,У). Построим поля ap(qp, /), (qp, О, совпадаю-
щие с a(qp, 0 и р (qp, /), соответственно, при ||qp||^p, удо-
влетворяющие равномерному условию Липшица с мажо-
рирующей функцией Хр(/) и обращающиеся в нуль при
llqpll^p+1- Пусть (/)-—решение уравнений
<==4(0^р, М
^(0 = Ф(0, /<о,
и тр = inf {/: || 0^р ||^ р, t е [О, Т]} или хр — Т, если ранее
указанное множество значений t пусто. Последователь-
ность случайных моментов времени тр монотонно не убы-
вает. Положим тоо = НшТр. Как и ранее, £р(0==£р'(0
при р' > р и t < Гр. Поэтому предел lim (/) = I (/) су-
ществует с вероятностью 1 для всех t < и с вероят-
ностью 1 совпадает с некоторой функцией (/). Таким
образом £, (0 с вероятностью 1 имеет предел слева и не-
прерывна справа для всех t < т^.
Так же, как при доказательстве предыдущей теоремы,
можно убедиться, что £ (/) при t < тм удовлетворяет
уравнению (35).
Теорема 6. Если Л (qp, /)gS(«, (или A (qp,
eSc(-,iv)), то существует такой случайный момент
времени на {^, /е[0, Г]} и случайный процесс £(/),
подчиненный {§/, t е [О, Т]}, определенный при t < тте,
wo I (/) удовлетворяет уравнению (35) для всех t <xOQ
и выборочные функции процесса %(t) имеют с вероят-
ност Ъ'о 1 пределы слева и непрерывны справа для всех
t<x^. При этом Р(тоо > 0)= 1.
7*
196
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Теорема 7. Если в условиях теоремы 5 можно
положить Zo~-C, то решение уравнения (35) принад-
лежит Hz(HC2) и
М sup	+11фН2),	(50)
М sup | Ш Ш 12<£(1 +||фН2)/г,	(51)
t +h
где В — константа, зависящая только от С, К и Т.
Доказательство. Пусть хр — случайный момент
времени, введенный при доказательстве теоремы 5,
(0 решение уравнения (49). Тогда gp(/)eE//2 и
М sup | 1Д/) |2 < оо. Из леммы 8 следует, что
М { sup +
0 С h < а
i + a
<С' I а (1 +1| ф ||2) +
J sup М {| (s) |21 ds
t
(52)
где С' зависит только от С, К и Т.
Положим г(/)==М{ sup |gp(s)|2}. Из предыдущего
0 < s < t
неравенства получаем
Г	z 1
z (f) < 21 ф (0) |2 + 2С' 7(1 + ||ф II2) + 5 z (s) ds
о
так что в силу леммы 10
z (t) <С"(1 +11ф112),
где С" снова зависит только от С, К и Т. Аналогично
можно получить неравенство
М{ sup I gp(s) IW<C"(1 +11 e^pll2), (53)
t < s < t+h
которое вместе с (52) дает:
М {Q <SuP< а 1(t + h) - (t) I21 В J <
<C'"(1 +11ф112+ sup | Us) I2) a. (54)
0 < s < t
В частности,
M sup |М* + Л)-Ч p(0l2<C'v(l +||ф||2)а. (55)
0 < h < а
§ 1]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
197
Учитывая, что £р(/) при р—>оо с вероятностью 1 схо-
дятся к решению g (/) уравнения (35), и используя
лемму Фату, из неравенств (53) и (55) получаем тре-
буемое.
Замечание. Аналогичные результаты можно полу-
чить для уравнения (47). Для этого следует рассмотреть
вспомогательные уравнения
t	t
Bp (0 = Ф (О + 5 аР (бЛ, s) ds + $ Рр (ед, ds),
о	о
Если предположить, что
М sup | <р (s) |2= v < оо,
(56)
то так же, как в теореме 7, можно получить следующее
утверждение:
если выполнены предположения теоремы 7 и усло-
вие (56), то для решения уравнения (47) имеет место
оценка:
М sup 1Ш12<5(1+IMI2 + v),
где В зависит только от С, К, Т.
Оценки моментов решений стохастических диффе-
ренциальных уравнений. Рассмотрим уравнение (35), удо-
влетворяющее условиям теоремы 5. Предположим сначала,
что при фиксированном ср (3 (qp,	Кроме того,
допустим, что характеристика	процесса (qp, t)
абсолютно непрерывна относительно лебеговой меры:
t
(р\ 0*)/ = $ ₽** (ф, S) ds, k = 1, ..., m, (57)
О
и
|р^(ф, s)|<A2(s)(l+IM|2).	(58)
Отсюда следует, что функция (рА, р7\ тоже абсолютно
непрерывна относительно лебеговой меры, так что
t
<Р\ р/>,= $р*' (ф, s)ds,
о
198
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
причем из неравенства (51) § 1 следует:
| р^(ф, s) |<A2(s) (1 +1Ы12).
Здесь X (/) — некоторый неотрицательный ограниченный
на [0, 7] случайный процесс, подчиненный потоку
а-алгебр ^е[0, Г]}. Предположим еще, что
|<х(Ф, s)|<Ms)(l H-llTlI).	(59)
Применим к функции f (х) — | х Г и процессу g (t), удо-
влетворяющему уравнению
dl (0 = а (0 Л, t) dt + 0 (0Л> dt), t s (О, Г],
НО = Ф(О,	( }
формулу Ито. Так как
Vf (x) = r| x \r~2x,
^(х) = г(г-2)\хГ'(хХх) + г\хГ2Е,
где E — единичная матрица, хХх- матрица с элемен-
тами Xjk = xixk (j, k=l, 2, .... т), то
1ШГ==1ф(0)Г+^Ж s)ds + M0,
о
где
Lc a, S) = г 11 (s) Г"2 [(£ (s) I а (ел, S)) + Z (ел, s)l +
L	k=\	J
+ r (r - 2) | Us) г-4 £ $ik (0Л, s) v (s) e (s)
j, k~\
и
Ш = г $H(s)r2(Us)lfW, ds)).
Положим
P (0 = o sup, J Hs) I,
т = inf {t: cf(t)> N[. K(t)> N},
где У] и N — некоторые постоянные. При этом полагаем
inf 0 = Т.
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
199
Процесс 1Г (/) — локальный квадратично интегрируемый
мартингал с характеристикой
t	т
=+ ( | +) I2"' £	(S) (S)	(0Л, S) ds,
О	/, Ь=1
и в силу леммы 2 § 3 гл. I, £Г(/Дт) обладает момен-
тами произвольного порядка. Следовательно,
и Л т	\ 2
J LC(L s)ds) +
О	'
+ М sup | gr(и Л т) Р|.
О < и < t	J
Оценим слагаемые в правой части полученного неравен-
ства. Имеем:
Мр2г(^Ат)<3 | ф(0) |2' + М sup
I	О С и < t
/и Л т
sup I \
О С и < t \ J
\2
Lc(g, s)ds I <
t Л т
J ^2(s)[c2 + HF + p2r(s)]<fe,
о
где С] и с2 некоторые постоянные, зависящие только
от г и т. При этом мы использовали очевидное нера-
венство || 0/р ||^|| <р || + р($). Далее, из неравенства для
мартингалов (§ 1, (4)) вытекает:
М sup IU(«At)P<4M|U(/At)F<
о < и < t
t Л т
<4mr2M J Л2($)| Ш |2'~2 (1 +|| ЭД ll2)ds<
о
t Л т
<с3М J V(s)(c4 + HH2' + p2'(s))ds,
О
где константы г3 и с4 зависят только от г и пг. Таким
образом,
Mp2r(t Л т)<
г	t Л -Г	“1
< 3 | ф (0) р- + c'N2 (1 + IIФ ||2г) t + cf'N2 J Мр2' (s) ds ,
L	o-l
200
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
причем константы с' и с" зависят только от г, tn и Т.
Из полученного неравенства и леммы 11 следует:
Мр2' (/ А т) < 3 [ | ср (0) |2^ + c'N2 (1 +1| Ф F)] е™. (61)
В полученном неравенстве т = т(Л/’1, N). Пусть --> оо.
Так как выборочные функции процесса g (Z) с вероят-
ностью 1 ограничены, то нетрудно заметить, что
р(/дт) =	sup	sup
0< AT
N
где r^=inf{Z: h(t)>N}. При этом в силу леммы Фату
и неравенства (61)
Mp2r (t Л ТЛ7) < М lim p2r (^ А т) С Cz (II ф ll2r, N2) е3с"т,
Nl~>OO
где С' (|| ф ||2r, N2) — константа, линейно зависящая от
|| ф ||2r, N2 и Т.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 8. Процесс £(/), удовлетворяющий уравне-
нию (60) и условиям (57)—(59), при t^xN =
«= inf {t: Z (/) > N} обладает моментами сколь угодно
высокого порядка.
Следствие. Если
|а(ф, 0 |< С(1 + || ф ||),
М{|р(ф, A) |2|gJ <С(1 +||ф ||2) А/,
где С не зависит от случая, то решение уравнения (60)
обладает конечными моментами произвольного порядка
для всех / <= [0, Т].
Рассмотрим вопрос о существовании моментов реше-
ний стохастического уравнения вида
dl - a (0^, t) dt + (3 (0?о, dt) + Z dt), (62)
где а(ф, t) и р(ф, t) удовлетворяют условиям (57)—(59),
t
£ (ф, /) = ^ у (ф, s, и) ti (ds, du),
0
|х(-, •) —локальная мартингальная мера, ассоциирован-
ная с некоторой целочисленной мерой v (t, А) в , харак-
теристика которой л(/, А) абсолютно непрерывна отно-
сительно лебеговой меры.
§ И
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
2U1
Предположим еще, что
J Y2 (<р,	и} л (/, du) < К2 (0 (1 + || ф ||2)	(63)
и для любого N > 0 при ||ф^ || W, z = l, 2,
ft + M	\
М j | Y (фь zz) — Y (ф2, 5, и) |2 л (ds, du) |	<
t	'
ft + M	\
< IIФ1 — ф2 II2 М j $	(s) ds | к (64)
t	J
причем
т	т
Л2 (s) ds < оо, Хлг (s) ds < оо,	(65)
о	о
с вероятностью 1. При этих предположениях условия
теоремы 5 оказываются выполненными, и уравнение (62)
обладает единственным решением на отрезке t е [О, Г].
Пусть т = т(Л^1, 7V) = inf {t:	W)>N}.
Тогда
ат (ф, 0 = а (ф, t Л т), рт (ф, t) — р (ф, t Д т),
U (ф, о = £ (ф, t Д т)
линейно ограничены неслучайной постоянной и про-
цесс (0, удовлетворяющий уравнению
< = aT (9^t, t) dt + рх (9^t, dt) + (9,U dt), t > 0,
МО = Ф(О,	^<0,
имеет конечные моменты второго порядка, причем
(0 = (0 ПРИ t т- В соответствии с этим рассмотрим
сначала уравнение (62), полагая, что для функций а,
Р, соответствующая мажоранта K(t) = N (хотя в пре-
дыдущем изложении могло оказаться, что Z(т)>^, но
это несущественно, так как K(t) < N при t < т и в даль-
нейших неравенствах значение функции K(t) в одной
точке не играет роли).
202
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Воспользуемся теперь обобщенной формулой Ито
(гл. I, § 3, (45)), положив в ней f(x) = \x\r. Получим
I НО Г = I <Р (0) Г + 5	& 5)+Ld (g, s)] ds+lr (t)-^r (t), (66)
где Lc(l, t) и gr(/) имеют предыдущий смысл и
Ld(i, f)= J {|НО + у(ед, t, и)!-\Ш-
-r(y(^, t, и), НО) I НО Г-2} л (0 du),
Пг (0 = $ J (I Нз) + V (ед, S, «) Г - II (з) Г) ц (ds, du).
о
Дополнительно к предыдущим условиям предположим
еще, что
J | у (ф, /, и) Г я (*, du) О2 (/) (1 + IIФII )2г.	(67)
%q
Учитывая результаты § 2 гл. I о конечности момен-
тов стохастических интегралов, легко увидеть, что сла-
гаемые в правой части равенства (66) имеют конечные
моменты второго порядка. Поступая аналогично преды-
дущему, получим неравенство
Mp2r (t) < 4 ( | ф (0) I2r+C№ (1 +11 ф 1+) t-(-CN2 J Mp2r (s) ds
где
р (0 = sup || (s) I,
и оценку
Мр2' (0 < С СП ф F) в™4
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 9. Если для стохастического уравнения (62)
выполнены условия (57)—(59), (67) и (69), то его реше-
ние при t < т имеет конечные моменты до 2г-го порядка
включительно. Если при этом можно положить Л (f) — N,
§ И
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
203
где N не зависит от случая, то
М sup II (0Г <С1(Ц-||ф|Щ	(68)
< т
причем Сх — константа, зависящая только от N, Т и
размерности пространства.
Следствие. При условиях теоремы 9 uK(t) = N
М sup |Ш - Ф(О) Г<С2(1 +11 Tim (69)
0 с $ < t
где С2 — постоянная.
Действительно, предыдущие соображения приводят
к неравенству
Мр2г (0 < CN2 (1 + II ф II2) t + CN2 j Мр2' (s) ds,
о
где Pi (/) = sup | g (s) — ф (0) |2. Из приведенного нера-
0 < s < t
венства и (66) вытекает (69).
Непрерывная зависимость решений стохастических
уравнений от параметра. Рассмотрим уравнение вида
t
(0 = Фи (0 + J 4 (0^и> ds), t О,
(s) = Ф («)>	s < 0,
где и — скалярный параметр, и е [0, «о], поле
t
4 (Ф, 0 = $ аи (ф, s) ds + рв (ф, 0
о
и функция фв(0 зависят от параметра и, а начальное
условие (ф (s) при s < 0) от и не зависит.
Теорема 10. Допустим, что АДу, t) ^S(C, С) и,
кроме того,
a)	sup М | ф„ (0 |2 < С,
Т
б)	lim sup т М|ф„(0-фа(012 = 0 V/e=[0, Т]>
в)	М {| Лри (ф, t) — Др0 (ф, t) |21	<
p + At	)
< Ms 5 Yu^ s)ds| Bi > (71)
I /	J
2«4
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ J РАВНЕНИЯ [ГЛ. II
и для любых N > Q, t е [О, Г]
lim Р { sup (| аи (ф, t) — ad (ф, t) | + у„ (ф, /)) > е} = О.
и->0 Л ФII < N
Тогда
lim sup М| — г|')(О 12 = 0.
w->0
Доказательство. Так как уравнения (70) удо-
влетворяют условиям теоремы 7, величины ^(/) обла-
дают конечными моментами второго порядка. Предста-
вим разность т]и (/) — т)о (/) в виде
t	t
Hu (0 — По (0 = Ои (0 + J Аи (0ДЬ ds) — Аи (0sT]j, ds),
0	ii
где
t	t
Ои (0 = Ф« (t) — Фо (0 + 5 Аи (0^о> ds) — $ До (051]а, ds).
о	о
Легко видеть, что
Ml Па(0 — По(О l2<3MKWI2 +
t
+ ЗС2(Г+ DM JII 6Un« — ПО l|Ms = 3M|a„(/)P +
0
t 0
+ c j M | i]a (s + u) — T]o (s + и) I2 к (du)ds.
0 — s
Положим vu (t) = sup M | т]и (•») — Ho (s) I2- Из послед-
0 C s < t
него неравенства следует:
t
vu (t) <3 sup MI ou (/) j2 + C'K f vu (s) ds.
0<s<t	0J
В силу леммы 11
sup М| QU{S) I2,
§ 1]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
205
С" не зависит от и. Далее,
sup М| au(t) |2<3 I sup М |<рй(0 — ф0(/) Р +
/ Т	V 2
+ MQI а« (0Ж $) — а0(6^0, 5) |dsj -Ь
t
+ sup М \ ₽„ (05Т]О, ds) -Д Ро (6sno> ds)
o^t^T х	х
[2
о
О
Величина Ц -> 0 по условию. Далее,
т
12^.ТМ аи (0^э, s) •—«о (0УПо> s) |2ds,
о
причем подынтегральное выражение имеет мажоранту
✓ о	ч
не зависящую от и и интегрируемую по мере dP X ds.
С другой стороны,
I «п 5) — «о (9?]о, 5) |-> О
по вероятности при каждом s и, следовательно, по мере
dPXds. Поэтому, 12->0 при ы->0. Наконец,
т
— 4М уи(05'Пб, s)ds,
о
и так же, как в случае величины 12, нетрудно увидеть,
что /3—>0 при «->0.
Замечание. Усилим предположения теоремы 10,
допустив, что
lim М sup | <р„ (0 — фо (0 I2 = 0
и-»0
206
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
и выполнены ее остальные условия. Тогда
lim М sup | т]„ (0 — 113 (/) |2 = 0.
и->0
(72)
Доказательство этого утверждения аналогично дока-
тельству теоремы 10.
Теорема 11. Рассмотрим стохастические уравнения
diu = Лв(6^и, dt), g„(s) = <p(s), S0O (й£[0, «э]),
удовлетворяющие условиям теоремы 5, и пусть для всех
N > 0
lim sup [Р { sup (0 > р] + Р { sup tin (0 > р}] = 0
р->оо и	O^t^T	0<f<T
и выполнено условие в) теоремы 10. Тогда
Р{ sup |	— £0(/) | > е} —> 0 при u->Q
Q^t^T
для любого 8 > 0.
Доказательство. Пусть
rp=inf{/:	Ц(о>р, 1М01>АГ} (inf 0=7’),
(ф, t) = % (ф> 0 при t < тр,
«Дф> 0 = 0 при т>тр, рр(Ф, О = РЦ(Ф> ИЦ
А„ (<р, t) = j а’ (ф, s) ds + рр (ф, I).
о
К уравнениям
^ = ЛЦе^, dt), ^(5) = ф(«),	s<0,
применима теорема 10 (или соответствующие замечания
к ней). С другой стороны, £p(t)==Zu(t) для всех t < хр
с вероятностью 1 в силу теоремы 4. Поэтому
Н^иумО-ШО^е^РИр^г}
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
207
для любого 8 > 0. Далее,
Р{ sup |gB(0-go(OI>8}<
+р{0|?|Лг(/)-вд!>т} +
Из равномерной стохастической ограниченности про-
цессов K^(t) и теоремы 10 следует, что можно
сначала выбрать достаточно большое значение р и У,
чтобы Р {тр < Т} < у, а затем найти б > 0, такое, что
Р | syP | W ~~ Ц О') | > у } < у ПРИ и s 1°> 61- Следо-
вательно, при и < б
Р{ sup |	М01>8}<8.

Конечно-разностные аппроксимации решения сто-
хастического уравнения. Рассмотрим уравнение
dl = A^,dt), t<=[O,T],
И0=ф(0,	/<0,	(73)
где А(<р, f)&S(k0, Лдг). Введем произвольное разбиение
б — (0, #i, t2, .... tn—T) отрезка [0, Т] и случайные про-
цессы £в(0>	t^[0, Г], с помощью рекуррентных
соотношений
^(0=£в(0 = ф(0 при
?б(0 = ?б(^)	при t(=[tk, tk+l), k = Q, .... п— 1,
^а(0 = 1б(^)+ j ^(9S?6> ^s) при ffc+I].
*к
208 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ II
Процесс Е6(/) выражается через rQ6(t) с помощью соотно-
шения
t
и (f) = ф (0) + J А ds) Xft ее [0, Т].
о
Процесс g6(Z) будем называть конечно-разностной
аппроксимацией решения уравнения (73). Покажем, что
при |6|—>0 g6(/) сходится к процессу l(t).
Допустим сначала, что Л (ср, /)е5(С0, С). Из общих
свойств стохастического криволинейного интеграла и
рекуррентных соотношений, определяющих и £&(/),
непосредственно вытекает конечность моментов второго по-
рядка величин Ц (/) и (/). Более того, М sup | (/) |2 < оо.
Положим
2!б(0=М{ sup НЮ —ёб(Г)|2|Во}-
Очевидно, что
t'
[а (9Л s) — а (0^6,
о
2
t'
J 0 (6Д, ds) — р (0^6) ds)
о
Оценим слагаемые в правой части полученного нера-
венства с помощью приемов, неоднократно применяв-
шихся ранее. Получим
2в (/) < С2(8 + 2Г) М | j II 0,а - 1Г ds | Йо |,
откуда находим
z6(0<C'm| J j(H(s + «)-?6(s + «)|2 +
о — оо
+ Нб (s + «) — Сб (s + и) I2) К (du} ds | Йо | =
§ О
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
209
где С' = С'(С, Т). Легко получить неравенство
С другой стороны,
о
о
Пусть
Если	/й+1], то
w (t)=м {м {цв w - :6 (/) р| iso} =
откуда вытекает неравенство
w(t)<C0K ((1+ sup М {1МП |2| О ds.
J	_ оо < t' <+ S
*k
Оценка величины М {| 16 (t) |21 §0} может быть полу-
чена аналогично оценке M{|£(OI2ISo} (теорема 7; см.
также лемму 10, из которой неравенство (74) вытекает);
м { 1Ы0 И So} + 11фН2),	(74)
где С6 зависит только от Со, К и Т. Мы получаем, та-
ким образом, оценку
z"(o< а а +НФН2)1 s I,
где |6|=тахА+ Итак,
t
z6 (0 < С'К J z. (s) ds + Со' (1 -И <р ||2) | б |,
о
210
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
откуда вытекает, что
ze(O<Co'(l +Ы12)ес''г 161-
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 12. Если А(<р, t) еS(Cn, С), то
М { sup |В(/) - (0 l2l So) <С, (1 +1| q>|р)| 61, (75)
где С{ зависит только от Со, С, К и Т.
Замечание. Неравенство (75) выполняется также
и в том случае, когда Д(ф, 0Е^(С0) С). Доказатель-
ство такое же, как и доказательство теоремы 12.
Теорема 13. Если Д(ф,	KN) или Л(ф, /) е
GE SC (Л, Л^), ТО
Р{ sup IB(0 —Be(O 1> е|$0}->0 при |S |—>0 (modP),
причем эта сходимость равномерна в классе всех функ-
ций Л(ф, f) с фиксированными функциями Ло(/) и
Доказательство. Положим
т = inf {/: Ло (/) > N} (inf 0 = Т),
Лт(ф, /) = Л(ф, /Дт),
и пусть Ве(О — конечно-разностная аппроксимация реше-
ния уравнения
^Х = ДТ(0(^, dt), /е=[0, Г],
£т(/) = ф(0 при /<0.
Тогда (/) = 5,6 (/) при t < т. Из неравенства (74) сле-
дует:
Р{о sup^l В6(0 |>N.
<Р(т<Г1?с} + £тд±|фЩЖ.
N\
Таким образом, Р { sup | le (f) I > V( |g0) -> 0 при -* оо
равномерно по б (с вероятностью 1).
Выберем сначала такое чтобы (при заданном со)
Р{ sup (1В6(0 IV 1В(0 I) > Ni ISoJ <
§2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
211
для всех 6, где е — произвольное положительное число.
Введем новый случайный момент времени, сохранив для
него прежнее обозначение т:
т — inf {/: (A0(f) > N)M |>^)А( О) 1> ША
a(W)>M-)}.
Тогда Ш = и = при t<x.
Следовательно, если || ср || < Nlt
Р{ sup | g(/)-Ш |> е| Зо}<Р(т < Т) +
C(Ht, ЛГ2)(1 + Иф112)|6|
+----------е-2------>
причем
Р Ь < Шо} < Р Uo (О > NI So} + р {Av., <i) > ^21 So) +
. 8	. Зв
+ т< —
при достаточно больших N и N2. Таким образом, при
|б|< е0
Р{ sup —0)l>s|So}<8
о < t < т
с вероятностью 1, причем выбор 80 зависит только от
функций Ло(/), Л^(/) и 8. Теорема доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы 13 уста-
новлено несколько больше, чем сформулировано. А именно,
соотношение
Р{ sup IH0-M0l>e}->0
0<i<T -
выполняется равномерно в классе Н функций Д(<р, /),
для которых
lim supP{ sup Ло(t) > С} — О,
С-»оо ЛеЯ 0<i<T
lim supP{ sup Л«(0>С} = 0
C->oo ДеН
V7V>0.
§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения
без последействия
Решение стохастического дифференциального урав-
нения без последействия как марковский процесс. Сто-
хастическим дифференциальным уравнением без после-
действия мы будем называть уравнение вида (35) § 1,
212
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
в котором А (ф, t + h)—A (ф, /) не зависит от о-алгебры
и от значений ф (s) при s < 0. Таким образом, можно
положить А (ф, t) = А (х, t), где х = ф (0), и процесс
А(х, t) при фиксированном х является процессом с не-
зависимыми приращениями.
Предположим, что А(х, t) имеет конечные моменты
второго порядка, и пусть
A (х, i) = а (х, t) + р (х, /),
где р(х, t) — квадратично интегрируемый мартингал с не-
зависимыми приращениями, а (х, t) — неслучайная вектор-
ная функция. Условие ае$а(Х0, KN) в рассматриваемом
случае означает, что функция а(х, t) является боре-
левской функцией аргументов (х, t), дифференцируема
по t и ее производная (х, t) — а (х, /) удовлетворяет
условиям
|а(х,	+1x1) Vxe^T,	(1)
| а (у, t) |<СЛ х—у | V (х, г/),| х |< N, \у |< N, (2)
где К и CN — некоторые постоянные. Таким образом,
в рассматриваемом случае различать классы Sa(Xo, kN)
и Sa(/C, CN) не имеет смысла. Аналогичная ситуация
и в случае условия р(х,	Теперь оно экви-
валентно следующему:
а)	функция р(х, t) на каждом отрезке t се [0, <$] является
с вероятностью 1 борелевской функцией аргументов (х,/),
^-измеримой как функция от со, и ее выборочные функ-
ции при фиксированном х с вероятностью 1 принадле-
жат 0т[О, Г];
б)	М | р (х, А) |2 К (1 +1 х |2) М каждого х s
где А== (/, t + А/];
в)	для любого N найдется такая константа CN, что
М|Р(Х, А) — Р(г/, A) |2<CAdx-z/|2AZ
V(x, z/), | х | < N, \y\^N;
и снова классы Sp(A0, и CN) совпадают. Если
P(x,	A.v), то p(x, t) удовлетворяет условиям
a) — в) и, кроме того, выборочные функции р(х, /) при
фиксированном х являются непрерывными функциями.
Таким образом, в рассматриваемом случае р(х, t) является
§2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
213
гауссовским процессом с независимыми приращениями
(при фиксированном х).
Условимся писать А(х,	См), если А(х, /) —
процесс с независимыми приращениями,
t
А (х, t) — j а (х; s) ds ф- р (х, f),
о
а(х, 0 удовлетворяет условиям (1), (2), а р(х, ^ — ква-
дратично интегрируемый (на [О, Г]) мартингал с незави-
симыми приращениями, удовлетворяющий только что
приведенным условиям а) —в). Если, сверх того, 0(х, t)
при фиксированном х_— гауссовский процесс, то будем
писать, что А(х, t) е Sc (К, CiV).
Положим В(х, /) = Мр(х, t) р*(х, /). Функция В(х, t)
является матричной характеристикой поля р(х, /). Так
как В(х, \) = В(х, f + Д/) — В(х, /)=М₽(х, Д)0*(х, А),
то нетрудно заметить, что условие б) эквивалентно тре-
бованию, чтобы функция В(х, 0 была абсолютно непре-
рывна по t,
t
В(х, f)=\b (х, s) ds,	(3)
О
и ее производная b(x, t) удовлетворяла неравенству
|&(х, 0 1<7<(1 +|х|2).
Введем еще взаимную характеристику В(х, у, t) про-
цессов Р(х, 0 и р(г/, 0, В(х, у, 0=М₽(х, 0 ₽*({/, 0- Из
равенства (3) следует, что
t
В(х, у, t)=^b (х, у, s)ds,
О
причем &(х, х, t) = b(x, t), b(x, у, t) = b(y, х, /). Условие
в) равносильно следующему:
р(х, х, t)-2b(x, у, t) + b(y, у, t)\^CN[x-y?
v (X, у), I X К N, I у К N.	(4)
214
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ, Ц
Сформулируем некоюрые из ранее полученных для
стохастических дифференциальных уравнений результа-
тов применительно к рассматриваемому случаю.
Рассмотрим стохастическое дифференциальное урав-
нение
di (/) = А &(i), dt) = а(1 (/), /)dt + р(0, dt), (5)
t>8, i{s) = X,
где а(х, t) — неслучайная функция со значениями в ТТ\
(х, t) е Л’п X [О, Г], р(х, t) ~ семейство процессов с не-
зависимыми приращениями, принимающих значения в Я'”’
и обладающих конечными моментами второго порядка.
Пусть матричная функция В(х, у, t) дифференци-
руема по t.	_
Теорема 1. Предположим, что А(х, Z)sS(«, CN).
Тогда
а)	существуют случайный момент времени т и про-
цесс £(/), определенный при s^t <Ы, такие, что
P(t>s)=1, процесс I (0 при s^t < т удовлетворяет
уравнению (5) и его выборочные функции имеют пределы
слева и непрерывны справа для всех t, s^.i < т. Если
(/) — другое решение уравнения (5), выборочные траек-
тории которого обладают тем оке свойством и определены
при t < т', то
Р {zK:	=
б)	если А (х, t) S (К, С v), то уравнение (5) имеет
решение, определенное при Т], обладающее конеч-
ными моментами второго порядка с выборочными функ-
циями из &n[s, Т] (modP);
в)	если Л(х, Де5'(/(, C.v), то уравнение (5) имеет
на отрезке [s, Т] решение, с выборочными функциями
из (modP), обладающее моментами сколь угодно
высокого порядка.
Рассмотрим уравнение (5) и предположим, что при
каждом se[0, Т] оно имеет единственное решение на
отрезке [s, 7'], удовлетворяющее начальному условию
£($) = х, выборочные функции которого принадлежат
Т]. Ообозначим это решение
5 2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
215
Под В? будем понимать пополнение а-алгебры, по-
рожденной случайными векторами (3 (х, и) — ₽ (х, s), х <= &т,
и s (s, /], и пусть В; = В?. Очевидно, что при t\ < fe < h
а-алгебры В*, и ЗЬ независимы и величины (/)
Вгизмеримы.
Теорема 2. Семейство {gXs(О» В*, I$} является
марковским процессом.
Пусть f(Xi, х2, .... хг) — произвольная борелевская
ограниченная функция аргументов xk^&n, s <t <
< t2 < ... < tr T, t] — произвольная ограниченная
Bi-измеримая случайная величина. Тогда
MfO). ...,U(M)n = M7]M{f(uai), ...,U(M)IS0.
Из единственности решения уравнения (5) следует,
что ^s(M = l5xs(OiCfe). Поэтому
М{/(Ш •••, Ь(М)1&} =
= м{/ыо,оibOUxs(i).
С другой стороны, так как величина ^(/,) не зави-
сит от а-алгебры Вь
M{f(^i),.... ым)180=мж^1),.... ым)
и, следовательно,
Mf(U(^), ....	=
=	^ouxs(i)}
Полученное соотношение означает, что
м{/(иао,...»uoiB?}=
== [Mf fayt (/]), ..., 'iyt (0)1 |1/=5XS (t) ~
= M{f(U(^i), ..M UOIMO},
т. e. выражает марковское свойство семейства
Выведем сейчас ряд оценок, которые будут в даль-
нейшем нами использованы. Поскольку они имеют место
не только для уравнений без последействия, мы докажем
их в более общем случае.
216
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П
Обозначим S(X0, KN) (Sc (Zo, KN)) подкласс класса
S(A0, KN) (Sc(ko, \v)), состоящий из случайных функций
вида
t
А(х, t) = a (х, s) ds + Р (х, f),
о
(х, /) е^?тХ[0, Т]. Уравнение (5) мы будем рассматри-
вать и в случае А(х, t)^S(XQ, KN). Результаты § 1,
в частности, теоремы существования и единственности
решений, к нему полностью применимы.
Лемма 1. Пусть Д(х,	С). Тогда при 0^
М {| u (0-^s (0 С| X - у |2,
где постоянная С зависит только от С и Т.
Доказательство. Так как
t
Ixs (0 —	(0 = х — У + J [a &XS («), и) — а (и), «)]du-±
S
t
Ч" Р 00, du) р (и), du),
S
то в силу леммы 10 § 1 функция
Л0 = М{|М0-Ы012Ш
удовлетворяет неравенству
X
\х-у\2 + С2(Т+ 1) \v(u)du\.
s	'
Из л_еммы 11 следует, что v (t) С| х — у |2, где постоян-
ная С зависит только от С и Т.
Лемма 2. Предположим, что А (х, t) е S (К, С). Тогда
M|gx1Sl(0-Us2(012<
< С' ( |Х! - Х2 F + (1 + I Х2 I2) (S2 - S1)), (6)
еде С' — постоянная, зависящая только от К., С и Т.
§2]
уравнения без последействия
217
Доказательство. Имеем
М | U. (О ~ I™, (О I2 < 2М | Us, (0 - U*. (О Р +
+ 2M|LV1W-^WI2-
Далее,
М| W0-~W0F=
= M{M{|^(0-^2Si(S2)S2(/) |«}} =
= М {(М I Us> (0 - lys, (0 I2),=s%2Si (S2) 1&},
что в силу леммы 1 не превосходит величины
ЛМ| х2 — Ixjs, (s2) I2. Из теоремы 3 § 1 в свою очередь вы-
текает, что
М |Х2 - и, (52) Р < в (1 + I Х2 Р) (s2 - S1).
Воспользовавшись еще раз леммой 1 для оценки вели-
чины Ml Us, (t) — Us,(t) Р, получим неравенство (6).
Следствие. Если f(x),	—ограниченная и
непрерывная функция и выполнены условия предыдущей
леммы, то функция
v(t, x) = Mf(U(T))
ограничена и непрерывна по совокупности переменных
(х, t). Более того, если f(x) непрерывна и |f(x)|<J
<С(1 +1 х |р)> а М [ (Л f равномерно ограничено на
произвольном компакте значений (х, /), причем р > р, то
функция v(t, х) также непрерывна по (х, /).
Действительно, если f (х) непрерывна, то в силу леммы
f (Ixt (Л) является непрерывной по вероятности функцией
от (х, /)• Сформулированные в лемме предположения
обеспечивают возможность предельного перехода под зна-
ком математического ожидания.
Займемся вычислением производящего оператора мар-
ковского процесса порождаемого стохастическим
дифференциальным уравнением без последействия. По-
ложим
t
l'xs (t) = х + j a (x, u)du-j-^ (x, t).
218
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Лемма 3. Если А(х,	С), то
I М ®	ф] I < С" (1 +1 X |) (t - S)3'2,	(7)
М I txs V -	(о I2 '< с' (1 + i* I2) V - *А	(8)
Доказательство. Обозначим
V (0 = 1 м (О - l'xs (/)]|, г = М |	(/) - l'xs (О |.
Тогда
о(0 =
Учитывая следствие теоремы 9 § 1, приходшм к нера-
венству
1/2 \ -^u-s du —С" (t — s)3!2.
Далее,
S
4“ М [р (§х.$ ОД Р (х, du)]
Воспользовавшись
леммой
9 § 1, получим
что вместе с оценкой (69) § 1 приводит к неравенству (8).
Лемма доказана.
Пусть f(x), х — произвольная трижды непре-
рывно дифференцируемая функция с ограниченными част-
ными производными первого, второго и третьего поряд-
ков. Покажем, что отношение
гУ м у <о)-/к. ед
§2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
219
стремится к нулю равномерно на каждом компакте вида
Т,	N > 0. Действительно, восполь-
зовавшись формулой Тейлора, легко получить неравен-
ство вида
d-s)2(s,	(| мр„ w-e;,<oji +
+ м । е„ w - е;, m 11 и - х । + м । е„ w - е;, w р,
где постоянная /С1 зависит только от значений К, С
и верхних граней производных первого и второго по-
рядка функции f(x). Очевидно, что М | g's (/) — х |2
<Х'(1 -Н х Р) (/ — s). Из леммы 3 тогда следует:
(t-s)z(s, f)<r(l+lxp)(/-s)\	(9)
Воспользуемся теперь обобщенной формулой Ито.
Положим
Р (х, 0 = рс (х, t) + Z (х, t),
где рс(х, ^ — непрерывная компонента случайной функ-
ции р(х, /), a £(х, 0 — ее разрывная мартингальная
часть, и пусть v (х, t, 4) — целочисленная мера, постро-
енная по скачкам процесса р(х, /), ц (х, t, Л) — ассоции-
рованная с ней мартингальная мера, л (х, t, Д) — ее харак-
теристика. Тогда
g(x, t) — щх(х, t, du).
vtm
Обозначим В (х, t) матричную характеристику про-
цесса рс(х, /). Из ортогональности рс(х, t) и £(х, t) выте-
кает, что
В(х, t) — B{x, t) + j ии*л(х, t, du).
Очевидно, что мера л(х, t, А) не случайна. Из условия
р(х, t)<^S&(K, CN) следует, что 5(х, t) и матричная
функция ии*л(х, t, du) абсолютно непрерывны относи-
й'"
тельно лебеговой меры.' Положим
t	t
В(х, t) — \b (х, s) ds, л (x, t, Л) = П (x, s, Л) ds,
о	0
220
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
где П(х, /, Д) — неслучайная функция, являющаяся при
фиксированных (х, /) мерой на При этом
J | и |2 П (х, t, du) < оо V (х, 0 X [0, Т].
&т
Из обобщенной формулы Ито (§ 3, гл. I (45)) сле-
дует:
t
f «к.«)=I w+$ (ад к. r+ад ®. «ад м+
S
t
+ Иладад рад адн-
S
+ $ $ [/ СЬ (0) + «) - / C<s (0))] н de, du),
s Ят
причем все условия применимости этой формулы выпол-
нены. Здесь
адК,(в))=
=(’f ©.(“))• ад 8>) + т £	0),
k, /=1
ад («.«>))=
- 5 [f К, О) + у-/ (в;.	®. И).»)] П (х, е, л,).
ят
bkl (х, t) — элементы матрицы b (х, /). Из предположений
о функции f (х) и предыдущих оценок легко получить, что
при t' [t, s f t
М/СЬЮ)-/(х)
hm------г?-—-----= (Lc + Ld) f (x)
s^t
равномерно no (x, Z) <= Уу X [0, Г] для любого N > 0.
§2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
221
Наконец, так как
Нт Mf(^(/z))-f(x) = Ит z(s> t') + Hm МЖгДП)-Г(х) ,
t'^t t s	t s t'^t t s
s 4-t	S-f-t	S*t
то мы получаем
lim M/(U(/Z))-.fW =	+	f {x} =
t'+t 1 “s
s*t
m
= (V/ (x), a (x, 0) + 4 Z W bkl (*’ 0 +
k, /=i
+ J [f U + «) - f (x) - (Vf (x), и)]П(х, t, du). (10)
Предположения, при которых была установлена фор-
мула (10), могут быть несколько ослаблены. Во-первых,
достаточно требовать только, чтобы Л(х, Z)eS(7<, CN),
Действительно, построим функции aN(x, f) и PiV (х, t)
так, чтобы они были линейно ограничены, удовлетворяли
равномерному условию Липшица и совпадали с а(х, 0
и р(х, f) в сфере SN(x) радиуса N с центром в точке х,
и пусть (/) — решение уравнения
t
d%N (/) = An (lN (t), dt), An (x, t)=^aN (x, s) ds +	(x, t).
о
Обозначим xN первый момент выхода функции g(0
из сферы Sjv(x). Тогда (0 = ^(0 при t < xN. Для
любой ограниченной функции f(x)
1м [? <''» - > (ед । <	<
<- М|^(П-х|2	с_
(f — s) N2	№ •
Поэтому, если соотношение (10) применить к процессу
lNxs(t) и затем перейти к пределу при N->°o, то мы
увидим, что оно сохраняется и для рассматриваемых
классов уравнений.
Аналогично можно обобщить равенство (10) на
произвольные дважды непрерывно дифференцируемые
222
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
функции f(x), ограниченные вместе со своими частными
производными второго порядка.
Чтобы показать это, построим последовательность
функций /^(х), трижды непрерывно дифференцируемых,
ограниченных вместе со своими частными производными
до третьего порядка включительно, и таких, что они и
их частные производные первого и второго порядка от-
личаются от f(x) и соответствующих частных производ-
ных функции f(x) в сфере SN(x) не более, чем на 1/N.
Тогда
I Mf (|Х4 (/')) - f (х) - [М^ &xs (t')) - f (х)] | <
< -Hz? I M (f - M (U (*')) - (f - fN) (4 I <
< -Hr? [-V- MI U (П - x | + C'P (rN < 0].
где Cf — некоторая постоянная, не зависящая от N, a xN
по-прежнему обозначает первый момент выхода из сферы
SN(x). Так как Р(тдг < /) = ЛГ~'2М|	— х |2, то рас-
сматриваемая величина не превосходит
Легко также показать, что Lcf—LcfN-> 0 и
Отметим, что требование ограниченности частных произ-
водных второго порядка функции f используется только
при доказательстве соотношения Ldf — LdfN-> 0.
Теорема 3. Равенство (10) имеет место для про-
извольной дважды непрерывно дифференцируемой функ-
ции f(x), ограниченной вместе со своими частными про-
изводными второго порядка и для решения %xs(t) урав-
нения
dlxs(t) = A(lxs(t), dt), U(s) = x,
где А(х, f)<^S(K, CN).
Если А(х, t) — непрерывный процесс, то
lim Iм/ (U О — f (-41 =
mt 1 s
s
tn
0(x, ()) + l £
k, j—1
§ 2)
уравнения Вёз Последействия
223
для произвольной дважды непрерывно дифференцируемой
функции, растущей при [х|->оо не быстрее некоторой
степени | х |.
В доказательстве нуждается только второе утвержде-
ние теоремы. Пусть на этот раз функция fx(x) совпа-
дает с функцией f(x) в SN(x) и ограничена вместе со
своими частными производными второго порядка в $Lni.
Применим к ней соотношение (10). Заметим, что
I М [f (U (Г)) - f (х) - (fN (U (f)) - f N (x))] | <
< y^y CMx (Tjv < 0 (1 + I U (*') Г) <
<	MI	- x I2 o +1 П.
С помощью формулы Ито нетрудно показать, так же
как это было показано при оценке моментов решения
стохастического дифференциального уравнения, что при
любом р > 0
м | МО - X р (1 +1 lxs (0 Г) < С (t - s),
где С — некоторая постоянная. Таким образом,
тДу! Mf (Ls О - fN (Ъ, (И) I- 0
при Af->oo. Теперь окончание доказательства теоремы
очевидно.
Замечание 1. В случае общего уравнения класса
S(K, CN) соотношение (10) также можно обобщить на
растущие функции. Нужно только потребовать существо-
вания у процесса Zxs(tj моментов достаточно высокого
порядка.
Замечание 2. Пусть функция f (t, х) и ее част-
ные производные по х первого и второго порядка равно-
мерно ограничены и непрерывны по совокупности пере-
менных (t, х). Тогда
Нт уЛу [М/ (f, t,xs (/')) - f V, x)J = (Lc + Ld) f (t, x).
s
Если A (x, t) e Sc (K, CN), то вместо ограниченности f (t, x)
и ее частных производных первого и второго порядка
224
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
по переменным х достаточно потребовать, чтобы послед-
ние возрастали при х->оо не быстрее некоторой сте-
пени | х |.
Это утверждение содержится фактически в доказа-
тельстве теоремы 3.
Дифференцируемость по начальным данным реше-
ний стохастических уравнений. Рассмотрим вопрос о диф-
ференцируемости по х решения lxs(t) уравнения
d'ixs(t) = A(Zxs(t), dt), t>s,
= (11)
где A (x, t) €= S (С, Адг).
В дальнейшем мы будем понимать производные по х
от случайных функций в разном смысле — как обычные
производные, существующие с вероятностью 1 и как
среднеквадратичные производные.
Что касается мартингального поля [3 (х, t), то его про-
изводные по х будут пониматься в смысле средней ква-
дратичной сходимости.
Пусть dk — вектор с компонентами (Slb	6^).
Тогда
-₽(х, 1)й l i m-
дх%	h
Сделаем ряд замечаний, связанных с дифференцируе-
мостью квадратично интегрируемого мартингального поля
Р(х, /). Из предыдущего известно, что если
l.i.ш.
/1->0
Р (х + htj, /) — р (х, /)
h
существует при t = T, то этот предел существует при
любом /	[О, Т] и является квадратично интегрируемым
мартингалом.
Обозначим В(х, у, t) взаимную матричную характе-
ристику мартингалов [Их, t) и $(у, t) и предположим,
что она абсолютно непрерывна относительно лебеговой
меры:
t
В(х, у, t)= ^b(x, у, s)ds.
о
§2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
225
Для существования среднеквадратичной производной
(х, t) необходимо и достаточно (т. I, гл. IV, § 3)
дх*
существование предела
I• m	эд Р7 (х + t) — (х, /) (х + М&, t) — (х, t) _
hi->0h2->Q	^2
= lim М ; г- [В^ (х + hi^k, х +	0 —
/11->0 й2->0
— Вп (х + М*, х, t)-Bn (х, х + Л2бь t) + ви (х, х, /)]. (12)
Мы предположим больше, а именно, что с вероятностью 1
при каждом s существует непрерывная по х обобщенная
смешанная производная
-^—bn(x,x,s) = lim ^[b11 (x + hfik,x + h2bk> s)—
дхл дук	h^o hfa
— b,! (x + hidk, x, s) — b/J (x, x + s) + bf/ (x, x, $)],
j = 1, .... tn,
причем
-	b11 (x, x, s) C, k,j—l,...,tn (mod dP % ds),
где C — некоторая константа, не зависящая от случая.
Так как Ь!1 (х, у, s) является неотрицательно опреде-
ленным ядром, то из существования производной
——r-b^ix, х, s) вытекает существование производных
дхк дук
—f2 - bl! (х, у, s), неравенство
дхк дук
——г bi! (х, у, s)
dxkdyk
^.С (mod dPX ds),
и равномерная ограниченность выражения, стоящего под
знаком математического ожидания в правой части равен-
ства (12). Отсюда следует, что условие существования
среднеквадратичной производной fV (х, t) выполняется.
Нетрудно проверить, что для взаимной характери-
стики мартингалов	t), -^-рг(у, t) имеет место
дхя	дут
8 И. Гиям ан, А. Скороход, т. III
226
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. И
равенство
t
(	Т7^(У’ ’>) = Т"Г \b'l(x, у, s)ds,
\ дх*	дут	It дх* дут J
причем существование соответствующих производных и
их непрерывность по к и у (mod dP X ds) вытекает из
предыдущих предположений. Кроме того,
t
•),	-)\ = J ^b'k(x’ У’ s>ds’
о
а для характеристики мартингала
р( (t) =	hy’ t}h—_ vp/ (Xj /). у
имеем следующее выражение:
(й, м>, =
t
~ 5 { Пр (х + х + hy> ~ 2Ь>> (х + ЬУ’ х’ 0 +
о
-t-b"(x, х, $)]— ^\Syb!1 (x+hy, х, s)-y—^ybiJ(x, x, s)-z/] +
tn
+ Z	«.О!/*/}*.
k, r=l	J
Напомним применяемые обозначения. Если a = a(x) —
векторная (или скалярная) функция,	то Va обо-
значает операторную (векторную) функцию, действующую
на произвольный вектор	по формуле: Va • у ==
m
УГ~^уг ’ а —билинейная функция, такая, что
Г = 1
tn
V2a-x  у= £	X'7-
гду дх’
§2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
227
Воспользовавшись формулой Тейлора и введенными
обозначениями, мы можем записать предыдущее соотно*
шение в виде
t
— [V2^y (х, х, s) — V2b}i (х + hy, х + hy, s)] - у • у ds,
о
(13)
где h — число, заключенное между 0 и h.
Теорема 4. Пусть
а)	функция а(х, t) при фиксированном t с вероятно-
стью 1 непрерывно дифференцируема по х u|Va(x,
б)	взаимная матричная характеристика В(х, у, t)
поля р (х, t) дифференцируема по t,
t
В (х, у, t) = Ь (х, у, s) ds,
о
и функция Ь(х, у, t) при фиксированном t с вероятно-
стью 1 обладает непрерывными и равномерно ограни-
д2
ченными производными	b (х, у, t),
А2
—Ь—О
dxk dyk
<с,
6 = 1,
., m;
t
в)	поле A (xf t) = a (x, s)ds + (3 (x, t) e S (С, C).
о
Тогда %xs(t) дифференцируемо в среднем квадратич-
ном по xk(k==lt m) и	= удовлетво-
ряет линейному стохастическому дифференциальному
уравнению
П* (0 = + J wi (о), dv) • TU (V).	(14)
S
Доказательство. Положим для простоты записи
s = 0,	= и ПУСТЬ
8*
228
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
где hk =	— вектор с компонентами / — 1,2,.,., т.
Процесс r\hk(t) удовлетворяет уравнению
t
Пй6(0 =	5	ds),
О
где
t
Ah (у, t) = J а(Мх)	ds +
О
Г ₽ (|х (s) + hy, ds) - Р Цх (s), ds) С
+ )-------------~h————— = } ал (у, s) ds+$h (у, t).
о	о
Обозначим
t	t
А (У, f) = 5 Va dx (s)> s) • у ds + 5 VP dx ($)> ds)- y=>
0	0
t
= $ a0(y, s)Js + PoO> 0-
Покажем, что для полей Ah (у, f), Ао (у, t) выпол-
няются условия теоремы 11 § 1. Из предположений тео-
ремы 4 вытекает, что
I ah(y, у\, М{| А|Ш 0 121 О <С2\у Р\t.
Кроме того, в силу формулы Лагранжа
I «л О> 0 — «о О> /) I = | Va (gx (/) + hy, t) — Va (£x (/), /) • у |,
где | h. |^| h |. Так как функция Va(y, t) с вероятностью 1
непрерывны по у при любом t е [0, Г], то
Р { sup |ал(п, t) — ао(у, t) I > е} -> 0 приЛ-»0 Ve > 0.
i»l<«
Далее,
Л t Ц- A t
М {|АрЛ - Др012|	= М ] J
t
§ 2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
229
где в силу формулы (13)
Ya (г/. О = £ (v2ft"' U (0 + hy, IV + hy), /] -
-V2bJJ[W, W), t])-yy
и | ft Kl ft I- Так как функции
</. fl непре-
рывны с вероятностью 1 по совокупности переменных
(х, у, t) и sup |£(01< 00 с вероятностью 1, то нетрудно
увидеть, что Р{ sup | (у, 01>в}-*0 при Л->0. Та-
li/ I <N
ким образом, условия теоремы 11 § 1 выполняются. Учи-
тывая замечания к теореме 10 § 1, получаем
М sup КИО — По*(О F-*0 при Л->0,
где т]0/! (/) — решение уравнения (14).
Теорема доказана.
Усиливая предположения о поле А (х, I), можно полу-
чить теоремы о существовании производных второго по-
рядка по начальным данным функции
Формальное дифференцирование уравнения (14) при-
водит к соотношению
t
Пбг (0 = J (^ (о), dv) • т]6 (v)  т]г (о) +
s
t
+ $V4(Mv). ^)-TU,(v), (15)
s
где
d2
nAr(0= dxkdxr U(0-
Чтобы производная r)fer (/) обладала конечными мо-
ментами второго порядка, естественно требовать суще-
ствования моментов четвертого порядка у величин т]&(/)
и равномерной в некотором смысле ограниченности по х
поля VM (х, t).
Сформулируем сначала условия существования мо-
ментов четвертого порядка решения уравнения (14).
230
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Воспользуемся обобщенной формулой Ито. С этой
целью разложим поле р (jv? t) на непрерывную и разрыв-
ную части,
Р(х, /) = рДх, /) + £(*, 0,
и пусть
<Рс (X,  ), $с(у, •))/ = J У, S'} ds,
s
t
<Цх, •)> 1(У, •))< = $ bd(x, у, s)ds.
s
Предположим, что матрицы bc(x, у, t), bd(x, у, t) с вероят-
ностью 1 имеют непрерывные смешанные производные
д2
------Тогда поля $с(х, /), g(x, f) дифференцируемы
в среднем квадратичном по xk(k=l, т). Положим
t
Av (у,	dQ). у,
s
или, подробнее,
t	t
(у, t) = J Va (L, (9), 9) • У de + J Vpr (U (0), d9) • у +
s	s
t	t
+ J V£ (U (9), de) • у = J av )y, 0) de + Pj {tj, t) + e (y, t).
s	s
Матричная характеристика процесса py (z/, /) равна
-),?>^y, -)\=j X ^7 ML,(9), U(9), Q)ykyrde
(лемма 8 § 1), и аналогичное выражение имеет характе-
ристика процесса (у, t).
§ 2]
Уравнения без последействия
231
Из предположений теоремы 4 следует:
—-----Ьс (х, у, t) I + I —~— bd (х, у, t) I	С,
дхкдут м у 'I I dxkdyr dK у '|^
|av(y, /)|<С(1 + Ы),
и, таким, образом, поле Av {у, t)<=S(C, С).
Рассмотрим уравнение
t
г] (0 — z + Av (т] (s), ds),	(16)
о
положив для простоты s = 0. Из теоремы 9 § 1 следует,
что если Av(y, t) е S (С, С) и, кроме того,
(у, Т, d«)<C(l + Ш4),
(17)
где nv (у, t, А) — мера, ассоциированная с мерой скачков
Vy (t, А) процесса Av (у, 0, то решение уравнения (16)
имеет конечные моменты четвертого порядка.
Возвратимся к уравнению (15). Будем предполагать,
что выполнены условия теоремы 4 и (17). Для простоты
снова положим s = 0,	(t) — Hx0(t) = |ж (0. Нам нужно
еще допустить существование полз V2A(x, 0 и процесса
t
ф (0 = J V2A (Вх (и), dv) • Tife (v) • т|г (v)-
о
При этом под интегралом в правой части равенства мы
понимаем криволинейный интеграл вдоль случайной кри-
вой (0 в поле
Ал/ (х, 0 — V2A (х, dv) •	(v) • т)г (о).
о
д2
Случайную функцию —-ъ—-А(х, t) представим в виде
dxR дхг
t
—— А (х, 0 = ( —г—у a (х, s) ds + f 0 (х, t),
dxk дхг	J dxk dxr	dxk dxr
о
и предположим, что:
232 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
а)	а(х, t) с вероятностью 1 дважды непрерывно диф-
ференцируемо по х при каждом /е[0, Г] и
д2
д xk дхг
, т,
где С неслучайная постоянная;
б)	с вероятностью 1 для каждого t <= [О, Г] сущест-
вует частная
производная
—z—г—г—7	(*, У> О»
dxk dyk дхг дут
по х, у и ограниченная для всех х, у, t
постоянной С.
(18)
непрерывная
неслучайной
При этом производная (18) понимается как смешан-
д2
ная производная	в ранее описанном смысле от
производной —~—йЬп(х, у, t).
дх* ду*
Если выполнено условие б), то, как следует из пре-
дыдущего, существует производная в среднем квадратич-
ном —~—г₽(х, Z) = -^7f-^-p(x, /)\ Остановимся на
дх* дхг	дхг \дх* /
функции
t
Д(2) (х, /) = V2a (х, v) •	(^) * Лг (у) dv +
о
t	t
+ V2p (х, dv) •	(v) • т)г (f) —	(x, y) dv + p(2) (x, t).
о	о
Первый интеграл, очевидно, существует с вероят-
ностью 1, имеет конечные моменты второго порядка. Вто-
рой из рассматриваемых интегралов является квадра-
тично интегрируемым мартингальным полем. Взаимные
характеристики его компонент имеют следующее выра-
жение:
<р<2> р (х, -), Р<2)*(г/,-)\ =
= \	д i я ]’ *'i, 	(р)	(f) пГ (v) n/' (V) dv.
0J Zi h дх дУ’ дх дУ’
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
233
§ 2]
В соответствии с этими замечаниями функция <р(/)
существует и обладает конечными моментами второго по-
рядка, причем из имеющихся оценок следует, что и
М sup | <р(0 F < °°- Но тогда уравнение (15) имеет един-
ственное решение и М sup | x\kr (/) Р < оо.
Перейдем теперь к вопросу о дифференцируемости ре-
шения уравнения (14) по к. Обозначим решение уравне-
ния (14) через т](/, х) и. положим
Пл (О = (и (*, х 4-Лбг) — п (*> *)!•
Функция г)л (0 удовлетворяет уравнению
t
Пл (0 = Фл (0 + J (»)>dv>) • Пл (»),
О
где
Фл(') =
t
=	dy)]n(»> х + /гдг).
О
Заметим, что
фл (0 — ф (0 = Фл (0 + Фл (О,
t
< <'> = S [т ('’> - ЧА *>) -
— V24(^(u), du)nr(»)] • n(t>, х-ф/гбД
Фл (0= $ V2X(gx(a), dv) - ПгМ • [И (у, х + М>г) — т] (у, х)].
о
Используя ограниченность и непрерывность по х, у функ-
ции (18), а также выражение для взаимных характеристик
поля, нетрудно получить соотношение
М sup I ф; (/) |2 -* 0.
Кроме того,
М sup | -q (/, х + Ах) — г| (/, х) I4 = 0 (| Ах Р).
234
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ц
Отсюда следует, что
М sup | <рл (/)	|2—>0
и в силу замечания к теореме 11 § 1
М sup | т|Л (0 — т] (0 |2-> 0 при /г—>0.
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Если выполнены условия теоремы 4,
неравенство (17) и ранее сформулированные условия
а) и б), то в среднем квадратичном производные
д2
nfer (0 == Гь л г ^5 (*) существуют, удовлетворяют урав-
дх“ дхг
нениям (15) и непрерывны в среднем квадратичном
по (х, s).
В сформулированной теореме недоказанной осталась
только непрерывность в среднем квадратичном по (х, $)
вторых производных T\kr(t). Ее легко доказать аналогично
лемме 2 с помощью оценок теоремы 9 § 1.
Уравнение А. Н. Колмогорова. Пусть — реше-
ние уравнения (5) без последействия. Оказывается, что
функция
F (/, х) = Mf (Li (П), (t [О, Г) X
удовлетворяет одному важному интегро-дифференциаль-
ному уравнению, вид которого не зависит от функции f (х).
Зависимость от функции f (х) сказывается только в гра-
ничном условии, которое следует присоединить к урав-
нению.
Лемма 4. Пусть выполнены условия теоремы 4,
А(х, /) е S (С, С), функция f (х) дважды непрерывно диф-
ференцируема и ее частные производные второго поря \а
гт	-у dF (t, х)
равномерно ограничены. Тогда производные -------
дх*
ществуют, непрерывны по (х, /) и
су-
изд
§2]
УРАВНЕНИЯ ВЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
235
Доказательство. Действительно, пусть hk = hbk
F(t,x + h^-F(t,x) _ м {^t (?)) J__	{т^ |
<|m(w (ыл),^-^^(л)| +
+ | ЮТ (£х/ (Л + 9 ДЬО •	• д^ | <
<С [M(l + I шт) Р) • м |^ - ^(Л |2f +
+ с[м | ALr F • м |^-|2]1/2,
где С — некоторая постоянная, зависящая только от
sup | V2f (х) |, Д£х< = lx+hkt (Т) — lxt (Т). Из полученного не-
равенства вытекает утверждение леммы.
Замечание. Утверждение леммы справедливо и для
дважды непрерывно дифференцируемых функций f(x),
растущих при | х |-> оо не быстрее некоторой степени х,
если дополнительно потребовать конечности моментов над-
лежащего порядка величин %xt(T).
Лемма 5. Пусть функция f (х) дважды непрерывно
дифференцируема и ее частные производные второго по-
рядка равномерно ограничены, а функция %xt(T) обла-
дает среднеквадратичными частными производными по хк
первого и второго порядка, непрерывными в среднем
квадратичном по переменным (х, t).
Тогда функция F (t, х) имеет частные производные
по х второго порядка
т = м vv (Lz (Л) • А ШТ) • Л U (Т) +
дх* dx'	дхк	дх}
+ ^{ШТ))-^^ШТ), (20)
и они непрерывны по аргументам (t, х).
236
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Доказательство. Положим
) - MV2f (gx/(Т)) •	*xt (Г) X
h V дх1	дх1 /	дх"
- MVf(^(O) • ^^(D=z. +22 + ?3 + г4,
где
г^МЖЖ
h |_ дх1 + k	дх1 х	дх1 дх"	J
г ~М [V’f © - V"f (•„ (Г))]  J&- 	E„ti, т,
г,= м^©,(7)).	- ±un]  т,
^м?ж, <© • (П  [^EItv m-^s„ т].
Здесь f обозначает некоторую точку, лежащую на отрезке,
соединяющем точки lxi (Т) и lx+ht(T).
Величина z^Q при /г->0, так как функция Vf (х)
растет при | х |-* оо не быстрее, чем | х |, и существует
д2
среднеквадратичная производная —:Для г2
дх1 дх"
имеем следующую оценку:
|гг1<[м(М)Гх
х (Гм (w (й - w (ё„ (г» р IX (П Г +
V L	I дх1	J
+ [м | V2f (t)-V2f &xi (D) I21	lx+hk1 (Г) -	lxt (n |2]l/2,
из которой, как легко увидеть, также следует, что
| г21-> 0 при Л->0. Аналогично убеждаемся, что | г31->0
и | z41-> 0 при Л->0. Тем самым, существование частных
д2
производных —т—-Fit, к) и формула (20) доказаны.
дх" дх1
Из (20) видно, что непрерывность в среднем квадра-
д	д2
тичном по (х, t) производных
§2]
УРАВНЕНИЯ БЁЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
237
влечет за собой непрерывность по (/, х) производных
Пусть выполнены условия леммы и 0 f <t <t" < Т.
Тогда
Р (Р, *) — Mf (Uxt, (гни (Г)) =
- м {[Mf	= MF (/", Ue О-
Следовательно,
Г(Г, х),- F(f,x) = J м {F (Г)	(///)) _ F x)}
Так как функция F (t, x) дважды непрерывно дифферен-
цируема, то можно применить теорему 3 и замечание 2
к этой теореме.
Мы пришли к следующей теореме.
Теорема 6. Пустъ
а)	А(х, /)^8(С, CN) и решение gxs(/) стохастического
дифференциального уравнения (5) имеет среднеквадра-
тичные частные производные первого и второго порядка
по (х, <$), непрерывные в среднем квадратичном по (х, $);
б)	функция f(x) дважды непрерывно дифференци-
руема и вместе со своими частными производными пер-
вого и второго порядка равномерно ограничена.
Тогда функция
F(t,x)=Mf(lxt(T))	(21)
дважды непрерывно дифференцируема по х, дифферен-
цируема по t, удовлетворяет уравнению
m
^^-+(VF(f, х),а(х, /)) + | £ ^'F(t,x)bkl(x,t) +
kt j=\
+ J [F(t, x + u) — F(t,x) — (VF(t,x), u)]U(x,t,du) = 0 (22)
Ji'"
и краевому условию
(23)
t-+r
238 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Следствие 1. Пусть
а)	неслучайная функция а (х, /) непрерывна и дважды
непрерывно дифференцируема по х и ее частные про-
изводные по х первого и второго порядка равномерно
ограничены}
б)	случайная функция р(х, /) при фиксированном х
является процессом с независимыми приращениями с ко-
нечными моментами второго порядка
Мр(х, /) = 0,
t
М|3(х,	0= J £(*, У, s)ds,
о
b (х, у, t) имеет равномерно ограниченные смешанные
частные производные второго и четвертого порядка вида
' k\-r bU (Х’ УЫ, л к adka г. г ЬЫХ> У’ Ъ
дх ду	дх ду дх ду
в)	разрывная компонента процесса Vp(x, t) удовле-
творяет условию (17);
г)	функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема
по х и равномерно ограничена вместе со своими част-
ными производными первого и второго порядка.
Тогда функция F (t, х)=М/(^(Г)), где £xf (s) — мар-
ковский процесс, определяемый стохастическим уравне-
нием
d-(s) = a(l(s), s)rfs + pQ(s), ds), s^i,
?(/)=.<, (24)
удовлетворяет уравнению (22) и краевому условию (23).
Покажем, как можно прийти к весьма общему урав-
нению вида (22), исходя из простейших теоретико-вероят-
ностных объектов — стандартных винеровских процессов
и пуассоновской меры.
Следствие 2. Предположим, что (t), ..., wq (/) —•
независимые между собой винеровские процессы и
v (А, к) — пуассоновская мера на Й7 X [0, Г], не завися-
щая от винеровских процессов /=1, q,
Mv(4, [0, Г]) = П (А) /,
v (4, А) = v (A, v) — 11 (А) А/.
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
239
§ 2]
Пусть а (х, t), <J!k (х, t), g1 (х, t, и) — неслучайные функции,
j=l, k= 1,2, ...,q,(x,t, и) G^.mX[0,T]X^,
удовлетворяющие условиям;
а)	функции а1 (х, t), affc(x,t), gf(x,t, и), /= 1, tn,
k—1, ..., q, непрерывны no {x, i) и дважды непрерывно
дифференцируемы по х;
б)	частные производные по х первого и второго по-
рядка функций а1 (х, t), <Fk (х, t) равномерно ограничены',
в)
$ (I VgI2 +1 Vg I4 +1 V2£ I2)П(du)<С,
где С не зависит от (х, t).
Обозначим (s) — решение стохастического диффе-
ренциального уравнения
dt, (s) = a(S, (s), s) ds + У ok (£ («), s) dwk (s) +
k=l
+ 5 s, u)v{du, ds),
l{t) = x.
Тогда функция F {t, x) — Mf (Г)), где f (x) удовлетво-
ряет условиям теоремы 6, является решением уравнения
dF{^~- + (a (i, х), VF (t, х)) + 4 £ bki (х, t) MF (t, x)+
k, i=\
+ j [F (t, x + g (t, x, u)) — F (t, x) —
- (g (t, x, u), VF (t, x))] II {du) = 0,	(25)
<7
в котором bkl (x, ()=2 csk (x, t) (x, t).
r=l
Для доказательства приведенного утверждения заме*
Тим, что поле
q t
(X, 0 = £ \(fk (х, s) dw (s)
^=rl 0
240
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
имеет взаимную характеристику, определяемую из соот-
ношений
М {₽' (х, А) ₽* (//, А) 15/} = М₽/ (х, А) р* (//, А) =
/ + А/ q
= \ Zj 'Ху
t r~l
где 5/ — пополнение о-алгебры, порожденной случайными
величинами wk(s), v{A,s), s^.t, A s 871, /?=1, ..., q.
Аналогично, для поля
/
£ (х, /) = ^ g (х, s, и) v (du, ds),
О
имеем
м{№ ж* о, д) i&i=
/ + д/
= \ J S! (х> s’ gk (th и) (du) ds.
Из сделанных предположений легко вытекает, что поле
t
А(х, t)=^a (х, s) ds + Pc(х, t) 4~ £(х, t)
о
удовлетворяет условиям теоремы 6. При этом
П (х, t, В) = П {и: g (%, t, и) е В}.
Если теперь в интеграле, фигурирующем в уравнении (22)
для функции F (I, х), сделать замену переменной интегри-
рования: и-> g(t, х, и), то уравнение (22) перейдет в (25).
Формулу (21) можно рассматривать как теоретико-
вероятностное представление решения задачи Коши
для интегро-дифференциального уравнения с частными
производными (22). С одной стороны, уравнение (22)
может быть использовано, например, для определения
вероятности перехода марковского процесса (s) или
для исследования аналитических свойств этих вероят-
ностей. С другой стороны, если желательно получить
§2]
УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
241
численное или приближенное решение уравнения (22)
(или (25)), то выражение (21) можно использовать для
теоретико-вероятностного моделирования этого решения
(метод Монте-Карло). Доказанные ранее теоремы о схо-
димости конечно-разностных аппроксимаций решения сто-
хастического дифференциального уравнения дают, в част-
ности, обоснование простой конечно-разностной прибли-
женной процедуры решения уравнения (22) (или (25)).
Можно расширить класс интегро-дифференциальных
уравнений с частными производными, связанный с реше-
ниями стохастических дифференциальных уравнений.
С этой целью рассмотрим задачу определения распреде-
ления случайного вектора
т
h fext С$)> «$)
t
где /г(х, /), (х, t) е X [О, Г] — непрерывная и дважды
непрерывно дифференцируемая по х функция со значе-
ниями в и с равномерно ограниченными частными
производными первого и второго порядка.
Для решения этой задачи поступим следующим обра-
зом. Присоединим к уравнению (24) еще соотношения
dx\ (s) = h (s), s) ds, s^t,
n (0 = y,
и будем интерпретировать их как одно стохастическое
дифференциальное уравнение
dtM^B&Mds),	(26)
£z<(s) = (£x/(s), n(s))> 5z/(s) = Z, Z = (x,y)
Положим
ш X, y) = F(t, г) = М^(^(Т)),
f (г) = f (x, y) = f (x) exp {i (%, x) + i (p, y)},
r^ef(x)—дважды непрерывно дифференцируемая функция,
частные производные первого и второго порядка которой
равномерно ограничены, Л — m-мерный, ц — ^-мерный
вектор. К уравнению (26) применима теорема 6, так чтр
242
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
F(z, t) удовлетворяет уравнению
т
^F + (a,	+ (7г, V/) +1 £ bki^xF +
k, /=1
+	[Z7 Г> х + ы> У) ~ F (t, х, у) — (и, VXF)] П (х, i, du) = 0.
я*"	(27)
Здесь Vx — символ градиента по переменной х, — по
переменной у. Так как i] (Г) = у + h (s,lxi ($)) ds, то
_	_	t
VyF = ilxF. Положим в уравнении (27) у = 0,
F {t, x) = F (t, x, 0) =
= Mf (lxt (T)) exp | i (A,	(T)) + i (p, J h (s, %xi (s)) ds) |.
Функция F (/, x) удовлетворяет уравнению
m
Ar + (a>VF) + | £ y/vV'F + /(p, h)F +
k, /=1
+ J [F (/, x + w) - F (/, x) - (zz, VF (/, x))] П (x, t, du) = 0
(28)
и краевому условию
F(T, x) = f(x)e^ 4
Если положить f (x) = 1, то уравнению (28) будет удо-
влетворять совместная характеристическая функция рас-
(т	\
L-f (Т), h (Ixtls), s) ds j,
t	/
если же положить F (T, x)= 1, то мы получим уравнение
для характеристической функции распределения рассма-
триваемого нами аддитивного функционала от решения
Zxt (s) стохастического дифференциального уравнения (24).
Уравнение (28) отличается от уравнения (22) наличием
дополнительного слагаемого
i (ц, h (х, /)) F (/, х),
§ 2]
УРАВНЕНИЙ БЁЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ
243
Пример. Распределение аддитивного функционала
от винеровского процесса. Приведем несколько замеча-
ний по поводу вычисления распределения однородных
аддитивных функционалов (интегрального типа) от одно-
мерного винеровского процесса.
В рассматриваемом нами случае ^xt (s) = х + w (s)—
— w(t), s^t, и
т
т] (Г) = h (х + w (s) — w (t)) ds.
t
Функция
F (t, x) = (x + w(T) — w (t))
удовлетворяет уравнению
dF(*;-xl-+4 d2Fd{tx>- + флWfV, x) = o, t < t,
и краевому условию
F(T, x) = f(x).
Положив v (T — t, x) = F (t, x), мы получим для функции
v(t,x) уравнение
с начальным условием о (0, x) — f(x). При этом функцию
v (/, х) можно представить в виде
( *	)
v (/, х) — М ехр j гц h (ш (s) + x)ds ? f (х + w (t)).
'О	'
Так как процесс ay(s) стохастически эквивалентен про-
цессу д// w (у), то последнее выражение для v (t, х)
можно заменить следующим:
v (t, х) =
( 1 )
= М ехр j/г(л/7 w(s) -f- х) ds Н (х -ф ^tw (1)). (30)
to	'
244
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Формула (30) дает решение задачи Коши для параболи-
ческого уравнения (29) с помощью «квадратуры», если
под «квадратурой» в данном случае понимать интеграл
от некоторого функционала, заданного на [0, 1],
а интегрирование производится по стандартной вине-
ровской мере, т. е. по мере, порождаемой в [0, 1] вине-
ровским процессом.
Положим в дальнейшем f(x)=l. Иными словами,
мы имеем дело с вычислением характеристической функ-
ции распределения величины т|(Г). Уравнение (29) можно
решать, используя преобразование Лапласа по /. Поло-
жим
z (р, х) = j e~ptv (/, х) dt,
и
где р — неотрицательное число. Умножая уравнение (29)
на e~pt и интегрируя по t от 0 до оо, получим
1 д2
pz (р, х) — 1 = у у-у z (р, х) + гц/г (х) z (р, х).	(31)
Покажем, что уравнение (31) имеет место и в том
случае, когда h (х) — кусочно непрерывная ограниченная
функция. Выберем последовательность равномерно огра-
ниченных функций hn(x) так, чтобы они сходились при
каждом х к /г(х) и каждая из них была дважды непре-
рывно дифференцируема и имела ограниченные произ-
водные первого и второго порядка. Пусть
00	( t	ч
zn (Р> х) = exp s hn (х + w (s)) ds ? dt.
Тогда | zn (p, x) К 1/p и zn(p, x)-+z(p, x) при n~>oa.
Функции zn(p, x) удовлетворяют уравнению (31). Из этого
уравнения видно, что производные -^z}l(p, х) равно-
мерно ограничены и сходятся при ц—>оо к пределу
2 (pz (р, х) — 1 — i[ih (х) z (р, х)). Отсюда следует
Теорема 7. Если функция h(x) ограничена и ку-
сочно непрерывна, то функция z(p,x) непрерывно диф-
ференцируема, имеет во всех точках непрерывности функ-
ции h(x) вторую производную и удовлетворяет уравне-
нию (31).
И
Уравнения бёз последействия
245
Воспользуемся теоремой 7 для вычисления распреде-
ления величины
t
т| (t) = sgn w (s) ds.
о
Уравнение (31) в рассматриваемом случае имеет вид
г" (р, х) + 2 (г’ц sgn х — р) = — 2.
Решая это уравнение отдельно в области х > 0 и
х < 0, получаем
Z (р, х) —  ~	х 4- с2е-^2р-2^ х, х > О,
Z (р, х) = 	+ C3eV2p+2«ix 4- С4е-^2Р+2^ х, х < 0.
Р -г
Из ограниченности z(p,x) при х~>±оо следует, что
С| = С4 = 0. Используя непрерывность в точке х = 0
функций z (р, х) и г'х (р, х), получим равенства
------— + С2 ==== :—:— Со,
р — 1Ц 2 р + ф 3
— С2 д/2р — 2ф = С3 д/2р + 2гц,
откуда вытекает, что
Чтобы определить распределение величины t] (Г), до-
статочно знать z(p, 0). При | ц | < р
^<р.»)=^тр=70 + Й “
Так как
2.V* / пп ~ 1)11 ( ¥д
Р L. 1	’	(2п)И \р) *
п=0
J tne-pt dt =
о
п\
pn+i f
nf2
sinft ф dtp =
0 при
(2я- 1)1!
(2п)П п П₽И
нечетном k,
k = 2n,
246
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
ТО
00 / ОО	n X
0) = $ (е
О	7
оо	л/2
е-₽г е^‘sin ф d<p dt.
О	—Л/2
Таким образом,
где НЯ — ° при | х | > 1 и
Л/2
Е e'Psln<M<p =
—л/2
оо
= el*xf (х) dx,
— оо
Пх) = --7=^=
Л VI — х2
при | х | < 1.	(32)
Мы получили следующий результат: величина
t
-j-^sgnay(s)ds имеет плотность распределения (32).
о
Случайная величина
t
_ С 1 + s&n w (s) ле
J------2-----dS
о
имеет наглядный смысл. Она равна времени, проведен-
ному процессом w(s) на положительной полуоси в тече-
ние промежутка (0, /). Используя плотность (32), можно
найти распределение величины Т/. Действительно,
Р {Т/ < xt} = Р
=-Е (arcsin (2х — 1) + -у).
t
। sgn w (s) ds < 2x — 1
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
247
§ 3]
Обычно полученную формулу записывают несколько
иначе. Заметим, что
arcsin (2х — 1) + -у = arccos (1 — 2х).
Если положить у arccos (12х) = z, то
1—2x = cos2z, х =-------2---= sirrz, z = arcsin \х.
Следовательно,
Р (т, < х) = arcsin д/у,	(33)
Полученный результат называют законом арксинуса.
§ 3. Предельные теоремы для последовательностей серий
случайных величин и стохастические
дифференциальные уравнения
Пусть дана последовательность серий случайных век-
торов
«=1,2,...	(1)
со значениями в Предположим, что приращения
klnk = ink+i — являются малыми случайными величи-
нами. Одна из классических проблем теории вероятностей
состоит в описании класса возможных предельных рас-
пределений величины gnzn при п->оо при тех или иных
предположениях о величинах В том случае, когда Agnfe,
й==0, 1, ..., tnn — 1, независимы, мы имеем дело с под-
робно изученной проблемой суммирования независимых
слагаемых.
В настоящем пункте мы рассмотрим общую проблему
исследования предельного распределения последователь-
ности серий случайных величин (1) с точки зрения теории
случайных процессов или, более точно, в связи с теорией
стохастических дифференциальных уравнений.
Последовательности серий случайных векторов (1)
поставим в соответствие последовательность случайных
процессов £п(/), которые мы будем называть процессами,
соответствующими или порожденными последовательно-
248
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
стью серий (1). Чтобы их определить, нужно еще задать
последовательности действительных чисел
О === tfiQ tn\ ... ^ntnn —I inmn ===: Тt fl 1, 2, ...,
и тогда мы полагаем
(0	еСЛИ t GEz [fnk, fnk + l)<
Если при оо max А/п*->0, и все величины
{А£пь k — 0, ..., mn— 1} близки в каком-то смысле,
нуждающемся в дальнейшем уточнении, к величинам
{А£ (tnk), k = 0, 1, ..., mn — 1}, где g (/), t е- [0, Т] — неко-
торый случайный процесс, №>(tnk) = g(tnk+\) — g(tnk), то
можно ожидать, что распределение величины lnm сходится
к распределению величины ЦТ) и, более того, для непре-
рывных функционалов f [х( •)], определенных на ЗУп [0, Т],
распределения величин /[£«(•)] и f [£ (•)] будут близкими.
Таким образом, мы желаем включить рассматриваемую
проблему в общую схему предельных теорем для слу-
чайных процессов, рассмотренную нами в гл. VI т. I.
В соответствии с результатами, полученными в т. I,
при рассмотрении предельных теорем для случайных про-
цессов мы можем выделить две задачи: а) исследование
условий слабой сходимости частных распределений слу-
чайных процессов и характеризация предельных распре-
делений, и б) установление критериев слабой компакт-
ности последовательности мер, соответствующих случай-
ным процессам, в надлежащем функциональном про-
странстве. Общие критерии слабой компактности мер
в функциональных пространствах были установлены
в гл. VI т. I. В настоящем параграфе, опираясь на ранее
установленные результаты, мы приведем некоторые доста-
точные условия слабой компактности мер, более удобные
для проверки в рассматриваемых нами задачах. Далее
мы рассмотрим слабую сходимость частных распределений
процессов, построенных по последовательности серий (1)
или являющихся решениями стохастических уравнений,
к частным распределениям решений стохастических диф-
ференциальных уравнений. В заключение приведем при-
меры применения общих теорем к более частным схемам
и конкретным задачам.
§ 3]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	24^
О слабой компактности мер в 3), соответствующих
последовательности серий случайных величин. Усло-
вимся в настоящем параграфе под 3) понимать простран-
ство ЗУп[0, Г], а под мерой в 0 —меру, заданную
на о-алгебре, порожденной цилиндрическими множеств
вами в 3).
Пусть (/), п = Г, 2, ..., t s [О, Т] — последователь*
ность случайных процессов со значениями в $5'п, выбо-
рочные функции которых с вероятностью 1 принадлежат 3).
Процесс £л(/) порождает на 3) меру qn, которую мы
будем называть мерой, соответствующей в3)процессу
определяемую на цилиндрических множествах простран-
ства 3) соотношениями
.....
Здесь Аг — борелевское множество в пространстве 3lm X
Х^Х ... X^ = ^wr, а С^.../г(Дг)== U( •):%(•)
(х(^), ..., х(/г))еЛг} — цилиндрическое множество с осно-
ванием Аг над координатами (tx, t2, ..., /г). Нас интере-
суют сейчас условия, при которых последовательность
мер ?„(•) слабо сходится к некоторому пределу. Значе-
ние этой задачи было выяснено в т. I (гл. VI). Напом-
ним, например, что если последовательность qn(-) слабо
сходится к q(*), где ?(•)”“ мера, соответствующая в 3)
некоторому процессу то для любого ограниченного
функционала f[x( •)], {/-почти всюду непрерывного (в мет-
рике пространства 35), распределение случайной величины
= f [£* (•)] слабо сходится к распределению случайной
величины ? = / [^ (• )]•
В дальнейшем мы ограничимся выводом условий сла-
бой сходимости мер в 3). Результаты, относящиеся
к слабой сходимости мер в <F =	[О, Т], могут быть
отсюда получены в качестве частных случаев. Слабая
сходимость последовательности мер qtl (•), соответствую-
щих случайным процессам £„(•), эквивалентна слабой
компактности мер и слабой сходимости всех частных
распределений процессов £п(/). В соответствии с этим,
в настоящем пункте рассматриваются условия слабой
компактности последовательности мер.
Из основной предельной теоремы для процессов без
разрывов второго рода (т. I, гл. VI, § 5, теорема 2)
250
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
вытекает, что для слабой компактности мер qn (•) в Зд,
соответствующих случайным процессам (t), t е [0, Г],
необходимо и достаточно, чтобы
lim lim Р{ДС(£„(•)) >е} = 0,	(2)
С->0 /1->оо
где
Дс (х (•)) = sup {| х (/') — х (0 | AI х (t) — х (t") |} +
4- sup |х(0 — *(0)1+ sup | х(Т) — x(t) |.
0<Г=Сс	T-c^t^T
В соответствии с теоремой 3 гл. VI т. I, § 5 усло-
вие (2) выполняется, если при некотором р > 0 и при
м 1(О - (Л) I01 £„ (/3) - in (t2) 1р < Н (t3 - /,)'+а,
где а>0 и константа Н не зависит от п. Нам понадо-
бится некоторое уточнение этого результата.
Предположим, что
lim lim Р { sup | ln (t) | > .V} = 0.	(3)
А->оо п->оо
Пусть т„ = inf {/: sup |£„(/)|>Af) (inf 0 = T), и поло-
жим (/) = (0 при t < хп и (/) = 0 при t > хп. Тогда
Р (е„ ()) >>} < Р К < n + Р (ЕЛ (•))>«}
Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Если последовательность случайных
процессов tn(t) с выборочными функциями в 33 удовле-
творяет условию (3) и для некоторого р > 0 и любого N >0
м Isj (Q -ЕЛ (/,)[“! ЕЛ (Q - ЕЛ (У Г < «»(<, - Л)1 +“. (4)
где Нм не зависит от п, то последовательность мер qn(-)
в 3), соответствующих случайным процессам (•), слабо
компактна.
Перейдем теперь к процессам построенным по
последовательности серий (1). Поставим им в соответ-
ствие поток о-алгебр {j$nk) k = 0, 1, ..., mn}, п = 1, 2, ...,
где Snfe — а-алгебра, порожденная случайными векто
рами ^rto, ?rtl, ..ink- При этом, разумеется, величины ^nk,
входящие в одну серию, заданы на одном и том же ве.
§3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
251
роятностном пространстве, но разные серии определены, во-
обще говоря, на различных вероятностных пространствах.
Предположим, что величины lnk обладают конечными
моментами второго порядка. Положим
М	|	===	tiki
м - %. ад) (as,. - %, аду I ад =- к. ад.
Здесь величины \tnk выбираются произвольно с соблю-
тп~1
дением условий: Д^->0, X &tnk = T (Т фиксировано
k=i
и не зависит от случая, тахД/^~>0 при п->оо). Что
k
касается случайных векторов ank и матриц р^, то при
выбранных Ktnk они однозначно определяются предыду-
щими равенствами. Очевидно, что матрица $2nk симме-
трична и неотрицательно определена. Через р„^ мы обо-
значим «неотрицательно определенный квадратный корень»
из матрицы Это также симметричная и неотрица-
тельно определенная матрица. В дальнейшем мы будем
считать, что матрицы р^ невырождены (с вероятностью 1),
так что р^1 существуют.
Представим величину №nk в виде
^ttlk ^nk ^nk “1“ Pnfe
где
^nk — Pflfc (&£>tik ank ^nk)
и
6-1	k-\
ФпО ===	^«6 === ДФгс/ 2-r Рм/ ani ^nj)i
/»а	м
k = 1, ..., mn.
Положим
k-\	k-\
ФпО ==:: tynk :==‘ S Рп/ Дфп/ == S (Д^п/	«п/ Ыnl)>
/=э	j=o
k = 1, ..., tnn.
Последовательности {ф^, £==0, 1, ..., mn}, ^ = 0,
1, ..., mn} являются g^-мартингалами. При этом
м {н> ад. | ад = 1	М {ад. ад. 18„.) = Р>. а;,. .
252
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Так как ank и	о i„i, .^-измеримы,
то найдутся такие неслучайные борелевские функции
(*0>	, xk), bnk (х0, Xi, . . ., Xk), X] ^7г, / = О,
1,	..k, k— 1, ,.tntl, что
^nk ^nki^nQ^ %nb • • •>	PziZs bn% ($no>	• • •> ink)*
При этом функция ^(x0, ..., xk) принимает значения
в 0Гп, a bnk (xQi ..xk) являются матричной функцией.
Лемма 1. Предположим, что функции апь (х0, ..., xk),
bnk (*о> • • •, xk) удовлетворяют условию
•••> Xk)\ + \bndxQ,
<С(1+ sup |х7|),	(5)
где постоянная С не зависит от п. Тогда найдутся такие
постоянные С1 и С2, также не зависящие от п, что
М{ sup	W),	(6)
о < / < k
м { sup I Ui - Us l2l SnJ < C2 (1 + I U I2) ttnr - U* (7)
s</<r
Доказательство. Так как
k	k
'ink + l	?n0 4~ ^nl l^n! “h X Prt/
/=Э	/==J
TO
sup
0C/<fc+l
\lni I2
[7	2
bnol2+ sup	+ SUP
o < 7 < k r=o	о < 7 < k
[k
I ?n0 P “Ь ^nk i ®nr I ^nr + SUp
r=j	i^k
Положим un6=M{ sup | Ui l2l Sno}’ Из предыдущего не-
0^/<^
равенства следует, что
rk
Цп^ + 2ТС2 X^ + vnr)Mnr +
4~ M
sup
i<k
i	2
P/zr Дф/гг
r==o

§3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
253
/
Учитывая, что суммы Хр^Д-ф^ образуют мартингал, и
г==0
воспользовавшись неравенством Дуба, получим
М s sup
/	2
Р/1Г Афпг
Г=Э
k	2
X Ряг Д'Фпг
r=0
z &	\	( k
= 4M | EI Pnr Аф„, PI	) = 4M { s sp f^r I sno
Таким образом,
t^+I<3|S„0P + C'
’	k
tflk 4“ S Vfirktnr
r—')
где С' — некоторая постоянная, зависящая только от Т.
Введем кусочно постоянную функцию vn(t), положив
nrt(/) = vnfe при t^[tnk, tnk+\)- Из последнего неравенстве
следует, что
МО<3|Е„оР + С' $(l+v„(s))ds.
о
Решая это интегральное неравенство, получим
v„(O<3|g„opec'' +(еС'<-1),
откуда вытекает соотношение (6).
Аналогично поступаем для доказательства неравен-
ства (7). Из равенства
k	k
?n^ + l	^ns = S kin! 4” S Рп/ Дфд/
/=s	/=s
получаем
SUp I ^nS I2
s</<k+i
[12	/2-1
SUP X ^nr^nr 4- SUP X РпгАФпг •
s < / C k r—s	s < / C & rss=s	J
Положим
Znr=M{ sup R„/ —?„5PlSnJ.
254
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Из предыдущего соотношения легко следует, что
z„r+i < 4ГС2 £ М {1 + sup | Ы21 &Л +
j~S	£<&</
+ 8М[Х
откуда для величин znr получаем неравенство
г„+,«С” £ (I +<()
&-—S
где постоянная С" зависит только от С, a =
= М{ sup IL/I2|?UJ. Величины t/ можно оценить
с помощью неравенства (6), согласно которому vnk^
С{ (1 +1	I2)- Из получаемых при этом оценок выте-
кает второе утверждение леммы.
Теорема 2. Если последовательность серий (1) удо-
влетворяет условию
I ank (х0, *и • • •, I +1 bnk (х0,	, xk) |<
С (1 + sup | Xj |), п = 1, 2, ..., k = 0, 1, ..., mn, (8)
о М / М k
где С — постоянная, не зависящая от п, и sup М | с/г0 |2<оо,
п
то последовательность мер qn(- ) в S) слабо компактна.
Мы получим теорему 2 как следствие теоремы 1 и
леммы 1. Действительно, во-первых, из леммы 1 и не-
равенства Чебышева следует, что
Р( sup О1>.^М1ТД
так что условие (3) теоремы 1 в нашем случае выпол-
няется. Далее, пусть (0 = при t<=[tnk, tnk+i). Тогда
<X.v(У М {| МУ - МУ l2l ЙДУ},
где %^ (/) —индикатор события {тп > t}. Снова исполь-
зуя лемму 1, получим
м! (у m. ('»))<
§ Ф
Предельные теоремы
255
Наконец, имеем
М|Е;ТУ)-ад|2|ЕМ)-^(У1г«
< м (М щ» ft) - ft) |2 18„ (у) [ ft) - Ц (у р <
< d(i + л<2) м а +1 ы’Ж - «’
Таким образом, условия теоремы 1 оказываются выпол-
ненными и, тем самым, теорема 2 доказана.
Отметим еще следующее применение теоремы 1 к по-
следовательности серий (1), являющихся квадратично
интегрируемыми мартингалами.
Пусть М {&lnk I5nfe} — 0. Положим
M{|AU№*} = Yn*AU k = Q, tnn-\, (9)
и пусть prt = inf {r; ynr > N} (inf0 = /n„). Тогда p„
является случайным временем на {S„r, г —0, ..., тп}.
Пусть = Л Процесс (/) также является
мартингалом. При этом
Р{ММ )) > в)<Р {р. < т.) + Р{Л.(Й( )) > в).
Далее, если величины t2 и /3 имеют вид t2 = tnh t3 = tnrf
то
м{|Kft)-Sft)l’lз„(У}< s"
«=/АРЛ
Таким образом < /2 < О
м I е" (У - т (У I21 е; (у - s (у г < «г с, -у2-
Дополнительное предположение, что /1( /2 и /3 имеют
вид tni, tnj, tnr, несущественно, и мы приходим к сле-
дующей теореме.
Теорема 3. Если в последовательности серий (1)
каждая серия является мартингалом и
lim lim Р { sup ynr > N} = 0,
W->oo n->oo 0<r</na —1
где величины ynr определяются из соотношения (9), то
последовательность мер в соответствующих процес*
сам In (• )> слабо компактна.
256
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Н
Следствие. Последовательность мер в 3), соответ-
ствующих процессам tyn(t), для которых М {Ai|v |^пА,}=0,
М {Дф„6 • Дф’ь |8„Я = I Д^> слаб° компактна.
Теорема 2 легко может быть обобщена на последо-
вательности серий случайных векторов, не обладающих
конечными моментами второго порядка. С этой целью
введем на потоке а-алгебр {^nk, 6=1, ..., mn} случай-
ный момент времени jn, положив /n=min{6: | I > И}
или jn = mn + 1, если множество {k: | t1lk | > N} пусто.
Для каждого N > 0 рассмотрим последовательность серий
$nk> k==0’ •••’ mn}> «=1> 2> гДе	при k<!n
и ^nk~^nf -г Векторы уже обладают моментами
любого порядка. Пусть aNnk (х(), хр ..., xfe) и (х0, хр ..., xft)
построены по {^ft, k — 0, 1, ..., tn^ так же, как
апь (х0, • • • > xk) и bllk (х0, .... xk) строились по последо-
вательности {§п4) k = 0, 1, .... mn}.
Теорема 4. Если
lim limP{ max | graf! I > N} — 0
N ->oo n-><x> Q^.k^mn
U
КЩо’ м О1 + ЦЖ- •••’ л)|<
< Cv (1 + max | Xt I),
еде CN — константа, зависящая, возможно, от N, но не
зависящая от п и k, то последовательность мер qn(-),
соответствующих процессам %n(t), слабо компактна в 3).
Утверждение, аналогичное теореме 2, имеет место и
для мер, соответствующих решениям стохастических диф-
ференциальных уравнений. Рассмотрим семейство урав-
нений
= dt), />0,
?а(0==(р(0,	/<о,	(10)
зависящих от параметра а.
Т е о р е м а 5. Пусть Аа (<р, /)eS (Ц, Ц) (z/ли Аа (ф, 0^
€= (Ло , Л/v)) и
lim supP{ sup |Aj (t) j > N} = 0,
Д->0 a
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
257
Тогда семейство мер ?«(•) в 0[О, Г], соответствую-
щих решениям la(t) уравнений (10), слабо компактно.
Доказательство аналогично доказательству предыду-
щих теорем. Оно опирается на теорему 1 и вместо
леммы 1 использует теорему 7 (и теорему 4) § 2.
Условия сходимости к винеровскому процессу. Пе-
рейдем к исследованию условий сходимости последова-
тельности процессов {£„(/), t [0, Г]}, /г=1, 2, по-
строенной по последовательности серий случайных век-
торов (1), к винеровскому процессу.
Положим для любого е > 0
M{^4g„dSn,} = p' Ai,t.	(12)
(13)
Здесь
^nk -- ^nk+1 ^nb> 0--- tn0 <c tni <_ ... /nnto T,
числа T и tnk выбираются произвольным образом, но
так, чтобы
max Д/„4->0 при га-*оо
—1
п
и выполнялись последующие предположения, p'fe — ска-
лярные, p''fe — векторные, р'" — матричные случайные ве-
личины, определяемые из : соответствующих равенств.
Наконец, %пк = хе (Ag„fe) = 1, если | №nk I < е и хп* = 0
при |Д^|>8.
Для /«-мерного винеровского процесса {w (t),	/^>0}
условные вероятности и математические ожидания
(11) —(13) совпадают с безусловными и имеют порядок
Г	ГП--2 е2 ”1
Р{|Дщ|>в} = о[(^-) 2 е"^|,
/. 2.2”Г±	# \
| М {%, (Ди/) Ди/} |=О ((-£-) 2 e~2AtJ,
М {%е (Ди/) | &w Р) = IД/ 4- О	.
Можно ожидать, что если р'пк, p"k, р'^ при любом
фиксированном в будут «достаточно» малы, то при п-> оо
9 И. Гихман, А. Скороход, т, Ш
258 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
частные распределения процесса (/) — crt(0) будут слабо
сходиться к винеровскому процессу.
Установим сначала условия сходимости распределения
величины (Т) — %п (0) = 1ппгп — к распределению w (Т).
С этой целью рассмотрим разность между условными
характеристическими функциями
а„ = М {ехр {i (|„ (Г) - U (0), z)} |-
— М {ехр» {г (w (Т), г)} |§0} =
= М { ехр {г (U (Т) - Ц (0), г)} - ехр { -	} | М ‘
Положим
й-1
Х«о=1,
/=0
Представим величину о,г в виде
т„-1
<уп= Е М knA 18«о} +
/г=Э
+ м {(1 - A ехр {I (?„ (Г) - (0), г)} lO.
где
onk = Xnk+x ехр {i (grt (^+1) - (0), z)} X
\z exn I —. I I2 - tnk+i) 1 ______________________
z\ exp s	2 J
— %nk exp {г	(0), z)} exp { — 1 z |2 (T~tnk}} =
= exp {i (g„ (fnfe) — gn (0), z)} exp {- ] г	j
^nk = %nk exp {i (№,nk, z)} — exp { —	.
Оценим величину ?„*= M {5nft Воспользовав-
шись формулой Тейлора, представим ynk в виде
г..-щ+щ+«з+^+«а.
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
259
д «а-м^иад-'.
eS = iM{,UAU г) I ад.
«3 = (4е- Ч.>. - т м	2)2 I®»*}) 
Х(4) _ I z |2	(ехо f _ I 2 \2 Mnk_ 1 _ 1 \
Onfe —	2 I eAP I 2 J 1)*
№ = 4 M {%nk №nk, z)2 (exp {/0 №nk, z)} - 1)
Очевидно,
|Щ|=рзч.. га1«|г1К1-ад
rai<4|гР|рз|ли. |щ|«|ад!1гР.
Здесь под | А |, где А — матрица, понимается оператор-
ная норма А. Заметим, что
|М {(I -х^ехрО-адп-гдо), z)}
( тп	*)
<p{x^=O|S„o}<M{ Z P(|AUl>H8„ft)IM==
k^l	J
тп
= м Е p'nk мпк
К=1
Таким образом, для любого е> 0 при достаточно малом
max Atnk
k
( tn„
I n
0,<C(2)M( £ (p;t +
4 fc=su
|P3I+I₽3'O"«.|S»}+»7’- m
Мы получили следующий результат:
Теорема 6. Если последовательность серий (1) та-
кова, что
1 п
м{ £ (рЗ + |рЗ! + 1рЗ'
4
(15)
9’
260
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
и шахД/пА.->0, где p'nk, p"k и $nk определяются из ра~
k
венств (11)—(13), то условное распределение величины
^птп — £по сходится к гауссовскому распределению со
средним 0 и дисперсионной матрицей TI.
Замечание 1. Если в условиях теоремы 6 произ-
вести следующие изменения: считать tnmn~Tn
М К ^пк ^пк | М = (В + Р-) Ktnk,
где В —постоянная матрица и Тп->Т при п—>оо?
а остальные условия теоремы полагать выполненными,
то распределение разности	сходится к гауссо-
вому распределению со средним 0 и дисперсионной ма-
трицей ТВ.
Замечание 2. Если выполнены предположения тео-
ремы 6 и распределение величины слабо сходится
к мере F (•) на то распределение величины ^пгПп
слабо сходится к распределению с плотностью
г 1	।
” F(dy).
Jm
Теорема 6 легко может быть обобщена.
Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6
и пРи	00 ’ / = Ь 2, г, 0^! <	tr <Т >
Тогда совместное распределение случайных векторов
-я&р •••> ^nkr ^nkr—[i
слабо сходится к совместному распределению последова-
тельности
W (/0 — W (0), W (/2) — W	, w (tr) — w (tr-i),
где w (/)	m-мерный винеровский процесс.
Для доказательства рассмотрим теперь разность
( ( Г~1 )
сгп = М । ехр л i	।
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
261
где zh / = О, г — произвольные векторы из и
представим ее следующим образом:
г—1 г г k
~ М | еХР | i (^7 + 1)	^/) “*•
k=0	/=0
Г-1	\
-у X 12/|2^+1-//) (-
i=k+i	J
г fe-1
— ехр | (In Qnkj+i) — In (tnkj), «) —
* /=0
r-1	\	\	r-i
- 4 £ I •*/12 (*/+1 - Ш &Л = £ M {M (vnk 18„i) Iад.
/=£	'	'	k—Q
Что касается величины М(ап^|§п^), то она может
быть оценена с помощью неравенства (14) (с очевид-
ными изменениями). Теорема доказана.
Следствие. Если последовательность {£п&,
k= 1, ..., пгп} — мартингал с конечными моментами
второго порядка, причем
06)
и
" п
м g (l-X^)IAUI2->0
при /г->оо,
(17)
то последовательность мер q(*) в 3), соответствующих
процессам (/) — (0), слабо сходится к винеровской
мере.
Условие (17) является классическим условием Линде-
берга в центральной предельной теореме для сумм неза-
висимых случайных величин. Воспользовавшись нера-
венством Чебышева, легко проверяем, что из (17) сле-
дует (15) (при этом р^^О).
С другой стороны, в рассматриваемом случае приме-
нимо следствие теоремы 3, в силу которого семейство
мер, соответствующих процессам £n(Z), построенным по
последовательности серий {lnk, k=l,	n = b
2, слабо компактно.
262
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Представляет интерес обобщение предыдущих теорем,
допускающее, чтобы моменты времени tnk могли выби-
раться в зависимости от случая. При этом прежде всего
приходится требовать, чтобы выбор величин =
= /пб+1 — tnk не мог предвосхищать «будущее», т. е.
чтобы величины Atnk были ^-измеримы. При некоторых
дополнительных предположениях, которые сейчас будут
приведены, выкладки и оценки, использованные при дока-
зательстве теоремы 6, изменяются незначительно.
Таким путем получаем следующее предложение.
Теорема 8. Предположим, что:
а)	моменты времени &tnk — ^nk-измеримые случайные
величины, k=\, 2, ..., mn— 1;
б)	М | tnmn — Т | -> 0 при п->оо, где Т не зависит от
случая',
в)	выполнены условия (16) и (17).
Тогда распределение вектора tnm — слабо сходится
к распределению w(T), где w (/) — m-мерный винеровский
процесс. Если при этом tnmn — Т, т. е. не зависит от слу-
чая, то совместное распределение величин
(^го)> • • • >	(Jnkr—[>)
при	/= 1, 2, ..., г, по вероятности, где tj—не
зависит от случая, слабо сходится к распределению
и, более того, меры в 3), соответствующие процессам (I),
слабо сходятся к винеровской мере.
Для доказательства обратимся к теореме 6 и посмот-
рим, какие изменения в ее доказательство должны быть
внесены, с тем, чтобы оно переносилось на рассматри-
ваемый случай. Так как теперь, вообще говоря, tnm^ Т,
то в выражении для av появится дополнительное сла-
гаемое вида
М { %nm«exp {i (Z„Wn) - in (0), г)} x
X (exp { - (Г - tnmn) } - 1) |	,
стремящееся к нулю по вероятности.
§ з]
предельные теоремы
263
В некотором изменении по сравнению с доказатель-
т
ством теоремы 6 нуждается оценка суммы У, №. Сей-
fe=i
час ее можно оценить с помощью неравенства
С тп
м ] £ №
Sno [<-Ц^«м{и„|М+
Г тп
+12 I2 м < У, ди (1 — Хе (Ди))
Й=1
Так как функция 1И(1—Хе(И1)) выпукла вниз и
(1 - ь (Д/„»)) < М -1^11 (1 - х, (.
Поэтому из условия (17) вытекает, что при любом е > О
тп
lim М £ Ди(1 — Хе(Ди)) = 0-
П~>оо &=М
Учитывая условие а) теоремы, несложно убедиться,
что остальные преобразования и неравенства, использо-
ванные при доказательстве теоремы 6, остаются в силе
и в рассматриваемом случае.
Пусть {|л, n = 0, 1, ...} —мартингал с конеч-
ными моментами второго порядка. Положим
V’ = М
и допустим, что существует та-кая ^'Измеримая функ-
ция <р (и), что в смысле сходимости в
-4-гУу1->1.	(18)
<р(п) Zu	/
fc==i
Положим
= ,_Lu- gfe, /5=0, 1, П,
7<р(п)	"	<р(п)
264
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Тогда величины tnk — Ып0 + ... + &tnk-i ^_гизме-
римы, и
м {U+1 - Ink IS4 = О,
м {(U+I - U)2 Ш = ^k,
и мы можем применить теорему 8. Получим следующее
утверждение.
Теорема 9. Если для мартингала {%п, ^п, п=1,
2, ...} выполнено условие (в смысле сходимости в
(18) и для любого е > О
— У
Ф (п) Z-r
J (^-^dP-^Q
{(^-i)2>e?(P <")}
с вероятностью 1, то условное распределение величины
'	*.--(gn— g0) асимптотически нормально (0, 1).
Уф(п)
Замечание. Случайный процесс gn(/), построенный
по последовательности grt0, ..., tnk, рассмотренной в тео-
реме 9, обрывается в случайный момент времени tnn.
Поскольку ср(7г)->оо с вероятностью 1, мы можем про-
должить построение процесса grt (/) с помощью величин g„£
при k > п, с тем, чтобы он был определен на фиксиро-
ванном отрезке времени, скажем [0, 1]. Тогда из тео-
ремы 8 следует, что меры в 3) [0, 1], соответствующие
процессам grt (/), слабо сходятся к винеровской мере.
Условия сходимости к произвольному процессу
с независимыми приращениями. Напомним сначала, что
если Zh — семейство случайных векторов, g/2->0 при
А->0, и существует предел М (е1	2) — 1), то он
имеет следующий вид (т. I, гл. III):
Нт ~ЦН) М (Eft’ г) ~ 0 = * («> г) — ~ (bz, z) +
+ 1- п«
где П(-) — некоторая конечная мера, непрерывная
в точке 0. Параметр A (h) можно рассматривать как
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
265
естественное локальное время, соответствующее случай-
ному вектору £л.
В соответствии с этим допустим, что каждому век-
тору №>nk = ink+i ~~ 'ink можно сопоставить такую поло-
жительную неслучайную величину что
‘ м {е‘ (д^ г) - 11	= L (tnk, г) + р„ъ
Alnk
где
L (/, z) = i (a (f), z) — у (ft (f) z, z) -f-
+ $ (*' ”м -1 - ttHf) 4Fn »• *’•
/nf. = A/rto+ ••• + Mnk, a{t), bit), Пit, Л) — неслучай-
ные, a it)— векторная функция, bif)— неотрицательно
определенная матрица, П(/, Л) — конечная мера на й"1
(П(/, {0}) = 0).
Кроме того, предположим, что tnm — Т, max -> О
п	k
при /г—>оо и функция Z, (/, z) интегрируема по Риману
на отрезке [О, Г].
Теорема 10. Если выполнены предыдущие предпо-
ложения и
/тп~1	\
м (У lpnJA/„ft)->0 при п-+оо, (19)
то при п-> оо распределение вектора	слабо
сходится к распределению с характеристической функ-
цией
, т	1
J (z) = exp \ L (t, z) dt L
(э	)
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 6. Введем величину
а„ = М | ехр {г -1„0, 2)} - exp { J
266
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
и представим ее в виде
prt-'
оп = М S У ехр {I (lnk — g„0, z)} X
ь=л
/ г
Хехр
4 rnfe+l
L (I, г) di I М {5nk I Snfe} 8ло г ♦
где
/ 1
5nk = exp {i (Agnft, z)} — exp j j
' *nk
Заметим, что
I М {5nk ISn/J l*CI Pnk 1Мг&+
fnk+i
nk
J [L(t,z)-~L(tnk,z)]dt +
blk
/ ^nk+l	X \
xp < 0 L (t, z) dt > — 1 j
^nk
Учитывая, что ехр j \ L(t, z}di ? является характеристи-
ка	'
ческой функцией некоторого распределения, получим
для ап следующую оценку:
тп~1	тп~'
».<М g К.1Ч.+ Г ft,. Ч„. + С М
где 6nk — колебание функции L(t, z) на отрезке [tnk, tnk+il,
С (z) — константа, зависящая только от Г и от sup| L (/, z) |.
t
Полученное неравенство доказывает теорему.
Так же как. в случае сходимости к винеровскому
процессу, из доказанной теоремы легко получить сле-
дующий результат.
Теорема 11. Если выполнены условия теоремы 10
и tnk^ tj (j — 1, • ••,/*)» то совместное распределение раз-
ностей
• • • > ^>nkr
§3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
267
слабо сходится к совместному распределению векторов
I (/,) -1 (0), g (f2) - g (t{), ... , g (tr) - g (f^),
где I (t) — пг-мерный процесс с независимыми прираще-
ниями, для которого распределение величины	—
— g(s) имеет характеристическую функцию
/ s +h	\
J (s, s + h, z) = exp j j L (t, z) dt z.
Предельные теоремы для последовательностей се-
рий случайных векторов с конечными моментами вто-
рого порядка. Рассмотрим условия, сходимости последо-
вательности серий (1) к процессам, более общим, чем
процессы с независимыми приращениями. В соответствии
с предыдущими построениями мы предполагаем, что по-
следовательности gn0, ..., kmn поставлена в соот-
ветствие последовательность неслучайных моментов вре-
мени 0 < tnQ < tni < ... < tnmn = Т, и для величин
вводим представление
^>tlk	• • • > ^>nk) ktnk “Ь bnk (^n0>	> • • • >
где k = 0, 1, mn} — мартингал и
Определим на [0, Г]Х® [0, Г] функции
an(t,x(-)), О, *(•)) (^[0, Г], х(-)е0[О, Ш
положив
ап (/, х (•)) = ank (х (0), х (tni), ..., х (tnk)) при t <= [/„«>, tnk+i),
k — 0, 1................. — 1,
ап(Т, х( •)) = anmn—i (х (0), х , х 1))>
и аналогично определив bn(t, х(-)). Из определения сле-
дует, что если x(t) = y(t) при t е [0, $], то an(t, х(*)) =
= ап (t, у (•)) и Ьп (/, х (•)) = bn (t, у (•)) для всех t е [0, s].
Основное наше предположение теперь состоит в следую-
щем: при га->оо функции an(t, х(-)), bn(t, х{-)) сходят-
ся в [0, ЛХ^[0, Г] к функциям a(t, х(-)) и b(t, х(*))
268 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
соответственно. Точнее говоря, будем считать выполнен-
ным следующее условие:
lim sup {[1 +||х(-)II]”1 [ |an(t, х( —	x(-)) 1+
«->00 t G= [0, T]
X (•) 6= S) [0, л
+ ПДЛх(-))-ЦЛх(.))]} = 0, (20)
где || x (•) || = sup | x (/) |.
0	< T
В соответствии с нашей общей идеей, мы желаем
теперь установить сближение процесса (/), построен-
ного на последовательности серий случайных векторов (1),
с процессом £(/), являющимся решением стохастического
дифференциального уравнения
dl(t) = a(t, U*)) + P(t U’WO, (21)
где ф (/) —процесс, предельный для процесса tyn(t), по-
строенного по мартингалу фп^, k—1, тп. Чтобы
достичь этого, нам понадобится ряд оценок.
Наряду с системой случайных векторов (1) рассмотрим
последовательность серий {т]^, й = 0, 1, .тп},
п=1, 2, определяемую рекуррентной последователь-
ностью соотношений
Л«0 ”
^\nk Л«^ + 1 ^\tik
= ^nk-> Лп ( * )) ^nk + (Jnk, Лп ( ’ ))	(22)
где Л«(О = Л«/г при i(==[tnk, tnk+}), 6 = 0, 1, ..о, тп. Это
определение возможно, так как для вычисления значений
a(tnk, Л«(°))> £(^«ь Лм(‘)) достаточно знать только ве-
личины т]п0, Лпь Л^-
Лемма 2. Предположим, что выполнены условия (5),
(20) и, кроме того,
I ait, х( • )) — ait, у(-)) Ц-1 b(t, х( •)) — bit, #(•))!<
<С||х(.)-//(•)||. (23)
Тогда
М{ sup I л^ - Uk 121	(1 +| Шпг,
о г
где еп — неслучайная величина, e„—>0 при п~* оо.
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
269
Доказательство. Представим разность iw+i —
— U+1 в виде
k
Лп&+1	=== S (^п/> Л/z ( * ))	{tni> ^>п ( ’ ))] ^nj *4"
/=0
k
+ Е [6 Уп1, nn(-))-b (tnf, .))] Д‘Ф„/ +
k
+ X \а (tnh £«(")) — «п (in!, ^>п ('))] ktni +
/=о
k
+ E [b (tnl, ln(-))-bn (tnl, g„ (•))] At„/ =
/=0
у (0 i У <z/) । y(zzz) t У<^)
= Zak -г Zufe "T Zufe ~г Zak .
Положим
vrtft=M{ sup hn/ —gn/HSno}-
0 < / < k
Оценим суммы •••, SfeV) c помощью приемов,
аналогичных примененным при доказательстве леммы 1.
Например, пользуясь тем, что Xfe является мартингалом,
получим
M{Supix;'i’i8.»}<4M{is:i2iu<
i<k
k
< 4 £ М {I b (tnh n„ (•)) - b (tnl, £„ (•)) P Mni 18„o}.
Воспользовавшись неравенством (23), видим, что оце-
ниваемая величина не превосходит
k
4С vnJ №п}'
Используя (20), нетрудно получить неравенство
k
м {sup I S/V ГI fU < Е м {(1+ sup J lnr Р) A^| g„0},
i < k	j=3	r < /
где при п->оо. Аналогично оценивается величина
supie;i2 и sup i ег i2.
j^k	j^k
270
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Используя лемму 1, мы приходим к соотношению
k
^nk + 1	С ^nl	О “Ь I -п.0 I )>
/=0
где С' — постоянная, зависящая только от С и Г. От-
сюда следует, что
vnk+i (1 +|	|2)(ec'z - О-
Лемма доказана.
Из леммы 2 следует, что частные распределения про-
цессов %п (Z) и г]п (/) могут слабо сходиться только одно-
временно, причем соответствующие пределы совпадают.
Теперь удобнее перейти к исследованию предельного по-
ведения процессов r]n (/).
Пусть и и;;, k = О, 1, ..., тп, — последователь-
ности, построенные по формулам (22) при разных на-
чальных данных т]'0 = £',	= Аналогично лемме 2
можно доказать следующую лемму.
Лемма 3. Если выполнены условия леммы 2, то
м J i’1	1 v f’
где с' — некоторая постоянная.
Ранее были введены конечно-разностные аппрокси-
мации стохастических дифференциальных уравнений и
было показано, что они сходятся к решениям стохасти-
ческих дифференциальных уравнений (§ 1, теоремы 12
и 13). Докажем аналогичные утверждения для процессов
i]rt(Z). Роль конечно-разностных аппроксимаций процессов
'Ид (0 будут играть процессы £„(/), которые мы введем
следующим образом. Выберем некоторые значения tnk[,
tnk2, •••» tnkr, гДе г — фиксированное число. Положим
для сокращения записи tnkj = Sj, /=1, 2, .г, $ = 0,
5Г+1 = Г, и пусть
Сл (О) = ^о,
Сп (0 = in (sj) + а (Sh t,n (•))(( — Sj) +
+ & ($Л in ( * )) I’l’n («/)]
При t e [S/, s/ + 1), / = 0, 1.r —1.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
271
§ з]
Оценим величину
vn (0 = М { sup | П, (s) — (s) Р}.
0<s=/n/<t
Имеем
vn(T) <2Msupl2^|2 + 2M suplZfl2, (24)
где
г: - Г [a ft... ?„())-" ft,.. », ())] ы.. + <W.
k=Q
2"=I ft ft... ?.(»-< ft... 4, < •))] д;,. + < и,
k=0
И
-и.
м •))[*.»-MQ].
ПрИ t [/„у,	И Snk S/j еСЛИ	S/+i).
Заметим, что если tnk^[sit S;+i), то
I A Cn ( ‘ )) fl (^nfe> Лп ( ’ )) I
<|а($ь ?»(•)) — a(Si, i)„ (•))! +
+ 1 a(s{, T]n(')) — a(tnk, ц„(-)) |<
<C sup |t)«(s) —^(s)l + p(*n4—«/)( sup | ($) 1+0- (25)
s<si	s<fnfe
При этом мы ввели условие: при t > s
|a(s,x(-)) — a(Z, х( •)) Кр(/ — s)(l+ sup | x(f) 1),
(26)
где р (/), t > 0 — неотрицательная монотонно неубываю-
щая функция и р(0+) = 0.
Предположив, что такое же неравенство выполняется
для матричной функции b(t, х(‘))!
| b(s, х( •)) — b(t, х( -)) |<р(/ — s) (1 + sup |х(И1).
О < t' < t
(27)
Тогда неравенство, аналогичное (25), имеет место и для
разности | b {snk, (•)) “ ^ ^nk, П» (*)) I-
272
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ, II
Положим еще wn {t} = М sup |	(s) |2. Нетрудно уви-
деть, что
М sup | у 112< 2Т У С2М sup | (s) — Cn (s) I2 Mnk +
t	k	S < S-
+ 2Г У p (tnk — Sj) (1 + wn (tnk)) btak
k
или
Msup | у; |2 < 2TC2 У vn (Si) (sl+, - s{) +
+ 2Г2(1 + Wn (T)) p( |d I),
где|д|= max (sz+1 —s;).
0 < i < r
Оценим второе слагаемое в правой части неравен-
ства (24). С этой целью заметим, что сумма X" как
функция от t является квадратично интегрируемым мар-
тингалом. Поэтому
t
= 4М у | b (snk, U-Y)-b (tnk, Пп (•)) I2 ыпк,
k
откуда аналогично предыдущему получаем
М sup | У" |2 С 2С2 У) vn (Si) (sz+1 — Si) н-
-F2Tp(|6|)(l +wn(T)).
Таким образом,
vn (T) ^2СЦТ + \) У vn (Si)(sz+I - Si) +
+ р(|6|)С'(ш,г(7’) + 1). (28)
Оценка величины wn(T) вытекает из леммы 1:
®Л(Г)<С,(1 + М|Е„о12)-
Функция vn (t) монотонно не убывает.
Пусть vn(t) = vn(Si) при /e[s,-, хг+1). В неравен-
стве (28) можно заменить функцию vn(s) на vn(s), а Т
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
273
на любое /е[0, Г]. Мы получаем такое интегральное
неравенство:
У)<С1 $ vrtCs)ds + C2p(| б I),
о
откуда следует, что
vn(f) <с2р(| б |)^<С3р(| б |).
Здесь С3 является постоянной вида С3 = С'(1 +
+ М| Р) Р (I б I) и С' зависит только от С и Т. Тем
самым доказана следующая лемма:
Лемма 4. Если выполнены условия леммы 2 и не-
равенства (26), (27), то
М{ sup ln„(0-M0l2l^o}<CMI6|)(i+l W).
о < t <т
где | б |= max | s/+1 — |.
О < i < г
До сих пор не было сделано никаких предположений
о сходимости процессов Напомним, что процессы
ф„ (t), t е [О, Г] являются ^-мартингалами, где = $пк
при I S	причем
Естественно предположить, что предельный процесс ip (/)
также является квадратично интегрируемым мартинга-
лом относительно некоторого потока ст-алгебр {&, t<=
е=[0, Л} и
M{AW*I &} = /('-*),	(29)
где Д-ф = ip(0 — ip(s), s < t. Об условиях сходимости
к мартингалам с независимыми приращениями было ска-
зано ранее.
Итак, допустим, что выполнено следующее условие.
Тр Меры <?„(•,•) в пространстве 3lm X 3), порож-
даемые случайными векторами gn0 и случайными процес-
сами (/), t е [О, Г], слабо сходятся к мере Q (•, •),
соответствующей случайному вектору £0 и квадратично
интегрируемому мартингалу ip(Z).
Перейдем к доказательству слабой сходимости част-
ных распределений процесса к частным распреде-
274
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
лениям решения стохастического уравнения (21). Отме-
тим, что если выполнены условия леммы 2, то уравне-
ние (21) имеет единственное решение, обладающее конеч-
ными моментами второго порядка (теорема 3, § 1).
Пусть обозначает конечно-разностную аппрокси-
мацию решения уравнения (21), построенную по разбие-
нию
S = {O = so, s2, sr+i = I} отрезка [О, Т],
При этом мы несколько модифицируем определение про-
цесса £б(/). А именно, положим при
+ ^(.))(^-Sz) +
+ Ш, £в(-))Ш0-Ш)),
и (0) = £0- Нетрудно убедиться, что если выполнены
неравенства (26) и (27), то при этой модификации утвер-
ждение теоремы 12 § 1 сохраняется, так что
М{ sup 1ЫО-Ш12}-*о.
С помощью индукции легко проверить, что (/) при
каждом t является непрерывной функцией аргумента
и непрерывным функционалом от ф(«),	=
= £а,б)(Ь, Ф(-))- При этом ?„(/) точно так же выра-
жается через 1п0 и фп(х): (/) =	6) (tn0, ф„(-)).
Возьмем теперь произвольную последовательность
{tk, k=l, ..., р}, tk g- [0, Г], и произвольную непрерыв-
ную ограниченную функцию f (х0, xh хр), Х/^Л!П,
и оценим разность
r„=Mf(U .... Hb))-Mf(U n«(U •••> по-
имеем
I гп к М | f (?о,	• • • Л О - f (Ь, h ю.... .	о I +
+iм/(u ?eю,...лво-м/(u (td, ...л(iP))i+
+ М I f (U	Vl)’ - --Ла Vp)) - f (U Th K)>  • •, Tin Vp)) 1=
=d + ^ + K".
-Для произвольно данного e > 0 найдем сначала
такое 6, чтобы г' < е/3 и для всех достаточно больших п
г”' < е/3. Остается теперь заметить, что в силу предыду-
щих замечаний /(ЬЛбК), •••> h(iP)) = К/.в)(Ь, О),
§3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
275
f (£no> Zn (*1), •. • Лп (tp)> == Л/,6) (£«0> 'Фл (•)), где F(t, 6) (x, !])(•))
является ограниченной непрерывной функцией от х и ф.
Поэтому, если выполнены условия Ч^, то г'п~+0 при
п—>оо. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 12. Предположим, что последовательность
серий случайных векторов (1) удовлетворяет условиям
(5), (20) и функционалы a(t, х(-)), b(t, *(•)) — ус-
ловиям (23) и (26) и (27). Тогда частные распределения
процессов ln(t), построенных по последовательности (1),
слабо сходятся к соответствующим частным распределе-
ниям решения стохастического уравнения (21).
Важным частным случаем рассмотренной схемы яв-
ляется случай независимости коэффициентов a(t, х(*))
и b(t, *(•)) уравнения (21) от прошлого, когда
a(t, x(-’)) = a{t, x(t)), b(t, x(-)) = &(/, x(t)). (30)
Уравнение (21) тогда принимает вид стохастического
дифференциального уравнения без запаздывания:
dl = a (t, I (/)) dt + b (t Л (0) d^ (t), | (0) = g0, (31)
а функции a (t, x), b (t, x), (t, x) e [0, Л X должны
удовлетворять условиям
\a(t, x)\ + [b(t, x)|<rC(l+|x|), (32)
\a(t, x) — a(t, y)\ + \b(t, x) — b(t, y)\^C\x-y\.	(33)
Если при этом мартингал ф(0 оказывается процессом
с независимыми приращениями, то уравнение (31) является
уравнением без последействия и
t	t
А (х, t) = a (t, х) dt + b (t, х) йф (f) <= S (С, С),
о	о
Для рассматриваемого случая мы можем несколько
уточнить теорему 12, заметив, что g5(Z) при t е (si, sJ+)]
является непрерывной функцией аргументов g0, Лф(х^)=
= Ф (s$+i) — Ф («Д k = Q, 1,	—1 и ф(/) —Ф(вг).
Таким образом, введенные ранее функционалы
F(t,6)(x> х(")) являются непрерывными функциями
от х и конечного числа разностей вида ,x(tk+i) — x(tk).
Мы можем ослабить условие Ть заменив его следующим.
276 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Т2. Для любых г и tk, tk [О, Т], k = 1, г, со-
вместное распределение случайных векторов
М1)> 'ФпЮ,
слабо сходится к совместным распределениям случайных
векторов
U Ф(О> • • •, ФК),
заданных на некотором вероятностном пространстве, где
ф(/) — квадратично интегрируемый мартингал, удовлетво-
ряющий условию (29).
Теорема 13. Предположим, что последовательность
серий (1) удовлетворяет условию (20), причем функцио-
налы ait, х( •)), b(t, х( •)) являются функциями вида (30),
удовлетворяющими условиям (26), Д7), (32) и (33), а мар-
тингалы tyn(t) удовлетворяют условиям Ч/2. Тогда част-
ные распределения процессов (Z) слабо сходятся к соот-
ветствующим частным распределениям решения % (/) сто-
хастического дифференциального уравнения (31).
Если выполняется условие Линдеберга: для любого
е > 0
тп~[
Е (s) | ДфпJ2-> 0 при п-> оо, (34)
k~ 1
где х^(е)=1, если | Д^^ |^>е и (в) = 0 в противном
случае, то условие Ч;2 выполняется, ф (/) является вине-
ровским процессом, и меры qn(-), соответствующие слу-
чайным процессам £n(t), слабо сходятся в к мере,
соответствующей решению стохастического уравне-
ния (31).
Предельные теоремы для стохастических диффе-
ренциальных уравнений. Рассмотрим стохастические
дифференциальные уравнения
dlu = Аи (U dt), U (0) = Й, t е= [0, Т],	(35)
зависящие от параметра и е [0, «0]. Здесь
t
Аи (х> 0 = $ а« s) ds + (х, I),
о
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
277
S3]
и Л„ е S (л“, Л&). Одна предельная теорема для таких
уравнений была рассмотрена ранее (теорема 11 § 1).
Здесь мы рассмотрим условия слабой сходимости мер
</„(•), порожденных решениями уравнений (35) в Ф
(0 = 0™ [О, Т]). Докажем следующую теорему.
Теорема 14. Пусть выполнены следующие условия:
a)	lim sup Р { sup | (/) | > N} — 0;	(36)
w-»oo u<=|0, u,|	0</<Г
б)	для любого АГ1 > 0
lim sup Р { sup кы, (t) > АГ} = 0;	(37)
M->OO U = |J, Ио]
в)	частные распределения случайных функций
t
j au (x, s) ds, ри (x, t)
о
слабо сходятся при u-*Q к соответствующим распреде-
лениям случайных функций:
t
а0 (х, s) ds, Ро (х, 0;
о
г)	распределение вектора при и-^-0 слабо схо-
дится к распределению вектора £°.
Тогда меры qa(‘) слабо сходятся к Цо(‘)-
Заметим, что в теореме 14 не предполагается, что
функции Au(t, х) заданы на одном и том же вероятно-
стном пространстве.
При доказательстве теоремы будет использована сле-
дующая лемма (ср. с теоремой 10 § 1) о малых возму-
щениях стохастических дифференциальных уравнений.
Лемма 5. Пусть
= Аа (0, dt) + А6а (|„ (0, dt), б > 0,
!«(0)==& «е[0, «о].
и выполнены следующие условия:
а)	Аи(х, t)^S(k“, Ш причем функции Л.“ и Хы удо-
влетворяют условиям (36) и (37);
278 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
б)	(a, t) S (Лэ, Км ), где Лэ (/) — та же функция,
что и в условии а), и, кроме того,
I <*««(*, ОКЫ*. t),
Т / + А?
М { | Ар6„ (х, О I21 в J < М И Y2„ (X, s) ds |
t
lim sup P { sup vL (a, t) > e ) = 0
d->0 «g=(0, щ] Te[0, T]	7
|X1
для любых e > 0, N > 0;
в)	распределение начального вектора при и~>0
слабо сходится к некоторому пределу.
Тогда
Р { sup I lu (t) — (t) | > 8} -> О при 6 —> О
равномерно относительно и.
Доказательство. Пусть 8Z — произвольное задан-
ное число, 8Z > 0,
T = inf{/: ЛЭ“(/)>АГ, KuNl(t)>N2, sup уё„(х,
если указанное множество значений t непусто и х — Т
в противном случае. Здесь N,	и N2 положительные
числа, выбор которых будет уточнен ниже. Отметим
пока только, что из неравенства
Р {т < Р { sup Ло (/) > N, sup (/) > М2} +
+ Р { sup Ysu (*> t) > e'}
I x |<jVj
и предположений леммы следует, что для произволь-
ных и 8 > 0 можно найти такое достаточно малое So,
не зависящее от и, N и N2, и такие достаточно боль-
шие АЛ Л^2, не зависящие от и, г! и 6, что
Р {Т < Т} < 8
при	и 6<дэ-
Построим функции а'(х, t) и р'(х, t) так, чтобы они
совпадали при |х|^А0 с а„(х, /) и рц(х, t) соответ-
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
279
ственно и принадлежали классу S (Л“,	), где Xй = \и (t)
не зависит от N и (/) ^ 1 + Xjy, (f). Положим аи (х, t) —
— а'и (х, t) при t т, а„ (х, t) = 0 при t > т, (х, t) =
= р'(х, /Дт), а6и(х, 0 = ави(х, t) при йвДх, t) = 0
при t > т, рвм(x,_t) = p6u (х, /Дт). При этом Аа(х, t)<=
<=S(1V, A/\ + 1), А6и (х, t) eS(N, Ш где
t
Аи (х, /) = ^ аи (х, s) ds + р (х, /)
о
и аналогичное значение имеет А&а(х, t).
Рассмотрим следующие уравнения:
dr\(0 = Аи (п (0, dt),
= Л) + Лвв(п(П, dt),
п(О) = п(О) = Й.
Решения этих уравнений существуют, причем u (t) = %и (t)
до тех пор, пока t<r и | т] (t) | < Aft, и аналогично,
Л (0 = L (0> пока t < т и sup | fj (s) | < N\.
s<t
Оценим разность т] (/) — fj (t).
Заметим, что
P{ sup ln(0 —f)(0l> e}<P{ sup | fj(OI>AT|} +
O^t^T
+ P{ SUP Iu(Mti) — й^ДтООв},
0<i<T
где Ti = inf {/: | fj (t) | > NJ (inf 0 — T).
Из предыдущих результатов (§ 1, теорема 7) выте-
кает, что
м{ sup ।й(орiso}<(i+k°«l2)<w
о</<т
Следовательно, для любого Со > 0
Р { sup | fj (/) |> AM <	+ Р {|l?J > Со}.
0</<Г	Nt
280
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ И
Положим
v„(/) = M sup | n(sATi) — f) (sA^i) |2.
Так как
] [aa (П (s), s) — au (fj (s), s)] ds
о
то, используя ранее примененные приемы, получим
ou(/)^12M sup
(f) (s), ds)
2	t
+ C{N2)^VU (s) ds,
0
где C (AA2) зависит только от Г и N2- Из последнего ин-
тегрального неравенства следует, что
vu (0 < С' (АУ М sup
sATi	2
$ (n (s), ds) .
0
Имеем, далее,
M sup
sAt,
ds)
2 z fATt
<2 1/M j | aSu (fj (s), s) |2cfs 4-
'	0
+ M sup
sAt,
j ₽6«(n(s)> ds)
0
MTtAT
<(2/ + 8)M	Y|„(n(s), s)ds
Учитывая определение случайных моментов времени т
и ть получим
ги(/)<е'С"Ш
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
281
Отсюда следует, что
Р{ SUp In^ATj)—Т)(/ДТ1)|>8}<
г'С" (#2)
е2
И
Р{ sup |т](0 —п(01>е}<
<Р(1е|>Со}+0±^+££^>.
/V ।	в
Далее,
Р{ sup | Ш - lu(t) |>е}<Р{ sup 1ЫО-П(О1>О) +
+ Р{ sup [!](/) — п(0 1>е}Ч-Р{ sup I fj (/) — lu(t) |>0},
причем
Р{ sup |gu(0 —П(01>0}<
<Р(т<П + Р{ sup h(0 |>yj
и аналогичное неравенство имеет место для величины
Р{ sup | (0 — Л (О I > 0}. Таким образом,
_ |и |>е} <2Р(Т<Г)+зрж 1>с«}+
3(l+Cj)C(»>	е'с"(»,)
+ + •
При заданном в мы можем теперь выбрать в следующем
порядке не зависящие от и константы Со, N, N2
и в': сначала выберем Со из условия ЗР {11°и | > Со} <
а затем ^, такое, что
2Р{ sup
затем определим так, чтобы выполнялось неравенство
3(1+C^)CW/^<|.
282
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
Далее, пусть N2 таково, что
2Р{ sup
,	8ZCZ/(А^) ^8	.
определим е из условия —...........-- < у и, наконец, б0 вы-
берем так, чтобы при б < б0
2Р { sup у6и (х,	< 4- •
lx 1<A1
Тогда окажется, что Р { sup |	(/) — lu (t) | > е} < 8 для
всех б < б0 при любом zz<s[0, uQ]. Лемма доказана'.
Доказательство теоремы 14. Поскольку усло-
вие а) теоремы обеспечивает слабую компактность мер
в 3), соответствующих решениям уравнений (35), для
доказательства теоремы достаточно убедиться в сходи-
мости частных распределений процессов £w(/) к соответ-
ствующим частным распределениям процесса £о(О- Мы
докажем это сначала для полей att(x, t) и (х, /), имею-
щих частный вид, а затем перейдем к общему случаю.
Пусть
au (х, 0 = X (х) aku (i),	(х, 0 =	(х) 0* (С,
/3=1	k=l
где а^(х),	&=1, ..., г,—неслучайные скалярные
дифференцируемые функции с равномерно ограниченными
производными, p^(Z) — квадратично интегрируемые мар-
тингалы и
|а„Л|<Лэ (Д k — 1, г,
A t	'
Предположим, что функция Лэ (/) удовлетворяет условию
(36), при и->0 частные распределения составного п po-
x' t	t	\
цесса I j аЦ«) ds, .... J aru(s) ds, 0Д/), .... РД/) I слабо
Ao	о	/
§3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
283
сходятся к соответствующим распределениям некоторого
процесса ( ( alu (s) ds, ..., ( a' (s) ds, 0* (f), ..., 0' (/) и
'*0	О	/
случайный вектор В° сходится по распределению к век-
тору |0.
При этих дополнительных предположениях докажем
утверждение теоремы 14.
Пусть tk, Zfee[0, Т], k=l, s — заданная после*
довательность чисел. Введем конечно-разностные аппрок-
симации Еви(0 решений уравнений (35), причем будем
предполагать, что точки tk, k = \, s входят в раз-
биение б. Так как условия замечания к теореме 13 § 1
оказываются выполненными, то для любого е > 0 можно
найти такое б0, что при | б | < б0
Р{ sup | Вв(0 —1>е}<е
для всех u^[Q, Uq]. Пусть f (хь xs) — произвольная
непрерывная и ограниченная вместе со своими частными
производными первого порядка функция,	Имеем
< I М (ИМО, • • •	&)] - f IU (/i). • • •,	(4)D I +
+ 1 М/[ёв„(б), ..., Ш-М[Ы1)..........Ы(ил+
+1 М (f [g60	., g60 (QI - f [go (ti), .... go (QI) I=
= Л + Л + Л-
При этом
/l<C[s + P{ sup |Ы(0-М)1>8}],
0<i<T
/3<С[8 + Р{ sup ||М)~М)1>е}],
0<<<T
где C — некоторая постоянная. Таким образом, незави-
симо от значений и при | б | < б0 Л + /3 4Се. Кроме
того, нетрудно увидеть, что /[geu(^i), ..., g6u(<s)l является
непрерывной и ограниченной функцией величин
s/+i
J au(s)ds, ^k(si+l) — ^k(sl), ] = Q, i,
si
284
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. И
где Sy — точки, образующие разбиение б. Поэтому при
выбранном б
/2= м/[g6w(/1),•••> Ы6)]-*о,
когда w—>0= Таким образом, слабая непрерывность
частных распределений процессов £й(/) при и—>0 в рас-
сматриваемом случае доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 14 в общем
случае.
Введем поля А6и(х, f), аппроксимирующие Аи(х, /),
ие[0, щ]. С этой целью для каждого б>0 построим
в сфере |х|б-сеть хь х2, ..., хПб и систему
функций gj(x), /= 1, .о., удовлетворяющих следую-
щим условиям: gj(x)^O и gy(x) = O при | х — x-j |^б,
«б
1*1^ у функции gj(x) непрерывно диффе-
7=1
ренцируемы.
Положим
&6а (х, f) = Е gj (х) аи (xh t),
nt>
₽6«(*, Z) = .§	₽«(*/> О,
t
(x, f) = a6u (x, s) ds +	(x, t),
0
t
(x, f) = Asa (x, t) — Au (x, t) = j a6„ (x, s) ds + p6„ (x, t).
о
Введем стохастические дифференциальные уравнения
^„(0 = 4(nB(0, dt), n„(0)=4°, /е[0, Г]. (38)
Заметим, что если выполнены условия теоремы 14,
то при любом фиксированном б уравнения (38) удовле-
творяют условиям, приведенным в рассмотренном частном
случае.
§ 3J
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
285
Пусть f(xi, xs) снова обозначает произвольную
непрерывную и непрерывно дифференцируемую функцию,
ограниченную вместе со своими частными производными.
Положим
ММ-.,	^оО = /1+/2 + 4
где
Л = М№(/1), LO-fhnW, Th О,
Z2= Mf [Пи (?i), •••> пЖ)]— Mfho(^i), По (01.
/3=м(/[поа1)....по о -f [м/i),.... о).
Из рассмотренного ранее частного случая теоремы 14
следует, что J2->0 при любом фиксированном б, когда
и->0. Таким образом, для доказательства теоремы до-
статочно убедиться, что	при б~>0 равно-
мерно относительно и. Для любого 8 > О
Л + /3<С(2е + Р{ sup |^Ю-пи(/)1>е} +
о<г<т
+ Р{ sup |go(O-no(/)l>e}),
о<г<т
где С — постоянная, зависящая только от функции
f(Xt, xs).
Покажем, что к уравнениям (35) и (38) применима
лемма 5. С этой целью заметим, что при | х | Nq < у
I Ща О I== I 0 О I
yZj gj (-^) I I) (%> I
< Е gl (*) I «а (*/, 0 — аа (*, I <	(0-
/• | Ху—х | <д
Аналогично,
М{|Арвв(х, /) Р| <
«6	"6
< Е gj (X) Ё М {gf (X) I Арц (Xj, t) — Ар„ (х, t) Р| &} <
<62М { J Aw,(s)^lS<}-
286
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Кроме того, легко проверить, что
|й6и(х, 0X2(1 +|х|)М0,
f t 4-
М{| Д₽6ж t) I2I&}<2(1 +|Х|2)М ] J ^(s)ds|&
t
Полученные оценки не зависят от и, и мы видим, что
условия леммы 5 выполнены, причем
sup Y^„(x, 0<62 sup №(t).
t(=[\T\	t(=={Q, T] 7V
I X|<N
Поэтому можно найти такое So, не зависящее от w, что
Л + Л < 4Св при 6 < 60. Теорема доказана.
Пример. Колебания с малой нелинейностью. Рас-
смотрим уравнение колебаний с малыми нелинейными
членами,
= ед + д/е f2 (х, 77) w (t),	(39)
где х = х(/),	(х, у), f2(x, у) — скалярные функции,
8 —малый параметр, w (t) — винеровский процесс.
Уравнение (39) следует понимать как систему двух
стохастических дифференциальных уравнений вида
dx = (— со2х + efj (х, х)) dt + л/e f 2 (X *) dw (/),
dx = tdl.	(40)
Применим к системе (40) обычную методику исследо-
вания нелинейных колебаний. Введем замену переменных
х = a cos ф, х— — acosinip, ф = со^ + 9
или
Й==д/Х2 +ф = _ arctg .
Чтобы получить уравнения для величин а и 9, вос-
пользуемся формулой Ито. Получим следующие
§ з]
Предельные Теоремы
287
соотношения:
в) to,
‘,в“=(-55г?.<“’ е> +£$-№• ’>)*-
отличающиеся от тех, которые мы получили бы, если
процесс w(t) был бы дифференцируемым, наличием до-
полнительных слагаемых е -g^- Fl (а, 6) в первом урав-
нении и	И(а> 6)“во втором, где
fi(a, 0) = ft (a cos ф, — юазшф), /=1, 2.
Введем вместо t новое время, и положим
йвЮ = д(т). о8(О = е(4-). М0==(<ШМ)).
Тогда
^е(/) = Л8(|8(0, dt),
t
А[(а, е, 0=	9, s)d$ + ₽*(a, 9, /), * = L 2,
о
где
sin Г— / + 9^
а; (а, 0, 0 ---Ц-----J- h (а, | f + 0) +
cosf^-Z + o')
»:<». ч. <)=—Цг—ч, («, т'+в)+
288
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
_ //8
Р' (а, 0, /) = — j f2(a, cos + 0) sin (cos + 0) dw (s),
о
_ f/8
Pg (я, 6, 0 = — f 2 (a, <*>$ + 9) cos (ws + 9) dw (s).
0
Нетрудно убедиться при довольно общих предположе-
ниях О функциях f! (х, х) и f2(x, х), ЧТО При 8-» О
t
otg (а, 6, s) ds -> tfl (а),
о
t
J аЦа, 0, s) ds -> tf2 (a),
о
где
2л
= j [—Л (асоэф, — aa sin ф) +
0
+ fl (acosip, —асо8тф)-^-^]с/ф,
2Л
=	[—f, (a cos — a® sin ф) +
+ fl (a cos ф, — a® sin ф) -дат] dty.
С другой стороны, p8 (a, 0, f) является гауссовским полем
с независимыми (во времени) приращениями, причем
//8
М (р* (а, 0, Z))2 = fl (a, ®s + 0) sin2 (cos 4- 0) ds,
мр'(а, е, I) р2(а, 0, t) =
//8
= j h {a, cos + 0) sin (cos + 0) cos (cos + 0) ds,
о
t/e,
M (P2 (a, 0, 0)2 = -^2 f2 (a, cos + 0) cos2 (cos + 0) ds.
0
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ТЕОРЕМЫ
289
4 31
При е -> 0 корреляционная матрица поля ре (а, 0, t) схо-
дится к следующему пределу (й > 0):
(6п(а) Ь12(а)\
. J L
612 (a) 622(a)/
где
2 л
Ьц(а)= /^(асоэф, — <оа sin ip) sin2 ф dty,
о
2 л
bl2 (а) ~ 2^7$ /^(асрзф, — иа sin ф) sin ф cos ф йф,
о
2Л
&22 (а) =	$ f2 (а cos Ф- “ ®а sin ф) cos2 ф йГф.
о
Матрица
В(а) — {Ь{к(а)}
— симметрическая и неотрицательно определенная. По-
строим теперь неотрицательно определенную и симметри-
ческую матрицу
о (а) = {07*}, I, Й= 1, 2,
так, чтобы
с2 (а) —В (а).
Частные распределения поля р8(а, t) слабо сходятся
к частным распределениям поля
Р0(а, 0 = {Pi(«> 0, Р02(а, *)},
которое можно задать с помощью соотношений
Ро (а, /) = сгн (а) йу, (0 + а12 (а) йу2 (t),
Р2 (а, 0 = <т12 (а) ну, (0 + а22 (а) йу2 (/).
Здесь йУ1 (/) и йу2 (0 обозначают два независимых вине-
ровских процесса.
Ю И. Гихман, А. Скороход, т. III
290
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II
Таким образом, если выполнены остальные условия
теоремы 14, относящиеся к характеру регулярности функ-
ций fi (х, х), f2(x, х), то можно утверждать следующее:
решение уравнения (39) можно представить в виде
х (т) = а<г W cos (т + 0	’
х (у) = — СОЯе (0 Sin	+ 0£ (/)} ,
причем распределения случайных процессов (ае (t), 0е (/))
при е—>0 слабо сходятся к мере, соответствующей про-
цессу (a (t), 0 (/;), являющемуся решением стохастического
дифференциального уравнения
da — fi (a) dt -f- au (a) dw{ + a12(a) dw2,
dQ = f2 (a) dt + a12 (a) dwx + o22 (a) dw2.
ГЛАВА III
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В
§ 1. Процессы Ито
При изучении решений стохастических дифференци-
альных уравнений нам уже приходилось сталкиваться
с процессами, имеющими стохастический дифференциал
Ито, т. е. представимых с помощью стохастических ин-
тегралов по винеровскому процессу. Такие процессы по-
лучили название процессов Ито; в этом параграфе будут
рассмотрены их основные свойства.
Определение и некоторые свойства. Будем считать
фиксированным некоторое вероятностное пространство
{Q, 21, Р} и поток а-алгебр {§/, ^0} в этом простран-
стве. Пусть w (/) — винеровский процесс на этом про-
странстве со значениями в подчиненный с пото-
ком gf, это значит, что w (/) является ^-измеримой вели-
чиной, a w (s) — w (t) при s > t в совокупности не зависят
от а-алгебры Через SWj [0, Т] обозначим множество
измеримых функций f (s, со), которые для всех s е [0, Т]
^-измеримы как функции от о и для которых
( Т	1
Р М | f(s, со) | ds < оо i = 1.
Процесс т)(0, /е[0, Г], со значениями в SR? будем назы-
вать процессом Ито относительно %t)} если суще-
ствуют такие объекты:
а) ^-измеримая величина г|0; б) измеримая и для всех
s — как функция от о — ^-измеримая функция а ($, о)
со значениями в и в) измеримая и Для всех s — как
10*
292
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
функция от © — ^-измеримая функция B(s, со), значе-
ниями которой служат линейные операторы из в
что
t	t
ц (0 = Цо + § a (s> ds + В (s, со) dw (s), 0 <	(1)
о	о
и при этом
| a (s, со) | + Sp В (s, со) В* (s, со) е 9)?! [О, Г].
Последнее условие, очевидно, необходимо и достаточно
для существования интегралов в левой части (1). В даль-
нейшем будут рассматриваться в основном процессы Ито
в через	будем обозначать множество линей-
ных операторов в 9Еп. Все рассматриваемые случайные
функции будут предполагаться подчиненными потоку {gj.
Один из первых вопросов, возникающих после опре-
деления процесса Ито, это вопрос, можно ли по такому
процессу определить функции a (s, со) и В (s, со) и как
это сделать? Для решения этой задачи нам потребуется
одно важное характеристическое свойство одномерного
винеровского процесса, установленное П. Леви.
Теорема 1. Если j (0 — непрерывный процесс в 9$
и существует такой поток в-алгебр что	и
(g2 (0 — /, являются мартингалами, то £, (0 вине-
ровский процесс относительно потока
(Доказательство этой теоремы содержится в § 3 гл. I,
теорема 3.)
Приведем некоторые следствия из этой теоремы.
Следствие 1. Если b(s,®)^9lm и | b (s, со) 1= 1,
то процесс
w (t) = (b (s, со), dw ($))
о
является винеровским.
Следствие 2. Если £,(0 — непрерывный процесс
со значениями в 9lm и для некоторого потока о-алгебр
и всех z е 9lm, h > О
М(Ш0ЧШ = о,
М ((£(* +А) г)2Ш = /г|г|2,
то g (/) — винеровский процесс в 9lm.
§ И
ПРОЦЕССЫ ИТО
293
Это вытекает из того, что при каждом z е 31т про-
цесс (§ (/), z)/| z | будет винеровским процессом в SLm.
Следствие 3. Пусть B(s, со) при всех s и «о яв-
ляется унитарным оператором в Тогда
t
£ (/) = В (s, ©) dw (s)
о
будет винеровским процессом в ЗТп.
Действительно, (£(/), 8/) будет мартингалом, а
м<шл)-т z)w=
= М
(B(s, <b)z, cZay(s))
/f+Л	\
=	| B(s, co)z pds |S/J = h\z p.
Следствие 4. Пусть wt (i) — винеровский процесс
в $!' относительно потока {§*}, a (s, о) — числовая функ-
ция и для всех / > О
t
a2(s, со) ds < оо,
о
оо
а2 (s, со) ds = оо,
Т/ определяется из равенства
xt
а2(s, в>) ds.
о
Тогда процесс
xt
a(s, <a)dw(s)
о
является винеровским относительно потока а-алгебр
& = 8V />0.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что — марковг
ские моменты, следовательно, (КО, §t) будет мартингалом,
294
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
причем
М[(Ц/ + А)-Ш)2Ш=м[ J a2(s, со)^ U/г.
V/	/
Теорема 2. Процесс Ито tj (/) вида (1) определяет
функции a ($, со) и В (s, со) однозначно почти всюду по s
и со относительно произведения лебеговой меры на пря-
мой и меры Р.
Доказательство. Достаточно установить, что
из равенства нулю тД/), определяемого формулой (1),
вытекает равенство нулю почти всюду функций a (s} со)
и В (s, со).
Пусть для t е [О, Т]
t	t
О = a (s, со) ds + В (s, со) dw (s).	(2)
о	о
Из (2) легко получить, что для всякого z
t	t
О = (a (s, со), z) ds + (В (s, со) г, dw (s)).	(3)
о	о
Пусть f (s, со) — произвольная ограниченная измеримая
функция. Из (3) вытекает равенство
t	t
(f (s, со) В (s, со) г, dw (s)) = — f (s, со) (a (s, со), z) ds.
и	о
Положим f (s, со) = sgn (a (s, со), z). Тогда
t	t
(f (s, co) В (s, co) г, dw ($)) = — | (a (s, co), z) | ds. (4)
о	о
Положим
T
= Г, если | В (s, co) z |2 ds Af,
о
и
t	T
^=inf[Z: \B (s, co) |2ds > ДГ], если \B (s, co) г f ds >
 0	0
§11
Процёссы ИТО
295
ZN — марковский момент относительно потока {&} и
М J (f (s, со) В (а, со) z, dw (а)) = О,
о
так как
[Cw	-12
(f(s, со) В (a, a)z, dw (a)) I ’CJV.
о	J
Подставляя в (4) вместо t величину Zn и беря матема-
тическое ожидание, находим
In
М j | (a (а, со), г) | ds = 0.
о
Но j Т при оо. Значит,
т
М | (a (s, со), г) | ds = 0.
о
Из этого соотношения вытекает, что с вероятностью .1
т
a(s, со) |ds = 0.
о
Значит, в (3) первое слагаемое равно 0, так что для
всех t
t
(В (s, со) z, dw (а)) = 0.
о
Но тогда с вероятностью 1
rStf	-12
I (В (а, со) г, dw (а)) I =?=0.
Lo	J
296
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
Беря математическое ожидание, а затем переходя к пре-
делу при N—>oo, получим
т
М J | В (s, со) z |2 ds = 0.
о
Это завершает доказательство теоремы.
Найдем условия, при которых процесс Ито является
винеровским процессом. Для этого докажем сначала две
леммы.
Лемма 1. Пусть
t	t
£ (/) = ^ a (s, со) ds + р (з, со) dw{ (з),
о	о
где (/) — винеровский процесс. Если | (/) является мар-
тингалом, М£2(Т)< оо, то a(s, со) = 0 почти всюду от-
носительно произведения меры Лебега на прямой и
меры Р*
Доказательство. Положим
т
= Т9 если р2 (s, со) ds N,
о
й
[t	q	t
t: p2 (s, co) ds > АЧ при p2 (s, co) ds > П,
0	Jo
In (0 = ^A^)-
Если *ф (з, co) — ограниченная Измеримая функция, то,
Поскольку является квадратично интегрируемым
мартингалом,
т
0= М ф(з, со) d$N (з) ===
о
In	trt
«= М ф (з, со) а (з, со) ds + М р (s, со) dw{ (s)*
о	о
§ 1]
ПРОЦЕССЫ ИТО
297
Значит,
In	In
0 = М signa(s, и) • a(s, a)ds = М | a(s, to) Ids.
о	о
Переходя к пределу при 2V-»oo, получаем требуемое.
Лемма 2. Если
t
| (/) = р (s, to) dwt (s) и М sup £2 (0 < оо,
о
то
т
М р2 (s, (d)ds < оо.
о
Доказательство. Покажем, что |(О — мартин-
гал. Пусть
г	t+e
hN = sup I б < h: p2 (s, to) ds < N
L	t
Тогда
hN->h при У->оо. Так как
u
P (s, to) dw{ (s) < 2 sup \ p (s, to) dw{ (s)
“ oJ
и выражение справа интегрируемо с квадратом по мере Р,
то в (5) можно перейти к пределу при ДГ->оо. Пусть Z,n
определено, как в лемме 1. Из того, что £(/) —мартин-
гал, вытекает равенство
М|2 (Г) = М К (Т) -102 + Mg2 (^).
Значит,
М J p2(s, to)ds^M^2(T),
о
298
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Переходя к пределу при jV->oo, завершаем доказатель-
ство леммы.
Теорема 3. Если процесс Ито г](/), определяемый
формулой (1), является винеровским процессом в
относительно потока {g*J, то
т]о = О, a(s, со) = О, В (s, co) B*(s, со) = 1
для почти всех s и со (I — единичный оператор).
Доказательство. Пусть выполнены условия тео-
ремы. Тогда г)о = О и для всякого z е
t	t
(т) (/), z) = (a (s, со), z) ds + | В (s, со) z | dw\ (s),	(6)
о	о
где
о
является винеровским процессом в силу следствия 1 из
теоремы 1. Так как (т](/), z) является мартингалом отно-
сительно и М (п (О, г)2 < оо, то из леммы 1 вытекает,
что (a (s, со), z) = 0 для почти всех s и со. Поскольку
для винеровского процесса
М sup (г] (/), z)2 < 00,
то для всех z
t
М | В (s, со) z |2 ds < 00.
о
Пусть b (s, со) — некоторая ограниченная функция со
значениями в Slm. Тогда
t	t
(& (s, со), dx\ ($)) = (В (s, со) b (s, со), dw (s)).
о	о
Следовательно,
t	t
t = М | В (s, со) b (s, со) |2 ds — М | b (s, со) |2 ds
Q	о
ПРОЦЕССЫ ИТО
299
$ И
и, каково бы ни было b (s, а),
M|B(s, ©)6(s, а) Р= М|&($, а) р.	(7)
Пусть bi (s, а) совпадает с тем г, где достигается
минимум | В (s, a) z | при | z | = I, b2(s, о) совпадает с тем z,
где это выражение достигает максимума. Тогда
М (| В (s, ©) b2 (s, ©) Р — I В (s,*a) bt (s, ©) Р) = О,
и, значит, | В (s, ©) bt (s, ©) | = | В ($, о) b2 (s, ©) |. Поэтому
при всех z, для которых |z|=l,
| В (s, о) bi (s, а) | = | В (s, а) г | = | В (s, о) b2 (s, а) |.
Следовательно, взяв любой вектор z0 е можем утвер-
ждать, что оператор
|В(Л)г0|	=	®)
является унитарным. Пусть 1/| В ($, со) г01 = а ($, со). Тогда
из (7) находим
М| b(s, со) |2(1 — а2($, со)) = О.
Отсюда в силу произвольности | b (s, со) | заключаем,
что <x2(s, со) = 1 для почти всех s и со. Тем самым уни-
тарность В (s, со) установлена.
Замечание. Если винеровский процесс т](/) —про-
цесс Ито относительно (w (t), &), то w (t) также является
процессом Ито относительно (т) (/),&); именно,
t
w(t)= В* (s, со) dirj (s),
о
если
t
т) (t) = в (s, со) dw (s).
о
Это вытекает из равенства B*(s, (a)B(s, co) = Z.
Следствие. Если т)(/) — винеровский процесс, являю-
щийся процессом Ито относительно (w (/),&), то всякий
процесс Ито относительно (т) (/), §/) есть процесс Ито от-
носительно	и всякий процесс Ито относительно
(^(0>В/) есть процесс Ито относительно
300
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
Прежде чем решить вопрос о выражении функции
a(s, со) и B(s, со) через процесс т) (/), определяемый фор-
мулой (1), изучим процессы, выражаемые стохастическими
интегралами.
Пространство Ито. Рассмотрим множество процессов
состоящее из процессов вида
t
ц (t) = (b (s, со), dw (s)), t е [0, Г],
о
где £(<$, со) — измеримая функция со значениями для
которой
т
I b(s, со) |2 ds < оо.
о
IT (w (t)> S/) является линейным пространством. Будем на-
зывать его пространством Ито. Важным свойством этого
пространства является полнота относительно равномерной
сходимости по вероятности.
Теорема 4. Если T]n(t) — последовательность про-
цессов из IT (w (t), для которой sup |	(/) — т\т (/)	0
по вероятности при п—>оо, т->оо, то существует такой
процесс Цо W	3/), sup| т]«(0 — По(0 I—0
t^T
при п->оо по вероятности.
Для доказательства этой теоремы нам потребуется
такая лемма:
Лемма 3. Если
t
Пи (0 =	dw
о
— последовательность процессов из Ir(w(t)1^) и
sup| т\п (/) |-> 0 по вероятности при п->оо, то
t^T
т
$ | bn(s, со) |2 ds -> 0
о
по вероятности при п-*оо.
ЙРОЦЁССЫ йто
301
Доказательство. Не ограничивая общности,
можно считать, что с вероятностью 1
lim sup| т]„(0 1=0,
П->оо
так как этого всегда можно достичь, переходя к под-
последовательности, а для доказательства сходимости
некоторой последовательности по вероятности к нулю
достаточно показать, что всякая ее подпоследователь-
ность содержит сходящуюся по вероятности к нулю под-
последовательность.
Положим
Tjv = sup[/:	sup )i]n(s) К в].
s<t,n>N
Для достаточно больших N xN = T; xN является мар-
ковским моментом. Пусть т]^ (t) = (0 ПРИ Tv и
т1„(0 = П„(м) при t>xN. Тогда |7)„(0|<е при n>N
и (Г)->0 по вероятности. Значит,

М|^(Т)|2=М J
о
при п-> оо. Но
Р | J |&„(s, о) Ms >д
J I bn (s, со) |2 ds
о
Таким образом,
lim Р
П-»оо
Переходя в этом соотношении к пределу при Л/->оо,
получим требуемое.
302
Непрерывные марковские процессы
[гл. ш
Доказательство теоремы. Из условия тео-
ремы вытекает, что т]п (0) сходится по вероятности к не-
которому пределу. Поэтому, не ограничивая общности,
можно считать, что (0) = 0 для всех п.
Так как
t
j bn (s, го) — bm (s, co), dw (s))
0
sup
->0
по вероятности при n, oo, то в силу леммы 3
т
I bn (s, го) — bm (s, со) |2 ds -> 0	(8)
о
по вероятности при п, т->оо. Выберем подпоследова-
тельность nk так, чтобы
( т 1
Р s lim I bnh (s, со) —	(s, со) I2 ds — 0 f = 1.
( k, Z->OO J '	*	/I	J
Тогда существует такая функция bQ(s, со), что
( т	)
Р < lim I bn (s, со) — b)(s, со) I2 ds = 0 f = 1,	(9)
причем bQ(s, со) будет измерима и для всех s как функ-
ция от со ^-измерима *). Из (8) и (9) вытекает, что
т
| bn ($, со) — &0 (5, со) |2 ds -> О,
о
по вероятности при п-> оо. Но тогда в силу леммы 2 § 2
гл. I
Р < J
I
sup \ (bn (s, co), dw ($)) — \ (bQ (s, co), dw (s))
J	J
8
0	'
T	\
I bn (s, co) — bo (s, co) |2 ds > 6 ? +	.
0	J
*) Для этого нужно сначала выбрать из bn^ (s, со) подпоследо-
вательность, сходящуюся почти всюду относительно произведения
меры Лебега на Р и определить bQ (s, со), как предел этой подпо-
следовательности, там, где он существует.
§ П
ПРОЦЕССЫ ИТО
303
Переходя к пределу при и->оо, а затем при 6->0, убе-
ждаемся, что последовательность процессов т]„ (/) сходится
равномерно по вероятности к процессу
t
По (0 = (&o (s, ®), dw (s))
о
из IT (w (t), §/).
Теорема доказана.
Процессы из IT (w (/), i5t) являются локальными мар-
тингалами, причем можно указать такую приводящую
последовательность случайных моментов времени xN f Т,
чтобы процесс
(0 = П (*лг Л 0
был квадратично интегрируемым мартингалом. В каче-
стве xN можно взять
[t	-1
i: t < Т, | b (s, <в) р ds < N I,
О	J
если
t
Я (/) = (b (s, w), dw ($)).	(10)
о
Поскольку выражение
t
П2 (0 — I 6 ($, ®) Р ds
о
также является локальным мартингалом (для которого хы
также будет приводящей последовательностью случайных
моментов времени), то
t
<П>	= $ I Ь ($> ®) F ds.
о
Из теоремы 22 § 1 гл. I вытекает, что
t	п— 1
(I b(s, to) fds= lim У (n(fw)-4W di)
о	я">0 й=?
304
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
в смысле сходимости по вероятности, если 0 = /0 < t\ < ...
... <tn = t, К — шах(6г^ — tk). Л^ля. каждой пары про-
цессов тц (/) и т]2(0 из ^(^(0, S/) можно определив вы-
ражение
п— 1
<П1 , Пг\ = lim 2 (П1 (^+1) — П1 (^)) (П2 (^+1) — П2 (/*)); (12)
К—>0 k~'d
предел понимается в смысле сходимости по вероятности,
Л и tk, k = 1, ..., п, такие же, как выше (см. гл. I, § 1,
следствие теоремы 22).
Если k=l, 2, определяется равенством
t
Пь (0= j W>k(s, со), dw (s)),
о
то из (11) вытекает
t
<П1. ПгХ = 5 ('s’ °)’ 62 'S’ ds- О3)
о
Формула (13) позволяет восстановить функцию b(s, со)
по процессу ц(0, определяемому равенством (10).
Действительно, пусть ?2(/),	определяется ра-
венством
t
Cz (/) = (z, w (/)) — j (z, dw (s)).
о
Тогда
t
<П,	(& ($> ®)> 2) ds,
и, значит,
(b(t, w), z) = -^(x], Qtt	(14)
для почти всех t. Очевидно, что для определения b (f, со),
достаточно знать (b(t, со), z) лишь для z из некоторого
базиса в 91т.
Этот результат дает возможность найти функции a (s, со)
и В (s, 0) по процессу Ито ц (/), определяемому равенст-
вом (1).
ПРОЦЕССЫ ИТО
305
§ О
Заметим, что для всякого процесса у(/) в Й1, имею-
щего с вероятностью 1 ограниченную вариацию, и вине-
ровского процесса wi (t)
п—1
lim £ [у (tk+i) — у (/*)] [ayj (tk+i) — wt (t*)] = 0
%->0 6=0
(Л, tk такие же, как и раньше), поскольку сумма, стоящая
под знаком предела, не превосходит
var у (•) sup | (si) — w (s2) I
| s1-s2 |<Л
и W\ (/) — процесс непрерывный.
Пусть	*
Yz (0 = (я (5, со), z) ds.
о
Очевидно, что вариация yz(f) не превосходит
т
| (a(s, со), z) \ds.
о
Следовательно,
n—1
lim X [уг(^+1) — Yz (^)] [Сх (^+1) — £х(^)] = 0,
Х->0 k—Q
каковы бы ни были 2,	Далее,
п—1
(^ + 1)	(^)]	(^+1)	(tk)] —
t
= {ZX, lz)t= 5 (x> B*(s, &)z)ds,
0
если
✓ t	\	t
(0 = I В (s, co) dw (s) j = (B* (s, co) 2, dw (s))f
'0	'	Q
306
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Таким образом, если ц(0 определено формулой (1), то
для всех .г, 2 е 91т
t
(В ($, со) х, z) ds =
°
= У Ux fo+i) — (^)l Kn fo+i), z) ~ (П (h), z)]
в смысле сходимости по вероятности. Следовательно, для
почти всех t
(В (/, со) х, z) —
п—1
= 4f Нт У (tk+i) — tx (**)] (П (tk+i), z) — (n (Zft), z). (15)
ai A~>0 feZo
Формула (15) определяет B(t, co) для почти всех t и co.
Если В (/, со) определено, то для почти всех t и со
(а (/, со), z) =
[f	_
01 (0 — П (0), z) — (В* (s, со) z, dw (s)) .	(16)
0	J
Таким образом, доказана
Теорема 5. Процесс Ито ц (/), заданный форму-
лой (1), определяет для почти всех t и ® значения функ-
ций а (/, со) и В (t, со).
Обозначим 1Т (gz) совокупность процессов ц (/), для
которых существует измеримая числовая функция р($, со),
Р2 (s, со) е SPti [0, Г], и винеровский процесс W[(t) относи-
тельно потока {$J, такие, что
t
Ц (0 = § ₽ (5, о) dwi (s).	(17)
о
Множество процессов из It можно уже описать
с помощью лишь а-алгебр Легко видеть, что
/г (0> 8/)	(S/), каков бы ни был винеровский про-
§1]
ПРОЦЕССЫ ИТО
307
цесс w(t) относительно {&}. Действительно, если
t
т) (/) = ^ (b (s, со), dw ($)),
о
ТО
i
т](0 = b(s, со) \dw{ (s),
о
где
Wl (/) = $ (гИйтт ’ dw{s))
о
является винеровским процессом в силу следствия I из
теоремы 1 (если | b (s; o)|=s(X считаем ~j4(s’a)| ~z’ где
z — некоторый фиксированный вектор из . Очевидно,
что процессы т] (/) из 1Т (Bt) обладают следующими
свойствами:
1)	т)(0 является непрерывным локальным мартингалом
относительно потока {Bt};
2)	монотонный процесс (т), абсолютно непрерывен
относительно меры Лебега на прямой, т. е. существует
такая неотрицательная измеримая функция у (s, о), что
<П> J V(«>
о
Оказывается, что при весьма широких условиях на
поток {Bt} условия 1) и 2) обеспечивают принадлеж-
ность Т)(О к 7т (Bt)-
Определение. Будем называть поток {Bt} невы-
рожденным, если существует по крайней мере один про-
цесс Wi (/), являющийся относительно него винеровским.
Теорема 6. Пусть поток {Bt, 0tТ} невырожден.
Тогда всякий процесс г] (7), удовлетворяющий условиям 1)
и 2), принадлежит IT (Bt)-
Доказательство. Пусть
t
<П>	== $ Y (5> ®) ds,
о
308
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
a w(t)— некоторый винеровский процесс относительно {$/}
(он существует, так как поток {§/} невырожден). Пусть
g\ (s, о) = <
0, у ($, (д) = О,
/-7^=7  Y(s, со)>О,
Vv(s, и)
( 1, Y (s, ®) = О,
ёч (s> со) о, y (s> со) >
Положим
t	t
w(t)=^ gi (s, co) dr) (s) + g2 (s, co) dw (s)
о	0
(определение стохастического интеграла по локальным
мартингалам см. в § 2 гл. I).
Как вытекает из теоремы 3 § 2 гл. I, стохастический
интеграл по локальному мартингалу опять будет локаль*
ным мартингалом. При этом
t	t
(w, w)t = $£1(S> П4 + 2 5 Si ($. co)g2(s, со)с/(т]>^\ +
0	0
t	t
+ 5 S22 (s> ®)ds = $ [51 (s> ®) Y (s, co) + g% (s, co)] ds = t,
0	0
так как, по определению функций g{ и g2> gx - g2 = 0 и
g?Y + g‘l=l- Значит, w (t) является локальным Sf-мар-
тингалом, для которого (w, w)t = t. Но тогда в силу
теоремы 3 § 3 гл. I w (t) — винеровский процесс,
t	t
Vy(s> (s)= Vy(s> ®)gi (s> co)dn(s) +
0	0
t	t
4-	$ Vy (s. ®) g2 (S, co) dw (s) = Vy (s> co) gi (s, ©) dr\ (s).
0
0
Если
t
£ (0 = $ Vy(s> co) gl (s, co) Л) (s),
0
§ И
ПРОЦЕССЫ ИТО
309
то
t	t
to, = $ Vy(s> ®) gi (s, ®) d <TJ, n)s = J Y (S, ®) ds = to, ,
0	0
t
<2, Of = J Y (s, ®) ds = to, T]\.
0
Поэтому
to — 0 n — Ot=<n, — 2to, Of + <0 0f=0-
Значит, M to(/) — C(0)2 = М(т] — 0 n-Of = 0 и T](Z) = g(T)
с вероятностью 1, т. e.
f
t] (t) = Vy (s> a) dw (s).
о
Теорема доказана.
В дальнейшем все время будет предполагаться, что
поток {SJ невырожден.
Покажем, что пространство IT также является
полным.
Теорема 7. Пусть t]ra(t) — последовательность про-
цессов из IT($t), для которой существует такой про-
цесс т}о W, что
lim sup|T]»(0 — По (О I —0
П->оо
в смысле сходимости по вероятности. Тогда rjo (/) стоха-
стически эквивалентен некоторому процессу из 1Т (§/).
Доказательство. Легко видеть, что т]0 (/) является
локальным Sf-мартингалом. Остается показать, что too. т|о\
абсолютно непрерывно относительно меры Лебега.
Не ограничивая общности, можно считать, что “ПпСО
сходится к т]0 (/) равномерно с вероятностью 1.
Пусть Ту определяется соотношением
Ty = sup[Z: /СТ, sup sup|t]„(s) — т]о(з)|>е];
n>N s^t
положим (0 = Пп (t Л Ту). Тогда |<(0“<(0|<8
при n > N и, значит,
lim M|^(0-<(0|2 = 0.
»->OO	*	‘
310
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[гл. ш
Но
м п;у _	= м | П" (0 - < (О I2.
Следовательно,
lim М - rtf,	= 0.
п, т
Но
Р {<Пп — По, Пп — По)г > 6} р {t;V < Т} +
Так как xN = Т для достаточно больших N, то отсюда
вытекает, что
<Пп —По, Лп — П))т-*0
по вероятности. Не ограничивая общности, можно счи-
тать, что последнее соотношение выполняется с вероят-
ностью 1. Поскольку при < t2
<По, По\2 — (Пъ П'Х, < 2 [<т)„ т]Д — <п„, т)Д, +
+	— По, Пп — П Д — К — По, П« — ПоХ,]»
то для всякого борелевского множества Л на [0, Т]
d <т)о, По)/ < 2 <Пп, пД + 2	— Hi, ~ По) <
ЛАЛ
< 2 J d(т)„, пД + 2(т]„ — г]), т)п — По)г-
А
(18)
Пусть Л имеет лебегову меру 0. Учитывая абсолютную
непрерывность т)^, получаем
т]Д<2Д,г — Т)ь п,>г-
Л
Переходя к пределу при п-> оо, убеждаемся, что (т)), т]})г
абсолютно непрерывно относительно меры Лебега. Тео-
рема доказана.
Замечание. Аналогично формуле (18), можно уста-
новить, что для всякого борелевского А с: [0, Т] и пары
§ и
ПРОЦЕССЫ ИТО
311
процессов гл (/), Tj2 (/) 1т (8/) выполняется неравенство
5	П2>/
Л
y\J 5 <*<41, 4iX д/ §<*<42, 4г)1>
из которого вытекает, что (т)ь ц2)/ абсолютно непрерывно
по мере Лебега. При этом, если
t
& ®)ds, 6=1, 2,
о
TO
<Pi2(s, ©XV<Pn(s, co)q>22(s> ®).
В пространстве IT (§/) можно ввести понятие ортого-
нальности процессов. Будем говорить, что два процесса,
т)1 (0 и ц2 (0, ортогональны, если для всех t е [О, Г]
<41 > П2>« = 0.
Скажем, что процесс ц (/) линейно выражается через про-
цессы £1(/),	|ft(0, если существуют такие функции
«1 (/, о), ..., ад (/, о), что
£а|(/,	Г] и
п t
J а; (s, ®)	(s).
i=l ()
Пусть t)i (0, Цп (0 — некоторый набор процессов
из /т(5/). Предположим, что они линейно независимы,
т. е. ни один из них не выражается линейно через осталь-
ные в указанном выше смысле. Тогда Можно построить
процессы (/), ..£п(0, попарно ортогональные, которые
линейно выражаются через тц (/), ..., ть(0 и такие, что
Л1 (0, • • •, Ля (0 в свою очередь линейно выражаются через
li (0, • • • > In (0- Они могут быть построены по следующим
формулам:
gi(0=m(0,
Л-1 t
|л(0 = т1л(0 — J $ <*ki(s, a)dli(s), k==2,...,n,	(19)
0
312
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
где
,	, <fkt (s- ®)
ttki (s, со) =---------------г .
если
t
di, ^k)i=	(s,
0
t
di, = 5 gii(s,G>) ds
0
(в том случае, когда gu (s, co) = 0, qp^- (s, co) = 0 и отно-
шение также считаем равным 0; см. замечание к тео-
реме 7). Из формул (19) видно, что линейно выра-
жаются через	a %k линейно выражается через
г>х, . . При / < k
£-1 t
<&k,	= (ль 2^ § aki (s>	Ws-
i==l 0
Если попарная ортогональность	£k-i уже уста-
новлена, то
t	t
<&k,	^ds—\ akj (5, co) gn (s, co) ds = 0.
о	0
Так по индукции устанавливаем ортогональность ...,
Пусть k=\, 2, последовательность по-
парно ортогональных процессов из 1Т (^), а т} (t) е 1Т (§,).
Предположим, что
t
<h, lk)t = 5 gk(s, со) ds,
о
t	t
<П> lk)t =\^k (s, co) ds, (ц, T]X = qp (s, co) ds.
о	0
Из замечания к теореме 7 вытекает, что ср(s, со) обра-
щается в 0 почти всюду там, где gk обращается в 0.
Пусть
a*(s, со)
<Pft (s, <о)
ё* <8, <0)
<1]
ПРОЦЕССЫ ИТО
313
там, где знаменатель отличен от нуля, в противном слу-
чае полагаем a* (s, со) = 0. Тогда
п t
п (0 = У, J an (s> ®) dh (е) + Пп (t),
/г=1 о
где x\n(t) ортогонально ^(/), .£п(/)> а следовательно,
и процессу
t
J a*(s, co)dgft(s).
О
Поэтому
t	п t
<n> J Ф (s> ®)ds = X $ [an <5> ®)]WS> ®)^+<П„>
0	k=*l 0
Отсюда вытекает, что
n
£ [a* (f, co)]2<pfe (/, co)<<p (t, co)
fa=l
для почти всех (t, co) (мы воспользовались тем, что
>oV Значит,
at	/
S [an a)]2 ф* V’ ®)< Ф (z> ®)
(ряд слева Сходится, поскольку члены его не отрица-
тельны). Поэтому, полагая
п t
»)«»(»),
о
будем иметь
Т m
£ [a^ (s, со)]2 cps (s, со) ds-> о
0 k^n+i
(20)
314
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
при п, т-+ <х> (п<т). Заметим, что для всякого про-
цесса £(/) е(Az) справедливо неравенство
Р {sup I Ш I > с} 4 + Р {(С, £)Т > N},	(21)
вытекающее из возможности представить £(t) в виде сто-
хастического интеграла по винеровскому процессу и свойств
стохастических интегралов (см. гл. I, § 3 лемма 2). По-
этому из (20) заключаем, что
SUp|C„ (/) —	(0!->0
t
по вероятности, и, следовательно, в силу теоремы 7 су-
ществует процесс £0(/)	/r(g*J, такой, что
sup| ?„(/) ~ МО1->0
по вероятности. Итак, мы установили, что ряд
оо t
2 $a*(s, G>)d*ft(s)
k=l о
сходится по вероятности, и его сумма принадлежит 1Т (§/).
Значит,
оо t
П (0 = 2 J an (s> ®) dlk (0 + По (0,
fe=l о
где По(0е^т(3/)- Легко проверить, что t]j(0 ортогонально
всем процессам (t), k — 1, 2........... Если для всех
I) (0 €= 1Т (S0 выполняется равенство
оо t
И (0 = У, J (s, ®) d'ik (s),	(22)
о
то последовательность {£fe(/), k=\, 2, ...} называется
ортогональным базисом в	Из вышесказанного
очевидно вытекает, что необходимым и достаточным усло-
вием для того, чтобы последовательность попарно орто-
гональных функционалов {^(/), £=1, 2, ...} была ба-
зисом, является отсутствие отличных от нуля процессов
1] (/) е Zr (gj, ортогональных всем |&(0*
§ i]
ПРОЦЕССЫ ИТО
315
В том случае, когда <ps. (/, со) почти всюду положи-
тельно, где
t
$ <pfe (s, ©) ds = <|ft, lk)t,
0
и {£И0> A=l, 2,...} образуют базис, можно в ка-
честве нового базиса взять процессы
t
wk (t) = J , 1 .  rfgfe (s),
J д/ым
для которых
Процессы Wk(f) являются винеровскими. Волге того, они
независимы. Действительно, еслс (t) — процесс в @1т
с координатами (ау( (/),	то он является мар-
тингалом и для z е &т:
М [(©<'") (/ + й) -	(0, г)21	=
/ т	\
= м ( £ [<ш*, Wj)t+h — {wk,	z4Z/1 &) = h\ z |2
\fe, j=\	/
(Zk обозначают координаты г). Значит, он является ви-
неровским процессом в ЗГ1 в силу следствия 3 из тео-
ремы 1.
Исследуем вопрос, когда IT (&) имеет конечный базис
из винеровских процессов.
Теорема 8. Пространство 1Т (3/) имеет базис из
m винеровских процессов, если существует такой вине-
ровский процесс (/) в 0Гг, что
О (s), S /] CZ CZ (J (s) s /],
где o[w(m)(s), s /] — в-алгебра, порожденная величи-
нами	s^t, a[ *]—пополнение этой а-алгебры.
Доказательство. Пусть (/), ..., wm (t) — ко-
ординаты ny(m) (/) Очевидно, что они принадлежат 1Т (§/)
и попарно ортогональны в силу независимости. Чтобы
убедиться, что они-образуют базис в	достаточно
показать, что из условий
316
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
где	вытекает равенство^, = Положим
t
(.1, l)t = J Y («> ®) ds.
0
Возьмем не зависящий от (/) одномерный винеров-
ский процесс w(t). Пусть a(s, w)= 1, если y(s, пу) > О,
и a(s, со) = 0, если y(s> <о) = 0. Тогда процесс
t	t
wm+1 (0= ( -==rf|(s) + f (1 --a(s, co)) da) (s)
J V Y (S, ®)	J
J	0
будет принадлежать IT(^t), где $t = a[&Ucr[c&(s), s</]].
Кроме того, lT (g<) h (§/) и
t	t
<®m+l.	= JY <S’ ®) dS + 5 (1—a (S> ®))2ds==if>
0	’	0
так как w(f) ортогонален всем процессам из IT(i$t) в силу
независимости от каждого {^J-подчиненного процесса.
Используя ортогональность | и Wk, убеждаемся, что
{wk, wm+x)t = Q, k = 1....т.
Таким образом, {/), .... wm{f),	образует
(m + 1)-мерный винеровский процесс и, значит, wm+l (t)
не зависит от (/), т. е. и от a-алгебры Поэтому
M(ffi>m+1(T)|g/) = 0.
Используя независимость w (/) от находим
a (s, со)) dw (s) | Sr j = 0.
Значит,
M((-^L^(s)|Sr) = 0.
\ J VY (s. ®)	1	}
o
§ П
ПРОЦЕССЫ ИТО
317
Но под знаком условного математического ожидания
стоит ^--измеримая величина, т. е.
t
uo=f «M_^(s)==0
J -VY(s> ®)
о
для всех t. Поэтому
г
(С, Or = $ “2 (s> ®) ds = О
о
для почти всех со; значит, а($, <й) = 0 для почти всех
($, со) и у (s, со) = 0 для почти всех (s, со) и, следовательно,
г
{I, = 5 v (s> ds == °-
о
Теорема доказана.
В том случае, когда су-алгебры удовлетворяют
условиям предыдущей теоремы, пространство ока-
зывается совсем просто устроенным. Заметим, что в том
случае, когда г) (/) е IT (§f) и Мч]2(Т)<оо, поскольку
т|(/) является мартингалом, то
т)(0 = М(п(Т)|&).
Подмножество /г (Sc) тех процессов г](/) из Для
которых Мт]2(7’)<оо, всюду плотно в /г (Sy) в смысле
равномерной сходимости по вероятности:
г)(0= lim
если
t	t
n (0 = J Y (s> ®) dw (s), T)W (0 = J (s, ©) dw (s),
0	0
T
$ (Yw(s, co))2ds<^
0
и
T
^lYw(5> ®) —y($, со)М5->0,
0
a w (/) — винеровский процесс.
318
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Поэтому для описания 1Т (^) достаточно описать
всюду плотное множество 1т (S/). Следующая теорема
дает такое описание.
Теорема 9. Если поток {бJ удовлетворяет условиям
теоремы 8, то всякий процесс т](/) из It ($t) имеет вид
(23)
где т] — ^-измеримая величина, для которой Мт] = О,
Мт|2<оо; если rj удовлетворяет указанным условиям,
то процесс т](/), определенный формулой (23), принад-
лежит 1т(&).
Доказательство. Для процессов из 1т (8/) в ка-
честве т} нужно взять ti(T).
Пусть г] ^-измеримо, Мц = 0, Мц2 < оо. Тогда можно
указать такую непрерывную ограниченную вместе с двумя
производными функцию /е(хь ..., хп) е &71) и такой
набор 0 tx < ... < tn < Т, что
м (n — fe (w (6), W О)2 < е.
(Здесь w (0 обозначает процесс, порождающий поток
{§<}.) Положим
Пе(*) = 1ЖМО, .... ®(U)I^).
Очевидно, что т]8 (/) является мартингалом и Mr|s(T)2 < оо.
Покажем, что т)8 (/) е 1Т (&).
Пусть
•••’**’ Xk + w(tk+l)-w(tk), ...
.... Xk + W (tn) — W (6г))-
Тогда на отрезке [tk-i, h}
Пе (0 = $ W (w (Q, ..., w w (0 + y) p (tk — t, y) dy,
где p(t, у) — плотность распределения w(t). Значит,
п8ю=ф^0С1)’ •••’	ш(0), у,
где Ф(/’(г(У(6), ...,	t, x) — дважды непрерывно
дифференцируемая функция / их.
§ и
ПРОЦЕССЫ ИТО
319
По формуле Ито
t
Пв (0 — Пв fe-i) — $	ф86) (А),.. •, W (tk-1), s, w (s))+
+ у SP^2 ®ek}(w(ti), ..., w(tk-l), s, w (s))]ds +
*k
+ 5	ф«6’(/j)> •••’ s> w(s)), dw(s)y (24)
1
Ф(86) принимает значения из Slm, Ф^1 — из 2 ($т)).
Поскольку Ле (0 является мартингалом, то в силу леммы 1
первый интеграл в правой части (24) равен 0. Значит,
m (0 == Пв (^-i) +
t
+ фё*’(w (^), •••, w(ft-i), s, w(s)), day(s)).
fk-i
Так как т)е (0) = Мт]е = 0, то доказано существование
такой функции be(s, ©), что
t
•Пе(О= $ (Ms> ®), dw(s))
о
и случайная величина
bs(s, ©) = -^-Фвй)(ау(/1), .... w(^-i), s, w(s))
при фиксированном s,	^-измерима и огра-
ничена. Далее,
Р{ sup lne(0-T](0l>c}<72-M|ne —
0</<Т	L	с
Значит, 11(0 как равномерный предел по вероятности
процессов из /г(§<) также принадлежит /г(§<).
320
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
(ГЛ. III
Следствие. Пусть % — произвольная ^-измеримая
величина. Если М£2 < оо, то
т
£ = М£ + (b (s, ®), dw (s)),
о
где b2(s, co)^9)i1[0, Т] и при каждом s ^-измеримо.
Чтобы убедиться в этом, нужно лишь заметить, что
величина I — М£ удовлетворяет условиям теоремы 9 и,
следовательно, g — М£ = £(Г), где 1(f) е It
Приведем пример потока {SJ, для которого IT(%t)
имеет базис из одномерного винеровского процесса w(t)f
но существенно шире а[ш($), Пусть w (/)—
одномерный винеровский процесс, S/0 — порожденный им
поток а-алгебр, а т — не зависящая от w (/) величина,
имеющая непрерывное распределение и принимающая
значения из [0, Г]. Положим
$2> = О [{т > s}, S < /], & = $*’ и $2).
Покажем, что всякий процесс т](/) и IT&t) линейно вы-
ражается через w (t). Достаточно установить это для
процесса из 1т (30- Положим
ф (т) = М (п (Г) | т).
Тогда
М (а|?(т) |gf) = М (ф (т) | g(2)) = ф (т) х{т<() +
т
+ [1 р J Ф dF (w) =
о
г т	Т
= -р]7>7}- $ Ф dF (и) + х{т<0 (1|) (т) — ф (и)) dF (и) ,
i-t	t	J
Где F (и) = Р {т < и}, %А — индикатор множества А.
С другой стороны,
м (ф (т) | &) = м (П (Z) | $2)) = М (п (/) | т).
Следовательно, в силу непрерывности т](0 будет непре-
рывно и М СФ (т) |g/). Но тогда должна быть непрерыв-
§ 1]	ПРОЦЕССЫ ИТО	321
ной по t функция
т
%{т<0 $ [ф (т) — ф («)]dF (“)>
t
что возможно лишь при условии
т
$[ф(т)-ф(ы)]^(ц) = 0
т
для почти всех т. Из этого условия вытекает, что -ф (т)
постоянно для почти всех т и, так как Мф(т) —О, то
ф(т) = 0 для почти всех т.
Можно построить последовательность функций
fn(s, Xi, .... хп), таких, что
М(т)(Г)-/п(т, w(tt)....го О)2-* О
и
Mf„(s, ..., w(ta)) = 0
— некоторое плотное на [О, Т] множество, например,
можно взять
fn (t, w (ti), ..., w — M (г) (?) I t, w (/i), ..., w (/„)).
Точно так же, как при доказательстве теоремы 9,
можно показать, что
t
М (fn. (т, W (/,), . ... 89 (/„)) |&) = J gn (S, Т, со) dw (s),
о
где gn (s, т, со) при фиксированном s — ^-измеримая
функция. Используя предельный переход, убеждаемся,
что ц(/)е/г(&, НО)-
Процессы Ито и процессы диффузионного типа.
Пусть £(/) —непрерывный марковский процесс на [О, Г]
со значениями в 0lm, Р (t, х, s, dy) — его вероятность
перехода. Этот процесс называется диффузионным (см.
т. II, гл. I, § 1), если существуют такие функции a(t, х)
со значениями в &т и В (t, х) со значениями в 2 ($'"),
определенные на [О, Т] X &т, что для всякого е > О
Н И. Гихман, А. Скороход, т. III
322
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
выполняются следующие условия:
(I)	§ Р (t, х, dy) = о (s — /),
Iу-х|>е
(II)	(у — х)Р (t, х, s, dy) = a (t, х) (s—t) + о (s—t),
I У-Х |<8
(III)	V2 s r J (у - X, z)2 P (t, X, s, dy) =
I У-X |<8
— (B (t, x) z, z)(s — t) + o(s — t).
Мы покажем, что при некоторых дополнительных
ограничениях процесс l(t) будет процессом Ито относи-
тельно некоторого винеровского процесса w(t). Предва-
рительно докажем следующую лемму.
Лемма 4. Пусть т] (/) — непрерывный процесс, {3J —
поток о-алгебр, порожденный этим процессом. Если для
всех t существует величина Zt, такая, что
sup |А(М (л (^ + /г) —П	« Ml/ < оо
Л>0Iп	'
и, кроме того,
(^ + /г) — п (0 1^) = 0,
/г4<0 п
То x\(t) является мартингалом.
Доказательство. Пусть для s^t
ф(«)== м (n (s) | г?/).
Тогда
lim ^ + *)-*М = Пт мp(s + /o-n(s). И. \
П	h^o	'	П	I 7
= М(lim М p(s + h]-^sl|I= 0.
Мг 0	'	П	1/17
Возможность предельного перехода под знаком матема-
тического ожидания обеспечивается существованием
мажоранты t,s. Из непрерывности т] (s) вытекает непре-
рывность 'ip(s). Таким образом, тр (sj является непрерыв*
§ 1]
ПРОЦЕССЫ ИТО
323
ной функцией, у которой в каждой точке существует
правая производная, равная 0. Поэтому ф($) постоянна
при s^t. Так как ф (/) = т) (/), то
м (т) (s) |&) = Т] (/).
Лемма доказана.
Теорема 10. Пусть условие (I) выполняется равно-
мерно при 0^/ < s^T и хе/С; каков бы ни был ком-
пакт Kcz$,m, выполнены условия (II) и (III), причем
функции a(s, х) и B(s, х) непрерывны и для каждого
компакта К существуют такие постоянные I и с, что:
1) при хе К
$ {у — x)P(t, х, s, dy) +
| у — х i2 Р (t, х, s, dy) < / (s — t),
2) sup P(t, x, s, K)^.l(s — t).
|x |>C
Тогда существует такой винеровский процесс w(t)
со значениями в &lm, что g (/) является процессом Ито
относительно w (/), причем
t	t
UO = ЦО) + J a (s, I (s)) ds + J B112 (s л (S)) dw (s), (25)
0	0
где Blf2 — неотрицательно определенный квадратный корень
из оператора В.
Доказательство. Положим
/ z
п(0 = Ш0 —1(0)— \a(s, l(s))ds, z
\	о
и покажем, что т](/) является локальным мартингалом,
каково бы ни было z е Ят.
Пусть Tjv — момент первого выхода процесса U0
из множества KN = {x: | х |<АГ}. Обозначим fN (х) дважды
непрерывно дифференцируемую функцию, для которой
выполнены условия fN (х) — (х, г) при | х | N, fN(x)~O
11*
324
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
при | х I N + 1. Оценим выражение
I У~х |
2
j +	*W~~Д y — x)P(t,x,s,dy) .
(здесь 0 < 0 < 1; мы воспользовались формулой Тейлора)
Каково бы ни было С > N + 1 + е,
J	х, S, dy) <
t [ > 8
<2sup| fN(z) | Г sup	P(t, x, s, dy) +
z	I | x К c .
L	|x—y |> e
+ sup P(t, X, s, K;V+1)l = O(s — t)
I x I>C	J
в силу условий 1) и 2). Далее,
(у — х) Р (t, х, s, dy) —
= 0 (s — t,
в силу условия 1). Аналогично устанавливаем, что рав-
номерно по s, t
5 (In (x + 6 (У — *)) (У — х)> У — х) р х> s> dy) =
Iy~X I < в
= О (s - t).
Таким образом, существует такая постоянная /ь что
| J Ifw (У) ~ In WIР *> s, dy) | < li (s -1).
fl]
ПРОЦЕССЫ ИТО
325
Положим
пИ0 = ЫШ-~Ы1(0))-
- $ [(a (s, I (s)), f'N (|(s))) +1 Sp f" (I ($)) В (s, | (s))J ds.
о
Так как выражение
(a (s, x), f'N (x)) + у Sp f" (x) В (s, x)
ограничено, то, обозначая поток a-алгебр, порожден-
ный процессом l(t), будем иметь
M(i^qs,)l<fe
где /2 — некоторая постоянная. Кроме 'того, как легко
видеть,
I1"]	J [fjy (у) — f N (х)] Р (I, х, s, dy) =
= (а (Л х), f'N (х)) + -у Sp f" (х) В (i, х)
(этот факт установлен, например, при доказательстве
теоремы 6 § 1, гл. I, т. II). Поэтому
||п1М(Ч,Ы-^<» А 0
sf t \ S~l	/
Следовательно,	является мартингалом в силу
леммы 4. Но т]# (t) = г] (/) при t^xN. Тем самым дока-
зано, что t|(/) является локальным мартингалом.
Покажем теперь, что
g(0 = t]2W-$(B(s> Ш)г, z)ds
Q
также является локальным мартингалом. Для этого за-
метим, что при процесс £(0 совпадает с процес-
сом
^(0=4(0-$(В($, 1(з))Г„Ш), f'N(^)))ds.
о
326
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. HI
Процесс t,N(t) ограничен и
|м	,81)|<м (181) +
+ sup (В (и, x)f'N(x), f'N(x))^
X, и
где Z3 — некоторая постоянная. Но при С > N + 1 + 8
М(1Ш))-Ш№
< sup [fN (у) — fN (х)]2 Р (t, х, s, dy) <
X J
< sup j [ftf (у) — fN (x)]2 P (t, X, s, dy) +
* I x—y I < e
4~of sup \ P(Z,x, s, dy) + sup Pit, x, s,
VXI<C|//_X| >e	|x|>C	J
= 0 ( sup	| x — у I2 P Ц, x, s, dy) + (s — / A.
V I X | < C ,	. o	)
\	I х-У I e	/
Значит, при некотором /4
Кроме того,
IimM(A.wU = lira	5Л
$ 4^ t	si \ j s 4, t \ st	j
-(Bit, iit))f'NHit)), f;o)))==o.
Воспользовавшись леммой 4, убеждаемся, что ^(0
является мартингалом. Тем самым доказано, что £(1) —
локальный мартингал. Итак, т] (Z) — локальный мартин-
гал, для которого
t
<n> nX= J Z(s))z, z)ds.
о
Пусть w it) — не зависящий от % it) винеровский про-
цесс в ^т. Обозначим Pi is, х) оператор проектирования
ПРОЦЕССЫ ИТО
327
§ ij
на область значений оператора B(s, х), P2(s, х)— опе-
ратор проектирования на нуль-пространство оператора
B(s, х); Pi и Р2 ортогональны, Pi + P2 = ^- Положим
О
W (!) = $ В~,/2 (в, В (s)) Pl (S, £ (з)) dti (s) + $P2(U(s))dw (s)
о	0
(интеграл no gj определен как интеграл по локальному
мартингалу; под B~wP{z понимается такой вектор z' из
области значений В, что Bx,2z' = P{z\ Из независимости
(/) и w (0 вытекает, что
<(£ь г), (й, г)\ = 0.
Поэтому z) является непрерывным локальным мар*
тингалом, для которого
((ш, г), (ш, z)\= (Pi (s, g (s)) z, z) ds +
о
t
+ (?2 (5> £ ($)) z)ds = t (z, z)t
0
Значит, w (!) является винеровскиМ процессом в ^?'п.
Далее,
J В1'2 (s, g (s)) dw (S) = J Pl (3, g (3)) dBl (s) +
о	0
+ J B'/2 (s, I (s)) dw (s) = J Pl (s, i (s)) dh (s),
о	0
так как B'i2P2 = 0. Для всех z e 3^
$(P2(s, Hs))2, ^(5)) = 0,
0
328
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
так как
(\ (Р2 (8, I (s)) г, dU «	(Р2 (s, I (s)) z, db (s))
\	о
= J(B(8, t>(s))P2(s, s(8))2, P2(s, %(s))z)ds = Q.
0
Поэтому
J P, (s, £ (s)) dB, (s) =
0
= J [Pi (s, I (S)) + A (S, В ($))] du (s) = Bl (0 - (0).
0
Итак,
HO - HO) - J a (s, в (S)) ds = J Bl/2 (s, в (5)) dw (s).
0	0
Теорема доказана.
Замечание 1. Если потребовать, чтобы
sup \ Р (t} х, s, dy) = O(s — t),
x j y—x I > e
то условие 2) теоремы становится излишним, так как
оно использовалось для оценки
(fW(p)-fiv(x))PK X, s, dy) +
/ у—х[> е
+ J	(f N (У) - fN « P (t, X, s, dy) = O(s-1),
Iy-x|> e
которая теперь будет иметь место в силу ограничен-
ности fN.
Замечание 2. Предположим, что для всех е>0
непрерывный процесс £(/) в t е [0, Т] удовлетворяет
§ п
ПРОЦЕССЫ ИТО
329
при s > t условиям
(I) P{ll(s)-m>el&} = o(s-0,
(И) М((Ц$)-Ц0, гНе(1(*)-Ц0)1&) =
== (я (Л Ц •)), г) (s — /) + о (s — /),
(III)	M((|(s)-g(0, г)*Ш)Ч(Ж) =
= (B(t, £(.))z, z)(s-/) + o(s-0,
где z e 5?”, "фв (x) — 1 при | x | e, ф8 (x) == 0 при | x | > e,
a(t, x(-)) и B(t, x(•)) —функции, определенные на
[0, Г]Х^”.г] №. rj — множество непрерывных на [О, Г]
функций со значениями в
Если a(t, х (•)) и В (t, х (•)) непрерывны и существует
такая постоянная I, что

то тогда можно указать такой винеровский процесс w{t),
что
t	t *
U0 = UO)+ Ja(s,	Jb1/2(s,	(26)
0	0
Доказательство этого утверждения проводится точно
так же, как доказательство теоремы 10.
Абсолютно непрерывная замена меры. Пусть
{Q, <5, Р} — исходное вероятностное пространство, —
некоторый поток а-алгебр, w (s) —• винеровский процесс
относительно него. Если рг (о>) — некоторый неотрица-
тельный функционал, измеримый относительно <5, для
которого Мрг((о)= 1, то можем рассмотреть на {Q, ®}
новую вероятностную меру
Р(Л) = J Рг (ш) р (d<o).	(27)
А
Вообще говоря, на вероятностном пространстве {Q, <5, Р)
процесс w(t) уже не будет винеровским.
Однако для функционалов pr (to) некоторого специаль-
ного вида оказывается, что классы процессов Ито на
вероятностных пространствах {й, Р} и {Q, <5, Р}
330
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
совпадают. Этот факт является следствием следующей
важной теоремы, принадлежащей И. В. Гирсанову.
Теорема 11. Пусть b (t, со) — {^{-подчиненная функ-
ция на [0, Т]Х^ со значениями из УТп, \b(t, со) |2 е
Т]. Положим
{Т	Т	V
— (b (s, со), dw ($)) — у | b (s, со) |2 ds ?. (28)
о	о
Тогда, если Мрг (со) = 1, то процесс
t
w	(s, со) ds + w (t)
0
(29)
является винеровским процессом на вероятностном про-
странстве {Q, Р} относительно потока а-алгебр {gj.
Прежде чем доказывать теорему, докажем некоторые
вспомогательные утверждения.
Лемма 5. Если b(s, со) — ограниченная ступенчатая
по t функция, для которой | b (s, со) N, то для I е [0, Т]
М
(b (s, со), dw ($))
(30)
Доказательство. При s>t
М (ехр {(& (/, со), w (s) — w (/))} I Sz) =
= ехр | ~ | b (t, со) |2 (s -— /) | е2 N (S t}
Пусть t = t0 < t{ < ... < tn = T и b (s, co) = b (tk, а) при
< ^+i- Тогда
(( n-~l	1 \
exp| £ (b(tk, co), w(lk+t) — w(tk)) pfj =
= M(... M(M(exp{(Z>(/„-!, co), w(tn) — uy(/„-i))}|^„_()X
X exp {(ft (Z„_2, co), w (/„_,) — w (/„-2))} I5\_2) X • • •
... X exp {(ft (tQ, co), w (tt) — w (t0))} |S<0) <
expl у — tk)\.
k—o
§ 11
Процессы ит<5
331
Следствие. Неравенство (30) выполняется для вся-
кой {{^{-подчиненной функции b (t, со), для которой
b(t, со)|<У.
Его можно получить предельным переходом.
Лемма 6. Если b(t, со) — {{^{-подчиненная функция,
для которой | b (/, со) I N, то
М
Доказательство. Пусть
(®) = ехР
tt
— (b (s, со), dw (s)) ~ у I b (s, со) р ds
t,	п
(31)
Тогда, используя формулу Ито, получаем
^2
Рс„ (®) = 1 + $ Pt,, s (®) (b (s, со), dw ($)).
t,
Поскольку в силу следствия из леммы 5
МI pt s (со) р| b (s, ©) I2 < W"2
TO
/ *2	\
м И P/„ i (co) (b (s, co), dw (s)) | &, ) = o.
Это и завершает доказательство леммы.
Следствие 1. Какова бы ни была {^{-подчинен-
ная функция b (t, со), для которой | b (t, ®) |2 е [0, Т],
М
т	т
— (Ь (s, со), dw (s)) — у j | b (s, co) I2 ds
t	t
Это неравенство является следствием теоремы Фату.
Следствие 2. Если Мрг(со)=1, то и при
<t2<T
М(рй, м 1.
332
Непрерывные марковские процессы
[ГЛ. in
Действительно,
1 = Мро, tl (со) М (р/ь t2 (со) М (р/2, т (со) |	(32)
Если бы с положительной вероятностью выполнялось
неравенство
M(p/b/!(®)is<,) < г
то и выражение справа в (32) было бы меньше 1.
Перейдем к доказательству теоремы. Будем обозна-
чать М математическое ожидание по мере Р.
Для доказательства теоремы достаточно показать,
что при ti < t2
М (exp {i (z, w (t2) — w (/,))} I gfl) = exp { -11 г p (Z2 - /1)},
т. e. что для всякой ограниченной ^-измеримой вели-
чины Т)
Mi] exp {i (z, w (t2) — w (ZJ)) = exp { — у I z |2 (Z2 — ZJ} Mr).
(33)
Поскольку из следствия 2 леммы 6 вытекает, что для
^-измеримой величины §
М£ = М£ро, t (и) Р/, г (®) =
= М^Ро, t (®) м (р#, т (со) I %t) = М£р0, t (со),	(34)
то (33) эквивалентно следующему равенству:
Мт/ ехр {Z (z, w (t2) — w (ZJ)) p/b t, (co) =
= exp{ — 1| z |2(Z2 — ti) } Мт/ (35)
где if —'ПРо, h(®) — величина, для которой MIt/Koo.
По формуле Ито
d exp {i (z, w(t) — w (^))} p/1( t (co) =
= exp {Z (z, w (t) — w (ZJ)} p/b t (co) [— (b (Z, co), dw (Z)) +
4- i (b(t, a), z)dt-{-i (z, dw (ff) — 41 z f dt — i (b (Z, co), z) dt].
Процессы nto
<.{N -+J z |)2ехр
Поэтому
ехр {i (z, w (t2) — w (tt))} pi„ it (co) =
= 1 + J exp {/ (z, w(f) — w (0))} p,b t (о) X
X [/ (z, dw (0) - (b (t, co), dw (/))] -
— У | z P J exp {i (z, w (t) — w (Z,))} p<1( t (co) dt.
t.
Предположим, что | b (t, co) | N. Поскольку
[рц,И®)(1 z l + l b(t, ®)|)]2<
t
— 2 (b (s, co), dw ($)) ,
t.
то в силу леммы 5
M $ [p(fi, 0(1 2 l + l b(t, ®)|)]2Л<оо;
tl
значит,
Мт/ 5 exp V (z, w (0 — w (0))} ph, t (®) x
tl
X [- (b (t, co), dw (0) + i (z, dw (0)1 = o
и
Мт/ exp {/ (z, w (t2) — w (A))} P/„ t, (®) =
i,
= MT)' — Мт/ exp {i (z, w (t) — w (0))} pib t (co) dt.
tl
Рассматривая это соотношение как уравнение относи-
тельно
Мт/ ехр {i (z, w (t2) — w (0))} p/b t, (©)
при t2<s\tx, T] и решая его, убеждаемся, что (35) спра-
ведливо для ограниченных b(t, о).
334
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
Пусть теперь bN (s, со) — последовательность ограни-
ченных функций, для которых
т
| bN (s, со) — b (s, со) |2 ds —> О
о
по вероятности. Тогда, полагая
t
о
р£Д®>=	(36)
будем иметь
t2 (®) exP E (г>	~ (Q)} =
= Mi]P^1(<o)exp| —-ЦЕ(/2 —(37)
Так как wN(t)->w(t) при /V-> оо по вероятности, то
^lim MriPo, (со) exp {i (z, wN (/2) — wN (O)} =
= MijPo, h (®) exp {i (z, w (t2) — w (/,))}.	(38)
Далее,
I t! (<o) exp {i (z, wN (Q - wN (/,))} -
~ MW t2 (®) exp {i (г, wN (t2) - wN (Q)} | «С
<CM |р^2((о) - pu> Jco)|, (39)
где С таково, что | т] | С.
Точно так же
I Mt)p3I tl Ы) — Мт1Ро, tl (“) I С CM I pow ti (w) — р0> ti (<о) |.
Покажем, что
lim М I р^' t (о) — р0 # (со) I — 0	(40)
А->оо
§ 1]
ПРОЦЕССЫ ИТО
335
для всех t е [О, Т]. Имеем
М|ро"Л®)“Ро,Л®)|==
= М (| р0^ (со) — р011 (<о) | + Ро, t (®) — Ро" t (“))>
так как Мр0 t (®) = Мр^ (со) = 1. С другой стороны,
| Р" t (®) ~ Ро, t (®) I + Ро, t (®) ~ Р£ t (®) < 2Ро, t
Поскольку выражение в левой части этого равенства
стремится к нулю по вероятности, то, применяя теорему
Лебега, получаем (40).
Используя (38) и (39), убеждаемся, что
Jirn Мт)р£ <2 (®) exp {i (z, wN (Q - wN (<,))} =
= MnpOr t2 (co) exp {i (z, w (Q - w (tj))}.
Из (40) вытекает, что
lim Мгр0%=Мпр01< .
N->oo
Тем самым установлено (35), и теорема доказана.
Замечание. Предположим, что процесс (t) е &
не зависит от процесса w(t) и рг (со). Тогда (/) будет
винеровским процессом и на {Q, ®, Р}.
Действительно, рассмотрим составной процесс =
= {w (/);	(/)} в пространстве	Он будет вине-
ровским. Если &*($, со) в определено как {b (s, со); 0}, то
г	г
(&*(s, со), dw*(s))= (b(s, со), dw(s)),
о	о
В силу теоремы 11 процесс
t
W* (0 = J 6* (S, со) ds +	(f)
о
будет винеровским на {Q,	Р}. Поэтому винеровскими
будут обе компоненты составного процесса
t
• w (t) + b (s, со) ds; wi (f) ',
о
и они будут независимы между собой.
336
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Это замечание позволяет построить некоторое отобра-
жение множества процессов Ито на {Q, ®, Р} в множе-
ство процессов Ито на пространстве {Q, S, Р}.
Действительно, пусть w (/) — произвольный одномер-
ный винеровский процесс относительно {gj. Будем пред-
полагать, что в IT (§f) существует базис из винеровских
процессов. Процессы w{ (t), ..., wm(t), являющиеся коор-
динатами w (t) в 5?™, можно считать элементами этого
базиса. Тогда
t	t
до (0 =	°)’	§ а С5’ °)	(s),	(41)
о	о
где с($, со) — функция со значениями в а а($, со) —
в до* (/)-—не зависящий от w(t) винеровский процесс.
Последнее представление получается, если в представле-
нии w (/) по элементам базиса отдельно собрать инте-
гралы по wh ..., wm и отдельно по остальным вине-
ровским процессам. Процесс w (/) будет винеровским
на {Q, <5, Р} тогда и только тогда, когда в представле-
нии (41)
| с (s, со) |2 + а2 ($, со) = 1
для почти всех s и со. Поставим ему в соответствие
процесс
t	t
w (/) = (с (s, со), dw ($)) + a (s, со) dw* (s).	(42)
о	о
Это будет некоторый процесс из IT (§/) на вероятностном
пространстве {Q,	Р}. Легко убедиться, что {w, w)t = t;
значит, w (/) — винеровский процесс на {Q, 6, Р}. Если
т) (/) — некоторый числовой процесс Ито на вероятностном
пространстве {Q, 6, Р}, то это значит, что существует
винеровский процесс w (/) и функции р ($, со) и у (s, со),
такие, что
t	t
Л (0 = Ло + Y (^, со) ds + р (s, со) dw (s).
о	о
§ 1]
ПРОЦЕССЫ ИТО
337
Поставим ему в соответствие процесс Ито на {Q, <5, Р}
t	t
П (0 = По + § Y (5> со) ds + § ₽ ($, co) dw (s).	(43)
о	0
Построенное таким образом отображение является в опре-
деленном смысле изоморфизмом между пространством
процессов Ито на {Q, <5, Р} и {Q, <5, Р}. Легко видеть,
что отображение обратимо, линейно и однородно и пере-
становочно с операциями стохастического интегрирова-
ния. Используя формулы (41)—(43), находим
t
fj (0 = По + [Y (5, ю) + р (s, со) (с (s, <о), b (s, со))] ds +
t
+ P(s, (£>)dw (s).
о
Но это означает, что пространства процессов Ито на
вероятностных пространствах {Q, <5, Р} и {Q, <5, Р} сов-
падают.
Приведем еще одну теорему, дающую достаточные
условия того, чтобы Мрг((о)=1. Очевидно, достаточно
ограничиться случаем т— 1.
Теорема 12. Если {^-подчиненная функция b(/, со)
удовлетворяет условию
{т
у j b2 (/, со) dt
о
< оо,
ТО
М ехр
т	т
b (t, о) dw (0 — у j b2 (t, и) dt
о	о
= 1.
Доказательство. Пусть величиныопределяются
из равенства
t = Ъ2 (s, ®) ds,
w{t) = w (^)F
338
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
Как вытекает из следствия 4 теоремы 1, процесс w (/)
будет винеровским процессом относительно потока сг-ал-
т
гебр {SJ. Величина b2(s, a))ds = x является марковским
о
моментом относительно потока {§у}. Для доказательства
теоремы достаточно установить, что для всякого мар-
ковского момента т, для которого Me2 < оо,
М ехр | w (т) — ~ т | = 1.
Пусть сначала та — марковский момент специального
вида: момент первого достижения процессом w (/) пря-
мой t — а (а > 0). Легко видеть, что процесс
т] (/) = ехр | W (0 — У 11
является мартингалом. Так как та совпадает с моментом
первого достижения непрерывным процессом с независи-
мыми приращениями w (t) + t уровня а, то в силу фор-
мул (68), (70), (71) § 2 гл. IV, т. II
= еаВ(М,
где В (Л) удовлетворяет соотношению
и, так как В(0)”0, то
в (Л) = 1 - V1 + 2Л.
Таким образом,
Ме"”^ = ехр {а (1 — V1 + 2Х)}.	(44)
Хотя указанные результаты справедливы лишь при
ReX^O, однако из аналитичности правой части при
ReX>—у и непрерывности при ReX^ —у легко вы-
вести, что формула (44) справедлива при ReX^ —
В частности,
1
Me2 Х“ = еа.	(45)
И
процессы диффузионного Типа
ззй
Так как п (та) = exp { w (та) — у та } = е2 *а “, то из
формулы (45) вытекает, что Мп (та) — 1. Из того, что
г, (/) — мартингал и строгой марковости w (/), вытекает,
что для любой пары марковских моментов £2, для
которых
М(п
Поэтому для всякого марковского момента
П(С)> М (т|(тв) |§с)
и Мп (0^1, т. е. Мт)(£)=1. Очевидно, что тЛЛт^то,
1	= Mtj (та Д т) = Мп (т0) х{<в < т} + Мп (т) %{т <Тд}. (46)
Но
1 1
/ \	—а+-у т	1
Значит,
llmM4(xa)Va<4 = 0,
так как величина, стоящая под знаком математического
1г
ожидания, имеет интегрируемую мажоранту е1 и стре-
мится к нулю при а->оо. Учитывая, что	t 1
при а | оо, и переходя к пределу в (46), получаем, что
Мп(т)= Ь
§	2. Стохастические дифференциальные уравнения
для процессов диффузионного типа
В этом параграфе рассматриваются процессы диффу-
зионного типа, т. е. процессы, удовлетворяющие стоха-
стическому дифференциальному уравнению
<О) = «(Л g(-))^ + B(Z, U-)W(0,	(1)
где £ (0 — рассматриваемый процесс, w (/) — винеровский
процесс, £ (0 и w (t) принимают значения из $lm. Функ-
ции a {t, х (•)) и В (t, х (•)) определены на [О, Г] X Ф™. т]
и принимают значения из 31т и 8(5?'") соответственно.
340
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. ш
Решение уравнения (1) ищется на отрезке [0, Г], началь-
ное условие всюду предполагается таким: g (0) = 0. Для
того чтобы правую часть (1) можно было рассматривать
как стохастический дифференциал, будем предполагать
выполненным следующее условие:
1)	функции a(t, х(*)) и В(/, %(•)) измеримы по со-
вокупности переменных и для всех t е [0, 71] как функ-
ции отх(’) измеримы относительно а-алгебры 6/, по-
рожденной цилиндрическими множествами в 7] с осно-
ваниями над [0, /]. Последнее требование эквивалентно
такому:
а(/, х(.)) = а(/, Xi (•)), Bit, х(-)) = В(/, хД-)),
если Xi (s) = х (s) при s^t.
Решением (1) считается всякий такой процесс £(/),
для которого процесс wt (s) = w (t + s) — w it) не зависит
от St — а-алгебры, порожденной процессом g (•) до мо-
мента t
Пусть {SJ — поток а-алгебр, порожденный процес-
сом w[t). Если St с: St, т. е. ^(t) при каждом t St-изме-
римо, то такое решение £(/) уравнения (1) будет назы-
ваться сильным. Другие решения в тех случаях, когда
нужно будет подчеркнуть тот факт, что они не обяза-
тельно сильные, будем называть слабыми. При рассмо-
трении слабых решений (1) часто вероятностное про-
странство не будет фиксироваться: £(/) будет слабым
решением (1), если £(/) определено на некотором вероят-
ностном пространстве, на котором определен такой вине-
ровский процесс w (/), что выполнено (1). В качестве
вероятностного пространства часто будет рассматриваться
измеримое пространство {^[о, г], ©Л с различными вероят-
ностными мерами (например, с мерой, соответствующей
процессу w{t) или процессу g(0).
Кроме условия 1) иногда еще будет налагаться условие
2)	a Ц, х (•)) и В (tt х (•)) непрерывны по совокуп-
ности переменных.
Уравнения вида (1) уже рассматривались в гл. II
при следующих более жестких условиях:
3)	Для всякого компакта К cz существует
постоянная 1#, такая, что при х (•) е К, у (•) 6 К
§ t\	ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА	Й41
выполнено неравенство
\a(t,x(-))-a(t, у( •)) 1 + 1|В(/, х( •)) — B(f, у(.)) ||<
где || • ||т — норма в тъ || • || — норма в 8 ($т).
4)	Существует такое I, что для всех х (•)
|а(/, х(.))|4-||В(/, х(.))||</(1 +HxL).
При этих условиях доказано, что решение (1) сущест-
вует, единственно и является сильным.
О мерах, соответствующих решениям уравнения (1).
Общая конструкция меры, соответствующей случайному
процессу, приведена в § 1 гл. V, т. I.
Поскольку мы рассматриваем лишь непрерывные ре-
шения (1), то меры, соответствующие решениям |(/),
естественно рассматривать на ^[о, rj. Пусть £(/) —неко-
торое решение (1) и — соответствующая ему мера на
tfjo, т] = £2. Предположим сначала, что В (/, х( •)) —не-
вырожденный оператор для всех t е [О, Т], х( •) е ‘S’jo, т].
Тогда можно утверждать, что:
а)	процесс
y(t) = x(t) — ^a(s, x(-))ds	(2)
о
будет локальным мартингалом на вероятностном про-
странстве {й, <5, pj;
б)	процесс
t
Z(O=Jb"1(S, x(-))dy(s)	(3)
о
будет винеровским на этом пространстве; оба эти про-
цесса являются локальными мартингалами относительно
потока а-алгебр {?$/} на rj.
Очевидно, что в том случае, когда процесс z(t) на
{Q, <5, ц j определяется формулами (2) и (3) (z (/) является
342
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
измеримой функцией точки со = х (•) е Т1 — й), то
t	t
x(t)=^a(s, x(*))ds+	(s, x (•)) dz (s).	(4)
о	0
Таким образом, если мера такова, что выполнены
условия а) и б), то она отвечает некоторому решению
уравнения (1).
Заметим, что функция a(s, *(•)), для которой
{г/ (/), S/} является локальным мартингалом, определяется
однозначно для почти всех (s, х( • )) относительно произ-
ведения лебеговой меры на прямой на меру Если
{У1 (0> где
t
У1 (О = X (/) — j (s, х (•)) ds,
О
— локальный мартингал на том же вероятностном про-
странстве, то таковым будет и {у (t) — (t), Но
легко видеть, что (у — у^ у — J/i\ = 0, и, значит,
2
М
[czi (s, х (•)) — a (s, х (• ))]2 ds
= о,
откуда и следует равенство а{ (s, x(*)) = a(s, х(*)) для
почти всех s и для почти всех х(-) по мере
Если оператор B(t, %(•)) может вырождаться, про-
цесс y(t), определенный равенством (2), будет локальным
мартингалом; процесс z (t) в равенстве (3) можно также
определить следующим образом:
z(/) = lim (В (s, х( •)) +	1 dy (s)
8->° J
в предположении, что B(s, х( • )) — неотрицательный сим-
метричный оператор. Этот процесс также будет локаль-
ным квадратично интегрируемым мартингалом, для кото-
рого выполнено равенство
t
<(z, и), (z, и)\ = | Р (s, х (•)) и ^ds
9
§2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
343
для всех меТ; здесь P(s, х( •)) — оператор проекти-
рования на область значений оператора B(s, х(-)). По-
следнее утверждение является следствием равенства
lim | (В (s, %(•)) + 8/)”1 В (s, х( •)) и|2 = | P(s, х( •)) и \.
8-»0
Пусть теперь Q(s, х( •)) — оператор проектирования
на подпространство, ортогональное области значений
B(s, х( •)) (мы всюду здесь предполагаем симметричность
и неотрицательность В($, х(*))). Пусть w{ (/) — винеров-
ский процесс в не зависящий от процесса Тогда
процесс
w (t) = z (t) + j Q (s, x (•)) dWi (s)	(5)
о
будет винеровским, так как он является квадратично
интегрируемым мартингалом и для всех
и), (w,	=
Очевидно, что процесс x(t) удовлетворяет уравнению
t	t
x(t)=^a(s, х( •)) ds + В (s, х(- ))dw (s).
о	о
Если мера у^ задана, то неотрицательный симметричный
оператор В (s, х(-)) однозначно определяется из соотно-
шения: для всех и^.Ят
t
{(у, и), (у,	B(s, x(-))u?ds	(6)
О
почти всюду по мере у^.
Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если мера у^ такова, что процесс
{yt> §/}> определяемый равенством (2), является локаль-
ным мартинеалом на Г], @г, pj, для которого вы-
полнено соотношение (6), функции a(t, х( •)) и B(t, х( •))
удовлетворяют условию 1), то мера у^ соответствует не-
которому слабому решению уравнения (1).
344
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
Рассмотрим далее меры, абсолютно непрерывные отно-
сительно меры р,£, соответствующей некоторому решению
уравнения (1). Пусть ц — такая мера и
( т	т	1
= exps (b(s, х( •)), dz(s)) — 4 I b (s, х (•)) |2ds к (7)
м	о	'
где b(t, х (•)) — функция на [О, Т] X ^[о, л со значе-
ниями в удовлетворяющая тем же условиям, что
a(t, х(-)); z(t) определяется равенствами (2), (3) и
является функцией от х(-). Предположим, что
рг (х (•)) цЦйх (•)) = 1.	(8)
Пусть р/(х( •)) определяется формулой (7), если в нее
вместо Т подставить t. Тогда по формуле Ито при и е
t
(и, I (0) Р/ (Ц •)) = J («. £ (А) РЛ (•)) (* (зЛ (•)), dw ($)) +
о
t	t
+ JpAH-))(B*(s, Ц-))«, <fo(s)) + $[(a(s, £(•)), «) +
о	о
+ (B*(s, £(•))«, b(s, Н-)))РЛ( •))</$.
Используя это равенство и формулу (34) § 1, легко убе-
диться, что процесс {tjt,
t
y(i) = x (t) — (a (s, x (•)) + В (s, x (• )) b (s, x (•))) ds
0
является локальным мартингалом на пространстве
W Г], ® т, ц}. Простой подсчет показывает, что
t
{(у, и), (у, u)}t = (В (s, х (•)) и, B(s, х (•)) и) ds.
о
Поэтому для процесса x(t) на {^{о. Л> ®г, ц} будет вы-
полняться условие б). Таким образом, по теореме 1
и
йроцёссы дйффузиоййого Типа
345
мера ц соответствует решению стохастического диффе-
ренциального уравнения (1). Значит, справедлива сле-
дующая теорема.
Теорема 2. Пусть £(/) является решением уравне-
ния (1) и функция b(t, *(•)) на [О, ПХ^К),г) со зна-
чениями из Жп удовлетворяет условию 1). Если рг(х( •))
определяется равенством (7) и выполнено (8), то суще-
ствует такое решение уравнения
d^t^a^t, Id-Vdt + Btt, Id-ytdwtf), (9)
где
ai(t, x(-)) = a(t, x(-)) + B(t, x(-))b(t, x(-)), (10)
что мера p5i, соответствующая решению g, (t), будет
абсолютно непрерывна относительно меры При этом
^-(х(-)) = рГ(х(-)).
(11)
Следствие 1. Если уравнение (1) имеет реше-
ние £ (/)> 70 уравнение (9) также имеет решение (/) для
всех «1 (/, х (•)), для которых существует такое b(t, х (•)),
что й1 (/, х( •)) определяет ся равенством (10) и для функ-
ции рг (х (•)), определяемой равенством (7), выполняется
соотношение (8). В частности, если B(t, х(-)) имеет
равномерно ограниченный обратный оператор и уравне-
ние (1) имеет решение при некотором ограниченном
a(t, х(-)), 70 Уравнение (9) будет иметь решение при
каждом ограниченном a\(t, х(-)).
Замечание. Поскольку рг (х (•)) всюду положи-

тельно, то и
всюду положительно и, значит, меры
и ц51 эквивалентны.
Остановимся на том случае, когда В (t, х( •))==/
(7 —единичный оператор). Если £ (t) — решение стохасти-
ческого уравнения
=	+	(12)
f т
Рт(х(-)) = ехр<—J(a(s, х(-)), dx(s)) +
о
Г	s
+ y^|a(s, x(,))|2tZs I (13)
о	)
346
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
и выполнено (8), то мера соответствующая про-
цессу g (•), абсолютно непрерывна относительно меры
соответствующей процессу w (/), причем

(14)
Действительно, в силу теоремы 2 существует такое
решение уравнения
(/) = at (t, g] (•)) dt + dw (/),
что	При этом ai (t,	=	x(-)) —
— la (t, x( •)) — 0. Следовательно, ^ (/) = а» (/).
Формула (14) является следствием формулы (11).
Предположим теперь, что a(s, х(-)) таково, что
для рт равенство (8), возможно, и не выполняется.
Положим
a(t, х( •)),
если
ajv(t, х( • )) =
t
I a (s, х (•)) |2 ds < N,
о
t
0, если | a (s, x( •)) fds^N.
о
Пусть
t
In (0 = aN (s> И •)) ds + w (t),
Tw = sup i;
t
J I a(s, U-))M*<(V
u
Тогда (/)=£ (0 при t < tv и aiV (Z, g (• ))=aw (/,	(• ))=0
при t > xN, так как
t	T<v
J|a(s, ^(-))M«> J I a(s, ZN(-))^ds =
0	0
r/V
= J |a(s,U-))fds = ^
0
§2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
347
Значит,
Г
= t,N(-y)ds + w(f),
О
и по доказанному
d^N < ’ >	f С
—у;— (х (•)) = ехр < \ (aN (s,x(-)), dx($)) —
Т	\
— у §1 aN(s, х( •)) pdsL (15)
О	'
Для всякого измеримого	множества	Е с	rj
(( Т	)\
Е fnx(-): |а(«, x(-))f2rfs<Ar>) =
I	J	I J
v	0	7 7
z /	T	\\
= nd £fljx( •): I a(s, x( •)) pds < a4);
кроме того,
(Т	T
expK (aN(s, x( •)), dx(s)) —у | aN(s, x( •)) pds? =
^0	0	7
Z T	T	X
= exp j \ (a (s, x( •)), dx(s)) — у \ | a (s, x( •)) |2dsk
VO	0	'
если только
г.
J 1^(5, x(-))|2ds<^
0
Поэтому формула (14) справедлива для всех *(•), для
т
которых | а ($, х( •)) \2ds < N. Так как можно взять
о
произвольным, то, значит, формула (14) справедлива для
всех х (•), для которых
т
| a (s, х (•)) j2 ds < оо t.
о
348
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
Таким образом, для всякого измеримого множества Е
= Нт	\	рг (х (•)) l*w (dx) ==
N->co	т J	х
Eft р(Ц: $ \a(s, х(-)) Р ds <А?
I 0	)
= j Рг (х (•))	(dx),
Е
где
Рт(*( • )) =
X Т	Т	X
= exp j (а (/, х( •)), dx(t)) — ~ j | а (/, х (•)) pd/k (16)
VQ	о
если только
/ Т	\
Р j | а (/, w (•)) |2 dt < оо > = 1,
(Т	'j
РИ |а(/, Н-))М<«>[=1.
С	'
Это означает, что
U(-)) = pr(x(-)).
Так как правая часть (16) положительна, то существует
и п₽ичем
^(х(-)) = (Рг(х( •)))-*.
Предположим теперь, что
14
(17)
S 2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
349
если считать,
ется условие
т
Тогда точно так же как и ранее, можем установить, что
4£Цх(-)) = Рт(*(-)),
что для тех X (•), для которых выполня-
т
| а ($, х (•)) I2 ds =. оо, будет
о
ехр К (а(/, х( •)), dx(t)} — у J | a(t, х( •)) l2d4 = 0 (18)
М	0	'
(поскольку мера сосредоточена на тех *(•), для ко-
т
торых a(s, х( •)) |2ds < оо) *). Равенство (18) вполне
о
естественно, поскольку
т	т
( (а (/, w (•)), dw (/)) — у | a (t, w (•)) I2 dt
о	о
т
при | а (/, w (•)) I2 dt < °° имеет такое же распре-
о
т
♦) Здесь интеграл Ито (f (s), dx ($)) определен как предел
о
т
lim (fN (s), dx(s))t
^00 J
где
fN (0 я Х[0, N]
существующий почти всюду на множестве
т
х (•): I f(s)\2 ds < °о
о
350
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
деление, как Wj (£)—
т
| a (t, w (•)) |2 dt, a w} (s)
о
процесс, при С -> оо (g) —
QT
х(')' J"
О
то тогда
ца,(£)= lim pw( £(] <х( • ):
N-+oo \
= lim	\
А->оо	Г
Е П < х (•): I a (s, х (•)) |2
I О
где Z распределено как
— одномерный винеровский
1 .
2-^-оо.
I а ($, х (•)) |- ds < о°= j,
Г	XX
a(s, х(  )) |2ds <	) =
рг(х( • ))-1^ (dx)~
ds < N(
= j pr‘ (х( •)) (dx),
E
если считать, что p^1 (%(•))== О для тех *(•), для кото-
т
рых j| a(s, х( •)) \2ds= оо. Значит, и
о
(в силу предположений относительно a(t, х(-)) правая
часть последнего равенства всегда определена).
Итак, справедлива следующая
Теорема 3. Пусть a (s, х ( • )) — функция, определен-
ная при s е [О, Г], х (•) е Г], со значениями в
удовлетворяющая условию 1). Если
t
ИО = $ a (S, 5 (•)) ds 4- w (/),
О
И1
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
3S1
где w (/) — винеровский процесс в Ят относительно {8|}, то
(Т	\
а)	РИ | a(s,l( •)) \2ds < °Л = 1=фи? <
^0	'
( Т	1
б)	Р j $ I a (s, w (•)) |2 ds < оо > = 1 =s>	< ц5.
^0	'
При этом в случае а)
4^ (*(•))== Рт(х( *)) учетом соглашения в (18)),
а в случае б)
О существовании решений стохастических диффе-
ренциальных уравнений. Цель настоящего пункта со-
стоит в доказательстве следующей теоремы.
Теорема 4. Пусть коэффициенты а(1, х(-)) и
B(t, *(•)) удовлетворяют условиям 1) и 2), а также
условию 4), сформулированным в начале параграфа.
Тогда существует решение уравнения (1).
Таким образом, для существования решения (1) усло-
вие 3) оказывается не обязательным. Для доказа-
тельства теоремы нам потребуются некоторые вспомога-
тельные предложения.
Лемма 1. Пусть выполнено условие 4). Тогда для
решения £(/) уравнения (1) выполнено неравенство
М(sup| Ш 12)<С,
где постоянная С зависит лишь от Т и I.
Доказательство. Имеем
t
sup|Hs)l2<2H |a(s,g(-))Ms +
s	л
+ 2 sup
.8 < t
s	2
В («,£(•)) dw(u)
I)
352
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
Значит,
Msup| £(s)|2<
<2Г J M|a(s, |(-))|2ds + 8M J В (s, U-))dw(s)
= M J [2Г| a (s, U •)) p + 8 Sp В (s, | (•)) B* (sA (• j)] ds <
(t
1 +( Msup|^(w) |2ds
0 u^s
где К — некоторая постоянная, зависящая лишь от Т и I.
Из последнего неравенства и вытекает требуемое.
Замечание. Аналогично устанавливаем, что для
каждого п существует постоянная Сп, зависящая лишь
от Т и /, такая, что
MsuPmOf<C„.
t СГ
Лемма 2. В условиях леммы 1 существует постоян-
ная К, зависящая лишь от Т и /, для которой
+	14<О2.
Доказательство. Воспользовавшись формулой
Ито, запишем
I+ й)-ш |4 = (g(/ + й) -g(/),	+	(О)2 —
t +л
= 4 J	^(s)) +
t+h
+ 2 J {1Ш-Н0Н2(Ш-Н'), «(*>?(•))) +
+ SpB0U(.))B*(s, £(•))] +
+ |В*(5Д(.)) [g(s)-g(Z)]f}ds.
§2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
353
Следовательно,
М|^ + Й)-|(О14<
<Я1М ( |g(s)-&(OP(l+sup|g(«)|)ds +
/+Л
+ К2м IU5)-U^)?(l+sup|U^)F)^.
J	и
Воспользовавшись неравенством Гёльдера и леммой 1,
получим
/р+Л	' -|3/4
М|и/ + Л)-1(0Г<^зЦ$ М|Ш-Ч(014^]	+
- 1/2
(19)
Из этого неравенства, используя то, что в силу заме-
чания к лемме 1
M|UsW(0I4<16C4,
находим, что при некотором
М|Ш--П014<0.
Подставляя в (19) Т<4 (s — t) вместо М | g (s) — g (t) |4, по-
лучаем требуемое.
Следствие. Пусть Л множество мер соот-
ветствующих решениям 1(1) уравнения (1) при различных
a(s,x(>)) и B(s,x(-)), удовлетворяющих условиям 1)
и 2) и условию 4) с одной и той же постоянной Z.
Тогда ЛЦ слабо компактно.
Это вытекает из леммы 5 и теоремы 2 § 4 гл. VI, т. I.
Перейдем к доказательству теоремы 4.
Построим последовательность an(t, х( •)) и Bn(t, х( • )),
для которых будут выполняться условия:
(I) при некотором /'
\an(t, x(.))| + ||Brt(f,x(.))||</'(l+ll^(-)IU
12 И. Гихман, А. Скороход, т. III
354
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
(II) существует постоянная Нп такая, что
| ап (t, х (•)) - ап (t, у (•)) | +1| Вп (/, х ( • )) - Вп (t,y(- )) ||<
(HI) равномерно на всяком компакте в
МЛ х( •)) - an(t, х(.)) | + II Bn(t, х(.)) + В(/, х(.))ро
Такие последовательности функций можно построить
следующим образом (рассмотрим только последователь-
ность ап).
Пусть Гп (х) — кусочно линейная функция, совпа-
k
дающая с х(-) в точках -7е [О, Т], Обозначим
Уп (t, Xq, . . . , Хп) КУСОЧНО ЛИНеЙНуЮ фуНКЦИЮ ИЗ ^[0, Г],
k
принимающую в точке t = ~T значение xk. Определим,
далее,
( п 1
а„(/, х(  ))=$ ...\a(t, у„( • ,х0, ..., х„))ехр< — -^-^4[X
V	£==9 )
где функция g(z) определена при z е $,т неотрицательно,
отлична от нуля лишь при \z М 1, имеет ограниченную
производную и \g(z)dz=l, а еп~>0. Тогда
I ап (t, х (•)) К
< sup | a(t, у„( • , х(0) + х0, ..х{Т) + х„)) |<
</(1 + sup| y(- , х(о)+хэ, х(Г) + х„)К
t
</(1 + еп + sup| х($) |),
S
и выполнено (I).
Условие (И) вытекает из того, что an(t, х(-)) есть
функция х(-^-г) и имеет по этим переменным ограни-
ченные производные.
§2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
355
Наконец,
\an(t, x(-)) — a(t, х(-))|<
... j la(i, y„(-, x(O) + xo, x(T) + xn)) —
tl
-a(t, Y„(-, x(0), .... x(T))|J(g(|)v) +
+ 1 a (t, x(-))-a(/, Yn(., x(0).x(T)))|	+
+ $ ... ’j | a(t, y„(-, x0, ..., x„))|X
X f 1 - exp | - e„4 £ xl I) X
'	fe=o > /
Первое слагаемое стремится к нулю, равномерно на
каждом компакте Д, так как для всякого компакта
Д cz г] можно указать такой компакт Д1, что
у(*, х(0), ..., х(Г))еД1 для всех хеД и, кроме того,
при | zk К еп
suplу„(Л х(0), ..., х(Т)) —уа(Л x(O) + zo, ...
..., х(Г) + ?п)|<^
Второе слагаемое стремится к нулю равномерно на ка
ждом компакте, так как
sup | х (/)-—Гпх (О I-* О
равномерно на каждом компакте. Наконец, третье сла-
гаемое оценивается величиной
I (1 +	+ sup I X (/) I) 8„ sup ( \х (/) I + 8n)2
t	t
и, следовательно, стремится к нулю равномерно на ка-
ждом компакте при п~>оо.
12*
356
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Пусть теперь £л(/) является решением стохастиче-
ского уравнения
t	t
ln(t) = \an{s, ln ($)) ds + J Bn (s, tn(s))dw(s). (20)
0	0
Обозначим номеру на г], соответствующую реше-
нию £„(/) уравнения (20). Поскольку коэффициенты этого
уравнения удовлетворяют условиям 3) и 4), то решение
уравнения (20) существует и единственно. В силу пре-
дыдущего следствия множество мер компактно. По-
этому, не ограничивая общности, можно считать, что \in
слабо сходятся к некоторой мере ц. Пусть £;(*(•)) —
некоторая непрерывная ©^-измеримая функция на г].
Тогда для всех
t+h
( (x(t + h) — x(t), u)— (an(s, *(•)), u)ds X
J L	t
X gt (X (•)) (dx) = M (g„ (t + h) - (/) -
t+h
— J an(s, tn(-))ds, H)£t(M-)) = 0-	(21)
t
Далее,
t+h
lim \ | (a (s, х (•)) — ап (s, х (•)), и) | gt (х (•)) (dx) =
t + h,
_ йг: С l£ls>2r (•» — ara(s- х(-))|-|» | v
J ” ' 1 + I|X(.)U	A
X gt(*( • ))(1 +||х(- )У itn(dx).
Если v„(dx) = (l +l|x(- )||Jn„(dx), то меры v„ рав-
номерно ограничены и слабо сходятся. Поэтому для вся-
кого 8 > 0 можно указать такой компакт К.е, что
lim vn ti — Кг) < е.
П->оо
§2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
357
Следовательно,
t+h
lim ( | (a (s, х( •)) — ап (s, х( •)), и) || gt (х( •)) |g„ (dx) =
п->°° у
= О ( Шй Vn Г) - Кв)) = О (8)
rt-»OO
(мы воспользовались условиями (I) и (III), которым удов-
летворяют an(s, х(•))). В силу произвольности 8>0
t+h
lim $ |a(s, *(•)) —art(s, х (•)) IX
XI^(x(.))|dsPn(dx)==0.	(22)
Из слабой сходимости мер вытекает, что
lim Ux(i + ft)—х(0, и) gt (х (•)) (dx) =
Л-»оо J
= {(x(t + h) — x(t), и) gt (х (•)) ц (dx),
t+h	(23)
lim ( (a(s, *(•)), u)gt(x( • ))dsycn(dx) =
n-»oo-> J
t+h
= (a (s, x (•)), u) gt(x(>)) ds p (dx).
t
Поэтому, переходя в равенстве (21) к пределу при оо
и учитывая при этом соотношения (22) и (23), получаем
Г	t+h
j (x(t + h) —x(t), и) —	(a(s, х(-)), и) ds X
J L	t
Следовательно, процесс
у (t) — х (t) — a (s, х(-)) ds
X^(x(.))pWx) = 0.	(24)
является мартингалом на вероятностном пространстве
г], ®г, р}.
358
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
Использовав равенство,
t+h
(х (t + h) — х (/) —	x(-))ds, и)2 —
о
t -i-h
— (B*n(s, х (•)) и, B*n(s, x(-))u)ds
t
X gt (* (•)) (dx) = 0,
можно точно так же, как и выше, доказать, что про-
цесс
t
(У (0, «)2 - J (В* (s, х (•)) и, В* (<$, х (•)) и) ds
о
является мартингалом на {^[о, rj, Зг, ц}« Значит,
t
«£/(•), и), (у(-), u))t = \(B*(s, х(-))и, B*(s, x(-))u)ds.
о
Поэтому на основании теоремы 1 мера ц соответствует
процессу £(/), являющемуся решением уравнения (1).
Существование решения доказано.
Замечание. Пусть т —- некоторый конечный мар-
ковский момент относительно потока {SJ. Используя
независимость процесса ш(/ + т) — w(r) от cr-алгебры ST,
можно точно так же, как в теореме 4, доказать суще-
ствование процесса £($) на [т, Т], удовлетворяющего
соотношению
t	t
Ш - g (Т) = \а (s, U .)) ^ + J В (s, U-)) dw (s),
т	т
если задано g (s) на [0, т] и £ ($) при s т является
©^-измеримым.
Единственность решения. При исследовании вопро-
сов единственности решений стохастических уравнений
существенную роль играет следующий факт, обнаружен-
ный И. В. Гирсановым.
Лемма 3 (И. В. Гирсанов). Пусть (X, 23, ц) •— вероят-
ностное пространство, а (У, 8) — некоторое измеримое
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
359
§2] '
пространство. Если существует измеримое отображение
х = Цу) пространства (У, 8) в (X, 23) и измеримые ото-
бражения g[(x), g2(x) пространства (X, 23) в (Y, 2), удо-
влетворяющие для почти всех х по мере ц соотношению
f(gl(x)) = f(g2(x))=X,
а меры V/ на (У, 8), определенные равенством v{ (С) =
= H(gr7l(Q) таковы, что v2<v,, то для почти всех х
по мере ц
gi(x) = g2(x).
Доказательство. Пусть Yt — gi(X), y^Yx[\Y2.
Тогда y = gi(xl) = g2(x2). Значит,
Xl = f (gl (*()) = f (g2 (x2)) = X2
и g\(xd = g2(x2). Это соотношение справедливо для всех
х g= f (Ki n Y2). Заметим, что
Vf(y/) = HW=i> v£(r-n)=o.
Значит, v2(Y — У2) = 0 и v2(K —K|) = 0, так как
Vi(K — У1) = 0, a v2 <C Vp Отсюда вытекает, что
v2(Ki fl Y2) = 1. Поэтому
1 = *2 (Л Л У2) = н (g2-> (У, Л у2)) = н (f(Y, Л У2)).
Тем самым лемма доказана.
Рассмотрим стохастическое дифференциальное урав-
нение (1). Предположим, что оператор B(t, *(•)) обра-
тим. Тогда
w(t) = —	|(-))a(s, U-))ds +
0	*
+ Jb-’(s,	(25)
0
для всякого решения £(•) уравнения (1) стохастический
интеграл определен, так как % (t) является процессом Ито.
Соотношение (25) определяет однозначное измеримое ото-
бражение измеримого пространства rj, в вероят-
ностное пространство {^[о, т], ©г, ц}, где ц — мера, соот-
ветствующая процессу w(t), и играет роль отображения f
360
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
в лемме Гирсанова. Роль отображений gi (х) будут играть
различные {§/}-подчиненные решения уравнения (1). Итак,
справедлива
Теорема 5. Пусть коэффициенты уравнения (1)
удовлетворяют условиям 1) и 2) и, кроме того, опера-
тор B(t, *(•)) обратим для всех t е [О, Т] и х(-)е
Если ^ (/) и ^ift — dea сильных решения урав-
нения (1), причем	то с вероятностью 1 h(f) =
Замечание. Будем говорить, что решение уравне-
ния (1) слабо единственно, если меры и соответ-
ствующие двум любым решениям (Z) и £2(0 уравне-
ния (1), совпадают.
Теорема 5 утверждает, что в случае невырожденности
B(t, х{ •)) из слабой единственности вытекает единствен-
ность сильного решения. Этот факт будет часто исполь-
зоваться ниже.
Следствие 1. Пусть a (s, х(-)) таково, что
т
| a (s, х (•)) |2 ds < оо для всех х (•) <=	Т]. Тогда урав-
о
нение
t
W(t) + J a(s, K-))ds	(26)-
о
имеет не более одного сильного решения.
Действительно, в силу теоремы 3 мера, соответствую-
щая процессу g(Z), будет эквивалентна винеровской мере.
Значит, меры, соответствующие двум любым сильным
решениям уравнения (26), эквивалентны, и по теореме 5
эти решения с вероятностью 1 совпадают.
Следствие 2. Пусть оператор B(s, %(•)) обратим
для всех
s s [О, Т], х (• ) е г]
и
b(s, х (•)) = В”1 (s, х (•)) a (s, х(-))
— ограниченная функция. Тогда решение уравнения (1)
будет сильно единственным, если будет слабо единствен-
ным решение уравнения
dl:i(t) = B(t,	(27)
§2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
361
Действительно, из теоремы 2 (условие (8) выполняется
в силу ограниченности b (s, х(-))) вытекает, что для
всякого решения 1(f) уравнения (1) можно указать такое
решение (/) уравнения (27), что меры pj, и pj, соот-
ветствующие процессам (f) и g (f), эквивалентны. Если
решение уравнения (27) слабо единственно, то меры,
соответствующие решениям уравнения (1), эквивалентны,
поскольку они эквивалентны мере, соответствующей слабо
единственному решению первого уравнения. Остается
применить теорему 5.
Следствие 2 позволяет свести вопрос о слабой един-
ственности решения уравнения (1) к этому же вопросу
для уравнения (27).
Действительно, предположим, что уравнение (1) имеет
слабо единственное решение для всех тех a (s, х (•)),
для которых B-1(s, x(-))a(s, х(-)) ограничено. Пусть
при некотором at (s, х (•)), удовлетворяющем условиям
1) и 2), уравнение (1) имеет два решения Ег(/) и
Положим
xN = sup [i1 < Т: sup | В 1 ($,	(•)) a (s,	(•)) | < N,
s^t
sup|B-1(s, £2(-))a(s, g2('))l<AT].
Поскольку | В"”1 (s, х (•)) a (s, х (•)) | ограничено на ка-
ждом компакте и для всякого 8 > 0 можно указать
такой компакт что
р{м-)^/<е}>1-8, ра2(.)ет<е}>1-8,
то Р{т„ = Т}->1 при У-+оо. Пусть
a^(t, х ( • )) = a(t, х (•)),
если
sup | В-1 (s, х (•)) a (s, х (•)) | << N,
S^t
a^(t, x(')) = a(tN, x(-)),
если
|B_I (s, x(-))a(s, x( • ))| < N при s < tN,
\B~1(tN, x(-))a(tN, x(-))| = W при tN^t.
362
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Очевидно, что а^(/, х(*)) удовлетворяет условиям (1)
и 2),	х(.))^а, х(.))|<У. Пусть Ы0 = Ы0
При t TN И ДЛЯ t > Тд,
t	t
!/(0-Мт„) = J <(s, h(-))ds+ \B(s,
TA	XN
(существование таких НД/) вытекает из замечания к тео-
реме 4). Очевидно, что при s<rAr
a?(s,	=	!/(•));
значит, (•) является решением уравнения
dli (0 = а? (/,	(•)) dt + В (t Al (•)) dw (/).
Если =# p,g2, то =/= Ц|2 при достаточно большом Af.
Таким образом, слабая неединственность решения урав-
нения (1) при некотором а1 (s, *(•)) приводит к слабой
неединственности решения при таких a(s, *(•)), что
В”1 (s, х (•))#($, х(-У) ограничено, а следовательно,
к слабой неединственности решения уравнения (27). Во-
прос об единственности решения (27) в дальнейшем и
будем рассматривать. Остановимся сначала на одномер-
ном случае.
Будем говорить, что функция В (/, х (•)), определен-
ная и измеримая на [0, Т]Х^>7] и для каждого t из-
меримая относительно инвариантно зависит от вре-
мени, если для всякой функции x(-)e^rj и непре-
рывной функции Л(0, взаимно однозначно отображающей
[0, Г] на [0, Г] (Z (0) = 0), выполняется соотношение
B(t, м-))==в(ш *(•)),
где Xi (t) = х(Л(/)). Определим, далее, функционал
t
MU(-))== j[<O)]2;
о
§2]
Процессы диффузионного типа
363
если является процессом Ито, то такой функционал
совпадает с (g, Положим
t	t
Ъ (t, g (•)) = J	= J s"2 (M (• )M &	(28)
Функционал А,о(/, £( •)) будет инвариантно зависеть от t.
То же самое справедливо и для функционала Aq (/,£(•)),
если только £(/,£(•)) инвариантно зависит от t.
Пусть £(•) является решением уравнения (27). Тогда
Aq (О I (•)) — Определим величины xt из равенства
/ = Л0(^Л(-)).	(29)
Положим ^1(/) = ^(т/). Очевидно, что w{ (/) является ло-
кальным мартингалом. Кроме того,
{wlt w^t = Ло(тъ £(.)) = /.
Значит, wl (t) является винеровским процессом. Обозна-
чим ф/ функцию, обратную к тф^ = t. Тогда g (/) = w{ (ф/).
Функция ф/ может быть определена по процессу wl (•).
Действительно, воспользовавшись соотношениями
f=MU(-))=MUi(j),
Л1 (U (•)) = (ф/, ®i (•)),
убеждаемся, что ф* определена из равенства
Мф<, “ч (•))== t	(3°)
Итак, есла %(t) является решением уравнения (27),
то существует такой винеровский процесс (•), что
l{t)==wi (ф/), где ф/ определяется однозначно по про-
цессу соотношениехм (30), a Aq (/, g) задается для всех
процессов Ито равенством (28). Соотношение (30) экви-
валентно равенству
(31)
о
Если ^(/) и (О’*Два решения уравнения (27), то, по-
скольку при перечисленных условиях ^ (/) и £2(0““ Оди-
наковые функции от винеровских процессов (t) и
меры, соответствующие процессам (/) и g2(/), совпадают.
Применяя теорему 5 и следствие 2, получаем следующий
результат.
364
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. И!
Теорема 6. Пусть коэффициенты уравнения в 31)
dl (/) = a (t Л (•)) dt 4- В (t Д (•)) dw (/)	(32)
удовлетворяют условиям 1) и 2) и, кроме того, B(t,
и инвариантно зависит от t.
Тогда решение уравнения (32) слабо единственно,
сильное решение (32) единственно.
Замечание. Может оказаться, что функция
B(t,x( •)), хотя и не зависит от t инвариантно, но пере-
писывается в форме, когда она уже зависит от t инва-
риантно. Это связано с тем, что удается построить такую
функцию Вх (t, х(-)), которая зависит от t инвариантно и
В(/Д(-)) = В1 (U(-))
с вероятностью 1. Для нахождения такого представления
B(t, £( •)) нужно исключить явную зависимость B(t, £( •))
от /, выразив t в виде некоторой функции qp (/, £ (•)),
инвариантно зависящей от t.
Покажем, как это можно сделать. Пусть Ло(/, £( • ))=
= Dt (эта функция, очевидно, не зависит от «(•, •)
для £(•), являющегося решением уравнения (32)). По-
ложим, далее,
t
о
и определим qp (t, £ (•)) из соотношения
Г(ф(/Л(-)), Ц-)) = А0(/Д(.)).
Легко видеть, что <р(/, £(•)) —/ с вероятностью 1, так
как %о(Л Ц  )) = F(Z, g( •)). Далее, <р(/, |( • )) определяется
поведением £ (•) до момента t, поскольку таковыми
являются и Хо(/, g( •)) и F(t, g( •)). Найдем условия, при
которых <р(/, g( • )) инвариантно зависит от t.
Предположим сначала, что B(t, g( • )) = Bk(t, Ц •))
для/й</ <tk+l, гдеО = /о<Л < ... </rt = 7’HBft(f,g(-))
инвариантно зависит от t. Тогда при ^^+1
t
ф(и(-)) = Ф(4Л(-))+ t
ЙРОЦЁССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
366
и
Поскольку k0(t, £(•)) и Bl(t, £(•)) инвариантно зависят
от t, то такой будет и функция <р(/, £(•)). Поэтому
сформулированное утверждение справедливо для функций
B(t, х{ •)), которые являются пределами ступенчатых по t,
являющихся на интервалах постоянства инвариантно за-
висящими от t.
Примером такой функции может быть функция B(s, х),
непрерывная по совокупности переменных, поскольку
функция В* (х), очевидно, инвариантно зависит от t,
В (s, х) можно аппроксимировать ступенчатыми по t
функциями.
Пусть теперь £(/) является решением уравнения (27)
в &1т, оператор B(s, х(-)) инвариантно зависит от I и
g(t, х(’)) — положительная функция на [О, Г]X'S’jo,rj,
инвариантно зависящая от t. Определим величины xt
с помощью соотношения
g(s, K-))ds.
о
Функция xt непрерывная, возрастает по t и для каждого t
xt является марковским моментом для винеровского про-
цесса w(f).
Положим 11 (0 = % (т/)
xt _______________________
= $ -y/g(s, £(•)) dw(s).
о
Процесс wx (t) будет также винеровским в 01т. Поскольку
t
£i(/)=^B(s, l('))dw (s)=}B(xs, h(‘))dw(xs) —
u	о
= / Г ГгтГB (s> £1 < •)) Л Vg(и. g( •))</«’(«)=
-j VOTT8‘^('™'
366
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
то МО удовлетворяет стохастическому дифференциаль-
ному уравнению
(33)
w, Ij(-))
где wj (/) — некоторый винеровский процесс. Предположим,
что существует инвариантно зависящая от t функция
(О £( •)), Для которой с вероятностью 1 Zj (/, g (•)) = t.
Тогда, определяя ф/ как обратную функцию к хр. t — x^e
будем иметь
/ =	(/, g( •)) = %! (фъ gi (•)).	(34)
Следовательно, £, (/) = (<pf), где ф/ определяется по cj (•)
с помощью равенства (34), удовлетворяет уравнению (27).
Используя этот факт, приходим к следующей теореме.
Теорема 7. П усть В (s, %(•)) — операторная функ-
ция со значениями в и функция g(s, х( • )) со зна-
чениями в $}, определенные и измеримые на [0, Т]Х^[о, гр
инвариантно зависят от t. Если решение уравнения (33)
слабо единственно, то сильное решение уравнения (27)
единственно.
Доказательство. Если £, (Z) и гф (t) — два решения
уравнения (27), то эти решения по доказанному имеют
вид
ю=ш)> гю=ш),
где ^ (/) удовлетворяет уравнению (33), а £'(/) — урав-
нению
(0 =	.- в (S, ?;(•)) dw\ (s),
Vs (ми-))
где w\ (•) — некоторый винеровский процесс, а ф* и ф*
определяется равенствами
/=%1(ф(л1(.)) = л1(ф;1 ?;(.)),
Xi (t, x(‘)) = {zu(M Zu(Mi,
t
zu /Г'МНШ
§2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
367
Значит, 1(f) и (f) получаются из винеровских процессов
W} (t) и (0 с помощью одинаковых преобразований;
поэтому совпадают меры, соответствующие этим процес-
сам. Остается воспользоваться теоремой 5.
Процессы Ито и стохастические дифференциальные
уравнения. Пусть w (t) — винеровский процесс в
а {§/} — поток о-алгебр, порожденный этим процессом.
Рассмотрим процесс Ито
t	t
g (/) = a (s, со) ds + В (s, со) dw (s),	(35)
о	о
где a (t, со) и В-(/, со) — {^-подчиненные функции, при-
нимающие значения из &Т71 и 2 (31т) соответственно.
Ниже приведены условия, при которых %(f) является
решением стохастического дифференциального уравнения
вида (1).
Обозначим поток cr-алгебр, порожденный про-
цессом 1(f).
Теорема 8. Пусть выполнены условия'.
1)	a (s, af) и В (s, со) непрерывны по s при почти всех со,
т
2)	М | a (s, со) I2 ds < оо,
о
3)	В ($, со) является положительным симметричным
оператором.
Тогда существуют такие измеримые функции a (s, х (•)),
В ($, х (•)), определенные при s е [О, Т], х (•) е Г] и
принимающие значения из $,т и Q(J%m) соответственно,
удовлетворяющие условию 1), сформулированному в на-
чале параграфа, и винеровский процесс w (t) относительно
{§/}, что ^(t) удовлетворяет соотношению
t	t
g (0 = J a (s, I (.)) ds + J В (s Д (•)) dw (s).	(36)
0	0
Доказательство. Положим
t
a (s, q) = M (a (s, co) |g|), T) (t) = I (t) — a (s, co) ds.
Q
368
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
Очевидно, что т](0 является 8^-измеримой величиной. По-
кажем, что т) (/) является локальным мартингалом отно-
сительно потока {§/}•
Пусть
T^ = sup[/<r, sup | T](s) КМ	n(/л т^).
s^t
Тогда
А Тд/	I /\ Т
Ла(0= [л (s, со) — d (s, со)] ds + В (s, <о) dw (s).
о	о
Из ограниченности т]^ (t) и условия 2) теоремы вытекает,
что
М
t ATV
В (s, со) dw (s)
о
Следовательно, при t{ < /2
(^2^XN	\
В (s, со) dw (s) 1Зц j =
<1АГЛГ	J
= M| В (s, co) dw(s) IS/i | = 0,
VlATjv	/
так как 3/t Зц- Далее, процесс
t
fj (/) — j [a (s, co) — d (s, co)] ds
о
при < t2 удовлетворяет условию
/ \
Ml ( [a (s, co) — a (s, co)] ds | Зц I =
a (s, co) — a (s, co) 13l) ds | 3ц I = 0.
§ 2]
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
369
Отсюда вытекает, что и для любых марковских момен-
тов относительно потока {§1}
/ *2 Л	\
Ml [а ($, со) — а ($, о)] ds | I = 0.
VI Л XN	/
Тем самым доказано, что т]у(0 является мартингалом,
а значит, т](/) — локальным мартингалом.
Так как
t	t
г) (/) = [а (s, со) — а ($, со)] ds + В (s, со) dw (s),
о	о
то для всякого z е &1т
t
<(z, 11), (z, т])\ = | В (s, co) z I2 ds.
0
Поскольку величина в левой части §|-измерима, то и
| В (t, со) z | является ^-измеримой величиной. Значит,
В it, ®) — {^{-подчиненная функция (положительный сим-
метричный оператор В определяется значениями (B2z, z) =
= |Bz|2). Положим
t
w (f) — B~l (s> ®)	(О’
0
Этот процесс {^/{-подчинен, является локальным мар-
тингалом относительно {$<} и для z е
((z, w), (z, W))t = I z I21.
Значит, он винеровский процесс в относительно по-
тока {§/}. Очевидно, что
t
т) (Z) = j В (s, со) dw (/),
о
t	t
|(Z)= Ja(s, co)ds+ Jb(s, &)dw(t).	(37)
о	о
370
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
Остается заметить, что в силу {^{-подчиненности а (/, со)
и В (/, со) существуют такие функции а (/, х (•)) и В (t, х (•)),
что
а (/, со) = а (/, g (•)), В(/, ш)-=В(/, §(•))
с вероятностью 1. Подставляя эти значения в (37), по-
лучим (36).
§ 3. Диффузионные процессы в $1т
Такие процессы уже рассматривались в гл. I, т. II.
Здесь же под диффузионными процессами понимаются
решения £(/) следующего стохастического дифференциаль-
ного уравнения:
di (0 = а (/, £ (/)) dt + В (t, I (/)) dw (/),	(1)
где w (t) — винеровский процесс, оба процесса £ (/) и
принимают значения в a (t, х), В (t, х) — измеримые
функции на [0, Т] X и принимающие значения из ЗГ
и 2(5?т) соответственно. Уравнение (1) решается при
начальном условии £(0) (£(s)), где £(0) (g (s)) — заданная
случайная величина, не зависящая от w(t} (w(t + s) — w(s)).
Уравнения вида (1) рассматривались в § 2 гл. II.
Там, в предположении, что функции a(t, х) и В (t, х)
удовлетворяют локальному условию Липшица: для ка-
ждого N существует такое lN т, что при | х | N,
\у\<К
\a(t,x) — a(t, y)\ + \\B(t, x) — B(t, y)\\<lN,r\ * ~ У \, (2)
было установлено, что решение уравнения (1) единственно.
Если, кроме того, выполнено условие
\a(t,x)\ + \\B(t,x)\\^KT^+\^\).	(3)
то решение (1) существует. При этом решение будет
обязательно подчиненным потоку о-алгебр порожден-
ных величиной £, (0) (g (s)) и w (и) (w (и + s) — w (s)), и^Л.
В этом параграфе условие (2) уже не предполагается
выполненным. Но решения (1) и не предполагаются
{^-подчиненными (т. е. сильными). Будут найдены более
общие условия существования слабого решения, а также
условия слабой единственности и, следовательно, един-
ственности сильного решения,
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
371
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих
диффузионным процессам. В этом пункте получена фор-
мула для плотности одной меры, соответствующей диф-
фузионному процессу, относительно другой. Кроме того,
здесь приведены некоторые результаты об одномерных
распределениях решения уравнения (1). Всюду будет
предполагаться выполненным следующее условие.
А. Коэффициенты a(t, х) и В (/, х) удовлетворяют
условиям (2) и (3) и В (/, х) — невырожденный оператор
для всех I е [0, оо), х^л$п.
Теорема 1. Пусть a{(t,x), a2(t, х) и B(t,x) удо-
влетворяют условию К, — решение уравнения
dU (/) = ai (/, U (0) dt + В (/, U (/)) dw (t)	(4)
на [s, оо) с начальным значением Пусть pj’ т обо-
значает меру, соответствующую процессу Zt (0 на [s, Т],
a vj (dx) — распределение g. (s). Тогда условие	~ у? (•)
влечет за собой эквивалентность мер цр т и т\ при
этом
d&T
drf'T
(М«))
dvl
(S)) X
Xexp
(B-1 (t, I (/)) (a2 (t, g (0) - a{ (t, £ (/))), dw (0) -
Доказательство. Из результатов § 2 гл. II
вытекает, что ^-(/) являются марковскими процессами.
Используя общие свойства плотностей для марковских
мер, можно убедиться, что достаточно доказать теорему
для того случая, когда М5) = b С$) = * с вероятностью 1
(см. § 6, т. I, гл. VII, формула (6)). В этом предпо-
ложении мы и будем ее доказывать.
Если функция В-1 (/, х) [a2(t, х) — at (t, х)] ограничена,
то утверждение теоремы является следствием теоремы 2 § 2
и единственности решения уравнения (4).
372
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Пусть an(t, х) удовлетворяют условию А для всех
п > 2 с одними и теми же постоянными / v> т и Кт
*) =
ах (t, х), | х 2п.
Обозначим решение на [s, оо) уравнения (4), если
в него вместо a2(t, х) подставить an(t, х), tn(s) = x. Тогда
в~[(1, x)\an(t, x) — cti (t, x)J
ограничено; следовательно,
— ехр
т
$ О' (t, I(0) [ап (t, ь (t)) - a, (t, h (/))], dw (/)) -
T
- 4 J I в-1 (/, (0) [a™ (t, U (/)) - «1 (t, (/))] Г dt .
s
(6)
Пусть xn = max [t T: sup| £2 (s) В силу единствен-
ности решения (4) процессы g2(0 и &п(0 совпадают на
[$, тл]. Поэтому для всех борелевских множеств А с: <g’™> г
^ЦДП5Г) = И^(ЛП5Г),
Sr = {x(*): sup |x(/)l<r}- Следовательно, на Sr
где
при
tCu(-))
dv^' T ( ( w
j..s, T (•* ( ’ ))•
rfp.j
при gj (•) е 8Г, п> г правая часть (6) такова же>
и при я = 2, т. е. совпадает с правой частью (5)
dvl t ч А
t ; / Ч- Тем самым установлено, что
/
и р-рт эквивалентны на |J 8Г, а так как
Но
как
^поскольку ‘1
меры р*2* т
$ 3]	ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ в яй‘
373
|j sr —<8™, г], то они вообще эквивалентны. Формула (5)
Г=1
также установлена. Теорема доказана.
Обозначим (s, х, Е) величину

(7)
где Л > О, Е—борелевское множество в Я'п, £ (/)—решение
уравнения (1) на [s, оо) с начальным условием |(з) = х.
Как установлено в § 2, гл. II, решение (1) является
марковским процессом, вероятность перехода которого
Р($, х, t, Е) задается равенством
P(s,x,t,E) = PttX{l(t)eE},	(8)
где £ (О — то же решение, что и в (7). М5, х — математи-
ческое ожидание по мере, соответствующей этому про-
цессу I (0- ал («, х, Е) является мерой по Е. Нас будет
интересовать вопрос о существовании плотности этой
меры относительно меры Лебега. Будем предполагать,
что кроме условия А выполнено следующее условие.
В. Для всякого N существует такое CN > 0, что
Sp (I - В (t, х) В' (t, х))2 < 1 - Сы
при | х КN, t^N.
Нам потребуются следующие две леммы.
Пусть f(s, х) — некоторая измеримая ограниченная
функция; положим
оо
GJ (s, х) = М е~к (t, x-\-w (f) — w (s)) dt,
s
где w (t) — винеровский процесс в
Лемма 1. Пусть
Lg (s, x) = (b (s, x), gx) + у Sp C (s, x) g"x
— дифференциальный оператор, коэффициенты которого
b (s, x) и C (s, x) определены на [0, оо) X Ят, принимают
374
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
значения из и 2 Шт) соответственно, измеримы и
удовлетворяют неравенствам'.
I b (s, х) | 6, Sp С (s, х) С* (<$, х) 02.
Тогда для каж >ого в > О
§ \LGKg (s, х)]2 ds dx С (02 + s) g2 (s, х) ds dx (9)
при всех достаточно больших Л > 0.
Доказательство. Пусть
g(s, х) = j exp {ias + i (x, у)} g (a, y) da dy.
Тогда
Gig (s, x) = M J J J exp {ias + i (x, y) +
+ i (w (0 — w (s), y) —	— s)} g (a, y) da dy —
= \ \ exp {ias + i (x, y)}------Ц--------g (a, y) da dy. (10)
J J	Ы2
Поэтому в силу равенства Парсеваля
T~kG^S^s’ 2 dsdx =
J J dxR
= S S 7--------------Н £ ?dady>
J J Ц+ylw Ц +«2
^7G^(s’x) dsdx =
= (2n)m ( ---pJ~4t3---1 g (a> Ц I2dd-
J J Ц + уШ2) + a2
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
375
Значит, каково бы ни было 8j > О,
х)] \2dsdx^
<(1 4-81)47ИХ -;~К , Gxg(s,x) 2 dsdx +
4 J J “ dxRdxJ
k, j
+0+^)6 И £ Ьрг	(s’x))2 dsdx=
XI g (а. у) I2 da dy < (2n)m (1 + eJJ©2 j j | g (a, y) |2 da dy=
= (l+8i)02
j J g2 (s, x) ds dx,
если только Л > (1 + I /ej 6/( 1 + e,) 02.
Лемма доказана.
Следствие. При 0 < 1 для всех f е ([0, оо)X5?'п)
уравнение
f = g + LGKg	(11)
имеет решение из 9?2 ([0, °°) X ^т)- Пусть || • ||2 — норма
в ([0, оо)Х^т). Тогда
и g ib <	11 f ll2’ °<0><L
Будем использовать для решения (11) запись
g = (I + LGK)~lf,
(I + LGK)~' — некоторый оператор из 3?2 ([0, оо) X ^?"г)
в ([0, <ХГ).
Для всех достаточно больших К
||(Z + LGX)-1|^<T^_.
Замечание 1. Из формулы (10) вытекает, что GK
также оператор из 3?2 ([0> °°) X в •S’? ([0> m) X ^?т)>
причем || GK ||	1/Л.
376
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
(ГЛ. III
Положим, далее,
GV(s,x) = Ms>* J e~K^~s)f(t,	(12)
S
где £(/) — то же решение (1), что и в (7). Если f (/, х)
имеет непрерывные ограниченные производные f't, fx, fxx,
то, воспользовавшись формулой Ито, можем записать
ms, J (л I (0)=f(s, х) + ms х \ р; (и, I («)) 4-
+ | Sp В (и,1 (и)) В* (и, В (и)) f"x (и, В (и))] du.
Подставляя это выражение в (10), находим
Gl f(s,x) = -~f (s, X) + у Ms, Д е~к (t, В (0) dt,
s
где
Ци(1, x) = ~(t, x) + (a (/, x),~u(t, x)) +
+ 4spB(^x)B*a, x)u"x(t, x),
ИЛИ
x).	(13)
Лемма 2. Если существует такое с > 0, что для всех
х е s е [0, оо) выполнены неравенства
Sp (В (s, х) В* (s, х) — I)2	1 — с, | a (s, х) |	,
Gif (s, х) = GK(I- ZhG,.)-1 f (s, x),
где
{t, x) = (a (t, x), ux (t, x)) +1 Sp {B(t, x) B*(t, x) - I)u"x,
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В Я*

для всех достаточно больших Л > 0. Существуют такие Ло
и Н, зависящие лишь от с, что при К > Ло
Доказательство. Подставим в (13) f = G^g, где
g е ([0, оо) X 0Г). Получим
G-,.g = Gl [Mhg — LtfjKg].
Использовав вид Gxg
Gkg ($, x) = e~Mg (t + s, x + w (/)) di,
о
убеждаемся, что
^GKg (s, x) + у &Gkg (s, x) =
Uo
oo
= rw [^ + |A^(/ + s,x4-®(/))]d/ =
0
=G44f-+TAd=“£+w^’
где Au=Spu"x. Последнее равенство получается с по-
мощью формулы Ито точно так же, как и формула (13).
Значит,
^Gkg — LiGKg = g — LiGKg.
Таким образом,
Gb,g=Gk(g — L\Gkg).	(14)
Пусть g — решение уравнения 7
g — L\Gbg = f.
Если f е З’г ([0, °°) X ^т), то в условиях леммы это
решение существует, §• = (I — L{GK)~' f. Подставив это g
в (14), получаем требуемое.
Теорема 2. Если выполнены условия леммы 2, го,
какова бы ни была интегрируемая и интегрируемая
с квадратом функция <р (х), для всех Л > Ло, где Хо за-
висит лишь от с,
Ф (х) RK (s, х, Е) dx,
378
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
как функция Е, абсолютно непрерывна относительно
меры Лебега m (£). Если
fyjs, ф, £*)= ф(х)7^($, х, E)dx,
то функция
интегрируема в степени 2 — е, каково бы ни было 8,
0<е< 1, причем для каждого s0 существует постоян-
ная HSy> зависящая лишь от с, & и s0 такая, что
(r (#))2 е dy < HSt Ф2 (х) dx + | ф (х) |dx)
при К > Ао, s $о-
Доказательство. Пусть f (s, х) — %Е (х) e~&s- Тогда
Glf(s, х) = e~6s^+e(s, х, Е).
Следовательно,
7?j.+6(s, х, Е) = e6sGlf (s, х).
Используя лемму 2, можем записать:
(s, х, Е) = e6sGK (I - f (s, х).
Обозначим
Тогда
Rk+6(s, х, Е) =
оо
=j S ехр К i^rL ~ и}е <(- ’’ d‘dy-
RM (s, ф, E) = e6s ф (t, y) e~Ktg {t, y) dt dy,
0
где
ф (t, y) = (2ntrml2 J <p w exP { — - * ~^ty - } dx.
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
379
Если ф(х)= \ ei{z> x}q(z)dz, то
r _UL£J!
Ф (^> у) = \ Ф(^)в	2 e^^y^dz.
Поэтому
51 ф (t, у) I2 dy =
= (2л)т | ф(г) ре_/1г I2dz<(2n)m | ф (z) I ф(х) |2dx.
Значит,
Rk+ds, <р, £)<eSs
gz(t, y)dtdy^
%£(x) e~26s dx ds\
=жсь
Окончательно находим
Rk+ds, Ф, £)<//i^=r/y/j(p2W<fx-m(E).
Из этого неравенства вытекает существование плотности
ftx+e(s, Ф> R) относительно меры Лебега. Мы видим, что
при некотором Н2
rs(y) dy ^Н2л/т{Е).
Е
Пусть Еа={у: rs(y)>a}. Тогда ат (£а)< Н2 (т (Еа))'12,
Значит, т (Еа) ^а“2#2. Поэтому
5 г2-8 (у) dy= j г2-е (у) dy +
rsty)<l
oo	oo
Г	p	q2—8
+ X J f2s~e(y)dy^rs(y')dy + Yj H22-^-.
Я=0 2n^rs(y)<2n+l	^-0
380	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. III
Для завершения доказательства теоремы остается лишь
заметить, что
rs{y) dy
< | <р (х) | RK (s, х, ST* 1 * * *} dx — у | qp (x) | dx.
Замечание 1. Предположим, что g(t, у)
муле (15) принадлежит £?р([0, оо) X где р
что
оо
j j [(2л0-”*/2ехр { - -| х~у|2 - J* dt dy < оо
в фор-
таково,
Тогда
/?x+6(s, х, E)<C||g||p,
где || • ||р — норма в Если, кроме того, || g ||p<(m (Е))а,
где а > 0, то
7?x+6(s, х, EXCj (т(Е))а.
Из этого неравенства, так же, как в теореме 2, можно
вывести существование плотности (s, х, Е) относи-
тельно т (Е) и интегрируемость этой плотности в степени
1
-------8, каково оы
1 — а ’
(16) нужно, чтобы
f I-
Если пг=^1, то можно
Следствие 1. В случае т = 1 в условиях леммы 2
(s, х, Е) абсолютно непрерывно относительно меры
Лебега и, если
Гк (S, х. у) = dRK^mX’ (у),	(17)
то для всех 8, 0 < 8 < 1, и s0 существует постоянная С2,
зависящая также от с, такая, что
\r\-s{s, х, y)dy<tC2	(18)
ни оыло 8 >> и. для выполнения
m + 2	m + 2
р>-^~
взять а= р = 2.
при К > ^0,
S3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В S?m
381
Замечание 2. Предположим, что- коэффициенты
a(t, х) и Bit, х) уравнения (1) от t не зависят и равны
а(х) и В(х). Положим
оо
gVW=Mo,x (t))dt,
О
оо
GKf(x)=M (x + w(t))dt,
о
где (0 ~ решение уравнения (1) на [0, оо) с начальным
условием |(0) = х. Точно так же, как были доказаны
леммы 1 и 2, можно установить, что
Glf = GK [I — LiG%]~1 f,
только теперь все операторы рассматриваются в
При этом норма ||(7 — £1ОЛ)-|||2 конечна. Поэтому
(х) = J [j exp { —	— М } (2л0~'’"/2 dt j g (у) dt,
где g=[I — LiGK]~' %Е. Легко видеть, что функция
00
1\(|х—-у |)— (2л/)-,"/2ехр I — 'х ~ У । ~ td\dt
W	х.	)
интегрируема по у в степени q при q <	. В част-
ности, при т^З она интегрируема с квадратом. Сле-
довательно, при т^З в случае коэффициентов, не за-
висящих от /, удовлетворяющих условиям леммы 2, вы-
полняется (17) и (18) и постоянная С2 от s не зависит.
Докажем еще одну лемму, позволяющую утверждать,
что некоторые меры, связанные с решением уравнения (1),
имеют плотность относительно меры Лебега.
Лемма 3. Пусть удовлетворяет уравнению (1),
коэффициенты которого удовлетворяют условию
|а(£ х) ННB{t, х)|| + ||в-‘(£ х)||<С,
382
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
где С — некоторая постоянная. Если f (t, х) — дважды
непрерывно дифференцируемая числовая функция, такая,
что производные f't, fx, fxx удовлетворяют условию
i«i + |f«i + if: Г
то для всякого Т и 8, 0 < е< 1, существует постоян-
ная Ст,е, зависящая лишь от С, и такая, что функ-
ция множества Ес.^11
т
м
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в ЗЕ
и, если рт (у) — плотность этой меры относительно меры
Лебега, то
j (рт (уУ)2~С dy^CT,s.
Доказательство. Положим
т1/ = Ц/Д(О = Ц0Д(0)) +
t	t
+ a (s, g (s)) ds + p (s, g ($)) dw (s),
о	0
где
a (s, x) = f'(s, x) + (a (s, x), f'x (s, x)) +
+ |sPB(s, x)B*(s, x)f"x(s, x),
p (s, x) = IB* (s, x) f'x (s, x) I,
- za ( ( B*(s’ (s)) (s> (s)) л / Л
w (t) = \ -j—j------7--------r , aw (s) ,
J VIв (*.и*))/'сш)Г )
w (0 — одномерный винеровский процесс. Пусть xt опре-
деляется из равенства
t= $₽2(s, l(s))ds.
о
§ 3]	ДЙФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В	383
Тогда
т	хт	Т/6
м J %£ (П/) dt = М J %Е (tkJ dxs < у М j хЕ (%) ds,
0	0	о
где 6 > 0 таково, что S^p2(s, х). Далее,
% == $ Р (5, g (s)) dw (s) + j a (s, I (s)) ds + f (0 Д (0)) =
о	0
t
= w(t)+\yi(s)ds + f^ U0)),
о
где у (s) — ограниченная функция. Процесс r|Tf будет ви-
неровским, если вместо исходной меры ввести меру,
абсолютно непрерывную относительно нее и имеющую
плотность
( т	т Л
рг = ехр | у (5) dw (s) — у у2 ($) ds г
о	о	'
(см. теорему 11 § 1). Поэтому, используя неравенство
Коши, будем иметь
1\	Tt
М (й (0) dt = М Хе (^) 9т J dt
о	о
о
(мы воспользовались леммой 5 § 1), где постоянная С2
зависит лишь от максимума | у (0 I, так что ее можно
выбрать зависящей лишь от Сг и С2. Итак, доказано,
что при некотором Н
т
м $Х£(П/)^<ЯУ/п(£),	(19)
о
3S4
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
(ГЛ. III
так как
Tt	Tt	____
м t Хе (да (/)) dt < -yLr т (£) Г1/2 dt = л/ Тк т (£).
J	V 2л	J	V 8л
А	¥	А
Из (19) утверждение леммы выводится точно так же, как
в теореме 2. Лемма доказана.
Замечание. В случае т = 1, взяв f (t, х) — х, убе-
ждаемся, что в условиях леммы 3 для решения уравне-
ния (1) существует интегрируемая в степени 2 — е,
каково бы ни было 8, 0 < & < 1, функция g(y), такая,
что
Т
\p{l(t)^E}dt= \g(y)dy.
О	Е
Существование решения. Из теоремы 3 § 2 вытекает,
что уравнение (1) имеет слабое решение, каковы бы
ни были непрерывные коэффициенты a(t, х)
удовлетворяющие условию (3). Если использовать тео-
рему 2 § 2, то в предположении невырожденности В (I, х)
можно избавиться от требования непрерывности a(t, х).
Теорема 3. Пусть a(t, х) и B(t, х) удовлетворяют
условию (3) и, кроме того, В (t, х) непрерывно и для всех
/е[0, оо) и х^ЗТп невырождено. Тогда уравнение (1)
имеет (слабое) решение на [О, Т], удовлетворяющее на-
чальному условию £(0).
Доказательство. Уравнение
dU(t) = B(t, ^(t))dw(t)	(20)
имеет решение с начальным условием £о(О) = £(О). По-
этому в силу теоремы 2 § 2 уравнение (1) будет иметь
решение для всех тех a(t, х), цля. которых
В”1 (/, х) a (t, х)
— ограниченная функция.
Положим
aN Х) =
a (t, х),
О,
IX |<W,
IX I > /V.
§3]
диффузионные Процессы в °лт	385
Тогда функция В 1 (/, x)aN(t, х) ограничена и, следова-
тельно, в силу леммы 6 § 1
М ехр | j (в-1 (t, g0 (0) «я £о Ж dw (/)) —
°	т	.
- I J | В-' (t, g0 (t)) aN (t, (0) |2<4 = I.
о	'
Пусть Рд, — мера на ‘Fjo, п, определяемая равенством
Мл>-МрПи-))ММ-)).
где А — борелевское множество в т]
р£ = ехр | J (В’1 (t, & (0) aN (t, go (0), dw (/)) -
0	T	X
о	'
Как вытекает из теоремы 2 § 2, мера Цдг отвечает ре-
шению уравнения
diN (0 = aN (/,	(0) dt + В (/,	(0) dw (/).
Пусть Туу = шах[/<Г, sup|	(s) |< jV]. Тогда lN(t) при
t < xN является решением (1). Очевидно, что при N > г
от N не зависит (Sr={x(-): sup| х(/) |^г}).
Следовательно,' для всех Лиг существует
lim цдг (Л Я Sr) = р (А П Sr).
7V->oo
В частности,
p(Sr)= lim |*лг (Sr).
N-»OO
Но	т
ц (Sr) = М ехр | j (в-1 (t, g0 (0) a (t, g0 (/)), dw (О) -
Г	X
-1 $ | B-1 (t, go (0) a (t, go (0) Г dt [ xSf (g (•)).
0	'
13 И, Гихман, А. Скороход, т. Ill
386
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Из неравенства (3) вытекает, что существует такая по-
стоянная К, не зависящая от N, что
м( sup 1ыот(о))<о+шо)12)>
(см., например, теорему 9 § 1 гл. II). Поэтому
lim lim (Sr) = 1.
Г">°° ;V->OQ
Значит,
M exp | J (в-1 (t, g0 (/)) a (t, |0 (/)), dw (/)) -
0	T
-iJlB-'tf, go(O)a(/, goW)|2^ pi.
o	)
Но тогда на основании следствия 1 из леммы 6 § 1
здесь может быть только равенство. Применив опять
теорему 2 § 3, убеждаемся в существовании решения (1);
при этом ц (А) будет мерой, соответствующей решению.
Теорема доказана.
Используем результаты предыдущего пункта для до-
казательства одной теоремы существования для разрыв-
ных В (/, х).
Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения (1)
удовлетворяют неравенства (3), В (t, х) удовлетворяет
условию В и для каждого N В (t, х) непрерывно по t
равномерно относительно х при | х | N. Тогда уравне-
ние (1) имеет решение на [О, Г], если только £(0) имеет
интегрируемую с квадратом плотность распределения
Фо (х).
Доказательство. Если мы докажем существо-
вание решения уравнения (20) при начальном условии
g0 (0) = g (0), то теми же рассуждениями, что и в тео-
реме 3, установим существование решения уравнения (1).
Поэтому будем доказывать существование решения (20).
В силу условий, наложенных на В (/, х), можно ука-
зать такую последовательность функций Btl(t, *), что:
1)	для каждого N
lim sup || Вп (t, х) — В (t> х) I) dx ~ 0,
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В °Лт
387
2)	Вп (t, х) удовлетворяют условию (3) с одной и
той же постоянной КТ,
3)	Bn(t, х) удовлетворяют условию (2), постоянные
/Г1 к могут зависеть от п,
4)	Bn(t, х) удовлетворяют условию В с одними и
теми же постоянными cN.
В качестве Bn(t, х) можно взять функцию
Вп (t, х) = (2л6„)-т ехР { — B(t, х + у) dy,
S„->0. Условия 2) — 4), очевидно, выполняются.
Легко видеть, что Bn(t, х) также равномерно непрерывны
по t при	Поэтому для всякого 8>0 можно
указать такие O = fo<^i< ••• </* —Г, чтобы
sup II Вп (/, х) — В (t, х)||<8 + supII Вп (t{, х) — В (ti, х) ||.

Из последнего неравенства вытекает условие 1). Урав-
нение
<%п (/) = Вп (/,	(0) dw (t),	(0) = I (0),
имеет решение для каждого п, причем это решение
единственно. Используя лемму 2 § 2, можно убедиться,
что последовательность мер ц,г, соответствующих про-
цессам £„ (/) в 'Fjo, л — компактна. Не ограничивая
общности, можно считать, что уп слабо сходится к не-
которой мере ц. Покажем, что эта мера будет соответ-
ствовать решению уравнения (20) с начальным усло-
вием £ (0). Это доказательство аналогично доказательству
теоремы 3 § 2. Поскольку £„(/) являются локальными
мартингалами, то Ео (/) —процесс, которому соответствует
мера ц — будет локальным мартингалом. Очевидно, что
распределение £0(0) будет совпадать с предельным рас-
пределением для tn(O), т. е. с g(0). Для доказательства
теоремы достаточно показать (в силу теоремы 1 § 2),
что для каждого
По (0 = (£о (0, г)2 - $ I В’ (s, £0 (*)) z I2 ds
13*
388
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
является также локальным мартингалом. Поскольку для
каждого п
МИМ')- 5ys))2f*
является локальным мартингалом, так как
U'W(0)+ Jbjs, grt(5))^(5),
т. е. gn(/) является процессом Ито, то достаточно по-
казать, что конечномерные распределения процесса (О
сходятся к конечномерным распределениям процесса т)0(/)
(тогда и меры, отвечающие процессам (/) на л
будут слабо сходиться к мере, соответствующей про-
цессу t)q (/)). Пусть определяются равенствами
z)2- \\B*k(s, ln(s))zfds, k = 0, 1......
где Bq(s, x) = B(s, x). В силу непрерывности Bk(s, x) и
слабой сходимости мер [in к ц конечномерные распреде-
ления (/) (k > 0) сходятся к конечномерным распре-
делениям г)(э^(/). Поэтому теорема будет доказана, если
будет установлено, что для всех 8 > 0, /е[0, Г]
lim lim Р Л г)^ (t) —	(/) | > 6} = 0,	(21)
/г-> оо /7,-> оо
и это соотношение выполнено при п=0. Так как
sup Р { sup I (/) | > г}
стремится к нулю при г->оо, то (21) будет установлено,
если мы покажем, что для всех г
lim lim Р{|т)^’(О-П„(О|>б, sup (s)|<г} = 0 (22)
и это соотношение выполнено также при п = 0.
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В Я1т
389
Предположим, что Bn(t, x) = Bn(t, х) при | х |г,
Вп (t, х) удовлетворяет условию (2) и при некотором с > О
(зависящем от г, но не от га)
Sp(B„tf, х)В’(/, х)-/)2<1 -с.
Обозначим при га > 0 через (/) решение уравнения (20),
если в нем B(t, х) заменить на Bn(t, х). В силу един-
ственности решения этого уравнения = если
sup 1(t) | < г. Поэтому
Т
р (0 Е, sup | ln (s) l<r}dt =
J	0<s<r
т
= 'j P UL (0 e E, sup | ln (s) | < r) dt <
J	0<s<T
OO
J P {f,t (t) e= E} e~M dt = eKT J <p0 (x) Rfr (0, x, E) dx,
0
где
& (0, x, E) = M Q %£ (f„ (0) e~M dt | tn (0) = x
В силу теоремы 2 существует такая функция gn.(y), что
т
\P{^n(t)^E,
о
sup |	(s) \<r}dt=\gn (у) dy,
(23)
причем
sup (gn(y))2~edy < oo.	(24)
« 1„ r>.
Используя слабую сходимость мер цп к ц, убеж-
даемся, что (23) и (24) имеют место и при п = 0.
390
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Поэтому
Р{ИИМ~ч„(0|>S, awr |м»)| <
t
о
— |BX(s, y)z|2|PK„(s)sd//, osupj^0| <r}Js<
<r-L \
^6 J
\y\<J
T
sup \\B'(s, «/)z|2— I B'k(s, y)2121 \p{ln(s)<=dy,
O^s^T "	1
sup |	(/) | < r} dy
<4 $ 0 jup r 11 B'n (s, y)zf-^B^ (s, y) z I21 gn (//) dy <
<4/ sup |IB>^2I2-
6LiUo<s<r
1-8	1
2~S	\ 2-8 /Г	n X 2-8
— 1ВИ5> y)^-*dy)	(j(g„W“8^)
Из последнего неравенства и условия 1) вытекает (22).
Теорема доказана.
Замечание 1. Если В(1,х) от t не зависит и
т^СЗ, то решение (1) существует при любом начальном
условии.
Чтобы убедиться в этом, нужно воспользоваться за-
мечанием 2 к теореме 2, в силу которого (22) выпол-
няется, каково бы ни было начальное распределение g(0).
Приведем еще условия, обеспечивающие существо-
вание решения (1) при любом начальном условии. Будем
предполагать, что B(t,x) удовлетворяет следующему
условию.
С.	Для всякого г можно указать такие дважды не-
прерывно дифференцируемые функции (t, х), ..., /Д/, х),
для которых
I dh
| dt
дх
+
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
391
и такие борелевские множества Ан Л& в Й1 лебе-
говой меры 0, что В (t, х) непрерывно по х при f{ (/, х) ё=
ёЛь ...» fk(t, х)еЛь /е=[0, Т], | х | < г.
Теорема 5. Если a(t, х) и B(t,x) удовлетворяют
условию (3), В(/, х) удовлетворяет условию С и ||В-1 (/, х)||
локально ограничено, то уравнение (1) имеет решение,
каково бы ни было начальное значение g(0).
Доказательство. Как в теоремах 3 и 4, доста-
точно рассмотреть тот случай, когда а(/, х) = 0.
Пусть Вп (/, х) построены точно так же, как в тео-
реме 4. Тогда Вп (t, х)->В (t, х) во всех точках непре-
рывности В (t, х). Обозначим Gb ..., Gk открытые мно-
жества в Я1 такие, что Gz гэЛ/, где^, ..., fk и Ль ..., A.k
взяты из условия С. Обозначим Fr(Gx, ..., Gk) множе-
ство тех пар (/; х) е[0, Г] X для которых | х 1^ г,
fi(t, x)^Gi &ля всех /=1,..., k. Множество Fr(Gx,Gk)
замкнуто и Bn(t, х) стремится к В (t, х) равномерно на
Fr(G[, Gk), так как на этом множестве функция
B(t, х) равномерно непрерывна по х. Как и в доказа-
тельстве теоремы 4, можно предполагать, что меры
соответствующие процессам £„(/), построенным так же,
как в теореме 4, сходятся к некоторой предельной мере ц.
Для доказательства теоремы, как и там, нужно пока-
зать, что конечномерные распределения процессов цХО
сходятся к конечномерным распределениям процесса т]э(О,
где ти(0 те же процессы, что и в теореме 4. Чтобы по-
казать это, проверим, что для всех непрерывных х($)
функционал
т
В* (s, x(s))z\2ds	(25)
о
непрерывен почти всюду по мере ц. Очевидно, что этот
функционал непрерывен для всех тех х(-) из гц для
которых В*($, %) Для почти всех $ непрерывно по х
в точке (s; x(s)). Обозначим Г множество точек разрыва
В*($, х) по х в [0,	Тогда функционал (25) не-
прерывен для тех х(-), для которых
т
J Хг С$, *($)) ds = 0.
о
392
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
{ГЛ. Ш
Из условия С вытекает, что
т	1г т
5 ХГ П 3 (S> Х О) dS Е S (S’ Х dS-
о	r	1=\ о 1
Из слабой сходимости к ц и того, что Gz являются
открытыми множествами, вытекает, что
Ит MxG (fj (s, («))) X, sup
n->°°	7	‘o<Z<T
>MXG (f^s, C(O))X( sup l5o(.M<r!,
где £0 (•) —процесс, которому отвечает мера ц. Сле-
довательно,
т
(fj 0s’ (s0) sup । ъ (t) i < r} ds^
т
<lim J MxG (fy(s, C(s)))x sup (f))<r}ds<
‘	0<t<T
T
lim 5 M4- (S’ (s))) ds’
tl->oo q
где (/) те же процессы, что и в доказательстве тео-
ремы 4. Используя (19), убеждаемся, что
т	k
м^хгЦ ce))rf«-X( sup	V»j (Д)-
0J	OCfCT-	/=1
Так как m(A7) = 0 и Gy о Ay — любое открытое мно-
жество, то m(Gj) можно сделать сколь угодно малым.
Значит,
т
М Хг (•$,	(s;) ds • sup ] (п j < г} 0.
о
Переходя к пределу при г—>оо, получим
т
М хг (s, ($)) ds == 0,
о
§ 3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
393
х(«): Хг (5, x(s)) ds = 0 ? 1= 1. Тем самым
о	>'
доказано, что функционал (25) почти всюду непрерывен
по мере ц.
пределения
Отсюда вытекает, что конечномерные рас-
процессов
t
(МО,
О
сходятся к конечномерным
завершения доказательства
что при всяком 6 > О
распределениям т)0(/). Для
теоремы остается показать,
(26)
Неравенство (26) вытекает из следующих соотношений:
Р { j I |B*(Mn («)) z F — I в; (s, (s)) z р \ds > S,
SUP	=
= p | J I IB* (S, ($)) Z F -1 B'n (s, In ($)) Z P I ds > d,

c k
(hG, L(0)) dt>±
0 >1
+ P | j 11B* (S,L (S)) Z P - B*n (s, fn (S)) Z P I X
X nO-X^UUs))))^
y; sup |g„(OI<r
394
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ JTJ
Второе слагаемое стремится к нулю, так как
k
(I В* (s, х) z I2 — I В2 (s, х) z I2) Д (1 — XG (f/ (s, х))) -ч>0
/=1
при |х|<г. Первое можно сделать малым выбором G,
сразу для всех п, так как
т
м 5 Хо;. (л (t, In (о)) dlt^H x/m (Gj).
В силу произвольности г отсюда получаем (26). Теорема
доказана.
Замечание 1. В условиях теоремы 3, замечания
к теореме 4 и теоремы 5, решение уравнения (1) суще-
ствует на отрезке [т, Т] с начальным условием ^(т), если
только т и £(т) не зависят от w(s + t)— ^(т) при
s > О, т. е. если т — марковский момент для процес-
са w(t).
Чтобы убедиться в этом, нужно переписать уравне-
ние (1) в виде
(0 = а (/ + т, Г (/)) dt + В (/ + т, Г (/)) d^ (t), (27)
где (/) = £(/ + т),	(/) = w (/ + т) — w (т). К уравне-
нию (27) применимы все рассуждения теорем 3—5; в до-
казательствах следует лишь вместо вероятностей и ма-
тематических ожиданий сначала рассматривать условные
вероятности и математические ожидания при фиксиро-
ванном т. В частности, в условиях теоремы 4 решение
уравнения (27) существует, если условное распределение
£ (т) при фиксированном т имеет для почти всех т ин-
тегрируемую с квадратом плотность распределения.
Замечание 2. Если коэффициенты уравнения (1)
удовлетворяют условиям теорем 3 и 5 или замечания
к теореме 4 на каждом конечном отрезке [О, Г], то это
уравнение имеет решение с заданным начальным усло-
вием на [0, оо).
Это решение можно построить так. Выберем после-
довательность 7\|оо, и пусть (0 — решение уравне-
ния (1) на отрезке [Тп, Тп+{] с начальным условием
ln (Тп) = g„_] (Tn), go (0 —решение (1) на [0, 7\] с началь-
§ 3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ в	395
ным условием £ (0). Тогда процесс — при
t^[Tn, 7\+1] (7,о = О) будет искомым решением (1).
Единственность решения. Будем рассматривать ре-
шения уравнения (1) на [0, оо) и доказывать слабую
единственность решения на этом промежутке. Заметим,
что из единственности решения (1) на [0, оо) можно по-
лучить слабую единственность и на отрезке [0, Т]. Для
этого достаточно так продолжить коэффициенты a(t,x)
и B(t, х) на [Т, оо), чтобы уравнение (1) имело решение
на этом отрезке при любом начальном условии. Тогда
решение (1) на [0, Т] можно продолжить до решения на
[0, оо) и воспользоваться слабой единственностью реше-
ния на [0, оо).
Далее будем использовать следующее условие.
D.	a (s, х), В (s, х) определены и измеримы на [0, оо)Х^?т,
для них выполняется условие (3), каково бы ни было Т,
уравнение (1) имеет слабое решение на [т, оо), каков бы
ни был марковский момент т для w (/) и I (т), не зависящее
от w (t + т) — w (т) для всех (s0; х0) е [0, оо) X
lim Sp (В (s, х) В* (s, х) - В (s0, х0) В* (s, х))2 <
S>S0,
<||В"1(«о,Хо)В*"1(«о>Хо) II"2.	(28)
Теорема 6. Если выполнено условие D, то реше-
ние уравнения (1) на [0, оо), удовлетворяющее началь-
ному условию £(0), слабо единственно, каково бы ни
было £(0).
Доказательство. Заметим, что из условия D
вытекает существование для каждой точки (s0; х0) е
е[0, °°)Х^т такого р > 0, что при |s — s0|<p,
IX — х01 < Р
Sp (В (s, х) В* (s, х) - В (s0, х0) В* (s0, х0))2 <
<(1 - Р) |] В-1 (s0, х0) В*"1 (So, х0)||"2. (29)
Пусть В (s, x) = B"’(s0, х0) В (s, х) при |s —s0|<p
|х — х0 | < р; B(s, x) = Z в остальных случаях, a(s, х) =
= B~'(s0, x0)a(s, х) при |х — х01 < р, |s — s0|<p;
a(s, х) = 0 в остальных случаях. Если Ц/) является реше-
нием (1) на [s0, оо), т — момент первого выхода из мно-
жества {х: | х — х01 < р) и i(/) = B"'(s0, х0)Ц/), то Ц0
396
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
при t е [s0, т A (s0 + р)] будет решением уравнения
4 (/) =	(/)) di + В (/, g (/)) dw (/).	(30)
В силу выбора р выполняется неравенство
Sp (В (s, х) В* (s, х) - 7)2 < 1 - р.
Используя тот факт, что решение (1) на любом конеч-
ном отрезке может быть получено склеиванием решений
уравнений вида (30), поскольку каждый компакт в
[О, оо)Х покрывается конечным числом областей вида
{($; х): | s ~ s01 < р, I х — х01 < р},
а решение (1) непрерывно и поэтому на конечном про-
межутке имеет конечное число 8-колебаний, каково бы
ни было е > 0, можем убедиться, что достаточно дока-
зать слабую единственность для решения уравнения (30).
Поэтому дальнейшее доказательство теоремы будет про-
водиться в предположении, что вместо (28) выполнено:
sup Sp (В (s, х) В* (s, х) — Г)2 < 1	(31)
S, X
и | a(s, х)|^С при некотором С < оо. Обозначим
решение уравнения (1) на [$, оо) с начальным условием
L,x(s) = x- Воспользовавшись леммой 2, можем утвер-
ждать, что существует функция QStX(t,E) такая, что
Qs,x(t,
и эта функция не зависит от выбора решения. Дейст-
вительно, каково бы ни было решение	функция
Qsx(t, Е) определяется своим преобразованием Лапласа
$	£)^ = ^GL6[e~65x£(x)],	(32)
s
где Gl-G^I — LiGET1 определяется в силу леммы 2
однозначно по коэффициентам уравнения (1). Аналогично
соотношению (13) можем записать
f(s, ^))=М
u0

§ 31
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В 3im
397
где {<$!} — поток ст-алгебр, порожденных процессом £ (•)
(мы пользуемся независимостью w (ts) — w (t) от
f (s, x) = GK(I — AiGa,)-1 g(s, x). Значит,
и Qs.^sAt.E)
имеют одинаковые преобразования Лапласа. Поэтому
с вероятностью 1
m(xb(UO)Is!)=Qm(s) (*,£)•	(зз)
Но (33) означает, что %(t) является марковским процес-
сом с вероятностью перехода QStX (t, Е), определяемой
преобразованием Лапласа
00
j e~MQs, х (t, Е) dt = e*’GK_6 [/ - A A-ef’ g6. е (*, х), (34)
О
где gdtE(s, х) = е~"б8%Е(х). Итак, всякое решение (1) яв-
ляется процессом Маркова с заданной (зависящей лишь
от коэффициентов (1)) вероятностью перехода. Следо-
вательно, мера, отвечающая %(t) на каково бы ни
было Г, однозначно определяется распределением £(0).
Значит, всяким двум решениям с начальным условием
£(0) соответствует одна и та же мера. Теорема доказана.
Замечание. Поскольку в условиях теоремы опера-
тор В (t, х) невырожден, то из слабой единственности
в силу леммы Гирсанова, § 2, вытекает единственность
сильного решения.
Непрерывная зависимость решения от параметров.
Нас в основном будет интересовать зависимость реше-
ния от начальных данных. Однако предварительно до-
кажем одну общую теорему, из которой можно получить
утверждения о непрерывной зависимости и от других
параметров.
Теорема 7. Пусть n = Q, 1, ... являются
решениями уравнений
t	t
(t) = xn + \«M ($)) ds + j Bn (s, Г (s)) dw (s) (35)
0	0
и выполнены следующие условия'.
398
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
1)	существует такое К, что при
K(S, x)l + ll Bn(s, X) ||</<(1+|х|),
2)	при каждом п выполняется условие теоремы 6,
3)	для каждого г можно указать такие функции
fi (/, х), ..., fk(t, х), что
w (I ММ | +1X fi V | +1 ЧЫ Л | +
+ |^ МI) < °0-
и такие борелевские множества Ль Л& в лебе-
говой меры 0, что при (t\ х)	[О, Г] X {х- \х I < г} —
k
— U{(0 х)- f}(t, х)еЛ/}
/=1
lim ап (/, х) = aQ (t, х), lim Вп (t, х) = Во (t, *)•
Тогда меры на &[о,ти соответствующие процессам
(/), слабо сходятся к мере ц0, соответствующей про-
цессу если только хп->х0.
Доказательство (оно весьма сходно с доказа-
тельством теоремы 5). Последовательность мер \кп ком-
пактна. Если ц— некоторая предельная точка этой
последовательности, то, используя условие 3), точно
так же как в теореме 5, убеждаемся, что конечномерные
распределения процессов
t
r\n(t) = l4t)~\an{s, £,n(s))ds
и процессов
t
(МО, V-ln(s))z\’ds
0
сходятся соответственно к конечномерным распределе-
ниям процессов
t
По (0 == I (0 — 5 «О (s, t (s)) ds,
О
t
(ПО (0, 2)2- J I Bo(S, t(s))2PdS,
0
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В °Лт	399
где £(/)— процесс, которому соответствует мера ц. По-
этому в силу теоремы 1 § 1 |(/) есть решение (35) при
п=0. (В теореме 5 предполагалась единственность ре-
шения при п > 0; на самом деле при доказательстве ис-
пользовалась лишь слабая единственность, так как рас-
сматривались л^шь меры, соответствующие решениям.)
По предположению, решение (35) слабо единственно.
Поэтому компактная последовательность имеет един-
ственную предельную точку. Теорема доказана.
В дальнейшем будет использоваться следующее ус-
ловие.
Е. Длч каждого г > 0 можно указать такие функции
fi (t, х).fk (t, -х), что
+ |жгИ. *)|)<»
и a(t, х) и B(t, х) непрерывны на множестве
k
[0, Г] х W X | < г} - у {(Л х): fj (f, х) е Л/},
где Л/ борелевские множества лебеговой меры 0; a (t, х),
В (/, х) удовлетворяют условию теоремы 6.
Следствие 1. Пусть £(/) — решение уравнения (1),
для которого выполняется условие Е. Положим
Tstf(x)=\f(y)P(s, X, t, dy).
Для всякой ограниченной непрерывной функции f на
функция Т* f (х) непрерывна по совокупности переменных.
Доказательство. Пусть s„->s0,	хп-*х0.
Обозначим £„(и) решение уравнения
и	и
|„(и) = х„ + J a(s„ + tU„+	+ »,?„(»))dw(v).
о	о
Для
ап (и, х) = a (sn + v, х), Вп (и, х) = В (sn + v, х),
п = 0,
400
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
выполнено условие 3) теоремы. Условия 1) и 2) теоремы
выполнены; значит,
lim М/(Е„ (и)) = Mf Uo («))•
П->оо
Но Mf (§„(«)) = Ts"+U, так что
lim Tssnr+uf(X;l) = Tssao+uf(x0).
fl -> то
Далее, используя лемму 2 § 2, убеждаемся, что су-
ществует такое С, что равномерно по п
М|£„(«)-£„(« + ^12<С/г.
Поэтому
= lim М If (С — SJ) — f fen (A ~ »o)) I-
Z2->TO
Последнее выражение равно 0. так как величина под
знаком математического ожидания ограничена и стре-
мится по вероятности к нулю. Действительно, полагая
=	— sn, имеем
lim Р {| f Un («„)) — f (и0)) | > е}
П->оо
< lim Р {|Ё„ (и0) | > N) 4- lim Р {|£„ (ы„) — ln (zz0) | > 6,v},
П -> то	п -> оо
(36)
гдеdyVтаково, что| f(y) — f(x) Кепри| у О, | х—у |^d;V.
Так как | ип— rzo|-*O, то второе слагаемое в правой
части (36) равно 0. Первое можно сделать сколь угодно
малым выбором 8. Наше утверждение доказано.
Следствие 2. Если выполнено условие Е и
обозначает меру, соответствующую процессу — s),
где I (t) — решение уравнения (1) на [$, сю) с начальным
условием I (s) = х, то х слабо непрерывно по s и х.
Доказательство этого утверждения получено в след-
ствии 1. Если Fs(x( •)) — семейство ограниченных функ-
§ 3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В %т
401
ционалов, непрерывных по $, х (•) на каждом компакте
в [0, Т] X г], то
Ps (% (’)) Hs, у (dx)
будет также непрерывно по s, у, так как
Йт I Fs (х (•)) ps (dx) -\fs (х(- )) IV „„ (dx) I <
У-+У* 1 J	J	1
< lim ( | Fs (x (•)) - F(x (•)) | y (dx) = 0,
так как подынтегральная функция стремится к нулю на
каждом компакте и для всякого 8 > 0 можно выбрать
такой компакт /С, что
lim ц5, у (К) > 1 — е.
$->$0, У-*Уо
Следствие 3. Пусть fn(x), n = 0, 1, после-
довательность непрерывных ограниченных функций на
такая, что для всякого N
lim sup \fn(x)~ fj(x)|=O.
п -> oo I X I N
Тогда в условиях теоремы 7 для каждого N
lim sup |Mf„(^>(O)-Mfo0(O'(O)|=O,	(37)
П->оо | x | < W
где ^n} ~решение (35) с начальным условием x.
Для доказательства (37) достаточно показать, что,
какова бы ни была сходящаяся последовательность
xn&.$,m, limxrt = x0,
что равносильно равенству
так как из теоремы 7 и следствия 1 вытекает, что
^Л°(Ч('>)”ММ5ОТ-
402
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Но
< lim sup jf W-f (х)| +
п->оо | х I C N
+ „5"p < I (z) I > N1 т I fn № - f0 W !•
Первое слагаемое справа равно нулю, а второе можно
сделать сколь угодно малым выбором достаточно боль-
шого N. Формула (37) доказана.
Следствие 4. Пусть функции an(s, х) и Bn(s, х),
п^= 0, в теореме 7 дважды непрерывно дифференцируемы
по х и непрерывны по совокупности переменных, а функ-
ция fn (х) непрерывна и ограничена вместе со своими
производными до второго порядка. Если Pn(s, у, t, £) —
вероятность перехода для процесса, являющегося реше-
нием (36), то, как вытекает из теоремы 6 § 2 гл. II,
функция
ип (s, х) = j Рп (s, х, t, dy) fn (у)
при s^.t является единственным ограниченным реше-
нием задачи Коши:
Л- ип (s, х) + (а„ (S, х), ип (s, х)) +
1	Л2
+ 4 Sp В2п (s, х) U (s, х) = 0, и (t, х) = f (х). (38)
В силу следствия 3 un(s, x)->uQ(s, х), где
u0(s, x)=^po(s, х, t, dy)f0(y),
если только sup | fn (х) -- f0 (х) |~* 0 для всех N и fn(x)
I х | < N
ограничены и непрерывны. Таким образом, uQ(s, х)
является обобщенным решением уравнения (38) в еле-
дующем смысле: каковы бы ни были дважды непрерывно
дифференцируемые функции an(s, х) и Bn(s, х), удовлет-
воряющие условиям теоремы 7, и последовательность не-
прерывных функций fn(x), в совокупности ограниченных,
сходящаяся к fQ(x), ограниченные решения задачи
Коши (38) будут сходиться к одной и той же непрерыв-
ной функции uQ(s3 х).
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
403
Рассмотрим уравнение (1) с коэффициентами, удо-
влетворяющими условию Е. Через x(t) обозначим ре-
шение уравнения (1) на [<$, оо) с начальным условием
1?, х (5) = X'
Пусть О — некоторая область в [0, оо) X $5™. Обоз-
начим
rs,x(G) = inf[t: lSiX(t)^G]
(t5i х (G) может равняться + оо). Рассмотрим непрерыв-
ную ограниченную функцию f (/, у), обращающуюся
в нуль при достаточно больших t (для всех у сразу).
Положим
Фо (« х) = М/ (ь, х (G), х (т5, х (G))).	(39)
Заметим, что
f (b, х (О), х (ъ, х (G))) = gs (t)s, х (•)),
где х (0 = Bs, х V — s)’ Ss (x (•)) — функционал на Tj,
если только T выбрано так, что f(t, у) = 0 при t^T.
Этот функционал (*(•)) определяется так: если t —
момент, где х(*) впервые попадает на границу G, то
gs (х (•)) = f (s +1, х (/)) x{s+? < n.
Очевидно, что gs (x (•)) непрерывно no s равномерно
относительно х (•) на каждом ограниченном множестве
в ^[о, г]. Далее, при фиксированном s g5(x(-)) непре-
рывно в точке х (°), если существует последовательность
tk 11 такая, что х (tk) не принадлежат замыканию G и
x(t) е G при t < t.
Таким образом, в силу следствия 2 для непрерыв-
ности функции <pG(s, х) в точке s, х достаточно, чтобы
для процесса - (•) с вероятностью 1 существовала
последовательность е& | 0 такая, что
(Ъ. s (С) + ««) e [GJ,
где [G] — замыкание области G.
Предположим теперь, что граница G гладкая. Пусть
п — нормаль в (—оо, оо)Х^т к границе G в точке
(Ts, х^> ^s, х(Т4, х (^)))- Очевидно, что п является
404
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
^-измеримой величиной, где {5J —поток а-алгебр,
порожденный - (/). Пусть tit и пх проекции п на (—оо, оо)
и 31т соответственно. При 8 > 0 рассмотрим процесс
с (е) = пр + (nx, -х (Т-, - (G) + е) - U -х (т: . (G))).
Для достаточно малых 8 из соотношения
---------------L(8)_______________> 5	(40)
8 + I h, х (Ъ, X + е) - h, X (^, X (^)) |	1 >
где 6 > 0 —- некоторое фиксированное сколь угодно ма-
лое число, вытекает, что
(н, х (°) +е; х (н. х (G) +е)) lGl>
так как эта точка будет лежать внутри некоторого ко-
нуса, осью которого будет внешняя нормаль к О'.
Поскольку
Z (е) = о (е) + J (g (5, со), dw (s)),
О
где | g(s, <о) |^р > 0, р — неслучайное число, то, исполь-
зуя следствие 4 из теоремы 1 § 1 и закон повторного
логарифма для винеровского процесса (см. § 3, гл. IV,
т. II, теорема 4), убеждаемся в существовании такой
последовательности 8Ь что
Нт (?(ег)(/л/е,ь1п1п-^-) > р1;
&->оо '	’	k /
где pi > 0 — не зависящая от случая постоянная. Ана-
логичные рассуждения показывают, что
( | к Дн, HG) + е0 “
- Д х (Ъ, х (G)) |/дД1 n In ~Tk ) < Р2-
Значит, если д = pi/p2, то соотношение (40) выполняется
для 8 = 8^ при достаточно больших k.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 8. Если выполнено условие Е и область G
в [0, оо)Х^ш имеет гладкую границу, нормаль к кото-
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
405
у
рой, п, в каждой точке имеет ненулевую проекцию на
а функция f (/, у) непрерывна и ограничена на [0, оо] X
и f(t> у) = 0 для t > Т при некотором Т > 0, то функция
ы№3,лс)л,.лъ,хт (41)
непрерывна по совокупности переменных.
Следствие. Пусть функция fit, у) непрерывна и
ограничена на [0, оо)Х^?'га и \f(t, г/)|->0 равномерно
по у при	Если выполнены остальные условия
теоремы 8, то функция (41) также непрерывна по s, х.
Действительно, функция f (t, у) может быть предста-
влена в виде ряда
оо
k~l
где fk удовлетворяют условиям теоремы 8 и [ fk(t, y)\^ok,
£afe<oo. Очевидно, что тогда
оо
Mf (Ь, х (G), gS( х (ts, х (G))) - Z (ь, ж (G), U х (ь, х (G))),
k—\
(42)
и ряд в (42) сходится равномерно. В силу непрерывности
слагаемых в правой части (42) будет непрерывна и сумма
ряда.
Однородные диффузионные процессы. В этом пункте
приводятся основные факты (в большинстве своем выте-
кающие из предыдущих теорем), относящиеся к одно-
родным диффузионным процессам, т. е. к процессам,
являющимся решениями уравнения
dl (0 = а ft (/)) dt + В ft (0) dw (t).	(43)
Всюду в этом пункте будут предполагаться выпол-
ненными следующие условия.
I.	а(х) и В (х) — измеримые функции на Я1т со зна-
чениями в ЗЯ* и £($!w) соответственно, В-1 (х) локально
ограничено.
II.	При некотором К выполняется неравенство
| a(x) 1 + НВ(х) ||<7<(1 +| х|).
406
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
III.	Для всех
Пт Sp (В (х) В* (х) - В (х0) В* (х0))2 <
Х->Хо
<|| В-1 (х0)В*-1 (х0)Ц“2,
и для всякого г > 0 можно указать такие функции
fi (х), ..., fk (х), что при некотором С > 0
+р; «г1 +к, «1<с
и а(х) и В(х) непрерывны при
k
X е= {х: I х | < г} — U {*: fj (х) <= А/},
/=1
где Л/ — борелевские множества в Й1 меры Лебега 0.
Тогда справедливы следующие утверждения.
1.	Решение уравнения (43) существует, слабо един-
ственно и является однородным марковским процессом.
Однородность вытекает из слабой единственности и
того, что £(/ + /г) как функция t является решением
уравнения (43), если в нем процесс w (/) заменить на
винеровский процесс wh (/) = w (/ + h)— w(h). Заметим,
что вероятность перехода Р (t, х, Е) процесса £ (/) опре-
деляется равенством
Pit, х, E) = P{L(0e^},
где (t) — решение (43) с начальным условием sx(0) = x.
2.	Если
Ttf (x)—^f(y)P(t, х, dy),	(44)
ТО Ttf(x) непрерывно по совокупности переменных. Это
вытекает из следствия 1 теоремы 7.
Таким образом, процесс является однородным
стохастически непрерывным феллеровским процессом.
Поэтому он строго марковский.
Будем называть оператор А квазипроизводящим
оператором марковского процесса £, (/), если он определен
на некотором множестве	— локально огра-
ниченная борелевская функция и для всех t > 0, х G
t
MJ (I (0) - f W = мх J Af а (s,) ds. (45)
0
§ 3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЗИт
407
Если формула (45) справедлива при / = т, где т
любой марковский момент, для которого т^т^, U —
некоторая окрестность точки х, то А называется квази-
характеристическим.
3.	Квазипроизводящий оператор процесса, явля-
ющегося решением (43), определен на всех функциях
f е где — пространство дважды непрерывно
дифференцируемых функций, для которых
sup ( |f (х) | + I f'x (х) | + ||f"x (х)||) < оо;
при этом
Af (х) = (а (х), f'x (х)) + j Sp В (х) В* (х) f''x (х).	(46)
Это соотношение вытекает из равенства
т
мх [f (I (Г)) - f (В (0))] = Мх $ ((а (В (/)), f'x (В (/))) +
о
являющегося следствием формулы Ито.
Используя равенство (45), точно так же как в лемме 2
§ 5 гл. II, т. II, устанавливаем равенство
т
м J (В (т)) - f (х) = Мх J Af (в (s)) ds (47)
о
для всякого марковского момента т, для которого
Мхт < оо.
Лемма 4. Если G — ограниченная область, tG — мо-
мент первого выхода из G, то равномерно ограни-
чено по х.
Доказательство. Пусть f (х) = ехр {(г, х)} при
х е G, а при х g= G функция f (х) продолжена так, что
она принадлежит Тогда при xeG
Af (х) = [(«(х), z) + yl W 2 I2] ехР {(2> *)}•
В силу условий на а (х) и В (х) можно выбрать такое
408
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
z е ЗН\ что Af (х) > д > 0, x^G. Подставляя эту функ-
цию в (47) и беря вместо т марковский момент lg Д Г,
получим
СО А Т
м xf (g	А Г)) - f(x) = Мх $ Af а (0) dt > М х^а А Г] 6.
Отсюда после предельного перехода при Т —> оо находим
о
sup^’4	(48)
0 хеб
Лемма доказана.
Докажем теперь одну теорему, позволяющую выра-
жать обобщенные решения краевой задачи для некото-
рого эллиптического дифференциального уравнения с по-
мощью решений стохастического дифференциального
уравнения.
Теорема 9. Пусть G — ограниченная область с глад-
кой границей, ф(х) непрерывна на G'— границе G, а(х)
и В(х) удовлетворяют условиям I—III. Пусть, далее,
ап(х), Вп(х) дважды непрерывно дифференцируемы, для
них выполнено условие II с одной и той же постоянной,
|| В„Х || ограничены в G и ап(х)—> а (х), Вп (х) —> В (х) во всех
точках непрерывности а(х) и В\х), а — последова-
тельность непрерывных функций, равномерно сходящаяся
к ф на G'. Тогда последовательность функций ип(х),
являющихся решениями уравнений
(ап (х), и'п (х)) + 1 Sp Вп (х) В* (х) и" (х) = 0	(49)
с граничным условием ип(х) = ^г1(х)\ сходится к
функции
и (х) — Мх<р (g (Со)).	(50)
Доказательство. Будем считать, что ап (х) —
= а(х), Вп(х) = В (х) при х <= G. Пусть £"(/)— решение
уравнения
dfn (t) = ап (Г (0) dt + Вп (/)) dw (/),
а ип удовлетворяет (49). Используя соотношения (46)
и (47) находим
§ 3]	ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ в слт	409
где Мх — математическое ожидание для марковского про-
цесса Из теоремы 7 заключаем, что конечномерные
распределения процессов ^n(t) сходятся к конечномерным
распределениям процесса £(/).
Покажем, что
lim МхШ(£0))=Млф№)).
П“>оо
Комбинируя теоремы 7 и 8, убеждаемся, что для
всех Л > 0
lim	(Г (gG)) = Мхе-Чо<р (g (gG)).	(51)
/г->оо
Остается показать, что
lim lim Р" {Ъ > ЛА = 0.
W->oo rt->oo Л k	>
Последнее вытекает из того, что в силу (51) для почти
всех N
lim P:{S0>JV} = P,{C0>W}.
П->оо
и из конечности вытекающей, например, из (48).
Таким образом, если функция и(х) вида (50) гладкая,
то она является решением уравнения
(а (х), и' (х)) + у Sp В (х) В* (х) и" (х) = 0
в G с граничным условием ср. В общем же случае ее
можно рассматривать как обобщенное решение этого
уравнения.
Однородные процессы с интегрируемым ядром по-
тенциала. Будем рассматривать решения уравнения (43),
для которых, кроме условий I—III, выполнено еще сле-
дующее условие.
IV. Для всякого ограниченного борелевского множе-
ства Е
G (х, Е)—{ P(t,x, E)dt < оо, lim supP(^,x, £) = 0, (52)
410
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. HI
потенциал О(х, Е) абсолютно непрерывен относительно
лебеговой меры т и ядро потенциала
g(x. й=^ад
при некотором а > 1 удовлетворяет условию
sup \(g(x, у))а dy < оо.	(53)
X J
Отметим, что изучение решения уравнения (43) всегда
можно свести к тому случаю, когда потенциал G(x, Е)
определен. Для этого вместо процесса 1(f) нужно рас-
смотреть процесс (g(0; ^3(0) в $,т+3, где 1(f) — реше-
ние (43) в &т, a w3(f) — винеровский процесс в ^3, не
зависящий от £(/). Легко видеть, что составной процесс
Q (0;	(0) также удовлетворяет уравнению вида (43);
для этого процесса потенциал определен и (52) выпол-
нено, поскольку
оо
( Р {te>3(0 <= Е3} dt < оо, lim sup Р Ц, (/) + х е Е3} = 0
для всякого ограниченного борелевского множества
Существование g(x, у) при некоторых предпо-
ложениях вытекает из замечания 2 к теореме 2. Нера-
венство (53), например, выполняется в случае ограничен-
ных а(х), В(х), B~~x (х), удовлетворяющих некоторому
условию Гёльдера, при т^З, так как при этих предпо-
ложениях P(t, х, Е) имеет плотность рДх, у), для кото-
рой при некоторых Ci и с2
Рг (х, у) < с^-т/2 ехр {— с21 X — у |2}
(последнее вытекает из свойств фундаментальных реше-
ний параболических дифференциальных уравнений; см.
А. Фридман [1] § 5, 6 гл. I).
Если выполнено (53) и р =	то для f
определен оператор
оо
Gf (х) = Mx J (/)) dt = j g (x, у) f (у) dy;
6
§ 3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
411
При этом sup | Gf (х) к КII f IL где
х
К = sup ( (g (х, у))а dyj!a.
Используя аппроксимацию функций из 8p(J?'n) функциями
из (5?т) П непрерывность по х функции
т
о
для всех Т > 0, и второе из условий (52), убеждаемся,
что Gf (х) е для всех f е (5?т).
Пусть f е (52т); тогда
MxGf (В (0) - Gf (х) = - Мх J f (В (5)) ds.
о
Поэтому для всех локально ограниченных функций f
из	и AGf = — f. Рассмотрим выражение
t
Gf(U0)-Gf(U0))+ \f№)ds,
о
оно является мартингалом. Предположим, что функция Gf
дважды непрерывно дифференцируема по х.
Обозначим Ао дифференциальный оператор
&og = (а (х), g' (х)) + y S р В (х) В* (х)	(х),
определенный на пространстве дважды непрерывно
дифференцируемых функций.
По формуле Ито
Gf&^-Gf (В(0)) =
t	t
= J A0Gf (В (s)) ds + $ (В (В (s)) (Gf)' (В (s)), dw (s)).
0	Q
412
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
t
Из того, что [f (I (s)) — A0Gf ($))] ds является мартин-
0
галом, вытекает, что
t
a(s))-40G/	= 0
о
с вероятностью 1, и, значит,
t	t
Gf (I (/)) - Gf (g (0)) + J f a (8)) ds = j (b (g (s)), dw (s)), (54)
0	0
где 6(x) = B(x)(Gf)'(x). Покажем, что представление (54)
справедливо для всех f (Жп} при некоторых допол-
нительных предположениях.
Обозначим ^т множество / е для которых
lim f (х) = 0, Ст = Ст П С/"-
|х|->оо	л	л	Л
Т е ор ем а 10. Пусть выполнены условия:
1)	если f
2) Ап [УУ] П Йр (&т) плотно в 8g (йш) в метрике || • Ц^.
Тогда для всех f	существует такая функ-
ция Ь(х) со значениями в для которой
sup (| b(y) |2g(x, tj)dy < оо,	(55)
X J
что выполняется равенство (54).
Доказательство. Пусть ф^ е ^т — такая после-
довательность, что || Лоф„ — f —> 0. Тогда
sup | GДоф„ (x) — Gf (x) |-> 0.
X
Заметим, что + GAQq)n удовлетворяет равенству
мх [ф„ (I (0) + слоф„ (g (/))] - <р„ (х) - слофи (х) =
/	t
= Мх J 40фп (^ (S)) ds — Мх J Лоф„ (ё (S)) ds = 0.
о	о
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В °Лт
413
Поскольку
lim J М^ЛоФ„а(/))1=
f->oo
оо	оо
= lim М Д ЛОф„ (g ($)) ds = Мх lim ( | Лофп (g (s)) | ds = О
Z-»<x>	j	/_>оо j
и	___
lim | МЛф„ (g (/)) К sup | <р„ (у) |,
f->oo	\y\>N
каково бы ни было N, в силу второго из условий (52),
а (рп е то фп + <?Лофп = 0. Значит,
sup|q)re (х) — Gf(x) |->0.
X
Обозначим ftra(x) функцию В(х)ф'(х). Тогда
t
Ф„ G (0) - фп (I (0)) - $ Л0ф„ (g (s)) ds =
о
t
= \(Ьп(Щ), dw(s)).	(56)
о
Из равномерной сходимости фп к Gf и неравенства
sup Mx Q | Л0ф„ (g ($)) — Л0ф/ (g (s)) | ds) <
(t	\2
sup Мд. | Лоф„ (g ($)) — Лоф/ (g (s)) | ds ) <
x 0	'
<27<2|| ЛоФ„ - Лоф/||р,
являющегося следствием леммы 3 § 6 гл. II, т. II, выте-
кает, что
t
lim supMx (|6„(g(s)) —Z>,(g(s))|2ds = 0
fl, Z->00 X	J
414
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
равномерно относительно t. Значит,
оо
lim sup М Л | МШ) — МШ) ==
П, Z->oo X	”
= lim sup f | bn (у) — bt (у) |2 g (x, y) dy = 0.
rt, /->oo x J
Положим
oo
b («/) = L (KA+1 (y) — bnk (y)) + bnt (y),
где пх выбрано так, чтобы
oo	______________________ _______
Al = 2 a/suP 5 I S+J (y) — bnk(y)\2 g(x, y)dy < oo.
fe=i x
Тогда
д/ $ I & О) I2 £ {x, y) dy < д/ $ | К, (у) I2 g (x, y) dy + Klt
и условие теоремы для b(y) выполнено. Так как
lim sup (| b (у) — bn (у) |2 g (x, y) dy = 0,
M->oo x J
TO
t	t
j (bn (I (/)), dw (/)) -> J (ft a (0), dw (0)	(57)
о	0
по вероятности Px, каково бы ни было х. Переходя
к пределу в (56) при /г->оо, завершаем доказательство
теоремы.
Замечание. В процессе доказательства мы уста-
новили следующее утверждение:
если Ьп(у) — последовательность функций со значе-
ниями из 3lm, для которых
sup j | bn (у) \2g(x, y)dy < OO
u
lim sup \ | bn (y) — bi(y)\2g (x, y) dy = 0,
Z, n->oo X J
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
то существует функция Ь(у) такая, что выполнено (57)
в смысле сходимости по вероятности Р^, каково бы ни
было х.
Рассмотрим вид lF-функционалов от диффузионных
процессов, удовлетворяющих условиям теоремы 10 (опре-
деление IF-функционалов дано в § 6, гл. II, т. II).
Установим предварительно некоторые свойства функ-
ционалов интегрального типа.
Лемма 5. Пустъ f (х) — произвольная измеримая
неотрицательная функция, такая, что f (х) = 0 при | х | N
а при некотором tQ
sup МД f (£ (/)) dt < a < oo.
Тогда для всякого открытого множества G, содержащего
{х: | х существует такая постоянная С, что
МД Ш0)^<СМД х0О)И;
(58)
при этом С зависит лишь от а, /0 и G.
Доказательство. Пусть т — произвольный мар-
ковский момент. Из неравенства
ь	00
j f(Us))ds
вытекает, что
$ f U (0) dt < a £ Мд{т > kti} < а (Мхт + Q.
Полагая x = xG, убеждаемся, что
sup M Д f (| (0) dt < a (sup Mxtg ~HoX a < 00 <
416
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. П1
Имеем, далее,
inf МД ХоО)И>
IX |=у J
>SO. inf Р,{ sup I Us) - НО) I < 6},	(59)
I x l^=N 0 < s <C s0
где 6 —расстояние между {x: |xl=A7j и G'. Правая
часть (59) положительна при достаточно малых s0, так
как при наших предположениях процесс равномерно сто-
хастически непрерывен. Пусть
ха
inf мД Хо(1(0)^ = 4-
1x1 J
Тогда при всех х, |х| = N
ха	хо
Мх j Хо (£ (0) dt > da > Mx J f (I (/)) dt. (60)
0	0
Очевидно, что неравенство (60) остается справедливым и
при | х | АЛ Пусть — первый момент достижения
{х: | х | = N} после xG, — первый момент достижения G'
после £i, ?2 — первый момент достижения {x:\x\ = N}
после	первый	момент достижения G' после £2
и т. д. Тогда
ОО	G	оо
рО)И=$ НИ0)Л+£ 5 f<Z(t))dt.
О	О	/г=1
Но
^к	XG
Мх J /О))^<МХМЧЦ f(Hs))rfs<
°
Хв	^к
Xg(s(s))^s = -^-Mx j XgO)M
0	° Ч
М)
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В
417
поскольку | £(£*) | = Af. Если | х | N, то
Ха
мх J	Ъа(Ш<и,
о	0 о
если же |х|> Af, то, обозначив т момент первого дости-
жения множества {х: | х |= Л/}, будем иметь
xg	XG
Мх$ f (0) dt = MXM5 (t) j f (g (t)) dt <
о	0
< A M J Xo U (0) dt<^Mx\ %0 & (t)) dt.
о	о
Таким образом,
о	0
’TG	оо Zk
J ХоО)И+£ S
-o	fe=i
ZgO))^ <
Xg (£ (0) dt.
Лемма доказана.
Замечание. Используя возможность аппроксима-
ции ^-функционалов функционалами интегрального типа,
убеждаемся в следующем.
Если W-функционал at имеет ограниченный носи-
тель F (F — замкнутое множество), то существует
lim =
* оо
Если G^)F, G — открытое множество, то существует
такая постоянная С, зависящая от G, F, tQ и supM%a/o,
X
что
МЛам<СМЛ j X0(Mdt.
о
14 И. Гихман, А. Скороход, т. III
418
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
|ГЛ Ш
Пусть а/ — lF-функционал с ограниченным носите-
лем F. Построим такую последовательность измеримых
неотрицательных функций ср(/г) (х), чтобы выполнялись
условия:
а)	отличны от нуля лишь в ограниченной
области,
t
б)	sup sup Мх (g (/)) dt < оо,
'	* oJ
t
в)	Ф(1П) (& (0) dt сц по мере Рх для всех х и t.
о
В качестве функций ф^Чх) можно взять
и(1 -Мхехр{—а1/п})х0(х).
Условие в) выполняется в силу теоремы 1 § 6 гл. II,
т. II. Условие б) вытекает из неравенства
t	t
мх J ф'С О)dt <	5 (5)а1 !п ds =
о	о
t	t+Un
—	f«s+2 ” <И5 = Mxn asds^ M%a/+i/„.
o *- n J	tJ
Так как в силу леммы 3 § 6 гл. II, т. II условие б)
влечет равномерную ограниченность всех моментов
t
$ Ф^ (£ (^)) ds
о
(по п и х), то из условия в) вытекает, что для всех р
lim sup IVL
П->оо x
t
jj (£ (s)) ds — at
о
= 0.
Из теоремы 10 вытекает существование таких ф/г (х)
и &л(х), что Афд (х) = ф^Ч*) и выполнено (56), если
§3]
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ в	419
заменить Аофп на Асрп. Поэтому
t
мх J (*))ds = М А (В (0) — Ф„ W
о
и
оо
<pn(x)=-J мхФ<«>а(/))л	(61)
о
равномерно ограничены в силу леммы 5. Используя
равномерную относительно п сходимость интегралов
в правой части (61), убеждаемся, что
lim <р„ (х) = — Мхам
равномерно относительно х. Поэтому, полагая ф(х) =
= — М^а^, получаем
t
lim sup Мх Г<р„ (g (0) — qp„ (В (0)) — ф<п> (g (s)) ds —
П-»о° X L	J
no
- (Ф (g (/)) - ф (g (0)) - 04)] =0.
Значит, на основании замечания к теореме 10 сущест-
вует такая функция Ь(х), что
г t	t	-12
мх j (bn (g (s)), dw (s)) — (b (g (S')), dw (s)) = 0.
Lo	0	J
Используя то обстоятельство, что для каждого lF-функ-
ционала существует последовательность IF-функцио-
налов с ограниченными носителями и монотонно воз-
растающая последовательность областей Gn, UGn = $m,
такие, что а^=а^при t^xan, убеждаемся в справедли-
вости следующей теоремы.
Теорема 11. В условиях теоремы 10 для каждого
W-функционала щ существуют такие измеримые функ-
ции ф (х) со значениями в ub (х) со значениями в
что
t
а/ = Ф (В (0) ~ Ф (В (0)) + j (b (g (s)), dw (s)).	(62)
о
U*
420
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
§ 4. Непрерывные однородные марковские процессы
В этом параграфе нас будет интересовать локальное
строение непрерывного марковского процесса в 31т, По-
тому будем предполагать, что процесс xt определен на
некотором открытом множестве О, имеющем компактное
замыкание, обрывается в момент £ первого выхода из G,
и существует предел
хг = limxb
т
принадлежащий границе Г области G. Кроме того, будем
предполагать, что sup < оо и что процесс равно-
X
мерно стохастически непрерывен, т. е., что
lim sup Р (I, х, Vs (х)) = 0,
t о х е= G
где Ve (х) = {у: \х — у\> е}.
Так как мы изучаем локальные свойства, то G можно
взять сколь угодно малым и потому наши предположения
не ограничительны.
Если бы мы могли описать производящие операторы
указанных процессов, то тем самым мы бы описали ха-
рактеристические операторы непрерывных процессов в
После этого, используя результаты § 5, гл. II, т. II,
мы могли бы исследовать и вид производящих операто-
ров непрерывных процессов в Ж'Л
Пусть Рх и — вероятность и математическое ожи-
дание, отвечающие процессу, Р(/, х, Е) — вероятность
перехода, Ttf (х) = Mxf (xt), А — квазипроизводящий опе-
ратор процесса, т. е. оператор, определенный на непре-
рывных функциях f в G, для которых Af ограничено и
t
TifM = f(x) + ^TsAf(x)ds.	(1)
о
Легко видеть, что для f \&)а — область опре-
деления А) выражение
t
ft = f (*t) — f (x0) — J Af (xj ds	(2)
о
§ 4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
421
является мартингалом по мере Рх, каково бы ни было
х е G. Кроме того, является однородным аддитивным
непрерывным функционалом от процесса xt (см. § 6,
гл. II, т. II). Это показывает, что для изучения операто-
ра А весьма важно описать такие непрерывные аддитив-
ные однородные функционалы процесса, которые являются
мартингалами. Это мы и сделаем в следующем пункте.
Af-функционалы. Прежде чем дать определение рас-
сматриваемого класса функционалов, установим одно
свойство функционала (2).
Лемма 1. Если f непрерывна на G(jr, то для функ-
ционала ft, определяемого формулой (2), существует та-
кой W-функционал ф/, что для всех x^G
МЛ=МЛ.	(3)
Доказательство. Обозначим
V (/, х) = Mj2.
Тогда в силу того, что ~~ мартингал,
»(14 h, х) = МX, - МJj 4 М,[f, „ - ! J =
,	= v (/, х) + Mxv (h, xt).
Таким образом, v(t,x) является IV-функцией (см. § 6,
гл. II, т. II, стр. 258), так как
v ft, х) <: 2МХ [(f to) - f to))2 + Q Af to) ] ==
= 2MX p2 to) - f2 to) + 2f to) (f to) - f M) +
+ ( J Af to) <to2l = 2TJ2 (x) - 2f2 (x) + О (t + /2).
'0	J
Поскольку в силу равномерной стохастической непре-
рывности процесса
Tzf2(x)->f2(x)
равномерно по х,
lim sup v (t, х) = 0.
Но х
422
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Поэтому на основании теоремы 3 § 6 гл. II, т. II су-
ществует единственный 117-функционал ср/, для которого
выполняется (3).
Определение. Непрерывный однородный аддитив-
ный функционал а/ называется М-функционалом, если
а) Мха/ = 0 для всех хи/, б) существует такой IF-функ-
ционал ф/, что для всех t > О
мх= мл-
Из условия а) вытекает, что at является мартингалом.
Лемма 2. Если at и — два М-функционала, то
«/ + ₽/ также является М-функционалом.
Для доказательства этого утверждения достаточно
лишь проверить пункт б) определения. Так как
МДаХМ2<2МХ + 2МЛ2
и существуют такие 117-функционалы ф/ и что
мл2=мхФр
то для 117-функции v (t, х) = MA (at + выполняется
соотношение
t
lim ~ \ v (h, xs) v (A, xs) ds
h№, A>kO П J
/ *
<2JoinL.(	+
+	dsj—O
o	7
в силу теоремы 3 § 6 гл. II, т. II. Но тогда на осно-
вании той же теоремы существует 117-функционал
такой, что
V (t, х) = М.Д;.
Будем в дальнейшем обозначать 17-функционал срь
для которого Mx<pz = Mxa2, где at — М-функционал,
через (a, a)t,
Мха? — МА (a, a)t.
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
423
Замечание. Функция (а, а\ такова, что
а2 — (a, a)t
является мартингалом по мере Рх. Для каждого х су-
ществование такой функции вытекает из теоремы 9 § 1
гл. I. Однако при определении Af-функционала мы тре-
буем, чтобы эта функция была не зависящей от х и,
кроме того, являлась IF-функционалом.
Пусть о/ и Р/ — два Af-функционала. Тогда в силу
леммы 2 Af-функционалом будет и at + р<. Поэтому про-
цесс
4[<а + Р> а + ₽\ —(а, а), — (р, ₽\] = (а, Р),	(4)
будет также некоторым непрерывным аддитивным функ-
ционалом, представимым в виде разности двух lF-функ-
ционалов. Будем называть в дальнейшем такие функ-
ционалы W-функционалами.
Обозначим множество М-функционалов через Фм.
Введем в Фм сходимость: последовательность а\п} будет
называться сходящейся к at, если для всех tux
Покажем, что с так введенной сходимостью Фм будет
полным пространством. Действительно, предположим, что
а(п) е пт м /а(п) _ аРпА2 = о и sup М (а’/1’)2 < оо.
п» m-»oo 4	7	п, х 4	7
Пусть tik (х) определяются из соотношения
sup МхСа'Г’-аН^г"*,
П,
И
аДх) = lim
£->ОО
Этот предел существует для каждого х с вероятностью
Рх= 1. Положим а/ = аДх0). Так какаг = аг(х) с вероят-
ностью Рх = 1, то для всех х
lim Мл (сф” — а,)2 = 0.	(5)
424
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
(ГЛ. III
Следовательно, Мхсц = 0. Покажем, что сц — аддитивный
почти однородный функционал. Для этого достаточно
показать, что
0/г«/ =	~ «/г	(6)
с вероятностью Рх — 1, каково бы ни было х. Очевидно,
что
ел = *im М+л(Хл)) - аГи'Гл))]>
k -> ОО
но
мМл(Хл)) - 4п*(Хл)) - *МХ)) + а^(г))]2==
= МЛМ ([ар"	- ар",х)’]2/.гл) ->0
при &->оо, так как пь(х/г) и nk(x)—>oo.
Кроме того,	at+h — а, по мере Рх.
Соотношение (4) доказано.
Из (5) следует, что
Рх {sup | ap - as I > е} < тг Мх (ар' - as)2 О,
поэтому а/ будет непрерывным функционалом. Чтобы до-
казать существование (а, а\, нам понадобится следую-
щая лемма, имеющая и самостоятельный интерес.
Лемма 3. Пусть Q = tnQ<tn} < ... <tnn = t и
max(/rt£ —	0 при п-+оо. Тогда
k
n —1
(a, а\ = lim £ (%fe+1 - а^)2	(7)
Z2 оо /v — J
в смысле сходимости по вероятности Рх, каково бы ни
быЛО X €ЕЕ G.
Доказательство. Докажем даже большее: что
для всех х е G
/	п-1	\2
lim MJ<a, a\- У (at - a? fe)4 =0.	(8)
n->oo \	k=D	/
Если
^=-(atnl{+1 -	+ (a, a)ink,
§ 4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
425
ТО
М, о I S< J =м vU.-'- - % (а-	=»
где iSt — а-алгебра, порожденная xs, s^t.
Поэтому
/ п— 1	\ 2	n—1
MJ 2 Ппй) = Мх х
\ k=J	/	fe=9
Для доказательства (8) достаточно показать, что
n—1
О)
fe=9
Из непрерывности щ и (а, а)< следует, что
sup|iwl~*0
k
при п—>оо. Далее, величина
П—1
ЕI Ппб К (а,	+ Еэ (%s+1 “ %02
ограничена по вероятности, так как
п— 1
I ^Ink I 2МХ (a, ct\.
/г=Э
Поэтому (9) будет вытекать из равномерной интегрируе-
мости
Чтобы убедиться в последнем, оценим
/п-1	\2
м- (£ 
Очевидно, что
< М. ((а, о), + Е («<„,*, - «<„)’) <
<8М,<», «)! +8М, ( Z («,„8+, -%к)9'-
426	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. Ш
Конечность Мх(а, а)4 вытекает из леммы 3 § 6 гл. II,
т. II. Докажем ограниченность второго слагаемого. Оце-
ним вероятность
Г П— 1	'I
Пусть
h = 0, если +
Тогда
Qx (2rc) < Px {sup | atnk+, - aink | > +~c } +
+ Px f X Ik > 2rc 1 .
I k=0	J
Ho
Px f Ё Ik > Zrc ] <
A fe=o	)
<£Px[S^<2(r-l)C,Su>2(r-l)c,X h>4<
I A 0	U	1 + 2	)
<£Px(S^<2(r- l)c, 2(r- 1)Л X
l А о	0	)
( n~l	1
xsuppJ
^eG I /4-2	)
< sup pj Ё Ь > c|px f Ё b > 2(r — l)c ! .
y^G A 0	) t	)
Поэтому
р-{£'‘>2г4<Ьр’{Ь‘>с})<
<-2r(sup My (a, a)t)r.
U^Q
Далее,
sup|a^+l-aZnJ<2supiaJ.
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
427
Поскольку ай является мартингалом, то в силу формулы
(18) на стр. 78 т. I (мы используем на самом деле не-
прерывный аналог этой формулы; справедливость такого
аналога обсуждается на стр. 228 т. I)
Рх {2 gup| ан |> Vc }
Покажем, что конечно для всех г и ограни-
чено равномерно по х. Пусть р выбрано так, что
sup Рх {sup | аи | > р} < -Д sup Мх (а, а\ < у.
X	u^t	Р X	z
Тогда, обозначая £ марковский момент, для которого
впервые sup| |= Л — р, будем иметь
Рх {sup | аи I > Л} =
= Рх {£ < t, sup | аи — a J > p} < Px {sup [ au I > Л — p).
Значит,
Px {sup | au|> fcpX-Д
Из этого неравенства и вытекает существование всех
равномерно ограниченных моментов у щ.
Итак,
Qx (2rc) c~rsup (М„ (a, a\)r + 22гс~~г sup MyaJ\
y^G	y^G
Отсюда вытекает, что для любого г существует такая
постоянная Лг, что

Значит,
МX ( X (a tnk +1	atnk)2J
\ k==0	/
ограничено равномерно по п. Это завершает доказатель.
ство леммы.
428
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Следствие. Для всех х, если < tni < ... < tnil — t
и max (tnk+i-tnk)->Q,
k
{a, pX= lim (a^+I - %/d)(|3z	,
П -> oo
в среднем квадратичном no мере Px.
Покажем теперь, что если az такой функционал, что
выполняется (5), где е Флр то и at е Флг Для этого
достаточно установить существование lF-функционала
(a, a)t. Используя соотношение
lim У (с№	— V
m->oo k=3 mk+1 mkj
в смысле сходимости в среднем квадратичном по мере Рх,
можем записать
Мх | (а(п\	— (а[п\
-	]2 - Гоф0) - а/> "Н
^tnkj L 'm'e + l (tnk] j
m — 1
У Гсф2’ — а'п> — а(/)	+
fe=0 L	^tnk
V/2
— а'п) +	I2 г
''ink ’mk-Y\	i tnk \ I
lim S Mx 2u
И->оо V fe=C
m—1
( мх у Га'"'
ь=0 L W + l
= {Mx [a<^ - a*/»]2 Mv [a<«) - a^]2}\ (10)
Следовательно,
lim Mx |	a(n)\ — (a(p), a(p))f | = 0.
n, p->oo
Поэтому существует предел длч каждого х по мере Рх
величин (а,п\ Точно так же как в случае щ, можно
показать, что существует неотрицательный аддитивный
Почти однородный функционал (а, такой, что для
всех х
lim Мх| (dn\ а{п}\ — (а,	| = 0.
М-»оо
Предельным переходом в соотношении
Мх (afAZ), a(zz)\ = МДсф0)2
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
429
убеждаемся, что
Мх (а,	= Мха2.
Остается доказать непрерывность (а, а\. Пусть т — не-
который марковский момент, для которого Точно
так же, как было получено соотношение (10), можно
вывести оценку
Мх| (aU), a(n))T — (a(p), a(p))T
< {Mx |	~ ®tp} |2 | Mx |	~ IT. <10
Пусть
x = t, если sup|(aU), a(rt)\ — (a(p), a(p))5|^8,
s < t
T=inf[s: | (aU), aU)\ —(a(p), a(p))s | > в] в противном слу-
чае. Тогда
&РХ {sup | (a('n,	— (a(p), a(p)\ | > s}
Mx | (aU), afn))T — (a(p), a(p))t J.
Значит, (a(n), a(n)\ сходится к (a, a\ равномерно относи-
тельно t по вероятности Px. Отсюда и вытекает непре-
рывность (a, a\. Следовательно, (a, a\ является ^-функ-
ционалом. Итак, доказана
Теорема 1. Множество Фм М-функционалов яв-
ляется линейным пространством, полным в смысле схо
димости a^->az, если для всех x^G
lim Mx (а^ — а*)2 = 0 и sup Мх (aU))2 < оо.
М->оо V	7	X, П v ‘	7
Далее будут рассматриваться также стохастические
интегралы по М-функционалам.* Используя конструкцию
§ 2 гл. I, можно определить f (s) das для функции f,
о
подчиненной потоку и удовлетворяющей условию
t
f2(s)d(a, a\ < оо.
о
Мы будем рассматривать более узкий класс стоха-
стических интегралов вида
t
\gMdas>	(12)
о
430
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
где g(x) — борелевская функция, для которой
t
sup Мх \ g2(xs)da, a)s < оо.	(13)
При этом предположении интеграл (12) тоже можно рас-
сматривать как Af-функционал (точнее, существует/И-функ-
ционал, стохастически эквивалентный этому стохастиче-
скому интегралу по любой мере Рх, каково бы ни было
хеС).
Предположим сначала, что g(x) является непрерывной
функцией х.
Из определения интеграла вытекает, что в этом случае
t
о	'^khZt
в среднем квадратичном по мере Рх, каково бы ни было х,
так как
- t	_2
j g W das - £ g (хАЛ) [aK+ft -	= 0.
-0	kh<t	J
lim
h-»0
Обозначим hi (x) такое число, что при h^.hl (х)
Мх
г л
\g(x5)das- £ НЕ)[аш/-(С]
_0	kh < tj
<2~z.
(14)
Легко проверить, используя то, что величина, стоя-
щая в (14) в квадрате под знаком математического ожи-
дания,— мартингал, что, если (14) выполняется для не-
которого то для всех I будет выполняться неравенство
М.
<(0-+1)2-г. (15)
Из соотношения (15) вытекает, что с вероятно-
стью Рх = 1 равномерно по t на каждом ограниченном
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
431
множестве
lim	£(xwizu))[a(fc+i) л/w akhl (х)]-
О	kh^(x)<,t
(16)
Предел, стоящий в правой части (16), обозначим
Тогда, точно так же как при доказательстве теоремы 1,
убеждаемся, что Л. (0 является аддитивным почти одно-
родным функционалом. Поскольку
2	t
Мх (Л, (О)2 = Мх Н g (х5) das) = Мх J g2 (xs) d (а, а\
и функция
(Ло, 5 ё2 М d (а, a)s
является ^-функционалом, а Мх/Хо (/) = 0, то I^(f) будет
ЛЬфункционалэм.
Если теперь g(x) — некоторая борелевская функция,
для которой выполнено соотношение (13), и существует
такая последовательность непрерывных функций gn(x), что
тогда последовательность Af-функционалов, эквивалентных
ёп, (-Vy) dciS9
сходится к некоторому Af-функционалу. Этот Af-функцио-
нал и будет в дальнейшем считаться интегралом
g (х5)
о
432
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. иг
Покажем теперь, что для всякой ограниченной боре-
левской функции g(x) существует такой М-функционал
ajg), что
t
(*>) das
О
с вероятностью Рх = 1 для всех х.
Обозначим ST множество функций g, для которых
соответствующий ЛТ-функционал существует. Тогда 3^ со-
держит все непрерывные функции и с каждой ограниченно
сходящейся последовательностью функций gn содержит и
ее предел g, так как из ограниченной сходимости gn к g
вытекает выполнение равенства (17). Поэтому ЗГ содержит
все ограниченные борелевские функции. Если g — произ-
вольная борелевская функция, для которой выполняется
(13), то, полагая
Г g (х' при I g (х) | < /V,
t А7 sign £ (х) при | g (х) |	/V,
будем иметь
t
lim Мх [g (х5) — g* (xj]2 d («,	= О,
Д Г-> оо	у
так как g (х) — gN (х) -> 0 для всех х и | g (х, — gv (х)
| g (х) Поэтому существует и
t
lim \gNHs')das
в Фж, т. е. g^SF. Итак, доказана
Теорема 2. Пусть а^Фм. Для всякой борелевской
функции g(x), для которой выполняется условие (13),
существует М-функционал at(g) такой, что с вероятно-
стью Рх — 1 для всех t > О
t
das.	(18)
О
В дальнейшем, под стохастическим интегралом, стоя-
щим в правой части (18), будем понимать этот /И-функ-
ционал.
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
433
Замечание 1.
t
{g)> a (g)\ = g2 (xs) d {a, a)s,
О
t
<а (gi), а (#2)\ = J gl (xj g2 (xj d (a, a>s.
0
Замечание 2. Если и g2 — борелевские функ-
ции, для которых
t
J 2f(<)£l(A)rf<a’ а>*< °°>
О
то
t	t
J gt (x5) das (g2) = J gt (xj g2 (xj das.
э	0
В частности, если > 0, то
t
“‘“S
О
Дифференцирование М-функционалов. Нам потре-
буются следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 4. Пусть cpz и у t— W-функционалы. Если
существует такая измеримая функция g(s), что для
всех х с вероятностью Рх = 1
t
Vt = J g(s) d(ps,
0
то существует такая борелевская функция g(x\ что для
всех х
Доказательство. Поскольку при всех со qps и
ys — непрерывные монотонные функции, то, полагая
g (s) = lim	,
Моф5+Л~ф*
434
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ НТ
будем иметь g (s) = g (s) для почти всех s (по мере dqpj.
Значит,
t
Yf = $ £ («) d<Vs-
Положим
g- (x) = MJirn	(0).
Тогда в силу однородности функционалов у и ф
м (g ($) | &) = м (esg (0) । &) = MXsg (0) = g (xs).
To, что функция g (x) измерима по Борелю, вытекает из
слабой измеримости процесса.
Заметим, наконец, что в силу леммы 2 § 6 гл. II,
т. II
Рх Ц(0) = £«} = !•
Поэтому
Рх U ($) = 0^ (0) = М --= g (xs)} = 1.
Лемма доказана.
Лемма 5. Если ф/ и yt — dea W-функционала, то
Yf=Y(')+ у(2’;
где у(/} и у<2) — W-функционалы и существует борелев-
ская функция g(x), такая, что
t
Y<|)= g (xs) d<fs,
о
a у{2} при почти всех со по мере Рх — сингулярная функ-
ция t относительно ф/.
Доказательство. Функция g(x) строится точно
так же, как в лемме 4. Тогда абсолютно непрерывная
составляющая yt относительно ф/ будет
t
Y(!) = J (xs) d(pd Yi-
0
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
435
Поэтому у(/!) будет 17-функционалом:	Мхуг Оче-
видно, что сингулярная составляющая y^ = yt — бу-
дет неотрицательной и как разность аддитивных одно-
родных непрерывных функционалов, будет также таковым.
Так как y(f2) Yp то Y^2) также 17-функционал. По по-
строению у^2) сингулярно относительно ф^. Лемма дока-
зана.
Следствие 1. Если у t — W-функционал, a —
W-функционал, то существует такая борелевская функ-
ция g (xs), что
Yt = \ё (xs) d(ps + Yf2) « j I £	< °°,
еде y(f2) также W-функционал, сингулярный относи-
тельно ф/. Если при этом yt абсолютно непрерывно от-
носительно ф^, то
Nt = J ё (xs) d<ps.
Теорема 3. Пусть at и — М-функционалы. Тогда
существует такая борелевская функция g(x), что
| g (xs) | d (a, a)s < oo
<«>	=	<4-
(19)
Доказательство. В силу следствия из предыду-
щей леммы для доказательства теоремы достаточно по-
казать, что (а, абсолютно непрерывно относительно
(а, а\.
Пусть (сь d^, (с2, d2), (ck, dk) — система непере-
секающихся интервалов. Тогда в силу следствия из
436
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
леммы 3
k
Е | <а>	— («, ₽>с/1 =
= lim X
П -> эо /= 1
где = с/ + 7 Ц — Поэтому
Е | <а, Р>щ —<«. ₽CJ<lim A/Е Е f« </) ~а</Л2Х
j=\'	'	7‘ rt-»oo V /==] i==1	//+] ц )
Vk п—1
______________________________
< д/g, Р“' - “М g, №fl .'_ Ф  
Из последнего неравенства вытекает, что для всякого
борелевского множества А на прямой
$ d {а, 0\ < л/ $ d (а, а\ d (0, 0\ .
л	* л	л
Поэтому (а, 0\ абсолютно непрерывно относительно (а, а\.
Теорема доказана.
В дальнейшем функцию g(x), удовлетворяющую (19),
будем обозначать	Таким образом,
t
(а. 0)< = j -Ц- (О d (a, a)s.	(20)
о
Назовем два Af-функционала аир ортогональными,
если (а, РХ = 0 с вероятностью Рх = 1 для всех хи/.
Из равенства
Мла/₽/=Мх(а, 0Х
вытекает, что услэвие MxazP/ —0 необходимо для орто-
гональности at и Р/. Покажем, что оно и достаточно.
Пусть оно выполнено. Тогда
(a, + 0,)2 = М,<4 + M%0f = Мх (а, а\ + Мл (0, 0)t.
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
437
Ы
Значит, в силу единственности W-функционала, отве-
чающего Af-функционалу,
(« + Р> а + р\ = (а, а^ + ф, р\.
Поэтому (а, р\ = 0.
Лемма 6. Пусть g{ (х) и g2(x) — dee функции, для
которых существуют стохастические интегралы
t	t
at (gi)= $ gi fo) das, ₽/ (&) = J g2 (Xs) dfis.
о	0
Тогда
t
(a (gi), P (g2)\ = J g\ (xs) g2 (xs) d (a, p^.	(21)
0
Доказательство. Предположим сначала, что a
и р ортогональны. Покажем, что будут ортогональными
a/(gi) и Pt(g2).
Пусть сначала g{ и g2 непрерывны. Тогда
Мл (gi)Pi (g2) =
= lim М, £ gi (xSk) [aife+1 - с^] £ g2 (xift) [pSft+1 - ps J = 0
(O = so<si< ... <sn = t, max(sfe+1 — sft)-»0),
так как
J [₽s£+1 Ps&] |	~
~ ^xMXskaSk+[^Sk^Sk+l^Sk = 0
в силу ортогональности аир.
С помощью предельного перехода от непрерывных
функций (как при доказательстве теоремы 2) убеждаемся,
что
(gjfo (g2) = 0,
если только аир ортогональны.
Пусть теперь р, = р(/> + р,2), где р^2) ортогонально ай а
W=\f(xs)das.
Тогда
Ш) = ₽Г (&) + №)
438
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
(ГЛ. III
При этом P(/)(g2) будет ортогонально at (gj. Значит,
<a(gi). ₽(2)(g2)\ = 0- Поэтому
<a(gi), P(g2))z = (a (gi), P(l) (g2)) =
t
= (a (gi), a (fg2))t = gi (xs) f (xs) g2 (xs) d (a, a\.
0
Ho
t
(a, ₽)f = (a, a (f)\ = j f (xs) d (a, a)s.
0
Тем самым формула (21) доказана, если справедливо
использованное выше разложение pz.
Положим f Cr) = _f“ W- Тогда
t
С лн
=	(22)
О
и
t
(a, P<2O = (a> P^~ (xs)d{a, a\ = 0,
0
t. e. |ф2) ортогонально Лемма доказана.
Замечание 1. Формула (22), позволяющая, исходя
из построить Л4-функционал, ортогональный к af,
может быть обобщена следующим образом. Пусть
а(Д ...,	— некоторая последовательность 7И-функцио-
налов. Тогда
С л
pU) = a<fel_£ (xs)<* k>l; =	(23)
t=l 0	1
образуют последовательность попарно ортогональных
функционалов. Это проверяется по индукции: если
Р^-1) попарно ортогональны, то при j<k
t
r)t-\^-(xs)d(p^\ р<Д=о.
§ 4]	ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	439
Легко установить также следующее неравенство:
k—1 t
Ё $ (-Sr	<24)
Замечание 2. В том случае, когда at = 0, будем
считать
Определение. М-функционал р^ подчинен функ-
ционалу ati если
das-
о
Определение. Система функционалов р^, р(Д ...
подчинена системе функционалов а(Д с^2), ..., если для
всякого k можно указать п 1 и функции g{ (х), ...
..., gn (х) такие, что

(25)
Две системы функционалов Z=l, 2, ...} и {р(Д
/==1, 2, ...} называются эквивалентными, если каждая
из них подчинена другой.
Функционалы р(Д определяемые равенством (23), под-
чинены системе /= 1, 2, ...}. Это легко установить
по индукции. Именно, проверим, что р(^> выражается, по
формуле вида (25) через а{Д ..., а^. При k= 1 это так.
Если р^ при i^.k — 1 выражаются через а(Д ..., а(Д
то формула (23) показывает, что выражается через
а(Д ..., а(Д С другой стороны,
1 t
i=l О Р
Значит, справедлива
440
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Теорема 4. Для всякой последовательности М-функ-
ционалов существует эквивалентная ей последователь-
ность попарно ортогональных М-функционалов.
Последовательность попарно ортогональных М-функ-
ционалов {а(^, &=1, 2, будем называть базисом
в Фм, если для всякого М-функционала р,
оо i
₽' = Е №	ВД
k=\ о
где сходимость ряда понимается в смысле сходимости
в фА1-
Будем говорить, что последовательность {Р’% & = 1,
2, ...} замкнута в Фм, если не существует отличного
от нуля М-функционала у/, ортогонального всем p(z4
Очевидно, что эквивалентные последовательности
замкнуты одновременно. Если последовательность попарно
ортогональных М-функционалов k=\, 2, ..замк-
нута, то она является базисом. Действительно, для вся-
кого М-функционала Р/ ряд
оо
У —Е_ fx )
Z-J J galk) k s/ s
k—l 0
сходится в Фм, так как при п> р
da(fe), V (х ) daik}\~
' k—p о	k=p о	'
при п, р-»оо в силу неравенства
/ п *	\ 2
' k= 1 и
П С
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
441
(это неравенство аналогично (24)). Рассмотрим теперь
ЛРфункционал
£=1 о
Легко проверить, что он ортогонален всем a(tk} и, следо-
вательно, равен 0. Отсюда и вытекает (26), т. е.
&=1, 2, ...} является базисом в Фм.
Докажем теперь существование замкнутой последо-
вательности {0^} в Фм. Тем самым будет доказано су-
ществование базиса.
Выберем в £>а последовательность функций
6=1, 2, ...} такую, чтобы ее замыкание в ограничен-
ной сходимости содержало все непрерывные функции.
Пусть, далее,
r+hn
Фи,гМ = Т 'i Tsfk(x)ds, hn = 2~n,
'm J
r
г пробегает все неотрицательные рациональные числа.
Очевидно, что множество функций {qpft> kt г} счетно.
Занумеруем эти функции одним натуральным индексом:
{<Р1, ф2. •••}•
Положим
t
Р'/’ = (xz) - <pft (х0) - j Acfk te) ds.
0
Пусть 0Z — такой 2И-функционал, что
Тогда
t	t
(х<) Р; = мхр, ЛфА (xj ds = Мх РЗ<Ра (-U ds.
о	о
Аналогично, при s < t
t
Мхфй (х,) [Р/ — PJ = Мх $ (Р„ — PJ Афй (хв) du.
442
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
Следовательно,
I Мхф* (xt) [pz — ps] к || Аф, IIVIMP/-IW -- s).
Пусть s <. /, s + hm < t. Тогда, если t — s рационально,
|	(X/)	+	=
|	5_/2^ф& (xs -J- hn) |J3s-{-/?n	Р$] |
|| AT|| д/Мх (Ps+л^ Ps)2 hn.
Но ||Т^_^Аф||<|| 4ф||. Значит, если 0 < ert < hn и
t —- еп
——-— целое число, то
|МлЮМ<| мл(XMJ +
+ rt+?n < 11Мл СЧ+<'+'> ^~Ч+«„] |<11 <41 дЖЧ+
+ II Л<₽* 11^+< t VMx ре„+(/ +1) hn -\ + lh^- hn.
Так как M%ps+/7 Ps]2 ограничено и стремится к нулю,
то последнее выражение также стремится к нулю. Тем
самым доказано, что
Мхф* (xt) Pi = 0.
Используя предельный переход, убеждаемся, что для
любой ограниченной борелевской функции ф (х) и ка-
ждого х
М,,ф(х<)Р, = 0.
Пусть <t2< ... < tt. Тогда при tt t
... f/(XiZ)p/ = MJ1(x/1) ... fz(r<z)pZ/ =
= MJJ1(xZ1) ... f/-i(.Viz_1)T/z-iz_J;(xZz_I)pZz_1 +
+ мед ...
= MJ। (xZ[) ... fz_| (xiz_j)	z (x/z_()pZz_r
Значит,
M xft (xZ1) ...ft (xtl) pz = 0.
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
443
Однако Р/ является ^-измеримой величиной. Поэтому из
последнего соотношения вытекает уже, что = 0. Тем
самым замкнутость рассматриваемой системы доказана.
Итак, справедлива
Теорема 5. В существует базис.
Максимальные функционалы. Ранг процесса.
Определение. М-функционал а; называется макси-
мальным, если из того что а/ подчинен некоторому
функционалу Р/, следует, что и [3/ подчинен
Лемма 7. Пусть {а^, 6=1,2, •. •} — базис в Фм,
а сk	0 и ряд
=	(27)
Е=1
сходится в Фм. Тогда — максимальный функционал.
Доказательство. Пусть [V подчинен некоторому
функционалу у«:
t
₽/ = J ^7 fe) dys.
о
Тогда, используя представление
о
находим
(28)
fe=l о г
Сравнивая (27) и (28), видим, что
почти всюду по мере d a(fe))s. Поэтому
<*s) °> ~ri) ta) = Ck (v ^0
dy	da{ >	\ dy J
444
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. ш
почти всюду по мере d{a(k), a{ky)s. Значит,
у,=S £с* од) da*}=$ (w од)'
О &==1	О
Таким образом, функционал yt подчинен p/t Лемма до-
казана.
Замечание. В процессе доказательства леммы
установлено, что в том случае, когда pz — максимальный
функционал, подчиненный функционалу у^,
ХМ-
Очевидно, что если pz — максимальный функционал, под-
чиненный М-функционалу yt, то yt — также максималь-
ный функционал, так как если yt подчинен функцио-
налу б/, то и р/ подчинен б/, значит, б/ подчинен р£ и yt.
Таким образом, отношение подчинения для максимальных
функционалов является отношением эквивалентности.
Исследуем, насколько богат класс максимальных
функционалов.
Лемма 8. Если а} — некоторый М-функционал,
а Р/ — максимальный функционал, то (а, абсолютно
непрерывно относительно (р, р\.
Доказательство. Пусть
(а, а\ = <р<'> + <р<2>, (р, р\ =	>,
где <р(Д абсолютно непрерывно, а фД сингулярно относи-
тельно (р, р\, ф(Д абсолютно непрерывно относительно
(а, а\, a ф(Д сингулярно. Возможность такого предста-
вления вытекает из леммы 5.
Положим v, = (a, а\ + (Р, Р)г Так как ф(Д и ф(Д абсо-
лютно непрерывны относительно vt, то в силу леммы 4
существуют борелевские неотрицательные функции /Дх),
gi (х) такие, что
t	t
<₽0 = Vi ОД М > С = J gi ОД dvs •
о	о
§ 4]	ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	445
При ЭТОМ
fz (xs) [gi (xs) + g2 (xs)] = 0, g2 (xs) [fl (jcs) + f2 (xs)J = 0
почти всюду по мере dvs.
Пусть	*
Р/ Р/ С^у)
0
где &(х)=1, если f2(*)>0, k(x) = 0, если f2(x) = 0.
Будем иметь
t	t
Р/ ~~ Pf & (%s) das = Р/ = k (х5) d$S)
о	о
так как
t	t	t	t
(х$) dfts:k (%$•) dps k (Xy) do>s == k (x$.) das
0	0	0	0
в силу равенства
/ t	\ 2	t
Mx H k (xs) d$s\ = Mx (xs) d Ф, P\ =
N)	'0
t
= Mx (xs) [gi (xs) + g2 (xs)] dvs = 0.
0
Поэтому Р/ подчинено Р/. Но тогда Р/ также подчинено Р/.
Значит,
t
Ф, ₽Х=$(^-(хи))2^Ф, Р)«.
о
t
Но pf и	ортогональны. Следовательно,
о
t
<₽, р>/ = ф, РХ + \k (xs) d (a, a)s = ($, ₽\ + qf).
о
Так как ф, ₽\ абсолютно непрерывно относительно (0, 0)ъ
то и ($> абсолютно непрерывно относительно ф, 0\.
446
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Значит, ф<2) = 0 (так как по построению qf) сингулярно
относительно (0, 0)^. Тем самым установлено, что (a,
абсолютно непрерывно относительно (0, 0\. Лемма до-
казана.
Следствие 1. Если ct/ и 0^ - максимальные функ-
ционалы, то (а, а)/ и (0, 0)^ взаимно абсолютно непре-
рывны.
Следствие 2. Пусть оц — максимальный функцио-
нал, а 0/ — такой М-функционал, что (а. абсолютно
непрерывно относительно (0, 0\. Тогда 0Z — также макси-
мальный функционал.
Действительно, если 0Z подчинен уь то (0, 0\ абсо-
лютно непрерывно относительно (у, у\, что в силу леммы 8
абсолютно непрерывно относительно (а, а\. Значит, (0, 0\
и (у, взаимно абсолютно непрерывны.
Поскольку
t
а — f (% ) Ну й ( др / л2
~ J dy	d <у, y)t ~ w ’
то (xs) почти всюду по d(y, у\ положительно. Поэтому
Y/ Иду
О
т. е. функционал у/ подчинен 0/. Максимальность 0,
доказана.
Определение. 17-функционал 6, будем называть
функционалом стандартного типа, если 6t = {a,a)t, где
at — некоторый максимальный функционал.
Из следствий 1 и 2 вытекает
Теорема 6. Для того чтобы М-функционал at был
максимальным, необходимо и достаточно, чтобы (а,
был функционалом стандартного типа.
Замечание. Если 6/ — функционал стандартного
типа и 17-функционал имеет вид
t
Y/ = ё dd* 
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
447
§ 4]
где g(xs) почти всюду по мере dbs положительно, то и
У/—функционал стандартного типа.
Действительно, если S/ = (a, а\, то Р)ъ где
t
Р/== S (*s)
о
и максимальность Р/ вытекает из следствия 2.
Теорема 7. Для всякого М-функционала at суще-
ствует такой максимальный функционал Р/, что щ под-
чинен р/.
Доказательство. Пусть fit — некоторый макси-
мальный функционал. Тогда (а, а\ абсолютно непрерывно
относительно ф, р^. Значит,
t
{a, a)z = J g(xsM(₽, ₽\.
О
Пусть f (х) g(х) = 1, если g>0, f = 0, если g=0. По-
ложим (₽,	= Y/0 + У(Д где у(/* абсолютно непрерывно
относительно {а, <х\, а у(2) сингулярно относительно (а, а)(.
Тогда
t
О
y(f2) абсолютно непрерывно относительно ф, р\ и
t
^=\h(xs)d(fi,-&)s,
о
где h(x) — 0, если f > 0, Л(х)=1, если f — О. Положим
теперь
t
Pt == «/ + h(xs) d$s.
О
Заметим, что
t
а/= (1 — А(х,)) das.
О
448
Непрерывные марковские процессы
[ГЛ. III
Действительно, если
t
ci/ = h (х5) das,
о
то
t
(«- «X = 5 й2 (xs) ё Wd <₽> 0Х = 0
О
в силу того, что /zg = O. Поэтому
t
<₽, p)z = (a, а>,+	₽Х +
О
t	t
+ 2 jj (1 — h (xs)) h <x', d (a, p\= [g (xs) + h (x5)] d(₽, fj)s,
0	0
так как (1 — h (x)) h (x) — 0. Поскольку g (x) + h(x)> 0,
то (p, p\ абсолютно непрерывно относительно (p, p\ и,
значит, pz — функционал максимального типа. Функцио-
нал щ подчинен рь так как
t
(1 — Л(-О)
о
t	t
= j (1 — h (лА) das + (1 — h (xs}) h (.r5) d$s = at.
0	J
Теорема доказана.
Следствие. Существует полная система макси-
мальных функционалов.
Чтобы ее построить, нужно сначала выбрать полную
систему Л4-функционалов а затем для каждого
найти максимальный функционал р(Д которому под-
чинен.
Будем говорить, что последовательность Af-функцио-
налов а<!), ... невырождена, если для каждого п
функционал а(/г) не подчинен системе
Выберем некоторую полную невырожденную последо-
вательность максимальных функционалов р*°, ,,., р(Д ...
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	449
Рассмотрим	матрицу ар'1’ W ••	ар(1) apw	(х) ...
Z)(x) =	а 4 , . ар»'> W '	aftu) ap<fe)	(х) ...
II II
=	(29)
имеющую столько строк и столбцов, сколько функциона-
лов в последовательности {р^}. Если р(Д р(«> ...—
некоторая другая полная невырожденная последователь-
ность максимальных функционалов, a D(x) такая же
матрица, как (29), построенная по этой последователь-
ности, то
D(x)==C(x)D(x)Ci(x),	(30)
где
с«=13ги1- с'м=1><4
Точно так же
D(x) = C1(x)D(x)C(x).	(31)
Соотношения (30) и (31) показывают, что ранг ма-
трицы D(x) в точке х не зависит от выбора последова-
тельности {Р^}}. Будем обозначать этот ранг г(х) и на-
зывать рангом процесса в точке х.
Заметим, что функции
dpW 4). М’ d^k)
определены лишь с точностью до множеств нулевой
меры где — любой функционал стандартного типа.
Таким образом, и г(х) определено лишь с точностью до
множеств А, для которых
t
Хд(*5) ^ = 0
о
для всех t (ху| — индикатор множества Д). В частности,
на некотором множестве подобного вида ранг может
быть не определен. В том случае, когда процесс не имеет
J5 И. Гихман, А. Скороход, т. III
450
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Af-функционалов, отличных от нуля, считаем, что ранг
процесса равен 0.
Случайная замена времени. Если б/ — некоторый
положительный аддитивный непрерывный функционал,
a xt определяется из равенства — то процесс yt=xx
также будет строго марковским непрерывным процессом
в G (см. § 6 гл. II, т. II).
Лемма 9. Если yt — W-функционал процесса xt, то
yt = yx будет W-функционалом процесса yt.
Доказательство. Если — а-алгебра, порожден-
ная величинами xs, s^t, а Л^—• а-алгебра, порожден-
ная величинами ys, то Л^сгЛ9^ и величина уТ/
ЛР^-измерима, т. е. yt «Л\-измерима. Непрерывность
очевидна.
Пусть 0л —оператор сдвига для процесса yt. Так как
величины и т5 и .^-измеримы, то оператор Qh на них
определен. Легко видеть, что
3/г^т==	* ^s+h T'h*
Предположим теперь, что yt имеет вид
t
V/ = S (хи)du,	(32)
о
где g — непрерывная функция. Тогда
t
Yt, = j g (xu) d“=\g(X)dxs =
0	3
n
k~\
kt
где tk = — . Поэтому
n
e*v,g s(*<,i+>) (4« - v,»)=
t + h	xt+h
= ( g^dr^ ( g(xu)du = y -y
J	4	J	t+h	h
h	xh
§ 4]	ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	451
Мы установили формулу
(33)
для функционалов у, вида (32), если g — непрерывная
функция. Используя сходимость функционалов (32) при
ограниченной сходимости функций g, убеждаемся, что
(33) справедливо, если у/ имеет вид (32), где g — огра-
ниченная борелевская функция. Но в силу теоремы 1
§ 6 гл. II, т. II всякий IF-функционал является пре-
делом функционалов вида (32), где g — ограниченная
борелевская функция. Тем самым (33) установлено для
любого IF-функционала у<.
Мы показали, что является непрерывным неотри-
цательным аддитивным функционалом. Чтобы убедиться,
что он является IF-функционалом, заметим, что
МхУоо < млуто,
а
sup Мяуто < С (sup МХС + 1),
X	X
(34)
где £ — момент обрыва процесса (момент первого выхода
из G). Неравенство (34) вытекает из того, что
(/+1)
для некоторого По предположению, sup Мя£ < оо.
X
Лемма доказана.
Лемма 10. Если at — М-функционал процесса xt, то
аг = аТ/ будет М-функционалом процесса yt, причем
(а, а\ = <а, а>Т/.	(35)
Доказательство, ^^-измеримость и непрерыв-
ность устанавливается точно так же, как в предыдущей
лемме. То, что ctj является мартингалом, и соотноше-
ние (35) вытекают из теоремы 6 § 1 гл. I и леммы 3.
Так как (а, а\ — W-функционал, то в силу леммы 9
и (а,	— lF-функционал. Остается показать, что at
15*
452
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
есть аддитивный функционал, т. е. соотношение
9/Д = at+h — ah,	(36)
где Qh — оператор сдвига для процесса yt.
Предположим сначала, что
t
at = f (xt) — f (x0) — (j Af (xj ds,	(37)
0
где f — некоторая функция из S)a- Тогда
xt
= f (X) — f <xo) — $ Af M ds-
0
Поэтому
xt + h
^h.aXt = f(xXt+j^ — f(xx^— J Af(xsfds
TA
в силу свойств оператора Qh: Qhxz = xz , а также фор-
мулы (33), примененной к функционалу
t
Y/ = j Л/ (xs) ds.
0
Таким образом, формула (38) для функционалов вида
(37) установлена. Остается заметить, что функционалы
вида (37) полны в ФЛР
Лемма доказана.
Следствие 1. Если at и р,— М-функционалы про-
цесса xti
at = aXt,	=
ТО
=	(38)
up	up
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
453
Действительно, если (х) = g (х), то
t
<а, а><= J g(xs)d<&, ₽\.
о
Поэтому
Ь
(а, a)t = J g(xs)d($, 0\ =
О
t	t
= J g d (₽, p)Tj = J g (ys) d (0, ₽\,
0	0
t. e.
^(ys) = g(ys)-
Следствие 2. При случайной замене времени
W-функционалы переходят в W-функционалы, а М-функ-
ционалы в М-функционалы, производные М-функционалов
друг относительно друга не меняются, ортогональные
функционалы переходят в ортогональные, максимальные
в максимальные, полные системы в полные системы,
базис в базис.
Пусть теперь б^ — положительный функционал такой,
что относительно него абсолютно непрерывны все стан-
дартные функционалы. (Если существует положительный
стандартный функционал, то его можно взять в каче-
стве бъ в противном случае можно положить 6Z = t + Yz,
где yt — некоторый стандартный функционал.) Если сде-
лать случайную замену с помощью функционала б/, то
тогда всякий стандартный функционал перейдет
в функционал абсолютно непрерывный относительно
функции б/ = бТ/ = /; то есть таким образом все стан-
дартные функционалы будут абсолютно непрерывны от-
носительно меры Лебега, а значит, для всякого Л4-функ-
ционала at процесса yt будет существовать такая функ-
ция что
t
<а, а>,= J ga(z/s)ds.	(39)
О
454
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
Процесс yt, полученный после такой случайной замены
времени, будем называть процессом с абсолютно непре-
рывным стандартным функционалом»
Теорема 8. Пусть у t—процесс с абсолютно непрерыв-
ным стандартным функционалом. Если фр ...,
где А — квазипроизводящий оператор процесса yt и
F (/ь ..., /т) — дважды непрерывно дифференцируемая
функция своих переменных, то F ((pp	и
AF(^, cpm) =
~ S dtk ’ * •’	2 Zj dtt dtk^b ’ *	^4?^’
(40)
где Ь(р.,(рк(х) определяется из равенства
t
{a1, ak}t = Ц, n (ys) ds,	(41)
J
t
ai = ф i (у^ — ф, (У) — $ лф; У)ds- <42)
о
Доказательство. Заметим, во-первых, что суще-
ствование функций &<р., ф/г вытекает из абсолютной непре-
рывности (а1, <х*\ относительно (а1, a‘)t и формулы (39).
Применяя формулу Ито (теорема 1 § 3 гл. I) к функции
F (ф| <УА, .... Фт (yt)) =
/ f
= Л Ф1 (O + aj + $ A^typds, ..., qpm Od) + «Г +
\	о
f	\
*Г \ АфпЛУз) ds I,
О
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
455
§ 4]
находим
F (ф1 (yt), • . •, Ф™ (yt)) = F (Ф1 Ш . . ., Фт (Уо)) +
t т
+J X р*к Oi (^).......о*)) +Лф* о*)ds]+
О 6=1
р т
+ yj У, ^(Ф1Ш •••> <f>m(ys))d{ak, a')s =
о k,i=i
— ^(ф1(*/о)> •••> ФтЫ) +
m z
+Е г о* ол • • • > GO)da*+
6=1 и
+ J [Е F‘k <А)........(О Оз) +
и L6=l
tn	-
+ у Е F(ЧР1 • • • ’ Ф«! (Уз)) b<fj. ф* <Уз) ds.
к. /=1	J
Взяв от обеих частей математическое ожидание, убе-
ждаемся в справедливости теоремы.
Предположим, что выполнено следующее условие:
(А) для каждой точки х е G можно указать такую
окрестность Gb что в замыкании G{ можно ввести ко-
ординаты фр ..., фт, принадлежащие 3)^-
Рассмотрим процесс yti получающийся из yt обрывом
в момент первого выхода из окрестности Для
любой дважды непрерывно дифференцируемой функции
F (ti, ...» tm) и момента имеем в силу упоминав-
шейся формулы Ито
F (<Р1 (l/T).Фт (Z/т)) = F (Ф1 (Уо).Фт (Уо)) +
р т
+ J Е Ftk (ф1 (^)> • • • -	(^))da"+
О fe=l
+ ЙЕ F'tk 01 (^)> • • • > Фт (Уз)~)	(!/s) +
О L/e=l
т	«I
+4 Е	•••> Фт(о%,ФА(^)р5
456
НЕПРЕРЫВНЫЕ МХРКОВСКНЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
и, значит,
MyF (ср, (г/т), .... фт (z/T)) = F (ф1 (у), <fm (у)) +
т
+ му j L [Z7 (qpt....Ф„Л (z/J ds, (43)
и
где
т
F [F (фь ..., <pm)J (у) = £ F'tk (ф) (у).фт (у)) dk (у) +
k=l
т
+ т £	•••> Фт (У)) t>kj (у),
к, /=1
dk (у) = Aq)k (у), bki (у) = b4, ф/ (у).
Рассмотрим отображение U (х) в Gj cz &п, определяе-
мое соотношением х-—> {qpj (х),	фт(х)}. При этом ото-
бражении множество G, отображается взаимнооднозначно
и непрерывно в некоторую область G{ в следова-
тельно,
*t = U Ш
будет марковским процессом, причем в момент обрыва £
принадлежит границе G{.
Из (43) вытекает, что для всякой дважды непрерывно
дифференцируемой функции F (х) в G} и марковского
момента т^| выполняется соотношение
т
М^(Л) = Е(х) + Мл \L[F](xs)ds, (44)
О
где Мх — математическое ожидание для процесса лд,
т	т
F [Г] (х) = У а, (х)	(х) +1 У Ьи (х) -“у (х),	(45)
Z-' дх1	2	д< дх]
i= 1	i, /= 1
at (U (x)) — dt (x), Ьц (G (x)) —	(x),
x1, .. ., xm — координаты x в ^ltn.
Формулы (44) и (45) показывают, что для процесса xt
квазихарактеристический оператор определен на всех
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
457
§ 4]
дважды непрерывно дифференцируемых функциях и
является дифференциальным оператором второго порядка,
т. е. имеет тот же вид, что и в случае диффузионных
процессов.
Покажем, что процесс удовлетворяет некоторому
стохастическому дифференциальному уравнению. Для
этого заметим предварительно, что классы IF-функцио-
налов и Al-функционалов для процессов yt и xt совпа-
дают, поскольку совпадают порожденные ими а-алгебры.
Из соотношения (42) находим
t
— 4=\ai (A)ds + «р	(46)
о
где dj некоторый Af-функционал процесса xt (он есте-
ственным образом получается из функционала a*), xlt—i-я.
координата xt.
Лемма 11. Если выполнено условие (А), то
х=1, ..., m, определяемые равенством (46), образуют
полную систему М-функционалов.
Доказательство. Пусть Р/ — А4-функционал про-
цесса xt, ортогональный ко всем функционалам dj. Тогда
для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функ-
ции F (х) из равенства
F (xt) = F (хо) + J I И (ха) ds + £ J	(х5) das
О	1 о и
находим
t
^tF^t)=M^t\L[F](xs)ds.
О
Из этого соотношения точно так же как при доказа-
тельстве теоремы 5, можно получить, что
МАт)=о
для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функ-
ции F (х), а значит, и для всякой непрерывной функ-
ции F(x). Отсюда вытекает (точно так же как в тео-
реме 5), что МХР’ = 0.
Лемма доказана.
45 8
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Следствие. Ранг процесса xt не превышает пг.
Это вытекает из существования полной системы
Л4-функционалов, содержащей пг элементов.
Теорема 9. Если выполнено условие (А), то суще-
ствует m-мерный винеровский процесс w (/) относительно
потока а-алгебр Nt, векторная функция а(х) и опера-
торная функция В (х) такие, что для t < £
t	t
xt — хц}=\^ а (x5) ds + В (x5) dw (s).	(47)
о	0
Доказательство. Будем исходить из равенств (46).
Пусть Л4-функционалы Pj построены с помощью ортого-
нализации функционалов aj:
₽' = а}, р* = а* - £ j ^-(^)k = 2, ..., m,
/=1 о
a bk(x) определяется из равенств
t
р^ = \bk(xs)ds,
О
и
Ek = {x: bk(x) > 0}.
Пусть, наконец, (t), ..., wm(t) — не зависящие от р^
и друг от друга одномерные винеровские процессы.
Положим
t	t
шЦ/) = ( (1 - xBk (xs)) dwk (s) + f (Xs) -7=Y <WS.
”	V Ok \%s)
Легко видеть, что wk (t) являются мартингалами,
причем
t	t
(и', J (1	+ J	[!•)=(.
0	0
При k^= j {wk, — так как wk, wt, К и p; попарно
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
459
ортогональны. Поэтому m-мерный процесс с коорди-
натами wl (/), ..., wm (t) в силу следствия 2 теоремы 1 § 1
является m-мерным винеровским процессом.
Заметим, далее, что
t _______
₽?= 5 '\/bil(<xs)dwk(s).
О
Следовательно,
t	k—\t k	_______
= J д/MO dw* fs) + E $	(X) Vb} (xs) dw1 (s).
0	0
Таким образом, равенство (47) будет иметь место, если
матрица оператора В в естественном базисе будет
иметь вид В (х) = || аг/(х) ||, где О//(х) = -^г(х)
op'
при и О// = 0 при Z> j,
Теорема доказана.
Итак, в условиях теоремы 9 процесс локально в неко-
торых координатах совпадает с решением стохастического
дифференциального уравнения, т. е. является (локально)
диффузионным. Возникает вопрос, когда данный процесс
с помощью случайной замены времени и взаимно одно-
значного непрерывного отображения пространства может
быть (локально) превращен в диффузионный. Чтобы дать
ответ .на этот вопрос, введем одно полезное понятие.
Пусть xt — некоторый марковский процесс в области
G с:	удовлетворяющий перечисленным в начале пара-
графа условиям. Обозначим 3) множество непрерывных
ограниченных функций f, определенных на G, для кото-
рых существуют такие IF-функционал у* и Л4-функ-
ционал аъ что
— f(x0) = Y/ + a<-	(48)
Как было установлено выше, для f е 3)а представле-
ние (48) имеет место, если
t
(xs) ds,
О
460
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ill
так что	Пусть процесс yt получен из xt с по-
мощью случайной замены времени: yt = xx^. Тогда для
f е S) имеем
f Ы — f Ы = f (xXf) — f (х0) = Y^ +
Но, как вытекает из лемм 9 и 10, и будут соот-
ветственно 17-функционалом и Л1-функционалом процесса
yt. Таким образом, при случайной замене времени класс 2)
переходит в себя.
Теорема 10. Если xt— такой марковский процесс,
что в области G существуют координат ot .. ., fm, при-
надлежащие @), то существует такая случайная замена
времени xt, что процесс xt = (f{(xx^, ...,	будет
диффузионным в области Gb являющейся образом G при
отображении x-^if^x), ..., fm(x)).
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать, что ft (х) = х1 — координата точки х.
Пусть
и - е=а+at-
Сделаем случайную замену времени где xt — решение
уравнения = a 6t — такой 17-функциоиал, относи-
тельно которого абсолютно непрерывны yj и (az, ai)t для
всех i. Если yj = yj+ —у^’“, у^ — 17-функционалы, то
можно взять
m
bt = t + X (vj+ + yC + <az, aA).
Пусть
xt = Xxp Vt = Ухр = %-
Тогда
*J=Y< + «j>
и у! и (a‘, a’X абсолютно непрерывны относительно t.
Значит,
t
х\ — Xg= ai (A?) ds + a^’,	(49)
о
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
461
§ 4]
где а1 (х) — некоторая борелевская функция. Используя
это представление, точно так же, как в теореме 9, убежда-
емся в существовании m-меряого винеровского процесса
w(t), такого, что при некоторых а (х) и В (х) выполняется
уравнение (47).
Теорема доказана.
Непрерывные процессы в Тот факт, что 91х является
упорядоченным пространством, в котором порядок согла-
сован с топологией пространства, позволяет изучить строе-
ние непрерывного марковского процесса в 91х при гораздо
более слабых предположениях. Единственное условие, ко-
торое будет накладываться на непрерывный процесс xf,
определенный в некотором интервале A cz 91х, — строгая
марковость.
Пусть х, у е А. Будем говорить, что точка у дости-
жима из точки х, если
РД^< оо} >0,
где ху — момент первого попадания процесса в точку у
(это марковский момент). Пусть Ах — множество тех у,
которые достижимы из точки х. Легко видеть, что Ах
есть интервал (открытый, полуоткрытый или замкнутый).
Это вытекает из того, что на своем пути из точки х
в точку у процесс проходит через все точки, лежащие
между х и у. Есл! z е Ах, то A2czAx.
Будем называть точку х регулярной, 1) х является
внутренней точкой Ах, 2) существуют такие Xj < х <х2,
xb х2еАХ) что хеАХ1, хеА%2.
Если выполнено условие 2), то каждая точка проме-
жутка [xj, х2] достижима из любой другой точки. Дей-
ствительно, достижимость х из Xi означает достижимость х
из всех точек интервала [хь х]. Точно так же х дости-
жимо из всех точек интервала {х, х2), т. е. х достижимо
из любой точки [хь х2] и любая точка [хн х2] достижима
из х.
Пусть
ах = inf [у: у «= Ах, Ру {хх < оо} > 0],
= sup [у. у <= Ах, Ру {тх < оо} > 0].
Интервал (ах, рх) в том случае, когда х —регулярная
точка, непуст и содержит х. Он называется интервалом
регулярности процесса, содержащим точку х.
462	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. III
Основное внимание в этом пункте будет посвящено
исследованию процесса в интервале регулярности. Предва-
рительно рассмотрим возможный характер нерегулярности.
Если х— нерегулярная точка, то должно выполняться
по крайней мере одно из условий:
(I)	Vy<x Рх{тй < оо} = 0,
(II)	Vz/>x Px{Ty< ooj =0,
(III)	Vy<x РДтх < oo} = 0,
(IV) Vy>x РДтх < 00} =0.
В том случае, когда выполнено (I) и (II), х — погло-
щающая точка.
Предположим, что выполнено (I), а (II) не выполнено.
Тогда, если тЕ — момент первого выхода из окрестности
(х— 8, x-f-e), то т8 = тх+е, и по определению характе-
ристического оператора процесса
91 f (х) = 1 i m Z (х + е) ~f (х) .	(50)
Если выполнено (II), а не выполнено (I), то характе-
ристический оператор вычисляется по формуле
Slf (х) = lim Нх.-е)-/Н .	(5!)
е4,о Мхт
Заметим, что в обеих формулах знаменатель можно
записать как приращение некоторой монотонной функции,
построенной по процессу.
Пусть 6 таково, что Мхтх+б<оо. Положим для
е [х, х + 6]
g(*/) = Матх+6.
Поскольку при у{ > у2
+-6 = Ху> +	+ 5
с вероятностью = 1, то, беря от обеих частей ма-
тематическое ожидание и учитывая строгую марковость
процесса, получаем
4~ Мг/2М	—
~	+ Mr/jMx (Ц/2)Хх+6 =	4~ М^2Тх+б,
или
ё(У1)=МУ1Ту2 + g(y2).
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
463
Отсюда вытекает равенство
MxTE = g(x) — g(x + 8).
Аналогичное равенство будет и в случае формулы (51),
если положим g(y) =
Mxre = g(x)-£(x —е).
Таким образом, в первом случае
8lf(x) = lim
В4-0 gW — g(x + &)
а во втором
W (х) = lim	.,
8*0 gW-g(x-Q)
и вычисление характеристического оператора в нерегу-
лярных точках, для которых выполняется одно из условий>
(I) или (II), сводится к вычислению односторонней произ-
водной по некоторой монотонной функции.
Предположим, что и (I) и (II) не выполняется. Если
выполнено (III), х является левой границей интервала
регулярности, достижимой из этого интервала.
Если же выполнено (IV), но не выполнено (III), то
х —правая граница интервала регулярности. Характер
поведения процесса на границе интервала регулярности
будет рассмотрен ниже.'
Пусть, наконец, выполнены (III) и HV), а (I) и (II)
не выполняются. Предположим далее, что х не является
задерживающей точкой. Тогда для всех t > 0
РХ{Х;€=( — ОО, х)} И Рх{х,€=(Х, оо)}
не зависят от /: процесс после момента t = 0 должен
покинуть точку х и попасть в одно из множеств (— оо, х)
или (х, оо), а из этих множеств он выйти не может,
так как из них точка х недостижима.
Пусть
р — Рх {V/ > 0 xt > х}, <7= PX{V/ > 0 xt < х).
Введем для некоторого б функции
(X) = ~	м)(хтб), g2 (X) = у М^-оо,х)(Х в).
464
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
gx (х) убывает на промежутке (а, х + б), a g2 W возрастает
на промежутке [х — 6.x]. Характеристический оператор
в точке х будет иметь вид
ч 1. р [Г'(х Ч- е) — А’(*)] + q[f(x —	— f (х)]
' W ~ г Де^О Р [£1 W ~ Si (х + 8)] + q [g2 (х) - g2 (х - 8^] ’
(52)
Используя условия (I) — (IV), можно дать такую клас-
сификацию точек: точка недостижима слева [справа],
если выполнено условие (III) [(IV)], точка непроходима
налево [направо], если выполнено условие (I) [(II)].
Точка, недостижимая справа и слева, будет назы-
ваться просто недостижимой.
Рассмотрим возможные расположения нерегулярных
точек по отношению к интервалам регулярности:
1)	такая точка может быть границей интервала регу-
лярности,
2)	она может быть предельной для границ интер-
валов регулярности,
3)	она может быть внутренней для множества нере-
гулярных точек.
Если нерегулярная точка — правый конец интервала
регулярности либо предел возрастающей последователь-
ности таких точек, то она непроходима налево. Если
нерегулярная точка--левый конец интервала регуляр-
ности ллбо предел убывающей последовательности левых
концов, она непроходима направо. Предположим', что
G — некоторый интервал нерегулярных точек, не содер-
жащий поглощающих точек. Пусть Е — множество тех х,
для которых содержит х как внутреннюю точку, xchG.
Если х{^Е, х2^Е, то x2gAV1, так как в противном
случае между х2 и х{ существовала бы точка г, из
которой х2 достижима, и z достижима из х2, и, значит,
интервал между z и х2 состоял бы из регулярных точек.
Указанное множество Е состоит лишь из изолированных
точек и, следовательно, G — Е состоит из не более чем
счетного числа интервалов.
Рассмотрим теперь процесс в одном из таких интер-
валов Gp Пусть хебь тогда х является левым либо
правым концом интервала Ах. В первом случае будем
называть точку х левой, во втором — правой. Если х —
левая точка и у^кх, то у также левая. Это вытекает
§ 4]	ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	465
из того, что если х < z < у и z достижимо из у, а у из х,
то (г, у) содержит регулярные точки. Аналогично, если
х — правая точка, то и Дх состоит из правых точек.
Далее, если х—-левая точка, то правый конец х интер-
вала Дх — также левая точка, так как в противном
случае Дх П Ах было бы непусто и точки из этого пере-
сечения должны были бы быть одновременно и левыми
и правыми. Точно так же левый конец интервала Дх
не может быть левой точкой, если х —правая. Те же
соображения показывают, что для всякого множества В
левых точек и sup В будет левой точкой, а для мно-
жества С правых точек inf С —правая точка. Значит,
всякая левая точка лежит правее любой правой точки
и выполняется одна из следующих возможностей: а) все
точки (?! левые, б) все точки G{ правые, в) существует
такая точка xgGj, что точки Gif|(— оо, х) правые,
а точки (х, ooJQGj левые.
Рассмотрим теперь поведение процесса на интервале,
на котором все точки левые.
Пусть Gx —- такой интервал. Обозначим Ех множество
недостижимых точек Gp Если х —такая точка, то, по-
скольку Дх непусто, можно указать такое б > 0, что
в интервале (х, х + б) нет недостижимых точек. Значит,
Ei не более чем счетно и Gi — Е представляет собой
сумму интервалов, каждый из которых не содержит не-
достижимых точек. Пусть U — один из таких интервалов.
Так как для всех t > О Рх {xt > х} = 1, то процесс до вы-
хода из U будет монотонным. Если правый конец U—не-
достижимая точка, то процесс никогда не выйдет из £/;
его можно рассматривать на U и он будет с вероят-
ностью 1 монотонным неубывающим процессом. Общий
вид таких процессов описан в следующей теореме.
Теорема 11. Пусть U — некоторый интервал в
на котором определен непрерывный строго марковский
неубывающий процесс. Если этот интервал не содержит
задерживающих точек, то существует такая непрерыв-
ная строго возрастающая функция Л(/), определенная
на и принимающая значения из U, что для всех
x^U
Px{xt = K(t + sx)} = l,
где sx — решение уравнения К (sx) = х.
16 И. Гихман, А. Скороход, т. III
466	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. Ill
Доказательство. Пусть х, y^U, х<у. По-
скольку в U не существует недостижимых точек, то //дости-
жимо из х. Действительно, если x=inf [х:Рх {ху < оо}>0],
то х должно совпадать с левым концом интервала Г7,
так как если х достижимо из z < х, то и у достижимо
из z. Далее, поскольку при z е (х, у) момент т первого
выхода из (х, у) с вероятностью Pz = 1 совпадает с ху и
Рz	< а} Р х {ху а} К > О,
то
Pz{Xka < У} <(1 — Л)\
Р2{т,>И<(1-^
для всех z е (х, у). Поэтому < оо для всех т > 0.
Покажем, что Dt^ = 0, т. е. что ху — неслучайная
величина. Рассмотрим на [х, у] случайный процесс xZf
z е [х, у]. Очевидно, что xz — неубывающий процесс.
Поскольку X/ — неубывающая непрерывная функция, не
имеющая интервалов постоянства, то xz— также непре-
рывный по z процесс (так как xz — обратная функция
к xt: xXz~z, Заметим, наконец, что xz является процес-
сом с независимыми приращениями. Если — сг-алгебра,
порожденная величинами xz, z{ г, то, поскольку
8г <= Л%2, При Z( < г2
Р {Тг2 — Тг, < СС 1§г,} = М (Р {тг2 — T2l < а | I 8г,) =
= М(Р{0Т2тг1<а|Л’гг1}18г,) =
= М (Рг, {тг, < а} 18г,) = Рг, {тг, < а},
т. е. распределение т2г — rZ1 не зависит от 8г,- Так как
процесс xz непрерывен, то он должен быть гауссовским,
а из соотношения xz > 0 вытекает, что Dxz = 0.
Пусть при х < у
Ф (х, у) = Мхту.
Тогда
Рх {^ = Ф(х, у)} = 1.
Из равенства
ф (X, у) = Мх [т2 + QxTy] = Ф (х, Z) + ф (г, У),
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
467
справедливого при х < z < у, вытекает существование
такой функции Ф(х), что
Ф (х, у) = Ф (у) — Ф (х),
причем Ф(х) — непрерывная строго монотонная функция
на U (в качестве Ф(х) можно взять, например, функцию,
равную Ф(з, х) для x>z и Ф(х, z) для х < z, z —
фиксированная точка U). Пусть Л (/) — обратная функция
к Ф: Л(Ф(х)) = х для хе[/. Тогда, поскольку
РЯ^ = Ф(у)-Ф(х)} = 1,
ТО
Рх {£/ = А (Т, + Ф (х))} =1, Рх {хТу = Л (ху + Ф (х))} = 1.
Используя непрерывность х*, тх и Л, находим
Рх{Хгг/ = А,(тг/4-Ф(х)), г/>х}=1.
Подставляя вместо ту любое t > 0, завершаем доказа-
тельство теоремы. 
Рассмотрим теперь марковский процесс в интервале
(а, р), состоящем из регулярных точек, причем таком,
что аир достижимы изнутри интервала. В этом слу-
чае а достижимо из р, р достижимо из а. Действительно,
поскольку для каждого х е [а, р] можно указать такую
окрестность, что все точки этой окрестности достижимы
одна из другой, отрезок [а, р] покрывается конечным
числом таких окрестностей. Поэтому можно указать такие
а = х0 < х( < ... < ха — р, что хк достижимо из хк-\
и ИЗ Xk+1-
Пусть С — момент первого попадания процесса на гра-
ницу [а, р]. Тогда в силу неравенств £=^Тр можем
записать
Р* {? < 0 > max [Рд; {та < t}, Рх {тр < 0] >
> max [Рр {т„ < t}, Ро {тр < 01,
поскольку Рх {та < t} убывает, а Рх {Тр < /} возрастает.
Поэтому Мх£т ограничено для всех т > 0.
Для дальнейшего будет полезной следующая лемма.
Лемма 12. Для каждого в>0
lim sup Рд {sup| xs — х| > в} = 0,
0а < х < 0 s t
16*
468
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
в частности, процесс равномерно стохастически непре-
рывен на отрезке, состоящем из регулярных точек.
Доказательство. Пусть х е [zb z2] и | z2 — z{ | <
<у. Тогда
.	о	.8
< za = Р и zk — zk-i <у,
Поэтому если а = zQ < z{ <
то
sup Рх {sup I Xs — X I > s} <
а < x < (3 s < t
< 2 sup P4 { sup | xs — z k\ > 4 }.	(53)
k^n ' s < f	'
Из непрерывности процесса с вероятностью 1 вытекает,
что для всех z
lim Р2 { sup | xs — z | >	1 = 0.	(54)
t i 0 t s < t	1 У
Из (53) и (54) вытекает утверждение леммы.
Некоторое общее представление о поведении процесса
в окрестности регулярной точки можно получить из такой
теоремы:
Теорема 12. Если х — регулярная точка, то для
всякого 6 > 0
Рх {sup xt > х} = 1, Рх {inf xt < х} == 1.
t <6	t <6
Доказательство. Оба утверждения доказываются
одинаково, поэтому докажем лишь первое.
Обозначим Гб событие {supA^>;r}, Г= П Г6. Оче-
t < 6	6
видно, Гб Л%-измеримо, монотонно убывает с б и
Р* {Гб} Рх {Г} при б | 0. Поэтому для доказательства
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
469
теоремы достаточно показать, что РХ{Г}=1. Так как
Г ^Го+’Измеримо, то в силу леммы 2 § 6 гл. II, т. II
Рх {Г} может принимать лишь значения 0 и L Предпо-
ложим, что РДГ} = 0. Тогда РЖ{Т} = 1, где Г —собы-
тие, противоположное Г. Если происходит событие Г, то
для некоторого 6 происходит событие Ге, т. е. {supx^^x}.
S < 6
Обозначим т] момент первого выхода и£ множества
(— оо, х); т] положительно на множестве Г и является
марковским моментом как момент первого выхода из
замкнутого множества (см. § 5 гл. И, т. II, стр. 194—195).
Поскольку х^ — х, то PXi)(f)=l. Значит,
Рх{ sup х5<х}==Рх{ГП0пГ} =
$ С 'П+0-q'n
= мДрР {е„Т | je^ = мДгР,л (?) = 1
(здесь — индикатор множества Д). Поэтому
Рх {п +	< п) = 1>
что противоречит положительности ц на Г. Полученное
противоречие показывает, что РЛ(Г)=1.
Теорема доказана.
Следствие. Если х — регулярная точка, то для
всех t > О
lim Рх{т^<0=1.	(55)
у->х
Например, при у> х
Рх {ty < t} < Рх {sup xs > у}
S < t
и формула (55) вытекает из теоремы 12.
Введем функцию
/п(х) = Рх {х: = р}.	(56)
Пусть х, < х2. Тогда
m (Х1) = Рх, {Х£ ~ Р} = Рх, {Тх2 <	\ ~ Р} =
= М%2 < С)	= Мх{*х2 < ЧМ^2Х{Ч-₽} =
~	< C}Pxs {*£ = Р}= m (Л) Рх, {тхг < £}•
470
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Поскольку РХ1 {тХ2 <£}<!, то пг (Xj) < пг (х2). Функция
/п(х) не убывает на [а, р]. Кроме того, в силу равен-
ства (55) и положительности £
lim Р {тх <£)=!, т. е. lim пг(хЛ== пг (хХ
X, Xi 1 4	2	7	х2 Xi 4	7	47
Поэтому т(х) непрерывна справа. Аналогично устана-
вливаем, что функция
1 — т (х) = Рх {хс = а}
непрерывна слева. Значит, т (х) — возрастающая непре-
рывная функция, причем, как легко видеть, т(а) = 0,
т(₽)=1.
Покажем, что т(х) строго возрастает. Предположим,
что для Xf < х2 tn (%i) = пг (х2) и - наименьшее число z,
для которого пг(г} — пг(х^. Тогда
РXi {^х2 < £} ~ 1 •
Это означает, что процесс с вероятностью РХ1=1 до-
стигнет раньше точки х2, чем точки а. Поэтому х{ > а
и Xj - наименьшее число, из которого х2 достигается
раньше, чем а. В силу теоремы 12 процесс за сколь
угодно малое время может попасть в область [a, xj
с вероятностью PXl=l (т. е. раньше, чем в точку х2),
а из точек интервала (а, х{) он с положительной ве-
роятностью может достичь а ранее, чем х2 (по опреде-
лению точки х{). Мы пришли к противоречию.
Теорема 13. Функция т(х), определяемая равен-
ством (56), непрерывно монотонно и взаимно однозначно
отображает отрезок [а, р] в отрезок [0, 1], функционал
at = m(xt) — пг(х0) при at = пг(х?_0) — т(х0),
является М-функционалом процесса.
Доказательство. В доказательстве нуждается
лишь то, что az — М-функционал.
Так как
{tn (xt+h) — пг (хл), t + h < £,
m(x^) —т(хл),	t + h^Z,
0
то Qhat = ai+h — и, значит, at — аддитивный функ-
ционал.
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
471
§ 4]
Далее, at, очевидно, с вероятностью 1 непрерывен.
Заметим, что
т (х) == Рх {хЕ = 0} т (0) + Рх {х£ = а} т (а) = Мхт (хЕ).
Поэтому для всякого марковского момента
Мхт (хт) = МхМ/хт (хс) = Mx0tm (xt) = Мхт (xt) — т (х).
В частности,
Млт(х<ЛЕ) = т'(х), Мха£ = 0.
Пусть, далее,
f (t, х) = Мх [т (хг Л Е) — т (х)]2 = Mxm2 (х, Л Е) - т2 (х) +
+ 2т (х) [т (х) — Мл/п (х, л Е)] = Мхт2 (xt л Е) — m2 (х).
Из непрерывности /и2(х) и равномерной стохастической
непрерывности процесса (лемма 12) вытекает, что
lim sup f(t, х) = 0.
f f 0 а < х < р
Значит, в силу теоремы 3 § 6 гл. II, т. II существует
такой lF-функционал (а, а\, что MxaJ=Mx(a, a)t.
Замечание. Из соотношения
Мхт (хт) = т (х),
установленного для всякого марковского момента
вытекает, что т(х) является гармонической функцией.
Очевидно, что для изучения марковского процесса х<
достаточно изучить марковский процесс m(xt), т. е. про-
цесс на [0, 1], для которого т(х) = х.
Будем в дальнейшем предполагать, что /п(х) = х и
отрезок [а, 0] совпадает с [0, 1].
Введем функцию
п (х) = Mxg.
Пусть 0<а<х<&<1. Тогда, обозначая т момент пер-
вого выхода из (а, Ь), будем иметь
£=т + 0^,
Мх£== М/г + МжМ^,
п (х) = Мхт -j- Млп (xt).
472
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Для вычисления Мхп(хх) заметим, что Млхс = х (так как
т(х) = х). Значит,
х = аРх {хх = а} + ЬРХ {хх = Ь}.
Так как, кроме того,
Р X	{%х = Ь} = 1 ,
то
=	Px{^b} = ^.
Таким образом,
п (х) = Мхт + п (а)	+ п (Ь)	.
Положим b — x=t(b — а), тогда x = ta + (1 —f)b и, зна-
чит,
п (ta + (1 — /) b) — in (а) — (1 — t) п (Ь) = Мхт > 0.
Это неравенство справедливо для всех а, b е [0, 1],
0 < t < 1. Из него вытекает, что п (х) — строго выпуклая
вверх функция. Поэтому существует убывающая произ-
водная п'(х).
Рассмотрим теперь характеристический оператор про-
цесса во внутренних точках отрезка [0, 1]. Пусть т — мо-
мент первого выхода из (х — е^х-фег). Тогда
мxf (хт) = f (X - 8,)^^ + f (X + e2)	,
Mxt = n (x) - n (x - 81)	- n (x + e2) —,
4" [f (x + e2) - ,f (x)J - -1- [f(x) - f(x - e,)]
lim --------------------.
ei>|fO, e2fo — [n(x) — n(x + 82)]-[n(x—ej) —n(x)]
e2	el
(57)
Последняя формула слишком сложна для вычисления
характеристического оператора. На классе функций,
достаточном для определения производящего оператора,
эту формулу можно существенно упростить.
Теорема 14. Предположим, что функция f(x) абсо-
лютно непрерывна и существует такая непрерывная
§ 4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
473
функция g(t), что выполнено соотношение
х
Г(х) = Г(0)+ \g(t)dn'(t).	(58)
о
Тогда для всех х е (0, 1)
®f(x) = -g(x).
Доказательство. Имеем
Х+8
y[f(x + 8)-fW] = l S f'(u)du =
С	С J
X
х+г г-	и	-
=7 J +
X L	X	-
Х+8
= /'(*) + $	g(/W(0-
X
Используя это представление (е может быть и отрица-
тельным), находим
7~[f (х + е2) - f (х)] - 4~[f (х) -1 (х - 81)] =
Х+82
= jj Де,, в, (х, 0 g (/) dtl' (/),
X—81
где
* * + ,C1 ПРИ Х ~ 81	^Х>
х 82 Т ( ПрИ х t	х + е2.
8г
Двь 82 (X, t)
Подставляя g (t) = 1, будем иметь
[гг (х + е2) — п (х)] — [и (х) — и (х — ej] =
Х+82
= J Де„ 82(х, t) dn'(t),
474
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Так как А81, 8г(х, /) неотрицательно, п' (f) строго убывает,
a g(t) непрерывна, то, используя теорему о среднем,
убеждаемся, что
Х + 82
3 л81, 82 W dfl'^
,lim, ---------------------= £(*)•
8^0, 82^0 Г
\ ДЕ1, e2 (*> 0 dn'
X—81
Теорема доказана.
Замечание 1. Функцию g(t), удовлетворяющую
соотношению (58), естественно обозначить Таким
' '	dn (t)
образом, характеристический оператор процесса xtf 21,
определен на абсолютно непрерывных функциях f,
df' (х)
которых существует и непрерывна; при этом
1 ' ' dn (х)
ДЛЯ
(59)
Замечание 2. Производящий оператор про-
цесса X/, А, определен на всех абсолютно непрерывных
функциях f, для которых -"у- непрерывно на [0, 1],
a f (0) = f (1) = 0; при этом Af совпадает с 21/.
Действительно, учитывая связь между характеристи-
ческими и производящими операторами для процессов на
компакте (см. § 5 гл. II, т. II, теорема 1), мы должны лишь
проверить, что на функциях из ^о, 1], обращающихся в нуль
в точках 0 и 1 оператор 21 задается формулой (59), если
только он определен. Так как в этом случае 21 и А на
^[о, 1] совпадают, то из замкнутости А вытекает замкну-
тость 21. Легко видеть, что и оператор дифференцирова-
ния, стоящий в правой части (59), также замкнут. Отсюда
вытекает совпадение этих операторов и совпадение А
с левой частью (59).
Наконец, рассмотрим поведение процесса в интервале
регулярности. Пусть это будет интервал (а, р); при этом
точки аир уже нерегулярны.
Возможны четыре случая: 1) граничная точка а ин-
тервала (а, Р) достижима из интервала, всякая точка
хе(а, р) достижима из а; такая граничная точка пазы-
§ 4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
475
вается регулярной границей', 2) а достижима изнутри,
но из нее точки интервала недостижимы; такую точку
будем называть захватывающей границей; 3) а недости-
жима изнутри, но точки интервала достижимы из нее;
такую точку назовем выпускающей границей; 4) а недости-
жима изнутри, и из нее недостижимы точки интервала;
такую точку назовем естественной границей.
Если а — регулярная граница, то, поскольку она все-
таки нерегулярная точка, она либо недостижима слева
либо непроходима налево. В последнем случае а будет
отражающей границей для интервала (а, р). Легко найти
вид производящего оператора для процесса с двумя
отражающими границами.
Теорема 15. Если — процесс на [0, 1] с tn (х) = х,
О и 1 являются отражающими границами интервала ре-
гулярности (0, 1), то Af(x) определяется левой частью (59)
для 0 < х < 1 и
в>0	"|0те	&>0	т1т1-8
и 2)а совпадает со множеством функций, для которых
Af непрерывно.
Доказательство этой теоремы получаем немедленно,
если сосчитаем характеристический оператор в точках
О и 1 и воспользуемся теоремой 1 § 5 гл. II, т. II и заме-
чанием 2.
Если границы интервала достижимы, но внутренние
точки недостижимы с границы, то естественно рассмат-
ривать процессы, обрывающиеся после достижения гра-
ницы. Их характеристические операторы описаны в за-
мечании 2. В случае недостижимости границ процесс
всегда остается внутри интервала регулярности. Поскольку
интервал — локально компактное пространство и харак-
теристический оператор в каждой точке можно опреде-
лить локально, пользуясь формулой (59), то производя-,
щий оператор процесса определится с помощью теоремы
1 § 5 гл. II, т. II. Правда, нам придется пользоваться
целым набором функций m (х) и п (х). Сейчас мы пока-
жем, как этого можно избежать.
Лемма 13. Существует строго возрастающая непре-
рывная гармоническая на (а, р) функция М (х). Всякая
другая непрерывная гармоническая функция g(x) на
476
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. ш
(а, р) имеет вид
где а и b — некоторые постоянные.
Доказательство. Пусть ап | a, Prt f Р, cq < рь
Обозначим Zn момент первого выхода из (art, рп) и пусть
Vn W = Рх {-Ч„ = Р/г}.
Как было показано выше, Yn (х) — гармоническая функ-
ция в (ап, р„). Поэтому для m < п, х е (am, рт)
MxY„(xSm) = yn (х).
Но
Уп (х) = MxYn (Чт) = Уп (а«)Рх {xtni = ат} +
4“ Уп (Pm) Рх == Рт} == Уп (ат) (1 Ут W) 4"
4“ Уп (Рт) Ут (х) = Y (®т) 4* lYn (Рт) Уп (®т)] Ут (х),
Т. е.
Ут (X) = -^) -УпЫ .	(б0)
v 7 уп (Рт) — уп (ат)
Положим
gn (х) = — Уп ^Д-, х е (а„, Р„).
7 Y« (Pi) — Yn(«i)	v n ,n/
Легко проверить, что =	при xe(aw,pj и
m<n. Для этого нужно лишь использовать (60). Таким
образом, существует функция М (х), которая на каждом
интервале (art, рп) совпадает с gn(x)- Она обладает тре-
буемыми свойствами.
Пусть g(x)— произвольная локально ограниченная
гармоническая функция. Тогда при ат < х < рт
g (х) = g (ат) (1 — ут (х)) + g (Р„,) ут (х),
т. е. g линейно выражается через постоянную и ут (х).
То же можно сказать и о функции А1(х) на (am, рт).
Следовательно, для каждого т существуют такие посто-
янные ат и Ьт, что
g (х)	(х) | ^т» X (ctm» Pm)*
Так как Л-1(«|) = 0, Л1(Р1) = 1, то bm~ gfa), ат—
st=g'(₽i) — g(ai), т* е. ат, Ьт от т не зависят.
Лемма доказана.
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
477
Можно опять вместо исходного процесса xt рассмот-
реть процесс xt = М (xt), для которого функция М (х) = х.
Процесс ftyjazr определен на некотором (конечном или
бесконечном) интервале. Поэтому естественно сразу счи-
тать, что М (х) для исходного процесса совпадает с х.
Лемма 14. Существует такая выпуклая вверх функ-
ция N(х), что при а<х — в| <x<x-j-82<₽
Мхт= N (х) —	 N (х - еО - е~г~ N (х + ег),
61 “Г с2	61 *Т е2
где х —момент первого выхода из интервала (х — st,
х + 82).
Доказательство. Пусть ab, pft и такие же,
как в лемме 13,
4k W = Мх£а.
Положим на (ak, рА)
Sft « ~ nt (х) - П1 («,) - -^1 п (М.
Легко видеть, что при < х — 8! < х < х + в2 < р*
М/Г = Sft (X) - —%— Sk(x - 8]) - —Sfe (X + 8) =
И Т Ь2	Ь1 1 С2
== Sk (.%) — MxSfc (хт),
где т такое же, как и в условии леммы. Поэтому при
m > k
Sm (%) Sk (х) = Mx [Sm (хт)— Sk (xt)J
на (aft, р^), т. е. Sm (х) — S* (х) — гармоническая функция.
Поскольку Sm (ai) = Sfe (at) — 0, Sm (Pi) = Sfc (щ) = 0, то
из леммы 13 легко выводим, что Sm(x) = Sk (х) на (а*, р*).
Полагая (х) =	(х) при < х < Ра, k = 1, 2, ..., по-
лучим искомую функцию.
Лемма доказана.
С помощью функции N (х) теперь характеристический
оператор 91 можно определить сразу во всех точках ин-
тервала (a, Р):
«?« = --<61>
Наконец, функции М(х) я N (х) позволяют охарактери-
зовать граничные точки аир.
478
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
Приведем более подробную классификацию недости-
жимой границы. Недостижимая граница а называется
притягивающей, если для всякого 8 > О можно указать
такое д > О, что
Р* {lim xt = а} > 1 — в	(62)
/>оо
для всех х е (а, а + 6). Недостижимая граница а назы-
вается отталкивающей, если для всяких х > а и х{ < х
РхДТх < оо}= 1.
Теорема 16. Граница а недостижима, еслиЫ (а + 0) =
= — оо; при этом в случае 1) М (а + 0) > — °о граница
является притягивающей, а в случае 2) Л4(а4~0) = — 00
граница является отталкивающей.
Доказательство. 1) Не ограничивая общности,
можно считать, что А4(х) = х. Тогда xt — а является
неотрицательным мартингалом, так как
М (xt+h — a\Nt) = МХ/ (xh — a) = xt — a.
Следовательно, в силу теоремы 1 § 2 гл. II, т. I с ве-
роятностью Ря=1 для всех х существует предел
lim X/ = х .
,	*• оо
f->oo
Заметим, что этот предел не может быть внутренней
'точкой интервала (а, р), так как из любого интервала,
концы которого являются внутренними точками (а, р),
процесс выходит за конечное время. Поэтому хх — а или
*оо = ₽•
Если р = оо., то
Рх {*оо = а} = 1.
так как Мххте МЛХ/ = х.
Если же р < оо, то xt — ограниченный мартингал и
Мххм = х.
Следовательно,
P,U.=«)=^.
Из вида этой вероятности и вытекает существование та-
кого д > 0, что выполняется (62).
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
479
Покажем, что для всех t
РX {%t >	= 1,
т. е. что а — недостижимая граница. Предположим, что
для некоторого t
Рх {xt — а) = д > 0.
Тогда для всех в < х — а
Рх{Та+е < 0 > 6
и, значит, при х е (а + е, х)
Рх {та+е <	> 6.
Обозначим т момент первого выхода из интервала
(а 4- е, х). Тогда т < та+в и поэтому Рх {т < t} > S для
всех х е (а + 8, х). Но
Рх {xt ®(а + 8, х)} > Рх {т < 0 > д.
Используя рассуждения на стр. 195 § 5 гл. II, т. II,
убеждаемся, что
00	оо
й=0	fe=9
Значит,
М-т = N (х)------ N(а + е) - *~а ~е-N(х)<~•
х ' '	. х — а — е '	1 ’ х — а — е ' ' о
Последнее же неравенство противоречит условию У(а-]-0)=
== — оо, так как оно выполняется для всех 8 > 0.
Утверждение 1) доказано.
2) Пусть а < Х| < х. Покажем, что вероятность q (хь х)
достигнуть х из х( раньше, чем а, равна 1.
Если а < х2 < Xi < х, то, обозначив т момент первого
выхода из (х2, х), будем иметь
Но
Рх. {«т = х}
__ М (xt) — М (х2)
“ М(х)-М(хг) *
q (xi, х) > РХ1 {хт = х},
каково бы ни было х2 е (a, xj. Переходя к пределу при
х2|а, убеждаемся, что q(x{, х)=1.
Покажем теперь, что граница а недостижима. Пусть
А — событие, заключающееся в том, что процесс дости-
гает а раньше, чем х, В* —событие, заключающееся
480
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
в том, что процесс 2k раз пересечет интервал (хь х),
тк — момент 2£-го пересечения интервала (хь х). Тогда
Хк — марковский момент и
Рх1{лЧ = Х1}= 1-
Пусть V — событие, заключающееся в том, что точка а
будет достигнута из точки хх. При этом достижение а
может произойти после того как интервал (хь х) будет
пересечен 2k раз, k — 0, 1, 2, ... Значит,
Рх, {V} = рЖ1 {Л} + РХ1 {В. П ет А} + ...
/	оо	\
. • • + Рх, {Вк Л ... = Рх {Л} (1 + X Рх, {Вк}) = о,
\	fe—1	J
так как PXl {А} = 0.
Теорема доказана.
Замечание. Если Л/ (а 0) > — оо и Л/'(а + 0)>— оо,
то граница а достижима. Условие же 7И(а + 0) = — оо
влечет обязательно 7V(a 4- 0) = — оо, так как Л^ЛГ1 (х))—
выпуклая вверх функция (/И-1 — обратная функция к М).
Изучим поведение процесса в интервале регулярных точек
в предположении, что обе границы отталкивающие. Из теоремы 16
вытекает, что в этом случае М (а + 0) = — co, М (Р — 0) = + со.
Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что М (х) = х
и (а, р) совпадает с (— оо, + оо). При доказательстве теоремы 16
установлено, что тогда РЛ {ху < оо} == 1. Из теоремы 12 вытекает,
что для всех 6>0
lim Рх {т^>б} — О.
Используя соотношение
1мхЩ/)-м2Ж)1<
< 2 Ш Рх > 6} + др |	(х^) -	(х,) |,
убеждаемся, что	— непрерывная функция, если f непре-
рывна, так как второе слагаемое стремится к нулю при д>0 в силу
непрерывности х*. Таким образом, xt будет стохастически непре-
рывным феллеровским процессом.
Найдем условия, при которых величина Мхт^ конечна.
Лемма 15. Если существует
lim — Af (я) == Yj < + оо,	(63)
a-> — оо а
то Мхт^<оо для всех х<у, если существует
lim N (Ь) = у2 > ~ оо,
&-> 4-оо О
то Мхт^<оо для всех х> у.
§ 4]	ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	481
Доказательство. Установим, например, первое утвержде-
ние леммы. Пусть а <х < у, — момент первого выхода из (а, у).
Тогда по лемме 14
м«’й. й -«« - »<=> -
Очевидно, что х^ j f х& при а — оо. Поэтому
М^ = ЛГ(х)-ЛЧу) + (у-х) lim	(64)
Лемма доказана.
Замечание 1. Если существует предел (63), то функция
N' (х) ограничена при х -> — оо и Yi я Hm N' (х). Аналогично,
Х-»-оо
если у2 конечно, то у2 =® Hm N' (х).
Х-> 4-00
Замечание 2. Если У'(—-оо) конечно, то для M/fy при
х<у справедлива формула, вытекающая из (64),
у
Мхху == J [N' (- оо) - N' (г)] dz.	(65)
X
В частности, если
X
^'(-00)-^(2)]^<00,
— оо
то величина ограничена цри хе(- оо, у]. Аналогичное утвер-
ждение справедливо для Мхт^ при х> у, если W' (+ оо)> — оо.
Будем говорить, что граница а (а == ± оо) выпускающая, если
для некоторого у е (•— оо, оо) интеграл
у
\N' (z) - N' (а)] dz
а
конечен.
Если отталкивающая граница не является выпускающей, будем
называть ее естественной.
Лемма 16. Пусть граница м (а = ± со) является естественной.
Тогда
lim Рх {ха < t] == 0.	(66)
х->а
Доказательство. Пусть а => — оо. Очевидно, что при-
х-> —оо Px {ха<Л} монотонно убывает. Если бы было
inf Рх {та < /} ^ 6 > 0, то тогда
sup Px{xa>kt} =
х^а
= sup Млх<тXk-l) йР{0(й-1)ГтаJ
X л ♦ «	*	.
<(l-d) sup Px{xa>{k-!)/}<(!-i>)
482	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. Ш
и выполнялось бы неравенство
оо
sup Мхта<У kt (1 -б)4-' = А-,
х < а	“	0
что противоречило бы тому, что — оо — естественная граница.
Лемма доказана.
Л е м м а 17. Для всякой непрерывной ограниченной функции f (х),
для которой существуют пределы f(—со) = lim f (х), f(+oo) =
Х->—оо
= lim f(x), выполняется соотношение
Х-> Ч-оо
Нт || Г/-/1| = 0.
Доказательство. Поскольку при а < b
sup |7\f(x)-f (х)|<
а<х<Ь
< а	b Рх{[Х< ~ Х !>	+ а < “Р< Ъ 1 f W	f (*2)
I x2-Xi I < е
то из леммы 12 вытекает, что
lim sup I TJ (x) — f (x) I = 0.
f->0 a<x<b' 1
Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что вели-
чину ______
lim [ sup I Т F (х) - f (x) I + sup I T.f (x) - f (x) 11
f-»Olx<a	x>b *	J
можно сделать сколь угодно малой выбором а и Ь. Рассмотрим,
например, первое слагаемое под знаком предела. Выбирая > а,
будем иметь
sup | Т(/(х) — / (х) | =
х<а
= sup I f (х) — f (— со) I + sup I T.f (х) — f (— 00) I =
x< a	x < a
= sup |/(x)-f(-co)| + sup rMx|f(xz)-/(-oo)|xf „ +
x<a	x<a L	I »i /
+ MX №) - П- co) |XN|>4]<
<2 sup |/(x) —/(—oo) | + 2 ||f || Pfl {rai<Q,
x at
lim sup I T.f (x) — / (x) |<2 sup | /(x) — / (— oo) |.
#->0х<д	x<al
Отсюда вытекает доказательство леммы.
Лемма 18. Обозначим С(^_ОО) множество непрерывных функ-
ций f(x), для которых существуют пределы f(—oo), f(+oo)u
f (a) = 0, если a = ± оо является естественной границей. Тогдл
Тft	оо) при f S С^__оо, оо)*
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
483
Доказательство. Непрерывность Ttf для непрерывных
ограниченных f уже установлена. Рассмотрим предельное поведе-
ние Tjf в точке — оо.
1)	Пусть — оо — естественная граница. Тогда выполнено (66).
Значит, для х<а
| Ttf (х) |< Мх If (xt) |X{ta><} + Мх| f (xt) |xN < <} <
< sup |f(?)|+Ilf|| P*{re<0
y<a
и	__
lim |TffW|< sup |f(0)|,
x->-oo	a<a
lim |Ttf(x)|< lim sup |f (0)| = O.
x->—00	a->—00 y^a
2)	Пусть — oo — выпускающая граница. Тогда при х<а
\Ttf(x)-Ttf(a)\*=
= | (xt) Х{та<в) + to) X{re > e} - Ttf (a) J <
d
< 2 II f II Px К > 6} + j Px {Xa e ds} I (a) - Tsf (a) | <
0
+ ;upell^f-f||-
Воспользовавшись формулой (65), находим
sup I Ttf(x) - Ttf (a) I <
x£a
a
< 2Ц/11	\ [AT (- co) - №' (г)] dz + sup ||Tsf - f||,
° J	s<6
— 00
lim sup I Ttf (x) — Tt f(a) |< sup ||Tsf — f||.
a->—00
Остается воспользоваться леммой 17 и критерием Коши сущест-
вования lim Ttf (х). Лемма доказана.
X -> —оо
Если а (а = ± оо) — выпускающая граница, определим Ttf (а) =
= lim Ttf (х) для всех f @ 5(_х Тогда
х-»а
Ttf(a)~ \p(t.a, dy)f(y),
где Р (Л а, •) — вероятностная мера. Ее можно рассматривать как
вероятность перехода, из граничной точки. Поэтому выпускающие
границы можно присоединить к фазовому пространству процесса.
После такого присоединения фазовое пространство будет либо
484
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
= Iim На)-Н-^)= ]im
a->—oo	"i—a-> —oo
компактным, если обе границы выпускающие, либо локально ком-
пактным, если среди границ есть естественная. Процесс на таком
расширенном пространстве будет феллеровским стохастически не-
прерывным и регулярным (в некомпактном случае).
Это вытекает из лемм 17 и 18.
Рассмотрим характеристический оператор в присоединенных
к фазовому пространству выпускающих граничных точках. Пусть,
например, — оо — такая точка. Тогда
f(a) — f (—оо)
——- t
- j (а - t) dN' (/)
Если	(67)
z
= J (г-0ф(0^'(0,
— oo
где ф e oop то, как вытекает из (59) и (67), Ш (х) — — <р (х)
для всех х е [— оо, оо). Найдем производящий оператор процесса.
Теорема 17. Пусть точки интервала (—оо, оо) регулярны
для процесса х^ М (х) — х и граничные точки являются отталки-
вающими. Тогда производящий оператор А процесса определен
с помощью равенства
(68>
на всех f из C^OOt для которых правая часть определена и
принадлежит С(^_оо>
Доказательство. Будем считать, что выпускающие гра-
ницы присоединены к фазовому пространству, как указывалось
выше. Поскольку полученный таким образом процесс будет регу-
лярным, то достаточно проверить, что оператор (68) является про-
изводящим оператором некоторого регулярного процесса (см. т. II,
гл. II, § 4). На основании теоремы 2 § 4 гл. II т. II для этого
нужно установить, что для Л>0 уравнение
WW + ^-*W	W
имеет решение для всюду плотного множества функций g^C^^
(то, что А определен на некотором множестве и удовлетворяет
принципу максимума, легко установить из его вида). Рассмотрим
три случая.
1.	Пусть обе границы являются естественными. Возьмем фи-
нитную функцию <р е С(-оо> оо), для которой функция f, удовлет-
df'	ъ
воряющая соотношению ~^т в ф> также принадлежит C^_QQf ^у
§4]
ОДНОРОДНЫЙ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
485
Тогда
х
(0) + f (0) х + J (х - z) ф (z) dN' (z) =
о
Г	X	Iх
= f (0) + г (0) + J ф (Z) dN' (з) х - $ зФ (г) dN' (з).
L	о	Jo
Значит,	если
X	X
f(x) = x <p(z) dN' (z) — zq> (z) dN' (г),	(70)
— oo	—oo
где функция ф такова, что
$ Ф (г) dN' (г) == $ Зф (з) dN' (з) = 0.	(71)
Поэтому и f будет финитной, ёсли только финитна ф, а, следова-
тельно, будет финитна и g, удовлетворяющая (69). Подставим (70)
в (69). Получим
Г х	X	*1
Л|х (p(z)dN' (з) — зф(з) dN' (з) I + ф(х) ==g(x). (72)
L —оо	—оо	-I
Рассмотрим множество функций g, представимых в виде (72),
если ф отлична от нуля лишь на [а, Ь] и удовлетворяет (71).
Тогда g отлична от нуля лишь на [а, 6]. Предположим, что
l(dx) — такая знакопеременная мера на [а, 6], что ^g(x)/(dx) = 0
для всех g вида (72). Интегрируя (72) и меняя порядок интегри-
рования, находим
ь гь	Ъ	-|	Ь
j Щ х/ (dx) — з / (dx) I ф (з) dN' (з) + Ф (z) I (*/з) = 0. (73)
a Lz	z	J	а
Из этого соотношения вытекает, что мера I (dz) абсолютно непре-
рывна относительно dN' (з). Обозначим р (з) == J^/^у» Тогда из (73)
получаем
ъ / г&	ъ
( < ЛI хр (х) dN' (х) - з J р (х) dN' (х)
a I Lz	z
+ р (з) > ф (з) dN' (з) = 0.
Поскольку ф — любая функция, удовлетворяющая (71), то
ь
(х — з) р (х) dN' (х) + р (з) = у + бз,
z
где у и б - некоторые постоянные.
486
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. Ш
Из этого равенства получим соотношение
+	РО
Существуют два решения уравнения (74): р1 (/) и р2 (/), удовлет-
воряющие соответственно уравнениям
Р1(х) = —Л § (z—i) Pl (t) dN' (t), p2(.t) = K^(z — t)p2(t)dN'(t)
— oo	Z
(75)
и следующим условиям: pz(z)>0, p. (г) выпукла вниз, р} (г) воз-
растает, а р2 (г) убывает. Функции р^ (г) можно определить с по-
мощью равенств
pi(*) = lim
а-> —оо
Р (a, z)
Р (а, 0) ’
р2 (г) = lim
а ->4-оо
Р (а, ?)
Р (а, 0) ’
где р (a, z) — решение интегрального уравнения
Z
р (и, z) = 1 - A j (г - /)р (а, /) dN' (/)
а
(существование и единственность решения этого уравнения уста-
навливается методом последовательных приближений).
Легко убедиться, что всякое решение уравнения (74) на конеч-
ном отрезке представимо в виде линейной комбинации функций
pz (г). Итак, множество финитных функций g, представимых фор-
мулой (72), при ограничениях (71) плотно во множестве функций g,
для которых
S W Pz- (*) dN' (*) — О, / = 1, 2.
Покажем, что это множество функций плотно в С^_оо> ^у Заме-
тим, что
о	о
-л pi(*W'(*)<-Д' О ~Opi	(0<а>,
— оо	—оо
оо	оо
- К pJ (х) dN' (х)>- Л р' (0) X dN' (х) = + со,
о	о
поскольку + оо — естественная граница. Аналогично
оо	о
— р2 W dN' (х) < оо, — р2 (х) dN' (х) = + со,
О	—оо
поэтому существуют финитные функции h[ (е, х), удовлетворяющие
§4]
ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
487
условиям
II ht (в,
j h. (в, х) pf (х) dN' (х) =
| ЛДв, x)py(x)tW'(x)|<8, i, j=l, 2, i =А j.
Для всякой финитной g из С(-ОО>ОО) можно выбрать и с2 так,
чтобы
5 [g (*) +	(е, х) + c2h2 (в, х)] Рг (х) dN' (х) = 0, i = 1, 2.
При таком выборе с.
Ct ~ — 8 g (х) р(. (х) dN' (х)
и, значит, || c^hi (е, •) + c2h2 (в, •) || -> 0 при в ->0. Теорема в слу-
чае 1 доказана.
2. Пусть одна граница естественная, другая выпускающая,
например, — оо — выпускающая граница. Будем в этом случае
функцию ф е	считать финитной, если она равна нулю на
[6, оо) при некотором Ь. Если 	= ф — финитная функция, то
X	X
f (x) = f (—00) + X (p(z)dN' (z) — zq(z)dN'(z).
— oo	—oo
Эта функция принадлежит	если
Ф (z) dN' (z) = 0, f (— oo) — 2ф (z) dNr (z) == 0.
Таким образом,
X	oo	oo
f(x)=x q(z) dN’(z)+^zq(z)dN'(z), q(z)dN'(z) = Q
—oo	x	—OO
и f (x) — финитная функция. Уравнение (69) перепишется в виде
оо
Ф (z) dN' (z) + zq (z) dN' (z)
X
+ Ф (*) = £(*)•
(76)
Покажем, что множество функций g, представимых в виде (76),
плотно в	если j ф (z) dN' (z)»0. Точно такими же рас-
суждениями, как и при доказательстве 1, находим, что всякая
b
знакопеременная мера I (dx), для которой I (dz) g(z)=O для
—00
488
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. III
всех g вида (76), где ф(/) = 0 при t^b, имеет вид I (dx) =
— р (х) dN' (х), где р (х) удовлетворяет уравнению
2
Z S
хр (х) dN' (х) +
р (х) dN' (х) + р (z) = с,
(77)
а с — некоторая постоянная. Из этого уравнения получаем
2
р' (г) + Л р (х) dN' (х) = 0;
—оо
если р(х)>0, то р'(г) возрастает. Учитывая единственность реше-
ния (77) при заданном с, убеждаемся, что существует функция р (г),
удовлетворяющая условиям: p(z)>0, р (г) возрастает и выпукла
вниз, каковы бы ни были b и с в (77), при некотором у функция
ур (г) является единственным решением (77). Следовательно,
достаточно показать, что финитные функции g (х), для которых
g (х) Р (*) dN' (х) == 0, плотны в С(-оо>оо). Если h (е, х) — финит-
ная функция, для которой \\h (е, ’)||^1 и h (е, х) р (х) dN' (х) =
1 I
== ~ I существование этой функции вытекает из того, что
оо
— р (х) dN' (х) = + оо^, то функция
о
g& (*) = g W - е/г (е, х) g (г) р (?) dN' (z)
будет удовлетворять условию ge(x) р (х) dN'(x) = 0 и ||ge — g||->0
при е -> 0.
3. Если обе границы выпускающие, то ] z | dN' (г) конечен.
Пусть = qp. Тогда
X	ОО
f (х) = с + х ф (г) dN' (г) + гф (z) dN' (г), ф (г) dN' (г) == О,
— ОО	X
с — некоторая постоянная. Уравнение (69) перепишется в виде
Л max [х, z] ф (z) dN' (z) + кс + ф (х) = g (х).
Из этого уравнения следует определить ф и с. Это интегральное
уравнение имеет решение при всех с, причем от с решение зави-
сит линейно. Поэтому существует единственное с, для которого
Ф (z) dN' (г) — 0. Теорема полностью доказана.
ПРИМЕЧАНИЯ
Глава I
§ 1.	В томе I было отмечено, что многим важным результатам
в теории мартингалов, ее применениям и самим оформлением этой
теории как самостоятельного раздела теории случайных процессов
мы обязаны Дж. Л. Дубу. Первое систематическое изложение теории
мартингалов дано в его книге [1]. Разложение субмартингала на
сумму возрастающего процесса й мартингала в случае дискретного
времени открыл Дж. Л. Дуб. Доказательство существования разло-
жения для непрерывного времени оказалось сложным и было дано
П. Мейером [1]; гам же можно найти ссылки на оригинальные ра-
боты. Мы использовали более простую идею, предложенную М. Рао
[1]. Теорема о регулярных субмартингалах также принадлежит
П. Мейеру [1]. Локальные мартингалы введены в работе К. Ито и
С. Ватанабе [1]. Квазимартингалы ввел Д. Фиск [1]. Необходимые и
достаточные условия, чтобы процесс был квазимартингалом, нашел
М. Рао [2]. Теория квадратично интегрируемых мартингалов развива-
лась в работах П. Мейера [1], [2], X. Куниты и С. Ватанабе [1].
§ 2.	Стохастическое интегрирование случайных функций ввел и
изучил К. Ито [1], [2], [3]. Интегрирование по квадратично интегри-
руемым мартингалам с абсолютно непрерывной характеристикой рас-
сматривал Дж. Л. Дуб [1]. Дальнейшее усовершенствование и раз-
витие стохастического интеграла дано в работах П. Мейера [2],
К. Долеан-Даде и П. Мейера [1].
§ 3.	Формула для стохастического дифференциала функции от
процесса, обладающего стохастическим дифференциалом, была уста-
новлена К. Ито в работе [3] в случае стохастического интегрирова-
ния по винеровской мере. Обобщение на интегралы по произвольным
непрерывным мартингалам было дано в работе X. Куниты и С. Ва-
танабе [1] и А. В. Скорохода [6]. Обобщение формулы Ито в случае
интегрирования по разрывным мартингалам было дано в работах
И. И. Гихмана и А. Я. Дороговцева [1], в случае интегрирования по
винеровскому процессу и пуассоновской мере — в работах X. Куни-
ты и С. Ватанабе [1], А. В. Скорохода [7], П. Мейера [2]. В работах
X. Куниты и С. Ватанабе и А. В. Скорохода рассматривались про-
цессы, являющиеся функционалами от фиксированного марковского
процесса. В работе П. Мейера этого ограничения нет, но выделение
мартингальной части стохастического дифференциала дано тоже
только для этого случая. Мультипликативное разложение супермар-
тингала было введено К. Ито и С. Ватанабе [1]. Более общий резуль-
тат получен П. Мейером (см. также работу К. Долеан-Даде),
490
ПРИМЕЧАНИЯ
Глава II
§ 1.	Стохастические криволинейные интегралы рассматривались
в книге И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [1].
§ 2.	Название «стохастические дифференциальные уравнения»
было введено С. Н. Бернштейном для некоторой конечно-разностной
схемы получения последовательности цепей Маркова, в пределе пере-
ходящих в марковский процесс диффузионного типа [1]. Стохасти-
ческое дифференциальное уравнение для определения траекторий
случайных процессов были введены И. И. Гихманом [1], [3] и, в
иной форме, К. Ито [3], [4]. Дальнейшее развитие стохастических
дифференциальных уравнений Ито было дано в работах И. В. Гир-
санова [2], А. В. Скорохода [3], И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [1].
Стохастические уравнения с неограниченным запаздыванием пред-
ложили рассматривать К. Ито и М. Нисио [1]. Вывод уравнений
А. Н. Колмогорова, основанный на рассмотрении стохастических
дифференциальных уравнений, был дан И. И. Гихманом [1], [3] в
диффузионном случае и А. В. Скороходом [3] для разрывных процес-
сов. В настоящей книге не рассматриваются стохастические диффе-
ренциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Их исследова-
ние было начато В. В. Бакланом [1] и Ю. Л. Далецким [1], [2].
§ 3.	Сходимость последовательностей цепей Маркова к процессу
Маркова с непрерывным временем впервые рассматривал А. Я. Хин-
чин [1]. Теорема о слабой компактности мер, соответствующих про-
цессам, построенным по суммам независимых случайных величин,
была установлена Ю. В. Прохоровым [1]. Общие теоремы о сходи-
мости распределений функционалов от процессов, построенных по
суммам независимых случайных величин, рассматривали Ю. В. Про-
хоров [1] и А. В. Скороход [1], а теоремы о сходимости цепей Мар-
кова к процессам Маркова — А. В. Скороход [2]. Приведенные тео-
ремы о сходимости распределений функционалов от последователь-
ностей серий случайных величин с произвольной зависимостью от
прошлого основаны на статье И. И. Гихмана [6]. Вывод предельных
теорем для стохастических дифференциальных уравнений был стиму-
лирован работой Н. М. Крылова и Н. И. Боголюбова [1]. Общие
предельные теоремы были получены в работах И. И. Гихмана [2],
[6]. Предельные теоремы для стохастических уравнений с малым
параметром были предметом довольно многочисленных исследований,
среди которых можно назвать работы Р. Л. Стратоновича [1],
Р. 3. Хасьминского [4], И. И. Гихмана [2].
Глава III
§ 1.	Процессы Ито начал изучать И. В. Гирсанов [1]. Одномер-
ные процессы Ито изучал М. П. Ершов [1]; им доказана теорема
о единственности представления процесса (теорема 2). Теорема 9 и
следствие из нее вытекают из результатов Ито [4]. Доказательство
возможности представления диффузионного в широком смысле про-
цесса в виде решения стохастического дифференциального уравнения
имеется в книге Дж. Л. Дуба [1], § 3 гл. VI. Теорема 12 доказана
А. А. Новиковым [1].
ПРИМЕЧАНИЯ
491
§ 2.	Уравнения диффузионного типа впервые рассматривал
И. В. Гирсанов [1]. Теорема 2 легко выводится из результатов
И. В. Гирсанова [1]. Теорема 3 является обобщением на многомер-
ный случай результатов М. П. Ершова [2] и Р. Ш. Липцера,
А. Н. Ширяева [1]. Существование решения уравнения в одномерном
случае установлено в работе К. Ито и Нисио [1]. Лемма 3 принад-
лежит И. В. Кирсанову [2]. Представление процессов Ито как про-
цессов диффузионного типа найдено А. Н. Ширяевым [1] и М. П. Ер-
шовым [1].
§ 3.	Абсолютная непрерывность мер, соответствующих диффу-
зионным процессам с одинаковой диффузией, устанавливалась
Ю. В. Прохоровым [1], И. В. Гирсановым [1] и А. В. Скороходом [3].
Лемма 2 является незначительным видоизменением одной леммы
Д. Струка и С. Варадана [1]. Абсолютная непрерывность переходных
вероятностей одномерного непрерывного марковского процесса изу-
чал А. Д. Вентцель [1]. Доказательство существования решения, ис-
пользующее слабую компактность мер, впервые предложено
А. В. Скороходом для уравнений с непрерывными коэффициентами.
Аналогичная идея использовалась для доказательства существования
решения К. Ито и Нисио [1], Д. Струком и С. Вараданом [1]. Един-
ственность решения для уравнения с коэффициентами^ не удовлетво-
ряющими условию Липшица, рассматривали А. В. Скороход [5],
И. В. Гирсанов [2], С. Ватанабе и Ямада [1]. Слабое существование
и слабую единственность в однородном случае установили Танака [1]
и Н. В. Крылов [1], [2] при условии непрерывности коэффициентов.
Наиболее общие условия слабого существования и единственности
(оператор диффузии непрерывен и невырожден) найдены Струком и
С. Вараданом [1]. Связь между диффузионными процессами и раз-
личными задачами для дифференциальных уравнений изучались
М. Кацем [1], Р. 3. Хасьминским [1]. Общие уравнения, содержащие
характеристические операторы марковских процессов, приведены в
монографии ,Е. Б. Дынкина [1], гл. 13. Решение краевых задач с по-
мощью марковских процессов имеется в работах Р. 3. Хасьминского
[2], [3], М. И. Фрейдлина [1], [2]. Представление аддитивных функцио-
налов с помощью стохастических интегралов изучали Е. Б. Дынкин
[3], А. В. Скороход [4], А. Д. Вентцель [2].
§ 4.	Первые пять пунктов содержат результаты статьи А. В. Ско-
рохода [6]. Описание одномерных непрерывных марковских процессов
дано В. Феллером [1—3], Е. Б. Дынкиным [2], [1], гл. 15—17.
ЛИТЕРАТУРА
Баклан В. В.
[1] Уравнения в вариационных производных и марковские процес-
сы в гильбертовом пространстве, ДАН СССР 159 (1964), 707—
710.
Бернштейн С. Н.
[1] Principes de la theorie des equations differentialles stochastiques,
Труды Физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова 5 (1934), 95—124.
Ватанабе (Watanabe S.)
[1] On stochastic differential equations for multidimensional diffu-
sjon processes with boundary conditions, J. Math. Kyoto Uniw. 11
(1971), 169—180.
Ватанабе, Ямада (Watanabe S., Yamada T.)
[1] On the uniqueness of solutions of stochastic differential equa-
tions, J. Math. Kyoto Univ. 11 (1971), 155-167, 553-562.
Вентцель А. Д.
[1] Об абсолютной непрерывности переходных вероятностей одно-
мерного диффузионного процесса, Теория вероятностей и ее
применения 6 (1961), 439—446.
[2] О непрерывных аддитивных функционалах от многомерного ви-
неровского процесса, ДАН СССР 142 (1962), 1223—1226.
Гирсанов И. В.
[1]	О преобразовании одного класса случайных процессов с по-
мощью абсолютно непрерывной замены меры, Теория вероятно-
стей и ее применения 5 (I960), 314—330.
[2]	О стохастических интегральных уравнениях Ито, ДАН СССР
138 (1961), 18-21.
[3]	Пример неединственности решения стохастического уравнения
К. Ито, Теория вероятностей и ее применения 7 (1962), 336—
342.
Гихман И. И.
[1]	Об одной схеме образования случайных процессов, ДАН СССР
58 (1947), 961—964
[2]	О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными
процессами, Укр матем ж. 2 (1950), 45—69.
[3]	к теории дифференциальных уравнений случайных процессов,
Укр. матем ж. 2 (1Й50), 37—63; 3 (1951), 317—339.
[4]	Дифференциальные уравнения со случайными функциями, Зим-
няя школа по теорий вероятностей, Ужгород, 1964; Киев (1964),
41—86.
ЛИТЕРАТУРА
493
[5]	О слабой компактности множества мер, соответствующих ре-
шениям стохастических дифференциальных уравнений, Матем.
физика, Межвед. сб., Киев 7 (1970), 49—65.
[6]	Предельные теоремы для последовательностей серий случайных
величин, Теория случайных процессов, Межвед. сб., Киев 2
(1973).
Гихман И. И., ДороговпевА. Я.
[1] Об устойчивости решений стохастических дифференциальных
уравнений, Укр. матем. ж. 17 (1965), 3—21.
Гихман И. И., СкороходА. В.
[1] Стохастические дифференциальные уравнения, Киев, «Наукова
думка», 1968.
ДалецкийЮ. Л.
[1] Дифференциальные уравнения с функциональными производ-
ными и стохастические уравнения для обобщенных случайных
процессов, ДАН СССР 166 (1966), 1035—1038.
Долеанс-Даде (Doleans-Dade С.)
[1] Quelques application de la formula de changement de variables
pour les semimartingales. Z. Wahrcheinlichkeitstheorie und verw.
Geb. 16 (1970), 181—194.
Долеанс-Даде, Мейер (Doleans-Dade C., Meyer P. A.)
[1] Integrates ^tochastiques par rapport aux martingales locates,
Seminare de probabilites IV, Springer — Verlag (1970), 77—107.
Дуб (Doob J. L.)
[1]	Вероятностные процессы, M., ИЛ, 1956.
Д ы н к и н Е. Б.
[1]	Марковские процессы, М., Физматгиз, 1963.
[2]	Одномерные непрерывные строго марковские процессы, Теория
вероятностей и ее применения 4 (1959), 3—54.
[3]	Аддитивные функционалы от винеровского процесса, опреде-
ляемые стохастическими интегралами, Теория вероятностей и ее
применения 5 (1960), 441—452.
Ершов М. П.
[1] О представлениях процессов Ито, Теория вероятностей и ее
применения 17 (1972), 167—172.
[2] Об абсолютной непрерывности мер, отвечающих процессам диф-
фузионного типа, Теория вероятностей и ее применения 17
(1972), 173—178.
Ито (Ito К.)
[1]	Stochastic integral, Proc. Japanese Acad. Tokyo 20 (1944), 519—
524.
[2]	On a stochastic integral equation, Proc. Japanese Acad. Tokyo 22
(1946), 32—35.
[3]	On a formula concerning stochastic differentials, Nagoya Math.
J. 3 (1951), 55—65.
[4]	On stochastic differential equations, Mem. Amer. Math. Soc. 4
(1951), 1—51.
[5]	Multiple Wiener integral, J. Math. Soc. Japan 3 (1951), 157—
169.
494
ЛИТЕРАТУРА
Ито, Ватанабе (Ito К-, Watanabe S.)
[1] Transformation of Markov processes by additive functionals,
Ann. Inst. Fourier 15 (1965), 13—30.
Ито, Маккин (Ito K-, Mckean H. P., Jr.)
[1] Диффузионные процессы и их траектории, М., «Мир», 1968.
Ито, Нисио (Ito К-, Nisio М.)
[1] Stationary solutions of stochastic differential equations, J. Math.
Kyoto Univ. 4 (1964), 1—75.
Кац (Kac M.)
[1]	On some connections between probability theory and differential
and integral equations, Proc. 2nd Berkeley Sympos. on Math. Sta-
tist. and Probab., Berkeley, 1951, 189—215.
Крылов H. B.
[1]	О квазидиффузионных процессах, Теория вероятностей и ее
применения 11 (1966), 424—443.
[2]	О стохастических интегральных уравнениях Ито, Теория ве-
роятностей и ее применения 14 (1969), 340—348.
[3]	Об одной оценке.из теории стохастических интегралов, Теория
вероятностей и ее применения 16 (1971), 446—457.
Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н.
[1] Про р!вняння Фоккера — Планка, що виводиться в теорП
пертурбащй методом, зоснованим на спектральних властивостях
пертурбацшного гаммьтошана, Зап. каф. мат. ф!з. АН УРСР 4
(1939), 5—158.
Кунита, Ватанабе (Kunita Н., Watanabe S.)
[1] On square integrable martingales, Nagoya Math. J. 30 (1967),
209—245.
Липцер P. Ш., Ш и p я e в A. H.
[1] Об абсолютной непрерывности мер, соответствующих процес-
сам диффузионного типа, относительно винеровской, Изв. АН
СССР, сер. математ. 36 (1972), 847—889.
М а р у я м a (Maruyama G.)
[1] Continuous Markov processes and stochastic equations, Rend.
Circ. Math. Palermo 4 (1955), 1—43.
Маккин (Mckean H. P., Jr.)
[1] Стохастические интегралы, M., «Мир», 1972.
Мейер (Meyer Р. А.)
[1] Probabilites et Potentiel, Hermann, 1966.
[2] Integrates stochastiques, Seminare de probabilites I, Springer —
Verlag, 1967, 72—162.
Новиков A. A.
[1] Об одном тождестве для стохастических интегралов, Теория
вероятностей и ее применения 17 (1972), 761—765.
Прохоров Ю. В.
[1] Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории
вероятностей, Теория вероятностей и ее применения 1 (1956),
177-238.
ЛИТЕРАТУРА
495
Рао (Rao К. Muralli)
[1] On decomposition theorems of Meyer, Math. Scand. 24 (1969),
66—78.
[2] Quasi-martingales, Math. Scand. 24 (1969), 79—92.
СкороходА. В.
[1]	Предельные теоремы для процессов с независимыми прираще-
ниями, Теория вероятностей и ее применения 2 (1957), 145—
177.
(2]	Предельные теоремы для процессов Маркова, Теория вероятно-
стей и ее применения 3 (1958), 217—264.
[3]	О дифференцируемости мер, соответствующих случайным про-
цессам, Теория вероятностей и ее применения 5 (1960), 45—53.
[4]	Аддитивные функционалы от процесса броуновского движения,
Теория вероятностей и ее применения 6 (1961), 430—439.
[5]	Исследования по теории случайных процессов, Киев, Изд-во
Киевск. ун-та, 1961.
[6]	О локальном строении непрерывных марковских процессов, Тео-
рия вероятностей и ее применения 11 (1966), 381—423.
[7]	Однородные марковские процессы без разрывов второго рода,
Теория вероятностей и ее применения 12 (1967), 25о—278.
Струк, Варадан (Stroock D. W., Varadhan S. R. S.)
[1J Diffusion processes with continuous coefficient, I, II, Comm.
Pure Appl. Math. 12 (1969), 345—400, 479—530.
Танака (Tanaka H.)
[1]	Existence of diffusions with continuous coefficients, Memb. Fac.
Sci. Kyushu Univ., ser. A 18 (1964), 89—103.
Феллер (Feller W.)
[1]	Diffusion processes in one dimension, Trans. Amer. Math. Soc.
77 (1954), 1—31.
[2]	The general diffusion operator and positivity preserving semi-
groups in one dimension, Ann. Math. 60 (1954), 427—436.
[3]	On second order differential operators, Ann. Math. 61 (1955),
90—105.
Фиск (Fisk D. L.)
[1] Quasi-martingales, Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965), 369—
389.
Ф p e й д л и н M. И.
[1] О стохастических уравнениях Ито и вырождающихся эллипти-
ческих уравнениях, Изв. АН СССР, сер. матем. 26 (1962), 653—
676.
[2] Замечание об обобщенном решении задачи Дирихле, Теория
вероятностей и ее применения 12 (1965), 175—178.
Фридман (Freedman А.)
[1]	Уравнения с частными производными параболического типа, М.,
«Мир», 1968.
Хасьминский Р. 3.
[1]	Распределение вероятностей для функционалов от траектории
случайного процесса диффузионного типа, ДАН СССР 104
(1955), 22—25.
496	ЛИТЕРАТУРА
[2]	Вероятностный подход к краевым задачам для эллиптическ,
и параболических уравнений, Теория вероятностей и ее прим
нения 2 (1957), 482—483.
[3]	Диффузионные процессы и эллиптические дифференциалы!)
операторы, вырождающиеся на границе области, Теория вероя
ностей и ее применения 3 (1958), 430—451.
[4]	Предельная теорема для решений дифференциальных уравн
ний со случайной и правой частью, Теория вероятностей и
применения 11 (1966), 444—462.
X и н ч и н А. Я.
Асимптотические законы теории вероятностей, М. — Л., ОНТ1
1936.
Ч а н т л а д з е Т. Л.
[1] О стохастическом дифференциальном уравнении в гильбертово
пространстве, Сообщ. АН Груз. ССР 33 (1964), 529—534.