ч!7кономико
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА
П.Ф Ш БЕРН
ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
ДЛЯ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ

Эк О Н О М И К 0-
МАТБМАТИЧЕСКАЯ
Б И Б Л И О Т Б К А
П. ФИШБЕРН
ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
ДЛЯ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ
Перевод с английского
В. Н. ВОРОБЬЕВОЙ и А. Я. КИРУТЫ
Под редакцией
Н. II. ВОРОБЬЕВА
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1978

517.8
Ф 68
УДК 519.95
UTILITY THEORY
FOR
DECISION MAKING
PETER С FISHBURN
Research Analysis Corporation
JOHN WILEY & SONS, INC.
NEW YORK • LONDON ■ SYDNEY • TOBONTO
1970
Питер С. Ф я ш б е р н
ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
(Серия: «Экономико-математическая библиотека»)
М.. 1978 г., 352 стр. с илл.
ИБ .V. 2296
Редакторы Н. Н. Тимофеев, Е. Ю. Ходаи
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Г. В. П о д в о л ь с к а я, Е. Я. Строева
Сдано в набор 13.07.1977 г. Подписано к печати 17/1 1978 г.
Бумага 84х108'/и. Физ. печ. л. 11. Уеловн. печ. л. 18,48.
Уч.-и.зд. л. 19,29. Тираж 7700 экз. Цена книги 1 р. 70 к.
Заказ Лр! 630.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука».
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.
Ф
20204-082
053 (02)-78
67-78
(ОПеревод на русский язык.
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 7
Предисловие автора 11
Глава 1. Введение и предварительные замечания ... 13
§ 1.1. Общая структура книги 14
§ 1.2. Часть 1: полезности без вероятностей .... 15
§ 1.3. Части II и III: полезности с вероятностями . . 17
Часть I. ПОЛЕЗНОСТИ БЕЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ... 19
Глава 2. Упорядочение по предпочтению и функции
полезности на исчислимых множествах -О
§ 2.1. Бинарные отношения 21
§ 2.2. Предпочтение как слабое упорядочение ... 23
§ 2.3. Предпочтение как строгое частичное упорядочение 29
§ 2.4. Упорядоченные интервалы безразличия ... 35
§ 2.5. Резюме 41
Упражнения 42
Глава 3. Теория полезности для неисчислимых множеств 46
§ 3.1. Аксиома плотности и слабые упорядочения . . 47
§ 3.2. Предпочтение как строгое частичное упорядочение 52
§ 3.3. Предпочтения в Re" 54
§ 3.4. Непрерывные функции полезности .... 60
§ 3.5. Резюме 08
Упражнения 09
Глава 4. Аддитивные полезности па конечных множествах 7^
§ 4.1. Независимость предпочтений отдельных факторов 73
§ 4.2. Теорема о двух альтернативах 79
§ 4.3. Лексикографически упорядоченные функции
полезности 83
§ 4.4. Резюме . 80
Упражнения 86

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Аддитивные полезности на бесконечных
множествах 91
§ 5.1. Строго упорядоченные группы 92
§ 5.2. Алгебраическая теория для п факторов ... 9G
§ 5.3. Предварительные сведения по топологии . . . 104
§ 5.4. Топологическая теория для п факторов . . . ЮЭ
§ 5.5. Резюме 127
Упражнения 127
Глава 6. Сравнение различий в предпочтении .... 132
§ 6.1. «Измеримая» полезность 133
§ 6.2. Теория для конечных множеств 136
§ 6.3. Обзор теорий для бесконечного множества
альтернатив 138
§ 6.4. Резюме . . 141
Упражнения 142
Глава 7. Предпочтения на декартовых степенях множеств 145
§ 7.1. Настойчивость и нетерпение 146
§ 7.2. Настойчивые различия в предпочтении . . . 150
§ 7.3. Постоянные темпы дисконтирования .... 156
§ 7.4. Резюме 158
Упражнения 159
Часть II. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ . . 162
Глава 8. Ожидаемая полезность, связанная с простыми
вероятностными мерами 163
§ 8.1. Пример 163
§ 8.2. Простые вороятностпые меры 166
§ 8.3. Ожидаемая полезность для простых мер . . . 168
§ 8.4. Мпожества смесей 174
§ 8.5. Резюме 181
Упражнения 182
Глава 9. Ожидаемая полезность для строгих частичных
упорядочений Igg
§ 9.1. Теорема об ожидаемой полезности fgg
§ 9.2. Выпуклые множества и конусы igo
§ 9.3. Доказательство теоремы 9.1 194

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
$ 9.4. Резюме 196
Упражнения 196
Глава 10. Ояшдасмая полезность для вероятностных мер 199
§ 10.1. Два примера 199
§ 10.2. Вероятностные меры 201
§ 10.3. Математические ожидания 207
§ 10/|. Аксиомы предпочтения и ограниченные
полезности 211
§ 10.5. Теоремы 214
§ 10.6. Доказательства теорем 10.1, W.3 и 10.5 ... 218
§ 10.7. Резюме 223
Упражнения 224
Глава 11. Аддитивная ожидаемая полезность .... 229
§ 11.1. Аддитивная ожидаемая полезность для X = ILYj 230
§ 11.2. Аддитивные ожидания для X s ПХ, .... 233
§ 11.3. Аддитивные взаимозависимые ожидания для ПХ; 233
§ 11.4. Вероятностные меры па однородных
произведениях 243
§ 11.5. Резюме 245
Упражнения 246
Часть III. СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ 251
Глава 12. Состояния природы 252
§ 12.1. Опрсделеппе состояний 252
§ 12.2. Предварительный обзор теорий ожидаемой
полезности 257
§ 12.3. Модели, не использующие вероятностей состояний 201
§ 12.4. Резюме 265
Упражнения 265
Глава 13. Аксиомы с использованием внешних
вероятностей 270
§ 13.1. Тотализаторы 270
§ 13.2. Теория для конечного множества состояний . 274
§ 13.3. Однородная теория тотализаторов .... 277
§ 13.4. Модель принятия решений из части II . . . 289
§ 13.5. Резюме 291
Упражнения . 292

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 14. Теория ожидаемой полезности Сэвлджа . . 29$
§ 14.]. Теорема Сэвпджа об ожидаемой полезности . . 29.9
§ 14.2. Аксиомы, касающиеся вероятностей .... 304
§ 14.3. Вероятности, построенные на предпочтениях . 312
§ 14.4. Полезность для простых действий .... 314
§ 14.5. Ограниченность функций полезности .... 321
§ 14.6. Полезность для всех действий 323
§ 14.7. Резюме 328
Упражнения 329
Ответы и указания к избранным упражнениям .... 333
Гшблиографпя 346
Предметный указатол! 350

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
I.
Одним из аспектов происходящей ныне
научно-технической революции является интенсивная и
приближающаяся к всеобщей математизация знаний. Наиболее же
прямолинейное и традиционное представление о
математизации какой-либо области науки обычно ограничивает
ее внедрением в соответствующую науку количественных
методов исследования. Это обстоятельство приводит
нередко к тому, что использование количественных методов
просто отождествляется с математизацией, хотя в
действительности последняя существенно шире.
Математизация какой-либо науки или ее раздела
состоит в формализации сложившихся в этой науке
содержательных представлений, т. е. в построении и анализе
формальных (знаковых) моделей, адекватных уже
имеющимся в данной науке содержательным (вербальным)
моделям. При этом количественная, так сказать,
«численная» сторона вопроса является лишь математизацией
категории количества и притом ровно ВуТой мере, в какой
эта категория проявляется.
Тем не менее возможности количественных
(численных) оценок характеристик явлений могут существенно
способствовать их изучению и использованию. Поэтому
такими возможностями никогда не следует пренебрегать.
К сожалению, вопрос о том, имеется ли такая
возможность в том или ином конкретном случае, часто остается
открытым. Дело существенно упрощается, когда пптере-
- сующая исследователя характеристика явления
поддается (хотя бы в принципе) измерению. Так обстоит,
например, дело с характеристиками физических и отчасти
биологических явлений. Поддаются (в известной мере)
измерению и экономические величины, хотя это
наталкивается на трудности, достаточно выразительно
обрисованные О. Моргенштерном в его монографии *).
) О. Моргенштерн, О точности
экономико-статистических наблюдений, М., «Статистика», 1968.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Существенно труднее находить численные значения
для таких чисто субъективных феноменов, как «мера
полезности» для индивидуума или «мера предпочтения»
для него тех или иных предметов, событий или
последствий от принимаемых решений. Измерения здесь едва ли
(и во всяком случае — не всегда) возможны, и это дает
повод оспаривать использование в экономических
рассуждениях понятия «функции полезности», которая
приписывает каждой из рассматриваемых возможностей
(«альтернатив») некоторое число — его полезность.
Впрочем,— и это замечание оказывается решающим для всей
проблематики данной книги,— измерение отнюдь не
является единственным источником количественных
оценок. Их можно находить и косвенным, чисто
теоретическим путем, примерно так, как мы определяем величины
вероятностей при тех или иных распределениях.
Фактически ведь речь идет о таком приписывании предметам,
событиям и т. д. их оценок, которые согласуются с
соответствующими формами практической проверки их
состоятельности.
Наиболее типичной является при этом следующая
постановка вопроса. Пусть имеется множество объектов,
которые индивидуум может сравнивать по их
предпочтительности для себя, т. е. пусть он для некоторых (не
обязательно для всех) пар объектов в состоянии указать,
какой объект является для него более предпочтительным. При
этом возникает вопрос: можно ли в этих условиях,
опираясь только на результаты проведенных сравнений,
так приписать сравниваемым объектам количественные
оценки, чтобы более предпочтительному объекту
соответствовала большая оценка? Функция, которая
устанавливает такое соответствие, и называется функцией
полезности*). По существу, все утверждения, касающиеся
существования функций полезности в тех или иных
случаях, осуществляют возможность принципиального
перехода от качественных сравнений объектов к их
количественным оценкам.
*) Подчеркнем, что, песыотря на неоднократное употребление
здесь и далее слов «полезность», «функция полезности» и т. п.,
предмет данного предисловия, равно как и всей книги в целом, не
имеет ничего общего с пресловутой экономической теорией
«предельной полезности».

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 9
Оказывается, что условия, когда функция полезности
существует, являются достаточно разнообразными и
перечисление различных их комбинаций складывается в
целую теорию, которой по существу и посвящена вся
данная книга. То обстоятельство, что в ней функции
полезности рассматриваются па множествах сравниваемых
альтернатив, из которых одна подлежит выбору, является
как бы чисто терминологическим фактом: любое
сравнение, любое упорядочение можно ассоциировать с
некоторой задачей принятия решения. Вместе с тем в книге
никак не затрагиваются вопросы оптимизации,
принятия оптимальных решений. Поэтому, быть может,
более естественно было бы назвать эту книгу «Функция
полезности на основании предпочтений».
# * *
Книга П. Фишберна, предлагаемая вниманию
советского читателя, является вполне элементарной в том
смысле, что ее чтение не требует никаких предварительных
знаний, выходящих за пределы школьного курса, а также
каких-либо особых усилий по пониманию излагаемого
материала. Приводимые в книге рассуждения и
доказательства подробны, обстоятельны и лишены логических
«скачков», требующих от читателя заполнения на основе
его собственных размышлений. Обычно после подобных
фраз, характеризующих уровень математических
трудностей при чтении книги, следует коварное: «однако для
понимания содержания книги от читателя требуется
известная математическая культура». В данном случае,
пожалуй, можно сказать, что и особой математической
культуры для чтения и понимания даной книги но
требуется: здесь нет ни особо сложных конструкций, ни
далеко заходящих абстракций, ни тонких аналитических
преобразований. Если доказательства иных теорем
оказываются несколько длинными, то это происходит не
столько от их сложности, сколько от необходимости
учесть и проанализировать большое число различных
случаев и вариантов. Даже вводимые системы аксиом
можно понимать не как систематическое применение
аксиоматического метода, а лишь как выделение
некоторых наборов свойств рассматриваемых объектов (именно,

Ю ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
отношений предпочтения), которых достаточно для
правильности требуемого вывода (именно, для существования
функции полезности).
Ввиду всего сказанного возникает соблазн сказать, что
данная книга рассчитана на самого широкого читателя
практически любой специальности. Однако практика
показывает, что последнее суждение нередко оказывается
чересчур оптимистичным — при его вынесении
упускается из вида одно, быть может, несколько субъективное
обстоятельство: необходимо, чтобы читатель охотно
читал математическую литературу и имел к этому привычку
(так, участник далекого пешего туристского похода
должен любить ходить и иметь опыт в ходьбе на большие
расстояния). Поэтому фактически книгу можно
рекомендовать тем, кто интересуется ее предметом и уже читал
книги по математике.
В книге содержится большое число упражнений,
являющихся задачами различной степени трудности. Решение
хотя бы части их можно всячески советовать читателю.
* * *
Перевод книги выполнили В. П. Воробьева (главы
1 — 5 и 14) и А. Я. Кирута (главы 6 — 13). Приведенная
в конце книги библиография является не списком
публикаций но затронутым в книге темам, а перечнем
упоминаемых в книге материалов. Поэтому при переводе
библиография оставлена без изменения и лишь
добавлены имеющиеся русские переводы перечисленных в ней
книг и статей. Приведенные в тексте ссылки на
страницы переведенных трудов относятся к русским переводам.
II. II. Воробьев

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Основной причиной появления этой книги является
широко распространенная человеческая деятельность
в области принятия решений. Лейтмотив состоит в том,
что принимаемые решения зависят, хотя бы частично, от
предпочтений. Основным предметом книги являются
структуры предпочтений и их численные представления.
Хотя теория полезности имеет хорошо
прослеживаемые корни, уходящие в восемнадцатый и девятнадцатый
века, наиболее значительное ее развитие имело место за
последние два или три десятилетия. Этому развитию,
основной вклад в которое внесли экономика, статистика,
математика, психология н наука управления, существенно
способствовало использование аксиоматической теории.
Об этом можно судить, например, по работам Франка
П. Рамсея ([1], 1931), Джона фон Неймана и Оскара Мор-
генштерна ([1], 1947), Леонарда Дж. Сэвиджа ([1], 1954),
Джона С. Чипмена ([1], 1960) и Джерарда Дебре ([2J,
1959 и [3], 1960), в которых применяется
аксиоматический метод. Пользуясь этим методом, исследователь
исходит из системы аксиом, или условий, которым, по
предположению, удовлетворяют предпочтения. Можно сказать,
что эти условия характеризуют структуру предпочтений.
Некоторые нз них можно понимать как критерии
совместности и согласованности предпочтений
принимающего решение лица; другие можно рассматривать как
структурные и (или) упрощающие предположения. Во
всех подобных случаях исследователь пытается построить
численную модель, сохраняющую те или иные
характеристики, присущие принятой структуре предпочтения.
Дальнейшее исследование может показать, как можно
использовать такую модель, чтобы помочь
принимающему решение субъекту проанализировать (а быть может, и
разрешить) проблему принятия решения. Это может содер-

12
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
жать методы оценки в тех терминах (например, полезно-
стей или вероятностей), которые фигурируют в модели.
Книга написана с расчетом на возможность
независимого чтения. Мой собственный опыт показывает, что
многие, интересующиеся теорией полезности лица, не
имеют специальной математической подготовки. По этой
причине, а также для того, чтобы избежать каких-либо
недоразумений, я включил в книгу фактически все
необходимые предварительные сведения из математики. Этот
материал вводится в книге по мере того, как в нем
возникает потребность. Те, кто с ним не знаком, встретят,
конечно, при его изучении много трудностей, но я надеюсь,
что эти люди будут по крайней мере избавлены от забот
о поисках этого материала по другим источникам.
По тем же соображениям независимости почти все
теоремы сопровождаются доказательствами. Верхогляды
могут захотеть пропустить доказательства, но для
желающего в них разобраться они вполне доступны. В
большинстве случаев условия утверждений требуют довольно
сложных доказательств.
В отдельных случаях я делал доказательства
достаточно пространпыми, чтобы сделать их более доступными
для некоторых читателей. Это особенно заметно в
отношении теории аддитивности Дебре в главе 5 и теории
ожидаемой полезности Сэвиджа в главе 14.
Теория множеств является в этой книге краеугольным
камнем. Без сколько-нибудь существенных исключений,
все рассматриваемые в этой книге теории полезности
основаны на теории бинарных отношений. Основным
бинарным отношением является отношение предпочтения:
«быть предпочтительнее, чем». Алгебра, теория групп,
топология, теория вероятностей и теория математического
ожидания появляются в различных местах.
Упражнения являются неотъемлемой частью книги.
Те из них, которые снабжены звездочкой, охватывают
важный материал, не представленный в текстах глав.
После главы 14 помещены ответы на некоторые
упражнения. Предварительный обзор содержания книги приведен
в первой главе.
Мак Лейн, Вирджиния Питер С. Фишберн
Июнь 1969

Моим родителям
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Необходимость принятия решений служит осповой
развития теории полезности. В этой книге мы рассмотрим
точку зрения принимающего решение лица, которому
надлежит выбрать одну альтернативу (действие,
последовательность действий, стратегию) из обозримого
множества альтернативных решений. Мы будем исследовать
предпочтения индивидуумов именно в таких, требующих
принятия решения ситуациях. Устанавливая связь между
предпочтением и принятием решения, мы будем
предполагать, что предпочтения в большей или меньшей мере
управляют принятием решения и что, вообще говоря,
принимающий решение субъект охотнее будет выбирать
более предпочитаемую альтернативу, чем менее
предпочитаемую.
Отношение предпочтения индивидуума на множестве
альтернатив входит в каждую из исследуемых в этой
книге систем аксиом в качестве первичного или основного
понятия. Это значит, что мы не будем пытаться
определять предпочтение через какие-либо другие понятия. Мы
будем, однако, предполагать, что, задавая себе вопросы,
индивидуум может определить хотя бы некоторые из
своих предпочтений.
По мере рассмотрения различных типов ситуаций,
в которых приходится принимать решение, стапет
очевидно, что при конкретных предположениях предпочтения
между возможными решениями могут быть
охарактеризованы в терминах пескольких факторов, связанных
с альтернативами. В случаях, когда альтернативы можно
рассматривать как системы нескольких признаков или
факторов, соответствующие «целостные» предпочтения
могут быть представлены как системы предпочтений по

14 ВВЕДЕНИЕ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. 1
нескольким факторам. В других случаях, как например,
при принятии решений в условиях неопределенности,
предпочтения могут быть представлены в терминах по-
лезностей для последствий и вероятностей реализаций
этих последствий, или «состояний природы». Эти частные
способы представления предпочтений не могут, конечно,
объяснить значения самого термина, хотя они и могут
способствовать пониманию того, как предпочтения
описаны в терминах других факторов.
§ 1.1. Общая структура книги
В трех частях книги содержатся два раздела ее
предмета.
Часть I. Индивидуальное принятие решений в
условиях определенности.
Части II и III. Индивидуальное принятие решений
в условиях неопределенности.
Часть I, озаглавленная «Полезности без
вероятностей», охватывает ситуации, в которых неопределенность
в явном виде не сформулирована. Мы пользуемся
термином «принятие решения в условиях определенности»
как сокращенным вариантом оборота вроде «принятие
решений, при котором неопределенность не выражается
в явном виде и не получает явного осознания».
В частях II и III учитывается в явном виде та форма
неопределенности, которая характеризуется вопросом: что
произойдет, если я выберу альтернативу /? Части II и III
различаются своими формулировками неопределенности,
хотя при некоторой надлежащей интерпретации эти
формулировки окажутся эквивалентными.
В части II, озаглавленной «Теория ожидаемой
полезности», неопределенность выражается через вероятность
того, что результатом применения действия / будет
следствие х. В части III, «Состояния природы»,
неопределенность выражается через вероятности тех случайных
событий, на наступление которых нельзя повлиять
специально предпринимаемым действием, но которые
определяют последствия любого допустимого действия.
Аксиоматика, приводимая в части II, использовалась Фшибер-
пом [1]. Другой подход, рассматриваемый в части III,
был принят в одном из вариантов теории статистических

§ 1.2]
ЧАСТЬ I: ПОЛЕЗНОСТИ ВЁЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
15
решений, принадлежащей Сэвиджу [1], а также Райфе
и Шлейферу [1].
Имеется еще одно различие в фактическом изложении
частей II и III, которое следует упомянуть. В части III,
особенно в главах 13 и 14, вероятности состояний, так же
как и полезности, выводятся из аксиом предпочтения.
В части же II вероятности действий, имеющих
последствия, принимаются, так сказать, уже готовыми и входят
в аксиомы. Это частично уточняется в параграфе 13.4,
в котором представлена аксиоматика для формулировок
части II, где вероятности получаются на основе аксиом.
Другая аксиоматизация модели, рассматриваемой в
части II, в которой вероятности также не входят в аксиомы,
была недавно разработана Дунканом Льюсом и Дэвидом
Крантцем. Этот важный вклад не войдет в книгу, так как
я уже завершаю работу над ней, а этот результат еще
ждет своей публикации.
§ 1.2. Часть I: полезности без вероятностей
Первым естественным предметом изучения в теории
полезности являются элементарные свойства отношения
предпочтения на множестве альтернативных решений.
Некоторые подробности этого содержатся в следующих
двух главах. В основном в них идет речь о том, что
следовало бы назвать основной теоремой теории полезности.
Это касается аксиом предпочтения, которые
обеспечивают (в формальном математическом смысле) способность
ставить в соответствие каждой альтернативе некоторое
число (полезность) таким образом, что для любых двух
альтернатив одна оказывается предпочтительнее другой
в том и только в том случае, когда полезность первой
альтернативы превосходит полезность второй*).
Указанные две главы различаются прежде всего
предположениями о мощности множества альтернатив. В
главе 2 предполагается, что это множество конечно или
счетно; глава 3 охватывает случаи, когда множество
альтернатив настолько велико, что является неисчислимым
(т. е. ни конечным, ни счетным). После рассмотрения
*) Ото соответствие принято называть функцией полезности.
>им. ред.).

16 ВВЕДЕНИЕ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. 1
основной теоремы в главе 2 исследуются те свойства
предпочтений, которые, однако, недостаточно сильны для
доказательства основной теоремы. Здесь мы не будем
предполагать, что отношение безразличия (т. е.
отношение «отсутствия предпочтения») является транзитивным.
Наряду с основпой теоремой, как таковой, в главе 3
приводятся достаточные условия существования
сохраняющих упорядочение полезностеи в тех случаях, когда
множество альтернатив является подмножеством
конечномерного евклидова пространства, а затем продолжается
исследование непрерывных функций полезности.
Аддитивные полезности. В главах 4, 5 и 7
рассматриваются случаи, когда каждая альтернатива может
пониматься как набор нескольких факторов или признаков.
Выражаясь более математически, каждая альтернатива
является здесь набором из п элементов, по одному на
каждый из п множеств факторов.
В отличие от других глав, в главе 7 рассматривается
только тот случай, когда п факторов по существу
подобны. Типичным примером этого является случай, когда п
является числом периодов времени, а альтернативы
определяют доход в каждый такой период. Ориентированные
во времени понятия настойчивого предпочтения,
нетерпения, стационарности и предельной совместности
исследуются в главе 7. Понятие же разности настойчивого
предпочтения основано на материале главы 6.
В главах 4 и 5 речь идет об условиях предпочтения
на множестве многофакторных альтернатив, которые
делают возможным не только существование функций
полезности, сохраняющих упорядочение, как это было
в главах 2 и 3, по также и представляют полезности
каждой альтернативы в виде суммы значений полезностеи,
соответствующих каждой из п компонент альтернативы.
Говоря более простым языком, речь идет здесь об
условиях того, что полезность целого может быть
представлена в виде суммы полезностеи частей. В главе 4
множество альтернатив считается конечным; в главе 5 число
альтернатив бесконечно.
Сила предпочтения. Глава 6 является единственной из
глав в этой книге, в которой рассматриваются главным
образом такие, связанные с полезностью понятия, как
сила или интенсивность предпочтения. Это касается срав-

§ 1.31 .
ЧАСТИ II И Ш: ПОЛЕЗНОСТИ С ВЕРОЯТНОСТЯМИ
17
нений между парами альтернатив и поднимает вопросы
следующего типа: является ли для вас разпица в
предпочтении (степень предпочтения) между этими двумя
альтернативами меньшей, равной или большей, чем
разница в предпочтении между другими двумя
альтернативами? В главе Р> рассматриваются функции полезности на
основе сравнения различия между предпочтениями.
§ 1.3. Части II и III:.полезности с вероятностями
Как было отмечено выше, части II и III различаются
своими формулировками принятий решений в условиях
неопределенности. В обеих этих частях рассматриваются
просто сравнения по предпочтению альтернатив,
последствия которых неопределенны, а также условия, которые
не только обеспечивают существование на множестве
альтернатив функций полезности, сохраняющих
упорядочение, но также делают возможным представить
полезность альтернативы в виде математического ожидания,
используя полезности последствий и их вероятности.
В этой книге вероятность интерпретируется в
субъективном, или как бы личном, смысле. Грубо говоря,
вероятность понимается при этом как численное выражение
уверенности конкретного *) лица в истинности
утверждения вида: «если я предприму действие /, то в результате
наступит событие хь, или «при следующем бросании эта
монета выпадает лицевой стороной». Необходимо, чтобы
такие вероятности подчинялись четко определенным
правилам согласованности и совместности. В тех случаях,
когда вероятности выводятся из аксиом предпочтения,
первичным понятием для них является предпочтение.
В начале главы 14 мы увидим, как вероятность может
быть аксиоматизирована в терминах отношения «менее
вероятно, чем», заданного на множестве утверждений
или событий. Затем в этой же главе мы выясним, как
отношение «менее вероятно, чем» может быть определено в
терминах «предпочтительнее, чем». Моя собственная точка
зрения на вероятность сформулировалась в большой
степени под влиянием работ до Финетти [1] и Сэвиджа [1].
Для дальнейшего вводного изучения теории субъектив-
) А имопно — принимающего решение. [Прим. ред.)
*• П. Фишберн

18 ВВЕДЕНИЕ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ [ГЛ. 1
ных вероятностей можно рекомендовать работу Киберга
и Смоклера [1]. В главе 5 книги Фишберна [1]
обсуждаются другие интерпретации смысла вероятности.
Часть II. В первых трех главах части II выводятся
представления ожидаемых полезностей для альтернатив
с неопределенными последствиями. В этих главах
вероятности последствий заданы, так что альтернативы в
аксиомах предпочтения понимаются как вероятностные
распределения, или как меры на множестве последствий.
В главе 8 рассматриваются простые вероятностные
меры, где последствие каждой альтернативы с
вероятностью единица (т. е. наверно) принимает значение из
некоторого конечного множества. В главе 9 также
рассматриваются простые меры, но, в отличие от главы 8,
в ней уже ие предполагается транзитивность отношения
безразличия. В главе 10 допускаются более общие
вероятностные меры на множестве последствий.
В главе 11 неопределенность сочетается с
зависимостью последствий от многих факторов. В этой главе
определяются условия, которые дают возможность
представить математическое ожидание полезности га-мерной
альтернативы в случае неопределенности в виде суммы
математических ожиданий полезностей каждого из этих га
факторов. В § 11.4, как и в главе 7, исследуется случай,
когда п факторов являются по существу подобными.
Часть III. В трех главах части III речь идет о
вопросах принятия решений, сформулированных в терминах
состояний природы. В главе 12 вводится соответствующая
формулировка, показывается ее эквивалентность
формулировке, приведенной в части II, а также
рассматриваются некоторые аксиомы, которые не приводят к полному
представлению через ожидаемые полезности при
субъективных вероятностях.
В аксиомах главы 13 используются вероятности,
по уже не вероятности состояний, которые выводятся из
аксиомы, а некоторые внешние вероятности, получаемые
в результате измерений.
В главе 14 изложена теория ожидаемой полезности
Сэвиджа [1]. Его аксиомы не содержат внешних
вероятностей, но налагают на множество состояний и на их
вероятности некоторые ограничения, которые не
налагаются аксиомами из главы 13.

ЧАСТЬ I
ПОЛЕЗНОСТИ БЕЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
За немногими исключениями, большинство
существенных результатов в теории индивидуальной полезности
для структур предпочтения, не содержащих в явном виде
вероятностей или неопределенностей, было получено
лишь в течение двадцатого века. Эти результаты в
основном (хотя и не исключительно) выполнены
экономистами и специалистами по математической экономике.
В основах теории (главы 2 и 3) рассматриваются вопросы
существования функций полезности на множестве
альтернатив, сохраняющих их упорядочение, основанное на
отношении индивидуального предпочтения, а также
рассматриваются такие частные свойства функций
полезности, как, например, непрерывность. Другой основной
результат теории (глава 6) основан на понятии силы
предпочтения, которое касается сравнений разниц в
предпочтениях.
Хотя допущение об аддитивности функции полезности
в многофакторных ситуациях (главы 4 и 5) широко
использовалось экономистами еще в середине
девятнадцатого века, по к началу нашего столетия многие от него
отказались. В более позднее время, особенно начиная
с 1959 года, получили развитие аксиоматические теории
аддитивности. Эти теории показывают, что именно
следует предполагать по поводу предпочтений для того, чтобы
функции полезности, сохраняющие упорядочение, можпо
было представлять в виде комбинаций функций
полезности для нескольких факторов.
2*

Г л а в а 2
УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ
И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
НА ИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВАХ
На протяжении этой книги мы будем обозначать
через X множество, элементы которого подлежат оценке
в терминах предпочтения в некоторой конкретной
ситуации, связанной с принятием решений. В зависимости от
контекста элементы множества X могут называться
альтернативами, последствиями, наборами товаров, дебитом
наличных денег, системами, распределениями,
политиками управления запасами, стратегиями и т. д.
Эта глава в основном (хотя и не целиком) посвящена
случаю, когда множество X является исчислимым*), т. е.
конечным или счетным. При этом множество
называется счетным в том случае, когда его элементы можно
поставить в одно-одпозначноо соответствие с элементами
множества натуральных чисел {1, 2, ...}. Множество
{..., —2, — 1, 0, 1, 2, ...} всех целых чисел и множество
всех рациональных чисел (представимых в виде отношений
целых чисел) являются счетными.
На протяжении всей книги мы будем иметь дело с
отношением строгого предпочтения <^ в качестве основного
отношения на X или на некотором множестве,
сконструированном па основе X, а также с отношением
безразличия ~, определяемом как отсутствие строгого
предпочтения. Можно также исходить из отношения нестрогого
предпочтения =^(х =^ у читается «х не
предпочтительнее, чем z/»),im мы выбираем отпошение-^ по некоторым
*) Вместо слов «исчислимое множество», очевидно можно го»
ворить «не более чем счетное множество». (Прим. перев.)

8 2.1]
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
21
техническим причинам, а также в силу того факта, что
мы вообще более склонны рассуждать в терминах
строгого предпочтения, чем нестрогого.
Первый основной результат этой главы состоит в том,
что если множество X исчислимо, а -<( — отношение
слабого упорядочения на X (см. определение 2.1), то
элементам х, I/, ... из X можно так поставить в соответствие
числа и{х), и(у), ..., что выполняется
х-<у**и{х)<и(у).
Символ ■*=*- означает «тогда и только тогда, когда»,
а сходный с ним символ =*■ означает «влечет».
Второй основной результат главы утверждает, что
если <( является строгим частичным упорядочением на
исчислимом множестве X (см. определение 2.2), то
существует такая вещественная функция и на X, для которой
и< у^и(х)<и(у).
Далее в главе будет установлено несколько теорем
о представлении функции полезности.
§ 2.1. Бинарные отношения
Вся данная книга основана на бинарных отношениях.
Бинарное отношение па множестве Y есть множество
упорядоченных пар (х, у), где з;е7и|/еУ. Запись
х <= Y означает, что х является элементом множества Y.
Мы часто будем сокращенно записывать х <= Y, у еУ
как х, i/еУ,
Полным («универсальным») бинарным отношением
на Y называется множество
{{х, у): х, yesY}
всех упорядоченных пар элементов из у. Вообще же под
{х : S} мы будем понимать множество всех элементов х,
которые удовлетворяют условиям, обозначенным через S.
Если R — бинарное отношение на Y, то R есть
подмножество полного бинарного отношения. Вообще isB
(словесно: <<мпожество А является подмножеством
множества В») означает, что всякий элемент множества А
является также элементом В.

22 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ - [ГЛ. 2
Мы часто будем писать xRy для обозначения того, что
(х, y)^R. Аналогично, xRy*) (неверно, что х находится
в отношении R к у) означает, что (х, y)^R- Вообще
аФА означает, что а не является элементом Л. Если 7? —
бинарное отношение на Y, то для каждой пары (х,_у) из
полного отношения выполняется либо xRy, либо xRy, но
не оба эти утверждения одновременно.
Так как мы имеем дело с упорядоченными
парами, то пара (х, у) не совпадает с (у, х), за исключением
случая, когда х = у. Поэтому, если R является бинарным
отношением на Y и х, у е F, то имеет место ровно один
из следующих четырех случаев:
1) (xRy, yRx);
2) (xR_y, yRx);
3) (xRy, yRx);
4) {xRy, yRx).
Возьмем в качестве Y множество всех живущих ныне
людей. Пусть 7?i означает «ниже ростом, чем»; тогда
xR\y означает, что х ниже ростом, чем у. Случай
1) здесь невозможен. Случай 2) выполняется, если х
действительно ниже ростом, чем у. Случай 4)
выполняется, если х ж у одинакового роста. Отношение 7?i
является примером слабого упорядочения.
Пусть теперь 7? 2 означает «является братом» (в
смысле обладания хотя бы одним общим родителем). Здесь
случаи 2) и 3) невозможны. Отношение Дг не является
транзитивным, так как из xR%y и yR^z не обязательно
следует, что xR%z. (Почему?)
Некоторые свойства отношений. Рассматриваемые
далее бинарные отношения будут наделяться нами
некоторыми свойствами. Приведем список таких свойств.
Бинарное отношение R на множестве Y называется:
pi) рефлексивным, если xRx для каждого .те У;
р2) нерефлексивным, если xRx для каждого х е Y;
рЗ) симметричным, если xRy =*- yRx для всех
х, у е Y; _
pi) асимметричным, если xRy =>- yRx для всех
х, у е Y;
*) В оригинале «не xRy». (Прим, перев.)

g 2.2] ПРЕДПОЧТЕНИЕ КАК СЛАБОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 23
р5) антисимметричным, если для всех х, у eF
(xRy, yRx) => х: = (/;
j>6) транзитивным, если для всех ж, j/, zeF
(хЯг/, #-ffz) =*" ^z;
/j7) отрицательно транзитивным, если для всех
ж, j,zeF (.z#i/, r/i?z) =>- .z7?z;
p8) связным, или полным, если для всех i, jeF
а;/?(/ или yRx (возможно и то, и другое);
р9) слабо связным, если на всем F а; ф у =>■
=> (.гйг/ или yRx).
Несколько дальнейших свойств отношений будет
введено в § 2.4.
Асимметричное бинарное отношение является
нерефлексивным. Нерефлексивное и транзитивное бинарное
отношение является асимметричным: если (xRy, yRx), то
согласно рб xRx, что противоречит р2. Полезно также
заметить, что отношение R отрицательно транзитивно
тогда и только тогда, когда для всех х, у, z e Y
xRy^-(xRz или zRy). (2.1)
Чтобы это доказать, предположим сначала, что вопреки
(2.1) имеет место (xRy, xRz, zRy). Тогда, если
выполняется условие р 7, то мы получим xRy, что
противоречит xRy.
Поэтому условие р! влечет (2.1). С другой стороны,
предположим, что условие р 7 нарушено и имеет место
(xRy, yRz, xRz). Тогда (2.1) должно быть неверным.
Следовательно, (2.1) влечет условие р 7.
Отношение R\ («ниже ростом, чем») является
нерефлексивным, асимметричным, транзитивным и
отрицательно транзитивным. Если никакие два человека не
одинакового роста, то отношение 7?i оказывается слабо
связным. Отношение 7? 2 («являться братом») симметрично.
§ 2.2. Предпочтение как слабое упорядочение
Бинарным отношениям, которые в Действительности
или хотя бы но предположению обладают некоторыми
свойствами, часто даются специальные названия. В
данном параграфе мы будем в основном иметь дело с тремя

24 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ. 2
такими типами бинарных отношений, а именцо со
слабыми упорядочениями, строгими упорядочениями и эквива-
лентпостями.
Определение 2.1. Бинарное отношение R на
множестве Y называется:
a) слабым упорядочением -^ R на Y асимметрично и
отрицательно транзитивно;
b) строгим упорядочением ■&> R на Y слабо связное
слабое упорядочение;
c) эквивалентностью -<=>- R на Y рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Отношение < на множестве вещественных чисел
является слабым упорядочением и вместе с тем строгим
упорядочением, так как из х ф у следует х < у
или у < х.
Отношение = на множестве вещественных чисел
является эквивалентностью, так как
х = х, х = у => у = х, (х = у, у = z)=>x = z.
Эквивалентность на множестве определяет
естественное его разбиение на такие непересекающиеся непустые
классы элементов, что два элемента исходного множества
принадлежат одному и тому же классу тогда и только
тогда, когда они эквивалентны. Эти классы называются
классами эквивалентности. Пусть
R(x)= {у: уеУ и yRx). .
Если R — эквивалентность, то R(x) называется классом
эквивалентности, порожденным элементом х. В этом
случае можно легко показать, что R(x) = R(y) тогда и
только тогда, когда xRy. Таким образом, любые два класса
эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются
(т. е. не имеют общих элементов). Если R есть
эквивалентность на Y, то множество всех классов
эквивалентности множества Y, порождаемых отношением R, мы
будем обозначать через Y/R.
Предпочтение как слабое упорядочение. Взяв
отношение предпочтения <( в качестве исходного (х <( у
читается как «г (строго) менее предпочтителен, чем у», или
«у (строго) предпочтительнее, чем ж»), определим отно-

ПРЕДПОЧТЕНИЕ КАК СЛАБОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 25
шение безразличия ~ как отсутствие строгого
предпочтения *): _
х ~ у^-{х^у, у^х). (2.2)
Безразличие может возникать несколькими путями.
Во-первых, индивидуум может искренне считать, что
в смысле предпочтения для него фактически нет
никакой разницы между х и у. Он желал бы иметь у
ровно в такой же мере, что и х, и наоборот. Во-вторых,
безразличие может наступить, когда индивидуум не уверен
в своем предпочтении между х и у. Он может
находить сравнение х с у трудным и может склоняться к
отказу от суждения о строгом предпочтении, не будучи
уверенным, рассматривает ли он х и у как одинаково
желательные (или нежелательные). В-третьих, запись вида
х —' у может возникнуть в случае, когда индивидуум
считает х и у вовсе не сравнимыми по предпочтению
(в соответствующем смысле).
Асимметрия является «очевидным» условием
отношения предпочтения. Ее можно рассматривать как критерий
этого отношения. Если вы предпочитаете элемент х
элементу I/, то вы не можете одновременно предпочитать
элемент у элементу х.
Транзитивность следует из асимметрии и
отрицательной транзитивности и представляется разумным
критерием согласованности для индивидуальных предпочтений.
Если для вас х предпочтительнее, чем у, & у
предпочтительнее, чем z, то здравый смысл предполагает, что вам
следует предпочитать элемент х элементу z.
Однако концепция слабого порядка в целом уязвима
для критики, так как наделяет индивидуум слишком
уж неограниченной возможностью суждения о
предпочтении, что можно усмотреть из (2.1). Чтобы показать, как
(2.1) может нарушаться, предположим, что при
вложении капитала в какое-нибудь дело вы чувствуете, что
сумма в 1000 долларов является наилучшим вложением.
Ваше предпочтение убывает, если вы отклоняетесь от
1000 долларов в любую сторону. Хотя вы предпочитаете
955 долларов 950 долларам, может оказаться, что вы не
можете уверенно выбрать более предпочтительную сумму
) Здесь и далее х < у означает: «неверно, что х<,у». {Прим.

26 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ. 2
между 950 и 1080 долларами или между 955 и 1080
долларами. Но тогда будет
950 долл. <С 955 долл.,
950 долл. ~ 1080 долл.,
955 долл. ~ 1080 долл.,
что противоречит (2.1).
В, этом примере отношение безразличия не является
транзитивным. Армстронг [2] (стр. 122) говорит о
нетранзитивном безразличии, появляющемся из-за
«несовершенства различающей способности человеческого
разума, ввиду чего неравенства становятся наблюдаемыми
только при достаточно большой разнице величин».
В дальнейшем мы будем учитывать это свойство путем
отказа от безусловного требования транзитивности
отношения ~.
Паша первая теорема фиксирует несколько следствий
из определения слабого упорядочения, в том числе
транзитивность отношения безразличия. В этой теореме и
в дальнейшем изложении мы будем определять
отношение нестрогого предпочтения =^ как объединение
отношений -< и ~:
х ^ у <=>■ х -< у и х ~ у. (2.3)
Теорема 2.1. Предположим, что отношение -К
является слабым упорядочением на X, т. е. асимметрично и
отрицательно транзитивно. Тогда
a) для любых х, у е X выполняется ровно одно из
трех соотношений:
х<У, У<х, х ~ У, ' .,,,
b) отношение -< транзитивно;
c) отношение -~ является эквивалентностью (т. е.
оно рефлексивно, симметрично и транзитивно);
А) {х -< у, у ~ х) => х -< х, (х •—(/,(/-< г) =*- х -< z;
e) отношение =^ транзитивно и связно;
f) если отношение -Ч' на, Х\^— (т. е. на множестве
классов эквивалентности на X в смысле отношения ~)
определяется соотношением
а~\ Ъ <=> найдутся такие х е а и у е&, что х -< г/, (2.4)
то ~\' на X/— является строгим упорядочением.

§ 2.21 ПРЕДПОЧТЕНИЕ КАК СЛАБОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 27
Доказательство. Часть а) следует из асимметрии
и (2.2). Чтобы доказать Ь), предположим, что х -< у и
у -< ъ. Тогда по (2.1) должно быть (i^z или z4i/),
а также {у-< х или .z-^z). Так как соотношения z -< у
и у ~< z вследствие асимметрии не выполнены, должно
быть х -< z. Таким образом, отношение -< транзитивно.
Предположим, что в нарушение транзитивности
отношения -~" имеет место х ~ у, у ~ z и х ~ z. Тогда
согласно части а) либо х -< z, либо z -< x, откуда по (2.1)
должно выполняться одно из соотношений: х -<. у, у -< z, z -< у
и у^.х, что противоречит х ~ у, у ~ z к части а).
Следовательно, отношение ~ транзитивно. Предположим,
как и в d), что выполнены х -< г/ и у ~ z. Тогда по
а) и (2.1) должно быть i4z. Вторая часть d)
доказывается аналогично. В е) транзитивность =^ следует
непосредственно из Ь), с) и d). Чтобы доказать полноту
отношения =^, предположим противное, т. е. что (х^ у
у^ х). Тогда согласно (2.3) имеет место (хЧ(/, х~у,
у~<х), а это противоречит а).
Рассмотрим, наконец, свойства строгого упорядочения
-<'па X/ ~.
1. Асимметрия. Если аЧ'&иИ'а, то найдутся
такие х, х' <= а и у, у' <= Ъ, что ж-^г/ и у' -<х', причем
i ~ i' и j/ ~ (/'. Согласно d) должно быть ж' -< у, и опять-
таки в силу d) a.' -< (/', что противоречит у' -< а;'.
2. Отрицательная транзитивность.
Предположим, что а -<' Ь, причем х е а, г/ е & и х -< у. Для
любого сеХ/~ и любого д; е с пз теоремы (2.1)
следует, что либо i4z (в этом случае а^,'с), либо z -< у
(и тогда с -<' 6).
3. Слабая связность. Предположим, что
я, ЬеХ/~ий^6. Тогда а и & не пересекаются и потому
Для х е « и у ^ b должно быть а; ~ г/. Следовательно,
согласно а) либо х-<у, либо у~<х, так что либо а -<' 6,
либо Ъ-<' а.
Функции полезности, сохраняющие упорядочение.
1'с о р с м а 2.2. Если отношение -< на X является
слабым упорядочением, а множество X/— исчислимо, го
существует веществеинозначиая функция и на X, для
которой
х -< у <=> и(х) < и(у) для всех х, у е X, ' (2.5)

2d
УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ *ГЯ, 2
Функция полезности и в (2.5) называется
сохраняющей упорядочение, так как порядок по величине чисел
и(х), и(у), ... адекватно отражает упорядочение
элементов х, у, ..., установленное отношением -<. Ясно, что если
выполняется (2.5), то для вещоствеппозначной функции
v на X утверждение
х~<у ■*=*- v(x)<. v(y) для всех ijeX
имеет место в том и только в том случае, если
v(x)-<v(y)-^u(x)<. u(y)
справедливо на всем множестве X. В следующем
параграфе мы рассмотрим случай, когда в (2.5) логическая
эквивалентность может быть заменена на импликацию =>-.
В следующих главах мы будем иметь дело с функциями
полезности, обладающими, кроме свойства сохранения
упорядочения, еще и другими свойствами.
В условиях теоремы 2.2 из (2.5) следует, что для всех
х, yesX
х ~ у***и(х) = и (у),
х=4у*&и(х)^ и (у),
где отношения ~ и =^ определены соответственно в (2.2)
и (2.3).
Следующее доказательство теоремы аналогично
доказательствам, данным Биркгофом [1] (стр. 31), а также
Сапсом и Циннесом [1] (стр. 26—28). Как мы увидим
в главе 3, заключение теоремы может оказаться
неверным, если множество X/~ является неисчислимым
(т. о. ни конечным, ни счетным).
Доказательство теоремы 2.2. Примем
согласно условию теоремы, что множество X/~ счетно. Случай,
когда Х/~, конечно, рассматривается аналогично
разбираемому здесь и предоставляется читателю.
Пусть все элементы X/~ перечислены как а\, ai,
а3, ..., а г;, ъ, гз, ...— некоторое перечисление множества
рациональных чисел. Оно не обязано быть связанным
с каким-либо конкретным упорядочением -<' (см. (2.41))
и в частности — с упорядочением по величине <.
Определим следующим образом вещественнозначную функцию
цна!/~, помня, что, как и в (2.4), -<! является строгим
упорядочением на Х\~.

ПРЕДПОЧТЕНИЕ КАК СТРОГОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 29
Положим u(ai)—0. В последующем индуктивном
рассуждении из свойств -<' для ат на каждом шаге будет
представляться ровно одна из следующих трех
возможностей:
1. аг^ат для всех i<C?n; в этом случае положим
и(ат)= т.
2. ат -<' щ для всех i < т\ в этом случае положим
и(ат) =—т.
3. at -<' ат -(.' aj для некоторых i, / < m и пи для
какого Л < от и отличного от i и / не выполняется at -К'
-<' ah -<' as.
В этом последнем случае положим значение и(ат)
равным первому в перечислении ri, гг, гз, ... числу гк,
для которого и(аг) < rh < a(aj). Такое rft существует, так
как между любыми двумя различными вещественными
числами можно найти рациональное число.
По построению, и(ат) ф и(а() для всех i <C т, и
at-K'а} -*=> и(а{)<. u(cij)
для всех i, / 5S т. Это имеет место для любого
натурального гп. Следовательно, это выполняется на всем
множестве Х/~. Определим, наконец, на X функцию и,
положив
и(х)=.и(а), как только iea.
Если теперь а -К' Ь, то непосредственно по (2.4) и
теореме 2.1 (1) для любых тените!) должно быть х-<у,
откуда и следует соотношение (2.5).
Как легко заметить, если (2.5) выполняется, то
отношение -< на X должно быть отношением слабого
упорядочения. Следовательно, если -< на X отношением
слабого упорядочения не является, то обеспечение (2.5)
невозможно независимо от мощности множества X.
§ 2.3. Предпочтение как строгое частичное v •.. . .
упорядочение
На протяжении оставшейся части этой главы мы
будем рассматривать случаи, в которых отношение
безразличия не предполагается транзитивным. В этом
параграфе рассматривается случай, когда -< является строгим
частичным упорядочением.

30 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ 1ГЛ. 2
Определение 2.2. Бинарное отношение R на
множестве Y называется строгим частичным упорядочением
тогда и только тогда, когда оно нерефлексивно и транзи-
тивно.
Поскольку сам факт, что -< есть строгое частичное
упорядочение на X, допускает соотношения (х ~ у,
у ~ z, £-<z), отношение ~ не обязано быть
транзитивным и потому — эквивалентностью. Однако, если
отношение -< является строгим частичным упорядочением, то
новое отношение ~, определенное как
xmy<=>(x~z<=>y~z) для всех геХ, (2.6)
оказывается транзитивным. Таким образом, соотношение
х я^ у выполняется каждый раз, когда из безразличия х
по сравнению с некоторым zeX вытекает, что у также
находится в отношении безразличия с z, и наоборот. По
аналогии с теоремой 2.1 мы имеем следующее.
Теорема 2.3. Предположим, что отношение -< на
X является строгим частичным упорядочением (т. е. оно
нерефлексивно и транзите по). Тогда
a) для любых х, у <= X выполняется ровно одно из
четырех соотношений: х -<-(/, у -< х, х ~ у, (х ~ у Д
Л * « У)\
b) отношение я^ является отношением
эквивалентности;
c) х ~ у <^>(х -< z -*=*- у -< z и z-<x~^>z^.y для
всех геХ);
d) (х -< у, у m z) =*- х -< z и {х ж у, у -< z) =*- х -< z;
e) определим отношение -<* ка Х/« (ка множестве
классов эквивалентности множества X по отношению я^),
тголожме
а -<* Ъ <=> найдутся такие х <= а и у ^ Ь, что х -< у. (2.7)
В этом случае отношение -<* на X/& является стро-
• гим частичным упорядочением.
Доказательство. Часть а) следует из
асимметрии (которая вытекает из нерефлексивности и
транзитивности) и того факта, что х я^ у может иметь место,
только если х ~ у. При доказательстве части Ь)
рефлексивность и симметрия отношения следуют непосредственно
из (2.0) и из рефлексивности и симметрии ~.
Предположим, что х ~ у и у ~ z. Тогда согласно (2.6), если

ПРЕДПОЧТЕНИЕ КАК СТРОГОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 31
х ~ t, то у ~ t, опять-таки, по (2.6), из у ~ t следует
z ~ t. Следовательно, х ~ t =*- z ~ t. Справедливо и
обратное: z ~ £ =*- х ~ t. Таким образом, х ж z, что и
требуется для транзитивности.
Чтобы доказать часть с), предположим сначала, что
х да д. Если i4z, то либо у -< z, либо у ~ z, так как
если z -< г/, то х ~< у по транзитивности отношения -<.
Но согласно (2.6), если у ~ z, то х ~ z, что
противоречит а; -< z. Поэтому x<z^> y<z. Аналогично
доказывается, что у -< z =*■ х -< z. Аналогичное рассуждение
показывает, что z -< х -**• z -< г/. (Это также
устанавливает справедливость d).) С другой стороны, предположим,
что имеет место правая часть с). Тогда, если х ~ t, то не
может выполняться ни у <( t, ни t <( у; таким образом, на
основании (2.1) и по асимметрии отношения <( имеет
место у ~ t. Справедливо и обратное:
у ~ £ => х ~ t.
Следовательно, х да у.
Для доказательства части е) установим, что при
аеХ/да не может выполняться а^.*а, так как в этом
случае найдутся такие х и у, что х да г/, и одновременно
х~<.у, что, однако, неверно согласно части а). Для
доказательства транзитивности предположим, что (а-<*Ь,
Ь~<*с). Тогда найдутся такие х е а, г/, i/'ef) и гее,
что будет .т -< г/, г/ да г/', у' <z. В этом случае из d)
следует, что х -< z, так что а -<* с.
Лемма Цорна и теорема Шпильрайна о продолжении.
Прежде чем мы сможем доказать теорему о
представлении функции полезности для случая, когда отношение -<
является строгим частичным упорядочением, а множество
Д/да исчислимо, нам потребуется доказать следующую
теорему, принадлежащую Шнильрайну [1].
Теорема 2.4. Если отношение -<* является строгим
частичным упорядочением на множестве Y, то на Y
можно указать строгое упорядочение -<°, которое содержит
отношение -<*, т. е.
х -<* у => х -<° у для всех х, i/eF. (2.8)
Следующая далее теорема 2.5 о функции полезности
легко доказывается на основе сформулированной
теоремы 2.4 и доказательства теоремы 2.2.

32 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ. 2
Чтобы доказать теорему Шпильрайна, которая
справедлива независимо от мощности множества Y, нам
потребуется одна аксиома из теории множеств, известная
под названием леммы Цорна.
Лемма Цорна. Предположим, что отношение Р
является строгим частичным упорядочением на
множестве Y и для любого подмножества Z множества Y, на
котором Р является строгим упорядочением, существует
такой элемент у е7, что для всех z^Z выполняется
zPy или z = у. Тогда найдется у* е Y, для которого
у*Рх не выполняется ни при каком ieF.
Рассмотрим вещественные числа, естественно
упорядоченные отношением <. Так как само отношение < па
множестве чисел является строгим упорядочением, но не
существует такого числа у, что для каждого числа х
выполняется х < у или х = у, из «леммы» не следует, что
множество вещественных чисел должно иметь
максимальный в смысле отношения < элемент (которого и
действительно нет).
Лемма Цорна, широко применяемая в настоящее
время математиками, является допущением. В книге
Келли [1] (стр. 53 — 59) приведены другие аксиомы,
которые эквивалентны лемме Цорна. Одной из таких аксиом
является «аксиома выбора»: если & является семейством
непустых множеств, то существует такая функция / на &,
что для каждого Se?1 имеет место /(S)eS.
Доказательство теоремы 2.4. Если само
отношение -<* является строгим упорядочением, то теорема
доказана. Предположим теперь, что отношение -<*
является строгим частичным упорядочением, и возьмем такие
х, у из Y, что х ф у и (х-<*у, у-\*х). Определим
отношение -n1 на Y, положив
а-<1Ъоа<*Ъ
или
((а-<*х или а = х) и (у -<* Ъ или у = Ь)). (2.9)
Ясно, что а -<* 6 =s~ a -<' Ь, а также х -Ч1 у. Мы докажем
сначала, что отношение -<' является строгим частичным
упорядочением.
А. Отношение -Ч1 нерефлексивно. Предположим
противное: пусть а-<'а. Тогда, если выполняется (а-<*х,
у-<*а) или (а-<*х, у = а), или (а = х, у-<*а), то мы

g 2.3] ПРЕДПОЧТЕНИЕ КАК СТРОГОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 33
получаем, что у -<* х, по ото неверно. Соотношения
а -<* а и (а = х, у ~ а) также имеют место по
предположению. Следовательно, неверно, что а-<' а.
В. Отношение ~<1 транзитивно. Предположим, что
(а-<1 b, b~<lc). Если {а-<*Ъ, Ъ-<*с), то а-<*с, а значит,
иаЧ'с. Если (а-<*Ь, (Ь -<* х или Ъ = х) и (у-<* с или
у = с)), то а -<* х, а значит, согласно (2.9) и а -<' с. Если
выполняется ((а-<*з; или а = х) и (у-<* Ь или у=Ь),
Ь-<*с), то у ~<* с и, следовательно, а-Ч'с. Если,
наконец, не выполняется ни а -<* Ь, ни Ъ -<* с, то, по (2.9),
из а -<' Ь следует, что (у ■<* Ъ или у =Ъ), а из Ъ -<* с —
что (£>-<* а; или & = #); полученные же соотношения
несовместны, так как из них следовало бы, что у-<* х или
у = х, что неверно. Следовательно, этот последний случай
невозможен.
Теперь воспользуемся леммой Цорпа. Определим
отношение
АаВ^{А<=ВяВФА пВфА),
где Л Е В означает, что А является подмножеством В.
Пусть 5? — множество всех строгих частичных
упорядочений на Y, содержащих отношение -<*, так что R е
е 52-*=*-(Д является строгим частичпым упорядочением
на У и -<* £ R). Как видно из сказанного выше,
отношение с: играет роль отношения Р из леммы Цорпа, а
множество 91 — роль множества Y.
Ясно, что отношение с на 5? является строгим
частичпым упорядочением. Пусть ЯР — такое подмножество
множества 52, на котором отношение с является строгим
упорядочением. (Мы опускаем тривиальный случай,
когда 9* = 0.) Пусть S — множество всех таких пар (х, у),
которые связаны хотя бы одним из отношений йеУ,
т. е. (х, у) е S, или xSy, выполняется тогда и только
тогда, когда найдется такое Ле?', что (х, y)^R, или xRy.
Ясно, что для всех R ^97 R^S. Чтобы применить лемму
Цорна, мы должны показать, что 5еЙ, или, что то же
самое, что S является строгим частичным упорядочением.
A. Отношение S перефлексивно. Действительно,
(х, х) <£S, так как (х, х) <£R для каждого R е Я.
B. Отношение S транзитивно. Если (х, 1/)ёЬ
(у, z)<=S, то в У найдутся такие Si и S2, что (х, y)^Si
и (у, г)е&2. Для определенности предположим, что
« П. Фишберц

34 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ. 2
>!?i Е 5г. Тогда (х, у) е 5г, откуда, по транзитивности,
(х, z) e &2, так что (ж, zjei'no определению S.
Из леммы Цорна следует, что существует такое
-<0е 52, что ни для какого йе^не выполняется -<° сг Л.
Так как отношение -<° принадлежит множеству 52, оно
является строгим частичным упорядочением. Чтобы
показать, что оно является строгим упорядочением, остается
заметить, что отношение -<0 на Y слабо связанное, так
как этого достаточно. (Можно легко показать, что слабо
связное строгое частичное упорядочение удовлетворяет
(2.1), или свойству отрицательной транзитивности, и,
таким образом, является строгим упорядочением по
определению (2.1).) Предположим теперь, что в
противоположность слабой связности существуют такие х, у е У, что
х Ф у, х -<0 у п у -<° х.
Тогда, согласно первой части данного доказательства,
существует такое строгое частичное упорядочение -О на
F, что
a-<°b=> a-<1 b и х-<1 у.
Но тогда -<° с -<', что противоречит тому, что ни для
какого йеЗ? не выполняется -<° сг R. Отсюда следует
слабая связность отношения -<0.
Еще одна теорема о функции полезности. Следующая
теорема утверждает, что если отношение -<
нерефлексивно и транзитивно, а мпожество Х/ж (где отношение «
определено соотношением (2.6)) исчислимо, то элементам
множества X можно так поставить в соответствие числа,
чтобы их порядок отвечал как отношению -(, так и ~.
Однако ввиду того, что отношение ~ может оказаться
нетранзитивным, мы не можем утверждать, что из х ~ у
и х zz у следует и(х) = и(у). В случае х ~ у и х ж у
может оказаться верным любое из трех соотношений:
и(х) = и(у), и(х) < и (у) и и{у) < и(х).
Теорема 2.5. Если отношение -< на X является
строгим частичным упорядочением и множество Х/«
исчислимо, то существует такая веществеинозначная
функция и на X, что для всех х, у е X выполняются
соотношения
х<у^-и{х) <и(у), (2.10)
х « у =*- и{х) = и(у). (2.11)'

g 2У<] УПОРЯДОЧЕННЫЕ ИНТЕРВАЛЫ БЕЗРАЗЛИЧИЯ 35
Доказательство. По теореме 2.3 е) отношение
-<* на Х/~, определенное в (2.7), является строгим
частичным упорядочением. По теореме 2.4, на множестве
X/'да существует строгое упорядочение ^.°, которое
содержит -<*. Если Х/да исчислимо, то доказательство
теоремы 2.2 гарантирует существование такой вещественно-
значлой функции и на Х/да, что для всех a, 6eI/«
имеет место
а-<0Ь^'п(а)<.и(Ь).
Пусть sgI/ж; положим и(х) = и(а), как только
х^а. Тогда, если х да у, то выполняется и(х)== и(у),
так что имеет место (2.11). Если же х-<у, где же а и
г/еб, то согласно (2.7) и теореме 2.3 d) должно быть
а -<* Ь; поэтому а -<0 6, так что и(я) < и(Ь) ши(х) <С к(г/).
§ 2.4. Упорядоченные интервалы безразличия
Существуют другие интересные условия, касающиеся
отношений предпочтения, при которых к строгой
частичной упорядоченности добавляются некоторые
дополнительные свойства, но все еще сохраняются возможности
нетранзитивности отношения безразличия.
Два таких условия были введены в теорию
предпочтения Льюсом [1]. Здесь они приводятся в форме, данной
Скоттом и Сапсом [1] (стр. 117):
р 10) (х -< у, z ~< iv) =*- (х -< w или z~<y) для всех
х, у, z, w <= X;
р 11) (х-<.у, у-л z) =*-(х-< id или г^ -^ г) для всех
х, у, z, w <= X.
Легко видеть, что если отношение -< нерефлексивно
й\ кроме того, выполнено р 10 или р 11, то ото отношение
трапзитивно. Если отношение -< является строгим
частичным упорядочением, то единственными примерами
проявлений свойств р 10 и р 11, которые еще не следуют
из нерефлексивности и транзитивности, являются
примеры, изображенные на рис. 1. Для иллюстрации свойства
Р Ю мы имеем случай, изображенный в левой части
рисунка, где х ~<у, z~<w, х ~ z и у ~ w, причем х ф z и
У ¥= iv. В свойстве р 10 утверждается, что хотя бы одна
из пересекающихся пунктирных линий должна означать
строгое предпочтение: невозможно, чтобы одновременно
3*

36 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ ' [ГЛ 2
выполнялись х ~ w и у ~ z. Свойству р 11 соответствует
схема в правой части рисунка, где ж -< г/ -< z и w ~ у,
причем w Ф у. Здесь р 11 означает, что хотя бы одна из
штриховых линий, проходящих через точку w, должна
соответствовать строгому предпочтению: w не может
находиться в отношении безразличия с каждым из
элементов х, у и z.
W
V
/ \
рЮ
Возрастание
предпочтения
wC
pff
<
эс
Рис. 1. Случаи, не вытекающие из нерефлексивности и транзи.-;
тпвности. '
Условия р 10 и pll представляются вполне
разумными, если элементы множества X упорядочены
естественным образом и отношение предпочтения либо не
возрастает, либо пе убывает при движении по элементам
в их естественном порядке.
Например, если вы предпочитаете кофе без сахара, то
представляется естественным предположить, что ваше
предпочтение не увеличится с ростом х — числа крупинок
сахара в вашем кофе. Вам может быть безразлично
количество крупинок х = 0 или х = 1, а также х = 1 или
х = 2 и т. д., но, конечно, вы предпочтете количество
крупинок х = 0 количеству х = 1000. Хотя отношение
~ здесь не является транзитивным, но свойства р 10 и
pll, возможно, будут иметь место наряду с
нерефлексивностью.
Однако, если имеется несколько влияющих на
предпочтение факторов, или если существует только один
основной фактор, с ростом которого предпочтение
возрастает до некоторой точки, а далее убывает, то отношение -\
может выходить за рамки вариантов свойств р 10 и р 11,
иллюстрируемых рис. 1. Развивая пример с кофе и
сахаром, предположим, что вы предпочитаете более всего при-

g 2.4]
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ИНТЕРВАЛЫ БЕЗРАЗЛИЧНА
37
мерно 1000 крупинок сахара в кофе. В левой части рис. 2
изображен случай, когда соотношения х -< у, z -< w,
x-^-W и г/ ~ z могут оказаться верными вопреки свойству
р 10. Правая часть рисунка показывает, что свойство pll
может не проявляться при х^у -< z и w ~ х, w ~ у,
и; ~ z. Мы вправе ожидать, что как р 10, так ж р 11
имеют место, если точки х, у, z и w лежат по одну сторопу
2000
Рис. 2. Нарушение свойств ^10 и />11 в случае предпочтения
с единственным пиком.
от «пика», или идеала (см. Кумбс [1]), однако
представляется неразумным предполагать, что эти свойства
сохраняются для изображенных случаев. Пример с
капиталовложением, рассмотренный в § 2.2, дает еще один случай
ситуации, когда имеется пик и свойства р 10 и р 11 не
выполняются.
Определение 2.3. Бинарное отношение
называется интервальным упорядочением, если оно нерефлексивно
и обладает свойством р 10, а если оно к тому же обладает
и свойством р 11, то оно называется полуупорядочением.
ч Термин «полуупорядочение» был введен Лыосом [1]
и в настоящее время является общепринятым*). Термин
«интервальное упорядочение» в том смысле, в котором
я его употребляю, не является общепринятым, но
представляется разумным ввиду теоремы 2.7.
Интервальные упорядочения. В оставшейся части
главы знаком « мы будем обозначать отношение,
определенное в (2.6). Для интервальных упорядочений (р 2, р 10)
*) Но
ДОЧПЦю»,
следует, однако, смешивать его с термином «полуупоря-
пршштым в теории линейных полуупорядоченных
пространств. (Прим. перев.)

38 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ. 2
мы будем использовать следующие обозначения:
z <' У "*=*" найдется такое z е А', что (х ~ z, z < у), (2.12)
а; <2 г/ -*=*• найдется такое геХ, что (а; < z, z ~ у). (2.13)
Теорема 2.G. Если отношение -Ч ;ш X является
интервальным упорядочением, то каждое из отношений •<'
и <2 является слабым упорядочением и х &■ у -<=*-
■«=*- (а; =' г/, а; =2 г/), где х =' у ■*=>■ (х -<' у, у -<J x).
Доказательство. Последнее утверждение
следует из (2.6). Чтобы доказать асимметричность отношения
<', предположим противное; пусть (а;<'г/, у<С1х).
Тогда найдутся такие z, »el, что (х ~ z, z -< у) и
(у ~ w, w -<х), а это противоречит р 10. Чтобы доказать
отрицательную транзитивность, предположим противное;
пусть имеет место (х <' у, у <' z, а: <' z). Так как а; <' z,
найдется fel, для которого (а: ~ £, f -< z).
Так как, далее, х ~ t и х <1 г/^_из (2.12) следует, что
£ -< I/. Так как, наконец, Кги г/<' z, из (2.12) следует,
что t ~ г/. Отсюда мы получаем, что г/ -< £. Но тогда, по
транзитивности, y-<z, что влечет г/<:'г, а это
противоречит у <' z. Следовательно, отношение <' отрицательно
транзитивно. Доказательство отрицательной
транзитивности <2 аналогично и предоставляется читателю.
Теорема 2.7. Если отношение -< на X является
интервальным упорядочением, а множество X]'~
исчислимо, то существуют такие вещественнозначные функции
и и о на X, что о(х) > 0 для всех х ^ X и
х~< у -«=*• и(х)-\- а(х) < и(у) для всех х, у^Х. (2.14)
Заметим также, что если выполнено (2.14), то должпо
быть выполнено и р 10.
Теорема 2.7 сходна с теоремой 2.2 о слабом
упорядочении, но добавляет функцию «неопределенности» о,
благодаря которой возможна нетранзитивность отношения
безразличия.
Интервалом безразличия для х является
7(a;)=,[zi(a;), и{х)-\- а(х)].
По (2.14) интервал 1(х) лежит целиком левее 1{у)
тогда и только тогда, когда х<у. Если два таких иптор-

s 2 i) УПОРЯДОЧЕННЫЕ ИНТЕРВАЛЫ БЕЗРАЗЛИЧИЯ 39
вала пересекаются, то их элементы находятся в
отношении безразличия. Как видно из нарушения р 11 в случае
(x-<y-<z, w ~ x, w ~ у, w ~ z),
один интервал безразличия может целиком лежать в
другом интервале: в рассматриваемом случае интервал 1(у)
должен быть короче, чем I(w).
Доказательство теоремы 2.7. Пусть
отношение -< на множестве X является интервальным
упорядочением. Используя аксиому выбора, построим множество
У, состоящее из элементов, взятых по одному из каждого
класса эквивалентности, принадлежащего Х/т. Для
каждого элемента х <= У введем соответствующий ему
искусственный элемент х*\ множество искусственных
элементов будем обозначать через У*. Определим на множестве
У (jy* отношение <3, положив
х <3у -^х<1у, (2.15)
х* <3у* *=> х <2у, (2.16)
х* <3у **х ■< у, (2.17)
х <3 у* *=> х =4 у, (2.18)
где ^ = ~< [J ~, как это было определено в (2.3). Мы
докажем, что отношение <3 на У (J У* является слабым
упорядочением.
Л с и м м е т р и я. Нам требуется доказать, что
а<3 b =s- b <3я. Если (а, Ь) = (х, у) шли (а, Ъ) = {х*, у*),
то асимметрия следует из теоремы 2.6 вместе с (2.15) и
(2.16). Предположим, что (а, Ь) = (х*, у) и (а <3 Ь,
b <3а). Тогда из (2.17) и (2.18) следует, что (х-<у,
У =4%), а это невозможно.
\ Отрицательная т pji н з и tji в н о cjr ь.
Предположим, что выполняется (a <3fr, b <3с, а <3с), и
получим противоречие. Случаи, когда (а, Ь, с) = (х, у, z) или
(я, Ь, с) = (х*, у*, z*), описываются теоремой 2.6.
Рассмотрим остальные случаи.
1- (х, у, z*). В этом случае у <' х, z-<y, x =^ z. Если
.r~Z) Tf> ,r<;ij/j ,1T0 противоречит тому, что х <.1 у.
Если x-iz, то х<у\ отсюда следует, что х <.1 у и мы
опять получили противоречие.
2- {х, у*, z). Здесь у ~<х, z^y, x <' z. Из последнего
нз этих соотношений следует, что найдется такое t, что

40 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ. 2
(х ~ t, t-^,z). Вместе с (у -< х, х =^ у) это
противоречит р 10.
3. (х*, у, z). Тогда у =4.х, у <' z, ж -< z. Этот случай
аналогичен случаю 1.
4. (ж, г/*, z*). Тогда у <. х, у <2 z, ж ^ z. Если а; ~ z, -
то г/ <С2 z, а если а; -< z, то г/ -< z, откуда у <2 z, что
противоречит у <2z.
5. (ж*, г/, z*). Тогда у =^ х, z-<y, x <2z. Из
последнего из этих соотношений следует, что найдется такое t, для
которого (x-<t, t ~ z), что вместе с (у =4 х, z-<y)
противоречит р 10.
6. (.г*, у*, z). Тогда х <}у, z =^ у, x~<z, что
аналогично случаю 4. ,
Предположим, что множество Х/т исчислимо. Тогда
мпожество У (J У* также исчислимо и по теореме 2.2
существует такая вещественнозначиая функция / на
У (J У*, что для всех Ь, с е У (J У*
6<3с^/(6)</(с).
Для жен У положим и(ж) = /(ж) и о (ж) = f(x*) — /(#).
Тогда, учитывая (2.17), мы получаем, что
х-<у -^ и{х)-\- а(х)<и(у) для всех х, у е У.
Так как из (2.18) следует .г<3ж*, должно быть о > 0. ;
Положим и (х) — и(у) и о{х) = о (у) при х х у и г/ <= У. ;
Тогда (2.14) следует из теорем 2.6 и 2.3 d).
Полуупорядочения. Добавляя р 11 к р2 к р 10, мы по- ]
лучаем следующее обобщение теоремы 2.6.
Теорема 2.8. Пусть отношение ~< на множестве X ',
является полуупорядочением. Зададим при помощи
отношений •<' и <С2, определенных в (2.12) и (2.13), на
множестве X отношение <° следующим образом:
х <°у -*=>- х <1г/ или х <2г/, для всех х,у<=Х. (2.19)
Тогда отношение <°является слабым упорядочением на
множестве X.
Доказательство. Асимметрия. Случаи
(х <Zl у, у <С1 х) и (х<.2у, у <2 х) запрещены теоремой
2.6. Предположим, что (х <' у, у <С2 х). Тогда найдутся
такие х, wel, что (х ~ z, z -< у) и (у -< и>, к; ~ х),
а это противоречит р11.

8 2.5]
РЕЗЮМЕ
41
Отрицательная транзитивность. Согласно
(2.1В) мы имеем
х<°у^(х <'г/, х<?у),
у <°*=*(у <Ч y<2z).
Поэтому ввиду отрицательной транзитивности отношений
<' и <2 должно быть (х <' z, х <2z), так что из (2.19)
следует х <°z.
Если множество Х/л; конечно, а отношение -< является
полуупорядочением, то функцию а в (2.14) можно
выбрать так, чтобы она была на множестве X постоянной.
Конструктивное доказательство этого факта приведено
у Скотта и Сапса [1], а также у Сапса и Циннеса [1].
В другом доказательстве, аналогичном доказательству,
данному Скоттом [1], используется теорема об
альтернативе, которая будет рассмотрена в главе 4. В упражнении
4.18 приводится набросок альтернативного доказательства
следующей теоремы.
Теорема 2.9. Предположим, что отношение -<
является полуупорядочением на множестве X, а множество
Х/«? конечно. Тогда на X существует такая веществен-
нозначная функция и, что
х-<у -«=>■и(х)i+_ 1 < и (у) для всех i,jgI (2.20)'
Если соответствующим образом изменить функцию и,
то в (2.20) вместо 1 можно взять любое положительное
число.
§ 2.5. Резюме
Бинарное отношение на множестве является слабым
упорядочением, если оно асимметрично и отрицательно
транзитивно. Определяя отношение безразличия ~ как
отсутствие строгого предпочтения, мы получаем, что
отношение ~ на множестве X является эквивалентностью
(т- е. рефлексивно, симметрично и транзитивно), если
отношение -< на X является слабым упорядочением. Если
множество XJ ~ классов эквивалентности в смысле
отношения ~ исчислимо, то при условии, что отношение -<
является слабым упорядочением, элементам х, у, ...
множества X можно поставить в соответствие полезности

42' УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ, 2
и(х), и (у), ... таким образом, что х -< у -*=*- и (х) <.и(у).
Отсюда следует, что х ~ у -*=*■ и (х) = и (у).
Отношение предпочтения является строгим частичным
упорядочением, если оно нерефлексивно и транзитивно. В
этом случае отношение безразличия может не быть
транзитивным, но отношение fa, определенное соотношением
xfay-^~(x~z'^y~z для всех z eX),
является эквивалентностью. Если отношение -< па
множестве X — строгое частичное упорядочение, а множество
XI fa исчислимо, то полезности могут быть поставлены
в соответствие элементам множества X таким образом,
что и(х) < и(у), если х-<у, и и(х) = и(у), если х fa у.
Интервальные упорядочения и полуупорядочения
занимают промежуточные положения между строгими
частичными упорядочениями и слабыми упорядочениями.
Если отношение -< на множестве X является
интервальным упорядочением или полуупорядочением, а множество
Х(fa исчислимо, то мы получаем, что х-^у^^- интервал
1(х) лежит целиком левее 1(у), где функция / ставит
в соответствие каждому ieX некоторый интервал
вещественных чисел. Если отношение -< является полуупо-
. рядочением и множество X/fa конечно, то все интервалы
безразличия можно сделать одинаковыми по длине.
Упражнения
Указатель. 1. Счетпые множества. 2. Бинарные отношения.
3. Слабое упорядочение. 4. Квазиупорядочение. 5—7.
Асимметричное транзитивное замыкание. 8. Эквивалентность. 9. Разбиения.
10—13. Интервальные упорядочения и полуупорядочения. 14.
Выборочные множества. 15, 16. Декартовы произведения. 17, 18.
Лексикографические упорядочения. 19. Теорема 2.2. 20, 21.
Множества и отношения.
1. Доказать, что счетны следующие множества:
a) {2, 4, 6, ...} — множество всех целых положительных
четных чисел;
b) {...,-2,-1,0,1,2,...};
c) множество всех положительных рациональных чисел- (у к а -
я а н и е: расположить рациональные числа в виде двумерного
массива, в первой строке которого стоят 1/1, 1/2, 1/3, .. ., во второй
строке 2/1, 2/2, 2/3, ... и т. д.);
d) множество всех рациональных чисел.
2. Считая Y множеством всех живущих в настоящее время
людей, установить смысл отношений 1) —4) из § 2.1. и проворить,

УПРАЖНЕНИЯ
43
какпмп из свойств с pi по р9 обладают бинарные отношения,
определенные следующим образом:
' а) «является потомком»;
b) «состоит в браке с» (предполагая моногамные отношения в
обществе);
c) «состоит в ораке с» (допуская полигамию);
d) «является ровесником»;
о) «является отцом или матерью такого же числа детей, что и».
3*. Предположим, что отношение =<^ па множестве X транзи-
тшшо и связпо, а отношения <^ и ~ определены следующим
образом:
х < У <=>- У ^ ж,
х ~ у -4Ф- (х ^ у, у ~s х).
Доказать, что отношение -^ является слабым упорядочением,
а отношение эквивалентностью.
4*. Отношение ^ на множестве X называется
квазиупорядочением, если оно рефлексивно и транзитпвно. Доказать, что если
отпошоние <; на 2 является квазиупорядочением, а отношения
<( ц ~ определены, как в упражнении 3, то
a) отношение ~ на X является эквивалентностью;
b) отношение <( на X является строгим частичным
упорядочением;
c) (х ~ у, у < z) =>- х < z, (х < у, у ~ z) =>- х < z.
5*. Если <( — бинарное отношение на множестве X, то его
транзитивным замыканием будем называть отношение <С', для
которого х <(' у -фф- х <( у или найдутся такие х\, х2, ..., хш е X, что
X "% Х\, Х\ <^ X'2t . . ., Xm—i ■% Xmy Xm ~\ у.
Доказать, что если отношение -К* асимметрично, то оно
является строгим частичным упорядочением.
6* (п р о д о л ж е н и е). Предположим, что множество X
исчислимо. Используя теорему 2.5, доказать, что вещественнозначная
функция и на множестве X, удовлетворяющая соотношению (2.10),
существует тогда и только то1да, когда отношение '<(
асимметрично.
7 (продолжение). Привести пример отношения -< на
множестве X, транзитивное замыкание которого асимметрично, и если
Функция и удовлетворяет (2.10), а отношение я* определено
формулой (2.6), то функция и не может удовлетворять еще и
соотношению (2.11).
8. Используя (2.2) и (2.6), доказать, что если отношение -< на
множестве X асимметрично, то отношение « является
эквивалентностью.
9*. Разбиением множества Y называется семейство таких
непустых подмножеств множества Y, что любой эломепт х е Y
принадлежит ровно одному элементу разбиения. Доказать, что любое
Разбиепие множества Y является множеством классов
эквивалентности, порожденных некоторым отношением эквивалентно-

44 УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ [ГЛ. 2
10. Доказать, что (р2, рЮ) =>- р& (транзитивность) и что
(Р2, pU) =>- pG.
И* (предложено Ф. Робортсом). Пару (X, ~) будем
называть интервальным графом, если любому ieJi можно поставить
в соответствие вещественный интервал Цх) так, чтобы для всех
х, у е X соотношение х ~ у выполнялось тогда и только тогда,
когда интервалы 1{х) и 1(у) пересекаются. Доказать, что для
исчислимого множества X отношение <[ на X является интервальным
упорядочением тогда и только тогда, когда «< транзитивно, а пара
(X, ~) является интервальным графом.
12* (продолжение) (Роберте [1]). Пусть множество X
конечно. Доказать, что отношение -< на множестве X является
полуупорядочением тогда и только тогда, когда пара (X, ~)
является интервальным графом, а (х ~ w, у ~ и>, z ~ w, х ~ у, у ~ г,
х ~ г) неверно ни при каких х, у, z и w из X.
13. Показать, что если выполняется (2.20), где отношение <
является полуупорядочением, а множество X конечно, то для
любого а > 0 существует такая вещественнозначная функция va на X,
что для всех х, у е X имеет место
X < У -Ф4- Va(x) + a <Va(y).
14* (Эрроу [1]). Пусть функция F (функция выбора)
такова, что каждому непустому подмножеству У множества X она
ставит в соответствие некоторое его непустое подмножество, причем
F (Y) ^Y ж F{Y)^ 0 для Y Ф 0, Fgl Рассмотрим следующие
условия, которым может удовлетворять функция F.
Транзитивность. y^F({x, у}), z^F({y, г}) =ф- z e
Расширение. F(y) —{х: х е Y и х eF({i, у}) для любого
у е У} при условии, что множество {х: ...} непусто.
Транзитивное расширение (ТР). Если х, у е Y,
х, i/e У*, xeeF(Y) и y<£F{Y), то y<£F(Y*).
Интерпретировать вербально каяадое из этих условий, если
F{Y) является множеством наиболее предпочтительных в
множестве У элементов для некоторого индивидуума. Эти элементы
составляют его множество выбора. Затем в предположении конечности
множества X доказать, что транзитивность и расширение
выполняются тогда и только тогда, когда имеет место свойство ТР. При
этом может оказаться полезным заметить, что если х ^ у ц=*- у е
g?({i, у}), то отношение ^ транзитивно и связно при
выполнении свойства транзитивности, и что если выполняются первые два
условия, то
F(Y) = (i: i е У и j g зГдля всех у е У}.
15. Показать, что множество
{(xi, х2): xi и Х2 — полояштельные целые числа}
счетно.
16* (п р о д о л ж ени е). Декартовым произведением множеств
Xi и Х2 называется
Xi X Х2 = {{хи х2): xi <= Xi и х2 е Х2).

УПРАЖНЕНИЯ
45
Используя предыдущие результаты, показать, что если оба
множества Х\ и Х-2 являются счетными, то и Х\ X Х2 счетно.
17* (продолжение). Пусть X =XiXX2, где X, = {1,
2 .. •} и Х2 — множество всех рациональных чисел, содержащихся
между 0 и 1, включая границы этого промежутка. Определим
отношение «ч на множестве X, положив
(Ti, Х2) < (г/1, У г) ■*> «1 < у, ИЛИ (Ж; = у,, Х2 < 1/2).
(Это слабое упорядочение называется лексикографическим
упорядочением, так как оно упорядочивает пары чисел подобно двубук-
венным словам в словаре.) Выписать точную формулу для
функции и, которая на множестве Х\ X Х2 удовлетворяет (2.5).
18* (продолжение). Пусть отношение -< определено как
в предыдущем упражнении, за исключением того, что в качестве
Xi мы примем множество всех рациональных чисел сегмента '[О, 1J,
а Х2 = {1, 2, ...}, т. е. множество целых положительных чисел.
Теорема 2.2 утверждает, что существует вещественнозначная
функция и на множестве X = Х\ X Хг, которая удовлетворяет (2.5).
Можно ли выписать точную формулу для функции и, которая на
множестве Xt X Х2 удовлетворяет (2.5) ? Если нельзя, то объяснить,
почему.
19. Доказать теорему 2.2 при условии, что множество Xj ~
конечно.
20*. Пусть запись вида ЛеВ означает, что множество А
является подмножеством множества В, а А = В тогда и только тогда,
когда А е В и В s А. Множество А [) В является множеством всех
элементов, принадлежащих А или В, а множество А П В —
множеством всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Пусть
символ 0 означает пустое множество (множество, не содержащее
элементов). Положим Д = {(ж, х): ж <= У}, где У —некоторое
множество; далее положим
В?={(у,х):{х,у)(=Щ, . ._ ■■•
где R является бинарным отношением на У, и
RS = {(х, г): найдется такое у <= Y, что xRy и ySz},
где Л и S— бинарные отношения на У. Выразить pi через pii из
этой главы в терминах данных определений. Например, pi можно
записать в виде Д s R.
21 (продолжение). Проверить, что если данные множества
являются бинарными отношениями на некотором множестве У, то
a) Д' — Д, 0' = 0 (0 является пустым бинарным
отношенном) ;
b) (AUB)'= A'UВ', (АПВ)' = А'1)В';
c) {АВ)С = А{ВС); :
d) А0 = 0А = 0; '
e) ЛД = ДЛ = А;
i) ЛеВ и С sD влечет ЛС = В£>. (По поводу дальнейшего
материала такого рода ем. цвету Чипмена [1].)

Г л а в а 3
ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ
МНОЖЕСТВ
В этой главе теория функций полезности,
сохраняющих отношение предпочтения, распространяется на
неисчислимые множества альтернатив. С этой целью вводится
новое понятие «плотности относительно упорядочения».
Поело доказательства основных теорем для слабых
упорядочений и строгих частичных упорядочений мы
рассмотрим отношения предпочтения на подмножествах
и-мерного евклидова пространства. Глава завершается
обсуждением непрерывных функций полезности.
Неисчислимым называется множество, которое не
является исчислимым, т. е. ни конечным, ни счетным.
Следующие примеры вводят некоторые новые термины.
1. Множество всех вещественных чисел неисчислимо.
Это множество, обозначаемое через Re или ■£'*),
называется одномерным евклидовым пространством. Промежутки
[а, Ъ] .= {x:a<Lx<^ &}, [а, Ъ) = {х:а ^ х < Ь},
(а, Ь] = {х : а < х :g Ъ), (а, Ъ) = {х : а < х < Ь}
неисчислимы, если а ■< Ъ. Промежуток [а, Ь] называется
сегментом, а промежуток (а, Ь)—интервалом. Записью
вида (а, Ь) пользуются также для обозначения упорядо-
ченностей пары элементов. Смысл употребления этой
записи будет ясен каждый раз из контекста.
2. Множество
{(хи х2, ..., хп): XjeRe для i= 1, ..., п},
обозначаемое через Re" или Еп и называемое п-мерным
') А таюко через R1. (Прим. перев.)

§ 3.U АКСИОМА ПЛОТНОСТИ И СЛАБЫЕ УПОРЯДОЧЕНИЯ 4?
евклидовым пространством, является неисчислимым.
Пространство Re2 представляет собой вещественную
плоскость. В векторе (xi, х2, . ■., хп) число х{ называется
i-й компонентой.
3. Множество
{(хи х2, ...): х{ <= {О, 1} для i =, 1, 2, ...}
является неисчислимым. Хотя множество
{(xv, х2, ..., хп): Xi<^;{0, 1} для i= 1, 2, ..., n}
для любого п конечно, данное «счетномерное» множество
оказывается неисчислимым (а не счетным). С другой
стороны, множество
{(хи х2): Xiе{1, 2, ...} для г = 1, 2}
является счетным.
§ 3.1. Аксиома плотности и слабые упорядочения
Распространим теорему 2.2 на случай, когда
множество X/ ~ но обязательно исчислимо. Введем для этого
условие, касающееся понятия плотности относительно
упорядочения.
Определение 3.1. Пусть R является бинарным
отношением на множестве Y. Множество ZeT
называется R-плотным в множестве Y, если для любых х и у,
принадлежащих Y, но не принадлежащих Z, и для
которых xRy, найдется такое z^Z, что (xRz, zRy).
Так как между двумя любыми вещественными
числами найдется рациональное число, то исчислимое *)
множество рациональных чисел является < -плотным в Re.
В следующей теореме отношение ~\' на множестве Х/~
определяется формулой (2.4).
Теорема 3.1. Существует такая вещественнозначная
Функция и на множестве X, что эквивалентность
х-<У <=> и(х) < и(у) для всех х, jeX (3.1)
имеет место тогда и только тогда, когда отношение -< на
л является слабым упорядочением и существует исчис-
) Фактически — счетное. (Прим. перев.)

48 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. 3
лимое подмножество множества Х/~, которое являете!,
-^.'-плотным в Х/~ *).
К сожалению, это условие сепарабельности
относительно упорядочения не имеет простой интуитивной
интерпретации. Чтобы показать, как это условие может
нарушиться, возьмем X = Re2 и положим отношение -<
лексикографическим упорядочением:
(хи х2) -< (г/i, г/2) ^ *\ < У\ или («i = уи х2 < у2).
Тогда Х/~ ={{4:хеХ), так что {ж}-<'{у}-*5*-1х-<у.
При фиксированном х\ требуется по меньшей мере
счетное подмножество множества Re, чтобы получить плотное
относительно упорядочения -< подмножество множества
{xi}XRe. Но таких х\ имеется неисчислимое множество,
откуда следует, что Re2 относительно упорядочения -<.
сеперабельным не является.
Рассмотрим еще один пример. Положим Х = [—1, 11.
Абсолютная величина числа х, обозначаемая через \х\,
определяется как \х\ = х, если х >■ 0, и \х\ = —х, если
х <С 0. Определим отношение ~\ на множестве X, положив
х-<у<=>\х\<\у\ или (\х\ = \у\, х<у).
Предположим, что Y является -Ч-плотным
подмножеством [—1, 1]. Пусть ie(0, 1]; тогда —х-<х и среди
чисел у, для которых \у\ ф \х\, не существует такого, что
—х -< у -< х. Следовательно, для любого х е (0, 1] либо
—х, либо х должны принадлежать множеству Y. Таким
образом, каждое подмножество Y, -Ч-плотное в множестве
[—1, 1], содержит подмножество, находящееся во
взаимно однозначном соответствии с промежутком (0, 1],
который неисчислим.
Доказательство теоремы 3.1. Перед тем как
приступить к доказательству теоремы, введем несколько
дополнительных понятий. Если А ж В — множества, то объеди-
*) Согласно традициям русской математической терминологии,
наличие в множестве исчислимого, плотного относительно
некоторой топологии подмножества называют сепарабельностью
данного множества. Придерживаясь этой терминологии, мы будем
называть множество сепарабелъным относительно некоторого
упорядочения (а если не будет возникать опасности недоразумения —
просто сепарабелъным), если оно содержит исчислимое
подмножество, плотное относительно этого упорядочения {Прим. перев.)

g 3 И АКСИОМА ПЛОТНОСТИ И СЛАБЫЕ УПОРЯДОЧЕНИЯ 49
нением А \) В множеств А и В называется множество
всех элементов, принадлежащих А или В. Разностью
А\В называется множество всех элементов множества
А, не принадлежащих В.
Пусть А — множество чисел, каждое из которых
меньше некоторого числа, не принадлежащего множеству А.
Тогда наименьшей верхней границей, или супремумом
множества, называется наименьшее из чисел, но
меньших, чем любое число из А:
sup А = наименьшее у, для которого хг=ку при всех iel
Если все числа из множества А превосходят некоторое
число, не принадлежащее А, то наибольшей нижней
границей, или инфимумом множества А, называется
наибольшее из чисел, не больших, чем любое число из А:
inf А = наибольшее у, для которого у ^ х для всех ле4.
Например, sup{l, 2, 3}= 3, inf{l, 2, 3} = 1, sup(0, 1)= 1
и inf (0, 1) = 0. В последних двух случаях sup Л и inf A
не принадлежат множеству А.
Доказательство необходимости. Пусть
выполняется (3.1). Тогда отношение -< па множестве X
должно быть слабым упорядочением, а отношение -<' па
множестве Х/~ —строгим упорядочением, причем
а-<'Ъ -*=*- и(я)< и(Ъ),
где и(а)— и(х) для ien. Пусть W — исчислимое
множество сегментов из Re1 с различными рациональными
граничными точками. Для каждого / е Ф, содержащего
некоторое значение и(а) для иеХ/~, выберем одно
такое а. Пусть множество А — подмножество Х/~,
полученное в результате такого рода выборов. Множество А
исчислимо. Положим далее
К = {(Ь, с):Ь, сеХ/~ \ А, Ъ~<гс, не существует такого
й£/1, что Ь-<'а-<'с).
Если (Ь, с)^К, то не существует такого йеХ/~,
что Ъ -<' а -<' с, так как в противном случае существовал
бы элемент йеЛ, для которого выполнялось бы Ъ -<' d-<f
~^ с, поскольку для каждой точки в интервало
\и{Ь), и(с)) существует сегмент /ge^, содержащий эту
4 тт
а, Фишберн

50 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. 3
точку, и для которого Icz(u(b), u(c)). Следовательно,
никакие два интервала (и(Ь), и (с)), где (Ъ, с)^К, не
пересекаются, так что множество К должно быть
исчислимым. Следовательно, исчислимо и множество
В = {Ъ: Ье!/~, существует такое сеХ/~, что
пара (Ь, с)с=.йГшш (с, fc)el},
а следовательно, и множество А[]В. Более того, если
Ь, сеХ/~ \4lJ-B и b -<' с, то существует такое
а^АЦВ, что Ь<' а<' с.
Таким образом, для выполнения (3.1) условие
сепарабельности относительно упорядочения необходимо.
Доказательство достаточности.
Предположим, что отношение -< на X является слабым
упорядочением, и будем иметь дело со строгим упорядочением ~^'
на Xj ~. Мы будем предполагать, что множество А
включает наименее и (или) наиболее предпочтительные в
смысле -К' элементы Х/~, если такие существуют, и что
множество А исчислимо и -^'-плотно вХ/~,
Положим
В =\Ъ: ЬеХ/~\4ц либо множество
{а: а(=А, b -<' а) имеет наименее предпочтительный
элемент аь, либо множество {с: с е= А, с -<' Ь} имеет
наиболее предпочтительный элемент сь}.
Пусть 6 g Х/~\4, а множества {а: а^А, Ъ -<' а]
и {с: с е= А, с -<' Ь} суть непересекающиеся
подмножества А, объединение которых совпадает с А. Отсюда
следует, что любое данное а может быть элементом аь не
более чем для одного b e Х/~\А и что любое данное с
может быть элементом сь не болео чем для одного
b e Х/^ \^1- Следовательно, множество В исчислимо,
а поэтому исчислимо и множество С = A \JB. Более того:
1. Ни для какого элемента b (= Х/~ \C не
существует наименее предпочтительного элемента a (= {а:
а<=С, Ь-<'а);
2. Ни для какого элемента b е XI~\C не
существует наиболее предпочтительного элемента с(^{с: с е С,
с<'Ъ).
Для доказательства этого предположим, что
утверждение 1 неверно и для некоторого b e Х/~\С найдется
наименее предпочтительный элемент аь в множестве

АКСИОМА ПЛОТНОСТИ И СЛАБЫЕ УПОРЯДОЧЕНИЯ 51
(а: а^С, Ъ~\'а). Тогда аь не может принадлежать
множеству А, так как в противном случае будет Ь<=В. Но
тогда для всех с^{с: с ge А, с-<'Ь} и для всех
вб{и: 4ё/1, Ъ-<'а) имеет место с -<' Ъ -<'аь -<'а,
причем в множество А но найдется элемента, лежащего между
Ъ и аь, что противоречит предположению о
сепарабельности множества XJ ~ относительно упорядочения.
Следовательно, утверждение 1 верно; аналогичпо
доказывается и утверждение 2.
Из доказательства теоремы 2.2 следует, что существует
такая вещественпозначная функция и на множестве С,
что
а -Ч' с ■<=>- и (а) <Г гг (с) для всех я, с е? С.
Положим для каждого b ge Х/~ \С
ць = {и (я): вЕ^Иа}, иь = {и (с): сеС,с-<Ь},
и пусть
B(b) = (supHb + infiib)/2, (3.2)
где sup иь ^ inf и\ так как и(с)<и(а) для всех с<=иь
и для всех а ge и6.
Из допущенных выше утверждений 2 и 1 вытекает,
что для каждого b ее X/~\C будет
и(с)<Гйирнь для всех и(с)еИ(,,
inf иь < ц(д) для всех w(a)GE&b.
Следовательно, и(с) < и(Ь) < и (а) для всех се{с:
сеС, с -<'Ь} и для всех аеЕ{а: яёС, Ъ-\'а).
Следовательно, если Ь ge Х/~\С ияёС, тогг(!1)^ и(а) и
расширение функции и, введенное в (3.2), сохраняет
упорядочение элементов b ge Х/~\С и элементов a ge С.
Предположим теперь, что Ь, с ge Х/~\С. Если Ь -<'с,
то существует такое aGE С, что Ъ~<' а -<'с, так что и(Ь) <
<^и(а) и и(а)<и(с) и, следовательно, &(£>)< и (с).
Наоборот, если ц(Ь)<»(с), то, по определению
супремума и согласно утверждению 1, существует такое и (a) gem6,
что и(Ь)< н(а)-< и (с). Это влечет И'ои а<' с, и,
следовательно, по транзитивности, b -<' с. Отсюда следует,
Что Для всех a, b<=>Xj~ должно быть а •<' Ь -^> и (а) <
^Ц(Ь). Полагая и(ж)=:и(а) при жена, получим (3.1).
4*

52 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ )ГЛ. 3
Приведенное доказательство было проведено по
схеме, намеченной Биркгофом [1] (стр. 32), а также Лыо-
сом и Сапсом [1] (стр. 263, 264). Нашо доказательство
напоминает также доказательство Добро ого ломмы II
[1] (стр. 101, 162).
§ 3.2. Предпочтение как строгое частичное
упорядочение
Рассмотрим теперь надлежащее обобщение
теоремы 2.5 на случай строгих частичных упорядочений. На
протяжении данного параграфа отношение -<* на
множестве X/ж определяется как в (2.7), где отношение ~
берется как в (2.6).
Теорема 3.2. Предположим, что отношение -Ч на
множестве X является строгим частичным
упорядочением и существует исчислимое подмножество множества
Х/~, -^-плотное в XIfa. Тогда существует такая ве-
щественнозначная функция и на X, что
х ~<у =*- и{х)<1 и(у) для всех х, jeX, (3.3)
х та у =*- и(х) = и(у) для всех х, jgI (3.4)
В этом случае условие сепарабельности относительно
упорядочения не является необходимым для выполнения
(3.3) и (3.4). Предположим, например, что X = Re, и
положим
х -< у -<=>- х < у п ух -\- п
для некоторого целого положительного п.
Тогда функция и(х) = х удовлетворяет (3.3) и (3.4) и
Х/« .= {{х}: iel}.
Если подмножество Z £= X исчислимо, то существует
такое х, что них, ни х + 1 не принадлежат Z. Но так как
х -< х + 1, но существует такого zeZ, что будет х -Ч z -<
-<х-\-\. Отсюда следует, что не существует исчислимого
подмножества в X/fa, которое -<*-плотно вХ/«,
Наше доказательство теоремы 3.2 основано на
остроумном доказательстве несколько более общей теоремы,
принадлежащем Рихтеру [1].
Доказательство теоремы 3.2. Пусть
выполняются условия теоремы. Тогда по теореме 2.3 отношение
*~<* на множестве Х/я? является строгим частичным упо-

§3.2]
ПРЕДПОЧТЕНИЕ КАК СТРОГОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ
53
рядочонием. Пусть множество А — исчислимое
подмножество множества XJ~, -^*-плотпое в пем. По
теореме 2.4 найдется строгое частичное упорядочение -<° на
Х/&, которое содержит отношение -<*: а -<* Ь =*- а-<° Ь.
Определим бинарное отношение Е на множество Xjta,
положив аЕЪ ■*=> а = b или (а, Ь<£А, и но существует
такого с е А, что а-<° с -<° Ь или Ь ~<° с-<°а). Тогда
отношение Е, очевидно, рефлексивно и симметрично, а
фактически является эквивалентностью на Х/яз. Чтобы
показать транзитивность, предположим, что выполняется
(аЕЬ, ЬЕс), где аф b ф с ф а (последнее — для
исключения тривиальных случаев). Если выполняется один из
четырех возможных случаев: (а-<°Ь, Ь -<° с) или
{а-<°Ъ, с-<?Ь), или (b^Pa, b-<°c), или (Ь-<?а, с-<4),
то не существует такого dei, что a-<0d-<0c или
c-~\°d-\°a. Следовательно, имеет место аЕс.
Пусть г, s и t суть классы эквивалентности из X/fv,
порожденные отношением Е. Это значит, что г е(Х/«)/Е.
Определим отношение -Ч1 на этих классах, положив
r-^'s-^-r^s и а-<°Ь для некоторых (а значит, и для
всех) неги b e s.
Так как отношение -<° на Xjm является строгим
упорядочением, а отношение Е на Х/ж является
эквивалентностью, отношение -<1 на (Х)ж)/Е должно быть
строгим упорядочением. Более того, множество
В = {/•; 7- <= (XJ«)/Е и существует такое а^А, что а^г}
является -К'-плотным в множестве (XJfa)/E.
Действительно, предположим, что г, s не принадлежат В и
r~<ls. Тогда, боря «его b^s, мы получим, что а-<°Ь
и я, 6^ А. Так как аЕЬ не имеет места, должно
существовать такое с^А, что а~<°с-<0Ь. Пусть сё|; тогда
Далее, из доказательства теоремы 3.1 следует, что
существует такая веществешюзначпая функция / на
множестве (X/tt)/E, что
r-<1s*>f(r)<f(s) для всех г, «е(Х/и)/£. (3.5)
Предположим, что я-<* Ь, где пег п Ь е s. Тогда
^~<° Ь. Следовательно, либо г = s, либо г -^'s. Если а или
о принадлежит множеству А, то гф^в, так как афЪ и,

54 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. 3
следовательно, аЕЬ. Если же а, Ь ^ А и г = s, то
соотношение а -<° с -<0 Ъ но выполняется ни при каком csi,
что неверно, так как А является -<*-плотным
подмножеством множества XIта, и, следовательно, если а-<*Ь и
а, ЪФА, то существует такое се Л, что в-<*с-<*Ь
(и таким образом выполняется а-<°с-<0Ь).
Следовательно, а -<* Ъ =*- г -ч1 5. Определяя и (а) = /(г), если «ег, мы
получим, что из (3.5) следует, что если а -<* Ь, то и (а) <
<и(Ь). Полагая ц(х) = ц(а), если ж е а, и отметив тот
факт, что если х~<у и (ген, jet), то а-<*Ь, мы
получим, что а; -< г/ =*- и(х) < и(г/). Ясно также, что при
х, у е а должно быть и (ж) = и(г/).
§ 3.3. Предпочтения в Re"
Во многих ситуациях, связанных с принятием
решений, отношения предпочтения подвержены влиянию
многочисленных факторов. Поэтому в значительной части
нашего дальнейшего исследования будут рассматриваться
преимущественно множества, элементами которых
являются наборы из п объектов. Если компонентами этих
наборов являются вещественные числа, то наборы
называются векторами.
В этом параграфе рассматривается частный случай,
когда множество X совпадает с Re" или является
прямоугольным подмножеством Re", причем под
прямоугольным подмножеством понимается декартово произведение
вещественных промежутков, в том числе, возможно, и
бесконечных промежутков (а, сю), т. е. множество всех
чисел — большие числа а, а также (— сю, сю) == Re *).
Если (xi, ..., х„) и (т/i, ..., уп) — векторы из Ren,
а а и [J — скаляры (вещественные числа), то мы
определяем умножение вектора на скаляр и сложение векторов,
полагая
ах + р?/= (ахь ..., ax„)-t-'($yu ■■-, №«) =
= (aa:i + Рг/i, ..., ахп+ $у„). (3.6)
*) Часто под прямоугольным множеством в По" понимается
декартово произведение л го б ы х подмножеств из соответствующих
Re1. Многие последующие утверждения могут быть
распространены и на этот общий случай. (Прим. ред.)

§ 9-э]
ПРЕДПОЧТЕНИЯ В Ее
После демонстрации примера изменения функции
полезности в случае возрастающих предпочтений в днумер-
ном пространстве мы рассмотрим формальную теорию,
охватывающую эти случаи.
Пример. Рассмотрим предпочтения президента
компании па множество двумерных векторов {х\, х2), где. х\
означает чистый доход за предстоящий год, а Х2 — долю
рынка сбыта.
^с
-о О о
'/ис/рая прибыло (миллионы долларов)
Рис. 3. Одномерные функции полезности, заданные па двумерпом
пространстве.
Пусть Х\ ='[—5 млн. долл., 5 млн. долл.] и Х2 —
='[10%, 30%]. График функции полезности, который
отражает предпочтения президента, показан па рис. 3.
Если отношение -< па множестве Х\ X Х2 является
слабым упорядочением и выполняется (3.1), то все пары
Ui, х2)е=Х1ХХ2 с одинаковыми значениями функции
полезности образуют элемент множества X/~. Эти
классы эквивалентности называют по-разному: кривые
безразличия, кривые обмена, траектории безразличия,
контуры равной полезности и т. п. Семейство всех кривых
безразличия па плоскости образует карту безразличия. На
Рисунке изображены две такие кривые на карте
безразличия.
Если бы отношение безразличия в этом примере по
°ыло транзитивным, то изложенная выше интерпретация
Для элемента множества Xj ~ по подходила бы.

56 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. 3
Возрастающие предпочтения и слабые упорядочения.
Пусть Х{ (i = 1, 2, ..., н) — непустые множества. Их
декартовым произведением будет
Xi X Х2 X ... ХХп — {(xi, X2, ..., хп): xt ен Xt при
i= 1, 2, ..., п}.
В этом пункте мы будем предполагать, что каждое
множество Xi является промежутком веществеппых чисел,
так что множество X = Х\ X ... X Хп является
прямоугольным подмножеством множества Re". Элементами
множества Xt могут быть, например, суммы денег,
вложенные в предприятие с номером i или заработанные
в t-й год, или ими могут быть количества t-ro товара,
закупленного в течение фиксированного периода
времени, и т. п.
Пусть
x = (xh ..., хп), у = (уи ..., Уп).
Тогда
х < г/ -<=>■ хфу и xi^iji для i = 1, ..., п.
Теорема 3.3. Пусть множество X является
прямоугольным подмножеством Re" и для всех элементов X
выполняется следующее.
1. Отношение -< на X слабым
упорядочением.
2. х < у =*- х ~<у.
3. (х~<у, у-<г)=> для некоторых а, ^^(0, 1) будет
ах-\-{{ — a) z-< у и г/ -< [5х + (1 — р)z.
Тогда существует вещественнозначная функция и на
множестве X, удовлетворяющая (3.1).
Условие 2 (его называют монотонностью, Или
ненасыщонностыо, или неудовлетворенностью, или
доминированием и т. д.) утверждает, что предпочтение
увеличивается при любом увеличении количества. Условие 3
является условием Архимеда, которое будет
использоваться при установлении исчислимого подмножества X,
плотного относительно упорядочения -<. Для выполнения
условия 3 в некоторых случаях может оказаться
необходимым, чтобы а было близким к единице, ар — близким
к нулю.

§ з.з]
ПРЕДПОЧТЕНИЯ В Re"
57
Для доказательства теоремы докажем сначала
следующую лемму.
Лемма 3.1. Из условий теоремы 3.3 следует, что
если х, у, ге X и х < у < z, ro существует ровно одно
такое осе(0, 1), чго у ~ ах + (1 — а)г.
Доказательство. Если не существует такого
ае(0, 1),*что у ~ow + (l — a)z, то из условий теоремы
следует, что существует такое Be(0, 1), для которого
выполняется либо
т/-<ах + (1— a) z для всех a 5S В, (3.7)
ах + (1 — a) z -< у для всех а > В, (3.8)
лябо
г/ -< ах + (1 — a) z для всех а < В, (3.9)
ах + (1 — a)z -< у для всех а =2 В. (3.10)
Рассмотрим второй из этих случаев. Из (3.10) и
условий теоремы следует, что Вх-|-(1 — B)z-<7/-<z.
Следовательно, по условию 3 теоремы 3.3 существует такое
аб(0, 1), что
a[Bx + (l-B)z] + (l-a)z-<I/,
или, что то же самое,
аВх 4- (1 — аВ) z -< г/.
Но так как аЗ < В, из (3.9) следует, что г/ -< аВх +
+ (1 — a3)z и мы пришли к противоречию.
Следовательно, (3.9) и (3.10) выполняться не могут.
Аналогично доказывается, что не имеют места (3.7)
и (3.8). Следовательно, существует такое йе(0, 1), что
У ~ ax-f(l — a)z. Если у ~ ajx + (1 — aj)z и j~
~a2x4-(l— 0,2)z, то но транзитивности отношения ~
будет
ai.c + (1 — aj)z ~ a2x -\-(1 — ct2)z,
что может быть верным лишь в случае а.\ = а2, так как
°сли а, < а2, то
а2ж + (1 — oc2)z < aix + (l — ai)2
8 случае х < z.

58 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. ?,
Доказательство теоремы 3.3. Имея в виду
теорему 3.1, мы должны доказать, что множество X/^
является сопарабельным относительно -<'.
Пусть Y{ — множество всех рациональных чисел плюс
одна из граничных точек множества X,-, принадлежащих
ему (если такие существуют). Пусть Zt = Х{ (] Yt.
Множество Zi исчислимо. Положим
Wt = {axt -\- (1 — a)yt:a — рациональное число,
содержащееся в [0, 1], и Xi, yt^Z,}.
Множество Wi исчислимо.
Пусть W=Wi X W2 X . . . X Wn. Тогда W также
является исчислимым множеством. Пусть множество А
состоит из всех элементов из Х/~, содержащих хотя бы один
элемент множества W. Множество А исчислимо, так как
каждый элемент х е W содержится ровно в одном
элементе ае^Х1~. Предположим, что a, b <= X/~\A,
причем а -< 'Ъ. Нам нужно показать, что существует такое
с^А, что а-<'с-<'Ъ. Для этого достаточно показать,что
если I, ye X\W и х-<у, то существует такое z<=W,
что х -< z -< у. Рассмотрим следующие два случая.
Случай 1. х<.у. Тогда существуют такие z1, z2 e
е Z[ X . . . X Zn, что z1 < х и у < z2. Из леммы 3.1 и
условий 1 и 2 теоремы следует, что существуют такие a, (j,
удовлетворяющие соотношению 0 < а < [3 < 1, для
которых будет
х~ ^z1 +(1-P)z2, г/ - az'+(l-a)z2.
Пусть f является произвольным рациональным числом из
интервала (a, [J). Тогда, по условиям 1 и 2 теоремы,
должно быть х -< fz1 -f(l — f)z2 -< у. Так как z\ z2 e
ен Zi X . .. XZ„ и число ч рационально, будет fz' +
+ (1-Т)22е Ж.
Случай 2. Неверно, что х <Су (где .г, г/ е Х\ W,
х-<у). Положим v{ = inf{х{, г/,}, гтл = sup {ж,-, г/,}. Тогда
v <l х ■< w и v <С у <. w. Отсюда следует, что
существуют такие а и (3, что 0 < а < [5 < 1, и что .г ~ [3z; +
+ (1 — [}) 72' и г/ — ay 4- (1 — a) i/л Так как
(37;+(1 — (3)7т; < ат;+(1 —a) 777,
из уже разобранного случая 1 следует, что существует

§3.31
ПРЕДПОЧТЕНИЯ В Re"
f>9
z^W, для которого
$v + {l — $)w~<z-<av+([ — a)w.
Следовательно, x~< z-<y. Теорема доказана.
Если с ростом xt e Xt предпочтение убывает, а не
возрастает, то теорему 3.3 можно использовать, заменив
переменную xt на у( — —xt.
Неубывающее предпочтение и строгое частичное
упорядочение. Мы завершим этот параграф теоремой,
условия которой, вообще говоря, слабее, чем условия
предыдущей теоремы. Мы будем иметь дело с
неотрицательным ортантом из Re":
{(xi, ..., хп): Xt Sg 0 для i = 1, ..., п).
Это множество часто используется в математической
экономике при исследовапии предпочтений потребителей или
выбора товаров потребителями. В таком контексте
векторы называются наборами товаров, х < у означает, что
Xi < у г для i = 1, ..., п.
Теорема 3.4. Предположим, что X является
неотрицательным ортантом в Re" и что на всем множестве X
выполняются следующие условия.
1. Отношение -< на множестве X является строгим
частичным упорядочением.
2. [(х<Су, y~<z) или {х-<у, у <1 х)] => х-< z.
3. х -< у => z < у для z, удовлетворяющих условию
х < z.
Тогда существует веществеинозначная функция и на
множестве X, удовлетворяющая (3.3).
Условие 2 дает представление о неубывании
предпочтения. Условие нерефлексивности и условие 2
утверждают, что х < у =*- у ~< х: г/величепио количества каждого
товара не уменьшает предпочтение.
В условии 3 утверждается, что если у
предпочтительнее, чем х, то можно так увеличить (может быть, весьма
незначительно) все компоненты вектора х, что у
останется более предпочтительным, чем увеличенный
вектор х.
Доказательство теоремы 3.4. Пусть выполнены
Условия теоремы. Положим, по определению, х -i xy <=>
"^x-iy или х<Су. Из условий 1 и 2 следует, что
отношение -<' является строгим частичным упорядочением.

60 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. з
По отношению -Ч1 можно построить отношения ~' и «',
подобно тому, как это было сделано в (2.2) и (2.6). По
теореме 2.3, отношение ~1 на множестве X является
эквивалентностью, а отношение -<■* на множестве Х/т\
определенное аналогично (2.7), является строгим
частичным упорядочением. Чтобы показать, что в множестве
Х/ж[ существует исчислимое -^'"-плотное подмножество,
достаточно показать, что множество рациональных
векторов в X (т. е. векторов, имеющих все рациональные
компоненты) является -< '-плотным в X. Предположим затем,
что векторы х и у не рациональны и х ~< 1у. Если х < у,
то существует такой рациональный вектор z, что х < z <
< у и, следовательно, х ~<iz~< ly. Если х-<у, то по
условию 3 существует такой вектор z, удовлетворяющий
х < z, что z -< у. Тогда найдется такой рациональный
вектор t, что х < t < z. По условию 2, ? -< г/.
Следовательно, ж -< ^ -< 'г/. Поэтому, по теореме 3.2, существует
веществепнозначная функция и на множестве X, для
которой выполняется соотношение х-<[у =^ и(х) <. и(у).
Тогда ввиду х-<у=>х-<{у должно быть х -< у =*- и(х) <
<w(l/)-
§ 3.4. Непрерывные функции полезности
Понятие непрерывности формализует интуитивное
представление о том, что если два элемента множества X
отличаются друг от друга лишь незначительно, то
значения функции полезности на этих элементах также
близки. Разница между элементами х и у может пониматься
либо в терминах их относительной близости в смысле
отношения -<, либо в терминах некоторой структуры в
множестве X, тем или иным образом связанной с
отношением -<.
Интерес к свойству непрерывности функции
полезности основан, в частности, на том, что когда оно имеет
место, функция полезности на надлежащим образом
ограниченных подмножествах X достигает максимального
значения. Предположим, например, что множество X яв-
- ляется неотрицательным ортаптом Re", а индивидуум
может потратить свой доход т 5=: 0 на приобретение п
товаров, цены па которые суть pi > 0, pi > 0, ..., р„ > 0.

§ 3.4]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ
61
Выбор индивидуума ограничен множеством
I " 1
(р, т) — \х: х <= X и ^Vi^i~.m\'
Если отношение -< удовлетворяет условиям теоремы 3.3,
то существует функция и, которая удовлетворяет (3.1)
и является непрерывной, и вектор х*<^(р, т),
удовлетворяющий соотношениям
^ipixi = m> sup{a(;r): x^(p, m)}= и(х*).
Если предположить, что отношение -< удовлетворяет
условиям теоремы 3.4, то существует некоторая функция
и, которая удовлетворяет (3.3) и является
полунепрерывной сверху, а также такой вектор х* е (р, т), что
sup{w(;r): x<=(p, т)} = и(х*).
(См., например, Тильман [1] (стр. 102).)
Определение непрерывности. Для того чтобы
рассмотреть общее определение непрерывности, нам потребуется
ввести следующие понятия. Объединением ({J)
семейства подмножеств множества X называется множество
элементов X, принадлежащих хотя бы одному из
объединяемых подмножеств. Пересечением (П) семейства
подмножеств множества X называется множество элементов,
принадлежащих каждому из этих подмножеств.
Определение 3.2. Топологией 3~ на множестве X
называется семейство*) таких подмножеств X, что
1) пустое множество 0 (которое является
подмножеством любого X) принадлежит 3~\
2) Х^Т;
3) объединение произвольного семейства множеств из
&~ принадлежит Э~\
4) пересечение любого конечного числа множеств из
&~ принадлежит 3~.
Если множество 3~ является топологией на X, то пара
\Х, £Г) называется топологическим пространством.
Принадлежащие Э~ подмножества X называются при этом
открытыми множествами.
*) Чаще принято говорить в таких случаях, что семейство £Г
задает топологию на X. (Прим. ред.)

02 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. з
Топологией °16 на множестве Re является множество
всех интервалов вместе с их произвольными
объединениями и конечными пересечениями*). Относительной
«обычной» топологией на множестве X £= Не будет при это.м
множество {А |~| X: А <= °U}. Если X — [0, 2], то сегмент
[0, 2] оказывается открытым множеством в такой
топологии, но это единственный непустой сегмент в
множестве X, который в этой топологии является открытым
множеством.
Определение 3.3. Если пара (X, 3~) является
топологическим пространством, то вещсственнозначяая
функция и на множестве X называется непрерывной в
топологии Э~, если
Предположим, что X = [0, 2] и <Г ={Af) [0, 2}:
/le?/}. Тогда функция и{х) — х для всех х ее X
непрерывна в топологии 2Г, по функция /, состоящая как бы
из двух частей: f(x) = х для х<= [0, 1] и f{x) = х-\-1
для 1ё'(1, 2], не является непрерывной, так как она
имеет разрыв, или скачок, в точке х = 1. Например,
(1/2, 3/2) е; °11, но мнозкество
{х: ie[0, 2], /(ж)е(1/2, 3/2)} =(1/2, 1]
топологии 3~ не принадлежит.
Необходимые и достаточные условия непрерывности.
Предположим, что функция и на множестве X
удовлетворяет условию (3.1) и является непрерывной в топологии
Т. Для любого у^Х множества {Ь: Ъ<.и(у)} н
{а: ц(г/)<й} открыты в топологии °U, следовательно,
множества {х: х е; X, x-iy) и {i: iel, У~^х)
должны быть в топологии Э~ открытыми для
любого у е; X. Вместе с тем, если функция и
непрерывна в топологии 2Г и если х-<у, так что и(х)<С
< и (г/), то существуют открытые множества Ах, Ау^'Ш,
для которых и(х)^Ах и а<.и(у) для каждого вёЛ
и и(у)^Ау и и(х)<. b для каждого 6 еЛв;
следовательно, во-первых, существует такое открытое множество
*) Очевидно, здесь и далее достаточно считать °U
совокупностью всех объединений произвольных семейств интервалов
(ибо пересечения конечных семейств таких объединений суть
такие же объединения). {Прим. ред.)

§ 3.4] НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ 03
fz: »(z)e/l*}, содержащее х, что z-<y для каждого z
из этого множества, а во-вторых, существует такое
открытое множество {w: в(»)е4,}, содержащее у, что
x-<w для каждого w из него.
В предыдущем абзаце были изложены два
необходимых условия непрерывности функции. Каждое из них
является также достаточным.
Теорема 3.5. Если пара (X, 9~) является
топологическим пространством и существует вещественпознач-
иая функция на множестве X, удовлетворяющая (3.1),
то для существования на X вещественнозначной функции,
не только удовлетворяющей (3.1), но и непрерывной в
топологии 0~, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
одно из следующих условий.
1. {х: х<=еХ, х<у\^Т и {х: iel, у -< х] е ST
для любого у <= X, или
2. если х, у е X и х ~\ г/, то существуют множества
Тх, Ту е &~, для которых х^Тх, у е Ту, х' -< у для
любого х' eft и х -<у' для любого у' е Ту.
Доказательство. Достаточность условий 1 и 2 для
непрерывности функции и можно установить, показав,
что условие 2 влечет условие 1, а из условия 1 следует,
что если некоторая функция и удовлетворяет (3.1), то
она непрерывна в £Г.
Пусть у — произвольный элемент X. Покажем, что
из условия 2 следует, что {.г-: х еХ, х -< у} е £Г (вторая
часть условия 1 доказывается аналогично). Если не
существует элемента igZ, для которого х -< г/, то {х: х е
еХ, х-<у} = 0, следовательно, это множество
принадлежит 9~.
Если х -< г/, то по условию 2 существует такое
множество Тх <= 2Г, содержащее х, что х' -< у для всех х' е
е Тх. Объединением всех таких Тх является множество
{#: а; е; X, х -< у}, а оно содержится в топологии 0~
согласно части 3 определения 3.2.
Для доказательства, что из условия 1 следует
непрерывность в топологии *3~ любой функции,
удовлетворяющей (3.1), воспользуемся рассуждениями Дебре [4].
Пусть функция и на множестве X удовлетворяет
условию (3.1) и и{Х)—{и{х): igX). Разрывом множества
и(Х) называется непустой промежуток I из Re, не
содержащий точек и{Х) в /, и если sg/, to

64 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. 3
/ = {Ь: и(х) < Ъ < и.(у) для всех
и(х)(='{и(х): xel, и(ж)< а} и для всех
и{у)<= {и{у): уевХ, а <и{у)}}.
Основная теорема Дебре [4] (см. стр. 285) утверждает,
что если функция и на множестве X удовлетворяет (3.1),
то на X существует такая функция v, удовлетворяющая
(3.1), что все разрывы множества v(X) являются
интервалами в топологии Ш *). Мы не будем
воспроизводить здесь доказательство Дебре этой теоремы
(стр. 285-289).
Пусть функция и на множестве X удовлетворяет
условию (3.1) и все разрывы множества v(X) открыты.
Пусть aeRc и (—оо, a)^°U является интервалом всех
чисел, меньших, чем а. Пусть а — v(y); если ее и{Х),то
{х: v(x)^(—ooy а)} = {х: х-<у].
Последнее множество по условию 1 принадлежит W.
Если a^v(X) и а принадлежит разрыву множества
v(X), который имеет вид (аи а2) (т. е. если а^{а\, аз)
и а\, а2 ge v(X)), то имеет место равенство
{х: v(x)^( — oo, а)} = {х: x-<z},
где а2 — v(z), и снова по условию 1 последнее
множество принадлежит 3~. Если, наконец, a^v(X) и а не
принадлежит разрыву v(X), то выполняется либо
1) a^mfv(X), так что множество {х: v(x)^
е( — оо, а)} =0 и принадлежит %Г, либо
2) sup v (X) ^ а, так что множество {х: v(x)^
е( —оо, а)}=Х и принадлежат S7", либо
3) а = sup{v(x): ieX, v{x)<.a),
так что множество {х: v(x)<^( — oo, а)}, которое
является объединением всех множеств вида {х: х ~< у, v(y) < а},
принадлежит Т (так как каждое из объединенных
множеств принадлежит Т). Таким образом,
{х: v(x)<=\(—oo, s))ef
для любого а е Re; аналогично доказывается, что
{х: v(x)^(h, oo)j ^ST
'С
*) Такие разрывы, собственно, и называются скачками,
{Прим. ред.)

§ 3.41
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
65
для любого Ъ е Re. Так как любой ограниченный
интервал (о, &)^^ является пересечением множеств (а, оо)е
<^°и и •( —°°, Ь)^Ш, множество {х: v{x)^(a, b)}
является пересечением двух множеств из Э~ и,
следовательно, принадлежит *3~. Поскольку любое множество 4е?/
можно представить в виде объединения произвольных
семейств и пересечений конечных семейств интервалов
из Re, соответствующее множество {х: v{x)^A) может
быть аналогичным образом представлено при помощи
множеств из 3~ и, следовательно, оно принадлежит Э~.
Вклад в теорию непрерывных функций с
рассмотренной в данном параграфе точки зрения был сделан также
Эйленбергом [1], Ньюменом и Ридом [1] и Рейдером [1].
Условие 2 теоремы 3.3 совпадает с условием В,
помещенном на стр. ШО статьи Ньюмена и Рида. В статье Дебре
[4] содержатся наиболее важные результаты в этой
области.
Непрерывность возрастающих полезностей в Ren.
В случае множества Re" возьмем в качестве
°Un множество всех открытых прямоугольников
вместе с их произвольными объединениями и
конечными пересечениями. Пусть множество X есть
прямоугольное подмножество Ren. В данном пункте
рассматривается непрерывность функции и на множестве Xв смысле
относительной топологии {А[)Х: А<^Шп).
Следующая теорема несколько отличается от очень похожих
теорем о непрерывности, которые обсуждались в работах
Уолда [1], Уолда и Юрепа [1], Йокоямы [1], Дебре [2],
а также Ньюмена и Рида [1]. Доказательство аналогично
доказательству, приведенному в работе Йокоямы.
Теорема 3.6. В условиях теоремы 3.3 существует
вещественнозначная функция и на множестве X,
удовлетворяющая условию (ЗА), и непрерывная в топологии
{А[\Х\ А^Шп).
Доказательство. Принимая во внимание
теоремы 3.3 и 3.5, нам остается только показать, что при
сделанных предположениях выполняется условие 2 теоремы
3.5, где Т — {А П X: /1е Шп}. Покажем, что из Т =
= {Af)X : А <= °Un) и х -\ у вытекает существование
Ту <= &~, для которого у^Ту п х -< z при любом z e Ту.
Доказательство утверждения, касающееся множества Тх,
проводится аналогично и предоставляется читателю.
" П. Фишберн

66 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. з
Итак, пусть х-<у. Пусть i?i = inf{;ri, у!}, и если
существует элемент множества Xt, меньший, чем v(, то
положим V{ равным любому такому элементу; в противном
случае положим v* = vt. Тогда г/ SS v, v :£ х и v < у.
Если v' = х, то x-<z для всех z^ x, ъ<^.Х и любое
множество r„, содержащее у и не содержащее я,
удовлетворяет требуемым условиям. Впредь мы будем
предполагать, что v' < ж; таким образом, v' -<х-<у, из чего по
условию 3 теоремы 3.3 следует, что существует ае(0,1).
для которого жЧса/+(1 — а) у.. Таким образом, aui -f-
-f- (1 — а) г/{ rfSi/i для всех i, причем для некоторого i
выполняется строгое неравенство. Возьмем число е > О,
меньшее, чем самое малое из тех чисел вида у( —
— [av'i + (1 — а)У{\ которые положительны. Тогда
av'i + (1 — a)yi<yi — е
для всех i, для которых
Уг — [av'i + (1 — a) z/i] > 0.
Если Vi = у{, то любое z,-, меньшее, чем г/,-, не
принадлежит множеству Xj. Положим
Ту = (j/i — е, У! + 8) X (у2 — е, уг + е) X ...
• • • X (г/„ — е, г/(1 + е)
и 71,, = Ту Г) X. Тогда Г,е?в для любого zef, будет
со/+ (1 — а)г/< z. Таким образом, х-iz для любого
геГг
Полунепрерывность сверху и строгое частичное
упорядочение.
Определение 3.4. Если пара (X, ^7~) является
топологическим пространством, то вещественнозначпая
функция и на множестве X называется
полунепрерывной сверху в топологии &~, если
{х: з;е1, и(х) <1 с} ^£Г
для любого вещественного числа с. (3.11)
Полупепрерывность снизу определяется при помощи
того же соотношения (3.11), но с заменой знака ■< на
знак >. Пусть на множестве X задана ограниченная ве-

§3.4]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
67
тественнозначная функция /; определим на X функцию
и, положив
M(z) = inI{sup{/(0): »е2'}: х е= 2', Те Г}. (3.12)
Для заданного вещественного числа с предположим,
что не существует х, для которого u(ai)-<c. Тогда
множество {х: ieZ, и (#)<£} будет пустым,
следовательно, оно должно принадлежать 3~. Пусть теперь такое
х е X, что и (х) < с, существует. Тогда существует Тх е
е^", для которого жеТ, и sup{/(r/): у ^.Тх) <. с. Из
(3.12) следует, что для каждого у <=ТХ должно быть
и(г/)<с. Следовательно, для каждого ж, для которого
м(ж)<с, найдется такое множество Txe.ST, что iefs
и u(y)<ic для каждого у<^Тх. Объединение всех таких
множеств Тх будет совпадать с множеством {х: х ее X,
и{х)<с} и, по определению 3.2 (3), это объединение
принадлежит д~. Следовательно, функция и
полунепрерывна сверху в топологии Э~. Мы воспользуемся этим фактом
при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 3.7. Из условий теоремы 3.4 следует
существование веществепнозначной функции на множестве
X, удовлетворяющей условию (3.3), которая
полунепрерывна сверху в топологии {А\~\Х: А ^.Ш).
Доказательство. Как и при доказательстве
теоремы 3.4, определим на неотрицательном ортанте Re"
отношение ~\1 как объединение отношении -< и <. Из
упомянутого доказательства следует, что существует ве-
щественпозначпая функция / на множестве X, для
которой х-< hj =*- f{x) < /(г/). Используя, если нужно, простое
монотонное преобразование, можно свести дело к
случаю ограниченной функции /. Тогда, если функция и
определена, как и в (3.12), то она является
полунепрерывной сверху в относительной топологии
«Г = {Л\]Х: /1е%!"}.
Нам осталось показать, что х -< у =*- и(х) < и(у).
Предположим, что х-<у. Тогда по условию 3 теоремы
3.4 z -< у дЛЯ некоторого геХ, для которого х < г. Но
т°гда существует открытый прямоугольник Тх е ST,
содержащий х, все элементы которого строго меньше г, так
ч*° f(t)<.f(z) для всех t<=Tx: таким образом,
"(*)^/(z). Имея z-<y*>f(z)<f(y) и f(y)^u(y),

(J8 ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ НЕИСЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ [ГЛ. 3
по определению и, это дает и(х) ■< и{у), что и
требовалось.
Методом, использованным в этом доказательстве,
автор обязан Гурвицу и Рихтеру [1].
§ 3.5. Резюме
Если множество X по является исчислимым и
отношение -<. на X — слабое упорядочение, то предпочтения
могут быть адекватно описаны при помощи веществен-
нозначных функций в том и только в том случае, когда
множество X содержит исчислимое подмножество Y, для
которого из i-<i/ следует существование такого z е= Y,
что (х -< z или х ~ z) и (z ~ у или z -< у).
Лексикографические упорядочения по предпочтению
представляют собой примеры, когда это условие
плотности нарушается. Если отношение -< является лишь
строгим частичным упорядочением, то, как было доказано,
сепарабельность относительно упорядочения является
достаточным, но не необходимым условием существования
веществеинозпачной функции полезности.
Если X является прямоугольным подмножеством п-
мерного евклидова пространства и предпочтение
возрастает (или не убывает) с ростом каждой из компонент
вектора iel, то условия, которые дают лучшее
интуитивное представление, чем просто плотность
относительно упорядочения, приводят к вещественнозпачной
функции полезности.
Если (3.1) имеет место для функции и на
множестве X, то на множестве X непрерывная (в конкретной
топологии ЯГ) функция полезности существует тогда и
только тогда, когда из условия х -< у следует
существование двух подмножеств множества X, принадлежащих
ЯГ, одно из которых содержит X и все элементы которого
менее предпочтительны, чем у, а другое содержит х, и вей
его элементы более предпочтительны, чем х.
Из условий, налагаемых на -< и используемых в
теоремах о слабом упорядочении и строгом частичном
упорядочении для полезпостен на областях из Re™, следует
также существование непрерывной (в случае слабого
упорядочения) и полунепрерывной сверху (в случае
строгого частичного упорядочения) функций полезности.

УПРАЖНЕНИЯ 69
Упражнения
Указатель. 1. Неисчислимые множества. 2. Плотность множества
рациональных чисел. 3. Лексикографическое упорядочение. 4.
Теорема 3.1. 5. Теорема 3.2. 6, 7. Операции над векторами. 8. Карта
безразличия. 9, 10. Лемма 3.1. 11. Асимметричное транзитивное
замыкание. 12. Дискретная топология. 13. Сегмент не является открытым
множеством. 14. Отсутствие непрерывности. 15. Теорема 3.5. 1G—18.
Связные топологические пространства. 19. Теорема 3.4. 20. Полупе-
нрерывность снизу. 21, 22. Условие непрерывности Уолда. 23.
Выпуклые множества.
1. Доказать, что множество Re неисчислимо; предположить с
этой целью, что множество
{0, xi, xi, х3 ...: xi е {1, 2} при I = 1, 2, 3, ...} s Re
исчислимо*), и показать, что это предположение неверно.
Показать также, что множество
{(■г'1, х^ ...,): xi e {0, 1} для всех 1}
неисчислимо.
2. Пусть а и Ъ — числа, причем а < Ь. Доказать, что
существует рацноиальпое число, принадлежащее интервалу (а, Ъ);
использовать для этого тот факт (или аксиому**)), что существует такое
положительное целое число гс, что I < п(Ъ —а). Положить т
равным наименьшему целому числу, превосходящему а, и показать,
что mjn 6= (а, Ъ).
3. Во втором примере, следующем за теоремой 3.1, где X —
= [—1, 1], показать, что предпочтение может быть представлено в
виде лексикографически упорядоченных двумерных векторов
(iti(r), и2(х)) из Re2.
4. Доказать утверждение 2, предшествующее (3.2) в
доказательстве теоремы 3.1.
5. Описать своими словами роль отношения Е в доказательстве
теоремы 3.2.
6. Используя (3.0), выполнить действия над векторами:
a) (1,1,2,3) + (0,-1,-10,6);
b) 0(1, 2, 3, 4);
c) 3(0, 0, 1, —1) — (—1, 2, —1, 0);
d) а(2, 4, -6, -8) + (1 - а) (5, -1, 3, 1).
7*. Скалярным произведением воществеппых векторов х =
= (гь ..., хп) и у = (j/i, ..., уп) называется число ху = ж,^-f-...
п
•■■ + х„уп = 2 xilJf Пьтчпслить:
г=1
а) (1, 2, 3, 4, 5)-(0, 7, 8, 9, 10);
1)) (3(0, 1, 2) + 4(-2, 1, 3)) • (-5(1, 0, -1)).
*) То ость множество не содержащих нуля троичных записей
чисел, лежащих между 0 и 1. (Прим. ред.)
**) Это — частный случай аксиомы Архимеда. (Прим. ред.)

70 Полезности для неисчислимых множеств 1гл з.
8*. Используя карту безразличия в Re2, доказать, что в
условиях теоремы 3.3 из г^}и05о<р51не следует $х +
+ (1-Р);/<«+(1-а)г/.
9*. Показать, что соотношении (3.7) и (3.8) ие могут
выполняться при заданных выше условиях.
10*. Показать, что лемма 3.1 останется в силе, если заменить
их < у < г» на «х -< у -< г и х < z».
И*. Доказать, что утверждение теоремы 3.4 останется в силе,
если условно 1 этой теоремы заменить па следующее:
«транзитивное замыкание отношения -< на множестве X асимметрично» (см.
упражнение 2.5).
12*. Дискретной топологией па некотором множество X
называется семейство всех подмножеств множества X. Является ли
произвольная вещественнозначная функция на множестве X в
дискретной топологии непрерывной? Почему? Что говорит ото о
непрерывности в случае, когда множество X конечно?
13. Показать, что любой ограниченный сегмент [а, Ь] из Re,
где а < 6, но принадлежит топологии °U.
14. Пусть отношение -< па множестве X = [0, 2] определено
следующим образом: х<^у, если (х < у и х, г/е'[0, ]), или если
(у < х и х, je [1, 2]); ж ~ (2 —2ж/3), если х е [0, 112), и х ~
~ (5/3 — 2,г/3), если же [J/2, 1]. Показать, что на множестве X
существует функция и, удовлетворяющая (3.1), и что никакая
такая функция не может быть непрерывной в относительной
«обычной топологии».
15. Для доказательства теоремы 3.5 показать, что
{х: v(x) е (Ь, оо)} е д~ для любого Ъ е Re.
16*. Топологическое пространство (X, 9~} называется связным,
если множество X нельзя разбить на два непустых подмножества,
каждое из которых принадлежит 9~. Доказать, что если
пространство (X, Э~) связно, функция и непрерывна на X в топологии 9~ и
и(х) < и (у) для х, jel, то для любого се (и(х), и(у))
существует некоторое геХ, для которого u(z) = с.
17*. Показать, что любое прямоугольное подмножество
множества Re" связно.
18*. Пусть X—нрямоугольпое подмножество мпожоства Re".
Предположим, что х, у е X и отрезок прямой, лежащий между
точками х и у,
L = {ах+ (1 — а)у. ае [0, 1]}
имеет относительную топологию 9"' = {А (] L : A es ^"}.
a) Пользуясь результатом предыдущего упражнения, показать,
что пространство (L, Э~') связно.
b) Пусть функция и на множестве X Непрерывна в топологии
{ЛП^ : Л£?Л}, и положим и'(z) =u(z), если z — L. Доказать,
что и' па множество L непрерывно в топологии Э~'.
19. В доказательство теоремы 3.4 показать, что если х -< у, то
существует такое множество.
Тхев0- = {Л[\Х: ЛеГ},
что х е Тх н г < у дли каждого ze!"„ ' -

УПРАЖНЕНИЯ
71
20. Пусть вещсственнозпачная функция / на мпожестве X
ограничена, а функция v на X определена следующим образом:
v(x) = sup{inf{/(*/): у<=Т}:х^Т,Т<^Г}.
Показать, что функция v в топологии 9~ полунепрерывна снизу.
21*. (Уолд [1]). Введем условие W: если х -< у и у «< z, то
существует такое as (0, 1), что ах + (1 — a)z ~ у. Доказать, что
утверждения теорем 3.3. и 3.6 остаются справедливыми, если
условие 3 теоремы 3.3 заменить на условие W. Показать также при
помощи кривых безразличия в Re2, что а не обязательно
единственно (см. упражнение 8).
22*. Используя результаты упражнений 16 и 18, показать, что
если множество X является прямоугольным подмножеством
множества Re", функция и на X непрерывна в топологии {А(]Х: Л =
= <24"}, а также если выполняются условия 1 и 2 теоремы 3.3, то
условие 3 и условие W (упражнения 21) также должны
выполняться.
23*. Множество Хе=11сп называется выпуклым, если ах +
+ ({ — а)у еХ, и х, у <= X и as (0, 1). Показать, что два
утверждения: «X выпукло» и «(X, {А Г)Х: Л е t/"}) не связно» не
могут одновременно быть справедливыми. В предположении, что
множество X выпукло, пользуясь только что полученным результатом,
а также результатом упражнения 16, сделать вывод о том, что на
множестве X существует вещественнозначная функция и,
удовлетворяющая (3.1) и непрерывная в топологии {^1П X: AsUn}.
Тогда условие 3 теоремы 3.3 и условие W должны удовлетворяться.
Таким образом, независимо от того, удовлетворяется ли условие 2
теоремы 3.3, условие 3 должно удовлетворяться, когда X является
выпуклым подмпоя;еством на Re", с тем чтобы существовала
функция и на множестве X, которая удовлетворяет (3.1) и является
непрерывной. Как видно из упражнения 14, может существовать
такая функция и иа множество X, которая удовлетворяет (3.1) даже
когда условие 3 не удовлетворяется и X является выпуклым.

Гл ав а 4
АДДИТИВНЫЕ ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ
МНОЖЕСТВАХ
В оставшихся главах части I, за исключением
главы G, исследуются частные виды предпочтений и
функций полезности, которые могут возникнуть в ситуациях,
сложившихся под влиянием нескольких факторов. В
главе 3 ужо рассматривались некоторые основные положения
для случая гс-мерного евклидова пространства. В этой
и следующей главах речь пойдет об аддитивных
функциях полезности для упорядочений по предпочтению па
множествах наборов из п элементов. В § 4.3 будут
рассмотрены лексикографические упорядоченные вектор-
функции полезности.
На протяжении этой главы мы будем, как правило,
предполагать, что множество X является непустым
подмножеством декартова произведения п конечных
множеств
jjXi = XtxXiX ... ХХ„.
Таким образом, каждая альтернатива из множества X
будет считаться гс-пабором x = (xi, ..., хп). Каждое Xt
понимается здесь кат; множество значений покоторого
фактора нлп некоторого характерного признака. Для
удобства будем предполагать, что каждый элемент
Xi<= Xi является £-й компонентой некоторого з;е!
Индекс i может обозначать один из п различных
признаков, или характеристик предпочтения конкурирующих
альтернатив; он может обозначать также временной
фактор (п периодов или моментов времени) и т. д. Мы
конкретизируем отношение -< на множество X так, чтобы

g 4.1] НЕЗАВИСИМОСТЬ ПРЕДПОЧТЕНИЙ 73
оно приводило к аддитивной функции полезности,
которое в случае слабого упорядочения имеет вид
j4j/^ Ui(xi)+ .. . +ип(хп) <щ(у1) + ... +ип(уп).
Следует подчеркнуть, что отношение -< относится
к парам полных и-наборов, т. е. полных альтернатив.
В ситуациях с многочисленными факторами часто
представляется естественным рассуждать в терминах
предпочтения по упорядочению для каждого фактора порознь
и затем пытаться как-то скомбинировать или
синтезировать эти отношения в единое всеобщее упорядочение по
предпочтению. Однако такой подход предполагает
некоторую степень независимости факторов друг от друга,
а именно, что упорядочение одного фактора не зависит
от конкретных значений остальных факторов. Это,
конечно, может быть и неверным. Предположим, например, что
имеет место (курица на обед сегодня, курица на обед
завтра) -< (бифштекс сегодня, бифштекс завтра) -i (курица
сегодня, бифштекс завтра) ~< (бифштекс сегодня,
курица завтра). В этом случае предпочтение блюда на
сегодняшний обед зависит, очевидно, от того, что
предполагается по поводу обеда завтра. В предположении курицы
завтра, сегодня предпочитается бифштекс. В
предположении же бифштекса завтра, сегодня предпочитается
курица.
Для ситуаций, когда условия независимости факторов
выглядят разумными и применимы аддитивные функции
полезности, Фишборн [2] подытожил ряд способов
оценки факторов так, чтобы сделать возможным аддитивное
представление функции полезности.
§ 4.1. Независимость предпочтений
отдельных факторов
Рассмотрим двумерный случай, когда X = Xi X Хг,
отпотение ~< является слабым упорядочением, и для
любых х\, j/i <= Х[ и х2, г/г ^ Х2 имеет место
(хи х2)^(уи х2)^(хи гу2)-<(гуь г/г), (4.1)
(хи х2)-<(х1, г/2)=^(г/ь х2)<(уи у2). (4.2)
Первое соотношение означает, что если мы положим
Х\~<\У\~^ (■*-!, ^г) ~^{Уих2) для некоторого фиксированного

74 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 4
^еХг, то отношение -<i будет слабым.упорядочением
на множестве Х\, не зависящим от того, какой именно
элемент выбран из Хг- Аналогично, второе соотношение
означает, что если значение первого фактора
фиксировано, то отношение -<2 на множестве Х2, полученное
естественным образом из отношения -<, является слабым
упорядочением, которое не зависит от элемента, взятого из
Х\. Это и выражает наиболее простым образом, что
множества Х\ и Х2 в смысле предпочтения независимы.
Как было показано Скоттом и Сапсом [1], даже
в рассматриваемом выше двумерном случае может
оказаться необходимым усилить условия (4.1) и (4.2) для
получения представления упорядочения с помощью
аддитивной функции полезности, т. е. в виде
(*i, %2)-<{Уи У2)^щ{х1) + и2(х2)<их(у1) + и2{у2).
Очевидно, что (4.1) и (4.2) для возможности такого
представления необходимы, но не достаточны.
Предположим, например, что отношение -< па множество X =
= {1, 2, 3}Х{1, 3, 5} является слабым упорядочением,
причем
(*1. хг) < (Vi, Уч) 44 хгхл + (*!)*• < УгУ2 + (уJ*. (4.3)
Так как функция u(xi, x2) = хххг -\- {хх)Хгстрого
возрастает но х\ при любом фиксированном Х2 и строго
возрастает но х2 при любом фиксированном х\,
соотношения (4.1) и (4.2) выполняются. Однако аддитивной
функции полезности здесь не может быть. Действительно,
предположим, что существуют вещественпозпачные
функции: щ на множестве Х\= {{, 2, 3} и и2 на множестве
Хг = {1, 3, 5}, для которых
(xh х2)-<(уи у2)^и1(х1)+'и2(х2)<щ(у1) + и2(у2).
Тогда, используя тот факт, что (2,1) ~ (1,3) и (1,5) ~
~(3,1), мы, согласно (4.3), получим
b,(2) + b2(1)=bi(1) + b2(3),
в,(1) + в2(5)=в,(3) + в2(1).
Складывая почленно эти равенства и приводя
подобные члены, мы будем иметь
Bi(2) +в2(5) = bi(3) + b2(3),

g 4.1] НЕЗАВИСИМОСТЬ ПРЕДПОЧТЕНИЙ 75
что в соответствии с предположенным существованием
аддитивного представления дает (2,5) ~ (3,3). Но
согласно (4.3) и(2,5) = 42 и ц(3,3) —36, следовательно,
(3,3) -ч (2,5). Таким образом, в данном случае
аддитивного представления нет.
Аддитивные функции полезности. При обобщении
условий независимости, подобных условиям (4.1) и (4.2),
будем использовать систему отношений эквивалентности
Ет па множество Хт (т = 2, 3, ...), где Хт есть т-крат-
ное декартово произведение одинаковых сомножителей X.
Определение 4.1. Соотношение
(х\...,хт)Ет(у\...,ут)
имеет место в том и только в том случае, если: т > 1,
п
х\ у' е X для / = 1,..., т, где iSlI^i и ДЛЯ каждого i
t=i
верно, что набора, ..., #™ является перестановкой
(переупорядочением) набора уi, ...,у?.
Таким образом, в условиях (4.1) мы имеем
((■£], х2), (г/ь уг)) Е2 {(уи х2), {хи у2)),
а в примере, опровергающем аддитивность функции,
задаваемой при помощи (4.3),—
((2,1), (1,5), (3,3)) Еъ ((1,3), (3,1), (2,5)).
Пусть в = 3и (xi, х2, х3) — (чистая прибыль, доля
в рынке сбыта, дивиденд на акцию); следующие таблицы
показывают, что имеет место
X1
Я2
3?
X*
У1
Уг
У3
Vх
(х\ ..., х<)
Прибыль
1 МЛН. ДОЛЛ.
Омлн. долл-
2 млн. долл.
—1 млн. долл.
Прибыль
2 млн. долл.
—1 млн. долл.
1 млн. долл.
0 млн. долл.
#4 {У\
Доля
20%
10%
30%
15%
доля
20%
10%
15%
30%
..., г/4). •
Дивиденд
30 центов
50 центов
45 центов
10 центов
Дияиденд
50 центов
45 центов
10 центов
30 центов
/

7G ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ , [ГЛ. 4
Для целен дальнейшего обсуждения докажем сначала
три теоремы о существовании аддитивных функций
полезности. Для удобства их сравнения они сведены вместе
в единую теорему 4.1. Она состоит из теорем А, В и С
с помеченными соответственно условиями и заключениями.
«
Теорема 4.1. Пусть множествоXcz [JXi конечно.
Тогда для того, чтобы имело место одно из условий:
A) [ {хх, .. ., xm)Em(y_\ .. ., уш), х> -< у1 или х' = if для
) = 1, ..., тп — 1] =*- хт -< у"1;
B) [ (ж1, ..., хт)Ет(у\_ ..., ут), х} -< у' или х' « у1 для
/ — 1, ..., т — 1] =*■ хт -< ут;
C) [ (ж1, ..., хт)Ет(у\ ..., ут), х1 -< у1 иди х1 ~ у1 для
7=1, •••! т — 1]-*=^жт -< ут для всех ж1, ..., хт, у[, ...
..., ут Е1ит = 2,3, ..., необходимо и достаточно,
чтобы существовали такие вещественнозначные функции
щ, ..., ип соответственно на множествах Х\, ..., Хп, что
при всех х, у е X выполняются соответственно
А*) ж<г/=>- 2 Щ{х{)< 2 Щ(У;У,
г—1 г—1
п п
Б*) ж<г/=>-2 "г(жг)< liUiiy,),
г=1 i=l
г=-1 1 = 1
С*) ж<у<=^ 2в4(г,)< 2 Щ{Уд- ,
г—1 г^=1
Здесь отношения безразличия ~ и « определены,
как это было сделано в главах 2 и 3: ' \
• х ~ у&~ (хЧу, у-<х),
х ~ у <=^ (z ~ ж -*=*- z ~ у для всех геХ),
В отличие от (4.1) и (4.2), заключения в
утверждениях А, В ж С представлены в негативной форме. Легко
показать, что утверя:доние А необходимо для выполнения
А*, В необходимо для В* ж С необходимо для С*.
Предположим, например, что имеет место А* ж выполняется

§4.1] ; НЕЗАВИСИМОСТЬ ПРЕДПОЧТЕНИЙ 77
условие А, т. о.
(х\ ..., хт) Ет (у1, ... гГ)
и х' -< у1 или х' — у' для всех / < т. Тогда по Л* имеем
т—1 п т—1 п
2 SuiW)^ 2 2««Ы).
y=i i=l j=^l г=1
Но; по определению отношения Ет, должно быть
т— In m n
2 2г^Ы) = 2 2"i(*/i)-
y=i »-=i y=i i=i
Следовательно,
п п
г— 1 г=1
что, по утверждению Л*, влечет хт^ут; но это и
является заключением теоремы А.
Мы покажем достаточность А для выполнения Л*, В
для 5* и С для С* в следующем параграфе. Эти
доказательства достаточности будут основаны на теореме из
линейной алгебры, называемой «теоремой о двух
альтернативах», которая будет доказана там же.
Дальнейшие замечания об условиях независимости.
Каждое из условий А, В я С теоремы 4.1 является в
действительности счетной совокупностью условий,
единственной для каждого отношения эквивалентности Еп.
т = 2, 3, ... Если обозначить соответственно через Ат,
Вт и Ст ту часть условий А, В и С, которая относится
к Ет, то для каждого т ^ 2 будет Ат+\ =*- лт, Sm+] => Д*
и Ст±\ => Ст. Однако, как предположили СкоттиСапс [1],
не существует такого конечного значения т, что Ат=> А*
или Вт => В*, или Ст =*- С* для любых конечных множеств
X. Рассмотрим некоторые из дальнейших аспектов
утверждений А, В я С.
Основной целью включения равенства х1 = у' в
утверждение А было получение Ат+\ =*• Ат, но это
равенство в условии А не является необходимым. Хотя из А
и не следует, что отношение ~( является строгим
частичным упорядочением, так как из А не следует
транзитивности отношения -<, но в А утверждается, что если

78 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 4
х1 -< х2, х2 -< Xs, .. ., хт~х -< хт, то хт -< а;1. Это следует
из того факта, что
(х\ х2, ..., хт) Ет {х2, ...,хт, х1).
Следовательно, если выполняется А, то транзитивное
замыкание отношения -< (см. упражнение 2.5) является
строгим частичным упорядочением.
Как и в случае утверждения А, из условия В еще но
следует, что отношение -< является строгим частичным
упорядочением. Предположим, например, что X = {х, у,
z, t}, а -< задается соотношениями х-<у, у -< z, x-<t,
причем во всех остальных парах элементы связаны
отношением —. Тогда по существует различных пар элементов,
связанных отношением «, так что утверждение В
сводится фактически к А. Так как утверждение А
удовлетворяется задапным отношением -<, которое при этом не
транзитивпо, из В не следует, что -< является строгим
частичным упорядочением.
С другой стороны, из В следует, что отношение «
является эквивалентностью, так как, рассматривая
соотношение (х, г/)£,г(г/, х), из В можно вывести асимметрию
отношения -<, а из этого вытекает, что отношение ~
является эквивалентностью (см. упражнение 2.8). Из В
следует, так же как и в утверждении теоремы 2.3, что
(х -< у, у «г)* x-<z и что (х « у, у -< г) =*- х -<z. Так,
например, согласно В, из (х, у, z)Ez(y, z, x), x-iy
и у ж z следует, что z -\ х. Следовательно, либо х -< z,
либо х ~ z. Если ж ~ z, то по определению г/ « z долж-
но быть х ~ у. Но ж -< у, значит, х -< z.
Из утверждения С следует, конечно, что отношение -(
является слабым упорядочением. Предположим, что имеет
место x-iy и у -< z. Тогда выполняется у -< х или у ~ х,
а также z-iy или z ~ у, так что, согласно утверждению
С, из (г/, z, x)E-i{x, у, z) следует, что х -< г. Поэтому из С
вытекает, что отношение -< отрицательно транзитивно.
Асимметрия следует из (х, г/)2?г(г/, х).
Замечания об аддитивных функциях полезности.
Следует отметить, что если аддитивные функции полезности
существуют в смысле утверждений А*, В* и С*, то из
этого еще не следует, что любая функция полезности
и на множестве X, сохраняющая упорядочение по пред-

§ 4.2] ТЕОРЕМА О ДВУХ АЛЬТЕРНАТИВАХ 79
почтению, может быть записана в аддитивной форме.
Предположим, например, в связи с утверждением С*, что
х~(. У "**" и (ж) ■< и (г/). Тогда может оказаться
невозможным записать функцию и в аддитивной форме, даже если
имеет место С*. То, что утверждает С*, состоит в
следующем: среди всех функций и, для которых ж -< у -*=*■
■<=*- и(х) ■< и(у), существует хотя бы одна, которую
можно представить в аддитивной форме:
и(х) = Ui(xi)-{- ...+и„(жп).
Не следует утверждать слишком категорично, что
аддитивные функции полезности могут не существовать в
некоторых ситуациях, где их использование кажется
удобным для анализа. Возможно, наилучшим способом
проверки выполнения утверждения А или В, или С является
попытка построить гс-мерные наборы из множества X, для
которых утверждение не выполняется. Неудача в
построении таких наборов повышает правдоподобность этого
утверждения. Еще один способ проверки на аддитивность
состоит в построении ряда пар, связанных отношением
предпочтения, преобразования их в неравенства и
равенства (для С в случае отношения ~) значений
аддитивных функций полезности и проверки этих систем на
существование решения. Если решения не существует,
то невыполнение соответствующего условия выявлено.
§ 4.2. Теорема о двух альтернативах
Чтобы доказать достаточность условий А, В и С из
теоремы 4.1, воспользуемся следующей теоремой, которая
обсуждалась в работах Таккера [1] (стр. 10), Голдмена
1], Аумана [3] (стр. 225) и использовалась Тверским
.1], Скоттом [1] и Адамсом [1] для доказательства
теорем, подобных теореме 4.1. Пусть Re" — TV-мерное евкли-
N
дово пространство и с-хк = ZjCjXj.
Теорема 4.2 (теорема о двух
альтернативах). Если х1, ..., хм <= Re" и 1 5S К SS М, то либо
существует такое с е Re", что
с-х">0 для к=А, ..., К, (4.4)'
с-з*.= 0 для k==K+i, ..., М, (4.5)

80 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ ГГЛ. 4
либо существуют неотрицательные числа г\, ..., rlt, не все
равные нулю, и числа rk+i, ..., гм, для которых
м
2^4 = 0 для ] = l,...,N. (4.6)
Доказательство. Возьмем S — {х1, ..., хк) и
Т = {xh+l, ..., Xм}, и пусть S является выпуклой
оболочкой множества S, т. е.
!гп
х: х = 2 ^iai> гДе 2^i = l» m>0,
X; ^ 0 и afGiS для всех г
а 7" — векторным пространством, порожденным
множеством Т, т. е.
{т
ж: я = 2 fib*, где т>0, 0; е Re
и Ь'еГ для всех £ (J 0,
где 0 есть начало координат в Re*. Если К = М, то
Т = 0 и Г = 0.
Осуществление той или иной альтернативы зависит от
того, имеют ли множества S и Т' общий элемент. Если
S р| Т' Ф 0, то имеет место (4.G), как это видно из того,
что 2jXia' = 0 или^Х'Я1—2^й'== 0, а из этих равенств
можно очевидным образом определить rft через Я,- (/с ££ /Г)
и о,- {к Ж).
С другой сторопы, если 5П7" = 0, то имеют место
(4.4) и (4.5). Поскольку оба множества S и Т конечны
(и это существенно для утверждения теоремы), можно
показать, что существуют векторы sg5 и t е Т', для
которых (х — у)2 i^(s — t)2 > 0 для любых же S
wye T'.
Положил! (не следует путать cx2eS).
Пусть х e~S. Тогда (l—X)s + lx e~S, где Og^gl.
Если teT', то (1-1)1еГ. Следовательно,
[(1 - K)s + Kx - (1 - X)t]2^ (s - t)2,
что сводится к
2X{s — t)(x-(s- t)) + Я2( (s - t)~ x)2^ 0.

g 4.2] ТЕОРЕМА О ДВУХ АЛЬТЕРНАТИВАХ Й1
Возьмем Я > 0, разделим почленно последпсо
неравенство на Я и устремим Я к 0; это даст нам (s — t) (х —
— (s—*)) = 0 или (s—0Ж = (5—О2 > 0» или. наконец,
(s — £)а; > 0. Положив с = s — t, мы получим са; > 0 для
всех ie.5, так что (4.4) имеет место. Чтобы проверить
(4.5) в случае, когда К <. М и S [\Т' = 0, гюзьмем
г/ е 7". Тогда а*/ + f e 7", откуда
(ay + i-5)2^(5-02,
или
o2?/2^2a;/(s-0:=2ocy.
Возьмем сначала a > 0, разделим последнее
неравенство на а и устремим о к 0. Так как у2 =2 0, это даст нам
0 2: су. Затем возьмем в<0в также поделим па а; мы
получим ау2 ;5£ 2сг/. Устремив о к 0 слева, мы получим
0 :£ сг/, следовательно, сг/ = 0.
Далее, из теоремы 4.1 будет подробно рассмотрено
только доказательство того, что В =*- 5*. Доказательство
того, что С =*- С*, совершенно аналогично, так как С*
эквивалентно утверждению
£-^г/=*-2и((ж0<2М2ЛЬ
х ~ г/=>2и«(я«)— 2Мг/«Ь
что получается из В* заменой л; на -~. В
доказательстве того, что Л =*- Л*, как это было сделано Адамсом
[1], из теоремы 4.2 требуется только (4.4), но не (4.5),
так как в4* нет импликаций, содержащих в той или иной
форме знак равенства.
Доказательство достаточности в
теореме 4,1 для варианта В. Пусть выполняется В. Для того
чтобы можно было применить теорему 4.2, положим N
равным мощности множества Xi плтос мощность
множества Х2.. . плюс мощность множества Хп и положим
c = (ui(xn), ui(xi2), ..., ип{хп,)).
Число компонент вектора с обозначим через N. Пусть
К равно мощности множества -< (т. е. числу
соотношений вида х-^у), а М — К — половине мощности
множества ж \—, т. с. мощности множества, содержащего
П. Фишберн

82 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 4
ровно одну из двух пар (#, у) и (у, х), для которых
х ж у и у ж х с хфу. К утверждений со знаком <
в В* и М — К утверждений со знаком ,= преобразуются
в эквивалентную систему
с-а">0 для А =1, ..., К (x"-<yh), (4.7)
с • ah = 0 для к = К+ 1, ..., М (xh ж г/"), (4.8)
где каждое а* е{—1,0,1} и 2 а; = 0 для каждого к.
3=1
В* имеет место тогда и только тогда, когда (4.7) и (4.8)
имеют решение относительно с.
Предположим, что решения относительно с не
существует. Тогда по теореме 4.2 существует гк Ш 0 для
й-— 1, .. ., Z, где rft > 0 для некоторых к^К и
rk+u . .., гт, для которых
м
Hv* = 0 при f=l,...,N. (4.9)
Так как все числа а) рациональны, существует набор
рациональных, а следовательно, и целых чисел гк,
удовлетворяющих (4.9). Если некоторые из этих целых гк для
к>К окажутся отрицательными, их мояшо сделать
положительными, замепив в (4.8) и (4.9) а" на —ак
и в (4.9) гк на —гк, что существенно не изменит (4.8)
или (4.9) и является с точки зрения (4.8) законным, ибо
отношение ~ — симметричное. Затем при всех гк =2 0
в (4.9) утверждается, что
(r^'S, г2ж2-«, ..., rMxM<s) ЯГ1+Г2+...+Гм (r^s, r2r/2-s, ...
...,rMyMs),
где xk ~< yh для к = i, ..., К и xh та yk для А: =
.= К-{- 1, ..., М. Поскольку при k ^ К некоторые гл > 0,
утверждение 5 не имеет места, так как если^^ = 1, то
нарушается нерефлексивность отношения -<, которая
следует из В, а если^^ > 1, то нарушается само В. Так
как предполагается, что 'В. выполнено, должно быть
неверным, что (4.7) и (4.8) неразрешимы относительно с.

ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 83
§ 4.3. Лексикографически упорядоченные
функции полезности
Цель этого параграфа — выявить связь между
аддитивными и лексикографически упорядоченными
функциями полезности. Для лексикографического упорядочения
определим отношение <CL для пары вещественных
векторов а = (а\, ..., ап) и Ъ = (Ъи ..., Ъп), положив
а < L Ъ ■**■ а Ф Ъ, bh<ako a,- < Ь,
для некоторого j <. к, к = 2, ..., п. (4.10).
Такнм образом,
a<Lbo ei < 6i V "(ai = 6i, a2 < b2) V ...
.. . V (а, = bu ..., a„_i = bn_u an < &„)•
По аналогии с теоремой 4.1 Л рассмотрим вопрос о
существовании таких вещественнозначных функций
Bi, ..., ип на множествах Хи ..., Х„, чтобы было
х<у^{щ{хх), ..., it„(«n))<L(u1(y1), ..., ип(уп)). (4.11)
Аналогом теоремы 4.1 С является утверждение
х < у -м- (»! (ж,), ..., в„ (ж„)) <L(U! (z/0, • •., в»'(У»)). (4.12)
В обоих случаях порядок множеств Х{ очень важен.
В смысле предпочтения, в (4.11) или (4.12)
утверждается, к примеру, что множество Х\ доминирует мпожество
Х2, Х2 доминирует Хг и т. д.
Основной момент, касающийся (4.11) и (4.12),
состоят в том, что условие А теоремы 4.1 является
необходимым для (4.11), а условие С необходимо для (4.12).
Предположим, например, что (4.11) выполняется наряду
с условием А:
(*', ..., хт)Ет(у\ ...,ут) их'^у1
шли х1 = у1 для / = 1, ..., т — 1.
Тогда u1(x[)^ul (г/1) для всех / < т, а так как
т т
J!iu1(xli)='S,u1(y{),
11.

84 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 4
по определению Ет, должно быть и щ {уТ) ^«i (^Г)-
Если Ui(x\) <.Ui\y\) для некоторых / < т, то
ui (г/™) < Ui(x™)> так что
(Ul (г/Г),..., «„ Ш) <L (щ (*?), ■■•,«» №))■
Если Uj («i) = щ [у\) для всех / < т, то мх (г/™) =
= и1(х™) и в этом случае повторяется только что
проведенное рассуждение для функции и2 вместо щ.
Продолжая это, мы получим, что либо
(Ul (г/Г),..., «п Ш) <ь («1Ш,..., «„ (*?)),
либо векторы, состоящие из функций полезности, равны.
Тогда из (4.11) следует, что хт -< у™, что и
утверждается в А.
Таким образом, если множество X конечно и
лексикографически упорядоченные в смысле (4.11) функции
полезности существуют, то аддитивные функции
полезности существуют в смысле А* из теоремы 4.1. Аналогичное
утверждение справедливо для (4.12) и С*. Ясно, что для
этих утверждений обращения, вообще говоря, неверны.
Для выполнения (4.12), помимо условия С,
необходимо нечто, аналогичное следующему условию.
Условие L. Если х -< у при х, = j/, для всех i,
кроме i = к, то #*<( у*, где \х\ = х^ г/г = У\)для всех i ^ к,
fipu уСЛОвии, ЧТО X, у, X*, у*^:Х.
Довольно интересен тот факт, что если используется
это условие лексикографического доминирования и
X = ШГ,-, то использовать все условия С уже не
обязательно. В дальнейшем будет использовано только то из
условий С, которое соответствует т = 2. Мы можем
также отказаться от условия конечности множества X.
Теорема 4.3. Предположим, что множество X ис-
п
числимо и X~X\Xi. Тогда для того, чтобы (4.12) вы-
i=i
полнялосъ для всех х, у е X, необходимо и достаточно,
чтобы
1) отношение -^ было отрицательно транзитивным;
2) [(х, z)E2(y, w), х ~<yV х ~ у]=> z~<w;
3) имело место условие L.

§ 4.3] ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 85
Доказательство достаточпости. В
сделанных предположениях положим
Xi -< illi "**" 2 -< w для некоторых z, w e X, для
КОТОРЫХ Zj = M>j ДЛЯ ВСеХ / Ф i, И (Z,- = Ж,-, И>; = !/,-)'.
Тогда отношение -<( является слабым упорядочением на
множестве Х& его асимметрия следует из условия 2),
а отрицательная транзитивность — из условия 1) и того,
что X = ПХ„ Тогда но теореме 2.2 для каждого i
найдется такая вещсственпозначная функция и( на Х{, что
xt < ij/i ■**■ щ(х{) < Ui(yi).
Предположим, что i
(m(xi), ..., Un{xn))<L(iii{yi), ..., un(yn)),
и положим £ равным наименьшему из i, для которых
Ui{Xi) <. lli(yi) П$Ж Ui(Xi) = Ui(yi)
для всех £ < £. Мы хотим показать, что х ~( у. Для этого
заметим сначала, что если 1 < t, то
(«1 "< i2/i, г/г -^ Л) =*- («1, х2, . .., хп) ~ (г/!, ж2) ..., хп).
Аналогично, если 2 •< t, то
и2(х2) = и2{у2)=^{уи *г, • ••, £»)~(г/ь 1/2, жз, •••, жп).
Продолжая эти рассуждения и пользуясь
транзитивностью отношения ~ (она следует из того, что -< есть
слабое упорядочение), мы получим, что
(хи . . ., хп) ~)(г/ь ..., г/1-i, xt, ..., хп).
Но xt -< ,yt. Следовательно,
(j/i. • • ■, J/i-i, xt, ..., Xn)<(y\, •-., yt-u J/i, ж,+1, •..., i»)
"о оиределеншо отношения -<t и условию 2). Значит, но
Условию L должно быть
(г/1, ..., г/,-,, ж,, .. ., хп)<{у\, ..., yt-\, г/,, г/,+ь ..., у»).
Таким образом, по теореме 2.1 должно быть х-<у.
С другой стороны, предположим, что
(щ{хх), ..., ))<L{ui(yi), •••, u„{yn)).

t6 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ 1ГЛ. 4
Тогда либо будет
(ui(yi), ..., un(yn))<L{ul(xl), ..., и„{хп))
и в этом случае у -< х, а следовательно, и х -< у, либо
рассматриваемые векторы, состоящие из значений функций
полезности, окажутся равными и в этом случае анализ
отношения ~ из предыдущего абзаца приведет к тому,
что х ~ у и, следовательно, х-<у.
§ 4.4. Резюме
Если множество X является конечным
подмножеством декартова произведения п множеств, то в ряде
случаев аддитивные функции полезности существуют тогда
и только тогда, когда выполняются соответствующие
условия независимости. Если на отношение не налагать
дополнительных условий, то конечность множества X в этих
случаях существенна. Однако в случае слабого
упорядочения при X = llXi условие конечности может быть
заменено условием исчислимости в простой аксиоматике
для лексикографически упорядоченных функций
полезности, соответствующей определенному упорядочению по
доминированию п факторов. В случае конечного
множества X из существования лексикографически упорядоченных
функций полезности следует существование
аддитивных функций полезности, но обратное, вообще говоря,
неверно.
Не следует утверждать слишком категорично, что
аддитивные функции полезности могут не существовать в
некоторых ситуациях, где их использование
представляется удобным для анализа.
Упражнения
Указатель. 1. Проблема мощности множества. 2. Слабое
упорядочение и аддитивность. 3, 4. Функциональные формы,
допускающие и не допускающие представления в аддитивной форме. 5.
Условие С4. 6. Необходимость всех условий С. 7, 8. Вариации па
тему С. 9. /?„,. 10. Необходимость условий В* и С*. И, 12. Условия В
и А. 13 — 18. Применения теоремы о двух альтернативах.
Доказательство теоремы 2.9. 19. Отношение <L. 20. Допустимые
преобразования.

•
УПРАЖНЕНИЯ • 87
10
1. Пусть X = PJ X. и каждое из множеств Xt состоит из 10
i=i
элементов. Тогда X имеет 10 млрд элементов, но для сравнений
имеется только 100 векторов. Предлагается обсудить
привлекательность возможности использования аддитивных функций
полезности с точки зрения мощности мпожества и числа значений функции
полезности которыми следует располагать.
2. Пусть X = {о, 6} X {с, d}. Сколько слабых упорядочений по
предпочтению молшо определить па этом множестве? Выписать те
из них, для которых существуют аддитивные функции
полезности, как в теореме 4.1С*.
3. Пусть X — Х\У,Х2, Х{ = {1, 2, ..., Ж}, где М достаточно
велико, и
я <У -*=>• и(хи х2) < и(уи у2).
Для какого из следующих случаев существуют также функции
полезности U\ И U2, ЧТО
х< У -*=>• Щ{х\) + и2(х2) < iii(yi) + и2(у2)?
a) и(хи х2) = х\-х2;
b) и{хъ хг)= х\-\-xl-xi;
c) и(хи х2) = х\ + х2 + х\Х2;
d) и(х\, х2) = sup {xu х2}\
e) u(xh x2) .= \х\,— хг\ (абсолютная величина);
f) и(хи х2) = lj(xrx2);
g) U(xlt X2) =XiJ(xi + Х2).
Для каждого случая, в котором существуют аддитивные функции
полезности, объяснить, почему зто так.
4. Пусть X = Хх X Х2, где X] и Х2 — множества целых
положительных чисел, и предположим, что и(хи х2) = ххх2-\- (xtx2)2 и х -<
■< У -фф- и(хи х2) <u(ijh y2). Показать, что аддитивные функции
полезности существуют в смысле теоремы 4.1С*.
5. В следующей матрице даны значепия функции полезности
"(а, р) при
(а, р) е X = {а,, ..., а4} X {Pi. • ■ •> рЛ =
Pi Pa Рз Pi__
О 4 8 9
5 9 12 14
8 11 13 15
10 15 16 17
Положив, что (а, р) < (а', р') -фф- и(а, р) < и(о', р'), пока*
зать, что условие Ct (т. е. С при т = 4) теоремы 4.1 не
выполняется. Выполняется ли условие С3?
Я2
а3
а4

88 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 4
G. Пусть Х={(1, 1), (2, 2), ..., (т, т), (1, 2), (2, 3), ...
..., (т — 1, т), (та — 1)} и и(/, А) = 0 для всех (/, к) еХ, кроме
пары (та, 1), для которой и(т, 1) > 0; положим х^у -фф- и{х) <
< и (г/). Показать, что условие Ст теоремы 4.1 нарушается, но
условие С™-! выполняется.
7. Показать, что из условия С теоремы 4.1 следует, что если
{хх, ..., хт)Ет(ух, ..., ут) и (^ < J/J' для всех / < та, то г/т < хт.
8 (продолжение). Тверской '[1] использует аксиому,
которую он называет законом сокращения; в наших терминах она
выглядит следующим образом: если {хх, ..., хт)Ет{ух, ..., ут), если
х> <( ;/■> или arJ ~ ;/■> для всех ] < та и если х> <( г/i для некоторого
/ < та, то ym ^ хт. Считая, что отношение ~ определено, как
обычно, при помощи (2.2), показать, что условие Тверского следует
из С и что условие С следует пз условия Тверского плюс
предположение о нерефлексивности отношения -С
9. Доказать, что отношение Ет на множестве Хт является
эквивалентностью.
10. Показать, что В* =*- В и С* =*- С.
11. Доказать, что из В следует, что х <( z при условии, что х «
« г/ я г/ < г.
12. Следует ли пз условия А теоремы 4.1, что отношение «
является эквивалентностью? Почему?
13. Написать доказательство достаточности в теореме 4.1Л.
14. Написать доказательство достаточпостп в теореме 4.1С.
15*. Пусть отношение <' определено при помощи (2.12) для
интервальных упорядочений; введем условие D:
О1, ...,х™)Ет{ух,..., ут),х> <V'
для j = 1, ..., т — 1] =>■ хт^~: хут.
Предположим, что множество X s ПХ* конечно. Доказать, что
отношение <( на X является интервальным упорядочением,
удовлетворяющим условию Z), тогда и только тогда, когда существуют
такие вещественные функции и\, ..., ип соответственно на
множествах Xi, ..., Х„ и такая иеотрицательпая вещоствениозначная
функция о на множестве X, что
п п
^<^2iii(3:i)+(,w< 2"t(?yi) для всех х'уех-
При доказательстве достаточности использовать теорему о двух
альтернативах.
16*. Введем условие Е:
{{хх , х2т)Ет{ух, ...,, у2т),х) ~ у> для /i= 1, ..., та и жЬ< у>
для / = та + 1, ..., 2та - 1) ^ а:2™ < г,2"1.
Показать, что если Е имеет место и существует хеХ, для
которого х < х, то отношение < на X норофлексивно и асимметрично,
а также транзитивно и удовлетворяет рЮ и pii параграфа 2,4, и,

УПРАЖНЕНИЯ
89
следовательно, является полуупорядочением. (В данном случае
теорему о двух альтерпативах применять не нужно.) Следует
отметить необходимость использования условия х <( х для некоторого
jel, так как иначе мы бы имели множество X = {х}, для
которого х <С х и выполнялось условие Е.
17* (продолжение). Предположим, что множество X s ПХ,-
конечно. Доказать, что отношение -< на X является
нерефлексивным и условие Е выполняется (для т = 1, 2, ...) тогда и только
тогда, когда существуют такие вещественнозначные функции ии ...
..., ип соответственно на множествах Хь ..., Х„, что для всех
х, у еХ
п п '
*<У^2«, (*,) + К 2 «4 (у.). ' • .;" ■ ;
18* (Скотт [1]). Доказательство теоремы 2.9. Пусть
множество Х/« конечно. Выберем из каждого класса
эквивалентности, порожденного отношением «, по одному элементу и
обозначим полученное множество через Y. Будем далее иметь дело с
множеством Y. Каждое из утверждении вида х <[ у преобразуется
при помощи (2.20) в и (у) — и(х) — 1 > 0, а каждое из
утверждений вида х ~ у прообразуется в и(х) + 1— и(г/)>0 и и(у) + 1 —
— и (х) > 0 (в двух последних соотношениях можно написать знак
ей, хотя > оказывается достаточным). Положим N равпым
мощности множества Y плюс 1, так что вектор с = (и(х), ..., u(t), 1)
является Л'-мерным.
a) Показать, используя теорему 4.2, что если не существует
вектора с, элементы которого удовлетворяют неравенствам,
написанным выше, то существуют последовательности
Х\, . . ., ХТ, Z], ■ . ., 2Г, УU ■ ■ •! Ут, И>1, • ■ •, Юг,
каждая пз которых является перестановкой другой, для которых
хц < Ук, z*. ~ и>к при к = 1, ..., Т.
b) Показать, что при условии выполнения аксиом
полуупорядочения случай Т = 1 невозможен.
c) Рассмотрим случай Т > 1. Образуем цикл из двух
последовательностей, начиная с пекоторого элемента xk. Вторым элементом
Цикла пусть будет ун- Найдем в первой последовательности элемент,
равный yh- Тогда соответствующий ему элемент второй
последовательности будет третьим элементом цикла. Будем
продолжать процесс до тех пор, пока на очередном шаге не выберем
элемент второй последовательности, равный Xh- Показать, что
если любой такой цикл состоит полностью пз пар хи, Ук, то это
противоречит транзитивности отношения <С
(1). Следовательно, при Т > 1 в цикл, начинающийся с
элемента Zk, должны входить пары вида z,,, wk. Предположим, что
некоторое у} = xh. Тогда, используя р 11 параграфа 2.4, показать, что
при помощи вычеркивания и перестановки элементов можно свести
Две ^-последовательности к (Г — 1)-последовательностям (одна из

90 ПОЛЕЗНОСТИ НА КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 4
которых является перестановкой другой и между элементами
которых имеется Т — 1 соотношений <^ и Т — 1 соотношений ~).
Предположим, что не может быть у$ = Xh. Показать, используя
рЮ) параграфа 2.4, что две ^-последовательности могут быть
сведены к соответствующим (Т— ^-последовательностям,
е) Завершить доказательство теоремы 2.9.
19. Проверить, что отношение <L на множестве re-мерных
вещественных векторов является строгим упорядочением (см.
определение 2.1Ь).
20. Считая, что теорема 4.1С* выполняется при условии
конечности множества X, выяснить, какой класс преобразований
функций щ оставляет в силе утверждение С*. Сделать то же самое для
лексикографически упорядоченных фупкцпй полезности в случае,
когда выполпено (412).

Г л а в а 5
АДДИТИВНЫЕ ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ
МНОЖЕСТВАХ
В этой главе представлены две детально
разработанные теории аддитивных полезпостей на бесконечных
множествах. Более ранняя теория, принадлежащая Дебре [3],
излагается в § 5.4. Она основана па топологических
понятиях, определенных в § 5.3. Другая теория,
построенная в работах Лыоса и Тьюки [1] и Льюса [2],
изложена в § 5.2. Как отметил Крантц [1], доказательства во
второй из указанных теорий могут опираться на теорию
упорядоченных групп. Поэтому в § 5.1 приведены
некоторые факты из этой теории.
На протяжении этой главы мы будем обозначать
чета
рез X полное декартово произведение X = JQ Xj, а
оттого 1
шеппе ~< будем считать слабым упорядочением. Отчасти
ввиду этих предположений вместе с довольно «плотной»
структурой, порожденной отношением ~< па множестве X,
мы не будем требовать выполнения всех условий С
теоремы 4.1. Если п = 2, то условие Сз (т. е. условие С при
ш = 3) будет достаточным, а если п ^ 3, то можно
будет обойтись и условием Сг, как в теореме 4.3. Из
положенных в основу рассматриваемых теорий
предположений следует существование аддитивных полезностей,
которые единственны с точностью до положительных
линейных преобразований подобия. Под этим мы
подразумеваем то, что если веществепнозначпые функции гл, ...
• • -1 ип соответственно па множествах Х\, ..., Хп
удовлетворяют условию
ХКУ <^'2iui(xi)<2iui(yi) для всех х, jgI,
i I

92 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
то веществешюзпачпые функции v\, .. ,, vn на множествах
Х\, . . ., Хп удовлетворяют условию
х < У <Н> 2 Vi (х{) < 2 у{ (г/4) для всех ж, г/ е= X
г г
тогда и только тогда, когда найдутся такие числа а, Ъ\, ...
.. ., Ьп, где а > О, для которых
гл-(ж,-)=шг;(хг)+Ь,- для всех ^ё!(; г = 1, ..., п. (5.1)
§ 5.1. Строго упорядоченные группы
Группой называется множество Y, рассматриваемое
вместе с функцией, которая любой паре {х, 1/)еУХ1"
ставит в соответствие элемент х + у е Y, причем для
произвольных х, у, z&Y и некоторого фиксированного
ее7 имеет место:
G1) (х + у) + z = х + (z/ + z) (ассоциативность);
£2) х-{-е = е-\-х = х (существование нейтрального
элемента);
G3) существует такой элемент —х е У, что
£ + (—ж)=—ж -f- ж = е (существование обратного
элемента).
Элемент е называется нейтральным элементом (илп
единицей) группы, а —х — обратным элементом к х.
Группа (У, + ) называется коммутативной, илп абелевой, если
для всех элементов У имеет место соотношение:
G4) х + у = у + х.
Группа (Re, + ), где + означает обычное сложение и
е = О, является коммутативной группой. Коммутативной
является также группа ({0, 1}, + ), если —0 = 0, —1 =
= 1,0 + 0=1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 +0=1 п е = 0.
Если m является целым положительным числом, то
тх = х + х + ... + х (т раз). Если т является
отрицательным целым числом, то тх = —х — х — ... — х
(—т раз) Ох = е. Если пара (У, +) является группой,
то нетрудно показать, что тх + пх = {т-\-п)х.
Определение 5.1. Строго упорядоченной группой
называется тройка (У, +, -<), где (У, +) является
группой, а отношение -< — строгим упорядочением на
множестве У, причем для всех элементов х, у, z e= У
х -< у =*- х + z < у + z и z + ж < z + г/. (5.2)

§ 5.1] СТРОГО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ 93
Строго упорядоченная группа называется
архимедовой, если для всех х, г/е У, (e-<x, е-<у)=*~ найдется
такое положительное целое т, что у ~< тх.
Положим Y ='{(/, к): / и к являются целыми};
пусть + означает обычное сложение, и положим ~< = <.L.
так что (/, к)-<(/", к') *=>]<!' или {] = }', к < к').
Тогда (Y, +, ~<) является строго упорядоченной группой,
но не является архимедовой, так как (0, 0)-<(1, 0) и
(0, 0)-<((), 1), но т(0, l)=i(0, т)-<(1, 0) для всех
целых положительных т. Однако в этом случае
существуют аддитивные функции полезности (см. упражнения 1с,
2). С другой стороны, если Y = {(г, s): г, s —
рациональные числа}, то группа (У, +, <^L) также является пе-
архимедовой строго упорядоченной группой, по
аддитивные функции полезности в этом случае не существуют
(см. упражнение lb).
Следующая теорема, принадлежащая Гёльдеру [1],
будет использована в следующем параграфе. Приведенное
здесь доказательство сходно с доказательством Фукса [1]
(стр. 74, 75).
Теорема 5.1. Пусть (У, +, -<) является строго
упорядоченной группой. Она будет архимедовой тогда
и только тогда, когда существует такая вещественнознач-
ная функция / на множестве Y, что для всех х, у е Y
имеют место соотношения
x~<y^f(x)<f(y), (5.3)
f(x + y)=f(x) + f(y). (5-4)
Более того, если выполняются утверждения (5.3) и
(Гх.4) и если некоторая вещсствеппозпачпая функция g
на множестве Y также сохраняет упорядочение {как в
(5.3)) и является аддитивной, то существует такое
вещественное число с > 0, что
g(x) = c-J(x) для всех х е У, (5.5)
причем если существует igF, для которого e-ix, то
такое с единственно.
Доказательство. Тот факт, что из (5.3) и (5.4)
следует, что группа архимедова, можно вывести из
соотношения /(e) = 0, используя G2). Чтобы показать
обратное, предположим, что группа является архимедовой,
11 Рассмотрим два исчерпывающих случая.

94 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ, 5
Случай 1. В множестве Y имеется наименьший
«положительный» элемент ж, т. е. такой, что для него е -< х,
и не существует такого у е Y, что е -< у ~< х. Из того, что
группа архимедова и е ~< х -< 2х -<..., е -< у, следует, что
существует такое положительное целое т, что тх <{ г/ -<
_-< (нг +1)ж, где 2 =^ г/ -*=*- г -< у или z = у.
Следовательно, по (5.2), G3), G2) и (иг + 1)х = тж + ж имеет место
соотношение с^у—тх~\х. По тогда по предположению,
сделапному в этом случае, е = у — тх и, следовательно,
по соотношению (5.2) и свойствам G3) и G2) у = тж.
Рассуждая аналогичным образом, получим, что если
у -\ е, то существует такое отрицательное целое т, что
у — тх. Положим f(y)= m при у = тх. Если имеет
место (у—~т\х, z = m2x), то у-< z-^ т\ <. ть так
что (5.3) выполняется, и
/(г/ + г) = f(mix + m2x),='f((mi + т2)ж)= m, + пг2,
что подтверждает верность (5.4).
Случай 2. Пусть е ~<z, причем существует у е Y,
для которого е ~<у ~\х. Сначала установим в этом случае
справедливость £4) (коммутативности). Пусть е-Ку-<х.
Тогда либо 2у =^ х, либо х ~< 2у. В последнем случае,
используя (5.2) и то, что 2у — у — У, получим х — у -< у,
так что (х — у) + {х — у)-<(ж — у)-\-у, по (5.2) и,
следовательно, согласно Gl), G3) и G2), получим 2{х — у)-<
-< х. Более того, по (5.2) и G3) мы имеем е -< х — у и
у — х -<х, так как у — х-< е и е~<х. Отсюда следует, что
если е -< х, то найдется такое zeF, что е -< z -< х и 2z ^
=^ ж. Предположим теперь, что группа не является
коммутативной; для определенности будем считать, что е -Ч а,
е ~<Ь, а -{- b ф b -\- а, причем 6 +а-<а + 6. Тогда
положим х = ,(а-{-Ь) — (6 + а), так что по (5.2) и G3)
имеем е ~< х, и возьмем такое z, что еКг-^i и 2г=^ж, как
это было только что установлено. На основании свойства
Архимеда для некоторых тип должно быть
(mz^a-< (т-\- 1)г, nz <£ Ъ -< (га -f l)z).
Из этого следует, что
fl-fb-<(ni+l)z+b-((m+l)z+(B+l)z=(i»+ra+2)z,
{п -\-m)z = nz -\- mz ^Ъ -\- mz =^b ~\- a,

§5.11 СТРОГО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ 95
или, что то же самое,— (Ъ-\-а) =^—(n-\-m)z, так что
х,= (а + Ъ) — (Ъ -\- а)-<(т -f /г ~J- 2)z—(re -f- /ra)z — 2z,
т. е. ж К 2z, что противоречит тому, что 2z =^ х.
Следовательно, GA) имеет место.
В случае 2 определим функцию / следующим образом,
предполагая, во избежание тривиальных ситуаций, что
существует такой элемент ig7, что е -<х.
Зафиксируем такое а, что е~<а, ж возьмем /(а) = 1. Для 1бУ
положим
Ьх = {т/п: та =^ пх\ т, п — целые, /г>0},
Ux==< {т/п: пх ~< та; т, п — целые, п > 0}.
{Lx, Ux} является таким разбиением множества
рациональных чисел, что, как легко видеть, если т/п е Lx и
r/s e Ux, то т/п < r/s. (Например, если е -< х, то та -<
=^ пх =*- s/тга =^ s/гж и sx-{ra=$- nsx --< /гга, так что sma^
=^,/гга или sm < /гг (так как /гг > 0), или т/п < r/s.)
Из этого следует, что существует единственное
вещественное число f(x), для которого
f(x) = sup Lx ==■ inf С/д.
Для того чтобы доказать, что /(ж + у) =/(ж) +/(//),
предположим сначала, что m/n^Lx и r/s e L„. Тогда та^
^ /г,г nra=^sy. Следовательно, sma=^snxи /гга =^ rcsy, так
что (/res + /гг)а =^ rcs(;r -f- у); при этом используется тот
факт, что nsx -f- nsy = ns (x -f- у), который выводится при
помощи повторного применения G4) для получения
nsx -f nsy = x-\-y-\-x-\-y-\-...-\-xJry.
Следовательно, число (ms + nr) /ns = {m/n)-\-(r/s) принадлежит
£*+»• Аналогично получим, что если т/п е Ux и r/s e ?7W,
то число т/п -f- r/s принадлежит ?7х+„. Отсюда следует, что
sup L» -f sup Lv ^ sup Lx+V — j(x -\- y) =
,— inf Ux+y =g inf Ux -f inf ?7„
и, следовательно,
/(^ -I- y)=>sup Lx + sup £„ == f{x)-\-f{y).
Это доказывает (5.4).
Для того чтобы установить (5.3), предположим, что
е ~< х. Тогда существует некоторое положительное т,

9(5 ПОЛЕЗНОСТИ ПА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. ',,
для которого а -< тх; отсюда следует, что \\т е Lx, так
что f(x)7>0. Аналогично получим, что если х~<е, то
/(—х) >0 и /(e) = 0 по G2) и (5.4). Отсюда следует, что
е -< х ■*=>■ 0 < f{x), что, как легко показать, влечет
выполнение (5.3).
Заключительная часть теоремы, а именно утверждение
(5.5), доказывается следующим образом. Если Y = {е},
то /(e) = #(е)='0 и утверждение (5.5) справедливо при
любом с. Предположим далее, что существует хеУ, для
которого е ~< х. Если имеет место случай 1, рассмотренный
выше, т. е. е ~< х и по существует такого у е Y, что е-<
<у~<х, то /(z) = 7?г • /(ж) и g(z)= m • g{x) при z =
= тх, так что g(z) = (g(x)/f(x))f(z) для всех з <= Г.
С другой стороны, предположим, что имеет место случай
2 и пусть еЧа. Тогда, но утверждениям (5.3) и (5.4),
мы имеем
mf(a)^nf(x), mg(a)^ng{x), sf{x)^rf(a),
sg(x) ^ rg(a) для всех m/n <= Lx и r/s <= ?7X,
из чего следует, что f(x)/f(a)=g(x)!g(a) или #(#) =
— (g(a)lf(a))J(x) Для всех же 7.
§ 5.2. Алгебраическая теория для п факторов
Теория, разработанная Лыосом и Тыоки [1] и Лью-
сом [2], основана на предположении о том, что ра.-:
ность между двумя значениями одного фактора может
быть «погашена» компенсирующей разностью между зна
чениями любого другого фактора. Пусть, например, дань'
х\(= Хх и х2, х2^ Х2; предположение о компенсации, или
«разрешимости» утверждает, что существует такое
iielj, что (x\,X2\)~(x\,xl). Если X = Хг X Xz, т(!
(xi, х2) gX и снова по разрешимости мы имеем {х1: х2}^
~ (.с], г§) для некоторого х\ е= Хх. При указанных уело
виях это приводит к картине, изображенной на рис. ':■
где штриховые линии изображают множество безразлп
чип. Предположим, что для зтого двукомиопептттого слу
чая существует аддитивная полезность п что для такн
точек на е, как (х°и х2), имеет место ^i(.ri) + u2(xl) ■= О,
а для таких точек на а, как \х\,х\), должно быть

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 97
Ui(x\) + u2(x°2) = l, причем (ж?, ж") <Ы, ж").Тогда,как
легко проверить, значение суммы щ + и2 для первой
кривой вправо от а должно быть равно 2; для следующей
вправо кривой и\ + и2 = 3 и т. д. Таким образом, если
Х<У -^-Uii{xl) + U2(x2)<Ui(yi)-{-U2(y2),
то для любого уеХ должно найтись такое целое
положительное к, при котором у<^(х\, х2). Следовательно,
в условиях неограниченной разрешимости мы получаем
4 \Л Х
X
К
-Ы
\
о
,х.
\
\
к-^
\
\
^.z/\ xf\ д£\ д/\
12 J 4 S
Рис. 4.
для двухкомпонентного случая необходимость
выполнения аксиомы Архимеда. Но это есть условие РЗ) в
теореме 5.2.
Случай двух факторов. В следующей теореме условия
Pi) (условие Сз из теоремы 4.1) и РЗ) являются
необходимыми для слабо упорядоченной аддитивпости, когда
X = Xi X Х2, но неограниченная разрешимость (т. е. Р2))
не имеет места. За исключением того тривиального
случая, когда Х/~ = {X}, условие Р2) требует
неограниченности как функции Ui, так и функции U2 сверху и
снизу. Льюс [2] показал, как ослабить условие Р2),
чтобы избежать вытекающей неограниченности; см. также у
Крантца [2] на стр. 25 — 27.
Теорема 5.2. Положим X = Х\ X Х2, и пусть для
элементов множества X выполняются следующие условия:
Р1) [{х\ х2, х3)Е3{у\ г/2, г/3), х1 -< г/ или х1 ~ у1 для
/<3] ^х^у*.
Р2) (хи yt e Xi: х2 е Х2) =*■ (хи х2) ~ (уи у2) для
некоторого г/г ^ Х2 и (хх €Е Хи х2, г/2 е Х2) =*■ (хи х2) ~
~ (Уи ?/2) для некоторого у\ е Х\.
7 П. Фдшбе—

ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
рз) [(«U)<W,4(*?~i^)~W,4) для к =
= 1,2,...; у е X] =>■ у <( (х\, х2) для некоторого к е.
е={1, 2, ...}.
Тогда существуют такие вещественнозначные функции
щ на множестве Х\ и и2 на множестве Х2, что
x-<y^^ui(x{)-{-U2(x2)<u1(yi)+U2(y2) для всех х, у<=Х,
(5.6)
причем щ и U2, удовлетворяющие (5.6), единственны с
точностью до линейного преобразования с
положительными коэффициентами.
Доказательство. Из условия Pi) следует, что
отношение -< является слабым упорядочением (т. е. оно
асимметрично, отрицательно трапзитивно), значит,
отношение ~ является эквивалентностью. Пусть множество
X/— является семейством классов эквивалентности X по
~; фиксируем некоторые условию Р2)
каждый элемент множества XI ~ содержит элемент
множества X вида (xt, х%), (х1, х.2). Обозначим через +
следующую функцию на множестве X/~; пусть а, 6еХ/~,
тогда й+о является элементом Х/~, содержащим {х\,х2),
где
(хг,х1)<=а и (х\,х.г)^Ъ. (5.7)
Проверим сначала, что (Х/~, +, -<') является строго
упорядоченной коммутативной группой, где отношение -<'
определяется соотношением:
а-^'Ъ -**- существуют такие х е а и у е о, что х-(.у.
Далее мы покажем, что эта группа архимедова и
применим теорему 5.1.
1. Функция + определена корректно. По условию Pi),
из того, что (х1,х2), (й,4)е» и (х°ихг), (ж?, г/2) е 6,
следует, что (xh x2) ~ {у\, у2).
2. Коммутативность, т. е. G4) по условию Pi), {х1,х2)1
(х°, у J е= а и (х\, х2), (уг, х\) е Ъ =* (хи х2) ~ (уи у2)
и, следовательно, по утверждению (5.7), а-\-Ъ = Ь-\-а.

§ 5.2] АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 99
3. Ассоциативность, т. е. G1). По GA) мы имеем
(а + Ь) + с = а + (Ъ + с) ^ с + (а + 6) =.в + (с + й).
Возьмем(ж1,а;2)еа, (i|,i.)ei, (р,4)ес, (ж?, у„) <=
е=а + Ь и (ж?, za) е=с + 6. Тогда (х?,г/2) ~ (жц ж2) и
(г/х, ж2) ~(жь z„). Следовательно, по Р1) должно быть
(г/ь г/г) ~ (*i, "«г), что дает с + (а + 6) = а + (с + 6).
4. Существование единицы, т. е. £2). Возьмем в
качестве е элемент, содержащий (ж1,ж2). По G4), е + я =
= а + е. Если (г^^еа, то из (5.7) следует, что
(ж1? £<>) ен а + е. Значит, а = а + е.
5. Существование обратного элемента относительно
сложения +, т. е. G3). Определим элемент —а как
элемент множества X/~, содержащий (хи ж2) при условии,
что (хг, х\) (= а и (хи х2)ене. Тогда по (5.7) мы
получим —а + а = е.
6. Отношение -*s' па мпожестве XI ~ является по тео- ,
реме 2.1 строгим упорядочением. Предположим, что а -<! Ь.
Пусть(ж1, х\) е а, {у1,х2)^.Ъ, (4,12)бс,а х{, удовлетво- '
ряет соотношению (zi, ж2) ~ (г/ъ^г) по условию Р2).
Пусть также (а^, ж2)<^ (г/i, ж2); тогда по теореме 2.1 мы
получим, что \Xy,x2)~<(z\, х2); вместе с тем, что (z\,x2) ~
~(Уи х\), при условии Р\) дает (уи х2) -<(хих2); в дейст- .
вителыюсти же верно соотношение (х\, х2)-<(у\, х2), так
как (хих2) ~ (г/1,з-2) противоречит условию Р1). Отсюда
следует, что а + с < 6 + с, так что (5.2) выполняется. "
Для доказательств того, что группа (XI ~, -f, -<') -
является архимедовой, предположим, что (е-<а, е-<Ь). -
Предположим также, что последовательность из РЗ)
построена в соответствии с рис. 4, причем {х\, х2) ен а.Так
как (ж?, ж2)еа и (х(, ж!) g а, то соотношение (5.7)
утверждает, что (хи х\) е= 2а. Тогда (xf, ж") (= 2а, поскольку
\х\, х2) ~ (жь х2). Продолжая применение (5.7), мы
видим, что (ж'!, х\) ен А-а при А: = 1, 2, . . . При i/el) условие
РЗ) утверждает, что у <^ (х\, х\) для некоторого /с, что
Дает нам 6 -<' ка при некотором целом
положительном к. Следовательно, группа (Х/~, +, -<') является
архимедовой.
7*

100 ПОЛЕЗНОСТИ НЛ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
Таким образом, на основании теоремы 5.1 существует
на X/~ вещественнозначная функция /, для которой
/(а + 6)=/(о)+/(6) и a-<'b-^-f{a)<f{b). Полагая
ui(xi)=f(a) пщ{х1,х1)^аяи2{х2)=1{Ь) при {х\, v2) <=
е Ъ, мы без труда получим (5.6).
Пусть теперь функции V\ и v2, заданные
соответственно па Х\ и Xi, также удовлетворяют (5.6). Зададим #на
Х/~, положив для (xi, х2)^а
g И = (vi (*i) - v1 (x\)) + (us (x2) - ия (ж°))-
Тогда, взяв (хг,х\)^а и (xi,a;2)e6 так, чтобы было
(х\, х2) ея + Ь, мы получим
g(a) + g(b) = (v1(xl)-
-v1(x4)) + Q+0 + {{vt(xi)-vt{xl)) = g{a + b).
Кроме того, отсюда и из (5.6) следует g(a) < g(b) -*>
-*=*■ а -<' Ь. Следовательно, по теореме 5.1, g = с/ для
некоторого положительного с. Поэтому, взяв (xi, #2), мы
ПОЛУЧИМ У1(Ж1) — V1(x°i) =СЩ(Х1),Ж1Ш Vl(Xy) —CUx (Х^ +
+ yi (#i) для всех x\ e Xi. Аналогично получается
v2(x2) = cu2(x2), -f- У2(ж2) для всех #2 e X2.
Три или более факторов. Рассмотрим теперь один из
вариантов теории Лыоса [2] для случая трех и более
факторов. Как мне стало известно из переписки
с Д. Крантцем, условие независимости СЗ) в этом случае
может быть заменепо на условие С2). Это, конечно,
делает необходимым явное предположение, что -< является
слабым упорядочением (или отрицательно
транзитивным), так как слабое упорядочение из одного только
условия С1), или, как мы будем обозначать его в
дальнейшем, условия Pi*) не вытекает.
Теорема 5.3. Пусть
X = flXu и^З,
отношение -< является на X слабым упорядочением и на
всем множестве выполняются следующие условия:
Pi*) [(x, z)E2(y, w), x~<y или х ~ у]=> z~<w.
Р2*) [i ё{1 в},геХ« у, <= Х} для всех / Ф i] =>
=** х ~ (Уи • ■ •, J/i-ь г(, г/i+i, ..., у„) для некоторого zt e X;.

§ 5.21 АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 101
РЗ*) [(х°и х°2, ..., х°) < {х\, х\,. .., xl), (х\~\ х\, ...
...,xl)~{xu x\, ...,xl) для /с = 1, 2, ...; ЦбХ]^
=> существует такое /се {1,2, ...}, что г/<^{^,ж2, .. .,жп).
Тогда существуют вещественнозначные функции
Ц], ..., и„ соответственно на Х\, ..., Х„, для которых
п п
xKlJ^Hjui(xi)<.Hjui{yi) nPu всех х,у^Х, (5.8)
г=1 г= 1
и функции щ, .. ., ип являются единственными с
точностью до линейных преобразований подобия.
Доказательство. Наша основная задача будет
состоять в доказательстве того, что СЗ), или Pi) для
п Si 3, вытекает из сформулированных условий. Мы это
пока, однако, отложим, предположив на время, что СЗ)
(илиР1)) выполняется. Фиксируем!.#1,... ,хп). По Р2*)
любой аё1/~ содержит элементы вида (xt для »е/
и Xi для Ь Ф-1) для каждого непустого собственного
подмножества /cz{l, ..., п). Определим на множестве X/~
операцию -f- следующим образом: a -f- Ъ есть элемент
Х[ ~, который содержит (a;i, ..., х„), если для любого
непустого / cz{l, ..., re} будет
(ж,- для ie/, ж?для i^/Jen,
(aij для ie/, Xi для г ^ /) е Ь.
Для доказательства того, что эта операция -f-
определена корректно, предположим, что
(ж( для i е /, а;? для ie/)es,
(ж? для t <= /, ж< для t <£ 1) е Ь,
(г/, для ie/*, ач для г^/*)ея,
(#i для г е /*, г/; для г ^ /*) е &,
где / и /* суть два непустых собственных подмножества
(1, ..., ге}. Нам нужно доказать, что (х\, ..., a:n) ~
~ {Уи ■ ■., J/n), а это, как легко видеть, следует из Р1).
По аналогии с предшествующим доказательством (где
Х2 заменяется на Хг X ... X Z„), из PI) и условий
теоремы 5.3 следует, что система (X/~t -f-, -<') является
архимедовой просто упорядоченной (абелевой) группой. Взяв

102 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. Г.
/как в (5.3) и (5.4) и \xi, ..., хп) <= е, положим
/ \ 11 \ /'О 0 0 0\ _ „
ui{xi)=j(a), если [хи .. .,х^и Xi,xi+U .. ., хп)<=а, и
ц(ж) = /(а), еслих е а. Тогда и(х) < w(j/)<=> /(a) < /(b),
так что ж -< г/ ^=^ а (ж) ■< w(j/). Кроме того, обозначая
через (х)~ элемент XJ~, содержащий х, путем
последовательного использования нашего определения операции -f-
мы получаем
(#1, . . . , Хп) = \Х1, Х2, . . . , %п) ~Т \xl> x1i • • • , хп) ~
= (#11 ж2, • • •) хп) + [\Х\, Х2, Х3, . . . , Хп) -\-
Т (#1, #2, ^З' • * • ! хп) \ = • • • = \Xi, Х2,..., Хп) -f~
+ (ж1,жг,а;з, .-..^пГ +••• + («1> ...,х°п-и хт,)~
Отсюда следует, что
и(х)= ui(xi)-\-u2(x2)+ ...-\-и„{хп).
Доказательство единственности получается из
теоремы 5.1, как и в предыдущем случае.
п
Доказательство Р1). Пусть Х = \\Х1г причем
п 52 3, и предположим, что Р1*) и Р2*) выполняются,
а ~< является слабым упорядочением. Проверку Pi)
начнем со следующего общего утверждения: справедливо
соотношение
(XU Х2, ..., Хб)=4(У1, 2/2, УЗ, 2/4, J/5, 2/б),
если
(ж,, х2, z3, z4, z5, г6) =^ (г/ь г2, 2/з, z4, t5, z6), (5.9)
(zi, z2, х3, я4, *5, *e)=<(zi, 2/2, z3, 2/4, z5, *6)• (5.10)
Это охватывает все возможные подстановки вместо хи
2/г и т. д. в два данных утверждения. Следует отдавать
себе отчет в том, что в (5.9) и (5.10) под одним каким-
нибудь г может пониматься целая система индексов и что
одно или несколько таких i могут в частных случаях
в (5.9) и (5.10) и отсутствовать.
Предположим сначала, что первый индекс (г = 1)
в (5.9) и (5.10) фактически присутствует. Применяя
Р2*), допустим, что si удовлетворяет соотношению (мы

§ 5.2] АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ ЮЗ
опускаем скобки и запятые)
Тогда по Pi*) должно быть
XiX2X3X4Z5Z& ~ S\Z2X3X4faZ6.
Равным образом, из того, что на основании (5.Ц1)
имеет место
SiZ2Z3ZihZe =4 yiZ2yzZbhZ&, ,'. .
по Pi*) должно быть и
S1IJ2Z3IJ4Z5Z6 =4 J/1J/2J/3J/4Z5Z6.
Точно так же по (5.10) и Pi*) будет
SlZ2X3X4t5Z6 =^SiJ/2Z3j/4Z5Z6.
Следовательно, по транзитивности,
xix2x3xizbz6 =^ у1у2узУ^5г6,
так что, по Pi*), , - ~ -
Х1Х2Х3ХАХ5Х6 =^ У1У2УзУаХьХ6.
Ключевым для этого доказательства обстоятельством
было то, что в обеих частях (5.10) на первом месте
оказывался один и тот же элемент (zi). Аналогичное
доказательство проходит, если налицо индекс 4 (z4 в обеих
частях (5.9)) или индекс 6 (z6). Предположим поэтому, что
ни один из этих трех индексов фактически не
присутствует. После надлежащей перенумерации индексов
соотношения (5.9) и (5.10) сведутся соответственно к
(хи z2, z3)=<(zb г/2, h), (5.11)
(z\, x2, <зК(г/1, z2, z3). (5.12)
Нам надо показать, что х\х2х3 =^ У\у2хз- Предполагая,
что фактически присутствует третий индекс,
предположим, что s3 удовлетворяет xiz2z3 ~ ziz2s3. Тогда из (5.11)
и Pi*) следует, что y\Z2S3=4 y\y2t3. Сходным образом,
£iz2z3 ~ Z\Z2s3 и (5.12) удовлетворяют условию в
предыдущем доказательстве и согласуются с Е3, так что по Pi)
в этом случае xiX2t3 =4 ijiz2s3. Следовательно, по
транзитивности должно быть xxx2t3 =4. 2Л2/2^з, откуда, по Pi*)
х\*гЧ < j/iJ/2^3.

104 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
Предположим, наконец, что третий индекс (по нуме^
рации из последнего абзаца, а по первоначальной
нумерации — пятый) отсутствует. В итоге мы остались лишь
с двумя индексами. Но п ]2= 3. Поэтому мы имеем дело со
случаями типа
(хи z2, z3)=^(zi, г/2) г/з) (5.13)
(zi, х2, хз)=4(Уи z2, г3), (5.14)
откуда нам надо вывести, что х\хчх% =^ УхУчУъ- Пусть s3
удовлетворяет xxz2zi ~ ziz2s3. Тогда по (5.13) и Р1*
будет J/1Z2S3 =^ J/1J/2J/3. Также xiz2z3 ~ ziz2s3 и (5.14)
подпадают под аналогичную схему, согласпо которой имеет
место Р\ (в обеих частях ~-утверждения имеется z2).
Поэтому но Pi в этом случае Х\Х2хъ =^ j/iz2s3. Наконец,
транзитивность дает нам x\x2x% =^ j/ij/2J/3-
§ 5.3. Предварительные сведения по топологии
Чтобы получить наглядное представление о теории
аддитивности Дебре [3], пеобходимо привести некоторые
дальнейшие факты из области топологии. Здесь будет
предполагаться знакомство читателя с содержанием § 3.4.
Топологическое пространство (X, £Г) называется
связным, если оно не может быть разбито на два
непустых открытых (в смысле &~) множества. Замыканием А
множества ЛеХ называется множество, состоящее из
всех jel, для которых каждое открытое множество,
содержащее у, имеет непустое пересечение с А:
А={у: 1/ё1и (jEfi, BeJ-)*4 fl Вф0}. (5.15)
Топологическое пространство (X, £7~) называется сепа-
рабельным, если X содержит счетное подмножество,
замыкание которого есть X. Пространство (Re, Ш) сепара-
бельно (а также связно), так как Re является
замыканием множества всех рациональных чисел.
Следующая лемма является «утверждением 4» у
Дебре ([4], стр. 291).
Лемма 5.1. Предположим, что -< является слабым
упорядочением на X, (X, 0~) — связное и сепарабелъное
топологическое пространство и для любого jeZ имеет

§ 5.3] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТОПОЛОГИИ 105
место
{х: iel, х-<у}^2Г, {х: dgZ, у-<х}<=!Г.
Тогда существует вещественнозначная функция и на
X, которая непрерывна в топологии 3~ и для которой
х-< у ■*=*■ и(х) ■< и(у) для всех ж, jgX. (5.16)
Доказательство. Ввиду сепарабельности
пространства (X, &~) множество X содержит исчислимое
подмножество А, для которого А = X. Если х -< z, то
{у: у ~< z} и {(/: а; ~< г/} будут непустыми
пересекающимися (в силу связности) открытыми множествами,
пересечение которых равно {у: х ~< у ~< z}e £Г. Тогда из
4=1и (5.15) должно вытекать
{у: х-<у-<*}Г)АФ0.
Следовательно, А является плотным в X в смысле -<.
Теоремы 3.1 и 3.5 завершат доказательство. Лемма
доказана.
Леммой 5.1 мы воспользуемся в следующем
параграфе. Лемма 5.2, которая опирается на следующее
определение, будет применяться уже в этом параграфе. Пусть
дано топологическое пространство (X, 0~). Подмножество
7еХ называется связным, если для любых А, В е 5Г
неверно утверждение
(Y[\A^0, Y[)B=£0, Y<^A[}B, Y[)A[)B = 0).
Лемма 5.2. Если множество ЛеХ связно, где
A<=s£,u если А[\А*ф0, где А,А*<=зФ, то \j A
ей
также связно.
Д о к а з а т е ль с т в о. Предположим, что множество
Y = U А несвязно. Тогда найдутся такио множества
ей
В, СеГ, что
&Г\Вф0, У[)СФ0, Y<^B[]C, Y[]B(]C=0).
Пусть для множеств A, A*^>s& будет А (~|Вф0 и
А*[\Сф0. Используя В и С, получим, что множество
A U А* несвязно, а также что(А(]С = 0, А* (]В = 0)
верно, поскольку каждое из множеств А и А*
связно по условию. Но тогда (4еВ, Л*еС), так как

106 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
A, 4*e7EjB|J С, и, следовательно,
0 = А[)С[)А*[)В = (А[}В)[}(А*(\С) = А(]А*,
что противоречит второму условию теоремы.
п
Топология-произведение. Если X\lXt и (Xt, Ti)
является топологическим пространством для каждого i, то
положим
ST =J\Ti=\A: A sX, и если (жь ..., ж„)еЛ,
то существуют такие Л4 sJ"), что
п
ijSii (i = 1, ...,тг) и О A{czA
г = 1
£Г называется топологией-произведением в пространстве
X = П X;. Произведением пространства
называется топологическое пространство
Чтобы проверить, что ,- действительно является
топологией (см. определение 3.2), заметим сначала, что
0 е П &~( и X е П У"(. Пусть множество 5 является
объединением множеств из II £?",., причем В ф 0 и х<=В.
Тогда существует такое множество А из объединения,
а следовательно, и из П £Г;, что iei; из этого следует,
что ВеП£Г,-. Предположим, наконец, что
41 4"еПу„ П^>0-
Если Jefi^'i то Для каждого У, и каждого / существует
такое множество ^е£Г$,что
Поскольку
Xi e= n4 s ^"{
У
для каждого i и
из (5.17) следует, что
В упражнении 13 приводится эквивалентное
определение произведения топологий.
(5.17)

g 5.3] ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТОПОЛОГИИ Ю7
Лемма 5.3. Если для каждого ie{l, ..., п}
пространство (Хи STi) связно (сепарабельно), то пространство
( ПХ, Il^Ti) также связно (сепарабельно).
Доказательство. Сепарабельность. Пусть
для каждого I пространство (Х{, &~t) сепарабельно, т. е.
для каждого i существуют исчислимые множества Л4 £= Xi,
~Ai — Х{. Возьмем х <= X = П Xt и предположим, что
x e В <= TlZTi. Тогда по (5.17) существуют такие
множества Bi e Ti, что Xi e Bi и П 5; s 5. Поскольку
пространство (Xt, g~t) сепарабельно, Bif\ А^Ф 0. Поэтому
(UBi){](UAi)^0, так что Bf](U.Ai)^0. Отсюда
следует, что х принадлежит замыканию множества II А(.
Связность. Используя определение связного
подмножества, нетрудно показать, что
{xl}X...X{xi-i}XXiX{xi+i}X...X{xn}
является связным подмножеством множества X = И Xt "
при условии, что (Xh £/",) связно. Пусть каждое из
пространств (Xh £Г() является связным, так что
Х1Х{х2}Х ... X{xn}U МХХ2 Х{х3}Х ... Х{хп)
связно по лемме 5.2, так как точка (у\, х2, ..., хп)
принадлежит обоим множествам из объединения. Поскольку
(ж[ Х2, ..., хп) принадлежит каждому из объединений
такого вида, так как j/i принимает любые значения из
множества Х\, из леммы 5.2 следует, что множество
XiXXzX {х3}Х ... X {хп} связно. Следовательно,
X, ХХ2 Х{хп}Х... X{xn}\J {У1}Х{у2}ХХ3Х{х4}Х.. .Х{хп}
связно, так что Xi X Х2 X Хз X {х^} X ... X {х„} также
является связным. По индукции получим, что и Xi X Х2 X ...
... ХХ„ связно.
Непрерывность. Надлежащее обобщение определения
непрерывности, приведенного в § 3.4, включено в
следующее определение.
Определение 5.2. Пусть (X, Я), (Y, 9) и
(Z, °Г) — топологические пространства. Пусть функция /
отображает множество X в У; тогда функция /
называется 5? — 9'-непрерывной, если
S г 9> =*- {х: х е X, f(x) e£}e Я.

108 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
Пусть функция g отображает X X У в Z; тогда
1) функция g называется непрерывной па X, если
(»еУ, ref)*{i: ieX, g(a;, у)е=Г}«=Я;
2) функция g называется непрерывной на Y, если
(leXjGfl^lj: j/ e= 7, g(s, j/)е= Г}е=^.
Доказываемая далее лемма будет использоваться
в следующем параграфе.
Лемма 5.4. Если (X, Ж), (Y, 9>) и (Z, Т)—
топологические пространства и функция /, отображающая
XX Y в Z, является 5? X 9" — 2Г'-непрерывной, то она
непрерывна в X и в Y.
Доказательство. Пусть функция / является
М X & — ^"-непрерывной, и пусть Ь <= У, Tef.
Докажем, что {х: iel, f(x, b)^T}^Si. Для каждого же!
положим g(x) = x, h(x)=b и &(#) = (g(x), h(x)). Как
легко проверить, функция g, отображающая X в X,
является & —^-непрерывной, а функция h, отображающая X
в F, Й — 5^-непрерывна.
Чтобы показать, что функция к, отображающая X
в X X У, является Si — $& X 5^-непрерывной, возьмем
А ф 0, 4еЖХУ. По упражнению 13, А имеет вид:
A=\JB(w)XC(w),
wew
где B{w)^$i и C{w)^:9) для всех itEW. Пусть
верхний значок — 1 означает обратную функцию, т. е.
к-\А) = {х\ к(х)^А}. Тогда
Н4)=Ии№)хОД])=
= иГ![В(ю)хСН] =
= иг!([ВНх7]П[ХхСМ])-
= У(Г1[ВИХ7]0/-~1[ХХСИ])= .
= и С?-1 [^(w)] л ы1 [С (w)]) <=я,
так как g~v[B(w)]^ Si и h~l[C(iv)]^Si для любого if.
Положим г (а;) = f(k(x)) = /(я, b). Пусть ГеУ.
Поскольку i-x(T)<=$iX9 и k-l(f-l(T))e±$., что следует из
предыдущих выкладок, множество г~'(Г) = Аг'(/-1(Г))

g 5.4] ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ ДО9
принадлежит &. Таким образом, {х: jgI, f(x, Ь)ен
ее 7') е= 52, что и требовалось.
Предположим теперь, что пара (X,, ZTt) является
топологическим пространством для каждого i я и — веще-
г?
ствешюзначпая на множестве X = ТТ X, и П£Г; — <?/-
г=1
непрерывная (т. е. непрерывная в топологии П^Г",) фупк-
ция. Тогда как следствие из леммы 5.4 можно получить
тот факт, что функция и непрерывна на Т\ для
любого непустого /е{1, 2, ..., «}. Иными словами, для
любого U ^.Щ и фиксированного Х{ при г ФI множество
{xj-. a; g Ш,-, Xi = ж, для всех г^/, и(х)е C/}s и ^"{.
§ 5.4. Топологическая теория для я факторов
Сущность топологически ориентированной теории
Дебре [3] для аддитивных полезностей с двумя
факторами состоит в следующем.
Теорема 5.4. Пусть X = Xi X X2, и для всех
элементов X выполнены следующие условия:
Q\) [{x^x\ x*)E3(y\'y*, г/3), x'^i/ или xs ~ yi для
1 < 31 => т? -< у3;
Q2) топологическое пространство (Xi: 3~t) связно и
сепарабелъно для i= 1, 2;
<?3) {х: ieX, х -< у)е= Тх XТч. и {х: igX,
y-<x}<=TiXT<i.
Тогда существуют вещественнозначные функции и\ на
Х\ и ц2 н® Х2, удовлетворяющие (5.6), и если существует
такая четверка элементов из X, что (х\, х2)^{х\, уо) и
(уи 22)-<(zi, z2), то функции Bi, и2, удовлетворяя (5.6),
являются непрерывными соответственно в топологиях %Г\
и 9~2, к тому же эти функции единственны с точностью
до линейных преобразований подобия.
Очевидное различие между этой теоремой и теоремой
5.2 содержится в условиях Q2) и Q3) (()1) = Р1)).
Дебре накладывает на пространства топологические условия,
в то время как Лт.тос и Тьтоки используют условия
разрешимости. Необходимость существования четверки
элементов в условии теоремы 5.4 вытекает из того факта, что
при условиях Ql), Q2) и Q3) в качестве функции щ

НО ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
можно взять, скажем, функцию, постоянную на Х\, а в
качестве и2 — функцию, не постоянную на Х2; в этом случае
аддитивные функции полезности уже не будут
единственными с точностью до линейного преобразования
подобия и функция и2 не обязана быть непрерывной. Не
умаляя общности, будем предполагать, что в заключении
теоремы выполняются условия (xi, х2)~((х\, у%) и
(г/i, Z2)-<(zi, z2) для некоторой четверки элементов
множества X.
Наиболее очевидное приложение теоремы 5.4
возникает в том случае, когда множества Х\ и Х2 являются
интервалами в Re. В действительности в первой части
доказательства теоремы (оно состоит из двух частей)
предполагается, что множество Xi X X2 является
прямоугольным подмножеством Re2. Затем во второй части
показывается, как общий случай может быть сведен к
случаю на плоскости. Поскольку первая часть
доказательства, содержащая идеи Томсена [1] и Бляшке [1], за что
и была названа Дебре теоремой Томсена — Бляшке,
состоит из большого числа шагов и весьма длинна; я не
буду приводить подробности доказательства
каждого шага.
Доказательство. Часть I. Будем предполагать
на протяжении этой части доказательства, что выполнены
условия теоремы и множества Х\ и Х2 являются
невырожденными промежутками вещественных чисел, что Э~\
и 3~2 являются относительными естественными
топологиями на Х\ и Х2, а также что имеет место соотношение
х < у => х -< у, (5.18);
как условие 2 теоремы 3.3.
1. По леммам 5.3 и 5.1 на множестве X существует
вещественнозначная функция v на множестве X,
непрерывная в топологии ^[Х^г и удовлетворяющая
соотношению х ~< у -*=*tfy(x) < v(у).
Тогда по упражнениям 3.22 и 3.10 существует
единственное «е(0, 1), для которого, будет
(х-<у, у -< z, х < z) =ф- у ~ ах + (1 — «) z. (5.19)
2. Пусть [я, b]X[c, d]— прямоугольное подмножество
множества Х\ X Хг, для которого (Ь, с) ~ (a, d)
(см. рис. 5). Из (5.18) и (5.19) следует, что существует

§ 5.4] ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 1Ц
вещественнозначная функция /, взаимно однозначно
отображающая [а, Ь] на [с, d], причем
(х\, f{x\)) ~ (Ь, с) для каждого х\ е[а, Ь].
(au,d)
(b,d)
Так как функция / строго убывает по х\, она сама и
обратная ей /~' непрерывны.
3. Наша ближайшая
цель состоит в том, чтобы
показать, что на [а, Ь]Х
Х[с, d] существуют
аддитивные полезности ии и2,
удовлетворяющие условию
u(xh x2)= ul(x1)~\-u2(x2), fCZj)\,
(5.20)
\^
\^/
х^
(а,сj
2;
Рис. 5.
(Ь,с)
где и является монотонно
преобразованной функцией v
из шага 1. Положим сначала
и\(а) = и2(с) = 0 и iii(b) =
= u2(d) = 1. Тогда и (а, с) =
= 0, и (х\, х2) = 1 для всех
(xi, x2)<=f и u(b, d) = 2. Как показано на рис. 5,
существует точка z\ е {а, Ъ), для которой (zx, с) ~ (a, /(zi)).
Чтобы доказать это, заметим сначала, что поскольку
функция v непрерывна, по лемме 5.4 она является
непрерывной на Х\ и на Х2. Тогда, по упражнению 3.16,
множество {v(x\, с): х\^[а, Ь]} является промежутком
из Re. Аналогично получим, что множество
{v(a, f(xi)): si e[a, b]} = {v(a, x2): ж2е[с, d]}
является интервалом. Так как функция v(x\, с)
возрастает по Х\ и v(a, f(xi)) убывает до х\, то существует
единственная точка z\^(a, b), для которой v(z\, с) =
= v(a, /(zi)), так что (zb с) ~ (a, /(zi)).
Пусть g — непрерывная кривая безразличия,
проходящая через точку (z\, с). Чтобы условие (5.20) имело
место, нам нужно, чтобы было ui(zi) = u2(f(z\)) = 1/2
и и(хи х2) = 1/2 для всех (хи х2) eg. Из условия QI)
следует, что е ~ е', как это видно из рис. 5, причем
и(хи х2) = 3/2 для каждой пары (х\, x2)^g'.

112 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
По причипам, аналогичным тем, что были изложены
выше, существует точка (хи /(*/i)) = Р", лежащая на g,
для которой (xi, с) ~ (a, fi(yi)). Как показано на рис. 6,
построения, связанные с точкой Р", определяют две
новые кривые h и к. Как легко видеть, из условия Q1)
следует, что Q ~ Q', Q ~ S' и Q' ~ S, так что Q, Q', S и S'
(af(^))',S
Р
(a, f(.!/,))
(xro P' S'=(y,,c)
Рис. 6.
действительно лежат на одной кривой безразличия (к).
Для того чтобы выполнялось (5.20), нужно положить
ui(xi)= u2(f{yi))= 1/4, bi(i/i) = u2(/(a;i)) = 3/4,
где и = 1/4 на точках h и и = 3/4 на точках к.
Аналогичными построениями (связанными с g' на рис. 5)
получим кривую / на рис. 6.
4. Процесс построения кривых безразличия в [а, Ь]Х
Х[с, d] повторяется неограниченно и приводит к
построению для каждого значения и из множества
{то/2": 1 ^ т ^ 2П, п = 1, 2, ...} U
U {1 + т/2": 0 ^ т ^ 2П - 1, » = 1, 2, ...}
непрерывной кривой безразличия. Если точки (х\, хц)
и (l/i> 2/2) лежат на этих кривых, то
{хи х2) -<{уи У2) -** и{хи х2) < и(г/ь г/2).
\
N.
^ч
\^
Xх7
><
^ЧУ
N<V

§ 5.Ц ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ ЦЗ
Кроме того, мы получаем множество А точек Х\ из
[в, b], на котором множество значений функции и\ есть
{mJ2n: 0 ^ т ^ 2", п = 1, 2, ...},
и множество В точек х2 е [с, d], на котором множество
значений функции щ есть
{т/2п: 0^т^2", в = 1, 2, ...},
причем_ц(а;1, жг) = &i(xi)-f- гг2(ж2), если (жь Х2)е,4ХВ.'
5. А =[а, Ь] ж В = [с, d]. (Доказательство этого
факта предоставляется читателю.)
Из этого следует, что
sup {щ (г/i): г/i ^ хи ух <= 4} =
= inf {wi(zi): ж, ^ zb zi бЛ} (5.21)
для каждого Х\^[а, Ь]. Распространим функцию и\ с
множества А на [а, Ь], доопределяя ее общим значением
из (5.21); тогда легко можно получить, что их(хх) <
<^i(l/i) "*=*" #i < j/i и что функция wi непрерывна на
[а, Ь]. Ясно также и то, что если определены значения
щ(а) и и\(Ъ), то на остальных точках [а, Ь] функция щ
определяется однозначно и должна быть на [а, Ь]
непрерывной.
Аналогичные замечания справедливы для функции и2
на [с, d], и если функции п\ и и2 удовлетворяют (5.20),
то они единственны с точностью до линейного
преобразования подобия.
Для того чтобы проверить аддитивность полезности на
[a, b]X[c, d], предположим сначала, что (жь х2) ~
~(Уи 2/г), где обе точки принадлежат [a, b]X[c, d].
Поскольку аддитивность справедлива на АХ В, из
соотношения (5.21) и его аналога для множества В мы
получим, что ul(xi)JrU2(x2)=iii(yl)-\-u2(y2). С другой
стороны, предположим, что (х\, х2)-<(уи у2). Тогда, как легко
видеть, должна существовать точка (zu z2) ~ (xiy x2),
для которой (zi, z2) < (г/i, г/2), так что
m(zi) + u2(z2) < ui(yi) + 112(1/2)
и, следовательно,
til (zi) + и,2(х2) < tii (г/i),-h u,2{y2).
° П. Фишберн

114 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
6. Докажем теперь, что функции их и щ можно
распространить на множества Х\ и Х% одним и только одним
способом, чтобы выполнялось условие аддитивности.
Исходя из [а, Ь] X [с, d], будем сначала продолжать
горизонтальные линии через точки (а, с) и (Ь,с) и через точки
(я, d) и (b, d) и аналогичным образом продолжим
вертикальные линии. Продолжим также кривые безразличия,
проходящие через точки (а, с), (Ь, с) и {b, d). Эта
процедура, описываемая в соответствии с рис. 4,
используется для порождения дополнительных кривых
безразличия, на которых и принимает значения 2, 3, 4, ... и
— 1, —2, . .. Будем продолжать этот процесс
неограниченно или до тех пор, пока не достигнем границ области
X. В результате мы получим на Х\ X Х2 решетку,
состоящую из прямоугольников, сходных с [а, Ь] X [с, d],
и,может быть, еще и усеченных прямоугольников в случае
ограниченности X. Применяя (И, нетрудно проверить, что
правый нижний угол прямоугольника (если этот
прямоугольник не является крайним) находится в отношении
безразличия с его левым верхним углом.
7. Нам нужно показать, что эти прямоугольники
(в том числе и усеченные прямоугольники при границах,
если таковые имеются) действительно покрывают Х\ КХ2.
^fuTxJ~~tf~a:?...z/ у37'
Рис. 7.
Для этого достаточно показать, что всякое х\ >> Ъ
лежит ниже некоторой кривой безразличия, образованной
как па рис. 4. Предположим обратное, как на рис. 7, т. е.
что j/ieXi не удовлетворяет этому условию. Положим
zx = supU{: / = 0,1, ...},

§ 5.4] ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 115
Как это и показано на рисунке. Тогда из непрерывности
v следует, что
v(z1,c) = sup [v(х\, с): / = 0,1,...},
v(zud) = sup{v(x\,d): / = 0,1,...},
так что v(zu c)=iy(zi, d), откуда (zb с) ~ (zu d), что
противоречит i(5.18).
8. Ввиду аддитивности ясно, что щ(х\) = ] для
каждой такой точки на оси Х\ на рис. 7. Предположим, что
и)|еХ|| для определенности, как это показано на рис.7,
будем считать, что W\ > Ь. По построению,
проведенному для w\, из аддитивности следует, что гг, (и?!) +
-f iio(w2)=3. Но u2(w2) нам уже известно, так как
№2 е [с, d]. Следовательно, число u\(w\) определяется
единственным образом. Сходное соображение имеет место,
если W] < а, и, в силу симметрии, для точек из Х2, не
принадлежащих [с, d]. Таким образом, при заданных
аддитивных и\ и и2 на [я, Ь~\ и \с, d~\ эти щ и н2 опреде-
лятотся в предположении аддитивности однозначно на Xi
и Хп и оказываются непрерывными.
9. Нам остается показать, что соотношение (5.6)
выполняется на всем произведении Х\ X Х2. Для этого
достаточно установить, что
(хи х2)~(уи у2)^ щ(хх) + и2(х2)=>щ{у^ + т{у2),
ибо тогда во всех точках на одной и той же кривой
безразличия значение щ 4- и2 будет одним и тем же и. по
построению, одна из таких кривых будет расположена
слева от другой, если для первой из них значение и\ -f- и,2
меттытте.
Доказательство этого факта мы начнем с
прямоугольника решетки, рассмотренного на шаге R. который
расположен пепоспедствепно справа от прямоугольпика
\а. Ь~\ X \с, d~\. Предположим сначала, что х ~ у, что эти
точки расположены под кривой и = 2, как это показано
на рис. 8. По осуществленному на этом рисунке
построению тт па основлпттп (71) должтто быть
(Р ~ />', 2 ~ ,г) =* <? ~ <?' и (Р ~ Р", z ~ y)=*R ~ #',
8*

116
ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 5
Тогда из аддитивности на [а, 6] X [с, d] на основании
расширенного определения щ. легко выводится, что
щ(х\)+ и2(х2) =<ui(yi) +и2(у2).
С другой стороны, если х и у расположены сверху от
кривой и =>2, мы получаем ситуацию, изображеиную на
Z Р
Рис. 8.
рис. 9. Но тогда по построению и из Q1) должно быть
(х ~ у, Р ~ Р') =*- Q ~ Q'. Из рассмотрения рис. 8
вытекает, что аддитивность имеет место для Q и Q', откуда
и получается, что щ (х\) -\- и2{х2) = Ui (z/i) + u2(y2).
Точно так же аддитивность имеет место и в каждом
из четырех прямоугольпиков, имеющих с [а, Ь] X [с, d]
и=2 обшую границу. По
индукции аддитивность
сохраняется поэтому и вообще во
всяком прямоугольнике
(целом или усеченном), справа
или слева от [a, b]X[c, d],
также сверху или снизу от
[a, b]X[c,d].
Следующим шагом явля
отся доказательство того, что
аддитивность имеет место на
рис. д. всем множестве (Xt X [с, d]) \j
[}{[a,b] X Хг). Здесь пет
каких-либо особых трудностей,
и мы опускаем доказательство. Можно показать, что
аддитивность имеет место в каждом из четырех
прямоугольников, которые имеют с [я, Ь] X [с, d] общую вершину,

§ 5.4J ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ Ц7
а потом, что она остается в силе и всюду па
(Xi X [с, d] (J ([а, Ь] X Х2) U (4 угловых прямоугольника).
Последовательное присоединение новых прямоугольников
завершает доказательство.
Часть II. Мы покажем теперь, что общая ситуация
в теореме 5.4 может быть преобразована в структуру,
предположенную в части I доказательства. Условия
теоремы мы по-прежнему предполагаем выполненными.
1. По леммам 5.3 и 5.1 существует вещественнознач-
иая функция w на Х\ X Х2, которая непрерывна в смысле
?ч X ??2 и удовлетворяет соотношению
х -< у <=> w (х) < w (у) для всех х, у <= X. (5.22)
Зафиксировав (a, b)<= XiX Х2, положим для всех
х\ X Х\ ш х2Х Х2
Wi(xi) = w(xu b), W2(x2) = w(a, x2).
По лемме 5.4, используя упражнение 3.16, wt должно
быть в смысле $\- непрерывным, a Wt— {w{(хг): х^Х{} —
невырожденным интервалом на Re1. Пусть 52,- — обычная
относительная топология на Wu Каждое топологическое
пространство (И7,-, 5?;) является связным и сепарабельным.
2. Пусть фупкция v па W\ X W2 определяется как
v(wi(xx), w2(x2))=<w(x\, х2).
На основании шага 1 функция г; задана на всем
пространстве и возрастает по каждой из перемепных. Задавая
на W\ X W2 отношение -<*, положив
(с, d)-<*(e, f)**v(c, d)<v(e, /), (5.23)
из (5.22) можно вывести, что
'(wi(xi), w2(x2))-<(wi(y,), ю2{у2))-^{х\, х2)<(у,, y2).
'(5.24)
Следовательно, —<* является слабым упорядочением,
и для пего будет
(c,d)<(e,f)^(c,d)-<*(e,f),
аналогично (5.18). Остается показать, что для '-К* на
W\ XW2 выполняются QI) и Q3). . \ '

118 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ ГГЛ. 5
3. Что касается Qi), то предположим для W\ X W2,
что
(с1, с2, c*)E3{d\ d2, d3) и (с1 ^ *d\ с2 ^ *d2).
Нам надо получить, что d3 ч£ *с3. Пусть (ж!, жг) при
/='1, 2, 3 удовлетворяют (ei, 4) = (и^ (x't). тг{х2)).
Положим г/i, г/г?, J/i равными £г, xi, x\ с точностью до
перестановки (сначала при г = 1, а потом при i = 2), что дает
(с1, с2, с*)Ег{й\ d\ d3). Тогда (ж1, х\ х*)Е3(у\ у2, у3)
и по (5.24) и Qi на Xi, X Х2 для -< будет уъ ч£ ж3.
Следовательно, снова ссылаясь на (5.24), мы имеем ds^,*c3.
4. Чтобы установить Q3) для -<*, отметим сначала, что
функция v непрерывна на W\ и на W2. Для
доказательства в случае W\ положим
Wl(x2) = {w(xu x2): x\ el,}
для каждого х2 ^ Х2, так что И7! (х2) является
интервалом для каждого х2. По определению 5.2 следует доказать,
что
{с: с <= Wu v(c, d)e Л} <= 5?i при d ^ W2 и 4 е^.
Пусть для х2 е Х2 будет w2(x2) = d. Тогда
{с: с ^Wi, v(c, d)<=A} =
— {w,(xi): ж, eli, wi(xu ж2)е Л} =
~<{w(xi, b): x\ eX|, w(xj, i2)Eif| Wi(x2)}.
Так как
w (xt, ж2) < ю(х\, x.2)<H> w(xj, b) < w(x'i,b),
из непрерывности и? следует, что если A f\ Wx (ж2)
является интервалом в Wv(x2), то
{«>i(*i.b): iieXi, wfiL^eiflWiW}
является интервалом в PFi и потому (с: с е= PFi, г>(с, d)s
g4} s^i. Таким образом, если A ^Qt, то, вообще
говоря, {с: се?1, г; (с, (J)ei) e5?i (см. упражнение 19).
Следовательно, функция v непрерывна па W\.
Доказательство для W2 аналогично.
Предположим теперь, что (с, d)~<*(e, /). Тогда
v(с, d)< v\e, f) no (5.23). Так как функция v возраста-

§ 5.41 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ Ц9
ет и непрерывна, легко показать, что существуют
промежутки Rx(c), Ri(e)e~&, и R2(d), R2(/)eE #2, для которых
(с, d)^R<(c)XR2(d), (е, /)е=Д,(е)ХД2(/),
для всех £ <= Ri(c)XR2(d) и (с, d)-<*f для всех £ ge
е /?i(e)X R2(f). Это является условием 2 теоремы 3.5
применительно к отношению -<*. Из этой теоремы
следует, что
{г: reWiX W2, r -<*t) еЖХ Ж2,
{г: r<ES.WiXW2,t -<*/■} <= 5?, X Я2
для каждого £ е W\ X W2j а это и есть условие Q3) для
отношения -<*.
Таким образом, все предположения части I
доказательства теоремы для отношения -<* на W\ X W2
выполняются, так что существуют вещественнозначные непрерывные
функции v\ на W\ и v2 на Wi, для которых
(с, d) -<*(е, /) ^ у, (с) + i;2(d) < w, (в) + v2(f)
и которые единственны с точностью до положительного
линейного преобразования подобия, если только
выполняется аддитивность v\ -f- v2.
Полагая щ{х)= Vi(wi(xi)), мы получаем
(хи х2)<{у\, у2)^- ui(xi)-\r и2(х2) < m(yi)+ и2{у2).
Из непрерывности wt на Xi и у,- на И7,- следует
непрерывность ы-i на Xi (см. упражнение 16).
Три или более факторов. Если допустить, что имеются
хотя бы три фактора, фактически влияющих на
предпочтения, или если пользоваться термином Дебре,
являющихся существенными, то для использования теории
аддитивности Дебре при п Ss 3 необходим только случай т = 2
условия С теоремы 4.1. Для сравнения с теоремами 5.4
и 5.3 мы сформулируем его теорему следующим образом.
п
Теорема 5.5. Положим X = JJ Xi7 п =2:3, и пусть -^
г=1
— отношение слабого упорядочения на X, причем х ~< у
для некоторых х, у е X, которые различаются только
своими i-ми компонентами (i = 1, . . ., га), w на множестве
X имеет место следующее:
Qi*) [(x, z)E2(y, w), x -i у или х ~ у] =*■ z~<w.

120 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
Q2*) Все топологические пространства (Xi, £Г,) для
i = 1, . . ., п являются связными и сепарабельными.
п
Q3*) {х:х<=Х, *<у}е=Н>|,
1=1
{г:*еХ,Кг}еП^'
г=1
Тогда существуют вещественнозначные функции
и\, ..., ип соответственно на Xi, ..., Хп, которые
удовлетворяют (5.8), соответственно непрерывны в смысле
ST\, ..., &~п и являются единственными с точностью до
положительных линейных преобразований подобия.
Доказательство. Часть I. Как и в предыдущей
теореме, мы рассмотрим сначала случай, когда каждое Xi
является невырожденным вещественным промежутком,
d~i является обычной относительной топологией на нем
и имеет место (5.18) (т. е. х < у =*- х -< у) вместе с
другими предположениями теоремы 5.5.
1. По причинам, аналогичным приведенным в шаге
1 части I доказательства предыдущей теоремы, и на
основании леммы 5.4 существует непрерывная (в смысле
II^Ti) и монотонная относительно -< вещественнозначная
функция v на X, которая непрерывна также по любой
комбинации факторов. Кроме того, имеет место (5.19).
2. Рассмотрим, следуя Дебре (стр. 22 — 24), сначала
аддитивное представление для Х\ X Х2. Взяв при i > 2
точки й{ е= Xt внутри Xt, положим
Н = Хх X Х2 X {а3} X ... X {ап}
и зададим отношение -<° на Х\ X Х2 как слабое
упорядочение, индуцированное на Н ограничением отношения -<.
В силу Q1*) отношение -<° не зависит от конкретного
выбора значений а3, ..., ап. Кроме того, условия из
первого абзаца части I предыдущего доказательства прило-
жимы и к -<° на Xi X X: Q3) легко получить из теоремы
3.5, но Q1) (условие СЗ)) проверить труднее.
3. Из непрерывности и того, что х < у =*>■ х^.у, в
части I предыдущего доказательства используется только
«безразличная» часть Q1) в двух формах, показанных на
рис. 10. Форма I была использована для установления
аддитивности на [а, Ъ] X [с, d]; форма II — для распрост-

§ 5.4] ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 121
ранения аддитивности на все пространство Xi X Х2. В
обоих этих случаях ~ -часть Q1) утверждает, что
(Р ~ P',Q ~ Q')^R~ Д', (Q ~ Q', R ~ R>) => Р ~ Р\
Для доказательства того, что это справедливо на Я,
покажем сначала, что эти соотношения имеют место для
достаточно малых прямоугольников в II.
{? Р R
N
\
Форма Г ■ . Форма /I
Рис. 10.
4. Пусть .Г] <С z\ и х2 < 7,2, причем разности z\ — х\ и
z2— х2 настолько малы, что найдется точка W =\х\, х2,
&з, • •., Ьп) е X, безразличная по отношению к W =
= (z\, z2, a-i, . .., я„)е Н. Это показано на рис. 11 и
следует из непрерывности и того факта, что числа я,- были
выбраны внутри соответствующего Х{. Пусть yt, U е Х<
для i =< 1, 2 таковы, что х, < yt < U <. zh Q ~ Q' и
Р ~ Р'. Ввиду W ~ W существует в множестве
безразличия (гиперповерхности), содержащем Q и Q', некоторое
Q* =' (xi, х2, с3, . . ., с„). Пусть Т, Т', R и R'
расположены так, как это показано па рисунке. Тогда по QI*
должно быть
[(<?*, R)E2(Q', Г), Q*~Q']^R~ T,
[(<?*, R')E2(Q, Г), Q*~Q]^R' ~ T,
[{РТ')Е2{РГ, Т),Р ~ Р']^Т ~Г,
так что по транзитивности получается R ~ R'.
Аналогичный анализ (беря R ~ R', а затем позиции Р, Р') дает
нам _«? ~ Q\ R ~ R') =>Р ~ Р'.

122 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
5. Предположим, что Р ~ Р' и Q ~ Q', как в форме
I рис. 10. Повторяя процедуру, примененную для
размещения новой точки Р" на рис. 6, мы получим
последовательность таких точек и связанные с ними кривые
безразличия, которые направлены в сторону левого нижнего
Рис. 11.
угла прямоугольника, имеющего Р и Р' своими
вершинами (рис. 10). При процедуре построения, изображенной
на рис. 6, на каждом шаге этот прямоугольник делится
на много мелких прямоугольников. После некоторого
(достаточно большого) числа шагов условие W ~ W из
шага 5 применяется к каждому 2 X 2-блоку из четырех
маленьких прямоугольников, откуда в этих случаях
выводится справедливость условия (И. Начиная с левого
нижнею угла и применяя условие Q1 к 2 X 2-блокам,
можно показать, что для каждого маленького
прямоугольника нижний правый угол безразличен по сравнению с
левым верхним углом. Ввиду транзитивности это
приводит к R ~ R'. Аналогично из R ~ R' и Q ~ Q' мы по-

§ 5.4] ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 123
лучаем (идя к середине из левого нижнего и правого
верхнего углов), что Р ~ Р'. Поэтому из части I
предыдущего доказательства следует, что аддитивные
полезности имеют место в прямоугольнике с углами Р и Р' в
форме II на рис. 10. Отсюда в свою очередь следует, что
Qi) справедливо для формы II. Поэтому Qi) имеет
место для Н вообще.
6. Итак, мы установили, что аддитивные полезности
для Н существуют. Рассуждая но индукции,
предположим, что для каждого i от 1 до к — 1 (==: 2) существует
непрерывная возрастающая вещественнозпачная функция
Ui на Хи для которой гиперповерхности безразличия на
А—1 k — 1 n
JJXj (т. е. на IJ Xt X XI {ai}) представляются в виде
ft—1
2 u» (xi) — const.
t=l
Следуя Дебре (стр. 24), мы распространяем аддитивность
k
на П Xf
г = 1 . ,,
Из Qi* и шага 1 следует, что ..'"'.' ч
k~\ ft—1
2"|М= 2 ui(yi)<=>v(x1,>..,xk_1,xh,ak+1,.. .,ar,)=.
»=1 i=l
= v (yl, . .., yh-i, x,,,ah+1, . .., an).
Следовательно, мы можем определить веществешго-
значпую функцию / на множестве
I 2 иг (xi) '■ х\ е Xt для i = 1, ...,& — 1| х Xft,
положив
ft—1
где 2 ui(xt) =а для некоторого я,. Эта функция /возра-
1
стает по каждому аргументу и непрерывна, поскольку
непрерывна функция v. Пусть
й = {v(xu . .., хк, ак+и ..., ап): xf е Х{ для i =Л, ..., к}

124 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
— вещественный промежуток. Для йёЙ множество всех
пар (а, хк), для которых
/(а, хк) = со, (5.25)
А
описывает в Ц Х{ гиперповерхность безразличия. Ясно,
4=1
что если при заданном (хк, o)eXsXfi равенство (5.25)
ft—1
имеет место для некоторого а = 2 их (^).то такое а
1
единственное. Мы будем обозначать его через g(xk, со).
Отсюда следует, что соответствующая со гиперповерхность
безразличия, представляемая посредством (5.25), может
мыслиться так же, как множество всех (xi, ..., хк), для
которых
S«iW = ?(^4 (5.26)
i=l
Пусть G, подмножество Хк X Q, является областью за-
дапия функции g. Наряду с относительной обычной
топологией ёГа на Q и G возникает топология STG = {G П
О А: 4е3~кX£Га}. В этой топологии 3~а фупкция
gнепрерывна (см. упражнение 22).
7. Пусть (ак, со0) лежат внутри G, и возьмем
(«i(oi), ..., ик-\(ак-\)) внутри множества
ft-i 1
(M*i). ..., uft_t (хй_г)): 2 u,(a;,) = g(aft,(D0)j.
Это зпачит, что имеет место
ft—2
2 "г Ы + и*-1 К-0 = g (ah, со0). (5.27)
i
Пусть теперь (xh, aJeG настолько близко к (ак, со0),
что операции, выполняемые с (5.28) и (5.29),
оказываются возможными. Выберем набор
ft—1
(^....Cft-OsII Xi,

§ 5.4] ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ п ФАКТОРОВ 125
для которого
ft—2
2 Ui (о,) + uft_j (ck_x) = g (a:ft, (o°), (5.28)
l
ft—2
2 »i (et) + Щг-i K-i) = g («ft. «>)• (5.29)
l
По (5.27) и (5.28) должно быть
(ai, .. ., «fc_2, вь-i, fld) ~ (ai, • •., a/i-2. cft_i, arft),
так как обе эти части лежат на гиперповерхности
безразличия, соответствующей со0.Тогда,согласно Qi*),будет
(сь . .., ск-2, ак-\, ак) ~ (ci, ..., сл-2, сА-ь £ft).
Так как здесь левая часть на основании (5.29) лежит
на гиперповерхности безразличия, соответствующей со, на
ней же должна лежать и правая часть:
ft—2
1j K|(Ci) + »ft-i(cft_i)=-=g(s/k,a>). (5.30)
i
Вычитание (5.27) из (5.28) и (5.29) из (5.30) дает
нам
g{xk, <а)= g{ah, <а)+ £(**, to°) — g{ah, ю°). (5.31)
8. Пусть V — прямоугольник в G, стороны которого
параллельны осям пространства (т. е. Хк и Q) и который
содержит (ак, со0) и допускает операции, проведенные в
(5.28) и (5.29) для каждого (хк, в)е7. По (5.31) илем-
ме 5.4, g на V может быть записано как сумма
возрастающих непрерывных функций со и хк, скажем, как
g{xh, (i>)=ih(o))—uk(xk). (5.32)
Применим эти рассуждения к каждому (ah, <я°)
внутри G; каждое такое (ак, со0) будет иметь ассоциированный
с V прямоугольник вб, в котором g может быть
разложено как в (5.32). Предположим, что Vf\ V Ф 0, причем
g(xk, а>) = h(a>) — uk(xk) для (хк, со)е7, (5.33)
g{xk,e>) = h'{<u) — uh{xh) для {xk,<x>)f=V. (5.34)

126 ПОЛЕЗНОСТИ НА БКСкОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. Ь
Фиксируем (6, со°)<= Ffl^' и преобразуем К ц щ
прибавлением постоянных, так что
h' (со0) = h (со0) и u'k(b) = uh(b). (5.35)
Пусть теперь (хк, й)е7(]V • Тогда, по условию
параллельности сторон, (&, со) и {хк, со0) принадлежат
Vf]V. Следовательно, используя (5.33) и (5.34), мы
получаем - ,
Uk(xk)= — g{xk, (0°)+/t((0°),
u'k(xh) = ~g(xh,^)+h'(^),
так что ввиду (5.35) ик(хк) =uh (xh). Аналогично
получается, что h(a) = h'(а). Таким образом, при
выравнивании (5.35) на VC[V должно быть (h, uk)=(h',uk).
Отсюда следует, что функции h и ик можно определить
так, чтобы внутри G соблюдалось (5.32). Из
непрерывности тогда следует, что (5.32) имеет место на всем
множестве G.
9. Подстановка (5.32) в (5.26) дает ," -
h ■ . ■
2 ut (xt) = h(oi)
ft
как представление гиперповерхности безразличия наП-Х'»»
i=i
соответствующей со. Но индукции каждая гиперповерх-
п
ность безразличия па может быть представлена
i=i
уравнением
п
2 Ut (xt) = const,
i=l
причем каждая функция м,- будет непрерывной и
возрастающей по х{.
Часть II. Доказательство того, что общая ситуация
теоремы 5.5 может быть преобразована в структуру части
I проведенного доказательства, аналогично части II
доказательства теоремы 5.4.

УПРАЖНЕНИЯ 127
§ 5.5. Резюме
Хотя Тверским [2] была разработала весьма общая
теория аддитивности, она в случае бесконечных множеств
становится несколько сложной и трудной для прозрачных
интерпретаций. Читатель, заинтересованный в этой
общей теории, должен обратиться к указанной статье.
Если наложить несколько более сильные структурные
условия типа слабого упорядочения, прямоугольности
п
(т. е.Х = JJ Хг), разрешимости и т. д., то получаются
менее общие, но поддающиеся более простой
интерпретации теории аддитивности. Одна из них, разработанная
Льюсом и Тыоки [1] и Лыосом [2], является по своей
природе алгебраической и включает предположения, что
разности уровней некоторых факторов могут быть
компенсированы (в смысле предпочтений) разностями уров-
пей других факторов. Как показал Льюс [2], можно
ослабить это условие неограниченной разрешимости и все
еще получать результаты, аналогичные описанным в § 5.2.
Теория, получаемая при ограниченной разрешимости,
весьма сходна с топологической теорией аддитивности
Дебре [3], как она была описана в § 5.4. Во всех теориях,
упомянутых в этом параграфе, условие независимости С3
из теоремы 4.1 достаточно для аддитивности, по С2 (т. е.
т = 2) может применяться лишь, когда имеется более
двух факторов, ибо в этом случае С3 следует из Ci и
остальных условий. В этих хорошо сформированных
теориях аддитивные полезности единственны с точностью до
положительного линейного преобразования подобия,
а в теореме Дебре каждая функция и, на X; непрерывна
и топологии, ассоциированной с (-<, X,).
Упражнения
Указатель. 1—3. Лексикографические упорядочения и
аддитивность. 4. тх + пх = (т + п)х. 5, 6. Строго 5'порядоченные группы.
7. Абелева группа. 8. Положительные линейные преобразования
подобия. 9. Неограниченные полезности. 10. Приложимость
исчислимых множеств. 11, 12. Замыкания. 13. Топология на произведении.
14, 15. Произведения, пересечения, объединения. 16—22.
Непрерывность. 23, 24. Недостаточность условия Сг(Р1*), (?1*)), если п = 2.

128
ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ \ТП. 5
25. Критерий среднего — дисперсии для нормального
вероятностного распределения.
1*. Для каждого из следующих случаев рассмотреть
произведение Xi X Х2 и отношение
(хи х2) < (г/ь у2) <=> {хи xi) <L (уи Уг) -*=*■
-фф- Х\ < г/, или [х\ = 1/[, х2 < !/2>.
Проверить высказанные утверждения.
a) Xi = {0, 1}, Х2 = {г: г — рациональное число}. Существует
аддитивная полезность.
b) X, = {г: г — рациональное число}, Х2 = {0, 1}. Не
существует аддитивной полезности.
c) Х\ = Х2= {у. j — целое число}. Существует аддитивная по
лозность.
2 (продолжение). Несмотря па то, что в примере 1с
аддитивная полезность существует, система (Y, -f, <L), как вытокаег
из примененной к этому случаю теоремы 5.1, является
неархимедовой строго упорядоченной группой, и поэтому на Y не найдется
/, удовлетворяющей (5.3) и (5.4). Рассмотреть эту ситуацию более
подробно.
3*. Пусть X = X, X Х2 X Х3, где Х4 = {0, 1} и Х2 = {1, 2, ...}.
a) Если Х3 = {0, 1}, то доказать, что аддитивная полезность не
существует, если х -< у -*=>- х <_L у.
b) Если Х3 = Re и х < у -*=>- х <L у, то показать, что
существует исчислимое помножество в X, являющееся в X «^-плотным.
4. Пусть (У, +) — группа. Показать, что если m > 0 и ге < О —
целые то тх + пх = (т + п)х при любом геУ,
5. Доказать, что строго упорядоченная группа является
архимедовой, если выполняются (5.3) и (5.4).
6. Пусть Lx й Ux определены как в доказательстве теоремы
5.1. Доказать, что существует единственное вещественное число
g(x), для которого т/п :g g(x) gr/s при всех т/п ei, и r/s <= Ux.
7. Пусть Y = {0, а} и а Ф 0. Положим та = 0, если т —
четное целое, и та = а, если m — почетное целое. Определить
операцию + так, чтобы система (F, -+•) была абелевой группой.
8. Показать, что аддитивные функции полезности единственны
с точностью дополнительных линейных преобразований подобия,
если X = [хи уд X {ж2, Уг) и (ж,, х2) < (ж,, у2) ~> (уи хг) < (уь
г/2). (Предположить, что -< ость отношение слабого упорядочения.)
9. Проверить, что в условиях теоремы 5.2 функции и\ и «2 в
(5.6) должны быть неограниченными, если х <, у для х, у е X.
10. Если г < г/ для некоторых х, jeX, то могут ли Х^ и Хг
быть исчислимыми в условиях теоремы 5.2? То же — в условиях
теоремы 5.4.
11. Пусть X = Re с обычной топологией 11. Описать
замыкания множеств:
a) {0,1,2,...};
b) {г. 0 < г < 1, г рационально};
c) {1/ге: п = 1, 2, 3, ...};
01. {то/2п, т = 0, 1, ..., 2", п =. 1, 2,...}.

УПРАЖНЕНИЯ
129
12. Пусть X состоит из всех рациональных точек Re и в Re
определена обычная относительная топология {Х(]А: А е Щ.
Каким будет замыкание X?
13. Пусть (Xi, &~i) — топологические пространства для I = 1,
2, ... и Ii*ff~i — семейство множеств, образованных произвольными
объединениями множеств из
п
Y\At: At^T t для t=l,
i=l
Доказать, что Tl*&~i = WWi.
n
14. Пусть X = JJ Xv A\ С X. для / = 1, ..., i» « I.—, 1,
i=l
..., п. Доказать, что
ЙМ-п(п4
n
15 (продолжение). Пусть X = П X., A.(t) для всех
t=l
t e Г, где Г — произвольное множество. Проверить, что
Ь) ,и.(п^«>)еП(,итv<>). ■ '
с) Показать на примере, что U (JJ At(t)} может быть
собственным подмножеством множества П (и А{ (t)\.
16. Пусть (X, Я), (Y, &) и (Z, &~) —топологические
пространства, и пусть отображение / X в Y является Я — ^-непрерывным,
а отображение g Y ъ Z— 9" — ^"-непрерывным. Положим h(x) =
= 8(f(x)) для любого iel Доказать, что отображение h является
Я — ^"-непрерывным.
17. Воспользовавшись первой частью доказательства леммы 5.4
как образцом, доказать, что если (X, Я), (F, &), и (Z, 5Г) суть
топологические пространства и / из X в Y является Я — ^-непрерыв
ным, a g из X в Z является Я — ^"-непрерывным, то отображение h
из 1в УХг, где h(x) = (/(x), g(z)), является Я —
(9>Х&~)-непрерывным.
18. Пусть ^ — обычная топология на Re. Показать, что для
А <^<Ы необходимо и достаточно, чтобы А было объединением
семейства интервалов из Re.
19 (продолжение). Показать, что вещественная функция
/ на X является непрерывной в смысле топологии 5Г тогда и только
9 п. Фишберн

130 ПОЛЕЗНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. 5
тогда, когда для любого интервала А из Re множество f~l(A) =
= {х: х еХ, f(x) ei} принадлежит Т.
20. Если (А", Ж) и (У, 91) — топологические пространства, а /—
функция из X в Y, положим
f(X) = {у: feyij = f(x) для некоторых х е X}.
Показать, что если фупкция / является 52 — Р'-непрерывной, то она
является и 5? — {f(X) П S: S е= ^-непрерывной. Таким образом,
непрерывная функция является непрерывной также и в смысле
относительной топологии на ее области задания.
21. Пусть /—вещественная строго возрастающая (или строго
убывающая) функция на вещественном сегменте. Предположим,
что область значений функции /, т. е./(X), является вещественным
промежутком. Доказать, что эта функция непрерывна.
22. Пусть X, Y и Z — вещественные промежутки, а функция /,
отображающая X X Y на Z, строго возрастает по каждой
переменной и непрерывна. Для каждого (у, г) е У X Z, для которого
существует такое tei, что f(x, у) = г, положим g(y, z) = х, если
/(ж> У) = г. Пусть G = Y X Z — область задания функции g.
Доказать, что функция g непрерывна.
23. Пусть
Х= [1, оо) X [1, »),
и
U (Zj, Х2) = ХХХ2 + Х\'
для каждой пары (хи xi) el Предположим, что для всех {х\, х2),
(г/i, г/г) еХ
(*г, *г) -< (»i. г/г),
тогда и только тогда. и(гь яг)*("(г/|, г/г). Проверить, что здесь
выполняются все условия теоремы 5.4, за исключением Qi), и что
в этом случае выполняется Qi*) (т. е. С2). Существуют ли в этом
случае аддитивные функции полезности? Почему?
24 (продолжение, принадлежащее Д. Крантцу). Пусть
X = (0, оо) X (0,оо) и
х\хг + х\\ если lgii, IS хг,
и(хи х2) = Zi(z2+ 1), если 0 < х\ £S 1 Ss «2,
2ж1Ж2, если 0 < zb 0 < ж2 5= 1.
Положим (ж,, х2) ■< (j/i, г/г) Для тех (х,, ж2), (г/i, г/г) е -X, для
которых
и(гь х2) <и (уи у2).
Проверить, что здесь выполняются все условия теорем 5.2 и 5.4,
за исключением Pi) или (И) и что Р1) нарушается, но Pi*) пли
Qi*) выполняются.
25. Пусть X — семейство всех нормальных вероятностных
распределений на вещественной прямой. Каждое такое распределение

УПРАЖНЕНИЯ
131
известно полностью, если определены его среднее ц и стандартное
отклонение о (=g 0). Поэтому мы можем представить X в виде
множества X' всех упорядоченных пар (\i, о), где \i —
произвольное вещественное число, а ойО. Если для отношения -< на X'
выполняются условия теоремы 5.4, то существуют такие непрерывные
вещественннозначные функции / на (—оо, оо) и g на [0, оо), что
при любых (|х, о) и (}!*, о*) из X' имеет место
(V-, о) < (МЛ о*) -*=>- /М + *(о) < /(и*) + *(о*).
Если вы знакомы с нормальными вероятностными
распределениями, прокомментируйте разумность условий (в частности,
условия <?1) в случае, когда каждое нормальное распределение
представляет собой действие, состоящее в игре на некоторые
денежные ставки.

Г л а в а 6
СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В ПРЕДПОЧТЕНИИ
Все аксиомы предпочтения в предшествующих главах,
а также в последующих частях II и III касаются только
простых сравнений предпочтения (-<). В даппой главе,
однако, мы будем рассматривать «силу предпочтения» —
понятие, которое допускает сравнение различий в
предпочтении. При этом мы будем иметь дело с бинарным
отношением -<* между упорядоченными парами,
т. е. с отношением на множестве XXX.
В принимаемой в этой главе интерпретации
соотношение (х, y)-<*(z, w) будет означать, что степень
предпочтительности х по сравнению с у меньше, чем степень
предпочтительности z по сравнению с w. Здесь «степень
предпочтительности» х по сравнению с у может, конечно,
быть и «отрицательной» (если у предпочтительнее, чем я).
Ради концептуальной наглядности мы будем
обозначать упорядоченную пару (х, j/)eIXI через х — у,
т. е. полагать х — у= (х, у). Таким образом, вместо
соотношения (х, y)-<^(z, w) будет употребляться
синонимичное ему соотношение х — у -<*z — w. Эта система
обозначений подсказывает ряд условий, которые могут
прояснить понятие ориентированных сравнений
различий в предпочтении. Такими условиями являются
х — у -<*z — w =*► w — z -<*y — х, (6.1)
х — у -<*z — и> =*- х — z-<*y — w. (6.2)
В наших представлениях с помощью функций
полезности соотношение х — у -<*z — w будет соответствовать
неравенству и(х) — и(у) < u(z)— u(w). В отличие от
этого подхода, Сапе и Уайнет [1] рассматривают
неориентированные, абсолютные сравнения различий и опи-

§ 6.1] «ИЗМЕРИМАЯ» ПОЛЕЗНОСТЬ 133
сывают различие предпочтений между х и у величиной
\и(х)— и(у)\. Они используют, кроме того, простое
отношение предпочтения (-<). Хотя ориентированное
различение ~\ можно определить непосредственно из
отношения -<*, положив
х -Ч у <=> х — х -<*у — х, (6.3)
по-видимому, только один автор, Армстронг [1],
занимался анализом следствий этого. Его идея, которая сегодня
не в моде, состоит в том, чтобы сделать отношение -<*
понятием как можно более точно «измеримым», с тем
чтобы, например, если х~<у, то с помощью
последовательных замен всегда можно было найти такую альтернативу
г, заключенную между х п у, для которой z — х ~*у — z,
и в конечном счете получить
x — y-<*z— w <=> и(х)—и(у)< u(z)— u(w).
Вместе с тем он успешно справился с нетранзитивностью
отношения безразличия -~, положив х-<у только в том
случае, когда разность и(у)—и(х) превосходит
некоторое минимальное положительное пороговое значение.
§ 6.1. «Измеримая» полезность
Прежде чем рассматривать некоторую формальную
теорию, следует сделать дальнейшие замечания. Если
положить
х — у ~*z — w ^^ х — у -<*z — w Д z — и> -<*х — у, (6.4)
то нам представляется очевидным, вопреки
противоположному мнению Армстронга [1] и других, что существует
не больше (а возможно, и меньше) соображений, чтобы
предполагать транзитивность отношения ~*, чем
предполагать транзитивность отношения ~. Например,
можно ли выбрать одно и только одно значение х, для
которого х долл.— О долл. ~* 100 000 долл.— х долл.? Если
вы действительно можете это, то я осмелюсь сказать, что
ваше суждение о различиях является несколько более
проницательным, чем у большинства смертных.
Идея сравнимых различий в предпочтениях со
времени ее введения Парето [1] (стр. 16) и Фришем [1] не
раз подвергалась критике, и притом по соображениям,

134 СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В ПРЕДПОЧТЕНИИ [ГЛ. G
более глубоким, чем неопределенность в различении,
могущая приводить к нетранзитивному отношению ~ *•
Один из предъявленных этому понятию упреков состоял
в том, что оно не имеет операционального смысла.
Поэтому были предложены различные «операциональные»
способы для осуществления сравнений и в том числе —
следующие три способа, при формулировании которых мы
для удобства предполагаем, что y-<x-<w^.z.
1. Чтобы сравнить х — у и z — w, сравнивают
лотерею, исходами которой с половинными шансами являются
х и iv, с другой лотереей, исходами которой с
половинными шансами являются у и z. Если первая лотерея
более предпочтительна, то положим z — w -<*x — у и т. д.
2. Чтобы сравнить х — у и z — w, представим себе,
что мы уже имеем у и w и можем либо заменить у на х,
либо заменить w на z. Если мы предпочитаем первую
замену, то положим 2 — w -<*х — у и т. д.
3. В предположении, что х, у, z и и> не являются
денежными суммами, оценивается такая наименьшая
денежная доплата а, что будет х ~ у + а, и такая
наименьшая денежная доплата Ь, что будет z -~ w + Ъ. Если
а < 6, то положим х — у ~<*z — w.
Второй из этих трех способов мы должны отвергнуть,
так как он нарушает предположение, что множество X
состоит из взаимно исключающих друг друга альтернатив.
В случае этого предположения он совсем ничего не дает,
так как в каком-то смысле опирается на то, что мы
одновременно обладаем двумя альтернативами: у и w.
Третий подход, который для некоторых может оказаться
привлекательным, выглядит несколько подозрительно, во-
первых, потому, что он заранее предполагает некоторую
форму независимости между X и денежными доплатами
(подобно тому, как это было в случае с двумя
сомножителями в главах 4 и 5), а во-вторых, потому, что, даже
когда эта независимость имеет место, возникает вопрос об
определении понятия силы предпочтения на основе
простых сравнений предпочтения.
Как было отмечено Уэлдоиом [1] и Эллсбергом [1],
последнее замечание может быть также отнесено и к
способу, основанному на сравнении лотерей, имеющих два
исхода с половинными шансами. Использование простых
сравнений между такими лотереями как основы для оп-

§6.1]
«ИЗМЕРИМАЯ» ПОЛЕЗНОСТЬ
135
ределения степени предпочтения, по-видимому,
искажает понятие, введенное Парето и Фришем. В это
искажение входит добавление случайности, которая не играет
никакой роли в исходном понятии. Вместе с Уэлдоном и
Эллсбергом я не стал бы спорить с человеком, который
считает, что 30 долл.—0 долл. <* 100 долл.—40 долл.,
но предпочитает равновероятное разыгрывание между
30 долл. и 40 долл. такому же разыгрыванию между
0 долл. и 100 долл. Последнее мнение учитывает
индивидуальное отношение к фактору случайности, которое мы
не считаем входящим в понятие -<*.
Если мы фактически отвергнем такие подходы, то
нам придется вернуться к той идее ранних работ на эту
тему, что -^-сравнения являются, в сущности,
предметом, о котором надо прямо спрашивать себя, будет ли
степень предпочтения х по сравнению с у большей, равной,
или меньшей, чем степень предпочтения z по сравнению
с w. Как было отмечено выше, это отвергается
некоторыми ввиду своего «неоперационального» характера.
Другим эта идея прямого сравнения различий в
предпочтении не нравится потому, что при достаточно
сильных условиях, налагаемых на отношение -<*, мы должны
логически допустить способность интроспективно
«измерять» различия в предпочтениях — примерно так же, как
это происходит при измерении длин с помощью некоторой
меры длины (измерительной линейки). Это следствие
«измеримости» полезности послужило причиной многих
дискуссий в литературе: некоторые авторы, принимающие
понятие простого сравнения предпочтений, находят
невозможным одобрить попятие «измеримой» полезности.
Парето фактически отказался от этого введенного им
понятия, когда обнаружил, что оно не является
необходимым для получения уже известных результатов в теории
статического, не содержащего риска потребительского
спроса. С другой стороны, Фриш [2] остался защитником
«измеримой» полезности: в указанной работе он показал
па примере динамической (зависящей от времени)
теории потребительского спроса, что ряд заманчивых
результатов пе может быть получен без использования
некоторого понятия «измеримой» полезности.
Возможно, что некоторым людям было бы легче
проглотить пилюлю прямой, интроспективной «измеримости»

136 СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В ПРЕДПОЧТЕНИИ [ГЛ. 6
в том случае, когда теория допускает петрапзитивное
отношение ~*. Хотя наши сравнения различий в
предпочтении могут не быть столь же точными, как сравнения
длин, которые проделываются с помощью точных
инструментов, я не вижу в этом еще достаточного основания
для того, чтобы отказываться от идеи таких сравнений.
§ 6.2. Теория для конечных множеств
Теперь, пользуясь методом Адамса [1], мы
сформулируем и докажем два утверждения о представлении
сравнений различий предпочтения, когда множество X
конечно. Оба они содержатся в теореме 6.1. Утверждение об
эквивалентности А ■<=*- Л* допускает нетранзитивное
отношение ~ *, а утверждение об эквивалентности в В -*=>-
-*=>- В* предполагает отношение ~ * транзитивным.
Утверждение, касающееся А, было доказано Адамсом [1].
Некоторый эквивалент утверждения, касающегося В, был
доказан Скоттом [1].
Теорема 6.1. Предположим, что множество X
конечно. Тогда каждое из условий:
A) если х1, ..., xm, wl, .. ., wm есть перестановка
у\ ..., ym,_z_\ ..., zm и х1 — у' ~<*z> — w1 для всех / < пг,
то xm~ym -< zm — wm;
B) если ж1, . .., хт, у;1, ..., wm есть перестановка
у\ ..., ym, z\ ..., zm и х1 ~ if-<* z1 — и^ или xj — yj ~
~ *zJ — w1 для всех / < т, то xm — ym -<*zm — wm;
выполняющихся для всех х\ у\ z', w' <= X и т = 2, 3, ...
..., равносильно существованию такой вещественнознац-
ной функции и на X, что для всех х, у, z, w <=Х
соответственно:
А*) х~у -<*z—w=*u(x)—u(y) <u(z)--u(w);
В*) х—у -<*z—w^u(x)—u(y) <u(z)— u(w).
Легко видеть, что А* =*► А и В* =^В. В условии А не
требуется чтобы отношение -<* было транзитивным, хотя
при этом условии транзитивное замыкание отношения -<*
является строгим частичным упорядочением. Из А не
следует ни (6.1), пи (6.2). С другой стороны, из условия
В следует, то отношение -<* является слабым
упорядочением, удовлетворяющим (6.1) и (6.2). В силу

§ 6,2! ТЕОРИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 137
несимметричности, В утверждает, что
х — у -<*z — w => z — w -<*х — у,
поскольку х, у, z, w есть лишь некоторая перестановка
у, w, z, х. Отрицательная транзитивность следует тогда
из В:
(х — у ^* z — w, z — w~^* г — s) =>
=*- (z — u>=?C* х — у, г — s=^* г — w)=> х — у -<^ * г — s.
Если отношение -< определено как в (6.3), то из В
следует слабая упорядоченность X отношением -<. Здесь
и далее мы полагаем =^* = -("U^-**
Доказательство. Достаточность. Пусть
имеет место А. Чтобы применить теорему об альтернативе
(теорема 4.2), положим c='(u(tl), u(t2), ..., u(tN)), где
X={t\ ..., t»}.
Пусть s& — множество всех утверждений вида х — г/-Ч*
-<* z— w. Если s& = 0, то А* выполняется
тривиальным образом. Если «s# Ф 0, то каждое соответствующее
соотношение вида и(х)— и (у) < u(z) — u(w) переводится
в соотношение вида с • ah > 0, что дает систему
неравенств, подобную (4.4). Если эта система не имеет
решения с, то согласно теореме 4.2 и тому факту, что а ^
е{—1, 0, 1} для всех / и к, найдутся такие
неотрицательные целые числа rk, что хотя бы одно из них
положительно, и2вд =0 для / = 1, ..., N. Тогда из исходных
k
утверждений х — у -<* z — w следует, что существует
такая последовательность
хх — ух -<* z> — w\ ..., хт — ут -<* zm — wm,
в которой х\ ..., хт, wx, ..., wm — некоторая
перестановка последовательности у1, ..., ут, zl, ..., zm. Если т>-1,
то это противоречит А. Если т = 1, то это приводит к
соотношениям х — у -<* х — у или х — х-\*у — у, каждое
из которых противоречит А. Следовательно, решение с
существует.
Пусть теперь имеет место В. Частным случаем В
является утверждение, что если (в двумерном смысле)
((«', У1),.--, {хт, ym))Em({z\ wx), ..., (*», wm))

138 СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В ПРЕДПОЧТЕНИИ [ГЛ. в
и если х' — у' -<* z' — w} или х' — у1 ~ * z1 — w1 для
каждого / < т, то соотношение хт — ут -<* zm — wm не
выполняется. Непосредственно из теоремы 4.1С следует, что
на множестве X существуют такие вещественнозначные
ФУНКЦИИ U\ И U2, ЧТО
х — у -<* z — w -*=>- щ (х) + йг(г/) < Bi(z)+ B2(w).
Условие 5 влечет также
х — у -<* z — и> *^~ w — z -<* у — х.
Следовательно,
х — у -<* z — w -*=*- щ(ю)-\- Ui(z) < щ{у)-\- и,2(х).
Положив и(х) — щ(х)— и2(х), мы получим, что
х — у -<* z — w -*=*- и(х)— и(у)<С u(z) — u(w).
§ 6.3. Обзор теорий для бесконечного множества
альтернатив
В этом параграфе мы приведем обзор нескольких
теорий, в которых предполагается, что отношение -<* на
множестве XXX является слабым упорядочением, и
выводится существование вещественнозначной функции и на
X, удовлетворяющей условию
х — у -<* 2—w -*=*- и(х)—u(y)<Cu(z)—u(w)
для всех х, у, z, шбХ (6.5)
и единственной с точностью до положительного линейного
преобразования. Последнее означает, что если функция и
удовлетворяет (6.5), то функция v также будет
удовлетворять (6.5) тогда и только тогда, когда существуют такие
вещественные числа а > 0 и Ь, что
v(x)= au(x)-{- Ъ для всех ге! (6-6)
К этому случаю могут быть приспособлены двуфактор-
ные теории аддитивности из главы 5. Предположим,
например, что на X существуют такие вещественнозначные
функции и\ и щ, что
х — у -<* 2 — w ■*=*- щ (х) +и2(у) < щ (z) + u2(w)
для всех х, у, z, w e X, (6.7)

§ 6.3] ТЕОРИИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА 139
и являются единственными с точностью до
соответствующих положительных линейных преобразований.
Предположим вместе с тем, что выполнено условие (6.1).
Тогда, так же как в доказательстве теоремы 6.1В, функция и,
определенная на X равенством и{х) = щ(х) — щ{х),
удовлетворяет условию (6.5). Кроме того, она является
единственной с точностью до положительного линейного
преобразования. Чтобы это доказать, предположим, что
функции и и v удовлетворяют (6.5). Если положить
щ{х) =>и(х), и2(х)=—и(х), vi(x)= v(x) и V2(x) =
= —v(x), то из (6.5) следует, что условие (6.7)
выполняется для (щ, и2) и для (vi, Vz). Поскольку функция v\
получается в результате положительного линейного
преобразования функции щ, то функция v получается в
результате положительного линейного преобразования и.
Из этих соображений и из теоремы 5.4 вытекает, что
следующие аксиомы, сформулированные согласно Дебре
[3], обеспечивают существование функции и,
удовлетворяющей (6.5) и непрерывной в топологии 0~:
А{. х — у -<* z — w => w — z -<* у — х.
А2. Если \(х\ у1), \а*, у2), \х\ у3))Ег('(г\ wl).
(z2, w2), (z3, w3)), x1 — у' •<* z} —_H7» или x> — y>~*
~ * z} — w} для / = 1, 2, то x5 — y3 -<* z3 — u>3.
A3. \X, 0") является связным сепарабельным
топологическим пространством.
А4. {х — у: х — у^ХХХ, x — y-<*z — w}<= TXT.
{х —у: х —у ев XXX, z — w<*x-y)<=TY.T для
каждой пары z — w e X X X.
Алгебраические аксиомы. Сапе и Уайнет [1], Скотт и
Сапе [1], а также Сапе и Зиннес [1] (стр. 34 — 38)
предложили нетопологические системы аксиом, в которых
выводится существование такой функции и,
удовлетворяющей (6.5), которая единственна с точностью до
положительного линейного преобразования. Первые четыре
аксиомы Сапса и Зиннеса эквивалентны следующим
аксиомам 51 и 52.
51. Отношение -<* на множестве XXX является
слабым упорядочением.
52. Отношение -<* удовлетворяет условиям (6.1) и
Три их заключительные аксиомы, вместо того чтобы
использовать /12 полностью, опираются на алгебраические

140 СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В ПРЕДПОЧТЕНИИ [ГЛ. 6
условия. Если отношения -ЧнаХи ~* па IXX
определены как в i(6.3) и (6.4), то соотношение х — yMlz — w
означает, что x — y~*z — w я у ~ z (т. е. что интервал
в предпочтении между у и х «равен» интервалу в
предпочтении между w и 2 и эти два интервала являются
смежными). Продолжая по индукции, положим
х — yMn+1z — w, если существуют такие s, (el, что
х — yMns — t и s — tMlz — w. Последние три аксиомы
состоят в следующем: для любых х, у, z, w ge X
ВЗ. х — s ~*s — у для некоторого s e= X.
54. (у-<х, z — w<*x — y)=*~{y-<s<x, z — w=4*
=4.* х—s) для некоторого s ен X.
ВЪ. {у -< х, x — y^*z — w)=>(z — sMnt — w, z —s=<*
=^* x—у) для некоторых s, (eX и некоторого
натурального п.
ВЗ есть аксиома о средней точке или о делении
пополам, аналогичная понятию Армстронга, о котором
говорилось вслед за формулой (6.3). В нетривиальных
случаях аксиома ВЗ требует, чтобы множество X было
бесконечным. Аксиома 54 похожа на некоторое условие
непрерывности, а ВЪ является некоторой
структурно-архимедовой аксиомой. 55 утверждает, что если разность х — у
«положительна», то сколь бы большой ни оказалась
разность z — w, найдется такое п, что интервал z — w можно
разделить на в + 1 равных частей, ни одна из которых
не превосходит х — у.
Теория Пфанцагля. Пфанцагль [1] предложил
аксиомы, из которых в одной из возможных интерпретаций
следует (6.5) с единственной (с точностью до
положительного линейного преобразования) функцией и. Его
общая теория имеет дело с множеством X, которое является
(топологически) связным, и отображением / произведения
XXX в X. Вместо отношения -<* он пользуется
комбинацией отношения -< с отображением /. Однако в
интерпретации, принятой в этой главе, отношение -<* не будет
полностью отсутствовать, так как f(x, у)
интерпретируется как такая точка в X, которая подобно точке s в
аксиоме ВЗ лежит в смысле предпочтения на полпути между
а; и у.
В дополнение к аксиоме непрерывности теории
Пфанцагля истюль.чует следующие предположения:
Ci. Отношение -< является слабым упорядочением X.

§ 6tt) " ' ' " РЕЗЮМЕ 141
С2. x-<y^f(x, z)-<f(y, z), f(z, x)-<f(z, у) для
каждого z e= X; x ~ у =*- f(x, z) ~ f(y, z) и J(z, x) ~ f(z, y)
для каждого z e X.
C3. /(/(*, jr), /(г, и;)) ~ f(f(x, z), f(y, w)).
Аксиому СЗ можно назвать аксиомой бисимметрии.
Из приведенных аксиом (включая непрерывность)
следует, что существует такая принимающая вещественные
значения функция и на X, которая удовлетворяет
условиям
х'-<у<^ и(х)< и(у), (6.8)
u(f(x, y))=pu(x)+qu(y) + r r(6.9)
для всех х, jeX и является единственной с точностью
до положительного линейного преобразования.
При интерпретации отображения / как медианной
функции возникают две дополнительные аксиомы.
С4. f(x, x) ~ х.
С5. f(x, y)~f(y,x).
Если для некоторых х, у ^ X имеет место соотношение
х -< у, то условия С4 и СЪ требуют, чтобы в (6.9)' было
р = <7 =' 1/2 и г = 0. Из этого следует, что
f(x, y)^f(z, w)^u(x)-\-n(y)<u(z) + u(w).
Равносильность (6.5) получается, если мы определим
отношепие -<* на XXX, положив
x-y-<*z-w^f(x,w)^f(z,y). Т6.10)
§ 6.4. Резюме
Понятие сравнимых разностей предпочтений является
'(за исключением упражнения 17) единственным
понятием силы предпочтения или его интенсивности,
появляющимся в этой книге. Хотя теории аддитивной полезности,
изложенные в главах 4 и 5, математически сходны с
теориями из данной главы, опи основаны лишь на простых
сравнениях предпочтения и не содержат понятий предпоч-
тспия более высокого порядка.
Если соотношение х — у -<* z — w интерпретируется
как утверждение, что «ваша степепь предпочтения z по
сравнению с w превосходит вашу степень предпочтения

142 СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В ПРЕДПОЧТЕНИИ [ГЛ. 6
х по сравнению с г/», то условия, связывающие
соотношение х — у-<* z — w с неравенством и{х) — и(у) < u(z)—-
—u(w), аналогичны тем, которые использовались в дву-
факторных теориях аддитивности. Исключениями из этого
являются условия (6.1) и (6.2), которые специально
адресованы понятию разности предпочтений и не имеют
апалогов в предшествующих главах.
Упражнения
Указатель. 1 — 3. Теория лотерей с равными шансами. 4 — 6.
(6.1) и (6.2). 7 — 9. (6.3). 10. Условие В. 11. Полуупорядочошше
разности предпочтений. 12, 13. Алгебраическая теория. 14 —16.
Условия Пфанцагля. 17, 18. «Вдвое лучше».
1*. Интерпретировать соотношение (х, у) -< (г, w), понимая
под этим, что лотерея с единственно возможными н
равновероятными исходами г, w e X предпочтительнее такой же лотереи с
исходами х, у е X. Предполагая, что множество X конечно,
сформулировать необходимые и достаточные условия, накладываемые на
упорядочение < множества ХУ.Х, для каждого из следующих двух
представлений с помощью функции полезности:
(a) (х, у) < (2, w) =*. и(х) +и(у) < u(z) + u(w);
(b) (ж, у) -< (г, w) -фф- и{х) + и(у) < «(г) + u(w).
2*. (продолжение). Пользуясь теоремой 5.4,
аргументировать утверждение, что когда условие А1 из § 6.3 заменяется на
(х, у) ~ (у, х) для всех х, y<sX, а отношения (-<*, ~*) в Л 2,
ЛЗ и Л4 заменяются на «, ~), то существует веществепнозиач-
ная функция и на X, которая удовлетворяет условию
(*> у) < (г, w) -<=*- и{х) + и{у) < и(г) + u(w),
непрерывна в топологии £7" и является среди таких функций
единственной с точностью до положительного линейного
преобразования.
3* (продолжение). Интерпретировать f(x, у) в теории
Пфанцагля как такой элемент X, который безразличен по
отношению к лотерее с двумя равновероятными исходами х и у.
Показать что если воспользоваться условиями С4, С5 и (х, у) -< (г, w) -<=>
■<=>/(*. У) </(*, »), то
(х, у) < (г, w) -фф- и(х) + и(у) < и(г) + u{w)
следует из (6.8) и (6.9).
4. Доказать, что нерефлексивность отношения -<* вместе с
(6.2) влечет х — х ~ * у — у.
5*. Доказать, что (6.1) Л (6.2) =ф- {х~у ~ * г — ш -фф- х — г ~ *
'" * У — w -фф- w — г ~ * г/ — г).
6*. Доказать, что из асимметричности отношопия -<*, (6.2)
"Повия х — у ~*г — w -фф- х — г ~* у — w следует (6.1).

УПРАЖНЕНИЯ 143
7. Предположим, что -<* является строгим частичным
упорядочением XXX, выполнено (6.2), х-<у, у <.г и х-< z согласно
(6.3), и если положить а «* Ъ -<=>- [а~* с -фф- Ь ~* с для всех с е
eXXX),Tor-r»*s-s для всех r.sel Показать, что
(a) х — у <* z — х;
(b) х — у<*2 — у; .. . ^
(c) х — z-<*y — z; ,. . _ .-. Т ^ j
(d) у— x<*z — х;
(e) 2 — у <* 2 — х-
8* (продолжение). Показать, что если -<* является
строгим частичным упорядочением, удовлетворяющим (6.1) и (6.2), а
х — х да * у — у для всех х, jel, то отношение <^, определенное
на X формулой (6.3), является строгим частичным упорядочением.
9*. Показать, что если -<* является слабым упорядочением,
удовлетворяющим (6.2) и условию х — у ~ * z — w -фф- х — z <-'*
~* г/ — н>, то отношение -<, определенное в (6.3), является слабым
упорядочением X.
10. Показать что условие Вг теоремы 6.1 (т. е. В при т = 2)
влечет (6.2) и условие
х — у ~*г — w -фф- х — г ~* г/ — и>.
11*. Доказать следующую теорему. Пусть X конечно и
отношение -<* на X X X нерефлексивно. Если из того, что
х1, ..., x2m, w\ ..., w2m
— перестановка последовательности у1, ..., у2т, z1, ..., z2m,
Xi — у) ~* Z> — W)
для / = 1, ..., т и
xi — у) -^* z> — wi
для / = т. + 1, ..., 2т — 1, следует, что
Xtm — ylm ^* z2m — w2m
для всех натуральных т и любых х>, у>, z', w> s X, то на X
существует такая принимающая вещественные значения функция к,
что
х — у •<** — w -фф- и(х) — и(у) -f- 1 < u{z) —u(w)
для всех х, у, г, ш е X.
12. Интерпретировать Ж1, Л/2 и Мл (из § 6.3) в терминах
точек на прямой.
13. Показать, что из аксиом S1 и В2 из § 6.3 следует, что если
х — у =^* г/ — г/, у —z ^.* w — *>
то т — Zs^*» — г. (Воспользоваться упражнениями 4 и 5. Это
упражнение принадлежит Майклу Левину: см. Сапе н Зивнес Щ,-
стр. 35.)

144 СРАВНЕПИЕ РАЗЛИЧИЙ В ПРЕДПОЧТЕНИИ [ГЛ. в
14. Показать, что из условий (6.8), (6.9), С4, СЬ и х -< у для
некоторых х, у е X следует, что р = q = 1/2 и г = 0.
15*. Если -<* определено с помощью отношения -^ на I так
же, как в (6.10), доказать следующие утверждения:
a) С1Л С2 Л <75 =ф- -<* является слабым упорядочением (Лыос
и Тыоки [1], стр. 14);
b) Ci /\СЬ^ (6.1)Л (6.2);
c) С1Л С5=4-а: — s~*s — у для некоторого seX;
d) Cl л С1Л СЗ =ф- Л2 (в аксиомах Дебре).
Id*. Пусть условие Вт теоремы 6.1 выполняется для wgB.
Предположим также, что f(x, у) = z => х — г ~* г — у, и можно
применять (6.10). Доказать, что из этого следует СЗ (аксиома би-
спмметрии Пфанцагля).
17*. Галантер [1] сформулировал вопрос следующего вида.
Какое количество денег в качестве подарка вы сочли бы вдвое
лучшим, чем полученное, если бы вы получили подарок в 10 долл.?
Если ответом будет 45 долл. (медиана для одного испытания), этот
ответ подсказывает, что мы полагаем и (45 долл.) = 2и(10 долл.) с
и(0 долл.) = 0. Это тоже самое, как если положить и(45 долл.) —
и(10 долл.) = и(10 долл.) — и(0 долл.), так что 10 долл.—это
средняя точка в предпочтении между 0 долл. и 45 долл. Следует ли
считать, что эта интерпретация с помощью средней точки является
разумной, если принять во внимание тот вопрос, к которому она
относится, и интерпретацию силы предпочтения, использованную
в этой главе?
18 (продолжение). Автомобилиста спросили об его
отношении к задержке у кассы по взиманию проездной пошлины
следующим образом: «Какое время ожидания г вы сочли бы вдвое
более досадным, чем время ожидания г?» При этом имеется
множество пар вида (*, г): {(1, 3), (3, 8), (8, 18), (18, 30), (30, 45), (45, 60),
(00, 75), (75, 90)} и для каждой из этих восьми пар (t, r)
выполняется соотношение и(г) — и(0) = 2[u{t) — и(0)]; полагая и(0) = О
и и(1) = —1, набросать эскиз поведения функции и на отрезке
[0, 100].

Г л а в а 7
ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ
МНОЖЕСТВ
Множество X, являющееся декартовой степенью,
имеет вид Х — АХАХ... Если А в этом произведении
повторяется п раз, то принято писать X — А". Одна из
обычных интерпретаций степени Ап состоит в том, что
имеется п периодов времени и элемент (xlt ..., х„) е Ап
представляет собой последовательность однотипных
событий, которые могут быть выбраны или возникают по
ходу этих п периодов: х( означает событие в период г.
Последовательность (х\, ..., хп) могла бы быть,
например, последовательностью годовых доходов в ближайшие
п лет, или, отвлекаясь от временного содержания
периодов, х( могло бы быть количеством денег, ассигнуемых на
i-ii вид деятельности среди имеющихся п видов.
В этой главе для X = Ап изучаются такие
формулируемые во временной интерпретации концепции, как
настойчивость, нетерпение и дисконтирование.
Использование нами этих терминов основано на работах Купменса
[1], Купменса, Дайэмонда и Уильямсона [1] и Дайэмон-
да [1] (в последней работе рассматриваются
формулировки для счетного числа периодов).
В дальнейшем всюду предполагается, что отношение
-< па X является слабым упорядочением. Поскольку
уместно воспользоваться применительно к X = А"
введенными в главах 4 и 5 попятиями независимости, мы
будем рассматривать в связи с упомянутыми выше
концепциями различные частные случаи представлений вида
п п
*<У4Ф 2«,(х,)< 2 М2/г) для всех х,у^Ап-
(7.1)
Ю п. Фишбери

146 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ [ГЛ. 7
Один из таких случаев возникает в не связанной с
временем ситуации, когда
п п
*<04* 2p(*i)< 2р(У«) для всех х,уе=Ап, (7.2)
где р — вещественнозначная функция на А.
Если задано представление (7.1), то легко показать,
что функция р, удовлетворяющая (7.2), существует тогда
и только тогда, когда (Х[, ..., хп) ~ (у и ..., уп) для любой
перестановки х\, •••, #п последовательности у\, ..., уп.
Во временном контексте это означает, что моменты
возникновения различных событий не влияют на
предпочтения, а это зачастую неверно. Несколько более
реалистичные частные случаи представления (7.1) будут
рассмотрены далее. -__
§ 7.1. Настойчивость и нетерпение
Понятия настойчивости и нетерпения постулируют
некоторые формы регулярности предпочтений в
однородной временной интерпретации. Понятие настойчивости
применяется тогда, когда предпочтения в различные
периоды времени являются одинаковыми. Нетерпение
означает, что считается лучшим, чтобы более
предпочтительное событие произошло раньше. В следующих
определениях через а обозначается постоянная альтернатива,
которая реализуется как лб4в каждый период
времени: а = (а, ..., а).
Определение 7.1. Отношение -< на А" называется
настойчивым, если
(х\, ..., xt-u a, xi+\, х„)-<(х\, ..., Хг-\, Ъ, xt+\, ..., х„)=>
=> (уи ..., i/,-!, a, yi+h ..., уп) -< (yh ..., y,-h b, yi+u ..., y„)
для любых i, jе.{1, ..., n} и любых четырех элементов
мпожества Ап, имеющих указанный вид.
Отношение -( на 4" называется нетерпеливым, если
а-<Ь-> (хи ..., xj-i, а, Ь, xi+2, ..., х„) -<
-<(xi, ..., х{-1, Ъ, а, х1+2, ..., х„),
а ~ Ь=^ (хи ..., х(-и а, Ь, xi+2, ..., хп) ~
~ (#i Zi-b Ь, а, ж»+2 ж»)',

g 7.1] \ НАСТОЙЧИВОСТЬ И НЕТЕРПЕНИЕ 147
какими бы ни были i е{1, ..., га — 1} и элементы
множества Ап, имеющие указанпый вид*).
Настойчивость отношения представляется разумной'
в том случае, когда элементы множества X являются
потоками доходов за га лет. Нетерпение также могло бы
иметь место в этом случае. Свойство, обратное к
нетерпению, может выполняться в некоторых ситуациях, когда
люди предпочитают откладывать приятные события,
возможно, с тем чтобы увеличить удовольствие от их
предвкушения, либо по различным другим соображениям.
Свойство, обратное к настойчивости, может возникать из
стремления к разнообразию, как в примере с курицей
и бифштексом, предшествующем § 4.1.
Когда отношение^ является слабым упорядочением,
из настойчивости отношения -< следует, что отношение
-<* на множестве А, определенное условием
а -<{ Ъ -*=*- (я, xt-h a, xi+u .. ., хп) -<
~SyXi, . . ., X{-i, О, X,+i, . . ., Х„)
для некоторых х\, ..., х,-и xi+u ..., х„^А, является
слабым упорядочением (это вытекает из условия Сг (т — 2)
теоремы 4.1) и все отношения -<i, ..., -<„ совпадают (это
уже не следует из С2).
В нашем определении нетерпения события а и Ъ
находятся в соседних периодах времени. Более привычный
вид нетерпения возникает в случае, когда
а-<(~)Ь=>
=*■ {Х\, . . ., Xi-i, й, Xt+i, . . ., Xj-i, О, Xj+], . . ., Хп) "N
~< (~) (хи ■ ■., «f-i, b, xi+u ..., Xj-u a, xi+l, ..., хп) (7.3)
для любых i, /, для которых 1 :£ i < / sS га, и любых
х\, ..., i,ei Это свойство не вытекает из
настойчивости и петерепения. Следующая теорема уточняет это
утверждение.
Теорема 7.1. Отношение -<, являющееся
настойчивым и нетерпеливым слабым упорядочением множества
*) Быть может, лексически правильнее было бы в русском
переводе говорить об отношении настойчивости и отношении
нетерпения, но эти терминологические формы привели бы к
слишком громоздким оборотам. (Прим. ред.)
10*

148 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ [ГЛ. 7
Ап, может не обладать свойством (7.3). Если отношение
-(. является нетерпеливым слабым упорядочением Ап,
удовлетворяющим условию С% теоремы 4.1, то из этого
следует (7.3).
Доказательство. Чтобы доказать второе
утверждение, достаточно показать, что в его условиях должно
быть
(а, х2, . •., ж„_1, Ь) -< (~) (b, X2, ..., хп-и а)
при а -< (~) Ъ. Если а -< (~) Ъ, то повторное применение
свойства настойчивости дает
(а, Ъ, ..., Ъ)-<(~){Ъ,а,Ь,..., Ь)-<
-<\~)(Ь, Ь,а, Ъ, ...,6)-<(~)...-<-(~)(Ь,..., Ь,а),
так что (а, Ъ, ..., Ь) -< (~) (Ь, ..., Ь, а).
Поскольку
((а, Ъ, ..., Ь), (Ь, a;2, •-., Жп-ь о))Е2((Ь, ...
.... Ь, а), (а, х2, ..., ж„_ь Ь)),
то соотношение
(а, х2, ..., ж„_1, Ь)-<(~){Ъ, х2, ..., xn-i, а)
вытекает из условия С при тп = 2.
Чтобы проверить отрицательное утверждение,
положим Л ={а, Ь, с}, и = 3 и определим отношение -< на
А3 с помощью формулы (7.1), где функции щ на
множестве А принимают значения, выписанные в следующей
таблице:
а
Ъ
с
Очевидно, что отношение -< является здесь
настойчивым и, как будет видно из перечисленных в скобках
неравенств, оно является нетерпеливым (8 < 9 < 10,
12 < 15 < 20, 10 + 15 < 20 + 9, 9 + 12 < 15 + 8), а на
самом деле оно удовлетворяет условию (7.3)'. По середине
щ
0
10
20
и2
0
9
15
"8
0
8
12

§7.1]
НАСТОЙЧИВОСТЬ И НЕТЕРПЕНИЕ
149
отношения -< мы найдем "'.'• •' ;• '
...-<(&, а, с)-<(а, с, b)-<(b, с, а)-<
-<(Ь, Ь, Ъ)~{а,с,с)<...
Пусть отношение -<' совпадает с отношением -<, за
исключением лишь того, что соотношение (а, с, Ь)-<
-<(Ь, с, а) мы заменим на соотношение (а, с, Ъ)~'
~'(Ь, с, а). При этом единственном изменении
настойчивость и нетерпение все же остаются в силе для
отношения -<', но условие (7.3) уже перестает быть верным,
поскольку теперь а-<' Ъ.
Аддитивные полезности. Если выполняется условие
(7.1) и отношение -^ является настойчивым, то каждой
функции щ соответствует одно и то же упорядочение
множества А, как это изображено для А = [О, 1] на
левой стороне рис. 12. Если отношение -< является еще и
п
V"/
О Настойчивость 1 О Настойчивость ?
и нетерпение •'
Рис. 12. Аддитивные полезности на '[0, 1]3.
нетерепеливым, то мы приходим к картине, подобной той,
которая изображена на рис. 12 справа, где
щ(Ь) —щ(а)> и2(Ь) — и2(а)> и3(Ь)—и2{а)
всегда, как только b > а (т. е. а -< Ь); ипыми словами,
расстояние по вертикали между Ui и и2, так же как
и между и% и щ, возрастает с возрастанием Ъ.

150 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ 1ГЛ. 7
Разумеется, полезности могут быть аддитивными
и тогда, когда имеется нетерпение, но отсутствует
настойчивость. Если положить, например, А ={а, Ъ} и га — 2,
то легко видеть, что для отношения (а, Ь)-<(а, а)-<
-<(b, b)-<(b, а) существуют функции Uj и и2,
удовлетворяющие условию (7.1). Поскольку а-<Ь и (а, Ь)-<(Ь, а),
отношение -< является нетерпеливым. Однако оно не
является настойчивым, так как (а, Ь)-<(Ь, Ь) и
(6, 6)-4(6, а).
§ 7.2. Настойчивые различия в предпочтении
Рассмотрим теперь некоторое понятие настойчивости
более высокого порядка, основанное на отношении
степени предпочтения -<* па множестве XXX,
использованном в главе 6, вместе с его представлением с помощью
функции полезности в случае, когда оно является слабым
упорядочением:
х — у -<* z — w <=> и (ж) — и (у) < и (z) — и (w)
для всех х, у, z, шё^", (7.4)
В дальнейшем, так же как и в определении 7.1, мы
полагаем а — (а, ..., а).
Определение 7.2. Отношение -<* на множестве
АпХАп называется настойчивым тогда и только тогда,
когда
х — у -<* 2 — w -*=*- Xj — у-, -<* Zji — i0j, (7.5)
как только / е'{1, ..., га}, я* = г/,- и 2, = wt для всех i =?^/,
а х, у, z, и? е Л".
Это означает, что упорядочение разностей при
постоянных альтернативах диктует упорядочение разностей
для каждого / в том случае, когда остальпые компоненты
равны. При га = 2 из настойчивости отношения -<*
следует, что если для каких-либо хг, у2 ^' А имеет место
(а, Х2) — (Ь, Х2)-<*(с, у г) — (d, г/г), то это соотношение
выполняется для любых ж2, г/г ^А и, кроме того, для
любых х\, у\^А выполняется соотношение {х\, а) —
— (хи Ь)-<*(уи с) —(уи d).
Следующая теорема отчасти показывает, насколько
сильным является условие настойчивости отношения -<*.

§ 7.2] НАСТОЙЧИВЫЕ РАЗЛИЧИЯ В ПРЕДПОЧТЕНИИ 151
Теорема 7.2. Если функция и на множестве А"
удовлетворяет условию (7.4) и отношение -<*
настойчивое, то на множестве А существуют такие вещественно-
злачные функции щ, ..., ип, для которых
п
и(х1, ...,хп) = 2 ui(xi) для всех ie/, (7.6)
и при любых а, Ъ, с, deА и i, /е{1, ..., п} выполняется
условие
щ(а) — Ui(b) < ut(c)— Ui(d) <=>
oui(a) — щ(Ъ) < щ{с) - u,(d). (7.7)
Если отношение -< определено как в (6.3), то
формула (7.1) непосредственно следует из (7.6) и (7.4).
Следовательно, если выполнено условие (7.4) и отношение -<*
является настойчивым, то для отношения -< на А"
существуют аддитивные полезности.
Доказательство. Пусть функция и удовлетворяет
условию (4.4), а отношение -<* является настойчивым.
Зафиксируем ее4, выберем такие числа и\(е), ... ип(е),
чтобы и(е) = 2МеЬ и определим функции щ на
множестве А для i = 1, ..., п, положив
иг {а) = и(е, . ..,е, а, е, .,.,е)~ 2 Uj(e) для всех аеЛ.
(7.8)
Чтобы проверить (7.6), положим
а' = (хи ..., ж,_1, хи е, ..., е),
j}1' = (хи .. ., ж4_1, е, е, ..., е),
где 2 ^ г ^ п. Если бы было а'' —ji' -Ч* f — e, то
согласно (7.5) мы получили бы, что Xi — е -Ч* xt — e, и то же
самое мы получили бы в случае, если у* — е -<* а* — {J*.
Следовательно, а1'— рг~*^'' — е и по (7.4) должно быть
и(хи ..., хи е, ..., е)— u(xi, ..., xt-u e, ..., е) =
= и(е, ..., е, ж(, е, ..., е) —и(е).

152 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ 1ГЛ. 7
Суммируя эти равенства по I от 2 до п и пользуясь
соотношениями и(е) = 2^(е4) и (7.8), мы получим
п п
"(яц ...,хп)—u(xlte, ...,е)= 2 «i (xi) — 2 Ме).
i=2 i=2
что даст нам равенство (7.6), после того как и (х\, е, ..., е)
будет перенесено в правую часть и представлено с
помощью (7.8). Условие (7.7) легко выводится из (7.4),
(7.5) и (7.6).
Взвешенная аддитивность. В оставшейся части
этого параграфа мы рассмотрим некоторую форму
взвешенных аддитивных полезностей, являющуюся менее
общей, чем (7.1), но более общей, чем (7.2). Эта форма
имеет вид
п п
я<2/^ 2 hip(xi)< 2 Я;р(г/;) для всех х, у е Ап ,
S Л А 1
где Яг > 0 для каждого г, ар — веществонпозначпая
функция на А. Легко видеть, что если выполнено условие
(7.1), то условие (7.9) может выполняться тогда и
только тогда, когда существуют такие функции и,-,
удовлетворяющие (7.1), которые связаны попарно
положительными линейными преобразованиями, скажем,
щ = dpi -f b} и dj > 0 для / — 2, ..., п.
Во временной интерпретации эти коэффициенты %t
являются весами для различных периодов. Если ^i>^2> ...
... > Хп, то мы могли бы назвать их дисконтирующими
множителями: неравенства ^i > ... > Кп следуют из
(7.9), если отношение -< является нетерпеливым и х~\у
хотя бы для одной пары х, jeI При К\ <С ... <С Кп зти
числа h можно интерпретировать как множители,
соответствующие повышению цен.
В общем случае условие (7.1) вместе с
настойчивостью отношения -< является недостаточным для того,
чтобы выполнялось (7.9). Автору не известно никакой
системы аксиом для отношения -< па множестве А, ко-<
торая, хотя бы в случае конечного множества А, была бы
необходимой и достаточной для (7.9) в той форме, как

§ 7.2]
НАСТОЙЧИВЫЕ РАЗЛИЧИЯ В ПРЕДПОЧТЕНИИ
153
это написано. В силу этого соображения и потому, что
из (7.9) следует (7.7), когда щ — hp, мы рассмотрим
цуть к (7.9), который ведет через (7.4) и использует
предположение о том, что отношение -<* является
настойчивым. Даже здесь мы укажем некоторое
отрицательное утверждение, прежде чем дадим достаточные условия
для (7.9).
Теорема 7.3. Предположим, что выполнено условие
(7.4) и отношение -<* является настойчивым. Тогда, если
отношение -< задается условием х ~< у ■*=>■ х—х -<* у—х,
то могут не существовать такие числа %{> 0 и такая
вещественнозначная функция р на А, которые
удовлетворяли бы соотношению (7.9). Это утверждение остается
в силе даже тогда, когда функция и в (7.4) является
единственной с точностью до положительного линейного
преобразования.
Доказательство. Пусть А ={а, Ъ, с}, п = 3 и
условие (7.1) выполняется для функций ии определенных
согласно следующей таблице:
"1
и»
"»
а
0
0
0
Ь
1
2
3
с
3
5
9
Определим функцию и с помощью условия (7.6) и
положим
х — у -<* z — w ■<=*■ и{х) — и(у) < u(z) — u(w).
Поскольку u(b) — u(a) < и (с)— и(Ь) и для i = 1, 2, 3
должно быть щ(Ь)— щ(а) < щ(с) — n((b), отношение -<*
является настойчивым.
Пытаясь определить %\, Х2, ta и р, которые
удовлетворяли бы (7.9), мы можем, не ограничивая общности,
принять, что %\ = 1, р(а) = 0 и р(Ь)= 1. Тогда,
поскольку (с, а, а) ~(а, а, Ь)~(Ь, Ь, а), будет р(с) = Я,3 =
= А,2 + 1. Вместе с отношением (а, а, с) ~ (Ь, с, 6) это
согласно (7.9) дает, что
(Л2 + 1)2=1 + Я2(^ + 1) + Я2 + 1.
Последнее, однако, сводится к равенству 1 = 2, которое

154 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ 1ГЛ. 7
невозможно. Следовательно, (7.9) не может выполняться.
Более того, когда функция и удовлетворяет (7.4), она
является единственной с точностью до положительного
линейного преобразования. Это следует из того факта,
что если выполнено условие (7.4), то каждое из 25
других значений и(х\, х%, х3) может быть выражено только
через два значения: и(а, а, а) и и(Ь, а, а).
Достаточные условия для взвешенной аддитивости.
Несмотря на теорему 7.3, существуют аксиомы, из
которых следует как условие (7.4), так и условие (7.9), если
отношение -<* является настойчивым. Мы рассмотрим
один такой случай, основанный на теории Дебре.
Следующие аксиомы соответствуют аксиомам Ai — Ai из § 6.3
при X = Ап:
AY. х — у -<* z — w =*■ w — z -<* у —х .
А2'. Если х\ х2, хъ — перестановка z1, z2, z3, а у1, у2,
г/3 — перестановка w\ w2, ws, и если xj — yj -<* z> — vr или
хь — у- ~ * z' — w' для j = 1, 2, то не выполняется
соотношение хв — у3 -<* г3 — w3.
A3'. (А, Э~)—связное и сепарабелъное
топологическое пространство.
44'. {х — у. х — у е= X X X, х — у -<* г — w) e= Т2п,
{x — y:x—y^XXX,z—w-<*x — y}^<r2n для
каждой пары % — w е X X X.
Здесь через %Г2п обозначена топология па X X X =
= Ап X А", являющаяся произведением топологий.
Согласно лемме 5.3 аксиома А 3' означает, что (Ап, £Г")
и (XXX, 3~2п) являются связными и сепарабельными
топологическими пространствами. Тогда из теоремы 5.4
и аксиомы AY будет следовать, что на X существует
непрерывная (в топологии £Гп) вещественнозначная
функция и, которая удовлетворяет условию (7.4) и является
единственной с точностью до положительного линейного
преобразования.
Пусть функция Ui на множестве А определена
формулой (7.8) из доказательства теоремы 7.2. Поскольку
функция и в топологии STn непрерывна, каждая из
функций ц( непрерывна в топологии 0~. Пусть отношение -<*
на XXX будет настойчивым; определим отношение -<*
на АХ А, положив
а _ ъ -<* с — d -^~а — Ъ -<* с — d для всех а, Ь, с, d e А.

§ 7.2] НАСТОЙЧИВЫЕ РАЗЛИЧИЯ В ПРЕДПОЧТЕНИИ 155
Из теоремы 7.2 и настойчивости тогда следует, что
а— Ъ -<* с — d ■<=*■ ut(a) — и4(6) < щ{с) — ut(d) для всех i.
(7.10)
Это как бы соотношение (7.4) в миниатюре: для
множества А вместо всего X. Поскольку для каждого i функция
Ut непрерывна и удовлетворяет условию (7.10), условия,
соответствующие аксиомам AY — А 4', выполняются для
отношения -К* на множестве А2 при любом i. Отсюда
следует, что функции щ и щ связаны положительным
линейным преобразованием. В частности, существуют такие
положительные «2, ..., а„ и такие Рг, • • •> Рл, что щ(а) =
= ajUi (a) + Pj для всех а е Л и / = 2, ..., п. Если
положить р = ць я,1 = 1, Kj = а,- для /' > 1, то (7.6) дает, что
п
и{х) = 2 ^iP (*i) + Const,
а это с помощью (6.3) и (7.4) дает, что
х-<у -*=>2^<Р («<) < S^«P (*/<), где все Я( > 0.
Это доказывает первую часть следующей теоремы.
Теорема 7.4. Предположим, что Х = Ап, отношение
-<* на XXX является настойчивым и выполнены
аксиомы А 1', А2', А 3' и А 4'. Тогда существуют числа Я< > 0
и вещественнозначная непрерывная (в топологии &~)
функция р на множестве А, которые удовлетворяют
условию (7.9), когда отношение -< на Ап определено с
помощью отношения -<* на Ап X Ап условием х -< у <=>
■**• х — се -<* у — х. Если, кроме того, п~> 1 и х~<у для
некоторых х, у еХ и если числа %i > 0 и функция р' «а
А удовлетворяют (7.9) одновременно с числами kt > 0
и функцией р ка Л, го существуют такие числа а > 0,
Р > 0 и Y, ч™
Я,1 = аЯ,,, i = l,...,n, (7.11)
р'(а)= рр(а)'+Т 5ля есеа: аеЛ. (7.12)'
Доказательство. Чтобы доказать утверждение
о единственности, возьмем р и h, которые были
определены в первой части доказательства. Пусть и((а)=
= Я,р(а) и ц(я) =2и((аГ(). Тогда, так же как в первой

156 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ [ГЛ. 7
части доказательства, фупкция и является непрерывной
и, стало быть, по теореме 3.5 должно быть {х: x~<y}^!7~n
и {х: у ~< х} е £Г", что устанавливает справедливость
условия Q3) теоремы 5.4 (п = 2) или условия Q2>)
теоремы 5.5 (и > 2). Если отношение -<* настойчиво и х -< у
для некоторых х, у е X, то каждый из п сомножителей
оказывает на отношение -< активное влияние. Поскольку,
в силу (7.9), отношение -< на множестве А"
удовлетворяет всем остальным условиям теоремы 5.4 или теоремы 5.5,
члены Я,р в формуле (7.9) являются единственными
с точностью до соответствующих положительных
линейных преобразований подобия. Следовательно, Я^ > 0 и р'
удовлетворяют условию (7.9) тогда и только тогда, когда
существуют такое к > 0 и такие {5(, что
Я»р' (а) = kXip(a) -J- рг для г = 1, ...,п.
Но это дает, что р' (a) =(&A,jAt)p (а) -f Р,/Я1, т. е. что
функция р' является положительным линейным
преобразованием функции р, как в (7.12). Кроме того, поскольку
функция р на А не постоянна (х~<у для некоторых х, у),
должно быть/сЯ^/Я^ /сЯ^/Яудля всех i, /, или X'j^k'jX^ Яу
для / = 2, ..., /г. Положива = Я1/Я1,мы получим (7.11).
§ 7.3. Постоянные темпы дисконтирования
Несмотря на то, что для получения представления
(7.9) в случае произвольных положительных множителей
Я, были использованы настойчивые различия в
предпочтении, некоторые частные случаи представления (7.9)
могут быть выведены с помощью одного лишь простого
отношения предпочтения -<. Один из таких случаев
описывается соотношением (7.2). С другим мы встречаемся
тогда, когда Яг-ц/Я,- = п для i = 1, 2, ..., п — 1, где п > 0;
в этом случае (7.9) приобретает вид
п п
х <^ У €$■ 2 ni~ JP (xi) <■ 2 ni~ Jp (Уг) для всех х, у е Ап.
i—i г = 1
(7.13)
Если я = 1, то мы имеем (7.2) —случай
предпочтения, не зависящего от времени. Если я < 1, то (7.13)

I 7,3] ПОСТОЯННЫЕ ТЕМПЫ ДИСКОНТИРОВАНИЯ 157
описывает случай, в котором полезности дисконтируются
с постоянными темпами; в условиях представления (7.13)
этот случай возникает тогда, когда отношение -<
является нетерпеливым. Если л > 1, то полезности возрастают
с постоянными темпами.
Один из способов получить представление (7.13)
состоит в том, чтобы взять за исходную основу теорию
аддитивности Дебре. Полагая п 5г 3, воспользуемся
условиями теоремы 5.5, примененными к X = А" (т. е. когда
Xt = А для каждого i), вместе с одним дополнительным
условием. Это новое условие соответствует таким
понятиям, как временная согласованность по Уильямсу и
Нассару [1] и стационарность по Купменсу [1].
Определение 7.3. Отношепие -< на множестве Ап
называется стационарным, если существует такое е е Л,
что для всех х\, ..., хп-и у\, ..., z/„_i e А выполнено
(хи ..., ж„_1, е)-<(уи ..., [/„_,, е)<*-
<=>{е, хи •-., xn.i)-<(e, yu ..., !/„_,). (7.14)
При переходе от (х\, ..., хп-\, е) к (е, х\, ..., хп-\)
каждое х{ сдвигается вперед на один период, а е
переносится из последнего периода в первый. Стационарность
означает, что предпочтения при таких сдвигах не
изменяются.
Теорема 7.5. Если для X = Ап выполняются
условия теоремы 5.5 и отношение -< на Ап является
стационарным, то существуют положительное число л и
непрерывная вещественнозиачная функция р на множестве А,
которые удовлетворяют условию (7.13). Кроме того, эти
лир являются единственными с точностью до
положительного линейного преобразования.
Доказательство. Если перечисленные условия
выполнены, то существуют единственные с точностью до
подобных положительных линейных преобразований
непрерывные функции Ui па множестве А, удовлетворяющие
(7.1). Определим отношение -< на множестве Ап~\
положив
(хи ..., xn-i)-<(yu ..., yn-i)<*~
■*=>{хи ..., Хп-\, е)-<{уи ..., уп-и е).

158 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ [ГЛ. ?
Из (7.2) и (7.14) следует, что
п— 1 п— 1
(хи ..., x„_1)<(i/1, ..., уп_х) &> 2 Щ (xt) < 2 Ut (г/г),
t=l г=1
п—1 п—1
для любых (хи ..., a:n_i), (г/,, ..., у„.|)еАи. Из этих
двух выражений и теорем 5.4 и 5.5 вытекает, что
существуют такое п>0и такие числа (Ji, ..., fin_i, что
u,+1(<z) = nUj(a) + |J< для всех а е Л, i = 1, ..., п— 1.
Пользуясь этим последовательно, шаг за шагом, мы
выразим каждую функцию щ через щ, и если положить
р = и\, то соответствующая подстановка в (7.1)
даст (7.13).
Предположим, что (7.13) выполняется вместе с
условием
x<y^IlKi-ia(xi)<^iXi-ia(yi).
г i
Из единственности, по Дебре, с точностью до
подобных положительных линейных преобразований следует,
что существуют такие числа а > 0 и [$i, ..., p\-i, что
Х'~1о(а)— аяг_1р(а)+ ^ для всех se A, i = 1, ..., га— 1.
При г= 1 это дает а (а) = ар(а) + Pi. Подставляя это
вместо а при £ > 1, мы получим
^-1ap(a) + V'-IPi = я<-1ар(а) + Р„
что в свою очередь требует, чтобы было Я, = я, поскольку
функция р на А пе является постоянной.
§ 7.4. Резюме
Если X = Л", а индекс г обозначает время, то в игру
вступают новые концепции, отражающие независимость
предпочтения от времени, нетерпение, настойчивость
предпочтений, настойчивость различий в предпочтениях
и стационарность. Эти понятия применимы независимо от
того, являются ли полезности по этим п периодам
аддитивными или нет.

УПРАЖНЕНИЯ
159
Наиболее важный частный случай аддитивности,
рассмотренный в этой главе,— это случай взвешенной
аддитивности вида
х<у ^2Aip(zi)<2?wp(j/i),
где Xt > 0 для каждого i. Этот вид выводится из
сочетания топологической теории Дебре для слабо
упорядоченных разностей предпочтений с настойчивостью
предпочтения между разностями. Аддитивпые полезности, но не
обязательно в указанном здесь взвешенном виде,
возникают также из представления
х— у -<* z — w -*=*- а(х)— и(у) < u(z)~ u(w)
при условии, что предпочтение между разностями
является настойчивым.
При достаточно сильных аксиомах для аддитивных
нолезностей, основанных на простых сравнениях
предпочтения, может быть получено представление вида
х-<у^ 2я'-1р(^)<2л'-,рЫ,
если отношение -< предполагается стационарным. Если
отпошение -< является, кроме того, нетерпеливым, то
0< л < 1.
Упражнения
Указатель. 1 — 3. Предпочтения, не связанные с временем. 4,
5. Настойчивые предпочтения. 6. Нетерпеливость. 7. Настойчивые
различия. 8. Неоднородная аддитивность различий в предпочтении.
9, 10. Взвешенная аддитивность. 11, 12. Постоянный темп
дисконтирования. 13, 14. Наличие денежной оценки.
1*. Доказать, что (7.2) следует из (7.1), если (х\, ..., хп) ~
~ (Уь • • ■> Уп), как только х\,..., хп — перестановка последователь-
п
ности уи ■ .., Уп. Определить о, положив о (а) = 2 Mj (a)-
i=l
2*. Пусть Хе Л",
(х\ ...,хт)Е*т(,Д ....^«(ои Л»1 »"6i
и любой элемент а е А одинаковое число раз является
компонентой (ж1, ..., хт) и (у1, ..., ут)). Пусть условие С имеет вид
[(**, ....»"*) s;(yi, ...,ym), x}<yj или х>~у*
для /=1, ...,m — l]=j.xm<»m.

160 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА ДЕКАРТОВЫХ СТЕПЕНЯХ ГГЛ. 7
Показать, что С =*- условие С теоремы 4.1 и что
С =*- (если х, у е X и хи ..., х„ — перестановка
Уи ■■; Уп, ТО X ~ у)
3. Положив Х = ЛХ^> предположим, что и(а, Ъ) = и(Ь, а)
для всех а, Ъ^А и а; -< г/ -фф- к (ж) < к (у). При Л = Re найти
такую функцию и, которая удовлетворяет этим условиям (опреде
лить <[ с помощью <) и для которой не существует аддитивного
представления вида (7.1).
4*. При X = Ап предположим, что отношение <( на 4
является настойчивым слабым упорядочением. Определим отношение
<С° на Л, положив
о<°6 -*=>• (я,, ..., Xi~u а, х{ + 1, ..., z„)-<(a:,, ..., x{-lt Ъ, х{+1, .. .,хп)
для некоторых ц е Л. Доказать, что
a) отношение -<° является слабым упорядочением на А;
b) (xt -<° !/j ИЛИ Xi ~° yt ДЛЯ i = 1, . . ., п) =>- X =^ у\
c) (xt -£° i/j для всех £ я яг -<° i/i для какого-нибудь i) =^ a; < у.
5*. Предположим, что отношение -< является строгим
частичным упорядочением Л™ и настойчиво, а отношения <^( на 4
определены как в абзаце, предшествующем (7.3). Доказать, что каждое
-<i является строгим частичным упорядочением и все отношения
<[( совпадают. Показать также, что когда отношения -<,•
определены таким образом, а отношение -< настойчиво, то может оказаться
так, что все отношения <(( являются совпадающими слабыми
упорядочениями множества А, тогда как отношение -< на Ап не
является даже строгим частичным упорядочением.
6. Показать, что если выполнен (7.1) и отношение «^ является
нетерпеливым, то
а -< Ъ =>- к,(Ь) — к,(а) > и2{Ъ) — и2(а) > ... >к„(Ь) — ип(а).
7. Показать, что если X = Ап, отношение -<* на XXX
настойчиво и х -< у -ф=ф- х — х -<* у — х, то и отношение -< на X
настойчиво.
п
8*. Пусть X=JJ-<E'., (7.4) выполняется для всех х, у, z, w e X и
i=l
а; — х' -<* г/ — у' =$- z — z' -<* w — w'
всегда, когда
г е {1, ..., п), (г. = ^, 2/;. = у], z;- = zj, и^ = w'f)
для всех / Ф I и (г., ж^, t/;, у\) = (г;, z;, ?л , и>|). Показать, что
тогда на мпожестие X существуют такие вещественнозпачные
функции Uj, которые удовлетворяют равенству и(х) = ^иДа:.)
для всех iel
9. Показать, что (7.9) выполняется при Л4 > 0 тогда и только
тогда, когда существуют такие функции ut, удовлетворяющие (7.1),
каждые две из которых являются положительными линейными
преобразованиями одна другой.

УПРАЖНЕНИЯ
iei
10. Проверить утверждение о линейпом преобразовании в
доказательстве теоремы 7.3.
И. Показать, что если (7.13) выполнено для некоторого я > С.
отношение -< является нетерпеливым и ж <[ у для некоторых х,
у ei", то я < 1.
12. Будет ли в условиях теоремы 7.5 соотношение (7.14)
выполняться для каждого eei?
13* (Уильяме и Нассар [1]). Обозначим через Н следующее
множество условий:
Х'= Re",
условия 1, 2 и 3 теоремы 3.3 и
х <[ у -фф- 0 <[ у — х для всех х, jel
Последнее условие называется «граничной согласованностью».
Показать, что если задано Я, то выполняется следующее:
a) ж ~ г/ -^ ж — у ~ 0;
b) х ~ у <=$■ — х ~ —у;
c) х ~ у -фф- х + z ~ у + z для любого z e= Ren;
d) х ~ у Г\ z ~ ш=>- ж + z ~ г/ + и>;
e) ж -- у =ф- Л/ж ~ Д/у для кал;дого целого числа Л/;
f) ж < у -фз У <— х;
g) ж -< у -фф- х + z -< у + z для каждого z e Re";
■ h) ж < у Л z ^ w =>- х + z -< ;/ + ^;
i) ж-< у =>-Д/ж-< Л/у для любого натурального Л/ и ж<у=Ф-
=>- Л/;/ -< ЛГж для любого отрицательного целого М;
;') если Ж — целое число, отличное от нуля, то Мх ~ My =>■
=>- х ~ у;
к) ж ~ у =4- аж ~ ау для любого рационального числа а;
т) ж ~- у =>- аж ~ ау для любого а е= Re1.
14* (продолжение). Показать, что из П следует
существование таких положительных чисел Хь ..., Х„, которые
удовлетворяют условию
п п
х -< У *=> 2 ^-ж- < 2 ^'У- для всех ж' 2/ *= ^- С-15)
1=1 ' г=1
Чтобы сделать это, показать сначала, что по каждому ж ее Re"
найдется такое единственное а е= Re, для которого х ~ а. После
этого положить и (ж) = а, когда ж ~ а; полученная таким образом
функция и удовлетворяет условию ж -< у -фф- и (ж) < и (у). Наконец,
воспользоваться результатами d) и т) из предыдущего
упражнения чтобы показать, _что функция в может быть записала в виде
и (ж) = 2 ^ (^), где Яг ~ (0, ..., О, 1, 0, .. .,0).
И П. Фишберн

Ч а с т ь II
ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
До середины двадцатого века теория полезности
концентрировала внимание на структурах предпочтения,
которые не включают явно неопределенности или
вероятности, как измерителя нсопределепости. Теория
ожидаемой полезности Дж. фон Неймана и О. Моргснштерна
и несколько более ранняя теория Ф. П. Рамсея
стимулировали новый интерес к роли неопределенности в
структурах предпочтения.
Теория ожидаемой полезности может либо наделять
вероятностями альтернативы структуры предпочтения,
либо формулировать неопределенность альтернатив, не
задавая се первоначально в вероятностных терминах.
В последнем случае вероятности, так же как и
полезности, выводятся из аксиом. В первом случае из аксиом
выводятся только полезности, поскольку вероятности уже
составляют часть аксиоматической структуры. В этой
части книги применяется первый подход: альтернативы
являются здесь вероятностными мерами, определепными
на множестве исходов. Основная теория содержится
в главах 8, 9 и 10; аддитивная теория оясидаемой
полезности для мпогофакторных ситуаций рассмотрена
в главе 11.

Г л а в а 8
ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ, СВЯЗАННАЯ С ПРОСТЫМИ
ВЕРОЯТНОСТНЫМИ МЕРАМИ
Когда каждая стратегия или выбираемая
альтернатива соответствует вероятностной мере на подмножестве
множества исходов X, мы рассматриваем модель
ожидаемой полезности, дающую способ вычисления полезностеи
стратегий или связанных с ним вероятностных мер. Идея
такой модели восходит по меньшей мере к Берпулли [1],
однако только в нашем веке были сформулированы
действительно приемлемые аксиомы предпочтения, которые
и были положены в ее основу. Аксиомы этой главы
аналогичны аксиомам, введенным фон Нейманом и Морген-
штсрном [1], а также их последующим модификациям,
которые рассматривали Фридман и Сэвидж [1], [2],
Хсрстейн и Милнор [1], Крамер [1], Лыос и Райфа [1],
и Блекуэлл и Гиршик [1]. Аксиомы последних
применяются к всроятпостным мерам, которые являются более
общими, чем рассматриваемые в этой главе. Такие моры
будут изучены в главе 10.
После вводного примера и краткого обсуждения
простых вероятностных мер мы сформулируем основную
теорему и проведем некоторый критический разбор условий,
налагаемых в ней на предпочтения. Полное
доказательство основной теоремы о слабом упорядочении приведено
в § 8.4. Случай нетранзитивного безразличия разобран
в следующей главе.
§ 8.1. Пример .
Предположим, что владелец небольшой строительной
фирмы намечает назначить сдельную цену за работу,
которая по его оценке обойдется его компании к своему
завершению в 200000 долл. Если он назначит цену
11*

164 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
в х долл. и получит заказ, то ему заплатят х долл. и его
прибыль будет равна х долл.— 200 000 долл.
Поскольку строительная индустрия находится в
неустойчивом состоянии, наш владелец полагает, что может
быть назначено несколько различных цен. Исходя из
своего предшествующего опыта и знания текущей
ситуации, он оценивает вероятность р(х) получения заказа
о!
0.2 ^К
0.1 - ^\^^
0 200000 250000 ЗООООО Х <г"
Рис. 13. Вероятность получить заказ при назначении цены х долл.
в случае, когда назначит цену х долл. (Уинклер [1], [2]
обсуждает некоторые способы нахождения таких оценок).
Пусть вид р(х) для 190 000^^^300 000 изображен
на рис. 13.
Ввиду недостатка спроса владелец фирмы хотел бы
получить такой заказ, на котором его убыток не
превосходил бы 10 000 долл. Иными словами, пусть для него
(получить заказ и с ним — 10 000 долл) ~ (не получить
заказа). Пользуясь надлежащим методом шкалирования
полезностен для модели ожидаемой полезности (см.,
например, Пратт, Райфа и Шлейфер [1], Суолм [1], или
Фишберн [2]), владелец оценивает свою функцию
полезности от чистого дохода (в предположении, что он
получил заказ) так, как это изображено на рис. 14. Этот
рисунок показывает, что ему безразлична разница между
достоверным получением 10 000 долл. и лотереей,
имеющей два равновероятных исхода:—10 000 долл.
и 100 000 долл. Для него безразлична также разница
между достоверным получением 50 000 долл. и лотереей,
дающей 100 000 долл. с вероятностью 0,8 и —10 000 долл.
с вероятностью 0,2. Согласно модели ожидаемой
полезности, последнее отношение безразличия преобразуется

§ 8.11
ПРИМЕР
165
в равенство и (50 000 долл.) = 0,8« (100 000 долл.) +'
-)-0,2а( —10 000 долл.). Уравнения, подобные этому,
могут быть использованы как руководящий принцип при
построении и проверке функции и.
50000 1GQOUO
Цистый доход
Рис. 14. Полезность чистой прибыли.
230000 25000
Рис. 15. Кривая ожидаемой полезности, построенная па основании
рис. 14 и 15.
Если владелец назначит цену в х долл., то его
ожидаемая полезность будет равна р(х)• и (получить заказ
и с ним чистый доход (х — 200 000) долл.) + (1—р(х)) -и
(не получить заказа). Из рнс. 14 видно, что поскольку

lf>6 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
(получить заказ и получить — 10 000 долл.) ~ (не полу*
чить заказа), то и (не получить заказа) =0 и, таким
образом,
и (назначить цену х долл.) = р (х) и (получить заказ
и с ним чистую прибыль (х — 200 000) долл.).
Веря приближенные значения для р(х) и и(х долл.—
200 000 долл.) из рис. 13 и 14, мы получим кривую
ожидаемой полезности, изображенную па рис. 15, который
показывает, что ожидаемая полезность достигает своего
максимума примерно при х — 206 000. Поэтому
рекомендуется назначить цену, близкую к 206 000 долл.
§ 8.2. Простые вероятностные меры
Определение 8.1. Простой вероятностной мерой
на X называется такая вещественнозначная функция Р,
определенная на множестве всех подмножеств множества
X, что
1) Р(А) ^ 0 для всякого А Е X;
2) Р(Х)= 1;
3)Р(А[)В)=Р{А)+Р(В), еытА,Вс=ХяА[\В=0;
4) Р(Л)= 1 для некоторого конечного А.
Свойство 4) выделяет Р как простую вероятностную
меру. В главе 10 это ограничение снимается и
ожидаемая полезность рассматривается для более общих мер.
Свойство 3) является свойством конечной
аддитивности: вероятность объединения двух непересекающихся
подмножеств X равна сумме двух отдельных
вероятностей.
Число Р({х}), которое мы будем записывать как
Р(х), есть вероятность, приписываемая мерой Р
одноэлементному подмножеству {х} множества X.
Теорема 8.1. Пусть Р — простая вероятностная
мера на X. Тогда Р(х) — 0 для всех ieI, кроме конечного
их числа, и
Р(А)=2Р(х) (8.1)
зсеА
для всякого 4sX.
Доказательство. Предположим, что мера Р —
простая, а А — конечное подмножество X, для которого

g 8.2) ПРОСТЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ
Р(А)= 1. Тогда для всех хФА должно быть Р(х)=0,
поскольку в противном случае, если Р(ж)>0, то по
условию 3) определения 8.1 будет Р (A\J{x})^> 1, что по
1) и 3) приводит к неравенству Р(Х)>1,
противоречащему условию 2). Последовательное использование
условия 3) показывает, что равенство (8.1) выполняется,'
когда А конечно. Для произвольного 4еХ пусть В =-.
= {х: хееА, Р(ж)>0} и С = {х: х с= А, Р(х) = 0}.
Тогда Р(А) =Р(В) -\-Р(С) но 3). Кроме того,
множество В конечно, так что (8.1) выполняется, если Р(С) =
= 0. Если Р(С) > 0, то по 3)
Р{С\){х: хе=Х, Р{х)>0})>1,
поскольку если V ;
Р{х: х^Х, Р(ж)>0}<1, , "
то, по (8.1) для конечных множеств, P(D)<C 1 для
каждого конечного D^X. Поэтому, если Р(С)>0, то мы
получим опять Р(х) > 1.
Выпуклые комбинации мер. В теории ожидаемой
полезности мы пользуемся правилом комбинации двух
вероятностных мер, чтобы получить третью меру. Это
правило может быть, конечно, распространено и на
комбинации любого конечного числа мер.
Определение 8.2. Если Р и Q являются простыми
вероятностными мерами на Xiae[0, 1], то аР +
+ (1 — a)Q есть функция, которая ставит в соответствие
каждому 4sX число аР (А) + (1 — a) Q (А).
В условиях этого определения легко проверить, что
aP-\-(l — a)Q является простой вероятностной
мерой па X.
Если
Р(100 долл.) = 0,3, Р(200 долл.) = 0,7,
(?(100 доли.) = 0,5, ^(ЗОО долл.) = 0,5,
то для R = ОДР + 0,9Q мы получим
Я(100 долл.) = 0,48, R(200 долл.) = 0,07,
Я(300 долл.) = 0,45.
Математическое ожидание. Если Р — простая
вероятностная мера па X и / — вещественнозначная функция

168 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ, cS
на X, то так называемое математическое ожидание /
относительно Р, обозначаемое здесь через E(f, P),
определяется равенством
E(f,P)= 2 f(x)P(x). (8.2)
Для Р, Q и R таких же, как в предыдущем пункте, и для
Функции }(х) = х мы получим £(/, Р) = 170 долл.,
'(/, ^) = 200 долл., Я(/, R)= 197 долл.= 0,1Я(/, Р) +
+ 0,9Z?(/, Q). В общем случае имеет место равенство
E(f, aP + {l-a)Q)=aE(f, Р) + (1 - а)Е((, Q).
§ 8.3. Ожидаемая полезность для простых мер
Если £PS — множество всех простых вероятностных
мер на X, то меры, соответствующие стратегиям в том
типе ситуаций, которые рассматриваются в этой главе,
составляют лишь некоторое подмножество ^s. Однако
в наших условиях, налагаемых на предпочтение для
построения ожидаемой полезности, мы будем использовать
все распределения из £PS. Мы будем делать это по двум
взаимосвязанным соображениям. Первое — это
математическая целесообразность, поскольку ^s является
множеством мер, замкнутым относительно комбинаций в смысле
определения 8.3: если Р, Q(^£PS и ае [0, 1], то <хР +
+ (1 — а)ре^. Второе соображение касается оценки
полезностей, поскольку при использовании этой теории
как основы для оценивания функций м на X часто бывает
удобно использовать те меры из &s, для которых Р (х) > 0
только для одного или двух х е X, а такие меры могут
не соответствовать действительным стратегиям.
Приводимая далее теорема является, как мы увидим,
следствием более общей теоремы, которая будет
сформулирована и доказана в § 8.4.
Теорема 8.2. Предположим, что £Р8 — множество
всех простых вероятностных мер на X и -i — бинарное
отношение на &,. Для того, чтобы на X
существовала вещественнозначная функция и, удовлетворяющая
условию
Р -< Q~^E(u, Р) < Е(и, Q) для всех Р, Q <= ^8) (8.3)

§ 8.3] ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ МЕР 169
необходимо и достаточно, чтобы для любых Р, Q, i? e !Р,
выполнялись следующие условия:
1. Отношение -< было слабым упорядочением на @s.
2. (Р -< Q, 0< а < 1) ^аР + (1 - a)R~<aQ +
+ (1 — a)R.
3. (Р^<?, Q<R)^aP + {l-a)R^Q и Q -< рР +.
-(-(1 —P)i? для некоторых а, Р^(0, 1).
Кроме того, функция и из (8.3) единственна с
точностью до положительного линейного преобразования,
т. е. если и удовлетворяет (8.3), то вещественнозначная
функция v на X удовлетворяет условию Р -<Q <=>■
■&■ E(v, Р) < Е(у, Q) для всех Р, Q <=0>s тогда и только
тогда, когда существуют такие числа а > 0 и Ъ, что
v (x) = an (x) -J- b для всех iel (8.4)
Предположим, что мы распространили и на 2Р3,
положив и(Р) = Е (и, Р). Тогда, если выполняется (8.3),
то P^Q -**- u{P)<iu{Q). Теперь, если функция v па &,
является произвольным сохраняющим порядок (но не
обязательно линейным) преобразованием и, то будет
Р ■< Q -«=*- v(P) < v(Q). Для такой функции v мы можем
определить v на X, полагая v(x)= v(P), если Р(х) ■= 1.
Однако, если v не является линейным преобразованием и,
то для некоторой Р^.^, равенство v(P) = E(u, P)
должно быть неверным. Иными словами, существуют функции
v на &>*, которые удовлетворяют условию Р -<Q <=>
-*=> v(P) <C v(Q), но не удовлетворяют условию P<^Q-^-
-**■ E(v, P) < Е(и, Q), когда v на X определена по v на
&S указанным образом (в предположении, что Р -<Q для
некоторых Р, ^е^,).
Условие 1: слабое упорядочение. Условие 1
теоремы 8.2 о слабом упорядочении может легко быть
подвергнуто критике ввиду того, что из него следует
транзитивность отношения безразличия. Например, пусть
исходами будут суммы денег, рассматриваемые как
потенциальные приращения богатства некоторого лица.
Пусть
Р(35 долл.) = 1, <?(36 долл.) = 1,
Л(0 долл.) = #(100 долл.) = 0,5. J

170 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
Здесь несомненно P-<Q. Однако представляется
вполне возможным, что Р ~ R и Q ~ R, ав этом случае
отношение ~ не является транзитивным.
Ввиду этого соображения в следующей главе
разбирается случай, в котором предполагается только, что
отношение -< на 5я, является строгим частичным
упорядочением. Мы пе будем отдельно рассматривать интервальные
упорядочения и полуупорядочения, как делали это
в главе 2, поскольку условия р10 и pll из § 2.4 могут
подвергнуться критике такого же рода, как и
приведенная выше. Например, если <?'(35, 50 долл.)—1, то
Р -<Q' -(.Q, но разница между R и каждой из Q и Q'
может быть безразличной, что нарушает условие pll. Более
того, если предположить, что отношение -< на £PS
нерефлексивно и удовлетворяет pll и условию 2
теоремы 8.2, то отношение ~ на 3*, будет транзитивным.
Чтобы доказать это, предположим, что, напротив, Р ~ Q,
Q ~ R и Р -<R для некоторых Р, Q и R. Тогда, применяя
условие 2 и P-KR, мы получим
Р = '/2Р + 72Р -< 72Р + '/2Я,
lhP + ЧзЯ -< 72# + V2i? = R,
откуда по pll следует, что либо P-<Q, либо Q-<R, по
это противоречит предположению о том, что Р ~ R
и Q ~ R. j
Условие 2: независимость. Условие 2, представляющее
собой некоторого рода аксиому независимости,
рассматривается многими как самая суть теории ожидаемой
полезности, без которой исчезает та часть теории, которая
связана, собственно, с «ожиданием». Кроме того, это
условие, вместе с условием транзитивности отношения -<,
часто рассматривается как основной нормативный
критерий этой теории. Выпуклую комбинацию осР + (1 — a)R
можно интерпретировать двумя способами: либо как
лотерею, которая дает ieX с вероятностью аР(х)-\-
+ (1 — a)R(x), либо как двухшаговый процесс, в котором
на первом шаге выбирается Р (или R) с вероятностью а
(или 1 — а), а на втором шаге альтернатива х
выбирается с помощью того из вероятностных распределений Р и,
R, которое было выбрано на первом шаге. Эти две
интерпретации тождественны с точки зрения вероятностей,

§ 8.3] ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ МЕР 171
однако они не являются психологически равноценными.
Например, двухгпаговый процесс может оказаться для
вас более привлекательным.
Как нормативный критерий, условие
(P^Q, 0<a<l)=*aP + (l-a)R^aQ + {l-a)R
защищается обычно с помощью аргументов, основанных
на двухшаговой интерпретации. Если Q является для вас
более предпочтительным, чем Р, то с точки зрения этой
интерпретации представляется разумным, что выпуклая
комбинация а(?+(1 — a)R будет для вас более
предпочтительной, чем аР + (1 — a)R. Иными словами, если вы
выбираете между А и В в следующей матрице
«выигрышей»:
а
0
Р
1-а
Л
R
выбор А
выбор В
и независимо от нашего выбора «случай» даст с
вероятностью а первый столбец и с вероятностью 1 — а второй,
то вы должны предпочесть А.
Условие 2 исполняет различные вспомогательные
функции как руководящий принцип для вынесения
согласованных суждений о предпочтениях. Оно может, во-пер~
вых, помочь выяснить предпочтения между более
сложными альтернативами на основе предпочтений,
касающихся более простых альтернатив. Предположим, что
первоначально индивидуум не имеет явного предпочтения
между R и S, где
Д(50 долл.) = 0,10, Д(80 долл.) == 0,45,
#(100 долл.) = 0,45, 5(0 долл.) = 0,02,
5(80 долл.) = 0,45, 5(100 долл.) = 0,53,
но определенно предпочитает Q альтернативе Р, где
«?(0 долл.) = 0,2, (9(100 долл.) = 0,8, Р(50 долл.) = 1.
Пусть J(80 долл.) = 7(100 долл.) = 0,5. В силу того
факта, что S = 0,1 Q + 0,9 Т и Д = ОДР + 0,9 Г,
предпочтение им Q по сравнению с Р может убедить его в том, что

172 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
он должен предпочесть S альтернативе R, даже если он
считал бы, что S и R «очень близки друг к другу».
Условие 2 может быть также полезным при
выяснении рассогласованности между суждениями о
предпочтениях. Рассмотрим один пример, использованный Сэвшт-
жем [1] (стр. 101—103) и принадлежащий Аллэ [1].
Какую альтернативу из 0 и Р вы предпочитаете?
1: £(500 000 долл.) = 1, Р(2 500 000 долл.) = 0,10;
2: Р(500 000 долл.) = 0,89, Р(0 долл.) = 0,01.
Вместе с тем, какую альтернативу из R и S вы
предпочтете?
Здесь
1: Д(500 000 долл.) = 0,11, Д(0 долл.) = 0,89;
2: S(2 500 000 долл.) =0,10, 5(0 долл.) = 0,90.
Согласно Аллэ и Сэвиджу, не будет необычным
признать, то Р -< 0 и R^S. Теперь, положив
Т(2500000 долл.) = 10/11, Т(0 доил.) =1/11 и
У(0 долл.) = 1, мы получим
0 = 0,110 + 0,89 0,
Р = 0,11 Т + 0,89 0,
R = 0,11 0+0,89 V,
S = 0,11 Т + 0,89 V.
Поскольку из условия 2, при наличии остальных условий
вытекает обратное ему условие, Р -<0 =*- Т -< 0 и i? -< 5=*-
=*- 0 -< Т, следовательно, налицо оказывается некоторая
«несогласованность». По мнению Аллэ, этот результат
говорит против разумности условия 2. Сэдвиж, напротив,
считает, что многие люди будут встревожены этим явным
противоречием и, принимая «разумность» условия 2,
захотят пересмотреть свое первоначальное мнение с тем,
чтобы получить в результате пересмотра иные суждения
о предпочтениях, уже согласованные с этим условием.
Условие 3: аксиома Архимеда. Третье условие
теоремы 8.2 утверждает, что если Р -< 0 -<R, то существует
такая нетривиальная смоет, Р л Л, которая менее
предпочтительна, чем 0, и существует также такая
нетривиальная смесь Р и R, которая является более предпочти-

g 8.3] ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ МЕР 173
тельной, чем Q. В частности, эта аксиома исключает
возможность случаев, когда Р -< Q -< Л, но аР + (1 — a)R-< Q
для любого осе (0, 1) или Q-<aP-{-(I —a)R также для
любого осе (0, 1).
Предположим, что только что отчеканенная монета
будет подбрасываться п раз и что, по вашему мнению,
для произвольного положительного ос существует такое
п(ос), для которого а превосходит вероятность того, что
в каждом из п(ос) бросаний выпадает герб. Рассмотрим
выбор между следующими альтернативами А ж В:
A. Получить 1 долл. независимо от результатов этих
п бросаний.
B. Быть наказанным, если при каждом бросании
выпадает герб, и получить 2 долл. в противном случае.
Если наказание -< 1 долл. -< 2 долл. и вы предпочита- •
ете альтернативу А альтернативе В, сколь бы большим
ни было число п, то вы нарушаете условие 3. Если
монета бросается 100 раз, то при выборе альтерпативы В
существует лишь одна из более чем 1030 возможных
последовательностей, при выпадении которой вы будете нака*
заны. Ввиду таких чисел, многие люди могли бы указать
достаточно большое значение п, при котором они выбрали •
бы В. Часто заявляют, что склонность, которую люди
проявляют по отношению к небольшому риску, например,
при переходе улицы или вождении автомобиля,
представляется достаточно убедительным свидетельством в пользу
этого условия.
Несмотря на тот факт, что условие 3 называется
аксиомой Архимеда, из него и из условия о слабом
упорядочении еще не вытекает существования на !PS функции и, __
удовлетворяющей условию Р-< Q <=*~ и(Р) < u(Q). Ипыми ,
словами, из условий 1 и 3 еще не следует (см.
теорему 3.1), что множество 2Р,\~ содержит счетное
подмножество, плотное в смысле упорядочения -<. В
упражнении 6 это рассматривается подробнее.
Хауснер [1] рассматривает случай, когда не
предполагается, что выполнено условие 3. К условиям 1 и 2 он
добавляет версию условия 2 для отношения безразличия
(Р ~Q, 0 < а < 1) =*- аР + (1 - a)R ~ aQ + (1 - a)R,
которая, как мы покажем в следующем параграфе,
следует из условий 1, 2 и 3. Из его аксиом выводится некото-

174 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
рая лексикографическая форма ожидаемой полезности, но
размерность этой формы может не быть конечной. В
двумерном случае его представление имело бы вид
P^Q^(E(uu P), E(u2, P))<L(E(uu Q), Е(и2, <?)),
где щ, иг — вещественнозначные функции на X, а
отношение <L определено как в (4.10).
§ 8.4. Множества смесей
Теперь мы сформулируем и докажем теорему, которая
является более общей, чем теорема 8.2. Это можно
мотивировать тем, что такая более общая теорема будет
использована затем для получения дальнейших результатов,
главпым образом в главе 13. Обобщение, которое будет
здесь рассмотрено, использует определение множества
смесей, введенное Херстейном и Милнором [1].
Определение 8.3. Множество & называется
множеством смесей, если задано отображение, которое любой
паре (Р, Q)^.9>X&> и любому йё[0, 1] ставит в
соответствие такой элемент аР + (1— <х)()е^', что для всех
Р, (?е^на, Р ^[0, 1] выполняются условия
Ml. IP + 0Q = P.
Ml. aP + (1 - a)Q = (1 - a)Q + aP.
МЗ. а[рР + (1-р)(?] + (1-а)(? = арР + (1-аМ(?.
Множество 9*, с операцией аР + (1 — a)Q, описанной
в определении 8.2, является множеством смесей. Наряду
с условиями М1 — М 3 мы будем пользоваться еще и
следующими:
ML ссР + (1-а)Р = Р.
МЪ. а[р<? + (1-P)R] + (1-а) [iQ + (l~t)R] =
= [«Р + (1 ~ a)Tf№ +[«(1 - Р) + (1 - а) (1 - f)]R.
Условие МА выводится из Ml — МЗ так:
аР + (1-а)Р=а[1Р + 0Р] + (1-а)Р=
,= а[0Р + IP] + (1 - а)Р = 0Р + 1Р = Р.
Если р или ч равняется 0 или 1, то условие М5 легко
следует из М1 — МЗ. Поэтому, чтобы проверить МЪ для

§ 8.41 МНОЖЕСТВА СМЕСЕЙ ' 175
множества смесей, предположим, что В, 7 е (0> 1) и, для
определенности, В 2S f. Следуя Льюсу и Сапсу [1]
(стр. 288), мы получим
[аЗ + (1 - a)t]Q+{a(i - 3)-f(l - а) (1 - Т)]Д.=
= {[«P/Tf + (l-a)]Y}^ + {l-[aP/Y+(l-a)]T}^= '
:= [aB/Y 4-(l - a)] hQ + (1 - ?)Д] +
Н-[1-аЗ/т-(1-а)]7?= (но АП)
= [а(1-Р/ТГ)]ЛН-[1-а(1-^)][^ + (1--Г)Д] =
(по Ж2)
= а{(1-р/т)Д + (Р/^)[^ + (1-'Г)Д]} +
+ (1 — а) llQ + (1 - Ч) Д] = (по АГЗ)
1=«{Ш [1Q + {1 - t)R] + (1 - Мг)Д} +
:+(1-а)[^ + (1-7)Д]= (по Ж2)
= а[р^ + (1-р)Л] + (1-а)[^.+ (1-'г)Д] (по ЖЗ).
Перед доказательством основной теоремы рассмотрим
ряд лемм, объединив их в следующей теореме.
Заключение СЪ) этой теоремы принадлежит Йенсену [1].
Отношения ~ и ^ определены здесь, как в (2.2) и (2.3).
Теорема 8.3. Предположим, что 9* есть множество
смесей и для любых Р, Q, йе? выполнены следующие
условия:
А{) па 2Р задано слабое упорядочение -<;
А2) (Р <Q, О < ее < 1) => аР + (1 - a)R ■<aQ -f
+ (1-а)Д;
43) {P-<Q, Q-<R)=>aP + {l-a)R^Q и <? ^ ВР+
+ (1 —3)Д для некоторых а, Ре(0, 1).
Тогда для любых Р, Q, R, S е SP должно быть
С1) (Р -< <?, О ^ а < 3 ^ 1) =^ЗР + (1_В)<?-<
-ЧаР + (1-а)<?;
С2) ровно для одного а<=[0, 1] (Р <<?, <?=</?, Р -<
-<R)=>Q ~ ар + (1 — а)Д;
СЗ) (Р -< (), Д^5, 0 ^а^ 1) =^аР+ (1-а)Д-<
-<aQ + {l-a)S;
С4) (Р~ <?, 0^а^1)^аР + (1-а)() ~ Р;
С5) (Р ~ Q, О^а^ 1) =^аР + (1-а)Д~ а<?+
,+ (1-а)Д.

176 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР (ГЛ. 8
Доказательство. С{. Если {J < 1, то по А2
и, стало быть, рР + (1 — $)Q~<-Q по Л/4. Если [} = 1, то
0Р + (1 —0) (>-<<? по ЛГ1. Если 0<а, то по Л2
(а/РШР + (1 - ?)<?] + (1 - Ф)№ + (1 - Р)СН
-<(«/[}) [|ЗР+(1 — f})<?J-f-(l — а/р)0, следовательно, по
М'д и Л/4
рР + (1-Р)С^аР + (1 -a)Q.
Наконец, если а = 0, то по Л/1 и Л/2
рР + (1-Р)С-<аР + (1-а)е.
6Т2. Предположим спачала, что Q ~ Р. Тогда @ ~
~ IP + ОД по Л/1, а 1Р + ОЛ Ч рР + (1—0)Д для
любого [} < 1 в силу С\ и Л/2. Тогда, ввиду транзитивности
(см. теорему 2.Id), а = 1 является единственным из всех
ае[0, 1], для которых @~осР + (1— a)R. В случае,
когда Q ~ Л, доказательство симметрично (в этом
случае ос = 0). Наконец, в случае, когда Р <^Q <СЛ,
применяется доказательство леммы 3.1 с очевидными
изменениями в обозначениях и с использованием условий С1,
Л1—АЗ, Л/2 и Л/3.
СЗ. Если 0 < а < 1, то
аР + (1 - a) R -< ajQ + (1 — a) R
и, по А2,
(i — a)R-\-aQ-<(i — a)S + aQ.
С4. Предположим, что Р ~ Q, но аР -f-(l — a)Q -<P.
Тогда осР + (1— a)Q~<Q (теорема 2.1(1). Следовательно,
по СЗ
а[аР + (1 —a)(?] + (l-a)[aP-f-(l —а)0]-<
-<аР+(1-а)<?
или, по Л/4,
aP + {l — a)Q^.aP + {l-a)Q,
что неверно. Аналогично доказывается, что не может
быть Р~ Q и Р -< аР + (1 — a)Q. Поэтому
Р ~ Q => ар + (1-а)<? - Р.

§ 8.4]
МНОЖЕСТВА СМЕСЕЙ
177
СЪ. Условия Ml и М2 дают требуемое заключение
в случае, когда йе{0, 1}. Пусть теперь P ~ Q и
О < а < 1. Если R да Р, то по С4
аР+(1 —а)Д ~ Р ~ Q ~а@_|_(1_а)Д,
Т. D.
аР-f-(l-а) Д ~а(?+(1-а)Д.
Предположим поэтому, что Д ^ Р (в случае Р -Ч Л
доказательство аналогично). Тогда Л -< аР + (1 — °0Д по
С1 и Л/4. Предположим также, что
аР +(1 - а)Д -< а(? + (1 — а)Я.
Тогда по С2 для некоторого единственного 3 е(0, 1)
аР-f-(l-а)Д ~(1-3)Д + 3[а() + (1-а)Д].
Следовательно, по М2 и Л/3
ссР + (1 - a)R ~ сф<? + (1 - «Р)Д.
Кроме того, поскольку из Л -< Q, по С1 и Л/4, следует
(1-3)Л + В(?-<<2~Р,
по Л1 п М2 должно быть 3@ + (1 — Р)ДЧР; тогда по 42
а[^+(1-р)Д] + (1-а)Д-<аР + (1-а)Д
и, окончательно, по Л/3
сф() -f-(l - сф)Д -< аР + (1 - а) Д.
Это, однако, противоречит тому, что
аР +(1 — а) Л — аЗ(? + (1 — ар) Д.
Поэтому неверно, что
аР + (1 — a)R-<aQ + {t — a)R. -.
По тем же причинам неверно, что
aQ + (i — a)R-<aP + {l — a)R.
Следовательно,
оР+(1 —а)Д ~а(> + (1 —а)Д.
Основная теорема. . . -
Теорема 8.4. Пусть 0* — множество смесей. Тогда
для выполнения при любых Р, Q, ЙЕ^ условий AI, A2
12 ТТ ЛьтшПрптт

178 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
и A3 теоремы 8.3 необходимо и достаточно, чтобы на 3*
существовала вещественнозначная функция и, которая
удовлетворяет условиям
P-<Q^u{P)<u{Q) для всех Р, Qe^P, (8.5)
и(аР + (1 —а)@)=ав(Р) + (1 —a)u(0)
для всех (а, Р, (?)е[0, 1]Х^2. (8.6)
Кроме того, если функция и на £Р удовлетворяет (8.5)
и (8.6), то вещественнозначная функция и па £Р
удовлетворяет (8.5) и (8.0) при подстановке v вместо и тогда и
только тогда, когда существуют такие числа а > 0 и Ъ,
что
v(P)=au(P)-\-b для всех РеЛ (8.7)
Теорема 8.2 получается из этой теоремы, если
положить 9* = 5Ра и определить функцию и на X с помощью
функции и па 9>Л положив и(х) — и(Р) при Р(х) = 1.
Если
{х: Р(х) > 0} = {хи ..., хп},
то повторное применение (8.6) к таким Pi e ^., для
которых Pi(Xi) = \, дает
и (Р) = и I 2 Р (*,) Pt)=^P (xt) и (*,) = Е&Р)%
так что по (8.5)
P<RoE{u,P)<E{u,Q).
Условие (8.4) следует тогда из (8.7)
Необходимость условий Al, А2 и ЛЗ для (8.5) и (8.6)
очевидна. Доказательство достаточности будет разделено
на три части. В части I будет показано, что (8.5) и (8.6)
выполняются на множестве RS = {Р: R^P^S}, где
R-<.S. Мы предполагаем, что R-^S для некоторых
R, Se^, поскольку в противном случае утверждение
теоремы очевидно. Часть II распространяет (8.5) и (8.6)
на все множество 5я. В части III проверяется (8.7).
Доказательство. Часть I. Предположим, что
выполняются условия Л1, /42 и ЛЗ и что R~<S. Пусть
RS = {P: P^&, R^P=^S}.

§ 8.4] МНОЖЕСТВА СМЕСЕЙ 179
Ввиду С2, для каждого Р е RS существует такое
единственное число /(Р)е[0, 1], что
P~[l-f{P)]R + f(P)S, причем /(Л) = 0 и /(5)'=1.
(8.8)
Предположим, что Р, Q<=RS и /(Р) < /(<?). Тогда по С1
[1 - /(Р)]Д + f(P)S^[l - f(Q)]R + f(Q)S.
Транзитивность отношения вместе с (8.8) дает тогда, что
P-<Q. С другой стороны, если /(Р) = /(<?), то из (8-8)
и транзитивности следует, что Р ~ Q. Поэтому
P-<Q^ f(P) < /(<?) для всех Р, <? ее AS. (8.9)
Если P,Q<=RS и осе[0, 1], то осР + (1 — a)Q^RS.
Если осе{0, 1}, это следует из Ml и Л/2. Если же
О < а < 1, то последовательное применение Ж4, Л2 или
СЬ, М2, /42 или С5, АГ2, Л2 или С5, Л/2, Л2 или С5, АГ4
дает нам
Л = осЛ + (1 — <х)Л ^ аР + (1 — а) Л =
■=(l — a)R + aP=4.(l — a)Q + aP=aP-\-(l — a)Q =<
< ccS -f (1 - a)Q = (1 - a)Q + ccS=^ {l — a)S + aS = S.
Таким образом, если Р, Q^RS и осе[0, 1], то по (8.8)
должно быть
осР+ (1 —а)(? - [1-/(аР + (1 _«))()] Я+
+ /(аР + (1--«)<?)& (8.10)
Кроме того, применяя дважды С5, мы получим
осР+ (1-«)<?-а{[1-/(Р)]Я +ДР)5}+
+ (1-ос) {[1-/(<№ + /(<?)£},
откуда но МЪ
аР+ (\-a)Q~[l-al(P)-(l-a)f(Q)]R +
..... +[а/(РЖ1-а)/«?)]5.
12* '

180 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
Вместе с формулой (8.10), транзитивностью и условием
Ci это дает нам
f(aP + (1 - a) Q) = af(P) + (1 - a)f(Q)
для всех (ее, Р, Q) €= [0, 1] X RS2. (8.11)
Соотношения (8.9) и (8.11) показывают справедливость
условий (8.5) и (8.6) на RS.
Часть II. Чтобы распространить доказанное в
части I на все множество £?, зафиксируем такую пару R, S,
что R -< S, и предположим, что множества Д,/5,- = {Р: Ре
е^3, Ri^ P =^Si} для £= 1, 2 содержат множество RS.
Пусть fi — функция на RiSi, удовлетворяющая
соотношениям (8.5) и (8.6) для всех (а, Р, Q) е [0, 1] X R&
Существование такой функции обеспечивается частью I
доказательства. Пусть /,- такое положительное линейное
преобразование функции /г, что fi(R) = 0 и fi{S) = 1 для
г = 1, 2. Такая функция /,, конечно, удовлетворяет
условиям (8.5) и (8.6) для всех (а, Р, Q) е= [0, 1] X RiSl
Предположим, что P^RiSi О #2<$2. Если Р ~ R или
Р ~ S, то /i(P) = /2(P) согласно определениям этих
функций. Остаются следующие три возможности:
P-<R^S, R~{l-a)P + aS, (8.12)
R^P^S, P~(l —p)fl-j-pS, (8.13)
R^S~<P, S~(i — 4)R + tP, (8.14)
где a, p, i[ e (0, 1) - те единственные числа, которые
задаются условием С2 в случае строгих предпочтений.
Применяя (8.5) и (8.6) к каждому из этих случаев, мы
получим для i = 1, 2
0= (l-a)/,(P)+a (a=^l), " (8.12*)
/,.(Р) = fc (8.13*)
откуда следует, что в каждом из этих случаев
U(P) = f2(P).
Обозначим, пакопец, через и(Р) это общее значение
/>(Р), которое, как мы убедились выше, является одним
и тем же для любого промежутка вида #Д-, содержащего
Р, R п S. Поскольку любая пара Р, Q содержится хотя бы

§8.5]
РЕЗЮМЕ
181
в одном таком промежутке, функция и корректно
определена на всем множестве 9* и удовлетворяет условиям
(8.5) и (8.6).
Часть III. Если и удовлетворяет условиям (8.5) и
(8.6), a v удовлетворяет (8.7) при а > 0, то очевидно, что
и также удовлетворяет (8.5) и (8.6). Чтобы доказать
обратное утверждение, предположим, что v вместе с
функцией и удовлетворяет (8.5) и (8.6). Если и на 9
постоянна, то и также постоянна и они связаны
положительным линейным преобразованием v(P)~ и (Р) + (с' — с),
где и = с, v = с'. Предположим, с другой стороны, что
R-<S для некоторых R, S ее &. Зафиксировав такие R
и S, положим
4 (p\-U(P)-U (R) 4 (Р\ V(P)-V (Я)
11 К ' u(S)-u(Ry >°Л ' v(S) — v(R)
для всех РеЛ (8.15)
Поскольку функции /i и /г являются положительными
линейными преобразованиями функций и и и, обе они
удовлетворяют (8.5) и (8.6). Кроме того, fi(R) = 0 =
= f2{R) и /i(5) = 1 = /2(5). Если Р ~ Я или Р ~ S, то
/i(P) =/г(Р). Наконец, если выполняется один из
случаев (8.1/о), где /с = 2, 3, 4, то /i(P) = /2(P) должно быть
на основании (8.1/с*). Следовательно, /[ =/2. Тогда,
пользуясь (8.15), мы получим
т. е. функция у является положительным линейным
преобразованием функции и.
§ 8.5. Резюме
Если выбираемая альтернатива имеет своим
результатом наступление с положительной вероятностью
каждого исхода из некоторого конечного множества
исходов, то этой альтернативе соответствует простая
вероятностная мера на множестве исходов X. В применении к
отношению -\ па множестве простых вероятностных мер
были рассмотрены три свойства предпочтения: слабое
упорядочение, независимость и архимедовость. Эти свойства
позволяют поставить в соответствие каждой мере на X

182 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
такую полезность, которая может быть вычислена как
ожидаемая полезность исходов относительно этой меры
(в предположении, что полезность исходов определена
согласованно с данной моделью ожидаемой полезности).
Для некоторой общей теории мы определили понятие
множества смесей и применили к такому множеству три
указанных выше условия. Модель ожидаемой
полезности для простых вероятностных мер представляет собой
одно из приложений этой общей теории. В дальнейшем
мы встретимся с другими ее приложениями.
Упражнения
Указатель. 1. Ожидаемая чистая прибыль. 2. Простыв меры.
3. Неограниченная полезность. 4. Положительные линейные
преобразования. 5. Условие независимости. 6. Плотность относительно
упорядочения. 7. Независимость. 8. Необходимые условия. 9.
Ожидаемая полезность. 10, 11. Последовательный анализ. 12, 13.
Достоверные эквиваленты. 14. Аксиома «согласованности Пфан-
цагля. 15. Линейная аддитивность. 10. Цепы для покупки и
продажи.
1. Пользуясь рис. 12, изобразить кривую олшдаемой чистой
прибыли от х, аналогичную рис. 14. Какое приблизительно
значение х будет максимизировать ожидаемую чистую прибыль?
Настолько это значение отличается от того значения х, которое мак-
симирует ожидаемую полезность?
2. Пользуясь условием 3 из определения 8.1, показать что
a) Р I U А1 ) = 2 Р (Ai)< если Ai П А1 = 0 при i ф /;
b) Р(АЦВ)=Р(А) + Р(В)~Р(АГ\В).
3*. Показать, что из (8.3) ограниченность функции и пе следует.
4. Пусть фупкция и, заданная на множестве X = {х, у, z, w)
равенством (и(х), и (у), и(ю)) = (0, 1, 2, 5), удовлетворяет (8.3).
Предполагая, что функция v удовлетворяет (8.4), вычислить
значения v на X, когда
a) v(x) = —1, о (у) =1;
b) v(x) = -10, v(z) = 50;
c) v(w) =2 и v(x) +v(y) + v{z) + v(w) = 1;
d) v(x)v (w) = v(y)v(z) = 150.

. „хРАНШЕНИЯ 183
5. Рассмотрим простые вероятностные меры Р и Q,
определенные на количествах долларов с помощью следующей матрицы:
10 долл. 30 долл. 50 долл. 100 долл. 150 долл.
0,2 0,3 0,2 0,1 0,2
0,4 0,1 0,1 0,3 0,1
Рассмотрим также две лотереи с четырьмя билетами,
описанные в следующей матрице выигрышей:
Номер билета:
1 или 2 3 4
Лотерея а\ 30 долл. 50 долл. 150 долл.
Лотерея в\ 10 долл. 100 долл. 100 долл.
Показать, что если каждый билет может быть извлечен с
одной и той же вероятностью, то из условия 2 теоремы 8.2 вытекает
отношение Р -KQ при А <^В и Q <Z.P при В <^А. (Вычислить а и В,
которые удовлетворяют соотношениям Р = сс4'+(1— а)Д и Q =
= аВ' + (1 — а)В, где А' и В' — меры, соответствующие А и В.)
6*. Пусть для отношения -=С определенного на !?,1~, как в
(2.4), условие 4 состоит в следующем: существует счетное
подмножество множества !?sl~, которое является ^'-плотным в ИРа/~.
a) Показать, что из условия 1 теоремы 8.2 и условия 4 не
следует условие 3. (Определить отношение <[, положив Р <[ Q -< R -К, S,
где Р(х) = Qly) = 1 для х, у el, a R и 5 —любые две меры из
&.\{P,Q}-)
b) Показать, что из условий 1 и 3 пе следует условие 4. (Пусть
X = {х, у], представим @, как сегмент [0, 1], где р е'[0, 1]
—вероятность, приписанная альтерпативе х, и пусть
А = {р: 0 gS p :g 1/2,— рациональное},
В = {р: 0 <.р < 1, р — иррациональное},
С ={р: l/2<p:gl, p — рациональное}.
Определить отношение <(, положив р ~ q, если р, q s А или р,
деС, или р = о; р «< д, если (^ei, g^ Л) или (р фС, деС),
или (/>, деВ и |р — '/г I < 19 — '/гI), или (р, q e= В, р < q и |д —
-Vsl = Iff— Val).
c) Показать, что из условий 1, 3 и 4 не следует условие 2.
(Определить отношение -<, положив Р -<, Q ~ Т для всех Г из
^,\{£»#}| как в пункте а).)
d) Доказать, что условие 3 следует из условий 1, 2 и 4.
e) Обсудить утверждение о том, что условие 4 следует из
условий 1, 2 и 3 (см. теорему 3.1).
, 7*. Показать, что условие 2 не следует из условий 1 и 3
теоремы 8.2 и условия С5 теоремы 8.3.
8. Показать, что условия 41, А2 и 43 теоремы (8.3) вытекают
из (8.5) и (8.6).

184 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 8
9. Детально разобрать утверждения, высказанные в абзаце,
следующем за формулировкой теоремы 8.4.
10*. Рассмотреть следующие две альтернативы.
Альтернатива А. Подбрасывается симметричная монета.
Если выпадает герб, то в ближайшие три вечера вы каждый раз
получите на обед бифштекс; если же выпадает лицевая сторона,
то в ближайшие три вечера вы получите каждый раз на обед
курицу.
Альтернатива В. В каждый из ближайших трех дней
подбрасывается монета, чтобы определить, получите ли вы
вечером на обед бифштекс (если выпадает герб) или курицу (если
выпадает лицевая сторона).
Обозначим через X множество, состоящее из восьми троек
(хи х2, жз), где Хг е {курица, бифштекс} для i — 1, 2, 3, и
обозначим через Р и Q вероятностные меры на X, представляющие
соответственно альтернативы А и В. Можете ли вы придумать какие-
либо разумные доводы, в силу которых должно оказаться Р ~ Q'i
Определите ваше собственное предпочтение в этом случае и
объясните, почему вы предпочитаете одну альтернативу другой, если
разница между ними для вас небезразлична. Если эта разница для
вас безразлична, останетесь ли вы при своем мпенин, когда в этом
примере речь идет о 100 вечерах вместо трех?
11*. Рассмотреть следующие две пары лотерей:
{А: Получить 10 долл. с вероятностью 0,3
или 50 долл. с вероятностью 0,7,
В: Получить 0 долл. с вероятностью 0,2
пли 70 долл. с вероятностью 0,8;
{С: Получить 20 долл. с вероятностью 0,9
пли 70 долл. с вероятностью 0,1,
D: Получить 40 долл. с вероятностью 0,0
или 60 долл. с вероятностью 0,4,
где суммы денег должны рассматриваться как возмолшые
приращения вашего состояния, которым вы располагаете в данный
момент. Корректная интерпретация теории ожидаемой полезности
требует, чтобы при рассмотрении вашего предпочтения между А
и В вы не обращали внимания на С и D. Поэтому, предположите,
что вы выбираете между А и В, причем вы можете выбирать
только между ними и только они могут изменить ваше финансовое
положение в близком будущем. Аналогично, не обращая внимания на
А и В, рассмотрите ваше предпочтение между С н D.
а) Предположим теперь, что вам предоставлепа возможность
выбирать одну альтернативу из А и В и одну альтернативу из С
и D, прежде чем какая-либо из выбранных лотерей будет в
действительности разыграна. Вы имеете тогда четыре альтернативы:
(А, С), (A, D), (В, С) и (В, D). Определите для каждой из этих
четырех альтернатив соответствующую вероятностную меру на
суммах денег, которые вы можете выиграть. Следует ли из теории,
развитой в этой главе, что если 4-(В в С<(Д в том смысле, как это
описано в предыдущем абзаце, то тогда альтернатива (б, D) долж-

УПРАЖНЕНИЯ ' 185
на предпочитаться остальным трем альтернативам в данной новой
ситуации? Если не следует, то почему?
Ь) Предположим, что вы можете выбрать А или В и, после
того как выбранная вами лотерея будет разыграна, вы можете
выбрать С или D и получить результат от розыгрыша этой второй
выбранной вами лотереи. Показать, что в этом случае имеется
восемь стратегий, одна из которых имеет вид (выбрать А; если в
результате разыгрывания А выпадает 10 долл., выбрать С, а если
выпадает 50 долл., выбрать D). Составить таблицу, которая
определяет эти восемь стратегий, и найти вероятностные меры на
совокупных суммах денег, которые вы можете выиграть, применяя
каждую из этих стратегий.
12. Пусть х = 0 представляет ваше богатство в данный момент.
Если Р — вероятностная мера на множестве сумм денег,
представляющих собой потенциальные добавки к имеющемуся богатству,
и если Р ~ х долл. (где х долл.— достоверная добавка к
имеющемуся у вас богатству), то х долл. называется достоверным
эквивалентом Р. Отношение Р ~ х долл. означает, что для вас
безразлична разница между лотереей в соответствии с Р и «получением»
х долл. как необлагаемого налогом подарка. Оценить ваши
достоверные эквиваленты для Р, если
a) Р(0 долл.) = 0,5, Р (10 000 долл.) = 0,5;
b) Р(0 долл.) = 0,1, Р(1 000 000 долл.) = 0,9;
c) Р(— 500 долл.) = 0,5, Р(500 долл.) = 0,5;
(1) Р(—100 долл.) = 0,2, Р(—10 долл.) = 0,8;
0) Р(0 долл.) = 1/3, Р(1000 долл.) = 1/3, Р(3000 долл.) = 1/3;
f) Р (90 000 долл.) = 0.5 Р (100 000 долл.) = 0,5.
13 (пр о до л жени е). Оценить ваши достоверные
эквиваленты для каждой из следующих вероятностных мер:
a) Р(0 долл.) = 0,01, Р(5000 долл.) = 0,99, х долл. ~ Р;
b) <?(0 долл.) = 0,99, <?(5000 долл.) ,= 0,01, у долл.~ Q;
c) Д(0 долл.) = 0,50, R(5000 долл.) = 0,50, z долл.~ R.
Показать, что согласно теории ожидаемой полезности Н ~
~ '/г Р + '/г(?. Означает ли это, что z долл. = 1/2(х долл. + У долл.) ?
Означает ли это, что разница между получением г долл. и лотереей
с х долл. и у долл., как единственно возможными
равновероятными исходами, безразлична?
14*. Пусть X ,= Re, а и — непрерывная функция на X,
удовлетворяющая (8.3), причем всегда х < у влечет х-^у. Пфанцагль [1J
рассматривает одну аксиому, которая в переформулировке на этот
язык выглядит следующим образом: если Р(х + y)=Q(x) для всех
х е X и если Q ~ z для некоторого zel, то Р ~ у + г. (Иными
словами, если Р(х + у) <= Q(x) для всех х е X и если z является
достоверным эквивалентом Q, то у + z является достоверным
эквивалентом Р.)
а) Показать, что если выполнено сформулированное выше
условие Пфанцагля, функция и на X должна быть одного из
следующих видов (с точностью до положительного линейного
преобразования):
1) и(х) — кх при к > 1;
2) и(х) = —к* при 0 < к < 1;
3J и (х) ,=. х.

186 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. S
Показать, что каждое из этих выражений удовлетворяет
сформулированной выше аксиоме. Начертить кривую для случая 1)
при к — 2, кривую для случая 2) при к == 1/2 и прямую для
случая 3).
Ь) Выяснить, находите ли вы эту аксиому значимой для вас.
(Рассмотреть, например, ваши ответы на вопросы а) и f) из
упражнения 12.)
15* (продолжение). Пусть X = Re и выполняются другие
условия, перечисленные в первом предложении из упражнения 14.
Показать, что функция ина! является линейной (т. е. имеет
место случай 3) из упражнения 14), если при х Ф у выполняется
одно из следующих условий:
a) Для любых х, уеХ и любого ре[0, 1] Q ~ Р, если
Q(px+ (i-p)y) = 1, где Р(х) <= р жР(у) =\-р.
b) Для любых i,yEl Q ~ Р, если 0((х + у) 12) = 1 и Р(х) =
,= Р(у) =1/2.
Дать критический разбор этих условий.
Рис. 16. Функция полезности для возможных измепопий
наличности: величина изменения равна 10 000 х долл. (см. упр. 8.16).
16*. Некоторое лицо оценивает свое состояние в 50000 долл.
Пусть £== 0 соответствует его наличному состоянию, и рассмотрим
возможные изменения его состояния на суммы вида 10 000 х долл.,
как это представлено на рис. 16, на котором изображена кривая
и(х). Будем предполагать, что функция и измерена в соответствии

УПРАЖНЕНИЯ
187
с построенной моделью ожидаемой полезности. Обозначим через А
лотерею, в результате которой с половинными вероятностями
выплачивается либо 0 долл., либо 40 000 долл.
a) Воспользоваться рис. 16, чтобы оценить достоверный
эквивалент А (см. упраяшение 12). Записать утверждение о
безразличии, которое определяет этот достоверный эквивалент в терминах
изменений наличного состояния, обозначая этот достоверный
эквивалент через у. (Ответ: у ~ (40000 долл. с вероятностыо 1/2
или 0 долл. с вероятностыо 1/2).)
b) Если этому лицу лотерея А отдана в качестве подарка, за
какую наименьшую сумму допег оно «огласилось бы со продать?
Обозначив через у' эту наименьшую продажную цену, написать
утверждение о безразличии, которое определяет у', и сравнить его
с ответом в пункте а).
c) Если, не имея лотереи А, лицо собирается ее купить, какую
наибольшую цену оно бы за нее заплатило? Обозначив через z
наибольшую цену, которую оно заплатило бы за обладание А,
написать утверждение о безразличии, которое определяет г.
d) Предположим, что лицо действительно купило А за сумму,
определенную в ответе на вопрос с). Захочет ли оно продать А
(прежде чем будет проведено разыгрывание) за сумму,
определенную в ответе на вопрос Ь)? Почему нет? За какую цену оно
согласится продать А, после того как купило ее?
e) Предположим, что вместо того, чтобы покупать А за цену,
определенную в с), лицо получает А за некоторую договорную
цену, например за 15 000 долл. Если оно купило А за 15 000 долл., то
за какую наименьшую цену оно ее продаст? Напишите
утверждение о безразличии, определяющее эту наименьшую цену w.
f) Предположим, что лотерея А этому лицу подарена. И оно
имеет теперь возможность купить вторую такую те лотерею (т. е.
лотерею с двумя равновероятными выигрышами в 0 долл. и
40 000 долл.) *), прежде чем лотерея А будет разыграна. Какова
наибольшая цена, которую оно согласится заплатить за эту вторую
лотерею? Обозначив через г эту наибольшую цену, написать
утверждение о безразличии, которое определяет г. (Не сделать
ошибки, утверждая, что г ~ у'.)
g) Предположим, что то же лицо купило А за 15 000 долл. и
имеет возможность купить другую точно такую же лотерею,
прежде чем А будет разыграна. Какова наибольшая цена, которую оно
заплатит за эту вторую лотерею? Обозначить эту сумму через s
и паписать утверждение о безразличии, которое определяет s.
*) При этом предполагается, что вторая лотерея стохастически
не зависит от первой. (Прим. ред.)

Глава 9
ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ СТРОГИХ
ЧАСТИЧНЫХ УПОРЯДОЧЕНИЙ
В этой главе рассматривается важное обобщение
ожидаемой полезности мер для простых вероятностных мор
па тот случай, когда отношение безразличия на £PS по
предполагается транзитивным. Мы будем рассматривать
представление вида
P<Q=*E(u, P) <E{u, Q) для всех Р, Qzb&s (9.1)
в ситуации, когда множество X является конечным.
Ауман [1] и Каннаи [1] обсуждают те трудности,
которые возникают, если множество X бесконечно; работа Кан-
паи содержит несколько важных теорем для этого случая.
Развиваемая в этой главе теория полезности в
значительной степени принадлежит Ауману [1]. Хотя он
предполагает, что отношение =^ является
квазиупорядочением (т. е. рефлексивным и транзитивным),
небольшие изменения делают его работу применимой и к тому
случаю, когда отношение -< есть строгое частичное
упорядочение (т. е. нерефлексивное и транзитивное).
В § 9.1 формулируется теорема об ожидаемой
полезности и обсуждаются ее условия. В следующем
параграфе излагается некоторая вспомогательная теорема о
выпуклых конусах в Re". В § 9.3 с помощью этой
вспомогательной теоремы доказывается теорема о полезности.
§ 9.1. Теорема об ожидаемой полезности
В формулируемой далее теореме через 9*, обозначено,
так же как и в главе 8, множество всех простых
вероятностных мер на X. Через аР -j- (1 — a)Q обозначается

§ 9.1] ТЕОРЕМА ОБ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 189
выпуклая комбинация двух мер Р, Q е £Р,. Полагаем
' Е{и,Р)='2и(х)Р(х).
XSEX
Теорема 9.1. Предположим, что X является
конечным множеством и для бинарного отношения -К на
множестве !?а всюду на £PS выполняются следующие условия:
1. Отношение -< транзитивно.
2. Если 0<а<1, то Р -< Q ■*> аР + (1 — a)R -<
^aQ+ (1-а)Д.
3. Если аР -f- (1 — a)R-<aQ -j- (l — a)S для всех
ае (0, 1], то неверно, что S-<R.
Тогда на X существует вещественнозначная функция
и, которая удовлетворяет условию 9.1.
Сравним три условия этой теоремы с
соответствующими тремя условпями теоремы 8.2. Прямая импликация
(часть =*-) условия 2 в теореме 9.1 — это условие 2
теоремы 8.2. Обратная импликация (т. е. часть -*=)
условия 2, которая вытекает из условий теоремы 8.2,
может быть оправдана следующим образом.
Предположим, что при йё(0, 1) выпуклая
комбинация a(?+(l — a)R действительно предпочтительнее,
чем выражение aP+(l — a)R. Тогда представляется
разумным, чтобы это предпочтение зависело от точки
зрения на отношение между Р и О. В самом деле,
поскольку наличие слагаемого (1 — a)R ведет к
ослаблению различия между этими двумя смесями, устранение
(1 — ol)R сделало бы различие между Р и Q еще более
отчетливым, чем различие между aP+(l — a)R и
<хО +(1 — a)R; поэтому кажется обоснованным
предпочитать альтернативу О альтернативе Р. При наличии
части =>- условия 2 часть <= может быть записана в виде
[as (0, 1), аР+ {l-a)R<aQ-h {1 ~ a)R] => Р <* Q.
Аксиома Архимеда, описываемая условием 3,
несколько отличается от соответствующей аксиомы Аумапа,
которая утверждает, что если R-(aQ-{-(i — a)S для
всех a <= (0, 1], то неверно, что S-^R. Однако, обо эти
аксиомы необходимы для (9.1). Например, если
аЕ(щ Р) + (1 — а)Е(и, R) <
< аЕ(и, Q) + (1 - а)Е(и, S) для всех a e (0, 1],

190 ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ СТРОГИХ УПОРЯДОЧЕНИЙ [ГЛ. 9
то мы не можем иметь Е (и, S) <С.Е (и, R).
Следовательно, условие 3 является «слабейшей» формой условия
Архимеда, которая может быть использована для
получения (9.1).
Заметим также, что из условия 3 следует
нерефлексивность отношения -< и поэтому не следует специально
включать в условие 1 вместе с транзитивностью еще и
нерефлексивность.
Поскольку^ в теореме 9.1 отношение безразличия
(Р ~ Q <=> Р-<Q/\ Q~<P) не предполагается
транзитивным, вообще говоря, неверно, что функция и,
удовлетворяющая (9.1), является единственной с точностью
до положительного липейного преобразования.
§ 9.2. Выпуклые множества и конусы
В этом параграфе излагается теорема, с помощью
которой мы сможем доказать теорему 9.1. Эта новая
теорема утверждает, что если выпуклый конус С в Re"
удовлетворяет определенным условиям, то существует такой
вектор w e Re", что w-x>0 для всех х^С. Мы
начнем с некоторых определений и двух хорошо известных
лемм. В дальнейшем будет предполагаться, что X Ф 0.
Множество X s Re" называется выпуклым, если
<хх-{-(1 — а) у ев X для любых х, |/еХ и O^a^l.
Легко показать, что замыкание выпуклого множества
X, обозначаемое так же, как и в § 5.3, через X, также
выпукло. Топология, в которой берется замыкание,— это
обычная топология произведения аИп (см. §§ 3.4 и 5.3).
Обозначим через 0 начало координат в Re".
Лемма 9.1. Если множество X^Re" является
выпуклым, у <= Re" и у Ф X, то в Re" существует такой
вектор w ф 0, что
ini{w-x: j;eX} >w-y.
Доказательство. Так же, как и в доказательстве
теоремы 4.2, пусть х2 = х • х. Из у Ф X следует, что
inf{(a:— у)2: ieI}>0, и из определений замыкания
и выпуклости вытекает существование такого ге1, для
которого
(z-y)2 = ini{(x-y)2: x<=X}.

§ 9.2] ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И КОНУСЫ 191
Пусть w — z — у. Тогда w ф 0. Для любых "к е (0, 1)
и хщ_Х выпуклая комбинация (1 — %)z-\-%x
принадлежит X. Следовательно,
((l-Mz+U-j/)2^ (z-y)2.
Это равносильно неравенству %(х— z)2-\-2{z — у)'■■ (х—
— z) ^ 0. Устремив Я к нулю, мы получим w-Xs^w-z.
Поскольку (z — у) • (z — у) > 0, должно быть w-z >■
>> w • у. Следовательно,
inf{u;• #: гб!}^Ш'г>ш-у.
Лемма доказана.
По определению точка у лежит на границе X, если
каждое открытое множество, содержащее у, содержит
хотя бы одну точку из X и хотя бы одну точку, не
принадлежащую X.
Лемма 9.2. Если множество XeRo" выпукло и
точка у eRe* лежит на границе X, то в Re" существует
такой вектор w Ф 0, что
ini{w-x: ieX} = w-y. (9.2)
Доказательство. Пусть точка уеRe" лежит на
границе выпуклого множества X S Ren. Пусть У —
открытый л-мерный параллелепипед, содержащий у;
предположим, что 7 = Х. Тогда, если взять открытые
параллелепипеды, лежащие в У вблизи его вершин, то каждый
из этих параллелепипедов должен содержать некоторую
точку из X и ввиду выпуклости множества X существует
открытоо множество, содержащееся в X и содержащее Y.
Но тогда у по лежит на границе X. Поэтому в каждом
таком параллелепипеде Y существует точка, по
принадлежащая X. Отсюда следует, что пайдстся
последовательность г/ь ]h, ••• таких элементов Re", которые но
принадлежат X п сходятся к ?/. Тогда, по лемме 9.1,
существует последовательность m?i, w2, .. . таких
отличных от 0 элементов Re", что inf{w,-x: жеХ}>юг ys
и и>| = 1 для всех / = 1, 2, ... (поскольку и>,- ф 0 для
всех /, то последнего можно добиться умножением на
подходящее положительное число). В силу того, что
Щ = 1 для всех /, должеп существовать такой элемент
о S Re", что любой открытый /г-морпый параллелепипед,

192 ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ СТРОГИХ УПОРЯДОЧЕНИЙ [ГЛ. 9
*
содержащий w, содержит некоторый w,. Из этого
следует, что iv-x^w-y для каждого х е X, причем
неравенство inl{w-x: x^X}>w-y невозможно, поскольку
тогда было бы w-y > w-y.
Конусы. Множество X S Re" называется конусом,
если ах <= X для всех хе1ий>0.
Выпуклый конус — это конус, который является
выпуклым множеством. Множество X является выпуклым
конусом тогда и только тогда, когда (х, i/el; a, р* >
> 0) =*- с«: + ру е X. 0 не обязательно является
элементом выпуклого конуса.
Теорема 9.2. Предположим, что С_ является не- <
пустым выпуклым конусом в Re" и что Cf](—С) =0,
где —С = {х; —х е С). Тогда существует такое w <= Re", v
что
w-x^>0 для всех ieC. (9.3)
Если ОеС, то 0<=С и Ое-С, так что ?П(—С) =^=
Ф0. Следовательно, условие Архимеда СП'{~О=0
требует, чтобы было 0 ^ С. Это условие является также
необходимым^ для (9.3), поскольку, если выполняется
(9.3) и zeCfl (—С),_то w-z<0 по (9.3) и,
следовательно (так как z^,C), для некоторого у<^С будет
w-y < 0.
Доказательство теоремы 9.2. В случае, когда
п = 1, эта теорема очевидна. Рассуждая по индукции,
будем предполагать, что при «S2 теорема верна для
каждого m •< п. Пусть условия теоремы выполняются
при некотором п S2 2. Тогда, поскольку 0 лежит на
границе С, из леммы 9.2 следует, что существует отличный
от 0 элемент w e Re", удовлетворяющий условию
w-х^О для всех ж е С. (9.4)
Если для этого w выполнено (9.3), то доказательство
закончено. В противном случае w■ъ = 0 для некоторого
геС. Рассмотрим две возможности.
1. {х: и;.1>0}еС. Тогда _С={#: w-x^0}, и
если zeC, a w-z = 0, то —z^Cf] (—С) в противоречие
с условием Архимеда. Следовательно, этот случай при
сделанных предположениях возникать не может.
2. Существует такое х е Re", что и>-х >• 0 и хФ'С.
Пусть У — {у:.#-у = 0}. Размерность У меньше п, так

§ 9.2]
ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И КОНУСЫ
193
как х ф О, it если х,- ф 0, то каждое у е Y однозначно
определено своими п — 1 компонентами. Вместе с тем
каждый элемент z e Re" единственным способом
представим в виде Зх + у, где В е Re и je7. А именно,
2 = (z-xJx2)x-{- [z — (z-х/х2)х],
и если
z = Вж + г/ = В'ж + ?/',
где В ^ В', то ж = (у — г/')/(в' — в), откуда следует, что
^ = ^-(?/-j/')/(S'-B) =0,
а это неверно.
Продолжая рассматривать случай 2, положим
С0 = {у: у <^.Y, Вх + г/еС для некоторого Be Re}.
Множество C0^Y является, очевидно, непустым
выпуклым конусом. Чтобы проверить, что Со П (_—Со) = 0,
предположим, что, наоборот, существует уеСоП (—Со).
Тогда найдется такое В е Re, что Вх — г/ е С, н,
поскольку г/еСо, существуют последовательность г/i, г/г, •••
элементов С0, которая сходится к г/ (точнее, (//— Z/,)2 ==?
^ (у-Ун-i)2 и Ы{(у-у<)2: i=l, 2, ...} =0), и
такая последовательность Bi, В2, . . ., что В;х + у{ е С для
всех i.
Тогда (В + В,)х -f- г/i — у^С для всех £,
следовательно, по (9.4) (В + В,) ?(>■£ + w(yt — у) ^ 0 для всех i;
поэтому числа В,- должны быть ограничены снизу. Эти
Bj должны также быть ограничены сверху: иначе
существовали бы элементы х -j- (г/;/В.) е С, являющиеся сколь
угодно близкими к х, а это противоречит тому, что
хФС. Следовательно, существует такое К е Re, что
inf {[А, — В,|: i = 1, 2, . ._.} = 0, и поскольку В4х -f- yt<=C
для всех i, то U + yeC, Но тогда (Xx-{-y)-{- ($x—y) =
= ().-|-P)ieC, что неверно, за исключением того
случая, когда X + JJ = 0. Но если Я + В = 0, то кх -\-у еС
и —Ях — i/еСв противоречие с условием С Г) (—С) =0.
Таким образом, С0 П (—Co) = 0. Из индуктивного
предположения для т < га вытекает, что существует
такой элемент »еУ, что у • у > 0 для каждого у е С0.
Поскольку v<=Y, должно быть v-x = 0 и,
следовательно, для каждого геС, записанного в формате С0 в виде
z = $x-\-y, мы получаем y-z = v- (Bx + г/) = и-у > 0.
13 П. Фишберн

1940ЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ СТРОГИХ УПОРЯДОЧЕНИЙ [ГЛ. 9
§ 9.3. Доказательство теоремы 9.1
На протяжении этого параграфа предполагается, что
выполнены условия теоремы 9.1, причем P-iQ для
некоторых Р, Q e З^, поскольку в противном случае
утверждение теоремы очевидно.
Пусть X имеет п + 1 элементов (п 5: 1), которые мы
обозпачим через Х\, х2, ..., xn+i. Для каждого Pef,
пусть pi-P(Xi). Пусть, далее,
& = (Р = (Ри •■; Рп): Pi^O для каждого i и 2Рг = *}•
Тогда существует взаимно однозначное соответствие
между SPS и 5* £ Re". В терминах, связанных с
множеством 53, условия теоремы выглядят следующим образом:
1- Р~^я/\ q~<r=>p-<r.
2. Если 0 < а < 1, то р-< q *&* ар-\-(1 — a)r -< aq -\-
+ (1-а)г.
3. Если ар_+ (1 — а)г-< а? -f (1 — a)s для всех
ае (0, 1], то s-<r.
Определим D s Ren, положив
D = {t: t = р — q для некоторых .. ,
р, де^, для которых q-<p}. (9.5)
Очевидно, что (9.1) выполняется тогда и только тогда,
когда существует такое w e Re", что w-t>0 для
каждого t e D. Установим некоторые факты относительно D.
a) Предположим, что t — такой элемент D, для
которого t = р — q = г — s при q ~< р. Тогда по условию 2
1/2г + 1/2д = 1/2р + l/2s, 1/2г + 1/2? -< 1/2г + Ц2р и,
следовательно, 1/2р + l/2s -< l/2r -f- 1/2/?, что снова по
условию 2 (-*=) влечет отношение s -к г. Поэтому, если
q -< р, го s -< г всегда, как только г — s = р — q.
b) Предположим, что t — р — q и t* = r — s
являются элементами D. Тогда q -< р и s ~<r. Следовательно,
по условиям 1 и 2 aq + (1 — a)s-< ар -f- (l — а) г для
любого ае(0, 1) и поэтому а* + (l-a)f*eZ). Таким
образом, множество D является выпуклым.
c) Если t = р — q для некоторых p,q ^<?,то t <= D <=>
<=> at e D для все.т ае (0, 1). Это следует из условия 2.
d) Если t = g — р и I* = s — г для р, q, r, s <=& и
$сли at+ (1 — a)(*efl для всех «6 (0, 1], то —t* ф Р,

§9.3]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.1
195
Чтобы это доказать, заметим, что из а£+(1 — a)l*eD
следует по а), что ар + (1 — а) г -< aq + (1 — ci)s. Тогда,
по условию 3, s -<г. Поэтому, применяя а) к t* = s — г,
мы получим —t* Ф-D.
Исходя из D, определим конус С следующим образом:
С = {х: х = at для некоторых а > 0 и feO}.
Поскольку, по предположению D ф 0, должно быть
С ф 0. Выпуклость С легко следует из свойств Ь) и с)
для D. Чтобы установить условие Архимеда, мы хотим
иметь следующее:
at + (1 — a) t* <= С для всех а е (0, 1] =► — t* Ф С. (9.6)
Это, очевидно, верно, если t* = 0. Положим поэтому
t* ф 0. Если feC, то легко видеть, (упражнение И),
что существует число [5 > 0, для которого pteD и
(ЭД2^1/и2. Если ctf+(l-a)f*eC для всех а ез (0, 1],
то тогда для каждого ае(0, 1] существует такое
Р(а) >0, что а(р(а)0+ (1 —а)(Р(а)**) е=Я и
[5(а)2(а£ + (1 — a)t*)2 Ss i/n2. Поскольку множество
{(at + (1 — a)f*) . ае(0, 1]} ограничено сверху,
существует такое б > 0, что [5(a) > б для всех ае (0, 1].
Поэтому существует такое [5 > 0, что
a(pf) + (1 —a)(pf*) efl для всех ae (0, 1].
Выбрав это (5 таким, чтобы (£М*)2 ^ 1/и2, получим из d),
что — $t*<£D и, следовательно —t*<£C. Это
доказывает (9.6).
Предположим, что конус С s Re" имеет в
действительности размерность п, так что пекоторая точка feC
не лежит на границе С. Тогда существует такое
открытый и-мерный куб в Re", который содержит эту точку t
и содержится в С. Из этого без особых трудностей следует,
что если геС, то at + (1 — a)z е С для всех же (0, 1]
и, следовательно, —гФС по (9.6). Поэтому Cf\ (-C) =
= 0 и по теореме (9.2) существует такой элемент
w s Re", что ц> ■ £ > 0 для всех (еСи тем более w • t > 0
для всех fsD. Если же каждая точка из С лежит на
границе С (в пространстве Re"), то размерность С
меньше п и аналогичный анализ применяется в соответствии
с фактической размерностью С.
13*

196 ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ СТРОГИХ УПОРЯДОЧЕНИЙ [ГЛ. 9
§ 9.4. Резюме
Множество С £ Re" является выпуклым конусом,
если [х, уеС; а, р > 0] =*■ ах + $у еС. Если С является
непустым выпуклым конусом в Re", а —С и замыкание
С не имеют общей точки, то существует такой вектор
w <= Re", что ">i£i+. . .-\-wnxn > 0 для—каждого х е С.
Этот результат может быть использован для
доказательства того, что если X является конечным множеством,
а отношение -< на 5^s — строгим частичным
упорядочением, удовлетворяющим надлежащему условию
независимости и необходимому условию Архимеда, то на X
существует функция и, принимающая вещественные
значения и удовлетворяющая условию P~<Q=^E(u, P) <С
< Е[и, Q) для всех Р и Q из &„
Упражнения
Указатель. 1. Условия независимости. 2, 3. Условия, из которых
следует транзитивность отношения безразличия. 4. Теорема
Думала. 5. Р « Q -<=> Р = Q. G, 7. Выпуклые множества и их замыкания.
8. Предельная точна. 9, 10. Еще о границах. 11, 12. Расстояние от
начала координат. 13. Линейная аддитивность.
1*. Имея дело со строгим частичным упорядочением -< на 3PS,
положим, как обычно, Р ~ Q -*=>- Р <(? Л Q < Р и Р % Q -$=>. (р ~
~ R -*=>- Q ~ R для всех R <= &.). Пусть 51, 52 п 53 будут
следующими условиями независимости:
51. (Р < Q, о < а < 1) =ф- аР + (1 - а)5 < а<? + (1 - а) Д.
52. (Р ~ <?, 0<а < 1) =*-аР+ (1 —а)Д - а<? + (1-а)Д.
53. (Р» Q, 0<а< 1) =^аР+ (1-а)Д & а<? + (1-а)Д.
Высказать мнения о разумности условий 52 и ИЗ, показать,
что из 51 и 52 следует обратное условие (-4=) для каждого из
условий 51, 52 и 53 (при 0 < а < 1), и построить конкретный пример,
чтобы показать, что из 51, 52 п 53 не следует транзитивность
отношения ~.
Будем предполагать в дальнейшем, что отношение -< па Л
является строгим частичным упорядочением.
2* (продолжение). Пусть С\ и С2 будут соответственно
следующими условиями полууиорядоченпя: (R-^Q, (?<Д)=>-
=>- (Р < S или 5 < Д) и (Р < С?, Д < 5) =>.(Р < 5 или Л < Q).
Предположим, что отношение <( перофлоксшшо.
a) Построить ситуации, которые ставят под вопрос разумность
условий С1 н С2.
b) Показать, что Hi А С\ =ф- отношение ~ транзптивно.
c) Показать, что 51 д 52Л С'1 =>. отношение ~ транзптивно.
3* (продол ж е н и с). Пусть 54 будет условием
(Р ~ 5, Q ~ R, 0 < а < 1) =>- аР + (1 - а) Q ~ R.

УПРАЖНЕНИЯ . 197
Показать, что 64 вытекает из условия строгого частичного
упорядочения и #1, в предположении, что Р -^Q либо Q <( Р.
Доказать затем, что (строгое частичное упорядочение, #1, 62, Д4) =>-
=*- отношение ~ транзитивпо. Можно ли построить ситуацию,
которая ставит под вопрос разумность условия S4? Если можно, то
какова она?
4*. Ауман '[1] доказывает, что если отношение =^* на ЗРа для
конечного множества X является квазиупорядочением
(рефлексивным, транзитивным) и если, кроме того,
P=^*Q -4=^- аР + {[ — a)R =< * aQ + (1 — a)R для всех а <= (0, 1),
R <* аР + (1 — а)<? для всех а е= (0, 1] =>■ Q <* Д,
то на А существует такая принимающая вещественпые значения
функция и, что для всех Р, Q e ^s выполнено
P<*Q=>E{u, P) <E(u, Q), P*~ Q=>E(u, Р) = Е(и, Q).
Здесь Р<*<? <=>Р^*()/\(Щ*Р л Р ~*Q -<=^Р< *<?Л<2< *Р.
Предположим теперь, что отношение <( на ff>s является строгим
частичным упорядочением, удовлетворяющим условиям 61, B'l a
S3 упражнения 1 вместе с условием
R < аР + (1 — a)Q для всех а е= (0, 1] =>- <?^< Д.
Определив отношение^* с помощью этого <(, полагая P^*Q ■<=>
"*=*" (P~^Q или Р да (?), по];азать, что такое отношение =^*
удовлетворяет условиям Аумана и тем самым на (конечном)
множестве X существует функция и, принимающая веществепные
значения п удовлетворяющая (9.1) вместе с дополнительным условием
Р « Q =>■ Е{щ Р) = Е(щ Q) для всех Р, Q е= $*„.
5. Предположим, что А" = {1 долл., 2 долл., ..., 100 долл.} и
1 долл. < 2 долл. ■< ... < 100 долл. Обсудить утверждение, что для
отношения «, определенного так же, как в упражнении 1, не будет
необычным найти, что Р « Q -«=>- Р — Q, когда <( является строгим
частичным упорядочением на 3>'„. Можно ли представить себе
случай (в котором элементы множества X не имеют денежного
выражения), когда отношение Р « Q окалывается разумным для
некоторых таких Р, Q, для которых Р ф Q1
0. Доказать, что если множество As Re" является выпуклым,
то таким же является и его замыкание А.
7. Показать, что если А = Re" — выпуклое множество, jsKe™
и у ф А, то существует такая точка zeX, что
(z - у)2 = тЦ(х - уу: х^Х).
8. Пусть wj e Re" таковы, что wj = 1 для / = 1, 2, ...
Доказать, что существует такая точка ю е Re", для которой каждый
содержащий ее открытый л-мерный параллелепипед содержит
некоторую ТОЧКу Wj.

198 ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ СТРОГИХ УПОРЯДОЧЕНИЙ [ГЛ. 9
9. Описать границы следующих выпуклых множеств в Re2:
а) {х : х\ + х\ S 1); Ь) [х: х\-\- x^<ii);
с) {х: 0<ц<1, Ogijgl}; d) {x: x<= (а, а) для ае
е'[0,1]}.
10. Для выпуклого множества X в Re" предположим, что точка
fslne лежит на границе X. Проверить, что если геХ, то <xt +
+ (l-oi)zeX для всех а е= (0, 1].
11. Для множества D, определенного выражением (9.5),
предположим, что t е= D. Определим р, q e 3> следующим образом:
(pi, ^i) = (t;, 0) нли (0, ti), или (0, 0) в соответствии с тем, будет
ли ij > 0 или ti < 0, или ti = 0. Тогда р — q = t. Умножить
теперь каждое ti на число а > 0, где а является таким наибольшим
числом, что
2 Ы. 5=1 и ^ «'г^-1-
{i:*i>0} (*:'г<0}
Тогда ар, а?е# и at = ар — а? прцпадлежит D. Проверить, что
п
2 (a*;)2.>1/n2-
n
12 (пр о до л жен ие). Проверить, что ^ (а*,-)2 > ^п-
г = 1 ~~
1.3. Обосновать с помощью теории, развитой в этой главе, что
если X — неотрицательный ортант пространства Re" и если для
всех х, у, z, w е!
a) отношение <( является транзитивным;
b) если а е (0, 1), toi<i/ -фф- аж -f- (1 — а) г -< аг/ -f- (1 — a)_z|
c) аж -f (1 — а) г/ < аг + (1 — а) и> для всех а е= (0, 1] =>- w ■<
то существуют такие веществепные числа К], ..., Хп, что
п п
х < т/ 44 21 Kixi < 2 Mi для всех х, j/ sir.
Что можно утверждать по поводу этих Xt, если
1. (ж,- г£ j/j для всех г, х ф у) =s- х <[ у,
2. (ж,- < yi для всех г) =*■ х < г/?

Г л а в а 10 . . ,
ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ
ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Изложенная в главе 8 теория ожидаемой полезности
для слабых упорядочений будет в этой главе
распространена на более общие множества вероятностных мер.
Поскольку рассматриваемые здесь множества мер являются
множествами смесей, теорема 8.4 будет использована как
основа для установления представления
P<Q ^E{u, P)<E(u, Q).
Для этого обобщения потребуются также условия,
которые выходят за рамки теоремы 8.4. Первое новое
условие состоит в том, что если некоторая мера Р
предпочитается каждому исходу, принадлежащему подмпожеству
Y, для которого Q(Y)= А, то мера Q не будет
предпочитаться мере Р.
После двух вводных примеров мы изложим в §§ 10.2,
10.3 необходимый подготовительный материал о
вероятностных мерах и математических ожиданиях. Изложепие
собственно теории полезности начинается в § 10.4.
§ 10.1. Два примера
В нашем первом примере принимающий решение
субъект должен выбрать одну из двух технологий
строительства, А или В, для возведения моста через реку.
Применение технологии А будет стоить 150 млн. долл., а
применение технологии В будет стоить 100 млн. долл. Для
технологии А инженеры оценивают вероятность P(t)
закончить постройку моста через t лет после ее начала как
0 для г^2и как (t — 2)13 пля 2 ^ t ^ 5. Для технолп-

200 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 1ГЛ. 10
гии В вероятность Q(t) окончания строительства через t
лет после его начала оценивается как 0 для (^3 и как
(t — 3)/4 для З^г ^7.
Полезность соответствующих исходов -для
принимающего решение субъекта оценивается согласно
рассматриваемой модели ожидаемой полезности как и (150 млн.
долл., t) =—(t — 2)2—5 в случае технологии А и и
(100 млн. долл., t) = —(t— 2)2 в случае технологии В.
Тогда ожидаемая полезность А будет равна
5
j [_ (f _ 2)« — 5] (1/3) df-= — 8,
2
а ожидаемая полезность В —
7
f [_ (t - 2)2] (1/4) dt = - 10,33.
з
Таким образом, полезность более дорогой, но зато более
быстрой технологии Л больше, чем полезность В.
Санкт-Петербургская игра. Часто обсуждаемая со
времен Бернулли [1] «Санкт-Петербургская игра» дает пом
пример дискретной вероятностной меры. Рассмотрим
последовательность бросаний монеты и обозначим через
ап вероятность того, что герб выпадает в первый раз при
п-м бросании. Предположим, что есть основания принять
ап = 2~п для п => 1, 2, ... и вы поставлены перед
выбором между возможностями «не играть» и «поставить па
кон 100 долл.*) и затем получить 2" долл., если герб
выпадет г» первый раз при п-м бросании».
Обозначим X множество денежных сумм,
представляющих возможные изменения в наличности. Тогда для
функции полезности и, определенной па X, мы получим
Ожидаемая полезность от «не играть» = и (0 долл.).
Ожидаемая полезность от «поставить и играть» =
оо
= 2 и{2п долл.- 100 долл.) 2-".
71=1
Согласно излагаемой далее теории, функция и па
множестве X является ограниченной. Предположим, напри-
*) В статье Бернулли игра ведется на дукаты. (Прим. ред.)

§ Ю.2] ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ " 201
мер, что и(х) = х/(\х\ + 10 000) и тогда —1 < и(х)<\
для всех х. Тогда и (0 долл.) =0 и 2 и (2™ долл.—
— 100 долл.) 2~" <С 0, так что альтернатива «не играть»
имеет большую ожидаемую полезность.
§ 10.2. Вероятностные меры
Вероятностные меры, вообще говоря, рассматриваются
на булевых алгебрах множеств. В приводимом ниже
определении через Ас обозначается дополнение множества А
оо
в X, т. е. Ас = {х: ieZ, хФА), а через U At обозна-
чается объединение семейства множеств At (i =
==.1, 2, ...), т. е.
оо
U Ai — {х: х е At для некоторого ie{l,2, ...}}.
Определение 10.1. Семейство М- подмножеств
множества X называется булевой алгеброй, если
1. X<=sL;
2. /lei^i'Erf;
3. A, B<^^^AUBeas£.
Булевая алгебра S4- называется а-алгеброй, если она
удовлетворяет условию
4. At e S4- для !=1, 2, ...=>■ U 4j£rf.
Семейство {0, X} является наименьшей булевой
алгеброй и наименьшей а-алгеброй подмножеств непустого
множества X. Булевой алгеброй и а-алгеброй является
также множество всех подмножеств X. По соображениям,
которые станут ясными дальше, мы будем обычно
предполагать, что {х} е si- для каждого х е X.
Если множество X конечно, то всякая булева алгебра
на нем является и а-алгеброй. Различие между этими двумя
понятиями возникает лишь в случае, когда множество X
бесконечно, и это различие оказывает некоторое влияние
на свойства вероятностных мер. Некоторые авторы,
например Лоэв [1], ограничиваются рассмотрением
исключительно а-алгебр (или «а-полей»).
Если ¥? — произвольное семейство подмножеств X, то
порожденной ЯЗ булевой алгеброй (минимальной булевой

202 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
алгеброй над 4F) называется пересечение всех содержащих
Я<? булевых алгебр. Аналогично, о-алгеброй, порожденной
4F, называется пересечение всех а-алгебр, содержащих <&.
Легко проверяется, что пересечение произвольного
множества булевых алгебр (о-алгебр) на X также является
булевой алгеброй (соответственно а-алгеброй) на X.
Если Х=-{1, 2, ...}, а «?== {{1}, {2},
...}—семейство всех одноэлементных подмножеств X, то
порожденная множеством W булева алгебра Ж является
семейством всех таких подмножеств множества X, которые либо
конечны, либо содержат все, за исключением конечного
числа, элементы А'. Булева алгебра Ж не является,
однако, а-алгеброй, поскольку она не содержит, например,
множества всех четных натуральных чисел. Порожденная
Я$ о-алгебра является множеством всех подмножеств X.
Пусть X =i Re, а Я<? — множество всех интервалов в
Re. Тогда о-алгебра, порожденная ЧР, называется боре-
левской алгеброй на Re, а ее элементы — борелевскими
множествами. В Re существуют подмножества, которые не
являются борелевскими (см. Халмош [1], стр. 72—74).
На протяжении остальной части этой главы через si
обозначается каждый раз некоторая булева алгебра или
некоторая о-алгебра на X.
Вероятностные меры и счетные выпуклые
комбинации.
Определение 10.2. Вероятностной мерой на si
называется такая принимающая вещественные значения
функция Р на si, что
1. Р{А) 5г 0 для любого А е si;
2. Р(Х)=1;
3. {А, В е= &, А П В = 0) =► Р {А [} В) = Р {А) + Р {В).
В дальнейших определениях мы будем пользоваться
стандартным обозначением
2p, = sup(ilp1: /1 = 1,2,...], (10.1)
n
где Pi S: 0 для всех i и 2 Pi—^M для некоторого М н
П оо
п= 1,2,... Поскольку 2 2-i= 1 - 2~п, то 2 2~* = 1.
1=1 4 = 1

§ 10.2!
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ
203
Определение 10.3. Если Pt — вероятностные меры
оо
на St-, at Ш 0 для £ = 1, 2, . . . и У, а* = 1, то через
1—1
оо
2 «j-Pj обозначается функция на ^.которая ставит в со-
1=1
оо
ответствие каждому множеству iei число 2j &iPi {А).
i=i
Доказательство следующей леммы предоставляется
читателю.
оо
Лемма 10.1. Функция 2ai-Pj, заданная согласно
г'=1
определению 10.3, является вероятностной мерой на si-.
В нашей теории полезности будет использоваться
следующее определение.
Определение 10.4. Множество 5я вероятностных
мер на si- называется замкнутым относительно взятия
оо
счетных выпуклых комбинаций, если 2аг^г ^ ?, какими
бы ни были Pi е 5я и такие ос; |§= 0 для £ = 1, 2, ..., что
оо
2! «i = 1.
Если множество 5я замкнуто относительно взятия
счетных выпуклых комбинаций, то 5я является
множеством смесей (в смысле определения 8.3). Поэтому, если
отношение -< на 5я удовлетворяет условиям Л1, Л 2 и ЛЗ
теоремы 8.3, то имеют место соотношения (8.5) и (8.6),
а соответствующая функция и на 9* является
единственной с точностью до положительного линейного
преобразования.
Счетно-аддитивные вероятностные меры.
Определение 10.5. Вероятностная мера Р на S&
является счетно аддитивной тогда и только тогда, когда
(оо \ "°
U At =2Р(Л<) (Ю.2)
г=1 / 1=1
* * ' ' '' ОО
для любых А{ е s4-, i = 1, 2, ..., для йоторых U Агщ$(.
и At{\Aj = 0 при £ =5^ /.

204 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
Это определение применимо как в случае, когда si
является а-алгеброй, так и в случае, когда si — булева
алгебра, не являющаяся а-алгеброй. Условие (10.2)
усиливает условие (3) из определения 10.2.
Пусть Ж — булева алгебра, порожденная множеством
9? = {{1}, {2}, ...,}, и мера Р определена на Ж с
помощью равенств Р(п) = 2~™ для всех ве1='{1, 2, ...}.
Тогда мера Р счетно-аддитивна, хотя Ж и не является
а-алгеброй.
Пусть si — множество всех подмножеств (1, 2, ... },
и пусть Р — любая такая вероятностная мера на si, что
Р(п)=0 для всех ве{1, 2, ...}. Тогда si является а-
алгеброй, а мера Р не является счетно-аддитивной. Меры,
которые некоторому счетному множеству ставят в
соответствие вероятность 1, а любому одноэлементному
множеству ставят в соответствие вероятность 0, Дубине и Сэвидж
[1] называют рассеянными,*). Рассеянной является, па-
пример, равномерная мера на множестве натуральных
чисел, для которой Р(п)=0 при п = 1, 2, . . .,
а. Р({п, 2п, Зп, ...}) = 1/га для п = 1, 2, ...
Пусть si — семейство всех борелевских подмножеств
сегмента [0, 1], а Р — равномерная мера на si,
определенная равенствами Р( [а, Ь]) = Ъ — а при 0 :S а :£= Ъ :sg
^ 1. Эта мера Р является счетно-аддитивной мерой на
некоторой а-алгебре **).
Одно важное свойство счетно-аддитивных мер
описывается в следующей лемме.
Лемма 10.2. Если Р — счетно-аддитивная мера на si,
$ — не более чем счетное подмножество М, элементы
которого слабо упорядочены отношением включения сг,
и если U ie^, mo
А<=В
Р( U 4\ = sup{P(i4): 4е|}. (10.3)
*) Это не совсем удачно, так как среди таких мер встречаются
Л — 1-меры, сосредоточенные в отдельных точках компактифи-
кацип Стоуна —Чеха (см. упражнение б из главы 13). (Прим.
перев.)
**) Семейство sf- всех борелевских подмножеств сегмента '[0, 1]
является а-алгеброй, и на этой а-алгебре существует
единственная счетно аддитивная мера, удовлетворяющая указанным
равенствам. Эта мера продолжается до счетпо-аддитивной меры на
содержащей s4- а-алгебре измеримых но Лебегу множеств (см. Хал-
мош'[1], стр. 67—69.) (Прим. перев.)

§ J0.2] ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ 205
Доказательство. В случае, когда множество
9$конечно, утверждение очевидно. Предположим поэтому, что
$ счетно и его элементы занумерованы в последователь-
п
ности А], А2, А3, ... ПустьСп = U А-г. Тогда
г=1
Ci, g= C2 g= C3 g= ..., U 4 = [JCi,
sup{P(y4): A <=9S) = sup{P(C„): га=-1, 2, ...}.
Последнее равенство следует пз того, что для любого А^$
существует такое га, что Р(Сп) > Р{А), и для любого С„
существует такое А е J?, что Р(-4) ^ Р(Сп).
Пусть D\ = Ci nDj =Сг\Сг_1
(теоретико-множественная разность) для t = 2, 3, ... Следовательно, [J Dt =
п
= UCj,D,-nD7-=0Bcer,7a, когда s ф /, iiCn=^UA Тогда
Р U ^ = Р( U Z?il =
поскольку U А = U Dt
— V р(Е>.) = [согласно счетной аддитив-
i=l ' НОСТИ]
'' f XI 1 f110 0ПРе~
= sup JJj ^ (^0 : га = 1, 2, ... j = делению]
= sup{P(C„): га = 1,2,...}= [в силу
конечной аддитивности]
• = знр{Р(Л): ie^
Дискретные вероятностные меры.
Определение 10.6. Вероятностная мера Р на si
называется дискретной, если {,т} е .$$ для каждого х е
е X, семейство si является о-адгеброй, мера Р счетно-
аддитивпа и Р(А)= 1 для некоторого не более чем
счетного множества А е si.
Все простые меры являются дискретными. К
непростым дискретным мерам на множестве всех подмножеств
множества X = {0, 1, 2, ...'} относятся, например,
геометрические распределения (Р(п) = р{1 — р)п, 0 < р < 1)

206 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
и пуассоновские распределения (Р(п) = е~кК"/п\, Я > 0).
Следующая лемма подобна теореме 8.1.
Лемма 10.3. Если мера Р на s4< является дискретной,
то Р(х) =0 для всех, за исключением исчислимого
множества элементов х е X и
р(А)= 2 Р(х) для любого А^зФ- (Ю.4)
кед
Доказательство. Пусть А такое исчислимое
множество, что Р(А) = 1. Тогда Р(х) =0 для
каждого х е Ас, поскольку в противном случае было бы
P(A\J{x})^>1 для некоторого iei'. Согласно (10.2),
равенство (10.4) выполняется для любого счетного
множества А. Равенство (10.4) выполняется также и для
любого такого Cerf, что Р(С)—0, поскольку тогда
Р(х) = 0 для всех ieC. Пусть D — {х: х е X, Р(х) >
> 0}. Если P(D)<i 1, то из условия (10.4) для счетных
множеств следует, что Р(Л)<1 для каждого счетного
множества А &я£, а это противоречит определению 10.6.
Следовательно, P(D)—l. Но тогда Р(С)—0, если
Cr\D = 0.
Лемма 10.3 показывает, что дискретная мера
полностью определяется вероятностями Р(х)
одноэлементных множеств.
Условные вероятностные меры.
Определение 10.7. Если Р — вероятностная мера
на $£, A^s£ и Р(А)>0, то для меры Р ее условной
мерой относительно А называется обозначаемая через РА
функция на з£, определяемая следующим образом:
РА (В) = Р (В П А)]Р (А) для всех Bej*. (10.5)
Функция РА, если она корректно определена, является
вероятностной мерой на s£. При этом, если мера Р счетно
аддитивна, то и мера РА также счетно-аддитивна. Кпоме
того. Р«(А) =■ 1, Ра (В) = 1, если A s В <= si, и Р„ (В) =
= Р(В)/Р(А), если В<= А и В<=Ж. Если A, Bei,
Р(А)> 0 и Р(В)>0, то
Р(А)РА(В)=>Р(В)РВ(А) = Р(АГ\В).
Число РА(В) можно интерпретировать как
вероятность принадлежности реализующегося исхода множест-

g 10.3] МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ 20?
ву В при условии, что он будет принадлежать Л. Если
В[\А = 0, тоРА(£)=.0.
Если Р{А) > 0 и Р(ЛС) > 0, то
Р = Р{А)РА+Р{А°)РАС (10.6)
(заметим, что в правой части стоит выпуклая
комбинация) . Действительно, для любого В е s& мы имеем
Р(В) = Р(В(\(А[}А<)) = Р((В{)А)[)(В{)А°)) =
==Р(В{]А) + Р(В[)А°)^Р(А)Р(В[\А)/Р(А) +
+ Р (А') Р(В[\ А')1Р (А°) = Р (А) РА (В) + Р (Л<=) РАС (В).
В более общем случае, если Р{А)— 1 (где iei),
набор {Ль ..., Ап} является .^-разбиением множества А и
/== {г.Р(А<)>0},то
Р=2Р(А1)РАи (Ю.7)
поскольку для любого В е^ мы имеем
У,Р (At) РА.(В) =^Р (В ПА,) = [по (10.5)]
= 2lP(B(\At) = p[\J B[\At) =
= P (В [\A) = P (В П A) + P (В П A") = P (B).
[в силу конечной
аддивности
Равенство (10.7) выполняется также в случае, когда
мера Р счетно-аддитивна, 4е^, Р(Л)=1 и
последовательность {Ль Л 2, ...} является счетным ^-разбиением
множества Л, а / = {i: Р{А{) > 0}.
Определение 10.8. Множество 5я вероятностных
мер на М- называется замкнутым относительно
образования условных вероятностей, если
[Pe^iei, Р(Л)>0] =*-jPas^
§ 10.3. Математические ожидания
В этом параграфе дается точное определение
математического ожидания /?(/, Р) ограниченной вещественно-
значной функции / па X в соответствии с вероятностной

208 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
мерой Р на s&. В общем случае мы будем предполагать,
что функция / является .^-измеримой.
Определение 10.9. Функция / называется
^-измеримой, если / принимает на X вещественные значения и
{х: /(ж)е 1} 6Е s£ для любого интервала / S lie.
^-измеримые функции иногда называют случайными
величинами, однако этот термин принято относить скорее
к тем функциям / на X, для которых {х: f(x)^B} ei
при любом борелевском подмножестве В £= Re.
Чтобы определить математическое ожидание в общем
случае, начнем с простых .^-измеримых функций.
Определение 10.10. ^-измеримая функция /
называется простой, если множество {f{x): ieX} конечно.
Если функция / является простой и принимает п
различных значений с\, ..., с„, где f(x) = ct для всех х е А,,
то каждое At но определению 10.9 принадлежит s£, а
набор множеств {А\, ..., Ап} является разбиением X. Для
любой вероятностной меры Р на М- определим тогда
математическое ожидание Е (/, Р), положив
E{f,P)= 2М>(Л,). ■■ - (Ю.8)
г=1 - ■ . .
Простые ^-измеримые функции ограничены. Вообще
же .^-измеримая функция / называется ограниченной,
если существуют такие числа а и Ь, что а ^ f(x) ^ b для
всех iel В определении £(/, Р) для нроизвольной
ограниченной .^-измеримой функции / будет использовано
следующее определение.
Определение 10.11. Последовательность /i, /2, ...
простых .^-измеримых функций равномерно сходится
снизу к .^-измеримой функции /, если для всех ieX
1. /1(^)^/2^)^...;
2. f(x) = sup{fn(x): n— 1, 2, ...};
3. для любого е >» 0 существует такое натуральное
число п (которое может зависеть от е), что f(x) :<
^ fn{x)+ е.
Для любой ограниченной ^-измеримой функции /
существует некоторая последовательность простых
^-измеримых ф)ункций, равномерно сходящаяся к / снизу.
Действительно, если функция / является ^-измеримой и

g Ю.31 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ 209
X = {х: х 6Е X и a :g }(х) ;g Ь}, то положим
Ai,n= {х: а^}(х)^а-\-(Ь — и)/п},
At,n= {x: a+ (i-l)(b~a)/n<f(i) g
<S a -f i(b — a)/и}, ( = 2, . . ., n,
(10.9)
и зададим функции /„ с помощью равенств
fn(x) =a+(i— 1) (6—a)/rc для всех ie^i,„ i=l, • ••,«•
(10.10)
Каждое множество А,-, „ принадлежит ,я£ по определению
10.9, и, следовательно, каждая функция /„ является si-
измеримой и простой. Условия 1 и 2 определения 10.11
легко проверяются, а условие 3 выполняется при п 5s
=2(6-a)/e.
Определение 10.12. Если / — ограниченная
^-измеримая функция, а Р — вероятностная мера на s&, то
положим
E(f, Р) = sup{Z?(/„, Р): п = 1, 2, ...}, (10.11)
где /i, /9, ... — какая-либо последовательность простых
.^-измеримых функций, равномерно сходящаяся к /
снизу.
Следующая лемма показывает, что это определение
математического ожидания Е (]\ Р) является
корректным.
Лемма 10.4. Если /i, /2, . • • и g\, g2, ...— две
последовательности простых, ^-измеримых функций,
которые равномерно сходятся снизу к некоторой
ограниченной si-измеримой функции f, то супремум
sup {E(fn, Р): п — 1, 2, . . .'} конечен и
sup {£(/„, Р):, в=1, 2,...} =sup {£(&,, Р): га=1, 2, ...}.
(10.12)
Доказательство. Конечность супремума
обеспечивается огратшчептюстыо функции /. Чтобы доказать
равенство (10.12), предположим, что, вопреки ему,
sup{£(/„, Р): п= 1, 2, ...}< sup {£(#„, Р): п = 1, 2, ...}.
14 п. Фишберн

210 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР .. [ГЛ. 10
Тогда существуют такое е > 0 и такое натуральное число
т, что
E(fn, Р) + г < E{gm, Р) для п = 1, 2, ... (10.13)
По условию 3 определения 10.11 существует такое к, что
/(#) 2§ /»(#)+ s для всех з;е! и, следовательно,
E(h, Р) :5£ £(/л + е, Р) для каждой простой ^-измеримой
функции h, для которой h(x)^f(x) при всех а; е X.
В частности,
£(gm, Р) 5S £(/» + е, Р) = E(fk, P) -f е,
что противоречит неравенству (10.13).
Математическое ожидание E(f, PA) для корректно
определенной условной вероятностной меры РА определяется
так же, как и выше, поскольку РА является
вероятностной мерой на si.
Сравнение конечной аддитивности и счетной
аддитивности. В случае, когда Р — счетно-аддитивная мера на
а-алгебре si, условие 3 о равномерной сходимости в
определении 10.11 является излишним для определения
£(/, Р). Однако равпомерпая сходимость требуется в
случае, когда счетная аддитивность не предполагается.
Следующий пример поясняет, что именно приводит к
нарушению соотношения (10.3) для рассеянных мер.
Пусть X— {0, 1, 2, ...}, ^ — множество (а-алгебра)
всех подмножеств X, Р — такая произвольная
вероятностная мера на si, что Р(х) =0 для всех xel. Возьмем
f(x) = а;/(1 -f- x) для всех iel
Поскольку 0^/(ж)<1 на X, мы можем в (10.9) и
(10.10) положить a='0i 6 = li получим тогда
п
E(fn,P)=I> l(t - 1)/"] Р (Ai.n) = (в - 1)/л
i=l
для п — 1, 2, ...,
так как для всех i •< п множества Ati „ конечны и,
следовательно, Р(Лг,п)= 0 для всех i <. п ъ силу конечной
аддитивности. Поскольку функции /i, /2, ... равномерно
сходятся снизу к /, должно быть E(f, Р) = 1.
Рассмотрим теперь некоторую последовательность
ёи g2i • • •, которая сходится к / снизу, по не равномерно

§ 10.4] АКСИОМЫ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 211
Пусть, например,
В,.я= [0, l/n]U((«-l)/«, 1),
Bt, „ = ((г — 1)/га, г'/га] для г = 2, ..., п — 1,
и зададим gn, положив*)
gn (ж) = inf Bit „ всегда, как
только f(x) е Z?,-, в, I = 1, ..., и — 1.
Условия 1 и 2 определения 10.11 для этих gu g%,
выполняются. Однако здесь
1. sup{£(gn, Р): га = 1, 2, ...} ¥=£(/, Р), так как
E(gn,P)^0;
2. отсутствует равномерная сходимость, так как для
каждого п существуют значения х, для которых разность
f(x) — gv. (х) сколь угодно близка к 1;
3. соотношение (10.3) из леммы 10.2 неприемлемо,
так как для
3S = {{х: 0 ^ f(x) ^ с}: 0 ^ с < 1}
получим
Р( U А\ = Р(Х) = 1,
но suj){P(A): Ле^}=0.
§ 10.4. Аксиомы предпочтения и ограниченные
полезности
Поскольку в последующих теоремах будет
использовано много различных условий, мы приведем сначала
сводку большинства этих условий. Во всех случаях s£
является некоторой булевой алгеброй на множестве X,
к & — некоторым множеством вероятностных мер на si-.
Мы не будем делать различия в обозначениях между
элементом а;еХи вырожденной мерой, которая элементу х
приписывает вероятность 1. Если па 3* определено
отношение -<, то при Р(х) = Q{y)= 1 должно быть х-<у-<=*~
■*=> Р -<Q. Аналогичный смысл имеют соотношения х-<Р,
*) Для i = 2,..., п—1 здесь, очевидно, Ain — {x:f(x) e.Bs,n)
(Прим. перев.)
14*

212 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МБР [ГЛ. 10
х~^Р и т. д. Как обычно, мы полагаем Р =^Q <=> (Р -< (?V
VQ~P) iP~^(/><Q/\Q<P).
Перечислим сначала некоторые первичные
«структурные» условия.
51. {х} е s4- для каждого геХ.
52. {х: х <= X, х ~< у} <= зФ и {х: х<=Х, y<x)<=s&
для любого j/eI.
53. Каждая вырожденная вероятностная мера
принадлежит SP.
54. Множество & замкнуто относительно счетных
выпуклых комбинаций (см. определение 10.4).
55. Множество 3* замкнуто относительно образования
условных вероятных мер (см. определение 10.8).
Условия 51 и 53 дают нам возможность определить
функцию полезности на множестве X, а условие 52,
которое очень напоминает некоторые топологические
аксиомы из предшествующих глав (см. теоремы 3.5 и 5.5),
обеспечивает ^-измеримость функции и на X. В данном
контексте si- могло бы быть семейством всех подмножеств
X (т. е. дискретной топологией на X), и тогда никаких
проблем не возникало бы. На худой конец, мы могли бы
позволить себе отказаться от счетной аддитивности. Но,
с другой стороны, использование дискретной топологии,
последствием которого в общем случае является
несвязность пространства (X, <Г"), оказало бы разрушительное
воздействие на прежнюю теорию.
Сформулированные далее аксиомы предпочтения (в
дополнение к 52) объединяют три условия из главы 8
вместе с тремя версиями некоторого рода аксиомы
доминирования. Подразумевается, что эти условия применимы
ко всем Р, О, R e SP, A e s& и х, у, z e X.
А1. Отношение -< на SP является слабым
упорядочением.
А2. (Р~<0, 0<ос<1)=*-аР+(1—а)Я -< а<? + (1-а)Д.
A3. (Р-<0, Q^R)^aP + (i — a)R-<Q и Q-K8P +
+ (1 — $)R для некоторых а, [} е(0, 1).
Л4а. (Р{А) = 1, 0<х для всех х<=А)=>О^Р,
(Р(А) = 1, x-<R для всех iei) =*- Р =^ Д.
ААЪ. (Р(А) = 1, у =^ х для всех х е А) =ф- г/=< Р,
(Р(А)= 1, x^z для всех ,г <= Л) =*- РЦz.
/14с {Р(А) = 1, у<х для всех х е А) => у =^ Р,
(Р{А) — \, .х -< г Зля всех ге4) =>• Р =3; z.

§ 10.4] АКСИОМЫ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 213
Последние три условия являются слабыми вариантами
следующего перевода на нашу терминологию условия Р1
Сэвиджа [1] (стр. 77):
(Р(4) = 1, Q=^x для всех ге4)=* Q=^P,
(Р(А)=Л, x=^R для всех xei)*^/?.
Аксиома 44а является более слабой (т. е. требует
меньше), чем это условие, так как в условии аксиомы
отношение =^ заменено на более частное отношение -<. По той
же причине аксиома 44с является более слабой, чем 44Ь.
Аксиома 44Ь является более слабой, чем перевод условия
Р7, поскольку она касается отчасти только вырожденных
мер. При условии S3 (перевод Р7)=*-(44а, 44Ь, 44с),
44а=^44с и 44Ь=>44с. Аксиома 44а, вообще говоря,
не следует из 44Ь, как это можно будет усмотреть из
доказательства теоремы 10.2 в следующем параграфе.
Однако, если выполнены остальные сформулированные
выше условия Si — A3 и каждая мера Ре^1 является
счетно-аддитивной, имеет место импликация 44Ь =*- 44а:
это легко получается из теоремы 10.3. 44a=^44b при
условиях Si — S3.
Условия 44а, 44Ь и 44с о доминировании или о
достоверных альтернативах, в общем, представляются
разумными, хотя условие 44Ь может быть подвергнуто
критике в случае, когда отношение безразличия не является
транзитивным.
Ограниченные полезности исходов. Первый результат,
опирающийся па эти новые условия доминирования,
использует слабейшее из условий 44а, 44Ь и ААс.
Из теоремы 8.4 нам известно, что соотношения (10.14)
и (10.15) следуют из 41, 42, A3 и Si.
Лемма 10.5. Предположим, что существует вещест-
вепнозначная функция и па £Р, для которой
P-<Qou(P)<u(Q) для всех Р, Q<^SP, (10.14)
и(аР + (1 —а)0)= au(P) + (i — a)u(Q)
для всех (а, Р, <?)е=[0, 1] X Э*\ (10.15)
и предполооюим, что выполнены условия S\, S3, SA и 44с.
Тогда функция и на множестве X, определенная
равенствами и(х) = и(Р) для Р(х) =='1, является ограниченной.

214 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
Доказательство. Предположим, что при этих
условиях функция и неограниченна сверху. Тогда
существует такая последовательность хи х2, • • •. что и(х{)^2'
со
для i = 1, 2, ... По Si, 2 2"Лп+г е= & для п = О, 1,2, ...
Пользуясь легко получаемым обобщением формулы
(10.15), мы получим
/ ею \ П / °° \
и 2 2-1*, = 2 rtfo) + 2~пи 2 2~гхп+г ,
\г=1 / г=1 \г=1 /
откуда следует, что
и [ .2 2~^ j ^ я + 2~пи { 2 2-^n+t j,
так как 1г(ж()^2!. Существует такой элемент jeI, что
у -<Xi для всех i, превосходящих некоторое число т, и из
■-о
Л4с следует, что г/=^ 2 2~гжп+г для каждого/г ^ т. Тогда
t=i
из (10.14) вытекало бы, что
и ( 2 T~Kxi J ig n + 2_nu (г/) для и = те + 1, те + 2, ...
Но этого не может быть ввиду конечности числа
и ( .2 2 ж,- I. Ограниченность снизу устанавливается с
помощью симметричных рассуждений.
§ 10.5. Теоремы
Согласно теореме 8.4, из условий каждой из
сформулированных в этом параграфе теорем будет следовать
существование вещественнозначной функции и на &,
удовлетворяющей (10.14) и (10.15) и единственной с
точностью до положительного линейного преобразования.
Как показано в лемме 10.5, функция и па X ограничена.
Остаётся открытым вопрос о том, будет ли и(Р) — Е(и,Р)
для всех Ре?, что верно тогда и только тогда, когда
на X существует такая вещеотвеннозначная функция и>

§ 10.5]
ТЕОРЕМЫ
215
что
P-<Q^E{u, Р)<Е(и, Q) для всех Р, Q<=3>. (10.16)
В следующих теоремах предполагается, что функция и
удовлетворяет условиям (10.14) и (10.15). Эти теоремы
указывают для различных множеств 2Р слабейшее из
условий 44а, 44Ь и 44с, которое будет давать (10.16).
При этом символ ^означает, что импликация может быть
опровергнута. Через Н обозначена конъюнкция
утверждений 51, 52, 53, 54, 55, 41, 42, 43.
Теорема 10.1. (Я, 44а) =*- (10.16).
Теорема 10.2. (Я, АЩФ (10.16).
Теорема 10.3. (Я, 44b, каждая мера Ре?1 счетно-
аддитивна)^- (10.16).
Теорема 10.4. (Я, 44с, каждая мера Р^.0* счетно^
аддитивна, х-<у для некоторых х, у е I) 5Ф (10.16).
Теорема 10.5. (Я, 44с, каждая мера Ре^
дискретна, х ~(. у для некоторых х, уеХ)* (10.16).
Теорема 10.6. (Я, 44с, каждая мера Ре^
дискретна) ф (10.16).
Три «положительные» теоремы, именно теоремы 10.1,
10.3 и 10.5, будут доказаны в следующем параграфе.
Доказательства же трех «отрицательных» теорем приводятся
в этом параграфе и состоят в указании конкретных
случаев, когда выполняются условия этих теорем, но не
выполняется условие (10.16). Эти доказательства
иллюстрируют некоторые из различий между мерами, которые не
являются счетно-аддитивными, и мерами, которые
являются таковыми, а также — между счетно-аддитивными
мерами, которые не являются дискретными, и дискретпыми
мерами.
Доказательство теоремы 10.2. Пусть X =
= {0,1,2,...} и и(х) = х/(1 -\-х) для всех х ее X.
Обозначим через ^ множество всех вероятностных мер на
алгебре всех подмножеств множества X и определим
функцию и на ^*, положив
и(Р) =*Е(и,Р) +ini{P(u(x) ^ 1-е): 0<е ^ 1}.
Здесь выражение Р(и(х)=^ 1 — е) является
общепринятым сокращением выражения Р({х: и(х)Щ.1 — е}).
Определим па SP отношение -<, положив Р -<Q <=> и(Р) •<
<.u{Q); оно удовлетворяет тем самым условию (10.Н).

216 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР (ГЛ. 10
Согласно упражнениям 6 — 8 и 18, выполняется также и
условие (10.15), так как
и{аР+ (1-а)<?) =
= Е(и, аР + (1 - a)Q) + inf {аР(а(х) ^ 1 - е) +
+ (i — a)Q{u{x) ^ 1 — е): 0 < е g 1} =
= аЕ(и,Р) + (1 — а)Е(и, (?) + aint{P{u(x) ^ 1-е):
0<е^1} + (1-«) mi{Q{u(x)^[~E): 0<egl} =
= aa{P) + (l-a)u(Q)«
Соблюдение множества условий II следует тогда из
теоремы 8.4. Справедливость условия л4Ь
устанавливается следующим образом: если Р(Л)= 1 и у^,х для всех
ж ел, то u(y)t=su(P), так как и(у)^Е(и, Р); если
Р(А)= 1 и х^ z для всех ж ел, то гг(Р) :g w(z), так как
m(z) < 1 — е для некоторого е > 0, и, следовательно,
Ы{Р{и(х)Ш 1-е): 0< eg 1} = 0.
Пусть Р — рассеянная мера, т. е. Р(х)=0 для всех
iel Тогда и(Р) — 1 + 1 = 2, так как
Ы{Р{и(х)^ 1 —е): 0< eg 1} = 1.
Таким образом, и(Р) ф Е(и, Р).
Доказательство теоремы 10.4. Пусть X =
= [0, 1] и s4- — множество всех борелевских подмножеств
сегмента [0,1]. Определим SP как множество всех счетпо-
аддитнвпых мер на s4-. Положим и(х) = — 1, если ж<1/2,
и и(х) = 1, если а; 3: 1/2. Пусть
и(Р)= % и(х)Р{х) для всех ?е^. (10.17)
Функция и является корректно определенной на &, так
как Р(х) > 0 для не более чем счетного числа точек же
е! Положим P-<Q^>il(P)< u(Q). Тогда (10.15)
легко следует из (10.17). Все условия из множества Н
выполнены, п условие л4с справедливо, так как:
1) (Р(А) = 1, у ~< х для всех х е= л) =^ л £= [1/2, 1],
;/ е [0, 1/2), следовательно, — 1 = и(у) < 0 ^ и(Р);
2) (Р(Л) = 1, х -< z для псех ж е= Л) =>■ А Е [0, 1/2),
z <= [1/2, 1], следовательно, и{Р) g0< m(z) = 1.

§ 10.5] ТЕОРЕМЫ 217
Однако, если Q — равномерная мера на [1/2, 1], то
0 = u{Q)¥=E(u, Q)='i.
Доказательство теоремы 10.6. Пусть X =>
= {1, 2, ...}, s4- — множество всех подмножеств X ж 9* —
множество всех дискретных вероятностных мер на st-.
Определим множество 2Г подмножеств множества f/, положив
'S = {9: 9 S 9; если принадлежащие 9
меры Pi, ..., Р„, Q\, ..., Qm попарно различны
п т
и если ее, ^ 0, р^Ои 2 «г = 2Р; = 1,
1 1
п т
то 2 <*iPi ¥=■ 2j PjCj'» ^ содержит все вырожденные меры}.
1 1
Простая мера может принадлежать множеству 9 е= S?
только в случае, когда она является вырожденной. Для
любого 9 е S принадлежащие 9 меры являются
независимыми относительно конечных выпуклых комбинаций.
Максимальное независимое подмножество — это такое
множество 9* <= &, что ни для какого 9 е= 'S не вкпол-
гшется строгое включение 9* сг 9, и если Ре^и РФ 9*,
то существуют такие положительные числа <х\,..., а„, fii,...
. .., fL, для которых^ja( =2Pj ='1, и такие различные
меры Р2, . . ., Р,„ Qu ..., Qme= 9*, что
n m
а,Р+ 2а£Р£= 2Р;<?; (я^1, mgrl). (10.18)
г=2 /=1
Пользуясь леммой Цорна (см. § 2.3), легко показать, что
множество 'S содержит некоторый максимальный элемент
9*. Можно также показать, что каждая мера Р Ф 9*
имеет по существу единственное представление вида (10.18).
Если функция и определена на мерах, принадлежащих
9'*, то ее линейное продолжение па все множество 9*
определяется с помощью (10.18) следующим образом:
и(Р)
т п
;="! г=2
«1
Чтобы установить теорему 10.16, положим и(х)=0
для всех ieX и и(Р)— 1 для каждой меры Р^9*,

218 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР (ГЛ. 10
которая не является простой. Определенную таким
образом на 9°* функцию и продолжим линейно с помощью
(10.18) на все множество 9" и положим Р -Ч Q -*> и(Р) <
< u(Q). Понятно, что тогда выполняются все условия из
множества Н, а условие 44с выполняется по той простои
причине, что пи для каких х, уеХ не имеет места
соотношение х -i у. Таким образом, все условия теоремы
10.6 выполнены, но (10.16), очевидно, неверно.
Некоторая модификация этого примера показывает,
что условие /44с не может быть вычеркпуто из
предположений теоремы 10.5. Положим и(х) = х для каягдого
же {1, 2, ...} и и(Р)=0 для каждой меры Ре?"*, не
являющейся простой, и с помощью (10.18) продолжим
функцию и линейно на все множество 9>. Определим
отношение -<, положив Р -<Q -<=>- и(Р) < u(Q). Если
yiR + 2 Yifli = 2 bjSj,
г—2 j= 1
то для Р, такого же как в (10.18), мы получим
ц(обР + (1-а)Д)= сш(Р) + (1 — об)и(Д).
т. е. справедливо условие (10.15). Кроме того, х~<у для
некоторых ж, у <= X. Однако функция и на множестве X
неограничена, и, следовательно, по лемме 10.5 условие
Л 4с не должно соблюдаться. Очевидно, что условие (10.16)
здесь пе выполняется, так как в противном случае мы
могли бы построить меру Р, ожидаемая полезность
которой бесконечна*).
§ 10.6. Доказательства теорем 10.1, 10.3 и 10.5
Доказательство теоремы 10.1. Предположим,
что выполняются условия Н и 44а. Пусть функция и на
множестве 9* удовлетворяет условиям (10.14) и (10.15), и
определим функцию и на множестве X так же, как и в
*) Легко построить такую дискретную меру Р, для которой
оо
Е (и, Р) = 2М (х) р (х) = 2 пР (") ~ °°.следовательно, Е(и, Р) ф
ф и(Р) < оо. (Прим. перев.)

§ 10.6] ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ 10.1, 10.3 И 10.5 219
лемме 10.5. Функция и ограничена на. X. Покажем
сначала, что
P(A) = l^ini{u(x): x<=A}<,u{P)^:S\\p{u(x): x~A}.
(10.19)
Обозначим в формуле (10.19) инфимум и супремум
соответственно через с и d. Предположим, что d •< и{Р)
в противоречие с (10.19). Тогда из (10.15) следует, что
для любого iei существует такая выпуклая
комбинация R = аР -\- (1 — а) ж, что d -< и (R) < и(Р).
Следовательно, по (10.14) x-<R для всех ге4 и по Л4а
должно быть Р=^В. Это противоречит, однако,
неравенству u(R)<C и(Р). Следовательно, неравенство d < u>(P)
неверно. Невозможность неравенства и (Р) < с
проверяется с помощью другой части условия Л 4а. Таким
образом, формула (10.19) справедлива.
Пусть
а = inf {и(х): х е X}, Ъ = sup {и (х): геХ},
и множества Л,-,п определены формулами (10.9). Для.
Ре^1 пусть
. /г* = {г: * е= {1, ..., п), Р(Л,- „) > 0}.
Тогда по Я и (10.7) Р = 2 Ра, Р Мг.п) и тем самым
и* '
U(P)-2^(PA,„)P(An)
согласно (10.15). Следовательно, по (10.9) и (10.19)
2 [а + (г - 1) (й - я)/тг] Р (Л|,п) ^ и (Р) ^
п*
^2[fl + i(b-e)/n]^(An). (Ю-20)
п*
Поскольку функция и- является ограниченной и
^-измеримой, а функции /i, /2, ..., определенные равенствами
(10.10), равномерно сходятся к и снизу, согласно
определению 10.12, должно быть
Е(и, Р) = зирШя+(*-1)(Ь-а)/п] Р(Л1>П): в=1, 2,.. Д.

220 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
Поскольку разность между двумя суммами в (10.20),
равная (Ь — а)/п, стремится к 0 с увеличением п, и(Р)~
= Е(и, Р).
Доказательство теоремы 10.3. Пусть
соблюдаются условия Н и 44Ь, а каждая мора ?е^ счетно-
аддитивна. Нам нужно проверить формулу (10.19) для
такой же, как в предыдущем доказательстве, функции и.
Тогда равенство и(Р) = Е(и, Р) будет следовать из
второй части доказательства теоремы 10.1.
Пусть
Р(А) = 1, с = inf {и(х): х<=А],
d = sup{b(;e) : х <= А}.
Если {и(х): х е А} = {с, d}, то (10.19) следует из /14Ь
и (10.14). Предположим поэтому, чго c<Cu(w)<id для
некоторого фиксированного юеЛ, и пусть
Аа={х: xesA, x<w), &\={Q: Q<^@, Q(Aw)=i),
Aw == {x: xesA,w^x}, ЗРШ = {Q: Q^SP, Q(AW) == 1}.
(10.21)
Тогда A=AW\JAW, причем Aw ф 0иAw ф 0. Пусть
В = {х: ieX, x~< w}, так что по 52 будет В <=зФ.
Тогда Aw <= s£, так как Aw = А \) В = [Ас \ > Вс]с. Аналогично,
Aw^.s4-. По (10.7) и 55 мераР является тогда выпуклой
комбинацией некоторой меры, принадлежащей ^„, и
некоторой меры, принадлежащей 2f"°. Из (10.15) следует, что
формула (10.19) будет справедлива для всех Р, если она
справедлива для каждой меры, принадлежащей
множеству 9\\jiPw.
Чтобы проворить, что Q <= SPW =*- с :£! u(Q) Ss d,
заметим сначала, что неравенства
с <Lu(Q) для каждой меры (; е SPW (10.22)
следуют из неравенства с<ы(ш), условий 44Ь, (10.14)
и определения (10.21). Из (10.22) и некоторых
рассуждений, подобных тем, которые были использованы в
доказательстве леммы 10.5, следует, что функция и па
множестве 2PW ограничена сверху. Таким образом, пусть М
такое число, что
с ^ и (Q) ^ М для всех Q е= 9*. (10.23)

§ 10.6] ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ ЮЛ, 10.3 И 10.5 221
Если и(х) = d для некоторого а; е Ат, то по А4Ъ и (10.14)
u(Q)^d для всех Q^l?w; тем самым в этом случае
с 2S u(Q)^ d. Наоборот, предиоложим, что и(х) < d для
всех х е /Iм, и положим для е > 0
Л(е)=-{х: x(^Aw, u(x)<Cd —г},
В(е)={х: x^Aw, d-s^u(x)}.
Тогда -4(e)[J B(e)=Aw и множество {A(s): s > 0}
слабо упорядочено отношением с:; поэтому, из (10.3) и
леммы 10.2 следует, что для произвольной меры Q е £Рт
sup {Q(A(s)): s > 0} = 1. (10.24)
Если Q(A(e))= 1 для некоторого е > 0, то u(Q)<C d no
(10.14) и Л4Ь. С другой стороны, если Q(A(e)) <i 1 для
всех е > 0, то для достаточно малых е, обозначив
соответственно через Qa(?) и Qb(^ условные меры
вероятностной меры Q относительно .4(e) и В(е), мы получим из
(10.15) и (10.7), что
u(Q)= Q{A{e))u(Q*(t))+Q{B(E))u(QBW).
Приняв во внимание (10.23) и то, что QA{e)(A(e))=3= 1,
мы получим
и(<?) <Q(A(e))d+[l-Q(A(R))]M
для всех достаточно малых е >• 0. Неравенство u(Q)^ d
следует тогда из (10.24). Таким образом, (?е#"=>с£
5£и(0 5S d. Аналогичные рассуждения показывают,что
Q <=&„=>* с ^u(Q)^d.
Доказательство теоремы 10.5. Пусть
выполняются условия теоремы 10.5. Поскольку предполагается,
что каждая мера Ре# является дискретной, s4- является
0-алгеброн. Если
а = inf {и(х): х е= А*}, Ь = sup{n(a:): х е X],
то я < S, так как для некоторых х, у е X должно быть
х -< у. Мы докажем сначала, что функция и на
множестве й3 является ограниченной.

222 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
Если q < u(w) < & для некоторого w е X, то
ограниченность и на 9* следует из рассуждений, апалогичпых
тем, которые указаны в предыдущем доказательстве и
опираются там на неравенства (10.22). Поэтому мы будем в
этом абзаце предполагать, что {и(х): х^Х}=<{а, Ь).
Пусть
&>а=>{Р: Pg^, Р(и(х) = а) = 1),
9b = {Р: Рев&, Р(и(х)=Ь)^1}.
Тогда каждая мера Р ^£Р является выпуклой
комбинацией меры из 2Ра и меры из £РЬ. В силу условия (10.15),
функция и является ограниченной на £Р, если она
ограничена на ^aU^V В случае множества £РЪ применимы
рассуждения, аналогичные тем, которые используют
(10.22), так как по 44с и (10.14) а^и(Р) для всех
Р е 9Ь. Аналогичные рассуждения показывают, что
функция и на &а ограничена.
Если Р — простая мера, то равенство и(Р) — Е(и, Р)
следует из (10.15). Если мера Р не является простой и
А = {х: Р(х)^>0}, то, как показано в лемме 10.3,
2j Р' (х) = 1.При условии, что элементы множества А
еА
оо
перенумерованы как х\, х2, . .., Р = 2 Р (xt) xi- ■ Поэто-
i=l
му, пользуясь обобщением (10.15) на конечные выпуклые
комбинации, мы получим для п = 1, 2, ...
u(P)^IlP(xi)u(xi) +
+
(xi)iu[
2 Р (*»)!«! ЯРЫ
п+1 J \п+1
2>РЫ
п+1
—1
{10.25)
Далее, согласпо упражнению 20а, должно быть
E(u,P) = j^P(xl)E(u,xi) +
a-
оо
2 l-'(Xi)
та rl
1 °°
Е U, ^ Р (.*;)
V п+1
оо
2р(*«)
.п+1
(10.26)

§ Ю.7]
РЕЗЮМЕ
223
для re—1, 2, ... Поскольку Е(и, Хг)=<и(хг), из (10.25)
и (10.26) следует, что
и(Р) = Е(и,Р) +
п+1
» 2
.n+l
■я|«, 2
я+1
. Ж; —
(10.27)
Поскольку функция в ограпичена на £Р, а математическое
ожидание Е(и, Р) является ограниченным на 53, когда
со
функция и ограничена на X, и поскольку 2 Р (хд стре-
п+1
мится к 0 с увеличением п, второй член в правой части
формулы (10.27) стремится к 0 с увеличением п и,
следовательно, должен быть равен нулю для всех п.
Поэтому в (Р)=Д (и, Р).
§ 10.7. Резюме
Для множеств вероятностных мер, которые содержат
меры, не являющиеся простыми, результат о
представлении слабого упорядочения с помощью ожидаемой
полезности, Р ■< Q <=> Е(и, Р)<сЕ(и, Q), справедлив в тех
случаях, когда предполагаются подходящие аксиомы
доминирования. Основная идея таких аксиом состоит в том,
что если мера Р предпочитается каждому исходу,
принадлежащему такому множеству, которому мера Q ставит в
соответствие вероятность 1, то мера Q не будет
предпочитаться мере Р; и если каждый исход, принадлежащий
множеству, которому мера Q ставит в соответствие
вероятность 1, предпочитается мере Р, то мера Р не
будет предпочитаться мере О. Это — условие Л4а из
§ Ю.4.
В случае, когда все рассматриваемые меры являются
счетно-аддитивными, для получения этого результата об
ожидаемой полезности оказывается достаточной
некоторая «более слабая» форма аксиомы доминирования в
сочетании с условиями на предпочтение из главы 8 и
несколькими структурными условиями на множество мер
И булеву алгебру, на которой эти меры определены.

224 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
Упражнения
Указатель. 1. Счетные суммы. 2, 3. Булевы алгебры. 4. Счетные
объединения. 5. о-алгебра. 6 — ! 1. Инфнмумы и супремумы. 12 —
15. Счетная аддитивность. 16. Равпоморная сходимость сверху.
17. Математические ожидания сумм. 18, 19. Математические
ожидания для выпуклых комбинаций мер. 20. Условные ожидания. 21.
Математические ожидания, являющиеся суммами. 22 — 24.
Доминирование и математические ожидания. 25. 52. 26. Нарушение
условия ААа. 27, 28. Доказательство теоремы 10.6. 29. Теорема Блеку-
элла — Гиршика.
п
1. Доказать, что 2 2"~' = 1 — 2~п, заметив, что
7 = 1
(п \ п
S r_i - 2 2~* = 1 - 2-™.
,i=l / i=l
' Показать также, что если 0 < р < 1, то
оо
2р(1-рГ' = 1.
п=1
2. Показать, что j^ является булевой алгеброй тогда и только
тогда, когда si- является непустым множеством подмпожеств
множества X, удовлетворяющим условиям 2 и 3 определения 10.1.
3. Пусть Ж — множество всех таких подмножеств множества
{1, 2, ...}, которые либо конечны, либо содержат все, за
исключением конечного множества, натуральные числа. Показать, что Ж —
булева алгебра, порожденная множеством {{1}, {2}, „..}.
оо
4. Определить множество \J At = \х : X е А1 ддя некоторого
г}, когда
a) Аг = 0;
b) Аг = {—i, i};
c) At = (1/(1 + 0. 1/0 sRe;
d) А{ ='[l/i,2-l/i] sRe.
5. Описать а-алгебру, порожденную множеством {{ж}: х е Re).
6*. Пусть R — ограниченное множество вещественных чисел.
Доказать, что
a) sup R = — inf {г: -геЛ);
b) sup {аг: r^R} = a sup /?, если a Jg 0;
c) sup{ar: re Л} = а inf Л, если а ^ 0;
d) inf {аг: re/?} = а inf /?, если а ^ 0;
e) inf {аг: гей} = а sup /?, если а 5S 0.
7. При условии, что Л и 5 являются ограниченными
множествами чисел, доказать, что
sup {г + s: re R, s e 5} = sup/7 + sup S.
Пользуясь этим, доказать лемму 10.1.

УПРАЖНЕНИЯ
225
8 (продолжение). Доказать, что
sup{af + p;: i = 1, 2, ...} =
= supfa*: i— 1,2, ...} + sup^: i — 1, 2, ...},
когда ai, аг, ... и plt P2, ... являются ограниченными сверху
неубывающими последовательностями вещественных чисел. Обобщить
этот результат на случай га неубывающих ограниченных
последовательностей.
9* (продолжение). Предположим, что <Xj S: 0 для всех /, ■
каждого / (/ =1, 2, ...) последовательность р)3-, p2j, ■ • • является
неубывающей ограниченной последовательностью неотрицательных
чисел. Пользуясь (10.1), доказать, что
горЦа^: . = 1,2, ... = У>у[8ир{р\.: * = 1,2,...}].
u-i ) y=i
10* (продолжение). При таких же, как в предыдущем
упражнении, числах 0Cj предположим, что для каждого /
последовательность Yu't T2J1 • • • является невозрастающей
последовательностью неотрицательных вещественных чисел. Доказать, что
{оо 1 °°
S¥i;; ' = 1.2,... =S«y[inf{Vj/: г = 1,2,...}]. .
J=l J 3=1
11. Пусть Pi, P2, ... — последовательность вероятностных мер
на множество всех подмножеств множества X, at S: 0 для всех i,
00
причем Т] а. = 1, и для любой вероятностной меры Р и веще-
i=i
ственнозначной функции и на X положим, по определению
lim Р (к (х) J> г — е) = inl /Р ({х : к (я) >_ г — е;.}) : / = 1,2,...},
Е->-0 "
где 8i > 82 > ... и inf {е,-: / = 1, 2, ...} = 0.
Пользуясь результатом предыдущего упражнения показать,
что для любого вещественного числа г
lim 2 a.P. (u(x)>r— е) = 2 aj [Hm P. (u (х) > г-в)].
е-0 j=i — г=1 е-*0 ~
12. Пусть мера Р определена на булевой алгебре М из
упражнения 3 на основе равенства Р(га) = 2~п для и = 1, 2, ... Доказать,
что мера Р счетно-аддитивна.
13*. Воспользовавшись утверждением упражнения 9, показать,
что если Р< — счетно-аддитивная вероятностная мера на £Ф для
15 П. Фишберя

226 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
ft*
i = 1, 2, ..., ocj ^ 0 и 2 ai "= 1» то счетная выпуклая комбинация
г=1
с..Рг является счетно-аддитивной вероятпостной мерой на si-.
г=1
1-5. Доказать, что если Р — счетно-аддитивная мера на sf, 3S —
счетное подмножество st, слабо упорядоченпое отношением с, и
П Ле^, тоР( П A\=mi{P{A):A^9S).
Замечание. В следующих ниже упражнениях, начиная с 15
и по 24, через $!■ обозначается некоторая булева алгебра на X,
через /, g, ... — ограниченные ^-измеримые функции и через Р,
Q, .. ■ — вороятпостные меры на ■&.
15*. Если мера Р счетно-аддитивна, показать, что тогда E(f, P)
однозначно определяется равенством (10.11), в котором /i, fa, ...—
последовательность ^-измеримых простых функций,
удовлетворяющая условиям 1 и 2 определения 10.11. 1
16*. Последовательность gb gt, ... простых .^-измеримых
функций называется равномерно сходящейся к функции / сверху, если,
для всех х е X
1. В\(х) ^ g2(x) =?...;
2. l(x).= inf{g,(x): i=l, 2, ...};
3. s > 0 =ф- gn (x) S f(x) + 8 для некоторого п (и всех х).
Показать, что если последовательность fu fa, ...
(соответственно gu gi, ...) равномерно сходится снизу (соответственно сверху)
к функции /, то
sup {£(/„, Р): л = 1,2,...} =ini{£(£„, P):n= 1,2,...}.
17*. Для вещественного числа с обозначим через /+ с функцию
на X, которая принимает значение f(x) + с в каждой точке #еЯ,
и через с/ —функцию, которая принимает значение cj(x) в
каждой точке х е X; обозначим, кроме того, через / + g функцию,
которая принимает в х значение /(х) + g{x). Доказать, что
a) E(f + c,P) = E(f,P)+c;
b) E(f + g,P) = E(f,P)+E(g,P);
c) E(cf, P) =cE(f. P).
18*. Показать, что если a e'[0i 1], то
E(f, aP+ (l-a)<?) =aE(f, P) + (l-a)E(f, Q), (10.28) .
и затем обобщить это на случай выпуклой комбинации п мер:
\ i=l / i = l
19* (продолжение). Предполагая, что a; Jg 0 для i — 1,
CD
2, ..., сумма 2 aj конечна и Ъи Ъ2, ... — ограниченная послодо-
г-1
2

УПРАЖНЕНИЯ
227
вательность чисел, определим 2 а$Ь$с помощью (10.1), положив
i=l
оо оо оо
г=1 г—l г=1
где с такое число, что 6, + с & 0 для всех i. Показать, что зиаче-
k °°
ние j2aj^i является корректно определенным. Затем, пользу-
U-1
ясь этим определением, а также упражнениями 17а и 9, показать,
что если й|^0 для всех i и 2j «i = 1, то
/ оо \ оо
E[f'I,aiPl) = I,aiE(t'pt)- (Ю.29)
\ г=1 / 1=1
20*. Воспользовавшись результатами двух предшествующих
упражнений, вместе с (10.7) и утверждением, из которого делается
вывод, доказать, что для isrf
a) [Р(Л) = 1, {А,, ..., Ап} —^-разбиение множества А, I =
= {i:P(At) >0}]^E(f, P) = HP(Ai)E(f,PA)\
ге/ г
b) [P(A) = 1, {Ль Л2, ...} — счетное разбиение множества А,
в котором 4(е^ для всех г, / = {i: Р(А,) > 0}, мера Р счетно-
аддитивна] =►£(/, Р) =2 Р {At)E(f, Рд V
21*. Предположим, что в каждом из утверждений Ь) и с) все ач
различны. Показать, что
a) Р(х) =1 =*£(/, Р) =/(*);
b) 2P(i:,) = l=*«(/1P)=2P(*l)/(*,);
т=1 1=1
с) S;р(*,) = 1-►£(/,р)»!;^^)/(«,).
г—1 г=1
22*. Предположим, что Ае^и ^(^) = 1. Доказать, что
a) Г/(х) :§#(*) для всех же Л] =>E(f,P) ^E(q,P);
b) f/(z) ^о'(ж) для всех хеА, P(/(i)+8gf(i)) >0 для
некоторого е > 0] =*- E(f,P) < E{g, P);
c) [/(ж) < g{x) для всех ieA, мера Р счетно-аддитивпа] =>
=>Я(/,Р) <Я(*,Р).
23 (продолжение). Построить пример, когда Р (/ (х) <
<g(z)) = 1, но неверно, что E(f, P) < E(g, P). Здесь Р(/(.г) <
<*(*)) = ?({*:/(*) <*(*)}).
24*. Пусть функция и удовлетворяет условию (10.16), и пусть
А у = {х: i е X, г ^ j}. Доказать, что
[Р(4„) ^ <?(4„) для всех }еХ] =^£(». 9) =i #("■ р)-
15*

228 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР [ГЛ. 10
Доказать также, что '[Q ф Рг для i = 1, 2, ..., га, ctj Ш 0 для всех t,
п п
2 ««■=!, ^iPtiA^e-Q {Ау)^я всех у^Х]^Е(щ Q) Ш
г=1 г=1
2§ £"(м, Р() для некоторого L
25. Показать, что из определения 10.1, условия S2 и связности
отношения <наХ следует, что
{х: х ее X, у < я < 2}ё^,
{i:iel,j<i<2}e^.
26. Указать конкретные примеры вероятностных мер, которые
наглядно показывают нарушение условия А4а в доказательствах
теорем 10.2 и 10.4.
27. Пользуясь леммой Цорна, доказать, что множество $ в
доказательстве теоремы 10.6 обладает некоторым максимальным
элементом 9>*.
28. Проверить, что представление (10.18) для (Ре?, Р ф У*)
в терминах мер, принадлежащих У*1 является по существу
единственным.
29* (Блекуэлл, Гиршпк '[1]). Доказать, что если У является
множеством всех дискретных вероятностных мер на алгебре всех
подмножеств множества X и если условия А1 и A3 из § 10.4
выполняются вместе с условием
[Pi, Qi ее S9, Pi < Qi и а* Ш 0 для i = 1, 2, ...,
СО
2 я*} = 1; -Р^ ^<?i Для некоторого г, для которого аг>0]=^
■ со оо
1 = 1 г=1
тогда на X существует веществелнозначиая функция и,
удовлетворяющая условию (10.16),

Г л а в а 11
АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ
В этой главе рассматривается соединение теории
ожидаемой полезности для слабых упорядочений, изложенной
в главах 8 и 10, с той изученной в главах 4, 5 и 7
ситуацией, когда принадлежащие множеству X исходы
являются упорядоченными наборами из п элементов.
Основное внимание в этой главе сосредоточено па условиях, из
которых в случае, когда X ss Х\ X Хг X ... X Хп, вытекает
существование таких вещественнозначных функций
щ, ..., ип на множествах Х\, ..., Хп, что
^<е«*2я(И|,л)<2я(«|,е*)
г=1 i=i
для всех P,Q^9>, (11.1)
где 9* — некоторое множество вероятностных мер на X
и для Рей3 через Pf обозначена проекция меры Р
на Х{.
Мы изучим сначала представление (11.1) в случае,
когда X = Х\ X ... X Х„, а затем рассмотрим его в более
общем случае, когда Х^ X, X ... ХХп. В § 11.3
разбирается случай, когда X = Х\ X ... X Хп и может не
существовать представления вида (11.1), однако
оказывается применимой некоторая форма аддитивной
взаимозависимости, такая, например, как и{х\, Х2, хз) —
= и\(х\, £2) + и2(х2, Хз). В заключение, в § 11.4,
рассматривается случай однородного произведения, когда
X — А'\ как в главе 7.

230 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ [ГЛ. 11
§ 11.1. Аддитивная ожидаемая полезность
для Х=ПХг
Чтобы упростить наше исследование независимости
между компонентами многомерных исходов,
рассматриваемых с точки зрения ожидаемой полезности, мы будем
в этой главе предполагать, что вероятностные меры
определены на семействе всех подмножеств множества X.
Аналогичное предположение будет сделано также и
применительно к мерам, определенным на сомпожителях X,
декартова произведения X.
Определение 11.1. Предположим, что Р — вероят-
п
постная мера на XQ JJ Хг. Тогда проекция Pt меры Р на
г=1
множество Xt определяется следующим образом:
Pi(Ai)= P({x: iel, Xi<=Ai}) для всех 4;ЕХ;. (11.2)
В формуле (11.2) через х{ обозначена г'-я компонента
п
элемента х. ЕслиХ = П-Хьто (Ц.2) принимает вид
P,(At) = Р(ХХ X ... X Х,_. X А, X Xt+i X... X Хя).
Легко проверить, что если Р — вероятностная мера на X,
то и Р; является вероятностной мерой на Х{.
Равенство (Pi, ..., Pn) = (Qi, ..., Qn) возможно и в
том случае, когда Р ф Q. Пусть нри п = 2 меры Р и Q
представляют собой простые лотереи с двумя
равновероятными исходами:
Р (5000 долл., 5000 долл.) =
= Р (100 000 долл., 100 000 долл.) = 0,5,
Q (5000 долл., 100 000 долл.) =
= Q (100 000 долл., 5000 долл.) = 0,5.
Тогда (Ри P2) — (Qi, Q2), несмотря на то, что P=£Q.
В лотерее Р двухлетний поток доходов с равными
шансами может быть (5000долл., 5000долл.) или (100000долл.,
100 000 долл.). В лотерее Р двухлетний поток доходов
может с равными шансами быть (5000 долл., 100 000 долл.)
или (100 000 долл., 5000 долл.). Можно подозревать, что
многие люди лотерею Q предпочли бы лотерео Р. Однако

§ 11.i] ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ X = ЦХ{ 231
требование Р ~ Q является для представления (11.1)
необходимым условием. Это условие может показаться
более разумным в случае, когда различные сомножители
множества X разнородны.
Теорема 11.1. Предположим, что 9* является либо
п
множеством всех простых вероятностных мер шХ=ЦХ,-,
{=1
п
либо таким множеством вероятностных мер на X=XIXj,
которое удовлетворяет условиям SI — Sb из § 10.4.
Предположим далее, что па X существует такая веществен-
позначная функция и, что P-<Q<=>E(u, Р)<.Е{и, Q)
для всех Р, Q t= &. Тогда для того, чтобы на Х\, ..., Х„
соответственно существовали вещественнозначные
функции ii\, ..., ип, удовлетворяющее (11.1) и единственные
с точностью до положительных линейных преобразований
подобия необходимо и достаточно, чтобы Р ~ Q было
всегда, как только Р и Q являются такими простыми
мерами на £Р, что
(Р,, ..., Pn)=4Qu .... Q»),P(x),Q(x)<={0, 1/2, 1}
для всех х е X.
Последнее из сформулированных здесь условий пока-
п
зывает, что в случае, когда X = |_| Хи представление
г=1
(11.1) может быть установлено на основе простых
лотерей с двумя равновероятными исходами. Необходимость
условия о безразличии для (11.1) является очевидпой.
Его достаточность доказывается ниже.
Доказательство. Зафиксируем х° = (х?, .... а£)е
е X, выберем значепия щ {xi), . .., ип (хп) таким образом,
чтобы их сумма была равна и(х°), и определим функцию
ut на Xi, положив
«г (*г) = и {х\, • • •, *°-ь хи ж°+ ь ..., ж") — 2 и, (xf).
(11.3)
Условие о безразличии' между имеющими два
равновероятных исхода лотереями Р и Q в случае, когда

232 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ [ГЛ. 11
(Pi, ..., Р„) = {Q\, .. ., Qn), прямо приводит к
соотношениям
UyXx, . . . , Xi, £i+li . . . , Хп) -\- U \Xi, . . . , X{,Xi+i, Xi-i-2, • ■ •
. . . , Хп) = U \Х±, . . . , Xi +i, £i+2i . . . , Хп) -\- U (X )
для i =Л, . .., п — 1. В результате суммирования этих
равенств от i — 1 до i = п — 1, приведения подобных
членов и перенесения (п— 1)и(х°) в левую часть мы
получим
^ II уХ], . . . , Х\—I, Xi, Я^+li • • • j *^п/
— (» — l)u(xi, ...,xl) ^u{xx, . . .,xn),
а это при сравнении с (11.3) показывает, что
п
и(хг, . . . , Хп) — 2 ui(xi) Для всех (ХП • • ч zn) ^ Х\
г=1
(11.4)
Если 53 удовлетворяет условиям § 10.4, то функция и
ограничена на X, следовательно, функция ut, определенная
формулой (11.3), ограничена на Х;. Хотя функция и4
определена на Хи она всегда эквивалентна функции щ,
определенной на X равенством щ (х) = ul(xi). Тогда,
пользуясь (11.4) и упражнением 10.17Ь, мы получим
Е(и,Р) = Е(щ + ...+ ип, Р) = Е{ии Р)+ ...
... +Е{ип, Р) = Е(щ,Рг) + .. . +Е(ип, Рп), ■
что в сочетании с условием Р ~\Q -*=>- Е(и, P) <; £(«, Q)
дает (11.1).
Чтобы закончить доказательство, предположим, что
функции V\, ..., vn на Xi, ..., Х„ удовлетворяет условию
(11.1) вместе с функциями щ, ■ • •, ип. Определим
функции и и у на принадлежащих множеству !? простых
мерах, положив и(Р)=2 Е{ииР{) и у(Р)= 2iE(Vi,Pi).
г г
Легко видеть, что
ы(аР + (1-а)0)= ав(Р) + (1 - a)u(Q)
и что аналогичное равенство выполняется для функции v

§11.2] АДДИТИВНЫЕ ОЖИДАНИЯ ДЛЯ А'с Г№ 233
и простых мер Р, Q е 9*. Следовательно, по теореме 8.4
функция v является положительным линейным
преобразованием функции и. Пусть для определенности v = au-\-
-\- Ь, а > 0. Мы имеем тогда равенства
2уг(хг) = HE(vi,xi)=zV(xu •••,*n) =
= аи{хх, . ..,хп) + Ь = e2«i(^) + i,
откуда следует, что для каждого i
Vi {Xi) = aut (xt) + I b + a 2 tij (x-) — 2 v} (z°)l =
L )фг )фг J
= au; (хг) + 6,,
где числа fr4 определяются из контекста.
§ 11.2. Аддитивные ожидания для Х^ИХ^
п
В случае, когдаХ с:11хг, представление (11.1) несле-
г=1
дует, вообще говоря, из той версии условия о
безразличии, которая относится только к лотереям с двумя
равновероятными исходами. В этом случае мы будем требовать,
чтобы выполнялось более сильное условие
(Pu...,Pn)=<(Qu..,Qn)=>P~Q.
Если множество X копечно, то, как это указано в
упражнении 4, представление (11.1) следует из этого условия
и из представления P-<Q~^E(u, P)<E(u, Q). Для
бесконечного множества X может быть удовлетворительно
разобран лишь случай, когда п = 2, да и то лишь в
случае простых вероятностных мер. Поэтому в этом
параграфе будет рассмотрен только случай, когда Xsli X Х2.
Чтобы продемонстрировать одну из трудностей,
которая в этом случае может возникнуть для вероятностных
мер, отличных от простых, предположим, что X =
= {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2),...},
а функция и, определенная равенствами и(к, &)='0 для
к — 0, 1, 2, ... и и{к + 1, к) = 1 для к = 0, 1, 2,
удовлетворяет условию Р -< Q ■<=*- E (u, P) <; Е(и, Q) для
любых дискретных мер Р и Q на множестве X. Чтобы
определить функции щ, и2 для (11.1), положим и\ (0) =i
= w2(0) = 0. Тогда для того, чтобы условие (11.1)

234 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ [ГЛ. 11
выполнялось для всех вырожденных вероятностных мер,
мы должны иметь и\(к)= к и u2(A)=l—к для к =
= О, 1, 2, ... (когда u(xi, х2) = и(х\) + и(х2)).
Определим меру Р, положив
Р{2\ 2") = 2~* для к= 1, 2, ...,
так что Е(и, Р) — 0. Тогда ожидание Е(щ, Р) (если
считать, что оно вообще определено) оказывается
бесконечным:
Е(ии Р) = 21-2-1+22-2-2 + ... = 1-И + ... = +оо.
Точно так же Е(и2, Р)=—21 ■ 2"1 — 22 • 2~2 — ... =• — оо,
тем самым выражению Е(щ, Р\)-{-Е(и2, Рг) нельзя
осмысленно приписать числовое значение. Несмотря на это,
если мера Q является простой, то
Е(и, Q) = E(uu Qx) + E{ub &)•
Структура множества X s Xi X Х2. При рассмотрении
для простых вероятностных мер случая X s Xi X X2
будет использовано несколько специальных определений,
которые применяются только в этом параграфе.
Определение 11.2. Положим (xi, x2)R{y\, y2),
если существует такая конечная последовательность
(х\, х2), х[, ..., .Tv, (г/i, у2) элементов множества Xs
S Xi X Х2, что любые два соседних элемента имеют хотя
бы одну общую компоненту.
Легко видеть, что R является отношением
эквивалентности на X. Обозначим через 3) множество всех классов
эквивалентности элементов множества X относительно R.
В предыдущем примере 20 = {X}. Если D, Z)*eg),
(xi, x2)<=D, (г/i, y2)^D* и D ф D*, то должно быть
Xi Ф х2 и у\ Ф г/2. Следовательно, для и, заданной на X,
функции щ, и2, являющиеся решением уравпения
и{хи х2) = ui(xi)-\- u2(x2) для всех жеX, (11.5)
как это требуется для (11.1), будут существовать тогда
и только тогда, когда для каждого fleg) существуют
функции и\, и2, являющиеся решением этого уравнения
па D. Поэтому мы сосредоточим внимание на некотором
произвольном классе D е 3). Доказательство наших
первых трех лемм предоставляется читателю.

§ 11.2] АДДИТИВНЫЕ ОЖИДАНИЯ ДЛЯХСП^г 235
Определение 11.3. Альтернирующей
последовательностью в D называется такая конечная
последовательность из двух или более различных элементов
множества D, что:
1) любые два соседних элемента имеют одну общую
компоненту;
2) никакие три расположенные подряд члена этой
последовательности не имеют одинаковой первой или
одинаковой второй компоненты.
Лемма 11.1. Если х, y^D и х ф у, то в D
существует некоторая альтернирующая последовательность,
начинающаяся элементом у.
Определение 11.4. Циклом в D называется
подмножество, состоящее из четного числа элементов
множества D, которые могут быть расположены в такую
альтернирующую последовательность, что ее первый и
последний члены имеют одипаковые первые компоненты,
если первый и второй члены имеют одинаковые вторые
компоненты, или же ее первый и последний члены имеют
одинаковые вторые компоненты, если первый и второй
члены имеют одинаковые первые компоненты.
Лемма 11.2. Если D не имеет циклов, то при х,у^.
ей и х ф у существует ровно одна альтернирующая
последовательность элементов D, соединяющая х с у.
Лемма 11.3. Предположим, что ж1, ..., х2п —
альтернирующая последовательность в D, элементы которой
образуют цикл. Предположим далее, что £Р является
множеством смесей, состоящим из вероятностных мер и
содержащим простые меры, и на & существует функция и,
удовлетворяющая (8.5) и (8.6). Кроме того, предположим.,
что [Р, Q<=g>, (Pu P2) = (Qi, Q2)]^P ~Q. Тогда
S«(«f-1,«r-1)= %и{х1\х\% ' (11.6)
1=1 г=1
Лемма 11.4. Если D^$), то существует такое
подмножество С еД что
1. С не содержит циклов;
2. xRy для любых х, у еС, причем соотношение xRy
устанавливается с помощью последовательности, все
элементы которой принадлежат С;

23(5 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ [ГЛ. 11
3. (х\, ж2)е5 D =>-(xi, г/2)еС и (г/i, i2)gC для
некоторых г/i е= Xi и г/г £= Х2.
Доказательство. Для D ^ 3) пусть
Ч? = {С: С £Д С удовлетворяет условиям
1 и 2 леммы 11.4}.
Мы докажем, что множество ^ имеет некоторый
максимальный элемент, который удовлетворяет условию 3.
Пусть (ё'* — строго упорядоченное отношением
включения cz подмножество множества ??, и пусть С* = U ^С.
GEE ^
Тогда С* е ??, поскольку С*еАи
1) С* не имеет циклов, так как если бы
последовательность {х\ .. ., х"} ЕС*, в которой ж' е С,, Ct e '2?*,
была циклом, то наибольшее из этих множеств С\
содержало бы цикл {х\ . .., хп}, а это противоречит тому, что
Се?;
2) если х, у, еЕ С*, то х??г/, так как х, г/, еЕ С для
некоторого С <— £?*.
Следовательно, по лемме Цорна, существует такое
В е= ??, что строгое включение В сг С не выполняется ни
для какого Cei?. Предположим, что (xi, x2)geD и
(х\, х2)^В. Тогда, поскольку множество В является
максимальным, множество В\] {xi, х2)} должно содержать
некоторый цикл, который содержит элемент (xi, х2), так
как В не имеет циклов. Из определений 11.3 и 11.4 тогда
следует, что {х\, у2)^.В и (г/i, x2)ge5 для некоторых
у2евХ2 и г/i еХ|,
Аддитивная ожидаемая полезность для простых
вероятностных мер. В случае, когда X £= Xi X Х2 и
рассматриваются только простые вероятностные меры на X,
соответствующая теорема для представления (11.1)
формулируется следующим образом.
Теорема 11.2. Предположим, что 3* — множество
всех простых вероятностных мер на X s= Xi X Х2 и на
множестве X существует такая вещественнозначная
функция и, что
Р-<()**• Е(и, Р) < Е(и, Q) для всех Р, Q<=&.
Тогда для того., чтобы на множествах Х\ и Х2
существовали удовлетворяющие условию (11.1) функции щ и и2,

§ 11.2] АДДИТИВНЫЕ ОЖИДАНИЯ ДЛЯ X <Э№ 237
необходимо и достаточно, чтобы [Р, Q^<p, (Pi, P2) —
= (Qu Q2)] =*" Р ~ (?• Если функции V\ на Х\, и v2 на
Х2 удовлетворяют условию (11.1) вместе с функциямищ
и иг, то существуют такие числа а > 0 и Ъ и такие ее-
щественнозначные функции f\ и f2 на множестве 3), что
Vl (Xl) = ащ (х\) + /i (D (xi)) для всех х\ <= Xi,
v2(x2) = аи2(х2) + f2(D(x2)) для всех х2 <= Х2,
U(D) + h{D) = Ъ для всех D e S),
где класс D(xt)^2) содержит элемент, i-я компонента
которого равна хи
Для полноты мы могли бы упомянуть, что при i =
= 1, 2 предполагается, что каждый элемент Xi e Х{
является £-й компонентой некоторого элемента хеХ.
Доказательство. Чтобы доказать достаточность
предположений теоремы для представления (11.1), мы
покажем, что выполняется условие (11.5). Для
произвольного D е 0 мы рассмотрим два случая.
Случай 1. D не содержит циклов. Зафиксируем х° е
е D, зададим ut(xi) и и^(х\) так, чтобы u^xf) -f- и2 (х\)=-
— и(х°),п, передвигаясь вдоль альтернирующих
последовательностей, начинающихся с х°, от одного члена кдру-
roAiy, определим и\ и и2 таким единственно возможным
образом, чтобы они удовлетворяли уравнению
(11.5).Тогда, по лемме 11.1, значения щ(х\) и и2(х2) определены
для компонент х\ и х2 любых элементов множества D.
Из леммы 11.2 следует, что при заданных иг {х\) и
функции щ и и2 являются однозначно
определенными.
Случай 2. D содержит циклы. Пусть подмножество
С я^ D удовлетворяет трем условиям леммы 11.4.
Применяя к С доказательство случая 1, получим и(х{, х2) =
~ui(xi)-\-u2(x2) для всех ieC. Предположим, что
1ёД х^С. Тогда, согласно условию 3 леммы 11.4, мы
имеем (х, у2)^С и (у\, х2)^С и, по леммам 11.1 и 11.2,
в С существует единственная альтернирующая
последовательность, соединяющая (х\, у2) с (у\, х2).
Следовательно, мпожсство C\J{x) имеет цикл, который должен
содержать х. Альтернирующая последовательность,
элементы которой образуют такой цикл, может быть запи-

238 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ 1ГЛ. 11
хихг), • • -Ах\ ,х2 )• По лемме 11.3,
равенство (11.6) выполняется при (#1, х2) = (хг, х2).
Применяя соотношение и = щ + и2 к тем членам этого
цикла, которые принадлежат С, мы получим из равенства
(11.6), после сокращения, что u(xi, Жг) = ui(a;i)-f- и2(х2).
Из этого следует, что соотношение и — и\ -\- и2
справедливо на всем множестве D.
Чтобы доказать последнюю часть теоремы,
предположим, что каждая пара функций щ, и2 и V\, v2
удовлетворяет условию (11.1). Пользуясь тем подходом, который
был примепен в заключительном абзаце доказательства
теоремы 11.1, мы получим, что
yi(^i)' + v2(x2) = ащ{ху) -f- аи2(х2) + Ъ для всех х е X.
Для некоторого заданного D пусть ar°sD. Тогда
процедура, примененная для определения значений щ и и2 в
случае 1, приводит к равенствам
v1 (х{) = ащ (хг) + ащ (х°2) + b — v2 (x*),
v2 (х2) = аи2 (х2) + ащ (ж?) -\-b — v1 (x\)
для всех igD. Положив
fl{D) = aui{xl) + b-v2{xX),
f2(D) = au1{x°l)+b~v1(x°l),
мы получим требуемые уравнения. Для каждого класса
D должен быть выбран свой элемент х°, так как
элементы различных классов, принадлежащих множеству &>,
не могут иметь одинаковые компоненты х\ или х2.
§ 11.3. Аддитивные взаимозависимые ожидания
для
На протяжении этого параграфа мы будем полагать
п
X = jj X], a {Ii, ..., 7m} — произвольное, но фиксиро-
?—I
ванное непустое семейство непустых подмножеств
множества {1, 2, ..., п}. В случае, рассмотренном в § 11.1,
для 7 = 1, • •., п было 1} = {/}. Здесь мы будем допускать,
что множества It могут пересекаться.

§ 11.31АДДИТИВНЫВ ВЗАИМОЗАВИСИМЫЕ ОЖИДАНИЯ ДЛЯ П-^1 239
Будем через 5? обозначать некоторое множество
вероятностных мер на X, а через ^ — некоторое множество
вероятностпых мер на Л Х}. Для меры Р е & ее проек-
щей*) наЦхг называется такая мера Ри что для лю-
h
бого Лу Q JJ_Xj имеет место .. . _,
Pj(Aj) = P({x: ieX, ^elj для i&Ij, x'^Aj}),
где х1 — проекция элемента х на Ц-Х^г- Например,
h
если х = (хи х2, хз, ос4) и 1} = {1, 3}, то х3 = (хи х3).
Теорема 11.3. Предположим, что выполняются
условия, сформулированные в первых двух фразах
теоремы 11.1. Тогда для того, чтобы на лшожествах\\ Х;, ...
••ч'П-^г существовали соответственно такие вещественио-
вначные функции щ, ..., ит, что
m m
P<Q<*IiE{ui,PJ)<2!lE(uj,QJ)
для всех P, Q(=$>, - (11.7)
необходимо и достаточно, чтобы было
[Р, Q <=,&, (Ри ..., Рт) = (<?ь ..., Qm)] => Р ~ Q.
Допустимые преобразования для таких фупкций щ
обсуждаются в упражнениях 9с и 10. Доказательство
теоремы 11.3 будет проведено в два приема. Сначала мы
сформулируем и докажем некоторую лемму, а затем с се
помощью докажем и саму теорему. В формулировке лем-
мы мы полагаем, что яг = \х\, .. .,хп)— некоторый
фиксированный элемент множества X, и для любых х е X и
/Е {1, 2, ..., п) через х[1] мы обозначаем такой
принадлежащий множеству X n-набор, что его t-я
компонента есть х{, если ie/, и ж,, если 1Ф-1.
*) Применительно к распределениям в этом случае говорят
обычно о частных распределениях. Применяемый в оригинале
термин «частная мера» прн всей ого естественности
неупотребителен. {Прим. ред.)

240 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ; [ГЛ. 11
Лемма 11.5. Пусть 3* содержит каждую простую
вероятностную меру на X, а вещественнозначная функция
и, заданная на X, удовлетворяет для всех простых мер
условию
P-<Q-^E(u, P)<E(u, Q).
Предположим далее, что
[Р, Q <=,&>, (РЬ . . ., Рп) = ((?„ • • ., Qm)} => Р ~ Q-
Тогда для всех ieI должно быть
m I
и(*)=2(-1)ж 2 n[x
i=l l<i,<ta<...{y<m \
Для случая /га = 3 формула (11.8) приобретает вид
и(х) = и (х [/il) + и {х [L,]) + и {х [Is]) ~
~{и(х [АП/J) -и(х[h П/„]) -и(х[/, П Ш +
+ и(х[11[)12(}13]).
Доказательство леммы 11.5. Чтобы упростить
обозначения, положим, что х — некоторый произвольный
элемент множества X, и обозначим через [1\' проекцию
х[1] на /,-. (Если /= {1, 3}, то х[1] ={х^ х\, х3, х\, ...)
Тогда, если Ij — {1, 4}, то [I]' =(хи ж4).) Поскольку для
определения [I]1 существенны только те принадлежащие
множеству / натуральные числа, которые содержатся в
множестве /,-, должно быть [I]* = [Ifllj]'.
Пусть S и R определены на {1, .. .,т)Х{1, ..., ш}
следующим образом:
s(k> /) = {(Ji. ••-, 4): 1 ^ h <•••< 4^ m,
/е {iu ..., Q},
Л (Л, 7") = {(«i, •••, h): l^ii<...'<**^TO, /fe{i,, ..., ij}.
Тем самым
5(1,/) = {/}, Я(т,/)=0,
5(A, /)11Д(*, /)= {(*i, .... 4): l^ii<...<i»<m},
/ = 1, ..., /га.
Множество S(k, /)(Ji?(A;, /) имеет (™) элементов. ' ;
i
П /
«=-i
(11.8)

§ 11.3]АДДИТИВНЫЕ ВЗАИМОЗАВИСИМЫЕ ОЖИДАНИЯ ДЛЯ Ц^г 241
Пусть Р и Q — простые вероятностные меры,
определенные равенствами
k
Г) Л,
Р = ах -{- 2 2 «а:
/ieK,s(/i,i)UB(*,])
s-l
(? - 2 2 «^
k&Ko S(ft,j')U«(ft,J)
ft
ni Л.
s=l
где
£e={s: 2^f^/re, s четно), Кй= {i: lsSirg/ft, i нечетно),
a = 2"'"+I. Для соответствующих проекций мер наПХ»
наши предыдущие замечания и определения дают
Ру- = сс^' + 2 2 ее
ICe I Stk,j)
It
s^l
+ 2 cc
R№,J)
s=l
= аг' + 2 J 2 a
Ke \R(h—i,i)
ft-1 Ij
П Л, Н- 2 «
5=1 bJ raiij)
ft 1Я
= "j + 2 2 a
ft=i i?(ftj)
s-1
= ax>+ 2 06 [7ijJ + 2 2 «
на,Я fteK0,ft>3 \ H(ft— \,j)
ft—l
П /,.
s = l
+ ■'
2 «
R(ftj)
ft
s=l
2 a [Titf + 2 а[/г1]Ч-
S(W) R(l,j)
+ 2 2 cc
te«t,ft>3 \S(ft,j)
= 2 2 a
K„ S(/(,j)UR(ft,J)
ft
s=-l
2 CC
R(ft>7)
ft
Следовательно, по предположению, Р ~ Q, и поэтому
Д(и, P)=E(u, <?),т. e.
u(;r) -f- 2 2 кг
ке S(h,i)f\mh,j)
k
8=1
а это и есть формула (11.8).
16 п. Фишбери
2 2 и[х
Ко Slh,j)UR(k,j)
h
П/f,
8=1

242 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ [ГЛ. 11
Доказательство теор е мы 11.3.
Достаточность. Чтобы проверить соотношение (11.7) при
сделанных предположениях, включая условие (Pi, ..., Рт) =
= (Q\, ..., Qm)=> P ~ Q, заметим сначала, что согласно
лемме 11.5 для функции в на X справедлива формула
(11.8). Зафиксировав так же, как в этой лемме, элемент
хйеХ, определим функцию щ па XI ^ь положив
Uj(X}) =
~u(x[i}])+ 2 (-1)* 2 и(*Гп /,,п/Л).
k=l \<4<...<ik<i \ j_s-l J/
Функция щ определена корректно, поскольку из х' = у1
следует uj(xi)= Uj(y'). Кроме того, если функция и, как
в гллаве 10, па X ограничена, то функция щ тоже
ограничена. Суммирование по / дает нам
mm m j—1
2 uj И = 2 и (х [/,-]) + 2 2 (- i)k х
7=1 1=1 i=lh=l
X Zt и I х
l<it<...<ih<j
в—I
= 2в(*И) +
m—1 m
+ 2(-i)" 2' 2 щх
ft=l i=h+il<h<...<ih<j
m m—1
= 2u(x[Ij])+ 2 (-DftX
J=l A = l
a=>l
fc+1
1
1
П 7'»
x 2 ии
m m
_2 и (x iij])+ 2(-i)ft+1x
j-i
й-2
X
u\ x
ft
П h
i<4<...<ih<m \ |_«-1
2 (- 1)"+1 2 MIX
ft=i i<4<...<ih<m
k
s=l
u(x)
no (11.8), откуда непосредственно следует (11.7).

§ 11.4] МЕРЫ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ 243
§ 11.4. Вероятностные меры на однородных
произведениях
На протяжении этого параграфа мы будем полагать
X = Ап, и считать t?s множеством всех простых
вероятностных мер на X, а $1 — множеством всех простых
вероятностных мер на А. Для fe^1, мера Р< е $? является
проекцией меры Р на i-й сомножитель А, т. е. Р{(В) =
.= Р(А''1 X В X Ап-() для В^А. Проекция меры Р на
произведение всех сомножителей А, за исключением i-то,
будет обозначаться через Р\'.
Pi \\xli • • •» xi—li Xl+Xi • • • i xn)) ==
= 2j ' \\x\i • • • 1 xi~li а< xi+li • • • 1 хп))-
а<=А
Исходя из отношения -К па &„ определим отношение
~< на $2, положив
R -< R* -*=*- Р ~iQ для любых таких
Р, Q e $PS, что Р( = R и Qi = R* при всех i.
Введем в рассмотрение три конкретных условия,
которым может удовлетворять отношение предпочтения.
Ci. [P, Q e P., Pi = Q, для i = 1 п] =*- Р ~ <?.
С2. [Р, <? е 0\, Р, = Я, <?< = Я*, РЬ <??К I^<Q^
СЗ. Для некоторого R ен ,55 [Р, (?, Р*. (?*е^я, Р„ =
= ея = pj = <?; = #, реп = <&, p*ic=--qicw [p-<q<^
■**-P*-<Q*].
Условие С2 есть некоторое условие настойчивости,
весьма сходное с определением настойчивости в § 7.1.
Если выполпено условие С1, то все меры Р, для которых
Р{ — R при £ = 1, ..., п, безразличны между собой и все
меры Q, для которых Q{ = Л* при всех i, безразличпы
между собой. Поэтому в случае, когда отношение ~< па
!?, является слабым упорядочением, если Р -(Q для
некоторой пары мер Р и Q, то Р -< Q для всех таких Р и ().
Таким образом, отпошение ■< на Я «заведомо»
оказывается слабым упорядочением. Условие С2 утверждает, что
это слабое упорядочение относится к каждому из п
сомножителей. Условие СЗ является некоторой формой
условия стационарности, и его можно сравнить с понятием
16*

244 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ ' ГЛ. 11
стационарности, сформулированным в определении 7.3 из
§ 7.3. Обоснованность этих условий в большинстве
случаев является, конечно, сомнительной.
Теорема 11.4. Пусть имеется вещественнозначиая
функция и на X = А'\ удовлетворяющая условию Р -<
-<Q<^E\u, P)<E(u, Q) для всех Р, Q<=&s.
Предположим далее, что Р -< Q для некоторых Р, Q e £PS и что
справедливы условия С1 и С2. Тогда существуют такая
вещественнозначная функция р на А и такие
положительные числа Ль . . ., Кп, что для всех Р, Q^£PS имеет
место
P<Q <=> 2 ktE(p, Pt)< I Wp, Qd- (11.9)
i=l г=1
При этом функция p' на А и положительные числа Ль ...
..., Л п удовлетворяют условию (11.9) вместе с этими р
и Ль . .., Л„ тогда и только тогда, когда существуют такие
вещественные числа р > 0, q > 0 и г, что
'k'i = p'ki для г = 1,...,;г, (11.10)
р'{а) = qp(a) + г для всех а е А. (11.11)
Если, кроме того, справедливо условие СЗ и п==:2, то
существует такое единственное число л > 0, что , v
г=1 г = 1
для всех Р, Q<=&s. (11.12)
Формула (11.9) подобна формуле (7.9), а формула
(11.12) подобна формуле (7.13).
Доказательство. Чтобы получить представление
(11.9), получим сначала, пользуясь теоремой 11.1 для
всех Р, Q^^s, представление вида (11.1), в котором
каждая функция и{ определена па А. При этом
используется условие С\. Тогда из С2 и определения отношения
-< на Я следует, что при каждом i для любых R, R* е.<%
справедливо представление R-<R*<r>E(ui, R) <LE{uh R*).
Из теоремы 8.^ вытекает, что все функции u-s связаны
положительными линейными преобразованиями, которые мы
запишем в виде и] = а,щ -f- bh где as > 0 для / = 2, ..., п.

§ И.5]
РЕЗЮМЕ
245
Положим р ss и\, %\ = 1 и X) = aj для / = 2, ..., ге. Мы
получим тогда (11.9).
Предположим, что формуле (11.9) удовлетворяют
также функция р' и числа А,> 0. Тогда, поскольку функции
Я*р являются согласно теореме 11.1 единственными с
точностью до подобных положительных линейных
преобразований, существуют такие числа к > 0 и ^ь ..., р„, что
hp' = kltp + Рг Для i = 1, ..., п. Формулы (11.10) и
(11.11) получаются из этого таким же образом, как в
доказательстве теоремы 7.4. Соотношение Р -<Q для
некоторых Р, Q^.SP, используется при установлении
формулы (11.10).
Доказательство для представления (11.12) следует
общему направлению, указанному в доказательстве
теоремы 7.5, и мы не будем здесь вдаваться в его детали.
§ 11.5. Резюме
п
Если X cz JJ Xt, то обычные аксиомы для ожидаемой
1=1
полезности вместе с условием, что Р ~ Q, если для
каждого i = 1, ..., п проекция на Х< меры Р совпадает с
проекцией меры Q, приводят к аддитивной форме
представления
P<Q^liE{ui-,Pi)<liE{ui,Qi).
г г
п
Это было доказано в общем случае дляХ=ПХг,а так-
же для X^XiXX2. (Для простых вероятностных мер
п
это оказывается верным также в случае, когдаХ<^У1Хг,
i=i
однако доказательство последнего утверждения было
обнаружено слишком поздно для того, чтобы опо могло
быть включено в эту книгу.)
При наличии аддитивного представления с помощью
ожидаемой полезности в однородном контексте, когда
X = А", некоторые условия настойчивости приводят к
представлению вида
Р < Q& HKE(p,Pi)< 2 XtE(p, Qd,
i i

246 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ [ГЛ. 11
а настойчивость вместе со стационарностью — к
представлению вида
P<Q&I1ni-*E(p,Pi)<'21ni-iE(p,Qi).
i i
Упражнения
Указатель 1. Условные безразличия для лотерей с половиппыми
шансами. 2. Бинарные отношения на ^,-. 3. Математические
ожидания проекций. 4. Аддитивность для коночного подмножества X s
s ПХ;. 5 — 8. Альтернирующие последовательности и циклы. 9.
Марковская зависимость в теории полезности. 10. Допустимые
преобразования. 11. Теорема 11.3 в сравнении с теоремой 11.2. 12.
Предпочтения, не зависящие от времени. 13, 14. Теорема 11.4.
1. Для примера, касающегося строительства моста, из § 10.1
пусть в паре (xj, ж2) eXiX^2 через х\ обозначена стоимость
строительства, а через х2 — время его завершения. Предположим, что
оба эти фактора подвержены неопределенности. Показать, что при
X = Xi Х^г для проверки условия о безразличии из теоремы 11.1
необходимо рассмотреть только лотереи следующего вида с двумя
равновероятными исходами: лотерея Р с исходами (100 млн. долл.,
4года) и (£i млн. долл., гг лет); лотерея Q с исходами (100 млн. долл.,
х2 лот) и (х\ млн. долл., 4 года).
2*. Пусть & — мпожество всех простых вероятностпых мер на
п
Х = JT^js а 9>х — множество всех простых всроятпостпых мор па
г=1
Х{. При я, ie^i положим а ±С t b ■<=>■ Р a^<? для любых таких
Р, Q <=!Р, что Pi = a, Qi = Ь и Р\ — Q\, где Р\ (соответственно
<?£) —проекция меры Р (соответственно (?) на JJ-У,-. Кроме то-
го, пусть
о<,Ь -фф- (а < (Ь, 6<<а), а ~ tb -фф- (я< ,-&, b^ta).
Мы выделим следующие условия:
Л. Отношение -<^ на & является транзитивным и связным.
B. (P<Q, 0<а<1) =>аР+ (1-а)Л<а<? + (1-а)Л.
C. (Р ~ <?, 0 < а < 1) =*- аР + (1 - а)Л ~ а»? + (1 - а)Л.
Л (Р, = Qi_ для i = l, 2, ..., и) => Р ~ Q, где Р < # -фф-
<=>■ CJ< <?. <?<?) и Р ~ <? -фф- (Р«?, <?<Р).
Доказать следующие теоремы (символ #- означает «не
влечет») :
a) (а^ на 5* транзитивно) => (=^л на 5я,- транзитивно);
b) (^г~г?г. *? = <>?)=»*-С;
c) {Pi<iQi, Pei=Ql)i>P<Q;
d) («^ транзитивно, Pi, =< 4 <?j для всех i) =ф- P *£Q;

УПРАЖНЕНИЯ
247
e) (А, каждое =^f на &{ транзитивно и связно, Pt=<i <?■ для
всех i, Pi <* (?■ для некоторого i) #-Р < Q;
f) D =*• отношения < на 5я и ф" на ^",- рефлексивны;
g) (п = 2, «^ ,• рефлексивно для i = 1, 2) =*- Z);
h) (n > 2, =^j рефлексивно для каждого i) #■£);
i) (п ё 2, < ( рефлексивно для каждого i, =< трапзитив-
но) =*- О;
j) (4, D) &~^i на 5я { транзитивно и связно;
к) ( < транзитивно, В, С, D, Р, = a, Qt = b, P\ = Q\, a <
<,&) =s*P<<?;
1) (X транзитивно, В, С, D, Р,- <* Qt для всех i, Pt <* Qi для
некоторого i) =s» Р < <?;
m) если в /с и Z условие С заменить условием А, то
утверждение этих двух теорем могут оказаться неверными;
п) (А, В, С, D) => <, на 5я,- транзитивно и связно;
о) (4, В, С, D, Pt <<<?,, О < а < 1) =г* аР; + (1 — а) Д4 <f
<<а<?, + (1-а)Д,-;
р) (Л, 5, С, D, Pi<{Qi, 0<а< l)=>-aPi+(l —а)Л4<ю9<+
+ (1-а)Я4.
п
3. При iclllj пусть Pt — проекция на X,- вероятностной
(=1
меры Р на X, а / на X и /i на X* — вещественнозначные функции,
удовлетворяющие равенству f(xl, ..., хп) — fi(xi) для всех ieX.
Доказать:
a) (Р — простая мера, X = ПХг) => E(f, Р) = E(fu Pt);
b) (Р —простая мера, Х<=ПХ<) =>£(/, P)=E(fu P;);
c) (функция /,- ограничена, ХеПХ*) =>#(/, Р) =E{fh Pt).
4*. Пусть 3>—множество всех простых вероятностных мер на
п
конечном множестве X CZ J^J X., существует вещественнозначная
г=1
функция и на X, удовлетворяющая условию P-^Q~$=>E(u, Р) <3
< Е(и, (?) для любых P,Q^S>,u (P, Q е= 5я, Pi = <?j для г = 1, ...
..., п) => Р ~ Q. Тогда на множествах Хь ..., Хп существуют
соответственно вещественнозначные функции U\, ..,, ип,
удовлетворяющие условию (ИЛ).
Доказать эту теорему, выполнив следующие шаги:
а) Чтобы установить соотношение и(х\, ..., хп) =2 ui(xi)
для каждого iel, заметим, что эта система уравнений
эквивалентна
IV
2 я^Ы^^3')' J = i,...,M, (11.13)
где
мы полагаем
х = {*\
(2/1,
...,vN) =
... j
:(*ii
хМ},
J ... j
N--
Xi
' xlmx>
n
= 2
= (*<
r21, •
m4;
il
• '

248 АДДИТИВНАЯ ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ [ГП. 11
определить подходящим образом эти числа а^ е {0, 1} так, чтобы
JV
для каждого / выполнялось ]£j a,ft = п.
h=l
b) Согласно хорошо известному факту линейной алгебры,
система (11.13) обладает г/-решением тогда и только тогда, когда для
любого ненулевого вектора {си ..., см) е RoM будет
I М\ \ М
2с.«,д = 0 для k=l,...,Nj=* %c.u(x3)=0. (11.14)
Чтобы проверить это для некоторого ненулевого вектора (с;, ...
..., см), положить
А = {/: Cj > 0}, В = {/: с} < 0},
и показать, что из условия, стоящего в левой части формулы
(11.14), следует Аф0, В ф 0, Pt = Qi для i = 1, ..., п и
^]с, = —2сг- Теперь, чтобы установить справедливость форму-
А В
лы (11.14), воспользоваться условием о безраличии.
5. В рассмотренной в § 11.2 ситуации, когда A" s Х\ ХХ2,
проверить следующие утверждения;
a) Отношепие R в определении 11.2 является отношением
эквивалентности.
b) Лемма 11.1 (рассмотреть кратчайшую последовательность).
c) Любой цикл имеет хотя бы четыре элемента.
6. Пусть X = {{хи х2), (хи z2), (г/,, х2), (г/i, у2), («ь г2)}, а
функция и на X удовлетворяет условию Р KQ ~$=>Е(и, Р) < Е(и, Q)
для всех вероятностных мер Р, Q на X. Доказать:
a) X является циклом;
b) X не содержит четырехэлементного цикла;
c) справедливо условие о безразличии между лотереями с
двумя равновероятными исходами из теоремы 11.1;
d) условие (11.1) может не соблюдаться.
7. Доказать лемму 11.2, показав, что если D имеет более одной
альтернирующей последовательности от (хи х2) к (yh y2), то D
содержит цикл.
8. Доказать лемму 11.3.
9*. В ситуации, рассмотренной в § 11.3, пусть т = п — 1 и h =
= {I, i + 1} для i = 1, 2, ..., п — 1.
а) Показать, что из условия о безразличии,
сформулированного в конце теоремы 11.3, вытекает следующее условие:
[{х{, Xi+i), (yh ?/;+,)} = {(Zj, Zi + 1), (wt, Wi + 1)}
для i = 1, ..., л —1 ] =>- lhx + Цгу ~ Цгъ + 42w

УПРАЖНЕНИЯ
249
(последние выражения символизируют лотереи с
равновероятными исходами).
b) Доказать, что в данном случае теорема 11.3 будет верной,
если заменить в ней условие о безразличии на сформулированное
в пункте а) условие о безразличии между лотереями с
половинными шансами. Получить представление
57-1
«(*) = 2 ui(xi'*i+i)- - '"
i=l
c) При условии, что Р-< <? ч=^ #(и, P) <E(u, Q) для всех
Р, Q is.91, предположим, что
п—1 п—1
«*(*)= 2 ui(xi>xi+i)= 2 M*i.*j+i)
г=1 г=1
для всех ieI. Показать, что существуют такие вощественнозш№ ,
ные функции /г, ..., /n+i соответственно на Х2, ..., X„-i, что
v,(a, b) = it,(a, 6) +/2(Ь) для всех (и, й) еХ,Х4
г/((а, 6) = Ui(a, Ь) — /,(а) + fi + i(b) для всех (а, 6) е Xt X Хг+ь
2gigf!-2,
i/„_i(a, 6) = tin-i(a, 6)—/n-i(«) Для всех (а, 6)sZn-iXX„.
10*. В ситуации, рассмотренной в § 11.3, предположим, что, как
т _ п
в доказательстве теоремы 11.3," (ar)=Vti^. (а:3) для всех rsjjjf..
j=i ?=1
Описать множество всех преобразований функций uj, которые
сохраняют это равенство при фиксированной функции и.
Заметить, что если совокупность функций {и,} является таким
преобразованием совокупности {uj}, то 2 и}(,х') — ^vi(x') и,
следовательно, для / = 1, ..., т будет
т т
ft=l fc=l
так что " х
Показать, что если i^ f|^ft "= 0, то разпость и* ('[/,■]*) —v>l([Tj\k)1
когда х пробегает А', остается постоянной, а если I][\Ik =£ 0, то
эта разность может быть переменной, но ее изменения зависят
только от тех xit для которых i е /. f| /fc•

250
аддитивная: ожидаемая полезность [гл. и
11. Аргументировать, что если обобщение теоремы 11.2 на слу-
п
чай, когдаЛГ С JJX. и п > 2, будет верным, то теорема 11.3 для
г=1
простых вероятностных мор будот непосредственным следствием
этой более общей формы теоремы 11.2.
12. Показать, что из предположения, сформулированного в
первой фразе теоремы 11.4, объединенного с предположением (Рь ...
..., Р„ — перестановка последовательности Qu ..., Qn) =*- Р ~ Q,
следует, что на X сущоствует такая вещоствсннозяачная функция
р, для которой
P<Q^^E(P,P.)<^E{p,Qi)
i i
при всех Р, Q е 3>3.
13. Проверить формулу (11.12) в теореме 11.4.
14. Можно ли для § 11.4 представить себе ситуацию, в которой
какое-либо из условий CI, C2 и СЗ выглядело бы естественным
при га > 1?

ЧАСТЬ III
СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ
Структуры предпочтения, которые включают в
описание альтернатив неопределенность, но не содержат
вероятностей, большей частью выражаются в терминах
«состояний природы». В таких моделях неопределенность
относится к тому, какое из состояний, принадлежащих
некоторому множеству взаимоисключающих состояний
(или окружающих обстоятельств), имеет место на самом
деле или является «истинным состоянием». Обычно
предполагают, что (1) принимающий решение субъект не
знает «истинного состояния», (2) выбираемое им действие не
влияет на фактически имеющееся состояние и (3)
имеющееся состояние в комбинации с выбранным действием
определяет исход решения.
Интерес к теориям ожидаемой полезности, которые
формулируются в терминах состояний природы, возник
в значительной мере благодаря теории Л. Дж. Сэвиджа
(глава 14), опубликованной в 1Н54 году. Часто
упоминаемая теперь теория Ф. П. Рамсея [1] фактически была
до этого неизвестна. Теория Сэвиджа отражает
элементы работ Рамсея и Дяг. фон Неймана — О. Морген-
штерна; своей интерпретацией вероятности Сэвидж во
многом обязан основополагающей работе Б. де Фипетти.
Несколько иная теория, формулируемая в терминах
состояний, излагается в главах 12 и 13.

Г л а в а 12
СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ
В этой главе вопросы принятия решений в условиях
неопределенности формулируются в терминах состояний
природы. В § 12.1 описывается обычная постановка
вопроса в терминах состояний, которая сравнивается с
подходом, изложенным в части II. В § 12.2 для этой задачи
рассматривается модель ожидаемой полезности для
слабого упорядочения и обсуждаются различные
аксиоматические подходы к ней. Некоторые из этих подходов будут
изучены в двух последующих главах.
В § 12.2 указываются также две проблемы, которые
возникают в этих теориях. Одна из них, часто
называемая проблемой «постоянных действий», подсказывает
некоторый альтернативный подход к модели ожидаемой
полезности. Аксиомы для этого альтернативного подхода
предстоит еще сформулировать. Вторая проблема
касается точности описаний состояний и остаточной
неопределенности. В § 12.3 обсуждаются некоторые модели
аддитивной полезности, которые предназначены па случай
возможности, указанной в этой проблеме, и не содержат
явно вероятностей состояний.
§ 12.1. Определение состояний
В части II этой книги мы представляли себе принятие
решений в условиях неопределенности в терминах
множества доступных действий или стратегий F и множества
исходов X, один из которых возникает в результате
выбранного действия. Мы предполагали, что для лица,
принимающего решение, неопределенность в том, какой из
исходов ieZ возникнет в результате действия /ef, мо-

§ 12.1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ 253
жет быть выражена с помощью вероятностной меры Pt
на X. Рассмотренные аксиомы формулировались на
основе множеств вероятностных мер, которые, по
предположению, содержали множество {Pf: f^F}.
Чтобы разобраться в этом более подробно, рассмотрим
множество S' всех фупкций, отображающих действия в
исходы. Каждая функция se&' ставит в соответствие
каждому действию /ef некоторый исход s(f)^X.
Предположим, например, что молодой человек хочет
сделать предложение либо Алисе, либо Бетси, но не может
сделать предложение им обоим в том случае, если одна
из них ему откажет. Пусть, далее, он принимает во
внимание только три исхода, принадлежащие множеству
{жениться па Алисе, жениться на Бетси, остаться
холостым}. В этом случае 5' содержит девять функций, однако
достаточно рассматривать только четыре из них. Эти
четыре функции имеют вид
{(сделать предложение Алисе, жениться на Алисе),
(сделать предлояхение Бетси, жениться на Бетси)},
{(сделать предложение Алисе, жениться на Алисе),
(сделать предложение Бетси, остаться холостым)},
{(сделать предложение Алисе, остаться холостым),
(сделать предложение Бетси, жениться на Бетси)},
{(сделать предложение Алисе, остаться холостым),
(сделать предложение Бетси, остаться холостым)}.
Одна из пяти исключенных функций имеет вид
{(сделать предложение Алисе, жениться на Бетси), (сделать
предложение Бетси, жениться на Алисе)}.
Предположим, что в результате выполнения действия
/ наступает исход s (/) и это верно для каждого / е F.
Будем тогда говорить, что функция s осуществляется. Под
утверждением, что осуществляется подмножество С cz 6",
мы имеем в виду, что осуществляется какая-либо
функция s e С. Предположим, что принимающий решение
имеет некоторую вероятностную меру Р' на (семействе
всех подмножеств множества) S'. Число Р'(С')
интерпретируется как мера его уверенности в истинности
утверждения «осуществляется множество С». Когда задана
мера Р', мы можем определить меру Ps, положив
^/(Л) =/>'({«: s«=S', s(/)«=,i4» для всех А £= X. (12.1)

254
СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ
[ГЛ. 12
В примере с женитьбой мы можем считать, что
Р'{С') = 0, если С — множество, состоящее нз пяти
«исключенных» функций. Мы будем иметь тогда
Р' (обе девушки скажут «да») -}-
Н" Р' (только Алиса скажет «да») +
-+- Р' (только Бетси скажет «да») +
+ Р' (ни одна из девушек не скажет «да») = 1.
Здесь мы переформулировали описания четырех
функций с помощью условий, при которых они
осуществляются. Например, функция {(сделать предложение
Алисе, жениться на Алисе), (сделать предложение Бетси,
остаться холостым)} осуществляется тогда и только
тогда, когда только Алиса скажет «да».
Если осуществляется функция s e S', то она
осуществляется независимо от того, какое действие / будет
выполнено. Это является результатом способа, которым было
определено множество S'. Следовательно, выбор
принимающего решение лица не влияет на его мненпе о том,
какие s могут осуществляться. Мы считаем, однако, что
его мнение о том, какие s могут осуществляться,
оказывают влияние на его выбор.
В большинстве случаев мера Р' на S' содержит
больше информации о неопределенности, имеющейся у
принимающего решение лпца, чем семейство {Pf: f^F}, в
котором вероятностные меры Pt определены с помощью Р'
формулой (12.1). Чтобы определить принадлежащее
множеству F действие, которое максимизирует ожидаемую
полезность, не обязательно оценивать меру Р' во всех
деталях, что может быть более трудным, чем оценка мер Pt.
Хотя в примере с женитьбой были отмечены четыре
потенциально ненулевых значения P'(s), наш молодой
человек, по-видимому, вполне может быть удовлетворен
оценкой двух вероятностей:
У ^сделать предложение Алисе (жениться па Алисе) =
* сделать предложение Алисе (Алиса скажет «да»),
Я. — ^сделать предложение Бетон (жеНИТЬСЯ На БеТСИ) =
|== ^сделать предложение Бетон (БеТСИ Скажет «Да»).
Действительно, оценка соотношения р/д дает все, что
ему нужно, так как Е (и, сделать предложение Алисе) <;

§ 12.1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
255
<С.Е(и, сделать предложение Бетси) -*=>- p\q < [и
(жениться на Бетси) —и (остаться холостым]\\и (жениться
на Алисе) — и (остаться холостым)].
Состояния природы. По словам Сэвиджа ([1], стр. 9),
природа*) есть «объект, с которым связаны интересы
лица», а состояние природы — это «описание природы,
которое не оставляет неописанными никаких значимых
аспектов». Состояпия служат для того, чтобы объединить
все существенные для принятия решения факторы,
которые являются для принимающего решение лица
неопределенными. Они должны быть заданы так, чтобы
состояние, которое имеет место, не зависело от выбранного
действия.
Согласно последней фразе этого описания,
представляется достаточно уместным назвать «состояниями»
элементы мпожества S'. Однако в подходе, который
распространили Сэвидж и другие авторы, обычно поступают иначе.
Вместо того чтобы определять состояния как функции,
отображающие действия в исходы, Сэвидж определяет
действия как функции, отображающие состояния в
исходы. Если обозначить через S множество всех состояний
природы, то каждое действие /eF является функцией,
отображающей S в X: f(s) является исходом, который
возникает, когда выполнено действие / и осуществляется
состояние s e S.
Простыми примерами состояний, как они часто
понимаются при подходе Сэвиджа, являются следующие:
неразбитое яйцо (природа) может быть хорошим
(состояние 1) или тухлым (состояние 2)'; при очередном
подбрасывании данной монеты может выпасть либо герб (s\),
либо цифра (s2); обвиняемый может быть виновным (s\)
или невиновным (s2); эти грибы могут быть
безвредными (si) или ядовитыми (яг). Если /= «съесть грибы»,
a g = «выбросить грибы», то /(si)= «получить
гастрономическое удовольствие», f(s2)= «получить
гастрономическое удовольствие, а потом умереть» и g(si)= gfa) .='
= «выбросить связку грибов».
*) Автор, как и Сэвидж, пользуется слоном «world», которое
в подобном контексте принято переводить словом «природа».
(Прим. перев.)

256
СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ
[ГЛ. U
Если множество S определено так, что может
осуществиться хотя бы одно состояние sgS, принимающий
решение субъект не может ничего узнать о том, какое из
состояний осуществляется, и, наконец, состояние, которое
осуществляется, не зависит от выбранного действия, то
мы можем предположить, что принимающий решение
субъект имеет на S некоторую вероятностную меру Р*,
где Р*(С) есть вероятность, с которой, по его мнению,
для подмножества С £ S осуществляется некоторое
состояние seC, Мы можем тогда определить меру Р/, положив
Pf(A)=P*({s: szeS, f(s)(=A}) для всех Л = 1 (12.2)
Если же в действительности подмножества множества S
зависят от того, какое действие / е F выбрано, то эту
трудность можно обойти, определив новые состояния как
функции, отображающие F в S. В большинстве
рассуждений, основанных на теории Сэвиджа, предполагается, что
соотношение (12.2) имеет место.
Сравнение двух формулировок. Оставшаяся часть этой
книги посвящена главным образом теории полезности,
основанной на сэвиджевской концепции принятия
решений в условиях неопределенности. Прежде чем мы
перейдем к пей, представляется целесообразным отметить,
что две указанные выше формулировки отнюдь не
являются несовместимыми. На самом деле они являются
фактически изоморфными, когда принят некоторый
согласованный способ рассмотрения неопределешгостей. Далее
приводится доказательство этого утверждения.
Независимо от того, выглядят ли множества 5" и S,
понимаемые как и выше, хотя бы внешне различными,
предположим, что заданные на них меры Р' и Р*
согласованы друг с другом. Под этим мы понимаем, что для
любых ^sXi/gF
P'({s': s'eS', s'(/)ei})=P*({s: ssi, /(s) «=.Л})'.
■ (12.3)
Это в свою очередь означает, что вероятность, с которой
принимающий решение субъект предполагает получить
исход rei, когда он пользуется действием /, не
зависит от конкретного метода, примененного для описания
имеющейся у него неопределенности.

g 12.2] ТЕОРИИ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 257
Пусть и — функция полезности исхода, определенная
на X таким образом, что для любых двух мер Р и Q на
X выполняется условие Р -<Q <=> Е(и, Р)<.Е(и, Q).
Предположим, что функция и ограничена на X (см. главу
10, если X бесконечно).
Пусть щ, щ, ... — последовательность простых
функций на X, которая равномерно сходится к и снизу (см.
определение 10.11). Рассмотрим одну из этих функций,
скажем, и„. Пусть ип принимает т значений, а именно,
ип(А{) — С; для i = 1, 2, . . ., т, где {Ль ..., Ат} —
некоторое разбиение множества X, и пусть
<?;= {«': s' <= S', s' (/) е At}, Ct = {s: s e S, f (s) e A,}-
Тогда (Ci> ..., Cm] и {Си ..., Cm} являются
соответственно разбиениями множеств S' и S и по (12.3) должно быть
%ciP'(Cd = 2ciP*(Ci).
г
Из определения 10.12 следует, что
E[u(s'(f)), P']=E[u(f(7)),P*], (12.4)
где значок Д служит для обозначения параметра, по
которому берется математическое ожидание в соответствии
с мерой Р' или Р*. С точки зрения формулы (12.1)
левая часть формулы (12.4) есть Е(и, Pf). С точки зрения
формулы (12.2) правая часть формулы (12.4) есть
E(u,Pf).
Следовательно, при наличии согласованности, которая
выражается формулой (12.3), обе эти формулировки дают
для ожидаемой полезности действия / одно и то же
значение.
§ 12.2. Предварительный обзор теорий ожидаемой
полезности
При рассмотрении действий как функций,
отображающих состояния в исходы, мы будем заниматься моделью
ожидаемой полезности, имеющей вид
f^g^E[u(f(s)),P*] <E[u(g(s)),P*] для всех /,g^F,
, > (12-5)
17 п. фишберч

258 СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ ' [ГЛ. 12
где Р* — некоторая вероятностная мера на семействе всех
подмножеств множества S, а и — некоторая функция
полезности на X.
Производилось много аксиоматизацией представления
(12.5). Намного лучшей, чем все остальные известные
аксиоматизации, является теория Сэвиджа [1], все
аксиомы которой могут быть сформулированы в терминах
отношения -< на F. Его аксиомы требуют, кроме всего
прочего, чтобы множество S было бесконечным, и если
BsSnOgp^l, то чтобы было рР*(£) = Р*(С) для
некоторого С ЕВ. Сэвидж предполагает также, что
каждый элемент множества исходов может наступить при
любом состоянии и что всо постоянные действия, т. е.
такие, которые ставят в соответствие каждому состоянию
один и тот же исход, принадлежат множеству F. Его
довод в оправдание последнего предположения состоит
в том, что оно представляет способ для определения
предпочтений между исходами па основе предпочтений
между (постоянными) действиями. Кроме того, согласно
теории Сэвиджа, которая будет подробно изложена в
главе 14, эти предположения дают возможность получить
вероятностную меру Р*.
Одним из наиболее критикуемых аспектов теории
Сэвиджа является структурное условие о том, что при
любом s<=S все элементы множества X являются
существенными. В общей ситуации обозначим через X(s)
подмножество, состоящее из тех исходов, которые
действительно могут наступать в результате действий из F, когда
осуществляется состояние s. Тогда, если смотреть на эти
исходы как на полные описания того, что может
произойти, уже не покажется странным, чтобы при s ф s' было
X(s) C]X(s')= 0. Если это так, то естественного способа
определения предпочтений на исходах в терминах
предпочтений па действиях не существует. Это
подсказывает другой подход к представлению (12.5), который
основан па рассмотрении пары отношений предпочтения:
отношения -< на F и отношения -<' на X. При таком
подходе мы должны были бы интересоваться условиями,
налагаемыми па отношения -< и -<.', из которых следовало
бы существование веществепнозначной функции и на
X = \JX{s) и вероятностной меры Р* на S, удовлетво-

§ 12.2] ТЕОРИИ ОЖИДАЕМОЙ. ПОЛЕЗНОСТИ 259
ряющих условию (12.5) вместе с условием % -<' у -*=>.
<=*- гг(х) < и (у) для всох i, j£lfl пока не знаю
никакой аксиоматизации, которая давала бы это даже в том
случае, когда множества X и F конечны, а различные
множества X(s) не пересекаются.
Внешние вероятности. В дополнение к подходу
Сэвиджа к представлению (12.5) многие авторы
разработали теории, в которых в аксиомах фигурируют
некоторые внешние вероятности. Эти вероятности могут не
иметь ничего общего с мерой Р*, которая, подобно
функции и, должна быть получена на основе аксиом.
Внешние вероятности концептуально могут быть связаны
с результатами действий некоторых случайных устройств,
вроде колес рулеток, костей пли вращающихся на
круглых дисках стрелок. В этих случаях аксиомы
применяются к отношению -< на некотором множестве элементов,
построенных из элементов множества F и этих внешпих
вероятностей. Множество, на котором рассматривается
отношение -<, содержит F как конкретное подмножество.
Аксиомы для представления (12.5), которые
используют внешние вероятности, могущие принимать любые
значепия между нулем и единицей, предлагались
Черновым [1], Энскомбом и Ауманом [1], Праттом, Райфой
и Шлейфором [1], Эрроу [2] и Фишберном [4]. В
следующей главе исследуются два варианта этой теории.
В первом предполагается, что множество S копечпо, что
соответствует подходу Пратта, Райфы и Шлейфера и
требует лишь наличия минимального взаимного
перекрывания между множествами X(s) для различных se5.
Это перекрывание необходимо для того, чтобы иметь
некоторую основу, на которой определяется мера Р*. Второй
вариант теории не накладывает ограничений на размеры
множеств S и X, но предполагает, что, как и в теории
Сэвиджа, X(s) = X для всех s. Однако, в отличие от
теории Сэвиджа, на меру Р* не накладывается почти
никаких ограничений.
Аксиомы для представления (12.5), в которых
используются только внешние вероятности, принимающие
значение 1/2 (т. е. понятие равновероятной лотереи
с двумя исходами), были разработаны Сапсом [1].
Теорию Сапса можно рассматривать как логическое
завершение идей Рамсея [1]. За более подробными сведениями
17*

260
СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ
[ГЛ. 12
мы отсылаем читателя к работе Сапса [1]. Кое-что из
теории, использующей лотереи с двумя равновероятными
исходами, представлено в упражнениях главы 13.
Остаточная неопределенность и пары действие —
состояние. На практике редко удается добиться того, чтобы
при задании состояний не оставались неописанными
никакие существенные аспекты природы. Независимо от
того, насколько точпо мы описываем потенциальные
реализации природы, эти описания обычно бывают неполными,
даже когда состояния отвечают логическим требованиям
быть взаимоисключающими и исчерпывающими в
совокупности. Таким образом, указание действия / и
состояния s даст нам возможность кое-что сказать о том, что
в итоге наступит, хотя мы никогда не можем быть вполне
уверены в том, что именно произойдет, если выполнено
действие / и осуществляется состояние s. Часть этой
остаточной неопределенности может быть описана в явном
виде с помощью расширения множества S, с тем чтобы
получить некоторое более тонкое множество состояний.
Это может также повлечь за собой необходимость
некоторого расширения множества F.
Этот практический вопрос выглядит поэтому как
вопрос о том, насколько детализирование следует задавать
состояпия в свете цели принятия решения и важности
потенциальных исходов.
Возможность остаточной неопределенности (когда при
заданных / и s мы все же не вполне увероны в том, что
именно произойдет) приводит нас к формулировке,
которая но пытается детализировать точные исходы. В этой
формулировке исходы f(s) заменены парами действие —
состояние (/, s) eFX S. Неопределенности, не
разрешаемые путем простого указания пар действие — состояние,
могут мысленно учитываться принимающим решение
субъектом в ходе обдумывания им своих предпочтений.
В этом случае никакая пара действие — состояние не
можот появляться при более чем одном состоянии. Мы
имеем, таким образом, разновидность описанной выше >
ситуации когда X(s)[}X(s') ~ 0. Обозначая здесь через
и функцию полезности на FXS, мы можем поставить
вопрос об условиях, накладываемых на бинарное
отношение -< на F и бинарное отношение -<' на FXS, из которых
следует существование такой вещественнозначпой функ-

§ 12.3] МОДЕЛИ БЕЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ
дни и па F X S и такой вероятностной моры Р* на S, что
(/, s)-<'(g, t)**u(f,s)<u{g,t)
для всех (/, s), (g, t)(=FXS, (12.6),
/ -< g ^ Я[в(/, S), Р*] < £[B(g, S), Р*]
для всех /, g e: F. (12.7)
Я но знаю пока ни одной более или менее
удовлетворительной аксиоматизации для этой модели.
§ 12.3. Модели, не использующие вероятностей
состояний
Несмотря на отсутствие аксиом для F X S-модоли,
которая выражается формулами (12.6) и (12.7), мы можем
сформулировать аксиомы для более общих, но, возможно,
несколько менее интересных форм этой модели. В этих
формах постулируется аддитивность по состояниям, но не
делается попытки определить вероятности состояний.
Опишем кратко несколько таких форм. Эти описания
применимы также и к формулировке в терминах исходов,
когда X (s) П X (s') = 0 при s ф s'. На протяжении этого
параграфа предполагается, что оба множества F и S
являются конечными.
Отдельное упорядочение для каждого состояния.
В нашем первом случае мы предположим, что
принимающий решение субъект имеет слабое упорядочение -< на F
наряду со слабым упорядочением -<е на F для каждого
состояния s. Таким образом, отношение -<, является
упорядочением множества F при условии, что
осуществляется s. Если бы на самом деле принимающий решение
субъект имел слабое упорядочение -<' на F X S, то
отношение -<, можно было бы получить как ограничение
отношения -<' на FX{s}. В этом контексте мы
интересуемся существованием всщественпозпачпой функции и на
F X S, которая удовлетворяет условиям
f-<sg<^v(f, s)< v{g, s) для всех /, g<=Fws<=S, (12.8)
/-<g^>2w(/,s)<Sw(/T,s) для всех f,ge=F. (12.9)
s s
При условии, что все рассматриваемые отношения явля-

202
СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ
[ГЛ. 12
ются слабыми упорядочениями, из теоремы об
альтернативе (теорема 4.2) может быть выведена некоторая
аксиома независимости вдоль состояний, которая
является необходимой и достаточной для (12.8) и (12.Н). Один
вариант такой аксиомы имеет следующую формулировку:
если f=^g' (т. е. /; -< gj или f ~ g>) для / = 1, ..., т
и если для каждого s существует такая перестановка
f\ ..., / "последовательности /', ..., /'", что g} ^s f ' для
/ = 1, ..., то, то на самом деле f ~ g' и g3 ~s f для
всех /' и s.
Не говоря уже о вопросе относительно
нетранзитивного безразличия, модель, выраженную формулами
(12.8) и (12.9), можно подвергнуть критике потому, что
принимающий решение субъект может иметь
небезразличное слабое упорядочение -<я, когда он рассматривает s
как фактически невозможное состояние. В (12.7) мы
можем это учесть, положив P*(s) = 0, но единственный
способ отразить в общем виде в формуле (12.9) утверждение
«s невозможно» состоит в том, чтобы считать функцию
v(f, s) на F постоянной при заданном s, и если формула
(12.8) должна быть справедлива, то мы требуем, чтобы
выполнялось (/, s) ~s{g, s) для всех /, g^F. Эту
критику легко обойти, исправив модель, заданную формулами
(12.8) и (12.9), путем исключения всех состояний,
которые, по мнению принимающего решение, не имеют
возможностей осуществиться. Такие состояния в
последующих двух главах будут называться нулевыми
состояниями.
Легко усмотреть, что эта модель, а потому и условие
независимости, могут быть бессмысленными, когда
«состояние», которое осуществляется, зависит от выбранного
действия. Предположим, например, что вы хотите что-то
продать и можете либо рекламировать это (ценой
некоторых издержек), либо не рекламировать. Пусть
«состояниями» будут «s = предмет продан» и «£ = предмет не
продан». Тогда, несомненно, «рекламировать -i, не
рекламировать» и «рекламировать -Kt не рекламировать». В
соответствии с нашей моделью при этом требуется, чтобы
было «рекламировать -< не рекламировать», а такой
вывод означал бы, если бы мы отнеслись к нему серьезно,
что рекламой не следует пользоваться никогда.

§ 12.3] МОДЕЛИ БЕЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ 263
Действия при полной информации. Одна из
альтернатив к прямому использованию отношений -i, состоит
в том, чтобы работать только с отношением -< па
некотором множестве, содержащем F. Например, пусть £Г —
множество всех функций, отображающих S в F: функция
fe^", которая для каждого sg5 ставит в соответствие
состоянию s действие f(s) является действием с полной
информацией. Дадим функции f следующую
интерпретацию.
Предположим, что принимающий решение субъект
выбирает некоторую функцию f e SF. Он отдает ее тогда
некоторой воображаемой второй стороне, которая имеет
полную информацию о том, какое состояние
осуществляется, и обеспечивает выполнение действия f(s) для того s,
которое осуществляется. В терминах отношений -<s
наиболее предпочтительная для принимающего решение
функция f, по-видимому, должна быть такой, чтобы при
любом s соотношение / =^ sf(s) выполнялось для всех f^F.
(При этом предполагается, что состояние, которое
осуществляется, от выбранного действия не зависит.) F
является подмножеством множества ЗГ, состоящим из всех
постоянных функций.
При такой формулировке мы интересуемся
существованием вещественнозпачной функции v на FXS,
удовлетворяющей условию
f -< 9 <Н>2v(f(s), s)< 2 v (g(s), s) для всех f.gef.
s s
(12.10)
Условия теоремы 4.1 применяются непосредственно
к этому случаю. Тем самым представление (12.10) имеет
место тогда и только тогда, когда [f'(s)i.. .,fm(s) является
перестановкой последовательности Q1 (s), ..., 9m(s) для
каждого s65, f =^ g5' для / = 1, . . ., m — 1] => fm -< %m.
Один вероятностный довод (использующий внешние
вероятности) в поддержку этого условия независимости
состоит в следующем. Предположим, что f'(s), ..., fn(s) —
перестановка последовательности g1 (s), ..., gm(s) для
каждого s. Обозначим через 2(^/'re)f «альтернативу»,
«выполнение» которой производится следующим образом.
Бросается сбалансированная кость, имеющая тп
симметричных граней, занумерованных числами от 1 до тп,

264 СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ - [ГЛ. 12
и если выпадает /-я грань, то применяется функция fJ;
если при этом осуществляется состояние s, то (fJ(s), s)
и окажется получающейся в результате парой действие —
состояние. Выражепие 2(1М)б5 имеет аналогичную
интерпретацию. Предположив для удобства, что все
действия Р(s) для ; = 1, ..., т являются различными, мы
получим, что при осуществлении состояния s каждая из пар
(f'(s), s), .. ., (fm(s),s) с равной вероятностью может быть
результатом действия 2(1/те)Р- То же самое верно и по
отношению к2(1/т)й', и, поскольку %x(s), ..., gm(s) есть
перестановка последовательности f'(s), ..., fm(s),
представляется естественным рассматривать действия 2(1/^)?3
H2(1M)SJ как по существу эквивалентные, если
осуществляется состояние s. Поскольку это верно для каждого
s, мы можем считать, что 2(l/m)fjf~ 2(1М)й'.
Теперь, если на самом деле условие независимости
нарушается, т. е. ели будет f=^ g5' для всех / < т и \т-<
-<Qm, то мы должны считать, что 2(1/"*)^ -<2(1М)8},
а это противоречит нашему «естественному» выводу, что
2(l/m)f'~2(l/W.
Внешние вероятности. Модель, задаваемая формулой
(12.10), может быть вложена в некоторую модель,
использующую внешние вероятности. В частности, пусть
5s — множество всех (простых) вероятпостных мер на 2Г.
Псевдооперационная интерпретация для Рей3 состоит
в том, что с помощью Р определяется некоторая функция
fe#": тогда, если осуществляется s, то (f(s), s) будет
получающейся в результате парой действие — состояние.
В этой формулировке аксиомы теоремы 11.1,
применяемые к Xi = FX{s,}, приводят к представлению
Р<<?«42ЯИ/,*),^.]< 2 ЯИ/. *),<?.]. (12.11)
s s
где Ps — проекция на F X {s} меры Р и функции v (•, s)
для seS являются единственными с точностью до
подобных положительных линейных преобразований.
Формула (12.10) следует из (12.11), если положить f-^g^^
^Р-Ч<?приР(О=<?(0)=1.

УП*АЖНЁЙШ* 265
§ 12.4. Резюме -
В принятой формулировке в терминах состояний
природы, принадлежащие множеству F действия
рассматриваются как функции, отображающие состояния в исходы.
Состояния представляют собой некоторое разбиение
потенциальных реализаций природы, в идеале не
оставляющее неописанными никаких существенных аспектов.
Обычно предполагается, что состояние, которое
осуществляется, не зависит от действия, выбранного
принимающим решение субъектом. Если это не так, то новые,
удовлетворяющие этому условию независимости
состояния могут быть определены как функции, отображающие
действия в исходное множество состояний. Такая
переформулировка аналогична определению состояний как
функций, отображающих действия в исходы, что было
предложено в этой главе в связи с моделью типа
действия— исходы, описанной в части П.
Мы убедились, что при наличии некоторой
фундаментальной согласованности между обычной моделью в
терминах состояний и моделью из части II эти модели дают
различные, но эквивалентные способы характеризации
принятия решений в условиях неопределенности с точки
зрения ожидаемой полезности.
В случаях, когда действия и состояния определены, но
точпые исходы могут не быть известными во всех
подробностях, аксиомы независимости по состояниям
приводят к моделям аддитивной полезности, которые не
содержат явно вероятностей состояний.
Упражнения
Указатель. 1. Условные вероятности исходов. 2.
Эквивалентность двух подходов. 3. Пример, отпосящийся к перомопо работы.
4. Психология выбора времени. 5. Аксиома независимости. 6.
Пример с исходами выигрыш — проигрыш и вероятности состояний.
7, 8. Пример, касающийся штрафпого удара. 9. Сделать
предложение другой девушке. 10. Теорема об альтернативе для условий
(12.8) - (12.9).
1. С помощью формул (12.1.) и (10.5) выразить в терминах
меры Р' вероятность следующего события: «при условии, что
результат действия g будет принадлежать мпожеству А', результатом
действия / будет какой-либо исход х g4». Пользуясь формулой (12.2).
выразить эту вероятиость в терминах меры Р*.

260 СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ (ГЛ. 12
2. Пусть все рассматриваемые множества конечны, полезность
действия / в подходе, изложенном в части II, записывается как
2а и (х) Р * {х), а в модели, использующей состояния природы,—
X
как ^u(f(s))P*{s). Предполагая, что Pj(x) =P*{{s: f(s) = х}),
S
показать, что ^ " (/ (s)) р* (■*) = 2 и (ж) р1 (ж) •
s х
3. Человек, зарабатывающий 10 000 долл. в год, получил от
другой компании предложение работать в ней с окладом
14 000 долл. в год. Он решает уведомить свою компанию, что уйдет
с работы, если ему не будет установлена новая зарплата в х долл.
В качестве х он решает назвать одну из величин 13 000, 14 000 или
15 000. При наибольшем из этих значений переменной х компания,
по всей видимости, отклонит его требование: в этом случае он
сможет перейти на новую работу с окладом 14 000 долл.
Сформулировать эту задачу принятия решения в терминах подхода,
изложенного в части II. Потом переформулировать ее в терминах
состояний природы таким образом, чтобы состояпие, которое
осуществляется, не зависело от выбранного значения х.
4*. Предположим, что вы должны сделать выбор между
альтернативами / и g, когда выигрыш от вашего выбора будет
зависеть от результата бросания слегка изогнутой монеты, которая
вам была показана. Кроме того, вы можете либо (1) сначала
выбрать / или g, после чего монета будет подброшена посредником,
либо (2) сделать свой выбор между / и g после того, как посредник
подбросит монету, но информацию об исходе бросания получить
лишь после того, как вы сделаете выбор. Считаете ли вы, что ваше
решение о выборе между / и g будет каким-либо образом зависеть
от того, какая из процедур (1) и (2) будет вами выбрана, в
предположении, что вы абсолютно уверены в честности арбитра?
Объяснить соображения, на которых основан ваш ответ.
5*. Переработанный пример Эллсберга [1] и Райфы [I]. В
урне содержится один белый map (W) и два других шара. Об этих
остальных двух шарах вам известно только, что либо опи оба
красные (Я), либо оба зеленые (G), либо один из них красный, а
другой зеленый. Рассмотрим две описываемые далее ситуации, где
W, R и G обозначают «состояния» (которые не зависят от
выбранного действия), соответствующие тому, будет ли один извлеченный
наугад шар белым, красным или зеленым.
W R G
f
Г
в'
100 долл. 0 долл.
100 долл- 0 долл.
0 долл
W
0 долл.
R
100 долл. 0 долл. 100 долл.
0 долл. 100 долл. 100 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 267
Указанные здесь суммы долларов суть выигрыши, которые
будут вам выплачены после того, как вы сделаете свой выбор и
будет извлечен один шар.
a) Какую из альтернатив / и g вы предпочитаете? Какую из
альтернатив /' и g' вы предпочитаете?
b) Показать, что пара соотношений (g -< /, /' -< g') парушает
следующую аксиому независимости: если (fi(s), f2(s)} = {gi(s),
g2(s)} Для каждого s <= S и если /j -< gt, то не выполняется
соотношение /2 -< g2- Воспользоваться доводом, подобным приведенному
после формулы (12.10), чтобы аргументировать «логическую
несовместимость» пары соотношении (g -</,/'-< g').
c) Если вашим ответом в пункте а) было g -< / и /' -< g',
убеждает ли вас пункт Ь) в том, что в вашпх предпочтениях имеется
нечто ошибочное? Провести анализ.
6. Предположим, что принимающий решение субъект можег
выбрать одну из двух стратегий / и g, а его «противник» может
независимо выбрать одну из двух стратегий /' и g'. Для
принимающего решение возможны только два исхода: «выиграть» или
«проиграть». Он считает, что любой из этих исходов может наступить
при любой из четырех ситуаций, принадлежащих множеству {/,
е) X {/', ?'}• Для подразделения его «природы» могут быть
использованы восемь состояний, проставленные вверху таблицы 12.1.
Каждое состояние указывает стратегию, выбранную его противником,
и для каждой из стратегий / и g указывает, выиграет ли
принимающий решение или проиграет.
Таблица 12.1. Матрица значений функции v
£l «2 S3 Sf S5 Sfi St Sg
/'
/ : w
g:w
f
g
0
0
/ : w
3
0
f:l
g-.V)
0
2
i-.l
0
0
s
j : w
g • w
0
0
j-.w
g--l
1
0
I-.l
g:w
0
3
/si
0
0
w—выигрыш, I — проигрыш
a) Будет ли состояние, которое осуществляется, зависеть от
той из стратегий / и g, которая выбрана принимающим решение
субъектом?
b) Предположим, что в качестве осповы для оценки чисел v,
указанных в матрице на таблице 12.1, использована модель
аддитивной ожидаемой полезности без вероятностей состояний,
аналогичная модели, описанной формулой (12.11). Согласно этому, g
является наилучшим действием, так как 3+1<2 + 3. В обычной
модели в терминах состояний, которая охарактеризована формулой
(J 2.Г>), мы имели бы в качестве ожидаемой полезности для / число
8
^J u(f{si))p* (si)> а в качестве ожидаемой полезности для g —

268
СОСТОЯНИЯ ПРИРОДЫ
[гл; 12
число 2 и (%{si) р* {si)), гДе /(s')t g(s<) s {выиграть, проиграть)
1
для каждого i. В предположении, что эти две модели согласованы
друг с другом, мы имели бы P*(s2) = За, P*(s3) = 2а, P*(ss) = а
и Р* (s7) = За, где а > 0. Объяснить, почему это так. Что можно
сказать, исходя из этих данных, о вероятности Р* ({sb s4, s5, s8})?
Имеется ли какая-ппбудь необходимость в оценке вероятностей
P*(si), P*(s4), P*(ss) и P*(s8), когда принимается обычная модель
в терминах состояний?
7. В футболе пепальти может рассматриваться как игра двух
лиц, нападающего и вратаря. Вратарь может выбрать одно из трех
действий:
/ = стоять пеподвижно до момента, когда будет произведен
удар;
g = двипуться вправо чуть раньше, чем будет пробит удар;
h = двинутся влево чуть раньше, чем будет пробит удар.
Предположим, что нападающий будет целиться вправо или
влево (с точки зрения вратаря). Предполагая некоторые симметрии,
вероятности гола выппсаны в таблице 12.2: (3 — вероятность того,
что гол не будет забит, если вратарь двипется вправо и удар будет
нанесен вправо. Ясно, что fS > а > f.
Таблица 12.2. Условные вероятности исходов
/
УДар
вправо
удар
влево
8
удар удар
вправо влево
удар
вправо
мяч отбит
мяч пропущен
УДар
влево
а а
1—а 1—а
р V
1—Р 1-V
v р
1-7 1—Р
а) Если вратарь считает удар влево и удар вправо
равновероятными (что на самом деле может быть не так), показать, что при
2а > (3 + 1 наилучшим является действие /, а при р + 1 > 2а
наилучшим является либо g, либо h.
Ь) Переформулировать эту задачу как типичную модель в
терминах состояний с действиями /, g и h и с 16 возможными
состояниями.
8 (продолжение). Предположим, что в предыдущем
примере мы используем только укрупненные состояния: s = удар
вправо и t = удар влево и что оценка функции v на {/, g, h} X {s, i) в
соответствии с формулой (12.11) дает v(f, s) =2, v(g, s) = 6, v(h,s) =
= 0 и v(f, t) =3, v(g, t) = 0, v(h, t) = 9. Какое действие
является в отих условиях наиболее предпочтительным? Описать
наилучшее действие в условиях полной информации. Подсказывает ли
вид функции v, что вратарь рассматривает состояние s как более
вероятное, чем состояние t? Почему?
9. Предположим, что модель с внешними вероятностями,
подобная той, которая описывается формулой (12.11), дает следую-

УПРАЖНЕНИЯ
269
щуго матрицу значений функции v на F X S для примера с
женитьбой из\§ 12.1:
сделать предложение Алисе
сделать предложение Бетси
«1 (обе ^(только s,(только st (обе
скажут Алиса Бетси ска- скажут
«да») скажет жст «да») «нет»)
«да *)
a) Иа какой из девушек охотнее женился бы этот молодой
человек?
b) Какой девушке ему следует сделать предложение? (Какое
из действий более предпочтительно?)
c) Предположим, что для определения полезностей трех
возможных исходов использованы внешние вероятности согласно
теории, изложенной в главе 8, и что и (остаться холостым) = О, и
(жениться на Бетси) = 3, и (жениться на Алисе) =4. (Тем самым
альтернатива «жениться на Бетси» равноценна лотерее,
результатом которой с вероятностью 0,75 будет «жениться на Алисе» и с
вероятностью 0,25 «остаться холостым»). Доказать, что эти данные
вместе с числами, указанными в приведенной выше матрице,
означают, что Р* (Бетси скажет «да») = (14/9) Р* (Алиса
скажет «да»).
10. Воспользоваться теоремой об альтернативе, чтобы
проверить, что условие независимости, сформулированное вслед за
формулой (12.9), вместе с условием, что рассматриваемые отношения
являются слабыми упорядочениями, достаточно для
существования представления (12.8), (12.9).

Глава 13
АКСИОМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВНЕШНИХ
ВЕРОЯТНОСТЕН
В этой главе излагаются два варианта вывода модели
ожидаемой полезности
f^g<*E[u(f(s)),P*]<E[u{g(s)),P*]
для всех /, geF, (13.1)
которые опираются на внешние вероятности, как это
было описано в § 12.2. При первом варианте требуется,
чтобы множество S было конечным, и предполагается
наличие некоторого минимального взаимного
перекрывания между существенными исходами для каждого
принадлежащего множеству S состояния. При втором
варианте на мощность множества S не накладывается
никаких ограничений, но предполагается, что все исходы
являются существенными при каждом состоянии. На основе
этих аксиом определяются как мера Р*, так и функция и.
В § 13.4 показано, как эти аксиомы могут быть
применены к описанной в части II модели принятия решения.
В этой главе предполагается, что все вероятностные
меры определены на семействе всех подмножеств их
носителя. Выражение «мера Р* на 5» будет пониматься
как сокращение выражения «мера Р* на семействе всех
подмножеств множества S».
§ 13.1. Тотализаторы
Целью этого параграфа являтся определение
большинства терминов, используемых в дальнейшем в этой
главе, и доказательство одной теоремы о тотализаторах.
К этим терминам в наших аксиомах будет применяться
отношение -<.

1 § 13.11 ТОТАЛИЗАТОРЫ 271
На\всем протяжении этой главы через S будет
обозначаться множество состояний природы. Подмножества
множества S, называемые событиями, будут обозначаться
через {s}, А, В, С, ... Разбиением множества S
называется множество непустых событий, которые являются
взаимно исключающими и объединение которых есть S.
Через Ас обозначается дополнение события А в S:
А" = {s: s<£A, s^S]. Пара {А, Ас) является разбиением
множества S на две части, в предположении, что
0 а AcS.
Через F обозначается множество всех действий.
Каждое /ef есть функция, отображающая S в множество
исходов X. Множество X(s) = {/(s): f^F] есть
множество исходов при состоянии s; будем полагать X = {] X(s)
S
Через £P(s) обозначается множество всех (внешних)
простых вероятностных мер на X(s). 3* — множество всех
простых вероятностных мер на X.
Термин «тотализатор» был введен Энскомбом и Аума-
ном [1]. Тотализатором называется функция на S,
которая ставит в соответствие каждому s e S некоторую Mej.y
Pe^(s). Множество всех тотализаторов мы обозначим
через Ж. Тотализаторы будут обозначаться буквами
Р, Q, R, ... Мы примем следующую псевдооперационную
интерпретацию для Р е Ж: если «выбран» тотализатор Р
и осуществилось состояние s e S, то получающийся в
результате исход, принадлежащий множеству X(s),
определяется в соответствии с мерой P(s)^£P(s).
Если Р, Q £Е Ж и 0 ^ а ^ 1, то аР + (1 — а) Q также
есть тотализатор из Ж, который ставит в соответствие
каждому seS меру aP(s) + (l— a)Q(s)s^(s). При
такой интерпретации Ж является множеством смесей
(определение 8.3).
Взяв отношение -<. на Ж в качестве исходного
бинарного отношения, положим
P^Q<^(P^<Q,Q~<P),
P^Q<^(P-<Q или Р ~ Q).
Событие Ле5 называется нулевым -*=> Р ~ Q всегда,
когда P(s) = Q(s) для каждого sei'. Состояние s
называется пулевым <=> {s} — нулевое событие.

272 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
Следующая теорема аналогична теореме 11.1.
Теорема 13.1. Предположим, что множество S
конечно и для любых Р, Q, R si выполнены следующие
условия:
А{. Отношение -< на Ж является слабым
упорядочением.
А2. (Р -< Q, 0 < а < 1) =>аР+ (l-a)R-<aQ +
+ (l-a)R.
A3. (Р -< Q, Q -< R) =► аР + (1 - а) Я -< Q и
для некоторых а, ре (0, 1).
Тогда, если S = {si, ..., s„}, то существуют такие
веществ еннозначные функции щ, ..., ип соответственно на
X(si), ..., X(sn), что
P<QJllE(ui,P(si))<\^iE(ui,Q(Si)) ;. ^\
J=l Li=l
для всех Р, Я<=Ж. (13.2)
Эти функции ut, удовлетворяющие (13.2), являются
единственными с точностью до подобных положительных
линейных преобразований. При этом функция щ на X(st)
является постоянной тогда и только тогда, когда
состояние Si является нулевым.
Доказательство. По теореме 8.4 существует ве-
щественнозначпая функция и на Ж, удовлетворяющая
условиям
P-<Q^>u(P)<u(Q),
в(аР+(1 —a)Q)=aii(P) + (l —cc)b(Q), ,
и функция, обладающая такими свойствами, единственна
с точностью до положительного линейного
преобразования. Для удобства мы будем писать Q= (Q(si), ...
.. ., Q(sn)) = (Qi, . .., Qn), где Qt ge &>(s,) для каждого i.
Зафиксируем элемент R — {Ri, • • •, Rn) из множества
Ж и положим Pi = (Ri, ..., Ri~i, Ph Ri+i, ..., Rn). Тогда
при Р = (Pi, ..., Pn) мы имеем
(1/п)Р + ((п-1)/п)Л=2(1/п)Р,.
i=l

§ 13.1]\ ТОТАЛИЗАТОРЫ 273
Следовательно,
п
u(P) + (n—1)и(Л)= 2 u{Pi).
Определим функцию Ut на 5я (st), положив
и,(Р,) = и(Р4) - ((в- 1)/в) и (Я).
Тогда суммируя по i, мы получим
%ui(Pi)= 2«(Р,)-(в-1)«(Л) .
и тем самым
u(P)=Iiui(Pi).
Пусть, далее, Qi~(Ri, ..., Л4-ь Q,, Ri+i, ..., /?„).
Тогда, согласно предыдущему результату, должпо быть
и(aPt + (1 - a) Qt) = и» (аР, + (1 - а) Qt) + 2 и, (ЯД
3>i
Кроме того,
u(aPt+ (l — a)Qt) =аи(Р,) + (1 —а)и(<?,)' =
= аи, (Р,) + (1 - а) «»(<?г) + 2 и, (Я,),
з>»
и тем самым
Ui(aPi + (1 — а)<?0 = aUj(Pi) + (l — а)ц;(<?,).
Поскольку элемепты множества £P(Si) являются простыми
вероятностными мерами, положив и{(х) = ц;(Р(), когда
Pi(x)= 1, мы получим Ui(Pi) — E(u{, Pi) и (13.2) следует
пз установленных выше результатов.
Единственность с точностью до соответствующих
положительных линейных преобразований следует
непосредственно из такого свойства единственности для
функции и. Если функции Vi удовлетворяют формуле (13.2)
п
вместе с функциями ии то, положив v(P) ~ 2j E{vi,Pi),
мы получим v == аи + b, где а >• 0. Если моры Pj явля-
1° П. Фишберн

274 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
ются фиксированными для всех / ф- i, то из этого следует,
что Vi = ащ -f bt. Последнее справедливо для каждого L
Очевидно, что функция щ постоянна на X(st) тогда и
только тогда, когда состояние st является нулевым.
§ 13.2. Теория для конечного множества состояний
Для того чтобы на основе теоремы 13.1 получить
функцию и на X =\JX(s) и меру Р* на S, будут исполь-
S
зованы еще две аксиомы. Первая из них (аксиома Л4)
требует, чтобы два небезразличных по отношению друг
к другу исхода х% и х* появлялись в каждом множестве
X(s). Следовательно,
{х%, i*}eI(s) f)X(t) для любых s, t eS.
Допуская удобную вольность речи, мы будем говорить,
что простая вероятпостная мера Р, которая приписывает
множеству X(s)<~]X(t) вероятность 1, принадлежит
обоим множествам !?(s) и ^(t), и при этом писать
P^^(s) C\&(t).
Другая вводимая аксиома (А5) выражает некоторое
свойство монотонности. Она требует, чтобы для любых
непулевых состояний s и t с обоими этими состояниями
было связано одно н то же упорядочение для всех мер
Pe^(s)f|^(()' Иными словами, предпочтения между
исходами или вероятностными мерами на множестве
исходов, которые могут наступать при разных состояниях,
должны быть независимыми от этих состояний.
Теорема 13.2. Предположим, что выполнены уело-
вия теоремы 13.1 и, кроме того, соблюдаются следующие
два условия:
ЛА. Существуют такие исходы х%, х*, что х%, i*el(s)
для любого s^S, и если мера P{s) (соответственно Q(s))
для каждого s&S ставит в соответствие исходу х%
(соответственно х*) вероятность 1, то Р,~< Q.
АЪ. Если s, teS — ненулевые состояния, Р, (? е
«=£>(*) Г) ^(*) «РеД то
(Р с мерой Р вместо P(s))-<(P с мерой Qвместо P(s)) -*=>■
-*=*- (Р с мерой Р вместо P(t))-*((P с мерой Q вместо P[t) )y

j 13.2) ТЕОРИЯ ДЛЯ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА СОСТОЯНИЙ 275
Тогда существуют такая вещественнозначная
функция и на X и такая вероятностная мера Р* на S, что
p-<Q**E[E(u, P(s)), P*]<E[E(u, Q(S)), P*]
для всех P, Q «= 2/ё, (13.3)
причем равенство P*(s) = 0 равносильно тому, что s —
нулевое состояние. Кроме того, если функция v на X и
вероятностная мера Q* на S удовлетворяют соотношению
(13.3) вместе с и и Р*, то Р* — Q* и существуют такие
числа а > 0 и Ь, что v(x) = аи{х)-\- Ь для всех
Z£E UX(s).
<s: s «('нулевое!
Если мы определим отношение -< на F на основе
отношения -< па Зв, положив / < g ■*=> Р -< Q, когда P(s)
(соответственно Q(s)) приписывает вероятность 1 исходу
/(s) (соответственно g(s)) для каждого s<=S, то
представление (13.1) непосредственно получается из
представления (13.3).
Доказательство. Пусть S = {su ..., s„). Исходя
из результатов теоремы 13.1, мы видим, что из Л4
следует непустота множества I = {i: Si e S и s, ненулевое}.
Если имеет место представление (13.3), то функция
P*(si)u на X(si) должна быть положительным линейным
преобразованием функции и, и, следовательно, P*(s) =
= 0 -*=>- s — пулевое состояние.
При / = {г} соотношение (13.3) следует из (13.2),
если положить P*(s,)=l и и(х)= щ(х) для всех
iel(si). На остальной части множества X функция и
может быть произвольной. Очевидно, что в этом случае
на X(st) функция и является единственной с точпостью
До положительного линейного преобразования.
Если множество / состоит более чем из одного
элемента, обозначим через @» множество всех простых
вероятностных мер на Xn = X(si) f)X(sj), когда г, /е/.
Допуская для удобства некоторую нестрогость, будем
полагать, что P^^(Si) и P^SP(sj), если Peff, По (13.2)
и А5, для всех Р, Q &£Рц имеет место
E(ut, P)<E(u,, Q)<^E(uh Р)<Е(щ, Q).
Тогда, согласно аксиоме Л4 и заключительной части
теоремы 8.2, существует такое единственное число Гц > 0
18*

276 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
(которое остается неизменным при соответствующих
положительных линейных преобразованиях функций щ
и щ), что для всех х eZ«
Ui(x) — ui(xit.) = rij[a1(x)—ui(x^)]. (13.4)
Зафиксируем (е/и определим функцию и и меру Р*,
положив
P*(si) = гн1^ги для всех ie/,
/iei
Р* (Si) = 0 для всех i Ф /,
и(х) — [ui(x) — Ui(x%)]!P*(Si), если x^X(si) nie/,
и(х) = 0, если a;^UX(Si).
i
Чтобы показать, что функция и определена корректно,
надо доказать, что
щ (х) — ut (ж*) =
= — [uj (x) — Uj (or*)], если i,/e/ и же Х1}. (13.5)
Согласно формуле (13.4), мы имеем * ,
rit _ [ut (x*) — м- (х*)]/[иг (ж») — Mf (ж»)] __
^= [иу(**)-«у (**)]/[«*( (**)-»((*•)] ~
_ К-(а*)— Ц; (*♦)] _
~~ [»;(*•)-«/*»)] _Г"'
Таким образом, для этих £, / (13.5) следует из (13.4).
Подставив в соотношение (13.2) выражения для
функций «; через функцию и, мы получим (13.3).
Из неравенства ц(ж$) ■< ц(ж*) и утверждения о
единственности из теоремы 13.1 легко следует, что мера Р*
является единственной, а функция ц на U X (st) — един-
i
ствениой с точностью до положительного линейного
преобразования.

§ 13.3] ОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ТОТАЛИЗАТОРОВ 277
§ 13.3. Однородная теория тотализаторов
Определения из § 13.1 остаются в силе и в этом
параграфе.
В случае, когда множество S бесконечно, подход, осно-
вапный на понятии тотализатора, наталкивается на
серьезные математические трудности, если предполагать лишь
наличие минимальных взаимных пересечений множеств
X(s). Поэтому мы будем в этом параграфе предполагать,
что X = X(s) для всех s^S. Далее приводятся
некоторые дополнительные определения.
Тотализатор Р называется постоянным на событии А
-& P(s) = P(t) для всех s, fe4. Если P(s) = Р (где
Р — мера, принадлежащая &) для всех sei, то мы
будем говорить, что Р = Р на А. Будем полагать Р = Q на
А •**=>- P(s) = Q(s) для каждого s^A. Таким образом,
А — пулевое событие -*=*- Р ~ Q, как только Р = Q на А".
Определил! отношение -< на 9* на основе отношения -<
на Ж следующим образом: для Р, Q е ^ положим
P<Q<^P-<Q, если P = PnQ = Q на. S. Положим
также Р -< Q -*=»- Р -<Q, если Р = Р на S. Соотношения
Р ~ О, P ~ Q, Р =4 Q, ... определяются аналогичным
образом.
После того как мы сформулируем нашу основную
теорему, мы докажем ее, сводя к доказательству ряда лемм.
Теорема 13.3. Предположим, что для всех Р, Q,
Ке^ выполняются следующие аксиомы:
В{. Отношение -< на Ж является слабым
упорядочением.
52. (Р -< Q, 0 < а < 1) =*- ссР + (1 - a)R -< ccQ +
+ (1-сс)Р .
ВЗ. (Р -< Q, Q -< R) =^аР+ (l-a)R-<Q^$P +
+ (1 — $)R для некоторых a, [j е(0, l).
54. Р -< О для некоторых Р, Q е 3*.
ВЪ. (А — ненулевое событие, Р — Р и Q — Q на
A, P = Q на AC)=>{P-<Q<=>P-<Q).
56. P(s) -< R для всех s е= S =* Р =< R, R -< Q(s) для
всех s e S =*- Р ^ Q.
Тогда существуют вещественнозначная функция и на
X и вероятностная мера Р* на S, удовлетворяющие
соотношению (13.3). Кроме того, если для функции и и меры
Р* имеет место соотношение (13.3), то справедливы
следующие утверждения:

278 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ.; 13
Ci. Каждый тотализатор Р^Ж ограничен, т. е. для
заданного Р еЖ найдутся такие вещественные числа а
и Ъ что
P*({s: а^Е(и, P(s)) ^ Ь}) = 1.
С2. Для любого A^S равенство Р*(А) — О
равносильно тому, что А — нулевое событие.
СЗ. Если существует такое счетное разбиение
множества S, что /)*(Л)>0 для каждого принадлежащего
этому разбиению события А, то функция и является
ограниченной.
С4. Вещественнозначная функция и' на X и
вероятностная мера Q* на S удовлетворяют соотношению (13.3)
при подстановке их вместо и и Р* тогда и только тогда,
когда Q* — Р*, а и' является положительным линейным
преобразованием функции и.
Условие 54 утверждает, что существует некоторая
пара постоянных тотализаторов, которые но безразличны
по сравнению друг с другом. Это условие вместе с
предположением, что X = X(s) для всех s e S, заменяет
здесь условие Л4 теоремы 13.2.
Условие В5 является очевидной аксиомой
монотонности для ненулевых событий. Условие 236 есть своего рода
аксиома достоверности или доминирования. Оно
аналогично аксиоме Л4а в § 10.4 и аксиоме Р1 в следующей
главе. Это условие необходимо только в случае, когда
множество S бесконечно.
В пояснение к утверждениям, сделанным в теореме
13.3, можно добавить, что мера Р* не обладает какими-
либо особыми свойствами сверх того, что она является
вероятностной мерой. Если множество S бесконечно, то
может быть, а может и не быть верным, что Р* (А) = 1
для некоторого конечного подмножества A cz S. Если
Р*(А)= 1 для каждого конечного подмножества А Е S,
то может быть, а может и не быть верно, что множество
S разбивается на произвольное конечное число
равновероятных событий. Точно так же и функция и пе обладает
никакими особыми свойствами, кроме тех, которые
указаны в утверждениях СЗ и С4, за исключением того, что
она ие может бытг. постоянной па X. Если условие
утверждения СЗ не выполняется, то функция и может
оказаться неограниченной.

I 13.31 ОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ТОТАЛИЗАТОРОВ ' 279
Доказательство теоремы 13.3. Чтобы доказать эту
теорему, мы докажем некоторую последовательность
утверждений, которые в совокупности устанавливают все
утверждения теоремы. Для удобства мы сначала эти
утверждения перечислим. Функция и и мера Р* в 52 — 55
определены так же, как и в 51.
51. В1 — 55=*-(13.3) для всех Р, Qe^0, где 2И$0 =
= {Р: РеЖ и Р постоянен на каждом событии из
некоторого конечного разбиения множества 5}. Функция и
и мера Р*, удовлетворяющие соотношению (13.3) на 3№0,
являются соответственно единственной с точностью до
положительного линейного преобразования функцией и
единственной мерой, а равенство Р*(А) = О равносильно
тому, что событие А — нулевое.
52. В[—BQ =$■ (13.3) для всех ограниченных
тотализаторов (см. С\).
53. (51 — 56, существует такое счетное разбиение
множества 5, что Р*{А)Х) для каждого события А из
этого разбиения) =*- функция и на X ограничена.
54. Если для каждого натурального п существует
разбиение множества 5 на п событий, каждое из которых
имеет положительную вероятность в соответствие с мерой
Р*, то существует такое счетное разбиение множества 5,
что Р* (А) > 0 для каждого элемента А этого разбиения.
55. Если предположения утверждения 54 неверны, то
из условий В\—ВО следует, что все тотализаторы
являются ограниченными. (В этом случае не обязательно верпо,
чтоР*—простая вероятностная мора; см. упражнения 5, 6.)
Заметим, что из утверждений 53, 54 и 55 следует, что
все тотализаторы ограничены. Если верны условия
утверждения 54, то по 53 функция и на X ограничена и,
следовательно, все PeJ должны быть ограниченными.
С другой стороны, если условия утверждения 54
неверны, то по 55 все Р е Ж являются ограниченными, хотя
функция и на X может оказаться и не ограниченной.
Доказательство утверждения 51. Пусть
{В\, ..., Вп)—какое-нибудь конечное разбиение
множества 5. Тогда фактически то же самое доказательство, какое
было проведено для теоремы 13.2, показывает, что
существуют такие неотрицательные числа/)в(51), ..., Рв(Вп),
сумма которых равна единице, и такая веществепно-
значная функция иа па X, что, как только Р = Рг и

280 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
Q ==■ Qi на Sj для i — 1, ..., п, выполнено соотношение
P<Q^llP*B(tBt)E(uB,Pi)<iiPl(Bi)E(uB,Ql).
(13.6)
Когда это соотношение выполняется, равопство Рв (#г) — О
равносильно тому, что S; — нулевое событие, мера Рв
единственна, а фупкция ив единственна с точностью до
положительного линейного преобразования.
Пусть Жс — множество всех постоянных
тотализаторов, принадлежащих Ж. Таким образом, Жй Е Ж§. Если
Р, ^е^, a {Si, ..., Вп} и {С\, ..., Сп}— два разбиения
множества S, то согласпо (13.6) мы имеем
Е{ив, Р) < Е(ив, Q) ^ Е(ис, Р) < Е{ас, Q).
Поэтому, заметив что Жс — множество смесей, для
которого справедливы условия Bi, B2 и ВЗ, по теореме 8.4
мы получим, что функция ас на X является
положительным линейным преобразованием функции пв на X.
Следовательно, мы можем опустить индекс при и,
указывающий, к какому разбиению относится эта функция, и
заменить (13.6) соотношением
Р <Q^ 2 PliBi) E(u, Pt)< % PliBi) Е(и,(Ы, (13.7)
i=l г=1
в котором функция и единственна с точностью до
положительного линейного преобразования.
Для события /IeS пусть
ЖА~ {Р: Р <=Ж к Р постоянен на Л и на А'}.
Если {Ви .. ., Вп} и {С\, . .., Сп} —разбиения множества
S и событие А является элементом каждого из них, то из
(13.7) следует, что для любых Р, (}^ЖА при Р = РА,
Q = QA на А и Р = РА, Q = QA па Ас выполняется соот*
ношение
Рв (А) Е (и, РА) + Рв (Лс) Е {и, Рл) < Pi {A) E (и, QA)+
+ PB(Ac)E(u,QA)^P*c(A)E(u,PA)+
+ Рс(Ас)Е(и, PA)<P*c(A)E(u,QA) + Pc(Ac)E(u,QcA).

§ 13.3] ОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ТОТАЛИЗАТОРОВ 281
Тогда, применяя соотношение (13.7) к разбиспшо {А, А'},
мы получаем Рв(А) = Р*С{А), тем самым мы можем
опустить индекс при Р*, указывающий на разбиение,
и записать соотношение (13.7) в виде
Р < Q & S P* (Bi) E(u,Pl)<Z P* (Я«) E (и, <?,)• (13.8)
t=i t=i
Чтобы завершить определение Р*, добавим равенство
Р*{0) = 0. Из доказанного следует, что Р* — однозначно
определенная функция множества, причем Р*(А) = 0
тогда и только тогда, когда А — нулевое событие.
Конечная аддитивность функции Р* легко доказывается с
помощью рассуждений, подобных предшествующим форму- .
ле (13.8), с использованием разбиений {А, В, (A \J В)с} и
{А\) В, (А\) В)% где А[\В = 0,
Чтобы получить, наконец, представление (13.3) на
всем множестве Ж®, для разбиений {В\, ..., В„} и
{Си ..., Сп) положим Р — Pi на 5, и Q = Q, на С3.
Применяя соотношение (13.8) к разбиению
{BiftC,: i = l,...,n; j = l,...,m, В%[\С}Ф0},
мы получим
P<Q&%IlP*{Bl(\C])E(u,Pi)<
<llZP*(Bir)Cj)E(u,QJ).
i i
В силу коночной аддитивности, неравенство в правой
части есть
2 Р* (В г) Е(и,Р,)<^Р* (Cj) Е {и, Qj).
г ]
Доказательство утверждения 52. Так как
Ш — множество смесей, из теоремы 8.4 следует, что на Ж
существует вещественнозначная функция v,
удовлетворяющая условиям
P-<Q^v(P)<v(Q),
v(aP + (l-a)Q)=av(P) + {l-a)v{Q).
Поскольку это верно также и на Жо Е Ж, из
соотношения (13.3) для Жо и теоремы 8.4 следует, что функция Uf на

282 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
Ж$, определенная равенством w(P)=E[E((u, P(s)), P*],
является положительным линейным преобразованием
ограничения функции v на Жй. Без ограничения общности,
мы можем, следовательно, положить
v(P) = E[E(u, P(s)), Р*] (13.9)
для всех Р е Ж0, причем
P^Q^v(P) < v(Q) для всех P,QceM, (13.10)
v{aP + {i-a)Q) = av(P) + {l-a)v(Q)
для всех (а, Р, Q)^[0, 1]Х<Ж2. (13.11)
Согласно условию (13.10), утверждение S2 будет
доказано, если мы установим, что равенство (13.9)
выполняется для всех ограниченных Pel.
Наш первый шаг в этом направлении будет
состоять в том, чтобы показать, что в случае, когда Р*(А)= 1
н определенные ниже величины end конечны,
выполняются неравенства
c = inf {E(u, P(s)): s<=A} ^ v(P) ^
^sup {E(u, P(s)): s<zeA} = d. (13.12)
Пусть Q = Р па А н с ^ Е(и, Q{s)) ^d на Лс.
Поскольку Ас — нулевое событие, должно быть Q ~ Р и по
(13.10) v(P) = v(Q). Чтобы проверить неравенства
с :g v(Q) :g d при конечных с и d, предположим, что
напротив, d<v{Q). При с ^ Е(и, Q') ^dnQ' = Q' на S
положим R = aQ~\-(i — a)Q', где а < 1— настолько
близкое к 1 число, что
d<v(R) = av{Q) + {l - a)v(Q') < v(Q).
Тогда, по (13.10), R-<Q. Но, поскольку E(u,Q(s)^d<.
<Zv(R), из (13.10) следует, что Q(s)-</? для всех s <= S
и, стало быть, но Ж), Q =^ R. В результате мы получили
противоречие. Поэтому v(Q) :S d. Неравенство с ;£ v{Q)
доказывается аналогично.
Для ограниченного тотализатора Р пусть А — событие
с Р*(А) = 1, на котором функция Е(и, P(s)) ограничена,
и определим числа end так же, как п в формуле (13.12).
Если с = d, то мы непосредственно получим равенство
(13.9). Предположим поэтому, что с < d; для удобства

g 13.3] ОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ТОТАЛИЗАТОРОВ 283
мы будем полагать, что с = 0 и d = 1. Пусть Q —
тотализатор, определенный так же, как в предыдущем
пункте; тем самым v(P) — v(Q) и согласно уираяшепию
10.22 должно быть
Е[Е(п, P(s)),P*] = E[E(a, Q(s)),P*].
Чтобы показать, что v(Q) = E[E(u, Q{s)), P*],
рассмотрим разбиение {А\, ..., Ап} множества S (не учитывая
пустые множества), определенное следующим образом:
Л1= {s: 0^E{u, Q(s)) gl/ft},
А( = {*: (i - l)/n < E{u, Q(s)) ^ i/n), i = 2, ..., n.
Пусть Р; <= £P такие меры, что
(t -l)/ng £(u, Р;) ^ i/и для s = 1, ..., n. (13.13)
Существование таких Р; гарантируется перавепствами
(13.12). Пусть Pi=Q на Л< и Р* = Р« на Л с{ (f =
п
= 1, ..., и); пусть, кроме того, Р0 = 2(l/n)^b a
Я = 2 (1/(« — 1)) ^ на А{ для г = 1, ..., п. Тогда
Mi
прп seii будет
ВД = 2(1/п)1М*) = 11/п)№ +
г
+ ((»-l)/»)S(l/(n-l))Py.
Mi
Тем самым Р0 = (i/n)Q + ((w — l)fn)R. Поэтому,
согласно условию (13.11) и определению тотализатора Ро,
выполняется равенство
п
v(Q)=Ilv(Pi)-(n-i)v(B). (13.14)
Mi
Поскольку /{g^o, из (13.9) следует, что
у(Д) = 2 д(и, 2 (i/(n-1) ^-) р*(Лд) ='
= (i/(n-i))2 2^(«,P/)|P*(^^.
i [l-i-i J

284 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [frf* 13
Подстановка этого в (13.14) даст нам
v (Q) = 2 v (Pt) - 2 2 Е {и, Pi) Р* (At). (13.15)
i=l г=1 jVi
Теперь из (13.13), (13.12) и определения
тотализаторов Р4 для £ = 1, ..., га должно быть
(г— 1)/л ^ у(Р;) ^ £/«. (13.1G)
Поскольку 0 = inf {E(u, Q(s)): s е5} и 1 =
= sup{£(w, Q(s)): seS}, меры Р{, удовлетворяющие
неравенствам (13.13), могут быть выбраны таким
образом, чтобы было либо
E(tt,P1)=l/n, Е{и, Р,) = (£-1)/га для £ > 1, (13.17)
либо
Е(и, Pt) = i/n для £ < га, Е(и, Р„) = (га — 1)/га. (13.18)
Применяя к формуле (13.15) соотношения (13.17) и
левое неравенство из формулы (13.16), мы получим
"(a^S^-V1*"^)-
i — 1 п — 1
i-1
п
' п—1 i — 1 , 1
-2
2 rare
г=2'
P*{At) =
i=2
г—1
Применяя к формуле (13.15) соотношения (13.18) и
правое неравенство из (13.16), мы получим
»«»s2-v-2[
тг—1
^ [п — 1 i . n — 1
n
n
P*(At)~
-^Р*(Л„)^2"Т^*И0+ "
n
»~i

g 13.3] ОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ТОТАЛИЗАТОРОВ 285
По определению математического ожидания, должно быть
2 ((* - 1)/л) Р* (At)^ Е [Е (и, Q (*)), Р*] ^ 2 (*/*) ^* (^i)
и тем самым для и = 1, 2, ...
!*((?)-£[£(», Q(s)),P*]\^2/n.
Следовательно, v{Q) = E[E{u, Q{s)), P*].
Доказательство утверждения 53. Пусть s4-
такое счетное разбиение множества S, что Р*(4)> 0 для
всех is^. Множество {Р*(А): iei) должно иметь
некоторый наибольший элемент. Пусть это будет P*(Ai).
Тогда множество {Р*(А): A^s£\{A1}} также должно
иметь наибольший элемент; пусть А2 то событие
А е ^\{Л1}, которому этот элемент соответствует.
Продолжая этот процесс, мы получим некоторую
последовательность событий А\, А2, ..., для которой {А\, А2, ...}=,
= s£ иР*(4,)^Р*(Л«+0 при i= 1, 2, ...
Предположим, что, вопреки утверждению 53, функция
и неограничена сверху. Пользуясь, если это необходимо,
некоторым положительным линейным преобразованием
функции и, мы можем считать, что [0, oo)s
£{Е(и, Р): Р<=3*). Пусть Pf <=>& такие меры, что
Е(и, Pt)=ifP*(At) для »= 1, 2, ... (13.19)
Пусть Р = Pi на Ai (i = 1, 2, ...), a Qn такой
тотализатор, который постоянен па каждом At для i ;£= п, постоя-
оо
нон на U А-, и удовлетворяет соотношениям
г=п+1
для всех s<=4;, г~1,...,га, (13.20)
п
E(u,Qn(s)) — 0 Оля всех se U -4;.
г=п+1
Пусть функция и на <5# удовлетворяет условиям (13.10)
и (13.11), а также условию (13.Н) на множестве Ж^.
Тогда
г-=1
= Р*{^пГ^Р*Ш-п Для 11 = 1,2,... (13.21)

286 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
По (13.19) и (13.20) для всех se U4j должно быть
e\u, 4 р («) + 4 Qn (*)) = -f р* (л')_1 +
+ 4-[р*<4»г1 - ^и.г1! = 4pHW~i
и, в силу неравенств Р*(Л;) Sg P*(/l1+I) и соотношений
со
(13.20), для всех s e U At выполняется неравенство
п+1
Е\и, -L. p (S) + -i-<?„ (S)j ^_£_Р* (Л„Г\
Следовательно,
•in! (tf (м, i P (s) -|- 4 <?» («)) : s e S] = 4- Р* (Л»>
J
Поэтому, согласно (13.12), должно быть v [— Р Jr
+ —Qn\^-2-P*(AaV\ откуда с помощью (13.11) и
(13.21) следует, что
v(P)^:P*(Anrl - Р*^)-1 £ P* (At) + n^z n
i = l
для п ='\, 2, ...
Но ото означало бы, что величина v(P) должна быть
бесконечной. Следовательно, функция и ограничена сверху.
Аналогичное доказательство показывает, что в условиях
утверждения 53 функция и ограничена снизу.
Доказательство утверждения 54. Для
каждого натурального п 52 2 пусть £Фп — разбиение
множества S на п событий, каждое из которых имеет полояштель-
ную вероятность. Определим рекуррептно новую последо-*
вателыюсть разбиений $2, 3$я, ..., положи»
<Мп = {А[\В: ie/, БеГ', А[\Вф0},
п = 3,4, ...

§ 13.3] ОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ТОТАЛИЗАТОРОВ 287
1 Легко проверяется, что разбиение 3&п содержит хотя бы п
-событий, имеющих положительную вероятность, и что
разбиение $ln+l является столь же тонким, как и Шп,
в том смысле, что В е 9Sn+l =*- существует событие С &J?'\
содержащее В. Для каждого ie# пусть
N^ (A) = число таких элементов разбиения $п{п > 2),
которые содержатся в Л и имеют положительную
вероятность.
Если ^2 = {Л, Лс}, то Nn(A) + Nn(Ae)^n для п =
= 3, 4, ... Поэтому с увеличением п хотя бы одна из
последовательностей Nn(A) и Nn(Ac) стремится к
бесконечности. Пусть А\ такое событие из разбиения Ш2, для
которого Nn(A)-*-oo, и пусть В1 = А\. Тогда Р*(В\)~>
> 0 и В\ будет первым элементом того счетного разбие-
пия, которое мы хотим построить.
Пусть п{{) — натуральное число, для которого
разбиение i$"(I) содержит более одного имеющего
положительную вероятность подмножества множества А\. Для
каждого такого iel*"1, для которого A S А\, пусть
Nn(A) = число таких элементов разбиения <Яп (п > п(1)),
которые содержатся в Л] и имеют положительную
вероятность.
Пусть ^={4:Л=4Ае1лШ}. Тогда 2^2(4) =
= Nn(A1) и, поскольку Nn(A1)~-* оо при д->оо, должно
быть и Nn (А) -*■ оо при п —*- оо хотя бы для одного
ierf. Пусть A2^s4-— какое-нибудь событие,
обладающее таким свойством, и В2 = Лг [\ А\. Тогда Р*(В2)^> О
и {Вь Й2, А2} такое разбиение множества S, что
Nn {А2) -> оо при п -> оо.
Продолжение этой конструкции шаг за шагом
приводит к счетной последовательности В\, В2, Вз, . ■. взаимно
дизъюнктных событий, каждое из которых имеет
положительную вероятность. Тем самым утверждение SA
доказано.
Доказательство утверждения 55. Если
условия утверждения Si неверны, то существует единст-

288 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
венное натуральное число т, для которого найдется
разбиение множества 5 на т событий, имеющих полояш-
телыгую вероятность, и никакое разбиение множества 5
не содержит более чем т событий, имеющих
положительную вероятность.
Предположим для удобства, что и(у) = О для
некоторого yel. Предположим далее, что, вопреки
утверждению 55, тотализатор Q является неограниченным
сверху. Пусть тотализатор Р получен из Q в результате
произведенной для всех s <= S замены каждого исхода я,
для которого Q(s)(x)^>0 и u(x)<zO, на исход у
с и(у)— 0. Тогда Е(и, P(s))=g 0 для всех s и
тотализатор Р не ограничен сверху. Это значит, что для каждого
п>0
Р*{Е{и, P(s)) ^ п) = P*({s: e(u, Р(8)) Ш п}) > 0.
Согласно предыдущему пункту, при возрастании п
вероятность Р*{Е(и, P(s)sZn} может измениться не более
чем в т раз. Следовательно, существуют такое N и такое
а > 0, что
Р*{Е(и, P{s)) ^ п) = а для всех п ^ N. (13.22)
Пусть Е(и, P{)=i для i = 1, 2, ..., и положим
Qn = P на {s: E(u, P(s))^n}, Qn = Pn на
{s: E{u, P(s))<n}, ДЯ = Р„ на {*: Д(и, P(s)) ^ п},
#„ = Р на {s: Я (и, P(s)) < к}. Тогда, нри Р„ = Р„ па 5,
11 11
выполняется соотпошенпе -=- Р + -о- Pn = "^"^n +~2~^/i»
следовательно, для функции у на Ж, удовлетворяющей
условиям (13.10), (13.11), а для всех ограниченных
тотализаторов— соотношению (13.9), должно быть
*(Р) + п = *«?„) +у(Д„), п=1, 2, ... (13.23)
Ввиду ограниченности Rn соотношения (13.9) и (13.22)
показывают, что
v(Rn) = E[E(u, J?„(s)), Р*]^вддля всех п ^ N.
Поскольку Pn_[-<Qn(s) для всех s<=S, из аксиомы 56
следует, что P„-\~<Qn и тем самым что v(Qn)^n — \
для всех п. Тогда, пользуясь (13.23), мы получим
v (Р) ^ па — 1 для всех п Sg iV,

§ 13.4] МОДЕЛЬ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ИЗ ЧАСТИ II 289
что противоречит конечности v(P). Следовательно,
тотализатор Q не является неограниченным сверху.
Аналогичное доказательство показывает, что тотализатор Q
ограничен снизу.
§ 13.4. Модель принятия решений из части II
Беря в качестве первоначальных данных множество
действий F и множество исходов X, так же как и в подходе
из части II, обозначим через S множество всех функций,
отображающих F в X (это соответствует множеству S' в
§ 12.1). Тогда подмножество множества X, которое
немедленно оказывается существенным при «состоянии» s,
есть X(s)= {s(f): /ef}. Для многих s^S множество
X(s) может быть собственным подмножеством множества
X, а для каждой постоянной функции s, которая ставит
в соответствие каждому действию / один и тот же исход
х, X(s)= {х}. Следовательно, теория тотализаторов,
построенная в §§ 13.2 и 13.3, может быть использована для
установления описанной в части II модели лишь в том
случае, когда мы предположим, что исходы, не входящие
в X(s), могут рассматриваться как существенные при со-
стоянии s.
Допустим, в самом деле, что мы принимаем крайнее
предположение о том, что все исходы являются
существенными при каждом состоянии. Тогда, при выполнении
условий В1 — В6 теоремы 13.3, отсюда будет следовать
представление (13.3). Положив для /е?и 7дХ
Pf(Y) = P*({s: s(/)e7}),
мы получим при P(s) (s(/))= 1 для каждого s^'S
соотношение
Е(и, Р,) = Е[Е(и, P(s)),P*].
Тогда, при естественном определении отношения -< на F
в терминах отношения -< на Ж, имеет место
представление
f-<g<*E(u, Р,)<Е(и, Р„) для всех /, g<=F, (13.24)
которое и является моделью из части II. Заметим, что
хотя при выводе этого представления были использованы
1" П. Фишберн

290 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
внешние вероятности, тем не менее меры Р,, Рй, ...
определены с помощью вероятностной меры Р*, которая
может не иметь ничего общего с этими внешними
вероятностями и определяться на основе аксиом.
Конечно, может оказаться слишком большой
натяжкой предполагать, что не принадлежащие множеству X(s)
исходы существенны при s. Однако бывает возможным
сказать кое-что о вероятностях состояний и не делая
такого предположения.
Предположим, например, что F = {/, g} и X = {выиг-'
рать, проиграть}. Тогда, множество S состоит из четырех
элементов: si (/) =■ s\ (g) = выиграть; s2(f) = выиграть,
s2(g) = проиграть; s3(f) = проиграть. s3(g) = выиграть;
s4(/)=.s4(£) = проиграть. Пусть Ж = ^{s{)X &(s2)X
Х.9Э(53)Х 5a(s4). В применении к этому множеству
^теорема 13.1 дает представление
P<Q<*HE(utP(st))<'2E(ul,Q(8t)).
г г
Поскольку X(si)= {выиграть} и X(s4) =< {проиграть},
первое и четвертое слагаемые здесь пропадают и у нас
остается соотношение
P^Q^-E(u2, P(s2)) + E(u3, P(s3))<
<Е(и2, Q(s2)) + E(us, Q(s3)). (13.25)
Согласно нашему определению, состояния «i и s4 —
нулевые, однако это так лишь потому, что каждое из множеств
X(si) и X(s4) состоит из единственного исхода:
принимающее решение лицо могло бы, например, считать
состояние Si наиболее вероятным. В таком случае мы
можем рассматривать вероятности P*(si) и P*(s4) как не
определенные в рамках нашей аксиоматики. Эта
неопределенность на самом деле не вызывает никаких
затруднений, так как члены, соответствующие 2=1 и i = 4, в
соотношение (13.25) не входят.
Что касается s2 и s3, то &(s2) = ^(s3), поскольку
X(s2)= X(s3)= {выиграть, проиграть}. Если
воспользоваться условием АЪ теоремы 13.2, то (в предположении
о наличии какого-либо строгого предпочтения) из
соотношения (13.25) следует, что существуют такие числа

§ 13.5]
РЕЗЮМЕ
291
Яг Ш 0 и л3 Ж 0, для которых А2 +Я3 > 0, и такая вещест-
веннозначная функция и на X, что
P^Q^X2E(u, P(s2)) + k3E(u,P(s3))<
<К2Е(и, Q(s2)) + k3E(u, Q(s3)).
Здесь A2 и Хз можно интерпретировать как числа,
пропорциональные соответственно вероятностям P*(s2) и P*(s3);
тем самым, если А3 > О, то Я2Дз = Р* (s2)lP*{ss). Если
к (выиграть) > и (проиграть), то отсюда легко усмотреть,
что
f^g^P*(s2)<P*(s3).
§ 13.5. Резюме
Обычная модель ожидаемой полезности для принятия
решений, которая задается в терминах состояний, может
быть выведена из аксиом, содержащих внешние
вероятности в том случае, когда имеется достаточное взаимное
перекрывание между исходами, которые рассматриваются
как существенные при различных состояниях. Когда
число состояний конечно, достаточным оказывается
предположение, что существуют два неравноценных исхода,
являющиеся существенными при каждом состоянии. В
более общем случае, когда мощность множества S
произвольна, было сделано предположение, что все исходы
существенны при каждом состоянии. Даже в случае, когда
исходы при различных состояниях могут не
перекрываться, аксиомы для ожидаемой полезности из главы 8 в
применении к тотализаторам на конечном множестве S
приводят к некоторому представлению в форме аддитивной
полезности, которое аналогично аддитивным формам
представлений в § И-1 и в соотношении (12.11).
Хотя основанный иа понятии тотализатора подход
предполагает целый континуум внешних вероятностей,
это, по-видимому, компенсируется его широкой
применимостью, так как в нем не накладывается почти никаких
ограничений на размеры множеств S и X. Кроме того,
в нем не накладывается каких-либо особых ограничений
ни на функцию полезности на X, ни на вероятностную
меру Р* на S.
19*

292 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ . [ГЛ. 13
Упражнения
Указатель. 1. Недостаточно связапные множества X(s). 2P* = i
для некоторого конечного подмножества. 3. Пересечения разбиений.
4. Утверждение S4. 5, 6. Нуль-один меры и SA. 7. Аддитивность в
случае, когда X = ПХ{. 8—15. P(s) < Q(s) для всех s e S =*- Р < Q.
16 — 19. Теория равновероятных лотерей.
1. Пусть
S = {si, s2, s3}, X(si) = {ж, г/, z, и;},
X(s2) = {х, у, г, t}, X(s3) = {z, w, r, г}.
Пусть выполняются условия теоремы 13.2, за исключением Л4, а
значения удовлетворяющих соотношению (13,2) функций «г (i = 1,
2, 3) видны из следующей таблицы:
х у z w г t
0 12 3
0 1 2 3
2 3 4 6
a) Проверить, что для любых i, / найдется такое единственное
число rt}, что Ui(p) = rijuj(p) для всехре; X (s;)fl X (s^.). Будет
ли г23 = r2i/r3i?
b) Показать, что невозможно так определить функцию и на
Х = U^(s;) и меру Р* на 5, чтобы они удовлетворяли
соотношению (13.3).
2. Доказать, что если Р*(А) =1 для некоторого конечного
подмножества is5, то из условий 51 — Во следует представление
(13.3) в структурной интерпретации, принятой в § 13.3.
3. Пусть 2) — некоторое множество разбиений множества И.
Показать, что семейство подмножеств
П f{D): /(Z))e£> для каждого Z>e£>, П / {Щ -h <г> \
является разбиением множества S.
V. В связи с формулировкой и доказательством утверждения
SA предположим, что ^2, ^3, ...— такая последовательность
разбиений множества S, что (1) разбиение &п содержит в точности п
событий, каждое из которых имеет положительную вероятность, и
(2) iei5n+l=^lgiJ для некоторого 5е1". Показать, что
может оказаться невозможным так выбрать по одному событию из
каждого &п, чтобы выбранные события были попарно
дизъюнктными.
5. Пусть мера Р* на S определена так, что существует такое
семейство s£ подмножеств множества S, что Р*(А) = 1, если А е
е s£, и Р*(А) = 0, если Л <ф. si-. Доказать, что если П А. ф 0, то
ей
это пересечение состоит в точности из одного состояния s и для s
должно быть P*(s) = 1.
щ
Us

УПРАЖНЕНИЯ
293
6*. Пусть S — бесконечное множество и % — множество всех
семейств si подмножеств множества S, которые обладают
следующими четырьмя свойствами:
1. 0 = si и {s} = si для всех seS.
3. A, Be si =¥A[] Be .&
4. (Aei^s^^Se si.
a) Входит ли в $ семейство всех конечных подмножеств
множества 5?
b) Воспользоваться условием 4, чтобы показать
(si- е % , A[jBesi)^A,Be.si.
c) Доказать, что
(&е $, A^si, В ф si) ^ А\] В ф .s4-.
d) Пользуясь леммой Цорна, доказать, что существует
некоторое семейство si e !?, являющееся максимальным среди семейств,
обладающих свойствами 1 — 4. Пусть si* — такое
максимальное семейство (т. е. если si* с: si', то si' ф. $), и пусть X* —
семейство всех не принадлежащих si* подмножеств S.
e) Доказать, что А, В <= Я* =>- А Л -5 ф 0. Для этого
предположить, что А, В е. 3S* и А П В = 0. Показать тогда, что
семейство
si* = sl*\]{C\]D\ C<=:A, De'si*}
принадлежит множеству $ в противоречие с максимальностью si-*.
f) Пусть Р*(А) = 0, если А е= si*, и Р*(А) = 1, если А е= X*.
Показать, что Р* — вероятностная мера на S. Обратить внимание
на то, что П -4=0 и сравнить это с предыдущим упражнением.
.9§*
g) Объяснить, почему из нарушения условий — утверждения
Si не должно следовать, что мера Р* на S является простой
вероятностной мерой.
7*. Предположим, что выполняются условия теоремы 13.3, а
п
кроме того, X = Y\ X, и
1=1
(Р = Р на S, Q = Q на S, Pj = Qt для / = 1, ..., п) =>- Р ~ Q,
где через Pj обозначена проекция меры Р = &3 на Xj. Показать, что
на множествах Хи ..., Хп существуют соответственно такие ве-
щественнозначные функции ии ..., ип, что
п п
p<Q^ 2я[я(вгр(«Ь)'рЧ< H,e{e(uj>Q(')j)>p*\
для всех P,Q е Зё,
где P(s)j— проекция P{s) на Xj.

294 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
Замечание. Упражнения 8 — 15 относятся к ситуации,
рассмотренной в § 13.3. Аксиома 57 состоит в следующем: P(s) < Q(s)
для всех s s jS =;• Р <! Q. s m \
8. Доказать, что (51, ВТ, Ас — нулевое событие, P(s) < Q(s)
для всех sg4) =ф- Р =< Q.
9. Доказать, что (51, ВТ) =>- если P = PnQ = Q па А, Р = Q
на Ас и Р < Q, то Р -< <?. (Последнее утверждение является
«половиной» аксиомы 55.)
10. Путем прямого доказательства с помощью разбиений
показать, что если в X имеются наименее предпочитаемый и наиболее
предпочитаемый исходы, то (51 — 55, 57) =>- (13.3).
И*. Показать, что (51 — 55, 57; существует такое счетное
разбиение si- множества 5, что Р*(А) > 0 для каждого А е s&) =>-
функция и на X ограничена. (Воспользоваться 51).
12* (продолжение). Доказать утверждение S2 в случае,
когда в его условиях аксиома 56 заменена аксиомой 57. Чтобы
сделать это, надо проверить только справедливость соотношения
(13.12), если Р*{А) = 1, а величины с и d конечны. Именно в этом
пункте используется аксиома 56, а стало быть, и аксиома 57.
13* (продолжение). Воспользоваться упражнениями 11 и
12, чтобы аргументировать справедливость утверждений теоремы
13.3 в случае, когда в ее условиях аксиома 56 заменена
аксиомой ВТ.
14*. Пусть S = {1, 2, 3, ...,}, X = [0, 1), и (х) = х и Р* — такая
вероятностная мера на S, что P*(s) = 0 для s = 1, 2, ...
Предположим, что Р <Q <=> v(P) < v(Q), где
v(P) = Е[Е(и, P(s)), P*] +ini{E[P(s){x^ 1-е}, P*]: e > 0}.
Здесь P(s){zS;l — e}—вероятность, которую приписывает
простая мера P(s) подмножеству {х: iSi-в, х е X) множества X.
Показать, что это представление удовлетворяет аксиомам 51 —55,
но не удовлетворяет аксиомам 56 и 57.
15* (продолжение). Пусть S, X, и и Р* — такие же, как
и в упражнении 14, причем Р*{1, 3, 5, ...} = Р*{2, 4, 6, ...} = 1/2.
Пусть P<Q^y(P) < 1>(<?),где
v(P) = Е[Е(и, P(s)), Р*] + inl{P*{E(u, P(s)) Si 1 _ е}: е > 0}.
a) Доказать, что (0< а < 1, Р, R е= Эё) => mi{P*{E(u аРЫ4-
+ (1-а)*(»)) 2= 1-е}: е > 0} = inf {P*({E(u, P(s))Wl-e|n
Г\{Е(и, «(s))S=l-e}): е> 0}. Здесь всюду {Е(и, P(s))^ 1_е} =
= {s: E(u, Р(8))Ш 1-е}.
b) Показать, что для этого представления выполняются
аксиомы 51, 54, 55 и 57.
c) Показать на конкретном примере, что аксиома 52 не
выполняется.
d) Показать на конкретном примере, что аксиома 53 не
выполняется.
о) Показать на конкретном примере, что аксиома 56 не
выполняется.

УПРАЖНЕНИЯ 295
Замечание. В оставшихся упражнениях через F
обозначается множество всех функций, отображающих S в X; пара (/, g) e
е^2 интерпретируется как лотерея с равновероятными исходами /
и g через х* обозначается принадлежащее множеству F действие,
которое ставит в соответствие каждому sei исход х е Х\
событие А <= S — нулевое <=> (/, g) ~ (/', g'), как только (/(s), g(s)) =
= (/'(s), g'(s)) Ддя всех !Eie. Пусть Di—Dl будут следующие
аксиомы:
2)1. Отношение < на F y,F = F2 является слабым
упорядочением.
т. [(/, g') < (/', g*), (/', g)< (/*, g')i =>(£, /x (g. /*).
-D3. (X, £Г) является связным и сепарабельным топологическим
пространством.
DL {(/, g): (/, г)е?!, (/, £)< (/', g')} <sST2n и {(/, g): (/, g) e
еЯ, (/', g') < (/, §■)} е=#~2" для каждой пары (/', g') seF2*).
D5. (х*, х*) -< (у*, у*) для некоторых х, у е X.
D6. (А — ненулевое событие; / = х, g = у, /' = z, g' — w на Л;
.{/(«)> £(«)} = {/'(s), g'(s)} для каждого s е= Ас) =^ [(ж*, у*) <
< (*•, »•) -w (/, g) < (/', ?')]•
В7. [(/(«)•, *(»)•)< (Л g') для всех *e=S]=>(/, g) < (/',
Л; [(/', S') < (/(О*, ^(s)*) Для всех *е=5] =„ (/', g') < (/, g).
16*. Доказать, что если множество S конечно и выполняются
аксиомы DI — В6, то существует такая вещественнозначная
функция инаХи такая вероятностная мера Р* на S, что
U,g)<(f',g') ^ E[u(f(s)), P*] + E[u(g(s)), P*] <
<£И/'(*)), Р*]+#["(£'(*)), P*J
для всех (/, g), (/', g')^F2, причем в случае, когда это
соотношение справедливо, вероятностная мера Р* является единственной, а
функция и является единственной с точностью до положительного
линейного преобразования.
17*. Пусть мощность множества S произвольна; предположим,
что на F существует вещественнозначная функция у,
удовлетворяющая условию
(/, g) < (/', g') -*>"(/)+ v{g) + v(f) + v(g')
для всех (/,{), (/', gf)^F»
и единственная среди таких функций с точностью до
положительного линейного преобразования. Предположим также, что
ограничение функции v на {х*: х е X} является единственным с
точностью до положительного линейного преобразования, когда оно
удовлетворяет условию
(х*, g*) < (z*, ш*) -s=> v(x*) + v(y*) < v(z*) + v(w*)
для всех x, j/, z, w e X,
*) Здесь имеется в виду, что множество S состоит из п
элементов, а множество F отождествляется с Хп. (Прим. перев.)

296 АКСИОМЫ С ВНЕШНИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ [ГЛ. 13
и, кроме того, соблюдаются аксиомы D5 и D%. Пусть
^о = {/: / е F и {/(s): s e S} — коночное множество}.
Доказать, что при и (х) = v(x*) на S существует такая
единственная вероятностная мера Р*, что
v(f) =F[u(f(s)),P*] (13.26)
для всех / е f0, причем А — нулевое событие <=> Р*(4) = 0.
(Сравнить это с утверждением S1).
18* (продолжение). В условиях предыдущего упражнения
предположим, что выполняется аксиома D1 и для любых х, у е X
существует такое z e X, что
(ж*, у*) ~ (z*, z*). (13.27)
Назовем действие /sf ограниченным, если Р*{а 5g u(f(s)) gi} =
= 1 для некоторых чисел а, 6. Для доказательства, что
соотношение (13.26) выполняется для ограниченных действий /,
выполнить следующие шаги.
a) Показать, что
Р*{а g»(/(s))SJ}i=i^ag!: (/) S Ь.
[Пусть А = {s: a S k(/(s)) g Ъ) и d = sup{w(/(s)): see 4};
предположив, что d < v(f), воспользоваться аксиомой ТУ1 и получить
противоречие.]
b) Пусть / ограничено на А и Р* (А) = 1. Предположим для
удобства, что
inf M/(s)): ss^} =0, sup W/(s)): s e= Л} = 1,
а кроме того, 0 5= u(f(s))t== 1 наЛс (это но ограничивает общности,
поскольку Лс — нулевое событие). Для заданного натурального ге
положим
Ах= {s:0S«(/(S)) ^1/n},
Ai = {s: (t — l)/n < u(f(s)) 55 t/n} для i = 2,..., п..
Согласно (13.27), при i = 1, ..., re существуют исходы xi e Xi, для
которых (i —{)/n-s^ u(xi) -s= i/n. Определим действия /{, gt^F,
положив
/. =/ на A.; fi=xi Ha Ai (i = l, ..., re),
i n
g, = Xj+, на U Л.; g,~x. па U Л, (i = 1, ..., я — 1).
г !+1 У=1 ' j=--i-H
Воспользовавшись тем фактором, что из равенства {/'(s), g'(s)} =
= {/"(s), #"(s)} Для всех jeS следует соотношение (/', g') ~ (/",
g") вместе с первым условием о равносильности (<=>) из
упражнения, 17, доказать, что
г=1 г=1

УПРАЖНЕНИЯ
297
с) В условиях пункта Ъ) из соотношения (13.27) следует, что
для любого е > 0 и для любого iejl, ..., re} существует х е X с
\и(х)—i/n\ < е. Пользуясь этим, соотношением (13.28),
соотношением (13.26) для F0 и ограничениями на v(/f), вытекающими из
пункта а), показать, что
2 Р* (At) (i - 1)/ге - 1/ге S v (/) S 2 -Р* (Аг) i,n + 1/ге-
г г
После этого доказать, что v(f) = E[u(f(s)), P*].
19* (продолжение). В условиях предыдущего упражнения
доказать, что
a) если существует такое счетное разбиение множества S, что
Р*(А) > 0 для каждого события А из этого разбиения, то функция
и на X ограничена;
b) каждое действие /ef ограничено.

Глава 14
ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА
Самой блестящей из когда-либо разработанных
аксиоматических теорий ожидаемой полезности является,
по моему мнению, теория ожидаемой полезности Сэвид-
жа [1]. Этой теорией естественно завершить данную
книгу.
Как это имеет место для всех значительных
результатов на протяжении всей истории математики, теория Сэ-
виджа создавалась не на пустом месте. Сэвидж воспринял
и развил более ранние идеи Рамсея [1], де Финетти [1],
а также фон Неймана и Моргенштерна [1]. Его общий
подход в основных чертах сходен с подходом Рамсея.
Однако, в отличие от Рамсея, который предлагал ввести
сначала понятие полезности на основе «этически
нейтрального утверждения» или равновозможных событий,
а затем ввести вероятности на основе полезности, Сэвидж
действует противоположным образом. В его
аксиоматизации соотношения
f^g^E[u(f(s)), P*]<E[u(g(s)), P*]
для всех /, g^-F,
основанной только на бинарном отношении -< на F,
вводится вероятностная мера Р* на семействе подмножеств
множества S. Этот подход многим обязан работам де
Финетти по теории вероятностей. Используя меру Р*,
Сэвидж вводит затем структуру, во многом сходную с той,
которую фон Нейман и Моргенштерн использовали в
своей теории полезности (теорема 8.2), и далее определяет
на множестве X функцию полезности и. Затем последняя

§ 14.1] ТЕОРЕМА СЭВИДЖА ОБ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 299
аксиома приводит к представленному выше соотношению
для всего множества F. В § 14.1 приводится теорема Сэ-
видя^а, а также содержится очерк содержания
последующих параграфов.
§ 14.1. Теорема Сэвиджа об ожидаемой полезности
Основной целью этой главы является анализ теоремы
14.1, которую мы будем называть теоремой Сэвиджа об
ожидаемой полезности. В данном параграфе излагается
эта теорема, а также обсуждение ее условий и
заключений. Введем некоторые предварительные определения.
Пусть S — множество состояний, X — множество
исходов, a F — множество всех функций на S со значениями
в X. Пусть А, В ^S; х, у е X и /, g e F. Отношение ~\
на F является исходным бинарным отношением, а
отношения ~ и =^ определяются, как обычно:
f~g^(Rg,g^f),
f^g^(f<gnnnf~g),
f = g на множестве А -*=> f(s)= g(s) для всех se^,
/ = х на А <=> /(s) = х для всех sel
Разбиение множества S и остальные понятия
определяются как в § 13.1. А является нулевым событием ■<=> f ~
~ ц, если / = g на Ас,
х<у <=> f<g, если f=xng = yHaS,
x<f <=> g -< f, если g = x на S.
Аналогичные определения имеют место для х ~ у, f~y,
^/ит.д.
Условное предпочтение определяется следующим
образом: f < g на A^>f-<g', если / = /' и g = g' на i, i
/' = g' на А0. После этого. ~ на А и =^ на А
определяются обычным образом: x-iy на А означает, что f-(g
при условии А, если / =<х на А.
Теорема 14.1. Предположим, что для произвольных
/, g, f, g'zsF, A, B^S и х, у, х\ }'еХ имеют место
следующие семь условий:
Pi. -< на F является слабым упорядочением.
Р2. (/ = /' и g = g' на A, f = g и f = g' на Ас)^
^(f<g^r<gr).

300 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
РЗ. (А не является нулевым, f=<x и g = y на А)=>
=*" (/ "^ ё на А <=> х -< у).
Р4. [|(ж^< г/, / ='У на A, f = х на Ас, g = у на В,
g = х на Вс) и (х' -< у', f = у' на A, f = х' на Ас, g' =1
=>у' наВ, g' = x> HaBc)]^(f<g^f <g').
РЪ. х -< у для некоторых х, у е,1
Р6. (/-< g, ieX)=* существует такое конечное
разбиение S, что если А является любым элементом из
разбиения, то
(/' = х на A, f = / на Ас) =*» f < g,
(g' = хна A, g' = g на Ас) =>f<g'.
PI. {f~<g(s) на А для всех s^A)=>f^.g на А.
Тогда, если отношение -<* определено на множестве
всех подмножеств S посредством
А<*В <=> f<g, если (х -<у, f =у на А,
/ = х на Ас, g = у на В, g = х на 5е), (14.1)
то на семействе всех подмножеств S существует
единственная вероятностная мера Р*, удовлетворяющая
соотношению
А<*В*>Р*{А)<Р*(В) для всех A,B<=S (14.2)
и обладающая следующим свойством:
(Bs=S, 0 ^ р ^ 1)=> Р*(С) = рР*(В)
для некоторых С ^ В (14.3)
Кроме того, при таком Р* существует вещественно-
значная функция и на X, для которой
f^g^E[u(f(s)),P*]<E[u(g(s)),P*]
для всех f, g&F, (14.4)
и если функция и удовлетворяет этому соотношению, то
она ограничена и единственна с точностью до
положительного линейного преобразования.
Последнее условие Р1 аналогично условию А 4а из
§ 10.4 и условию 56 из § 13.3. Оно является очевидным
условием доминирования (или уверенности, или
независимости) и оно не необходимо для построения меры Р*
в теореме 13.3. В рассматриваемой теореме условие Р1

§ 14.1] ТЕОРЕМА СЭВИДЖА ОБ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 301
приведено в несколько более слабой форме (т. е. оно
предполагает несколько меньше), чем в первоначальной
форме Сэвиджа, в которой в Р1 вместо -< фигурирует =^
но в присутствии остальных условий Р1 — Р6 обе эти
формы эквивалентны.
Условия Р2 и РЗ выражают «принцип уверенности»
Сэвиджа. В Р2 утверждается, что отношение
предпочтения между двумя действиями не должно зависеть от
состояний, в которых эти действия имеют одинаковые
исходы. Это условие тесно связано с условием независимости
в главе 8, и многие считают его разумным, принимая,
что достигаемое состояние не зависит от того, какое
именно действие совершается. Из условий Р1 и Р2,
взятых вместе, следует, что отношение Ч на 4 является
слабым упорядочением на F для любого A s S.
Условие РЗ вместе с Р2 утверждает, что если f = х
п g = у я& А и если А не является нулевым, то
f-<g на А <=> f ~< g', если /' = х и g' = у на S.
Этот факт устанавливает разумное соответствие между
предпочтениями на множестве исходов (постоянных
действий) и условными предпочтениями на множестве
событий, которые принимающий решение субъект
рассматривает как возможные.
Определенное в (14.1) отношение -<* является
качественным вероятностным отношением на множестве
событий. Л -<* В читатется как «Л менее вероятно, чем В».
Как было отмечено в (14.1), отношение «менее вероятно,
чем» поддается определению в терминах «менее
предпочтительно, чем». Главное назначение условия РА в связи
с этим состоит в обеспечении того, что отношение ">*
является слабым упорядочением на множестве событий.
Предположим, что вы предпочитаете элемент у элементу
х и можете попытаться получить у, если осуществится Л,
или получить у, если осуществится В. Если не
осуществится ни одпо из этих событий, то в обоих случаях вы
получите менее предпочтительный элемент х. Если вы
выбираете В, то представляется разумным предполагать, что
вы считаете В более вероятным, чем А. Условие РА
утверждает, что если вы пытаетесь получить у при условии,
что осуществится В, то среди двух других исходов у' и х',
где у' предпочтительнее, чем х', вы будете (или вам еле-

302 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
дует) скорее пытаться получить у' при условии, что
осуществится В, чем при условии, что осуществится А. Как
и в условии Р2, это представляется разумным, пока
получаемые состояния не зависят от исходов, которые ставятся
в соответствие состояниям какими-либо конкретными
действиями.
Условие РЪ утверждает, что отношение безразличия
имеет место не для каждой пары постоянных действий.
Это условие необходимо для доказательства
единственности меры Р*. Если бы условие РЪ не выполнялось, то
отношение -<* было бы рефлексивным. Дальнейшие
замечания см. в § 14.3.
Роль условия Р6, которое является довольно сильным
предположением, видна лучше всего в доказательстве
утверждения (14.3), которое следует из Pi—PQ, при
условии, что (14.2) верно. Кроме всего прочего, в (14.3)
утверждается, что множество S должно быть
неисчислимым, что P*(s) = 0 для каждого s e S и что для любого
положительного целого п существует такое разбиение 5
на п событий, что для каждого элемента разбиения А
будет Р*(А)= 1/га. Такое разбиение мы будем называть
однородным разбиением.
Для гарантии того, что имеет место
А-<*ВоР*{А)<Р*(В),
условие Р6 обладает безукоризненными архимедовыми
качествами. В самом деле, оно утверждает, что ни один
исход не является «бесконечно желательным» (что
отрицало бы /' -< g, если бы х был столь желателен) и что ни
один исход не является «бесконечно нежелательным»
(что отрицало бы /' -< g', если бы столь нежелателен был
исход х). Если допускается, чтобы множество S было
бесконечным, то требуется условие, аналогичное Р6, которое
обеспечило бы существование сохраняющего вероятности
вещественнозначпого упорядочения (-<*). Как
утверждает Сэвидж, более слабые варианты условия Р6
достаточны для выполнения (14.2), но они могут оказаться
недостаточными для (14.3). Польза утверждения (14.3)
станет очевидной, когда мы увидим, как оно используется
в качестве отправной точки в определении риска на
множестве X, что приведет к определению функции
полезности и на X,

I H.l] ТЕОРЕМА СЭВИДЖА ОБ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 303
Условий Pi — Р6 достаточно для доказательства (14.4)
щя любых действий из F, которые каждому состоянию
i некотором событии А, для которого Р*(А)= 1, ставят
1 соответствие не более чем конечное число исходов.
Затем используется условие Р7 (так же, как в
предыдущей главе условие 56) для того, чтобы проверить,
гго (14.4) выполняется для всех действий; это условие
также обеспечивает ограниченность функции и на
множестве А*.
Когда Сэвидж писал свою книгу «Основы статистики»,
он считал, что из условий Pi—PI не вытекает
ограниченность функции и. Несколько лет спустя, когда мы
работали над теорией, изложенной в главе 10 (в части II),
мы обнаружили, что представление ошибочно. С учетом
этой ошибки Сэвидж доказал (14.4) не для всех
действий и, в свете ограниченности функции и, он
фактически доказал (14.4) в том виде, как оно представлено
здесь. Иными словами, он доказал (14.4) для всех
ограниченных действий. Поскольку функция и ограничена,
все действия ограничены. Излагаемое далее
доказательство ограниченности по существу принадлежит ему.
При доказательстве теоремы 14.1 мы будем идти по
.пути, намеченному Сэвиджем. Приведем схему
расположения материала в дальнейших параграфах главы.
В § 14.2 показано, что утверждения (14.2) и (14.3)
для отношения -<* на множестве событий следуют из
пяти условий (Fl —F5).
В § 14.3 показано, что Pi — Р6 => Fi — F5, где -<*
определено в (14.1).
В § 14.4 на основании Р1 — Р6 устанавливаются три
аксиомы предпочтения из теоремы 8.2, в которой
показывается, что (14.4) выполняется для действий, которым
с вероятностью единицы соответствуют конечные под-
множества исходов.
В § 14.5 доказано, что функция к на X ограничена.
При доказательстве этого используется Р1.
В § 14.6 используется Р1 для проверки выполнения
(14.4) для всех действий.
Последующие доказательства принадлежат по
существу Сэвиджу. Автор добавил к ним некоторые подробности
в тех местах, где, как ему казалось, это поможет
некоторым читателям.

304 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
§ 14.2. Аксиомы, касающиеся вероятностей
В этом параграфе мы докажем следующую теорему.
Теорема 14.2. Пусть отношение -<* на семействе
всех подмножеств множества S удовлетворяет для всех А,
В, С S S следующим условиям:
Fi. А<*0.
F2. 0-<*S.
F'i. -<* является слабым упорядочением.
Fi. A(\C = B(\C=0=>{A<*B¥?A\}C<*B{}C).
Fo. A -<*В => существует конечное разбиение {Си •••
..., Ст} множества S, для которого А[}С,-<^* В для
i = 1, ..., m.
Тогда существует ровно одна вероятностная мера Р*
на семействе всех подмножеств множества S, которая
удовлетворяет (14.2) и для которой выполняется (14.3).
Условия Fi—Fi, которые определяют отношение -<*
как качественную вероятность, необходимы для
выполнения (14.2), но в совокупности не являются для этого
достаточными. Условия Fi— F5, как утверждается,
достаточны, но дополнительное условие F5 не является для
(14.2) необходимым, хотя оно и вытекает из (14.2) и (14.3).
Положим, как обычно,
А ~ * В о (А~^.* В, В ~* А),
А^*В^-(А-<*В или А ~*В).
На протяжении этого параграфа и всей остальной части
главы мы будем применять запись А/В (читается «А,
но не В») для обозначения дополнения множества В по
отношению к А:
А/В = А(\ Вс. (14.5)
Перед доказательством теоремы 14.2 установим спача-
ла ряд следствий из Fi—F5. При установлении
утверждений Ci — Ci будут предполагаться только условия
Fi—FA. При установлении остальных утверждений
будет предполагаться соблюдение всех условий Fi — F5.
С\. В <=С => 0=<* #=<* <?=<* S.
С2(~*). {А~*В, B(]C=0)^A[}C^*B\jC.
С2«*). (4<*£, В(\С=0)^А\}С<*В\]С.

I 14.2] АКСИОМЫ, КАСАЮЩИЕСЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 305
С3(~*). (А~*В, C~*D, BftD
СЗ (■<*). {А^*В, C<*Z>, BftD
<*BljD.
C4. {A ~* В, С ~* D, AftC^BftD
~*B[]D.
C5. 0 -<.* A =>■ 4 можно разбить на два события В и
С, для которых (0-<*В, 0<*С).
Сб. (А, В и С являются попарно непересекающимися,
А=^,* В, В <(* A (J С) =>■ существует множество D<=C, для
которого
0<*D и B(JD<*A{J (C/D).
67. (0 -<*/!, 0Ч*В, ЛЛД = 0)=^5 жоасмо разбигь
на С и D, для которых С =^* D =^* 4 (J С.
С8. 0-<*А=>А можно разбить на В и С, причем
В ~*С,
С9. 0 -л* А =>■ для любого целого положительного п
существует разбиение А, состоящее из 2" элементов, для
которого между любыми двумя событиями из разбиения
имеет место отношение — *.
Доказательство утверждений С1 — С9
Ci. Доказательство нетрудно и предоставляется
читателю.
(72. (~*). Предположим, что (А ~*В, В ft С = 0).
Так как 4 = (А/С) [} (A ft С) и A ft (С/А)---0, то F4 =►
=К4/С) U (A ft С) U (С/4)~*£ U (С/А), илиЛ U С~*£ U (С/4).
По условию (71, -В U (С/4) =<* В U С.
Следовательно, по условию F3, 4(J C=^*j3(J С.
С2 (-<*). Достаточно заменить отношение ~* в
предыдущем доказательстве на -<*.
СЗ (~*). Предположим, что (А ~* В, C~*D,
B!]D= 0).
Так как {СIB) ft В = 0, должно быть
С2 (~*) =>. 4 U (С/5) =<* В U (С/5) = 5 U С.
Сходным образом, поскольку'(Я/С) ft D = 0, из С2(~*}
и С ~*D следует, что
В U С = С U (В/С)^* D U (В/С).
20 п. Фишберн
= 0)^4U C=<*
= 0)=^4UC<*
= 0)=^4[JC~*

306 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
По условию F3 мы имеем А [} (С/В) =*. * D \] {В 1С).
Тогда из этого, из С2 и того, что (В ("| С) ("| Ф U {В/С)) = 0,
следует, что
A U (С/5) U (5 П С) =<* Л U (В/С) U (5 п О»
или
СЗ (~<*). Здесь можно заменить в предыдущем
доказательстве С ~*D на С -<*D и использовать С2(-<*).
С4. Предположим, что (Л— *£, С~*Д ЛГ|С =
=#Г|£)= 0)- По условию СЗ (~*) мы имеем А[]С=%*
^*ВЦПя B[jD%*A[jC. Следовательно, А\}С~*B{J D.
Со. Предположим, что 0 -<* А. Из F5 следует
существование такого разбиения {Di, ..., Dm} множества S,
в котором Dt -<* А для каждого i. Из С1 вытекает
Dt[\A^*(Dt{]A)[}(Dt/A) = Dt.
Следовательно, Dt [\ А <^* А для всех i. Если Dt [\А -~* 0
для каждого i, то по С4 будет U (D; Л Л) ~* 0, или
г
Л ~ * 0, и мы пришли к противоречию. Если 0<(* Dt[\A
только для одного i, например для £ = 1, то А ~* D± f| 4,
что противоречит Z^ П^-К* ^- Следовательно, 0 <(* #г f] -^
хотя бы для двух i.
Сб. Предположим, что (А [\ В = А (] С = В Л С = 0
Л=<*£, B<*4UC). Из F3 и F4 следует, что 0 -<* С.
Поскольку 5 <(* A (J С и 0 -<* С, из условия i*T5 следует,
что существует такое Dy<=C, для которого 0 ~\* Dx и
Я U Oi<(* A (J С. На основании С5 и f3 это А можег
быть разбито на D и D', причем 0 -<,*D^*D', так что
B\}D\)D'<*A\}{CID)\}D,
F4=>B{JD'<*A\J (C/D),
(F4, £>=<* Z>')=^ 5 (J # =<* В (J £)'.
Следовательно, В \] D <* 4 |J (C/D).
С7. Предположим, что (0 -<* Л, 0 -4*5 и 4Л 5 = 0).
Если 5=^*Л, то требуемое легко выводится из С5. Пусть
А~<*В. Из F5 вытекает существование такого разбиения
{Сь ..., Gn} множества В, что С4 -<* А для каждого г.
Предположим для определенности, что Ci=^* .. .=^ * Gn.

§ 14.2] АКСИОМЫ, КАСАЮЩИЕСЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 307
т те т+1
Пусть т таково, что UG;^* U G;< |J Gt. Положим
1 m+l 1
m те
C=UG«i5= UG;. Тогда C*<*D=^.*CUGn+l. Из
1 m+l
этого следует, по условиям Fi и F3, с учетом соотношения
Gm+1^*4, что£><*С1М.
С8. Предположим, что 0 -<* А. Из условия С5
следует, что А можно разбить на В\, С\, D\ таким образом,
чтобы было Вх =<* Сх U Dx и Ci=^*i?i U Dx. Если одно из
этих двух соотношений =^* фактически является
соотношением ~*, то утверждение С8 имеет место. Будем
поэтому предполагать, чтоВ^* С1 [} Dx и Сх <*-Вх U Dt.
Тогда 0-<*D\. Пусть для определенности Bi=^*C\. Тогда
из С6 вытекает существование такого С2 Е Д|, что 0 -<*
<*С2 и CiU^^fliU^i/C8). Следовательно, 0 4*
-<* DifC2 по С7, А/С2 можно так разбить на В2 и А>что
будет 53<*D2=<*CaU52. Так как Bi*$* Си мы имеем^
В1 U В2 =<* d U D2 <* d U Dt U С2.. Положим
В^В^В* и C2 = dUC2. >
Тогда получим разбиение {В2, С2 D2} множества А,
для которого
1. 52<*C2UA и C2<*B4UA;
2. Bi<=B2, Ci^Cs, Дг = А;
3. D2^*DXID2.
Повторение этого процесса приводит к построению
последовательности разбиений ..., {В„, С„, А,}, ... множества
А, состоящих из трех элементов, для которых при
каждом п S: 1 имеет место:
1. Bn<*Cn\)Dn и Cn<*Bn{}Dn;
2. В„ S Bn+i, Сп £S C„+i, A+i s Z)„;
3. Dn+i *4*Dn/Dn+l,
так что 0 ~<* Dn для всех п ш Dn содержит два
непересекающихся события, Д1+1 и DJDn+i, каждое из которых
равновероятно с событием Dn+i.
Следовательно, используя 3 п СЗ (4*), мы получаем
(Е% <* 0п+„ ^ <* Z?n+1) => ^ U £,< * А,-
20*

308 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
Теперь для любого G, для которого 0 -<* G, для
достаточно больших п мы имеем Dn -<* G. Например, если
G=^*Z)n, то, взяв разбиение {Е\, . . ., Ет} для
соотношения 0 -\* G, как в F5, где Et-<* G для всех г, мы
получим Ei~<*Dn для всех г, так что i^U #2 <C* E>n-i,
E3UE, <* /)„_!, ..., затем \JEt <* Дп_2, 11Я,<* Dn-t, ...
1 5
m
и т. д., так что при достаточно большом т U Et <^*Z)1?
г=1
или S-<* D\, что, однако, неверно. К тому же 0 ~ *
оо оо
~ * f) Dn, так как если бы было0<^* f) Dn , то при
ДОСТаТОЧНО боЛЬШОМ m ВЫПОЛНЯЛОСЬ бы Dm-<^* f| j£?r» & ЭТО
неверно, поскольку f)Dn с: Dm.
Положим
оо / оо \ / оо
В= U Вп и С= U C„ U П Dn
n=l yn=l у \n=l
Пара {5, С} является разбиением множества А, так как
(иДп)П(исв) = (иД„)П(П^) = (исв)П(П^) = 0.
Чтобы проверить справедливость В ~ * С, отметим
сначала, чтоС~*1|Сп, так как ПДп~*0- Предположим,
что В -<* С. Тогда В <;* (J С„ и ввиду С6 существует
такое G cz U С„, для которого 0 -<* G и
#UG<*(UCn)/G.
Так как 5П^ = 0 и Вп=4*В (поскольку £„ £ Б),, из
,Р4 следует, что
Б„ие^*яие.
Для больших re Z)n -<* G, так что, еще раз применяя
Fi, мы получим
Bn\)Dn<*Bn\]G.
Так как Z?n П ( U Cn) <^* G для больших ге и
U Cn = (\JCn/G)[JG = (\jCn/Dn)\)((\JCn)nDn),

§ 14.2] АКСИОМЫ, КАСАЮЩИЕСЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 309
т СЗ (-<*) следует, что для больших п будет
иос=<*(ид/оп.
Наконец, так как (U Cn)/Dn cz Cn, из С1 вытекает
(U Cn)/Dn=^, *Cn. Это соотношение вместе с четырьмя
предыдущими выведенными соотношениями дает по
транзитивности (для больших п) Bn\J Dn<^*Cn, что
противоречит ттшу, чтоСп<(* Вп [J Dn согласно (1).
Следовательно, В<*С. Аналогично, U Сп <*( U Bn) U ( П А,), так
что С<*5.
С9. Это следует из СЗ (-<*) и С8. Теперь мы можем
завершить доказательство теоремы 14.2.
Доказательство (14.2). Пусть выполняются Fl—Fb.
Будем называть разбиение {А\, ..., Ат} события А
однородным разбиением (о. р.), если 0 -<* А и
А\ ~ * Л 2 ~* ... ~ * Ат. Положим
С [г, 2") = {А:А является объединением г событий из
некоторого состоящего из 2" элементов о. р. события S}.
Мы установим справедливость (14.2) посредством
ряда шагов, каждый из которых доказывает
соответствующее ключевое утверяедение.
1. [А, ВаС(г, 2Г)]^~А~*В. Во-первых, если
А, йеС(1, 2П) и А -<*В, то из СЗ {-<*)
непосредственно следует, что S -<* S. Следовательно, если
A, BgC(1, 2"), то А ~ *В. Таким образом, если
i,SE С (г, 2"), то из С4 следует А ~ * В.
2. [4еС(г, 2"), ЯеС(г2т, 2п+т)] =*Л ~*В. Во-
первых, если 4еС(1, 2") и ffeC(2m, 2n+m), то Л ~*В,
так как в противном случае на основании шага 1 и СЗ
(-<*) мы получим §^s*S. Требуемое утверждение следует
из С4.
3. [ЛёС(г, 2"), BeC(f, 2"1)] =^(Л=<*£^г/2п^
^ t/2m). Если г/2" = г/2"\ то г2т = Й"; из шага 2 следу-
ет, что А ~ *£> и 5 ~ *Д где D<^C{r2m, 2n+m), так что
Л ~*£. Если r2m < f2", то мы получили A ~*D{ и#~*
— *D?, где Z?ieC(r2"", 2n+m) и D2eC(i2:", 2"+m). Но
если г2т < £2", то, конечно, Di -<* Z)2. Следовательно,
Л^*5,

310 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
4. Для события A sS положим к(А, 2") равным
наибольшему целому г (возможно, оно будет равно нулю),
для которого В=^*Л, если В<^С{г, 2"), и определим
P*(A)='snv{k(A, 2")/2я: га = 0, 1, 2, ...}. (14.6)
Ясно, что Р*(0)=О, P*(S)=i и Р*{А)^ 0 для всех
is5. Более того,
ЛеС(г, 2")=^Р*(Л) = г/2". (14.7)
Если А еС(г, 2"), то по (14.6) должно быть Р*(Л)^
S2 г/2". Если в действительности Р*(Л) > г/2п, то для
некоторого B<=C{t, 2m), где г/2" < i/2m, будет £=<*4.
Но это невозможно ввиду установленного на шаге 3.
5. А =^* В =*- Р*(4) ^ Р*(В). Это очевидно
вследствие (14.6).
6. Функция множества Р* является
конечно-аддитивной. Пусть А П В = 0. Отсюда следует, что для каждого
существует состоящее из 2" элементов о. р. события 5.
для которого Ап и Вп являются объединениями элементов
этого разбиения, причем Ап П £П = 0,Л„ <= С (А; (Л, 2"), 2"),
Вп^С(к(В, 2"). 2П). Лп=<*4, Вп^*В. Следовательно,
4i U #n <* A U 5 по СЗ, и
А (Л, 2")+А(Д, 2")^Л(ЛиД, 2").
Поскольку для каждого А ^ S легко показать, что
дробь к (А, 2я)/2П с ростом га не уменьшается, из
результата упражнения 10.7 следует, что
р* (Л) + Р* (В)^P*(A{JB).
Если теперь определить к*(А, 2") как то
наименьшее целое г, для которого А=^.*В, где В^С(г, 2"), то
из того, что множество
{г/2": г = 0, ..., 2"; га = 0, 1, ...}
плотно в [0, 1], сразу следует, что
inf{&*(4, 2")/2": га = 0, 1, ...} =
=■ sup {к {А, 2") /2": га = 0, 1, ...}.
Доказательство, аналогичное только что
проведенному, приводит к неравенству
Р*{А[]В)^Р*(А) + Р*(В), если А[)В=0. Ч

§ 14.2] АКСИОМЫ. КАСАЮЩИЕСЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 311
Таким образом,
Р* (А{]В) = Р*(А) + Р* (В).
7. Из 0 4* Л следует 0<Р*(Л). Пусть 0Ч*А. Из
F5 следует, что существует такое разбиение {А\, ..., Ап}
множества S, что А{-<* А для каждого L Тогда по шагу 5
Р* (А,) ^ Р* (А). Из конечной аддитивности следует, что
Р*(Л)>0.
8. Если Л-<*£, то Р*{А) < Р* {В). Предположим,
что Л -<* 5. Тогда из условия F5 следует, что существует
множество Cs5, для которого 0 -<*С, С'[\А = 0 и
СиЛ<(*5. Ввиду конечной аддитивности и шага 5
Р* (С) +Р*{А)^Р* (В). Поскольку по шагу 7 Р* (С) > О,
мы получаем Р* (Л) < Р* (В).
Из шагов 5 и 8 следует справедливость утверждения
(14.2), и определенная здесь мера Р*, очевидно, является
единственной вероятностной мерой на S,
удовлетворяющей этому утверждению.
Доказательство существования С ^ В, для которого
(5 = 5, 0^р^1)=>Р*(С) = рР*(5). Если Р*{В)=-0,
то доказываемое утверждения очевидно. Предположим
теперь, что Р*(5)>0, и рассмотрим последовательность
{A\,Al\, {Л?,...,Л1),...,{Л?,...,Л£п|,...,
членами которой являются наборы из 2" элементов
однородного разбиения множества В, причем
является состоящим из двух элементов разбиением А™.
Для заданного п положим
так что
и положим
т = sup |/: Р*(и АЛ < рР* (5)1,
Р* ( U Л?") + 2~ПР* (5) > р/>* (В),
к = inf (у: Р* (S А?\ <(1 - р) Р* (В)\,

312 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
так что
Р* ( у" А?\ + 2~пР* (В) ^ (1 - р) Р* (В).
Положим Сп = \JAn{ и Dn =\JAnv так что
С, = С2 <= ..., /Л = Z)2 с= ..., с» П Д. = 0
для всех /г, и
Р*{Сп)^рР*{В)-2-пР*{В),
а также
^*(А,)^(1-р)Р*.(Д) —2-"Р*(Я),
для всех п. Так как CnQU Cn и D„cUfln должно быть
п п
РР*(В)^Р*{[]Сп),
(i-p)P*(B)^P*[\JDn\.
Кроме того, (U Cn) C\{\jDn)=- 0. Следовательно, по
конечной аддитивности, условию С1 и утверждению
(14.2) мы получаем
P*{VCn) + P*([}Dn) = P*{{\jCn)[}(\)Dn))^P*(B), '
что влечет
Р*{1)Сп) = рР*(В) и P*(VDn) = {l-p)P*(B).
§ 14.3. Вероятности, построенные на предпочтениях
В этом параграфе будет показано, как условия /''1—Fb
теоремы 14.2 следуют из условий Pi — Р6 и утверждения
(14.1), которое здесь приобретает следующий вид:
А -<*В -^ [{х-<у, }=~у на А, / = ж на А\
g = y п& В, g — х на 5c)=^/4g]. (14.1)
Если для всех х, у е X будет х ~ у, мы будем иметь
Л -4*5 для всех А, В сг £. Условие Р5 проясняет это
возможное препятствие. (Сэвидж, который пользовался
определением, отличным от (14.1), получил, что А ~*В для

§ 14.3] ВЕРОЯТНОСТИ, ПОСТРОЕННЫЕ НА ПРЕДПОЧТЕНИЯХ 313
всех А, В <= S при условии, что РЪ неверно. Его
определение имеет вид
А ^*В^((х^у, ...)=*-/<£)•
Основное различие в определениях носит чисто
стилистический характер.)
Так как в РЪ утверждается, что существуют такие .
х, i/eX, что х~<у, то в этом случае из (14.1) и Pi
следует, что отношение -<* асимметрично:
Предположим, что А -<* В и В<*С. Пусть х-<у;
тогда из Pi и (14.1) следует, что
(/ = у на A, f = х на А%
g = у на В, g = х на Вс, f -< g)
л что
(# = г/наЯ, g = xnaBa,
h = ynaC, h = xnaCc, g~<h),
так что, пользуясь PI, мы получим " *: -"
(/ = у на A, f — х на Ас,
h = y на С, h = xn&Cc, f-<h),'
откуда А-<*С. Следовательно, (PI, Pi, P5)=>F3. Отпо-.
шение -<* на семействе всех подмножеств множества S
является слабым упорядочением.
Полагая в (14.1) А = 0 и В = S, мы получаем, что
соотношение 0 -<* S следует непосредственно из
определения отношения -< на X. 0 ~<* S есть условие F2.
Предположим, что множество А является нулевым и
х ~< у, / = у на А, / = х па A", g —*х на S. '.-
Тогда 1 ~ g, так как f = g на А0. Следовательно,
А-\*0. Если же А — не нулевое и х-<у, f=x на S,g=y
на A, g = х на Ас, то, согласно РВ, / -< g на А, а
поскольку / = g на Лс, то / -< g (по определению условного
предпочтения). Отсюда следует, что 0 -<* А. Это доказывает
справедливость Fi, если верно условие F3.
FA следует из Р2 и РА. Предположим, что Af] С =>
= В f) С = 0. Если РЪ неверно, то А -<* В и

314 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
A IJ С-<* В UC-Предположим тогда, что х-<у. Положим
/ = у на A, f = х на Ас,
g = у на В, g = х на В%
f = y на А\]С, f = x на (А[)С)°,
g' = y на BUC, g' = x на (BUC)C.
Так как f = f и g = g' п& Сс, а также f =>g я f=g'
на С, в условии Р2 утверждается, что f ~~< g '**' f ~^ g'.
Если Л -<*В, то f ■< g no (14.1), а также f~^g' и
ЛиС<^*5иС' по (14.1) в Pi. При помощи обратной
процедуры мы можем получить, что
ЛиС<*£иС=^Л<*£.
Чтобы проверить F5, предположим, что Л -<* В. По
условию Р5 возьмем х-<у. Взяв /, g как в (14.1), мы
получим f-< g. По Р6 есть такое разбиение {С\, ..., Ст}
множества 5, что /,■ -< g, если ft = у на С,- и /,- = / на С[ •
Так как /; = у на ЛU С,- и ft = х на (Ли Ct)c, а также
fi~<g, из (14.1) и Р4 следует, что A\)d-<*B.
Таким образом, из Pi — PG при условии (14.1)
следуют F1 — F5. Следовательно, по 14.2, из Р1—Р6 следует
существование меры Р*, определенной в (14.2) и (14.3).
§ 14.4. Полезность для простых действий
Мера Р*, определенная (14.2) и (14.3), порождает
для /eF вероятностную меру Pt на X следующим образом:
P,(y) = P*{f(s)f=Y} для каждого 7е1, (14.8)
где, как обычно,Р*{/(s) <=У} означает P*({s: f(s)<=Y})*).
Пусть !?s является множеством всех простых
вероятностных мер на X. Положим 5s = {Pf: f^F}. Если
множество F является множеством всех функций, отображающих
S в X, то из (14.3) следует, что 0s, ^ 5s.
Далее, в этом параграфе мы докажем, что три условия
теоремы 8.2 следуют из Pi — Р6. Перед тем как присту-
*) Иногда в таких случаях говорят также, что мера Р*
индуцирует меру Pj. (Прим. ред.)

§ 14.4] ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ДЕЙСТВИЙ у 315
пить к доказательству, отметим, что для любой мерыРе^5
может существовать много различных действий из F,
имеющих Р мерой на X, индуцированной мерой Р*. Ясно
поэтому, что если (14.4) выполняется, то это совершенно
необходимо для выполнения f ~ g при условии, что
Pt = Р*.
Теорема 14.3 Из PI—P6 и P, = Pg для Ph Pg^SP.
следует f ~ g.
Для подготовки к доказательству теоремы докажем две
леммы, первая из которых будет широко применяться
в дальнейшем изложении.
Лемма 14.1. Пусть выполняются Pi и Р2, а {А\, ...
..., Ап} —разбиение А, причем f^g на At для каждого i;
тогда f=^g на А.
Пусть выполняются Pi и Р2, {Аи ..., Ап} есть
разбиение A, f^g на Ai для каждого i, f -К g на At для
некоторых i; тогда f -< g на А.
Лемма 14.2. Пусть выполняются PI — Pi, А[)В — 0,
А ~ * В, f = х и g = y на A, j = у и g = х на В. Тогда
f~gHa A\)B.
Доказательство леммы 14.1. Пусть
выполняются условия первой части леммы. Пусть /' = / и g' =,g на
А, а также /' = g' на Ас. Согласно Pi и Р2, /=<g при
условии А -*=*- /'=<#'. Положим для i — 1, ..., п — 1
г
/г =gf = g на U Aj,
;'=1
fi=f =/ на U Aj, k
1t = r='g'K&A: .;
Так как /=<£ на At для каждого i, то (Pi и Р2)=>
=^f=</b /i=</2. •••, U-i^g', и поэтому /'<#'. Если кто-
му же для некоторого i имеет место / ~< g при данном Ai,
то в этой последовательности одно из соотношений =^
оказывается строгим -< и поэтому f ~< g' или / -< g при
условии А.
Доказательство леммы 14.2. Пусть
выполняются условия леммы. Пусть
f=>y на В, /' = хнаВг,
g'= у на A, g' = XE.a.A°. !

316 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
Если х~<у, то /' ~ g', так как выполняются А ~ * В,
(14.1) и Р4. Поскольку /' = g' = х на {А\]В)С из Р1
должно следовать /' -~ g' на (А\]В)С , Тогда /' ~ g' на
A U В, так как в противном случае по лемме 14.1 либо
/' -< g', либо g' -< /'. Поскольку / = /' и g = g' на А [} В,
(Pi, Рг)^ / ~ g при условии А\]В. Если у~<х, то
заключение то же. Предположим, наконец, что х ~ у. Если
А (В) является нулем, то из определения условного
предпочтения и нулевого события следует, что / ~ g при
условии А (В). Если А (В) не является нулем, то из РЗ
непосредственно следует, что f ~ g на А (В).
Следовательно, по лемме 14.1 / ~ g на А \] В.
Доказательство теоремы 14.3. Пусть условия
Р1 — Р6 имеют место. Нам требуется доказать, что если
Хг все различны и если
/ = Xi на Л„ g = х( на В{ для i = 1, ..., га,
О < Р* (4,) = Р* (5;) для г = 1, ..., га и 2 Р* (4f) = 1,
г
то / -~ g. В этих предположениях события S/\]Ai и
iS/U-^i являются нулевыми (см. упражнение 17).
Следовательно, если f = f на 1Мг, /' = #i на £/ |J 4г, g' = #
на U #г и g' = х{ на 5/U 5,-, то /' ~ / и g' ~ g, так что
Таким образом, нам будет достаточно доказать, что
/ ~ g, если {А[, ..., Ап} и {В\, ..., Вп} являются
разбиением S.
Если га = 1, то / ~ g. Пользуясь индукцией по га > 1,
мы будем исключать хп. Для этого предположим, что
теорема справедлива для га — 1, и пусть для некоторого га > 1
4 = Л„ПВп и В^Вп(]Асп,
так что 4f)S = 0 и Р*(А) = Р*(В). Последнее имеет
место на том основании, что
Р* {Ап П 5=) + Р* (Л П Вп) = Р* (Л„) =
= Р* (Яп) = Р* (Яп П Л£)' + ^* (Вп П Л„).
Положим Z),- = В П 4г для i = 1, ..., га, так что {£>i, ...
..., D„_i} является разбиением В. Тогда, согласно i.14.3),

§ 14.41 ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ДЕЙСТВИЙ 317
существует {С\, ..., Сп~\} — разбиение А, для которого
Р*(С4) = Р*(£>(). 1=1, ..., п-1. (14.9)
Возьмем /о = / и определим /i, ..., /n-i рекурсивно,
полагая
/»=/»_! на (CiUDtf,
ft = x„ на L)i,
Ji — Xj на C/f.
Это проиллюстрировано вместе с функцией g в таблице
14.1. По соотношению (14.9) и лемме 14.2 должно быть
Т а б л ица 14.1
В„
А=А„ПК
С\ С2 С3 . .
-1
Хп Хп Хп
ХХ Хп Хп
Хх Х2 Хп
Х\ Х% Х$
g g
. Cn—i
- ■ Хп
■ ■ Хп
. . Хп
. . .хп—{
g ■ • • g
Dt
хх
Хп
Хп
Хп
Хп
В=АСпПВп
D2D3. . . Dn-X
х2 х3 ... Хп—1
хг х3 ... хп~ i
Хп Х3 ... Хп— 1
Хп Хп ... Хп
Хп Хп . . . Хп
А„ПВ„
Хп
Хп
Хп
Хп
Хп
Кпвсп
f
f
f
f
g
ft ~ fi-i на Сi U D{ для i = 1, ..., n—1. Поскольку /<=
= /i-i на (Cj U Dt)c, мы получаем Д ~ /f_i на (Ct [} Dt)c-
Следовательно, по лемме 14.1, /, — /i_i для i='l, ...
..., n — 1, так что f ~ fn-\- Нам остается показать, что
/n-i ~ g- Положим:
/' = /„_! на Я«, g' = g на В=,
.='Ж„_1 на Вп, = хп-\ на Вп.
Тогда, как это видно из таблицы 14.1, исходами
действий /' и g' могут быть только Х\, ..., хп~\. Исход хп
исключен. По (14.9) и таблице 14.1 мы имеем
Р* {/„_! (s) = Xi} =P*{f(s) = Xi}.
Следовательно,
Р* {/' = х{} = Р* {g' = Xl} = Р* (В<) для 4=1, ..., га-2,
P*{f='Xn-l}=P*{g, = xn-l}=P*{Bn-i) + P*iBJ,

318 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. Ц
что повторяет наше начальное утверждение с заменой п
на п — 1. Таким образом, по индуктивному
предположению, /' ~ g'. Тогда, поскольку f ~ g' на 5„, из леммы
14.1 следует, что /' ~ g' на Вп- Но тогда, поскольку
/n-i ='/' и g = g' на S«, должно быть /n_i ~g на 5п-
Окончательно по лемме 14.1 мы получаем /n_i ~ g.
Аксиомы главы 8. Если определить отношение -< на
^«, положив
P~<Qof-<g, как только Р, = Р и Pg = Q, (14.10)
то из условия Р1 и теоремы 14.3 следует, что отношение
-< на !?s является слабым упорядочением. Второе и третье
условия теоремы 8.2 вытекают из следующих двух лемм.
Лемма 14.3 (Р, Q, йе^, 0 < а < 1, Р1-Р6)=>
=*- (Р < Q о аР + (1 — а)Д -< а<? + (1 — а)Д).
Лемма 14.4. (Р, Qze0>s, /eF, P<Q,P<HQ,Pi-
PG)=> существует одно и только одно ае [0, 1], для ко-:
торого f ~ аР + (1 — а) <?.
Если Pg = Р, то, конечно, / -< Р -«=»- f ~< g с аналогич- "
ными определениями для /=<Р и / -~ Р, ... Теорема 14.3
полностью проясняет случай, когда Р е 5s,. Тот факт,
что лемма 14.4 справедлива для всякого f^F, будет
использован в следующем параграфе.
Доказательство леммы 14.3. На протяжении
доказательства этой леммы, а также леммы 14.4 мы
будем рассматривать множества исходов
{хи ..., хп) = {х: Р(х) > 0}, где Р(х.) = а{, :
{Уи ■•-, Уш} = {х: Q(x)>0}, где Q(yi)=$u
так что Ба<='51Р;= 1, и считать w наиболее
предпочтительным исходом из множества {х\, ..., хп, г/i, ..., ym}.
Через Л (а) будем обозначать событие из S, для
которого мера Р* равна а. Равенство (14.3) будет широко
использоваться для построения событий с различными
вероятностями.
Для доказательства леммы 14.3 рассмотрим
соотношение f~<g при условии D(a), где D(a > 0)^S,
Pd (f = xi) = at (i = 1. ...,n),
PD(g = yj) = h (7 = l,...,m).

5 14.4] ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ПРОСТЫХ ДЕЙСТВИЙ 319
Учитывая теорему 14.3 и первую часть ее доказательства,
мы получаем, что
f-^ g при условии D(l)<=> P ~<Q,
f~<g при условии D(a)^>aP+{l — a)R ~<aQ-\- (l—a)R.
(Если а < 1, по положим / — g на D(a)c с
вероятностями на D(a)c, равными положительному числу R(x),
умноженному на (1 — а)). Чтобы доказать эту лемму,
покажем, что если f-< g на D(a) для некоторого ае(0,1],
то f-<g на D(a) для всех ае (0, 1].
Итак, предположим, что / -< g на D(y). Тогда,
рассмотрев состоящие из п элементов однородные разбиения
D(f), мы получим по лемме 14.1, что f-^g на D(^[n)
для любого положительного п. Кроме того, / -*< g на
D(r*() для любого рационального re(0, 1/ч].
Пусть 0 < £1 < 1 таково, что /-< g на D(P). Положим
/* = /иг*=.£наЯ(Р),
/* = g* =,w на Z>(P)C,
так что /* ~< g*. Тогда, используя условие Р6 т раз (по
разу для каждого у}) и, если окажется необходимым,
лемму 14.1 (так, чтобы не исчерпать весь остаток 1 — [J,
пока не воспользовались т раз условием Р6), мы
получим g", для которого будет /* -< g* и
#" = £*=£ на D(p),
= у* на С,(М; Я,>0, Cj(^)QD(P)«,
Cj(\Ck = 0 (/ = 1, ..'.,/«),
= и; на ^(PJufu^y^V.
Взяв Cj(6^;)E СДЛ.^ для ; = 1, ..., го, где 6 > О,
положим #° ='#" всюду, за исключением того, что g° — w
на C}(kj)/Cj(b$j.) Поскольку y^w, из леммы 14.1
следует, что g" ^ g°, причем
g° = g на £>(P + 6) = Z?(P) и(и1Су(врА
= и> на £>(р + 6)<\

320 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА (ГЛ. 14
Возьмем также f = f* всюду, за исключением того,
f ='Х{ на Ei(8a.i), где Е{ образуют разбиение множества
т
U Cj(8f>j). Так как x(=^w, по лемме 1.4.1 должно быть
j'=i
Р ^/*, причем
' \w на£(|3 + 6)с.
Тогда f-<g°, так как /°=<7*-Ng'^g0, и,
следовательно, /-< g на /}([} +б). Ввиду того, что это выполняется
для всех б из некоторого интервала (0, t], отсюда и из
предыдущего абзаца следует, что для всех ае(0, 1)
f-<■ g на D(a). Точно так же, так как /~<g на D(i/2), из
леммы 14.1 следует, что / -< g на D(l).
Доказательство леммы 14.4. Как при
доказательстве утверждения С1 теоремы 8.3, то, что из
Р,(?е^,РЧ(?и0^а<р^1 следует, что
$P + (l — $)Q-<aP+ii — a)Q,
вытекает непосредственно из леммы 14.3. Таким
образом, в условиях леммы 14.4 существует одно и только
одно значение а <= [0, 1], для которого
PP + (1 —р)<>-</, если р>а, (14.11)
/~<рР + (1 — $)Q, если р<а. (14.12)
Ясно, что соотношению /~аР + (1— a)Q может
удовлетворять только а. Предположим теперь, что ыР +
+ (1 — a)Q~(f. Для этого требуется, чтобы было а > 0.
Положим
__\xt: на D(aoc,i), i = 1, ..., п,
[iji на 0(.(1 — а)М, /=1, ..., та,
где (D(arai), ..., Z)((l—а)^т)} является разбиением S.
Тогда Pg = аР + (1 — a)Q. Следовательно, g-<f по
теореме 14.3 и условию Р1. Затем, используя многократно
условие Р6, мы получим, что g' ~< /, где g' = g, за
исключением того, что g' = г*; на Ci(yi> q)G D(aa.i) для
f=l, ..., re. При р<ан малой разности та — fS возьмем
С*(т'г>0) — ci(Vi)' гДе Ti = (a—Р)аьи положим g° =
= g', за исключением того, что g° = ж* на Сг(уг)/Сг (7*)

§ 14.5] ОГРАНИЧЕННОСТЬ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ 321
По лемме 14.1 должно быть g°^g', где
\х{ на D.{$a{) a D(aaj, i=>i, ..., п,
fif°= &naZ?((l-a)p,)f / = 1, ..., т,
( w на D(cc — £>).
Построим теперь при помощи g° функцию А, разбивая
Я(а—Р) на {^(^(а —р),), ..., Я(М«—Р))} и
заменяя имеющееся на D($j(a — $)) w на z/,-. По лемме 14.1
h^.gQ, так что, по транзитивности, h-<f. Но Рл = р\Р +
+ (1 — Р)(? по построению, а так как Р <С а, мы
получили противоречие с соотношением (14.12). Следовательно,
соотношение аР-\-(1 — cc)Q-<f неверно. Аналогично
получаем, что неверно и /ЧаР + (1—cc)Q, так как оно
приводит к противоречию с (14.11). Отсюда следует, что
/~сеР + (1-а)<?.
В связи с результатами этого параграфа и главы 8 мы
можем сформулировать следующую теорему, в которой Р*
задается соотношениями (14.2) и (14.3) с учетом (14.1).
Теорема 14.4. Из условий Р1 — Р6 следует, что
Существует такая вещественнозпачная функция и на X, что
f<g^E[u(f(s)), P*]<E[u(g(s)), P*]
для всех Р,, Ре<=Ре, (14.13)
и если функция и удовлетворяет этому соотношению, то
она единственна с точностью до положительного
линейного преобразования.
Далее, в этой главе будет предполагаться, что
функция и удовлетворяет (14.13).
§ 14.5. Ограниченность функций полезности
При доказательстве ограниченности функции и па X
мы будем пользоваться следующей леммой,
доказательство которой легко выводится из Р7.
Лемма 14.5. Если имеют место (Pi, Р2, Р1, ж-</ на
А и x-<g на А для каждого х <= X), то f ~ g на А.
Если имеют место (Pi, Р2, Р7, / -<х на А и g ~< x на
А для каждого х<=Х), то f ~ g на А.
21 II, Фишберн

322 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
В доказательстве следующей теоремы запись sup T —
—' оо означает, что Т является множеством вещественных
чисел, и если с е Re, то существует такое t^T, что
t > с. Но существу sup Т = оо означает, что множество
Т неограничено сверху. Кроме того, если функция /
такова, что P*{u(f(s)) > d} — 1 для некоторого d, то
£(и, Р/)=оо означает, что
sui>{£[inf{i*(/(s)), c}P*]: ceRo} ='<».
Теорема 14.5. Из Pi — PI следует, что функция и
ограничена, на X.
Доказательство. Пусть выполняются условия
Р{ — Р7, и предположим, что функция и неограыичена
сверху на X. Пользуясь соотношением (14.3), построим
последовательность Si, S2, ... попарно непересекающихся
событий из S, для которых Р*(В„) = 2-п при п = 1, 2, ...
п
Если U Sniio исчерпывает S, добавим S/{JBn к В\. Возь-
п=1
мем и(.гп) =g 2" для каждого п и положим
/ ='Ж„ па Вп, п = 1, 2, ...,
так что E[u{f(s)), Р*] = оо, поскольку
£ [Ы {«(/(*)), 2"} Р*Ш= 2 i>* (£,>(*;)^ |]2-''2г = гс
г=1 i=l
для /г='], 2, ... Пусть ж — произвольный исход. Тогда
для некоторого у <= {^j, £2, . • ■} имеет место
u(x)<E[mHu(№), u(y)}, P*]. (14.14)
Положим
/' =</на {s:/(s)=<y},
/' = уна {s: у-</(*)}.
Тогда Ру<=&я и
£>(/'(*)), />*] = £[inf{B(/(S)), И(г/)}, ?*],
так что по теореме 14.4 и (14.14) должно быть x-<f. Но
in лемме 14.1 /'=^/, так как по Р7 f=^f при условии
iA': y^-fis)}- Следовательно, x-<f. Значит, x-<f для
всех х.

g 14.6] ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВСЕХ ДЕЙСТВИЙ ' 323
Возьмем далее такое z, что и{х\) < u-(z), и положим
g = z на В\ и g =>/ на 2?ь Как в предыдущем абзаце,
мы получим, что ж -< g для всех х, так что но лемме 14.5
f~g.
Но / -< g на #ь так как ач -< z и P*(Bi) >0, и / ~ g на
^i, так как f = g на й1. Следовательно, по лемме 14.1
j ~< g всюду, и мы пришли к противоречию. Значит,
функция и ограничена сверху. Аналогичными рассуждениями
доказывается, что функция и ограничена и снизу.
§ 14.6. Полезность для всех действий
Чтобы показать, что
f-<g^E(u,Pt)<E(u,Pa)
для всех действий, докажем сначала две леммы.
Пусть P<=&s; запись g — Р на А будет означать, что
P*{s€=A и g(s) = x} =P*(A)P(x)
для всех х е X. Определим отношение / -< Р на А как
/ -< g па А для каждого g = P на А. Отношение P-<f па
А определяется аналогично, а / ~ Р на А и /=^ Р на А
определяются обычным образом. Заметим, что по
теореме 14.3, если / -< g на А для некоторого g — Р ^. £PS на
Л, то / -< h на Л для каждого k = Р на Л. Если Л
является нулевым, то g — Р на Л для каждого g.
Лемма 14.6. Пусть выполняются Pi — Р7, А ф 0,
/=^:г не Л к u(f(s))<C с для всех s<=4. Тогда
существует P^&s, для которого /=^Р на А и Е(и, Р)^с.
Пусть выполняются Р1 — Р7, А ф 0, х=^ J на А и
с <Zu(f(s)) для всех s^A. Тогда существует P^^PS,
для которого P=^f на А и с ^ Е(и, Р).
Лемма 14.7. Пусть выполняются Pi—PI, {B[, ...
..., Вп) является разбиением S, u(f(s))<CCi для всех
s е= Bi (i = i, ..., п), Р <= 3я,, Р</. Тогда
Е(и,Р)<21Р*{В1)с,.
— г=1 ,
Пусть выполняются Pi —P7, {В\, ..., Вп} является
разбиением S, ct < u(f(s)) для всех s e 5, (г = 1, ..., п)
21*

324 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
Р(=&а, f^P. Тогда
J!lP*(Bt)el^E(u,P).
1=1
Достаточно доказать первую часть каждой из отих
лемм. В каждом из следующих доказательств
предполагаются выполненными условия первой части
соответствующей леммы.
Доказательство леммы 14.6. Если и(х)^с,
положим Р(х) — 1. Тогда /=^Р на А по условию, а
также Е{и, Р) — и(х)^с. Предположим далее, что
с <с и(х).
Пусть у — некоторый исход, для которого и(г/)^с,
и существование такого у обеспечивается тем, что
А Ф 0 и u{f{s))<.c для всех s<=A. Пусть Р является
единственной комбинацией х и у, для которой Е(и, Р) —
= с. Если А является нулевым, то / =^ Р на А п
доказательство завершено. Предположим теперь, что Р*(Л)>0.
Зафиксируем iei. Пусть g — Р на А и g = f(t) па
Ас. Поскольку и(/(£))<с, должно быть
uU(t)) = P*(A)u(f(t)) + P*(A°)u(f(t))<
<Р*(А)Е(и, P) + P*(A°)u(f(t)) = E[u(g(s)), Р*],
так что по теореме 14.4 будет f(t)-ig. Следовательно,
/(0<£ на -4- Так как это верно для каждого ie4, из
Р1 следует, что / =^ g на А. А так как g — Р на А, будет
и /=<Р на А.
Доказательство леммы 14.7. Предположим,
что утверждение леммы неверно для некоторых / и Р,
так что
2Р*(В<)с,<Е(и,Р).
Так как это может не выполняться, если Р приписывает
наихудшему исходу вероятность 1, отсюда следует, что
существует такое ^е^1,, для которого
2Р*(#0 c,<E{u,Q)
и Q -<Р =^ /. Следовательно, если лемма остается
справедливой при замене условия Р =^ / на Р -< /, то и
первоначальная лемма должна быть справедливой. Таким
образом, будет достаточно показать, что если условия

, 14.6] ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВСЕХ ДЕЙСТВИЙ 325
Р1—Р7 имеют место, если {В,, ..., В„} является
разбиением S и если
1. и (/(s)) < с, для всех sg^, i = 1, ..., w;
2. PeS8, nP-</.
Для доказательства этого покажем сначала, что при
необходимости можно изменить / так, что для нового /
будут выполняться условия 1 и 2 и для каждого i
существует такое г/,-, что новое / =^ г/, на Д. Если найдется
такое г/г, что f =4 Ui на В{, то нас не интересует, каково
именно это i. С другой стороны, предположим, что x-<f
на Bi для каждого х е X. Тогда В{ не может быть
нулевым, и поэтому Р* (Bt) > 0. Для этого В, возьмем у -< z
и м(?у)<сь Так как Р-</ по 2 из Р6 следует, что
существует такое Л, не являющееся нулевым, что А ^ В(
и Р-<]', если /' = / всюду, кроме Л, на котором /' = у.
Положим /* = / всюду, кроме А, на котором /* = z.
Так как y-<z, должно быть /'-</* на Л. Следовательно,
по лемме 14.1 /'-</* на В;. Тот факт, что x-<f на В,
для каждого #еХ, не может иметь места, так как
в этом случае по лемме 14.5 будет /' ~ /* на В;, а это
приводит к противоречию. Значит, существует такое
у г е X, что f =4. У< на В{. Поскольку 1 и 2 имеют место
для /', рассматривая каждое i, мы получим действие g,
удовлетворяющее условиям:
1. u(g(s)) < Ci для всех s ей,, i = 1, ..., п.
2. Ре^, иРЧ?.
3. Существует у(еХ, для которого g=4y, при
условии В,, г = 1, ..., п.
Если такое g существует, то из леммы 14.6 следует,
что для каждого i существует такое Qt e i^s, что g =4Qt
на В, и Z?(k, (?<) ^ с{.
Пусть h=±=Qi на В; для s = 1, ..., п. Тогда по
лемме 14.1 мы получим, что g =^ h, так что P-<h. Так как
Ph = 2дР* (Bi) Qi, из теоремы 14.4 следует, что
Е(и, P)<E[u(h(s)), P*].
Так как, наконец,
E[u(h(s)), P*\=.^.P*(Bl)E(u, Qt)^UP*(Bi)ct,

326 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
должно быть
Ожидаемая полезность для всех действий.
Теорема 14.0. /Уз PS—P1 следует утверждение
(14.4).
Доказательство. При помощи соответствующего
положи тел [.по го линейного преобразования функции
полезности и, используя РЪ и теорему 14.5, положим
ий{и(х): ле^) = 0, sup {и (я): ieX}=l.
Каждое действие из /^ попадает ровно в один из
следующих классов:
1. / велико -<=*- x~\j для каждого х е X;
2. / жало -<=*- / -< х для каждого х е X;
И. / нормально -*=*- ж ^/^ у Зля некоторых х, z/ сн X.
Предположим сначала, что / нормально. Лемма 14.4
обеспечивает тогда существование Р е= 5*s, для которого
выполняется Р ~ /. Разобьем 5 на подмножества
^,={s: 0$B(/(J))gl/B},
4i = {s: {i — i)/n < »(/(s))<; f/n} для i = 2, ..., п.
Некоторые из этих At могут быть пустыми. По
определению математического ожидания (см. определение
10.12, упражнение 10,16),
2 Р* (At) (i - i)/n^E[и (f [s)), P*] ^2 P* {At) tin.
г г
Также по лемме 14.7
2 P* (At) (i - 1 - e)/n ^ E (u, P)^ 2 /}* (^) {i + e)Jn
i г
для любого е > 0. Устремляя п к бесконечности, мы
получим, что
E[u(f(s)), Р*] = Я(ц, Р), если j ~ P, Р€=&,. (14.15)
Предположим теперь, что / велико. Но лемме 14.5,
если действие велико, то оно безразлично. Докажем, что
если / велико, то
' а (х) < 1 для всех х, Р* [и (/(s)) Sg I. — »р,} = 1
5ляе>0, E[u({(s)), />*] = 1.

§ I4.6J ПОЛЕЗНОСТЬ ДЛЯ ВСЕХ ДЕЙСТВИЙ 32?
Пусть / велико; предположим сначала, что u(w)=i
для всех w е X. По свойству Р5, возьмем х -i id.
Положим
A={s: a{f(s))<i}, Л° = {s: b(/(s))=1}.
Тогда, используя PI в случае, когда А ненулевое,
рассуждая как в последней части доказательства
леммы 14.6, мы получим, что / =^ w на А. (Предположим,
что w -< f на Ас (считая, что Ас ненулевое); тогда, по
свойству Р6, существует множество Bs/l1, причем В
ненулевое, и w-<f на Ас и /'= / всюду, за
исключением В, где /' = х. Пусть /" = / всюду, за исключением 5,
где /" = w. Тогда, по лемме 14.1, f -< j" на Ас. Но тогда,
но лемме 14.5, /' ~ j" на А"; пришли к противоречию.)
Следовательно, / =^ w на Ас, так что /=^ w по лемме 14.1.
Но соотношение j =4 и> противоречит тому, что /
велико. Следовательно, пз того, что / велико, вытекает
и (х) <; 1 для всех igI
Предположим далее, что если действие / велико, то
для него существует такое е > 0, что
Р*{в(/(8))^1-е}< 1.
Тогда, положив А = {s: k(/(s) ) <1 — е), мы
получим, что Р*(А)^>0. Из предыдущего параграфа следует,
что можно выбрать такие у, 2б1, для которых
1 —е < и(1/)<и(г)< 1.
Положим /" = /' = / всюду, за исключением Л, где
Г = у и /" = г. Тогда, поскольку u(f(s))<. и(у) для
всех sGi, мы получили /=^£ на 4. Это приведет к
соотношению f =4 f -< f". Но, так как / велико, /" также
велико, и, следовательно, по лемме 14.5, / ~ /". Так мы
пришли к противоречию. Таким образом,
P*{u(f{s))^ ] -е}= 1 для всех е > 0.
Значит,
#l>(/(s)), -Р*]^ 1 - '•' Для всех е > 0,
и, так как Е не превосходит 1 (см. упражнение 10.22а),
должпо быть E[u(j{s))1 Р*]= 1.

328 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА [ГЛ. 14
При помощи аналогичного доказательства для малых
действий мы получаем, что если f мало, то
О <С и(х) для всех х,
P{uU(s))^e} = 1 для е>0,
E[u(f(s)),P*]=0
и, по лемме 14.5, все малые действия безразличны по
отношению друг к другу.
Соотношение (14.4) легко вывести из теоремы 14.4,
леммы 14.5 и того факта, что каждое нормальное
действие безразлично но отношению к некоторому P^!PS,
а также из (14.15) и из выводов, сделанных
относительно действия, если оно мало или велико.
§ 14.7. Резюме
Аксиомы Сэвиджа для ожидаемой полезности вводят
отношение ~< на множестве F всех функций,
отображающих S в X (т. е. ставящих в соответствие состояниям
исходы). Если отношение -<* (менее вероятно, чем)
определено на основе отношения -< надлежащим
образом, то из его первых шести аксиом следует, что
существует вероятностная мера Р* па S, удовлетворяющая
соотношению
А -<* В ^ Р* {А )< Р* (В) для всех А, В = S,
и, если это выполняется, то
{В g= S, 0 ^ р ^ 1) => Р* (С) = РР* (В)
для некоторого С д= В
и мера Р* оказывается единственной. Из последнего
свойства следует, что множество {Pt: /eF}
вероятностных мер па X, порожденных Р* на S, содержит
множество 2PS всех простых мер па X. Показав, что эти
аксиомы, сходные с аксиомами главы 8, имеют место для
отношения -< на &s, мы получаем в терминах ожидаемой
полезности представление для &s или для множества
простых действий. Из седьмой аксиомы Сэвиджа следует,
что функция полезности и на X ограничена и что пред-

УПРАЖНЕНИЯ 329
ставленпо в терминах ожидаемой полезности
j-<g**E[u(f(s)), P*]<E[u(g(s)), P*],
или, что то же самое, f-<g-^-E(u, &>t)<E(u, Pe),
выполняется для всех действий.
Книга Сэвиджа [1] содержит раздел «Исторические и
критические замечания о полезности», который следует
изучить каждому, кто интересуется теорией полезности.
Упражнения '..: •
Указатель. 1, 2. Вероятностные аксиомы для конечных
множеств. 3. А/В. 4. С1. 5. Качественные применения вероятности.
С. F5. 7 — 9. Однородные разбиения. 10 — 14. Редкие и густые
качественные вероятности. 15. Отношение -^ при условии Л. 1С.
Нарушение Р2. 17. А нулевое -фф- А ~ * 0. 18. Дискретные меры
из 9>. 19. Условная вероятность. 20. Р\ — Р6 выполняются, а Р1
нарушается. 21. Один вариант Р1. 22. Из Pi — PI не следует -Р*{/(•?)-<!
<g(s)},= l^f<g.
1* (Крафт, Пратт и Зейденберг [1], Скотт [1]). Используя
теорему 4.2, доказать следующую теорему. Пусть S конечно. Тогда
бинарное отношение <^* па семействе всех подмножеств множества S,
удовлетворяющее (14.2), существует в том и только том случае,
если для всех seX, всех Л,, ..., Bm eSii всех т ^ 2 выполяется:
1. {*} <*0; 2. 0<*S;
I m m
3. 24/ = 2В->> ^ "^*В; """" ЛУ ~*Вр 0ля каж°ого
\ 1 _ 1
/ <т)=>Л<*В,п.
mm
В условии 3 А ~ * В -фф- (Л <* В , В <* Л) и ^ Л; = 2 Bj
1 1
для каждого s, число Л;, содержащих s, равно числу Bj,
содержащих S.
2* (продолжение) (Крафт, Пратт и Зейденберг '[1]). Пусть
S — {р> Ч, r> s, *}; обозначим подмножество S вида {р, q, t] через
pqt. Пусть отношение <* на множестве всех событий задается как
0 <* /><* g<* r <* />g <* />r <* s <* ps <* qr <* { <* pgr <*
<* 53 <*" <* pt <* pgs <* gi <* prs <*/-i <* grs <* pqt <*
"••"•' ' <*prf<*sf <*pgrs<*p.s-f <*g/-i-<*pgrf<*gsf <*
<[* rsf -<[* /igsi <[* prsi <(* grsf <^* pqrst,
где порядок в двух последних строках совпадает с обратным
порядком дополнений первых двух строк. Ясно, что условия Fi, F2
и F3 теоремы 14.2 имеют место.
a) Показать, что имеет место Fi.
b) Показать, что условие 3 из упражнения 1 здесь нарушается.

330 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СЭВИДЖА ' [ГЛ. 14
3. Для любых А, В s S проверить, что
a) (А/В) П (А П В) = 0 и (А/В) U (Л П В) = Л;
b) A U (В/А) = £ U (А/В) = Л U Д
c) (Л/Л) П (В/Л) = 0;
(1) (А/В) U (ДМ) = (Л U В)/(Л П Л');
е) (Л/Я) U (ДМ) U (Л П Щ = Л U Д;
I) (А/В) U (В 1С) = (Л/С) U ((Л П С)//;) U (Д/(Л ПС)), если Л/С,
(ЛПС)/Д и В/(Л("|С) is совокупности не пересекаются.
А. Доказать С1 из § 14.2.
5. Пусть отношение -<* удовлетворяет Fl — FA. Проверить, что
а) А <* В -^- А/В <* В/А; Ъ) А <* В -<=>■ ВС <* ЛС;
c) (Л <*ЛС, В<*Д) =^Л <*Д;
d) 5=^*£=>Л~*5 и ЛПД~*Л;
e) (Л~*Д, С~*Д, ЛиД~*сиО, ЛПД=СП£»= 0)^-
I- Л~*С.
С. Пе пользуясь условиями С5 — С9 доказать: (Fl — F5, 0 <*
<* И, 0 <* В) =ф- 0 <* С <* Л для некоторого С s Л.
7* (и р о д о л ;к е н и с), Пусть условие FQ состоит в
следующем. Если 0<^*Л, то А можно разбить на подмножества В и С,
причем В>~*С, как в С8. Исследуя доказательство утверждения
(14.2) с помощью шага Ъ, обосновать, что из Fi—FA. и F& следует
существование единственной вероятностной меры Р* на множестве
событий, которая удовлетворяет соотношению
А <* В =*- Р* (Л) g P* (В) для всех А, В sS. (14.10)
8* (продолжен и с). Показать, что доказательство
утверждения (14.3) остается в силе и для ситуации из упр. 7*, так что из
Fi— FA и F6 следует (14.3), если Р* удовлетворяет (14.1(5).
9*. Пусть F1 состоит в следующем: для каждого целого
положительного п найдется п-элементное о, р. множества S. Анализируя
доказательство утверждения в шаге 6 (14.2), обосновать, что из
Fl—FA и F7 следует существование единственной вероятностной
меры Р* на множестве событий, которая удовлетворяет (14.16).
Доказать также, что из Fi —FA и Fl следует (14.3).
10*. Следуя Сэвиджу '[1] (стр. 36—37), определим следующие
понятия, касающиеся качественной вероятности <^* на событиях
из S (которое удовлетворяет Fi — FA):
«<* является редким -^^- (0 <;* А =>- существует конечное
разбиение S, каяодый элемент которого вероятен не более чем А);
<* является густым ■<=>- А ~ * В, как только а =^* Д U С и
В =^* A U D для всех С и D, которые удовлетворяют
(#ПС = ЛПД=0, 0<*С, 0<*Д).

УПРАЖНЕНИЯ
331
При F\ — F4, проверить, что <* является одновременно редким
и густым тогда и только тогда, когда выполняется /5.
11* (продолжение). Следуя С;)виджу'[1] (стр. 41), положим
St = '[0, 1], S2 = [2, 3] и возьмем в качестве Р;
конечно-аддитивную вероятностную меру на семействе всех подмножеств S{ (i =
= 1, 2), которая согласована с мерой Лебега (т. е. Pi ('[о, Ь]) = Ъ—а,
если OSag Ьй1) на подмножествах Si, измеримых по Лебегу.
Пусть S = Si\JS2 и для каждого Л s S положим AL=A Л Si и Ла=
—Л Л £а-Определим <(* на семействе всех подмножеств S, положив
Л<*Д«=*Р,(Л,) <Р,(Д,) или (Р,(Л,) =Р,(Д,),Р2(Л8) <Р2(В2)).
a) Промерить, что отношение -<* является качественной
вероятностью (т. е. что соблюдается F\ —FA).
b) Доказать, что отношение <* не является редким. (Взять
А = S2 и обосновать, что каждое конечное разбиение должно
содержать В, для которого А <*В.)
c) Доказать, что отношение <(* является густым.
d) Если Р*(А) = Pi(Ai) для всех A s S, то будет ли Р*
удовлетворять (14.16)?
12* (продолжение). Пусть S,, S2, Ph P2 a S определены
как в предыдущем упражнении. Положим Л\ = A fl Sj п Л«=А Л S2
для любого A s S и Л <* В -^ Р, (ЛО + Р2(Л2) < Р, (ВО + Р2(/?2)
или (Р1(Л0 +Р2(Л2) =Pi(B,)+P2(B2),Pi(41) <P!(Bi)).
а. Показать, что <* является качественной вероятностью.
1). Доказать, что <^* редкое.
c. Доказать, что -<* не является густым. (Пусть А = S,, a В =
= S2; показать, что если <(* густое, то Л ~* В. Но В <(* Л).
1
d. Если Р* (А) = -у [Pt (Л!) + Р2 (Л2)], верно ли Р* (14.1(>)?
13* (продолжен и е). Пусть Si, S2, Pi и Р2 — те же, что и в
упражнении 11. Пусть 53 = [4, 5], а Р3 — конечно-аддитивное
расширение лебеговой меры на ^3. Возьмем S ='Si U S^U S3 и
положим At = А П Л' t для i = 1, 2, 3 и любого Л s 5. Определим
<*, положив Л <*Я^Р!(Л,) <Р1(В1) или (Р,(Л,) = P,(Bi),
Р2(Л2) + Р3(Л3)<Р2(В2)+Р3(В3)), или (Р,(Л1)=Р1(В,), Р2(Л2)-Ь
+ Рз(Л3) =Р2(В2) + Р3(В3), Р2(Л2) <Р2(В2)).
a. Проверить, что <(* является качественной вероятностью.
b. Показать, что -<* не является редким.
c. Показать, что -<* не является густым.
d. Если Р*(А) = Pi(Ai), то удовлетворяет ли Р* (14.16)?
14* (продолжение). Обосновать в каждом из трех
предыдущих упражнений, что для каждого целого положительного п
существует ге-олементное однородное разбиение S. В этом случае ил
упражнения 9 следует, что Р*, как было определено в трех
предыдущих упражнениях, является единственной вероятностной мерой на
$, которая удовлетворяет (14.16). Показать затем, что в каждом из
птпх трех случаев существуют Л, B<=S, для которых Л<*# п
р*(А) = Р*{В), так что (14.2) не может иметь места.
Замечание. В оставшихся упражнениях через F обозначено
множество всех функций на S со значениями в X,

332 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ СОВИДЖА [ГЛ. 14
15. Доказать, что если выполняются Р1 и Р2, то при условии
А <( является слабым упорядочением.
16* (сообщено Сэвнджем). Пусть S = '[0, 1], а Р* — некоторое
расширение на S лебеговой меры, так что, например, Р*([а, Ь]) =
= Ъ — я, если 0 g a g 6 S 1. Пусть X = [О, оо); возьмем и (х) =
!= х, так что F является множеством всех неотрицательных
вещественных функций на '[0, 1]. Допуская случай E[u{f(s)), P*] =
= E(f, Р*) = оо (см. § 14.5) с оо = оо, положим f <. g тогда и
только тогда, когда E{f, Р*) < E(g, P*).
a) Показать, что Р2 но соблюдается, если рассмотреть четыре
действия, для которых / = f \= 1, g = g' = 0 на А = 0, -g-J и
/ == g, /' = s' на Аа при: E[f, P*) = оо и E(f, P*) конечном.
b) Проворить, что Р1 и РЗ — Р7 выполняются.
17. Проворить, что если Р1 — Р5 соблюдаются, то А нулевое
тогда и только тогда, когда А ~ * 0.
18. Проверить, что из (14.3) следует, что все дискретные
вероятностные меры на X принадлежат 9> = {Pf: /eF) для (14.8).
19. Пусть РА — условная вероятностная мера от меры Р* на
А, если Р*(А) > 0, для которой Р*А {В) = Р* (А[\В)\Р* {А) при
всех В ^S. Проверить, что из Р1 — Р1 для всех /, feFnisS
следует, что для того, чтобы было / ^ g на А, необходимо и
достаточно, чтобы было Р*(А) = 0 iran-EJK (/(s)), P*A]s, ^[к (g(s)), P*A],
если Р*(А) > 0.
20* (Сявидж [1], стр. 78). Пусть S = {1, 2, ...}, а Х= [0, 1).
Возьмем в качество Р* мору на S, для которой P*(s) = 0 при
любом s е S и Р*{ге + /, 2п + /', Зге + /', ...} := 1/ге при всех ге > 0 и
/ ^ 0. Определим < .на F, положив / < g -<=*- в>(/) < w(g), где
и;(/) = £(/, р*) +mf {P*{/fs) ^ 1-е}: е > 0}.
а. Доказать, что если {Аи ..., Ап] является разбиением S п
/ = {г: Р*(Л,) > 0}, то при PAi, как было определено в упр. 19,
у (/) = 2 ^* (-4,) [^ (/, Р^) + inf {^. {/ (*) > 1 - в} : е > 0}.
Ь.Проверить, что Р1 — Р6 здесь соблюдаются.
с. Показать, что Р7 здесь не соблюдается для следующих fug:
для нечетных целых чисел f ,= 0 п g = 1/2, а для каждого четного
числа п имеет место f(n) = g(n) i= n/(n -f- 1).
21 (продолжение). Аксиома А4Ь (§ 10.4) не является
достаточной для общего результата об ожидаемой полезности, когда
меры из 9* не все счетно-аддптивны. В терминологии данной главы
аналогом А4Ь будет Р7Ь: если x^g(s) на А для всех s e А, то
я=~Г g на Л; если g(s) --^ х на Л для всех s е Л, то #sj x па А.
Проверит!., что P7J) соблюдается для примера из упр. 20.
22. Модифицируя пример из уцражнепия 20, указать случай,
когда Р1 — Р1 соблюдаются, но неверно следующее утверждение:
если /(.?) -< g(s) для всех se4 и А ненулевое, то / -< g на А.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
2.1Ь. Для любого is{..., —2, —1, 0, 1, 2, ...} положим /(0) =
= 1, /(;) = 24, если i > 0, и /(г) = —2i + 1, если г < 0.
2.4а. Отношение ~ является рефлексивным, так как
отношение =С рефлексивно. Отношение ~ симметрично на основания
своего определения. Если х ~ у и у ~ z, то (х ~s г/, г/< ж) и (г/ <
=^ г, z^y), что по транзитивности отношения ^ дает (ж < z,
z<x). _
2.5. Если ж -< 1х, то по асимметрии должно быть х -К. 'х и мы
получаем противоречие. Следовательно, отношение -<' является
нерефлексивным. Предположим, что i-CyJj-Cz. Тогда
ж < хь х{ < ж2, ..., хт < у, I/ < уь у, < у,, ..., ул < z,
так что ж -< fz.
2.7. X = {а;, у, z), где г < у, у < z и х ~ г.
2.9. Положим, по определению, хну эквивалентными тогда
и только тогда, когда они оказываются в одном и том же
элементе разбиения.
2.11. Предположим, что отношение -< транзитивно at~y -ф>
■<=*- / (х) П / (у) ^ 0 . Ясно, что из / (х) Л / (ж) т^ 0 следует
нерефлексивность <. Предположим, что (я<(у, z<b>), так что
1{х)Г)1(у)= 0, 1(г)П1{ю)Ф 0.
Тогда или Г (x)(\I (w) ф 0, в каковом случае либо х <^w, либо
w -< х (и потому по транзитивности z -< у); или / (ж) П ^ (z) = 0,
в каковом случае либо х ■< z (и потому по транзитивности х < w)
либо z -< ж (так что z «< у); или / (г/) П Дг) = 0 *. или, наконец,
I (у) П J (г^) = 0 с соответствующими выводами.
2.14. ТР =>- транзитивность. Пусть свойство ТР имеет место.
Предположим, что транзитивность нарушается на
y^F({x, y}),ze({y, «}), {*} = F({*,z}).
Тогда согласно ТР будет Z9eF({a:, у, z}). Но из ysF{{x, у, z})
по ТР следует z0F({y, z}), что дает противоречие. Следовательно,
у ф. F({x, у, z}). Поэтому {х} = F{{x,y,z}). Но тогда по ТР должно
быть у £F({.г, у}), что опять-таки дает противоречие. Поэтому
F({х, У, z)) =" 0, что, однако, неверпо. Следовательно, из ТР
следует транзитивность.
245.. Однозначное соответствие осуществляется функцией
/(«,, ж2) ■= *1 + 0.5(Ж] +а:3 —2)(a;i-bx2—1).

334
ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
2.17. Подойдет н(х\, .г2) = axt + х2 с а !> 1.
2.21Ь. (ж, (/) е= (Л U#)' ^ О/, z) see Л или (у, а-) ss В. (х, у) es
s^'UB'^(!/,i)e^ или (y,i)eB, (ж, г/) е= {А Л В)' <4 (г/, х) е=
е^и (г/, х) е В.
3.1. Если это множество исчислимо, то его элементы могут
быть занумерованы числами вида 0. хцжа1жз1 .. ., 0. ж^гг^зг ''''
0. Ж13Ж23Ж33 . •., ... Положим для любого i xt Ф хц при xt e {!, 2}.
Будет ли тогда число 0. ххх2хъ ... иметь номер?
3.3. Пусть V(x) =(|ж|, х). Тогда х-^у будет тогда и только
тогда, когда U(x) <L U(y), где (а, b) <L (с, d) тогда и только
тогда, когда а < с пли [я = с и Ь < d].
3.6. (1, -2.4, -3). 3.7b. -130.
3.8. Пусть X является единичным квадратом, на котором
(0,1) < (1, 0). Множество всех а(0,1) + (1 — а) (1, 0) = (1 — а, а)
является прямолипейным отрезком, соединяющим (0,1) с (1,0).
Можно ли провести кривую безразличия, которая пересекала 67J
этот отре;юк в нескольких точках?
3.12. Да. Если ieX суть числа, X конечно и ST = [А[\Х :
:Л ^11], то функция в на X является непрерывной в смысле ST.
3.16. При с^{и(х), и(у)) положим с ф u(z) для каждого
iel Пусть Y = {z: z ss X, и (г) < с}, Z~ {z: z ss X, с < u(z)}.
Множества Y и Z непусты, не пересекаются и Y (J Z = X, а так
как множества {Ь: Ъ < с} и {я: с < а} содержатся в <2^ н и
непрерывна, должно быть Y,Z <=Т, что противоречит связности (X, Ф~).
3.23. Если X несвязно, то оно может быть разбито на непустые,
непересекающиеся подмножества Y и Z, которые оба принадлежат
{Л(]Х: Ае9/п}. Eivrif X выпукло и у е= У, z ег К, то отрезок
L(j/, z) = {ai/ + (1—a)z; as [0, 1]} принадлежит Х, а
пространство (L(y, z), {Л f\L(y, г): Л е1?/"}) связно. Однако ввиду
несвязности множества X мы должны заключить, что L(y, z) Л Y п
L(y, z) П Z суть непустые открытые множества из {Af)L(y, z):
:А е=2/"}, которые разбивают L(y, z); тем самым £(г/, z)
оказывается несвязным, it мы получили противоречие.
4.2. 4! =24. Восемь из них аддитивны. 4.3. а, с, /,' g.
4.4. X\X2-\- (Х\Х2)^ = Х\Х2({ -\- Х\Х2).
При о, 6 5г 1, a S= b -ф*- а(1 + a) g 6(1 + b). См. упражнение 3.
4.5. У к а з ан и е. Включить в ( )Е4( ) те шесть
элементов, полезности которых удваиваются (8, 9, 15).
4.12. Да.
4.15. Для теоремы 4.2 положим
С= (i(,(,rii), Ki(-rl2), ..., ип(хпг), а (а1), о(х2), ..., о(.г3))
4.17. Пусть с = (т(хп), ..., и„ (х„г), 1).
5.1а. и,(0) = 0, ii,(l) = 2, гг2(г)= 2 —е-Г, если г ^ 0, и !f2(r) —
= ег, если г < 0, подойдет.
5.1 Ь. Предположив существование аддитивных полезностей,
возьмем a = к2(1) — к2(0) > 0, М = щ(\) — к,(0) > 0, ji,-=
= «J (1/i) — и, (1/(1 + i)) для i = 1, 2, ... и покажем, что М > та
для любого натурального т.
5.4. Предположим, что тге = 3 и п = —2. Тогда Зх — 2.г = х +
+ ж + (х — х)~х — х-\-х-[-е — х = х+{х — х) — х -\-е = ,г.

ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
335
5.12. X.
п
5.13. П*^"< ^П Я~и так как ПДгеПе\, еслиЛ;еЕ£Гг
для любого i. Предположим, что А ф 0 н A elle,-. Для ж е Д
возьмем Д;(г) е^"; так, чтобы было
з-i еД,(^).П/1; = А, ILl.ssIF'sr,.
Также U (ДДг (х))= А, так что Д е=П*е"{. Поэтому Пе.^П*^.
же А
5.19. Предположим, что Ue.1l. Тогда ?7 = U Д(г),где А(1)
является открытым интервалом в Re для каждого (еГ (в силу
упражнения 18). Поэтому f~l(U)= U f~~l (A(t)) принадлежите,
если f~l(A{t)) в 9~ для каждого 1еГ.
5.23. (si, г/1, zb ж2, г/г, z2) .= (2, 1, 3, 1. 5, 5, 8) дает нам
"(.-'■i, з-г) < »(//Ь г/г),- "(г/ь ~г) < k(Z|, л-2), "(a-i, у г) < h(zi, г2),
что противоречит QI.
6.1Ь. [ж1, ..., .г'", у1, ..., у™ — перестановка
последовательности г1, ..., zm, и;1, ..., wm, (xi, yf),< (z*, u;J) или (x>, yi) ~ (г-»,
юг) для всех / < m] => (sm, ym) < (г", и>т).
Возможна ii другая формулировка:
[((*', »'),-••, (■*". г/"')) Я>«((2', »'),■■., (zm, "-"")), (<Л yJ)<(2', «■•>)
или (ж*, г/*) ~ (г\ Ы) для всех / < от] =>- {хт, ут) < (zm, wm)
и (ж, г/) ~ (у, х) для всех ж, у е_ЗГ.
6.5. а; — у ~ *z — w =>- х — у <^*z — iv =>■ х — z <C *г/ — ш (по
(6.2)) =4- [х — z ~* г/ — в> или г/ — в> <* а; — z], а из последнего
соотношения по (6.1) следует z — _£_«< *w — у. Вместе с тем по
(G.2) будет х — у ~ *z — ю =ф- z — iv -^*х — у =$- z — х *^*iv — у.
Поэтому х — у ~ *z — w =>- х — z ~ *у — w и т. д.
6.9. Отрицательная транзитивность доказывается следующим
образом: х < у =ф- у — ж=^ *х — х, у < z =>- z — j/ < *у — у, и
должно быть z — г/ _<^ *ж — ж, но тогда г — х *С*у — х и z — а; ^ *ж — х.
6.15. Асимметрия отношения -<* непосредственно следует из
асимметрии отношения <(. Чтобы доказать отрицательную
транзитивность, заметим, что
х — 7/<*z — и; =>. ](х, w) < /(г, у) => /(z, у) < /(ж, ш),
z - ю <"* s - / => /(z, <)^< /(*, w) =*- /(■?, ю) < /(z, t).
Пользуясь СЗ, С2, СЗ, С2 и снова СЗ, получим
/(/(*, У), /К *)) ~ /(/(,, в,), f(y, *)) < /(/(z, г), /(г/, z)) ~ ,
~ /(/(*. У), /(*, *)) </(/(*, w), /(', «)) ~ /(/(х, (), /(«», г)).

330 ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Тогда в силу транзитивности f(f(s, у), f(w, z)) </(/(s, t), f(w, z)),
откуда по С2 следует^(s, y)^, f(x, t), а это означает, что s — <^*
a^ *x — у, или x — у <( *s — t.
6.16. Чтобы показать, что j(f(x, у), f(z, w)) ~ f{f(x„ z), f(y, w)),
положим a = f(x, y), b = f[z, w), с = f(x, z), d = f{y, w).
Покажем, что а — d ~ *c — Ь. Условие для перестановки из
предложения В6 выполняется в следующей форме:
х — а ~ *а — у, w — Ъ ~ *Ъ — г, с — г ~ *х — с,
d — у ~* w — d, b — die — я, а — d ?*c — b).
Если ? = <(*, то согласно Вй должно быть я — d <(* с — Ъ и,
следовательно, по #6, будет с — b <(* а — d, но тогда, но (6.2), с — я ■<
«<* b — d, что противоречит соотношению b — d ■<* с — а.
Аналогично, не может быть соотношения Ь — d <^* с — а. Следовательно,
6— d ~*с— а, что по Bs влечет за собой соотношение я— d~*c—Ь.
7.1. Поскольку
(Xi, . . ., Хп) ~ (х2, ..., Хп, Xi) ~ . . . ~ (Хп, Хи . . ., Хп-\),
должно быть 2 ui {хi) ~ 2 Р {xi)ln-
7.4Ь. Ж < (жь . . . , In-I, Уп) < (^1, • • • , *п-2, У a — I-, У п
7.5. Для последнего утверждения мы имеем:
Л = {я, Ь}, » = 2, (я, я) < (Ь, я), (а, я) < (а, Ь),
(a,b)<(b,b), (b,a)<(b,b), (a,a)~(b,b).
7.13k. Предположим, что а Ф 0 и а = Л//Л', где М, N —
отличные от нуля целые числа. Тогда по е и / будет х ~ т/ -<=$- Л/.г ~ My.
Поскольку a/V = М, то а; —- j/ «£=>- Мм ~ Л'ат/, а ш> е и /,
iVaz ~ iVaj/ -*=>- ax ~ ay.
8.1. Ожидаемая чистая прибыль достигает максимума примор-
по при х = 235 000.
8.4а. v(z) = 3, u(tf) = 9, (a>= 5м + 5. 8.5. a = 0,4.
8.6d. Показать, что (условия 1, 2 и отрицание условия 3) =4-
(отрицание условия 4). В противоречие с условием 3 предположить,
что Р < £> < Л и (? < аР + (1 — a)R для всех a e (0, 1). Показать
сначала, что для любых a, fe (0,1)
<1-Р)е + рД<(1-а)(1-Р)Р+№+(1-Р)а]Д<
< (1 - а) (1 - р) Q + [р + (1 - Р)а] Л
(Заметить, что Q < аР + (1 —а)Я для всех ое (0, 1). Почему?)
Предположить, что S < Т ■<=*- и(5) < и (Г) для всех 5, Т е 5*„.
Положить для всех р е (0, 1)
/(Р) = В((1-юе+рд), g(P) = tt((i_p)p + p/?)
и заметить, что если р < у, то при Ч( = Р + (1 — P)a будет /((3) :g
= ff(v) < /(Т)- Показать, что sup{/(P) : р < f} < f(f), т. е.
функция / разрывна в каждой точке интервала (0, 1). Последнее невоз-

ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
337
можно (почему?) и, следовательно, такой функции и не существует.
Воспользоваться тогда теоремой 3.1, чтобы показать, что условие 4
не выполняется.
8.7. См. упражнение 6с.
8.11а. Для пары (А, С) будет
Р(30 долл.) = 0,27, Р(70 долл.) = 0,63,
Р(80 долл.) = 0,03, Р(120 долл.) = 0,07.
И а развитой в зтой главе теории не следует, что пара [В, D) будет
более предпочтительной.
8.13. Нет. Да. 8.16а. у — 15 000 долл.
8.1Gb. у' = у. Получив лотерею А, зто лицо продаст ее за сумму,
имеющую ту ж о самую полезность.
8.16с. 0 долл. ~ (40 000 долл.—г с вероятностью 1/2 или
0 долл.— z с вероятностью 1/2). z = 18 000 долл. Заплатив за А
18 000 долл., это лицо получи равновероятную лотерею, исходами
которой являются приращения наличности на 22 000 долл.
и— 18 000 долл.; последняя лотерея имеет близкую к нулю
полезность — на этом и основано решение.
8.16d. Разумеется, нет. В этих двух ситуациях это лицо имеет
различные суммы совокупной наличности. Оно продаст лотерею за
18 000 долл., или большую сумму.
8.16е. (25 000 долл. с вероятностью 1/2 или —15 000 долл. с
вероятностью 1/2) ~ w — 15 000 долл. w = 20 000 долл.
8.Ш. При у, определенном в части а, у ~ (0 долл.— г с
вероятностью 1/4, или 40 000 долл.— г с вероятностью 1/2, или 80 000 долл.—
г с вероятностью 1/4).
8.16g. (25 000 долл. с вероятностью 1/2, или—15 000 долл.
с вероятностью 1/2) ~ (0 долл.—15 000 долл.— s с вероятностью
1/4, или 40 000 долл.— 15 000 долл.—s с вероятностью 1/2, или
80 000 долл.—15 000 долл.—s с вероятностью 1/4). s = 12 500 долл.
9.1. Чтобы доказать справедливость условпя, обратного к #3,
предположим, что при а е (0, 1) аР + (1 — а)Я « aQ+(l — а)Я,
по псвсрпо соотношение Р « Q. Тогда будет, например, Р ~ Т
и Г < Q. По BZ должно быть аР + (1 — a)R ~ аТ + (1 — а)Я, а по
51 должно быть аГ + (1 — а)5 < aQ + (1 — a)R. Эти соотпошеппя
противоречат тому, что аР + (1 — а) Л « aQ + (1 — a)R.
9.3. Предположим, что Р ~ Q A Q ~ R. Тогда — р j^ — 5~
11 11
~ -tj- Q -f -jj- R и по В2 будет Q ~-irQ + ""T" ^ш Следовательно,
1/1 1 \ 1 1 1
по 54 -2[-2~p + -2~R\ + ~2~Q~~R + -2R- Тем самым
1 1
по 51Л 52 должно быть -— /> ^_ — R~ Rt Р ~ R.
9.5. Если Р ~ Q, но Р ¥= 9, то, изменяя какой-либо исход
лотереи Р на 1 долл., либо изменяя в Р две вероятности, можн
по-видимому, получить такую лотерею Р *, которая равноценна
лотерее Q, но либо более, либо менее предпочтительпа, чем Р.
9.7. Предположим, что для всех геХ
(* - у)* > Ш{(х - у)*: *<=Х}. :
22 П. Фишбери

33S ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Тогда существует такая последовательность zi, z% ... элементов X,
ЧЮ (г, — г/)2> (г2 — у)2 > ... и
inf {(zn — i/)2: я = 1, 2, ...} = inf {(x - у)*: iel).
Is этом случае существует такое z, что любое содержащее z открн-
тое подмножество в Не" содержит какое-либо z„. Поскольку X
совпадает по овоим замыканиям, пя этого следует, что z е= X п
(z-*/)2 = M{(zn-;y)2.-re = 1,2,...},
что противоречит исходному предположению.
9.9d. {(a,a:ttg«Sl).
9.13 (2). h Ш 0 для всех j и 2^< > 0.
СО
10/ic. U А. =(0, 1)\{1/2,1/3, 1/4, ...).
i=i '
10.5. Эта a-алгобра состоит из всех таких подчнол.'егтп прямой
Re, которые либо не более чем счетньт, либо являются дополнением
не более чем счетного множества.
10.7. Если sup{/' -|-s:reR, seS) < sup Я + sup S, то для
некоторых г ее R н seS Судет snp{/- + «:...} < г + s, т. е. г + s <
</■ + «.
10.9. Если
!оо \ со
2iafitj: « = 1.2, ... <2 «ysup{p0.: ' = 1.2, ...}.
то для пекото])ых т, е > 0 и всех i = 1,2,... будет
2«А> + 8< 2<V"P{IV * = 1.2,...}.
J-«l J--1
Пусть {J, , — таковы, что для / = 1,2,..., т.
1 ii
s,ip{pij: i= 1-2, ...} ёР, ,+ e/Af.
V
Пусть s — наибольшее такое is. Тогда для / = 1,2,..., т
9up{p„:S = l,2,...} gpSJ- + e/#,
7П 771 771
2«.sup{p.;: i = l,2,...}^^]ayJp +e/M]< V «Д + в.
j'=l - з'=1 j-i
Поэтому для всех f, а стало быть, и для t = s должпо быть
оо m
2j a;Pf/ < 2 ajp*7' чт0 невозможно. ,
i-i M
Предположим, что
2a;-sup{p.y.: * = 1,2,...}<яир 2 «Д, : '-1,2, ....
у-1 1у=1 J

ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Тогда для некоторых к, е > 0 и всех п будет
СЮ . СО
2«,sup{p„: 1 = 1,2,...} + е< 2«Ar
Следовательно, для некоторого т и всех ге должно быть
п т
2^8ир{Р^: 4 = 1,2,...}<2«Д;.
/=-1 У= 1
m m
Но \] « .р, . <, ^ а; SUP {Р; у" ^ = *> 2> • • ■} и тем самым получе-
}-1 У—1
но противоречие.
10.13. Пусть Л\, Л2,... — попарно дизъюнктные ялементы
алгебры si- и U Л , <= г4- ■ Тогда
У-1 J
У-1 V~' / г У
= 2«|SUp(S^(^): « = 1,2, ...} =
= SUP (22 аг ( .2 Р* {Aj)j = я = 1. 2, ... J -(по упр. 9)
= sup{s 2«Л(лу):и=1'2'-"| = 22ХР1(лу)-
(У- 1 i=l J г j
10.15. Пусть /i, /2,... и g\, 82,... — две последовательности
простых ^/-измеримых функций, удовлетворяющих условиям (1)
и (2) из определения 10.11, и предположим, что
sup{E(fn,P)} <sup{E(gn,P)}.
Тогда для некоторых т., г > 0 и всех п будет
E(fn,P) + z<E(gm,P).
Пусть Л „ = {.г: #„, (х) g /„ (.г) +е/2}, так что Л[= Л2 = ... и Р(Л,) g
с»
Si Р(Л2) SH ■■■ Кроме того, Х= (J Л , следовательно, по лемме 10.2,
nil "
Положим М = siip{g-m (.г) — /,„ (х) : х <= X}. Тогда для п Ig га
E(gm, P)-E{fn, P) =E(gn-fn, Р).^МЦ-Р(Лп)]+Р(Лп)г/2,
22*

340 ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
где равенство следует из упражнения 17. С увеличением п правая
часть в последнем неравенстве стремится к е/2 и тем самым для
некоторого п будет E(gm, P) —E(f„, Р) < 8, что противоречит
сделанному предположению.
10.18. E(f, аР+ (1 —«)()) =sup{£(/„, аР + (1 — а)<?: п = 1,
2, ...{,='sup{aE(/„„ Р) + (i~a)E(fn, <?)} = а sup {£(/„, Р)} +
+ (1 —ajsup^^n, <?)} (см. упражнения 6, 8 и 22а) = a£(/, P) +
+ (1-а)Я(/,е).
10.21с. Воспользоваться результатами упражнении 21а и 19.
10.22а. Пусть для всех х а < f(x) g b, a < g(x) g Ъ. Пусть
A-i, n и /„ будут определены формулами (10.9) и (10.10), и положим
Bi,n = {х: а+ {i-l)(b-a)/n<g(x) ^ а + i{b - а)1п),
gn{x) = а + (£ — 1) (b —a) /п для всех leBj,,.
Пусть с,„ = a + (i — 1) (b — а)/п. Тогда
£(/„>р) = £*К»К-П. *(*„,*) = 2 *(*,■,„)*,■„•
1 i
Неравенство E(/n, P) ^ £(£V, P) следует из неравенств^ Р{Вг,п)^
1
ft
= 2 ^ (Ai п) Для * = 1- • • ч п, которые в свою очередь следуют
1
из условия Р(/(я) S3 g(x)) = 1.
10.25. {х : х е X, у < х < г} = [{* ; у < x}°\J {х : х < *}«]«.
10.26. В случае теоремы 10.2 положить Р(х) =0 для всех х,
1 1
10.27. Показать, что если подмножество ?*Е? имеет слабо
упорядоченные отношением с элементы, то множество ^ = U ^
д.*
принадлежит семейству SF.
11.2с. Для некоторой пары Р, Q^9> может оказаться верным,
что Р ~ Q при Р; <i С; и Р? = QI. Для некоторой другой пары
Р, £> может быть Р <^Q.
11.2d. Пусть меры Rk, к = 1, 2, ..., тге — 1, таковы, чтоЯ} = Qlt
Л\с = Р\; R\ = <?,,. R\c = ^_1с для ft =2, 3, ..., т - 1. Тогда
Р<Д<, Я!< Л2, ..., #"•-"< <?.
11.2е. Пусть ге = 2 и
(ж,, ж2) ~ (г/,, ж2) ~ (a;i, г/2) < (i/i, J/2) ~ P
для любой невырожденной меры Р на {ii, г/i} Х {^2, г/г}- Покапать,
что отношения ^i и <;2 транзитивны и связны, х\ -<| г/i, я2 —2 J/2,
но (a;i, х2) ~ (уи х2).
11.2j. Один из примеров, когда соблюдаются условия А и D, но
отношение < i посвязпо, — следующий:
х= {хи г/i} Х {^2, г/г},
(^i, ж2) < (г/ь ж2) < (ж!, г/2) < (г/,, г/2) < р ~ Q
для любых невырожденных мер Р, С-

ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ 341
11.2к. При а <; Ъ существуют такие Л, Se?, что Д < S, Ri =
= a, S, = 6 и Щ = 5?. Пусть
11 11
По условию D должно быть Г ~ 7". Если бы при R~£S было
1 1 1 1 1 1 п
<? ~ Р, то -YR + -rrQ<-2~S + ~2~Q 2~S + ~^р и в
противоречие с равноцепиосгью Т ж 1' было бы Т<С.Т'. P<Q
согласно определению отношения <Ci. Поскольку соотношение Р ~
~ <? невозможно, Р <С (?.
11.2т. Пусть X = {zb j/i} X fe, г/2}; положим
Р<д<=> (ЛЫ.РаЫ) < (Qi(xt),Qi(x2))
и определим отношение -< на '[0, 1] X [0, 1], положив
(а, Р) < (т, в) -«=*- <*< 1V [в = Ъ «Р < f6];
при таком определении < отношение =<? на [О, I]2 будет
транзитивным п связным. Условие D соблюдается, так как (а, Р) ~ (а, |3).
Кроме того, (0, 0) ~ (0, 1) и (1, 0) < (1, 1), т. е. ({/,, Ы ~ (</ь хг)
и (хи уг) -< (it, ж2), откуда следует, что у2<гх2, но (j/i, j/2) ~
~ (Уь х2). Условие В означает, что если (а, Р) «< (у, б), (/', к) е
е= [0, 1]!и(е (0, 1), то
(ta+ (1-0/, tp + (l-0*) < (*Y + (l —*)/, й + (1-0*).
a это, как легко видеть, верно.
11.2о. Пусть P\=Q\=R\,^Pi <,<?,, а<= (0, 1). Тогда Р <Q.
Согласно В м С должно быть аР + (1 — «)# =^ «<? + (1 — а)Л.
Поскольку справедливо равенство <*Р\+ (1 — а) R\= а<?5'+ (1 — °0 Я;,
то, согласно упражнения 2f и 21, из соотношения а(?, + (1 — а)Л,<,-
<^;аР,+(1 — а)Л; следовало бы соотношение a.Q-\-(I — а)Л-<
«< аР + (1 — а) Л, противоречащее установленному выше
соотношению. Поскольку отношение =<, связно (упражнение 2п), должно
быть aPt + (1 — a)Ri ^i aQi + (1 — а)Л;. Чтобы закончить
доказательство, надо положить Р, <, Qt.
11.3а. EU,P)^^fl(xi)P{x1,...,xn) =
X
= 2/.(,j)P(I1X...Xli_1X{,i}Xlj + 1X...Xl„) =
= 2M*i)Pi (*«) = * (Л' Pi)"
11.9b. Условие из части а непосредственно дает
о ,.о\ , „ /о „,о
и(а-[, ...,x.,xj+v . ..,*")-|-м(
.г., .г
М-1'
...*£) = в (z1(...,z. + 1,:rJ+2, ...,*£) +
+ u(ij, .,., a:i+1, x.,xi+v . .., £„-).

342 ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Положить для I = 1, 2, ..., ге — 2
ui(xt'xi+i)== u(x°i' •■••х"-1>х1'х1+г'хУ+:1 хп)~~
— и (х^, . . ., хг, xlJrV х% |_2,
un-l(^n-l, xn)= u(xl,...,xn—2, Xn-V xn)-
12.1. P'({s: «(/) e^infs: s(f) <= A'})/Pg(A').
12.6b. [y(/, s2)—v(g, s2)]a — P*(s2) [и (выиграть)— и
(проиграть)], [v(g, s3)—v(f, s3)]a =P*(s3) [и (выиграть)— и (проиграть)].
.12.9. Он хотел бы жениться на Алисе, но сделает предложение
Бетси. Воспользоваться соотношениями
a = P*(Sl)'[i-3],2a = P*(S2) [4-0],4a = P*(s3) [3-0]. -
13.4. Простейший пример — следующий:
Я2 = {А, В}, Яг = {Аь А2, В), Я* = {Л,, Л2, Ви В2}.
Если из Я"1 выбрано А, то из Яг должно быть выбрано В, но
AUB = S. Если из Я2 выбрано В, а из Я3 выбрано А\ (или А2),
то из Я1 должно быть выбрано А2 (или Ai), но В [} Лх U А2 = S.
13.5. Пусть В = Г\А ъВф0. Если Р*(В) = 0, то Р*(5С) = 1,
следовательно, Вс е ^, что противоречит условию В= П-<4. По-
атому Р*(В) = 1. Если В содержит более одного элемента, оно
может быть разбито на такие две части С и D, что Р(С) = 0, P(D) —
= 1 и D cz В, а ото противоречит условию 5 = П Л.
ой
13.10. Пусть и — такая функция, что
и(х %) ~ in£{u(x): х ^Х} = 0 и n(j;*)sup{a(.f): геА"} = 1.
Для заданного РеЖ пусть
Л,, „ = {s: 0 =g Я(и, P(s)) g 1/ге},
Лг,п= {s: (i— 1)/ге < £■(«, P(s)) g= i/re} для i = 2, ..., ге.
Определим Рп и Q„ из 5^, положив при г = 1, 2, ..., ге
Pn(s) \= [(i — i)/n]x* + [(ге — i + 1)/ге]ж« для всех s е Л,-, „,
Qn(s) = (i/n)x* + [(re — i)/n]x, для всех s s At, „.
Из 57 следует, что Р„ ^^^ <?я, а потому и у(Рп) sg у(Р) £S
S= f(Qn) для всех ге, где функция у определена так же, как в
доказательстве утверждения 52. Следовательно, по (13.0), для всех
тотализаторов из Жа при любом п будет
E[E{u,Pn{s)),P*]^v{P)^E[E(4,Qn(s)),P*].

ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ 343
13.12. Пусть тотализатор Q определен так же, как в
доказательстве формулы (13.12). Положим для удобства с = 0 и d = 1 (если
с = d, результат очевиден). Пусть /?, = Я,- на S, где Е(и, R() = г/4
при I — 1, 2, 3. Поскольку 0 g Е(и, Q(s)) gS 1 для всех s, то
1/". &: /1' (ч.-j- Q (*) + 4" "*) " 3/4
для всех s е .?. Поэтому для всех: s e .V будет
Следовательно, по ГЛ, должно быть
Согласно (13.10) и (13.11), снранедлииы порапепства
p(i?i) s 4"г (^) -14г' ^ -,; ^-
Тогда, согласно (13.0) для элементов множества <Ж>, должно быть
1
l/4Sy»(9) I-1/4 < 3/4, пли Osv((l)Si.
13.15а. Для заданного е > 0 положим
. Я(е) = {s: aE(u, P(s)) + (1 -а)Д(в, *(s)) 2= 1-е},
С(е) = {s: seB(8),E(»,P(s)) < 1 - е V Е(и, R(s)) < 1-е}.
Пусть б = а(1 — а)е. Тогда, если sefjs), s не может
принадлежать Д(б), так как а(1— 8)+ 1 — а < 1 — еиа +(1— а) (1-е) <
<С 1 — е. Следовательно, при любом е > 0, только те элементы
множества #(е) могут давать вклад в
inf{P*{аЕ(и, P(s)) + (i—a)E(u, R(s)) й 1-е}: е >0},
для которых одновременно Е(и, P(s)) ig 1 — ей Е(и, #(.?)) S2 1 — е.
Вследствие этого будет
inf {P* {aE(u,P(s)) + (l — a)E(u,R(s))>l-e} : е>0) =
= inf {Р* ({Е (и, Р (s)) > 1 - е) П [Е{и, R (s)) > 1 - е) : е > 0).
13.15с. Определим Р, Q, R еЖ следующим образом. Па четных
целых числах положим
Е(и, P(s)) = s/(l + s), E(u, Q(s)) = E(ut R(s)) =~ 0.
Па нечетных целых числах положим
Р («) (4~) = 1. ^ («»<? (*)) = Е\и, R (•)) = »/(1 + »)..

344 ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Тогда
i>(P) =
111 11
т| + _- = 5/4, v(Q) = -T + -T = 1,
J_,(±\ П.1 .,. .„> 1,1
2+2
1 1 \ 1 / 1 \ 1
уР + ТВ=Т (3/4) + (^— J — + 0 = 5/8>
/1 1 \ 1 I 1 \ 1 / 1 \ , 1
llll
Следовательно, () -< р и ^-P + -2-й<-2-9^--2"й•
14.2Ь. Рассмотреть pr<^* s, ps <^,* qr, rs-^* pt и
14.4. Очевидно, В<=С =>С = В U (С/В). Но по Fl"n F3 должно
быть 0 =^* С/В, так что но F3 и F4 будет 0 U#~^*C/B) U В, пли
В <* С. Если 5 <* С, то С (J Сс <* С, откуда в соответствии с F4
вытекает Сс <;* 0, а это противоречит F{.
14.5е. В силу С3(<*) должно быть 4 <* С =>-В <* D =>.
=Ф Л U В ■<* С U .D, и мы получаем противоречие.
14.10. Пусть F5 имеет место. Тогда непосредственно из F5
следует, что отношение -(* является редким. Если Л «<*В, то
непосредственно из F5 и других свойств -<* следует, что A U D •<* В
для некоторого D, для которого Af]D= а и 0 <(*£>.
Аналогичный результат можно получить и если В <(* Л. Поэтому, если
выполняются условия густоты отношения <(*, < Л =<* fi(jC и -Р=^*
^ A U £> для всех ...», то но может быть ни А <(,* В, ии В <^* 4,
что ввиду F3 дает 4 ~ * В.
С другой стороны, предположим, что выполняются Fi — FA, и
отношение <;* является одновременно редким и густым. Возьмем
Л <(* В и предположим, что при всех В{ s В, для которых Bj «<* В,
имеет место Bt^*A. Рассмотрим D, для которого 0<*D, и
v4fl-D = 0. В силу редкости отсюда следует, что существует
такое Вч <= В, что 0 «<* В2 =^* £>• Тогда ввиду 0 <* 7^2 должно быть
В/В2 -< * В, так что В/В2 =^* 4, и вместе с S2 * D это дает
B=^*4(Jfl на основании СЗ. Из густоты тогда следует А ~*В,
что, однако, неверно. Значит, при А -<* В существует такое Bt s В,
для которого А -<* В! <;* В. Так как 0 «<* В/В! и отношение <*
является редким, существует разбиение {С{, ..., Сп} множества И,
для которого Сь~к* В/В± при каждом г. Вместе с A~<J*B\ это
дает А[)С. <*В по СЗ (<*)•
14.11с. Пусть 4 и В удовлетворяют «как только» — условиям
из определения густоты. Если нет такого С, для которого было бы
В[\С~ 0 и 0<*С, то должно быть В ~* S, так что А <*В.
Если для некоторого С выполняются 0 «<* С и flf|C= 0, то для
каждого такого С будет либо Pi(4i) < Р[{В,) -f- Pi(C0, либо
Р,(4,) = P,(S,) -r-PjCd) и Р2{А2) =S Р2(В2) + Рг(С2).
Если Р2(С2) = 0 для всех таких С2, то Р2(В2) = 1, откуда
следует, что Р2(А2) £= Р2(В2), и так как Pi (С!) > 0 может быть взято

ОТВЕТЫ К ИЗБРАННЫМ УПРАЖНЕНИЯМ 345
сколь угодно малым, мы получаем Pi{A{) ;g Pi(Bi). Следовательно,
если Рг{С2) = 0, то Л <*В. Если для некоторого такого С?, будет
Р2{Сч) > 0, то мы мозкем взять некоторое С\, для которого Pi(C,) =
1= 0 и получить Pi (Л,) ;g Р^В,), где в случае выполнения точного
равенства должно иметь место Р2{А2) S= Рг^г)- Мы снова приходим
к А =^* В. Аналогично устанавливается, что во всех случаях
должно быть В =^* А. Следовательно, А ~* В.
14.13с. Пусть А=[0, 1/2) U 52 и £ = (1/2, i]\}Ss. Если
отношение <(* является густым, то А ~* В. Однако по определению
<(* должно быть В <;* Л.
14.17. Если А не нулевое с х ■< г/ и / = z на Л, / = у на Лс и
^ = (/ на 5, то по РЗ будет / <( g на Л, так что и просто / ■< g в
силу леммы 14.1. Но если Л ~* 0, то / ~ g. Поэтому из 0 ~* А
следует, что Л нулевое.
14.20Ь. Для Р6 предположим, что / < g или w(f) < w(g). Пусть
"'(г) — w(f) = d. Возьмем разбиение
{{1, п, 2п, .. .}, {2, п + 1, 2п + 1, .. .}, ..., {д - 1, 2п - 1, ...}}
с достаточно большим п, так что 2 < dn, и воспользуемся ответом
к 14.20а.

БИБЛИОГРАФИЯ
Здесь указана только литература, цитируемая в тексте. Более полную
библиографию см., например, Фишберн [3] и в др.
Адаме (Adams E. W.)
1. Elements of a theory of inexact measurement, Phil. Sci. 32 (1965), 205—228
А л л э (Allais M.)
1. Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: Critique des
postulate et axiomes de l'ecole, Americaine, Econometrica 21 (1953),
503—546.
Армстронг (Armstrong W.E.)
1. The determinateness of the utility function, Econ. J. 49 (1939), 453—407.
2. A note on the theory of consumer's behaviour, Oxford Econ. Papers 2 (1950),
119—122.
А у м а н (Aumann R. J.)
1. Utility theory without the completeness axiom, Econometrica 30 (1962),
445—462.
2. Utility theory without the completeness axiom: a correction, Economctiica
32 (1964), 210—212.
3. Subjective programming, in M. W. Shelly and G. L. Bryan (eds.), Human
judgments and optimality, Wiley, N. Y., 1964.
Бернулли (Bernoulli. D.)
1. Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiac Scicn-
tiarum lmperialis Petropolitanae 5 (1738), 175—192. ГА н г л. п е р е в о д:
L. Sommer, Econometrica 22 (1954), 23—36.]
Б и р к г о ф (Birkhoff G.)
1. Lattice theory, Rev. Ed. Amer. Math. Soc. New York, 1948. [Русский
перевод: Теория структур, М., 1952.]
Б л е к у э л л, Г и р ш и к (Blackwcll D., Girshick M. А.)
1. Theory of games and statistical decisions, Wiley, New York, 1054.IP у c-
ский перевод: Теория игр и статистических решений, М., ИЛ,
1958.]
Бляшке {Blaschke W.)
1. Topologische Fragen der Differentialgcometrie. I. Thomsens Sechseckgcwe-
be. Zueinander diagonale Netze, Math. Z. 28 (1928), 150—157,
Галантер (Galanter E.)
1. The direct measurement of utility and subjective propability, Amer. J
Psychology 75 (1962), 208—220.
Г ё л ь д е р (Holder О.)
1. Die Axiome der Quantitat und die Lelire тот Map, Berichte Verhand.
Konig. Sachs. Gcsell. Wiss. (Leipzig), Math, Phys. CI. 53 (1901), 1 — 04.
Г о л д м е н (Goldman A. J.)
1. Resolution and separation theorems for polyhedral convex sets. In H.W.Kuuii
and A. W. Tucker (Eds.), Linear inequalities and related systems, Ann. of
Math. Study 38, Princeton Univ. Press. Princeton, i!)50. [Русский
перевод: Теоремы разложения и отделимости для многогранных
выпуклых множеств, в Кун и Таккер (ред.), Линейные неравенства и
смежные вопросы, ИЛ, М., 1956, 162—171.]
Гурвич, Рихтер (Hurwicz L., Richter M. К.)
1. Revealed preference without demand continuty assumptions. In. J. S. Chip-
man, L. Hurwicz, M. K. Richter and II. Sonnenseheiii (Eds.), Studies in
the niiilliematical foundations of utility and demand theory: a
symposium at the university of Michigan, 1908. Ilarcourt, Brace and World Inc.,
1970.
Дайэмопд (Diamond P. A.)
1. The evaluation of infinite utility streams, Econometrica 33 (1905),
170—177.

БИБЛИОГРАФИЯ 347
Добре (Debren G.)
1. Representation of a preference ordering by a numerical function. In
R. M. Thrall, С. Н. Coombs, and R. L. Davis (Eds.), Decision processes,
Wiley, New York, 1954.
2. Theory of value, Wiley, New York, 1959.
3. Topological methods in cardinal utility theory. Tn. K. J. Arrow, S. ICar-
lin and P. Suppes (Eds.), Math, methods in the sciences, 1959. Stanford
Univ. Press, Starifojd. I960.
4. Continuity properties of Parctiaii utility. Internal. Economic Rev. 5, 1sifi4,
285— 29,'i.
Дуби и е., С о в и д ж (Dubins L. E., Savage L. J.)
1. How to gamble, if you must: inequalities for stochastic pioeesses,
McGraw — Hill, New York, 1965.
Й е н с е н (Jensen N. E.)
1. An introfuction to BernouUian utility theory. I. Utility functions., Swedish
J. Economics 69 (1967), 163—183.
Я о к о я at a (Yokoyama T.)
1. Continuity conditions of preference ordering, Osaka Econ. Papers 4 (195C),
39—45.
Канна и (Kannai Y.)
1. Existence of a utility in infinite dimensional partially ordered spaces,
Israel J. Math. 1 (1963), 229—234.
К е л л и (Kelley J. L.)
1. General topology, Van Nostrand, Princeton, 1955. [Русский
перевод: Общая топология, М., «Наука», 1968.]
Кибург, С мок л ер (Kyburg H. E., Smokier H. E. eds.)
1. Studies in subjective probability, Wiley, New York, 1964.
Крамер (Cramer H.)
1. Ein Salz iiber geordnete Mengen von Wahzsclieinlichkeitsverteilungeii,
Теория вероятностей и ее применения 1 (1956), 19—24.
Кр антц (Krantz D. Н.)
1. Conjoint measurement: tiie Luce — Tukey axiomatization and some
extensions. J. Math. Psychology 1 (1964), 248—277.
2. A survey of measurement theory. Michigan Math Psychology Piogram.
MMPP 67—4. Univ. of Michigan, Ann Arbor, 1967.
К у м б с (Coombs С. Н.)
1. A theory of data.Wiley, New York, 1964.
К у п м е а с (Koopmans Т. С.)
1. Stationary Ordinal utility and impatience, Econometrica 28 (1960),
287—309.
Куп мене, Дайэмонд, Уильямсон (Koopmans Т. С, Diamond
P. A., Williamson R. E.)
1. Stationary utility and time perspective, Econometrica 32 (1964), 82—100.
Л о э в (Loeve M.)
1. Probability theory, 2nd ed., Van Nostrand. Frinceton, 1960. 1Русский
перевод: Теория вероятностей, М., ИЛ, 1962.]
Л ь ю с (Luce R. D.)
1. Semiorders and theory of utility discrimination. Econometrica 24 (1956),
178—191.
2. Two extensions of conjoint measurement. J. Math. Psychology 3 (1966),
348—370.
Льюс, Райфа (Luce R. D., Raiffa H.)
i. Games and decisions, Wiley, New York, 1957. [Русски!": черев од:
Игры и решения, М., ИЛ, 1961.]
Льюс, Сап с (Luce R. D., Suppes P.)
1. Preference, utility, and subjective probability. In R. D. Luce, R. R. B'ish
K. Galanter (Eds.), Handbook of Math. Psychology III, Wiley, New York.
1965.
Льюс, Т ь ю к и (Luce R. D., Tukey J. W.)
1. Simultaneous conjoint measurement: a new type o? fundamental
measurement, J. Math. Psychology 1 (1964), 1—27.
Маршак (Marschak J.)
1. Rational behavior, uncertain prospects, and measurable utility,
Econometrica 18 (1950), 111—141.
фон II с й м а н, М о р г е и ш т с р н (von Neumann J., Morgenstern О.)
1. Theory of games and economic behavior, 2nd ed., Princeto \ Univ. Press,
Princeton, 1947. [Русский перевод: Теория игр и
экономическое поведение, М., «Наука», 1Н70.]
II ыо м е и, Рид (Newman P., Head R.)
1 . Representation problems for preference orderings, J. Econ, Behavior 1
(1961), 149—109.

348
БИБЛИОГРАФИЯ
Парето (Pareto V.)
1. Manuel d'economie politique, 2nd ed., Giard, Paris, 1927.
Пратт, Райфа, Шлейфер (Pratt J. W., Raiffa H., Schlaifer R.)
1. The foundations of decision under uncertainty: an elementary exposition,
J. Amer. Statist. Assoc. 59 (1964), 353—375.
Пфапцагль (Pfanzagl J.)
1. A general theory of measurement: applications to utility, Naval Research
Logistics Quarterly (i (1959), 283-294.
P a it ф a (Raiffa }£).
1. Risk, ambiguity, and the Savage axioms: Comment. Quart. J. Econ. 75
(1961). 690—694.
P a ii ф а, Шлейфер (Raiffa H., Schlaifer R.)
1. Applied statistical decision theory, Division of Research Harvard Business
School, Boston, 1961.
P а м с с й (Ramsey F. P.)
1. Truth and probability. In F. P. Ramsey, The foundations of mathematics
and other logical essays. Harcourt, Brace and Co., New York, 1931.
Рихтер (Richter M. K.)
1. Revealed preference theory, Econometrica 34 (1966), 635—645.
Роберте (Roberts F. S.)
1. Indifference graphs. In F. Harary (ed.), Proof techniques in graph theory,
Academic Press, New York, 1969.
P э й д e p (Rader J. T.)
1. The existence of a utility function to represent preferences, Rev. Econ.
Studies 30 (1963), 229—232.
Cane (Suppes P.)
1. The role of subjective probability and utility in decision-making. Proceedings
of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and
Probability, 1954 — 1955, 5 (1956), 61—73.
Сапе, Зиниес (Suppes D., Zinnes J. L.)
1. Basic measurement theory. In R. D. Luce, R. R. Bush, E. Galanter (Eds.),
Handb. Math. Psychology I, Wiley, New York, 1963. [P|y с с к и й
перевод: Основы теории измерений, в сб. под ред. Л. Д. Мешалкина,
Психологические измерения, М., «Мир», 1967, 9—110.]
Сапе, У а й н е т (Suppes D., Winet M.)
1. An axiomatization of utility based on the notion of utility differences,
Management Science 1 (1955), 259—270.
Скотт (Scott D.)
1. Measuiement structures and linear inequalities, J. Kath. Psychology 1
(1964), 233—247.
Скотт, Сапе (Scott D., Suppes P.)
1. Foundational aspects of theories of measurement, J. Symbolic Logic 23
(1958), 113—128.
С у о л м (Swalm R. О.)
1. Utility theory—insights into risk taking. Harvard Busines Review, (1966),
November — December, 123—136.
Сэвидж (Savage L. J.)
1. The foundations of statistics, Wiley, New York, 1954.
T а к к e p (Tucker A. W.)
1. Dual systems of homogeneous linear relations. In H. W. Kuhn and
A. W. Tucker. (Eds.), Linear inequalities and related systems, Ann. Math.
Study 38. Princeton Univ Press, Princeton, 1956. [Русский
перевод: Двойственные системы однородных линейных соотношений, в сб.
Кун и Таккер (ред.), Линейные неравенства и смежные вопросы, М., ИЛ,
(1959), 127—141.]
Тверской (Tversky A.)
1. Finite additive structures. Michigan Mathematical Psychology Program,
MMPP 64 = 6. Univ. of Michigan, Ann Arbor, 1964.
2. A general theory of polynomial conjoint measurement. J. Math.
Psychology 4 (1967), 1—20.
Тильмаи (Thielman H. P.)
1. Theory of functions of real variables, Prentice—Hall, Englewood cliffs,
New Jersey, 1953.
Томсен (Thomsen G.)
1. Un teorema topologico sulle schiere di curve e una caratterizzazione geomet-
rica delle superficie isotermoasintotiche. Boll. Unione mat. Jtal. 6 (1927),
80—85.
Уильяме, Haccap (Williams A. C, Nassar J. I.)
1. Financial measurement of capital investments. Management Science
(1966), 851—864.

БИБЛИОГРАФИЯ
349
У и н к п е р (Winkler R. L.) " Ч
1. The assessment of prior distributions in Bayesian analisis. J. Amer.
Statist. Assoc. 62 (1967), 776—800.
2. The quantification Of judgment: some methodological suggestions. J. Amer.
Statist. Assoc. 62 (1967), 1105—1120.
У о л д (Wold H.)
1. A synthesis of pure demand analysis: I, II, Ш. Skand. Aktuarietid.skr.
26 (1953).
У о л д, 10 р е и (Wold II., Jureen L.)
1. lii'inund analysis, Wiley, New York, 1953.
У :> л Д о и (Weldon J. C.)
1. A note on measures of utility, Canad. J. Economics and Political Science 16
(1950), 227—233.
до Ф и и e, i т и (de Finetti B.)
1. La prevision: ses lois Iogigues, ses sources suhjectives, Annales de l'lnsti-
tut Henri Poincare 7 (1937), 1—68.
Ф и ш б е р н (Fishburn P. C.)
1. Decision and value theory, Wiley, New York, 1964.
2. Methods of estimating additive utilities, Management Science 13 (1967),
435—453.
3. Utility theory. Management Science 14 (1968), 335—378.
4. A general theory of subjective probabilities and expected utilities. Ann.
Math. Statistics 40 (1969), 1419 — 1429.
Фридман, Сэвидж (Friedman M., Savage L. J.)
1. The utility analysis of choices involving risk. J. Political Economy 56,
(1948), 279—304.
2. The expected- utility hypothesis and the measurability of utility. J.
Political Economy 60, (1952), 463—474.
Фриш (Friscli R.)
1. Surune probleme d'economie pure, Norsk Math. Forenings Skrifter 1(1926),
1—40.
2. Dynamic utility, Econometrica 32 (1964), 418—424.
Фукс (Fuchs L.)
1. Partially ordered algebraic systems, Addison — Wesley, Massachusetts,
1963. [Русский перевод: Частично упорядоченные
алгебраические системы, М., «Мир», 1965.]
X и л м о ш (Halmos P. R.)
1. Measure theory, Van Nostrand, New York, 1950. [Русский
перевод: Теория меры, м., ИЛ, 1953.]
X а у с н е р (Hausner M.)
1. Multidimensional utilities. In R. M. Thrall, С. Н. Coombs, and R. L.
Davis (Eds.), Decision processes,Wiley, New York, 1954.
Херстейн, Мил нор (Herstein I. N., Milnor J.)
1. An axiomatic approach to measurable utility. Econometrica 21 (1953),
291 297.
Чернов '(Chernoff II.)
1. Rational selection of decision functions, Econometrica 22 (1954), 422—443,
Ч и п м е н (Chipman J. S.)
1. The foundations of utility, Econometrica 28 (1960), 193—224.
Шпильрайн (Szpilrajn E.)
1. Sur l'extension de l'ordre partiel, Fundam. math. 16 (1930), 386—389.
Эйлснберг (Eilenberg S.)
1. Ordered topological spaces, Amer. J. Math. 63 (1941), 39—45.
Эллсберг (Ellsberg D.)
1. Classic and current notions of «measurable utilitv». Econ. J. 64 (1954),
528—556.
2. Risk, ambiguity, and the Savage axioms. Quart. J. Econ. 75 (1961), 643—
669.
Энском б, Ауман (Anscombe F. J., Aumann R. J.)
1. A definition of subjective probability, Ann. Math. Statistics 34 (1963),
199—205.
Э р р о у (Arrow K. J).
1. Rational choice functions and orderings, Econometrica 26 (1959), 121—127.
2. Exposition of the theory of choice under uncertainty, Synthese 16 (1966),
253—269.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина 48
Абсолютные сравнения различий
в предпочтении 132
Аксиома Архимеда 69
— бнсимметрни 141
— выбора 32
— независимости 170
— о средней точке 140
Аксиомы о достоверных
альтернативах 213, 278, 300
Алгебра множеств 201, 202
Альтернирующая
последовательность 235
Безразличие 20, 25
— нетранзнтпвное 26, 133, 213, 262
Безразличная гиперповерхность 123
— интервал 39
— карта з5
— кривая 55
— траектория 55
Бинарное отношение 21
— — антисимметричное 22
асимметричное 22
нерефлексивное 22
отрицательно транзитивное 23
полное (универсальное) 21
■ рефлексивное 22
связное (полное) 23
симметричное 22
слабо связное 23
транзптивно замкнутое 43
транзитивное 23
Вектор 54
Векторное пространство 80
Вероятность, аксиомы 304
—, построенная на
предпочтениях 312
— субъективная 18
Вероятностная мера 202
дискретная 205
индуцированная
(порожденная) 314
на декартовой степени 243
■ • — состояниях 256, 257
, проекция 230, 239
рассеянная 204
счетно-аддитивная 203
Внешняя вероятность 259, 264, 270
Временная согласованность 157
Выпуклая комПипация мер 167
счетная 203
лй™"ла* оболочка множества 80
Выпуклый конус 192
Граница 191, 198
Граничная точка 191
Группа 92
— архимедова 93
— коммутативная (абелева) 92
— строго упорядоченная 92
Действие велико, мало,
нормально 326
— как функция, отображающая
состояния в исходы 255, 271
— ограниченное 296
— постоянное 258, 277, 302
— с полной информацией 263
Декартово произведение 44, 56, 72
Декартова степень множества 145,
243, 293
Доминирования условие 84, 213,
278, 300
Достоверный эквивалент 185
Евклидово пространство 46, 54
Закон сокращения 88
Замкнутость относительно
групповой операции 92
■ образования условных
вероятностей 207
счетных выпуклых
комбинаций 203
Замыкание множества 104, 190
— транзитивное 43
Измеримая функция 208
Интервал 46
Интервальное упорядочение 37
Интервальный граф 44
Инфимум 49
Исход 1С.Ч, 253, 257, 270
Качественное вероятностное
отношение 301
густое 331
. редкое 331
Квазиупорядоченне 43, 188, 197

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
351
Компонента 47
Конечная аддитивности 160
Контуры равной поверхности 55
Кривая обмена 55
Лексикографическое доминирование
84
— упорядочение 45, 83
Линейное продолжение 217
Лотерея 1(54, 183
—, покупка и продажа 187
— с двумя равновероятными
исходами 134, 142, 231, 295
Максимальное независимое
подмножество 217
Максимум чистой прибыли 182
Математическое ожидание 168, 208,
209
Множество борелевское 202
— выпуклое 71, 190
—, выпуклая оболочка 80
—, дополнение 201, 271
—, замыкание 104
— исчислимое 20
— неисчислимое 40
— открытое 02 .
— плотное 47
— смесей 174 '
— счетное 20
Множитель дисконтирующий 152
постоянный 156
— соответствующий повышению
цен 152
Монотонности условие 50
Пара действие — состояние 2(50
Плотность относительно
упорядочения 47
Подмножество максимальное
независимое 217
Полезность аддитивная 72, 75, 91,
148, 149, 261
— взвешенная 152
— единственная У1, 138
— измеримая 135
— лексикографическая 83
— неограниченная 97, 182
— непрерывная 00
— ограниченная 213
— полунепрерывная сверху 67
— сохраняющая упорядочение 28
Полуупорядочение 37
Потребления теория ВО
Предпочтение 13
— во времени 145
— с единственным пиком 37
— маргинально согласованное 101
— настойчивое 146, 150, 243
— нестрогое 20, 26
— нетерпеливое 146
—, согласованные суждения 171
— стационарное 157, 243
—, степень 132, 144
— строгое 20
— условное 299
Принятие решений 13
— в условиях неопределенности 17
определенности 14
Проекция 240
— вероятностной меры 230, 239
Произведение множеств 44, 50, 72
— сналяриое 69, 79
— топологических пространств 106
Настойчивость 146
Настойчивые различии в пре;(Поч-
тении 150
Независимость предпочтения 73
Ненасыщенности условие 56
Непрерывность аддитивных полез-
ностей 109, 119
—, условие Уолда 71
— функции 02, 107
Неудовлетворенности условие 56
Нормальное вероятностное
распределение 131
Обратная функция 108, 111
Ожидаемая полезность
аддитивная 148
, аксиома Архимеда 172, 189
— —, — независимости 170
для вероятностных мер 199
модели состояний 257, 258
простых мер 162
, лексикографическая форма
174
, максимум 106
■ на основе внешних
вероятностей 270
, пример Аллэ 172
, теория Сэвиджа 298
, шкалирование 1G4
Равновозможныс события 298
Разбиение 43, 271
— однородное 302, 309
Различия в предпочтении 132
— настойчивые 150
—, нетопологические аксиомы 132—
140
— топологические аксиомы 139
Разрешимость (компенсация) 96,
97, 101, 109
Распределение вероятностей
геометрическое 205
нормальное 131
пуассоновское 296
Санкт-Петербургский игра 200
Сегмент 46
Сепарабельность 48, 104
Скалярное произведение В!), 79
Скачок 64
Случайная величина 208
Событие как подмножество
множества состояний 271
— нулевое 271, 299
Состояния как функции,
отображающие действия в исходы 253, 289
— нулевые 262, 271
—, вероятностные меры 256, 257
Степень предпочтения 132, 144

352 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Супремум 49
Существенные факторы 71
Сходимость неравномерная 210
— равномерная 208, 226
Счетная аддитивность 203, 210
Теорема о двух альтернативах 79,
282, 209, 329
— Шпильрайна 31
Топологическое пространство 01
—•— связное 70, 104
сепарабельное 104
Топология 01
— дискретная 70
'— «обычная» 62
— относительно «обычная» 62
Топология-произведение 100
Тотализатор 271
— ограниченный 278
—, однородная теория 277
— постоянный на событии 277
Упорядочение 24
— интервальное 37
— лексикографическое 45, 83
— слабое 24
■— строгое 24
• частичное 30
Функция выбора 44
Цена для продажи 187
покупки 187
Цикл 235
Цорна лемма 32
, приложения 217, 230,
293
Эквивалентности классы 24
Эквивалентность 24, 25
Этически нейтральное
утверждение 298