Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л., Райфа Х.

Автор: Кини Р.Л. Райфа Х.

Теги: математика математический анализ системный анализ управленческие решения

Год: 1981

Похожие

Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями

Теория принятия решений

Принятие решений при зависимостях и обратных связях. Аналитические сети

Вычислительные методы теории принятия решений

Текст

Decisions with
Multiple Objectives
Preferences and
Value Tradeoffs
RALPH L. KEENEY
International (Institute . for Applied Systems
Analysis, 'Ldxeriburg, Austria
and
HOWARD RAIFFA
Harvard University
With a contribution by
RICHARD R MEYER
Harvard University
John Wiley & Sons
New York Santa Barbara London
Sydney Toronto

Р. Л. КИНИ, Х.РАЙФА
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
ПРИ МНОГИХ КРИТЕРИЯХ:
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
ЗАМЕЩЕНИЯ
Перевод с английского
В. В. ПОДИНОВСКОГО, М. Г. ГАФТА,
В. С. БАБИНЦЕВА
Под редакцией И. Ф. ШАХНОВА .
Послесловие чл.-корр. АН СССР
Г. С. ПОСПЕЛОВА
МОСКВА «РАДИО И СВЯЗЬ» 1981

УДК 51-007
Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях:
предпочтения и замещения: Пер. с англ./Под ред. И. Ф. Шахнова. —М.: Радио и связь,
1981. —560 с, ил.
В книге известных американских авторов проводится содержательный анализ
ситуаций и развивается методология принятия решений, основывающаяся на
использовании функций полезности. Исследуются условия существования функций
полезности, много внимания уделяется практическим методам и процедурам их
построения, критическому обсуждению рассматриваемых методов и анализу их
приложений к реальным ситуациям. Рассматривается большое количество
приложений описываемых методов к задачам принятия решений, связанных с выбором
мест расположения аэропорта и электростанции, деловой деятельностью,
медицинской диагностикой и т. д.
Книга предназначена для научных работников и инженеров,
специализирующихся 'не только в области системного анализа, но и во многих других областях
науки и практики, где возникают задачи выбора и принятия решений.
Рис. 119, табл. 34, библиография.
Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике
-1502000000
© John Wiley & Sons, Inc., 1976.
Перевод на русский язык, предисловие редактора перевода,
послесловие, примечания. Издательство «Радио и связь», 1981 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Всем тем, кто интересуется теорией полезности и
математическими моделями принятия решений, хорошо известно имя Хо-
варда Райфы, ряд книг которого уже был переведен на русский
язык. С Ральфом Кини специалисты знакомы по его многим
публикациям, посвященным многомерным функциям полезности.
Результатом их совместной работы явилась книга, предлагаемая
вниманию советского читателя, и которая, как мы надеемся, будет с
интересом встречена как специалистами, непосредственно
занимающимися разнообразными вопросами прикладного системного
анализа, так и исследователями в области математических
моделей принятия решений.
Круг проблем, затрагиваемых в дайной книге, очень широк,
и в небольшом предисловии затруднительно дать хотя бы их
краткое изложение. Поэтому укажем лишь на некоторые
отличительные особенности книги.
Теория полезности, сформировавшаяся как самостоятельная
научная дисциплина после основополагающей работы Дж. фон
Неймана и О. Моргенштерна и появившихся вслед за ней мио-
гих, очень интересных и плодотворных теоретических
исследований, довольно продолжительное время выступала как область
увлекательных, но все же остававшихся весьма абстрактными
математических построений. Наряду с этим примерно с
середины 60-х годов значительное развитие получили методы
многоцелевого программирования, явившиеся обобщением методов
оптимизации, традиционно применяемых в теории исследования
операций. В методах многоцелевого программирования
предполагается, что используемые целевые функции и ограничения,
накладываемые на область допустимых решений, заранее известны.
Трудности, связанные с точным установлением целевых функций
и ограничений, привели к необходимости включения в эти
методы интерактивных процедур, в ходе которых осуществляется
корректировка целевых функций и ограничений на основе
дополнительной информации, получаемой от лица, принимающего
решение (системы так называемой «диалоговой оптимизации»).
Исследования, проводимые в этой области примерно с
середины 70-х годов, показали весьма высокую эффективность
подобного подхода (особенно в сочетании с использованием ЭВМ и
устройств отображения данных), но в то же время стала
отчетливо ясна необходимость разработки специальных моделей и
5

процедур, предназначенных для структуризации и формального
представления предпочтений лица, принимающего решение.
Именно этим последним вопросам в целом и посвящена
данная книга. Надо сказать, что основываясь на фундаментальных
результатах многомерной теории полезности, авторы, в отличие
от большинства публикаций в этой области, не ограничиваются
описанием лишь математических моделей и соответствующего
математического аппарата, разработанного для задач
рассматриваемого класса. Напротив, центральное место в книге
занимают такие вопросы, как рассмотрение различных допущений,
которые в своей совокупности позволяют использовать сепара-
бельные функции полезности (очень важные для приложений и
сравнительно легко находимые на практике), изложение
специальных процедур построения подобных функций и некоторых
приемов для структуризации целей и выбора критериев,
описывающих степень достижения этих целей, и др. Сами же строгие
математические доказательства основных используемых
результатов, сформулированных в виде теорем, как правило, не
приводятся. Авторы ограничиваются лишь «иллюстрацией»
возможного доказательства. Смысл высказываемых утверждений
довольно подробно поясняется на приводимых примерах, носящих
также большей частью иллюстративный характер. Все это делает
изложение доступным для читателей, не обладающих
специальной математической подготовкой. Большим достоинством книги
является краткий обзор сейчас уже довольно многочисленных и
разнообразных практических приложений моделей многомерной
теории полезности, опубликованных в труднодоступных для
советского читателя источниках.
Надо сказать, что при переводе книги возникли
определенные трудности в связи с различиями в терминологий,
сложившейся в советской и зарубежной литературе. Пользуясь
выражением авторов, переводчикам постоянно приходилось искать
«хрупкий компромисс» и «возможность замещений» между
терминами, используемыми в оригинале, и терминами,
употребляемыми в нашей специальной литературе. Мы надеемся, однако,
что некоторая «нестандартность» терминологии не помешает
читателю по достоинству оценить эту книгу, в которой авторы
стремились в основном к неформальному изложению методов
формализации в процессе анализа решений.
Перевод книги выполнен В. С. Бабинцевым (предисловие,
гл. 1—2, 7—10), М. Г. Гафтом (гл. 5—6) и В. В. Подиновеким
(гл. 3—4).
канд. физ.-мат. наук И. Ф. Шахнов

Посвящается Тъеллингу К. Купмансу,
чьи превосходные качества
воодушевляют всех, кто знаком с ним
ПРЕДИСЛОВИЕ
Если бы мы попытались через название книги
охарактеризовать проблемы, изложению которых она посвящена, получилось
бы устрашающее нагромождение слов вроде: «К вопросу об
анализе на основе кардинальной полезности при наличии
нескольких противоречивых целей: прескриптинные модели для
принятия индивидуальных решений в условиях неопределенности,
рассматриваемые, в основном, с точки зрения их практической
реализации наряду с некоторым теоретическим обоснованием».
То название, которое мы дали книге — «Принятие решений
при многих критериях: предпочтения и замещения» —
длиннее, чем, по нашему мнению, должно быть идеальное название,
но, к сожалению, оно слишком коротко, чтобы не возникали
иллюзии, ведущие к неоправданно широкому «сбыту». Даже в
таком простом случае нелегко найти необходимую
сбалансированность между противоречивыми целями: передать содержание
книги, свести к минимуму «длину» самого названия и обеспечить
«оправданный сбыт» и в то же время воспрепятствовать
«неоправданному».
Постоянно растущее число публикаций, посвященных
анализу решений, свидетельствует о том, что это направление
постепенно завоевывает прочное место в литературе по исследованию
операций, анализу систем, наукам управления,. принятою
решений и управлению, кибернетике. Анализ решений предназначен
для оказания помощи отдельному лицу, принимающему решения
(ЛПР, или соответствующему органу), при выборе среди
возможных действий в условиях неопределенности. Наш подход
основан на систематизированном анализе, в процессе которого
используемые количественные оценки должны помочь ЛПР
уяснить для себя, какой курс действий ему следует выбрать. В этом
смысле наш подход не является описательным, ибо
большинство людей вовсе не пытается применять систематизированные
методы, обдумывая трудный вопрос выбора в условиях
неопределенности. Он также не является и полностью нормативным,
поскольку это не идеализированная теория, рассчитанная на
сверхрационального человека с (необычайно мощным
интеллектом. Точнее всего наш подход следовало бы назвать предписа-
тельным, иначе говоря, инструктивным, ибо он предназначен для
людей с нормальным интеллектом, готовых напряженно и систе-
матизированно обдумывать действительно важные проблемы.
7

Теория анализа решений имеет своей целью помочь отдели^
ному лицу сделать выбор среди некоторого множества
имеющихся «готовых» альтернатив. Конечно, аналитики — специалисты по
анализу решений — прекрасно понимают, что неформальный
процесс формирования (выработки) альтернатив имеет
первостепенное значение, но при этом они также не забывают о том часто
упускаемом из виду факте, что хороший анализ множества
существующих альтернатив может оказаться весьма полезным для
формирования новых альтернатив. Но это — второстепенный
вопрос, и мы не считаем нужным останавливаться на нем в
предисловии. Здесь нам важно то, что обычный анализ решений
(после того, как построены соответствующие модели анализируемой
ситуации) четко разделяется на две отдельные фазы: анализ
неопределенности и анализ предпочтений (или анализ ценности
или полезности). Об анализе неопределенности написано очень
много: статистическая проверка применяемых моделей,
использование исторических (и экспериментальных данных, приведение
в соответствие оценок, даваемых ЛПР и группами экспертов
и т. п. Наряду с обилием литературы по этим вопросам, в ней»
к сожалению, крайне скудно освещены проблемы оценки
ценности и формализации предпочтений. Эта книга на наш взгляд
будет способствовать, в известной степени, устранению этого
пробела.
Приходится констатировать также, что в настоящее время
аналогичный пробел имеет место и в вопросе о практических
применениях. На разработку, уточнение и проверку достаточно
адекватной имитационной модели, которая позволяла бы
получать возможные значения нескольких наиболее важных показа*
телей, характеризующих возможные последствия анализируемых
курсов действий, обычно требуется несколько человеко-лет
работы. Результаты всей этой работы, возможно, будут сводиться к
нескольким графикам и таблицам, и кроме того для ЛПР будет
написан итоговый отчет. Это ЛПР затем одну неделю
обдумывает последствия различных альтернатив и выбирает одну
альтернативу.
Годы, потраченные на «раскрытие» имеющейся
неопределенности, и одна неделя — на вопрос о предпочтениях, явно неравный
итог. Мы считаем, что перераспределение усилий — возможно',
продление работы до нескольких человеко-месяцев — с целью более
полного выяснения предпочтений приведет к улучшению
принимаемых решений во многих ситуациях. В этой книге мы показываем
конструктивный путь к перераспределению этих усилий в пользу
ряда аспектов анализа предпочтений.
В заключение обсуждения этого вопроса рассмотрим
иллюстративный пример. Допустим, что орган, принимающий
решения, должен в (сложных условиях сделать выбор среди
возможных действий, носящих социально-экономический характер.
Допустим также, что проблема, способ решения которой должев
выбрать этот орган, настолько сложна, что для ее анализа по-
8

строена имитационная модель и разработана программа для
ЭВМ, что позволяет для каждого альтернативного варианта
действий составить сценарий возможного развертывания событий в
будущем. Теперь представим себе, что аналитику удалось
эффективно свести относительную желательность любого сценария
(развертывания событий) не к одному, а, скажем, к дюжине
показателей, одни из которых отражают необходимые затраты,
другие — получаемые положительные эффекты. Поскольку эти
показатели могут относиться к совершенно разным областям (и
характеризовать, например, экономичесиие, природные,
социальные и другие аспекты), такого рода сводные показатели, как
правило, оказываются несоизмеримыми. Дело осложняется еще и
тем, что при моделировании реальных проблем нам приходится
вводить в модель элементы со стохастической природой, поэтому
одиночные результаты имитационного моделирования,
проводимого с целью изучения возможных последствий, даже для одних
и тех же действий дадут различные значения сводных
показателей, используемых для оценки этих действий.
Совместное распределение вероятностей для значений
сводных показателей, получаемое после накопления результатов
имитационного моделирования, как правило, свидетельствует о том,
что по крайней мере некоторые из этих 12 показателей не
являются вероятностно независимыми. Теперь представьте, что Вы —
растерянное ЛПР, сидящее перед устройством выдачи
информации из ЭВМ, скажем, перед дисплеем, и на Вас обрушивается
лавина противоречивой информации. Что Вы должны делать? Как
Вам разобраться во всех возникающих вопросах и приступить к
систематизированному рассмотрению Вашей проблемы выбора:
как следует действовать в реальной обстановке? Мы полагаем,
что книга непосредственно связана с этой проблемой и содержит
в себе конструктивные предложения. Мы твердо убеждены в
одном: ЛПР не может просто так взять и вставить значения этих
несоизмеримых показателей в некую формулу целевой функции,
которую кто-то предложил в отрыве от жизни, без учета
реальных значений используемых показателей. Напротив, наши
рекомендации ориентированы на совершенно иной подход: мы
считаем, что ответственно подходящему к своему делу ЛПР
целесообразно серьезно подумать о возможных различных замещениях
(т. е. возможной компенсации значений одних показателей
значениями других показателей) по ценности и о своем отношении к
выбору рискованных альтернатив. В связи с этим мы предлагаем
методы систематизированного исследования этих вопросов,
основанные на разделении сложной проблемы выбора на ряд более
простых.
Излагаемая методология поможет ЛПР, готовому воспринять
наши идеи, постепенно, шаг за шагом произвести ранжирование
всех потенциально возможных значений векторных показателей,
характеризующих последствия анализируемых действий (в нашем
примере ранжирование 12-мерных последствий). Это ранжирова-
9

ние можно представить как результат построения определенной
совокупности кривых безразличия (равноценности) и их
ориентации в 12-мерном пространстве. Но этого еще недостаточно,
поскольку в результате повторного проведения имитационного
моделирования даже для одних и тех же альтернатив действий мы
получим (из-за наличия стохастических элементов) различные
точки в нашем 12-мерном пространстве. Теперь нам на помощь
приходит теория полезности фон Неймана — Моргенштерна. Эта
теория указывает, что в соответствии с определенным
(аксиоматически вводимым) понятием «рационального» поведения, ЛПР
следует подобрать для каждого 12-мерного последствия такое
одно число, называемое полезностью этого последствия, ко-
торЪе удовлетворяло бы следующим требованиям:
1. Чем более предпочтительна рассматриваемая точка в
12-мерном пространстве (иначе говоря, рассматриваемый набор
значений 12 показателей), тем выше ее полезность.
. 2. Шкала для измерения полезности должна быть построена
так, чтобы максимизация ожидаемой полезности соответствовала
бы выбору лучших альтернатив.
Чтобы дать оценку относительной желательности данной
альтернативы действий, нам необходимо: 1) для каждого
конкретного эксперимента, проводимого с помощью имитационной модели,
получить соответствующее 12-мерное последствие; 2) каждому
такому 12-мерному последствию поставить в соответствие
численное значение его полезности; 3) найти среднее (ожидаемое)
значение полезности для последовательности последствий,
получаемых в результате многократного повторения экспериментов на
имитационной модели для рассматриваемой альтернативы.
Наконец, мы выбираем такую альтернативу действий, которая
обеспечивает максимум ожидаемой полезности. Мы считаем, что сюда
же следует включить выяснение всех необходимых аспектов,
связанных с отношением ЛПР к риску (склонности или несклонно-
стти его к риску). Необходимость такого включения и как это
можно сделать — эти вопросы специально рассматриваются в
гл. 4, посвященной теории полезности.
Согласно вышесказанному, мы предлагаем некоторый общий
метод, а можно ли его осуществить на практике? Мы
утверждаем, что можно, и в доказательство этого приводим многие
примеры, которые показывают, как данный метод был практически
реализован. Это нелегкая работа, но можно ли обойтись без нее?
Содержание книги
С целью лучшего разъяснения вопросов, рассматриваемых в
книге, их удобно подразделить на четыре основные категории:
1) структуризация многоцелевых проблем: гл. 1, 2; 2) теория
квантификации предпочтений применительно к многоцелевым
проблемам: гл. 3—6; 3) практическое применение этой теории: гл. 7,
8; 4) специальные вопросы: гл. 9, 10. Ниже мы лишь кратко оста-
ю

новимся на содержании отдельных глав, так как более детальное
изложение приводится в § 1.6.
В гл. 1 интересующие нас проблемы рассматриваются более
систематизированно, чем это было сделано выше. Наша исходная
проблема представляется, как проблема анализа дерева решений,
а не результатов, полученных с помощью стохастической
имитационной модели. Однако для наших целей это различие не имеет
значения.
В связи с тем, что для анализируемого нами класса проблем
возможные наборы целей и критериев не являются заранее
заданными, в гл. 2 даются некоторые предложения по формированию и
структуризации приемлемых наборов целей.
Теоретические главы 3—6 посвящены описанию ряда методов
квантификации предпочтений для многоцелевых проблем. Для
того, чтобы получить функции полезности фон Неймана — Морган-
штерна, нам необходимо обратиться к рассмотрению Двух
отдельных вопросов: замещениям по ценности различных целей и
отношению к риску. В гл. 3 рассматриваются замещения по ценности
в условиях определенности. В гл. 4 мы ограничиваемся случаем,
когда имеется только одна цель, излагаются концепции и методы,
используемые для квантификации и оценки отношения к риску.
Эта глава посвящена, главным образом, одномерной теории
полезности. В гл. 5, 6 оба эти вопроса рассматриваются
одновременно, изложение ведется с позиций многомерной теории полезности.
Мы разделили этот раздел из-за его объема на две части:
двумерный (гл. 5) и многом-ерный случаи (гл. 6).
Теория многомерной полезности уже достаточно разработана и
внесла значительный вклад в решение ряда важных и сложных
проблем. Гл. 7,8 содержат практические примеры, которые
подкрепляют это утверждение. Рассматриваются разнообразные
проблемы, при исследовании которых квантификация
предпочтений была выполнена на основе многомерной теории полезности.
К этим проблемам относятся: структуризация целей корпорации,
анализ работы пожарной службы, распределение ассигнований
внутри системы школьного образования, оценка систем
распределения времени работы ЭВМ между клиентами, размещение
атомных электростанций, анализ ряда проблем, связанных с лечением
некоторых заболеваний, таких как «ааячья губа» и «волчья пасть»
и т. д. В каждом случае мы описываем содержательную сторону
проблем, для которых проводилась квантификация предпочтений.
Это связано с тем, что хотелось познакомить читателя как с
теорией, так и практическими приемами использования многомерного
анализа полезности и, кроме того, связать их воедино. В гл. 8
рассматриваются теоретические положения и методы, описанные в
предыдущих главах, применительно к очень важному
исследованию перспектив развития аэропорта для Мехико.
Главы 9, 10 посвящены описанию некоторых результатов
исследований в области проблем так называемых «временных
предпочтений» и «агрегирования» предпочтений отдельных лиц. Каж-
п

дая из этих важных проблем может изучаться в рамках теории
многомерной полезности. Как будет показано, многие результаты
гл. 3—6 применимы для проблем временных и групповых
предпочтений. Эти две проблемы часто дополнительно усложняют
многомерный анализ.
Для кого предназначена эта книга?
Принятие решений вызывает столь широкий интерес, что нам
трудно выделить какую-то определенную группу читателей. Эта
книга, конечно, будет полезной для аналитиков, руководителей и
их -консультантов в социально-экономических и политических
областях, экономистов, дизайнеров, инженеров, администраторов и
многих других. Она может найти полезное и важное применение в
коммерции, при анализе социально-общественных проблем, в
инженерном деле, в исследованиях, 'Связанных с использованием
ресурсов, организацией здравоохранения и медицины,
совершенствованием системы образования и т. д.
Общий объем книги довольно велик, однако нет необходимости
читать ее всю обязательно от начала до конца. В ней есть части,
особенно гл. 6 и конец гл. 9, где используемый математический
аппарат, возможно, покажется обезоруживающе сложным для
всех, кроме математикрв. Здесь очень желательно, чтобы
читатель— нематематик предварительно познакомился с основными
положениями анализа решений, изложенными, скажем, в книге
Райфы A968) или в книгах подобного уровня, «например Шлейфе-
ра A969) и Брауна и др. A974).
В зависимости от ваших интересов, Вы можете ограничиться
прочтением лишь отдельных глав. Гл. 1 и 2, посвященные
структуризации многоцелевых проблем, не требуют от читателя
предварительных знаний. Точно так же, если Вы хотите познакомиться
с абстрактной постановкой проблемы, то в гл. 3—6 содержатся
все необходимые сведения по этому вопросу. Читатели этой
группы с большей математической подготовкой могут (начать как с
замещений по ценности (гл. 3) и одномерной теории полезности
(гл. 4), так и с многомерной теории полезности (гл. 5, 6). Для
полного понимания примеров практических приложений (гл. 7, 8)
требуется знание основных теоретических результатов,
приведенных в этой книге. Однако тот читатель, которого интересует лишь
область применения теории многомерной полезности, а также то,
как она используется в конкретных случаях, может получить
интересующие его сведения, прочитав только гл. 7, 8. Прежде чем
приступить к чтению гл. 9—10, мы все же советуем по меньшей
мере просмотреть гл. 3—6. Однако читатель, свободно владеющий
математическим аппаратом, используемым в этих главах, может
начать с гл. 9 или 10 и обращаться к основным теоретическим
главам лишь там, где это рекомендуют ссылки.
Насколько нам известно, в настоящее время нет таких книг,
которые заметно перекликались бы по содержанию с нашей кни-
12

гой. Однако многие из теоретических результатов публиковались в
специальных журналах. Ряд результатов был предоставлен нам
другими исследователями. В процессе изложения мы старались
давать ссылки на оригинальные источники, так что Вы легко
можете проследить развитие той или иной темы исследований.
После гл. 10 помещена большая библиография этих работ.
Лаксенбург, Австрия Ральф Л. Кини
Май, 1975 Ховард Райфа
Выражения благодарности
Мы начали нашу работу в июне 1969 года, и она заняла
примерно шесть лет. Поскольку авторов было двое, это составило в
общей сложности около 4 000 человеко-дней работы, которая
вылилась примерно в 200 000 слов. Однако, по нашему мнению,
наша ежедневная «продукция» все же была большей, чем 50 слов в
день. Сравнение плана нашей предполагавшейся монографии,
составленного в 1969 г., с содержанием данной книги ясно
показывает, что большей части материала, включенного в книгу, не
было в распоряжении авторов в то время. Это особенно относится к
практическим примерам — главным образом тем, в которых
описываются исследования 1970-х гг.
В процессе написания этой книги нам различным образом
помогали многие. Некоторые из них прочли различные варианты
отдельных глав и сделали очень важные замечания. Мы особенно
благодарны Крейгу Керквуду, Тъеллингу Купмансу, Джону
Шмитцу и Майку Спенсу. Первый вариант гл. 9 о временных
предпочтениях был отредактирован нашим другом Ричардом Ф. Мейе-
ром, кроме того, он включил в нее дополнительный материал.
В настоящее время Мейер является одним из ведущих
исследователей в этой области. Полученные им результаты несомненно
следует отнести к самым последним достижениям теории и практики
анализа решений на основе многомерных полезностей. Вклад
Мейера благотворно повлиял и на наши исследования. К нашей
большой радости Дэвид Е. Белл согласился прочитать весь
окончательный вариант книги, чтобы дать ей оценку с технической
точки зрения. Он согласился даже освободить нас от
ответственности за технические погрешности в тексте.
С сентября 1971 по июнь 1974 г. в связи с работой над этой
книгой Ральф Л. Кини получал поддержку по контракту отдела
военно-морских исследований № 00014-67-0204-0056 с Массачусет-
ским технологическим институтом. На протяжении последнего,
заключительного года работы над книгой мы оба получали помощь
от Международного института прикладного системного анализа,
Лаксенбург, Австрия. Многочисленные контакты с нашими
коллегами из этого института помогли сделать нашу книгу более
полезной для практиков.
Р. Л. Кини
X. Райфа
13

ГЛАВА 1
ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ
В нашем изменчивом и неопределенном мире всякому
человеку, ответственно подходящему к принятию решений, при
формировании своих суждений и предпочтений неизбежно приходится
принимать во внимание неопределенность возможных последствий
принимаемых решений. Делать это не просто, и, хотя у нас всех
большая практика, наши успехи не очень велики. Авторы книги
предлагают формальный метод, который может оказаться
полезным в процессе принятия решения. Основное внимание здесь
уделяется формализации предпочтений или, иначе говоря, введению
количественных оценок возможных последствий принимаемых
решений, оставляя в стороне методы оценки неопределенности,
связанной с возможностью реализации этих последствий. Но это не
значит, что авторы не считают важным вопрос о моделировании
•неопределенности. По ях мнению, многие талантливые ученые
успешно исследовали различные аспекты моделирования
неопределенности для тех проблем, о которых здесь идет речь. Поэтому
разработки авторов в области количественного описания
предпочтений должны послужить дополнением к уже сделанному. В
связи с этим мы будем исходить из предположения, что оценки
имеющейся неопределенности уже произведены, и постараемся
рассмотреть с позиции лица, принимающего решение, как можно
разобраться в наших, возможно, противоречивых целях или
стоящих перед нами задачах (и их количественных представлениях),
и попытаться прийти к разумному решению.
Предметом нашего рассмотрения является так называемый
«прескриптивный» подход, заключающийся в разработке
определенных рекомендаций лицу, принимающему решение: как следует
подходить с системных позиций к определению и структуризации
целей, к установлению их возможной (и отнюдь не бесспорной)
взаимной компенсации, к сбалансированности различных видов
риска. Чтобы обрисовать общую картину, рассмотрим ряд
иллюстративных примеров.
1.1. НАБРОСКИ НАВОДЯЩИХ ПРИМЕРОВ
1.1.1. Строительство электростанций и состояние воздушной
среды *). Мэр города должен решить, следует ли одобрить строи-
*) Этот пример подробно рассматривается <в § 7.1. Используемые
специальные понятия будут строго определены в последующих главах.
14

тельство новой электростанции. Потребность в увеличении
производства электроэнергии существует, но новая электростанция
увеличит загрязненность воздушной среды, особенно из-за
увеличения содержания в ней таких веществ, как сернистый ангидрид,
твердые частицы, окислы азота. Мэр вынужден рассмотреть
возможные последствия принимаемого решения с точки зрения таких
факторов, как:
— здоровье жителей (заболеваемость и смертность),
— экономическое положение жителей,
— психологическое состояние жителей,
— экономика города и штата,
— бизнес,
— местная политика.
Эти широкие категории и некоторые другие должны быть
уточнены, приведены к более понятному виду, прежде чем можно будет
произвести измерения и оценки и приступить к комплексному и
весьма тонкому сбалансированию возможных последствий. Даже
если все последствия каждого -возможного действия мэра можно
зараиее точно предвидеть (что едва ли возможно в
действительности), все равно перед мэром будет стоять (сложная проблема
установления сравнительной «ценности».
1.1.2. Размещение аэропорта *>. Какие рекомендации может
дать президенту Эчеверрии министр общественных работ Брака-
монтес относительно перспектив развития аэропорта Мехико?
Целесообразно ли для Мехико модернизировать существующий
аэропорт (в ТеКскоко) или построить новый (в Зумпанго), к
северу от города? Для рассматриваемого примера характерно то, что
последствия возможных решений разнесены во времени, т. е. в
данном случае мы имеем дело не со статической (Текскоко или
Зумпанго сейчас!), а с динамической задачей, ибо решение
связано с фазами развития на протяжении какого-то срока. В задаче
имеется множество неопределенностей, включая возможность
появления технических новшеств (например, глушителей шума,
новых методов строительства взлетно-посадочных полос на
заболоченной почве, новшеств в области увеличения маневренности
коммерческих самолетов), возможность изменения потребности в
международных перевозках и появления в будущем новых
требований к безопасности и т. п. Но даже если бы у министра Брака-
монтеса был бы какой-то надежный провидец, стоящая перед
министром проблема выбора все равно оставалась бы сложной. Ему
«ужно сбалансировать такие цели, как:
— сокращение затрат со стороны федерального правительства;
— увеличение пропускной способности аэропорта;
— повышение безопасности системы;
— уменьшение шума;
— сокращение времени поездки в аэропорт;
*> Этому примеру шхэвящеиа гл. 8.
15

— сокращение числа переселяемых людей в связи с
расширением аэропорта;
— улучшение регионального развития (строительство дорог,
например);
— достижение политических целей.
На данной стадии анализа проблемы эти цели слишком
расплывчаты, чтобы их можно было использовать в работе. Однако,
пытаясь сделать их более понятными, аналитик должен быть
осторожен, чтобы не исказить смысл проблемы в целом.
1.1.3. Борьба с употреблением героина. Употребление героина
в Нью-Йорке приобретает размеры, внушающие тревогу. С этим
нужно бороться, но как? Эта проблема долгое время изучалась,
но до сих пор эксперты предлагают самые различные варианты
возможных мероприятий. Причины частично состоят в том, что
проблема настолько сложна, что эксперты откровенно не
согласны друг с другом в определении последствий любой конкретной
меры. В методологическом плане они расходятся в том, что
должна включать в себя подходящая модель явления и каковы
должны быть разумные степени перехода из одной категории в
другую. Поэтому и отличаются вероятностные предсказания
экспертов. Однако, даже если бы у этих экспертов было волшебное
зеркальце и можно было устранить их разногласие по поводу
неопределенности, все равно противоречия остались бы. Только теперь
они были бы связаны со степенью желательности («ценности»)
определенных значений тех или иных факторов, а не
одновременно и с желательностью и неопределенностью. Мэру Нью-Йорка
хотелось бы:
— уменьшить число наркоманов (само определение понятия
«уменьшение» гораздо сложнее, чем кажется, потому что имеются
различные категории наркоманов и необходимо установить также
допустимые пропорции между количествами лиц, относящимися к
этим категориям);
— сократить затраты для города и его жителей;
— сократить число преступлений, связанных с покушением на
собственность и жизнь людей;
— улучшить «условия жизни» — в любом смысле этого
понятия— для наркоманов, в частности, сократить смертность и
заболеваемость среди них;
— сдерживать организованную преступность;
— следовать высоким идеалам гражданских прав и свобод;
— уменьшить отчуждение молодежи;
— быть избранным на более высокий политический пост
(скажем, стать президентом?).
Проблема, несомненно, сложна, но мэр должен действовать и,
следовательно, объединять в своих суждениях, по крайней мере
неформально, оценки как имеющихся неопределенностей, так и
степени предпочтительности («ценности») возможных результатов
16

своих действий *>. Как уже говорилось, предметом нашего
рассмотрения будут именно количественные оценки «ценности» в
проблемах такого типа.
1.1.4. Медицинская диагностика и лечение. Доктор Уильям
Шварц из Тафтской медицинской школы делает обходы больных
вместе со своими студентами и требует, чтобы они размышляли
вместе с ним **>. «Допустим, для больной Z мы можем сделать это,
это или это, но мы должны побеспокоиться о последствиях наших
действий, если ее болезнь находится в стадии А, В или С. По-
моему, с вероятностью 0,2 у нее стадия А, с вероятностью 0,4—
стадия В... Если мы сделаем это и случится то, то мы узнаем то-
то, что внесет изменения в вероятности наличия стадий А, В и С.
Но если случится вот это, то мы должны взвесить получаемую
информацию, учитывая возможность побочных эффектов, иеудобств
и затрат для Z». И так далее. Очень немногие врачи так открыто
сообщают ход своих мыслей. Однако все врачи должны постоянно
сочетать вероятностные оценки с суждениями относительно
«ценности» (степени желательности) возможных результатов. К тому
же составить свои суждения о ценности в ряде случаев весьма
нелегко. Следует учитывать затраты не только пациентов, но и
страховых компаний, жалование врачам, использование дефицитных
ресурсов (например, врачей, сестер, операционных, больничных
коек). Доктора Шварца должны беспокоить боль, страдания,
время нетрудноспособности больного, возможность летального исхода.
К цеиностной проблеме имеют отношение и такие внешние
общественные явления, как распространение инфекции, возможность
использования сведений, полученных при лечении одного
больного для лечения других, выработка сопротивляемости к болезням.
Эти общественные соображения могут поставить врача в
противоречивое положение: что хорошо для больного, то не всегда
хорошо для общества. И все эти соображения надо рассмотреть и
принять решение. Можно ли найти метод систематизированного
подхода к этой «ценностной» стороне проблемы? Мы думаем, что
можно, но «объективно правильного решения» нет. В таких
случаях нам приходится использовать субъективные мнения
относительно ценности, в связи с этим мы опишем схему оценки и кван-
тификации подобных субъективных ценностей и
систематизированного включения их в процесс принятия решений.
1.1.5. Проблемы в области бизнеса. Большинство обычных
деловых проблем не связано со сложными вопросами по поводу
«ценности». Показателем, повышения которого следует добиваться,
может быть доход (или величина чистого приведенного потока
прибыли). Правда, могут возникнуть трудности в уточнении, что
относить к постоянным затратам и какова предельная
себестоимость, но, как правило, эти вопросы просты. Однако высшее ру-
*) Попытка рассмотрения с формальных позиций различных вариантов
борьбы с употреблением героина в Нью-Йорке описана в книге Мура A973).
•*> См. работу Шварца, Горри, Кассирера и Ессига A9УА>
17

ководство не связано лично с большинством рутинных задач, с
долларами и центами. Те проблемы, которые предстают перед
руководством, зачастую связаны с этикой, традициями,
подлинностью, эстетикой и личными системами ценности,
отличающимися от корпоративных. Чем больше мы изучаем проблемы
высшего руководства, тем больше убеждаемся, что эти так называемые
нетипичные проблемы не так уж нетипичны, и лозунг «Увеличить
прибыль!» имеет ограниченное применение. Однако мы увидим,
что в деловом контексте неденежные, неуловимые явления удобно
приводить в известном смысле к ценностям в стоимостном
выражении. Мы рассмотрим, когда следует это делать и как это
может быть сделано.
Высшее руководство хорошо знает, что многие его
стратегические решения связаны с целой совокупностью противоречивых
целей, и поэтому просто неверно полагать, что «с качественной
точки зрения решения в бизнесе просты, так как целевая функция
кристально ясна».
1.2. ПАРАДИГМА АНАЛИЗА РЕШЕНИЯ
Простая парадигма анализа решения *\ которую мы рассмот-
' рим, может быть сведена к процессу из пяти ступеней.
Предварительный анализ. Мы предполагаем, что лицо,
принимающее решение, это какой-то один конкретный человек, который
еще не решил, какой курс действий ему следует принять
применительно к рассматриваемой конкретной проблеме. Сама
проблема определена и известны возможные альтернативы действий.
Структурный анализ. Лицо, принимающее решение, проводит
качественную структуризацию проблемы. Что он может выбрать
уже сейчас? Выбор чего он может пока отложить? Каким образом
(ж может построить свой выбор, основываясь на информации,
получаемой в процессе анализа проблемы? Какие эксперименты он
может провести? Какую информацию он может получить,
предпринимая для этого специальные шаги, и что он может узнать в
ходе нормального течения событий без специального
вмешательства? Эти вопросы расположены по порядку на дереве решений
(рис. 1.1).
Дерево решений имеет два типа вершин: вершины-решения
(они обозначены квадратиками) и вершины-случаи
(обозначаются кружками). В вершинах первого типа выбор полностью
осуществляется лицом, принимающим решение. В вершинах же
второго типа выбор не находится под полным контролем со стороны
принимающего решение.
Анализ неопределенности. Лицо, принимающее решение,
устанавливает определенные значения вероятности для тех ветвей,
которые начинаются в вершинах-случаях. Установление значений
*> См., например, Браун, Кар и Петерсон A974), Говард A968), Райфа
A968), Шлейфер A969), Трайбус A969) или Винклер A972).
18

этих вероятностей осуществляется с помощью совокупности
совместно используемых методов и процедур, основывающихся на
прошлых эмпирических данных, на допущениях ш результатах
различных стохастических, динамических моделей, на миениях
экспертов (после соответствующей калибровки, необходимой для
того, чтобы учесть черты характера экспертов и смещения оце-
//ачало
Рис. 1.1. Схематическое вершты 7 и $ et/ть р/
изображение дерева ре- &ершмь/ 2 и 4 /tpefe/vtrfitf/r/em cod&tf
шений d
нок, проистекающие из противоречивости позиций экспертов и их
интересов), а также на субъективных суждениях лица,
принимающего решение. Полученные значения вероятности следует
проверить на наличие их внутренней согласованности.
Чтобы избежать недоразумений, связанных со специфическим
видом дерева решений (см. рис. 1.1), мы сразу же укажем, что
для некоторых вершин-случаев исходы могут представлять собой
континуум в одно- или многомерном пространстве.
Анализ полезности или ценности. Следующим этапом является
установление лицом, принимающим решение, численных значений
полезности последствий, связанных с реализацией того или иного
пути на дереве решений. На рис. 1.1 показан один
возможный путь (от начала до точки С). Во всякой конкретной проблеме
с каждым путем будут связаны различные экономические и
психологические затраты и приобретения, которые существенны с
точки зрения как лица, принимающего решение, так и других лиц,
являющихся участниками решения проблемы. Всю совокупность
подобных «затрат и приобретений», которые будут иметь место
при реализации той или иной ветви, мы будем называть
последствием, связанным с этой ветвью. Таким образом, каждая
ветвь будет характеризоваться своим последствием. Затем
предпочтительность этих последствий (со стороны лица,
принимающего решение) должна быть представлена в виде чисел
кардинальной полезности *>. Это представление не только отражает
упорядочение (ранжирование) различных последствий с точки зрения
предпочтений лица, принимающего решение (например, С
предпочитается С", которое, в свою очередь, предпочитается С7"), но
и описывает его предпочтения относительно лотерей, построенных
*) Мы исходим из того, что читатель в какой-то степени знаком с теорией
кардинальной полезности. Однако в гл. 4 мы рассматриваем те аспекты этой
теории, которые здесь потребуются.
19

на этих последствиях. Допустим (рис. 1.2), что мы
рассматриваем проблему выбора между действиями а' и а", т. е. фактически
между лотереями V и Г. Принимающий решение должен
поставить в соответствие последствиям такие числа (м'< для С'% и и"$
для C"j), чтобы имело место соотношение
т п
(а' предпочтительнее а") ¦<=»¦ (Б p'iu'i> 2 p"ju"j).
Другими словами, присваивание последствиям числовых
значений полезности должно быть таким, чтобы для лица,
принимающего .решение, максимизация ожидаемой полезности
соответствовала бы выбору им оптимального действия,
Процедуры оптимизации. После того как принимающий
решение структуризирует свою проблему, установит соответствующие
значения вероятности и по-
' /7олвз//о№1г лезности, оптимальная
стратегия действий
(оптимальная альтернатива) может
быть найдена с помощью
вычислений — оптимальной
будет стратегия, которая
максимизирует ожидаемую
полезность. Эта стратегия
указывает, что он должен
делать в начале дерева
решений и какой выбор должен
произвести в каждом узле-
решении, в котором он
может оказаться на своем пути
движения по дереву
решений. Аналитик может
применить различные методы для
нахождения этой стратегии, но самыми простыми являются
алгоритмы метода динамического программирования, и в частности
алгоритм, основанный на «нахождении среднего и возвращения
назад», с которым, как мы считаем, читатель уже знаком •>.
-а.
Рис.
1.2. Проблема 'выбора между двумя
лотереями
1.3. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПАРАДИГМЕ
Подходит ли эта парадигма для проблем, которые мы
сформулировали в начале главы: охрана воздушной среды, размещение
аэропорта, борьба с употреблением героина, медицинская
диагностика и лечение и стратегические проблемы бизнеса?
1.3.1. Индивидуальное и групповое принятие решений. В этой
книге мы исходим из того, что решение принимает одно лицо.
А не следует ли нам рассмотреть групповое принятие решений? Не
*) См., например, Райфа A968), с. 21—27 и 71-^74.
20

являются ли большинство общественных решений и многие
деловые решения сложными, состоящими из различных выборов,
сделанных многими людьми? Рассмотрим один пример.
Городские власти Нью-Йорка обеспокоены плохим качеством
воздуха, которым дышат его жители. Следует ли в связи с этим
установить более жесткие ограничения на содержание сернистых
веществ в горючем, используемом в городе для отопления и
выработки электроэнергии? Решение этой проблемы зависит от
мнений многих людей: здесь и мэр, и городской совет, управление по
защите окружающей среды, представители от энергетических
компаний, местные политические деятели и жители. Конечно, любое
апостериорное описание, имеющее целью объяснить то, что
произошло в прошлом, касается многих людей. С дескриптивной
(описательной) точки зрения перед нами проблема принятия
группового решения.
Но не спешите!
Мы не пытаемся описать то, что было сделано, а стараемся
дать рекомендации, что следует сделать, именно в этом
заключается наш прескриптивный подход *>.
Для начала выясним, для кого предназначены
разрабатываемые нами рекомендации. Кто является заказчиком нашего
анализа? Допустим, это руководитель управления. Один он, конечна
же, не решает все вопросы, но его могут попросить, например,
составить предложение для мэра. Допустим, он не знает, следует ли
ему принять решение А, В или С. И вот перед руководителем
управления встает проблема решения. Ему самому, возможно,
понадобится систематизированный анализ того, что он должен сделать.
Он должен проанализировать, что будут делать другие, и,
возможно, ему понадобится рассматривать действия мэра и
городского совета как часть тех неопределенностей, которые встают
перед ним. Решения одного лица, таким образом, могут стать
источником неопределенности для другого.
Мы подчеркиваем, что решения (в том смысле, в каком мы
используем этот термин) не должны рассматриваться как нечто*
окончательное, непоколебимое и всеобъемлющее. Эти решения
скромнее: должен ли человек голосовать за принятие проекта,,
предложить поправки или применить политическое давление?
Если перед человеком стоит необходимость выбора, мы считаем его
лицом, принимающим решение. Во многих реальных ситуациях в
жизни общества лицо, принимающее решение, можно считать
вполне определенной, самостоятельной единицей. И некоторые из
них, возможно, будут стремиться к систематизированному
анализу своих конкретных проблем. Поэтому мы хотим эффективно
•> Ясно, что прескриптивная и дескриптивная точки зрения имеют много
общего. В течение последних 26 лет исследования в области дескриптивных:
аспектов принятия решений послужили большим вкладом в орескриптивный
анализ решений. Превосходные обзоры этой работы содержатся в работах
Эдвардса A954, 1961), Слоувика и Лихтенштейна A97.1) и Фишера и Эдвард-
са A973).
21

адаптировать парадигму решения, упомянутую выше, чтобы
помочь этим лицам.
1.3.2. Личное убеждение, его защита и примирение точек
зрения. Попробуем подойти к рассматриваемым проблемам с
позиций нерешительного человека, который должен выбрать курс
своих действий. Он знает, что некоторые из его поспешных суждений
впоследствии могут оказаться неверными, но он будет согласвд
изменить свое мнение после более глубокого размышления. Он
также допускает, что, когда проблема будет разложена на части,
его первоначальные ответы из серии задаваемых вопросов могут
оказаться не согласованными между собой. Если такое
произойдет, то-он, как мы полагаем, захочет более тщательно изучить
свои ответы и, возможно, изменить некоторые из них. Этот процесс
корректировки будет продолжаться до тех пор, пока исправленные
ответы не будут, по его мнению, согласованными и разумными.
Только в том случае, если он сможет структуризовать
внутреннюю логику своих ответов, у нас появится возможность
использовать дедуктивный анализ и перейти к следующему этапу. Это
похоже на принцип Сократа: раскрыть то, во что ты действительно
веришь, убедить себя и принять решение.
Во время наших консультаций мы обнаружили, что наши
клиенты приступают к формальному анализу решения тогда, когда
их мнение уже сформировалось. Они смотрят на формальный
анализ как на нечто, похожее !на оформление витрины. Мы не против
этого, но мы особо обращаем внимание на такие классы
проблемных ситуаций, когда лицо, принимающее решение, еще не
сформировало свое мнение. Однако зачастую имеет смысл выполнить
тщательный анализ даже тогда, когда лицо, принимающее
решение, уже решило, что следует делать. Прежде всего встает вопрос
психологического комфорта: возможно, что принимающий решение
человек использует формальный анализ, чтобы обезопасить, себя,
подкрепить свою интуицию. Во-вторых, он может прибегнуть к
формальному анализу, чтобы помочь коммуникативному процессу.
И, в-третьих, встает вопрос о защите своей точки зрения: ему
предстоит защитить свои выводы перед другими или убедить их в
правильности выбранного им действия. Кроме того, всегда
имеется вероятность, что этот анализ после предварительного принятия
решения укажет новые аспекты, что позволит найти другую
альтернативу, которая будет восприниматься как лучшая по
сравнению с первоначальной.
Анализ, который делается для того, чтобы убедить себя,
может значительно отличаться от анализа для защиты своего
решения перед другими участниками обсуждения. Личный анализ
может, в частности, включать такую тонкую информацию, как
оценка будущих потенциальных действий политических союзников,
«экономическая ценность» жизни человека, возможная взаимная
компенсация различного рода преимуществ или благ,
распределяемых между различными группами. В противоположность
этому анализ в защиту перед другими участниками часто должен
22

быть намеренно расплывчатым в том, что касается таких
вопросов. Когда анализ выносится для публичного рассмотрения, едва
ли можно ожидать, что ваши противники сдадутся без боя. Они
тщательно изучат ваши объяснения и найдут слабые места. К
сожалению, это значит, что часто бывает неразумно принимать
решение на основе формального анализа, который включает
субъективные мнения, если этот анализ будет представлен критически
настроенной аудитории. Естественно, что в такой ситуации будет
неуместно просить правительственных чиновников информировать
об их моральных обязательствах или просить их быть честными
и откровенными, а также привлечь к их личному анализу других
государственных чиновников, другие учреждения и
заинтересованных граждан. Повторим снова: мы стремимся прежде всего к
тому, чтобы помочь лицу, принимающему решение и
находящемуся в затруднительном положении, выработать приемлемое для
себя решение на основе своих собственных суждений.
Есть также и другая причина, почему может понадобиться
формальный анализ решения проблемы, даже если вы уже
приняли решение для себя. Пусть это может показаться вариантом
защиты своего мнения перед другими, мы все же считаем это
процессом примирения. Например, допустим, что мэр должен принять
решение, и два учреждения настоятельно рекомендуют различные
альтернативы. Обе альтернативы весьма притягательны, их
сторонники умны и изобретательны, и положение настолько сложно,
что у каждой альтернативы есть очевидные достоинства. Чем
можно помочь лицу, принимающему решение, взвесить все
аргументы и принять ответственное решение?
В такой ситуации «примирению», т. е. поиску компромиссного
решения, часто может помочь формальный анализ, в процессе
которого общая проблема разбивается на составные части.
Возможно, что сторонам удастся договориться о том, в чем они согласны
и в чем не согласны друг с другом. Допустим, они могут
подразделить области несогласия таким образом, чтобы выявить
принципиальные источники разногласий. Поможет ли получение
дополнительной информации выделить достоинства обеих позиций?
Смогут ли они договориться о дополнительных объективных (или
субъективных) основаниях (или доказательствах правоты сторон),
которые могут помочь принять решение? Или это уже вопрос не
оценки неопределенностей, а скорее разграничения имеющихся у
них систем ценности? Пожалуй, здесь и может мэр применить
свою собственную главенствующую структуру ценностей.
Мы не хотим показаться наивными, утверждая, что
формальный анализ является ключом к процессу примирения. Мы знаем,
что при некоторых обстоятельствах бывает так, что чем больше
неясностей, тем легче прийти к компромиссу. И все-таки, в
принципе, мы считаем: более подробное знание может способствовать
примирению. В гл. 8 рассматривается пример такого случая, в
котором мы оба были консультантами. Нам удалось достичь лишь
частичного успеха.
23

1.3.3. Предварительный анализ и итеративная природа
анализа. Мы исходим из того, что проблема, стоящая перед лицом,
принимающим решение, определена и что предопределены возможные
альтернативы действий. Это не значит, что на практике эти
предварительные этапы не имеют решающего значения. Мы должны
не только как-то чувствовать, что существует какая-то проблема,
мы должны интуитивно предвидеть, какие типы проблем нам
следует пытаться анализировать.
Сложные проблемы, особенно в общественной области, имеют
тенденцию широко охватывать самые разнообразные аспекты
жизни общества. Отсюда решающее значение приобретает
ограничение, проблемы. Мы зиаем опасности субоптимизации, но если
проблемы каким-то образом не ограничивать, они становятся не-
юбъятными. Процесс уточнения и ограничения области проблемы
тесно связан с выработкой альтернативных вариантов
возможного рассмотрения и решения проблемы. Когда мы допускаем, что
альтернативные стратегии решения проблемы определены
предварительно, мы «серьезно искажаем сам формальный анализ. На
практике этот процесс является итеративным. Может случиться
так, что произведенное аналитиком ограничение (каким-то
определенным образом) области проблемы окажется не имеющим
смысла или бесперспективным. Поэтому он вернется назад и по-
другому определит область проблемы, выработает новые
ограниченные альтернативы. Либо в процессе анализа он обнаружит,
что его выводы зависят от такой грани проблемы, которая не
была в свое время точно смоделирована. Если такое случится,
аналитик может по-новому определить проблему. Мы уверены, что
тщательный анализ проблемы все-таки чаще приводит к
выработке таких альтернатив действия, которые могли бы быть упущены.
Да, мы признаем итеративный характер всего процесса анализа,
но для наших целей, со всеми необходимыми оговорками, мы
исходим из того, что стадия предварительного анализа завершена.
Мы думаем, что даже опытные аналитики часто оказываются
не в состоянии достаточно детально разработать альтернативы
действий, являющихся адаптивными и ориентированными на
процесс. Для аналитика важно не только знать, что должно быть
сделано сейчас и что можно доверить будущему. Важно и то, что
он признает возможность того, что будущие действия могут
зависеть от информации, которая станет известна в процессе
продвижения к будущему. Динамическая стратегия действий должна
быть адаптивной и использовать процесс постепенного,
зависящего от времени «развертывания» неопределенностей. Для
рассмотрения таких альтернатив особенно подходит схема дерева
решений. Однако она оказывается бесполезной в области альтернатив
процесса. Поясним эту мысль.
«Вы, аналитики, хотите везде принимать решения, —
восклицает безымянный голос. — А зачем вообще принимать решения?
Пусть противоположные факторы проявляют себя в открытом,
демократическом процессе». Этот совет зачастую оказывается спра-
24

ведливым. Сама организация процесса может оказаться новой
творческой альтернативой, которую мы искали. И все же, кому-то
необходимо решить, следует ли принять в качестве решения
стратегию А или В или процесс решения С или D. А это уже снова
проблема принятия решения. Более того, если будет выбран
процесс С, среди многих лиц, которые будут участвовать в этом
процессе и от которых будет зависеть конечный результат, может
оказаться человек аналитического склада ума, который захочет
уяснить для себя свое решение при помощи нашей схемы.
Мы не отрицаем, что часто желательно организовать процесс
защиты" своего решения в сложных вопросах общественной
жизни. Однако, мы не считаем, что это должно уменьшить пользу
аналитической схемы решения. Конечно, многое здесь зависит от
характера анализируемых проблем, а также от личности,
принимающей решение, которая будет пользоваться этой схемой как
инструментом. Наконец, мы считаем, что наша аналитическая схема
решения может в некоторых случаях определить структуру
процесса споров и действий.
1.3.4. Субъективные ценности и формальный анализ Ч
Проблемы решения в общественной области очень сложны — это почт
безусловный трюизм. Эти проблемы почти всегда бывают
связаны со многими противоречивыми целями, туманными и
неповторяющимися неопределенностями, производимыми затратами и
получаемыми преимуществами для различных людей, предприятий,
групп и других организаций (причем некоторые из них нельзя
определить во время решения) — и такими последствиями, которые
затягиваются во времени и отражаются на всей общественной
надстройке. Было бы хорошо, если бы всю эту неразбериху
можно было заложить в гигантскую вычислительную машину и
запрограммировать ее так, чтобы получить «объективно правильный*
ответ. Но это ведь невозможно сделать! Заманчиво, конечно,
попытаться обойтись без введения субъективного отношения, но как
бы вы ни старались выжать все из имеющихся объективных
данных, вы не приблизитесь к получению нужного курса действий в
сложных проблемах. Не стоит отрицать, что во многих случаях
чисто «объективный» анализ просто не сможет дать правильных
указаний относительно целесообразности принятия тех или иных
решений, поэтому результат анализа будет неприемлемым. Мы
считаем, что сложные социальные проблемы (а следовательно, и
сложные проблемы бизнеса) требуют рассмотрения субъективных
ценностей и »их возможной взаимной компенсации. Дело не в том,,
чтобы субъективные элементы были рассмотрены, а в том, чтобы
они были сформулированы и включены в формальный
систематизированный анализ. Возникает проблема выбора между
формальным анализом и неформальным синтезом, и у этой метадилеммы
нет очевидного решения.
*> Пи. 1.3.4 и 1.3.6 основаны на работе Кдоини: Райфа A9712).

Мы часто слышим, что формальный анализ не подходит для
сложных проблем, поскольку для них требуются субъективные
оценки. Они действительно требуются, но формальный анализ
готов принять такие субъективные оценки в качестве входных
данных для алгоритма решения. Дело не в том, что субъективные
оценки не могут быть включены в схему формального анализа, а
в том, что требуется слишком много субъективных входных
данных; и хотя лица, принимающие решения, высказываются за
включение субъективных оценок, они с большой неохотой берутся их
фиксировать.
Многие говорят, что мы должны опасаться тех, кто пытается
квантифицировать то, что не поддается квантификации. Однако
нужно помнить, что не учиться квантифицировать то, что этому
поддается, тоже неверно. Вопрос в том, что можно
квантифицировать. Искусствоведу крайне трудно отыскать объективную
формулу для ранжирования живописных произведений по их качеству.
И тем не менее он обычно в состоянии распределить эти картины
по *их рангу (скажем, в порядке убывания их художественной
ценности): выбирая из двух картин, он одну предпочтет другой.
А там, где мы имеем ранжированный ряд, недалеко и до чисел.
Наш искусствовед может даже оценить каждую картину в
деньгах, квантифицируя таким образом один аспект своего
субъективного суждения. Такого рода квантификация делается не на
основе объективной формулы, а путем субъективной интроспекции.
Допустимо ли использовать такие числа в работе? Мы делаем это
все время. Как аналитики мы должны учиться, как использовать
в нашем анализе деликатные, тонкие и чисто эмоциональные
соображения, касающиеся эстетических и психологических
факторов, и даже простую шутку. Если этого не делать, то мы
столкнемся с непреодолимым барьером и от наших формальных
построений будет мало пользы.
Однако квалификацию субъективных факторов нельзя
проводить поверхностно. Следует наилучшим образом использовать
накопленный опыт и возможности экспертизы. А для проблем, зат-
трагивающих интересы общества, таких, как размещение
электростанций, такая квантификация должна быть удостоверена
независимыми «экспертами», а также заинтересованной
общественностью.
1.3.5. Стратегические и повторяющиеся решения. Некоторые
убеждены, что формальный анализ подходит для повторяющихся
рабочих решений (называемых также тактическими или
рутинными), например... «Куда следует послать машины по уборке
мусора сегодня?» «Каким образом следует эксплуатировать взлетно-
посадочные полосы- аэропорта, чтобы сократить задержки
рейсов?» Однако те же самые люди считают, что формальный анализ
непригоден для таких единичных стратегических решений, как
«Следует ли прописывать методон наркоманам, принимающим
героин?» «Следует ли затратить 200 млн. дол. на исследования
ядерных реакторов-размножителей?» «Должно ли мексиканское
26

правительство строить новый аэропорт вдали от Мехико или
модернизировать старый?» «Стоит ли корпорации X выходить на
международную арену со своими торговыми операциями?» Никто
не утверждает, что анализировать сложные стратегические
проблемы легко, но мы считаем, что многие из этих стратегических
вопросов поддаются систематизированному анализу.
1.3.6. Выполнение, апостериорный анализ и другие
соображения. Кроме тех кратких замечаний, которые мы намерены сделать
в этом параграфе, далее мы не будем касаться другого ключевого
аспекта комплексного анализа — фазы выполнения. Под этим
термином мы подразумеваем все те действия, которые необходимы
для выполнения выбранной стратегии (курса действий),
вытекающей из проведенного конкретного анализа. Сюда входит
сообщение инструкций, определение обязанностей, установление
поощрений, наказание за намеренное отклонение от курса, управление
системой, систематический сбор данных, создание или
перестройка системы информации руководства, ознакомление с
результатами исследований, дальнейшее улучшение модели,
определение новых ключевых переменных, формирование новых, ранее
не рассматривавшихся альтернатив. На практике отделить
определение и анализ проблемы от выполнения решения можно лишь
искусственно. Ясно, что здесь мы снова сталкиваемся с
итеративным процессом. Если предлагаемое решение не может быть
выполнено, то анализ следует провести вновь, обращая внимание на
ограничения, налагаемые фазой выполнения.
Как делаются хорошие анализы? Как выбрать хорошего
аналитика? Следует ли пользоваться услугами посторонних
консультантов или своей группы? Где в организационной иерархии
следует создать аналитический орган? Как создание аналитической
группы повлияет на существующую бюрократическую систему?
Эти вопросы мы обходим молчанием, скажем только, что решение
о том, что следует ли делать формальный анализ, нельзя отделить
от организационной структуры, личных стимулов
заинтересованных лиц и квалификации аналитиков.
Мы надеемся, что тот факт, что мы не касаемся этих
решающих моментов аналитического процесса, не уменьшает их
важности. В самом деле, будет справедливо, если мы скажем, что мы
рассмотрели только часть общей проблемы.
1.4. ПРОБЛЕМЫ ОЦЕНКИ СЛОЖНЫХ ЦЕННОСТЕЙ
1.4.1. Проблемы оценки простых и сложных ценностей. Пусть
рассматриваемая проблема уже определена, установлены ее
границы и выработан набор альтернативных действий, которые
нужно оценить. Допустим также, что проблема структуризована в виде
дерева решений и найдены вероятности для всех ветвей,
исходящих из вершин-случаев. Предположим, что в данный момент
лицо, принимающее решение, приступает к количественному
описанию своих предпочтений относительно возможных последствий.
27

Вернемся к рис. 1.1 и полностью проследим один из путей на
дереве решений, после чего рассмотрим последствие С,
изображенное в конечной точке этого пути. В некоторых случаях нам,
возможно, удастся объективно охарактеризовать каждое последствие
каким-то одним числом, которое будет адекватным отображением
всех существенных «моментов, с которыми мы сталкиваемся при
движении вдоль этого пути. Например, в проблемах, связанных
с бизнесом, таким числом может быть денежная /величина, с
помощью которой полностью описываются все финансовые
соображения, в то время как остальные аспекты 'проблемы пока
оставляются в стороне. В медицине этим числом может быть степень
выздоровления для данной болезни. В таких проблемах
последствия адекватно характеризуются посредством объективного,
одномерного in поддающегося числовому описанию критерия. Допустим,
что ценность, приписываемая нам,и 'последствию С, есть Х(С') =
=х\ а С" — Х(С")=х" (здесь х' и х"—реальные числа).
Допустим также, что С предпочтительнее С" тогда и только тогда,
когда xf>x" (это последнее допущение сделано для удобства).
Проблемы такого рода мы будем называть проблемами с простыми
(иначе говоря, одномерными) ценностями в противоположность
проблемам со сложными {многомерными) ценностями. В
проблемах со сложными ценностями последствия не могут быть
объективно и адекватно описаны одним критерием (например, с помощью
денежных выражений). В этой книге мы уделяем основное
внимание проблемам со сложными (многомерными) ценностями.
Решение 'проблем с простыми ценностями не представляло бы
(по крайней мере в концептуальном плане) особой сложности,
если бы не было неопределенности, если бы на дереве решений
не было вершин-случаев, придающих движению по дереву
случайный, характер. В таком случае мы имели бы просто проблему
максимизации с хорошо определенной целевой функцией. Эту мысль
можно 'выразить иначе. Пусть решаемая 'проблема представлена
в виде дерева решений. Если бы лицо, принимающее решение,
пользовалось услугами ясновидца или, как говорит наш коллега
Джон Линтнер, «могло поговорить по телефону с господом богом»,
была бы решаемая проблема простой в концептуальном
отношении? Была, если бы каждое 'последствие характеризовалось
единственным критерием. Принимающий решение просто выбрал бы
такую стратегию (курс действий), которая обеспечивала бы ему
наилучшее значение х.
На рис. '1.3 показана часть дерева решений, выделенный путь
заканчивается последствием С*. Теперь допустим, 'что С\ можно
описать объективно и адекватно только посредством п чисел:
Мы рассматриваем число х'ц как результат измерения (оценки)
последствия С* по шкале /-го критерия. Когда лицо,
принимающее решение, собирается предпринять действие а', оно фактически
собирается принять участие в лотерее Г, которая с вероятностью
p'i ведет к последствию, описываемому с помощью набора x\==
28

¦= (x'iu ..., x'in) из п величин; здесь индекс i принимает значение
от 1 до k, где к — число ветвей в данной вершине-случае. Иначе
говоря, лотерея ¦/' может быть интерпретирована как дискретное
распределение (вероятностей .в л-мерном пространстве исходов.
Принимающий решение должен выяснить для себя, какое из этих
я-<мерных распределений он выберет. Это нелегкая задача. Какую
здесь можно предложить общую методологию?
Рис. 1.3. Фрагмент
дерева «решений, име-
ющий своим результат
том сложное (комп-
леконое) последствие
Даже если бы у лица, принимающего решение, был ясновидец,
проблема не стала бы тривиально простой. Она стала бы легче
в смысле уверенности, так как не было бы неопределенностей, но
перед лицом, принимающим решение, ©се равно стояла (бы
проблема сложных ценностей: три данных возможных результирующих
последствиях Си С2, ..., Cq, где каждое С* описывается через
наборы Хг=(л:гь ..., лтгп), какое из последствий следует предпочесть?
Проблема выбора в этих условиях влечет за собой необходимость
рассмотрения возможной компенсации («замещения») одних
ценностей другими.
Теперь 1вер'немся к случаю неопределенности, изображенному на
рис. 1.3. Формально проблема может быть решена введением
функции полезности и, которая 'поставит в соответствие каждому
нашему набору из п величин одномерную величину — какое-то
конкретное число. Пусть и(х'ц, ..., x'in) обозначается через и\. В этом
случае относительная желательность лотереи Г будет определяться
через величину ILip'iu'i — ожидаемую полезность лотереи V.
Пользуясь ожидаемыми полезностями, мы теперь, двигаясь по дереву
решений -в обратном направлении, можем вернуться назад и
выбрать оптимальную стратегию. Казалось бы, все очень просто. Но,
к сожалению, нелегко найти 'нужную нам функцию полезности и.
Кто-то скажет, что сделать это надежным образом невозможно.
Наша задача будет заключаться в том, чтобы указать приемы,
которые можно использовать для «поиска «ужной нам функции и.
Мы рассмотрим некоторые основополагающие принципы
разрешения общей проблемы разложения сложной ценности на более
удобные, поддающиеся успешному анализу составные части. Мы
считаем, что некоторые из этих принципов имеют настолько
основополагающий характер, что >в ряде случаев iMoryr успешно
использоваться аналитиками хотя бы для частичной структуризации
проблемы многомерных ценностей, даже если и не ставится задача
полностью определить всю функцию полезности. То, насколько
далеко должна простираться формализация в проблеме
многомерной ценности, зависит от многих факторов: важности проблемы,
необходимости убедить других, вашей подготовки и наличия
приемов, которые можно использовать в процессе обдумывания.
29

1.4.2. Необходим ли анализ полезности? Те, кто работал с
проблемами анализа решений, подтвердят, что получить нужные
функции полезности даже для одного, обладающего числовой шкалой
•критерия достаточно трудно, и, более того, такие приемы редко
используются «а практике. Тогда следует ли шринимать всерьез
чьи-то попытки лолучить приемлемую для наших целей функцию
полезности для многомерного 'пространства? Зачем идти дальше,
если вы не добились успеха даже в одномерном пространстве?
Не важно, что доказан целый ряд математических теорем и что
это плодотворное поле нового теоретического развития. Может ли
разрабатываемая теория .иметь какую-то практическую ценность?
Мы думаем, что может, и -вот почему.
Рассмотрим сначала одномерный случай. Допустим, что лицу,
принимающему решение, нужно сделать выбор между действиями
А и В, которым отвечают конечные вероятностные распределения
величины возможного денежного дохода (см. рис. 1.4). Не очевид-
Рис. 1.4. Сравнение двух
распределений возможного
денежного дохода
но, какое распределение здесь следует предпочесть. Прибегая к
формальному анализу, мы вводим функцию полезности и, затем
сравниваем 'величины
йА= § u(x)fA(x)dx и пв= fju(x)fB(x)dx.
На практике эта часть формального анализа обычно
опускается. Вместо этого принимающий решение обращается к анализу
самих функций распределения /а и /в, которые© одномерном случае
в противоположность многомерному можно интерпретировать
зрительно. Затем он субъективно оценивает эти распределения <в
целом и делает выбор без помощи формального анализа полезности.
Если бы авторы этой книги несли ответственность за принятие
решения, то они бы прибегли к формальному определению функции
полезности, поскольку приучили себя усиленно размышлять о том,
каков должен быть вид этой функции в том или ином случае.
Поэтому мы 1бы чувствали себя уверенней с результатами, тюлучен-
ными расчетным -путем, чем с результатами, выбранными
интуитивно. Но опыт показывает, что наше отношение разделяют не
все, даже руководители, которые так же, как и мы, в принципе
30

согласны «с основными концепциями анализа полезности. В
одномерном -случае они могут обойтись без формального подхода,
интуитивно стремясь 'к легко воспринимаемым альтернативам.
Теперь сопоставим одномерный случай и случай выбора при
наличии нескольких критериев. Пусть действия А и В влекут за
собой сложные распределения вероятностей .не только для одной
величины х, но и для наборов (х\, ..., хп). Зрительно представить
такие распределения и затем использовать какие-либо 'простые
интуитивные соображения уже невозможно. Неудивительно, что
на практике лица, принимающие решение, используют
(прагматические упрощения, вроде «Давайте рассмотрим самый важный
критерий й забудем об остальных» или «Не будем обращать
внимание на неопределенности, вместо этого установим основные
тенденции для каждого критерия и затем введем желаемые
(ожидаемые) уровни для каждого из этих 'критериев». Решения
принимаются на основе эвристических упрощений (в каждом частном
случае своих). Мы считаем, что для многих (хотя и не обязательно
для всех) лиц, принимающих решения, было бы полезно
систематически прО!верять свою структуру ценностей и составлять для себя
функцию полезности. Как это делается, и есть тема нашей книги.
1.4.3. Использование гипотетических вопросов при проведении
квалификации. Для изучения предпочтений лица, принимающего
решение, мы задаем ему простые гипотетические вопросы, 1вклю-
чая и понятные, легкодоступные распределения вероятности. Эти
вопросы направлены главным образом на выяснение
принципиальных моментов в предпочтениях лица, принимающего решение.
Ответы на эти гипотетические вопросы собираются вместе и служат
той информацией, на основе которой мы строим функцию
полезности определенного вида. Мы считаем, что лицу, принимающему
решение, легче понять свои собственные предпочтения и
сформулировать их в (Виде, (пригодном для составления его функции
полезности, отвечая на вопросы в этих простых контекстах, чем
в сложных ситуациях. Проверяя правильность любой функции
полезности, мы предлагаем сравнить значения построенной функции
полезности с его ответами на «более реалистические»
распределения вероятности, рассматривая это как первый шаг к выяснению,
не привело ли использование гипотетических вопросов к
систематическим погрешностям функции полезности.
Критики формального анализа решений часто спорят об
использовании гипотетических вопросов в процедуре оценки. И тем
не менее для любой .проблемы всякий вопрос, обращенный к
принимающему «решению и касающийся его предпочтений ((кроме
вопроса «Какую из ваших реальных альтернатив вы
предпочитаете?»), является гипотетическим. Тем не менее, если мы хотим
провести какой-либо структурный анализ проблемы,
неизбежно чтридется задавать гипотетические вопросы о параметрах в
любой (модели — вероятностях различных результатов, предпочтениях
и т. п. Таким образом, если выполнение анализа признано
целесообразным, то важным является степень гипотетичности задавае-
31

мых вопросов, а не то, нужны ли гипотетические вопросы вообще •>.
Конечно, конкретные гипотетические вопросы должны быть
составлены на языке, понятном для лица, принимающего решение
[см., например, Грейсон (I960)]. Вся трудность состоит в том,
чтобы как можно ближе придерживаться действительности и в то
же время ставить гипотетические вопросы, которые точны и
понятны. Конечно, приходится идти на компромиссы, и часто
аналитику необходимо настоящее искусство, если опрашиваемый не
склонен мыслить абстрактно. В некоторых проблемах можно
начинать с более сложных, более реальных вопросов, связанных со
многими спорными моментами, и переходить к более 'простым,
заостряя внимание на отдельных спорных местах. В ходе такого
процесса можно «повысить чувствительность» лица,
принимающего решение, к этим спорным местам и тем самым повысить его
«способность» отвечать на «гипотетические» вопросы,
направленные на выяснение подобных мест.
1.5. КЛАССЫ ПРИМЕРОВ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ КОШМАРЫ
В этом разделе мы преследуем две цели. Во-первых, укажем
несколько широких категорий методологических проблем, которые
относятся к области наших интересов. В противоположность
наводящим примерам, о которых мы уже упоминали (например,
связанным с охраной воздушной среды, строительством
электростанции, наркоманией,"размещением аэропорта), теперь рассмотрим
категории проблем, которые классифицированы по используемым
методологическим принципам, таким, как затраты—прибыли,
анализ эффективности затрат, анализ, связанный с (временными
потоками 'прибыли (например, дисконтирование), а также анализ
таких внушающих страх и благоговение последствий, как
смертельный исход. Вонвторых, мы упомянем некоторые понятия, которые
считаем решающе важными и имеющими непосредственное
отношение к нашей теме, но которых мы не касаемся в этой книге. Мы
называем их методологическими «копшарами».
Пусть интересующая нас реальная проблема представлена в
виде дерева решений, а каждое последствие С характеризуется
с помощью п критериев: Х\9 ..., Хп.
*> Было высказано предположение, что по наблюдению за тем, как лицо,
принимающее решение, само принимает свои решения, можно вывести его
структуру предпочтений. Если эти «раскрытые предпочтения» будут
использоваться для нормативных целей, то мы должны допустить, что данное лицо в
прошлом всегда принимало «оптимальные» решения. Другое предположение
состоит в том, что, анализируя предыдущие ситуации, мы можем отделить
восприятие, например, вероятности лицом, принимающим решение, от его
предпочтений (полезности). Нам представляется, что эти два предположения
позволяют заключить, что одни «раскрытые предпочтения» не дают достаточна
информации для определения структуры предпочтений лица, принимающего
решение, особенно когда имеют место взаимозависимые неопределенности
наряду с целым комплексом целей.
32

1.5.1. Личные решения или индивидуальный анализ затраты—*
прибыли. Мистер Смит является лицом, принимающим решение, ш
его действия отражаются только на нем самом. Когда он берет
свою приходо-расходную книгу, в которой записывается любое
его действие, его обычно интересуют различные затраты и
обязательства, которые его непосредственно касаются (допустим пока,
что эти затраты и обязательства должны быть 'выполнены незаг-
медлительно), а также различного рода «прибыль» в виде денег,
престижа, власти, чувства ответственности перед обществом л т.- д„
В этом примере мы 'используем следующие обозначения:
X] — затраты Смита, которые надо немедленно произвести,
Х2 — мера временного обязательства,
Х3 — денежные поступления,
ХА — общий показатель (индекс) психологического
удовлетворения (кроме денежного).
Тут же возникает множество 'вопросов, которых мы не xothn§
пока касаться, оставляя их для гл. 2. Как следует составлять
перечень подобных целей? Как быть с их «наложением» друг на
друга? Как обстоит дело с измерениями (например, для Х4)? Что
мы думаем относительно полноты этого перечня? Однозначен ли
здесь выбор критериев? Как следует поступать с количественными;
оценками, если они были сделаны? И так далее.
В гл. 2 мы обратимся к этим вопросам при рассмотрении
различных категорий проблем индивидуального выбора, связанных,
например, с выбором: 1) места работы, 2) жилища, 3) машины,
4) супруги, 5) количества детей в семье, 6) колледжа [см.
Хаммонд A965)], 7) способа летнего отдыха.
1.5.2. Проблемы единоличного руководителя в области
социального обеспечения. Представим ситуацию, противоположную
предыдущему примеру: миссис Гейт должна решить, что ей следует
делать как главе определенной организации. Ее (Интересует то, как.
ее действия отразятся на затратах и прибылях различных людей,,
деловых фирм и других организаций. Кроме того, ее отношение
не так уже альтруистично, так как она должна заботиться о
последствиях для ее организации и для себя самой. Ее решение
может быть осложнено тем, что она может не знать, как
определенные круги общественности в действительности относятся к на:ме^
чаемому общественному преобразованию. Правда, она (или другие)
может опросить эти круги (или какую-то часть их), но это не?
всегда легко сделать.
Ян Эктон A970) /правел опрос в домах одного района, задавая*
главам семейств вопрос о том, какую сумму они были бы
согласны уплатить службе «Скорой помощи» в случаях коронарной
недостаточности. Этот вопрос обнаружил много проблем.
Большинство людей (просто не хотело тратить время на то, чтобы понять*
вопрос. Но если и хотели, то неизвестно, могли ли они со знанием
нудить о таком сложном вопросе. Но даже если они тратили время*
и могли подумать о своих интересах, отвечали ли они честно илт
2—67 ' 33

же их позиция сводилась к типичному отношению «В общем-то,
что этому парню от меня .нужно?»
Далее возникает проблема нынешних и будущих вкусов.
Миссис Гейт может быть твердо убеждена, что ее подчиненные не
знают, что для них хорошо: они не знают, что если бы они просто
Фолыше 'слушали классическую музыку, она бы им 'понравилась.
^Конечно, эти обманутые щростаки голосовали пропив выпуска
облигаций займа, предназначенного для улучшения школ, «о если бы
они только знали, какой должна быть хорошая школьная система,
они бы проголосовали за выпуск облигаций. Малоимущие слои
общества обычно не интересуются загрязнением окружающей среды,
потому что они больше заняты добыванием средств к
существованию, но со Бременем 'положение улучшится — они .будут
интересоваться качеством воздуха, которым дышат.
Разработка методологических аспектов, которые порождаются
подобными фактами, чрезвычайно трудна. Но все-таки решения
<нужно принимать.
1.5.3. Анализ стоимость — эффективность и затраты — прибыль.
Обратимся к рассмотрению проблем 'принятия решений, в которых
каждое конкретное действие (или стратегия) будет иметь своим
результатом 'какое-то одно определенное последствие и каждое
возможное 'последствие будет адекватно описываться затратами
С и г — видами прибыли: Ви 52, ..., Вг. В этом случае нам удобнее
использовать описание в (виде (с, Ьи ..-, br), где Ь{ — количество
прибыли вида Л г, чем применять более единообразное, но менее
понятное обозначение (хи ..., хг+\).
Важно отметить, что эти виды прибыли могут быть 'выражены
в различных единицах измерения, поэтому их нельзя просто
сложить. Например, ?3 'может обозначать число сэкономленных
человеко-часов, а В7—архитектурное качество данного строения.
Оставим ненадолго в стороне неопределенность и представим,
что глава какого-то учреждения имеет вполне определенную сумму
с*, которую он может затратить на осуществление ряда проектов.
Его цель — выбрать и принять все те проекты, затраты на
осуществление которых в общей сложности «е превышают границу
затрат с* и которые обеспечат >в совокупности желаемый объем
итрибылей. Эту проблему трудно еще более уточнять, потому что
различного ©ида прибыли относятся к несоизмеримым областям
и мало что можно сделать для их объединения.
В анализе стоимость — эффективность не делаются попытки
объединить различного вида 'Прибыли в одну общую меру прибыли.
В рамках анализа стоимость — эффективность можно рассмотреть,
например, следующую проблему: Охарактеризовать различные
наборы проектов, которые обеспечивают получение прибылей
различного вида *по крайней мере в количествах Ь*\, Ь*2, ..., b*r. Здесь
обычно предварительно устанавливаются так называемые
желательные уровни получаемых прибылей Ь*и ..., b*r. Имеются ли
такие наборы «проектов, которые обеспечивают достижение
желательного уровня одновременно по всем видам прибыли? Если нет,
34

следует изменить значения некоторых из b*i. Если да, проверить,
можно ли «поднять значения отдельных желательных уровней.
Конечно, при таком подходе в формальный анализ не включаются
два важных соображения:
1. Каким образом следует с самого начала выбирать
желательные уровни? Возможна ли и в какой мере взаимная компенеа^
ция различных уровней?
2. Как можно обобщить предлагаемый подход, чтобы ввестиг
также всегда существующий фактор неопределенности?
В анализе затраты—прибыль мы объединяем прибыли Ви ...,ВГ
в одну составную величину, например Во. Одним из обычных
приемов является введение ряда коэффициентов пересчета w\, w2, ..., wv
и затем определение bo как
i+ ... + wTbv.
Конечно, единицы измерения Wi должны быть таковы, чтобы
все отдельные члены w{bu w2b2, ..., wrbr были выражены в
соизмеримых единицах. На практике трудность состоит в том, чтобы
найти подходящие коэффициенты пересчета. Часто, это делается
либо при помощи объективного «рыночного» механизма, либо на
субъективной основе каждой рассматриваемой величине ставятся
в соответствие определенные денежные суммы (например, 500 дол.
нужны на каждого ребенка, чтобы удержать его от влияния
улицы в летние месяцы).
Если мы воспользуемся анализом затраты—прибыль и на время
не будем принимать во внимание неопределенности, то
произвольный &-й проект можно оценить парой [dh\ ft(fe)o], где c(h) и b<k\ есть
величины затрат и составной прибыли.
Представим, что мы имеем список возможных проектов, в
котором указаны величины затрат и составной прибыли для
каждого из них. Если наша задача заключается в том, чтобы «выбрать
совокупность проектов, обеспечивающую получение максимальной
прибыли при условии, что общие затраты не «превышают
установленной суммы с*», то ее решение будет следующим: необходимо
упорядочить (ранжировать) проекты в соответствии с отвечающей
им величиной Rk — отношением прибыли к затратам (например,,
bhQ/ck для &-го проекта) и далее принимать эти «проекты <в
установленном таким образом порядке до тех пор, пока не 'будет
достигнута граница с*. Здесь мы не будем касаться проблемы
неделимости, связанной, «апример, с тем, можно или нельзя некоторые,
проекты выполнять отдельно или дробить их на отдельные части:.
Конкретные ответы гораздо легче получить, используя анализ
затраты—прибыль, чем анализ стоимость—эффективность. Поэтому
неудивительно, что многие исследования идут по этому пути. Не
стоит забывать, однако, о- необходимой тщательной проверке
правомерности и уместности тех преобразований, с «помощью которых
^ь ..., br объединяются в &о, а затем с и Ьо в R. Очень часто- на
практике важные виды прибыли не включаются в список потому,,
чт не ясно, каким образом «рыночный» или какой-то другой ме~
35

манизм может быть привлечен для того, чтобы «наз-начить цену»
.этих специфических видов прибыли. Здесь мы подразумеваем та-
;кие прибыли (выгоды), как эстетические соображения,
'психологическое благополучие, 'безопасность и др.
Мы считаем, что имеется ряд трудностей как в методе
стоимость—эффективность, так и в затраты—прибыль. Оба метода не
способны справиться с неопределенностями как в практическом,
так и в теоретическом плане. Нельзя сказать, что здесь не
предпринимались серьезные усилия. Но все-таки мы считаем, что под-
:ход с применением полезности является более пригодным и
систематизированным с точки зрения работы при наличии
неопределенности. Однако при этом приходится чем-то платить за
увеличивающуюся сложность. Кроме того, как мы подчеркиваем в § 3.8,
далеко не всегда оправдано объединение г видов {прибыли (&ь •••, br) х
посредством простой линейной формулы, основанной на введении
.весовых коэффициентов,
W\bi+ ... +Wibi-t ... +wrbr
тзт даже обобщенной линейной формулы
+ ... +Wrgr(br),
с выбранными для этой цели нелинейными функциями
(трансформациями) gu ..., gr. Правомерность подобных приемов будет
специально рассматриваться на протяжении всей книги.
1.5А. Временные соображения: настоящее и будущее. Наше
общество часто обвиняют в том, что оно предает будущие
поколения. Пытаясь улучшить наше сегодняшнее положение, мы часто
усложняем наши будущие -проблемы. Аналитики постоянно
должны искать зыбкий компромисс между тем, что хорошо для
нынешнего поколения и что хорошо для будущих 'поколений. Одни
считают, что наше положение сегодня хуже, чем вчера, .и эта
тенденция будет сохраняться. Другие считают, что будущие поколения
будут жить лучше, чем мы сегодня, поэтому есть все основания
взять что-то у будущего, чтобы лучше жить сегодня. Какие
обязательства мы имеем перед будущими поколениями? Следует ли
придавать больший вес будущему только потому, что в будущем
..будет жить больше людей, чем в настоящем? Похоже, что, номере
того <как разворачивается перед нам-и наша временная
перспектива, растут размеры пространства наших забот: сегодня и завтра
это наша семья, через десятилетия — недна страна, через
столетия — население земли, через тысячелетия — это вся планета
Земля.
В более обыденных делах правительственные органы
озабочены выработкой подходящей учетной ставки (коэффициента
дисконтирования). Следует ли проводить исследования по разработке
нового ядерного реактора-размножителя? Многое зависит от того,
используем ли мы дисконтирование в 5, 10 или 15% или
возможны любые значения коэффициента дисконтирования. Рассмотрим,
с чем связаны эти проблемы.
36

Обратимся к проблеме принятия решения, в которой каждое
возможное последствие может быть описано (вполне адекватно)
через поток затрат Си с2, ..., Си • • • > своих для каждого
временного периода t9 и через г различных типов потоков прибылей:
тип 1: Ь\\у Ь\2у .. •, Ъ\и . •.
r: bru br2> • •., bru ...
Столь подробное описание нельзя считать бесполезным
усложнением дела. Перед нами типичная проблема, встречающаяся в
большинстве случаев анализа стоимость—эффективность и затраты—
прибыль в социальных 'проблемах.
Для того чтобы сделать массив чисел
Си с2у ¦.., Си • • •
связанных с любым последствием, более удобным для работы и,
следовательно, для «обдумывания», применяются различные
процедуры агрегирования таких данных. Например, в анализе
затраты—прибыль принято, как уже говорилось, объединять прибыли
различных видов в составную прибыль. В этом более сложном
примере так следует поступать для каждого периода. Таким
образом, мы получим B°i — объединенную прибыль столбца прибылей
в первый период, В°2 — во второй и т. д. *>. Такое агрегирование
позволяет подвести итоги рассматриваемого последствия в более
простом виде
В этом выражении мы имеем обычные временные потоки затрат и
составной прибыли. Далее общепринятой процедурой будет
приведение каждого из временных потоков к текущей стоимости.
Поскольку будущие затраты не так тяжелы, как настоящие
(например, сегодня мы можем положить деньги в банк и в будущем
получить больше), то обычно применяется дисконтирование, и
текущая стоимость потока затрат будет рав/на
где X есть эффективная (процентная) учетная ставка для
каждого периода. Многие правительственные органы используют
значение X, равное 0,10, и считают, что это соответствует изменению во
*>В обозначении B°t индекс нуль указывает на агрегирование, а индекс
внизу в этом случае показывает, что произведено агрегирование различных
типов прибыли, получаемых в период времени /.
37

времени основного капитала в частном секторе. Подобным же
образом мы можем дисконтировать поток составной прибыли.
Есть и другой путь для агрегирования данных, относящихся к
каждому проекту: агрегировать для каждого i (поток прибыли
типа i): Вцу ..., Bit, ..., чтобы получить приведенное (текущее)
значение B°i х'-го потока. Затем сравнить текущее значение потока
затрат с г величинами (й°ь ..., b°.iy ..., b°r). Но и использование
агрегированных форм снова приводит нас к проблеме,
рассмотренной в п. 1.5.3.
Обоснованы ли эти процедуры агрегирования? Есть ли другие
пути? Если применять дисконтирование, то как найти обоснован-
но.е значение коэффициента дисконтирования? Должны ли
коэффициенты дисконтирования оставаться неизменными с течением-
времени? Как обстоит дело с неопределенностями? Следует лш
дисконтировать ожидаемые значения? Не следует ли поднять
коэффициент дисконтирования, чтобы учесть неопределенности?
Следует ли нам дисконтировать потоки физических количеств (как
это обычно делается с денежной стоимостью) или надо сначала
перевести эти физические величины в психологические
.показатели или 'полезности, прежде чем приступить к дисконтированию?'
Мы не собираемся отвечать на все эти вопросы, потому что
многие ответы начинались бы с «Это зависит от того...», но мы
предложим концептуальную схему, которая мажет быть
применена к проблемам взаимной комшенсируемости распределенных во
времени величин.
1.5.5. Можно ли говорить о «стоимости» жизни человека?
Имеется ряд ш-роблем (в «совершенно разных областях), где описание
последствий может включать .в себя и такие ужасные
возможности, как смерть и страдания человека. К^к-то неловко
задумываться о таких проблемах, и поэтому мы действуем в таких
случаях без должных размышлений. Кому понравится !роль господа
бога? Но если мы откажемся от обязанности обдумывать такие
вопросы, как «стоимость» или «ценность» человеческой жизни, в
позволим, чтобы .решение принималось случайно, мы можем
оказаться виновниками больших человеческих страданий.
Те проблемы, о которых мы упоминали в начале этой главы
(например, выработка электроанергии и загрязнение воздушной
среды, размещение аэропорта, лечение наркомании, медицинская
диагностика), в той'или иной степени связаны *с вопросами жизни
и смерти. Есть и другие проблемы, более сложные с этической
точки зрения, которых мы решили не касаться (аборты, контроль
за рождаемостью, эфтаназия, управление наследственностью).
Мы приняли это решение не потому, что эти проблемы не могут
рассматриваться ino разрабатываемой нами схеме, а потому, что
наше мнение об этих проблемах еще недостаточно устоялось,
чтобы его можно было вынести на суд сегодняшней, имеющей
высокий эмоциональный заряд аудитории.
Упростим наше обсуждение и рассмотрим такой случай: лицо,,
принимающее решение, должно осуществить выбор среди несколь-
38

кнх программ мероприятий ino спасению жизни. (Согласившись на
затраты в х долларов, юно добивается в итоге определенного рас-
иределелия вероятностей числа спасенных жизней. Поскольку эта
проблема общественная, важно (подумать о возможных
альтернативах использования выделенных средств. Если средством
сохранения человеческих жизней 'выступает, например, использование
искусственных точек, на что и (предполагается выделить больше
средств, то не будут ли здесь возможными альтернативами
«(выделение большего количества молока голодающим», «улучшение
зубоврачебной помощи» или «предоставление 'больших
ассигнований на военные разработки»?
Мы 'всячески .поддерживаем -наше (представление о
«священности» каждой жизни. Но, «пожалуй, там, пде речь заходит о цифрах,
наша мораль сбивается с пути. Нас (поражает до глубины души
случай, кодда убита маленькая девочка (особенно, если увидим ее
фотографию), ню сообщение о тысячах людей, погибших от~навод-
нения или землетрясения, вызывает в .нас относительно небольшой
эмоциональный отклик. Каким-то образом нам .надо научиться
тому, чтобы наша скорбь равно возрастала с ростам размеров
катастрофы. Цифры здесь та'кже очень важны.
Чарльз Фрищ, A970) указывал, что как общество мы —
сентиментальные (романтики. Мы склонны тратить гораздо больше
денег на спасение, чем (предупреждение, — спасать скорее шахтеров
под обвалом, астронавтов в незапланированном месте посадки,
чем спасать гораздо больше статистических анонимных жиз'ней.
Если общественный деятель .принимает участие в опасении
жизней, он получит больший почет, если сможет назвать имена
десяти опасенных им людей, чем если будет ясно, что в итоге
спасена тысяча жизней, но он не сможет назвать этих людей.
Проблема точного или хотя бы более или менее точного
указания встает каждый раз и в менее драматических случаях. При
расчете ценности программы А та самом деле важно знать, чем она
помогла Джону Смиту и Мэри Доу. Если программа В полезнее
для гораздо большею числа людей, чем программа А, но этих
людей нельзя точно указать, то, образно говоря, программа А
победит скорее всего программу В в битве на выживание. Ка«к
общество, мы должны научиться больше уважать цифры.
1.5.6. Групповые решения. Во многих ситуациях не одно, а
груша лиц несет ответственность за выбор альтернативы. Такие
случаи мы относим к проблемам группового решения. В каждом
лрупповом решении ключевую роль играет метарешение
относительно выбора стратегии формирования группового решения.
Например, общий характер такой стратегии может выражаться в
том, что сначала будут получены предпочтения каждого члена
группы для рассматриваемых альтернатив, а затем они будут
каким-то образом объединены для получения «групповых»
предпочтений. В такой схеме основная задача группового метарешения —
объединить, вобрать в себя предпочтения отдельных лиц.
39

Теперь читателю должно быть ясно: мы считаем, что
методология и процедуры, описанные в этой книге, часто могут помочь
отдельным лицам в уточнении их предпочтений (выражаемых как
с помощью числовых, так и порядковых шкал) относительно
рассматриваемых альтернатив. Мы также считаем, что процедуры
выяснения предпочтений в многокритериальных проблемах,
рассмотренные в этой книге, могут иногда сослужить определенную'
пользу, показывая процесс, посредством которого может быть
принято ответственное групповое решение. Таким образом, в
книге содержатся разъяснения концепций и методологии,
применяемых в процессе групповых решений, и предложения по их
выполнению.
1.6. ОРГАНИЗАЦИЯ ОСТАЛЬНЫХ ГЛАВ
Чтобы лучше объяснить, как построена эта книга, рассмотрим
следующий вопрос. Допустим, что каждое действие (отдельного)
лица, принимающего решение, — человека, который
действительно хочет выработать свое мнение, влечет за собой некоторое
последствие. Используя принцип двойной дихотомии, разделим
возникающий в этом случае класс проблем следующим образом:
1. Во-первых, имеем ли мы дело с проблемой принятия
решения в условиях определенности или неопределенности? Если
принятие решения должно производиться в условиях
неопределенности, то примем допущение, что каждое действие характеризуется
конкретным распределением вероятностей реализации возможных
последствий данного действия. Для «субъективиста», сторонника
байесовского подхода, это не будет потерей общности, потому
что он всегда может подобрать (по крайней мере умозрительно)
такое распределение вероятностей, которое для него приемлемо.
Однако с точки зрения «объективиста» наличие определенного
распределения вероятностей, конечно, ограничивает общность
нашей абстракции.
2. Во-вторых, является ли проблема одно- или
многокритериальной? То есть может ли типичное последствие быть адекватно
описано при помощи одного критерия (например, денег, степени
боли, числа спасенных жизней) или нужно использовать большее
число критериев?
Рассмотрим самый общий случай (он наиболее интересен для-
нас), когда последствие действия является и неопределенным к
многомерным. Обозначим его х, где символ ~ передает
неопределенность (можно также считать этот символ признаком
случайной величины), и будем использовать полужирный шрифт для
указания того, что мы имеем дело с векторной, а не скалярной
величиной.
Мы различаем четыре случая (см. рис. 1.5). Когда
последствие и детерминировано и одномерно, то для аналитика вся
картина ясна, по крайней мере в концептуальном смысле: мм
40

просто выбираем ту из возможных альтернатив, которая
максимизирует значение используемой целевой функции. Конечно, на
практике, когда альтернатив много и, кроме того, они должны
удовлетворять целому ряду дополнительных условий (что
формально представляется в виде системы математических соотно-
0&tf# Несколько
X
« 1 р. т, .
Рис. 1.5. Классификация
проблем принятия решений
шений — дополнительных ограничений), решение этой задачи
может вызвать значительные трудности. Может понадобиться весь
арсенал приемов математического программирования. Но все
равно в концептуальном плане эта проблема ясна, и мы не будем
рассматривать этот случай.
В гл. 3 (к гл. 2 мы вскоре вернемся) рассматривается случай
определенности при наличии нескольких критериев. Проведенное
рассмотрение относится к анализу сложных ценностей в
условиях определенности. В этом анализе заключается главная
особенность этой книги. В основном проблема сводится к следующему:
каким образом мы можем провести упорядочение
(ранжирование) рассматриваемого множества последствий, если ценность
этих последствий с точки зрения используемых критериев весьма
различна, а самих критериев довольно много? При этом нужно
серьезно отнестись и к проблеме субъективных суждений
относительно возможной взаимной компенсации оценок ценности по
различным критериям. Мы отнюдь не предлагаем магическую
формулу нахождения таких компенсаций (иначе говоря, замещений),
однако приводим несколько конкретных процедур, которые можно
использовать для того, чтобы проверить и сформулировать
имеющуюся систему ценностей или личных вкусов.
В гл. 4 мы рассматриваем в общем плане случай
неопределенности, уделяя особое внимание случаю, когда имеется только один
критерий. Неопределенное последствие, связанное с каким-то
действием, теперь может быть обозначено х, а не х. В этой главе мы
Даем обзор того, что сейчас известно под названием теории
выбора в условиях риска, теории кардинальной полезности, или теории
полезности Неймана — Моргенштерна. Этот материал в
упрощенном виде содержится в гл. 4 работы Райфа A968), здесь же вопрос
рассматривается с более аналитической точки зрения, а также
Дается обзор тех значительных успехов, которыми отмечены
последние годы. Чтобы кратко описать проблему, рассматриваемую
в этой главе, представим, что каждое действие характеризуется
41

вероятностным распределением возможного денежного выигрыша.
Вы, как лицо, принимающее решение, должны ранжировать эти
распределения вероятностей и тем самым косвенно
охарактеризовать свое отношение к этой рискованной ситуации. В какой
степени вы склонны к риску?
В гл. 5 и 6 последствия как неопределенны, так и многомерны,
и мы прибегаем к методам, разработанным в гл. 3 и 4 для двух
случаев — для многомерных последствий в условиях
определенности и одномерных в условиях неопределенности. Но эти методы,
взятые даже в совокупности, полностью нас не удовлетворяют.
Чтобы справиться с трудностями, вызываемыми наложением
неопределенности и многомерности, нами проводится
дополнительное исследование. Ввиду большого объема этого раздела мы его
произвольно разделили на две главы. В гл. 5 главным образом
рассматриваются двумерные функции полезности, в гл. 6 — более
сложные многомерные структуры.
Теперь вернемся к краткому описанию содержания гл. 2. Эта
глава начинается с того, что устанавливаются основные термины:
цели, задачи, критерии, числовые характеристики, некоторые
аспекты измерений, субъективные шкалы и т. д. Большинством этих
терминов мы будем пользоваться постоянно, поэтому надо
договориться об их значении, по крайней мере таком, в котором мы их
будем употреблять. Затем мы обратимся, возможна, к самой
творческой части нашей темы, которую, к сожалению, трудно опирать
систематизированно. Как следует формулировать цели и критерии
в конкретных проблемах? В самом деле, лица, принимающие эти
решения, не получают эти цели готовыми, они должны в
буквальном смысле создавать их. Самый лучший известный нам путь в
этом случае — описать некоторые конкретные случаи и тем самым
проиллюстрировать, как вы могли бы действовать в схожих
ситуациях.
Мы стремимся к полноте выбираемой совокупности целей, но в
то же время не хотим обременять себя множеством мелких
соображений, которые не прибавят ничего важного к решению
проблемы. Вы увидите, что в анализируемых ситуациях выбор
приемлемых критериев может быть осуществлен не единственным
образом, и по этой причине, возможно, придется сделать выбор между
альтернативами. Однако принятие решения о включении той или
иной цели в формируемую совокупность целей оправдано только
в том случае, если мы представляем себе, что мы сможем
сделать с этой целью дальше. В равной степени это касается и
представления о том, как можно будет провести измерения по
различным критериям, как можно справиться с избыточностью и какие
возможны упрощения, какие части проблемы можно изолировать
от других, каким образом оценки ценности связаны с
вероятностными оценками, как можно исправить несоответствия, какие
необходимо проделать (вычисления, чтобы выбрать разумный курс
действий. Короче говоря, формируя набор критериев, Вы должны
позаботиться о том, что будет потом. В связи с этим мы рекоменду-
42

ем Вам разобраться в содержании глав 3—6. Тем не менее в гл.
3—6 мы большей частью предполагаем, что рассматриваемый
набор критериев уже определен. Только в гл. 7 и 8 разрозненные
части объединяются воедино.
В гл. 7 мы рассматриваем конкретные проблемы и
анализируем, как можно сформулировать приемлемые наборы критериев
для описания и оценки возможных последствий. Но теперь, в
отличие от гл. 2, мы можем обсудить, насколько эти наборы
критериев удобны для работы. Мы рассмотрим, <в частности, такие
проблемы, как:
1. Следует ли в Нью-Йорке снизить разрешаемый законом
допустимый предел содержания сернистых соединений в горючем,
используемом внутри города?
2. Как следует распределять бюджет между различными
учебными дисциплинами программы образования?
3. Какие из стратегий реагирования, используемые городским
пожарным управлением, ведут к наилучшей работе службы?
4. Как можно оценить качество сервиса определенной системы
ЭВМ?
5. Можно ли значительно улучшить процесс выдачи лицензий
и размещения атомных электростанций?
6. Какую политику следует выбрать руководству, чтобы
«наилучшим образом» достичь целей корпорации?
В гл. 7 особое внимание уделяется тому, как идеи предыдущих
глав были использованы в различных аспектах анализа
некоторых сложных проблем, а также высказывается мнение об
уместности применения этих же самых концепций и методик для других
стратегических вопросов.
В гл. 8 мы рассматриваем конкретную проблему целиком, от
начала до конца. Речь идет о еыборе стратегии развития
центрального аэропорта для Мехико до 2000 года. Рассмотрение,
проведенное в этой главе, преследует две цели. Во-первых, оно еще
раз иллюстрирует применимость многих методик и процедур,
разработанных в предыдущих главах, к очень важной «типичной»
проблеме — типичной для таких единственных в своем роде
стратегических проблем с таким большим количеством нетипичных
черт. Во-вторых, проблема развития аэропорта Мехико
показывает необходимость совместного использования и взаимосвязи
между различными аспектами анализа: определением и
структуризацией проблемы, моделированием возможных последствий
различных альтернатив, конкретизацией «ценностных» суждений
руководства мексиканского министерства общественных работ и т. д.
Обсуждается и обстановка, в которой выполнялся анализ.
В гл. 9 и 10 содержатся две очень важные методологические
проблемы, которые весьма естественно вписываются в
многокритериальную схему: зависимость предпочтений от времени и
групповые предпочтения и проблема социального обеспечения; обе
эти проблемы были обрисованы © § 1.5. Аналитические
результаты гл. 3—6 подходят для любой ситуации, если выполняются
43

соответствующие допущения. Так, в случае предпочтений,
зависящих от времени, мы можем использовать функцию полезности для
последствий вида (jci, *2, ...)» где х\ обозначает последствие в
период времени L В проблеме группового выбора желательно иметь
общую групповую полезность для каждого последствия (щ, и2, ...,
ип), где Uj обозначает полезность для /-го члена группы, /= 1, 2>
..., п. Как в гл. 9, так и в гл. 10 мы даем краткий обзор
предшествующих работ по соответствующим проблемам, интерпретируем
возможное использование многомерной полезности в
рассматриваемом контексте, а также обсуждаем процедуры, которые
необходимо выполнить для получения практических результатов.
ГЛАВА 2
СТРУКТУРИЗАЦИЯ ЦЕЛЕЙ
Для начала рассмотрим парадигму решения, упомянутую в
гл. 1, где мы рассматривали проблему принятия решения в виде
дерева решений (см. рис. 2.1). Каждой концевой вершине дерева
ог» (Гиле/woe
/roc/redcmffi/e)
Рис. 2.1.
Схематическое изображение
дерева решений
отвечает последствие С, характеризующее всю совокупность
результатов, получаемых в процессе движения по тому пути на
дереве решений, который приводит в данную концевую вершину.
Лицу, принимающему решение, необходимо не только просто
ранжировать все возможные последствия, соответствующие концевым
вершинам дерева, но и дать оценку степени своего предпочтения
и своего отношения к риску, установив численные значения
функции полезности, определяемой на всем множестве
рассматриваемых последствий. Это непростая задача. Обычно на первом этапе
этой процедуры мы стараемся описывать каждое последствие С с
помощью упорядоченного конечного множества числовых
показателей (характеристик), часто называемых также факторами*К
Допустим, что выбранные нами т показателей (факторов)
позволяют (в большей или меньшей степени) конкретизировать
последствия С. Тогда, вместо того, чтобы проводить довольно
абстрактное парное сравнение С и С', нам значительно легче будет
сравнить совокупности
Х,(С), ..., Xi(C), ...,Хт(С) и Хг(С'), ..., ХЛ(С), .... ХГ(С)9
в которых каждое Х{(С) можно рассматривать, например, как
значение показателя (или «уровень проявления» фактора) J>
*> Такие характеристики (показатели) иногда называют еще
дескрипторами.
44

(более точное определение будет дано позднее) для
последствия С. Разумеется, такая формализация будет правомерной
только тогда, когда выбранные г показателей будут обеспечивать
достаточно адекватное отражение (в известном смысле) описывав-
мых последствий.
2.1. ЦЕЛИ И КРИТЕРИИ
Для терминов цель, задача, критерий, мера эффективности
стандарт и т. д. нет универсальных определений, поэтому этот
раздел мы начнем с того, что покажем неформальным путем, как
эти термины будут использоваться в данной книге.
Проиллюстрируем эти термины на проблемах, сходных с проблемами,
описанными в наводящих примерах главы 1.
2.1.1. Некоторые примеры. Загрязнение воздуха. Превышение
уровня загрязнения в том или (И'ном городе может вызвать
озабоченность властей в связи с «угрозой благополучию жителей
города». Широкой, всеохватывающей целью, относящейся к этой
области озабоченности, явится стремление «улучшить благополучие
жителей». Так широко поставленная цель мало что дает нам,
когда речь идет о выборе среди альтернативных программ. Однако
она оказывается отправной точкой для нахождения уже
конкретизированных целей, сформулированных в более операциональных
терминах.
Например, двумя более конкретными целями или целями
более низкого уровня, как мы их будем называть, могут стать
«уменьшение выделения загрязняющих веществ источниками,
находящимися в пределах города», и «уменьшение недовольства
жителей качеством воздуха». Первая из этих подцелей может быть
разбита на три цели еще более низкого уровня: «уменьшить
выделение сернистого ангидрида», «уменьшить выделение окислов
азота» и «уменьшить выделение твердых частиц». Для
каждой из этих целей нижнего уровня нам понадобится критерий,
который показывал бы ту степень, с которой альтернативные курсьв
действий соответствуют цели *\
Цели «уменьшить выделение сернистого ангидрида» можно
поставить в соответствие критерий «тонны сернистого ангидрида,
выделяемого в год». Этот критерий представляет собой скалярную-
величину, и поэтому мы называем его скалярным критерием.
Подобным же образом скалярными критериями для наших других
*> В оригинале здесь стоит термин «attribute» (дословно — свойство,
характерная черта, компонента). В системном анализе, теории многомерной
полезности и теории измерений (в частности, психометрических) этот термин1
обычно переводится как «фактор»; в прикладных исследованиях, посвященных
принятию решений и исследованию операций, этот же термин переводится как
«критерий». Учитывая, что данная книга в равной степени посвящена как
теоретическим, так и прикладным вопросам, при ее переводе было решено
использовать оба эти термина. Так, во введении, в гл. 1—3 и 7—10
употребляется термин «критерий», в гл. 4—б, посвященных теории полезности, как
правило, используется термин «фактор». Подчеркнем, однако, что в рамкаж
Данной книги эти выражения суть синонимы. (Прим. ред.)
45

двух целей нижнего уровня могут быть «тонны окислов азота,
выделяемые в год» и «тонны твердых частиц, выделяемые в год».
Зти три скалярные величины вместе могут быть представлены в
виде вектора, используемого для измерения степени достижения
(или «соответствия») цели следующего уровня — «уменьшить
выделение загрязняющих веществ источниками, находящимися в
пределах города». Такой критерий, состоящий из трех скалярных
критериев, называется векторным критерием.
Степень достижения цели «уменьшить недовольство жителей
качеством воздуха» может быть измерена критерием «процент
жителей, которых тревожит загрязнение городского воздуха».
В каждом из этих случаев критерий дает шкалу для измерения
степени удовлетворения соответствующей цели.
Почтовая служба. Допустим, что общей целью деятельности
почтовой службы является «обеспечение эффективной и надежной
почтовой связи как для отдельных пользователей, так и для нужд
правительственных организаций». Можно составить множество
целей и подцелей нижнего уровня. К ним будут относиться
«уменьшение общего "времени пересылки посылок и писем»,
«увеличение процента доставляемой корреспонденции» (т. е.
устранение случаев потери), «уменьшение общей стоимости обработки
кПочты», «предоставление услуг правительственным
организациям». Цель, связанная со стоимостью, может быть подразделена на
подцели: «уменьшение прямых затрат на пересылку для
клиентов» и «уменьшение затрат для правительственных организаций»,
ибо в конечном счете правительство несет ответственность за все
почтовые затраты.
Для первой цели — «уменьшение общего времени пересылки
посылок и писем» — вполне очевидным критерием будет «время в
днях от отправителя до получателя». Однако может оказаться
более подходящим разделить «корреспонденцию» на категории, где
Л-я категория относится к определенному месту назначения в
определенное время года. Обозначим через Хи критерий «время в
днях, необходимое для того, чтобы произвольно выбранное пись-
jmo категории k поступило от отправителя к получателю». Этот
^критерий будет иметь частотное распределение — для каждой
рассматриваемой альтернативы. В некоторых случаях может
оказаться необходимым агрегировать это распределение в форме
какой-то интегральной числовой характеристики (например,
среднего значения, или какого-то установленного среднего срока, или
другого более сложного показателя, который отражает природу
распределения). Продолжив этот путь, получим, что каждая k-я
категория может быть в агрелированном «виде представлена
определенной числовой величиной х%, и если номера категорий k
заключены в пределах от 1 до /С, то цель «уменьшение времени
пересылки посылок и писем» может быть количественно
охарактеризована через векторный критерий (хи ..., хк, ..., хк).
Задача нахождения критерия (большей частью, векторного)
для характеризации степени, с которой различные альтернативы
46

удовлетворяют цели «предоставление услуг для
правительственных организаций» может быть очень трудной. Сюда будут входить
улучшение гражданской связи, информирование граждан о
деятельности правительства, а также вопросы обеспечения занятости
тысяч людей. В этом случае, даже если мы можем эффективно
составить набор целей нижнего уровня, будет трудно найти
полезные критерии для каждой цели. В этой главе обсуждаются
именно такие проблемы.
2.1.2. Терминология: цели, критерии и задачи. Может
случиться так, что выдвигаемые нами цели могут противоречить друг
другу в том смысле, что одна цель может быть достигнута только
за счет другой. Например, должны ли предприятия общественного
обслуживания ставить такие цели, как «сократить затраты» и
«улучшить качество обслуживания»? Поскольку лучшее
обслуживание чаще всего может быть получено лишь за более высокую
стоимость, эти цели противоречат друг другу. В некоторых
случаях можно одновременно приблизиться к достижению обеих целей
в какой-то определенной текущей ситуации, т. е. может
существовать лучшая стратегия в отношении всех целей. Однако в
некоторый момент мы непременно столкнемся с тем, что дальнейшее
приближение к одной цели возможно лишь за счет другой.
В общем случае цель указывает общее «направление», в
котором мы должны двигаться для достижения лучшего результата.
Вспомним цель почтовой службы «сокращение общего времени
пересылки для определенной категории корреспонденции»,
которой соответствовал критерий «дни». Поскольку едва ли можно
сократить время пересылки до нуля, мы всегда можем стремиться
к лучшему. Противопоставим этой цели и ее критерию так
называемую задачу. Для нашей проблемы задачей будет «доставлять
по меньшей мере 90% посылок и писем за два дня». Задача
отличается от цели тем, что она может либо быть достигнута, либо нет.
Задачи целесообразно ставить там, где требуется ясное
определение того уровня, который необходимо (или очень
желательно) достигнуть. В 1961 г. президент Кеннеди провозгласил задачу
«достичь Луны к 1970 г.». Эта задача могла быть выполнена и не
выполнена. Всегда легче воодушевлять людей и себя самого
взобраться на гору, вершина которой видна. Однако для
рассматриваемых нами проблем оценки альтернатив в стратегическом
плане использование категории «цели» вместо категории «задачи»
оказывается более подходящим. Это не значит, что введение
задач не будет являться полезным тактическим приемом для
выполнения программы действий. Отнюдь нет. Просто в рамках этой
книги мы вынуждены ограничиться рассмотрением целей и
критериев и минимально использовать термин «задачи».
2.2. ФОРМИРОВАНИЕ ЦЕЛЕЙ И КРИТЕРИЕВ
На практике всегда имеется взаимосвязь между творческим
процессом формирования целей и выбором критериев для этих
47

делей. Прежде чем перейти к более глубокому рассмотрению этих
связей, необходимо рассмотреть цели и критерии отдельно.
2.2.1. Некоторые методы формирования целей. Укажем
некоторые основные пути формирования целей для определенной
проблемы. В качестве отправного пункта допустим, что одна цель уже
определена, например общая цель «улучшить благополучие
жителей» в проблеме загрязнения воздуха. Ясно, что <в данном случае
желательно уточнить эту широкую цель. Уточнением может быть
ответ на вопрос: «Что имеется в виду под «благополучием
жителей?» Например, частью благополучия можно считать здоровье и
экономические условия. Каждое из этих условий может быть
подразделено и дальше.
Маккриммон A969) указывает на следующие подходы,
используемые при формировании целей: а) изучение соответствующей
литературы, б) аналитическое изучение и в) каузальный
эмпиризм. Что такое изучение литературы, должно быть ясно. Если
проблемы, подобные нашим, стояли перед кем-то другим-, то
возможно, имеются определенные материалы и документы по поводу
тех или иных целей, которые имеют отношение и к вашей
проблеме. Аналитическое изучение исходит из того, что подходящие цели
могут быть найдены в результате построения модели изучаемой
системы и нахождения соответствующих (входных и выходных
переменных. Этот метод полезен для отыскания тех целей, которые
первоначально были опущены случайно или (намеренно.
Некоторые цели, первоначально казавшиеся неважными, могут
оказаться важными после того, как будут рассмотрены результаты
изучения модели. Третий способ (каузальный эмпиризм) предполагает
наблюдение за людьми, с тем чтобы увидеть, как они в
настоящее время принимают решения, связанные с изучаемой
проблемой, как ани объясняют свои действия, о чем они говорят?
Например, выбирая цели для рассмотрения альтернатив развития
жилищных условий, можно пронаблюдать, как люди выбирают
варианты, существующие в настоящее время. Эти наблюдения могут
указать соответствующие цели.
При выборе целей, касающихся широких слоев общества,
может быть полезна подготовка обзоров. Можно обратиться с
вопросом: «Какие цели должны быть включены в исследование?» —
.к тем лицам, на которых то или иное решение может оказать
влияние. Такой процесс может дать много^целей «нижнего
уровня». В этом случае мы используем эти целТи для определения
более широких целей. Например, если одной из целей оказалась
цель «избавиться от чувства тошноты, возникающего при
появлении смога», то, ответив на вопрос «Почему важно, чтобы жители
не чувствовали тошноты?», мы получим более широкую цель.
Чувство тошноты указывает на существование какого-то
отрицательного фактора, влияющего на здоровье людей. Поэтому более
широкой целью будет цель «улучшить состояние здоровья (Населения
данной местности».
48

Во многих случаях полезно, чтобы группа экспертов
определила цели для проблемной области. Часто эту роль установления
целей играют советы директоров фирм. В последние годы и
правительство, и частные предприниматели для формирования целей
стали прибегать к помощи «совета экспертов» — группы людей,
имеющих опыт в интересующей области. И это особенно заметно в
технической и научной областях.
2.2.2. Иллюстративные примеры *>. Научные цели НАСА.
Национальное агентство по аэронавтике и космонавтике
применило интересный подход к количественной оценке научных
достоинств альтернативных планов изучения космоса. Сначала
научные цели были сгруппированы в пять основных подгрупп: 1)
земля и окружающее ее пространство, 2) внеземная жизнь, 3)
солнечная система, 4) вселенная и 5) космос как место
исследований. Затем были составлены списки «действий», «признаков
объектов» и самих «объектов целей», как они были названы. Лучше
всего смысл этих списков виден в табл. 2.1, перепечатанной из
Таблица 2.1. Формирование научных целей для космической программы
Действие Признак объекта Объект цели
Построение характерных моделей
циркуляции в фотосфере - Солнца
Измерение приливных деформаций поверхности Луны
Выявление структуры внутреннего
строения Юпитера
Измерение релятивистского вре- — космического прост-
меннбго расширения ранства
работы Доула и др. A968а). Можно попробовать составить
различные комбинации (действий, признаков и объектов цели), а
затем спросить: «Является ли это одной из научных целей
космической программы?» Если полученная группа слов оказывалась
целью, то она включалась в список. Если получалась
бессмысленная группа слов, то она отбрасывалась. Так, например,
«выявление структуры внутреннего строения солнца» было целью, а
«измерение приливных деформаций космического пространства»
таковой не являлось. В результате этой работы было получено
1030 целей нижнего уровня. Полные результаты работы
содержатся в книге Доула и др. A9686).
Луисвильское исследование **>. Группа жителей Луисвилля,
Кентукки, представлявшая различные слои общества и
работавшая в тесном сотрудничестве с мэром, определила области заин-
*} В строгом смысле две работы, которые мы кратко рассматриваем в
этом разделе, не указывают цели, соответствующие нашему определению.
Согласно нашей терминологии они определяют области заинтересованности, из
которых можно вывести цели. В данном параграфе мы сохранили терминологию
Цитируемых работ.
**> Подробно см. Шимпелер и др. A969).
49

Таблица 2.2. Области заинтересованности жителей Луисвилля,
штат Кентукки
Основные цели*)
Цели более низкого уровня
A. Разработка
программы общественной
безопасности
B. Развитие предприятий
общественного
пользования и транспорта
С. Программы
экономического развития
D. Культурное развитие
E. Развитие программ
здравоохранения
F. Развитие
общеобразовательных программ
G. Развитие социальных
программ
благосостояния
Н. Развитие программы
отдыха и развлечений
J. Политическая
структура
1. Обеспечить безопасность общественных объектов
2. Разработать соответствующие законы
общественной безопасности и обеспечить их осуществление
3. Обеспечить удаление загрязняющих веществ
1. Сократить затраты на содержание предприятий
общественного пользования
2. Гарантировать максимальную эффективность
предприятий общественного пользования посредством
улучшения проектирования и выбора мест
размещения
3. Разработать сбалансированную эффективную
объединенную транспортную систему, обеспечивающую-
потребности всех районов
1. Разработать программы
общественно-экономического развития в пределах имеющихся финансовых
ресурсов
2. Поддерживать наиболее высокие и справедливые
стоимости имущества
3. Обеспечить эффективное использование
минеральных, растительных, воздушных и водных ресурсов
4. Обеспечить такое развитие торговли, которое
создаст максимум удобств для покупателей
5. Использовать торговлю для создания сильной
экономической базы как устойчивого источника
общественных денежных средств
6. Обеспечить оптимальное использование всей
земельной площади
7. Достичь увеличения располагаемого дохода для
всех людей
1. Сохранить исторические места и природные
красоты
2. Обеспечить соответствующее финансирование
общественных библиотек, музеев, культурных
мероприятий
3. Сохранять полезные местные традиции, поощрять
гражданский патриотизм
Создать механизм для действенного осуществления
профилактических и лечебных программ и создания
объектов здравоохранения
Развить учебные учреждения и создать
возможности для обучения жителей на всех уровнях
1. Устранить несправедливости, связанные с
дискриминацией
2. Разработать необходимые программы социального
обеспечения
3. Поощрять развитие религиозных стремлений
4. Создать эстетически приятное окружение
1. Разработка программ развития «открытых»
(общедоступных) мест
2. Обеспечить необходимые места развлечений,
используя парки, реки и озера
1. Улучшить систему (формы и виды, регулярность)
участия граждан в деятельности администрации
2. Установить справедливую налоговую политику
(базисные показатели, состав и размер налогов)
50

Продолжение табл. 2.2
Основные цели*)
Цели более низкого уровня
К. Улучшение жилищных
условий
3. Достичь эффективного представительства всех
граждан в административном управлении
4. Разработать необходимые программы
комплектования административных вакансий (высокие
профессиональные стандарты, приемлемые диапазоны
заработной платы, эффективная передача
некоторых прав и ответственности подчиненным)
5. Создать надежно обеспеченные финансовые
программы
6. Разработать эффективный долгосрочный процесс
планирования развития (на уровне столицы штата)
7. Создать эффективный механизм,управления
1. Поощрять программы восстановления и
сохранения окружающей среды
2. Обеспечить наличие отвечающих современным
требованиям жилищ, предоставляемых за низкую
плату ^^
3. Развивать строительство объектов сферы
обслуживания, сопутствующих жилью
4. Обеспечить разнообразие жилищ, требуемых в
данном обществе
*) Более точно — области заинтересованности.
тересованности и выбрала цели общественнонсоциального
развития города. Этот консультативный комитет граждан при мэре
определил 10 основных областей заинтересованности, которые были
далее разделены на 35 целей нижнего уровня, представляющих
интересы города Луисвилля. Эти «цели» указаны в табл. 2.2.
Таблица 2.2 является превосходным пунктом для дальнейшей
формулировки целей. Рассмотрим область заинтересованности В6
«Обеспечить оптимальное использование всей земельной
площади». Эта формулировка говорит о том, что использование земли
важно и, как следует из определения, каждый желал бы
оптимального использования. Однако разные люди вкладывали бы в
эту цель разный смысл. Что такое оптимальное использование?
Эту важную проблему, возможно, решит консультативный
комитет граждан при мэре или любая другая подобная группа,
опирающаяся на помощь городских налоговых властей.
Конкретизация таких открытых проблем и есть тот вклад, который вносит
формальное определение целей.
После того как такой «примерный» список целей опубликован,
он может быть использован всеми заинтересованными сторонами
и лицами как основа для конструктивной критики и улучшения
положения. Такой способ «суммирования» мнений должен помочь
в составлении брльшего числа целей для какой-то данной
проблемы, но, что также важно, его положительный эффект состоит и в
том, что он заставляет заинтересованных лиц активно
рассматривать ту сложную проблему, которая имеет к (ним отношение.
51

2.2.3. Конкретизация критериев. Для полного описания
последствий любого из возможных курсов действий, разрабатываемых
применительно к действительно сложной проблеме решения,
потребуются многие тома. В проблеме загрязнения воздуха
последствия должны охватить такие вопросы, как кто заболел, где,
насколько тяжелой была болезнь, когда эти люди поправились,
экономические эффекты для каждого человека, связанные с
загрязнением воздуха, и все связанные с загрязнением воздуха
психологические, физические и экономические последствия. Такой охват
был бы полным. Но для процесса принятия решения информация
в таком виде бесполезна. Необходимо применение суммарной
статистики для того, чтобы превратить это обилие информации в
нечто, имеющее полезную и удобную форму.
Критерий должен быть всесторонним и измеримым, тогда им
сможет воспользоваться лицо, принимающее решение. Критерий
является всесторонним, если лицо, принимающее решение, зная
значение критерия в определенной ситуации, полностью понимает,
в какой степени достигается соответствующая цель. Критерий
является измеримым, если он оказывается пригодным как (а)
для получения вероятностного распределения его возможных
значений для каждой альтернативы или в особых случаях для
определения его точного («точечного») значения, так и (б) для
количественного описания степени предпочтений лица,
принимающего решение, различных возможных значений критерия,
например, через функцию полезности или в некоторых случаях.хотя бы
через упорядочение (ранжирование) .возможных значений
критерия по их предпочтительности *>. Более того, мы хотели бы
выполнить обе задачи, не затрачивая чрезмерно много времени,
денежных средств и усилий. Таким образом, требование
всестороннего характера критерия связано с оценкой пригодности критерия
с теоретических позиций: даст ли он нам ту информацию,
которую мы хотели бы получить, независимо от того, можем ли мы
вообще получить ее? А измеримость, в свою очередь, связана с
практической стороной дела: сможем ли мы получить необходимые ко-
личественные оценки?
Всесторонний критерий должен одинаково полно охватывать
характерные особенности всех конкретно рассматриваемых
альтернативных курсов действий и на него не должны влиять
никакие посторонние соображения. Допустим, например, что одной из
целей предлагаемого закона, требующего от всех водителей
всегда и везде пользоваться ремнями безопасности, является цель
«сокращение числа автомобильных катастроф». В этом случае
критерий «количество разбитых автомобилей в год» не будет
всесторонним, так как трудао разграничить изменения в значении
*> Мы неявно здесь предполагаем, что значения всех остальных критериев
при этом зафиксированы на определенных уровнях. Не исключено, что
предпочтения различных значений критерия изменятся, если зафиксированные
уровни остальных критериев будут сдвинуты. В последующих главах этот случай
сбудет полностью рассмотрен.
52

этого критерия, связанные с применением ремней, и воздействием?
других факторов, например числа всех дорожно-транспортных;
происшествий.
Другой пример: допустим, что конечной целью
правительственной кампании по борьбе с курением является «улучшение
здоровья населения страны». В этом случае критерий «количество-
смертаых случаев, вызванных курением» не будет всесторонним,.
так как он не содержит никаких сведений о тех, кто болен или
обречен на инвалидность из-за курения. Во всех случаях, когда
мы рассматриваем критерии, связанные с числом больных,
раненых и т. д., необходимо помнить о точности (степени агрегирован-
ности данных, присущей используемому критерию). Например, в?
транспортной задаче, где одной из целей будет уменьшение
травматизма, критерий «число ранений» не будет точным, так как не
ясно определение того, что такое ранение. И это независимо от
того, будут ли все ранения считаться (в соответствии с
выбранным определением) одинаково значительными. По причине
неточности разные люди могут относить зарегистрированное число
ранений к различным уровням (достижения цели) даже в том
случае, если они имели доступ к одной и той же информации.
Во многих случаях, если цель ясна, выбор критерия не будет
трудным. Если целью бизнесмена является максимальное
увеличение прибыли, то логически вытекающим критерием будет
прибыль, измеряемая в долларах. Знание того, какова прибыль
оттого или иного мероприятия, покажет, насколько достигается цель,
максимально увеличить прибыль. Если фирма, предоставляющая
суда для перевозок грузов, стремится доставить все грузы
вовремя, то подходящим критерием может быть время задержки
прибытия груза. У врачей главной целью может быть «сохранение
жизни пациента», в этом случае подходящим критерием будет
«вероятность летального исхода». Задержка в доставке грузов*.,
прибыль, вероятность гибели могут быть выражены в цифрах,,
тогда как соответствующие цели сами по себе не могут быть
определены количественно.
2.2.4. Субъективные шкалы критериев. Многие критерии,
которые мы интуитивно находим и начинаем использовать,
объективны (в противоположность субъективным) по своей природе *К
Иначе говоря, для таких критериев уже имеется всем понятная
шкала и уровни значений этого критерия могут быть объективно^
измерены. Однако имеются такие цели, для которых не
существует объективного показателя. В этих случаях необходимо вводить^
субъективные показатели.
Рассмотрим такой пример: бизнесмен стремится «максимально*
увеличить прибыль» и «повысить престиж». Как уже говорилось,.
*> Отметим, что мы используем термины объективный и субъективный для*
выделения двух типов критериев, каждый из которых применяется для
указания степени достижения соответствующих целей. Однако это не означает,,
что в понятие «субъективный» мы вкладываем какой-либо отрицательный^
смысл.
&3

очевидным критерием для первой цели будет объективный
показатель «прибыль», измеренная в долларах. Но поскольку для
престижа никакой объективной шкалы нет, нам нужно построить
-субъективный показатель для этой цели. Например, на первом
этапе можно составить последовательную шкалу из десяти точек
от «крайне низкой» до «всемирно прославленной репутации».
Затем мы можем попытаться субъективно подобрать последствия
(от наихудшего к наилучшему) для нескольких точек на этой
шкале. В некоторых случаях нам может понадобиться дать
оценку распределений вероятности и установить числовую меру
полезности для этой шкалы. Литература по психометрии изобилует
.примерами составления таких шкал, но там мотивы совершенно
отличаются от (наших. Тем не менее в этой книге мы
воспользуемся именно этой методологической основой.
Здесь мы рассмотрим только один пример субъективно
составленной шкалы (см. второй пример в п. 7.7.5). Хубер, Серей и
Форд A969) попросили ряд опытных квалифицированных
работников большой больницы дать субъективную оценку 12
гипотетическим больничным палатам по шкале от 0 до 100. Полученные
^результаты, по мнению авторов, показывают, что специалисты
могут разработать и использовать весьма надежные субъективные
модели оценки. В нашей работе, если бы нам нужно было
использовать такую шкалу совместно с другими шкалами при
рассмотрении многокритериальной проблемы, необходимо было бы
внутренне (т. е. для самих себя) составить эту шкалу таким образом,
чтобы внешне она была бы согласована с другими шкалами. Это
ведет к проблеме объединенного измерения, которую мы обсудим
в гл. 3.
Конечно, имеются трудности в использовании субъективно
составленных шкал критериев, и <в зависимости от обстоятельств
может оказаться важным использовать нереальные крайние
случаи, чтобы получить объективную основу. В § 2.5 мы обсудим
значение критериев-заместителей, которые помогают смягчить
некоторые из этих трудностей.
2.3. ИЕРАРХИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ЦЕЛЕЙ
Допустим, вы исчерпывающе изучили все цели какой-то
проблемы и получили список, который охватывает все области
заинтересованности. Вне всякого сомнения, цели будут значительно
отличаться по степени их глобальности и конкретности, они могут
быть и несогласованными друг с другом. Каким образом можно
составить хотя бы какую-то структуру для этого списка целей?
Очень часто эта цели можно объединить в систему, построив их
иерархию. Практически почти каждый исследователь, который
серьезно занимался изучением целей в сложной проблеме *\ неяз-
бежно сталкивался с построением той или иной иерархии целей.
*> Например, Мангейм и Холл A967) и т. д.
54

2.3.1. Построение иерархии. Каким образом строится иерархия
на основании первоначального списка целей? И как мы узнаем,
нет ли в такой иерархии «пробелов»? Здесь помощь оказывают
понятия конкретизации и выделение логической связи «средство —
получаемые результаты» *\ введенные Мангеймом и Холлом
A967). Конкретизация означает подразделение (разбиение)
целина более подробные цели более низкого уровня, что способствует
разъяснению смысла более общей цели. В то же время цели
нижележащего уровня можно также считать средствами для
достижения целей вышележащего уровня. Таким образом, отправляясь -
от очень точных целей нижнего уровня и рассматривая их как
средства для достижения более высоко расположенных целей, мы
можем строить иерархию «снизу вверх». Аналогично,
конкретизируя общие (глобальные) цели, т. е. разбивая их на более
подробные цели, мы строим иерархию «сверху вниз». '
Поднимаясь по иерархии вверх, мы обязательно остановимся
на очень общей («всеохватывающей») цели. Такая цель
чрезвычайно широка и указывает причину, по которой нас интересует
проблема, но зачастую она слишком расплывчата, чтобы ее можно
было использовать в работе. Например, как видно из рис. 2.2,
конечной целью, которую Мангейм и Холл использовали для оценки
транспортных средств перевозки пассажиров в Северо-восточном
коридоре в 1980 г., была цель «хорошие условия жизни». Однако-
когда мы спускаемся все ниже и ниже по рассматриваемой
иерархии, то невозможно априорно указать, где нам следует,
прекратить уточнение целей. Наш здравый смысл, а также рассмотрение
преимуществ и недостатков дальнейшей детализации должен
подсказать нам, когда следует прекратить формализацию. Если этого
не сделать, то иерархия примет бессмысленные размеры и мы
получим в результате астрономическое число целей. Применительно
к проблеме планирования транспортных средств перевозки
пассажиров в Северо-восточном коридоре, по-видимому, каждый, чьв
интересы были затронуты (а число таких заинтересованных лицг.
вероятно, достигало около 50 млн.), имел субиерархию, которая
представляла бы только его в общей иерархии целей системы.-
Конечно, никто не станет защищать подобный подход, но вывод
из всего сказанного таков, что мы всегда должны помнить о
практической стороне уровня детализации, на котором нам целесооб-
рано остановиться.
2.3.2. Где предел формализации? Как далеко должна
распространяться иерархия целей? В значительной степени это зависит
от того, для чего иерархия будет использоваться в дальнейшем.
Намерены ли мы определить критерии для каждой цели? Это
связано с качественным (в противоположность количественному)
ростом иерархии, о чем еще будет сказано, а также с возможностью
прямых оценок предпочтений. Собираемся ли мы использовать.
субъективные показатели эффективности или предпочитаем иметь-
*> Иначе говоря, выделение «цели» и «средств достижения цели». (Прим. ред.)'
55

дело с объективными показателями? Ответ на этот вопрос
частично зависит от того, кто будет принимать решения, кто выполняет
анализ и для какой цели.
При разделении цели на подцели на любом уровне важно, что-
все аспекты цели более высокого уровня были учтены в одной
| Лорошае условия жизни \
бокзаль/
Транс-
№/7Л1/а/77??Ци
текусцс/а
ремонт
Яодъезд-
дохзаль/
Гра//с-
ор/л//б/е
средст&сг
Эсте/лачесние
соодражетя
Ц1
Со ц а ал ь но- \
э#ономичесме\
Яодъезд-
пути
эконома-
ческоео
роста
рааояа
POf/77
paaos/a
Э/fO/ZOAfU-
vec/r'ae
клае&б/;,
//а которых
Рис. 2.2. Иерархия целей при оценке средств перевозки пассажиров для
Северо-восточного коридора в 19S0 г.
из подцелей. Однако мы должны предотвратить разрастание
иерархии как по горизонтали, так и по вертикали. Например, если
число целей нижнего уровня, определяющих цели высшего
уровня, уже достигло нескольких сот, то некоторые из них могут
оказаться настолько незначительными по отношению к другим, что их
можно исключить из формального анализа, не лишаясь при этом
^важной информации для принятия окончательных решений. :Прав-
5в

да, нужно соблюдать осторожность при отказе от каких-либо
целей, так как оставшиеся цели могут не обеспечивать
всестороннего рассмотрения анализируемой проблемы.
Для того чтобы справиться с этой задачей, Эллис A970)
предлагает «тест на важность». Прежде чем включить любую цель в-
иерархию, лицу, принимающему решения, задают вопрос о том,,
считает ли он, что наилучший курс действий может измениться,
если эта цель не была бы включена. Положительный ответ
должен означать, что эта цель должна быть включена в иерархию,
отрицательный может служить достаточным основанием для
исключения цели. Естественно, мы должны избегать исключения из^
иерархии больших наборов целей, каждая из которых в
отдельности не проходит «тест на важность», но все вместе они
оказываются важными. По мере того как анализ продолжается и мьь<
все больше познаем проблему, полезно повторить «тест на
важность» для исключенных целей. Если мнение лица, принимающего
решение, несколько изменилось, то некоторые цели и связанные-
с ними критерии должны быть включены в задачу и определенные
части анализа следует повторить.
2.3.3. Качественное разрастание иерархии целей. В прикладном
контексте этой книги построение удовлетворяющей нас иерархии:
целей для анализируемой 'проблемы является лишь одной из
стоящих* перед исследователем задач. Мы используем эту иерархию
как шаг на пути к решению. В гл. 3 мы приступим к анализу
возможной взаимной компенсации различных значений критериев И"
квантифи'кации наших предпочтений. В этом анализе большую*
роль будут играть числовые значения. Рассмотрим, например,,
абстрактную схему иерархии, показанную на рис. 2.3 *К В этой
иерархии имеется 13 целей нижнего уровня; обозначим
используемые для них критерии через Zb Z2, ..., Zi3. Следовательно,
всякое последствие выбранного способа решения проблемы может;
быть описано с помощью 13 величин
(Zi, г2, »., Zi3). Мы можем
формализовать функцию полезности в этом
13-мерном пространстве и тем самым
ввести для последствий числовые
оценки u(z\, z2, ..., Z13). Но это
совсем не обязательно, для того чтобы -
продолжать анализ. В качестве
альтернативного способа мы можем
прибегнуть к квантификации
предпочтений на гораздо более высоком
уровне агрегирования. Например, Рис 2.3. Абстрактная схема ие-
гораздо удобнее будет работать рархии целей
*) Рассматриваемую авторами иерархию целей часто также называют
деревом целей. Целям нижнего уровня иерархии соответствуют «висячие»
(«концевые») вершины дерева целей. Взаимное расположение целей в иерархии*
целей (на дереве целей) характеризуется тем, находятся ли они на одном*.»
выше- или нижележащих уровнях. (Прим. ред.)
57

непосредственно с критериями Х\ и Х2у где Х\ есть
субъективно оцениваемая составная величина, складывающаяся
из 'Критериев от Z\ до Z5, аналогичным образом вводится и Х2у
т. е. объединение критериев от Z6 до Zn (см. рж. 2.3). Вместо
того чтобы проводить анализ полеэности на уровне (z\, z2y .., ?13),
можно использовать оценки полезности для двумерных величин
<*ь х2). В этом случае, конечно, для каждого последствия С
должна быть проведена субъективная оценка ценности значений
Х1(С)=х1 и Х2(С)=х2.
Мы 'можем использовать иерархию так, как это удобно нам, и
приступить к дальнейшему анализу, вводя оценки полезности на
различных уровнях иерархии. Однако, если -мы собирались кван-
тифицировать наши предпочтения на уровне Хи Х2у в каких
случаях целесообразно расширять иерархию до уровня Z\—Z\%> Ее
следует расширять только в том случае, если качественная
структуризация целей, связанных с Хх и Х2, даст нам более ясное
представление о Хг и Х2. Иными словами, разрастание иерархии по
вертикали не обязательно требует, чтобы мы доводили уровень
квантификации наших 'предпочтений до такой степени
подробности. После какого-то определенного уровня иерархия может
служить просто как качественная таблица проверки
рассматриваемых аспектов (фактически как схема «раскрытия понятия»).
Расширение ¦иерархии по качественным причинам можно
проиллюстрировать на примере одной из основных целей проблемы
загрязнения воздуха, рассматриваемой в гл. 7. Для цели «достичь
наилучшего политического решения» использовался субъективный
показатель — степень достижения цели. Однако чтобы
стимулировать работу по оценке этого 'субъективного показателя, может
оказаться желательным еще более уточнить основную цель.
Например, мы -можем обозначить некоторые подцели з$ой основной
цели так: «улучшить отношения с городским советом», «получить
поддержку определенных политических групп», «поддерживать
хорошие отношения с домовладельцами», которые должны
покупать топливо для обогрева их домов, и «провести ту мысль, что
городские власти заботятся о благополучии жителей и
состоянии окружающей среды». Если нам нужно дать оценку полезности
непосредственно для основной цели, то нет необходимости в
оценке предпочтений и вероятностей, касающихся только целей
нижнего уровня, и, таким образом, нам не нужно определять меры
эффективности для них. Таким образом, многие из тех
соображений, которые ведут к расширению иерархии* целей по
количественным причинам (например, чтобы перейти к количественно
измеряемым величинам), оказываются нецелесообразными в том
случае, когда определенные части иерархии используются только
по качественным причинам (обычно для лучшего понимания «что
есть что»).
2.3.4. Снова о субъективных и объективных мерах. Чем
подробнее иерархия целей, тем обычно легче определить шкалы для
установления числовых критериев. Когда иерархия ограничена,
58

нам зачастую приходится обращаться к субъективным мерам
эффективности. Для иллюстрации рассмотрим еще одну цель в-
проблеме загрязнения воздуха из гл. 7: «улучшить физическое
самочувствие жителей Нью-Йорка». Здесь невозможно подобрать
никакую одномерную величину, кроме субъективного показателя,,
которая показывала бы (т. е. служила бы мерой), насколько
достигается эта цель. Трудность состояла ъ том, что необходимо
было бы учитывать как летальный исход, так и различные виды
заболеваемости. По этой причине были введены подцели «снизить
летальность» и «уменьшить заболеваемость» и для каждой
подцели были найдены объективные клинические меры
эффективности.
В качестве второго примера рассмотрим проектирование
новой транспортной системы и остановимся на одной из целей ш
иерархии — «максимально увеличить комфорт для пассажиров»..
Нет такого готового инженерного показателя, который мог бы
отразить «суть этой задачи. Но если мы определим комфорт через:
виды комфорта (например, плавность движения, качество
освещения, достаточное -пространство для перемещения пассажиров,,
шум), то можно подобрать «инженерные и физические меры почти
для всех подцелей. Таким образом, цель «комфорт для
пассажиров» будет уточнена.
2.3.5. Кто является лицом, принимающим решение?
Необходимость убедить других. Примирение точек зрения. Вернемся вновь
к рис. 2.3 и предположим, что на нем показана качественная
'иерархия целей. Если принимающий решение сам выступает в:
качестве аналитика «и ему не надо никого убеждать в
правильности его действий, то ему может быть удобно
придать-определенные субъективные значения для критериев Х\ и Х2 и
выработать чисто неформальным способом дальнейшую детализацию*
(как, например, дальнейшее уточнение целей Zi).
Однако если лицо, принимающее решение, и его аналитик
работают отдельно, то проблема становится более сложной. В этой
ситуации аналитик, очевидно, представляет результаты и
рекомендации лицу, принимающему решение, которое затем выбирает*
какой-то альтернативный курс действий. Таким образом, для
более успешной совместной работы аналитик, скорее всего, дол женг
формально и более детально определять иерархию целей. В
(интересах «объективности» мы будем стремиться использовать там,
где это возможно, объективные, а не субъективные показатели.
Аналитику, возможно, придется спуститься на уровень Z, а не
оставаться на субъективном уровне X.
Если лицу, принимающему решение, нужно будет убедить
других в правильности своего решения, да еще и разобраться во
всем самому, то ему целесообразно углубиться в анализ
настолько, насколько это возможно, чтобы найти всеми признанные
объективные факторы, а это может привести его иерархический
анализ к объективным -критериям Z. Но может быть и иначе. Чем
сложнее анализ, тем труднее объяснить его другим, и, следова-

тельно, может быть легче работать на уровне Х\ чем на уровне Z.
Рассмотрим, как аналитик, работающий для нескольких
клиентов, может построить свою работу над решаемой проблемой.
Он может разработать 'иерархию до уровня Z и получить
объективные числовые меры для критериев Z — меры, которые
могут быть приняты всеми его клиентами. Конечно, трудность
возникнет на следующей стадии анализа, когда нужно будет
ранжировать различные многомерные последствия, <в нашем -случае
представляемые в виде относящихся к ним наборов (zu z2, ..., 213),
и установить для них количественные оценки (возможно,
придется найти значения их полезности) на основании суждений
различных яиц, принимающих решения. Но аналитик, по крайней мере,
может отложить это рассмотрение, пока он пытается
синтезировать признаваемые всеми объективные моменты проблемы.
Теперь допустим, что двое или более лиц, принимающих ре-
здение, построили -иерархию до уровня X и их мнения об общем
ранжировании (или о полезностях) последствий расходятся. Для
примирения точек зрения необходимо понять, почему они не
согласны друг с другом. Один путь — еще дальше детализировать
проблему. В нашем случае это будет дальнейшее уточнение
значений критериев X через уровни Z. Затем следует дать оценку
желательности («ценности») определенных значений некоторых
из критериев Z, когда значение других Z остаются неизменными.
Позднее мы введем различные 'качественные формы допущений о
независимости, касающиеся предпочтений при наличии
нескольких критериев. Заметим, однако, что, даже если лица,
принимающие решения, будут иметь разные точки зрения на
количественные выражения возможной взаимной компенсации значений
различных критериев, качественно их точки зрения могут быть
схожи. В этом случае выявление причины их разноглася
значительно упрощается. Конечно, во многих случаях такой рациональный
анализ не сможет привести к примирению. В самом деле, во
многих ситуациях примирение достигается лишь путем искусного
«сбивания с толку». Мы верим, что какое-то значение здесь имеет
дополнительный набор обстоятельств. В гл. 8 мы подробнее
рассмотрим эти вопросы.
2.3.6. Неединственность иерархии целей. Как уже говорилось
выше, не следует думать, что для рассматриваемой конкретной
проблемы существует какая-то одна-единственная иерархия
целей. Иерархия целей может изменяться в соответствии с
изменением степени формализации проблемы. Даже если степень
формализации остается неизменной (в том смысле, что число целей
нижнего уровня остается неизменным), иерархия целей может
значительно меняться. На самом деле, будет ли та или иная
иерархия лучше или хуже другой, зависит главным образом от того,
чего добиваются лицо, принимающее решение, и аналитик. Два
различных подхода к анализу возможностей в проблеме
занятости и найма на работу, рассматриваемые в § 7.7, превосходно
подтверждают эту мысль. Имея различные иерархии, легче опре-
60

делить и проиллюстрировать различные «компромиссные варианты,
имеющиеся у лица, принимающего решение.
Можно привести еще один пример 'использования
спецификации иерархии — когда некоторые из целей на нижних уровнях
иерархии можно опустить (или объединить), так как дальнейшее
уточнение не имеет значения. Например, представим, что нам для
проблемы героина (подобной той, что описана в гл. 1) иногда
необходимо выделить последствия для различных полов и
возрастных групп. Бели на самом нижнем уровне учитывается различие
последствий для мужчин и женщин «и если при рассмотрении
каких-то определенных альтернатив лицо, принимающее решение,
не интересуют эти последствия по отдельности, то два критерия,
связанные с этими целями, могут быть эффективно объединены
в один.
2,3.7. Иллюстративный пример: выбор транспортной системы.
Для иллюстрации некоторых идей, изложенных в этом разделе,
вновь рассмотрим иерархию целей для транспортной системы
Северо-восточного коридора (рис. 2.2).
Ка<к мы видим, конечной целью здесь является достижение
«хороших условий жизни». Ясно, что мы не надеялись найти
единственный критерий для конечной цели. Она была разделена на
четыре цели: «обеспечить максимум удобств», «обеспечить
максимум безопасности», «обеспечить эстетически приятную транс-
лортную систему» и «свести к минимуму затраты на систему и
обеспечить экономическое развитие района». Чтобы быть
полными, эти четыре цели должны включать в себя все представления
тех лиц, которые ответственны за принятие решения.
Далее применяется «тест на важность» для 'каждой цели,
чтобы установить, следует ли ее в'ключать в формальный анализ.
Поскольку в данном случае совершенно очевидно, что «и одну из
этих целей нельзя исключить, мы здесь не останавливаемся на
этом методе.
Теперь возьмем цель «обеспечить максимум удобств» и
попробуем найти критерий, который отражал бы ту степень, с которой
удовлетворяется эта цель. «Удобство» означает, что
обслуживание должно быть по меньшей мере быстрым, надежным и
экономичным. И ни один отдельно взятый очевидный критерий,
удовлетворяющий требованиям § 2.2, не включает в себя все эти
«грани» удобства. Поэтому нам придется прибегнуть к дальнейшему
разбиению этой цели.
Раз мы решили точнее определить «удобство», необходимо
рассмотреть подходящий набор подцелей. Например, мы можем
стремиться к тому, чтобы свести к минимуму:
1) продолжительность поездок,
2) задержки при отправлении,
3) задержки в пути,
4) стоимость поездок,
5) обеспечить удобный доступ к системе.
61

Поскольку мы стремимся свести к минимуму число
оставляемых критериев, то каждый раз, когда цель разбивается на
подцели, мы стараемся сформировать минимальное число подцелей.
Тем не менее мы должны позаботиться о том, чтобы наш список
подцелей учитывал все относящиеся к делу соображения.
Обращаясь к нашему случаю, рассмотрим теперь возможность
объединить некоторые из пяти целей, перечисленных выше. Вполне
резонно считать, что удобный доступ к системе означает, что мы
можем быстро добраться до нее, поэтому можно объединить цели
1 и 5 в цель «свести к минимуму время поездки от двери к
двери». Будет ли это уместно применительно « конкретной проблеме^
зависит от конкретной ситуации. Мы должны искать пути
объединения целей именно таким образом. Чтобы продолжить наши
рассуждения, давайте согласимся на том, что цели 1 и 5 будут
объединены.
Поскольку никакие другие комбинации сразу не видны,
следующим шагом будет применение теста «на важность» для
каждой из оставшихся четырех подцелей. Начнем с «сокращения
времени поездки» от двери к двери. Достаточно ли эта цель
важна, чтобы она могла повлиять на конечное решение? У нас
есть все основания считать эту цель важной. Поэтому мы
оставим ее в нашей иерархии целей. Такое же заключение мы делаем
и о «сокращении стоимости поездки».
Цели «свести к минимуму задержки при отправлении» и
«свести к минимуму задержки в пути» могут быть разными.
Например, мы можем решить, что отправление по расписанию и
прибытие по расписанию немногим отличаются от отправления на
час позже и прибытия по (расписанию. Мы не хотим сказать, что
нет никакого неудобства в том, что приходится ожидать
задерживающееся отправление; просто задержки в отправлении могут
не быть такими уж серьезными сами по себе. Важность задержки
отправления в большой степени зависит от ее влияния на всю
продолжительность путешествия. А общее время поездки уже
включено в наш анализ. Наконец, зададим вопрос, достаточное
ли значение имеют задержки прибытия — в добавление к их
влиянию на общую продолжительность поездки," чтобы повлиять
на выбор альтернативного курса действий. Отрицательный ответ
означает, что эта подцель не удовлетворяет «тесту на важность»,
поэтому нет необходимости включать ее в явном виде в
последующий анализ проблемы.
В результате мы получили две подцели «удобства»:
1) сократить до минимума продолжительность поездки от
двери до двери;
2) сократить стоимость поездок.
Теперь нам нужно найти подходящий критерий для каждой
подцели. В нашем случае вероятнее всего подойдут
«продолжительность поездки от двери до двери в минутах» и «стоимость
поездки в долларах». Естественно, здесь встают два вопроса: к
62

поездкам откуда и куда и к кому относятся эти
продолжительность и стоимость?
К сожалению, даже если мы разберемся с отмеченными здесь
проблемами, процесс еще не будет завершен. Показанная выше
процедура должна быть повторена для трех остающихся целей
этого уровня — целей, связанных с безопасностью, эстетикой и
экономическим влиянием на район.
2.4. НАБОРЫ ЦЕЛЕЙ И КРИТЕРИИ
В § 2.2 и 2.3 рассматривались построение иерархии целей и
выбор критерия для каждой цели нижнего уровня. Эти два
вопроса рассматривались изолированного друг от друга. Теперь
поставим вопрос более широко: соответствует ли проблеме
выбранный набор целей и связанных с ними критериев? Для. ответа на
этот вопрос мы определим пять свойств, которыми должен
обладать выбираемый нами набор 'критериев (в данном случае эти
свойства можно назвать «целями», к достижению которых
необходимо стремиться).
2.4.1. Желательные свойства набора критериев. Во всякой
проблеме, связанной с принятием решения, важно, чтобы
используемый набор критериев был полным — охватывал все важные
аспекты проблемы, действенным — мог быть с пользой применен в
анализе, разложимым — чтобы процесс оценки можно было
упростить, разбив его «а части, неизбыточным — не дублировать
учет различных аспектов последствий, и минимальным — чтобы
размерность проблемы оставалась по возможности минимальной.
Рассмотрим подробнее эти свойства.
Полнота. Набор критериев является полным, если он способен
показать степень достижения общей (глобальной) целей. Это
условие будет удовлетворено, если цели нижнего уровня иерархии
будут включать в себя все области (аспекты) нашей
заинтересованности в рассматриваемой проблеме и если отдельные
критерии, связанные с каждой из целей нижнего уровня, будут
обладать 'свойством всесторонности, рассмотренным в § 2.2.
К вопросу о полноте можно подойти и с другой стороны.
С каждой целью нижнего уровня мы связываем отдельный
скалярный критерий, который принимает реальные значения.
Допустим, что общая цель в нашей иерархии была подразделена на
подцели, к первой из подцелей относится скалярный критерий Хи
а ко второй — скалярный критерий Х2. Для общей цели мы
можем 'использовать как средство «измерения» векторный
критерий Y, который складывается из критериев Х\ и Х2. Конкретные
значения Y будут двумерными (х\, Хг), где х* есть конкретное
значение критерия Х{. Теперь сказать, что набор критериев Х\ и Х?
полон, — это то же самое, что сказать, что векторный критерий Y
всесторонен. Обобщим эту -мысль: набор из п критериев полон,
если, зная значение п-мерного векторного критерия, связанного с
общей целью, лицо, принимающее решение, имеет полное
представление о степени достижения общей цели.
63

Укажем пример, когда «хороший анализ решения пошел по*
•неверному пути», потому что набор критериев не был полным
(один из нас получил такую работу от студента начального
курса). В задаче рассматривался выбор альтернативного курса
действий после окончания учебы на начальном курсе, как то:
поступление на военную службу, поступление на старший курс, уход,
на гражданскую работу. В число критериев входили финансовые
аспекты, возможность изменить положение в будущем и т. д., но
автор не смог довести до конца свой собственный формальный
анализ. Его беда была в том, что в проведенном анализе не
рассматривались романтические устремления личности, а этот
фактор был достаточно важным, чтобы изменить весь смысл работы.
Автор не счел уместным также включить (в иерархию такой
аспект, -как «тяга к противоположному полу». Но совершенно
очевидно, что многим не следует 'забывать об этом аспекте, прежде-
чем отправиться работать на север Аляски или поступить на пять
лет служить на атомную подводную лодку. Но на последующих
этапах работы автор сам понял, что следует более внимательно'
и честно отнестись к самому себе, и он наконец достиг такого
момента, когда формальный анализ ему удался. Впоследствии он
назвал этот свой опыт простым и верным путем
самопсихоанализа.
Действенность (операциональность). Набор критериев должен
быть действенным (операциональным). Это связано с большим
числом разнообразных факторов, в той или иной степени
зависящих от предполагаемого использования анализа. Главное:
поскольку смысл анализа решений — помочь лицу, принимающему
решение, выбрать лучший курс действий, то и критерии должны
служить этой цели. Лицо, принимающее решение, должно
понимать смысл критериев, иначе ему будет непонятно наше
формализованное описание альтернатив. Критерии должны быть
такими, чтобы их можно было объяснить другим, особенно в тех
случаях, (когда важнейшей целью работы является выработка и
защита определенной позиции. Рассмотрим следующую ситуацию.
Мэр большого города дает оценку альтернативным
предложениям по переработке твердых отходов. Вряд ли ему можно
посоветовать обсуждать с общественностью такой критерий, как
«ежегодное 'количество тонн непереработанных отходов, сбрасываемых
в океан», даже если это количество имеет очень важное значение.
Если такой анализ будет опубликован, включение в него
подобного критерия сделает политическое положение мэра уязвимым.
Аналитик и лицо, принимающее решение, должны помнить о
многих вопросах нетехнического характера, которые могут сделать
набор критериев недейственным. Некоторые из этих вопросов
рассматриваются в работе Кини и Райфа (Keeney and Raiffa,
1972).
Разложимость. Формальный анализ решения требует, чтобы
мы нашли количественное выражение как предпочтений лица,
.принимающего решение, относительно возможных последействий,
64

та/к и его суждений о неопределенных событиях. При
использовании п критериев это означает, что нам необходимо построить
(дать оценку) я-мерную функцию полезности, а также 'найти
совместное распределение вероятностей для соответствующих
случайных событий, с которыми связана учитываемая неопределенность.
Эта задача чрезвычайно сложна, если она вообще разрешима,
когда число п становится хотя бы умеренно большим (например,
гс = 5), если -набор критериев «не является разложимым. Иначе
говоря, крайне желательно, чтобы рассматриваемые задачи могли
быть подразделены «на части с меньшей размерностью. Например,
если в анализируемой проблеме используется пять критериев, то
возможно, что нам удастся разделить процесс оценки последствий
на две части: в первой оценки будут вестись по двум критериям,
а во 'второй — по трем. При анализе предпочтений эта идея
является одной (из основных в этой книге и подробно
рассматривается в гл. 3—6.
Не избыточность. Мы хотим избежать избыточности в
окончательном наборе критериев — критерии должны быть определены
так, чтобы не дублировался учет одних и тех же аспектов
возможных последствий. Например, если мы даем оценку портфелю
инвестиций в компаниях А и В, 'критерии «доход от компании А»
и «доход от инвестиций» будут явно избыточными, так как доход
от компании А учитывается © обоих критериях. Мы должны
использовать либо только «доход от инвестиций», либо только
«доход от компании А» и «доход от компании В». Более тонкий
пример рассматривается в работе Маккина A958) в связи с
распределением водных ресурсов. Маккин рассматривал два критерия:
«рост доходов фермы» и «прирост продуктивности скота». Эти
критерии избыточны в том смысле, что второй критерий является
важным, только если он существенно влияет на первый.
Этот второй пример показывает, как чаще всего избыточность
может вкрасться ш набор критериев. Дело в том, что
взаимоотношения «средства — получаемые результаты» с точки зрения
выдвинутых целей выявлены не до конца, и в анализ включаются
такие критерии, которые связаны как со «средствами» так и с
«получаемыми результатами».
Другой путь проникновения избыточности в набор
критериев — когда критерии суть переменные, из которых одни
являются входными данными системы, а другие — выходными»
Примером такой задачи может быть оценка космических
аппаратов. Входной величиной може^г быть масса, а выходной — сила тяги,
необходимая для преодоления гравитации Земли. Здесь масса
может иметь значение только в связи с ее влиянием на силу тяги.
Минимальная размерность. Помимо только что перечисленных
четырех условий желательно также, чтобы набор оставался
настолько малым, насколько это возможно. Каждый раз, когда цель
подразделяется на подцели, возникает опасность исключения,
(«пропуска») важных аспектов проблемы (областей
заинтересованности). Однако с ростом числа критериев возрастают трудно-
3—67 65-

сти получения совместного распределения вероятностей «и кванти-
фикации многомерных предпочтений.
В некоторых задачах возможно объединение критериев и,
следовательно, уменьшение размерности. Например, в задаче о
портфеле инвестиций двух компаний нас может интересовать лишь их
суммарный доход: доход от компаний А и В. В этом случае подойдет
один критерий «доход от инвестиций».
Очевидно, что минимально возможное число (критериев
равно 1. Одна крупная цель, подходящим образом выбранная, могла
бы быть полной, и если бы мы не предъявляли требование
действенности к набору критериев, мы бы всегда выбирали такую
цель.*). Однако должно быть ясно, что для большинства сложных
проблем принятия решений это не сделает их более
поддающимися обработке. Здесь, так же как в большинстве проблем
реального мира, мы стремимся к выполнению несовместимых целей,, а
поскольку такого идеала достичь невозможно, нам приходится
прибегать к /компромиссу, вызывающему споры. Это и есть одна
из тем нашей книги.
2.4.2. Неединственность набора критериев. Набор критериев
может быть не единственным как для какой-то конкретной
проблемы, так и для конкретной иерархии целей. Для примера
рассмотрим цель авиалинии «обеспечить частое сообщение между
Лос-Анджелесом и Сан-Франциско». Чтобы измерить эту цель, мы
можем использовать такие критерии, как число полетов в день,
максимальный или средний промежуток между рейсами по
расписанию. Первый и третий из предполагаемых критериев
определенным образом связаны. Если п — число рейсов в день и / —
средний промежуток между рейсами, то /=24/я.
Второй пример. Допустим, что X обозначает число
преступлений, раскрытых в одном районе, а У —число преступлений,
раскрытых в другом районе. Тогда, если нас интересует вопрос о
сокращении «преступности в обоих этих районах, мы можем
включить X и У в общий набор критериев. В то же время можно с
одинаковым успехом использовать среднее *исло преступлений
[{X+Y)/2] и разность между количеством преступлений,
раскрытых в обоих районах. Очевидно, что знания о результатах
программы борьбы с преступностью по этим двум критериям
эквивалентны знанию о результатах по критериям X и У. Решение о
том, какой набор критериев лучше применить, зависит от
будущего использования анализа, и особенно от 'возможности
нахождения оценок вероятностей и тюлезностей.
2.4.3. Иллюстративный пример из области медицинского
обслуживания. Здесь мы попытаемся связать вместе многие из тех
свойств, о которых говорилось выше. Как мы покажем, между
*) В § 4.11 мы рассматриваем пример, когда один критерий является и
всесторонним, и объективно измеримым, и тем не менее этот критерий нужно
было разделить на несколько критериев более низкого уровня, чтобы цели
стали действенными и значимыми для лица, принимающего решение.
66

этими свойствами существует тесная связь. Совершенно ясно
также, что та степень, с которой определенный набор критериев
удовлетворяет одной метацели, может быть повышена только за
счет степени его удовлетворения другим метацелям.
Рассмотрим упрощенную медицинскую проблему из гл. 1. Врач,
который намерен проделать сложную операцию, имеет общую
цель «сделать все для пациента наилучшим образом». Пока что
мы не будем уточнять, кому принадлежит цель — врачу или
больному. Допустим, что эта цель подразделяется на подцели «свести
к минимуму стоимость» и «избежать летального 'исхода». В этом
случае, как мы уже говорили, для этих целей могут
попользоваться критерии общей стоимости в долларах и вероятности
летального исхода. Отсюда, если <мы обозначим общую цель через У„
стоимость ('в долларах) через Хи а вероятность летального
исхода через Хг, то получим Y=X\XX2. Обладает ли У свойством
полноты? Поскольку мы уже много обсуждали желаемые
качества критериев для целей нижнего уровня, допустим, что
критерии Х{ и Х2 удовлетворяют этим требованиям. Вопрос о
полноте У теперь сводится к тому, охватывают ли цели «свести к
минимуму стоимость» и «избежать летального исхода» все важные
аспекты проблемы. Как показано в начале § 2.2, наш вывод а
том, что все важные аспекты проблемы включены в набор целей,,
будет зависеть главным образом от возможности выбора
дополнительных целей и проведения дополнительного рассмотрения.
В нашем примере можно считать, что степень страданий и
боли, которые больному придется перенести, является достаточно
важной причиной, чтобы повлиять на решение, и, следовательно,
должна быть представлена в виде цели. Формально это можно
сделать, включив целЬ «уменьшить боль». Теперь мы будем иметь
три подцели для одной общей цели. Первые две цели были
неполными.
Следующий шаг — найти меру эффективности для цели
«уменьшить боль». Как уже говорилось, это может быть трудной
задачей, так как измерить боль невозможно. Но можно установить
субъективный показатель, подходящий для нашей цели*). Однако
следует не забывать о том, что этот показатель должен быть
понятен и приемлем как для врача, так и для «пациента. Другими
словами, он должен быть действенным.
Как следствие этого, мы вынуждены искать другой критерий
для передачи силы боли, который будет действенным и обладать
насколько это возможно другими желательными свойствами.
В этом случае может быть полезен такой критерий, как «число
дней, в течение которых больной вынужден находиться на
постельном режиме». Хотя он не указывает прямо на силу боли, этот
критерий в определенной мере связан с силой боли, переносимой
*> Интересным примером в этом же духе является разработка показате-»
ля тяжести ожогов, содержащаяся в работе Густафсона и Холлувея A974)О
Краткое изложение этой работы дано в работе Книипрета и др. A974).
67

больным. Такие критерии, «называемые нами
'критериями-заместителями, подробно описываются © § 2.5.
.Допустим тем не менее, что больной и врач смогут
использовать субъективный показатель для цели «уменьшение боли», и
допустим также, что этот «критерий 'наряду с числом дней,
проведенных на 'постельном режиме, стоимостью и вероятностью
смертельного исхода предлагается в составе набора из четырех
критериев для формализации проблемы. В этом случае вы вправе
предположить, что критерий «дни постельного режима» может
быть исключен из предложенного набора критериев, так как этот
критерий является избыточным при наличии показателя силы
боли.. Таким образом, число -критериев уменьшится на единицу, что
весьма желательно. По этой же причине кто-то другой может
предложить 'исключить показатель силы боли, оставив критерий
«число дней постельного режима». Какое «из этих решений лучше,
нужно взвесить лицу, принимающему решение, и его выбор
должен зависеть от того, насколько остающиеся критерии
удовлетворяют различным свойствам, желательным для выбираемого
набора критериев.
Идя дальше, мы можем решить, что при определенных
обстоятельствах критерии «общая стоимость» и «число дней постельного
режима» очень тесно связаны. Последний критерий, как мы уже
знаем, может быть непосредственно отнесен к силе боли. Таким
образом, можно исключить из первоначального 'Списка и
стоимость, и субъективный показатель боли, и тем не менее у нас
останется полный набор критериев: «число дней постельного
режима» и «вероятность летального исхода». В этом наборе нет
избыточности, и он имеет минимальную разумную размерность.
Обсуждение, проведенное <в предыдущих параграфах, должно
привести к пониманию,того, что наборы (критериев не являются
однозначно определенными. Выше было описано несколько таких
наборов, которые можно применить в той или иной конкретной
медицинской задаче.
2.5. КРИТЕРИИ-ЗАМЕСТИТЕЛИ И ПРЯМЕЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ПРЕДПОЧТЕНИЙ
В этом параграфе мы рассмотрим старую проблему, уже
давно стоящую перед аналитиками: «...а что делать, если мы
установили подходящую иерархию целей (и не можем найти разумные
критерии для некоторых целей нижнего уровня? Мы же не
можем бесконечно прибегать к разбиению 'целей, как можно было
бы предложить. Более того, если бы мы продолжали такое
разбиение достаточно долго, то любые из целей нижнего уровня не
смогли бы выдержать тест на важность; отсюда при дальнейшем
анализе они были бы исключены, и мы оказались бы без
критериев для некоторых аспектов иерархии». Что же делать?
Во многих случаях можно использовать критерии-заместители
и прямые измерения предпочтений. Эти два понятия могут помочь
преодолеть стоящие перед нами трудности. Правда, их использо-
68

вание открывает дополнительные возможности для
проникновения ошибок в анализ, но без них мы зачастую можем работать
только с «половиной проблемы». Рассмотрим, что имеется в виду
под этими понятиями и когда и как их следует использовать.
2.5.1. Критерии-заместители. Критерий-заместитель — это
такой критерий, который только косвенно характеризует -степень
достижения связанной с ним цели, но не является средством
непосредственного измерения для этой цели. Таким образом
критерии-заместители лишь косвенно измеряют достижение
сформулированной цели.
В сущности, все критерии являются «заместителями», так как
ничто не поддается абсолютному измерению. Существуют только
в той или иной степени приближенные способы прямого
измерения цели. Не будем начинать философскую дискуссию: она не
будет достаточно плодотворной, а проиллюстрируем некоторые
моменты на примере.
Нам понадобятся некоторые 'математические символы. Допус-
. ти)м, что в данном контексте мы имеем вполне естественный на-
, бар целей нижнего уровня, измеряемых с помощью критериев
. Хи ..., Xiy ..., Хп. Допустим далее, что лицу, принимающему
решение, будет сравнительно легко выразить свои предпочтения
относительно наборов численных значений критериев,
представляемых в виде х= (хи ..., хп). Предположим теперь, что по
причинам, связанным с измерениями, оказывается невозможно
использовать набор критериев X. Например, в задаче принятия
решения, относящейся к выработке стандартов состояния окружающей
среды, нас может интересовать набор критериев Ху
характеризующих состояние здоровья. Мы можем просто многого не знать
О. связи между наборами уровней загрязнения (обозначим эти
. уровни у=i@i, ..., у'j, ..., yr)y где yj> например, может быть годовой
массой твердых частиц, выбрасываемых в воздух Нью-Йорка, в
тоннах) и итоговыми значениями критериев для определения
состояния здоровья x=«(jci, ..., хп). Однако для каждого у мы мо-'
жем подобрать распределение вероятностей для наборов х,
связанных с этим у. Если их{х) обозначает полезность состояния
здоровья х, то мы можем вычислить индуцированную функцию
полезности иу для фиксированных уровней у, приняв tfy(y) =
= Ех\уих(х), где оператор Ех\у означает нахождение
математического ожидания случайной «векторной величины х с
использованием условного распределения вероятностей величины х при дан-
ном у. Это показано на схеме рис. 2.4. Ветвь у приводит к
«вилке» возможных х (континуму возможных значений х) в я-мерном
пространстве. Затем мы находим значение полезности их(х) для
каждого состояния здоровья х и далее определяем средние
значения этих полезностей по «вееру» возможных х, используя
условное распределение вероятностей для х при заданном у. В
результате мы получаем значение полезности иу(у) в точке В на
рис. 2.4. Эта процедура повторяется для каждого у. Далее мож-
69

но применить обычный способ — двигаясь в обратном
направлении, установить распределения вероятностей для у, а затем найти
среднее значение в точке Л, и т. д.
Такая процедура может быть особенно желательной, когда
принимаемые решения имеют своей целью «улучшить жизнь» в
зя/уестц/яеяи
\ •
Рис. 2.4. «Индуциро-
Дероят//ош#сгя ванная» функция по-
/геря 0/?Я (S\(/J лезности uY
плане значений критериев X, однако само наше воздействие (в
результате реализации принятых решений) непосредственно
будет направлено на изменение значений 'критериев У.
Использование «индуцированной» функции полезности Uy может
существенно сократить работу, поскольку далее к той (и, возможно,
являющейся основной) части модели, которая связана с нахождением
Ыу, уже можно не возвращаться, разве только из
предосторожности целесообрзно проводить ее периодический критический
анализ.
Когда имеется (Несколько критериев X и лишь один критерий
У, мы получаем эффективный способ решения
многокритериальных задач, пользуясь гораздо более простой, одномерной схемой.
Так обстоит дело в примере с состоянием воздушной ореды, где
У — единственная переменная, на которую влияют выбираемые
альтернативы решения.
А теперь представим, что у нас нет достаточно надежных
данных относительно распределения вероятности для «вилки»
возможных значений х в точке 5. В этом случае мы можем дать
субъективную прямую оценку наших предпочтений или полезно-
стей для возможных конфигураций у. Таким образом, используя
переменные-заместители у вместо переменных х, мы убираем
«вилку» этих возможных значений х, начинающуюся в точке В (см.
рис. 2.4), и мысленно производим неформальный синтез для
прямой оценки функции «у(-).
Укажем при этом, что различные лица, принимающие
решения, используя одни и те же переменные-заместители у, могут
давать различные оценки для uY, поскольку у них могут быть
разные мнения относительно: а) значений функции полезности их*
б) распределений вероятностей (х[у), и кроме того, из-за
расхождений, возникающих из-за неформального синтеза полезностей и
вероятностей.
2.5.2. Пример: служба скорой помощи. Общую цель службы
скорой помощи можно сформулировать как «доставка больного в
70

больницу в наилучшем состоянии, возможном при данных
обстоятельствах». Поскольку эта цель не имеет очевидного критерия,
допустим, что она подразделена на цели: «сократить до
минимума вероятность летального 'исхода до прибытия в больницу» -и
«сократить вероятность прибытия в (критическом состоянии». Для
этих целей подходящими критериями могут быть процент
больных, умерших до прибытия, и процент больных, находящихся в
критическом состоянии. Однако трудность «состоит в том, как
определить понятие «критическое состояние». Более того, больной
может получить превосходную медицинскую помощь и все-таки
умереть по пути в больницу. В этом случае результат нельзя
описать с помощью критерия, характеризующего качество работы
службы скорой помощи. Но как отличить этой случай от того,
когда плохая медицинская помощь способствовала смерти
больного? Может оказаться так, что невозможно будет -найти
подходящие критерии, которые могут прямо указать на степень
достижения целей.
И Савас A969), и Стивенсон A972) в проблеме анализа
систем скорой помощи использовали критерий-заместитель «время
(или период) реагирования» *>. Они определили этот критерий как
время, истекшее между получением вызова скорой помощи и
прибытием машины к больному. «Время доставки» — время между
получением вызова и прибытием больного в больницу — другой
критерий-заместитель, 'используемый при исследовании
эффективности работы службы скорой помощи. Предпосылка такова: более
краткие времена «реагирования» и «доставки» способствуют
достижению общей цели системы скорой помощи. И, поскольку
такая связь существует, они могут использоваться как критерии,
которые отражают степень достижения этой цели **>.
2.5.3. Ум как инструмент неформального синтеза. Когда мы
пользуемся критериями-заместителями, лицу, принимающему
решение, приходится дополнительно мысленно обрабатывать
полученную информацию при выборе лучшей альтернативы. Оно
должно неформально решить, какова степень приближения к цели
при тех или иных значениях критериев-заместителей.
Этот момент можно пояснить, рассмотрев дальше пример
службы скорой помощи. Обратимся к рис. 2.5. Входными
переменными являются: N — число машин скорой помощи, К — размещение
машин скорой помощи, М—количество и качество персонала
системы.
*> В технических системах обычно используется термин «время отклика»
системы. (Прим. ред.)
**> Время реагирования использовалось в качестве критерия-заместителя при
анализе и других спасательных служб. Например, Лареон A972) использует
критерий «время реагирования полиции» при оценке различных вариантов
размещения участков городской полиции, а Картер и Игнолл A970) применяют
такой же критерий для различных технических средств, прибывающих по
вызову, <при сравнении различных способов организации работы пожарного
управления Нью-Йорка. В § 7,3 рассматривается возможность объединения
времен реагирования этих средств в общий показатель «оценки реагирования»
при возникновении пожаров.
71

Хотя 'наше изложение может оказаться расплывчатым,
попытки уточнения только осложняют его. Мы стремимся лишь к
следующему: измерить ту степень достижения целей, которая
определяется критериями X и У, отражающими соответственно
процент больных, прибывающих -в больницу в критическом состоянии
йходше
Число
Система
г;
' скорог}/гомози
'Размещение
маи/ин
М
скорой ромощи Г
Квалификация и \
количество v
системь/
с/fopou помощи
Время
реаеи-
родиния
время
доставки
Результаты
Процент #олжш;
t/мерших
0 рути
фоцент долбНь/Х
0 тяжелом
! состоянии
Рис. 2.5. Критерии-заместители для упрощенной модели системы скорой помощи
и умирающих в пути. Это можно считать выходными данными
системами. Решения влияют на входные переменные, достижение
цели измеряется выходными результатами.
Однако мы только что указывали, что использование X и Y
может оказаться малопригодным для оценки решений, и в
качестве альтернативы предложили использовать для оценки время
реагирования \R и ©ремя доставки Т. Если-бы наша модель
давала нам все, что нужно, мы бы могли ^получить функции
плотности вероятности для X и У, зависящие от каждого возможного
решения. Однако она этого не дает, поэтому мы должны
обратиться к функциям плотности вероятности для R и Г. Поскольку
X и У некоторым образом стохастически связаны с R и Т, то эту
связь мы представим в форме
x=fi(r,ty e3) и y=/2(r, ty eA)y
где вг — случайные факторы, отличные от времени реагирования
и времени доставжи, а также случайные помехи *>. В нашей
модели не конкретизирован вид функций f\ и /2, по этой причине мы
не можем получить функции плотности вероятности для X и У.
Величины R и Т являются функциями N, К и Му и модель дает
нам
r=gi(k, m, п, е{) и t=gi{ky my ny e2),
где gi и g2 и есть эти функции.
*> Малые буквы будут обозначать конкретные значения переменных и
критериев, т. е. конкретное значение времени реагирования R будет г.
72

Что мы теряем, 'используя R и Т вместо X и У для оценки
различных курсов действия? Очевидно, когда оды просим лицо,
' принимающее решение, выразить свои предпочтения для
различных значений R и Г, оно делает это, рассматривая воздействия,
которые R и Т оказывают на X и У. Но для этого необходимо
представление о функциях f\(r, /, ?3) и Ыг> ^> ?4) или по крайней
мере понимание того, как различные значения R и Т будут
способствовать достижению общей цели доставки больных в наилуч-
. шем состоянии, возможном при данных обстоятельствах. По
существу введение критериев-заместителей основано на том, что в
сознании лица, принимающего решение существует определенная
модель системы. А именно этого мы бы зачастую хотели
избежать, та-к как в сложных проблемах обычно бывает слишком
много информации, которую приходится обрабатывать таким
образом. Однако если даже этого не удается избежать, то после
тщательного размышления лицо, принимающее решение, все же
сможет дать полезную совокупность отношений между
критериями-заместителями и первоначальными целями. Пожалуй, можно
сказать, что чем меньшая часть модели должна неформально
анализироваться лицом, принимающим решения, тем более точно
квалифицированные предпочтения отражают его истинные
предпочтения, основных целей. По этой причине Хатри A970)
предостерегает против чрезмерного использования критериев-заместителей,
даже если их легче использовать аналитически или они более
легко 'воспринимаются.
Критерии R и Т все-таки 'могут быть полезны, даже если
набор Xf У неполон. Допустим, например, что окажется
необходимым третий критерий Z, отражающий «годовую стоимость
системы скорой помощи». И вновь могут возникнуть трудности с
использованием X и У, тогда как Z может оказаться вполне
адекватным критерием с точки зрения стоимостных соображений.
В таком случае R и Т снова могут использоваться вместо X и У,
характеризуя качество обслуживания, тогда набор /?, Т и Z будет
удовлетворять нашим требованиям, предъявляемым к
выбираемым наборам критериев.
Допустим, что при анализе службы скорой помощи мы не
смогли составить какую-либо аналитическую или имитационную
модель, т. е. не смогли соотнести входные и выходные данные или
входные данные и те наборы критериев-заместителей, которые мы
считали подходящими для нашей проблемы. В этом случае лицу,
принимающему решение, придется, вероятно, составить «какой-то
аналог подобной модели, соотнести возможные значения входных
данных и получаемую степень достижения сформулированных
целей. Лицо, принимающее решение, должно дать оценку. своих
предпочтений относительно различных уровней К, М и N,
рассмотрев их воздействия на X и У. И эти три переменных можно
также считать еще одним набором критериев-заместителей,
который нам может понадобиться, чтобы «вновь приняться» за наш
анализ. Это свидетельствует о двух моментах: набор критериев-
73

заместителей может быть не единственным и, кроме того,
критерии-заместители могут подходить в (разной степени. Это значит,
что одни наборы критериев-заместителей теснее связаны с
основными целями, чем другие.
2.5.4. Общие критерии-заместители. Ранее в этом параграфе
мы отмечали, что в принципе все критерии могут считаться
критериями-заместителями, так как нет инструмента для полного и
точного измерения всего того, что нас интересует. Но очеведио,
что некоторые критерии — «заместители в меньшей степени», чем
другие. Укажем несколько критериев, которые настолько широко
используются, что мы часто <не считаем их
критериями-заместителями.
Лучшим примером здесь будут критерии «благосостояние»,
«доход» и «прибыль», которые связаны с часто выдвигаемой
целью «максимально увеличить прибыли». Однако является ли
основной целью накопление ради накопления, или накопление
ради другого — ради потребления, возможности осуществлять свои
идеи и т. д. — всего того, чего можно добиться с помощью денег?
Возможно, во многих случаях последнее оказывается более
важным, поэтому прибыли можно считать критерием-заместителем.
Другой похожий пример связан с показателем «доля участия
в рынке», которым многие крупные фирмы пользуются для
оценки своего относительного положения. Но этот показатель часто
может быть критерием-заместителем для таких «'неуловимых»
явлений, как престиж и власть. Либо «доля участия в рынке»
может быть заместителем с точки зрения будущих прибылей,
которые, в свою очередь, могут являться заместителем других, более
общих критериев.
Во м'ногих проблемах введение критериев-заместителей .просто
'необходимо для того, чтобы действенно устранять многие труд-
«ости.
2.5.5. Прямые измерения предпочтительности. Как в случае
критериев-заместителей, так и в случае субъективных
показателей -нам необходимо получать распределение вероятностей для
различных возможных уровней критериев, установить числовые
значения функции полезности для этих уровней и, наконец,
подсчитать ожидаемую полезность по выбранным критериям для
каждого кур&а действий *>. Результатом для каждого курса дей-
ств'ий будет свое конкретное число (ожидаемая полезность по
критерию У), указывающее предпочтительность этого курса действий
по сравнению с другими (применительно к рассматриваемой
конкретной цели). В некоторых случаях нахождение распределений
вероятностей и определение условной функции полезности,
возможно, окажется слишком затруднительным (или просто
невозможным). Есл(и это так, то лицо, принимающее решение, может
предпочесть (или, возможно, будет вынуждено из-за отсутствия
*> Говоря точнее, мы должны рассматривать условные полезности и
ожидаемые условные полезности У для различных значений других критериев.
74

других альтернатив) ввести в качестве критерия субъективный
показатель — оценку полезности различных курсов действий.
Чтобы проиллюстрировать эту мысль «а простом примере,
рассмотрим компанию, 'имеющую две цели: «максимально увеличить
прибыли» и «максимально улучшить репутацию фирмы». Пусть X
и Y обозначают соответствующие 'критерии для этих целей. Для
X мерой может быть «прибыль в долларах», но для У, похоже,
«нет ясного объективного показателя. Оправиться с этим можно
тремя путями: с помощью субъективного показателя, критерия-
заместителя и прямых измерений предпочтительности. Процедура
получения субъективного показателя должна быть уже достаточно
ясной. Мы пытаемся составить шкалу градаций репутации,
подходящую для нашей проблемы. Затем для каждой альтернативы
находится распределение вероятностей возможных значений У.
Далее переходим к, нахождению числовых значений функции
полезности, построенной для критерия У. Ожидаемые условные
полезности — условные по критерию X, значения которого являются
фиксированными, можно затем вычислить для каждой
альтернативы и использовать в последующем анализе *\
При использовании критерия-заместителя также необходимо
произвести оценки распределения вероятностей значений У
(являющегося теперь критерием-заместителем) для каждой
альтернативы и условной функции полезности. И снова для каждой
альтернативы вычисляются ожидаемые условные полезности.
Иначе обстоит дело при прямом измерении предпочтительности.
Лицо, принимающее решение, должно непосредственно установить
условные ожидаемые полезности возможных результатов с точки
зрения достижения цели «улучшение репутации». За счет этого
удается избежать точного формального определения критерия для
цели «улучшение репутации», оценки условных распределений
вероятностей и условных функций полезности. Однако этот способ
требует серьезного и вдумчивого подхода со стороны лица,
принимающего решение.
Миллер A969) использовал некоторые прямые измерения
предпочтения при структуризации процесса принятия решения в
задаче выбора среди различных возможностей найма на работу. Он
пользовался тремя критериями для описания таких аспектов
профессий, которые делают их привлекательными. Это были: личный
интерес к технической стороне дела; степень разнообразия,
присущая этой работе, и 'возможность обучения руководству и
ведению дела. По этим трем критериям были найдены прямые
оценки предпочтений для четырех различных профессий. Еще один
случай применения прямых измерений предпочтений описан в
*> В этом параграфе мы все время подразумеваем, что критерий X не
изменяется. В гл. 5 формулируются условия, при которых имеет смысл
вычислять ожидаемую полезность по одному критерию, тогда как значения
остальных критериев остаются неизменными и зафиксированными на подходящих
уровнях.
75

гл. 8 при исследовании динамики развития аэропорта Мехико-
Сити.
2.5.6. Некоторые замечания о критериях-заместителях и
прямых измерениях предпочтительности. В тех случаях, когда
необходимо использовать критерии-заместители или проводить прямые
измерения «предпочтительности, важно найти такие критерии,
которые знакомы и понятны лицу, принимающему решение.
Например, руководители пожарного управления привыкли пользоваться
таким критерием, как «время реагирования». Если мы попросим
работника пожарного управления дать его оценку своих
предпочтений, то он сможет соотнести «времена реагирования» с
достижением основных целей. Точно так же можно ожидать, что
политический деятель сможет непосредственно указать
предпочтительность различных альтернатив, сравниваемых по 'критерию
«политический эффект». В обоих случаях мы просим лицо,
принимающее решение, сконцентрировать свой многолетний опыт для
выражения своих предпочтений. Чем больше руководитель привык
мыслить, используя критерии, тем легче ему будет выразить свои
предпочтения и тем вероятнее, что он сможет понять и осознать
сложные связи между критериями, альтернативами и основными
целями.
Второй момент очевиден для большинства читателей: для
каждого предлагаемого нами критерия-заместителя мы можем легко
найти связанную с ним «цель-заместитель». Например, цель
«свести к минимуму время реагирования службы скорой
помощи» является целью-заместителем. Мы особо говорим об этом по
той причине, что в избыточных наборах критериев может легко
произойти путаница. Если мы составим иерархию целей для
службы скорой помощи из целей «сократить время реагирования»,
«сократить процент смертности до прибытия в больницу»,
«сократить процент прибытия в тяжелом состоянии» «и т. д., мы можем
в конце концов получить избыточность в окончательном наборе
критериев. «
Наконец, отметим, что в большинстве наших примеров
улучшение показателей работы той или 'иной системы, описываемое
с 'помощью критериев-заместителей, способствует достижению
основных целей. Например, уменьшение времени реагирования
способствует «доставке больного в больницу в наилучшем,
насколько возможно, состоянии». Для некоторых проблем может быть
более удобным контролировать деятельность той или иной
службы по критериям-заместителям, которые достаточно хорошо
соответствуют достижению основных целей. Например, одной из целей
городской санитарной службы может быть «поддержание чистоты
улиц». Критерием, который можно использовать для непосредст- •
венных измерений в этом случае, будет «грязь и мусор в фунтах
на сто ярдов улицы». Такие, критерии-заместители, как «число
уборок мусора в неделю» и «временные интервалы между
уборкой улиц», характеризуют деятельность, которая способствует;
достижению основной цели. С другой стороны, такой критерий-
76

заместитель, как «число жалоб жителей на грязные улицы, за
неделю», также косвенно характеризует уровень обслуживания.
В этом случае лучшее обслуживание с точки зрения основной
цели влечет за собой повышение эффективности работы,
измеряемой критерием-заместителем.
2.6. ВЫВОДЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ АСПЕКТОВ
КОНКРЕТИЗАЦИИ ЦЕЛЕЙ И КРИТЕРИЕВ
Всякая попытка формального анализа решения сложной проб-
лемы требует формулирования целей лвда, принимающего
решение, и определенных критериев, применяемых для указания
степени достижения этих целей. К сожалению, 1мы не получаем эти
цели и критерии готовыми, приступая к анализу.
Взаимосвязанные процедуры формулирования целей и определения критериев
имеют по своей природе творческий характер. Поэтому
невозможно установить такую процедуру, которая шаг за шагом вела бы
к нужному набору целей и критериев.
В этой главе мы пытались достичь следующего: установить
основные вехи на пути осуществления необходимого
мыслительного процесса. Для начальной стадии этого процесса мы
предложили ряд приемов, которые должны помочь лицу, принимающему
решение, и (или) аналитику провести необходимый анализ при
формулировании целей. Для конечной стадии мы предложили
некоторую совокупность требований, которым должны
удовлетворять выдвигаемые цели и предполагаемые критерии. Получаемый
в итоге набор критериев имеет решающее значение в
последующем анализе. Поскольку далеко не всегда удается найти хорошие
критерии для измерения всех целей в сложных проблемах, нами
приведены и объяснены на примерах при конкретных приема
работы в этом случае — субъективные показатели,
критерии-заместители и прямые измерения предпочтений.
Прежде чем закончить эту главу, попробуем критически
проанализировать проведенное нами рассмотрение. Возможно, что
самым большем недостатком использования большого количества
примеров, как делали мы, является то, что основная мысль
неизбежно теряется за теми или иными моментами примера (первое,
важнее второго). В основном это происходит потому, что
реальность теряется при попытке сжать проблему для письменного
изложения, а затем вновь выделить ее в «чистом» виде. Без такого
сжатия наши идеи, возможно, затерялись бы в обилии слов,
необходимых для адекватного описания всех аспектов проблемы. Приг
формировании разумной «иерархии целей и связанных с ними
наборов критериев появляется много таких дополнительных
факторов, которые мы здесь не рассмотрели. Процесс определения
целей происходит не в вакууме. В ходе его выполнения мы можем
получать соответствующую информацию о том, какие данные нам
доступны, каково качество и. количество других средств
информационного обеспечения (например, вычислительных машин), что
77

нас ограничивает ('например, время, политические соображения),
каков диапазон альтернативных курсов действий и т. д. Все эти
факторы 'могут значительно повлиять на 'используемую иерархию
целей 'и выбор критериев.
Наша мысль должна быть ясна. Хотя мы и предложили
некоторые пути, которые могут помочь в выборе •иерархии целей и
связанных с ними критериев, мы считаем ;нашу работу далеко не
завершенной. И будет 'неверно считать, что наши предложения
могут заменить собой серьезные раздумья и 'изобретательность.
ГЛАВА 3
ЗАМЕЩЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Сложность многих проблем принятия решений связана с
наличием нескольких противоречивых целей. Часто не существует
доминирующей альтернативы, которая лучше всех других
альтернатив с точки зрения всех этих целей. Возможно, что «некоторые
из исходных альтернатив 'могут быть исключены из дальнейшего
рассмотрения, так как они доминируются, но в общем
случае просто невозможно 'максимизировать несколько целевых
функций одновременно. Невозможно максимизировать прибыль и
в то же ©ремя минимизировать издержки: нельзя
максимизировать доход и минимизировать риск; невозможно разделить торт
так, чтобы каждому ребенку дать наибольший кусок. В
литературе постоянно встречаются риторические призывы, требующие
удовлетворить «наилучшим образом» требования каждого
человека, в каждом возможном отношении, в кратчайшее время, с
наименьшими неудобствами и максимумом безопасности для всех.
К сожалению, это не более, чем романтическая мечта!
3.1. МНОГОМЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ
Нашей задачей является исследование возможности взаимной
компенсации значений различных критериев или; иначе говоря,
возможности «замещения по ценности». В этой главе мы увидим,
что можно сделать, систематизированно структуризовав такие
замещения.
По существу, принимающий решение постоянно сталкивается с
•вынужденной необходимостью замены одной цели достижением
другой. Если анализируемая проблема не связана с
неопределенностью, т. е. если нам заранее точно известны (пусть и
многомерные) последствия каждой из рассматриваемых альтернатив, то
существо вопроса состоит в следующем: «Сколько в степени
достижения цели 1 принимающий решение согласен уступить для
того, чтобы увеличить степень достижения цели 2 на некоторую
фиксированную величину?». Когда в рассматриваемой проблеме
78

существенную роль (играет также и неопределенность, вопрос о
замещениях остается, но трудности возрастают, так как не ясно,
каковы будут последствия применения той 'шги иной альтернативы»
Вопрос о замещении часто оказывается вопросом личной
оценки, и в этих случаях требуется субъективное мнение лица,
принимающего решение. Ответы на вопросы о возможности замещения
не могут быть правильными или же неправильными, поскольку
вполне естественно, что различные (индивидуумы могут иметь
совершенно разные структуры ценности. Если вопрос о замещении
требует глубокого размышления (а мы считаем, что в сложных
задачах часто так и бывает), то существуют две возможности
для его разрешения: 1) принимающий решение может
неформальным образом мысленно сопоставить рассматриваемые
возможности замещения или 2) он может явным образам формализовать
свою структуру ценностей и использовать ее для оценивания
конкурирующих альтернатив. Разумеется, возможны ситуации,
промежуточные между этими двумя крайними. В этой главе мы
обсуждаем некоторые методы, специально разработанные для того,
чтобы помочь лицу, принимающему решение, формализовать свою
собственную структуру ценности. Эти методы дают определенную
концентуальную основу, которая может быть им использована для
количественного выражения своих предпочтений.
3.1.1. Постановка задачи. Обозначим через а допустимую
альтернативу и через А множество всех допустимых альтернатив.
Каждому действию а из Л поставим в соответствие п числовых
показателей Х\(а), ..., Хп(а). Мы можем считать, что п
показателей Хи ..., Хп отображают каждое а из Л в точку /2-мерного
пространства исходов (последствий) действий, как показано на
рис. 3.1.
Рис. 3.1. Отображение дей- \^_у
ствий в последствия (ис- fjpOGmnaM/7?do //7роетра//с/770а
ходы) ёейетШ ' последствии (исходов)
Мы часто говорим о некотором критерии*) X, например,
таком, как эстетическая привлекательность проекта, и о функции
оценки X по этому критерию. Мы будем без оговорок
использовать один и тот же символ X как для критерия, о котором идет
речь, так и для функции оценки по этому критерию. Будет ясно,
о чем мы говорим, а иногда просто удобно не делать различия
между этими двумя понятиями.
В этой главе будем предполагать, что для описания исходов
(последствий) действий используется п критериев. Но, конечно.
*> См. сноску на стр. 45. (Прим. ред.)
79

мы должны помнить, что "на практике предварительно нужно
выделить и сформулировать эти критерии. Для решения этой
задачи могут оказаться полезными 'идеи, изложенные в гл. 2.
Заметим, что во ©сякой точке (хи х2> ..., хп) пространства
последствий мы не можем непосредственно сравнивать величины х\
и Xj при 1Ф]У ибо в большинстве случаев это было бы просто
бессмысленно, поскольку критерии Xi и Xj могут измеряться в
совершенно разных единицах.
Грубо говоря, задача лица, принимающего решение, состоит в
таком выборе а из Л, чтобы получить в наибольшей мере
устраивающий его «результат» Х\(а)у ..., Хп(а). Поэтому нам нужна
такая функция оценки, которая сводила бы совокупность Х\(а)9 ...
..., Хп(а) в скалярный показатель предпочтительности или
«ценности». В другой формулировке это равносильно заданию
скалярной функции и, определенной в пространстве последствий и
обладающей свойством:
V\(Xi, X2i ..., Xn)^v(x'U ХГ2у ..., *'n) f=4(*b *2, •••> Хп)>
где символ > означает «не менее предпочтителен, чем». Мы
будем называть функцию v функцией ценности. Эта функция в
литературе носит много других названий — порядковая функция
полезности, функция предпочтения, функция оценки или функция
полезности. При заданной функции v задача лица, принимающего
решение, сводится к выбору такого а в Л, которое
максимизирует v. Функция ценности v служит для косвенного
сопоставления важности тех или иных значений различных критериев (через
воздействие величин хи i=l, ..., п, на v).
3.1.2. Построение и содержание главы. Наша главная цель —
показать каким образом можно установить структуру и построить
функцию ценности v. Было бы прекрасно, если бы нам удалось
найти некоторую функцию (назовем ее /) такого простого вида как
V{XU Х2у ..., Xn)=f[Vl(Xi)t V2(X2), ..., Vn(Xn)],
где V{ — одномерная функция ценности значений одного отдельно
взятого критерия Xi.
Иногда функция v в этой главе строится именно в таком виде.
Однако, прежде чем глубже 'вникнуть в эту проблему, мы
вначале обсудим некоторые понятия, которые не требуют полной
формализации структуры предпочтений. В некоторых случаях это
может дать нам информацию, достаточную для получения
достойного доверия решения. Затем мы рассмотрим структуру функции
ценности для двух, трех и более чем трех критериев в указанном
порядке. Это будет сопровождаться подробными примерами
построения многомерной (многокритериальной) функции ценности.
Многое в этой главе по сути дела носит объяснительный ха-
. рактер. Многие обсуждаемые понятия и результаты принадлежат
Дебре A960), Герману A968а, 19686), Крантцу и др. A971),
Леонтьеву A947а, 19476), Льюсу и Тьюки A964), Прузану и
80

Джексону A963) <и Тингу A971). Каждый важный результат
нашего рассмотрения будет представляться (для облегчения
ссылок) в виде теоремы, но во многих случаях формальные
доказательства будут опускаться, так как с н>ими можно ознакомиться
по оригинальным работам. Мы будем стараться, однако, вскрыть
идеи этих теорем при помощи некоторых «неформальных
доказательств». За это мы будем платить, в частности, тем, что в этих
неформальных доказательствах не будем, как правило, указывать
обычные предположения, .такие, как непрерывность, дифференцируе-
мость, существенность и разрешимость, которые часто
используются в формальных доказательствах. По существу, мы указываем
только на то, что действительно необходимо для нашей работы
для выяснения смысла, и 'останавливаемся только на простых, не-
патологических случаях. Затем, когда наше описание перестает
быть только «объяснительным», мы становимся 'несколько более
формальными <и аккуратными.
Параграф 3.9 является кратким путеводителем по литературе,
посвященной многомерным (многокритериальным) функциям
ценности.
Эта глава посвящена случаю принятия решений в условиях
определенности, когда каждой альтернативе ставится в
соответствие известный исход (последствие) в я-мерном пространстве.
В следующих главах мы рассмотрим вероятностный случай,
когда «результат» в пространстве исходов известен лишь в
вероятностном смысле. Методология, развитая для случая
определенности, будет полезна также для вероятностного случая.
3.2. ПРОЦЕДУРЫ ВЫБОРА, НЕ ТРЕБУЮЩИЕ ФОРМАЛИЗАЦИИ
СТРУКТУРЫ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Пусть действия а' и а" приводят к последствиям
х'= (*'ь ..., х'и ..., х'п) и х"= (x"i, ..., х"и ..., *"п),
где Xi(a') =x'i и Xi(a") =х"{ для /= 1, ..., п.
Кроме того, будем считать в этом разделе, что предпочтения *>
возрастают по мере роста значений каждого 'из Х^
3.2.1. Доминирование. Мы говорим, что х' доминирует над х",
когда
x'i^x"i для ©сех i, C.1)
xri>x"i хотя бы для одного L C.2)
Если х' доминирует «ад х", то действие а" не может
претендовать на то, чтобы считаться «лучшим действием», так как а'
является по меньшей мере столь же хорошим, как и а", по
каждому критерию (по каждой оценочной функции) [см. C.1)] и
*> Говоря более формально и используя терминологию, которая будет
введена позднее, мы принимаем, что каждый критерий Xi независим по
предпочтению, от множества остальных критериев (см. § 3.5) и что предпочтительность
возрастает по мере роста значений каждого из Хг.
81

строго лучше по крайней мере по одному критерию (по одной
оценочной функции) [ом. iC.2)].
В случае я=2 мы можем изобразить точки х' и х" графически
(см. рис. 3.2) и увидеть, что х' доминирует -над х" тогда и
только тогда, когда х' находится «северо-восточнее» от х".
Заметим, что идея доминирования использует только
ординальное свойство (упорядоченность) чисел в пространстве
исходов (т. е. для двух данных чисел ^==6 и л:"г = 3 нас интересует
лишь 'их соотношение x'i>x"i), 'но не кардинальное свойство этих
чисел (т. е. факт, что разница между 10 и 6 больше, чем между
6 и 3, или что 6 в два раза больше 3). Заметим также, что
доминирование не требует
сравнений x'i и x'j при 1ф].
3.2.2. Эффективная
граница. Для любого
(допустимого) действия аеЛ
существует отвечающее ему
последствие х в /г-мерном
пространстве X, для которого
Xi=X,i(a) для каждого и
Пусть R — множество
последствий в n-мерном прост-
Рис. 3.2. Доминирование по двум критериям ранстве, соответствующее
действиям из Л. Множество
R является множеством изменения вектора X, составляющие
которого суть значения оценочных функций Хи ..., ХП7 определенных на
области А.
Рисунок 3.3 изображает различные возможные варианты Rf
когда п=2. У нас еще будет возможность обсудить эти
качественно различные случаи*).
Множество недоминируемых исходов в R будет называться
эффективной границей R. Оно известно также под названием
«оптимального по Парето множества». На рис. 3.3 эффективные
границы жирно очерчены. Так, на рис. 3.3, а выбор х" может быть
исключен, потому что существует последствие х' на эффективной
границе, которое доминирует над х". На рис. 3.3, в последствие
хC) эффективно (т. е. лежит на эффективной границе), хотя оно и
находится, так сказать, в местной долине. На рис. 3.3, г
множество R состоит из отдельных последствий и эффективная граница,
отмечена жирными точками. Случаи, «изображенные на рис. 3.3, а
и б, .наиболее просты для аналитического изучения, поскольку
*) Мы не хотим излишне беспокоиться о математических деталях, но мы
как-то должны исключить патологические случаи, ибо иначе можем
столкнуться с неприятностями. Мы полагаем, что область R ограничена и содержит все
свои граничные точки. Иными словами, мы хотим полностью исключить
случай, когда существует последовательность точек х*1), х<2>, ..., х(т>, ... в R
такая, что каждая точка последовательности доминирует над всеми
предшествующими точками, и в то же время последовательность сходится к некоторой
точке х*, которая не принадлежит R.
82

множества последствий выпуклы и эффективные границы
непрерывны. Отметим, однако, что понятие выпуклости требует
использования кардинальных (а не ординальных) величин.
В некоторых случаях, когда эффективное множество может
быть изображено графически, зачастую бывает сразу же ясно,
«какой х следует выбрать. Например, на рис. 3.3, б естественно выде-
В)
Рис. 3.3. Эффективная граница для различных множеств последствий,
характеризуемых с помощью двух критериев
ляется точка х*, поскольку при небольшом отклонении от х* мы
должны пожертвовать слишком многим по одному критерию,
чтобы выиграть немного по другому критерию. Делая это последнее
замечание, мы неявно использовали кардинальные 'понятия, но
при наличии естественных единиц для оценочных функций ^i и
Х2 смысл такого количественного замещения может быть
очевидным. Мы не говорим, что та1к обязательно будет, но так может
быть.
При я>3 мы не можем графически изобразить R и его
эффективную границу. В следующих двух пунктах мы -изложим два
способа, 'при помощи которых принимающий решение может
«перемещаться» по эффективной границе для того, чтобы выделить
точку, которая представляется ему достаточно хорошей. В
последующих параграфах будут описаны процедуры, которые могут
быть использованы для формальной структуризации предпочтений
относительно различных точек в пространстве оценок. А сейчас
посмотрим, что можно сделать, не уточняя структуры
предпочтений полностью.
3.2.3. Исследование эффективной границы: использование
искусственных ограничений *>. Перед лицом, принимающим решение,
стоит следующая задача. Оно должно выбрать действие аеЛ,
такое, чтобы быть «удовлетворенным» полученным я-мерным
результатом Х\(а)у Х2(а)у ..., Хп(а). Одна из процедур, которую оно
может .использовать, состоит в том, чтобы указать некоторые
«уровни притязаний» х°и х°2> ..., х°п для каждого из п критериев
*) К работам, в которых рассматриваются вопросы, обсуждаемые в этом
пункте, относятся статьи Дайера A972), Джоффриона, Дайера и Файнберга
A972), Кормблюта A973), Руа и Шредера A974).
83

и сформулировать строгую математическую задачу: установить
существует ли действие аеЛ такое, что
Xi(a)^x°i для /=1, ..., л? C.3)
Можно ли удовлетворить эти взаимосвязанные притязания?
Если нет, то лицо, принимающее решение, должно изменить свои
притязания на некоторую точку х'\, *'2, ..., х'п. Если да, т. е. если
существует действие а+, удовлетворяющее C.3), то, хотя мы
зна-ем, что Хг(а+)^х°{ для /—1, ..., п, мы еще «не знаем, является
ли точка (Xi(a*-)9 X2(a+)t ..., Хп(а+) эффективной. Она может
быть доминируемой. Мы можем продолжить нашу процедуру,
назначив другой уровень 'притязаний (х'и ..., х'п), где
x'i=Xi(a+)+Au i=l, .-, л,
и где Аг — приращение, выбранное интуитивно с учетом
желаемого и реального. Та'ким образом, принимающий решение может
итеративно исследовать границу или «почти границу» множества R.
Основываясь на своих неформальных «предпочтениях, он может
выбирать последовательность уровней притязаний, и,
соответственно, перемещаться по области R до тех пор, пока у него хватит
терпения или пока он не сочтет, что в дальнейшем ожидаемая
выгода от продолжения зондирующей процедуры не стоит
затрачиваемого времени и расходов, связанных с выполнением анализа.
Возможно, более целесообразным является модифицированный
вариант этой «процедуры, который состоит в том, чтобы назначать
уровни притязаний для всех критериев кроме одного.
Предположим, например, что лицо, принимающее решение, выбрало уровни
притязаний х°2, а:°з, ..., х°п и отыскивает действие а^Л, которое
удовлетворяет наложенным ограничениям
Xi(a) ^x°i для i^=2, 3, ..., п C.4)
и максимизирует Х\(а),
Эта математическая задача имеет форму «стандартной
оптимизационной задачи». Если допустимого решения не существует
[т. е. никакое действие а^А не удовлетворяет C.4)], то,
очевидно, 'притязания х°2, ..., х°п должны быть -изменены. Но даже если
допустимое решение существует, (Максимальное значение Xi(a)
может 'быть неожиданным для принимающего решение. Если это
значение слишком мало или слишком велико (по сравнению с тем,
которое он «ожидает»), он может изменить первоначальные
уровни притязаний х°2, ..., х°п и повторить процедуру.
Обозначим максимум Х\(а) <при ограничениях а^А C.4) через
М\(х°2> ..., х°п). Это обозначение подчеркивает, что максимум
зависит от уровней притязаний х°2, ..., х°п. Часто оказывается так,
что метод решения стандартной оптимизационной задачи
позволяет получить также скорости изменения Мх при ослаблении
каждого из ограничений (в то время как все остальные ограничения
остаются фиксированными). Говоря математическим языком, мы
получаем частные производные —^- Mi(*°2, ..., х°п) для /=2, ..., п*
84

Тогда принимающий решение имеет в своем распоряжении
довольно много информации. Он выбирает х°2, ..., х°п и затем в
результате анализа получает
-^-Л^,..., хп) для / =
*;
п
Теперь он должен .решить, удовлетвориться ли тем, что есть, или
же зондировать дальше. Если он решает продолжить свои поиски
«удовлетворительного решения», то он может выбрать какой-либо
из индексов / (т. е. критерий Xj) и исследовать поведение
Mi (х°2, ..., *°j-i, Xj, x°j+u .-, х°п) как функции от Xj, Иными
словами, он может сохранить овсе прежние ограничения (кроме
касающихся Xj) и (последовательно наблюдать, что /происходит с Мх при
изменении Xj в заданном интервале. Несмотря на то, что значение
Mi в точке x°j уже известно и известна также производная в этой
точке, однако эта дополнительная информация может оказаться
весьма полезной, тогда как стоимость дополнительного анализа,
возможно, будет невелика. Рис. 3.4 показывает один из возможных
результатов такого анализа.
Лра
рва шазд0гщкя# $
0 за&иоиности от уровня
j-го ограничения
Ряс. 3.4. Исследование эффективной границы с помощью искусственных
ограничений
Описанная выше процедура зондирования является специаль- ;
ной и не программируется до конца формализованно, поскольку
в ней используются личные суждения лада, принимающего
решение. Оно должно выбрать уровни притязаний, 'провести
специальные исследования чувствительности результатов (т. е. -Mi) к
произвольно назначенным им ограничениям, назначить новые уровни
притязаний и т. д.; в конце концов оно должно решить, получек
ли «удовлетворительный» результат и можно ли остановиться.
Эта зондирующая процедура заключает в себе постоянное
проведение сравнительного анализа того, что достижимо, и того, что
желательно. Она построена так, что выбор каждого шага
осуществляет принимающий решение, который постоянно должен нефор-.
мально сопоставлять то, что он хотел бы получить, с тем, что, по
его мнению, он может достичь. Интерактивная'вычислительная:
85

программа должна быть составлена таким образом, чтобы помочь
выполнить эту итеративную зондирующую процедуру.
В следующем пункте мы о&судим другой способ исследования
эффективной границы в я-мерном пространстве.
3.2.4. Исследование эффективной границы: метод
варьирования взвешенной суммы критериев *>. В этом пункте мы
формулируем вспомогательную математическую задачу, в результате
решения которой находится некоторая точка эффективной границы.
Изменяя вспомогательную задачу, принимающий решение может
двигаться вдоль эффективной границы до тех 'пар, пока не (будет
удовлетворен результатом.
Для каждого а^А, как и раньше, мы полагаем, что существует
л-мерная оценка Х\(а), ..., Хп(а). Поскольку мы заинтересованы в
увеличении значений Хх(а), ..., Хп(а), такую оценку можно
рассматривать ка<к я-мерный «платеж» лицу, принимающему
решение. Пусть
1= (%и я2, ..., я„) C.5а)
— упорядоченный набор п чисел, в котором
для всех t\ C.56)
2А,г=11. .C.5в)
Сформулируем вспомогательную задачу: выбрать а^А так,
чтобы (максимизировать
Мы можем также поставить задачу в эквивалентной форме:
выбрать такое x^iR> чтобы максимизировать
C7)
Эта вспомогательная задача имеет вид стандартной задачи
оптимизации. Пусть х°= (лг°ь ..., х°п) — решение этой
вспомогательной задачи. (Мы теперь утверждаем, что точка х° должна
лежать на эффективной границе. Предположим, что это не так; тогда
существовал бы х', принадлежащий /?, который доминировал бы
над х°. Но этого не может быть, так как тогда
и поэтому точка х° не могла бы максимизировать 2 Яг**.
*> С процедурами построения эффективной границы с помощью методов
линейного программирования можно ознакомиться иго книге Зелени A974). См.
также статью Зайонтса я Валлениуса A976).
86

Следовательно, при заданном наборе п чисел Хг-
удовлетворяющих C.5), максимизация 2 %гХг 'по х на R приводит к получению
точки х°, которая лежит на эффективной границе.
Геометрия проведенного анализа показана .на рис. 3.5 для
/г=2 ври 31= @,8; 0,2). Точка х° является точкой максимума
функции 0,8*1 + 0,2*2. Прямая вида 0,8*i + 0,2*2=?, проходящая через
х° (при соответствующим образом выбранном k)> должна быть
касательной к R в х°, так как эта прямая, очевидно, содержит х°, но
никакая точка из R не может быть правее этой прямой (иначе
х° не могла бы быть точкой максимума для 0,8xi + 0,2*2).
Теперь принимающий решение может спросить самого себя,,
хочет ли он остановиться на х°=(х°и х°2) или же щредпочитаег
исследовать эффективную границу дальше. Он знает, что,
находясь в точке х°, можно двигаться вдоль границы R, заменив А.
единиц критерия Хх примерно на 4А единиц критерия Х2. Это
замещение справедливо (точно!) лишь в предельном смысле, но для;
практических целей мы можем думать об отношении 1 :к 4 как о
(локальном) предельном коэффициенте замещения Х\ на Х2 в
граничной точке х°. Предположим, что принимающий решение,,
подумав, пришел к выводу, что величина х°2 слишком мала по»
сравнению с х°\ (т. е. он
хотел бы уступить немного в \ ^7*г+43*г«constant
значении Х\9 чтобы получить
большее значение Х2). Он Ллк Xv \0,8хг*0Iя7т<-к
может тогда найти решение
вспомогательной задачи
отыскания максимума,
например, функции 0,7*1+0,Злг2
при хе/?. Если х'=
= (x'i, х'2) есть такая точка
максимума, то и она будет
лежать на эффективной
границе области /?, но к северо-
западу от х°, как это видно Рис. 3.5. Исследование эффективной гранн-
на рис. 3.5. В точке х' (ло- цы с помощью линейной взвешенной суммы
кальный) предельный
коэффициент замещения будет равен А единицам критерия Х\ за
7А/3 единиц критерия Х2, и т. д.
Конечно, если п=2, то эффективная граница может быть
изображена графически. Настоящая сила этого метода в полной
мере проявляется для больших /г, когда о геометрии можно лишь
думать, но .ничего нельзя изобразить. Например, если выбор
набора Х=|(Яь •••> hn) приводит к соответствующей точке максимума
х°= (х°и ..., х°п) и если x°i представляется недостаточно большим,,
то можно решить вспомогательную задачу максимизации еще раз
с увеличенным значением Л*. Это приведет к увеличению (точнее*
не приведет к уменьшению) оптимального уровня Х{ в новой
задаче максимизации. Принимающий решение должен выяснить,
рассматривая уже полученные токи на эффективной границе, когда
87

он может удовлетвориться достигнутым. Манипулируя числами Хи
он «всегда может исследовать различные точки на этой границе.
И здесь он должен неформально сопоставить то, что хотел бы
получить, с тем, что, по его м-нению, можно достичь. Бели
эффективная граница выпукла и не имеет локальных откосов .или долин, то
процедура с манипулированием числами Xi позволяет выделить
любую точку на эффективной, границе. В невыпуклом случае
могут быть применены специальные методы для выделения
имеющихся откосов. Но так как эта процедура не является основным
направлением «ашего исследования, мы не будем останавливаться
на этих специальных вариантах.
Укажем только на возможное продолжение этого анализа. Так,
мы могли бы захотеть формализовать некоторые варианты
вышеуказанной -итеративной процедуры и доказать сходимость к
оптимуму. Конечно, для этого мы должны были бы предположить, что
существует полная упорядоченность в /г-мерном пространстве, на
основании которой на каждом шаге итерации проводится выбор
улучшающей корректировки. Поскольку этот (подход прямо не
обобщается на вероятностный случай (а он в конце кондов является
для нас главным), мы не будем разбирать многочисленные
аналитические вопросы, возникающие при исследовании метода
взвешенной суммы критериев.
3.3. СТРУКТУРИЗАЦИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ И ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ
Теперь мы обсудим новую тему — о формализации предшчте- .
ний лица, принимающего решение, относительно многомерных
последствий. Мы вначале за'будем, как это обычно делается, в
экономике, о выделенном множестве достижимых точек в я-мерном
пространстве последствий (множество R, введенное в § 3.2), и
рассмотрим предпочтения лица, принимающего решение, для
последствий во всем этом пространстве, как 'принадлежащих, так я
не принадлежащих к R. Лишь после того, как формализация этих
предпочтений будет произведена, мы вернемся к задаче отыскания
в R наиболее предпочтительной точки.
3.3.1. Лексикографическое упорядочение. В качестве первой
иллюстрации рассмотрим подход, который, как нам
представляется, .распространен на практике шире, чем он того
заслуживает, — лексикографическое упорядочение. Однако он «прост и /может
быть легко осуществлен. Наше возражение состоит в том, что он
слишком прямолинеен.
Лексикографическое упорядочение подобно упорядочению,
установленному в словаре: afS^a" тогда и только тогда, когда
а) Х1(а')>Х1(а")
или
б) Xi(a')=Xi(a")9 i=l, ..., ft, Xk+l(a')>Xh+i(a") для
некоторого ft=l, ..., п—1.
Иными словами, мы 'полагаем, что критерии Х\, ..., Хп
упорядочены по важности. Действие а! предпочитается действию а", если
88

оно имеет большее значение по Х\, невзирая на то, насколько оно
является хорошим или же (плохим по другим критериям. Только
если значения Х\ для них совпадают, вводится в рассмотрение
критерий Х2. Лишь если имеет место совпадение и по Хх ,и то Х2у
вводится в.рассмотрение критерий Аз, и т. д. Естественно, мы можем
обобщить эту формулировку, переставляя критерии на другие
-места. Мы можем, например, считать Аз самым важным, затем
поставить Х\ и т. д.
Отметим, что если х' и х" — различные точки в пространстве
оценок, то они не могут быть одинаковыми по ^предпочтительности
при лексикографическом упорядочении.
Лексикографическое упорядочение легко истолковывать, и в
некоторых (очень редких!) случаях оно может отражать
«истинное» мнение принимающего решение. Однако мы полагаем, что
оно, если не считать «легкости осуществления», редко оказывается
подходящим. Но, конечно, легкость осуществления сама по себе
является важным свойством, >и о ней нельзя забывать. Поэтому мы
обратимся к рассмотрению случаев, когДа используются
лексикографические упорядочения.
Лексикографическое упорядочение с уровнями притязаний*
Предположим, что мы упорядочили критерии по важности, и
пусть, для удобства, это упорядочение отображается нумерацией
критериев Хи Х2, ... Для каждого критерия Х{ установим уровень
притязаний x°i и введем следующие правила: arsp>arf всякий раз>
когда
а) Х\(а')>Х\(а") >и X\(a")<Cxoi (т. е. из всех критериев
только Х\ принимается во внимание, пока требования по нему не
удовлетворены) ил.и
б) *,(a')>*°lf Хх{а")^х\- Х2{а')>Х2{а") и Х2(а")<А
(т. е. если требование по Х\ удовлетворено, то из всех критериев-
принимается во внимание только Х2, пока требования но нему не
удовлетворены), и т. д.
Если все уровни притязаний достигнуты, то мы можем
уступить немного но Х\ для того, чтобы получить подходящую
величину нр«раще»ия по Х2, и т. д. В этой системе упорядочения две
различные точки х' и х" могут быть одинаковыми ото
предпочтительности при условии, что x')>x°j и x"j>x°j для 'всех /.
По-прежнему нам представляется, что такая 'процедура
упорядочения, если ее тщательно проанализировать, редко сможет
выдержать проверку на «приемлемость», но ввиду простоты своего
осуществления такое упорядочение, конечно, может (быть введено,
В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими
структурами предпочтения, которые менее категоричны в следующем
смысле: если х' является внутренней точкой множества i?, то для
достаточно малого уменьшения х'\ найдется достаточно большое
компенсирующее увеличение x'j. В случае двумерного
пространства это означает, что каждая точка х лежит на некоторой кривой
безразличия.

3.3.2. Кривые безразличия. На рис. 3.6 показан пример того,
как лицо, принимающее решение, может структуризовать свои
предпочтения для точек в двумерном шространстве оценок. Этот
пример подразумевает, что если принимающему решение все
равно, достигнет он х' или же х", то это выражается в том, что обе
точки х' и х" лежат на одной и той же кривой безразличия
(равноценности) . Если же точка х'" предпочтительнее, чем х' (по
мнению принимающего реше-
Xpufo/e дезряз/тмия Направление ние), то х'" расположена на
более высокой
(предпочтительной) кривой безразличия.
Мы считаем, что через
всякую точку х в я-мерном
пространстве последствий
проходит поверхность
безразличия, включающая все
точки, одинаковые по пред-
\jtif почтительности с х. Эти по-
Рис. 3.6. Кривые безра"з^ич~ия верхности безразличия
будут кривыми при п=2. Мы
будем везде полагать, что, по мнению лица, принимающего
решение, всякие две точки хA) и хB) сравнимы в том смысле, что имеет
место одна и только одна из следующих возможностей:
а) х^ и хB) безразличны*) или, что то же самое, одинаковы по
предпочтительности (записывается как хA)~хB));
б) х*1) предпочтительнее, чем х<2> (записывается х^^>х^);
в) х<!> менее предпочтительна, чем х<2> (записывается хA><хB)).
Мы пишем х(!)>>хB), подразумевая, что «х^^х^ неверно», и шола-
гаем, что все отношения ~, >, >- транзитивны.
Будем говорить, что структура предпочтения определена на
пространстве последствий, если .в этом пространстве ©сякие две
точки сравнимы -и нет нетранзитивности. Мы полагаем также, что
принимающий решение считает, что в конкретной ситуации лриня-
тия решения существует подходящая для него конкретная
структура предпочтений.
Как только принимающий решение точно определит структуру
своих 'предпочтений, он может перейти к решению формальной
задачи: 'найти а°^А такое, что
Х(а°)^Х(а) для всех а^А,
где
X(a)m^[Xl(a)9X2(a)9...t Xn(a)).
Или, в другой постановке: найти точку х°е/? такую, что х°^х для
зсех xei?.
На рис. 3.7 дано геометрическое изображение этой задачи мак-
сим.изации.
*> Менее сокращенно и грамматически правильнее мы могли бы сказать,
что принимающий решение безразличен к выбору между *A> и х<2>.
90

3.3.3. Функции ценности. Функция у, которая каждой точке х
пространства последствий ставит в соответствие действительное
число v(x), называется функцией ценности, представляющей
Направление
Возрастания
предпочтений
vz
Рис. 3.7. Последствие х° является лучшим в R
Рис. 3.8. Монотонно
возрастающая числовая функция Г,
связывающая две стратегически
эквивалентные функции V\ и v2
структуру предпочтений принимающего решение, в том случае,
если
v (x')=v (х"), C.8а>;
у (х') >ю (х") . C.86)
Некоторые типичные примеры функций ценности для п=2:
где ci>0, c2>0,
где а>0, р>0,
xi—bl)a(x2—62)р.
Если и — функция ценности, отражающая предпочтения лада,
принимающего решение, то рассматриваемая задача может быть
сформулирована © форме стандартной задачи оптимизации: .найти
а^Л, которое максимизирует v[X(a)].
Позднее мы увидим, что существует тесная связь 'построения
структуры предпочтения с отысканием соответствующей (функции
ценности. В частности, мы можем использовать функции ценности
для того, чтобы помочь лицу, принимающему решение, четко
выразить свои предпочтения. /
3.3.4. Кривые безразличия и функции ценности. При заданной
функции ценности v любые две точки х' и х", такие, что v(x') =
=t;(x//), должны быть одинаковыми по предпочтительности и
лежать на одной и той же поверхности безразличия. Следовательно,
мы видим, что если задана v, то в принципе можно найти кривые
безразличия. Более того, знание функции v позволяет однозначно
определить !всю структуру предпочтения. Обратное, однако,
неверно: структура предпочтения определяет функцию ценности
неоднозначно.
Определение. Функции ценности V\ и v2 стратегически
эквивалентны (это записывается так: Vi~v2), если Vi -и v2 имеют одни
91

Vi(x)= 2 kiXu k{>0 для всех i,
и те же кривые безразличия и 'приводят к одному и тому же
индуцированному упорядочению по [предпочтению.
Предположим, что V\ — функция ценности, 'совместимая с
данной структурой предпочтений. Пусть Г(») — любая монотонно
возрастающая числовая функция (действительной переменной),
как, например, показано на рис. 3.8. Если мы теперь определим
v2(x) = T[vi(x)], то для отыскания оптимального а^А будет не
существенно, что максимизировать: v{ или v2. Функции ценности
V\ и v2 стратегически эквивалентны.
Например, если все Xi положительны и
то
и*)
будут стратегически эквивалентны О\. Все три функции
представляют одну и ту же структуру предпочтения. Конечно, если задана
функция у, то в операционных целях мы можем выбрать Т так,
чтобы с функцией .ценности Т(v) было легко 'производить
математические .манипул я(ции.
3.4. СТРУКТУРЫ ПРЕДПОЧТЕНИЙ И ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ
ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
Для удобства записи мы будем.обозначать 'критерии через X
и У вместо Х\ и Х2. Напомним, что как Ху так и У считаются
положительно ориентированными: при фиксированном значении
одного критерия большие значения другого критерия считаются
более .предпочтительными.
3.4.1. Предельный коэффициент замещения. Предположим,
что Вами рассматривается конкретная проблема выбора решения,
X «и У обозначают используемые критерии, ,и Вас спрашивают:
«Если У увеличен на А единиц, то насколько нужно уменьшить X,
чтобы компенсировать данное увеличение У?». Ясно, что ©о
многих случаях Ваш ответ будет зависеть от уровней значений х
критерия X и у критерия У. Если в точке (х\, У\) Вы согласны
уступить ЯД единиц критерия X за А единиц У, то мы будем говорить,
что предельный коэффициент замещения X на У в (х\, У\) равен
Я. Другими словами, Я примерно равен тому «количеству» Ху
которое Вы согласны «заплатить» за единицу У, есл<и Вы имеете
значение х\ по критерию Xhj/i /по У (см. рис. 3.9). Строго говоря, мы
должны (были бы перейти к пределу при стремлении А к нулю. На-
*) Здесь и далее через log обозначаются натуральные логарифмы. (Прим.
пер.)
92

ЯА
помним, что мы всюду считаем, что находимся в «хорошем мире»,
где все функции .имеют гладкие вторые производные.
Предельный коэффициент замещения в том виде, в каком мы
его используем, равен взятому с обратным знаком тангенсу угла
наклона касательной к кривой безразличия «в точке (лгь у\).
Таким образом, если у нас есть кривые безразличия, то мы можем
вычислить локальные коэффициенты замещения*). В этом
(параграфе мы изложим несколько
методов для решения обратной
задачи: как при помощи
предельных коэффициентов
замещения построить кривые
безразличия **}.
3.4.2. Общий случай. Теперь
рассмотрим, каким образом
предельные коэффициенты за-
w/ мещения могут зависеть от зна-
Рис. 3.9. Предельный коэффициент заме- чений X и У, т. е. от (хи f/i).
щения X на У © точке (xit yt) равен Я Простейший способ состоит в
том, чтобы: 1) зафиксировать
Xi и рассматривать коэффициент замещения как функцию от у\ и
2) зафиксировать у\ и рассматривать коэффициент замещения как
функцию от Хи
Например, предположим, что коэффициент замещения в (хи
У\)у т. е. в точке а на рис. ЗЛО, равен Ка. Если мы зафиксируем
л*1, то, как легко видеть, в данном случае коэффициенты замеще-
Рис. 3.10. Предельный
коэ<ффициецт замещения
как функция от X и Y
\
*) Математическое отступление. Если кривая -безразличия, проходящая
через точку (*ь t/i), задается уравнением v(x, у)=с, то предельный
коэффициент замещения оз точке (хи yt) может быть получен по следующей формуле:
_ AL. *у(*1> Ух)
dy Хх yt = v* (х Г'
где v'x и v'y — частные производные от v по первому и второму аргументу
соответственно.
**> Маккриммон и Тоуда A969) разработали методику построения кривых
безразличия и изложили результаты экспериментов. Интерактивная
вычислительная программа, основанная на этой методике, и опыт работы с ней
описаны в работах Маккриммоном и Сью A974) (см. также работу Тоуда A974)).
93

ния увеличиваются при уменьшении У и уменьшаются при
увеличении У (это показано в точках 6 и сна рис. 3.10). Эти изменения
в коэффициенте замещения означают, что чем больше мы имеем
по У, тем меньше мы согласились бы уступить по X за данное
дополнительное количество по У. На рис. 3.10 мы -видим, что за
одно и то же увеличение по У уступка по X меньше в точке су чем
в точке Ь.
Аналогично, если мы фиксируем у\, сможем обнаружить, что
коэффициенты замещения увеличиваются при увеличении X и
уменьшаются (при уменьшении X (это показано в точках d .и е
на рис. 3.10). Таким образом, мы видим, что дополнительные
единицы X становятся тем менее важными относительно У, чем
больше значение х, и мы, следовательно, согласны уступить больше
по X за дополнительную единицу по У. Такое поведение
характерно для кривых (безразличия, имеющих форму, представленную на
рис. 3.6.
Во многих приложениях в качестве критерия X часто
выступает денежный доход. В этом случае, если (х\ у') ~ (х"у у"), то
мы можем сказать, что принимающий «решение согласен заплатить
сумму х"—х' за изменение У с у' на у" у если денежная
«компенсация» начинается с х'. Если h — положительная сумма, то из
сказанного не следует, что в общем случае [(х\ у')~(х", у")]
влечет за собой [(x'+hf у') ~ {x"+hy у")]. Иными словами, сумма,
которую принимающий решение согласен заплатить за замену уг
на у"у зависит от количества денег, которые у него есть вначале»
Говорить об «оплате» замены у' на у" обычно можно лишь 'после
того, как установлено начало отсчета для X.
Следующие два пункта посвящены тем специальным случаям,
когда изменения по У могут.быть «оплачены» независимо от
-начального 'положения >по X. Более общее обсуждение соображений,
относящихся к «готовности оплатить», приведено в § 3.8.
3.4.3. Постоянные замещения: случай прямых безразличия»
Специальный крайний случай замещения возникает тогда, когда
коэффициент замещения в точке (х]у y{) не зависит от значений
Х\ и уи т. е. 'коэффициент локального замещения оказывается
также коэффициентом глобального замещения (не меняющим своего
значения в любой точке и при заменах в любых количествах). В
этом случае кривые безразличия имеют вид
=const, C.9)
и подходящей функцией ценности для такой структуры
предпочтений может служить
(ЗЛО)
Поскольку в этом случае коэффициент локального замещения
является коэффициентом глобального замещения, то при
определении величины X аналитик, выясняя мнение лица, принимающего
решение, не обязан ограничиваться лишь относящимися к
определенной точке малыми изменениями в л: и у. В подобной ситуации
94

•принимающий решение может при определении X рассматривать
достаточно большие, (психологически выразительные «изменения в
х и у.
Иногда лицо, принимающее решение, имея все основания
полагать, что в анализируемой проблеме коэффициент замещения
остается постоянным, испытывает тем не менее затруднение при
установлении величины X. Однако на 'практике может оказаться,
что определять точное значение X нет необходимости. Например,
в задаче выбора одного из нескольких действий 'принимающий
решение может определить интервалы для Я, такие, что действие
а\ является лучшим, если Х^Хи действие а2 — лучшим, если Х\<
<СХ^Х2 и т. д. На рис. 3.11 изображены такие интервалы.
л ^t н х ff \ п | /у Р|ИС* 3.11. Оптимальное дейст-
¦ f*^L!Z г "*!'*'— ? >** пц" "*'** 5 > вие как функция коэффициента
/,/ %i Aj . Я 4- Я замещения X
Например, по смыслу задачи может быть очевидно, что, хотя
точное значение X и неизвестно, оно X лежит в -интервале (Х2у Хз),
поэтому а3 — лучшее действие. Если значение X (близко 'К Х2у но
неизвестно, X больше, чем Х2, или же меньше, то неясно, выбрать
ли а2 или а3. Однако ib этом случае а2 и а3 почти одинаковы, так
что, может 'быть, -и не нужно излишне беспокоиться о том, какое
именно из них выбрать, но аи сц и а$, несомненно, (могут (быть
исключены из рассмотрения.
3.4.4. Постоянные коэффициенты замещения и преобразование
переменных. Предположим, что предельный коэффициент
замещения X в точке (хи У\) зав-исит от уи но не от Х\. Иными словами,
предположим, что сумма,
которую принимающий решение
согласен заплатить в единицах
А* за дополнительные единицы
У, зависит от уровня У, но не
X (Даже если это
предположение точно не выполняется, оно
может быть приближенно
верно для значений х в
интересующей нас области, поэтому
такая «невинная ложь» будет ' ^ ~?Г
простительна.) Четыре
типичных коэффициента замещения Рис. 3.12. Коэффициенты замещения, за-
для этого случая изображены висящие от у, но не от х
на рис. 3.12.
Примером составной функции ценности, которая создает
'подобную структуру локальных коэффициентов замещения, является
функция
v(x, y)=x+vY(y), (ЗЛ1)
где через vY(*) обозначена функция одной переменной у.
95
J !

Если «принимающий решение считает, что коэффициент
замещения за!висит от у, но не от я, то как эта «качественная
информация может помочь 'при (построении подходящей функции v? Мы
сейчас покажем, что *в этом случае v может быть представлена в
виде C.11).
Если Вы находитесь в точке (хи */i), то сколько единиц X Вы
согласились бы заплатить за увеличение У от у\ до t/2? Для того
чтобы ответить на этот вопрос,.обозначим через Х(у) предельный
коэффициент замещения в точке (х, у). Такое обозначение
указывает на зависимость Я от у, но не от х. Допустим, что в первом
приближении за малое увеличение А по У Вы согласились бы
заплатить Х(у)А единиц X, следовательно, за переход из у\ в л/2 Вы
согласил-ись бы заплатить
единиц X. Пусть уо — минимальное значение У для нашей задачи.
Определим функцию
C.12)
у*
Функцию vy можно считать функцией глобального замещения
между У и X, функция vy «показывает, что шринимающему
решение безразлично, что выбрать
(Хи У\) ИЛИ (Xi—[Vy(y2) — Vy(yi)], У2),
т. е. увеличение У от значения у\ до уъ (стоит) fy(#2)—Vr(y\)
единиц X.
В итоге мы ириходим к следующему важному результату.
Теорема ЗЛ. Предельный коэффициент замещения между X
и У зависит от у, но не от х тогда и только тогда, когда
существует функция ценности вида
. C.13)
где vY — функция ценности по критерию У.
Несколько иначе этот же результат был изложен Прузаном и
Джексоном A963).
Построение vy. Проблема измерения в случае
справедливости выражения C.13) сводится к соответствующему построению
функции Vy- Людям обычно трудно дать осмысленные
количественные ответы об их отношении к малым изменениям значений
критериев. Следовательно, © 'большинстве случаев аналитик не
смог ;бы построить vY, вначале определив Я (у), г затем используя
выражение C.12). Но если он сможет получить vY каким-то
другим путем, то для нахождения К (у) можно воспользоваться
выражением, обратным к C.12), вычисли©
96

Один из (Путей отыскания vy состоит в том, чтобы произвольно
принять Яг(г/о)—0. При таком выборе начала отсчета мы можем
интерпретировать vY(y) как.сумму (в единицах X), которую
принимающий решение согласен заплатить за переход от у0 к у.
Таким образом, аналитик может в принципе непосредственно
получить значения vY в ^выбранных точках уи Уч, ... и провести через
них «на глаз» 'плавную кривую. Однако аналитику более
целесообразно вначале постараться узнать побольше о качественной
структуре Vy, прежде чем заниматься "количественными деталями*
Например, часто оказывается, что принимающий решение
согласился бы платить все меньше и меньше за фиксированное
увеличение A ino У по мере того, ка,к растет у. Иначе говоря, он
считает, что
vY(y+A) — vY(y)<vY(yy—vY(y—А) при любых у, A>ffr
(ЗЛ5)
т. е. дешевле перейти из у в у+А, чем из у—А в уу какими бы ни
были значение у и положительная величина А. Качественное
определение приемлемости C.15) влечет за собой строгую
вогнутость Vy, а это указывает, говоря языком классической экономики,
на уменьшение маргинальной ценности (заметим, что мы избегаем
выражения «уменьшение маргинальной полезности», так как4
используем термин «полезность» в другом смысле (см. § 4.4)). Если
аналитик выяснит, что подходящей формой для vY является
вогнутая функция (р,ис. 3.13), то он может получить Vy с приемлемой
точностью, установив ее численные значения в небольшом числе
точек.
Рис. 3.13. Вогнутая функция цен- Рис. 3.14. Функция ценности, не являющая-
ности для критерия Y ся вогнутой
Для того чтобы не создалось впечатление, будто vY должна
быть обязательно вогнутой, рассмотрим другой распространенный
тип качественной структуры vY. Представим, что принимающий
решение считает, что существует некоторый небольшой интервал
в районе, например, значения уи где положение оказывается
«критическим». Переход от у\—А к z/i+A может быть намного более
существенным, чем переход от #i + A к */i + 3A или от у\—ЗА к
У\—Д. Проводя качественное исследование, аналитик смог бы
'прийти к заключению, что функция vy для такого лица, прини-
4-67 97

мающего решение, в какой-то мере похожа на функцию,
изображенную на рис. 3.14.
Изменение шкалы в целях линеаризации. Если предельный
коэффициент замещения зависит от у, но не от х, то кривые
безразличия будут получаться в результате сдвига 'по горизонтали друг
относительно друга. Одна кривая безразличия может (породить
другую простым перемещением по горизонтали, ка>к показано на
рис. 3.15, а. Кривые безразличия можно «выпрямить», заменив
переменную У .на Z через функцию vY. Так, если мы определим
z = vY(y), C.16)
то точка (х, у) на рис. 3.16, а -становится точкой \(х, z) на рис.
3.15, б, где z и у связаны соотношением C.16). Кривая
безразличия С на рис. 3.15, а преобразуется в прямую L с угловым коэф-
фициентом —1 на рис. 3.15, б.
Р«ис. 3.16. Изменение
шкалы для линеаризации
кривых безразличия
В 'преобразованных координатах х и г кривые безразличия
оказываются шараллельными прямыми. Если коэффициент замещения
между X и У не являлся постоянным, то теперь имеет место
постоянство коэффициента замещения (равного 1) между X п Z, где
z=vy{y)> В пространстве оценок (ху z) соответствующей
функцией ценности является
v(x9 z)=
C.17)
3.4.5. Условие соответственных замещений: аддитивная
функция ценности. В общем случае предельный коэффициент
замещения в точке (jci, y\) зависит от уровня Х\ и уровня у{. Допустим,
однако, что можно преобразовать шкалу X в шкалу W и шкалу У
в шкалу Z так, что коэффициент замещения в (w\9 Z\) не будет
зависеть от уровней w\ и zu Тогда мы будем иметь случай
постоянного коэффициента замещения, разобранный в п. 3.4.3.
Аддитивная функция ценности. Рассмотрим четыре точки А:
(хи ух), В: (хи У2)> С: (х2, ух) и D: (х2, у2), изображенные на рис.
3.16. Предположим, что справедливо следующее:
1. В точке (яь у2) за увеличение У на Ъ мы согласны заплатить
а единиц X.
2. В точке (хи У2) за увеличение У на с может быть заплачено
а единиц X.
98

3. В то же время в точке (x2i у\) за увеличение У на b мы
согласны заплатить d единиц X.
Сколько единиц X мы согласимся заплатить за увеличение У
на с © точке (х2, у2)? Если цена составляет d единиц X (т. е. на
рис. 3.16 вместо вопросительного знака (?) следует поставить d)
и если это справедливо при лю-
у
бых значениях Хи х2, уи 1/2, а, Ь, с „
и dy то мы говорим, что
удовлетворяется условие соответственных
замещений. Этот критерий дает ?/%
нам необходимые и достаточные
условия справедливости одного ' '
важного вывода. Но вначале
определим понятие аддитивности,
которое облегчит формулировку
приведенной ниже теоремы.
Определение. Структура пред-, яг #g &
почтения аддитивна, если
существует отражающая эту СТрукту- Рис. 3.16. Коэффициенты замещения
ру функция ценности, которую согласуются с аддитивной функцией
можно представить в виде ценности, когда (?) равен а
v(xy y)=vx(x)+vY(y).
Если, например, анализируемая структура предпочтений
описывается функцией ценности
V\(x, y) — (x—cti)a2(t/—Pi Ж
то данная структура предпочтений также будет аддитивной, так
как
*, У) =a2log(*— ai) +p2log(x—a2)
и аддитивная функция v может быть определена как logi>i.
Теорема 3.2. Структура предпочтений аддитивна и,
следовательно, описывается функцией ценности вида
v(x, y)=vx(x)+vY(y), C.18)
где vx и vy — функции ценности, тогда и только тогда, когда
выполняется условие соответственных замещений.
Я'сно, что если задана аддитивная 'функция ценности, то
условие соответственных замещений удовлетворяется. Однако
обратное утверждение, установленное Лью-сом и Тьюки A964),
доказать значительно сложнее. В 'следующем пункте, в котором с
целью .иллюстрации построения аддитивной функции ценности
изложена процедура совместного измерения, дано нестрогое
доказательство теоремы 3.2. Строгое доказательство здесь не приводится.
3.4.6. Совместное шкалирование: поэтапная процедура.
Предположим, что условие соответственных замещений, влекущее за
собой существование функций vx и vy9 удовлетворяется. Как
можно было бы действовать, чтобы найти эти функции? Одна из
процедур, которую мы могли бы применить, состоит в следующем.
4* 99

Пусть хо и у0 — наименьшие значения критериев X и У,
которые целесообразно рассмотреть.
1. Полагаем
v(xo, yo)=Vx(xo)=vY(yo)=Q. C.19)
Этим устанавливается начало цтсчета для измерения.
2. Выберем Xi>Xq и положим vx{x\) = \. Этим
устанавливается единица измерения.
3. Попросим лицо, принимающее решение, указать значение
критерия У (т. е. у\), такое, чтобы (лгь у0) ~ (лго, I/O» где символ
означает «одинаковы по предпочтительности». Положим
) l
(l)
4. Попросим лицо, принимающее решение, указать значения
критериев X (т. е. л:2) и У (т. е. г/г), такие, чтобы (х2у г/о) — (-^i,
1/О~(*о, 1/2). Полагаем г>х(*2) =»г(у2)=2.
5. Необходимое условие для оправданности этой процедуры
состоит в том, что'бы имело место !
Lxu Уъ) ~'(*2, УО- Но» как легко
усмотреть из рис. 3.17, это
условие выполняется, если
справедливо условие соответственных
замещений. Сравните рис. 3.17 с рис.
3.16 и отождествите точки,
обозначенные на них буквами А, В, С
и D. Из условия соответственных
замещений следует, что на
рис.3.17 расстояние в единицах^
от В до D должно быть равным d,
SS^KSE И' ^довательно, ™чки D и Е
тений должны быть одинаковыми по
предпочтительности.
6. Предполагая, что шаг 5 сделан, попросим принимающего
решение выбрать точки (я3, Уъ) так, чтобы выполнялось
(*3, Уо) ^ (*2, У\) ~ (*1, 1/2) ^ (^0,1/з).
Полагаем ^(лг3)=УгA/з)=3.
7. Как и на шаге 5, необходимое условие для оправданности
данной процедуры состоит в том, чтобы имело место
При жела.нии можете проверить, что сказанное вытекает из
условия соответственных замещений.
8. Продолжаем действовать подобно тому, как действовали
ранее.
9. Нанесем на график полученные таким образом точки (рис.
3.18) и проведем через них «на глаз» гладкие кривые vx и vy*
Тогда согласно сделанным предположениям v(x, y)=:Vx(x) +
()
100

10. В качестве меры предосторожности проведем проверку для
нескольких пар точек «приемлемости» полученных результатов.
С этой целью определим xk и уъ. так, чтобы Vx(Xk) = VY(yh)=:k.
Теперь мы можем, например, проверить, верно ли, что (хи У о) ~
(*о,5> #0,5). Если нет, можно изменить на кривых vx и vy точки
<*о,5; 0,5) и ((/o,s; 0,5).
Рис. 3,18. Согласованно
шкалированные функции
ценности для критериев
XY
Функция vx
Оу
Обратите внимание, как существенно взаимосвязаны функции
Vx и vY: мы не можем полностью использовать ни одну из них
без привлечения другой.
Вышеописанный метод построения Vx и Vy дает
конструктивное эвристическое (почти) доказательство того, что из
справедливости условия соответственных замещений следует существоват
ние аддитивной структуры предпочтений. Построение было
показано только на дискретном наборе точек, а для завершения до*
казательства мы должны были бы дробить интервалы (т. е.
применять «метод половинного деления») и использовать свойство
непрерывности.
Отметим также неявное использование «условия
разрешимости», которое не было формально сформулировано. Мы выбирали,
например, х0, уо и хи затем априорно допускали, что существует
значение у\> являющееся решением уравнения безразличия
(*о> У\)~(хи Уо)- Подобным же образом, в качестве решения
уравнений безразличия, мы получали х2 и у2.
ЗАЛ. Другая процедура совместного измерения: метод
половинного деления по ценности. Для облегчения изложения иной
процедуры построения vx и vy дадим вначале два определения.
Будем полагать, что условие соответственных замещений
выполняется.
Определение. Пара (ха, хъ) называется эквивалентной по,
разности ценности паре (хс, ха), где ха<хъ, и хс<ха, если,
согласившись перейти из хъ точно в ха за определенное увеличение Y/
мы согласились бы перейти из Ха точно в хс за то же самое уве^
личение по У. Или, в иной формулировке, если для любого
исходного значения у' критерия У мы согласны «заплатить» то же
самое количество единиц У за увеличение по X как от ха до Хъ, так
и от хс до *<ь то пара (ха, хъ) эквивалентна по разностц ценно*
паре (*с, xd). '
101

Определение. Средней по ценности точкой хс интервала [ха>
Хь] значений критерия X называется такая точка, что пары (ха*
хс) и (хс> хъ) эквиваленты по разности ценности.
Сделаем два замечания по поводу этих определений.
Во-первых, для определения средней по ценности точки хс интервала
[ха, хь] мы привлекаем второй критерий У. Во-вторых, если
принимающий решение, исходя из значения у\ согласен уступить то
же количество единиц У за переход из ха в хс, что и за переход
из хс в Хь, то это же условие (с=с' на рис. 3.19) должно выпол-
L < 4___
Занет/яе, то есшг
0 д
\ ^
Рис. З.Г9.
Существование средней
по ценности точки
хс влечет за
собой выполнение
условия
соответственных замещений
няться для любого другого значения у", если только справедлива
условие соответственных замещений. Доказательство легко
усмотреть из рис. 3.19. Мы специально выделяем точки Л, В, С, Dt
чтобы помочь читателю установить необходимое соответствие с
рис. 3.16.
Пусть областью изменения X будет xo^^^a:i, а для У будет
Уо^У^Ух» Примем, что условие соответственных замещений
выполнено *>. Тогда мы можем искать функцию ценности v в виде
v(x, у) **KiV*x(x}+k2V*Y(y), C.20)
где
1. C.21а)
l, C.26);
1. (З.21в);
Процедура построения состоит в следующем:
1. Построим v*x следующим образом: 1) находим среднюю по
ценности точку интервала [#o, X\], обозначаем ее дго,5 и полагаем
у*х(хо,ъ)=О& 2) находим среднюю по ценности точку #0,75
интервала [*o,5»*i] и полагаем vx(^0,75) =0,75; 3) находим среднюю па
ценности точку Хо,25 интервала [*о> *о,5] и полагаем v*x(xOi2s) =
= 0,25; 4) для проверки согласованности удостоверяемся, что *е,5
средняя по ценности точка интервала [#о,25, #0,75]; если это не так,—
*) В этом пуикте нижние -индексы у символов х и у используются иначе^
в предыдущем пункте. Кроме того, мы считаем также, что v ограничена,
102

изменяем эти точки до получения согласованности; 5) проводим
«на глаз» кривую Vx через точки (xki k) для k=0\ 1; 0,5; 0,75; 0,25
и, возможно, дополнительные точки, полученные методом
половинного деления по ценности.
2. Повторяем ту же самую процедуру для v*y.
3. Находим шкалирующие коэффициенты К\ и Яг. Выбираем
любые две одинаковые по предпочтительности пары (х, у),
например (х\ у') и (х", у"). Тогда имеем
v(x'f y')=v(x\ у")
или
hv*x(x') +№*г(у') =hv*x(x") +№*г(у").
Так как Vx*(x'), v*y(y'), v*x(x") и v*y(y") теперь известны,
a Ui+.A,2=1, мы можем определить %\ и Л2.
3.4.8. Пример построения функции ценности. Для того чтобы
продемонстрировать интерактивный процесс между аналитиком
и лицом, принимающим решение, мы ниже приводим
воображаемый диалог между «спрашивающим» и очень охотно с ним
сотрудничающим «отвечающим».
Вопрос
Ответ
1. Предположим, что значение У равно 0, а
X— 20. Если У уменьшить на 1 единицу, то
насколько Вам было бы нужно увеличить X,
чтобы как раз возместить это? Не стремитесь
к большой точности, дайте приблизительный
ответ.
2. Оставьте значение У равным 0 и пусть
значение X будет равно 60. Каким должно стать
значение Ху чтобы окупить уменьшение У
на 1 единицу? Я опять прошу дать лишь
приблизительный ответ.
3. Хорошо. При г/=0 перемещение из *=20 в
х=25 и из х=60 в *=70 оценивается Вами
примерно в 1 единицу У. Правильно?
4. Прекрасно. Теперь хорошенько подумайте вот
о чем. Если значение У будет другим,
например у=5, заплатили бы Вы (в единицах У)
за переход из *=20 в х=25 ту же цену, что
и за переход из *=60 в *=80?
Я хотел бы увеличить X
до *=25.
Примерно х=70.
Да, приблизительно.
В этом нет ничего трудного.
Я уже сказал, что заплатил
бы за изменение д; от 20
до 25 столько же, сколько
за изменение х от 60 до 70.
Но абсолютная сумма в
единицах У, которую я
заплатил бы, зависит от
значения У, на котором я
нахожусь. Я мог бы заплатить
1 единицу У при #=0 и
3 единицы У при #=5. Все
5. Конечно. Это разумно. в порядке?
(В этом месте спрашивающий может предположить, что условие
соответственных замещений выполняется, хотя, строго говоря, он должен быть уверен, что
такого же характера был бы ожидаемый ответ для более широкого диапазона
значений X и У. В этом же месте спрашивающий мог бы выяснить у
опрашиваемого, являются ли функции vx и vY вогнутыми или выпуклыми. Ради
краткости это опущено. Спрашивающий затем приступает к определению средней по
ценности точки некоторого интервала.)
103

Вопрос
6. Предположим, что Вы находитесь в точке
с */=0. За какое изменение X Вы заплатили
бы больше — от 0 до 50 или от 50 до 100? -
7. Больше за переход из 0 в 10 или из 10 в 100?
в. Укажите значение х\ например, такое, при
котором Вы уступили бы в значении У за
переход из 0 в л:' столько же, сколько за переход
из *' в 100.
9. Тогда, говоря на нашем языке, 20 является
точкой, средней по ценности между 0 и 100.
Мы обозначим я=20 через xo,s. Какова Ваша
точка, средняя по ценности между 20 и 100?
10. В таком случае ^о,75=45. Какова ваша точка,
средняя по ценности между *=0 и 20?
11. Прекрасно. Это означает, что хо.25—7. Можно
ли рассматривать точку *=20 как среднюю
по ценности между 7 и 45?
12. Теперь обратимся к ценности значений У.
Какая точка является средней по ценности
между —10 и 10?
Ответ
Я заплатил бы больше, что*
бы перейти из 0 в 50.
Больше, чтобы перейти из
10 в 100.
Приблизительно а;7=20.
Я бы остановился на точке
*=45. Я бы заплатил за
переход из 20 в 45 столько же,
сколько за переход из 45
в 100.
Приблизительно *=7..
Безусловно.
Примерно —2.
13. Точка, средняя по ценности между '—2 и 10? Примерно 3.
14. Точка, средняя по ценности между —10 и —2? —7.
(Теперь аналитик наносит эти точки, как показано на рис. 3.20, и проводит через
них «на глаз» кривые Vx и vг.)
ломи
/
0,75
1
0 Z5 #0 7& х
0,75
0,50
0,15
О
/
/
70
\
\
-10 -& 0 Я у О Ж 40 SO 30 700 #
Рис. 3.20. Функции ценности, построенные для Рис. 3.21. Нахождение замеще-
критериев X и У ния по ценности между X и У
15. Я вынужден побеспокоить Вас, чтобы задать
еще несколько вопросов. Какую пару (*, у)
Вы предпочли бы, @, 10) или же A00, —10)?
Иначе говоря, если Вы находитесь в точке
@, —10), то что бы Вы предпочли: изменить
У до его предельного значния 10 или X до его
предельного значения 100?
(Из этого ответа следует, что Xi">%2-)
104
Переменная X более
дефицитна. Я бы предпочел
получить A00, —10), а не
@, 10).

16. Хорошо. Тогда укажите мне значение х, такое, Я не знаю. Я сказал бы, что
чтобы Вам был безразличен выбор между примерно 60. Но я чувст-
(jc, —10) и @, 10). Иными словами, я Вас вую, что это очень прибли-
прошу обдумать следующее. Представьте се- зительно.
бе, что Вы находитесь в точке @, —10).
Насколько Вам нужно изменить X, чтобы это
было эквивалентно переходу по У из —10 в 10?
(Аналитик рисует рис. 3.21.)
Если мы принимаем, что F0, —10) и @, 10) одинаковы по
предпочтительности, то имеем
оF0,—10) =0@, 10)
или
Так как а**F0) =0,85, v*Y(—10) =v*x@)=0 и и*уA0) = 1, то
O,85Xi=A,2. А поскольку Я2=1—Ль то А* —1/1,85 = 0,54 и Я2=0,46.
Иначе говоря, мы сказали бы: «Х\ приблизительно равно 0,54»
Построенную с помощью этой процедуры функцию можно
рассматривать в качестве приемлемой в первом приближении
функции ценности v. Возьмем теперь несколько пар значений наших
переменных, отвечающих одному и тому же значению ценности
о, и спросим лицо, принимающее решение: может ли оно
рассматривать эти пары как примерно одинаковые по
предпочтительности? Тем самым мы «проверяем настройку» кривых v*x и v*Y и
величины Х\ и А,2. Более того, если величина %\ (вспомним, что
Я2=1—Х\) представляется «слабейшим звеном цепи», может
оказаться целесообразным провести анализ чувствительности или
характера зависимости результатов от величины Х\. Важно
заметить, что без предварительной структуризации задачи было бы
невозможно исследовать чувствительность к Х\. Это —
типичная ситуация: для того чтобы провести исследование
чувствительности к некоторым критическим переменным, мы вынуждены
строго структуризовать наименее чувствительную часть задачи.
Когда принимающий решение имеет четко сформированные
суждения, то на практике часто может оказаться, что функция
ценности в действительности не принадлежит к рассмотренному
нами виду
v(x9 y)=vx(x) + vY(y)-
Тем не менее и в этом случае аддитивная функция ценности
может быть использована в качестве первого приближения. В
других случаях может оказаться целесообразным построить .
функцию ценности в этой форме для облегчения анализа.
Принимающий решение может приступить к процедуре совместного
шкалирования и в ходе ее посмотреть, выполняются ли проверочные
условия.
105

3.5. СЛУЧАЙ ТРЕХ КРИТЕРИЕВ
Мы можем непосредственно обобщить результаты, полученные
в § 3.4, на случай трех критериев. Теперь вместо двух критериев
X и У мы будем рассматривать три: X, У и Z. Оценочные функции
отображают всякое действие а пространства действий в точку
трехмерного пространства последствий.
3.5.1. Условные предпочтения* Мы начинаем с рассмотрения
структуры условных предпочтений в пространстве (х, у) при
заданной величине Z (равной, например, zf).
Определение. Последствие {х\ у') условно предпочтительнее
последствия (х'\ у") при заданном z' тогда и только тогда, когда
(х', у',- zr) предпочтительнее, чем (х", у", z').
Условное безразличие (в выборе между двумя
последствиями) определяется аналогично, так что мы можем говорить об
условных кривых безразличия в пространстве (х, у) при заданном
z'.
Обычно структура условного предпочтения для критериев X
и У при фиксированном значении z' критерия Z зависит от
значения zr. Например, предельный коэффициент замещения в
точке (х\9 у\) может зависеть от z\ Однако в некоторых случаях
структура условного предпочтения в пространстве (xi у) при
фиксированном zr не будет зависеть от z'. Таким образом, мы
приходим к следующему определению:
Определение. Пара критериев X и Y независима по
предпочтению от Z, если условные предпочтения в пространстве (х, у) при
фиксированном z' не зависят от zf.
Отметим, что если пара{Х, У} независима по предпочтению
от Z, то коэффициент замещения между X и У в точке (*ь у\)
при фиксированном zr не зависит от z' для любых Х\9 У\ и z\
Следовательно, множество кривых безразличия в пространстве
критериев X, У не зависит от z'. Более того, в силу условия
независимости по предпочтению эти кривые одинаково упорядочены
по предпочтительности.
Предположим, что пара {X, У} независима по предпочтению
от Z. В этом случае мы можем сказать, что если
(*ь Уи z')>(*2, У2, z')>
где символ >> читается «не менее предпочтителен, чем», то
(х\, Уи ?)>(*2, У2> z) для любого z.
Следующие два примера указывают случаи, когда имеет
место независимость по предпочтению.
Предположим, что тремя критериями, по которым
оценивается предложенный строительный проект, являются Q — качество,
Т — время до завершения (отрицательно ориентированный
критерий), С — стоимость (отрицательно ориентированный
критерий). При определенных условиях величина замещения между
качеством и временем до завершения может не зависеть от
стоимости проекта. В этом случае пара {Q, Т} была бы независима
106

по предпочтению от С. Мы могли бы обнаружить также, что при
фиксированном уровне качества q' структура предпочтений в
подпространстве (время, стоимость) не зависит от конкретного
уровня q'. Иными словами, {Q, С} может быть независима по
предпочтению от Г. Какое из этих предположений фактически
будет выполняться, зависит от конкретной постановки задачи.
Второй пример касается предложенной программы,
оцениваемой критериями: Вх— прибыль типа /, В2 — прибыль типа 2, С —
стоимость (отрицательно ориентированный критерий).
Если прибыли обоих типов должны быть сбалансированы, то,
по-видимому, пара {Ви С} не будет независимой по
предпочтению от В2 и пара {В2, С} не будет независимой по предпочтению
от В\. Однако вполне правдоподобно, что пара {Si, B2} будет
независимо по предпочтению от С.
3.5.2. Понижение размерности. Каким образом мы можем
использовать в нашем методе измерения тот факт, что по мнению
лица, принимающего решение, {Ху Y) не зависит по
предпочтению от Z?. В следующем параграфе мы изложим специальный
метод для случая, когда каждая пара критериев независима по
предпочтению от оставшегося критерия. А сейчас примем, что
известно только о независимости по предпочтению {X, Y) от Z.
Рассмотрим структуру условного предпочтения по X и У для
какого-нибудь фиксированного значения z'. Заметим, что в силу
нашего предположения о независимости по предпочтению не
важно, какое именно это значение z'. Мы будем рассматривать лишь
специальный случай, когда кривые условного безразличия в
пространстве (х, у) пересекают прямую у=у' при надлежащим
образом выбранном у\ Мы будем говорить о у' как о базовом,
значении К. (Если такого значения у' не существует, то метод,
который мы изложим, должен быть немного изменен.) Кривая
безразличия, проходящая через типичную точку (х, у),
пересечет прямую у=у' в некоторой точке (V, у'), как показано на рис.
Придай безразличия
X У 0
Рис. 3.22. Использование независимости по предпочтению для понижения
размерности
3.22. Заметим, что х' зависит от выбора tf и точки (х, у). Для
того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, будем писать
х'=Т{х,у> у'). C.22)
107

Отметим также, что в обозначениях, принятых для трехмерного
пространства,
(х, у, г) ~ (х\ у', г) для всякого z. C.23>
Следовательно, сравнение по предпочтительности любых двух
троек (х\, уъ z\) и (Х2, уъ z2) может быть сведено к сравнению па
предпочтительности (х'и у\ Zi) и (х'2, у', z2), где x'i=T(xu у\\ у') и
'Т(')
(,у2,у)
Таким образом, наша общая задача измерения теперь
формально сводится к рассмотрению структуры условного
предпочтения для {X, Z} при фиксированном уровне у' критерия У.
Вместо того чтобы сравнивать (хи Уи zx) и (х2, у2, z2) в
трехмерном пространстве, мы теперь должны произвести сравнение
(я'ь Z\) и (лг'2, z2) при условии, что значение у/ фиксировано. Мы,
по существу, использовали наше предположение, чтобы свести
сравнение в трехмерном пространстве к сравнению в двухмерном
пространстве.
Несколько слов о преобразовании Г. Допустим, что в
множестве А все действия пронумерованы: A={ai, ..., аи ..., ап}.
Напомним еще раз, что пара {X, Y} независима по предпочтению от
Z. Если п мало, то может иметь смысл попросить лицо,
принимающее решение, прямо указать для каждого а\ такое значение
Х'(ад> ПРИ котором будут одинаковы по предпочтительности
[Х(п{), Y(ui)] и [X'(ui), у']. Может случиться, что получить
ответы на такие п вопросов будет намного легче, чем установить
структуру условного предпочтения на плоскости (х, у).
Если п очень велико, то этот способ становится нереальным.
Однако, если мы вправе представить функцию ценности на
плоскости (х, у) в виде
v(x9 y)
(см. п. 3.4.5), то х**=Т(х9 у; у') будет таким, что
и преобразование Т можно будет выполнить*
Если п велико, а функцию v нельзя представить в простом
виде, то мы оказываемся в затруднительном положении, но не
безнадежном. Мы могли бы, например, наметить разумное число
точек (хи yi), ..., (xj9 i/j), ..., (xmy ym) например десять (m=10), и
попросить лицо, принимающее решение, назначить для каждого
/ значение х'$у при котором (x'j, у') ~ (Xj, y$) или, что
эквивалентно, x'j=T(xh y§\ у').
Внимательно изучив зависимость x'j от Xj и у$ (напомним, что у'
фиксировано для всех /), мы могли бы построить приемлемую и
простую компромиссную функцию 71, которая достаточно близко
проходила бы к данным точкам и позволяла экстраполировать
значение х' для любой другой пары (х, у). Для выполнения
подобного рода аппроксимации может быть использовано большое
количество разнообразных методов.
108

Разумеется, если пара {Xf Y} независима по предпочтению от
Z, то, вместо того чтобы приводить каждое значение у к
базовому у' и определять х' согласно C.22) и C.21), мы могли бы,
например, проводить х к базовому значению хг и определять у! как
такое значение, У, для которого
(х, у, г) ~ (л/, у', г) для всякого г.
За этим приведением затем последовал бы анализ условных
предпочтений Y и Z при фиксированном х=х\
Существуют еще и другие возможности. Предположим,
например, что в какой-то конкретной ситуации естественно ожидать, что
у примерно равен произведению h и х. В этом случае для любой
пары (х, у) мы могли бы выбрать значение х' такое, что
(л:, у, z) ~ (х'у hx\ z) для всякого z.
Такое понижение размерности затем сопровождалось бы анализом
условных предпочтений для критериев X и Z при том условии,
что у не является независимой переменной и всегда равняется
произведению Л*.
3.5.3. Взаимонезависимость по предпочтению и
существование аддитивной функции ценности**. Если предпочтения для
троек (Ху у> z) могут быть описаны с помощью функции v, имеющей
аддитивную форму
v(x, у, z)
то очевидно, что
а) пара {X, Y} независима по предпочтению от Z,
б) пара {X, Z} независима по предпочтению от У,
в) пара {К, Z) незавасима по предпочтению от X.
Однако гораздо важнее и совершенно неожиданно то, что
справедливо и обратное утверждение.
Теорема 3.3. Функция ценности v может быть представлена в
аддитивной форме
v(x, у, z)=vx(x) + vY(y)+Vz(z), C.24J
где vXy vy и vz — функции ценности одного критерия, тогда и
только тогда, когда {X, У} не зависит по предпочтению от Zf
{Ху Z} не зависит по предпочтению от Y и {У, Z) не зависит по
предпочтению **> от X.
Этот результат впервые был получен Дебре A960). Несколько
более общее доказательство дали Крантц и др. A971). Поскольку
в литературе имеются формальные доказательства, мы их опус-
*) В этом параграфе мы полагаем, что все три критерия существенны,
т. е. структура предпочтений не может быть описана полностью при
использовании только двух критериев из трех.
**> Условие, состоящее в том, что каждая пара критериев должна быть
независимой по предпочтению от оставшегося критерия, будет ослаблено в
следующем параграфе. Будет показано, что, грубо говоря, любые два из трех
сформулированных выше предположений о независимости по предпочтению
влекут выполнение третьего.
109

тим и просто постараемся проиллюстрировать правдоподобность
этого результата. Но прежде чем это сделать, дадим важное для
нашего рассмотрения определение.
Определение. Критерии называются попарно независимыми
по предпочтению, если каждая пара критериев не зависит по
предпочтению от их дополнения.
Короче говоря, теорема 3.3 гласит, что аддитивность
равносильна попарной независимости по предпочтению.
Теорема 3.3 является действительно замечательной.
Вспомним, что для получения аддитивного представления в случае
двух критериев X и У мы должны были наложить весьма
ограничительное условие соответственных замещений. Ничего подобного
здесь не требуется. Если мы знаем лишь, что пара {X, У}
независима по предпочтению от Z, то мы не можем сказать, что
условные предпочтения для X и У будут удовлетворять условию
соответственных замещений. Но как только мы допускаем попарную
независимость по предпочтению, то структура условного
предпочтения для любой пары критериев, при любом фиксированном
значении оставшегося критерия «преодолевает барьер»
соответственных замещений. Не давая формального доказательства этих
утверждений, посмотрим, как можно убедиться в их
справедливости.
Вспомним, как мы строим функции vx и vYi используя
процедуру совместного шкалирования для двух критериев (см. п. 3.4.6).
Сначала мы произвольно выбираем величины xq, t/o и х\. Затем
последовательно используем предпочтения лица, принимающего
решение, для получения уи х2 и г/г. До этого момента условие
соответственных замещений не требовалось. Перзый раз к этим
условиям приходится обращаться для того, чтобы установить, что
точки (х\, у2) и (х2, У\) одинаковы по предпочтительности.
Каким образом теперь введение Z и принятие попарной
независимости по предпочтению упраздняет это условие? Вернемся не-
¦ много назад и начнем процесс измерения с самого начала для трех
критериев.
1. Вначале выбираем х0, у0 и Zq и полагаем
v(x0, yOy Zo) = Vx(xo) = VY(yo) = Vz(zo)=Q.
2. Затем произвольно выбираем х\ и определяем у\ и z\ так,
чтобы было справедливо
(*и У о, го) ~ (х0, у и г0) ~ (хОу у о, zxy.
Полагаем vx(xi) = vY(y0 = vz(zi) = l.
3. Теперь обратим внимание, как взаимная независимость по
предпочтению позволяет нам прийти к выводу, что
(х\, Уи го) ~ (хи t/o, Z\) ~ (xo, у и г\).
Например, из этапа 2 мы знаем, что (х\, Уо) и (*о, У\) обладают
одинаковой условной предпочтительностью при фиксированном Zq.
ПО

Следовательно, они должны быть эквиваленты и при
фиксированном Z\, ИЛИ (XU УО, Zi)~(*<b Уи Zi).
Из этапа 2 мы знаем также, что (хи zo)~(xO9 zx) при
фиксированном yOi и, следовательно, в силу независимости по
предпочтению {Xf Y} от Z это же верно при фиксированном ух. Но
отсюда следует (хи Уи г0) ~ (*о, Уи г\).
4. Затем определим х2, У2 и z2 так, чтобы было справедливо
(х2, Уо> г0) ~ (xQt у2у z0) ~ (хОу уо, z2) ~ f*i, уи го).
Теперь мы в состоянии обсудить решающий этап, о котором
говорили раньше: почему мы можем считать, не используя условия
соответственных замещений, что (х2, Уи Zq)~(x\, у2у Zo)?
«Хитрость» состоит в том, что нам нужно показать
справедливость
(х2, У и го)~(хи У и zx),
(хи Уь z0) ~ (хи У и zx)
и по свойству транзитивности получить требуемое. Мы знаем,
что (х2у уо, zo)~(xu r/o, Z\), и, поскольку {X, Z] не зависит по
предпочтению от У, мы можем спокойно заменить у0 на у\ в этом
отношении безразличия. Следовательно,
(*2, Уи Zq)~ (хи Уи Zx).
Мы завершаем наши рассуждения, показывая аналогичным
образом, что
(Хи У2у Zo)~(XU Уи ZX).
Хотя приведенный выше довод — далеко не доказательство,
он делает теорему значительно более ясной и даже прозрачной.
Но, разумеется, существует большое различие между
эвристической правдоподобностью и формальным доказательством.
3.5.4. Ослабление предположений аддитивности. Результатами,
подобными теореме 3, мы интересуемся главным образом для
того, чтобы подобрать приемлемую совокупность предположений о
предпочтениях лица, принимающего решение (в данном случае
предположений о независимости по предпочтению), и исходя из
них получить конкретное и удобное математическое выражение,
согласованное с такими предпочтениями. Во всякой задаче мы
вначале пытаемся выяснить приемлемость условий, а затем
построить функцию ценности для лица, принимающего решение.
Следовательно, крайне желательно сократить количество .
условий, приводящих к конкретной функциональной модели
предпочтений. Для этой цели полезен следующий результат.
Теорема ЗА. Если
а) {Ху Y} не зависит по предпочтению от Z,
б) {Y, Z} не зависит по предпочтению от X;
то
в) {X, Z} не зависит по предпочтению от Y.
Ш

• 2
Формальное доказательство теоремы 3.4 имеется в работе Гор-
мана A968 а). Здесь же мы попытаемся раскрыть «физический
смысл» этого результата.
Пусть точки А и В имеют общую координату у (см. рис. 3.23)
и пусть А~В. Для того чтобы доказать, что {X, Z} не зависит
по предпочтению от У, мы
должны показать, что если
изменить координату у то-
? чек А и В (сохраняя коорди-
U J/4 наты у для обеих точек
равными), то новые точки
останутся одинаковыми по
предпочтительности. Сначала вы-
берем точку С, которая име-
$г $ ет общие координаты х с
точкой А и z с точкой В,
так, чтобы было С~А~В.
Теперь, так как А~С и
{У, Z} не зависит по
предпочтению от X, то D~E.
Рис. 3:23. Пояснение взаимосвязи между д так как В ~ С и {X У} не
условиями независимости по предпочтению зависит по предпочтению
от Z, то D~F. Следовательно, согласно транзитности мы имеем
E~,F.
Мы начали с А ~В и показали, что если мы изменяем общую
координату у на величину Д, то получающиеся точки F и Е
одинаковы по предпочтительности. Это не доказывает нашего
результата, так как расстояние А выбрано специальным образом, а не
является произвольным. Но мы теперь можем повторить процесс
с Е и F и т. д. Для того чтобы достичь большего, мы могли
также начать процесс с другой точкой G, такой, что G~A~B.
Таким образом, мы видим, что если мы одновременно сдвинем
точки А и В на любой из нескольких установленных уровней у, то
полученные точки останутся одинаковыми по
предпочтительности. Мы можем повторить рассуждения, используя другие точки
на кривой безразличия, проходящей через А и В, и распределяя
их так, чтобы получить дополнительные точки на кривой
безразличия, проходящей через точки Е и F. Теперь разумно было бы
предположить, что после добавления условий непрерывности и
дифференцируемости из этого следует желаемый результат. Так
оно и есть на самом деле.
3.6. СЛУЧАЙ БОЛЕЕ ТРЕХ КРИТЕРИЕВ
Пусть Хи ..., Хи •••> Хп — оценочные функции, отображающие
всякое действие а в точку \[Х\(а)у ..., Х{(а), ..., Хп(а)] в /г-мерном
пространстве последствий. Мы, как и ранее, будем предполагать,
что отношение )> транзитивно и что для всяких двух точек х' и
х" пространства"" последствий справедливо х'>>х" или х")>х';
112

если справедливо и то, и другое, то мы говорим, что х"~х'у а
если х'^х" неверно, то мы говорим, что х"^>х'.
В дальнейшем при рассмотрении точки х мы будем выделять
определенное подмножество критериев и дополнение этого
подмножества. Например, если я=5, то мы могли бы разбить х на
два подвектора (хи #з, *4) и (х2, хъ). Если мы положим
У= (*ь *з, х4) и z= (х2у Хь),
то сможем представить х в виде пары (у, z), где у охват-ывает
критерии Хи Хз и Х^ a z — критерии Х2 и As- В общем случае мы
будем говорить о
х=(у, z),
где у представляет собой компоненты х с индексами из заранее
указанного подмножества множества индексов {1, ..., п}9 a z—¦
компоненты х с индексами из дополнения этого подмножества.
Не теряя в общности, мы всегда можем так переставить индексы,
чтобы у представлял компоненты х с первыми s индексами, а
z — компоненты х с оставшимися из п индексов:
y=(*i, ..., xs) и z=(xs+u .», хп).
Естественным образом обобщая это соотношение, мы будем
говорить о разбиении критериев на два подмножества:
Y={XU ...Д,} *Z={XS+U ..., Хп}.
Определение. Мы будем говорить, что у' условно не менее
предпочтителен, чем у", при фиксированном ъ' тогда и только
тогда, когда
Таким образом, мы можем говорить о структуре условного
предпочтения по критериям Y при фиксированном значении z'
дополняющих критериев.
3.6.1. Независимость по предпочтению. Определение.
Множество критериев Y независимо по предпочтению от дополняющего
его множества Z тогда и только тогда, когда структура
условного предпочтения в пространстве у при фиксированном г' не
зависит от z'. Более формально, Y не зависит по предпочтению от Z
в том и только в том случае, если для некоторого ъ'
[(У', z')>(y"> z')W[(y', z)>(y", z)] при всех z, x', у".
Например, может быть несколько критериев,
характеризующих прибыль, и несколько критериев, характеризующих
издержки, и может случиться (хотя и не обязательно должно быть!), что
условные предпочтения для различных уровней прибыли могут
не зависеть от конкретных значений издержек. Если вектор
прибыли у7 считается лучшим по сравнению с вектором прибыли у"
при издержках z', то тоже самое может иметь место при любых
других издержках z. В этом случае мы могли бы кратко сказать,
что «прибыль независима по предпочтению от издержек».
из

Если лицо, принимающее решение, считает, что множество
критериев У не зависит по предпочтению от дополняющего
множества критериев Z, то ему можно рекомендовать приложить
усилия для структуризации своих предпочтений по у при
фиксированном z', поскольку не нужно будет повторять эту работу для
других уровней z. В этом случае имеет смысл построить функцию
ценности vY, определенную для^у, не конкретизируя z'. В
частности, для того чтобы Vy была подходящей функцией, она
должна удовлетворять такому условию:
(У', г) > (у", z) <*=> vY (у') ^ vY (у"). C.25)
Если У не зависит по предпочтению от Z, то мы будем писать
У'^У"» имея в виду, что это равносильно (у/ z))>(y", z) для
всякого z. Аналогично у'~у" будет означать, что (у7, z) ~ (у", z).
Если У не зависит по предпочтению от Z, то отсюда не
следует, что Z не зависит по предпочтению от У, Однако справедливо
следующее утверждение.
Теорема 3.5. Если У не зависит по предпочтению от Z, то
[(У, Ю>(У', *'П -* [(y(z9>(y,z")]
для всякого у~у .
Доказательство. Вывод получается из следующей
цепочки отношений, вытекающих из сделанных предположений о
независимости по предпочтению:
(у, z') ~ (у', z') >(у', шГ) ~ (у, г").
Приведенная выше теорема говорит о том, что если У не
зависит по предпочтению от Z, то структура условного
предпочтения в пространстве Z при фиксированном у связана с у только
через поверхности безразличия. Кроме того, когда У не
зависит по предпочтению от Z, функция ценности и (у, г) зависит от у
через функцию ценности vY(y).
Если У не зависит по предпочтению от Z и Z не зависит по
предпочтению от У, то структуры предпочтений в пространствах
у и z могут рассматриваться отдельно друг от друга. В частнос-
ности, если в этом случае у, vy и vz — подходящие функции
ценности, аргументами которых являются (у, z), у и z
соответственно, то
v(y, z)=f(vY(y), vz(z)).
Практически это означает, что лицо, принимающее решение, может
независимо структуризировать свои предпочтения как по у, так
по z. Затем следует заняться исследованием замещений между
vY(y) и vz{z)y т. е. задачей, которую мы анализировали в § 3.4,
когда рассматривали случай двух критериев. Таким образом, мы
подошли к следующему вопросу: если vY(y)=v°Y и vz(z)=voZf то
сколько единиц по Vy Вы (как лицо, принимающее решение)
согласны уступить за увеличение Vz от v°z до u'z? Сложность этого вопро-
114

са состоит в том, что функции ценности vY и Vz могут не иметь
содержательного смысла, так как они определяются с точностью
до монотонных преобразований. Как же поступить? Одно из
предложений заключается в следующем. Допустим, что
У= {Хи Х2, .... Xs} и Z={Xs+b **+2, ..., Хп).
Выберем типичные значения х°2, ..., *°«, x°s+2, ..., х°п и рассмотрим
структуру условных предпочтений в пространстве (хи #s+i) при
фиксированных х°2у x°Si x°s+2i ..., х°п. Это уже задача, которую
«можно понять».
Пусть, например, в этом подпространстве
при фиксированных х°2, ..., x°Sy x°s+2y ...» *°п. Тогда в пространстве
Vy, vz мы имеем
(VyWu Х\ ..., *°e), Vz(x's+U X°s+2, ..., ^n^^CWrf^b X\ ..., Л),
Грубо говоря, мы можем построить кривые безразличия в
пространстве vу, uz, рассмотрев замещения для двух компонент, одна
из которых принадлежит множеству У, а другая — множеству
Z при фиксированных значениях всех остальных компонент.
3.6.2, Взаимная независимость по предпочтению и
существование аддитивной функции ценности.
Определение. Критерии Хи ...» Хп взаимонезависимы по
предпочтению, если каждое подмножество У этого множества критериев
не зависит по предпочтению от своего дополнения.
В предыдущем параграфе, касающемся случая трех
критериев, было показано, что взаимная независимость по предпочтению
влечет за собой существование аддитивной функции ценности *>.
Этот вывод справедлив также и в случае более чем трех
критериев.
Теорема 3.6. Для критериев Хи ..., ХПу п^З, аддитивная
функция ценности
v(xu x2, »., хп)= 2 Vi(Xi) C.26)
i
(где Vi — функция ценности по критерию Х{) существует тогда и
юлько тогда, когда критерии взаимонезависимы по
предпочтению.
Формальные доказательства этой теоремы имеются в работах
Дебре (iDebreu, 1960), Фишберна (Fishburn, 1970) и Крантца
и др. A971). Прузан и Джексон A963) также получили этот
результат.
Основные моменты доказательства для случая трех критериев
мы уже неформально обсуждали и поэтому повторять их здесь
*) В следующем пункте будет показано, что при трех и более критериях
попарная независимость по предпочтению эквивалентна (взаимной
независимости по предпочтению.
115

не будем. Кроме того, доказательство для я>3 можно провести,
опираясь на доказательство для п==3, если разбить Хи ..., Хп на
три векторные переменные и использовать аддитивность для
трехмерного случая.
В следующем параграфе мы подробно проведем построение
функции ценности для четырех критериев в .гипотетическом
примере. При этом выявятся некоторые особенности взаимосвязи
между условиями независимости по предпочтению и аддитивными
функциями ценности.
3.6.3. Ослабление условий аддитивности. Теорема 3.6 является
очень полезной, так как аддитивная функция ценности
представляется нам самой простой. Однако, как показывает
формулировка этой теоремы, число условий независимости по предпочтению,
которое нужно было бы проверить, становится астрономически
большим даже при не очень большом п> например равным 10.
Ясно, что для произвольного п существует п(п—1)/2 пар критериев,
которые должны быть независимымы по предпочтению от их
соответствующих дополнений, не говоря уже о тройках критериев и
т. д. К счастью, результаты Леонтьева A947а, 19476) и Гормана
A968а, 19686) избавляют нас от большей части такой работы.
Сначала мы сформулируем этот результат, а потом обсудим его.
Теорема 3.7. Пусть Y uZ — пересекающиеся подмножества
множества критериев S={X\, ..., Хп), но ни одно из них не
содержится в другом, а их объединение Y [} Z не совпадает с S. Если
каждое из подмножеств Y и Z не зависит по предпочтению от
своего дополнения, то любое из следующих множеств критериев:
@ Y\}Z,
<(ii) Y(\Z,
(ill) Y—Z и Z—Y,
(iv) (Y-Z)\) (Z-Y)
независимо по предпочтению от своего дополнения.
Формальное доказательство этого результата можно найти в
работе Гормана A968а) *>.
Для того чтобы понять суть теоремы 3.7, предположим, что
S={XU X2i Xz, X4}9 Y={XU X2} и Z={X2, X3}. Теорема гласит, что
если {Хи Х2} и {Х2, Хг} независимы по предпочтению от
{Хг, X*} и {Хи X*} соответственно, то
(i) объединение Y \JZf т. е. {Хи Х2, Хг}, не зависит по
предпочтению от Х±\
*) Если каждое из подмножеств Yit У2,..., Ym множества S— {Xif Х2,..., Хп}
не зависит то предпочтению от своего дополнения, то мы можем несколько раз
последовательно использовать теорему 3.7, чтобы получить все вытекающие
отсюда условия независимости по предпочтению и тем самым в наиболее
возможной степени упростить получающуюся функцию ценности. Общий результат
такого характера, доказанный в § 6.9 с использованием «независимости по
полезности», является аналогом теоремы 3.7.
116

r (и) Пересечение Y [\Z, которое состоит из Х2у не зависит па
предпочтению от его дополнения {Х\у Х$у Х4};
(iii) Хи как У—2, и Хз, как Z—У, не зависят по
предпочтению от своих дополнений;
(iv) {Xu Х3} не зависит по предпочтению от {Х2у Х*}.
Двумя наиболее важными для приложений частями теоремы 3.7
являются (i) и (iv). Эти два результата позволяют сократить
число условий независимости по предпочтению, проверка которых
необходима для введения аддитивной функции ценности в
соответствии с теоремой 3.6, до п—1, где п — число критериев.
Неформальное доказательство теоремы 3.4, приведенное в
п. 3.5.4, проливает некоторый свет на то, почему справедлива
часть (iv) теоремы 3.7. Постараемся теперь объяснить, почему
справедлива часть (i).
Сущность доказательства можно уяснить, рассматривая
специальный случай, в котором
х=(хи х2у xz, X*)
Y={XuX2}y Z={X2yXz}.
Если и У, и Z независимы по предпочтению от своих дополнений^
то, как мы сейчас покажем,
также не зависит по предпочтению от своего дополнения.
Мы должны показать, что
>Ч*"ь ху х\ х\)} -} [(*'ь х'2,
ДЛЯ ВСЯКОГО #4-
То есть, если (х'и х'2у xfs)^> (x"u x2ry xf'z) верно при л:*4, то это же
верно при любом фиксированном Ха. Пусть х'"\ таково, что
(х"'и х)~{х'и х'2). C.28>
Заметим, что это соотношение оправдано, поскольку {Х\, Х2} не
зависит по предпочтению от своего дополнения*).
Из справедливости соотношений C.27) и из C.28) вытекает
(хГ'и х, х'г, х*4)У (х"и ху х% х*4). C.29>
Но поскольку {Х'и Хъ} не зависит по предпочтению от {Х2> Х4}г
то из C.29) для любого х* следует, что
(*"'ь хГ2, х?ь Х4)>(х"и х, х\ х4). C.30J
Используя C.28) и независимость по предпочтению {Х\у Х2} от
своего дополнения, получаем
(*'i, xf2y х'Ъу хА) ~ Хх'у ху х'Ъу хА). C.31 J
*) Здесь мы предполагаем, что х\ и хг\ выбраны так, что х'"и
удовлетворяющий C.B8), существует. Разрешимость и непрерывность, предполагаемые
в этой главе (см. § 3.1), влекут его существование.
117

Из C.31) и C.30) по транзитивности мы получаем правую часть
C.27). Это доказывает наше утверждение.
Следствие. Если каждая пара критериев не зависит по
предпочтению от своего дополнения, то критерии взаимонезависимы
.по предпочтению.
Доказательство можно провести методом -математической
индукции с использованием части (i) теоремы 3.7: если это верно
для любого подмножества из # критериев (&^2), то можно
показать, что это верно для k+l критериев. Детали мы опускаем.
3.6.4. Выбор независимых по предпочтению множеств
критериев. Из теоремы 3.7 следует, что существует большое количество
возможных комбинаций независимых по предпочтению
подмножеств критериев, влекущих взаимонезависимость по
'предпочтению критериев из множества {Хи Х2, .-., Хп). Простейшей
является комбинация, (в (которой {Xiy A"i+i} не зависят по предпочтению
от своих дополнений при i= 1, ..., п—1.
Для того чтобы увидеть, как «работает» эта 'комбинация,
предположим, что я = 5 и каждое из множеств
{ХиХ2}, {Х2, J3}, №,*4}, {Ха,Х5}
обладает «свойством независимости по предпочтению
(НП-свойством), т. е. каждое из них не зависит по предпочтению от своего
дополнения. Тогда из части (iv) теоремы 3.7 мы заключаем, что
{Хи А'з}, №, Х4} и {Х3, Х5}
"также обладают НП-овойством. Повторяя этот прием, мы затем
получаем, что
{Хи Х4} и {Х2, Xs}
обладают НП-свойством. Наконец, мы видим, что {Х\, Х$} также
имеет НП-свойство. Таким образом, <мы видим, что каждая пара
обладает НП-шойством. Но мы знаем из предыдущего следствия,
. что тогда и жаждая тройка должна обладать НП-свойством и т. д.
Другой совокупностью из п—1 предположений, которые влекут
взаимонезависимость критериев {Хи ..., Хп}у является следующее:
каждая пара {Хи Xi}, i = 2, ..., п, независима по предпочтению от
своего дополнения. Рассуждения подобны проведенным выше.
Для того чтобы привести более сложный пример, предположим,
что имеется пять критериев {Хи Х2, ..., Х$} и следующие
подмножества критериев не зависят по предпочтению от своих
дополнений:
а) {Хи Х2},
б) {Х2у Хг}у
в) {Хи X2f Хг, Х4},
г) {X2,XZyX4iX5}.
Нетрудно доказать, что предположения (а) — (г) влекут взаимоне-
за'висимость по предпочтению. Из (а) и (б) следует независимость
118

по предпочтению {Хи Х2> Х$} от {Х4у Х$}. Отсюда с использованием
(г) и части (ш) теоремы 3.7 вытекает, что {Х4, Х5} не зависит по
предпочтению от своего дополнения. Точно так же, )(а) и (г)
влекут независимость по предпочтению {Х3, X4t Х5} от {Хи Х2}> а на
этого и («в) следует, что {Х5, X*} не зависит по предпочтению от
{Хи Х2, Хб}- Таким образом, мы видим, что {Хи ^i+i}, i=l, 2, 3, 4,
независимы по предпочтению от *своих дополнений. Отсюда следует
взаимонезависимость Х{ по предпочтению.
Ясно, что на практике было бы неразумно проверять
непосредственно все возможные условия независимости по предпочтению.
Боли имеются соображения о том, какие условия являются
наиболее подходящими для получения 'полезных результатов, то процесс
построения функций ценности можно значительно облегчить. Тинг
A971) предложил несколько подходов, которые могут оказаться
полезными для этой цели. Один из наиболее плодотворных состоит
в том, чтобы искать естественные группы критериев. Например, в-
проблеме выбора места для ядерной электростанции цели,
выносимые на первый уровень в иерархии целей и получаемые приг
конкретизации («раскрытии») общей цели, можно определить, рас*
смотрев такие аспекты, как денежные расходы, воздействие *ш
окружающую среду, здоровье людей, а также политические
факторы. Дальнейшая конкретизация повлечет за собой привлечение
большого числа критериев. Однако 'вполне естественно, оставаясь
на этом первом уровне, попытаться выяснить с помощью лицаг
принимающего решение, не являются ли некоторые группы
критериев независимыми по предпочтению от каких-то других групп
критериев. Возможно, при этом мы могли бы прийти к заключению о
том, что существует аддитивная функция ценности, определенная,,
например, для этих четырех основных групп критериев,
v(m9 е, А, р) =®м(т) +vE(e) +vH(h) +vP(p),
где М, Е, H и Р обозначают соответственно критерии, связанные с
денежными расходами, окружающей средой, здоровьем людей п
политическими факторами. Мы могли бы затем попытаться
использовать понятие независимости критериев по предпочтению-
внутри каждой из этих групп и уточнить структуру (предпочтений*
лица, принимающего решение.
В §3.8 мы обсудим способ оценивания денежных
переменных. В некоторых задачах такой подход, предусматривающий'
отдельное изучение 'каждого из неденежных критериев в шаре с
денежными критериями, может представляться естественным для
проверки условий независимости по предпочтению.
Более подробно способы проверки условий независимости no-
предпочтению изложены в § 6.6.
3.6.5. Частично аддитивные функции ценности. Даже если взаи-
монезависимость но предпочтению не имеет места, наличие
некоторых свойств независимости по предпочтению может помочь при
построении функции ценности.
119

Теорема 3.8. Пусть даны критерии {ХиХ2уХг,Х^. Если {ХиХ2}
и {Х2у Xq} не зависят по предпочтению от своих дополнений, то
существует функция ценности вида
v(xu x2i *з, хА) =i/(y, *4), C.32)
еде y=v$x$ + v2{x2) + ^з(#з) " / является функцией, возрастающей
по своей первой переменной.
Доказательство этого результата имеется в работе Гормана
'{1968а).
Заметим, что выражение V$x$ +v2(x2) + ?>з(#з) можно
рассматривать © качестве условной аддитивной функции ценности для
критериев Х\9 Х2 и Хг при зафиксированном на подходящем уровне
критерии Х4. Неважно, каков этот уровень, так 'как из условий
теоремы 3.8 в силу теоремы 3.7 следует, что {Хи Х2> Х^} не зависит по
предпочтению от Х±.
Поскольку Xi в теореме 3.8 могут обозначать векторные
критерии, то эта теорема носит общий характер. Важно понять, что этот
результат может быть последовательно использован несколько раз,
скажем, применительно к различным уровням иерархии целей и
лри структуризации одной и той же функции ценности.
3.6.6. Использование аддитивной функции ценности. Вместо
того чтобы использовать аддитивные функции ценности в самой
общей форме
Й(*1,*2, -, *») = J М*<)> (З'33)
зачастую может оказаться удобнее изменить масштаб v и каждой
функции ценности отдельных критериев так, чтобы они изменялись
от нуля до единицы. (Ранее это было проиллюстрировано при
построении аддитивной функции для двух критериев.) В этом случае
мы будем иметь аддитивную функцию вида
v(xu x2i ..., хп)= 2 hiVi(Xi)9 C.34)
где v и Vu i= 1, 2, ..., я, меняются от нуля до единицы и
- S Яг-1, Яг>0. C.35)
?1
Оба равенства C.33) и C.34) определяют эквивалентные
аддитивные функции ценности, различающиеся ллшь выбранными
масштабами измерений. Построение функции вида C.34)
проиллюстрировано в § 3.7.
3.7. ПОСТРОЕНИЕ АДДИТИВНОЙ ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ:
ГИПОТЕТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР •>
В этом параграфе мы на примере покажем, как можно
построить аддитивную функцию ценности для четырех критериев.
*> В § 7.2 мы обсуждаем работу Джеймса Рочи, использовавшего процедуру,
приводимую здесь в качестве иллюстрации, при оценивании альтернативных
вариантов учебных программ для бесплатных государственных школ.
120

Предположим, что Вы — лицо, принимающее решение, —
должны произвести выбор из 75 альтернативных действий и что
каждое действие может быть оценено четырьмя критериями. Эти
оценки представлены в табл. 3.1. Например, действие А имеет оценку
7,5 по критерию Хи 344 по критерию Х2, 0,47 по Хг и 12,15 по ХА.
Для действия А г оценками являются хц, х2и *ъг (и Хи по
критериям от Х\ до X* соответственно.
Таблица 3.1. Оценки эффективности альтернативных действий
по четырем критериям
Действие
Заметьте, что действие
доминирует над действием
Низшая (ограничивающая
зу) оценка
Высшая (ограничивающая
сверху) оценка
Профиль эффективности
ствия Aii
л,
л75
сни-
дей-
А
•
•
*мт>
7,5
3,7
•
б',7
2,0
9,0
G,5; С
*2<1
344
268
•
Hi
250
200
400
44; 0
Критерии
*3(t)
0,47
0,79
•
Hi
0,24
0,15
0,90
,47; 12,15)
X4(i)
12,15
12,20
•
•
12,92
12,00
13,50
Примем, что .критерии Хи Х$ 1и Х$ ориентированы
положительно в том смысле, что Вы предпочли бы иметь более высокие
оценки по каждому -из этих критериев, а критерий ХА ориентирован
отрицательно, т. е. по этому критерию Вы предпочли бы более
низкие оценки *>.
Ваша задача состоит в следующем: имея оценки эффективности
этих 75 действий по 4 критериям, нужно выбрать одно действие,
наилучшее для Вас. Иначе говоря, каким образом Вы могли бы
провести систематизированный анализ своих мнений об этих
критериях, чтобы четко выразить свою пока неявную структуру
предпочтений? При рассмотрени'И имеющихся оценок можно, однако,
заметить, что действие' Л75 не может серьезно претендовать на
«лучшее», так как А\ лучше, чем А75, по каждому из четырех
критериев (вспомните, что для ХА оценка 12,15 лучше, чем 12,92). На
нашем профессиональном языке это означает, что А75 домини-
руется действием Ль
Внизу табл. 3.1 отмечено, что 75 оценок по критерию Х\
лежат в интервале от 2,0 до 9,0. Оценки по критерию Х2 лежат в
интервале от 200 до 400. Аналогично указаны области значений
для критериев Х$ и ХА. Отметим еще раз, что по критерию X* ни-
*> Это утверждение неявно предполагает, что каждый критерий в отдель*
яости не зависит оо предпочтению от своего дополнения.
121

какое действие не имеет оценку лучше, чем 12,00, и хуже, чем
13,50.
Четверку чисел Хцу х2и хъ% 'И х4и характеризующих действие Аи
часто называют профилем Л г- Профили действий А х и А2 показаны
на рис. 3.24.
Критерия
значение 2,0
13J5Q
Рис. 3.24. Профили
эффективности действий Ах и А%
для гипотетического примера
3.7.1. Правомерность использования аддитивной функции
ценности. Предположим теперь, что Вы как лицо, принимающее
решение, считаете, что любая пара 'критериев не зависит по
предпочтению от остальных критериев. Так, например, предположим, что
замещения для критериев Х2 и Хг при фиксированных уровнях
критериев Хх и X* не зависят от конкретных значений этих
фиксированных уровней, и так для каждой пары критериев. Тогда,
как было показано в § 3.6, Ваши предпочтения, если они должны
быть полно и четко выражены в соответствии с указанными
выше предположениями о независимости по предпочтению, могут
быть охарактеризованы функцией ценности вида
4
v(xu x2,xz, *4)= S Ajtfjto),
где
a) Vj (для худшего значения
б)
= 0, Vj (для лучшего значения
в) S ^=1.
Мы можем считать функцию Vj, выражающую нашу оценку Xj,
1-й компонентой функции ценности, a %j — весом, приписанным
критерию Xj. В нашем иллюстративном примере, представленном
122

табл. 3.1, <мы видим, что худшая оценка хх равна 2,0 и лучшая 9,0,
Позднее мы увидим, что определение весов Яг тесно связано с
интервалами шкал.
Стоящая сейчас перед Вами задача — определение
подходящих функций Vj и весов Х$. Решая ее, Вы тем самым должны
будете четко -выразить свою скрытую структуру предпочтений для
профилей х.
3.7.2. Построение компонент функции ценности. Одна из
возможных процедур определения функций vu v2i vz и v^ описана и
проиллюстрирована в п. 3.4.7. Проиллюстрируем лишь в сжатой
форме, как мы можем построить V\.
Вначале мы нормализуем vu полагая ^iB,0)=0 и ^i(9,0) = l.
Затем ищем точку, субъектив-но среднюю по ценности (обозна-
чим ее mOis) в .интервале от 2,0 до 9,0. Иначе говоря, мы хотим
найти значение то,5, для которого Vi(mots) =0,5, т. е. выяснить,
какова та точка разреза, для которой интервалы B,0; то,5) и
('tf*o,5; 0,9) эквивалентны по разности ценности. Значение mo,s
таково, что если
B,O;b;c;d)~i(mos,b';c';d')9
то
(то,5; &; с;
(9,0;
Если мы уступаем некоторое количество единиц по критериям Л^
Х3 и ХАу например, переходя от F, с, d) к (b\ c\ d') для того,
чтобы перейти от 2,0 к /Ло,5, то мы должны быть согласны
уступить ровно столько же единиц за переход от т^ к 9,0.
Предположим, что точка, средняя по ценности между 2,0 и 9,0,
есть 4,0. Затем мы осуществляем ту же самую процедуру для
определения точки, средней по ценности в интервале от 2,0 до 4,0.
Пусть это будет 2,8, так что Ю\ B,8) =0,25. Аналогично, пусть
точкой, средней по ценности в интервале от 4,0 до 9,0, будет 5,7, так
что V\ E,7) =0,75. Теперь эти точки можно нанести на график
(рис. 3.25) и через эти пять точек провести кривую. Можно было*
бы, прежде чем проводить
кривую, построить большее число
. средних по ценности точек. Это
зависит от того, какая нужна
точность. Мы повторяем положение,
которое отмечали раньше: может
оказаться желательным
проверить согласованность (т. е.
найти точку, среднюю по ценности
между 2,8 и 5,7) и исправить
несогласованность так, чтобы
добиться согласованных ответов.
В дополнение к этому мы могли
бы вначале, перед тем как
назначать конкретные числа, прове-
123
7,00
0,50
0,15
0,00
i
Sft
Рис. 3J26. Построение
компоненты Vi функции ценности

рить качественным путем, является ли функция vi вогнутой,
выпуклой или же имеет более сложную форму.
3.7.3. Нахождение значений шкалирующих коэффициентов.
Для удобства изложения введем некоторые специальные
обозначения. Для каждого /-го критерия через Wj обозначим худшее
значение и через bj— лучшее. Тогда для положительно
ориентированных шкал будем иметь vt>f^'xj^:bj. Пусть / — множество
•всех «омеров критериев; в (нашем примере /={1, 2, 3, 4}. Пусть
Т — подмножество множества /, а Г — его дополнение до /, или
Т=/—Т. Через хг обозначим профиль, в котором компоненты xj
равны bj для всех /еТ и Wj для /е7\ Таким образом, если,
например, Г={2, 3}, то
T
Так как Vj(wj) =0 и Vj(bj) = 1, то
*;(хг)= 2 А*
так что когда Г={2, 3}, то с*(хг) =А,2+А,з. Определим также
= 2 Ку
Отметим, что, когда Т является одноэлементным множеством {/},
мы имеем
Один из возможных методов для определения %j, например,
такой. Вначале ранжируем профили х{] }, ..., хD}. Предположим,
например, Вы считаете, что х{2}>х{! }>х{4}>хC}. Отсюда
следует, что для Вас h2>A,i>A,4>A*. Затем Вы могли бы получить
более тонкие неравенства, сравнивая, скажем, х{2Уи х(ь3»4}. Если в
этой паре х{2} более предпочтительно, то мы могли бы сделать
вывод, что Х2>0,5.
Заметим, что когда Вас просят сравнить хт с Xs, то Вам
задают по существу такой вопрос: «Предположим, что профиль х
соответствует наихудшему случаю (доь Дог, Доз, ДО4) и Вы можете
выбрать некоторые Wj> которые будут заменены на лучшие
значения. Хотите ли Вы улучшить уровни критериев с номерами из Т
или же из S?».
Такой метод анализа позволяет только установить
неравенства для Xj. В некоторых специальных случаях могут быть
получены точные числовые значения, если имеются равенства
некоторых профилей по предпочтительности. Например, если Вам
безразличен выбор между х{г} и х{г}, т. е. эти два вектора
одинаковы по предпочтительности, то Х(Г)=0,5. Но это — специальный
случай.
Продолжим разбор случая, когда %2>hi>!k4>kz. Теперь будем
сравнивать два профиля (w\, х2, Доз, ^4) и x{2}h изменять
уровень лг2, пока не наступит момент безразличия в выборе между
ними. Предположим, что это происходит при X2=350, т. е.
B,0; 350; 0,15; 13,50) ~ (9,0; 200; 0,15; 13,50).
124

Тогда мы имеем
иB,0; 350; 0,15; 13,50) =v (9,0; 200; 0,15; 13,50)
или
Я2^C50)=Х1.
А так 'как предполагается, что компонента v2 функции ценности
уже построена, то мы можем найти i>2C50). Допустим, что
#2 C50) =0,6, так что
0,6Я*=Я1. C.36)
Таким же образом мы можем определить соотношения между
Я4 и %2 !и между Я3 и А,2. Примем, в частности, <что
B,0; 240; 0,15; 13,50) - B,0; 200; 0,15; 12,00)
и
v2B40) =0,4,
т. е.
0,4Я2=Я4; C.37)
а также, что
,B,0; 210; 0,15; 13,50) - B,0; 200; 0,90; 13,50)
i>2B10)=0,l,
так что
0,1X2—Л«. C.38)
Из C.36) —C.38) и Х1+Л,2+Лв+Х4=1 мы получаем
?ц = 0,286, Я2== 0,476, Я3=0,048, Я4=0,190.
При желании мы можем поставить дополнительные вопросы я
на основании полученных ответов составить «переопределенную»
систему уравнений (на практике совокупность полученных ответов
наверняка окажется противоречивой). Эти противоречия
аналитик может 'использовать для того, чтобы «побудить» лицо,
принимающее решение, более внимательно отнестись к своим
предпочтениям, и может быть, пересмотреть их. Можно надеяться, что
причины противоречивости будут найдены, после чего будет
установлена непротиворечивая система предпочтений.
3.7.4. Дополнительные замечания о функции Я. Функция X,
определенная на подмножествах множества /, обладает обычными
свойствами вероятностной меры:
а) ЯG)^0
б) Я(/)-1,для7с=/;
в) X(S[) T)=k(S)+k(T)y если S -и Т не пересекаются.
Таким образом, отыскание функции % родственно задаче
установления подходящего вероятностного распределения на
конечном выборочном пространстве. Очень часто при определении
весовой меры Я, точно так же, как и при нахождении численных
значений вероятностной меры, нецелесообразно начинать с
определения численных значений на «атомарном» уровне, т. е. в на-
123

шем случае с чисел &ь Х2, ... Вместо этого может оказаться
удобнее вначале установить численные значения для подмножеств
(т. е. определить А,(Г) для специальных подмножеств), а затем
определить услов-ные меры. Рассмотрим, -например, случай 10
критериев с иерархической структурой, представленной на р<ис. 3.26.
Положим для этого случая
/={1,2,..., 10},
Л={1}, В=,{2, 3, 4}, С={5, 6}, D={7, 8, 9, 10},
Е=А[}В9 F=C\JD.
Рис. 3.26. Иерархическая
структура целей,
используемая при нахождении
численных значений
шкалирующих коэффициентов
В подобном примере с иерархической структурой может
оказаться более естественно сравнивать
ЦЕ) с X(F),
к(С) с X(D).
Используя аналогию с теорией вероятностей, определим также
условные весовые функции, как, например, Хф\Е)= -М для
ЦЕ)
ВаЕ, где %(В\Е) характеризует «весовую важность» множества
критериев В в подмножестве Е «или условные веса В и Е. При
наличии большого числа критериев и их четко выражеиной
иерархической структуры очень важно выделить компоненты задачи я
найти численные значения условных весов. На рте. 3.27
представлены численные значения условных весов, в данном случае
произвольно 'назначенные нам'и (в действительности эти числовые зма-
чения должны быть указаны (назначены) лицом, принимающим
решение). Например, мы положили
М{2}
М?)=0,6
В) =0,5,
X(C\F) =0,8
и MlF)=0,4,
и Я(В|?)=0,5,
М{3} В) =0,3
и X({4} В) =0,2,
и X(D if) =0,2,
и т. д.
126

Укажем теперь, как 'находится, например, значение Яз. Чтобы
найти Хз, мы должны (произвести умножение
Яз=<М{3} \В) -Х(В\Е) -Х(Е) =0,3-0,5-0,6=0,09.
Таким же образом мы получаем все остальные Xj9
представленные на рис. 3.27 во второй строке снизу.
?
Рис. 3.27.
Иллюстративные
значения шкалирующих
коэффициентов
А
щ
/
\0fO)
@,5)
о
@,5) @,8)
@,2)
3.26 ' (/} {2} {3} {*} {J} Щ {7} {8}
В подобной задаче может быть ясно, например, как назначить
численные значения условных весов для подмножеств Е и F, но
может оказаться трудным распределить веса между Е и F.
Однако способность структуризовать часть задачи может позволить
произвести анализ чувствительности для тех решающих оценок,
которые трудно получить. Это замечание об анализе
чувствительности и другие, ему подобные, особенно «важны, если в процессе
выработки решения участвует не один, а несколько лиц,
ответственных за принятие решения.
3.8. ГОТОВНОСТЬ ЗАПЛАТИТЬ
Пусть структура критериев такова, что один из них является
денежным критерием М, т. е. измеряемым в денежных единицах
/п, а остальные критерии Хи Х2у ..., Хп измеряются в каких-то
других единицах. Попарные сравнения при этом имеют вид
(л*ь xlu ...i ххп) по сравнению с (т2, х2\, ..., х2п)
или более компактно *>
(mi, х1) s сравнении с (т2, х2).
3.8.1. Оценивание. Во многих ситуациях (но мы не утверждаем,
что во всех!) естественно действовать, «назначая цену» или
«оценивая» компоненты х. Так, мы могли бы выделить некоторый
профиль х (например, х*) и спросить: «Имея профиль (/По, х°),
сколько бы Вы в точности согласились заплатить за то, чтобы
заменить профиль х° на базовый профиль х*?».
*> Мы используем асимметричное обозначение (mit x1), так как сохраняем
нижние индексы для компонент х, а для m будем применять штрих вверху.
127

Воспользуемся уравнением безразличия (и найдем значение
т'о такое, что (im'o, х*) ~ (т0, х°). Тогда готовность заплатить
была бы равна т'о—/т0.
Если 'нам нужно оценить ограниченное число альтернатив
\(ти х*) для /==1, ..., N и если мы определили для каждого i
значение m'i такое, что (m'i, x*) ~ (imi, x»), i=l, ..., N, то мы могли
бы проранжировать N альтернатив в соответствии с числами от
т'\ до т'п- Эта процедура становится еще более привлекательной
в случае 'Специальной структуры. Например, в уравнении
безразличия (т'о, х*) ~ (<т0, х°) готовность заплатить за изменение х°
«а х* могла бы (в специальном случае) не зависеть от уровня т0.
Это упрощает дело. Однако если этот случай не имеет места и
если-число N альтернатив велико, то зависимость т'о—т0 от т0
становится весьма -существенным осложнением.
Когда размерность х велика, полезно оценивать изменение
профиля от х° до х* поэтапно. Например, мы могли бы вначале
рассматривать компоненту Xj и изменять ее до базового
значения x*j. Тогда мы пришли бы к уравнению безразличия
(m'o, x°u ...,#°i-b x*j9 x°j+\, ..., х°п) ~ (лг0, х°).
В общем случае, при отсутствии специальных предположений,
готовность заплатить т'о—т0 будет зависеть не только от x°j и x*j9
но и от'/п0 и х°и ..., x°j-uXj+u ..., я°п. Однако если критерии М и X,-,
взятые вместе, независимы по предпочтению от дополняющего
множества критериев, то мы можем «оценивать» замену x°j на
x*j, не обращая внимания на уровни значений других критериев.
Но, конечно, мы должны учитывать исходный денежный
уровень /п0.
Если пара {М, Xj} иезависимд по предпочтению от
дополняющего множества критериев для каждого /, то можно оценивать
критерии последовательно. Предположим, например, что
(/ио+(Дь х\ х\ х\ ...) —'(то, х°и х% л:°3, ...),
так что величина Ai — это то, что мы «платим» за замену х°\ на
rV В общем случае А\ будет зависеть от т0 (но не от л:°2, х% ...).
Далее предположим, что
(mo+Ai+iA2, х*и х*2, х\ ...) — (;mo+Ai, х\ *°2, х\ ...),
и, следовательно, Дг — это цена, которую мы «платим» за замену
х°2 на х*2, которая будет зависеть при сделанных «ами
предположениях от /по+Ai, х°2 и х*2, но не от других хи и т. д. Когда мы
будем оценивать замену x°j на х*$, «цена» будет зависеть, к
сожалению, от mo+Ai+ ... +-Aj-i, если, конечно, мы не допускаем в
явном виде иной возможности.
Допустим теперь, что пара {Му Xj} не зависит по предпочтению
от дополняющего множества критериев для всех /, а величина Aj
в уравнении безразличия
(mo+Aj, х°и ..., x°j-u x*j, x°j+u ..., х°п) - (w0, x°)
не зависит .от т0 для каждого /. В этом случае открывается
особенно заманчивая перспектива. Действительно, в такой ситуации
128

мы можем оценивать замену x°j на x*j9 не определяя вначале
последовательно величины Аь Дг, ..., Aj-i.
В некоторых случаях мы не вправе полагать, что \М, Х>}, /=
= 1, ..., iV, попарно независимы по предпочтению от дополняющего
множества критериев. Тем не менее в определенных ситуациях мы
могли бы разбить множество критериев X на два подмножества:
У и Z. Тогда, пользуясь принятыми нами обозначениями, мы
могли бы представить (т, х) в виде (т, у, z). Если множество
критериев {М, У} не зависит по предпочтению от Z, то мы можем
оценивать замену у0 на у*, не заботясь при этом о выбранных
уровнях z°.
Способ, основанный на оценке готовности заплатить
определенную денежную сумму, имеет свои достоинства. Он легко объясним,
и само по себе это нельзя недооценивать. К сожалению, на
практике этот способ в его простейшей форме (т. е. при прямом
оценивании каждой компоненты) часто применяется огульно, без
проверки следующих необходимых для его пригодности
предположений:
1) денежный .критерий, взятый вместе с любым одним из
остальных критериев, не зависит по предпочтению от
дополняющего множества критериев;
2) предельный коэффициент замещения для денежного и
любого другого критерия функционально не зависит от значений
денежного критерия.
Мы обращаем внимание на то, что, даже если приведенные
выше предположения имеют смысл <в конкретной ситуации,
отсюда отнюдь не следует, что нужно обязательно применять
рассматриваемый способ. Во многих случаях может быть слишком
трудно или просто неестественно пытаться оценивать таким способом
замену х° на х* или даже x°j на x*j. При определенных
обстоятельствах может быть более естественно непосредственно
приступить к определению структуры предпочтений, как это делалось в
§ 3.3—3.7.
Ряд интересных примеров использования рассуждений,
связанных с «готовностью заплатить» в многокритериальных ситуациях,
можно найти в нескольких публикациях группы анализа решений
Стэнфордского исследовательского института: работы Метесона и
Роса A967), Стэнфордского исследовательского института A968),
Бойда и др. A971) и Ховарда, Метесона и Норта A972).
3.8.2. Доминирование и обобщенное доминирование.
Существует много изящных приемов, которые мы можем использовать
для обработки предпочтений, обходясь без построения всей
функции ценности. Безнадежно было бы пытаться дать здесь
систематическое рассмотрение этих примеров. Но мы подчеркнем
главное, что нужно использовать в практике. Не всегда легко
осуществить различные за!мещения, которые мы подробно описали.
Если бы мы смогли избежать возникающих порой значительных
трудностей при подобных замещениях, то это существенно
облегчило бы дело. Один очевидный способ — использование понятия
5—67 129

доминирования, ©веденного в § 3.2. Если мы сравниваем две
альтернативы х'=(*'ь ..., х'п) и х"=<(*"ь ..., *"«) 'и если x'j
предпочтительнее, чем x"j, для всех / (или же не менее предпочтителен
для каждого / и строго предпочтительнее для некоторого /), то
х" -можно исключить из числа претендентов, если х' является
достижимым. Отбрасывание по доминированию может решить
задачу. Прекрасно, если это получается!
Предположим теперь, что мы попытались осуществить
указанный выше путь исключения по доминированию, но задачу решить
не удалось. Это — обычная ситуация. Допустим, далее, что
можно разбить х на (у, z) и оценить у в единицах z, приводя
каждый раз у к 'некоторому базовому значению «('например, у*).
Иными словами, для каждой i-и альтернативы (у*, z2) мы решаем
уравнение безразличия (у*, zt) ~ (у*, х\) относительно z'<. Пусть
мы это сделали для i=l, ..., N. Тогда мы можем еще раз
рассмотреть отношения доминирования для сокращенных профилей
z'b ..., z'N. Разумеется, этот последний тип обобщенного
доминирования включает субъективно осуществляемое преобразование
(y,,z<) в (у*, z'i)9i=l9 ..., N.
Если бы способы исключения по доминированию и
обобщенному доминированию позволяли нам выделить лучшую
альтернативу, то это была бы желанная награда. В общем случае, однако,
отбрасывание альтернатив приводит к другим полезным
результатам: при сокращении числа альтернатив весьма вероятно
уменьшение диапазонов изменения значений скалярных критериев.
А это облегчает принятие различных допущений, таких, -как
независимость по предпочтению (и других, которые будут введены
позднее). В качестве иллюстрации этого последнего положения
предположим, что мы рассматриваем случай трех критериев и
выясняем, допустимо ли принять, что критерии 1 и 2 независимы
по предпочтению от критерия 3. Это допущение могло бы быть
приемлемым при условии, что интервал возможных значений
критерия 3 достаточно узок. Но мы могли бы считать это допущение
неверным, если бы третий критерий изменялся в широких
пределах. И здесь некоторая предварительная работа с целью
установления доминирования и особенно расширенного
доминирования могла бы иметь существенное значение.
3.9. КРАТКОЕ РЕЗЮМЕ И ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ
ЛИТЕРАТУРЕ
В этой главе изложены методы построения многомерной функции
ценности. Как только лицо, принимающее решение, сформулировало функцию
ценности, которая описывает упорядочение по предпочтению всех многомерных
альтернатив, последующий анализ должен заключаться в рассмотрении
множества практически достижимых оценок по используемым критериям и выборе
альтернатив, обладающих лучшими оценками.
Два процесса: определение достижимости и построение структуры
предпочтений— могут осуществляться раздельно и сливаться лишь в самом конце
анализа. Мы почти полностью сосредоточились на последнем процессе. Однако в
начале этой главы мы описали весьма неформальный механизм переплетения
130

двух процессов: вначале мы находим точку на эффективной границе
достижимых оценок, а затем двигаемся вдоль этой границы таким образом, чтобы на
каждом шаге получить улучшение в соответствии с нашими предпочтениями.
Это делается специальным образом, чтобы не производить полной детализации
нашей структуры предпочтений. Несмотря на то, что процедура эта может
иногда быть эффективной в некоторых специальных, хорошо структуризованных
задачах (например, в задачах линейного программирования с более чем одной
целевой функцией). Для большинства прикладных задач, описанных в этой
книге, эта формальная процедура не очень полезна, особенно когда вводятся
вероятностные значения. Поэтому мы сосредоточили наше внимание, главным
образом, на одном из аспектов проблемы принятия решения, связанном с
количественным описанием предпочтений. Мы сделали это так, чтобы впоследствии
было легче перейти к рассмотрению вероятностного случая.
Параграфы 3.4—3.6 содержат большое количество теорем представления,
которые позволяют разбить построение функции ценности на составные части.
Ключевым понятием всех этих методов сокращения размерности анализируемой
проблемы является понятие независимости по предпочтению.
Весьма сильными оказываются следствия из того факта, что множества
критериев, не зависящие по предпочтению от своих дополнений, являются
пересекающимися. Поэтому случай двух критериев не столь благоприятен, как
случаи трех и более критериев. Большинство важных теорем представления
указывают условия, при выполнении которых функция ценности v может быть
выражена в аддитивной форме
п
v(xh х2, ..., хп)= 2 Vi(Xi),
где Vi — функции ценности отдельных критериев, имеющие согласованные
шкалы измерений. Подробный пример, иллюстрирующий построение такой функции,
приведен в § 3.7.
Общепринятый большинством аналитиков подход состоит в «оценивании»
неденежных критериев с помощью (единого) денежного критерия. При этом
сравнение альтернатив производится только по «установленным» уровням
денежного критерия. Допущения, необходимые для того, чтобы такой подход был
обоснованным, являются весьма сильными. Они обсуждались в § 3.8.
Большая часть этой главы по своей сути «объяснительная», поскольку, как
это уже неоднократно указывалось, изложение фундаментальных результатов
переориентировало бы книгу на другой круг читателей. Мы воздержались от
приведения формальных доказательств и большей частью прибегали к «почти
доказательствам», имеющим своей целью разъяснить читателю «физический
смысл» строгих доказательств и получаемых результатов. Однако мы постоянно
указывали на оригинальные статьи и специальную литературу, в которой
имеются доказательства теорем.
Теперь мы сделаем беглый обзор литературы, но только для того, чтобы
указать несколько источников, где заинтересованный читатель может найти
более глубокое изложение материала, чем в этой книге. При этом мы
постараемся также упомянуть и некоторые классические работы, относящиеся к
рассматриваемым вопросам.
Леонтьев A947а, 19476) изучал свойства функций нескольких переменных,
обеспечивающие сепарабельность, разбивая исходную функцию на функции,
определенные на непересекающихся подмножествах первоначальных
переменных. Его результаты по своему существу носят скорее локальный, а не
глобальный характер.
Дебре A960) впервые предложил систему аксиом, обеспечивающую
существование аддитивной функции для трех и более критериев, и дал элегантное
топологическое доказательство. Иное алгебраическое доказательство
аддитивности было дано Льюсом и Тьюки A964) в их статье, вводящей «совместные
измерения» для случая двух критериев. Некоторые обобщения совместных
измерений были сделаны Крантцем A964), Льюсом A966) и Тверским A967). Для
полного ознакомления с этой областью мы настоятельно рекомендуем
«Основания измерений» Крантца, Льюса, Сапса и Тверского A971). В контексте об-
5* 131

щей теории измерений эта книга содержит также теоремы представления для
многих более общих функций ценности, чем те, которые рассматривались в
этой главе, и в том числе для широкого класса функций ценности, которые
могут быть представлены полиномиальными структурами. Добавлением к
литературе, посвященной этому вопросу, может служить статья Фишберна A975).
Важный вклад в решение задачи разделения функции ценности на
отдельные компоненты внесла статья Гормана A968а). Его результаты позволяют нам
существенно сократить число условий, выполнение которых необходимо для
аддитивности функции ценности, т. е. сделать этот метод более
операциональным. Тинг A971) обсуждает ряд способов декомпозиции при количественном
описании предпочтений и предлагает несколько подходов к проверке
предположений, необходимых для использования полученных результатов.
ГЛАВА 4
ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Рассматриваемая в этой главе проблема в общем виде
формулируется следующим образом. Принимающий решение должен
выбрать одну из нескольких альтернатив (способов действий)
А\, Л2, ..., Ат, каждая из которых в конечном итоге будет иметь
своим результатом некоторый исход. Оценка предпочтительности
возможных исходов осуществляется с помощью только одного
критерия X. Принимающий решение точно не знает, к какому
именно исходу приведет любая из выбранных альтернатив, но
для 'каждого способа действий он в состоянии установить
вероятности получения различных исходов. Как ему действовать?
4.1. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИЙ ПОЛЕЗНОСТИ*)
Плодотворность формально определяемого понятия
«полезность» и причины, по 'которым оно представляет для нас интерес,
заключаются <в следующем. Если каждому' возможному исходу
подходящим образом поставлено в соответствие значение
«полезности» этого исхода и для каждой альтернативы вычислено
значение «ожидаемой полезности», то наилучшим способом действий
является альтернатива, обладающая максимальной «ожидаемой
полезностью». Различные системы аксиом, позволяющие на
строгой формальной основе ввести понятие полезности и использовать
ожидаемую полезность для принятия согласованных решений,
приведены в работах фон Неймана и Моргенштерна A974), Сэ-
виджа A954), Льюса и Райфа A957), Пратта, Райфа и Шлейфе-
*> Параграфы 4.1—4.8 содержат «объяснительное» изложение многих
результатов, описанных в обширной литературе по одномерной теории
полезности. В нашем изложении существенным образом используются результаты
исследований, выполненных в течение последних 1,5 лет Р. Шлейфером, К, Эрроу,
Дж. Праттом и Р. Мейером. Читатели, хорошо знакомые с понятиями и
результатами статьи Пратта A964), могут лишь бегло просмотреть эти
параграфы.
132

pa A965) и Фишберна A970). В следующем пункте дается
неформальный обзор основных идей теории полезности. С точки
зрения принятого в гл. 1 дихотомического принципа
структуризации проблемы принятия решений (см. рис. 4.1) в этой главе
рассматривается частный случай более общей задачи, описанный
в гл. 3: здесь мы предполагаем, что предпочтительность исходов
устанавливается в результате их оценки только по одному
критерию (одномерный случай), но наше рассмотрение представляет
ообой и обобщение, так -как теперь вводится неопределенность.
Может возникнуть вопрос: почему (мы посвящаем целую главу
только одномерному случаю, хотя в гл. 1 и 2 было показано, что
в наиболее важных жизненных задачах для адекватного
описания исходов требуется большее число критериев, чем один? На
это имеется три причины. Во-первых, ясное понимание теории
одномерной полезности и разработанных на ее основе методов
необходимо для решения задач со
многими критериями,
включающих неопределенность.
Во-вторых, существуют
важные задачи, которые
адекватно формализуются при
использовании одного
скалярного критерия. И,
в-третьих, мы покажем, что многие
задачи многомерной
полезности могут быть сведены к
одномерным при помощи
//еа/?ре&е-
Гла&а' 4
Гла&с? $ц&
Рис. 4.1. Двойная дихотомия при
классификации проблем принятия решений
некоторых методов, рассмотренных в предыдущей главе. Подробно
это будет изложено ниже в данном параграфе.
4.1.1. Основы теории полезности. Мы полагаем, что
большинство наших читателей знакомо с основами теории полезности.
Тем не менее мы остановимся на основных положениях этой
теории и тем самым дадим обзор рассматриваемого предмета для
одних читателей и краткое введение для других.
Предположим, что имеется п возможных исходов,
обозначаемых как Хи %2, ..., хп. Сейчас для нас пока не существенно, какие
именно выбраны «шкалы» для конкретизации этих х. Каждый
исход х может представлять собой скалярную величину, вектор
или некоторое описание на вербальном уровне. Важно, однако,
что исходы могут быть упорядочены (проранжированы) по их
предпочтительности. Далее мы будем предполагать, что исходы
перенумерованы в порядке возрастания их предпочтительности,
так что исход Х\ менее предпочтителен, чем #2, который в свою
очередь менее предпочтителен, чем хг и т. д. Иными словами, мы
полагаем, что ранжирование возможных исходов имеет вид
*1<*2<*3< •••<*,>. D.1)
Теперь предположим, что лицо, принимающее решение, просят
выразить свои предпочтения для вероятностных распределений на
133

множестве этих исходов. Например, принимающего решение
просят установить предпочтения между действиями а' и а", где
1. Действие а! приводит к исходам Х\ с вероятностью р'г-, г=
= 1, ..., п. Конечно, p'i&zQ для всех / и 2*//*=1.
2. Действие а" приводит к исходам xi с вероятностью р"и f—
= 1, 2, ..., п. По-прежнему р"г^0 для всех i -и 2*р"< = 1.
Заметим, что существует бесконечное множество возможных
вероятностных распределений «а этом конечном множестве
исходов.
Допустим теперь, что для каждого i лицу, принимающему
решение безразлично, на какой из двух альтернатив остановить свой
выбор:
Детерминированная альтернатива: получить х\ «наверняка».
Альтернатива, связанная с риском {рискованный выбор): получить
хп (лучший исход) с вероятностью тс{ и Х\ (худший исход) с
вероятностью 1—щ. Обозначим рискованный выбор через <дсп, пи #i>,
Далее, полагаем, что поведение лица, принимающего решение,
является непротиворечивым (согласованным) в том смысле, что для?
него nn= 1 и jti = O, а числа я таковы, что
D.2>
Сравнивая D.2) с D.1), можно заметить, что величины я
выступают в качестве число!вых (шкалирующих) оценок исходов х.
Основной результат теории полезности состоит в том, что
математическое ожидание величины я также может быть
использовано для введения числовых оценок (шкалирования)
вероятностных распределений на множестве исходов х. Чтобы 'пояснить это
заключение, вернемся к рассмотрению выбора между действием
а' (»которое приводит к х\ с вероятностью рг\) и действием а"
(которое приводит к Х\ с вероятностью р"\). Если мы припишем
каждому Х\ его шкальную оценку я*, то математические ожидания*
оценок я для действий af и а", обозначаемые нами
соответственно через я' и я", будут равны
i i
Имеются веские соображения, согласно которым целесообразно»
ранжировать действия а' и а" в соответствии с величинами я'
и я". Аргументация здесь такова. Рассмотрим действие а'. Оно^
приводит с вероятностью р\ к исходу Х{. Но для принимающего'
решение безразлично, получить ли «наверняка» хг или же
оказаться в ситуации, в которой имеется я* шансов за хп и 1—я*
шансов за хх. Таким образом, в действительности действие а'
эквивалентно представлению лицу, принимающему решение, пг
шансов за хп и 1—я' шансов за х\. Подобным же образом
а" приводит к я" шансам за хп и Г—я" щансам за х\. Это
завершает аргументацию, которая существенным образом опирается на
замену каждого детерминированного1 выбора х\ рискованным вы^

сбором <хп, ли х\>. Аргументы за и против этой идеи
«эквивалентной замены», которая является краеугольным камнем теории
полезности, обсуждаются в книге Райфа A968).
Если мы теперь преобразуем числа я в числа и при помощи
положительного линейного преобразования
щ=а+Ьпи b>0, i=l9 ..., л,
тю будем иметь
Щ<и2< ... <ип,
и легко видеть, что среди вероятностных распределений
«(отвечающих, например, а' и а") математические ожидания величин и
ранжируют о! и а" точно так же, как и математические
ожидания вел'ИЧ'Ин я. Например, __
i i
Однако если мы преобразуем числа я в новую шкалу (назовем
•ее до) при помощи монотонного преобразования, не
являющегося положительным линейным преобразованием, то числа до по-
прежнему будут отражать предпочтения для исходов хи х2,..., хп
как таковых, но уже <не обязательно будут описывать
предпочтения для вероятностных альтернатив, таких 'как о! и а".
Если кто-либо, как и мы, будет удовлетворен 'приведенной
выше аргументацией, то он придет к решающему моменту: каким
образом можно найти подходящие численные значения я? В этом
действительно состоит существо проблемы. Если исходы х —
скалярные величины, то существуют, чкак мы увидим в этой главе,
пути решения этой проблемы квантификацни, основанные на
использовании ее структуры. Последующие главы описывают
методы для структуризации данной проблемы, когда исходы х
являются векторами.
4.1.2. Другие подходы к проблеме выбора в условиях риска.
Нужен ли принимающему решение весь аппарат теории
полезности для того, чтобы сделать выбор среди рискованных
альтернатив? Может ли он в действительности воспользоваться менее
формальным аппаратом и вовсе избежать субъективных суждений,
использовать более объективные величины, например, такие, как
математические ожидания и дисперсии?
Разумеется, в каких-то определенных условиях мы можем
обойтись более простыми способами и не прибегать к
максимизации ожидаемой полезности. Так, предположим, что возможные
последствия двух альтернатив А и В могут быть описаны
плотностями распределений fA и fB (рис. 4.2,а) или функциями
распределения вероятностей (рис. 4.2,6), где используемый критерий для
оценки результатов мы обозначили через X. Пусть JFA и FB —
-функции распределения для А и В соответственно. Из рис. 4.2,6
видно, что вероятность того, что исход бyдeJ не более ху у
альтернативы А больше, чем у альтернативы В. Следовательно, если
большие значения X предпочтительнее меньших, то естественно, что
В предпочтительнее, чем А. В таких случаях мы говорим, что
135

альтернатива В доминирует по вероятности над альтернативой Л.
Когда реализуется такая ситуация, для вынесения обоснованных
решений нет необходимости во ©сей той информации, которая
содержится в полностью построенной на X функции полезности.
о
о)
Рис. 4.2. Иллюстрация доминираваиия по вероятности
Это заключение, однако, не является очевидным, если
исходить из плотности распределения на рис. 4.2,а. Разумеется,
далеко не всегда ситуация будет складываться столь удачно, что мы
сможем использовать доминирование до вероятности.
Более типичен случай, когда функции распределения FA !и FB>
соответствующие альтернативам А и 5, пересекаются (так что
нет полного доминирования по вероятности), однако и здесь
Субъективные неформальные здравые соображения могут помочь
сделать выбор зачастую без особых хлопот. Часто достаточно просто
посмотреть на FA и FB, чтобы без каких бы то «и было
формальных процедур прийти к приемлемому решению. Но это обычно
связано с теми 'или иными характерными особенностями функций
распределения 1вероятностей. Чаще же дело обстоит сложнее.
В этом случае, возможно, будет целесообразно провести более
систематическое исследование наших основных интуитивных
ощущений — и тогда, конечно, на ©ажн.ейшее место выдвинется сила
теории полезности. Но посмотрим -вначале на так называемые
объективные процедуры.
Одно из простейших предложений—руководствоваться
ожидаемым значением (математическим ожиданием) возможных
результатов *). Тогда, чтобы определить ожидаемое значение
результатов для каждой альтернативы, потребуется знание только
вероятностных распределений. Однако для -многих лиц,
принимающих решения, не будет безразличен выбор между действиями,
характеризуемых следующими возможными исходами:
А — заработать 100 000 дол. наверняка.
В — с вероятностью 0,5 заработать 200 000 дол. и с той же
вероятностью 0 дол.
С —с вероятностью 0,1 заработать 1000 000 дол. и с
вероятностью 0,9 — 0 дол.
*> Напомним, что значения самих результатов оцениваются по выбранному
критерию X.
136

D — заработать 200 000 дол. с вероятностью 0,9 и потерять
800 000 дол. с вероятностью 0,1.
Заметим, что для каждого из этих действий математическое
ожидание получаемой суммы в точности равно 100 000 дол.
Поэтому ожидаемое значение результатов 'нельзя признать
подходящим критерием для тех лиц, принимающих решение, которые
считают эти действия неодинаковыми по предпочтительности.
Возможный критик на основании этого иллюстративного
примера мог бы указать на следующее обстоятельство: «Естественно,
что действие А предпочтительнее других, так *как для него исход
не связан с .неопределенностью. Однако если мы дополнительно к
математическому ожиданию исхода используем меру
неопределенности, такую, как дисперсия возможных результатов, то мы
смогли бы правильно упорядочить альтернативы по
предпочтительности». Это предложение кажется (правдоподобным, однако оно не
всегда верно. Простые расчеты показывают, что оба действия С и
Д имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии
результатов, и поэтому любая схема оценивания, основанная именно
на математическом ожидании и дисперсии, с необходимостью
приведет к безразличию в выборе между С и D. Проведенные
исследования показали, что для большинства людей С и D различаются
по предпочтительности. Следовательно, .никакой из критериев,
основанных только на математических ожиданиях и дисперсиях, не
может правильно представить их предпочтения.
Даже если критерий «среднее значение — дисперсия»
представляется (подходящим для оценивания альтернатив в конкретной
задаче, мы должны установить еще подходящее упорядочение по
предпочтению для двух критериев — «математическое ожидание
возможных результатов» и «дисперсия возможных результатов».
В этом случае, видимо, потребуется построение функции ценности
для этих двух критериев, а это может оказаться более сложной
задачей, чем построение с самого начала функции иолезно-сти
возможных результатов, оцениваемых по единственному критерию X.
В литературе описано много других схем, предложенных - для
тех или иных конкретных случаев, но, по нашему мнению, никакое
другое предложение, кроме максимизации ожидаемой полезности,
не выдерживает критики три внимательном рассмотрении.
Приведем еще одно предложение.
Обозначим неопределенный (случайный) исход, к которому
может привести данная альтернатива, через х. Рассматриваемое
предложение предполагает, что распределение х может быть
полностью охарактеризованно двумя величинами:
1) а—Р[х^.хо] — вероятностью того, что х меньше
некоторого 'критического уровня притязаний лго;
2) $=Е[х\х^х0] — условным математическим ожиданием х,
определенным при условии, что х достигает уровня притязаний xG.
Нетрудно тогда вычислить пару чисел (а, Р) для каждой
альтернативы и ввести простую двумерную функцию ценности. Напри-
137

мер, мы могли бы .максимизировать р три условии, что ^,
Предложенные процедуры такого рода могут 'быть легко
опровергнуты указанием на «утрированные» «примеры, когда их
применение не дает положительных результатов. Однако тогда обычно*
выдвигается возражение: «Но в таких «утрированных» примерах
мы могли бы изменить наше предложение об использовании пар*
(a, iP), ©ведя другое ограничение, такое, как ...». В литературе
ведутся бесконечные дебаты подобного рода, но здесь достаточно*
сказать, что чем больше мы слышим таких доводов, тем тверже-
стоим на своей позиции, становясь все более уверенными ib
правильности принципа максимизации ожидаемой полезности.
Разумеется, все это само 'по себе может не являться для читателя
убедительным аргументом, но мы подчеркиваем, что наши
соображения основаны на .нашем опыте и их, по нашему мнению,
целесообразно «иметь в виду.
4.1.3. Применимость теории одномерной полезности к
многокритериальным задачам. Приведенные выше наши соображения о
теории одномерной полезности касаются в основном трактической
важности самого понятия полезности и опираются на тот факт,
что эту важность можно легко 'проиллюстрировать в одномерном*
случае. Но имеется и другое очень ;важное основание. В
большинстве методов построения многокритериальных функций полезности,,
которые мы опишем, важной составной частью является
построение одномерных функций полезности для отдельных критериев.
Иначе говоря, наши методы позволяют свести задачу построения4
многомерных функций Полезности к задаче построения
одномерных функций (полезности с последующим их согласованием
путем выбора соответствующих шкал. А глубокое знание теории
одномерной (полезности для решения этой задачи необходимо.
Если, например, в рассматриваемой задаче исходы могут быть
адекватно описаны с помощью лишь п критериев, сможет
оказаться, что при помощи методов, рассмотренных в гл. 3, размерность
критериального пространства сокращается с п до п—1. Если /г=
=2, то мы тогда получаем одномерную задачу. Если я>2, то
последовательное сокращение размерности может привести нас х.
одномерному случаю.
В гл. 3 разбирались методы и предлагались процедуры шолу-
чения функции ценности v (x) для всех возможных исходов х. Так
как функция ценности v(x) одномерна и v(x')=v(x") в том и<
только в том случае, когда х' и х" эквивалентны по 'предпочтитель^
ности, можно 'построить функцию полезности w[y(x)] для
одномерного критерия «ценность» и таким образом приписать
полезность каждому возможному исходу х. Один из путей того, как это*
можно сделать, обсуждается в § 5.1.
Другой подход, который не требует 'построения функции
ценности, предусматривает вместо этого проверку допущений,
приводящих к специальной форме функции полезности. Простейшим
примером такой функции :в двумерном случае является аддитивная
функция полезности и(у, z) =uy(у) + Hz(z),, оде «к имг — согла«~
138

сованным образам шкалированные одномерные функции
полезности. Главное состоит в том, что обе функции uY (у) и uz(z) могут
быть построены при помощи методов, рассматриваемых в этой
главе.
Допущения, необходимые для обоснования аддитивной формы,
такой, .как
или для различных мультипликативных форм, как, например,
и(хи ..., Хп)=
требуют различных предположений о независимости 'по
полезности, которые будут рассмотрены в гл. 5 и 6. Несмотря на это,
даже в случаях, когда такая яезависихмость не имеет места, мы
часто будем вводить функции условной полезности, зависящие от
одной переменной, например условную 'полезность х\ в
предположении, что «совокупный» показатель У находится на уровне у°.
Таким образом, одномерные функции полезности будут
являться .необходимым элементом в многомерной теории, которая
будет развита в следующих главах.
4.1.4. Примеры одномерных задач. Приведем несколько
примеров, в 'которых при принятии решения исходы можно адекватно
охарактеризовать одним критерием. Пусть цель компании состоит
в максимизации прибыли. В этом случае критерием, выбранным
для описания исходов, может быть -нарастающий итог денежных
поступлений, денежная оценка положения, «чистый денежный
доход или что-либо подобное. Выбор критерия, который будет
использован, является, очевидно, субъективным и делается по
усмотрению аналитика, консультирующегося с лицом, 'принимающим
решение*). Вопрос о том, как выбрать критерий, позволяет ли он
достаточно полно охарактеризовать исходы или нет, и т. д., был
подробно обсужден в гл. 2.
Многие идеи, развитые в этой главе, «попользуют деньги в роли
одномерного фактора. Основные причины этого в том, что: 1)
многие полученные ранее (результаты теории полезности связаны с
этим специальным случаем и 2) многие читатели уже думали или
могли думать о своих /предпочтениях относительно различных
денежных сумм. Поэтому понятия предпочтения и риска, вводимые
в этой главе, будут интуитивно лучше поняты, если в качестве
первичного критерия в иллюстративных целях использовать денежные
величины, а не .какой-то другой, менее 'привычный критерий.
Однако понятия, которые будут введены, пригодны и для других
одномерных задач. Приведем несколько 'примеров.
*) В коммерческих вопросах часто предпочтительнее применять активы
вместо нарастающих итогов поступлений, так как это позволяет набежать
некоторых психологических особенностей восприятия возможных результатов в
процедурах ювантификации, а также облегчает рассмотрение задач
динамического характера (см. работу Шлейфера A979), с. 163—165).
139

Рассчитанные на непредвиденные случаи службы, такие, как
скорая шмощь, полиция, 'пожарная служба, отвечают на запросы
о помощи, высылая служебный транспорт (машины скорой
помощи и т. п.) к месту происшествия «как можно быстрее». В этом
случае естественной мерой эффективности является «период
реагирования», т. е. период времени от момента получения запроса о
ломощи до момента прибытия служебного транспорта на место
происшествия. Ларсон A972) и Савас A969) выбрали этот
критерий в своих работах, посвященных соответственно полицейской
службе и службе скорой помощи. Во многих ситуациях,
характерных-для систем массового обслуживания: очереди машин у пункта
оплаты проезда или покупателей у контрольной кассы — целью
исследования является улучшение обслуживания, которое может
быть охарактеризовано критерием «время задержки». Другие
задачи массового обслуживания связаны, с перегрузками,
возникающими в большинстве аэропортов. Здесь главной целью персонала,
ответственного за работу этих-аэропортов, является высокая
эффективность взлетно-посадочных операций. Блюмштейн A959),
Оудони A972) и друлие 'построили аналитические модели
операций по приему и отправке самолетов; эти авторы оценивали
эффективность различных вариантов проведения операций «числом
взлетно-посадочных операций в час», и этот показатель 'был
единственным принятым во внимание критерием.
В медицинских задачах основными одномерными критериями
могут быть стоимость лечения по некоторому лечебному курсу,
число серьезных .побочных эффектов от применения лекарства
и т. п.
В качестве последнего примера рассмотрим следующую
сложную ситуацию. Допустим, что страна охвачена эпидемией, .и
медицинское руководство страны должно выбрать способ
сокращения смертности от этой эпидемии. Критерием, которым будут
характеризоваться результаты его действий, может быть число
жизней, унесенных эпидемией. В другом варианте этой задачи
подходящим критерием может быть вероятность появления «серьезных
последствий».
4.1.5. План этой главы. В следующем параграфе изложен
«прямой» метод определения значений полезности для
рассматриваемых исходов. Этот -метод при большом числе исходов
нерационален, так как он основан на обращении к лицу, принимающему
решение, за субъективной информацией относительно .каждого
исхода, и практически таких обращений может оказаться Слишком
много. В подобных ситуациях может быть, подходящим и даже
необходимым построение функции полезности и, которая
приписывает полезность и(х) каждому ^возможному исходу х на
непрерывном интервале возможных результатов. В § 4.3—4.7 излагаются
основы исследования монотонно возрастающих функций
полезности действительной переменной, т. е. рассматривается случай,
когда большее значение переменной предпочтительнее, чем меньшее.
Эти результаты обобщаются на убывающие и немонотонные функ-
140

ции полезности в § 4.8. В -следующих двух параграфах
соответственно предлагаются метод построения одномерных функций
полезности и примеры таких построений. В § 4.11 и 4.12 излагаются
исходные идеи теории условной одномерной полезности и тем самым
обосновывается переход к =многомерному случаю, рассмотренному
в гл. 5 и 6.
4.2. ПРЯМОЕ УСТАНОВЛЕНИЕ ПОЛЕЗНОСТЕЙ ИСХОДОВ
Обозначим (возможные последствия решения, в данном случае
выступающие в качестве случайных исходов выбранной лотереи,
соответственно через Х\, х2, ..., xn. Тогда, поскольку полезность не
абсолютна, а относительна, для установления начала отсчета и
единицы измерений мы можем произвольно назначить полезности
двух исходов и затем для остальных исходов определить их
полезность относительно этих двух. -По-видимому, этот метод легче
всего будет проиллюстрировать, если обозначить через х° и х* один
из наименее предпочтительных и один из наиболее
предпочтительных исходов. Использование выражения «один из наименее
предпочтительных» !вместо «наименее предпочтительный» указывает на
то, что может быть более одного исхода с одним и тем же уровнем
предпочтительности.
Далее, для установления нашей шкалы, положим и(х*) = 1 и
ы(х°) =0, и подберем для каждого другого исхода х вероятность л
такую, чтобы х был эквивалентен*) лотерее <#*, я, #°>, дающей
я шансов за исход х* и 1—п — за исход х°. Тогда, поскольку
полезность х должна быть равна ожидаемой полезности лотереи, мы
полагаем
ti{x) =nu{x*) + A—n)u(x°) =я.
Установив таким образом значения полезности всех исходов ху
можно провести различными способами (проверку их
согласованности. Например, пусть х\ х" -и х"' — последовательность исходов,
возрастающих по предпочтительности, .и пусть получение х"
наверняка эквивалентно участию в лотерее <х"', р, х'>. Тогда для
согласованности необходимо, чтобы число р -было таким, что
или
Этот метод прямого установления может быть применен к аа-
дачам, в которых возможных исходов немного, скажем, не больше,
например, 50. Однако мы полагаем, что в задачах с большим
числом исходов при наличии естественного упорядочения -исходов х
лучше использовать другой подход. Соответствующий метод вклю-
*> В более развернутой форме мы сказали бы: «Пусть для принимающего
решение безразличен выбор между х и лотереей...».
141

чает в 'себя установление полезности для нескольких исходов, как
это указывалось выше, и 'подбор описывающих их кривой, т. е.
функции полезности. Вид и функциональная форма функции
полезности, как мы увидим в следующих пяти параграфах, говорят
нам очень много об отношении лица, принимающего решение к
риску. Поэтому наш общий подход начинается с выяснения этих
основных особенностей отношения к риску, установления
функциональных форм функций полезности, отражающих эти
особенности, после чего мы переходим к конкретизации функции
-полезности на основе нескольких .построенных точек. Как это делается, —•
является предметом нашего дальнейшего рассмотрения.
4.3. ОДНОМЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Введем некоторые качественные характеристики функций
полезности. Каждая такая характеристика отражает определенную
особенность предпочтений лица, принимающего решение,
относительно возможных исходов и лотерей. Выразив эти особенности
математически, можно будет аналитически описать ограничения
«а функцию полезности, которые вытекают из наличия этих
особенностей. Если принимающий решение согласен с указанными
особенностями, его функция полезности будет заключена в
довольно узких границах, что облегчает фактическое построение этой
функции. Кроме того, это позволяет провести анализ
чувствительности и изменчивости.
4.3.1. Монотонность. Часто разумной и оправданной характе-
ристикой я)вляется монотонность. Если исходы характеризуются
в деньгах, то (большинство (если не все) лиц, -принимающих
решения, предпочитают большую сумму меньшей. В этом случае, когда
и представляет собой функцию полезности для денежных оценок
X, в силу своего построения функция шолезности должна
удовлетворять условию
[xl>x2]^^[u(xl)>u(x2)]. D.3)
Теперь рассмотрим предпочтения для периода реагирования
службы скорой помощи. Представляется вполне разумным
принять, что меньший период реагирования всегда предпочтительнее
большего. В этом случае, -если t — конкретный период
реагирования, аи — функция полезности, то
[и>12]^^[и(^)>и(^)]. D.4)
Поэтому мы говорим, что функция полезности периода
реагирования является монотонно убывающей.
Мы можем легко перейти от убывающей к возрастающей
функции полезности, изменив критерий. Предположим, что вместо того,
чтобы оценивать службу скорой помощи через период
(реагирования, мы определили «нормативную продолжительность 'периода
реагирования», равную 15 мин, и для оценки службы используем
критерий «время реагирования, сэкономленное по сравнению с
142

нормативным». Если мы для всякого вызова службы обозначим
через у это сэкономленное «время по сравнению с .нормативным и
определим его равенством #=15—t, где t — определенный ранее
период реагирования, то предпочтения, очевидно, будут
возрастающими ;по у, и .поэтому функция полезности для нашего нового
критерия также будет возрастающей. Это верно во всех случаях,
даже если «сэкономленное время» отрицательно (т. е. (период
реагирования больше 15 мин).
Ясно, что мы можем легко перейти от возрастающей к
убывающей функции полезности, поменяв знак меры эффективности.
По-видимому, самый понятный пример такого перехода —
деловые операции, оцениваемые либо доходами, либо убытками.
Безошибочно можно принять, что предпочтения являются
возрастающими по мере роста доходов и
убывающими по мере роста убытков.
Приведем пример ситуации, в
которой функция полезности не является
монотонной. В медицинской практике
встречаются задачи, связанные с
ненормальным содержанием сахара в
крови пациента. У лечащего врача для
решения такой задачи обычно имеется
много различных методов. Мерой
эффективности здесь может служить
процентное содержание сахара в крови.
Существует некоторое «нормальное»
процентное содержание сахара, кото- р,ис. 4.3. Немонотонная фуик-
рого и желательно добиться. Если со- ция полезности
держание ниже нормы, то чем меньше
процент сахара в крови, тем положение хуже. Если
содержание выше -нормы, то больший процент сахара менее
'предпочтителен, чем меньший. В этом случае 'предпочтения являются
монотонно возрастающими до .нормального уровня и монотонно
убывающими после него. Функция полезности подобного рода изображена
на рис. 4.3.
4.3.2. Детерминированный эквивалент и стратегическая
эквивалентность. Понятие детерминированного эквивалента является
одним из основных в теории 'полезности. Оно вводится здесь, так
как будет часто использоваться в следующих параграфах при
рассмотрении различных характеристик риска ,и их связи с
функциями полезности.
Пусть L — лотерея, приводящая к выигрышам (исходам) х\у
*2, ..., хп с вероятностями ри /?2, ..., рп соответственно. Обозначим
неопределенный выигрыш (т. е. случайную переменную),
даваемый лотереей, через х, а ожидаемый выигрыш (математическое
ожидание выигрыша) через х:
= 2 р{х{. D.5)
Лроцешное
143

Ожидаемая полезность этой лотереи равна
?[«(*)]= 2р,и(лс) D.6)
1=1
и является 'показателем, который при выборе лотерей следует
максимизировать.
Определение. Детерминированным эквивалентом лотереи L
называется величина х, такая, что принимающий решение
безразличен в выборе между участием в лотерее L и получением х
наверняка. Следовательно, х определяется равенством
и(х)=Е[м(х)]млк х=и~1Еи(х). D.7)
Заметим, что для монотонной функции полезности
детерминированный эквивалент любой лотереи определяется единственным
образом.
Когда рассматриваемым 'критерием является денежная оценка
получаемого результата, то детерминированный эквивалент
лотереи 'называется детерминированным денежным эквивалентом.
Если X — период реагирования, то детерминированные
эквиваленты удобнее называть детерминированными временными
эквивалентами. Однако поскольку из контекста всегда будет ясно, о чем
речь мы будем пользоваться термином «детерминированный
эквивалент» 'без дальнейших уточнений.
Исторически многие исследования по теории одномерной
полезности, а поэтому и детерминированные эквиваленты, были
связаны с полезностью денег. В связи с этим в литературе часто
встречаются термины денежный эквивалент и продажная цена
лотереи. Оба термина обозначают детерминированный эквивалент
лотереи с денежными выигрышами*).
Нужно сделать следующее замечание, хотя оно, возможно,
покажется очевидным. Ожидаемый выигрыш и
детерминированный эквивалент, определенные формулами D.6) и D.7)
соответственно, относились к лотерее с конечным числом возможных
выигрышей. Если возможные выигрыши лотереи описываются
плотностью распределения ,/, то ясно, что ожидаемый выигрыш х этой
лотереи равен
х=Е(х)= (xf(x)dx,
а детерминированный эквивалент х является решением уравнения
и(*)=Е[и(х)]=§ и(х)Цх)ёх.
Прежде чем переходить к примерам, следует ©вести понятие
стратегической эквивалентности.
*) Покупная цена лотереи с денежными выигрышами — другой термин,
часто встречающийся в литературе. Она определяется как наибольшая сумма
денег, которую уплатил бы принимающий решение за лотерею с учетом
денежного положения, в котором он находится. Только лишь в частных случаях
покупная цена лотереи равна продажной (см. гл. 4, § 11 книги Райфа A968)).
144

Определение. Две функции полезности и\ и и2 стратегически
эквивалентны (это записывается так: щ~и2) тогда и только
тогда, когда О'Ни одинаково упорядочивают по предпочтительности-
любые две лотереи.
Из этого определения, конечно, следует, что если щ~и2у то
детерминированные эквиваленты для любой лотереи,
определенные функциями щ и и2у одинаковы. Символически это
записывается следующим образом:
U\ ~ u2^U\~xEu\ (х) =u2~lEu2(х) для любых х.
Легко показать, что если для некоторых -констант h и k>0
справедливо
U\(xi) —h+ku2(x) 'при любых ху
ТО U\~U2.
Теперь мы сформулируем обратное утверждение.
Теорема 4.1. Если U\~u2) то существуют две такие
постоянные h и &>0, что
Ui(x)=h+ku2(x) для всех х. D.8)
Доказательство. Пусть х — произвольное значение из
[л:0, х*] и пусть х~ <л;*, я, х°>, так что
Ui(x)=nUi(x*) + (l— п)щ(х°) для t=l, 2. D.9)
Полагая в D.9) 1=2 и разрешая равенство относительно я,
получаем
Яд «2(*)-»2(Х°) D10)
и2(х*)-и2(х°У У }
Подставляя это значение я в D.9) для t=l, приходим к нужному
результату.
Стратегически эквивалентные функции полезности имеют
одинаковый смысл с точки зрения сравнительной оценки действий.
Рассмотрим несколько 'примеров.
Пример 4.1. Пусть u(x)=a+bx^xy b>0. Предположим, что
принимающий решение имеет дело с лотереей, описываемой
плотностью распределения выигрышей /. Тогда ожидаемый выигрыш
равен
х=Е(х)= $ xf,(x)dx9
и детерминированный эквивалент х находится из уравнения
и(х) =E[u(x)]=E[a+bx] =a+bx.
Так как и(х)=а+Ьху то отсюда следует, что ?=х. Этот пример
показывает, что если функция полезности линейна, то
детерминированный эквивалент любой лотереи равен ожидаемому
выигрышу этой лотереи.
Пример 4.2. Пусть и (х) = a-^ber™ ~ —е~Ч где Ь > 0, и
предположим, что принимающий решение имеет дело с лотереей 60—50
(т. е. приводящей с равными вероятностями либо к х\9 либо к х2)9
145

обозначаемой как <Х\У х2>. Ожидаемый выигрыш х равен {х\ +
+х2)/2. Детерминированный эквивалент находится из решения*
уравнения
и(х)=Е[и(х)]
или равносильного уравнения
—е = — (е
Предположим теперь, что лотерея описывается 'плотностью*
равномерного распределения
(—1— У ^Y^Y
[ 0, в противном случае.
Ясно, что ожидаемый выигрыш равен (х\+х2)/2у а
детерминированный эквивалент определяется из уравнения
х2
и{х)= Г(—t~cx)( \dx
xt
ИЛИ
Выполнив расчеты для нескольких вариантов, получим табл. 4.2.
Из табл. 4.1 и 4.2 видно, что если выигрыши лотереи увеличить
на определенную сумму, то и детерминированный эквивалент
увеличится на ту же самую сумму. Это является важным свойством
экспоненциальной функции полезности.
Теорема 4.2. Если и(х)=—е~сх их — детерминированный
эквивалент для лотереи х, то ?+Хо является детерминированным
эквивалентом для лотереи х+хо.
Таблица 4.2. Детерминированные
эквиваленты для лотерей с равно*
мерным распределением выигрышей
, при и(х) ~—е~сх
Таблица 4.1. Детерминированные
эквиваленты для лотерей <хи Хг>
при и(х) ~—е~с*
с
1,0
1,0
1,0
0,2
0,2
0,2
ол
0,1
0,1
0
10
20
0
10
20
0
10
20
10
20
30
10
20
30
10
20
30
х
5
15
25
5
15
25
5
15
25
X
0,69
10,69
20,69
2,85
12,85
22,85
3,8
13,8
23,8
с
1,0
1,0
1,0
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0
10
20
0
10
20
0
10
20
#2
10
20 .
30
10
20
30
10
20
30
X
5
15
25
5
15
25
5
15
25
X
2,30
12,30
22,30
4,2
14,2
24,2
4,58
14,58
24,58
146

Доказательство. Детерминированный
второй лотереи является решением уравнения
эквивалент х' для
Но, по определению, е—« =Е[ е~~с*1,
так что
откуда следует, что х'=х+хо.
Пример 4.3. Пусть u{x)=\og(x+b)y x>—b. Ожидаемый
выигрыш для лотереи <хь х2>, как и раньше, равен {хх+х2I2.
Детерминированный эквивалент, определяемый из уравнения
равен
х=
Для нескольких вариантов он указан ib та'бл. 4.3.
Из табл. 4.3 можно увидеть, что для каждой лотереи
детерминированный эквивалент всегда меньше, чем ожидаемый выигрыш.
Однако для любого значения b эта разность становится меньше
Таблица 4.3. Детерминированные
эквиваленты для лотерей <
при и(х) ~log(x+b)
ь
1
1
1
11
11
11
21
21
21
0
10
20
0
10
20
0
10
20
10
20
30
10
20
30
10
20
30
X
5
15
25
5
15
25
5
15
25
X
2,32
14,2
24,5
4,2
14,5
24,7
4,5
14,7
24,8
U(tS)
Z
-™,г—^
-/+н
1 1
1 1
I 1
I 1
1
\
1
1
1
Рис. 4.4. Детерминированные
эквиваленты, используемые для немонотонной
функции (полезности
лри увеличении выигрышей х\ и х2 на заданную сумму. Позднее в
этой главе мы много внимания уделим функциям полезности, для
которых детерминированные эквиваленты .ведут себя таким
образом.
Пример 4.4. Все три первых примера были связаны с
монотонно возрастающими функциями полезности. Рассмотрим
убывающую функцию полезности и(х)=—х2, х^0, и рассчитаем
ожидаемые выигрыши и детерминированные эквиваленты для <0, 10>
147

и <10, 20>. Ясно, что ожидаемые выигрыши равны 5 и 15
соответственно. Детерминированный эквивалент для <0, 10>
является решением уравнения
>5Q
Следовательно, #=7,07. Аналогично находим, что
детерминированный эквивалент для <10, 20> равен 15,8. Это означает, что
принимающему решение безразлично, шолучить ли #=7,07 наверняка
или участвовать в лотерее <0, 10>, шолучить ли л:= 15,8
наверняка или участвовать в лотерее < 10, 20>.
Вычисление детерминированных эквивалентов было
проиллюстрировано на 'примерах для некоторых типичных лотерей.
Однако (во всех этих (примерах рассматривались только монотонные
функции полезности. А как обстоит дело в немонотонном случае?
В этой -ситуации детерминированный эквивалент может быть
неединственным. Обратимся к рис. 4.4 и рассмотрим лотерею 50—50
с выигрышами х\ и лг2. Детерминированным эквивалентом
является всякий исход, полезность которого равна ожидаемой
полезности лотереи [и(х\) +и(х2)]/2. Как видно из рис. 4.4, х$ и х\
являются детерминированными эквивалентами для <хи х2>, но
фактически один из них даже не 'попадает в диапазон между двумя
возможными выигрышами лотереи.
4.4. НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ
В этом и следующих четырех параграфах мы вводим
несколько основных типов отношения к риску и поясняем их смысл,
рассматривая соответствующий функциональный вид 'функции
полезности. Для того что(бы -сохранить целостность изложения и помочь
читателю прочувствовать физический смысл этих понятий, в
§ 4.4—4.7 рассматриваются только монотонно возрастающие
функции полезности. По тем же причинам мы часто будем обсуждать
случаи, связанные с денежным критерием, таким, как «чистые
активы» или «нарастающий приход». Однако, как мы уже ранее
подчеркивали, эти понятия в полной мере подходят и. к неденеж-
ным критериям. В § 4.8 понятия, связанные с риском,
распространяются на ситуации с убывающими и немонотонными
предпочтениями.
4.4.1. Определение «несклонности» к риску («неприятие»
риска). Интуитивно мы думаем о лице, не склонном к риску, как о
человеке который ведет себя консервативно. Рассмотрим
(возможное поведение лица, принимающего решение и анализирующего
целесообразность участия в лотерее, которая может дать с
равными вероятностями либо выигрыш х\ либо менее предпочтитель-
ный выигрыш х". Ожидаемый выигрыш х этой лотереи равен,
очевидно, (xr+x")t2. Предположим теперь, что принимающего
решение просят указать, что он предпочитает: получение х наверняка
или участие в лотерее <*', х">. Если принимающий решение
предпочитает х лотерее <х', х">, в которой ожидаемый выиг-
148

рыш также равен х, то он тем самым фактически говорит, что
предпочитает избежать риска, связанного с лотереей. Это
означает, что, хотя х и <х', х"> имеют одинаковые ожидаемые
выигрыши, он предпочитает достоверный исход х, ибо в этом случае
он ничем не рискует, в то (время как исход лотереи связан с
определенным риском. Если принимающий решение ведет себя таким
образом по отношению ко всем лотереям, то мы говорим, что о« не
склонен к риску. Формализуем это понятие.
Определение. Принимающий решение не склонен к риску, если
он предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в
любой невырожденной*) лотерее ©место участия в этой лотерее.
В такой ситуации полезность ожидаемого (выигрыша любой
лотереи должна быть больше ожидаемой 'полезности этой лотереи.
Таким образом, мы не склонны к ряску, если для любой
невырожденной лотереи
и[Е(х)]>Е[и(х)], DЛ1>
где х — возможные выигрыши лотереи.
Теорема 4.3. Принимающий решение не склонен к риску тогда
и только тогда, когда его функция полезности вогнута.
Доказательство. Рассмотрим лотерею, дающую Х\ с
вероятностью р -и Х2 с вероятностью 1—р, 0<р<1. Ожидаемый
"выигрыш равен х=рх\+A—р)х2. Для функции полезности при
несклонности к риску из D.Ill) получаем
что является определением (строгой) вогнутости.
Для доказательства обратного утверждения (имеющего место
только в случае конечного числа исходов) рассмотрим лотерею хг
дающую х\ с вероятностью ри i=l9 ..., m, где ни для одного i
неверно, что Pi—l. Так как и строго вогнута, то, как известно,
t=l 1=1
Но это неравенство при конечном числе исходов есть в точности
D.11), так что и отражает несклонность к риску.
Для того чтобы установить, является ли принимающий
решение-несклонным к риску или нет, практически невозможно
проверить выполнение условия D.11) для всех невырожденных
лотерей. Здесь полезным оказывается следующее следствие.
Следствие. Принимающий решение, который предпочитает
получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи 50—50
<#ь х2> участию в самой лотереи, не склонен к риску.
Доказательство. Из предпосылки следует, что
u(x)='U{ll2Xi + xl2x2)>xl2u(x\) +72^(jc2) для всех ххФх2,
а это влечет вогнутость.
*> Невырожденной называется лотерея, «е содержащая выигрыша,
который можно получить с вероятностью 1.
149

Отступление. Из любого курса экономики можно узнать, что
убывание маргинальной полезности влечет вогнутость функции полезности и
наоборот. Здесь мы выделили термин «функция полезности» курсивом, так как эта
функция, рассматриваемая в экономике совершенно отличается от функции
полезности по фон Нейману — Моргенштерну, являющейся предметом
рассмотрения в настоящей главе. Это различие представляется достаточно важным для
того, чтобы сделать небольшое отступление.
Когда экономист говорит, что «его маргинальная полезность по критерию
X убывает», он подразумевает, что разница в единицах полезности (которые
никогда явно не определяются), связанная с увеличением X от х до jc+1,
убывает при возрастании х. Никаких вероятностных понятий здесь не вводится, и
ожидаемая полезность, вычисленная на основе такой функции полезности, не
имеет тех конкретных интерпретаций, которые существуют в случае функции
полезности по фон Нейману — Моргенштерну.
В качестве примера функции полезности нашего экономиста (с убывающей
маргинальной полезностью) предположим, что мы оцениваем в 8 единиц
полезность однодневной лыжной прогулки, в 14 единиц полезность двухдневной
прогулки, в 18 единиц трехдневной и т. д. Тогда мы могли бы сказать, что
первый день «стоит» 8 единиц, второй — дополнительных б, третий — оставшихся
4 единицы. Маргинальная полезность каждого дополнительного дня лыжной
прогулки является убывающей. Однако если нам нужно выбрать между
проведением двухдневной лыжной прогулки наверняка и участием в лотерее,
дающей с равными вероятностями одно- или трехдневную прогулку, то мы не
можем указать предпочтительный выбор исходя из такой функции полезности.
Дело обстоит именно так, хотя ожидаемое количество единиц для лотереи
равно 13, тогда как полезность двухдневной прогулки равна 14. Понятие
«ожидаемого числа единиц полезности» бессмысленно. Функции полезности о которых
мы говорим в этой главе, полностью отличаются от функций полезности,
рассматриваемых экономистам^. Знание одной очень мало дает для знания о
другой. Для одного и того же критерия одна вполне может быть выпуклой, а
другая — вогнутой.
Вернемся к нашему лицу, принимающему решение, и допустим,
что он не хочет вести себя консервативно. Предположим, что
принимающий решение предпочитает участие в любой лотерее
получению .наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи, т. е. о>н
охотно идет на риск, связанный с любой лотереей. Такой тип
поведения называется склонностью к риску.
Определение. Принимающий решение склонен к риску, если он
предпочитает участие <в любой невырожденной лотерее получению
наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи.
Для такого индивидуума полезность ожидаемого ' выигрыша
должна быть меньше, чем ожидаемая ^полезность лотереи, т. е.
и[Е(х)]<Е[и(х)]. D.12)
Поскольку теорема 4.4 аналогична предыдущей, мы 'приводим ее
без доказательства.
Теорема 4.4. Принимающий решение склонен к риску тогда и
только тогда, когда его функция полезности выпукла.
Существует и другой 1путь определения несклонности к риску
.для возрастающих функций полезности. Однако, поскольку это
определение не подходило 'бы для других случаев, мы определяем
^несклонность к риску птри помощи D.11), а другое определение
приводим в виде теоремы 4.5.
Теорема 4.5. При возрастающих функциях полезности
принимающий решение тогда и только тогда не склонен к риску, когда
150

его детерминированный эквивалент для любой невырожденной1
тереи меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.
Доказательство. Предположим, что 'принимающий
решение «е склонен к риску. Тогда согласно D.11) и[Е(х)]>Е[и(х)]..
Но согласно определению детерминированного эквивалента и(х) =
=Е[и(х)], так что и[Е(х)]>и(х). (Понятно, что поскольку
функция полезности возрастающая, то Е(х) >х.
Теперь для проверки справедливости обратного утверждения,
предположим, что Е(х)>х. Тогда, поскольку 'функция 'полезности
возрастающая, и[Е(х)]>и(х) =Е[и(х)]у и доказательство
завершено.
Для возрастающих функций 'полезности мы вводим следующее
определение.
Определение. Надбавкой за риск (HP) к лотерее х называется
разность -между ее ожидаемым выигрышем и детерминированным
эквивалентом. Формально
где u~l — функция, обратная к и.
Теорема 4.6. При возрастающих функциях полезности
принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда
надбавка за риск для него положительна для всех невырожденных
лотерей.
Доказательство опускаем, так как оно проводится
-непосредственно на основании определения надбавки за риск.
Рассмотрим два
иллюстративных примера.
Пояснения понятий
детерминированного эквивалента и
надбавки за риск к лотерее
<#ь Х2> в случае функции
полезности,
характеризующейся несклонностью к
риску, даны на рис. 4.5.
Пример 4.5. Из табл. 4.1
видно, что если
использовать функцию полезности ix i i i I
$
и (х) = —е~°*2х, то
детерминированным эквивалентом
лотереи <0, 10> будет _ . _ _
2 85 я пжилярмым пыигпы ^|ИС> 4;5# Вырастающая функция полезно-
' Of _А ожидаемым выигры- сти^ характеризующая несклонность к риску
шем 5,0. Таким образом,
надбавка за риск равна E,0—2,85), т. е. 2,15. Аналогично
детерминированный эквивалент для <20, 30> равен 22,85, а ожидаемый
выигрыш 25,0, так что надбавка за риск опять равна 2,15.
Пример 4.6. Пусть при х>—30 функцией полезности является*
и(х) = log(х+30). Детерминированным эквивалентом для <—20,
—10> будет —15,857; надбавка за риск равна —15— ((—15,857) =
= 0,857. Надбавки за риск к лотереям <—25, —15> и <—29,.
151

—19> равны соответственно 1,34 и 2,68. Заметим, что если х
будет 'выражаться, например, ib тысячах долларов, то число 30 будет
означать 30 000 дол. По своему физическому смыслу надбавка за
риск — это сумма (в единицах измерения критерия X), которую
принимающий решение согласен «уступить» из среднего
выигрыша (т. е. эта сумма меньше, чем математическое ожидание
выигрыша) за то, чтобы избежать риска, связанного с данной
лотереей. Если принимающий решение сталкивается с
неблагоприятной для него лотереей (т. е. лотереей, которая менее
предпочтительна, чем (положение, в котором он (в данный момент
находится), то естественно опросить, сколько он заплатил бы («в единицах
измерения критерия X) за то, чтобы не участвовать оз этой лотерее.
Определение. Страховой суммой (СС) для лотереи х
называется взятая с обратным знаком величина детерминированного
эквивалента лотереи
СС(х) =—х=—и-1Еи(х).
Если, например, детерминированный эквивалент лотереи х
равен —5000 дол., то страховая сумма равна 5000. Принимающий
решение, следовательно, согласился бы уступить в точности
5000 дол. за то, чтобы избавиться от финансовой ответственности,
связанной с участием в этой лотерее.
Предположим, что в последнем примере л;=0 — эквивалентно
тому, чтобы .ничего не предпринимать, т. е. остаться в
существующем положении. Тогда <—20, —10> — неблагоприятная
лотерея, так как ее ожидаемая полезность меньше, чем полезность
существующего положения. Если принимающий решение
безразличен к выбору между <—20, —>10> и детерминированным
эквивалентом —15,857, то он должен был бы заплатить 15,857, чтобы
избежать участия в лотерее <—20, —10>. Следовательно,
15,857 — страховая сумма для лотереи <—20, —10>.
4.4.2. Ограничение вида функции полезности. Прежде чем
углубляться в теорию, 'поясним, как можно использовать
монотонность и несклонность к риску для облегчения построения функции
полеаности. Предположим, что мы собираемся построить функцию
полезности и для критерия X, а принимающий решение указал,
что его предпочтения монотонно возрастают по X, и сам он не
склонен к риску.
Для начала выберем х\ и х2у где х2>Х\ и произвольно
назначим значения и(х\) и и(х2), но выполним условие и(х2)>и(х\).
Это допустимо, так как функция полезности единственна с
точностью до положительного преобразования. Нанеся точки [хи
u(xi)] и [х2у и(х2)] на график на рис. 4.6, а, легко увидеть, что
функция полезности лица, принимающего решение, ограничена
•незаштрихова.Н'НОЙ областью. Действительно, рассмотрим на
рисунке точку 3. Если бы функция 'полезности проходила через эту
точку, то она никак не могла бы быть вогнутой. Но поскольку
принимающий решение не склонен к риску, его функция {полезности
должна быть вогнутой. Следовательно, она не может проходить
152

через точку 3. Точно так же, если бы функция полезности
(проходила через точку 4У то была бы нарушена монотонность, ибо*
*4>*2 И U(X4)>U(X2).
Предположим теперь, что мы попросили лицо, принимающее
решение, указать его детерминированный эквивалент для лотереи^
Рис. 4.6. Ограничения, налагаемые на функцию полезности свойствами
монотонности и несклонности к риску
дающей выигрыши х\ или х2, каждый с вероятностью 1/2.
Обозначая детерминированный эквивалент через х$, мы получаем для
функции полезности еще одну дополнительную точку [я5, ti(x5)]^
где u(xb) = [u{xi)+u(x2)]/2. Нанеся эту точку <на график на рис.
4.6, а, мы при помощи тех же самых соображений, что и раньше,
ограничиваем возможные значения функции полезности незаштри-
хованной областью на рис. 4.6, б. Из этого рисунка 'видно, что,,
эмпирически оценив полезность только одного возможного
исхода, можно очень сильно ограничить очертание функции
полезности, используя качественные
свойства монотонности и
несклонность к риску.
Рассуждения подобного
рода могут быть
использованы и для ограничений на
возможные значения
детерминированного эквивалента
лотереи. Пожалуй, это
лучше всего пояснить на
примере.
Пример 4.7. Пусть *i = 0,
*2 = 100 и х5 = 40 (рис. 4.6).
Предположим далее, что мы
произвольно приняли и@) =
= 0, «A00) = 1 и «D0) =0 5 Рис- 4-7- Использование свойств монотон-
Тогла как что тчипнп и* nwr' ности и несклонности к риску при установ-
i 7 ™ Р лении гРаниц для Детерминированного эк-
4.7, элементарные геометри- вшалента
153

ческие соображения показывают, что любая монотонная функция
полезности в случае несклонности к риску должна лежать между
мх(х) =#/80 и и2(х) =0,167+^/120.
Допустим, что мы хотим установить границы для
детерминированного эквивалента лотереи, описываемой плотностью
распределения вероятности f(x):
— , 25 < х < 75,
/(*) = < 5°
0 в противном случае.
В общем случае для того, чтобы 'получить верхнюю границу
детерминированного эквивалента лотереи, мы должны определить
верхнюю границу ее ожидаемой полезности и найти наибольшее
значение лс, при котором достигается такая (полезность. Теорема
4.5 говорит о том, что в случае несклонности к риску
детерминированный эквивалент не может быть 'больше 50. Однако для
рассматриваемой лотереи, как показано рис. 4.7, функция полезности
может 'быть линейной на интервале от #=25 до л:=75. гПосколь-
ку .плотность распределения вероятности допускает получение
выигрышей только в этом интервале, детерминированный
эквивалент может быть таким же большим, как и ожидаемый
выигрыш, — равняться 50. Следовательно, наименьшая верхняя
граница для детерминированного эквивалента (обозначим ее через
Хтах) равна 50.
При отыскании нижней границы детерминированного
эквивалента мы вначале должны получить нижнюю границу ожидаемой
полезности этой лотереи, а затем отыскать наименьшее значение
х, которое может иметь такую полезность. Ясно, что несмотря на
то, какой в действительности является функция полезности и,
можно записать
75 40 75
25 25 40
так что Е[и(х)]^0,122+0,452=0,574.
Из рис. 4.7 легко увидеть, что наименьшее возможное значение
х (обозначим его через xmin), обеспечивающее полезность 0,574,
получается в том случае, когда u(x)—iii(x). Таким образом,
значение ATmin можно найти, решив уравнение
Щ (Xmin) =Xmin/80 = 0,574.
Это дает нам *min=45,92, где #min — нижняя граница «истинного»
детерминированного эквивалента нашей лотереи. Это — не
обязательно наибольшая нижняя граница, так как хтт был вычислен
при и=щ в интервале х^40, тогда как при вычислении
минимальной полезности для заданной плотности вероятности
использовалась и=п2. По-видимому, для детерминированного
эквивалента можно найти более узкие границы.
154

tt
28,8
Однако наша цель при рассмотрении этого примера — не
установить наименьший интервал для детерминированного эквивалента,
а проиллюстрировать, 'как на основе ограниченной информации о
предпочтениях лица, принимающего решение, можно сделать
определенные и весьма практические выводы, а также лучше освоить
некоторые понятия, которыми мы будем регулярно пользоваться.
4.4.3. Случай склонности к риску*). Пусть теперь
принимающий решение, наоборот, склонен к риску.
Теорема 4.7. При возрастающих функциях полезности
принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда
его детерминированный эквивалент для любой невырожденной
лотереи больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.
Доказательство
опускается, так как оно подобно
соответствующему
доказательству для случая
несклонности к риску.
Напомним, что надбавка
за риск для возрастающих
функций полезности былЦ#2,<9
определена как разность
между ожидаемым выигры- \
шем и детерминированным
эквивалентом. Исходя
непосредственно из ЭТОГО опреде- Рис 4.8. Возрастающая функция полезно-
ления, мы получаем теоре- ста, иллюстрирующая склонность к риску
му 4.8.
Теорема 4.8. При возрастающих функциях полезности
принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда
надбавка за риск для него отрицательна для всех невырожденных
лотерей.
Доказательство опускаем. Однако этот результат поясним на
примере.
Пример 4.8. Рассмотрим функцию полезности вида и(х) =
= 0,2#2, отражающую наличие склонности к риску (см. рис. 4.8),,
и вычислим ожидаемый выигрыш, детерминированный эквивалент
и надбавку за риск для лотереи <4, 12>. Ясно, что ожидаемый,
выигрыш равен
jc=,D+12)/2=8.
Ожидаемая полезность этой лотереи равиа
Детерминированный эквивалент х находится из уравнения
0,2(хJ=16.
*> В этом пункте случай склонности к риску анализируется таким же
образом, как и случай несклонности к нему. Пункт включен главным образом для*
оправок я может быть при чтении пропущен.
155

Решив его, найдем х=8,94. Теперь легко 'получить, что надбавка
за риск х—х равна —0,94.
Склонным к риску является индивидуум, который «охотно
рискует». При 'проведении лабораторных экспериментов и в
реальных жизненных ситуациях разные исследователи обнаружили, что
некоторые из принимающих решения действительно «были
склонны к риску. Например, Грейсон A960), построив функции
полезности различных денежных сумм для ряда предпринимателей,
участвовавших в рискованных мероприятиях, связанных с нефтяным
бизнесом, обнаружил, что части из .них присуща раз'бираемая
«склонность». Иначе говоря, эти нефтяные «авантюристы» охотно
рисковали шоей долей капитала, соглашаясь участвовать в
лотерее ((например, в бурении новых нефтяных скважин), с ожидаемой
прибылью, меньшей, чем их доля капитала, но которая могла бы
принести очень большой доход (т. е. в случае обнаружения
нефти). Этот большой доход давал <бы возможность ;вести «новый
образ жизни», что делало рискованное предприятие
привлекательным для многих «авантюристов». Некоторые аспекты работы
Грейсона обсуждаются в § 4,10.
Зная, что предпочтения лица, принимающего решение,
монотонно возрастают, что он склонен к риску, и зная
детерминированный эквивалент лотереи 50—50, мы могли бы найти границы для
его функции полезности так же, как это делали для не склонного к
риску индивидуума. Мы могли бы также определить границы для
детерминированного эквивалента любой другой лотереи,
используя способ, проиллюстрированный в примере 4.7. Однако
поскольку идеи здесь те же, что и в предыдущем случае, еще один
пример ничего нового не дал бы, и мы его не будем приводить.
4.5. МЕРА НЕСКЛОННОСТИ К РИСКУ *
Теперь, когда целесообразность введения понятия
«несклонности к риску» установлена, обратим наше внимание на измерение
этого свойства при возрастающих функциях полезности.
Подобные измерения, на наш взгляд, могут быть основаны на
следующем обстоятельстве. Вполне разумно считать, что один
индивидуум более несклонен к риску, чем другой, если для любой
предложенной лотереи надбавка за риск для первого индивидуума
больше, чем для второго.
Рассмотрим лотерею <x+h, х—ft>, где h — установленное
количество по критерию X. Интуитивно нам представляется, что чем
более вогнута функция полезности и в районе точки х, тем
больше будет надбавка за риск я (л:, К) к лотерее <х+К х—А>-
Однако при рассмотрении рис. 4.9 это соображение быстро
отпадает. Нетрудно видеть, что, хотя вторая производная и!' функции и
по х для двух функций полезности получается разной, надбавка
*) Читателю настоятельно рекомендуется ознакомиться со статьей Пратта
A964), которая является первоисточником большей части того, что
обсуждается'в этом и следующих двух параграфах. См. также работу Эрроу A971).
156

за риск оказывается одной и той же. При внимательном
ретроспективном анализе мы, конечно, обнаружим, что это
действительно так, поскольку функции полезности, получаемые одна из
другой положительными линейными преобразованиями,
стратегически эквивалентны.
Однако знак и" несет некоторую информацию. Если и"
отрицательна для всех ху то и должна быть вогнутой и, следователь-
Рис. 4.9. Две функции по-
-леэности с одинаковыми
функциями несклонности к
•риску
но, связана с несклонностью к риску. С другой стороны, если и"
положительна для всех х, то и выпукла и отсюда следует, что
принимающий решение склонен к риску. Таким образом,
представляется разумным учитывать и" при любом подходе к
измерению несклонности к риску.
Продолжим наше рассуждение, чтобы подойти к решению
вопроса об установлении меры «несклонности» к риску.
Представляется желательным, чтобы такая мера, помимо всего прочего,
1) указывал а, что отражает функция полезности — несклонность
или же, напротив, склонность к риску (это может быть сделано
при помощи и") и 2) была одинаковой для стратегически
эквивалентных функций полезности. Если щ и и2 — стратегически
эквивалентные функции, то ясно, что u2 = a+buu так что u'2 = bu'u
u~buf'i. Исходя из этого, мы можем заметить, что а//2/м/2==
= u"xfu'\. Таким образом, подходящей мерой несклонности к
риску, по-видимому, может быть отношение u"/u'. Это отношение
было исследовано, и оказалось, что такая мера обладает многими
желательными свойствами.
Определение. Локальная несклонность к риску в точке хк
риску определяется с помощью функции несклонности
г(х) =—и"(х)/и'(х). D.13)
С вычислительной точки зрения полезно заметить, что
r(x)=-(dfdx) [logи'(х)]. D.14)
157

Функция несклонности к риску*) несет в себе наиболее
существенную информацию, относящуюся к и, опуская несущественные
детали.
Теорема 4.9. Две функции полезности стратегически
эквивалентны тогда и только тогда, когда они приводят к одной и той же
функции несклонности к риску.
Доказательство. Пусть щ(х) = a + bu2(x), fe>0. Ясно, что-
и\ (х) =Ьи'2 (х) и и"\ (х) = Ьи (х), так что
,w4—rlW.
их (х) Ьи2 (х)
Для доказательства обратного утверждения заметим, что
согласно D.14) —r(x) = (d/dx) [logи (х)]. Интегрирование обеих
частей этого равенства дает
где с — постоянная интегрирования. Используя операцию
возведения в степень числа е, получаем
- (V (х) dx
е J =
И, еще раз интегрируя, окончательно получаем
je J dx
Поскольку ес>0 и d — константы, г(х) позволяет восстановить
и(х) с точностью до положительного линейного преобразования.
4.5.1. Интерпретация функции несклонности к риску.
Попытаемся дать «физическую» интерпретацию функции несклонности к
риску. Обозначим через х0 наше первоначальное состояние,
регистрируемое по шкале рассматриваемого критерия Ху и введем
дополнительно к х0 лотерею х с ожидаемым выигрышем Е(х),
равным нулю, и дающую выигрыши только из малого интервала
шкалы X. Пусть я(#о, х)—надбавки за риск лица, принимающего»
решение **>, к лотерее хо+х.
По определению детерминированного эквивалента
и(хо—п) =Е[и(хо+хI
Используя формулу Тейлора для разложения обеих частей
равенства D.15), получаем, что
и(х0—я) =и(х0)— пи'(хо) + (п2/2\)и"(х0)—... (
*) Всякий раз, копда речь идет о /-(•), мы предполагаем, что и(-) дважды,
непрерывно дифференцируема.
*а) Во избежание путаницы в обозначениях дадим некоторые пояснения*.
Мы обозначаем через п(ху х) надбавку за риск в лотерее (*4-jc). Если х — ло-~
терея специального вида <—Л, /*>, то мы используем обозначение я(х, h)
вместо п(х, <—A, /i>) для надбавки за риск к лотерее х+<С—Л,. Я> или^
что эквивалентно, к лотерее <*—h, x+h>.
153

и
Е[и(хо + х)]=Е[и(хо) + x
+ ...]=и(хо) + A/21) Е[&]и"(хо) +A/31) Е[&]и"'(хо) + ...
D.17)
Приравнивая D.16) и D.17) и отбрасывая члены высших порядков
малости, получаем
—пи'(хо) « 1/2Е[х2]и"(х0). D.18)
"Учитывая, что Е[х2] — это дисперсия о2х лотереи х, так как Е[х] =
= 0, и перегруппировав члены в D.18), получим
л(х0, х) »\/2о2хг(х0), D.19)
где г(хо) определяется формулой D.13).
Таким образом, при установленном начальном уровне х0
надбавка за риск к лотерее с небольшим интервалом возможных
выигрышей и Е[х]=0 в первом приближении в г(хо) раз больше
половины дисперсии х. Иными словами, для таких лотерей
значение функции несклонности к риску г(хо) равно удвоенной
надбавке за риск, приходящейся на единицу дисперсии.
Для того чтобы лучше «прочувствовать» смысл этой функции
разберем два примера.
Пример 4,9. Для того чтобы найти функцию несклонности к
[риску при и(х)=а—:Ье-сх, &>0, находим u'(x)=cbe-cx и и" (х) =
=—c2be~cx. Следовательно, согласно D.13)
и'(х)
сЬе
Для этой же функции полезности в табл. 4.1 мы привели
ожидаемые выигрыши х и детерминированные эквиваленты х для трех
лотерей вида <Х\, х2> и трех разных значений с. Используя эти
данные, легко подсчитать надбавку за риск п для всех этих
лотерей. Эти числа даны в табл. 4.4.
Заметим, что для любого данно-
то значения с надбавка за риск к
лотереям вида <.х, х+Ю> одна
и та же. Заметим еще, что по
мере уменьшения с надбавка за риск
к одной и той же лотерее
становится меньше и что все надбавки
за риск положительны.
Замечания, подобные
сделанным, могут привести к постановке
вопроса о том, какого рода общие
утверждения о предпочтениях
принимающего решение, можно
сделать, зная его функцию
несклонности к риску.
159
Таблица
несклонности
с
1,0
1,0
1,0
о,?
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0
10
20
0
10
20
0
10
20
х2
10
20
30
10
20
30
10
20
30
4.4. Функция
к риску, и(х)=а—Ье~ех
"х
5
15
25
5
15
25
5
15
25
X
0,69
10,69
20,69
2,85
12,85
22,85
3,8
13,8
23,8
я
4,31
4,31
4,31
2,15
2,15
2,15
1,2
1,2
1,2
г(х)
1,0
1,0
1,0
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1

Теорема 4.10. Если г положительна при всех х, то и вогнута и
принимающий решение не склонен к риску.
Доказательство. Предположим, что г положительна.
Тогда, поскольку и' всегда положительна (и — возрастающая
функция), и"(х) должна быть отрицательной. Отсюда следует,
что и вогнута, и поэтому принимающий решение не склонен к
риску.
Как и следовало ожидать, справедливо и обратное
утверждение.
Теорема 4.11. Если г отрицательна при всех х, то и выпукла и
принимающий решение склонен к риску.
Пусть «! и «2 — две функции полезности, а гх и г2 —
соответствующие функции несклонности к риску. Тогда из D.19) мы
можем увидеть, что если ri(xo)>r2(xo) в данной точке хо, то
надбавка за риск щ(хОу х) к лотерее х с малым интервалом
выигрышей и Е(х)=0 больше, чем соответствующая надбавка за риск
Я2(#сь х). Однако более важный результат, справедливый для
любой лотереи, состоит в следующем.
Теорема 4.12. Если гг(х)>г2(х) при всех х, то m(xf х)>
>п2(х, х) для всех х и х.
Иными словами, если для щ локальная несклонность к риску
всюду больше, чем для и2, то надбавка за риск к любой лотерее
х+х больше при щ, чем при и2. Это означает, что повсеместное
выполнение локального условия влечет за собой естественное
глобальное следствие.
Доказательство*). Предположим, что гх(х)>г2(х).
Тогда разность
г2(х)-гх(х) = - j- [logи2{х)} + ± [logи\ (х)] -
отрицательна. Поэтому log|Vi {x)lu'2(x)] — функция убывающая.
Заметим, что производная
также убывает с ростом t, поскольку убывает \og[u/i(x)/u/2(x)].
Следовательно, U\(u~x2{t)) —вогнутая функция от t.
С другой стороны, по определению,
m(xt х)=х+Е(х)—ис1Ещ(х+х), i=l, 2.
*> Это доказательство, данное Праттом A964), является математически
более сложным, чем остальной материал этого параграфа. Подробности
доказательства в дальнейшем не потребуются.
160

Вычитая одно из другого, находим
т(х, х)—п2(х9 х)=иг12Е
где 1=и2(х+х). Так как u\(trl2(t)) вогнута, из неравенства Йен*
сена*) получаем
E[ui(tr*2(l))]<ui(tr*2[E0)]).
Подставляя это в предыдущее выражение, приходим к
требуемому результату:
щ(х9 х)-п2(х, x)
Следует отметить, что установленный выше результат не
требует введения ограничений на знаки Г\ и г2. Таким образом, ут~
верждение справедливо как для склонных, так и для не
склонных к риску лиц, принимающих решения.
Представляется уместным пояснить следствия из
предыдущего результата. В примере 4.9 мы показали, что функция
несклонности к риску при и(х)=а—Ье~сх равна с. В табл. 4.4 указано,
что надбавка за риск к <0, 10> равна 2,15, если с—0,2, и 1,2,
если с=0,1. Это иллюстрируется рис. 4.10, где принято и\(х)=4
=01—&г°>2*, и2(х)=а2—b2er°>lx и положено щ@) =нг@) =0 и
j/iA0)=w2A0) = 1. Наш результат показывает, что поскольку
г\(х)>г2(х) при всех х, л\ для <0, 10> должно быть больше,'
чем зх2 Для <0, 10>. Рис. 4.10 это подтверждает.
0,5
1
тоа
Ожидаемый Выигрыш, для <D, w>
Детерминированный •
зкШшант Зпжоля*
О
O,Z U,? 0,6 0,8 1,01}
Рис. 4.10. Связь между надбавкой за Рис. 4.11. Связь между функцией
нериск и функцией несклонности к склонности к риску и надбавкой за
риску риск при и(х)=—е~с*
На рис. 4.11 показана зависимость надбавки за риск и
детерминированного эквивалента для <0, 10> от параметра с функции
полезности и(х)=— е~сх (при несклонности к риску). Как и сле-
*) См. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. >—
М.: Мир, 1967. Т. 2.
6-67 161

довало ожидать, надбавка за риск к лотерее возрастает, а
детерминированный- эквивалент уменьшается по мере того, как
возрастает несклонность к риску. Для всех значений с надбавка за риск
и детерминированный эквивалент в сумме равны ожидаемому
выигрышу (который в данном примере всегда равен 5).
4.6. ПОСТОЯННАЯ, УБЫВАЮЩАЯ И ВОЗРАСТАЮЩАЯ
НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ
В предыдущих параграфах мы говорили о надбавке за риск
п(х, х) к лотерее х при фиксированной опорной точке х, т. е. для
лотереи х+х. Очень интересен вопрос: что происходит с я(#, х)
при увеличении х? Больше или меньше будет надбавка за риск
для больших значений я? Часто бывает так, что по мнению лица,
принимающего решение, с ростом х надбавка за риск, которую
нужно выплатить дополнительно к х, уменьшается. Такое
поведение, как мы покажем в этом параграфе, налагает сильные
ограничения на форму функции полезности. Рассматривая саму
функцию полезности, трудно выяснить, имеют ли место такие
особенности предпочтений. Однако они очень заметны при
рассмотрении функции несклонности к риску г.
Рассмотрим для несклонного к риску индивидуума надбавку
за риск п(х, К) к лотерее <x+h, x—А> при возрастающей
функции полезности. Ясно, что п положительна при любых х. Однако
может представляться разумным, что надбавка за риск к этой
лотерее будет уменьшаться с ростом х. Для иллюстрации ситуации,
в которой такое поведение может быть уместным, предположим,
что х характеризует конкретное денежное состояние лица,
принимающего решение, а Л — некоторую денежную сумму. Для
большинства людей на основе их опыта кажется верным то, что по
мере увеличения состояния они будут требовать меньшую
надбавку за риск при фиксированном риске. Они рассуждают так:
становясь богаче, они могут позволить себе пойти на известный
риск и поэтому в меньшей степени будут стараться его избежать.
Из этого рассуждения следует, что страховая сумма для
неблагоприятной лотереи (т. е. лотереи, которая менее предпочтительна,
чем существующее положение) уменьшается, когда мы
становимся богаче, и растет, когда мы беднеем.
Формализуем это поведение, которое интуитивно присуще
большинству людей.
Определение. Индивидуум обладает убывающей
несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2) надбавка за
риск л(х, х) в любой лотерее для него уменьшается при
увеличении опорной суммы х.
Опираясь только на приведенные выше результаты, весьма
трудно выяснить, вытекает ли из конкретной функции
полезности подобное поведение. Для доказательства этого факта
потребовалась бы исчерпывающая проверка всех возможностей
лотерей х. К счастью, Пратт доказал один важный результат, который
162

избавляет нас от этого затруднения и делает понятие убывающей
несклонности к риску операциональным.
Теорема 4.13. Функция несклонности к риску г для функции
полезности и является убывающей тогда и только тогда, когда
надбавка за риск п(х, х) —убывающая функция от х для всех х.
Доказательство. Теорема 4.12 устанавливает, что если
Г\(х)>г2{х), то m(xf х)>п2(х, х) для любого х. Применяя этот
результат для щ(х) = и(х) и u2(x)z=u(x+k) при положительном
и отрицательном Л, легко доказать соответственно части «тогда» и
«только тогда» этого утверждения.
Как мы скоро убедимся, многие традиционные «кандидаты» в
функции полезности, такие, как экспоненциальная и
квадратичная функции полезности, не подходят для лица, обладающего
убывающей несклонностью к риску. Таким образом, такая
характеристика, как убывающая несклонность к риску, сильно огра*
ничивает возможное очертание (т. е. функциональный вид) функ*
ции полезности. Если мы знаем, что функция полезности должна
отражать уменьшение несклонности к риску, то это ограничение*
существенно упрощает построение функции полезности.
Приведем несколько примеров.
Пример 4.10. Рассмотрим экспоненциальную функцию полез*
ности и(х) =—е~сх, с>0. В примере 4.2 мы показали, а потом и
доказали, что надбавка за риск тс(х, х) к любой лотерее х не зависит
от х, когда и(х) =—е~сас. Таким образом, хотя эта функция
полезности влечет за собой несклонность к риску, ясно, что из нее не
вытекает убывающая несклонность к нему, так как л(х, х)
постоянна, а не убывает, для любой х.
Следующая теорема, приводимая без доказательства,
характеризует такое поведение в более общем случае.
Теорема 4.14. Несклонность к риску г постоянна тогда и только
тогда, когда п(х, х) —функция, не зависящая от х для всех х.
Определение. Принимающий решение постоянно не склонен к
риску, если г — положительная константа, безразличен к риску,
если г — нуль, и постоянно склонен к риску, если г —
отрицательная константа.
Теорема 4.15 указывает сильные ограничения, которые налагав
ются на вид функции полезности этими условиями.
Теорема 4.15.
и(х) ~ — e-cx^z^r(x) ==c>0 (постоянная несклонность к риску);
D.20);
и(х) ~х^=$г(х) = 0 (безразличие к риску); D.21)
и (х) ~ егсх ?==4 г(х)^с < 0 (постоянная склонность к риску).
D.22)
6* 163

Доказательство. Если и(х)~— е-СЛ, то согласно D.13)
г(х)=с. Теперь, если г(х)=с>0, то из D.14) имеем
Интегрируя обе части этого равенства и используя операцию
возведения числа е в степень, получаем
где d — постоянная интегрирования. Интегрируя еще раз,
приходим к равенству
где h — другая постоянная интегрирования. Отсюда ясно видно,
что и(х)~— е-0*. Доказательства остальных утверждений
теоремы аналогичны.
Этот результат говорит, например, о том, что если
индивидуум постоянно склонен к риску, то его функция полезности
обязана иметь вид D.20). Зная об этом, нам нужно лишь определить
значение параметра с для того, чтобы полностью построить его
функцию полезности. Это легко может быть сделано путем
определения детерминированного эквивалента для какой-нибудь одной
лотереи. Однако искушенный аналитик непременно постарается
провести проверку состоятельности своих построений, так что
процедура окажется не такой простой, какой она представляется.
Задача построения функций полезности рассматривается в § 4.9.
Поскольку мы заинтересованы в отыскании семейства
функций полезности, отражающих убывающую несклонность к
риску, рассмотрим следующий пример.
Пример 4.11. Рассмотрим квадратичную функцию полезности
и(х)=а+bx—cx2, D.23J
где 6>0, с>0 и х меньше, чем Ь/2с, так как функция полезности
за этой точкой убывает. Дифференцируя, получаем и'(х) =
*=Ь—2сх и и"(х)~—2с, поэтому функция несклонности к риску
Поскольку г>0, то ясно, что и отражает несклонность к риску.
Но г возрастает с ростом х, поэтому и не может характеризовать
убывающую несклонность. Таким образом, мы видим, что, если
необходимо отразить убывающую несклонность к риску,
квадратичная функция оказывается неприемлемой.
Тем не менее, несмотря на эти свойства, связанные с
отношением к риску, квадратичная функция полезности часто
используется в литературе, поскольку ожидаемая полезность лотереи,
приводящей к неопределенному выигрышу х> зависит только от ма-
164

тематического ожидания х и дисперсии а2 случайной величины
х, т. е.
E[u(x)]=E[a+bx—cx2] =a+bx—c(v2+x2) = и(х)—со2.
Как указывалось в § 4.1, мы, вообще говоря, не считаем
разумным основывать свои решения только лишь на среднем значении
и дисперсии возможных исходов. Этот пример подводит нас к
следующему определению.
Определение. Принимающий решение обладает возрастающей
несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2)
надбавка за риск я(лс, х) для него увеличивается по мере роста х
для любой отдельной лотереи х.
Теорема 4.16 связывает такое поведение с функцией
несклонности к риску.
Теорема 4.16. Функция несклонности к риску г является
возрастающей тогда и только тогда, когда п(х, х) возрастает по х
для любой лотереи х.
Доказательство, подобное предыдущим, опускается.
Вспомним, что согласно D.24), г(х) для квадратичной
функции полезности возрастает по х. Поэтому такая функция
свидетельствует о возрастающей несклонности к риску.
Подобное отношение к риску приводит, например, к тому, что
индивидуум, становясь богаче, согласился бы платить все
большие страховые суммы для того, чтобы избежать участия в
неблагоприятных лотереях. Поэтому мы не можем ожидать, что
большинство лиц, принимающих решения, согласятся с таким
поведением. Однако, если такое отношение к риску имело бы место,
то оно могло бы быть использовано для упрощения построения
функции полезности. Наконец, мы подходим к функции полезности,
отражающей убывающую несклонность к риску.
Пример 4.12. Рассмотрим логарифмическую функцию
полезности u(x)=log(x+b), обсуждавшуюся в примере 4.3.
Дифференцируя, находим u'(x) = l/(x+b) и и"(х)=—1/(х+ЬJ, так что
rW—«на.—l_.
v ' и'(х) x + b
Понятно, что г(х) положительна и убывает по х для всех х>— Ь.
Следовательно, в этой области значений х функция полезности
и(х) отражает убывающую несклонность к риску.
Теперь отвлечемся и посмотрим, к чему мы пришли. Мы
рассмотрели возрастающую, постоянную и убывающую
несклонность к риску. Интуитивные соображения и опыт подсказывают
нам, что случай возрастающей несклонности к риску мало
интересен, и мы по существу обсуждали основные положения,
относящиеся к случаю постоянной несклонности к риску. Однако нам
нужно подробнее рассмотреть и случай убывающей к нему
несклонности. Так, представляется целесообразным выбрать
несколько простых, но довольно разнообразных семейств функций
полезности. Тогда, если индивидуум проявляет убывающую не-
165

склонность к риску, то мы можем взять конкретное семейство
функций полезности и направить свои усилия на подбор
отдельного его представителя, подходящего к рассматриваемой
ситуации. Следующий полезный результат позволяет нам построить
такой класс функций полезности.
Теорема 4.17. Функция полезности, являющаяся взвешенной
суммой двух или более функций полезности, которые на
интервале [х°, х*] отражают убывающую или постоянную несклонность к
риску, также характеризуется убывающей или постоянной
несклонностью к риску на [я°, x*]f и, за исключением
подынтервалов, на которых суммируемые с весами функции полезности
отражают одинаковую и постоянную несклонность к риску, она
характеризуется убывающей несклонностью к риску.
Доказательство. Пусть u=Ui+ku2, k^O. Тогда -
и" u[ + ku2 и{ ku2
Дифференцируя, получаем
их (ui+kujui »;(«;+ц) ы2
Т = —- — /. -\- Гj _L — — Г2 -}-
[ + ku (u[ + ku2J u[ + ku
) ku2 — ku2 ( u{ + ku2) u[ r[ + ku2 r
u\ + ku2f u[ + ku2
( и[ + ku2) ku2 — ku2 ( u{ + ku2) u[ r[ + ku2 r2
u[ r[ + ku2 r2 k (rt — r2J u[ u2
u[+ku2 (u[
Так как w'i>0, ^2>0, r^^O и г^^О, то мы видим, что f'<0.
Поэтому для случая u=U\+ku2 утверждено верно. Общий случай
^=2^=1Сг^г, С{>0, исследуется аналогично — путем
последовательного применения приведенного доказательства.
Пример 4.13. Какова будет несклонность к риску при и(х) =
=—е~ах—Ье~сас, где a, b и с — положительные константы? Если
определить щ(х) = —е~ах и U2(x)=—е~сас, то u(x)=ui(x)+bu2(x).
К тому же мы знаем, что и(х) (см. теорему 4.17) должна
характеризоваться постоянной несклонностью к риску при а=с и
убывающей несклонностью к нему при афс. В этом можно убедиться и
непосредственно. Предположим, что а=с; тогда м(л;)=—е~аае—*
—&е-а*=—(\+Ь)е"ах9 и при этой функции, как мы уже знаем,
несклонность к риску постоянна. Если афс, и/(х)=ае~ах+\Ьсе^сх
и и"(х) =—а2е~ах—Ьс2е~сх9 так что
166

и производная этой функции отрицательна. Следовательно, и(х)
действительно характеризует убывающую несклонность к риску.
Функция полезности из предыдущего примера часто
применяется при практическом описании предпочтений. Рассмотрим ее
более подробно, чтобы лучше понять «физический смысл»
убывающей несклонности к риску. Чтобы «прочувствовать» степень
неприятия риска, т. е. поведение г(х) в D.25) как функции от х,
нужно вначале изучить поведение егах и е~сх. Без потери
общности предположим, что а>с.
Обе функции изображены на
рис. 4.J2 при а=\ и с=0,25.
Обе принимают очень
большие значения для больших
отрицательных х и
асимптотически приближаются к
нулю при возрастании х. Их
отношение e-ax/e-c*=e-(a-c)*
представить несколько
сложнее. Оно тоже изображено
на рис. 4.12 и имеет такую
же форму, как и обе
исходные функции. Таким
образом, е~сх очень мало по срав-
-S -2 -/
О
компоненты
а-а я—h р-сх
г з &
Г)
нению с е~- для очень б'оль- Экспоненциальные
ших по абсолютной величи- фуЯкЦ1ии полезности и(х)=-*~
не отрицательных значений
л:, при х=0 они оказываются равными, и е~аж очень мало по
сравнению с е~сх для больших положительных значений х.
После этого отступления более детально рассмотрим
несклонность к риску при и(х)=—е-°*—бе*4*, а>с. Согласно D.25)
г@) = (a2+bc2)/(a+bc), и эта величина меньше а, но
больше с. Для больших отрицательных значений х9 поскольку е~°х
мало по сравнению с е~ах, получаем
г(*)=*
ае
-сх
Предел функции г(х) при х-+-—оо равен а. При больших
положительных значениях х, как мы знаем, е~ах мало по сравнению с
е~~сх, так что
Ьсе~
= с.
Ьсе~сх
Предел функции г(х) при х-+ +оо равен с.
График г(х) при а=1,0, с=0,25 для двух значений Ь
представлен на рис. 4.13. Общую форму каждой кривой можно
описать следующим образом. Функция несклонности к риску г(х)
при и(х)=щ(х) +Ьи2(х) убывает по л: и всегда находится между
г\(х)=а и г2(л:)=с. Весовой коэффициент Ъ определяет скорость,
с которой г(х) приближается к нижней асимптоте с. Чем больше
167

Ь, тем быстрее с ростом х кривая приближается к с. Заметим,
что г(х) при &=1 больше, чем г(х) при Ь=4, для всех значений
jc. Из теоремы 4.12 нам известно, что надбавка за риск к любой
лотерее х при и(х)=—е~ах—Ь\егсх будет больше, чем при ()
=—е~ах—b2^rcxy в том и только в том случае, если Ь2>Ьи
Рис. 4ЛЗ. Функция
несклонности к риску т(х) для функции
полезности «(*)=—е-вх—
__? е-0,25л
Представляется полезным привести еще один пример функции
полезности, отражающей убывающую несклонность к риску.
Пример 4Л4, Какова несклонность к риску при ы(х)=—е~ах+]
+ЬХу где а и Ь положительны? Если мы примем щ(х)=—е~а* и
и2(х)=х, то Г\(х)~а и Г2(х)=0, так что согласно теореме 4.17
несклонность к риску должна убывать.
Чтобы доказать это непосредственно, находим и'(х)=ае-ах+Ь9
и"{х) =—а2е~ах и получаем
г (х) = а2 е~а*/(а е~ах + Ь).
Опыт предыдущего примера подсказывает, что г(х) примерно
равна а для больших отрицательных значений х, убывает до
а2/(а+Ь) при х=0 и асимптотически приближается к нулю при
возрастании х.
Поскольку функции полезности, отражающие убывающую
несклонность к риску, играют особо важную роль, мы перечисляем
наиболее простые из них в табл. 4.5. Этот перечень, разумеется,
не является исчерпывающим.
4.6.1. Убывающая склонность к риску •>. По-видимому, сейчас
уже очевидно, что мы можем по виду функции полезности
выделить убывающую, постоянную и возрастающую склонность к
риску. Постоянную склонность к риску мы уже обсуждали. Чтобы
прояснить смысл возникающих здесь ситуаций, рассмотрим
первое из перечисленных понятий.
Определение. У индивидуума наблюдается убывающая
склонность к риску, если: 1) он склонен к риску и 2) надбавка за риск
я (я, х) к любой лотерее х для него возрастает при увеличении
опорной величины х. Напомним, что л(х, х) при склонности к
риску всегда отрицательна.
*) Этот пункт включен для полноты изложения и для справок. Его
можно пропустить без ущерба для связности изложения.
168

Таблица 4.5. Некоторые простые функции полезности, отражающие
убывающую несклонность к риску
и(х)
log(x+b)
(х+Ь)*
x+c\og(x+b)
е-ож Ье~сх
—е~ах+Ьх
Ограничения
0<С<1
с>0
а,Ь,с>0
а, Ь>0
г(х)
1
х + Ь
с—1
х + Ь
с+1
х + Ь
с
(х + Ь){х + с + Ь)
(Регы + Ь&еГ0*
а*-*1 + Ьс€-<*
aer^ + b
Убывающая
несклонность
к риску
Х^—Ь
х^—Ь
х>—Ь
при всех х
при всех х
Теорема 4.18 указывает удобный метод исследования функций
полезности при убывающей склонности к риску.
Теорема 4.18. Функция полезности и соответствует
убывающей склонности к риску тогда и только тогда, когда отвечающая
ей функция несклонности к риску г — отрицательная и
возрастающая.
Доказательство мы опускаем, так как оно аналогично
доказательствам, приводимым ранее. Проиллюстрируем этот
результат простым примером.
Пример 4.15. Рассмотрим функцию полезности и(х)=х2.
Поскольку и'(х)=2х и и"(х)=2, то связанная с ней функция
несклонности к риску г(х)=*—1/х. Поскольку г(х) при
положительных х — отрицательная и возрастающая функция, и(х) отражает
убывающую склонность к риску в области положительных х.
Ожидаемая полезность лотереи <1, 3> равна 5, поэтому
детерминированный эквивалент <1, 3> равен 2,24. Соответствующая
надбавка за риск равна —0,24. Подобным же образом
получается, что надбавки за риск к <2, 4> и <3, 5> равны
соответственно —0,17 и —0,12. Как и следовало ожидать, они возрастают.
4.7. ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ
В этом параграфе изучается другое понятие, касающееся
отношения к риску, — пропорциональная несклонность к риску.
Подобно тому, как мы делали раньше, идеи будут вводиться в
контексте предпочтений для денежных выигрышей. Однако теория
оказывается приложимой и в других областях.

Предположим, что у вкладчика имеется сумма Хо, которую он
может вложить в один из множества планов инвестиций {/а}.
Если он выбирает инвестирование /а, то его итоговое денежное
положение (суммарный выигрыш) будет xozai где za
—неотрицательная случайная переменная. Допустим, что вкладчиком
построена функция полезности и, определенная для его финансовых
положений, а не величины денежных прибылей, и,
следовательно, 0 будет означать «разорение», а не сохранение прежнего
положения. Естественно, он будет выбирать инвестирование 1а так,
чтобы максимизировать ?[а(лго5св)]. Везде в этом параграфе мы
предполагаем, что предпочтения возрастают по мере роста
суммарного денежного выигрыша.
Рассмотрим, например, класс инвестиций, в котором
вкладчик выбирает долю своих активов, которую он может удвоить или
потерять, причем вероятность выигрыша равна р, а проигрыша
1—р. Исходы его инвестирования можно изобразить следующим
образом:
() Л1)
Л1т)хо
/ выигрыш
\ проигрыш
A_Р) A— т)х0
Таким образом, это инвестирование приводит к выигрышу Xozm,
где
z = ( * +'т с вероятностью р,
w A—т с вероятностью 1—р.
4.7.1. Инвестирование, независимое от финансового положения.
Теперь мы рассмотрим четыре специальных класса функций
полезности, для которых оптимальный план инвестиций не зависит
от первоначального финансового положения Хо. Для пояснения
целесообразности выделения таких классов разберем два
примера.
Пример 4.16. Пусть и(х)~х, т. е. и(х) стратегически
эквивалентна линейной функции полезности. Принимающий решение,
выбирая /а, стремится максимизировать свою ожидаемую
полезность. В этом случае
maxEu(xoza )=
так что оптимальное инвестирование не зависит от суммы xq,
которую нужно вложить. Для дальнейшего заметим, что при
и(х)~х будем иметь
и" (х)
хг(х)=—х—*-i. = 0 для всех х.
и'(х)
Пример 4.17. Предположим, что и(х)^х1^с при 0=И=?<1.
Тогда ожидаемая полезность оптимального инвестирования равна
maxEu(xoza )=maxE(xQzaI-c=xol-cmaxE(z1-c a),
а а
170

так что вновь оптимальное инвестирование не зависит от
вкладываемой суммы Xq. В этом случае
xrix\, /'W -с
хг(х)- х и,(х)-с-
Отметим, что, когда с<0, в силу неотрицательности х функция
г(х) отрицательна, так что и соответствует склонности к риску.
При с>0 и свидетельствует о несклонности к риску.
Исходя из этих примеров, докажем теперь следующую
теорему и следствие из нее.
Теорема 4.19. Если для любого класса инвестиций
оптимальный план инвестиций не зависит от суммы, которую нужно
вложить, и если функция полезности, отражающая несклонность
к риску, «хорошо устроена», то хг(х) — константа *>.
Доказательство. Предположим, что р — фиксированное
число, причем 1/2<р<1. Рассмотрим описанный ранее класс
инвестиций, где
2 в f I +m с вероятностью р,
m [ 1—m с вероятностью 1—р
и O^jm^l. Тогда
Eu(xozm) =ри[хоA +пг)] + (l—p)u[xo(l—m)].
Для того чтобы найти максимальную долю т, выделяемую для
инвестирования (предполагая, что эта точка максимума является
внутренней), продифференцируем последнюю функцию по т и
приравняем полученную производную нулю. Тогда получим
pu'[xo(l+m)]=\(l—p)u'[xo{l—m)] для всех х0.
Теперь заметим, что в силу предпосылки теоремы величина т,
удовлетворяющая последнему равенству, одна и та же для всех
х0. Полагая К=A—р)/р, х==л:оA—ш) и Я=A + т)/A—т),
получаем
и'(%х) =Ки'(х) для всех х.
Но тогда
Разделив почленно последние два уравнения, получаем
ХХ Х
и'(Хх) и'(х)
или
Кхг(Хх) =хг(х) для всех х.
*) Под «хорошо устроенной» мы понимаем дважды дифференцируемую
функцию и, для которой существует предел
и" (х)
hm— *—г—.
*-о м (х)
171

Далее, используя существование предела limxr(x) при *-Н), мы
должны доказать, что хг(х) является константой. Предположим,
наоборот, что х\г(х\)ФХ2г(х2). Тогда
Ы
Переходя к пределу при и-^оо (с учетом того, что Я>1),
получаем противоречие (с фактом существования предела функции хг(х)
при jc->0) .
Если оптимальное значение т не является внутренней точкой,
то т = 0 или /л=1. Но оба эти случая могут быть исключены:
т=0 в связи с тем, что и становится в малом подобной
линейной функции и E(zm)>\, и случай /п=1, так как в силу
несклонности к риску существует такое значение xq, которое
предпочтительнее рискованного предприятия, в котором имеется р шансов
за получение исхода лг0, 1—р шансов за получение 0 (здесь
можно, например, положить р равным примерно 0,51). Этим
завершается доказательство.
Следствие. Следующие утверждения эквивалентны:
(i) xr(x) —константа;
(ii) u(x) ~log*, или xl~c при 0фс<.1У или — х-(с-1У> при с>1,
или и(х)~х.
(ш) Оптимальный план инвестиций не зависит от
финансового положения.
Примеры 4.16 и 4.17 (а также аналогичные примеры для и~ log x
и и~—лг^), с>1) показывают, что (ii)->(iii) и (ii)->(i).
Приведенная выше теорема утверждает, что (iii)-^(i). Остается
доказать, что (i)-^(ii).
Доказательство. Из
dx
имеем
d с
dx x
ИЛИ
log и' (х) — —с log x + const при с ф О,
~logjr-* при сфО.
Отсюда следует, что и'(х)~х~с при сфО. Легко показать, что
при с = 0 u'(x)~k, где k>0. Таким образом,
х при с = О,
*'-< При С<1, С^0,
logx при с=1
Это завершает доказательство следствия.
172

Определение. Выражение
называется пропорциональной локальной несклонностью к риску
в точке х.
Для пояснения введенного понятия рассмотрим следующие две
альтернативы:
1. Детерминированная альтернатива — оказаться в
финансовом положении x(l-^n*Xim) наверняка.
2. Альтернатива, связанная с риском — оказаться с равными
вероятностями в финансовых положениях x(l+m) или хA—т)«
Если принимающему решение безразлично, какую из этих
альтернатив выбрать, выражение п*х,т может рассматриваться как
пропорциональная надбавка за риск. Далее, используя D.18) и
вводя надбавку за риск в виде я=лся*зс,т, получаем
Нт f!^?Le—LiiKfl^JLr^)
хт^о х2т2 2 и'(х) 2 ч '
ИЛИ
и, таким образом, мы приходим к выражению, названному нами
пропорциональной локальной несклонностью к риску хт(х).
4.7.2. Определение параметра в функциях полезности при
постоянной пропорциональной несклонности к риску. Предположим,
что принимающий решение убедился в том, что для него
приемлемо использование функции полезности, отражающей постоянную
пропорциональную несклонность к риску. Как практически ему
найти подходящее значение параметра с?
Пусть на финансовом счету 'принимающего решение в данный
момент находится сумма лг0. Мы просим его сравнить две
альтернативы:
1) сохранить существующее положение, т. е. получить х0
наверняка;
2) принять участие в лотерее 50—50, которая либо удваивает
его счет до 2хОу либо уменьшает его до рх0.
Если ему безразлично, какой сделать выбор при р=1/2, то с=1
или и(х) ~log#. Если мы сохраняем р=1/2, а он предпочитает
выбор 1, то с>1; если же он предпочитает выбор 2, то с<1.
Предположим, что принимающему решение безразлично, какой выбор
сделать при р>1/2, что соответствует случаю с>1. Тогда с
можно рассчитать, используя и{х)—— х-(с~г) из D.26) и решая
уравнение
или
2=р-(
173

При р<1/2, что соответствует случаю с<1, мы должны решить
уравнение
1'
<? 70
или
График зависимости между сир
показан на рис. 4.14. Таким
образом, если р, например, 0,8, то
с будет равно 4 и тогда и(х) ~
~—х~3.
Рис. 4.14. Определение параметра с для
функций 'полезности,
характеризующихся постоянной, пропорциональной
несклонностью к риску
4.8. МОНОТОННО УБЫВАЮЩИЕ И НЕМОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
ПОЛЕЗНОСТИ»)
В этом параграфе мы распространяем связанные с риском понятия,
введенные в последних четырех параграфах, на монотонно убывающие ^и
немонотонные функции полезности. Вначале будет рассмотрен первый случай, порядок
представления будет тем же самым, что и для монотонно возрастающих
функций полезности. Определяются понятия риска и склонности к риску, вводится
мера несклонности к риску, обсуждаются возрастающая, постоянная и
убывающая несклонность к риску. Последний пункт посвящен немонотонному случаю.
Доказательства утверждений, аналогичные представленным в предыдущих
параграфах, здесь опускаются.
4.8.1. Несклонность к риску. При монотонно убывающих предпочтениях
человек считается не склонным к риску, если он предпочитает получить
ожидаемый выигрыш любой невырожденной лотереи вместо участия в этой лотерее.
В этом случае, если, разумеется, функция полезности и описывает такие
предпочтения, полезность ожидаемого выигрыша должна быть больше ожидаемой
полезности лотереи, Если человек, напротив, предпочитает участие в любой
невырожденной лотерее вместо получения среднего ожидаемого выигрыша
(безразличен к выбору между ними) в ней, то он считается склонным к риску
(безразличным к риску). Как и в случае возрастающих предпочтений, чтобы
удостовериться в том, что несклонность к риску действительно имеет место, нет
необходимости проверять каждую возможную невырожденную лотерею.
Необходимым и достаточным условием здесь является его выполнение для всех лотерей
50—50.
Теорема 4.20. Принимающий решение не склонен к риску (склонен,
безразличен к риску) тогда и только тогда, когда его монотонно убывающая
функция полезности вогнута (выпукла, линейна).
Рис. 4.15 иллюстрирует эти случаи.
Прежде чем двигаться дальше, укажем два примера, в которых
предпочтения монотонно убывают. Вначале рассмотрим период реагирования службы
скорой помощи. Учитывая характер соотношения между периодом
реагирования и состоянием пациентов, разумно принять, что при любом периоде
реагирования t ждать установленный детерминированный отрезок времени t пред-
*> Этот параграф также включен прежде всего для справочных целей. Его
можно пропустить без ущерба для связности изложения.
174

почтительнее, чем иметь 50 шансов из 100 на ожидание t—1 и 50 шансов на
ожидание /+1. Следовательно, u(t)>[u(t—1)+м(*+1)]/2, откуда следует, что
функция полезности принимающего решение вогнута. Второй пример связан
с периодом реагирования полицейской службы. В такой ситуации принимающий
Рис. 4.15. Отношение к риску при монотонно убывающих функциях полезности
решение может не считать более предпочтительным ждать некоторое
установленное время /, чем участвовать в лотерее </+1, t—1>. Соображения могут
заключаться в том, что вероятность задержания преступника очень быстро падает
с увеличением периода реагирования. Это означает, что u(t)<\u(t—1)+ы(?+1)]/2;
откуда следует, что и выпукла и имеет место склонность к риску. Принимающий
решение может захотеть рискнуть в этой ситуации, чтобы иметь реальный шанс
реализации малого периода реагирования.
Определения и результаты, приводимые в этом параграфе, аналогичны тем,
которые были даны для случая монотонного возрастания предпочтений. А
сейчас мы объясним некоторые различия. Напомним, что для возрастающих
функций полезности детерминированный эквивалент для не склонного к риску
индивидуума должен быть меньше, чем ожидаемый выигрыш лотереи. При
убывающих функциях .полезности в случае несклонности к риску верно как раз
обратное. При возрастающих функциях полезности надбавка за риск,
определяемая как разность между ожидаемым выигрышем и детерминированным
эквивалентом представляет собой сумму, которую принимающий решение уступил
бы (из ожидаемого выигрыша) за то, чтобы избежать риска, связанного с
участием в лотерее. Чтобы сохранить это истолкование для убывающих функций
полезности, мы вынуждены изменить определенные надбавки за риск для
случая убывающих предпочтений. В этом случае мы определяем надбавку за риск
к лотерее как разность между детерминированным эквивалентом и ожидаемым
выигрышем в этой лотерее. Тогда отсюда следует, что надбавка за риск опять
является суммой, которую принимающий решение уступил бы (от ожидаемого
выигрыша) за то, чтобы освободиться от участия в данной лотерее.
Теорема 4.21. Для убывающих функций полезности принимающий решение
не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск в любой
невырожденной лотерее для него положительна.
Обратимся к примеру.
Пример 4.18. Рассмотрим убывающую функцию полезности вида м(л:) =—е°»1х,
отражающую несклонность к риску (см. рис. 4.16). Найдем ожидаемый
выигрыш, детерминированный эквивалент и надбавку за риск для лотереи с
возможными выигрышами х=% х=Ъ или х=7, причем каждый выигрыш имеет
вероятность 1/3. Ожидаемый выигрыш равен
—B+3+7) =4,
о
а ожидаемая полезность
3
1.з__е°.1-7) =—1,528.
Следовательно, детерминированный эквивалент х здесь таков, что
—е°'^=—1,528.
175

Решая это уравнение, находим
#*=4,24. Тогда надбавка за риск
?—х равна 0,24.
Теперь рассмотрим склонность
к риску.
Теорема 4.22. Для убываю*
щих функций полезности
следующие утверждения эквивалентны:
1. Принимающий решение
склонен к риску.
2. Для любой невырожденной
лотереи детерминированный
эквивалент меньше, чем ожидаемый
выигрыш.
3.. Надбавка за риск для
любой невырожденной лотереи отри-
цательна. Рис-
Для пояснения этого резуль- сти>
тата рассмотрим
Пример 4.19. Пусть и(Х)=е-°'2х и
валент и надбавка за риск к лотерее
лотереи равна
-1,0/ *
\
4-16- Убывающая функция полезно-
иллюстрирующая несклонность к риску
нас интересует детерминированный
экви<0, 10 >. Ожидаемая полезность этой
?["(*)]=Va (е-°.20+е-°.2-10) =0,568.
Определяя детерминированный эквивалент из уравнения
е-».**- 0,568,
находим ?=2,83. Поскольку ожидаемый выигрыш *=5, надбавка за риск х—х—
«—2,17 (см. рис. 4.17).
4.8.2. Мера несклонности к риску. Подобно тому, как это было сделано для
возрастающих функций полезности, мы можем показать, что подходящей мерой
несклонности к риску для убывающих функций полезности является величина
D.27)
$=2,83
70 X
Заметим, что q(x) определяется почти так же, как в § 4.5; разница лишь в
знаке минус. Причина этого, как мы увидим на примерах, связана со
следующим результатом. ,
Теорема 4.23. Если q положительна при всех х, то и вогнута и
принимающий решение не склонен к риску.
Доказательство. Предположим, что q(x) положительна. Тогда,
поскольку и'{х) отрицательна для убывающих функций полезности, и"(х)
должна быть отрицательна, а это
означает, что и(х) вогнута и,
следовательно, принимающий
решение не склонен к риску.
Таким образом, введенное
понятие согласуется со случаем
возрастающих функций
полезности. Положительность
функции несклонности к риску
означает, что принимающий
решение не склонен к риску.
Теорема 4.24. Две функции
полезности стратегически
эквивалентны тогда и только тогда,
когда функция несклонности
Рис. 4.17. Убывающая функция полезно- к риску для них одна и
сти, иллюстрирующая склонность к риску та же.
176

Этот результат говорит о том, что произвольность в единицах измерения
и начале отсчета функций полезности несущественна с точки зрения функции
несклонности к риску, т. е. не влияет на отношение к риску.
Следующая теорема связывает функцию несклонности к риску
(представляющую отношение принимающего решение к риску для лотерей с небольшой
разницей возможных выигрышей и нулевым ожидаемым выигрышем) с его
отношением к риску для любой лотереи. Но вначале определим щ(х, х) как
надбавку за риск к лотерее х+х при данной функции полезности, приводящей
к функции несклонности к риску #*.
Теорема 4.25. Если <qi(x)>q2(x) для всех х, то щ (х, х) больше, чем
х, х).
Проиллюстрируем эти результаты следующими примерами.
Пример 4.20. В примере 4.4, используя и(х)=— х2, мы нашли, что
детерминированные эквиваленты для <0, 10> и <10, 20> равны соответственно
7,07 и 15,8. Тогда надбавка за риск равна 2,07 для <0, 10> и 0,8 для
<10, 20 >. Используя D.27), мы получаем, что функцией несклонности к
риску при и(х) =—х2 является q(x)=*l/x. Она положительна при х>0, и поэтому
мы ожидаем, что надбавка за риск к лотереям с выигрышами из этого
интервала будет положительна. Наши результаты соответствуют этому примеру.
Заметим, что ц — убывающая функция. Следовательно, несклонность к
риску в интервале 0—10 больше, чем в интервале 1—20. Поэтому можно ожидать,
что надбавка за риск к отдельной лотерее х в интервале 0—10 будет больше,
чем к эквивалентной лотерее х+10 в интервале 10—20. Надбавки за риск к
<0, 10> и <10, 20> подтверждают этот вывод.
Пример 4.21. Какова функция несклонности к риску при и(х)=*— е°»1х?
Непосредственно исходя из определения D.27), получаем
В примере 4.18 мы использовали эту функцию полезности и нашли надбавку
за риск к лотерее, дающей выигрыши *=2, #=3 и х=7 с вероятностями,
равными 1/3. Поскольку q положительна, мы ожидаем, что надбавка за риск
будет положительна.
Пример 4.22. Предположим, что и(х)=е-°>2х и нас интересует функция
несклонности к риску. По определению,
и'(х) @,2)*е-°-2*
u'(X)- _0.2е-*«* ~"
Заметим, что она отрицательна. В примере 4.19 мы использовали ту же
самую функцию полезности и нашли, что надбавка за риск к <0, 10> равна
—2,17 и также отрицательна.
Этот пример указывает на один важный результат.
Теорема 4.26. Если q(x) отрицательна при всех х, то и(х) выпукла и
принимающий решение склонен к риску.
В § 4.3 мы обсуждали возможности такого преобразования критериев,
чтобы функция полезности для нового критерия была возрастающей, если для
исходного критерия она была убывающей. Разберем влияние такого
преобразования на функцию несклонности к риску. Предположим, что У— такой
критерий и и(у)=—ес^, где с>0. Заметим, что и(у)—убывающая функция, а
функция несклонности к риску q(y)=c. Определим х=у*—у для всех у, где у* —
некоторое фиксированное значение У. Обозначим через и\(х) полезность х и
определим ее так:
щ (х) as и (у*—х) = —ес (»¦-*>=—(е°у*) е~сх.
Так как есу* — положительная константа, то
щ {х) ~ е-с*.
Естественно, эта функция является возрастающей, а функция несклонности к
риску равна /•(#)= с. Вывод состоит в том, что проведенное преобразование убы-
177

вающей функции полезности в возрастающую не повлияло на отношение лица,
принимающего решение, к риску.
Попытаемся обобщить этот вывод.
Теорема 4.27. Если для замены убывающей функции полезности и(у) на
возрастающую функцию полезности w(x) применено преобразование х=у*—у,
то функции несклонности к риску q(y) и r(x)t связанные соответственно с
и(у) и w(x), должны быть такими, чтобы r(x)=q(y*—х), или, что
эквивалентно, q(y)=r(y*—y).
Иными словами, функция несклонности к риску, связанная с
определенными выигрышами х или г/, не меняется в результате такого преобразования.
Доказательство. По определению, q(у) == и"у(у)/и'у(у), где нижний
индекс обозначает дифференцирование по у. Соответствующей функцией
полезности для х служит w(x)=u(y*—х). Беря производную от w(x) по х, получаем
wx М в ~~Т~ [" (У*~~ *М ~Т~ = и'и (У) ( ~~ *)»
/ill /1 X Э
Подставляя это в r(x) = —w"x(x)/w'x(x), имеем
,•(*)= - •
— U (in U (in U (U — X)
У VJ/ / У **' У ^" '
Таким образом, r(x) = q(y*—x). Заменяя переменные, получаем q(y)=r(y*—у).
4.8.3. Возрастающая, постоянная и убывающая несклонность к риску.
Самым важным понятием, связанным с убывающими функциями полезности,
является, по-видимому, понятие возрастающей несклонности к риску. Определим
формально это понятие и покажем его важность. При убывающих функциях
полезности у индивидуума возрастающая несклонность к риску, если: а) он не
склонен к риску и б) надбавка за риск п(х> х) к любой лотерее х для него
возрастает при возрастании опорной величины х. Заметим, что определение
«возрастающей несклонности риска» формулируется в тех же терминах, что и в
случае определения этого понятия при монотонно возрастающих функциях
полезности. Однако, поскольку в этих двух случаях надбавка за риск определена
по-разному, определения возрастающей несклонности к риску оказываются
различными. ,
Если у принимающего решение возрастающая несклонность к риску, то из
этого следует, что надбавка за риск, которую он заплатил бы, чтобы избежать
участия в лотерее <x—h, x+h>, увеличивается при увеличении х. Это может
представляться разумным, если X характеризует, например, издержки. Для
малых X принимающий решение мог бы позволить себе принять участие в
лотерее, но с увеличением х он, возможно, будет вынужден отказаться от участия
в той же лотерее, поскольку потенциально возможные высокие убытки могут
привести к серьезным финансовым затруднениям.
Эти соображения приложимы и к задачам принятия решений, связанным с
пожарной службой, когда X представляет период реагирования при вызове к
месту пожара. Руководитель может предпочесть лотерею <1,3> периоду
реагирования, равному 2,2 мин, но предпочесть также 4,2 мин лотерее <3,5>.
Другими словами, он не захотел бы заплатить надбавку за риск, равную 0,2
мин, чтобы избежать <1,3>, но заплатил бы эту надбавку, чтобы избежать
<3,5>. Следовательно, руководитель, имея дело с большими периодами
реагирования, предпочитает поступать более консервативно, поэтому его функция
полезности должна отражать возрастающую несклонность к риску.
Другое соображение состоит в следующем. Предположим, что функция
полезности руководителя — убывающая по А" и у него возрастающая
несклонность к риску. Тогда, если мы перейдем к критерию У, значения которого есть
у=х*—х, то функция полезности по У должна быть возрастающей и отражать
убывающую несклонность к риску. То есть понятие возрастающей несклонности
178

к риску для убывающих функций полезности соответствует понятию
убывающей несклонности к нему для возрастающих функций полезности.
Теорема 4.28. Если убывающая функция полезности и(х) отражает
возрастающую несклонность к риску и если у—х*—х, то функция полезности w(y)—
возрастающая и отражает убывающую несклонность к риску.
Доказательство. Если q(х) — функция несклонности к риску для
и(х), а г {у)—функция несклонности к риску для w(y), то результат
получается непосредственно из теоремы 4.27.
Таким образом, интуитивные соображения, приведенные для убывающей
несклонности к риску при возрастающих функциях полезности, остаются в
силе и для рассматриваемого случая.
Все важные результаты § 4.6 аналогичны при убывающих функциях
полезности. Примером является следующая теорема.
Теорема 4.29. Функция несклонности к риску q(x) для функции полезное-
ти и(х) является возрастающей (постоянной, убывающей) тогда и только
тогда, когда надбавка за риск п(х, х) является возрастающей (постоянной,
убывающей) функцией от х для всех х.
Приведем несколько простых примеров функций полезности, отражающих
возрастающую несклонность к риску.
Пример 4.23. Предположим, что и(х)——есх, с>0. Ясно, что и'(х)=—сесх
и и"(х)=—с2 есх, так что несклонность к риску q(x)=c. Конечно,
и(х)—убывающая и отражает несклонность к риску, однако q(x) —постоянная, т. е. невоз-
растающая функция.
Этот пример приводит к некоторым определениям и обобщениям.
Принимающий решение постоянно не склонен к риску, если q(x)—положительная
константа, постоянно безразличен к риску, если q(x) — нуль, и постоянно
склонен к риску, если q(x)—отрицательная константа. Как и в случае
возрастающих функций полезности, эти условия налагают довольно строгие
ограничения на форму функции полезности.
Теорема 4.30.
и(х)~—есж .4==^<7(Х) = с>0 (постоянная несклонность к риску),
и(х)~—я?-=^<7(Х) = 0 (безразличие к риску),
и(х) ~ecx^:=^q(x)=c<0 (постоянная склонность к риску).
Убедившись в справедливости предположений, приводящих к таким
функциям полезности, нужно лишь определить детерминированный эквивалент *
одной простой лотереи, чтобы построить всю функцию.
Пример 4.24. Рассмотрим квадратичную функцию полезности вида
и(х) =а—Ьх—сх2,
где Ь>0, с>0 и с^—(-Ь/2с). Последнее условие нужно потому, что и является
убывающей только на этом интервале.
Нетрудно убедиться, что
откуда видно, что q(x) положительна, но убывает с ростом х.
В примере 4.24 и отражает убывающую несклонность к риску. Для того
чтобы точнее определить это понятие, будем говорить, что у человека
убывающая несклонность к риску, если: а) он не склонен к риску и б) надбавка за
риск л(х, х) к любой лотерее х для него убывает по х. Такое поведение,
согласно определению, является противоположным к возрастающей несклонности
к риску.
Пример 4.25. Предположим, что u(x)=\og(b—я). Тогда и'(х)=—1/F—х)
и и"(х)=—1/(я— хJ, так что q(x) = h/(b—х). Ясно, что при х<Ь функция q(x)
является положительной и возрастающей по х. Отсюда следует, что и(х)
отражает возрастающую несклонность к риску при х<Ь.
Пример 4.26."Пусть и(х)=—еах—Ьесху где а>0, Ь>0 и с>0. Если а = с, то
а(х)=—A + &)есж, и эта функция, как было показано, характеризует постоян-
179

ную несклонность к риску. Если афс, то ы'(х)=— аеах—Ьсесх и и"(х) —
=—а2еа*—Ьс2есх, так что
, ч a*efl* + te*eg*
<7 (х) = ! .
ее** + tee»
В этом случае функция несклонности к риску q(x) всегда положительна и
возрастает по х. Поэтому, если афс, то и(х) свидетельствует о возрастающей
несклонности к риску. Принимая, без потери общности, что а<с, получаем, что
функция несклонности к риску немного больше, чем а, при больших по
абсолютной величине отрицательных значениях х, увеличивается до (а2+Ьс2)/(а+
Л-bc) .при л;=0 и приближается к с, когда х становится положительным и
большим.
<В этом примере мы проиллюстрировали общий результат, аналогичный
полученному выше результату для возрастающих функций полезности.
Теорема 4.31. Функция полезности, представляющая собой взвешенную
сумму двух или более функций полезности, которые отражают возрастающую или
постоянную несклонность к риску на интервале [х°, х*], характеризуется
возрастающей несклонностью к риску на [х°, х*]> исключая те подынтервалы, где
суммируемые с весами функции отражают одинаковую и постоянную
несклонность к риску. На этих подынтервалах она характеризуется постоянной
несклонностью к риску.
Заметим, что если в примере 4.26 мы положим и\(х)=—е°* и НгМ——есж,
то и(х) будет взвешенной суммой: u(x)=u\(x)+b{u2) (x). Каждая из функций
«1, U2 отражает постоянную несклонность к риску. Если соответствующие им
функции несклонности к риску не равны друг другу, т. е. если аФс, то и
должна отражать возрастающую несклонность к (риску, а если эти функции
оказываются равными, то ясно, что и должна характеризоваться постоянной
несклонностью к риску. Как и для возрастающих функций полезности, мы могли бы
выделить среди монотонно убывающих функций полезности, отражающих
склонность к риску, такие, которые отражают возрастающую, постоянную и
убывающую склонность к риску. Для убывающих функций полезности мы могли
бы рассмотреть и пропорциональную склонность к риску. Однако нам в
настоящее время представляется, что это дало бы слишком мало (или вовсе не дало
бы ничего) для существа дела, и поэтому мы не будем этим заниматься.
4.8.4. Немонотонные функции полезности. Наши определения несклонности
и склонности к риску остаются для немонотонных предпочтений такими же,
какими они были в монотонных случаях. Именно, мы не склонны к риску, если
предпочитаем ожидаемый выигрыш во всякой невырожденной лотерее самой
лотерее; мы склонны к риску, если предпочитаем любую невырожденную
лотерею ее ожидаемому выигрышу.
Теорема 4.32. При немонотонных предпочтениях принимающий решение
не склонен к риску (склонен к риску) тогда и только тогда, когда его функция
полезности вогнута (выпукла).
Примеры немонотонных функций полезности, отражающих склонность и
несклонность к риску, приведены на рис. 4.18.
Как было показано ранее в § 4.3, детерминированный эквивалент для
немонотонных функций полезности не
обязательно единственен. Поэтому не су-
й
Ц\
Г\
у у
ществует других определений
несклонности и склонности к риску,
основанных на детерминированном
эквиваленте, как это было для монотонных
функций полезности. Таким образом,
-> определять надбавку за риск для не-
_ «2? монотонных функций полезности не-
НеСНЛОННОСть Смюмот* целесообразно. Более того, для немо-
// Я?/ми н j7t/CHt/ нотонных функции полезности первая
^ " производная от и(х) обращается в
нуль по крайней мере при одном зна-
Рис. 4.18. Отношение к «риску при немо-чении х. Следовательно, для таких
нотонных функциях полезности значений х мера несклонности к ри-
180

ску, подобная г(х) в монотонном случае, не была бы определена. По-видимому, для
этого случая можно дать другое определение локальной несклонности к риску,
но кажется, что оно будет представлять лишь теоретический интерес. Для
реальных задач разумный подход мог бы состоять в том, чтобы разделить область
значений критерия на интервалы таким образом, чтобы предпочтения на каждом
интервале были монотонными, и затем исследовать каждый интервал отдельно»
используя теорию, подходящую для соответствующих случаев.
4.9. ПРОЦЕДУРА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Прочитав название параграфа, Вы могли бы подумать, что в
нем излагается общая процедура, подходящая каждому и в
любое время. Но фактически он содержит описание «процедуры
построения функций полезности», которая, может быть, подойдет
некоторым людям в некоторые периоды времени.
Для того чтобы Вы правильно 'нас поняли, заметим, что мы
не утверждаем, будто Вы «не сможете построить функцию
полезности в большинстве задач. Мы утверждаем, однако, что
процедура, которая сейчас будет рассматриваться, не обязательно
будет подходящей во мношх случаях. Это главным образом
обусловлено тем, что построение функций полезности в такой же
степени искусство, как и наука, и поэтому невозможно составить
единый свод правил, -который обязательно приводил бы к
построению функций полезности. Фактически существуют не только
различные методы*) построения функций полезности, но и много
разновидностей каждого из них. По этой же причине очень
трудно предсказать, какой метод будет лучшим в определенной
ситуации, так как это зависит от конкретного лица, принимающего
решение, существа задачи и многих очевидных факторов. Таким
образом, описываемая в этом параграфе процедура отнюдь не
является процедурой, пригодной во всех случаях, по той простой
причине, что такой процедуры не существует вообще.
Однако основные идеи, используемые при построении функции
полезности, остаются более или менее одними и теми же для всех
процедур. Иными словами, независимо от того, какой метод будет
использован для построения функции полезности, характерные
вопросы или задачи, которые должны быть рассмотрены и
решены при использовании любой процедуры построения, в основном
одни и те же. Для того чтобы это положение сделать более
понятным, разделим процедуры на следующие пять этапов:
1. Подготовка к построению.
2. Идентификация подходящих качественных характеристик.
3. Установление количественных ограничений.
4. Подбор функции полезности.
5. Проверка согласованности.
Различные процедуры построения возникают в связи с тем,
что имеется много путей осуществления каждого из пяти этапов*
Хотя это разделение 'позволяет нам точно выделить то, что вклю-
Е) См., например, работы Мостеллера и Ноуджи A951), Дэвидсона Сапса
и Зигеля A957), Бекера, де Гроота и Маршака A964) и Шлейфера A969).
181

чает в себя построение функции полезности, «в практике
различие между некоторыми этапами может быть не таким ясным.
Прежде чем перейти к изложению основного материала,
подчеркнем, что здесь дается значительно больше подробностей, чем
это потребовалось бы при построении функции полезности
конкретного лица, принимающего решение. Аналитик, зная все
описанные и, возможно, несущественные моменты, без сомнения, в
большинстве случаев сочтет целесообразным пропустить многие
из них. Например, подготовительные к построению функции
полезности мероприятия могут 'не 'проводиться, если мы имеем дело
с человеком, знакомым с анализом решений, поскольку цель
этапа 1 состоит в том, чтобы обеспечить общение аналитика и лица,
принимающего решение, на одном и том же языке.
4.9.1. Подготовка к построению функции полезности.
Напомним, что, как указывалось в гл. 1, анализ решений в полном
объеме делится на пять этапов: предварительный анализ,
структуризация задачи, нахождение подходящих вероятностных
распределений, 'выявление предпочтений для исходов и максимизация
ожидаемой полезности. Перед выявлением предпочтений нужно
объяснить методологию анализа решений лицу, принимающему
решение, и с его помощью структуризовать задачу. Таким
образом, мы полагаем, что лицо, принимающее решение, ясно
понимает причину необходимости описания его предпочтений и
намерено глубоко обдумывать свои суждения, касающиеся различных
исходов. С этого момента мы приступаем к построению его
функции полезности. *
Еще до начала построения лицу, принимающему решение,
должно быть ясно, что мы интересуемся его предпочтениями. Он
должен понимать, что не существует правильных объективных
предпочтений и что важны лишь те предпочтения, которые
представляют субъективное мнение лица, принимающего решение.
Если в некоторый момент он почувствует себя стесненным
некоторыми из ранее высказанных им субъективных суждений, то ему
лучше всего (а фактически это необходимо для корректности
анализа) изменить свое мнение. В этом и состоит одна из целей
анализа решений: лицу, принимающему решение, должна быть
понятна необходимость выражать свои предпочтения и
корректировать их в собственном сознании.
Поясним это положение. Эксперименты показали, что многие
люди допускают стандартные ошибки, первый раз участвуя в
построении функции полезности. Они отвечают на определенные
гипотетические вопросы и, возможно, даже уверены в своих ответах.
Но они бывают ошеломлены некоторыми следствиями из
высказанных ими мнений. Опытный аналитик может посчитать
целесообразным указать эти следствия опрашиваемому эксперту и при
помощи различных компромиссных суждений помочь ему
преодолеть такие затруднительные положения. В этом случае, конечно,
возникает некоторая опасность: ведь ъ конечном счете мы
должны выявить предпочтения не аналитика, а лица, принимающего
182

решение. Тем не менее определенные усилия могут помочь лицу,
принимающему решение, задуматься несколько глубже о его
задаче. Если вмешательство аналитика не продумано и будет
подавляющим, то, разумеется, попытка свести предпочтения лица,
принимающего решение, <в единое целое окажется безрезультатной.
В этой главе, посвященной теории одномерной^полезноста, мы
имеем дело со случаем, когда каждый возможный исход любого
действия может быть адекватно описан одним критерием. Пусть
X — некоторая оценочная функция, которая каждому исходу Q
ставит в 'соответствие действительное число x=X(Q). Важно,
чтобы принимающий решение понимал ориентацию шкалы:
являются ли большие числа х более или менее желательными? Являются
ли предпочтения 'возрастающими по х до некоторого значения, а
затем убывают?
В одних контекстах критерий X может быть совершенно
естественным и шкала х может быть задана в естественных
физических единицах типа денежных вкладов, доли рынка, спасенных
жизней или затраченного времени. В других контекстах значения
на шкале х могут представлять такие субъективные оценки, как
показатель (индекс) комфорта, эстетичности и функциональности.
Не 'важно, как мы получаем значения х. Мы спрашиваем лишь,
предпочитаем ли мы исход хх исходу х2.
Затем мы ограничиваем область, на которой мы должны
выявить предпочтения, до наименее возможных размеров. Исходя из
структуры задачи, принимающий решение обычно в состоянии
ограничить возможные значения х. Затем мы сможем выбрать х°
и х* так, чтобы любое возможное значение х было ограничено
величиной х° снизу и х* сверху. Они должны быть выбраны
подходящими и понятными для принимающего решение. Например,
если х изменяется от 0 до 8,75 в некоторых единицах, мы могли
бы определить х°=0 и л:* = 10. В то же время величина я* = 10 000
могла быть мало понятной для принимающего решение.
Предпочтения, которые мы в конечном счете выявим, должны относиться
только к исходам х, удовлетворяющим условию х°^х^х*.
Рис. 4.19.
Пространство оце- Обозначения ucxoeoff: x S 0 Я Т .
нок в случае „ —L—• •— •—• • ?*
одного крите- Оценки'/?о>0ыфпжоиа/нале:я° Х@ со я
рия
Для окончательной проверки того, как лицо, принимающее
решение, понимает представление исходов действительными
числами, мы его спрашиваем, предпочитает он или нет исход Т исходу
S в последовательности исходов, представленных на рис. 4.19, где
точки S и Т следует выбирать так, чтобы для нас, аналитиков,
было ясно, что принимающий решение должен уверенно
предпочесть одну из них. Если в этом -случае его предпочтения
согласуются с ожидаемым результатом, мы приступаем к построению
183

функции полезности. Если 'нет, то мы просим его раскрыть свои
соображения и затем, возможно, повторяем частично или
полностью процесс ознакомления.
О подготовительных мероприятиях сказано достаточно.
Основная идея — ознакомить лицо, принимающее решение, с подходом,
который мы используем для построения его функции полезности.
Все эти подготовительные мероприятия теоретически
тривиальны, и Вы могли бы подумать, что мы подчеркиваем очевидные
Вам вещи. Однако мы сами совершили много ошибок, помогая
другим строить функции полезности, и очень часто
непродуманность именно этих простейших подготовительных мероприятий
запутывала процедуру.
4.9.2. Идентификация подходящих качественных характеристик.
Уже на ранних этапах процесса построения функции полезности
целесообразно выяснить, монотонна она или немонотонна.
Используя рис. 4.19, мы спрашиваем лицо, «принимающее решение: какое
значение предпочтительнее, S или Q? Предположим, что Q
предпочтительнее. Тогда мы могли бы спросить: предпочтительнее ли
Г, чем R? Предположим опять, что да. Таких вопросов может
быть и больше, но в заключение мы спрашиваем; если хк> *h
всегда ли хц, предпочтительнее xft Из предыдущих ответов,
например, мы могли бы, вероятно, ожидать положительный ответ,
из которого следует, что «(•) монотонно возрастает по х. Если
это не согласуется с нашим собственным пониманием исходов, мы
могли бы изложить наши соображения лицу, принимающему
решение, и еще раз проверить его предпочтения. Цель этого —
обучить принимающего решение (а не внушить ему свои
убеждения) и, если удастся, заставить глубоко обдумать свои
предпочтения.
Затем следует выяснить, отражает ли и склонность,
безразличие или несклонность к риску. Сначала мы выясняем у лица,
принимающего решение, предпочитает jih он <x+h, х—h> или же х
при произвольно выбранных х и к. Если он предпочитает
лотерею, то у нас есть основания считать, что он может быть
склонным к риску, если он предпочитает ожидаемый выигрыш х, мы
полагаем, что он несклонен к риску. Этот же вопрос можно
повторить, варьируя значения каждой из переменных х или Л,
оставляя каждый раз в процессе таких вариаций одну из этих величин
неизменной. Если лотереи были выбраны так, что вся область
возможных исходов оказалась покрытой, и если всегда
предпочитался ожидаемый выигрыш, разумно принять, что принимающий
решение не склонен к риску. Если же в подобных условиях
всегда предпочиталась лотерея, то он склонен к риску. И, конечно,
безразличие к любому выбору между лотереей и ее ожидаемым
выигрышем указывает на безразличие к риску. У знакомого с
математикой лица, принимающего решение, который
предпочитает х исходной лотерее <х—Л, x+h>, мы просто спрашиваем:
«Если величинам х и h позволить принимать значения из всей
области возможных исходов, то будете ли Вы предпочитать х, а
184

не <x+h, x—Л>?». Положительный ответ будет означать
наличие несклонности к риску.
Для менее искушенного человека может потребоваться более
упрощенный вариант этой процедуры. Например, мы могли бы
разделить область значений критерия X на 10 равных
интервалов, обозначив точки деления через х0, хи ..., хго (см. рис. 4.20).
Рис. 4.20. Обозначения, ис- I
,
пользуемые при анализе от- &о zr ссг д$ д# л? я# *Г/ я$ ## Д&
ношения к риску
Теперь мы спрашиваем, что предпочитает принимающий решение:
<х2, Хо> или jci? При несклонности к риску предпочтительнее
будет х\. Подобным же образом мы расспрашиваем о
предпочтениях относительно Ож> **-i> *и Xi для i=2> 3, ..., 9. Если и
характеризует несклонность к риску, достоверные исходы (равные
ожидаемым выигрышам) во всех этих случаях будут
предпочитаться лотереям. Если принимающий решение «а все вопросы
ответит указанным образом, мы можем считать подтвержденным
предположение о том, что он не склонен к риску. Если он всегда
предпочитал лотерею, мы принимаем, что он склонен к нему.
Теперь полезно установить, связана ли и с возрастающей,
убывающей или постоянной несклонностью к риску. Один из
методов решения этого ©опроса предусматривает определение
детерминированного эквивалента хи такого, чтобы принимающий
решение был безразличен к выбору между хх и <хо> х2>.
Процедура отыскания такого эквивалента приведена в следующем пункте.
Нам нужно также определить детерминированный эквивалент it-
для <*г+ь Х{-\> ттри г=2, 3, ..., 9. Если при возрастающих
функциях полезности с увеличением х надбавка за риск (Х{—й)
убывает (возрастает, остается постоянной), то и характеризуется
убывающей (возрастающей, постоянной) несклонностью к риску.
Может оказаться, что точно определить Xi трудно. Однако,
возможно, принимающий решение ответит качественно, возрастает
ли (Xi—Xi) с ростом i, убывает или остается постоянной, не
указывая самих значений Хг. Возможно, что (xt—#*) будет
возрастать в некоторых областях значений X и убывать в других. Такие
сведения также представляют ценность.
У более искушенного человека аналитик мог спросить о
надбавках за риск к лотереям вида <х—A, x+h> для конкретных х
и Л. Затем он выяснил бы, как будет изменяться эта надбавка с
увеличением х при фиксированном А. Если, как это часто бывает
в случае денежных сумм, надбавка за риск убывает при
увеличении х, то имеются серьезные основания для предположения об
убывающей несклонности к риску. При выполнении этой
процедуры мы часто можем убедиться, что у человека убывающая
несклонность к риску, даже не заставляя его указывать конкретное
числовое значение надбавки за риск к какой-либо конкретной лоте-
185

pee <x—h, x+h>. Полезно заметить, что часто людям очень
удобно отвечать «а такие вопросы качественного характера.
Мы только что указывали несколько путей определения
некоторых характеристик функции полезности и — монотонности,
несклонности к риску, убывающей несклонности к риску и т. д. Эти
методы доказали свою пригодность во многих задачах принятия
решений. Однако в некоторых других задачах наиболее
интересной характеристикой может оказаться пропорциональная
несклонность к риску.
Аналитик должен быхь способен разработать простой метод
подобного рода для выяснения вопроса о наличии
пропорциональной несклонности к риску. Такой метод должен учитывать
особенности задачи и способности принимающего решение.
После идентификации качественных характеристик 'нужно най-
ти количественные оценки полезности для нескольких точек
шкалы X. Затем аналитик может провести 'через них «гладкую»
функцию полезности, имеющую установленные качественные
характеристики, или наметить подходящее значение параметра для
выбранного 'семейства функций полезности, обладающего
качественными особенностями, о которых уже получены сведения от лица,
принимающего решение. Рассмотрим эти количественные
построения.
4.9.3. Конкретизация количественных ограничений. Третий этап
построения функции полезности заключается во введении
определенных количественных ограничений, т. е. установлении значений
полезности для нескольких конкретных точек. Обычно это
связано с нахождением детерминированного эквивалента для
нескольких лотерей 50—50. Обращаясь к рис. 4.21 для пояснения смысла
Рис. 4.21. Метод «схож-
i 1111»1 \ 1 ! дения» для определения
У а» $с йе Яа~Л~Щ */> *4 Я& . я" детерминированного эк-
и - ° у " ' вивалента
выигрышей хп, хъ и т. д., предположим, что мы собираемся
определить детерминированный эквивалент лотереи <х', х">.
Начнем с того, что спросим у лица, принимающего решение:
предпочитает он <х', х"> или же Хд} Выигрыш хп выбирается так,
чтобы можно было получить вполне определенный ответ. Допустим,
что лицо, принимающее решение, предпочитает лотерею, а не ха,
я это соответствует нашим предположениям. Тогда мы задаем
ему вопрос, что предпочтительнее <х\ х"> или Хь, где Хь
выбрано так, что разумно ожидать выбор хъ. Допустим, что наши
предположения оказались верными. Затем мы выясняем, как
соотносятся по предпочтительности <*', х"> и хс. Поскольку хс
«близок» к ха, мы отчасти ожидаем, что лотерея будет
предпочтительнее, но, возможно, и нет. Продолжаем эту процедуру
«схождения» до тех пор, пока достигнем такого х, что ? и
<х\ х"> для лица, принимающего решение, одинаково жела-
186

тельны (или нежелательны) *>. Если лицо, принимающее решение,
указывает некоторые предпочтения, а нам кажется, что они не
представляют его «истинных» предпочтений, то ему об этом надо
сказать и вновь вернуться к обсуждению. При условии, что оценки
корректны в том смысле, что лицо, принимающее решение,
действительно безразлично к выбору между х и <х', х">, х является
детерминированным эквивалентом этой лотереи. И, разумеется,
полезность, приписываемая х, должна быть равна ожидаемой
полезности лотереи <х\ х">. Более точно, мы полагаем и(х)=.
/()/()
Пользуясь этой 'процедурой, мы можем определить
детерминированные эквиваленты для некоторых лотерей, что поможет нам
построить функцию полезности лица, принимающего решение.
Предположим, в частности, что нас интересует функция
полезности и(-) для всех х, таких, что Хо^х^Х\. Причина такого
изменения обозначений скоро станет ясной. Разумным первым
шагом будет определение детерминированного эквивалента *0,5
лотереи <хи Хо>. Тогда ясно, что
u(xo>b)=ll2u(xl)+42u(xo). D.28)
Затем мы определяем детерминированные эквиваленты для
<*ь #о,5> и <л:о,5, #о>, которые мы обозначим через xojs и Хо,25
соответственно. Очевидно, что
и'(*о,7в) = V2»(*i) + \Ш (*о.б), D.29)
и (*0.2б) '= !/2« (#о,5) + Ч*и (*о) • D.30)
Предположим, что 'предпочтения лица, принимающего решение,
возрастают по х и что x\>xq. Тогда мы можем произвольно
принять
и(хо)=О9 D.31)
и(хг) = 1. D.32)
Подставляя эти значения в D.28), D.29) и D.30), легко получаем
«(*o,5)-=O,5f D.33)
. и(*о.75)'=О,75, D.34)
и (*0>2б) =0,25. D.35)
Равенства D.31) — D.35) устанавливают, как показано на рис. 4.22,
пять точек для функции полезности по X. Через эти точки,
используя установленные качественные характеристики, можно
провести 'кривую функции полезности.
Однако прежде чем это сделать, следует включить в процедуру
какую-либо простую проверку на согласованность. Например, мы
можем определить детерминированный эквивалент х по мнению
*) Вопросы должны ставиться в такой форме, чтобы принимающий
решение понимал их я считал их разумными. Хороший пример этого имеется в
работе Грейсона (I960) и кратко обсуждается в § 4.10.
187

лица, принимающего решение, для <#о,75, *о,25>- В случае
согласованности х должен равняться *о,5, поскольку u(xOfs)=Q,5 и
u(?)=1l2u(xoj5)+l/2u(xot2b)=Oy5. Таким образом, у нас имеется
необходимая информация для того, чтобы провести простую
проверку <и (выяснить, отражает функция полезности склонность или
Яшжим
47S
о
Рис. 4.22. Процедура построения функций полезности по пяти точкам
несклонность к риску. Напомним, что если и — возрастающая
функция, отражающая несклонность к риску, то
детерминированные эквиваленты #o,25, #0,5 и х^ь будут меньше ожидаемых
выигрышей в соответствующих лотереях. Напротив, при склонности к
риску эти детерминированные эквиваленты должны быть больше
ожидаемых выигрышей. Для монотонно убывающих функций, как
было выяснено ранее, верно обратное.
Если проведенная проверка согласованности выявила
противоречивость предпочтений, то нужно обратить внимание
принимающего решение на обнаруженные противоречия и повторить
часть процедуры построения для их устранения и получения
непротиворечивых предпочтений. Такая итеративная процедура
приводит <к лучшей формулировке предпочтений лица, принимающего
решение.
Прежде чем двигаться дальше, следует подробно продумать
все возможные взаимосвязи между идентификацией качественных
характеристик функции полезности и назначением
количественных характеристик ограничений. Предположим, например, что при
проверке относительно несклонности к -риску для функции
полезности «(•) при 0^x^1000, принимающий решение установил,
что детерминированный эквивалент лотереи <1000, 0> равен 400.
Мы обратили на это внимание и спрашиваем: «Всегда ли
ожидаемый исход предпочтительнее самой лотереи?». Положительный
ответ будет указывать на то, что принимающий решение не склонен
к риску. Предположим, далее, что принимающий решение
постоянно не склонен к риску, так что его предпочтения могут быть
представлены функцией полезности и(х)=—егсх. Поскольку у этой
функции имеется всего один параметр с, нам не нужно больше
вводить никаких количественных ограничений, так как мы уже
188

знаем, что и D00) = 72^A000) + 72^@). Отсюда мы можем найти
величину с. При помощи этого значения, разумеется, часто будет
благоразумно осуществить проверку согласованности. В § 4.7 мы
показали, как можно найти функцию из однопараметрического
семейства функции полезности, отражающих постоянную
несклонность к риску, используя ответ на один вопрос. Это также
иллюстрирует взаимосвязь между этапами построения функции
полезности, ^которые мы выделили в основном для удобства описания
процедуры.
Теперь укажем два положения, связанные с построением,
которые обсуждались Шлейфером A969). Исходы, используемые
при построении функций полезности, должны психологически
восприниматься принимающим решение как жизненные. Боли,
например, мы хотим построить функцию полез'ности какого-то
человека для денежных сумм от 0 до 20 000 дол., нам не следует
спрашивать его о выигрышах порядка 1 млн. дол. Бму не
удастся, возможно, представить себе такую сумму, \п это приведет к
несогласованным оценкам. Для той же самой функции
полезности определение детерминированного эквивалента лотереи
<0, 10 дол.> может не дать сколь-нибудь полезной информации,
поскольку экстраполяция полученного результата на всю область
возможных денежных сумм вряд ли будет уместна.
4.9.4. Подбор функции полезности. После того как мы нашли
некоторые характерные качественные и количественные свойства
функции полезности, нужно выяснить, являются ли они
согласованными. То есть существует ли функция полезности,
обладающая одновременно каждым из них? Если такая функция
существует, то насколько ограничительно требование наличия этих
свойств и как подобрать подходящую функцию полезности? Если
же такой функции не существует, то как получить согласованную
совокупность свойств?
Один из способов ответа на эти вопросы предполагает
вначале отыскание параметрического семейства функций полезности,
которые обладают нужными свойствами (такими, как несклонность
к риску), ранее установленными при опросе лица, принимающего
решение. Затем, используя количественные оценки, т. е.
детерминированные эквиваленты, мы пытаемся найти конкретного
представителя этого семейства, подходящего для описания
предпочтений лица, принимающего решение. Информация о
детерминированных эквивалентах используется далее для определения
значений параметров исходного семейства функций полезности. Если
нам повезет, то мы найдем функцию полезности, обладающую
всеми качественными и количественными свойствами
одновременно. К сожалению, нет общей процедуры ни для выяснения
вопроса о том, совместна ли данная совокупность количественных и
качественных свойств, ни для получения вида функции
полезности, когда эти свойства совместны. Насколько нам известно,
наиболее продвинулись в решении этих задач Мейер.и Пратт A968),
189

которые нашли ответ на указанные вопросы для некоторых
важных случаев *>.
Первая из рассмотренных ситуаций относится к случаю, когда
имеются детерминированные эквиваленты некоторых простых
лотерей и установлены области склонности и несклонности к риску.
Авторы доказали, что функция полезности, обладающая
требуемыми свойствами, существует при условии, что удовлетворяются
некоторые линейные ограничения. Отыскание границ подходящей
функции полезности сводится, по существу, к решению задачи
линейного программирования.
Вторым 'важным случаем является тот, когда известно
некоторое ггроизвольное число детерминированных эквивалентов и для
принимающего решение характерна убывающая несклонность к
риску. Мейер и Пратт указали алгоритм, проверяющий
совместность этих данных и выделяющий семейство функций полезности,
обладающих соответствующими свойствами, а также
проиллюстрировали работу этого алгоритма.
Для иллюстрации некоторых их положений предположим, что
функция полезности монотонно возрастает по х и отражает
убывающую несклонность к риску. Из § 4.6 мы знаем, что
семейством функций полезности, обладающих такими свойствами,
является
и(х) =h+k(—e^ax—b e~cx), D.36)
где а, Ь, с и k — положительные постоянные. Используя D.36)
для оценки полезностей исходов >в D.31) — D.35), получим пять
уравнений с пятью неизвестными. Тогда, если эти уравнения имеют
решение при наложенных ограничениях на параметры, то они
позволят нам выделить конкретную функцию семейства D.36),
которая описывает предпочтения лица, принимающего решение **>.
Если же они не имеют решения, то аналитик сталкивается с
проблемой косвенного сравнения неудобств, связанных с выбором
«почти подходящей» функции -полезности и с дальнейшим поиском
«более подходящей» функции полезности, зная к тому же, что
дальнейшие поиски могут и не улучшить состояние, дел. Таким
образом, во многих случаях подбор функции полезности при
полученных ограничениях является отчасти эвристическим
процессом поиска. К сожалению, мы не можем предложить никаких
четко сформулированных процедур для решения такой задачи.
Однако, если мы получили функцию полезности, которая
удовлетворяет почти всем ограничениям и «не очень сильно» несовместна
с остальными, то в силу субъективности оценок полезности, полу-
2) Мейер и Пратт ответили на вопрос о совместности в двух ситуациях,
связанных с возрастающими функциями полезности. Получение аналогичных
результатов для убывающих функций полезности ори помощи их методов
представляет собой простое упражнение.
**) Краткое описание программы для решения этой задачи с помощью
ЭВМ см. в л. 4.10.3.
190

чаемых от лица, принимающего решение, представляется
приемлемым подвергнуть эту функцию дальнейшему изучению *>.
Обсудим, наконец, немонотонные функции полезности. Хотя
теория для этого случая не столь -изящна, в операциональном
отношении задача лишь немного сложнее, чем в случаях, когда
функция полезности монотонна. Предположим, что наши
предпочтения по X возрастают до хт> а затем убывают. Разумный путь
описания таких предпочтений состоит в том, чтобы построить
одну функцию полезности щ(х) для х^Хт и другую, и2{х), для
х^хт. Ясно, что щ{х) монотонно возрастает по х, а щ{х)
монотонно убывает и к этим случаям приложима ранее рассмотренная
теория. Остается только задача правильного шкалирования щ(х)
и п2 (х). Во-первых, мы фиксируем по одной точке для каждой
функции полезности, полагая и\(хт) =и,2(хт). Во-вторых, мы определяем
х'<хт «и х">хт, такие, что -принимающий решение безразличен к
выбору между хг и х". Затем, разумеется, мы полагаем щ[(х') =
= ti2{x"), и этим фиксируем вторую точжу для каждой функции
полезности. После того как это сделано, получаем функцию
полезности, 'пригодную для всех х9
иг(х\ х<хт,
и(х)= . ч
4.9,5. Проверка согласованности. Существует большое число
способов проверки согласованности, «которые могут быть
использованы для выявления искажения функции полезности лица,
принимающего решение. Под искажением мы понимаем то, что
построенная функция полезности в действительности ие
соответствует полностью его истинным предпочтениям. В этом пункте мы
обсудим два способа проверки согласованности. Руководствуясь
этими (и другими, обсуждавшимися в данном параграфе **>)
способами, аналитик не будет испытывать затруднений при
разработке других способов проверки функции полезности на наличие
противоречий.
Один общий и эффективный способ проверки состоит в том,
чтобы попросить лицо, принимающее решение, сравнить по
предпочтительности некоторую лотерею и некоторый выигрыш или
сравнить две лотереи. В обоих случаях для наличия
согласованности нужно, чтобы ожидаемая полезность предпочитаемой
ситуации была больше.
Более «тонкая» проверка согласованности поясняется
следующим примером. Предположим, что функция полезности лица,
принимающего решение построена для критерия «денежная прибыль»,
Е) См., например, Хаммонд A974).
**> Ранее в этом параграфе были описаны, например, два способа решения
вопроса о том, является ли человек несклонным к риску: один касался
предпочтений между лотереями и их ожидаемыми выигрышами, а другой
предусматривал определение детерминированных эквивалентов для некоторых
лотерей. Каждый из них может быть применен для проверки согласованности
результатов, полученных другим способом.
191

так что нуль — существующее положение. И предположим еще,
что мы хотим иметь функцию полезности и(х) для —100^*^:100.
Часто, как чюказал опыт, 'может оказаться, что принимающий
решение не склонен к риску*на всем интервале, кроме малых
отрицательных значений (т. е. для —Ю^'л^О), для 'которых он
указал, что охотнее бы участвовал в лотерее Л = <—-10, 0>, чем
получил наверняка 5=—4. Заметим, что исход В означает, по
существу, выплату 4 единиц. Аналитик может усомниться в истинности
такого отношения к риску и исследовать его следствия совместно
с принимающим решение. Предположим, что наряду с А и В
рассматривается выбор С, в котором принимающий решение
выплачивает 4 единицы, после чего получает право участвовать в
лотереей—6, 4>. Выборы Л, В и С изображены на рис. 4.23.
Срсгвт/яе А,дсг <?
(status quo) в@**0
Ло/перея А
Рис. 4.23. Проверка
согласованности,
предназначенная для выявления
нетранзитшности,
требующей дальнейшего
исследования
Как мы уже зиаем, лицо, принимающее решение, указало, что
M. Теперь мы его спрашиваем о его предпочтениях между В
и С. Он отвечает: «В обоих случаях я должен вначале выплатить
4 единицы. В В этим все кончается. Однако в С я должен
участвовать в лотерее <—6, 4> с отрицательным ожидаемым
выигрышем —1. Мои предпочтения очевидны: я выбираю В».
Следовательно, 5)>С.
Однако теперь аналитик просит: «Сравните Л и С и изложите
свои 'соображения об их общем соотношении». Хорошенько
подумав, принимающий решение говорит: «Лотерея А понятна: я
получаю либо —10, либо 0 с шансами 50 против 50. В С я теряю 4
и затем получаю их обратно или теряю еще 6. Я полагаю, что
в С я также получаю либо —10, либо 0 с шансами 50 против 50.
Поэтому я должен быть безразличен к выбору между А и С».
Результат должен быть очевидным: лицо, принимающее
решение, предпочитает Л, но не В, иД но не С, однако Л и С считает
одинаковыми по предпочтительности. Возникла нетранзитив!ность.
Большинство людей, после того как им указали на этот факт,
удивляются «и заявляют, что они не хотят иметь такой
несогласованности в своей структуре предпочтений. Подумав, люди часто
считают удобным «принять, что ?>С и А~С. Таким образом, они
вынуждены прийти к заключению, что 5)>Л. Это может привести
к устранению отражающего склонность к риску куска функции
полезности в интервале — 1О<'#<0. В результате принимающий
решение стал лучше понимать свои собственные предпочтения и
192

в процессе исследования помог самому себе «прочистить мозги»*
Ясно, что для функций полезности, порождающих сложную
структуру предпочтений, и необходимость в содержательных
проверках согласованности больше, и условия проведения таких
проверок благоприятнее. Ка<к уже упоминалось, если проверка
выявляет противоречия в предпочтениях, указанных лицом,
принимающим решение, раньше, то нужно привлечь его внимание к этим
противоречиям и для получения согласованных предпочтений
повторить часть процедуры построения функции полезности. Как
только получена функция полезности, которая, по мнению лица,,
принимающего решение, и аналитика, правильно отражает
истинные предпочтения данного лица, можно продолжить анализ
дальше.
4.9.6. Использование функции полезности. В этом пункте иък
разберем два практических положения, которые оказываются
полезными при проведении анализа чувствительности. Они связаны
с 'проверками согласованности и всей процедурой построения
функций полезности, так как показывают, как нам следует
уточнить оценки.
Упрощение расчетов ожидаемой полезности. Часто приходится
иметь дело с функцией полезности, имеющей экспоненциальные
члены. Простым примером является функция полезности,
отражающая постоянную несклонность (к риску и имеющая вид
и(х)=— е~с*, D.37 J
где с — положительная постоянная. Другим очень важным
примером служит функция полезности, отражающая убывающую не-
склонность к риску,
и (х) = — е"а*—Ь е~с*, D.38)
где а, Ь и с — положительные постоянные. Для случая, когда
функции полезности имеют такую структуру, а возможные
исходы описываются плотностью распределения вероятности,
существует простой способ вычисления ожидаемой полезности.
Экспоненциальное преобразование T*{s) для плотности
распределения f(x)
+ 00
§e~**f(x)dx> D.39)
— 00
где J для дискретных распределений означает суммирование
(при этом f(x) —значения вероятностей), было рассчитано для
большинства распространенных вероятностных распределений. Не
претендующий на полноту перечень результатов приведен в
табл. 4.6. Если функция полезности имеет вид D.37), а действие
приводит к случайному исходу х, описываемому плотностью
распределения /, то ожидаемую полезность этого действия можно
легко-вычислить, если [см. D.39)] заметить, (что
Е[и(х)]= jfu{x)f(x)dx= $-e-**№dx=-Tx(c). D.40);
7-67 193

Таблица 4.6. Экспоненциальные преобразования некоторых
распространенных вероятностных распределений
Вероятностное
распределение
/(*)
Бета
Биномиальное
Коши
Показательное
Гамма
Геометрическое
Нормальное
Пуассона
Равномерное
Г(а+6) ,
Г ° Х
1; а>0, &>0
n=l
= 0,1,..., п; 0<р<\
J а
п а2 + (д:-6J '
— оо<дг<оо;
е—bs—ajs|
0<р<1
/ * У
, r>0
l, 2, ...;
; а>0
pe~
е
x\
1
6 — a
—a)
Когда функция полезности имеет вид D.38), ожидаемую
полезность можно рассчитать с помощью выражения
x^—Tx{a)—bTx(c). D.41)
Аналогично для плотности распределения f(x) определено
преобразование Меллина Mx(s)
dx. D.42)
Это преобразование также затабулировано для большинства
распространенных вероятностных распределений и может быть ис-
194

пользовано при расчетах ожидаемой полезности, когда функция
полезности содержит степени х.
Параметрический анализ. Опытный аналитик обычно проводит
анализ чувствительности. Для задач принятия решений он
заключается в определении чувствительности лучшего решения к
параметрам функции полезности. Предположим, что на основании
ответов, полученных от лица, принимающего решение, мы
установили, что его предпочтения могут быть описаны функцией
полезности
и(х) = 1—е~сх. D.43)
Предположим, однако, что он испытывал затруднения при
определении детерминированных эквивалентов лотерей, и поэтому иъъ
не очень уверены в правильности значений параметра с.
Указанные им детерминированные эквиваленты для разных лотерей
приводят к совсем разным значениям с, например в интервале от
1/3 до 1. Ясно, что <в таком случае целесообразно провести
анализ чувствительности. Во-первых, мы можем оценить ожидаемую
полезность каждого действия в виде функции параметра с. Если
имеется всего три действия, то можно нарисовать графики таких
функций, как это сделано на рис. 4.24. На основе такой информа--
Рис. 4.;24. Параметричес- , $}
кий анализ при использо- ^
вании и(х)=—е~сх
ции альтернативу 3 можно сразу исключить из дальнейшего
рассмотрения, так как она доминируется обеими альтернативами 1 и 2.
Если с<0,8, то лучшей является альтернатива 2; в противном
случае следует выбрать альтернативу 1. Теперь для выбора
решения нам не обязательно устанавливать точное значение с.
Нужно только выяснить, больше ли с, чем 0,8, или же меньше-
А эта задача проще, чем первоначальная.
4.10. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОЦЕССА
ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОМЕРНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Цель этого параграфа — показать на примерах, как
строятся функции одномерной полезности. Он ни в коем случае не
является перечнем выполненных работ, связанных с этой задачей.
Для иллюстрации современного состояния дел мы просто
выделили более поздние работы, не останавливаясь на ранних иссле-
7* 195

даваниях, которые помогли проложить путь к нашему
современному состоянию. Однако мы «кратко упомянем о двух из этих
начальных достижений.
Одна из первых попыток построения функций полезности
была предпринята Мостеллером и Ноджи A951). В лабораторных
условиях человеку предлагали участвовать в денежной лотерее
<А, р, &>, дающей -выигрыш А центов с 'вероятностью р и
проигрыш k центов с вероятностью 1—р. В течение эксперимента
несколько раз предлагалась одна и та же лотерея и подсчитывалось,
сколько раз человек соглашался в ней участвовать. Изменяя А
при фиксированных р и &, при помощи этой процедуры была
найдена такая величина Ао, что доля случаев согласия участвовать
в лотерее составила половину. После этого нуль (отказ от
участия в лотерее) был взят в качестве детерминированного
эквивалента для <А0, р, ?>, так что
+ (l-p)u(k)9 D.44)
где и — функция полезности испытуемого человека.
Исследователи произвольно приняли м@)=0, u(k)= — 1 и использовали D.44)
для вычисления относительной предпочтительности Ао. Путем
повторения вышеуказанной процедуры для различных значений р
были установлены полезности для семи экспериментальных точек,
через которые и была проведена функция полезности.
Другой важный вклад в построение функций полезности был
сделан Дэвидсоном, Суппесом и Зигелем A957), попытавшимися
усовершенствовать только что описанную процедуру. Одно из
основных положений их критики эксперимента Мостеллера и Ноджи
состояло в том, что почти каждый «выбор, предлагавшийся
человеку, состоял в том, чтобы 'принять или отклонить лотерею. Таким
образом, одна альтернатива несла в себе неопределенность и
требовала участия в связанном с ней эксперименте, другая не
заключала в себе никакой неопределенности и не предполагала
проведения эксперимента. Если человек был настроен за или против
азартной игры или участия в эксперименте, то эта процедура
могла привести к искаженным результатам. Другое положение
критики касалось того, что Мосте л л ер и Ноджи применяли
объективные вероятности так, как если бы они были субъективными
вероятностями, осознаваемыми человеком. Чтобы учесть эти
обстоятельства Дэвидсон, Сапе и Зигель предлагали участникам
выбор между лотереями, которые исключали искажения из-за
различия в предпочтениях для азартных игр и участия в
экспериментах, и опытным путем определяли субъективные вероятности
для этих участников.
Цель обоих экспериментальных исследований — проверка
приемлемости модели принятия решений по ожидаемой полезности
для небольших денежных сум*м. Их результаты показали, что
функции полезности в лабораторных условиях построить можно,
;во всяком случае для небольших денежных сумм. Они указали
также при этом, «как надо и как не надо делать» в процессе
196

построения функций полезности. Но они не показали, что
содержательные функции полезности могут быть построены !и для лиц,
•имеющих дело с 'реальными задачами принятия решений.
4.10.1. Предпочтения предпринимателей в области разведочных
поисков нефти. Грейсон A960) был одним из первых, кто
построил функции полезности для реальных ситуаций. Он затратил
много времени на выявление предпочтений относительно
различных денежных сумм для большого числа предпринимателей,
занятых разведочными поисками газа и нефти. Грейсон
рассматривал вместе с ними гипотетические рискованные предприятия по
бурению, указывая требуемые капиталовложения, возможный
выигрыш и вероятность успеха, и 'спрашивал, согласятся ли они
участвовать в таких предприятиях или нет.
Например, владельцу компании задавался вопрос:
согласился бы он 'вложить 20 000 дол. в рискованное предприятие с
возможным общим выигрышем в 100 000 дол., если вероятность
успеха 0,47? Если ответ был положителен, то вероятность успеха
понижалась до тех пор, пока опрашиваемый становился
безразличным в выборе между принятием и отклонением предложения.
Бели предложение первоначально отклонялось, то вероятность
успеха повышалась до получения 'вероятности, соответствующей
безразличию.
Если вероятность, соответствующая безразличию, есть р, то
и@)=ри(80000 дол.)+"A—Р)и(—20 000 дол.). D.45)
Произвольно выбрав две точки функции полезности, третью
можно вычислить, используя D.45). Такая процедура повторялась для
большого числа рискованных предприятий, и это позволило
получить достаточно большое количество «исходных» точек для
построения кривой предпочтений предпринимателя. Наконец, через
эти точки была проведена кривая, визуально оцениваемая как
«наиболее подходящая».
Прежде чем представить конкретный пример работы Грейсо-
на* сделаем по ней два замечания. Во-первых, не было сделано
попыток использовать какие-либо общие характеристики функций
полезности, вроде несклонности к риску (хотя, конечно,
плодотворные исследования в этой области были осуществлены после
работы Грейсона). Во-вторых, как указал Грейсон, он не
обращал внимания на противоречия в предпочтениях
предпринимателей и не пытался устранить ,эти противоречия. Исключение
составил лишь один случай, когда для одного из предпринимателей
-(Вильяма Берда)—тание противоречия были снижены до
незначительного уровня.
Функция полезности м-ра Берда для различных денежных
сумм по состоянию на 23 октября 1957 г. показана на рис. 4.25.
Полученные Грейсоном эмпирические точки отмечены на рисунке
кружками. Кофман A963) позднее обнаружил, что «прекрасно
подходящей» для этих данных является логарифмическая
функция полезности
197

и(х) =—263,31+22,093log(x+ 150000), х>—150000, D.46)
где х представляет изменение финансового положения м-ра Бер-
да в долларах.
На рис. 4.25 очевидно, что и монотонно возрастает и отражает
несклонность к риску. К тому же, найдя функцию несклонности
к риску
r(jc)==_^_W = \ § D.47)
V ' и' (х) х+150 000
видим, что и действительно отражает убывающую несклонность
к риску. Если была бы возможность заранее установить, что м-р
Берд согласен с такими
характеристиками, то число экспериментально
получаемых оценок, необходимых
для тщательного построения его
функции полезности, было бы
значительно меньшим.
4.10.2. Предпочтения
представителей деловых кругов. Другая боль*»
шая работа по построению функции
полезности была проведена Свол-»
мом A966). Он опросил примерно
100 человек из различных корпора«
ций для того, чтобы
экспериментально построить их «корпоративные»
функции полезности для денежных
Рис. 4,25. Функция полезности величин. То есть его интересовали
Вильяма Берда для его возмож- функции полезности, которые они
ного финансового положения использовали при принятии решений
в интересах корпорации, а не
личности. Цель работы состояла в том, чтобы описать, каким образом
эти люди принимают решения (а не предписывать, как их нужно
принимать).
Пар1вый этап в каждом опросе заключался в ознакомлении
принимающего решение с общими .идеями теории полезности.
Затем устанавливался его «горизонт планирования», определяемый
как удвоенная максимальная сумма, которую он мог бы
рекомендовать истратить в любой год. Функция полезности строилась для
возможных исходов, отвечающих принятому горизонту
планирования, поскольку считалось, что большие суммь* не были бы
осмысленными для (Принимающего решение.
Вопросы, использовавшиеся для эмпирически отыскиваемых
точек на кривой полезности, касались выбора между простыми
лотереями 50—50 с двумя выигрышами и получением другого
исхода наверняка. Получаемый наверняка исход затем изменялся
в последующих вопросах таким образом, чтобы принимающий
решение стал безразличным к выбору между детерминированным
исходом и лотереей (т. е. для лотереи находился
детерминированный эквивалент). Произвольно назначив значения полезности
198

выигрышей этой лотереи, легко определить «полезность
детерминированного эквивалента. Затем этот детерминированный
эквивалент применялся в новых лотереях для отыскания тюлезностей
друпих 'исходов. Таким образом находилось достаточно точек
на графике функции полезности, охватывающих как доходы, так
и убытки. Наконец, через эти точки проводилась гладкая кривая.
При постановке вопросов альтернативы, предложенные в
распоряжение принимающего решение, формулировались в
максимально реалистичной форме (насколько это было возможно). Вот
пример, цитируемый из работы Оволма:
«Предположим, что против вашей 'компании возбуждено
судебное дело за патентное нарушение. Мнение вашего юриста
таково, что ваши шансы выиграть дело составляют 50 против 50.
Если Вы выиграете, то ничего не потеряете, «о если лроиграете,
то это будет стоить компании 1000 00 дол. Ваш противник
предложил Вам откупиться от суда за 200 000 дол. Будете ли Вы
бороться или же постараетесь откупиться?».
Два вывода, полученные Оволмом, представляют особый
интерес. Во-первых, он обнаружил, что в ситуациях, связанных с
риском, максимизация ожидаемого дохода <не является единственной
целью бизнесменов и что введение числовых полез'ностей было
«по крайней мере шагом в правильном направлении». Во-вторых,
большинство младших администраторов при принятии
корпоративных решений свои собственные интересы ставят выше
интересов компании.
Шпетцлер A968) 'выявлял предпочтения большого числа
представителей деловых кругов из одной компании для того, чтобы
построить корпоративную функцию полезности. Его цель
заключалась в разработке 'корпоративной политики капиталовложений
в условиях риска. Большая часть этой работы была связана с
построением функций полезности 36 менеджеров этой фирмы,
включая в«сех «высших должностных лиц. С каждым человеком
проводилась предварительная беседа для ознакомления с
необходимостью и общей идеей выявления предпочтений и определения
основных характеристик отношения к риску. Для этого лицам,
принимающим решение, предоставлялась возможность сделать
капиталовложение, приносящее xs долларов в случае удачи и
Xf долларов в случае неудачи. Указывалась также вероятность
удачи р. Лицо, принимающее решение, выбирало, делать юли не
делать такое капиталовложение. Затем вероятность р изменяли
таким образом, чтобы найти вероятность безразличия ро, при
которой принимающему решение было безразлично, принять или
отклонить предложение. В результате повторения такой
процедуры для 20 различных возможностей 'капиталовложений, в каждой
из которых было два уровня вкладов компании — 3 и 50 млн. дол.
на одно капиталовложение, был получен ряд эмпирических точек
на графике функции полезности. Эта процедура проводилась для
каждого лица, принимающего решение.
199

Ответы показали Шпетцлеру, что ни один из принимающих
решение не был склонен к риску. Он предположил, что у них
убывающая несклонность к риску. Затем, используя метод
наименьших квадратов, он построил на основе эмпирических точек
функцию 'полезности, отражающую такое отношение к риску,
u(x)=a+b\og(x+c)t fc>0. D.48)
Используя итоговую «наиболее подходящую» функцию полезности
для .каждого варианта капиталовложений, он далее рассчитал
скорректированные 'вероятности безразличия и обсудил их с
соответствующими лицами, принимающими решение. Многие из них
высказали мнение, что эти скорректированные данные более
адекватно отражают их предпочтения, чем их первоначальные
ответы. Однако некоторые лица были иного мнения, и поэтому была
введена более гибкая функция полезности
u(x)=a+blvg(x+c—d\x\)9 6>0, 0<4<1. D.49)
Эта функция обладала всеми .первоначальными свойствами,
связанными с отношением к риску, но имела излом в нулевой точке.
Повторяя только что описанную процедуру и используя D.49)
для вычисления скорректированных 'вероятностей безразличия,
Шпетцлер обнаружил, что некоторые из лиц, принимающих
решения, остались все еще неудовлетворенными. Тогда, чтобы
частично сгладить излом в нулевой точке, он добавил другой параметр,
но сохранил 'свойство убывающей несклонности к риску. Заново
пересмотренной функцией полезности была функция
u(x)=a+b\og{x+c—d?(x2+f2)V2-f]}9 D.-50)
где fo>0; 0<d<l; />0; {x+c—d[(x2+f2)^2—/]}>0 для всех
возможных величин х. Скорректированные вероятности,
отвечающие безразличию в 'выборе и^вычисленные с помощью наиболее
подходящей функции полезности вида D.50), оказались
приемлемыми для всех испытуемых. Более того, подумав, они во всех
случаях предпочли эти скорректированные вероятности своим
первоначально названным. Нетрудно показать, что при
определенных значениях параметров с, d к f функция и отражает
убывающую несклонность к риску. Однако для некоторых лиц
наиболее подходящая функция полезности не обладала таким
свойством.
И сдользуя ^качественные характеристики отношения к риску и
количественные оценки, Шпетцлер сконструировал функции
полезности, которые адекватно выражали 'предпочтения большого
числа лиц, принимающих решения и сталкивающихся с реальными
задачами о капиталовложениях. Из этой работы, в частности,,
очень хорошо видна значимость проверок согласованности,
которые в рассматриваемом случае включали повторный опрос лиц,
принимающих решение о скорректированных вероятностях,
отвечающих ситуации безразличия в выборе.
200

4.10.3. Программы построения с помощью ЭВМ функций
полезности для различных денежных сумм. Почти такой же подход
применяется «в Гарвардской коммерческой школе (Harvard
Business School) с 1966 г. Для построения функций полезности
разных видов, согласованных с различными входными данными как
о количественных, так и о качественных характеристиках
функции полезности, используются несколько программ для ЭВМ (см.
работу Шлейфера A971)). Здесь для иллюстрации мы кратко
обсудим первую из них, которая определяет функцию полезности,
характеризующуюся убывающей 'несклонностью к риску, вида
и(х)=— е~ах—Ье~сх, а>0, Ьс>0, D.51)
и согласованную с значениями детерминированных эквивалентов
для трех лотерей 50—50. Если подходящей функции не
существует, то этот факт указывается программой. Представляя на
рассмотрение лицу, принимающему решение, три лотереи 50—50 с
одинаковым «разбросом» выигрышей, легко проверить
справедливость допущения об убывающей несклонности <к риску.
Предположим, например, что мы строим функцию полезности
лица, принимающего решение, при изменении его финансового
положения л а 1000—3000 дол. Мы начинаем с того, что просим
его указать детерминированные эквиваленты для лотерей
<0, —1000 дол.>, <1000 дол., 0>, <2500 дол., 1500 дол.>. Если
его детерминированный эквивалент для второй лотереи больше
500 дол., то мы узнаем, что он склонен к риску по крайней мере
в этой области и поэтому у него нет убывающей несклонности к
нему. Другое лицо, принимающее решение, рассматривая те же
три лотереи, может указать в качестве своих, детерминированных
эквивалентов —550, 400 и 1850 дол. соответственно. Ясно, что это
лицо не склонно к риску, поскольку надбавки за риск для него
(ожидаемые денежные выигрыши минус детерминированные
эквиваленты) положительны. Однако у него возрастающая
несклонность к риску, поскольку надбавки за риск для него растут с
ростом возможных выигрышей. В обоих этих случаях функция
полезности вида D.51) не подходит.
Предположим, что для третьего испытуемого
детерминированными эквивалентами являются —650, 400 и 1950 дол.
соответственно. У этого лица убывающая несклонность к риску. Используя
D.51) и приравнивая полезности детерминированных
эквивалентов ожидаемым полезностям лотерей, мы получаем три уравнения
с тремя неизвестными а, Ь и с. ЭВМ отыскивает эти неизвестные
и выдает полученную функцию полезности. Даже если три
детерминированных эквивалента согласуются с убывающей
несклонностью к риску, может не существовать функции полезности вида
D.51), которая точно соответствует этим данным и отражает этот
характер отношения к риску для всех значений х. Например, если
одновременно Ь<0 и с<0, то получаемая функция полезности
отражает склонность к риску при х, больших некоторой величины.
Если область действий лица, принимающего решение, включает
201

часть области склонности к риску, то мы долж'ны либо
постараться изменить вид функции полезности, либо повторить эту
процедуру с другим набором лотерей *>.
4.10.4. Предпочтения относительно имеющегося в больнице
запаса крови. Последний пример эмпирического построения
функции полезности в области, совершенно отличной от описанных
ранее, связан с управлением больничным запасом крови.
Одной из важных мер эффективности, (используемых для оценки
стратегий создания больничного запаса крови для переливания,
является дефицит крови. Здесь <под дефицитной -понимается кровь,
которая затребована врачом, но не может быть назначена из
больничного запаса. Одним из результатов большой работы,
подробно обсуждаемой в § 5.10, явилось построение функции
полезности для годового процентного дефицита крови, т. е. той доли
(в процентах) всего количества крови, затребованной врачами,
которую не смогли получить из больничного запаса в дайной
больнице. В ситуации такого дефицита можно сделать заказ на
кровь специфического тина в центральном хранилище крови,
можно пригласить профессиональных доноров, отложить операцию
и т. д., и лишь в исключительно редких случаях дефицит крови
(понимаемый так, как это было определено нами) может
привести к смерти.
В роли человека, чьи предпочтения оценивались, выступала
медицинская сестра, распоряжавшаяся запасом крови в Кэмб-
риджокой больнице (Кэмбридж, Массачусетс).
Вначале было установлено, что в этой больнице дефицит
никогда не превышал 10% затребованного количества. Тогда
задача свелась к построению функции полезности для дефицита в
интервале от 0 до 10%.
Было ясно, что предпочтения убывали с ростом процента
дефицита, так что функция полезности должна была быть
монотонно убывающей. Для лотереи 50—50 вида <0, 10>, приводя-
*> Большое число эмпирических исследований показало, что олисанному
выше способу построения функций полезности присущи серьезные недостатки.
Обычно людям присуще быть не слишком склонными к риску «в малом
масштабе», -поэтому, если функция полезности точно соответствует
детерминированным эквивалентам трех последовательных лотерей типа <0, —'1000 дол.>,
<1000 дол., 0>, <2500 дол., 1500 дол.>, часто выводы получаются
неудовлетворительными в «большом масштабе». Если мы перестроим процесс и
начнем с детерминированных эквивалентов лотерей с большим размахом
возможных выигрышей, а затем на основе полученных ответов точно построим
функцию полезности, отражающую положительное убывающее неприятие риска, то
часто сможет обнаружить, что рассчитанные надбавки за риск к лотереям с
малым разбросом меньше, чем те, которые люди считают подходящими. Однако
многие, кто серьезно обдумывает эти противоречия, постепенно становятся
более склонными к риску «в малом масштабе». Часто встречаются случаи, когда
люди, проработавшие некоторое время в интерактивном режиме с ЭВМ, могут
устранить свои противоречия и чувствуют, что они преподали сами себе
хороший урок того, как следует поступать в подобных ситуациях. В результате
некоторые люди аннулируют свои автомобильные страховки и на больший
срок страхуют собственную жизнь.
202

щей к 0 или 10% дефицита, был найден детерминированный
эквивалент, оказавшийся равным 6,5% дефицита. Далее было
установлено, что детерминированные эквиваленты лотерей <0; 6,5>
и <6,5; 10> равны соответственно 4 л 8,5. На основании
полученных ответов было естественно предположить, что лицо,
принимающее решение, не было склонно к риску, и это было
подтверждено дополнительными проверками согласованности.
Для простоты через полученные точки была проведена
функция полезности, отражающая постоянную несклонность к риску.
Из 4.26 видно, что функция полезности
U(X) Ae°l3X)
почти точно проходит через экспериментально полученные точки.
4.10.5. Резюме. Первые попытки построения функций
полезности были предприняты в лабораторных условиях. Эти
эксперименты показали, что предпочтения
можно описать количественно, и х(дефщт0лроцемжх)
позволили накопить некоторый в ю &
опыт проведения процедур по- п z ч
строения функций полезности.
Затем на его основе были построе-
ны функции полезности для лиц,
принимающих решение о необ-
ходимых действиях в реальных
условиях; эти функции строились
путем проведения кривой через
некоторое количество точек, для
которых полезность определялась
эмпирически. После появления PjIC 4Ж ф я „юности в слу-
в 1964 г. статьи Пратта о формаль- Чае дефицита крови
ном отображении отношения к
риску в дополнение к количественной информации о
детерминированных эквивалентах стали использовать и качественные
характеристики функции полезности. Это привело к упрощению
процедур построения функций полезности и позволило получать такие
функции полезности, которые более точно отражали предпочтения
лиц, принимающих решения*). В гл. 6 и 7 даны дополнительные
примеры, иллюстрирующие построение одномерных функций
полезности, и показана возможность их применения в
многокритериальных задачах.
*> Недавние исследования Тверского A975) и других
психологов-экспериментаторов, работающих в области дескриптивной теории принятия решений,
показали, что аналитики неумышленно влияют на ответы формой вопросов,
которые они ставят (.например, когда просят указать детерминированные
эквиваленты для лотерей). Знание этих психологических факторов, несомненно,
поможет аналитикам в дальнейшем составить более совершенные правила
построения функций полезности. В последние несколько лет мы узнали очень
многое об оценивании полезности и предполагаем, что с течением времени гаро-
ОДдура опроса станет менее сложной и менее подверженной
дисфункциональным уклонам.
203

4.11. РАСКРЫТИЕ СМЫСЛА ЗАДАЧИ С ОДНИМ КРИТЕРИЕМ
ПУТЕМ РАССМОТРЕНИЯ ЕЕ КАК МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ
В последующих главах этой книги мы рассмотрим пути
описания предпочтений и полезноетей для исходов, которые можно
охарактеризовать лишь при помощи нескольких критериев. Мы
рассмотрим методы, сводящие многомерные задачи к
одномерным и, таким образом, позволяющие нам применять методы этой
главы. Однако, как будет показано в этом параграфе, существуют
примеры, в которых может потребоваться применение обратной
процедуры. Иногда целесообразно задачу, которая выглядит од-
нокритериальной, «расширить» до многокритериальной. Поясним
это примером.
Норман Той A971) в своей диссертации рассматривал, каким
образом такие люди, как он сам или другие ученые, должны
обращаться со своими пенсионными денежными средствами.
Возьмем для примера профессора, чей единственный источник дохода
после 'выхода на пенсию будет составлять выплаты по
социальному обеспечению и (из пенсионных фондов его университета.
У него каждый год имеется выбор среди таких типичных
альтернатив: он может вложить средства, отложенные на последующие
пенсионные годы, в облигации с твердым (или относительно
твердым) процентам на капитал, или вложить часть (ограниченную)
этих средств в акции, будущая стоимость которых зависит от
уровня рыночных цен. Его выбор может заметно повлиять на
дальнейший образ его жизни на пенсии. Профессор вынужден
учитывать не только неопределенность рыночных цен, но и потери
от инфляции, долголетие своей супруги и т. д. Естественный
подход к задаче состоит в построении функции полезности для
общего финансового состояния при выходе на пенсию. Той задавал
исследуемым лицам такие вопросы: «Хотели бы Вы иметь общие
пенсионные средства в размере 150000 дол. наверняка или же
50 шансов за* 100 000 дол. и 50 — за 250 000 дол.?». На этот
вопрос, если его серьезно рассматривать, 'исключительно трудно
ответить. Ответ зависит от многих вещей. Например, каков уровень
инфляции? Здесь нет принципиальных затруднений — мы можем
привести все суммы к сегодняшнему уровню стоимости.
Насколько можно быть уверенным, что супруга будет жива все эти
пенсионные годы? Эту трудность можно обойти, если, как это
делается в § 4.12, построить условные функции полезности для общего
финансового состояния при выходе на пенсию для случая, если
супруга будет жива, и для случая, если ее уже не будет в живых.
Но задача все еще остается трудной для анализа, даже если мы
представим исходы в зависимости от семейного положения. Мы
вынуждены серьезно задуматься о влиянии различных денежных
сумм на уровень нашей пенсионной жизни. Денежное состояние
caiMo по себе может выступать лишь заменителем уровней
потребления, которые могут быть осуществлены при таком размере
состояния. В дальнейшем это осложняется тем, что без наличия не
294

зависящих от инфляции ежегодных доходов мы не можем
выяснить, какой уровень потребления мы сможем («или, .возможно, не
сможем) иметь, начав с определенного денежного состояния.
Той пытался решить эту задачу несколькими путями. В
первом, неформальном подходе он заставлял исследуемых
имитировать выборы, «которые предстояло сделать в последующие
пенсионные годы. Имитация осуществлялась на терминале ЭВМ,
работавшей в режиме с разделением времени. Рассмотрим,
например, случай, когда профессору 67 лет, его жене 66 и он уходит на
пенсию, имея 150 000 дол. В первый год он должен.решить,
сколько истратить на потребление, сколько вложить в акции и сколько
в облигации. Интерактивная модель Тоя для ЭВМ имела блок
моделирования уровня инфляции, стоимости акций и облигаций,
а также продолжительности жизни, моделируемой с
использованием статистических таблиц для супругов обоего пола. Человека
спрашивали, что он будет делать год за годом (сколько он захочет
истратить на потребление и сколько на .капиталовложения).
Затем ЭВМ производила все расчеты для статистически
моделируемых условий. Рано или поздно один из супругов умирает,1 а
второй продолжает жить. Поскольку окружающая обстановка
является неопределенной, то для получения оценки того, что значит
остаться с пенсионной суммой в 150000 дол., нужно осуществить
много «пробегов» при одних и тех же начальных условиях. Так
как процесс движения по годам моделируется медленно, Той
разрешил исследуемым выбирать различные стратегии сразу для
всего рассматриваемого периода времени, что позволило
избавиться от осуществления имитации принятия ежегодных решений
о выделении денег на потребление. Благодаря такому
«имитационному» опыту люди, участвовавшие в экспериментах Тоя,
оказались лучше подготовленными к тому, чтобы давать более
осмысленные ответы на гипотетические вопросы о пенсионных денежных
средствах.
При более формализованном подходе к этой задаче Той
исследовал .предпочтения (полезности) разных уровней потребления*
Этот процесс включал многомерное оценивание. В результате
этого Той получил производную функцию полезности для
искусственно введенной одномерной переменной — пенсионных
денежных средств.
Ричард A972) и Оксман A974) изучали туже самую задачу
тщательнее и более систематически, используя аналитический
подход. Их работа базировалась на основополагающих результатах
Ричарда Мейера, касающихся оценок полезности уровней
потребления во времени (они обсуждаются в гл. 9).
Подведем итог проведенному обсуждению. В некоторых
случаях исходы, естественно, могут быть описаны одномерным
критерием, но строить функцию 'полезности прямо для этого критерия
может, оказаться затруднительным. Вместо этого мы могли бы
внешне усложнить анализ, введя ряд дополнительных критериев»
для которых, однако, предпочтения оцениваются более просто.
205

4.12. УСЛОВНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПОЛЕЗНОСТИ
В этом параграфе показывается применимость теории одно-
.мерной полезности к многокритериальным 'задачам и, по
существу, делается переход к последующим главам.
4.12.1. Предпочтения, зависящие от состояния. Как и раньше,
предположим, что выбор лицом, принимающим решение, действия
л определяет вероятностное распределение неопределенного
выигрыша х. Но теперь будем считать, что, рассматривая простые
лотереи с различными выигрышами х, принимающий решение
интересуется, в каком из состояний wu ..., Wj, ..., wr будет находиться
«окружающая среда». Рассмотрим простой пример, в котором х
представляет денежные средства лица, принимающего решение,
при выходе на пенсию через 20 лет от настоящего момента. Его
детар'минироваяный эквивалент для лотереи 50—50 с выипрыша-
М'И Х\ >и Х2 может зависеть от состояния здоровья его самого и его
жены. Он может, разумеется, ответить на вопрос, мысленно учтя
возможные состояния здоровья и их вероятности. Однако, вместо
того, чтобы давать ответ на вопрос в безусловном виде, ему может
оказаться удобнее обдумать вопрос условно для каждого
состояния, а затем скомбинировать эти условные оценки для получения
безусловной оценки.
Для простоты допустим, что выбор действия а изменяет
вероятностное распределение х9 но не w. Положим
I\(W = Wj) =pj ДЛЯ /= 1, ..., Г. ; D.53)
Будем, однако, считать, что функция полезности и лица,
принимающего решение, зависит и от х и от w. Оно хочет выбрать
действие а, чтобы обеспечить
maxEau(x, w). D.54)
аеА
где оператор взятия математического ожидания Еа зависит от а,
так как вероятностное распределение х (но не w) зависит от а.
Как лицо, принимающее решение, -может систематизировать процесс
построения функции и(-> •) двух переменных? Это спорный вопрос.
Мы хотим показать целесообразность применения теории
одномерной полезности для решения этой задачи.
Рассмотрим нашу задачу при помощи дерева решений,
изображенного на рис. 4.27. Ход 1 делает принимающий решение, выби-
S зависит от (Г неэаЯист нии»
' югт ЪШ от а предпочтения, зависящие
от состояний
206

рая действие а из Л. Ход 2 делает случай, выбирая х в
соответствии с распределением, зависящим от а. На третьем ходе случай
выбирает Wi с вероятностью pi (/=1, ..., г) независимо от выборов
на первых двух ходах. Исход, к которому приводит путь (а, х, Wi),
имеет полезность и(х, Wi).
Мы определяем безусловную полезность х как
г
il(x)= 2 u(x, wti)pi. D.55)
Для принятия решения на первом ходу нужно знать лишь
одномерную безусловную функцию полезности ?(•). Хорошо, если
принимающий решение может построить сразу и. Однако он может
предпочесть найти п косвенным путем, через совокупность
условных оценок.
4.12.2. Условные оценки. Допустим, что интересующая нас
область значений х попадает в интервал*) от х° до х*.
Предположим, что лицо, принимающее решение, знает, что должно
реализоваться Wi, и безразлично к выбору между получением х
наверняка и участием в лотерее, дающей х* с вероятностью щ(х) и
х° с вероятностью 1—щ(х). Схематически это можно изобразить
следующим образом:
<*> х*
при данном wt. D.56)
1-я, (х) <
Другими словами, тц(*) — это условная функция 'полезности
лица, принимающего решение, для значений х при заданном
состоянии Wi, нормализованная ограничениями щ(х°)=0 :и m(x*) = l.
Ясно, что щ — одномерная функция полезности.
По крайней мере в принципе мы можем ©вести двумерную
функцию полезности и(«, •) (учитывающую одновременное
изменение значений двух критериев), и она должна быть такой, чтобы
для любых i существовали постоянные й, &,->0 такие, чтобы
и(х, Wi)=Ci + bim(x) для всех jc« i=l, ..., г. D.57)
Таким образом, для построения и(% •) недостаточно построить
г функций условной полезности Jti(»), •••» яг(«). Мы должны
также как-то подобрать шкалирующие постоянные си &ь ^2, Ь2, ..., сг,
Ьг. Это — наша очередная задача.
Из D.55) и D.57) мы видим, что
bt щ w Pi - D-58)
Это допущение сделано для удобства и легко может быть ослаблено.
207

Ио для принятия решения нам нет необходимости знать величину
постоянного члена в правой части D.58) и, следовательно, нам не
нужно определять постоянные d. Это очень большое облегчение,
так как иначе нам пришлось бы задавать вопросы типа:
«Предположим, что Вы находитесь в положении (х> до»); сколько., единиц
критерия X Вы бы уступили, чтобы изменить до» на до,-?»- К
счастью, мы можем избежать таких вопросов.
4.12.3. Условные детерминированные эквиваленты. Для
произвольного действия а представим лолучаемый выигрыш при
помощи неопределенной переменной &а\ Детерминированный
эквивалент для xW при заданном состоянии до*, обозначаемый через
х?а\ определяется из соотношения
т[хгМ] =Еат[х№]. D.59)
Следовательно, любое действие а можно охарактеризовать
набором значений г условных детерминированных эквивалентов
[ii(a), ..., *r(a)]. Если выбор нужно
осуществить среди небольшого числа действий, то
практически мы можем непосредственно
установить значения х^а) для всех, i и а
без построения условных функций
полезности я,г для t= 1,..., г. Но тогда задача
сводится к определению коэффициентов
замещения для г компонент, являющихся детерми-
ч<*/» нированными эквивалентами для различных
состояний.
Рис. 4Ж Лотерея, в Рассмотрим теперь изображенную на
КсятРот со^то^ния^ Рис# 4-28 лотерею, которая приводит к
получению наверняка х,и если имеет место дог*>
i=l,..., г. Обозначим эту лотерею через <хи ..., xiy..., хг>. Наша
задача заключается «в структуризации предпочтений лица,
принимающего решение, -в этом пространстве оценок. Если мы положим
<х'> = <;с/ь ..., х'г> и
то из D.68) увидим, что
bt pi Щ {х\) >\btpi nt (jQ. D.60)
Вспомним, однако, что мы еще должны разработать метод
определения подходящих значений Л*. Сравним (Следующие две лотереи:
iZ/: прибыль равна х+ для каждого состояния от w\ до wr.
U'\ прибыль равна х+ для каждого состояния от w\ до шг, за
исключением состояний Wi и Wj\ прибыль для wi; равна
х++оц, для Wj равна х^—Pj.
Предположим теперь, что лицо, принимающее -решение, так
¦подобрало а* и р;-, что ему «стал безразличен выбор между V и L".
Тогда из D.60) имеем
b() Ь(+) bipisii(x^fai) +Ь&м(х*г-ф,)« D.61)
208

Поскольку а* и р;- га равенстве D.61) известные величины, его
легко разрешить относительно дроби biPi/bjpj.
Если же мы последовательно будем повторять эту
процедуру попарного установления отношения безразличия, 'полагая
х=1 и /=2, ..., г, то сможем определить значения
bipi/bjPj для /=2, ..., г. D.62)
Поскольку шкала для и в D.57) может -быть выбрана
произвольно, без потери общности можно принять &iPi = l. Используя это
равенство и (величины D.62), мы можем определить подходящие
шкалирующие константы Ьь ..., Ъг. Заметим также, что если мы
хотим действовать указанным образом, то всегда сможем
избежать формального определения вероятностей р*. Но, разумеется,
вопрос о замещении (о коэффициентах замещения) для лотерей,
изображенных на рис. 4.28, неявно требует, чтобы принимающий
решение мысленно сопоставлял шансы за w\ и Wj.
Существуют и другие (процедуры, которые можно использовать
для «получения информации о bj. Конечно, на практике
желательно задавать зондирующие вопросы (различного характера и
проводить исследование согласованности и чувствительности. Наша
цель состояла здесь не в том, чтобы детально рассмотреть эту
задачу, а в том, чтобы привести нетривиальный 'пример, в котором
вводятся и объединяются условные функции одномерной
полезности. "
4.13. ГДЕ МЫ НАХОДИМСЯ?
В этой главе мы коснулись многих важных аспектов теории
полезности. Были детально рассмотрены теоретические положения,
необходимые для того, чтобы сделать (понятие полезности
операциональным, описаны -методы построения функций одномерной
полезности ,и приведены примеры, иллюстрирующие (построение
функций полезности в реальных ситуациях. Далее, для того
чтобы перекинуть мост между теориями одномерной и многомерной
полезности, было ©ведено понятие условной одномерной
полезности. Только хорошо поняв основные положения этой главы, мы
можем взяться за решение главной задачи, разбираемой в гл. 5 и
6, — задачи структуризации и построения функций многомерной
полезности.
ГЛАВА 5
ПРЕДПОЧТЕНИЯ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ:
ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
В этой и следующей главах выдвинутые выше идеи и
полученные результаты используются для конкретного 'построения
многомерных функций полезности. Основными результатами являются
209

теоремы представления, которые позволяют установить вад
функции полезности при определенных "предположениях относительно
системы предпочтений лица, принимающего решение.
Предлагаются довольно естественные допущения о системе предпочтений;
описываются характерные ситуации, в которых эти допущения л/ред-
ставляются разумными. Наконец, 'приводятся примеры
построения функции полезности.
Многие важные положения теории (принятия решений
применительно к многокритериальным проблемам могут быть
проиллюстрированы .на примерах с двумя критериями (двумерный
случай). В связи с этим, чтобы избежать излишнего усложнения и
ненужных деталей, ;в гл. 5 мы подробно останавливаемся только
на этом случае. Случай трех и более критериев рассматривается
в гл. 6. Однако содержание § 5.1 непосредственно относится к
обоим случаям.
5.1. НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МНОГОМЕРНЫХ
ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Предположим, что в соответствии с имеющейся проблемой
установлена иерархия целей и сформирован набор факторов
(критериев) Хи Х2, ..., Хп. Пусть Хг обозначает определенное значение
(уровень) фактора *> Хи тогда наша задача состоит в том, чтобы
построить конкретную функцию полезности**) и(х)—и(х\, х2, ...,
хп)у зависящую от п переменных.
Основное свойство, характеризующее функцию полезности и>
состоит в следующем: если даны два распределения вероятностей
А и В на множестве многомерных последствий х, то
вероятностное распределение А по крайней мере не хуже, чем В, в том и
только в том случае, когда
E.1)
где ЕА и Ев обозначают обычные операторы математического
ожидания, примененные к распределениям А к В соответственно ***>.
*) В гл. 5, 6 в соответствии со сложившейся терминологией в теории
много-мерной полезности вместо термина «критерий» используется термин «фактор».
Напомним, что в рамках дайной книги это синонимы (см. сноску на с. 45).
**) Для согласования с нашими предыдущими обозначениями функцию
полезности нам следовало бы обозначать через и или и(-), не и(\). Ведь запись
м(х), строго говоря, обозначает значение функции и в точке х. Однако в
дальнейшем мы иногда будем использовать обозначение м(х), поскольку это
позволит упростить представление функции полезности и, как мы надеемся, не
повлечет за собой каких-либо недоразумений, хотя и может вызвать некоторую
эстетическую неудовлетворенность.
***) Если распределение вероятностей А определяется в терминах функции
плотности вероятностей ^а(-)> заданной в л-мерном евклидовом пространстве
Rn, то
?А[и(х)]- Г и(х)/
*;
210

Именно это свойство показывает, что ожидаемая «полезность
является удобным показателем при выборе среди альтернатив.
В вырожденном .случае /выражение E.1) позволяет сделать
заключение о том, что альтернатива хА по крайней мере не хуже,
чем альтернатива хв, тогда и только тогда, когда
и(хА)^и(хв). E.2)
В дальнейшем ,мы будем различать два случая в зависимости
от того, задана или «е задана функция ценности факторов.
Функция ценности может быть использовала при нахождении функции
.полезности.
5.1.1. Использование функции ценности при построении
функции полезности. Возвращаясь к гл. 3, напомним, что функция
ценности v(x)=v(xiy х2, ..., хп) устанавливает ранжирование
возможных последствий, описываемых с помощью п факторов. Эта
функция удовлетворяет выражению E.2), относящемуся к
вырожденному случаю функции полезности. Поэтому согласно определению
функция полезности является функцией ценности, но функция
ценности не обязательно является функцией 'полезности*).
В гл. 3 было приведено несколько методов, которые могут быть
использованы для получения функции ценности v(x). Функция
v (х) каждому последствию х ставит в соответствие некоторую
скалярную «величину — его «ценность», 'поэтому -мы можем
рассматривать V как скалярный показатель «ценности», который
принимает значения v. Кроме того, поскольку v(xA)>v{xB) тогда и
только тогда, когда лицо, принимающее решение, находит хА
(более предпочтительным, чем хБ, то функция полезности долж«а
быть монотонно возрастающей функцией от V. В связи с этим, все
подходы к оценке функции (полезности в случае одного фактора,
обсуждавшиеся в гл. 4, могут быть использованы и при оценке
u[v(x)].
Однако, несмотря на внешнее сходство, эти .проблемы в
действительности не могут быть признаны идентичными, так как
различные уровни (т. е. значения) «показателя «ценности» V сами по
себе не имеют физической интерпретации для лица, принимающего
решение. Процедуры, рассматриваемые в гл. 4, полезны для
оценки u[v(x)]t но при осуществлении подобной оценки мы обычно
должны привлекать интерпретацию исходных факторов Хи
X2i ..., Хп. Возможно это станет понятнее лри рассмотрении
следующего простого примера.
*) К сожалению, не существует стандартной терминологии, и мы
вынуждены сами выбрать, какую функцию назвать функцией ценности, а какую —
функцией полезности. В литературе нашу функцию ценности иногда называют
функцией достоинства, порядковой полезности, предпочтения, полезности
Маршалла и даже функцией полезности. Аналогично нашу функцию полезности
называют функцией предпочтений, кардинальной полезности, полезности фон
Неймана, вероятностной полезности и просто функцией полезности. Хотя мы,
очевидно, не в состоянии согласовать использование этих терминов с
имеющимися в литературе разночтениями, постараемся, во избежание внутренних
противоречий, использовать их в соответствии с приведенными определениями.
211

Пример 5.1. Рассмотрим рис. 5.1 и предположим, что функция
ценности v(xu x2) задана на пространстве факторов Х—Х\ХХ2
при x°i^.Xi^:xi*, i=l,2. Для простоты будем считать, что
функция v является непрерывной и возрастающей по обоим
аргументам. Предположим также, что для лю
там. Предположим также, что для
любого последствия (х'и х'2) существует
равноценное последствие вида (хи х°2)>
где *°i<*i<;#!*, или вида (*i*, х2), где
р д д (и 2)>
где *°i<*i<;#!*, или вида (*i*, х2), где
х°2*?:х2^:х2*. Местоположения всех
компонент последствий (хи х°2) и (xi*f
х2) указаны на рисунке жирными
линиями. Таким образом, если бы мы
имели функцию полезности, заданную
для всех точек вида (хи х°2) или (хЛ
¦** х2)у то было бы легко распространить
функцию и «а все точки (хи х2) обла-
Ркс 6.1. Установление полезно- с™ определения. Если v(x'u x'2) равно
сти последствий для случая, v\x и х 2), тогда, очевидно, что и(х'и
когда функция ценности изве- х'2) должно быть принято равным
стна и(*"ь х°2), а последнее значение уже
известно.
Проблема здесь сводится к нахождению значений и на
области, отмеченной на рис. 5.1 жирными линиями, -но эта задача
значительно проще, чем нахождение значений и на всем множестве
л. К тому же процедуры, изложенные в гл. 4, могут быть
непосредственно применены при построении двух (условных) функций
полезности одного аргумента: щ(хи х°2)*) от хх и и2 .(хх*, х2) от
х2. Единственная дополнительная трудность состоит в том, что
для и{ и и2 должны быть ©Ы'браны согласованные шкалы
измерения. Только в этом случае порождаемая им.и функция и будет
обладать необходимыми свойствами. Процедура.такого
шкалирования обсуждается в § 5.8.
Нетрудно провести обобщение и на случай более двух
факторов, ь этом случае -мы оцениваем несколько (условных) функций
полезности от отдельных факторов А', и для того, чтобы
сформировать единую функцию полезности и на подпространстве из X
согласовываем шкалы этих функций. Затем для каждой точки ха"
в которой значение функции и пока де известно, мы -находим
такую точку хь для которой уже установлено значение функции и
и при этом и(#)=и(хь)т в результате устанавливаем значение
функции и в этой точке — и(ха) =и(хь).
5.1.2. Непосредственная («прямая») оценка. Теперь рассмотрим
случаи, когда функция ценности на X не задана. Когда
количество возможных последствий х\ х\ ..., х* невелико, полезность
каждого из них иногда .может быть оценена непосредственно. Зада-
иэвиним?я за нашУ несообразность в обозначениях. Мы должны
??? НЫамtrb ФУНКЦИИ «»(•• Л) и И>(Л. О, «о тем не менее в fft
главе нам удобнее испольаовать обозначения, приведенные в тексте.
212

дим значения полезности для некоторых двух последствий, а
значения полезности для остальных последствий установим в
соответствии с ними (или другими последствиями, значения «полезности
для которых уже известны). Например, если мы выяснили, что ха
является наименее предпочтительным, ах* — наиболее
предпочтительным последствием из {х1, х2, ..., хн}, тогда можно произвольно
задать
и(х°)=0 и и(х*) = 1. E.3)
Для каждого хг эмпирически оценим вероятность яг такую, что хг
будет равноценно лотерее, в которой реализуется исход х* с
вероятностью пг и исход х° с вероятностью A—яг). Приравнивая
ожидаемые полезности, получаем
u(xr) =jtr для всех г. E.4)
Этот подход может «быть использован, когда имеется примерно
до 50 последствий. Хотя уже и при таком количестве последствий
сама процедура оказывается очень трудоемкой, а получение
численных результатов, внушающих доверие, вызывает
необходимость организации большого числа дополнительных ооследова-
тельных проверок. Заметим, что основная идея этого подхода
аналогична той, .которая использовалась в гл. 4 для непосредственной
(прямой) оценки полезности последствий. Единственное различие
состоит в предметах оценки хг, которые теперь являются
векторами, а не скалярами, как раньше.
В ситуациях, когда количество возможных последствий в X
велико, рассматриваемый подход также может быть использован
для оценки полезности небольшой части .последствий. Полезность
остальных последствий может быть определена затем три помощи
процедур, основанных на кривых соответствия, интерполяции,
экстраполяции и др. Однако такие процедуры имеют следующие
три основных недостатка, которые проявляются 'при их
использовании на практике и становятся особенно существенными три
континуальном множестве исходов: 1) они не в состоянии учесть
основную структуру предпочтений лица, принимающего решение;
2) получение необходимой информации для осуществления
количественных оценок сопряжено с большими трудностями; 3)
«получаемые результаты неудобны для вычислений ожидаемой
полезности и -проведения анализа чувствительности. Попытки устранить
эти недостатки нашли свое отражение в подходах,
представленных в следующем пункте.
5.1.3. Качественная структуризация предпочтений. Основной
подход, используемый в этой и следующей главах, состоит: в
1) установлении различного рода допущений о системе основных
предпочтений лица, принимающего решение; 2) нахождении
таких функциональных видов функции полезности в случае многих
факторов, которые удовлетворяют этим допущениям. Тогда Tip»
практическом использовании такого подхода в каждой задаче не-
213

обходимо 'проверить справедливость некоторых допущений и
затем построить функцию полезности, соответствующую им. Этот
подход разработан для преодоления недостатков значительно
более прямолинейного метода, описанного в предыдущем пункте.
При определении функции полезности учитывается система
основных предпочтений лица, принимающего' решение, что упрощает
сам процесс построения. Отметим, что этот подход абсолютно
идентичен тому, который использовался >в гл. 3 при 'Построении
функций ценности, а также в гл. 4 для построения одномерных
функций полезности.
Исследуемые допущения представляются справедливыми во
многих задачах принятия решений и очень важными в
практическом отношении. Проверка я учет определенных свойств
независимости, которые могут быть ирису щи системе предпочтений лица,
принимающего решение, .и относиться к различным
подмножествам факторов, являются чрезвычайно важными при установлении
достаточно простых форм представления индивидуальных
предпочтений. В идеальном случае было бы желательно получить
представление функции /полезности в следующем виде:
и(хи *2> ..., xn)=f[fiixi), /2(*2), •••» fn(Xn)], E.5)
где fi является функцией только одного фактора Xiy i==l, 2, ..., л,
а / имеет простую форму, например аддитивную или
мультипликативную. Такое представление позволяет значительно упростить
процедуру оценки функции полезности и. Плодотворность этого
подхода как в теоретическом, так и прикладном 'плане
иллюстрируется в данной и последующих главах.
5.1.4. Краткое содержание главы. В гл. 5 исследуются функции
полезности, .зависящие от двух факторов. Сначала
рассматриваются -основные (понятия независимости и использование их в
теории. Затем (предлагается процедура построения соответствующих
функций полезности. В конце подробно описывается процесс
построения функции полезности в конкретном содержательном
(примере.
Произвольную точку в двумерном пространстве для удобства
¦мы будем обозначать (у, г) вместо более громоздкой записи \(х\,
х2). Функция полезности и(у, г) для двух факторов, обозначенная
таким образом, может на самом деле зависеть более чем от двух
аргументов. Например, если У является двумерным (векторным)
фактором, a Z — трехмерным (векторным) фактором, тогда и(у,
2) может интерпретироваться как пятимерная функция
(полезности. Все результаты этой главы справедливы для любых функций
полезности от двух факторов, независимо от размерности каждого
аргумента. Однако для удобства мы часто будем обращаться с Y
и Z как с одномерными скалярными факторами*).
*> В дальнейшем мы будем употреблять символы у и z вместо
общепринятых <у и z, чтобы показать, что обозначаемые ими последствия могут быть
как скалярными, так и векторными.
214

5.2. НЕЗАВИСИМОСТЬ ПО ПОЛЕЗНОСТИ
Одним из основных «понятий теории принятия решений при
многих критериях является независимость по полезности. Это
понятие играет в теории 'принятия решений при* многих критериях
такую же роль, как и вероятностная независимость в теории
вероятности. Здесь и в следующей главе по-нятию независимости ло
полезности и его применениям будет уделено большое внимание
по следующим причинам:
1. Различные условия независимости «по полезности
обусловливают существование определенных видов многомерных функций
полезности. Эти виды содержат большое многообразие
конкретных форм функции полезности, в том числе -и для случаев
взаимозависимости факторов по предпочтению. Тем не менее эти
допущения о независимости в значительной мере упрощают (построение
самой функции полезности.
2. Допущения о независимости по полезности действительно
могут быть практически проверены в реальных задачах и
оказываются справедливыми для многих из них.
3. Функции полезности для независимых по полезности
факторов были использованы при решении ряда важных проблем. В
гл. 8 подробно рассмотрена одна из таких шроблем, связанная с
развитием наземных служб аэропорта в городе Мехико. В гл. 7 и 9*
менее подробно обсуждаются другие проблемы, для решения
которых использовалась независимость по полезности.
4. Независимость по .полезности может помочь структурировать
проблему и, таким образом, облегчить проведение анализа
чувствительности.
5. В случаях, когда независимость по полезности установлена,,
лицо, принимающее решение, может с успехом поручить
отдельные части задачи квантификации различным rpyin-пам
консультантов.
6. Систематизированный анализ приемлемости допущений о
независимости по полезности является полезным этапом при
исследовании сложных, противоречивых проблем и поиске путей их
разрешения. В проблемах, связанных с групповыми решениями,
различные лица, участвующие в .процессе принятия решения, могут
иметь несовпадающие функции (полезности, однако они могут
прийти к соглашению относительно справедливости тех или иных
допущений о независимости по полезности. Эти допущения
«позволяют лицам, принимающим решения, сконцентрировать свое
внимание на тех важных аспектах задачи, относительно которых у
них имеются расхождения во взглядах, и рассмотреть возможные
способы устранения этих расхождений. Кроме того, (пони-мание
сути расхождений во взглядах лицами, принимающими решение,,
иногда приводит их к нахождению новых, более приемлемых
альтернатив.
Понятие независимости по полезности может рассматриваться
как особый случай понятия независимости по предпочтению,
которое было рассмотрено в гл. 3.
215

5.2.1. Определение независимости по полезности. Начнем с
определения независимости по полезности для случая двух
факторов. Пусть пространство факторов X разбито на такие,
подпространства У и Z, что X=YxZ. Обозначим произвольную точку >в
оцениваемом пространстве факторов через (у, z). Предположим,
что
У°^У^У* и z°^.z^z*. E.6)
В процессе анализа проблем такого рода естественно сначала
рассмотреть различные условные функции полезности для одного
фактора. Исследованию может быть
подвергнута, например, условная функция
•полезности различных значений у при
фиксированном г°, т. е. функция
полезности для точек, располагающихся на
жирной линии на рис. 5.2.
Попытаемся выяснить, существенно
ли изменяется функция полезности лица,
У принимающего решение, если заданное
Рис. .5.2. Предпочтительно-, значение г отличается от г°. Для этой це-
-сти точек, расположенных ли могут быть использованы вопросы сле-
на жирной линии, могут ин- дующего тепа:-«Если значение z зафик-
терпретироваться как услов- сировано на уровне z°, то какое значение
ные иредпочтшия значений у Вы с уверенностью можете считать рав-
/ при заданном z «» .
ноценным лотерее, построенной, скажем,
на равновероятных исходах у\ и #2?». Предположим, что ответом
.является значение у такое, что
"/(Ух. *°)
(У. 2°)~<^
Теперь зададим второй вопрос: «Если z зафиксировано на-другом
определенном уровне, например z', сместится ли указанное значе-
дие детерминированного эквивалента #?» В очень многих случаях
оно остается -прежним.
Значение детерминированного эквивалента у тогда будет за-
.висеть только от у\ и у2 и не будет зависеть от выбранного
значения z. Если это оказывается справедливым для любых
фиксированных значений у\ и у2, то условные функции полезности «(•,
z°) и «(•, z) стратегически эквивалентны. Таким образом, из.
теоремы 4.1 следует, что все условные функции 'полезности бдоль
горизонтальных отрезков на рис. 5.2 связаны между собой
положительными линейными преобразованиями. В данном случае
получаем
и (у, z)—g(z)+h (z) и {у, z') E.7)
216

для всех у и z, где функции g(») и А(*) зависят только от г, не
зависят от у и удовлетворяют неравенствам g(*)>0, к(-)Х).
Несомненно, функциональный вид и ?(•)> и М») будет зависеть
от выбранного конкретного значения z'. Заметим, что, если
выражение E.7) выполняется для какого-либо одного значения z\ то
оно будет выполняться и для всех остальных значений г.
Определение. Будем называть Y независимым по полезности
от Z в том случае, когда условные предпочтения между лотереями
с исходами из У при фиксированном значении z не зависят от
самого значения г.
Из этого определения непосредственно следует, что У не
зависит по полезности от Z тогда и только тогда, когда справедливо
выражение E.7)*). Бели У не зависит то полезности от Z, то
условная функции полезности, заданная на У при определенном
значении г, в стратегическом отношении не зависит от самого
значения 2. Во всех случаях, когда имеется независимость по
полезности, можно говорить просто о функции полезности на У, не
указывая при этом значение параметра z. И без таких усложнений
трудность предмета исследования достаточно велика!
Аналогично представляется естественным исследовать,
является ли Z независимым по полезности от У. Пусть уровень У
зафиксирован, например для него выбрано значение у\ и
рассматриваются предпочтения между лотереями с исходами из Z, тогда
возникает вопрос, зависят ли эти предпочтения от значения у'. Если
нет, то Z не зависит по полезности от У и можно говорить просто
о функции полезности на Z безотносительно к значению у'.
В «практических ситуациях выяснение вопроса о том, является
ли У независимым тю полезности от Z, a Z — от У, очевидно,
должно проводиться на ранних стадиях. Отметим, что при этом
возможны следующие случаи: имеют место обе независимости,
выполняется лишь одна из них, ни одна из независимостей не
имеет места. Для того чтобы показать математическую возможность
всех указанных случаев, рассмотрим следующие функции
полезности:
1. u(yt z)=y*sfi/(y+z)\
2.u(y,z)=g(z)+h(z)uY(y);
3. и(у, z)=h(y)+m(y)uz(z)\
4. и (у, z)=kluY(y)+k2uz(z)+kzuY(y)uz(z)\
5. и(у9 z) = [a+№(y)][y + 6uz(z)]\
6. и(у, z)=kYuY(y)+k2uz(z).
*) Другая интерпретация независимости по полезности состоит в
следующем. Если Y не зависит по полезности от Z, то очевидно, что все функции
полезности вида и(-, г) стратегически эквивалентны. Если у— скаляр, а
вторая производная от «(•, z) по у непрерывна, то для каждого z на У может
быть задана условная функция несклонности к риску аналогично тому, как это
было сделано в § 4.5. Если Y не зависит по полезности от Z, функция
несклонности к риску, построенная на У при фиксированном значении z, не зависит
от самого значения г. Справедливо также и обратное утверждение.
См. Кини A973d), Поллак A973).
217

Если предпочтения описываются «первой функцией, ни один из
факторов не является независимым по полезности от другого. При
описании -предпочтений с помощью второй функции У ие зависит
по полезности от Z, но обратное утверждение не является
справедливым. .Когда предпочтения характеризуются третьей функцией,
Z не зависит по полезности от У, однако обратное утверждение
неверно. И, наконец, в ^последних трех случаях факторы не зави-
сят друг от друга. Ниже исследуются теоремы представления.
Это исследование проводится таким образом, что на основе чисто
качественных соображений для каждого 'конкретного случая
удается установить соответствующую ему функциональную форму.
Очевидно, различия в функциональных формах в значительной
мере влияют на процедуры построения конкретных функций.
Независимость по полезности оказывается важным свойством,
поскольку оно является необходимым -и достаточным условием
существования функций (полезности, зависящих только от одного
фактора. В случае, когда У не зависит по полезности от Z,
существует функция «полезности только от У. Предпочтения между
различными значениями У тогда могут оцениваться при
установленном значении Z на любом удобном уровне. В случае, когда У не
является независимым шо (полезности от Z, бессмысленно говорить
о функции полезности на У и 'построение функции и(*, •)
значительно усложняется. При этом условные функции полезности от
У при z=z' in при z=zr\ т. е. и(*, z') и и(*, z") соответственно,
не являются стратегически эквивалентными. Каждая из них
должна 'быть построена полностью отдельно от другой, так как знание
одной дает мало информации о другой.
5.2.2. Раскрытие понятия независимости по полезности.
Прежде чем продолжить изложение, попробуем выяснить, каким
образом понятие независимости по (полезности позволяет значительно
облегчить шостроение функций полезности. Если нас, например,
интересуют предпочтения между векторами (у, г), для компонент
которых справедливо у°^у^у* и г^г^г*, тогда три
отсутствии каких-либо упрощающих допущений функция полезности
должна быть построена непосредственно на всей заштрихованной
области на рис. 5.3, а.
Теперь предположим, что У не зависит тю полезности от Z.
Тогда в общем случае условные функции полезности и(», г),
аргументом которых является (переменная у, при различных уровнях
z должны представлять собой положительное линейное
(преобразование одной in той же {функции от у. Следовательно, как будет
показано дальше, знание полезностей последствий, лежащих на
жирных линиях рис. 5.3, б, может предоставить достаточное
количество информации для полного определения и. Это означает, что
нам достаточно 'будет построить и согласованно шкалировать три
условные функции полезности, каждая из которых зависит только
от одного фактора.
Пусть теперь Z не зависит шо полезности от У, но У не являет-
ся независимым по полезности от Z. В этом случае функция тю-
218

лезности и может быть полностью определена в результате
построения трех условных функций полезности (рис. 5.3, в), каждая
из которых зависит только от одного фактора. При этом условные
функции полезности и(у, •), описывающие изменение и по Z при
Рис. 5.3. Упрощение по-
строения функции полез-
ности с помощью
независимости по полезности
z
z°
У
г*
^°
—г
1
У'
Z
У° УгуУ'
У
° УгуУ7 У
б)
*
У
es
г
различных уровнях у, связаны между собой положительными
линейными преобразованиями. С учетом обозначений, указанных на
рисунке, в иллюстративных целях можно считать, что
и(У2> z)—ki + k2u(y\ z) для всех г. E.8)
Условная функция полезности и (у1, •) известна, поскольку она
уже была найдена, а константы k\ и k2 могут быть вычислены
при подстановке в выражение E.8) последствий (г/2, г1) и (у2, z2)f
полезности которых известны. Получаемые таким образом
простые уравнения легко решить. Более подробно эти вопросы будут
рассмотрены ниже.
Теперь предположим, что У и Z не зависят по полезности друг
от друга. Это условие будем называть взаимной независимостью
по полезности. Тогда, взяв в качестве отправной точки рис. 5.3,6,
легко увидеть, что две условные функции полезности и(у°, •),
и)(у*, •), зависящие от z, должны быть связаны между собой
положительными линейными преобразованиями. Следовательно,
вместо нахождения значений функции и(у*, •) для всех z
необходимо установить значения полезности лишь в двух точках и на
их основе определить подходящее преобразование. Таким
образом, если У и Z взаи'монезависимы по полезности, то для
полного определения функции и необходимо лишь построить две
условные функции полезности (с согласованными значениями) и
найти значение полезности последствия (у*, z*). Последствия,
значения полезности которых требуется иайти, выделены на рис. 5.3,г
жирным цветом.
Действительно, в тех случаях, «когда факторы взаимонезависи-
мы по полезности, мы свободны в выборе любых произвольных
условных функций полезности «(•, г1) и и{у\ •)» а также полез-
219

ности любого последствия (у2, г2). Этого нам достаточно для
определения значений функции и(уу г) от всех у, z. Благодаря
этому можно выбрать такие значения у\ г1, у2 и г2, которые
позволят упростить для лица, принимающего решение, построение его
функции полезности. Другими словами, ему может оказаться
удобнее построить функцию w(«, г1), чем и(-у г°), поскольку с
последствиями вида (у, г1) он имел дело значительно чаще.
Рисунок 5.3,5 показывает, что необходимо оценить в этом случае.
В тех случаях, когда факторы взаимонезависимы по
полезности и, кроме того, справедливо допущение об аддитивности, кото- .
рое будет описано ниже, полное нахождение функции и(у> z) от
всех yf z может быть осуществлено при помощи всего лишь двух
условных функций полезности для тех последствий, которые
выделены на рис. 5.3,е. Такие функции полезности для двух
факторов являются простейшими из всех тех, которые могут быть
получены без упрощения формы условных функций полезности для
одного фактора, а также в отсутствие различных допущений о
возможностях замещения, аналогичных допущению о постоянстве
коэффициента замещения, рассмотренному © гл. 3. Таким
образом, на рис. 5.3е выделено то, в некотором смысле минимальное,
количество последствий, полезность которых действительно
требуется оценить для определения значений функции и (у, z) во
всех точках (у, z).
В следующих параграфах будет проведено обсуждение
различных видов функций полезности, обусловленных
соответствующими «наборами допущений, начиная с простейшего случая (рис.
5.3,е). После полученных в этом направлении результатов будет
предложена процедура проверки используемых допущений и
построения соответствующих функций полезности. В конце для
иллюстрации будет приведен пример прикладного характера.
5.3. АДДИТИВНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И АДДИТИВНАЯ
ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
Аддитивной будем называть такую функцию полезности,
которая предста'вима в следующем виде:
и(у, z)=kYuY(y)+kzUz{z)t
где kY, kz — положительные шкалирующие константы. Эта
функция позволяет суммировать вклады каждого из двух факторов с
точки зрения получения общей полезности. Она является,
пожалуй, наиболее «известной из многомерных функций полезности и
имеет большое значение как из-за возможности ее использования
во многих практических задачах, так и из-за своей простоты.
Нетрудно убедиться, что, как отмечалось в предыдущем
параграфе, из аддитивности функции полезности следует взаимная
независимость факторов У и Z по полезности. Однако обратное
утверждение неверно, т. е. из взаимной независимости факторов по
220

полезности не следует аддитивность функции полезности *>.
Допущения, которыми надо дополнить взаимную независимость по
полезности, чтобы обеспечить аддитивность функции полезности
для двух факторов, будут рассмотрены в § 5.4. В данном
параграфе обсуждается другой набор допущений о предпочтениях
лица, принимающего решение, 'который также приводит к
аддитивности функции полезности. Необходимые и достаточные условия
существования аддитивной функции полезности могут быть
сформулированы при помощи понятия аддитивной независимости.
К сожалению, эта терминология не является общепринятой и то
условие, которое мы называем «аддитивной независимостью», в
других работах иногда называют просто «независимостью».
Однако прилагательное «аддитивный» необходимо, потому что оно
позволяет выделить это условие независимости из других, введенных
ранее.
Определение. Факторы У и Z называются аддитивно
независимыми, если отношение .предпочтения для любых двух лотерей
(при их попарном сравнении), каждая из которых
характеризуется своим совместным распределением вероятностей на YxZ,
зависит только от маргинальных распределений вероятности,
присущих этим лотереям.
Приведенная выше формулировка определения наиболее
удобна для последующих обобщений. В двумерном пространстве, как
будет скоро показано, условие, накладываемое на У и Z и
эквивалентное аддитивной независимости, состоит <в следующем:
лотереи
°>5ЛУ, г) *.* (у, г')
<
о.5ХОЛ *') о,5ЧОЛ г)
должны быть одинаково предпочтительны (т. е. равноценны) для
всех (у, z) при заданных, но произвольно выбранных у' и z\
Отметим, что б каждой из этих двух .лотерей вероятности
получения у или у', z или zr равны 1/2. Единственное различие между
этими лотереями состоит лишь в том, как скомбинированы в их
исходах значения факторов У и Z. Отсюда становится ясно,
насколько бессмысленно говорить, что У аддитивно не зависит от Z,
но Z не является аддитивно независимым от У. В отличие от
других условий независимости, которые еще будут обсуждаться,
данное условие рефлексивно.
*) Например, если u(yt z)=yaz$t 1<^<Ю, l<z<10, тогда У и Z «
взаимонезависимы по полезности, но и отнюдь не аддитивна.
Прологарифмировав, получим logu(y, z)=alogu(y)\+$\ogu(z), где аддитивность очевидна.
Однако log и может не быть функцией полезности, поскольку
логарифмирование не является положительным линейным преобразованием функции и. С
другой стороны, log и может представлять функцию ценности, поскольку
логарифмирование сохраняет упорядочение последствий (у, z).
221

5.3.1. Основной результат аддитивной теории полезности.
Описываемый ниже результат впервые был получек Фишберном
A965а), однако изложен он будет немного иначе.
Теорема 5.1. Факторы Y и Z являются аддитивно
независимыми тогда и только тогда, когда функция полезности для этих
факторов аддитивна. Аддитивная форма имеет вид
и (У* z)=u (у, 2°) + и (у°, z) E.9)
или
"(У, z)=kYuY(y)+kzuz{z), E.10)
где
1. и(у, z) нормализуется условиями и(у°, г°) = 0 и и(у\ zl) = l
для таких произвольных значений у1, г1, что (у1, z°)^>(y°, z°) и
(У )>(У )
2. uY(y) — условная функция полезности на Y, которая
нормализуется равенствами uY(y°) = 0 и uY(y1) = l.
3. uz(z) — условная функция полезности на Z, которая
нормализуется равенствами uz(z°) = 0 и Uz(z1)=^L
4. kY = u(y\ z°).
5. kz = u(y°, z').
Доказательство. Очевидно, что аддитивная независимость
предполагает равноценность лотерей*) <(*/, z), (y°, z°)> и
<(*/> z°), (у°, ?)>, 'поскольку они имеют одни и те же
маргинальные распределения вероятностей для всех возможных
значений факторов. Приравнивая ожидаемые полезности этих двух
лотерей, получаем
Ч2и {y,z)+ Ч2и (у0, г0) = 72" (У, z°) + 72и {У\ z). E.11)
Если произвольно положить и(у°, z°)=0, то выражение E.9)
непосредственно следует из выражения E.11). Определив
и(у9 z°)=kYuY(y), E.12)
u(tf,zy=kzuz(z)9 E.13)
мы сохраним свободу в шкалировании (выборе шкал) функций
полезности по каждо'му аргументу. Подстановка E.12) и E.13) в
E.11) приводит в результате к E.10).
Докажем теорему в обратную сторону, т. е. что аддитивность
функции полезности предполагает аддитивную независимость.
Следует отметить, что ожидаемая полезность зависит только от
маргинальных распределений вероятностей на У и Z
соответственно. Поэтому предпочтения между лотереями не могут
зависеть от совместного распределения вероятностей на У и Z, т. е.
эти факторы аддитивно независимы.
Условия существования аддитивной функции полезности
являются достаточно жесткими. Они исключают возможность
изменения предпочтений лица, принимающего решение, в отношении
значений одного фактора при различных значениях другого. Во
*) Напомним, что лотерея, обозначенная <Л, ?>, имеет равновероятные
исходы А и В.
222

многих случаях имеет место зависимость предпочтительности
различных значений одного фактора от различных значений
другого. Например, рассмотрим предпочтения фермера относительно
желаемого числа солнечных и дождливых дней. Эти
предпочтения обусловлены влиянием погодных условий на урожай. В такой
ситуации следует ожидать, что предпочтения фермера
относительно числа солнечных дней будут различными в зависимости от
выпавшего ранее количества осадков. Такая взаимозависимость
предпочтений не может быть выражена аддитивной функцией
полезности. В следующих параграфах будут предложены некоторые
более общие виды функции полезности для двух факторов,
которые допускают определенные типы их взаимодействия.
В § 5.8 будет проведено обсуждение процедур и приемов, при
помощи которых может быть, во-первых, проверено допущение
об аддитивной независимости, во-вторых, построены
соответствующие функции полезности для отдельных факторов и найдены
значения шкалирующих констант.
5.4. СЛЕДСТВИЯ ВЗАИМНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПОЛЕЗНОСТИ
В этом параграфе будут установлены возможные
функциональные формы для функции полезности при взаимонезависимости
по полезности факторов У и Z. Сначала покажем, какие
ограничения накладывает это допущение «а вид функции и(у, z).
Затем обсудим, каким образом в получаемой функции учитываются
возможные виды (взаимозависимости предпочтений лица,
'принимающего решение, для двух факторов.
В представленных в этом и следующих параграфах теоремах
и доказательствах четко выделено, что именно необходимо
найти с помощью эмпирической оценки для полного определения
функции (полезности. Поэтому получаемые результаты
оказываются более громоздкими, поскольку нас интересует не только
чисто математическая их сторона, но и аспекты, связанные с
эмпирической оценкой.
В гл. 5 и 6 представлены формальные алгебраические
доказательства теорем. Хотя такие доказательства позволяют
получить результаты, справедливые для общего случая, они не столь
наглядны, как менее формальные. За счет некоторой потери
общности могут быть получены более наглядные доказательства. По.
этой причине, в некоторых случаях, особенно в начале
обсуждения независимости по полезности, в дополнение к основным
алгебраическим будут предложены более 'наглядные, но менее
формальные доказательства.
Из выражения E.7) видно, что допущение о взаимной
независимости по полезности формально может быть выражено
через функции полезности следующим образом:
и(уу z) =Ci(z) +c2(z)u(y, z0) для всех у, z, EЛ4)
223

*
z
z0
G
8_
Ув
A
\f
У
1
1
V
при произвольно выбранном значении г0, и
и(*Л zj=d{(y) +d*(y)u(y0, z) для всех у, г, E.15)
при произвольно выбранном значении у0. Выражение E.14)
показывает, что фактор У не зависит по полезности от фактора Z, а
E.15), что Z не зависит по полезности от У.
5.4.1. Полилинейная функция полезности. В случае, когда У и
Z взаимонезависимы по полезности, функция полезности и(у, г)
может быть представлена в полилинейной форме *>
"(У, г) = kYuY(y) +kztiz(z) +kYziiY(y)uz(z),
где функции и, uY и uz имеют одинаковое начало отсчета и
обладают согласованными шкалами (согласованно шкалированы) за
счет выбора согласованных значений шкалирующих констант
А2у>0, kz>0 и kYz. Число аргументов у каждой из функций uY
и uz меньше, чем число аргументов у
исходной функции и. Поэтому, если
сформулированные допущения
оказываются справедливыми, конкретное
построение функции полезности и
упрощается.
Геометрическая интерпретация
этого результата для случая, когда У и Z
являются скалярными величинами,
представлена на рис. 5.4. При спра-
/ ведливости указанных допущений по-
Рис. 5.4. Условие взаимной не- лезность любого последствия, принад-
зависимости по 'полезности поз- лежащего выделенному пространству
воляет полностью определить последствий, однозначно определяется
функцию и(у, z) на основе зна- относительными полезностями тех по-
ЧЬШ1^^Г^7^шГ^ «едствий, которые выделены S? Ц
сунке жирным цветом.
Покажем, что это действительно так. Обратимся к рис. 5.4 и
проделаем следующее:
1. Построим функции ц(., zo), и(у0, •) и и(уи гх), обладающие
согласованными значениями.
2. Для каждой точки Q (где Q мо^ет принимать значения
Л, В, ..., Н) обозначим значение функции и в ней символом uQ.
Пусть А представляет собой произвольное последствие (и z)
обозначим и (у, z) через иА.
3. Выразим иА через ив и ис. Это можно сделать на основе
соотношений между uD, uE и uF, поскольку фактор У не зависит
по полезности от фактора Z.
4. Значение ив паи известно, но не известно значение ис.
Поэтому, принимая во внимание, что фактор Z не зависит по полез-
•) Поскольку рассматривается случай двух факторов, данную функцию
полезности можно было бы назвать билинейной. Однако в гл. 6 такое пред*
ставление обобщается на случай п факторов. Поэтому в этой главе также
выбран термин «полилинейная».
224

яости от фактора У, и используя значение полезностей Ud, Ub ш
ug, выразим ис через uF и Мя.
5. Теперь значение полезности иА выражено через известные
значения полезностей ив> uF и ин.
Если тачка Л была первоначально выбрана так, что она не
содержится в области, ограниченной точками Д F, G и Я, то,
намного изменяя наши рассуждения, мы пришли бы к такому же
результату. Опираясь на проведенные построения, докажем
следующее утверждение.
Теорема 5.2. Если Y и Z взаимонезависимы по полезности, та
функция полезности от двух аргументов Y и Z является
полилинейной, в частности функция и может быть представлена в виде
и{у, z)=u(y, zo)+u(yOj z)+ku(y, zo)u(yo, z) E.16)
или
u(y, z)=kYUY(y)+kztiz(z)+'kTzUY<(y)Uz(z), E.17)
где
1. Функция u(y, z) нормализована условиями u(yOy Zo) = 0 ш
и(Уи Z\) = l для таких произвольных уь z\, что (yh zo)^>(yo, z0)*
и (Уо, гОХуи г0).
2. uY(y) — условная функция полезности на Y, нормализован-^
пая равенствами Urfi/oj^O и Wy(r/ij = l.
3. uz(z) — условная функция полезности на Z,
нормализованная равенствами Uz(zo) = Q и uz(z\) = \.
4. kY = u(yh zo).
5. kz = u(y0, zi).
6. ^yz=l—kY kz И k — kYzlk^kz'
Доказательство. Зададим точку начала отсчета функций!
z)
и(Уо, *о)=О E.18)
Вычислим значение функции, задаваемой E.14) в точке у=Уо,
и(у0, г)=с1|(г)+с2(г)м(уо, zo)=cl(z). E.19)
Подставим E.19) в E.14) и вычислим <в произвольной точке
и z)=u(yOi z)+c*(z)u(yi,
откуда
Mu o)
Подставляя E.19) и E.20) в E.14), получаем
и (У. г) = и{у» z)+ u^z)~u^z) и{Уу Zq) для всех Zm E.2 if
Аналогично, находя значение функции и(у, z), которая задается
выражением E.15), последовательно в точках z=z0 и
произвольной точке z{фг^ получаем
ЧУ, г) = и(у9 zo) + u(y> 2l)^u(^2o)u(yOf г) для всех у. E.221
*^ \Уо г %l)
8—67 225

Пользуясь выражением E.22) в точке у=У\ и подставляя
полученный результат <в E.21), приходим к выражению
и(у, z) = u
\и(у, *„) =
«(ft. 4)"(ft. *) J«(^o, г)«(|/, г0). E.23)
Равенство E.23) может быть записано в виде выражения
E.Г6), где k — эмпирически оцениваемая константа, которая
задается следующим образом:
^ц(У1, zi) — u(yitz0) — u(yQ,
= и(у0, г)+и(у, го)
Чтобы шкалировать (т. е. выбрать шкалы их измерения)
условные функции полезности нужным нам образом, введем функции
My и uz в соответствии со следующими условиями:
kYuT(y)=u(y, z0) и kzuz = u(yo, 2), E.25)
где kY и kz — положительные шкалирующие константы, а
функции uY и uz шкалированы в соответствии с утверждениями
теоремы. Тогда, подставляя E.25) в E.16) и определяя kYz={kkykz,
получаем E.17). Из E.18) и E.25) следует, что начальными
значениями функций uY и uz должны быть точки иг(Уо)=О и
uz(z0)=0 соответственно. Необходимо подчеркнуть, что никаких
других ограничений «на функциональный вид условных функций
полезности uY и uz не накладывается.
5.4.2. Использование кривых равного предпочтения *>.
Поскольку проведение анализа с учетом лишь одного фактора может ока-
заться для лица, принимающего решение, непривычным,
построение некоторых условных функций полезности, необходимых для
использования выражения E.16), может вызвать затруднения.
Однако при этом иногда удается построить кривую равного
предпочтения (кривую «безразличия»), которая представляет собой
совокупность точек, одинаково предпочтительных для лица,
принимающего решение. В этом параграфе будет показано, что вместо
одной из условных функций полезности в теореме 5.2 можно
использовать кривую равного предпочтения, если она построена в
той же области последствий.
*> В данном параграфе рассматривается иной способ оценки функции
полезности для факторов, не зависящих друг от друга по полезности. Этот
способ основан на использовании уже построенной кривой равного предпочтения.
Этот параграф может быть при чтении пропущен без ущерба для понимания
оставшейся части главы. Однако тогда придется пропустить и другие пара-
" графы, в которых используется понятие кривых равного предпочтения. Они
будут выделены.
226

Для скалярных факторов У и Z на рис. 5.5 представлена
геометрическая интерпретация такой замены. Докажем, что если У
и Z -взаимонезависимы но полезности, то знание значений условной;
функции полезности вдоль жирной вертикальной линии и в ярка
выделенной на -рисунке точке, а
также кривой равного
предпочтения позволяют однозначно
определить функцию полезности
и (у, г) на соответствующем
пространстве последствий.
1. Зададим и на L, положив
ис = 0, и найдем значение иР для
последствия Р.
2. Тогда значение и в любой
точке кривой равного
предпочтения N должно быть равно нулю.
3. Выберем произвольную
точку Л с координатами (у, г).
4. Используя независимость по
полезности Z от У, а также из- Рис. 5.5. Условие взаимной независи-
вестные значения Ud, Uq и Um, вы- мости .по полезности позволяет пол-
разим uF через ин и иР. ностью 0ПРеДеЛ1ИТЬ ^функцию u(yf z)
^ctorim <+jr 4^Fv.o «,а t>. на OCH0B€ значений полезности по-
5. Аналогично, выразим ик че- следствий, выделенных жирными ли-
рез ин и иРу используя известные ниями и точкой Р
значения Uj, uD и им.
6. Используя независимость по полезности У от Z, а также
соотношения между uJy ив и Uk, выразим иА через uG и uF.
Поскольку значения ug и uf уже известны, доказательство
можно считать завершенным. Если точка А была первоначально*
выбрана так, что она не содержится в области, ограниченной
точками С, Я, Р и М, то доказательство может быть аналогичным».
Теорема 5.3. Если Y и Z — взаимонезависимы, то
и(У, г)=
где
+ (y0, п (у))
1. и(у0, 20)=0.
2. Функция zn(y) определена так, что (у, zn(y))~(yo, г0).
3 k—
— и(Уо> гп(Уг))
E 271
(Ун i)(y<» п{Уг))
(уъ zx) — такое произвольно выбранное последствие, которое^
неравноценно последствию (у0, z0).
Доказательство. Определим функцию zn(y) таким
образом, чтобы о»на описывала кривую равного предпочтения, т. е.
чтобы множество пар {{у, zn(y)) для всех у} являлось кривой
равного предпочтения для всех значений фактора У. Установим
значение полезности для кривой *> равного предпочтения и начальное
*} Для того чтобы конкретизировать функцию и{у, z) для любых
значений уу необходимо задать лишь одну функцию zn(y)y удовлетворяющую вы.*-
ражению E.28).
8* 227

значение функции и{уу z) следующим равенством:
и(У,*п(у))=0. E.28)
Обозначим через z0 значение zn(y0). Тогда, очевидно, и(у0, zQ)=0y
'что согласуется с начальным значением функции и в теореме 5.2.
Следовательно, чтобы найти функцию и(у, г0), можно вычислить
значение функции и(у, z), определяемой выражением E.16), в
точке (у, гп(у)) и решить полученное уравнение относительно
МУу г9):
. E.29)
Теперь, подставляя E.29) -в E.16) и перегруппировывая
соответствующие члены, получаем
Для того чтобы определить значение k в .выражении E.24),
необходимо знать значение и(уи z0). Оценим значение полезности
и(Уи г\) для такого произвольного последствия (у\, ?i), которое
•неравноценно последствию (уОу z0). Подставляя полученное
значение полезности в E.30), находим
0, гп(уг))
откуда перегруппировкой получаем искомый результат.
5.4.3. Мультипликативное представление. Полилинейная
форма в теореме 5.2 при условии кфО имеет также и эквивалентное
мультипликативное представление. Покажем это, проделав
следующие преобразования *>:
и'(у, z)=ku(y, z)+l=ku(yQy z)+ku(y, zo)+k2w(yo, z)u(y, zo) + l =
= [ku(y, z0) +1] [ku(y09 z) + l]=u'(y, zo)u'(yo, z). E.31)
В тех случаях, когда k>07 функции и'{у, z0) и ur{ yQ, z) являются
условными функциями полезности для факторов Y и Z,
соответственно. Когда &<0, эти функции являются функциями полезности,
взятыми со знаком минус. Таким образом, если два фактора взаи-
монезависимы по полезности, то их функция полезности может
быть представлена либо в мультипликативной форме, если кФО,
либо в аддитивной форме, если & = 0.
5.4.4. Аддитивное представление. Представляется интересным
исследовать случай, когда значение k в выражении E.16) равно
нулю. В этом случае полилинейное представление сводится к
аддитивному, которое обсуждалось в § 5.3. Следующая теорема
позволяет разъяснить эту замену.
•) Используемый ниже штрих над и не означает взятие производной.
228

Теорема 5.4. Если Y и Z вааимонезависимы по полезности и,
креме того,
< (Уг, 23) > (У*> г*)>~< (</з> zA), (y4, z3) >
при некоторых значениях уъ, у4) гъ, z±, таких, что последствие
{у%, z%) не равноценно ни последствию (уъ, z4), ни последствию
(Уа> Ч), to справедливо следующее представление функции
полезности:
и(У> z)=y(y, zo)+u(yo, z),
где функция и(у, г) нормализована условиями:
1. и(у0, 20)=0,
2. и(уи Z\) — \ при произвольных значениях ух и г\, таких, чте
(Уи Zo)>'(</O, 20) U (уо, Zi)>(#b 20).
Замечание А. При сделанных выше предположениях иная
форма функции полезности задается выражением E.17) с
соответствующими условиями нормализации и равенством krz — 0.
Замечание Б. Необходимо пояснить различие в теоремах 5.1 и
5.4. В теореме 5Л требуется, чтобы было выполнено условие
равноценности лотерей <(у, z), (y\ z')>~<(y, z'), (#', г):> дли
всех последствий (у, z). В теореме 5.4 требуется, чтобы это
условие равноценности выполнялось лишь для одного набора из
четырех точек. Однако, конечно, обе эти теоремы предполагают
наличие взаимной независимости факторов по полезности.
Доказательство. Приравняем ожидаемые полезности
указанных лотерей:
72"(*/3, ZZ) +V2^(i/4, Za) =42U(yZ, ZA)+42U(yA, *в) •
Подставив вместо значений полезности их представление в
полилинейной форме E.16) и проведя необходимые сокращения и
перестановки, -получаем следующее уравнение:
k[u{y0, zs)—u(yOy z4)][u(yz, zo)—u(y4, zo)]=0.
Поскольку и(уг, г$)Фи(уз, z4), то вследствие независимости по
полезности u(yOyZz)=?u(yo,Z4) и, аналогично, и(уг,го)Фи(уА,го).
Следовательно, коэффициент k должен быть равен нулю и
выражение E.16) сводится к аддитивной форме.
Из теоремы 5.4 становится ясно, что аддитивная независимость
предполагает взаимную независимость по полезности, но
обратное утверждение неверно. Аддитивная независимость, очевидно,
является более сильным условием.
Следствие *>. Пусть справедливы те же самые предпосылки,
что и в теореме 5.4. Тогда функция полезности и(у, z) может
быть полностью определена при помощи
1. и(у0, z) — условной функции полезности от Z при
произвольном значении у0.
2. Кривой равного предпочтения, построенной для всех
значений Y.
*> Это следствие можно опустить, если при чтении был пропущен п. 5.4.2.
229

Доказательство. В этом случае & = 0, а выражение E.26)
принимает вид
и(у, гУ=и{у0, z)—u(yOi zn(y)).
5.4.5. Параметр k; его смысл и интерпретация. Можно
предложить довольно интересную интерпретацию параметра k.
Рассмотрим две лотереи <Л, С> и <?, ?>>, каждая из которых
имеет равновероятные 'исходы (см. рис. 5.6). Предположим, чта
YuX взаимно
'МЯЮП7
друга;
У С/ X Я0У7Я/0/ПСЯ
Рис. 5.6. Использование
лотерей <Л, С> и <Б, /)>
для интерпретации члена^
отражающего
взаимодействие факторов в
полилинейной функции полезности
предпочтительность исходов возрастает при увеличении значений
каждого из факторов У и Z. Бели в действительности это не так,
то посредством простых преобразований, указанных в гл. 4,
можно добиться выполнения этого требования. Используя для
«вычисления ожидаемых полезиостей полилинейную форму функции
полезности E.16), легко показать, что
, D>\
о.
В определенном смысле исходы Л и С сформированы так, чта
первая лотерея приводит либо к высоким, либо к низким
значениям обоих факторов У и Z. Напротив, в исходах В и D мы
получаем высокое (или низкое) значение для какого-то одного иа
факторов У и Z, но не для обоих сразу. Рассуждая таким
образом придем к следующему: если из этих двух лотерей
предпочтительнее <Л, С>, то это значит, что при переходе от исхода А к
исходу С увеличение фактора Z необходимо дополнить
увеличением фактора У. В противном случае достоинство увеличения
фактора Z не может быть 'полностью использовано. С другой
стороны, большая предпочтительность лотереи <В, D>
подразумевает, что важно улучшить значение хотя бы одного фактора, т. е.
230

при заданном (например, высоком) значении фактора У
увеличение предпочтительности исхода за счет увеличения значения
фактора Z не так велико. Таким образом, факторы У и Z могут
считаться взаимозаменяемыми.
Следующие два простых примера поясняют эту мысль для
обоих случаев. Рассмотрим первый из них. Предположим, что
президент корпорации руководит работой двух крупных
отделений фирмы, которые выходят на совершенно различные рынки
сбыта. Президент заинтересован в доходах как первого, так и
второго отделения, характеризуемых факторами У и Z
соответственно. Успехи этих отделений вероятнее всего для президента
взаимозаменяемы. Если отделение 1 преуспевает в финансовом
отношении, то президент, по-видимому, не будет беспокоиться об
отделении 2 в такой степени, как он делал бы это при малоуспешном
функционировании отделения 1. Если же деятельность обоих
отделений прибыльна, то процветает и корпорация в целом.
Для иллюстрации другого случая рассмотрим поведение
генерала, ведущего сражения на двух фронтах. Факторы У и Z
соответственно отражают результаты действий на каждом из фронтов.
При этом прорыв одного из фронтов приводит к столь же
неутешительным последствиям, как и прорыв обоих. В этом случае
исходы, приводящие к успеху или поражению «а обоих фронтах,
в сумме будут предпочтительнее исходов, приводящих к успеху
на одном из них и поражению на другом. Следовательно, эти
факторы взаимно дополняют друг друга. Дополнительность,
рассматриваемая в таком контексте, является лишь более строгим, хотя
и менее ярким, толкованием поговорки «цепь прочна ровно на
столько, на сколько прочно ее слабейшее звено». *
Смысл параметра k может быть раскрыт еще глубже при
помощи простого преобразования выражения E.16)
и(у, z)=u{y, zo)+u(yo, z)[l+ku(y,z0)]. iE.32)
Из полученного выражения E.32) становится понятно, что если
функция и(уо, z) является возрастающей по z, то
*!=1о^ы(у'г)
. , дг , ,-, ,. Для u(yt, zo)>u{ylt г„).
Таким образом, если параметр k отрицателен (положителен,
равен нулю) и функция и(у0) z) является возрастающей, то при
возрастании лишь одного фактора Z полезность увеличивается
меньше (больше, так же) для более предпочительных у. В этом
смысле параметр k может также интерпретироваться как
указатель характера воздействия, которое оказывает значение
одного фактора на значимость (величины другого. При
положительном k более предпочтительные значения фактора У дополняются
более предпочтительными значениями фактора Z. Обратное
утверждение верно при отрицательном значении k. В этом случае
более предпочтительные значения У и Z снова можно рассматри-
231

вать как взаимозаменяемые. И, наконец, в аддитивном случае,
когда ?=0, -не существует никакой взаимной зависимости в
предпочтениях между показателями У и Z.
5.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЭКВИВАЛЕНТОВ
Напомним, что если задана лотерея *> (у, z), то
детерминированным эквивалентом для у при фиксированном значении z
называется такое значение yZi при котором
u(yz,z)=E[u(y,z)]y E.33)
где yz в общем случае зависит от г. Ожидаемой полезности
Е[и(у, z)] лотереи в E.33) трудно дать содержательную
интерпретацию. Поэтому лицу, принимающему решение, для анализа
ситуации часто бывает удобнее использовать последствие (yz, z)>
содержащее детерминированный эквивалент. Это особенно
удобно в тех случаях, когда значение детерминированного
эквивалента для лотерей на У не зависит от значений Z. Тогда
детерминированный эквивалент можно обозначать просто символом Q без
индекса z. Нетрудно заметить, что, если У не зависит по
полезности от Z, тогда значение детерминированного эквивалента для у
при заданном значении z в лотерее (у, z) не зависит от самого
значения z. Обратное утверждение также справедливо при
условии, что значение детерминированного эквивалента не зависит от
значения z при всех распределениях вероятности, связанных с у.
Рассмотрим лотерею (у, г) при взаимонезависимых по
полезности факторах У и Z. При этом, однако, не предполагается
вероятностная независимость между случайными переменными у
и z. Поскольку ожидаемое значение суммы равно сумме
ожидаемых значений, ожидаемая полезность лотереи и(у> z) с учетом
выражения E.16) может быть определена следующим образом:
Е[и{у, z)]=E[u(y9 zo)]+E[u(yo, z)]+kE[u(yy zo)u(yQ, г)].
E.34)
В тех случаях, когда У и Z не зависят друг от друга еще и в
вероятностном смысле, выражение E.34) принимает вид
Е[и(у, z)]=E[u{y, zQ)]+E[u(y0, z)]+kE[u{y, zo)u(yo, z)].
•¦E.35)
откуда, используя E.33), получаем
E[u(g, z)]=u(g, zo)+u{yo, z)+'ku(y1 zo)u(yo, z). E.36)
Этот результат может быть сформулирован в виде следующей
теоремы.
*) Лотерею на YXZ, у которой исходы отличаются значениями
компоненты у и имеют одинаковое значение компоненты z (т. е. недетерминированное
значение у входит совместно с детерминированным г), будем обозначать^(у, г).
Предполагается, что вероятностная мера задана для случайных значений
(случайного переменного) у.
232

Теорема 5.5. Пусть дана лотерея (у, х). Детерминированные
эквиваленты Q и z для лотерей у и z соответственно могут быть
отдельно вычислены при помощи маргинальных распределений
вероятностей на у и z, а (у, z) является суммарным
детерминированным эквивалентом для лотереи (у, z), если выполняется
одно из следующих условий:
1. Факторы одновременно являются и взаимонезависимыми по
полезности и независимыми в вероятностном смысле.
2. Факторы являются аддитивно независимыми.
Достаточность первого условия следует из выражения E.36),
достаточность второго1 — из выражения E.34), где вследствие
аддитивной независимости факторов k = 0.
5.6. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ ОДНОГО НЕЗАВИСИМОГО
ПО ПОЛЕЗНОСТИ ФАКТОРА*)
В предыдущих параграфах исследовались возможные способы
представления и оценки функций полезности для двух факторов
при таких сильных допущениях, как взаимная независимость по
полезности. В этом параграфе рассматривается использование
более слабого допущения, при котором лишь один фактор не
зависит по полезности от другого. Будет показано, что функция
полезности для двух факторов может быть задана либо тремя
одномерными условными функциями полезности, Л'ибо двумя
условными функциями полезности и кривой равного предпочтения,
либо одной условной функцией и двумя различными кривыми
равного предпочтения. Кроме того, будут выделены особые случаи
этих результатов, в том числе для аддитивной и полилинейной
функций.
На протяжении всего этого параграфа показатели
обозначаются через У 'и Z и используется предположение о том, что Z не
зависит по полезности от У. Другими словами, при любом
произвольном значении у0 функция полезности и(у, z) может быть
представлена в виде
и(у, г)=с1(у)+а(у)и(у0, г), с2(у)>0 для всех у. E.37)
5.6.1. Построение функций полезности с помощью условных
функций полезности. Начнем с иллюстрации предлагаемого
подхода. Если Z не зависит по полезности от У, то функция
полезности может быть полностью определена двумя условными
функциями полезности для У и одной условной функцией полезности
для Z при условии, что все эти функции согласованно
шкалированы. Начнем со случая, когда У и Z представляют собой
скалярные величины (см. рис. 5.7). Если установленные значения
полезности последствий, расположенные вдоль жирных линий на
рисунке, согласованы между собой, то этой информации оказы-
*> Материал этого параграфа является адаптированным изложением
работы Кини A971).
233

Z
z
\
E
»
6
Y
С
вается достаточно для оценки полезности каждого последствия.
Рассмотрим, например, произвольную точку А с координатами
(у, z). Полезность последствия А может быть представлена в
виде линейной комбинации полезностей ив и We, в которой
соответствующие веса определяются
(поскольку Z не зависит по
полезности от У) значениями полезностей
«л, иЕ и Uf.
В качестве другой
иллюстрации того же доказательства
рассмотрим вертикальную линию,
проходящую через произвольную
точку у. Функция полезности
у у у и (у, • ) должна быть стратегиче-
у ски эквивалентна функции и{уОу
• ), которая уже задана. Полезно-
Рис. 5.7. Условие независимости по последствий В и С НУЖНЫ
полезности фактора Z от У позволяет ^ *тт,Гтттт»
полностью определить функцию по- Для нормализации функции
лезности и(у, г) на основе значений и (у, •).
полезности последствий, выделенных Сформулируем теперь более
жирными линиями строго рассматриваемое
утверждение.
Теорема 5.6. Если Z не зависит по полезности от У, тогда
ti(y, z)=u(y, zo)[l—u(yo, z)]+u(y, zx)u{tjb z), E.38)
где u(y, z) нормализованно равенствами u(yOi zo) = 0 и и(уо>
Доказательство. Значения Zq и Z\ можно выбрать так,
чтобы удовлетворяли неравенству и(у0, Z\)>u(yo1 го). Установим
начало отсчета и единицу измерения функции и (г/, z):
u(yOf zo) = O; E.39)
u(yo,zl) = l. E.40)
Поскольку Z не зависит по полезности от У, справедливо
выражение E.37). Вычисляя значение выражения E.37) при z=:Zq и
используя выражение E.39), находим
и(у, Zo)"=zC$y)-\'C2(y)u(yo, Zo) =с\(у). E.41)
Объединяя выражения E.41) и E.37) и вычисляя значение
функции и(у, z) в точке zu получаем
и(у, Zi)=u(y, Zo)+c2(y)u(yQy zi).
Отсюда с учетом выражения E.40) следует
С2(у) = и(у, Z$—и(у9 Zo). E.42)
Подстановка выражений E.41) и E.42) в E.37) приводит к
следующему:
и(У> *) = и(у, zo) + [u(y, zi)—u(y, zo)]u(yOy z) =
= u(y, zo)[l—0(yOy z)]+u(y, zx)u{yQy z)r
что и требовалось доказать.
234

Необходимо заметить, что функции полезности и(#о> •)>
и(», zq) и и{% Z\) являются условными. Равенства E.39) и E.40)
определяют начало отсчета и единицу измерения функции
и(уо, •), а также задают общую точку на кривых «(•, Zq) и
&(•, Zi). Для того чтобы единицы измерения этих функций
установить равными единице измерения функции и(уоУ •) и, таким
образом, обеспечить неизменность единицы измерения функции
полезности и(*, •), необходимо найти эмпирическим путем еще по
одному значению для каждой из условных функций полезности
и(*, Zq) и и(% z\). Это можно осуществить следующим образом.
Подберем такое последствие (уо, гг), которое равноценно
последствию (у2у z0). Следовательно, значение полезности и(уо, 2г)
равно значению полезности и(#2, 2о)> которое задает вторую точку
для и(*, Zo) и тем самым устанавливает ее единицу измерения.
Аналогично можно найти последствие (уо, ?з), равноценное
последствию (*/з> Z\) и установить соответствующую согласованную
единицу измерения функции и(% Z\).
Для того, чтобы сделать понятнее смысл выражения E.38),
рассмотрим графические иллюстрации для двух конкретных
случаев. В первом случае предположим, что Y является двумерным,
т. е. у=(хи х2), a Z — одномерным. Тогда теорема 5.6
утверждает, что если Z не зависит по полезности от У, то функция и(у, z)
может быть определена двумя условными функциями полезности
//(•,2о), u(-yZ\), .каждая из которых зависит от двух факторов, и
одной условной функцией полезности и(у0, •), зависящей от одного
фактора. Обратимся к «рис. 5.8,а: чтобы задать функцию и(-, •),
необходимо оценить лишь относительные значения полезности
(Выделенных последств'ий, расположенных на гранях z=z0, z=z{ и
прямой с у=уо.
Рис. 5.8.
Нахождение функций
полезности
последствий, выделенных
на этом рисунке,
В качестве второй иллюстрации рассмотрим случай, в котором
Y является одномерным, a Z=(xu #2)« Тогда из теоремы 5.6
следует, что если Z не зависит по полезности от У, то функция
"(•» •) определяется двумя условными функциями полезности
и(ту Zq) и u(», z\), каждая из которых зависит только от одного
235

фактора, и одной условной функцией полезности и(уо, •),
зависящей от двумерного аргумента. Таким образом, для задания в
этом случае функции и(», •) необходимо оценить относительные
значения полезности последствий, выделенные на р-ис 5.8,6.
5.6.2. Использование кривой равного предпочтения вместо
одной из условных функций полезности *>. В некоторых задачах
может оказаться удобнее воспользоваться кривой равного тред-
почтения, а не условной функции полезности. Докажем, что при
вычислении функции и(у, z) вместо условной функции
полезности от У или от Z может быть использована кривая равного
предпочтения, если она задана на той же самой области изменения
переменной.
Теорема 5.7. Если Z не зависит по полезности от У, то
и (</, z) - и (у, z0) + r*(y%2l)~"(f/*o)] и (у,, г), E.43)
L «toe. *n(y)) J
где
1. u(yOy 2o)=0.
2. zn(y) определена так, что (у, zn(y))~ (yOj z\) для
произвольно выбранного значения Z\.
[Предварительное замечание. Таким образом, чтобы можно
было воспользоваться результатами этой теоремы, необходимо
сначала убедиться, что Z не зависит по полезности от У,
построить функции и(*у z0) и и(уо, •), а также найти кривую равного
предпочтения на всем диапазоне изменения значений у.]
Доказательство. Зададим начало отсчета функции
и(у, г):
и(у0, zo)=O, E.44}
и определим функцию zn(y) так, чтобы множество пар*
{(у, zn(y)) для всех у} являлось кривой равного предпочтения,,
охватывающей все значения У. Поскольку кривая {{у, zn(y))
для всех у} должна пересекать линию {#о, z} для всех г), точку
их пересечения можно обозначить через (#о, z\) и установить
значение полезности для точек кривой равного предпочтения
равенством
и(у, zn(y))=u(y0, z\). E.45).
Вычисляя и(у, z) согласно выражению E.37) в точках z=Zq и
z=zn(y) соответственно, находим
а(у, Zo) = ci(y) + c2(y)u(yo, zo)=ci(y), E.46)
и(У> *п(у))=и(у0, zi) = cl(y)+c2(y)u(yOy zn(y)) =
= и(уу Zo)+c2(y)u(yOi zn(y))
или
слу)=и{Уо\г1)-и({!!:?о) • E-47>
и(у г(у))
:i{) Оставшаяся часть § 5.6 может быть три чтении опущена. Это не
нарушит целостность понимания остального материала.
236

Подставляя выражения E.46) и E.47) в выражение E.37), п'олу-
чаем выражение E.43).
В частном случае, если кривая равного предпочтения
проходит через точку (у0, z0), т- е- 2i=Zo, то и(у0, 2i)=0 и выражение
E.43) упрощается:
Ну, *> = „<», ,,)[l-_^_]. E.48>
Геометрическая интерпретация теоремы 5.7 для скалярных
факторов У и Z представлена на рис. 5.9. Для того чтобы
определить функцию ?/(•, •), необходимо найти согласованные
значения полезности последствий вдоль жирных линий на рис. 5.9.
Рис. 5.9. Условие
независимости по
полезности фактора Z от Y
позволяет полностью
определить функцию
полезности и(у, z) на
основе значений
полезности последствий,
выделенных жирными
линиями
Интересно также при построении функции и(% •) попытаться
использовать кривую равного предпочтения вместо условной
функции полезности для Z. Это удается сделать на основе
следующего утверждения.
Теорема 5.8. Если Z не зависит по полезности от Y, тогда
где
u(yn(z), г1) — и\
z0)
E.49)
(у)
2. Уп(-г) определена таким образом, что (yn(z), z)~(y0, z0).
[Предварительное замечание. Таким образом, для того чтобы
обеспечить возможность использования результатов этой
теоремы, необходимо убедиться в независимости по полезности Z от Yr
построить функции и(», 2о)у и(*у Z\) и одну кривую равного
предпочтения, охватывающую всю область изменения значений г.]
Доказательство. В качестве начала отсчета значений
функции и(у, г) примем точку пересечения кривой равного
предпочтения {(Уп(г), г) для всех z) и линии {(у, z0) для всех у}.
Пересечение этих линий должно происходить в некоторой точке yv
обозначаемой у0, поэтому
и(уп(г), z) = (f/0, Zo)=O.
Кроме того, единица измерения функции и(уу z) может быть
установлена равенством u{yQ\ 2i) = l. Таким образом, поскольку Z
не зависит по полезности от У, для .вычисления u(yn(z)> z) может
быть использовано выражение E.38). Действительно,
*), z)=<0=u(yn(z), го)[1—и(у0, z)]+u(yn(z), zo)u(yo, z),
237

Полученное выражение можно переписать в следующем виде:
Подставляя выражение E.50) в E.42), получаем искомый
результат — выражение E.49).
Для случая, когда У и Z являются скалярными величинами,
на рис. 5.10 представлена геометрическая иллюстрация к теореме
5.8. Представление функции полезности в виде E.49) позволяет
предложить метод построения самой функции и(% •) на основе
относительных значений полезно-
сти последствий, расположенных
вдоль жирных линий на рисунке.
По расположению кривой
равного предпочтения на рис. 5.10
нетрудно понять, что
предпочтительность последствий должна
возрастать с увеличением
значений одного фактора и
уменьшением другого.
5.6.3. Использование двух
кривых равного предпочтения. В вы-
Рис. 5.10. Условие независимости по ражении E.38) кривыми равного
IZ^J^ZleL™ фунХ предпочтения могут быть замене-
полезиости и(у, г) на основе значе- H** обе условные функции полез-
аий полезности последствий, выде- ности от У. Для того чтобы
покаленных жирными линиями зать это, докажем следующую
теорему.
Теорема 5.9. Если Z не зависит по полезности от У, то
и(у, г)=
и(уо> гп(у))-и(у0, zm(y))
где
1. и(у, z) нормализована равенствами и(у0, Zq)=0 и и(уо,
1
2. Функция zm(y) определена таким образом, что (у> zm(y))~
~(Уо, *о).
3. Функция zn(y) определена таким образом, что (у, zn(y))~
-~'(Уо, гг).
[Предварительное замечание. Для того чтобы обеспечить
возможность использования этой теоремы, необходимо
удостовериться в независимости по полезности Z от У, построить функцию
и(уо, •) и задать две кривые равного предпочтения,
охватывающие всю область изменения значений //.]
Доказательство. Определим функции zm(y) и zn(у)
таким об1разом, чтобы множества ла<р {{у, zm(y)) для всех у} и
{{Уу Zn(y)) для всех у} соответствовали двум кривым равного
предпочтения, охватывающим всю область изменения У. Обе
кривые равного предпочтения должны пересекаться с линией {(у0) z)
238

для всех z}9 поэтому начало отсчета и единица измерения
функции и(», •), а также сами значения г0 и z\ могут быть
установлены следующими равенствами:
и(у> zm(y)) = u(yQ, zo)=O, E.52)
и(у, zn(y))=*u(y0, z\) = l. E.53)
Вычисляя и(у, гш(у)) и и(у, гп(у)) при помощи выражения
E. 38), находим соответственно
0=и(у, Zo)[l—u(yo, гт(у))] +
+ и(у, z\) и (у0, гш(у))\ E.54)
)')=sl = u(y, z0) [1—и(у0, гп(у))] +
+ и(у, Zi)u(y0, zn(y)). E.55)
Уравнения E.54) и E.55) образуют систему двух уравнений с
двумя неизвестными, решая -которую получаем
и (у, zo) = -
гт(у))
zm(y))
гт(у))
E.56)
E.57)
Подстановка выражений E.56) и E.57) в выражение E.38)
приводит к
^ ^ — " (Уо. гт (У)) [1-й (у0% г)] + [1 — и (yOi zm (у))) и (уо,г)
и(Ув» гп(у)) — и(у0, гте(у))
E.58)
откуда в результате приведения подобных членов приходим к
выражению E.51).
Когда У и Z представляют собой скалярные величины, теореме
5.9 может быть дана простая геометрическая интерпретация (см.
рис. 5.11). Выше было доказано, что независимость по полезности
Z от У, обеспечивает возможность полного определения функции
м(«, •) с помощью относительных значений полезности лишь тех
последствий, которые расположены вдоль жирных линий.
Функция полезности позволяет охарактеризовать отношение
лзд-ца, принимающего -решение, к ситуациям, связанным с риском к
Рис. 5.11. Условие
независимости по полезности
фактора Z от У
позволяет полностью
определить функцию полезно-
сти u(yf z) на основе
значений полезности
последствий, выделенных
жирными линиями
&o у
239

неопределенностью. Для построения искомой функции полезности,
лицу, 'принимающему решение, приходится указать свои
предпочтения относительно лотерей. С другой стороны, кривая
равного предпочтения не содержит никакой информации относительно
склонности к риску лица, принимающего решение и может быть
найдена путем сравнения одних только детерминированных
исходов. Таким образом, для того чтобы выражение E.58) было
справедливым, необходима только одна условная функция полезности.
Поэтому отношение лица, принимающего решение, к риску,
связанному с неопределенностью как по Y, так и по Z, может быть
установлено с помощью рассмотрения ситуаций, связанных с
риском и включающих неопределенность только относительно
фактор a.Z.
5.6.4. Частные случаи: аддитивная и полилинейная формы.
В § 5.4. было доказано, что если факторы У и Z взаимонезависи-
по полезности, тогда
и(у, г)=и(у, zo) + u(y0, z)+ku(yt zo)u(yOy z), E.59)
где k — рассчитанная на основе эмпирических данных константа.
Интересно было бы выяснить, какие дополнительные условия
необходимы, чтобы результаты этого параграфа можно было свести
ж виду E.59) или к аддитивной функции полезности. С этой
целью докажем два результата, которые могут рассматриваться как
«следствия теоремы 5.6.
Следствие 1. Пусть фактор Z не зависит по полезности от У.
Тогда необходимым и достаточным условием представления
функции полезности и(у, z) в виде E.59) является справедливость
выражения
и(у, zl)=a+bu(y> z0) E.60)
для любого произвольного значения z^Zo, где а>0 и й>0 —
константы.
[Предварительное замечание. Другими словами, это следствие
утверждает, что если фактор Z не зависит по полезности от У, то
.для представления функции полезности в полилинейном виде
E.59) не обязательно проверять, являются ли все условные
функции полезности и(», z) стратегически эквивалентными.
Достаточно убедиться, что существует хотя бы одна пара функций,
например и(% z0) и (и*, z\)y которые стратегически эквивалентны.]
Доказательство. Для доказательства достаточности
указанного условия подставим выражение E.60) в E.38). При этом
получим
и(у, z) = u(y, zo)il—u(yo, z)] + [a + bu(y, zQ)]u(y0, z) =
= u(y> zo)+au(yOt z) + (b—\)u(y, zo)u(yo, z). E.61)
Поскольку u{y0, zq) =0, то выражение E.61) при у=уо дает
и(у0, z)=0+au(yOi z)+0.
240

Отсюда
0=1. E.62)
Подставляя этот результат в выражение E.61) и полагая
k = b—1, получаем выражение E.59).
Для доказательства необходимости условия E.60) при
представлении функции полезности в виде E.59), нужно лишь
обратить внимание на то, что из выражения E.59) следует
«(#. zi) = u(yo, zi) + [l+ku(yo, zi)]u(y, z0),
и что и(у0, z\) и [l+ku(yOi z\)] являются константами.
Следствие 2. Пусть фактор Z не зависит по полезности от Y.
Функция полезности и(у, z) является аддитивной тогда и только
тогда, когда лотерея <(уо, Zo), (у, Z\)> равноценна лотерее
<(Уо, z\)> (У, го)> при всех у.
Доказательство. Приравнивая ожидаемые полезности
двух лотерей, получаем
\/2и(у0, zo) + l/2u(y, Zi) = l/2u(y0f zi) + l/2u(y, z0) при всех у.
E.63)
Напомним, что начало отсчета и единица измерения функции
и(у, г) в выражении E.38) заданы равенствами и(уо, zo)=O и
и и(уо, Z\) = l. Поэтому, подставляя их в выражение E.63),
получаем
"О, zx)=*l + u(y, z0). E.64)
Выражение E.64) представляет собой необходимое и достаточное
условие представления функции полезности в полилинейном виде,
сформулированное в следствии 1. Заметим, что для а—1 и &=1,
аддитивность функции полезности следует непосредственно из
выражения E.61).
В § 5.3 было установлено, что в общем случае аддитивность
функции полезности следует из допущения
<(Уо, z0), (у, z)> ~<(у0, z), (у, zQ)> E.65)
для всех у и z при фиксированных, произвольно выбранных
значениях уо и zq. В следствии 2 утверждается, что при
независимости по полезности Z от У аддитивность функции полезности
может быть устаноъл-ена, если .в качестве значения z .выбрано
значение Z\ и' сделанное выше допущение справедливо для всех у
при фиксированных, произвольно выбранных значениях z/о, 2о и Z\.
Ранее в теореме 5.4 было доказано, что при справедливости
допущения о взаимной независимости по полезности аддитивность
функции полезности может быть установлена, если в качестве
значений у и z соответственно выбраны у\ и z\ и допущение E.65)
справедливо для одной из четверок значений yQ, zOi у\ и z\.
5.6.5. Использование детерминированных эквивалентов.
Детерминированный эквивалент у для у в лотерее (у, г)у как и
прежде, определим следующим образом: и($, z)=E[u(y, г)]. Если
241

фактор Z не зависит по полезности от У, а у и z независимы в
вероятностном смысле, тогда, используя выражение E.38), имеем
Е[и(у9 г)]=Е[и(у, Zo)]{l-E[u(yo, S)]} +
+ Е[и(у, Zi)]E[u(y0, z)]=u($o, z0) [l—u(yo>?)] +
u zi)u(yo,?)9
где y0 и у\ являются детерминированными эквивалентами у,
когда z = z0 и z=z\ соответственно, a z— детерминированный
эквивалент для г.
Более детально использование детерминированных
эквивалентов для оценки лотерей обсуждалось в § 5.5. Основная причина
удобства их применения следующая. Независимость по
полезности позволяет выразить ожидаемую полезность лотереи,
содержащей неопределенность в отношении более чем одного фактора,
через ожидаемые полезности, лотерей, содержащих
неопределенность в отношении лишь одного фактора. Независимость в Ееро-
ятностном отношении позволяет рассчитать ожидаемые полезности
этих лотерей, вычислив ожидаемую полезность по каждой
компоненте отдельно. Таким образом, может быть получено
выражение для ожидаемой полезности «сложной» лотереи с
многомерными (многофакторными) исходами через ожидаемые полезности
более «простых» лотерей с одномерными (однофакторными)
исходами. Тогда в этих более простых лотереях вместо
неопределенных значений фактора может использоваться
детерминированный эквивалент, который позволяет значительно упростить
интерпретацию используемых лотерей.
5.6.6. Независимость по полезности как способ
аппроксимации. Даже в том случае, когда ни один из факторов не является
независимым по полезности от другого, представление функции
полезности в виде выражения E.38), которое было получено при
допущении о независимости по полезности одного фактора от
другого, может оказаться хорошей аппроксимацией для реальной
функции полезности.
Основной аргумент в пользу выбора такой аппроксимации
состоит в том, что использование выражения E.38) дает пять
степеней свободы при построении функции полезности и(у, z), в
то время как использование полилинейного представления вида
E.16) дает четыре степени свободы, а применение аддитивного
представления вида E.10)—лишь три степени свободы.
Рассмотрим иллюстрацию для двухмерного случая, представленную
на рис. 5.12.
Последствия, оцениваемые непосредственно и
характеризующие степени свободы, выделены на рисунке жирными линиями
или точками. Точки, обведенные на рисунке кружками,
представляют собой последствия, используемые для определения начала
отсчета и единицы измерения функции и(у, z).
Аппроксимируя функцию .полезности аддитивной формой, мы
можем варьировать
242

(a) профиль функции и(*, zo)—условной функции полезности
от фактора У,
(b) профиль функции и(уо, •)—условной функции полезности
от фактора Z,
1 z,
I
1 Z
функция EJ0)
о
ifo
у
Sf,
функция EJ&)
Рис. 5.12. Построение функций полезности последствий, выделенных на рисунке,
полностью определяет функцию полезности для указанных случаев
(c) единицу измерения функции и(уо, •) относительно единицы
измерения функции и(*9 z0), это достигается установлением
значения и(у0, гх).
Эти три характеристики, определяемые с помощью
непосредственной (прямой) оценки, как раз и представляют собой те три
степени свободы, которые обусловливаются аддитивным
представлением функции полезности.
При аппроксимации функции полезности полилинейной
формой дополнительно к (а), (Ь), (с) необходимо выбрать
(d) единицу измерения условной функции полезности и(-, z{)9
зависящей от фактора У; это достигается установлением
значения и(уи г\).
И, наконец, при аппроксимации функции полезности формой,
задаваемой выражением E.38), к этому перечню степеней
свободы надо добавить
(e) профиль функции и(-> Z\).
Рис. 5.13 «иллюстрирует некоторые общего характера профили
функций полезности и(у, г), типичные при использовании
выражения E.38). Общее ограничение для этих функций полезности
состоит в том, что все условные функции полезности для фактора
Z должны быть стратегически эквивалентны. На каждом из 15
рисунков пары таких эквивалентных функций выделены жирными
линиями. Заметим, однако, что при этом функции и(», z) могут
иметь различные профили. Ряды а и & на рис. 5.13 иллюстрируют
различные изменения профилей функций и(*> z0), u(*, г\) и
и(Уо> •)• На представленных рисунках показаны различные
комбинации выпуклых и вогнутых условных функций полезности.
Ряд с иллюстрирует свободу, создаваемую выбором единицы
измерения функций и(% z0) и и(% Z\). И, наконец, ряды due
показывают, что на условные функции полезности не накладыва-
243

ются такие ограничения, как монотонность функции или
характеристика определенного отношения к риску. Повторим, что
единственным ограничением, накладываемым на виды функции
о)
Ф
Рис. 5.13. Различные профили функций полезности и (у, г), при которых
фактор Z не зависит по полезности от У
гф, •) рис. 5.13, является следующее: функции и(у, •) и u(yOi •)
должны иметь один и тот же общий профиль (т. е. быть
стратегически эквивалентными) при всех значениях у.
244

5.7. ЧТО ДЕЛАТЬ В СЛУЧАЯХ, КОГДА НИ ОДНО ИЗ СВОЙСТВ
НЕЗАВИСИМОСТИ НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ? *>
Предположим, однако, что нами было установлено, что нш
один из факторов У и Z не является независимым по полезности
от другого. Свойство взаимной независимости по полезности
является необходимым условием аддитивности функции полезности^
Поэтому, очевидно, ни одна из обсуждавшихся выше форм
функции полезности не может быть признана для этого случая в
строгом смысле подходящей. Более того, предположим, что была
предпринята попытка снизить размерность факторов в задаче при
помощи способа, обсуждавшегося в гл. 3. И это также не
удалось. Однако мы все еще хотим количественно описать
предпочтения лица, принимающего решение. Вопрос состоит в том, как
можно получить функцию «полезности и н«а YxZ, приемлемую для*
принятия решений? Существует несколько возможностей решения,
этого вопроса:
1. Корректировка факторов У и Z или преобразование их в
новые, которые могут допустить использование независимости по-
полезности.
2. Непосредственное нахождение функции и(у, г) путем
установления значений полезности нескольких последствий из Yx?
и последующего использования интерполяции, экстрополяции и
кривых соответствия.
3. Использование различных результатов предыдущих глав^
для тех или иных подпространств пространства YXZ и
проведение далее согласованного шкалирования.
4. Разработка новых или использование существующих, на
уже более сложных допущений о структуре предпочтений лица,,
принимающего решение. Такие допущения приводят к функциям
полезности более общего вида.
Рассмотрим эти подходы более подробно. Отметим, что выбор*
того или иного подхода к решению задачи в значительной
степени зависит от конкретных особенностей самой задачи.
5.7.1. Преобразование факторов. Иногда оказывается
возможным сформировать новый набор факторов, отличный от принят
того ранее, и, используя его, продолжить анализ задачи. К
сожалению, в этом случае приходится вновь возвращаться к
обсуждавшимся в гл. 2 вопросам о пригодности этого набора факто*
ров, таким как, полнота и измеримость выбранных факторов.
Более того, может оказаться, что необходимо повторить
значительную часть анализа, в том числе, возможно, и процедуры
вероятностной оценки. Во избежание этого следует попытаться выбрать,
новые факторы таким образом, чтобы они находились в простой?
функциональной связи с исходными. Тогда практически все
результаты уже проведенного анализа окажутся пригодными для:^
применения и в новых условиях.
*) Этот параграф может быть при чтении опущен, но авторы рекомендуют^
прежде чем перейти к § 5.8, хотя бы бегло просмотреть введение к нему.
245

Рассмотрим простой пример. Пусть факторы У и Z отражают
уровень преступности в двух районах города соответственно.
Структура предпочтений для пар (уу г) может оказаться весьма
сложной. Относительный порядок предпочтительности для
лотерей с исходами, отражающими активность преступной
деятельности в одном из районов города, по тем или иным причинам
может оказаться в значительной зависимости от уровня
преступности в другом районе. Теперь определим два новых фактора
5=(У+2)/2 и Г=|У—Z|. Фактор S можно интерпретировать
как некоторый показатель усредненной преступности в городе, а
•фактор Т — как 'индикатор «('перемещения» преступной деятельности
из одного района в другой. Фактор S и Г функционально связаны
с факторами У и Z. Если заданы распределения вероятностей на
У и Z, то можно получить и распределения вероятностей на 5 и Г.
К тому же, хотя на пространстве YxZ могут не выполняться
никакие упрощающие допущения о предпочтениях, такие допущения
могут оказаться справедливыми на пространстве SXT.
Пример 5.2. Пусть исходные факторы У и Z не обладают
никакими свойствами независимости по полезности. Тогда, все же
может оказаться возможным ввести новые факторы S=Y+Z и
Ts=y—Z, которые обладают свойствами независимости.
Например, факторы S я Т могут быть аддитивно независимыми и до-
спускать существование функции полезности следующего вида:
u(s, t)=s2 + t E.66)
В этом случае оценка функции полезности E.66) оказывается не
-очень трудной.
Заметим, что
и* (у, *) = u[s(y9 г)9 t(y9 z)] =
Это выражение показывает, что факторы У и Z действительно не
обладали никакими свойствами независимости по полезности.
5.7.2. Непосредственное нахождение значений функции
полезности. Процедура непосредственного нахождения (прямой
оценки) функции полезности, в сущности, аналогична 'процедуре,
обсуждавшейся в п. 5.1.2. Выберем в качестве эталонных два
последствия и зададим для них значения функции полезности.
Затем, используя эталонные лотереи и эмпирические оценки,
полученные от лица, принимающего решение, последовательно
определим полезности ряда последствий, принадлежащих пространству
YxZ. Далее с помощью тех или иных методов можно установить
значения полезности для всех возможных последствий.
5.7.3. Использование свойств независимости по полезности
для подпространств пространства YxZ. Идея проста:
пространство последствий следует лишь разделить на такие части, для
которых пригодны различные формы функции полезности, обсуж-
.давшиеся в предыдущих параграфах. При этом нужно постоянно
246

помнить о том, что необходимо обеспечить согласованное
шкалирование функции и(у, z).
Пример 5.3. Предположим, что нужно найти функцию и(у> z)
на области, ограниченной условиями u'^y^iy" и г'^г^г"; п;ри
этом предпочтительность последствий увеличивается с
увеличением значений каждого из факторов. Пусть фактор Z не зависит по
полезности от Y при у^уо. Тоща, если положить и\(уо, г/)=0 и
^i(#o, z")=\, то из выражения E.42) следует, что
, г')[1—щ(уо, z)\+U\(y,z")ux{yQ, z)y
Предположим также, что на оставшейся части исходной области/
фактор Y не зависит по полезности от Z. Если задать W2(*/o> z') = Ф
и и2(у'\ г') = 1, тоща
z) = u2(y0, z) [l—U2(y, г')]+и(у"9 г)и(у, tf),
Поскольку обе функции щ и и2 обладают одним и тем же
началом отсчета, для их согласованного шкалирования необходимо
найти лишь шкалирующую константу Я:
Я=и2(Уо, г")/их(у09 z").
В этом случае согласованная функция полезности для всего
пространства YXZ имеет следующий вид:
U%(y* г), У>у0, z' <z<z\
5.7.4. Более слабые допущения относительно структуры
предпочтений *>. В этом пункте представлено несколько моделей,
более общих, чем рассмотренные в предыдущих параграфах.
Допущения, необходимые для существования этих более общих
функций полезности, как и следовало ожидать, более сложные, чем
использованные ранее. Преимущество таких моделей очевидно. В
целом они оказываются более пригодными для описания
определенной структуры, предпочтений лица, принимающего решение, и,
следовательно, дают больше оснований надеяться, что
представление не будет искаженным. Основной недостаток этих моделей—
трудность их использования. Для более общих моделей
значительно сложнее проверить справедливость необходимых
допущений, а также произвести построение функции полезности и(у, z)9
когда такая проверка завершена. При выборе модели для
описания чьей-либо функции полезности необходимо учитывать это
сочетание преимуществ и недостатков.
*) В данном пункте изложение будет неформальным. Это позволит, во-
первых, передать особенности некоторых разработанных обобщений
изложенных выше методов <и, во-вторых, указать источники, легшие в их основу.
247

«Обращение» предпочтений. Если фактор Z не зависит по
полезности от У, то
«О> z) = cl(y)+c2(y)u(y0y г), E.67)
;где функция с2(у) должна быть больше нуля. Отсюда следует,
что порядок предпочтения лотерей с (исходами из Z будет всегда
одним и тем же, независимо от значения у. Предположим, что
с2(у) может принимать и отрицательные, и нулевые значения.
Тогда, если с2(у')<0у то порядок предпочтений на лотереях с
исходами из Z при заданном значении у/ будет прямо
противоположен порядку при заданном значении у0. Если с2(у') =0, то все
лотереи с исходами из Z при заданном у' будут равноценны.
Фишберн A974) рассмотрел такие «обращения» предпочтений, а
также случай равноценности и получил результаты, аналогичные
результатам § 5.4
Обобщение свойства независимости по полезности. Наиболее
-общим из обсуждавшихся до сих пор результатов было
представление функции полезности в виде выражения E.38), которое
требует построения двух функций полезности для У и одной функции
полезности для Z. Были определены необходимые и достаточные
условия для того, чтобы можно было ограничиться построением
^функций полезности по каждому фактору У и Z отдельно. При
выполнении этих условий функция и(уу Z) может быть
определена в результате построения согласованно шкалированных
функций полезности лля последствий, выделенных жирными линиями
на рис. 5.12,г. Получаемая в результате функция полезности имеет
следующий вид:
"(У, z)=uY(y)+uz(z) +fr(y)fz(z). E,68)
Необходимые допущения, доказательство самого -результата E.68)
т обсуждение ряда вопросов шкалирования функций uy, uZt
Jy и fz можно найти в работе Фишберна A974).
Параметрическая зависимость. Как отмечалось в § 5.2, если
фактор Z не зависит по полезности от У, то отношение к риску,
характеризуемое предпочтениями относительно лотерей с
исходами из Z, не зависит от фактора У. Керквуд A976) нашел такое
.-свойство параметрической зависимости, которое снимает
указанное ограничение, но требует, чтобы предпочтения относительно
«•сходов 1из Z при различных значениях фактора У могли быть
представлены функциями полезности из одного и того же
параметрического семейства. Например, если предпочтительность исходов
увеличивается при увеличении фактора У и имеет место
несклонность к риску при всех значениях Z, но степень этой несклонности
различна, получаем
«(</, г) е-*Ч Q(z)>0. E.69)
Выражение E.69) показывает, что все условные функции
полезности от У зависят и от Z, и эта зависимость характеризуется
параметром 9(г). В этом случае фактор У параметрически зависим
248

от Z. Более формально, можно сказать, что фактор У
параметрически зависим от Z, если условные функции полезности от У приг
различных заданных значениях z зависят от z, и эта зависимость-
выражается только через параметр 0. Это означает, что
и(у, z)=di(z)+d2(z)uY\z\y\ti(z)l E.70}
где б?2<(г)>0, a uY\z является условной функцией полезности У при?
заданном г.
Следующая теорема раскрывает возможность использования-
параметрической зависимости.
Теорема 5.10. Пусть фактор У параметрически зависим от Zy.
тогда функция и(*, •) полностью определяется тремя
согласованно шкалированными функциями полезности от Z при
заданных значениях у и одной функцией полезности от У при заданном-
значении г.
Ограничимся неформальным доказательством. Рассмотрим^
рис. 5.14. В теореме 5.10 утверждается, что при выполнении сфор-
Рис. 5.14. Если фактор У
параметрически зависит от Z, функция
полезности и( у, г) полностью
определяется значениями полезности ^ -
последствий, выделенных жирны- п
ми линиями
мулированных условий полезность любой точки может быть
установлена на основе уже известных согласованно шкалированных,
значений полезности последствий, выделенных жирными
линиями. Построив и(% 2о), мы тем самым установили и
функциональный вид функции полезности и(*, г) при всех значениях г. Для
того чтобы определить значение параметра для любого
конкретного значения г, нужно использовать лишь значения полезностей
последствий (уОу г), (у\ г) и (уи z). Затем функция м(-, z)
шкалируется с помощью значений u(yOt z) и и(уи г), что позволяет
определить полезность любого последствия (у, z).
Очевидно, что понятие параметрической зависимости можно-
распространить и на семейства функций полезности,
характеризуемых двумя параметрами. Тогда несложно получить
результаты, аналогичные теореме 5.10. Например, единственным
изменением формулировки теоремы 5.10 будет то, что потребуется
оценить четыре условные функции полезности от Z — на одну
больше, чем раньше. Аналогично можно вывести результаты
использующие как параметрическую зависимость, так и независимость,
по полезности. Некоторые из них можно найти в работе Керквуда*
A972). Р У *
249

Показатели суммарного состояния. Закончим этот параграф
дальнейшим обобщением, которое будет развито в гл. 9.
Рассмотрим два фактора У и Z, но предположим теперь, что фактор
Z является многомерным. В некоторых случаях условная
функция полезности и(», z) от Y может зависеть от (многомерного)
~z и эта зависимость полностью характеризуется посредством
некоторого описания (дескриптора) суммарного состояния,
например 0(г). В некоторых случаях область значений 8 может быть
одномерной. Например, предположим, нас интересуют
динамические потоки потребления. Полезность будущего потребления
начиная с некоторого момента времени t0, может зависеть от
потребления в предыдущем и настоящем. Однако в качестве
аппроксимации можно предположить, что полезность будущего
потребления зависит от предыдущего только непосредственно через
настоящее, в момент времени /0- Следовательно, поток потребления
до момента времени to включительно может быть полностью
охарактеризован описанием состояния — потреблением в момент
времени t0. Этот пример является естественной аналогией понятия
марковской зависимости в традиционной теории .вероятностей.
Другие слабые виды вероятностной зависимости также имеют
свои аналоги в области теории полезности. Другими словами,
если различные допущения о независимости по полезности
оказываются неприемлемыми, в анализ могут вводиться различные
слабые виды зависимости по полезности. Насколько нам известно,
это направление исследований только зарождается (см. § 6.10,
Белл A975а) и Мейер A975)).
Как отмечалось в начале этого пункта, большая общность
функций полезности порождает большую трудность в их
использовании. Во многих задачах более простые модели часто
оказываются «достаточно хорошими» аппроксимациями даже в тех
случаях, когда они не очень точны. Однако в остальных случаях
важно понимать, каким образом может быть достигнуто такое
увеличение общности модели, при котором трудность проведения
необходимых оценок все-таки остается в разумных границах.
5.8. ПРОЦЕДУРА, ПОСТРОЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ
ПОЛЕЗНОСТИ
После ознакомления с методами построения функций
полезности, зависящих только от одного фактора (см. гл. 4),
невозможность установления четкой последовательности действий,
обеспечивающих построение удовлетворяющих нас функций
полезности в случае большого числа факторов, не должна вызывать
удивления. Процесс построения таких функций полезности, так
же как и одномерных функций, требует интуиции и творческого
подхода. Напомним, что прежде чем переходить к формализации
каких-либо предпочтений или установлению полезностей,
необходимо, чтобы аналитик (специалист по теории принятия решений),
проводящий опрос, уже должным образом подготовил к работе
250

лицо, принимающее решение, или уполномоченного им эксперта..
Поэтому мы будем предполагать, что те лица, которые
предоставляют информацию в процессе решения рассматриваемой задачи,
четко понимают цель исследования и готовы к тщательному
анализу своего отношения к различным последствиям.
С этого момента начинается процесс построения функции
полезности лица, принимающего решение. Как и в случае одного
фактора, процедура построения может быть разбита на
отдельные части. Это позволит в процессе обсуждения подробно
остановиться на всех основных аспектах процедуры.
Хотя в нашем рассмотрении основное внимание будет
сконцентрировано на построении двумерных функций полезности,,
большинство рассматриваемых положений являются
справедливыми и для многомерных функций полезности. При построений
функции полезности можно придерживаться предлагаемой
нами последовательности из следующих пяти стадий:
1. Введение терминологии и основных положений.
2. Проверка необходимых допущении о независимости.
3. Построение условных функций полезности или кривых
равного предпочтения.
4. Нахождение значений шкалирующих констант.
5. Проверка согласованности и проведение итерации.
5.8.1. Используемая терминология и основные положения *>.
Предположим, что проблема принятия решения уже структуризо-
вана и выделены два фактора У и Z, адекватно
характеризующие последствия. Нам необходимо построить функцию
полезности для всех возможных последствий (у, z). В качестве наглядной
иллюстрации для лица, принимающего решение, пространства*
последствий может быть, например, представлено так, как это
изображено**) на рис. 5.15.
Прежде чем перейти к определению функции полезности, лицу,,
принимающему решение, необходимо объяснить, что нас
интересуют не чьи-либо вообще, а именно его предпочтения. Ведь
объективных предпочтений не существует в принципе, и все
предпочтения характеризуют лишь субъективные представления лица,,
принимающего решение. Если в какой-либо момент у лица,
принимающего решение, возникают сомнения по поводу данной им
информации о своих субъективных представлениях, необходимо
дать ему понять, что это не страшно. Возможность изменять свое
мнение является условием корректности анализа, а также одно-
*) В § 4.9 уже обсуждалась процедура построения функций полезности
для одного фактора. Здесь мы останавливаемся по существу на тех же
предварительных замечаниях перед построением функций, поскольку .и в том, и в
Другом случае необходимо, чтобы лицо, принимающее решение, имело четкое
представление о самом процессе построения функций полезности и его целях.
Для целостности изложения в этот параграф снова включены основные
понятия.
**> Для упрощения изложения рисунки и «примеры этого параграфа
приведены для скалярных факторов. Все сказанное распространяется и на случай
векторных факторов, хотя при этом рисунки значительно усложняются.
251

временно отвечает одной из его целей — помочь лицу,
принимающему решение, тщательно проанализировать свои предпочтения и
-согласовать их со своими представлениями.
Теперь аналитик (возьмем эту роль на себя) должен
убедиться, что представление пространства последствий, изображенное
аа рис. 5.15, является понятным для лица, принимающего
решение. Под последствием Q будем
понимать то последствие, для
которого на рисунке у = у\ и z = г\.'
Объяснив это, можно спросить у
лица, принимающего решение, что
подразумевается под последствием
R. Правильным ответом является,
конечно же, последствие с у =
= у2 и z = г2. Лицо,
принимающее решение, должно уяснить, по
Рис. 5.15. Пространство доследст- каким направлениям происходит
вий в случае двух факторов увеличение значений факторов у и
г на рис. 5.15.
Далее полезно область, на которой нам предстоит дать
количественное описание предпочтения, ограничить до минимальных
размеров. Из проведенной ранее структуризации проблемы, в
процессе которой участвовало лицо, принимающее решение, должны
быть уже известны используемые максимальные и минимальные
значения факторов Y и Z. Теперь выберем у°, у*у z° и z* такие,
чтобы для всех возможных значений (у, z) выполнялись
неравенства у z^y^y* и z°2s?z<z*. Значения ограничений должны быть
выбраны так, чтобы они были удобны и содержательны для лица,
принимающего решение. Если, например, у, измеренный в
определенных единицах, изменяется от 0 до 8,75, можно установить
следующие ограничения: */°=0 и г/*=10. Значение ограничения,
например у* = Ю000, скорее всего, будет бессодержательно для
лица принимающего решение. На самом деле предпочтения
должны оцениваться лишь для тех последствий (у, z), для которых
выполняются условия у°*^у^у* и 2°<zs^z*. Эта область
допустимых последствий показана на рис. 5.15.
Для того чтобы окончательно проверить, насколько хорошо
лицо, принимающее решение, представляет себе пространство
последствий, следует задать ему вопрос: предпочтет ли оно
последствие Т последствию S, которые изображены на рис. 5.15? В
качестве точек S и Т следует выбрать такие последствия, что, по
мнению аналитика, лицо, принимающее решение, наверняка в
состоянии предпочесть одно из них. Если предпочтение лица,
принимающего решение, в этом случае совпадает с ожидаемым
результатом, то можно переходить к более сложным вопросам. Если нет,
то следует продолжить разъяснение и, возможно, повторить
частично или даже полностью процесс обучения.
На этом мы закончим обсуждение рассматриваемой стадии.
Главная мысль состоит в том, что лицо, принимающее решение,
252

необходимо ознакомить с основными принципами, используемыми
нри. построении его функции полезности.
5.8.2. Проверка справедливости необходимых допущений о
независимости. В этом пункте рассматриваются процедуры
проверки справедливости допущений о наличии аддитивной
независимости и независимости по полезности между факторами У и Z.
Аддитивная независимость. Предположим, что нам нужно
оценить предпочтения на пространстве последствий, заданном
ограничениями у°^у^у* и z°t^z^z* (рис. 5.16) По определению,
данному в § 5.3, факторы У и Z являются аддитивно
независимыми тогда и только тогда, когда лотереи
0,5
(У, Z)
0,5
/', z)
i.lN»1,*') О.б\у, 2')
равноценны при всех значениях у, z и фиксированных
определенных значениях у', z'. Таким образом, самый простой способ
проверки справедливости допущения об аддитивной независимости
состоит в следующем. Выбрав определенные значения у' и z',
проверим, действительно ли равноценны лотереи Lx и L2 для
некоторых пар (у, г).
Рассмотрим практическую реализацию такой процедуры
проверки. Пусть значения факторов У и Z разбиты на четыре равных
отрезка точками {y°t r/°>25, *Л5, ifV*9 у*} и {z°, z0»25, z°>5, z0'75, z*}
соответственно (см. рис. 5.16) и пусть лотерея L\ равноценна лотерее
L2 для любой пары (уу z), где у и z принимают выделенные выше
дискретные значения. Тогда естественно считать, что факторы У и
Z аддитивно независимы.
^15 yOt5 yOJS у*
Рис. '5.16. Графическая иллюстрация
проверки условий аддитивной
независимости
Р' S'N' R' W T' Q'
Рис. 5.17. Графическая иллюстрация
проверки условия независимости по
полезности фактора У от Z
Другая процедура проверки справедливости допущения об
аддитивной независимости основана прежде ©сего на проверке
взаимной независимости факторов У и Z.
253

Вспомним, что взаимная независимость по полезности является
необходимым, но не достаточным условием аддитивной
независимости. Если факторы У и Z взаимонезависимы по полезности, та
они являются аддитивно независимыми лишь в том случае, когда
существуют такие значения уи у2, Z\ и гг, при которых исход
(Уи z\) не равноценен ни исходу (уи г2), ни исходу (у2, z\), а
лотереи
L*K и L<-<
0,5 {У 2, ^2) 0,5 (#2» Zl)
равноценны. С другой стороны, если существуют такие две
лотереи L3, L4, которые не равноценны, то допущение об
аддитивной независимости несправедливо.
Независимость по полезности. Снова предположим, что
имеются два скалярных фактора У и Z, и необходимо оценить
предпочтения в области последствий, которая задана ограничениями
У°^У^У* и z°^z^.z* (см. рис. 5.17). Буквами Р, Q, R; S и так.
далее обозначены последствия,, которые будут использоваться при
обсуждении.
Проверку справедливости допущения о независимости по
полезности У от Z начнем с вопроса .к лицу, принимающему решение:
предпочтет ли он лотерею <Р, Q>, приводящую к
равновероятным исходам Р и Q, или детерминированный исход (последствие)
S? Исход 5 выбран таким образом, чтобы заранее можно была
предугадать ответ. Пусть лицо, принимающее решение, исходу S
предпочитает лотерею <Р, Q> и этот результат совпадает с
ожидаемым. Тогда лицу, принимающему решение, следует задать
второй вопрос: предпочитает ли он лотерею <Р, Q>
детерминированному исходу Г, где исход Т выбран так, чтобы он
представлялся более предпочтительным. Далее, необходимо выяснить
относительную предпочтительность лотереи <Р, Q> и
детерминированного исхода W. Исход W выбран «недалеко» от 5. Поэтому
следует ожидать, что исход W окажется предпочтительнее
лотереи <Р, Q>. Однако этого может и не произойти. Такая
процедура продолжается до тех пор, пока не будет найден такой
исход R, который окажется для лица, принимающего решение,
столь же желательным (или нежелательным), что и сама
лотерея <Р, Q>. Таким образом, исход R оказывается
детерминированным эквивалентом лотереи <Р, Q>.
Если аналитик заметит, что какие-либо из выявленных
предпочтений лица, принимающего решение, не соответствуют
«истинным» предпочтениям этого лица, то он должен ему указать на
эту «рассогласованность» и проанализировать ее вместе с ним.
Из рис. 5.1G видно, что вое исходы Р, Q, R, 5, Т и W имеют
одинаковые значения Z и различаются только значениями
фактора У. Теперь рассмотрим набор исходов с другим общим значени-
254

ем фактора Z (например, z') и проанализируем их аналогично.
Сначала определим, является ли детерминированный исход Т'
более предпочтительным для лица, принимающего решение, чем
лотерея <Р\ Q'>. Во избежание необдуманного повторения
ответов, данных на вопросы предыдущей серии, исход Т должен
быть выбран так, чтобы он отличался от исхода Т не только
фактором Z, но и фактором У. Пусть лицо, принимающее решение,
лотерее <Р\ Q'> предпочитает исход Т. Тогда нужно
последовательно задать вопросы о его предпочтениях относительно лотереи
<Р\ Q'> и исхода S', лотереи <Р', Q'> и исхода W и, в
конечном итоге, найти исход /?', такой, который для лица,
принимающего решение, равноценен лотерее <Р\ Q'>. Если
исходы R и R' имеют одинаковое значение У (т. е. R' лежит
непосредственно над R на рис. 5.17), то можно сделать предположение,
что фактор У не зависит по полезности от фактора Z.
Итак, было установлено, что относительные предпочтения
между исходами Р9 Q и R совпадают с относительными
предпочтениями между исходами Р\ Q' и R'.
Всю описанную процедуру следует повторить заново для
другого значения фактора Z (например, z") и найти исход R",
являющийся детерминированным эквивалентом лотереи <Р", Q">.
Если при этом значения фактора У для этого исхода R"
оказываются такими же, как и для исходов R и /?', то можно считать, что
фактор У не зависит по полезности от Z. Это допущение может
быть еще раз проверено путем повторения всей процедуры
поиска, например, исхода N, равноценного лотерее <Р, R>, и
исхода JV', равноценного лотерее <Р', /?'>. Если фактор У
действительно не зависит по полезности от фактора Z, то исходы
N и N' должны иметь равные значения фактора У.
Наконец, лицу, принимающему решение, надо задать
следующий вопрос: если 1) лотерея <(*/*, zr), (у°, zf)> равноценна
последствию (#', z') и 2) лотерея <(у*, z"), (y°> z")> равноценна
последствию (у\ z"), можно ли тогда заключить, что лотерея
<(#*, z)t (y°, z)> равноценна последствию (#', z) для всех
значений z?
Если фактор У не зависит по полезности от Z, то ответ
должен быть утвердительным. И, наконец, последний вопрос,
задаваемый лицу, принимающему решение: если при произвольно
выбранных значениях у\, у2 и #3 лотерея <(уи z), (у2, z)>
равноценна последствию (y%, z) для конкретного значения z, будет ли
такая равноценность выполняться для всех возможных значений
фактора Z? Положительный ответ на этот вопрос позволяет
окончательно утверждать, что фактор У не зависит по полезности
от фактора Z.
Другой путь проверки независимости по полезности фактора У
от Z состоит в следующем. Аналитик предлагает лицу,
принимающему решение: «Рассмотрим лотерею с равновероятными ис-
ходам'и у\ !И у2 ори заданном значении 2, например z=Z\.
Посмотрите на расположенный перед Вами рисунок. Подумайте,
255

пожалуйста, при каком значении у детерминированный исход,
содержащий это значение у и всегда фиксированное значение гх>
будет для Вас равноценен лотерее с упомянутыми
равновероятными исходами. Не спешите с ответом»... «Ну, хорошо, —
продолжает аналитик — теперь скажите, когда Вы обдумывали, какое
значение у является подходящим для Вас, принимали ли Вы во
внимание заданное конкретное значение z? Представьте, что
уровень z был бы задан значением z=z2 вместо Z\, повлияло бы это
на Ваши рассуждения?» Предположим, последовал отрицательный
ответ. Тогда аналитик должен проверить вместе с лицом,
принимающим решение, справедлива ли такая независимость
предпочтений в общем случае при произвольном изменении как у\ и у^
так.и Z\ и 22. Если такая проверка подтверждает выдвинутую
гипотезу, тогда У можно считать независимым по полезности от Z.
Если в результате первой серии вопросов было обнаружено,
что исходы R и (/?' различаются по значению фактора У, тогда,
предполагая, что исходы R и R' верно отражают предпочтения
лица, принимающего решения, фактор У нельзя считать
независимым по полезности от фактора Z. Однако, поскольку свойство
независимости по полезности нерефлексивно, фактор Z может
оказаться независимым по полезности от У. Если значения фактора
У исходов \R и R' достаточно близки, истинную функцию
полезности можно аппроксимировать, допуская независимость по
полезности фактора У от фактора Z, и приступить >к построению
соответствующей этому случаю функции полезности.
Обозначим детер1мин1ирова!нный эквивалент лотереи <i(*/', z),
(у", z)> через (yz, z), В действительности, часто лицо,
принимающее решение, может ощущать наличие слабой зависимости у2
от z. Однако в этом случае иногда бывает удобно (и допустимо)
«закрыть на это глаза» и принять yz равным определенному
фиксированному значению для всех z при условии, что
соответствующий диапазон изменения z невелик. Таким образом, в
практических ситуациях часто бывает весьма важно иметь возможность
ограничить область изменения того фактора, от которого
наблюдается слабая зависимость другого. Один из способов,
обеспечивающих такое ограничение, — исключение из рассмотрения тех
действий, которые доминируются или «практически» доминиру-
ются другими. Ограничив область изменения фактора Z, можно
сделать более приемлемой такую идеализированную в данной
ситуации абстракцию (в принципе она может быть неадекватна
действительности), как независимость по полезности У от Z.
Аналогичное обсуждение проводилось в п. 5.6.6.
5.8.3. Построение условных функций полезности. Условные
функции (полезности uy(-) для У и uz(-) для Z могут быть функ-
циям'и как одного фактора, так и нескольких. Это значит, что
соответствующие аргументы у и г могут быть либо векторами, либо
скалярами. В том случае, когда аргументы являются векторными
величинами, можно надеяться, 'что, используя обсуждаемые ,в
данной и следующей главах свойства независимости, удастся прове-
256

сти декомпозицию функции полезности и тем самым понизить
размерность аргументов тех функций полезности, которые
подлежат непосредственному нахождению (непосредственной
оценке). Если такую декомпозицию провести не удается, следует
использовать некоторые положения, рассмотренные в § 5.1 или 5.7.
С другой стороны, когда условные функции полезности
зависят от одномерных аргументов, для их нахождения можно
использовать процедуры, обсуждавшиеся в гл. 4. Если при этом
для проверки справедливости допущения о независимости по
полезности была использована предложенная выше процедура, то.
при построении условных функций полезности могут быть
использованы детерминированные исходы, эквивалентные
рассматриваемым в процедуре лотереям. Ясно, что подобного рода
информацию, полученную при проверке допущений о независимости,
необходимо использовать возможно шире.
5.8.4. Нахождение значений шкалирующих констант. Во всех
моделях, описанных в этой главе, функции полезности и(у, г)
определялись с помощью некоторого количества условных
функций полезности для отдельных факторов Y и Z и
соответствующих шкалирующих констант. Например, для определения
полилинейной функции полезности, рассмотренной в § 5.4,
необходимо было построить по одной условной функции
полезности для каждого фактора У и Z, а также найти значения трех
шкалирующих констант: kY> kz и kYZ. Поскольку шкалирующие
константы используются для обеспечения внутренней
согласованности функции и(у, г), обе функции полезности в выражении
E.71) могут быть шкалированы так, чтобы они изменялись от
О до 1.
Для того чтобы установить значения трех шкалирующих
констант, можно попытаться получить систему из трех независимых
уравнений относительно этих констант и решить ее. Эти
уравнения могут быть получены из результатов сравнения с точки
зрения предпочтительности детерминированных исходов, лотерей, а
также тех и других одновременно. Пользуясь результатами
сравнения детерминированных исходов, найдем одно из уравнений,,
связывающих шкалирующие коэффициенты. Пусть
детерминированные исходы, т. е. последствия (уи z{) и (у2у z2), равноценны*
приравнивая тогда полезности, вычисленные в соответствии с
выражением E.71), получаем
kylly (yx) +kzUz (Zi) + kyZUy (y{) UZ (Zi) =
= kYuy (y2) +lkzuz (z2) +kYzuy. (y2) uz (z2). E.72)'
Обе функции полезности иу и uz считаются известными,
поскольку предполагается, что они уже построены. Поэтому выражение
E.72) является уравнением, содержащим как максимум три
неизвестных. Используя равные по шредпочтительно'сга лотереи и
детерминированные исходы, также можно найти уравнения для
9-67 257

шкалирующих констант. Предположим, что детерминированный
исход (yZi ?з) равноценен лотерее <(уи z\)\ р\ (y2, z2)>9
которая дает исход (уи гх) с вероятностью р и исход (у2, г2) с
вероятностью 1—р. Тогда, приравняв ожидаемые полезности, имеем
и(уь гъ)=ри(уи гг) + A—р)и(у2, г2). E.73)
Подставляя в это уравнение значения полезностей, полученные
из выражения E.71), мы приходим к уравнению относительно kY,
kz и kYZ. Отсюда ясно, что из результатов сравнения
детерминированных «исходов, лотерей и их комбинаций можно найти три
независимых уравнения относительно трех неизвестных k.
Проиллюстрируем этот факт.
. Снова рассмотрим полилинейную функцию полезности,
определяемую выражением E.71), где начало отсчета функций и, uY и
uz задано равенствами
и(у\ z°) = 0f uY(y°)=0 и uz(z°) =0, E.74)
Предположим, нас интересуют предпочтения на пространстве
последствий, ограниченном неравенствами у°^у^у* и z°^.z^z*.
.Для упрощения предположим также, что с ростом значения
факторов У и Z увеличивается и предпочтительность
соответствующих последствий, поэтому функции полезности могут быть
шкалированы следующим образом:
u(y\z*) = l, uT(y*) = l vuz(z*) = l9 E.75)
Используя равенства E.75) для вычисления выражения E.71)
в точке (у*9 2*), получаем
l=kY+kz+kYZ. E.76)
Далее, вычисление значения выражения E.71) в точках (у*9 z°)
и (у°> г*) дает соответственно
и(У*> г°) =kY и и(у\ z*)=kz. E.77)
Попробуем теперь установить, какой из параметров имеет
большее значение, kY или kz? Это можно сделать, выяснив,
например, у «лица, принимающего решение, какое из последствий
(у*, z°) или (у°у z*) будет более предпочтительным. Из
выражения E.77) следует, что, если более предпочтительным будет
последствие (у*у 2°), то >kY><kz, если же последствие (#°, z*) будет
предпочтено последствию (у*, z°), то kz>kY. Если оба
последствия равноценны, то kY=kz. Предположим, было найдено, что
kY>kZi тогда можно попытаться найти такое значение у\ чтобы
последствия (y't z°) и (#°, г*) были равноценны для лица,
принимающего решение. Приравняв их полезности, вычисленные с
помощью выражения E.71), получим
; kz=kYuY{y'), E.78)
где значение uY(y') известно. Для того чтобы помочь лицу,
принимающему решение, определить значение у\ можно предложить
ему выбор между последствиями (у, z°) и (у0, z*)9 где значение у
258

зафиксировано. Если первое последствие окажется
предпочтительнее второго, значение у нужно уменьшить и снова предложить
выбор между такими последствиями. Если предпочтительнее
окажется второе последствие, значение у следует увеличить и снова
повторить процедуру выбора. Таким образом, можно довольно
быстро найти значение у'.
Уравнение E.78) является результатом рассмотрения детер-
минированных исходов для определения значений шкалирующих
констант. Рассмотрим теперь пример нахождения шкалирующих
констант с использованием сравнения лотерей. Предположим, что
с помощью методов, обсуждавшихся в гл. 4, была найдена
вероятность яу такая, что детерминированный исход (у*, z°)
равноценен лотерее <(#*, z)\ яу; (у°, г°)>. Используя выражение
E.71) и приравнивая ожидаемые полезности, находим
&у = яу. E.79)
Система уравнений ;E.76), E.78) и E.79) содержит три
неизвестные величины Ay, kz и kZr и может быть решена относительно
них. Для яу = 0,5 и uY{y') =0,8 легко найти, что
&y = 0,5, kz = 0A и kYZ = 0,1. E.80)
Распространим приведенные рассуждения на более общий
случай. Результаты, полученные <в настоящей главе, позволяют
выразить функцию полезности и(у, z), зависящую от двух
факторов, через условные функции полезности от отдельных факторо»
и соответствующие шкалирующие константы. Так, если мы
используем N и М условных функций полезности (построенных
соответственно для факторов У и Z) и R шкалирующих констант, то
функцию полезности u(y, z) можно выразить следующим
образом:
^(У> г)=/[Уг(#), ...,uNy<(y), ulz(z)t ..., uMz(z), ku k2y ..., kR]f
E.81)
где / имеет определенную функциональную форму. Функции
полезности в выражении E.81) могут быть шкалированы так,
чтобы они изменялись от 0 до 1, поскольку их значения согласуются
при помощи шкалирующих констант.
Таким образом, для расчета R шкалирующих констант
необходимо найти R независимых уравнений и решить их. Как была
показано, каждое уравнение может быть получено из
рассмотрения детерминированных исходов и лотерей.
Здесь возникает важная для практических приложений
задача — как избежать зависимости между уравнениями. В
практических ситуациях наше понимание проблемы и знание
функционального вида функции полезности, по-видимому, являются лучшими
помощниками в получении независимых уравнений. Когда среди
составленных уравнений все же оказываются зависимые,
необходимо вместо такого зависимого уравнения найти на основе
эмпирических данных другое независимое уравнение и включить его
259
9*

в систему. Для иллюстрации вернемся к описанному выше
примеру.
Предположим, что после того, 'как получено выражение E.78),
были ^найдены такие значения у" и z'\ при которых последствия
\У » z ) и (у°у z") являются одинаково желательными. Тогда,
приравнивая ожидаемые полезности этих «сходов, получаем
kYuY(y"y=kzuz(z"). E.82)
Выражения E.76), E.78) и ,E.82), очевидно, представляют собой
систему трех уравнений с тремя неизвестными, но уравнения
<5.78) и E.82) зависят друг от друга. Каждое из них связано с
согласованным шкалированием функций uY и uz. Для того чтобы
обойти это затруднение, можно, очевидно, использовать
шкалирование на основе сравнения лотерей, что было сделано в
приведенном выше примере. Если по каким-либо причинам удобнее
использовать шкалирование на основе сравнения детерминирован-
ных исходов, можно найти такое значение */", при 'котором
последствие (#", z*) равноценно последствию (у*, z°). Тогда,
естественно,
kY=kYuY(y") +kz-+kYzuY{y"), E.83)
где значение uY(y") известно. Полученное теперь уравнение E.83)
не зависит ии от уравнения E.87), ни от E.82). Поэтому
уравнения E.76), E.78) (и E.83), например, могут быть выделены в
систему и решены относительно неизвестных kY, kz и kYZ, а
выражение E.82) можно использовать для проверки внутренней
согласованности получаемой функции и(у> г).
5.8.5. Проверка согласованности и проведение итераций. Для
поиска и обнаружения ошибок в построении функции полезности
существует большое количество различных способов проверки.,Под
такими ошибками понимается неадекватность найденной функции
полезности и предпочтений лица, принимающего решение. В этом
параграфе нами описаны три способа проверки такой
согласованности. На основе этих способов аналитик легко может
разработать и новые процедуры проверки, позволяющие обнаружить
подобную неадекватность, если она имеется.
Один .из предлагаемых нами методов проверки основан на
использовании парных сравнений различных последствий. Так, для
проверки полученной функции полезности можно обратиться к
лицу, принимающему решение, с вопросом: предпочитает ли он
последствие (у\9 Z\) последствию (#2, 2г)? Бели это так, то при на-
лшии согласованности значение функции w(yu *\) должно быть
больше значения и(у2, z2). Такого рода проверка может быть
повторена столько раз, сколько требуется для того, чтобы появилась
уверенность в ее /результатах. При этом разумно начинать с более
простых сравнений и постепенно переходить к более трудным.
Подобная организация процедуры позволяет подготовить лицо,
принимающее решение, к вынесению суждений в трудных
ситуациях выбора между последствиями.
260

Более систематизированный способ организации такой
'процедуры состоит в использовании функции и> определенной на YXZ,
для получения семейства кривых равного предпочтения на
плоскости YXZ (конечно, предполагается одномерность каждого из
факторов У и Z). Затем лицу, принимающему решение,
предлагается установить, представляются ли ему обоснованными такие
кривые.
Другой способ проверки функции полезности — выяснение
степени склонности лица, принимающего решение, к риску. Для
этого используются последствия, располагающиеся на
положительных лучах вида (у, су), где с>0. Лицу, принимающему
решение задается вопрос: какой именно детерминированный исход
вида (у\9 су\)у по его мнению, равноценен лотерее <{у2, су2)у
(Уг> суг)>. В случае, когда функция и (у, су) является
возрастающей по у, лицо, принимающее решение, можно считать не
склонным к риску, если значение ух оказывается меньше (#2+#з)/2.
В § 4.4 были разработаны теоретические основы для
установления склонности лица, принимающего решение, к риску при
помощи различных положительных лучей такого типа. Предположим
выяснилось, что он на самом деле не склонен к риску. Тогда,
если предпочтительность последствий возрастает при увеличении
значений факторов У и Z, то в соответствии с теоретическими
положениями § 4.5 становится понятно, что при наличии
согласованности производная и' {у, су) должна быть положительна, а
производная и" (у, су) — отрицательна для всех у. Символы и' и и"
обозначают соответственно первую и вторую производную
функции и по у. Если лицо, принимающее решение, склонно к риску,
то, конечно, эта склонность должна быть отражена и в функции
полезности и(у> z).
В ситуациях, когда установлен определенный конкретный вид
функции полезности, могут быть 'использованы и более частные
способы проверки согласованности. Например, если и(у, г) имеет
«полилинейную форму вида E.16), то в рассмотренной выше
процедуре можно было бы выбрать произвольные значения у и У2, Z\
И Z2i При КОТОрЫХ
и@2, го)>и(уи г0); E.84а)
(y0, Zi), E.846)
и проверить затем знак параметра kyz следующим образом.
Спросим у лица,, принимающего решение: предпочитает ли он лотерею
?гв<@2, г2), (уи гх)> лотерее L2=<(y2, *i), (уи z2)>? Ecjra
лотерея L{ оказывается предпочтительнее лотереи L2y то
параметр kYz должен быть положительным. Если лотереи Lx и L2
равноценны, то параметр kYz должен быть равен нулю. И
наконец, если лотерея L2 представляется предпочтительнее лотереи Llr
то параметр kYz должен быть отрицательным. Кроме того, если
лотерея Lx оказывается предпочтительнее лотереи L2 при каком-либо
одном определенном наборе значений уи У2> *и *ь удовлетворяющих
261

условиям E.84), то такая предпочтительность должна
сохраняться и при всех других наборах значений факторов У и Z,
удовлетворяющих условиям E.84). Более подробно об этом сказано в
§ 5.4.
На практике, для того чтобы разработать действенные и
эффективные процедуры проверки согласованности, аналитику
вовсе не приходится напрягать свое 'воображение. Если, как
указывалось выше, при проверке согласованности обнаруживаются
противоречия с выявленными ранее предпочтениями лица,
принимающего решение, тогда нужно обратить его внимание на эти
противоречия и повторить некоторые этапы процедуры построения
функции полезности для получения согласованных предпочтений.
Дальнейший анализ задачи может быть продолжен лишь после
того, как будет получена такая функция полезности, которая по
мнению как лица, принимающего решение, так и аналитика,
действительно отражает истинные предпочтения. Конечнр, если
лицо, принимающее решение, придерживается твердых и
неизменных взглядов по всем вопросам, но его мнения противоречивы,
тогда положение очень осложняется. Однако в реальных
ситуациях лицо, принимающее решение, в правильности одних своих
ответов более уверено, а других — менее. Именно эта различная
степень уверенности в отношении разных ответов и порождает
противоречия в самих ответах. На самом деле обычно все-таки
удается получить окончательный согласованный набор ответов,
которые не находятся в неустранимых противоречиях с
убеждениями лица, принимающего решение. И наконец, если ни лицо,
принимающее решение, ни аналитика полностью не
удовлетворяет ни одна «компромиссная» функция полезности, у них всегда
остается возможность развеять свои сомнения при помощи
анализа чувствительности.
5.9. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ШКАЛИРУЮЩИХ КОНСТАНТ
Дать интерпретацию шкалирующих констант не так легко, ибо
их значения зависят от выбора ограничений t/°, у*, г° и z*,
которые в свою очередь зависят от допустимых в задаче последствий.
Для иллюстрации рассмотрим аддитивную функцию полезности
и(у9 z) =kYuY(y) +kzuz(z)t E.85)
где
и{у\ z°)=0, Mr/°)=0, Mz°)=0; E.86)
aQ/*,z*) = l, uY(y*) = h uz(z*) = \. E.87)
Здесь для согласованности построенных функций должно
выполняться условие
kY+kz=L E.88)
Если при оценке параметров были найдены значения ?у=0,75
и &z = 0,25, то нельзя утверждать, что фактор У втрое важнее фак-
262

тора Z. На самом деле нельзя даже сделать заключение о том,
что фактор У важнее фактора Z. Продолжив эти рассуждения,
приходим ж выводу о том, что не ясно, как точно определить
понятие «один фактор важнее другого». Однако можно утверждать,
что если при начальной точке (у°, г°) изменение значения
фактора Z от z° до z* предпочтительнее, чем изменение значения
фактора У от у° до у*9 то kz>kY. Справедливо и обратное
утверждение. Если например, значения у° и у* расположены недалеко
друг от друга, т. е. диапазон изменения фактора У невелик,
тогда параметр kY может иметь небольшое значение, даже когда
сам этот фактор является весьма важным. Увеличение или
уменьшение диапазона изменений значений фактора У обязательно
приведет к соответствующему изменению значения параметра ky-
Из условия согласованности E.88) следует, что шкалирующая
константа kz также изменится.
Для большей наглядности рассмотрим следующий пример.
Пусть при сравнении различных видов работ фактор У отражает
их денежную оплату и все рассматриваемые виды работ
оплачиваются приблизительно одинаково, так что значения у° и у*
расположены достаточно близко. Тогда значение параметра ky
может быть небольшим, но это вовсе не означает, что вопрос
оплаты не является важным для лица, принимающего решение. По
мере того как значения у° и у* все более и более сближаются,
значение параметра kY стремится к нулю. Ясно, что при
использовании аддитивной функции полезности в таких ситуациях
размер заработной платы будет оказывать незначительное влияние
на окончательный выбор работы. Однако при этом нельзя
сказать, что денежный фактор не является важным.
Для того чтобы проиллюстрировать это наглядно, рассмотрим
рис. 5.18, на котором изображены два пространства последствий *>,
каждое из которых можно использовать для решения одной и той
Рис. 5.18. Иллюстрация^
ошибочности
интерпретации шкалирующих
констант в качестве
коэффициентов важности
факторов
U-D97S
У?АШ—^
ц=0
^
у* #
ц'-г
#*
же задачи при условии, что все возможные последствия
располагаются внутри меньшего из двух пространств. Более того,
предположим, что функция полезности является аддитивной. Если
функция полезности и(у, z), шкалированная от 0 до 1, строится
*> Для простоты предположим, что предпочтительность последствий
увеличивается при увеличении каждого из факторов Y я Z.
263

для таких последствий (у, z), у которых значения факторов
удовлетворяют неравенствам у°^'у^у* и г^г^г*, то можно
принять, например, что
и {У, z) =kYuY (у) +kzuz (z), E.89)
где &y = Q,75, &z = 0,25, а функции полезности uY и uz
шкалированы также от 0 до 1. Поскольку значение функции uz(z+) должно
лежать между 0 и 1, примем его равным 1/3. Из выражения E.89)
следует
Ц*Д z+)=u{y\ z°)=0,25. E.90)
Предположим теперь, что первоначально с помощью функции
и'(у, г) оценивалась предпочтительность последствий (yt z),
значения факторов которых удовлетворяют неравенствам у°^у^у* и
z°^z^z+. Аддитивная функция полезности в этом случае будет
иметь вид
и'(у, z)=k'Yu'Y{y) +k'zu'Z'(z), E.91J
где каждая из функций полезности может бЫтъ шкалирована при
помощи следующих равенств:
u'if* *°)=0> "W)=0, a'zB°)=0; E.92)
u'{y\ z+) = l, u'Y(y*) = l, ^zB+) = l. E.93)
Ясно, что для согласованности необходимо выполнение условия
l^'r+ft'z. E.94)
Поскольку из выражения E.90) следует, что последствия (y°,z*)
и (у*, 2°) равноценны, то, используя выражения E.91) — E.93),
можно приравнять их полезности и получить
k'Y=k'z. E.95);
Объединив выражения E.94) и E.95), легко увидеть, что
&'y={?'z = 0,5
Если (и теперь придерживаться интерпретации шкалирующих
констант как характеристик важности соответствующих факто*
ров, тогда, очевидно, из рассмотрения функции полезности и
нужно сделать вывод о том, что фактор У втрое важнее фактора Z*
В то же время из рассмотрения функции полезности и! следует,,
что те же самые факторы У и Z являются одинаково важными.
Полученное противоречие показывает, что шкалирующие
константы ни в коей мере не характеризуют относительную важность
факторов. Но, поскольку такая неверная интерпретация все-таки
весьма распространена, было не лишним еще раз ее обсудить.
5.10. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В ЗАДАЧЕ
О БОЛЬНИЧНОМ БАНКЕ КРОВИ *
Данный параграф связывает воедино идеи этой главы и
иллюстрирует предложенный метод построения многомерных функций
¦) Некоторые части этого параграфа являются адаптацией работы Кия»
A972).
264

полезности. Для иллюстрации рассматривается конкретная
практическая задача — задача управления запасами крови в
больнице. При квантификации предпочтений лица, принимающего
решение, относительно запасов крови в больнице были использованы
положения § 5.8. Пространство последствий в этой задаче
задается двумя факторами — дефицит крови и устаревание крови.
Несмотря на то, что в данном примере имеются только два
фактора, используемый общий метод можно применять для широкого
круга задач, требующих для своего решения знания функций
полезности, зависящих от многих переменных. Другие примеры
использования функций полезности обсуждаются в гл. 7—9.
5.10.1. Проблема управления запасами крови в больнице. Для
обоснования необходимости построения и использования функции
полезности кратко обсудим саму 'проблему управления запасами
крови в больнице и сформулируем ее как одну из постановок
задач теории принятия решений. Дженинге A968) разработал
подробную модель системы хранения крови в больничном банке
крови и исследовал методы управления для такой системы.
Различные оперативные решения оценивались в этой модели по двум
факторам—дефицит крови и устаревание крови. Под дефицитом
понимается -неудовлетворенное банком данной больницы
требование врача на .кровь. Если требование врача не может быть
удовлетворено больницей, то возможны следующие решения:
отправить в центральный банк крови заказ на кровь определенной
группы, вызвать профессиональных доноров, отложить операцию
и т. д., но только при исключительно редких обстоятельствах
такая ситуация может привести к летальному исходу. Устаревшей
считается кровь, не использованная в течение контрольного
срока, который сейчас в большинстве больниц установлен равным
21 дню.
Основная .проблема, которая 'постоянно стоит в задачах
управления запасами крови и требует эффективного решения, — найти
наилучшую стратегию для повседневного пополнения запасов
крови. При этом для каждой группы крови может быть своя
(Наилучшая стратегия. Предлагаемый ниже подход к решению этой
проблемы может быть использован для «пополнения запасов крови
любой конкретной группы. Лицо, принимающее решение, должно
произвести выбор из альтернативных действий, обозначенных
через Аи i=l, 2, ..., п. Для каждого Л* существует распределение
вероятностей на пространстве последствий, определяемом
факторами У и Z, которые отражают соответственно дефицит крови и
ее устаревание. Более конкретно, дефицит крови может быть
выражен через годовой процент соответствующих единиц
затребованной, но не полученной из запасов данной больницы крови,
устаревание — через годовой процент соответствующих единиц
устаревшей крови. Распределение вероятности может быть
найдено как при помощи моделирования (например, используя
модели, аналогичные модели Дженингса), так и из
регистрационных журналов, имеющихся в банках крови.
265

Структура задачи о запасах крови проиллюстрирована на
рис. 5.19, где через (уи z\) обозначен неопределенный исход
альтернативного варианта действия А\. На основе найденного
совместного распределения вероятностей этих двух случайных
величин и на основе своих предпочтений относительно различных
последствий лицо, -принимающее решение, должно выбрать
определенный вариант действия.
альтер
С/7ОСО&
Рис< 5Л9* ^
запасе крови в боль-
нице
Вводные замечания. Излагаемые ниже результаты
принадлежат Кини, который сотрудничал с врачом, заведующим банком
крови <в Кембриджской больнице (Кембридж, штат Массачусетс).
В связи со своей работой над диссертацией, посвященной
свойствам независимости по полезности и построению функций
полезности, Кини специально посещал эту больницу. Целью его
посещений было выяснение вопроса о том, можно ли в реальных
ситуациях использовать свойство независимости по полезности для
построения 'конкретных функций полезности. В целом автор не
придерживался сложившихся приемов работы, обычно
используемых аналитиками в процессе своей консультативной
деятельности. Оставляя в стороне вопрос о том, является ли эта задача
«абсолютно реальной», и тому подобные вопросы, укажем два
основных недостатка этой работы, на которые следовало обратить
внимание, если бы она была выполнена в рамках
консультативной деятельности. Во-первых, прежде чем погружаться в
исследование структуры полезности с помощью вопросов лотерейного
типа, следовало бы попытаться исследовать структуру ценности,
используя положения, обсуждавшиеся в гл. 3. Во-вторых,
должное внимание не было уделено вопросу о том, учитывает ли лицо,
принимающее решение, при квантификащш своих предпочтений
влияние последствий различных исходов лишь для себя лично
или же в рассмотрение включаются последствия для пациентов,
врачей, а также интересы больницы и общественности.
Несмотря на указанные недостатки, представляется, что
обсуждаемый ниже процесс построения хорошо освещает общую
методологию.
5.10.2. Построение функции полезности. Введение
терминологии и основных положений. Первая встреча с врачом и
медицинской сестрой, ответственной за организацию заказов на кровь,
была посвящена их ознакомлению с работой Дженингса;
медикам была разъяснена важность проведения оценки предпочтитель-
266

.ности последствий, определяемых на пространстве факторов: де-
. фицит, устаревание крови. Во время второй встречи были оцене-
-ны предпочтения медицинской сестры*), которая в промежутке
между этими встречами хорошо разобралась в самой работе Дже-
ни»нгса A968) и в целях предстоящего опроса. Прежде чем
приступить к количественному описанию предпочтений медсестры,
ей как лицу, принимающему решение, объяснили цели и задачи
теории полезности, а также смысл используемых показателей
(факторов). Таким образом, можно считать, что лицо,
принимающее решение, понимало смысл оценки своих -предпочтений и
имело достаточно оснований тщательно обдумывать свое отношение
к различным последствиям.
Количественная формализация предпочтений проводилась в
предположении о том, что дефицит крови никогда не будет
превышать 10% от необходимого количества крови, измеряемого в
определенных единицах, и что устаревшая кровь также не
составит более 10% от общего количества единиц крови, поступающей
в банк в течение года. Таким образом, было ограничено
пространство последствий, как это показано на рис. 5.20. Кроме того, бы-
Z
70
8
а
4
2
О
-
-
-
-
it! j^mmim
z 4 е 8 то у
Y
Рис. '5.20. Пространство последствий,
описываемых с помощью факторов
дефицита и устаревания крови
Рис. 5.21. Тест для проверки
независимости по полезности
ло проверено, правильно ли понимает мидощинокая сестра смысл
- произвольной точки (у, z) в пространстве последствий. Когда
стало ясно, что она полностью понимает основные положения, была
начата сама процедура количественного описания предпочтений.
Именно «в этот момент было еще раз подчеркнуто, что на
задаваемые вопросы не существует объективно правильных или
объективно неправильных ответов.
*> Использование предпочтений медсестры было обусловлено тем, что
именно она несет ответственность за организацию всех заказов на пополнение
запасов крови в больнице. Как уже указывалось, вопрос о том, адекватно ли ее
предпочтения отражают интересы пациентов и врачей, не принимался во
внимание. Предполагается все же, что предпочтения медсестры в значительной
степени обусловлены интересами этих лиц.
267

Проверка соответствующих допущений о независимости.
Необходимо было проверить, является фактор У (дефицит)
независимым по полезности от фактора Z (устаревание). Это было
сделано при помощи графической иллюстрации пространства последствий
(рис. 5.21, где Р, Q, R, 5,... представляют собой последствия). Как и
ранее, через <Р, Q> обозначается лотерея с равновероятными
исходами Р и Q. Медсестре задавался вопрос: является ли, с ее точки
зрения, детерминированный исход S более предпочтительным,
чем лотерея <Р, Q>? Исход S выбирался таким образом, чтобы
вопрос был относительно легким. Как и ожидалось, медсестра
предпочла 'исход (последствие) S. Затем ей предложили сделать
выбор между лотереей <Р, Q> и детерминированным исходом
Т—.предпочтительнее оказалась лотерея <Р, Q>; этот вопрос
был также относительно простым. Постепенно ставились все
более и более трудные вопросы о предпочтительности: между
лотереей <Р, Q> и исходом jV, между лотереей <Р, Q> и исходом
W и так далее до тех пор, пока не была окончательно
установлена равноценность лотереи <@, 0), A0, 0)> исходу F,5; 0).
Затем была повторена серия аналогичных ©опросов, где уже
вместо лотереи <Р, Q> использовалась лотерея <Р', Q'>. В
результате было установлено, что лотерея <@, 6), A0, 6)>
равноценна F,5; 6). При этом медсестра выражала недоумение по поводу
того, почему значение фактора У в этом случае должно
отличаться от значения 6,5, полученного в результате предыдущей серии
вопросов. Относительно более общего вопроса она выразила
уверенность, что такая независимость справедлива для всех
фиксированных значений фактора Z. На основе этого было сделано
заключение о том, что фактор У является независимым по
полезности от Z. Аналогично было установлено, что и фактор Z не
зависит по полезности от У. Таким образом, оба фактора оказались
взаимонезавжжмыми по полезности и появилась возможность
использовать обсуждавшуюсй ранее полилинейную функцию
полезности.
Построение условных функций полезности. Следующим
этапом явилось построение условной функции полезности для
последствий (у, 0)*>. В процессе построения легко было установить,
что предпочтительность таких последствий монотонно убывает
по у. Ранее было выявлено, что лотерея <A0, 0), @, 0)>
равноценна детерминированному исходу F,5; 0). Дополнительно
было иайдено, что лотерея <F,5; 0), -(О, 0)> равноценна «исходу
D, 0), а лотерея <A0, 0), F,5; 0)> — исходу (8,5; 0). Отсюда
возникло предположение, что условная функция полезности
последствий (у, 0), обозначаемая дальше через uY(y, 0), отражает
несклонность к риску. Начало отсчета и единица измерения функ-
*> Более строго можно было бы сказать, что условная функция полезно*
сти определялась для области {(у, 0):0<#<10}. Вместо применяемого в
тексте обозначения (у, 0) более правильно было бы использовать обозначение
(•, 0).
268

ции иг(у, 0) были произвольно установлены следующими
равенствами:
МО, 0)=0, E.96);
wyA0, 0)—1. E.97I
Точки, соответствующие этим значениям функции полезности,
нанесены на график (см. рис. 5.22,а). Для простоты была выбрана
функция полезности вида Ь(\—е°у). Значение параметра с
установлено из равноценности лотереи <*A0, 0), @, 0)> «и исхода
F,5; 0). Из выражения E.97) определено значение параметра 6«
Окончательно функция полезности приняла «вид
uY(y, 0)- A/2,67) A-е0'13*), E.98):
который показан на рисунке.
8 70 z
Рис. S.22. Функции полезности в задаче о запасе крови в больнице
Найденная функция хорошо описывала значение полезности и
в других точках, найденных эмпирическим путем. Поскольку
значения параметров Ь и с положительны, функция полезности
является монотонно убывающей и отражает несклонность к риску.
Аналогично, при построении условной функции полезности
«z@, z) было установлено, что лотерея <@, 10), @, 0)>
равноценна исходу @; 5,5), лотерея <@; 5,5), @, 0)> —исходу @, 3),
а лотерея <@, 10), @; 5,5) > —исходу @, 8). С учетом
шкалирующих условий
МО, 0)=0, E.99)Г
МО, 10)=—1 E.100)
были найдены значения функции полезности, которые показаны
на рис. 5.22,6. В соответствии с полученной кривой была
построена следующая функция полезности:
Wz@, г) = A/0,492):A—е0'04*). E.101):
269

Оценка шкалирующих констант. Следующим шагом в
проведенной процедуре построения функции полезности являлось
согласование шкал для измерения функций uY(yy 0) и uz@, z). При
этом было установлено, что последствие @, 10) предпочтительнее
последствия A0, 0), последствие B, 0)—предпочтительнее
последствия /@, 10) и, 'наконец, что последствие @, 10) равноценно
последствию D,75; 0). Таким образом, появилась возможность
выбрать единую шкалу функции полезности для последствий
(Уу z) - Функцию полезности, измеряемую с помощью этой шкалы,
будем обозначать через и (у, z). Для этого сначала положим
и@, 0)=0, E.102)
иA0, 10)= —1 E.103)
и определим kY и kz следующими равенствами:
иA0, 0)=йг, E.104)
«@, 10)=?z. E.105)
Из выражений E.96), E.97), E.102) и E.104) следует, что
u(y,0)=^kYuY(y,0). E.106)
Аналогично, из выражений E.99), E.100), E.102) и E.105)
вытекает, что
и@, z)= —kzuz@, z). E.107)
Известно также, что «D,75; 0)=м@, 10), откуда, используя
выражения E.100), E.106) и E.107), получаем
—kYuYDJ5; 0)=-&zM0, 10)=i?z. E.108)
Из выражения E.98) находим uYDJ5\ 0) =—0,32. Подставив это
значение в выражение E.108), имеем
?z=0,32?y. E.109)
Поскольку факторы У и Z взаимонезависимы по полезности,
-функция и (у у z) имеет вид**
и(у, г) = и(у
«go, 10)-«(о, щ-и(ю.о> ц 0)и{0 г) EЛ10)
^ wA0, 0)u(Qt 10) \у» / v » / . v /
Подставляя в выражение E.110) значения функций из
выражений E.98), E.101), E.106), 1E.107) л E.109), получаем
2,67 (i e ' 0,492 (l
01mA 0042ч
e И1 е '•
B,67) @,492)
*) Доказательство этого результата идентично доказательству теоремы 5.2,
где вместо шкалы изменения функции а от 0 до 1 взята шкала от —1 до 0.
270

Для полного завершения процесса построения функции и(у, z)
(см. выражение E.111)) необходимо найти еще значение только
одного параметра ky. С этой целью было установлено, что для
лица, принимающего решение, лотерея <A0, 10), @, 0)>
равноценна детерминированному исходу F, 6). Тогда, используя
выражения E.102) и E.103), получаем
ц(F, 6)=72иA0, 10)+72и@, 0)=-72. E.112)
Теперь из выражения E.111) можно найти значение функции
полезности в точке F, 6) и приравнять его значению выражения
E.112). Отсюда
?у=_0,87. E.113)
Подставив полученное значение параметра ky в выражение
E.111), получим искомую функцию полезности (см. рис. 5.23)
и (f/, г) = 0,32 A—eo>13*/) + 0,57 A-е0'042) +
+ 0,107A— е°^у) A— е°'04г). E.114)
Проверка согласованности. Полученная функция полезности в
дальнейшем была подвергнута двум видам проверки на
согласованность. Сначала при помощи процедуры, отличной от
использованной ранее, проверялось, действительно ли условные
функции полезности отражают несклонность к риску. По мнению ли-
R
V
0
(У,г)
/?
s
г
и
V
W
р
A0,1)
W0)
(%75;0)
(в;в)
(КО)
G;о)
и(у,г)
-0,304
-те
-Q,W9
-0,585
-0,W5
Z 4- В 8 10 у
Рис. 6.23. Функция полезности для Рис. 6.24. Проверка согласованное»
факторов дефицита и устаревания
крови
ца, принимающего решение, исход (/, 0) предпочтительнее
лотереи <(t+l, 0), (i— I, 0)> для 1=1, 2, ..., 9, и, таким образом,
функция и (у, 0) действительно отражает несклонность к риску.
Такой же анализ привел к аналогичному выводу и для функции
«@, z).
Вторая проверка основывалась на парных сравнениях
последствий <(детерминированных исходов) R, S, Г, С/, V9 W и Я,
указанных на рис. 5.24. При ее проведении выяснилось, что для
лица, принимающего решение, #>S, 7>J?, [/>#, V>W я P>V, где
символ )> означает «предпочтительнее, чем». В таблице к рис.
5.24 представлены значения, полезности, рассчитанные по форму-
271

ле E.114). Проверка показывает, что эти значения согласуются
с установленными результатами парных сравнений,
проведенными лицом, принимающим решение. Эта согласованность имеет
место, несмотря на то, что лишь одно из парных сравнений было
относительно легким, т. е. выбор был очевиден. Конечно, каждый
конкретный результат парных сравнений хотя бы отчастд
случаен. Тем не менее такой метод проверки согласованности очень
важен.
5.10.3. Выводы. Использование общих свойств структуры
предпочтений, таких, как независимость 'по полезности, позволяет
преодолеть некоторые трудности, связанные с построением
многомерных функций 'полезности. Такой подход уменьшает тот
реальный объем субъективной информации, который необходим для
построения функции полезности. Описанная выше процедура
позволяет не только установить, обладает л(и 'структура
предпочтений таким свойством, как независимость «по полезности, но и
построить многомерные функции полезности.
Следует сделать два заключительных замечания относительно
рассмотренного выше процесса построения функции полезности.
Во-первых, лицо, принимающее решение ('медсестра),
«проделанной работе отнеслось с большим интересом и увлечением,
предпочтения обдумывались тщательно и глубоко. Имевшее место
сотрудничество позволило провести «процедуру построения ровно и
спокойно. Полученная в результате функция полезности
адекватно отражает истинные предпочтения. Во-вторых, медицинская
сестра, выступавшая в роли лица," принимающего решение, кроме
специальной медицинской «подготовки имела еще и диплом о
высшем гуманитарном образовании, но абсолютно не была
подготовлена в области точных наук. Однако это ни в коей мере не
затруднило процесс построения. Отсюда можно прийти к выводу, что
откровенность и готовность к обдумыванию своего отношения 'к
анализируемым различным последствиям имеют большее
значение для .правильной квантифвкащш предпочтений, чем какое бы
то ни было образование в области точных наук.
ГЛАВА 6
ПРЕДПОЧТЕНИЯ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ:
МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ
- По своему содержанию эта глава 'во многом перекликается с
предыдущей, пятой главой. Однако теперь мы рассматриваем
многомерные 'функции полезности, зависящие более чем от двух
аргументов. Обзор проблемы, обсуждаемой как в данной главе, так и
в предыдущей, был приведен в § 5.1. Там же обсуждались такие
процедуры построения многомерных функций полезности, которые
272

не связаны с предварительным установлением вида
функциональной зависимости. Как отмечалось в § 5.1, эти процедуры
пригодны для построения функций полезности, зависящих как от двух,
так и от большего числа переменных. Поэтому в данной главе
мы рассмотрим влияние различных допущений (об аддитивной
независимости, независимости ,по предпочтению, независимости ого
«полезности относительно факторов Хи i=l> 2, ..., п) на вид
функции (полезности
U(XU Х2, ..., *n)=!/Ol(*l)> ti2{x2)9 ..., Un(Xn)]> F.1)
где Xi — фактическое значение фактора Хи f — скалярная
функция,, а щ — функция полезности для фактора Хи Представленные
ниже результаты обобщают различные функциональные формы
вида F.1), полученные для определенных наборов допущений
Фишберном A965а, 1966, 1971), Кини A968, 1972а, 1974), Мейе-
ром A970), Поллаком A967) «и Райфа A969).
6.1. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ
Важность результатов данной главы с прикладной точки
зрения определяется тем, что рассматриваемые допущения
представляются удобными для проверки и вполне приемлемыми во многих
реальных задачах. Более того, нахождение в этих случаях
численных значений функции полезности значительно упрощается.
В этой главе также рассматриваются некоторые вопросы
взаимосвязи между различными условиями независимости. Эта
взаимосвязь имеет большое прикладное значение, поскольку позволяет
получить более простые необходимые и (или) достаточные
условия существования определенных видов функции полезности.
6.1.1. Обозначения. Для удобства изложения материала
данной главы введем некоторые новые обозначения. Важнейшие из
них приведены ниже.
Факторы *\ Исходные факторы чаще всего будут обозначаться
символами X\f Х2у ...» Xnt где X* может выступать и как
скалярный, и как векторный фактор. Начиная с § 6.7, будет
использоваться особо выделяемый нами фактор ХОу который по смыслу
отличается от остальных факторов — Хи г=1, 2, ..., п.
Множества факторов. Рассматриваемое множество факторов X
обозначается {Х\, Х2, ..., Хп}. При использовании фактора Хо он
также включается в множество X. Если множество факторов У
является подмножеством множества X, то множество У будет
именоваться просто фактором У.
Дополняющие друг друга множества факторов. Если два
множества факторов, например Yx и У2, являются разбиением Х9 то
будем называть Y\ и Y2 дополняющими друг друга. Часто
дополнение к множеству У будет обозначаться через F.
*) Или, что то же самое, критерии. См. прим. на с. 45. (Прим. ред,)
273

Независимость по предпочтению и независимость по
полезности. Независимость по полезности множества факторов Y\ от его
дополнения У\ для сокращения будем обозначать У^Ш, а
независимость по предпочтению множества факторов У2 от его
дополнения У2 >как Y2^Pl. Такая запись будет использоваться в тех
случаях, когда она не приводит к двусмысленности. Кроме того,
следует постоянно помадить, что оба обозначения UI и PI
подразумевают независимость относительно дополнений к
упоминаемым множествам факторов.
Последствия. Пространство последствий ХххХ2Х ... ХХп
представляет собой прямоугольное подмножество конечномерного
евклидова пространства. Сами последствия обозначаются через
*—(*ь *2, ..., хп), где Хг — конкретное значение фактора Хи * =
= 1, 2, ..., я. Говоря о подмножестве У из X и его дополнении F,
последствие х часто будем обозначать через (*/, у). Так,
например, когда /г=5 и Y={XU Х3}, то у=(хи хг)> а у=(х2> х4, хъ).
Функции полезности. Так же, как и в предыдущих главах, в
данной главе будет предполагаться, что допущения,
обеспечивающие существование функции «полезности, например, такие, как
аксиомы фон Неймана и Моргенштерна A947), справедливы. Кроме
того, будем предполагать, что функция полезности и непрерывна
по каждому Хг и ограничена. При изложении будут
использоваться следующие эквивалентные обозначения функции полезности:
и(х)у и(хи х2у ..., хп) 'и и(у, у).
Шкалирование. Символами х*=(х*и х*2, ¦.., #%.) =i(t/*, у*) и
х°= (х°\у х°2, ..., х°п) = (у0, у0) будут обозначаться соответственно
наиболее и наименее желательные последствия. Шкала для
функций полезности обычно выбирается так, чтобы выполнялось
и(х°)=0 и и(х*) = \. Во избежание многократного повторения
нулевых индексов иногда будут использоваться нестрогие
обозначения. Например, функция* и(х\, х°2, х\ ..., х°п), и(х°и х2, х\
Хлу х°$, х°е) иногда будут обозначаться через и{х\) и и(х2, х*)
соответственно. Это значит, что значения всех факторов, не
входящих в качестве аргументов в эти функции, принимаются
равными наименее желательным значениям. Конечно, такая система
обозначений не является согласованной в строгом смысле, но из
контекста будет понятен смысл обозначений, и авторы надеются,
что это позволит избежать возможных недоразумений.
6.1.2. Понятие независимости. Дадим необходимые обобщения
введенных в предыдущих главах понятий независимости по
предпочтению и независимости по полезности.
Определение. Фактор У, У^Х, не зависит по предпочтению от
своего дополнения F, если порядок предпочтения последствий,
различающихся лишь значениями факторов из У, не зависит от
фиксированных значений факторов из Р.
Независимость по предпочтению подразумевает, что условные
кривые безразличия, заданные на У, не зависят от факторов F.
Э^го понятие касается предпочтений лица, принимающего
решение, относительно лишь тех последствий, которые не связаны с
274

какой-либо неопределенностью. Формально независимость по
предпочтению определяется следующим образом: УеР1 тогда и
только тогда, когда для любых последствий у\ у", у+ справедливо
(</', 9+) > (у"> У+) Ч> (У'> У) > (У", У) /Для всех у. F.2)
Независимость по полезности связана с предпочтениями
относительно лотерей, т. е. здесь уже предполагается «наличие
неопределенности.
Определение. Фактор У не зависит по полезности от своего
дополнения У, если условный порядок предпочтения лотерей,
исходы которых различаются лишь значениями факторов из У, не
зависит от фиксированных значений факторов из У.
Формально это определение может быть записано следующим
образом: УеШ тогда и только тогда, когда для любых лотерей
у\ у" и последствия у+ справедливо
W, Г)>{У\ У+) =4 (У', У)>(У", У) Для всех у. F.3)
Из определения следует, что если КеШ, то УеР1. Обратное
утверждение не всегда справедливо. Это легко понять, заметив, что
вырожденные лотереи, в которых отсутствует неопределенность,
идентичны самим последствиям. Следовательно, условие
независимости по предпочтению может быть сформулировано в терминах
порядка предпочтения только для вырожденных лотерей.
Поскольку условие независимости по полезности, если оно справедливо,
должно выполняться для всех лотерей, в том числе и для
вырожденных, то, действительно, УеШ влечет УеР1. Независимость по
полезности является более сильным условием.
Если фактор У не зависит по «предпочтению от фактора У и
задана функция полезности и, то
М/> У+)>и{у"> У+)] Г» ЫУ\ У)>и(у", У)] Для всех у,
F.4)
где у+ — произвольное фиксированное значение у. Аналогично,
если фактор У не зависит по (полезности от У, то поскольку
функции полезности единственны с точностью до положительного
линейного преобразования, справедливо следующее выражение:
и (У, у) Н(У) +g(y)u(y> У') Для всех у и у, F.5)
где функция g всегда положительна, а у' — 'произвольно
выбранное, но фиксированное значение фактора F. В общем случае
функции / и g зависят от выбранного значения */, но не зависят от
переменной у.
На протяжении всей этой главы, как отмечалось ранее, для
простоты функция полезности будет считаться шкалированной в
пределах от 0 до 1. Таким образом,
ЛЛ=0, u(tf,y*) = h
где_#° и у0 —наименее предпочтительные значения факторов Y
и У, а у* и у* — наиболее предпочтительные значения тех же
275

факторов. Тогда, вычислив значение выражения F.5) в точке y°t
найдем, что /(*/)= и (*/°, у), поэтому условие F.5) можно
переписать в виде
и(У> У) =«@°, У) +g(y)u(y, у°)> F.6J
подставив в выражение F.5) значение г/', равное у°. Выражения
F.4) и F.6) *> будут использоваться в дальнейших
доказательствах.
6.1.3. Структура главы. В следующем пункте приводится
несколько теорем представления для случая трех факторов. Эти
теоремы, во-первых, характеризуют "некоторые положения,
используемые при построении многомерных функций полезности,
во-вторых,-указывают вид ожидаемых результатов и, в-третьих,
облегчают обоснование результатов остальной части главы. В § 6.3—6.5
приведены различные функциональные виды функций полезности
для п факторов, обусловленные различными наборами условий
независимости по предпочтению и по полезности. В э'гих же
параграфах приводится описание процесса построения таких
функций полезности. В § 6.7—6.10 обобщаются и связываются
воедино понятия независимости по предпочтению и по полезности.
В § 6.11 допущения об условных предпочтениях используются для
распространения полученных результатов на иерархические
структуры факторов. Знакомство с § 6.1—6.6 (даже и без знакомства
с доказательствами) облегчит для читателя переход к изучению
последующих глав.
6.2. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ФАКТОРОВ
В этом параграфе будут приведены и проиллюстрированы
четыре результата, полученные для трехмерных функций
полезности. Доказательства этих результатов опущены, так как сами эти
результаты являются частными случаями теорем, которые будут
сформулированы и доказаны ниже в этой же главе. Изложение
результатов начинается с весьма частного случая (в смысле того,
насколько ограничительны используемые допущения), затем
рассматривается некоторое ослабление ограничений, и, наконец,
анализируется самый общий случай.
Результат 1. Если предпочтительность лотерей на Хи Х2 и Хэ
зависит только от задаваемых рассматриваемыми лотереями
маргинальных распределений вероятностей для этих факторов и не
зависит от их совместного распределения вероятностей, то
и(хи х2у xz) =fti«i(*i) +k2u2(x2) +hu{xz). F.71
Выражение F.7) представляет собой аддитивную функцию
полезности для трех факторов. Все функции полезности и, ии и2 и
иъ могут быть шкалированы от 0, до 1, a kiy t=l, ..., 4, представ-
*) Понятие о независимости по предпочтению и независимости по
полезности, можно обобщить так, чтобы охватить случай «обращения»
предпочтений. Более подробно см. приложение 6А.
276

ляют собой «шкалирующие» константы •>. Используя более слабый
набор допущений, получим
Результат 2. Если фактор Х\ не зависит по полезности от
{Х2, Xz}, а {Хи Х2} и {Х\, Xz} не зависят по предпочтению от
факторов Xz и Х.2 соответственно, то
U(XU X2, Xz)
Обозначения и, щ и ki в выражении F.8) имеют тот же смысл, что
и в выражении F.7); k — дополиительная «шкалирующая»
константа. Очевидно, если &=0, то выражение F.8) сводится к
аддитивной форме F.7). Если кФО, тогда, умножая обе части вы-
ражения F.8) на &, прибавляя 1 и вынося за скобки общие
множители в правой части, получаем мультипликативную функцию
полезности
ku(xu х2, *з) + 1= П [kkiUi(Xi) + l]. F.9I
Следует отметить два важных момента, касающихся
результата 2: во-первых, в нем использованы оба допущения — о
независимости и по полезности, и по предпочтению, во-вторых, эти
допущения связаны с «перекрывающимися» множествами факторов*
Оба эти обстоятельства весьма важны для определения
многомерных функций полезности. При формулировке данного
результата использовались обозначения и2 и н3, так как неявно
предполагалось, что может быть доказана независимость по полезности
факторов Х2 и Xz от дополняющего множества факторов.
Перейдем к более общему случаю.
Результат 3. Если каждый из факторов Х\, Х2 и Xz не зависит
по полезности от дополняющего его множества факторов, то
) . F.10)
Здесь функции w, wi, w2n«3 и шкалирующие константы ku k2 и &»
определены так же, как и ранее. Кроме того, необходимо оценить
дополнительные константы k\2, &13, ?2з и *12з- Выражение F.10)
представляет собой полилинейную функцию полез«ости для трех
факторов. Очевидно, что как мультипликативная, так и
аддитивная функции полезности являются частными случаями
полилинейной функции полезности.
Рассмотрим наиболее общий для этого раздела случай.
*> Иначе говоря, «константы» шкал, используемых для измерения
полезности:
277

Результат 4. Если факторы Х2 и Х3 независимы по полезности
от дополняющих их множеств факторов {Хи Х$ и {Xit Х2}> то
F.11)
где
'=w(*b x*2t x°z)—u{xu x°2f
x°2)
x°2,
Ы{)(и x*2i x*z)—u(xu x*2y x°z)—u(xu x°2i x*z)+u(x{, x°2, x°3).
В выражении F.11) каждая из функций полезности, как обычно,
шкалирована от 0 до 1, при этом предполагается, что (х*\, x*2i x*$)
является наилучшим последствием, а (л:°ь x°2i x°$) —наихудшим.
" Если /г, /з и /23 представлены в определенной функциональной
форме, тогда из выражения F.11) легко могут быть получены
выражения F.7), F.8) или F.10). Это значит, чтох аддитивная,
мультипликативная и полилинейная функции полезности
являются частными случаями выражения F.11). В случае скалярных
факторов для каждого из результатов 1—4 последствия, чья
предпочтительность подлежит эмпирической оценке, могут быть
изображены графически. Такие иллюстрации представлены на рис. 6.1,
где жирные линии и точки указывают те последствия, которым
необходимо дать оценку, используя одну и ту же шкалу.
*
*S
Резу/гбшт?
XJ
у
/У
Рис. 6.1. Последствия,
подлежащие
эмпирической оценке при
определении функций
полезности рассматриваемого
вида в трехмерном
случае
В оставшейся части настоящей главы для функций
полезности, зависящих от п аргументов, приводятся результаты,
аналогичные результатам этого параграфа. Поскольку рассматривается
•случай трех и более факторов, могут использоваться также
«перекрывающиеся» наборы допущений о независимости по полезно-
278

ста и по предпочтению, которые, однако, не «содержатся» друг
в друге. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, которая не имеет
места <в случае двух факторов.
Результат 2 и используемые в нем допущения показывают, что
привлечение таких перекрывающихся условий независимости
может оказаться плодотворным. В следующих трех параграфах
будут исследованы возможности использования подобных
перекрывающихся условий независимости и доказаны общие теоремы для
многомерных функций полезности.
6.3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ *)
Одним из наиболее важных результатов теории полезности в
многофакторном случае является установление условий,
позволяющих сделать заключение о том, что функция полезности является
аддитивной или мультипликативной. Определим сначала свойство
взаимной независимости по полезности, которое является
достаточным условием для справедливости формулируемого ниже
основного результата. После формулировки и доказательства этого
результата будет предложено несколько более слабых наборов
допущений, выполнение которых влечет за собой оправданность
допущения о взаимной независимости по полезности.
Определение. Факторы Хь Хъ ..., Хп называются
взаимонезависимыми по полезности, если каждое подмножество факторов из
множества {Хи Х2, ..., Хп} не зависит по полезности от своего
дополнения.
Теорема 6.1. Если факторы Хъ Хъ ..., Хп являются
взаимонезависимыми по полезности, то
?1 'F.12)
+ k2 2
+... +A"-1 kx k2... kn ux (xx) u2 (x2)... un {xn)f
где
1. и нормализована условиями и(х°\, х°2, ..., х°п):=0 и
и(х*ъ х*2, ..., х*п) = 1.
2. щ(х^ — условная функция полезности для фактора Хи
нормализованная условиями Ui(x°i) = 0 и щ(х*{)~\, /=1, 2, ..., /г.
3. Ь = и(х*и?{).
4. k — шкалирующая константа **>, определяемая из уравнения
*) Материал этого раздела является адаптацией работы Кини A974).
•*> Процедура нахождения значения параметра k приведена в приложении
6Б в конце настоящей главы.
279

ft
Предварительное замечание. Бели ??г=1, то 6 = 0 ивыраже-
яие F.12) сводится к аддитивной функции полезности вида
и(х)=Ъкцц(х{). F.13)
С другой стороны, если Sv^fei^l, то k=?0 и обе части выражения
F.12) можно умножить на k и прибавить единицу к обеим
частям. Вынося за скобки общие сомножители в правой части,
получаем
Ьи(х) + \ = П[кЬщ(хг)+\\. F.14)
Когда параметр k в выражении F.14) положителен, функции
u'(x)esl+\ku(x) и u'i(xi)=sl + kkiUi(Xi) являются функциями
полезности на соответствующих областях определения и
u'(x)=Uu'i(xi).
Если параметр k отрицателен, функции u'{x)z~—[ku(x) + l] и
u'i(Xi)ss — [l+kkiUi(Xi)] являются функциями полезности для
факторов X и Xi соответственно и поэтому
Таким образом, выражение F.14) можно считать
мультипликативной функцией полезности.
Доказательство. Свойство взаимной независимости по
полезности по определению подразумевает, что Л^еШ для ?=
= 1, 2, ..., п—1. Следовательно,
u(x)^u(Xi)+Ci(xi)u(xi), t=l, 2, ..., п— 1. F.15)
Устанавливая все Xi=x°u кроме х\ и Xj, / = 2, 3, ..., п—1, получаем
равенство
u(xu Xj) =u(xi) +ci{xx)u(Xj) =u(x}) +cj{xj)u{xl)
или
.*(*/)-! = cifa)--! sfe> / = 2,3,..., я-1, и{х,)фО, F.16)
U (Xj) U (Xt)
где k — некоторая константа. Если и(*,-)=0, то очевидно, что
€j(Xj) = ly и отсюда следует
Ci(xi)=ku{Xi) + l для всех t=l, 2, ..., я—1. F.17)
Повторно используя выражение F.15), можно получить
а(х) =u(xi) +ci{xi)u(x2, хЪу ..., xn)=u(xx) +
]+Ciix{)[a(x2) +c2(x2)u(xz, xA, ..., Xn)]=u(xy) +
+ Ci(Xi)u(x2) +Ci(Xi)c2(X2)u{x3) + ... +C\{Xi) ...Cn-\(Xn-l)u(Xn).
F.18)
280

Подстановка выражения F.17) в F.18) дает
и(х) =и(*0 + [ku(xi) + l]u(x2) + [ku{xx) +1] X
Х{ки(х2) + 1]и.(хъ).+ ... +[ku(xi) + l] ...[ku(xn-i) + l]
или, в более краткой записи,
(xj). F.19)
Если k=0, выражение F.19) сводится к аддитивной функции
полезности
и{х)=Ъи{Хг). F.20)
Если k=?09 то, умножив обе части равенства F.19) на kt прибавив
к каждой из них I и переставив члены в правой части полученного
выражения, приходим к соотношению
ku(x) + l=n[ku(Xi) + l]. F.21J
Вспомним, что u(Xi) обозначает на самом деле функцию и(х°и ...
..., jcVi, xu x°i+], ..., х°п)' Следовательно, можно определить
так, чтобы диапазон изменения функций #*(•) был заключен в
пределах от 0 до 1. Тогда 'выражения F.20) <и F.21) сводятся,
соответственно, к выражениям F.13) и F.14) и доказательство
можно считать законченным.
В § 5.4 было показано, что (в двумерном случае) при
взаимной независимости по полезности факторов Х\ и Х2, функция
полезности и(хи х2) либо мультипликативиа, либо аддитивна.
Отметим, что этот результат является частным случаем приведенного
выше утверждения.
Предположим, что условия TeoipeMbi 6.1 выполняются. Тогда
важно анать, является ли функция полезности аддитивной или
мультипликативной. Одна из процедур заключается в следующем.
Возьмем два фактора, например Хх и Х2. Затем выберем два
значения фактора Х\: х\ и х"и которые «е равноценны для лица,
принимающего решение. Аналогично выберем два значения фактора
Х2: х'2 и *. Далее, значения всех факторов, крОхме Х\ и Х2у
зафиксируем на некотором удобном для анализа уровне, который
обозначим через х+\2. Теперь без доказательства сформулируем
следующее следствие.
Следствие. Если предположения теоремы 6.1 справедливы и,
кроме того, лотерея с равновероятными исходами (х'\, x'2f x+i2) и
(х"и х, х+\2) равноценна для лица, принимающего решение,
лотерее с равновероятными исходами (х'и х, х+\2) и (xf'u xr2, x+i2)>
281

функция полезности должна быть аддитивной. Если эти две
лотереи не равноценны, то функция полезности мультипликативна.
Если условие равноценности или неравноценности лотерей
выполняется для какого-либо одного значения х+\2, то можно
показать, что оно выполняется и для всех других значений х\2у так как
{Хи X2}^\Jl. Таким образом, при проверке этого допущения
можно .не задумываться о значении х+\2.
6.3.1. Более слабые условия, приводящие к взаимной
независимости по полезности. Существует несколько наборов более
слабых усло*вий, которые влекут за собой взаимную независимость
во полезности. Важность таких условий в том, что они помогают
существенно сократить число предпосылок, подлежащих inpoiBep-
ке при выяснении возможности использования теоремы 6.1. Если
дано множество п факторов {Хи Х2, ..., Хп}, то существует 2п—2
подмножеств факторов, которые должны быть -независимы по
полезности для того, чтобы допущение о взаимной независимости по
полезности оказалось .справедливым. При /2=10 и отсутствии
более слабых условий, для того чтобы убедиться в справедливости
допущения о (взаимной независимости ino «полезности, необходимо
проверить 1022 условия. Использование более слабых условий
позволяет сократить число проверяемых допущений по крайней
мере до п.
Теорема 6.2. Пусть имеются факторы Хи Х2, ..., Хп, тогда
следующие условия являются эквивалентными:
1. Факторы Хи X2i ..., Хп взаимонезависимы по полезности.
2. Я,€=1Л, г=1, 2, ..., п.
3. {Хи ХМ9 .-., *«}eUI, i=2, 3, ..., л, и {Хи Х2, ..., Xn-i}e=UI.
4. {Xit X,+i}€=UI, i=l 2, ..., п-4; п^З.
5. J^UI*) ;и {Хи Х*}е=Р1, f=2, 3, ..., /г; п^Ъ.
Заметим, что то определению независимости по полезности (UI)
из условия 1 следуют условия 2—5. Обратные утверждения
доказываются в 6.9. Там же описано образование различных наборов
условий, обеспечивающих справедливость допущения о взаимной
'независимости по 'полезности. Условия 2—4 являются частными
случаями (этого общего результата. Доказательство того, что из
утверждения б следует утверждение 1, связано с установлением
основной взаимосвязи «между свойствами независимости по
предпочтению и по полезности. Эта взаимосвязь будет установлена в
§ 6.7. В качестве достаточного условия мультипликативности или
аддитивности получаемой функции полезности Поллак A967)
использовал условие 2, а Мейер A970) <— условие 3. Относительно
условий 4 и 5 необходимо заметить, что, как следует ,из их
смысла, они могут использоваться лишь 'при наличии то крайней мере
трех факторов.
При использовании условий 2—5 количество допущений,
подлежащих проверке, возрастает линейно по мере роста числа фак-
*) Условие Ъ можно сформулировать в более общем виде. В этом случае
необходимо, чтобы любой из факторов, не обязательно Хи был независим по
полезности от своего дополнения.
282

торов. Однако проверка условий 2—4 требует от лица,
принимающего решение, установления предпочтений относительно лотерей,
исходы которых различаются значениями от двух до п—1
факторов. Эта задача оказывается очень обременительной. Условие 5
связано с .предпочтениями относительно' последствий,
отличающихся значениями лишь двух факторов, и предпочтениями
относительно лотерей с исходами, различающимися только то -одному
фактору. Это (последнее условие (представляется приемлемым во многих
задачах, >и, как было установлено, в практических ситуациях его
действительно легко проверить (см. гл. 7 и 8).
6.4. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ ¦>
Полилинейная функция полезности в случае п факторов
является обобщением функции полезности, установленной в
результате 3 § 6.2, для трех факторов. Она также является обобщением
как аддитивной, так и мультипликативной функций (полезности.
Это может быть сформулировано в виде следующей теоремы.
Теорема 6.3. Пусть дано множество факторов Х={Хи
Х2, ..., Хп}, где п^2. Если Хг не зависит по полезности от Хи i=
= 1, 2, ..., л, то
и (х) = ? kt щ
+222 **"щ {Xt) u* <*j> Ui
222
t=i j>l- />,/
+ ...+kU3...nu1(x1)u2(x2)...un{xn), F.22)
где
1. Функция и нормализована условиями и(х°\, х°2, ..., д:°п)=0
и и(хх*у х2*, ..., хп*) = 1.
2. Ui(Xi) является условной функцией полезности для Хи
нормализованной условиями Ui(x°i) = 0 и Ui(x*i) = l.
3.Шкалирующие константы могут быть найдены**) с помощью
выражений
кг = и(Хг*,Х°г), F.23а)
&ij = W(Xi*, Xj*, XOn)—ki—ki = u(Xi*, Xj*y X°ij) —
—Ufa*, Х°г)-и(Х*, jPj), F.236)
kiji=U(Xi*9 Xj*9 Xi*, Xoin)—kii—kil—kn—ki—kj—ki =
= и(Хг*, Х}*9 ХД Fid—Ufa*, Xj*y ?и)—и(Хг*, Xt*y Х°ц) —
(* * °) (* °) (* °)(\ °)
*t X°jt) +u(Xi*9 X°i) +U(X*, X°J)+U(X1\ X°i)t
F.23b)
*) Результаты этого параграфа были обобщены Фишберяом A973b) я
Фаркаром A975). В последней работе рассмотрены в том числе и
декомпозиции для «неразделяющихся» взаимодействий переменных.
**) Для упрощения получаемых выражений нами несколько расширены
введенные обозначения. Так, например, в записи (xit x2, xi2) через Jci2 обозначены
значения всех факторов, кроме Х\ и Хг.
283

Доказательство. Согласно допущению о независимости
по полезности, .из выражения F.6) следует, что
и(х)=и(х{)+с{(х{)и{х{)9 a>0t t=l, 2, ..., я, F.24)
где функция и шкалирована от 0 до 1. Определим функцию щ
таким образом, чтобы она !была функцией полезности для фактора
Хи шкалированной от 0 до 1. Далее, заметив, что u(Xi)=kiUi(Xi)
при_ некоторой 'положительной константе ku можно определить
di(xi)—kiCi(xi) и переписать выражение F.24) в виде
u(x)=^u(Xi)+di(xi)Ui(Xi)9di>Oti=l929 ..., п. F.25)
Для вычисления значений di в выражении F.25) положим Х{
равными их наиболее желательным значениям. Отсюда получим
И, ПОСКОЛЬКУ Ui(Xi*)=i9 ТО
di(Xi) =U(Xi*, Хг)-и(х\ Х{), il=l, 2, ..., П. F.26)
Подставив значение di(xi) из выражения F.26) в выражение
,F.25) и проведя перегруппировку, найдем
U(x)=Uf(Xi)u(Xi*9 Xi)\+\[l— Ui(Xi)]u(x°i, Xf), t=l, 2, ..., П.
F.27)
Доказательство становится далее простым по смыслу, но
алгебраически громоздким. Будем последовательно подставлять з*на-
чения выражения F.27) для ?=1, 2, ..., п в само себя и при
помощи перегруппировки шолучим нужный результат. Приведем здесь
лишь первый шаг, на котором выражение F.27) при 1=2
подставляется в выражение F.27) при «=!1:
u(x)=ui(xi)u(xx*9 Xi) + [l—Ui(xi)]u(x°u хх) =
=tii(xi)[u2(x2)u(xi*9 x2*, xX2) + [1—и2(х2)]и(х1*9 x\ xi2)] +
+ [l—ul(xi)][u2(x2)u(x°u x2*9 xi2) + [l—u<t(x2)]u{xoi9x°2t ^12)] =
=u(x°l9 x°2, xY2) + [u(xi*t x\ xl2)—u{x°u x\ xi2)]ui(xx) +
+ [u(x°u x2*9 xi2)—u(x°u x\ xl2)]u2(x2) + [u{xx*9 x2*, xi2) —
—u(xx*9 x°2, xi2)—u(x°u x2*, xl2)+u(x°u x°2% xX2)]ul{xl)u2{x2).
F.28)
Повторяя эту процедуру, (получаем искомый результат —
выражения F.22) и F.23).
284

Сравнивая результаты теорем 6.1 и 6.3, можно увидеть, что
выражение F.22) является обобщением мультипликативной и
аддитивной функций полез-ности. В случае полилинейной функции
(полезности F.22) существуют 2^—1 шкалирующих констант, но,
поскольку и(х*) = 1, сумма всех этих констант должна быть равна
1, и поэтому среди этих шкалирующих констант лишь 2п—2 (будут
независимыми. Используя выражение F.23), шкалирующие
константы можно вычислить, зная /полезности в «угловых» точках
области возможных последствий в X.
6.5. АДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
В этом разделе будут рассматриваться аддитивные функции
полезности для п факторов. Значительный вклад в развитие этой
области внесен Фишберном A964, 1965а, 1965в, 1966, 1967а, 1976в,
1967с, 1970, 1971, 1972). Им были определены -необходимые и
достаточные условия существования аддитивной функции
полезности для многих случаев, в том числе для полных произведений
множеств, счетных произведений множеств, неполных
'произведений множеств и при взаимозависимости некоторых факторов. В
работах Прузана и Джексона A963), Поллака A967) также
представлены .необходимые и достаточные условия аддитивности
функции полезности.
В случае п факторов условия аддитивности функции
'полезности по Фишберну можно сформулировать следующим образом.
Определение. Факторы Хи Х2у ..., Хп являются аддитивно
независимыми, если предпочтительность лотерей на Хи Х2, ..., Хп
зависит только от их маргинальных распределений вероятностей и
не зависит от их совместного распределения вероятностей.
Используя это определение, можно сформулировать основной
результат теории аддитивной полезности.
Теорема 6.4. (Фишберн). Аддитивная п-мерная функция
полезности
U[X) = _2 U(Xu Х°{) = S km(Xi) F.29)
существует тогда и только тогда, когда выполняется условие
аддитивной независимости факторов Хи Х2у ..., Хп, где
1. Функция и нормализована условиями и(х°и х\ ..., #°п)=0
й и(хД х2*, ..., *п*) = 1.
2. щ является условной функцией полезности для Xi и
нормализована условиями Ui(x°i)=0 и щ(Х{*) = 1, t'=l, 2, ..., п.
3. kt*=u(Xi*9 Fx),i=il, 2, ..., п.
Доказательство. Доказательство строится на
последовательном использовании представления функции (полезности для
двух факторов в соответствии с теоремой 5.1. Если в качестве
фактора У принять множество {Х2у Х$у ..., Хп}, тогда из теоремы
5.1 следует
и(хи х2, ..., хп) =kiUi(xi) +kYuY(x29 xz, ..., хп). F.30)
285

Затем для того, чтобы произвести декомпозицию функции иуУ
положим Z={X3, ^4, ..., Хп} я, снова используя теорему 5.1, получим
ит(х2, х3, ..., xn)=k2u2(x2)+-kzuz(Xb дг4, ..., хп). F.31)
Продолжая действовать таким же образом и подставляя
выражение F.31) !в F.30) .и далее, в результате получаем выражение
F.29). Обратное утверждение следует непосредственно из
нахождения ожидаемой шолезности 'произвольной лотереи с
использованием аддитивной функции полезности.
Формулировка необходимых и достаточных условий
существования аддитивных функций полезности :по Поллаку A967)
приводит к следующей теореме.
Теорема 6.5. (Лоллак). Функция полезности лица, принимаю^
щего решение, является аддитивной тогда и только тогда, когда
его предпочтения относительно любых двух лотерей
остаются одинаковыми для всех Х\ при любых х/, х{\ Xia, Xiay
Xib И Xib.
[Предварительное замечание. Основное допущение, делаемое Пол-
лаком, ;проиллк>стр1ИрО!ва'НО «а рис. 6.2, где L\ есть лотерея <Л,
5>, a L2 — лотерея <С, D>. Отметим, что «сходы А и С
-имеют одно и то же значение фактора X*. Допущение Поллака
утверждает, что если значение
Xi исходов А и С будет
изменено, то установленная
предпочтительность между лотереями
L\ и Ь2 должна сохраниться.
То есть, если А и С будут
сдвинуты по горизонтали до А' и
С, то предпочтительность
между лотереями Ь'1 = <сА'у В>\
и L/2^<C/, D> должна быть
35^ х; *«* той же, что и между лотереями
х?% L\ и L2.]
Рис. 6.2. Иллюстрация условия аддитив- Доказательство. Если
ности Поллака функция полезности и
аддитивна, тогда ожидаемые
полезности указанных выше лотерей (при вычислении ожидаемых полез-
ностей используем выражение F.29)) будут соответственно
i> X ij ~j- I2U{X if X ij -j- /2U \Х%У Xi j,
Выч?1тая E[u(L2)] из Е[и(Ь})], убеждаемся, что относительная
предпочтительность лотерей L\ и L2 не зависит от значения х\.
Теперь примем, что относительная предпочтительность лотерей
Lx и L2 (не зависит от х\. Пусть xib=x/i, х?=х" и Xia=Xib=x°i.
Тогда 1х = <(хи ъ')9 (*Д х/')> и 12=<(хи jc/7), (хг°, ъ')>.
Для одного значения Хи (например Х{°, лотереи L\ и L2 одинаково
предпочтительны. Из условий теоремы следует, что одинаковая
286

предпочтительность этих лотерей должна сохраняться при любом
Xt. Последовательное многократное применение теоремы 5.1
позволяет установить, что функция и аддитивна.
Основным преимуществом аддитивной функции .полезности
является ее относительная «простота. Построение функции полезности
для п факторов сводится к нахождению п функций полезности, за-,
висящих от одного фактора, и п—1 .независимых шкалирующих
констант. Для нахождения численных значений одномерных
функций полезности можно использовать любой из методов,
обсуждаемых в данной книге. Вопрос о нахождении значений
шкалирующих констант рассматривается в § 6.6.
Основным недостатком аддитивной функции полезности
является ограничительность необходимых допущений. Часто можно
ожидать, что полезность той или иной лотереи будет зависеть не
только от маргинальных распределений вероятностей для
соответствующих факторов, но и от их совместного распределения
вероятностей. К тому же в конкретных содержательных задачах
большие трудности вызывает 'проверка справедливости
рассматриваемых допущений. Такие трудности возникают в связи с тем, что
допущения сформулированы в терминах (предпочтений лица,
принимающего решение, относительно распределений вероятности
реализации последствий, различающихся значениями нескольких
факторов.
6.6. УСТАНОВЛЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ
ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ *)
Использование аддитивной, мультипликативной и
(полилинейной функций полезности, а также независимости по (предпочтению
и по полезности позволяет свести задачу установления численных
значений функции полезности для п факторов к построению п
одномерных функций полезности. Обозначим эти функции для
каждого из факторов через п\> и^ ..., ип, а шкалирующие константы
через kj, /=1, 2, ..., г. Тогда
U(XU #2, ..., Xn)=f[u{(Xi), tl2(X2), ..., tin, kU k2, ..., kr]9 F.32)
где f является скалярной функцией. Каждая из функций щ может
быть построена независимо, поскольку подразумевается, что
шкалирующие константы обеспечивают согласование шкал измерений
функций щ. Таким o-бразом, сама проблема построения функций
щ оказывается на самом деле ничуть не более сложной, чем для
случая двух факторов, рассмотренного в § 5.8, только число
таких функций больше. Поэтому проблема (построения этих функций
здесь обсуждаться не будет. Однако проверка условий независимо-
*) Проблеме установления численных значений функций полезности в
случае многих факторов посвящены, например, следующие работы: Фишберна
A967), Хубера A974b) и Кнеппрета с сотрудниками A974). В работах Бойда
A970, 1973) обсуждается интерактивный режим оценки численных значений
функции полезности, зависящий от многих факторов.
287

сти и нахождение численных значений -шкалирующих констант при
наличии большого числа факторов усложняются. Подходы к
решению этих (проблем остаются теми же, что и в 'случае двух
факторов, но «возрастают трудности их реализации.
С точки зрения реализуемости возможных процедур нахожде-^
ния численных значений оцениваемых величин и характера
-вопросов, задаваемых при этом лицу, принимающему решение,
аддитивная и мультипликативная функции полезности оказываются
вполне удобными для практического использования и при /г^4.
Даже когда необходимые допущения полностью не 1вы/полняются
для области определения всех факторов, предположение о
справедливости этих допущений ;в ряде случаев может оказаться
хорошей* аппроксимацией [см. работу Винтерфельдта и Эдвардса
A973)]. В других случаях оказывается целесообразным
объединение различных аддитивных и мультипликативных функций
полезности, определенных на различных областях изменений
факторов. Более того, применяя описанный ниже способ вложения
одной многомерной функции полезности в другую, можно достичь
дополнительного увеличения гибкости в аписаиии структуры
предпочтений. В результате такого -подхода могут быть получены
различные частные случаи полилинейной функции полезности.
Результаты теорем 6.1 (мультипликативная функция
полезности) и § 6.4 (аддитивная функция полезности) справедливы
независимо от того, являются ли факторы Xi скалярными или
векторными. Это значит, что Х\ могут быть как скалярными, так и
векторными величинами. В первом случае щ представляют собой
функции полезности для одного фактора, ©о втором —
многомерные функции полезности. Если Xi является векторным фактором,
тогда (при выполнении необходимых допущений) для
структуризации функции ui можно снова использовать^ теоремы 6.1 и 6.4.
В этом случае .можно сказать, что иг является «вложенной»
многомерной функцией (полезности. Иными -словами, многомерная
функция полезности щ является «вложенной» в многомерную
функцию полезности и.
Возможность вложения мультипликативных форм
предоставляет дополнительную степень свободы в задаче, благодаря
использованию дополнительных независимых шкалирующих
констант. При использовании только «невложенных»
мультипликативных функций полезности число независимых шкалирующих
констант равно числу факторов п. Теперь предположим, что
последняя из «одномерных» (в вышеуказанном смысле) функций
полезности, т. е. ип, является мультипликативной функцией
полезности, вложенной в общую функцию полезности, и что ип в свою
очередь зависит от трех исходных («простых») факторов. Тогда для
«внешней мультипликативной функции полезности» требуется п
шкалирующих констант, а для «внутренней» — три. Таким
образом, всего необходимо /2+3 константы, хотя существует только
п + 2 исходных «простых» факторов Хи ..., Хп-\ и три «простых»
фактора для функции ип. Степень свободы, обусловленная исполь-
288

зеванием дополнительного параметра, допускает зависимость
кривых замещения для двух факторов от значений третьего. Это
позволяет, в свою очередь, ослабить условия независимости по
предпочтению. Используя различные схемы вложения, можно
получить достаточное количество дополнительных констант для
моделирования ситуаций, в которых для многих пар факторов
кривые замещения зависят от значений других факторов. Аддитивная
и мультицликативная функции полезности достаточно просты с
точки зрения их интерпретации и в то же время они обеспечивают
достаточную точность в количественном описании предпочтений
во многих реальных задачах, особенно при использовании
вложений. Последнее представляется очень важным, ибо об
использовании многомерных функций полезности и их .построении легко
рассуждать, однако реализовать необходимые процедуры в
практических ситуациях очень трудно.
6.6.1. Проверка допущений о независимости по предпочтению
и пополезности. Разобьем множество X на два подмножества:
У и У. Для проверки допущения о независимости по предпочтению
фактора У от У (проделаем следующее. Сначала установим
некоторое фиксированное значение #+, при котором все. компоненты
г/+ принимают относительно нежелательные значения. Кроме того,
выберем такие значения j/' и у", что последствие (у\ у+)
равноценно последствию (у", у+). После этого возьмем некоторое
другое значение у\ при котором ©се .компоненты у' принимают
относительно желательные значения, и спросим у лица, принимающего
решение: равноценно ли последствие {у\ у') последствию (у",.у')*
Ответ на этот (вопрос должен быть_ утвердительным, если фактор
У не зависит по предпочтению от У. Если ответ на самом леле
оказался утвердительным, необходимо выбрать новые значения
у и повторить ту же самую процедуру при различных значениях
у. Если ответы и на эти вопросы указывают на справедливость
допущения о независимости по предпочтению фактора У от У,
тогда зададим лицу, принимающему решение, вопрос: «Если
последствия (у\ у) и (у", у) равноценны для Вас при некотором
конкретном значении у, значит ли это, что указанная равноценность
последствий сохранится при любом выбранном значении у?»
Положительный ответ и на этот вопрос в значительной степени
укрепляет предположение о независимости по предпочтению
фактора У от У. В этом случае необходимо дополнительно проверить
ориентацию предпочтений относительно компонент фактора У.
Если последствие (уи у) предпочтительнее последствия (у2т у)
для одного значения у, тогда та же ориентация предпочтений
должна сохраняться (т. е. порядок предпочтений не должен
изменяться) и для любого другого значения у. Это условие вместе
с тем фактом, что кривые равного предпочтения (кривые^
безразличия) на У, построенные при фиксированном значении У, не
меняются при различных значениях F, позволяет установить
справедливость допущения о независимости по предпочтению У от Р.
Поскольку проверка условий независимости очень важна и суще-
Ю-67 289 '

ствуют различные подходы ,к ее проведению, ниже приводится
краткий диалог, который иллюстрирует одну из возможных
процедур.
Разобьем X на У и У. Для того чтобы проверить, является ли
фактор У независимым по предпочтению от У, можно
«придерживаться схемы этого гипотетического диалога между аналитиком
и экспертом.
Аналитик. Я хотел бы исследовать Ваше отношение к
последствиям с различными значениями фактора У и некоторыми
неизменными значениями фактора У. К примеру, на первой странице
этого вопросника (который показывается эксперту) приведен
список 'из 25 парных сравнений различных значений фактора У;
каждый из элементов пары характеризует значения факторов только
из У. Предполагается, что пары, представленные на первой
странице, имеют одинаковые_значения фактора У, равные у^
(значения всех компонент из У предъявляются эксперту). Вам понятна
стоящая перед нами задача?
Эксперт. Совершенно ясна, но Вы требуете от меня
проведения очень большой работы.
Аналитик. Дело в том, что я преследую определенную цель, и
к тому же (выяснение 'интересующих меня вопросов займет не так
много времени, как Вы думаете. На второй странице вопросника
(она показывается эксперту) повторяется идентичный набор из
' 25 парных сравнений, однако теперь ранее используемые о(бщие
значения факторов из У изменены: у^ заменен на у№ (значения
доказываются эксперту). Это понятно?
Эксперт. Безусловно.
Аналитик. На странице 3 имеются те же 25 парных сравнений,
но теперь общие для них значения факторов из У равны у&
(показываются эксперту).
Эксперт. Вы же сказали, что эта работа не отнимет много
времени.
Аналитик. Вот тут мы подошли к центральному моменту.
Представьте себе, что Вы тщательно и кропотливо провели все
предложенные Вам 25 парных сравнений, представленные на с. 1, где
установлено значение ip\ Теперь, переходя к следующей странице,
измените ли Вы свое отношение к результатам тех же 26 парных
сравнений?
Эксперт. Сейчас посмотрим. На второй странице все парные
сравнения те же самые и отличаются лишь тем, что у№ заменен
«а уB\ Но к -каким различиям в ответах это должно привести?
Аналитик. Вот это как раз Вы и должны мне сказать.
Допустим, мы рассматриваем -первое парное сравнение (указывается в
вопроснике). Имеет ли какое-нибудь значение^ то, что значения
всех факторов из F зафиксированы на уровне у^ или */<2>? ^ело в
том, что изменения общего уровня значений факторов из У могут
оказать .некоторое влияние на Вашу точку зрения относительно
результатов попарных сравнений.
290

Эксперт. Возможно, это справедливо в некоторых других
ситуациях, но в первом парном сравнении левая альтернатива для
меня предпочтительнее 'правой вне зависимости от значений У,
пока эти значения одинаковы для обоих (последствий.
Аналитик. Хорошо. Изменится ли Ваше отношение к этому
вопросу, если рассматривать вторую шару альтернатив?
Эксперт. Нет. Это касается также и третьей пары и всех
остальных тоже. Быть может, я слишком наивен? Или здесь заключен
какой-либо подвох?
Аналитик. Нет, совсем нет. Я лишь проверяю, влияют ли
значения у на Ваше отношение к возможным результатам парных
сравнений. Таким образом, я моту сделать вывод, что ваше
отношение к попарно сравниваемым альтернативам на с. 1 можно
перенести и на результаты сравнений на с. 2.
Эксперт. Совершенно верно. . .
Аналитик. Относится ли это и к третьей странице, где Г
зафиксирован на значении г/<3> (показывается эксперту)?
Эксперт. Да.
Аналитик. Итак, на основе этой информации я могу сообщить
Вам, что для Вас множество факторов У не зависит по
предпочтению от множества факторов У.
Эксперт. Приятно слышать.
Аналитик. Это все, что я хотел выяснить.
Эксперт. Разве Вы не попросите меня дать ответы на все
вопросы, 'помещенные на с. 1?
Аналитик. Нет. Это слишком большая работа. Есть гораздо
более легкие способы получения этой информации.
Конечно, при использовании аналитиком и экспертом _этой
процедуры проверки независимости У по предпочтению от У она
может оказаться недостаточной для проверки независимости
остальных отношений предпочтения. Однако существует опасность того,
что процедура оборвется на первом же этапе, поскольку ее идеи,
хотя и являются очень простыми, когда они уже известны,
первоначально могут вызвать серьезные трудности.
К аналогичной процедуре можно прибегнуть и для проверки
независимости по полезности фактора У от Р. В этом случае на
первой странице всшросника также устанавливается определенное
значение уМ фактора У. Однако вместо парных сравнений
последствий с различными значениями у предлагаются парные сравнения
лотерей (обладающих равновероятными исходами) либо ;с
другими лотереями (также с равновероятными исходами), либо просто
с детерминированными исходами. Конечно, все возможные исходы
в подобных парных сравнениях представляют собой возможные
последствия и описываются в пространстве факторов У. Во всех
сравнениях на с. 1 факторы У зафиксированы на уровне г/A). Ана-
лолично, на с. 2 факторы У зафиксированы на уровне #B) и т, д.
Аналитик теперь снова может прибегнуть к описанной выше про?-
цедуре, и если эксперт не находит причин, по которым, результаты]
10* 291

парных сравнений должны зависеть от значений у, то можно
заключить, что Уе1Л.
В практических ситуациях для обоснованного подтверждения
гипотезы о независимости по полезности фактора У от У обычно
оказывается достаточно проверить это условие примерно для
четырех различных значений у, охватывающих диапазон
изменения У.
6.6.2. Вычисление значений шкалирующих констант. Из
рассмотрения, .проведенного в § 5.8, вытекает удобный подход к
вычислению значений шкалирующих констант k\—kT. Желательно
получить г независимых уравнений, которые содержали бы в
качестве г неизвестных константы kh и, решая затем эти уравнения,
найтл значения kj. Необходимая система уравнений может быть
получена путем рассмотрения детерминированных исходов,
лотерей и их комбинаций. Например, если последствия х и у одинаково
предпочтительны для лица, принимающего решение, тогда,
очевидно, i*(x)=u(y), или, пользуясь выражением F.32),
f[Ux(Xi), ..., Un(Xn), kU ..., kr]=f[Ui(yi), ..., Un(yn)> ku ..., kr].
F.33)
Поскольку функции щ уже построены, значения щ{Хг) и tia(yi)
являются просто числами, и поэтому выражение F.33)
представляет собой уравнение, содержащее как максимум г неизвестных.
Аналогично, если, например, x~<w, p, z>, то, подставляя
выражение F.32) в соотношение
получаем другое уравнение, содержащее как максимум г
неизвестных.
Однако использование такоого подхода незамедлительно
порождает проблемы, связанные со следующими вопросами-: 1. Каким
образом можно обеспечить независимость уравнений? 2. Что
следует предпринять в том случае, когда оолучено более г
независимых уравнений и они несовместны?
В практических ситуациях понимание стоящей проблемы и
знание функционального юида функции полезности, по-видимому,
лучше всего предохраняют от получения большого количества
избыточных уравнений. Тем не менее представляется интересным
рассмотреть один подход, который может помочь избежать какой-
либо избыточности в уравнениях в случае полилинейной !функции
полезности. Выбор полилинейной функции обусловлен тем, что
она содержит наибольшее количество шкалирующих констант из
всех рассмотренных выше функциональных форм. Вспомним, что
для полилинейной формы необходимо оценить 2п—2 'констант, где
п — число факторов. Существует 2п «угловых» последствий вида
(х*и *f2, ..., *'п), где х'г = #г*, или л/^хД а равенства и(хх*,
х2*У ..., Хп*)=1 (И и(х\°, лг2о, ..., #п°)=0 используются для
шкалирования функции и. Бели значение полезности каждого из
угловых последствий установлено <в соответствии со значениями полез-
292

ности этих двух эталонных последствий или других последствий,
оцененных ранее, то можно, подобрав подходящие значения
вероятности р, установить равноценность -каждого «углового»
последствия соответствующей лотерее вида <(*i*, x2*, ..., хп*)9 р9
(Xi°, х20, ..., хп°)>. В случае, когда в получаемой системе
уравнения все-таки оказываются несовместными, .необходимо на основе
эмпирических данных построить дополнительные уравнения,
связывающие неизвестные константы kj, и продолжить это построение
до тех лор, пока не будет получена система из г независимых
уравнений. Пример, .иллюстрирующий вышесказанное, рассмотрен
в § 5.8.
Причиной несовместности уравнений в рамках принятой
-модели, очевидно, является несогласованность в ответах лица,
принимающего решение. Поэтому аналитик должен помочь ему
разобраться в подобных рассогласованиях и, возможно, подсказать,
как « в чем можно изменить ответы, чтобы получить
согласованную систему (предпочтений. Если это не может быть осуществлено
из-за ограниченности во времени, или по каким-либо другим
причинам, то следует обратиться к анализу чувствительности,
используя возможные (допустимые) значения «шкалирующих
коэффициентов. Такой анализ, возможно, позволит выделить лучшую
альтернативу или що крайней мере отбросить некоторые из
последующего рассмотрения. Для оставшихся альтернатив
необходимо продолжить выяснение вопроса о том, какие (параметры
оказывают решающее влияние на выбор, и, «следовательно, снова
возникает необходимость в разработке процедуры установления
значений этих параметров.
6.6.3. Шкалирование условных функций полезности. В этом
параграфе будет показано, что проблема шкалирования условных
функций полезности во многом аналогична (проблеме
шкалирования условных функций ценности, обсуждавшейся в § 3.7. Для
решения этой проблемы можно непосредственно применять методы
нахождения значений шкалирующих коэффициентов для функции
ценности. Однако, здесь при построении шкал измерения для
функций полезности может быть использована дополнительная
•возможность, основанная на использовании опросов относительно
предпочтений .между лотереями.
Аддитивная, мультипликативная и полилинейная функции
полезности могут быть записаны в виде
п
и(хи х2, ..., хп) = 2 kiUi(xi)+ ..., F.34)
где «.. .>> означает другие возможные члены. Если «используется
аддитивная функция полезности, то других членов нет, при
мультипликативной и полилинейной функциях полезности они
присутствуют. Каждый раз, когда шкалы измерений функций щ и и
«нормализованы» условиями
И(*Л Х2*> ..., Хп*) ='1, И(*1°, *2°, ..., *п°)=0 F.35*
293

и
Ui (х*{) = 1, щ {x°i) =0 для всех Хи F.36).
справедливо равенство
и(х\ ?г) =ku Ы1, 2, ..., л. F.37);
Проблема, рассматриваемая в этом подпараграфе, состоит в
нахождении значений шкалирующих коэффициентов для условных
функций полезности в выражении F.34). Эта проблема решается
путем определения значений к\ для /=1, 2, ..., п. При таком
подходе необходимо получить п независимых уравнений
относительно неизвестных к{.
Поскольку решение вручную п уравнений (которые не
обязательно являются линейны'М'и) с п неизвестными, мягко говоря,
затруднительно, для нахождения k\ обычно используются системы
уравнений, которые легко разрешимы. Это обстоятельство, по
существу, сводит все вопросы к двум основным типам.
Вопрос I. При каком значении вероятности р для Вас равно*
ценны:
1. Лотерея, дающая исход х* с вероятностью р и исход х° с
вероятностью 1—р.
2. Детерминированный исход — последствие (х°\, ¦.., х°г--ь х*и
Х°{+\, ..., Х°п).
Если из ответа лица, принимающего решение, следует, что
это значение равно ри то согласно выражению F.35) ожидаемая
полезность лотереи оказывается равной pi и из выражения F.37)
вытекает, что значение полезности данного детерминированного
исхода (в виде выше указанного последствия) равно &*.
Приравнивая эти полезности, находим, что ki=^p%* Таким же образом
легко получить значения каждого из параметров k{.
Второй ти>п вопросов можно проиллюстрировать следующим
образом.
Вопрос П. Выберите такие значения факторов Х{ (например*
x'i) и Xj (например, x'j)> что при любых установленных
значениях всех других фажторш для Васбудут равнацениы 1) последствие,
содержащее значения х\ и x°j вместе, 2) последствие,
содержащее значения x'j и х°г вместе.
Используя выражения F.35) и F.36), молено приравнять
полезности этих двух равноценных последствий и получить
кМ*д=к)Щ{*1). F.38)
Поскольку функции полезности для отдельных факторов щ и Uy
уже построены, легко находятся значения как щ{х\), так и
^fx'j). Поэтому выражение F.38) является простым линейным
уравнением. Дополнительно предположим, например, что х\=>
=***. Тогда из F.36) следует, что взаимосвязь между
параметрами ki и kj, задаваемая выражением F.38), становится еще
более простой.
Основной недостаток вопросов как первого, так и второго типа
^заключается в том, что в них используются экстремальные зна-
294

чения факторов, т. е. x*i и x°i. Поскольку диапазон от х°г до л;*»
должен включать в себя все возможные значения Хи для лица,
принимающего решение, часто бывает затруднительно оценить
предпочтительность на основе экстремальных значений. Еще одна
трудность, возникающая при использовании вопросов первого
типа, — необходимость учитывать влияние одновременного
изменения факторов. Таким образом, для облегчения вычислений
(даже с помощью вычислительных машин), от лица, принимающего
решение, приходится получать ответы на вопросы значительно
более сложные, чем это требовалось бы из теоретических
соображений. В приложении 6 в обсуждается программа для ЭВМ,
разработанная для преодоления этого затруднения.
Обычно при нахождении значений параметров их следует
сначала ранжировать, затем, используя вопросы первого типа,
вычислить значение наибольшего из ?< и, наконец, с помощью
вопросов второго типа найти значения остальных k\ через kri с
наибольшим значением. Если значения k\ уже известны и их сумма
равна единице, то функция полезности должна иметь аддитивный
вид. В противном случае значения k\ следует подставить в
выражение F.34) для нахождения параметра k в
мультипликативной функции полезности или других констант в полилинейной
функции. Такая задача может оказаться сложной сама по себе.
Ранжирование констант № в принципе не должно оказаться
особенно сложной задачей. Его можно провести, например, задав
лицу, принимающему решение, вопрос: является ли для него
последствие (х*и jc°i) более предпочтительным, чем последствие
((х*2, *°2)? Если первое -последствие оказывается более
предпочтительным, то из выражения F.37) следует, что k\>k2, а если
предпочтительнее второе (последствие, то k2>k\. Бели же эти
исходы равноценны, то ki=k2. Повторяя такие вопросы для
других парных сравнений, можно получить полное упорядочение
значений &г-. Для полного упорядочения необходимо провести как
максимум (п2—п)/2 таких парных сравнений, однако разумный
выбор последовательности проведения этих сравнений позволяет
свести их число всего лишь к п—1. Например, бывает
целесообразно предоставить лицу, принимающему решение, список
последствий и попросить его проранжировать их. Используя в качестве
приближения проранжированный список, можно проверить его
согласованность с помощью результатов п—1 парных сравнений
соседних теперь последствий. Идеи, связанные с проведением
упорядочения значений ku должны быть теперь понятны. Просьба
об упорядочении лицом, принимающим реЩение, значений ?<
перед их фактической оценкой позволяет без особых затруднений
подготовить его к рассмотрению замещений, которое ему
(предстоит провести*).
*> Как уже отмечалось в § '5:8, параметры k\ нельзя интерпретировать как
характеристики относительной важности факторов Хи
295

Пример 6.1. Допустим, было установлено, что k\>k2>%, хот5в
для целей предлагаемого примера нужно знать лишь наибольшее
из ki. Затем лицо, принимающее решение, просят назвать такое
значение Х\ (пусть это будет лЛ), при котором последствия
(х'и х°2, x°z) и (х°и я*2, *°з) оказываются равноценными. Из вы*
ражения F.34) следует
hux{x'x)=k2y F.39)
где u$x'$ является уже числом, находящимся в пределах от О
до 1. Аналогично следует найти такое значение хх (пусть это
будет л/'i), при котором (я"ь л:°2, х°г) ~1{х\ х°2, x*z). Приравнивание
соответствующих полезностей позволяет установить
Заметим, что получаемая здесь информация идентична той,
которая была использована в гл. 3 для шкалирования функций
ценности.
Если функция полезности аддитивна, то из выражения F.29)
следует, что для согласованности констант должно выполняться
равенство
fti+fe + fta^I- F.41)
Система уравнений F.39), F.40) и F.41) может быть легко
разрешена относительно искомых значений ki. Естественно, чтобы
быть согласованным, значение k$ должно быть меньше, чей k2.
Если функция полезности мультипликативна, тогда из
выражения F.14) для согласованности значений констант должно
выполняться равенство
k+1 = (kkx + 1) (kk2+1) (kkz+l). F.42)
Уравнения F.39), F.40) и F.42) в совокупности содержат
четыре неизвестных: k\9 k2, k$ и k9 поэтому необходимо привлечь
еще одно уравнение. Прибегая с этой целью к сравнению
лотерей, можно определить такое значение вероятности ри при кото-
рам последствие (а:*ь х°2у х°г) будет равноценно лотерее <(х*ь
#*2, **з), Ри (х°\, х°2, х°з)>. Используя мультипликативную
функцию 'полезности для трех факторов <и приравнивая ожидаемые
полезности, находим
Ai—Pi. F.43)
Решение этого уравнения совместно «с уравнениямиF.39),F.40^
и F.42) позволяет найти шкалирующие константы.
6.6.4. Шкалирование аддитивной функции полезности. Обра»
тим внимание на константы ki в аддитивной функции полезности
в случае п факторов. Заметим, что эмпирической оценке
[подлежат лишь п —1 коэффициентов ku так как /г-й коэффициент
может быть найден из условия согласованности
2 ki=i. F.44>
296

Хотя использование вопросов первого и второго типа при
оценке констант ki достаточно просто «выглядит в процедурном
смысле, получение ответов на эти вопросы может вызвать
затруднения. Дело в там, что, «некоторые (вопросы, задаваемые лицу,
принимающему решение, при использовании этого метода могут
оказаться для него очень трудными. Но прежде чем перейти к
обсуждению путей преодоления этих трудностей, нам опять
придется ввести некоторые новые обозначения. Пусть для любого
подмножества Т множества индексов {1, 2, ..., л} символ хт
обозначает точку #, в которой 1-й фактор принимает либо значение ***,
если i принадлежит Г, либо значение х°и если i не принадлежит
Т. Таким образом, для п=5 и Г= {1, 2, 4}
*Г===Л:{1.2,4}— (**ь **2, х°г, х*4, *°s). F.45)
Определим также
kT= 2 ki F.46)
я вероятность рт такую, что для лица, ".принимающею решение,
лотерея Ьт^<х*9ртУ х°> оказывается равноценной
детерминированному исходу в виде последствия хт. Используя эти обозначения
яри оценке значения рт для любого конкретного Г, получаем, что
полезность и(хт) должна быть равна ожидаемой полезности
лотереи Lr. Ожидаемая полезность лотереи LT, очевидно, равна рт, а
и(хт) =kT, поэтому
кт=рт для всех Т. F.47)
Из выражения F.46) следует, что, зная значения ku нетрудно
найти значение кт для любого подмножества Г. Однако в ряде
случаев для лица, принимающего решение, может оказаться
менее затруднительным получить значения ki на основе значений
некоторых kT. Это может быть сделано с помощью выражений
F.46) и F.47).
Пример 6.2. Пусть снова гс=5, и предположим, что Г={1, 2, 4}
и i? = {l, 2}. Тогда, если значения рт и pR нам уже удалось
получить («а основе эмпирич-еюких оценок, например), то из
выражений F.46) и F.47) следует
И, как легко заметить, в этом примере
?4=рг—рн. F.48)
Конечно же, существует много различных способов проверки
согласованности полученного значения k±. Например, предположим,
что для подмножества Q = {1, 2, 3, 5} было оценено значение ря.
Тогда, .поскольку *из выражения F.47) следует ^1+^2+^3+^5 =
^Pq, а из выражения F.45) &1 + &2+&з+&4+&5==1, то &4=1—Pq*
Другим очевидным способом проверки согласованности
значения ?4 является, как ранее было указано, непосредственная
(эмпирическая) оценка значения р\.
297

Из обсуждаемого ниже положения теории вероятности вытека»
ет еще один подход к оценке коэффициентов kit При
установлении значений вероятности на конечном полном множестве
взаимно исключающих друг друга событий {Ей ?2, ..., Ег} часто бывает
удобно сначала установить вероятности реализации некоторых
подмножеств таких событий, а затем, используя условные
вероятности, найти искомые вероятности отдельных событий. В
рассматриваемой задаче использование аналогичной процедуры
может оказаться полезным*). Теперь представим, что S является
подмножеством множества Т. Пусть необходимо найти, какая
часть значения kT приходится на S. Пусть ps\ т является таким
значением вероятности, что последствие xs равноценно лоте/рее
<Хт; ps ! Ту х°>. Приравнивая ожидаемые полезности, получаем
() ()
()p\ ()
Отсюда можно установить следующее правило:
Ps=Ps\tPt, SczT, F.49)
которое является аналогом правила умножения вероятностей в
теории вероятности.
В свете вышесказанного решение вопроса о том, провести ли
непосредственную или косвенную оценку значений ku зависит от
того, какая из процедур представляется более естественной в
контексте рассматриваемой конкретной задачи. ,
6.6.5. Шкалирование мультипликативной функции полезности **К
Методы нахождения значений шкалирующих констант для
мультипликативной функции полезности рассматривались в п. 6.6.3.
Однако наличие шкалирующей константы k характерно только
для мультипликативной функции полезности, поэтому эта
константа рассматривается здесь отдельно. В случае, когда справедливо
п
утверждение теоремы 6.1 и 2 ka—l, функция полезности аддитив-
п
на. Если же 2 кгФ\у то функция полезное™, является
мультипликативной и значение дополнительной константы k в
выражении F.14) может быть найдено, исходя из значений ki.
В этом случае, вычислив значение выражения F.14) в точке
х*9 получим
1+Л- П (l+hki). F.50)
п 1=1
Бели ЕЛг>1, то из выражений iF.14) и F.50) следует, что
для функции F.14). свойство независимости по полезности
может иметь место, лишь ко-гда —1<&<0. В этом случае,
итеративно решая уравнение F.50) относительно k при заданных
значениях flu t=l, 2, ..., /г, можно прийти к нужному значению k
(обозначим его /г*). Положим сначала k=k' и подставим это значение в
*) Аналогичная процедура в детерминированной постановке обсуждалась
в § 3.7.
**) Утверждения этого пункта доказаны в приложении 6Б в конце
настоящей главы.
298

выражение F.50). Если правая часть (ПЧ) меньше, чем левая
(Л Ч), то k*<k\ Если же ПЧ больше, чем Л Ч, то k*>k\
п
В случае 2 ki<\ из аналогичных рассуждений следует, что
ft*>0. Произвольно положим k=k' и подставим это значение в
выражение F.50). Если ПЧ>ЛЧ, то k*<k', тогда как, если
ЛЧ>ПЧ, то *¦>*'.
6.6.6. Пример*). Для иллюстрации некоторых положений
настоящего параграфа рассмотрим задачу о выборе места работы.
Для простоты предположим, что каждое место работы
характеризуется с помощью трех факторов: денежного вознаграждения,
времени поездки на работу и степени урбанизации района.
Обозначим их соответственно через Х\9 Х2 и Х$. Более того, будем
считать, что фактор денежного вознаграждения разбит на два —-
начальный размер заработка и перспектива его последующего
увеличения. Обозначим ,их через Y\ и Y2 соответственно. Таким
образом, X\ = Y{XY2. Шкалы измерений для каждого фактора
представлены аз табл. 6.1.
Таблица 6.1. Шкалы измерения факторов
Фактор
Шкала измерения
Хг
Х>
Начальная величина заработка
Перспективы последующего
увеличения заработка
Время поездки на работу
Степень урбанизации
Начальный годовой доход, дол.
Годовой размер заработка, дол.
после пяти лет работы
Время поездки на работу «от
двери до двери», мин.
Население городской территории
Затем необходимо установить наилучшие и наихудшие
возможные последствия выбора любого места работы по каждому
из факторов. Пусть эти экстремальные последствия уже найдены
и представлены в табл. 6.2. Теперь можно установить j/°i = 12 00G
и у°2=12 000, отсюда x°i=(y°u у°2) = A2 000, 12 000).
Аналогично будем считать х°2=60 и лгоз=0,5. Затем положим #*i=A8 000,
25 000), х*2 = 0 и #*з=15. Заметим, что х*2 принято равным
нулю, хотя при самых благоприятных условиях время поездки на
работу занимает не менее 10 мин. Тем не менее это вполне
отвечает целям анализа, поскольку единственное ограничение,
налагаемое на значение х*2, состоит в том, что оно должно по
крайней мере не уступать наилучшему последствию.
Теперь предположим, что допущения об аддитивной
независимости были проверены и установлена их справедливость для всех
факторов Хи однако они не выполняются для Y\ u Y2. Тогда сог-
*> Здесь с помощью упрощенного примера иллюстрируются некоторые
положения, ранее выдвинутые в этом параграфе. При чтении данный пример
может быть опущен.
299

Таблица 6.2. Диапазоны шкал измерения факторов
xlYi
Хг
Х3
Начальная величина заработка
Перспектива последующего
увеличения заработка
Время поездки на работу
Степень урбанизации
Диапазон
Наилучшее
значение
18 000 ДОЛ.
25 000 дол.
10 мин.
15 млн.
Наихудшее
значение
12 000 ДОЛ.
12 000 дол.
60 мин.
0,5 млн.
ласно теореме 6.4 функция полезности и(хи x2f *з) является
аддитивной. Из выражения F.29) следует, что
и(хи х2у Xs)=kiUi(xi}+k2U2(x2)+kzUz(xz)9 F.51);
где
щ(х°г) =0, щ (х*г) = 1 для всех и F.52Jj
Метод нахождения численных значений функций и2 и иг при
соблюдении условий F.52) подробно обсуждался в гл. 4,
поэтому здесь об этом больше не будем говорить: Но функция и\ не
является одномерной: она зависит от Y\ и Y2. И, как
утверждалось ранее, лицо, принимающее решение, опровергает
справедливость допущения об аддитивной независимости этих двух
факторов. Поэтому простая аддитивная функция полезности здесь
оказывается неприемлемой. Возможно, удается использовать
некоторые из обсуждавшихся в гл. 3 схем подстановок, которые в
сущности .сводят двумерное представление к оджмерсному до
проведения трансформации полезностей. Но что делать, если и такая
попытка будет .неудачной? В этом случае может оказаться
целесообразным применить некоторые методы нахождения функций
полезности для двух факторов, обсуждавшиеся в гл. 5.
Вернемся теперь к шкалирующим константам в выражении
F.51). Для того чтобы дать возможность лицу, принимающему
решение, прочувствовать значения шкалирующих констант, ему
можно предложить несколько содержательных, но качественного
характера вопросов, связанных с константами k{. Например:
«Представьте себе, что каждый из рассматриваемых факторов
установлен на уровне х°{. Предпочли бы Вы улучшить значение
фактора Х\ до уровня х*\ вместо одновременного улучшения
факторов Х2 и Хг до уровней х*2 и #*з, соответственно?
«Утвердительный ответ должен означать, что k\>k2+fa, откуда &i>0,5. Затем
зададим следующий вопрос: «Предпочтительнее ли для Вас
изменение значения фактора Х2 от х°2 до х*2 -по сравнению с
изменением значения фактора Хг от х°г до #*з? «Утвердительный
ответ на этот вопрос означает, что k2>kz. Если существует такое
подмножество факторов Г, что xt~xy, тогда можно делать
вывод: kT=kr=\l2.
300

Чем больше число учитываемых факторов, тем проще
сгруппировать их таким образом, чтобы аналитик оказался в
состоянии установить значения констант ku не задавая вопросов
относительно предпочтительности лотерей. На любой стадии такого
анализа опытный аналитик будет осуществлять проверки на
чувствительность для того, чтобы определить, следует ли проводить
дальнейшее уточнение. Возможно, что уже проведенные грубые
качественные измерения оказываются достаточными для
решения исходной задачи.
Еще одним методологическим моментом, нуждающимся в
разъяснении, является понятие согласованности. Когда задаются
вопросы одного вида, может оказаться, что, например, &i>0,3. В
то же время при использовании других вопросов может
обнаружиться, что &1<0,3. Такая ситуация возможна. Когда так
происходит, лицу, принимающему решение, нужно лишь тщательнее
обдумать возникшие расхождения и для достижения
согласованности пересмотреть некоторые свои допущения или оценки. Эта
процедура психологически затруднительна и поглощает много
времени. Поэтому, прежде чем предпринять этот шаг,
необходимо травести анализ чувствительности для того, что'бы определить,
имеет ли смысл избавляться от такой несогласованности.
Продолжим рассмотрение предложенного примера.
Предположим, было установлено, что &i = 0,6, т. е. детерминированный
исход (x*i, x°2, х°$) равноценен для лица, (принимающего
решение, лотерее <(л;*ь **2, х*з); 0,6; (*°ь х°2, х°з)>. Тогда, есгествен-
но, &2+|&з=0,4 и следует задать, например, следующий вопрос:
«Укажите такое значение вероятности р, при котором
детерминированный исход (лс°ь **2, х°г) равноценен для Вас лотерее
<{х°и х*2, х*з), Р, (*°ь х°2, *°з)>». Если ответом будет значение
0,7, то согласно выражению F.49) получаем k2=zp{fa+h) =
= @,7) @,4) =0,28.
Тогда, очевидно, &з = 0,12 и функция полезности при этом имеет
следующий вид:
и(хи х2, xzy=0fiu\(xi) + 0,28и2(х2) +0,12«8(*s), F.53);
где каждая из функций полезности шкалирована от 0 до 1.
Выражение F.53) в этом случае пригодно и для оценки решений
при неопределенности. Конечно, может возникнуть желание
провести тесты на чувствительность по тем этапам процедуры
оценки, результаты которых кажутся наиболее неустойчивыми.
6.6.7. Проверка согласованности. Для того чтобы быть
уверенным в правильности представления предпочтений лица,
принимающего решение, на всех стадиях оценки значений функций
полезности необходимо проводить проверку согласованности.
Очевидно, что при проверке согласованности общей функции полеа-
ности проверяется также и правильность значений шкалирующих
констант. Целесообразно также проводить отдельную проверку
согласованности этих констант. Каждая такая проверка
заключается в получении дополнительных уравнений, содержащих данные
301

константы. Но когда значения констант уже установлены, мы
можем использовать эта значения для проверки исходных оценок.
Различные подходы к нахождению значений шкалирующих
констант, очевидно, могут применяться и для взаимной проверки. В
большинстве ситуаций разработка действенных и эффективных
методов проверки согласованности шкалирующих констант не
требует от аналитика большого напряжения его творческих сил.
6.7. ОСНОВНАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ НЕЗАВИСИМОСТЬЮ
ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ И НЕЗАВИСИМОСТЬЮ ПО ПОЛЕЗНОСТИ*)
Теперь обратимся к некоторым общим результатам, которые
позволяют ослабить допущения, необходимые при использовании
теорем, сформулированных «в § 6.3—6.6. Основной результат этого
параграфа — установление соотношения между двумя условиями
независимости, связанными с кардинальными и ординальными
описаниями предпочтений на пространстве последствий X. Этот
результат позволяет построить условия независимости по
полезности «более высокого порядка», исходя из A) более слабых
условий независимости по предпочтению того же порядка, B)
условий независимости по полезности более слабого порядка**).
Анализ лотерей, включающих в себя более одного фактора,
оказывается весьма затруднительным для лиц, принимающих
решение: ведь в этом случае им приходится одновременно
рассматривать и замещения между различными значениями факторов, и
вероятности реализации различных исходов. Однако установить
приемлемый порядок предпочтений между лотереями,
включающими в себя лишь один фактор, часто все-таки удается. Также
оказывается возможным, хотя это и нелегко, точно установить
замещаемость двух факторов в условиях определенности три
зафиксированных значениях остальных факторов. Решение каждой
из этих задач нуждается в формулировании таких допущений,
которые могут быть проверены и в случае их справедливости
обеспечат возможность использования теорем 6.1—6.4,
обусловливающих существование определеннных форм функции полезности.
Общий случай предлагаемой ниже теоремы достаточно
доказать для Х= {XOi Xu Х2}, поскольку каждый Хг может
рассматриваться как векторный фактор. Указанный выше фактор Хо
отличается от остальных факторов Х^ На протяжении этой главы
нигде не будет ни предполагаться, ни подразумеваться, что
Xo^PI или ^Ш. Следовательно, случай, при котором
предпочтения относительно Хо оказались бы независимыми в каком-либо
*> Оставшаяся часть главы посвящена важным теоретическим и
операциональным результатам. Читатель, интересующийся в основном прикладными
вопросами, может перейти к гл. 7 и 8.
**) Пусть YczXz=={Xi, ..., Хп). Если Уе1Л или PI, то «порядком
допущения» является количество факторов Xif входящих в множество У. Таким
образом, например, допущение о том, что У={Л\>, X3}eUI, является допущением
•второго порядка.
302

смысле от Хо, просто невозможен. Предполагается, что
рассматриваемая ниже функция полезности u{xOi хи х2) непрерывна и
каждый ее аргумент оказывает вполне определенное
воздействие на предпочтения. Кроме того, предполагается, что
предпочтения рассматриваются на ограниченной области X и ограничены.
Через (л;*0, л;*ь х*2) и (х°0> х°и х°2) обозначаются соответственно
наиболее и наименее желательные последствия.
Теорема 6.6*>. Пусть имеются три фактора {ХОу Хи Х2}. Если
{Хи Х2} не зависит по предпочтению от ХОу а фактор Х\ не
зависит по полезности от {Хо, Х2}, тогда {Хи Х2) не зависит по
полезности от Хо.
Предварительное замечание. Этот результат показывает, что
независимость по предпочтению множества факторов {Xiy X2} от
его дополнения может быть усилена до независимости по
полезности при условии, что либо Хи либо X2^Ul. Теорема 6.6
предоставляет необходимые условия для допущения о .независимости
по полезности второго порядка через допущение о независимости
по предпочтению второго порядка и допущения о независимости
по полезности первого порядка. -
Доказательство теоремы 6.6 является весьма сложным, но с
помощью специальных обозначений его изложение можно
упростить. Для того чтобы избежать индексации ib тех 'местах, где это
не является необходимым, переобозначим факторы следующим
образом: R=X0, S=X{ и Т=Х2. Так, например, s будет
обозначать определенное значение фактора 5, а сама функция
полезности тогда будет записываться в виде u(s, t, r).]
Идея доказательства. Метод доказательства можно
проиллюстрировать, приняв s и t за скалярные величины. Пусть г' будет
произвольным фиксированным значением фактора R. Рассмотрим
три кривые равного предпочтения (или, иначе говоря, кривые
безразличия), изображенные на рис. 6.3а. Эти же самые условные
кривые равноценности сохраняются и при любом другом
значении г, так как {S, Г}еР1. Предположим, что при заданном
значении г' известно В~<А, С>. Надо показать, что и при любом
другом заданном значении фактора R (например, г")
равноценность В~<А, С> сохраняется. В этом заключается смысл
доказательства.
Одной из основных аксиом теории полезности является
принцип замещения: при замене любого возможного исхода лотереи
его эиви/валентом сама лотерея не ста-новится «и хуже, ни
лучше. Следовательно, при заданных г' и г" известно, что <Л, С> ~
~<Л', С>, а В~В'. Но поскольку SeUI, то отсюда следует, что
если В'~<А, С> при заданном значении г\ эта эквивалентность
сохраняется также и при заданном значении г". Таким образом,
можно геометрически продемонстрировать сущность доказатель^
#) Этот результат не требует ограниченности функции и, как доказан©
Фишберном и Кини A974), условия независимости могут быть ослаблены так,
чтобы охватить также случай «обращения» предпочтений для различных
факторов.
303

ства, а если каждая кривая равноценности пересекает одну
общую горизонтальную прямую, то становится легко пояснить и
его подробности. Но что случится, если появятся две кривые
равноценности Р и Q такие, как показаны на рис. 6.3 6? В этом
случае придется несколько изменить приведенную выше аргумента-
г
областей
/га ло/гез/гос/ях
Рис. 6.3. Иллюстрация доказатель*
ства теоремы 6.6
цию и поэтапно построить область соответствия. Сначала надо
показать (см. рис. 6.3в), что условие независимости по
полезности {S, Т} от R справедливо для всех г и пар (s, t) в области А\.
Затем, поскольку линия t = tl пересекает Ль можно показать, что это
условие -справедливо и для©сех (s, tl). Так как каждая шара E^ t) из-
А2 равноценна некоторой паре (s, ll), необходимое условие
независимости по полезности может быть распространено и на
область Л2. Затем выбирается некоторое значение /2, такое, что
линия t = t2 пересекает область Л2, и процедура повторяется. В
конечном счете одна из областей Л* (Л4 на рис. 6.3, в)
пересечется с линией t = t*, и справедливость условия независимости по
полезности может быть доказана для этой линии и распространена
на область Л5. Поскольку области Л* 'покрываютвселары E, t),
условие независимости по -полезности справедливо для всех
значений 5, t И Г.]
Доказательство*). Условие независимости по полезности
*> В отдельных случаях, когда фактор принимает наименее желательное
значение, обозначаемое, например, через s°, оно не будет указываться в
обозначении функции, конечно, если это не приводит к двусмысленности. Так,
вместо m(s°, Г, г), u(s°, t, r) a bit0, г) будут использоваться обозначениями и (г),
m(U г) иЪ(г).
304

фактбра S от {TR} можно представить следующим образом:
u(s, U r)=u(t, r) + b(t9 r)u(s), b>0. F.54);
Поскольку {S, T} не зависит по предпочтительности от R, из
выражения F.4) известно, что
[u(s9 t, r°)=a(s+, f* r°)]*$ [u(s, t, r)=u(s+9 /+, r)]9 у r.
F.55)
Для .каждой ла!ры (s, t) из Au определяемой выражением
Л,-{(*, *) : иE, *, г*) <*(**, f, r°)}, F.56)
существует такое значение s\ что
u(s, U r°)=u(s\ f, r°), '(s, t)<=Ax. F.57)
Из выражений F.55) и F.57) следует, что
u(s, tt r) =u(s'f Л r),y r, E, ОеЛь F.58)
Вычисляя выражение F.58) с учетом выражения F.54), находим
u(s, U г) =а(г) +b(r)u(s'), у г, E, ОеЛь F.59)
Объединяя это выражение -с F.67), получаем
u(s9t9r)=u(r)+b(r)u(s9t)9yr9 (sy t)<=A{. F.60)
Выражение F.60) показывает, что {S, Т} не зависит по
полезности от R ,при (s, t)^A\ для (всех г. Нам бы хотелось это условие
распространить на все возможные шары E, t).
Выберем такое tl9 при котором
u(s°9 t°, r°)<u(s°9 t\ r°)<u{s\ t°9r°).
Поскольку (s°, ?)еАь то из выражения F.60) следует
u(s°, t\ r) =u(r) +b(r)u(fi)9 у г. F.61)
Вычисляя выражение F.54) при t—tx и r=r°, получим
u(s9 tl)=u(tl)+b(tl)u(s)9V s. F.62)
Полагая t=t{ в выражении F.60), находим, что
u(s9 t\ r)=u(r)+b(r)u(s9 П, E, ^еЛь F.63)
Объединяя это выражение с F.62), получаем
*ф, t\ r)=u(r)+b(r) [u(tl) +b(fi)u(s)] =
= м(^, r)+*(r)ft(^(s), V r, E, /ЧеЛь F.64)
Сравнение выражений F.64) и F.54) при ^ = ^ показывает, что
b{t\r)=b{r)b(P)9V r. F.65)
Подстановка выражений F.61) и F.65) в F.54) при t=tl дает
u(s9 t\ r)=u(t\r)+b(t\r)u(s) =
= u{r)+b{r)[u(fi)+b(fl)u{s)]9y 5, г. F.66)
305

Объединение этого выражения с F.62) позволяет установить
u(s9 t\ r)=u(r)+b(r)u(s, tl),Vs,r. F.67$
Для того чтобы расширить область применения результата
F.67), определим область А2 следующим образом:
Л2= {E, t) : u(s\ t°, r°)<u(sy t, r°)^u(s*, t\ r0)}.
Для любой пары E, /)еЛ2 существует такое значение s", что
u(s, t, г°)=иE", t\ r°), E, /)ееЛ2, F.68)
поэтому из выражения F.55) следует
u(s, t9 r)=u{s", t\ r)yVr, E, t)<=A2. F.69)
Вычисление правой части выражения F.69) с учетом F.67) дает
u(s9 t,r)=u(r)+b(r)u{s"9 fi).
Объединяя это выражение с F.68), получаем
и (s, U r) =u(r)+b (r) u(s,t)9 E, t) e=A2. F.70)
Равенство F.70) показывает, что {S, Т} не зависит по полезности
от фактора R для пар E, /), принадлежащих области Л2.
Процесс затем снова повторяется, начиная с выражения F.61) *
Выбирается такое значение t2t что
u(s°9 t\ r°)<u(s°f t\ r°)<u(s*y tK r°).
Затем доказывается, что при замене tl на t2 выражение F.67)
сохраняет свою справедливость. Далее выражение F.70)
распространяется на (все такие пары (s, /), что
u(s*9 t\ n<u(s, U r°)<u(s\ i\ r°).
Поскольку принято допущение о непрерывности функции оо
существенности фактора 5 (т. е. функция u(s) не является
константой, a b(tt г) —положительно), то, повторив этот процесс при
все более предпочтительных значениях t на каждой итерации, в
конце концов, получим, что
u(s9-ffr)=u(r)+b(r)u(s9 П.
Поэтому для любой пары (s, t), такой, что для некоторого
значения s'
u(s9t9r°)=»(s'>
можно получить выражение для независимости по полезности,
аналогичное выражению F.70). Более формально, определим
h=mm[u(s*, t, r)—u(s°, t, г)].
Тогда из выражения F.54) следует
A=min[6(/, г)]
t,r
и эта величина положительна. Далее при выборе последователь-
306

иости t\ t2, ... положим th+l = t*9 если th таково, что u\s°, t*9 r°)<.
<u(s*, tkt r°). В противном случае выберем th+l таким, чтобы
u(s°, tw9r°)=u(s0, t\r°)+h/2.
Поскольку значение функции u(s°, /*, г°) по определению
должно быть меньше 1, то последовательность t\ t2, ..., t* будет
состоять максимум из 1/(Л/2)=2/й членов.
Объединяя все выражения, аналогичные F.60), F.70), и
действуя далее, точно так же, как мы действовали при определении
области Аи нетрудно показать, что
u(s, t, r) = u{r) +b(r)u(s, t), V s9f>r. F.71)
Что и требовалось доказать.
6.8. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УСЛОВИЯМИ НЕЗАВИСИМОСТИ
ПО ПОЛЕЗНОСТИ
Рассмотрим некоторые следствия из различных наборов
условий независимости по полезности. Говоря более конкретно,
предметом изучения будет получение условий независимости по
полезности высших порядков из условий более низкого порядка.
Результаты, включенные в этот параграф, необходимы для
доказательства общих теорем, представленных в последующих
параграфах. Здесь рассматриваются следствия из двух
перекрывающихся условий .независимости по полезности.
Определение. Пусть Y\ и У2 являются подмножествами
множества факторов Х={Хи Х2, ..., Хп}. Факторы Yx и У2 называются
перекрывающимися, если их пересечение не пусто и если ни один
из них ще содержит в себе другой.
Теорема 6.7. Пусть Yx и Y2 являются перекрывающимися
факторами, принадлежащими Х={Х0, Хи ..., Хп). Если каждый из
Yx и У2еЕШ, то
1) Yi[}Y2 (объединение У! и У2)€=Ш.
2) Y{ Л У2 (пересечение У! и У2)е=1Л.
3) (У1ПУ2) U (Yi f\Y2) (симметричная разность Yx и У2)е=Ш.
4) Y\ П У2 и ?i П ^2 (каждая из разностей) еШ.
Доказательство. Поскольку Хг может обозначать и
векторный фактор, то общий случай теоремы может быть доказан с
помощью рассмотрения частного, при котором Х={Х0, ХиХ2, Х$},
Y\={XU Х2} и У2={А'2, Х3}, и предполагается, что каждый из
факторов У! и У2^Ш.
В этом случае нужно показать, что (I) {Xu X2, X3}gUI,
(II) X2e=UI, (HI) {Xu Xz}^Vl и (IV) Xi^UI и X8eUI. Согласно
выражению F.6), доказываемые положения могут быть
соответственно записаны в виде
и(х)=и(х0, х1у х2у хг)=и(хо, хг)+с(х0, хг)и(хи х2)\ F.72);
и{х) =ш(хо, Хи х2, *з)'=«(*о, ^i) +d(x0, xx)u{x2y хг), F.73)
307

где, как и ранее, в тех случаях, когда не возникает путаницы,
аргументы функций и, с и d, принимающие наименее желательные
значения, опущены. Так, например, и(хи х2) и d(x0) обозначают
соответственно и(х\ хи х2> x°z) и d(x0, x°{). Необходимо
отметить, однако, что из выражений F.72) и F.73) следует
c(x°Ot х°г) = 1 и d{x\ x°x) =1. F.74)
Часть I. Подставляя выражение F.73) в выражение F.72), а
затем F.72) в F.73), получаем соответственно
и(х) =и(х0) +d{xo)u(x3) +с(хОу хъ) [u(xi) +d(xl)u(x2)];
F.75)
u(x)=u(xo)+c{Xo)u(xi)+d(xO9 xi)[u(xz)+c(xz)u(x2)].
F.76)
Приравиивая выражения F.75) и F.76) при л:з=^°з, находим
d(xo9xl)^c(xo)d(xl). F.77)
Отсюда с учетом выражения F.76) следует
u(x)=u(xo)+c(xo)[u(xl)+d(xl)u(x29 *8)]. F.78)
Вычисляя выражение F.73) при ^о=л:0о, убеждаемся, что
и(хи х2, xz)=u(xl)+d(xi)u(x2i хз),
и тогда из выражения F.78) вытекает
и(х) =u(xQ) +c(xo)u(xu x2, xs). F.79)
Выражение F.79) означает, что множество факторов {Хи X2t Xz}
«е зависит по полезности от фактора Хо.
Часть II. Подстановка выражения F.73) в F.72) дает
и(х)=и(х0, хг)+с(х0, xz)[u(xi)+d(x1)u(x2)]. F.80)
Вычисляя это выражение при х2=х\ получаем
и{х0, хи Хг)=и(х0, хг)+с(х0, хг)и(х1). F.81)
Объединяя выражения F.80) и F.81) и обозначая c{xuxz)d{xx)
через /(л:о, *ь -^з), находим
и(х) =u(xQ, хи xs) +f(xOy xu хг)и(х2), F.82)
что свидетельствует о независимости по полезности фактора Х2
от {Хо, Хи Xz}.
Часть III. Положив #o=Jt00 и х2=х°2 в выражениях F.72) и
F.73) и приравняв их, получим
u(xQ)+c(xz)u(xly=u(xl)+d(xl)u(xz). F.83)
Перегруппировка членов этого выражения дает
(bL^bL 1=19з, F.84)
и{х3) u(Xi)
где k — конста«та, так как в выражение F.84) входит функция
от #3, равная функции от х\. Если w(#i)=0, то из выражения
308

F.83) следует, что d(x\) = l и аналогично с(хг) = 1, когда и(хг)=(к
Таким образом, из соотношения F.84) легко увидеть, что
U F.85>
\. F.86J;
Эти выражения можно подставить в выражение F.75) при лг0==*°о*
и получить
и(хи х2, хг) =и(хг) + [ku(xz) +1] [и(хх) +\[ки(хг) +1]и(х2)] =
=<*2) +\ku(x2) +1] [и(хх) +и(хг) +ku(xi)u(xz)]. F.87>
Объединяя соотношения F.87) и F.79), находим
и(х) ^и(Хо) +с(х0) [и(х2) + [ku(x2) + l]u(xu xz)] =
x2)u(xu х3), F.88)
где g(x0, x2)=c(x0)[ku(x2) + l]. Выражение F.88) доказывает
желаемый результат, т. е. что {Хи Х$} не зависит по полезности or
{Хо, Х2}.
Часть IV, Пусть множество факторов {Хи Х2} не зависит па
полезности от своего дополнения. В части III было показано, что
{Хи Х3} не зависит по полезности от своего дополнения.
Следовательно, из части II вытекает, что пересечение Xi не зависит от
своего дополнения {Хо, Х2, Х$}. Отсюда также следует, что
фактор Х3 не зависит по полезности от множества факторов
{Хо, Х\9 Х2}.
Теорема 6.7, исходным положением которой являются
допущения о независимости по полезности, связана с предположениями
относительно лотерей. Эта теорема во многом сходна с
результатом Гормана A968а), относящимся к предпочтениям
относительно последствий и полученным из условий независимости по
предпочтению. Если в теореме 6.7 каждое условие независимости по
полезности заменить условием «независимости по предпочтению^
то, в сущности, будет получен результат Гормана (см. гл. 3*>).
6.9. ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Грубо говоря, чем больше можно использовать свойств
независимости по полезности, тем проще становится установление
численных значений функции полезности. Важно определить такой
простейший, функциональный вид функции тюлезности в много-
факторном случае, который был бы согласован с широким
кругом различных допущений относительно независимости по
полезности. Помня об этом, попытаемся обобщить результаты § 6.$
в виде соответствующей «теоремы о цепях», используя в качестве
*) Поскольку из условия UI следует условие PI, можно было бы
использовать результаты Гормана (см. теорему 3.7) для доказательства теоремы 6.7.
Но условие UI является настолько сильным, что позволяет представить прямое
алгебраическое доказательство.
309

конструктивной основы теорему 6.7. Проиллюстрируем это
простым примером.
Пример 6.3. Пусть Х== {Хи Х2у Хг, Х4, Х5, Х6} и предположим, что
каждый из факторов Yi = {Xu X2} и Y2={X2, XZt X4}€=UI. Тогда,
последовательно применяя теорему 6.7, можно показать, что
возможные объединения Х\, Х2 к {Х3, X*} также являются
независимыми по полезности. В частности, имеет место {Хи Х2, Х3, Ха}^
Теперь дополнительно предположим, что было установлено
UI. Это утверждение может оказать существенную помощь
ери оценке функции полезности. Но поскольку фактор ХА нельзя
считать перекрывающимся ни с одним из имеющихся множеств
факторов, обладающих свойством UI (так как он содержится в
«их), следствия из ^еШ не могут быть никак использованы
далее. Можно также обнаружить, что АеШ, но поскольку этот
«фактор также не перекрывается ни с одним из факторов,
обладающих свойством UI, отсюда нельзя получить дополнительные
условия независимости по полезности.
Однако если будет дополнительно обнаружено, что У3=
= {Х4, Хб}^и1, то из теоремы 6.7 вытекает ряд следствий.
Поскольку {Хз, ^4}еШ, то и каждый из Xz, X* и Хв^Ш. Можно
показать, что если факторы Уь У2 и Уз^Ш, то всякое возможное
объединение факторов Хи Х2, ..., Х5 также еШ.
Пусть задана некоторая совокупность допущений о
независимости но полезности (например, У,-е1Л при /=1, 2, ..., /).
Попытаемся использовать эту информацию для получения
максимально возможной степени структуризации результирующей
функции полезности. Если /=2, существуют три возможности,
связанные с Y\ и Y2:
1) Y\ и У2 перекрываются,
2) У] и Y2 не имеют общих элементов,
3) какой-либо из факторов Y{ или Y2 содержится в другом.
В предыдущем параграфе был рассмотрен первый случай:
Здесь проведем обобщение этого случая на 7^3. Следствия для
случаев 2 и 3 при 7^3, так же, как и для комбинаций всех трех
случаев, будут рассмотрены в оставшейся части этой главы.
Определение. Независимой по полезности цепью называется
совокупность {Уь ..., Уя}, в которой: 1) У,-е1Л, /==1, 2, ..., R и
2) существует такое упорядочение от Y{ до Уд, что каждый
фактор Yj (отличающийся от первого члена) перекрывается по
крайней мере с одним из предшествующих ему факторов в этом
упорядочении.
Попытаемся найти независимые по полезности цепи, которые
состоят из возможно большего числа множеств факторов. Это
позволит в полной мере использовать свойство независимости по
полезности для упрощения соответствующего вида функции
полезности.
Определение. Пусть {Уь ..., Yj} представляет собой такое
множество, в котором yj^UI, /=1, 2, ..., /, и пусть {Уь ..., Y}R^J
' 310

является независимой по полезности цепью. Эта цепь будет
максимальной независимой по полезности цепью, если ни один иа
Yky &=i/?+l, ..., /, не перекрывается ни с одним из Yj, /=1, ..., R*
Для того чтобы пояснить это определение, -построим
максимальную независимую по полезности цепь из совокупности
множеств {У*:/=1, ..., /}, в которой каждое Y^'eUI. Пока мы будем:
использовать верхние индексы, так как вскоре эти наборы Y$
будут перегруппированы /и обозначены заново с помощью нижних
индексов. Выберем некоторое У\ которое не содержится ни в
одном другом yj, \фи Обозначим такое множество через Уь Затем
в оставшейся совокупности множеств найдем такое Yi, которое
перекрывается с Y\. Если такого У* не существует, тогда У]
представляет собой максимальную «независимую по полезности цепь.
Если же такое 'множество удалось найти, обозначим его У2. Тогда
{Уь Y2} является «независимой по полезности цепью. Потом
процесс повторяется.
Предположим, что такой процесс был продолжен и из
исходной совокупности {У':/=1, ..., /} выделено R множеств. Пусть
эти R м-ножеств обозначены {Yu ..., YR} и образуют независимую
по полезности цепь. В оставшейся совокупности множеств
{Yo : /=i, ..., /}\{УЬ ..., Уд} найдем такое множество У1*, кото*
рое перекрывается с одним из множеств Уь ..., Уд. Если такого У*
не существует, то {Уь ..., YR} является максимальной
независимой по -полезности цепью. Если же такое Yi найдено, обозначим
его Ул+ь Но тогда {Уь '..., Уд, Уд+i} является независимой по
полезности цепью и т. д. Отметим, что <из исходной совокупности в
принципе может быть выделено и более одной максимально
независимой по 'полезности цепи.
Определение. Пусть {Уь У2, ..., YR} представляет собой
максимальную независимую по полезности цепь. Каждое из Yj, j^'R*
разбивает Х= {Хи ..., Хп) на Yj и Yj. Существует 2Л возможных
подмножеств из X, ^оторые создаются пересечениями,
образуемыми либо Yj, либо Yj для каждого j^R. Таким образом,
например, если ^=3, получаем У1У2У3, У1У2У3, У1У2У3 и т. д. Каждое
пересечение, если оно не является пустым, за исключением f|?=i Fj*
называется элементом максимальной независимой по полезности
цепи {Уь ..., YR).
Для иллюстрации предложенного определения приведем
следующий пример.
Пример 6.4. Рассмотрим множество Х={Х\, Х2, ..., Xs} и
предположим, что Yj^Ul, /=1, ..., 5, где
Y\={XU X2, ^з}, Y2={X$t X4, Х$},
Отметим, что У2 перекрывается с Yx и, следовательно, {Уь У2}
независимая по полезности цепь. Далее, Уз содержится в Уь на
перекрывается с У2. Таким образом, Уз добавляется к {Уь }
образуя еще одну независимую по полезности цепь {Уь У2,
311

Рассматривая множество Y^ замечаем, что оно полностью
содержится в У2 и полностью отличается как от Уь так и от У3. Таким
образом, фактор Y* ие перекрывается ни с одним из факторов
Уь У2 и У3, и поэтому он не входит в конструируемую
максимальную независимую по полезности цепь. Фактор Уб также не
лерекрьгвается ни с одним из факторов Уь У2 'и У3; это означает,
что совокупность множеств {Уь У2, У3} является максимальной
независимой по полезности цепью на X. Кроме того, фактор У$
представляет собой другую максимальную независимую по
полезности цепь на X.
Для того чтобы найти элементы максимальной независимой
шо полезности цепи {У!, У2, У3}, заметим, что YXY2YZ^{XZ}9
Yi?2Ys^{X2}t У1У2У3=№}, У!У2Уз={Х4, Хъ}, a Y{Y2?Zt YXY2YZ и
?\Y2YZ пусты. Таким образом, существует четыре элемента цепи.
Это Х\9 Х2у Xz и {Х*, Хъ}. Для максимальной независимой по
полезности цепи У5 -существует лишь один элемент {Хь Х8}.
Вернемся к общему случаю и сформулируем важный результат.
Теорема 6.8 *>. Каждое возможное объединение элементов
максимальной независимой по полезности цепи, определенной на
Х—{ХОу Хи ..., Хп}, является независимым по полезности от
своего дополнения до X.
[Предварительное замечание. Доказательство состоит из трех
частей. Допустим, что существует L элементов {W\f ..., Wz}
максимальной независимой сто полезности цепи {Уь ..., Уд}.
Определим множество Z^U^Yj, которое может рассматриваться либо
как совокупность факторов Хи являющихся членами какого-либо
произвольного Yj, /=1, ..., i?, либо как множество элементов
{W\, ..., WL}. Покажем сначала, что множество Z не зависит по
полезности от своего дополнения. Затем покажем, что каждое
подмножество из L—1 элементов также не зависит по «полезности
от своего дополнения. Далее, из теоремы 6.7, в которой идет речь
о пересечении множеств факторов, следует, что каждое
объединение элементов не зависит по полезности от своего дополнения до
X. Доказательство связано с «максимальными независимыми по
полезности цепями с тремя или более элементами. Единственный
остающийся возможный случай — это цепи с одним элементом.
Но тогда теорема верна по определению.]
Доказательство. Часть 1. Пусть {Уь ..., Ун} —
максимальная независимая по полезности цепь. Из способа построения
цепи ясно, что Yu+\ 'пересекается с U )=\ Yj (и отсюда, используя ту
часть теоремы 6.7, где речь идет об объединениях, следует, что
ji}^I По индукции, легко видеть, что и Z=s(J Д^еШ.
*) Этот результат, являющийся следствием свойств максимальных
независимых по полезности цепей, основан на последовательном применении
теоремы 6.7. Такое же построение (с использованием в качестве основного
инструмента результатов теоремы 3.7) позволяет получить аиалогичные результаты
в терминах понятий, которые молено было (бы назвать максимальными
независимыми по предпочтению цепями и их элементами.
312

Часть 2. Для доказательства того, что каждое объединение
из L—1 элемента цепи обладает свойством UI, перенумеруем Y$
так, чтобы типичный элемент цепи (обозначим его W)
определялся следующим образом: №== f|J«iYj П%*г+\?з> we 1^'r^jR, »
lUjzllO] П Yu *=2,..., Л, непусто. Такая перенумерация всегда
возможна; это 'следует из способа построения Z. Надо доказать, что
Z—W не зависит «по (полезности от своего дополнения.
Пересечение П 5=1 Yj должно быть эквивалентно либо W, либо
{W, Мх, ..., М8}у где через Ми ..., Ms обозначены остальные
элементы. Допуская возможность существования среди М8 также
нулевых множеств, общим случаем следует признать A^1^ =
= {W, Ми ..., М8}. Рассмотрим два случая: г^2 и г=1.
Для г^2 определим 7^= (Yj[}Yj+i) — (У^Л Уя-i) для /=1, 2, ..,
..., г—1. Согласно той части теоремы 6.7, в 'которой
рассматриваются симметрические разности, каждое Г^1Л, /=1, 2, ..., г—1.
Из способа определения этих множеств следует, что .каждое из
Tj+i «перекрывается с Г,-. Таким образом, согласно той части
теоремы 6.7, в которой рассматриваются объединения, получаем, что
'иЧ— Г U Yj-{W, Aflf..., AfjleUI.
Если все Ms являются нулевыми множествами, тогда
очевидно [11^%*—ИПеТЛ. Поскольку ни одно из Yj, /=г+1, ..., JR, не
перекрывается с Wy [U^-i^i—Щ U^t+i эквивалентно UJiJ Kj —^
для всех t ==r, ..., Л—1.
Используя такие последовательные объединения и ту часть
теоремы 6.7, где рассматриваются объединения, «аходим, что
построенное множество [U^Li^i—Щ не зависит по полезности от
своего дополнения, поскольку Ujei^j перекрывается с Yt+\.
Если {Мг, ..., Ms} не является нулевым множеством, надо
снова рассмотреть последовательные объединения, используя У^
/=г+1, ..., R, и начиная с исходного построения [11$^ У; —
— {W, Ми ..., М8}] U Уг+ь Ни один из факторов У;-, /=г+1, ..., R*
не может перекрываться е 1^. Однако в совокупности (J Hi=r-hi ^j
должно содержать {Ми ..., Afs}, поскольку
TFfi^ П Yj = {Wt Мг,...,Ма} ?
Отсюда следует, что \JRj=r+i?j не содержит {Afb ..., Ms}. Используя
последовательные объединения и действуя аналогичным образом,
как и ранее, снова получаем, что [ U f^Yj —W] eUI.
Для г~1, имеем W—Yi{]Rj^2?h а поскольку множество Yj па
построению цепи должно содержать по крайней мере два
элемента, в общем случае Y\={W, Mu ..., Afs}. Каждый элемент Af*,
k=l, ..., s, должен содержаться <в некотором Yj, j=Q, ..., i?. С
другой стороны, например, Мх должен находиться только в Уь пб*
313

этому {W, M\} = Yi [)f=2?jy а это означает, что W не является
элементом.
Таким образом, каждый элемент Af*, &=1, ..., s, содержится
по крайней мере в двух Yj, /=1, ..., R, а раньше для этого случая
было показано, что {Z—AfJ^UI, ?=1, ..., 5. Согласно той части
теоремы 6.7, где рассматриваются пересечения,
П Li(z-M*} = {Z- U JL,Af л} eUI.
Далее, {Z— (J |=1Л1ь} fl^i = W, поэтому из той части теоремы 6.7,
в которой рассматриваются симметрические разности, 'находим,
что {Z—B7}eUI, так как {Z— U Li^*} U Yi=Z.
Часть 3. Согласно части 2, каждое подмножество L—1
элементов из {Wu ..., WL) (не зависит по полезности от своего
дополнения до X. Таким образом, любое собственное подмножество из
этих W совпадает с пересечением соответствующих множеств
размера L—1. Поэтому согласно той части теоремы 6.7, где
рассматриваются пересечения, все подмножества элементов не зависят по
полезности от своих дополнений.
В следующем параграфе будет показана возможность
использования теоремы 6.8 для структуризации многомерных функций
полезности. Для иллюстрации эффективности, теоремы 6.8
воспользуемся ею для доказательства теоремы 6.2. Для удобства
здесь еще раз приведем формулировку теоремы.
Теорема 6.2. Пусть даны факторы Хи Х2, ..., Хп, тогда
следующие утверждения являются эквивалентными,
1. Факторы Хи Х2, ..., Хп являются взаимонезависимыми по
полезности.
2. Xi<=Ul, i=l, 2, ..., п.
3. {Хи Xi+U ..., Xn}G=UI, t=2, 3, ..., л, .и {Хи Х2у
4. {Хи адШ il 2 1 3
X
4. {Xit Хг+1}€=1Л, i=l, 2, ..., n— 1; ^
б.^еШи {Хи Х,}е=Р1, f=2, ..., л,
Доказательство. По определению, из утверждения 1
следуют утверждения 2—5. Для доказательства эквивалентности в
обратную сторону покажем, что если (выполняется любое из
условий 2—б, то все факторы из Хи X2f ..., Хп являются элементами
максимальной независимой по полезности цепи, содержащей в
себе множество {Хи ..., Хп}. В этом случае доказываемый результат
•непосредственно следует из теоремы 6.8.
B)=^(i). Заметим, что Xi=XiL тогда ( f] мА) (]Xi=Xi
является элементом цепи {Х\, Х2, ..., Хп}-
C)=ф*A). Совокупность множеств Yi={Xi, Xt+i, ..., Хп}, i=2,
3, ..., я—1, и множество Yn={Xu X2, ..., Хп-\) образуют
максимальную независимую по полезности цепь. Отметим, что
я—1 -_ \
3...., п— ]
является ее ^элементом. Элементами этой цепи также являются
Х= ( Л %l Yi) Л ?п и Xi=У» П (П %l
314

D)=ф-A). Положим Yi={Xiy Xi+i), i=l, 2, ..., п—1. Тогда
{Уь У2, ..., Уп-i} является максимальной независимой по шолезно-
ста цепью. Далее, очевидно, что
П YjV t = 2, 3,..., п-1,
являются ее элементами
E)=>A). Согласно теореме 6.6 {Хь JJgeUI, i=2, 3, ..., п.
Положим Yi={Xu Xi}, i = 2, 3, ..., /г. Множество {У2> Уз, .., Уп}
является максимальной независимой по полезности цепью. Тогда
Хх= f]nis=2Yi и Xi=Yi П(ПмгУг), i=2, ..., п, являются элемен-
там'и этой цепи. ;
6.10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ •>
В 'предыдущих трех параграфах 'были рассмотрены
результаты, полученные на основе использования наборов допущений
следующих трех видов: 1) условие независимости по полеаности
совместно с условием независимости по шредпочтению; 2) два
перекрывающихся условия .незав'иоимости по .полезности; 3) некоторое,
количество условий независимости по полезности. Следствия
допущений первой группы могут использоваться для установления
справедливости допущений второй и третьей групп, а следствия
допущений второй группы могут использоваться для установления
справедливости допущений третьей группы. В istom л следующих
параграфах будет предпринята попытка объединить некоторые
неуказанных идей; кроме того, будут представлены важные, но
более частные результаты. Доказательства теорем большей частью
будут приводиться не очень подробно, так как они либо
непосредственно следуют из доказанных ранее теорем, либо аналогичны
им. Рассмотрим сначала обобщения мультипликативной и полила*
нейной функций полезности.
6.ЮЛ. Обобщение мультипликативной функции полезности»
Следующая теорема является непосредственным расширением
теоремы 6.1.
. Теорема 6.9. Пусть дано множество факторов Х={Х0,
Х\, ..., Хп}у где Xi, t=l, 2, ..., п, являются элементами
максимальной независимой по полезности цепи (Хо сюда не входит!). Тогда
и(х0, х0) =и(х0, х°о) + [и(хо, хо*)—и(хо, х°о)]и(х00у хо)
U Либо (еСЛИ 2ni=l^i=l)
_ п п
и(*;, х0)=^и(*«•х?
*) В данном параграфе содержатся более частные результаты, которые
могут быть опущены при первоначальном ознакомлении.
315

Либо (
1 +ku(x'o, x0) = П [1 +ku (Xi, lc])] = UV+kkt щ (*,)],
где
1. Xi= (Xo, Xu ..., Xi-u Xi+U •••> Xn)y 1 = 0, 1, ..., Tt\
2. и(х°0, л°ь ..., x°n)=0, u(x\ xx*t x2*, ..., xn*) — i;
3. Wi(A:of)=0, «г(д:г.*) = 1, /=1, 2, ..., n;
4. ki=u(Xi*, Xi°)y f=l, 2, ..., n\
5. /г— шкалирующая константа*\ которая является корнем
уравнения
Доказательство. Используя теорему 6.1 вместе с
дополнительным допущением о независимости по полезности
множества {Х\, Х2, ..., Хп} от фактора Хо, получаем
и(х0, хи ..., хп)=а(хо)+с(хо)и(х1у х2, ..., Хп)> с>0.
Это непосредственно приводит к заключению о том, что либо
и(х)=коио(хо) + [и(хО1 хо*)—и(хо, хо0Щ^щ(хг)]9
F.89)
либо
u(x)=kouo(xo)+tti(x0f хо*)—и(хо, хо0)]^ {[П [1 +
j\}l F.90)
что и требовалось доказать.
6.10.2. Обобщение полилинейной функции полезности.
Выражения F.89) и F.90) представляют собой такие формы функции
полезности, которые связаны с наличием одной максимальной
независимой по полезности цепи. Однако «в некоторых случаях на
одном <и том же множестве факторов может существовать и
несколько максимальных независимых ino полезности -цепей.
Например, пусть множество X разбито на {Zo, Zb Z2} и предположим,
что Z{ ,не зависит по (полезности от Z\, i= I, 2. То есть Z\ и Z2
образуют максимальные независимые по полезности цепи. Для
случая, когда существует несколько таких .максимальных цепей,
используя допущение о независимости аю полезности для
неперекрывающихся факторов, 'можно установить соответствующий
функциональный вид функций полезности. «С этой щелью
сформулируем -следующую теорему.
*) Процедуры нахождения точного значения k приведены в приложении 6Б,
316

Теорема 6.10. Пусть множество Х—{Хи Х2, ..., Хп} разбито на
подмножества {Zo, Z\, ..., ZM}, где каждое Zm, m=l, 2, ..., М,
является независимым по полезности. Тогда функция полезности
и(х) может быть представлена в виде
u{x)=g[zo9 ui(zi), и2(г2),..., um(zm)]> F.91)
где Umt m=l, 2, ..., Af, — функция полезности для Zm. Частным
случаем является следующий вид функции полезности:
м , м
U(X)=U (Z0) + S fm (-г0) Um (zm) + 2 fmf (Zq) Um (Zm) Щ (Zj) +
m<j<M
, F.92)
, 2°Om), F.93a)
F.936)
ig-2 «|(^ г;, z*J
т=1 т=1
т</<Л1
г}, г;, 2^m^) + ... + (-l)«u(e0, г»,..., ф. F.93в);
2
т=1
Теорема 6Л0 представляет естественное расширение
полилинейной функции полезности. Отличие заключается в том, что Zo
не предполагается независимым по полезности от своего
дополнения.
Одно из важных обстоятельств, касающихся теорем 6.9 и 6.10,
связано с возможностью их многократного последовательного
использования для упрощения -представления многомерных
функций полезности. То есть факторы, обозначенные через Х{ в
выражениях F.89) и F.90) и «через Zm в F.92), могут быть
векторными, и соответствующие им компоненты, в свою очередь, могут
оказаться также независимыми по полезности. Если это так, то,
конечно, для определения соответствующих функций полезности
щ(х^ в выражениях F.89) и F.90) или um(zm) в F.92) снова
можно использовать теоремы 6.9 и 6.10. Предлагаемый -ниже
пример позволяет проиллюстрировать сказанное и пояснить данные
выше определения.
Пример 6.5. Предположим, нужно построить функцию
полезности для множества факторов A"={Xb X29 ..., Х9}. Кроме того»
317

предположим, что ранее была установлена независимость по
полезности У;- от Yjy /=1, 2,..., 6, где
Yi = {X2y Z3}, Y2={X4y Х5у Х6}, У3={*5},
Y4={X5y Х6у Х7у Х8}у У5=№}, Уб=№, Х9}.
Согласно нашему определению в X существует две максимальные
независимые по полезности цепи: {Y\} и {Y2f Y4y Y6}. Факторы Уэ
и У5 не принадлежат второй цепи, так как пересечение Уз Л Yj для
/=2, 4, 6 равно либо самому У3, либо пустому множеству. То же
самое справедливо и для фактора У5. Поэтому, согласно
определению независимой по полезности цепи, факторы У3 и Y5 будут
исключены. Таким образом, можно положить Zx—Yx и Z2=y2(J Y4 U
U Уб и, используя выражение F.92), получить
F.94)
где функции и, щ и и2 шкалированы от 0 до 1.
Ясно, что в Y\ входит только один элемент {X2f X3} тогда как
в {У2, Y4f Уб} имеется пять элементов: Х4у {Х5у Х6}9 Х7у Хв, Х9. Для
последующего определения функции u2{z2) можно вновь
использовать теорему 6.9. Для этого в выражениях F.89) и F.90)
положим xo—x°q. Тогда ыо(*о)=О и cq(x0) ='l и либр
u2(z2) =k4u'4(x4) +kb6u/5Q(xsy x6) +k1u/1{x7) +к8и'6(х8) +
+ 1ъи'я(х9)9 F.95)
либо
4 1}, F.96J,
гдеГ={4, E, 6), 7, 8, 9}.
Рассматривая отдельно факторы {Х5у Х6}у можно установить
еще одну независимую по полезности цепь, а именно Уз={^5}-
Тогда согласно теореме 6.10
и7бб (хь х6) = и\ (х6) +/б (х6) и\ (х5). F.97)
Это выражение можно подставить в выражения F.95) или F.96).
Исходное допущение о независимости по полезности фактора Y$
от ?5 избыточно для настоящей задачи, поскольку Y5={Xs}
является элементом максимальной независимой по полезности цепи
{У2, Y4y У6}, а из теоремы 6.8 следует, что каждый элемент такой
цепи не зависит по полезности от своего дополнения.
Объединение выражений F.94) — F.97) позволяет настолько полно
декомпозировать функцию полезности и(х)у насколько это возможно в
соответствии с установленными допущениями.
6.10.3. Частные виды полилинейной функции полезности. Как
и следовало ожидать, можно предложить различные виды
допущений, которые являются более сильными, чем допущения о
независимости по полезности в теореме 6.3, и в то же время более
слабыми, чем допущение о взаимной независимости в теореме 6.1.
318

Проиллюстрируем целесообразность исследования
дополнительных ограничений, накладываемых различными допущениями на
функцию полезности. Как будет показано далее, дополнительные
допущения уменьшают количество змлирической 'информации,
необходимой для определения функции и. Соответствующие
результаты будут представлены в § 6.11 при обсуждении предпочтений,
когда факторы обладают иерархической структурой.
На протяжении этого .пункта будет предполагаться, что Х=
= №, Х2, ..., Хп} и X^UI, i=\y 2, ..., п. Следовательно, согласно
теореме 6.3 функция полезности и(хи х2, ..., хп) может 'быть
полностью построена с помощью п одномерных функций 'полезности
Ui(xi) и 2п—2 шкалирующих констант. С 'более общих ягозиций,
можно было бы рассмотреть влияние дополнительных допущений,
используемых вместе с допущениями теоремы 6.10. Однако,
поскольку идеи такого исследования аналогичны введению
дополнительных допущений к теореме 6,3, а обозначения © теореме 6.3
менее громоздки, именно этот случай и был выбран для
иллюстрации.
Фактор У не зависит по полезности от У. Предположим, что
У={ХЬ X2i ..., Хт}. Если У не зависит по полезности от У,
каждый из факторов У, Хт+и Хт+2у ..., Хп является независимым по
полезности. Таким образом, в этом случае применима теорема 6.3,
и общая функция полезности может быть построена при помощи
(п—т+\) одномерных функций полезности uY(y), um+i(xm+i)y ...,
..., ип(хп) и 2n-m+1*—2 шкалирующих констант. Но для построения
функции иг(у), в свою очередь, может быть повторно
использована теорема 6.3, поскольку каждый из факторов Хи Х2, ..., Хт
является независимым по полезности. Таким образом, функцию uY(y)
можно определить, задав т функций полезности Ui(xi), U2(x2), ...,
•.., Um(xm) 'И 2™—2 шкалирующих констант. Объединяя эти
результаты, получаем, что интересующая нас исходная функция
полезности и(хи x2i ..., хп) определяется теперь п одномерными
функциями 'полезности и Bn~m+1+2m—4) шкалирующими
константами.
Польза от введения дополнительного допущения (вполне ясна:
такое дополнение позволяет определить функцию и при помощи
меньшего количества шкалирующих констант. Это действительно
так, -поскольку допущение о том, что I'eUI накладывает ряд
ограничений на согласованность значений шкалирующих констант в
полилинейной функции полезности.
Факторы У и У взаимонезависимы по полезности. Используя
те_же обозначения, что и раньше, предположим, что факторы У
и У взаимонезависимы '.по полезности. Из теоремы 5.2 следует, что
функция полезности может быть определена с помощью функций
иу(у) и иу(у) и двух шкалирующих констант. Тогда из теоремы
6.3 следует, что функция uY (у) определяется с помощью m
одномерных функций полезности Wi(#i), •»» u>m{xm) и 2W—2
шкалирующих констант. Аналогично, функция иу(у) может быть выражена
через um+i(xm+i), ..., ип(хп) и 2n~m—2 шкалирующих констант.
319

Следовательно, при справедливости дополнительного допущения
о взаимной независимости факторов по полезности функция
полезности и(хи х2, ..., хп) полностью задается функциями Ui(xi),
М#2), ..., Un(xn) и 2т+2п~гп—2 шкалирующими константами.
При мультипликативной и полилинейной функциях полезности,
так же, как и в рассмотренных выше двух случаях, функция
полезности и определяется с помощью п функций полезности щу
и2> ..., tin и некоторого количества шкалирующих констант.
Использование дополнительных допущений, как было показано выше,
позволяет определить функцию полезности и при помощи меньшего
количества шкалирующих констант, чем в случае полилинейной
функции полезности. В табл. 6.3 сравниваются количества
шкалирующих констант, необходимых для конкретизации численных
значений функции полезности, прл наличии и в отсутствие
дополнительных допущений, для некоторых характерных значений п и т.
Таким образом, таблица характеризует
ние процесса нахождения рассматривае
и. Во всех случаях предполагается, что .
полнительное у проще-
функции полезности
kUI, i=l, 2, ..., п.
Таблица 6.3. Количество шкалирующих констант, необходимых
для построения n-мерных функций полезности при условии,
что ЛГ{€Е1Л, f-1, 2, ..., п
п
3
4
5
6
7
8
9
10
При
отсутствии
дополнительных
допущений

(Полилинейная функция
полезности)
2"-2
6
14
30
62
126
254
510
1022
В предположении, что
Yss{Xlt..., xmyeui
m=2
4
8
16
32
64
128
256
512
m==3
3
12
20
36
68
132
260
2п—4 28
32
36
44
60
92
? В предположении, что
2»-2__2
4
6
10
18
34
66
130
258
т=3
2*-3+6
8
10
14
22
38
70
134
32
34
38
46
62
В
предположении, ЧТО
Х\, Л2, ...» -Л л'
взанмонеза-
виснмы по
полезности

(Мультипликативная
функция
полезности)
п
3
4
5
6
7
8
9
10
Другие наборы допущений. Рассматривавшиеся до сих пор
дополнительные допущения являются как раз теми, которые
необходимы в качестве «строительных блоков» для формирования более
сложных наборов допущений о 'независимости то полезности.
Приведем -еще одну иллюстрацию. Пусть фактор У определен так же,
как и ранее. Определим Z как набор {Хг, Хг+и ..., ^п}.
Предположим теперь, что У и Z независимы по полезности от дополняющих
!их множеств факторов. В данной ситуации нам необходимо
рассмотреть три отдельных случая: r^mt r=m+\ и r>m+l. Оста-
32Q

новимся лишь на самом сложном из них, когда /^/пив
допущениях о .независимости .по полезности -существует некоторое
«перекрывание». Для упрощения рассмотрения введем следующие
обозначения:
2> • ••> Хп}.
В дополнение .к исходному допущению о том, что ^еШ, i=s
= 1, ..., п, предположим, что {Уь Y2} не зависит по полезности от
Уз и что {У2, Уз} не зависит по полезности от Yx. При сделанных
допущениях из теоремы 6.1 следует, что функция полезности
и(Уи У2, Уг) является либо, аддитивной, либо мультипликативной,
и, следовательно, необходимо отыскать функции полезности для
каждого Yj и три независимые шкалирующие константы. Но все
компоненты каждого из множеств Yj являются независимыми па
полезности факторами, .поэтому члены Uj(yj) могут быть найдены:
с помощью функций полезности каждой компоненты Х{ из У,-"иг
2bj —2 шкалирующих .констант, где bj — число факторов Х{ в
множестве Yj.
Пример 6.6. Для того чтобы 'проиллюстрировать эффективность
этого результата, предположим, что имеется девять исходных
факторов, обозна!ченных Хи Х2, ..., Х9, и Y\={XU Х2, Хг}, У2^{Х4, Х%,
Xq} (и Yz={X7i Хв9 Х9}. Тогда, если справедливы указанные выше
допущения, необходимо построить ui(yi), u2(y2) и ы3(#з) и найти
три шкалирующие константы. Но для определения каждой из
функций щ{уг) нужно еще определить три соответствующие
функции полезности для соответствующих Х{ и 2*—2=6 шкалирующих
констант. Следовательно, для определения .всей функции
полезности и требуется построить 9 одномерных функций 'полезности и
всего лишь 2I шкалирующую .константу. Для сравнения укажем
на 510 шкалирующих констант, которые необходимо найти в том
случае, когда известно лишь, что A^UI, t=l, 2, ..., 9. .
6.10.4. Аддитивная функция ценности и мультипликативная
функция полезности*). Интересно сопоставить аддитивную
функцию ценности, рассмотренную в § 3.6, с мультипликативной
функцией полезности, рассмотренной в § 6.3, поскольку необходимые
и достаточные условия существования аддитивной функции
ценности являются необходимыми условиями для мультипликативной
функции полезности.
Теорема 6.11. Пусть дано:
1. Предпочтения в пространстве ХххХ2Х ... ХХп описываются
с помощью аддитивной функции ценности v.
2. Известно, что один из факторов Л^еШ (пусть это будет,Хг).
3. 3
*> Идеи, .положенные в основу этого раздела, принадлежат Р. Р. Мейеру
и Дж. У. Пратту.
11-67 321

Тогда функция полезности и должна быть представима в одной
из следующих трех форм:
и(х) ~\—е-™ю, с>09 F.98а)
u(x)~v(x)9 F.986)
и(х) ~ес*<*>, с>0. F.98в)
{Предварительное замечание. Теорема утверждает, что
функция полезности для скалярного фактора F, значения которого
выступают в качестве меры ценности v, должна характеризовать
постоянную несклонность к риску.]
Доказательство. Представим v в виде
V\X\9 #2> Xn) = ^l^l(#l) +^2^2(^2) + ... ~i~hnVn(Xn) F.99)
и нормализуем фук юис помощью соотношений
V \X\ , Л2 у /.., Лп ) — 1, и \Х 1, X 2» •••> X п) —1/« \О. 1 \Л))
Аналогично, нормализуем функции Vj\
vj(Xi*) = 1, Vi(xi°) =0, f=l, 2, .,, п.
Тогда, естественно,
ЕЛ<=1. F.102)
Идея доказательства проста: ^построим функцию (полезности
для фактора V и покажем, что она должна характеризовать
постоянную несклонность к риску (см. теорему 4.15). Отсюда
.вытекают функциональные формы F.98).
Пусть #=(jt2, «., Хп). В принятых обозначениях х=\хи у) и
Х\ не зависит по полезности от У. Пусть для фактора Х\
справедливо u~<*i*, х°> и, следовательно, (хи ^)^<(^i*, у), (х\°,
у) >> дли всех у. Выраженная через фактор V эта равноценность
означает
[Ki V$x$ +v(y)] ~<.h+v(y), v(y)>, F.103)
"где
i
Другими словами, добавление v (у) к исходам лотереи <ЯЬ 0>,
увеличивает детерминированный экв)ивалент на v(y) для всех
v(у). Отсюда (следует постоянная несклонность к риску, что и
требовалось доказать.
Теорема 6.11 представляет интерес по двум причинам:
1. Она обеспечивает простую процедуру построения
многомерной функции полезности, если справедливы необходимые
допущения и уже определена аддитивная функция ценности.
2. Аналитик может независимо построить как
мультипликативную (или аддитивную) функцию полезности, так и аддитивную
322

функцию ценности и использовать одну из них для проверки
другой.
Важно отметить, что если функция -полезности аддитивна, то
справедливо выражение F.986). В то же время если функция
полезности мультипликативна, то должно быть справедливо
выражение F.98а) или F.98в).
Когда известна функция v, нахождение функции и сильно
упрощается. Необходимо лишь оценить детерминированный
эквивалент х\ для лотереи <#i*, х°>. Тогда, если
функция полезности должна быть аддитивной, вида F.986). Пусть
vi (xi) Ф y2vi (jci*) + xkvx (хх°). F.104 J
Если левая часть выражения F.104) меньше .правой, то функция-
полезности описывается (выражением F.98а), в шротивном случае,
справедливо выражение F.98в). В каждом из этих двух случаев
шкалирующую константу с можно найти, приравняв полезности
* °
руу у
исхода х\ и лотереи <a:i
F98)
, рр
используя выражения F.98а)
р у
или F.98в) и решая полученное уравнение.
6.11. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И УСЛОВНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
Предположим, что факторы в какой-либо конкретной задаче
удалось структуризировать так, как показано на рис. 6.4. Более
того, предположим, что факторы Y\ и Y2 являются ©заимонезави-
симыми по полезности. Тогда из теоремы 5.2 следует, что
НУи Hz) =kxui(yx) +k2u2(y2) +к12Щ(У\)и2(у2), F.105)
где все функции полезности
шкалированы от 0 до 1. За1метим, что,
вычисляя выражение F.105) в
точках у°\ и у°2, которые являются
Рис. 6.4. Иерархическая структура
рассматриваемых факторов
наименее предпочтительными значениями факторов Y{ и У2
соответственно, можно найти
МУ1)=ю(уь y°2)lh и tii(y2)=u(y°u y2)/k2.
Дело в том, что в действительности каждая из функций щ и и2
является условной функцией 'полезности, определенной на
соответствующей области изменения одного из факторов при
определенном, фиксированном значении другого фактора. Вследствие
допущения о независимости по полезности условная функция
полезности для Yu например, всегда одна и та же независимо от
значения фактора Y2. Поэтому для определения функции и(уи у?)
необходима лишь одна условная функция полезности для
фактора Уь
И* мл

Весьма логично будет на следующем шаге в процессе
'нахождения функции и попытаться найти такие функции f\ и f2, что
, и'2(х2)]9
где через щ обозначены функции полезности, построенные на
соответствующих областях своего определения. Из ранее
-полученных результатов следует, что это можно сделать, если X^UI,
i=ll, 2, ..., 5. Однако (вследствие большой размерности проверка
таких допущений может вызвать затруднения. К счастью, столь
сильные допущения не являются необходимыми. Поскольку
фактор Y\ не зависит по полезности от У2, надо лишь проверить,
является ли фактор Х\ условно независимым по полезности от Х2, если
значение фактора Y2 установлено, .например, на уровне у°2.
Можно сделать и более общее утверждение. Если уже
установлено, что -подмножество факторов Y не зависит по полезности от
У, то во всех формулировках двух предыдущих глав можно
говорить о предпочтениях и функциях полезности на подмножестве
факторов из У, не рассматривая три этом значения -факторов из
У. Последние могут быть зафиксированы на некотором удобном
уровне. Основываясь на этом, можно определить ряд полезных
понятий условной предпочтительности.
6.11.1. Допущения об условной независимости. Понятия
условной независимости интересны по трем следующим причинам:
1. Справедливость определенных допущений об условной
независимости позволяет упростить структуру многомерных функций
полезности.
2. Условная независимость является необходимым условием
для справедливости допущения о «безусловной» независимости.
В то же время (проверка справедливости предположений об
условной независимости в ряде случаев требует меньшего объема
эмпирической информации. Это весьма существенно, когда мы
рассматриваем (возможность опровержения справедливости
допущений о «безусловной» независимости.
3. Допущения об условной независимости, являясь основой
достаточных условий для справедливости допущений о
безусловной независимости, позволяют установить существование
определенных функциональных 'видов функций полезности \при более
слабых .предположениях. Тем самым облегчается проведение
необходимых проверок.
После определения понятий условной независимости каждое
кз них будет подробно рассмотрено.
Для того чтобы формализовать предложенные идеи,
рассмотрим множество факторов X=s{Xu X2> ..., Хп}9 а также его
разбиение на три непустых подмножества: Уь Y2 и Уз. Будем говорить,
что Y\ условно не зависит но (предпочтению ют Y2 при заданном
у+з, если порядок предпочтительности последствий,
отличающихся лишь значениями факторов из Уь не 'зависит от значений Y2f
324

когда значение Уз установлено (на уровне у+з. Математически это
условие можно выразить следующим образом: щри любых у\>
У"и У'2
Ми У'2, У+*)>(у"и У'2, У+г)] ->Ми Уь У+г)>
Уь У+г)]У У2 F.106)
Аналогично, У\ условно не зависит -по полезности от У2 при
заданном #+з, если порядок предпочтительности лотерей, все исходы
которых (т. е. реализующиеся последствия) отличаются лишь
значениями факторов из Уь не зависит от значений Уг, когда
значение Уз установлено на уровне #+з. Это условие математически
может быть представлено следующим образом: для любых
лотерей у'и Уп\ при любом у'%
Ми У** У+ъ)>(у"и У'2, У+гП -» Ми Уь У+з)>
~>(УиУ2,Уг+)]У у*. F.107)
Эти определения -естественным образом вытекают го исходных
определений независимости по предпочтению и независимости по
полезности.
Если задана функция полезности и, то выражение F.106)
справедливо тогда и только тогда, когда
Nf/'i, /2, У+з)>(у"и ^2, УМН [«(Ли, У+г)>
>и(ууу2,у+з)]У у2. F.108)
Аналогично, выражение F.107) справедливо тогда и только
тогда, когда
и(Уи У2, y+3)=c(y2)+d(y2)u(yu y'2, у+г), d(y*)'>0, F.109)
где yf2 — произвольно выбранное значение. Как выражение
F.108), так и выражение F.109) оказываются весьма полезными
при получении следствий из допущений об условной
независимости.
Каждое из предложенных определений может быть обобщено.
Фактор Y\ назовем условно независимым по .предпочтению от Y2
при заданном Уз, если порядок предпочтительности последствий,
различающихся лишь значениями факторов из Уь не зависит от
значений Уг, когда значения Уз зафиксированы на любом
произвольном уровне. Аналогично, фактор Y\ условно не зависит по
полезности от Уг при заданном Уз, если порядок
предпочтительности лотерей, все исходы которых различаются лишь значениями
факторов из Уь не зависит от значений У2, когда значения Уз за-
зафиксированы на любом произвольном уровне. Эти допущения
об условной независимости могут быть записаны соответственно
Следующим образом: для любых у'и у"и Уг2
Ми У'2, Уъ)>(у"и yf2, Уг)] "¦* Ми У2> Уг)>
!/2,l/3)],V|/2,J/3, F.110)
325

и для любых лотерей у'и у"\ при любом у'2
Ш'ь */'2, Уз)>(9"и У'2, Уз)] Ч>
'и У2, Уз)>
F.111)
Как и ранее, при заданной функции (полезности
F.10) справедливо тогда и только тогда, когда
|>(Уь ^2, Уг)&*и>(у"и УГ2, Уз)] *$ [и(Уи У2, Уз)
>и(у"и У2, Уг)], V */2, t/з,
а соотношение F.111), когда
, Уг)и(уи у'2, Уъ),
и выражение
F.112)
F.1131
где у*2 — произвольное, но фиксированное значение фактора Y2*
Понятно, что из соотношения F.112) следует выражение F.108),
а из F.113) — выражение F.109), поэтому последние допущения
об условной предпочтительности являются более сильными, чем
первые. Заметим, что для справедливости условия F.113)
относительные (предпочтения на Yx при заданном у\ не обязательно
должны совпадать с относительными предпочтениями на Yx при
заданном у"г. Если фактор Yx условно не зависит по полезности
от У2 три фиксированном значении Уз »и если относительные
предпочтения для рассматриваемых значений Yx сохраняются
неизменными три всех значениях Уз, тогда фактически фактор Yx не
зависит по полезности от {Y2y Уз}. Отсюда для любых у'2 и у'з
и(Уи У2, Уз)=Aх (у2, Уз)+Л2(У2, Уз)и(уХу Уf2, У'з)-
Попробуем с помощью рис. 6.5 проиллюстрировать связь
между допущениями о независимости (по полезности и условной
независимости тю полезности.
Выражение F.109), которое
характеризует условную независимость
по полезности фактора Yx от У 2
при заданном у+г, означает, что
относительные предпочтения
последствий, расположенных вдоль
каждой непрерывной линии,
стратегически эквивалентны. Это
означает, что условные функции
полезности вдоль каждой из этих
непрерывных линий одинаковы
и связаны друг с другом
положительными линейными
преобразованиями. Однако из этого условия
не следует, что относительные
предпочтения последствий, расположенных вдоль выделенных
пунктирных линий, должны быть теми же самыми. Тем не менее
такое утверждение может быть и справедливым. Выражение
326
Рис. 6.5. Связь между условной не
зависимостью по полезности и неза
виоимостью по полезности

F.113), которое характеризует условную независимость по
полезности фактора Yi от Y2 при фиксированном Уз, означает,
например, что относительные предпочтения для последствий, располо-
. женных, соответственно, вдоль выделенных непрерывных,
пунктирных и штрих-пунктирных линий, должны быть одинаковыми.
Но это условие не требует, чтобы относительные предпочтения
последствий, расположенных вдоль непрерывных линий, были бы
такими же, как вдоль пунктирных или штрихчпун-ктирных линий.
Если оказывается, что относительные предпочтения последствий,
располагающихся вдоль каждой из выделенных линий:
непрерывных, пунктирных и штрих-пунктирных — совпадают друг с дру-
. гом тогда, весьма вероятно, фактор Yx не зависит по полезности
от {Y2y Уз}- Мы говорим «весьма вероятно», поскольку для того,
чтобы У! не зависел по полезности от {Уг, Уз}, данное условие
должно выполняться не только для плоскостей, на которых у%
принимает значения у+z, у'ъ или у"з, но и для всех других плос-
. костей, не указанных на рисунке.
Наконец, дадим определение условной аддитивной
независимости. Факторы Y\ и Уг являются условно аддитивно независимы-
. мыми при заданном значении у'%, если предпочтения для лотерей
. на У] <и У2 при значении У3, установленном на уровне у'ъ,
зависят лишь от маргинальных условных распределений
вероятностей и не зависят от их совместного условного распределения
вероятностей. И, аналогично предыдущим «случаям, положим по
определению, что факторы Y\ и Y2 являются условно аддитивно
независимыми при фиксированном У3, если предпочтения между
лотереями на Y\ и Y2 при любом фиксированном значении Уз
зависят только от маргинальных условных распределений
вероятностей и не зависят от их совместного условного
распределения вероятности.
6.11.2. Упрощение многомерных функций полезности.
Приступим к исследованию целесообразности использования
допущений об условной предпочтительности. Для большинства теорем,
использующих независимость по предпочтению, независимость по
полезности или аддитивную независимость, можно получить
аналогичные результаты при соответствующих допущениях об
условной независимости. Приведем некоторые из них без
доказательств, поскольку эти доказательства совпадают с
приведенными ранее. Например, теореме 5.2 соответствует следующее
утверждение.
Теорема 6.12. Если факторы Y\ и У2 условно независимы по
полезности друг от друга при заданном значении t/°3, то
и(Уи У2, У°г)=и(уи У°2, У°з)+и(уои у2у у°г) +
+ku(yu y\ у°г)и(у°и Уъ У°г),
где и(у°ь у°2, ?/\) = 0, a k — эмпирически оцениваемая константа.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.
Кроме результатов, полностью аналогичных тем, которые
получены при использовании независимости по полезности, можно
327

доказать некоторые дополнительные утверждения, например
следующее.
Теорема 6.13. Если У\ и У2 условно независимы по
полезности друг от друга при заданном У3, то функция и(уи у2, Уъ)
может быть определена с помощью функций щ(уи у°2у узЛ
^(у°и Уъ Уг) и Щ(у*ь у*2, Уг), построеннных для произвольных
значений у°и у*и у°2, у*2 при условии, что для функций щ
используются согласованные шкалы.
Это утверждение позволяет
определить функцию полезности
для трех факторов с помощью
трех условных функций
полезности, одна из которых зависит от
одного фактора, а две — от двух
факторов. Смысл теоремы 6.13
иллюстрируется рис. 6.6, где
принято, что Уь У2 и Уз
являются скалярными факторами.
Последствия, предпочтительность
которых должна быть квантифици-
рована, на рисунке
выделены. Предположим, что желатель-
Рис. >6;6. Иллюстрация
доказательства теоремы 6ЛЗ
но найти значение полезности произвольной точки (t/'ь у'2, у'г)
(точка Л на рис. 6.6). Поскольку фактор Y\ условно не зависит от
полезности от У2 при заданном у'%, значение полезности точки А
может быть выражена через полезности точек В и С
Действительно, предпочтения для последств'ий Л, В и С такие же, как и
для последствий А\ Вг и С, а относительные предпочтения для
Л', Вг и С известны. Полезность точки С также известна, но
полезность точки В еще нужно найти. Однако, так как фактор Уг
условно не зависит по полезности от Y\ при заданном у'ъ,
полезность последствия В может быть выражена через полезность
последствий В' и D. В самом деле, относительные предпочтения
для последствий В', В и D такие же, как и для последствий С, С
и D'у а относительные предпочтения для этих последствий
известны. Полезности последствий В/ и D суть известные величины,
поэтому можно вычислить полезность последствия В и, таким
образом, найти полезность произвольного последствия Л.
Приведем еще один результат, который характеризует
целесообразность использования понятия условной независимости при
установлении структуры функции полезности.
Теорема 6.14. Пусть факторы Y{ и У2 условно аддитивно
независимы при заданном значении У3, тогда
и(Уи У2, Уг)=и(уь у\ уг)+и(у°и #2, Уг)—
-и(У°и У°2, Уз), F.114)
гдеи(у°и У% У°г)=0.
328

Доказательство этого утверждения очень похоже на
доказательство теоремы 5.1. Этот результат позволяет определить
функцию полезности для трёх факторов с помощью двух двумерных
функций полезности с согласованными шкалами измерений.
Если Yu Y2 и Уз являются скалярными факторами, то из выражения
F.114) следует, что для полного определения функции и
необходимо найти лишь значения функции полезности на двух
заштрихованных плоскостях, показанных на рис. 6.6.
6.11.3. Необходимые условия для независимости. В этом
пункте обсуждается второй аспект целесообразности использования
допущений об условной независимости. Обсуждаемые здесь
положения аналитически весьма просты, но удобны в практических
задачах. Именно поэтому они и были включены в настоящий
пункт. В некоторых ситуациях может оказаться очень
затруднительным выяснение вопроса о том, является ли фактор Y\
независимым шо 'полезности от {У2, У3} .или нет. Однако можно
установить значение фактора Уз на определенном уровне и проверить
относительную предпочтительность последствий, различающихся
значениями Y\ для различных значений У2 при заданном */+3. Если
при этом окажется, что относительные предпочтения для таких
последствий не остаются неизменными, тогда очевидно, что
относительные предпочтения для последствий, различающихся
значениями Уь не могут быть одинаковыми для всех пар (#2, Уг)>
Таким образом, фактор Y\ не может быть независимым по
полезности от {У2, Уз}. Это заключение формализовано в следующей
простой теореме.
Теорема 6.15. Необходимым условием независимости по
полезности Yx от {Уг, Уз} является условная независимость по полез-'
ности Y\ от У2 при заданном У3.
В том же ключе сформулируем еще одну теорему, которая
представлена без доказательства.
Теорема 6.16. Необходимым условием аддитивной
независимости Уь Уг я Уз является условная аддитивная независимость , Yx
и У2 при заданном У3.
6.11.4. Достаточные условия для независимости. Третий
аспект возможного использования условной независимости по
полезности определяется тем, что это допущение обеспечивает
основу для формирования достаточных наборов допущений о
свойствах независимости предпочтений. Благодаря этому проверка
возможности использования определенных функциональных видов
функции полезности в конкретных задачах требует меньшего
объема эмпирической информации.
Теорема 6.17. Если фактор Y\ условно не зависит по
полезности от У2 при фиксированном Уз и от Уз при фиксированном y+2f
то Yx не зависит по полезности от {У2, Уз}.
Доказательство. Поскольку фактор Y\ условно не
зависит по полезности от У2 при фиксированном У3, из выражения
329

F.113) следует, что для произвольного значения У2 (выберем его
равным */+2) справедливо равенство
и(Уи Уъ yz)=dx(y2> yz)+d2(y2, Уг)и(Уи У+2, Уь). F.115)
А поскольку Y\ условно не зависит по полезности от Уз при
заданном у+2> то из выражения F.109) получаем
"(Уь У+2, Уг)=С1(уъ) + с2(уг)и(уи У+2, У+0- F.116)
Подставляя F.116) в F.115), находим
НУ и У2, ys)==:di(y2, yz)+d2 (у2, Уъ)[с\(уг) +
+ с2(Уз)и(уи у+2, У+г)]Ч1(У2,Уг) +
+ЫУ*> Уг)и(уи у+2, У+ъ), F.117)
где fi(y2, yz)=di(y2, yz)+d2(y2, yz)ci(yz),
/2<i/2, yz)=d2(y2, Уг)с2(Уг).
Из выражения F.117) следует, что Y\ не зависит по полезности
от {У2, Уз}.
Особо важный класс представляют задачи с иерархической
структурой факторов. Далее излагаются некоторые результаты,
полезные для решения этих задач.
Теорема 6.1'8. Если множество факторов {Y\9 У2} не зависит
по полезности от У3 и если Y\ условно не зависит по предпочтению
от У2 при фиксированном y'z, то Y\ не зависит по предпочтению
от {У2, Уз}.
Доказательство. Из условия независимости по
полезности следует
и(уи У2, yz)=iu(yz)+c(yz)u(yh y2, у°г), F.118)
а условная независимость по предпочтению означает, что
[aQ/'i, УГ2, y'z)>u(y"u УГ2, y'z)]*=$[u{y'u Уь yfzO*u{y"u y2, y'z)].
F.119)
Вычисляя правую часть выражения F.119) с 'помощью
выражения F.118), получаем
и{у'и Уь У%)>и(у"и у2, Л). F.120)
Подставляя F.120) в F.118), находим
«(Уь У2, Уз)>и(у"и у2, yz),V Уь Уз. F.121)
Это выражение и означает, что фактор У! не зависит по
предпочтению от {У2, У3}.
Аналогичное утверждение можно сформулировать для
независимости по полезности.
Теорема 6.19. Если множество факторов {Yu У2} не зависит по
полезности от У3, a Y\ условно не зависит по полезности от
У2, при фиксированном y'z, то Yx не зависит по полезности от
{Y2, Уз}.
330

Доказательство. Из условий теоремы следует, что
"(Уь */2, Уз) =/(Уз) +g{yz)u{yu у2, у"г), F.122)
где значение у"г выбрано произвольно, и
и(Уи уа, y/z)=c(y2)+d(y2)u(yl9 y'z). F.123)
Положив у"з=у'г и подставив выражение F.123) в правую часть
выражения F.122), перегруппируем члены и в результате
получим
и(Уи Уъ y*L(y*)+g(y*)c{y2)+g(y3)d(y2)u(yu у'г).
F.124)
Вычислим значения выражения F.124) в точке (*/ь */°2> у°з) и
решим полученное уравнение относительно и(уи #'з). Подстановка
найденного решения этого уравнения снова в выражении F.124)
завершает доказательство утверждаемого результата.
Два доказанных выше утверждения позволяют нам
сконцентрировать внимание на предпочтениях лица, принимающего
решение, и независимых по полезности цепях и их элементах, не
задумываясь о значениях других факторов, уже установленных
на некотором удобном уровне. Возвращаясь к примеру 6.5 из
§ 6.10, можно заметить, что для получения выражения F.97)
условие независимости по полезности фактора Хъ от Х5 оказывается
избыточным. Из теоремы 6.19 следует необходимость л>Ш11ь_услов-
ной независимости по полезности Х$ от Х& при значении Х$е,
заданном на каком-либо удобном уровне хь§. Последнее условие
проверить значительно легче, чем первое.
Относительно аддитивной независимости сформулируем
следующую теорему.
Теорема 6.20. Если, во-первых, Y\ и У2 условно аддитивно не-
зависимы при фиксированном У3, во-вторых, Yx и У3 условно ад-
дитивно независимы при фиксированном у°2 и, в-третьих, У2 и Уз
условно аддитивно независимы при фиксированном у°и то Уь У2
и У3 аддитивно независимы.
Доказательство. Из второй и третьей предпосылок
следует соответственно, что
и{Уи У% Уг) =«(Уь У\ У°г) +и(у°и У% Уг)\ F.125)
и(у°и Уь Уг) =и(у°и Уь У°г)+и(у°и у% yz), F.126)
где
и{у°и У\ У°г) =0.
Таким образом, подставляя выражение F.125) и F.126) в
выражение F.114), которое следует из первой предпосылки,
получаем
и(Уи Уь Уз)=и(уи у\ У°г)+и(у°и у2, У°г)+и(у°и у\ Уз).
F.127)
33!

Соотношение F.127) означает аддитивность функции полезности
и(Уи У2, Уг), откуда непосредственно вытекает наличие
аддитивной независимости факторов.
6.11.5. Иллюстративный пример иерархической структуры. Для
иллюстрации некоторых рассмотренных выше положений
приведем в качестве примера упрощенный вариант типичной задачи
управления, с которой сталкиваются различные
'правительственные организации. Для конкретности предположим, что
администрация штата рассматривает законопроект об обязательном
использовании ремней безопасности всеми участниками
автотранспортного движения на высокоскоростных дорогах штата. Главная
конечная цель такой программы — «повышение благополучия»
автомобилистов штата. Подцелями являются минимизация
физических травм водителей и снижение денежных затрат. Таким
образом, можно определить главный фактор X как «благополучие»»
фактор Y\ как «физические травмы», У2 — «денежные затраты».
Более того, предположим, что фактор Y\ разбит на два фактора
^i и Х2, характеризующих соответственно летальные исходы и
серьезные травмы, а фактор Y2 разбит на факторы Х3 и Х±7
отражающие соответственно денежные затраты водителей и денежные
затраты штата. В табл. 6.4 перечислены меры эффективности, ко-
Таблица 6.4. Факторы и меры эффективности для задачи
о ремнях безопасности
Фактор
Мера эффективности
— гибель автомобилистов
билистов
денежные затраты
автомобилистов
денежные затраты штата
Количество человеческих жертв на
высокоскоростных дорогах штата за год
Количество серьезных травм на
высокоскоростных дорогах штата за год
Стоимость установки ремней безопасности в
автомобиле, дол.
Годовая стоимость проведения программы, дол.
торые »будут использованы для каждого из факторов. Для
иллюстрации иерархической структуры факторов удобно использовать
рис. 6.7.
Следующим интересующим <нас здесь этапом анализа является
построение функции полезности и (х). Очевидно, что функцию
и(х) можно 'представить в виде и(у\, у2) или и(хи х2у *з, *4).
Начать структуризацию функции и целесообразно с проверки
допущения об аддитивной независимости, обсуждавшегося в § 5.3.
Сначала "необходимо проверить, справедливо ли это допущение
для факторов Yi и У2. Предположим, что оно оказалось
несправедливым. Но ори этом выяснилось, что фактор Y\ не зависит -по
•предпочтению от Y2y а фактор Хх «не зависит по полезности от
{Х2, Y2). Тогда согласно теореме 6.6 фактор Yx не зависит по
полезности от У2. Предположим также, что 'была установлена неза-
332

висимость по полезности фактора У2 от Уь Поэтому из
теоремы 5.2 следует
НУ и У*)=и(уи У°2)+и(у°и У2}+Ьи(Уи У°2)и(у°и у2),
F.128)
где и(у°и у°2)=0.
Рис. 6.7. Иерархическая структура факторов в задаче о ремнях безопасности
~"(на чаетотранспорте
Однако желательно пойти еще дальше и, если возможно,
упростить как функцию и{уи У°2), так и и(у°и У2). Для этого
предположим, что проверка установила справедливость допущения об
условной взаимной независимости по полезности факторов Х{ и
Х2 при заданном у°2. Поскольку Хх не зависит по полезности от
{Х2, У2}, то для Х\ это было уже известно. Из теоремы 6.12
следует, что
НУи У°2) ш*и(Хи Х2, У°2) =U(XU Х\ у°2) +и(Х°и Х2, у°2)\+
+ku(xu x°2, У°2)и(х°и х2у у°2)у F.129)
где начало отсчета функции и по-прежнему задается равенством
и(у°и У°2)=и(х°и х°2> у°2)=0. Заметим, что шкала для измерения
функции и пока не конкретизирована.
Т й ф (° )
рр
Теперь перейдем к функции и(у°
@) П
которую представим в
р р фу (у #) ру р
виде и (у0и #з, Xt). Предположим, после проверки удалось сделать
заключение о том, что лишь X* условно независим по полезности
от Xz при заданном у°\. Это означает, что в соответствии с
утверждением, аналогичным теореме 5.6 из § 5.6, справедливо
следующее выражение:
и{у°и хг, х4) =и(у°и хг, х\) [1—и(у\ х\ хА)] +
+ и(у°и хг, х\)и(уоиу\ х4), F.130)
где начало отсчета и шкала измерения функции по-щрежнему
задаются равенствами и(у°и х\ х°а) =0, и(у°и а:°3, х'аУ=1.
Все три функции полезности F.128), F.129) и F.130) имеют
одинаковое начало отсчета, а шкала измерения установлена лишь
для функции F.130). Поэтому можно непосредственно подставить
F.129) и F.130) в F.128) и благодаря этому выразить
и(*ь х2у дг3, хА) через и(хи х°2, х\ л:°4), и(х°и х2> х\ х°А),
333

и(х°и х°2, *з> х°4), и{х°их\ х\ х4)9 и(х°и х°2, xZi х'4), k и ku при
этом начало отсчета и шкала измерения функции и
устанавливается равенствами
и(х°и х\ х\ хА) = 0 и и(х°и х\ х\ х'4) =1
соответственно. Таким образом, использование условий
независимости и условной независимости позволило в этом примере
свести оценку функции полезности для четырех факторов к
согласованной оценке пяти функций полезности, 'каждая из которых
зависит только от одного фактора и двух дополнительных
шкалирующих констант. Это значит, что в целом необходимо найти
значения семи шкалирующих констант — по одной константе для
определения значения каждой из условных функций полезности
во второй точке ('первой точкой для них является общая
начальная точка — точка начала отсчета), плюс k и k\.
6.12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной главе получены теоремы представления функции
полезности лица, принимающего решение, при различных наборах
допущений о его основных предпочтениях. Для различных
допущений была исследована их взаимосвязь. Это исследование
преследовало две Цели: 1) ослабить допущения, выполнение которых
необходимо для установления конкретных функциональных видов
функции полезности, и 2) постараться выяснить и полностью
использовать все следствия, которые могут быть выведены из
допущений о предпочтениях. Упрощенный перечень результатов гл. 3,
5 и 6 представлен в табл. 6.5.
В процессе обобщения результатов гл. 5 для двумерных
функций полезности на случай большего числа факторов выявилось
одно обстоятельство. При трех и более факторах обилие
возможных наборов допущений о независимости по предпочтению и по
полезности резко возрастает по двум причинам: 1) из-за
возможности введения условий независимости на перекрывающихся
множествах факторов и 2) из-за возможности использования
допущений об условной независимости по предпочтению и по полезности.
Полученные результаты хорошо иллюстрируют это обилие.
В большинстве реальных задач следует ожидать, что
процедуры, представленные в гл. 3—6, в совокупности окажут
значительную помощь в установлении «разумного» представления
предпочтений лица, принимающего решение. Однако это возможно лишь
при условии, что структуризация задачи проводится на основе
содержательного анализа целей и факторов, на что уже было нами
указано в гл. 2. Результаты, полученные рядом авторов (Инте-
мой и Торгенсоном A961), Фишером A972, 1973), фон Винтер-
фельдтом и Эдвардсом A973а, 1973b), Довсом и Корриганом
A974) и др.)> свидетельствуют в пользу этого утверждения.
Примеры, рассматриваемые в гл. 7 и 8, также подтверждают эту
точку зрения.
334

Таблица 6.5. Допущения о независимости факторов в многомерной теории полезности; предполагается,
что последствия представлены в виде xss (xit x2, ..., хп) за (у, г)
Допущение
Объекты
определения
Определение
Математическое
выражение
определения
Примечание
Независимость по предпочтению (PI)
Предпочтения относительно
последствий (у, z) при
фиксированном значении z
УеР1 от Z, если предпочтения
относительно последствий (уу z')
при фиксированном значении z'
не зависят от самого значения z'
>u(ybt z)]y для всех z
PI — нерефлексивно;
Уе=Р1 от Z не означает Z<=PI от У
Независимость по полезности (Ш)
Предпочтения относительно лотерей
(у, z) при фиксированном значении z
УеШ от Z, если предпочтения
относительно лотерей (у, z') при
фиксированном значении zf не зависят от
самого значения zf
"(У* z)=/B)+gB)w(#, 2°), g>0 ДЛЯ
всех 2
UI — нерефлексивно
Аддитивная независимость (AI)
Предпочтения относительно лотерей
(у, z) при изменяющихся значениях
как уу так и z
У, ZeAI, если предпочтения
относительно лотерей (у, z) зависят только
от маргинальных распределений
вероятностей на у и 2
<(У', г'), (у*, 2°) >~«У, 2°),
{y°t z') > для всех yf% z'
AI — рефлексивно

Йрддблжение табл. 6.5
Допущение
Основные
результаты:
для двух
факторов
для п факторов
Сочетание PI и
UI
Независимость по предпочтению (PI)
Если {Хи Xi}ePI от Xiit i=2,
3, ..., nt тогда t/(*)«2nt=itft(*i),
где v — функции ценности
Если {Хи *,}е=Р1 от Xih *=2,
3, ..., я, и X4eUI от Xit тогда либо
(\)l+ku(x)=n\[\+№iiii(Xi)}
либо
п
B)«(*)«2*,M*<)
Независимость по полезности (UI)
Если KeUI от Z и ?e=UI от Y,
тогда и(у, z) ^kYuY (у) + kzuz (г)
+kkTkzUY(y)Uz{Z)
Если XiSUI от Xit i=l, 2, .... л,
тогда и(х) = S ^<«i(я,-) +
+ ]?*utti(^)Mi(^)+...+
+^t...nWi(Xt) ...МЛ(*п)
Аддитивная независимость (AI)
Если У, ZeAI, тогда «(^, г) =
==^rWr(</)-f-^z«z(^)
Если XieAI от ?*, i=l, 2, ..., п,
п
тогда м(*)= ^ kitii(Xi)

ПРИЛОЖЕНИЕ 6А
ОБОБЩЕНИЕ НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПРЕДПОЧТЕНИЮ
И НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПОЛЕЗНОСТИ
Предположим, что имеются векторные факторы Y и Z и что при значении
Z, заданном на уровне z°, существует определенный порядок предпочтений
различных значений Y. Количественное описание этого порядка с помощью
функции ценности v(y, z) позволяет определить независимость по предпочтению Y
от Z. Если И*/', z°)^v(y", zo)]=>lv(y', z)^sv(y"t z)],y г, то фактор Y не
зависит по предпочтению от Z. Таким образом, при любом заданном значении
г условный порядок предпочтений различных значений у оказывается
неизменным безотносительно к выбранному значению г. Если же при некотором
значении zr порядок на у сменяется на обратный, т. е.
;И/, z°)>v(y", 2°)]^<И*/", z')^v{y\ z')\
будем говорить, что условные предпочтения «а у при заданных z° и z' являются
обратными друг другу. При некотором другом уровне, z" например, эти же
значения I/, возможно, окажутся равноценными. Фактор Y является независимым
по предпочтению от Z в обобщенном смысле, если при двух каких-либо
заданных значениях фактора Z (например, z' и z") упорядочения значений у либо
одинаковы или обратны друг другу, либо же имеет место равноценность этих
значений у. Более формально, фактор Y не зависит по предпочтению от Z в
обобщенном смысле, если v(y, z)—f(z){v(yy z°)], где единственным
ограничением, 'накладываемым на функцию f(z), является то, что она должна
принимать скалярные значения. Если f>0, получим случай обычной независимости
по [Предпочтению.
Аналогично можно получить обратные порядки предпочтений для лотерей
на У при различных значениях Z. Если фактор Y не зависит по полезности от
Z в обобщенном смысле, то
где z° выбрано так, что 'имеет место некоторая условная предпочтительность
различных значений У при заданном значении z°, а функция h может быть
отрицательной, нулевой или положительной. Если h(z') отрицательна, тогда
предпочтения относительно лотерей на У три данном фиксированном значении z'
обратны порядку предпочтительности этих лотерей ери фиксированном
значении z—z°. Конечно, когда ft>0, /получаем случай обычной независимости по
полезности, подробно обсуждавшийся в этой главе.
Фшпберн и Кини A971, 1975) показали, что результаты, аналогичные
многим результатам настоящей главы, могут быть получены при использовании
более слабых условий обобщенной независимости по предпочтению и по
полезности вместо обычных условий независимости по предпочтению и по полезности.
Однако некоторые из этих результатов не следуют только из факта
«обращения» предпочтений.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6Б
ВЫЧИСЛЕНИЕ ШКАЛИРУЮЩЕЙ КОНСТАНТЫ k
В МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Принимая х=х* в выражении F.14), получаем
(
Подставляя в выражение F.12) значения хг* и jc**, находим, что
337

или
l^ki+ll+bkiMxS). FБ.2)
Поскольку ki<\, а функция и положительна, из выражения FБ.2) следует,
что
l+A?i>0. FБ.З)
Сравнивая знаки обеих частей равенства FБ.1), можно сделать вывод, что
k>—1. FБ.4)
п
Теперь пусть S=2&i. Рассмотрим полином
Д<7) = 1+<7-ПA+М), -1<<7<оо. FБ.5)
Если к удовлетворяет выражению FБ.1), то f(k)=*O; отметим также, что
/(—1)<0. Дифференцируя выражение FБ.5), получаем
1-/'= 2 *ШA+?;?). FБ.6)
Отсюда следует, что функция 1—\' является возрастающей и, следовательно,
функция Y убывающая.
Положим S=l. Тогда f'@)=0. Далее, поскольку функция /' является
убывающей на интервале (—1, оо), она положительна на интервале (—1, 0) и
отрицательна на интервале @, оо). Таким образом, q=0 — единственный
корень уравнения f(q)=O на интервале (—1, оо), и поэтому из условия S=l
следует k=0. Это соответствует только аддитивной функции полезности.
Теперь предположим, что 5<1, т. е. f'@)>0. Поскольку функция f
является убывающей, она положительна на интервале (-4, 0). Поэтому уравнение
/(</)= 0 не имеет корней между (—1) и корнем в 0. Из выражения FБ.6)
следует, что /7(оо)=—оо и уравнение /'(</) =0 имеет единственный корень q* на
интервале @, оо). Поскольку /@)=0 и /'>0 на интервале @, q*), то уравнение
f(q)=O не имеет корней на данном интервале. Так как f(q*)>0 и f
отрицательна и убывает до —оо на интервале (q*, оо), уравнение f(q)=O имеет
единственный корень k на этом интервале. Более того, />0 на интервале @, k) и
f<0 на интервале (k, оо), поэтому при условии, что поиск k ограничен
интервалом @, оо), 1можно применить итеративный метод, описанный в этой книге.
Наконец, предположим, что S>1, т. е. /'@)<0. Поскольку /' является
убывающей, она отрицательна на интервале @, оо). Поэтому уравнение f(q) =
= 0 не может иметь корней справа от корня <7=0. Так как непосредственно
левее этого корня />0, в то время, как f(—1)<0 да интервале (—1, 0), должен
существовать по крайней мере один корень k уравнения f(q)—O. Поскольку f
является убывающей и /@)=0, таких корней будет максимум один и при
условии, что поиск k ограничен интервалом (—1, 0), можно применить
описанный нами итеративный метод.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6В
ПРОГРАММА ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭВМ В ИНТЕРАКТИВНЫХ
ПРОЦЕДУРАХ НАХОЖДЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ
МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ *)
В § 6.6 обсуждались и иллюстрировались некоторые положения,
необходимые для построения многомерных функций полезности. Эта задача является
*) Это приложение является адаптацией работы Кини и Зихермана A976).
В § 9.7 обсуждается аналогичная программа, предназначенная для реализации
интерактивной процедуры, которая разработана для исследования замещений
на выделенных временных интервалах.
338

весьма сложной. Проведение такого построения на основе эмпирических
данных без непосредственного привлечения вычислительной техники наталкивается
на значительные трудности. Наиболее значительными из них являются
следующие:
1. Необходимость проведения опроса лица, принимающего решение,
относительно «экстремальных значений» для обеспечения возможности вычислений
значений функции полезности для неэкстремальных значений факторов.
2. Трудоемкость вычисления составляющих функции полезности и
шкалирующих констант даже и в этом случае.
3. Отсутствие быстрой обратной связи с лицом, принимающим решение, для
обсуждения следствий из его предпочтений.
4. Отсутствие эффективной процедуры для «корректировки» предпочтений
лица, принимающего решение, и проведения анализа чувствительности.
В данном приложении кратко описаны основные черты пакета программ,
предназначенного для преодоления указанных трудностей, на основе
использования существующих методов построения и применения многомерных функций
полезности. Пакет программ имеет мнемоническое обозначение MUFCAP
(multiattribute utility function calculation and assessment package), т. е. «пакет
для вычислений и построения многомерных функций полезности». В настоящее
время некоторые подпрограммы пакета еще не доработаны. Однако этот пакет
уже используется практически. Накопленный опыт работы с ним указывает
целесообразное направление дальнейших разработок в этой области.
В дальнейшем будет предполагаться, что допущения, обусловливающие
существование аддитивной или мультипликативной функции полезности, уже
проверены и подтверждены. Кроме того, поскольку процедуры оценки основных
¦компонент iii и к\ как аддитивной, так и мультипликативной функций
полезности в сущности одинаковы, нет необходимости рассматривать эти два случая
отдельно. Напомним, что значение дополнительной константы к в
мультипликативной функции полезности вычисляется непосредственно *на основе значений
ки Мультипликативная функция, например, будет попользоваться как для
общей функции полезности и, так и для любой вложенной функции полезности.
Пакет программ MUFCAP будет кратко охарактеризован ниже. Подробности и
сами программы содержатся в работе Зихермана A975). Под аббревиатурой
MUF понимается многомерная функция полезности мультипликативного или
аддитивного вида (multiattiattribute utility function).
Программа для структуризации функции полезности
Структуризация функции полезности состоит^ в установлении
функционального вида функции, конкретизации ее факторов и их областей изменения. Для
работы MUFCAP требуется задать название функции полезности и число
факторов, которые являются аргументами этой функции. После этого требуется
указать название и область изменения скалярных факторов. Для векторных
факторов должно быть задано количество компонент, которые являются
аргументами этой вложенной MUF. Для каждого из них нужно указать название и
область изменения. При необходимости можно задать и последующие уровни
вложения. Требуемая при этом информация аналогична указанной выше.
В MUFCAP предусмотрены команды для добавления к аргументам функции
полезности и исключения из их числа каких-либо факторов. Кроме того, в
MUFCAP имеется команда для изменения порядка нумерации факторов в
функции полезности. Таким образом, для изменения модели задачи при различных
схемах вложения факторы могут быть «перегруппированы» в соответствии с
используемой схемой.
Программа для определения функций полезности, зависящих
только от одного фактора
Следующий шаг построения MUF состоит в определении функций и*,
зависящих от одного фактора. Как отмечалось в гл.4, для нахождения одномерных
функций полезности существуют достаточно сложные программы, реализуемые
339

на вычислительных машинах. Эти программы могут быть включены в MUFCAP.
Однако в качестве .начального этапа разработки (для упрощения имеющегося
варианта пакета программ) была использована специальная подпрограмма
(называемая UNIF) для определения одномерных функций полезности.
В MUFCAP имеются команды для нахождения подходящей одномерной
функции полезности и одного из следующих трех видов: линейного,
экспоненциального и кусочно-линейного. Эти функции позволяют пользователю
формализовать его предпочтения во многих практических ситуациях. В MUFCAP
предусмотрены также команды, позволяющие вывести на дисплей любую
построенную одномерную функцию полезности для проверки ее пригодности.
Программа для определения шкалирующих констант
В пакете имеются программы, используемые при нахождении констант ki в
любой конкретной MUF, когда функции ui уже полностью определены. По
команде INDIF2 вводятся две пары .равноценных «последствий. Эти последствия
могут различаться по двум факторам, например по Xj и Хт. Целью
проводимых здесь вычислений является нахождение связанных с этими факторами
значений шкалирующих констант kj и km. Используя MUF, указанные пары
равноценных исходов и функции полезности отдельных факторов, программа
рассчитывает относительные значения kj и km.
Дри работе с INDIF2 для определения относительных значений констант k%
пользователь не ограничен выбором лишь таких последствий, у которых один
из факторов принимает наименее желательное значение.
Используя информацию, полученную после выполнения команды INDIF2,
специальная программа вычисляет кривые безразличия (равноценности) для
факторов Xj и Хт по команде IMAP. Программа IMAP позволяет
пользователю получить «содержательную» интерпретацию только что найденных
относительных значений констант ki. Таким образом, пользователь имеет возможность
быстро разобраться в том, являются ли точки, «претендующие» на
равноценность (лежащие на кривых безразличия), в действительности таковыми для
него или нет. Если нет, то относительные значения констант ki могут быть
изменены и эти изменения можно осуществлять до тех пор, пока они не начнут
отражать предпочтения лица, принимающего решение, относительно замещений
для этих факторов.
Когда относительные значения ki уже известны, на вход программы
INDIFd поступает одна пара равноценных последствий. Программа
рассчитывает значение константы k и абсолютные значения констант ki, обусловленные
взятой парой последствий и относительными значениями ki. Для проверки
согласованности на вход программы INDIF1 может быть введена новая пара
равноценных последствий. В этом случае программа рассчитывает коэффициент, на
который надо умножить полученные ранее значения &*, для того, чтобы они
были согласованы с вновь поступившей информацией. В MUFCAP
предусмотрена программа, позволяющая пользователю произвести умножение
установленных значений ki для любой MUF на любой коэффициент. Таким образом,
программа INDIF1 дает возможность вычислять ki, используя отношение
равноценности вместо лотерей, построенных на исходах, различающихся сразу по
всем факторам.
Программа для оценки альтернатив и анализа чувствительности
Когда значения щ и ki уже установлены, функция полезности является
полностью определенной и может быть использована. Для изучения
результатов использования функций полезности и проведения предварительного анализа
в MUFCAP предусмотрены команды для конкретизации одного из двух типов
альтернатив: полностью детерминированных и связанных с неопределенностью.
При «детерминированных» альтернативах, которые представляют собой просто
последствия, для их полного описания необходимо знать соответствующие им
значения отдельных факторов. В случае «недетерминированных» альтернатив
MUFCAP предполагает наличие вероятностной независимости и требует зада-
340

ния функций распределения вероятности для каждого отдельного фактора*).
Используемая функция распределения вероятностей является кусочно-линейным
приближением распределения вероятностей для Х{. В этом случае MUFCAP
рассчитывает ожидаемые полезности для вероятностных альтернатив. Выделяя
группу альтернатив, незначительно различающихся некоторым свойством, можно
осуществить анализ чувствительности для входных вероятностных данных.
Кроме того, изменяя значения таких параметров, как шкалирующие константы а
многомерной функции полезности, можно провести анализ чувствительности
относительно структуры предпочтений. Таким образом, для оценки и
ранжирования альтернатив при принятии групповых решений могут быть использованы
различные функции полезности членов группы. Такой анализ позволяет
прояснить различия во мнениях ;и предложить, если это необходимо, некоторый
конструктивный компромисс.
Резюме
Существующий в настоящее время вариант MUFCAP обладает основными
характеристиками, необходимыми для нахождения и использования
многомерных функций полезности в сложных задачах принятия решений. А именно, он
позволяет использовать при формализации предпочтений лица, принимающего
решение, простые и конкретные, реалистичные в содержательном смысле
вопросы вместо «трудных для понимания» и фактически «абстрактных» -вопросов,
использовавшихся ранее в связи с требованиями вычислительных процедур.
MUFCAP обеспечивает: 1) разнообразную и практически мгновенную обратную
связь с результатами ответов лица, принимающего решение; 2) вычисление
функции полезности и для различных альтернатив и проведение анализа
чувствительности; 3) осуществление анализа различий в предпочтениях и суждениях
различных индивидуумов при принятии групповых решений.
Настоящий вариант MUFCAP следует рассматривать как первую попытку,,
представляющую собой основу для дальнейших разработок. Некоторые
возможные усовершенствования существующих программ уже были указаны в этой
главе, например более точные методы оценки одномерных функций полезности
и потенциальные возможности для установления предпочтительности
альтернатив без предположения о вероятностной независимости. Программа без особого
труда может быть состыкована с датчиком случайных величин, обладающих,
соответствующими вероятностными распределениями. Остальные
усовершенствования должны, на наш взгляд, относиться к добавлению подпрограмм,
предназначенных для 1) облегчения проверки справедливости допущений о
независимости по предпочтению я по полезности, 2) упрощения анализа
чувствительности и обратной связи, возможно, за счет использования дисплеев с
графическим представлением информации и 3) проведения анализа конфликтных
ситуаций в задачах принятия групповых решений.
ГЛАВА 7
ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ
В этой книге ставится далеко не праздный вопрос: решение
большинства реальных проблем неизбежно требует учета
разнообразных целей. Из этого следует, что многие выдвинутые нами кон-
*) Для нахождения значений ожидаемой полезности при зависимых
вероятностных распределениях удобно использовать метод Монте-Карло. С
помощью метода Монте-Карло можно получить исходы {ха, а—1, 2, ...} и затем
рассчитать 1/Г2ы(ха) для больших Г.
а=1
341

цепции могут и должны применяться при формальном или
неформальном анализе альтернатив. Останавливаясь главным образом
на методах формального анализа альтернатив, предназначенных
для одновременного достижения многих целей, авторы тем самым,
хотя это может быть и нескромно с их стороны, считают, что те
идеи и приемы, которые они изложили в этой книге, могут и
должны найти широкое применение. В доказательство этого в гл. 7 и 8
приводятся для иллюстрации примеры формализации
предпочтений, в основе которых лежат оценки по целому ряду критериев.
В гл. 7 на материале различных примеров в основном
рассматривается возможность количественного описания предпочтений, в гл. 8
на примере выбора вариантов развития аэропорта для Мехико
рассматривается этот процесс в целом, включая оценки вероятности,
анализ альтернатив, интерактивные процедуры и т. д., а также
квантификацию предпочтений в многокритериальном случае.
Примеры, рассматриваемые в этой главе, относятся к
проблемам, поднятым в гл. 2—6; § 7.1 посвящен вопросам, относящимся
к выбору целей и конкретизации мер эффективности в проблеме
борьбы с загрязнением воздуха. В § 7.2 рассматривается
распределение ресурсов на примере формирования программы
образования и анализируются функции ценности членов местного школьного
совета и других местных руководителей в области школьного
образования. Затем строится пятимерная функция полезности для
«периодов реагирования» различных передвижных пожарных
средств. Эта проблема является типичной для планирования работы
спасательных служб. В § 7.4 рассматривается проблема
структуризации предпочтений корпорации. В § 7.5 и 7.6 обсуждаются
предварительные результаты квантификации многокритериальных
предпочтений при выборе вычислительных систем, а также при
размещении атомных электростанций.
В § 7.1—7.6 мы исходили из того опыта, который мы и другие
исследователи приобрели в процессе квантификации многомерных
предпочтений. В § 7.7 дается краткий обзор других проблем, где
при проведении формального анализа подробно исследовались
выдвигаемые цели; при этом используются концепции, рассмотренные
в предыдущих главах. К этим проблемам относятся: использование
охлаждения крови в целях ее сохранения; утилизация конечных
продуктов очистных сооружений; безопасная посадка самолета;
выбор профессий; перевозка опасных грузов и хирургическое
вмешательство и послеоперационное лечение такого заболевания, как
«заячья губа».
Мы считаем, что концепции и методы, рассматриваемые в этой
книге, представляют не только теоретический, но и практический
интерес, они могут использоваться и уже используются, принося
пользу во многих важных случаях. Многие аналитики уже
используют описываемые методы при анализе решений очень важных
проблем, подобных тем, которые мы приводим в этой главе, и число
таких проблем постоянно растет.
342

7.1. БОРЬБА С ЗАГРЯЗНЕНИЕМ ВОЗДУХА *>
Мэру Нью-Йорка необходимо решить вопрос о том, одобрить ли
предлагаемое повышение мощности электростанции «Консолидей-
тед Эдисон» в Астории, Квинсленд. Если повышение мощности
будет одобрено, то жители города в ближайшие несколько лет
получат то количество электроэнергии, какое требуют их растущие
потребности и притом по умеренной цене. Однако это повлечет
увеличение загрязнения воздуха, особенно сернистым ангидридом и
окисями азота. Следует ли в таком случае одобрить повышение
мощности?
Городские советы в Бостоне и Нью-Йорке должны решить
вопрос о принятии закона, который наложит строгое ограничение на
содержание серы в сжигаемых горючих веществах. Если такой
закон будет принят, он приведет к существенному улучшению
качества воздуха в этих городах главным образом за счет уменьшения
в нем количества сернистого ангидрида. Однако принятие этого
закона приведет к тому, что для жителей городов повысится стоимость
обогрева помещений и используемой электроэнергии, поскольку
горючее с низким содержанием серы стоит более дорого. Следует
ли в таком случае принимать этот закон?
Конгрессу США необходимо решить, следует ли установить
жесткие стандарты на содержание окиси углерода, углеводородов
и окисей азота в выхлопных газах всех автомобилей, производимых
и продаваемых в стране. Установление таких стандартов будет
способствовать улучшению качества воздуха. Но, с другой стороны,
оно приведет к тому, что населению придется платить за новые
автомобили гораздо дороже. Следует ли конгрессу вводить такие
строгие ограничения?
Все эти проблемы стояли или стоят перед государственными
учреждениями. Более того, государственные учреждения все чаще
сталкиваются с подобными проблемами. Основной вопрос таков:
«Следует ли правительству принимать особую программу,
направленную на улучшение качества воздуха?». И каждый раз возникает
дополнительный вопрос: «Каковы должны быть стандарты при
определении качества воздуха?».
В данной книге внимание концентрируется главным образом на
том, как лицо, ответственное за принятие решения (в данном
случае общественный деятель), может использовать анализ решений,
чтобы этот анализ помог ему на чем-то остановить свой выбор при
решении традиционной проблемы: как выбрать нужное
направление деятельности из многих возможных вариантов? В этом
параграфе предметом нашего рассмотрения является выбор комплекса
целей и соответствующих мер эффективности их достижения для
анализа правительственных программ, направленных на усиление
*> Этот параграф основан на материалах диссертации Эллиса A970), а
также на результатах совместной работы Эллиса и Кини A972). Наиболее
глубоко данная проблема исследована в диссертации Мида A973). Обе
диссертации готовились под руководством Райфы.
343

борьбы с загрязнением воздуха. Наше изложение будет
базироваться на концепциях, выдвинутых в гл. 2.
Для примера выберем конкретную проблему, вставшую перед
конкретным лицом — мэром города Нью-Йорка. Естественно, мы не
будем требовать, чтобы мэр Нью-Йорка тратил свое время на
детальную разработку проблемы загрязнения воздуха. Этим должны
заниматься члены управления защиты окружающей среды в
аппарате мэра, а также отдел воздушных ресурсов. А затем все эти лица,
а также мэр могут рассмотреть результаты выполненного анализа
и использовать их при формировании и выполнении программ
борьбы с загрязнением воздуха в Нью-Йорке.
данные
Жизненный #ро#енб
(налример, потребности
в злентричеонойэнергии)
Технология мер
с загрязнением
Текущие программы и
законы, налра0/7&/нб/е
на именьшекие
загрязнения 0оз0уха
ЛроРлемсг
загрязнения
/7лоЛ/нты
быйроео,
загрязняющие
0азфг
Концентрация
загрязняющих
дешеста
измерение
нанцентрации
загрязняющих
дещес/пб
ущ
заюнь/,
#а уАгеныаение
загрязнения ffosttyxa
лрограмб/ и
/грагра/f/fd/и законы,
но/граДленные
на уменьшение
загрязнения
ооздуха
/7рялгая с/яои*/ость лрозрам-
орыТб/ с загрязнением
ла отношению /г другим
/7ра#ите/7бст0&мнб/м про
Конечные
результаты
Яейоаголрият-
Нд/е
/?осме&от0ия
Зляжителей
Яе$лаеолрият-
ные.
лооледотЯия
#ля энономини
города
/7ри*ге</ание:
е/прелна означает —*-
н OHawffaew Ялияние"
Рис. 7.1. Общая -модель оценки программ борьбы с загрязнением воздуха
344

В следующем пункте мы предлагаем краткое изложение
проблемы загрязнения воздуха в Нью-Йорке, а также коснемся вопроса
о сернистом ангидриде в составе воздуха. Затем мы сформулируем
цели и меры эффективности применительно к анализируемой
проблеме. И для того, чтобы не оставлять читателя на полпути, в
заключение будет кратко сказано о других аспектах этой проблемы.
7.1.1. Проблема борьбы с загрязнением воздуха в Нью-Йорке.
Общая модель процесса построения и оценки многих программ
борьбы с загрязнением воздуха показана на рис. 7,1. Центральной
проблемой этого процесса в целом (в том виде, в каком он
используется большинством муниципальных властей) является то, что при
выборе политики в вопросах охраны воздушной среды конечные
результаты, как правило, в явном виде учитываются не полностью.
Причину этого можно понять. Имеется слишком много трудностей:
и при определении соответствующих мер измерения конечных
результатов и при установлении связи между концентрацией
загрязнения и этими мерами, а' также при квантификации предпочтений
относительно возможных конечных результатов. Но приходится
действовать, и данные о концентрации загрязняющих веществ в
воздухе в большинстве случаев непосредственно, т. е. как таковые,
используются в аппарате управления. В, определенном смысле этот
процесс можно представить в виде короткого цикла, как показано
на рис. 7.1. И в тех случаях, когда это происходит, из формального
анализа процесса принятия решения исключается важная
информация, необходимая для рационального управления. Наши
предложения направлены на то, чтобы устранить этот короткий цикл и
улучшить формальный анализ, включив возможные конечные
результаты в явном виде в процесс принятия решений.
Проблема серы как загрязняющего вещества. В работе Айзен-
буда A970) дан обзор проблемы загрязнения воздуха <и
существующих программ борьбы с его загрязнением в Нью-Йорке. В 1970 г.
главным вопросом в проблеме загрязнения воздуха Нью-Йорка был
вопрос о содержании в нем сернистого ангидрида. В табл. 7.1
показаны источники выделения сернистого ангидрида в городе. Эта таб-
Таблица 7.1. Расчетные данные (на 1972 г.) по объемам выброса
в атмосферу сернистого ангидрида в Нью-Йорке (отдел воздушных ресурсов
Нью-Йорка, 1969 г.)
Источник загрязняющего вещества
Переработка отходов
Автомобили
Промышленные источники
Обогрев помещений
Производство электроэнергии
Итого
Выброс сернистого ангидрида
тонны
2 500
20400
9 900
195 300
169500
397 600
процент к об*
щему объему
0,6
5,1
2,5
49,2
42,6
100,0
345

лица представляет собой расчетные данные на 1972 г., составленные
в 1969 г. В расчетах были учтены все законы, действовавшие до
середины 1971 г.
Поскольку 90% загрязняющего вещества выделяется при
сгорании топлива, необходимого для обогрева помещений и выработки
энергии, и поскольку в настоящее время единственным
практическим путем может быть уменьшение содержания сернистого
ангидрида в сгораемом топливе, то перед городскими властями встала
необходимость рассмотрения важного вопроса (и принятия
соответствующего решения) о том, не следует ли снизить разрешенный
существующим законом уровень содержания серы в используемом
топливе (в то время речь шла об 1 %).
7.1.2. Определение основных целей. Почти в каждой проблеме,
встающей перед мэром Нью-Йорка, основной целью является
улучшение благосостояния жителей. Однако применительно к вопросу
о загрязнении воздуха эту цель следует рассмотреть более
подробно. Каких конкретных результатов хочет добиться мэр своими
действиями в области борьбы с загрязнением воздуха? После
серьезного исследования Эллис разделил общую цель борьбы с
загрязнением воздуха на пять конкретных целей:
1. Уменьшение неблагоприятного воздействия на здоровье
жителей.
2. Уменьшение неблагоприятных экономических последствий для
жителей.
3. Уменьшение неблагоприятного воздействия на
психологическое состояние жителей.
4. Уменьшение чистых финансовых затрат для городских
властей.
5. Достижение по возможности наиболее желательного
«политического решения».
Важность этих целей особо доказывать не приходится. Однако
отметим, что вторая цель включает стоимость программ борьбы с
загрязнением воздуха в дополнение к стоимости самих источников
загрязнения. Чистые затраты, о которых говорится в четвертом
пункте, включают в себя все прямые затраты (такие, как стоимость
программы борьбы с загрязнением воздуха), непрямые
(косвенные) затраты (например, затраты, вызванные перемещением
предприятий и фирм за пределы города, потери от уменьшения потока
туристов) и потери налоговых поступлений вследствие неявки
рабочих или служащих на работу из-за болезней, вызванных
загрязнением воздуха.
Охватывают ли наши пять пунктов все те важные вопросы,
ответы на которые необходимы мэру для принятия решения?
Например, мы ничего не сказали об общих последствиях различных
альтернативных вариантов для Нью-Йорка, для федерального
правительства, для бизнесменов, для тех, кто не живет в Нью-Йорке.
Следует ли все эти факторы включать в рассмотрение при полном
анализе программ борьбы с загрязнением воздуха? Несомненно,
мэра волнуют все эти вопросы. Но ведь некоторые аспекты этих
346

вопросов, такие, как экономический эффект от туризма,
последствие перемещения из или в город предприятий и фирм, входят
в цель «уменьшение чистых финансовых затрат на борьбу с
загрязнением воздуха для городских властей». Выигрыш от
осуществления программ по борьбе с загрязнением воздуха для тех, например,
кто не проживает в городе, по всей видимости, тесно связан с
выигрышем, который получают жители города, поэтому его можно
не учитывать при рассмотрении данного вопроса в первом
приближении. Все это дало Эллису возможность считать, что включение
этих дополнительных подцелей не окажет влияния на оптимальную
стратегию, и поэтому эти цели с самого начала не были включены
в список целей. Однако после предварительного анализа он еще раз
исследовал исключенные им факторы, правда, неформальным
способом.
7.1.3. Выбор критериев*) для каждой из целей. Следующий
вопрос — выбор подходящих критериев для каждой цели, которые
указывали бы степень достижения соответствующих им целей.
Влияние на здоровье жителей. Для цели «уменьшение
неблагоприятного влияния загрязнения воздуха на здоровье жителей»
некоторые критерии довольно очевидны. Это — количество смертных
случаев, в которых повинно загрязнение воздуха, за год, это —
заболеваемость по причинам загрязнения воздуха, выраженная в
человеко-днях за год, и, наконец, — субъективно выбранный
«показатель здоровья», в который входит оценка заболеваемости и
смертности.
Каждый из этих критериев вызывает, однако, серьезные
возражения. Число смертных случаев, вызванных загрязнением воздуха,
за год не является полной характеристикой, потому что совсем не
отражает наиболее часто встречающееся последствие
загрязнения— заболеваемость. Точно так же заболеваемость, выраженная
в человеко-днях за год, не отражает такое чрезвычайно важное
последствие загрязнения воздуха, как смертность.
Таким образом, ни одна из этих мер эффективности, кроме,
пожалуй, субъективного «показателя здоровья», не может быть
выбрана для этой цели. Однако и этот показатель оказывается не
совсем подходящим критерием, поскольку он не поддается
интерпретации, в плане возможности его физического измерения, о чем
говорилось в гл. 2. По этой причине было решено провести
«конкретизацию» рассматриваемой цели, т. е. дать ее более подробное
определение. Критерии, относящиеся к оценке здоровья, были
введены для двух более подробных целей: «уменьшить смертность»
и «уменьшить заболеваемость».
Для первой из этих целей имеются две возможные меры
эффективности: «количество смертных случаев, вызванных загрязнением
воздуха, в год» и обратно ориентированная величина «увеличение
средней (в пересчете на одного человека) оставшейся
продолжительности жизни в днях благодаря улучшению качества воздуха».
*> См. сноску на с. 45.
347

Первая одинаково оценивает и смерть старого человека, и смерть
ребенка, вторая — большее значение придает смерти молодого
человека. В качестве критерия была выбрана вторая из этих мер,
так как она более точно отражала влияние программы борьбы
с загрязнением воздуха на «уменьшение смертности». Для второй
цели — «уменьшение заболеваемости» — в качестве критерия было
выбрано «уменьшение числа дней болезни, проведенных на
постельном режиме, в год на душу населения, вследствие улучшения
качества воздуха». Очевидно, что этот критерий не отражает,
скажем, такое последствие загрязнения воздуха, как раздражение
слизистой оболочки глаз, так как это заболевание не требует
постельного режима. Частично последствия раздражения слизистой
оболочки глаз можно отнести к психологическим, что позволит
включить их в третью основную цель. Однако интуитивно мы
чувствуем, что физическая сторона раздражения глаз является
достаточно важной для формального включения в анализ. По этой
причине мы предлагаем ввести некоторую количественную величину,
представляющую собой число дней болезни, проведенных на
постельном режиме, за год, эквивалентное числу заболеваний
(различной степени) слизистой оболочки глаз за год. Затем для каждой
альтернативы программы борьбы с загрязнением последствия
заболеваний слизистой оболочки глаз будут учтены в ней
посредством «эквивалентного числа койко-дней». С помощью этой
величины будет измеряться степень «уменьшения заболеваемости».
Экономические последствия для жителей. Для цели
«уменьшение отрицательных экономических последствий загрязнения
воздуха» для жителей Нью-Йорка необходимо использовать несколько
критериев, так как мэру нужно рассмотреть, каковы будут эти
экономические последствия для жителей с разным уровнем дохода.
Эллис избрал компромиссное решение. Он рассматривал два
аспекта: экономические последствия для жителей с низким доходом и
для всех остальных жителей. В качестве меры эффективности для
каждой группы была избрана чистая годовая стоимость
мероприятий по борьбе с загрязнением для жителей, в пересчете на душу
населения.
Психологические последствия для жителей. Цель «уменьшение
отрицательных последствий загрязнения воздуха с точки зрения
психологического состояния жителей», как нам представляется, не
обладает.непосредственной мерой эффективности. Однако можно
определить некоторый субъективный показатель — например,
опросить жителей, как они относятся к различным уровням качества
воздуха. Но Эллис избрал более простой путь, он использовал
среднюю ежедневную концентрацию сернистого ангидрида как
критерий-заместитель «психологического состояния» *>. Пожалуй, есть
основания полагать, что «психологическое состояние» тесно
связано с данным уровнем концентрации.
*) Важно подчеркнуть, что этот уровень концентрации может
рассматриваться как критерий-заместитель только для цели «психологическое состояние»
и «и для какай другой.
348

Экономические последствия для города. Для четвертой цели
«уменьшение чистой стоимости» программы борьбы с загрязнением
воздуха для властей Нью-Йорка Эллис в качестве меры
эффективности использовал «чистую годовую стоимость». Как говорилось
выше, сюда входила как прямая, так и косвенная стоимость.
Политические цели. Пятая цель «достижение наилучшего в
политическом смысле разрешения проблемы загрязнения воздуха»
не имеет конкретной объективной меры эффективности, поэтому
был использован субъективный показатель. При введении этого
показателя использовались следующие соображения: возможность
судебных дел, возбуждаемых владельцами земли или домов,
которые будут вынуждены оплачивать более высокую стоимость
топлива; взаимоотношения между мэром и городским советом, компанией
«Консолидейтед Эдисон» и другими политическими группами
города, а также поддержка средним горожанином различных вариантов
программы. Все эти соображения потенциально могут сказаться на
политическом будущем мэра, что также следует принимать во
внимание.
7.1.4. Окончательный набор целей и критериев. На рис. 7.2
показана, иерархия целей и соответствующих им мер
эффективности, использовавшиеся Эллисом в его исследовании проблемы
борьбы с загрязнением воздуха в Нью-Йорке.
Конечно, может оказаться, что существуют и другие важные
цели, которые Эллис не предусмотрел и которые, следовательно,
не были включены в его анализ. Однако, если мы не можем указать
эти «пропуски целей» до того, как начнем пользоваться
результатами анализа, то можно сказать, что те же самые пропуски могли
произойти и в том случае, если бы был избран менее формальный
путь руководства процессом принятия решения. В этом случае
использование или не использование формального анализа
существенного значения не имеет. Вполне возможно, что при
неформальном анализе мы можем интуитивно чувствовать или подозревать
о существовании целей, которые мы, может быть, не в состоянии
сформулировать. Конечно, рассматриваемый нами формальный
анализ не касается этого «таинственного» пути мышления. Но, с другой
стороны, этот вид не имеющего структуры, интроспективного
анализа оказывается настолько личным, что другие не могут
принимать в нем участия, вносить добавления или изменения, которые
они считают нужными.
7.1.5. Анализ решений по проблеме сернистого ангидрида.
Поскольку целью этого параграфа является разработка целей и
критериев для принятия решений по проблеме сернистого ангидрида,
то о всем процессе анализа мы лишь вкратце упомянем. Читатель,
которого этот вопрос заинтересует, может обратиться к книге
Эллиса A970), где найдет подробное описание процесса
нахождения количественных оценок, и к книге Эллиса и Кини A972), где
содержится общий обзор. Поскольку работа Эллиса была
выполнена в качестве докторской диссертации, целью которой была
разработка методологии, полная оценка в ней была дана только для
349

Уменьшение
~*7#80Л//
НО8О
б030ей0/770ия
нет з00/7006 е
жил/елей
Уменьшение
етрицсгтельнь/х
1
Уменьшение
Уменьшение
ъа&оле0ие-
we/net
Увеличение * г
Сре0неи л/7000/7-
/7OC/7e#C/77&t/d
дляжителе*/
0
\ (
/
0ЛЯ
/?0/77и0шеиея
жизни &
YUC/77Ctff 0/770М00/776
Зля #rt//77e/7etf
<? ШЗМАГ 00X0 00V.
//0 0уЩГ
//
0 рже
0 е<?0
/
300
0 /7е/?ее/е/
№ 0&//0В&
Рис. 7-2. Окончательный набор целей и критериев, использовавшихся при
двух альтернатив. Первой альтернативой было сохранение
существующего положения, при котором было узаконено содержание
1% серы в угле и нефти, используемых в Нью-Йорке. Второй
альтернативой было снижение предписываемого законом уровня
содержания серы до 0,37% для нефти и 0,7% для угля. Для анализа
всех возможных альтернатив потребовалась бы целая группа
исследователей, а не один человек.
Оценка альтернатив проводилась на основании семи критериев:
Х\ — увеличение продолжительности оставшейся жизни в днях
(в пересчете на одного человека);
Х2 — уменьшение числа дней болезни, проводимых на
постельном режиме, в пересчете на одного человека за год;
Хз — чистая стоимость для жителей с низким уровнем дохода
на душу населения в год;
Ха — чистая стоимость для остальных жителей на душу
населения в год;
^5 — концентрация сернистого ангидрида, в частях на миллион,
в пересчете на один день;
Ле — общая чистая стоимость для городских властей в год;
Х7 — субъективный показатель «политической желательности».
350

mim&raff ffw-
L
. Уменьшение
W0/770& 0/770If/V0G/77V
fopafo/ с вс/зряз//е~
f/i/e/y 003wxa
для aopoovwx
&/7??C/77et7
//030, //СГСХО/76Х0
3/770 &03М0#Щ
решетя
я воздушной:
среде города
выборе программы борьбы с загрязнением воздуха в Нью-Йорке
Функции совместного распределения вероятностей,
использовавшиеся для описания возможных результатов двух
анализировавшихся альтернатив, были найдены, исходя из вероятностной
независимости эмпирических значений условных вероятностей и
результатов моделирования, полученных с помощью небольшой
имитационной модели. Основываясь на предварительно установленной
(в результате бесед с работниками отдела воздушных ресурсов)
допустимости использования предположений о независимости
критериев по полезности, автор структуризовал семимерную функцию
полезности. Интересно отметить, что Эллис не делал
предположения о том, что для мэра Нью-Йорка было бы приемлемым считать
каждый критерий независимым по полезности от дополняющего его
множества критериев. Эллис полагал, что если политический
эффект окажется на нежелательном уровне, мэр менее охотно пойдет
на риск в плане критериев Хи Х2, Х4 и Х5, чем в ситуации, когда
политический эффект достигает желательного уровня. Основываясь
на сведениях, полученных в отделе воздушных ресурсов, Эллис
-сделал вывод, что в рамках существующих диапазонов возможных
последствий каждый из критериев Х3, Хе и Xi не зависит по
полезности от дополняющего его множества критериев. Кроме того,
Эллис считал, что при любом фиксированном уровне критерия Х7
каждый из критериев Хи Аг, Х4 и Х$ будет условно независим по
351

полезности от остальных критериев. Вследствие сделанных
допущений для построения всей функции полезности потребовалось:
1) построение 11 одномерных условных функций полезности и
2) нахождение значений 18 шкалирующих констант для
согласования значений 7 функций полезности. Построение всей функции
полезности не было закончено, но подробности относительно
функционального вида функции полезности и правомерность
независимости критериев по полезности рассмотрены в книге Эллиса 0970).
Методы, использованные в процессе необходимых построений,
описаны в предыдущих главах нашей книги.
7.1.6. Значение выполненного исследования. Идеи и результаты,
изложенные в этом параграфе, возможно, повлияли на образ
мышления некоторых лиц, ответственных за проведение в Нью-Йорке
программ борьбы с загрязнением воздуха. И хотя нет оснований
говорить о непосредственной причино-следственной связи, тем не
менее имели место следующие события.
Результаты этой работы, касавшиеся возможных последствий
программы (в результате реализации которой были бы снижены
определенные законом предельные значения концентраций
сернистого ангидрида, выделяющегося при сгорании нефти и угля,
используемых в городе, с существующего уровня 1 % до 0,37 и 0,7%
соответственно) были представлены в управление защиты
окружающей среды Нью-Йорка. Это управление в то время готовило
законопроект о борьбе с загрязнением городского воздуха. И в
качестве одного из основных положений в этот рекомендуемый
законопроект была включена программа, в основном совпадающая
с программой, которую анализировал Эллис.
Те же результаты, а также методы анализа, на которых были
основаны эти результаты, содержались в выступлениях Говарда
М. Эллиса перед городским советом Нью-Йорка при рассмотрении
нового законопроекта о борьбе с загрязнением воздуха. Этот
законопроект был одобрен городским советом и стал законом в 1971 г.
Консультации Эллиса и городских властей продолжались и после
того, как его работа была закончена. \
Многие исследователи считают, что в случаях когда проводится
глубокий анализ подобного типа, подробный количественный
разбор рассматриваемых альтернатив в сочетании с достаточной
полнотой «охвата» проблемы помогает, по всей видимости,
исследователю лучше понять качественную сторону проблемы и именно
качественные соображения помогают ему убедить правительственные
власти. Возможно, что такой уровень «убедительности» мог быть
достигнут и другим путем, но мы не должны недооценивать важных
интеллектуальных и эмоциональных последствий, возникающих,
когда мы вынуждены выражать, к своему неудовольствию, весьма
тонкие вопросы возможности замещения «ценностей» и их
взаимной компенсации в недвусмысленных количественных терминах.
Это заставляет нас работать еще более напряженно, особенно если
нам приходится защищать свои положения перед другими
специалистами.
352

7Л. ФОРМИРОВАНИЕ ПРОГРАММ ОБРАЗОВАНИЯ И ЗАМЕЩЕНИЕ
ПРЕДПОЧТЕНИЙ
В своей относительно недавно выполненной работе Рочи *>
рассмотрел проблему, вставшую перед лицом, которое должно
произвести распределение (точнее, выбрать один из имеющихся
вариантов распределения) ограниченных ассигнований по различным
видам деятельности. Его интересовала роль руководителя «среднего
уровня», т. е. руководителя, который должен получить денежные
средства в некоторой вышестоящей инстанции и в то же время
руководить распределением этих средств по программам,
выполняемым подчиненными ему специалистами. При ограниченном
бюджете он может увеличить финансирование одной программы только
за счет другой. И при этом он должен обосновать проводимое им
распределение денежных средств. Рочи попытался проверить,
может ли наш метод формального анализа предпочтений помочь
такому руководителю в решении задачи распределения
ассигнований, и обосновать свои действия перед инстанцией,
контролирующей распределение средств.
С этой целью Рочи изучил проблему распределения бюджета
школ небольшого городского района. Инспектор школ был тем
руководителем, который «находится в середине» и, следовательно,
был основным клиентом Рочи. Лицами, подчиняющимися
инспектору, являлись директора школ и координаторы различных
программ в области образования. Лицами, стоящими над инспектором,
являлись члены школьного совета, руководившего
финансированием школ в городе. Школьные советы в Новой Англии обладают
большой финансовой автономией и могут выдвигать свои
требования перед городскими властями. Но, конечно, школьный совет сам
является выборным органом и в конечном счете ответствен перед
жителями города.
Рочи действительно повезло, хотя и нельзя сказать, что его
работа складывалась абсолютно удачно во всех отношениях, что
он встретил в лице председателя школьного совета и инспектора
людей, которые с самого начала были заинтересованы в
проведении общей проверки идей Рочи. Заслугой Рочи явилось то, что
первоначальная заинтересованность этих людей обернулась
полным и охотным сотрудничеством, и, как мы увидим, Рочи проявил
незаурядные способности в общении с людьми, сумев привлечь
других лиц к участию в его эксперименте. В своей работе Рочи
изменил название города, дав ему вымышленное название «Сомер-
стаун», он также изменил имена людей, принимавших участие в его
работе. Однако многие приведенные в работе тексты являются
дословными записями его установочных бесед. Мы также хотим
отметить, что Сомерстаун является небольшой «самостоятельной
*> В этом параграфе мы кратко излагаем работу Рочи A971). В этой
работе, явившейся его докторской диссертацией, написанной под руководством
Райфы, были использованы многие результаты гл. 3 относительно замещений
в условиях определенности.
12-67 353

общиной» и его программы образования оставались сравнительно
постоянными и свободными от тех трений, которыми
характеризовалась другие системы образования в то неспокойное ©ремя.
7.2.1. Уточнение проблемы. Первые задачи по финансированию
программ встали в Сомерстауне в сентябре 1969 г., за несколько
лет до работы Рочи. Один из членов школьного совета был
профессором—специалистом по подготовке бизнесменов, и благодаря его
усилиям бюджет превратился из простого перечисления пунктов
в развернутую программу. На уровне средней школы основная
программа расчленялась по предметам. Однако инспектор школ и
профессор признали, что, к их разочарованию, программирование
бюджета практически никак не отразилось на распределении
денежных средств для программ по различным школьным
предметам. В каждом новом году ассигнования распределялись так же,
как и в старом; новым, пожалуй, было лишь общее процентное
увеличение. Возможно, этим и объясняется то, что Рочи получил
такую восприимчивую аудиторию, когда он обратился к
соответствующим властям Сомерстауна с предложением изучить
возможные основания для перераспределения бюджета по различным
школьным предметам.
Рочи остановился на процессе распределения средств для
четырех предметных программ в неполной средней школе:
1. Языковые предметы.
2. Естественные предметы.
3. Математика.
4. Гуманитарные предметы.
В школах Сомерстауна каждая из этих программ имеет
координатора, который подготавливает годовой бюджет для своей
области. Каждый координатор стремится в новом году улучшить
работу по сравнению с предыдущим и пытается получить
увеличение бюджета для своей программы. Когда А просит увеличить
бюджет для своей программы, он не требует, чтобы эти деньги были
взяты из программы В. «Утрясти» эти просьбы должен инспектор,
который предложит такой компромисс, который не подорвет
доверие к нему среди подчиненных и в то же самое время будет принят
школьным советом.
Первая часть диссертации Рочи посвящена созданию
подходящей «производственной функции»: трансформации финансовых и
кадровых исходных данных в показатель, характеризующий
уровень образования — непростая задача. Задолго до эксперимента
Рочи у школьных властей Сомерстауна стали вызывать наибольшее
беспокойство показатели качества обучения. Можно было бы
отобрать несколько таких показателей, но многие из них
чрезвычайно тесно связаны между собой, и для удобства эксперимента
Рочи и его сотрудники выбрали для каждой из четырех программ
один показатель, называемый обычно «успеваемостью»: «процент
учащихся, уровень знаний которых является удовлетворительным
или выше удовлетворительного (по стандартному тесту знаний)».
354

В конце своей диссертации Рочи рассматривает определенную
неадекватность этой меры конечных результатов. Однако ,он из
прагматических соображений защищает использование этой меры,
а также показывает, чего могут добиться другие исследователи,
если выберут другие показатели оценки конечных результатов. Мы
считаем, что выбранный Рочи показатель далек от того, чтобы
считаться хорошим, но мы также считаем, что предложить какую-
либо совокупность более чувствительных показателей конечных
результатов для усовершенствования анализа Рочи — непростая
задача. В настоящее время мы имеем только показатель Рочи, поэтому
давайте продолжим анализ его исследования, хотя оно и не совсем
нас устраивает тем, что в нем используется лишь один и слишком
простой показатель оценки конечных результатов.
7.2.2. Соотнесение стоимости программ и конечных результатов.
Обратимся к процессу совместной работы Рочи и координатора
естественных предметов. В тот год на эти предметы было отпущено
81 тыс. дол. и 59% учащихся продемонстрировали знания на
уровне или выше уровня, установленного для их года обучения. Первый
вопрос Рочи был таким: каковы могут быть последствия того, что
мы перестанем уделять этой программе столь большое внимание
как раньше? Координатор предположил, что многие учащиеся
будут продолжать так же успешно заниматься. Затем Рочи спросил,
каков может быть результат увеличения бюджета на 10% (т. е.
увеличения бюджета на 8100 дол.). «А что мне позволят делать с
этими деньгами?» — спросил Дейв Флэрти.
«Все, что захотите, — ответил Рочи. — Ведь никто из нас не
знает, как использовать дополнительные 8100 дол. лучше, чем Вы,
Дейв. И когда вы решите, что делать с этой суммой, я попрошу вас
оценить, как эти дополнительные средства скажутся на учащихся,
как мы с вами делали это раньше. То есть, мы зададимся вопросом!
Как распорядиться увеличенным бюджетом? Каковы будут уровни
знаний и на школьниках какого года обучения скажется это
увеличение? Как скажется это увеличение на числе учащихся, знания
которых будут на удовлетворительном уровне, установленном для
их года обучения, или выше?»
Рочи попросил Дейва Флэрти обдумать эти вопросы. Он
предложил координатору естественных предметов изучить прошлые
данные, подумать о прибавке не абстрактно, а в том плане, какие
дополнительные учебные пособия он сможет приобрести, сможет ли
пригласить других преподавателей и как это скажется на каждом
учащемся. Рочи задавал такой, например, вопрос: «Если вы
сделаете X, поможет ли это Мэри Дейн справиться с ее трудностями?»
В идеальном случае «производственная функция» должна
характеризоваться определенным вероятностным распределением, но
Рочи успел определить для каждого случая лишь медиану, т. е. то
значение, для которого, по мнению опрашиваемого лица, истинное
значение с равной вероятностью может находиться как выше, так
и ниже этого установленного значения. Он формализовал
процедуру оценки, составив письменную анкету, состоящую из нескольких
12* 355

страниц, для ответа на которую координатору потребовалось по
нескольку часов работы в течение нескольких дней.
Окончательным результатом работы Рочи с координатором
стала вычерченная кривая, которая отражала зависимость
предполагаемой «успеваемости» (процент учащихся, обладающих знаниями
на удовлетворительном или выше удовлетворительного уровне) от
величины бюджета (рис. 7.3). Эта кривая представляет собой
построенную «производственную» функцию и должна проходить через
точку, характеризующую существующее положение, а именно,
бюджет в 81 тыс. дол. дает процент успеваемости, равный 59%.
tr
Hi*
пересечения
F7/7?д/а &ол., $9%)
ffO 70 80 90 /00 //О
V, /77b/С. &0S7.
Рис. 7.3. Качественные формы
кривых функций успеваемости
После того (как Флэрти заполнил (рабочие листы анкеты опроса,
Рочи дал ему следующее задание: «Теперь, когда Вы ответили на
вопросы, связанные с количественными оценками, проверим,
насколько Ваши ответы соответствуют Вашим качественным
представлениям относительно возможных видов функции успеваемости
по программе естественных предметов неполной средней школы
Сомерстауна». Рочи показал Флэрти кривые, представленные на
рис. 7.3, и они обсудили качественный смысл каждой кривой.
Убедившись, что Флэрти понимает смысл каждой кривой, Рочи
попросил его выбрать (или начертить) такую кривую, которая бы
отражала его собственное представление.
Рочи обсудил с Флэрти некоторые его ответы, указал на
несоответствие в записанных ответах, но он старался сделать это так,
чтобы не поставить Флэрти в неловкое положение из-за этих
несоответствий. Важно было подтолкнуть Флэрти к размышлениям над
этими несоответствиями, к попытке пересмотреть некоторые из его
ранних оценок, чтобы исправленные ответы были полностью
согласованы друг с другом. И что, может быть, еще более важно,
пересмотренные ответы должны были с точки зрения Флэрти точно
отражать текущие наиболее точные оценки, которые Флэрти мог бы
сделать на своем новом уровне понимания задачи.
В нашем кратком обзоре мы можем только описать тот способ,
с помощью которого Рочи установил функции успеваемости,
отражающие мнения каждого из четырех координаторов. Инспектор
д-р Нельсон имел свой собственный взгляд на количественные зна-
356

чения этих функций успеваемости и в некоторых случаях считал
необходимым внести исправления в оценки своих подчиненных.
Однако д-р Нельсон заметил, что, если бы подобный процесс
нахождения количественных оценок повторялся каждый год, он
мог бы руководить работой своих координаторов на основе
направляющих документов. Школьный совет, который следил за
экспериментом, считал, что инспектору необходимо пересматривать эти
функции успеваемости совместно с его координаторами. При этом
глава школьного совета должен нести полную ответственность за
окончательно принимаемые функции успеваемости. Совет отметил,
что его суждения главным образом будут основываться на личных
количественных оценках председателя совета, которые в свою
очередь хотя бы частично, основываются на данных, полученных от
координаторов.
7.2.3. Построение функции ценности. Теперь обратимся ко
второй части работы Рочи, в которой рассматриваются структуры
предпочтений. Рочи исследовал структуры предпочтений нескольких
участников эксперимента относительно различных профилей
успеваемости. Типичный профиль состоит из четырех частей (#La, *s,
Хм, #ss), что соответствует оценкам успеваемости по языковым и
естественным предметам, математике и гуманитарным предметам
соответственно, при этом #La, например, представляет собой процент
учащихся, обладающих знаниями по языковым предметам на
удовлетворительном уровне или выше.
Как видно из рис. 7.4, успеваемость по каждому предмету
теоретически могла колебаться от 0 до 100%. Например, для успевае-
Нритериа
Нашу wee зтчетпге—7J% ,
Рис. 7.4.
Диапазоны
возможных значений
показателей
успеваемости
и типичный
«профиль успе-
1ваемости»
ЧА
/ШхуЗатее знячеме —55% —
мости по математике были установлены пределы от 65%
(наихудший уровень) до 85% (наилучший уровень). Эти ограниченные
интервалы были достаточно широки, чтобы отразить бюджетные
изменения, которые можно было внести, основываясь на реальном
положении дел. Однако для ограничения этих интервалов таким
образом, чтобы можно было принять те или иные допущения
относительно независимости предпочтений, не было достаточных
оснований. В дальнейшем мы остановимся на этом вопросе подробнее.
Благодаря немалой поддержке д-ра Нельсона, инспектора и
357

миссис Хамфри, председателя школьного совета, Рочи имел
возможность проверить правильность формального (количественного)
представления предпочтений и делаемых допущений,
консультируясь с каждым руководителем, имеющим отношение к принятию
решений, относящихся к программам средней школы. К ним
относились директор и помощник директора средней школы, инспектор
и помощник инспектора и пять членов школьного совета Сомер-
стауна. В этот список не вошли родители учащихся.. Процедур а
выбора предпочтительного варианта была дополнительно проведена
с группой из 18 соискателей докторской степени в области
управления образованием.
Неожиданно легко оказалось удостовериться в справедливости
допущения о попарной независимости предпочтений. Например,
Рочи устанавливал значения хм и xs$ на нижнем уровне, равные
соответственно 70 и 55%, а затем находил замещения для условных
предпочтений между Xla и Xs. Полностью ознакомив участников
эксперимента с проблемой, он попутно опрашивал их, повлияет ли
на замещения значений #la и Xs изменение хм и #ss, ранее
установленных соответственно на уровне 70 и 55%. Практически все
испытуемые ответили, что изменение зафиксированных уровней Хм и
#ss не окажет влияния на исследуемую замещаемость. Некоторые
участники эксперимента, включая инспектора, подчеркивали, что
замещения не будут зависеть от зафиксированных уровней Хм и #ss
при условии, что эти уровни будут находиться в определенных
пределах. Например, инспектор считал, что если для хм установить
уровень 30%, то это будет таким ударом, который перевернет его
суждения о замещении между *la и xs.
Рочи нашел, что для всех участников эксперимента допущение
относительно попарной независимости по предпочтению было
вполне приемлемо. Это позволяло использовать функцию ценности вида
v(*la, Xs, #м, Xss) =\kLAvLA(xLk) +*sM*s) +
+ &мУм(*м) +i?ssflss(#ss), G.1)
где одномерные функции ценности v принимали значения 0 и 1
соответственно для наихудших и наилучших последствий (например,
?>laE5)=0, PlaG5) = 1, и т. д.), все коэффициенты к были
неотрицательны и удовлетворяли условию
*la+*s + *m+*ss = 1. G.2)
Рочи следовал процедуре построения функции ценности,
описанной в § 3.7. Работая со всеми опрашиваемыми лицами, он в итоге
построил составляющие всей функции ценности v, т. е. функции
ценности для каждого предмета в отдельности, используя метод
«средних точек»: для каждой составляющей функции он находил
точки, в которых значение функции ценности равнялось 0,50, затем
0,25 и соответственно 0,75, после этого он проверял точку 0,50
относительно точек 0,25 и 0,75 и, наконец, обсуждал с опрашиваемыми
общий вид полученных функций. Далее'он отыскивал значения всех
весовых коэффициентов к. К примеру, он задавал такие вопросы:
358

«Рассмотрим наихудший профиль E5, 50, 65, 50), где все
показатели успеваемости находятся на самом низком уровне. Теперь
предположим, что у Вас есть возможность поднять один из этих
показателей до наилучшего уровня. Какой из показателей Вы выберете?
Предпочитаете ли Вы поднять языковые предметы с 55 до 75,
естественные — с 50 до 70, математику с 65 до 85 или гуманитарные
предметы с 50 до 70?» Таким образом, он предлагал каждому участнику
эксперимента ранжировать значения k. Далее он прибегал к
методу, описанному в § 3.7, и устанавливал точные численные значения
для всех k. На рис. 7.5 представлены результаты построения функ-
#о
Рис. 7.5. Функции ценности инспектора и помощника инспектора системы,
среднего образования в Сомерстауне (. Нельсон, - Эллиот)
ций ценности инспектора Нельсона и его помощника м-ра Эллиота.
В табл. 7.2 сведены характерные данные, взятые из ответов девяти
основных участников эксперимента. Рочи не только построил
функции ценности Нельсона, но он еще и предложил Нельсону угадать,
каковы будут результаты аналогичных построений для некоторых
из его коллег. Чрезвычайно интересно читать, как Нельсон объяснял
некоторые функции ценности, построенные членами школьного
совета. Какое поразительное расхождение мнений!
359

Таблица 7.2. Полученные значения k и «средних точек»
(точек, в которых функция ценности равняется 0,5)
Опрашиваемое лицо
Значения k
LA S \ M SS
«Средние точкиэ (с
ценностью, равной 0,5)
LA
М SS
Администрация:
A) м-р Картер (директор)
B) м-р Мак-Грегор (помощник
директора)
C) д-р Нельсон (инспектор)
D) м-р Эллиот (помощник инспектора)
Школ'ьный совет:
A) м-с Хамфри (председатель)
B) м-с Кларк
м-р Каулс
м-р Оскар
0,200,250,220,
,23 0,
0,21
C)
D)
E) м-р Мак-Миллан
0,36
0,22
0,53
0,47
0,29
0,24 0
0,300,21
0,33 0,
20 0
0,13
0,26
0,10
0,11
0,23
0,26 0
,27 0
0,23
0,27
0,35
0,28
33 60
32 61
,5 54,5
54,
23 60,5 55
,20 62
0,300,21
62
0,29 65
0,10 65
0,07 65
0,20 59
70
5 68
59
63
59
62
62
55
71,555
72
69
67,5 57
70
69
68
54
53,5
57
57,5
63
60
54,5
Нижний предел значений для найденной средней точки: 59J 54,5 67,553,5
Верхний предел значений для найденной средней точки: 65j ^63 72 63
Примечание. В каждой из строк приведены 1) значения шкалирующих
множителей для всех программ, указывающие возможные, по мнению опрашиваемого лица,
замещения между программами и 2) «глобальные» средние точки для каждой программы,
характеризующие замещения опрашиваемого лица в пределах программы. Низкие значения
средней точки указывают на то, что плохая успеваемость будет рассматриваться данным
опрашиваемым лицом как очень серьезный недостаток.
Что касается 18 слушателей семинара, соискателей докторской
степени по управлению в области образования, которые приняли
участие в той же процедуре построения количественных оценок с
целью описания их предпочтений, то мы процитируем Рочи:
«Изучение 18 структур предпочтений на данном этапе дает мало нового.
Тем не менее следующие результаты могут представить интерес.
1. По программе языковых предметов 11 кривых, характеризующих
отношение опрашиваемых к текущему уровню успеваемости (т. е. к возможным
значениям «уровня успеваемости», расположенным в порядке возрастания), были
вогнутыми, 5 приближались к линейной зависимости и 2 имели S-образную
форму.
2. По программе естественных предметов 8 кривых, характеризующих
текущий уровень успеваемости, были вогнутыми, 2 приближались к линейной
зависимости, 4 — S-образными и 4 — выпуклыми. Таким образом, невысокая
успеваемость по естественным предметам вызывала меньшую озабоченность, чем
такая же успеваемость по языковым предметам.
3. Интересно, что все 18 кривых были вогнутыми для математической
программы. Это свидетельствует об общей озабоченности невысокой успеваемостью
но математике.
4. Для программы по гуманитарным предметам 11 кривых были
вогнутыми, 3 — близкими к прямой, 2 — S-образными и 2 — выпуклыми.
Интересно отметить, что слушатели семинара, так же как и участники
эксперимента в Сомерстауне, в основном подразделялись на две группы: 1)
педагоги, предпочтения которых описывались вогнутыми кривыми по всем программам
(к этой группе принадлежали 8 слушателей), 2) руководители в области
образования; для них характерны вогнутые или близкие к ним кривые по языковым
предметам, вогнутые кривые — по математике, S-образные или выпуклые
кривые — по программам естественных и (или) гуманитарных предметов (в эту
группу попадали 8 слушателей). Только два слушателя не попадали ни в одну из этих
360

групп, поскольку их предпочтения характеризовались S-образньгми кривыми
для текущей успеваемости по языковым предметам. Возможно, это совпадение,
но один из слушателей, структура предпочтений ^которого очень походила на
типичные структуры членов школьного совета Сомерстауна, был избран в
школьный совет Бостона.
Еще (более интересным для изучения является тот факт, что ни у одного
из слушателей предпочтения не описывались кривыми, близкими к линейным
для всех программ. Таким образом, сами того не зная, слушатели показали, что
типичный подход, основанный на ранжировании предметов по важности (т. е.
график в виде прямой линии), не подходит для описания их предпочтений при
анализе программ. Если к этому выводу добавить данные, полученные в Сомер-
стауне, то окажется, что аналитику -необходимо с осторожностью и взиманием
использовать график в виде прямой линии.
Что же касается определения коэффициентов во второй части процедуры
построения функции ценности, то мнение подавляющего большинства
слушателей совпадало >с мнением инспектора Сомерстауна и большинства членов
школьного совета. 15 «и 18 слушателей сочли языковые предметы той программой,
которую они «подтянули» бы прежде всего. Естественные (предметы были выбраны
двумя слушателями, гуманитарные выбрал один слушатель. Хотя ни один из
слушателей не считал математическую программу наиболее важной, 9 из них
поставили ее на второе место среди программ, которые они хотели бы
«подтянуть». Остальные 9 слушателей поставили на второе место гуманитарные
предметы».
После того как Рочи построил функции ценности участников его
эксперимента, он попросил каждого из четырех членов школьного
совета, а также помощника инспектора предложить такие
варианты бюджета, которые казались им наиболее приемлемыми, и, кроме
того, имели наибольшие шансы быть принятыми всей группой (или,
во всяком случае, группа могла бы счесть целесообразным
продолжить работу по их анализу). Было составлено пять таких
вариантов. Кроме того, возможной альтернативой было сохранение
«статус кво», т. е. оставить без изменения сложившееся состояние дел.
Снова процитируем Рочи:
«Альтернатива „оставить все без изменений" по основным программам
неполной средней школы была такова: выделить 92 тыс. дол. на программу по языковым
предметам, 81 тыс. дол. на программу по естественным предметам, 76 тыс. дол.
на математическую программу и 75 тыс. дол. на программу по гуманитарным
предметам. Другие варианты распределения бюджета (измененные по
отношению к «сложившемуся» состоянию) перечислены ниже и озаглавлены по именам
тех, кто их предложил.
1. Хамфри. Взять 6 тыс. дол. из программы по естественным предметам и
6 тыс дол. из программы по гуманитарным предметам. Увеличить бюджет
языковых предметов на 10 тыс. дол. и математических — на 2 тыс. дол.
2. Оскар. Взять 2 тыс. дол. из программы гуманитарных предметов и 7 тыс.
дол. из программы по естественным предметам. Увеличить бюджет языковых
предметов на 6 тыс. дол. и математических на 3 тыс. дол.
3. Эллиот. Взять 7 тыс. дол. из программы по гуманитарным предметам.
Увеличить бюджет языковых предметов на 3 тыс. дол. и математических — на
5 тыс. дол.
4. Каулс. Взять 3 тыс. дол. из программы по языковым предметам, б тыс.
дол. из -математической программы. Увеличить бюджет естественных предметов
на 4 тыс. дол. и гуманитарных на 5 тыс. дол.
5. Кларк. Взять 2 тыс. дол. из программы по языковым предметам, 2 тыс.
дол. из программы по естественным предметам и 1 тыс. дол. из программы по
математике. Вложить всю сумму в 5 тыс. дол. в программу по гуманитарным
предметам».
361

Используя функции успеваемости, построенные
координаторами программ и подправленные инспектором Нельсоном, а также
пользуясь предпочтениями, выраженными каждым из четырех
руководителей и тятью членами совета, Рочи смог дать
количественную оценку предпочтительности шести выдвинутых предложений.
Эти оценки предпочтительности предста!влены в табл. 7.3, в
Таблица 7.3. Индивидуальные предпочтения относительно различных
вариантов бюджета (согласно значениям построенных функций ценности)
Администраторы и члены
совета
Д-р Нельсон
М^р Эллиот
М-р Картер
М-р Мак-Грегор
М-с Хамфри
М-с Кларк
М-р Каулс
М-с Оскар
М-р Мак-Миллан
Альтернативные варианты распределения бюджета
«без
изменений»
0,730
0,642
0,771
0,765
0,667
0,638
0,584
0,608
0,813
Хамфри
0,743
0,650
0,778
0,771
0,697
0,647
0,647
0,647
0,816
Оскар
0,737
0,643
0,778
0,771
0,686
0,629
0,624
0,650
0,807
Эллиот
0,743
0,646
0,777
0,771
0,686
0,628
0,608
0,631
0,809
Каулс
0,730
0,646
0,793
0,784
0,668
0,676
0,563
0,588
0,816
Кларк
0,727
0,637
0,785
0,775
0,667
0,632
0,570
0,597
0,809
Примечание. Числа, расположенные вдоль строки, характеризуют предпочтения
относительно предложенных вариантов распределения бюджета (через соответствующие
значения функции ценности данного лица).
табл. 7.4 приведены результаты ранжирования этих предложений
в соответствии с выявленными предпочтениями различных лиц.
Легко видеть, что вариант Хамфри, безусловно, доминирует над
Таблица 7.4. Ранжирование альтернативных вариантов распределения
бюджета согласно полученным оценкам предпочтительности (см. табл. 7.3)
Администраторы и члены
совета
Д-р Нельсон
М-р Эллиот
М-р Картер
М-р Мак-Грегор
М-с Хамфри
М-с Кларк
М-р Каулс
М-с Оскар
М-р Мак-Миллан
Альтернативные варианты
«Без
изменений»
3
4
5
4
4
3
4
4
2
Хамфри
1
1
3
3
1
2
1
2
1
Оскар
2
3
3
3
2
5
2
1
4
распределения бюджета
Эллиот
1
2
4
3
2
6
3
3
3
Каулс
3
2
1
1
3
1
6
6
1
Кларк
4
5
2
2
4
4
5
5
3
вариантом «оставить все 'без изменений», а также над вариантам
Эллиот. Более того, 'когда принимается во -внимание реальная
власть, то вариант Хамфри превосходит также варианты Кларк и
362

Оскар. Та-ким образом остается возможным лишь соперничество
между предложениями Хамфри и Каулс. Однако, принимая во
внимание личности самих спрашивающих, а также степень
предпочтительности, мы, естественно, считаем, что победило
предложение Хамфри.
Роч-и поднимает такой вопрос: может ли только что
описанная процедура действительно использоваться при принятии
группового решения? Он пишет:
«При обычных обстоятельствах едва ли следует ожидать, что те, кто
определяет политику, согласятся с о'бнародова'нием своих личных структур
предпочтений. Вспомним, что д-р Нельсон сказал, что он, как правило, желал бы, чтобы
его личная структура предпочтений так и осталась бы личной. Общественные
деятели и административные руководители в Сомерстауне 'несколько необычны.
Они охотно сотрудничали в этом эксперименте, чтобы глубже исследовать
процесс принятия решений. Кроме того, в Сомерстауне нет сложных проблем в
области образования. Иными словами, на карту не ставились «деликатные»
вопросы. Поэтому никто не видел угрозы в том, чтобы его структура (Предпочтений
была бы зафиксирована. В таком случае решения будут носить характер
«тонкой подстройки», но не характер действительно политических решений».
Рочи разработал программу для вычислительной машины, в
которую вводятся функции успеваемости и структура
предпочтений того или иного лица, участвующего в принятии решений (в
качестве примера он брал данные Нельсона). В результате
работы программы находится оптимальное распределение
финансирования при данном общем бюджетном уровне. Собственно, это тип
динамической программы для задачи распределения ресурсов.
Пользуясь этой программой, легко найти распределение
ассигнований для различных уровней общего бюджета. Однако Рочи не
проводил формализации замещений между деньгами и четырьмя
критериями школьной успеваемости. Если бы он пошел по этому
пути, то набор из этих четырех критериев, несомненно, был бы
независим по предпочтению от пятого критерия — уровня
бюджета и работа Рочи могла бы рассматриваться с более широких
позиций, оставаясь столь же ценной в прикладном отношении.
Программа для вычислительной машины также позволяет
сравнительно легко провести про1верку различного рода
чувствительности, например зависимости результатов от используемых
значений весовых коэффициентов k или изменений в функциях
успеваемости.
Завершим этот параграф цитатой Рочи:
«Хотя данная работа показывает, что этот новый метод может
использоваться для изучения распределений бюджетных ассигнований между
программами, она показывает это в очень узком контексте. При попытках использовать
этот формальный (метод в других областях могут возникнуть проблемы.
Общеобразовательные учреждения одного города послужили «лабораторией», где
проверялся метод. Я считаю, что подобные учреждения являются типичными
некоммерческими организациями. Тем не менее «а основании этого исследования
мы не можем сказать, что описанный формальный метод может использоваться
везде, .скорее можно сказать, что его следует использовать в некоторых
случаях».
363

7.3. ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ПОЖАРНОГО УПРАВЛЕНИЯ *
В любом анализе организации работы пожарного управления
возникает один и тот же вопрос: сколь важна одна минута
периода реагирования**^? Ясно, что эта важность для любого
конкретного случая 'пожара определяется конкретной обстановкой.
Не имеет смысла отдельно рассматривать каждый из нескольких
тысяч 'крупных пожаров, которые ежегодно ликвидирует пожар-
'ное управление Нью-Йорка. Мы остановимся на «типичном»
нью-йоркском пожаре.
Применяя концепции и результаты теории полезности,
рассмотренные в предыдущих главах, мы постараемся хотя бы в первом
приближении дать количественное описание опыта некоторых
руководителей и результатов работы нью-йоркского пожарного
управления, а также постараемся исследовать возможность
использования этих сведений для оценки деятельности пожарного
управления. На первом этапе рассматриваются предпочтения
заместителя начальника пожарного управления Нью-Йорка. При этом
строится пятимерная функция полезности; в процессе этого
построения оценивается важность продолжительности периодов
реагирования различных технических средств для «типичного»
пожара; характерным приемом, используемым при построении
функции полезности, я>вляется, например, выяснение такого
вопроса: существенно ли различие между двумя и тремя, семью и
восемью минутами периода реагирования? Аргументами этой
функции полезности являются периоды реагирования первых трех
пожарных машин и первых двух пожарных лестниц, прибывающих
на пожар определенного типа.
7.3.1. Обзор. Постараемся обрисовать общую картину того, как
эта работа вписывается в процессы принятия решений
руководством пожарного управления. Будем исходить из того, что нам
необходимо проанализировать работу пожарного управления и
дать оценку предлагаемых программ в свете таких основных
целей, как «максимальное улучшение качества пожарной службы»
и «минимизация затрат». Для второй цели подходящей мерой
могут быть годовые затраты пожарного управления в долларах, в
то время как для первой нет формальных критериев. В этом
случае, как мы знаем, подходящим приемом может оказаться раз-
*) Исследование, о котором говорится в этом параграфе, было выполнена
Киви для нью-йоркского института «Рэнд», где он работал в качестве
консультанта. Пользуясь случаем, Кини благодарит заместителя начальника пожарного
управления Нью-Йорка Френсиса Дж. Ронана и сотрудника института
Эдварда Блума за помощь в этой работе. Работа Кини явилась лишь частью тех
исследований, которые пожарное управление и институт «Рэнд» проводят в
целях повышения эффективности использования ресурсов пожарной службы.
В этом параграфе использованы материалы, опубликованные в книге Кини
A973с).
**) «Период реагирования> того или иного технического средства
определяется как время, истекшее с момента его выезда до прибытия на место
происшествия.
364

биение этой цели на цели более низкого уровня, например
«минимизировать число жертв», «минимизировать число раненых»,
«минимизировать вред, наносимый имуществу», «минимизировать
обеспокоенность жителей» и т. д. Подходящими критериями для
этих первых трех целей являются соответственно «ежегодное
число человеческих жертв» и «ежегодное число увечий», вызванных
пожарами, а также «ежегодная стоимость погибшего при
пожарах имущества». Для выражения степени «обеспокоенности
жителей» потребуется, вероятно, субъективный показатель. И все-таки
эти первые три критерия не самые лучшие. Очень трудно
определить, какие несчастные случаи, увечья и ущерб могут быть
соотнесены с деятельностью пожарного управления, а какие нет.
Например, человек, «который вызвал пожар, заснув в постели с
сигаретой, может погибнуть до того, как вызвана пожарная команда.
Этот и подобные ему случаи не должны отражаться на оценке
деятельности пожарного управления. Кроме того, проблемы,
связанные с доступностью данных, плюс тот факт, что крайне
затруднительно количественно описать, процесс ликвидации пожара,
делают эти меры измерения неудовлетворительными. Добавим к
этому, что перед нами встают тотчас же такие проблемы, как
оценка относительной серьезности различных увечий и
непосредственное установление «ценности» жизни человека. Все это еще
более усложняет дело.
К счастью, весьма естественными критериями-заместителями
для оценки качества работы в нашем случае оказываются
периоды реагирования различных технических средств, прибывающих
для тушения пожара. На рис. 7.6 показана упрощенная модель
системы пожарной службы, согласно -которой периоды
реагирования служат входными данными при анализе процесса борьбы с
пожаром, а критерии, относящиеся к человеческим жертвам и
ущербу, наносимому имуществу, выходными данными.
Для пожарных привычно то, что они дают неформальную
оценку своих предпочтений относительно различных вариантов
действий при помощи соответствующих периодов реагирования.
При этом они используют свой опыт для определения как
вероятности реализации различных периодов реагирования при той или
иной организации своей деятельности, так и тех последствий,
которые будут иметь место при тех или иных периодах
реагирования с точки зрения более фундаментальных целей пожарной
службы. Имеющиеся данные не только нуждаются в интерпретации, но
еще и должны быть подвергнуты дополнительной обработке для
уточнений вероятностных значений периодов реагирования в
зависимости от определенной стратегии использования пожарных
средств. Начиная с 1960 г. пожарное управление ведет сбор
данных о различных аспектах пожаров. Эти данные были
подвергнуты анализу и послужили входными данными при разработке
имитационной модели деятельности пожарного управления. Первый
вариант этой модели был опубликован в работе Картера и Игнол-
ла A970). Эти модели позволяют получить функции плотно-
365

Зходнь/е
данные
Холичеспгда
и начее/п&а
технических
cpedcmff
Управления
пожарной
служдь/
Системаv яожарнои служдЬ/
дь/ходнь/е
дсгннь/е
Расположение
/пехничесних
средстд
^продления
ложарноа
служдь/
Количестден -
#б/е и начест-
денн&/е харан-
теристини
персонала
Унрадления
/товарной
елуждь/
Лолитина и
программы
&нрадления
р
служдь/
Система
peer а ар о -
Яания
(энс/гла-
цитная
модель)

Аналитическая
ала
им и/я а -
с/ионнсгя
но&ель
S/ -период
- реагирования
7-й масиины
Sz -период
-реагирования
2-й
Ss -период
реазиредания -
3-й машины
Тг -период
реазиродания^ я
7-и пожарной
лестницы
/2 -период
реазироданая^ _
2-й пожирней
лестницы
Лроцесс

пожаротушения
(илгпла -
цитная
модель)
Модель
д
представлении
руно до -
дителя
—Затрать/ -
Уисло
р^
(/бечии
и
Одщая
делачина
Физическая tt
псахичесная
усталость
персонала
Унрадления
Затра/пб/
Рис. 7.6. Упрощенная модель системы пожарной службы
сти вероятности для периодов реагирования в различных
ситуациях.
Наша цель — найти зависимость между различными
возможными периодами реагирования и достижением целей пожарного
управления. Мы стремились собрать воедино многолетний опыт
некоторых руководителей пожарного управления, дав
количественное описание их субъективных 'предпочтений для различных
периодов реагирования при возникновении пожаров, чтобы
способствовать улучшению процесса принятия решений. В связи с
этим мы прежде всего просили руководителя рассмотреть, сколь
важен может быть определенный набор значений периодов
реагирования (например, первая пожарная машина прибывает на
место пожара через 3 мин, вторая — через 5...> первая пожарная
лестница прибывает через 2 мин...) для конечных результатов
деятельности, а затем выразить в количественной форме свои
предпочтения относительно различных наборов значений периодов
реагирования в свете такого рассмотрения. В результате мы
получили субъективную модель (основанную на опыте) процесса
борьбы с пожаром, его последствия и относительную
нежелательность этих последствий.
366

Чьи предпочтения должны быть выражены количественно? Мы
решили, что лучше всех могут проанализировать многочисленные
случаи различных комбинаций значений периодов реагирования
именно руководители, непосредственно связанные с работой.
Поэтому здесь мы рассматривали предпочтения заместителя
начальника пожарного управления Нью-Йорка.
7.3.2. Использование функции полезности для различных
периодов реагирования. Исходной причиной построения функции
полезности для периодов реагирования была необходимость в
разработке модели разрастания пожара. Если первые пожарные
средства, посланные <к 'месту пожара, не могут справиться с
пожаром, то вызываются дополнительные средства и пожар
считается разрастающимся. Поскольку такие случаи играют важную
роль в деятельности пожарного управления, то моделирование
процесса разрастания пожара и (включение этого процесса в
имитационную модель является весьма актуальной задачей. Точнее
говоря, нам желательно знать, в каких случаях плохая работа
пожарной службы ведет к разрастанию пожара. Поскольку
вероятность разрастания, очевидно, связана со стратегией
развертывания пожарных средств и поскольку эффективность той или
иной стратегии может быть измерена через функцию полезности
для различных периодов реагирования, то представляется
целесообразным найти количественную оценку условной вероятности
разрастания пожара при фиксированной эффективности
развертывания средств (определяемой в свою очередь соответствующим
значением функции полезности).
Функция полезности для периодов реагирования может
оказать существенную помощь при принятии решений, касающихся
изменений в оперативной деятельности управления. Эти
изменения могут проявляться в (изменении первоначальных инструкций
относительно выполняемых действий и рассылки пожарных
машин, в ином распределении обязанностей между различными
средствами пожаротушения, в установлении «специальных команд»
во время «часов пик», временный перевод техники в те районы, где
во время пожара задействованы почти все ресурсы. Ранее
упомянутая модель и другие модели дают вероятностное
распределение периодов реагирования для любой стратегии.
Следовательно, имея соответствующую функцию полезности, мы можем дать
оценку стратегиям использования пожарных средств в
соответствии с их ожидаемой полезностью.
Пусть R обозначает векторный критерий, связанный с
периодами реагирования, >и пусть С — критерий затрат. Тогда и'{с, г)
является общей полезностью при оценке затрат с и вектора
реагирования г. Считая, что R не зависит по полезности от С (это
довольно очевидно), -мы можем найти функцию полезности и(т)
и согласно результатам гл. 5
u'(c,r)=f[c,u(r)]. G.3)
367

В этой главе мы основнрё внимание уделим построению
функции и (г).
Прежде чем перейти к процедуре построения функции
полезности для периодов реагирования, отметим, что, по нашему
мнению, излагаемые ниже общие идеи могут применяться и по
отношению к другим дежурным службам, таким как служба полиции
и служба скорой помощи. Ларсон A972), Савас A969),
Стивенсон A972) и другие используют для таких систем периоды
реагирования при оценке альтернативных вариантов организации
деятельности таких служб. Во всех случаях встает вопрос: какова
ценность одной минуты периода реагирования? Первой попыткой
дать ответ на эти вопросы и является обсуждаемая здесь работа.
7.3.3. Построение функции полезности для периодов
реагирования. В 1970 г. в ходе нескольких встреч заместителя начальника
пожарного управления Ронана и Кини были установлены
предпочтения Ронана относительно различных периодов реагирования на
пожары. Каждая из таких встреч длилась один-два часа.
Исторически сложилось так, что «стандартной реакцией» при
возникновении пожаров в Нью-Йорке была посылка трех
пожарных машин и двух пожарных лестниц, поэтому было решено
построить функцию полезности для пяти критериев: периоды
реагирования первой и второй пожарных лестниц, прибывающих к
месту пожара, и периоды реагирования первых трех пожарных
машин. Обозначим эти критерии соответственно через 7\-, /=1, 2, и
Sjt /=1, 2, 3, и пусть U и Sj обозначают конкретные значения 7\
и Sj. Следовательно, нас интересует функция полезности
периодов реагирования u(t\, t2, su s2, s3).
Обсуждая процесс построения функции полезности Ронана
относительно периодов реагирования, мы будем придерживаться
основных положений процедуры, предложенной в гл. 5. Таким
образом, наше обсуждение будет разделено на пять этапов:
1. Знакомство.
2. Проверка справедливости предположений.
3. Построение условных функций полезности.
4. Нахождение значений шкалирующих коэффициентов для и.
5. Проверка согласованности.
Мы покажем, как производилось построение функции
полезности для периодов реагирования и 'какие потребовались
входные данные.
Знакомство. Прежде чем приступить к этой проблеме, Ро-
нан и Кини вместе поработали над очень простой аналитической
моделью процесса реагирования на возникновение пожара. Кроме
того, еще раньше Кини вместе с Ронаном установили в первом
приближении функцию полезности Ронана относительно периода
реагирования первой машины, прибывающей на пожар. Основной
причиной такой предварительной работы был анализ
целесообразности использования критерия «минимизации ожидаемого
значения периода реагирования первой машины, прибывающей на
пожар».
368

В большинстве аналитических работ, рассматривающих
работу^ аварийных служб, неявно используется предположение о
линейности функций, описывающих желательность сокращения
периодов реагирования. Уже при первых встречах, Кини ознакомил
Ронана с основными положениями теории полезности. В
результате после первых двух встреч, посвященных построению
функции полезности и давших много нового как аналитику, так и
опрашиваемому лицу, беседы стали весьма плодотворными.
Проверка справедливости предположений. Для
того чтобы применить общую теорию, изложенную в гл. 5 и б,
необходимо бы проверить, являются ли приемлемыми для
рассматриваемой проблемы предположения о независимости по
полезности *>.
Точнее говоря, была проведена проверка допустимости **>
таких предположений:
1. Периоды реагирования машин {5Ь S2, S3} 'И лестниц {Тх, Т2}
не зависят по полезности друг от друга.
2. Периоды реагирования первой лестницы Т\ и второй Т2 не
зависят по полезности друг от друга.
3. Период реагирования /-й машины Sj не зависит по
полезности от периодов реагирования других машин; здесь /=1, 2, 3.
Используя теорему 5.3 и предположение 1, построение
функции и можно разделить на две «части: построение функции
полезности машин и функции полезности лестниц. Точно так же эти
две функции полезности могли быть разделены на составные
части вследствие предположений 2 и 3.
Рассмотрим процедуру проверки справедливости сделанных
предположений на примере. Для проверки, действительно ли
полезность Тх не зависит по полезности от Г2, Кини задавал Ронану
такой вопрос: «Если период реагирования второй лестницы
постоянно равен 6 мин, какой детерминированный период
реагирования первой лестницы является равноценным, по Вашему
мнению, прибытию первой лестницы с равной вероятностью либо
через 1, либо б мин?». Заметим, -если t2=6, то /i<6, что
ограничивает исследуемую область. Привлекая метод ^схождения»,
описанный в § 4.9, в итоге был получен ответ tfi»3,4 мин.
Далее период реагирования второй лестницы был увеличен до
8 'мин вместо 6 и был задан такой же вопрос. И снова ответ был
•) Строго говоря, здесь требуется обобщение понятия независимости по
полезности, поскольку, /например, область 7\ зависит от значения Г2.
Рассмотрим два периода реагирования t'2 и t, пусть и\ и иг\ будут условными
функциями полезности 7\ при фиксированных значениях t'2 и t соответственно.
Затем мы допустим в этом примере, что и\ ~и!\ для области 0^fi^min(/'2, ?'г).
Можно доказать, что теоремы представления, используемые в данном
параграфе, справедливы при таком обобщении независимости по полезности.
**) Оправданность (по крайней мере в первом приближении) сделанных
предположений о независимости была установлена после длительной проверки.
Наблюдавшаяся зависимость была настолько слабой в противоположность
ожидаемому, что сделанные предположения о независимости можно считать вполне
допустимой идеализацией.
369

3,4 мин. Это позволяло думать, что 'предпочтения относительна
изменений периода реагирования первой лестницы не зависели от
фиксированного значения периода реагирования второй. При
дополнительных опросах, аналогичных описанному, это
предположение было подтверждено. Поэтому было решено считать Тх
независимым по полезности от Т2.
Построение условных функций полезности. В свете сделанных
предположений было необходимо построить функции полезности
для каждого из пяти критериев, представлявших собой периоды
реагирования. Надо добавить, что речь идет об условных
функциях полезности, поскольку они предназначены для описания
предпочтений относительно значений одного периода
реагирования при условии, что значения остальных периодов реагирования
остаются (неизменными. Однако при выполнении условий
'независимости по полезности конкретные значения этих остальных
периодов реагирования несущественны, поскольку искомая
функция полезности должна быть одной и той же в любом случае.
В качестве иллюстрации рассмотрим построение ит\ (t) —
условной функции полезности для первой лестницы.
Было решено, что диапазон изменения ит\ будет от —1 до 0.
Периодов реагирования — от 0 до 20 мин. Следовательно,
"Ti@)=0, G.4)
-1. G.5)
В процессе опроса было установлено, что 2,2-минутный период
реагирования первой лестницы был равноценен (говоря нашим
профессиональным языком) участию в лотерее с
равновероятными исходами — периодами реагирования 1 или 3 мин. Точно так
же 4,2 мин были равноценны лотерее с равновероятными
исходами, составляющими 3 'или 5 мин, а период реагирования 6,2 мин
был равноценен аналогичным исходам, составлявшим 5 и 7 мин.
В общем случае, участие в лотерее с равновероятными периодами
реагирования в t или t+2 было признано равноценным
детерминированному исходу в виде периода реагирования в t+l,2 минут.
Как показано в гл. 4, такие предпочтения описываются функцией
полезности следующего вида:
ect), G.6)
где dy Ъ и с>0 — постоянные.
Мы могли бы найти величины d, Ь и с, используя соотношения
G.4), G.5) и детерминированные эквиваленты для любого из
вышеназванных периодов реагирования. Однако лля
установления значений параметров лучше воспользоваться лотереями с
более широким диапазоном исходов (см. обсуждение этого вопроса
в гл. 4). Так, 4,5-минутный период реагирования первой
лестницы оказался равноценным лотерее с равновероятными периодами
1 или 7 мин. Следовательно, функция ит\ должна быть такой, что
1MTi(l)+V2«TiG). G.7)
370

Подставляя выражение G.6) в соотношения G.4), G.5) и G.7),
получаем три уравнения с тремя неизвестными, решив которые,
легко находим
uTt(t) =0,0998A1— е°>ш). G.8)
Таким же образом были получены остальные четыре
условные функции 'полезности.
Нахождение значений шкалирующих коэффициентов для и.
Получив функции полезности для каждого из пяти периодов
реагирования, мы на следующем этапе объединяем их
соответствующим образом, чтобы получить общую функцию полезности для
различных периодов реагирования. Для этого 'необходимо найти
значения коэффициентов k (см. теоремы 5.3 и 6.3). Для
иллюстрации используемого метода представим функцию полезности для
периодов реагирования лестницы в виде
G.9)
К'ини попросил Ронана назвать такой период реагирования
второй лестницы t2, чтобы для него были равноценны две
ситуации: 1) прибытие обеих лестниц соответственно через 3 и 8 мин,
что мы обозначаем в веде пары чисел C, 8) и 2) прибытие обеих
лестниц соответственно через 4 (и t2 'минут, что обозначается как
D, i2), Ронан указал значение ^==5,7, тем самым показав, что
готов поступиться одной минутой в периоде реагирования первой
лестницы за счет уменьшения периода реагирования второй
лестницы на 2,3 мин, когда исходные значения периодов
реагирования были C, 8). Отсюда следует, что
МЗ, 8)=М4; 5,7). G.10)
Точно так же было найдено, что ситуация B, 6) равноценна
ситуации C; 4,2), отсюда
М2, 6)=МЗ;4,2). G.11)
Используя уравнение G.9) и соотношения G.10) и G.11), мы
получаем два уравнения с двумя неизвестными (параметрами k\
и k2)y решая которые находим
uL(tu t2)=0№iT(ti)+09l9u2T(t2)-0yl5ulT(tl)u2T(t2).
G.12)
Остальные параметры общей функции полезности были
определены аналогично (см. § 6.6). Общий принцип здесь состоит в
том, что лицу, ответственному за принятие решения, задаются
такие вопросы, ответы на которые позволяют получить уравнения,
содержащие в качестве неизвестных искомые параметры. Далее
решаются системы этих уравнений. *
Проверка согласованности. Проверка согласованности
получаемой функции полезности и ее приемлемости необходима, так как
процесс ее построения основан на субъективных оценках. Кроме
371

того, в процессе 'получения («синтезирования») общей функции
полезности могут вкрасться погрешности. Важно было
удостовериться, что полученная функция полезности правильно описыва-
• ла предпочтения Ронана.
Самым важным моментом является проверка условных
функций полезности и замещений между различными значениями
периодов реагирования. К этой проверке относится обсуждение
значений функции полезности 'и использование функции полезности
для получения ответов на вопросы, подобные тем, которые
задавались во время процесса построения. Во всех случаях, когда
возникало серьезное несоответствие между значениями функции
полезности !и предпочтениями Ронана, процедура построения
частично повторялась, после чего вносились соответствующие поправки
в функцию полезности. В проводившемся исследовании, в
частности, в результате проверки согласованности пришлось внести
исправления во мнолие части функции полезности. Окончательный
вариант функции полезности можно считать достаточно близко
соответствующим ответам Ронана.
7.3.4. Функция полезности периодов реагирования. В этом
пункте мы рассмотрим окончательный вариант функции
полезности и вытекающие из нее выводы. Согласно проведенному
построению функция полезности имела вид
ui(t, s) =0,24^(t)+O,16^(s)-0,6wL(t)^(s), G.13)
где
uL(t)=uL(tu /2)=0,66^^(/1)+0,19^(/2)-0,15w1^(^1)^(/2)
G.14)
при
w1r(,/1)=o,O998[l—е°'ш'], G.15)
u2T (t2) =0ЛЩ1—0,5е°'08<*—0,5е°'ш']. G.16)
Здесь
S2, s3)=0fi3uis(si) +0,\8u2sis2) +0,09uгsisz) —
uгЦs3)—0^u^(s2)щs(sг) G.17)
при
1— 0,4е0'10*—0,6 e0'14*], G.18)
=0,156[l—e0'10*], G.19)
=0,253[l—e0'08*]. G.20)
Для иллюстрации функция полезности G.15) показана на
рис. 7.7, а кривые безразличия (равноценности), отвечающие
уравнению G.14), представлены на рис. 7.8.
Было решено исследовать свойства функции полезности (т. е.
качественные выводы, которые из нее следуют) в диапазоне от
372

(О, О, О, О, 0) до B0, 20, 20, 20, 20), иными словами, для каждого
из вышеприведенных уравнений переменные должны находиться
в «пределах от 0 до 20 мин. Кроме того, мы имеем по
определению, ЧТО ^i^$2 И Si^S2^=S3.
Свойства функции полезности. Функция полезности и,
описываемая выражением G.13), обладает рядом свойств, легко
интерпретируемых и проявляющихся в предпочтениях Ронана. Одни из
них относятся ко всей функции и, другие — к функции
полезности лестниц иь или функции полезности машин Ue, третьи к
функциям полезности отдельных единиц пожарной техники.
Рис. 7.7. Функция (полезности для
периода реагирования ^первой пожарной
лестницы
у ?
дого из U и Sj. Это значит, что лестниц
чем скорее прибудет каждая
единица пожарной техники, тем лучше, при условии, что периоды
реагирования остальных единиц техники не изменяются.
2. Каждая минута задержки прибытия первой машины имеет
большее значение *>, чем соответствующая минута задержки
прибытия второй машины, «которая, в свою очередь, имеет большее
значение, чем соответствующая задержка третьей машины. Точно
так же каждая минута задержки первой лестницы более важна,
чем соответствующая задержка второй лестницы. На это указы-
*) Чтобы пояснить, что такое в нашем понимании «большее значение»,
вернемся к функции полезности G.3) для затрат и периодов реагирования
иЧс, т)*=и'(с, tu h, su s2f 53) и предположим, что критерий затрат С и набор
критериев реагирования R^{TU Tt, Si, 5a, S3} не зависят по полезности друг
от друга. Теперь выберем какой-то начальный уровень затрат с0 я рассмотрим
изменение от г' до г" и от г до г, каждое из которых считается изменением к
лучшему. Мы говорим, что изменение от г' до г" имеет большую важность,
Л ^
чем изменение от г до г, если d>c2, где а и с2 определяются из условия
и'(сОу т')=и'(си г") и и'(со, т)^и'(сг, г). Это значит, что мы будем
соглашаться «а большие затраты, чтобы получить более ваоюные изменения.
373

:вают относительные значения коэффициентов при uTi в
выражении G.14) и при usj в выражении G.17).
3. Условная функция полезности для каждого критерия
выражает несклонность к риску независимо от значений других
критериев. Это значит, например, что для Тх период реагирования
(P\+t'\)l2 всегда предпочтительнее лотереи с равновероятными
исходами t"\ и t'\. Иначе говоря, средний период реагирования
всегда предпочтительнее такой лотереи. В этом случае для
каждой единицы пожарной техники каждая последующая минута
задержки имеет большую важность, чем предыдущая.
Для функций полезности лестниц характерно, что
4.. Относительная важность периода реагирования i-й
лестницы увеличивается при увеличении периода реагирования другой
лестницы. Это значит, что чем позже прибудет первая лестница,
тем необходимее, чтобы вторая лестница прибыла как 'можно
скорее после первой. Это свойство объясняется тем, что
соответствующий коэффициент в выражении G.14) отрицателен.
Точно такое же свойство имеет место и для машин:
5. Относительная важность периода реагирования /-й машины
увеличивается с увеличением периодов реагирования остальных
машин. Это свойство вытекает из отрицательности
соответствующих коэффициентов в выражении* G.17).
Последние два свойства относятся ко всей функции 'полезности.
6. Одна минута задержки в прибытии i-й лестницы более
важна, чем соответствующая минута задержки /-й машины. Например,
взяв двухминутные периоды реагирования первой машины и
первой лестницы за основу, мы бы предпочли ситуацию, когда
первая лестница прибывает через две минуты и первая машина через
три, чем ситуацию, в которой первая машина прибывает через
две минуты, а первая лестница — через три. Это свойство
является следствием того, что коэффициент при uL в выражении G.13),
умноженный на коэффициент при щт в выражении G.14),-
больше, чем коэффициент при иЕ в выражении G.13), умноженный на
коэффициент при uxs в G.17).
7. Относительная важность периодов реагирования лестниц
возрастает с возрастанием периодов реагирования машин. Это-
значит, что важность прибытия первой машины меньше, если
лестница уже прибыла, чем если лестницы еще не прибыли. На это
указывает отрицательный коэффициент произведения в
выражении G.13).
Эти свойства, естественность каждого из которых нам
интуитивно понятна, позволяют сделать еще один шаг в установлении
функции полезности. Именно, возможные изменения формы
функции полезности G.13) без потери хотя бы одного из
перечисленных выше свойств весьма ограничены. Это еще раз подтверждает
правильность нашего построения.
Хотя сложность построения многомерных функций полезности
резко возрастает с ростом числа используемых критериев (мер
эффективности), возможности для «проверки согласованности» в
374

^результате привлечения свойств, подобных описанным выше,
также увеличиваются. Для того чтобы достичь разумного отражения
предпочтений в подобных сложных ситуациях, важно с
максимальной полнотой использовать такие интуитивно понятные
проявления предпочтений.
7.3.5. Выводы. Основным результатом этой работы является:
получение (хотя бы в первом приближении) функции полезности
для пяти критериев — периодов реагирования, а именно
критериев, связанных с прибытием к месту пожара первых двух
лестниц и первых трех машин. Это дает нам способ определения
относительной ценности одной минуты периода реагирования
различных пожарных средств. Коэффициенты отдельных функций щ в
выражении G.13) дают определенное представление об
относительной ценности минуты периода реагирования различных видов
пожарной техники. При этом если мы устанавливаем
относительную ценность минуты периода реагирования первой лестницы
равной 10, то соответствующая ценность для первой машины
равна 7, второй лестницы — 3, второй машины — 2 и третьей
машины — 1.
Однако, как мы уже говорили, стоимость одной минуты
периода реагирования определенной единицы зависит от периодов
реагирования других видов пожарной техники, а также от времени,
прошедшего с момента объявления тревоги. Взяв периоды
реагирования *> B, 4; 2, 4, 6) в качестве базовых значений, мы
получаем значения частных производных от и по каждому из пяти
периодов реагирования в виде соотношения 10:4:5:3:2, что
означает, что если относительная ценность минуты периода
реагирования первой лестницы равна 10, то соответствующая ценность
второй лестницы — 4, первой машины — 5, второй машины — 3 и
третьей машины —2. Отсюда видно, что относительная ценность
зависит от выбранных базовых значений периодов реагирования.
Процедура построения функции полезности была слишком
сложной и потребовала много времени. Поскольку
представлялось нецелесообразным специально составлять машинную
программу для этого частного случая построения функции
полезности, вычисления были произведены вручную. Таким образом,
отсутствовала немедленная «обратная связь» с Ронаном для
сообщения ему выводов, вытекающих из высказанных им
предпочтений. Это часто влекло за собой небольшие изменения в
ответах Ронана на различных собеседованиях, что было связано с
некоторыми изменениями его предпочтений с течением времени. Но
и возвращение к одной и той же теме через большой промежуток
времени имеет свои преимущества. Мы заинтересованы в том,
чтобы найденная структура полезности оставалась стабильной,-
В будущем интерактивные машинные программы, подобные
описанной в приложении 6С, будут, несомненно, помогать поддержи-
*> Первая лестница «прибывает через 2 мин, вторая — через 4 мин, а
первая, вторая я третья машины соответственно через 2, 4 и 6 мин.
375

вать интерес, а также строить функции полезности намного
быстрее с гораздо большим числом проверок согласованности.
Когда мы спрашивали Ронана о его предпочтениях
относительного периодов реагирования для «типичного» пожара, мы прежде
всего просили его вспомнить, собрать воедино все возможные
последствия каждого периода реагирования в зависимости от
возможных видов пожара. Это, естественно, вызвало некоторые
расхождения в ответах на наши вопросы, так как обнаруживалась
тенденция опрашиваемого лица в разное время фокусировать
свое внимание на различных конкретных инцидентах. Основная
наша цель состояла в том, чтобы построить приближенную модель
предпочтений, которая подходила бы для рассмотрения
довольно типичных пожаров. Для этой цели представлялось
необходимым производить агрегирование ситуаций. В дальнейших работах
можно будет в большей степени учесть характерные черты
различных видов пожаров.
Конечная наша цель — получить функцию полезности,
пригодную для использования в пожарном управлении Нью-Йорка. В
этом параграфе описан первый шаг: построение функции
полезности одного из руководителей управления. Однако предпочтения
Ронана, возможно, отражают только его мнение, но не
управления. Более того, хотя были предприняты меры для того, чтобы
избежать какого бы то ни было «давления» на Ронана в том
смысле, что его ответы не были бы «направляемы» со стороны
опрашивающего, процесс опроса все же мог частично повлиять на
его ответы. Об этом не следует забывать при интерпретации
результатов.
Эта работа по установлению функции полезности была
выполнена почти пять лет назад, и если бы ее пришлось повторить
сейчас, мы, возможно, кое-что сделали бы иначе. Мы бы нашли
основополагающие, общие принципы, которые могли лежать в
основе ответов Ронана, а затем постарались бы сделать выводы о
структуре его функции полезности на основе этих принципов. По
существу, мы бы постарались смоделировать его «мотивацию»,
основываясь на опросах, которые более глубоко затрагивали бы
качественные стороны. Конечно, говорить это легче, чем сделать,
но мы были бы рады когда-нибудь дать хороший пример
применения такого метода.
7.4. МНОГОЦЕЛЕВОЙ ХАРАКТЕР ПРЕДПОЧТЕНИЙ КОРПОРАЦИИ
И ИХ СТРУКТУРИЗАЦИЯ ¦)
Время от времени любая корпорация задается вопросом: Как
нам следует вести наши дела? Этот вопрос поднимает
следующие, более узкие вопросы: Какой политики »нам следует придер-
*> Мы благодарим фирму «Вудворд—Клайд Консалтантс» за разрешение
использовать выполненное исследование в нашей книге. Мы очень благодарны
д-ру Кешавану Нейру за -помощь в написании этого параграфа. Материалы
этого параграфа были опубликованы в работе Киля A975).
376

живаться при управлении нашей организацией .в свете сложных
социальных, экономических, технологических и политических
особенностей нашего общества? Соответствует ли эта политика
нашим личным целям, желаниям наших акционеров, структуре
наших социальных ценностей? Если мы выберем курс в качестве
основного направления нашей деятельности, скажем, курс А,
сможем ли мы предвидеть возможности, которые могут возникнуть в
будущем, и соответственно перестроиться? Каким образом нам
лучше всего сохранять ведущее -положение в нашей области и
одновременно .поддерживать жизнеспособность нашей организации?».
Все это важные вопросы, которые отвергают простые ответы «в
долларах и центах»—ответы, которые принято считать
подходящими для всех «деловых» решений.
С начала 1972 г. фирма «Вудворд — Клайд Консалтантс»,
объединяющая несколько фирм-консультантов, стала применять
новые методы, основываясь на идеях, которые рассматриваются
в этой книге, с целью изучения вопросов, подобных приведенным
выше*). И хотя работы в этом направлении еще продолжаются,
включение их в книгу кажется нам очень полезным и
поучительным. Два аспекта этих работ кажутся нам уникальными.
Во-первых, многомерные функции полезности, аргументами которых
являются критерии, отражающие основополагающие цели
корпорации, были построены в результате опросов нескольких
руководителей «Вудворд — Клайд». Во-вторых, эта работа была
проделана не для оценки каких-то конкретных решений, а для того,
чтобы:
— способствовать улучшению координации между лицами,
принимающими решения;
— папытаться разобраться в основных проблемах фирмы;
— установить и изучить различия во мнениях с помощью
количественных методов;
— способствовать выработке конструктивных альтернатив в.
решении «проблем «коршорации.
Фирмы-филиалы «Вудворд — Клайда» работают как
консультанты в основном в области строительства крупных земляных
сооружений и защиты окружающей среды. Среды проблем, которые
они изучают, есть такие, как проектирование земляных дамб,
размещение атомных электростанций, геотехнические работы и
работы по защите окружающей среды в связи со строительством
трубопроводов (например, Трансаляскского нефтепровода),
разработка конструкций для сейсмически неустойчивых районов. Ни
одна из этих фирм сама ничего не строит, они только фирмы-
*> В ноябре 1974 г. фирма «Вудворд—Клайд» произвела широкие
организационные изменения. Теперь это уже не фирма-учредитель, а
фирма-консультант, имеющая пять региональных отделений. Работа, которая описана в этом
параграфе, была выполнена начиная с 1972 г. по октябрь 1974 г., и в ней
описана та организационная структура, которая существовала в тот период.
Последовавшие организационные изменения кратко описаны в конце параграфа.
377

консультанты. Общая плата за их услуги составила в 1973 г.
примерно 25 млн. дол. и возрастала с каждым годом на 20%. Все
акционеры «Вудворд— Клайд» должны быть ведущими
специалистами в штатах одной из фирм-филиалов.
В 1972 г. Ричард Вудворд, председатель правления фирмы,
создал комитет долгосрочного планирования, в задачи которого
входила «разработка долгосрочного плана для «Вудворд —
Клайд», в который включалось бы количественное описание целей
и который соответствовал бы глобальным целям учреждения и
текущему курсу деятельности фирмы». После своей реорганизации
комитеты долгосрочного - планирования 1973 и 1974 гг. успешно
привели цели фирмы в соответствие с высказанными
требованиями и изучили разработанные альтернативные варианты курса
деятельности в соответствии с этими целями. Дуглас Мурхауз
возглавлял все эти три комитета (комитеты 1972, 1973 и 1974 гг.).
Кешаван Нейр, вице-президент филиала «Вудворд — Ландгрон»,
был членом этих комитетов.
Большая часть рассматриваемых здесь результатов
(особенно в пп. 7.4.2—7.4.5) была получена совместно Нейром и Кини,
который являлся кон'сультантом «Вудворд Клайд». В п. 7.4.1
описываются результаты первоначального исследования,
выполненного комитетом долгосрочного планирования, которйе послужили
фундаментом для дальнейших работ. В п. 7.4.6 дается обзор
некоторых конкретных случаев применения функции полезности
фирмы «Вудворд — Клайд». Цель построения функции
полезности состояла не в том, чтобы помочь руководству в выборе
среди альтернативных вариантов деятельности с помощью
формальных методов (вероятностный анализ наряду с анализом
полезности не проводился), а в том, чтобы помочь руководству
сформулировать свои основные положения и способствовать
координации внутри руководящей группы. В большой степени эта
цель достигалась и достигается с помощью процедур
формального установления количественных оценок, описанных ниже.
7.4.1. Цели 1972 г. и меры эффективности. Основными
направлениями работы комитета долгосрочного планирования 1972 г.
были: 1) определение основной цели фирмы; 2) подразделение ее
на подцели; 3) проведение анализа недостатков с указанием
расхождений между текущим и желаемым состояниями по каждой
цели.
После взвешивания различных целей по их важности
недостатки были ранжированы в соответствии с их существенностью
(важностью). Затем были рекомендованы пути их устранения.
Конечная цель «Вудворд — Клайд» была сформулирована в
разделе «Изложение целей»; «Совместные усилия фирмы
«Вудворд— Клайд» и филиалов направлены на создание и
поддержание таких условий, в которых их сотрудники могли бы
реализовать свои личные, профессиональные и финансовые цели».
Фирма считала, что для достижения этой цели профессиональный и
финансовый рост были необходимым условием.
378

Иерархия целей, разработанная комитетом долгосрочного
планирования 1972 г., показана на рис. 7.9. С того времени эта
иерархия была пересмотрена и приведена в соответствие с
изменившимися условиями. Цифры в скобках в каждом блоке на схеме
указывают на первоначальное распределение весов между
подцелями (см. п. 3.7.4). В табл. 7.5 указаны веса критериев,
относящихся к целям самого нижнего уровня, и диапазоны изменения!
значений этих критериев.
Таблица 7.5. Критерии фирмы «Byдворд—Клайд» 1972 г.
Критерий
Единица измерения
Диапазон
Вес

критерия
Способность привлечь
капиталовложения
акционеров
Нераспределенная
(остающаяся) прибыль
Отчисления (вложения) в
планируемый фонд
выходных пособий
Возврат вложений в
планируемый фонд
выходных пособий
Основные
вознаграждения
Премиальные
вознаграждения
Деятельность в пределах
США
Деятельность вне
пределов США
Диапазон предлагаемых
Относительная опытность
Формальный уровень
квалификации
Профессиональное
развитие
Количество
запрошенных акций
Доходы
% от доходов
% от доходов
% от капиталовложений
% годового роста
% от доходов
Адекватно охваченные
географические центры
Центры, где может быть
проделана
соответствующая работа
Адекватно охваченные
географические центры
Центры, где может быть
проделана
соответствующая работа
Число отраслей знаний, \
имеющих ограниченные \, %
возможности применения I
Число отраслей знаний, I
необходимых обществу /
Накопленный опыт, \
человеко-годы j , %
Требуемый опыт, I
человеко-годы /
Средний индекс «ученой степени», на
одного штатного
сотрудника-профессионала
% от доходов
0-5
0 — 8
0—10
0 — 20
0-20
0 — 8
25 — 100
25—100
25—100
1-3
0 — 2
0,08
0,12
0,045
0,105
0,09
0,06
0,075*
0,025.
0,15*
0,125
0,075^
0,05
379

Рис. 7.9. Иерархия целей фирмы
С самого начала было решено использовать аддитивную
функцию ценности вида
12
Я(*Ь *2, .-, *i2)= S kiVi{Xi),
где ^ — значение критерия хи Vi — функция ценности для 1-го
критерия, значения v и Vi располагаются в интервале между 0 и
и 1, и веса, т. е. значения ku составляют в сумме 1. Затем для
каждого критерия была построена соответствующая функция
ценности. Далее, установив текущее состояние (состояние на
«сегодняшний день»), желательное состояние было определено как
практический максимум возможного достижения цели. После этого
была вычислена «недостаточность» в достижении каждой цели
самого нижнего уровня путем умножения веса цели на разность
между ценностями желаемого и текущего состояний. Так были
найдены «области» деятельности, нуждавшиеся в улучшениях.
Можно сразу же указать четыре недостатка «квантификации
целей» 1972 г.:
1. Веса каждой из целей были найдены без полного анализа
влияния диапазона изменений используемых критериев.
380

&<///а//со#ш целей
Рост лрофессиональнь/х возможностей
(убелс/ченае научного и лроизбодстбенного потенциала)
1_
@,5)
профессиональное
мастерстбо
(научнь/с/
потенциал)
#0.6@,7)
тельнос
пределами
Деятельность
0 лре&елах
А/й/Х
М?./Щ3)
Формальным
с/робень
нбялс/фс/нациц
tfoJ0(Q5)
Ялгносшель -
ошл?тел7б
№./2D2)
/70ОфесСХ0//&7Ь -
мое
/?#3&иЛ7?/е
¦«Вудвард—Клайд» A972 г.)
2. Составляющие функции ценности были найдены с помощью
метода прямой оценки ценности независимо друг от друга.
3. Общая целевая функция, будучи функцией ценности, не
была пригодна для анализа курсов деятельности с
неопределенными последствиями.
4. Аддитивная структура ценности не позволяла учитывать
«'перекрывание» (частичное совпадение) целей.
Но даже при всех ее недостатках «квантификация целей», по
мнению членов Комитета долгосрочного планирования и Совета
директоров, внесла большой вклад в «понимание неформально
составленных целей. Этот набор целей и мер их измерения
оказался превосходной основой для изменений и улучшений,
основной смысл которых мы рассмотрим в следующем пункте.
Но прежде чем перейти к нему, мы коротко остановимся на
некоторых особенностях в формулировании критериев и их
единиц измерения, поскольку они могут показаться неясными при
рассмотрении табл. 7.5. Первый критерий, в котором
используется количество запрошенных акций, деленное на величину доходов,
предполагает, что стоимость акции известна, — это сделано для
того, чтобы единица измерения легко читалась. Мера предлагае-
381

мого диапазона услуг является показателем, который указывает
«широту охвата» межотраслевых проектов, которые становятся
необходимы обществу во все возрастающем объеме. Идея здесь
состоит в том, чтобы иметь в штатах (при достаточной
относительной опытности) таких сотрудников, которые выполняли бы
качественную работу по тем проектам, которые были бы
желательны для филиалов «Вудворд — Клайд». Для критерия
«формальный уровень квалификации» индекс ученой степени штатного
сотрудника определяется так: индекс докторской степени равен
трем, индекс степени магистра — двум, степени бакалавра —
единице. «Профессиональное развитие» включает в себя
проведение технических семинаров или семинаров по руководству,
проведение научных сессий внутри организации и т. д.
7.4.2. Уточнение мер эффективности. Одним из первых
вопросов, рассмотренных совместно Нейром и Кини, был вопрос о том,
отвечают ли меры эффективности требованиям понятности для
лица, принимающего решение, и измеримости, о которых
говорилось в гл. 2. Для каждой цели задавался вопрос: может ли
быть найден лучший критерий? В некоторых случаях ответ был
положительным. Рассмотрим несколько примеров.
Способность привлечь капиталовложения акционеров. Единица
измерения этого критерия была заменена запрошенной суммой
акций в долларах, деленной на величину доходов. Таким образом,
для объяснения тенденций и просто для выражения различных
значений критерия нам не приходится держать в памяти
стоимость акций.
Деятельность вне пределов США. Комитет долгосрочного
планирования 1974 г. заменил эту меру процентом от величины
доходов в пределах США, что выражалось через доходы, получаемые
от этого вида деятельности. Комитет придерживался той точки
зрения, что основной причиной расширения дел за границей
было стремление уменьшить последствия возможного спада в США и
воспользоваться текущими выгодными условиями за границей.
Поскольку «Вудворд—Клайд» останется в ближайшем будущем
компанией, работающей преимущественно в США, то новая мера и
легче поддается квалификации, чем предыдущая, и более
непосредственно отражает уязвимость перед лицом спада внутри страны.
Относительная опытность и профессиональное развитие. С
ростом «спроса на услуги «Вудворд—Клайд» растет необходимость в
увеличении соответствующего , опыта у сотрудников фирмы. Мера
относительного опыта, принятая в 1972 г., характеризовала уровень
опыта в выбранный момент времени, вместо того, чтобы
сосредоточить внимание на его росте. Финансирование, обеспечивающее
рост относительной опытности сотрудников, осуществляется из
бюджета профессионального развития и обычно направлено на
предоставление сотрудникам возможности работать над
проектами под руководством опытного персонала и за счет компании, а
также заниматься на специализированных курсах по тем
отраслям знаний, в которых они работают. Поскольку рост относитель-
382

ной опытности очень важен для «Вудворд—Клайд», эта мера
была заменена процентом доходов, выделяемых на
соответствующую программу повышения относительной опытности
сотрудников.
Это изменение меры относительной опытности потребовало
нового определения компонентов меры профессионального
развития. В 1972 г. эта мера включала в себя финансирование,
используемое для приобретения сотрудниками соответствующего
опыта. Однако при новой мере относительной опытности из меры
профессионального развития следует исключить финансирование,
направляемое на повышение опытности.
Формальный уровень квалификации. Мера для формального
уровня квалификации осталась прежней, но степень
желательности ее различных значений сильно изменилась. Функция
ценности в этом случае интересна тем, что она немонотонна. Когда
значение индекса, характеризующего уровень квантифищации,
близко к единице, кривая, отображающая зависимость функции
ценности от этого индекса, располагается низко, так как в этом
случае почти все сотрудники имеют только степень бакалавра,
затем кривая идет вверх по мере роста индекса уровня
квалификации, а потом быстро падает. Напомним, что при индексе уровня
квалификации, равном 3, фирма будет состоять из сотрудников-
профессионалов только с докторской степенью. В 1972 г.
желаемое состояние определялось как 2,25. В этом случае значение
функции ценности достигало максимума. При дальнейшем
изучении этот уровень показался слишком высоким. Если лишь 25%
сотрудников «Вудворд — Клайд» имели бы только степень
бакалавра, то, как минимум, 50% должны были бы иметь докторскую
степень, чтобы значение среднего индекса уровня квалификации
равнялось 2,25, т. е. отвечало бы «желательному» состоянию.
Для более наглядной передачи смысла различных значений
среднего индекса ученой степени одного штатного сотрудника-
профессионала была составлена табл. 7.6. Предполагается, что
при оценке предпочтительности различных значений этого
индекса лицо, принимающее решение, сначала выбирает наилучшее по
его мнению распределение процентного состава сотрудников,
обладающих различными учеными степенями для каждого
фиксированного значения среднего индекса квалификации, а затем
сравнивает эти «лучшие» распределения.
7.4.3. Проверка условий независимости. Структуризацию
функции полезности, составленной на основе 12 критериев (см.
табл. 7.5), после их модификации в соответствии с п. 7.4.2, мы
начали с проверки того, были ли пары критериев независимы по
предпочтению от дополняющих их критериев*). В большинстве
*> В качестве исходных данных при построении функции полезности были
использованы предпочтения д-ра Нейра. Затем д-р Нейр провел квантифика-
цию предпочтений других членов Комитета долгосрочного планирования.
383

Таблица 7.6. К оценке предпочтений по критерию «формальный уровень
штатных СОТруДНИ
«d
н
1,5-
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2.4
2,5
5% с
СКОЙ
3
о,
ю
ала
СО
ХО
55,
45,
35,
25,
15,
5,
доктор-
степенью
3
я
с*
СО
S
40,
50,
60,
70,
80,
90,
СО
тор
о
5
5
5
5
5
5
Невозможно
»
10% (
СКОЙ
о.
CQ
ала
«
со
О
60,
50,
40,
30,
20,
ю,
0,
: доктор-
степенью
3
о.
ист
и,
со
S
30,
40,
50,
60,
70,
80,
90,
СО
1
о
КС
10
10
10
10
10
10
10
Невозможно
15% <
СКОЙ
3
о.
и
ала
СО
65,
55,
45,
35,
25,
15,
5,
г доктор-
степенью
3
ист;
СО
3
20,
30,
40,
50,
60,
70,
80,
СО
ВС
15
15
15
15
15
15
15
Невозможно
1
20% (
СКОЙ
3
о.
со
ала
«
СО
>о
70,
60,
50,
40,
30,
20,
ю,
0,
: доктор-
степенью
3
Си
ИСТ
(_
со
S
10,
20,
30,
40,
50,
60,
70,
80,
СО
§¦
о
20
20
20
20
20
20
20
20
Невозможно
25% <
СКОЙ
3
о.
л
со
ч
СО
СО
\о
75,
65,
55,
45,
35,
25,
15,
5,
: доктор-
степенью
3
о,
у
СО
0,
10,
20,
30,
40,
50,
60,
70,
со
тор
О
<
25
25
25
25
25
25
25
25
Невозможно
случаев можно было принять допущение о независимости по
предпочтению, но мы укажем на три случая, когда этого сделать
было нельзя.
Проверяя предположение о независимости предпочтений по
критерию «способность привлечь капиталовложения акционеров»,
комитет долгосрочного планирования пришел к соглашению, что
по отношению к текущей политике, проводимой компанией, он
был излишним. Этот критерий указал на способность и
желательность для ведущих сотрудников и руководителей фирмы делать
капиталовложения в корпорацию. Комитет считал, что аспект
желательности адекватно отражается критерием
«нераспределенная прибыль». С другой стороны, способность делать
капиталовложения отражается через премиальные и основные
вознаграждения. По этим причинам критерий «способность привлечь
капиталовложения акционеров» был исключен из списка.
В другом случае сначала ,казало<сь целесообразным выделить
для цели, относящейся к основным ;вознаграждениям, три группы:
старших директоров, младших директоров, а также ком>па;ньо-
нов (и кандидатов в компаньоны. Поэтому существующий
критерий «основные вознаграждения» следовало бы заменить тремя
критериями: основные вознаграждения для старших директоров,
для младших директоров и компаньонов, для кандидатов. Было
установлено, что любой из этих критериев, взятый вместе с
другим (например, «нераспределенная прибыль»), не является
независимым по предпочтению от критериев, его дополняющих.
Причина состояла в том, что доля нераспределенной прибыли,
выделяемой на основные вознаграждения для кандидатов в компань-
384

квалификации», измеряемому с помощью среднего индекса ученой степени
ков-профессионалов
30% с
докторской степенью
35% с
докторской степенью
40% с
докторской степенью
45% с
докторской степенью
50% с
докторской степенью
о.
алав
CO
о
3
истр
2
тора
о
2
о.
алав
к
аз
>О
3
истр
2
I
О,
Невозможно
70,
60,
50,
40,
20,
20,
10,
0,
0,
Ю,
20,
30,
40,
50,
40,
70,
30
30
30
30
30
30
30
30
Невозможно
Невозможно
65,
55,
45,
35,
25,
15,
5,
35
35
35
35
35
35
35
Невозможно
0,
Ю,
20,
30,
40,
50,
60,
Невозможно
»
60,
50,
40,
30,
20,
10,
0,
о,
ю,
20,
30,
40,
50,
60,
40
40
40
40
40
40
40
Невозможно
Невозможно
45
45
45
45
45
45
Невозможно
Невозможно
55,
45,
35,
25,
15,
5,
0, 1
10,
20,
30,
40,
50,
50,
40,
30,
20,
Ю,
0,
0,
10,
20,
30,
40,
50,
50
50
50
50
50
50
оны, зависела от уровня роста основных вознаграждений
директоров и компаньонов.
Если последние группы получали большое увеличение
основного вознаграждения, то представлялось разумным лучше выделить
большую часть «нераспределенной прибыли» на доведение роста
основных вознаграждений для кандидатов в компаньоны до
сопоставимого уровня, чем обеспечивать тот же рост для
кандидатов в компаньоны, если другие группы получали лишь небольшое
увеличение основных вознаграждений. Концепция справедливого
участия в увеличении вознаграждений для этих трех групп не
позволяла допустить в этом случае независимость
предпочтений. Были рассмотрены и две другие возможности. Было
обнаружено, что любые два из этих трех критериев оценки основного
вознаграждения являются условно независимыми по
предпочтению от третьего, когда значения всех других зафиксированы на
произвольном уровне. Это позволило бы нам составить
аддитивную функцию ценности по трем критериям. Другим вариантом
было использование нового агрегированного критерия основных
вознаграждений. Считалось, что члены комитета долгосрочного
планирования, используя этот агрегированный критерий, могли
неформальным образом учитывать соображения о необходимости
справедливого участия в распределении основных
вознаграждений. Отсюда, поскольку всегда легче пользоваться одним
агрегированным критерием, чем прибегать к трехмерному векторному
критерию, был выбран этот агрегированный критерий.
Основные и премиальные вознаграждения все-таки частично
совпадают (перекрываются) по отношению к характеризуемой
13—67 385

цели, и поэтому премиальные вознаграждения, взятые вместе,
например, с нераспределенной прибылью, не будут безусловно
независимыми по предпочтению от дополняющего их критерия.
Однако частичное перекрывание оказывается небольшим, так как
основное вознаграждение служит для обеспечения надежного
(«твердого») жалования за надлежащую работу в пределах
«нормальных» рабочих обязанностей, тогда как премиальные
вознаграждения выступают в качестве награды за усилия,
выходящие за пределы рабочих обязанностей. Таким образом, после
весьма тщательной проверки было решено, что предположение о
независимости по предпочтению будет являться разумной
аппроксимацией. Одним из оснований для вывода о «приемлемости»
послужило также решение исключить критерий «способность
привлечь капиталовложения акционеров» из списка табл. 7.5.
Было решено объединить два .критерия, относящиеся к
«фонду выходных пособий», в один — «увеличение планируемого
фонда выходных пособий». Это было сделано потому, что оба
критерия, по-видимому, служили одной и той же основополагающей
дели. Фирма «Вудворд — Клайд» стремилась к тому, чтобы
каждый участник планируемого фонда выходных пособий получал
сумму, составленную из сумм, выделенных из фонда компании и
фонда социального страхования, равную 50% его среднего
жалования за последние пять лет. Новой мерой для критерия
«увеличение планируемого фонда выходных пособий» является
годовой рост активов этого фонда. Диапазон изменения этой
величины—от 0 до 30%, и надо подчеркнуть, что сюда не входят
выплаты из фонда социального страхования. В конечном счете это
изменение просто сокращает иерархию целей (см. рис. 7.9) за
счет введения количественной оценки последствий, связанных с
размером планируемого фонда выходных пособий.
7.4.4. Цели 1974 г. и меры эффективности. Цели и критерии,
измененные по сравнению с первоначальным списком 1972 г.,
даны в табл. 7.7. После серьезной проверки д-р Нейр сделал
вывод о возможности допустить, что в пределах диапазонов
измерений, указанных в табл. 7.7, каждая пара критериев не зависит
по предпочтению от своего дополнения. С этим допущением
согласились все остальные члены комитета долгосрочного
планирования 1974 г.
7.4.5. Построение функции полезности. Из условий
независимости по предпочтению вытекает, что существует аддитивная
функция ценности, аргументами которой являются 10 критериев,
указанные в табл. 7.7. Из теорем 6.1 и 6.2 (уточним также, что
мы имеем случай, когда именно один критерий не зависит по
полезности ют своего дополнения) -следует, что для квантификации
предпочтений может быть использована либо аддитивная, либо
мультипликативная функция полезности. Было обнаружено, что
критерий «нераспределенная прибыль» по существу не зависит по
полезности от своего дополнения. Установленная независимость
по полезности для других критериев была использована для про-
386

Таблица 7.7. Критерии
Критерий
Xi — нераспределенная при-
Хг —увеличение
планируемого фонда выходных
пособий
Хз —основные
вознаграждения
Xi, — премиальные
вознаграждения
Хъ —деятельность в
пределах США
Хв —деятельность вне
пределов США
Xi —диапазон предлагав-
мых услуг
Xq — относительная
опытность (ежегодный
прирост)
Х9 — формальный уровень
квалификации
Хю — профессиональное
развитие (без учета
относительной опытности)
% от
% от
фирмы «Вудворд—Клайд* 1974 г.
Единица измерения
ДОХОДОВ
существующих активов
% годового роста
% от
/
¦
\
\
% от
/
/
/
\
\
% от
доходов
Адекватно охваченные \
географические центры \
Центры, где может быть Г /0
проделана соответствую- I
щая работа /
объема доходов в пределах США
Число отраслей знаний, \
имеющих ограниченные 1
возможности применений |} %
Число отраслей знаний, /
необходимых обществу /
доходов
Средний индекс «ученой степени» на
одного
нала
% от
штатного сотрудника-профессио-
доходов
Диапазон
0 — 8
0 — 30
0 — 30
0 — 8
25-100%
0 — 50
25—100%
0 — 1
1,5-2.5
0-1
верки согласованности. Забегая вперед, отметим, что полученная
в итоге функция полезности, построенная для критериев,
указанных в табл. 7.7, была мультипликативной и выражалась в виде
\+ku(x)= П
G.21)
где и и все щ изменяются в диапазоне от 0 до 1, 0<&г-<1,
непостоянный коэффициент, не равный нулю и больший —1.
Таким образом, стоящая перед нами задача заключается в
построении функций являющихся составляющими общей функции
полезности, нахождении значений коэффициентов ki и затем
вычислении значения k для мультипликативной функции G.21).
Построение составляющих функции полезности. Все 10
функций полезности были построены с использованием шкалы от 0 до
1 на основе методов, описанных в гл. 4. Рассмотрим кратко
функции полезности для критериев Х\ (нераспределенная прибыль),
и Х9 (формальный уровень квалификации) (см. табл. 7.7).
13* * 387

Изменение значений критерия «нераспределенная прибыль»
происходит в диапазоне от 0 до 8%. Поскольку
предпочтительность прибыли возрастает с ростом ее значений, положим
где щ — функция полезности для нераспределенной прибыли.
Далее, анализируя детерминированные эквиваленты для ряда
лотерей, мы установили, что для д-ра Нейра была характерна
несклонность к риску, когда речь шла о нераспределенной
прибыли. Было установлено, что 2~<0, 8>, 0,75~ <0, 2>, 4~
~<2, 8>, 5,5~<4, 8>. Проверка также показала, что
детерминированный исход, равный 4%, был равноценен участию в ло-
тер'ее, в которой с вероятностью 0,75 реализовался исход, равный
8%, (и с вероятностью 0,25 —исход, равный 0%.
Функция полезности, соответствующая этим оценкам,
показана на рис. 7.10.
Построение функции полезности для критерия «формальный
уровень квалификации» привело к некоторым неожиданным ре-
У в
Х7 s нераспределенная
л
быходнд/х' лссодаа
О 8
яре/шальные
j s деятельность
в лре&елах ША
о
за
к
50
р0
разби/яие
Рис. 7.10. Функции, входящие в качестве
составляющих в функцию полезности
фирмы «Вудворд—Клайд»
388

зультатам. Но что не было неожиданным, так это то, что
предпочтительность различных значений этого критерия изменялась
не монотонно, а сначала возрастала до максимального значения,
а затем уменьшалась. Первоначально мы хотели квантифициро-
вать предпочтения при изменении среднего индекса «ученая
степень» штатного сотрудника от 1 до 3. Однако, начав эту работу,
мы установили, что при значениях этого индекса от 1 до 1,3,
также, как и в диапазоне от 2,7 до 3, фирма «Вудворд — Клайд»
просто не могла бы существовать в своем нынешнем виде.
Поэтому первоначальный диапазон был скорректирован. Теперь
значения рассматриваемого критерия лежат в диапазоне от 1,5, до
2,5, что было практически пределом на ближайшее будущее.
Далее, при анализе данных табл. 7.6 было установлено, что
первоначально считавшийся оптимальным уровень 2,25 слишком
высок, поэтому после некоторых размышлений в качестве
оптимального уровня было выбрано значение 2,1. Д-р Нейр также считал
крайне нежелательным иметь значение индекса «средней ученой
степени» сотрудников равным 1,5 и 2,5, что было равноценно
«плохому положению дел», поэтому шкала гзначений функции щ
(функции полезности «формального уровня квалификации») была
выбрана такой, что «9A, 5)=«эB, 5)=0, щB, 1) = 1. Пользуясь
той же табл. 7.6, д-р Нейр пришел к заключению, что 1,7 ~ < 1,5;
2,1 >, 1,8~< 1,7; 2,1 >, и 2,3 ~ 1,8. Полученная в итоге функция
полезности показана на рис. 7.10.
Нахождение относительных значений шкалирующих
коэффициентов. Ранжирование значений шкалирующих констант
мультипликативной функции полезности, т. е. k\ в выражении G.21),
представлено в табл. 7.8. При определении их относительного
значения д-р Нейр рассматривал относительную желательность
последствий, которые получаются, когда значение одного из
критериев находится на наиболее желательном уровне, в то
время как значения остальных критериев — на наименее
желательных уровнях. Он решил, что для таких последствий
«нераспределенная прибыль» является именно тем критерием, значение
которого наиболее желательно иметь на самом высоком уровне.
Следовательно, шкалирующий коэффициент для критерия
«нераспределенная прибыль» должен быть самым большим. Вторым
критерием, значение которого желательно иметь на максимально
высоком уровне, был для Нейра критерий «формальный уровень
квалификации». Таким образом, шкалирующий коэффициент
этого критерия должен быть вторым по величине. Аналогично были
этроранжированы шкалирующие коэффициенты всех критериев,
помещенных в табл. 7.8.
Для установления относительных численных значений этих
коэффициентов была проведена квантификация замещений для пар
критериев. Так, для 9 пар критериев д-ру Нейру задавались
вопросы такого типа: «Допустим, что значения всех критериев,
кроме «нераспределенной прибыли» и «планируемого фонда
выходных пособий», зафиксированы на заранее заданных уровнях*
389

Таблица 7.8. Значения шкалирующих коэффициентов
для функции полезности фирмы сВудворд—Клайд»
Критерий
Xi — нераспределенная
прибыль
Хг — планируемый фонд
выходных пособий
Ха — основные
вознаграждения
Х^ — премиальные
вознаграждения
Хь —деятельность в
пределах США
Хв — деятельность за
пределами США
Xt —диапазон услуг
Хв — относительная
опытность
X* — формальный
уровень квалификации
Хю — профессиональное
развитие

жирование

фициентов
1
7
5
9
6
10
3
4
2
8

Диапазон
0 — 8
0 — 30
0 — 30
0 — 8
25 —100
0 — 50
25—100
0 — 1
1,5-2,5
0 — 1
Равноценный
, эквивалент
—
30Х2 ~ 3Xi
ЗОХз ~4Xi
8X4 ~ 2,5*1
100*5 ~3,5Xi
50*6-50*5
55*7-100*5
1*8-50*5
2,1*9-7*4
1*ю ~50*s
Относительные
значения
коэффициентов
*1
*2=0,66*i
*3 = 0,77*i
*4=0,58*4
*5 = 0,72*4
*e=0,5*5
?5=0,75fc7
*8=0,5*5
*9=0,97*i
*10 = 0,5*5

фициент
0,67
0,44
0,517
0,391
0,482
0,241
0,634
0,241
0,647
0,241
4,505
Сколь высоким должно быть значение критерия
«нераспределенная прибыль» при самом низком уровне значения критерия
«планируемый фонд выходных пособий», чтобы для Вас было все
равно (то есть Вы безразличны в выборе), что выбрать: этот ли или
другой вариант, при котором критерий «планируемый фонд
выходных пособий» имел бы самое желательное значение, равное
30, а критерий «нераспределенная прибыль» был бы
зафиксирован на самом низком уровне?»
Его ответы представлены в табл. 7.8 в графе «Равноценный
эквивалент». Таким образом, если мы обозначим шкалирующий
коэффициент для Хх через ku то аналогичный коэффициент для Х%
должен составить, например, 0,66 k\, поскольку, пользуясь
графиком функции щ (см. рис. 7.10), мы находим, что полезность
3% «нераспределенной прибыли» равна 0,'66. Это следует из того,,
что полезность «нераспределенной прибыли», когда
«планируемый фонд выходных пособий» находится на наименее
желательном уровне, должна равняться полезности положения с
увеличенным до 30% «(планируемым фондом выходных пособий» и
минимально допустимым значением критерия «нераспределенная
прибыль». Поскольку было принято допущение о независимости
по предпочтению, уровень значений остальных критериев, кроме
«нераспределенной прибыли» и «планируемого фонда выходных
лособий», не имеет значения. Относительные значения
шкалирующих коэффициентов также приведены в табл. 7.8.
390

Выбор функции полезности. Мы достаточно точно установили
относительные значения шкалирующих коэффициентов, но для
определения их абсолютных значений необходимо ответить на
трудный вопрос. Этот вопрос был задан д-ру Нейру: «При какой
вероятности п\ Вам будет безразличен выбор между вариантом
1, дающим «нераспределенную прибыль» на уровне 8% в то
время, как значения всех остальных критериев зафиксированы на
наименее желательном уровне, и вариантом 2, представляющим
собой лотерею, при разыгрывании которой Вы можете получить
€ вероятностью щ значение всех критериев на самом
желательном уровне или с вероятностью 1—тс\ на их наименее
желательном уровне?» Эти два варианта показаны на рис. 7.11. С
помощью «метода схождения», описанного в § 4.9, для щ было
выбрано значение 2/3. Это значит, что шкалирующий коэффициент для
первого критерия k\ должен быть равен 0,67. Отсюда были
найдены значения шкалирующих коэффициентов для остальных
критериев, представленных в табл. 7.8*).
бариан/л /
Яарш/я 2
или
Знсгчемя
' яахоаятся
Рис. 7.11. Выбор значения
для получения отношения безразличия
(«равноценности»)
Зная, что значения шкалирующих коэффициенте в сумме
составляют 4,505 и что для выражения предпочтений д-ра Нейра
подходит мультипликативная функция полезности, мы можем
воспользоваться соотношением G.21), подставив в него значения
для наиболее желательных последствий. В результате мы
получаем уравнение относительно k
1+?= П (l+kkf). G.22)
Это уравнение было решено способом, описанным в приложении
€В. Результатом его решения было k=—0,998. Столь низкое
значение k (этот коэффициент должен быть больше —1) указывает
*> Краткое обсуждение анализа чувствительности для значения
«иже.
391
дается

на высокую степень «взаимодополняемости» предпочтений ш>
различным критериям. Действительно, было обнаружено, что все
члены комитета долгосрочного планирования единодушно
считали, что если значение нераспределенной прибыли находится на
высоком уровне, то со значениями всех остальных критериев
«можно будет решить вопрос», если будет избран правильный
курс. Однако такая уверенность ослабевает, когда возрастает
продолжительность рассматриваемого периода. Т. е., если наши:
критерии характеризуют положение дел в течение года, то «Вуд-
ворд — Клайд» может смириться с «плохим годом» для
большинства критериев и наверстать упущенное в следующем году. Но
если значения критериев табл. 7.8 отражают данные за пять лет>
то становится гораздо менее желательным «ждать» пять лет, а
затем «перераспределить» высокий уровень нераспределенной
прибыли с целью повышения значения критериев, имеющих
низкий уровень. Это положение, выявленное в процессе построения
функции полезности, было важно осознать при обсуждении
вариантов, влияющих на будущую жизнеспособность «Вудворд —
Клайд». Поэтому первоначально квантификация предпочтений
была выполнена для одногодичного периода. Описанные здесь
результаты основываются на средних годовых данных для трех-
летнего периода*).
Анализ чувствительности. Точность оценки вероятности я*
важна для определения k\. Поэтому был проведен небольшой
анализ чувствительности к значениям этого параметра с
использованием тех же самых относительных значений коэффициентов,
представленных в табл. 7.8. Напомним, что х* и х° означают
последствия, в которых все критерии имеют, соответственно, наилучшее
и наихудшее значения. Для упрощения анализа влияния
значений п\ мы введем два определения:
я'— вероятность, такая что лотерея, исходами в которой
являются 'последствие х* с вероятностью я' и последствие х° с
вероятностью 1'—я', 'имеет своим детерминированным
эквивалентом последствие, в„ котором значения критериев
«нераспределенная прибыль» и «формальный уровень квалификации»
находятся на наилучшем уровне, а всех остальных критериев — на
наихудшем.
я — вероятность, такая, что лотерея <х*, я, х°> имеет
своим детерминированным эквивалентом последствие, в котором
значение каждого критерия находится на уровне, отвечающем:
значению полезности 0,5.
Все необходимые вычисления выполнялись на ЭВМ. При
проведении расчетов использовалась программа для ЭВМ, описанная
в приложении 6С. Полученные результаты представлены в табл.
7.9. Процедура вычислений была построена так, что первым
уточнялось значение яь Затем, используя относительные значения
*> Для справки: вероятность jti для вариантов, показанных на рис. 7.11»
была равна 0,75 для (периода в один год я 0,67 для трех лет.
392

коэффициентов kj из табл. 7.8, фиксировались значения каждого
кг. После этого рассчитывались значения k, л/ и я. Дальнейшая
работа с табл. 7.9 подтвердила первоначальное предположение
д-ра Нейра о том, что Я1 = 0,67 для трехлетнего периода.
Окончательные значения шкалирующих констант расположены в
последней колонке табл. 7.8.
Таблица 7.9. Анализ чувствительности для коэффициента k
0,87
0,74
0,67
0,60
0,47
0,34
Щ
5,86
4,96
4,5
4,06
3,15
2,25
к
— 0,999
— 0,999
— 0,998
— 0,996
— 0,979
— 0,900
я'
0,98
0,925
0,884
0,836
0,714
0,561
я
0,973
0,947
0,928
0,903
0,835
0,733
7.4.6. Использование функции полезности фирмы «Вудворд —
Клайд». После того как исходная функция полезности была
построена, д-р Нейр в основных чертах повторил вышеописанную
процедуру квантификации с каждым членом комитета
долгосрочного планирования 1974 г. В эту процедуру входили проверка
первоначальных предположений, построение одномерных
функций полезности и нахождение значений шкалирующих констант.
Это вызвало некоторые небольшие изменения в функции
полезности д-ра Нейра (уже описанной в предыдущих пунктах). В
итоге была лолучена искомая «'согласованная» функция полезности
корпорации. Это не значит, конечно, что правление «Вудворд—
Клайд» будет слепо следовать этой функции полезности в дриня-
ти'И решений. Она используется для того, чтобы способствовать
сотрудничеству работников фирмы «Вудворд—Клайд» и помогать
профессиональной -интуиции.
Процесс квантификации предпочтений заставил сотрудников
быть несколько более точными в их суждениях о том, дочему они
считали важными те или иные уровни значений определенных
критериев. Как уже говорилось, процесс квантификации показал,
каким образом замещения между критериями зависят от периода
времени, на котором они рассматриваются. Общее мнение
участников процедуры построения функции полезности выразил один
из них: «Я всю жизнь шрин'имал подобные решения о
замещениях, но до сих пор этот процесс был довольно расплывчатым,
у меня оставалось чувство, что я не до конца понимал все
последствия моих субъективных суждений. Использование . теории
полезности и квантификации замещений оказывает существенную
помощь. Когда лучше понимаешь свои собственные
предпочтения и возможные замещения, гораздо легче объяснить их
коллегам».
393

Анализ, выполненный в ходе построения функции полезности,
также вызвал небольшие (но важные) изменения во всем
процессе оценки долгосрочных планов. Некоторые цели были
исключены или объединены. Некоторые из критериев были изменены*
чтобы лучше учитывать то, что заботит «Вудворд — Клайд».
Одним из примеров является изменение меры измерения для крите^
рия «относительная опытность» с тем, чтобы он отражал
ежегодный рост опыта.
Поскольку некоторые критерии касаются распределения
имеющейся прибыли (например, в виде процента доходов), то
оказывается можно весьма просто использовать функцию полезности
как вспомогательный инструмент при выборе наилучшего
распределения дохода между основными вознаграждениями (т. е.
фактически «жалованием»), -нераспределенной прибылью,
премиальными, профессиональным развитием, накоплением относительного
опыта и капиталовложениями в планируемый фонд выходных
пособий. Пользуясь фиксированными процентными соотношениями
к получаемому доходу, нетрудно найти практически реализуемые
распределения имеющегося дохода, а также произвести
распределение, отвечающее максимуму полезности.
Как и раньше, составляющие функции полезности могут
использоваться для проведения анализа «недостаточности», так как
они показывают различие между текущим и желаемым
состояниями, показывают, что является практически достижимым на
определенном отрезке времени. Подходя с несколько более
широких позиций и находя градиент функции полезности для
существующего положения (и используя его совместно с субъективно
оцениваемыми изменениями состояния по каждому критерию при
эквивалентном количестве прилагаемых усилий (время и деньги) )„
мы получаем индикатор того курса действий, который
представляется нам наиболее плодотворным.
Функция полезности, описанная в этом -параграфе, 'без
сомнения, подвергнется дальнейшем изменениям в последующие годы,,
так как потребности -и предпочтения сотрудников «Вудворд—
Клайд» меняются, отражая их положение в обществе, внешнее
окружение <и т. д. Например, акт о пенсионной реформе 1974 г.
из-за наличия в «ем определенных положений о возможности ин,-
вестиций, делаемых пенсионными организациями, может изменить
нынешнее относительное значение критерия «рост .планируемого
фонда выходных пособий» среди других критериев. В настоящее
время «Вудворд—Клайд» изучает влияние этого и других
внешних изменений на функции полезности для отдельных критериев
и замещений между ними. И такие работы будут продолжаться.
В настоящий .момент функция полезности .не содержит тех
первоначальных недостатков квантификации целей 1972 г., на
которые было указано в п. 7.4.1. Она используется при рассмотрении
нынешних решений, которые влияют на.будущее фирмы. Кроме
того, иерархия целей фирмы «Вудворд—Клайд» частично
обеспечивает объединяющую основу для оценки долгосрочных планов №
394

операций фирм-филиалов. Не будет преувеличением сказать, что
некоторые сотрудники «Вудворд—Клайд» считают концепцию
многокритериальной полезности интересной <и полезной. Что более
важно, они горячо .верят в возможность ее будущего применения.
Б этой связи частично как результат описанной здесь работы
были выделены средства .и создана специальная группа внутри
«Вудворд—Клайд», которая начала претворять концепцию и
методику анализа решений в жизнь.
В заключение укажем, что в 1974 г. фирма «Вудворд—Клайд»
была реорганизована из фирмы-учредителя в обычную (Компанию,
имеющую пять региональных отделов, причем каждый отдел
может вести исследования в области геотехнических работ и охраны
окружающей среды. Эта реорганизация была проведена с целью
лучшего обслуживания клиентов, интегрирования геотехнических
работ и охраны окружающей среды, а также с целью придания
фирме вида одной компании и улучшения «сбыта» ее услуг. Кроме
того, такая реорганизация была необходима для повышения
эффективности функционирования за счет ликвидации некоторой
части персонала аппарата и руководства, выполнявших
вспомогательные функции. При оценке желательности таких
организационных изменений мно-гие члены совета директоров проводили свой
субъективный анализ — действительно ли эти изменения позволят
улучшить деятельность 'компании, оцениваемую .по целому ряду
критериев. Подробная разработка списка критериев помогла
сделать такие оценки.
7.5. ОЦЕНКА СИСТЕМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
Каким образом руководству следует выбирать вычислительную
систему? Каким образом руководству вычислительного центра
следует оценивать качество обслуживания клиентов? Когда и как
следует изменить систему распределения 'машинного времени,
чтобы лучше обслужить клиентов и чтобы привлечь новых? Таковы
некоторые вопросы, которые встают перед многими, работающими
в области вычислительной техники, в том числе перед
руководителями и клиентами. Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо
рассмотреть ряд факторов: доступность системы, ее надежность,
периоды реагирования на различные заказы, затраты и многие
другие. Все эти проблемы имеют множество сторон.
В этом параграфе мы опишем некоторые результаты работы
Грочова A972, 1973), использовавшего для исследования
подобных вопросов -концепции и методы, изложенные в предыдущих
главах этой книги. Грочов построил трехмерную функцию
полезности для тех, кто 'пользуется вычислительными системами с
разделением машинного времени. Чтобы проиллюстрировать
полезность та-кой информации для .принятия решений руководителями
этих систем, «мы рассмотрим сначала, что было проделано, а затем
обсудим полученные результаты в отношении вопросов,
поставленных в начале этого параграфа.
395

7.5Л. Предпочтения программистов/ системы. Грочов опросил
нескольких пользователей системы разделения машинного
времени, что)бы найти их стереотипы и дели использования машинного
времени. Он проводил опрос главным образом программистов
вычислительных систем, занимающихся вводом .и редактированием
программ, а также их составлением (компиляцией) и отладкой.
Отношение количества собеседований по вопросам редактирования
к количеству собеседований по составлению и отладке программ
составило приблизительно пять к одному. Были найдены четыре
критерия для этой системы, важные для данного класса .клиентов:
1. период реагирования на обычные заказы (например,
редактирование),
2.!период реагирования на заказы, связанные с ограниченной
загрузкой вычислительной системы (например, компиляция
программ),
3. доступность,
4. надежность.
Грочов построил условную функцию полезности для первых
трех критериев, считая, что значение критерия «надежность»
выдерживается на достаточно высоком уровне.
Перед тем как приступить к процессу квалификации, Грочов
обсудил основные идеи теории полезности с каждым участником
эксперимента и предложил план действий, согласно которому
нужно было определить важность трех критериев, в то время как
«надежность» предлагалось считать находящейся на достаточно
высоком уровне. В качестве мер эффективности он использовал для
•первых двух критериев среднее время в секундах, необходимое
для удовлетворения запроса, а для третьего критерия — процент
успешных вводов задания.
Построив условные функции полезности для каждого критерия
в отдельности (при условии, что значения двух других критериев
зафиксированы на определенном уровне), он затем выяснил
приемлемость различных условий независимости по полезности, а
также установил функциональный вид функции полезности.
Использовавшиеся критерии (были таковы:
X — средний период реагирования на обычный заказ, в
секундах.
У — средний период реагирования на заказ, связанный с
ограниченной загрузкой вычислительной системы, в секундах.
Z — процент успешных вводов.
Для своего класса пользователей системы Грочовым была
установлена приемлемость следующих допущений о
независимости:
\. X — условно не зависит по полезности от У при
фиксированном Z.
2. X — условно не зависит по полезности от Z при
фиксированном У.
3. У — условно не зависит по полезности от Z при
фиксированном X.
396

Согласно теореме 6.17 (см. п. 6.11.4) из условий 1 и 2
непосредственно следует, что
4. X не зависит по полезности от {У, Z}.
Используя теорему 5.6 и условие 4, получаем
и(х, уу z)=ux{x, y°, z°)u(x*, у, z)+[l—их(х, y°, 2°)]i/(xo, у, г),
•G.23)
где и и их изменяются от 0 до 1, а индексы ° и * указывают на
наименее и .наиболее желательные уровни значений критериев
соответственно.
Затем, используя условие 3, а также аналогичный результат из
теоремы 5.6 для условных функций полезности, мы раскрываем
выражение G.23) и получаем
и(х, у, z)=ux(x, y°, z°) [u*Y(x*, у, з?)и(х*, у*9 z) +
+ {1-гг*г(**, У, *°) }"(**, y\ z)] + [l—u±(x, y°, z°)]X
УГ/7°чг^г° и у°\и(у° /у* ?\ -4- /ii и°^т(у° и 7°\\ij{y° и° ?\"\
у\ 1 1Л/ Y \^ у У у <с I W- ул у у у *?) ч^ V* W У \Л* у У у & ) ш \ > ** ' / J >
G.24)
где u*y и u°y также принимают значения от 0 до 1.
Отметим, что при выбранных шкалах измерений
Uy(x u° 2°)- и(х* у°' *О) П2Ы
~ и(х*, у, г°)-и(х*, у°,
G.256)
G.25в)
Если мы подставим «G.25) б выражение G.24), то увидим, что
и(х, у, z) полностью определяется с помощью семи одномерных
условных функций полезности, построенных на отрезках,
изображаемых в «виде жирных линий на рис. 7Л2.
Проверка справедливости условий 1, 2 и 3 являлась
итеративной по своей природе. Каждая .аддитивная условная функция по-
Для
/
*
У
/
/
//
/
fi/
Дмгчале
семь
Рис. 7.12. Функции ттолеаности, которые необходимо построить при
установлении функции ^полезности для системы 'разделения времени
397

лезности способствовала лучшему пониманию общей структуры
функции полезности и(х, у, z). Смысл этих функций обсуждался
с пользователями в процессе построения. Когда встречались
.несоответствия в ответах пользователя/на них обращалось его
внимание и часть .процедуры заново повторялась. В общей сложности в
проверке условий независимости по полезности 1, 2 и 3
принимало участие восемь лиц из числа пользователей, описанных выше.
Фактическое построение функции полезности было проведено
только для одного пользователя. Для этой цели была
использована общая процедура, описанная в гл. 5 и 6. Функция полезности
была построена для области, определяемой интервалами 2^х^9
(с), 2<у<120, 10<z<100(%).
Выяснилось, что критерий Z не является независимым по
полезности от {Ху У} или условно независимым по полезности как от
X, так и от У. Грочов указывает причину этого: если, например,
тот или другой из двух периодов реагирования будет слишком
продолжителен, то программист потратит большую часть своего
времени на ожидание и, следовательно, эффективность его
работы упадет по сравнению с тем, когда значения периодов
реагирования находятся на более желательных уровнях (не будут столь
продолжительны). Причиной того, что У не является условно
независимым по полезности от X при фиксированном Z, является то
обстоятельство, что пользователи, возможно, формируют свои
суждения относительно значений периода реагирований на
заказы, связанные с ограниченной загрузкой вычислительной системы,
исходя из тех значений периодов реагирования на обычные
заказы, с которыми они постоянно сталкиваются.
7.5.2. Использование функции полезности. Предположим, что
перед нашим клиентом стоит задача выбрать систему
распределения машинного времени не только по критериям X, У и Z, но и
по критериям надежности JR и стоимости S пользования в
течение месяца. Здесь для полной оценки потребуется функция
полезности и! {г, s, ху у, z). Однако, если {X, У, Z) не зависит по
полезности от (R, S), то по теореме 5.6 и! может быть выражена как
функция г, s и и, т. е.
и'(г, s, х, у, z) =f[r, s, u(x, у, г)].
Исходная функция полезности и .может быть здесь
использована аналогичным образом, если {Ry S} не зависит по полезности от
{X, У, Z}, несмотря на то, что {X, У, Z} не является независимым
по полезности от {7?, S}. Если это так, то из теоремы 5.6 следует,
что и' может быть выражена как функция от одной функции
полезности на {R, 5} и двух функций полезности на {X, У, Z} при
различных фиксированных уровнях {/?, 5}. Одной из этих
функций полезности может быть и(ху уу z).
Пойдем дальше и предположим, что наш клиент (наша фирма)
должен решить, следует ли ему купить или арендовать
вычислительную машину. Если принято решение .купить, то возникает
398

много вариантов. Совершенно ясно, что такое -решение может
быть принято с расчетом на ^период по крайней мере в несколько
лет. Чтобы не усложнять задачу, допустим, что нам достаточно
использовать критерии X, У, Z и критерий стоимости. При
периоде времени в пять лет критерий стоимости будет представлять
собой С={Си С2, С3, ..., С5}, где Сг — стоимость в i-й год. Далее, как
и прежде, при выполнении необходимых условий независимости
по полезности между С и {X, У, Z} может !быть использована
исходная функция полезности и.
А теперь представим себе, что руководство службы
предоставления машинного времени имеет две цели: довести до максимума
доходы и обеспечить наилучшее абслуживание клиентов. Можно
считать, что частично эти цели заменяют цель получения
долгосрочных доходов. Вне зависимости от имеющейся мотивации
подходящей мерой качества обслуживания может быть функция
полезности клиента, .построенная для критериев X, У и Z.
Следовательно, ориентируясь на определенный контингент будущих
клиентов, фирма может посчитать для себя приемлемой функцию
полезности, которая является, например, функцией годовых доходов, а
также индивидуальных функций полезности ее клиентов.
Включая 'функции полезности своих потенциальных клиентов в
качестве аргументов в свою функцию полезности, фирма может
получить инструмент, помогающий выбрать величину платы за
услуги и направление своей деятельности. Иначе говоря, если
цены на предоставляемые услуги будут слишком высоки, то многие
клиенты обратятся к конкурентам, что уменьшит доход фирмы.
Если же цены будут слишком низкими, то финансовые дела
фирмы будут также плохи. Максимизируя свою ожидаемую
полезность, фирма может найти «оптимальную» цену *\
7.6. РАЗМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИИ
Проблемы, связанные с размещением атомных
электростанций, являются чрезвычайно сложными. Различные
заинтересованные группы, каждая из которых имеет свой набор различных
целей, пытаются повлиять на ход процесса подготовки и принятия
решений. Последствия принимаемых решений здесь столь важны,
что нуждаются в очень тщательном анализе. Достаточно сказать,
что здесь речь идет о суммах ib сотни миллионов долларов,
возможной нехватке энергии, «засекреченности», возможности
отрицательного воздействия на окружающую среду, в некоторых
случаях возникает большая зависимость от импортируемого топлива,
не говоря уже о вытекающих отсюда новых проблемах.
*> В этом кратком обсуждении мы не касались действий конкурентов.
Рассматриваемые функции полезности могут быть использованы в теории игр при,
исследовании различных аспектов конкуренции. Весьма полное введение и обзхэр
теории игр содержится в книге Льюса и Райфа A957). Более поздний обзор
да.н в работе Шакуна A972).
399

В Соединенных Штатах предусмотрен порядок, согласно
которому компания подготавливает материал, доказывающий
целесообразность размещения атомных ^Лектростанций в том «или ином
месте, и представляет разработанные планы на рассмотрение
правительственным органам (например, <по вопросам атомной энергии
я влияния на окружающую среду). Эти органы при подготовке и
обосновании принимаемого решения изучают имеющиеся данные,
рассматривают возможные компромиссные (в широком смысле)
варианты, стараясь учесть противоположные точки зрения и
интересы энергетических компаний, организаций, занимающихся
охраной окружающей среды, населения как потребителя энергии и
местных организаций, например общин, расположенных ©близи
мест 'строительства новых объектов. Каким образом
правительственные органы могут собрать воедино всю эту информацию, чтобы
она оказалась полезной в процессе принятия решения?
Сами энергетические компании также сталкиваются с
трудностями при рассмотрении тех разнообразных щелей, которые стоят^
перед ними. Обычно их главным образом заботят позиции конку-v
рирующих предприятий и те инженерные факторы (например,
проектирование сооружений для передачи энергии и надежность
электросети), которые непосредственно влияют на их финансовые
поступления. Но когда компании бывают вынуждены заниматься
более широкими вопросами, такими, как последствия -выполнения
проектов с точки зрения воздействия на окружающую среду и
затрагивания интересов местных общин, им приходится иметь дело
с более широким кругом целей. И очень часто их анализ
возможных решений .построен на неформальном, интуитивном подходе.
Однако представляется, что при лучшем понимании и изложении
принципиальных вопросов возможных замещений для
противоречивых целей, возникающих при анализе рассматриваемых
альтернативных вариантов, компания окажется более способной выбрать
лучшее решение в свете своих экономических щелей, общественных
обязанностей и запросов общества. Формальный анализ этих
факторов может способствовать сокращению в настоящее время
весьма длительного периода времени, предшествующего одобрению
плана строительства атомных электростанций. Каковы
характерные особенности этого анализа и как он проводится? По этому
вопросу имеется обширная литература, но самое непосредственное
отношение к методам, рассматриваемым в этой книге имеют
работы Гроса A974), Паппа и др. A974), Нейра и др. A975), Кини и
Нейра A975).
В этом параграфе мы намерены остановиться на следующих
вопросах:
1. Обсудить целесообразность применения многомерной теории
полезности для изучения вопросов, затронутых в предыдущих
параграфах.
2. Рассмотреть работу Жака Гроса, посвященную квантифика-
ции предпочтений в проблеме размещения атомных объектов с
шю&ощью методов, описанных в этой книге.
400

Обсуждаемая ниже раббта далеко ,не окончена, пожалуй, ее
•следует .назвать «поиском подхода». Мы не останавливаемся на
таких важных вопросах, как является ли выбранный набор
критериев полным, чьи предпочтения4 следует 'квантифицировать, ках
лучше ввести политический аспект, как этот анализ способствует
{или препятствует) разрешению конфликтной ситуации. Мы
намерены сосредоточить наше внимание лишь на концепциях
предлагаемого 'Подхода, не заботясь о его .прагматическом аспекте.
Вопросы применения теоретических построений освещены в
отдельной главе, так как мы считаем, что излагаемые здесь идеи
являются (весьма важными и в делом подобный анализ может быть
применен на практике. В этой связи мы считаем
обнадеживающими результаты, полученные в работах Ови A973), Гроса A974) %
а также опыт «Вудворд—Клайд Консалтантс» A975), см. также
Кини и Нейр A976). Подобной работой, несомненно, занимаются
и другие коллективы.
7.6.1. Преследуемые цели при размещении атомных
электростанций. Каждая группа, заинтересованная в размещении
атомных электростанций в том или ином месте, имеет свои
собственные цели. Большей частью, однако, эти цели можно разделить на
пять категорий: цели, относящиеся -к окружающей среде,
безопасности людей, благосостоянию потребителей, экономические цели и
цели .в области национальных 'интересов. Допустим, что -набор
целей, перечисленных в табл. 7.10, достаточен для того, чтобы лю-
Та

Критерий
Xt
Хг
X,
X,
Х5
xt
Xs
xt
Jfio
блица 7.10. Примерный список целей для проблемы размещения
атомных электростанций
Категория
Воздействие на
окружающую среду
Безопасность людей
Благосостояние
потребителей
Экономические аспекты
»
>
Национальные интересы
Цель
Минимизация загрязнения
Обеспечение эстетической
привлекательности создаваемых объектов
Минимизация опасности для
здоровья людей
Обеспечение необходимой
энергией
Минимизация платы потребителей
за использование энергии
Максимизация экономических
выгод для местной общины
Максимизация полезности выгод,
получаемых компанией
Максимизация доходов штата
Улучшение баланса платежей
Уменьшение зависимости от
импортируемого топлива
Стороны,
имеющие
прямую

тересованность
E.L
Е, L
Ег U P. S, F
С, Е, Р, S
C,S
L
Р
S
F
F
С — потребители, Е — организации, занимающиеся охраной окружающей среды, L —
местные общины, Р — энергетические компании, 8 — руководящий орган штата, F — государст-
венный орган. \
401

бая из заинтересованных сторон мор*ла провести свой анализ
проблемы. Отметим, однако, что це^и в этом ориентировочном
списке частично перекрываются и fle для всех заинтересованных
сторон все эти цели в равной степени важны. В таблице также
отмечены те цели, которые являются наиболее важными для
каждой заинтересованной «стороны. Символически указанные
критерии, возможно, будут представлять собой векторные критерии.
Конкретизация этих критериев нами производиться не будет.
7.6.2. Концептуальная основа анализа проблемы
заинтересованными сторонами. Те функции полезности, которые будут здесь
кратко рассмотрены, предназначены главным образом для
создания концептуальной основы при изучении центральных аспектов
предпочтений применительно к проблеме размещения атомных
электростанций и доведении этих предпочтений до сведения
заинтересованных сторон. Для краткости мы опустим описание и
обсуждение функций .полезности 'потребителей, защиты окружаю-
щей среды од местных общин. В теоретическом отношении
больший интерес представляют те вопросы, к рассмотрению
которых мы сейчас перейдем.
Точка зрения энергетической компании. Проще всего было бы
сказать, что энергетическая компания заинтересована только в
повышении своих прибылей. Если бы это было действительно так,
то можно было бы построить функцию полезности компании
ttp(x7) по критерию Х7 и попользовать ее при оценке имеющихся
у компании альтернатив. Однако в наше время, учитывая более
широкие требования со стороны общественности и возлагаемую
на компании ответственность, компания вынуждена,
по-видимому, в большинстве случаев исходить не только из потребностей
своих клиентов в энергии, но и заниматься такими вопросами, как
уменьшение отрицательного влияния своих энергообъектов на
окружающую среду и увеличение выгод от этих энергообъектов
для местных общин, на территории которых эти объекты будут
строиться*). Обозначим предполагаемые критерии для этих трех
дополнительных целей через Uc, Ve и Ul соответственно и
отметим, что для измерения степени достижения этих целей можно
использовать соответствующие функции полезности ис> иЕ и uL. В
этом случае интересы энергетической компании, по крайней мере
качественно, будут характеризоваться через функцию полезности
иР(х7, uc, us, uL) для четырех критериев, значения которой
позволят установить, какие из анализируемых вариантов являются
более предпочтительными. Ясно, что полезность uL в общем случае
должна быть функцией от щ, ..., щу ..., un, где щ — функция
полезности 1-й общины, а в качестве возможных мест расположения
энергообъектов рассматриваются ./V общин. Энергетическая ком-
*) Иногда высказывается такое суждение, что забота компании о
потребителе, защите окружающей среды и местном населении — это всего-навсего
выгодный бизнес и что эта забота подготавливает основу для будущих
прибылей. Подобная позиция (правильна она или нет) не ставит под сомнение наши
выводы.
402

пания должна взвесить с!вои субъективные суждения об
относительной желательности предлагаемого энергообъекта А для
общины 1 и энергообъекта В для общины 2, после чего формально
или неформально проанализировать возможные здесь замещения,
несмотря на всю трудность этого вопроса.
Точка зрения руководящих органов штата. Еще раз упростим
до предела .наше рассмотрение и допустим, что вопросами
лицензирования занимается только один руководящий орган и его
основной заботой является безопасность атомных объектов для
населения. Следовательно, 'целями этого руководящего органа, в
первую очередь, можно считать сведение до .минимума опасности
радиации, обеспечение доходов штата, удовлетворение
заинтересованных групп. В качестве меры измерений для первых двух «целей
могут быть использованы критерии Х$ и Х8 из табл. 7.10, a Uc>
UEt UL и Up будут выступать в качестве критериев для
выражения степени удовлетворения заинтересованных групп. Таким
образом, предпочтения руководящего органа в концептуальном
отношении могут быть выражены в виде функции полезности us(xsy
Xs, ис, иЕ, u'Ly Up), где u'L — агрегированная функция полезности
всех N общин в представлении руководящего органа.
Точка зрения государственного органа. Основным
государственным органом, занимающимся в США атомными
электростанциями, является комиссия по атомному регулированию. Ее
проблемы Ьчень схожи с только что изложенными проблемами
руководящего органа штата. Основным различием может быть то, что на
данном уровне следует учитывать государственную
заинтересованность в балансе .платежей, отражаемом критерием Хд, и
уменьшение зависимости страны от импортируемого топлива, что
выражается 'критерием Х\0. Для (государственного органа может оказаться
полезным концептуально выразить свои предпочтения с помощью
функции полезности uF(xs, х9у Х\О, ис, иЕ, u"Li uP), где и"ь
характеризует степень озабоченности государственного органа
последствиями предполагаемого размещения атомных объектов для
местных общин.
7.6.3. Эмпирические оценки. Грос A974) рассматривает вопрос
о размещении атомных электростанций с несколько иной точки
зрения. Он исследовал целесообразность применения, пользуясь
его терминологией, анализа изменений окружающей среды по Па-
рето при обосновании решений о размещении атомных объектов.
Его не интересовала проблема выбора единственной наилучшей
альтернативы для определенной группы. Его целью было прежде
всего отыскание таких альтернатив, при реализации которых все
стороны могут улучшить свое положение по сравнению с
существующим. Далее он стремился выделить так называемое паретов-
ское множество альтернатив, т. е. альтернатив, обладающих тем
свойством, что дальнейшее улучшение положения для одних
заинтересованных сторон может быть осуществлено только за счет
других заинтересованных сторон. Паретовское множество
содержит в себе, как правило, много (обычно бесконечное число) аль-
403

тернатив, и проблема состоит в том, чТ/Обы выбрать наилучшую
альтернативу из этого множества. Эта/проблема далее
рассматривается нами в гл. ilO. Однако одно только определение
альтернатив, ведущих к общему выигрышу, уже является практическим и
важным достижением в деле разрешения противоречивых
интересов в анализируемой ситуации.
В качестве иллюстрации предлагаемого подхода Грос
рассматривает размещение атомных электростанций, состоящих из блоков
мощностью .по 1000 МВт, на побережье Новой Англии. Он
построил многомерные функции полезности четырех сторон,
заинтересованных в размещении атомной электростанции в Новой
Англии: энергетических компаний, организаций, занимающихся
охраной окружающей среды, руководящих органов и местных групп.
Каждая из этих функций полезности была построена .на базе
четырех критериев:
Y\ — мощность электростанций, расположенных на
побережье, измеряемая числом 1000 iMBt единиц.
Y2 — дополнительные денежные издержки, характеризуемые
стоимостью оборудования для охлаждения плюс стоимость
передачи электроэнергии, в процентах от минимальной стоимости
объекта.
у3 — опасность радиации, измеряемая произведением
количества населения, проживающего в радиусе 15 миль от атомной
электростанции, на число единиц развиваемой мощности.
У 4 — уровень температурного влияния продуктов выброса
атомных электростанций измеряется в градусах шкалы
Фаренгейта.
Эти критерии были выработаны в результате бесед с людьми,
которые ранее участвовали в решении проблем, возникающих при
размещении подобных объектов. Мы бы лично предпочли
критерии, которые больше соответствуют основным целям, но вместо
того, чтобы останавливаться на вопросе о том, подходит ли этот
набор критериев для исследуемой проблемы или нет, лучше
рассмотрим процедуру квантификации.
Для каждой из четырех заинтересованных групп был выбран
знающий наблюдатель, который имел подробные сведения о
предпочтениях большинства членов группы. Выбор наблюдателя был
сделан на основе рекомендаций самих членов группы. Далее
были построены функции .полезности наблюдателей и их
предпочтения были приняты в качестве предпочтений соответствующих
групп. Результаты были проверены с помощью опроса других
членов лрушш. Опросы наблюдателей .и членов группы показали, что
для каждой из четырех функций полезности выполняются
необходимые условия для независимости по полезности, поэтому можно
было применить теорему 6.1 и использовать либо
мультипликативную, либо аддитивную формы функции полезности.
Гроса также интересовали предпочтения для периода в 40 лет.
С каждым из наблюдателей он установил, что предпочтения отно-
404

сительБо лотерей, построенных на возможных исходах для
каждого года, не зависели по (полезности от предпочтений
относительно таких лотерей для друлих лет. Кроме того, он Обнаружил, что
предпочтения для каждой пары лет не зависят по предпочтению от
предпочтений в другие годы. Поэтому 40-мерная функция
полезности, характеризующая 40-летний период, по-прежнему имела
либо .мультипликативную, либо аддитивную форму. Учитывая
пожелание части наблюдателей проследить «распространение»
риска то годам, была выбрана 'мультипликативная форма*).
Работа Гроса и его эмпирические оценки явились важным
первым шагом на пути определения функций полезности, которые
могут принести непосредственную пользу при подготовке решений
о размещении ядерных электростанций. Эта задача трудна и
требует 'больших усилий при установлении предпочтений. Однако
если отказаться от этих проблем, то принципиально важные
вопросы возможного замещения и оценки предпочтительности по-
прежнему останутся в области неформального анализа.
7.7. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Опыт формальной квантификации предпочтений ,в
многокритериальных ситуациях 'постоянно растет. В дополнение к уже рас-
смотренным в этой гла-ве примерам кратко упомянем о некоторых
друлих проблемах принятия !решений, к которым применимы
концепции гл. 2—6.
7.7.1. Проблема безопасной посадки самолетов. Безопасность
посадки самолета зависит от многих факторов: 'ветер, видимость,,
потолок, наличие других самолетов и т. д. Интема и Клем (Intema
and Klem, 1965) предприняли попытку квантифицировать
факторы, влияющие на безопасность приземления в различных
ситуациях. Рассматриваемые ситуации отличались по таким
параметрам, как потолок, видимость, количество горючего, остающегося
к моменту посадки «в нормальных условиях. Для остальных
параметров были зафиксированы их стандартные значения.
В этой работе в качестве лиц, принимающих решения,
участвовали 20 пилотов ВВС, каждый из .которых имел большой опыт
посадки самолетов в различных ситуациях. Используя трехмерную
полилинейную функцию полезности (см. результат 2 § 6.2), были:
построены функции полезности по критериям «потолок»,
«видимость» и «оставшееся горючее». Диапазоны изменения значений
этих 'критериев были следующими. «Потолок» менялся в
пределах от 30 до 1500 м, «видимость» составляла 0,4—8 км, «остаешее-
ся горючее» — 50—950 л. Каждому лицу, принимающему
решение, было предложено в каждой паре из 40 пар последствий
выбрать более предпочтительное. Эти ответы сравнивались со
значениями функции полезности каждого лица, принимающего реше-
*) В гл. 9, где рассматриваются предпочтения, зависящие от времени,
затронуты некоторые из этих вопросов.
405

»ие. Интема и Клем пришли ос выводу, что результаты были
удовлетворительными.
Следует отметить, что справедливость предположений о
независимости по полезности (в соответствии с результатом 2 § 6.2)
экспериментально не была проверена. Исследования Интема и Клема
по квантификации предпочтений были выполнены за несколько
лет до разработки формальной теории. Несмотря на это, яам
представляется, что полученные функции полезности с приемлемой
точностью отражают предпочтения пилотов. Работы Интема и
Клема, являющиеся первыми работами в этой области, внесли
свой вклад в защиту мнения, что квантификация предпочтений в
многокритериальных ситуациях является правомерной и полезной.
7J.2. Проблема хранения запасов крови (применение
охлаждения). Следует ли вкладывать средства в дорогостоящее
оборудование для охлаждения крови с целью установки его в больнице
или в специальных системах, предназначенных для сохранения
созданных запасов крови? А каковы наиболее желательные
пропорции охлажденной и неохлажденной крови, хранимой в
системах, обладающих этим оборудованием? Эти !вопросы были
поставлены в диссертации Бодайли ^(Badily, 1974). Он также провел
предварительное изучение стратегий в области исследования
крови и использования охлаждения крови в стране.
Прежде всего, после длительных консультаций с работниками
систем хранения крови (такие системы иногда называют
«банками крови») (были определены меры эффективности применительно
к проблеме охлаждения нрови. Полученный в результате список
(см. табл. 7,11) показывает, насколько тщательно предполагалось
Таблица 7.11. Цели создания запаса крови в больнице
Цели
Меры эффективности
Удовлетворить все потребности
в крови
Обеспечить кровь высокого
качества
Минимизировать
заболеваемость
Минимизировать затраты
Минимизировать реакцию на
переливание
Минимизировать потери
Удовлетворить особые
потребности
Общее количество задержек или частота
задержек свыше определенного допустимого
уровня
Средний «возраст» (срок хранения) крови к
моменту переливания
Процентное отношение случаев гепатита
Стоимость единицы оборудования
Процентное отношение случаев реакции на
переливание
Потери из-за старения и «рабочие потери»
(например, в процессе переливания)
Доля случаев особого использования (особых
потребностей), когда применяется охлажденная
кровь, или эквивалентная единица измерения
провести квантификац'ию предпочтений и вероятностей., Для того
чтобы помочь опрашиваемым лицам лучше понять смысл тех или
иных значений различных критериев, 'была разработана и качест-
406

венно расширена иерархия целей (см. рис. 7.13). Анализируя
проблему, в каких пропорциях охлажденная кровь должна
храниться в определенном банке крови, а также следует ли
вкладывать средства для приобретения и установки оборудования для
охлаждения крови в этом банке крови, Бодайли использовал ряд
/Yavecm&o к/?о&и
затраты
потери
ценность
(средние/ срок
хранения)
НОС/776
удовлетворить
осо&ь/е
Хч
старения
процен
тное
отноше
ние
/
реакции
на л ер е-
/ru&awe
р
кислород
ильная
хирургия
I
Ре&тя
tfomepc/
5 процессе
б
/7роцен-
тное
отнои/е-
ние
гетгита
Z4
бедная
лейкоцитам
Рис. 7.13. Возможная конфигурация и агрегатирование критериев,
используемых при анализе проблемы охлаждения крови
подходов, чтобы получить сведения о распределении вероятностей
реализации значений критериев для каждой из рассматриваемых
альтернатив. Сюда входили: эмпирическая информация,
накопленная в процессе эксплуатации банков, использование простых
математических моделей работы подобных банков крови, оценки
экспертов, статистические данные, содержащиеся в журнальных
статьях и так далее.
Бодайли ставил своей целью произвести квантификацию
предпочтений по шести критериям Хи где 1=1, 2...6, (см. рис. 7.13)
для ряда лиц, чья деятельность была связана с созданием и
работой банков крови. Первый вывод был таков, что критерий Х6
можно иге рассматривать при решении вопроса о пропорциях крови,
которую следует охлаждать. Объяснение было таким: если банк
охладил какую-то «часть крови, то он, конечно, охладил ее в
достаточном количестве, чтобы удовлетворить особые потребности,
поэтому цель «удовлетворить особые потребности» будет достигнута
407

для всех альтернатив. Следовательно, данный критерий можно
исключить.
Далее критерии Хи X2j Х3 были объединены, так как каждая
составленная из них пара независима по предпочтению от своего
дополнения, а коэффициенты замещения были постоянными.
Потери и задержка были переведены в экономические показатели с
помощью простейшей аддитивной функции ценности
v{xu x2, x3)=
где d — эквивалентная стоимость единицы крови, доставленной
с задержкой, .и w — стоимость потерянной единицы. Введем новый
критерий У © виде X\+dX2 + wX$. Тогда искомой функцией
полезности будет функция и(у, *4, #5), зависящая от У, Х4 и Хъ.
В процессе квантификации было установлено, что диапазон
возможных изменений «среднего возраста» (т. е. срока хранения)
переливаемой крови играет, по мнению работников 'банков ,кров:и,
менее важную роль по сравнению с диапазонами изменения
критериев У и ХА (экономический фактор и чистота крови). Поэтому
критерий Х$ был исключен, и функция полезности и(у> х^) была
полностью построена на основании опросов одною работника
'банка крови и одного специалиста в области здравоохранения,
знакомого с анализом решений. В обоих случаях У и Х4 были взаимоне-
зависимы по полезности, поэтому согласно теореме 5.2 можно
было использовать полилинейную функцию полезности. Кроме того,
Бодайли установил, что при попарном сравнении двух простых
лотерей с идентичными маргинальными вероятностными
распределениями опрашиваемый работник банка крови считал такие
лотереи равноценными. Отсюда был сделан вывод (см. теорему 5.4),
что функция полезности опрашиваемого лица является
аддитивной. Подробности процесса построения функции полезности
приведены в работе Бодайли (Bodily, 1974).
На протяжении всего процесса квантификации предпочтений
были использованы многие концепции, изложенные в <гл. 2—6.
Прежде всего, была составлена предварительная иерархия целей
<см. гл. 2), затем одна из целей была исключена, поскольку она
не была достаточно важной, чтобы повлиять на принимаемые ре-
.шения. Затем, используя условия независимости предпочтений, а
также концепции гл. 3, была определена функция ценности по
трем критериям, что позволило произвести объединение этих
критериев и сократить размерность. Далее количественное
рассмотрение привело к исключению критерия Х$. Наконец, чтобы
получить функцию 'полезности в окончательном виде, были
использованы независимость по полезности и методы построения одномерных
функций полезности, описанные в гл. 4.
Этот пример является хорошей иллюстрацией того, как
эволюционирует 'процесс, который начинается с перечисления целей (в
данном случае причиной расширения иерархии явилось уточнение
подцелей, а не количественный анализ) и заканчивается кванти-
фи'кацией конечной функции ..полезности.
408

7.7.3. Удаление продуктов очищения сточных вод в районе
Бостона. Региональная комиссия Бостона (РКБ) несет
ответственность за работы по водоснабжению и канализации для 43 городов.
По данным 1971 г., 100 т продуктов очистки сточных вод
ежедневно выбрасывались в Бостонскую гавань после переработки на
заводах, контролируемых РКБ. Растущая общественная
озабоченность явилась причиной того, что отделение ;по контролю за
загрязнением вод Массачусетского управления .природных ресурсов
предложило РКБ провести широкое исследование проблемы
улучшения существующей практики удаления продуктов очистки. В
этом (исследовании было также заинтересовано Агентство по
защите окружающей среды США. В связи с этим РКБ
организовала комиссию под названием Группа по изучению загрязнения
Бостонской гавани (ГИЗБГ). В задачи этой комиссии входило
изучение проблемы и подготовка рекомендаций. По предложению*
Массачусетского отдела по вопросам охраны окружающей среды
и с согласия ГИЗБГ Денис Хорган, в то время студент-выпускник
Массачусетскосго института, включился в работу ГИЗБГ и провел
самостоятельный анализ различных вариантов удаления отходов.
В этом пункте дается обзор работы Хортана.
Возможными альтернативами удаления отходов было решена
считать либо выброс в море, либо размещение их на суше. Для
альтернативы «выброс отходов в море», в свою очередь, имелись
два варианта — либо отвозить отходы в район ;их затопления на
расстоянии 10 миль от берега, либо отодвинуть эту границу на
расстояние до 7 миль в открытое море. При размещении отходов
на земле можно либо просто собирать их на отведенной
территории и затем закапывать в землю, либо сначала сжигать, что
уменьшит объем отходов примерно на 70%, а затем размещать их
на отведенной территории. Кроме того, были возможны также
различные варианты этих четырех альтернат-ив, -например разные
способы сжигания, но подобные моменты было решено считать
второстепенными и они не учитывались в данном анализе.
В результате проведенного анализа Хорган выделил четыре
основные цели: минимизация затрат, минимизация загрязнения
водной среды, минимизация загрязнения земли и минимизация
загрязнения воздуха. Таким образом, снова появился в явном ©аде
классический вопрос о замещениях, — в данном случае между
различными видами загрязнений. В качестве меры эффективности
достижения цели «минимизация затрат» использовалась величина
приведенных (к настоящему моменту времени) чистых затрат.
Загрязнение воздуха измерялось в тоннах твердых частиц и газов,
появляющихся при сжигании отходов, загрязнение земли —
общей территорией, необходимой для размещения отходов. Для
характеристики качества воды Хорган использовал субъективный
показатель (см. § 2.3), принимавший значения от 0 до 10 и
основанный на стандартах качества воды, -принятых в штате.
Предполагая независимость вероятностей, 'везде, где это 'было
возможно, он построил вероятностные распределения по четырем,;
409

переменным для каждой из четырех основных альтернатив**. Что
касается предпочтений, то Хорган в результате опросов членов
ГИЗБГ установил, что каждый из четырех критериев был
независим по полезности от своего дополнения и что пары критериев не
были .независимы по предпочтению от своих дополнений. По этой
причине (см. теорему 6.3) использовалась полилинейная форма
функции полезности. Конкретно построенные функции полезности
л квантифицированные вероятности, равно как и анализ точности
•результатов, описаны в работе Хоргана A972).
7.7.4. Выбор профессии или места работы. Время от времени
перед каждым из нас встает очень серьезная проблема — выбор
места работы. Эта проблема ib одном важном аспекте отличается
от многих других примеров, приводимых в этой книге, — в своей
основе это глубоко личное решение. В большинстве ранее
рассмотренных случаев лицо, принимающее решение, было
представителем своей компании или руководящего органа. Здесь мы
кратко подведем итог двух формальных подходов к выбору места
работы, основанных на общих идеях, изложенных в предыдущих
главах. Описанные примеры взяты из работ Миллера A966, 1970) и
Тевелса A972).
Миллер разработал и проверил процедуру оценки
«достоинства» различных ситуаций, при описании которых используется
большое количество критериев. Одна из проблем, где эта
процедура применялась, .казалась положения студента-выпускника,
которого приглашают на работу в различные места сразу же после
окончания учебного заведения. После предварительного- анализа
поступившие предложения были сведены к четырем
альтернативам. Иерархия щелей и критерии, относящиеся к каждой из целей
самого нижнего уровня в том виде, ib каком они были определены
выпускником, помещены на рис. 7.14.
Для оценки альтернатив использовалась аддитивная функция
ценности*** с диапазоном значений от 0 до 1
t;(x)=2/Wi(*i), G.26)
где функция Vi служит для измерения «достоинства» значения Xi
критерия Xi. Весовые коэффициенты кг были найдены с
использованием условных оценок, описанных в § 3.7. Например, значения
первых из этих весов — 0,33; 0,17; 0,17 и 0,33 относились
соответственно к денежному вознаграждению (жалованию),
географическому положению работы, условиям поездок на работу (и по
работе) и характеру работы. Затем денежное вознаграждение,
например, в настоящий момент времени, т. е. при 'поступлении на рабо-
*> Для альтернативы, связанной с сжиганием отходов, загрязнения
воздуха и земли, например не были независимы в вероятностном смысле, так как
характеризующие их величины зависели от объема отходов. Такие
зависимости в. модели Хоргана учитывались полностью.
**) Миллер использует термин «функция достоинствам а не «функция
ценности».
410

l
1
b
I'
I
р. шее
Долео-
Р орочше
лоез&т
—пламал?
-Стелем ?
-Ялазость
-ffydt/щее-
_ //аетоя-
цет
ь
-Oft/vexae pywffo&cMfyt
-Разноойразае
¦**ъяягт*
Лро&олжительность
лоез&ок
- % ffpswmt Ялоез&тх
we лаез&#у #а fiafomy
vffaHtftaqw
к ро&ст&етмаАГ
~ через &лет
через деода
ДОЛйЛМ-
льеоть/
/ГосоРае
-страхового
Критерии
(су&ъел'та&#ггя оцеяна)
Лрямая оцеша уетошгг
@у&Ъенлк/&//ая oqewaj
//ртая oq&ma qemoomtr
(оу$ъенл7с/0//ая оцеяна)
Ма/@амалб#с?я
&лат&л&//оол7& ло&здоь
Влроце#/лызаео9
Зремялоездт
Прямая (непосредствен*
ная) оценка ценности
(субъективная оценка)
//аоеленае (численность)
Зремя ло&з$#?/
Долларь/
Доллары
Доллара
Доллары
Доллар**,
Рис. 7.14. Цели Миллера для проблемы выбора места будущей работы
ту, бралось с весом 0,7, а вознаграждение в будущем — с весом
0,3. Для будущего вознаграждения веса 0,65 и 0,35 'были отнесены
к ожидаемому жалованию соответственно через трехлетний и
пятилетний периоды. Тогда общее эффективное значение весового
коэффициента, относящееся к ожидаемому жалованию через три
года, равно @,33) • @,3) -@,65), т. е, 0,064. Эти эффективные
значения были затем скорректированы, чтобы .критерий
действительно измерял степень достижения цели. Наконец, для каждого из
15 критериев были установлены свои функции ценности и*.
411

Далее 'каждая из четырех рассмотренных альтернатив была
представлена в виде 15-мерного вектора. Ценность
(«достоинства») каждой альтернативы была найдена по формуле G.26).
Возможная неопределенность при этом не рассматривалась.
Отметим, что все критерии в анализировавшейся Миллерам
лроблеме являются в определенном смысле
критериями-заместителями. Можно допустить, что вместе взятые они способны в какой-
то степени характеризовать «качество» жизни лица,
'принимающего решение. Кроме того, для этих критериев можно определить (те
или иные) объективные меры.
Подход Тевелса был в этом отношении совсем иным. Он
предпринял попытку установить набор критериев, которые бы более
непосредственно указывали «а степень желательности различных
вариантов карьеры. Цели, сформулированные Тевелсом,
приведены в табл. 7.12, где также кратко раскрывается смысл каждой
дели.
Для каждой из вышеперечисленных целей, .кроме
«обеспеченности», был разработан субъективный показатель со шкалой
значений от 0 до 100, который использовался как индикатор степени
достижения соответствующей оцели*).
Оценки доктора Тевелса**) относились к следующим
вариантам работы: 1) частно практикующий зубной врач, 2) военный
зубной врач, 3) специалист по зубному протезированию, 4) спе-
диалист-аналигак по инвестициям, 5) консультант по вопросам
руководства. Оценка этих пяти профессий была дана с помощью
аддитивной функции полезности. Используя имеющиеся данные о
различных профессиях наряду с личным опытом, Тевелс смог для
каждой альтернативы (Квантифицировать распределение
вероятностей относительно воз1можной степени достижения каждой из
целей. Затем были вычислены ожидаемые полезности альтернатив,
а также проведен анализ чувствительности.
Доктор Тевелс говорит в своей работе: «Во всех случаях
планирования своей карьеры и принятия решения самым трудным
бывает суметь достаточно глубоко заглянуть в свои собственные
планы и достаточно много знать о каждом варианте, чтобы оценить
его». Среди выводов Тевелса есть и такой: «После проведенного
мною анализа предполагаемых мест работы я чувствую себя
более способным в настоящее время принять правильное решение о
дальнейшей карьере. Нет сомнения, что теперь я лучше понимаю
те факторы, которыми я руководствуюсь, чем было до моего
анализа». Нам известны многие случаи, когда приводился подобный
*) Работы Миллера и Тевелса иллюстрируют тенденцию, упомянутую в
гл. 2: по мере того как критерии становятся все более непосредственными
индикаторами основных целей (в противоположность критериям-заместителям),
все труднее находить характеризующие их объективные меры. Приходится
подбирать подходящие субъективные показатели.
**) Доктор Тевелс по специальности является врачом-дантистом. Во время
выполнения этого исследования он заканчивал подготовку к соисканию
степени магистра в области делового руководства, а также завершал свой срок
военной службы.
412

Таблица 7Л2. Цели по Тевелсу для проблемы выбора профессий
Удовлетворение от работы — Удовольствие, которое Вы получаете от
выбранного вида работы. В этот фактор включены также такие прямые выгоды от
работы, как возможность путешествовать, встречать интересных людей,
возможность самовыражения.
Обеспеченность-—Денежное вознаграждение, которое можно ожидать
получить за свою работу, а также накопление капитала, который может быть
заработан на инвестициях остающейся части доходов. Поскольку деньги в известном
смысле являются средством для получения товаров и других услуг, то полезность
этих продуктов может быть использована вместо «обеспеченности» при
определении ее ценности.
Уверенность — Чувство относительной уверенности в том, что Вы сможете
продолжать свою работу, если Вы захотите этого. В этот фактор включается
также риск для здоровья, связанный с особо опасной работой.
Семейные соображения — Этот фактор представляет возможные
последствия, которые может иметь та или иная карьера по отношению к другим членам
вашей семьи. Отношение жены, чувства матери, будущее ребенка, а также другие
соображения должны учитываться при выборе карьеры.
Независимость — Возможность быть хозяином самому себе и самому
планировать свои действия. Независимость также включает в себя кратковременную
возможность делать то, что наиболее важно для Вас в то или иное время.
Самооценка — Самоуважение, которое Вы получаете от своих достижений.
Самоуважение, которое Вы можете ожидать от вашей работы, в значительной
степени зависит от вашей способности успешно справляться с работой.
Престиж — Репутация, которую Вы приобретаете в какой-то группе как
результат знаний, характера, власти, обеспеченности и т. п. Профессиональное
уважение коллег может быть важным фактором для многих людей.
личный анализ. Некоторые работы по самоанализу приводили к
выводам, аналогичным выводам доктора Тевелса, другие же, как
и следовало ожидать, /были бесполезными и просто неудачными.
Нам также известен случай, когда один врач использовал этот
метод личной самооценки для лечения душевнобольного, и
результат был на удивление успешным.
7.7.5. Перевозка опасных грузов. В последнее десятилетие в
США возросло количество и расширился .ассортимент опасных
грузов, которые необходимо транспортировать. Перевозка этих
грузов производится всеми (видами транспорта: по железным и
автомобильным дорогам, по воде, -по трубопроводам и т. д.
Рядовые жители, работники промышленности, государственные органы
проявляют все большую озабоченность в связи с риском, которым
сопровождаются перевозки опасных грузов. Можно выделить два
аспекта риска:
1. Вероятность того, что произойдут те ,ил.и иные 'несчастные
случаи.
2. Урон, наносимый этими несчастными случаями, если они
происходят.
Зачастую мы допускаем, что «уменьшение риска» может
всегда быть достигнуто через уменьшение вероятности несчастного
случая*). Однако не следует забывать о возможных последствиях,
*) Отметим, что выражения «обезопасить себя от неудачи» и «обезопасить
4 себя в случае неудачи» предполагают принципиально различные методы
исследования.
413

когда мы -пытаемся уменьшить риск. Иными словами, риск в
случае, когда «имеется один шанс на миллион, что утечка таза
приведет в следующем году к взрыву средней силы в «населенном
районе», интуитивно оценивается как гораздо больший, чем риск
в случае, когда «имеется четыре шанса ,на миллион, что утечка
газа приведет в следующем году к взрыву большой силы в
пустыне». В ряде работ Брукса и Кейлелкара была предпринята
попытка измерить относительную нежелательность последствий
различных несчастных случаев, которые могут -произойти при
транспортировке опасных грузов. Кроме того, эти авторы изучили, какие
виды транспорта оказываются более безопасными при перевозке
тех илд иных грузов.
Наибольший интерес для нас представляет тот аспект работы
Брукса «и Кейлелкара, аде они предпринимают попытку построить
трехмерную функцию полезности на основе таких критериев, как.
«человеческие жертвы», «ущерб, наносимый имуществу» и «ущерб,,
наносимый окружающей среде». Первый лз критериев «имел
диапазон 1В03М0ЖНЫХ значений от 0 до 1200, второй — отО до 10.млн. дол.,,
третий критерий измерялся субъективным показателем с помощью
дискретной шкалы, состоявшей из 13 пунктов (градаций) (см.
табл. 7.13).
Таблица 7ЛЗ. Воздействие утечек опасных химических веществ
на окружающую среду
1. Никаких последствий.
2. Остаточное поверхностное накопление безвредных веществ, таких, как сахар
или зерно.
3. Загрязнение, нежелательное с эстетической точки зрения (запахи, испарения).
4. Остаточное поверхностное накопление веществ, которые могут быть удалены,
например нефть.
5. Устойчивое повреждение листьев без их опадания (появление пятен,
изменение окраски), но листва остается съедобной для диких животных.
6. Устойчивое повреждение листьев (опадание листьев), но новые листья выра*
стают на следующий год.
7. Листва остается ядовитой для животных (косвенная причина гибели некото*
рых животных в результате ее поедания).
8. Животные становятся более легкой добычей хищников из-за прямого действия
химических веществ и возникающего, как следствие, физического
ослабления.
9. Гибель большинства мелких животных.
10. Краткосрочное (на один сезон) опадание листьев и миграция тех животных,
которые питаются растительностью. Возможно восстановление леса.
11. Гибель листвы и миграция животных.
12. Гибель листвы и животных.
13. Полное опустошение («стерилизация») всей местности и невозможность бу*
дущего восстановления растительности и возвращения животных.
Примечание. Эта шкала подходит как для земных, так и водных условий.
Квантификация предпочтений производилась на основе опроса
опытного работника в области безопасности перевозок. Указывая
свод предпочтения он старался выразить точку зрения всего
общества. Было установлено, что каждый отдельный критерий не
зависит по полезности от двух остальных. Таким образом, можно
414

было использовать теорему 6.3. В связи с этим были построены
три одномерные функции полезности и найдены значения
коэффициентов, необходимых для определения искомой трехмерной
функции полезности. Эти три одномерные функции полезности показа-
>кы на рис. 7.15. Более подробно использовавшиеся процедуры
квантификации описаны в работе Кейлелкара и др. A974).
h
\~0,8
0 2 4 G
Урон, //а//ееешб/сг
8 70
1 1 ! 1 1 1 I 1 1 1
4 6 д 70 TZ
среду (ш/7
Рис. 7.15. Функции полезности,
построенные в процессе анализа
проблемы транспортировки опасных
грузов
Проведенный анализ глубоко затрагивает этические вопросы,
и тем, 'кто занимается .подобными проблемами, следует
критически и 'конструктивно изучить его. Кейлелкар ,по меньшей мере
формирует структуру полезности, которую каждый может
подвергнуть разбору, а это уже шаг в'перед. При решении столь сложных
вопросов относительно возможных замещений одна -пустая
риторика .не помогает. Мы считаем, что в случаях, подобных
изученному Кейлелкаром, структуры .ценности и полезности, которые
применяются как в неявном, так и явном виде, должны волновать
всех и открыто обсуждаться.
7.7.6. Лечение «заячьей губы» и «волчьей пасти» *\ «Волчья
пасть» и «заячья губа» стоят на втором месте среди самых
распространенных врожденных болезней в США. Лечение этих
аномалий требует участия многих специалистов, начиная с рождения
ребенка и до его возмужания, и состоит не только в хирургическом
исправлении дефекта. Необходимо также обратить особое
внимание на, психологическое, социальное и умственное развитие
ребенка. Трудно до конца различить последствия лечения этих дефек-
*> Предельно краткая характеристика этих врожденных заболеваний
такова. «Заячья губа» — из-за несрастания верхней губы образуется щель,
расположенная обычно примерно под одной из ноздрей. «Волчья пасть» — трещина на
нёбе, появляющаяся при рождении.
415

тов и последствия самих дефектов. И те, и другие важны и должны
рассматриваться при выборе способа лечения. Здесь встает
важнейший вопрос: каков лучший способ лечения в существующей
ситуации? При ответе на этот вопрос ценностные суждения имеют
первостепенную важность, но поскольку речь не идет о жизни или
смерти ребенка, то структуры ценностей различных
заинтересованных сторон — родителей и специалистов — расходятся больше, чем
в случае, когда стоит вопрос о сохранении жизни. Наилучшее
лечение определяется многими факторами, такими, как черты лица
после лечения, стоимость, влияние .на слух и речь и т. д. Работа
Кршнера A974) представляет «собой очень интересную попытку
обратиться х принципиальным моментам оценки «ценности»,
связанным с лечением «заячьей губы» и «волчьей )пасти». Здесь мы
кратко опишем эту работу. 'Говоря об этих заболеваниях, Кришер
указывает: «Редко бывает так, что эти 'дефекты »в такой же
степени «нуждаются в лечении, «в какой они беспокоят ребенка и
семью». -Основной целью лечения является исправление
физических недостатков «и восстановление «нормальной формы губы и
носа. При этом обычной бывает неуверенность в хирургическом
успехе и ibo всех случаях имеется вероятность того, что останутся
шрамы. У больных «волчьей (пастью» часто иа'блюдаются дефекты
речи, что может быть отнесено 'как и к физическим, так и к
психологическим факторам. Другим осложнением дефекта является
возможность (потери слуха. Таким образом, очевидно, что двумя
другими важными целями лечения будут «улучшить речь» и
«улучшить слух».
Кришер провел квалификацию предпочтений (более 100
человек, (включая хирургов, специалистов по зубному лротедарсшанию,
логопедов, (падиатров, а также родителей детей с указанными
дефектами— всех, кто активно вовлечен в лечение этих дефектов.
Сформулированные Кришером четыре «цели и связанные с ними
критерии приведены в табл. 7.14. В табл. 7.14 также указаны
диапазоны значений этих «критериев. Важным моментом при кван-
Таблица 7.14. Цели по Кришеру для проблемы лечения
сзаячьей губы» и «волчьей пасти»
Цель
Критерий
Диапазон
Придать нормальный вид носу
и губе
Улучшить речь
Улучшить слух
Минимизировать стоимость
лечения
По рисунку
Процент разборчивых слов
Требуется ли слуховой аппарат
Доллары
См. текст
35—90
Да или нет
0—10 000
тификации предпочтений был используемый критерий для оценки
физических дефектов. На эскизы детских лиц Кришер помещал
изображения овделнных частей области «носа и !рта детей. Полу-
416

чающиеся »в результате рисунки или фотографии .показывали
различные степени физических отклонений (после лечения дефектов*
Испытуемых просили дать их субъективную оценку предпочтений
этих рисунков. Отметим также, что критерий «слух» принимает
только два значения. Для критерия «речь» использовалась
разборчивость в .процентах слов, точно (понятых группой слушателей
с нормальным слухом. 90% характеризуют (нормальную речь^
75% —-небольшие затруднения в понимании, ццри 50% требуется
часто повторять слова, /при 35% речь 'непонятна.
После того как эти цели и критерии 'были определены, Кри-
шер, работавший совместно с врачами, занимающимися этими
дефектами, разработал шадробную анкету (вапросник) для кван-
тификации 'предпочтений по четырем (критериям. Эта анкета была
разослана миногам врачам в различные учреждения США,
занимающиеся лечением этих дефектов, а через учреждения —
некоторым родителям больных детей. Часть вопросов была связана с
независимостью по полезности и условными функциями
полезности для возможных значений четырех критериев, другая часть
вопросов была связана с независимостью по предпочтению и
замещениями «между .критериями. Из первых 125 ответов примерно 75%<
свидетельствовали о (применимости теоремы 6.1 относительно
формализации предпочтений с (помощью мультипликативной либо ад~
дативной функции полезности. Подробный отчет о результатах
квантификац'ии, образец анкеты и интересное обсуждение
индивидуальных различий в предпочтениях можно найти в работе
Кришера A974).
7.7.7. Разработка показателей качества воды. Не так давно
появившаяся работа О'Коннора A973) иллюстрирует некоторые
важные .положения, связанные с определением *и использованием
специальных показателей, затрагивающих интересы всего общества..
Он использовал видоизмененную процедуру Делоки A969), чтобьк
объединить суждения нескольких экспертов для создания двух,
различных показателей качества оводы. Первый (предназначалcm
для определения 'качества ©оды общественного водопровода,
второй— для установления (Качества воды с точки зрения ее
пригодности для жизни рыб и других животных и растений. Были
привлечены восемь экспертов *>, чтобы 1) установить те критерии***
которые следует использовать как базовые для этих показателей;
и 2) построить функцию ценности на основе значений критериев;,
которая указывала бы на качество воды. Поскольку эти показа?-
тели представляют собой функции ценности, то естественно
принять, что их более высокие значения указывают на более высокое-
качество воды. Однако использование ожидаемых значений этих:
показателей ,не всегда (правомерно, если принимаемые решения*
*> О'Коннор так описывает этих экспертов: «Из 20 человек, к которым мьк
обратились, было отобрано 8. Двое из них были высокопоставленными
работниками Агентства по защите окружающей среды, двое возглавляли отделы
инженерных учреждений штата, четверо были профессорами университетов,
специализировавшимися в областях, связанных с состоянием окружающей среды»*.
14—67 417

характеризуются значительной неопределенностью в отношении
их возможных (последствий.
O'KoiHHOp разослал анкеты с тщательно шодготовленными во-
прооами, а затем лично (посетил каждого эксперта с тем, чтобы
.обсудить те критерии, которые следует в явном .виде включить
.в обобщенный показатель качества воды, а также форму такой
обобщающей (агрегирующей) функции. Для показателей (качества
зодопроводной воды и пригодности ©оды для -существования в ней
водной флоры и фауны была выбрана аддитивная 'модель. О'Кон-
нор подчеркивает, что аддитивная модель неприменима, нашример,
в тех случаях, когда -в воду .поступают некоторые токсичные
вещества в 'Недопустимом «количестве или ковда значения ряда
других критериев (например, уровень кислотности, рН) достигают
предельного уровня. Таким образом, модели О'Коннора будут
справедливы 'при условии, что концентрации токсических
веществ не превышают рекомендованных уровней, а значения
других критериев находятся >в оговоренных пределах. Тем не
менее IB обьганых «нормальных» ситуациях эти ограничивающие
условия 'большей частью 'выполняются. Полученный <в итоге набор
базовых (критериев, использовавшихся при определении
показателей (качества водопроводной воды ;и шригодности воды для
жизни рыб и существования в ней водной флоры !и фауны, приводятся
в табл. 7.15. Подробное описание использованных .процедур и
построенных функций ценности имеется \в работе О'Коннора
A973).
Таблица 7.15. Базовые критерии, использовавшиеся О'Коннором
при построении показателей качества воды
Общественный
водопровод
Отбросы
Фенолы
Взвешенные
частицы
Кислотность
Фтор
Жесткость
Рыбы, водная
флора и фауна
Кислород
Температура
Кислотность
Фенолы
Мутность
Аммиак
Общественный
водопровод
Нитраты
Хлориды
Щелочность
Мутность
Кислород
Цвет
Сульфаты
Рыбы, водная
флора и фауна
Взвешенные
частицы
Нитраты
Фосфаты
7.7.8. Исследования в области международной политики.
Каковы для США 'Преимущества и недостатки Ближневосточного
соглашения, которого США добиваются, чтобы обеспечить
поступление ближневосточной нефти и (дальнейший рост ее (производства
для удовлетворения мировых потребностей? Проведенный в
качестве лробного эксперимента фирмой Деаиженс энд дезайнс
418

инкарпорейтид *> политический анализ, «который <мы здесь кратко
отсудим, был выполнен с целью изучения того, как
многокритериальный анализ решений мог бы (помочь понять внутреннюю
структуру такой сложной проблемы и упростить представление вы-
теряющих из анализа выводов.
В (первой фазе анализа была выработана гибкая модель при^
нятия решения, -которая 'первоначально использовалась для
исследования трех резко отличных друг от .друга стратегий
(переговоров о доз мохон ом Ближневосточном соглашении. Для
сравнения как эталон был взят «основной вариант», означающий
«никаких изменений ни сейчас, ни позже в ближневосточной аюлитике
США». Максимальный вариант предусматривал -соглашение,
которое максимально отвечало бы желаниям определенных
ближневосточных стран — -экспортеров нефти. Умеренный вариант
представлял собой промежуточную стратегию, овязаиную с
умеренными изменениями в политике США, которые были бы желательны
для стран — экспортеров нефти .на Ближнем Востоке, но не были
бы {политически трудны для США.
Модель принятия решения оценивала влияние различных
положений в переговорах на поставки (ближневосточной нефти и на
связанные с этим (политические и экономические 1затраты и выгоды
для США. Критерии отражали баланс платежей, то, как
Западная Европа и Япония воспримут Ближневосточное соглашение*
влияние его на международные отношения США, состояние об-*
щественного .мнения в США и, наконец, последствия, которые это
соглашение вызовет .для других стран — экспортеров нефти.
Для того чтобы 'получить оценки вероятностей и ивровеств
квалификацию предпочтений на различных уровнях сложнюств
и комплексности, использовались различные оодаодели. Анализ
с учетом неопределенности был основан на -суждениях самих
руководителей в области политики и крупных экспертов.
Использовавшиеся предпочтения были /получены в результате опросов ана**
литерков, занимающихся вопросами внешней политики и
/подготовкой соответствующих рекомендаций. На первой фазе анализа
применялась аддитивная функция полезности. На второй
использовалась модель, разработанная для изучения более широкого
набора реалистических вариантов действий, а также для
непрерывной коррекции входных данных в свете изменяющихся обстоя?»
тельств или представлений отдельных лиц, ответственных за лръ*
нятие решений. Более подробные сведения содержатся в работе
Брауна и Петероона A975).
7.7.9. Борьба с вредителями леса. Леса Ныо-Брунсвика в Кат-»-
наде в «последнее время часто поражались вредителями, известны-
ми под названием (еловый оочкоед-листовертка. Изучение самих
деревьев показало, что леса 'периодически с ярко выраженной
*) Decisions and Designs, Inc. Данная фирма является независимой научно-
исследовательской организацией, ведущей также прикладные разработки.
Располагается в Маклине, штат Вирджиния.
14* 4*9

регулярностью опустошались на протяжении более 500 лет. Когда
в 1940-ж годах началось крупное нашествие листовертки, приме-
пяллсь ДДТ и другие инсектициды, чтобы сократить ущерб для
лесозаготовительной промышленности, играющей (важную роль в
-жизюи Канады. С тех inop опрыскивание использовалось лостоян-
шо. Однако в последующие 25 лет затраты на опрыскивание
возросли, а лесозаготовительная промышленность стала для всей
экономики еще более важной. Кроме того, значительно выросли
знания ,и озабоченность в связи с применением инсектицидов.
Более того, опрыскивание «становилось все менее эффективным.
Правительство Канады постоянно следит за «состоянием дел в этой
области и изучает возможные варианты деятельности в этом
направлении. Каким образом должны 'проводиться вырубка и
опрыскивание лесов, «чтобы (Предотвратить еще большее
распространение листовертки, поддерживать достигнутый уровень развития
лесозаготовительной промышленности и сохранить леса для овдыха
людей?
Частью попытки ответить на эти вопросы стала подробная
математическая модель лесов <Нью-Брунсви<ка, составленная в
Институте экологии ресурсов университета Британской Колумбии и
Международном институте системного анализа A974)*).
Модель предназначена для исследования -последствий различных
альтернатив с точки зршия ряда особенно важных показателей,
таких, как качество леса, выражаемое в процентном отношении
деревьев иа определенных стадиях роста и здоровья, пребывание
листовертки в различных стадиях ее жизненного цикла, прибыли
лесозаготовительной компании и занятость, создаваемая
лесозаготовительной промышленностью. Вся эта информация предна-
энач»ена для оказания помощи тем, кто вырабатывает •направления
деятельности, участвует в принятии ответственных решений.
Белл A974) 'подробно описывает шаги, «предпринятые для
выработки подходящих критериев на основе нескольких выходных
показателей, и построение функции ценности (отражавшей
предпочтения одного из участников проекта, выполнявшегося с целью
моделирования состояния леса и экономики). Критерии были
следующие: «прибыль («вычисляемая исходя из стоимости
заготовленного леса в долларах, за вычетом затрат, включающих в себя
стоимость опрыскивания), безработица (измеряемая в 'Процентах
неиспользуемых 'мощностей фабрик и т. п.) и ценность леса как
места отдыха (определяемая с (помощью (показателя,
принимающего только два значения, указывающие соответственно на
возможность «хорошего» или «плохого» отдыха в том или ином
районе).
Кроме того, Белл A975b) построил функцию полезности для
этих четырех критериев, учитывающую также временной фактор.
*> Модели разрабатывались под руководством профессора Холлинга
группой исследователей, состоящей из Б. Кларка, Р. Хилборна, Д. Джонса, 3. Ра-
шида, К. Вальтера и Р. Йорга.
426

Было установлено, что предпочтения лица, .принимающего
решения, относительно 'временного потока значений показателя, харак-
теризующего качество отдыха, :и временных потоков /прибыли и
безработицы были взаимонезависимы по полезности.
Следовательно, н.а основании теоремы 5.2 можно «было провести раздельное
построение функций полезности для компонент «отдых» и
«прибыль— безработица» и затем найти общую функцию полезности.
При построении функции полезности «.отдыха», охватывающей
несколько периодов, была подтверждена справедливость
предположений о независимости по полезности, что позволило
использовать мультипликативную функцию полезности согласно
теореме 6.1. Поэтому функция полезности «отдыха» могла быть
найдена с помощью соответствующим образом
шкалированных маргинальных функций полезности районов «хорошего» и
«плохого» для отдыха леса, дл(я одного периода. Интересно
отметить, что простое отбрасывание ©ременного потока значений
показателей «отдыха» (или эквивалентов этих показателей) при
квантификации предпочтений вело к неадекватному отражению
суждений опрашиваемого лица.
Построение функции полезности для потоков прибыли и
безработицы было еще более сложным. Необходимо (было найти
взаимозависимость предпочтений в соседние, периоды времени,
поскольку уровви в период ?+1 были связаны с доститнуты-мл
уровнями в период i. Опрашиваемое лицо оказалось склонным к
риску в неопределенных ситуациях, «когда уровни занятости были
ниже, чем в предыдущих «ли последующих годах, в остальных
случаях оно не было склонно к риску. Учет этих О:сложняющих
обстоятельств производился путем введения условной
независимости по полезности (см. § 6.10). В гл. 9, вторая главным
образом основывается на работе Ричарда Мейера, дается общее
изложение исходных толожений, использовавшихся Белл ом A976а)
при учете зависимости временных потоков по полезности.
Работа над проблемой борьбы с вредителями леса
продолжается, в настоящее время функции полезности, построенные Бел-
лом, применяются совместно с .имитационными моделями для
оценки различных стратегий этой борьбы.
7.7.10. Другие применения. Как видно из описанных примеров,
многокритериальный анализ ценности или полезности применялся
для весьма .широкого круга (разнообразных ситуаций. Но наш
коллективный опыт все -еще недостаточно велик, чтобы привести
теорию и практику такого анализа ;к какому-либо
приблизительному стандарту. Практически каждый новый случай анализа
вносит новое не только в -методы квантификации (предпочтений «в
многокритериальных ситуациях, но зачастую и в исходные
теоретические положения. Из-за ограниченного объема этой книги мы,
к (сожалению, не смогли рассмотреть многие интересные случаи
анализа, когда затрагивались сами основы развиваемой нами
теории.
421

К таким работам можно отнести исследование планов
развития городов, выполненное Бауэром и Вагенером A975), оценка
степени .привлекательности 1Д,ля туристов и анализ проектов
развития туризма для министерства туризма Турции, проведенное
Гирингом, Суортом и Варом A973, 1974), исследование отношения
к риску у судовладельцев Скандинавии, выполненное Лоранжем
и Норманом A973), разработку (показателя силы боли,
проведенную Густафсоном и Холлувеем A974), работу Бойда, Ховарда,
Мейтсона и Норта A971) по вопросу прогнозирования
зарождений ураганов, разработку Дайером, Фаррелом и Брэдли A973)
исходной информации для директоров (начальных школ при
планировании учебных программ и анализ Коллинза A974)
возможных вариантов уничтожения твердых отходов в Югонвосточном
Мичигане. В работе Хьюбера A974а) дается обзор ряда
исследований, в которых использовались многомерные модели
полезности. Кроме того, укажем на две общего характера статьи Броуна
A970) и Лонгботтама и Уэйда A973), где рассматривается
применение анализа решений в промышленности.
ГЛАВА 8
АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ АЭРОПОРТА
ДЛЯ МЕХИКО*>
В этой главе рассматривается применение анализа решений
для крупномасштабной проблемы, затрагивающей интересы
большого числа людей, — выбор стратегии развития аэропорта для
столицы Мексики. При обсуждении выполненного исследования
мы преследуем две цели. Вонпарвых, методы, описанные в
предыдущих главах этой книги, применяются здесь для решения очень
важной «типичной» проблемы. Типичность таких единственных в
своем роде стратегических решений заключается во всегда
присущих им многих нетипичных аспектах. Во-вторых, хотя наш
анализ сконцентрирован вокруг вопросов нахождения и
использования количественных оценок применительно к рассматриваемой
многокритериальной .проблеме, о>н также включает в себя
структуризацию проблемы, различные аспекты моделирования
возможных последствий рассматриваемых альтернатив, т. е. наше
обсуждение касается вопросов выполнения анализа © целом.
В эту работу внесли свой 'вклад многие. Работа была
выполнена летам 1971 г. для мексиканского правительства и
проводилась под эгидой министерства общественных работ (МОР).
Руководителями ее являлись Ф. Дж. Джоффрад — директор центра
математических и статистических исследований и Ф. Довали —
*> В этой главе подробно прослеживается проведенное исследование, а
а иногда почти дословно приводятся разделы из работ де Нефвиля и Кия»
A972) и Кшш A973а).
422

глава управления аэропортов. Консультантами МОР были Ричард
де Нефвиль из Массачусетского технологического института и
авторы этой книги. Общее время, затраченное консультантами
на выполнение данного ^проекта, — 50 человеко-дней.
8.1. ПРОБЛЕМА
Быстрый рост воздушных перевозок, а также растущие
трудности, -связанные <с обеспечением нормальных условий работы
существующего аэропорта, привели ««необходимости рассмотрения
правительством Мексики весьма актуальной проблемы: каким
образом 'следует развивать аэропорт Мехико, чтобы обеспечить
качественное обслуживание этого района до 2000 года? Это
основная (проблема, над которой работала наша исследовательская
группа.
Однако первоначально 'поставленная перед нами задача была
иной. Два -ранее проведенные исследования по «проблеме развития
аэропорта Мехико рекомендовали -совершенно различные способы
решения этой проблемы. Согласно первому находящийся в
настоящее время в (пяти милях от центра (города аэропорт должен быть
значительно расширен *\ а согласно второму — предлагалось
построить новый аэропорт в 25 милях севернее города **>. Нам было
предложено оценить предложенные варианты развития (ib овете
имеющихся расхождений во .мнениях) и разработать
рекомендации относительно наиболее эффективной «программы развития
аэропорта.
В процессе -проведения этого более ограниченного
исследования мы рассмотрели следующие вопросы:
1) месторасположение аэропорта (или аэропортов);
2) эксплуатационные особенности и (проводимая политика,
определяющие вместе, какие виды обслуживания должны
обеспечиваться и где должны располагаться 'соответствующие службы;
3) последовательность во времени развития отдельных
объектов двух аэропортов.
Природные особенности той местности, где расположена
столица Мексики, обусловили тот 'факт, что те два уже упомянутые
района расположения были единственными подходящими местами
для большого международного аэропорта. Вопросы конфигурации
территории аэропорта, например с точки арения расположения
взлетно-посадочных 'полос, для этой проблемы не имели очень
большою значения.
Однако были (возможны 'самые разнообразные способы
эксплуатации аэропортов (с существенно различным качеством
обслуживания). Особенно важно было решить, обслуживание каких
самолетов (международных или -внутренних авиалиний, самолетов
*) См. работу Ipesa Consultores and Secretaria de Communicaciones у
Transposes A970).
**> См. работы Secretaria de Obras Publicas A962) или Wilsey у Ham de
Mexico A967).
423

военного или общего назначения) будет «производиться в каждом
из лих.
Вопрос .сроков строительства тех или иных объектов был очень
важным, так как задержка <в осуществлении одних мероприятий
могла существенно повлиять <на осуществление других. Например,
земельные территории, имеющиеся \в настоящее время, возможно,
нельзя будет использовать в 'будущем. С другой стороны,
преждевременные действия могут значительно увеличить общие затраты
для стра1ны. Вопросы 1временных .сроков и экапшуатадионной
политики были важнейшими для этой первоначально поставленной
проблемы.
8.2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Существующий аэропорт находится в пяти милях восточнее
центра города, т. е. практически в черте города. С востока
естественной границей территории аэропорта является «кромка озера
Текскоко. Второе возможное место для расположения аэропорта
находится в 25 милях севернее Мехико в слаборазвитом
сельскохозяйственном районе, неподалеку от деревни Зумшанго. Место-
рашоложевие этих пунктов относительно друг друга показано
«а .рис. 8.1.
?щ?Щ$ШШ^&ШШ:0Я
Рис. 8.1. Особенности
географического
расположения Мехико
424

8.2.1- Географическое положение Мехико. Мехико расположен
на -вьисоте 2250 <м в долине, окруженной горами, достигающими
высоты 5200 iM над уровнем моря. Только к северо-востоку овысота
гор уменьшается примерно до 3000 м. Большинство самолетов,
-прилетающих в Мехико или вылетающих из него, летят над этими
более «ншшми порами .на северо-востоке, лишь небольшая их
часть иапользует довольно узкий коридор между 'высокими горами
я а юге.
Маневренность самолетов на большой высоте (и особенно в
жарком климате) низка. Это снижает 'безопасность полетов <в
горных .районах, поэтому возникает необходимость в установлении
возле Мехико более широких летных коридоров. Однако
воздушное пространство над Мехико, пригодное для полетов, очень
ограничено. И это 'гласная причина, одерживающая рост пропускной
способности существующего аэроторта .в Теюскоко. Ограничение
пропускной способности «представляется особенно серьезным
фактором, поскольку аэропорт Мехико обслуживает свыше 2 млн.
/пассажиров в год и является одним из крупнейших аэропортов
Американского континента.
Аэропарт Текскюко был построен в 30-е гады. В ту пору он
находился за пределами города, «о 'Население столицы росло со
скоростью 5% в год и с 5 млн. ib 1960 г. возросло до 8 млн.
<в 1970 ir. За это время аэропорт Текскокю окружили с трех сторон
жилые и деловые районы. Это повлекло за собой проблемы шума
и безопасности.
Если бы то время посадки или взлета самолета по
-направлению к городу произошла крупная катастрофа, она /повлекла бы
за собой 'сотни жертв. Район аэропорта -плотно населен, например
всего ;в 150 м от конца взлетно-посадочной полосы по курсу полета
расположена большая школа. Поскольку траектория захода на
посашку проходит над центральными районами города, многие
тысячи жителей страдают от сильного шума. И ib ближайшие годы
уровень шума снижаться не будет, так как для разработки и
установки на самолетах малошумясщих («тихих») двигателей
понадобится не менее 15 лет. Кроме того, значительное расширение
существующего аэропорта потребовало бы переселения почти
200 000 человек. Обстоятельством, говорящим в пользу
сохранения и развития существующего аэропорта, «является то, что здесь
уже имеется большинство необходимых сооружений. Однако они
не удовлетворяют стандартам, существующим ib крупных аэротюр-
тах других развитых стран.
То, что Мехико расположен на дне бывшего озера, делает
строительство «в существующем аэропорту Текскако особенно
дорогим. Тяжелые конструкции, такие, как взлетно-посадочные
полосы, оседают не только быстро, но и с различной скоростью
в разных местах в зависимости от нагрузок на них. Каждая из
двух далетно-(посадочных полос Текскоко (нуждается в
восстановлении уровня и покрытия каждые два года. Такие ремонтные
работы на четыре месяца закрыли половину аэропорта в 1971 г.
425

Аэропорт в Зумпаиго будет создаваться на более возвышенном
и стабильном месте, что должно позволить избежать подобных
трудностей.
Доступ в аэропорт для надземного транспорта представляется
одинаково приемлемым для обоих пунктов. Старый аэропорт
находится вблизи окружного шоссе, которое связывает предместья
и обеспечивает прохождение необходимых транспортных потоков.
Однако он «не особенно хорошо связал с центром города, так «как
путь туда лежит через тесные городские улицы. Расположение
аэропорта в Зумтшнго имеет очевидный недостаток — аэропорт
будет дальше от города, ио зато его можно легко .связать с
туристскими и деловыми районами ошростньш шоссе север — юг.
8.2.2. Заинтересованные организации. Почти 40 лет
правительство Мексики формировалось одной м той же партией.
Политическая .власть концентрируется в руках федерального
правительства, а важные решения принимает сам президент. Любое
решение, касающееся столичного аэропорта в период с 1970 гоо 1976 гг.,
должно (было быть утверждено президентом Луисом Эчеверрия.
Рассмотрение /возможных вариантов /проводили три основных
государственных органа: 1) (министерство общественных работ
(МОР), 2) министерство связи и транспорта (МСТ), 3) аппарат
президента — орган, функции которого сходны с функциями
Отдела управления и .бюджета в США.
8.2.3. Предыдущие исследования. На протяжении последних
нескольких лет по заказам как МОР, так и МСТ был выполнен ряд
широких исследований проблемы аэропорта, имевших своей целью
обоснование различных вариантов решения этой проблемы.
Исследование, проводившееся под эгидой MOP [SOP A967), Wilsey у
Ham de Mexico A967)] и выполненное Управлением аэропортов
этого министерства в 1965—1967 гг., в итоге рекомендовало
строительство нового аэропорта в Зумпанго и перевод всех коммерческих
полетов в новый аэропорт. Предложенный тогда план работ
принят не был. Исследование, проделанное под руководством МСТ
в 1970 г. [Ipesa Consultores and SCT A970)], вылилось в план
расширения старого аэропорта за счет строительства новой взлетно-
посадочной полосы и аэровокзала. Интересно отметить, что
авторы этого исследования исходили из того, что самолеты будут
взлетать по направлению от города, т. е. на восток, и заходить на
посадку с востока по направлению к городу, т. е. против движения
на соседних полосах. Хотя это предложение «решает» проблему
шума, оно чревато очень серьезными последствиями с точки зрения
вопросов безопасности перемещения самолетов при любом сколько-
нибудь значительном уровне движения и вряд ли может быть
приемлемым для ожидаемых объемов перевозок. Авторы предполагали
также, что «тихие» двигатели совершенно решат «проблемы шума
вне границ аэропорта к 1990 т. Доклад МСТ был подготовлен
и представлен ш последние месяцы правления администрации
1964—1970 гг., б 1970 г. он принят не был. Однако правительство
Мексики высказалось за необходимость решения этой проблемы.
426

В 1971 г. новая администрация приняла решение о повторном
исследовании проблемы. Президент Эчеверрия заявил в своей речи
1 сентября 1971 г.: «В настоящее время изучается вопрос о
'Строительстве нового международного аэропорта ib столице». Изучение,
о котором говорил президент, и есть та работа, которая будет
здесь (рассмотрена.
8.3. ЭВОЛЮЦИЯ ПРОЦЕССА АНАЛИЗА
В течение короткого трехмесячного периода летом 1971 г.,
когда мы занимались проблемой аэропорта, наша работа шла
одновременно <по нескольким направлениям. Большая часть
времени была посвящена постановке (определению границ) етробле-
мы, но, как оказалось, дело было ;не только в этом. Проблема
состояла из нескольких связанных между собой проблем: Каким
образом можно обеспечить приемлемое воздушное сообщение для
Мехико? Каким образом можно «примирить» различия в
суждениях, «факты» и мнение независимых правительственных
учреждений, заинтересованных в развитии аэропорта, чтобы вся эта
информация могла бы помочь лицу, ответственному за принятие
решения, принять действительно абосновшное (решение? Какая
стратегия развития •служб аэропорта будет наилучшей в свете
финансовых и политических обстоятельств, которые должны
учитываться правительством? Фокус «анализа перемещался ло мере того,
как у нас устанавливалось все (большее взаимопонимание с МОР
по тем вопросам, которые мы считали важными, по мере того, как
мы все -больше знакомились со всем окружением, в 'котором
проходил анализ, ш мере того, как завершались важные этапы
работы.
Поскольку )прещшество)ва(вшие исследования давали
•противоречивые рекомендации, первое задание, которое было дано нам
и нашим коллегам из МОР, — оценить различные планы развития
ста)рого аэропорта и строительства нового (в Зумпавго. Поэтому
необходимо было прежде всего рассмотреть именно этот аспект
проблемы. До того, как мы подключились к работе, МОР в
течение нескольких месяцев занималось формулированием этой
проблемы. Были шикретизирова-ны альтернативы, а также
сформулированы щели и предварительные меры эффективности. Мы должны
были оказать помощь сотрудникам МОР по следующим вопросам:
1) собрать воедино всю имеющую отношение к дамному вопросу
информацию из предыдущих исследований, включая результаты
дополнительных разработок, и указать ту степень, в которой
имеющиеся альтернативы отвечали (поставленным целям; 2) каким-либо
разумным в содержательном смьисле способом агрегировать
последствия, относящиеся к различным периодам времени; 3) тован-
тифициршать структуру «ценности» применительно к
рассмотренной проблеме; 4) ра^зработать систему для проведения анализа
чувствительности и представления результатов.
427

По «мере того «ак мы 'продвигались вперед в решении перво-
началыно заставленной перед нами задачи, наша группа получала
большую возможность заняться другими важными вопросами.
Пожалуй, самая важная задача заключалась в том, чтобы найти
способ «(примирить» различия ibo взглядах различных сторон
(!в особенности МОР и МСТ) относительно тех или иных аспектов
функционирования л развития аэропорта.
8.3.1. Попытка «примирения» путем совместного проведения
анализа. Нет ничего особенного в том, что эксперты—соучастники
работы могут не соглашаться друг с другом по многим аспектам
комплексного анализа. Но очень важно знать, по каким именно
аспектам их мнения сходятся или расходятся и почему. Например^
может наблюдаться согласие по части структуризации проблемы^
но в то же время могут возникнуть разногласия относительно
возможных последствий тех или иных альтернатив и структуры
«ценности». Причиной может быть то, что в распоряжении экспертов
оказалась не полная, а лишь частичная и к тому же возможно
противоречивая информация, либо то, что «на вооружение» были взяты
традиционные точки зрения, зависящие от политической и
профессиональной ориентации. Разработанная нами модель для анализа
решений, а также графическое отображение входных и выходных
данных (с помощью дисплеев), как нам представлялось, должны
были послужить полезным инструментом для анализа подобных
различий во мнениях.
В кабинетах членов рабочей группы, «министра и заместителя
министра общественных работ, а также в резиденции и в
помещениях самого президента были установлены устройства для
отображения входных данных и результатов. Мы надеялись, что
МОР и МСТ сойдутся во мнении относительно исходных
принципиальных «положений, на основе иоторых (проводился анализ
/проблемы аэропорта, и эти .исходные (положения затем 'помогут
четко выделить основные расхождения во мнениях. Тогда для
аппарата президента будет легче понять 'коренные «причины
расхождений во взглядах, выюлушать объяснения каждой стороны,,
а затем, если потребуется уточнить важнейшие аспекты про'блвмы
и поручить проведение (оюд -своим, непосредственным
руководством) дополнительного исследования. МОР было уверено, что
если бы этот процесс «'примирения» (согласования) исходных
положений был проведен, о.н (показал ;бы, что МОР право и было
готово открыто говорить о неточности некоторых своих входных
данных. Но основная 'проблема состояла в том, что рамки этого
процесса -предлагало МОР, а не аппарат президента, и, как
нетрудно догадаться (к большому сожалению с нашей стороны),
процесс «примирения» та<к и не был проведен.
•Поэтому МОР пришлось избрать новое направление своих
действий. МОР :было совершенно уверено в целесообразности
размещения аэропорта в Зулшанго, и теперь его усилия были
направлены ига (подготовку аргументов, которые <у|бедили бы президента
и его аппарат, (вопреки возражениям МСТ. Таким образом, мы
428

приступили к подготовке доклада, защищающего нашу точку
зрения. От нас требовалось составить документ, который был бы
строго \ научным и этим /произвел должное впечатление. Однако
произошло нечто странное.
8.4. СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Как мы уже говорили, возможные альтернативы, дели, меры
эффективности для статического анализа были уже полностью
определены нашими клиентами, т. е. МОР, в результате ранее
проведенных исследований.
8.4.1. Альтернативы. Сформулированные альтернативы
конкретизировали прежде всего те типы самолетов, которые будут об-
¦¦служивать'ся на каждом ив (возможных аэродромов до конца
столетия. Исходя из сходства эксплуатационных характеристик и
выполняемых функций, МОР разделило все типы самолетов на
следующие четыре класса: самолеты, обслуживающие
международные (I) и внутренние (D) авиалинии, самолеты общего
назначения (G) и военные (М). Было сделано допущение, что в любой
произвольный момент времени каждый класс самолетов мог
пользоваться только одним из двух аэропортов.
Чтобы учесть возможные изменения в (предстоящем 30-летнем
периоде и не слишком усложнять проблему (иначе она
становилась «неподъемной»), (мы выбрали Г975, 1985 и 1995 гг. как те
характерные моменты (Времени, в которые «могут происходить
изменения в классах самолето:в, принимаемых аэропортами. Таким
образом, одной из возможных альтернатив была, например,
следующая: создать аэропорт в Зум>панго и перевести туда самолета
общего назначения в 1975 г., самолеты международных авиалиний
в 1985 г. и в 1995 т. обслуживать вое «классы самолетов. Конечно,
таская разбивка на три временных интервала была сделана только^
для упрощения анализа и облегчения интерпретации его
результатов, хотя на практике сроки перехода от одного режима работы
к другому вовсе не должны были быть такими жесткими. Все
сказанное выше характерно \для первого этапа анализа, когда
проводится «огрубленное» рассмотрение «проблемы, а более точная
«настройка» производится на более поздней стадии.
Отметим, что даже «огрубленное» рассмотрение дает намг
B4K=4096 альтернатив. Однако многие из этих альтернатив былтг
сходны по своей природе, к тому же, например, на военные
операции приходилось менее 5% объема обслуживаемых самолетов.
Часть из вышеуказанных формально образованных альтернатив
вообще не имела смысла. Мы не стали бы, например,
перебазировать все самолеты 'из старого аэропорта в Зумпанго в 1975 г. ш
затем возвращать их назад в 1985 г. В итоге для дальнейшей
оценки было оставлено примерно 100 альтернатив.
8.4.2. Цели и меры эффективности. Чтобы произвести оценку
альтернатив, нам необходимо конкретизировать меры
эффективности, которые бы полностью описывали последствия радомат-
429

риваемых альтернатив с позиций каждой из групп,
заинтересованных в решении проблемы. В данной проблеме тагаиии грунтами
•были: 1) правительство как орган, являющийся заказчикам при
строительстве нового и реконструкции старого аэропортов/ 2)
лица, пользующиеся воздушными перевозками; 3) те, кто ими не
пользуется. Основываясь на предыдущих данных,
представленных в МОР и МСТ, после продолжительных обсуждений МОР
отобрало шесть следующих целей:
1. Минимизировать общую стоимость строительства и
эксплуатации.
2. Обеспечить достаточную пропускную способность для
удовлетворения потребностей воздушных перевозок.
3. .Минимизировать продолжительность поездки в аэропорт.
4. Максимизировать безопасность системы.
5. Минимизировать общественное недовольство, вызываемое
появлением нового аэропорта.
6. Минимизировать воздействие шума от пролетающих
самолетов.
Первые две цели отражают интересы правительства как
центрального управляющего органа, цели 2, 3 и 4 — интересы тех, кто
использует воздушные перевозки, последние три — тех, кто ими
ее пользуется. Легко видеть, что здесь имеет место частичное
совпадение интересов некоторых групп. Меры эффективности для
этих целей были определены следующим образом.
Хх — общие затраты, в миллионах песо, с использованием
«подходящего» дисконтирования;
Х2— фактическая пропускная способность аэропорта,
выражаемая количеством выполняемых операций по обслуживанию
самолетов за час;
^з — продолжительность поездки в аэропорт и из аэропорта
в минутах, усредненная по числу пассажиров из каждой зоны
Мехико;
ХА— число людей (включая пассажиров), получивших
серьезные ранения или погибших, отнесенное к числу авиационных
катастроф;
Х5 — число людей, переселяемых при расширении аэропорта;
Хв — число людей, подвергшихся воздействию высокого
уровня шумов — до 90GNR и более *>.
Очев-идно, что список из этих шести мер эффективности не
является единственно возможным и полным. Например, в «его не
включены показатели, отражающие загрязнение воздуха. Однако
МОР считало, что в список включены все важные факторы
(кроме политических, престижных и т. п., которые обсуждаются
ниже), необходимые для оценки имеющихся альтернатив.
*> CNR — стандартный индекс шума, который учитывает уровень шума
в децибелах и частоту достижения этого уровня. Управление аэропортов МОР
выбрало уровень в 90 CNJR.
430

S.4.3. Основная модель принятия решения. Основная модель
предъявлена в виде дерева решений на рис. 8.2. Каждая альтер-
натива\ характеризовалась 'классами самолетов, которые будут
приниматься на рассматриваемых аэродромах в каждый из трех
временно интервалов. Результатом выбранной альтернативы т
Действия, /сяторь/е ёозможше Деистби-
МО8/77 <?Ъ//77Ь /70С!/7еЙ?/77 /77&ЛЬШе
старен #э/?о$00*ге # Генсеком (T)f
Рис. 8.2. Основная модель решений
происшедших событий (например, изменений в потребностях)
является последствие (хь х2, ..., Хв). Неопределенность отноститель-
но последствий любой возможной альтернативы количественно
описывалось через распределение вероятностей реализации этих
последствий.
Следует подчеркнуть самое важное: <в данной модели каждая
альтернатива являлась своеобразным «генеральным» планом.
Предполагалось, что альтернативы остаются неизменными,
несмотря <ни на какие важные события (например, изменения в пот-
фебностях, технологические изменения, ра-стущая озабоченность
жителей состоянием окружающей среды и т. д.), которые могут
произойти на протяжении 30-летнего периода, формально
рассматриваемого в этой модели. Очевидно, что учет этих аспектов
был важен для анализа, имевшего своей целью оказание помощи
властям Мехико в решении, какой вариант развития аэропортов
следует планировать. Это было сделано при динамическом
анализе альтернатив 1971 г. (см. § 8.8). Для того чтобы сначала за-
431

©ершить формальный анализ этой статической задачи, им^ись
две основные причины:
1. Согласно первоначально полученному заданию «i/зучить
шроблему аэропорта» требовалось выявить имеющиеся
расхождения двух предыдущих исследований, основанных на статическом
анализе. /
2. Без такого исследования анализ, проведенный Л^ОР,' мог
подвергнуться критике за исключение из него деталей,
существенных для предыдущих рассмотрений. Описание квантификации
распределений вероятностей дано в § 8.5, в § 8.6 описаны структуры
предпочтений, ib § 8.7 — процедуры ввода <и вывода данных из
ЭВМ, а также результаты анализа.
8.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ПОСЛЕДСТВИИ
ВЫБИРАЕМЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
Для квантификации вероятностных распределений была
использована информация, полученная в предыдущих
исследованиях, результаты 'исследований, проводимых параллельно МОР,
а также профессиональный опыт административных лиц
мексиканского правительства, связанных со строительством аэропорта,
<его использованием и эксплуатацией. Доклады MOP [SOP
A967), Wilsey у Ham de Mexico A967)] и MCT [Ipesa Consulto-
rfes and SCT A970)] содержат много информации, в том числе
¦подробные данные о будущих воздушных перевозках пассажиров,
о механике грунта <и инженерных службах © возможных местах
строительства аэропорта, о загрязнении среды и воздействии
шума, анализ наземного транспорта и подъездов к аэропорту,
данные о согласовании движения воздушного и наземного
транспорта, оценки стоимости, проекты перестройки аэро-порта и т. п. Что-
йы облегчить оценку необходимых затрат, были составлены
общие планы строительства для каждого из 16 возможных
вариантов обслуживания самолетов на двух возможных аэродромах
соответственно к 1975, 1985 иг 1995 гг. В этих планах указывалось,
где должны быть построены взлетно-посадочные полосы,
вспомогательные сооружения, 'подъездные пути. С помощью этих планов
возможные альтернативы, указанные в § 8.4, были развернуты в
лроекты, понятные для правительственных чиновников и
специалистов по проектированию аэропортов.
МОР провело ряд различных экспериментов, чтобы более
отчетливо выяснять возможные последствия этих альтерната©. В
одном из экспериментов, целью которого был сбор данных о
продолжительности поездки в аэропорт, Мехико был разделен на
10 зон, а затем измерялась продолжительность поездки к
каждому -из двух мест возможного расположения аэропорта из всех
зон при различных погодных условиях, в разное время суток и т. п.
Эти данные послужили необходимой информацией при
построении оценок распределения продолжительности поездки для
различных альтернатив.
432

Далее, в различных местах города были установлены
приборы для измерения уровня авиационных шумов. Анализируя
настоящие и будущие траектории полетов самолетов, нанесенные на
снимк^ города с высоты птичьего полета, а также анализируя
плотность населения в соответствующих районах, мы получили
удобный\ показатель интенсивности шумов для различных
альтернатив. Дря этих альтернатив были построены функции
распределения числа людей, которые будут подвергаться воздействию
шумов определенной интенсивности.
Помещая на аэрофотоснимки города различные планы
строительства, мы легко могли выявить те районы, из которых должно
проводиться выселение жителей. Была проведена перепись
населения этих районов, что позволило получить количественную
оценку числа людей, которых придется переселить.
Для того чтобы получить итоговые результаты последствий
выбора различных планов, необходимо было собрать воедино
результаты всех ранее проведенных исследований, а также данные,
полученные в исследованиях МОР, выполнявшихся
одновременно с нашим. Такое объединение («интегрирование») было
проведено на основе профессиональных знаний и опыта сотрудников
МОР, в число которых входили главный директор аэропортов,
ответственный за строительство и эксплуатацию всех аэропортов в
стране, директор Центра математических (и статистических
исследований, а также их сотрудники. Установление количественных
оценок проводились во время групповых встреч, где обсуждались
различные точки зрения, но в итоге мы приходили к единому
мнению. Тот факт, что достижение единого мнения не встречало
препятствий, можно объяснить рядом причин: все эксперты
располагали одинаковой информацией, имели одинаковую
методологическую и инженерную подготовку, все они имели опыт работы
друг с другом, каждый знал, что думает другой, и подчиненные
были готовы согласиться со своими начальниками.
Пояснив установление количественных оценок распределения
вероятностей, перейдем к их конкретному рассмотрению. Сначала
рассмотрим нахождение количественных оценок для одного года,
затем рассмотрим временные эффекты.
8.5,1. Оценки на один год. Функции плотности вероятности
были построены с помощью метода, описанного в работе Райфа
A968). Проиллюстрируем этот метод на примере (см. рис. 8.3).
Рассмотрим возможное воздействие шума в 1975 г. при
обслуживании «всех классов самолетов на старом аэродроме в Текскоко».
Сначала было установлено максимальное и минимальное число
людей, которые, возможно, будут подвергаться воздействию
шума с интенсивностью 90CNR (или больше. Эти «граничные»
значения были равны соответственно 800 000 и 400 000 человек.
Затем была найдена медиана — 640 000 человек. Это означало, что,
по мнению МОР, вероятность того, что число людей
(обозначаемое как Х675), подвергаемых воздействию шума в 90CNR и
более, будет менее 640000, равна 1/2. Иными словами, одинаково
433

вероятно, что число людей, подвергаемых воздействию сильных
шумов, будет меньше или больше 640 000. Промежуток м^жду
400 000 и 640 000 был снова аналогичным образом раздел/н на
«одинаково вероятные» части, и для вероятности 0,25 было
найдено значение Z675, равное 540 000. Для вероятности 0,7? значе-
ZOO 400
Ш 800 7000
Y= число людей, ть/о. чел.
ТШ
Рис. 8.3.
Построенные распределения
относительно числа
людей,
испытывающих воадейсгоие
шума с уровнем
интенсивности qbh-
ше 90CNR, если
выбирается
альтернатива «все в Тек-
етсоко»
ние Хе75 было равно 700 000. Найденные таким образом четыре
интервала возможных значений Х675 точно также были снова
разделены на «равновероятные» части.
Полученные значения показаны точками на рис. 8.3, а
сплошные линии представляют собой кумулятивные распределения
вероятностей, описывающие возможное воздействие шума для
альтернативы «все в Текскоко» в 1975, 1985 и 1995 гг. В каждом
конкретном году вероятность того, что воздействие шума будет
находиться в выделенных точками интервалах значений Х675 для
всех таких интервалов одинакова (и равна 0,125. Поэтому, чтобы
проверить согласованность полученных количественных оценок,
мы обратились к опрашиваемым сотрудникам МОР с вопросом:
были ли, по их мнению, одинаковыми вероятности «попадания»
(т. е. реализации в жизни) в любой .из восьми таких интервалов?
На основании полученных 'ответов было проведено уточнение
оценок и исключены все расхождения. Уточненные кривые показаны
на рис. 8.3.
Каковы основные слагаемые неопределенности, которые следует
принять во внимание при оценке возможного воздействия шума
для каждого варианта аэропорта? Прежде всего, это
неопределенность в плане оценки численности населения, оказавшегося в
районе траекторий полета. Население в текущий период времени
известно с большой точностью, но не известно, сколько его будет
в будущем. Существенную роль играет неопределенность
относительно того, когда появятся глушители шума реактивных
двигателей, когда они будут установлены на большинстве
самолетных двигателей и каков будет их эффект. Существует также
неопределенность с точки зрения объема воздушных перевозок или
434

числа воздушных полетов в (последующие годы. Предыдущие
исследования МОР и МСТ, цифры переписи, эксперименты,
проводившиеся МОР и т. д. — все это давало полезную информацию
об этих основных слагаемых неопределенности. МОР
использовало эту информацию как формально, так и неформально,
составляя свои интегрированные количественные оценки возможных
последствий воздействия шума.
8.5.2. Введение зависимости от времени. Каждая мера
эффективности должна была учитывать также возможные последствия
для весьма длительного последующего периода — свыше 30 лет,
до 2000 года. В связи с этим представлялось целесообразным
внести следующие поправки.
Затраты. Затраты, рассматриваемые в модели, включали в
себя затраты на строительство и эксплуатацию, но не учитывали
затраты, связанные с оперативным управлением, поскольку
считалось, что они будут примерно одинаковыми для всех
альтернатив. Согласно сложившейся практике работы МОР, при
определении затрат обязательно учитывалось то, когда они должны
быть произведены. Иными словами, в качестве критерия
выступали «приведенные» (к настоящему моменту 'времени) затраты.
Коэффициент дисконтирования был принят равным 12%
—стандартным для мексиканского правительства. Анализ
чувствительности показал, что величина коэффициента дисконтирования не
имела решающего значения при определении эффективных
стратегий.
Шум. В качестве меры эффективности использовалась общая
численность людей, ежегодно подвергаемых воздействию шумов
с уровнем выше 90CNR. Здесь подразумевается, что для нас
одинаково нежелательны две ситуации: ситуация, когда один
человек подвергается воздействию шумов с интенсивностью такого
уровня в течение двух лет, и ситуация, при которой два разных
человека подвергаются воздействию такого же шума на
протяжении одного года (но, возможно, в разное время). Кроме того,
подразумевается, что нежелательность определенного уровня
шумов для человека одинакова в любой год.
Безопасность* Как уже говорилось, безопасность измерялась
количеством людей, погибших или получивших серьезные
ранения в одной авиационной катастрофе. Мы выбрали общее число
погибших или тяжелораненых на одну катастрофу как меру
безопасности полетов за 30-летний период. Очевидно, что эта мера
не отражает различную вероятность катастроф при разных
обстоятельствах. МОР, разумеется, знало об этом, а также о
необходимости внести поправки, чтобы отразить этот фактор. Однако
оно сочло неразумным формально включать в модель вероятность
катастроф, вместо этого оно предпочло ввести поправки в
последствия, отнесенные «к одной катастрофе, при проведении анализа
чувствительности, чтобы отразить эффект различных
вероятностей катастроф.
435

Продолжительность поездок в аэропорт. Для
продолжительности поездок использовались взвешенные средние значения
возможных продолжительностей поездок в 'различные годы, весовыми
коэффициентами служили ожидаемые количества пассажиров в эти
годы. Подразумевалось, что каждая поездка отдельного
пассажира в аэропорт или из аэропорта в любой год одинаково важна
и -что предпочтения относительно различных продолжительностей
поездок не меняются со временем.
Общественное недовольство. Считая, что в целом переселять
любого жителя из-за развития аэропорта в любой заданный год
будет так же нежелательно, как и во всякий другой произвольно
выбранный год, мы выбрали в качестве меры эффективности
общее число переселяемых жителей.
Пропускная способность. Агрегирование пропускной
способности в различные годы (максимальное количество возможных
операций, связанных с обслуживанием самолетов, за час) не
представлялось возможным. Главным образом это объясняется тем,
что относительная желательность различных уровней пропускной
способности будет меняться с течением времени, так как в
каждый последующий год, вероятно, потребности будут возрастать.
Увеличивать пропускную способность с 80 до 100 в 1975 г. едва
ли необходимо, поскольку столь высокая пропускная способность
будет 'использоваться в эти годы крайне редко. Однако такое же
изменение в 1995 г. может быть крайне важным. Поэтому в
модели для 30-летнего периода использовались оценки пропускной
способности в 1975, 1985 и 1995 гг.
8.5.3. Количественные оценки для 30-летнего периода.
Объединяя, как показано 'ниже, количественные оценки последствий
(согласно используемым мерам эффективности) для трех выделенных
лет, мы можем вычислить функции плотности вероятности
значений соответствующих мер эффективности и тем самым учесть
изменение последствий во времени (за исключением пропускной
способности). Для шума, например, если мы определим
б)/3, (8.1)
где Xq1 есть количество людей, подвергаемых воздействию шума
выше 90GNR в год i, то, используя ранее найденные
распределения вероятностей возможных значений Х6г для определенной
стратегии, легко получить распределение вероятности для Х6. Именно
это распределение и будет общей характеристикой последствий
определенной стратегии с точки зрения шума.
8.5.4. Предположения о вероятностной независимости. Находя
количественные оценки по каждому критерию, в отдельности, мы
совершенно сознательно исходили из того, что для каждой 1 из
альтернатив все шесть критериев являются вероятностно
независимыми. Для некоторых критериев это предположение
представляется вполне оправданным. Например, для любой
фиксированной альтернативы шум и 'Продолжительность поездок были
вероятностно независимыми от остальных критериев. С другой сто-
436

роны, безопасность полетов зависит, например, от пропускной"
способности. Чем ниже пропускная способность, тем чаще
аэропорт будет работать в опасных условиях.
Самым важным допущением, однако, было предположение о*
том, -что для каждой фиксированной альтернативы ее возможные
последствия для разных лет являются условно независимыми по>
вероятности. Совершенно очевидно, что на самом деле это не так.
Например, установив для альтернативы «всё в Текскоко», что в
1975 г. 800 000 человек будут подвергаться воздействию шумов
высокой интенсивности, естественно ожидать, что число людей,
которые будут испытывать действие шумов в 1985 г., будет
больше по сравнению с тем количеством людей, подвергаемых
воздействию шумов в том же 1985 г., которое имело бы место, если бы
в 1975 г. <их число составляло всего 400000.
Наш анализ носил итеративный характер. На первых порах
были (Приняты упрощенные предположения (например,
вероятностная .независимость) с тем, чтобы на более позднем этапе вновь
вернуться «к анализируемым -вопросам с более реалистических
позиций. Выяснилось, однако, что имевшая место неточность,,
допущенная при моделировании вероятностной части нашего
анализа, не являлась 'критическим фактором, поскольку
доминировали другие соображения. Если бы у нас было больше времени, мы
бы оформили вероятностный анализ так, чтобы он казался более
правдоподобным для читателя. Но это было бы чистейшим
«украшением витрины», потому что те рекомендации к действию,
которые мы наконец предложили, не могли быть изменены на
обратные вследствие имевшей место взаимозависимости случайных
переменных, фигурировавших в анализе. Внести в расчеты эту
взаимозависимость было бы нетрудно, если не аналитически, то^
хотя бы с помощью имитационного моделирования. Однако в
данном случае это не имело смысла.
В свете сделанных (и надо сказать, очень грубых)
вероятностных 'предположений и допускаемых из-за этого неточностей,,
по-видимому, с той же степенью точности можно было
использовать точечные оценки последствий, а не распределения
вероятностей, что еще более упростило бы анализ. Теперь это кажется^
вполне резонным. Однако не нужно думать, что это позволяет
избежать сделанных нами допущений. Более того, в этом случае мы
никак не сможем учесть имеющуюся неопределенность
последствий относительно значений отдельных критериев. Наш подход
требует полного признания этой неопределенности со стороны
лиц, принимающих решение. Кроме того, до того как был
выполнен наш анализ, ничего не было известно о нечувствительности
отдельных типов эффективных стратегий к значениям отдельных
критериев. Анализ чувствительности на основе точечных оценок-
мог, однако, выявить это. Самой важной причиной, почему МОР'
хотело использовать распределения вероятностей, было то, чтси
МОР стремилось избежать возможной критики проводившегося
анализа из-эа отсутствия учета неопределенностей.
437

8.6. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Получив количественные оценки вероятностей, которые
адекватно отражали последствия различных возможных стратегий с
точки зрения наших шести мер эффективности, мы перешли к
подстроению функции полезности и(хи х2, ..., х6)=и(х) для этих
мер. В соответствии с методикой, предложенной в § 6.6, мы
начали с изучения качественной структуры предпочтений лица,
принимающего решение. Для этого 'нужно было выработать «привычку»
у нас и сотрудников МОР обдумывать и анализировать
последствия «на языке» переменных (хь х2, ..., #б), «о, что еще более
важно, нужно было установить, являлись ли для данной
проблемы приемлемыми -предположения о независимости по
предпочтению или по полезности, описанные в более ранних главах этой
книги. После того как мы установили приемлемость достаточного
набора таких предположений, это позволило нам ввести для
каждого /, f=l, 2, ..., 6, условную функцию полезности щ по Хь а
затем представить и ъ виде функции от условных функций
полезности, т. е. в виде
)f u2(x2)9 ..., М*е)], (8.2)
где / — скалярная функция. Для нахождения и(х) были
построены шесть функций щ и найдены значения соответствующих
весовых коэффициентов.
При построении функций полезности были использованы
суждения наиболее квалифицированных специалистов в лице
директора аэропортов МОР, директора центра математических и
статистических исследований и МОР, а также их сотрудников. Кроме
того, была предпринята аргументированная попытка
проанализировать проблему с точки зрения правительства Мексики.
8.6.1. Допущения. Рассмотрим кратко и неформально понятия
-независимости по предпочтению и независимости по полезности.
Напомним, что независимость по предпочтению касается только
ранжирования в детерминированных условиях, вероятностный
аспект здесь никак не учитывается. Разделим используемые
множества критериев на два подмножества У и Z. Если ранжирования
последствий, различающихся значениями критериев только из У,
остаются неизменными вне зависимости от фиксированных
значений критериев из Z, то У не зависит по предпочтению от Z.
Независимость по полезности, в свою очередь, связана с
количественным выражением степени предпочтения со стороны лица,
-принимающего решение. Если результаты ранжирования любых
лотерей, исходы которых различаются значениями критериев
только из У, остаются неизменными вне зависимости от
фиксированных значений критериев из Z, то У не зависит по полезности от Z.
8.6.2. Проверка приемлемости допущений. Проиллюстрируем,
как мы проводили проверку приемлемости допущений о
независимости по 'Предпочтению, используемых в нашей работе. В
качестве примера рассмотрим, являются ли безопасность ХА и шум Х6
438

независимыми по предпочтению от остальных критериев. Прежде
всего мы зафиксировали значения остальных критериев на
желательном уровне и задали вопрос: каким должно быть значение
критерия безопасности #4, чтобы состояние (х4, 2500) было
равноценным состоянию A, 1500 000). Это значит, что
гипотетическое состояние, когда х4 человек погибает или получает тяжелые
ранения в случае катастрофы и 2500 человек подвергаются
воздействию шумов с высокой 'интенсивностью, равноценно
состоянию, когда один человек оказывается тяжелораненым или
убитым, а 1500 000 подвергаются воздействию сильных шумов.
Полученный в итоге ответ гласил, что величина х± должна быть равна
300 (при этом использовалась процедура «схождения»). Точное
значение этого числа не 'имеет особого значения три проверке
делаемых допущений; главное, нам необходимо узнать, меняется ли
оно при 'изменении остальных четырех критериев. Поэтому на
следующем шаге мы зафиксировали значения этих четырех
критериев на нежелательном уровне, задали тот же самый вопрос <и
получили снова ответ — 300.
Затем мы спрашивали: будет ли это в общем справедливо для
любых значений остальных четырех критериев, и ответ был
таков: «Если значения остальных критериев каждый раз будут
оставаться фиксированными, ответ будет всегда одинаков». Ответы
опрашиваемых показали, что точно такая же ситуация будет
иметь место относительно каких-либо замещений между
безопасностью и шумом. Отсюда мы сделали вывод, что безопасность и
шум были независимы по предпочтению от остальных критериев.
Пользуясь теми же приемами, мы установили, что пропускная^
способность и затраты были независимы по предпочтению от
остальных критериев, так же как численность переселяемых
жителей и продолжительность поездки в аэропорт. Кроме того, одно
из опрашиваемых лиц — помощник директора аэропортов —
высказал мнение, что предпочтения относительно значений любых двух
критериев не зависят от значений других критериев. Это свойство
также подтвердилось в процессе опросов других сотрудников
МОР, включая директора аэропортов.
Тот же общий подход был использован для проверки
предположений о независимости по полезности, т. е. что Х\ не зависит
по полезности от своего дополнения Xi для всех г=1, 2, ..., 6.
Рассмотрим, например, проведенную процедуру проверки
независимости по полезности Х$ от Хг. Значения остальных пяти
критериев были закреплены на желательных уровнях, после чего была
построена условная функция полезности для продолжительности
поездок от 12 до 90 мин (этот диапазон был с самого начала
указан МОР). Мы установили, что продолжительность поездки
62 мин была равноценна лотерее с равновероятными исходами —
продолжительностями поездок 12 и 90 мин. Затем мы изменили
значение критериев ^з на менее желательные и повторили
вопрос. И снова время поездки в 62 мин было равноценно той же
лотерее с равновероятными исходами, равными соответственно 12*
439

м 90 мин. Общий анализ показал, что это будет справедливо для
-любых фиксированных значений Xz- Мы установили, что
относительные предпочтения для любых последствий и лотерей,
неопределенность в исходах которых была связана только с
продолжительностью поездки в аэропорт, действительно не зависели от
значений остальных пяти критериев.
Справедливость этого допущения была проверена для всех
шести критериев в результате проведенных собеседований как с
директором аэропортов, так и его сотрудниками. В процессе
проверки этого допущения особое внимание было уделено тому,
чтобы не наталкивать опрашиваемых на такие ответы, которые они
не дали бы при других обстоятельствах. По нашему мнению, нам
это .удалось. Поскольку предпочтения могут меняться с течением
времени, подобный опрос тех же самых людей может привести к
иным выводам в другое время. Однако те предпочтения, которые
были указаны во время опросов, по-видимому, действительно
отражали «истинные» предпочтения этих людей в то время. Таким
образом сделанные нами допущения были признаны как
приемлемые для данной проблемы.
8.6.3. Формы функции полезности. При нахождении функций
полезности нами главным образом 'использовались теоремы 6.1
и 6.2 из § 6.3. Выражаясь неформально, эти теоремы гласят, что
если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от
своего дополнения и если каждый критерий не зависит то полезности
от дополняющего его множества критериев, то и(х\, #2, ..., Хв)
является либо аддитивной, либо мультипликативной функцией от
доставляющих функций полезности tii(xi), и2(х2)9 ..., uq(xq). В
действительности, как показано >в § 6.3, тот же самый результат
возможен и при гораздо более слабых предположениях, т. е. только
юдин критерий Хг должен ие зависеть по полезности от его
дополнения и каждая пара критериев, включая Хи должна быть
независимой по предпочтению от своего дополнения. Поэтому многие
;из проверенных нами предположений в действительности
являются излишними, однако их можно рассматривать как еще одну
проверку согласованности наших результатов.
Точная форма функции и со значениями в диапазоне от 0 до 1,
жмеет бид
t=l
)...Ub(xe), (8.3)
тде щ есть функция полезности для Хи изменяющаяся от 0 до 1;
к\ — шкалирующий коэффициент для щ и k — еще одна
шкалирующая константа. Значение каждого ki должно располагаться
440

между 0 и 1 и может рассматриваться как полезность и>
относящаяся к последствию, в котором значения ©сех критериев,
кроме Xi, зафиксированы на их 'наименее предпочтительных уровнях,.,
в то время как значение Х\ установлено на наиболее
предпочтительном уровне.
Значение k можно найти исходя <из полученных значений к^
Если 2?г=1, то ?=0, и выражение (8.3) сводится к аддитивно*
функции
б
и(хи х2, ..., хв)= 2 kitii(Xi). (8.4)
i
Если 2Аг=^1, то кФО, и мы можем умножить каждую из сторон,
выражения (8.3) на к, добавить 1 « полученным результатам и,,
разлагая правую сторону на множители, получить
'мультипликативную функцию
в
ки(хи х2, ..., *6) + 1= П [kkiUi(Xi) + l]. (8.5)
8.6.4. Построение функций щ. Каждая из одномерных
функций полезности была построена с помощью методов, описанных в
гл. 4. Проиллюстрируем это «а примере квалификации
предпочтений для продолжительности поездок в аэропорт.
Прежде всего мы определили максимальную и минимальную*
продолжительности поездок. Согласно вероятностным
распределениям, построенным МОР, продолжительность поездок может
колебаться от 12 до 90 мин, причем меньшая продолжительность,
очевидно, предпочтительнее большей. Отсюда, чтобы не отступать,
от принятого нами условия, что значения функции полезности
располагаются между 0 и 1, мы положили
ив (90)= 0, (8.6)*
08A2) = 1. (8.7>
Из ответов опрашиваемых лиц, которые мы получили при,
установлении независимости Хъ от Х3, следовало, что
продолжительность поездки 62 мин -равноценна лотерее <12, 90> с
равновероятными исходами, представлявшими собой
продолжительности поездок в 12 и 90 мин. Поэтому полезность
детерминированного исхода — продолжительность в 62 мин — должна равняться-
полезности этой лотереи
М62) =0,5«8A2) +0,5«3(90) -0,5. (8.8)*
Поскольку 62 мин больше, чем ожидаемая продолжительность-
поездки 51 мин, для лотереи <12, 90>, то функция полезности
должна отражать несклонность к риску. Несклонность к риску в
данном контексте означает, что ожидаемое значение (*з+*'з)/2*
для любой лотереи <#3, *'з> будет предпочтительнее, чем сама
лотерея. Задавая вопросы относительно специальным образом
построенных лотерей и переходя далее к общему случаю, мы уста-
441

лшвили, что для опрашиваемых лиц была характерна
несклонность к риску, когда речь шла о критерии «продолжительность
яюездки». Это означало, что функция оолезности являлась
вогнутой, как это показано на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Функция
полезности для

продолжительности поездки
=0,5адA2) +0,5ц»F2) =0,75,
и3 G8) =0,5а3 F2) +0,5ад(90) =0,25.
Задавая новые вопросы, имевшие своей целью нахождение
детерминированных эквивалентов для ряда дополнительных лотерей,
мы смогли получить еще несколько точек с известными
значениями иъ. Например, мы нашли, что 40 мин равноценны лотерее
<12, 62>, а 78 мин — лотерее <62, 90>, отсюда
(8.9)
(8.10)
Затем для эмпирически найденных точек была подобрана
аппроксимирующая их экспоненциальная функция. Эта функция и была
принята в качестве функции полезности м3(х3).
На этой стадии мы не предприняли немедленной попытки
установить и использовать свойства отношения к риску «более
высокого порядка», как, например, убывающую несклонность к
риску. Такие свойства больше относятся к «тонкой настройке»
многомерной функции полезности относительно значений
шкалирующих коэффициентов («взвешивающих» уровни значений
различных критериев) и более общих свойств, таких, как монотонность
и несклонность к риску для отдельных щ. Если бы в процессе
дальнейшего анализа оказалось, что точная форма некоторых из щ
играет важную роль, мы бы вернулись !к этому вопросу и
повторили нашу оценку альтернатив. Однако это не потребовалось.
Процедуры, подобные только что описанной, использовались
при построении функций полезности затрат, безопасности,
переселения и шума. Результаты показаны на рис. 8.5.
Как уже было сказано, подобрать интегрированную меру для
пропускной 'способности аэропорта в различные годы не удалось.
442

Поэтому нам пришлось построить несколько функций
полезности и2 для пропускной способности в отдельные годы.
Вид полученных функций полезности для продолжительности^
поездок, затрат и шума представляется нам вполне естественным*-
0,5
щ
0,5
0,5
500
2000 4000
X/ (л/иллио// /7ecoj
30/77/70/776/
7000 я+ 2500 250000
(число л/о&еи) Х^ (число л/otfeu)
Яезвласяос/ль
& (
/7ереселе//ие
Рис. 8.5. Функции полезности, построенные в процессе исследования проблемы^
развития аэропорта Мехико
В то же время формы кривых функций полезности для
безопасности и переселения оказались весьма неожиданными.
Рассматривая, например, критерий «безопасность», мы могли
предположить, что, поскольку правительства обычно отрицательно
относятся к большому количеству жертв в одной катастрофе, то функция-
полезности для безопасности будет отражать несклонность к
риску. Подобное отношение правительства можно объяснить
политическими последствиями таких катастроф. Однако наша мера
эффективности не включала эти поли+ические факторы. Грубо
говоря, если мы считаем, что любая жизнь одинаково важна, то
альтернативы с одним и тем же ожидаемым числом убитых или
тяжелораненых должны быть одинаково нежелательны. Именно
такова была позиция МОР в процессе построения функции
полезности, и поэтому функция щ имела линейную форму.
Прежде чем продолжать дальше наше исследование, важно
было провести проверку согласованности и приемлемости
экспоненциальной и линейной функций полезности. Мы провели эт}г
проверку, задав дополнительные вопросы по поводу
предпочтений опрашиваемых лиц «и сравнив их ответы с выводами,
вытекающими из полученной функции полезности. Если они
соответствовали друг другу, (мы с большей уверенностью относились ю
443

^функции полезности. Если же такого соответствия не было, мы
обсуждали эти несовпадения и повторно проводили часть «ли всю
процедуру (ква(нтификации предпочтений.
8.6.5. Функция полезности для пропускной способности.
Пропускная способность х2 представляет собой вектор (х275> х2В5, #295)>
где х27Ъ — пропускная способность аэропорта в 1975 г. и т. д.
Первым шагом при построении и2 было нахождение
минимально и максимально возможной пропускной способности аэропорта
в 1975, 1985 и 1995 гг. Были найдены следующие значения: 50, 80,
100 и 130, 200, 250 операций в час соответственно. Очевидно, что
большая пропускная способность предпочтительнее меньшей,
поэтому для функции и2у изменяющейся от 0 до 1, было принято, что
М50, 80, 100)= 0 (8.11)
и2 A30, 200, 250) = 1. (8.12)
Проверка подтвердила, что пропускная способность в любые
два периода времени «е зависела по предпочтению от пропускной^
способности в третий период и что пропускная способность для
любого фиксированного периода времени не зависела по
полезности от этой способности в остальные периоды.
Таким образом, на основании теорем 6.1 и 6.2 мы получаем
, 2, 2)
/=75,85,95
ИЛИ
си2(х2™, *285, х295) + 1= П [<ЗД(^) + 1], (8.14)
/=75,85 ,95
где и2э — функций полезности для Х2\ изменяющиеся от 0 до 1 (см.
рис. 8.5), а с и Cj — коэффициенты (шкалирующие константы).
Отметим, что соотношения (8.13) и (8.14) аналогичны
выражениям (8.4) и (8.5). Поскольку процедуры нахождения значений
ki и k в выражений (8.5) аналогичны процедурам нахождения с,
и с для функции полезности (8.14), то мы не будем на них
останавливаться.
8.6.6. Нахождение численных значений ki. Чтобы
проиллюстрировать метод нахождения численных значений к\у рассмотрим
для примера затраты Х\. Мы попросили лиц, принимающих
решения, сравнить с точки зрения предпочтительности 1)
детерминированное последствие, характеризуемое следующими
параметрами: затраты зафиксированы на наиболее предпочтительном
уровне, в то время как значения всех остальных критериев на
наименее предпочтительном уровне и 2) лотерею, в которой с
вероятностью р реализуется «наиболее благоприятное» последствие,
описываемое наиболее желательными значениями всех критериев,
и с вероятностью 1—р — «.наименее благоприятное» последствие,
описываемое наименее желательными значениями всех критериев.
Наша задача —найти такое р (назовем его р\), чтобы, по мнению
444

лица, принимающего решение, данное детерминированное
последствие "и рассматриваемая лотерея были бы равноценны, т. е.
имело бы место отношение безразличия. Далее (см. § 6.6), используя
для и(х) либо выражение (8.4), либо (8.5) и приравнивая
ожидаемое полезности, находим, что значение к\ должно равняться р\.
Используя суждения опрашиваемых лиц относительно
различных лотерей, мы получили исходные оценки значений k\. Затем для
лроверки согласованности полученных значений мы снова
обратились 'к опрашиваемым лицам, но теперь наши вопросы не были
связаны с вероятностями. Например, мы придали всем критериям
их наименее желательные значения и спросили: «Что бы Вы
предпочли иметь в этой 'ситуации на самом желательном уровне —
пропускную способность или затраты?». Ответ был «пропускную
способность», следовательно, k2 — коэффициент, относящийся к
функции полезности пропускной способности, должен быть больше,
чем k{ — аналогичный коэффициент для функции полезности
затрат. Затем мы нашли такой уровень значений пропускной
способности, обозначаемый нами х*2, который был равноценен
наилучшему уровню затрат, обозначаемому х*\. Таким образом, используя
выражения (8.4) и (8.5), мы видим, что k2ti2(xI2) должно
равняться ky. Поскольку функция и2 уже была нами построена, это дает
нам соотношение между k\ и k2. Результаты парных сравнений
величин %у построенных аналогичным образом, позволили провести
многократную (и даже избыточную) проверку согласованности и
уточнение значений k\. После нескольких итераций мы пришли к
значениям ku указанным в табл. 8.1.
Таблица 8.1. Шкалирующие коэффициенты, полученные
при исследовании проблемы развития аэропорта Мехико
Критерий Xi
Xi — затраты
Xz — пропускная
способность
Х3 — продолжительность
поездок в аэропорт

Шкалирующий

коэффициент ht
0,48
0,60
0,Ю
Критерий Хг
Х^ — безопасность
Хь -т переселение
Хв — шум

Шкалирующий

коэффициент ki
0,35
0,18
0,18
8.6.7. Нахождение значения параметра k. Поскольку сумма всех
ki равна 1,89, функция полезности является мультипликативной, а
не аддитивной; она аддитивна, когда 2&г=1. Поэтому значение k
в выражении (8.5) можно найти, используя выражение (8.5) для
последствия (х*ь х*2, ..., #*б)> 'Дде x*i есть наиболее
предпочтительное значение Х{. Это дает нам
= П
(8.15)
445

но по условиям нормировки используемых функций полезности
и(**ь **2, ..., **е) = 1, так же, как и m{x*i) = 1, отсюда
(8.16)
Поскольку значения k\ нам известны, параметр k может быть
найден как решение уравнения (8.16). В приложении 6В показано,,
что при Е?г>1 всякое А, являющееся решением уравнения (8.16),
обладает свойством —1<&<0. Используя значение ki из табл. 8.1,
получаем k = —0,877. Конечно, если бы мы заново провели наше
исследование, то было бы найдено новое значение k. Но оно
скорее всего было бы ближе к —0,8, чем к 0,0 или к +0,8. На
заключительной стадии анализа важно проверить чувствительность
полученных 'результатов к значениям k и .всех k\.
8.6.8. Функция полезности. Процедуры, аналогичные только
что описанными, были использованы для нахождения значения с$
и с в выражении (8.14). Так, было найдено, что Ci = 0,3, c2=0,5,
сз=0,4 и ?4=—0,46. Эти параметры, а также табл. 8.1, значение
& = —0,877, функции, показанные на (рис. 8.4 и 8,5, дают нам
необходимую информацию для установления функции и(хи х2, ..., хбК
В § 8.7 описывается, как использовалась эта функция.
8.7. АНАЛИЗ
Для вычисления полезности альтернатив была-составлена
машинная программа. С вычислительной точки зрения эта
(программа была совсем простой: при любом заданном наборе
распределений вероятностей и заданной функции полезности она
вычисляла ожидаемую полезность 'конкретных альтернатив.
Чтобы объем вычислений оставался в разумных пределах,,
многие из возможных альтернатив, как уже ранее упоминалось,,
были заранее исключены. Так, например, поскольку полеты
военных самолетов представляют собой относительно небольшую часть
всего воздушного движения, большинство альтернатив,
отличающихся друг от друга только в плане использования аэропорта для
обслуживания военных самолетов, по отдельности не
рассматривались. Далее, альтернативы, согласно которым обслуживание
определенных типов самолетов сначала переводилось из Текскоко
в Зумпанго, а затем обратно, были также исключены.
8.7.1. Отображение входных и выходных данных. Выносные
пульты с графическим отображением входных и выходных данных
позволили создать эффективную и доступную систему для
проведения анализа чувствительности и наглядного представления
результатов проведенного исследования. Предоставляемые системой
возможности использовались \в первую очередь МОР, но к ней
могли прибегнуть и другие заинтересованные стороны для изучения
относительных преимуществ возможных альтернативных
направлений развития аэропорта.
Система «вход—выход» позволяла любому пользователю
вводить свои собственные значения вероятностей и функции полез-
446

ности для оценки любых конкретных альтернатив. Для этого
имелись две возможности. Первая возможность была такова.
Пользователь (мог «высветить» «а экране выносного пульта те
стандартные оценки, которыми пользовалось МОР при нахождении
полезностей альтернатив, и изменить их по своему усмотрению.
Чтобы внести эти изменения, достаточно было просто напечатать
их поверх значений МОР. Эта возможность была особенно полезна
при анализе чувствительности. Вторая возможность заключалась в
том, что каждый участник эксперимента мог вносить свои
собственные оценки, не видя других возможных значений.
Вероятностные оценки возможных последствий можно было
изменить, сдвигая верхнюю -и нижнюю границы этих последствий.
Например, как показано на рис. 8.3, нижняя и верхняя граница
возможного числа людей, подвергающихся воздействию шума
свыше 90CNR в 1975 г., согласно (данным МОР, составляли,
соответственно, 400 и 800 тыс. чел. Можно было .просто набрать новые
данные на пульте и увидеть, насколько изменится общая
эффективность стратегии, если эти цифры составляли бы 600 и 1200 тыс.
соответственно.
Для изменения функции 'полезности мы использовали
изменения коэффициентов, представленных в табл. 8.1. Поскольку
интерпретация значений этих констант может легко привести к
появлению недоразумений (см. § 5.9) и, кроме того, не так просто
выбрать согласованный набор их значений, для оказания помощи
пользователям была разработана небольшая вспомогательная
подпрограмма. Эта подпрограмма использовалась для
формирования на экране тех же самых вопросов, которые мы задавали
опрашиваемым сотрудникам МОР при нахождении исходных
значений коэффициентов. После того как достигалась приемлемая
согласованность между значениями &*, вычислялась константа k,
фигурирующая в выражении (8.3). Для оценки стратегий при
k = 6 использовалась аддитивная функция (8.4), при k=^=0 —
мультипликативная функция полезности. Так же, как и общая
конфигурация функций плотности вероятности, индивидуальные
функции полезности щ не могли быть изменены путем подачи
каких-то простых команд с выносного пульта «вход—выход». Такие
изменения требовали внесения изменений в программы. Однако,
несмотря на важность, эти изменения следует отнести скорее к
«тонкой подстройке» по сравнению с описанными возможностями,
предоставляемыми устройствами для графического отображения
данных.
Второй особенно полезной чертой машинной программы было
наличие в ней специальной подпрограммы, с помощью которой
подсчитывались детерминированные эквиваленты. При
использовании этой подпрограммы весь спектр возможных последствий
любой альтернативы можно было свести «к эквивалентному
последствию, описываемому вектором детерминированных
эквивалентов. Поскольку мы приняли допущение о вероятностной неза-
447

висимости *> и наличии независимости по полезности первого
порядка (т. е. каждый из критериев Xi не зависит по полезности от
своего дополняющего множества критериев), с помощью
маргинального распределения вероятности значений Xi <и
соответствующей функции полезности щ можно определить
детерминированный эквивалент хс
щ{Ь)=Е[т(х{)]9 i=l, 2, ..., 6. (8.17)
Отметим, что детерминированный эквивалент х\ не зависит от
возможных значений других критериев. Отметим также, что вектор,
компонентами которого являются соответствующие детерминиро-
*
ванные эквиваленты, х= (#ь ..., х6), никак не связан с
определением коэффициентов ki или к.
Если два альтернативы А я В сведены ,к их .векторным
детерминированным эквивалентам хв и Ха, можно легко проверить, имеет ли
место доминирование. Кроме того, например, можно точно
определить, насколько большие потребуются изменения по критерию
Xi для альтернативы Л, чтобы она стала менее предпочтительнее,,
чем альтернатива 5.
8.7.2. Эффективные стратегии. Лучшие 10 альтернатив из
числа тех, которые мы оценивали (совместно с МОР) по их
ожидаемой полезности, помещены в табл. 8.2. Для подсчета ожидае-
Таблица
8.2. Десять лучших альтернатив
Альтернатива
1
2
D
IDMG
I
ID
ID
ID
I
IG
DG
D
975
T
IMG
DMG
MG
MG
MG
DMG
DM
IM
IMG
•¦ 1985
Z
ID
IDMG
ID
ID
IDMG
ID
IDMG
IDMG
IDMG
IDMG
т 1
MG
MG
MG
—
MG
—
—
1995
Z
ID
IDMG
ID
ID
IDMG
IDMG
IDMG
IDMG
IDMG
IDMG
T
MG
MG
MG
—
—

Ожидаемая
полезность
91,23
90,90
90,79
89,30
88,Ю
86,75
86,55
86,19
86,17
85,60
Ранг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Примечание: Альтернатива, имеющая ранг 1, предусматривает обслуживание
самолетов внутренних авиалиний (D) в Зумпанго и самолетов международных авиалиний (I),
военных (М) и самолетов общего назначения (G) в Текскоко в 1975 г., международных (I)
и внутренних (D) авиалиний в Зумпанго, самолетов военного (М) и общего назначения (G)
в Текского в 1985 и 1995 гг.
*> Если & = 0 (или близко к нулю) и можно считать (приблизительно)
аддитивной функцией, и тогда будут иметь значение только маргинальные
распределения вероятностей. Если 1гФ0 и установлены совместные
вероятностные распределения, то анализ на основе детерминированных эквивалентов
должен быть существенно модифицирован. И хотя мы могли воспользоваться
понятием «условного детерминированного эквивалента» и, видимо, довольно
успешно, мы этого не делали.
448

мой полезности использовалась шкала от 0 до 100, где полезности*
0 была отнесена к гипотетической альтернативе, обладавшей
наименее желательным (по сравнению со всеми остальными
альтернативами) распределением вероятностей для каждого
критерия. Значение полезности в 100 единиц было отнесено к
гипотетической альтернативе, обладавшей наиболее желательными
распределениями вероятностей. По этой шкале альтернатива
«оставлять обслуживание всех самолетов в аэропорту Текскоко» в
каждом из выделенных трех временных периодов имела ожидаемую
полезность 5,20.
Из табл. 8.2 следует, что эффективны два типа стратегий.
Первый тип можно отнести к альтернативе «перенести все в Зумпан-
го», при этом следует осуществить строительство нового
главного аэропорта в Зумпанго как можно скорее. В эту категорию
входят те альтернативы, согласно которым в Зумпанго
обслуживаются самолеты международных и внутренних авиалиний на
протяжении всех выделенных периодов времени. Второй тип
эффективных стратегий — это «развитие Зумпанго по фазам», который
предусматривает обслуживание самолетов либо международных*
либо внутренних авиалиний в Зумпанго в 1975 г. и обслуживание
и тех и других в 1985 и 1995 гг.
В(се стратегии, которые предусматривали оставление части
обслуживания самолетов международных и внутренних
авиалиний в Текскоко до 1985 гг., не выдерживали сравнения в плане:
эффективности с теми двумя типами стратегий, которые описаны
выше. Конечно, эти ожидаемые оценки полезности зависят от
исходных данных: от используемых значений вероятности и
построенных функций полезности. Информация, положенная в
основу использованных исходных данных, была получена нами от
официальных сотрудников МОР. Вероятно, если бы тот же самый
анализ был проведен на основе исходных данных, полученных от
сотрудников МСТ, то результат ранжирования стратегий был бы
иным. Ниже мы подробнее обсудим вопрос «сближения» точек
зрения.
8.7.3. Использование результатов анализа. Как мы уже гово^
рили в этой главе, первоначальной целью описываемой здесь
работы было нахождение эффективных стратегий (определяемых а
помощью наших мер эффективности) разработки аэропорта дл»
Мехико. В эти цели не входила разработка рекомендаций относи*
тельно того, какие действия следует предпринять правительству
Мексики в 1971 г. для удовлетворения имеющихся потребностей
в воздушных перевозках. После того как «эффективные
стратегии» были определены, возник второй вопрос: какие действия
должны быть предприняты в первую очередь?
До сих пор наш формальный анализ касался только
генерального плана,т. е. того, что нужно сделать за 30-летний период*
Представляется весьма естественным теперь принять за основу
наиболее подходящее решение, а затем, исходя из последующих
событий, производить по мере необходимости пересмотр страту
15—67 441

гий. Кроме того, любое исследование, ставящее своей целью
оказание помощи в выработке политики развития аэропорта для
Мехико, должно включать такие факторы, как
предпочтительность с точки зрения политических соображений и нужды
местных общин. Исходя из этих соображений, был предпринят
динамический анализ стратегий развития, обсуждаемый в § 8.8.
8.8. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Динамическая модель должна была помочь решить, какие
правительственные меры должны быть предприняты в 1971 г.,
чтобы наилучшим образом способствовать достижению
выдвинутой глобальной цели: обеспечение качественного воздушного
сообщения для Мехико до конца столетия. Согласно этой модели
предполагалось, что полный или частичный пересмотр
принимаемых сейчас решений может быть сделан только в 1975 или
.1976 г., в конце президентского срока. Те действия, которые
будут предприниматься в последующем, будут зависеть как от
действий, предпринимаемых начиная с 1971 г., так и от важнейших
событий, которые могут произойти в период с 1971 по 1976 г. Наш
анализ с помощью динамической модели был гораздо менее
формальным по сравнению с анализом, основанным на
статистической модели, главным образом из-за недостатка времени и
сложности общей ситуации.
8.8.1. Альтернативы для 1971 г. Прежде всего мы выделили
(исходя из соображений здравого смысла) те разумные альтер-
.нативы, которые могли быть приемлемыми для правительства в
. 1971 г. Эти альтернативы различались между собой в части
того, что и где нужно было сразу же начинать строить. Для
характеристики объема предполагаемого строительства и связанных с
ним мероприятий мы использовали четыре градации, называемые
нами «уровнями развития» (минимальный, умеренный,
ограниченный и высокий), что привело к появлению 16 альтернатив
(см. рис. 8.6). В действительности каждый указанный на рис. 8.6
случай представляет определенный класс конкретных альтерна-
.тив. На данном этапе мы умышленно прибегли к огрубленному
.анализу, чтобы выделить те классы альтернатив, которые
заслуживали более детального рассмотрения. Отметим, что две страте-
.гии, определенные в процессе статического анализа, могут быть
соотнесены со всеми указанными на рис. 8.6 («номинальными»)
динамическими альтернативами, кроме 11, 12, 15 и 16.
Далее мы (более подробно определили имеющиеся
альтернативы. Вкратце эти (альтернативы для Текскоко (на период с 1971
по 1975 гг.) выглядели следующим образом.
Уровень развития:
Минимальный: ограничиться эксплуатацией имеющихся, а
также запланированных технических средств безопасности полетов.
Ограниченный: удлинить взлетно-шюсадочиые (полосы,
усовершенствовать оборудование для технического обслуживания и ре-
450

монта, ввдкшнять. всю текущую работу по обслуживанию, ввеста
новые средства безопасности.
Умеренный: ©добавок % тому* что предусмотрено при
ограниченном уровне развития, приобрести и (подготовить необходимый
земельный участок для строительства навой взлетно-посадочной
полосы и расширить пассажирские службы.
Уровень развития в Гексконо
Дысоний
«1
i
i
J2
О/ЛНСГЗ
am
рдз&и/т/я
— тольно —
TO
fi осанм
раз&шс/е
3
oapa-
i
Раз&ц/п&е
Тенскоко
i
? 0e//0
oapcr//u</e////a/t
3
\?z
ts
з
Рис. 8.6. 16 номинальных динамических альтернатив для 1971 г.
Высокий: построить .новую (взлетно-посадочную полосу, новые
пассажирские службы, улучшить подъезды ж аэропорту, т. е.
фактически построить совершенно новый аэропорт в Темскдаоо.
Тотоо так же были определены уровни развития &ля Зумпанго:
Минимальный: по крайней 'мере приобрести необходимые
земельные участки в ЗуМ'панго.
Ограниченный: приобрести земельные участки, построить одну
взлетно-посадочную полосу для реактивных самолетов и скромные
пассажирские службы.
Умеренный: приобрести земельные участки, построить первук>
взлетно-посадочную полосу для реактивных самолетов и провести
планировку остальных, построить основные пассажирские службы,,
а также построить выезд на шоссе к Мехико.
Высокий: построить несколько взлетно-посадочных полос для
реактивных самолетов, основные пассажирские службы и подъезд*
ные пути, т. е. построить -новый большой аэропорт в Зумпагаго.
8.8.2. Цели. Мы определили четыре основные цели, которые
играли главную роль при выборе стратегии раз*вития аэропорта,
следующим образом: эффективность, политические последствия,
внешние факторы и гибкость различных альтернатив.
Компонентами критерия «эффективность» были те же шесть мер
эффективности, описанные 'нами в статической модели. К политически»
15*
451

последствиям были отнесены последствия, (важные для
президента, так как он -являлся основным лицом, принимающим решение.
Сюда же относились политические шослещствия, (существенные с
сточки зрения МОР, МСТ и аппарата итреаидента. «Гибкость»
выражалась в «широте» диапазона возможностей, которые будут
у президента на (второй стадии процесса принятия решения:
какой реальной свободой в принятии решений он будет
располагать к концу своего пребывания у власти, т. е. насколько он
сможет 'Скорректировать свою первоначальную позицию, занятую
)В 1971 г., после того, как произойдут события, ^предвиденные
ранее? Наконец, все остальные важные моменты были
объединены во «внешние факторы». К ним относилось количество
необходимых шсхдъездньгх путей, распределение федеральных расходов
между Мехико и всей остальной страной, распределение расходов
на аэропорты и на другие цели, развитие районов за пределами
центра Мехико и рост национального престижа, связанный с
появлением нового аэропорта.
8,8.3. Сценарии возможного развития событий. Для каждого
класса альтернатив были разработаны свои детальные сценарии.
Эти сценарии должны были дать общее (представление о тоэмож-
ных последствиях выбираемых альтернатив. Сценарии включали
в себя: 1) рассмотрение тех «принципиально важных событий, ко-
тгорые могли бы произойти в период 1971—1976 гг. и, возможно,
повлиять на .выбор лучшей стратегии в 1976 г.; 2) оценку
вероятности появления подобных событий; 3) реакцию в стратегическом
плане на каждый комплекс '«вмешивающихся» событий; 4)
описание возможных последствий для каждой последовательности
«действие— ообытие — реакция». События (были связаны с такими
факторами, как безопасность и воздушные катастрофы, изменение
во времени потребностей «в воздушных перевозках и количестве
обслуживаемых 'самолетов; технические (новшества, таше, как
глушители шума, разработка новых технологий строительства
взлетно-посадочных (полос (на болотистых шчвах; изменение
отношения жителей к вопросам охраны окружающей среды; изменение
в 'приоритетности имеющихся проблем, например, национальной
готовности согласиться с направлением правительственных
ассигнований на нужды строительства аэропорта. На рис. 8.7
схематически представлен один из возможных сценариев.
В жаждам из сценариев был определен характер тех
изменений, 'которые должны быть внесены в стратегию 1971 г. в 1976 г.,
чтобы учесть те важные события, которые перечислены выше.
Например, если мы первоначально выбрали стратегию 6, то тогда
самым (правильным ответным действием на возрастающее число
рейсов и уменьшающуюся -при этом безопасность, а кроме того,
возрастающую озабоченность шумом и загрязнением воздуха в
Мехико будет ускорение строительства в Зумшанго и превращение
его в международный аэропорт Мехико. С другой стороны, от-
:ветным действием со стороны правительства на сохраняющуюся
потребность в аэропорте Текскоко, а также требование со сторо-
452

яы общественности усилить прежде всего правительственные
ассигнования на нужды медицины и образования «может быть
принятие решения — отложить дальнейшее строительство в Эумпанго
до более подходящего времени.
Вершит-"
решение
(„upcmwe&we") cvdb/шя
чмгнж
if i«.
Рис. 8.7. Схема типичного сценария
Допустим теперь, что т 1971 г. была выбраиа стратегия 13 и
с тех (пор значительно возросли потребности в воздушных
перевозках, возросла озабоченность жителей состоянием окружающей
среды и не «появилось никаких технических новшеств,
благоприятных для Текскоко (например, новых технологий строительства
взлетно-аюса/дочны'х полос). Тогда в 1976 г. правительство может
либо лепио .переключиться на вариант двух аэропортов, либо
продолжать разбивать и расширять Зушианго. Однако если была
избрана стратегия 13, а потребности не изменились так, как это
предсказывалось и т. д., то иратаительство может обнаружить
в 1976 г., что не было никакой необходимости в строительстве
новою аэропорта. Политический эффект, ino всей видимости, будет
резко отрицательным, и не будет возможностей для «управления
положения». Иными славами, рассматриваемая альтернатива в
данной ситуации не обладает достаточной гибкостью.
Основной целью, преследуемой три подготовке сценариев, было
стремление лучше понять те последствия, которыми чреваты
решения, принимаемые в 1971 г. Особенно важно это было сделать
до начала процесса оценки, который мы опишем далее. В
заключение отметим, что определенные действия, предпринимаемые в
1971 г., исключают возможность использования ряда других
действий в 1976 г. вне зависимости от событий, которые могут
произойти «между этими годами.
453

8.8.4. Первая оценка номинальных альтернатив. В процессе ряда
широких обсуждений (ib -которых участвовали директора
управления аэропортов, центра математических и статистических
исследований, ряд сотрудников МОР, а также авторы этой работы)
была проведена оценка 16 альтернатив, указанных на рис. 8.6.
Пред|ва;р(ительная оценка помазала, что 7 из 16 альтернатив
могут не приниматься ©о |ВН'имание. Альтернатива 1 не
обеспечивала охранения существующих уровней обслуживания из-за
ожидаемого увеличения потребностей. Альтернативы 7, 8, 11, 12,
16 и 16 были нежелательны ш той причине, что принимаемое
в 1971 г. решение об интенсивном развитии Текскоко сделает его
основным 'аэропортом на ближайшие -годы, в результате чего
отпадет необходимость в одновременном .строительстве в Зумшанго.
Наконец, 'поскольку размещение новой шлетной полосы в Текско-
ко три «умеренном» уровне его развития влечет за собой
создание «овых пассажирских служб, альтернатива 3 была по сути
дела такой же, как и альтернатива 4. Поэтому они были
объединены в одну — под номером 4.
На следующем этапе анализа мы попросили сотрудников МОР
проранжировать оставшиеся альтернативы (не уточняя их
формулировок) с точки зрения их предпочтительности по таким
критериям, как гибкость, политические последствия, внешние
факторы 1и эффективность. Результаты отдельных ранжирований,
полученные оз процессе открытых дискуссий, представляли собой
«согласованное» мнение. Если некоторые альтернативы было
невозможно «различить» по какому-то критерию, им давался
одинаковый рант. При рассмотрении' политических последствий и
внешних факторов сначала проводилась квантафикация их
компонентов, а затем устанавливалось общее ранжирование по этим
критериям *>. Ранжирование альтернатив © соответствии с их
эффективностью непосредственно вытекало из результатов,
полученных с помощью статической «модели.
Результаты первой полынки ранжирования альтернатив
приведены в та]бл. 8.3, где меньшая цифра означает (более высокий ранг.
Из таблицы видно, что варианты 4, 9, 13 и 14 оказываются хуже
остальных альтернатив по итогам их общего ранжирования по
четырем основным мерам эффективности. Например,
альтернатива 6 лучше альтернативы 14 в отношении всех четырех мер
эффективности. Поэтому альтернатива 14, как и альтернативы 4, 9
и 13, могут !быть исключены из дальнейшего рассмотрения.
Альтернативы, которые не уступали другим, представлены нашими «но*
*> К сожалению, не ясно, как итоговые ранжирования с точки зрения
политических последствий и внешних факторов соотносятся с ранжированиями
с точки зрения компонент этих сложных критериев. Есть несколько причин
для этого: во-первых, рассматриваемые совокупности компонент сложных
критериев не полны, во-вторых, распределение по рангам (ранжирование) маскиру-,
ет степень предпочтительности, в-третьих, в процессе оценок участвовало
несколько человек и из-за нехватки времени ранжированию по компонентам не
было уделено достаточно внимания. Будь у нас время, мы бы, конечно,
исследовали эти вопросы гораздо глубже.
454

Таблица 8.3. Предварительная оценка (ранжирование)
возможных правительственных решений в 1971 г.
Критерии
«а
я
[ати
Альтерн
2
4*
5
б
9*
10
13*
14*
л
Гибкост
1
7
2
3
4
5
б
8
Политические
с
нта
президе
1
4
3
2
6
5
8
7
: точки
МОР
8
5
б
7
3
4
1
2
последствия
зрения
МСТ
2
1
4
3
6
5
8
7
в итоге
3
4
3
2
5
1
7
6
1
4
1
3
3
2
2
1
1
Внешние факторы
Развити
района
4
4
3
3
2
2
1
1
Баланс
вительс
ных отч
лений
1
6
2
3
4
5
6
7
Дороги
1
3
1
1
2
2
4
4
в итоге
3
7
1
3
2
4
5
6
а
Эффект]
ность
7
8
3
1
4
5
2
б
• Те альтернативы, которые уступают альтернативам 2, 5, 6 или 10 на основании
результатов общего ранжирования по четырем основным критериям.
минальными» альтернативами (случаями) 2, 5, 6 и 10. Здесь
важно заметить, однако, что, прежд-е чем -мы отказались от
вышеуказанных доминируемых альтернатив, мы попытались дать им
возможность «реабилитировать» себя, несколько завышая их
оцении, но даже в этих условиях им не удалось сравняться с
лучшими альтернативами.
8.8.5. Завершение анализа динамики возможных действий. Для
-более тщательного анализа возможных правительственных
решений необходимо *было более точно определить остающиеся
альтернативы. Эти альтернативы (формулировались следующим образом.
2. В Зумианго: приобрести лишь '.необходимые земельные
участки для аэропорта. В Текскоко: удлинить две основные
взлетно-посадочные полосы, сделать «козырек» над местом посадки
пассажиров в самолеты, построить необходимые объекты,
связанные с полрузкой и хранением грузов, построить площадку для
стоянки самолетов, новую даснёттеракую вышку. Не строить
новый пассажирский вокзал.
5А. Построить одну взлетно-посадочную полосу для
реактивных самолетов, некоторые вокзальные службы и небольшую
подъездную дорогу в Зумпанго. Закупить достаточно земли, чтобы
построить основной международный аэропорт в Зумпанго. В Текс-
коко проводить только необходимые работы по эксплуатации и
улучшить безопасность полетов.
5В. То же, что в альтернативе 5А, кроме одного: приобрести
в Зумпакго только такой земельный участок, чтобы он был
достаточен лишь для текущего строительства.
6. Удлинить одну взлетно-посадочную полосу в Текскоко и
проделать другие улучшения, перечисленные в альтернативе 2.
455

Закупить землю для .крупного международног® аэропорта в
Зумпанго и построить одну взлетно-шосадоч'ную (полосу и некоторые
пассажирские сооружения (и подъездные пути.
10. Те же самые 'мероприятия для Тексшкю, что и в
альтернативе 6. Построить две взлетно-посадочные полосы для
реактивных самолетов в Зумпанго, а также основные пассажирские
сооружения .и подъездные шути в Зумлавго.
Эти пять альтернатив бьиги изучены более подробно и были
заново ранжированы. Результаты приведены в табл. 8.4. Так же,
как и в 'предыдущем случае, мы сразу же находим, что
альтернатива 6 превосходит альтернативу 10, а каждая из альтернатив 2*
5А и 6 превосходит альтернативу 5В. Таким образам, остаются
лишь три альтернативы: 2, 5А и 6.
Таблица 8.4. Окончательная оценка (ранжирование)
возможных правительственных решений в 1971 г.
Альтернатива
2
5А
ев*
6
10*
Критерия
Гибкость
1
2
4
3
5
Политические
последствия
4
3
S
1
2
Внешние
факторы
4
3
5
1
2

Эффективность
3
3
4
1
1
* Те альтернативы, которые уступают альтернативам 2, 6А ш % на основании резуль*
татов общего ранжирования по четырем основным критериям. _^___
Относительные преимущества этих трех альтернатив -на
заключительной стадии анализа были субъективно 'взвешены
сотрудниками МОР следующим образом. Альтернатива б выше тю рангу
по эффективности, внешним факторам и (политическим
последствиям, чем альтернативы 2 или 5А. Хотя она хуже в отношении
относительной гибкости, она позволяет президенту принять
эффективные мары в случае всех тех важных («решающих») событий,,
которые могут произойти между 1971 и 1976 г., когда должно быть
принято решение о второй стадии развития аэропорта. Таким
образом, по мнению сотрудников МОР, принимавших участие <в
работе над «проблемой, лучшей альтернативой является
альтернатива 6.
8.9. РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА
Исходя из результатов проведенного МОР исследования в
1965—1967 гг. (согласно которому рекомендовался скорейший
перевод международного аэропорта в Зумпанго) было вполне
очевидно, что «многие из сотрудников МОР считали наиболее
эффективной стратегией перевод основных операций, связанных с
воздушными перевозками, в Зумпанго. Статический анализ, осно-
456

ванный на исходных данных и предпочтениях, полученных от
сотрудников МОР, также л оказал, что развитие по фазам с
постепенным переходом в Зум:панго является хорошей
альтернативой. После того ;ка>к был'и изучены политические соображения,
гибкость .предполагаемых мероприятий, енешние факторы, а также
эффектив/ность тех альтернатив, которые (могли быть
действительно рекомендованы правительству ib 1971 г., после выполнения
динамического анализа стало ясно, что «развитие Зумпанго по
фазам» было лучшей 'политикой, чем «сразу все ,в Зум'панго».
Ознакомившись с выводами, вытекавшими из собственных
оценок, 'сотрудники МОР (были очень удивлены и озадачены. Тем не
менее, оринимая во «внимание свои собственные предпочтения
относительно полученных значений .мер эффективности (сами эти
меры, ;по их мнению, вполне соответствовали анализируемой
проблеме и реально возможным действиям), они все же согласились,
что альтернативы 13 и 14, .которые были наиболее близки к их
ранее постоянно защищаемой позиции, уступали другим
альтернативам. Заметим, что «позиция МСТ, которой больше всего
соответствовала альтернатива 4, также оказалась неоправданной.
Это очевидное несоответствие сильно (повлияло на 'многих
сотрудников МОР. Они тщательно проанализировали свою позицию,
ища ответа на вопрос, как могло возникнуть такое «странное»
расхождение. Глубже 'поняв «причину этих неожиданных для них
выводов, они стали .проявлять больше доверия к результатам
нашего исследования. После окончательного анализа оставленных
лучших (недоминируемых) альтернатив и дополнительных
групповых обсуждений итогов динамического анализа, МОР заняло
новую, 'более шибкую позицию, что выразилось в поддержке им
альтернативы 6 «а 1971 г. Таким образом, произошла странная
вещь: анализ, предпринятый для того, чтобы доказать
необходимость развития аэропорта целиком и полностью только в Зум-
па'нго, обернулся таким образом, что убедил его авторов, что,
исходя из интересов Мехико, следует занять более гибкую
позицию.
8.9.1. Последовавшие политические события. В декабре 1971 г.
МОР рекомендовало -президенту стратегию «развития по фазам».
Говоря точнее, 'было 'предложено в течение срока пребывания у
власти президента Эчеверрии приобрести .необходимый земельный
участок /в Зумпанго, провести планировку для последующего
строительства главной взлелнонпосадочной полосы и небольших
аэровокзальных сооружений. Было также предложено отложить
до 1976 г. более детальное решение о том, как должно развиваться
строительство аэропорта Мехико. Эти рекомендации означали
значительное изменение позиции МОР по сравнению с 1967 г.
Предыдущие рекомендации МОР отноаились « генеральным
'планам, указывающим, что должно быть сделано .в определенные
моменты -времени на протяжении ближайших 30 лет,
безотносительно « возможному развитию событий. Решающую роль в нашей
анализе сыграл адаптивный .подход, основанный на разработке
457

динамических стратегий, учитывающих динамику возможных в
будущем событий и действий. Генеральные планы в этом анализе
играли вспомогательную роль.
На последней стадии нашей работы © качестве консультантов,
»мы в сотрудничестве с нашими -клиентами исследовали более
подробно те шаш, которые следовало предпринять, чтобы
осуществить на 'практике вновь выработанную позицию МОР. Для этого
требовалась разработка стратегии подготовки технических
документов, неформального представительства © ключевых
правительственных организациях, частных встреч и возможных
публичных выступлений. Пооколику мы те были уверены в реакции МСТ
и аппарата президента, мы разработали планы некоторых
мероприятий, .которые сами бьиш подготовлены в духе адаптивного
динамического анализа, а не просто генерального плана. Мы
уверены, однако, что Вы понимаете — в этой книге -неуместно
обсуждать детали этих тонких в (Политическом плане соображений.
Анализ, описанный .в этой главе, был завершен в сентябре
1971 г. В конце 1971 г. Джаффрид \и Довали вместе с министром
МОР Бракамонтесом доложили основные идеи* этой разработки
президенту Мексики. На этой «встрече (присутствовали также
сотрудники МСТ и аппарата .президента, включая заместителей
министров из заинтересованных министерств.
На этой встрече не удалось устранить все расхождения ва
взглядах «по основным принщшиалыным вопросам — оставить
аэропорт в Текскоко или перевести его в Зумпанго: эти позиции
сложились очень давно. После встречи президент поручил МОР, МСТ
и авоему аппарату собрать шедано основные разногласия по
вопросу строительства аэропорта и детальные технические и
финансовые сведения, относящиеся к проблеме дальнейшего
развития аэропорта в районе Мехико. Этот процесс оказался очень
длительным из-за своей сложности и важности. В середине 1974 г»
не было .пршшто никакого .конкретного решения. Однако в 1974 г.
ситуация была иной, чем в 1971 г. В 1971 г. основным вопросом
было: создавать ли главный аэропорт Мехико в Текеко'ко или
в Зум!панго. В 1974 г. ©опрос стоял уже ino-другому: когда Зум-
панго станет основным аэропортом — в следующем году, через 5
или 20 лет? Поддержку этого варианта обеспечил тот факт, что
в начале 1974 г. необходимые для строительства аэропорта земли
© Зумпаюго были экшршршфова'ны МОР. Без сомнения, какое бы
ии последовало дальнейшее решение мексиканского
правительства, оно будет принято с большим пониманием (Проблемы и
основываться на оценках по наиболее важным 'критериям, а также
учитывать динамический характер планируемых действ/ий.
ВЫРАЖЕНИЕ БЛАГОДАРНОСТИ
Для нас было большим удовольствием работать совместно с
Ф. Дж. Джаффридом, директором Центра математических и
статистических исследований, Ф. Довали, главой управления Аэропор-
458

тов, с сотрудниками министерства общественных работ (МОР),
а также с Ричардом Нефвиллем из Массачусетского
технологического института, который привнес в нашу группу консультантов
не только технические знания, но и искусство превосходного
переводчика. Мы считаем, что наши коллегии из МОР внесли
значительный вклад в достижение целостности работы, самым
серьезным образом взвешивая свои ответы на спорные вопросы. В
течение всего исследования в решающие моменты они проявляли
'здоровый скептицизм, требовала «подробных объяснений
процесса анализа, а также проявили достаточную гибкость, чтобы
изменить позиции, которые они первоначально отстаивали.
ГЛАВА 9
ПРЕДПОЧТЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ
Ричард Meuep*)
Зачастую не все последствия принимаемых решений относятся
к одному и тому же моменту времени. Поэтому лицу,
принимающему решение, приходится анализировать свои предпочтения,
например, относительно некоторого последствия х,
реализующегося в момент времени tu и последствия у, реализующегося в мо-
*мент времени h. В этом состоит отличительная особенность
предпочтений, зависящих от времени: последствия проявляются в двух
или более различных моментах будущего. Типичным примером
являются «денежные потоки» доходов и расходов, связанные с
долгосрочными капиталовложениями. В этом случае естественно
разделить время на дискретные периоды (например, месяцы или
кварталы) и использовать последовательность (хи х2у »., хп) для
обозначения временного потока последствий, где Х{ есть последствие
в период времени L С таким же успехом мы можем
рассматривать непрерывный поток последствий, который мы обозначим как
*(•), где x(t) есть последствие в момент времени t. Например, в
задачах, связанных с потреблением, x(t) может означать темп
потребления в момент (Времени t каждой из компонент общего
потока товаров. По той причине, что 1) многие задачи с
непрерывным временем могут 'быть вшлне обоснованно
сформулированы как задачи «с дискретным временем (и это не будет
сопровождаться чрезмерным упрощением рассматриваемой проблемы) и
2) методы анализа задач с непрерывным временем и задач с
дискретным временем практически одинаковы, мы в этой главе
основное внимание уделим проблемам с дискретным временем.
К важным моментам, влияющим на предпочтения, зависящие
от времени, относятся: 1) протяженность во времени процесса
разрешения («раскрытия») неопределенностей и 2) используемый
*> В .основу § 9.1 и 9.3 положена неопубликованная работа Ральфа Кинк
я .Ховарда Райфы.
459

горизонт. Оба эти соображения (они рассматриваются в § 9.1) в
большой степени влияют на правомерность того или иного
подхода к определению предпочтений того или иного лица. Самым
распространенным методом оценки временных потоков является
дисконтирование, использующее стандартное значение
коэффициента дисконтирования. Этот метод, его «за» и «против», а также
некоторые обобщения рассматриваются в § 9.2. Эти методы
связаны с построением, согласно нашей терминологии, функции
ценности. Далее, в § 9.3—9.7 мы рассматриваем функции полезно*
сти «многопериодных» последствий (т. е. последствий,
проявляющихся в течение ряда периодов времени), а также проблемы,
связанные с неопределенным горизонтом. Эти функции ценности
и полезности представляются приемлемыми для таких классов
проблем, когда все неопределенности «снимаются» сразу же
после того, как принято решение, однако, когда «снятие»
неопределенностей откладывается на более поздний срок, в некоторых
случаях в сформулированных результатах могут быть упущены
некоторые важные элементы. На это специально указывается в
§ 9.8, посвященном процессу снятия неопределенности. На
протяжении всей главы основное внимание уделяется критериям,
являющимся по своей природе денежными критериями или
критериями, связанными с потреблением (расходами). Мы рассмотрим
также правомерность существующей методологии формализации
предпочтений, описываемых с помощью других критериев
(оценивающих, например, влияние тех или иных факторов на состояние
окружающей среды, на здоровье людей и т. п.), которые в
своей основе не являются денежными.
В этой главе мы не стараемся дать систематический обзор
литературы, посвященной исследованию предпочтений, зависящих
от времени. Заинтересованный читатель может обратиться к
работам Купманса A960), Купманса и др. A964), Ланкастера
A963), Лолларда A969) и Белла A974а), где найдет м.ногие
другие подходы к проблеме, а также ссылки на другие источники.
9.1. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ВРЕМЕННОЙ ПРОБЛЕМЫ
Временная проблема сводится к следующему. Лицо,
принимающее решение, должно произвести выбор среди таких
альтернатив, каждая из которых связана с потоком последствий во
времени, т. е. с последовательностью последствий, происходящих в
последовательные моменты (периоды) времени. Обозначим через;
Х\ векторный критерий, используемый для описания
последствий в текущий период, т. е. в период 1. Аналогично Х2, Х$ ...
будут обозначать векторные критерии, используемые для периодов
2, 3 и т. д. Тогда конкретное последствие некоторого решения
может быть обозначено через х=(х\, #2, *з> ...)•
Важной характерной особенностью временной проблемы
является временной горизонт. Иными словами, насколько далеко в
будущее уходит тот поток последствий, который мы хотели бы
рассматривать? Ответ в большой степени зависит от лица, при-

нимающего решение, и от содержательного смысла исследуемой
проблемы. Например, если 60-летний президент корпорации при*
нимает решение об объединении с какой-то фирмой, то общие
последствия этого решения могут ощущаться весьма долго после
того момента, как он уйдет в отставку со своего поста, хотя для
него самого влияние этого решения может закончиться с его
уходом. Однако, если исходить из того, что фирма будет
«существовать всегда», то президент как заинтересованный
представитель фирмы при решении вопроса об объединении,
по-видимому, будет учитывать последствия, которые могут произойти, для.
«бесконечного» временного горизонта. Эта последствия и через
50 лет могут быть очень важными. Другими примерами проблем
с очень большими, практически бесконечными горизонтами
являются решения правительств относительно строительства
атомных электростанций и разрешения выпуска различных
лекарственных средств.
Перед тем же президентом компании может встать вопрос о
. распространении сбыта продукции фирмы на новые районы. О»
может, например, развернуть производство в новом районе в
настоящее время и более или менее удовлетворять потребности
этого района либо в настоящее время ввозить туда продукцию уже
существующих предприятий и построить завод в новом районе
сбыта лишь через несколько лет. Теперь допустим, что он и все егф
«советники» считают предрешенным то, что до истечения
пятилетнего срока новое предприятие будет создано в новом районе, В част*
ности, точный срок строительства нового предприятия в предстоя*
щие четыре года не окажет влияние на систему сбыта компании как
на существующих рынках, так и в новом районе, хотя он может
повлиять на производственный процесс на новом заводе,
например, через изменения в технологии. При всех этих условиях для
оценки различных альтернатив необходимо использовать
конечный горизонт в пять лет. Таким образом, возможные последствия
можно представить в виде х=(хь #2, ..., *5, *6), где х*>
характеризует последствия для пятого года считая от текущего, a xQ есть
окончательное «состояние», отражающее, например, технологию*
и степень «устаревания» (например, «морального») созданного?
завода.
Часто по той или иной причине бывает легче заменить
конечный горизонт бесконечным или наоборот. В некоторых случаях
простое урезывание бесконечного временного потока или
продление конечного потока каким-то определенным образом может
оказать небольшое влияние на результаты анализа. Прежде чет
принимать решение о том, следует ли пользоваться таким
приближением, необходимо провести анализ чувствительности
последствий к изменению горизонта.
Сущность проблемы протяженности во времени процесса
снятия неопределенности можно проиллюстрировать на простом
примере игры в орлянку. Допустим, что подбрасывается монетка, и
если выпадает орел, Вы получите 10 000 дол. через пять лет, есди
461

решетка, не получите ничего. Как вы думаете, за какук5 сумму
'наличными деньгами Вы бы согласились уступить свое право
участия в этой лотерее? Ясно, что для многих будет иметь
значение, подбросим ли мы нашу монетку завтра при условии
раскрытия неопределенности в тот же момент (т. е. немедленного
ответа, что выпало — орел или решетка) или же мы получим ответ
''только через пять лет, что приведет к задержке в раскрытии не-
' определенности. Большинство предпочтет немедленное раскрытие
"неопределенности, и довольно очевидно, что во всех случаях
более раннее разыгрывание лотереи будет предпочтительнее. Ясно,
что анализ такой проблемы не может ограничиваться
рассмотрением только денежных последствий A0 000 или 0 дол.) и
вероятностей @,5 и 0,5), поскольку они остаются неизменными и при
немедленном, и при более позднем снятии неопределенности,
присущей данной проблеме.
Очевидно, что время (иначе говоря, продолжительность
процесса раскрытия неопределенности) важно и в более сложных
проблемах, связанных с многомерными последствиями для
каждого периода времени и альтернативами, включающими в себя
большое количество действий. Это объясняется двумя
факторами. Прежде всего, если есть определенный интервал времени
между раскрытием неопределенности и проявлением последствий, мы
< можем принять меры, чтобы подготовиться к грядущим
последствиям. Во вторых; раз неопределенности сняты, мы уже не беспо-
"коимся. Таким образом, более гран-нее раскрытие неопределенно-
"сти сокращает период беспокойства.
Со временем раскрытия неопределенности связан также
вопрос о «сегодняшнем восприятии будущей полезности». Каким
образом мы можем учесть наши будущие вкусы, если мы сами
плохо знаем, в каком направлении они будут меняться? Эта
проблема очень важна как при принятии решений отдельными лицами,
так и фирмой или правительством. Например, аэропорт,
построенный в 50-е годы вблизи города, чтобы обеспечить с ним
удобное транспортное сообщение, в 70-е годы может явиться причиной
серьезного недовольства жителей в связи с шумом и
загрязнением окружающей среды. Тесно примыкает сюда и проблема
оценки меняющегося восприятия будущих возможностей: априорный
выбор места будущей работы после окончания колледжа может
ограничить наши будущие возможности, и в результате перед
нами будут закрыты двери в те области, которые позднее будут
' представляться нам интересным полем деятельности. Ясно, что
одним из подходов к проблеме является явное выражение
неопределенности будущих предпочтений в тот момент времени, когда
• принимается решение. Большая неопределенность наших
будущих предпочтений тех или иных последствий, так же как и
неопределенность относительно самих последствий, еще больше
усиливает важность выбора в настоящем таких действий, которые
не только не «свяжут нас по рукам и ногам», но и обеспечат
необходимую гибкость наших будущих действий:
462

9.2. СЛУЧАЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ
ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ ПОТОКОВ
Допустим, что лицо, принимающее решение, стоит перед
выбором из двух альтернатив: одна альтернатива ведет к
последствию х=(хи1 х2) ..., хп), а вторая—к y=(#i, #2, ¦», Уп), где хг (и
у г) обозначаЬот последствия в i-й год считая от текущего года.
Тот факт, что мы предусмотрели п периодов и для х, и для у, не
является ограничением, так как «отсутствующее» последствие в
какой-то конкретный год может быть принято за «пустое», т. е.
совершенно безразличное для нас последствие. Вопрос о том,
какую альтернативу следует выбрать, сводится к тому, что
предпочтительнее, х или у. Как уже говорилось, последствие в каждый
данный год может включать наряду с денежными много
неденежных факторов. Однако в целях упрощения рассмотрения
предположим, что все необходимые допущения для «денежной
оценки» неденежных переменных, описанные в гл. 3, являются
оправданными, так что х и у могут рассматриваться как потоки
денежных доходов и расходов. Тогда, если в определенный период
общий денежный поток положителен, то лицо, принимающее
решение, может использовать часть его на потребление (скажем, на.
выплату дивидентов и премий, если речь идет о деятельности
корпорации, или на субсидии в случае ее основания), а другую
часть — на дальнейшие капиталовложения.
Обычно предлагаемая процедура заключается в
дисконтировании потока с использованием некоторого стандартного
коэффициента, отражающего обычную скорость роста капитала или его
«стоимости». Применение этой процедуры оправдывается тем, что
сегодняшние деньги могут быть использованы для получения но- \
вых денег в будущем (кроме того, здесь еще учитывается и тот
факт, что лучше иметь возможность потреблять сегодня, а не
завтра). Если Xi и t/i являются неопределенными, то на практике
применяются различные методы: 1) дисконтирование ожидаемого,
денежного потока в каждый период с наиболее высоким
значением коэффициента дисконтирования (и тем самым как-то «ком-,
пенсируется» неопределенность), 2) дисконтирование
детерминированных эквивалентов с помощью определенного коэффициента
дисконтирования, 3) дисконтирование полезности с помощью
некоторого коэффициента, 4) дисконтирование различных
возможных детерминированных потоков (с определенным значением
коэффициента дисконтирования) с последующим нахождением ко->
личественных значений полезности приведенных (к настоящему
моменту времени) таким образом потоков и взвешиванием этих
полезностей (с помощью соответствующих вероятностей
реализации рассматриваемых потоков). Вышеперечисленные подходы
будут рассмотрены с позицией результатов, ч изложенных в этой
книге.
9.2.1. Приведенная (к настоящему моменту времени) ценность.
Первым шагом в оценке временных потоков в условиях опреде-
463

ленности может быть построение функции ценности для вс0с
возможных потоков. Тогда выбор лучшей альтернативы будет
сводиться к отысканию альтернативы, обладающей наибольшей
ценностью. Даже в тех случаях, когда имеется неопределенность (а
так обычно и бывает), нахождение функции ценности мбжет быть
очень полезной частью процедуры построения функции
полезности (см. § 5.1). Поэтому примем допущение о том, что мы
находимся в условиях определенности, и рассмотрим пример, чтобы
проиллюстрировать понятие ценности, приведенной к
настоящему моменту времени.
Допустим, что имеется денежный поток х=(хь лг2, *з, Лч),
где Х\ характеризует поток в текущем году, х2— в следующем
году и т. д. Мы можем применить процедуру последовательного
приведения, описанную нами ранее в гл. 3. Если х* уменьшится
до нуля, какое компенсирующее изменение должно быть сделано
в ль, чтобы ценность для нас этого потока не изменилась? Иными
словами, мы ищем такое значение #з, чтобы два потока
(хи #2, *з, х*) и (хи х2, is, 0) (9.1)
были для нас равноценными. Скорее всего, ?$ будет
зависеть от Хз и лг4, но хг также «может зависеть от хх и х2.
Допустим, что Ar4>0 и (хг—Хз)>0. Мы могли бы
использовать часть (излишка х$—х% для .капиталовложений в год 3, а
часть для потребления. Даже если Х\ достоверны, мы, возможно,
будем не уверены в благоприятных возможностях для
капиталовложений в год 3. Более того, даже, если два -потока (9.1)
одинаковы по предпочтительности, это совсем не значит, что лицо,
принимающее решение, должно следовать тому же порядку
капиталовложений и потребления в году 2, как это ранее
предполагалось для этого года.
Несмотря на все эти замечания, мы можем все-таки просить
лицо, принимающее решение, указать такое х%, чтобы получить
равноценный поток. Но мы должны иметь в виду, что это может
повлечь за собой рассмотрение дополнительных внешних
факторов, которые сами по себе неопределенны.
Далее мы отыскиваем х2 такое, чтобы (хи х2, *з, 0) и (х\, St2,
О, 0) были одинаковы по предпочтительности. Вновь к2 может
зависеть от неопределенных возможностей капиталовложений в
году 2. Наконец, мы находим хи такой, чтобы (х\у х2у 0, 0) и
(jci, 0, 0, 0) были одинаковыми по предпочтению. В силу
транзитивности мы теперь имеем равноценность между (хи х2у *з, хА) и
Pi, 0, 0, 0).
Значение Jfi будем называть (обобщенной) приведенной
величиной потока (хи х2, Хзу х^). Если мы примем очень мало
ограничивающее нас допущение о том, что большее количество денег
предпочтительнее, чем меньшее, то обобщенная приведенная (к
настоящему моменту) величина денежного потока может
рассматриваться как функция ценности для всего временного потока.
464

Заметьте, что при получении Jc\ мы не делали никаких особых
допущЦшй относительно того, как сравниваются последствия для
периодов i и i+\. Однако, если необходимо дать оценку
ряда поУоков, как чаще всего бывает при наличии
неопределенности, то работа, связанная с нахождением приведенной
ценности каждого потока, становится безнадежной из-за своей
трудоемкости, если не принять некоторые упрощающие
предположения о предпочтениях типа, описанных в гл. 3. Как правило, это
делается так: допускается дисконтирование будущих денежных
доходов (или расходов), обычно с помощью постоянного
коэффициента дисконтирования. В следующем пункте мы рассмотрим
эту процедуру, но сначала обсудим два варианта упомянутой
выше процедуры последовательного приведения.
Выше мы искали значение х$ такое, чтобы (хи х2у *з, 0) ~
~(х\, x2t #з, х4). Мы перевели х4 в так называемое базовое
значение, равное нулю, и подобрали х% так, чтобы сохранить
равноценность потоков. Мы могли бы выбрать некоторую заранее
установленное базовое значение Ь4у не равное нулю, и затем искать
такое значение *8, чтобы (хи *2,хз, Ь4) ~ (*ь х2у *з, х4). Продолжая
таким образом, мы могли бы ввести другие базовые значения &з
и Ь2 и, последовательно обеспечивая .сохранение ра1вноценности,
получили бы значение хХу такое, чтобы
(Хи &2, &3, Ь4) ~ (*Ь Х2, &3, ЬА) ~<(Хи Х2, *3, Ь4) ~
~ixU #2, X* Х4).
Если для другого потока у=(*/ь уъ Уь Уа) нам удалось бы
подобрать
(У,Ь2, Ьз, Ь4) ~ (уи у2, Уь У а),
то сравнение потоков х и у свелось бы к сравнению х\ и у\.
Чаще, особенно при рассмотрении потоков потребления (или
затрат), IB отличие от денежных .потоков, более удобно
пользоваться базовыми значениями, не равными нулю. Разумеется, ничто
не мешает нам для удобства выбрать b2=bz=bA.
В некоторых случаях для нас представляет интерес
постоянный поток (скажем, расходов), который был бы одинаков по
предпочтительности с первоначальным непостоянным потоком
(хи х2> х3, хА). Так, например, можно найти поочередно значения
я'з, х'2 и Jt'i, такие, чтобы
(хи x2t х'3, х'г) — (хи х2, xz, x4),
(хи х'ъ x'2f x'2) ~ (хи х2, х'г, х'ъ),
(х'и хг'9 х\у х\)^(хи x'2f x'2y х'2).
Если бы -мы также поступили с у= (уи Уь Уз, у4) я показали, что
(У'ь У'и У'и У'\)~'(Уи У2> Уг, У*),
то снова сравнение х и у свелось бы к сравнению х\ и у\. Все
это довольно очевидно (и ©есьма просто с теоретической точки
зрения, и тем <не менее именно этот метод часто применяется
благодаря своей простоте и понятности.
465

9.2.2. Дисконтирование денежных сумм с постоянным
коэффициентом дисконтирования. Приведенная к настоящему моменту
времени величина х\ потока доходов (хи x2f ..., хп), вычисленная
при постоянном значении коэффициента дисконтирования /, равна
й
(9.2)
1=1 Х" ' "' 1 = 1
где а=A+г)~1 и г>0. Это, конечно, верно при условии, что
денежная сумма хг в период i равноценна сумме x.i/(l+r) в период
i—1 и A+г)хг в период х+1, и так для всех периодов.
Пользуясь таким критерием, мы тем самым предполагаем, что (х\9 х2>
..., Хп\ «предпочтительнее, чем (г/ь у2у ..., уп) тогда и только тогда,
когда для соответствующих приведенных потоков, рассчитанных
по формуле (9.2), верно неравенство Х\>у\. Кроме того эти
потоки одинаковы по предпочтению, если х\=у\. Рассмотрим
некоторые свойства, справедливые при использовании постоянного
коэффициента дисконтирования.
1. Доминирование. Поток х=(х\, х2, ..., хп) доминирует над
потоком у=(уи #2, ...» Уп), если х{^ух для всех i и xOyi по
крайней мере для одного L Лег.ко доказать, что если х доминирует
над у, то х\>у\ при любом коэффициенте дисконтирования.
Обратное неверно, так как нетрудно привести примеры, когда
Х\>У\ Для (Всех г>0, но х не доминирует над у. Например,
х=A,0) иу=@, 1).
2. Последовательная парная независимость по предпочтению.
Это свойство имеет место, если результат сравнения по
предпочтению двух потоков х и у, которые различаются только в
периоды / и i+l, не зависит от общих одинаковых значений потоков
х и у в любой период /, отличный от i или i+\ (для всех /=1, 2,
...). Такая концепция была детально рассмотрена в гл. 3, но
проиллюстрируем ее смысл в теперешнем контексте.
Рассмотрим поток х=(—5, —3, 5, 6, 2, 4, 1). Допустим теперь,
что х изменен путем добавления величины А, к сумме, получаемой
в периоде 4, и сокращения суммы, получаемой в периоде 5, на
одну единицу, что дает нам у=(—5, —3, 5, 6 +Я, 1, 4, 1).
Заметьте, что суммы в периоды 1, 2, 3, 6 и 7 остаются неизменными.
Если X = 0, то ясно, что х предпочтительнее, чем у (вследствие
доминирования). Для некоторой большой величины к, вероятно,
будет справедливо, что у)>х. Нас интересует коренной вопрос:
какой должна быть величина Л, чтобы х и у были одинаковы по
предпочтению.
Этот вопрос связан с замещениями денежных сумм (доходов)
в периоды 4 и 5. Действительно, рассматривая такие замещения,
нужно ли иметь в виду действительные потоки в другие периоды,
кроме 4 и 5? Должна ли величина А, при которой х и у
одинаковы по предпочтению, зависеть от размеров потоков в периоды 1,
2, 3, 6 и 7 соответственно (в данном случае от
последовательности величин —5, —3, 5 ,4, 1)?
466

Если при выборе между х и у используется постоянный
коэффициент дисконтирования, то ответ на 'последний вопрос будет
«нет». И Хи и У\—приведенные величины потоков х и у
соответственно— будут иметь одинаковые вклады от периодов 1, 2, 3, 6
и 7. Критерий для сравнения потоков, основанный на постоянстве
коэффициента дисконтирования, удовлетворяет допущению о
последовательной парной независимости по предпочтению.
Заметим мимоходом, что когда выражение (9.2) применяется
в качестве функции ценности для упорядочения потоков по их
предпочтительности, то не только любая последовательная пара
периодов G, i + l) не зависит по предпочтению от остальных
периодов, но это верно и для любой пары периодов (i, /), где / не
обязательно равно i+l.
5. Постоянный коэффициент парного замещения. Критерий
для выбора потоков, который удовлетворяет предположению о
последовательной парной независимости по предпочтению,
называется критерием, обладающим постоянным коэффициентом
замещения, если для любого i кривые безразличия для величин хг
и xi+\ являются параллельными прямыми линиями. При
постоянном коэффициенте дисконтирования г, означающем, что одна
единица в период i стоит 1+г единиц в период t'+l, справедливо
свойство постоянного парного замещения. Мы допускаем и такой
случай, когда г зависит от i.
4. Парная инвариантность. Если кривые безразличия в прост^
ранстве (i, i+l) одинаковы для всех Кп, то мы можем сказать,
что предпочтения попарно инвариантны. Критерий, основанный
на использовании постоянного коэффициента дисконтирования,
также обладает этим свойством.
Мы перечислили свойства, необходимые для того, чтобы
проиллюстрировать интересный результат.
Теорема 9.1. Единственным критерием оценки, который
удовлетворяет свойствам 1, 2, 3 и 4, является величина приведенной
ценности, вычисляемая с помощью постоянного коэффициента
дисконтирования.
Вместо формального доказательства этого результата,
покажем его справедливость на примере. Начнем с временного потока
х, представленного в табл. 9.1. Допустим, что потоки в первых
трех периодах (т. е. —5, —3, +8) зафиксированы, и поставим
Таблица 9.1. Дисконтирование с постоянным коэффициентом (г=0,08)
Поток
X
х'
х"
х'"
~rttr
1
— 5
— 5
— 5
¦—- о
3,46
2
— 3
— 3
-3
9,14
0
Временной период
3
8
8
14,20
0
0
4
5
7,78
0
0
0
5
3
0
0
0
0
467

вопрос: как следует изменить поток в период 4, чтобы
компенсировать уменьшение в период 5 с 3 единиц до 0. Иными словами,
нас интересует, как велико должно быть Ь, чтобы два потока,
указанные ниже, были одинаково желательны:
х: —5, —3, 8, 5, 3,
х': -б, -3, 8, ft, 0
Если мы обратимся к принципу парной независимости по
предпочтению, то увидим, что Ь не должно зависеть от —5, —3 и 8«
Если мы применим принцип постоянства коэффициента
замещения, то кривые безразличия^ описывающие наши предпочтения для
потодов в периоды 4 и 5, будут параллельными прямыми
линиями. Чтобы рассмотреть конкретный пример, допустим, что
соответствующий коэффициент дисконтирования г=0,08. Тогда
6 = 5+3/A1+0,08) =7,78. Таким образом, согласно данным табл.
9.1, мы имеем х~х'.
Теперь найдем такое значение с, чтобы нижеприведенные
потоки были одинаково желательными:
х': —5, —3, 8, 7,78, 0
х": —5, —3, с, 0, 0
В соответствии с двумя принципами, изложенными выше, с
может зависеть только от потоков в периоды 3 и 4. Если
воспользоваться принципом парной инвариантности, то кривые безразличия
для периодов 3 и 4 должны быть идентичны кривым для
периодов 4 и 5. Отсюда с=8+7,78/A +0,08) = 14,2.
Применяя ту же аргументацию, что была использована выше,
получаем х'~,х", х"~х"'у х"'~х"". В силу транзитивности
отношения «безразличия находим, что исходный поток х одинаков по
предпочтению с вырожденным потоком, обладающим приведенной
ценностью х\у равной 3,46. Легко показать, что
* I 1 i л ло ' /1 I л /\о\а ' /1 i л ло\5 •
1+0,08 A +0,08)а A+0,08M A+о,О8L*
Иными словами, 3,46 есть приведенная ценность потока х,
вычисленная при постоянном коэффициенте дисконтирования г=0,08.
Коль скоро, рассматривая поток х', мы приняли для Ь значение
7,78, то согласно принципам парной независимости по
предпочтению, постоянства коэффициента замещения и парной
инвариантности мы должны далее согласиться со значениями 14, 20; 9, 14
и 3,46.
Теперь допустим, что мы должны осуществить выбор между
потоками х и у. Мы знаем, что х одинаков <по предпочтению с
потоком C,46; 0; 0; ... 0). Если «приведенная ценность потока у
равна 3,23 при коэффициенте дисконтирования, равном 8%, то у
будет одинаков по предпочтительности с потоком C,23; 0; 0; ...0),
Вместо того чтобы сравнивать х и у, мы можем теперь сравнить
потоки C,46; 0; 0; 0) и C,23; 0; 0; ..., 0).
46*

Согласно принципу доминирования первый поток должен быть
предпочтительнее второго.
Этим мы заканчиваем показ того факта, что принципы
доминирования, последовательной парной независимости по
предпочтению, постоянства коэффициента замещения и парной
инвариантности приводят к критерию приведенной (к настоящему моменту
времени) величины потока (иначе говоря, приведенной
ценности), вычисляемой с помощью постоянного коэффициента
дисконтирования. Поскольку мы показали и обратное, то мы можем
сказать, что эти принципы характеризуют критерий приведенной
ценности при постоянном коэффициенте дисконтирования.
Выражение (9.2) можно обобщить несколькими способами:
1. Использовать переменный коэффициент дисконтирования,,
например, в виде
J3 УгХи (9.3>
где у* не обязательно -имеет вид а*. Может оказаться удобньш
представить y* в форме yi=aict2... аг, i=l, 2, ..., ai = l, и считать
а* (при i>l) 'коэффициентом, -который дисконтирует денежный
поток из периода i в период г—1. Критерий (9.3) удовлетворяет
свойствам доминирования, .последовательной парной
независимости по предпочтению и постоянства коэффициента замещения, но^
не парной инвариантности.
2. Использовать аддитивную функцию ценности вида
В этом случае используемый критерий характеризуется
(Монотонностью и парной независимостью по предпочтению (для всех оарг.
не только последовательных). При этом мы могли бы наложить
ограничения -на функции Vi, чтобы обеспечить парную
инвариантность. Например, как будет показано в следующем шункте, мы
можем положить
(9.4)
где у функции и* нет нижнего индекса.
9.2.3. Допущения о стационарности и упорядочение по
предпочтению для бесконечных потоков. Одной из первых работ в этой
области явилась работа Тьеллинга Купманса A972), в которой он
исследовал допущения, приводящие к выражению (9.4).
Профессор Купманс структуризовал предпочтения для
временных потоков с бесконечными горизонтами. Рассматриваемые
потоки представлялись в виде х=\(хиХ2, ...,#*,...,), где под xt
понимается, например, потребление в период времени /. Потребление xt
может являться векторной величиной, но множество его
возможных значений должно представлять собой связное подмножество
конечно-мерного евклидова пространства. Купманс постулировал
существовалие (полного упорядочения по предпочтению ()>) про-
ДО

странстгаа таких бесконечных потоков. Выражение х)>у надочпони-
мать так: лоток х предпочтительнее потока у или же эти потоки
одинаковы по предпочтению. Для обеспечения математической
строгости он требовал также, чтобы это упорядочение по
предпочтению было -непрерывным в следующем -смысле: для любых
х)>у ©сякий z, достаточно близкий к х (т. е. такой, что ни одна
компонента Zt не отличается от соответствующей 'компоненты х%
более чем «а малую величину 6>0), будет предпочтительнее, чему,
а всякий z, достаточно близкий «к у, будет менее предпочтителен,
чем х. Затем он исключил неинтересные 'случаи, 'когда все потоки
одинаковы по .предпочтению и когда предпочтения между двумя
любьщи потоками определяются только их асимптотическим
.поведением на 'большом удалении во времени. Например, он исходил
из того, что 'потребление в течение ближайших 100 лет или
(примерно в течение этого срока должно влиять на упорядочение по
предпочтению, что вполне резонно. Однако некоторые из ело
допущений представляют сабой давольно серьезные ограничения.
Грубо говоря, далее Купманс ввел систему допущений, из
которой следовала (в нашей терминологии) .парная независимость
по предпочтению, и на основании этого установил существование
аддитивной функции ценности. Но он был более умеренным, чем
мы, в своих исходных предположениях и допускал лишь, что:
1. Потребление в период 1 не зависит по .предпочтению* от
потребления в другие периоды.
2. Потребление в период 2 не зависит -по предпочтению от
потребления в другие периоды.
3. Для потребления в периоды 1 и 2 имеет место парная
независимость по предпачтению от потребления © другие периоды.
4. Стационарность (это самое сильное и самое спорное из
допущений Купманса). Если два потока характеризуются
идентичным потреблением для первого периода, то модифицированные
потоки, полученные путем исключения первого (периода
потребления и сдвига по времени назад на один период всех последующих
потреблений, упорядочены так же, как и первоначальные потоки.
Например, потоки
E, 7,9,3,8...) и E,8,2,6, 1...)
должны 'быть упорядочены так же, ка'к и потоки
G,9,3,8...) и (8,2,6, 1...)
Это очень привлекательно, но далеко не безобидно!
Используя это сильное допущение о наличии стационарности
наряду с менее ограничительным допущением относительно
парной независимости по дредпочтению, которое затрагивает
потребление только б периоды 1 и 2, он доказал полную парную
независимость по предпочтению и на этой основе установил
существование аддитивной функции ценности v, имеющей вид
v(x)=vl(xl)+v2(x2) + ...
470

Но теперь .мы должны вновь гаригбегнуть к стационарности, чтобы
найти соотношение между функциями vi и доказать, что
vt+i(x)=$t+i+avt(x)9 a>0.
Поскольку значения p*+i на упорядочение не влияют, мы можем
опустить у v* нижний индекс и 'принять
Таким образом, v принимает вид
v(x) =v* (xx) +av* (x2) +a2v* (xz) + ...
Далее Кугсманс использует допущение непрерывности, чтобы
доказать, что 0<а<1. Это действительно замечательный
результат. Если мы убеждены в правомерности сделанных допущений с
точки зрения их психологической приемлемости для лица,
принимающего решение (а так обычно и бывает в ряде 'практических
ситуаций!), то нам нужно лишь построить функцию ценности v*
и определить коэффициент дисконтирования а.
Мы могли бы, например, построить и*, используя метод
(половинного деления по ценности (если сами компоненты х% для t=\y
2... одномерны) или его многамерное обобщение, изложенное в
гл. 3. После того как и* будет построена, мы можем подобрать
два потока вида
(XU Х2, г3, 24, ...) И (уи Г/2, 23, Z4, ».)>
которые одинаковы по предпочтению, хотя ь*(х2)Фю*{у2), и
затем вычислить коэффициент а, решив (относительно а)
уравнение
и* (#i) + аа* (x2) = и* (ух) + ay* (y2).
9.2.4. Примеры использования дисконтирования. Имеется
много других ситуаций, в которых может быть .применена та или иная
форма дисконтирования. Мы .покажем это на двух примерах.
Пример А. Вот типичная ситуация, отражающая ряд важных
аспектов многих реальных проблем. Принимающий решение
должен выбрать один проект из множества подготовленных проектов.
При этом принятие любого проекта влечет за собой поток
денежных потерь (негативные ценности) и приобретений (позитивные
ценности). В каждом дискретном временном интервале лицо,
принимающее решение, может потратить (например, на потребление)
некоторую часть имеющихся у него средств и вновь вложить в
дело оставшуюся часть. Для простоты допустим, что все новые
капиталовложения остаются все время стандартными (например,
в виде краткосрочных облигаций). Допустим также, что он может
брать средства в виде ссуды из одного источника кредитования.
При этом за пользование ссудой с него берут твердо
установленный процент (такого рода процент за выдачу, например,
банковского кредита, иногда называют учетной ставкой). Принимающий
решение стремится выбрать такой проект и такой
соответствующий поток потребления, которые бы максимально соответствова-
471

аи его предпочтениям. В нашей детерминированной, упрощенной
ситуации мы допускаем, что его основные предпочтения относятся
? потокам потребления и что временные потоки денежных потерь
и приобретений, связанные с выбором какого-либо проекта,
представляют интерес лишь как возможности для достижения
различных целей потребления. При соответствующей интерпретации
потребления этот пример одинаково приложим как для корпорации
или общества, так и для отдельного лица.
Теперь таведем несколько новых обозначений. Пусть А
обозначает набор возможных проектов, а <— какой-либо проект. Пусть
для любого а из A x(a) = [xi(a)y х2(а), ...] означает
последовательность денежных перемещений и пусть Т[х(а)] — связанное с
каждым потоком х(а) множество потоков потребления**,
совместимых с х(а) и с той финансовой ситуацией, при которой
(возможно перемещение денег из одного периода в другие, более ранние
или поздние «периоды. Преобразование Т — это
точечно-множественное отображение одного потока перемещаемых денег во многие
возможные потоки потребления, которое характеризует
существующую финансовую обстановку. Типичным элементом
множества Т[х(а)] будет поток потребления с=(сь С2, ...)• Проект о!
будет предпочтительней проекта а", если из множества Т[х(а')] мы
можем выбрать поток потребления, который предпочтительнее
любого потока потребления из множества Г[х(а")]. Таким
образом, зная (преобразование 7, мы можем получить упорядочение но
предпочтению потоков х на основе точно указанного упорядочения
по предпочтению потоков с.
Но теперь мы подошли к кульминационному моменту, хорошо
известному большинству экономистов. Довольно различные
'функции предпочтения для с могут привести (через Т) (к одним и тем
же (или почти одним и тем же) функциям предпочтения для х.
Например, если мы можем ссужать или получать заем под один и
тот же ссудный процент (с одной и той же учетной ставкой), т. е.
переводить денежные суммы вперед и назад с известным
коэффициентом дисконтирования, то можно легко показать, что
независимо от исходного упорядочения потоков с индуцированное
упорядочение потоков х определяется на основе простого
дисконтирования с этим коэффициентом дисконтирования. Для доказательства
этого результата достаточно воспользоваться следующей
элементарной теоремой: если с совместимо с х (в частности, что значит,
что дисконтированная величина с меньше аналогичной величины
для х) и если приведенная величина х больше аналогичной вели-
•) Потоки потребления, которые мы рассматриваем в этой главе,
представляют собой денежные суммы, используемые для потребления в различные
периоды времени. Здесь и в следующем параграфе мы используем более
конкретное обозначение (си с2, ...) вместо нейтрального (хи х% ...), когда речь идет
о потоках потребления. В этом пункте это обозначение служит цели выделения
потоков потребления из различного рода денежных потоков (движения денег).
В § 9.3 это сделано потому, что речь в нем идет главным образом о потоках
потребления.
472

чины для х', то с «совместимо с х'. Иными словами, что означает,,
что «диктат принадлежит рынку ,и что рыночный ссудный (Процент
определяет перемещение денег», даже если мы и не будем
выражать -наши предпочтения для потоков потребления через
дисконтирование.
Пример Б. Этот пример отражает другой, по нашему мнению»
очень важный, аспект этой чрезвычайно сложной области.
Допустим, что каждое действие а порождает поток пар последствий:
(xh ?i), (х2, е2), ..., (хи <?г), ..., где Xi — денежная сумма и е< —
суммариое описание воздействий на окружающую среду в период
i. Мы можем представить е\ как векторную величину,
характеризуемую с помощью нескольких критериев. Основное в нашей
задаче — произвести парное сравнение двух потоков {(*'<, е\): i=
= 1, 2, ...} и{(*Д е/'): t=l, 2, ...}. Например, применительно к
проблеме управления лесным хозяйством внимание
соответствующего правительственного органа часто привлекают два фактора:
последовательность чистых денежных перемещений и
последовательность состояний окружающей среды. Бели у нас есть
основания полагать, что каждая пара критериев {Х^ ?г} не зависит по-
предпочтению от других пар, то мы можем выразить («оценить»)
компоненты критерия Е при помощи критерия X. В частности, <мы
можем ©вести базовое состояние е* и использовать вместо каждой
пары (хи ei) одинаковую по (предпочтению пару вида (х^ е*).
Проделав это для всех i, мы сможем найти для каждой
'последовательности {(xit ei):i=\y 2, ...} одинаковую по предпочтению
•последовательность {(#*, е*): *=1, 2, ...}. Таким образом, мы
придем к последовательности х=(*ь х2, ...), подразумевая, что с
этой последовательностью связан постоянный поток состояний
окружающей среды (е*, е*, ...). Если далее окажется
правомерным дисконтирование последовательности х, то мы сможем
представить желательность исходной последовательности в виде пары
Bа*-**, е*). Если мы вдобавок сможем выразить Х\ как
*i=Xi+f(ei9 e*, Хг),
-где / не имеет нижнего индекса, то величину f (e^ e*\ Xi) можно
будет считать той ценой, которую нужно заплатить за
превращение е% ъ е*у когда денежная компонента находится на уровне Хи
В этом случае мы имеем
и основа видим, что денежный коэффициент дисконтирования а
относится и к воздействиям на окружающую среду. Конечно, такой
результат зависит от ряда сильных предположений, которые
зачастую бывают сомнительны в реальной обстановке. Еще более
ограниченный случай мы получим, если принять, что f(eu e*y Xi}
не зависит от уровня х%.
473

Теперь вернемся назад и рассмотрим другие допущения. Если
набор критериев X в совокупности не зависит по предпочтению от
критериев ?, то тогда мы можем попытаться упорядочить
денежный 'поток гари помощи некоторой функции ценности (например,
в результате дисконтирования). Допуская далее, что критерии Е
не зависят .по предпочтению от 'критериев X, придем .к задаче
определения структуры наших предпочтений для потоков вида е=
= (#ь #2, ...)• Принимая некоторые допущения, сходные с
допущениями Купманса, мы .можем показать оправданность
использования функций вида 2.р*1;(е<) для оценки предпочтительности
потоков е. В этом случае коэффициент дисконтирования р в общем
случае 'будет отличен от денежного коэффициента
дисконтирования а. 'Поток {(хи е%) : /=1, 2, ...} может тогда быть сведен к паре
(Za'-^bSp^te)).
Однако сколь 'бы ни было удобным это упрощение, нам все же
представляется сомнительным, чтобы на практике действительно
удалось подобрать такие разумные допущения, которые вели бы
к дисконтированию функций v(ei). Камнем преткновения здесь
будет наше сомнение в том, что пары критериев Е\ и Ei+\
действительно независимы (по предпочтению от остальных критериев Е.
Более того, интуитивно нам представляется очевидным, что в
любой период времени i наши предпочтения >в будущем все-таки
должны зависеть от прошедшего (и наоборот). Однако такую
зависимость не следует абсолютизировать. По !всей видимости,
должно иметь место некоторое (разумное марковское условие,
например iB форме того, что будущее зависит от прошлого только
через настоящее или, в более, может быть, общей форме, через
сумму 'прошлого и настоящего (например, типа экспоненциально
сглаженного показателя вида
или его разновидности). Более подробно об этом говорится в § 9.6.
9.3. НАЛИЧИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ ПОТОКОВ
Большинство проблем, в которых важны -временные
соображения, связаны с неопределенностями, поскольку трудно точно
предсказывать будущее. Поэтому нам желательно получить функцию
полезности и для временного «потока (хи Х2, ..., хп)- Тогда
математическое ожидание величины и (может использоваться при
принятии решений, связанных с неопределенностью. В том случае, когда
«выполняются необходимые условия для применения результатов,
описанных в гл. 5 ,и 6, естественно, мы можем к ним прибегнуть
при структуризации и. Эти результаты, «ак .правило, позволят
строить многопериодные (функции полезности с помощью функций
474

полезности для одного (периода. Однако при этом на размерность
последствий для одного периода никаких ограничений не
накладывается. Они могут быть многомерными.
Основной нашей целью будет построение функций полезности
для -временных потоков потребления c=(ci, с2, ..., сп), где с\ —
величина потребления в период и Разумеется, с точки зрения
интерпретаций, может быть, естественнее рассматривать величину
сп как «наследство», а не потребление, т. е. |Как сумму,
оставляемую «наследникам». Для удобства шкалирования будем считать,
что зафиксированы базовый поток потребления с°= (с°и с\ ...,
...» с°п) = (с°) с°9 ..., с0) и «верхняя граница» c*=(ci*, с2*, ...,
...,сп*) = (с*, с\ ...,<?•).
Сначала мы обсудим двухпериодный случай, чтобы пояснить
основные идеи, а затем обобщим его для п периодов и
непрерывных потоков потребления**.
9.3.1. Двухпериодный случай. Пусть С\ и С2 суть используемые
критерии потребления в периоды 1 и 2 соответственно. Тогда про-.
извольный ноток потребления будет представляться в виде с=
= (си с2). Прежде всего, рассмотрим (возможные следствия
взаимной независимости по полезности. Из теоремы б.З вытекает, что
U (CU C2)=kiUi(Ci) +k2U2(C2)+kkik2Ui(Ci)U2(c2), (9.5)
где
и(с\ ^°2)=0, МЛ)=0, и2(с°2)=0; (9.6)
U(d*, C2*)='l, Щ(СХ*) = 1, M^2*) = l. (9.7)
Шкалирующие коэффициенты k\ и k2 здесь положительны и
k = (\—ki—k2)lkxk2. (9.8)
Теперь добавим допущение о стационарности, т. е. предположим
стабильность предпочтений во времени. Выражаясь формальным
языком, это означает, что если с одинаков по предпочтению с
лотереей <с\ р, с">, дающей р шансов за с' и 1—р шансов за с"9
где все последствия относятся к периоду 1, то с должен быть
равноценен участию в такой же лотерее «в период 2. Отсюда с
учетам шкалирующих условий (9.6) и (9.7), следует, что функция
полезности для каждого из периодов одинакова. Обозначим stjt
функцию полезности через w* (с), так что
иЦс)=и1(с)=и2(с). '(9.9)
Объединяя это с предыдущим результатом (9.5), получаем
U(CU C2)=kiU*(Ci)+k2U*(C2)+kkik2U*(Ci)U*(C2). (9.10)
Необходимо рассмотреть три случая: коэффициент k равен
нулю, положителен или отрицателен. Если k=Q, то выражение
(9.10) сводится к аддитивной функции
и(си c2)=klu*{cx)+k2u*{c2), (9.11)
*) Это обсуждение основывается на работе Мейера A970).
475

где, кроме того, ?2<&i, если лоток потребления (с\ с")
предпочтительнее -потока (с", с') (всякий раз, когда сг>с'\ т, е. большие
потребления предпочтительнее иметь в более ранние моменты
времени. В таком случае выражение (9.11) представляет собой
эффективное дисконтирование полезностей.
Теперь предположим, что коэффициент k не равен нулю.
Умножим обе стороны равенства (9.10) на k и прибавим к ним по 1,
в результате получаем
l+ku(cu C2) = [l+kklu*(cl)l[l+kk2u*lc2)]. [(9.12I
Если коэффициент k положителен, то каждая ,из функций l+ku,
l+kkiii* и \+kk2ii* является функцией полезности в
соответствующей области, поэтому мы можем рассматривать выражение
(9.12) в качестве мультипликативной функции полезности
и(си c2)~ul*(cl)u2*(c2), (9.13)
а если k отрицателен, то выражение (9.10) сводится к
(9.14)
где tti*(ci) = l+^i^*(ci) и u2*(c2) = \ + kk2u*(c2) как в
выражении (9.13), так и в выражении (9.14). Выражение (9.14) мы
будем называть негативной формой мультипликативной функции
полезности, поскольку каждая из функций —и, щ* и и2* является
функцией «неполезности» (иначе говоря, «ущерба»).
Остановимся теперь на вытекающих из выражений '(9.11),
(9.13) и (9.14) выводах относительно психологического отношения
к .различным потокам потребления. Рассмотрим предпочтения для
потоков потребления (с, с), где потребление в каждый из
периодов идентично (так называемые постоянные или равномерные
потоки). Допустим, например, что уровень потребления са таков,
что поток (са, са) эквивалентен лотерее <(с', с')>, 1/2, <(с",
с")>. Сравним этот уровень са с однопзриодным случаем и
зададимся вопросом: какова та величина с&, которая эквивалентна
участию в лотерее <с\ 1/2, с">, где с$, с' и с" — уровни
потребления в один и тот же период? Будет ли са равным с$> больше его
.или меньше? Если са=с$9 тогда должна иметь (место аддитивная
функция (9.11), если выполняются остальные условия,
обеспечивающие существование аддитивной или мультипликативной
функций. Если са>сР, то имеет место положительная
мультипликативная функция полезности (9.13). Если са<ср, то подходит
негативная мультипликативная функция (9.14).
Во многих случаях представляется естественным считать, что
са должно быть меньше с$. Для пояснения этого предположим,
что с'=!10 000 дол. и с"=б0ОО0 дол. Допустим, что для любого
отдельно взятого периода (например, в один год)
детерминированным эквивалентом для лотереи <50 000 дол., 1/2, 10 000 дол.>
является величина в 25 000 дол. Мы не очень боимся риска,
потому что, если была бы выбрана эта лотерея и результатом было бы
10 000, то это был бы (результат для одного года, а в другой год
476

результат еще будет разыгрываться. Однако три отыскании де-
термишфованеого эквивалента для двухпериодной лотереи
< E0 000 дол., 50 000 дол.), 1/2, A0 000 дол., 10 000 дол.)>, мы
возможно выберем B2 000 дол., 22 000 дол.), шотому qTO
перспектива низкого уровня потребления по 10 000 дол. -в оба .года уже
мало привлекательна. Такое отношение с нашей стороны
потребует в предыдущем случае принять ca<ic&.
Определим функцию полезности и° для (равномерных «потоков
потребления как
и°(с)=и(с, с), (9.15)
где согласно соотношениям (9.6) и (9.7) и°(с*) = 1 и и°(с°)=0.
Если мы не склонны 'к риску «в отдельно «взятые периоды, т. е.
?р^ (с'+с")/2 для всех с' и с", то очевидно, что мы будем еще
менее склонны к риску, рассматривая двухпериодные потоки
равномерного (потребления, если ca<Zc$. В этом -случае .мера
несклонности к риску*) г (с) для одного периода «всегда меньше меры
несклонности к риску г°(с) для двухперйодного потока с
равномерным 'потреблением. Шкалирующий коэффициент k является
индикатором нашего отношения к риску в многопериодных ситуациях.
Чем меньше k, тем больше будет наша несклонность к риску для
потоков с равномерным потреблением (см. работу Ричарда
A976)).
Рассмотрим еще одну двухпериодную ситуацию: пусть лицо,
принимающее решение, должно сделать выбор между лотереей
Lx=<(c*, <*?), 1/2, (с°9 с*)> и лотереей L2=<(c*, с*), 1/2, (с°,
<с°)>. В каждой лотерее равные шансы получить наилучшие и
наихудшие последствия в каждый из периодов. Однако ib L{ мы
получаем наихудшее последствие в один период и наилучшее в
другой, независимо от исхода розыгрыша лотереи, тогда как в L2
оба периода окажутся либо максимально хороши, либо предельно
плохи. Многие считают, что предпочтительнее L\t а не L2, что (см.
§ 5.4) указывает на &<0, и, 'следовательно, для этих людей
характерна большая несклонность к риску (т.^е. они менее охотно
идут на риск) в случае потоков с равномерным потреблением, чем
s однопериодных 'ситуациях.
9.3.2. Многопериодный случай. Теперь обобщим предыдущие
идеи и результаты для потоков потребления c=(ci, ..., сп), рас
пространяющихся на п периодов; при этом (потребление в л-й
период, т. е. сп, будет трактоваться нами как своеобразное
«остающееся наследством Обозначим вектор будущего потребления через
ст=(ст, ст+и ..., Сп), а вектор потребления в прошлом через
ст= (сь с2, ..., ст)9 т=1, 2, ..., п. Допустим, что поведение лица,
принимающего решение, характеризуется следующими
моментами: 1) решения о 'будущем потреблении ((принимаемые в каждый
*) Напомним (см. гл. 4), что мера несклонности к риску г(х) при
использовании функции полезности и(х) определяется как —и"(х)/и'(х), где и' и и" суть
первая и вторая производные от и(х) по х.
Ill

отдельный период) не зависят от потока потребления, имевшего
место ранее, 2) принимая решения,-оно заботится лишь о потоке
потребления, который 'будет иметь место только при его «жизни»,
т. е. ограничивается рассмотрением потока потребления cn-i и не
обращает внимания на «наследство», которое останется после не-
го. Тогда мы имеем следующую теорему.
Теорема 9.2. Если Ст не зависит по полезности от Сш-\ для
всех т~2, 3, ..., п и если Сп-\ не зависит по полезности от Сп, то
функция и(с) = (с\, с2, ..., сп) должна иметь либо вид
w(c) = 2kiUi(a)9 если 2Л*=1, (9.16)
либо вид
1+*и(с) = П [l+kkiUi{a)]t если | кхф\, (9.17)
где
1. и(с) нормализована условиями и(с°)=0 и и(с*) = 1.
2. Ui(d), i=l, 2, ..., я,— однопериодная функция полезности
для С{, нормализованная условиями Ui(c°i)—0 и щ{с1*) = \.
3. ki=u(c°u .-, cVi, ^*, Л+ь .... с°»), f=l, 2, ..., п.
л
4. k есть ненулевое решение уравнения 1+?= П (l+kki) при
k>-\.
Ранее было показано (см. теорему 6.2), что эти допущения
влекут за собой взаимную независимость по полезности критериев
Си С*2, •••> Сп- Отсюда на основании теоремы 6.1 следует, что и
может быть выражена в виде аддитивной или мультипликативной
функций.
Для двухпер'иодното случая было показано, что идентичность
предпочтений относительно одних и тех же лотерей в периоды i и
/ позволяет определить общую функцию полезности
и*(с)=2щ(с), i=l, 2, ..., п.
При этом допущении аддитивная и мультипликативная функции
(9.16) и (9.17) преобретают вид
(), (9.18)
l+ku(c)=Tl [\ + kkiU*(dy\ (9.19)
соответственно.
Постоянная k играет одинаковую роль как в выражении (9.19),
так и в выражении (9.12). Рассмотрим теперь предпочтения для
равномерных потоков потребления вида (с, с, ..., с). Тогда, если.
«равномерный» детерминированный 'эквивалент са= (са, са, ..., са)
для лотереи <Сс', 1/2, с"> таков, что са меньше детерминирован-
478

«ого эквивалента ср для лотереи <с\ 1/2, с"> с однопериодными
п
•исходами с'у с", то мы должны иметь 2 ?*>!, откуда, как
показано б приложении 6Б, —1<&<0. Это означает, что мы менее
склонны к риску относительно потоков с равномерным
потреблением, чем в однопериодном случае. Такой же вывод следует из
получаемых расчетным путем значений функций «несклонности к
риску, порождаемых функцией полезности
иЧ(с)=и(с, су ..., с)=и(с)
и однопериодной функции 'полезности и*(с).
Кроме того (см. двухпериодный случай), если коэффициент k
отрицателен, и мы имеем возможность (выбора между лотереями
Lx и L2 для -периодов i и /, где Li = <;(co, c°), 1/2, (с*, с*)> -и
12=<(с°, с*)> 1/2, (с*, с°)> и (си Cj) суть потребления в
«периоды i и /, то L2 будет предпочтительнее. Интуитивно это кажется
правильным, так как оба двухпериодных исхода в L2 содержат в
себе период с высоким потреблением, который .может частично
компенсировать период с низ'ким потреблением. Если лицу,
принимающему решение, будет безразлично, что выбрать L\ <или L2,
то это будет означать, что функция полезности (9.16) аддитивна.
Если же L\ будет предпочтительнее, чем L2, то имеет место муль-
п
типликативная функция (9.17) при Е&г<1 и А>0. В этой
ситуации мы (В меньшей степени несклонны к риску в лотереях,
исходами которых являются я-периодные потоки равномерного
потребления, чем в случае однопер-иодных лотерей.
9.3.3. Непрерывные потоки потребления ¦>. Большинство
результатов § 9.2 и 9.3 1можно распространить на непрерывные
потоки. Если время непрерывно, естественно оперировать
величинами, характеризующими «скорость» 'потребления; поэтому гаусть
c(t) обозначает «скорость» потребления в момент времени t, тогда
c(t)A(t) есть собственно 'потребление иа интервале времени (t,
t+ht). Пусть t изменяется в интервале @, 7). Тогда можно
обобщить соотношения (9.16) и (9Л7), разделив (О, Т) на п равных
интервалов длиной At=T/n (ti=iT/n — конец 'периода I) и
переходя к цределу три устремлении п ,к бесконечности. Результатов
будет «аддитивный» или «мультипликативный» функционал
и{с(*)}. Легко видеть, что величина &г#, являясь значением
функции и(-), когда с(*) принимает свое 'базовое значение на (О, Г),
кроме отдельного интервала продолжительностью А?, должна
иметь порядок Д?, поэтому вместо ki мы используем k(ti)At. Мы
также заменяем щ(с{) на u(tiy c(ti)). Таким образом, соотношение
(9.16) (переходит в
Тс
и{с{-)}= lim S ki(ti)u(tu c(ti))M=\ k(t)u(t, c(t))dt. (9.20)
/1х» fl ^
*) Этот пункт можно опустить без нарушения связности изложения.
471

Аналогично соотношение (9.17) (переходит в
l+ku{c(*)}= lim
= exp [kh(t)u(t, *(t))dt]. (9.21);
i
Аддитивная форма (9.20) широко использовалась
экономистами, особенно в стационарном случае, когда величина k(t) имеет
экспоненциальный характер и й(/, с) не зависит от t.
Мультипликативная форма (9.21) применялась в работах Мейера A970),
Рич-арда A972) и Пая A973).
9.4. ОСЛАБЛЕНИЕ ДОПУЩЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕЗАВИСИМОСТИ
В § 6.4 и 6.9 в контексте многомерной полезности мы
рассмотрели структуры полезности, возникающие в результате ослабления
допущений относительно независимости до такой степени, что они
уже не обеспечивали существование чисто аддитивной или
мультипликативной функций полезности. Например, мы видели, что
допущение «Хг не зависит по полезности от Xi для всех i»
-приводило к полилинейной форме. Попробуем применить это
обобщение во ©ременном контексте.
К сожалению, в контексте предпочтений относительно
временных потоков это обобщение оказывается неприемлемым по
следующим причинам. Идея того, что Xt независимы по полезности,
основана на выделении определенного 'периода времени в
противоположность остальным периодам *>. 'Продолжительность такого
отдельного периода для проблем принятия решений, носящих
личный или общественный характер и в 'которых ход развития
событий во времени играет важную роль, может быть от 1 мес. до
10 лет, однако, как правило, она порядка 1 года. Почему
продолжительность отдельного (периода имеет такое важное значение?
По той причине, что экономические последствия, даже суровые,
которые длятся только .какие-то несколько дней, с точки зрения
временной шкалы человека легко допустимы (например, прожить
на имеющиеся пусть скудные средства неделю не столь уж
тяжело, даже со всей семьей, но жить так год — достаточно мрачная
перспектива). Но все-таки единица времени, т. е.
продолжительность периода, не должна выбираться настолько длинной, чтобы
детальная структура в отдельный период дриобретала
существенное значение.
Исходя из всех этих соображений, весьма приблизительно
определяющих продолжительность (подходящего 'периода, едва ли
имеет смысл, вводя допущение о независимости, настаивать на
строгом выполнении этого условия, т. е чтобы последствия для
отдельного периода, измеряемые критерием Хи действительно на
*> До конца этой главы все временные потоки последствий, включая
потеки потребления, будут обозначаться через *.
436

за-висели но полезности от своего дополнения, если последствия
двух следующих друг за другом периодов, измеряемые
критериями Xt и Xt+u не являются независимыми по полезности от их
дополнения. Далее, если помимо допущения о том, что каждый
отдельный период не зависит по полезности от своего дополнения,
мы допускаем, что любая последовательность Хи Xt+u ..., Xt+r
последовательных периодов также не зависит по 'полезности от
своего дополнения, то тогда снова имеет место взаимная
независимость, мы вновь возвращаемся к аддитивной или
-мультипликативной функциям.
Во временном контексте полезнее обобщить результаты § 9.3,
сняв последнее условие теоремы 9.2, т. е. допустив, что только
будущее не зависит 'по полезности от прошлого. Иными словами, что.
Xt не зависит от Xt-i для всех t. Отметим, что это допущение:
1. Не влечет за собой, вообще говоря, существование
безусловных функций полезности для одного периода, т. е. мы не можем;
изолированно принимать решения, относящиеся 'к одному периоду,,
поскольку каждый Xi не является независимым по полезности от
дополняющего его множества Х&
2. Является наиболее общим допущением, которое все еще
позволяет нам решать задачу отыскания оптимального решения при
помощи «обратной индукции» 'без введения дополнительного
«дескриптора состояния», который представлял бы те черты -прошлого
потока последствий, которые влияют на наше отношение'к
будущим последствиям.
Допущение, что Xt не зависит по полезности от A"*_i, влечет за
-> —>»
собой существование полезностей Ut(xt) для /=0, 1, ..., л, но при
этом только ип является полезностью, относящейся к одному
периоду. Из этого допущения та'кже следует, что
ut(xt)=at(xt)+bt(xt)uM(xm) для t=l, 2, ..., п, (9.22)
где 6«(-)>0.
Если мы выберем шкалу для «*(•) обычным образом (так
чтобы щ(*) менялась в пределах от 0 до 1 при изменении xt от x°t
до х**), то из выражения (9.22) 'будет следовать, что
1. at(xot)=0 [ибо ^(t^5
2. at(xt*)+bt(xt*) = l [5)ж(ж) ]
3. Мы должны -построить две одномерные функции #*(•) и.
bL(*) для каждого периода, кроме последнего, для которого
нужно построить только одну функцию ип. Функции #*(•) обладают
свойствами ненормированных функций «полезности одной
«переменной, ибо они являются полезностями значений Xt ори условии
Xt.+i=x°t+i. Функции &*(•) будут принимать значения, меньшие
или равные единице, поскольку 6*>1 вместе с W/+i = l приводило
16—67 481

бы к а*<0, -что неверно-, Поэтому мы можем интерпретировать
соотношение (9.22) следующим образом: чтобы найти щ, следует
дисконтировать ut+i с иомощью коэффициента дисконтирования
bt (зависящего от xt) и затем добавить однопериодную «базовую»
полезность at(xt), которая 'представляет собой полезность потока
- 4. Бели мы обозначим ип=аПу чтобы стандартизовать
обозначения, то решением уравнения (9.22) будет
и (х) = и± (хх) = 2 at (xt) (f\ bx (хЛ, (9.23)
где нами использовано соглашение, что «пустое» произведение
Мы будем называть структуру полезности, определяемую
формулой (9.23), полусепарабельнойу поскольку в общем случае
решения, относящиеся к одному периоду, уже «нельзя полностью
выделить отдельно. Уравнение (9.23) содержит как особые случаи
аддитивную (когда Ь% (•) постоянны для ееех т) и
'мультипликативную формы (когда а*(•)=() для t=l, 2, ..., п—1) 'и особое
подмножество полилинейных форм (когда а*(«) — постоянные для
*==¦1, 2, ..., п—1 1илн когда Ьт, т=1, 2, ..., п— 1, 'могут
интерпретироваться как относящиеся к одному периоду безусловные
функции полезности). Это те единственные 'случая для выражения
(9.23), когда существуют безусловные однапериодные полезности.
Во всех других случаях из соотношения (9.22) следует, что
полезность Xt зависит от будущего потока х*+ь однако она зависит от
будущего только через «полезность ut+i(xt+i) этого будущего.
Таким образом, мы можем считать щ+\ одномерным шисанием
наших симпатий к леродектдоам на будущее, знания которого нам
достаточно, чтобы позволить себе высказать свои «предпочтения
для отдельного текущего периода.
Мы можем обобщить эту идею, разделив время на
«ближайшее» и «отдаленное» будущее: Х\=(хи #2, ..., хт, хт+и ...» #п)==
= (xm, xm+i). Будем считать «ближайшим» будущим те «годы»,
для которых проблема принятия решения может быть
удовлетворительно структуризована, и считать «отдаленным» будущим те
неясные для нас годы, которые находятся за этим «горизонтом».
Поскольку из независимости по 'полезности Хт+\ от Хт вытекает,
. (9.24).
то отсюда следует» что мы в 'принципе можем проводить анализ
таких проблем следующим образом.
482

1. Структурировать проблему, ограничиваясь горизонтом
«ближайшего» будущего и 'построить функции а(*) и Ь(*); точнее
говоря, нужно построить функции одной переменной at(*) и &*(•)
для /=1, 2, ..., т и на их основе построить а(») и ?(•)>
согласованные с выражением (9.23).
2. Найти математическое ожидание потока ит+\ для каждой
конечной вершины дерева, т. е. оценить ожидаемую полезность
«отдаленного» будущего при известном конечном состоянии «бли-
жайшего» будущего.
3. Далее использовать соотношение (9.24) в качестве функции
полезности.
Функция полезности (9.23) особенно удобна при анализе
проблем поэтапного принятия решений в условиях неопределенности,
которые можно описать так: в 'каждый цериод времени t прини^
мается решение относительно капиталовложений и потребления^
после чего дальнейшие события (для данного периода)
развиваются случайным образом (происходит неопределенное событие);,
значение полезности пути по дереву зависит только от потока*
потребления (и «наследства»). Для этого класса проблем
функция (9.23) является самой общей функцией полезности,
позволяющей использовать обратную индукцию без описания состояний с
точки зрения их общей полезности. Обратная индукция особенно
проста, когда скрытая вероятностная структура неопределенной
среды является марковской. Основные результаты для этого
класса проблем описаны в работе Оксмана A974).
По аналогии с аддитивной и -мультипликативной функциями
полезности представляется целесообразным вновь использовать
идею стационарности. Теперь, однако, она становится более
тонким понятием, поскольку мы не можем требовать, чтобы все
отдельные периоды были стратегически эквивалентны, когда
принимаемые в 'каждом периоде решения зависят от будущего, а
будущее в потоке с конечным горизонтом, несомненно, различно, по
крайней мере по продолжительности, для 'каждого отдельного
периода. Чтобы преодолеть это осложнение, мы введем понятие
эквивалентного будущего. Допустим, что xt изменяется в пределах
от х° до я*, т. е. в одном и том же диапазоне для каждого
периода, и пусть t<t'. Теперь мы потребуем, чтобы для любого
будущего Xf+i существовало (эквивалентное) будущее х*+1 такое, при
котором условная однопериодная полезность xt при
фиксированном xt+i была бы стратегически эквивалентна условной однопе-
риодной полезности Xt при также фиксированном x*<+i во всем
диапазоне (х°, х*). Этого обобщенного условия стационарности
достаточно для того, чтобы оба множества функций at(-) и &*(•),
используемые в выражении (9.22), не зависели от t [см. работу"
Оксмана A974)]. Определив- а=а* и Р = &* для всех /, получаем
стационарный вариант соотношения (9.22) в виде
>а (xt) +>P (xtjut+ijxt+i). (9.25)
483

9.5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ГОРИЗОНТ
До сих пор в этой главе мы считали временной горизонт
(характеризуемый величиной п) неизменным «и заранее заданным. И
хотя многие проблемы принятия решений приемлемо структуризу-
ются при фиксированном горизонте, тем не менее очень часто
бывает необходимо в явном виде использовать переменный или
неопределенный горизонт. Личные долгосрочные решения,
связанные с длительным отрезком, а может, и со всем периодом
оставшейся жизни и касающиеся, например, выбора карьеры, создания
необходимых сбережений или возможного размера пенсий, а
также большинство медицинских решений, и т. п. являются
типичными примерами, когда естественный горизонт проблемы (т. е.
продолжительность жизни человека) является неопределенным. То
же самое справедливо и для некоторых общественных или
корпоративных решений, например решений, для которых естественным
горизонтом будет время свершения предполагаемого
технологического открытия. В последнем случае временной горизонт может
частично (и даже полностью) находиться под контролем лица,
принимающего решение: выделением необходимых ресурсов оно
может повлиять на более раннее свершение таких событий.
Если горизонт не зафиксирован <и вообще неизвестен, то нам
приходится иметь дело с предпочтениями относительно потоков
xn=(*i, *2, ..., хп), обладающих различной «длиной», т. е.
различной продолжительностью. Основная схема для сравнения
лотерей, исходами которых являются потоки одинаковой
продолжительности, уже была нами рассмотрена, постараемся теперь
расширить и перенести использовавшийся нами метод на потоки с
различной протяженностью.
Пусть значения критерия N, характеризующего величину
горизонта, изменяются в пределах от п° до п* соответственно
минимально и максимально возможной величины горизонта для
рассматриваемой проблемы принятия решения. В принципе мы
можем построить условные функции полезности и(хп\п) для
каждого значения п. Для этого просто нужно применить тот же прием,
описанный нами ранее, для каждого значения п отдельно: мы
фиксируем п и квантифицируем наши предпочтения для всех
возможных потоков хп этой (Протяженности. В результате получаем
функцию и (• | п), далее мы повторяем этот процесс для другого
значения п до тех пор, пока не получим семейство условных
функций полезности {и(-\п)9 п°^п^п*}.
Однако эти условные полезности, связанные с различными
значениями nt пока еще нельзя непосредственно использовать при
принятии решений, поскольку они не описывают наши
предпочтения для различных п. Поэтому нам нужны совместные
(объединенные) полезности м(хп, и), которые бы описывали наши
предпочтения одновременно для потоков хп и горизонта п. Поскольку
функция м(хп, п) для каждого данного п должна быть стратега-
чеоки эквивалентна функции и (хп|я) для решений, связанных толь-
m

fco с xn, то отсюда следует, что и(хп, п) должна быть
положительной линейной функцией от и(хп\п) с коэффициентами,
которые могут зависеть от пу но не от хп:
и(х»9 п)=?\(п)+в(п)и(х"\п), где 6(л)>0. (9.26)
Уравнение (9.26) является основным 'инструментом для
анализа решений с неопределенным горизонтом. Нам остается
только 'выяснить, как построить ri(-) ив(«),и изучить особые
структуры полезности, которые 'вытекают из упрощающих допущений
о 'независимости.
Рассмотрим проблему принятия решения, в 'которой мы
должны выбрать одну лотерею из набора лотерей {L^, Л=1, 2, ...}.
Пусть при выборе k-й лотереи плотность вероятности появления
потока хп равна /&(хп, п)9 толда мы должны выбрать ту лотерею,
которая максимиризует ожидаемую полезность
й(?)= S f Ы*п, л)и(х*, л)<&». . (9.27)
Теперь мы можем выделить два класса проблем принятия
решения:
1. Проблемы, в которых временной горизонт, помимо того, что
он является неопределенным, полностью нам неподвластен. Это
соответствует утверждению, что каждая лотерея Ьь, должна иметь
одно и то же маргинальное распределение вероятностей для я, т. е.
J/*(x», n)dx"=f(n) для *=1, 2, ... (9.28)
. 2. Проблемы, в которых наш выбор лотереи может повлиять
на временной горизонт, т. е. соотношение (9.28) перестает быть
справедливым для всех возможных лотерей.
Для проблем класса 1 функция ti(-), входящая в выражение
(9.26), не влияет на наше решение и поэтому нет необходимости
в ее построении. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить
выражение (9.26) в соотношение (9.27) и воспользоваться
условием (9.28). В итоге получаем, что ожидаемая полезность й(к)
лотереи Lk зависит от т\(-) только через аддитивную постоянную
%пНп)г\(п)9 -которая сама ,н<е зависит от k. Следовательно,
функция г)(-) не оказывает никакого стратегического влияния в таких
ситуациях: она существенна только для тех задач принятия
решения, в 'которых временной горизонт может изменяться в
зависимости от нашего решения.
Вытекающие отсюда следствия, облегчающие построение
функций т](-) и в(-)> очевидны: для построения 8(*) можно
воспользоваться равноценными лотереями, в которых мы не можем
повлиять на временной горизонт, но для построения г\(*) нам
потребуется определить замещения между уровнями (равномерных,
например) потоков и их протяженностью.. Существуют, конечно,
самые разнообразные способы реализации этих идей, но мы в
качестве конкретного примера рассмотрим подход, который может
485

быть полезен при анализе ситуаций с равномерными потоками
(x*t=x* и x°t=x°) и где при прочих равных условиях более
дальний горизонт предпочитается более близкому.
Прежде всего для каждого п>п° рассмотрим две лотереи, Lo
и L\ (см. рис. 9.1). В обеих лотереях с одной и той же
вероятностью 1/2 реализуются горизонты протяженностью п—1 и п. В Lo
такое ?, vmofo/ ,
{#*«#* t~79...,ri) / {^^^=/,...,^}
S...,^-/}
Рис. 9.1. Квантификация предпочтений для лотерей, исходы в которых
относятся к различным ©ременным горизонтам
мы получаем либо («лучшее») последствие, в котором д:*
представляет собой уровень равномерного потока, в то время как
временной горизонт составляет п—1, либо («наихудшее»)
последствие, в котором х° есть уровень равномерного потока и
временной горизонт равен п. В L\ мы получаем некоторое
«промежуточное» последствие ?, представляющее собой уровень равномерного
потока при тех же значениях горизонта. Приступая к процессу
квантификации, опрашиваемому лицу задается вопрос типа: «При
каком значении g Вам безразличен выбор между Lo и L{>». Если
мы получим ответы на этот вопрос для каждого п>п°, то тем
самым мы определим некоторую совокупность равноценных
последствий {|п, n°<n^Z'n*}, что позволит нам вычислить в(-), но
с точностью до постоянного множителя. Действительно,
ожидаемые полезности, вычисляемые с помощью соотношения (9.26), для
Lo 'и Lx будут следующими:
Поскольку величина |п была определена так, чтобы имело место
г7о=йь то
, n<n<n*. (9.29)
и Aп\ п)
Это полностью определяет в(-) с точностью до постоянного
множителя, равного, например, в(п°) =в0.
486

Перейдем теперь к построению т](')- Для построения г)(«) нам
достаточно найти наиболее простые возможные замещения между
уровнем х равномерного потока и протяженностью п временного
горизонта в условиях определенности. Рассмотрим два потока
х»={х« = л°, *=1, ..., п) (и х»-1 ={*, = ?, *=!, ..., я—1}.
Мы ищем для каждого п>п° такой уровень ?, при «котором нам
безразличен выбор между этими двумя потоками. Это дает нам
совокупность равноценных последствий {?n, Ai°<n^n*}, таких, что
ч(л)=т|(/1—1)+в(я— 1)и(Еп|л— 1). л°<л</Л (9.30)
Поскольку в(-) уже нам известно и определяется выражением
(9.29), то мы можем теперь найти г)(«) с помощью соотношения
(9.30), но только с точностью до аддитивной постоянной, которую
мы обозначим как ц(п°)=цо. Чтобы определить rjo и во,
воспользуемся условиями нормализации и(х*9 п*) = 1 и и(х°, я°)=0. На
этом процесс построения завершается *>.
' Наконец, нам остается рассмотреть следствия, вытекающие из
допущений о независимости по полезности для случая
меняющегося или неопределенного горизонта. В § 9.3, 9.4 'мы рассматривали
ситуации, когда при фиксированном горизонте решения о
«будущем» х* не зависели от «прошлого» xt-\. Теперь естественным
образом распространим эти условия на случай переменных горизонт
тов и потребуем, чтобы наши совместные предпочтения
относительно потока xtn=(xu Xt+u —, Хп) и горизонта п были
независимы от Xi_i для любого L Кроме того, мы можем обобщить
результаты § 9.3 и 9.4. Например, мультипликативня форма в
теореме 9.2 (см. выражение (9.17)) может, как показал Ричард
A972), быть обобщена следующим образом:
Пусть {Xnt, N} не зависит по полезности от Xt-\ для
2^t^n^n* и пусть Хпп-\ не зависит по полезности от Хп при
фиксированной протяженности горизонта п, п°^.'п^.п*. Тогда
l+\ku(xn, n)=\g{n) П [l+kktUiityixt^il+klnWrJiXn)]
(9.31)
для п°^п^п*, если SJJ
Этому результату могут быть даны весьма интересные
интерпретации. Отметим, во-первых, что функции щ(-) не зависят от
протяженности горизонта п> так что их можно построить на
основе выяснения вопроса о замещениях в период t независимо от п.
*") По-видимому, осуществление многих из этих этапов построения является
затруднительным, и на практике их следовало <5ы дополнить различного рода
исследованиями чувствительности. Более того, если величина л*—п° достаточно
велика, то наши вопросы, обращенные к опрашиваемому лицу, касались бы
только нескольких репрезентативных значении л, и далее была бы
произведена интерполяция полученных результатов для других значений п.
487

Функции wn(•) сотоветствуют полезностям «конечного состояния»;
например, для личных решений экономического характера они
соответствуют полезности «оставляемого наследства» к концу жизни*
Одна такая функция полезности «наследства» должна быть
построена для каждой возможной «продолжительности жизни».
Во-вторых, заметим, что выражение (9.31) не содержит в себе
аддитивной функции от п в том смысле, как это имеет место для
ц(п) в выражении (9.26). Из этого следует, что все функции в
(9.31) могут быть построены без решения вопросов, связанных
с замещениями между уровнями равномерных потоков
потребления и их продолжительностью п. И все-таки функция (9.31),
будучи полностью построенной, может быть использована для
получения ответов на вопросы, которые связаны с такими
замещениями! Иными словами, даже не делая выбора между
альтернативами, которые затрагивают «продолжительность» нашей жизни,
мы тем не менее получаем «информацию, которая показывает, в
какой мере мы согласны уменьшить уровень своего потребления,
чтобы увеличить продолжительность «нашей жизни», если мы
верим тем допущениям о независимости, которые- ведут к
соотношению (9.31).
Это показывает, насколько далеко идущими могут быть такие
допущения о независимости и насколько нужно быть осторожным
при проверке того, действительно ли приемлемы все вытекающие
из них последствия.
Те результаты, связанные с полусепарабельностью, которые
были «рассмотрены в § 9.4, могут быть обобщены подобным
образом, и из них вытекают не менее интересные свойства,
аналогичные рассмотренным выше. Если опустить второе из условий, на
которых основывается соотношение (9.31), то, как показано в
приложении 9А, функция совместной полезности Хп и N имеет
вид
(9.32)
Проблема квантификации предпочтений при п°<п^п*
сводится к построению двух функций а* (•) и &* (;) для каждого
возможного года «жизни», 1^/s^/i*, и к /построению одной функции
wn(-) для каждого возможного года «смерти», rf^Zn^n*.
9.6. ПОЛЕЗНОСТИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СОСТОЯНИЯ *>
Все многомерные структуры и(х), которые мы до сих шор
рассматривали, были получены в предположении, что предпочтения
для «отдаленного» будущего Xt+\ не зависят по полезности от
«ближайшего» прошлого Xt для всех l^t^n. И все-таки во мно-
*> Здесь читатель может перейти прямо к § 9.7. В этом параграфе
дается обзор современных исследований в этой области.
488

гих случаях мы едва ли можем ожидать, что люди будут
действовать столь сверхрационально. Например, наша привычка к тому
уровню жизни, который у нас был ранее, может сильно влиять и на
наши уровни притязаний, и на нашу склонность (или несклонность)
к риску, опять-таки в соответствии с нашим предшествующим
опытом *). Не удивительно, если мы будем 'больше ценить высокий
уровень жизни после периода относительных лишений и, наоборот,
будем меньше возражать против (временного) снижения уровня
жизни, если будем знать, что за ним последует период изобилия.
Все это примеры зависимости по полезности: наши предпочтения,
относящиеся к будущему, испытывают на себе влияние нашего
прошлого опыта, кроме того, для «-ближайшего» будущего они
зависят от перспектив в «отдаленном» будущем. В этом Параграфе
рассматриваются особые структуры полезности, применимые в
таких случаях.
9.6.1. Эффективные прямые и обратные дескрипторы состояния.
Рассмотрим и(хи **+i) как функцию полезности для Xt+\ (для «бу-
дущего»), когда Xt («прошлое») зафиксировано. Поскольку Xt+\
зависит по полезности от Хи т. е. прошлое имеет значение, u(xtf
—>• ->
xt+i) как функция от x*+i не является стратегически эквивалентной
<- -»- <-
функции u(x't, x*+i) для всех х'*. Тем не менее полезность потока
xt+i в действительности может зависеть лишь от определенных черт
прошлого, а не обязательно от всего того, что содержится в пол-
ном описании прошлого х*. Поэтому естественно ввести дескриптор
прошлых состояний st(xt). Этот дескриптор st(•) может быть
вектором, хотя скорее всего меньшей размерности, чем х*, и обладает
тем свойством, что два различных потока в прошлом xt и х'*, кото-
рые характеризуются одним и тем же St [т. е. St(xt) =s(x'*)],
приведут к стратегически эквивалентным функциям полезности
будущего. Мы можем затем рассмотреть условную полезность Xt+\
при заданном Xt как функцию от st, а не от xt. Обозначим ее че-
_> _>. ч- <-
рез мЖ|(хж|5*(х*)). Это — «будущая» полезность потоков,
начинающихся в период ?+1.
До сих пор мы требовали лишь, чтобы $*(•) был более
экономичным описанием прошлого по сравнению с х*, но все же
адекватным для принятия решений, связанных с x*+i. Теперь зада-
димся вопросом: является ли s*(#) в некотором смысле настолько
*> Чтобы выделить в явном виде подобные уровни притязаний в
определенном контексте, Белл A975) строит различные функциональные формы
функций полезности для временных потоков, вводя зависимости по
предпочтению между соседними периодами. См. п. 7.7.9).
489

экономичным дескриптором, насколько это возможно для данной
цели? Будет называть st(*) эффективным дескриптором
состояния прошлого тогда и только тогда, когда для любого состояния
прошлого st из стратегической эквивалентности Ut+i(-\st) и
ut+t(*\s't) следует, что st^s't. Иначе говоря, мы требуем, чтобы
всем х*, которые ведут к стратегически эквивалентным (по отжь
шению к Xt+\) функциям и(хи •)> соответствовал один и тот же
дескриптор St.
Точно так же мы можем определить дескрипторы будущего со-
стояния St+$xt+$y которые дают менее подробное, но более
экономичное описание отдаленного будущего, достаточное для
принятий решений, связанных только с ближайшим будущим и
относящимся к х*. Аналогично можно ввести понятие эффективного
дескриптора, т. е. Si+i(*) эффективен, если из ut(xt\St+\) ~
~ut(xt\s't+i) следует, что sw = s'w.
В работе Мейера A975) 'был установлен ряд интересных
результатов, связанных с эффективными дескрипторами состояний,
но, поскольку сама теория еще не до конца доведена до рабочего
состояния, мы ограничимся лишь неформальным изложением
сущности некоторых результатов.
Начнем с самого важного. Эффективные дескрипторы
состояния обязательно включают в себя «новейшую» информацию,
причем учет этой «новейшей» информации происходит
последовательно. Например, st(-) является функцией только от s*-i(-) и хи
Аналогично, st(-) является функцией только от $ж(-) 'и *<•
Далее, если t<t' и нам нужно получить условную функцию
полезности, определяемую для частичного потока (xt+u ..., Xf) при
фиксированном как прошлом хи так и будущем хг+ь то
зависимость от xt и xt>+i проявляется только через st(xt) и s^+i(A:i'+i).'
Наконец, изучение условий согласованности приводит к
установлению ограниченного числа особых структур, построенных
таким образом, что входящие в них дескрипторы состояний
позволяют производить последовательный учет «новейшей»
информации и в то же время являются достаточно гибкими для их
использования в аналитической работе. Эти структуры могут быть
использованы в тех случаях, когда допущения о независимости по.
полезности оказываются неприемлемыми. Полученные результаты
свидетельствуют о том, что применение эффективных
дескрипторов состояния открывает перед нами большие возможности в
моделировании предпочтений, относящихся к временным потокам.
490

9.7. ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ
До сих пор в этой главе рассматривались специальные
структуры полезности для временных потоков. Но специфика
проблемы принятия решений, относящихся к временным потокам,
отличается от обычной статической проблемы принятия решений,
рассматриваемой в традиционной многомерной теории полезности,
до крайней мере >в двух отношениях:
1. Число функций одной переменной, которые нужно построить,
как правило, очень велико. Например, если мы собираемся с
помощью развитой нами теории помочь принять решение лицу,
находящемуся в середине своей карьеры и имеющему впереди еще
50 лет жизни, нам необходимо (если в качестве основного
временного периода используется год и если справедливы довольно
сильные допущения, приводящие к соотношению (9.31)) построить
по две функции для каждого года (полезности «потребления» и
полезности «наследства»), т. е. мы должны иметь в общей
сложности 100 функций одной переменной, выражающих
субъективные представления данного лица!
2. Функции одной переменной, применяемые при решении
проблем, связанных с временными потоками, обычно обладают
особыми свойствами. Функции полезности для обычно используемых
критериев (скажем, потребление, доход, наследство, или,
например, загрязнение), как правило, характеризуется положительными
функциями несклонности к риску, точнее, убывающими
положительными функциями несклонности <к риску и притом в широком
диапазоне. Эти 'качественные свойства должны приниматься во
внимание как при построении указанных функций, так и при их
интерполяции.
Рассмотрим эти два аспекта в обратном порядке.
9.7.1. Построение одномерных функций полезности. Самыми
простыми семействами одномерных функций полезности являются
семейства с одним параметром, как, например, экспоненциальные
функции и(х) =—е~гх, где г>0 при положительной функции
несклонности к риску (ом. § 4.6). Это семейство отражает
постоянную несклонность -к риску в том смысле, что «надбавка» за риск,
которую 'мы согласны заплатить, чтобы избежать риска,
связанного с участием в лотерее х, зависит только от нашего
отношения к лотереям с малым диапазоном выигрышей (х—х), а вовсе
не от среднего уровня х. Если принимаемые решения связаны с
какими-то расходами и финансовым положением, то мы скорее
всего не согласимся с подобным представлением нашего
возможного поведения, ибо большинство из нас считает, что наша
«надбавка» за риск для такой лотереи (с очень малым диапазоном
колебаний возможных результатов) должна уменьшаться с
ростом х. Поэтому часто высказывалось мнение, что из всех одно-
параметрических семейств самым подходящим является семейство
функций, отвечающих постоянно-пропорциональной несклонности
к риску: и(х)=—.г~р, где р>0 (см. § 4.2). Это семейство обладает
491

тем свойствам, что пропорциональным лотереям соответствует
пропорциональная надбавка за риск. Иными словами, если х есть
лотерея, участвуя в которой мы можем приобрести или потерять
какой-то определенный, заданный процент от х, то наша надбавка
за риск тоже выражается в виде •некоторого процента от х при
любом х. Представляется весьма привлекательным принять в
качестве разумного допущения, что, рассматривая вопрос об
участии в лотерее, обладающей равновероятными исходами в виде
возможного колебания потребления в «следующем году в .±10%,.
мы, чтобы избежать риска, предпочтем сделать страховой взнос,,
равный какому-то определенному проценту от х, например 2%
от хь при любом значении х. Однако экспериментальные данные
(полученные для широкого круга испытуемых лиц)
свидетельствуют о следующем.
1. Чтобы найти значение р, испытуемых просили ответить на
вопрос о величине детерминированного эквивалента для лотерей
с двумя равновероятными исходами (лотерея 50—50).
Полученные в результате значения р для наших испытуемых;*> были
подозрительно близки к р = 0. Действительно, семейство —х~о
приближается при р->0 к логарифмической функции полезности In*.
Эта полезность обладает тем свойством, что рассматриваемая
лотерея с равновероятными исходами E0—50) при равных
возможных логарифмических изменениях (например, удвоении или
делении на два) в годовом потреблении равноценна для нас наше-
м«и исходному состоянию, т. е. тому, что мы имеем наверняка.
Иными словами, испытуемый, чей первичный для него уровень
потребления**) составляет около 10 000 дол. в год, может быть
безразличен в выборе (для отдельного взятого года) между
получением наверняка 10000 дол. в год и участием в лотерее с
выигрышами .в виде годового дохода в 5000 и 20 000 дол.
2. В ситуациях, когда возможные исходы лотерей выходили за
пределы тех денежных сумм, с которыми они привыкли иметь
дело, типичные испытуемые обычно проявляли меньшую
несклонность к риску, чем это должно было бы быть при
пропорциональной несклонности к риску. Например, тот же испытуемый, о
котором говорилось выше, если ему предложили бы более
благоприятную лотерею с исходами в 10 000 и 40 000 дол. годового дохода,
ответил бы, скорее всего, что равноценным эквивалентом для этой
лотереи является гарантированный годовой доход, превышающий
20 000 дол. В результате оказывается, что семейство функций
полезности с постоянной пропорциональной несклонностью к риску,
хотя и является наилучшим из всех известных нам однопарамет-
рических семейств, все же не обладает необходимой гибкостью и
возможностью адаптации, что затрудняет его использование при
*> Ниже мы покажем, что функция и(х) должна быть ограничена при
больших лс, поэтому р>0.
**> На самом деле мы должны говорить о потреблении выше некоторого
минимального «прожиточного» уровня жизни. Здесь и выше рассматриваются
только такие ситуации.
492

моделировании мнений типичных испытуемых для достаточно
широкого диапазона уровней потребления.
Таким образом, нам приходится продолжать поиски
заслуживающих доверия простых одномерных функций полезностей.
Прежде всего рассмотрим, какими свойствами должны обладать такие
функции. Если критерием является потребление, то должен иметь
место такой (пусть и неточно известный) уровень потребления
(условно говоря, некоторый «прожиточный» минимум), при
«котором полезность падает очень круто, © идеальном случае
вертикально. Правее этого уровня, при очень больших х, следует
ожидать, что полезность останется ограниченной. Причиной этого
является следующее. Предположим, что складывающееся у Вас
положение дел равносильно участию в лотерее E0—50), от
исходов которой зависит Ваш годовой доход в следующем году. Если
Вы проиграете, то Ваш годовой доход будет равен 5000 дол. в год
без всякой надежды на улучшение. Если Вы выиграете, то
получите огромные суммы — 108, 109 дол. или больше, если Вы
пожелаете, но Вы должны будете потратить все это в течение
следующего года. Назовем этот выигрыш х*. В такой ситуации
большинство из нас с радостью согласилось бы получить верные
106 дол. в год вместо участия в этой лотерее и наш выбор не
зависел бы от того, как велико будет х*. То есть для нас
0,5[иE0СЮ)+и(**)]<мA06), независимо от jc*. 1тск>да ясно, что
полезность и (х*) должна быть конечной величиной (а потому и
ограниченной) для произвольно большого х*.
Так как и(х) ограничена справа и вертикально «падает»
слева *>, удобно принять ее везде отрицательной и положить и->0
при д:->-оо. Это, в частности, верно для одномерных полезностей
в мультипликативных структурах, таких, как (9.31), так как там
мы имеем произведение функций полезности для одного периода,
причем ни одна из этих функций нигде не должна менять свой
знак\ Чтобы продемонстрировать это обстоятельство,
предположим, что в соотношении (9.31) множитель, относящийся к хи
изменил свой знак при xt = x°t. Тогда, если и(х)—возрастающая
функция по xv, г'Фг, при Xt>x°u то она будет убывающей
функцией по х%- при xt<x°t. А такое изменение направления
возрастания предпочтительности для всех Xf, ?Фг, неприемлемо,
особенно тогда, когда оно получается вследствие бесконечно малого
изменения в Xt (от x°t—8 до x°t+v, где |е| произвольно мало).
*) Интуитивно ясно также, что, строго говоря, функция полезности
должна быть ограничена слева. То есть, если х° означает наш «финансовый крах»,
то и(х°) не должна обращаться в —оо. Доказательство здесь таково. Пусть х°
равносильно для нас «финансовому краху», х°<х'<х", и пусть получение
наверняка х' всегда будет более предпочтительным (для нас!), чем участие в
лотерее, которая приводит к х° с вероятностью р и к х" с вероятностью 1—р9
в том числе и при достаточно малом р. Отсюда и(х°)Ф—оо. Если положить и(х°)
равной некоторому конечному значению, то в качестве и(*) можно взять
неотрицательную функцию. Тем не менее во многих приложениях удобнее
допустить, что и(•) не ограничена слева, и в этом случае мы должны пользоваться
отрицательными функциями и(*), и(»)<0.
493

Заметим, что общий вид зависимости, полученной выше для
одномерных функций полезности потребления, подходит и для
критериев, по своему смыслу значительно отличающихся от
потребления, например для критерия, характеризующего чистоту
воздуха. Если бы мы в качестве одного из критериев использовали
концентрацию загрязняющих веществ (например, число частиц в
1 см3), то мы столкнулись бы с тем фактом, что более высокие
значения критерия оказываются менее желательными, что
разумеется, совершенно неверно. Поэтому вместо этого показателя
целесообразно использовать величину, обратную уровню
загрязнения, т. е. описывать чистоту воздуха с помощью числа
кубических, сантиметров чистого воздуха, приходящихся на одну
частицу. Обозначим эту меру чистоты воздуха через X. Далее
существует примерная нижняя граница для х, ниже которой воздух
становится непригодным для человека. Поэтому при приближении к
ней полезность очень резко падает; естественной идеализацией
здесь будет снова принять «вертикальное» падение. Справа, для
"очень больших х, мы опять приближаемся к верхней границе в
основном по той же причине, что и раньше: рассматривая
лотерею E0—50), исходами которой являются сильно загрязненный
и абсолютно чистый ©оздух, мы наверняка предпочтем вместо
этой лотереи иметь какое-то конечное значение показателя
чистоты воздуха, /которое мы могли 'бы получить без всякого риска.
Функция полезности, как показывает следующий пример, также,
возможно, будет свидетельствовать о нашей несклонности к риску.
Рассмотрим лотерею E0—50), исходами которой являются
чистота воздуха, измеряемая соответственно 2 и 10 см3/частица.
«Средняя» чистота 6 см3/частица. Пожалуй, большинство людей
предпочло бы вместо данной лотереи иметь наверняка эту
«среднюю» чистоту. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ту же
возможность выбора в терминах концентраций загрязняющих
веществ, т. е. готовность рискнуть и с вероятностью 0,5 получить
увеличение загрязненности на 1/3 частиц/см3 (загрязненность
воздуха увеличится © этом случае с 1/6 до 1/2) ради получения с той
же вероятностью 0,5 уменьшения загрязненности на 1/15
частиц/см3 (т. е. с 1/6 до 1/10). Такая готовность кажется
маловероятной. Наш выбор в пользу получения 1/6 наверняка говорит о
несклонности к риску при использовании данного критерия
чистоты воздуха.
Если при рассмотрении функции полезности имеются основания
для использования семейства функций полезности, отражающих
убывающую несклонность <к риску, то мы напомним читателю о
довольно широких возможностях, предоставляемых «суммой
экспонент» вида
и(х)=— е~ах—с~Ъху а>Ь. . (9.33)
Эти так называемые аддитивно-экспоненциальные функции
оказываются вполне приемлемыми в качестве функций полезности
для тех диапазонов, которые нас интересуют. Вычислительные
494

аспекты, связанные с конкретным 'нахождением («подгонкой»)'
этих функций на основании экспериментально полученных точек,
описаны в работе Шлейфера A971). И все-таки мы хотели бы
здесь отметить, что аддитивно-экспоненциальные функции
оказываются неадекватными, когда диапазон их определения
становится слишком большим. Здесь необходим теоретически 'более
обоснованный метод «интерполяции, хотя при численных расчетах мы
в'полне можем использовать и эти аддитивно-жопоненциальные
функции.
9.7.2. Построение многомерных функций полезности.
Проиллюстрируем процесс построения многомерных функций полезности
для временных потоков и возникающие здесь проблемы на
примере построения функций полезности временных потоков
потребления на «протяжении жизни» и «остающегося наследства».
Структура функций полезности будет взята такой, чтобы
удовлетворялись соотношения (9.31); полностью процесс построения описан
в работе Ричарда A972).
Допустим, что нами используется (ib свете изложенного в
предыдущем пункте) функция полезности щ индивидуальных лиц в
виде аддитивно-экспоненциальных функций, поэтому каждая из
функций полезности будет определяться с помощью трех
детерминированных эквивалентов. Именно оии должны быть
экспериментально установлены. Если 'нам сейчас 40 лет, максимальная
продолжительность жизни 100 лет и за период берется один год, то
надо построить 120 функций, т. е. определить 360
детерминированных эквивалентов, что, естественно, гораздо больше, чем нам
нужно, чтобы выразить свое отношение к этим вопросам. Чтобы
несколько уменьшить это число, мы примем, что наши отношения
будут довольно медленно изменяться от года к году, поэтому
достаточно, вероятно, будет проводить оценку наших полезностей
через 5 лет. В промежутках этих пятилетних интервалов мы можем
либо считать, что наши полезности остаются прежними, либо
гладко проинтерполировать три параметра а, & и с, фигурирующие в.
выражении (9.33), от года к году. Таким образом, число
детерминированных эквивалентов, которые надо найти, уменьшается
до 3X24 = 72, что уже более приемлемо.
Каковы должны быть области определения этих 24 функций
полезности? Опыт показывает, что:
1. Лотереи, которые предлагаются опрашиваемому лицу,
должны (быть достаточно «емкими» с тем, чтобы не было
стесненности; «нас «интересует отношение к риску «в большом».
2. Предлагаемые лотереи в своей совокупности должны
покрывать 'весь диапазон возможных уровней «потребления» и
««наследства», с которыми опрашиваемое лицо может встретиться в жизни»
Для того чтобы придать этим лотереям реальный характер,
опрашиваемому лицу прежде всего задается серия вопросов, с
помощью которых устанавливается общий диапазон возможных
уровней потребления на протяжении всей жизни этого человека.
Далее происходит расширенная «беседа» с опрашиваемым лицом
495

'(при этом используется программа для ЭВМ с разделением
времени), в процессе которой ему задаются вопросы шести типов:
1. Распределение крупных сумм. Допустим, что Вам надо
распределить 600 000 дол. для расходования (без учета инфляции) в
течение остающихся 60 лет Вашей жизни (при этом Вы уверены,
что доживете до 100 лет). Как Вы распределите эту сумму?
Примечание: эта сумма предназначается для расходов, связанных
именно с потреблением, т. е. Вы не можете рассчитывать на
получение каких-либо выгод (например, доходов в последующие
годы) от потраченных денег. Какой бы способ тратить деньги Вы
ни выбрали, Вы должны довести эту сумму до 600 000 дол.
Ответом #а этот вопрос будет определенная последовательность
годовых расходов, которую мы обозначим через *={*ь ..., *бо}-
Конечно, нам нужен ответ только для каждых пяти лет, а в
промежутках мы можем применить интерполяцию.
2. Размер «наследства», совместимого с потоком потребления.
Предположим, каким-то образом Вам стало известно, что Ваш
жизненный путь закончится раньше, чем Вам исполнится 100 лет,
скажем, в конце года t, считая от текущего года. Допустим, что
Вы до этого события будете обладать потоком потребления
{хи х2, ..., xt}, «который Вы выбрали при ответе на первый вопрос.
Какую величину оставляемого Вами «наследства» zt Вы сочтете
совместимым с этим потоком потребления, которым Вы обладали
на протяжении своей жизни? Уточним смысл нашего вопроса:
пусть zt предназначается Вашим потомжам (после уплаты
налогов) и у Вас в настоящее время есть возможность перевести часть
денег из потока х\, ..., к% в z%. Считаете ли Вы необходимым
поступить ^аким образом или, напротив, Вы не хотели бы этого делать,
поскольку считаете совершенно справедливым и правильным тот
баланс между потоком Вашего потребления на протяжении
Вашей жизни и оставляемым Вами наследством, который имеет
место в настоящее время? Ответом на этом вопрос является
последовательность z={ib ..., z60}.
3. Полезности потоков потребления. При построении
аддитивно-экспоненциальной функции полезности потребления для
каждого пятого года используется специальная' программа для ЭВМ,
работающая в интерактивном (диалоговом) режиме. Прежде
всего, для этого года необходимо установить минимальный
«прожиточный» уровень жизни. Как правило, этот уровень немного ниже
официального уровня «бедности», например 3000 или 4000 дол.
для семьи из четырех человек. Первая лотерея, предлагаемая
опрашиваемому лицу, построена так, что ее исходы соответствуют
различным уровням потребления, меняющимся от практически
необходимого «прожиточного» минимума до уровня, в несколько
раз (в 2 или 3 раза) большего, чем хи т. е. ранее установленного
уровня для соответствующего года. Таким образом, у этой
лотереи очень широкий диапазон. Две другие лотереи подразделяют
этот диапазон так, «как это описано в § 4.9.
496

Результатом является последовательность
аддитивно-экспоненциальных функций полезности {«*(•)» *=1> »., 60}. В тех
интерактивных программах, которые были составлены для облегчения
процесса построения функций полезности с помощью диалоговых
процедур, было заложено предположение, что искомые функции
полезности должны отражать несклонность к риску.
4. Полезности «наследства». Процедура построения,
изложенная выше для вопроса 3, повторно применяется и при получении
последовательности аддитивно-экспоненциаль'ных функций полез-
ностей «наследства» {wt(-)9 /=1, ..., 60}. Диапазоны оценок
располагаются вокруг последовательности z, при этом обычно в
качестве минимального используется нулевое значение (нулевой
уровень) (наследства (аналог минимального жизненного уровня), хотя
это и не обязательно.
5. Несклонность к риску в отношении временных потоков.
Лотереи, использовавшиеся при получении ответа на третий вопрос,
относились к потреблению в течение одного отдельного года.
Насколько более отрицательно Вы будете относиться к риску, если
от исходов лотереи будет зависеть Ваше потребление иа
протяжении более длительного периода, скажем 5 или 10 лет?
Программа выделяет период в пять лет (например, в середине
жизненного пути) и предлагает лотерею с самым широким
диапазоном исходов, использовавшуюся в вопросе 3 для отдельного
репрезентативного года того же периода, при дополнительном
условии, что результатохМ розыгрыша лотереи будет уровень Вашего
потребления во все пять лет. Насколько Вы снизите величину
своего детерминированного эквивалента? Ответ (на этот
отдельный вопрос определяет несклонность к риску в отношении
временных потоков, измеряемой коэффициентом k в выражении (9.31).
6. Распределение потребления при неопределенной
продолжительности жизни. Это самый трудный вопрос и в смысле его
объяснения, и в смысле ответа иа него. Его целью является построение
функции g(n), фигурирующей в выражении (9.31). Из
высказанных нами (после вывода выражения (9.31)) соображений следует,
что g(n) может быть построена после получения ответа на
вопрос о распределении потребления при неопределенной
продолжительности. Имея это в виду, мы для каждого пятого года задаем
следующий вопрос (см. рис. 9.2, раскрывающий смысл этого
вопроса):
«Рассмотрим два следующих друг за другом пятилетних периода после t0.
Допустим, Вам становится известно, что с вероятностью 0,5 Ваш жизненный
путь закончится либо в году ^ = /0+5, либо с той же вероятностью 0,5 в году
*2=/о+10; иными словами, Вам известно, что так или иначе к концу
десятилетнего периода это непременно 'произойдет. До момента времени t0 Вы будете
пользоваться потоком потребления (х1у ..., xt0), который Вы установили в
ответе на вопрос 1. Если это роковое для Вас событие произойдет в году tu то
ваши наследники -получат наследство 2tl, а если в году t2, то наследство
будет ztt, в соответствии с Вашим ответом на вопрос 2. За десятилетний период
от U до h Ваше общее потребление составит х=2х< (где t принимает
значения от *о+1 ДО /о+Ю); иными словами, это то потребление, которое будет в
497

Ситуация: общая сумма, которую Вы можете истратить
на потребление в течение Юлет, от tn Во t?>
составляет Величину х.
Вы должны установить размер Ваших еже-*
годны к расходаff на потребление в течение
периода бремени от to до ±р
Допустим, что вероятность тога, что Ваш.
жизненный путь закончится в году if, coc~
тавляет 0,5. .
Если этане произойдет, Bbt сможете
истратить на потребление в течение
оставшихся пяти лет, от tj до tZt только х-бх!
Допустим, что рассматриваемое событие
произойдет в tz.
7прос; на ко в а будет устанавливаемая Вами
Величина ссг?
//аследстВо
Наследства
Поток с равномерным \
потреблением
на уровнехТ ^_!^
на протяжении ^н~
пяти лет \
Поток с равномерным \
потреблением \
на уровне х"
на протяжении I
пяти лет \
I
iff
tz
Вероятность
Шнпго событий
составляет
0,5
Вероятность
данного событий
составляет
dff
Рис. 9-2. Распределение потребления при неопределенной продолжительности
ЖЙЗН'И
вашем распоряжении. Теперь Вы должны решить и именно сейчас, какую долю
от л: Вы будете ежегодно потреблять- ^ в течение первых пяти лет. Пусть эта
сумма будет равняться х' в год, тогда поток потребления за пять лет составит
5х'. Ясно, что Бх' должно быть меньше, чем вся возможная величина х.
Допустим, что остаток х—Ьх' будет автоматически равномерно распределен .по'
последующему пятилетнему периоду, т. е. Вы будете обладать равномерным пороком
потребления с годовой суммой потребления в x"=0,2x—xf на протяжении
последующих пяти лет, если Вы проживете дольше t\. Если Ваш жизненный путь
окончится в году tu то сумма Ьх"=х—Ьх' теряется, так что Вы должны
установить замещение между возможной потерей Ьх", если данное событие
произойдет в году tu и необходимостью ограничиться довольно низким (может быть,
нежелательным для Вас) уровнем потребления, если ничего не случится.
Поскольку ответить на такой вопрос трудно, составленная
интерактивная программа предполагает итеративный характер
беседы, в ходе 'которой возможен возврат и анализ ранее полученных
ответов с точки зрения значения для Вас каждого
дополнительного года жизни. В процессе нашего обсуждения выражения (9.31)
было указано, что, при принятых допущениях согласованные ре-
498

шения о замещениях, связанные с продолжительностью жизни,
могут быть получены из оценок, относящихся к распределению
потребления лишь при неопределенной продолжительности жизни.
В интерактивных программах, применяемых в ходе диалога, при
построении функции полезности существенно использовались эти
свойства.
Эти программы реализованы на ЭВМ DEC SystemlO в
Гарвардской коммерческой школе и использовались для построения
функций полезности потребления в течение жизни для
разнообразного состава испытуемых. Исследования структуры
оптимальных экономических решений, принимаемых этими людьми,
продолжаются. Некоторые из этих исследований описаны в работе
Ричарда A972).
9.8. ПРОЦЕСС «РАСКРЫТИЯ» НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
И ЕГО ПРОТЯЖЕННОСТЬ ВО ВРЕМЕНИ
В § 9.1 мы уже кратко обсудили группу проблем,
подпадающих под эту рубрику. Теперь мы их рассмотрим более подробно.
Имеется три четко разделенных типа вопросов, относящихся к
отсроченному (в противоположность немедленному) «снятию»
(«р аскрытию») !Неопределен н ости :
1. Эволюция наших функций полезности во времени,
вызываемая изменением нашего опыта и предпочтений.
2. Беспокойство, которое вызывается «неснятой»
неопределенностью.
3. Необходимость «подстраховки», чтобы обеспечить себе
необходимую гибкость и возможность изменения будущих действий
в соответствии с поступающей информацией.
Рассмотрим каждый вопрос отдельно.
9.8.1. Эволюция функций полезности. Допустим, как и раньше,
что мы намерены предпринять действия, которые отразятся
(вероятно!) на потоке последствий х. Допустим далее, что наше
отношение к х, т. е. наша функция полезности, будет зависеть от
некоторых других неопределенных событий в, которые также
могут быть временными потоками и на которые в
противоположность х не 'влияют наши действия. Для конкретности рассмотрим
два примера.
1. Пусть мы сейчас находимся в середине нашей карьеры.
Обозначим через х поток денежных средств, которые мы будем
получать в виде пенсии после 65 лет. Этот поток, очевидно,
зависит от карьеры, сбережений и капиталовложений, которые мы
предпримем в будущем. Пусть в отражает наши вкусы,
сформировавшиеся к 65 годам нашей жизни: нравятся ли нам больше
лутешествия или разведение своего садика, предпочитаем ли мы
теплый или холодный климат и т. п. Ясно, что наше отношение
.к х будет зависеть от того, каким окажется в. Заметим, что мы
будем узнавать о в постепенно, отсюда мы можем считать в
499

постоянно возрастающим потоком наших знаний об
окончательном в.
2. Пусть х обозначает поток нашего потребления, а в —
последовательность состояний семейного положения, через которые
мы 'пройдем. Мы можем, начав холостяком, далее жениться, иметь
k детей, развестись, снова жениться, заиметь еще одного ребенка
и т, д. Ясно, что полезность для нас потока х будет зависеть от
в, даже если наши решения, отражающиеся на х, могут не влиять
на в.
Для правильной формулировки такой задачи необходимо,
чтобы мы использовали для х и 6 нашу совместную функцию
полезности м(х, в), даже если наши решения на в не влияют. Опе-
циальный пример для иллюстрации этого обстоятельства уже
рассматривался в § 9.5, где в роли в выступала неопределенная
продолжительность жизни. Аналогичная проблема обсуждалась и
в § 4.12. Простодушно было бы полагать, что если f(S) есть
функция плотности вероятности для в (и в не подвержено
влиянию наших действий, то
и* (х) = J / (в) и (х, в) de (9.34)
подойдет в качестве функции полезности для действий, влияющих
на х. Это было бы справедливо, если бы мы не получали никакой
дополнительной информации относительно в до того времени,
пока не были бы предприняты все действия, влияющие на х. Однако
если поток в становится известен постепенно и одновременно с
развертыванием во времени потока х, нам следует действовать
более осторожно. Допустим, что в момент t нам стали известны х*
и в* и мы должны принять решение о xt+\, несмотря на
остающуюся неопределенность относительно
Подходящей функцией полезности в этом случае будет
, в;, вж)<*еж.
Обратим внимание, что эта функция принципиально отличается от
функции полезности и*(х), определяемой выражением (9.34), и ее
нельзя получить в результате простой подстановки известной
последовательности xt в выражение (9.34).
Хотя описанное выше правильное представление функции
полезности теоретически достаточно ясно, его трудно применить на
практике. Какие потоки последствий, кроме х, должны быть включены
в нашу функцию полезности при принятии решений, влияющих
только на х? Действенный ответ здесь таков: все те потоки,
несущие информацию, которая в будущем может оказаться
существенной при принятии решений относительно наших последующих
действий, влияющих на х. Возвращаясь к решениям, связанным с
потреблением и капиталовложениями (см. § 9.7), можно с
уверенностью сказать, что потоки информации, касающиеся таких вопро-
500

сов, 'как положение семьи >и здоровье, несомненно, должны быть
включены в модель, если мы хотим, чтобы она была реалистичной.
9.8.2. Беспокойство, вызываемое неопределенностью. Допустим,
что х включает в себя все потоки существенных последствий (см.
п. 9.8.1) <и что эффект изменяющегося восприятия полезности
полностью учитывается через функцию и(х). Допустим также, что все
решения принимаются в 'начальный момент времени, и поэтому
развивающийся во времени процесс раскрытия (снятия)
неопределенности не может повлиять на «информацию, которую мы имеем в
момент принятия решения. Степень нашего беспокойства,
вызываемого наличием неопределенности, <во многом зависит от
продолжительности процесса снятия 'неопределенности, т. е. от того, когда
разрешаются неопределенности, связанные с х. Если эти
неопределенности разрешаются достаточно быстро, то период
беспокойства и ожидания непродолжителен. Такая ситуация в целом,
безусловно, предпочтительнее, чем затянувшийся период беспокойства
(если, конечно, мы не находим удовольствия в состоянии
«неизвестности). Иными словами, есть все основания к введению функции
полезности для продолжительности и (интенсивности периода
беспокойства, связанного с х, так же, как функции полезности для
самого х.
Постараемся формализовать эту идею. Допустим, что
состояние беспокойства или стресса, вызванное неопределенностью
будущего потока х, может быть квантифицировано потоком s. В
некоторых случаях мы испытываем скорее «радость ожидания», а не
беспокойство; это обстоятельство также будет учитываться в s.
Очевидно, что s является функционалом от двух видов данных:
1. Функции плотности вероятности f (х).
2. Развития во времени процесса, в ходе которого эта
неопределенность в х ('постепенно) раскрывается. Заметим, что Xt> как
правило, будет полностью известно ко времени t, но Xt может
полностью «или частично раскрыться и раньше *>.
Для простоты мы можем считать, что s — это поток «бессонных
ночей». Далее мы строим функцию полезности для х и s (назовем
ее и(х, s)) и «выбираем * действия, которые максимизируют **>
Ех [и(х, s)]. Заметим, что в этой формулировке полезность
возможных х зависит от вероятностного распределения х через
развитие (во времени процесса разрешения неопределенности и степени
этой неопределенности! В статической теорий полезности
независимость 'Полезности х от вероятностного распределения х является
основным следствием аксиом. Здесь же для решений, связанных с
•> В некоторых случаях истинное xt может раскрыться спустя много
времени после свершившегося факта. Например, сколько эмбрионов
сформировалось неправильно в первые месяцы беременности, становится известным только
после рождения. Но такие ситуации нечасты.
**> Для фиксированного действия поток s может также быть
неопределенным, и тогда следует максимизировать Ex , s [w(x,~)].
501

динамическими, временными потоками, представляется
необходимым ввести такую зависимость для того, чтобы учесть
беспокойство, вызываемое неопределенностью. До аих пор еще нет единого
мнения «о том, насколько такая формулировка является (или не
является) сама по себе внутренне согласованной *\
9.8.3. Предвидение и «подстраховка». Допустим, что поток
последствий х включает в себя, насколько это необходимо:
1. Весь имеющийся опыт, относящийся к эволюции функции
полезности во времени, обозначаемый нами через в (см. п. 9.8.1)
2. Всякое беспокойство, которое связано с имеющейся
неопределенностью и ее постепенным снятием и влияет на нашу
функцию полезности; его мы обозначили через s (см. п. 9.8.2).
Получающаяся в результате функция и(х) может
использоваться для выбора альтернатив на основе их ожидаемой
полезности. Хотя потоки вив уже учтены, продолжительность
процесса «снятия» неопределенности все-таки оказывает дополнительное
воздействие на этот анализ: она влияет на степень
«подстраховки», которую мы должны внести в наши ранние действия, чтобы
можно было использовать информацию, которую мы получим
позднее, для соответствующей корректировки намечаемых
последующих действий.
Если неопределенность «снимается» достаточно рано, то мы
сможем хорошо подготовиться к будущему и действовать в
соответствии с этим. Если неопределенность снимается со
значительным запозданием, но у нас имеются «резервные» действия,
которые позволяют внести поправки в последнюю минуту, то мы
предпочтем выждать. Однако этот случай принятия решения
практически не отличается от обычного анализа с помощью дерева
решений. Прежде всего определяется структура дерева действий и
событий. Это дерево должно включать в себя все события,
несущие информацию, в их правильной временной
последовательности. Далее, мы даем оценку конечных состояний с помощью
функции и(х) для потоков х, приводящих к каждому конечному
состоянию. Двигаясь в обратном направлении, мы получим
обоснованную правильную стратегию, сочетающую в себе необходимую
степень предвидения и «подстраховки» **>. Мы подчеркиваем этот
*> Если s° представляет собой состояние, характеризуемое отсутствием
беспокойства или отсутствием радости по поводу имеющейся неопределенности,
то перед нами может возникнуть трудный вопрос: при каком потоке х' для
нас будут равноценны совместные потоки (х, s) и (х, s°) (поток (х, s) заранее
задан)? Сколько мы заплатили бы, чтобы избавиться от этих, возможно
бессонных ночей?
**) Но не нужно думать, что на практике это так легко осуществить,
поскольку дерево решений может быстро стать чрезвычайно сложным. Здесь мы
снова вынуждены искать ответ на вопрос, который лишь внешне выглядит
простым: «Чему равен в настоящее время ваш детерминированный эквивалент
для лотереи E0—50), участвуя в которой, Вы получаете либо нуль, либо
100 000 дол. через 10 лет, если за это время удастся снять имеющуюся
неопределенность?» Если мы тщательно структуризуем эту задачу, то нам,
возможно удастся предусмотреть «резервные» действия и проанализировать внешние
неопределенности, которые могут нам встретиться на всем протяжении этого
502

момент по той единственной причине, что очень часто, особенно
при имитировании реальных ситуаций, постепенное снятие неоп^
ределенности трактуется неверно и уже с самого начала выбор
будущих действий осуществляется так, будто будущая
информация уже известна.
ПРИЛОЖЕНИЕ 9Д
ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ
С УЧЕТОМ ПРЕДПОЛАГАЕМОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ
Нашей целью является построение доказательства того, что
выражение (9.32) вытекает из следующих условий:
I. (Хпи N) не зависит по полезности от Xt-\ для
*
2. u{xnt\ri) зависит от xnt для любых заданных t и п, т. е. мы
можем получить по меньшей мере два значения ии меняя xnt в
пределах указанного диапазона и оставляя при этом t и п
неизменными.
Во-первых, заметим, что из условия 1 следует, что обе функ-
ции щ(хпи п) и Ut+\(xnt+u я) существуют и должны быть
стратегически эквивалентны для решений относительно (хям_ь я), если
мы придадим xt какое-либо определенное значение. Отсюда
щ(х*, п) = at(xt) + bt{xt)ut+1 (х?+jf ri) при 1 < /<л, п° < n<n*9
(9A.1)
где at(*) и bt(*) не зависят ни от п, ни от xnt+\.
Во-вторых, мы принимаем на основании соотношения (9.26),
что
n)ut(xtl\n) при 1<*<я, п°<п<п*.
^ (9А.2)
В-третьих, из условия 1 следует, что Xnt не зависит по
полезности от Xt-\ для любого заданного п и 2^/</г, откуда по
аналогии с выражениями (9.22) и (9.23)
n) при 1 <t<n,
(9А.З)
2) при я°<я<п*, (9А.4)
где Xn(Xn\n)=Un(xn\n).
периода. Следует ли нам рассматривать возможность взятия в долг в надежде
на положительный результат? Можно ли использовать эту лотерею для
определения возможности получения или выдачи ссуд? Многие решения
относительно капиталовложений, а также в области предпринимательства ставят
аналогичные вопросы.
503

Теперь мы готовы доказать соотношение (9.32). Подставим
выражение (9А.2) в обе части равенства (9А.1):
Tfc (Л) + в, (л) Щ $ \n) = Ot (xt) + bt (Xt) [Ц,+1 (П) +
ПРИ l < t < n* n° <n< n*. (9A.5)
Подставим выражение (9А.З) в левую часть (9А.5) и соберем
вместе члены, на которые умножаются щ+\(*\т); это дает нам
4t(n)+et(n)kt(xt | n)—at(xt)—bt(xt)i\t+i(n) =
={bt (xt)Bt+i (n) —et (n) [it (xt | n) ] щ+i (xnt+i | n).
Но поскольку ut+i может меняться независимо от остальных
членов, левая часть этого соотношения, а также выражение в
скобках справа должны равняться нулю. Отсюда для t<n и для всех
п получаем
(xt) 4f+1 (л)—л, (n)f (9A.6)
Теперь нам надо подставить выражение (9А.6) в (9А.4).
Заметим сначала, что
t—I t—i
ПМ*|л) = -5*?тПМ*) при 1<^<п.
в1(П)х=1
Подставляя это выражение в (9А.4), отделим при суммировании
член, соответствующий /=п, поскольку выражение (9А.6)
справедливо только для t<n. После сокращения ряда членов
получаем
n<n*. (9A.7)
Далее подставляем выражение (9А.7) в (9А.2) и получаем
искомый результат
и (хя, п) = % (/г) + 9Х (пК (х« | п) = (9А.8)
xn) П
ГДе Шп^п^Лп^
504

ГЛАВА 10
АГРЕГИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИИ
Лицу, принимающему решение, обычно приходится принимать
во внимание возможные последствия его действий для других
людей. Мотивы при этом могут быть как альтруистическими, так и
эгоистичными, но поскольку мы предпочитаем рассматривать
лишь позитивные побуждения, то в нашем понимании лицо,
принимающее решение, — это человек, руководствующийся высокими
моральными принципами, доброжелательный и исполнительный.
Будем называть такое лицо, принимающее решение, просто ЛПР,
подразумевая, что ЛПР — это человек, который в свои
собственные оценки ценностей хочет включить чувства, оценки
предпочтения и полезности других. Условимся также, что ЛПР — это лицо
«женского рода», и будем, соответственно, употреблять
местоимение «она»*). Она стремится, чтобы все были довольны, но увы—•
приходится искать компромиссные решения, т. е. искать
приемлемые замещения. Эти вопросы и будут рассмотрены в данной
главе. Но прежде чем углубиться в подробности, давайте
рассмотрим эту проблему в более широком аспекте, а именно, как
проблему принятия группового решения. Здесь, однако, необходима
осторожность, ибо, !как мы полагаем, не существует однозначно
понимаемой проблемы. Поэтому нам нужно было бы говорить о
проблемах группового решения.
С описательной (дескриптивной) точки зрения, в
противоположность прескриптивному подходу, большинство действий
предпринимаемых лицами, принимающими решения, может быть
объяснено лишь как результат проявления различных
«взаимодействующих сил и действий, предпринимаемых многими другими
лицами, руководствующимися разнообразными мотивами.
Типичным примером может служить процесс рассмотрения конгрессом
США выдвинутых законопроектов. Это настоящее групповое
действие. Можно изучать теорию таких сложных групповых
процессов и выяснять, как эти процессы протекают «;на самом деле»,
как. можно их улучшить в существующей политической
обстановке, каковы были бы «идеальные» системы, обеспечивающие
принятие справедливых и гибких решений, отвечающих
общественным желаниям, каким образом должны привлекаться граждане к
*) В этой главе мы будем называть ЛПР «она» (she), а всякое другое
лицо, чьи предпочтения «она» принимает во внимание, — «он» (he), и называть
«его» предпочтения. Это поможет нам различать «ее» и «его» предпочтения.
Частично эта принятая нами условность связана с сокращенным названием (в
английской транскрипции) рассматриваемой ниже модели с участием вышестоящего
ЛПР (иначе говоря «she» выступает как сокращение от «supra he», т. е. «она»
есть вышестоящее лицо над «ним»). Проницательный читатель легко заметит, что
эта «хитрость» — классический прием закрепления проблем за определенными
лицами, когда нам приходится принимать во внимание несовпадение интересов.
505

участию в этом процессе и т. п. Список так называемых задач
группового решения бесконечен. Огромное количество литературы
по политэкономии, социологии, антропологии и т, п. посвящено
процессам групповых решений. Ближе всего к содержанию этой
главы стоят работы, упомянутые в основополагающих трудах
Джона фон Неймана по теории игр и Кеннета Эрроу,
относящихся к проблеме группового выбора и индивидуальным ценностям.
Мы могли бы показать, что ни одно решение никогда не
является сугубо индивидуальным, хотя во многих случаях оно может
представляться именно таким (во всяком случае, в первом
приближении). Однако, если мы посмотрим глубже, то увидим, как
взаимосвязаны все решения друг с другом, и что любое решение
является результатом групповых взаимодействий. С другой
стороны, поскольку процесс принятия решений синтезируется в
создании совершенно конкретных людей, мы могли бы доказать, что
каждый групповой выбор решения определяется личными
решениями индивидуумов (возможно, очень многих) и, следовательно,
групповых решений как таковых — нет. Но всякие попытки
разрешить этот философский вопрос, по нашему мнению, не приведут
к плодотворным результатам с точки зрения улучшения
процесса принятия решений.
В этой книге мы подходим к анализируемым проблемам в
основном с позиций отдельно взятого лица, принимающего решения,
и в этой главе такая ориентация сохранится. Мы рассмотрим, как
данный человек сможет систематизировать и учесть мнения других
лиц при формировании собственных решений.
Развивая нашу точку зрения, мы часто будем ссылаться на
работы других авторов, посвященных проблеме принятия именно
групповых, а не индивидуальных решений.
10.1. СИНТЕЗИРОВАНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МНЕНИИ
ЛИЦОМ, ПРИНИМАЮЩИМ РЕШЕНИЕ
. Как обычно, мы предполагаем, что лицу, принимающему
решение, необходимо выбрать одну из нескольких альтернатив. Это
решение будет затрагивать интересы определенных людей.
Мнения и предпочтения этих людей весьма важны для ЛПР,
поэтому она обязательно хотела бы их учесть. Стоящая перед нами
проблема такова: «Как помочь ЛПР провести анализ всех тех
вопросов, которые возникают при рассмотрении стоящей перед ней
задачи?» Конечно, основное внимание здесь следует уделить
структуризации предпочтений ЛПР, но мы снова повторим нашу
основную мысль: ее предпочтения зависят от предпочтений
других. Однако мы не считаем, что здесь имеет место полное
взаимодействие (т, е. полностью интерактивный процесс), иначе говоря,
мы не предполагаем, что предпочтения этих «других» лиц
зависят от предпочтений нашей «вышестоящей» ЛПР.
. 10.1.1. «Чистые» случаи. Суть проблемы принятия решения,
стоящей перед нашей ЛПР, можно проиллюстрировать двумя «чис-
506

тыми случаями». Допустим, что последствия х принимаемого
решения можно описать с помощью критериев Х\9 Х2, ..., ^м.
Допустим также, что главной («общей») целью ЛПР является
«улучшение 'благополучия N конкретных лиц». Мы можем
провести декомпозицию этой цели и представить ее в виде N целей
нижележащего уровня, формулируемых как «максимальное
улучшение благополучия 1-го индивида». Дальнейшая
декомпозиция будет уже связана с проблемой конкретизации целей
отдельных индивидов, например так, как описано в гл. 2. Двумя
важными критериями, обозначим их Vi и Ui (они измеряют степень
улучшения благополучия индивида i), являются функция
ценности Vi и функция полезности щ для возможных последствий х
рассматриваемых альтернатив. Мы остановимся на двух
разновидностях проблемы принятия решения лашей ЛПР: в условиях
определенности и в условиях неопределенности.
Модель принятия решений в условиях определенности. Как мы
знаем, для выбора лучшей альтернативы в условиях
определенности нам достаточно построить, функцию ценности ЛПР,
обозначаемую v, для последствий х. Поскольку основной целью ЛПР
является («улучшение благополучия \N индивидов», то желательно
изучить функциональные отношения, связующие функции
ценности индивидов с функцией ценности ЛПР. Иными словами, если
через Vu V2, ..., Vn мы обозначим N критериев, оценки по
которым выражаются с помощью функций ценности индивидов vu v2,
..., vN, то нам хотелось бы исследовать вид функции vD
(x)t v2(x), ..., vN(x)]9 A0.1)
где v и vD — функции ценности ЛПР. Выражение A0.1)
формально представляет случай принятия решения ЛПР в условиях
определенности. Данное представление основано на ряде
допущений принципиального характера. Во-первых, предпочтения ЛПР
для последствий х полностью характеризуются при помощи
функций vu естественно, при соответствующим образом выбранных
шкалах**. Во-вторых, для всех I структура предпочтений
отдельных индивидов i полностью определяется функциями v^ В-третьих,
(ЮЛ) 'содержит в себе запущение, что ЛПР знает функции Vu
поскольку, если бы она их не знала, то задача стала бы
неопределенной.
Модель принятия решения в условиях неопределенности. В
случае неопределенности нам необходима функция полезности
ЛПР и аля последствий х. Используя те же соображения, что и
в случае определенности, мы обозначаем через
Uu U2, ..., Un
*) Поскольку каждая из функций vi определяется с точностью до поло-:
жительного монотонного преобразования, то прежде чем приступать к
сравнениям индивидуальных ценностей, нам необходимо нормализовать шкалы,
используемые для их измерения.
507

критерии, оценки по которым выражаются с помощью функций
полезности индивидов ti\, u2, ..., uN. Когда мы рассматриваем
«чистую» модель принятия решения в условиях неопределенности,
то нам необходимо найти подходящий вид функции vDy такой, что
u(x)=uD [щ(х)9 и2(х), ..., uN(x)]. A0.2)
Эта модель также основана на ряде существенных допущений.
Самое важное — она предполагает, что заинтересованность ЛПР
в х может быть охарактеризована через функции щ. Кроме того,
предполагается, что структура предпочтений индивида i
представлена функцией щ, для всех и В отличие от модели A0.1)
совсем не обязательно, чтобы ЛПР точно знала все щ, хотя
некоторые виды функции A0.2), которые будут нами рассматриваться,
основаны на этом допущении.
Чтобы исключить возможные недоразумения, приведем
простой пример. Пусть наша вышестоящая ЛПР озабочена
благополучием только двух лиц, индивидов 1 и 2. У каждого индивида
имеются свои предпочтения возможных последствий, и мы
считаем, что эти предпочтения описываются его функцией полезности.
Теперь допустим, что ЛПР стоит перед выбором между
определенным детерминированным 'последств-ием С и лотереей L с
известными возможными исходами — последствиями А и В. Пусть
ЛПР известно, что:
мА1 = 1, *Л = 0, wci=0,4,
иА2=0, ив2=1, ис2=0,4.
Рассмотрим лотерею L. ЛПР, возможно, будет принимать во
внимание (а может быть, и нет) ожидаемую полезность этой лотереи
для каждого индивида. Например, если у ЛПР есть основания
полагать, что А и В одинаково вероятны, она, может быть, и не
захочет давать оценку лотерее L посредством пары чисел
Eui(L)=0,5 и Eu2(L)=0,5.
Будет лучше, если на этом этапе мы примем, что ойа будет
рассматривать свой выбор как выбор между лотереей <A,0), @,1)>
и определенным последствием @,4; 0,4). В качестве возможного
дополнительного допущения, которое будет рассмотрено в
дальнейшем, мы можем предположить, что она безразлична к выбору
между <A, 0), @,1) > и @,5; 0,5), но на данном этапе это не
требуется. А сделать это допущение раньше времени означало
бы упустить из виду некоторые принципиальные моменты этой
главы. Далее, в выражении A0.2) щ(х) является функцией
полезности индивида 1 для определенного последствия х, и на
данном этапе его предпочтения относительно х могут включать как
его доброжелательность, так и недоброжелательность по
отношению к другим индивидам.
Выражения A0.1) и A0.2) в нашем контексте соответствуют
нашей постановке многокритериальной проблемы принятия реше-
508

ний одним лицом. Поэтому формальные структуры предпочтений,
описанные в гл. 3—6, могут быть использованы и здесь, но
разумеется, при условии приемлемости необходимых для этого допуще-
ний. Принципиальным моментом на этом этапе будут являться те
соображения, которыми мы будем .руководствоваться при
формализации ее (ЛПР) структуры предпочтений.
Прежде всего договоримся о следующем: и — это функция
полезности ЛПР, а щ — функции полезности лиц или «групп,
мнение которых ЛПР считает необходимым принимать во внимание
при формировании своего решения. Вся полнота ответственности
за выбор альтернативы ложится на ЛПР, и именно она должна
установить возможные замещения между различными значениями
функций полезности индивидов t=l, 2, ..., N. Сами по себе эти
лица не участвуют в процессе принятия решений. Лишь ЛПР
будет взвешивать те преимущества, которые получают те или иные
индивиды в результате выбора ею определенной альтернативы.
Дополнительное допущение. Использование моделей (ЮЛ),
A0.2) влечет за собой еще принятие одного дополнительного до-
лущения, вводимого в явной или неявной форме (в некоторых
случаях оно может выступать в качестве следствия из других
допущений). Лучше всего показать это на примере. Допустим, что
функция .полезности ЛПР может быть представлена в виде
аддитивной функции
И!(Х)= 2 М*гМх)], A0.3J
где u*i — ее функция полезности для критерия U{, a %i — суть
шкалирующие коэффициенты. Согласно A0.3) для каждого
критерия существует маргинальная функция полезности. Кроме того,
мы предположим, что ЛПР согласна использовать функцию
полезности йх> индивида в качестве своей собственной
маргинальной функции полезности Ui.
В математической форме это означает, что
и*{[щ(х)]=щ(х) для 1=1, 2, ..., N.
Поэтому A0.3) упрощается до '
N
и(х) = 2 %{щ(х).
Аналогичным образом, формализуя рассматриваемую проблему
принятия решений в условиях определенности, мы будем
предполагать, что предпочтения ЛПР в отношении значений критерия
Vi могут быть описаны с помощью одной маргинальной функции
ценности v*i и что эта функция стратегически эквивалентна
функции ценности V{ индивида L
10.1.2. Усложнения «чистых» моделей. Во многих случаях
реальная действительность заставляет нас вносить коррективы в
наши «чистые» модели* Заинтересованность ЛПР в последствиях
- 509

х может выражаться не только в тех или иных значениях
функций Vi и щ. Часто бывает так, что она считает себя еще одним
лицом из числа тех, кто будет испытывать на себе воздействие
последствий. В этом случае мы можем ввести (в качестве
аргумента) в явном виде еще одну функцию uN+i(x), которая
отражала бы личные желания ЛПР (кроме желания объединить
мнения других), тогда наша формализация будет справедливой и для
этой ситуации. В рассматриваемых выше «чистых» случаях мы
допускали, что ЛПР известны предпочтения каждого индивида.
Это очень серьезное допущение, и оно означает, во-первых, что
индивиды могут сами сформулировать и формально выразить
свои предпочтения в том виде, в каком это необходимо для их
использования в описанной модели. Во-вторых, оно предполагает,
что эти лица проявляют честность при формальном выражении
своих предпочтений.
Модели, которые мы рассматривали в этой главе, основаны на
предположении, что предпочтения всех N индивидов могут быть
квантифицированы. Такая квантификация действительно может
быть выполнена при малых N, и, по-видимому, возможна для
групп скромных размеров (в результате проведения искусно
построенных процедур опросов), но это, конечно же, нереально для
больших групп. Однако во всех правительственных органах, а
также во многих больших частных организациях, «доброжелательные
диктаторы», как это давно заведено, принимают решения,
касающиеся большого числа людей. Для того, чтобы использовать
некоторые из формальных методов, предложенных в книге, мы
можем применить хорошо разработанные методы выборочного
опроса или использовать квалифицированных экспертов. Последний
подход, основанный на использовании предпочтений отобранных
квалифицированных экспертов, выступавших в качестве
репрезентативных представителей заинтересованных лиц, применялся в
процессе подготовки всех тех правительственных решений,
которые были нами рассмотрены в гл. 7,8 (характерными примерами
здесь могут служить также исследования Рочи и Гроса, см.
§§7.2,7.5).
Всякий раз, когда не имеет смысла определять все функции
Vi или щ — а на практике так зачастую и бывает — мы можем
обратиться к различным специальным показателям, которые
будут выступать в этом случае в качестве критериев —
заместителей. Примером существенного вклада в разработку такого
подхода является работа О'Коннора по определению показателей
качества воды, описанная в § 7.7. Другим примером является
установление подходящей меры для измерения «уровня ж-изни»,
который мы кратко рассмотрим в § 10.7.
10.1.3. Групповые решения. Как мы уже говорили, основной
темой этой книги являются модели и методы, предназначенные
для того, чтобы помочь отдельному лицу понять и выразить свою
структуру предпочтений. Поэтому в этой главе мы
сосредоточиваем внимание на проблеме ЛПР, которой необходимо учиты-
510

вать предпочтения других лиц. Сюда же относится ситуация,
когда группа лиц коллективно делит ответственность за принятие
определенного решения. Мы считаем, что многие результаты,
изложенные в этой главе, могут применяться и при рассмотрении
проблемы групповых решений, и время от времени будем
прибегать именно к такой интерпретации результатов. Основное
отличие моделей групповых решений от моделей, в которых решение
'принимает одно лицо (вышестоящая ЛПР), связано с такими
вопросами, как «Кто проверяет справедливость делаемых
допущений?», а затем, после этой проверки, — «Чьи предпочтения
выступают в качестве необходимой входной информации?»
В модели группового решения индивиды /=1, 2, ..., N
непосредственно участвуют в процессе принятия решений. В этой
модели и [см. A0.2) ], например , выступает <в качестве групповой
функции полезности, и группа как целое должна доводить до
своих членов соображения о замещениях, справедливости и
имеющихся возможностях. Каждая из функций щ есть функция
полезности индивида i для рассматриваемых последствий. По
существу группа создает свое представление о «доброжелательном
диктаторе» (ЛПР в указанном выше смысле) и коллективно
думает за «нее».
Если «лицом, принимающим решение», является группа, то у
ее членов могут быть свои и притом различные представления о
распределениях вероятностей, характеризующих анализируемые
альтернативы. В связи с этим весьма важными представляются те
процедуры, посредством которых эти распределения
объединяются в так называемое групповое распределение вероятностей.
Однако точно так же, как мы уже поступили в отношении многочис*
ленных аспектов неопределенности в многокритериальной
проблеме принятия решения, мы оставим этот вопрос в стороне и все
внимание уделим вопросу о предпочтениях. Некоторые
соображения об объединении распределений вероятностей содержатся в
книге Райфы A968). В этой главе мы предлагаем читателю
просто принять, что все члены группы единодушны в своем мнении о
распределениях вероятностей.
10.1.4* Работы, связанные с темой этой главы. Нигде в этой
главе мы пока еще «не 'Приступали к обзору моногих важных
работ, связанных с проблемами агрегирования индивидуальных
предпочтений. Данная глава посвящена применению теории
многомерной полезности (точнее, результатов, изложенных в гл. 3—
6) к проблеме агрегирования индивидуальных предпочтений,
рассматриваемой- с 'позиций одной вышестоящей ЛПР. Три
недавно вышедшие книги содержат анализ более широкого круга работ
по процессам группового решения — это книги Сена A970), Пэ-
танайка A971) и Фишберна A973). В этих книгах, а также в
кште Льюса и Райфы A957) приводится полезная
библиография по общим вопросам. Прежде чем перейти к основным
результатам этой главы, мы постараемся показать их место в
современной литературе,
511

Вначале обратимся к аналогичным задачам в теории игр.
Рассмотрим конкретный случай, когда число лиц, чьи интересы
затрагиваются, равно 2, JV—2, и будем называть этих лиц
игроками. В терии игр двух лад 1исход «илры» зависит от действий,
одновременно предпринимаемых каждым из двух игроков; при
этом игроки оценивают возможные исходы с помощью функций
полезности щ и мг- Для тех игр двух лиц с ненулевой суммой,
в которых имеются элементы коллективного («кооперативного»)
поведения, нет общепринятой теории, на основании которой
можно было бы рекомендовать игрокам «оптимальные» правила
поведения, за исключением, пожалуй, того, что им не следует
ориентироваться ла неоптимальный по Парето исход, т. е. когда
имеется возможность улучшения положения обоих игроков. В
литературе по этому вопросу описан ряд подходов к определению,
того, каким должно быть «справедливое» или «разумное»
решение (см. книгу Льюса /и Райфы A957), гл. 6, где дан обзор
соответствующей литературы). Некоторые из предложенных
подходов, заключаются во введении новой функции и, аргументами
которой являются щ и «2, и последующей ее максимизации.
Такой подход близок к описанному нами ранее в этой главе.
Однако здесь сразу же возникает вопрос: как определить эту
новую функцию и? Райфа A951, 1953) рассматривает эту проблему
с точки зрения единоличного арбитра (иначе говоря,, нашей
вышестоящей ЛПР), функция полезности которого зависит от
функций полезности обоих игроков. Арбитр хочет соблюсти интересы
обоих игроков и полагает, что они последуют разумному совету.
Но, тем не менее, перед ним по-прежнему стоит проблема
нахождения замещений. Местами сходство этой проблемы с
проблемой, рассматриваемой в данной главе, оказывается довольно
натянутым, так как в контексте теории игр ЛПР (или арбитр)
стремится также к тому, чтобы выбираемое действие отражало
стратегические аспекты игры, например силу угрозы. Поэтому, чтобы
провести более ясную аналогию, нам придется допустить, что
функция полезности и вышестоящей ЛПР зависит не только от
щ и Н2, но и от внешних факторов, поэтому в качестве аргументов
в выражение A0.2) могут войти дополнительные функции от х *(или
сами х.) Для тех читателей, которые знакомы с работами Нэша
A1950, 1953), Харшанга A961, 1967, 1968), Зэйтена A930), Б.рэй-
туэйта A955) и Рапопорта A974), посвященными главным образом
проблемам торга и кооперативным играм двух лиц с ненулевой
суммой, не будет новостью то, о чем мы собираемся говорить в
последующих разделах этой главы. Излагаемые результаты тесно
связаны с этими работами.
Бодее близкой к проблемам, поставленным в этой главе,
является работа Эрроу A951, 1953), посвященная групповому
(«общественному») выбору и индивидуальным ценностям. Однако
Эрроу в своей работе, положившей начало многим другим
плодотворным исследованиям, рассматривает только конечное число
альтернатив и исходит из того, что нам известны лишь ранжиро-
512

вания возможных исходов, производимые каждым индивидом в
соответствии со своими предпочтениями. «Степень предпочтения»
возможных исходов, характеризуемая соответствующими
значениями функций полезности отдельных индивидов, в
сформулированной Эрроу задаче никак не учитывается. Льюс и Райфа
A957) анализируют работу Эрроу и в § 14.6 своей книги
рассматривают возможные способы, предложенные различными
авторами, в частности, Хилдретом A953), модификации модели
Эрроу с тем, чтобы включить в нее в качестве входных данных
еще и «степень предпочтения». В § 10.2 мы вновь обращаемся к
работе Эрроу и предлагаем определенную модификацию его
модели, основанную на рассматриваемой нами теории.
10.1.5. Ориентация читателя. В следующих двух параграфах
рассматриваются определенные формальные представления
предпочтений вышестоящей ЛПР. Наш подход будет основан .на
результатах гл. 3—6, посвященных разработке теории
многомерных функций ценности и полезности. Мы сделаем некоторые
допущения относительно структуры предпочтений ЛПР, а затем
укажем на вытекающие из них ограничения, накладываемые на
функцию ценности или полезности ЛПР. В §§ 10.4 и 10.5
подробно рассматриваются смысл и правомерность этих допущений. В
§ 10.6 предлагаются процедуры построения соответствующих
функций «предпочтения». В последнем параграфе изложены
некоторые идеи относительно использования многомерных функций
полезности при анализе решений, затрагивающих интересы
большого числа людей.
10.2. АГРЕГИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИИ
В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Большинство работ, посвященных разработке моделей
агрегирования предпочтений нескольких лиц, ограничиваются
рассмотрением принятия решений в условиях определенности, опуская,
как правило, случай неопределенных последствий. В этом
параграфе мы сначала кратко сформулируем теорему Эрроу о
невозможности, которая, пожалуй, является самым известным
результатом в области групповых предпочтений. Результаты,
полученные Эрроу, существенно повлияли практически на все работы по
групповым предпочтениям в последние два десятилетия. Затем
мы дадим интерпретацию результатов гл. 3 в контексте задачи,
стоящей перед ЛПР, и от решения которой зависит
«благополучие» членов ее группы.
10.2.1. Теорема Эрроу о невозможности. Проблема,
сформулированная Эрроу, состоит в общих чертах в следующем: если
известны ранжирования множества альтернатив, произведенные
каждым членом группы, то каким должно быть групповое
ранжирование этих альтернатив? Эрроу выдвинул весьма разумные
допущения, касающиеся агрегирования индивидуальных
ранжирований, а затем исследовал ряд следствий, вытекающих из этих
17—67 513

допущений, и пришел к довольно неожиданным и странным
результатам. Эти допущения таковы.
Допущение А (универсальность). Группа состоит по
меньшей мере из двух членов, число альтернатив больше или
равно трем, групповое упорядочение (ранжирование)
альтернатив должно быть определено для всех возможных упорядочений,
производимых различными членами группы.
Допущение В (положительная связь
группового и индивидуальных упорядочений). Если
групповое упорядочение свидетельствует о том, что альтернатива А
предпочтительнее альтернативы В при определенной
совокупности индивидуальных упорядочений, .и если эти индивидуальные
упорядочения изменяются так, что 1) для всех индивидов
результаты попарных сравнений всех альтернатив, за исключением А,
остаются неизменными, а 2) результаты 'попарных сравнений между
А и любой другой альтернативой либо меняются в пользу А, либо
остаются неизменными, -— то тогда групповое упорядочение
должно указывать, что А по-прежнему предпочтительнее В.
Допущение С (независимость несвязанных
альтернатив). Если некоторая альтернатива исключается из
рассмотрения, а отношения предпочтения для остающихся
альтернатив по мнению всех членов группы сохраняются
неизменными, то новое групповое упорядочение этих остающихся
альтернатив должно быть идентичным первоначальному групповому
упорядочению этих же альтернатив.
Допущение Д (суверенность членов группы).
Для любой пары альтернатив А и В существует такая
совокупность индивидуальных упорядочений, что, согласно групповому
упорядочению, альтернатива А предпочтительнее альтернативы В.
Допущение Е (отсутствие диктатора). В группе не
должно быть такого члена, что когда он предпочитает
альтернативу А альтернативе В, то и группа предпочтет А альтернативе
В, независимо от предпочтений всех остальных членов группы.
Эрроу A951) доказал, что не существует такое правило
объединения индивидуальных упорядочений, которое удовлетворяло бы
безобидным на первый взгляд допущениям А — Е. Иными
словами, справедлива следующая теорема.
Теорема ЮЛ. (теорема Эрроу о невозможности). Допущения
А, В, С, Д и Е несовместны. Отсюда следует, что наша ЛПР не
может рассчитывать на такую процедуру, которая позволяла бы
объединить индивидуальные ранжирования в одно итоговое
ранжирование самой ЛПР и при этом удовлетворяла бы этим пяти
допущениям.
Один из выводов из теоремы о невозможности состоит в том,
что в общем случае не существует такой процедуры
агрегирования индивидуальных ранжирований, используя которую можно/
было бы обойтись без явного (эксплицитного) сравнения
предпочтений различных членов группы. Этот результат обобщен в
работе Сена A970), где доказано, что нет такой процедуры кванти-
514

фикации структуры групповых предпочтений, которая была бы
согласована как с допущениями Эрроу, так и с любым
формальным «представлением типа A0.1) или A0.2) .и -при этом не
включала бы в себя сравнение индивидуальных предпочтений.
Результаты, изложенные в следующем пункте и § 10.3, основаны на
введении «степени предпочтений» индивидов. Кроме того, в них
также указаны те сравнения индивидуальных предпочтений,
которые необходимо произвести.
10.2.2. Аддитивные групповые функции ценности. Вернемся к
проблеме A0.1), в которой нам необходимо получить функцию
ценности v для ЛПР, имеющую в качестве своих аргументов
индивидуальные функции ценности v^ *=1, 2, ..., N, где ЛГ^З. Мы
исходим из того, что существует такая функция Vd, что
J i;2(x), ..., vN(x)],
и сделаем два дальнейших допущения.
Допущение 1 (независимость по
предпочтению). Критерии
{Уи У*}
независимы по предпочтению от своих дополнений Vy, для всех
W N3
Допущение 2 (положительная связь
упорядочений). Пусть некоторые альтернативы А и В будут для группы
одинаковы по предпочтительности. Если А изменяется и
превращается в альтернативу А' таким образом, что какой-либо
индивид С предпочитает альтернативу А' альтернативе Л, в то время
как все остальные лица считают их равноценными, то тогда Аг
предпочитается альтернативе В всей группой.
Попробуем разъяснить смысл этих допущений. Допущение 1
для любых двух индивидов i и /, 1ф}9 означает, что если
остальные N—2 индивидов безразличны к выбору между парой
последствий, то предпочтения ЛПР относительно этих последствий
должны определяться только предпочтениями индивидов i и / и
не зависеть от степени предпочтений остальных индивидов. Для
конкретности рассмотрим группу из трех лиц и начнем с
последствий х' и х". Предположим теперь, что индивид 3 считает эти
последствия одинаковыми по предпочтительности. Допущение 1
говорит, помимо всего прочего, о том, что групповое
предпочтение для х' и х", формируемое ЛПР, не должно зависеть от того,
считает индивид 3 эти х' и %" катастрофическими или же,
напротив, превосходными. Ранжирование ЛПР последствий х' и х"
должно зависеть только от мненцй индивидов 1 и 2.
Из допущения 2 вытекае*, что vD в A0.1) есть
положительная монотонная функция каждого из ее аргументов. Это значит,
что если функция ценности v\ индивидов i, i=l, 2, ..., N,
возрастает, в то время как значения Vj, \ф1> остаются неизменными, то
функция ценности vD ЛПР также возрастает. Отметим, что это
17* 1 515

согласуется с допущением В Эрроу о положительной связи
группового и индивидуальных упорядочений. Сделанные допущения
наводят нас на мысль (исходя из результатов гл. 3), что здесь
также должна иметь место аддитивная функция ценности.
Теорема 10.2. При Л^З допущение 1 (независимость по
предпочтению) и допущение 2 (положительная связь упорядочений)
справедливы тогда и только тогда, когда
где, для всех г,
1) V{ есть функция ценности для индивида i, со шкалой
измерения от 0 до 1.
2) функция v*i, представляющая собой положительное
монотонное преобразование аргумента viy является функцией ценности
ЛПР для Vi и отражает результаты сравнения со стороны ЛПР
предпочтений индивидов.
3) v+i, определяемая как v*i(vi), есть другая функция ценности
для индивида г, шкалированная так, чтобы она отражала
результаты сравнения со стороны ЛПР предпочтений индивидов.
Доказательство. Допустим, что и* функция ценности
последствий х для иадивида и Функции х)\ могут быть
шкалированы независимо друг от друга и притом так, чтобы их значения
лежали в интервале от 0 до 1.
Из теоремы 3.6 следует, что при справедливости допущения 1
v(x)= Д v*i[Vi(x)]9 A0.5)
где v*i есть функция ценности ЛПР для критерия V*, измерения
по которому проводятся с помощью величины V{. Из допущения
2 вытекает, что v*i — положительная монотонная функция,
откуда следует
9 t=<l, 2, ..., N, A0.6)
где v+i должны быть согласованно шкалированы с позиций ЛПР.
Объединяя A0.5) и A0.6), получаем искомый результат.
Обратное утверждение непосредственно следует из A0.4).
Результат теоремы 10.2 может показаться в некотором смысле
противоречащим результату Эрроу, сформулированному в
теореме 10.1. Действительно, если построена аддитивная функция
ценности A0.4), то, по-видимому, будут справедливы пять
допущений, аналогичных допущениям Эрроу. При этом те
индивидуальные предпочтения альтернатив, о которых говорится у Эрроу,
легко могут быть получены на основании значений
индивидуальных функций ценности для этих альтернатив. Все это верно.
Однако при нашей формулировке проблемы мы в неявном виде
добавили еще один элемент, который' Эрроу хотел исключить. Это
сравнение предпочтений индивидов, роторое было введено при по-
516

мощи функции v*i в A0.4). В работе Эрроу эти соображения бы*
ли исключены самой его постановкой проблемы.
Степень предпочтения получает в нашей модели формальное
выражение в результате совместного шкалирования, которое вы*
полняется ЛПР. ЛПР приходится заниматься не только
подбором соответствующих шкал для измерения степени предпочтений
каждого индивида, но также производить и согласование этих
шкал. Отсюда возникает необходимость (внешних) сравнений
предпочтений различных индивидов. Идя по этому пути, мы
можем получить интересные и, возможно, полезные способы
агрегирования предпочтений отдельных лиц, но, как правило, для
этого требуется производить сравнения индивидуальных
предпочтений. Более подробно об этом говорится в связи с теоремой
Эрроу в книге Льюса и Райфы A957).
Из результатов гл. 3 также следует, что если {V\, V2} не
зависит по предпочтению от Fi2 и если {Уь У3} не зависит по
предпочтению от Fi3, то тогда {У2, Уз} не зависит по предпочтению от
У2з. Последовательно используя это обстоятельство, мы можем
сократить число условий, выполнение которых необходимо для
справедливости допущения 1, до N —1. Например, если {Уь У*}
не зависит .по предпочтению от ?н для ?='2, 3, ..., N, то
допущение 1 является полностью оправданным.
Совокупность допущений (из которых наиболее существенным
было допущение, аналогично нашему допущению 1), влекущих за
собой существование аддитивной функции ценности A0.4), была
исследована Флемингом A952).
Позднее Фишберн A969) также сформулировал необходимые
и достаточные условия справедливости этого результата.
Построение аддитивных функций ценности будет рассмотрено в
контекстах мадешей с .вышестоящей ЛПР и "групповых решений в § 10.6.
10.3. АГРЕГИРОВАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИИ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ*)
В этом параграфе мы рассмотрим структуризацию функции
полезности ЛПР и через ее компоненты — функции полезности
щ, t=l, ..., N, выражающие предпочтения заинтересованных лиц.
Таким образом, на протяжении всего этого параграфа мы будем
исходить из существования такой функции uDf что
u(x) = Ud[ui(x), и2(х), ..., uN(x)]. A0.7)
10.3.1. Аддитивные групповые функции полезности. Харшаньи
A955) сформулировал совокупность необходимых и достаточных
условий для того, чтобы групповая функция полезности могла
*) Часть материалов § 10.3—10.6 взято из работы Кини и Керквуда A975).
517

быть выражена в виде взвешенной суммы функций полезности от
и\ до uNi т. е.
N
и(х)= 2
Подход Харшаньи очень близок ,к нашей модели с вышестоящей
ЛПР. Помимо A0.7) принципиальную роль в рассуждениях
Харшаньи играет следующее допущение.
Допущение Н. Если две альтернативы, определяемые
распределениями вероятностей реализации последствий х, одинаковы
по их предпочтительности для каждого индивида, то они одина-
ко!вы ш предпочтительности и для всей «группы.
Допущение Н не затрагивает «баланс» между индивидами, оно
относится лишь к мнениям отдельно взятых индивидов. Заметим,
что допущение Н очень близко по своему смыслу основному
допущению, использованному Фишберном A965 а) при получении
аддитивных функций полезности для многомерных последствий
при индивидуальном принятии решений (см. §§ 5.3 и 6.5).
Учитывая это, обратимся к анализу следующих двух допущений,
сформулированных с использованием нашей терминологии из
предыдущих глав.
Допущение 3 (аддитивная независимость).
Множество критериев [Д, U2, ..., UN аддитивно независимо.
Допущение 4 (стр а тег и чес к а я
эквивалентность). Условная функция полезности ЛПР м*г- для критерия
Ui, представляющего собой полезность для индивида 19
стратегически эквивалентна функции полезности индивида L
Связь между допущением 3 и допущением Н Харшаньи станет
ясным из нашего доказательства теоремы 10.3. Поэтому кратко
остановимся на допущении 4. Это — допущение относительно
«честности». Полагая, что индивид i честно выразил свои
предпочтения, ЛПР далее использует его функцию полезности щ как
свою собственную функцию полезности для оценки своих
решений с точки зрения их желательности для этого индивида.
Теорема 10.3. При N^2 допущение 3 (аддитивная
независимость) и допущение 4 (стратегическая эквивалентность)
справедливы тогда и только тогда, когда
«СО- 2 иъ(х), A0.8)
где Ui, i=l, 2, ..., N — функция полезности индивида i, со шкалой
от 0 до 1, %г — положительные шкалирующие коэффициенты и
х — последствие.
Доказательство. Если выполняется допущение 3, то из
теоремы 6.4 следует, что
а(х)= 2 Л<иММх)], ^>0, A0.9)
где и*ь /=1, 2, ..., N — функция полезности ЛПР для Ui со
шкалой измерения от 0 до 1. Если шкалы для измерения индиви-
518

дуальных функций полезности выбраны так, что значения щ
лежат в диапазоне от 0 до 1, то из допущения 4 вытекает, что
откуда непосредственно следует утверждение, сформулированное в
теореме.
При сравнении A0.8) и A0.9) различие между допущением
об аддитивной независимости и допущением Н Харшаньи
становится очевидным. Фактически, теорема 10.3 показывает, что
допущения Я и 3 и 4. вместе, эквивалентны. Сравнение со
стороны ЛПР предпочтений индивидов необходимо для нахождения
значений шкалирующих коэффициентов Я*. Тот факт, что Xt
положительны, обеспечивает положительную связь предпочтений ЛПР
и индивидов »в смысле допущения 2. В действительности из A0.8)
следует наличие более сильной положительной связи, как будет
показано в следующем пункте.
10.3.2. Более общие групповые функции полезности.
Рассмотрим следующее допущение, более слабое, чем допущение 3,
которое представляется оправданным для определенных задач,
связанных с принятием решений (см. гл. 6). ,
Допущение 5 (независимость по полезности).
Каждый из критериев Ui, t=l, 2, ..., -N, не зависит по полезности
от остальных критериев Ui.
Согласно определению независимости по полезности, из
допущения 5 следует
uD(uu ..., ии ..., uN) =gi(ui) +fi(ui)u*i(Ui), для всех i, A0.10)
где
щ=(ии ..., Hi-ь
все fi положительны, а и** — условная функция полезности ЛПР
для критерия U.i.
Теорема 10.4. При N^2 из допущения 4 (стратегическая
эквивалентность) и допущения 5 (независимость по полезности)
следует, что
N
u(x)=uD (uu и2, ..., uN)= S Хгиг(х) +
+ 2 ит(х)щ(х)+... +Ki*...nUi(x)u2(x) ...uN(x)f A0.11)
/>i
где шкалы для измерения и и щ выбраны так, чтобы значения
этих функций лежали в диапазоне от 0 до 1; X — шкалирующие
коэффициенты и 0<А*<1 для всех L
Доказательство. При справедливости допущения 4
выражение A0.11) непосредственно вытекает из теоремы 6.3. Для
этого нужно лишь подставить u*i (функцию полезности ЛПР для
Ui) вместо щ. Далее согласно допущению 4
]=щ91~1929...9Ы9 , A0.12)
519

поскольку и*г и щ шкалированы от 0 до 1. Отсюда
непосредственно следует A0.1I).
Альтернатишюе условие — более сильная положительная
связь, о которой говорилось в последнем пункте, и из которого
следует A0.11), — целесообразно рассмотреть отдельно.
Допущение 6 (положительная
функциональная связь). Пусть А, В, С будут такие три определенные
последствия, что все индивиды, кроме i, безразличны к выбору
между этими последствиями. Предпочтения ЛПР относительно
лотереи с исходами Л и В по сравнению с С определяется
оцениваемыми ею самой вероятностями и полезностями этих альтернатив
для индивида L
Пример. Пусть uAi, uBu исг будут полезности последствий
Л, 5, С соответственно, с точки зрения -индивида i, и пусть
uAj=uBj = ucj для всех \Фи ЛПР (предпочитает <А, В>, а не С
при условий, что 0,5 ил< + 0,5ив*>ис*.
Из допущения 6 следует, что Ud, как функция своего 1-го
аргумента щ, есть положительное линейное преобразование функции'
ии т. е.
uD(uu ..., ии ..., uN)^gi(uiy+fi(ui)Ui * A0.13)'
Для всех I, где gi и /* определяются так же, как и в выражении
A0.10).
Если выражение A0.13) было 'бы неверно, то мы тотчас же
при-шли бы к противоречию с допущением 6. Чтобы шоказать это,
допустим, что A0.13) не имеет места для некоторого I.
Тогда .мы могли бы подобрать лотерею «вида
<(и°и ..., и°<-ь и'и u°i+u ....,u°N)9
(и°ь .. • • "Vi, tt'u «°w, ..., u°n) >
и последствие
{u\ ..., mVi, йи и°т, • • •, ti°N)
такие, что предпочтение индивида i не будет совпадать с
предпочтением, вытекающим из функции Ud-
Из сравнения выражений A0.10), A0.12) и A0.13) следует,
что допущение о функциональной положительной связи
эквивалентно допущениям о независимости по полезности и стратегической
эквивалентности.
Рассмотрим допущение 1 (см. § 10.2), согласно которому все
пары критериев {У*, Vj} независимы по предпочтению от своих
дополнений. Отметим, что в соответствии с определениями функций
ценности и полезности, это равносильно следующему утверждению:
Допущение 1А (независимость по
предпочтению). Критерии {С/г, Uj} независимы по предпочтению от своих
дополнений Oij для всех 1ф\, N^3.
Теперь мы можем сформулировать очень важный результат.
520

Теорема 10.5. При N^3 из допущений 1 или 1А (независимость
по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность) и 5
(независимость по полезности) следует, что
u(x)=uD(uu и2, ..., uN) =
N N
= 2 Хм (х) +Х 2 Ы§Ъ (х) щ (х) +
(x)u2(x)... «N(x), A0.14)
где шкалы измерения и и щ выбраны так, чтобы значения этих
функций лежали в диапазоне от 0 до 1, Ki — шкалирующие
коэффициенты, 0<Яг<1 для всех i и %>—1.
Доказательство. Если справедливы допущения 1 и 5, то
(см. теорему 6.1) функция и(х) имеет вид A0.14) только в том
случае, когда и*и функция полезности ЛПР для ?/*, может быть
заменена на щ. Из допущения 4 следует, что
Этим завершается доказательство.
Заметим, что, если группа состоит только из двух лиц,
допущение 1 не имеет смысла. Однако в этом случае (см. теорему 10.4)
выражение A0.14) непосредственно вытекает из допущений 4 и 5.
Выражение A0.14), согласно сделанным допущениям,
«представляет собой особый случай A0.11). Более того, отметим, что особые
случаи A0.11) и A0.14) ведут к аддитивной групповой функции
полезности
(). A0.15)
В частности, это вытекает из A0.14), когда Х=0. Если ХФО,
мы можем умножить обе части A0.14) на % и добавить 1, в
результате получаем •мультйшликативную груиповую функцию полезности
Ли(х)-И~П[МгМх) +1]. A0.16)
Свойства, которыми обладают аддитивная и
мультипликативная функции полезности, рассматриваются в §§ 10.4, 10.5.
10.3.3. Особый случай: аддитивная функция полезности. При
структуризации определенных видов групповых функций
полезности могут оказаться приемлемыми следующие допущения.
Допущение 7 (всеобщее согласие). Если все члены
группы имеют одну и ту же функцию полезности, то тогда
групповая функция полезности должна быть функцией полезности, общей
для всех членов.
Объединив это с предыдущими допущениями, получаем
следующую теорему.
Теорема 10.6. При N^2 допущения 1 или 1А (независимость
по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность), 5 (незави-
521

симость по полезности) и 7 (всеобщее согласие) справедливы тогда
и только тогда, когда групповая функция полезности является
аддитивной:
и(х) = 2ЯгМх), A0.17)
Докажем сначала аддитивность и(х).
Доказательство. Поскольку предполагается, что
допущения 4 и 5 справедливы, групповая функция полезности и(х) может
быть представлена в виде'A0.14). Теперь рассмотрим особый
случай, когда
и обозначим общую для всех членов группы функцию полезности
через «о. Подставляя ее в A0.14), получаем
J>i
A0.18)
Но, вследствие допущения 7,
и(х)=а+(Ьио(х), A0.19)
где а и Ъ>0 — неизвестные константы. Выражения A0.18) и
A0.19) совместны, только если и(х) представима в аддитивной
форме A0.17). И наоборот, допущения 1, 4, 5, 7 непосредственно
следуют из A0.17).
10.4. АДДИТИВНАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ И АРГУМЕНТАЦИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО «СПРАВЕДЛИВОСТИ»
Сделаем краткий анализ основных допущений, используемых в
этой главе. В этом параграфе мы остановимся на вопросе
«справедливости», или иначе говоря, «беспристрастности» по отношению
к членам группы, и в связи с этим исследуем некоторые свойства
аддитивной и мультипликативной функций полезности. Интересное
и глубокое рассмотрение целого ряда возникающих здесь вопросов
содержится в работе Харшаньи A974).
10.4.1. Априорная и апостериорная справедливость. Рассмотрим
простой иримвр. Допустим, что ЛПР учитывает .предпочтения двух
лиц, и ее собственная функция полезности имеет вид
и (х) = uD (щ (х), и2 (х)) = 0,5tti (х) + 0,5м2 (х), A0.20)
где щ — полезность шоследствия х для индивида I (изменяющаяся
в пределах от 0 до 1). Обозначим через @, 4; 0, 6), например,
альтернативу, где tti = 0,4 и «2 = 0,6. Теперь рассмотрим следующие
альтернативы.
Альтерйатива А: A; 0),
_»_ В: <A;0),@;1)>,
_»_ С: <-A; 1), @;0)>.
522

Согласно A0.20), ЛПР должна быть безразлична к выбору между
альтернативами А, В и С, поскольку все они имеют ожидаемую
полезность 0,5.
Анализируя рассматриваемый пример, Даймонд A967)
отмечает, что если равные значения полезности воспринимаются
каждым из индивидов одинаково, то, поскольку ЛПР безразлична
к выбору между А и В, логика принятия решения представляется
несправедливой по отношению к индивиду 2. При альтернативе
А он не имеет никаких шансов получить свой предпочитаемый
исход (т. е. tt2 = l), тогда как это возможно для него при
альтернативе В. Таким образом, чтобы быть «справедливой» по отношению
к -индивиду 2, ЛПР, ,по мнению Даймовда, должна предпочесть
альтернативу В.
Даже в тех ситуациях, когда справедливость соблюдается по
отношению ко всем индивидам, аддитивная групповая функция
полезности может привести к нежелательным результатам для
группы. Например, при обеих альтернативах В и С каждый индивид
обладает равными шансами на «успех», т. е. реализацию наиболее
предпочитаемого им последствия. Однако в некоторых ситуациях
представляется резонным для ЛПР предпочесть альтернативу С
альтернативе В. При альтернативе С реализуются либо наиболее,
либо наименее предпочитаемые ими обоими последствия, т. е.
результат будет справедливым в обоих случаях. С другой стороны,
при альтернативе В результаты всегда будут несправедливы:
исходом этой лотереи всегда будет такое последствие, которое наиболее
предпочтительно для одного и наименее предпочтительно для
другого индивида.
В определенном смысле мы можем сказать, что обе
альтернативы В и С априори справедливы, в то время как альтернатива
А — нет. Мы использовали здесь выражение «в определенном
смысле», поскольку мы не проводили полного сравнения
абсолютных полезностей последствий для отдельных индивидов.
Например, если последствие с Wi = l почему-либо доставляет такое же
удовольствие индивиду 1, как последствие с ы2 = 0— индивиду 2,
мы можем заключить, что альтернатива А была справедливой.
Однако, когда речь идет о рассматриваемых нами альтернативах,
то при выборе альтернативы А с точки зрения индивида 1
реализуется лучшее для него последствие, а для индивида 2 — худшее.
В свете нашего соглашения шкалировать полезности последствий
так, чтобы диапазон их значений простирался от 0 до 1 для
каждого индивида, мы расценили альтернативу А как относительно
несправедливую. В смысле апостериорной справедливости
совершенно очевидно, что альтернатива С более справедлива при
данных вариантах выбора, чем В или А. Каждая из двух последних
альтернатив, грубо говоря, является одинаково несправедливой
апостериорно.
Аддитивная групповая функция полезности A0.20) не
способна описать имеющиеся различия в предпочтениях между А, В, С.
523

Таким образом, она не обеспечивает априорную или
апостериорную справедливость решений в указанном выше смысле.
Функции полезности более общего вида, приведенные в
теоремах 10.4 и 10.5, позволяют получить апостериорно справедливые
решения. В качестве примера вновь рассмотрим функцию
полезности в случае двух -иадиввдав и одной ЛПР
U (X) =XlWl (X) +А,2«2 (X) +Xl2«i (X) U2 (X) , A0.21)
где
>.i+^2+Xi2 = l, A0.22)
поскольку и, щ и и2 должны быть шкалированы от 0 до 1.
Допустим, например, что ta=ta = 0,4 и hi2 = 0,2. Тогда A0.21)
принимает вид
и (х) = 0,4i/i (х) + 0,4и2 (х) + 0,2mi (х) и2 (х), A0.23)
Следовательно, ожидаемые полезности альтернатив Л, В и С
для ЛПР будут равны, соответственно, 0,4, 0,4 и 0,5. Поскольку
А и В все еще одинаковы по предпочтительности, возражение Дай-
монда против аддитивной групповой функции полезности,
касающееся априорной справедливости, остается в силе и при
использовании выражения A0.23). Однако, альтернатива С
предпочитается альтернативе В, ибо постоянная Я12 положительна. Это
позволяет формально рассматривать апостериорную справедливость
распределения полезностей среди членов группы, что невозможно
при аддитивной форме.
Для ЛПР при определении ее функции полезности важным
вопросом (с точки зрения апостериорной справедливости) является
степень знакомства индивидов с процессом принятия решения. Если
они знакомы с этим процессом и осознают, что ЛПР старается
быть справедливой, то несправедливое по их мнению решение
(и связанные с ним нежелательные последствия) может быть
объяснено ими как результат случайности (или неблагоприятного
стечения обстоятельств). С другой стороны, если результаты решения
в конечном счете будут неудовлетворительными для какого-то
индивида и будут представляться ему «несправедливыми», и, кроме
того, ход процесса будет ему неизвестен, то он возможно сочтет,
что ответственность за это лежит на ЛПР, и поставит под
сомнение ее честность.
10.4.2. Оптимальность по Парето. Краеугольным камнем
большинства теорий групповых решений является принцип
оптимальности Парето. Альтернатива считается оптимальной по Парето,
если всякая другая альтернатива, являющаяся более
предпочтительной для одних членов группы, в то же время будет менее
предпочтительной для остальных членов. Далее, принцип оптимальности
Парето гласит, что никогда не следует выбирать альтернативу,
которая не является Парето-о'птммальной, ибо при подобном
выборе всегда можно увеличить степень удовлетворения по крайней
мере некоторых индивидов, не ущемляя при этом интересы осталь-
524

ных. Для рассмотрения разумности этого условия в ситуации
выбора, в которой находится ЛПР в рассмотренном выше примере,
добавим четвертую альтернативу.
Альтернатива D: @,48, 0,48). Допустим, что оба эти значения
функций и\ и ti2 соответствуют определенному последствию.
Используя A0.20), получаем, что ожидаемая полезность
альтернативы D равна 0,48, поэтому в данном случае альтернатива В с
ожидаемой полезностью 0,5 будет предпочтительнее альтернативы D.
Однако, при использовании функции полезности A0.23)
справедливо обратное. Легко проверить, что в данном случае ожидаемая
полезность альтернативы D равна 0,425, что больше, чем 0,4 —
ожидаемой полезности для ЛПР альтернативы В. Последний вывод
в определенных ситуациях может быть оправдан. ЛПР может
предпочесть хотя бы в какой-то мере удовлетворить обоих лиц вместо
того, чтобы сделать одного очень -счастливым, а другого .к/райие
разочаровать.
Однако, заметим, что функция полезности A0.23) иногда может
привести к альтернативам, которые не являются
Парето—оптимальными. В нашем предыдущем примере ЛПР предпочитает
альтернативу D альтернативе В, несмотря на то, что оба индивида 1
и 2 явно предпочли бы альтернативу В альтернативе D. Если мы
расширим наше определение Парето—оптимальности, включив
лицо 3 (например, ЛПР), то тогда она предпочтет D
альтернативе 5, поскольку будут приняты во внимание рассматриваемые нами
аспекты справедливости; поэтому в данном, более общем смысле,
В не будет доминировать над D. Перед ЛПР возникает проблема
нахождения замещения между «мерой справедливости» и
«степенью нарушения» Парето-оптимальности в узком смььсл-е.
10.4.3. Анализ допущения 7 («всеобщее согласие»). Если мы
откажемся от использования аддитивной групповой функции
полезности, то мы должны также отказаться от допущения 3. В
последних двух пунктах в основном были рассмотрены следствия из
допущения 3. Однако, согласно теореме 10.6, допущения 1, 4, 5 и 7
вместе эквивалентны допущению 3. Правомерность допущений 4
и 5 рассматривается в следующем параграфе, а пока рассмотрим
соображения, которые могут привести к отклонению допущения 7.
Бывают ситуации, когда недостаточная обоснованность
допущения 7 вовсе не очевидна на первый взгляд. Например, допустим,
что совет директоров компании рассматривает различные
рискованные коммерческие сделки, единственно важными
последствиями, которых, с точки зрения членов совета, будут соответствующие
денежные выплаты. Допустим далее, что ответственность за
решение в конечном счете лежит на одном лице, председателе совета,
который в данном случае будет нашей ЛПР. Тогда, даже если все
рядовые члены совета имеют одинаковые функции полезности для
различных денежных сумм и отражающие несклонность к риску,
не лишено оснований то, что -функция полезности председателя,
возможно будет характеризоваться меньшей несклонностью к риску
525

по сравнению с рядовыми членами совета. Это может иметь место,
если ответственность за решение все же разделяется членами
группы, а не падает полностью только на ЛПР. В последнем случае,
если в результате принятого решения произойдет чрезвычайно
нежелательное последствие, то председатель может «прийти в ужас»
из-за ситуации, которую она «вызвала». Однако она, возможно,
чувствовала бы себя не так плохо, если бы принятое ею ранее
решение поддерживалось всей группой. Моральная и
эмоциональная ответственность за решение, в широком смысле,
распределяется между членами группы, тогда как все денежные последствия
воспринимаются группой как единым целым.
Это рассуждение справедливо и при рассмотрении допущения 7
для групповых решений. Конечно, когда все индивиды имеют
одинаковые функции полезности, всякое возможное последствие
любого решения затронет их одинаково. Однако, поскольку отдельные
лица находятся «в одной лодке», а «на миру и смерть красна», то
нежелательные последствия, возможно, покажутся не такими уж
плохими. Поэтому группа может предпочесть действовать с
меньшей осторожностью перед возможным «риском, чем каждый ее член
в отдельности. В подобной ситуации отдельный индивид
рассматривает реализацию того же .последствия с точки зрения члена
группы, как нечто совсем иное. Можно было бы подправить
исходные индивидуальные функции полезности таким образом,
чтобы включить в «их критерий, указывающий «число
компаньонов в той же самой ситуации», а затем принять допущение 7,
ориентируясь на эти новые, функции полезности. Другой
возможный путь — попользовать исходные индивидуальные функции
полезности, до, нарушив допущение 7, учесть в них влияние на
предпочтения индивидов еще 'и их взаимоотношений -как
компаньонов. Наши модели (группового принятия решений и участия
в 1них вышестоящей ЛПР построены так, что апостериорная
справедливость заведомо гарантируется, если функции иолезмости
индивидов идентичны. Любое из возможных последствий х будет
иметь одну и ту же полезность (.намеряемую с помощью шкал
со значениями от 0 до 1) для каждого индивида. Априорная
справедливость также гарантируется в случае благожелательного
диктатора, поскольку ЛПР (диктатор) исходит из наличия только
одного распределения вероятностей реализации последствий для
каждой альтернативы. Однако в модели группового принятия
решений индивиды могут расходиться в мнениях относительно
распределений вероятности реализации последствий для различных
альтернатив. Это может вылиться в то,/что некоторые индивиды,
возможно, будут рассматривать принятое решение априорно
несправедливым еще до того, как станут известны реализовавшиеся
(последствия решения.
10.5. АНАЛИЗ ДОПУЩЕНИЙ О НЕЗАВИСИМОСТИ
Допущения, лежащие в основе уравнений A0.1) и A0.2),
являются главным предметом нашего рассмотрения и именно они ха-
526

растеризуют принципиальные особенности проблемы,
анализируемой в этой главе. Без них остальные допущения, дополнительно
привлекаемые нами, не имеют никакого смысла. Здесь мы
собираемся остановиться «а обоснованности этих остальных
допущений в тех ситуациях, когда правомерны соотношения (ЮЛ) и
A0.2). Поскольку смысл допущений 3 и 7 уже был нами
рассмотрен и было показано, что допущение 6 эквивалентно допущениям
4 и 5, то наши замечания будут касаться только допущений 1, 2,
4 и 5. При этом .мы рассмотрим «их в обратном «порядке.
Обоснованность всех четырех этих допущений зависит, кроме
.прочего, от того, кто .именно из рассматриваемых лиц знает
истинный вид общей функции «полезности. Так, после принятия
групповых решений могут произойти события, в результате которых
будут иметь место благоприятные последствия для одних
индивидов группы и неблагоприятные для других. В этом случае члены
группы должны осознавать, что это произошло не по причине
«несправедливости» групповой функции полезности. Однако, если
окончательная ответственность за принятие решений - лежит на
вышестоящей ЛПР, то ситуация становится иной. В этом случае
те индивиды, для которых последствия принятых решений
оказались неблагоприятными, могли не участвовать в составлении
групповой функции полезности. Поэтому они, возможно, будут
интерпретировать неблагоприятный для них исход не как результат
случайности, а скорее, как несправедливость -со стороны ЛПР.
10.5.1. Анализ допущения 5 (о независимости по полезности).
В качестве иллюстрации оказанного выше рассмотрим две
ситуации, когда для всех индивидов, кроме одного, возможные
последствия представляются равноценными. Безразличие индивидов
в выборе альтернатив объясняется тем, что в первом случае все
возможные последствия рассматриваемых альтернатив являются
крайне нежелательными, тогда как во вторам случае — все
последствия, напротив, чрезвычайно (привлекательны. Согласно
допущению 5, групповая функция полезности в таких ситуациях
должна зависеть от предпочтений только того индивида, для
которого выбор альтернативы не безразличен. Однако, если
полезность последствий для всех индивидов (будет низка, то под
давлением, оказываемым этими индивидами, ЛПР (например, из-за
нежелания портить с ними отношения) вместо того, чтобы
остановить свой выбор на последствиях, желательных для
выделенного нами .индивида, возможно (предпочтет 'последствия, которые
для него нежелательны. С другой стороны, реакция ЛПР может
быть противоположной, если для всех остальных индивидов
полезность последствий высока.
Если подобные различия в оценке последствий важны, то
допущение 5 нарушается и результаты теорем 10.3—10.6 будут не
верны. В таких ситуациях может оказаться приемлемым
использование концепций обобщенной независимости по полезности (ом.
приложение 6.А). В этом случае* допустимо обращение
предпочтений. Это обстоятельство позволяет построить модель, 'более гибко
527

описывающую 'поведение ЛПР ib рассматриваемой ситуации.
Основные характерные черты этой модели таковы. Допустим, что
в группе да а индивида. Тогда 1) групповая полезность возрастает
по мере роста полезности .индивида 1, если полезность индивида
2 достаточно высока, и 2) групповая полезность уменьшается по
мере роста полезности индивида 1, если полезность индивида 2
слишком низка. Причиной этого является забота о
«справедливости».
Приведем еще один пример, когда независимость по
полезности не имеет (места. Довольно естественно предположить, что ЛПР
согласится пойти на определенный риск (т. е., пользуясь иашей
терминологией, менее «несклонна» к риску) относительно
возможных ^последствий ее решения для какого-то конкретного индивида,
зная, что при этом полезности многих из остальных индивидов
будут достаточно высоки. Однако, она вряд ли согласится -на этот
риск, если полезности остальных индивидов понизятся. Иными
славами, ее (несклонность к риоку возрастает ш мере снижения
полезности этих индивидов. Мотивировка такого поведения ЛПР
вполне очевидна — если она сделала достаточно много для
членов своей группы, то можно позволить -себе рискнуть.
10.5.2. Анализ допущения 2 (о положительной связи
упорядочений) и допущения 4 (о стратегической эквивалентности). Допущения
2 и 4 сходны 1по смыслу, поскольку они требуют, чтобы ЛПР
рассматривала предпочтения индивида i как свои собственные. Это
представляется разумным во многих случаях. Однако ЛПР может
не принимать эти допущения, если она согласна с любым из трех
следующих утверждений:
1. Некоторые индивиды не были честными, сообщая о своих
предпочтениях.
2. Некоторые индивиды не знают, что является для них
наиболее предпочтительным.
3. Стараясь избежать очевидной несправедливости, не следует
додускать слишком высокого значения полезности какого-либо
индивида, если полезности других индивидов остаются на
фиксированном уровне.
10.5.3. Анализ допущения 1 (о независимости по предпочтению).
Теперь рассмотрим допущение о независимости по предпочтению,
формально представленное в допущениях 1 и 1А. Если все члены
группы в определенном смысле равны по «важности», «положению»
или «участию в процессе решения», то это допущение может
оказаться вполне приемлемым. Если группа никак не может управлять
последствиями, относящимися к N—2 индивидам, представляется
весьма естественным постараться обеспечить максимальную
справедливость (например, при распределении ценности или
полезности) по отношению к двум оставшимся индивидам. Если бы это,
стремление к справедливости не зависело от предпочтений
остальных, то допущение 1 было бы уместно.
Рассмотрим эту ситуацию на примере. Пусть имеются три
индивида, обозначаемых 1, 2 и 3, с функциями полезности ии и2 и и3.
528

Допустим теперь, что индивид 1 — «лицо очень важное» и явно
относится к «другому классу» — в том, что касается принимаемого
решения — тогда как другие примерно равны по важности друг
другу. Довольно естественно принять, что {U2t ?/3} не зависит по
предпочтению от Uu Если значения ?Л высоки, например, «i=l, to
замещения между и2 и «з могли бы быть такими же, как и приг
«i = 0. Справедливость в отношении индивидов 2 и 3 всегда важна
и не зависит от «ь Однако рассмотрим теперь, является ли
{Uu U2} независимым по предпочтению от ?/3. Допустим, что «i = l,
и2 = 0,5 и «з=1. Тогда наша группа или ЛПР, в зависимости ог
контекста, может счесть допустимым существенно уменьшить «г
с тем, чтобы поднять и2 до «2=1. С другой стороны, допустим, что
т=<\, «2 = 0,5, «3=0,5,. и кто-то, «принимающий решение», может,
лишь слегка уменьшив щ\ сразу увеличить и2 до «2=1. В
последнем случае возникает несправедливость по отношению к
индивидам 2 и 3, в то время как в первом — все справедливо. Манипулируя
соответствующим образом коэффициентами в выражении A0.11),
ЛПР может учитывать разного рода соображения относительно,
справедливости своих решений для различных подгрупп индивидов,'
однако более ограничивающая форма A0.14) не обеспечивает ек[
необходимую степень свободы.
Следует сделать еще одно замечание по поводу допущения 1Г
Предположим, что наша группа, принимающая решение, состоит
из семи членов, из которых первые три принадлежат к одному
классу, назовем его I, а остальные четыре — к другому, классу Ш
Далее, можно допустить, что наборы критериев {Uu U2, U3} и
{U4, 6/5, Us, U7} взаимно независимы по полезности. Тогда, исполь-'
зуя результаты § 5.4, мы можем представить групповую полезность!
uD в виде функции, аргументами которой являются функция полез-1
ности «I индивидов класса I и функция полезности «ц индивидов
класса II, т. е.
«2)[«1, «2, • . . , «?] ='/[«I (UU «2, «з) , «II («4, «5, «6, «?) ] .
Кроме того, допущение 1 может оказаться приемлемым с точки
зрения структуризации функций полезности «i и «п.-Точно так же
мы можем конструктивно использовать любой из результатов
гл. 3—6 для структуризации групповых функций полезности.
10.6. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППОВЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Результаты, сформулированные в теоремах 10.2—10.6,
интересны прежде всего в теоретическом плане. Однако, если мы
собираемся использовать их практически, то необходимо разобраться
в следующих вопросах:
1. Кем будет производиться проверка справедливости делаемых
допущений?
2. Чьи функции ценности или полезности должны быть испдль-
зованы?
18—67 529

3. Кто устанавливает значения шкалирующих коэффициентов?
Ответы на эти вопросы зависят от того, как предполагается
использовать эти результаты.
10.6.1. Модель с участием вышестоящей ЛПР. Для нашей
модели групповых решений с участием вышестоящей ЛПР ответы
на все эти вопросы должны быть получены от одного лица, прини^
мающего решения, нашей вышестоящей ЛПР, которая наделена
необходимой властью принимать решения. Функции v в теореме 10.2
и и в теоремах 10.3—10.6 — это ее функция ценности и функция
полезности, соответственно. Проверка справедливости допущений
о независимости может быть выполнена с помощью процедур,
описанных в гл. 3, 5 и 6. Если ЛПР заинтересована в благополучии
индивида i, то представляется разумным использовать полезность
индивида i как критерий, и производить оценки по этому критерию
с помощью его функции полезности щ. В этом случае каждая из
функций ии очевидно, выступает в качестве условной функции
полезности ЛПР относительно критерия ?/*.
Значения шкалирующих коэффициентов, т. е. все К в A0.8),
A0.11) и A0.14), устанавливаются с помощью ЛПР и выражают
ее личное мнение. Используемые для этого процедуры имеют своей
целью установление возможных замещений (на ч основании
ответов, получаемых от ЛПР) между полезностями отдельного
индивида или группы, измеряемых с помощью щ, и полезностями другого
индивида или группы, измеряемых с помощью щ. Эти процедуры
связаны с рассмотрением двух вопросов: 1) выяснение
фактической ценности для каждого индивида различных значений
измеряемых полезностеи (сравнение полезностеи индивидов) и 2)
относительный вес, который ЛПР считает нужным придать
предпочтениям различных индивидов *>.
При проведении сравнений полезностеи индивидов скорее всего
целесообразно вернуться к непосредственному рассмотрению
анализируемых последствий х и исследовать возможные решения с
точки зрения их справедливости. ЛПР придется рассмотреть,
насколько будет доволен индивид 1 при реализации последствия хь
в какой мере удовлетворит индивида 2 последствие х2, а также
сопоставить их оценки этих последствий и т. п. Такие вопросы
трудны, но в них выражается суть сравнения полезностеи индивидов,
и они должны учитываться либо непосредственно, либо косвенным
образом практически в любом процессе группового решения.
Согласованное шкалирование групповой функции ценности v,
определяемой выражением A0.4) гораздо сложнее, чем групповых
функций полезности. На каждом этапе построения каждой из
функций v*i ЛПР должна проводить сравнение ценностей индивидов.
Трудности здесь возникают по той причине, что Vi описывает лишь
исходное ранжирование последствий. Так, например, если ЛПР
придет к выводу, что возрастание Vi от 0 до 1 так же желательно,
¦> Подробно эта проблема рассматривается в работе Керквуда A972).
530

как возрастание v2 от 0 да 1, это вовсе не значит, что возрастание
Vi или V2 от 0 до 0,5 одинаково желательно. Если же Vi и V2 в
данной ситуации являются также функциями полезности, то этот
вывод справедлив согласно результатам теорем 10.3—10.6.
Необходимое сравнение полезностей, когда нам известны функции
полезности индивидов ии может быть осуществлено с помощью
сравнений двух точек на каждой шкале щ. Согласно описанным в гл. 3
процедурам шкалирования, все v\ могут быть согласованно
построены только при использовании методов одновременного
совместного шкалирования, однако при этом необходимо проведение
большого количества отдельных, но взаимосвязанных сравнений,
предпочтений индивидов.
10.6.2. Групповое принятие решений. В процессе группового
принятия решения группа должна самостоятельно выработать единое
мнение относительно справедливости делаемых допущений и
значений коэффициентов, однако при этом функции ценности V\ ш
функции полезности и& могут определяться соответствующими
отдельными членами группы. Подчеркнем, что относительно
допущений и значений шкалирующих коэффициентов необходимо
достичь согласия. Проверка справедливости допущений относительно
конкретных структур групповых предпочтений, возможно, будег
относительно легким делом и может проводиться для каждого
члена группы по отдельности.
Согласия же относительно значений шкалирующих
коэффициентов б некоторых случаях, по-видимому, будет достичь трудно. Эта
следует из того, что (см. A0.8), A0.11) и A0.14)), чем больше
одни Яг, тем меньше другие Xj и, следовательно, тем сильнее можег
индивид i повлиять на принимаемые решения через функцию щ.
Этот эффект можно несколько сгладить при помощи Я в A0.14),
а в A0.11) —при помощи коэффициентов Я, отличных от Я*.
Как уже указывалось, эти коэффициенты могут обеспечить
справедливость в отношении различных членов группы и дать группе
возможность в определенной степени застраховать себя от того,
что нежелательные эффекты решения скажутся только на
отдельных ее членах, в то время как другие члены группы будут
пользоваться одними лишь благами этого решения. Возможность
формального включения этого аспекта в структуру полезности грушш
может облегчить поиск необходимых компромиссов при
определении коэффициентов Я.
Даже, если и не удастся достичь взаимного согласия
относительно коэффициентов Я, вся эта работа не пройдет впустую.
Вполне вероятно, что наборы различных значений коэффициентов к9
предлагаемые разными индивидами, будут равноценными с точки
зрения принятия решений. Затем, после надежного анализа
чувствительности (который должен быть проведен при всех
обстоятельствах, но, конечно, с учетом реальной обстановки), группа,
возможно сможет выбрать альтернативу, которую все считают лучшей*
Если этого не удается сделать, они могут договориться об альтернат
18* 531

дивах, которые следует исключить из дальнейшего рассмотрения.
Основная причина несогласия, будучи найдена, как правило,
по меньшей мере дает некоторую исходную точку, отправляясь
от (которой 'можно .надеяться шрийти к конструктивному
компромиссу посредством арбитража, выработки новых альтернатив
и т. п. К сожалению, у нас нет чудодейственного рецепта —
решение затрудняет сама природа рассматриваемой проблемы. Отме- *
тмим, однако, что значительную помощь может оказать
определенная изобретательность членов группы. Например, может
оказаться возможным согласие «на двух уровнях». Допустим, что группа
из 10 директоров разделилась во мнениях на две подгруппы
(обозначим их I и II) из трех и семи человек. Внутри каждой
подгруппы имеется полное «согласие относительно групповой функции
полезности. Тогда группа »в целом может обратиться к решению
новой проблемы — поиску конструктивного компромисса между
достижением двух целей: «удовлетворить подгруппу I» «и
«удовлетворить подгруппу II». Мерами .степени достижения этих целей,
очевидно, будут, полезности двух рассматриваемых подгрупп,
определяемые функциями
Ui(uu ..., и10), и«ц(«ь ..., ню),
соответственно. Общая функция полезности группы uG будет тогда
функцией от полезностей обеих подгрупп, т. е.
,Если подгруппы смогут прийти к согласию относительно какой-то
определенной функции «g, to может быть решена и исходная
проблема.
10.6.3. Иерархия групповых решений и другие осложнения. Те
'аспекты групповых решений, которые мы здесь рассмотрели,
.присущи многим проблемам. Некоторые из них практически
сводятся 1к нашим моделям группового принятия решений в чистом виде.
Примером первого случая может быть ситуация, 'когда сотрудник
компании, занимающийся оперативной работой, должен отдавать
такие распоряжения, которые удовлетворяли бы каждого из
членов совета директоров; примером второго — действия группы из
четырех членов, которые совместйго владеют и управляют своей
;ком1па1нией. Для многих решений характерны оба аспекта.
Рассмотрим, например, совет директоров большой фирмы;
каждый из директоров стремится учесть в своих решениях мнения
-ряда (других сотрудников 'компании. Здесь каждый директор
может рассматриваться как «доброжелательный диктатор» в нашей
.модели с вышестоящей ЛПР, а перед всеми ними вместе взятыми
:сгоит проблема принятия группового решения. Ситуация еще
больше осложнится, если каждый из директоров будет озабочен воз-
-можным воздействием принимаемых решений на ряд
определенных групп сотрудников компании. Таким образом, аргументами
.функции полезности любого директора будут полезности
различных групп. Эти различные группы, если они организованы, могут
532

квантвфицировать свои предпочтения при помощи методов,
предложенных нами применительно к моделям групповых решений.
Таким образом, если функция /полезности комлаиии
вырабатывается в процессе группового решения членов совета директоров
(и в ней в качестве аргументов выступают функции полезности
каждого лз директоров), и принтом функция полезности каждого
из директоров формируется с (Использованием .модели с
вышестоящей ЛПР (в которой аргументами являются функции
(полезности групп, испытывающих «а себе непосредственное воздействие
принимаемых .решений), то общая модель .имеет три уровня
иерархии предпочтений.
Осложнения. Может быть так, что лицу, принимающему
решение, или группе .приходится принимать во внимание
несколько критериев, из которых только некоторые отражают
предпочтения лиц, чьи интересы затрагиваются принимаемым решением.
Пусть
*— представляет собой множество используемых критериев, U{ —
критерии, отражающие предпочтения вышеуказанных лиц. В этом
случае мы должны пользоваться функцией полезности
где величины xit Щ суть значение используемых критериев. Если
совокупности критериев
{Хи ...9Хм}ш{ии ...,?/*}
независимы по полезности друг от друга, то задача упрощается,
поскольку и может быть определена с помощью двух функций —
функции полезности их для критериев X и другой функции
полезности иР для критериев ?/* отражающих предпочтения. Тогда для
построения и могут быть использованы идеи, высказанные в этой
главе, а также методы, описанные в гл. 3—6.
Любопытная ситуация возникает в тех случаях, когда некоторые
из индивидов, участвующих в процессе группового решения,
стараются не только соблюсти собственные интересы, но также
принимают во внимание полезности других индивидов этой группы. Так,
если значения .критерия X существенны для двух лиц, мы можем
представить групповую полезность как функцию
u[ui(x, и2), и2(х, Mi)].
Ряд предварительных результатов исследования этого случая
описан в работе Керквуда A972).
10.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МНОГОМЕРНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
ПРИ АНАЛИЗЕ ГРУППОВЫХ РЕШЕНИИ
Многие из примеров практических предложений, описанные
в гл. 7, 8, фактически были «групповыми» решениями в том смысле,
который мы вкладываем в этот термин в данной главе. Например,
533

работа Речи, относящаяся к системе школьного образования
(§ 7.2), рассмотрение Гросом вопроса о размещении атомных
электростанций (§ 7.5), анализ «Вудозорд-клайд консалтантс»
применительно к долгосрочному планированию (§ 7.4), разработка
показателей качества воды (О'Коннор, § 7.7) и исследование
вариантов развития аэропорта для Мехико (гл. 8) — во всех этих случаях
были квантифицированы предпочтения лиц, ответственных за
принятие решений, и/или предпочтения тех лиц, чьи интересы будут
существенно затронуты принимаемыми решениями. Единственное,
чего мы не касались во всех этих работах — это сравнение в явном
виде предпочтений различных лиц или групп.
В этой главе основное наше внимание было сосредоточено на
пдетроении структуры предпочтений (включающем в себя в явном
виде сравнение предпочтений индивидов), и использовании ее
непосредственно для принятия решения. Мы подробно остановились
на построении функции 'полезности вышестоящей ЛПР,
рассматривая в качестве аргументов этой функции полезности остальных
участников. Наши результаты, как мы надеемся, помогают
прояснить вопросы, которые приходится рассматривать в процессах
групповых решений. В некоторых случаях эти результаты могут быть
непосредственно использованы для выбора лучшей альтернативы.
Однако, применение методов многомерной теории полезности в
различных задачах, связанных -с групповыми решениями, обладает
еще и другими преимуществами.
10.7.1. Некоторые прагматические аспекты. Если N велико, то
найти все функции гц, ..., uN практически невозможно. Это трудно
сделать, даже при малых N. В предыдущих разделах наше
рассмотрение в основном носило скорее теоретический, чем
практический характер. А что можно сделать на практике, если мы
собираемся использовать нашу модель с вышестоящей ЛПР? Наша
вышестоящая ЛПР могла бы попытаться получить выборочную
информацию о некоторых функциях щ или же использовать
репрезентативные группы, но чаще, как нам кажется, ЛПР не будет идти
здесь формальным путем, а постарается провести необходимое
рассмотрение неформальным образом и синтезировать свое (хотя,
возможно, и неполное) представление о наиболее важных аспектах.
Скорее всего, она будет использовать информацию о критериях X
в виде критериев — заместителей. Рассмотрим это более подробно.
Допустим, что вышестоящая ЛПР действительно считается с
мнениями и предпочтениями других, и у нее имеется определенное
представление об их отношении к возможным последствиям
предполагаемых решений. Она могла бы начать с составления иерархии
критериев, которые отражали бы затрагиваемые ее решениями
интересы соответствующих лиц и групп. Пусть исходными
критериями на низшей ступени этой иерархии являются критерии
Х\у ..., Хм*
Естественно при этом исходить из того, что количество
используемых критериев будет находиться в разумных пределах. Когда ЛПР
534

рассматривает замещения между Ха и Х$ (зафиксировав значения
критериев на каком-то определенном уровне), она должна
мысленно представить себе, как эти замещения будут -восприниматься
заинтересованными лицами. При определенных условиях качественно
это сделать легко. Наконец, она может призвать на помощь
экспертов или попытаться убедить (или вынудить) заинтересованных лиц
изложить (формальным или неформальным образом) свои
взгляды. И тем не менее она каким-то образом должна суметь
формализовать свои предпочтения и установить замещения между Хи и
Хр, помня, что далее они будут использоваться вместо недоступных
ей функций щ. Синтезировать все эти разнообразные элементы —
очень сложная задача, но настоящему руководителю приходится
делать это постоянно. Решения должны быть приняты.
Мы можем формализовать эту процедуру и для многоуровневых
структур. Если критерии X обладают иерархической структурой,
ЛПР может приступить к квантификации своих суждений и
предпочтений, начиная с любого уровня иерархии. Конечно, она может
ограничиться рассмотрением только самого верхнего уровня
иерархии, что, в некотором смысле, делаем мы все, когда принимаем
сложные решения без какого-либо формального количественного
анализа.
Теперь вернемся к случаю, когда количество базовых критериев,
используемых на нижнем уровне, весьма велико. Мы можем, помня
о тех индивидах и группах, на которых отразятся решения
вышестоящей ЛПР, попытаться объединить это большое число
'критериев в несколько суммарных показателей. Например, в
экономических вопросах мы можем рассматривать совокупный национальный
продукт, уровень инфляции, размер безработицы и торговый
баланс. Все эти показатели являются результатам объединения тех
многочисленных (возможно, тысяч) критериев нижнего уровня,
которые мы должны учитывать для более глубокого понимания
проблемы. Однако, когда мы приступаем к установлению замещений
между сложными (суммарными) показателями (основываясь на их
предпочитаемых значениях), необходимо принимать во внимание
(хотя бы неформальным образом) соответствующие значения
критериев нижнего уровня.
Из вышесказанного вытекает, что формализация может
производиться на многих уровнях, и перед ЛПР отнюдь не стоит
дилемма— либо -проводить полностью не количественный, а только
качественный анализ, либо прибегнуть к анализу, который погрязнет
в бесполезных мелочах.
10.7.2, Преимущества частичной формализации. Что необходимо
для получения функции полезности вышестоящей ЛПР? Если мы
лишь частично проведем ту работу, которая связана с нахождением
функции и для ЛПР, много ли мы выиграем при условии
выполнения завершающей части этого процесса? Крайне упрощая этот
вопрос, мы могли 'бы сказать, что применительно к проблеме
принятия решений, (в формировании которых принимает участие опре-
535

деленная группа лиц, процесс нахождения функции полезности
ЛПР можно разделить на три последовательных этапа:
1. Формирование целей и критериев Хи ..., Хм.
2. Построение функций индивидуальной полезности щ% ..., Un,
аргументами которых являются критерии Х{.
3. Построение агрегированной функции полезности и на основе
функций щ.
Вся эта книга посвящена первым двум этапам, и только в
последней главе был рассмотрен третий этап. Для выполнения этапа 3
необходимо провести сравнение индивидуальных предпочтений. Это
спорный вопрос, и на него до сих пор нет однозначного ответа
(см. работы Эрроу A951), Харшаньи A955), Льюса и Райфы
A957)). Выполнение этапов 1 и 2 зачастую оказывается очень
затруднительным, хотя в принципиальном отношении они
сравнительно просты. Здесь мы хотели бы просто указать на некоторые
преимущества использования хотя бы частичной формализации на
этих первых двух этапах.
Детальный список целей и связанных с ними критериев
должен способствовать более ясной формулировке основных аспектов
рассматриваемой проблемы, а также стимулировать лучшее их
понимание со стороны различных лиц, привлекаемых к анализу
этой проблемы. Более того, это может оказаться чрезвычайно
полезным при декомпозиции всей рассматриваемой проблемы на
ее составные части и способствовать эффективной связи и
взаимодействию членов группы между собой и с ЛПР. Имея
некоторую информацию об индивидуальных предпочтениях, аналитик
может выделить различия в суждениях и предпочтениях
отдельных лиц. Понимание этих различий, а также понимание тех
пунктов, по которым имеется согласие — все это может дать хорошую
основу для начала конструктивного процесса разрешения
спорных ситуаций. Сам ход подобного аналитического процесса
способствует нахождению новых альтернатив, которые в противном,
случае могли бы остаться просто незамеченными**. Ниже мы рас*
смотрим эти соображения несколько более подробно.
10.7.3. Разработка новых альтернатив. В гл. 1 мы отмечали
важность творческого процесса формирования возможных
альтернатив, однако тут же (постарались объяснить читателю, что в этой
книге мы не будем фокусировать свое внимание на этом
моменте, несмотря на всю его важность. Тем не менее, рассматривая
групповые решения, мы чувствуем 'необходимость вернуться к
этому вопросу.
*) Превосходная иллюстрация этих преимуществ дана в работе Дайера »
Майлза A974). Рассматриваемая проблема касалась выбора траекторий
космических аппаратов (в связи с проектом «Маринер — Юпитер — Сатурн 1977»).
В этом процессе группового решения «индивидами» были десять групп ученых^
представляющих различные отрасли науки. Каждая группа представила
количественные оценки полезности для 32 альтернатив. Эти полезности подверглись'
анализу и далее использовались при разрешении спорных ситуаций в процес*
се поиска новых лучших альтернатив и для достижения конструктивного
компромисса в отношении «наилучшей» в целом альтернативы.
536

Представим себе, что административный руководитель должен
сделать выбор между альтернативами, 'существенно
затрагивающими интересы определенных групп людей 1, ..., t, ..., N. Пусть
¦1-я группа имеет составную функцию полезности щ <и пусть
существующему положению (точке «статус-ikbo») 'соответствует
значение полезности щ — щ. Если выбрана альтернатива, влекущая
за собой 'изменение 'существующего положения, и ее полезность
для группы / ниже щ, т. е. наиболее естественного уровня
притязаний, то мы вправе ожидать, что группа i будет недовольна и,
возможно, настолько, что станет проявлять беспокойство или
попробует оказать определенное давление на административную
систему. Во многих проблемах, относящихся к жизни общества
административные органы стремятся выработать удовлетворяющую
существующим законам альтернативу, скажем Л, такую, что
для всех L
Это, как правило, сделать не просто, но в результате изучения
тех факторов, которые существенно влияют на итоговую оценку
со стороны индивидов каждой из групп (эти факторы обычно
выявляются в процессе анализа внутренней структуры не только
ценностей и полезиостей, но и вероятностей), проницательный
аналитик может найти ключ «к плодотворным переговорам.
Например, если полезность f-й группы падает гораздо ниже йг- из-за
низкого значения полезности по /-му критерию, который группа
ценит высоко, то, возможно, аналитик может подправить
существующую альтернативу таким образом, чтобы сделать ее более
привлекательной относительно /-го критерия для t-й группы *>.
Реальные проблемы могут оказаться и гораздо сложней.
Возможно, что будет много различных способов одновременного
достижения уровней притязаний относительно значений щ всех групп,
и тогда встанет проблема поиска принципа выбора наилучшего
из них. Но очень часто в сложных проблемах первоочередным
вопросом является поиск некоторой рабочей альтернативы,
которая, по мнению всех заинтересованных групп, позволяла бы
улучшить существующее положение. И здесь, при определенных
условиях, может помочь формальный анализ на основе многомерной
.теории полезности. Вполне возможно, что это наиболее важная
область приложений данной теории.
10.7.4. Социальные показатели и «жизненный уровень»**).
Остановимся на одной специальной, но очень важной проблеме: изме-
*> Даже если существует альтернатива, «приемлемая» для всех групп с 1
по N, анализ многомерных полезностей типа, описываемого здесь, может помочь
в выработке лучших альтернатив. Исследование возможного использования
подобного анализа с целью «оптимизации» процесса переговоров относительно
заключения договоров между странами, было проведено Петерсоном A974).
**) В этом кратком разделе мы ни в коей мере не пытаемся подводить
итоги всех имеющихся данных в обширной литературе по социальным показа-
-телям и определению «жизненного уровня» [см., например, работы Бауэра
<1966), Делки A972) и Лью A974)],
?37

рении «жизненного уровня». Заметим, что согласно модели A0.2)',
и(х)=ив[щ(х), ма»(х), ..., M*)L
Понимая здесь под X/, /=1, 2, ..., М9 набор всех используемых
социальных показателей, конкретные (измеренные) значения
которых обозначаются нами через х, можно интерпретировать щ как
меру «уровня жизни» индивида i, а и — как меру «уровня жизни»
общества. В таком контексте, по-видимому, нет смысла строить и
как функцию от всех индивидуальных функций полезности щ.
Вместо этого для ЛПР, возможно, более целесообразным
будет прибегнуть -к непосредственному (прямому) построению своей
агрегированной функции полезности и(х), рассматривая х как
заменяющую ('векторную) переменную (т. е. в качестве векторного
критерия-заместителя). Фактическое построение функции и таким
«прямым» способом, очевидно, требует от ЛПР, как
общественного руководителя, пусть и субъективной, но сбалансированной
оценки ее отношения к мнениям различных лиц, составляющих
общественную группу, и она должна сделать это, думая о мыслях
и чувствах этих лиц и представляя себя на их месте.
Использование многомерного анализа при формальном
определении и квантификации понятия «уровень жизни» дает много
дополнительных и важных преимуществ. Ближе чвсего к теме нашей
книги стоит его применение при принятии решений. Последствия
каждой альтернативы — определенного политического курса —
могут быть описаны через их возможное «воздействие
(характеризуемое во многих случаях через соответствующие распределения
вероятностей) на наиболее важные социальные показатели. Имея
в своем распоряжении функцию полезности и, агрегирующую эти
показатели, можно подсчитать ожидаемую полезность каждой
альтернативы и найти альтернативу, обладающую наибольшей
полезностью. Тот же самый анализ, даже не завершенный, может
использоваться для улучшения 'коммуникабельности. Если мы
хотим защитить или описать выдвигаемое нами предложение, будет
весьма уместным указать на желательность этой альтернативы с
точки зрения ее ожидаемого воздействия на социальные
показатели. Всякое изложение существа дела, так же -как и суждения о
предпочтительности, сопровождаемое количественными
выкладками, относящимися к описанию возможных последствий, обычно
оказывается не столь туманным и двусмысленным, как это часто
бывает при чисто «качественном описании. В результате этого
лица, работающие над одной и той же проблемой, смогут в большей
степени сосредоточить свое внимание на обсуждении и/или
дебатах по поводу вопросов, из-за которых возникли разногласия.
Кроме того, такой подход, если потребуется, может привести к
нахождению более эффективных компромиссов.
Даже если в ближайшем будущем не нужно принимать
никаких решений, использование социальных показателей
представляется очень важным с точки зрения прослеживания изменений в
уровне жизни. Следя за многими социальными показателями,

можно будет выделить те области проблемы, где соответствующие
показатели, характеризующие определенные аспекты жизни
общества, слишком быстро падают или низки, что в свою очередь,
может помочь при выработке альтернатив, пригодных для
улучшения складывающейся ситуации.
Действительно ли лица, принимающие решения, могут
эффективно использовать социальные показатели совместно с такими
аналитическими методами, как анализ решений? С
предложениями в этом направлении недавно выступили Сохил A969), Зентон
A972), Чарнс и др. A973), а так же другие исследователи. Суть
проблемы, стоящей перед лицами, принимающими решение,
заключается б упорядочении множества противоречивых и зачастую
противоборствующих, неопределенных и несоизмеримых
социальных показателей. Мы верим, что анализ решений с
использованием многомерной теории полезности является подходящим
методологическим орудием .в деле решения этой проблемы и надеемся,
что его применение внесет вклад в достижение нашей общей ко-
неч<ной цели: принятию все лучших и лучших решений и
повышению «жизненного уровня».

ПОСЛЕСЛОВИЕ
Книга, предлагаемая вниманию 'советского читателя, написана
известными американскими специалистами Р. Кини и X. Райфа.
Имя Ховарда Райфы хорошо знакомо советским читателям по
вышедшим у нас книгам: Д. Льюс, X. Райфа. Игры и решения
(ИЛ, М., 1961); X Райфа. Анализ решений (Наука, М., 1977);
X. Райфа, Р. Шлейфер. Прикладная теория статистических
решений (Статистика, М., 1977). Выпуском «книги Р. Кини и X. Райфы
издательство «Радио и связь» продолжает публикацию сери«и книг
зарубежных авторов, начатую издательством «Советское радио»
и посвященную разнообразным вопросам проектирования и
планирования развития сложных технических, экономических и
организационных систем (Г. X. Гуд и Р. Э. Макол. Системотехика,
Введение в проектирование больших систем, 1962; С. Л. Оптнер-
Системный анализ для решения деловых и промышленных
проблем, 1969; А. Д. Холл. Опыт методологии для системотехники,
1975; Р. Акофф. Планирование в больших экономических
системах, 1972; Р. Джонсон, Ф. Каст, Д. Розенцвейг. Системы и
руководство, 1971; Д. Клиланд, В. Кинг. Системный анализ и целевое
управление, 1974; Р. Акофф, Ф. Эмери. О целеустремленных
системах, 1974 и др.).
Разработка методов и моделей принятия решений является
важной и актуальной проблемой. Математическая теория и
общая методология принятия решений относятся к наиболее
интенсивно развивающимся в настоящее время направлениям
системного анализа. Проблеме принятия решений посвящено большое
количество зарубежных исследований, часть из которых в виде
монографий и сборников переведена на русский язык (см.,
например, П. Фишберн. Теория полезности для принятия решений. М.,
Наука, 1978; Статистическое измерение качественных
характеристик. Статистика, М., 1972; Вопросы анализа и процедуры
принятия решений. Мир, М., 1976; Статистические модели и
многокритериальные задачи принятия решений. Статистика, М., 1979 и др.)-
Однако, несмотря на большое 'количество публикаций © этой
области, книга Р. Кини и X. Райфы занимает особое место. Здесь
прежде всего хотелось бы отметить ее четко выраженный
прикладной характер и ориентацию на специалистов, занимающихся
приложениями математической теории принятия решений к
практическим задачам системного анализа. В связи с этим основное
внимание авторы уделяют (в отличие, например, от книги П. Фиш-
берна) не математическим доказательствам используемых резуль-

татов многомерной теории полезности, а анализу исходных
допущений, положенных в их основу, и возможности организации
соответствующих процедур построения функций полезности в тех
или иных конкретных ситуациях. Этим же объясняется и большое
количество примеров разнообразных приложений методов
многомерной теории полезности. Приводимые примеры, хотя они в
основном рассчитаны на зарубежного читателя, будут, как мы
надеемся, правильно восприняты советским читателем, т. е. как
иллюстрация математических моделей.
В связи с изданием книги Р. Кини и X. Райфы хотелось бы
сделать ряд замечаний. Принятие решений является сложным
творческим процессом, носящим итеративный характер. В этом
процессе можно выделить следующие элементы: выдвижение
целей, поиск альтернативных способов их достижения, логику
выбора альтернатив и обоснование критериев выбора и, наконец,
анализ решений, т. е. анализ возможных последствий (исходов)
принимаемых решений. При этом в результате анализа решений
могут быть модифицированы или отвергнуты первоначально выд-'
винутые цели, найдены новые альтернативы, изменена логика
выбора и т. п. При разработке и «использовании математических
моделей принятия решений, например моделей математического
программирования, когда альтернативы представляют собой 'континуум
(множество допустимых решений) и оптимальное решение соот-t
ветствует экстремуму целевой функции, вопрос об анализе по-;
следствий как таковых в общем и не ставится. Определенная
увлеченность математическими моделями принятия решвгай
оставила за сценой собственно анализ решений. А он особенно важен
для слабо структуризованных проблем, когда трудно или почти
невозможно использовать чисто математические модели, и
решение и его качество определяются .интуицией человека.
Авторы книги как раз и уделяют основное внимание именно
анализу решений, бегло касаясь остальных аспектов
проблематики принятия решений (гл. 1 и 2). Основное назначение анализа!
решений заключается в определенной формализации и
количественном обосновании решений, которые в слабо структуризовая-1
ных проблемах принимаются в основном на интуитивном уровне.
Предлагаемый подход состоит в следующем. Всякое возможное
действие, отвечающее той или иной альтернативе, порождает
последствия, характеризуемые определенным набором некоторых
свойств, факторов или показателей. Выбирается та альтернатива,
последствия 'которой обладают наиболее предпочительным, с
точки зрения лица, принимающего решения, набором выделенных
свойств. Поэтому в конечном итоге анализ решений выступает в
качестве необходимого элемента в процессе принятия решений:
В силу традиций, установившихся в советской литературе,
применяемый авторами термин «attribute» (дословно свойство,
характерная черта, признак) переведен как «критерий», а в гл. 5 и 6,
посвященных многомерной теории полезности, — как «фактор».
Интерпретация термина «attribute» как критерия имеет под собой опре-
54 Г

деленное основание, ибо в контексте выражение «attribute» носит
смысл оценки последствий той -или мной альтернативы. Но с нашей
точки зрения в данном случае было бы уместнее говорить не о
критериях, а о показателях или даже о показателях
эффективности. Это полностью соответствовало бы терминологии, принятой
в нашем 'народнохозяйственном 'планировании, поскольку
деятельность министерства, ведомства, предприятия оценивается но ряду
принятых показателей, характеризующих достигнутые ими
результаты. Например, в виде показателей развития предприятий,
показателей научно-технического прогресса, показателей,
характеризующих подготовку кадров, социально-экономическое развитие
коллективов, охрану окружающей среды и т. п.
Надо сказать, что при планировании развития отдельных
объектов в народном хозяйстве мы постоянно сталкиваемся с
необходимостью анализа многомерных последствий, т. е.
сталкиваемся с ситуациями, в математическом отношении очень
близкими к описанным в книге Р. Кини и X. Райфы. Так, при
пятилетнем планировании развития предприятия нужно, например, из
множества вариантов возможных планов выбрать план,
позволяющий при заданном объеме и номенклатуре выпускаемой
продукции обеспечить необходимый рост производительности труда,
снизить производимые затраты на единицу продукции, свести к
допустимым пределам вредное влияние на окружающую среду,
улучшить морально-психологический климат в коллективе и т. п.
Принимаемые во внимание показатели, характеристики,
свойства или, иначе говоря, используемые 'критерии могут быть
количественными in качественными. Теория, излагаемая авторами,
предназначена только для количественных показателей (критериев).
Если цель и какие-либо из показателей имеют качественный
характер, то авторы рекомендуют вводить критерии (показатели) —
«заместители» (гл. 2), значения которых позволяли бы в
достаточной степени адекватно описать изменение качественного
критерия. Так, рассматривая работу службы скорой помощи, авторы
приводят пример замены качественной цели (и соответствующего
качественного критерия) — «уменьшить летальность в процессе
транспортировки пострадавших в больницу» — количественной
целью (с количественным критерием) — «уменьшить время
между получением вызова и прибытием скорой помощи».
Рассматривая наиболее типичный случай, когда последствия
характеризуются многомерным вектором критериев, авторы
описывают некоторые возможные методы построения скалярных
функций векторных аргументов (совокупностей критериев), используя
которые можно далее принимать решение относительно выбора
той или иной альтернативы. Если компоненты этих векторов
детерминированы, то авторы называют построенные скалярные
функции многомерными функциями ценности, если же
рассматриваемые компоненты являются случайными переменными, то —
многомерными функциями полезности. Несмотря на то, что эти
термины, особенно последний, уже укоренились в литературе, их
542

нельзя признать удачными. Было бы логичнее употреблять вместо
критериев — показатели эффективности и, соответственно, вместо
функций ценности и полезности —функции эффективности в
случаях определенности .и неопределенности, тогда за термином
«(критерий» сохранился бы его первоначальный смысл — правило
выбора альтернатив.
По поводу 'критерия как правила выбора альтернатив хотелось
бы, в частности, отметить следующее. Когда используются
функции ценности, то в качестве такого критерия выступает условие
максимизации этой функции (при наложенных дополнительных
ограничениях), т. е. задача поиска лучшей альтернативы
сводится к задаче математического программирования. В случае
использования функций полезности делается допущение, что
наилучшей является альтернатива, обладающая максимальным
значением средней полезности, т. е. максимальным значением
математического ожидания полезности возможных результатов.
Иными словами, этот подход базируется на определенной логике
выбора, который приводит в общем к байесову подходу. Поэтому,
естественно, всегда остается открытым вопрос, который нужно
решать каждый раз в конкретной ситуации — приемлема ли здесь
такая логика выбора. Укажем, что в определенных ситуациях
более пригодной может оказаться логика выбора, основанная на
максимизации гарантированного результата, а не среднего
(ожидаемого) результата. Укажем также, что приводимые в
литературе данные о результатах специально поставленных
экспериментов (с целью «выяснения того, в какой мере аксиоматика теории
полезности приемлема с точки зрения прескриптивных моделей
принятия решений) довольно противоречивы и мнения различных
исследователей здесь расходятся (см., например, Ю. Козельский.
Психологическая теория решений. М., «Прогресс», 1979). Тем не
менее байесов подход пока остается по сути дела единственным
завершенным подходом в проблеме принятия решений в условиях
неопределенности. Кроме того, количественные оценки средних
значений полезности сравниваемых альтернатив, несомненно,
будут представлять значительный 'интерес и при использовании
принципа гарантированного результата.
Причинно-следственные связи между альтернативными
действиями и показателями, характеризующими их последствия, а
также взаимосвязи между показателями обычно устанавливаются в
результате построения соответствующих моделей, в том числе и
имитационных. Однако эти вопросы авторами не затрагиваются.
Состав показателей, диапазоны изменения их значений, вид и
свойства функций ценности и полезности, — все это базируется на
данных, получаемых в ходе опросов, которые проводит аналитик,
строящий эти функции, и бесед с экспертами и лицами,
принимающими решения. Таким образом, описанные в книге модели
предназначены для количественного описания субъективного
мнения лица, принимающего решение. В связи с этим возникает
законный вопрос, в какой мере рекомендации, получаемые с по-
543

лющью этих моделей и основанные на субъективных оценках,
могут носить объективный характер. Ответить на этот вопрос
непросто. Конечно, практические решения в реальной жизни всегда
.принимают конкретные живые люди, у которых восприятия,
оценки и действия неизбежно носят налет субъективности. Однако
эпитету «субъективный» авторы придают вполне определенный смысл.
В их понимании лицо, принимающее решения, это прежде всего
разумный руководитель, трезво смотрящий на вещи,
старающийся в первую очередь опираться на объективную информацию и
объективные закономерности, присущие окружающей
действительности.
Тем не менее неопределенность, т. е. отсутствие полной и
точной информации о последствиях принимаемых решений, зачастую
вынуждает его привлекать собственный опыт и интуицию для
прогнозирования и пусть неявной (имплицитной), но все-таки
оценки правдоподобности того или иного развития последующих
событий. Кроме того, руководитель, принимая то или иное решение,
находится не в вакууме и по этой причине вынужден учитывать
тот резонанс, который получит его решение как среди
руководителей его уровня, так и руководителей вышестоящего и
нижестоящих уровней. Естественно, что далеко «не о всех подобных
факторах он сочтет нужным сообщить специалисту-аналитику,
пытающемуся 'квантифицировать его суждения. В этих условиях,
соответственно, построенная функция полезности руководителя будет
выглядеть с позиций аналитика как кваятификация субъективных
суждений руководителя, но в данном случае субъективность
оценок не имеет ничего общего с «субъективизмом» или
«волюнтаризмом».
При построении функций ценности и полезности авторы
исходят из взаимной независимости (в той или иной форме)
критериев с точки зрения предпочтительности их возможных, значений.
Степень взаимной независимости и условия взаимной
'компенсации (замещения) одних .критериев другими приводят к различным
классам функций ценности и полезности: аддитивным, мультипли-
.кативным и полилинейным. Допущения, связанные с
ограничениями относительно взаимной независимости критериев,
несколько сужают область применимости полученных результатов, но тем
не менее для достаточно широкого -круга задач такие допущения
оказываются вполне приемлемыми.
Кроме того, в этих случаях значительно упрощаются как
процедуры построения самих функций полезности (ценности), так и
.методы проверки оправданности использования функций
полезности (ценности) подобного вида.
Заметим, что при построении функций полезности использует-
.ся в настоящее время стандартный прием, введенный впервые
фон Нейманом и Моргенштерном — прием, получивший название
.«лотереи». Если наилучшее значение хтах какого-либо
показателя х реализуется с вероятностью я, а наихудшее значение хт{П —
-с вероятностью 1—я, то от ЛПР требуется назвать такое значе-
S44

лие «цены лотереи» Хи хтаэс>Х{>Хгшп, при котором ему будет
безразлично, получить ли это значение х\ наверняка или
рискнуть — получить лучший 'исход с вероятностью я и худший исход
•с вероятностью 1—п. В зависимости от значения цены лотереи Xi
определяется степень склонности ЛПР <к риску. Подобные
характеристики отношения 'к риску далее используются при построении
-функций полезности.
Подходя к .книге Р. Кини и X. Райфы с точки зрения
целесообразности использования методов теории многомерной
полезности при решении возникающих на практике многокритериальных
задач анализа решений, хотелось бы отметить следующее.
Глубокая проработка исходных теоретических положений, хорошо
развитый математический аппарат, разработанные методы и
процедуры квантифи'кации предпочтений и построения многомерных
функций полезности (ценности), а также имеющиеся примеры их
приложений к реальным задачам убедительно свидетельствуют о
.возможности и обоснованности применения формальных методов
количественного анализа решений. Однако трудоемкость этих
методов (связанная в перовую очередь со сбором информации о
предпочтениях лиц, участвующих в подготовке решений, и о
вероятностных распределениях, относящихся к последствиям),
необходимость привлечения аналитиков — специалистов по теории
принятия решений, а также необходимость проведения
соответствующих расчетов на ЭВМ, ©се это делает целесообразным
использование методов многомерной теории полезности лишь при
анализе возможных решений «р>упных народно-хозяйственных
проблем, т. е. в сфере долгосрочного планирования. Действительно,
созданные в настоящее время экономико-математические модели
и имеющиеся ЭВМ позволяют проводить многовариантную
проработку планов. В связи с этим предварительный анализ
возможных вариантов и отсев тех из них, которые являются
неудовлетворительными с точки зрения не формализуемых в этих моделях
соображений и критериев, представляется целесообразным
проводить с использованием квалификации предпочтений. Заметим
в связи с этим, что многомерные функции полезности (ценности)
особенно удобно применять пр'И анализе и выборе решений,
работая с ЭВМ в диалоговом режиме.
Кроме того, следует отметить, что анализ действительно
сложных и крупных проблем неизбежно связан с обработкой большого
объема информации. Методы многомерной полезности помимо
того, что они позволяют учесть присущую анализируемым реше-.
ниям неопределенность, оказываются также удобными с точки
зрения структуризации -и агрегирования информации. Дело в том,
что глубокое изучение проблемы влечет за собой подробную
детализацию, что в свою очередь ведет к быстрому разрастанию
объема данных, относящихся к проблеме. Поэтому, чтобы проблема
оставалась «обозримой», специалисты, ведущие исследование
проблемы, как правило, вынуждены прибегать к агрегированию этих
данных. Но, сокращая таким образом объем используемой «рабо-
545

чей» информации, они неизбежно 'вносят дополнительную
неопределенность. В результате появляются два вида неопределенности.
Первый вид связан с возможностью осуществления на
рассматриваемом отрезке времени неконтролируемых событий, второй — с
неопределенностью, вносимой в результате агрегирования данных.
Описываемые .в .книге Р. Кинй и X. Райфы модели позволяют
учесть оба вида неопределенности. Более того, анализ
чувствительности решений (довольно подробно иллюстрируемый
авторами на ряде примеров) .позволяет определить, достаточна ли та
точность, с /которой были установлены соответствующие
вероятностные распределения и квалифицированы предпочтения, для
того чтобы судить о предпочтительности тех или иных
возможных .решений.
В целом книга Р. Кини и X. Райфа «Принятие решений при
многих критериях: предпочтения и замещения» удачно сочетает
в себе изложение как фундаментальных результатов 'многомерной
теории полезности, так и прикладных методов анализа
многокритериальных задач принятия решений. Большое количество
примеров иллюстративного характера, а также описание примеров
практического приложения предлагаемых методов в сочетании с
доходчивой формой изложения используемых теоретических
положений делают «нигу доступной и интересной, для широкого
круга читателей. Особенно она будет полезна читателям,
интересующимся проблемами принятия решений, и специалистам в области
системного анализа, исследования операций и управления.
Чл.-корр. АН СССР Г. С. Поспелов
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА, ПЕРЕВЕДЕННАЯ
НА РУССКИЙ ЯЗЫК
фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. —•
М.: Наука, 1970.
Р. Д. Льюс, X. Райфа. Игры и решения. — М.: ИЛ, 1961.
Г. Райфа. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях
неопределенности. — М.: Наука, 1977.
П. Фишберн. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978.
В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир,
1964.
П. Фишберн. Методы оценки аддитивных ценностей. В кн.: Статистическое из-
мерение качественных характеристик. — М.: Статистика, 1975.
Б. Руа. Проблемы и методы принятия решений в задачах с многими целевыми
функциями. — В кн.: Вопросы анализа я процедуры принятия решений. —
М.: Мир, 1976.
Р. Кини. Функции полезности многомерных альтернатив. — Там же.
Дж. Дайер. Многоцелевое программирование с использованием человеко-
машинных процедур. — Там же.
А. Джоффрион, Дж. Дайер, А. Файнберг. Решение задачи оптимизации при
многих критериях на основе человеко-машинных процедур. — Там же.
П. Фишберн, Р. Кини. Обобщенная независимость по полезности и некоторые
смежные вопросы. — В кн.: «Статистические модели и многокритериальные
задачи принятия решений». — М.: Статистика, 1979.
П. X. Фаркар. Декомпозиция многомерных функций полезности с помощью
фракционных гиперкубов. — Там же.
Мартин Шубик. Гейминг и теория игр, «Математика сегодня». Новое в жизни,
науке, технике, сер. математика, кибернетика, 7, 1974.
546

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ *>
Приводимая библиография ни в коей мере не претендует на полноту и
включает в себя лишь те 1работы, которые непосредственно относятся к
рассматриваемым в книге проблемам.
Весьма обширная библиография по разнообразным .вопросам, тесно
связанным с предметом нашей книги, имеется в книгах Эдвардса A954), Льюса и
Райфы A957), Фишберна A968), Сена A970), Крантца и др. A971), а также
Кохрана и Зелени A973).
Acton, J. Р. A970). Evaluation of a life-saving program: The case of heart
. attacks. Unpublished doctoral dissertation. Harvard University, Cambridge,
Mass.
Arrow, K. J. A951) Bnd ed. 1963). Social Choice and Individual Values. Wiley,
New York.
Arrow, K. J. A971). Essays in the Theory of Risk—Bearing. Markham Publishing,
Company, Chicago.
Bauer, R. A., ed. A966). Social Indicators. M. I. T. Press, Cambridge, Mass.
Bauer, V. and M. Wegener. Simulation, evaluation, and conflict analysis in urban
planning. Proceedings of the IEEE, 63, 405—413.
Becker, G. M., M. H. DeGroot, and J. Marschak. A964). Measuring utility by a
single-response sequential method. Behavioral Science, 9, 226—232.
Bell, D. E. A974a). Evaluating time streams of income. Omega, 2, 691—699.
Bell, D. E. A974b). Defining and quantifying goals for measuring the state of
an ecosystem. RR-74-26, International Institute for Applied Systems Analysis,
Laxenburg, Austria.
Bell, D. E. A975a). A utility function for time streams having inter-period
dependencies. RR-75-22, International Institute for Applied Systems Analysis,
Laxenberg, Austria.
Bell, D. E. A975b). A decision analysis of objectives for a forest pest problem.
EE-75-43, International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenberg,
Austria.
Biumstein, A. A959). The landing capacity of a runway. Operations Research, 7,
752—763.
Bodily, S. E. A974). The utilization of frozen red cells in blood banking systems:
a decision theoretic approach. Technical report No. 94, Operations Research
Center, M. I. T., Cambridge, Mass.
Boyd, D. W. A970). A methodology for analyzing decision problems involving
complex preference assessments. Stanford Research Institute, Menlo Park,
Cal.
Boyd D. W. A973). Interactive preference assessment for decisions with multiattri-
bute outcomes. Fourth research conference on subjective probability, utility,
and decision making. Rome, Italy.
Boyd, D. W., R. A. Howard, J. E. Matheson, and D. W. North. A971). Decision
analysis of hurricane modification. Final report. Stanford Research Institute,
Menlo Park, Cal.
Brathwaite, R. B. A955). Theory of Games as a Tool for the Moral Philosopher.
Cambridge University Press, Cambridge, England.
Brown, R. V. A970). Do managers find decision theory useful? Harvard Business
Review, 48, 78—89.
*> Звездочкой отмечены работы, переведенные на русский язык (см. с. 546).
547

Brown, R. V., A. S. Kahr, and C. Peterson. A974). Decision Analysis for the
Manager. Holt, Rinehart and Winston, New York.
Brown, R. V., and C. Peterson. A975). An analysis of alternative mideastern oil
agreements. Technical report, Decisions and Designs, Incorporated, McLean,
Virginia.
Carter, G. and E. L. Ignall. A970). A simulation model of fire department
operations: design and preliminary results. IEEE Transactions on Systems Science
and Cybernetics, SSC-6, 282—293.
Charnes, A., W. W. Cooper, and G. Kozmetsky. A973), Measuring, monitoring, and
modeling quality of life. Managements Science, 19, 1172—1188.
Cochrane, J. L. and M. Zeleny, eds. A973). Multiple Criteria Decision Making
University of South Carolina Press, Columbia, S. C.
Collins, J. P. A974). The development of a solid waste environmental evaluation
procedure. Unpublished doctoral dissertation, University of Michigan, Ann
Arbor, Mich.
•Dalkey, N. С A969). The delphi Method: an experimental study of group opinion*
RM-5888-PR, The Rand Corporation, Santa Monica, Cal.
Dalkey, N. C. A972). Studies in the Quality of Life: Delphi and Decision-Making.
D. C. Heath and Company Lexington, Mass.
Davidson, D., P. Suppes, and S. Siegel. A947). Decision Making: An
Experimental Approach. Stanford University Press, Stannford, Cal.
Dawes, R. M. and B. Corrigan. A974). Linear models in decision making.
Psychological Bulletin, 81, 95—106.
Debreu, G. A960). Topological methods in cardinal utility theory. In
Mathematical Methods in the Social Sciences, 1959, K. J. Arrow, S. Karlin, and
P. Suppes, eds. Stanford Cal.
de Neufville, R. and R. L. Keeney. A972). Use of,decision analysis in airport
development for Mexico City. In Analysis of Public Systems, A. W. Drake,.
R. L. Keeney, and P. M. Morse, eds. M. I. T. Press, Cambridge, Mass.
Diamond, P. A. A967). Cardinal welfare, Individualistic ethics, and interpersonal
comparison of unity: comment. Journal of Political Economy, 75, 765—766.
Dole, S. H., H. G. Campbell, G. Dreyfuss, W. D. Gosch, E. D. Harris, D. E. Lewis,
T. M. Parker, J. W. Ranftl, and J. String, Jr. A968a). Methodologies for
analyzing the comparative effectiveness and costs of alternate space plans.
RM-5656-NASA, Volume 1 (Summary), The Rand Corporation, Santa
Monica, Cal.
Dole, S. H., H. G. Campbell, D. Dreyfuss, W. D. Gosch, E. D. Harris, D. E. Lewis,
T. M. Parker, J. W. Ranfil, and String, Jr. A968b). Methodologies for
analyzing the comparative effectiveness and costs of alternate space plans.
RM-5656rNASA, Volume 2, The Rand Corporation, Santa Monica, Cal.
*) Dyer, J. S. A972). Interactive goal programming. Management Science, 19,
6B—70.
Dyer, J. S., W. Farrel, and P. Bradley. A973). Utility functions for the test
performance, Management Science, 20, 507—519.
Dyer, J. S. and R. F. Miles, Jr. A974). Trajectory selection for the Mariner
Jupiter/Saturn 1977 Project. Technical memorandum 33—706, Jet Propulsion
Laboratory, California Institute of Technology, Pasadena, Cal.
Edwards, W. A954). The theory of decision-making. Psychological Bulletin, 51,
380—417.
Edwards, W. A961). Behavioral decision theory. Annual Review of Psychology,
12, 473—492.
Eiesenbud, M. A970). Environmental protection in the city of New York. Science,
170, 706—712.
ElHs, H. M. A970). The application of decision analysis to the problem of
choosing an air polution control program for New York City. Unpublished
corctoral dissertation, Graduate School of Biseness Administration, Harvard
University, Cambridge, Mass.
Ellis, H. M. and R. L. Keeney. A972). A rational approach for government
decision concerning air pollution. In Analysis of Public Systems. A. W. Drake,
R. L. Keeney, and P. M. Morse, eds. M. I. T, Press, Cambridge, Mass.
548

*) Farquhar, P. H. A975). A fractional hypercube; decomposition theorem for
multiattribute utility functions. Operations Research, 23, 941 967.
*) Feller, W. A966). An Introduction to Probability Theory and Its Applications
Volume 2. Wiley, New York.
Fischer, G. W. A972). Four methods for assessing multiattribute utilities: an
experimental validation. Technical report, Engineering Psychology Laboratory
University of Michigan, Ann Arbor, Mich. r
Fischer, G. W. A973). Mutidimensional utility models for riskless and risky-
decision making: theory and experimental application. Duke University
Durham, N. C.
Fischer, G. W. and W. Edwards. A973). Technological aids for inference,
evaluation and decision-making: о review of research and experience. Technical
report, Engineering Psychology Laboratory, University of Michigan, Ann
Arbor, Mich.
Fishburn, P. С A964). Decision and Value Theory. Wiley, New York.
Fishburn, P. C. A965a). Independence in unity theory with whole product sets.
Operations Research, 13, 28—45.
Fishburn, P. C. A965b). Markovian dependence in utility theory with whole
product sets. Operations Research, M, 238—257.
Fishburn, P. C. A966). Additivity in utility theory with denumerable product sets_
Econometrica, 34, 500—503.
Fnshburn, P. C. A967a). Independence and additivity in multivariate, unidimen-
sional expected utility theory. International Economic Review, 8, 335—342.
Fishburn, P» C. A967b) Additive utilities with incomplete product sets: applicatioa
to properties and assignments. Operations Research, 15, 537—542.
Fishburn, P. C. A967c). Additive utilities with finite sets: applications in the
management sciences. Naval Research Logistics Quarterly, 14, 1—13.
*) Fishburn, P. С A967d). Methods of estimating additive utilities. Management
Science, 13, 435—453.
Fishburn, P. C. A968). Utility theory. Management Science, 14, 335—378.
Fishburn, P. C. A969). Preferences, summation, and social welfare functions.
Management Science, 16, 179—186.
*' Fishburn, P. C. A970). Utility Theory for Decision Making. Wiley, New York.
Fishburn, P. C. A971). Additive representations of real-valued functions on
subsets of product sets. Journal of Mathematical Psychology, 8, 382—388.
Fishburn, P. C. A972). Interdependent perferences on finite sets. Journal of
Mathematical Psychology, 9, 225—236.
Fishburn, P. C. A973a). The Theory of Social Choice. Princeton University Press,.
Princeton, N. J.
Fishburn, P, С A973b). Bernoullian Utilities for multiple-factor situations. In
Multiple Criteria Decision Making, J. L. Cochrane and M. Zeleny, eds.
University of South Carolina Press, Columbia, S. C.
Fishburn, P. С A974). Von Neumann—Morgenstern utility functions on two-
attributes. Operations Research, 22, 35—45.
Fishburn, P. C. A975). Nondecomposable conjoint measurement for bisymmetric
structures. Journal of Mathematical Psychology, 12, 75—89.
Fishburn, P. С and R. L. Keeney. A974). Seven independence concepts and
continuous multiattribute utility functions. Journal of Mathematical Psychology^
11, 294—327.
*3 Fishburn, P. C. and R. L. Keeney. A975). Generalized utility independence and1
some implications. Operations Research, 23, 928—940.
Fleming, M. A952). A cardinal concept of welfare. Quarterly Journal of
Economics, 66, 366—384.
Fried, C. A970). An Anatomy of Values. Harvard University Presfe, Cambridge,,
Mass.
Gearing, C. E., W. W. Swart, and T. Var. A973). Determining the optimal
investment policy for the tourism sector of a developing country. Management
Science, 20, 487—497.
Gearing, C. E., W. W. Swart, and T. Var. A974). Establishing a measure of
touristic attractiveness* Journal of Travel Research, 1—8.
549

*) Geoffrion, A. M., J. S. Dyer, and A. Feinberg. A972). An interactive approach
for multi-criterion, with an application to the operation of an academic
department. Management Science, 19, 357—368.
Gorman, W. M. A968a). The structure of utility functions. Review of Economic
Studies, 35, 367—390.
Gorman, W. M. A968b). Conditions for additive separability. Econometrica, 36,
605-609.
Grayson, C. J. A960). Decisions Under Uncertainty: Drilling Decisions by Oil
and Gas Operators. Division of Research, Harvard Business School, Boston,
Mass.
Grochow, J. M. A972). A utility theoretic approach to evaluation of a
timesharing system. In Statistical Computer Performance Evaluation, W. Frieber-
ger, ed Academic Press, New York.
Grochow, J. M. A973). On user supplied evaluation of time-shared computer
systems. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, SMC-3,
204—205.
Gros, J. G.'A974). A paretian environmental approach to power plant siting in
New England. Unpublished doctoral dissertation, Harvard University,
Cambridge, Mass.
Gustafson, D. H. and D. C. Holloway. A974). A decision theory approach to
measuring severity in illness. Unpublished report, University of Wisconsin,
Madison, Wis.
Hammond, J. S. Ill A965). Bringing order into the selection of a college.
Personnel and Guidance Journal, 654—660.
Hammond, J. S. HI A974). Simplifying the choice between uncertain prospects
where preference is nonlinear. Management Science, 20, 1047—1072.
Harsanyi, J. С A955). Cardinal welfare, individualistic ethics, and interpersonal
comparisons of utility. Journal of Political Economy, 63, 309—321.
Harsanyi, J. C. A961). On the rationality postulates underlying the theory of
cooperative games. Journal of Conflict Resolution, 5, 179—196.
Harsanyi, J. С A967). Games with incomplete information played by «Bayesian»
players. Part I. Management Science, 14, 159—182.
Harsanyi, J. C. A968). Games with incomplete information played by «Bayesian»
. players. Parts II and III. Management Science, 14, 320—334 and 486—502.
Harsanyi, J. C. A974). Nonlinear social welfare functions. Theory and Decision,
7, 61—82.
Hatry, H. P. A970). Measuring the effectiveness of nondefense public programs.
Operations Research, 18, 772—784.
Hildreth, C. A953). Alternative conditions for social orderings. Econometrica, 21,
81—94.
Holling, C. S., D. E. Bell, W. С Clark, G. B. Dantzig, M. B. Fiering, D. D. Jones,
Z. Rashid, H. Velimirovic, С J. Walters, and С Winkler. A974). Project
status report: ecology and environment project. SR-74-2-EC, International
Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria.
Horgan, D. N., Jr. A972). A decision analysis of sewage sludge dispocal
alternatives for* Boston harbor. Unpublished masters thesis, Department of
Electrical Engineering, M. I. T., Cambridge, Mass.
Howard, R. A. A968). The foundations of decision analysis. IEEE Transactions
on Systems Science and Cybernetics, SSC-4, 2И—219.
Howard, R. A., J. E. Matheson, and D. W. North. A972). The decision to seed
hurricanes, Science, 176, 1191—1202.
Huber, G. P. A974a). Multi-attribute utility models: a review of field and field-
like studies. Management Science, 20, 1393—1402.
Huber, G. P. A974b). Methods for quantifying subjective probabilities and mul-
tiattribute utilities. Decision Science, 5, 430—458.
Huber, G. P., P. V. Sahney, and D. Ford. A969). A study of subjective evaluation
models. Behavioral Science, 14, 483—489.
Ipesa Consultores and the Secretaria de Communicationes у Transportes A970).
Estudio de ampliacion del aeropuerto international de la ciudad de Mixico.
Mexico City, Mexico.
560

Jennings, J. В. A968). An analysis of hospital blood bank whole blood inventory
control policies. Transfusion, 8, 335—342.
Kalelkar, A. S., L. J. Partridge, and R. E. Brooks. A974). Decision analysis in
hazardous material transportation. Proceedings of the 1974 National
Conference on Control of Hazardous Material Spills, American Institute of
Chemical Engineers, San Francisco, Cal.
Kaufman, G. M. A963). Statistical Decision and Related Techniques in Oil and
Gas Exploration. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.
Keeney, R. L. A968). Quasi-separable utility functions. Naval Research Logistics
Quarterly, 15, 551—565.
Keeney, R. L. A971). Utility independence and preferences for multiattributed
consequences. Operations Research, 19, 875—893.
*) Keeney, R. L. A972a). Utility functions for multiattributed consequences.
Managements Science, 18, 276—287.
Keeney, R. L. A972b). An illustrated procedure for assessing multiattributed
utility functions. Sloan Management Review, 14, 37—50.
Keeney, R. L. A973a). A decision analysis with multiple objectives: the Mexico
City airport. Bell Journal of Economics and Management Science, 4, 101—117.
Keeaey, R. L. A973b). Concepts of independence in multiattribute utility theory»
In Multiple Criteria Decision Making, J. Cochrane and M. Zeleny, eds.
University of South Carolina Press, Columbia, S. C.
Keeney, R. L. A973c). A utility function for the response times of engines and
ladders to fires. Analysis, 1, 209—222.
Keeney, R. L. A973d). Risk independence and multiattributed utility functions.
Econometrica, 41, 27—34.
Keeney, R. L. A974). Multiplicative utility functions. Operations Research, 22,
22—34. >
Keeney, R. L. A975). Examining corporate policy using multiattribute utility
analysis. Sloan Management Review, 17, 63—76.
Keeney, R. L., and C. W. Kirkwood. A975). Group decision making using cardinal
social welfare functions; Management Science, 22, 430—437.
Keeney, R. L. and K. Nair. A975). Decision analysis for the siting of nuclear
power plants — the relevance of multiattribute utility theory. Proceedings
of the IEEE, 63, 494—501.
Keeney, R. L. and K. Nair. A976). Evaluating potential nuclear power plant sites
in the pacific northwest using decision analysis. PP-76-1, International
Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria.
Keeney, R. L. and H. Raiffa. A972). A critique of formal analysis in public
decision making. In Analysis of Public Systems, A. W. Drake, R. L. Keeney,
and P. M. Morse, eds. M. I. T. Press, Cambridge, Mass.
Keeney, R. L. and A. Sicherman. A976). An interactive computer program for
assessing and analyzing preferences concerning multiple objectives.
Behavioral Science, to appear.
Kirkwood, C. W. A972). Decision analysis incorporating preferences of groups.
Technical report No. 74, Operations research Center, M. I. T., Cambridge,
Mass.
Kirkwood, C. W. A976). Parametrically dependent preferences for multiattributed
consequences. Operations Research, 24, 92—103.
Knepperth, N. P., D. H. Gustafson, R. P. Leifer, and E. M. Johnson. A974).
Techniques for the assessment of worth. Technical paper 254, U. S. Army
Research Institute for the Behavioral and Social Sciences, Arlington, Va.
Koopmans, Т. С A960). Stationary ordinal utility and impatience. Econometrica,
28, 287-^309.
Koopmans, Т. С A972). Representation of preference orderings over time. In
Decision and Organization, С. В. McGuire and R. Radner, eds. North-Holland
Publishing Company, Amsterdam.
Koopmans, T. C, P. A. Diamond, and R. E. Williamson A964). Stationary utility
and time perspective. Econometrica, 32, 82—100.
Kornbluth, J. S. H. A973). A survey of goal programming. Omega, 1, 193—205.
Krantz, D. H. A964). Conjoint measurement: the Luce — Tukey axiomatization
and some extensions. Journal of Mathematical Psychology, 1, 248—277.
551

Krantz, D. H., R. D. Luce, P. Suppes, and A. Tversky. A971). Foundations of
Measurement, Volume 1. Academic Press, New York.
Krischer, J. P. A974). An analysis of patient management decisions as applied
to cleft palate. TR-12-74. Center for Research in Computing Technology,
Harvard University, Cambridge, Mass.
Lancaster, K. J. A963). An axiomatic theory of consumer time preference.
International Economic Review, 4, 221—231.
Larson, R. С A972). Urban Police Patrol Analysis, M. I. T. Press, Cambridge,
Mass.
Leontief, W. A947a). Introduction to a theory of the internal structure of
functional relationships. Econometrica, 15, 361—373.
Leontief, W. A947b). A note on the interrelation of subsets of independent
variables of a continuous function with continuous first derivatives. Bulletin of
the American Mathematical Society, 53, 343—350.
Liu, B. A974). Quality of life indicators: a preliminary investigation. Social
Indicators Research, 1, 187—208.
J-ongbottom, D. and G. Wade. A973). An investigation into the application of
decision analysis in United Kingdom companies. Omega, 1, 207—215. •
JLorange, P. and V. D. Norman. A973). Risk preference in Scandinavian shipping.
Applied Economics, 5, 49—59.
Luce, R. D. A966). Two extensions of conjoint measurement. Journal of
Mathematical Psychology, 3, 348—370.
*) Luce, R. D. and H. Raiffa. A957). Games and Decisions. Wiley, New York.
Luce, R. D. and J. W. Tukey. A964). Simultaneous conjoint measurement: a new
type of fundamental measurement. Journal of Mathematical Psychology, 1,
1—27.
MaceCrimmon, K. R. A969). Improving the system design and evaluation
process by the use of trade-off information: an application' to northeast corridor
transportation planning. RM-5877-DOT, The Rand Corporation, Santa
Monica, Cal.
MacCrimmon, K. R. and J. K. Siu. A974). Making trade-offs. Decision Sciences,
5, 680—704.
MacCrimmon, K. R. and M. Toda. A969). The experimental determination of
indifference curves. The Review of Economic Studies, 36, 433—451.
Manheim, M. L. and F. Hall. A967). Abstract representation of goals: a method
for making decisions in complex problems. In Transportation: A Service.
Proceedings of the Sesquicentennial Forum, New York Academy of Sciences-
American Society of Mechnical Engineers, New York.
Matheson, J. E. and W. T. Roths. A967). Decision analysis of space projects.
Proceedings of the National Symposium, Saturn/Apollo and Beyond,
American Astronautical Society.
JVlcKean, R. N. A958). Efficiency of Government Through Systems Analysis.
Wiley, New York.
Mead, R. H. A973). The Astoria problem: a system analysis of an electric power
versus air quality conflict. Unpublished doctorial dissertation, Harvard
University, Cambridge, Mass.
Meyer, R. F. A970)~. On the relationship among the utility of assets, the utility of
consumption, and investment strategy in an uncertain, but time invariant
world. In OR 69: Proceedings of the Fifth International Conference on
Operational Research,- J. Lawrence, ed. Tavistock Publications, London.
.Meyer, R. F. A975). State-dependent time preference. In Proceedings .of the
Workshop on Decision Making with Multiple Conflicting Objectives,
International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria.
Meyer, R. F. and J. W. Pratt. A968). The consistent assessment and fairing of
preference functions. IEEE Systems Science and Cybernetics,. SSC-4, 270—278.
Miller, J. R. Ill A966). The assessment of worth: a systematic procedure and its
experimental validation. Unpublished doctoral dissertation, Massachusetts
Institute of Technology, Cambridge, Mass.
Miller, J. R. Ill A969). Assessing alternative transportation systems.
RM-5865-DOT, The Rand Corporation, Santa Monica, CaL

Miller, J. R. Ill A970). Professional Decision Making. Praeger Publishers New
York.
Moore, M. H. A973). Policy towards heroin use in New York City. Unpublished
doctoral dissertation, Harvard University, Cambridge, Mass.
Mosteller, F. and P. Nogee. A951). An experimental measurement of utility.
Journal of Political Economy, 59, 371—404.
Nair, K., G. E. Brogan, L. S. Cluff, I. M. Idriss, and К. Т. Мао. A975). An
approach to the siting of nuclear power plants. In Siting of Nuclear
Facilities, International Atomic Energy Agency, Vienna, Austria.
Nash, J. F. A950). The bargaining problem. Econometrica, 18, 155—162.
Nash, J. E. A953). Two-person cooperative games. Econometrica, 21, 128—140.
New York City Department of Air Resources A969). Emissions inventory.
O'Connor, M. F. A973). The application of multiattribute scaling procedures to»
the development of indices of water quality. Report 7339, Center for
Mathematical Studies to Business and Economics, University of Chicago, Chicago.
Odoni, A. A972). Efficient operation of runaways. In Analysis of Public Systems,
A. W. Drake, R. L. Keeney, and P. M. Morse, eds. M. I. T. Press, Cambridge,.
Mass.
Oksman, W. A974). Markov decision processes with utility independent abjective
functions. Unpublished doctoral dissertation, Harvard University, Cambridge,
Mass.
Ovi, A. A973). Decision analysis applied to nuclear versus fossil alternatives for
electric energy production. Unpublished masters thesis, Department of
Nuclear Engineering, M. I. T., Cambridge, Mass.
Papp, R., P. E. McGrath, L. D. Maxim, and F. X. Cook, Jr. A974). A new
concept in risk analysis for nuclear facilities. Nuclear News, November
62—65.
Pattanaik, P. K. A971). Voting and Collective Choice. Cambridge University-
Press, Cambridge, England.
Peterson, C. A974). Optimizing negotiations. Unpublished manuscript, presented
at the ORSA/TIMS Conference, San Juan, Puerto Rico, October.
Pollak, R. A. A967). Additive von Neumann—Morgenstern utility functions.
Econometrica, 35, 485—494.
Pollak, R. A. A973). The risk independence axiom. Econometrica, 41, 35—н39.
Pollard, A. B. A969). A normative model for joint time/risk preference decision
problems. Stanford Research Institute, Menlo Park, CaL
Pratt, J. W. A964). Risk aversion in the small and in the large. Econometrica,
32, 122—136.
Pratt, J. W., H. Raiffa, and R. O. Schlaifer. A965). Introduction to Statistical
Decision Theory. McGraw-Hill, New York.
Pruzan, P. M. and J. T. R. Jackson. A963). On the development of utility spaces
for multi-goal systems. Saertryk af Erhverskonomisk Tidsskrift, 4, 257—274.
Rye, G. A973). Lifetime portfolio selection in continuous time for a multiplicative
class of utility functions. The American Economic Review, 63, 1013—1016.
Raiffa, H. A951). Arbitration schemes for generalized twoperson games. Report
M720-1, R30, Engineering Research Institute, University of Michigan, Ann
Arbor, Mich.
Raiffa, H. A953). Arbitration schemes for generalized twoperson games. In-
Contributions to the Theory of Games, II, H. W. Kuhn and A. W. Tucker,
eds. Princeton University Press, Princeton, N. J.
*> Raiffa, H. A968). Decision Analysis. Addison—Wesley, Reading,-Mass.
Raiffa, H. A969). Preferences for multi-attributed alternatives RM-5868-DOT/RC,
The Rand Corporation, Santa Monica, Cal.
Rapoport, A., editor A974). Game Theory as a Theory of Conflict Resolution.
D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland.
Richard, S. F. A972). Optimal life insurance decisions for a rational economic
man. Unpublished doctoral dissertation, Graduate School of Business
Administration, Harvard University, Cambridge, Mass.
Richard, S. F. A975). Multivariate risk aversion, utility independence and
separable utility functions. Management Science, 22, 12—21.
55a

Roche, J. G. A971). Preference tradeoffs among instructional programs: an
inverstigation of cost-benefit and decision analysis techniques in local
educational decision making. Unpublished doctoral dissertation, Graduate
School of Business Administration, Harvard University, Cambridge, Mass.
*) Roy, B. A971). Problems and methods with multiple objective functions.
Mathematical Programming, 1, 239—266.
Savage, L. J. A954). The Foundations of Statistics. Wiley, New York.
Savas, E. S. A969). Simulation and cost-effectiveness analysis of New York's
emergency ambulance service. Management Science, 15, B608—B627.
Sawhill, I. V. A969). The role of social indicators and social reporting in public
expenditure decisions. In The Analysis and Evaluation of Public
Expenditures: the PPB System U. S. Goverment Printing Office, Washington,
D. C, 473—485.
Schimpeler, C. C, N. R. Baker, and W. L. Grecco. A969). Criteria weighting:
inter-method stability and consistency of preference in an urban planning
application. Louisville Metropolitan Comprenensive Transportation and
Development Program, Louisville, Ken.
Schlaifer, R. O. A969). Analysis of Decisions Under Uncertainty. McGraw-Hill,
New York.
Schlaifer, R. 0. A971). Computer Programs for Elementary Decision Analysis.
Division of Research, Graduate School of Business Administration, Harvard
University, Cambridge, Mass.
Schroeder, R. G. A974). Resource planning in university management by goal
programming. Operations Research, 22, 700—710.
Schwartz, W. В., G. A. Gorry, J. P. Kassirer, and A. Essig. A973). Decision
analysis and chemical judgement. The American Journal of Medicine, 55,
459—472.
Sectetaria de Obras Publicas A967). Aeropuerto internacional de la ciudad de
Mexico, Mexico City, Mexico.
Sen, A. K. A970). Collective Choice and Social Welfare. Holden—Day, San
Francisco.
*) Shakun, M. ed. A972). Game Theory and Gaming. Special issue of
Management Science, 18.
Sicherman, A. A975). An interactive computer program for assessing and using
multiattribute utility functions. Technical report No. Ill, Operations Research
Center, M. I. T., Cambridge, Mass.
Slovic, A. and S. Lichtenstein. A971). Comparison of bayesian and regression
approaches to the study of information processing in judgement.
Organizational Behavior and Human Performance, 6, 649—744.
Spetzler, C. S. A968). The development of a corporate risk policy for capital
investment decision, IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics,
SSC-4, 279—300.
Stanford Research Institute A968). Decision analysis of пифаг plants in
electrical systems expansion. Report on Project 6496, Menlo Park, Cal.
Stevenson, K. A. A972). Emergency ambulance transportation. In Analysis of
Public Systems, A. W. Drake, R. L. Keeney, and P. M. Morse, eds. M. I. T.
Press, Cambridge, Mass.
Swalm, R. O. A966). Utility theory — insights into risk taking. Harvard Business
Review, 44, 123—136.
Szanton, P. L. A972). Analysis and urban government. In Analysis of Public
systems, A. W. Drake, R. L. Keeney, and P. M. Morse, eds. M. I.T. Press,
Cambridge, Mass.
Teweles, R. B. A972). The use of risk analysis techniques in career planning.
Unpublished manuscript.
Ting, H. M. A971). Aggregation of attributes for multiattributed utility
assessment. Technical report No. 66, Operations Research Center, M. I. T.,
Cambridge, Mass.
Toda, M. A974). A computational procedure for obtaining additive utility
functions from observed indifference curves. HRP-3-74-15, Department of
Psychology, Hokkaido University, Sapporo, Japan.
554

Toy, N. E. A971). Analysis of financial decisions for retirement: an exploration
of several methodologies where there is uncertainty of investment returns
and mortality. Unpublished doctoral dissertation, Graduate School of Business
Administration, Harvard University, Cambridge, Mass.
Tribus, M. A969). Rational Descriptions, Decisions, and Designs. Pergamon
Press, New York.
Tversky, A. A967). A general theory of polynomial conjoint measurement. Journal
of Mathematical Psychology, 4, 1—20.
Tversky, A. A975). On the elicitation of preferences: descriptive and prescriptive
considerations. In Proceedings ef the Workshop on Decision Making with
Multiple Conflicting Objectives, International Institute for Applied Systems
Analysis, Laxenburg, Austria.
*5 von Neumann, J. and O. Morgenstern. A947). Theory of Games and Economic
Behavior. 2nd ed. Princeton University Press, Princeton, N. J.
von Winterfeldt, D. and W. Edwards. A973a). Evaluation of complex stimuli
using multiattribute utility procedures. Technical report, Engineering
Psychology Laboratory, The University of Michigan, Ann Arbor, Mich.
von Winterfeldt, D. and W. Edwards. A973b). Flat maxima in linear optimization
models. Technical report, Engineering Psychology Laboratory, The
University of Michigan, Ann Arbor, Mich.
Wisley у Ham de Mexico, S. A. de C. V. A967). Aeropuerto internacional de la
ciudad de Mexico. Mexico City, Mexico.
Winkler, R. L. A972). An Introduction to Bayesian Inference and Decision. Holt,
Rinehart and Winston, New York.
Woodward—Clyde Consultants A975). Final report to the Washington Public
Power Supply System. San Francisco, Cal.
Yntema, D. B. and L. Klem. A965). Telling a computer how to evaluate
multidimensional situations. IEEE Transactions on Human Factors in Electronics,
HFE-6, 3—13.
Yntema, D. B. and W. S. Torgenson. A961). Man-computer cooperation in
decisions requiring common sense. IEEE Transactions on Human Factors in
Electronics, HFE-2, 20—26.
Zeleny, M. A974). Linear Multiobjective Programming. Springer—Verlag, Berlin.
Zeuthen, F. A930). Problems of Monopoly and Economic Warfare. G. Routlerge
and Sons, London.
Zionts, S. and J. Wallenius. A976). An interactive programming method for
solving the multiple criteria problem. Management Science, 22, 652—663.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Айзенбуд 345
Акофф Р. 540
Бауэр В. 422
Бауэр Р. А. 537
Бекер 181
Белл Д. Е. 13. 250, 420, 460,
489
Берд В. 197, 198
Блум Э. 364
Бойд 129, 287, 422
Блюмштейн 140
Бодайли 406—408
Бракамонтес 15
Браун 12, 18, 419, 422
Брукс 414
Брэдли 422
Брэйтуэйт 512
Вагенер 422
Валлениус 86
Вальтер К. *420
Вар 422
Винклер 18
Винтерфельдт 288, 334
Вудворд Р. 378
Гиринг 422
Герман 80, 112, 116, 120,
132, 309
Горри 17
Грейсон 32, 156, 187, 197
Гроот 181
Грос Ж. 400, 401, 403-405,
510, 534
Грочов 395, 396, 398 .
Гуд Г. X. 540
Густафсон 67, 422
Дайер 83, 422, 536
Даймонд 523
Дебре 80, 109, 115
Делкя 417, 537
Джексон 81, 96, 115, 285
Дженингс 265, 267
Джонс Д. 420
Джонсон Р. 540
Джеффред Ф. ДЖ. 422,
458
Джеффрион 83
Довали Ф. 422, 458
Довс 334
Дэвидсон 181. 196
Доул 49
Ессиг 17
Зайентс 86
Зелени 86
Зентон 539
Зигель 181, 196
Зихерман 338, 339
Зэйтен 512
Игнолл 71, 365 '
Интема 334, 405. 406
Иорг Р. 420
Кар 18
Картер 71, 365
Кассирер 17
Каст Ф. 540
Кейлелкар 414, 415
Кеннеди 47
Керквуд К. 13, 248, 249,
517, 530, 533
Кини Р. 5, 13, 25, 64, 217,
233, 264. 267, 273, 279,
303, 337, 338, 343, 349,
364, 368, 369, 371, 376,
382, 400, 401, 422, 459,
517. 540, 542, 545, 546
Кларк Б. 420
Клем 405, 406
Книппрет 67, 287
Козельский Ю. 543
Коллинз 422
Корнблют 83
Корриган 334
Кофман 197
Крантц 80, 109, 115, 131
Кришер 416, 417
Купманс Т. К. 7, 13, 460,
469—471
Лонгботтом 422
Ланкастер 460
Ларсен 71, 140, 368
Леонтьев 80, 116, 131
Линтнер Д. 28
Лихтенштейн 21
Лоранж 422
Лью 537
Льюс 80, 99, 131, 399, 511
512, 517, 536
Майлз 536
Маккин 65
Маккриммен 48, 93
Макел 540
Мангейм 54, 55
Маршак 181
Маршалл 211
Мейер Р. 13, 132, 180, 190,
205, 250, 273, 282, 321,
421, 459, 475, 480, 490
Метсон 129
Мид 343
Миллер 75, 410, 412
Моргенштерн О. 5, 10, И,
41, 132, 150, 544
Мостеллер 181, 196
Мур 17
Мурхауз Д. 378
фон Нейман 5, 10, 11, 41,
132, 150, 211, 506, 544
Нейр К. 376, 378, 383, 386,
389, 391, 393. 400, 401
Нельсон 357, 359, 363
Нефвиль Р. 422, 423, 459
Нэш 512
Норман 422
Норт 129, 422
Науджи 181, 196
Неперс 67, 287
Ови 401
О'Коннор 417, 418, 510, 534
Оксман 205, 483
Оптнер С. Л. 540
Оудони 140
Пай 480
Папп 400
Парето 403, 512, 524, 525
Петерсон 18, 419, 537
Поллак 217, 273, 282, 285,
286
Поллард 460
Пратт Дж. 132, 156, 160;
162, 189, 190, 203, 321
Прузан 80, 96, 115, 285
Пэтанайк 511
Райфа X. 5, 12, 13, 18, 20,
25, 41, 64, 132, 135. 144,
273, 343, 533, 399, 433,
459, 511, 512, 517, 536,
540, 541, 542, 545, 546
Рапопорт 512
Рашид 3, 420
Ричарде 205, 480, 487, 495
Розенцвейг Д. 540
Ронан Ф. Д. 364, 368, 371,
375, 376
Рос 129
Рочи Д. 120, 353—357, 359,
361, 363, 510, 534
Руа 71, 368
Савас 71, 140, 368
Сапе 131, 181, 196
Сволм 199
Сен 54, 511, 514
Сехни 54
Словик 21
Сократ 22
Сохил 539
Спенс М. 13
Стивенсон 71, 368
Суарт 422
Сэвидж 132
Сью 93
Тверский 131, 203
Тевеле 81, 132, 410, 412, 413
Тинг 81, 119, 132
Тодд 93
Той Н. 93, 204, 205
Торгенсон 334
Трайбус 18
Тьюки 80, 99, 131
Уэйд 422
Файнбёрг 83
Фаркар 283
Фаррел 422
Феллер В. 161
Фишер 21, 334
Фишберн 115, 132, 273, 283,
285, 287, 303, 337, 511,
516-518, 540
Флеминг 517
Форд 54
Фрид Ч. 39
Хаммонд 33, 191
Хамфри 362, 363
Харшаньи 512, 520, 522, 536
Хатри 73
Хилборн Р. 420
Хилдрет 513
Ховард 18, 129, 422
Холл 54, 55, 540
Холлинг 420
Холлувей 67, 422
Хорган Д. 409
Хубер 54, 287, 422
Чарнс 539
Шакун 399
Шварц У. 17
Шимпелер 49
Шлейфер 12, 18, 132, 181,
189, 201, 495, 540
Шмитц Д. 13
Шредер 83
Эдварде 21, 288, 334
Эктон Я. 33
Эллис 57, 343, 347—349
Эмери Ф. 540
Эрроу 132, 156, 506, 512—
514, 516, 517, 536
Эссиг 17
556

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агрегирование данных 545
<— индивидуальных предпочтений 505
Аддитивная независимость 220, 253
по полезности 331, 518
— полезность 526
— структура предпочтений 99
— теория полезности 222
— функция полезности 220, 285, 296, 521
ценности 109, 122, 321
Аддитивное представление 228
Аддитивно независимые факторы 285
Аддитивные групповые функции
полезности 517
ценности 515
Альтернативы детерминированные 173
—, связанные с риском 173
Анализ изменений окружающей среды по
Парето 403
—, итеративная природа 24
— многомерных исследований 542
— полезности 30
— решений 7, 18, 541
— сложных ценностей 41
— стоимость—эффективность и затраты—
прибыль 34, 35
Априорная и апостериорная
справедливость 526
Беспокойство, вызываемое
неопределенностью 501
Взаимная независимость по полезности
223
— — по предпочтению 109
Возрастающая несклонность к риску 165
Временная проблема 460, 474
Групповые решения 39, 459, 510, 531, 533
— функции полезности 519, 529
Двумерные функции полезности 42, 209
Денежный эквивалент лотереи 144
Дерево решений 19, 29, 44, 206
— целей 57
Дескриптивная теория принятия решений
21, 203
Детерминированный эквивалент 143, 144,
232, 241
Дисконтирование с постоянным
коэффициентом 467
"Доминирование 81, 129, 136
Иерархические структуры 126. 323, 332,
333
Иерархия групповых решений 532
— целей 55, 60, 45, 54, 61, 350, 381, 413
Индуцированная функция полезности 70
Искажение 191
Качественная структуризация целей 58
Квадратичная функция полезности 164
Квантификация, использование
гипотетических вопросов 31
— и оценка отношения к риску 11
— предпочтений для лотерей, исходы в
которых относятся к различным
временным горизонтам 486
— субъективных ценностей 17, 26, 74
Классификация проблем принятия
решений 41
Конкретизация целей и критериев 77
Коэффициент дисконтирования 36
Кривые безразличия 90, 226, 238, 373
Критерии 52, 543
—, взаимозависимые по предпочтению 118
— заместители 54; 68, 74
•— попарно независимые по предпочтению
— фирм «Вудворд—Клайд» 379, 387
Критерий «среднее значение — дисперсия»
Лексикографическое упорядочение 88
Логарифмическая функция полезности 165,
197
ЛПР (лицо, принимающее решения) 7,
59, 505
Максимально независимые по полезности
цепи 312
Максимизация ожидаемой полезности 20
Метод варьирования взвешейной суммы
критериев 86
— многомерной полезности 533
— парных сравнений различных
последствий 260
— половинного деления по ценности 101
— схождения для определения
детерминированного эквивалента 186
Многомерные задачи 204, 335
— структуры 42, 272
— функции полезности 210, 438, 495, 309,
327, 338
ценности 78, 338
Модель групповых решений с участием
ЛПР 534
— пожарной службы 366
— принятия решений 507
Монотонность 142
Мультипликативная функция полезности
279, 315, 337
Мультипликативное представление 228
Наборы критериев 63—-65
— целей 63
Надбавка за риск 151
Неединственность иерархии целей 60
— набора критериев 66
Независимая по полезности цепь 310
Независимость по полезности 276, 215, 246,
254, 289, 329, 337, 520, 528
— по предпочтению 106, 112. 131, 276,
118, 274, 289, 302
Немонотонные функции полезности 180
Непрерывные потоки потребления 479
Несклонность к риску 148, 156, 162, 176,
497
Обращение предпочтений 248, 276
Одномерные задачи 139
— функции полезности 142, 491
Оптимальность по Парето 524
Ослабление условий аддитивности 116
Отношение к риску 175, 180
Оценка полезности уровней временных
потоков потребления 205
— систем вычислительной техники 395
— ценности 8, 17
Ошибки в построении функций
полезности 260
Пакет программ для вычисления и
построения многомерных функций
полезности (MUFCAP) 339, 340
Параметрическая зависимость 249
— независимость 248
Парная инвариантность 467
Пары, эквивалентные по разности
ценности 101
Период реагирования 71, 140, 364
Показатели (факторы, дескрипторы) 44
Полезности, зависящие от состояния 488
— наследства 497
— потоков потребления 496
Полиномиальная функция полезности 283
Положительная порядковая связь 528
— функциональная связь 520
Полусепарабельная структура полезности
488
Последовательная парная независимость
по предпочтению 466
Постоянные замещения 94
Постоянный коэффициент парного заме*
шения 467
Предвидение и подстраховка 502
Предельный коэффициент замещения 92
Предпочтения для временных потоков с
557

бесконечными горизонтами 469
—, зависящие от времени 459
—, — от состояния 206
—, качественная структуризация 213
— в многокритериальных задачах в
условиях неопределенности 209, 272
— предпринимателей в области поисков
нефти 197
— представителей деловых кругов 198
Преобразование факторов при анализе
задачи 245
Приведенная величина потока 464
— к настоящему времени ценность 463
Проблема безопасности полета 435
— борьбы с загрязнением воздуха 345
— — с вредителями леса 419
— выбора профессии 410
— выбора траекторий космических
аппаратов 536
— 1»руппового выбора и индивидуальных
ценностей 506
— качества воды 417
— лечения «заячьей губы» и «волчьей
пасти» 415
— перевозки опасных грузов 413
— планирования деятельности фирмы
«Вудворд—Клайд» 376
— повышения эффективности работы
пожарного управления 464
— — — почтовой службы 46
службы скорой помощи 70
— развития аэропорта для Мехико 422
— размещения атомных электростанций
399
— распределения потребления при
неопределенной продолжительности жизни
— формализования программ образования
353
— хранения запасов крови 406
— шума 434
— удаления продуктов очищения сточных
вод 409
Связь между условной независимостью и©
полезности и независимостью по
полезности 326
Сегодняшнее восприятие будущей
полезности 462
Синтезирование и объединение различных
мнений ЛПР 506
Совместное шкалирование 99
Согласованное шкалирование функций мо-
лезности 484
Средняя по ценности точка 102
Стандартный индекс шума (CNR) 430
Стационарность и упорядочение по
предпочтению для бесконечных потоков 4#9
Степень достижения целей 58
Стратегические и повторяющиеся
решения 26
Страховая сумма для лотереи 152
Структура предпочтений 247
— аддитивная 99
Структуризация и построение функций
многомерной полезности 209, 459
— предпочтений ЛПР 506
— целей 14, 44
Субъективные и объективные меры 5S
— ценности 25
Сценарий возможного развития событий*
452
Теорема Эрроу о невозможности 513
Теория выбора в условиях риска
(кардинальной полезности, теория полезности
Неймана—Моргенштерна) 41
— полезности 5, 132
многомерная 209, 545
одномерная 11, 132, 138
«Тест на важность» 57
— для проверки независимости по
полезности 267
Убывающая несклонность к риску 167, 17$
— функция полезности к риску 176
Условие аддитивности Поллака 286
— независимости по полезности 307
— соответственных замещений 99
Условная аддитивная независимость 327
— зависимость 324
Условные детерминированные
эквиваленты 208
— одномерные полезности 206
— оценки 207
— предпочтения 206
— функции полезности 256, 268, 293
Факторы (критерии) 273
—, взаимонезависимые по полезности 279Г
314, 319
— независимые по предпочтению 337
Фазы выполнения 27
Формализация частичная 535
Формирование научных целей для
космической программы 49
Функция достоинств 24
— полезности 29
— — возможного финансового положения
198
в задаче о больничном банке
крови 264, 202
— —, использование 193
мультипликативная 315
— -—, непосредственное нахождение 246
полилинейная 224, 230, 283, 316
, построение 233, 266
— — для потребления с учетом
продолжительности жизни 503
— —, проверка согласованности 301
, программы построения 201
для продолжительности поездки в
аэропорт 442
— — для пропускной способности аэро-
порта 444
— — для различных периодов
реагирования 367, 373
для трех факторов 276
Частично аддитивные функции ценности
119
Чувствительность решений 105
Шкалирование мультипликативной
функции полезности 299
Шкалирующие коэффициенты (константы)
124, 207, 257, 262, 292, 337, 390, 445 '
Эволюция функций полезности 499
Эквивалентное будущее 483
Элемент максимальной независимой н©
полезности цепи 311
Эффективная граница 82
Эффективные прямые и обратные
дескрипторы состояния 489

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода . 5
Предисловие 7
Глава 1. Общее описание проблемы 14
1.1. Наброски наводящих примеров A4). 1.2. Парадигма анализа решения A8). 1.3.
Некоторые замечания о парадигме B0). 1.4. Проблемы оценки сложных ценностей B7).
1.5. Классы примеров и методологические кошмары C2). 1.6. Организация остальных
глав D0).
Глава 2. Структуризация целей , . . » . 44
2.1. Цели и критерии D5). 2.2. Формирование целей и критериев D7). 2.3.
Иерархическая природа целей E4). 2.4. Наборы целей и критерии F3). 2.5.
Критерии-заместители и прямые измерения предпочтений F8). 2.6. Выводы и перспективы для
практических аспектов конкретизации целей и критериев G7).
Глава 3. Замещения в условиях определенности ........ 78
3.1. Многомерные функции ценности G8). 3.2. Процедуры выбора, не требующие
формализации структуры предпочтений (81). 3.3. Структуризация предпочтений и
функции ценности (88). 3.4. Структуры предпочтений и функции ценности для двух
критериев (92). 3.5. Случай трех критериев A06). 3.6. Случай более трех критериев A12).
3.7. Построение аддитивной функции ценности: гипотетический пример A20). 3.8.
Готовность заплатить A27). 3.9. Краткое резюме и путеводитель по специальной
литературе A30).
Глава 4. Теория одномерной полезности 132
4.1. Значение теории полезности A32). 4.2. Прямое установление полезностей исходов
A41). 4.3. Одномерные функции полезности A42). 4.4. Несклонность к риску A48).
4.5. Мера несклонности к риску A56). 4.6. Постоянная, убывающая и возрастающая
несклонность к риску A62). 4.7. Пропорциональная несклонность к риску A69).
4.8. Монотонно убывающие и немонотонные функции полезности A74). 4.9. Процедура
построения функций полезности A81). 4.10. Иллюстративные примеры процесса
построения функций одномерной полезности A95). 4.11. Раскрытие смысла задачи с
одним критерием путем рассмотрения ее как многокритериальной B04). 4.12. Условные
одномерные полезности B06). 4.13. Где мы находимся? B09).
Глава 5. Предпочтения в многокритериальных задачах в условиях
неопределенности: двумерный случай 209
5.1. Некоторые подходы к построению многомерных функций полезности B10). 5.2.
Независимость по полезности B15). 5.3. Аддитивная независимость и аддитивная
функция полезности B20). 5.4. Следствия взаимной независимости по полезности B23).
5.5. Использование детерминированных эквивалентов B32). 5.6. Функции полезности
в случае одного независимого по полезности фактора B33). 5.7. Что делать в случаях,
когда ни одно из свойств независимости не выполняется? B45). 5.8. Процедура
построения многомерных функций полезности B50). 5.9. Интерпретация шкалирующих
констант B62). 5.10. Построение функции полезности в задаче о больничном банке
крови B64).
Глава 6. Предпочтения в многокритериальных задачах в условиях
неопределенности: многомерный случай 272
6.1. Основное содержание главы B73). 6.2. Функции полезности в случае трех
факторов B76). 6.3. Мультипликативная функция полезности B79). 6.4, Полилинейная
функция полезности B83). 6.5. Аддитивная функция полезности B85). 6.6.
Установление численных значений многомерных функций полезности B87). 6.7. Основная
взаимосвязь между независимостью по предпочтению и независимостью по полезности
C02). 6.8. Взаимосвязь между условиями независимости по полезности C07). 6.9.
Декомпозиция многомерных функций полезности C09). 6.10. Дополнительные теоремы
представления C15). 6.11. Иерархические структуры и условные предпочтения C23).
6.12. Заключение C34). Приложение 6А. Обобщение независимости по
предпочтению и независимости по полезности C37). Приложение 6Б. Вычисление шкалирующей
константы k в мультипликативной функции полезности C37). Приложение 6В.
Программа для использования ЭВМ в интерактивных процедурах нахождения и
применения многомерных функций полезности C38). Программа для структуризации
функции полезности C39). Программа для определения функций полезности, зависящих
только от одного фактора C39). Программа для определения шкалирующих констант
C40). Программа для оценки альтернатив и анализа чувствительности C40).
Резюме C41).
Глава 7. Иллюстративные примеры приложений ........ 341
7.1. Борьба с загрязнением воздуха C43). 7.2. Формирование программ образования
и замещение предпочтений C53). 7.3. Деятельность пожарного управления C64).
559

^ характеР предпочтений корпорации и их структуризация C76)
стяи??1QQfc.T|M вычислительной техники C95). 7.6. Размещение атомных электр^
станций C99). 7.7. Другие применения D05).
Глава 8. Анализ проблемы развития аэропорта для Мехико 42
г^ D23Ь 8'2' o^HOB?bie сведения D24). 8.3. Эволюция процесса анализа
AIpmwv ; Статическая модель D29). 8.5. Определение возможных последствий
выбираемых альтернатив D32). 3.6. Построение многомерной функции полезности D38)
8:7. Анализ D46). 8.8. Динамический анализ D50). 8.9. Результаты анализа D56).
Глава 9. Предпочтения, зависящие от времени 45°
9.1. Характерные особенности временной проблемы D60). 9.2. Случай определенности-
функции ценности для временных потоков D63). 9.3. Наличие неопределенности:
функции полезности для ,временн>1х потоков D74), 9.4. Ослабление допущений
относительно независимости D80). 9.5. Неопределенный горизонт D84). 9.6. Полезности,
'зависящие от состояния D88). 9.7. Проблемы применения D91). 9.8. Процесс «раскрытия»
неопределенности и его протяженность во времени D99). Приложение 9А. Получение
функции полезности для потребления с учетом предполагаемой продолжительности
жизни E03).
Глава 10. Агрегирование индивидуальных предпочтений 505
10.1. Синтезирование и объединение различных мнений лицом, принимающим
решение E06). 10.2. Агрегирование индивидуальных предпочтений в условиях
определенности E13). 10.3. Агрегирование индивидуальных предпочтений в условиях
неопределенности E17). 10.4. Аддитивная полезность и аргументация относительно
«справедливости» E22). 10.5. Анализ допущений о независимости E26). 10.6. Построение
групповых функций полезности E29). 10.7. Использование методов многомерной
полезности при анализе групповых решений E33).
Послесловие 54(
Список литературы , 547
Именной указатель 556
Предметный указатель 557
Р. Л. Кини, X. Райфа
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ МНОГИХ КРИТЕРИЯХ:
ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ЗАМЕЩЕНИЯ
Перевод с английского В. В. Подиновского, М. Г. Гафта, В. С. Бабинцева
Под редакцией И. Ф. Шахнова
Редактор Н. Д. Иванушко
Художник В. Н. Давыдов. Художественный редактор Н. А. Игнатьев
Технический редактор Т. Н. Зыкина. Корректор 3, Г. Галушкина
ИБ № 528
Сдано в набор 6.05.81 Подписано в печать 8.09.81
Формат бОхЭОДа Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная Печать высокая
Усл. печ. л. 35 Усл. кр.-отт. 35 Уч.-изд. л. 41,06 Тираж 10 000 экз. Изд. № 19566
Зак. № 67 Цена 3 р. 10 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Главпочтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь» Госкомиздата СССР
101000 Москва, ул. Кирова, д. 40