NUCLEAR
STRUCTURE
Volume II
NUCLEAR DEFORMATIONS
AAGE BOHR
The Niels Bohr Institute,
University of Copenhagen
BEN R. MOTTELSON
NORDITA,
Copenhagen
W. A. BENJAMIN,
INC.
New York, Amsterdam, 1974
О. ПОГ, Б. МОТТЕЛЬСОП
СТРУКТУРА
АТОМНОГО
ЯДРА
ТОМ 2
ДЕФОРМАЦИЯ ЯДЕР
Перевод с английского
Под редакцией
Л. А. СЛИВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». МОСКВА
1977
УДК 539.1
Книга представляет собой второй том монографии, посвя-
щенной теории ядра. Авторы книги — крупнейшие специа-
листы в области теоретической ядерной физики — обобщают
огромный экспериментальный материал, накопленный к на-
стоящему времени учеными всего мира. Во втором томе
изложены современные представления о вращательных спект-
рах, одночастичном движении в несферических ядрах и о вра-
щательных спектрах ядер. (Том I, выпущенный в русском
переводе в 1971 г., посвящен одночастичному движению
в ядрах.)
Книга, отличающаяся энциклопедическим характером
изложения, представит большой интерес для широкого круга
читателей (научных сотрудников, преподавателей, аспирантов,
студентов старших курсов), занимающихся ядерной физикой.
Редакция литературы по физике
ИБ № 913
О. Бор, Б. Моттельсон
СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА
Том 2
Редактор Е. С. Куранский
Художник Я. Г. Мануйлова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Бирюкова
Корректор Т, П, Пашковская
Сдано в набор 17/11 1977 г. Подписано к печати 19/VIII 1977 г. Бумага тип. № 2 60X90’/^=
- 20,75 бум. л. 41,50 печ. л. Уч.-изд. л. 52,77. Изд. № 2/6529. Цена 4 р. 10 к. Зак. 818.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии № 2 имени
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29, с матриц ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
производственно-технического объединения «Печатный Двор» имени А. М. Горького
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли, 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул 26
@ W. A. Benjamin, Inc., 1974
© Перевод на русский язык, «Мир», 1977
20408—463
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Второй том монографии О. Бора и Б. Моттельсона «Структура
атомного ядра» посвящен в основном анализу вращательных и
колебательных движений в ядрах. Основополагающие исследова-
ния в этой области были выполнены авторами монографии около
20 лет назад. Поскольку этот раздел ядерной физики бурно разви-
вается, существующие обзоры и книги по данной проблеме быстро
устаревают. Вряд ли можно найти других авторов, которые могли
бы так полно и столь оригинально изложить данный вопрос. При-
знанием их выдающейся роли в развитии этой области ядерной
физики явилось присуждение им Нобелевской премии за 1975 г.
На написание второго тома авторы потратили много времени и сил.
Они несколько раз переделывали почти законченную рукопись,
стремясь изложить каждый вопрос с учетом самых последних до-
стижений. Именно этим и объясняется столь длительная задержка
в опубликовании второго тома.
Во втором томе О. Бор и Б. Моттельсон придерживаются стиля,
принятого ими ранее в первом томе. Изложение материала они строят
исходя из общих принципов симметрии задачи и вытекающих отсюда
следствий. Таким путем получаются все основные уравнения.
В книге также отведено много места различным моделям, наиболее
адекватным сути рассматриваемого явления. В многочисленных
примерах читатель найдет анализ богатого экспериментального
материала и сравнение его с предсказаниями теории. Подход авто-
ров радует своей физичностью и богатством используемых приемов.
С целью скорейшего опубликования второго тома у нас в стране
перевод был сделан с рукописи, а затем сверялся с корректурой
подготовленного английского издания. О. Бор и Б. Моттельсон
проявили большую заинтересованность в переводе книги на рус-
ский язык и ускорили ее выход.
Перевод гл. 4 и 5 осуществлен Б. Л. Бирбраиром, а гл. 6 —
С. И. Дроздовым, В. Е. Бунаковым и В. И. Исаковым. Предисловия
авторов переведены В. Е. Бунаковым.
Л. А. Слив
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Русское издание второго тома «Структуры ядра» позволяет нам
вновь выразить благодарность нашим советским коллегам за их
сотрудничество. Нам хотелось бы вновь повторить слова призна-
тельности, написанные нами в предисловии к первому тому:
«Многие известные советские ученые, приезжавшие в наш инсти-
тут в Копенгагене для участия в исследованиях и дискуссиях,
стимулировали нашу работу и внесли существенный вклад в раз-
витие идей, которые мы попытались изложить в этой книге. Первым
в установлении такого сотрудничества был проф. Слив, и для нашей
группы в Копенгагене он и сейчас остается самым ценным коллегой
и критиком. Мы благодарны ему и его сотрудникам за их инициа-
тиву и кропотливую работу, связанную с подготовкой настоящего
издания».
За годы, прошедшие с тех пор, мы с удовольствием возобновили
контакты с нашими старыми коллегами и друзьями из Советского
Союза, а также с многими коллегами младшего поколения, при-
внесшими свой энтузиазм и инициативу в работу нашего института.
Мы возлагаем большие надежды на продолжение нашего плодо-
творного сотрудничества.
Оге Бор
Бен Мопгтельсон
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
В первом томе данной монографии рассматривались в основном
свойства ядра, связанные с одночастичным движением нуклонов.
Второй том посвящен тем вопросам ядерной динамики, которые
связаны с различными типами коллективных деформаций, возмож-
ных в ядрах. Элементарные моды возбуждений ядер затрагивают
как одночастичные, так и коллективные степени свободы, и поэтому
при разработке теории строения ядра центральную роль играло
стремление добиться правильного соотношения в применении кон-
цепций, относящихся к этим двум противоположным сторонам
ядерной динамики.
В основе самых первых теоретических исследований ядер,
состоящих из нейтронов и протонов, лежало представление о неза-
висимом движении частиц в коллективном центральном поле, ана-
логия с представлением, на основе которого уже с успехом разра-
батывалась теория строения атомов г). Новое направление иссле-
дования получили после того, как были открыты плотные спектры
узких нейтронных резонансов, что привлекло внимание исследова-
телей к сильной корреляции в движении отдельных нуклонов
(т. 1, стр. 157). Результатом явился подход к ядерной динамике,
основанный на анализе коллективных степеней свободы, анало-
гичных вибрационным модам жидкой капли [175]. Открытый через
несколько лет процесс деления оказался разительным примером
такого коллективного движения
Новый крутой поворот в исследованиях произошел, когда
анализ данных по энергиям связи и моментам ядер убедительно
продемонстрировал существование ядерных оболочек [566, 801]
(см. также т. 1, фиг 1.13). Возникла проблема «примирения» одно-
временно существующих одночастичных и коллективных степеней
свободы и анализа разнообразных явлений, обусловленных их
взаимодействием [946, 155, 594, 162, 163].
При выработке правильного теоретического подхода к исследо-
ванию структуры ядра объединяющую роль сыграло представление
о деформации ядерней плотности и среднего потенциала. Дефор-
мации относятся к коллективным степеням свободы и в то же время
г) Хорошее представление об этой ранней стадии в исследовании струк-
туры ядра могут дать дискуссии на VII Сольвейском конгрессе [464, 575J.
8 Предисловие авторов к английскому изданию
влияют на движение отдельных нуклонов, внося при этом органи-
зующее начало, ответственное за само коллективное движение.
Данный том и посвящен той роли, которую играют различные виды
деформаций, возможные в ядрах.
Особенно важное место в анализе коллективного движения ядер
заняло изучение вращательных степеней свободы, так как они пре-
дельно просты. (В самом деле, анализ вращательного движения
в системе позволил решить широкий круг вопросов динамики,
начиная от проблем небесной механики и кончая спектрами эле-
ментарных частиц.) В силу такой особенности вращений и богатства
экспериментального материала по вращательным спектрам настоя-
щий том начинается с рассмотрения вращательной моды (гл. 4).
Вращательные спектры характерны для ядер, равновесная форма
которых не сферически-симметрична (коллективная мода, связан-
ная со спонтанным нарушением симметрии). Простые количествен-
ные соотношения, которым подчиняются вращательные спектры,
позволяют провести детальный анализ одночастичного движения
в деформированных ядрах. Такой анализ (ему посвящена гл. 5)
существенно дополняет наши сведения об одночастичном движении,
полученные из рассмотрения сферических ядер, и в то же время
позволяет исследовать взаимодействие вращательного и одноча-
стичного движений.
В главе 6 рассматриваются возможные колебательные моды,
а также связи между различными элементарными типами возбуж-
дения. Мы много раз переписывали эту главу начерно по мере
того, как нам все яснее становилась широта темы и все более четко
вырисовывались возможности выработать весьма общий теорети-
ческий подход на основе представлений о частично-вибрационном
взаимодействии.
Первоначально мы собирались посвятить том 3 анализу кол-
лективных мод с точки зрения движения отдельных нуклонов и
подойти к этому, рассматривая эффекты взаимодействия для мало-
нуклонных конфигураций. Но в ходе написания тома 2 в него
оказалась включенной микроскопическая теория коллективного
движения, основанная непосредственно на анализе частично-вибра-
ционных взаимодействий. В результате первые два тома преврати-
лись в самостоятельное и более полное, чем планировалось, изло-
жение вопросов ядерной динамики г).
Как и в первом томе, главы тома 2 разделены на основной текст,
примеры и приложения. Объем разделов, посвященных примерам,
здесь, особенно в гл. 6, несколько больше, поскольку мы сочли
необходимым за счет их расширения охватить ряд вопросов без
нарушения связности изложения в основных частях глав.
г) В связи с этим, встречаясь в томе 1 со ссылками на том 3. следует
искать соответствующие названия в предметном указателе тома 2.
Предисловие авторов к английскому изданию	9
В подготовке данного тома мы использовали помощь многих
своих коллег и учли их критические замечания. Мы, как и наши
читатели, должны быть особенно признательны Петеру Акселю
за советы, упростившие изложение, и Икуко Хамамото за внима-
тельный анализ всего материала, позволивший сделать его более
содержательным. Мы благодарны также Б. Л. Андерсену, С. Бьорн-
хольму, Р Броглиа, С. Г Нильссону, Д. Пайнсу, Дж. Расмуссену,
В. Струтинскому и В. Святецкому за ценные советы и обсуждения.
В нашей более чем пятнадцатилетней работе над монографией
нам очень помогли Л. Мадсен, Г Ольсен и С. Хеллман. Мы особенно
признательны Софи Хеллман за ту неповторимую роль, которую
она сыграла в подготовке книги с неутомимостью и энтузиазмом,
несвойственными восьмидесятилетнему возрасту. Работа с ней
воодушевляла и радовала нас.
Копенгаген.	Осе Бор
июнь 1975 г.	Бен Моттельсон
4
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ
§ 1. КОЛЛЕКТИВНОЕ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Для всех систем, имеющих вращательные спектры, характерно
наличие «деформации», т. е. некой анизотропии, позволяющей
говорить о пространственной ориентации системы как целого.
В молекуле, как и в твердом теле, деформация отражает резко
выраженную анизотропию распределения масс во внутренней
системе координат, определяемой равновесными положениями ядер.
В атомном же ядре вращательные степени свободы связаны с дефор-
мациями равновесной формы ядра, обусловленными оболочечной
структурой [данные о таких деформациях будут рассмотрены на
стр. 125 (Е2-моменты) и в гл. 5 (деформированный одночастичный
потенциал)]. Последовательности типа вращательных состояний
наблюдаются также в спектрах адронов, и их называют траекто-
риями Редже (см., например, т. 1, стр. 70, фиг. 1.13), но природа
соответствующей деформации пока не установлена.
Спектры, связанные с квантованным вращательным движением, впервые были
обнаружены в инфракрасной области молекулярных спектров поглощения [128].
Вопрос о вращательном движении ядер возник в связи с ранними попытками
интерпретировать данные по ядерным спектрам возбуждения (см., например,
[1114]). Тогда казалось, что имеющиеся данные, полученные, например, из тонкой
12
Гл. 4, Вращательные спектры
структуры а-распада, свидетельствуют против существования низколежащих
вращательных состояний. Однако в те времена предполагалось, что вращатель-
ное движение должно либо быть свойством всех ядер, либо вообще отсутство-
вать, как в атомах, и что момент инерции ядра должен иметь классическое
значение, отвечающее вращению абсолютно твердого тела. Представление
о вращении ядра возникло вслед за признанием того факта, чго вращательная
ветвь спектра является необходимым следствием существования сильно деформи-
рованных равновесных состояний ядер [154]. Заключение же о существовании
таких состояний было сделано еще на ранней стадии исследований [240] на
основе квадрупольных моментов ядер, определенных по данным о сверхтонкой
структуре атомных спектров. Дополнительным доводом в пользу коллективных
эффектов, связанных с деформацией, явился анализ /^-переходов [491]. Суще-
ствование вращательных состояний ядер стало фактом, когда были обнаружены
последовательности уровней с энергией возбуждения, пропорциональной I (/ 4- 1)
[46, 163], и получены данные о соотношениях интенсивностей переходов между
ними [12]. Мощным методом исследования вращательных спектров ядер явился
процесс кулоновского возбуждения [16, 630].
Коллективное движение со структурой, подобной пространст-
венному вращению, может возникать и в пространстве других пере-
менных, таких, как изоспин и число частиц, если система обладает
деформацией, определяющей ее ориентацию в этом пространстве.
Тогда вращательные полосы содержат последовательности состоя-
ний, различающихся значением соответствующих квантовых чисел
типа углового момента, например изоспина или числа частиц.
[Такие последовательности существуют в сверхтекучих системах
(стр. 347), а также могут существовать среди возбужденных состоя-
ний нуклона (стр. 29).]
Деформация системы может быть инвариантной относительно
некоторых вращений системы координат, как это имеет место,
например, в случае аксиально-симметричных ядер. Тогда ориен-
тация внутренней системы координат лишь частично определяется
деформацией, и это обстоятельство накладывает соответствующие
ограничения на вращательные степени свободы. Поэтому исходным
пунктом исследования вращательных спектров является анализ
симметрии деформации и соответствующих ей вращательных сте-
пеней свободы. Этот вопрос будет рассмотрен в § 2 в случае акси-
ально-симметричных систем, которые имеют особенно важное зна-
чение для ядерных спектров; неаксиальные системы будут рас-
смотрены в § 6. (Следствия из симметрии деформации являются
обобщением хорошо известных ограничений на вращательные со-
стояния молекул, накладываемых тождественностью ядер; см.
стр. 19 и 163.)
Таким образом, можно сказать, что существование вращатель-
ных степеней свободы обусловлено нарушением ротационной инва-
риантности системы. Точно так же поступательные степени свободы
обусловлены существованием пространственно-локализованной
структуры. Но в то время как различные состояния поступательного
движения связаны между собой условиями лоренц-инвариантности,
§ /. Коллективное вращательное движение 13
случае вращательного движения подобных условий инвариант-
ности нет, поскольку центробежные и кориолисовы силы, дейст-
вующие во вращающихся системах координат, возмущают струк-
туру вращающегося объекта.
У В квантовой системе угловая частота даже наинизших враща-
тельных состояний бывает столь велика, что кориолисовы и центро-
бежные силы существенным образом влияют на внутреннюю струк-
туру- Условие малости соответствующих возмущений (условие
адиабатичности) тесно связано с условием малости амплитуд нуле-
вых колебаний параметров деформации по сравнению с равновес-
ными значениями этих параметров. Поэтому условие адиабатич-
ности дает другой, эквивалентный путь формулировки критерия
существования вращательных спектров 1239].
Простую иллюстрацию такой эквивалентности дает система
двух тел, потенциал взаимного притяжения которых имеет мини-
мум на расстоянии R (равновесное расстояние). Движение в по-
добной системе можно представить себе как совокупность вращения
и радиальных колебаний. Частота вращательного движения в наи-
низших состояниях такой системы дается выражением
^враш ~ Мо№ 1	(4*1)
где Л40 — приведенная масса. Частота же колебательного движе-
ния определяется амплитудой Д/? нулевых Колебаний:
«колеб ~ М<)	•	(4.2)
Поэтому условие малости флуктуаций формы по сравнению со
средней деформацией Д7? <; R эквивалентно условию адиабатич-
ности (опращ соколеб- Рассмотренный простой пример показывает,
каким образом вращательные моды появляются в виде низкоэнер-
гетической ветви колебательного спектра в случае, когда минимум
потенциальной энергии колебаний отвечает анизотропной конфигу-
рации системы.
Связь между членами вращательной полосы проявляется в ре-
гулярностях энергетического спектра и в правилах интенсивно-
стей переходов между различными членами полосы. При доста-
точно малых значениях вращательного углового момента анализ
вращательного спектра может быть основан на разложении энергий
и амплитуд переходов по степеням вращательной частоты или
углового момента. Соответствующие выражения имеют особенно
простой вид для аксиально-симметричных систем, и оказалось,
что именно ошГдают адекватную основу для интерпретации боль-
шого количества данных о вращательных спектрах ядер (§ 3).
Зависимость матричных элементов от вращательного углового
момента отражает реакцию внутреннего движения на центробеж-
14
Гл. 4. Вращательные спектры
ные и кориолисовы силы. Ее можно рассматривать и как результат
взаимодействия между вращательными полосами, основанными на
разных внутренних состояниях (§ 4).
При больших угловых моментах вращательные возмущения мо-
гут существенно менять внутреннюю структуру системы. Вопрос
о структуре ядра в таких экстремальных условиях вызывает в на-
стоящее время большой интерес (стр. 50).
Рассмотрение вращательных полос в настоящей главе основано на анализе
геометрии деформированной внутренней структуры. Состояния вращательной
полосы можно также описывать как представления групп симметрии; при таком
описании групповая структура отражает симметрию вращающегося объекта.
Полосы, обрывающиеся при конечном /, можно связать с представлениями
компактных групп. В частности, для выяснения свойств вращательных спектров,
которые связаны с тем, что число нуклонов, дающих вклад в анизотропию
системы, конечно, использовалась симметрия одночастичного движения в потен-
циале гармонического осциллятора ((/3-симметрия [375]). Полосы, продолжаю-
щиеся до сколь угодно больших угловых моментов, связаны с бесконечномерными
представлениями некомпактных групп (гл. 6).
§ 2. СИММЕТРИЯ ДЕФОРМАЦИИ
И ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
Разделению движения системы на внутреннее и вращательное
соответствует гамильтониан вида
// = //внутр (?,р) 4"//вращ, а (Р(о)*	(4-3)
Внутреннее движение системы описывается координатами q и р,
которые определены в системе координат, связанной с телом, и
поэтому инвариантны относительно вращений в лабораторной си-
стеме координат Ориентация же системы координат, связанной
с телом, определяемая деформацией системы (стр. 15), описывается
угловыми переменными, которые мы обозначим через со. Враща-
тельный гамильтониан не зависит от ориентации со (если на систему
не действуют внешние силы) и является функцией угловых момен-
тов Рсо Индекс а у Явращ в формуле (4.3) означает, что вращатель-
ное движение может зависеть от квантовых чисел а внутреннего
состояния.
Собственные состояния гамильтониана (4.3) имеют вид произ-
ведений:
(4.4)
Каждому внутреннему состоянию а в спектре системы соответст-
вует последовательность вращательных уровней, характеризую-
щихся набором / квантовых чисел углового момента.
Следствия симметрии, о которых идет речь в данном параграфе,
не зависят от явного вида связи между координатами q, р, со,
в которых разделяется гамильтониан системы, и переменными,
§ 2. Симметрия деформации
15
описывающими координаты, импульсы и спины отдельных частиц.
Эта связь, анализ которой составляет предмет микроскопической
теории коллективного вращательного движения, неявно учиты-
вается в гл. 6, § 5, п. 8 при описании вращения как внутреннего
возбуждения (см. также стр. 188).
1, Степени свободы, связанные с пространственным вращением
Двумерное вращение (вращение вокруг фиксированной оси)
имеет очень простую структуру. Ориентация системы характери-
зуется азимутальным углом ф, а состояние — собственным значе-
нием М соответствующего со-
пряженного момента, так что
волновая функция имеет вид
Фл(Ф) = (2л)-1Ае^.	(4.5)
Фиг. 4.1. Угловые квантовые числа, ха-
рактеризующие трехмерное вращение.
Ось z относится к лабораторной системе коор-
динат, а ось 3 — к системе координат, свя-
занной с^телом (ср. системы координат
и определяемые на фиг. 1.14).
Ориентация тела в трех-
мерном пространстве задается
тремя углами Эйлера со =
= О, Ф, х (фиг. 1.14, т. 1,
стр. 80), а чтобы определить
состояние движения, тре-
буются три квантовых числа.
Два из них — это угловой
момент / и его проекция
М 1г на пространственно-
фиксированную ось, а третье
можно получить, рассмотрев
компоненты I во внутренней
системе координат (связанной
с телом), ориентированной в
направлении ш (т. 1, гл. 1,
§ 6, п. 2). Внутренние ком-
поненты /1>23 коммутируют
с внешним IXty,z> поскольку
они не зависят от ориентации внешней системы (являются
скалярами). Перестановочные соотношения для внутренних ком-
понент /1?2>3 такие же, как соответствующие соотношения для
но имеют противоположный знак [формула (1.185)]. Поэтому в ка-
честве коммутирующего набора угловых переменных мы можем
выбрать /2, Izvrt3. Собственные значения оператора /3, обозначае-
мые символом Д (фиг 4.1), принимают те же значения, что и М:
/< = /, 7—1, ...,
(4-6)
16
Гл. 4. Вращательные спектры
Значениям /, К и М этих трех квантовых чисел соответствует
вращательная волновая функция вида [формула (1 191)]
(to) =	Л (to).	(4.7)
Функции ^М7К представляют собой матрицы поворота, так что
результат (4.7) можно получить путем перехода от фиксированной
системы координат к повернутой системе, совпадающей с внутрен-
ней (т. 1, стр. 93). При К = 0 функции & сводятся к сферическим
гармоникам [формула (1.135)]:
(<о) = (2л)~1/яу/л1(0, <£).	(4.8)
Волновая функция (4.8) не зависит от ф, но так же, как и (4-7),
нормирована относительно интегрирования по всем трем углам
Эйлера.
При К = 0 вращательная волновая функция совпадает с угло-
вой частью волновой функции точечной бесспиновой частицы.
При конечных /С выражение (4.7) соответствует угловой части вол-
новой функции частицы со спиральностью h = К [формула (3.60)].
В то время как Р и Iz — интегралы движения для любого га-
мильтониана, инвариантного относительно вращения, коммута-
тор /3 с гамильтонианом зависит от внутренних свойств системы.
Поэтому в общем случае стационарные состояния системы пред-
ставляют собой суперпозиции компонент с различными значе-
ниями
Фг/ж (<*) =	2 W	(4.9)
к
Здесь символом т обозначено третье вращательное квантовое число,
а амплитуды cxj (/<) зависят от соотношения моментов инерции (§ 5).
2.	Следствия из аксиальной симметрии
Если система обладает аксиальной симметрией, то из этого выте-
кают два следствия:
а)	проекция момента /3 на ось симметрии есть интеграл дви-
жения;
б)	коллективное вращение вокруг оси симметрии отсутствует.
Первое следствие, хорошо известное из классической механики,
выражает факт инвариантности гамильтониана относительно пово-
ротов вокруг оси симметрии (в более общем виде /3 — интеграл
движения, если ось 3 совпадает с осью симметрии тензора инерции
системы).
Второе же следствие — особенность квантовомеханического опи-
сания, в котором выражается то обстоятельство, что невозможно
различить ориентации внутренней системы координат, отличаю-
§ 2. Симметрия деформации
17
шиеся одна от другой только поворотом вокруг оси симметрии. Это
следствие аналогично выводу о невозможности коллективного вра-
щения в сферической системе. Таким образом, квантовое число К
характеризует внутренний угловой момент и имеет фиксированное
значение для вращательной полосы, соответствующей данному
внутреннему состоянию (в случае двухатомных молекул угловой
момент вращательного движения перпендикулярен оси симметрии,
поскольку ядра можно рассматривать как точечные частицы, а кол-
лективное вращение электронов в аксиально-симметричном поле
отсутствует).
Ограничение на вращательные степени свободы, накладываемое
аксиальной симметрией, выражается равенством
/з=/э,	(4.10)
где j3 — оператор соответствующей компоненты внутреннего угло-
вого момента. В силу условия (4.10) все величины, связанные с по-
воротом вокруг оси симметрии (генерируемым оператором /3),
определяются внутренней структурой системы.
Поскольку аксиальная симметрия приводит к неразличимости ориентаций
системы, различающихся только третьим углом Эйлера гр, эта переменная
оказывается избыточной. Условие (4.10) обеспечивает независимость от гр
полной волновой функции системы, которая равна произведению внутренней
и вращательной волновых функций [формула (4.4)]. В самом деле, при повороте
внутренней системы координат на угол Дф внутренняя волновая функция
умножается на ехр (— U3 Дф), а вращательная —на ехр (И3 Дф); таким образом,
при J3 = /3(= К) полная волновая функция не меняется. Вместо того чтобы
рассматривать угол Эйлера ф как избыточную переменную, можно потребовать,
чтобы угол ф имел определенное значение, например ф=0 или ф = — Ф [см.
замечание относительно волновой функции частицы со спиральностью (т. 1,
стр. 350)]. При этом нормировочные константы в формулах (4.7) и (4.8) следует
умножить на (2л)1/г.
3.	^-инвариантность
Если внутренний гамильтониан системы инвариантен относи-
тельно поворота на 180° вокруг оси, перпендикулярной оси симмет-
рии, ТО” происходит дальнейшее сокращение числа вращательных
степеней свободы. Повороты вокруг разных осей, перпендикуляр-
ных оси симметрии, эквивалентны; для определенности рассмотрим
поворот	(л) вокруг оси 2. (Для систем, обладающих акси-
альной, но не сферической симметрией, е^-инвариантность_един-
ственный возможный тип дополнительной вращательной инвари-
антности. В самом деле, инвариантность относительно какого-либо
другого поворота-означала бы существование бесконечно большого
числа осей симметрии, т. е. наличие сферической симметрии.)
Итак, е^-инвариантность означает, что повороте^ представляет
собой одну из внутренних степеней свободы и поэтому не должец
18
Г л. 4. Вращательные спектры
рассматриваться как коллективное вращение. Мы можем учесть это
условие, потребовав, чтобы оператор осуществляющий пово-
рот в пространстве углов ориентации (внешних переменных),
совпадал с оператором осуществляющим этот же поворот в про-
странстве внутренних переменных:
=	(4.11)
Условие (4.11) аналогично условию (4.10), связанному с инвариант-
ностью относительно бесконечно малых поворотов вокруг оси сим-
метрии.
Внутренние состояния с К = 0 характеризуются собственным
значением г оператора
да>г,К_0 (<?) = гФгЛ-О (<?).	(4 12)
г = ± 1.
Собственные значения оператора affli равны ±1, так как в системах
с целочисленным угловым моментом е^2 = <=^/м (2л) = 1.
Действие оператора на вращательную волновую функ-
цию (4.7) сводится к инверсии оси симметрии (0 -> л — 0; ф -> ф +
+ я), откуда получаем
(0, </>) - (- I)7 Уш (0, </>)•	(4.13)
Поэтому условие <&е = означает, что
(—1)7 = г,	(4.14)
так что вращательный спектр системы содержит состояния либо
только с четными, либо только с нечетными значениями /:
^г,к^1м = (2п)~^Фгф),
/ = 0,2,4, л = +1,	(4.15)
1= 1, 3, 5, г = —1.
Ограничение о7?е = г наполовину сокращает область независимых
углов поворота, тем самым устраняя из вращательного спектра
состояния с другими значениями /.
Вследствие е^-инвариантности состояния с К =/= 0 двукратно
вырождены. Мы будем считать К положительным, а повернутые
состояния, отвечающие отрицательным собственным значениям J3t
обозначать через К-
Ф^(9)=^*ФХ(7).
(4-16)
§ 2. Симметрия деформации
19
Если внутренние состояния разложить по собственным состояниям
полного углового момента J, то условие (4.16) даст [формула (1.140)1
= У Cj®JKf
3	(4.17)
ф^ = ехр (tnJ2) =	1)'/+кс/Фл-к>
j
где ф; _х _ компоненты J-мультиплета с J3 = ±К.
Действуя оператором на вращательную волновую функцию,
получаем
((о) = ехр(—«л/2)^глис (©) = (— 1)/+к^глг,-к(<о). (4.18)
При выводе выражения (4.18) мы воспользовались соотноше-
нием (1.140) и тем обстоятельством, что знаки матричных элемен-
тов /2 противоположны знакам матричных элементов lv [формула
(1.185)]. Поэтому для того, чтобы выполнялось условие (4.11),
волновые функции ядра должны иметь следующий вид:
WKJM = 2~‘/! (1 +	X) ((<7)	(®) =
= (лёТ 1Ф*	(<°) + (“ П'+'Ч- (7) -к (со)].
(4.19)
! = К, ЛЧ-1,	(К>0).
[Заметим, что = е%"е = (—1)2/.] Таким образом, из двух внут-
ренних состояний Фк и Ф^ при каждом значении / можно построить
только одно полное состояние.
Благодаря вырождению внутренних состояний, обусловленному
а^-инвариантностью, волновая функция (4.19) не просто равна
произведению вида (4.4), а представляет собой суперпозицию двух
таких произведений. Такая суперпозиция, отражающая взаимо-
связь между внутренними и вращательными степенями свободы,
приводит к интерференционным эффектам, не имеющим аналогии
в классических системах. Матричные элементы перехода между
симметризованными состояниями (4.19), выраженные через матрич-
ные элементы перехода между несимметризованными состояниями,
имеют вид
^2/2Л121F | KtW = </<2/2М21F | К^М^», +
+ (- 1)/1+Kl	1FI ^/1М1>несимм (Kt > 0, K2> 0), (4.20)
где
(КЛМ)иесимм = 2 8^2* j Ф/С (<?) &MK (®),
^Л1;нес.,мм=	(4’21)
20
Г л. 4. Вращательные спектры
При выводе формулы (4.20) использовано соотношение
= F,	(4.22)
которым выражается требование, чтобы любой физический опера-
тор преобразовывался одинаковым образом при эквивалентных пре-
образованиях и
Второй член в формуле (4.20) содержит фазовый множитель
а = (—!)/+*,	(4.23)
называемый сигнатурой (в терминологии, принятой для траекторий
Редже). Вклад этого члена в матричный элемент поочередно меняет
знак для следующих одно за другим значений / (если считать, что
сам оператор F — гладкая функция углов ориентации и угловых
моментов). Наличие члена, содержащего сигнатуру, приводит
к тому, что вращательные полосы с К #= 0 в системах, обладающих
осью симметрии и ^-инвариантностью, расщепляются на две ком-
поненты, различающиеся квантовым числом о.
Наличие двух интерферирующих членов в матричном элементе
(4.20) — специфически квантовый эффект. Для матричных эле-
ментов перехода между двумя состояниями одной и той же полосы
член, содержащий сигнатуру, дает вклад в том случае, когда опе-
ратор F меняет знак /3, приводя тем самым к эффектам, эквивалент-
ным повороту системы как целого.
Представление об ^-симметричных ротаторах впервые возникло в задаче о
спектрах двухатомных молекул с тождественными ядрами (см., например, [591]).
В таких системах квантовое число г для состояний с нулевой проекцией
углового момента электронов на ось симметрии равно г = гэлР(12), где гэл —
квантовое число г, характеризующее электронную волновую функцию, а Р (12) —
множитель, характеризующий симметрию относительно пространственной пере-
становки ядер. Из тождественности ядер следует, что Р(12) = (—l)s, где 5 —
полный ядерный спин. Поэтому для полного вращательного углового момента L,
не содержащего спин ядер 5, соотношение (4.14) дает условие
(—1)L =гэл(—l)s,	(4.24
выражающее ограничение на вращательное движение, связанное типом
статистики [626].
В молекулярной спектроскопии принято указывать четность (знак) элект-
ронной волновой функции относительно отражения в плоскости, содержащей
ось симметрии молекулы. Эта операция отражения <§? (с собственным значением s)
равна произведению поворота & на операцию & пространственной инверсии
(стр. 24). Электронное состояние молекулы характеризуется квантовым числом $эл
(= ± 1) и четностью лЭл, которая обозначается через g, когда лэл = 4- 1, и
через и, когда я9л==—1. Так, например, электронное состояние имеет
яэл“5эл = —1 и, следовательно, гэл = пЭл 5Эл — + 1; левым верхним индексом
служит мультиплетность, связанная со спином, а буквы £, П, Д, ... обозначают
проекцию А орбитального момента электронов на ось симметрии (=0, 1,2, ...).
Избыточность степеней свободы, связанная с инвариантностью, обуслов-
лена неоднозначностью переменных (7, (о), рассматриваемых как функции
§ 2. Симметрия деформации
21
линат частиц х: к одному и тому же х относятся два набора перемен-
ных (7*	и й)/)’ связанных соотношениями
q ==Q^i q&n	(4 25j
том словие	1 выражает требование однозначности волновых
функций и операторов в переменных х. [Переход к переменным (qt со) и связан-
ные с ним условия инвариантности легко проиллюстрировать на примере
модели, в которой динамические степени свободы описываются как амплитуды
квадрупольной деформации; см. гл. 5, приложение 6.]
Неоднозначность в определении углов ориентации как функций координат
частиц связана с тем, что эти углы должны быть симметричными функциями
координат (и импульсов) тождественных частиц. Такой подход особенно удобен
для описания коллективных деформаций в системе типа ядра, где частицы
перемещаются внутри объема системы, так что их координаты постоянно
меняются. В некоторых случаях можно применять альтернативный подход,
основанный на нумерации частиц, составляющих систему. Например, ориентация
в системе двух тел определяется обычно как направление от частицы 1 к ча-
стице 2. Именно так задается ориентация в молекуле, и в этом случае угловые
переменные оказываются однозначными функциями координат. Следствия
тождественности частиц в двух рассматриваемых подходах выражаются по-
разному. В случае когда углы ориентации являются симметричными функциями
координат тождественных частиц, перестановка двух таких частиц представляет
собой внутренний оператор и внутренние состояния имеют соответствующую
перестановочную симметрию. Если же при определении углов ориентации
используется нумерация частиц, то операция перестановки действует также
и на углы ориентации, и тогда требование перестановочной симметрии может
накладывать определенные ограничения на вращательный спектр.
4.	и -симметрии
Если внутренний гамильтониан инвариантен относительно про-
странственной инверсии и отражения времени, то операторы ёР
и эГ" действуют только на внутренние переменные и не влияют на
углы ориентации.
Поскольку & коммутирует с J3, внутренним состояниям соот-
ветствует определенная четность
(<7) = лФх(<7), л = Д;1,	(4.26)
так что все состояния заданной полосы имеют одинаковую чет-
ность. Для полос с К = 0 квантовые числа л и г не связаны между
собой: каждое из них независимо от другого может принимать
значения +1 или —1.
Если внутренний гамильтониан - и e^-инвариантен, то фазы
внутренних состояний можно выбрать так, чтобы выполнялось
соотношение = 1 [формула (1.39)]. Тогда из равенства (4.16)
следует, что ______
фк (<?) = ф_ (?),
фд (9) = (— 1)2КФ* (q),	(4.27)
сГфд-о(9) = ^фл-о(9)>
22
Гл. 4. Вращательные спектры
где фазовый множитель (—1)2Л представляет собой собственное зна-
чение оператора [формула (1.41)]. Поскольку отражение вре-
мени не влияет на со, вращательная волновая функция преобра-
зуется в комплексносопряженную и из соотношений (1.131) и (4.19)
получаем
Ф/с (?)	(<0) =	(?)	(<0))* =
= (-1)М,-кф7_((7)^£Л1 _к((0),	(4.28)
^Чк1М = (-1)' + МУ¥К1,-М
в соответствии с общим правилом фаз (1.22).
Совместное действие операторов отражения времени и эрми-
това сопряжения приводит к следующему соотношению для мат-
ричных элементов операторов, зависящих от внутренних перемен-
ных:
<^|F(?, p)|^) = -c<^|F(7, р) i/с2>,
(^F^i)t = — cF.	1 j
Фазовый множитель с характеризует преобразование оператора при
замене частиц дырками [формула (3.110)].
Для диагональных матричных элементов перехода между со-
стояниями полосы с К = 0 соотношение (4.29) дает
(K = 0|Fl/< = 0> = 0 при с = +1.	(4.30)
В полосах же с К #= 0 получаем правило отбора
<K|F|^)==0 при е(—1)2«=+1	(4.31)
для члена матричного элемента, содержащего сигнатуру [фор-
мула (4.20)]. [Для операторов, зависящих также и от вращательных
переменных (о), /х), фазовый множитель с в формулах (4.29) —
(4.31) определяется трансформационными свойствами F только
в пространстве внутренних переменных. Поскольку ю не меняется,
а /х меняет знак при совместном действии отражения времени и
эрмитова сопряжения, фазовый множитель, возникающий при
преобразовании оператора в полном пространстве, равен или
—с в зависимости от того, четен или нечетен последний относительно
инверсии /х->—/х.]
В п. 5 и 6 мы рассмотрим вращательные спектры, связанные
с деформациями, которые не инвариантны относительно опера-
ций оГ и < а в п. 7 — вращательное движение, связанное с де-
формациями в пространстве спиновых и изоспиновых переменных.
Экспериментально наблюдающиеся вращательные спектры атомных
ядер в подавляющем большинстве случаев соответствуют полной
симметрии, рассмотренной выше. Поэтому читатель при желании
может прямо перейти к § 3 и 4.
$ 2. Симметрия деформации
23
5.	Деформации, нарушающие <^- или -симметрию
Наличие деформации, нарушающей или оГ'-симметрию в си-
стеме, которая в целом сТ5- и зГ'-инвариантна, связано с двузначно-
стью соответствующей коллективной степени свободы, что отвечает
эквивалентности деформаций противоположного знака. Поэтому
спектр в такой системе приобретает дублетную структуру. Примером
деформации, нарушающей пространственную четность, может слу-
жить появление в одночастичных потенциале и плотности псевдо-
скалярных компонент, пропорциональных sr (возможность псевдо-
скалярной деформации в ядерном потенциале рассмотрена недавно
в работах [137, 226]). Потенциал sr ротационно-инвариантен; в не-
сферических, но аксиально-симметричных ядрах он содержит два
отдельных члена, один из которых пропорционален величине s3x3,
а другой — сумме + s2x2- Нарушающие четность потенциалы
рассматриваемого типа нарушают также и оТ-инвариантность, но
сохраняют -симметрию. Сохранение и сГ-симметрии по
отдельности означает, что деформациям разного знака отвечает
одинаковая энергия, так что все состояния системы существуют
в виде двух модификаций Ч\ и ЧС = е^Ч^. Из этих двух наборов
можно построить собственные состояния
Чг+ + ЧС при л = + 1,
/(Ч^-Ч^ при л = —1
(4.32)
[мы предполагаем, что фазы состояний Чг+ и ЧС выбраны так, чтобы
они отвечали собственному значению +1 оператора ; тогда
состояния (4.32) отвечают стандартному фазовому условию =
= +1]. Таким образом, спектр системы состоит из дублетов по
четности. Переходы Хл = 0— между рассматриваемыми дублетами
имеют коллективный характер, причем соответствующие им мат-
ричные элементы пропорциональны псевдоскалярной деформации.
Конфигурации, отвечающие разным знакам деформации, раз-
делены потенциальным барьером. Но в квантовых системах изме-
нение знака деформации может происходить путем «туннелирова-
ния». Частотой туннелирования <oz определяется энергетический
интервал между уровнями дублета по четности Д£ = Чтобы
учесть туннельный эффект, нужно скомбинировать сопряженные
внутренние гамильтонианы так, чтобы построить еТ5- и ^-инва-
риантный гамильтониан, содержащий степень свободы, соответст-
вующую туннелированию При таком описании коллективная сте-
пень свободы, ответственная за дублетную структуру, возникает
как предельное свойство колебательного спектра в случае, когда
потенциальная функция системы имеет два минимума, разделенных
барьером. Собственные состояния такого гамильтониана опреде-
ляются соотношениями (4.32) в приближении, в котором пренебре-
гают взаимным перекрыванием состояний Чг+ и ЧС. Аналогичные
24
Гл. 4. Вращательные спектры
соображения относятся и к деформациям, нарушающим другие
комбинации и Например, одночастичный потенциал, про-
порциональный произведению s «р, нарушает <^-, но сохраняет
оГ'-симметрию. Как и в случае, рассмотренном выше, такой потен-
циал приводит к появлению дублетов по четности. Примером нару-
шения оТ"-симметрии без нарушения «^-симметрии является потен-
циал, пропорциональный г*р+р*г. Такого рода деформация
характеризуется спектром, состоящим из дублетов с одинаковыми
квантовыми числами /л.
6.	Комбинации вращательной симметрии
и симметрии отражения
Если деформация, нарушающая или оГ-симметрию, имеет
место в несферической системе, то происходит удвоение всех со-
стояний вращательных полос, такое же, как и в случае сферических
систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Но если система, не
обладающая (^-симметрией, инвариантна относительно комбина-
ции с или то имеет место связь между вращательным дви-
жением и степенями свободы, связанными с нарушением или
оГ -симметрии.
<§?-инвариантность
Примером такого рода является аксиально-симметричная дефор-
мация, содержащая мультиполи нечетного порядка. Такая дефор-
мация нарушает е^- и ^-симметрии, но сохраняете^е^-симметрию,
поскольку эта операция представляет собой отражение в плоскости,
проходящей через ось симметрии (деформацию такого рода имеют
двухатомные молекулы с нетождественными ядрами; вопрос о ста-
бильной октупольной деформации в атомных ядрах рассматри-
вается на стр. 464).
Инвариантность относительно отражения в плоскости, проходя-
щей через ось симметрии, удобно выразить с помощью операции
(4.33)
Тогда ^-инвариантность означает, что оператор действует на
внутренние переменные, и поэтому оператор четности
=	(4.34)
действует на внутренние переменные посредством S? а на враща-
тельные посредством е^3 (= е^е).
Внутренние состояния с К == 0 являются собственными состоя-
ниями операторов <§? i и (если принять, что внутренний гамиль-
тониан -инвариантен, как в случае деформаций формы):
^/Ф^/с-о(<7) = 8Ф«.к-о(<7).	(4 35)
Ъ?(6^Ф$,к_0 (<?) = Ф$,К-0 (<?)•
§ 2. Симметрия деформации
25
Вторым из соотношений (4.35) определяется фаза функции Ф.
Действие оператора на вращательную волновую функцию опре-
деляется соотношением (4.13), и поэтому из (4.34) следует, что
л = «(—1);.	(4.36)
Таким образом, вращательные полосы с К — 0 содержат со-
СТОЯНИЯ
( 1 при Л = + 1,
Т,.м,и = (2л)-‘/’Фа-»к)Ьл((6)	\ .	____j
1 1 при л- 1,	<4 37)
| 0+, 1—, 2+,	при s = + 1,
(0—, 1+, 2—,	при s= — 1.
Множитель i в случае л = —1 вводится для того, чтобы выполня-
лось стандартное преобразование (4.28) относительно отражения
времени.
При К =#= 0 вследствие S? (или ^-симметрии внутренние со-
стояния двукратно вырождены Фазы соответствующих волновых
функций можно выбрать так, что (формулы (4.16) и (4.27)]
Фк (<7) = ^.Фх(<7) = <^Фк(?) (К>0).	(4.38)
Тогда из (4.34) следует, что полные состояния ядра с определенной
четностью представляют собой следующие комбинации Фк и Ф^:
Ч'л/км = GST е‘а (1 + л^Ж) Фк&'мк =
_ /2/+1У/. [ Фк^МК + (-1)1+КФ^'М.-К при Л = + 1,
161,2 > Ь[ФЛ-(-1)'+КФ^.-х] при л = —1.
(4.39)
В окончательном варианте выражения (4.39) фаза а выбрана так,
чтобы обеспечивалось стандартное преобразование при обращении
времени. [Формула (4.39) содержит как частный случай представле-
ние волновых функций одночастичных состояний с определенной
спиральностью; фазовый множитель i соответствует фазе il в соот-
ношении (3.60).]
Нарушение и ^-симметрий означает отсутствие ограниче-
ний на вращательные степени свободы и четность по отдельности.
Поэтому вращательная полоса, соответствующая каждому внут-
реннему состоянию, содержит уровни со всеми значениями I | /<|
и с двумя значениями четности. Однако благодаря ^инвариант-
ности между вращательным состоянием и честностью существует
связь, так что из всех возможных состояний выделяются наборы
(4.37) и (4.39).
26
Гл. 4. Вращательные спектры
Спектр, связанный с деформацией, нарушающей и ^-сим-
метрии, но сохраняющей е^о^-симметрию, имеет характерные отли-
чия от спектра, связанного с деформацией, нарушающей ^*-, но
сохраняющей e^-симметрию. Как показано выше, в последнем
случае происходит удвоение всех состояний по четности. Поэтому
вращательный спектр при К = 0 содержит состояния 0±, 2±,
или 1±, 3±, в зависимости от значения г. Кроме того, в этом
случае члены с сигнатурой, которые могут существовать в спектрах
с К>0 [формула (4.20)], одинаковы для обоих состояний дублета,
так как собственные состояния Фк и — типа (4.32). В слу-
чае же (^^-инвариантной деформации эти члены имеют раз-
ный знак для состояний (4.39), отвечающих разным значениям л,
что приводит к энергетическому расщеплению дублетов по четности.
(Такое расщепление аналогично Л-удвоению в молекулярных спект-
рах [591].)
Дополнительное расщепление между дублетами по четности
возникает за счет туннельного эффекта, аналогичного рассмотрен-
ному на стр. 23 для деформации, нарушающей ^-симметрию.
В (^^-инвариантной системе туннелирование приводит к инверсии
направления оси симметрии в результате плавного изменения формы
при фиксированной ориентации. Этот эффект приводит к энергети-
ческому сдвигу Д£ = йсо/ нечетных состояний относительно чет-
ных, не зависящему в первом приближении от /. Туннелирование
можно учесть с помощью обобщенного е^- и (^-инвариантного внут-
реннего гамильтониана, содержащего степень свободы, связанную
с прохождением сквозь барьер. Собственные состояния такого
гамильтониана представляют собой дублеты состояний с противо-
положной четностью, разделенных интервалом Исо,. При этом пол-
ные волновые функции определяются выражениями (4.15) и (4.19),
которые сводятся к выражениям (4.37) и (4.39), если внутренние
состояния представить в виде симметричных и антисимметричных
комбинаций функций, отвечающих противоположным направлениям
деформации, нарушающей и ^-симметрию [формула (4.32)].
Такое же туннелирование, или эффект инверсии, играет существенную роль
при анализе спектров многоатомных молекул (см., например, [591]). В простых
молекулах типа NH3 частота туннелирования в основном состоянии имеет
порядок 1010 с-1, что на три порядка меньше частоты колебаний в направлении
Туннелирования и на один-два порядка меньше вращательных частот. Частота
инверсии быстро убывает с возрастанием массы атомов и усложнением конфи-
гурации молекулы. Для большинства органических молекул с лево-правой
асимметрией время перехода между такими «изомерами» превышает период
биологической эволюции.
Сводка симметрий
В настоящем и предыдущем разделах проиллюстрированы общие правила,
определяющие взаимосвязь между коллективными степенями свободы и инвари-
антностью соответствующих деформаций относительно поворотов и отражений.
В аксиально-симметричной системе группа симметрии внутреннего гамильтониана
CuJUJtiem-
PUR Нвнутр
Л,Р,Г
лр,г
Ъ X!
1,7 я я
!,ЯР,Г Я,р
а
-----К+3 Я
------Зя -------К+2 Я
-----2 Я	-----К + ! Я
-----О Л 'Я -------------к л
Г= + !	Г = -1
К = О,Л	к>о,л
-------3 ±
-------2 ±
-------/ ±
-------о ±
К = 0
------(К +3 ±)г
------(К+2 +)2
------(К + / +/
------ (К +)2
К>0

Фиг. 4.2. Вращательные спектры аксиально-симметричных систем, отвечающие
различным комбинациям <о^-, и ^“-симметрий.
а — симметрия внутренних состояний, б — соответствующие им вращательные спектры
Справа от энергетических уровней указаны квантовые числа 1л.	Р
28
Гл. 4. Вращательные спектры
представляет собой произведение вращений вокруг оси симметрии и группы Q
дискретных преобразований, относительно которых инвариантна деформация
системы. Эта группа может содержать 8 элементов, образуемых комбинациями
преобразований <э^, и В случае максимального нарушения симметрии,
когда группа G содержит лишь тождественное преобразование, внутренние
состояния системы, которые можно охарактеризовать значением /< = /3, невы-
рождены, и тогда вращательный спектр системы содержит два состояния для
каждого значения /я [т. е. /л = (|/( | ±)2, (I A7 + 1) z±z)2, Инвариантность
деформации приводит к уменьшению числа состояний во вращательном спектре
в число раз, равное числу элементов в группе (?. Оба значения четности
всегда входят с равными весами, кроме случая, когда G содержит элемент
Тогда весь коллективный спектр имеет ту же четность, что и соответствующее
внутреннее состояние. Если G содержит операцию инверсии /3 (е^, <зГ,
или ЗРЯТ), то внутренние состояния системы двукратно вырождены (при К =/= 0)
и вращательные состояния представляют собой комбинации сопряженных внут-
ренних состояний.
Некоторые комбинации симметрий, рассмотренные и этом и предыдущих
разделах, показаны на фиг 4.2, а. В первом случае внутренний гамильтониан
инвариантен относительно операций off, ST и <?7"; при К 0 внутреннее
состояние инвариантно относительно операций && и и преобразуется
в состояние с противоположным J3 при операциях & и Во втором случае
о^-симметрия нарушена, но гамильтониан Я/ инвариантен относительно операций
и gW (или qZ); в результате операции или по отдельности внут-
ренние состояния преобразуются в собственные состояния эквивалентного
гамильтониана е^-1Явнутре^, которые изображаются штриховыми линиями.
В третьем случае Явнутр инвариантен только относительно операции <fT, но
не инвариантен ни относительно ни относительно и Симметрия
относительно операции нарушается потенциалом типа $3р3, который сим-
волизируется знаком ±, меняющимся при операциях и eF, но не при
операции & Состояния вращательного спектра, возникающие при различных
симметриях, рассмотренных на фиг. 4.2, а, изображены на фиг. 4.2, б.
В случае деформации, нарушающей как q^-, так и -симметрию, внутрен-
нее состояние не вырождено относительно знака К. Если при этом система
инвариантна относительно операции , то вращательная полоса, отвечающая
внутреннему состоянию Ф^, содержит уровни с 1 = К, Я+Ь » описываемые
волновыми функциями (4.7). Такое описание может соответствовать, например,
наличию сильной связи между деформацией и внутренним угловым моментом,
так что, помимо туннелирования, инверсия К возможна только за счет поворота
всей системы как целого.
7.	Вращение в пространстве изоспина
Деформации, рассмотренные в предыдущих разделах, относятся
к анизотропии в обычном трехмерном пространстве. Но для кван-
товых систем возможны деформации в обобщенном пространстве,
содержащем такие степени свободы, как число частиц и изоспин.
Подобные деформации приводят к возникновению семейств кванто-
вых состояний, сходных с вращательными полосами.
С деформациями, нарушающими закон сохранения числа ча-
стиц, имеющими место в сверхтекучих системах, связаны последо-
вательности состояний, характеризующихся разными значениями
числа частиц. Такие спектры в сверхтекучих атомных ядрах («пар-
ные вращения») будут рассмотрены в гл. 6, § 3. В качестве примера
деформации, нарушающей изотропность в пространстве изоспина,
§ 2. Симметрия деформации
29
xri рассмотрим ниже модель сильной связи в системе пион — нук-
ЛОН [1174, 902, 910] (см. также [585]).
Сильное взаимодействие между нуклонным и псевдоскалярным мезонным
м связано с процессами испускания и поглощения мезонов в р-состоянии,
обусловленными взаимодействием мезонного поля со спином нуклона s. При
заданной частоте со p-состояние нейтрального (изоскалярного) мезонного поля
можно представить в виде вектора q (со), декартовы компоненты которого опи-
сывают колебания, мезонного поля в направлении координатных осей (цикли-
ческие компоненты описывают испускание мезонов в состоянии с угловым
моментом Х=1, Ц и их поглощение в состоянии, обращенном во времени). Для
случая свободного поля каждая компонента О/(со), где i = 1, 2, 3, эквивалентна
гармоническому осциллятору с частотой св. Взаимодействие со спином нуклона
пропорционально скалярному произведению s • q:
3
Нс = У Si J qt (co) F (co) dco,	(4.40)
1 = 1
где F (со) — форм-фактор. Взаимодействие (4.40) приводит к сдвигу осцилляторов
мезонного поля относительно их положения равновесия <?/ = 0. При достаточно
сильном взаимодействии может возникнуть статическая деформация, большая по
сравнению с амплитудами нулевых колебаний. Деформация поля в р-состоянии
представляет собой вектор и поэтому аксиально-симметрична (относительно пово-
ротов вокруг этого вектора). Во внутренней системе нуклон находится в состоянии
с = (если в качестве оси квантования выбрать ось симметрии), так что
взаимодействие с мезонным полем в этой системе имеет место только для
компоненты |л'=0. Таким образом, внутреннее состояние имеет квантовые
числа 7(л = 1/2 4- Рассматриваемая деформация инвариантна (но нарушает
ей?- и dT-симметрии по отдельности), и поэтому вращательный спектр системы
содержит состояния с —	3/2 + » (стр. 28).
В случае изовекторного пионного поля каждая компонента qi (со) является
вектором в изотопическом пространстве. В этом случае взаимодействие имеет
вид
з
#с = У Sitj\qijF (со) Жо.	(4.41)
i, / = 1
Такое взаимодействие может приводить к деформации в каждом из двух
рассматриваемых пространств подобно тому, как это имеет место в случае
нейтрального поля. Однако корреляция в состоянии с наинизшей энергией
таковы, что соответствующая им деформации инвариантна относительно одно-
временного поворота в обоих пространствах на один и тот же угол и вокруг
одной и той же внутренней оси х=1, 2, 3. Такая инвариантность означает
что внутреннее состояние системы является собственным состоянием комбини-
рованного спин-изоспинового оператора a = s + Z (определенного во внутрен-
ней системе координат), отвечающим нулевому собственному значению. В таком
состоянии /х = — $х, так что при каждом значении х деформация рхх равна
деформации q33 в некоррелированном состоянии m' = l/2,	поэтому кор-
реляция втрое увеличивает энергию связи. [Легко показать, что состояние
с и = 0 отвечает максимальной энергии связи; для этого достаточно отметить,
что путем соответствующих (не связанных между собой) поворотов в простран-
ствах спина и изоспина взаимодействие (4.41) можно привести к диагональ-
ному виду, содержащему только внутренние компоненты qKH, с х' = х. Дефор-
мация аналогичной симметрии встречается в теории сверхтекучести, возникающей
за счет коррелированных пар в состоянии *Р (L = l, S = l) [65].]
30
Гл. 4. Вращательные спектры
Внутреннее состояние с ц = 0 не обладает аксиальной симметрией ни
в одном из двух рассматриваемых пространств, но инвариантно относительно
произвольного одновременного поворота в обоих пространствах вокруг любой
из внутренних осей х. Поэтому вращательные состояния системы удовлетво-
ряют условию /х4-7\ = 0, где х=1, 2, 3, так что спектр представляет собой
набор состояний
У/ЛГЛ7- = Фвнутр" 8^ 2	^&М~Т',КТ=~ л(тт)>
к
1	3
/ = Т= 2 . у.	(4.42)
где со и сот —ориентации в пространствах спина и изоспина.
Возможно, что нуклонная изобара / = 3/2, Т~3/2 с массой 1238 МэВ
(фиг. 1.11) соответствует первому возбужденному состоянию такой обобщен-
ной вращательной полосы. Тогда между характеристиками нуклона и изобары
должны существовать соотношения, подобные правилам интенсивностей в ядерных
вращательных спектрах (§ 3). Но пока такие соотношения, по-видимому, не
установлены. Правда, большие энергии возбуждения изобар, превышающие
массу покоя пиона, могут означать, что взаимодействие недостаточно сильное
для того, чтобы можно было качественно рассматривать вопрос на основе
представлений о статической деформации (относительно силы взаимодействия
см. [585]). В настоящее время нет данных о наличии более высоких членов
последовательности (4.42) с 1 — Т^ь/2. В отличие от членов с/ = Т^/г и 3/2
такие состояния могут быть построены в виде конфигурации из трех кварков,
каждый из которых имеет спин и изоспин г/2 (см., например, т. 1. стр. 48).
Это обстоятельство может означать обрыв вращательной полосы, подобный
обрывам в экспериментальных вращательных спектрах легких ядер (см., на-
пример, стр. 99, где говорится о спектре 8Ве).
Экспериментальные данные о спектрах возбуждений нуклона могут обна-
руживать и другие закономерности вращательного типа (см. траекторию барион-
ных состояний с на фиг. 1.13, т. 1, стр. 70). Одно внутреннее состояние
может быть основанием нескольких полос, если оно обладает разными дефор-
мациями.
§ 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ И ПРАВИЛА ИНТЕНСИВНОСТЕЙ
В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ЯДРАХ
Взаимосвязь состояний вращательной полосы проявляется в со-
отношениях, которым удовлетворяют матричные элементы перехо-
дов между разными членами данной полосы. Разделение на враща-
тельное и внутреннее движение означает, что в первом приближе-
нии матричные элементы различных операторов можно представить
в виде произведений внутренних и вращательных множителей.
При этом внутренний множитель одинаков для всех членов полосы,
а вращательный дает зависимость полного матричного элемента от
вращательных квантовых чисел Для аксиально-симметричных си-
стем вращательная волновая функция полностью определяется
квантовыми числами IKM (§ 2), так что зависимость матричных
элементов от вращательных квантовых чисел определяется тензор-
ной структурой соответствующих операторов [12, 169, 1002, 579].
Такие соотношения подобны правилам интенсивностей радиацион-
ных переходов в молекулярных спектрах [6061.
§ 3, Энергетические спектры и правила интенсивностей	31
——--------
Отклонения от правил интенсивностей нулевого порядка обус-
ловлены центробежными и кориолисовыми силами, действующими
во вращающейся системе координат, связанной с ядром. Эти эф-
фекты можно рассматривать как проявление связи между враща-
тельным и внутренним движением, приводящей к смешиванию по-
лос Но подобные эффекты высших порядков можно также анализи-
ровать, вводя перенормированные эффективные операторы, дейст-
вующие в невозмущенном базисе. При таком подходе, весьма удоб-
ном для феноменологического описания, рассматриваемые эффекты
взаимодействия сводятся к зависимости перенормированных опе-
раторов от вращательных квантовых чисел. При достаточно малых
частотах вращения кориолисово взаимодействие можно анализиро-
вать методом теории возмущений и все операторы разлагать в ряд
по степеням вращательного углового момента. В аксиально-симмет-
ричных системах, рассматриваемых в данном разделе, симметрия
вращательного движения и тензорная структура операторов на-
кладывают существенные ограничения на общий вид таких разло-
жений [168]. Простым конкретным примером, иллюстрирующим
многие из таких общих соотношений, может служить модель ча-
стица — ротатор., рассматриваемая в приложении 4.
Перенормировку операторов, обусловленную связью между вращательным
и внутренним движением, можно описать с помощью канонического преобра-
зования, диагона лизующего гамильтониан системы в представлении независи-
мого движения. Это преобразование можно рассматривать также как переход
к новым переменным, в которых возмущенные волновые функции сохраняют
вид (4.19). Построение такого преобразования для случая частицы, связанной
с абсолютно твердым ротатором, проводится в приложении 4.
1. Вращательные энергии
Энергия медленно вращающейся системы в первом приближе-
нии равна энергии внутреннего состояния Фк (q) и поэтому
одинакова для всех членов полосы. Сопутствующее вращательное
движение дает дополнительную энергию, зависящую от вращатель-
ного углового момента. Поскольку энергия инвариантна относи-
тельно вращений системы координат, эффективный гамильтониан
системы зависит только от проекций /х углового момента на внут-
ренние оси	7
Вращательные энергии полос с К = 0
Для полос с нулевым внутренним угловым моментом К враща-
тельная энергия имеет особенно простой вид. В такие полосы входит
только одно внутреннее состояние Фл==0 [формула (4.15)], так что
оператор энергии в этом случае диагоналей относительно Л и может
зависеть только от комбинации
32
Гл. 4, Вращательные спектры
В первом порядке вращательный гамильтониан рассматриваемой
системы имеет вид
(Явра1Ц)к-о = ho (q, Р) (Л + П),	(4.43)
где h0 (q, р) — функция внутренних переменных. Среднее значе-
ние оператора (4.43) таково:
£в₽1щ = ^-7(/+1)(	(4.44)
где % — эффективный момент инерции, определяющийся соотно-
шением
^.^<К|Ло(9,Р)|К>.	(4.45)
Формула (4.44) — это хорошо знакомое выражение, получаемое
путем квантования классического гамильтониана симметричного
волчка.
В более общем случае вращательную энергию можно предста-
вить в виде функции от I (7 + 1). При достаточно малых значе-
ниях I ее можно записать в виде степенного ряда:
£вращ (/ (/ + О) = Al (I + 1) + ВР (7 + I)2 +
+ с/3 (7 + 1)3 + £>/4 (7 + 1)4+	(4.46)
где А — внутренний матричный элемент (4.45), а В, С, £>,	—
инерционные параметры более высоких порядков.
Отклонение энергии от члена нулевого порядка (4.44) можно
рассматривать как зависимость момента инерции от вращательного
углового момента. Момент инерции определяется как отношение
углового момента hIH к вращательной частоте <ох:
=	(4.47)
Вращательную частоту сох можно найти из канонического урав-
нения движения для угла, сопряженного с /х:
„х = й-.^ = 2Л-/х2^_«	(4.48)
поскольку вращательный гамильтониан в полосе с К ~ 0 зависит
от /1 + 1'г- Отсюда для момента инерции получим (/, =/2 =/)
Таким образом, ряд (4.46) соответствует разложению вида
^ = -^-[Л+2В/ (7+1) + ЗС/2(/ + 1)2 + ...]-1 =
= -^-[Д-1~2ВЛ-2/(/+1) + (4В2Д 3-ЗОЛ 2) /2(/+ 1)2+ ..]
(4.50)
для момента инерции.
33
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
Энергию и момент инерции можно разложить также по степе-
м частоты вращения, а не углового момента [такое разложение,
естественно, возникает, если рассматривать вращательные свойства
а как реакцию движения нуклонов на вращение потенциала
(модель принудительного вращения, стр. 80)]. Тогда соотношение
между энергией и моментом инерции принимает вид [формулы (4.47)
и (4.49)]
дНврат
(4.52)
dHvpam <?(/;+/!)_ 1	. . 1 ? . м2 (4 51)
(Ti + H) д& 2?	<50)2	+ ® ^2-	(4.01)
так что эти величины разлагаются в ряд по степеням gj2 = cof + col
следующим образом:
/ = а + Р со2 + усо4 + 6g)6 +
Явращ = у а®2 + 4 Р®4 + IV®6 + у б®8 + • • •
Значение величины G)2, отвечающее угловому моменту /, можно
найти из соотношения [формула (4.47)]
Й2/(/ + 1)-со2р.	(4.53)
Если момент инерции задан в виде ряда (4.52), то энергию можно
записать в виде ряда (4.46), где
Й-2Д=-1-,
‘-в—5ST.
Й-«С = Д--
2а7	6а6 ’
* - 8 г)    зр3 . ру _ 6
2а™ "Г а9 8а8 ’
(4.54)
Коэффициенты а, р, у, в формуле (4.52) дают параметризацию
вращательной энергии, альтернативную по отношению к разло-
жению (4.46) с коэффициентами А, В, С, ... Поскольку связь
между угловым моментом и частотой нелинейна, эти разложения
имеют, вообще говоря, разные радиусы сходимости.
Вращательные полосы основных состояний четно-четных ядер
Низкоэнергетические спектры четно-четных ядер обнаруживают
поразительную простоту и в отдельных областях значений N и Z
(фиг. 4.3) содержат только уровни с /л = 0+, 2+, 4+	, энергии
которых, как видпоТюфиг. 4.4, приближенно удовлетворяют соот-
ношению (4 44). Примеры таких вращательных спектров подробно
2 О. Бор, Б. Моттельсон — 1100
Za
M -
Фиг. 4.3. Области деформированных ядер.
Крестиками изображены четно-четные ядра, энергия возбуждения которых приблизительно следует зависи-
мости вида 1 (/ -|- 1), указывающей на вращательную структуру. Ядра, представленные на графике,
выбраны согласно (довольно произвольному) критерию Е (1 = 4) : Е (Z = 2) > 2,8.
Соответствующие данные взяты из работ [998, 999]. Линия ^-стабильности и оценки границ неста-
бильности относительно испускания протонов и нейтронов здесь тс же, что и на фиг. 2.18 (т. 1, стр. 201).
30
26-^11
~(о]-Q"3"° g-V-U и
t~» • i i * । >
t
150
i
160
-J---------1---------1----U----1---------1---------1----------L_
170	180	190	220	230	240	250
A
Фиг. 4.4. Экспериментальные отношения энергий Е (/)/Е (2) для вращательных полос основных состоя-
ний четно-четных ядер с 152^ А 188 и А >224 [736J.
Представлены только |3-стабильные изотопы элементов. Скобками отмечены данные предварительного характера. Гори-
зонтальные линии соответствуют теоретическим значениям отношений, вычисленным по формуле (4.44).
36
Гл. 4. Вращательные спектры
рассмотрены на фиг. 4.7 (168Ег, стр. 69), фиг. 4.9 (238U, стр. 73),
фиг. 4.11 (172Hf, стр. 76), фиг. 4.13 (20Ne, стр. 97), фиг. 4.14 (8Ве,
стр. 100), фиг. 4.29 (166Ег, стр. 146) и фиг. 4.31 (174Hf, стр. 153).
Области существования вращательных спектров соответствуют
конфигурациям основных состояний, в которых имеется большое
число частиц сверх заполненных оболочек. Это можно истолковать
как простое следствие оболочечной структуры ядер Действительно,
конфигурации заполненных оболочек близки к сферической сим-
метрии, а орбиты частиц, не входящих в заполненные оболочки,
сильно анизотропны. Это и приводит к отклонению формы системы
от сферической симметрии [946]. (Вопрос о влиянии оболочечной
структуры на потенциальную энергию ядра рассматривается в гл. 6,
стр. 529 и далее.)
Следствием оболочечной структуры в сильно деформированном
потенциале может быть существование метастабильных конфигу-
раций, форма которых существенно отличается от равновесной
формы ядра в основном состоянии. Такие состояния могут быть
отделены заметными потенциальными барьерами от конфигураций,
отвечающих меньшей деформации. Поэтому довольно общим свой-
ством ядер оказывается изомерия формы (гл. 6, стр. 529) Доказа-
тельством существования такого рода деформированных возбуж-
денных состояний являются вращательные полосы, обнаруженные
в спектрах ядер 16О и 40 Са, сферических в основном состоянии (замк-
нутые оболочки) х), а также спонтанно делящиеся изомеры в очень
тяжелых элементах (гл. 6, стр. 548). (Вращательная структура
уровней в спонтанно делящемся изомере ядра 240Ри наблюдалась
в работе [1060].)
Экспериментально установленный вид вращательных полос
можно однозначно интерпретировать на основе симметрии ядерной
деформации. Во-первых, наличие только одной последовательности
значений I показывает, что мы имеем дело с аксиально-симметрич-
ным телом, вращающимся вокруг осей, перпендикулярных оси
симметрии (вращательные полосы неаксиальных систем содержат
несколько состояний с одинаковым /, см. § 5). На приближенную
аксиальную симметрию указывает также хорошее согласие энергий
с законом / (/ + 1), характерным для «симметричного ротатора»,
т. е. системы, эллипсоид инерции которой имеет сфероидальную 1 * * * * * * * *
1) Тот факт, что первые возбужденные состояния в ядрах 16О и 40Са
имеют положительную четность, тогда как низколежащие частично-дырочные
возбуждения должны иметь отрицательную четность, явился серьезным возра-
жением против интерпретации спектров этих ядер на основе оболочечной
модели. Было высказано предположение [843], что возбужденные состояния
с положительной четностью в этих ядрах обусловлены наличием коллектив-
ной деформации. Существование вращательной структуры в ядрах 16О было
убедительно показано в результате изучения реакции 12С (а, а) [238] и
экспериментального исследования сильно ускоренных Е2-переходов [497J.
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
37
имметрию. Во-вторых, отсутствие состояний с нечетными значе-
ниями / указывает на е^-симметрию внутреннего движения
йЬиг. 4.2, б). И наконец, отсутствие дублетов по четности указывает
на ^-инвариантность внутреннего движения, а отсутствие дублетов
с одинаковыми значениями /л означает его ^-инвариантность. Эти
свойства симметрии, на которые указывают экспериментальные
вращательные спектры, можно интерпретировать на основе пред-
ставления о сфероидальной форме ядра. Такое представление воз-
никает в силу того, что одночастичное движение в сферическом
потенциале ядра, сходном с потенциалом гармонического осцилля-
тора, связано с классическими орбитами, имеющими приближенно
эллиптическую форму. [Подробнее об этом говорится в гл. 6 в связи
с общим вопросом о влиянии оболочечной структуры на потенциал
ядра. Из сказанного там следует также, что в случае потенциала
с резким краем доминирующая оболочечная структура в -пределе
больших квантовых чисел связана с классическими орбитами, обла-
дающими треугольной симметрией. Возможно, что наличие низко-
лежащих состояний с отрицательной четностью, обнаруженных
в области Ra и Th (стр. 493), отражает неустойчивость относи-
тельно октупольных деформаций, характерную для оболочечной
структуры, связанной с треугольными орбитами.]
Экспериментально наблюдающиеся полосы имеют квантовые
числа 7<лг = 0+ + . Это свойство основных состояний четно-четных
ядер можно интерпретировать на основе одночастичного описания
внутренней структуры. Одночастичные состояния нуклонов в акси-
ально-симметричном потенциале характеризуются определенными
значениями проекции Q углового момента j на ось симметрии. Сим-
метрия относительно отражения времени (или е^-симметрия) озна-
чает, что две одинаковые орбиты с противоположным направлением
движения вокруг этой оси вырождены. Основное состояние четно-
четного ядра образуется в результате попарного заполнения таких
сопряженных орбит, так что при этом /С — 0. В случае ^"-инва-
риантного гамильтониана эти сопряженные орбиты имеют одинако-
вую четность и, следовательно, каждая пара таких частиц имеет
л = +1. Кроме того, сопряженные состояния йий переходят одно
в другое в результате преобразования [формула (4.16)], так
что антисимметричное состояние пары тождественных частиц в со-
пряженных состояниях й и Q имеет г = 4-1:
Ф(1’	ОНа (2)~Фо(1)Фа (2)],
<^;ф(1, 2)=-±Ц— Фц (1)фа (2) + фя (1)Фа (2)] = Ф(1,2), (4.55)
(Фа = 'фа — — s^-фа).
38
Г л, 4. Вращательные спектры
Этот результат можно было бы получить также из формулы (4.17),
поскольку такое антисимметризованное состояние является супер-
позицией состояний с четными значениями J
Исходя из абсолютных значений вращательных энергий, по
формуле (4.44) находят моменты инерции, экспериментальные
значения которых представлены на фиг. 4.12, стр. 79. Из этого
графика видно, что моменты инерции полос основных состояний
в 2—3 раза меньше значений, соответствующих вращению абсо-
лютно твердого тела.
Моменты инерции вращающейся системы можно рассматривать
как ее реакции на силы Кориолиса, возмущающие движение от-
дельных частиц. Момент инерции системы частиц, движущихся
независимо друг от друга в самосогласованном поле, оказывается
приближенно равным твердотельному моменту инерции. Однако
парные корреляции мешают нуклонам участвовать во вращении
столь же эффективно, как в случае независимого движения,
что приводит к уменьшению моментов инерции по сравне-
нию с твердотельными. (О ядерных моментах инерции см.
стр. 79.)
В наиболее полно развитых вращательных полосах энергии
уровней с малыми / определяются законом I (/ + 1) с точностью
до нескольких десятых долей процента. Соответствующие отклоне-
ния носят систематический характер и могут быть хорошо описаны
вторым членом разложения (4.46) (см., например, фиг. 4.8, стр. 70,
и фиг. 4.9, стр. 73). Отношение В/А имеет порядок 10-3 в областях
наибольшей стабильности формы ядра и увеличивается вблизи кон-
фигураций, для которых деформированное состояние уже не яв-
ляется устойчивым (фиг. 4.4). [Параметр В/А для развитых враща-
тельных спектров ядер имеет тот же порядок величины, что и для
полосы основного состояния молекулы Н2; для тяжелых молекул
отклонения вращательных энергий от закона I (/ + 1) обычно
гораздо меньше (см., например, [591].]
Отклонение вращательной энергии от закона I (/ + 1) связано
с изменением момента инерции при изменении частоты вращения.
Такое изменение обусловлено зависимостью момента инерции от
коллективных параметров, характеризующих форму ядра и пар-
ные корреляции. Эта зависимость приводит к появлению члена,
пропорционального I (/ + 1), в равновесных значениях рассмат-
риваемых параметров. Следствием такого изменения равновесия
при изменении I оказывается уменьшение полной энергии системы,
пропорциональное /2 (/ + I)2.
Если бы ядро вращалось как квазитвердое тело типа молекулы,
то эти эффекты соответствовали бы классическому центробежному
растяжению и в большинстве случаев были бы слишком малыми по
сравнению с экспериментальными значениями В, Но на моменты
инерции существенно влияют эффекты нуклонных корреляций,
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей_39
0 чем и свидетельствует их уменьшение по сравнению с твердотель-
ными значениями. Такая чувствительность может приводить к го-
раздо более сильной зависимости моментов инерции от коллектив-
ных параметров (см., например, зависимость от параметра парной
корреляции, стр. 85).
Прямую информацию о таких эффектах можно получить,хиссле-
дуя экспериментально зависимость параметров деформации от вра-
щательного углового момента (см., например, поправки к правилам
интенсивностей нулевого порядка для £2-переходов, стр. 57).
Зависимостью момента инерции от коллективных параметров обу-
словлено также взаимодействие между вращением и колебатель-
ными возбуждениями, связанными с осцилляцией этих параметров.
Такое взаимодействие приводит к заметным поправкам в соотно-
шениях интенсивностей переходов между вращательными полосами
основного и колебательных состояний. Исходя из этих интенсивно-
стей, можно найти соответствующий вклад в член вращательной
энергии, содержащий коэффициент В. В случаях, проанализиро-
ванных к настоящему времени, взаимодействие с &К == 2 дает
лишь малую часть коэффициента В в полосах основных состояний
(см., например, анализ взаимодействия с Д/С = 2 в ядре 166Ег,
стр. 148). Несколько больший вклад, как оказалось, дает взаимо-
действие с низколежащими уровнями, имеющими К — 0 (см.,
например, анализ спектра 174Hf, стр. 155). В настоящее время еще
не ясно, в какой степени экспериментальные значения В можно
объяснить взаимодействием с несколькими экспериментально уста-
новленными нижними внутренними состояниями.
Во многих случаях точность измерения энергии позволяет найти
несколько членов более высокого порядка в разложении вращатель-
ной энергии по степеням I (7 4- 1). И хотя на основании отноше-
ния В/А можно было бы заключить, что радиус сходимости такого
разложения должен соответствовать примерно / «30, величина
членов более высокого порядка указывает на гораздо худшую схо-
димость. Если же энергию разлагать в ряд по степеням вращатель-
ной частоты, а не углового момента [формула (4.52)], то сходимость
существенно улучшается [560, 793]. Разложения энергии по степе-
ням / и и сопоставляются на стр. 33; см. также фиг 4 11 (1,гНП
на стр. 76 и фиг. 4.32 (174Hf) на стр. 155. Причина, по которой
разложение по степеням со2 имеет гораздо более простой вид в на-
стоящее время не ясна.
При увеличении углового момента вращательное движение
может приводить к существенному изменению внутренней струк-
туры, имеющему характер фазового перехода с довольно резким
изменением вида вращательного спектра. Эти эффекты будут
рассматриваться^ в связи с более общей проблемой описания
элементарных ветвей возбуждения ядра в ираст-области
40
Гл. 4. Вращательные спектры
Вращательные полосы при К=£О
Состояния ядра при /С =# 0 представляют собой комбинации
внутренних волновых функций с /3 =-- ±К [формула (4.19)] По-
этому вращательные энергии содержат как члены с Д/< = 0, имею-
щие тот же вид, что и в случае К 0 [формула (4.46)1, так и, вообще
говоря, члены с Д^ = ±2 /<, отвечающие взаимодействию между
двумя компонентами волновой функции. Главный член такого типа
имеет вид
(ЯВра111)дХ=±2к = Л2к(9» Р) (/-)2/< + ^-сопр„ (4.56)
где символом е^-сопр. обозначены ^-сопряженные члены, полу-
чаемые путем преобразования	(под действием опера-
торы I± переходят в —/т). Добавление о^-сопряженных членов
обеспечивает инвариантность гамильтониана (4.56) относительно
преобразования	формул а (4.23)]. Это весьма удобный спо-
соб использовать свойство с^-симметрии, поскольку наличие сопря-
женных членов приводит лишь к удвоению всех матричных эле-
ментов, если операторы действуют между е^-симметричными со-
стояниями.
Среднее значение оператора (4.56) пропорционально сигнатуре
уровня [формулы (4.20) и (4.23)] и может быть записано в виде
А^вращ = (- 1У + к А2К ,	(4.57)
где
A,K = {K\h2K\K)
(4.58)
[матричные элементы 1± определяются формулами (1.187)1.
При К — 1/2 дополнительный член (4.56) линеен по 1К и по вра-
щательным частотам (ох. Соответствующий вклад в энергию пред-
ставляет собой диагональный элемент сил Кориолиса, действующих
во вращающейся системе координат. Например, если угловой мо-
мент /<	1/2 связан с движением одной частицы в потенциале
вращающегося остова ядра, то в этом случае имеем (см. модель
частица — ротатор в приложении 4)
й2 .
= -	(4.59)
(/ — угловой момент частицы). Тогда энергетический параметр
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей	41
можно записать в виде
а = -<^ = ||/+|к = 0>.	(4-60)
причем а — так называемый параметр развязывания [в выраже-
нии (4.59) мы пренебрегаем различием между полным моментом
инерции системы / и моментом инерции /0 вращающегося остова,
относительно которого движется частица; см. стр. 247].
Выражение (4.60) для а дает величины порядка единицы и более,
и поэтому член с Аг следует включить в главный член выражения
для энергии вращательной полосы *):
£ВраЩ = ^/(/ + 1) + Л1(-1)/ + ,Л(/+|)бд.
= ^[/(/ + 1)4-ц(-1)/+’/2(/4-г)б(^ !)]•	(4-61)
При К = V2 вращательная энергия (4.61) пропорциональна
(помимо константы) величине (/ +V2 (1 + га))2, где а = (—1); +1/2—
сигнатура. Таким образом, ветви спектра с разными сигнатурами
представляют собой параболы, смещенные в противоположных
направлениях вдоль оси /.
Если параметр развязывания а больше единицы, то во враща-
тельном спектре (4.61) происходит инверсия нормальной последо-
вательности спинов. В особом случае такого внутреннего состоя-
ния, в котором все степени свободы, кроме нуклонного спина
2 = V2, связаны в состояние с К = 0, параметр развязывания а
равен квантовому числу г состояния с К 0 В этом случае спектр
(4.61) имеет дублетную структуру, обусловленную слабой связью
с вращательной полосой К — 0, с угловыми моментами 0, 2, 4,
(при а = г = +1) и 1, 3, 5, (при а = г = —1).
Коэффициенты Д2К описывают эффекты порядка 2^ теории
возмущений по взаимодействию Кориолиса. Поэтому при К 3/2
дополнительный член (4.57) намного меньше главных членов вра-
щательной энергии (см. например, член с А3 в модели частица —
ротатор, стр. 183).
Общее выражение для слагаемых с = ±2/( вращательного
гамильтониана получается при умножении оператора (4.56) на
функцию от Ц + /?, и поэтому соответствующие добавки к энергии
можно разложить по степеням I (I + 1), так же как в выраже-
х) Член вращательной энергии, линейный по /, известен в молекулярных
en^ZPa м МКО1К пмвД1^пкация А-удвоения, обусловленная спин-орбитальной
в работах [296 ^дерпь,х вращательных спектров этот член рассматривался
42
Г л. 4, Вращательные спектры
нии (4.46). Таким путем для полной энергии получаем выражения
Е(К, 1) = Ек + АЦ1+1) + ВР(1+1^ + ...+
(-lY + ^^ + ^lAr + BJ (7 + 1) + ...]
при К = -2~.
(_ l)/ + i/(/+ 1)[42 + В27(7+ 1) + ...]
,	при К — 1,
+	/	1\/	1\7	3\	(4-62)
+ 0+ ••]	при К = ~,
(-1у(/-1)/(/ + 1)(7 + 2)[Л4 + В4/(/ + 1)+ ..]
при К = 2
при нескольких первых значениях Д'. [Другой вид разложения по-
лучается при замене / (/ + 1) величиной / (/ + 1) — К2, равной
среднему значению оператора II + 1^ Анализ модели частица —
ротатор показывает, что такое разложение, может быть, немного
лучше соответствует действительности. Но при А ;> В К2 СК4 ^>...
различие между двумя видами разложений весьма невелико.]
Вращательные полосы в ядрах с нечетным А
В ядрах с нечетным А проведены обширные исследования низ-
колежащих вращательных полос. Поскольку плотность состояний
в этих ядрах больше, чем в четно-четных ядрах, их низколежащие
энергетические спектры кажутся более сложными. Но низколежа-
щие состояния деформированных ядер (фиг. 4.4) всегда можно
разбить на серии полос, каждая из которых характеризуется опре-
деленными значениями внутреннего углового момента К и чет-
ности л. Значения Кя для наинизших вращательных полос соот-
ветствуют квантовым числам Qn последней нечетной частицы,
движущейся в деформированном потенциале ядра (гл. 5). При энер-
гиях возбуждения порядка 1 МэВ наблюдаются также полосы,
основанные на состояниях типа частица + колебательное возбуж-
дение, и полосы, основанные на конфигурациях трех неспаренных
частиц.
Каждая полоса содержит состояния с I = К, К + 1, К + 2,
энергия которых описывается формулой (4.61) для вращательных
Состояний с той же точностью, что и в случае четно-четных ядер.
Соответствующие примеры иллюстрируются на фиг. 4.15 (169Тш,
стр. 102), фиг. 4.16 (177Lu и177Ш, стр. 104), фиг. 4.19, (239Ри, стр. ПО),
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей	43
,	5 7 (139ТЬ, стр. 215), фиг. 5.9 (173Yb, стр. 231), фиг. 5.12 (237Np,
?тп 237), фиг. 5.14 (233U, стр. 243) и фиг. 5.15 (23Mg, стр. 251).
Зависимость вращательной энергии от сигнатуры отчетливо
проявляется для полос с К = x/2, в которых член Аг обычно срав-
ним с членом А (интерпретацию параметров развязывания на ос-
нове одночастичных состояний в деформированном потенциале см.
в гл. 5, § 3). Соответствующие эффекты, более слабые, как и сле-
довало’ожидать, обнаружены в полосах с К 5= 3/2 (см., на-
пример, полосы с К = 3/2 на фиг. 5.7 и 5.14 и полосу с К = ’/2
на стр. 248).
Моменты инерции вращательных полос нечетных ядер система-
тически превышают моменты инерции полос основных состояний
четно-четных ядер на 10—50% (фиг. 4.12). Это явление можно ин-
терпретировать как реакцию последней нечетной частицы на вра-
щение ядра: поскольку парные корреляции уменьшают вклад
частиц остова, вклад неспаренной частицы оказывается заметной
долей полного момента инерции На этой основе можно объяснить
экспериментально установленную сильную зависимость прираще-
ния момента инерции (при переходе от четно-четного к нечетному
ядру) от квантовых чисел нечетной частицы (гл. 5, § 3, п. 4). Коэффи-
циенты В еще более чувствительны к наличию нечетной частицы
и в ряде случаев имеют знак плюс — противоположный по сравне-
нию с четно-четными ядрами (см., например, фиг. 4.17 (полоса
Кл = 9/2 + в ядре 177Ш)].
Вращательные полосы возбужденных состояний
четно-четных ядер
Примеры вращательных полос возбужденных состояний четно-
четных ядер показаны на фиг. 4.8 (168Ег, стр. 70) фиг. 4.13 (20Ne
стр. 97), фиг. 4.29 (106Ег, стр. 146), фиг. 4.31 (174Hf, стр 153) и
на нескольких фигурах к гл. 6 (фиг. 6.31 и 6.44—полосы поло-
жительной и отрицательной четности в изотопах Sm и Os) Харак-
терной особенностью этих спектров является отсутствие внутрен-
них возбуждений вплоть до энергий, обычно на порядок величины
превышающих энергетический интервал между полосами нечетных
ядер.
Некоторые из экспериментально наблюдающихся возбуждений
четно-четных ядер можно интерпретировать как двуквазичастичные
состояния, обусловленные разрывом пары. Такие состояния наблю-
даются при энергиях, превышающих 2Д — энергию, необходимую
для разрыва пары (т. 1, стр. 169, фиг. 2.5). Моменты инерции таких
двуквазичастичнщх полос подобно полосам нечетных ядер систе-
матически превышают моменты инерции полос основных сос-
тояний [см., например, полосы в 188Ег (стр. 71, табл 4 1)
44
Гл. 4. Вращательные спектры
В спектрах четно-четных ядер имеются также несколько состоя-
ний, энергии которых значительно меньше 2Д. Эти состояния,
по-видимому, представляют собой коллективные колебания отно-
сительно деформированной равновесной формы (гл. 6, § 3, п. 2).
Квадрупольные состояния /<л = 2 + и Длг = 0++ имеют мо-
менты инерции, отличающиеся в большинстве случаев не более
чем на 10°' от моментов инерции основных состояний [см. примеры,
рассматриваемые на стр. 487 (p-колебания) и стр. 484 (у-колеба-
ния)]. Это можно объяснить тем, что момент инерции не очень сильно
меняется при малых колебаниях относительно положения равно-
весия. Примером октупольных колебаний могут служить полосы
с Кпг = 0-----, наблюдающиеся во многих ядрах среди наинизших
внутренних возбуждений. Типичные значения моментов инерции
этих полос на 50?' больше моментов инерции основных состояний
[см. пример на фиг 6.44 (152Sm, стр. 508)], что можно объяснить
очень сильным взаимодействием Кориолиса с октупольным коле-
банием Аде = 1— (стр. 508). Для квадрупольных колебаний ана-
логичного эффекта нет, поскольку квадрупольная степень свободы
/С л = 1+ представляет собой вращательное движение (гл. 6,
стр. 317).
Вращательные полосы в нечетно-нечетных ядрах
Хотя детальное спектроскопическое изучение нечетно-нечетных
ядер находится еще в начальной стадии, имеющиеся данные сог-
ласуются с представлением о вращательной структуре [см. пример
на фиг. 4.20 (166Но), стр. 115]. Внутренние состояния в таких ядрах
можно классифицировать по квантовым числам нечетных протон!
и нейтрона. Каждой конфигурации (Пл, Qp) отвечают две полосы
с К |	+ Qp | и /С |	|. В особом случае = Qj
полоса с К = 0 расщепляется на две полосы с г =	1 и г = — 1,
внутренние волновые функции которых равны 1/]/2 (|	—
— г |QnQp>). Взаимодействие между протонами и нейтронами в этих
состояниях не зависит от /, но зависит от г и поэтому приводит к сдви-
гу между этими полосами.
Моменты инерции нечетно-нечетных ядер систематически больше,
чем четно-четных. Их можно приближенно описать, добавляя к по
следним вклады и нечетных нейтрона и протона, опреде-
ляемые из соответствующих конфигураций ядер с нечетным А
(табл. 4.14, стр 117).
В случае конфигураций с	= г/2, приводящих к близ-
ким полосам с К 0 и К 1, эффекты кориолисова взаимодей-
ствия могут быть особенно велики Они приводят к знакопеременным
энергетическим сдвигам в полосе с К = 1, соответствующим член1
с Л2 в формуле (4.62) (анализ таких конфигураций см. в работа?.
[551, 1028]).
g s. Энергетические спектры и правила интенсивностей 45
-—-------
Вращательная структура в каналах деления
Вращательную структуру со свойствами, близкими к наблюдае-
мым при малых энергиях возбуждения, следует ожидать в спектре
каналов деления при энергиях, ненамного превышающих порог
деления [1571 (о роли каналов деления в описании процесса деления
говорится в гл. 6, § 3). Несмотря на то что делящееся ядро имеет
энергию возбуждения около 5 МэВ, при прохождении седловой
точки оно остается «холодным», так как большая часть энергии
возбуждения переходит в потенциальную энергию деформации.
Поэтому квантованные потенциальные поверхности (каналы деле-
ния) значительно отделены друг от друга, как и в низколежащих
вращательных спектрах.
Как и для основного состояния, характер вращательной струк-
туры в каналах деления определяется симметрией формы ядра в сед-
ловой точке. Данные о спектре каналов деления могут быть полу-
чены путем измерения выхода деления (см., например, стр. 123),
а угловые распределения дают информацию о распределении зна-
чений К в каналовых состояниях [формула (4.178)1. Эксперимен-
тально измеренные угловые распределения в области порога деле-
ния обнаруживают ярко выраженную анизотропию, подтверждаю-
щую допущение о том, что деление идет через один канал или через
малое число каналов. Но имеющихся данных ни в одном из случаев
не достаточно для однозначного определения симметрии формы
ядра в седловой точке. Данные по фотоделению ядра 238U приво-
дятся на стр. 124. Данные о симметрии формы ядра в седловой
точке могут быть получены также путем статистического анализа
плотности уровней в области каналов деления (стр. 543).
Вращательное движение в конфигурациях с большим числом
квазичастиц
О структуре вращательного движения в тяжелых ядрах при
энергиях возбуждения, превышающих 1—2 МэВ известно очень
мало. При увеличении числа квазичастиц в возбужденных состоя-
ниях должны ослабевать парные корреляции, поскольку неспарен-
ные частицы занимают все больше и больше уровней вблизи энергии
Ферми, так что эти уровни выпадают из процесса спаривания
В конце концов данный эффект должен приводить к конфигурациям’
в которых параметр парных корреляций Д обращается в нуль (это
аналогично фазовому переходу в металлах из сверхпроводящего
в нормальное состояние при критической температуре). При умень-
шении Д момент инерции должен увеличиваться и приближаться
К твердотельно^значению при Д - О (стр. 81) Наблюдающееся
на опыте систематическое превышение моментов инерции в одно-
и двуквазичастичных конфигурациях по сравнению с вращатель-
ними полосами основных состояний четно-четных ядер представляе!
собой как бы первый шаг в данном направлении (стр. 274). I
С увеличением энергии возбуждения плотность уровней быстр"
растет, а отдельные уровни становятся комбинациями различных
конфигураций с разными числами квазичастиц (т. 1, стр. 157)
Но если при этом можно пренебречь силами Кориолиса, то уровн.
будут образовывать вращательные полосы, которые будут харак
теризоваться квантовым числом К в системах с аксиальной сим
метрией.
Данные о сильном смешивании по К при энергиях возбуждения,
соответствующих энергии связи нейтрона, можно получить путем
статистического анализа резонансов, наблюдающихся при захвате
медленных нейтронов. Если бы Д' в этом случае было хорошим кван-
товым числом, то наблюдались бы три набора интенсивных некорре-
лированных резонансов с (К, /)	(f0	1/2, /0 + 14), (Л>— 1/2,
/0 ± г/2), а также более слабые резонансы (в случае /0 > 1/2),
связанные с Д-запрещенными резонансными процессами. (Пред-
полагается, что ядро-мишень со спином /0 имеет К = Но ока-
залось, что распределение энергетических интервалов между сосе/
ними резонансами в ядрах с нечетным Д, так же как и флуктуацп
экспериментальных нейтронных ширин, можно объяснить, прел,
полагая полную случайность внутри каждого из наборов уровней
с /	/0	1/2, где /0 — спин ядра-мишени (см., например, [314]).
Таким образом, результаты данного анализа свидетельствуют против
существования каких-либо сохраняющихся квантовых чисел, кроме
полного углового момента и четности Вопрос о том, при каких
энергиях возбуждения перестает сохраняться Д и каким образом
происходит такой переход, остается предметом будущего исследо
вания.
Влияние вращения на плотность ядерных уровней
Дальнейшую информацию о вращательном движении в ядрах
можно получить путем изучения плотности ядерных уровней с энер-
гиями возбуждения, при которых допустим статистический под-
ход. Благодаря возможности коллективного вращения увели-
чивается число степеней свободы, участвующих в формировании
спектра при низких энергиях, и это обстоятельство может приво-
дить к существенному увеличению полной плотности ядерных уров-
ней [132]. Величина данного эффекта зависит от симметрии дефор-
мации, определяющей вращательные степени свободы. Ядерная
деформация приводит также к анизотропии в эффективных момен-
тах инерции, участвующих в формировании компонент углового
момента вдоль разных внутренних осей. Наличие такой анизотропии
сказывается на зависимости плотности уровней от квантовых
чисел углового момента.
g 3 Энергетические спектры и правила интенсивностей
47
Пютность уровней с данным 1 в аксиально-симметричном ядре
•чают путем суммирования по внутренним состояниям с | К I <
у г389] если вклад во внутренний угловой момент К могут да-
ь многие независимые степени свободы, то распределение по К
должно иметь нормальную форму, откуда получим
₽„„(£. К) = (2яГ''-ок ехр{- 2^}р.нГч>(£).
Р(£. ') = Т 2	'» *>•	<4-63в)
р (Е, /)	(8л)~ Рвнутр (^) X
X 2	<4'63в)
к=-/
р (£, /)	(21 + 1) (8л)-Рвнутр (Е) для {	<4-63г)
Evpm(K, 1)=-^-(1(1 + 1)-К*),
Величина рвиутр (£) в формуле (4.63а) — это полная плотность
внутренних уровней, а ок — среднеквадратичное значение кван-
тового числа К. Множитель г/2 в формуле, выражающей плотность
уровней через /, необходим в силу предположения о еЯ’-симметрии,
которое означает, что внутренние состояния с образуют еди-
ную полосу с / = | К |, | К ] + 1, а полосы с К = 0 имеют либо
только четные, либо только нечетные значения I (§ 2). Темпера-
тура Т в выражении (4.63в) представляет собой обратную логариф-
мическую производную от рвнутр (Е) по Е. Вращательная энергия
характеризуется моментом инерции у для коллективного враще-
ния вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии, а и% выражается
через эффективный момент инерции /3, определяющий формиро-
вание углового момента вдоль оси симметрии. Выражение (4.63г)
для р (Е, /) — приближенное, справедливое при малых I (Факто-
ризованная форма (4.63а) для рвнутр (Е, К) представляет собой приб-
лиженное выражение, которое справедливо, когда энергия возбуж-
дения Е велика по сравнению с энергией (Евраш)3 = №/2/3, тре-
буемой для формирования углового момента Д'. Если это условие
не выполнено, то статистический анализ приводит к плотности
?95о9РчННИХ УРОе^й> зависящей от Е — (Евраш)3, как в формуле
48
Гл. 4. Вращательные спектры
Угловое распределение в процессе деления можно выразить через
вращательные квантовые числа I и /<, где К — компонента угло-!
вого момента вдоль оси деления [формула (4.178)1. Равномерное]
распределение по К при данном I приводит к изотропному угло!
вому распределению. Поэтому угловая анизотропия в делении даеЯ
информацию о различии моментов инерции для вращения вокру!
осей, параллельной и перпендикулярной направлению деления^
Экспериментальные данные по угловому распределению в деле-*'
нии, индуцированном а-частицами с энергией 40 МэВ, рассма-
триваются на стр. 543; наблюдаемая величина анизотропии дает
возможность оценить величину деформации в седловой точке.
Выражения (4.63) можно сравнить с соответствующими форму-
лами для сферического ядра, выведенными в приложении 2 к гл. 2
для случая движения независимых частиц. Плотность уровней как
функция величины / в сферическом ядре получена путем разбиения
полной плотности уровней р (£) на компоненты р (Е, Л4) с заданным
значением проекции углового момента М на фиксированную ось:
Р(Е, М) = (2л)_1/г<т-1 ехр р (£),	(4.64а)
р (£, 7) = р(£, М = 1)—р(Е, М = / + 1)^
~ (2/+ 1) (8л)-*Аа-зехр {-	(£). (4.646)
Так же как и для распределения по К в формуле (4.63а), мы пред-
полагаем нормальное распределение по М со среднеквадратичным
значением о.
Из формул (4.646) и (4.63г) явствует, что при малых I плотность
уровней в деформированном ядре в о2 раз больше соответствующей
плотности в сферическом ядре. В этом находит отражение то обсто-
ятельство, что только часть уровней с М 0, равная (2о2)‘1, при-
надлежит состояниям с I — 0, и только половина полос с К = 0
имеет уровень с I 0. При больших / для плотности уровней
в деформированном ядре имеется обрезание, обусловленное враще-
нием, так что полная плотность уровней зависит от момента инер-
ции коллективного вращения. Суммируя выражение (4.63в)
по / с учетом (2/ 4- 1)-кратного вырождения, получаем полную
плотность уровней, равную плотности внутренних состояний
Рвнутр (£)> взятой с множителем	По порядку величины этот
множитель равен числу состояний во вращательной полосе с £вращ
< Т
При сравнении плотности уровней в сферических и деформиро-
ванных ядрах нужно учитывать, что возможность коллективного
вращения связана с соответствующим уменьшением числа внутрен-
них степеней свободы. Но в тяжелых ядрах энергия возбуждении
одночастичных состояний, из которых формируется вращательнЛ
движение, — порядка нескольких мегаэлектронвольт (стр. 85]
§ 3, Энергетические спектры и правила интенсивностей 49
поэтому при температурах, малых по сравнению с такими энер-
И ями исключение «ложных» степеней свободы не должно сильно
сказываться на плотности внутренних уровней.
Выше предполагалось наличие аксиальной симметрии, вследствие чего
коллективное движение ограничивалось вращениями вокруг осей, перпендику-
пяпных оси симметрии. Все степени свободы трехмерного вращения вступают
в игру в том случае, когда деформация системы не инвариантна относительно
пюбого элемента группы вращений. В этом случае вращательные полосы содер-
жат 27 +1 уровней при каждом значении / (§ 5). Полная плотность уровней
как функция величины / может быть записана в виде
2/4-1
р (£, 7) = У Рвнутр ^вращ fa» О»	(4 65а)
т= 1
р (Е, /)	(27 + 1) Рвнутр (^) ПРИ ^вращ (т> О	(4.656)
где т —квантовое число, обозначающее различные вращательные уровни с оди-
наковым 7 в данной вращательной полосе. Формула (4.656) дает приближен-
ное выражение, справедливое при малых 7, и мы видим, что оно в о раз пре-
вышает соответствующую величину (4.63г) для аксиального ядра. При больших /
плотность уровней (4.65а) можно вычислить, взяв выражение (4.269)
для вращательного гамильтониана и заменив суммирование по т инте-
грированием по поверхности сферы /2= 7f + 7; +/| в пространстве 7 [элемент
объема в этом пространстве равен л"1 dlr dl2 dl3, т. е. это элемент фазового
объема в единицах (2л/?)3, проинтегрированный по полному телесному углу
8л2 в пространстве ориентаций; очевидно, что такой элемент объема отвечает
числу квантовых состояний на единичном интервале 7, равному 472	(27 + I)2].
Получающаяся в результате таких вычислений зависимость плотности уровней
от 7 позволяет в принципе определить все три компоненты момента инерции.
Ограничения на вращательные степени свободы могут быть также обуслов-
лены инвариантностью формы ядра относительно конечных вращений. С таким
ограничением мы уже сталкивались в случае ^-симметрии для аксиальных
ядер; оно приводит к уменьшению плотности уровней в 2 раза. Для аксиально-
симметричных ядер е^-симметрия является единственно возможной дополните-
льной подгруппой вращений. Конфигурации же, не имеющие аксиальной сим-
метрии, могут быть инвариантными относительно любой точечной группы. Ес-
ли данная конфигурация инвариантна относительно группы из g элементов,
то плотность уровней уменьшается в раз по сравнению с (4.65). Этот ре-
зультат можно получить простым путем, заметив, что нарушение рассматри-
ваемой симметрии дало бы возможность различать g разных областей конфи-
гурационного пространства, отвечающих g разным ориентациям нарушающей
симметрию деформации. Поэтому полная плотность уровней увеличивается в g
раз по сравнению с симметричной конфигурацией.	s
Примером симметрии относительно точечной группы является наиболее
общий случай квадрупольной деформации. Такая деформация нарушает аксиа-
льную^симметрию, но инвариантна относительно поворотов на 180° вокруг
каждой из трех главных осей. Соответствующая точечная группа D2 имеет че-
тыре элемента; поэтому данная инвариантность приводит к плоскости уповней
составляющей одну четверть величины (4.65).
Дополнительные коллективные степени свободы обусловлены деформациями,
нарушающими пространственную инверсию или обращение времени
Деформация, нарушающая любую из этих симметрий, приводит к удвоению
“ „Уровней (§2) и, следовательно, к двукратному увеличению плотности
jровней.
50
Гл. 4. Вращательные спектры
Спектр в ираст-области
Изучение ядерной структуры ираст-области х) при больших
значениях углового момента представляет собой новую и много-
обещающую область исследований. Несмотря на большую энергию
возбуждения, ядро здесь можно считать «холодным», поскольку
почти вся энергия идет на формирование углового момента системы.
Однако элементарные ветви возбуждения ядерного вещества при
таких условиях могут существенно видоизменяться из-за больших
внутренних напряжений, обусловленных центробежными и кори-
олисовыми силами.
Одним из источников данных об ираст-области являются деталь-
ные спектроскопические исследования отдельных уровней ядер
со спинами до / «20. Менее прямую информацию об уровням
со спинами до / « 50 дает анализ у-каскадов, сопровождающие
реакции, индуцируемые тяжелыми ионами. Подобные исследова
ния показывают, что даже при таких больших значениях угловог
момента в ираст-области имеются семейства коллективных состояние
вращательного типа (см. пример на стр. 75).
На данной, еще только начальной стадии изучения ираст-об
ласти мы можем лишь перечислить некоторые эффекты, которы
могут быть существенными.
1.	Сильная зависимость ядерного момента инерции от парный
корреляций означает, что последние ослабевают с ростом угловой
момента. Можно представить себе довольно резкий фазовый пер<
ход от сверхтекучего (парно-коррелированного) к нормальном
состоянию ферми-газа [854]. Возможно, что резкие изменения вра
щателыюго спектра при / «20, наблюдающиеся в ядрах с А $
« 160, и связаны с таким эффектом (см. пример на стр. 76 и бол^
подробные данные, представленные в работе [656]).	1
2.	Аксиально-симметричное ядро представляет собой вырояй
денную систему с двумя одинаковыми моментами инерции, а при
отклонении от аксиальной симметрии в большинстве случаев один
из них должен увеличиваться за счет другого. Поэтому при выстра-
ивании углового момента вдоль оси наибольшего момента инерции
должны наблюдаться отклонения от аксиальной симметрии, свя-
занные с увеличением углового момента. Предварительные оценки
такого эффекта рассмотрены на стр. 152 в связи с анализом взапмо-1
действия вращения с коллективными колебаниями относительно
оси симметрии; см. также п. 5 ниже (вращательные спектры неакси-
альных систем будут рассмотрены в § 6).
3.	Поскольку момент инерции возрастает при увеличении вытя-
нутости ядра, вращение может привести к неустойчивости дра
О Ираст-областью называется область наипизших при данном / состоя-
ний [5'22]. Слово «ираст» представляет собой превосходную степень шведского
прилагательного уг, что в переводе значит головокружительный. — Прим. ред.
3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
51
относительно телепня (см. в приложении 1 к гл. 6 оценку, основан-
uvto на капельной модели).
У 4 Когда частота вращения сравнима с разностью частот одно-
частичного движения вдоль двух осей, одна из которых параллельна,
а другая перпендикулярна оси симметрии системы, силы Корио-
тиса вызывают большие изменения одночастичных орбит. А именно,
угчовые моменты отдельных нуклонов стремятся выстроиться
вдоль оси вращения, что приводит к уменьшению деформации
системы относительно этой оси. В некоторых случаях такой эффект
может приводить к тому, что система становится симметричной от-
носительно оси вращения, и тогда вращательная полоса обрывается
при конечном значении углового момента (стр. 87). Это значение /
по порядку величины равно числу частиц в системе (табл. 4.3а,
стр. 89), и потому эффект должен быть особенно существенным
в легких ядрах. Предварительные данные об этом эффекте в ядре
20Ne рассматриваются на стр. 97; см. также о ядре 8Ве, стр. 99.
В других случаях силы Кориолиса существенно влияют на выде-
ленные орбиты (в частности, на орбиты с большим / и малыми Q
в тяжелых ядрах; см. стр. 275). В таких случаях переход к схеме
связи, отвечающей выстраиванию углового момента этих орбит
вдоль оси вращения, может произойти задолго до того, как полный
угловой момент системы приблизится к /макс 11082].
5. Большой угловой момент у ядра может возникать либо за
счет коллективного вращения, либо за счет выстраивания угловых
моментов отдельных нуклонов вдоль оси симметрии. Энергии, соот-
ветствующие второму механизму, могу г быть сравнимыми с враща-
тельными энергиями (см. статистическую оценку на стр. 84),
и поэтому в ираст-области такая схема связи может быть столь же
эффективной, как и вращательная. В отдельных случаях в ираст-
области обнаруживаются изомеры с большими значениями К (см.
примеры изомеров с Кл = 8— и А+ = 16+ в ядре 178Hf, стр. 78).
Исследования ядерных уровней с еще большими спинами, за-
селяемых в реакциях с тяжелыми ионами, пока что не дали каких-
либо указаний на существование изомерии. Такое положение может
означать, что в исследованной ираст-области угловой момент не
несут отдельные нуклоны, а наличие его обусловлено отклонением
формы ядра от аксиальной симметрии. При еще больших угловых
моментах, порядка критических значений, отвечающих неустой-
чивости относительно деления (п.З), может наступить режим,
при котором центробежные силы, благоприятствующие сплюснутой
деформации (как в случае классической вращающейся жидкости),
преобладают^ над эффектами оболочечной структуры и приводят
к сплюснутой форме ядра с угловым моментом, направленным вдоль
оси симметрии. В дакой ситуации ираст-уровни не образуют регу-
лярной последовательности, а матричные элементы радиационных
реходов связаны с изменением орбит отдельных частиц.
52
Гл. 4 Вращательные спектры
6. Поскольку взаимодействие с вращением искажает форму
ядра, коллективное вращение в ираст-области может возникать и
в тех ядрах, в которых оно отсутствует при малых угловых момент
тах (см. модель колебаний в гл. 6 и данные, приводимые на фиг. 6.33)|
2. Матричные элементы Е2-переходов внутри полосы 1
Деформацию, которой обусловлено разделение на вращательно!
и внутреннее движение (§ 2), можно определить, изучая матричные
элементы, связывающие между собой состояния полосы. При налц|
чии стабильной деформации вращательные матричные элемента
велики по сравнению с матричными элементами, связанными с кся
лебаниями параметра деформации (т. е. с матричными элементам!
колебательных или одночастичных переходов). Экспериментальн!
наблюдающиеся деформации ядра имеют главным образом кваЛ
рупольный характер, так что наиболее подробную информацию о!
этих деформациях дает измерение матричных элементов Е2-пере1
ходов внутри вращательной полосы.	1
Правила интенсивностей нулевого порядка
Аксиально-симметричную квадрупольную деформацию можь
характеризовать внутренним электрическим квадрупольным моме:
том [формула (3.26)]
eQo <К| ре (г') г2 (3 cos2 6' - 1) di' | К) =
=	\М (Е2, V = 0) I К).
(4.66]
И
Здесь штрихами отмечены координаты, определенные во внутрещ
ней системе, а ^(Е2, v) — компоненты электрического квадру
польного тензора в этой системе координат [формула (3.29)] г). з
Компоненты (Е2, р) того же тензора в пространственней
фиксированной системе координат можно получить из внутренний
компонент путем стандартного преобразования тензорных оператоф
ров [формула Н. 145)1:
&W(E2, р) = У]®^(£'2, v)^v (®) =
V
= (-г£г),/2	(®) = I (9, </>), (4.67)1 5
Компоненты тензорных операторов типа <iM (Е2, v) во .внутренней^'
системе координат часто обозначаются штрихом:	(£2, v) (см., например».]
гл. 1, приложение 1). Но в настоящем разделе тензорный индекс v ясно;
показывает, что рассматриваемый тензорный оператор относится к внутренней]
системе координат, и поэтому штрих опускается.
$ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
53
гр) — ориентационные углы системы, связанной
ГДяаоом В формулах (4.67) использовано соотношение (1 135).
С Коллективный Е2-оператор (4.67) связывает только состояния
„ной "и той же полосы. Матричные элементы перехода между двумя
экими состояниями, описываемыми волновыми функциями (4.15)
или (4.19), можно вычислить, пользуясь соотношениями (1.134)
или (1.136) для функций Таким путем для приведенных матрич-
ных элементов и вероятностей перехода получаем [формулы (1.154)
и (1.160)]
(К/21| М (Е2) || K1J = (2/i + 1 )’/* <71К20 1 72К> eQ0, (4.68а)
В (Е2; КК -> К/2) =	<7^20 | 727<>*.	(4.686)
Коэффициент векторного сложения (/гК20 | /2Ю описывает сло-
жение угловых моментов во внутренней системе координат.
Зная диагональные матричные элементы (4.68) (Л ~ /2), можно
найти статические моменты [формула (3.30)]. Получаем
Q = <//<201 /К) <7/20 | II) Qo =	Qo- (4.69)
Отношение Q к Qo представляет собой среднее значение величины
Р2 (cos 6) в состоянии с М = I Такое усреднение зарядового экс-
центриситета обусловлено вращательным движением. Таким об-
разом, | Q | всегда меньше, чем | Qo |. В частном случае, когда
/ = К (что обычно бывает в основном состоянии), мы имеем
/ о /__1
Q =	] 2/+3	(4-70)
При 7 = 0 или 7 = х/2 все направления оси ядра в пространстве
равновероятны, так что внутренняя деформация не приводит к по-
явлению квадрупольного момента (как и должно быть в силу общих
требований вращательной инвариантности) В классическом пределе
7 -> оо (и 7< = 7) нулевыми колебаниями, связанными с вращением,
можно пренебречь, и поэтому Q стремится к Qo Для состояний вра-
щательной полосы с очень большими I (при фиксированном /<)
формула (4.69) дает Q « —1/2Q0 в соответствии с тем, что при этих
условиях полный угловой момент становится перпендикулярным оси
симметрии ядра [P2<cos л/2) = —2/2]
Д/ мы знаем- ^2-переходы удовлетворяют правилу отбора
1 Ч 2. При 7 > /< коэффициенты векторного сложения в формуле
(4.68) имеют следующие приближенные значения:
<Л/С201 /аК> *	Г / 3 у/2 (ej ПРИ . /Зул к -\2j Т ПРИ	/2 = /1±2, /2 = л±1,	(4.7
	-4 при (/>*)•	^2 — Л	
Следовательно, наиболее интенсивны переходы с Д/ = 2 ил
Д/ = 0, связывающие состояния с одинаковой сигнатурой, тогд
как переходы между состояниями с разной сигнатурой (Д/ J
примерно в (Ал/)2 раз слабее. Такое правило отбора соответствуе
тому, что в классическом пределе вращающееся тело генерируй
квадрупольное электрическое поле с частотами 0 и 2<овра1Ц.
В приближении, рассматриваемом в настоящем разделе, npejs
полагается, что все квадрупольные моменты связаны со статич!
ской внутренней деформацией, имеющей аксиальную симметрии
Поэтому все матричные элементы Е2-переходов внутри данно
полосы выражаются через один параметр Qo с помощью соотношу
ний, носящих чисто геометрический характер. Экспериментальные
данные для проверки этих соотношений приводятся на фиг. 4.24
(стр. 122); см. также примеры, о которых говорится в связи с табл 4.4
(20Ne, стр. 97), табл. 4.6 (1GyTm, стр. 102), табл. 4.8 (177Lu, стр. 106i
и 177Hf) и табл. 4.10 (239Ри, стр. 109). Оказывается, чт<
в случае хорошо развитых вращательных спектров отношения
матричных элементов Е2-переходов для нижних уровней полось
удовлетворяют правилам интенсивностей нулевого порядка в пр$
делах экспериментальной точности порядка нескольких процентоЦ
В случае ядра 20Ne измеренные матричные элементы переходи
Е2 для состояний с / - 6 и / = 8 обнаруживают существенна
отклонения от правила интенсивностей нулевого порядка. Эм
отклонения можно объяснить выстраиванием угловых моментш
одночастичных орбит, которое может приводить к обрыву полоД
и обращению в нуль матричных элементов £2-переходов (стр. fl
п. 4).	™
Параметры деформации
Типичная интенсивность Е2-переходов между членами враща-
тельных полос по порядку величины составляет 100 одночастичных
единиц в тяжелых ядрах (фиг 4.5), что убедительно свидетельствует
о коллективном характере квадрупольной деформации в этих ядрах*
Экспериментальным значением матричных элементов опреде-
ляется внутренний квадрупольный момент Qo. Предполагая, что
360
3k0
S8 •
0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
A
Фиг. 4.5. Экспериментальные значения вероятностей £2-переходов между пер-
выми уровнями 2-\- и основными состояниями четно-четных ядер.
Значения В (Е2; 0 -» 2) приведены в одночастнчных единицах
Водн(£2)=Аег	= 0,30Д4/зе2 ферми4 (/? = 1.2Д,/з ферми),
представляющих собой вероятность перехода между состояниями (/2)? = о-► (/2)^==2 двух-
протонной конфигурации в пределе больших / и при выборе радиального матричного эле-
мента в виде </ || г2 || /) = 3/6/?2 [величина ВодН (^2) описывает также вероятность перехода
между состояниями одного протона с / = 0 и / = 2; см. формулу (3.165)]. Единица В^(Е2)
равна ‘/б^одп (£2) и соответствует переходам 2 -► 0. Экспериментальные значения В (£2)
взяты из работы [1071]. Для дважды магических ядер данные взяты из работ [10431 (,0О)4
[774] («Са) и £1222} (*°8РЬ).
ядро деформировано как целое, Qo можно выразить через параме
деформации ядра 6, который определяется соотношением
/ z \
Qo=l\2rv6, (4-7
где сумма берется по всем протонам ядра. Из определения (4.7
следует, что для равномерно заряженного сфероидального яд]
с резкой границей параметр 6 равен
О 3 №)2-(^|)2	1 ; А/? 2
6 =-------— --——— ------ 4-I--- 4-	и 7
2 (/?3)2 + 2 (/?±)2	/?	6 \ R
ДЯ = /?3 -	, R =	<f2)j,/! J- (R3 + 2/?±),
где Д7? — разность большой и малой полуосей ядерного сферой,
со средним радиусом R.
Квадрупольную деформацию можно характеризовать также пар
метром р2, входящим в разложение плотности ядра по сферичесю
гармоникам. Соотношение между параметрами 6 и р2 дается форм
лой (4.191); в нулевом порядке 6 «0,95 |32. Преимущество па
метра 6 в том, что он прямо связан с экспериментально измеряем
квадрупольным моментом ядра. Поэтому в данной главе и в r;i
мы, как правило, пользуемся именно параметром 6.
Измеренные деформации тяжелых ядер представлены
фиг. 4.25, стр. 125. Из этого графика видно, что для 6 типич
значения 0,2 — 0,3 и что для всех сильно деформированных я,
величина Qo положительна (т. е. они имеют вытянутую фори
В легких ядрах параметры деформации несколько больше (табл. 4.:
Ядра с нечетным А и нечетно-нечетные ядра имеют примерно
кую же форму, как и соседние четно-четные (фиг. 4.25).
В ряде случаев оказалось возможным получить данные о ква
рупольной деформации в полосах возбужденных состояний. Обыч]
деформации в таких полосах не отличаются от деформации в осно
ной полосе (см., например, об определении величины Qo в состо
нии с Кл 3+ в ядре 172Yb [432], а также о косвенных данных о вс
бужденных полосах в ядре 175Lu, стр. 143, и в ядре 166Ег, стр. 14J
Об изомерии формы, обусловленной большим различием в пар
метрах деформации между низколежащими состояниями, говор
лось на стр. 36.
Теоретически равновесные деформации ядер можно оценЦ
рассматривая одпочастичные состояния в деформированных пЛ
циалах. При этом равновесная форма ядра может быть найИ
либо из условия минимума полной энергии, либо из условия
согласования между плотностью и потенциалом (см. стр. 127 и оЯ
общий анализ влияния эффектов оболочечной структуры на пот^|
57
$ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
пильную поверхность ядра, стр. 529). По порядку величины пара-
Ц 06 равен отношению числа частиц вне замкнутых оболочек к пол-
ному числу нуклонов, так что 6 — А~'/* (см. стр. 126 и замечание на
Н п 533). При приближении к замкнутым оболочкам величина рав-
новесной деформации уменьшается. В ядрах со сравнительно малым
числом частиц сверх заполненных оболочек влияние деформации
на одночастичное движение мало по сравнению с эффектом парных
корреляций, и поэтому в таких ядрах происходит переход к сфери-
ческой равновесной форме с колебательным характером спектра
квадрхшольных возбуждений (стр. 459).
Хотя квадрупольиые деформации играют в атомных ядрах глав-
ную роль, наряду с ними должны существовать и деформации выс-
ших порядков, и они действительно экспериментально наблю-
даются. Данные о деформациях с к = 4 рассматриваются на стр. 130.
Параметры гексадекапольной деформации (X = 4) в ядрах ред-
коземельной области примерно в 5 раз меньше параметров квадру-
польной деформации (табл. 4.6).
Обобщенные правила интенсивностей
Выше мы рассмотрели матричные элементы £2-переходов, свя-
занные с аксиально-симметричной деформацией, квадрупольный
момент которой не зависит от вращательного углового момента.
Поправки к правилам интенсивностей нулевого порядка возникают
за счет возмущений внутренней структуры, обусловленных центро-
бежными и кориолисовыми силами, а также за счет не обладающих
аксиальной симметрией компонент в распределении заряда по
ядру.
Систематический анализ обобщенных правил интенсивностей
можно провести путем разложения внутренних моментов (£2, v)
[формула (4.67)1 по степеням вращательного углового момента.
Процедура аналогична проводившейся в предыдущем разделе при
анализе вращательной энергии с учетом модификаций, обусловлен-
ных тензорным характером квадрупольного момента. Ниже мы
весьма подробно проанализируем структуру матричных элементов
£2-переходов внутри вращательной полосы, чтобы наметить план
общего анализа матричных элементов тензорных операторов в мо-
дели вращательного движения.
В нулевом порядке, без учета зависимости еМ (Е2, v) от /, вклад в мат-
ричные элементы переходов внутри полосы дают компоненты с v = 0 и v =
= ± 2/<. Компоненты с v = 0 дают матричный элемент (4.68), а вклад компо-
нент с v=-i 2К пропорционален сигнатуре. Поскольку часть (£2, v),
не зависящая от /, инвариантна относительно комбинации обращения времени
с эрмитовым сопряжением (с = — 1), из правила отбора (4.31) следует, что
член, содержащий сигнатуру, равен нулю при полуцелых К. Он отличен ог
У* Я только для полос с /<=1, так что в приближении, в котором не учиты-
(4.7
(4.7
вается зависимость от /, матричный элемент Е2 -перехода имеет следующц
общий вид:
(К/2||^ (£2) ||К/1) = (2/1+1),/‘ {(/гК20 I I2K){K\a/(E2, v=0) |К> +
+ (-l)'.+X/I(-l,22|/2l)(K=l |е^(£2, v = 2)|K=l>6(K, 1)}.	(4.7-
Здесь первый член идентичен матричному элементу (4.68). Вклад второго чле^
обычно очень мал по сравнению с вкладом от коллективного момента v = |
Для двухчастичных конфигураций (Qn Q2) он равен нулю, но при наличн
линейной комбинации таких конфигураций возникает вклад, отличный от нул1
Для колебательных состояний с v = K=l этот член представляет собой маль| 
момент Е2, v = 2, который может возникать за счет деформации с v= 1 во вт< а
ром порядке по амплитуде колебаний.	, J
При учете членов, линейных по /+, эффективные моменты можно npej j
ставить в виде	1
2
е^/(Е2, ц) =	[znv, v (Q) ^ixv + ~2 mv+i> v ^ц-v} +
v = —2
+ mv-i, v {^+>	,
где через v обозначены внутренние операторы, причем в индексе указ
вается тензорная компонента v (второй индекс) и изменение числа Д', вызыв
мое этим оператором (первый индекс). Как видно из формулы (4.756), чле
в выражении для <>М (Е2, ц), содержащие /+, ^-сопряжены членам, сод
жащим /_ (стр. 17). Внутренние операторы удовлетворяют соотношениям
("lAK.v)t = (-,)v'n_4K_v,	(4.7
т\к, v (<2^(<®г)-1 = /идк, vi	(4-
которые вытекают из преобразования оператора (Е2, ц) при эрмито]
сопряжении и обращении времени. Операторы 14_ не коммутируют с ^-фу
циями, и поэтому в формуле (4.75) зависимость от /+ выражается в в
симметризованных произведений [поскольку коммутатор /± с проп
ционален v—j [формула (1.185)], различие в способе упорядочивания о
раторов в формуле (4.75) эквивалентно перенормировке операторов т, вх
щих в не зависящие от / члены].
Вклад в матричные элементы внутри полосы может возникать от чл
(4.75) с ДК = 0 и -ь 2К, откуда имеем
<К/2 II *4/ (£2) || КЛ> = (2/, + 1)*/« [</1К20 /2К> <К | /п0. о I ^ +
+ (- !/ + • <Л—1,22; /21> <К=1 |m2t2|K=l>6(K, 1) +
+ (</„ К+1, 2, -1 |/2K>(/1-K)‘/’(/l+K+l),/’-
-</v К-1,21 ^KX/i + K^^^i-K + l)*72) <^|/и0,_!|К> +
+ |(- 1)/,+К «л. -К. 2, 2К-1 | /2, К-1> (72 + К),/2(/2-К+1),/2 +
+ </ь - К+1, 2, 2К-11 /2К) (Л + Ю1/2(Л-К+1)’/2)(К |т2Х> 2К_,|Л') +
+ y(-l)z*+x[(/i, -К, 2, 2К + 1 I /2. К+-1> (/2 —К)1/2 (/2+-К +1)1/з
+ <Л. -К-1, 2, 2К+1|/гКЖ + Ю,/2(Л-К + 1)1/2) <К|т2Л, 2К+1|/<>1
(4.77)
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
59
и ны содержащие произведения коэффициентов векторного сложения на
Матричные элементы /4 , можно записывать разными способами; формула (4.77)
попучена с использованием соотношения
{/_,	+1}=2(М.+1/+).	(4.78)
Внутренние моменты 'nAK=v.l_1>v нечетны относительно комбинации отра-
жения времени с эрмитовым сопряжением (с = + 1). Поэтому линейные по /
члены в формуле (4.75а) не дают вклада в матричные элементы внутри полосы
с /М [формула (4.30)]. Кроме того, матричные элементы {К | пг2к< 2К_} | %)
равны нулю при целых К [формула (4.31)].
н Оценки зависящих от / членов в эффективном операторе (4.75а), которые
возникают за счет смешивания полос, обусловленного силами Кориолиса, рас-
смотрены на стр. 123.
Во втором порядке по вращательному угловому моменту эффективный £2-
оператор может содержать члены, пропорциональные и /£ (v = AK^2),
а также члены с v = AK, в которые входят внутренние моменты, пропорцио-
нальные ]/2{Л-’ I-}= + ^2- Мы рассмотрим только часть £2-оператора,
дающего вклад в переходы с A^ = 0:
М/(Е2, Н))дК=о = "го,о^гиО + у т'о 0 {{/+, /_}^/цо} +
+ [у{/_.	-1}+е^-сопр.) +	-i} + s^-conp.)
(4.79)
с точностью до членов второго порядка по 1+. Внутренние операторы, вхо-
дящие в выражение (4.79), удовлетворяют соотношениям симметрии (4.76).
Члены cv^±2 легко вычислить, пользуясь тождеством
[I2. [I2, ^цо]] = у {Х(Х+1)[Х(Х+1)-2]}^(р+. ^ц2} + {А, ^,_2}) +
+ у Х(Х+1){{/+. /-}^0} +
+1(MX+1))V. {f3, р+. ^,}-{/->
— Х(Х+1)(Х(Х+1) —2)^г^0>	(4.80)
которое выводится из (4.354).
В полосе с К=о члены оператора (4.79) с Av=-h 1 не дают вклада так
что матричные элементы Е2 имеют вид	~ А ЮТ клада> так
<К=0, /2М/(£2)||К = 0, /2> =
= (2/1 + 1 )'/г <Л020 | /20) {Mi + Л4г [/2 (/2 + 1) 4. д	+ ] j] +
+ Л/э[/2(/2+1)-/1(/14-1)]2}> (4.8!)
где внутренние матричные элементы таковы:
Л41 = <X = O|mo,o + 2K6mo.2|tf = O>,
Л12=^=о	2 к=о>,
Л/3='\Т( = 0 yjTg-mo.2 К=0^.
(4.82)
Члены более высоких порядков по угловому моменту могут быть пол учет!
путем умножения соответствующих членов выражения (4.79) на функции веля
чины I2 (так же, как это делается при анализе членов высших порядков м
вращательной энергии, стр. 32). Например, в полосе /< = 0 зависимости
эффективных матричных элементов от / выражается через /х (Л 4- 1) и /2 (/2 + !
Поскольку матричный элемент симметричен относительно начального и коне®
ного состояний, его можно представить в виде (4.81), где внутренний момеД
(выражение в фигурных скобках) зависит от комбинаций Л (Л+1) + /2 (/г + Я
и [/i(/i+D-/2(/2+I)]2.	Д
Поправки к правилам интенсивностей нулевого порядка, связанные с мМ
ричными элементами М2 и М3 в формуле (4.81), возникают из-за искаже^И
формы ядра, обусловленных вращательным движением. Различные эффе^И
искажений, рассмотренные выше (стр. 50), характеризуются разными отно^И
ниями Л42/Л13. Например, центробежное растяжение, при котором форма я;И
остается аксиально-симметричной, с эксцентриситетом, увеличивающими
с ростом /, описывается членом формулы (4.79), пропорциональным {/+,
и, следовательно, приводит к правилу интенсивностей с М2!М\ > 0 и Л43^И
Этот эффект обусловлен взаимодействием между полосой основного состоя^И
и возбужденными полосами с К = 0, соответствующими осцилляции (0-коле^И
ния) формы ядра [формула (4.259)].
Эффекты искажения, проистекающие из взаимодействия с полосами /< =Я
дают поправки с ТИ2 =— 6Л43 [формула (4.215)]. Эти эффекты обусловлеД
различием между моментами инерции относительно внутренних осей 1 и Я
возникающим вследствие отклонения формы ядра от аксиальной симметрии
[см. выражение (4.282) для асимметричного ротатора и формулу (6.295), one
сывающую связь вращений с у-колебаниями]. Таким образом, в основе этом
взаимодействия лежит стремление системы вращаться вокруг оси с максималй
ным моментом инерции, т. е. классический центробежный эффект, стремящийся
нарушить аксиальную симметрию объекта, вращающегося вокруг оси, перпен
дикулярной оси симметрии (стр. 50, п. 2).
Помимо вклада от взаимодействий с полосами /< = 0 и К~2 в правила:
интенсивностей £2-переходов внутри вращательной полосы основного состояний
может возникать вклад второго порядка теории возмущений от взаимодействи:
с полосами с #=1. Соответствующий эффективный момент можно найт:
исходя из члена второго порядка теории возмущений по оператору S [фо^
мула (4.202)] в выражении (4.202). Для полученного таким путем вклад
в матричный элемент (4.81) величина Л43 = 0, а М2 пропорциональна разност
Qo (/( = 0) — Qo (К— 1) и имеет тот же знак.	;
Подчеркнем, что зависимость внутреннего квадрупольного момента от /
вообще говоря, нельзя объяснить взаимодействием с наблюдаемыми внутрен
ними состояниями, поскольку к дополнительным эффектам может приводит
связь с «ложной» ветвью	описывающей вращательную степень свободы
Модель частиц, движущихся во вращающемся потенциале гармонической
осциллятора (стр. 87), соответствует предельному случаю, когда зависимое!
внутреннего момента от / полностью обусловлена взаимодействием с эт<
ложной ветвью.
Для одновременного определения матричных элементов М2 и Л43 неО
ходимо измерить как статические моменты, так и моменты перехода. Статин
ские моменты содержат только параметр M2t тогда как для перехода /-
->/-|-2 зависящее от I слагаемое внутреннего момента пропорциональи
(М2 + ЗМ3) / (/Д-З). В настоящее время точность измерения матричных эл<
ментов £2-переходов внутри вращательных полос основных состояний чстло-че1
ных ядер в большинстве случаев вряд ли достаточна для обнаружений
отклонений	от правил интенсивностей нулевого порядка (фиг. 4.24,
стр. 122).
Фиг. 4.6. g-факторы первых уровней 2 + четно-четных ядер.
График построен на основе экспериментальных данных, взятых из работ [570, 516]. Он подготовлен
участием Гродзинса (L. Grodzins), Гершкинда (В. Herskind) и Огазы (S. Ogaza)
3. Матричные элементы 7И1 -переходов внутри полосы
Полосы с К —0, вращательный магнитный момент
В полосе с К = 0 внутренний магнитный момент равен нул]
вследствие симметрии относительно отражения времени, и поэтом
главный член оператора магнитного момента пропорционале
вращательному угловому моменту. В этом порядке статически
моменты определяются выражением
Н =	(4.8^
где gR — эффективный g-фактор вращательного движения. Член
более высоких порядков можно учесть, рассматривая gR как фун1
цию от 1(1	1). Внутри рассматриваемой полосы М 1-переход
невозможны, так как для соседних состояний Д/ = 2.	:
На фиг. 4.6 представлены ^-факторы четно-четных ядер, вь
численные по экспериментально измеренной прецессии вращателе
ных уровней 2+ в магнитном поле. Эти экспериментальные зн;
чения gR сравнимы с величиной ZM, которая получалась бы в сл]
чае равномерно заряженного вращающегося тела (хотя в большщ
стве случаев они несколько меньше).
Вращательный угловой момент ядра связан главным образо
с орбитальным движением нуклонов (относительный вклад спино
нуклонов меньше даже отношения спина к орбитальному момент
одночастичных состояний, поскольку расщепление одночастичны
уровней, обусловленное спин-орбитальными силами, в средне
меньше, чем расщепление за счет деформации; см. стр. 194). Пн
тому то обстоятельство, что значения gR несколько меньше, чИ
ZM, указывает на то, что вклад протонов во вращательное двизИ
ние менее эффективен, чем нейтронов. Это может быть обусловлем
парными корреляциями, которые для протонов несколько сильнее
чем для нейтронов [8821 (см. также замечание на стр. 86). J1
Некоторая информация о магнитных моментах имеется и для
более высоких членов вращательных полос основных состоянии
четно-четных ядер; данные о состояниях до / = 8 в пределах эксУ
периментальной точности, по-видимому, согласуются с соотноше^
нием (4.83) (см. например, [708]).
Полосы сК+0, внутренний магнитный момент
В полосах с К 0 вклад в магнитный момент дает не только
вращательное движение, но и внутреннее движение нуклонов, так
что оператор магнитного момента приобретает вид [формула (3.39)]
И)=2<^(М1,	+
(4.84)
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей	63
Первый член есть вклад внутреннего движения, в приближении
нулевого порядка не зависящий от J. Второй член есть вклад вра-
щательного движения; он пропорционален компоненте углового
момента, перпендикулярной оси симметрии. Поэтому при построе-
нии правил интенсивностей нулевого порядка для Ml-переходов
следует учитывать как члены, не зависящие от I, так и некоторые
члены, линейные по вращательному угловому моменту [общий
вид оператора М 1-перехода с учетом всех членов, линейных по /,
представлен ниже, формула (4.89)].
Матричные элементы оператора (4.84) для перехода между двумя
состояниями одной и той же полосы можно записать в виде
<K/2||®<(M1)||K/1> =
= Ш‘/2 Ж	{fe-gp) [к </л 101 /2К> -
_1, ц|/2,	1)] +
+ £/?[Л (Л+ 1)1/г	/2]^, (4.85)
где gx — внутренний g-фактор, ад — магнитный параметр развя-
зывания, причем эти две величины определяются соотношениями
(4-86)
s—ГТ\7< =	V = 1)|K=A\.
Для полосы сК>
реходов имеют вид
х/2 статические моменты и вероятности Ml-пе-
И = gpl + (gK — gp) дру,
В (Ml; К, /2 = /!± 1) =
= i (if	WI«IW
(4.87)
Выражение для р дает следующие классические пределы для р,
( g$I при /->оо, К фиксировано,
1 g«I при I = К оо.
При gK = gR вероятности М 1-переходов обращаются в нуль, по-
скольку в этом слу*Ще магнитный момент пропорционален полному
угловому моменту, т. е. является интегралом движения.
При К /2 выражение (4.85) для матричных элементов ЛП-пе
рехода содержит дополнительный вклад, соответствующий член
с Д/С = 1 оператора внутреннего момента:
н(к=-2-,	+(2/ +1)(- 1)'+*Н
в(М1; К = -‘-,	72 = Л±1)=	(4.8J
= li Ш to - и + (-	41 °I '=4>3
где через /> обозначено большее из 1Х и /2.
Правила интенсивностей для матричных элементов вращател!
ных М1 -переходов подвергались многочисленным проверкам. В част
ности, было установлено, что вероятности Л41-переходов в полоса
с К > V2 с точностью до ошибки эксперимента, составляюще
в наилучших случаях лишь несколько процентов, согласуютс
с выражением (4.87), содержащим только один параметр (gR—-g&
[149, 564, 1017] (соответствующие примеры приведены в табл. 4.i
стр. 106, и табл. 4.10, стр. 109). В случае полос с /С = 2/2 ампл!
туды Ml-переходов содержат два параметра (gR—gz? и Ь), а стат!
ческий момент — дополнительный параметр gR [формула (4.86л
Относительно проверки этих соотношений см. табл. 4.7, стр. 1031
Экспериментальные значения gR для ядер с нечетным А при!
дены в табл. 5.14. Они несколько отклоняются от соответствуют!
значений в соседних четно-четных ядрах. Такое отклонение об!
ловлено перенормировкой gR, связанной с влиянием взаимоде!
ствия Кориолиса на последнюю нечетную частицу [формула (4.355),
Значения gR и b определяются свойствами квантовых состояни
последней нечетной частицы и будут рассмотрены в гл. 5.
В самом общем виде оператор Ml-перехода с учетом членов, линейных п
вращательному угловому моменту, можно представить так:
(Ml, =	,v^iv+(2 mAK=v + i, v{7-'	+e^-conp.^, (4.8!
V
где внутренние операторы v удовлетворяют соотношениям (4.76).
Операторы mVtV, не зависящие от /, равны внутренним моментам М' (All,*
в выражении (4.84), а из тождества (4.352) следует, что член с Д/< = 0
v =— 1 в формуле (4.89), действующий внутри полосы, соответствует колле!
тивному вращательному магнитному моменту в формуле (4.84). Дополнител]
ные зависящие от I члены в формуле (4.89), которых нет в выражении (4.84
дают содержащий сигнатуру вклад (ДК = 2, v = l) в матричные элементы Ml
переходов внутри полос сК=1. Для полос с член с ДК = 1 и v=*
обращается в нуль в силу правила отбора (4.31). В то время как член с ДК=5
v =—1 описывает коллективный эффект вращательного движения, дополн!
тельные члены в выражении (4.89), зависящие от /, связаны с влиянием вза)|
модействия Кориолиса на одну или несколько частиц, дающих вклад в угЛ|
вой момент К [см,, например, анализ Ml-моментов на основе модели частица-*
§ 3, Энергетические спектры и правила интенсивностей 6S
татор (стр. 186). Поэтому указанные члены должны быть малыми по срав-
иенню главными членами ц формуле .(4и84), если.только нет специфического
тоождения (такое вырождение возможно, например, в случае двуквазичастич-
ной конфигурации с	и	. когда возникают две близкие полосы
с Х=1 и смешиваемые силами Кориолиса; см. стр. 116).
4. Общий вид матричных элементов
Примеры, рассмотренные выше, иллюстрируют общий метод
определения вида матричных элементов в схеме связи вращатель-
ного и внутреннего движения. Любой заданный тензорный оператор
(мультипольные моменты у- или р-переходов или операторы пере-
дачи частицы) преобразуют к внутренней системе координат [фор-
мула (1.192)]:
,И	=	z±)^mv(®).	(4.90)
V
Внутренние моменты (М) явйяют6гбка!л^рами (не зависят-от
углов ориентации со), но могут зависеть от компонент 1± вращатель-
ного углового момента и от внутренних цеременных. Зависимость
операторов внутренних моментов ' отг /± отражает динамические
эффекты вращательного движения; ши.-ш
Правила интенсивностей длЯ\рператоров, не зависящих от I
Если зависимостью внутренних операторов от 1± можно прене-
бречь, то матричные элементы перехода между двумя состояниями
вида (4.19) даются выражением [формула (1.136)]
<7<272||^(A)||/(1z,> =
= (27! + 1)’/«- Кг I /2К2> X
х<К2|®^'(Х, v = K2-K1)|Ki>+-
+ (-	</» - КД, + К21 /2/<2) Х|
х<К2|в^'(Х, v^Ki + KMKO] (/<!•#= о,..Ka^fcO).’,. (4.91)
Для матричных элементов переходов внутри одной "полосы
члены, содержащие сигнатуру, удовлетворяют >4,ави^ отбора
нииЕ?419П°пп!?Ы ДЛЯ °ДН0Й И3 П°Л0СЛ = °" Т0 об* члена в'выраж(<
ний ^•£2=°0д]инаковы и мы имеем [см нормировку (4.15) состоя-
<К2/21| (X) || = о, Ц) = (27, 4-1 )/, (/,0ХЛ21 /2/<2> х
X <Т(21М' (X, v = К2) | К, = 0) нри ** * °*	(4 92)
( 1 при К2=0.
Диагональный внутренний матричный’ элемент • в полосе с К — 0
обращается в нуль, если опер^ор р' 0,0) нечетен относительно
3 О Бор. Б Моттельсон	*	’	/ /
66
Гл. 4, Вращательные спектры
комбинации операций обращения времени с эрмитовым сопряжением
[формула (4.30)].	I
Зависимость матричных элементов (4.91) и (4.92) от I носи!
чисто геометрический характер, отражая различие в распределё!
ниях по углам ориентации для разных членов вращательной полосы;
К-запрещенные переходы
Для переходов с |	— К2 I > матричные элементы (4.91)
обращаются в нуль, поскольку в рассмотренном выше приближении
не сохраняется проекция углового момента на ось симметрии.
Переходы такого типа называют /(-запрещенными, а величину
п = \К1-К2\-^	(4.93)
— порядком /(-запрета. Главный вклад в правила интенсивностей
таких переходов дают члены операторов внутренних моментов,
Пропорциональные (/±)л:
М (Хр) = тдк=м.„,у=х^(/_)« + <^-сопр.,	(4.94)
где m — оператор, зависящий только от внутренних переменных.
Отсюда для матричного элемента получаем
<К2/2 II м (X) II = (2/, + 1)V. </xtf2 - ШI 72Х2> х
!=0-
(4.95)
Предполагая К2 = Ki + + я-
Поправки высших порядков
Поправки к правилам интенсивностей нулевого порядка нахо-
дят, учитывая члены более высоких порядков в операторах внутрен-
них моментов Общий вид соответствующих разложений можно найти
так же, как и в рассмотренных выше случаях энергии и матричных
элементов переходов внутри одной вращательной полосы. Для
переходов между разными полосами поправки первого порядка
имеют особенно простой вид при К2 — Ki А-. В этом случае эффек-
тивный момент с Д/( = /(2 —	= А + л содержит единствен'
ный член порядка (/±)n+1:
(А{т)дх = к2 — К, = ^ДК = л + Мг=Х^цл(/-)Л +
+ у	1	+	X—1} + G^-СОПр. =
= (/пдх.к + (2Х)-/з (Т (П + М - /з) т&ц, ,)	(/_)" +
+ (2Х)-^/пдл>?._1[.1г, ^цх1(/-)л + ^-сопр., (4.96)
при
при
К
К
(/, - Kt - п)1 (Л + Ki)t/	1тлк =*+и. v=x
67
д 3 Энергетические спектры и правила интенсивностей
где окончательное выражение получено при помощи тождества
^При Ki = может возникать дополнительный вклад от члена
вида
(®^(Хц)дк=К2+‘/г = /плк=хг + 1/», v=^ux(/-+1) + s^-c°np. (4.97)
Поэтому полный матричный элемент имеет следующий общий вид
[832]:
(КЛг || WII= (2А +1)''• {КЪ - Ш I W X
X	U + м2 [/2 (Л +1) - Л (Л +1)]+
(4-98)
где Mi, М2 и М3 — внутренние матричные элементы. При К2 —
_ /<1 < X поправки первого порядка могут содержать два разных
члена, отвечающих ЛК = К2 — Ki, v ~	± 1, а также допол-
нительные члены, соответствующие Д^ = К2 + Ki, если К2 +
+ Ki С + I-
Экспериментальные данные
Правила интенсивностей нулевого порядка должны давать ос-
новную часть амплитуд перехода при условии, что
а)	внутреннее и вращательное движение достаточно хорошо
разделяется, о чем можно судить, например, по быстрой сходимости
разложения энергий в ряд;
б)	рассматриваемый матричный элемент нечувствителен к ма-
лым возмущениям.
Сильная чувствительность может возникать в случаях, когда
матричные элементы основных переходов очень малы в силу пра-
вил отбора по внутреннему движению или благодаря случайному
взаимному уничтожению подобных членов.
Особое положение возникает в случае таких операторов, как
магнитные мультипольные моменты, которые явно зависят от
скорости или углового момента нуклонов. Для таких операторов
члены, пропорциональные вращательному угловому моменту, могут
быть сравнимыми по величине с членами, зависящими только от
внутреннего, движения нуклонов. В таких случаях в правила ин-
тенсивностей нулевого порядка нужно включать оба типа членов
1см., например, формулу (4.84)].
Как говорилось^в-пп. 2 и 3 данного параграфа, правила интен-
сивностей нулевого порядка с очень хорошей точностью описы-
3*
68
Гл. 4. Вращательные спектры
вают £2- и М 1-переходы внутри вращательных полос. Оказалось,]
ifro эти. соотношения, применимы также и к самым различным пере*
ходам между полосами (см. данные по облегченным а-переходал<
в табл. 4.11, стр. 111 и на фиг. 5.12, стр. 237, и по ^-переходам на
фиг. 4.26, стр. 132, и в табл. 4.17, стр. 133). Относительно проверки
правила интенсивностей в реакциях передачи нуклона см. напри-
мер, работу [3091.
Примером переходов, чувствительных к малым примесям в вол-
новой функции, могут служить £1-переходы между низколежа-
щими полосами в нечетных ядрах. Эти переходы сильно подавлены
правилами отбора по квантовым числам одночастичного движения.
Относительные значения В(Е\) не согласуются с правилами интен;
сивностей нулевого порядка, но довольно хорошо согласуются с
обобщенными правилами, получаемыми с учетом линейных по /ч_
членов в операторах перехода [515]. В качестве примера на фиг 4.18
проводится анализ £1-переходов с Д/< = 1 на основе формулы
(4.98) с п = 0. Низкоэнергетические £1-переходы с большим^
матричными элементами возникают при распаде полос с Лиг =
= 0— — в четно-четных ядрах. Такие переходы приближенно удов-,
летворяют правилам интенсивностей нулевого порядка [1076].
(см. также в табл. 4.12, стр. 111, пример £ 1-переходов в нечетном
ядре, удовлетворяющих правилам интенсивностей нулевого по-
рядка, которые, по-видимому, имеют ту же природу).
£2-переходы между полосами должны быть чувствительными
к малому смешиванию между ними, поскольку примесные компонен-
ты входят с коллективными матричными элементами. Пример
£2-переходов с Д/С = 2, в которых проявляется наибольший эффект
от члена А42 в формуле (4.98), приведен на фиг 4.30, стр. 147 (в слу-
чае £2-переходов с Д^ = 1 смешивание полос не влияет на глав-
ные члены относительных интенсивностей; см. стр. 137 и пример,
представленный в табл. 4.19, стр. 144).
Относительные интенсивности /<-запрещенных переходов удо-
влетворяют правилам интенсивностей (4.95) с той же точностью,
что и в случае АГ-разрешенных переходов (см. пример М1 -перехо-
дов с п = 1 в табл. 4.11, стр. 111, и £2-переходов с п = 4 в табл. 4.18,
стр. 134) Абсолютные же интенсивности /^-запрещенных переходов
между низколежащими состояниями систематически сильно ослаб-
ляются, примерно в 102 раз на каждый порядок /<-запрета [см.
примеры на стр. 105 (177Lu и 177Hf), стр. 132 (176Lu) и стр. 133
(244Сш)]. Такое ослабление является убедительным доказательством
существования квантового числа К в низкоэнергетической ча<;Щ|
спектра. К-запрещенные матричные элементы обусловлены эффЛ
тами порядка п кориолисова взаимодействия, и из эксперимента™
ных значений интенсивности таких переходов следует, что ампл^
туды смешивания полос, обусловленного указанным взаимодейст-
вием, — это величины порядка Ю"\
§ 3. Энергетические спектры й правила интенсивностей
ПРИМЕРЫ К § 3
69
гпркгпо ядра 168Ег, установленный по реакции (п, у)
(фиг. 4.7 и 4.8 и табл. 4.1 и 4.2)
Захват нейтрона тяжелым ядром, вообще говоря, сопровождается очень
сложным каскадом у-лучей, содержащим около 10® различных	переходов между
7	1950,81
6	1820,14
5	1708,01
8	1605,85	4	1615,36
3	154'1,58
7	1432,97	7	1448,97	К Л ~ 3~
6	1311,48
6	1263,92	-------------
5	1193,04
5	1117,60	1094,05
4	994,77
-------?28>26	з	895,82
2	821,19
КХ = 2 +
6	548,73
4	264,081
2	79,800
О О
= 0 +
Г= + 1
Фиг. 4.7. Экспериментальный спектр ядра 168Ег [689].
примерно 104 разных уровней ядра-продукта. Высокая разрешающая способ-
ность кристалл-дифракционных спектрометров (Д£/£^10 5 в благоприятных
случаях; см., например, [586]) и относительная простота низкоэнергетической
части спектров позволяют во многих случаях разобраться в таких спектрах и
построить парциальные схемы уровней ядра, пользуясь методом, хорошо изве-
стным из атомной спектроскопии (комбинационный принцип Ритца), т. е. оты-
скивая энергии переходов, равные сумме энергий других наблюдающихся пере-
70
Гл. 4. Вращательные спектры
ходов. На фиг. 4.7 представлен спектр ядра 168 Ег, построенный таким путем
по измеренным энергиям у-переходов, сопровождающих захват тепловых ней-
тронов ядрами 167Ег.
Фиг. 4.8. Анализ энергий вращательных полос в ядре 1б8Ег.
Данные взяты из фиг. 4.7.
Из этой схемы видно, что, помимо обычной вращательной полосы основ-
ного состояния (Лл = 0+,	в этом яДРе наблюдаются три другие
полосы: с Кл=2+, Лл = 4— и Кл = 3—. Исходя из точно измеренных
энергий переходов, мы можем количественно оценить, насколько существенны
высшие члены разложения (4.46). На фиг. 4.8 представлена зависимость раз-
ности £(/) — Е(1=К), деленной на / (7+1)^Д77<+1), от / (/+1). На
таком графике простой энергетической зависимости вида 7(74-1} соотвег-
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
71
вуеТ горизонтальная прямая, а при добавлении членов вида /2 (7 +1)2 пря-
мая становится наклонной. Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае
вплоть до наивысших наблюдающихся состояний (7 = 8) эти два члена описы-
вают экспериментальные значения энергии с точностью до 0,5%. Остающиеся
расхождения в полосах с Кл = 0 + и Хл = 2 + плавно изменяются в зависи-
мости от 7 и могут быть описаны членами с коэффициентами С и D в разло-
жении (4.46). Соответствующие значения коэффициентов С и D приведены
в табл. 4.1.
Таблица 4.1
КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ЭНЕРГИЙ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ
ПОЛОС В ЯДРЕ 168 Ег
Кл	Е (/ = К), МэВ	А, кэВ	В, эВ	С, мэВ	D, мкэВ	А4, эВ
о+	0	13,343	—7,31	18,6	—56	
2+	0,821	12,530	—5,55	14,3		0,017
4—	1,094	9,965	—1,32			
3-	1,542	9,146	2,40			
Таблица составлена на основе экспериментальных данных, взятых с фиг. 4.7. Пара-
метры разложения определялись по энергиям наинизших уровней каждой полосы.
В энергиях же полос с отрицательной четностью наблюдаются отклонения
порядка 0,3 кэВ (что в несколько раз превышает ошибку эксперимента), накла-
дывающиеся на плавную зависимость от /. Такие отклонения могут быть
проявлением Зависимости от сигнатуры, которая характерна для всех враща-
тельных полос с К=#0 [см., например, формулу (4.62); слабая зависимость
от сигнатуры проявляется и в полосе с Кл = 2 (табл. 4.1)].
Очень высокая точность измерения энергий вращательных спектров ядра
lG8Er, наблюдающихся в реакции (л, у), позволяет сравнивать между собой
разные способы параметризации вращательной энергии. В частности, мы можем
рассмотреть разложение энергии по степеням вращательной частоты как аль-
тернативное по отношению к разложению по степеням 7(7+1) (стр. 33).
Если разложение по степеням св2 сходится быстрее, чем разложение по степе-
ням 7 (7 + 1), то мы можем воспользоваться этим обстоятельством, чтобы
наити соотношение между высшими коэффициентами последнего. Учет только
Двух членов в разложении (4.52) приводит к соотношениям
С	/ В \2	D	f В \3
~ = 4 4)	4 = 24 4	(4.99)
А	\A J	А	\А]	4 * * *
В табл. 4.2 эти соотношения сравниваются с экспериментальными
Данными для 168Ег и других ядер, в которых энергии вращательных состояний
змерены с достаточной точностью. Нетрудно видеть, что в большинстве слу-
аев они выполняются с точностью до 20% (см. также аналогичные, хотя и
нее точные данные по четно-четным ядрам в области актинидов [1010]).
наче скорость сходимости разложения по степеням (п2 можно установить.
стпТР7пВ граФик зависимости момента инерции от <о2 (см. пример на фиг. 4.11, б.
впа ' Такой анализу- по-видимому, показывает, что разложение энергии
7(/ЩмеЛЬНЫХ полос основных состояний четно-четных ядер по степеням
имеет значительно меньший радиус сходимости, чем соответствующее
Разложение по степеням	V
72
Гл, 4. Вращательные спектры
Таблица 4.2
ПРОВЕРКА СООТНОШЕНИЙ, ВЫТЕКАЮЩИХ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ
МЕЖДУ J и (о2
Ядро	А, кэВ J	t J;,, Щ.)	^103	 n.. A г,‘и	о ota	/В \2 4 (д) 100	о Qta l	''“24(x
156Gd 158Qd	15,0332 13,3353	2,362 1,069	14,3 4,10	22,3 4,56		
162Dy 162£)у	13,5174 12,2858 ,	0,934 0,738	3,74 i- 1,44	3,49 2,18	16	20
108Er	13,3431	0,547	Г 1,39	1,20	4,2	4,0
178Hf	15,6203	1,005	.. 4,14	4,04	22	24
Коэффициенты А, В, С и D разложения вращательной энергии по степеням / (/4-1)
вычислены по энергиям уровней с I — 0, 2, 4, 6 и 8 вращательной полосы основного сос-
тояния. Данные взяты из работ Грошева и др. (517, 518) и Коха (Н. R. Koch, частное
сообщение, 1970, 16eGd и 158Gd).
Реакции (п, у) позволяют также получить большое количество данных об
отношениях разветвления у-лучей, которые можно интерпретировать на основе
правил интенсивностей, соответствующих вращательной модели ([66, 67];
фиг. 4.7). Такой анализ также подтверждает значимость разложения в ряд по
степеням вращательного момента и в то же время дает информацию о смеши-
вании полос за счет взаимодействия Кориолиса. Смешивание полос с /Сгс — 0 -f-
и Дд = 2-|- можно проанализировать так же, как и в случае ядра 166Ег
(стр. 147); смешивание полос с Кя — 4— и Кл = 3— с Д^=l подобно ана-
логичному смешиванию в ядре 175Lu (стр. 145).
Ветвь возбуждения, ответственная за полосу с Kn = 2^, обнаруживается
систематически почти у всех деформированных ядер; кроме того, она харак-
теризуется довольно большими значениями матричных элементов £2-псреходов
на уровни полосы основного состояния (фиг. 6.38). Все это говорит о том,
что данную ветвь спектра можно интерпретировать как ветвь коллективных
квадрупольных колебаний относительно аксиально^симметричной формы (у-виб-
рации; см. стр. 484) и анализ соответствующего состояния в 166Ег на стр. 146,
где рассматривается также и возможность его интерпретации на основе пред-
ставления о вращении неаксиального ядра).
Полосы с Кл = 4— и Кл = 3— можно связать с внутренними возбужде-
ниями, возникающими при разрыве пары. Структура этих полос и наличие
взаимодействия между ними показывают, что мы имеем дело с двухнейтрон-
ными конфигурациями, состоящими из орбит [6337/2] и [5211/2] и имеющими
± Q2 (табл. 5.13).
Вращательный спектр ядра 238U, полученный методом
кулоновского возбуждения тяжелыми ионами (фиг. 4.9)
Сечение процесса кулоновского возбуждения пропорционально матричному
элементу электрического мультипольного перехода. Поэтому на данной реакция
основан чрезвычайно эффективный метод возбуждения вращательных состояний,
сыгравший решающую роль в их открытии и ранних исследованиях (изложе-
ние соответствующих исследований см. в работах [16, 123]). При использований
тяжелых ионов становится возможным процесс многократного кулоновского
возбуждения, при котором заселяются члены вращательной полосы основного
состояния ядра-мишени с большими угловыми моментами. На фиг. 4.9 преД*
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
73
вле»:'рпектр у-лучей, возникающих при бомбардировке ядер 238U ионами
СТгона :С энергией 182 МэВ. Нетрудно видеть, что интенсивные у-переходы
^разукугпоследовательность, отвечающую распаду членов вращательной полосы
,П’<-
ипг'
е(^в)=7,4$ Г(В-/)
' ^:Е(КэВ)-7}451(1Ч)^10312(М)2
14 +
^“СП-
Теор.
1565
1415
*т~!О78
1162
1080
$
<§
*
юв
10s
гзяи+40А^(гза^°Аг
[~гзви+7]Г
£(4°Ai-)=f82 МзВ
10+^
777
820
778
ГНЭ’лЭ.'л
озон$^*г?
518,7
537
518,8
6+4
159,4
8+6
211,1
^^-+-307,6
тег? 4+ *7—148,2
2 +-4-44,7
0 +--ь о
233 и
92 U
313
149
306,9
147,6
44,6
10
12+10
301,2
14+12
339
4+2
103,5
10+8
258,3
U К Рентр^
300
350
200 ‘ '	250
Eg, кэВ
-з .Ь)
। . г
{ юо ' №
ю3



Фиг. 4.9. Кулоновское возбуждение вращательной полосы основного состояния
ядра ^U.
Данные Даймонда и Стивенса {работа [319] и частное сообщение).
основного состояния (Клг = 0++). Отклонения энергий уровней от прямой
пропорциональности / (/ + 1) (формула а на графике) регулярно увеличиваются
и для наивысшего из экспериментально наблюдающихся состояний (/ = 14)
Достигают примерно .10%; при учете же члена /2 (/+ I)2 (двухпараметрическая
формула р) экспериментальный спектр описывается в пределах точности изме-
Вращателъная полоса основного состояния 1?2Hf по данным
о реакции 1C5HofnB, 4п) (фиг, 4,10 и 4.11)
Наиболее эффективным из существующих методов заселения состояний
вращательных полоске большими угловыми моментами является метод, осно-
ванный на образовании компаунд-ядер при бомбардировке ядра-мишени тяже-
74
Гл. 4. Вращательные спектры
дыми ионами (первая работа по этому методу была выполнена Моринагой и
Гужело [845]). На фиг. 4.10 представлен спектр конверсионных электронов из
реакций, протекающих при бомбардировке ядер 1б5Но ионами ПВ с энергией
56 МэВ. Компаунд-ядро 176Hf, образующееся при таком столкновении, имеет
энергию возбуждения около 50 МэВ и содержит состояния с угловыми момен-
тами до /^25 [формула (6.547)]. Такое сильно возбужденное компаунд-ядро
распадается главным образом за счет многократного испускания нейтронов
малых энергий (Еп^2 МэВ) с последующим каскадом у-лучей, приводящим
в конце концов к основным состояниям нескольких более легких изотопов
гафния. Подобрав соответствующим образом энергию налетающих частиц, можно
добиться того, чтобы основная часть полного выхода реакции (часто до 50%
и более) соответствовала образованию одного-единственного конечного ядра.
В данном опыте энергия была подобрана так, чтобы обеспечить максимальный
выход реакции (ПВ, 4п), в результате которой образуется ядро 172Hf.
Нейтроны малых энергий, испускаемые компаунд-ядром, могут унести лишь
несколько единиц углового момента [knR^2,4 при Е — 2 МэВ; выражения
для проницаемости центробежного барьера приведены в табл. 3.10 (т. 1,
стр, 423)], так что в конечном каскаде у-лучей, испускаемых ядром 172Hf,
должны участвовать состояния с очень большими угловыми моментами. В боль-
шей части всех каскадов заселяются уровни вращательной полосы основного
состояния, поскольку до довольно больших значений / уровни этой полосы
представляют собой наинизшие уровни, отвечающие данному угловому моменту.
В самом деле, в спектре конверсионных электронов (фиг. 4.10) переходы между
членами вращательной полосы основного состояния отчетливо видны на фоне
огромного числа других неразрешенных переходов в каскаде.
Выражения для вращательной энергии при малых /. Складывая энергии
различных переходов, мы получаем график зависимости энергии уровней вра-
щательной полосы от углового момента, представленный на фиг. 4.11, а. Мы
видим, что до наивысших возбужденных состояний (/=18) основная часть
энергии полосы с точностью до 30% описывается членом, линейным по / (/ + 1).
Отклонения же от пропорциональности / (/+1) при не слишком больших зна-
чениях / можно приближенно описать членом, пропорциональным /2(/4-1)2;
коэффициенты Л и В в этом разложении [формула (4.46)] были получены
путем подгонки к экспериментальным энергиям наинизших членов полосы (из-за
ошибок измерения энергии наинизших членов полосы возникает значительная
неопределенность в коэффициенте С при члене третьего порядка). Отношение
двух первых членов разложения здесь несколько больше, чем в примерах,
приведенных на фиг. 4.8 и 4.9 (в данном случае BjA^—1,4- 10-3, тогда как
для 1б8Ег мы имеем В/А = — 0,54 • I0-3).
Для соседнего ядра 174Hf имеются более точные значения вращательных
энергий основной полосы (фиг. 4.31, стр. 153). Коэффициенты разложения
этих энергий по степеням /(/ + 1) вплоть до седьмого порядка представлен!!
в табл. 4.20, стр. 154. Из нее видно, что коэффициенты Л, В и С определяют^!
довольно точно, но значимость коэффициентов высших порядков из-за плохой
сходимости ряда при /^>10 сомнительна, несмотря на высокую точность изме|
рения энергии.
Хотя разложение энергии по степеням 1(1 + 1) в 172Hf довольно плохо
сходится при / ;> 10, зависимость Е (/) от / продолжает оставаться плавной.
Этим обстоятельством были мотивированы поиски других способов параметри-
зации энергии. В качестве примера на фиг. 4.11, б представлены те же дан-
ные, что и на фиг. 4.11, а, но в виде графика зависимости момента инерции /
от вращательной частоты совращ (см. также о ядре 1б8Ег, стр. 71).
Чтобы найти вращательную частоту, нужно вычислить производную от
£вращ по / [формула (4.48)]. Мы воспользуемся при этом приближением,
в котором Ено.,,,, считается линейной функцией произведения /(/4-1) в интер.-
2500
ч>
§ 2000
t
§ 1500
§
g 1000
I
§ 500
0
1000	2000	3000
HP
Фиг. 4.10. Спектр конверсионных электронов, испускаемых при бомбардировке ядер 165Но иона-
ми ПВ с энергией 56 МэВ [1079].
Фиг. 4.11. Вращательные энергии полосы основного со-
стояния в ядре 172Hf.
Экспериментальные данные взяты из фиг. 4.10. а — зависимость
энергии в единицах / (/ + О от I (/ + 1); б — зависимость момента
инерции р от квадрата вращательной частоты [сплошная линия —
прямая J/h2 = 31,4 МэВ"1121 (ЛсоВращ)2 МэВ-3]. Твердотельное
значение момента инерции для ядра 172Hf равно утв 80Л2 МэВ”1
при 6 = 0,3 и (г2) = 3/8	ферми2,
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей 77
вале между соседними членами вращательной полосы. Таким путем получаем
=»2 I/,</, + О + 4Л +1>1	7,Г (4-1 ">
_^2Г ^вращ l-l_^/2(/24-l)-/1(/1+l)
Я^вращ)- 2	(/ + ц J ~ 2	Е(/2) —£(/х)	‘	(4J01)
Нетрудно видеть, что в случае ядра 172Hf простая линейная зависимость
(фвращ) от 0)2 справедлива в более широком интервале спектра, чем двух-
членное разложение энергии по степеням /(/ + 1). Такой же вывод следует и
из данных табл. 4.2, относящейся к большому числу других четно-четных ядер,
для которых очень точно измерены энергии наинизших членов вращательных
полос.
Хотя при малых / справедливы разложения как по степеням I (/ 4-1),
так и по степеням й)2ра1Ц, соответствующие им радиусы сходимости могут сущест-
венно различаться. Например, если момент инерции есть линейная функция
величины (о2ращ, то, согласно формуле (4.53), радиус сходимости разложения
по степеням / (/-Н) таков:
+	(4.102)
Для ядра 172Hf, для которого I A/В | «« 600, величина /, соответствующая соот-
ношению (4.102), имеет порядок 10, что согласуется с ходом зависимости на
фиг. 4.11, а. Данные, рассмотренные здесь, убедительно показывают, что раз-
ложение момента инерции по степеням вращательной частоты имеет значительно
более простой вид, чем разложение энергии по степеням /(/+1). Но физи-
ческий смысл этого обстоятельства пока еще не ясен.
Данные о фазовом переходе. Из графика энергий наивысших вращатель-
ных состояний в основной полосе l72Hf, представленного на фиг. 4.11, б,
явствует быстрое увеличение момента инерции, что указывает на существенное
изменение внутренней структуры при /^20. То обстоятельство, что момент
инерции при этом почти удваивается и приближается к твердотельному зна-
чению, говорит о том, что рассматриваемый переход связан с существенным
ослаблением парных корреляций [относительно влияния парных корреляций
на момент инерции см. формулу (4.128)]. Такого рода разрушение спаривания
вращательным движением должно быть характерным для сверхтекучих систем
(стр. 45). Поэтому критическое значение углового момента можно оценить,
сравнивая уменьшение вращательной энергии, связанное с переходом системы
в нормальное состояние, с выигрышем в энергии за счет парных корреляций.
Последний имеет порядок ^пар ~ A2/d, где d — расстояние между двукратно
вырожденными одночастичными уровнями, поскольку число пар, участвующих
в корреляциях, имеет порядок А/d [в случае спектра с постоянной плотностью
Уровней Ш выигрыш в энергии за счет спаривания в точности равен r/2 A2/d
Для протонов и нейтронов по отдельности, см. формулу (6.618)]. Для ядер
в области Hf мы имеем А ^0,9 МэВ (см., например, фиг. 2.5, т. 1, стр. 169)
и d^-0,4 МэВ (см., например, фиг. 5.2 и 5.3), так что ё’пар^Я МэВ. Раз-
кость между вращательными энергиями системы в сверхтекучем и нормальном
состоянии равна AifBpanl 10/2 кэВ (фиг. 4.11, а), откуда для критического
Узлового момента получаем /крит^15 в качестве оценки порядка величины,
юскольку парные корреляции имеют место независимо для протонов и нещ
Ронов, рассматриваемый переход может состоять из двух отдельных стадий.
1одчеркнем, однако, что имеются и другие эффекты, существенно меняющие
78
Гл. 4. Ёращательные спектры
характер вращательного движения в рассматриваемой области угловых момен-
тов (стр. 50).
Ираст-область при / > 20. Хотя на экспериментальном графике фиг. 4.10
более или менее четко разрешены только переходы между состояниями с I 18,
эксперименты такого типа позволяют выявить важные особенности ядерных
спектров при гораздо больших угловых моментах. В частности, они дают сле-
дующую информацию о состояниях ядра, энергия которых близка к минималь-
ной при данном / (ираст-область).
1.	Если судить по эффективному сечению заселения вращательной полосы
основного состояния, то в этом процессе участвуют состояния компаунд-ядер
с угловыми моментами, достигающими в некоторых экспериментах примерно
50 единиц [1080, 1081].
2.	Вероятность заселения уровней вращательной полосы основного состояния
быстро убывает в области значений / от 10 до 20 [1079—1081].
3.	В у-спектрах не наблюдаются какие-либо единичные интенсивные линии,
кроме тех, которые соответствуют разрядке уровней вращательной полосы основ-
ного состояния. По-видимому, недостающий угловой момент уносится большим
числом у-квантов, образующих неразрешенный фон.
4.	Заселение полосы основного состояния в процессе распада компаунд,
ядра происходит преимущественно с запаздыванием порядка 10"11 с [321].
Из всего сказанного выше составляется, по-видимому, следующая картина
у-каскада: он начинается с образования компаунд-ядра, энергия возбуждения
которого после испарения нейтронов превышает ираст-линию на величину
порядка энергии отделения нейтрона. Поэтому первые у-пере ходы должны быть
такими же, как и наблюдающиеся в процессах нейтронного захвата, и приво-
дить к охлаждению ядра. Но отсутствие интенсивных линий в у-спектре озна-
чает, что большинство каскадов не приводит сразу к переходу ядра на ираст-
линию, а идет по большому числу путей несколько выше этой области. Наклон
линии должен приближенно определяться твердотельным значением момента
инерции (см. анализ коллективного вращения при Д = 0 или статический анализ,
стр. 81). Поэтому энергия Е2-переходов с Д/ = 2, /^30 и А 160 по
порядку величины равна 1 МэВ. Приведенные выше данные показывают, что
время жизни по отношению к таким переходам составляет около 10"12 с; это
соответствует вероятностям, по крайней мере на порядок величины превыша-
ющим одночастичную оценку для ^-переходов с такой энергией [формулы
(3.147) и (3.169)]. Такое усиление наряду со сравнительно низкой интенсив-
ностью переходов на ираст-линию показывает, что в основном переходы идут
по семейству траекторий коллективного характера. Такие траектории могут
обладать многими свойствами вращательных полос [1196, 879]. Отсутствие
запаздывания в подавляющем большинстве у-каскадов означает, что такие
коллективные семейства не являются вращательными полосами, основанными
на внутренних состояниях с большими К, которые могли бы существовать
в аксиально-симметричных ядрах.
При меньших значениях углового момента во многих четно-четных ядрах
на ираст-линии или вблизи нее наблюдаются полосы с большими /<, приво-
дящие к изомерным состояниям (см., например, [181]). Разительным примером
такого рода является спектр ядра 178НГ [578]. В этом ядре при энергии 1,148 МэВ
начинается полоса с Кл = 8 —, лежащая на 89 кэВ выше уровня основной
полосы с / = 8, но благодаря большому моменту инерции полоса с К = 8 пере-
секается с экстраполированной полосой основного состояния при угловом
моменте, лежащем между / = 10 и / = 12. Другая внутренняя конфигурация,
представляющая собой, по-видимому, четырехквазичастичное состояние с Кл
= 164-, обнаружена в этом ядре при энергии возбуждения около 2,5 МэВ,
что примерно на 1 МэВ ниже экстраполированного положения уровня с К = 8,
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
79
Наличие состояний с К^1 в ираст-области можно объяснить тем, что
энергия, затрачиваемая на формирование углового момента за счет выстраива-
ния орбит нескольких нуклонов, соответствует моменту инерции того же
порядка величины, что и для коллективного вращения (стр. 84). Возможно,
что отсутствие изомерных состояний при больших спинах, на которое указы-
вают приведенные выше данные, обусловлено изменением структуры ядра,
связанным с переходом к неаксиальной равновесной форме.
Моменты инерции полос основных состояний в ядрах
с 150^ А 188 (фиг. 4.12)
Главные члены разложения вращательной энергии по степеням углового
момента содержат два параметра А и Alt которые можно выразить через
эффективный момент инерции jz и параметр развязывания а [формула (4.61)].
Фиг 4.12. Систематика моментов инерции в ядрах с 150 А 188.
Моменты инерции вычислены по экспериментально установленным уровням ядер, приве-
денным в таблице изотопов [736]
/ — четно-четные ядра; 2 — ядра с нечетным Z; 3 — ядра с нечетным /V; 4 — нечетно-
нечетные ядра; штриховая линия дает твердотельные значения.
Имеющиеся данные о моментах инерции вращательных полос основных состоя-
нии ядер в области 150^ А ^188 представлены на фиг. 4.12. Для полос
с % моменты инерции были определены по энергетическому интервалу
между двумя наинизшими уровнями полосы (/ — К и / = /<-[-1), а для полос
С л = 1/г—по положению трех низших уровней полосы.
80
Гл. 4. Вращательные спектры
Сравнение с твердотельным вращением и безвихревым течением. На фиг. 4.12
экспериментальные моменты инерции сравниваются с величинами, соответствую-
щими вращению деформированного ядра как абсолютно твердого тела:
+	(4.103)
В предположении о наличий’ аксиальной симметрии относительно внутренней
оси 3 выражение (4.103) можно представить в виде
?тв=4	=	:^Ю4)
О	\	□	д О /	t Ч»
где 6—параметр деформации (4.72), a R — среднеквадратичный радиус-ядра,
определяющийся соотношением
к
/?2 = ~(г2)	(4.105)
О
и выбираемый равным l^A^1 ферми. При малых деформациях параметр 6
в ядрах сфероидальной формы равен &R/R, где А/? —разность полуосей ядер-
ного сфероида [формула (4.73)]. Значения 6, использованные для вычисле-
ния ^тв на фиг. 4.12, взяты с фиг. 4.25, стр. 125.
Из фиг. 4.12 видно, что экспериментальные значения момента инерции
примерно в 2 раза меньше утв. Эти значения обнаруживают систематические
изменения, которые наиболее отчетливо видны для четно-четных ядер. В частности,
при переходе к границам области деформации моменты инерции уменьшаются.
Уменьшение связано с соответствующим изменением б (фиг. 4.25). Такого рода
корреляция характерна для другой классической модели, а именно для вращения
капли безвихревой жидкости. Характер потока при таком вращательном дви-
жении показан на фиг. 6.66. Соответствующий ему момент инерции с точностью
до главных членов по 6 равен [формула (6.699)]
^безв <7тв^2 <7тв j	0-106)
Но экспериментальные значения примерно в 5 раз больше ^безв (в области,
показанной на фиг 4.12, типичные значения 6 составляют 0,2 —0,3).
Анализ моментов инерции как реакции нуклонов на вращение ядерного
поля (модель принудительного вращения). Ядерные моменты инерции можно
анализировать, рассматривая движение нуклонов во вращающемся потенциале
ядра. Кориолисовы и центробежные силы, действующие во вращающейся
системе, связанной с ядром, приводят к увеличению энергии движения нукло-
нов, и эту дополнительную энергию можно отождествить с энергией вращения.
В случае одного нуклона движение в потенциале, вращающемся с часто-
той <овращ, описывается гамильтонианом
H — Hq — ^®вращ * j>	(4.107)
где Яо—гамильтониан движения в отсутствие .вращециц. Очевидно, что гамиль-
тониан (4.107), эквивалентен общему выражение для связи между производными
операторов по времени, вычисляемыми во вращающейся. и пространственно-
фиксированной системах, координат •'(последняя«<0бдзн'ачается индексом 0):
(,1“1
В этом выражений F представляем собой'оператор? зависящий от координат
частицы, а коммутатор j с F описывает изменение оператора F, обусловленное
вращением системы координат (t. 1, стр. 17). Легко видеть, что уравнения
движения, вытекающие из гамильтониана (4.107), учитывают кориолисовы и
центробежные силы. В самом деле, орбитальное слагаемое —со (г/р) враща-
,с ?	'
3. Энергетические спектры и правила интенсивностей 81
~ьНОго члена в выражении (4.107) представляет собой известное выражение'
классической механике. (Приведенный выше вывод выражения для гамиль-.
тониана вращающейся системы справедлив в предположении, что вращение
влияет на потенциал, в котором движутся частицы О появлении в выра-
жении для потенциала членов, линейных по вращательной частоте, см. стр. 83
и 246.)
Если вращение можно рассматривать как • малое возмущение движения
йуклона, то сдвиг энергий одночастичных Состояний равен
бе (v) = tiW- V ^'41 ЦЦ-	(4. од
вращ 8 (V )—8 (v) ’	‘
V'
где Д —компонента вектора j вдоль оси вращения. Невозмущенное состояние
нуклона здесь обозначено индексом v, а состояния, примешиваемые к v силами
Кориолиса,— индексом v' [при выводе выражения (4.109) следует учитывать,
что энергия системы определяется гамильтонианом Яо, а Н представляет собой
оператор сдвига во времени, описывающий эволюцию системы во вращающейся
(зависящей от времени) системе координат; это различие между Н и HQ и
приводит к изменению знака 6е].
Сдвиг энергии (4.109) пропорционален -квадрату частоты вращения, и
поэтому его можно интерпретировать как вклад нуклона в момент инерции.
Сложив вклады всех частиц, для полного момента инерции ядра в заданном
состоянии О’ получим;'
нт'лпене о

ЮЭ
^''(4.110)
7i = S (/1)ъ
/г = 1
где индексом i обозначены многочастичные состояния Д нуклонов в деформи-
рованном потенциале ядра с энергией возбуждения Момент инерции (4.110)
можно получить также, вычислив среднее значение величины в возмущен-
ном состоянии и воспользовавшись формулой (4.47). Это выражение называется
«формулой принудительного вращения», так как частота вращения потенциала
рассматривается здесь как внешний параметр. Но результат, эквивалентный
выражению (4.109), получен в модели частица — ротатор, в которой частота
вращения потенциала считается динамической переменной [формула (4.394)].
Выражение (4.110) можно вывести также, рассматривая остаточное взаимодей-
ствие, необходимое для восстановления вращательной инвариантности гамиль-
тониана, описывающего движение частиц в деформированном потенциале
Момент инерции системы независимых частиц. Некоторые основные след-
ствия из выражения (4.110) для момента инерции можно вывести в случае
^зависимого движения, рассматривая систему частиц, движущихся в потен-
циале анизотропного гармонического осциллятора:
н 3	*•'
(4- Ш)
X—1
кван ЭТ°М одночастичные сдотояния можно характеризовать осцилляторными
нтовыми числами так что полная энергия системы будет равна
пн уь'мн;:- nr.g* . д
ЛН.	2	0-Н2)
82
Г л. 4. Вращательные спектры
При любой конфигурации, заданной набором квантовых чисел (пх)д>, равно,
вескую форму можно найти из условия самосогласованна, В случае деформи*
рованного потенциала (4.111) эквипотенциальными поверхностями являются
эллипсоиды с полуосями, пропорциональными Анизотропию в распреде,
лении плотности можно характеризовать среднеквадратичными значениями
/А	\
\ 2 / = 2к’	(4-113)
— 1	/
где
А
(4Л14)
k = 1
Следовательно, деформация распределения плотности равна деформации потен-
циала, если частота сох пропорциональна £“4
= W2E2 — ^зЕз«	(4.115)
В случае потенциала, не зависящего от спина, вклад в момент инерции (4.107)
дает только орбитальный момент. Тогда возбуждения, генерируемые взаимо-
действием Кориолиса, состоят из двух типов конфигураций, соответствующих
AN = 0 и AN = 2, где N = n14-n2-|-n3—полное осцилляторное квантовое число.
Члены, соответствующие AN = 0, входят с энергетическими знаменателями
± й (со2 —со3), пропорциональными деформации, тогда как знаменатели в чле-
нах с AN = 2 содержат сумму соответствующих частот. В случае независимого
движения частиц момент инерции (4,110) можно представить в виде суммы
вкладов отдельных частиц, поскольку члены, запрещенные принципом Паули,
попарно взаимно уничтожаются. Выразив [формула (4.130)] одночастичный
угловой момент через переменные гармонического осциллятора, получим
71 = 2JTZT [	~ Ег) + '(К~~(S*+2з)1 • (4-116)
2(02®3 L W2 —	^2TW3	J
Из формулы (4.114) видно, что для равновесной деформации, удовлетворяю-
щей условию (4.115), выражение (4.116) дает момент инерции, равный твердо-
тельному значению в системе с тем же распределением плотности:
/А	к
7i = < £ Л1(х|+х|)* ) = ?„.	(4.117)
\/г = 1	/
Этот результат не зависит от конфигурации частиц в осцилляторном потен-
циале.
При выводе данного результата очень важное значение имеет отмеченное
выше условие равновесия. Например, если рассмотреть конфигурацию с £1
= £2 = £з» соответствующую заполненным оболочкам, а деформацию создать
путем приложения внешних сил, то вклад даст только второй член в фор-
муле (4.116) и тогда момент инерции будет равен
^ = 44
(4.118)
т. е. будет равен твердотельному значению, умноженному на квадрат пара-
метра равновесной деформации. В самом деле, выражение (4.113) отвечает без-
вихревому течению [формула (6.699)].
$ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей	83
Реальный ядерный потенциал существенно отличается от осцилляторного
ак радиальной зависимостью, так и наличием спин-орбитальной связи. Но
случае потенциалов, рассмотренных в гл. 5, численные расчеты по фор-
МУде (4.1Ю) даю1 величины, близкие к j?T0, если эксцентриситет потенциала
правильно подобрать по соответствующему равновесному значению. Отметим,
однако, следующее: то, что формула (4.110) дает твердотельный момент инер-
ции, точно установлено только в случае потенциала гармонического осцилля-
тора, а в какой мере это относится к потенциалам другого вида, нужно еще
исследовать.
Каков здесь смысл твердотельного значения момента инерции, можно вы-
яснить, перейдя к квазиклассическому пределу в модели ферми-газа. Распре-
деление скоростей во вращающейся системе координат определяется гамильто-
нианом (4.107), который (предполагая для простоты, что потенциал V не
зависит ни от спина, ни от скорости) можно записать в виде
Я=1л<у«+У(г)-1л1(®вращхгЛ	(4.119)
Величина
®враш X г	(4.120)
представляет собой скорость частицы относительно вращающейся системы
координат. Поскольку гамильтониан (4.119) зависит только от v2, т. е. от
абсолютной величины скорости v, распределение р(г, v) остается изотропным
в пространстве скоростей в любой точке г. Следовательно, во вращающейся
системе координат поток отсутствует, т. е. характер потока в пространственно-
фиксированной системе таков же, как и в случае вращающегося твердого тела.
Ход рассуждений здесь такой же, как при доказательстве отсутствия диамаг-
нетизма у классического электронного газа [1140] (см. также [1143, стр. 94]).
Для электрона в постоянном магнитном поле Н гамильтониан совпадает
с двумя первыми членами в формуле (4.119), если ш заменить величиной
(е/2Мс)Н. Последний член в формуле (4.119) представляет собой центробеж-
ный потенциал, не имеющий аналога в случае магнитного взаимодействия.
Но центробежный потенциал не зависит от скорости, и поэтому его наличие
никак не сказывается на ходе рассуждений.
Та роль, которую играет факт изотропности распределения по скоростям
в изложенных выше рассуждениях, показывает, каково значение равновесной
деформации при выводе результата (4.117). В самом деле, в случае потенциала
гармонического осциллятора имеем
/А	\
= i	/
Таким образом, распределение скоростей изотропно только тогда, когда выпол-
няются условия самосогласования (4.115). Действительно, выигрыш в энергии
благодаря деформации потенциала можно рассматривать как уменьшение кине-
тической энергии, обусловленное установлением изотропного распределения
по скоростям (гл. 9). Если же распределение скоростей неизотропно, то силы
Кориолиса приводят к возникновению потока во вращающейся системе коор-
динат, пропорционального частоте вращения. Например, при деформированной
^онфигурации заполненных оболочек поток имеет такой вид, как на фиг. 6.620,
Де представлен поток в случае безвихревой жидкости.
Все сказанное выше относительно равенства момента инерции твердотель-
з значению не меняется при наличии в одночастичном потенциале члена,
ВоаИсяш>его от скорости (член с эффективной массой, т. 1, стр. 149). Хотя
вРп^Тельное Движение и приводит к появлению дополнительной скорости
Д ижении частиц, их потенциальная энергия определяется относительными
84
Гл. 4. Вращательные спектры
скоростями в каждой точке, на которые коллективное вращение не влияет
При вычислении момента инерции по формуле (4.110) из-за наличия члена
с эффективной массой в потенциале мы получаем (М*/М) j?TB. Но этот ложный
эффект компенсируется введением дополнительного члена во вращающийся
потенциал, требуемого для восстановления локальной галилеевой инвариант,
ности. Такой член получается при замене р->р — Ми в одночастичном потен,
циале [формула (1.16)], где u = (oBpaul х г —скорость коллективного Потока.
Этот дополнительный член добавляет множитель (М/М*) взаимодействию
Кориолиса, так что в результате момент инерции снова становится равным
^тв, как показывает вычисление величины (Jj) по возмущенному состоянию
(компенсация эффективной массы во вращательном угловом моменте процемон.
стрирована Мигдалом [827]; об аналогичной компенсации эффективной массы
при рассмотрении поступательного движения говорится на стр. 395).
Момент инерции, связанный с выстраиванием одночастичных орбит вдоль
оси симметрии. Для компоненты момента инерции вдоль оси симметрии фор.
мула (4.110) дает нуль1, что соответствует отсутствию коллективного вращения
вокруг этой оси. Но для отдельных' нуклонов проекции углового момента на
ось симметрии отличны от нуля, и поэтому угловой момент системы может
возникать за счет выстраивания угловых моментов частиц вдоль этой оси.
Среднюю энергию наинизшего состояния при заданной проекции углового
момента на ось симметрии можно найти путем статистического анализа. Такое
состояние возникает при заполнении всех наинизших орбит до уровня Фермй
eF(m), рассматриваемого как функция проекции m одночастичного углового
момента на ось симметрии (в деформированном аксиально-симметричном потен-
циале квантовое число m соответствует числу Q, а число М — числу К). Функ-
цию	можно найти, минимизируя суммы одночастичных энергий при
фиксированном значении числа частиц и проекции М полного углового мо-
мента на ось симметрии.
Таким образом, мы рассматриваем вариации величины
eF(m)
—ХД —рМ = 2 5 w) (е —X —ц/n) de,	(4.122)
m
содержащей два множителя Лагранжа X и р. Одночастичный спектр при дан-
Люм m описывается плотностью уровней ig-ty, nt). - Варьируя S' по
4га ход им
(4.123)
Причем множители Лагранжа определяются соотношениями
к ... У
Л = 2 m)de=«^(е)йе'	4f(8- /п)1> (4-124>
m	1С ' m J
г Г£р (т)
!'M=2 j g(e> nt)mde^|x^]m2g(e=^X) m) = n(m2)g0 (goSg(e = W],
m	tn
a (m2) есть среднее значение m2 для орбит вблизи энергии .Ферми. В соотно-
шениях (4.124) мы предположили, что £(е, —m)^g (г, nt), и пренебрегли
изменением g (е, т) в зависимости от 8 в энергетическом интервале
в окрестности поверхности Ферми. В том же приближении д&я энергии полу-
чаем	.1
eF (т)
<=2 J g(8, m)ede^f(Al=0) + |fi2</«2)^=^(^=‘iij4r^-Af2 (4.125)
т
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
85
где эфФеКТИВНЫй момент инерции равен
= (/и2)^0.
(4.126)
р пи величину {m?)go вычислить на основе модели Томаса —Ферми [формулы
да)) — (2.334)], то формула (4.126) дает для момента инерции твердотельное
начение. Этот результат тесно связан с изложенным ранее выводом выраже-
3 дЛЯ момента инерции в модели принудительного вращения. Действительно,
вепичияу Е' можно рассматривать как среднее значение гамильтониана, опи-
сывающего движение системы в потенциале, вращающемся с частотой цй-1.
Таким образом, в обоих случаях мы имеем дело с возмущениями, обусловлен-
ными центробежными и кориолисовыми силами, и момент инерции ядра ока-
зывается равным моменту инерции твердого тела вследствие того, что распре-
деление скоростей во вращающейся системе координат остается изотропным.
В то время как момент инерции (4J10) для коллективного вращения свя-
зан с малыми когерентными возмущениями движения большого числа частиц,
момент инерции (4.126) для вращения вокруг оси симметрии связан с боль-
шими изменениями квантовых чисел у малого числа нуклонов вблизи поверх-
ности Ферми. Поэтому при таком типе вращательного движения не возникают
простые связи между состояниями с соседними значениями углового момента
типа возникающих в случае коллективного вращения деформированных систем.
Влияние парных корреляций. То обстоятельство, что моменты инерции
ядер оказываются заметно меньше, чем ^тв, следует отнести за счет корреля-
ций во внутреннем движении нуклонов. Основной эффект, по-видимому, связан
с парными корреляциями.
Возбуждения сверхтекучего ядра (ядра с парными корреляциями) можно
рассматривать как состояния квазичастиц (гл. 6, стр. 568). Основное состоя-
ние четно-четного ядра представляет собой квазичастичный вакуум (v = 0),
а возбуждения, входящие в формулу (4.110), — двуквазичастичные состояния
(V = 2). Матричные элементы перехода между состояниями с v = 0 и v-2
можно найти, пользуясь формулой (6.6106), и тогда для момента.,.днерции
получим [84, 85]	'
^(v = 0)=2/P У £(v1I)+I£V1(^) [u ^~v (vi)” (v2)1*'W4.127)
Vi, V2 1	*	Я
где сумма берется по всем состояниям пары квазичастиц (v = 2, v2v2). Квази-
частичные энергии Е и амплитуды и и v можно выразить через параметр
энергетической щели А, пользуясь соотношениями (6.601) и (6.602); см. также
выражение (6.611) для X. Из формулы (4.127) видно, что парные корреляции
уменьшают момент инерции частично за счет увеличения знаменателей и
частично за счет уменьшения числителей.
Качественно влияние парных корреляций можно оценить, заметив, что
наиболее существенный вклад в момент инерции (4.127) дают одночастичные
ереходы с энергией е2 — е1 = й(со2 — (о3) = 6Лсоо, отвечающие переносу осцил-
‘ят°рного кванта с оси 3 на ось 2. Усреднив положение химического' '•потен-
циала относительно этих орбит, получим	'
Л =	7 С [и (е4-6йщ0) у (е) —н (е) у (е + бйщ0)]2 , g Г.	7 6й(оо \1
2	9 Д--------------£(e) + £(e + Sft^	L
(4.|28)
86	Гл. 4. Вращательные спектры
Для ядра с Л =160 и 6^0,3, что отвечает наиболее сильно деформированным
ядрам из области, показанной на фиг. 4.12, получим Йсоо6^2,3 МэВ [форму,
ла (2.131)]. При Д^0,9 МэВ приближенная формула (4.128) дает уменьщ£
ние момента инерции примерно в 2 раза по сравнению с твердотельным значе'.
нием, что согласуется с экспериментальными данными фиг. 4.12. Поскольку
величина Др несколько больше, чем Дп (т. 1, стр. 169, фиг. 2.5), вклад прото-
нов в момент инерции должен сильнее уменьшаться за счет спаривания, чем
вклад нейтронов. Этот вывод согласуется с данными для ^'факторов
(стр. 61).
Более детальные вычисления по формуле (4.127) на основе имеющихся дан-
ных об одночастичном спектре с использованием значений Д, полученных из
четно-нечетных разностей масс, дают моменты инерции, довольно хорошо вос-
производящие основные закономерности в экспериментальных моментах, хотя
теоретические значения систематически оказываются ниже экспериментальных
на 10—20% [513, 882].
Поле спаривания во вращающейся системе приобретает компоненту, про-
порциональную частоте вращения, и поэтому дает вклад в момент инерции [827]
(о структуре этого члена говорится на стр. 246). При Д<^Йсоо, что отвечает
ядру, этот вклад относительно мал, и за его счет можно отнести значительную
часть отмеченного выше 10—20%-кого расхождения. Однако этот вклад станс-
вится доминирующим в пределе Д^>Й<о0» где он обеспечивает переход момента
инерции к значению, отвечающему безвихревому течению, как должно быть
в случае сверхтекучей жидкости с размерами, большими по сравнению с длиной
когерентности [827] (см. также о сверхтекучем потоке на стр. 350).
Сильная зависимость момента инерции от параметра парных корреляций Д
приводит к существенной связи между спариванием и вращением. Поскольку
jz растет с уменьшением Д, внутри вращательной полосы основного состояния
величина Д должна быть убывающей функцией углового момента /. Тогда при
достаточно больших / связь одночастичного движения с вращением будет раз-
рушать спаривание. Исчезновение спаривания, вызываемое вращением, анало-
гично разрушению сверхпроводимости магнитным полем [854]. Эксперименталь-
ные данные, указывающие на возможность такого эффекта, рассматриваются
на стр. 78.
В ядрах с нечетным Лив нечетно-нечетных ядрах моменты инерции зна-
чительно больше, чем для полос основных состояний соседних четно-четных
ядер. В гл. 5 будет показано, что такое увеличение — простое следствие эффекта
парных корреляций.
Данные о моментах инерции при очень больших деформациях были полу-
чены путем наблюдения переходов между вращательными уровнями, основан-
ными на делительных изомерах. В ядрах 240Ри вращательная константа
оказалась равной Й2/2у = 3,3 кэВ [1060], что примерно вдвое меньше экспери-
ментального значения для полосы основного состояния в этом же ядре. Частич-
но это различие можно объяснить увеличением твердотельного значения момента
инерции за счет деформации; для вытянутого сфероида с отношением осей 2:1,
соответствующим оболочечно-модельной интерпретации спонтанно-делящихся
изомеров (стр. 557), твердотельный момент инерции превышает соответствующее
значение для сферической формы в (5/4)2/з	1,57 раза, что отвечает /z2/2jzTB =
= 2,5 кэВ. Таким образом, экспериментальное значение момента инерции со-
ставляет около 75% твердотельного значения. То обстоятельство, что момент
инерции в этом случае существенно ближе к твердотельному значению, чеМ
в полосе основного состояния, согласуется с изложенным выше анализом влия-
ния спаривания, поскольку соответствующий параметр 5йсоо/2Д для сильно
деформированного изомера формы гораздо больше, чем в основном состоянии.
Однако предположение, лежащее в основе вывода выражения (4.128) (о том,
что основной вклад в момент инерции обусловлен внутренними возбуждениями
с энергией 6Лы0), перестает быть справедливым при 6 порядка единицы.
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей_________87
Влияние конечности числа частиц на ядерное вращение;
иллюстрация на примере модели гармонического осциллятора
(табл, 4,3)
Здесь мы рассмотрим особенности вращательного движения, связанные
флуктуациями ориентации ядра, которые обусловлены тем, что число частиц
конечно. В некоторых случаях вращательные полосы могут обрываться при
конечных значениях углового момента. Такой обрыв полосы характеризуется
существенными отклонениями от правил интенсивностей нулевого порядка для
£2-переходов. С этим связана также задача об учете ограничений, наклады-
ваемых на внутреннее движение тем обстоятельством, что вращение охваты-
вает некоторые из одночастичных степеней свободы. Чтобы проиллюстрировать
эти проблемы, мы проанализируем движение частиц в потенциале гармониче-
ского осциллятора.
Благодаря своей простоте эта модель позволяет в явном виде построить
многочастичную волновую функцию во вращающейся системе, которую можно
также понимать как результат диагонализации соответствующего двухчастич-
ного взаимодействия, описывающего деформированное поле т).
Выстраивание угловых моментов за счет вращения. Сначала рассмотрим
движение нуклонов в анизотропном осцилляторном потенциале, на которое
наложено внешнее вращение, как и в модели принудительного вращения.
В случае потенциала гармонического осциллятора удобнее всего исходить из
представления о квантах колебаний. В отсутствие вращения собственные со-
стояния в таком потенциале отвечают колебаниям вдоль главных осей:
з
2 (схсх + --2-)й“х.	(4.129)
X —1
где —оператор рождения, а сх— оператор уничтожения кванта в направле-
нии х. Собственные значения гамильтониана (4.129) определяются равенством
(4.112), причем они характеризуются квантовыми числами лх. (О связи между
с% и координатами и импульсами частицы см. стр. 207.)
В отсутствие спин-орбитальной связи взаимодействие Кориолиса пропор-
ционально орбитальному моменту частицы, так что в случае вращения вокруг
оси 1 имеем [формулы (5.23) и (5.26)]
77с =	^0)врат^1 = 0)Вра1ц (х2р3 -^зРг)=
. <4-,зо>
Первый член в формуле (4.130) описывает перенос кванта с оси 3 на ось 2 и
??°боРот (ДМ===0), а второй член — рождение или аннигиляцию двух квантов
(Д/V = 2). Второй член входит с большим энергетическим знаменателем
п (Щг + соз), и поэтому его вклад в (со2 — <0з)2/(о2 + ыз)2 раз меньше вклада пер-
в°го члена, а это по порядку величины равно квадрату параметра деформа-
ции. Поэтому здесь мы будем пренебрегать эффектами такого порядка (реше-
ние, учитывающее члены с ДМ = 2, см. в работе [1135]).
Гамильтониан, в котором учитываются только члены взаимодействия Кори-
лиса ДМ —о, можно диагонализовать путем преобразования
с2=асо + Ьср,	(а2+Ь2=1)	(4.131)
___________ -з = — Ьса + ас$,
осн ^езульТатЬ1> 0 которых здесь говорится, получены Эллиотом [375] на
ове классификации одночастичного движения в потенциале гармонического
^ЦИллятора по схеме
88
Гл. 4. Вращательные спектры
к новым осцилляторным переменным, помеченным индексами а и ₽•. Тогда
выбрав параметры а и b так, чтобы они удовлетворяли соотношениям ’
2аЬ = р(Ц-р2ГЧ аз_&г = (1 + рг)-’/г> р ==	,	(4 (3
<02 — <0з	'
получим
Я = Яо - fiwBpauA =	+ у)	4-1^<оа +	+ 1) й(0р, (4.133)
где
wa = ~2 (°2 + ^з) + -ту ““ оз) О + Р2)1'7
!	j	t	(4.134)
= 2	+ °з) ~ 2 (с°2 ~ 0з) 0 + Р2)72.
Собственные колебания во вращающемся осцилляторном потенциале харак-]
теризуются отличной от нуля проекцией орбитального момента на ось вращения
<7i)==2ab(n3-na).	(4.135)’
В пределе <овращ > <о2 — <о3 (предполагается <о2><о3) кванты аир станов
вятся собственными состояниями llt отвечающими собственным значениям — й,
и it. В этом пределе частоты соа и стремятся к значениям х/2 (<о2 + <о3)
— СОзр.зщ.
При постепенном увеличении -частоты вращения число квантов на соответ-
ствующих модах остается постоянным (условие адиабатичности). Поэтому ча-
стица, находившаяся вначале (при <оВращ —0) в состоянии с квантовыми чис-
лами и2, п3, во вращающемся потенциале имеет квантовые числа nlt
па = п2, п$"п3. Для системы частиц, находившихся вначале в состоянии1
с определенными значениями величин
А
2-х=2(л>{ + т\’	(4-136)‘
среднее значение полного углового момента Во вращающемся потенциале равно,
<Л> ==	=2й* (S3 - s3) = 2abl^z,	(4.137)
где	!
*макс = 2з-2а	(4.138)
3	ГТ!!-;-	т	1
представляет собой максимальное значение момента достигаемое в пределе!
При Овращ	°3-	/
Возмущения, обусловленные силами Кориолиса, вызывают изменение^
формы системы с увеличением частоты вращения. В самом деле, перенос кван--
тов с оси 3 на ось 2 приводит к уменьшению деформации относительно оси li
и к соответствующему изменению самосогласованного потенциала. Распределение!
плотности в возмущенных состояниях сохраняет симметрию относительно ин-
версий и у3 осей 2 и 3, характерную для начального состояния с задана
ными п2 и п3; в сггмом деле, взаимодействие Кориолиса, нарушая симметрию
относительно инверсии .и jz3, так же как и симметрию относительно обра-
щения времени dT, инвариантно относительно преобразований и jz3eT, что
обеспечивает симметрию плотности р (г) относительно инверсий у2 и jz3. ДлЯ-
неподвижной системы условие самосогласования плотности и потенциала выра-
жается соотношениями (4.115). Аналогичные условия для вращающейся си-
стемы имеют вид
wlSl = w2(a2S? + 6223) = ®3	+	(4.139)
ft 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
&
следовательно [формулы (4.132), (4.137) и (4.138)],
°2 —	_ / j , 2\— ‘/г ^3—^2 _ / 1	(А)2 У/а ^3—^2
С02 + <03
(4.140а)
S3 + S2 /Uc/ 2з+22’
(w2 - (Оз)2 = (<о2 - <о3)^ращ= о ~4*йвращ.
Из этих соотношений следует, что деформация относительно оси 1 .постепенно
исчезает, когда вращательная частота стремится к значению, отвечающему
(/1) == Люкс-
В случае самосогласованного потенциала момент инерции, равный отноше-
нию углового момента (4.137) к .частоте вращения, остается постоянным [фор-
мулы (4.132), 14.140) и (4.113)]:
,дАЙ>.а	+
^вращ	^2 + °>3	\^2	/
В аксиально-симметричной конфигурации (S!=S2) ‘вращение происходит
только вокруг осей, перпендикулярных оси симметрии, и вращательная энер-
гия остается пропорциональной 1 (/ +1) вплоть До предела /Макс» при котором
полоса резко обрывается. В неак-
сиальных конфигурациях следует
вращение вокруг
но по-
(4.1406)
(4.141)
рассматривать
всех трех главных осей;
скольку все три момента инер-
ции одинаковы с точностью до
членов, содержащих деформацию,
вращательная энергия с этой точ-
ностью остается пропорциональной
Таблица 4.3
МАКСИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВРАЩА-
ТЕЛЬНОГО УГЛОВОГО МОМЕНТА, СООТ-
ВЕТСТВУЮЩИЕ ПОЛНОМУ ВЫСТРАИВА-
НИЮ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ ВСЕХ
ОТДЕЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
Ядро	Г макс
8Ве	4
20Net(|1	8
164£r	, —100
238JJ	
Оценка /маКС Для конфигура-
ций основных состояний несколь-
ких характерных ядер приведена
в табл. 4.3. Эта оценка получена
для конфигураций, определяемых
порядком уровней на фиг. 5.1—5.5
в случае вытянутых деформаций,
соответствующих данным фиг. 4.25
(стр. 125). Величины вычислены
по асимптотическим квантовым числам заполненных орбит, а величина /макс
найдена по формуле (4.138). Величина /маКС в середине оболочки имеет поря-
л поскольку разность между 23 и S2 возникает за счет частиц, не вхо-
в заполненные оболочки: число таких частиц, каждая из которых несет
квантов, равно ^Л2/з [см., например, формулы (2.151) и (2.158)].
ядрах 8Ве и 20Ne уровни полосы основного состояния наблюдаются
до / = /макс, но о структуре спектра в каналах с I > /макс слишком
док л,
дящих
Л1/з
В
ВПЛОТЬ	t —/маКС» nu u	Uicnipa и гхапаиал я 2 М3 КС шишлим
мало данных (стр. 100 и 97). В более тяжелых ядрах расчетные значения
'макс намного превышают максимальные значения / в области, изученной к на-
стоящему времени. Подчеркнем, что при очень больших угловых моментах
важную роль может играть учет центробежных эффектов, связанных с зависи-
мостью момента инерции от деформации. Такие эффекты увеличивают дефор-
мацию с ростом углового момента и в конце концов могут привести к делению
жАение^?)М°АеЛИ ЖИдК0Й капли эти эффекты рассматриваются в гл. 6, прило-
измрМатричные элементы Е2-переходов с учетом сил Кориолиса, Учитывая
в мнения формы ядра, обусловленные вращением, нужно внести поправки
атричные элементы £2-переходов внутри полосы (мы будем предполагать,
90
Гл. 4. Вращательные спектры
что электрические мультипольные моменты пропорциональны соответствующим
моментам в распределении масс, как это имеет место в состояниях с Т==о)
Если начальная равновесная форма в отсутствие вращения вытянута вдоль
оси 3 (Si = S2<S3; G)1=co2>w3), то конечная форма при / = /маКС сплюс-
нута («! > со2 = со3). Ядро принимает ее, пройдя через ряд неаксиальных фОрМ
(cDjl > со2 > о)3). Статический квадрупольный момент, равный диагональному
матричному элементу оператора <>М (Е2, ц = 0) в состоянии с М —Z, опреде-
ляется распределением плотности, усредненным по ориентации оси вращения.
Поскольку в рассматриваемом приближении возмущения, вызываемые враще!
нием, не влияют на среднее значение величины	поправки к статиче-
ским моментам не возникают. Моменты перехода же, обусловленные измене-
нием распределения плотности благодаря вращению, пропорциональны вели-
чине [формулы (4.112), (4.132) и (4.140)]
k
/а^ + Ь^з  Ь^з + а^з
(О3
(02
/-’ /
макс/
(4.142)
Когда / достигает значения /маКС> вероятность радиационного перехода обра-
щается в нуль, так как вращение вокруг оси симметрии не создает перемен-
ного электромагнитного поля.
Все сказанное выше о матричных элементах Е'2-переходов основано на
квазиклассическом приближении, которое справедливо при /> 1. В квантово-
механической же форме матричные элементы Е2-переходов внутри полосы
с К — 0 можно выразить через внутренний момент, зависящий от комбинаций
+ O +	и [Л (Л + 1) — Z2(Z2+1)]2 (стр. 59). Поскольку на ста-
тические моменты в рассматриваемой модели вращательные возмущения не
влияют, внутренний момент зависит Только от [Zx (Zj+1) —Z2 (Z2+I)]2. Поэтому
величину (Л)2 в формуле (4.142) следует заменить величиной, кратной такой
комбинации. Множитель пропорциональности равен Z~2KC только с точностью
до главных членов по /макс- Поскольку при Z = ZMaKC Z-f-2 матричный эле-
мент перехода тождественно обращается в нуль, мы приходим к более точ-
ному выражению:
<К = 0, /2М7(Е2)||К = О,	=
= (2/, + 1),/г (/, 020 I /30> Л»! Г1 — (/1-1272Г~/1(^+1)УГ/г	(4.143)
L \ z Макс г’3/	/ J
Параметр М1( фигурирующий в формуле (4.143), можно найти, рассмотрев
статический момент в полностью выстроенном состоянии с М I — /маКС, кото-
рое в пространственно-фиксированнои системе координат может быть пред-
ставлено как распределение квантов, отвечающее =	+	По-
этому получим [формулы (4.113), (4.115) и (4.138)]
Z /
~ Iмакс) ~ \Z == Zмакс» М = Z
2(2z2-x’— y*)k
k
Z — Zмакс» 1	’
— - 12 S — J1 S  S _________________2 — ft - I
-/f\ г x y!
(4.144)
где^Оо —главная осцилляторная частота. Отсюда получаем [формулы (4.68) и
<,|4Я
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
91
ностью до главных по /маКС членов величина совпадает с внутренним
С то^тоМ выстроенного состояния в статическом потенциале [формулы (4.113)
мОме135)]. Поскольку величина /макс— порядка А, постоянный член в формуле
Йл 145) имеет более высокий порядок, чем поправочные члены порядка б2,
( ооые мы с самого начала игнорировали.
К°Т Таким образом, одна половина величины полученных выше квадруполь-
- матричных элементов обусловлена анизотропией соответствующей конфи-
скации (различия в Sx), а вторая половина —анизотропией потенциала (раз-
Гичия в wx) [см., например, формулы (4.115) и (4.144)]. Часть, обусловленную
л Формацией потенциала, можно представить также как малую примесь ком-
онент с AN==2 в волновых функциях, отвечающих сферическому потенциалу.
izaK показано в гл. 6, такие примеси можно рассматривать как перенорми-
повку эффективных операторов частиц вне заполненных оболочек [удвоение
эффективного квадрупольного момента отвечает статической поляризуемости
д(т==О, к==2) = 1, даваемой соотношением (6.370)].
Описание вращательных состояний методом проектирования
внутренних волновых функций на состояние с определенным
угловым моментом
В модели гармонического осциллятора возмущение одночастичного движе-
ния, вызванное взаимодействием Кориолиса, оказывается особенно простым,
поскольку соответствующие возбуждения имеют одну и ту же частоту (о2 —<о3»
если пренебречь членами с AN = 2. Поэтому для вращения вокруг оси 1 все
возбуждения с AN = 0 имеют одинаковую частоту со2 — со3 и возмущение волно-
вой функции взаимодействием Кориолиса можно получить, действуя на нее
оператором /j полного углового момента (и степенями этого оператора). Так
как /х —генераторы инфинитезимальных поворотов, возникающее при этом
состояние можно представить в виде суперпозиции состояний, соответствующих
разным пространственным ориентациям заданной конфигурации.
Весовую функцию различных ориентаций со можно получить, используя
ротационную инвариантность полного гамильтониана. Например, в случае
аксиально-симметричной конфигурации с = К мы можем разложить выстро-
енное состояние | К, со) по состояниям с разными 1М [формула (1.188)]:
/ 7
= 2 С'	(&МК (< I	(4.146)
1М
где —система координат, повернутая на угол со относительно пространст-
венно-фиксированной системы (Ж*, а С/ — соответствующим образом нормирован-
I*/л»ициенты Разложения, вещественные, если состояния | Д'; и
имеют стандартно определяемые фазы. Обратив равенство (4.146)
опустив индекс Ж у вектора состояния, получим
1 К1М)=С71	J аа^мк (“) I “>•
(4.147)
* °бразом» собственные состояния | К1М} представлены как проекции
иомен НН0Г° внУтРеннего состояния на состояния с определенным угловым
атом, а формула (4.146) представляет внутреннее состояние в виде волне-
92
Гл. 4. Вращательные спектры
вого пакета, построенного каю суперпозиция, разлнчны^-членр^ .вращательной'
полосы1*.	4
Коэффициенты разложения cj можно найти из нормировочногр^интеграла;
4 =^^--j ^2 р [^мк ("2)]* &м к (“1)	“21	“1>
да j-dco [^хк (“)]*	“ I 0).	(4.1.4^
Последнее соотношение следует из того, что фактор перекрытия (К; <о2 Д'; q j
зависит только от со —относительной ориентации векторов со2 и [см. такж£
формулу (1.138)].	4
Мы проиллюстрируем метод вычисления проекционных интегралов дд£
конфигураций, получающихся при заполнении наинизших орбит в аксиально-си^’
метричном (вытянутом) потенциале. В таком состоянии кванты выстроены вдоль
оси 3 в максимальной степени, совместимой с принципом Паули. Мы пред по>
ложим также, что выстроенное состояние содержит заполненные подоболочки
в осцилляторном потенциале и, следовательно, для него К = 0. В других
конфигурациях самосогласованная деформация неаксиальна. Выстроенное состо-
яние можно характеризовать, рассматривая кванты, соответствующие изотроп-
ному осцилляторному потенциалу, поскольку (стр. 91) эффект анизотропии
потенциала можно учесть путем перенормировки эффективных операторов.
В выстроенном состоянии с Д==0 кванты в направлениях 1 и 2 вместе
с соответствующим числом квантов в направлении 3 образуют сферически-сим-
метричное состояние, так что анизотропия выстроенного состояния определяется
числом £3 —Г2 экстраквантов в направлении 3 [формальное доказательство1
такой эквивалентности можно провести на основе трансформационных свойств'
рассматриваемых состояний относительно 5(/3-симметрии (стр. 96)]. Для одного
кванта фактор перекрытия (/< = 0; со | К=0; со = 0) равен cos 0 (=	(со));
отсюда для выстроенного состояния имеем
(К=0; .(о = (р0ф | К«0; со = 0) = cosxO, Х = £3 — £2.	(4.149).
Вычислив таким путем нормировочный интеграл (4.148), для коэффициентов гу
получим (см., например, [1])
( 8л2АЛ \J/2
Очевидно, что вращательная полоса содержит состояния с
X при X четном,
X при А нечетном,
отвечающие полосе с /С = 0 и с ^-симметрией г = (— 1)А [при повороте =
= о^2 (я) каждый квант в направлении 3 приобретает фазовый множитель — I].
При значении /макс, полученном выше [формула (4.138)], полоса обрывается.
В пределе при X >> 1 фактор перекрытия (4.149) стремится к 6-функции?
<К=0, <о2|К=0, <0i> =«	+
Х>1 *
(4.152)
D Волновые функции типа (4.147) для описания вращательного движения
в координатах нуклонов впервые предложили Хилл и Уилер [594]. Враща-
тельные спектры, получающиеся с такими функциями, были в дальнейшем
исследованы в работах [913, 1216, 1152, 375]. Проектированные волновые
функции, сохраняющие полную симметрию гамильтониана системы, использо'
вались также для изучения атомов и молекул в рамках «неограниченного»
приближения Хартри —Фрка (см., например, работу [768] и имеющиеся в ней
ссылки).
(4.150).
О, 2,
J, 3,
(4.151)
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей	93
— ориентация, полученная путем поворота системы координат с ориен-
тацией oh на 180° вокруг ^и 2. В этом пределе величина становится не зави-
сящей от I при / <Х:

I	V • х у
(4.153)
Выше вращательная степень свободы была представлена в виде суперпозиции
вырожденных внутренних состояний, генерируемых оператором Поэтому
такую специальную комбинацию состояний следует рассматривать как ложную
в том смысле, что ее не нужно включать в спектр внутренних возбуждений
как отдельную степень свободы. (Как исключаются ложные состояния, показано
на примере Л = 19, стр. 254.) В случаях когда частоты возбуждений, генери-
руемых оператором поворота, не вырождены, задача об исключении ложных
состояний становится частью динамической задачи о построении вращательного
состояния из одночастичных степеней свободы (гл. 6, стр. 397).
Замечание. Формула (4.147) для состояния вращающегося ядра была выве-
дена выше на основе Модели гармонического осциллятора, обладающей некото-
рыми специфическими свойствами. Но при более общем подходе проектирован-
ное состояние (4.148) можно рассматривать как нулевое приближение к волновой
функции вращательного состояния, выраженной через координаты отдельных
частиц.
Нетрудно убедиться, что,, вычислив матричные элементы переходов между
проектированными состояниями (4.147), мы получим правила интенсивностей
нулевого порядка для переходов между вращательными состояниями (внутрен-
ние моменты, не зависящие от /; см, § 3), если пренебречь нулевыми колеба-
ниями ориентации выстроенного состояния и заменить фактор перекрытия
6-функцией [как в формуле (4.152)]. Учет нулевых колебаний приводит к поправ-
кам к правилам интенсивностей, как это имеет место в рассмотренном ниже
примере квадрупольных переходов. При не слишком больших значениях / эти
поправки более высокого порядка можно представить в виде разложений в ряд
по степеням вращательного углового момента, таких, как полученные в § 3
на основе соображений симметрии.
ХЭднако при анализе членов, зависящих от /, следует учитывать, что
могут существовать дополнительные вклады, обусловленные влиянием
вращения на внутреннее движение. Только в частном случае, когда все
возбуждения, генерируемые взаимодействием Кориолиса, имеют одинаковую
энергию, волновая функция, полученная путем проектирования не зависящего
от / внутреннего состояния, систематически содержит все эффекты вращатель-
ных возмущений (вопрос о необходимости учета зависящих от / членов в вол-
новой функции внутреннего движения для корректного описания вращательных
эффектов высших порядков,, таких, как момент инерции, с несколько иной
точки зрения рассматривался в работах [166, 914]).
Квадрупольные операторы как генераторы
вращательной полосы (SU-симметрия)
Структуру проектированных состояний (4.147) можно охарактеризовать
атричными элементами квадрупольных операторов. Для анализа матричных
°перато°В МеЖдУ проектированными состояниями удобно использовать набор
А
Е(п', х)® У	(4.154а)
(х*> xfl), Е (на, хс)] = б (a, d) Е (х*, хс) — б(Ь, с) Е (nd, иа), (4.1546)
94
Гл. 4. Вращательные спектры
смещающих осцилляторный квант с одной декартовой оси на другую (х = 1, 2, 3)
Перестановочные соотношения (4.1546) для операторов смещения прямо следуют
из соответствующих соотношений для бозонных операторов [формула (6.2)1
Компоненты изоскалярного квадрупольного момента, относящиеся к этим осям
выражаются через эти операторы следующими соотношениями [формула (5.24)]’
f 5 П
ъМ (2 , V) д Kt _л •— I 77	)
2£ (3, 3) —£ (1, 1) —£(2, 2) при v = o,
(|у/г {£ (2. 3)-£ (3, 2) + [£ (3, 1)+£ (1,3)]}
при V= ± 1(
1)-£(2,2)+[£ (2, 1) —£(1,2)]}
при v = ± 2,
(4.155)
где индекс A/V = O показывает, что члены с A/V = 2 не учитываются. Оператор
(4.155) выражен через кванты, отвечающие движению частиц в потенциале
сферического осциллятора с частотой (оо. Операторы /х углового момента
также можно выразить через рассматриваемые операторы смещения [фор-
мула (5.26)]:
г Е (2, 3) + £ (3, 2) при х=1,
/х = < i(£(l, 3) —Я (3, 1)) при х = 2,
I — (£(1, 2) + £(2, 1)) при х = 3
(4.156)
Аксиально-симметричные состояния с максимальным выстраиванием, рас-
смотренные в предыдущем разделе, характеризуются тем, что они аннигилируют
под действием операторов £ (3, 1), £ (3, 2), £ (1, 2) и £ (2, 1); кроме того,
они являются собственными состояниями операторов £ (х, х). Поэтому, дей-
ствуя на такое состояние, оператор квадрупольного момента (4.155) дает
2X1 К = 0; со} при v = 0,
•w.	((If'* ,к-°' “> v--h ’
I	0	при v= ± 2.
(4.157)
Результат действия момента оМ (2, ц) на проектированное состояние (4.147)
определяется путем стандартного преобразования к внутренней системе коор-
динат [формула (4.67)]:
и)длг=о|К=о, /М)с7‘=(?шу/2х
х Ш (ш) (2Х^°(ш)+
+ (4у/г(^|/++^гц-1/_))^=°; ©>. (4.158)
Операторы /+, вращающие внутреннее состояние, можно рассматривать
также как операторы, генерирующие обратный поворот углов ориентации ю.
Таким образом, интеграл (4.158) представляет собой суперпозицию состояний
вращательной полосы, основанной на внутреннем состоянии |К —0), откуда
$ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
95
для приведенных матричных элементов квадрупольного момента находим
[формулы (1.184) и (4.354)]
^=0, /2||^(2)||К=0, /l> = (A-y/!J^_(2/1 + l)7.</1020|720)x
с, (	1	)
Х-1Ц2Х + 3 + -2 [/,(/,+1)-Л (/, + !)]} =
- (шГ i и+w/, + !>' </да> । ш
/	1	при 12 = 1Ь
Х{Г. /2/ 14-3\2-1*а	,	, , 0
1*-5ГйГя	при/2 = Л+2.
(4.159)
В окончательной форме выражения (4.159) использовано соотношение (4.150)
для коэффициентов с7. Формула (4.159) соответствует формулам (4.143) и (4.145),
но в ней коэффициент в 2 раза меньше. В этом отражается то обстоятельство,
что волновые функции в матричном элементе (4.159) относятся к сферическому
осциллятору; эффект самосогласованной деформации осцилляторного потенциала
можно учесть путем перенормировки эффективного квадрупольного момента,
дающей дополнительный множитель 2 (стр. 91).
Поскольку рассматриваемые квадрупольные операторы индуцируют пере-
ходы только внутри данной полосы, они представляют собой генераторы вра-
щения. Следовательно, состояния [К —0, /А4) являются собственными состо-
яниями вращательных инвариантов, которые могут быть построены из произведений
операторов (2,|[1)дд)я0. В частности, квадратичный инвариант
//'=|xJX(2, ц)4Л,= с.и/(2, ц)ду=0	(4.160)
ц
можно рассматривать как эффективное двухчастичное взаимодействие, которое
генерирует суперпозицию конфигураций, отвечающую вращательному движению,
когда оно действует между частицами, движущимися в сферически-симметрич-
ном потенциале гармонического осциллятора. Как показано в гл. 6 (см., напри-
мер, стр. 296), взаимодействие (4.160) можно рассматривать также как результат
действия на движение каждой частицы потенциала деформации, обусловленного
полным квадрупольным моментом ядра. Константа связи х, требуемая для
получения деформации, равной самосогласованному значению (4.115), опреде-
ляется соотношением (6.78) с точностью до перенормировочного множителя 2,
обусловленного неучетом членов взаимодействия (4.160) с ДМ = 2 (стр.460).
Собственное значение оператора Н' в состояниях /< = 0, IM} можно найти,
установив связь между этим взаимодействием и соответствующим квадратичным
сражением из операторов смещения [формулы (4.155) и (4.156)]:
И)дд/ = о X
Х<^(2. Ц)длг=0 + |р.	(4.161)
Эта
и ппВеличина коммутирует со всеми операторами смещения [формула (4.1546)]
ное ЭТ°МУ является константой для данной полосы. Следовательно, собствен-
коэ(Ь<ЬНаЧеНИе опеРатоРа Я' пропорционально произведению /(/4-1), причем
твердо Иент пропорциональности (не считая постоянного множителя) равен
3анноеТеЛЬНОМу моменту инерции, если для константы связи х выбрано ука-
вьшю самосогласованное значение. Этот результат эквивалентен тому
генератор^
(элеме нтар.
96	Гл. 4. Вращательные спектры
----------Ггл И'.V.Л------------------------" ,lu',( \,‘!|	---------
[формула (4.141)], который был получен путем рассмотрения движения частиц
во Вращающемся деформированном- потенциале.	ц
Замечание. Во многих простых соотношениях, выведенных выше в мод*пи
гармонического осциллятора, можно усматривать следствия симметрии, лежащ^
в основе этой модели. В самом деле, операторы смещения удовлетворяют пепо-
становочным соотношениям (4.1546), характеристическим для
группы U3 унитарных преобразований в трехмерном пространстве
ное рассмотрение унитарной симметрии в приложении 3 к гл.
торы, ортогональные полному числу осцилляторных квантов Е (1, 1) + Е (2, 2)1
+ Е (3, 3), определяют группу SU3, и полученные выше вращательные полосы
суть неприводимые представления .этой группы. Инвариант (4.161) — это опе-
ратор Казимира [формула (1.317)].
Представления группы U3 классифицируются по квантовым числам [Д,
f3],. Характеризующим в то же время перестановочную симметрию рассматрива-
емых квантов. Представления группы SU3 характеризуются квантовыми числами
Х = —/2 и Ц = /2““7э‘ Состояния, принадлежащие представлению [/1} f2,
обладают следующим свойством: действуя на них операторами смещения, можйЬ
выстроить Д квантов (и не более) в любом- заданном направлении (например,
вдоль, оси 3), а затем f2 квантов (но не более) в одном из других направлений^
Поэтому рассмотренное выше аксиально-симметричное выстроенное состояние
= со) принадлежит представлению (X, ц = 0). Представления с ц=£,0
(и X =+ 0) отвечают неаксиальным конфигурациям, так что связанные с ними
полосы могут содержать несколько состояний с одинаковыми /, кдк в спектре
неаксиального ротатора [угловые моменты, содержащиеся в представлении (X, р),
определяются соотношениями (1.326) и (1.327)].
Коэффициенты Cj задают преобразование базиса, в котором диагональны
операторы Е (х, к), к базису с определенными значениями квантовых чисел
IM. Эти коэффициенты определяются групповой структурой и поэтому одина-
ковы для разных конфигураций, имеющих одинаковую симметрию (X, ц).
Вращательные полосы в ядре 20Ne (фиг. 4.13 и табл. 4.4)
Как было установлено, в области от А — 16 до А 28 вращательная струк*
тура наблюдается систематически во всех ядерных спектрах. В хчачестве при-
мера на фиг 4.13 представлена последовательность состояний низкоэнергети-
ческой части спектра ядра 20Ne. Особенно важную роль в обнаружении состо
яний этого спектра с большими угловыми моментами сыграли реакции 1бО (а, а)
и 12С(12С, а) 20Ne (другие примеры вращательных спектров ядер в этой области
рассматриваются в гл. 5, стр. 250).
Из уровней, показанных на фиг 4.13, можно составить три вращатель-
ные полосы. Кроме них, начиная с энергии возбуждения около 6,7 МэВ име-
ется целый ряд состояний с положительной четностью, которые были предва-
рительно интерпретированы как уровни вращательных полос (см., например,
707|). В рассматриваемых легких ядрах разложение вращательных энергий
по ступеням /(/+1) не имеет высокой количественной точности, характерной
для более тяжелых ядер, но ход изменения энергий в основном описывается
членом первого порядка, пропорциональным /(7+1). Кроме того, энергии
уровней вращательной полосы основного состояния содержат небольшую осцил-
лирующую компоненту, понижающую состояния 4+ и 8+ относительно УР0Б*
ней 2+ и 6+ Как интерпретировать осцилляции такого типа с точки зрения
коллективной модели, пока не ясно.
О том, что рассматриваемый спектр имеет вращательную структуру, говорят
также данные измерения интенсивностей у-переходов [1047]. Оказывается, что
распад уровня 4— с энергией 7,02 МэВ на уровни 3— и 2— с энергиями
5,63 и 4,97 МэВ содержит существенно усиленные Е2-компоненты с интенсив-
ностями В (£2; 4—.^ 3 —) = 26 В^(Е2) и В (£2; 4— ->2 —)==11 Bw№
§ 3, Энергетические спектры и правила интенсивностей
97
g (52) = 3,2 е2 *  ферми4; формула (3.169)}. Отношение интенсивностей
переходов (2,4 ± 0,2) хорошо согласуется с правилом интенсивностей
м переходов в полосе с К = 2 [В (£2; К = 2; / = 4->/ = 3): В (£2; К = 2;
/=2) = (4220 | 32)2: (4220 | 22)2 = 2,24; формула (4.68)]. Из абсолютной
Фиг. 4.13. Энергетические уровни ядра 20Ne.
Данные взяты из работ [707, 628].
интенсивности перехода получаем внутренний квадрупольный момент Qo = 6O
ферми 2, который в пределах ошибок эксперимента совпадает с квадрупольным
моментом полосы основного состояния (табл. 4.4).
Таблица 4.4
ВЕРОЯТНОСТИ Е2-ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ
СОСТОЯНИЯМИ ЯДРА 20Ne
Переход	в (Е2>, е2 ферми4	В (Е2)/В (£2; 2	0)		
		эксперимент	Qo постоянно	^макс 8
2->0	57 ±8	1	1	1
4->2	70+7	1,2+0,15	1,43	1,26
6-*4	66+8	1,15+0,15	1,57	1,06
6	24+8	0,4+0,15	1,65	0,64
10—^8			1,69	
ные ^кспеРиментальные данные взяты из работы [19] и цитированных в ней работ. Дан-
новскпСТаГИСтическОм квадрупольном моменте состояния 2+ получены из измерений куло*
Qo = (яп° ?озбУждения; измеренному значению Q= (—23 ± 8) ферми2 [1014] соответствует
4 4	~ Ферми2, тогда как вероятность перехода В (Е2; 2 -> 0), приведенная в табл.
'Дает значение .Qo| = (54 ± 4) ферми2.
ТакжВращательная полоса основного состояния ядра 20Ne анализировалась
е на основе конфигурации четырех частиц на s- или d-орбитах сверх
4 О. Бор, Б, Моттельсон
98
Г л. 4. Вращательные спектры
остова, соответствующего ядру 16О. Такое сравнение интерпретаций в рамка
оболочечной и вращательной моделей явилось важным шагом в построены*
микроскопической теории вращения ядер [906, 375]. Оболочечная конфигупаИ
ция (st/)4 дает максимальный полный угловой момент, равный восьми, но пока
еще не известно, обрывается ли полоса в 20Ne на этом значении / или прости,
рается до более высоких угловых моментов.
Приближение к точке окончания полосы должно проявляться в сильном
искажении формы ядра за счет вращательного движения и связанных с этим
больших отклонениях вероятностей £2-переходов от правил интенсивностей
нулевого порядка. В самом деле, точка окончания полосы отвечает полному
выстраиванию угловых моментов всех частиц сверх заполненной оболочки, т. е
переходу к схеме связи, соответствующей сплюснутому ядру, вращающемуся
вокруг оси симметрии (/==/<). При таком вращении вероятность радиационного
£2-перехода обращается в нуль. Постепенное выстраивание угловых моментов
частиц, обусловленное вращением, и его влияние на матричные элементы £2.
переходов рассмотрены выше в случае движения частиц в потенциале гармони-
ческого осциллятора. В этой модели полоса основного состояния в ядре 20Ne
связана с выстроенным состоянием четырех частиц сверх заполненного остова
16О, имеющих П1 = и2 = 0, п3 = 2 [состояния (4.147), проектируемые из этой конфи-
гурации, принадлежат представлению (X, р) — (8, 0) группы SU и имеют
/макс = 8; см стр. 96 и формулы (1.326) и (1.327)].
В четвертом столбце табл. 4.4 приведены отношения вероятностей £2-пере-
ходов, вычисленные по правилам интенсивностей нулевого порядка (4.68),
а в пятом столбце —отношения, найденные по формуле (4.143) при /Макс = 8,
где /макс — угловой момент, отвечающий обрыву полосы. Имеющиеся данные
согласуются с предположением об обрыве полосы (аналогичные данные о веро-
ятностях £2-переходов между членами полосы основного состояния с большими
спинами в ядре 19£ (/маКС=13/2) представлены в работе [645]).
Замечание. Полосу основного состояния в ядре 20Ne можно рассматривать
также как результат движения a-кластера относительно остова 16О [1189]; рас-
смотрение легких ядер в a-кластерной модели и связь ее с моделью оболочек
см. в работах [874, 636]. В осцилляторной модели кластерное представление
эквивалентно рассмотренному выше представлению внутреннего состояния
с максимальным выстраиванием орбит отдельных частиц. Эта эквивалентность
является примером общих соотношений, вытекающих из инвариантности гамиль-
тониана гармонического осциллятора относительно ортогональных преобразова-
ний координат частиц.
Преобразование такого типа приводит к новому набору независимых гармо-
нических осцилляторов, имеющих общую частоту w0, и собственные состояния
такой системы можно характеризовать числом квантов в каждой моде. Изве-
стным примером такого рода является преобразование к координате центра
тяжести и относительным координатам (стр. 422, примечание). В кластерном
представлении А частиц делятся на подгруппы, содержащие Alf А2, частиц,
и координаты в таком представлении характеризуют внутреннее движение
в каждом кластере, относительное движение центров тяжести кластеров и
движение центра масс всей системы.
Преобразование к кластерным координатам не влияет на генераторы (4.154)
группы /73; в самом деле, такое преобразование действует по отдельности на
координаты х1г х2 и х3 и поэтому не влияет на распределение осцилляторных
квантов по трем разным пространственным направлениям. Таким образом,
кластерные состояния с определенными числами осцилляторных квантов, свя-
занных со степенями свободы А частиц, принадлежат представлениям группы
U3. Различные представления движения в модели гармонического осциллятора
в виде кластеров или независимых частиц дают различные наборы базисных
состояний, описывающих антисимметризованные многочастичные состояния
с определенными значениями числа /V осцилляторных квантов, ££/-симметрИи
(X, р) и орбитальной перестановочной симметрии [/].
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
99
В случае ядра 20Ne в наинизшей конфигурации (Is)4 (Ip)12 (2s, Id)4 мы
еем полное число квантов /V = 20 и только один набор состояний с сим-
йМтрией (X, р) = (8, 0) и [/] = [44444]. (Это сразу же следует из того, что
^фигурация (sd)4 дает только одно состояние с L = 8.) Состояния полосы
к ц)--(8, 0), полученные выше путем проектирования (4.147) выстроенного
иутреннего состояния, могут быть получены также путем антисимметризации
В0лновых функций, описывающих a-частичный кластер (Л! = 4, Л4 = 0) и кластер
!60(Л2 ==16, N2=12), по координатам относительного движения с 8 квантами,
^гим двум представлениям соответствуют два альтернативных способа рас-
смотрения одной и той же полной волновой функции.
При кластерном описании ядра 20Ne указанные вращательные возбуждения
рассматриваются как переходы а-частицы с колебательной орбиты (L = 0),
отвечающей вытянутому распределению внутренней плотности, на круговую
орбиту (£ = £макс = 8) со сплюснутым распределением плотности, обусловлен-
ные силами Кориолиса. Легко видеть, что соотношение (4.159) для квадруполь-
ных матричных элементов остается таким же, как и для одной частицы в осцил-
ляторных состояниях с N = в самом деле, это соотношение полностью опре-
деляется квантовыми числами SU3.
Спектр ядра 8Ве по данным об аа-рассеянии (фиг. 4.14 и табл. 4.5)
Поскольку энергия связи а-частицы исключительно велика, все состояния
ядра 8Ве нестабильны относительно испускания нуклонов. Наинизшие уровни
8Ве изучены по упругому рассеянию аа. Основное состояние отвечает узкому
резонансу (/л = 04-), но в возбужденных состояниях (/л = 2+ и /л = 4-)-)
a-ширины велики, и поэтому параметры резонансов определяются путем фазо-
вого анализа (фиг. 4.14). Параметры резонансов, приведенные в табл. 4.5,
получены путем подгонки амплитуды ядерного рассеяния к стандартному
резонансному выражению [формулы (3.280) и (3.282)] в предположении, что
нерезонансная часть амплитуды соответствует рассеянию твердых шаров.
Таблица 4.5
ПАРАМЕТРЫ НАИНИЗШИХ РЕЗОНАНСОВ
В а — а-РАССЕЯНИИ
/л	£ц. и- МэВ	Г, МэВ
0+	0,092	6,8 • 10’в
2+	2,9	1,5
4+	11,4	6,7
Параметры резонанса 04-взяты из работы [99]. Парамет-
ры резонансов 24- н 4-|- взяты из данных по анализу фазовых
сдвигов, приведенных в работе [734].
Как видно из таблицы, спины и четности трех нижних уровней 8Ве соот-
етствуют теоретическим значениям для вращательной полосы основного состо-
яния четно-четного ядра (Клг = 0++), а энергии в общем согласуются
выражением нулевого порядка [где энергия пропорциональна /(/ + 1)].
Сдвиги фаз, приведенные на фиг. 4.14, свидетельствуют о наличии притя-
попИЯ В каналах с более высокими угловыми моментами Поэтому делались
интерпретировать эти сдвиги как широкие резонансы (Ерез(/ = 6)^
лиз МэВ, £рез (/ = 8)	(604-35/) МэВ [294]). Однако детальный ана-
рассеяния при больших энергиях затруднен из-за наличия интенсивных
100
Гл. 4. Вращательные спектры
неупругих процессов, начинающихся с порога реакции а + а-> 7Li+ р п
(^а).1яб = 34,7 МэВ Причины быстрых флуктуаций сдвигов фаз на фиг. 4 ц
в области Еа = 40 МэВ не совсем ясны.
Возможность существования членов вращательной полосы 8Ве с /==б и
/ = 8 приобретает особое значение в связи с анализом вращения в
на основе одночастичных конфигураций. Наинизшей оболочечной
этом ядре
конфигура.
Фиг. 4.14. Сдвиги фаз в а — а-рассеянии,
График для действительной части сдвигов фаз а — а-рассеяния взят из работы [294],
в которой учтены также и данные предшествующих исследований. Что касается s-фазы,
то она возрастает примерно от 0 почти до 180° в очень узком интервале энергий (Грез^
= ~7 эВ) в окрестности резонанса при £а= 184 кэВ.
цией для 8Ве является конфигурация (1s)4 (1р)4, и с точки зрения взаимо-
действия между р-частицами наиболее предпочтительны состояния с полностью
симметричной орбитальной волновой функцией. Для такого набора состоянии
L = 0, 2, 4 и 5 = 0, Т = 0, в чем нетрудно убедиться, сосчитав число m-ком-
понент [общие методы изложены в приложении 3, гл. I: состояния с л==4 и
с перестановочной симметрией [/] = [4] в пространстве орбитальных переменных
(табл. 1.9, т. 1, стр. 134) и [f] = [llll] в спин-изоспиновом пространстве (табл.
1.10, т. 1, стр 136)]. Эти состояния можно рассматривать как вращательную
полосу, связанную с внутренним состоянием, в котором р-орбиты выстроены
в заданном направлении. В самом деле, эти состояния можно получить, про-
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
101
конфигурацию (Z == 1, гп = 0)4 на состояние с определенным угловым
Тентом [формула (4.147)].
м Состояния конфигурации (1s)4 (1р)4 можно рассматривать и как состояния
тносительного движения двух кластеров типа а-частиц [919]. В предположе-
оТ что частицы движутся в потенциале гармонического осциллятора, гамиль-
н1Ниан системы инвариантен относительно ортогональных преобразований
^ординат восьми частиц. Поэтому можно провести преобразование к набору
переменных, описывающих внутреннее движение каждого из a-кластеров, их
относительное движение и движение центра тяжести всей ^системы. Всем этим
степеням свободы соответствуют осцилляторы с одинаковой частотой co0. Если
оба a-кластера находятся в основном состоянии, то наинизшее состояние отно-
сительного движения, с помощью которого можно построить волновую функцию
системы, антисимметричную относительно всех восьми частиц, содержит четыре
кванта (N =4), что отвечает числу квантов в наинизшей оболочечной конфигу-
рации. Так же как и в случае состояний одной частицы в осцилляторном
потенциале, относительное движение двух a-кластеров с W==4 содержит состо-
яния с 1 = 0, 2 и 4. Построенные таким путем состояния идентичны состоя-
ниям оболочечной конфигурации (Is)4 (1р)4, поскольку они однозначно опре-
деляются полным числом квантов и перестановочной симметрией в пространстве
орбитальных переменных.
Состояния ядра 8Ве с L > 4 можно построить только из возбужденных
конфигураций. В случае движения нуклонов в осцилляторном потенциале
наинизшие состояния с £л = 6 + , 8+ и т. д. содержат М = £ квантов и могут
описываться как относительное движение двух a-кластеров в состояниях
с такими числами квантов. Подобные состояния образуют колебательную
последовательность в противоположность вращательным состояниям с £ = 0, 2,
4, имеющим одинаковое число квантов W = 4. Остается исследовать, могут ли
дополнительные взаимодействия, не учитываемые в данной простой модели,
стирать резкое различие между двумя рассмотренными типами возбуждений
и приводить к появлению последовательности состояний, свойства которых
более плавно зависят от углового момента.
Вращательная полоса основного состояния ядра l69Tm (фиг. 4.15
и табл. 4.6 и 4.7)
Основное состояние ядра l69Tm имеет /д=1/2+ и является основанием
вращательной полосы с АГл= 1/2 Свойства этой полосы изучены различными
методами, такими, как кулоновское возбуждение, анализ излучения, сопровож-
дающего электронный захват в ядре l69Yb, и мессбауэровские измерения стати-
ческих моментов трех возбужденных состояний рассматриваемого ядра.
Уровни энергии и матричные элементы переходов. Энергетические уровни
,яДРа 160Тт изображены на фиг. 4.15. Они точно воспроизводятся разложением
(4.62) с учетом членов до четвертого порядка включительно. Скорость сходи-
мости этого разложения такая же, как в четно-четных ядрах.
Матричные элементы £2-переходов внутри полосы анализируются в табл,
•о. Статические квадрупольные моменты и матричные элементы переходов
/4Н^>КеНЫ В еДинииах внутреннего квадрупольного момента Qo по формулам
(4.Ь9) и (4.68). Постоянство получаемых таким путем значений Qo подтверждает
1лп/ пРавила интенсивностей в пределах экспериментальной точности порядка
с ^£л?ВНЫе члены в матричных элементах Л41-переходов внутри полосы
—1/2 зависят от трех параметров (gK, g% и b). Выбрав — 1,57, gR~
^°»406 и Ь==—0,16, можно воспроизвести все наблюдаемые матричные эле-
,енты Ml-переходов (табл. 4.7).
ответИнТерпретация внутренней конфигурации. Внутреннюю конфигурацию
Ственную за вращательную полосу	основного состояния ядра
102 Гл. 4. Вращательные спектры
169Тгп, можно отождествить с орбитой последнего нечетного протона, движу,
щегося в несферическом потенциале среднего поля и имеющего квантовые
числа [411 х/2] (табл 5.12). Параметр развязывания этого состояния можно
Фиг. 4.15. Вращательная полоса основного ядра 169Тгп.
График построен по данным измерений, проведенных в работах [17, 320]. Энергии указаны
в килоэлектронвольтах (если не приводятся другие единицы).
найти, пользуясь соотношением (5.46), если взять его волновую функцию,
приведенную в табл. 5.2. Полученное таким путем значение а ——0,9 следует
сравнивать с экспериментальным значением я——0,78 (фиг. 4.15). Внутренние
магнитные параметры можно оценить из соотношений (5.86) и (5.87). Это дает
£д.= —1,2 и #——0,1, тогда как приведенные выше значения, полученные
Таблица 4.6
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Е2-ПЕРЕХОДОВ В ПОЛОСЕ ОСНОВНОГО
СОСТОЯНИЯ ЯДРА 1в’Ттп
	Q2, Ю“48 см*		
	по Q (/)	по В (Е2; / + !->/)	по В (Е2; / 4- 2 -> /)
*/з		56(10)	57(3)
3/а	40	60 (7)	56(5)
V,		72(13)	
Значения В(Е2) взяты из работы [188]. В скобках указаны ошибки в величине
обусловленные экспериментальными ошибками определения В (Е2). Электрический квадРУ*
польный момент уровня / = 3/2 взят из работы [456]. Это значение (найденное по сверл'
тонкой структуре эффекта Мессбауэра) содержит довольно большую неопределенность
в градиенте электрического поля, создаваемого электронами (стр. 124).
g 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
103
эксперимента, составляют gK= —1,57 и />=—0,16. При этой оценке маг-
^тных свойств использовалось эффективное значение фактора gs, равное
) воб [формула (5.86)], которое получено из систематики одночастичных
°’ментов в деформированных ядрах (табл. 5.14, стр. 266). Следует подчерк-
ь что, вообще говоря, эффективные g-факторы в операторах переходов
яЛу>==1 и ДК = 0 могут различаться (стр. 266). Кроме того, взаимодействие
Кориолиса также может давать вклад в перенормировку факторов gK и g^
[фОрмула (4.355); см. также относительно g^(^9Tb) стр. 228]. Оценку этих
эффектов для ядра le0Tm см. в работе [113].
Таблица 4.7
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Л/ЬПЕРЕХОДОВ В ПОЛОСЕ ОСНОВНОГО
СОСТОЯНИЯ ЯДРА 1в9Тт
	^эксп	^теор	В(М1;/ + 1-./)эксп	
			0,047 (10)	
1/2	—0,229 (3)	—0,223	0,150(8)	0,055
’/»	+0,534 (15)	0,538	0,055(15)	0,125
У2	+0,73 (5)	0,74	0,144(7)*	0,071
	+1,32 (5)	1,45		0,14
»/»		1,59	0,143(12)*	0,075
ч/2		2,30		0,14
Экспериментальные данные вместе с теоретическим анализом взяты из табл. 4.6 и из
работ [188, 666, 524]. Магнитные моменты приведены в единицах eh/2 Мс, а В (М1) — в еди-
ницах (eft/2Aft?)2. Для переходов, отмеченных звездочкой, экспериментально определены
только отношения матричных элементов М 1- и Е2-переходов. Величины В для этих пере-
ходов, приведенные в таблице, получены в предположении, что £,2-переходы удовлетворяют
правилам интенсивностей нулевого порядка с Q2 = 58 10-48 см4 (табл. 4.6).
Вращательные полосы, заселяемые при распаде изомера ядра
I77Lum (фиг. 4.16 — 4.18 и табл. 4.8 и 4.9)
Благодаря наличию изомерного состояния ядра 177Lu с большим спином
(/л=2з/2^) мы получаем возможность детально исследовать вращательные
полосы с большим числом членов [654]. Схема распада этого изомера пред-
ставлена на фиг. 4.16. Из схемы видно, что распад протекает частично путем
^перехода, заселяющего вращательную полосу основного состояния ядра
-Lu с К л = ?/2 ( и частично путем 0-распада первого порядка запрета на
изомерный уровень ядра 177Hf с /л = 23/г+> который затем распадается на
Две разные вращательные полосы этого ядра, имеющие/<л= 7/2 — иКл = в/2 + .
Энергетический спектр. Энергии этих трех вращательных полос предстдв-
с На Фиг’ 4-17. Нетрудно видеть, что вращательная полоса в ядре 17?Lu
л’7/г+в пределах ошибок эксперимента описывается разложением вра-
щательной энергии, содержащим два члена. В полосе ядра 177Hf с
ри больших спинах наблюдаются отклонения от двухчленного выражения,
указывающие на наличие третьего члена с С ^10 мэВ. В полосе ядра ^7Hf
% + отклонения от двухчленного выражения при больших спинах
н‘Уеют более сложную структуру Возможно, что они связаны с силь-
дел ВЗаимоДействием Кориолиса, возмущающим полосу с Кл = »/2+ В самом
числ’ нечетный нейтрон в этом случае находится в состоянии с квантовыми
ами [624 9/г], которое содержит большую компоненту сферического состоя-
Фиг. 4.16. Схема распада ядра ,77Luzn.
Данные взяты из работы [565], в которой используются также результаты предшествующих
исследований. Сюда же включены и данные о дополнительных переходах, представленные
Бернталом (F. Bernthal, частное сообщение).
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей 105
ния с / = 13/а (Фиг 5.3). Поэтому матричные элементы взаимодействия Корио-
лиса в этом состоянии особенно велики [см., например, формулу (4.197)].
Во втором порядке взаимодействие Кориолиса приводит к большому моменту
инерции для этой полосы [формула (4.205)], примерно на 50% превышающему
моменты инерции двух других рассматриваемых полос. В более высоких по-
рядках взаимодействие Кориолиса приводит к появлению членов соответственно
более высокой степени по / в энергии вращательных состояний. В частности,
положительный коэффициент В, наблюдающийся в полосе Кл = ®/2 + , может
быть получен в четвертом порядке по взаимодействию Кориолиса последнего
Фиг 4.17 Проверка энергетических соотношений во вращатель-
ных спектрах ядер 177Lu и 17-7Hf (фиг. 4.16).
нечетного нейтрона, которое с лихвой компенсирует вклад от всех остальных
частиц, дающий отрицательный коэффициент В в четно-четных ядрах. В девя-
том порядке взаимодействие Кориолиса приводит к появлению знакоперемен-
ного члена в энергии, имеющего вид (4.59). Возможно, что этим и объясняются
наблюдающиеся нерегулярности в энергиях полосы с /<л = ®/2+ в 177Hf, но
количественная интерпретация этих аномалий еще не проводилась (см. также
о вращательных энергиях полосы [7437/2] в ядре 235U, стр. 248).
Внутренние конфигурации. Внутренние конфигурации на фиг. 4.16 легко
интерпретировать на основе одночастичных орбит, рассматриваемых в гл. 5.
Полоса основного состояния ядра 177Lu, как и других нечетных изотопов лю-
теция, имеет квантовые числа [4047/2], а две нижние полосы в ядре l77Hf свя-
заны с нейтронными орбитами [5147/2] и [6240/2] (табл. 5.13). Изомерные со-
стояния этих ядер с большими спинами можно интерпретировать как трех-
частичные конфигурации ([4047/2]о, [5147/2]Л, [6240/2]п) в ядре 177Lu (Д'л = 23/2—)
и ([4047/2]р, [5149/2]р, [5147/2]л) в ядре l77Hf (Кл=23/2+).
Между этими изомерными состояниями идет одночастичный (3-переход
([624®/2]п-> [5149/2]р) с Д7У = Диг=1, ДЛ = Д2 = 0. Такой переход классифи-
цируется как незатрудненный переход первого порядка запрета. Приведенная
106
Гл. 4, Вращательные спектры
вероятность рассматриваемого перехода дается величиной 1g// = 6,1. Хотя эта
величина и несколько меньше, чем для переходов 177Yb (9/2+)-> 177Lu (°/2—)
(1g// = 6,8) и 181W (°/2+)-> 181Та (е/2—) (1g// = 6,7), идущих между теми же
самыми одночастичными состояниями, она того же порядка.
В ядре 177Lu у-переход ЕЗ пятикратно запрещен по К (я = 5). Измеренная
скорость этого распада соответствует величине В (ЕЗ; К = I = 23/г~>- К='1 /2,
/ = 17/2) порядка 10-9 в одночастичных единицах Bw (ЕЗ), определяемых фор-
мулой (3.169). Что же касается распада изомера ядра 177Hf, то здесь для
El-перехода с п=7 величина В (Е1; К = / =	= 7/2, / = 21/2) оказывается
порядка 10" 13Вw(Е1), а для Е2-перехода с п = Ь величина В (Е2; K—I —
= 23/2“>К = 9/2> / = 19/2)-порядка 10-«51Г(Е2).
Соотношения интенсивностей Е2- и Ml -переходов. По интенсивности излу-
чения, сопровождающего распад рассматриваемых изомеров, определено боль-
шое число отношений разветвления T(KI-+K, I — \)/Т (К/К, /—-2) для
переходов между вращательными уровнями. В правилах интенсивностей нуле-
вого порядка эти отношения характеризуются единственным параметром
(£/<“£я)2Д?о для кажД°й вращательной полосы [формулы (4.68) и (4.87)].
Имеющиеся данные приведены в табл. 4.8. Как видно из таблицы, совпадение
параметров (g# — ^)2/Qq» полученных из разных отношений разветвления,
подтверждает правила интенсивностей нулевого порядка в пределах ошибок
эксперимента. Для большого числа переходов отношения Е2/Л41, полученные
в результате такого анализа, были проверены путем измерения коэффициентов
конверсии и угловых корреляций (см., например, [617]). Такие измерения
в сочетании с определением отношений разветвления обеспечивают прямую
проверку правил интенсивностей Е2-переходов с точностью порядка 10%.
Таблица 4.8
ПРОВЕРКА ПРАВИЛ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ £2- И MI-ПЕРЕХОДОВ ДЛЯ РАСПАДА
ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ПОЛОС В ЯДРАХ i”Lu И i”Hf
9 найдено по отношению т-интен.
— 2). Эксперименталь-
Шх ИЗ работы [564] (фиг 4.16).
юолнительной проверки
^ными магнитными мо-
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
107
ментами членов вращательной полосы с /<л = 7 В/2 — в яДРе 177Hf, для которых
1=^/2 (Ц = 0,784 ± 0,001) и 1 — (ц = 1,04 ± 0,06) [757]. При этом соотноше-
ние (4.80) для статических моментов дает —	= —0,02 ± 0,05. Комбини-
руя это со значением Qo = 6,74 ферми2, найденным из кулоновского возбужде-
ния перехода 7/2-*®/2 [550], получаем (^—^)2/Qq = (0,0 + 0,1) • 10“7 ферми'4.
£1-переходы. Данные о матричных элементах Fl-переходов между поло-
сами с Кл = 9/2-|- и Кл —7/2 — в ядре l77Hf представлены в табл. 4.9. Абсо-
лютные величины В (£1) определены частично по времени жизни уровня
с энергией 321 кэВ, а частично по отношениям разветвления между Е1-пере-
ходами (идущими между полосами) и конкурирующими £2-переходами (иду-
щими внутри полосы Кл = 9/2+). При этом предполагалось, что абсолютные
интенсивности последних удовлетворяют правилам интенсивностей нулевого
порядка с Qo = 8,55 б (см. ниже).
Таблица 4.9
ВЕРОЯТНОСТИ Е1-ПЕРЕХОДОВ В ЯДРЕ 177Ш
		Еу, кэВ	В(£|). 10“5 е2 • ферми2
9/	’/»	321,3	0,036
72	%	208,3	6,9
	П/2	71,7	2,3
и/2	72	313,7	0,70
	П/2	177,0	10
13/2	и/2	305,5	2,4
	13/2	145,8	13
U/2	*3/2	299,0	4,4
	15/2	117,2	9,8
*’/3	16/2	291,4	8,4
	П/2	88,4	13
1’/2	172	292,5	11
	*’/2	69,2	8,4
21/2	”/2	283,4	14
Данные взяты из работы [564] и частного сообщения Бернтала. Благо-
даря различию в допущениях об абсолютных скоростях Е2-переходов зна-
чения В (Е1) для состояний с > 9/2 несколько отличаются от значений,
приведенных в этих работах (см. текст).
Правила интенсивностей нулевого порядка для £1-переходов дают
В (£1;	/у) = const (/t-9/2l — 1 j Z/7/2)2. Тогда у всех точек нафиг 4.18 должны
быть одинаковые ординаты. Экспериментальные значения сильно отклоняются
от такого постоянства, но, как нетрудно видеть, согласуются с обобщенными
правилами интенсивностей [формула (4.98)]
В(£1;	K-1) = (Z/K1-1 I /fK-l)2
{Mi + М2 [If (!t + \}-Ii (li + I)]}2,	(4.162)
получающимися при учете членов первого порядка по / в операторе внутрен-
него момента. В работах [514, 108] рассматривался вопрос о возможном улуч-
шении согласия с опытом при учете квадратичных по / членов во внутренних
106
Гл. 4. Вращательные спектры
вероятность рассматриваемого перехода дается величиной 1g// = 6,1. Хотя эТа
величина и несколько меньше, чем для переходов 177Yb (®/2 +)	177Lu (0/
(lg/7 = 6,8) и 181W (9/2+)-> 181Та (9/2-—) (1g// = 6,7), идущих между теми Же
самыми одночастичными состояниями, она того же порядка.
В ядре 177Lu у-переход ЕЗ пятикратно запрещен по /<(п = 5). Измеренная
скорость этого распада соответствует величине В (Е3\ К =/ = 23/2
/ = 17/2) порядка 10-9 в одночастичных единицах Bw (ЕЗ), определяемых фОр’
мулой (3.169). Что же касается распада изомера ядра 177Hf, то здесь для
£1-перехода с п=7 величина В (£1; /< = / = 23/2->/( = 7/2, / = 2’/2) оказывается
порядка 10“ 13Вw(£1), а для £2-перехода с и = 5 величина В (£2; /<==/>_
= зз/гК = %, / = 19/2) —порядка \0~*Bw(E2).
Соотношения интенсивностей £2- и All-переходов. По интенсивности излу-
чения, сопровождающего распад рассматриваемых изомеров, определено боль-
шое число отношений разветвления Т(К1^К> /—1)/Т (К/-> К, / — 2) для
переходов между вращательными уровнями. В правилах интенсивностей нуле-
вого порядка эти отношения характеризуются единственным параметром
дЛЯ кажД°й вращательной полосы [формулы (4.68) и (4.87)].
Имеющиеся данные приведены в табл. 4.8. Как видно из таблицы, совпадение
параметров (£/<~£#)2/Qo> полученных из разных отношений разветвления,
подтверждает правила интенсивностей нулевого порядка в пределах ошибок
эксперимента. Для большого числа переходов отношения Е2/М1, полученные
в результате такого анализа, были проверены путем измерения коэффициентов
конверсии и угловых корреляций (см., например, [617]). Такие измерения
в сочетании с определением отношений разветвления обеспечивают прямую
проверку правил интенсивностей £2-переходов с точностью порядка 10%.
Таблица 4.8
ПРОВЕРКА ПРАВИЛ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ £2- И М 1-ПЕРЕХОДОВ ДЛЯ РАСПАДА
ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ПОЛОС В ЯДРАХ >”Lu И 177Hf
		.0-’ Ферми-
	п/2	2,6+0,4
‘”Lu	13/г	2,4+0,3
Кл=’/2 +	16/2	2,6 + 0,3
	к/2	2,5+0,4
i”Hf	11/2	0,04+0,6
Кл = ’/2-	13/2 ‘%	0,26+0,12 0,24+0,14
	13/2	2,7+0,3
J’’Hf	16/2	2,8+0,3
Кл = »/2 +	1?/2 13/2	2,9+0,3 3,0+0,3
	21/2	2,7+0,3
Отношение (g^ — g/?)2/Q2 (Qo в единицах 10 24 см2) найдено по отношению 7-интен-
сивностей переходов Т (£2 + Ml; К/ -> К, 7 — 1 )/Т (£2; /<7 -* X, 7 — 2). Эксперименталь-
ные данные и соответствующий теоретический анализ взяты из работы [564] (фиг 4.16).
Кроме данных, приведенных в табл. 4.8, для дополнительной проверки
правил интенсивностей можно воспользоваться измеренными магнитными мо-
§ 3, Энергетические спектры и правила интенсивностей 107
мтами членов вращательной полосы с /(л==7/2 — в ядре 177Н1, для которых
/--7/ (ц = 0,784 ± 0,001) и / = 9/2 (Н = 1,04 ±0,06) [757]. При этом соотноше-
ние (4.80) для статических моментов дает (g^ — g^) = —0,02 ± 0,05. Комбини-
я это со значением Qo = 6,74 ферми2, найденным из кулоновского возбужде-
Р’я перехода ’/2-*в/2 [550]. получаем (gK—gR)2/Ql = (Q,0 + 0,1) • 10"’ ферми'*.
£1-переходы. Данные о матричных элементах £1-переходов между поло-
сами с /<л = 9/г+ и Кя = У2 — в ядре 177Hf представлены в табл. 4.9. Абсо-
лютные величины В (£1) определены частично по времени жизни уровня
с энергией 321 кэВ, а частично по отношениям разветвления между £1-пере-
ходами (идущими между полосами) и конкурирующими £2-переходами (иду-
щими внутри полосы /Сл = 9/2 +). При этом предполагалось, что абсолютные
интенсивности последних удовлетворяют правилам интенсивностей нулевого
порядка с Qo = 3,55 б (см. ниже).
Таблица 4,9
ВЕРОЯТНОСТИ Е1-ПЕРЕХОДОВ В ЯДРЕ *”Ш
		£^, кэВ	В(Е1), 10-’ ег • ферми’
9 /	’/2	321,3	0,036
72	*/,	208,3	6,9
	11/2	71,7	2,3
11/2	%	313,7	0,70
	п/2	177,0	10
13/2	п/2	305,5	2,4
	13/2	145,8	13
16/2	*3/2	299,0	4,4
	*72	117,2	9,8
17/2	16/2	291,4	8,4
	17/2	88,4	13
172	17/2	292,5	11
	*’/2	69,2	8,4
г1/2	*72	283,4	14
Данные взяты из работы [564] и частного сообщения Бернтала. Благо-
даря различию в допущениях об абсолютных скоростях £2-переходов зна-
чения В (£1) для состояний с // > 9/2 несколько отличаются от значений,
приведенных в этих работах (см. текст).
Правила интенсивностей нулевого порядка для £1-переходов дают
°(fl; /<->/y)=const (/,’/,!-1 |/f’/2)2- Тогда у всех точек на фиг 4.18 должны
быть одинаковые ординаты. Экспериментальные значения сильно отклоняются
от такого постоянства, но, как нетрудно видеть, согласуются с обобщенными
правилами интенсивностей [формула (4.98)]
в(£1; ЦК-* 1Ь
{М, + М2 [I, (If +1) - If (Ц + 1)]}*,	(4.162)
получающимися при учете членов первого порядка по / в операторе внутрен-
него момента. В работах [514, 108) рассматривался вопрос о возможном улуч-
Шении согласия с опытом при учете квадратичных по / членов во внутренних
108
Гл. 4 Вращательные спектры
моментах, но, как явствует из фиг. 4.18, имеющиеся данные не гребукл вве-
дения таких поправок.
Экспериментальные данные по проверке правил интенсивностей El-nepexo-
дов можно разбить на три категории. Во-первых, можно без введения каких^
либо новых предположений сравнивать относительные интенсивности переходов
с одного и того же начального уровня с правилами интенсивностей, что обеспе-
чивает прямую проверку. Во-вторых, анализ относительных интенсивностей
переходов с разных уровней с /f-> Х = 9/2 связан с правилами интенсивностей
Е2-переходов внутри полосы с	Данные, приведенные в табл. 4.9, под-
тверждают эти правила с точностью 10%. И наконец, для сравнения El-пере-
Фиг. 4.18. Амплитуды El-переходов в ядре 177Hf.
Для каждой точки на графике указано соответствующее значение Темные кружки —
нормализация на основе времени жизни (Ti/2 = 6,3* 10“10 с) состояния ].л = 9/2-\-‘,
крестики — нормализация на основе принятого значения Qo (Кл = 9/2 +) = 8,55 б.
Экспериментальные значения величины В(Е\) взяты из табл. 4.9 и приведены в еди-
ницах Вц/(£1) = 2,0е2 ферми2 [формула (3.169)]. Такого же рода анализ £ 1-переходов
в ядре х77Но был проведен в работах [515, 1147]; см. также [564].
ходов с уровня // = е/2 с переходами с других уровней нужно знать абсолют-
ные интенсивности Е2-переходов, которые не измерены. Поэтому величина Qo
выбиралась так, чтобы получить оптимальное согласие с соотношением (4.162)
для Е1-переходов. Величина <?0, обеспечивающая такое согласие, примерно
на 30% больше, чем фактическая для вращательной полосы основного состоя-
ния ядра l77Hf (Qo = 6,24 • 10’24 см2 [550]) и для конфигурации основного
состояния ядра 179Hf (Q0 = 6,85 • 10“24 см2 [550]). Это весьма удивительный факт,
который может означать, что либо время жизни уровня 321 кэВ в ядре 177Hf
определено неверно, либо в интенсивностях Е1-переходов имеются нерегуляр-
ности, не учитываемые в рамках данного анализа.
Подгонка, проведенная на фиг. 4.18, показывает, что вклады членов Mi
и М2 в матричном элементе (4.162) сравнимы по величине. Важная роль члена,
содержащего /, связана с тем, что член нулевого порядка мал, как нетрудно
показать исходя из асимптотических правил отбора. Эти правила запрещают
переход [624е/2] -> [5147/2], поскольку он происходит с переворотом спина
5 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
109
/табл. 5.3). Член М2 может возникать за счет взаимодействия Кориолиса, сме-
шивающего полосы с Д/<=±1 [стр. 136 и формула (4.350)]. В данном случае
ущественны взаимодействия, примешивающие состояние [6247/2] к полосе
f6249/21 и состояние [5149/2] к полосе [5147/2], так как из этих примесей могут
идти незатрудненные £1-переходы. Дополнительный существенный вклад может
быть обусловлен примесью октупольных колебаний, которые, как известно,
приводят к довольно интенсивным £1-переходам между нижними состояниями
энергетического спектра (оценка этих вкладов и одночастичных эффектов про-
ведена в работе [108]). Существенную роль при этом играют только поправки
первого порядка, поскольку они входят с матричными элементами £1, которые
велики по сравнению с членами нулевого порядка. Что же касается поправок
высших порядков, то они характеризуются обычной скоростью сходимости.
Вращательные полосы в ядре 230Ри (фиг. 4.19 и табл. 4.10—4.13)
В спектрах наиболее тяжелых ядер вращательная структура систематичес-
ки проявляется при А > 224 Важным дополнительным методом исследования
вращательной структуры в этой области ядер является изучение «-радиоактив-
ности.
Энергетический спектр. Спектр ядра 230Ри изучался по а-распаду 243Сш,
по p-распаду 239Np, по электронному захвату в 239Ат, а также в кулоновском
возбуждении. Как показано на фиг. 4.19, известные уровни ядра 230Ри можно
разбить на несколько вращательных полос. Главным доказательством правиль-
ности такой интерпретации спектра служат экспериментальные значения спи-
нов и четности уровней и количественное согласие между их энергиями и ре-
зультатами вычислений (приведенными в скобках) по формуле (4.61). Кроме
того, она подтверждается и многими другими свойствами рассматриваемых
уровней, обеспечивающими дальнейшую проверку вращательной модели.
Таблица 4.10
ОТНОШЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ Е2- И MI-ПЕРЕХО-
ДОВ ВНУТРИ ПОЛОСЫ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
(Кл =	+) 239Pu
Отношение приведенных вероятностей переходов	Эксперимент [399J	Теория
В (£2; »/,->»/,) В (£2; »/2^’/2)	14+3	16,5
В (£2; 5/2-*‘/2) В (£2; ь/2->’/2)	3,4+0,2	3,5
В (Ml; В (Ml; V2->3/2)		1,1
Интенсивности £2- и М1 -переходов между вращательными состояниями.
Данные об отношениях интенсивностей £2- и Ml-переходов внутри вращатель-
ои полосы основного состояния (Лл = * 1/2+) сравниваются в табл. 4.10 с пра-
(4*Яя\И интенсивностей нулевого порядка, даваемыми выражениями (4.68) и
1 -°8) (для двух Ml-переходов, рассмотренных в этой таблице, магнитные па-
сокеТрЫ Развя3ывания b одинаковы, и поэтому в отношениях В (Ml) величина b
отнРаЩаеТСЯ)- Отношения приведенных вероятностей переходов определены по
осительным интенсивностям и отношениям разветвления М1/£2. При опре-
но
Гл. 4. Вращательные спектры
делении отношения В (Ml), приведенного в таблице, предполагалось, ЧТо
Ё2-переходы удовлетворяют правилам интенсивностей нулевого порядка для
переходов между вращательными состояниями.
Запрещенные М-переходы. Ml-переходы
лосу основного состояния запрещены по
ИЗ ПОЛОСЫ С /(jT = 5/24- на По-
К. Измеренное время жизни
("/г)	461
(457,6)
9/г	388
(387,5)
7/г	330,1
5/г	285,5
(,1/г)	486
(486)
(9/г)	434
7/г	391,6
Кл = 7/2~~
А =4,70 кэВ
7/2	556,2
(557,5)
5/г	505,3
З/г	492,2
>/г	469,8
КЛ = '/2 ~
А =5,04 кэВ
а =0,48
Кл = в/г +
"/2	193
А = 6,37 кэВ
3/2
(193,3)
163,7
(164,5)
7/2	75,71
(75,59)
5/2	57,27
3/2	7,85
~2	О
К Л = '/г +
А =6,25 кэВ
а = ~0,58
Фиг. 4.19. Спектр ядра M*Pu.
Схема уровней взята из таблицы изотопов [736].
уровня 285 кэВ, равное ^=1,1 • 10-9 с, примерно на три порядка величины
меньше, чем дает одночастичная оценка [формула (3.169)]. Относительные
интенсивности этих переходов, представленные в табл. 4.11, сравниваются
с правилами интенсивностей нулевого порядка для /(-запрещенных переходов
[формула (4.95)].
£1-переходы между полосами. В табл 4,12 наблюдающиеся в ядре 239Ри
Е1-переходы между полосами с Кл = 1/г- и Кд = 1/о+ сравниваются с пра-
вилами интенсивностей нулевого порядка. Для переходов между полосами
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
111
эти пРавила содержат в общем случае два разных внутренних мат-
ричных элемента [формула (4.91)]:
/^(£1; К^ = 1/2—» /1К^=1/2+» ^2) =
= I(AVsioI Zav2>Л4х+(—</х—1/211 I /2V2> Л42(2,
М] = (^ = 1/2 + М/(fl. v=0)|tfn=V2—),	(4.163)
М2 = (Кл---=1/2+М/ (El, v=l)|Kn = 1/2—)
Экспериментальные отношения интенсивностей, представленные в табл. 4.12,
в пределах ошибок измерения согласуются с формулой (4.163) при М2 = 0 и
дают для отношения M^/Mi верхний предел порядка 0,1.
Таблица 4.11
ОТНОШЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ К-3АПРЕЩЕННЫХ М1-ПЕРЕХОДОВ
В ЯДРЕ 2Э9Ри
К pi	5 /2 +	Kfn =	*/2 +	В (Ml; Kil1 - KflJ		
			В (Ml;		- *Мэ)
			эксперимент [399]	теория	
Vs	3/2 ’/2	Vs Vs	0,6 0,4		0,87 0,31
	V2 ®/2	V, Vs	0,6 0,4		0,75 0,35
Таблица 4.12
ОТНОШЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ Е1-ПЕРЕХОДОВ В ЯДРЕ 2з9ри
= 1/2 -	KfTi =	4-		В (El; Kjl {	
			В (El; Kill -кр3)	
			эксперимент	теория
			[297]	(M8= 0)
%	Vs	Vs	0,6	0,5
3'	Vs	Vs	0,34	0,55
/	Vs	Vs	0,06	0,11
Vs	Vs	Vs	0,5	0,7
	Vs	Vs	0,06	0,05
Vs	%	Vs	— 0,5	0,77
	’/2	Vs	<0,05	0,03
В большинстве случаев экспериментальной проверки отношений интенсив-
ностей fl-переходов была установлена необходимость учета довольно больших
членов, зависящих от /, в операторах внутренних моментов. Такое нарушение
правил интенсивностей нулевого порядка объясняют тем, что Е1 -переходы,
аолюдающиеся в нижней части спектров нечетных ядер, обычно сильно по-
112
Гл. 4. Вращательные спектры
давлены (в качестве примера см. Е\-переходы в спектре 177Hf, стр. 107). Пред,
ставленные же в табл. 4.12 Е\-переходы являются исключением из этого пра'
вила. Это может означать, что в данном случае они не очень сильно подав^
лены (см. ниже о ветви спектра, связанной с полосой Kn = V2—)•
a-переходы. Скорости a-переходов на уровни полосы основного состояния
в четно-четных ядрах плавно изменяются в зависимости от энергии распада Е
и от заряда и массы ядра. Поэтому они могут служить удобными единицами
измерения интенсивностей а-распада. Переходы между основными состояниями
четно-четных ядер хорошо описываются формулой Гейгера —Нэтолла
1пТ0(£а, Z)----^g+K2(Z),	(4.164)
где Z—заряд материнского ядра, а Еа— кинетическая энергия а-частицы.
Соотношение вида (4.164), а также порядок величины коэффициентов и
можно получить, анализируя прохождение а-частицы через кулоновский барьер
ядра (см., например, [631]). Эмпирическая подгонка этих коэффициентов
к экспериментальным скоростям а-распада в ядрах с£>84 [446] дает
Кх= 139,8+ 1,83 (Z —90)+ 0,012 (Z-90)2,
/<2 = 52,1 + 0,30 (Z-90) +0,001 (Z-90)«.	(4'165)
В формуле (4.164) величина Го выражается в обратных секундах, а Еа—вме-
гаэлектронвольтах. Выразив скорости а-распада с переходом на уровни по-
лосы основного состояния четно-четного ядра в единицах Го, мы получим при-
веденные интенсивности CL:
TL = CL(Z, А)Т0(Еа, Z, А)	(4.166)
(таблицы коэффициентов CL см., например, в работе [631]).
Переходы на вращательные полосы основных состояний четно-четных ядер
происходят с образованием а-частицы из нуклонных пар на сопряженных орби-
тах (Qi и Q2=^i)> связанных обращением времени. Такой процесс сущест-
венно усилен эффектами парных корреляций (гл. 5), и поэтому его вклад ве-
лик по сравнению с вкладами процессов формирования а-частиц из состояния
с £22
Большинство a-переходов в нечетных ядрах сильно подавлено по сравнению
с переходами в четно-четных ядрах. Типичные значения соответствующих фак-
торов торможения по сравнению с переходами, описываемыми формулой (4.166),
меняются от Ю2 до 103 (см., например, фиг. 5.13, стр. 238). Но в каждом
случае а-распада нечетного ядра одна из вращательных полос дочернего ядра
заселяется с фактором торможения порядка единицы. Эта группа, «облегченный
переход», интерпретируется как переход, при котором а-частица формируется
из нуклонов на спаренных орбитах, так же как и в переходах на основные
состояния четно-четных ядер [918, 164]. Такая интерпретация дает для этих
переходов ДК = 0 и л/ = лу; в тех случаях, когда имеется независимая инфор-
мация, эти правила отбора неизменно подтверждаются.
В то время как при облегченных переходах в четно-четных ядрах вся
интенсивность CL дает вклад в единственную a-группу (в состояние с / = Ц,
в нечетных ядрах эта интенсивность может распределяться между разными
переходами. В первом приближении это распределение определяртся правилами
интенсивностей нулевого порядка для операторов, не зависящих от / [164].
Поэтому, если в ходе процесса испускания можно пренебречь влиянием враща-
тельного движения, то а-частицы образуются в состояниях с Qa = 0 относи-
тельно оси ядра и с амплитудой, не зависящей от вращательного углового
момента. В таком приближении скорость испускания a-частиц с орбитальным
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей 113
моментом L удовлетворяет правилу интенсивностей нулевого порядка для внут-
ренней компоненты тензорного оператора ранга L с v = AK —О [формула (4.91)]:
Т(£; //^/^ = (/^0 /2К)2СЛ-	(4-167)
Замечание. Подчеркнем, что вывод равенства (4.167) основан на дополни-
тельных допущениях, помимо тех, которые делаются при выводе правил
интенсивностей для испускания слабо взаимодействующих частиц (£- и у-пере-
ходы). В случае а-распада уход частицы с поверхности ядра связан с прохож-
дением Через несферический потенциальный барьер, и это может приводить
к обмену угловым моментом между а-частицей и дочерним ядром. Поэтому для
выполнения правила интенсивностей (4.167) требуется, чтобы вращением можно
было пренебречь за время прохождения а-частицей несферической части потен-
циального барьера. Это требование отвечает требованию малости параметра
Т'прох
х =-------
Т-враш.
равного времени прохождения а-частицы через область несферичности в едини-
цах периода вращения. Поскольку скорость (мнимая) а-частицы сразу же вне
поверхности ядра R равна
(4.168)
в типичном случае а-распада тяжелого элемента мы получаем
3-10-22 с.	(4.170)
I I
Характерное время вращения в тяжелом ядре равно
Ьрощ^уТ^5 10_20/’1с-	(4-171)
Поэтому при не слишком больших значениях / мы имеем х<^1.
Более детальное рассмотрение задачи о прохождении может быть основано
на связанных уравнениях, описывающих движение a-частицы в различных
каналах (L/2) /п соответствующих одному и тому же значению (аналогичную
задачу о рассеянии нуклона на деформированном ядре см. в гл. 5, стр. 276).
Численное решение связанных уравнений для прохождения барьера показывает,
что соотношение (4.167) является хорошим приближением во всех случаях,
кроме случая парциальных волн с малыми значениями CL (см., например, [251]).
При a-распаде ядра 243Ст в ядро 239Ри абсолютные интенсивности а-групп,
заселяющих полосу с Кл = 5/2 + > определяются формулой (4.166) с точностью
ДО множителя порядка 2, тогда как все другие переходы заторможены на 2
порядка и более. В табл. 4.13 относительные интенсивности a-групп, отвечаю-
щих различным членам полосы с Кл = 3/2+, сравниваются с результатами
вычислений по формуле (4.167). Как видно из таблицы, согласие хорошее,
если для коэффициентов CL взять те же значения, что и в соседних четно-
четных ядрах. Абсолютные же интенсивности переходов, представленные
в табл. 4.13, показывают, что коэффициенты CL в данном случае примерно
в 2 раза меньше, чем для четно-четных ядер [это установлено путем прямого
сравнения с наблюдаемыми скоростями переходов в соседних четных изотопах
яДра Ст и с зависимостью от энергии перехода, даваемой соотношениями
(4.164) и (4.165)]. О тонкой структуре интенсивностей затрудненных а-переходов
говорится в связи с примером, приведенным на фиг. 5.13 (стр. 238).
114
Гл. 4. Вращательные спектры
Таблица 4.13
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ОБЛЕГЧЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ
В а-РАСПАДЕ ЯДРА Ст
	С£(/, = 6/г7гЬ0|//’/г)2					го(£а). относит. значения	Относительная интенсивность	
	L = 0	L = 2	L = 4	L = 6	сумма		теория	экспери- мент
6/2 72 72 п/2	1	0,20 0,26 0,09	0,00 0,00 7 10-4	6 • Ю'4	1,20 0,26 1,3-10"3	1 0,57 0,28 0,11	1 1,2 101 2,1 IO"2 1,2- 10"4	1 1,6 • 10-1 2,2-10-а ~3 • 10-1
Относительные интенсивности а-переходов взяты из таблицы изотопов [736] (иденти-
фикация ветви, заселяющей состояние и/2. по-видимому, неоднозначна). Для параметров
взяты средние значения, полученные из данных о распаде соседних четно-четных ядер
243Ст и 244Стп (Со =1, Св = 0,55, С4 = 0,0022 и С9 = 0,0025 [736]). Величина TQ (Еа) вы-
числена по формулам (4.164) и (4.165).
Внутренние конфигурации. Классификация вращательных состояний и пра-
вила интенсивностей, рассмотренные выше, не зависят от каких-либо детальных
предположений о структуре внутренних состояний Кл. Но, как показано
в гл. 5, многие свойства этих конфигураций можно интерпретировать на основе
представления о движении независимых частиц в сфероидальном потенциале.
Из фиг. 5.5 видно, что две наинизшие орбиты в ядре ^°Ри14б, для которого
параметр деформации 6^0,25 (см. соответствующую систематику на фиг. 4.25),
должны быть орбитами [631 1/2] и [622 %], и это хорошо согласуется с экспе-
риментальными значениями Кл для наинизших внутренних состояний. Полосу
с Кл = 7/2 —можно связать с орбитой [743 7/2], которая также должна сущест-
вовать согласно данным фиг. 5.5. Магнитные моменты, параметры развязывания,
моменты инерции и вероятности переходов анализируются на основе изложен»
ных представлений о конфигурациях внутренних состояний в работе [853]
Такие представления о структуре рассмотренных конфигураций использовались
и при более детальном анализе процесса формирования а-частиц, позволившем
объяснить основные данные об интенсивностях затрудненных а-переходов [930].
Состояние ядра 239ри с	—представляет собой, по-видимому, супер
ПОЗИЦИЮ конфигурации /<Л = 1/2-|- ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ И октупольного ВОЗбуЖ'
дения (vn = 0 —, г — —1). Веским доводом в пользу подобной интерпретации
может служить сравнительно большое сечение возбуждения этой полосы
в реакции (d, df), сравнимое с сечением возбуждения полосы Кл = 0— в ядре
238Ри в аналогичной реакции [521]. При такой интерпретации между парамет-
рами развязывания состояний 4/2— и V2+ должно выполняться соотношение
а^л=±-)=_а(хл = 1+),	(4.172)
поскольку октупольное состояние имеет г==— 1. Это соотношение, действительно,
довольно хорошо выполняется для экспериментальных значений а. Кроме того,
Е\-переходы на основное состояние должны в этом случае иметь нулевой
матричный элемент Л42, отвечающий ДК^=1 [формула (4.163)], что согласуется
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей	115
с данными табл. 4.12 и удовлетворяет правилам интенсивностей нулевого
порядка для El-переходов с октупольных состояний Клг = 0------------в четно-
четных ядрах.
Вращательные полосы в нечетно-нечетном ядре *66Но
(фиг. 4.20 и табл. 4.14)
Спектры низколежащих состояний нечетно-нечетных ядер имеют очень
большую плотность уровней, и поэтому их идентификация связана с рядом
трудных проблем. Но во многих случаях основные характеристики нижних
6	807,30
(в 10,89)
5	693,65
(695,42)
			7	577,2!	6	588,10	4	598,46
	7	557,69 (560,93)		(574,58)	(589,46)	(599,го) 3	522,00.
			6	453,77	5	470,84	(522,22) 2	464,48
			(452,50)		/	425.99
6	377,80				4	371,98	КЛ=1 +
(379,67)	5	329,77		5	348,25		А = 9,651кэВ
	(330,56)		(347,86)	КЛ=4 + А = !0,!46кэВ	\А2\^!эВ
			4	260,66	В=-5,г0эВ	В— -3,58 эВ
4	180,46	3	171,07		3	190,90		
(180,80)		8	136	кл = з +		
			А =8,650 кэВ		
2	54,24	!	82,47 КЛ=0-		В=+2,19 эВ		
0		Г = -!	1	5			
Кх= о-	А=8,882 кэВ	КЛ = 7-			
г= + 1	В= -!,56 эВ	А = 8,2 кэВ			
А =9,047кэВ					
В“~1,!8эВ					
Фиг. 4.20. Вращательные полосы в спектре ядра 1ббНо.
Схема уровней 1ввНо установлена в результате комбинированных высокоточных измерений
р-распада ieeDy, реакции iesHo (d, р) и радиационного захвата нейтронов 1в5Но(п, у).
Данные, приведенные на графике, взяты из коллективной статьи [855] (более высоколежа-
Щие полосы были идентифицированы в работе [179]). Коэффициенты разложения враща-
тельной энергии были определены по экспериментальным значениям энергий наинизших
членов каждой вращательной полосы; в скобках указаны энергии, вычисленные с этими
коэффициентами.
Уровней этих ядер удается установить, комбинируя результаты различных изме-
рений. В качестве примера на фиг 4.20 представлена схема уровней ядра 166Но.
Вращательные полосы. Из фиг 4.20 видно, что экспериментально установ-
ленные уровни ядра iertHo можно объединить во вращательные полосы, харак-
теризующиеся квантовыми числами К и л (и г). В скобках на схеме указаны
теоретические значения, вычисленные по энергиям чвух нижних уровней каж-
Дои полосы в предположении, что вращательная энергия пропорциональна
116
Гл. 4. Вращательные спектры
Эти значения, а также расчетные значения параметров А и В для
каждой из полос показывают, что в данном случае скорость сходимости разло-
жения (4.62) такая же, как в соседних четно-четных и нечетных ядрах. В ядре
16бНо измерены также относительные интенсивности большого числа у-переходов
внутри различных вращательных полос. Измеренные значения согласуются
с правилами интенсивностей нулевого порядка [855].
Внутренние конфигурации. Внутренние состояния нечетно-нечетных ядер
можно пытаться рассматривать как конфигурации и последних нечетных
протона и нейтрона. Три самые нижние полосы в ядре 16бНо можно связать
с конфигурацией [5237/2]р [6337/2]л, которую следует ожидать на основе систе-
матики внутренних состояний в соседних нечетных ядрах (табл. 5.12 и 5.13,
стр. 261 и 262). Полосы с /<л = 34- и /<тс = 4—можно связать с конфигура-
цией [5237/2]р [5211/2]п, тогда как полоса с Кп— 1 + отвечает, по-видимому,
конфигурации [5237/2]р [5233/2]л. Кроме того, должна существовать вторая
низколежащая полоса с Кл = 1 связанная с конфигурацией [5237/2]р [5125/2]д.
Наиболее прямая и притом количественная проверка идентификации конфи-
гураций возможна по интенсивностям заселения различных членов каждой
вращательной полосы, измеренным в реакции (d, р). Если ядро-мишень
с нечетным протоном рассматривается как четно-четный «остов» плюс протон
в состоянии Qn, а конечное состояние нечетно-нечетного ядра имеет квантовые
числа /2 и A2 = |Qp±Qn', то сечение (d, р)-реакции в нулевом порядке
можно представить в виде
d(j(Qp,	йл), К2 = I £^р ~ Q/i А)
=	dG(0->Qre, /„ = /).	(4.173)
/
где da (0 -> Qn, = /) —сечение заселения состояния QnIn соседнего нечетного
ядра в (d, р)-реакции на четно-четной мишени [пример анализа (d, р)-реакции,
идущей с образованием нечетного ядра-продукта, см. в гл. 5, стр. 231]. Основ-
ное состояние ядра 163Но имеет конфигурацию [5237/2], так что все полосы,
изображенные на фиг. 4.20, могут заселяться путем прямогЧ передачи нейтрона.
Измеренные при этом сечения оказались в согласии с соотношением (4.173) [1089].
Экспериментальные значения параметра А для разных полос на фиг. 4.20
систематически меньше, чем для полос основных состояний в соседних четно-
четных ядрах (среднее значение последних составляет 12,6 кэВ). Как показано
в гл. 5, увеличение момента инерции при переходе от четно-четного ядра
к нечетному является характеристическим свойством, которое можно связать
с конфигурацией последнего нечетного нуклона (табл. 5.17, стр. 271). Если
пренебречь взаимодействием между последними нечетными протоном и нейтро-
ном, то увеличение момента инерции при переходе от четно-четного к нечетно-
нечетному ядру равно сумме вкладов от соответствующих нечетных частиц ([915];
см. также приложение, стр. 185):
^(Qn, Qp)^^(Qn) + 6^(Qp).	(4.174)
В табл. 4.14 результаты вычислений по этой формуле сравниваются с экспери-
ментальными значениями моментов инерции в 166Но. Если учесть трудности
количественного вычисления вкладов нечетных частиц в момент инерции по
данным о спектрах нечетных ядер (табл. 5.17), то качественное согласие
с экспериментальными значениями представленными в табл. 4.14, можно
считать удовлетворительным. Результаты проверки соотношения (4.174) в не-
четно-нечетных ядрах см. в работе [1009].
Довольно большое различие в моментах инерции полос с Кл = 3 +
и Кл = 4-{- (обе полосы связаны с одной и той же конфигурацией [5237/2]р
[5211/2]л) может быть обусловлено взаимодействием Кориолиса между ними.
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
117
Используя выражение (4.197) для соответствующего матричного элемента, имеем
QP, К=Ор+у, /|Я,1 Q„-Qp, К = йр-^-, /> =
= _^[(/-Qp+lW/ + Qp+ ’•	= ’	«»=!/,	<4J75>
где Л —параметр вращательной энергии в отсутствие взаимодействия (4.175).
В формулу (4.175) входит тот же матричный элемент /+, которым определяется
параметр развязывания а для вращательной полосы, связанной с орбитой
Qn = i/2 [формула (4.60)]. Отсюда во втором порядке теории возмущений получим
Л (к = йр+у - л (к = Йр—2 ) = 2 £ (К = й + 1/г() _£ (К = Q ,4) •
(4.176)
В рассматриваемом приближении Л =1/2 [Л (K = Qp —^/г) + Л (К =
Подставив в (4.176) (фиг. 4.20) экспериментальные значения Л (К =3), Л (К = 4)
и ДЕ (где ДЕ —разность между энергиями состояний этих двух полос с / = 4),
получим а = 0,97, тогда как для орбиты [5211/2] в соседних ядрах с нечетным N
среднее значение а = 0,60 (табл. 5.16, стр. 270). Таким образом, за счет рас-
сматриваемой связи можно отнести только половину наблюдающегося расхожде-
ния в моментах инерции.
Таблица 4.14
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ПОЛОС В ЯДРЕ 1ввНо
Конфигурация		6?п	%	^теор	эксп
нейтрон	j	протон				
[633’/2]	[523’/2]	32	17	49	38
[52B/J	[523’/2]	13	17	30	28
[523»/d	[52372]	19	17	36	25
Вклады 6? различных одночастичных состояний в момент инерции определены по
экспериментальным значениям вращательных энергий в соседних нечетных ядрах
(табл. 5.15). Например, величина 6?? есть вклад протонной орбиты |523’/г] в ядре 1й5Но,
т. е. = у (о73Но)-------[у(вв4Dy)-j-(JsfcFr)]t величины для нейтронных .орбит
[6337/2] и [5211/2] представляют собой средние значения по ядрам 165Dy и 1в7Ег, а для
орбиты [5236/2] — среднее по ядрам ie3Dy и 165Ег. Величины 6^эксп представляют собой
разности между экспериментальными значениями ? и средним значением по соседним четно-
четным ядрам (2^/й2 = 78 МэВ-1)- В таблице для этих величин приводятся средние значе-
ния по двум полосам (К == j ±	|), связанным с каждой из конфигураций (фиг 4.20).
Все значения моментов инерции указаны в единицах xl2ti МэВ-1.
Выражение для энергии вращательной полосы с Кл=1+ содержит осцил-
лирующий член вида [формула (4.62)]
6£=Л2(—1)/ + 1/(/+1).	(4.177)
Предельное значение А, даваемое измеренными энергиями вращательных
состояний этой полосы, по крайней мере на 4 порядка меньше А. Это можно
объяснить на основе сделанного выше выбора конфигурации. В самом деле,
такой член возникает во втором порядке по взаимодействию Кориолиса с поло-
сами, имеющими К—0f и поэтому обращается в нуль для всех двухчастичных
конфигураций, кроме (Qp, Йл) = (1/г> 1/г)*
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
119
см. на фиг. 4.23). Энергетическая зависимость угловой анизотропии фотоделе-
ния ядра представлена на фиг 4.22.
Сильная анизотропия, наблюдающаяся в области порога, показывает, что
распределение по квантовым числам К отнюдь не хаотично. Это означает, что
распределение по /< определяется той стадией процесса деления, на которой
ядро «холодное», и, следовательно, г -
шое число каналов [157]. Такая
стадия соответствует прохожде-
нию ядром седловой точки,
когда почти вся энергия воз-
буждения затрачивается на де-
формацию.
Спектр каналов деления
тесно связан с симметрией фор-
мы ядра в седловой точке. Если
эта форма имеет аксиальную
симметрию и е^-инвариантна,
то спектр каналов подобен на-
блюдаемому вблизи основного
состояния ядра; в
наинизшие
в процессе может участвовать лишь неболь*
Фиг. 4.21. Угловое распределение осколков
при фотоделении ядра 238U.
Данные взяты из работы [1050]. Процесс деления
индуцируется непрерывным спектром тормозного
излучения электронов с энергией 5,2 МэВ. Ввиду
быстрого изменения сечения деления в данной об-
ласти энергий (фиг. 4.23) у-кванты, дающие эф-
фективный вклад в процесс деления, имеют энер-
гии в довольно узком интервале, ширина которого
оценивается приближенно в 100 кэВ.
частности
каналы образуют
полосу с /<лг = 0 + -|-. Вкладом
члена /л = 2+ этой полосы
можно было бы объяснить силь-
ное увеличение коэффициента С
в угловом распределении фотоде-
ления 238U при наинизших энер-
гиях, показанных на фиг/4.22.
Процесс квадрупольного
фотопоглощения сам по себе
гораздо слабее, чем процесс ди-
польного поглощения. Поэтому
при энергиях, отвечающих наи-
низшему каналу деления с /л =
— 1 — , дипольное фотоделение
должно доминировать. В самом
деле, в области энергий выше
5,5 МэВ, изображенной на фиг.
4.23, коэффициент b намного
больше коэффициентов а и с.
Тем самым доминирующий про-
цесс однозначно определяется
как дипольное фотоделение,
идущее по каналу с Кпг =
= 0-----.
Наинизшие ветви спектра с отрицательной четностью должны быть связаны
с деформациями, нарушающими симметрию отражения Ветвь такого типа
с Af = 0 сохраняет аксиальную симметрию и содержит смещение массы вдоль
оси симметрии (ветвь асимметрии массы). Ветвь с/<=1 сохраняет симметрию
отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси симметрии, и при-
водит к изгибу системы. Из имеющихся данных по фотоделению следует, что
ветвь с Кл = 0 —лежит значительно ниже ветви с Кл=1 —. Это означает,
что конфигурация ядра в седловой точке является довольно мягкой, хотя и
стабильной, относительно асимметричной деформации. Если бы система обла-
дала статической деформацией такого типа, то состояния с /л=1— и /л = 2+
принадлежали бы одной и той же полосе с К = 0 (фиг. 4.2, б) и тогда диполь-
ное фотоделение доминировало бы во всей области порога. (Данные по анизо-
118
Гл. 4. Вращательные спектры
Дополнительный довод в пользу сделанного выше выбора конфигурации
полосы с /<л=1 + следует из довольно большого значения матричного элемента
Гамова— Теллера для ^-распада ядра le6Dy, заселяющего уровень 166Но
с /л=1-|- (1g // = 5,2 [855]). При сделанном выше выборе конфигурации такой
переход классифицируется как «разрешенный незаторможенный» (относительно
классификации разрешенных Р-распадов на основе одночастичных внутренних
состояний см. гл. 5, стр. 267).
Делительные каналы, наблюдающиеся при фотоделении ядра 238U
(фиг. 4.21 - 4.23)
Данные о вращательных квантовых числах в промежуточной стадии про-
цесса деления получены путем анализа угловых распределений осколков.
В самом общем случае эти угловые распределения можно характеризовать
распределением вероятностей различных значений квантового числа К, которое
в данном случае представляет собой проекцию углового момента на направле-
ние разлета осколков [формула (3.60)]. В случае когда процесс деления идет
через компаунд-ядро, можно пренебречь интерференцией между каналами
с разными полными угловыми моментами, так что дифференциальное сечение
испускания осколков под углом 6 относительно падающего пучка будет равно
[157, 1096, 1178]
V V V Г/М 2/ + 1
^(0)=2 2 а(/Л1)2 4(7)——х
I м = — /	к=о
х С ф| -к (0) Г)sin srfe- <4-178)
где а (/М)— сечение образования компаунд-ядра с полным угловым моментом /
и его проекцией М на направление падающего пучка. Парциальная делительная
ширина по каналу с определенным значением квантового числа К обозначается
через Гу (7К), а полная ширина при данном / — через Г (/).
Угловая анизотропия в процессе деления впервые наблюдалась при фото-
делении ядер ^Th и 238U вблизи порога [1199].
При фотопоглощении в четно-четном ядре возникают состояния с М — ± 1
(так как спиральность фотона равна ±1) и с / ==/ или / = 2, что соответствует
дипольному или квадрупольному поглощению. Поэтому угловое распределение
(4.178) можно записать в виде
W (6) = а + b sin2 6 + с sin2 20,	(4.179)
где
Q	R
0 = ^-Р(11)+ | Р(21).
6 = |Р(10)- |Р(11)- |Р(21)+ ~Р (22).
Р(20)-|Р(21)+^-Р(22),	(4.180)
1 ' м
Экспериментальные данные по угловым распределениям при фотоделении
четно-четных ядер хорошо согласуются с соотношением (4.179); это видно,
например, из фиг. 4.21, относящейся к фотоделению ядра 238U в области непо-
средственно под порогом (функцию возбуждения ядра 23811 в области порога
120
Гл. 4. Вращательные спектры
Фиг. 4.22. Сечение фотоделения ядра 238U.
График взят из работ [665, 678].
тропик фотоделения в четных изотопах Ри носят такой же характер, как и
в ядре 238U. В то же время член с коэффициентом с в ядре 232Th гораздо
меньше. Это может означать, что конфигурация этого ядра в седловой точке
отклоняется от симметрии отражения [939].)
При более высоких энергиях деление становится приблизительно изотроп-
ным. Его можно рассматривать как дипольное фотоделение с Р (11) = 2Р (10),
что соответствует статисти-
ческому распределению.
(Внутренние состояния с
К =/= 0, представляющие со-
бой состояния с проекцией
вращательного момента /3 =
= ± К, входят в это рас-
пределение с вдвое большим
весом, чем состояния с
К = 0. При подсчете враща-
тельных состояний ^-сим-
метрия приводит к тому, что
паре внутренних состояний
с /3 = ± К 0 отвечает
только одно состояние (К,
/), тогда как при К = 0 со-
ответствующее уменьшение
числа вращательных состоя-
ний возникает за счет усло-
вия г = (—1)/; см. § 2, п. 3.)
Если бы форма ядра в
седловой точке не имела
аксиальной симметрии, то
спектр каналов существенно
отличался бы от рассмотрен-
ного выше (§ 5). Когда ин-
вариантность относительно
любого дискретного поворота
отсутствует, вращательная
полоса содержит 2/+1 со-
стояний при каждом /, и
все значения К имеют оди-
наковый вес. Поэтому угло-
вое распределение в фотоде-
лении должно было бы быть
изотропным, так как интер-
валы между вращательными
уровнями с / = 1 и / = 2
малы по сравнению с ха-
рактерными энергиями, отве-
ядра инвариантна относительно
поворотов (л) вокруг всех главных осей, как в случае эллипсоидальной
формы, то соответствующие полосы характеризуются квантовыми числами (гь
л», г3); см. стр. 160. В этом случае для наинизшей полосы мы имеем (rx, г2, г3) =
= (+ + +)> она содержит состояния с / = 0, 22, 3, [формула (4.277)].
Состояния с / = 2 образуют пространство, в котором компоненты с К = 0 и
К = 2 имеют одинаковый вес. Результатом должно было бы быть квадруполь-
ное фотоделение с а = 0 и с/b /4 [формула (4.180)]. Такая интерпретация пе
исключается данными, представленными на фиг. 4.22. Эллипсоидальная дефор-
мация не смешивает состояния с К = 0 иК = 1 [симметрия относительно пово-
рота е^з(л)] и поэтому не влияет на дипольное фотоотделение.
чающими открытому каналу. Если же форма
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей	121
Информацию о распределении К в спектре каналов деления дают также
измерения угловых распределений в различных прямых реакциях, при которых
образуется компаунд-ядро с энергией возбуждения, близкой к порогу деления:
в реакциях (d, pf) [1192, 202], в реакциях (/, pf) [349], в реакциях (а, а'/)
[203]. Особенно поразительными оказываются угловые распределения в про-
цессе аа', при котором возбуждаются состояния с большим угловым моментом
(/ ~~ 8 и более, Еа^40 МэВ). Эти угловые распределения имеют интенсивный
пик в направлении переданного импульса. По ширине этого пика можно заклю-
чить, что квантовые числа К (и М) в этом случае намного меньше /. Хотя
однозначно интерпретировать
это обстоятельство трудно,
поскольку не известен меха-
низм реакции и, следова-
тельно, не известны относи-
тельные величины парциаль-
ных сечений о(/Л1) в фор-
муле (4.178), эксперимен-
тальные данные, по-видимо-
му, согласуются с предполо-
жением о том, что процесс
деления идет преимуществен-
но по каналам сК=0 при
энергиях, лежащих в преде-
лах 1 МэВ от пороговой
[1192]. При энергиях, на
несколько мегаэлектронвольт
превышающих пороговую,
угловая анизотропия, так же
как и в случае фотоделения,
уменьшается благодаря тому,
что в игру вступают каналы
с /(^0. При еще больших
энергиях возбуждения (и
больших угловых моментах)
угловые распределения ос-
колков деления можно ин-
Энергия (ротонов, МэВ
Фиг. 4.23. Энергетическая зависимость пара-
метров анизотропии при фотоделении ядра 238U.
Данные взяты из работы [1050].
терпретировать как результат статистического распределения каналов с раз-
личными К. Такой анализ дает сведения о компонентах момента инерции, па-
раллельных и перпендикулярных оси симметрии (см. пример в гл. 6, стр. 543).
Указанная выше интерпретация, при которой распределение осколков
деления по К связывается со спектром каналов в седловой точке, основана
на допущении о сохранении квантового числа в процессе прохождения ядра
от седловой точки до разрыва. Такое допущение справедливо, если эта стадия
процесса протекает быстро по сравнению с периодом вращения. Сильная ани-
зотропия в области порога, наблюдающаяся при фотоделении ядра 238U, согла-
суется с этим допущением. Но процесс прохождения ядра от седловой точки
до точки разрыва может длиться значительно дольше, если потенциальная
энергия ядра в этой области имеет второй минимум. Тогда может возникать
квазистационарное состояние ядра в этом минимуме и угловое распределение
осколков будет определяться спектром каналов на втором барьере, удержи-
вающем ядро в таком состоянии (гл. 6, стр. 557).
Проверка правила интенсивностей для матричных элементов
Е2-переходов внутри вращательной полосы (фиг. 4.24)
В первом приближении матричные элементы Е2-переходов внутри враща-
тельной полосы содержат только один параметр [формула (4.68)], и поэтому их
отношения полностью определяются вращательными квантовыми числами Д7Л4.
122
Гл. 4. Вращательные спектры
Вероятности Е2-переходов. Для проверки правила интенсивностей Е2-пере-
ходов между вращательными состояниями можно воспользоваться процессом
кулоновского возбуждения. В нечетных ядрах со спином основного состояния
/0 (=К) в процессе кулоновского возбуждения первого порядка могут засе-
ляться два первых уровня с / = /0-|-1 и / = /0 + 2. Отношение величин
В (Е2) для них можно прямо определить, сравнив интенсивности соответству-
ющих групп неупруго рассеянных частиц. Полученные таким путем относи-
тельные значения В (Е2) представлены на фиг. 4.24 (дополнительные данные
Вг(Е2)/В, (Е2)
к
(\i Q r\j
И lQ 4} 00	2 О'"
1=4+1=2
[=2+1-0
Г=6-+[=4
1=2+1=0
1=К+1=К+2
1=К+1=К+1
0,5
--------------- 0,0^---------------------------------------------------
К = 0	К={/2	К=3/г	К=5/г	К=7/2 K = 9/z
Фиг. 4.24. Относительные интенсивности Е2-переходов между вращательными
состояниями.
Данные по нечетным ядрам взяты из работы [364] (фиг. 4.25). Относительно ядра 1в®Тт
см. табл. 4.5. Данные по четно-четным ядрам взяты из работ [755, 868, 321, 322, 835].
Данные по соотношениям интенсивностей Е2 переходов в полосе основного состояния ядра
20Ne приведены в табл. 4.4.
о правилах интенсивностей Е2-переходов внутри вращательных полос нечетных
ядер приводятся в табл. 4.6, 4.8 и 4.10).
Для проверки правила интенсивностей Е2-переходов внутри вращатель*
ных полос основных состояний четно-четных ядер можно воспользоваться
результатами измерений в опытах по многократному кулоновскому возбужде-
нию и результатами определения времен жизни. Примеры измеренных
отношений В (Е2) для переходов 6->4, 4->2 и 2->0 также можно найти
на фиг 4.24.
Вопрос об обобщенных правилах интенсивности Е2-переходов, учитываю-
щих эффекты возмущений, обусловленных вращательным движением, рассматри-
вался на стр. 57. Для полос с /< = 0 поправки наинизшего порядка квадра-
тичны по / и имеют вид (4.81), так что величину В (Е2) для переходов
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей 123
/ + 2->/ можно записать в виде
В (£2; / + 2->/) = A.e2Q^(/ + 2 0 2 01/ 0)2[l+2aZ(/ + 3)]2,	(4.181)
где
^1^1,/а^ = М' + 6Л12 + 36М»’	(4.182)
Таким образом, эти поправки к правилам интенсивностей нулевого порядка
содержат только один параметр а. Результаты измерений, приведенные на
фиг. 4.24, согласуются с правилом интенсивностей нулевого порядка и дают
для параметра а значения 10-3 во всех случаях, кроме случая 152Sm,
в котором а^(1 ±0,5) 10~3.
Часть эффектов искажения, описываемых параметром а, может быть обу-
словлена взаимодействием между полосой основного состояния и колебатель-
ными возбуждениями, представляющими собой квадрупольные колебания отно-
сительно равновесной формы ядра. Данные о таком взаимодействии можно
получить путем анализа интенсивностей ^-переходов из полос, основанных
на этих состояниях. Такого рода анализ иллюстрируется на примерах коле-
бательной полосы с К = 2 (у-вибрации) в 1вбЕг (стр. 145) и полосы с К = 0
(Р-вибрации) в 174Hf (стр. 153). В этих случаях соответствующие вклады в а
составляют несколько сотых долей процента, т. е. лежат за пределами точ-
ности современного эксперимента. Но в областях перехода между сферическими
и деформированными ядрами, где амплитуды колебаний относительно равно-
весной формы могут становиться большими, рассматриваемые эффекты должны
быть значительно сильнее.
Дополнительный вклад в а обусловлен тем, что вращение стремится
выстроить угловые моменты индивидуальных частиц в направлении полного
углового момента системы. Этот эффект можно рассматривать также как резуль-
тат взаимодействия с ложной модой /(=1. Оценка на основе модели гармони-
ческого осциллятора (стр. 87) дает а —(2/макс)“2	2 • 10-5 при А 160
[формула (4.143) и табл. 4.3]. Таким образом, данный эффект пренебрежим
для ядер, представленных на фиг. 4.24, но для легких ядер (см. о ядре 20Ne,
стр. 96) оказывается существенным.
Для полос с /(=#0 в матричных элементах ^-переходов возникают
поправки от членов в операторах внутренних моментов, линейных по /. При
К > 3/2 такие поправки связаны только с одним внутренним матричным эле-
ментом, так что правило интенсивностей принимает вид [формула (4.75)]
В(Е2- Kh-+ К.1г)	W1 /л>4-
+И</Л +12 -11 W (А -	(А+А +1),/{ -
-<ЛК-121 |4Х>(/1+К)‘/’(А-Х+1),/‘]}2,	(4.183)
г (K|«o.-i(<7)|/Q .	/_5_\‘/«	_
'	(16л) е<2о — <А । «0.0(17), А>-
Для полос сК=!/2 и К = 3/г поправки к правилам интенсивностей нулевого
порядка содержат дополнительный член, содержащий сигнатуру [формула (4.77)].
Член в формуле (4.183), пропорциональный £, можно отнести на счет сме-
шивания полос с А К=1, обусловленного взаимодействием Кориолиса. Из
формул (4.202) и (4.203), получим
(W(£2, Ц))дк=о=1[3, «^(£2, n)]--*-[S, (S, ^/(£2, р.)]] =
—	(e+i’	+ y {e+i> e-il	+
(4 к+н ^-11+ 4- Ki- е_х] Л/о) {/_, ^.-J+e^-conp., (4.184)
124
Гл. 4. Вращательные спектры
где е+1 — амплитуды примесных полос. Мы предположили, что невозмущенные
операторы внутренних моментов не зависят от / [Mv = ч№ (Е2, v)], и учли
члены второго порядка, содержащие коллективный момент «Л/0 = (5/16л)1/2
где Qo рассматривается как константа. Члены, пропорциональные дают
малую перенормировку внутреннего момента Qo, а члены, линейные по
имеют такой же вид, как в формуле (4.196). Отсюда получаем
?1=[(1®),/2е<30]~1<Лие+1’	(4.185)
£г = ^-<*|(е+1.	=	11М <1’Л~1
\ i	i	I
Средние значения соответствующих коммутаторов можно выразить через суммы
по промежуточным состояниям с К ± 1, как это сделано для вклада второго
порядка £2 [отметим, что e_1 = (e+i)t].
Поскольку для полос с 7< = 0 величина £ обращается в нуль, можно
попытаться оценить величину £ для низколежащих полос нечетных ядер, рас-
сматривая ее как вклад от последней нечетной частицы. В ряде случаев уда-
лось получить экспериментальные оценки для амплитуд смешивания полос
с Д7<=1. При этом оказывается, что в случае Е2-переходов между полосами
член, пропорциональный e+1Q0, обычно заметно больше прямого члена, про-
порционального (Е2, v=l) (см., например, 175Lu, стр. 144, и 236U, стр. 243).
Таким образом, главный вклад в £, по-видимому, обусловлен членом второго
порядка £2.
Конечно, величина £ может быть очень большой, если взаимодействующие
полосы случайно оказываются близкими, но для полос основных состояний
такого рода вырождение не имеет места. Типичные значения наибольших из
известных амплитуд примесей к основному состоянию таковы: ([7525/2] ^-liX
Х[7437/2]>^3 IO'2 в ядре 236U (стр. 245) и <[5213/2] |	[5235/2]>	2 - 10“2
в ядре 163Dy [1128]. Такая примесь соответствует £~£2^—Ю 3, что увели-
чивает отношение В (Е2; /0->/0 + 2)/В (Е2; /0-> /0+1) примерно на 1%. Под-
черкнем, что в настоящее время данные о смешивании полос с ЛЛС = 1 весьма
неполны и в рассмотренных выше случаях должны существовать дополнитель-
ные вклады £ от других возбуждений с Д/<=1, как положительные, так и
отрицательные.
Отклонения от правил интенсивностей, найденные по измеренным сечениям
для изотопов Dy (фиг. 4.24), на порядок величины больше, чем эффект, о кото-
ром говорилось выше. Они составляют всего лишь несколько стандартных
отклонений, но если они будут подтверждены более точными измерениями,
то их едва ли можно будет объяснить подобным смешиванием.
Статические Е2-моменты. Дополнительную информацию о матричных эле-
ментах Е2-переходов внутри вращательной полосы дают измеренные статические
квадрупольные моменты. Более того, очень большие статические квадруполь-
ные моменты, обнаруженные при анализе сверхтонкой структуры атомных
спектров, явились первым указанием на коллективные эффекты ядерной дефор-
мации, а также на вытянутую форму ядра.
Сравнивая статические квадрупольные моменты с моментами переходов,
можно провести дополнительную проверку соотношений между интенсивностями
Е2-переходов [формулы (4.70) и (4.68)]. Правда, многочисленные данные иссле-
дования сверхтонкой структуры нельзя было бы прямо использовать для такой
проверки из-за неопределенностей в градиенте электрического поля у ядра,
создаваемого связанными электронами. Но эти неопределенности не входят
в отношения квадрупольных моментов для разных изотопов одного и того же
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
125
элемента, и такие отношения совпадают с отношениями моментов перехода
с точностью до ошибки эксперимента, которая в среднем составляет несколько
процентов (см например, отношение моментов для Lu [1059], Gd [1083| и
W [920]).
Количественно статические квадрупольные моменты можно определять
путем прецизионных измерений энергий ц-атомных уровней в состояниях
с большим орбитальным моментом. Предварительные эксперименты такого
типа дали Q (175Lu)	350 ферми2 [745], что хорошо согласуется с внутренним
моментом Qo^ 750 ферми2, вычисленным по данным фиг. 4.25. Информацию
о статических квадрупольных моментах может давать и процесс многократного
кулоновского возбуждения (см., например, квадрупольный момент уровня 2-\-
в ядре 1880s, приведенный на фиг. 6.32).
Ядерные деформации (фиг. 4.25 и тпабл. 4.15 и 4.16)
Квадрупольные деформации по данным об электромагнитных моментах.
Данные о квадрупольной деформации ядер, рассчитанной на основании мат-
Фиг. 4.25. Квадрупольные деформации основных состояний ядер с А > 150.
Кружки — четно-четные ядра; светлые треугольники — ядра с нечетным р; темные тре-
угольники— ядра с нечетным п; крестики — нечетно-нечетные ядра.
Данные для области 150 < А < 190 взяты из работы [364], в которой содержится
сводка результатов серии экспериментов, проведенных совместно с авторами работ [367,
950, 898, 368, 550]. Для области тяжелых ядер данные взяты из работы по определению
времен жизни [92] и по кулоновскому возбуждению [431].
Почти все эти данные получены в результате измерения сечений кулонов-
ского возбуждения или времен жизни. Такие измерения дают только квадрат
внутреннего квадрупольного момента, а его знак можно установить, измерив
статический квадрупольный момент. В области ядер, показанной на фиг. 4.25,
имеющиеся данные согласуются с предположением о вытянутой форме ядра.
Дополнительную информацию о квадрупольной деформации плотности
распределения заряда в ядре дает изучение спектров [i-мезоатомов и рассея-
ния электронов. Поскольку кулоновское поле деформированного ядра имеет
126
Гл. 4. Вращательные спектры
несферические компоненты, движение ц-мезона в состояниях, локализованных
вблизи ядра, сильно связано с ядерным вращением, и поэтому энергетические
уровни ц-мезоатома дают информацию о большом числе различных матричных
элементов Е2-переходов внутри вращательной полосы основного состояния
[1190, 648] Из имеющихся в настоящее время данных вытекают значения
внутренней деформации, согласующиеся с приведенными на фиг. 4.25, причем
точность их примерно такая же (см., например, обзоры [316, 1209], а также
работу [253]). Поскольку радиусы нижних мюонных орбит сравнимы с радиу-
сом ядра, спектры ц-мезоатомов чувствительны к радиальному распределению
квадрупольного момента ядра. Имеющиеся данные согласуются с предположе-
нием о том, что соответствующий форм-фактор имеет простой вид, отвечающий
одинаковой деформации поверхностей равной плотности [формула (4.189)].
В последнее время подробные сведения о моментах Е2-переходов даются
опытами по неупругому рассеянию электронов [177].
Таблица 4.15
КВАДРУПОЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЙ ЛЕГКИХ ЯДЕР
Ядро	1 Qo 1, ферми2	ферми2	б
7Li	19+	5,4	0,88
8Ве	32+	5,1	1,2
10Ве	26	5,1	0,95
ПВ	20	5,0	0,60
12С	22	6,25	0,44
13\	16	6,5	0,26
19 F	33	7,6	0,36
18Ne	43	7,6	0,43
2о\е	54+	7,9	0,51
24Mg	57+	8,9	0,40
25Mg	50+	9,1	0,34
Значения Qo найдены по вероятностям Е2-переходов [формула (4.68)]. Эксперимен-
тальные данные для ядер с А 19 взяты из работ [6, 7] (критический обзор имеющихся
данных был представлен Лауритсеном) Относительно ядра 20Ne см табл. 4.4; данные для
ядер с А = 24 и А = 25 взяты из работы [383]. Для тех ядер, для которых измерены ста-
тические квадрупольные моменты, во втором столбце указан и знак внутреннего квадру-
польного момента [найденный по формуле (4.69)]. Значения (г2) оказываются несколько
больше величин, даваемых обычной формулой 3/ьЯ2 = 0,6 (1,2а1/3 ферми)2 В тех слу-
чаях, когда имеется соответствующая информация, в таблице приводятся значения <г2>,
вычисленные по данным о рассеянии электронов. Для ядер 7Li, 9Ве и ПВ эти значения
взяты из работы [953]. Величина (г2) для ядра 12С взята из работы [577], а для ядра
— из работы [577]. Для тех ядер, для которых прямые измерения не проводились,
приведены значения (г2), полученные путем экстраполяции данных для соседних изотопов
в предположении, что выполняется зависимость Д2/з.
Оценки на основе оболочечной модели. Деформацию ядра можно прибли-
женно оценить на основе модели выстраивания, согласно которой каждый
нуклон независимо от других движется в деформированном среднем поле,
создаваемом остальными нуклонами. Равновесную деформацию при этом можно
найти из условия самосогласования, требующего равенства деформаций
потенциала и плотности в состоянии равновесия. Квадрупольную деформацию
ядра нетрудно приближенно оценить, рассмотрев независимое движение частиц
в потенциале анизотропного гармонического осциллятора (стр. 82). В этом
случае условие самосогласования требует, чтобы частоты сод колебаний
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
127
вдоль главных осей были обратно пропорциональны величинам y}k, которые
дают полное число квантов колебаний вдоль соответствующих направлений
[формула (4.115)]. Вычислив параметр деформации д по формуле (4.72), полу-
чим [формула (4.113)]
(2x5
4
6 =
3 2сОз1Е3 —сор1 Ех —_
4 G)p1Ei + wp1E2 +
_ 3 2Е| —Sf —Ei
4	+ +	’
(4.186)
Таким образом, параметр деформации 6 зависит от разностей между чис-
лами осцилляторных квантов в различных направлениях, даваемыми величи-
нами Ех [формула (4.114)]. В аксиально-симметричном случае при 6 1
деформацию можно записать в виде
3(£3-£2)
Ei + L2 + £з
^макс-^ •
(4.187)
Здесь мы использовали оценки (2.157) и (2.158) для £(7V + 3/2) и выразили
анизотропию квантов через величину /макс —1 Ез~ Е2 определяющую макси-
мальное значение углового момента в выстроенном состоянии [формула (4.138)].
Параметр 6, даваемый выражением (4.187), по порядку величины равен
отношению числа частиц вне заполненных оболочек к полному числу частиц,
так что в середине оболочек наинизшие конфигурации имеют деформации
порядка Л"1/3. Если вычислить величины £х исходя из того, в каком порядке
заполняются одночастичные орбиты (гл. 5), то величины 6 качественно сог-
ласуются с данными фиг. 4.25 и табл. 4.15 (см., например, значения 6, вычис-
ленные по значениям /макс, приведенным в табл. 4.3). При такой простой
оценке равновесной деформации не учитывается отклонение одночастичных
волновых функций от осцилляторных, а также эффект парных корреляций.
Последние делают более выгодной сферическую форму (благодаря более высо-
кой степени вырождения одночастичных уровней) и, в частности, ответственны
за переход к сферической равновесной форме при приближении к заполненным
оболочкам (гл. 6).
Примечательно, что все исследованные к настоящему времени сильно
деформированные ядра имеют вытянутую форму. В случае осцилляторного
потенциала в пределе больших квантовых чисел имеется симметрия между
вытянутыми деформациями, возникающими в начале оболочки, и сплюснутыми
формами в конце оболочки. [Из формулы (4.186) видно, что конфигурациям,
отвечающим замене частиц дырками, соответствуют в этом пределе одинаковые
величины 6.] Отклонение ядерного потенциала от осцилляторного приводит
к тому, что спектр одночастичных состояний в сферическом потенциале несим-
метричен относительно замены частиц на дырки в главных оболочках (см.,
например, фиг. 5.1 и замечания на стр. 260), и соответствующие детальные
оценки деформации согласуются с наблюдаемой вытянутой формой ядер,
представленных на фиг. 4.25 (так же как и ядер в начале sd-оболочки).
Однако вопрос о том, в силу каких структурных эффектов систематически
оказывается более предпочтительной вытянутая форма, пока остается открытым.
Еще одна интересная особенность ядерной деформации — аксиальная
симметрия. Одночастичные состояния в потенциале аксиально-симметричного
гармонического осциллятора остаются вырожденными относительно распределе-
ния квантов в плоскости .зд,- Поэтому, вообще говоря, такой потенциал дол-
жен был бы приводить к эллипсоидальным деформациям с тремя разными
осями. Поскольку степень вырождения орбит в аксиально-симметричном
128
Гл. 4. Вращательные спектры
потенциале по порядку величины равна /41у/з, отклонения от аксиальной сим-
метрии имеют порядок только /4~2\ соответствующий относительному числу
частиц, которые могут заполнять подоболочку. Отклонениям от аксиальной
симметрии препятствуют спин-орбитальная связь (поскольку неаксиальная
деформация стремится уменьшить орбитальный момент, гл. 5, § 1) и парные
корреляции (для которых более предпочтительно максимальное вырождение
одночастичных орбит). В настоящее время нет четких данных о существовании
стабильных неаксиальных деформаций (см., например, спектры ядра 166Ег,
стр. 152, и ядра 2lJMg, стр. 252). Возможно, однако, что такие деформации
возникают в состояниях с большими угловыми моментами (стр. 50).
Деформация ядерного поля. Анализ эффектов электромагнитного взаимо-
действия дает информацию о форме распределения заряда в ядре; данные
о деформации ядерного поля можно получить, исследуя рассеяние или связан-
ные состояния сильно взаимодействующих частиц. Имеющиеся данные, хотя
и весьма предварительного характера, согласуются со значениями 6, получен-
ными в результате измерения матричных элементов £2-переходов (см., напри-
мер, данные табл. 4.16, полученные из а —а'-рассеяния). Относительно анализа
(р, р')-рассеяния см., например, табл. 6.2. Данные, полученные из рассеяния
нейтронов и протонов на ориентированных ядрах, см. в работах [794, 418].
Обширные данные о влиянии деформации ядерного потенциала на связанные
состояния протонов и нейтронов обсуждаются в гл. 5. Данные о деформации
потенциала, действующего на л-мезоны, получены путем анализа л-мезоато-
мов [745].
Кулоновское взаимодействие и наличие нейтронного избытка могут при-
водить к некоторому различию в деформациях распределений протонов и
нейтронов по ядру, вследствие чего деформации изоскалярного и изовекторного
потенциалов могут различаться. Деформацию изовекторного поля можно
найти, сравнив сечения возбуждения вращательных состояний при неупругом
рассеянии протонов и нейтронов, л+- и л”-мезонов или выявив изобарические
аналоги вращательных состояний в прямом (рп)-процессе (см. об изобарической
структуре колебательных состояний в гл. 6).
Другой мерой деформации формы ядра является расщепление дипольного
резонанса в деформированных ядрах. Измерение такого расщепления (табл. 6.7)
дает параметры деформации, согласующиеся с приведенными на фиг. 4.25
в пределах точности измерения.
Параметры, характеризующие деформации более высокого порядка мульти-
польности. Систематический подход к заданию различных компонент деформа-
ции формы ядра может быть основан на макроскопическом анализе деформа-
ций в системе, толщина диффузного слоя которой мала по сравнению с ее
радиусомХ). Распределение плотности р0 (г) в такой системе в случае сфери-
ческой формы может быть записано в виде р0/((^ — ^о)/^о)» где р0 —плотность
в центре тяжелого ядра, а /—форм-фактор, в который входят радиус /?0 и
параметр диффузности aQ [например, вудс-саксоновский форм-фактор (2.62)].
Деформацию с длиной волны, большой по сравнению с диффузностью, можно
представить как локальное смещение поверхности в каждой точке. Чтобы
получить при этом соответствующее распределение плотности, нужно заменить
радиус £0 радиусом R (0, (р), зависящим от угловых переменных, и одно-
временно ввести поправку в параметр размытия, так чтобы градиент плот-
ности р в каждой точке поверхности постоянной плотности не зависел
от деформации.
п Макроскопический анализ свойств, обусловленных наличием поверхност-
ного слоя, тонкого по сравнению с радиусом системы, систематически прове-
ден Майерсом и Святецким [861] и Майерсом [858]; такие системы называются
«лептодермическими».
§ 3, Энергетические спектры и правила интенсивностей
129
Задав деформацию поверхности мультипольными параметрами а^, таким
путем получим
Р(г) = Ро/(('-—R (6, <р))/а(6, ф)),
(4.188а)
R(6, ф)=Я</1+	<0’ Ф)“4^ 2 |a^|2V (4J886)
\	2, ц	2, ц /
а (в, <р)=ао(1+у (?Я)г = же. <р>) =
= а0(1	), (4.188в)
\>2,ц	г=Я(е, ф)
учитывая главные члены в параметре размытия а. Последний член в выраже-
нии для R включен для сохранения числа частиц с точностью до членов
порядка а2; коэффициент с равен единице при а = 0 (резкая поверхность) и
в общем случае выражается через радиальные моменты распределения f [фор-
мула (4.189в)]. В разложение (4.188) не включена деформация с Х=1,
поскольку она отвечает смещению системы как целого. Разлагая деформиро-
ванную плотность по степеням а^, получим
Р (г) = Ро (')-*<>	2 1	|2+Т (r~Ra} R°X
х (2«x1xVrrtl)2) + y^^-(2a^r^)2+-"- <4Л89а>
Ро W -- Р (г. “7.Ц = 0) — Ро/ ((г—#)/«о).
оо
Po#o=S Ро (г) dr,
о
с-._ 1
2 (г"1) К°’
ОО
j Ро (') гп+2 dr
о
оо
( р0(г)гМг
(4.1896)
(4.189в)
(4.189г)
При вычислении коэффициента с из условия нормировки предполагалось, что
радиус /?0 определяется соотношением (4.1896); в частности, этому условию
удовлетворяет параметр радиуса в вудс-саксоновском форм-факторе (2.62), если
пренебречь членами порядка ехр (—/?о/йо)«
В случае распределения плотности (4.189а) мультипольные моменты можно
представить в виде рядов по степеням а^ц, с коэффициентами, зависящими от
радиальных моментов {гп} распределения р0 (г) (для распределения Вудса —
Саксона эти моменты вычислены в т. 1, стр. 161). Например, электрические
квадрупольный и гексадекапольный моменты зарядового распределения вида
б О. Бор, Б. Моттельсон-
130
Гл. 4. Вращательные спектры
(4.189а) даются выражениями
(£2, |л) = — ZeR*	а2ц —
/ 10 \’/2/	. /, . 3 /	2	_ \\\
V Д,зх	(4Л9°)
е< (£4, И) = ^ ZeRl '2 ^а4(Л +
с точностью до членов второго порядка по a2(Ll.
В случае аксиально-симметричных систем для компонент деформации во
внутренней системе координат имеем a?v== P?/)(v, 0). Соотношение между
параметрами квадрупольной деформации 6 и 02 найдем, сравнив формулу
(4.72) с формулой (4.190):
к ! 45 у/г/4	<г)Я(, „ ,3 ДИ 20	,	\
\ 16л ) \5	(г2) Р2-г 5 (г2) \ 49л) Р2'г"7~
0,945^2 (1 -4 л2 (Ч-Р + 0,3401,	(4.191)
\	5	\ Ао /
где поправка на диффузность введена только в линейном члене, причем она
вычислена на основе распределения Вудса —Саксона [формула (2.65)].
Сведения о гексадекапольных моментах (Х = 4) извлечены из данных
о кулоновском .возбуждении вращательных уровней 4+ в полосах основных
состояний четно-четных ядер, неупругом рассеянии электронов, а также о не-
упруго.м рассеянии ядерных частиц В качестве примера в табл. 4.16 приведены
параметры деформации, полученные путем анализа рассеяния a-частиц с энер-
гией 50 МэВ, явившегося первой работой по определению параметров (34.
В таких экспериментах определяются параметры (Рх)ПОт деформации эффектив-
ного потенциала, действующего на a-частицы; параметры р^, деформации плот-
ности вычислены в предположении, что величины 7?0Рх одинаковы для потен-
циала и плотности [в данном случае отсюда следует, что р? 1,2 (рх)пот»
поскольку средний радиус потенциала примерно на 20% превышает средний
радиус плотности (стр. 309)]. Параметры, представленные в табл. 4.16, довольно
хорошо согласуются с значениями, полученными из опытов по электромагнит-
ному возбуждению [384].
Таблица 4.1 о
ДЕФОРМАЦИИ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ЯДЕР ПО ДАННЫМ
ОБ a — a'-РАССЕЯНИИ [582]
Ядро	'52sm	I^Sm	>58 Gd	l66Er	>™Yb	!76Yb	178H[
02	0,246	0,270	0,282	0,276	0,276	0,276	0,246
1*4	0,048	0,054	0,036	0,0	—0,048	—0,054	—0,072
Качественно вопрос о гексадекапольных деформациях можно исследовать
исходя из гексадекапольных моментов одночастичных состояний вблизи поверх-
ности Ферми [581]. В случае частиц, движущихся в аксиально-симметричном
§ 3, Энергетические спектры и правила интенсивностей 131
потенциале гармонического осциллятора, такие состояния характеризуются
квантовыми числами А, п3 и Л (стр. 194), так что
(Nn3A I г4У40 I Nn3A) ~
-Ш'’т	+	(4,192)
В этом выражении мы пренебрегли анизотропией в осцилляторном потенциале.
Для отдельной орбиты эффект мал (порядка б2), но суммарный эффект дает
существенный вклад порядка Л б2 в гексадекапольный момент, соответствующий
второму члену в выражении (4.190) для момента с А = 4.
В случае потенциала вытянутой формы для первых заполняющихся орбит
в данной главной оболочке п3 = А, и поэтому им соответствуют большие поло-
жительные гексадекапольные моменты. С уменьшением п3 (при фиксированном 2V)
матричные элементы (4.192) уменьшаются, становясь отрицательными при про-
межуточных значениях м3, А Типичные орбиты, заполняемые в ядрах, при-
веденных в табл. 4.15, имеют N = 5, и3 = 2 для нейтронов и А = 4, г?3=1
для протонов (табл. 5.12 и 5.13, стр. 261), так что наблюдающееся на опыте
уменьшение 04 с ростом А можно отнести за счет отрицательных гексадека-
польных моментов этих орбит. Такая же тенденция наблюдается и в первой
половине ядер sd-оболочки: действительно, 04 (20Ne) ==«4-0,2, а 04 (24Mg) =« — 0,05
(см. работу [611] и приведенные в ней ссылки). Для первой заполняющейся
орбиты в sd-оболочке (Ал3А) = (220) (фиг. 5.1), что приводит к большому
положительному значению 04 в 20Ne; следующей орбите, для которой (А/?3А) =
= (211), отвечает матричный элемент (г4У противоположного знака и почти
такой же величины, как и для орбиты (220), чем и объясняется малая вели-
чина 04 в 24Mg. Первые данные о деформациях с А = 4 в актинидах были
получены путем анализа интенсивностей компонент тонкой структуры а-рас-
пада в этих ядрах [446]; более детальную информацию, основанную на дан-
ных о кулоновском возбуждении, можно найти в работе [98].
Бета-распад ядра 176Lu {фиг. 4.26)
Два состояния ядра 76Lu независимо одно от другого распадаются на
различные члены вращательной полосы основного состояния 176Hf (фиг 4.26)
Короткоживущий изомер 176Lu (т1/г = 3,7 ч, /л=1—) распадается на
состояния с /л = 04- и /л = 2 4- ядра 176Hf в результате 0-перехода первого
порядка запрета. Распад на основное состояние должен иметь А=1, тогда как
переход на уровень 24~ может быть смесью переходов с А= 1 и А = 2. Но
вычисленные значения ft для одночастичного перехода первого порядка зап-
рета типа А = 2 примерно в Ё2 («^ 102) раз превышают величину ft для анало-
гичного перехода А= 1 (т. 1, стр. 399); экспериментальное значение ft для
рассматриваемого перехода отвечает незатрудненному переходу первого порядка
запрета с Х«1, и поэтому канал Х = 2 вряд ли может давать существенный
вклад в этот переход (/7 = 2-106) Таким образом, правило интенсивностей
нулевого порядка (4.91) дает
// (1 ->2)	(1К 1-/(|0 О)2
ft(l ->0) ” <1К 1 —К i 2 О)2
где К относится к изомеру 176Lu. Экспериментальное значение этого отноше-
ния, равное 0,5 ±0,1 [551], ясно показывает, что Л' = 0, ив то же время
позволяет проверить правила интенсивностей 0-распада.
Сильным аргументом в пользу интерпретации уровня с /л=1—- в ядре
176Lu как Кл = 0—, г = — 1 является отрицательный квадрупольный момент,
установленный для этого состояния (Q = —230 ферми2 [455]). Наинизшие внут-
5*
j -% при /< = 0,
[ 2 при К=1,
132
Гл. 4. Вращательные спектры
ренние состояния в ядре 176Lu во многих
с соответствующими состояниями в ядре
17В
72
Фиг. 4.26 Схема
Hf
отношениях, по-видимому, сходны
166Но (фиг. 4.20), для которых
Qp = Qrt = 7/2. Но в ядре 17cLu
квантовые числа одночастич-
ных состояний равны [4047/2]
для протона и [5147/2] для
нейтрона (табл. 5.12 и 5.13,
стр. 261, 262), и поэтому энер-
гетические интервалы между
тремя полосами (К — 7\ К = 0,
г = 4- 1), возникающими из-за
взаимодействия между этими
двумя орбитами, отличаются от
соответствующих интервалов в
ядре 166Но. Дополнительные
данные в пользу такой класси-
фикации уровней 17cLu были
получены в результате спектро-
скопических исследований реак-
ции 175Lu (п, у) [836] (фиг. 4.26).
Долгоживущее основное со-
стояние ядра 176Lu(/jt = 7—)
распадается на уровень с / =
=6 полосы К л/= 0+4- ос-
новного состояния ядра 176Hf
в результате сильно затормо-
женного перехода первого по-
рядка запрета. Если сравнить
величины ft для этого пере-
хода и для незаторможенного
перехода первого порядка за-
прета (например, Для распада
изомера l76Lu с /л=1—), то
соответствующий фактор тор-
можения можно оценить при-
мерно в 1012. Такое торможе-
ние можно объяснить тем, что
данный переход является ^за-
прещенным. Если принять Х= 1,
то данный переход шестикратно
запрещен по К (п = 6), так что наблюдающееся торможение отвечает умень-
шению матричного элемента на 2 порядка на каждую степень /С-запрета
распада ядра l76Lu.
Данные взяты из таблицы изотопов [736] Все
энергии, кроме энергии изомерного уровня, взятой
из работы [836], указаны в килоэлектронвольтах
Бета-распад ядра l72Tm {табл, 4,17)
Из основного состояния ядра 172Тп) (/л = 2—) возможен переход на первые
три уровня вращательной полосы основного состояния 172Yb за счет 0-рас-
пада первого порядка запрета типа Х = 2. Если считать, что выполняются
правила интенсивностей нулевого порядка, то величины fYt должны быть про-
порциональными (222 — 2 I //0)“2 [формула (4.92)]. В табл. 4.17 измеренные
отношения интенсивностей сравниваются с вычисленными по формуле (4.92).
Переход в состояние 2-|- ядра l72Yb может содержать примеси каналов
с Х = 0 и Х=1. Но эти каналы запрещены по Л', хотя лептонные матричные
элементы для них больше. Данные о вкладе каналов с Х = 0 и Л=1 в пере-
ход 2--->2+ можно получить, измеряя 0 — у-корреляции по направлению и
поляризации и форму спектра испускаемых 0-частиц. Для переходов с Х = 2
форма спектра существенно отличается от формы спектра для разрешенных
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей
133
Таблица 4.17
ОТНОШЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ (3-ПЕРЕХОДОВ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА ЗАПРЕТА ДЛЯ РАСПАДА ЯДРА 172Тгп [554]
	1g fit	fx/ (2 -» lf)	<2 —2 2 2 | 0 О)2
		fit (2 - 0)	<2 —2 2 2 |	0)2
0	8,63	1	1
2	8,43	0,63 zt 0,19	0,7
4	9,77	13,7 zt 2	14
переходов, тогда как для переходов с Х = 0 и Х=1 т^кие отклонения малы
(в приближении >^>1; см. приложение 4 к гл. 3). Из экспериментальной
формы |3-спектра перехода 2->2+ следует, что верхний предел для вклада
компонент с Х = 0 или Х=1 в интенсивность рассматриваемого перехода
составляет 10% [554]. Сравнивая этот предел с обычными значениями ft для
незаторможенных переходов дан-
ного типа (ft ~ 106— 107), мы ви-
дим, что для данного перехода
первого порядка /(-запрета ве-
роятность уменьшается по крайней
мере в 103 раз.
К-запрещенные
Е2-переходы в ядре 244Ст
{фиг. 4.27 и табл. 4.18)
Распад изомера 1042 кэВ в
ядре 244Ст (фиг. 4.27) дает воз-
можность проверить правило интен-
сивностей /(-запрещенных /^-пе-
реходов. Для этого изомерного
состояния К = 6, так что для
переходов па вращательную по-
лосу основного состояния п = 4.
Правило интенсивностей нулевого
порядка Для таких переходов имеет
вид [формула (4.95)]
В (£2; Кг- = 6, /<->/(, = 0, /у) =
<//62—2 //4>2(-Л-^2<К =
= 6 i me, 2 j К = 0)2.	(4.194)
Из табл. 4.18 видно, что экспе-
риментальные значения (£2)
согласуются с этим соотношением.
Абсолютные интенсивности переходов, определяющиеся временем жизни
изомера, показывают, что рассматриваемые £2-переходы заторможены при-
мерно в 1010 раз, а АП-переход (/(7 = 66->/(/ = 0,6; фиг. 4.27) заторможен
примерно в 1012 раз по сравнению с одночастичными оценками [формула
(3.170)]. Таким образом, для переходов обеих мультипольностей торможение
составляет около 300 на каждый порядок /(-запрета.
КЛ =6 +
Фиг.
КЛ = 0 +
Ti/2 = 3,4- 10~2с
502
296
4
2 ----------------
. О ---------------
4.27. С
244Cmm [1139; 553].
1042
142,3
42,9
О
Схема распада ядра
134
Гл. 4. Вращательные спектры
Таблица 4.18
ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН В (£2) ДЛЯ /(-ЗАПРЕЩЕННЫХ
Е2-ПЕРЕХОДОВ В ЯДРЕ 2«Сш [1139, 553]
	Эксперимент	Теория
со со со Со Со Со То То ьэ ьэ ю О) 05 а> О) 1111	3,6 0,34	3,7 0,39
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ И ВНУТРЕННИМ
ДВИЖЕНИЕМ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ЯДРАХ
Феноменологический анализ матричных элементов во вращатель-
ной модели, проведенный в§ 3, основывался на свойствах симметрии
деформации и условии адиабатичности, которое позволяет предста-
вить все величины в виде разложения в ряд по степеням враща-
тельного углового момента. При таком подходе взаимодействие
между вращательным и внутренним движением, обусловленное
центробежными и кориолисовыми силами, в формулах явно не
фигурирует, но проявляется в том, что эффективные операторы
зависят от /. Эффекты, обусловленные таким взаимодействием,
можно рассматривать и как результат смешивания разных враща-
тельных полос. В данном параграфе мы рассмотрим вопрос о сме-
шивании полос, основанных на внутренних состояниях с малой энер-
гией возбуждения. Идя далее в этом направлении, можно попы-
таться вывести все свойства ядра, зависящие от /, на основе учета
взаимодействия между вращательным и внутренним движением (при-
мером может служить модель принудительного вращения, стр. 80).
Взаимодействие Кориолиса
Гамильтониан, описывающий связь между набором полос, обоз-
начаемых индексами i ~ 1, 2, можно записать в виде
Н = Н. + НС>	(4.195)
где HQ диагоналей по г, а Нс связывает состояния разных полос
(имеющие одинаковое значение /). При этом предполагается, что
в представлении (4.195) гамильтониан системы диагонализован
относительно всех других ветвей спектра возбуждения, кроме рас-
сматриваемых явно, и поэтому зависящие от / члены всех операто-
ров обусловлены всеми взаимодействиями, кроме тех, которые
описываются гамильтонианом Нс-
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 135
Взаимодействие Нс описывает влияние вращения на внутренние
степени свободы i, В наинизшем порядке это взаимодействие про-
порционально вращательному угловому моменту
Нс = h+1I~ + е^-сопр.,	(4.196)
где Л+1 = йдк = +1 — внутренний оператор (матрица в простран-
стве I). Взаимодействие (4.196) приводит к связи между полосами
с Д/< = 1 и между полосами с К = 1/2. В последнем случае диаго-
нальный эффект взаимодействия (4.196) приводит к появлению
члена с сигнатурой в выражении для энергии вращательной полосы
с К [формула (4.61), член с параметром развязывания].
Если внутренние степени свободы i можно рассматривать как
движение одной или нескольких частиц в среднем поле, создавае-
мом остальными нуклонами, и если предполагается, что соответ-
ствующий потенциал не зависит от вращения, то Нс — гамильто-
ниан взаимодействия Кориолиса (см. о модели частица — ротатор
в приложении). Тогда
/г+1(<7) = -2^-Л,	(4.197)
где— момент инерции «остова» (ядра-остатка), a J+ = Л + iJ2 —
компонента оператора полного углового момента рассматриваемых
частиц,
Эффекты первого порядка по взаимодействию Кориолиса
В случае двух полос с Д/< = 1 взаимодействие (4.196) приводит
к их смешиванию:
0-С(/)1К + 1,/>.	(41Э8)
I К +Т,	+ l)+cl.l)\K, !•>,
где символ обозначает смешанные состояния. В первом порядке
амплитуда смешивания с (/) дается выражениями
с(1) = (К + Цг+1\К)(1-КУ'Ч1 + к	При
I 1 ПРИ (4.199)
В знаменателе второго выражения мы пренебрегаем вращательными
энергиями по сравнению с внутренними. Выражения (4.199) отно-
сятся и к взаимодействию двух полос с ^ = х/2 В этом случае вну-
треннее состояние | Ку ) следует заменить состоянием |	>, об-
ращенным во времени, а амплитуду с (/) умножить на сигнатуру
(-!)' + «* .
136
Гл. 4. Вращательные спектры
Основанием для учета взаимодействия Кориолиса по теории
возмущений является малость величины е+1. Поскольку энергии
возбуждения внутренних состояний в тяжелых ядрах — порядка
1 МэВ, выражение (4.197) для h+1 (q) и формула (4.198) дают для
матричных элементов операторов е+1 величины порядка нескольких
процентов для наинизших членов вращательных полос (экспери-
ментальные значения е+1 получены в результате анализа спектров
175Lu, стр. 143, и 23511, стр. 242).
Смешивание (4.197) приводит к изменениям в матричных эле-
ментах различных переходов между связанными полосами [672].
Компактные выражения для таких эффектов могут быть получены,
если эю смешивание описывать каноническим преобразованием
| К!) -> ехр (— tS) | KI) | KI) - iS | KI), (4.200)
где S — оператор, пропорциональный матрице е+1 [которая опре-
деляется формулой (4.199)]:
S = — i (8+i/_ + e^-conp.).	(4.201)
Преобразование ехр (—IS) диагонализирует гамильтониан (4.195)
с точностью до главных членов поэтому взаимодействию (приложе-
ние, стр. 185).
Матричные элементы оператора для перехода между возму-
щенными состояниями можно найти, вычислив преобразованный
оператор
ехр (t’S) ехр (— IS) =
= eW±i[S,	[S,	+ =	(4.202)
действующий между невозмущенными состояниями. Для тензорного
оператора (X, ц) преобразование (4.90) к внутренним осям
в первом порядке по S дает
(X|i) i [S, М (Xpt)] = p8+1/_ + s^’-conp.),20/^4^v)	=
=2(4!e+i>	^v]+
V
+ 4fe+i’ (**)]{/-» н-а^-сопр., (4.203)
где предполагается, что внутренние моменты М' (Xv) не зависят
от I Мы использовали тождество (4.345) для коммутаторов между
произведениями и общепринятое обозначение для антикоммутато-
ров ({a, b} — ab + Ьа). Коммутатор [/ в первом члене фор-
мулы (4.203) пропорционален v +1 [формула (1 185)]. Таким
образом, учет этого члена сводится к перенормировке внутренних
§ 4, Взаимодействие между вращат, и внутренним движением 137
моментов, не зависящей от /, и поэтому не приводит к изме-
нениям в правилах интенсивностей. При учете же второго члена
возникают эффективные моменты, линейные по /±, и это при-
водит к обобщенным правилам интенсивностей типа рассмотрен-
ных в § 3.
Различные члены, входящие в выражение (4.203), анализируются
в приложении для случая дипольных моментов. Рассматриваемое
взаимодействие приводит, с одной стороны, к перенормировке
членов нулевого порядка, таких, как факторы gK, gR и 6, которые
характеризуют М 1-переходы внутри полосы, и, с другой стороны,
к появлению новых членов, линейных по /±, которые дают вклад
в матричные элементы переходов между состояниями с Д/<	0,
±1 и ±2. (Эффекты взаимодействия Кориолиса в Л41-переходах
между полосами 175Lu разбираются на стр. 143; зависящие от I
члены в операторе El-перехода, наблюдающиеся в 177Hf, также мо-
гут быть отнесены за счет эффектов первого порядка по взаимодей-
ствию Кориолиса; см. стр. 107.)
Рассматриваемое смешивание двух полос особенно сильно влияет
на Е2-переходы между ними, поскольку вклад примесных компо-
нент волновых функций содержит коллективный матричный эле-
мент, пропорциональный Qo. Соответствующий вклад в момент
Е2-перехода описывается членами выражения (4.203), содержащими
М (Е2, v = 0) = (5/16л)zeQ0. Если пренебречь разницей в значе-
ниях Qo для этих полос, то коммутатор операторов е+1 и о<(Е2, v =
=-• 0) обращается в нуль, и тогда индуцированный момент (Е2)
приводит к не зависящей от / перенормировке внутреннего момента
перехода (Е2, v 1) без какого-либо изменения относительных
вероятностей переходов. Для Е2-переходов с малой энергией
(ДЕ < 1 Мэв) индуцированный момент велик по сравнению с не-
возмущенным, и с этим связано существенное повышение абсолют-
ных скоростей перехода (см. соответствующую оценку в гл. 5,
стр. 249 и пример, рассмотренный на стр. 142).
В случае Е2-переходов внутри полосы второй член в формуле
(4.202) вызывает отклонения от правил интенсивностей нулевого
порядка (если /< =# 0). Но такие эффекты должны быть малыми,
поскольку они обусловлены внутренними моментами перехода
(Е2, v ~ 1), тогда как член нулевого порядка содержит коллек-
тивный момент (Е2, v = 0) (см. пример, рассмотренный на
стр. 123).
В ряде случаев оказалось возможным приближенно оценить
амплитуду смешивания полос (К + 1 I е+1 | К) по эксперименталь-
но определенным вкладам в несколько разных переходов между
полосами и тем самым проверить однозначность результатов такого
анализа (См. пример 175Lu, стр. 143. Об интерпретации эксперимен-
тальных значений матричных элементов h+1 на основе одночастичных
внутренних конфигураций см. гл. 5, § 3, п. 4.)
138
Гл. 4. Вращательные спектры
Вклады второго порядка во вращательную энергию
Взаимодействие (4.196) приводит к взаимному отталкиванию
взаимодействующих полос, выражающемуся в появлении энерге-
тических сдвигов:
8Е (Kif) = -6£(Л:2 = ^ + 1, /) =
= - (£	[7 <7 + 1) - К»(Ki + 1)]. (4.204)
Член, пропорциональный / (/ + 1), приводит к перенормировке
коэффициента А вращательной энергии [формула (4.46)], что отве-
чает вкладу в момент инерции вида
(К1) ~ - «Л (Кг) ~	•	(4-205>
При выводе формулы (4.205) мы предполагали, что б/ и
использовали соотношение (4.197) для /г+1 [заметим, что Л
- v2 (Л + j_)]. Вклад члена (4.205) в разность между моментами
инерции четно-четных и нечетных ядер рассматривается в гл. 5, § 3.
Выражение (4.205) совпадает с тем, которое получается при
рассмотрении системы частиц, движущихся в потенциале внешнего
поля, вращающемся с фиксированной частотой (модель принуди-
тельного вращения, стр. 80) Изложенный выше вывод относится
к случаю одной степени свободы. Если же совместные вклады не-
скольких таких степеней свободы составляют заметную часть пол-
ного момента инерции, то результаты (4.204) и (4.205) не совпадают.
Из модели принудительного вращения следует, что полный мо-
мент инерции / (формула (4.110)] получается суммированием
вкладов (4.205), и результат должен быть верным при условии, что
ни одна из отдельных степеней свободы не дает вклада, соизмери-
мого с полным моментом инерции. Этот результат можно также
получить, если учесть эффект от «члена отдачи», как это делается
в модели частица—ротатор (см. приложение, стр. 179). (Вообще
говоря, он был получен уже в ранней работе Казимира [239! для
случая частицы, связанной с ротатором осцилляторными силами.)
Эффективное взаимодействие с
В тех случаях, когда спектр системы содержит элементарные
ветви возбуждения с Д/С — 2, основные эффекты связи с вращатель-
ным движением могут быть описаны эффективным оператором вида
(4.206)
приводящим к прямому смешиванию взаимодействующих полос
Эффекты, квадратичные по вращательному угловому моменту, воз-
никают во втором порядке по взаимодействию Кориолиса, дей-
ствующему через промежуточные состояния с Д^ = 1. Их можно
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 139
описать гамильтонианом прямого взаимодействия (4.206), если энер*
гии возбуждения состояний с Д/С = 1 велики по сравнению с энер-
гией ветви, для которой Д/С = 2.
Взаимодействие (4.206) второго порядка по I можно рассматри-
вать как часть вращательной энергии, обусловленную зависимостью
момента инерции от внутренней степени свободы, связанной с ветвью
А/< = 2 [см. формулу (6.244) для связи с у-колебаниями и выра-
жение (4.285) для асимметричного ротатора].
Эффект взаимодействия (4.206) можно учесть с помощью кано-
нического преобразования (4.200), выбрав
S = — i (е+2/1 + е^-сопр.),	(4.207)
где
<К2|е+2|К1> = ^^^- (^ = /<, + 2)	(4.208)
[см. аналогичные соотношения (4.201) и (4.199) в случае Д/С = П.
Особенно чувствительным индикатором такой связи является
£2-переход между взаимодействующими полосами, поскольку вкла-
ды примесных амплитуд содержат большой матричный элемент,
характерный для переходов внутри полосы. Соответствующая до-
бавка в момент перехода такова [см. соотношения (4.353) и (1.185)
для ^-функций]:
(6е<(£2( н))дк=2 = [e+2/L, <^(£2, р)] + 7?-сопр. =
= е+2(г!^) !eQo[/~, ^0] + ^-сопр.
= 8+2	'2 eQ0 {/_, ^Я-е^-сопр. =
= 8V2 (~ )'/! eQ« (I1)2.	- 2 {/з,	+ а^-сопр. (4.209)
Мы взяли выражение (4.67) для коллективной части оператора
Е2-перехода, предполагая, что величина Qq одинакова для обеих
взаимодействующих полос. При неодинаковых Qo появились бы
члены более высокого порядка по / [формула (4.235)].
С учетом индуцированного момента (4.209) полный матричный
элемент перехода становится равным
<Х2 = Кг + 2, /2II м (Е2) II К. /j) = (2/t + 1)VS (/^221 /2К2> x
+	+ 1)-/1(Л+1)]} 4 f2	(4.210)
1 при Д1 и,
где
Ml = <К21М' (Е2, v = 2) I К2> - 4 (/<! + 1) М2,
f15 \'/г п ।	, к.	(4.211)
^2 = ^8j?/	(^2 I е+2 I Al).
140
Гл. 4. Вращательные спектры
Здесь мы приняли, что в отсутствие взаимодействия Нс оператор
Е2-перехода не зависит от I. Но, как отмечалось выше, члены
оператора Е2-перехода, зависящие от /, могут возникать за счет
других эффектов взаимодействия, не рассматриваемых нами. На-
пример, такие члены возникают в первом порядке по взаимодей-
ствию Кориолиса за счет промежуточных состояний с К =	+ I
[формула (4.203)]. При нашем анализе эти члены включены в эф-
фективные операторы, заданные в представлении, диагонализирую-
щем //0. Поскольку эффективный момент Е2-переходов с А/С 2
с учетом членов, линейных по /±, имеет общий вид (4.96), чему
соответствуют обобщенные правила интенсивностей типа (4.210),
по экспериментальной зависимости матричных элементов перехода
от / невозможно различить разные эффекты взаимодействия.
Наблюдающиеся экспериментально Е2-переходы между поло-
сами основных состояний и нижними полосами с Kji = 2-г в четно-
четных ядрах сбларуж вают существенные отклонения от правил
интенсивности нулевого порядка. Пример проверки обобщенного
правила интенсивностей (4.210) рассматривается на стр. 145.
Во втором порядке взаимодействие (4.206) приводит к оттал-
киванию между уровнями взаимодействующих полос. Соответствую-
щие энергетические сдвиги пропорциональны четвертой степени I
и отвечают вкладу в член В вращательной энергии вида
Если для одной из этих полос К = 0 (и симметрия г), то рассматри»
ваемое взаимодействие влияет только на уровни с (—I)7 = г.
Тогда для полосы с К = 2 мы получаем вклад как в член В, так
и в член А4 [формула (4.62)1:
(К = 2) = гбД4 (К = 2) = — у 6В (К = 0) =
= [£(К = 2)-Е(К = 0)](К = 2|8+2|К = 0)2.	(4.213}
Возмущение Е2-переходов внутри взаимодействующих полос,
обусловленное взаимодействием с Л/С = 2, можно описать допол-
нительным моментом вида
(S^(£2, p)AK=0==[8V2/L, s^(£2, v = —2)^._2] + ^-сопр.
|{8+2, e<(E2, v = —2)}[ZL, ^,_2] +
+ у [е+г, <М (v = —2)] {Z1,	_2} + s^-conp. (4.214)
Для полосы с К ~ 0 среднее значение первого члена обращается
в нуль, так как функция е+2 нечетна, а (Е2, v = —2) четна отно-
сительно комбинации обращения времени с эрмитовым сопряжением.
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 141
Тогда из тождества (4.80) следует, что приведенный матричный
элемент Е2-перехода имеет в этом случае вид (4.81), где
-и>=Ш''е«"+24М».
Л42 = —6Мз.
M3=~.(K = °l[e+2) ^(Е2, у = -2)]|Я=0> = (4’215>
= - (К = 21 е+21К = 0> <К = 2 И (£2, v = 2) |К = 0>.
V о
Благодаря взаимодействию с Д^ = 2 становятся возможными
Ml-переходы между взаимодействующими полосами, запрещенные
правилами интенсивностей нулевого порядка. Об этом эффекте и
и других следствиях из взаимодействия между полосами основных
и у-колебательных состояний с сК = 2 четно-четных ядер говорится
в связи с примером, который рассматривается на стр 145.
Эффективное взаимодействие с = 0
Связь между двумя полосами с одинаковыми значениями К,
обусловленную вращением, можно описать гамильтонианом вида
нс = | ha (JJ. + IJ+) = h0 (Р - /5).	(4.216)
Величину /г0 можно рассматривать как оператор, описывающий
зависимость момента инерции от внутренних переменных, связан-
ных с ветвью спектра возбуждения, для которой АК = 0. Например,
взаимодействие (4.216) может описывать центробежное растяжение
ядра [формула (6.296)] или влияние вращения на парные корреляции
[см. качественную формулу (4.128) для зависимости/ от А]. Усло-
вия, при которых эффекты второго порядка по взаимодействию
Кориолиса можно описывать оператором прямого взаимодействия
вида (4.216), такие же, как и для эффективного взаимодействия
с ДК = 2.
Влияние, оказываемое взаимодействием (4.216) на Е2-переходы
между взаимодействующими полосами, выражается дополнитель-
ным моментом вида
6<^(£2, р.) = е0(-т|—У/г eQ0 [I2. ^о].	(4-217)
причем
(42,8>
Смешиваемые полосы различаются квантовыми числами а, а вели-
чины Qo мы считаем одинаковыми в обеих полосах. Тогда полную
142
Гл. 4. Вращательные спектры
амплитуду перехода можно записать в виде
<а2К/21|	(£2) ||	= (27х + 1 )*/» </аК20112K> X
х {Мх + М2 [/2 (/2 + 1) - Л (Л +1)]},	(4.219)
где
Мг = <а2К | <М (Е2, v = 0) | а1К>,
Af2 = (-^)/26Qo<a2/<|eo|aiK>.	(4.220)
Матричный элемент (4.219) имеет общий вид, соответствующий
учету линейных по /± членов в операторах внутренних моментов
[формула (4.75)]. Другие вклады в М2 могут быть обусловлены взаи-
модействиями, не включенными в Нс [см. замечание по поводу
формулы (4.210)].
О проверке обобщенного правила интенсивностей (4.219) гово-
рится в примере на стр. 153. В связи с этим примером рассматри-
ваются также и другие следствия взаимодействия (4.216), в том
числе сдвиги энергий и изменение матричных элементов £0- и £2-
переходов во взаимодействующих полосах.
ПРИМЕРЫ К § 4
Влияние взаимодействия Кориолиса на Ml- и Е2-переходы
в ядре l75Lu (фиг. 4.28 и табл. 4.19)
Полоса основного состояния в 175Lu имеет 7<=7/2, а при энергии 343 кэВ
имеется возбужденное состояние с К=5/2 (фиг. 4.28). Полоса возбужденного
состояния заселяется при [3-распаде ядра 175 Hf. Измеренные значения вели-
чин В (ЛИ) и В (Е2) для переходов между этими двумя полосами приведены
в табл. 4.19. Из этих данных можно получить информацию о взаимодействии
Кориолиса между ними [556].
£2-переходы. Вероятности £2-переходов между рассматриваемыми поло-
сами удовлетворяют правилам интенсивностей нулевого порядка (4.68). Но
абсолютные скорости этих переходов, по порядку величины близкие к одно-
частичному значению £^(£2), указывают на существование связи между
полосами. В самом деле, полосы с /С = 7/2 и ^ = 5/2 можно приписать одно-
частичным орбитам [4047/2] и [402*/2] нечетного протона (табл. 5.12, стр. 261),
£2-переход между которыми запрещен асимптотическими правилами отбора
для переходов с ДК=1 (Дп3=1, ДЛ=1, Д£ = 0). Поэтому данный переход
должен быть заторможенным. Расчет внутреннего матричного элемента (Q =
= 7/21 еЛГ (Е2, V — 1) I Q = 5/г) на основе протонных волновых функций табл. 5.12
дает для В (£2) значение, равное лишь 10-3 экспериментального. Отсюда
можно заключить, что только малая часть экспериментальной интенсивности
может быть отнесена за счет перехода между этими орбитами.
Большие экспериментальные значения матричных элементов £2-переходов
можно объяснить смешиванием полос, обусловленным взаимодействием Корио-
лиса. В этом случае даже малая примесь должна сильно увеличивать матрич-
ные элементы £2-переходов, поскольку в игру вступают коллективные мат-
ричные элементы (действительно, из самых общих соображений можно утверж-
дать, что член, обусловленный взаимодействием Кориолиса, должен давать
главный вклад в матричный элемент £2-переходов с ДК=1 при малых энер-
гиях; см. стр. 249).
§ 4, Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 143
Индуцированный момент ^2-перехода можно найти по формуле (4.203)
[см. также формулу (4.67)]:
(£2, jx) =	(Гб {е+1, <?0}	+ у (е+1. <2oJ {/_, ^цо}) +
Ч-е^-сопр.	eQoe+i^n +s^-conp, (4.221)
Здесь мы приняли, что для обеих смешиваемых полос величины Qo одинаковы;
тогда коммутатор, содержащий
момент (4.221) приводит к
перенормировке внутреннего
момента &7Z (Е2, v=l), не
зависящей от /, что согла-
суется с данными, приведен-
ными в табл. 4.19. Вели-
чина e+iQo определяется
экспериментальными значе-
ниями абсолютных скоростей
переходов. При Qo = 750
ферми2 (что соответствует
данным кулоновского воз-
буждения полосы К=7/2,
фиг. 4.25) получаем
Qo, обращается в нуль. Индуцированный
КЯ=5/г+ <

5/г
0,9%
Е2
10,8%
52= 1,8%
К =
99,!%
62=6,5%
---1--432,8
87,8%
343,4
/,4%
62~0
\	2
^0,0112 (± 0,0005). (4.222)
Относительная фаза этих
внутренних состояний выб-
рана так. чтобы эффектив-
ный внутренний момент
Е2-перехода (v= 1) был поло-
жительным [формула (4.221)].
Точно так же выбраны фазы
в табл. 4.19.
При неодинаковых зна-
чениях Qo для смешиваемых
полос возникают изменения
в правилах интенсивностей
Е2-переходов, которые мож-
но вывести из члена в соотношении (4.221), пропорционального [е+1, Qo].
Наблюдающееся согласие с правилами интенсивностей нулевого порядка
показывает, что в рассматриваемом случае | Qo (5/г) — Qo (7/г) I	0,1 Qo-
КЛ=7/г +
Чг
ИЗ,8
5г~!7}5%
О
Фиг 4.28. Е2- и М 1-переходы в ядре 175Lu.
Экспериментальные данные взяты из работы [556].
На схеме приведены отношения разветвления для рас-
пада различных уровней. Для смешанных (Л11±
4- £2)-переходов величина д2 равна отношению интен-
сивностей £2- и Ml-переходов.
Afl-переходы. Матричные элементы TUI-переходов между полосами с К =
= 5/2 и К—1/2 обнаруживают существенные отклонения от правил интенсив-
ностей нулевого порядка (табл. 4.19). Но их можно согласовать с обобщен-
ным правилом интенсивностей, получающимся при учете членов, линейных
по /_ь, в операторах внутренних моментов [формула (4.98)]:
<К/=’/2, //И(АЛ)И1=‘/г1 />=•
= (2//+l)*/»(//Xill| W	(h+ О-'i (Л + 1)]}. (4.223)
если взять следующие значения Mi и М2‘-
М, = - 0,26 ± 0,02 ) /Л«/. _еп_
М2 = 0,021 + 0,002 /\4л/ 2Мс ’
144
Гл. 4. Вращательные спектры
Таблица 4.19
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Е2- И М 1-ПЕРЕХОДОВ В 175Lu
	В (Е2), ег «ферми4	m (Е2), е.ферми2	В (ЛИ), (eh/2Mc)*	m (АН), eh/2Mc
	21 ±5 22 ±3	20 ± 2 22 ± 1	(2,6 ±0,2). IO’2	—(10,4 ±0,5). IO-2
	2,8 ± 1,0	18 ±3 7,50«102 (предположительно)	(3,6 ± 0,6). 10—з (1,1 ±0,3). Ю-з (6,5 ± 1,1]. 10-1	± (26 ±2).IO-2 — (7,8 ±0,9). 10-2 + 3,6 ± 0,3
	1,90.10*	7.50.102	(8,0 ± 0,8).IO"2	+ 1,38 Т 0,07
Таблица основана на данных фиг. 4.28 [556] и времени жизни Tiy уровня 343 кэВ,
равном 3,2 10-к» с [315]. В третьем и пятом столбцах представлены экспериментальные
значения внутренних матричных элементов, определяющихся соотношениями
m (Е2) = (~)'/г (2/(. + I)—</;К.2ДК	j ||	(£2> Ц
т(М1) = (^У/2 (2/,. + I)-1''2 (/Д1ДК | (Kflf || M (Af 1) |[
Знаки матричных элементов в пятом столбце определены по измеренным относитель-
ным фазам амплитуд АН- и Е2-переходов в предположении, что матричные элементы
Е2-переходов в третьем столбце положительны. Для переходов внутри полос величина,
представленная в третьем столбце, равна Qo, а величина, представленная в пятом столбце,
равна ~ 8#) При анализе для внутреннего квадрупольного момента Qo в полосе
с К = 6/2 было принято значение, равное измеренному значению Qo в полосе с К = ’/2.
Такие отклонения от правил интенсивностей нулевого порядка можно объяс-
нить взаимодействием Кориолиса. Тогда индуцированный Ml-момент будет
определяться формулой (4.350), так что для матричных элементов Мх и М2
в формуле (4.223) будем иметь
А4х = \Х=у | °М(М\, v=l)| Х =	+
+7Г\/С = ’2"| {e+1,^Z(All.v = 0)}-6[e+1>^(Ml;v = 0)]|/<=	(4.225)
M2 = -^A- = l|[e+1, М(М\, v=0)]| х =
у 2 \ z I	I 2 /
Помимо вклада, обусловленного взаимодействием Кориолиса между рас-
сматриваемыми полосами, в матричных элементах (4.225) имеется также вклад
от взаимодействия с другими полосами с К — Ь1г и К = 7? за счет недиагональ-
ных элементов оператора (Ml, v = 0). В рассматриваемом случае послед-
ний должен быть сравнительно малым из-за наличия больших энергетических
знаменателей и из-за того, что недиагональные матричные элементы оператора
М (Ml, v = 0) подавлены правилами отбора по асимптотическим квантовым
числам (табл. 5.3).
Величина М2, обусловленная смешиванием полос с К = 5/г и К = 72» равна
Л4г=2~*/г <^< = у|е+1|к = 4/ [<J = y|«<'O41,v = 0)|x = -|.>_
=	v = O)jx = -L^>j. (4.226)
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 145
Моменты перехода внутри полосы можно выразить через эффективные ^-фак-
торы [формулы (4.84) и (4.86)]:
v = 0)|K> = (Ay/’_J_fe_^)/<.	(4.227)
Экспериментальные значения разности gK~gR, определенные по All-перехо-
дам внутри рассматриваемых полос, приведены в табл. 4.19. Взяв для мат-
ричного элемента М2 экспериментальное значение (4.224), получим
e+i
5 \
К =	0,013 ± 0,003,
(4.228)
что довольно хорошо согласуется амплитудой смешивания полос (4.222),
найденной по Е2-переходам.
Матричный элемент взаимодействия Кориолиса. Смешивание полос в 175Lu
можно отнести за счет взаимодействия Кориолиса. Исходя из эксперименталь-
ного значения 8+1 по формулам (4.197) и (4.199), получим

2!_/ к = 7 I;
2 |'+1
R X
К =	5,0 кэВ. (4.229)
Если этот матричный элемент вычислить на основе протонных волновых функ-
ций орбит [4047/2] и [4025/2] из табл. 5.2 (взяв вращательный параметр Й2/2^0
равным 13,7 кэВ, что равно среднему по изотопам 174Yb и 176Hf), то мы полу-
чим (К = 7/21 j /< = 5/2) — 5,8 кэВ. При таком расчете включен множитель
« (5/2) и (7/2) + у (5/г) у (7/2)^ 0,9, учитывающий влияние парных корреляций
[формула (5.43)].
Рассматриваемое смешивание приводит также к поправкам в ЛИ- и Е2-
переходы внутри полос и к их энергиям. Но, поскольку величина е+1 мала,
эти эффекты слишком слабы для того, чтобы их можно было наблюдать в рас-
сматриваемом случае.
Анализ Е2-переходов между уровнями полосы
основного состояния и полосы с Кп = 2-\- (у-колебания)
в ядре 166Ег (фиг. 4.29 и 4.30)
В настоящее время хорошо изучены соотношения интенсивностей Е2-пере-
ходов между полосами основных состояний и полосами с /(л = 2 4-, которые
систематически оказываются наинизшими возбужденными состояниями почти
во всех деформированных ядрах. Для примера мы рассмотрим имеющиеся под-
робные данные о £2-распаде полосы с /( = 2 в ядре 1G6Er. Эта полоса засе-
ляется как при распаде основного состояния ядра 16СНо (/л = 0—), так и при
распаде изомера 166Но с большим спином (/л = 7—), что позволяет изучать
переходы между уровнями в широком интервале значений /. Соответствующая
схема уровней 16СЕг представлена на фиг. 4.29.
Зависимость матричных элементов Е2-переходов от /. Предполагается, что
Y-переходы между полосами с К = 2 и /С = 0 — преимущественно квадруполь-
ные, о чем свидетельствуют правила отбора по/С Представленные на фиг. 4.29
Данные об угловых корреляциях для большого числа переходов показывают,
что примеси ЛИ-переходов составляют в них не более нескольких процентов [959].
В опытах непосредственно измеряются относительные интенсивности пере-
ходов из каждого уровня полосы с ^ = 2, и поэтому данные измерений можно
использовать для ряда проверок правил интенсивностей ^2-переходов, не
требующих никаких новых предположений. Дополнительную информацию дает
анализ конкуренции с ^2-переходами внутри полосы с К = 2. В предположе-
146
Гл. 4. Вращательные спектры
нии, что последние удовлетворяют правилам интенсивностей нулевого порядка,
можно сравнить интенсивности Е2-переходов между полосами, идущих с уров-
ней Ц -4, 5, 6 и 7. Имеющиеся данные об амплитудах Е2-пере ходов между
уровнями полос с = 2 и /< = 0 в ядре 1б8Ег представлены на фиг. 4.30.
Амплитуды Е2-переходов на этом графике обнаруживают систематические
отклонения от правил интенсивностей нулевого порядка, которому отвечает
8
7
6
5
4
3
2
1555,71
1376,00
1215,93
1075,26
956,21
859,39
785,90
8
6
4
2
О
911,18
545,44
264,98
80,57
К Л - 2 +
А 12,43 кэВ
В --10,6 эВ
С - 10 эиэВ
0,08эВ
Кя- 0 +
А = 13,504 кэВ
В = -13,0 эВ
14 JU3B
Фиг. 4.29. Схема уровней ядра 168Ег.
Энергии полосы основного состояния взяты из работы [960].
постоянная ордината. Эти отклонения хорошо описываются обобщенным пра-
вилом интенсивностей (4.102), получающимся при учете членов первого порядка,
зависящих от /, во внутренних моментах перехода:
В(Е2; /<=2, /,^/< = 0, 7у) =
= 2Л1?<Л2 2-2|//0)Ч1+МШ+1)-Л(Л+1)]}2,
Результаты первоначального изучения интенсивностей Е2-переходов, возни-
кающих при распаде у-вибрационных полос, изложены в работе [552]. В ней
выражение (4.230) используется в несколько ином, хотя и эквивалентном
§ 4. Взаимодействие между вращат, и внутренним движением 147
виде, содержащем параметр
__ — 2М2 _ 2л2
Z2-A11 + 4M2 “ 1—4а2 •
Выражение (4.230) выведено В. М. Михайловым в 1966 г. [832].
(4.231)
Интерпретация на основе взаимодействия с ДЯ* = 2. Выше не делались
никакие предположения ни о структуре возбуждения /( = 2, ни о природе
поправочных членов в операторах внутренних квадрупольных моментов. Даль-
Фиг. 4.30. Амплитуды Е2-переходов в ядре 1ввЕг.
Темные кружки — произвольная нормализация; светлые кружки — нормализация на основе
принятого значения Qo(/(=2) = 8,3 б; крестики — нормализация на основе значения
В (Е2; 00 -* 22) = 0,1 Зе2 б2, найденного методом кулоновского возбуждения; для каждой
точки указано соответствующее значение I..
График построен по экспериментальным данным об относительных интенсивностях
у-переходов [461, 523]. Абсолютные значения амплитуд переходов с Ц = 2 найдены по изме-
ренной методом кулоновского возбуждения величине В (Е2; /С = 0, I = 0 -> К = 2, 1 = 2) —
= (0,15 ± 0,02) ег б2 [330]. Абсолютные скорости распадов уровней с 7^ = 4, 5, 6 и 7 можно
связать с параметром Q0(X = 2), основываясь на экспериментальных интенсивностях пере-
ходов внутри полосы с К = 2. Значение <?п(/< = 2), принятое на графике, выбрано из усло-
вия оптимальной подгонки к линейной зависимости. Для переходов с Л = 3 и Л = 8 изме-
рены только относительные значения.
нейшие соотношения можно получить исходя из более конкретных предполо-
жений о природе взаимодействий, ответственных за появление матричного
элемента М2. В частности, мы рассмотрим следствия, к которым приводит
эффективное взаимодействие с Д^ = 2, непосредственно смешивающее рассмат-
риваемые полосы.
Дополнительный вклад в Л42 может возникать за счет примесей компо-
нент с К=1 к полосам сК = 0и К = 2, обусловленных эффектом первого
порядка по взаимодействию Кориолиса. Такие компоненты дают вклад за
148
Гл. 4. Вращательные спектры
счет матричных элементов компоненты оператора Е2-перехода с Д/<=1. Правда,
несомненное отсутствие низколежащих квадрупольных состояний с Кл=14-
может означать, что соответствующий вклад в /И2 мал по сравнению с вкла-
дом от прямого взаимодействия с Д^ = 2. Отметим, однако, что в существую-
щих данных имеется известная неопределенность, связанная с интересным воп-
росом о коллективных эффектах в возбужденных состояниях АГ = 1 (о возмож-
ном существенном вкладе в М2 от взаимодействий с Д^=l см. [523]).
Вклад в 7И2 от взаимодействия с М-2 можно записать в виде [формула
(4.2П)]
М2 = е.2(~Х/г eQ0,	(4.232)
\ оЯ /
где е2 —приведенная амплитуда смешивания рассматриваемых полос:
|^=0/)й-|/( = 0( /)-с(/)1К = 2, /),
|К = 2, />~!К = 2, />+4-с (/)(!+(-1)')|К = °, О,
z	(4. Zoo)
с (7) = е2 [2 (/ —1) / (/+1) (Z + 2)]1/2,
82=^ = 2|е+2!К = 0)^-1,1 lO-з.
Приведенное численное значение е2 получено на основании значения =
= 756 ферми2, найденного для полосы основного состояния [369], и значения
величины М2, представленного на фиг. 4.30. [Соотношение фаз выбрано так,
чтобы матричный элемент (/< = 2 | h+2 I К = 0) был отрицательным. Это отвечает
выбору осей, при котором > %2, в согласии с общепринятыми обозначениями
для трехосных ротаторов [формула (4.282)]. При таком выборе фаз величины е2
и с (/) отрицательны. Поэтому экспериментально установленный знак минус
перед отношением М21МХ означает, что величина М± положительна.] Матрич-
ный элемент взаимодействия, отвечающий найденному значению е2, равен
[формула (4.208)]
Л2 = (К = 2 |/г+21/< = 0) =е2 [Е (К = 2) —Е (К = 0)] —0,8 кэВ. (4.234)
При выводе соотношения интенсивностей (4.230), основанном на взаимо-
действии с Д/< = 2, предполагалось, что квадрупольные моменты взаимодей-
ствующих полос одинаковы. В противном случае мы приходим к более общему
соотношению (по-прежнему содержащему лишь линейные по е2 члены) вида
В(Е2; К = 2, /;->К=0, //) = 2</i22-2|//0)2(Ml + M2[/i(/; + l)-/z(//+l)J +
+ Мз {[Л (Л + •)-//(//+ I )12 — 2 [Ц (Ii+\) + If (/f+ 1)] })2. (4.235)
где
A42 = e2^y/2Q()^ = 2)>
'1 /1-5 V/	(4.236)
М3 = е2 ~	'г е [Qo (К = 0) - Q„ (К = 2)).
Из данных фиг. 4.30 вытекает предельное значение матричного элемента 7И3,
отвечающее соотношению | Qo (К = 2) — Qo (/( = 0) | 0,1Q0. Величина Q0(K = 2),
вычисленная по данным фиг. 4.30, согласуется с этим.
Наличие примесей (4.233) приводит к следующим вкладам в члены В и А4
вращательной энергии [формула (4.213)]:
бВ(К = 0) = — 2е|(Е2 —Ео) = — 1,8 эВ,
6В (К = 2) = 6Л4 (К = 2) = - У 6В (К = 0).	(4-237)
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 149
Экспериментальное значение В для полосы основного состояния (фиг. 4.29) на
порядок величины больше, чем по формуле (4.237), и потому его следует отнести)
за счет других (пока не идентифицированных) эффектов вращательного взаимо-
действия. То же самое относится и к члену В (К = 2). Вклад же в член А4(К = 2),.
обусловленный взаимодействием с полосой основного состояния, более чем на
порядок величины превышает экспериментальное значение (фиг. 4.29). Таким
образом, вклад (4.237) в Л4 довольно точно взаимно уничтожается с вкладами,
обусловленными взаимодействием с более высокими полосами К = 0 + (стр. 151).
Смешивание полос (4.233) приводит к поправкам в правила интенсивностей
£2-переходэв внутри этих полос. Модифицированное соотношение для переходов*
внутри полосы с К = 0 имеет вид (4.81), причем коэффициенты определяются
соотношением (4.215)
М3
е2 / В (Е2; К = 0, /=0-+К = 2, / = 2)У/2
У12 В (£2; /< = 0, / = 0->/< = 0, / = 2)/
1	В (£2; 0->К = 2, / = 2)
12 °2 В (£2; 0->К = 0, / = 2)
-5-10'5,	(4.238)
-6Л13.
м2
Иногда поправки к правилу интенсивностей нулевого порядка для переходов
/ = 2 —^ / выражают через параметра, определяемый соотношением (4.181).
Рассматриваемое взаимодействие с полосой К = 2 дает следующий вклад в а
[формулы (4.230), (4.232) и (4.238)]:
ба =	+	j 10_4	(4 239>
Этому значению соответствует поправка порядка 0,5% в величине отношения
В I = 4 -+ / = 2)/В (Е2; / = 2 -> / — 0). (Из данных по многократному куло-
новскому возбуждению полосы основного состояния в 166Ег следует величина
а~—10-3 [1005]. Это соответствует довольно большому вкладу от взаимодей-
ствий, природа которых пока не выяснена.)
Рассматриваемое смешивание полос приводит также к Л11-переходам между
ними, амплитуды которых пропорциональны матричным элементам ЛИ-переходов
внутри полос. В предположении, что для обеих полос величин? g% одинакова,
вклад дает только часть оператора ЛИ, пропорциональная (gK — g^j /3, откуда
<К = 2, /2||^/(ЛП)И = 0, Л) =
= 1(2/, +1) (/,— 1) Л (А+1) (/1+2)]'/« </,210 I /22) М =
= [2 (2/,+ 1) /, (/,+ 1)Г'« </,1111 /,2> {М, + М2[/2(/2+ 1)-/г (/1+ ])]}, (4.240>
где
М — 2 (I. Г Ж? [«И*-2).
= —4Л42,	(4.241 У
м2=~м.
Последнее выражение в формуле (4.240) имеет стандартный вид матричных
элементов /(-запрещенных переходов первого порядка [формула (4.98)]. Анализ-
интенсивностей у-переходов внутри полосы /( = 2 в ядре 1бвЕг дает gK—g^^
^0,11 [960], откуда для отношений ЛИ/Е2 в переходах между полосами на
фиг. 4.29 получаем величины порядка 10-4.
Поскольку в данном случае прямое смешивание полос неэффективно из-за
малости gK—gR, естественно предположить, что более существенный вклад
в М 1-переходы между полосами возникает за счет эффектов первого порядка
150
Гл. 4. Вращательные спектры
по взаимодействию Кориолиса, примешивающему промежуточные состояния
сК=1. Эти эффекты приводят к матричному элементу вида (4.240) с
A4j = (K=2 i [е+1,	v=l)] К = 0),
м2=о.	(4-242)
Это выражение для матричного элемента имеет такой же вид, как и правило
интенсивностей нулевого порядка для Ml-переходов, однократно запрещенных
по К [формула (4.95)]. Таким образом, взаимодействия с ДК = 2 и Д/< — 1
приводят к разным правилам интенсивностей для Ml-переходов между поло-
сами с К = 2 и К — 0, и поэтому их можно различить, измерив относительные
интенсивности (данные, свидетельствующие о том, что экспериментально наблю-
дающиеся примеси Ml-переходов в распадах полос с К = 2 в ядрах 352Sm и
154Gd обусловлены взаимодействием с ДК=1, представлены в работе [989]),
Интерпретация состояния Кл = 2-f-. Малая энергия и большой матричный
элемент квадрупольного возбуждения полосы /<л = 2 + показывают, что мы
имеем дело с коллективной ветвью спектра, связанной с отклонениями формы
ядра от аксиально-симметричной [величина В (Е2) для состояния /< = 2, / = 2
составляет около 28 Bw (Е2), что в 14 раз превышает соответствующую одно-
частичную оценку, стр. 485]. Такая коллективная ветвь могла бы соответство-
вать колебаниям относительно аксиально-симметричной равновесной формы или
быть связанной с неаксиальной равновесной формой.
Если отклонение формы ядра от аксиальной симметрии превышает ампли-
туду нулевых колебаний, то систему можно рассматривать как неаксиальный
ротатор (§ 5). Поскольку отклонения от аксиальной симметрии малы, три раз-
ные константы Лх = Й2/2/х вращательной энергии можно найти, пользуясь при-
ближенными соотношениями, приведенными в § 5, п. 4:
Е(21) = 3(А1+А2),
Е (22) = At -f- А2 + 4Аз,
*2=^(Л-Л2),	(4.243)
(а = *-\
Vх 2^J-
Взяв приведенные на фиг. 4.29 энергии и значение (4.234) для й2, получим
Л1=11,8кэВ,	Л2=15,0кэВ,	Л3=190кэВ.	(4.244)
В системах с эллипсоидальной формой оператор Е2-переходов между вра-
щательными состояниями зависит от двух внутренних квадрупольных моментов:
<М(Е2, и) = l-jA-i ''M<WnO +<?2	+ М -г)].
1 О J L ]
Г Qo = /а | Л	| а\ ,
@2 —	~2	(Х1	х2)р\> »
(4.245)
где а — внутреннее состояние [предполагается, что оно является собственным
состоянием операторов <э^х (л) (стр. 160)]. Отношение величин Q2 и Qo может
служить мерой отклонения формы системы от аксиальной симметрии относи-
тельно оси 3; это отклонение часто характеризуют параметром у, который
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 151
определяется соотношением
tgv=/2-^	(4.246)
40
Матричные элементы Е2-переходов в ядре 166Ег, полученные путем проведен-
ного выше анализа, дают
Q2==f—/%“1М1^94 ферми2,
= 756 ферм.-,	<4'247>
tg у = 0,18.
Эти параметры отвечают эллипсоиду, главные оси которого отклоняются от
среднего радиуса /?0 на величины 6ЕХ =—0,07Ео, 6/?2 =—0,14/?0, 6/?3 = О,21/?о>
где/?о=1,2Л,/ ферми.
Если интерпретировать состояние Ют = 2Ц- как колебание, то его энергия
возбуждения дает колебательную частоту [Е (22) =/?<oY], а величина В (Е2) для
возбуждения полосы cnY=l дает амплитуду колебаний. Предположив, что мы
имеем дело с приблизительно гармоническими колебаниями, для амплитуды
нулевых колебаний в основном состоянии ядра получим
Y = /Y2\V2у = 2) | К = 0)__________________j 4 24g>
То—F2 ^ = 01^/'(£2> v=0)|K=0>	°’ й' ( ' У
Матричный элемент взаимодействия /г2 служит мерой зависимости момента-
инерции от амплитуды у-колебаний [формулы (4.234) и (6.296)]:
1 (4? = 0,7.	(4.249)
? \ ду !у=о То й2
Эта величина сравнима (хотя и несколько меньше) с величиной, полученной
в предположении, что моменты инерции пропорциональны квадратам соответ-
ствующих деформаций [формула (6.296)]:
1 /	\ Г - -о/ 2л \ д . о / 2л \1	2
——-j	= sin 2 у-----—sin21 у------	15.	(4.2о0).
У \ ду /Y = 0 L \	3 / ду \	3 /JY = o	ГЗ
Из двух рассмотренных интерпретаций состояния /<л = 2-|- вытекают совер-
шенно разные следствия для более высоких состояний, отвечающих много-
кратному возбуждению этой ветви спектра. Во вращательной модели для сле-
дующей полосы /<л = 4 + , а ее энергия в 4 раза превышает энергию полосы
с /От = 2-]- [формула (4.284)], тогда как суперпозиция двух колебательных
квантов приводит к полосам с /0 = 04- и Кп = 4 +, энергии которых прибли-
женно вдвое больше энергии полосы cnY=l. В настоящее время нет данных
о существовании состояний в спектре 1бвЕг, которые можно рассматривать как
двукратные возбуждения. Косвенным указанием на существование полосы
с/( = 0, Лу = 2 в этом ядре является малое экспериментальное значение коэф-
фициента А4 в выражении для энергии полосы с Кл = 2+ (стр. 148). В слу-
чае гармонических колебаний вклад в А4 от взаимодействия с полосой =	,
Пу = 2 точно погашает соответствующий вклад от взаимодействия с полосой
основного состояния (nY = 0). В модели же асимметричного ротатора малую
величину А4 по сравнению с вкладом (4.237) следует объяснять случайным
взаимным уничтожением с вкладами, обусловленными взаимодействием с дру-
гими степенями свободы.
Таким образом, имеющиеся неполные данные как будто бы свидетельствуют
в пользу интерпретации состояний Кл = 2+ как у-колебательных, а не враща-
тельных, обусловленных статической у-деформацией. В этой связи подчеркнем,
что модель асимметричного ротатора применима лишь в том случае, если
амплитуда нулевых колебаний параметра асимметрии у мала по сравнению со
152
Гл. 4. Вращательные спектры
средним значением этого параметра. В имеющихся данных о ветви возбуждений
сК = 2 нет прямых указаний на отношение этих величин, но, по-видимому,
амплитуда нулевых у-колебаний должна быть такой же, как и амплитуда
нулевых [3-колебаний. Экспериментальные значения матричных элементов
Е2-переходов на [3-колебательные уровни сравнимы с соответствующими значе-
ниями для полос Кя — 2 -J- (см. пример на стр. 487). Это, возможно, говорит
и том, что, даже если равновесному состоянию системы отвечает у О, нулевые
колебания величины у сравнимы с равновесным значением. (Модель гармони-
ческих колебаний и модель вращения неаксиального ядра представляют собой
две предельные схемы связи. При более общем подходе к анализу соответ-
ствующих степеней свободы можно взять за основу модель двумерного ангар-
монического осциллятора с радиальной переменной у и азимутальным углом
вращения вокруг оси 3.)
Эффекты взаимодействия при больших угловых моментах. Выше анализ
взаимодействия с ДК = 2 проводился методом теории возмущений. Для этого
требовалось, чтобы коэффициенты с(1) в формуле (4.233) были малы по сравне-
нию с единицей. Это условие довольно хорошо выполняется даже при наи-
больших значениях /, имеющихся в спектре на фиг. 4.29 [с (/) <; 0,1]. Но рас-
сматриваемое взаимодействие быстро увеличивается с ростом /, и при /^20
теория возмущений перестает быть применимой. При таких больших / проис-
ходит переход к новой схеме связи, отвечающей вращению системы вокруг
оси с максимальным моментом инерции.
Характер перехода зависит от интерпретации возбужденных состояний
с Д/<=2. Если эта ветвь отвечает вращению системы с фиксированной не-
аксиальностью вокруг оси 3, то при больших угловых моментах имеет место
схема связи (§ 5, п. 6), которая отвечает вращению системы вокруг оси 1.
Нетрудно убедиться, что условие (4.307) перехода к такой схеме связи экви-
валентно нарушению условия применимости теории возмущений, в рамках
которой получено решение (4.233).
Если же возбуждения с ДАГ = 2 отвечают колебаниям относительно аксиально-
симметричной равновесной формы, то взаимодействие (4.206) приводит к нару-
шению аксиальной симметрии из-за уменьшения вращательной энергии, обусло-
вленного снятием вырождения компонент момента инерции вдоль осей, перпен-
дикулярных оси 3. Равновесное значение у можно выразить через 1, рассмотрев
сумму потенциальной и вращательной энергий как функцию величины у. При
малых у главные члены этих функций определяются в соответствии с прове-
денным выше анализом:
А (?) — А 4-21	ti2,
\ То /
Л2(Т) = Д - 2(4-)»,,
\ То /
(4.251)
Л’(Т)=|(^°-)2Й®у
где у0— амплитуда нулевых у-колебаний, определяемая соотношением (4.248).
Величина И (у) — потенциальная, а величина А3 (у) — центробежная энергия
двумерного осциллятора с радиальной переменной у и угловым моментом,
равным */г 73. Разность членов (у) и А2 (у) равна взаимодействию (4.206),
выводящему осциллятор из равновесного положения у=0. При достаточно
малых / это взаимодействие можно учитывать по теории возмущений. Оно
приводит к уменьшению энергии, пропорциональному у2, что соответствует
уменьшению жесткости ядра относительно у-колебаний. Когда /	(Л<0у/Л2)*/2»
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 15&
равновесие при 7 = 0 становится неустойчивым и метод теории возмущений по
рассматриваемому взаимодействию оказывается неприменимым. При еще боль-
ших / возникает равновесное состояние с у > у0, и тогда вращательное дви-
жение можно приближенно анализировать, считая, что угловой момент ориен-
тирован вдоль оси с максимальным моментом инерции {/	/х, § 5). Подчеркнем,,
что при очень больших значениях /, связанных с переходом к неаксиальной
форме, на вращательное дви-
жение могут сильно влиять	..
взаимодействия, не рассматри- ----------—- ' 1
ваемые в данном анализе (см.
о структуре спектра в ираст-
области, стр 78).
12	2020,1
Эффекты вращатель-
ного взаимодействия ме-
жду полосой основного
состояния и возбужден-
ной полосой с /Сзт = 0 + в
ядре 174Hf (фиг. 4.31, 432 и
табл. 4.20, 4.21)
Многочисленные данные по
кулоновскому возбуждению и
реакциям (а, хи), конечным про-
дуктом которых является ядро
174Hf, указывают на наличие
эффектов взаимодействия в пе-
реходах с ДК = 0 между вра-
щательной полосой основного
состояния и возбужденной по-
лосой Кл = 0+ с энергией
828 кэВ (фиг. 4.31). Энергии
полосы основного состояния
анализируются в табл. 4.20 на
основе разложения в ряд по
степеням 1(1Результаты
этого анализа рассматривались
на стр. 74 наряду с другими
данными об энергиях враща-
тельных полос основных состоя-
ний четно-четных ядер.
10 1485,6
8 1009,41
6 608,36
4 297,44
I 91,00
О	О
Кл = Of +
А 15,29 КЭВ
8 1631
6 1308
4 1063
2 901
~О	828'
кл = о2+
А 12,3 кэВ
В = —30 эВ
В = -21 эВ
Фиг. 4.31. Низколежащие полосы 7<л = 0 +
в ядре ^4Hf.
Данные взяты из работы [653]. Указанные на
схеме значения коэффициентов А и В вычислены
по энергиям двух наинизших членов каждой по-
лосы.
Переходы между двумя полосами с /С = 0. Амплитуды Е2-переходов между
уровнями возбужденной полосы 0-J- и полосы основного состояния представ-
лены на фиг. 4.32. Из графика видно, что экспериментальные данные суще-
ственно отклоняются от правил интенсивностей нулевого порядка, которым
отвечала бы постоянная ордината, но согласуются с обобщенным правилом
интенсивностей, учитывающим линейные члены по / в операторах внутренних
моментов [формула (4.219)]:
В(£2;К=0г, //->К = 01, //) = </г0 20|//0>2{М1 + М2[Л(Л+ 1)-//(//+1)]}2 =
= <Л0 2О|//О)гМН1+ао[/, (//+1)-//(1/+1)]}2, (4.252>
154
Гл. 4. Вращательные спектры
Из экспериментальных данных фиг. 4.32 для параметра а0 следует значение
<70^ —0,025. Интерпретация матричных элементов Мг и будет рассмотрена
ниже.
Таблица 4.20
РАЗЛОЖЕНИЕ ЭНЕРГИИ УРОВНЕЙ ПОЛОСЫ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
ЯДРА ПО СТЕПЕНЯМ / (/ + 1)
I макс	А	-В-102	С- 104	—О-10в	Е-108		G-1012
2	15,167						
4	15,293	2,106					
6	15,305	2,356	0,96				
8	15,309.	2,459	1,54	0,85			
10	15,312	2,523	1,96	1,81	0,69		
12	15,314	2,570	2,30	2,79	1,82	0,45	
14	15,315	2,609	2,60	3,73	3,21	1,38	0,230
Энергии уровней полосы основного состояния взяты из фиг. 4.31. Коэффициенты
разложения указаны в килоэлектронвольтах. Они получены путем подгонки энергии всех
членов полосы вплоть до заданного значения /макс к полиномиальной функции аргу-
мента / (/ 4- 1), содержащей 1/г/макс членов. Таблица составлена И. Хамамото.
Амплитуды Ml- и £0-переходов приведены в табл. 4.21. Матричные эле-
менты £0-переходов почти не зависят от /, что согласуется с правилами
интенсивностей нулевого порядка для скалярных операторов. Для Ml-переходов
матричный элемент оператора, не зависящего от /, пропорционален (/0 10 | /0),
т. е. равен нулю. Поэтому вклад нулевого порядка в момент перехода линеен
по полному угловому моменту; имеется лишь один член, пропорциональный /
[формула (4.89)], который обладает симметрией оператора Ml:
•«(Mi.	<4-253>
где g# — оператор, действующий на внутренние переменные. Матричный элемент
оператора (4.253) дается выражением
(К = 02, /2|M/(^l)liK = 0i, Л>==
=	<°2 I°1> [(2/1+ °/l(Z*+6(/*^-<4-254)
Приведенные в табл. 4.20 вероятности Ml-переходов обнаруживают сильное
увеличение с ростом /, но их точность вряд ли достаточна для проверки соот-
ношения (4.254).
Анализ на основе прямого взаимодействия между рассматриваемыми поло-
сами. Отклонения от правил интенсивностей нулевого порядка, показанные на
фиг. 4.32, могут иметь причиной целый ряд эффектов, связанных с взаимо-
действием между вращательным и внутренним движением. Но малая частота и
довольно большой матричный элемент возбуждения полосы с ^ = 02 означают,
что существенный вклад в матричный элемент М2 дает прямое смешивание двух
рассматриваемых полос, описываемое взаимодействием с АК^=0. Ниже мы
посмотрим, нельзя ли таким смешиванием объяснить весь матричный элемент М2.
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 155
Связь между рассматриваемыми полосами такова:
|Л = 0ь	/>-е0/(/ + 1) Х=0„/>,
i/< = 02> />=«|К=о2, /)+е0/(/ + 1) К = 0п/),
(4.255)
где е0 —амплитуда, которую можно вычислить по формуле (4.220):
__ /л I I Л \	! 16л\'/г М2
го=(О21 eoiOx)—(—g—J -^a„
В (Е2; 0->К = 02, / = 2)\*/2_
В(£2; 0->К = 0р /=2)J ~	’
(4.256)
Численное значение величины е0 получено исходя из приведенного выше значе-
ния величины я0 и вероятностей перехода В (Е2; К —0n I = 0->К = 02, / = 2) =
= (0,06 ± 0,01)-е2-10'48 СМ4 и £(£2; /( = 0^ / = 0^К = 02, / ==2) = 5,3 • е2Х
Фиг. 4.32. Интенсивности £2-переходов между полосами О-РзиО-^в ядре174Н1
Для каждой точки указано соответствующее значение /^. Данные взяты из работы [359].
Относительные фазы различных переходов экспериментально не были определены, и поэтому
при построении графика предполагалось, что знак отношения приведенных матричных
элементов, равных по абсолютной величине квадратным корням из соответствующих зна-
чений В (£2), совпадает со знаком отношения соответствующих коэффициентов Клебша —
Гордана.
Х10~48 см4, которые соответствуют значению Qo = 73O ферми2 [359]. Знак вели-
чины 80 зависит от выбора относительной фазы внутренних состояний 0х и 02.
Мы выбираем ее так, чтобы матричный элемент в выражении (4.252) для
£2-переходов был положительным. Амплитуда е0 связана с матричным эле-
ментом оператора /z0, входящего в гамильтониан (4.216) эффективного взаимо-
действия с К = 0. Пользуясь формулой (4.218), получаем
(О2|/?о!О1)^-2,6 кэВ.	(4.257)
156
Гл. 4. Вращательные спектры
Такое взаимодействие приводит к поправкам для энергии уровней основной
гполосы, пропорциональным Г2 (/+1)2 с коэффициентом
бЕ(К = 01) = -е2[Е(К = 02)-Е(К-01)]^-8 эВ,	(4.258)
который несколько меньше половины экспериментального значения коэффи-
циента В в полосе основного состояния (табл. 4.20). Это взаимодействие дает
вклад такой же величины и противоположного знака в коэффициент В полосы
/С = 02. Но в этом случае возможен сравнимый отрицательный вклад от взаимо-
действия полосы К = 02 с верхней полосой ^ = 0, которая должна возникать
за счет повторного возбуждения ветви, ответственной за состояние с /< = 02,
Смешивание (4.255) приводит к поправкам в матричных элементах /^-пере-
ходов внутри полосы основного состояния, которые можно записать в виде
(К = 01, /2 ||e^Z (£2)||К = 01, Z1> = (2/1+ 1)‘А </, 020 I /20>Х
х (w)1/2 {1+“ 1Л (Л+ 1) + /г(/2+ *>И- <4-259>
•где а —коэффициент, связанный с коэффициентом а0 в формуле (4.252) соот-
ношением
В(Е2; 0-+/< = 02, / = 2)
- \ 5 J eQ0 ~ а°В (Е2; 0^ = 0,, / = 2)	'
(4.260)
Численное значение получено на основании тех же экспериментальных данных, что
и в формуле (4.256). Для матричных элементов переходов (/2 = Л ± 2) параметр
а, входящий в формулу (4.259), эквивалентен параметру а, который фигури-
рует в формуле (4.181). Из значения (4.260) следует поправка порядка 1,6%
для отношения В (Е2; 4 -> 2)/В (Е2: 2-> 0). Точность имеющихся данных недо-
статочна для обнаружения эффекта такой величины.
По экспериментальным значениям интенсивностей Е0-переходов
рассчитать зависимость среднеквадратичных зарядовых радиусов уровней
•основного состояния от /:
, z	ч
6 (г2)
можн
полос
/<=01 >/(/ + 1)
Р = 1
(±)4- 10-5/(/+1)	((Г2^27 ферми2), (4.261)
где для е0 взято значение (4.256), а среднее значение монопольного матричного
элемента взято из табл. 4.21 (знак этого матричного элемента пока не опреде-
лен экспериментально). Для ядра 174Hf величина (4.261), зависящая от /, еще
не измерена, но для более тяжелых изотопов Hf результаты мессбауэровских
измерений дают несколько меньшие значения [1030].
Рассматриваемое взаимодействие между полосами дает также вклад в М\ -пере-
ходы между ними!
(К=о2, /2||а#(М1)||К = 01, Л) =
= ^Гс е° =	(К= <МХ
х [(2/i + 1) Л (Л + 1)]/ !(/! + 1)6 (/„ /2).
(4.262)
Матричный элемент (4.262) имеет более высокий порядок по /, чем главный
член в формуле (4.254), так что если бы точность экспериментальных данных
в табл. 4.21 была выше, то по ним можно было бы найти по отдельности оба
рассматриваемых вклада в величину В (Ml). Порядок величины члена (4.262)
можно оценить, приняв, что ((К = 02) —(K = 0i) | 0,1 Отсюда, взяв
значение (4.256) для е0, получим амплитуду Ml-перехода, которая примерно
<в 2 раза меньше значений, приведенных в табл 4.21
§ 4. Взаимодействие между вращат. и внутренним движением 157
Таблица 4.21
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИ- И ЕО-ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ ПОЛОСАМИ
0+2 И 0-Н В ЯДРЕ 174Hf
т<л,1)- *°-г^
<о2 r2 | 01 ),
ферми2
О
2
4
6
<2
1,6 + 0,6
3,2 ± 0,5
12,0 + 1,5
12,0 + 1,0
10,5 ± 1,5
11,5+1,5
Данные взяты из работы [359]. Во втором столбце
представлены экспериментальные значения внутрен-
него матричного элемента
m (All) = (4л/3)1/2 [(2/ + 1) I (/+ 1)Г*/2 X
Х(К=02./||е^(ЛИ)||К = 01, /).
Его знак определяется относительно матричного эле-
мента ^2-перехода, который считается отрицательным
[положительный Mlt формула (4.219)].
Интерпретация состояния с # = 02. Состояние с /От = 0+2 в ядре 174Hf
характеризуется довольно большим значением матричного элемента квадру-
лольного возбуждения [приведенное выше значение В (Е2\ К==02, / = 0->
->/( = 02, / = 2) составляет примерно 10BVV7(E2), где Вw(Е2) — соответствую-
щая одночастичная оценка, стр. 487]. Такое усиление показывает, что данное
состояние можно рассматривать как коллективную колебательную ветвь, связан-
ную с изменениями квадрупольной деформации ядра (гл. 6, стр. 315). Ампли-
туду такого колебания можно рассчитать по величине матричного элемента
Е2-перехода на это состояние. Поскольку оператор рассматриваемого перехода
линеен по параметру деформации £, мы имеем
1 /О I R _ R А \ f	~ (В 0___________________
Ро <Ог 1Р Ро 017 \5/ eQ0~lB(E2; 0->К=0„ /=2)/	/
где р0 — равновесное значение параметра р [связь между параметрами квадру-
польной деформации р и 6 определяется соотношением (4.191)].
Приведенный в табл. 4.21 матричный элемент Е0-перехода составляет нес-
колько одночастичных единиц [определяемых соотношением (6.434)]. Это срав-
нимо с соответствующим значением для квадрупольных колебаний, при кото-
рых объем, ограниченный поверхностями постоянной плотности, остается
постоянным [962] [формулы (6.82) и (6.84)]:
/ Z ч
/ = 2)\’/2
А ₽
Р = 1
оЛ=2роАг^ф+±Я2
13 ферми2
(4.264)
при /?0 = 6,1 ферми и а = 0,54 ферми [формулы (2.69) и (2.70)].
В рамках рассматриваемой колебательной модели внутренний матричный
элемент ЛИ -перехода, входящий в формулу (4.254), можно представить в виде

(4.265)
158
Гл. 4. Вращательные спектры
Тогда при значениях В (Ml), взятых из табл. 4.21, по формуле (4.254) получим
Таким же образом матричный элемент эффективного оператора взаимодей-
ствия Ло можно выразить через момент инерции как функцию деформации
[формула (6.296)]:
1 °‘> fefe) м. (°-1 I <4-2“>
откуда, взяв для Ло экспериментальное значение [формула (4.257)], получим
(4.267)
\? дР/₽=₽о
Это намного больше соответствующей величины для твердотельного момента
энерции [формула (4.104)], но влияние, оказываемое эффектом спаривания
на момент инерции, довольно сильно зависит от амплитуды колебаний дефор-
мации. Частично такая зависимость обусловлена тем, что энергии одночастич-
ных переходов, индуцируемых взаимодействием Кориолиса, зависят от деформа-
ции ядра. В простой формуле (4.128) для момента инерции энергия одночастичных
переходов пропорциональна р, так что за счет зависимости ? от этой энергии
получим
—	0,9 = 1,зУ (4.268)
JZ \dP/A=const	1— g(x)dx	\ 2Д J
где для Йо06 и Л взяты значения, приведенные на стр. 86. Дополнительный
вклад в д?!д$ может возникать за счет зависимости параметра спаривания А
от р.
§ 5. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ НЕАКСИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Все сказанное нами в предыдущих параграфах относилось к си-
стемам, которые можно считать аксиально-симметричными. В этом
случае можно говорить только о вращении системы вокруг осей,
перпендикулярных оси симметрии. Но, как в любой квантовой
системе, здесь должны быть флуктуации формы, выражающиеся
в кратковременных отклонениях от аксиальной симметрии Выше
такие флуктуации рассматривались как внутренние возбуждения,
а их влияние на вращательное движение учитывалось на основе
общих выражений, выведенных в § 3 (см также случай взаимодей-
ствия с 2, § 4).
Если же система обладает устойчивой равновесной формой,
отклоняющейся от аксиальной симметрии на величину, превыша-
ющую амплитуду нулевых колебаний, то можно сделать еще один
шаг по пути разделения на вращательное и внутреннее движение
и рассмотреть вращение вокруг всех трех осей эллипсоида инерции.
В таком случае вращательные состояния будут содержать дополни-
тельную степень свободы, и поэтому все соотношения для характе-
ристик вращательных состояний усложнятся.
Вращательное движение неаксиальных ядер — это в принципе
широкая область исследования. В настоящее время нет надежно
установленных примеров ядерных спектров, отвечающих неак-
§ 5. Вращательные спектры неаксиальных систем
159
сиальным равновесным формам. Но весьма возможно, что с такими
спектрами придется иметь дело при исследовании ядер в новых
условиях (большие деформации, большой угловой момент или
изоспин и т. д.). Наряду с этим важно и то, что анализ общего
случая вращения неаксиальных систем позволяет по-новому осве-
тить некоторые стороны ряда проблем, рассмотренных в предыду-
щих параграфах. (Квантовая теория асимметричных ротаторов
развита во многих работах в связи с анализом спектров многоатом-
ных молекул; см., например, работы [590, 1124]. Возможность ис-
пользования модели асимметричного ротатора для интерпретации
ядерных спектров особенно подчеркивалась Давыдовым и Филип-
повым [300]; см также [295].)
1. Классификация состояний системы с четным А по симметрии
При анализе вращательного движения в системе четного числа
фермионов мы будем считать, что внутреннее состояние системы
не вырождено. Так и должно быть, если внутренний гамильтониан
системы не обладает более высокой симметрией, чем относительно
поворотов на угол л вокруг одной или нескольких осей, в дополне-
ние к инвариантности относительно инверсии пространства и обра-
щения времени. В самом деле, в таком случае, как будет показано
ниже, группа внутренней симметрии имеет только одномерные
неприводимые представления (в отличие от системы с нечетным А,
где инвариантность относительно обращения времени сама по себе
приводит к двукратному вырождению). В системе с четным А
многомерные неприводимые представления могут возникать в том
случае, когда группа внутренней симметрии содержит ось порядка
п 3 (ось порядка п означает инвариантность относительно пово-
рота на угол 2л !п). В самом деле, наличие оси порядка п > 3 на-
ряду с инвариантностью при обращении времени (которой соответ-
ствуют недиагональные матричные элементы между состояниями
с комплексно-сопряженными собственными значениями операторов
вращения) или вместе с дополнительной осью вращения означает
наличие некоммутирующих элементов во внутренней группе сим-
метрии.
Симметрия гамильтониана. Если предположить, что рассматри-
ваемая деформация сохраняет инвариантность относительно опе-
рации обращения времени, то внутренние состояния системы |а)
будут собственными состояниями оператора е/ , и поэтому средние
значения /-нечетных операторов, действующих на внутренние коор-
динаты, будут равны нулю. Тогда вращательный гамильтониан
системы, являющийся функцией компонент /х полного углового
момента вдоль внутренних осей, должен быть инвариантным отно-
сительно инверсии /х->—/х. Таким образом, в нулевом порядке
^враШ представляет собой билинейную форму относительно /х.
160
Гл. 4. Вращательные спектры
которую можно привести к диагональному виду путем преобразова-
ния к главным осям:
з
HBpaal = X	(4.269)
X — 1
Коэффициенты Лх представляют собой средние значения по внут-
реннему состоянию, которые можно выразить через моменты инер-
ции:
=	(4.270)
Гамильтониан (4.269) инвариантен относительно поворотов на
угол л вокруг каждой из трех главных осей:
е^х (л) = ехр (— гл/х).	(4.271)
Эти операции удовлетворяют тождествам
(л) = s^3 (л) а^2 (л),
е^2 (л) е^з (л) — а^з (л) s^2 (л) еЯ5 (2л),
а также тождествам, которые получаются при циклической переста-
новке индексов. Здесь операция
(2л) = [е^ (л)]2 = [е^2 (л)]2 =	(л)]2 = (—1)л	(4.273)
есть поворот на угол 2л. При четных А такой поворот сводится к тож-
деству, и поэтому операторы е^х(л) коммутируют; более общие
соотношения (4.272) справедливы также и в системах с нечетным А
(см. ниже).
При четных А группа симметрии гамильтониана, состоящая
из некоммутирующих элементов /,	(л), е^2 (л) и (л), пред-
ставляет собой точечную группу, имеющую общепринятое обозна-
чение О2. Собственные значения е^х (л) равны rx = ± 1, и так как
ri = г2гз, т0 рассматриваемая группа имеет четыре одномерных
представления:
(+ + +)»
(Г1Г2Г3) =
(4.274)
Таким образом, квантовые числа симметрии гх характеризуют соб-
ственные значения гамильтониана асимметричного ротатора (4.269).
Собственные состояния. Если все моменты инерции различны,
то ни одна из компонент /х не является интегралом движения,
но состояния с квантовым числом симметрии гх содержат только
компоненты с четными /х при гх = +1 и с нечетными /х при гх = —1.
§ 5. Вращательные спектры неаксиальных систем 161
В представлении, в котором /3 диагоналей (с собственными значе-
ниями /<), разложение вращательной волновой функции с заданной
симметрией имеет вид
фгл; им (<о) =	2	с<№' iJKlXw. ikm (со),	(4.275)
К = 0, 2, ... , (Г3 = + 1)
к = 1,3,	,(г3 = -1)
гдет — индекс разных состояний полосы с одинаковыми значениями
/ и где
Хг2г3; /км («) =	[^мк (ю) + г2 (—1)z + k^m,~K («)]х
х(1+Ж,	(4.276)
Относительная фаза компонент с противоположными знаками /<
определяется квантовым числом г2 1см. формулу (4.18), где опера-
ция (л) обозначается через <&е]. Компоненты с К = 0 имеются
только при г3 = +1 и г2 = (—I)7 Из этого правила отбора следует,
что собственные состояния вращательного гамильтониана, имею-
щие определенную точечную симметрию (г^з), образуют следую-
щий набор значений /:
/О, 22, 3, 43, 52,	|(+ + +)
|1, 2, З2, 42, 53, (Г1Г2Гз) ((+--)> (- + -М--+).
(4.277)
При каждом значении / во всех четырех классах симметрии содер-
жится 2/ 4- 1 состояний.
Ограничения, накладываемые внутренней симметрией D2 Заклю-
чение (4.269) о виде вращательного гамильтониана нулевого по-
рядка, приводящее к необходимости классифицировать его состоя-
ния по представлениям группы симметрии 02, основано только
на предположении о том, что деформация инвариантна относи-
тельно операции обращения времени. Если, кроме того, деформа-
ция и, следовательно, внутренний гамильтониан обладают симмет-
рией /)2» как это имеет место в случае эллиптической формы, то
на вращательные степени свободы налагаются ограничения того же
типа, что и в случае аксиально-симметричных систем (§ 3).
В случае деформации, имеющей симметрию D2, ориентации,
отличающиеся поворотом ой?х (л), неразличимы, и поэтому такие
повороты следует отнести к внутренним степеням свободы. Соот-
ветствующее сокращение числа вращательных степеней свободы
можно выразить равенством (е^х (л))е = (<зЯ?х (л));, аналогичным
соотношению (4.11). Таким образом, внутреннему состоянию с кван-
товыми числами гх отвечает вращательный спектр, содержащий
только состояния с теми же значениями гх. В случае же деформации,
нарушающей О2-симметрию, повороты е^х(я) не относятся к внут-
6 О. Бор, Б. Моттельсон.
162
Гл. 4. Вращательные спектры
ренним степеням свободы и вращательный спектр системы содер-
жит все состояния (4.277), принадлежащие четырем различным
классам симметрии.
Дополнительные внутренние симметрии. Если деформация системы инва-
риантна относительно конечных вращений, не содержащихся в группе &2, то
ее вращательный гамильтониан инвариантен относительно расширенной группы
симметрии, содержащей группу &2 и дополнительные преобразования, отно-
сительно которых деформация системы инвариантна. В такой ситуации тензор
инерции будет иметь аксиальную симметрию. В самом деле, рассматриваемая
расширенная группа должна содержать по крайней мере одну ось порядка
п>2, а такая ось, как легко видеть, является осью симметрии тензора инер-
ции. Существование оси симметрии у тензора инерции приводит к тому, что
моменты инерции в направлениях, перпендикулярных этой оси, равны и что
компонента углового момента вдоль этой оси является интегралом движения.
Система с такими свойствами называется симметричным волчком. Если же
система обладает двумя или несколькими осями порядка п > 2 (как в случаях
тетраэдрической или кубической симметрии), то ее тензор инерции является
сферически-симметричным 0 j =Л2 ==Л3). Такая система называется сферичес-
ким волчком. (Наличие оси симметрии порядка п 3 может приводить к вырож-
дению внутреннего движения (стр. 159) и, следовательно, к появлению во вра-
щательном гамильтониане членов, линейных по /х.)
В этом случае собственные состояния вращательного гамильтониана можно
классифицировать по представлениям расширенной группы симметрии. Для
заданного внутреннего состояния вращательный спектр содержит лишь те пред-
ставления, которые имеют те же квантовые числа симметрии, что и рассматри-
ваемое внутреннее состояние (по отношению к вращениям, оставляющим
инвариантной внутреннюю структуру). Например, если внутреннее состояние
является собственным состоянием оператора вращения вокруг оси порядка п,
отвечающим собственному значению ехр {—2ш\/л}, то отвечающий ему вра-
щательный спектр содержит только состояния, в которых проекции К углового
момента на эту ось равны К —v, v ± п, v ± 2п, Если внутреннее состоя-
ние принадлежит многомерному неприводимому представлению группы внут-
ренней симметрии (как в случае аксиальной симметрии наряду с (^-инва-
риантностью), то волновая функция системы содержит линейную комбинацию
разных внутренних состояний, принадлежащих данному представлению, получа-
емую путем такой же симметризации, как и в случае аксиально-симметричных
ядер [формула (4.19)].
Можно рассматривать также возможность деформаций, которые инвариантны
относительно комбинации конечного вращения с отражением пространства или
времени, не будучи инвариантными относительно этих операций по отдельности.
В такой ситуации, как и в аналогичных случаях в § 3, имеется связь между
вращательными степенями свободы и теми, которые отвечают рассматриваемому
отражению. Например, если на эллипсоидальную деформацию накладывается
деформация, имеющая симметрию /зг + ^з.-г* т0 внутренняя структура стано-
вится инвариантной относительно операций е^3(л) и комбинации	(д)$\
так что внутренние состояния можно характеризовать собственными значениями
г3 и s2 этих операций. Отвечающий им вращательный спектр содержит представ-
ления (r3, r2—± 1), имеющие те же квантовые числа г3, что и внутреннее
состояние, и эти два представления имеют противоположную четность (л = г2£2).
Молекулы с тождественными ядрами. В молекулярных спектрах ограниче-
ния на вращательное движение возникают во всех случаях, когда путем пово-
рота молекулы можно выполнить перестановку тождественных ядер (классифи-
кацию симметрии многоатомных молекул см., например, в книге [723]). Повороты,
которые либо не меняют равновесного положения ядер, либо приводят к пере-
становке тождественных ядер, составляют подгруппу & трехмерных вращений.
§ 5. Вращательные спектры неаксиальных систем 163
Эта группа содержится в «молекулярной группе симметрии», характеризующей
симметрию гамильтониана, описывающего электронные и колебательные степени
свободы во внутренней системе координат. Молекулярная же группа симметрии
в свою очередь входит в группу, характеризующую симметрию вращательного
гамильтониана. Поэтому элементы группы & можно выразить либо через
внешние вращения, либо через внутренние операции, состоящие из поворотов
электронных и колебательных переменных и перестановок тождественных ядер.
Так же как на ядерные системы накладываются ограничения, рассмотренные
выше, на молекулярный вращательный спектр налагается ограничение
D электроны) • D колебания) • D перестановки) =
= вращения), (4.278)
где D (^) —представления, характеризующие симметрию различных компонент
молекулярной волновой функции относительно преобразований группы
Множитель D перестановки) описывает симметрию относительно простран-
ственной перестановки ядер, определяющуюся статистикой и спиновой волно-
вой функцией ядер. Например, в молекуле С2Н4 ^этилен ^С=С где четыре
протона расположены по углам плоского прямоугольника с двумя ядрами угле-
рода (предполагается, что это ядра 12С), расположенными симметрично отно-
сительно средней оси прямоугольника, группа симметрии & состоит из опе-
раций тождественного преобразования и трех поворотов е^х(л) вокруг осей,
проходящих через центр молекулы. Каждый такой поворот содержит две пере-
становки четырех протонов (еТ\2й^34), (<^13^24)» (^м^зз)- Два из них содержат
также перестановку ядер 12С, но, поскольку эти ядра подчиняются статистике
Бозе и имеют нулевой спин, такая перестановка всегда дает множитель + 1.
Отсюда видно, что группой симметрии рассматриваемой молекулы является
группа ^ = ^2» представления которой одномерны, и поэтому условие (4.278)
для нее выражается через собственные значения: гх (электроны) Хгх (колеба-
ния) Хгх (перестановки) = гх (вращения). Перестановки атомов Н составляют
подгруппу симметричной группы <^4. Поэтому возможными симметриями отно-
сительно пространственной перестановки протонов, имеющих спин V2 и подчи-
няющихся статистике Ферми, являются симметрии [/] = [11 И], [211] и [22],
соответствующие сопряженным симметриям [/]* = [4], [31] и [22] относительно
перестановки спинов, отвечающих полным спинам 5 = 2, 1 и 0 (т. 1, приложе-
ние 3, стр, 117 и 122) Квантовые числа гх (перестановок) определяются путем
разложения представлений группы по представлениям подгруппы, которая
содержит тождественное преобразование и три пары перестановок (и которая
изоморфна группе В данном случае это представление можно сразу же
получить, заметив, что три представления, содержащие отрицательные значе-
ния гх [формула (4.274)], должны возникать одновременно и что эти представ-
ления содержатся в представлении [/] = [211], для которых одна из базисных
функций может быть выбрана симметричной относительно перестановки частиц
1 и 2 и антисимметричной относительно перестановки частиц 3 и 4 (т. 1,
стр. 129, табл. 1.6), т. е. собственной функцией оператора е7\2<^з4> отвечающей
собственному значению —1. Поскольку (т. 1, стр. 113) размерности представ-
лений [/] в случаях представлений [1111], [211] и [22] равны 1, 3 и 2, полу-
чаем следующие разложения: протонное состояние со спином 5 = 2, соответ-
ствующее представлению [/] = [1111], имеет гх (перестановки) = (++ +), состо-
яние с 5=1 ([/] = [211]) содержит представления (-|-----), (-й—), (-------[-)
и, наконец, состояние с 5 = 0 ([/] = [22]) дважды содержит симметричное пред-
ставление (+4“ + ). Таким образом, зная квантовые числа гх для электронного
и квантового движения, можно определить возможные симметрии (вращений),
отвечающие данному значению 5. При этом набор состояний, содержащихся
во вращательном спектре, определяется соотношением (4.277).
6*
164
Г л. 4. Вращательные спектры
2.	Энергетические спектры
Если все три момента инерции неодинаковы, то для нахождения
собственных значений вращательного гамильтониана (4.269) нужно
диагонализировать матрицы, порядок которых растет с ростом I
При этом энергетический спектр системы можно записать в виде
£вращ = | (А + Л3) / (/ + 1) + 4 (Л - Аз) Ех1 (к), (4.279)
где Exi (х) — собственные значения матрицы
Я(х) = /1 + х/1-/|,	(4.280)
зависящей от единственного параметра асимметрии
(4.281)
Поскольку главные оси можно выбрать так, чтобы выполнялось
соотношение
Аг Д2 < А3	^Л),	(4.282)
собственные значения матрицы Я(к) достаточно найти в интервале
— 1 ^х< 1.	(4.283)
При	чт0 соответствует параметру х = 1, тензор инерции
представляет собой сплюснутый сфероид, а при Л2 = /з, т. е. при
х = —1, — вытянутый сфероид. (Если моменты инерции имеют
классические твердотельные значения, то вытянутой форме отве-
чает сплюснутый тензор инерции, а сплюснутой — вытянутый.
Но для квантовой системы такое соответствие, вообще говоря, не
имеет места. Например, если система аксиально-симметрична, то
момент инерции относительно оси симметрии равен нулю, так что
тензор инерции такой системы оказывается вытянутым независимо
от того, вытянута или сплюснута ее форма.)
На фиг 4.33 представлена зависимость спектра собственных
значений матрицы Нк от х при нескольких разных значениях /.
Для каждого состояния на этом графике указаны квантовые числа
симметрии (Г1/у*з)- При отрицательных х набор собственных значе-
ний Exi такой же, как и при положительных, меняется лишь знак;
соответствующая инверсия сводится к перестановке осей 1 и 3
(таблицы собственных значений Ех при I 12 рассчитаны в рабо-
тах [679, 680], а при 13	40 — в работе [394]; свойства спектра
при больших / будут рассмотрены ниже).
Если два момента инерции одинаковы (аксиально-симметричный
ротатор, х == ±1), то спектр системы представляет собой ряд полос
с определенными значениями проекции К углового момента на ось
симметрии тензора инерции, причем энергия линейна по / (7 4- 1)
§ 5, Вращательные спектры неаксиальных систем 165
внутри каждой из них. При х = 1 осью симметрии является ось 3
и К = /3, а при х —1 осью симметрии является ось 1 и /< — 7г
(фиг 4.33, а). В этом случае малую асимметрию можно рассмат-
ривать как наличие взаимодействия между полосами с разными К,
и тогда спектр системы можно представить в виде разложения
в ряд по степеням I (I + 1) (п. 4). При промежуточных же значениях
х квантовое число К не сохраняется, так что разложение энергии
по степеням / (/ 4 1) непригодно. Тем не менее при любом х можно
определить аналитические траектории, объединяющие состояния
с последовательными значениями I во вращательные последователь-
ности (траектории Редже). Но в спектре асимметричного ротатора
траекторию Редже нельзя определить однозначно, поскольку при
каждом значении I имеется много состояний (см. пример, стр. 176).
В ядре, форма которого инвариантна относительно операции
(л), одночастичные орбиты двукратно вырождены и конфигу-
рация четно-четного ядра возникает в результате попарного за-
полнения таких сопряженных орбит. Такое внутреннее состояние
имеет квантовые числа гг = г2 = г3 = л — +1 (см. аналогичные
рассуждения в случае аксиально-симметричных ядер, стр. 37).
Спектр нижних состояний асимметричного ротатора с такой внутрен-
ней симметрией содержит последовательность уровней с /л = 0+,
2+, 44-, (как и полоса = 0), тогда как следующая группа
состояний имеет /л = 2+, 3+, 4+, ... (так же как и полоса /<л =
2+) Такой характер спектра наблюдается во многих случаях
(например, спектр 166Ег, стр. 145, и спектры изотопов Os, стр. 472,
фиг. 6.32). Однако имеющиеся данные не позволяют установить
количественные соотношения в этих спектрах, которые были бы
специфичными для модели асимметричного ротатора. Эксперимен-
тальная энергия возбуждения вторых уровней 2+ всегда больше
500 кэВ, т е. она значительно больше энергий вращательных
состояний в сильно деформированных ядрах. Поэтому такие со-
стояния обычно относят к колебательным степеням свободы, но
не нужно забывать, что многие особенности этих спектров еще
не очень хорошо объяснены (см. о квадрупольных колебаниях
в гл. 6, стр. 484 и 488). На стр 150 и в п. 4 настоящего параграфа
рассматривается возможность интерпретации некоторых из этих
спектров на основе предположения о наличии малой асимметрии
Решающим экспериментальным основанием для выбора между вра-
щательной и колебательной интерпретациями явилось бы обнару-
жение уровней, отвечающих повторному возбуждению ветви, от-
ветственной за второй уровень /л = 24-. В модели асимметричного
ротатора такие уровни образуют группу, напоминающую полосу
Кп = 44-, которая начинается с энергии, в ЗЧз—4 раза превышаю-
щей энергию второго уровня 2+ 1в пределе сплюснутого ядра
(х — —1) второй уровень 2+ и третий уровень 4+ имеют Л = 0
и энергии, равные А31 (/ + 1); в пределе вытянутого ядра (х = +1)
166 Гл. 4, Вращательные спектры
эти состояния имеют | /3 | = 1 и энергии AJ + Л3/2]. В модели же
гармонических колебаний относительно аксиальной равновесной
формы двукратное возбуждение приводит к двум полосам с Кп = 0+
и = 4+, энергии возбуждения которых примерно вдвое превы-
шают энергию второго уровня 2+.
Для дополнительной проверки модели асимметричного ротатора
можно воспользоваться данными о правилах интенсивностей пере-
ходов между разными состояниями, отвечающими одной и той же
внутренней конфигурации. Матричные элементы тензорных опера-
торов между состояниями вида (4.275) можно вычислить, перейдя
к внутренней системе координат, т. е. так же, как это делается
о--------------------(--+)
I----1___I____I___I____I___1___!____L _______L 1______I----1___I----!---!----1____I---1----L
4,0 '0,8 -0,6 -о,-4 -0,2 О 0,2	Z7/	0,6	0,8	1,0
де
а
Фиг. 4.33. Собственные значения
Собственные значения ЯХ(Х) взяты из работ [679, 680, 394J. Они представлены как функции
товыми числами
§ 5. Вращательные спектры неаксиальных систем 167
при выводе правил интенсивностей для аксиально-симметричного
ротатора (§ 3, п 4) Получающиеся таким путем соотношения ин*
тенсивностей зависят от коэффициентов с (К), которые в свою оче-
редь зависят от параметра асимметрии х Поэтому в общем случае
такие соотношения интенсивностей содержат много внутренних
матричных элементов, отвечающих различным компонентам v рас-
сматриваемого тензорного оператора Но эти соотношения интен-
сивностей носят более общий характер, чем аналогичные соотноше-
ния для аксиально-симметричных ядер, поскольку заданному внут-
реннему состоянию неаксиальной системы отвечает значительно
большее число вращательных уровней.
матрицы Нк асимметричного ротатора.
параметра асимметрии х при нескольких значениях Л Разные состояния обозначены Иван-
группы
168
Г л. 4. Вращательные спектры
Имеющиеся данные о наинизших состояниях четно-четных ядер
согласуются с предположением о сферической или аксиальной
равновесной форме, но в состояниях с большими угловыми момен-
тами роль неаксиальных деформаций может возрастать (п. 5).
3.	Системы с малой асимметрией
Если два из трех моментов инерции приблизительно одинаковы
(Д «/2)» то спектр системы можно разбить на полосы, характери-
зующиеся квантовым числом К (= 13). В случае такого почти сим-
метричного ротатора гамильтониан (4.269) удобно записать в виде
нвраа1 = I (Л + Д2) I2 +1 (2Л3 -А,- Аг) Ц + Нс,
।	(4.284)
Поправки к аксиальной симметрии описываются членом Нс, имею-
щим вид (4.206) для взаимодействия с ДК =-- 2. При этом
Л+2 = -|И1-Л2)-	(4.285)
Следовательно, с помощью выражений, полученных в § 4, можно
найти эффекты наинизших порядков по этому взаимодействию
и в том числе поправки первого порядка к правилам интенсивно-
стей Е2-переходов между полосами с ДА = 2, а также поправки
второго порядка к вращательным энергиям и Е2-переходам внутри
этих полос.
В качестве примера поправок высших порядков приведем коэф-
фициенты разложения вращательной энергии (4.62) для полосы
с К = 0 (в системе с г2 = г3 = +1):
п _	1 а2 9 а4 .
С =____+
1024&3 '
и 4096 Ь3 ‘
а == /1 1 — Л 2, b === 2 Л з — Л1 — Л
и для полосы с К = 2:
А = у (Л, Аг) 4* -g- у 4-...,
Э4 = ^у4-...,	(4.287)
о 1 а2 ।
В = 48 *+••••
§ 5. Вращательные спектры не аксиальных систем 169
Отметим, что эти выражения для коэффициентов разложения вра-
щательной энергии получены с использованием вращательного
гамильтониана нулевого порядка (4.269), который квадратичен
по /х. Дополнительный вклад могут давать члены вращательного
гамильтониана высших порядков, содержащие четвертую и более
высокие степени углового момента.
Ввиду того что в спектрах сильно деформированных четно-чет-
ных ядер систематически наблюдаются возбужденные полосы
с Дд = 2+, рассмотрим вопрос о том, можно ли описывать эти
спектры на основе представления о ротаторе, слегка отклоняю-
щемся от аксиальной симметрии. Типичная энергия возбуждения
второго уровня 2+ примерно в 10 раз больше, чем энергия первого
уровня 2+, откуда следует, что А3 « 10Лх. В то же время из экспе-
риментального значения взаимодействия с = 2 следует, что
I At — Д2 I « (см. пример на стр. 145). Предположение
о слегка асимметричном ротаторе не приводит к каким-либо новым
соотношениям для матричных элементов Е2-переходов между поло-
сами сК 0 и К = 2, кроме тех, которые получены в § 4 в резуль-
тате общего анализа взаимодействия с = 2. Но мы можем срав-
нить экспериментальные вращательные энергии с выражениями
(4.28G) и (4.287). Примером могут служить спектры ядер 1б8Ег
(табл. 4.1, стр. 71), 1б6Ег (фиг 4.29, стр. 146) и 174Hf (табл. 4.20,
стр. 154). Оказывается, что члены высших порядков в энергиях
вращательных уровней обнаруживают совершенно иные законо-
мерности, нежели предписываемые соотношениями (4.286) и (4.287),
В частности, члены В в полосах с К = 0 и К = 2 примерно одина-
ковы по величине, тогда как соотношения (4.286) и (4.287) дают
В (К = 2) «—1/3В (К = 0). Далее, экспериментальные значения
величин С и D таковы, что С > 0, D < 0 и | С |	102 | D |, тогда
как соотношения (4.286) дают С<0, D>0 и | С |	(12/7) | D |.
И наконец, экспериментальные значения А4 в полосах с К = 2
либо очень малы по сравнению с В (К = 0), либо отрицательны,
тогда как из (4.287) следует, что А4 ^Y/2 \ В (К ~ 0) Отсюда
можно заключить, что наблюдающиеся экспериментально отклоне-
ния от вращательных энергий нулевого порядка в нижних полосах
четно-четных ядер нельзя объяснить отклонением формы ядра от
аксиальной симметрии.
4.	Классификация состояний по симметрии в ядрах
с нечетным А
Отсутствие однозначных данных в пользу интерпретации уров-
ней четно-четных ядер как вращательных состояний асимметрич-
ного ротатора чрезвычайно затрудняет соответствующий анализ
в более сложном случае спектров ядер с нечетным А (см. напри-
мер, комментарии к спектрам ядер с А = 25, стр. 253). В данном
170
Г л. 4. Вращательные спектры
разделе мы кратко рассмотрим общие свойства спектров нечетных
ядер, которые можно вывести из соображений симметрии (анализ
спектра частицы, связанной с асимметричным ротатором, проведен
в работе [569]).
Внутренние состояния системы с нечетным числом фермионов
двукратно вырождены, если деформация системы инвариантна отно-
сительно обращения времени (вырождение Крамерса, т 1, стр. 28).
Поэтому вращательный гамильтониан такой системы представляет
собой матрицу второго порядка в пространстве сопряженных внут-
ренних состояний, обозначаемых символами | а, р = 1) и | а, р =
= —1) = — <2^ |а, р = 1) [формула (1.248)] Такую матрицу
можно записать в виде линейной комбинации единичной матрицы р0
и трех матриц Паули р (= рь р2, р3) Поскольку матрица р0
четна относительно обращения времени, а компоненты матрицы р
нечетны [формула (1.251)], вращательный гамильтониан системы
имеет вид
^враш — Ро^О (^х) + р77 (7Х)>	(4.288)
где функция Но четна, а функция Н нечетна относительно инверсии
—7Х. Если учитывать только главные члены, линейные и
билинейные по /х, то для 77враш получим
Нвраш = S /х- Ц aKklKpk\	(4.289)
Х = 1\	)	/
(направив внутренние оси по главным осям тензора инерции)
Коэффициенты aKk в формуле (4.289) действительны (так как
7/Вращ ~~ эрмитов оператор) и имеют ту же природу, что и параметры
развязывания в полосах с /( = 1/2 аксиально-симметричных ядер
Если внутренний гамильтониан обладает симметрией О2, то
в качестве базиса можно выбрать состояния ар, являющиеся соб-
ственными состояниями оператора е^з (л) Поскольку в системе
с нечетным А мы имеем [е^3 (л)]2 = — 1 [формула (4.273)], собствен-
ные значения оператора е^3 (л) равны ±i Состояния р = ±1
имеют комплексно-сопряженные собственные значения г8 Выбирая
состояние р = 1, отвечающее собственному значению —имеем
М = —Фз Фазы рассматриваемых состояний можно выбрать
в соответствии со стандартным условием <^?2 (л)<з^ = + 1 Поскольку
— ip2 [формула (1.250)1, мы имеем е^2 (я) = —*Ра и поэтому
можем написать
е^х (л) = — фх	(4.290)
как следствие соотношения (л) =	(л)е^9 (л) и соотношений,
получающихся из него путем циклических перестановок [эти соот-
ношения для операторов (е^х (л))/, действующих на внутренние
переменные, обратны соотношениям (4.272) для операторов (е^н(л))^,
действующих на углы ориентации].
§ 5. Вращательные спектры неаксиальных систем
171
Инвариантность относительно операций <^?х(л) приводит к тому,
что в базисе (4.290) вращательный гамильтониан (4.289) принимает
вид
з
явра1д = S Л *	- «хРх/х),	(4.291)
х = 1
отвечающий диагональной матрице развязывания akK =
Полная волновая функция системы с нечетным А может содер-
жать вращательные компоненты со всеми возможными К (—I
К /), в каждую из которых входят оба внутренних состояния
а, р = ±1. Симметрия е^х (л) внутреннего движения накладывает
следующие правила отбора:
б^з(^)=ехр(—ш/<) = —fp3 = (	\ ПРИ Р 1’	(4.292)
( i при р = —1,
так что соотношение (л)	= 1 приводит к волновой функции
вида
К = ...-з/2> 1/2.72,
ш _/27 + 1у/2[ф	,	(4.293)
ТaKIM =	6~2 'J	=	(<0) —	v 1
_(-1)/ + Кфар=_1^1_л(а))].
[В пределе аксиальной симметрии внутренние состояния, которые
обозначаются через Ф/<, равны Фа,р = 1 при К =	54> 94>
и Фа,р= -1 пpи^ = 3/2, 7/2, Поскольку Фа)Р==_]= — еГ'Фа>р==1,
относительная фаза двух компонент Усшм в выражении (4.293)
противоположна соответствующей фазе в формуле (4.19).] При
заданном I состояния (4.293) содержат I + г/2 членов, так что
вращательный спектр системы имеет следующие члены:
'=У® f|j	(4.294)
Число состояний с данным / равно величине 2/ + 1, умноженной
на 2 (вследствие двукратного вырождения внутренних состояний)
и деленной на 4 (вследствие инвариантности относительно группы £>2,
состоящей из четырех элементов).
В модели одной частицы, взаимодействующей с асимметричным
ротатором, вращательная энергия системы (4.289) получается из
выражения (4.269) для ротатора при замене /х на <^х = /х — /х.
Оператор /х, рассматриваемый как матрица второго порядка в про-
странстве состояний | а, р = ±1), линеен по р*, и поэтому коэф-
фициенты axk в формуле (4.289) равны следу произведения
матриц /хрЛ Если потенциал, создаваемый ротатором, обладает
172
Гл. 4. Вращательные спектры
^-симметрией, то вращательный гамильтониан системы опреде-
ляется выражением (4.291), где
flx = Sp(/xpx).	(4.295)
Параметры развязывания а* зависят как от симметрии гх ротатора,
так и от одночастичных волновых функций Например, для одно-
частичного состояния с j =- Ч2 мы имеем (л) — гхехр {—1л/х} —
— —[формула (1.141)1, откуда в силу формулы (4.290) полу-
чаем а* = гх. При таких а% вращательный гамильтониан (4.291)
дает спектр дублетов, отвечающий отсутствию связи между рота-
тором с симметрией гх и частицей с j = V2.
5.	Состояния с большими 1
В задаче об асимметричном ротаторе при больших угловых мо-
ментах, отвечающих ираст-области, можно получить простые реше-
ния, имеющие ясный физический смысл.
В классической теории асимметричного ротатора движение
системы сводится к простому вращению без прецессии осей симмет-
рии, если угловой момент системы ориентирован вдоль оси с макси-
мальным или минимальным моментом инерции. Соответственно
этому в квантовой теории состояния с наибольшей и наименьшей
энергиями при данном / приобретают простую структуру при боль-
ших / [488].
Если выбрать оси так, чтобы выполнялось соотношение >
/з Hi <^2 <0з)> то состояния с наименьшей при дан-
ном I энергией будут иметь | /г | « / При этом для состояний
с | /1 | « /	1 взаимодействие между компонентами вращатель-
ной волновой функции с положительными и отрицательными /х
становится пренебрежимо малым, так что Л можно считать поло-
жительной величиной Компоненты углового момента, перпенди-
кулярные оси 1, удовлетворяют перестановочным соотношениям
[1 /J-2/^2/ (1± = 12±П3)	(4.296)
и поэтому могут приближенно рассматриваться как операторы рож-
дения и уничтожения бозонов:
c» = JL-/+, c = -L/_, [с, сЧ^ 1.	(4.297)
]/2/	У 2/	1 J	’
В этих переменных гамильтониан (4.269) можно записать в виде
Н = AI2 + 2 И-2+Лэ - 2А) (Ц+И) +
+ 4 (Л2 - Аз) (71 - II) = А^ + Н',	(4.298)
§ 5 Вращательные спектры неаксиальных систем
173
где
Н' == ~ a (cfc 4- се1) + у Р (стсг 4- сс) =
= а(п4-4) + |р(с^4-сс),	(4.299)
п = с'с ^/ — /ъ
ос = (Л2 4“ — 2АХ) /,
Р — (^2 — ^з) /•
Число квантов обозначено через п, и бозонный вакуум (п = 0)
представляет собой состояние с /; каждый квант несет ком-
поненту углового момента вдоль оси 1, равную единице. [В системе
с нечетным А нулевой гамильтониан содержит также линейные
по /х члены [формула (4.289)], в связи с чем возникают члены,
линейные по с* и с. Но в системах, обладающих ^-симметрией,
членами п2/2р2 и <23/3 р3 в рассматриваемом приближении можно
пренебречь, а член агЛР1 приблизительно равен константе (]
Гамильтониан (4.298) можно диагонализировать путем канони-
ческого преобразования к новым бозонным переменным & и с:
cf = xcf 4* ус,
Ь = xcf — ус,	(4.300)
х2 — у2 = 1.
Отсюда получаем
Н' = Й®(п4-у),	(4.301)
п = сС,
где
Йо) = (а2 - р2) ’ = 2/ [(Д2 - Л х) (Д3 - А О]*	(4.302)
а коэффициенты преобразования таковы:
;}-[4(от±|Г
Таким образом, стационарные состояния характеризуются кванто-
выми числами п и / (и М), а их энергия дается выражением
:Е(п, /) = Д1/(/4-1) + (п + 4)йй)-	И-304)
Квантовое число п описывает прецессию системы относительно
направления углового момента I; при малых амплитудах это дви-
жение носит характер гармонических колебаний с частотой со.
174
Гл. 4. Вращательные спектры
Если внутреннее состояние обладает ^-симметрией, то спектр
ротатора с четным А содержит только состояния с
(— 1)Й = Г1(_1)/,	(4.305)
тогда как спектр системы с нечетным А содержит состояния со все-
ми п. Асимптотический характер (4.304) спектра системы с чет-
ным А виден из примера, показанного на фиг. 4.34, стр. 178.
Приближенное решение (4.304) справедливо при условии [фор-
мулы (4.296) и (4.297)], что
/2 > </1 + П) = I + сс'}.	(4.306)
Пользуясь решением, представленным выше в явном виде, условие
(4.306) можно записать в форме
I >(2п + 1) -- '42.+,ЛзТ2Л1< ч>, •	(4.307)
Если все три момента инерции сравнимы по величине (a ft мало),
то условие (4.307) соответствует неравенству I 1. Если же
один из инерционных параметров намного больше двух других
(Л3	Л2, ЛА), как в случае ядра, форма которого лишь слегка
отклоняется от аксиальной симметрии, то переход к описанной
схеме связи с К Д / происходит при угловых моментах
порядка [Л3 | (Л2 — А)]1/*; при меньших значениях / для ираст-
состояний имеем /С /3 ^0.
Оператор квадрупольного момента асимметричного ядра можно
выразить через два внутренних квадрупольных момента Qo и Q2
[формула (4.245)]. Для состояний в ираст-области с | /х | « / мы
выберем внутреннюю систему координат так: х — х2, у' х3,
г'— хг. Тогда углы 9, </> будут определять пространственную
ориентацию оси 1, величина Qo будет представлять собой квадру-
польный момент относительно оси 1, a Q2 будет мерой асимметрии
формы системы относительно этой оси. В представлении, в котором
матрица К = / диагональна, приведенные матричные элементы
Е2-переходов определяются соотношением
(ГК1 II<м (Е2) || 1К} = (27 + 1 )*А е (Qo <7X20 \ГК'} +
+ Q3 «7X22 I ГК'} + <7X2 - 2 | ГК'})).	(4.308)
При / коэффициенты векторного сложения в формуле (4.308)
имеют следующие приближенные значения:
</А201 IK) (IK2 ± 2 11 ± 2К ± 2>	1,
<7X2017 + 1 К} ъ - <7 + 1Х20 11К}	(у),/2 (7 - К + 1)4	(4.309)
<7X2211 4- 1К + 2> - <7 + IX + 22 - 21IK} ъ - (у)*'2 (7 - К)'^
§ 5. Вращательные спектры неаксиальных систем
175
с точностью до членов порядка Г1 или меньше. В этом приближении
матричные элементы (4.308) удобно выразить через переменные /
и п — I — К. Введя оператор m (/ь /2), определяющийся соотно-
шением
</', К' = /'-п'||е^(£2)||/, К = /-п) =
= (2/+1)'/Е{-г|_у/!е<п'1т(/,	(4.310)
получим
т(/, /')^<W, I’) + QJ(I±2, I') +
+	Qoc* - (у )’/г <?2c) 6(74-1, /') +
4-(-(y),/8Qoc + (4),/2Q2ct)6(/-l( Г),	(4.311)
где и с — операторы рождения и уничтожения (4.297). Путем
преобразования (4.300) оператор пг можно выразить через оператор
п, относительно которого гамильтониан системы диагоналей в рас-
сматриваемом приближении.
Главные члены в операторе (4.311) не содержат переходов с из-
менением п и определяют статический момент
(4.312)
и вероятность переходов
В (£2; hl-+n, I ±2)^-^e2Ql,	(4.313)
индуцированных вращением внутреннего момента Q2 вокруг оси 1.
Члены (4.311) с Г = /± 1 пропорциональны амплитуде колеба-
ний и содержат переходы с Д/г = ±1:
В (£2; п/->п-1, / — 1) =-Л—е24-(Va3Qo-v —К2 Q2«/)2,
(4.314)
В(£2; n/->A+l, /-l)=-f|_e2^+l(/3Q0f/-/2Q2x)2.
Интенсивность этих переходов меньше, чем переходов (4.313) без
изменения колебательного квантового числа, примерно в nil раз,
что равно квадрату амплитуды прецессии.
Отсюда видно, что качественно свойства асимметричного рота-
тора в ираст-области отвечают последовательности одномерных
вращательных траекторий с сильными £2-переходами вдоль каждой
из них и гораздо более слабыми переходами между разными траек-
ториями. В отличие от полос симметричного ротатора, имеющих
основания с I = К (что может приводить к /(-изомерии), разные
траектории асимметричного ротатора имеют общее основание с / = 0
176
Гл. 4. Вращательные спектры
(или / = г/2) для внутреннего состояния. Имеющиеся весьма пред-
варительные данные о спектрах ядер в ираст-области при А « 160
и /	30 могут служить указанием на наличие характерных осо-
бенностей спектра асимметричного ротатора в этой области (стр. 78).
ПРИМЕРЫ К § 5
Траектории Редже для асимметричного ротатора (фиг. 4.34)
Понятие траектории Редже (т. 1, стр. 20) тесно связано с понятием вра-
щательной структуры. Одномерные траектории, являющиеся аналитическими
функциями полного углового момента /, тривиально определяются в случае
твердого аксиально-симметричного ротатора, энергия которого является линей-
ной функцией произведения / (Z-f- 1). Такие траектории можно в весьма общем
виде определить и. в задаче двух тел, поскольку в этом случае разделение на
радиальные и угловые переменные приводит к волновому уравнению для
радиальной функции, куда угловой момент входит как параметр, который
можно менять непрерывным образом. Характерной особенностью системы в двух
указанных случаях является наличие внутренней оси симметрии, проекция
углового момента на которую, соответствующая квантовому числу К, точно
сохраняется. При этом вращательное движение полностью определяется тремя
квантовыми числами /<, / и Л4. В случае аксиально-симметричного ротатора К
есть интеграл движения, характеризующий разные траектории. В системе двух
бесспиновых частиц величина К равна нулю, а для двух частиц со спином
соответствующие траектории получаются путем диагонализации матрицы, раз-
мерность которой отвечает числу возможных значений спиральности.
В более общем случае системы многих тел квантовое число К не является
интегралом движения; в самом деле, однозначный способ введения внутренней
системы координат в этом случае может не существовать. Для определения
траекторий Редже в такой ситуации нужны другие свойства. Некоторые из та-
ких свойств можно проиллюстрировать на примере асимметричного ротатора
Энергию асимметричного ротатора можно определить как аналитическую
функцию полного углового момента /, рассматривая соответствующую задачу
о собственных значениях как матричное уравнение в представлении, в кото-
ром диагональна матрица /3. Вследствие инвариантности вращательного га-
мильтониана относительно группы (§ 5, п. 1) эта матрица (для систем
с четным Д) распадается на четыре субматрицы, характеризующиеся кванто-
выми числами симметрии r3 = (—1)/з и с3, последним из которых опреде-
ляется относительная фаза компонент волновой функции с /3 = zt /<, где К =
= |/3|. Для физических состояний мы имеем [формулы (4.273) и (4.276)]
с3 = Г2 (-1)' + к = г2г3 (-1)' = rt (-1)'	(4.315)
В представлении 1Кс3 матричные элементы гамильтониана (4.269) таковы:
1 Явраш 11Кс3) = А/ (/ +1) + (А3 - Л) № + 1 с3 (A t - Л2) I (/ +1) 6 (К, 1),
(/, К + 2. с8| Явращ | IKc3)^{IKc31 Явращ /. К + 2, с3) =
= 1(Л1-Л2)[(/-К-1)(/-К)(/ + К+1)(/+К4-2)Щ х (4.316)
х Г V2 при
1 при К #= 0,
=	2 (Д1-Д2).
§ 5. Вращательные спектры неаксиальных систем
177
В этих матрицах / можно рассматривать как непрерывно меняющийся пара-
метр, тогда как спектр значений К (К четно при r3 = ± 1 и нечетно при г3 =
= —1) и фаза с3(=±1) остаются фиксированными. (Значение /( = 0 имеется
только на траектории с г3 = + 1 и с3 = -|-1.) При нецелочисленных значениях/
матричные элементы переходов (/(*+/<4-2) уже не обращаются в нуль при
некоторых значениях Д(Д = / или Д=/ — 1), так что мы получаем матрицы
бесконечного порядка, в которых К принимает все четные положительные зна-
чения. При /— 1<Д</ недиагональные матричные элементы становятся
мнимыми; соответствующие им значения дает аналитическое продолжение вы-
ражений (4.316).
Условие существования дискретного спектра собственных значений для
бесконечномерной матрицы (4.316) можно найти, рассмотрев асимптотическое
поведение коэффициентов с (К) в собственных векторах (4.275). Учитывая глав-
ные по К члены в выражениях (4.316), получаем
(Лз-Д)с(К) ^-1(Л1-Л2)(с(К-2)+с(К+2)].	(4.317)
*
Таким образом, отношение
стремится к постоянной величине, определяющейся равенством
а + - = —2 Л?-~	.	(4.319)
а	Л1— Л2	'
Если j?3 —наибольший или наименьший из трех моментов инерции, то правая
часть равенства (4.319) положительна и больше двух (мы предполагаем, что у2
имеет промежуточное значение между и ^3). Тогда оба корня аг и а2 урав-
нения (4.319) вещественны и положительны. При этом ^<1, а а2>1, так
что с (Д) представляет собой суперпозицию экспоненциально убывающей и
растущей функции от К. Тогда, как обычно, условие отсутствия экспонен-
циально растущей компоненты определяет дискретный набор собственных зна-
чений. Если же имеет промежуточное значение, то корни уравнения (4.319)
комплексны, причем |	| = I а2 I = 1 • Но при учете членов порядка Д-1 в ра-
венстве (4.312) оказывается, что в этом случае величины ,с(Д)1 всегда про-
порциональны Д-1, и поэтому бесконечные матрицы (4.316) имеют лишь не-
прерывный спектр х).
Таким образом, при заданных моментах инерции Jh > 7г > <7з траектории
Редже можно определить двумя способами, используя либо представление /3, либо
представление/Р Такие два набора траекторий, рассчитанных при j?2 7з =
= 4:2:1, показаны на фиг. 4.34. Траектории с положительными г3 (четные /3) и
с положительными (четные /х) изображены сплошными линиями, а траектории
с отрицательными г3 и г1 — штриховыми. Траектории, принадлежащие каждому из
наборов, обозначаются числом Д, характеризующим порядок решений при дан-
ном /; при увеличении К энергии /3-траекторий увеличиваются, а энергии
Л-траекторий уменьшаются [если моменты инерции непрерывно менять таким
образом, чтобы ротатор становился симметричным относительно оси 3 (или 1),
то индекс Д траекторий /3 (или /J переходит в соответствующее собственное
значение (Д = /3 для траекторий /3 и Д=/1для траекторий /j)]. Каждому
значению Д 0 отвечают две траектории с различной симметрией с(с3=± 1
или =	1). Вид членов (4.316), зависящих от с3, таков, что наинизшим
х) Данное рассмотрение сходимости решений принадлежит Куткоски
(Д. Cutkosky, частное сообщение). Более детальное рассмотрение аналитической
структуры спектра асимметричного ротатора в зависимости от / проведено
Тальманом [1108].
Фиг. 4.34. Траектории Редже для асимметричного ротатора.
График подготовлен д-рами Люткеном и Тальманом (Н. Lutken, J. D. Talman).
Приложение. Модель частица — ротатор
17S
/3-траекториям при заданном К отвечает г3с3 =— 1; наинизшим же ^-траекто-
риям отвечает ^ = 4-1. Расщепление с-дублетов увеличивается с ростом /,
но уменьшается с ростом /<, поскольку зависящие от с члены влияют только
на те матричные элементы (4.316), которые соответствуют наинизшим значе-
ниям К.
Физические состояния отвечают пересечению двух траекторий с одинако-
выми квантовыми числами симметрии {тхггг^ [формула (4.315)]. На фиг. 4.34
физические состояния с симметрией (/'1/'2/'з) = (+ + +) обозначены темными
кружками.
Спектр асимметричного ротатора приобретает простую структуру в обла-
стях, отвечающих наивысшим и наинизшим состояниям при данном / (когда
/^>1); движение в этих асимптотических областях можно приближенно опи-
сать как вращение вокруг одной оси и прецессию колебательного характера
(§ 5, п. 5). Например, физические состояния в ираст-области (наинизших при
данном I энергий) имеют приблизительно сохраняющееся квантовое число
отвечающее порядковому индексу /^траекторий. Состояния с раз-
ными /, но с одинаковыми внутренними колебательными квантовыми числами
лежат на /3-траекториях, которые могут быть обозначены колебательным чис-
лом п и наклон которых соответствует моменту инерции (фиг. 4.34). Таким
образом, /3-траектории в этой области спектра имеют характерные свойства
вращательных полос, а /^траектории описывают колебательные последователь-
ности.
Результаты, полученные для асимметричного ротатора, дают пример мно-
гообразия схем связи, которые можно использовать для задания траекторий
Редже в системах с многими степенями свободы. Два семейства траекторий
на фиг. 4.34 отвечают схемам связи, характеризующимся простой структурой
спектров состояний с наивысшей и наинизшей при данном / энергиями. Каж-
дое из этих семейств траекторий может быть продолжено на весь спектр и
в этом смысле является полным. Но для полного описания вращательного
спектра нужны оба семейства траекторий.
ПРИЛОЖЕНИЕ
МОДЕЛЬ ЧАСТИЦА —РОТАТОР
Простая модель, в которой ядро рассматривается как ротатор и связанная
с ним частица, приближенно описывает многие свойства низколежащих полос
ядер с нечетным А и в то же время иллюстрирует ряд общих свойств вращаю-
щихся систем. Поэтому она сыграла важную роль в развитии теории враща-
тельных спектров атомных ядер. Использование этой модели в задачах о рас-
сеянии частиц на деформированных ядрах рассматривается в приложении
к гл. 5.
1.	Связанная система
Предполагается, что ротатор обладает аксиальной симметрией и (^-инва-
риантностью (§ 2, п. 3) и имеет квантовые числа е^?з = 0 и г = + 1, так же
как и основные состояния четно-четных ядер (стр. 33). Угловой момент рота-
тора и его проекция на ось симметрии обозначаются через R и /?3, а его
спектр представляет собой последовательность состояний с R = 0, 2, 4,
[формула (4.15)].
Энергия ротатора выбирается пропорциональной квадрату его углового
момента, что отвечает гамильтониану
^2	/12
=27о R2'	(4'320)
<80
Г л. 4. Вращательные спектры
соответствующему классическому выражению для гантели— симметричного
абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг осей, перпендикулярных оси
симметрии. Момент инерции ротатора обозначается через j0. Выражение (4.320)
можно рассматривать как первый член разложения вращательной энергии по
степеням углового момента (стр. 32); высшие члены этого разложения свя-
заны с искажениями движения ротатора, обусловленными центробежными и
кориолисовыми силами.
Взаимодействие между частицей и ротатором описывается потенциалом V,
зависящим от переменных q частицы в системе координат, связанной с телом.
Этот потенциал может зависеть от скорости и спина и, в частности, содержать
спин-орбитальную связь, но предполагается, что он инвариантен относительно
пространственной инверсии и обращения времени, а также обладает аксиаль-
ной симметрией и инвариантен относительно поворота & — еЯ?2 (л)-
В данной модели не учитывается возможность существования в гамильто-
ниане членов, зависящих от круговой частоты вращения, которые могут воз-
никать за счет возмущения ротатора вращательным движением [центробежные
возмущения, пропорциональные со^ращ, а также члены, линейные по а>вращ,
связанные с взаимодействием, зависящим от скорости (стр. 84 и 246)]. Га-
мильтониан такой связанной системы имеет вид
^ = ^Bpaui + ^+V,	(4.321)
где Т—кинетическая энергия частицы. Анизотропия потенциала приводит
к связи между движениями частицы и ротатора.
2.	Адиабатическое приближение
Если частота вращения мала по сравнению с частотами возбуждений, ха-
рактеризующими связь частицы в потенциале V, то движение частицы сильно
связано с ротатором и почти адиабатически следует за движением его оси.
Тогда движение связанной системы можно рассматривать как суперпозицию
внутреннего движения при фиксированной ориентации ротатора и вращатель-
ного движения системы как целого.
а.	Волновые функции. Внутреннее движение в рассматриваемой модели
описывается волновым уравнением
(Т + V) Ф* (q) = ЕКФК (</),	(4.322)
где (/ — внутренние координаты (в том числе и спиновые переменные). Собствен-
ные функции Фдг и собственные значения Е^ энергии внутреннего движения
характеризуются квантовым числом /<, которое представляет собой собственное
значение компоненты /3 полного углового момента; поскольку для ротатора
7?з = 0, квантовое число К равно собственному значению компоненты /3 угло-
вого момента частицы (которая часто обозначается через Q). Вследствие
<?Г-инвариантности внутреннего гамильтониана рассматриваемые внутренние
состояния вырождены по знаку /<. Состояния с отрицательными К обозна-
чаются индексом К. При этом мы пользуемся следующим правилом фаз [фор-
мулы (4.16) и (4.27)]:
Фх (я) =	(7) =	(Я) = “	(Я\	(4.323)
Предполагается, что частица —фермион. Поэтому	(2л) = —1 и К при-
нимает значения 2/г» 3/г»
Вращательное движение системы характеризуется квантовыми числами KIM.,
так что ее полная волновая функция имеет вид, отвечающий е^-инвариантной
Приложение. Модель частица — ротатор
181
системе [формула (4.19)];
/'•	<«>	<»>+<-'>' + "«Л «>	_ к «")], <4 324)
где (о —переменная, характеризующая ориентацию ротатора. Волновые функ-
ции (4.324) образуют полный ортонормированный набор, являющийся удобным
базисом для описания рассматриваемой связанной системы, если выполняется
условие адиабатичности.
В волновой функции (4.324) неявно учитывается связь между угловыми
моментами частицы и ротатора. Эту связь можно выявить, перейдя к пред-
ставлению (//?) /М, описывающему случай слабой связи. Используя преобра-
зование (1.127) от внутренней к пространственно-фиксированной системе коор-
динат и соотношение (1.136) для ^-функций, получим выражение
{(IjR) IM I KIM) = (JjK | K)	<iKR0 '	77Г t* + (~1 )R]’	(4-325)
\ 2/ + 1 /	V 2
первый множитель в котором представляет собой коэффициент разложения
внутреннего состояния (q) по сферическому базису //Д'. Благодаря симмет-
рии волновой функции (4.324) амплитуда (4.325) отлична от нуля только при
/? —О, 2, ... Второй множитель в выражении (4.325) дает веса различных
состояний R ротатора в адиабатическом пределе.
б.	Энергия. Чтобы записать гамильтониан системы в представлении (4.324),
воспользуемся соотношением R —I — j. Таким образом, угловой момент рота-
тора распадается на часть I, относящуюся к системе как к целому и поэтому
действующую только на вращательную волновую функцию, и часть j, дейст-
вующую только на внутренние переменные. Тогда для энергии ротатора (4.320)
получаем
й2	й2
Явращ = 2- [(/,-/1)г + (/г-/2)«] =	Р +
Й2	7г2
+ 2— (/?	/I)—2^ (/+Z-4-/-/+).	(4.326)
где
/±=Л±,72> /± = /1±‘72.
Первый член в выражении (4.326) зависит только от полного углового
момента системы и поэтому является интегралом движения. Второй представ-
ляет собой энергию отдачи ротатора и зависит только от внутренних перемен-
ных. Поэтому его можно включить в уравнение (4.322), которым определяется
внутренняя волновая функция Ф^,. Но поскольку энергия отдачи сравнима по
величине с вращательными энергиями и поэтому мала по сравнению с внут-
ренними, в первом приближении влиянием этого эффекта на Ф/< можно пре-
небречь. Третий член в выражении (4.326) описывает кориолисовы и центро-
бежные силы, действующие на частицу во вращающейся системе координат
[формулы (4.107) и (4.119)]. Этот член недиагонален по К (для него ДД=±: 1)
и приводит к связи между вращательным и внутренним движением. В частном
случае полос с К=^1/2 взаимодействие Кориолиса связывает компоненты с про-
тивоположными К в состояниях (4.324), давая тем самым вклад в энергию
в первом порядке.
Полный гамильтониан (4.321) можно представить в виде
н=я0+яс,
(4.327)
182
Гл. 4, Вращательные спектры
где
й2
й2	й2
= - 2^(/+/-+/-/+) + 2Г0 О". +/1
(4,328)
Волновые функции (4.324) являются собственными функциями гамильто-
ниана Но, так что среднее значение энергии в этом базисе [формулы (4.20) и
(1.187)] таково:
£^=да)Н)К/Л4) = ^+£вращ>
(4.329)
*2
Евра1ц= <KIM I Явра1Ц i KIM) = -_(/(/+1 ) + а (-l)z + *А (/ +1/2) б (К, V2) +
Й2
Параметр а в выражении для энергии вращательных полос с равен
внутреннему матричному элементу

(4.330)
и обычно называется параметром развязывания.
в.	Матричные элементы. Матричные элементы различных операторов, та-
ких, как электрические и магнитные мультипольные моменты, между состоя-
ниями (4.324) можно вычислить общим методом, изложенным в § 3. Преобра-
зование оператора к внутренней системе координат осуществляется с помощью
соотношения (4.90), что приводит к матричным элементам, содержащим произ-
ведения внутренних и вращательных факторов.
В качестве примера рассмотрим ЛИ-момент, который можно выразить че-
рез g-факторы, отвечающие различным компонентам углового момента системы
[формулы (3.36) и (3 39)]:
н)=(^-)’/22ж(гЛ+^+^Л)=
=	l^ + (Ss-gR) sj. (4.331)
Приведенные матричные элементы переходов между двумя состояниями одной
и той же полосы определяются выражением (4.85), в котором
^=(К|я/з+^3|К>,
(^-^)z++fc-^)s+ ^=4/- (4’332)
Величина gK представляет собой усредненный g-фактор для внутреннего дви-
жения. Наличие параметра Ь, называемого магнитным параметром развязыва-
ния,—характерная особенность Ml-переходов внутри полос с К==1/2-
3.	Неадиабатические эффекты
Взаимодействие Нс [формула (4.328)] приводит к связи между вращатель-
ным и внутренним движением, которую можно рассматривать как смешивание
разных вращательных полос (эффекты смешивания полос, обуслов ленные
взаимодействием Кориолиса, рассматриваются в работе Кермана [672]).
П риложение, Модель частица — ротатор
183
а. Вклады в энергию. При малых чайотах вращения взаимодействие Нс
можно учитывать методом теории возмущений (если только в спектре внутрен-
них состояний нет случайного вырождения). Во втором порядке Нс дает
2{у1М\Нс\К1Му
Ev~~EK
где V —индекс полосы, примешиваемой к полосе К/Л1 взаимодействием Нс.
Возмущение (4.333) содержит слагаемое с /(/-f-l), обусловленное вто-
рым порядком по взаимодействию Кориолиса. Кроме того, выражение (4.333)
содержит член, не зависящий от /, и линейный член, зависящий от сигнатуры,
в полосе с К — 1/^ Последний возникает как результат совместного действия
членов отдачи и Кориолиса во взаимодействии Нс [формула (4,328)]. Коэф-
фициент при /(/+1) равен
<v |/± | КУ
(4.334)
где суммирование ведется по всем полосам v с = К ± 1- В случае полос
с К=^1[2 члены выражения (4.334) с =	1 следует рассматривать как
возбужденные полосы с Kv = !/2.
Вклад (4.333) во вращательную энергию можно рассматривать как пере-
нормировку эффективного момента инерции системы:
5^ = - М = 2^2 У ^р17'11^2-	<4-335>
л4	к
V
(предполагается, что 6^	<&>)' Такое увеличение момента инерции системы
представляет собой вклад частицы, принудительно вращаемой ротатором. Его
можно получить также, рассматривая движение частицы во внешнем поле,
вращающемся с постоянной частотой (оВращ = (^о)-1^/ (модель принудительного
вращения, стр 80).
В третьем порядке по Нс получаем вклад в энергии полос с К = 3/2,
кубичный по /:
6ек7=(-I/+3/2 (; ~4) 0+Ц (z+4)Аз'
яг a </<=4i/+iv)<vi/+iv')<?i/+i^=4> •
Лз VW 2	(Ev-E*) (Ev,-Ek)
=	(4.336)
Кроме того, в третьем порядке по Нс возникает вклад вида (— 1); + 1/2х
Х(/4-V2) / (/+1) в энергии полос с	а также члены более низкого
порядка по /. В четвертом порядке по Ис возникает поправка, пропорцио-
нальная /2 (/ + О2» а переходя к более высоким порядкам, получаем разложе-
ние энергии в ряд по степеням /, имеющее общий вид (4.62).^
Главный вклад в член этого разложения, содержащий /л, возникает
в n-м порядке по взаимодействию Кориолиса. Он дается выражением
Й2/ / Hj	/ (Овращ \л
----- /'’AstowyTpf---------),	(4.337)
^0 \ ZUwBHyip /	\ швнутр/
184
Гл. 4. Вращательные спектры
где <оВНуТр —мера внутренних частот (^©вн	~~ £v —^к)' а / _меРа величины
матричных элементов (v | /+ | К). Угловая частота вращения (овращ равна отно-
шению углового момента til к моменту инерции. Если спектр внутренних
состояний носит колебательный характер, то вращательная схема связи при-
менима лишь при условии адиабатичности совращ < «внутри°колсб (стр. 13).
Оценка (4.337) приводит к более жесткому условию сходимости ряда теории
возмущений для одночастичных орбит с большими Но эффекты взаимодейст-
вия Кориолиса для одночастичных орбит с большими j приводят лишь к срав-
нительно малым изменениям ориентации таких орбит. Поэтому малость воз-
мущения волновой функции не является необходимым условием сходимости
разложений энергии и матричных элементов в ряд по степеням углового
момента. Это соответствует тому факту, что оценка (4.337) не исключает воз-
можности систематического взаимного уничтожения членов высших порядков.
Примером может служить движение частицы во вращающемся осцилляторном
потенциале. В этом случае сходимость разложения энергии в ряд теории воз-
мущений определяется отношением ©вращ к разности осцилляторных частот
вдоль разных осей осциллятора независимо от величины углового момента
частицы [1135 , 580].
Член отдачи в Нс не зависит от /, и поэтому его вклад в эффекты
порядка 1п обусловлен порядком и+1 или более высокими порядками тео-
рии возмущений. По порядку величины эти поправки равны (й/)2/у0 (£v~ Ек)>
т. е. сравнимы с 6у/у0 [формула (4.335)]. Член отдачи приводит к особенно
простым следствиям, когда внутренние возбуждения системы содержат почти
независимые степени свободы (спиновую и орбитальную в отсутствие спин-
орбитальной связи, две или несколько независимых частиц и т. д.). В этом
случае та часть члена отдачи, которая смешивает эти компоненты, приводит
к перенормировке момента инерции, входящего в гамильтониан взаимодейст-
вия Кориолиса.
Примером, иллюстрирующим этот эффект, является член с параметром
развязывания в отсутствие спин-орбитальной связи. Для полосы с К=х/2 и
/3 = Д = 0 член второго порядка в энергии, обусловленный взаимодействиями
Кориолиса и отдачи, каждое из которых действует в первом порядке, таков:
6Е(2) = (-1)' +1/г j Мр
8Л . оР2 V У <к=1/21 /?+/| 1 v)<v 1 /+
1	‘ 2?0' А* ,,	Ev~EK	(4.338)
V, l\v =72
____о ^2 у	у,	(Л = 0|/_|х) (х I /+| Л=0)
“ WoJ	2	ЕН-ЕЛ
лх='
Для промежуточных состояний в этом случае Kv = l/2t Л'=1, 2 = s3 = —V2 и
орбитальная часть, обозначаемая через х, имеет Л=1. Вклад в матричный
элемент взаимодействия Кориолиса дает только орбитальная часть оператора /+,
и множитель а в формуле (4.338) представляет собой параметр развязывания,
равный значению r(=± 1) в состоянии с Л = 0 (стр. 41). Вклад в матрич-
ный элемент отдачи возникает в этом случае за счет слагаемого Ц + содер-
жащего l_s+. Суммирование в формуле (4.338) ведется по тем же состояниям,
что и в выражении для 6А в полосе с Л=0 [формула (4.334)]; отметим нали-
чие множителя У2 в матричных элементах переходов между состояниями
с Л = 0 и Лу=0 [формула (4.92)]. Поэтому мы получаем
бА^абА.	(4.339)
Следовательно, параметр развязывания, определяемый как отношение
перенормированных коэффициентов Лх и Л2> сохраняет невозмущенное значе-
Приложение. Модель частица — ротатор
185
ние г так что спектр системы при учете неадиабатических эффектов сохра-
няет дублетную структуру, требуемую отсутствием спин-орбитальной связи.
В качестве еще одного примера, поясняющего роль члена отдачи, можно
взять вклад в энергетический член, пропорциональный / (/ +1), для системы,
состоящей из ротатора и двух независимых частиц пир (нейтрона и про-
тона). В этом случае вклад третьего порядка в энергию, обусловленный взаимо-
действием Кориолиса, действующим однократно на каждую из частиц, и чле-
ном отдачи, дается выражением
/ й2 \3
6Е^=2[~) 7(/ + 1)Х
v <*Л I (/РК1 М>>	I (М+ (/р)± I <?п«Р I (M± IW
Х 2	IE (V„) - Е (/(„)] [£ (vp) - Е (Кр)]	+
V / <К„КР I (Inh(ip)±\^р) <v„vp I (Шv„Xp) Wp I (/n)± I w ,
+2Д	[£(v„)+£(vp)-E(Kn)-£(Kp)][E(v„)-E(K„)]	+
+(n»p/) =	(4.340)
где сумма берется по vn, vp, K(vp) — Kn±h K(vp) = Kp±l. Такой же
результат получается, если вклады протона и нейтрона вводятся не в энергию,
а в момент инерции.
Этот результат можно сразу получить исходя из того, что при нахожде-
нии вклада протона в энергию вращения систему можно рассматривать как
протон, связанный с эффективным ротатором, состоящим из нейтрона и остова.
Момент инерции такого ротатора равен J?0 + 6^n, так что взаимодействие
Кориолиса, действующее на протон, содержит этот перенормированный момент.
Подчеркнем, что соответствующий член третьего порядка, содержащий взаимо-
действие Кориолиса, дважды действующее на нейтрон или протон, не дает
в общем случае результат, эквивалентный получающемуся из разложения
выражения	+ Для изолированной степени свободы эффект члена
отдачи имеет требуемый вид только в том случае, когда эта степень свободы
может возбуждаться многократно, как это имеет место для колебательных
состояний.
б. Перенормировка операторов. Систематический анализ влияния Нс на
различные матричные элементы в системе частица—ротатор можно провести,
рассматривая разложение волновой функции в ряд теории возмущений как
каноническое преобразование вида
£' = ехр (/£)//ехр (—iS) = H + i|S,	[S, //]]+	(4.341)
диагонализирующее гамильтониан в представлении (4.324).
В первом порядке по /+ преобразование S определяется условием
Й2
4 [S,	+	(4.342)
Мы не учитываем член отдачи в эффект от которого в данном порядке не
зависит от /. Из равенства (4.342) получаем
S = ^/(e+Z_ + 8j+)«	(4,343)
186
Гл. 4. Вращательные спектры
где е.^ —величина (обозначенная через в§ 4), определяющаяся соотноше-
ниями
1^0’ е±] —й±— 2jz0 '±>
/К' [h+\K\
(4.344)
[В формуле (4.343) учтена только недиагональная часть взаимодействия Корио-
лиса.]
Если оператор S выбран в виде (4.343), преобразованный гамильтониан
с точностью до членов второго порядка по /+ равен
//' = //„ + (Яс)диаг +1 f(e+/_ + e_/+),	(V- + hj+)] =
= #0 + (#с)диаг +’2’({8н	— {е_, Л+})/з +
+ у ([е+, h_l + [в_. Л+]) (Z? + /f) +1 [е+> Ь+] Р. +1 [в_, й_] 1%,	(4.345)
как следует из соотношения
[аА, ЬВ] = ~ {а, Ь} И, В] + ~ [а, Ь] {Л, В}	(4.346)
для произведения операторов в случае, когда а и b коммутируют с А и В.
Член выражения (4.345), пропорциональный /3(=/3), дает поправку
к внутреннему движению. Член же, пропорциональный /уф-Л, дает перенор-
мировку (4.335) момента инерции и приводит к связи между полосами с Д/<=0.
И наконец, члены, пропорциональные /£ и 1%, связывают полосы с ДК = ± 2.
Влияние взаимодействия Кориолиса на матричные элементы некоторого
оператора F можно исследовать, рассмотрев преобразованный оператор
f' = exp (tS) F exp (— fS) = /? + 5/7,	(4.347)
где
6F=r[S, Л]+... = [(е+/_ + е_/+), F] + ...	(4.348)
Этот преобразованный оператор действует в пространстве невозмущенных вол-
новых функций (4.324), так что последствия, к которым приводит смешивание
полос за счет взаимодействия Кориолиса, описываются добавкой 6F к эффек-
тивному оператору перехода.
В качестве иллюстрации рассмотрим перенормировку оператора диполь-
ного момента
Л/(К=1, n) = 2«^v^v(<0).	(4.349)
Л
где	(Х= 1, v)—компоненты оператора во внутренней системе
координат [формула (4.90)]. Из формулы (4.348) для индуцированного момента
получим
6^Z(A.= 1, ц) = Г(8+/_+е_/+),	=
L	v J
2
-= 2 (6^f(X-l, ц))д„ (4.350)
ДК = -2
Приложение. Модель частица — ротатор
187
где
(6^/(1=1, H))ak = O=[V->	-11 + РЛ’	+1] =
= 2-,/’({е+,	+	е<+1})Мо + 2-‘/’(1е+-
~[8_, ^41])(/ц-/зМо) + 2-3/Че+, e^Z_!] + [e_, ^+1])[|2, ^],	(4.351)
(6^/(1=1. И))дх = ± i = [e±/-, ^0^0] =
= 2-,/’{8±,	±i+2-'/![e±> ^/о]([Р, ^±1]±{/3, ^.±1}),
(6^7 (1=1, Н))дх = ±2 = [е±/Т, ^±Л±1] = [е±- ^±1У^, ±ь
Мы предполагали, что внутренние компоненты e/f/v коммутируют с /+, как
это имеет место для операторов (таких, как электрический дипольный момент),
которые явно не зависят от вращательного углового момента. Магнитный ди-
польный момент содержит член, пропорциональный I [формула (4.351)]. Но,
поскольку этот член коммутирует с S, индуцированный момент в этом случае
можно получить из приведенных выше выражений, положив
<4-3521
При выводе формулы (4.351) мы воспользовались соотношением (1.185) для
коммутатора [/4., соотношением [формула (1.182)]
{С	{/v,
V= + l
а также тождеством
[р, ^v]=v{/3, ^v} +yfi(i+i)-v(v+i)pq/+, ^iV+1}+
+ l[l(l+l)-v(v-1)]*'» {/_,	(4.354)
Часть членов индуцированного момента 6e^Z, даваемого выражением
(4.351), не зависит от /, что эквивалентно перенормировке невозмущенных
внутренних моментов a/ZZv. Кроме того, бе// содержит члены, линейные по
что приводит к появлению матричных элементов, зависимость которых от /
не совпадает с зависимостью для невозмущенных моментов, В частности, эти
члены дают вклад в К-запрещенные переходы с ДК = 2, матричные элементы
которых равны нулю в отсутствие взаимодействия Кориолиса.
Для Л41-переходов внутри полосы первые два члена в выражении (4.351),
отвечающие Д/< = 0, дают перенормировку внутреннего и вращательного g-фак-
торов на величины [формулы (4.331) и (4.332))
WK=<^|{e+. (gt~gR) ‘- + (gs-gR)	| K),
Л	„	(4.0001
&gR=<K! [e+> (gi-gR) l-+(gs-gR) 41 «>,
а первый член в выражении (4.351), отвечающий Д/<7 = I, дает перенормировку
параметра в полосах с К = х/2 [формула (4.332)]:
б((«К-£яР)=-\К=у| {«+’ (8i-gR)l3 + (Ss-gR)s3} |К = Т/- (4-356)
Члены выражения (4.351), содержащие [I2,	не дают вклада внутри
полосы, поскольку соответствующие им внутренние матричные элементы обра-
щаются в нуль. Это следует из поведения соответствующих операторов при
эрмитовом сопряжении и обращении времени. Таким образом, оператор Ml-
188
Гл. 4. Вращательные спектры
переходов внутри полосы с точностью до линейных членов по взаимодействию
Кориолиса имеет общий вид, соответствующий соотношению (4.89).
в. Преобразование координат. Каноническое преобразование, приводящее
к диагонализации гамильтониана системы, можно рассматривать как преобра-
зование к новому набору переменных, в которых данный гамильтониан диаго-
налей в представлении (4.324). Если исходные переменные обозначить через
x = (qp, со/х), где q и р — переменные частицы относительно ориентации рота-
тора, то новые переменные будут такими:
х' = ехр (—iS) хехр (iS).	(4.357)
В этих переменных гамильтониан системы имеет вид
H{qp, /к)=ехр (—IS) Н'(qp, 1я)ехр(18) =
-Н' (Я'Р'. l’K}=H'm(q'p') + H^ о (/').	(4.358)
Собственные состояния эффективного внутреннего гамильтониана ^^нутр обо-
значаются набором квантовых чисел v, в который входит и /<. Эффективный
вращательный гамильтониан зависит от v и может быть записан как функция
компонент углового момента относительно внутренней системы координат,
ориентация которой определяется переменными со' (будучи скаляром, гамиль-
тониан системы не может явно зависеть от углов ориентации).
Стационарные состояния системы, записанные в координатах (q, со), пред-
ставляют собой суперпозиции волновых функций (4.324) и описывают набор
связанных вращательных полос. В новых переменных (<?', со') стационарные
состояния сохраняют вид (4.324), а эффекты взаимодействия выражаются
теперь через структуру операторов:
F (x) = F' (х'),	(4.359)
где У7' —преобразованный оператор (4.347). В частности, электромагнитные
моменты, являющиеся довольно простыми функциями переменных х, в пере-
менных х' имеют более сложный вид, как показано на примере перенорми-
ровки дипольных моментов [формула (4.351)].
В случае преобразования первого порядка (4.343) перенормированные
координаты имеют вид
6g = ^'-<7=—[е+, q]J_ — [e_, q] 1+,
6(0 = (0' — (0 = — Е+ [/_, со] — е_ [/+> со].
Вычислив эти коммутаторы, для углов Эйлера получим
66 = е+е^ — 8_е"‘Ф,
бср =	(е+е*^ + 8_е-1^),
6ф = i etg 6 (e+ef^ + 8_е“1'^).
Таким образом, коллективные углы ориентации в какой-то степени зависят
от переменных частицы. В то же время новые внутренние координаты q' завн
сят от вращательной частоты (далее о коллективных координатах для описания
вращения см. в работе [170]).
(4.360)
(4.361)
5
ОДНОЧАСТИЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ
В НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЯДРАХ
В гл. 4 показано, что в широком классе ядерных спектров наблю-
даются соотношения между энергиями и интенсивностями пере-
ходов, соответствующие приближенному разделению на вращатель-
ное движение ядра как целого и внутреннее движение относительно
системы координат, связанной с ядром. Такое разделение — след-
ствие того, что равновесная форма ядра отклоняется от сферически-
симметричной. Отправной точкой для описания внутренних степе-
ней свободы в таких ядрах является анализ одночастичного движе-
ния в несферических потенциалах, симметрия и форма которых
определяется характером вращательного спектра системы х).
В данной главе мы сначала рассмотрим в § 1 деформированный
потенциал и связанные с ним одночастичные орбиты. Основное
!) Ранние исследования движения нуклонов в сфероидальных потенциалах
проведены в работах [594 , 849 , 881, 501]. Особенно важную роль сыграли
вычисления Нильсона [881], заложившие основу для классификации обширной
совокупности данных о спектрах деформированных нечетных ядер ([852, 853];
аналогичную классификацию в области тяжелых элементов см. в работе [1077],
в области ядер s—d-оболочки — в работах (906, 947, 763], в области ядер
р-оболочки — в работе [716]).
190
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
в этом параграфе — графики и таблицы, в которых представлены
одночастичные спектры в зависимости от параметра деформации.
Эти спектры служат основой для классификации экспериментально
наблюдающихся низколежащих состояний в широком классе де-
формированных нечетных ядер (§ 2). Такая классификация откры-
вает возможность изучения многих сторон одночастичного движе-
ния, в том числе эффекта спаривания, поляризационных эффектов
и взаимодействия с вращением (§ 3). Целью настоящей главы и
является наиболее полное описание имеющихся данных на основе
представления об одночастичном движении в ядре.
§ 1.	СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦ
В СФЕРОИДАЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
1.	Симметрия и форма равновесной деформации ядер
Экспериментально определенные квантовые числа вращательных
спектров ядер говорят о том, что во всех исследованных случаях
равновесная форма ядра обладает аксиальной симметрией и (^-ин-
вариантностью, а также и ST- и -симметрией (гл. 4, § 3). Измерен-
ные статические моменты показывают, что ядерная деформация
имеет в основном квадрупольную симметрию, отвечающую сферои-
дальной форме с эксцентриситетом 0,2—0,3 (табл. 4.25). (Наличие
сфероидальной симметрии нетрудно объяснить с точки зрения обо-
лочечной структуры ядер, гл. 6.)
В данной главе мы будем рассматривать только потенциалы, форма кото-
рых соответствует экспериментальным ядерным спектрам при малых энергиях
возбуждения. В настоящее время такие спектры —единственный источник
детальной информации об одночастичном движении в деформированных ядрах.
Явление изомерии формы (стр. 36) в принципе дает возможность проводить
такие исследования и в случае значительно больших параметров деформации
(одночастичные спектры при деформациях, наблюдающихся в делительных
изомерах, рассматриваются в гл. 6, стр. 520). Кроме того, данные о спектрах
тяжелых ядер и об асимметрии масс осколков деления указывают на то, что
форма ядра может быть нестабильной относительно деформаций с отрицатель-
ной четностью. (См., например, об октупсльной колебательной ветви, стр. 493.
Анализ одночастичных состояний в зависимости от деформации отрицательной
четности в области барьера деления проведен в работе [527].) Потенциально
важным направлением расширения таких исследований является также изуче-
ние вопроса о возможности неаксиальных равновесных деформаций (гл. 4, § 5;
изучению движения нуклонов в эллипсоидальных потенциалах посвящена,
например, работа [880]). Этот вопрос особенно интересен в связи с тем, что
эффекты центробежного возмущения в состояниях с большими угловыми мо-
ментами систематически приводят к возникновению неаксиальности (см. об
ираст-области, стр. 50). Вращательное движение приводит также к тому, что
потенциал ядра приобретает компоненту, нарушающую инвариантность отно-
сительно обращения времени (взаимодействие Кориолиса); это может приво-
дить к существенному изменению характера одночастичного движения при
больших вращательных частотах (см., например, анализ движения во вращаю-
щемся потенциале гармонического осциллятора, стр. 87). Появление завися-
§ 1. Связанные состояния частиц 191
щих от спина компонент потенциала, нарушающих ^-симметрию, в много-
электронных системах обусловлено обменными эффектами в кулоновском вза-
имодействии и приводит, в частности, к ферромагнетизму (см., например,
[588]). Валентные электроны в атомах и молекулах вызывают спиновую поля-
ризацию электронов остова, которую можно учесть, введя спиновую зависи-
мость в потенциал Хартри —Фока (см., например, [1157]). Точно так же спи-
новую поляризацию ядер можно рассматривать как эффект, вызываемый ста-
тическим деформированным полем, нарушающим ^"-симметрию [1116].
2.	Деформированный потенциал
Аксиально-симметричную квадрупольно-деформированную не за-
висящую от спина часть ядерного потенциала можно записать в виде
V(r, 6) = Vo(r) + V2(r)P2(cos6),	(5.1)
где 0 — полярный угол частицы относительно оси симметрии ядра.
Деформацию ядра, не влияющую в первом порядке на диффузность
поверхности, можно учесть, считая зависящим от угла параметр
радиуса R в соотношениях типа (2.169) (см. относительно лепто-
дермической модели, стр 128). В случае деформации, при которой
сферические поверхности радиусом R = RQ преобразуются в сфе-
роиды с разностью полуосей /?об, в первом порядке по параметру
деформации 6 имеем
V (г, 0)^Ио/(г-/?(0))^ Vof(r-Ro)-
- ,-б/?оУо^Рг(с05б),	(5.2)
о	иг
Я(0),= 7?о(1 +| Ж (cos 9)),
где сферический потенциал записывается в виде VQf (г — 7?0), при-
чем Vo — константа, а / (г -— /?0) — радиальный форм-фактор. По-
скольку среднее поле ядра обусловлено взаимодействием между
нуклонами, а радиус такого взаимодействия мал по сравнению
с радиусом ядра /?, параметр б в формуле (5.2) должен быть при-
близительно равным соответствующему параметру, описывающему
квадрупольную деформацию ядерной плотности [формула (4.73)]
(см. также стр. 309).
В данной главе мы будем рассматривать в основном эффекты
нулевого порядка, описываемые выражением (5.2). Что касается
более тонких деталей структуры потенциала, то сюда относится
учет угловой зависимости диффузности ядерной поверхности, а также
возможности существования компонент более высокого порядка
мультипольности (данные о деформации У4о приводятся на стр. 130).
Наличие нейтронного избытка говорит также о том, что возможно
различие между деформациями изоскалярной и изовекторной ком-
понент полного потенциала ядра.
192
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Деформация влияет также и на спин-орбитальную связь Если
(как в т. 1, стр. 220) предположить, что это взаимодействие про-
порционально локальному градиенту потенциала (см. также вывод
спин-орбитального потенциала путем усреднения парного спин-
орбитального взаимодействия, т. 1, стр. 256), то получим
vls (г, 6) = Visff к (г) - hflo Рг (cos 6) I р X s =
L	t*'	J
_ у г'->| с 1 dfis 2 t у » Ro |! d2fis 2 dfis\
- VZ5rol S—	----3- Й |/Zir0 —	- - —J X
xP2(cose)bs + j^[3x3(pxs)3-l-s]}.	(5.3)
Здесь мы воспользовались формулой (2.144) для спин-орбитального
потенциала сферического ядра, где / = f (г) — соответствующий
радиальный форм-фактор. Кроме того, мы приняли, что деформиро-
ванный потенциал определяется соотношением (5.2) [см. также вы-
ражение (3.82) для градиента сферической гармоники].
Согласно приближенной формуле (5.3), влияние, оказываемое
деформацией на спин-орбитальный потенциал, довольно сильно
зависит от структуры потенциала в поверхностной области. В на-
стоящее время очень мало экспериментальных данных относительно
этой компоненты потенциала, но данные измерения поляризации
в неупругом рассеянии протонов, по-видимому, согласуются с фор-
мулой (5.3) [1031].
Поскольку спин-орбитальный потенциал в сферическом ядре
на порядок величины меньше слагаемого, не зависящего от спина,
часть потенциала ]/Zs, зависящая от деформации, соответственно
меньше деформационного слагаемого, не зависящего от спина.
Поэтому при анализе одночастичного движения этой частью потен-
циала Vis во многих случаях можно пренебрегать.
3.	Структура одночастичных волновых функций
Из аксиальной симметрии и -инвариантности ядерного потен-
циала следует, что пространственная четность л и проекция Q
полного углового момента частицы на ось ядра являются интегра-
лами движения. Соответствующие одночастичные состояния дву-
кратно вырождены, так как в случае двух орбит, различающихся
только знаком проекции Q, движение совершенно одинаково, раз-
личие лишь в направлении прецессии вокруг оси ядра (симметрия
относительно обращения времени или ^-симметрия). Качественный
характер структуры одночастичных состояний можно исследовать,
рассмотрев предельные случаи малых и больших деформаций.
При малых деформациях одночастичные состояния в деформи-
рованном ядре можно приближенно характеризовать квантовыми
§ 1. Связанные состояния частиц
193
числами nlj в сферическом потенциале. В первом порядке по 6 их
энергия дается выражением
8 (nljQ) = е0 (nlj) -
3Q2—/ (Л-1)	, и
"W+1)	{r"nlJ>
-F- — .	-Ь /
— 2 >	—Ь
(5.4)
где е0 (nlj) — энергии в сферическом потенциале. Отсюда видно,
что 2/ + 1 состояний, отвечающих заданным значениям nlj, рас-
щепляются под действием деформации, причем сохраняется только
вырождение по знаку проекции Q. При положительном V2 (отри-
цательном 6) деформированный потенциал (5.1) оказывается сплюс-
нутым. В этом случае энергетически более выгодны состояния с боль-
шими | Q I, отвечающие движению частиц в экваториальной пло-
скости.
Помимо диагональных членов (5.4), потенциал (5.1) имеет также
недиагональные элементы с AQ = 0 и А/ = 0, ±2. Поскольку
одночастичный спектр в сферическом потенциале содержит близко-
лежащие уровни, удовлетворяющие этим правилам отбора, даже
малые деформации могут приводить к заметному смешиванию кван-
товых чисел nlj. Поэтому при обычных значениях деформации,
наблюдающихся экспериментально, приближение (5.4) может ока-
заться слишком грубым.
Приближенное описание одночастичного движения при больших
деформациях может быть основано на подобии между потенциалом
ядра и потенциалом гармонического осциллятора (см., например,
т. 1, фиг. 2.22). Сфероидальная деформация описана анизотропным
осцилляторным потенциалом вида
V = М [адхз + (xl + Xi)] = у М^г2 [1 - у 6Р2 (cos 6)],	(5.5)
С03^а>0(1 —yj,	+у).
где соо — осцилляторная частота для сферического потенциала,
а со3 и — осцилляторные частоты в направлениях, параллель-
ном и перпендикулярном оси симметрии. Деформация преобразует
сферические эквипотенциальные поверхности в эллипсоиды, объем
которых предполагается не зависящим от деформации (со3<х>— ©о)-
В первом порядке по деформации параметр S, определяемый соотно-
шением (5.5), равен отношению разности большой и малой осей
эллипсоида к среднему радиусу [ср. с формулой (4.73) для плотности
в деформированном ядре].
В анизотропном потенциале (5.5) движение разделяется на не-
зависимые колебания вдоль оси 3 и в плоскости (1, 2), так что энер-
гия одночастичного состояния равна
6 (ПзЛ±) = [fl3 + у) + (^1 + О	(5.6)
7 О. Бор, Б. Моттельсон.
194
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
где	+ п2 — число квантов колебаний в направлениях,
перпендикулярных оси симметрии. Вырожденные состояния с оди-
наковыми Z2j_ можно характеризовать проекцией Л орбитального
момента на ось симметрии, принимающей значения
Л=±и±, ±(п±- 2),	±1 или 0.	(5.7)
Радиальная зависимость ядерного потенциала отклоняется от
осцилляторной отчасти из-за наличия довольно резко выраженной
поверхностной границы ядра, а отчасти из-за наличия спин-орби-
тальной связи, вопрос о сдвигах энергии, обусловленных поверх-
ностными эффектами, рассматривается на одном примере в гл. 6
(стр. 520). В частности, такие эффекты снимают вырождение по А
в состояниях с одинаковыми значениями (п3, и±); энергия е (n3,nj_, А)
убывает с ростом А, как и должно быть, ибо в сферическом потен-
циале энергетически более выгодны состояния с большими I (т. 1,
стр. 224).
В отсутствие спин-орбитальной связи одночастичные состояния
в аксиально-симметричном потенциале (инвариантном относительно
обращения времени) четырехкратно вырождены соответственно
знаку А и проекции S (= ±lz2) спина на ось симметрии ядра.
Спин-орбитальная связь приводит к расщеплению состояний с чис-
ленно неравными значениями проекции полного углового момента
на ось симметрии ядра:
fi = A + S.	(5.8)
Если пренебречь влиянием деформации на спин-орбитальный по-
тенциал, то в первом порядке сдвиг энергии за счет спин-орбиталь-
ной связи дается выражением [формула (5.3)]
Ae,s = У^(п3П1А 17 77 | AS,	(5.9)
вследствие чего состояния с параллельной ориентацией спина и ор-
битального момента энергетически более выгодны (так как параметр
Vis положителен).
Численные решения для одночастичного спектра, справедливые
как при малых, так и при больших деформациях, представлены
на фиг. 5.1—5.5. Характер изменения этих спектров нетрудно
объяснить переходом от одной из рассмотренных выше схем связи
(n//Q) к другой (п3п_[_ЛЙ) При малых б мы имеем линейную зависи-
мость энергии от б, соответствующую формуле (5.4) При больших б
зависимость снова становится почти линейной, но наклон теперь
определяется формулой (5.6). Из графиков видно, что такой переход
происходит постепенно в некотором интервале значений б, но для
большинства орбит он практически завершается при значениях б,
отвечающих равновесной форме сильно деформированных ядер.
§ /. Связанные состояния частиц
195
Поскольку квантовые числа п3п |Л2 приблизительно сохраня-
ются, одночастичные состояния удобно характеризовать этими
«асимптотическими» квантовыми числами; общепринято обозначе-
ние [7Vn3AQ]» где А /г3 +	— главное осцилляторное кванто-
вое число. О приближенном сохранении асимптотических кванто-
вых чисел можно заключить также из вида волновых функций,
приведенных в табл. 5.2 и 5.9. Существование квантовых чисел Л,
п3 и приводит к соответствующим правилам отбора для одноча-
стичных матричных элементов (см., например, табл. 5.3). При этом
оказывается, что асимптотические правила отбора играют главную
роль в распределениях интенсивностей переходов для различных
мультипольных операторов (§ 3).
Существование приближенно сохраняющихся квантовых чисел
А и 2 весьма характерно для сильно деформированных аксиально-
симметричных потенциалов. В самом деле, состояния, связываемые
спин-орбитальным взаимодействием, будучи вырожденными в сфе-
рическом потенциале, сильно различаются по энергии при больших
деформациях. (В случае деформации, нарушающей аксиальную
симметрию, квантовые числа А и 2 перестают сохраняться, и это
приводит к исчезновению эффектов первого порядка по спин-орби-
тальной связи. В самом деле, в потенциалах более низкой симметрии
орбитальное движение в отсутствие связи со спином становится
невырожденным, и в этом случае средние значения всех компонент
орбитального углового момента равны нулю вследствие инвариант-
ности относительно обращения времени (вырождение в орбитальном
движении может иметь место при наличии в потенциале оси симмет-
рии порядка п^З наряду -инвариантностью, см. стр. 159), Такая
ситуация соответствует известному эффекту подавления орбиталь-
ного момента в многоатомных молекулах и кристаллических полях;
см., например, [1143]. Подробно вопрос об орбитальном угловом
моменте в молекулах и кристаллах рассматривается в работах
[592, гл. 1; 67]).
Выделение же орбитального движения, приводящее к существо-
ванию приближенно сохраняющихся квантовых чисел п3 и п_[, но-
сит, по-видимому, менее общий характер, поскольку обусловлено
сходством между потенциалами ядра и гармонического осциллятора.
Наиболее прямым экспериментальным доказательством такого вы-
деления служит тот факт, что уровни с одинаковыми квантовыми
числами Q и л, но с разными п3ппочти пересекаются (стр. 206).
Анализ одночастичных спектров в деформированных ядрах можно
распространить на несвязанные состояния, проявляющиеся как
одночастичные резонансы. В этом случае интенсивность заданного
резонанса nlj в сферическом потенциале распределяется по многим
резонансам в сфероидальном потенциале £2л, имеющим Q / и
л = (—iy, в этом смысле можно говорить о расщеплении одно-
частичной силовой функции, обусловленном деформацией. Такой
7*
196 Гл. $. Одночастичное движение в несферических ядрах
эффект иллюстрируется на примере силовой функции s-нейтронов,
показанной на фиг. 5.6 (общий метод анализа задач о рассеянии
на деформированных потенциалах изложен в приложении к данной
главе).
ПРИМЕРЫ К § 1
Спектры одночастичных состояний как функции деформации
(фиг. J./—5.5 и табл. 5.1)
Приближенное выражение для деформированного потенциала, которое
широко применяется при анализе одночастичных состояний в деформирован-
ных ядрах, получается простым обобщением потенциала гармонического осцил-
лятора [881, 526]:
[<1%=у ЛЧ* + 3)].	(5.10)
При (о3== (0j^= о0 гамильтониан (5.10) переходит в гамильтониан сферического
гармонического осциллятора, дополненный спин-орбитальной связью вида (5.3)
и членом, пропорциональным I2. Этот член снимает вырождение по I внутри
каждой осцилляторной оболочки, делая энергетически более выгодными со-
стояния с большими /, что соответствует порядку следования уровней в потен-
циалах с конечным радиусом действия (т. 1, стр. 224). Член с (l2)^ —кон-
станта для каждой осцилляторной оболочки, выбираемая так, чтобы среднее
расстояние между оболочками не менялось при наличии 12-члена. Влияние
деформации на члены с I2 и 1s мы не учитываем, поскольку они представ-
ляют собой относительно слабое возмущение.
Константы vn и vist полученные путем подгонки к имеющимся данным
о спектрах внутренних состояний деформированных ядер, представлены
в табл. 5.1. Приближенно константы иц и vis можно также вычислить по
параметрам сферического потенциала Вудса—Саксона (стр. 522). [В легких
ядрах спин-орбитальная связь простого вида (5.10) лишь качественно согла-
суется с экспериментально установленными орбитами; указанная в табл. 5.1
величина v/s для области 0 < Af, Z < 20 выбрана так, чтобы воспроизводилось
фактическое расщепление d-дублета в ядрах тяжелее 1вО.]
Таблица 5.1
ПАРАМЕТРЫ ОДНОЧАСТИЧНОГО ПОТЕНЦИАЛА,
ВЗЯТЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СПЕКТРОВ НА ФИГ. 5.1—5.5
	Область ядер		~vll
Фиг. 5.1	0<W, Z<20	0,16	0
Фиг. 5.2	50 < Z < 82	0,127	0,0382
Фиг. 5.3	82<W< 126	0,127	0,0268
Фиг. 5.4	82 < Z < 126	0,115	0,0375
Фиг. 5.5	126 <N	0,127	0,0206
§ 1, Связанные состояния частиц
197
Параметр деформации для потенциала анизотропного гармонического
осциллятора удобно определить следующим образом:
Тогда для собственных значений оператора энергии (5.6) получим линейное
выражение вида
803,	+	|6осц(2пз-«±)]>	(5-12)
где М =	— главное квантовое число, а
“ =4 (®1+<вг+й)з) = у(2й’1+®з)-	(5.13)
В нулевом порядке параметр (5.11) совпадаете параметром, фигурирующим
в формуле (5.5), а также с параметром 6, который определяется через квад-
рупольный момент [формула (4.72)]. При учете же членов более высоких
порядков эти параметры деформации различаются. [Соотношение между 6 и
параметром 02, входящим в разложение ядра по мультиполям, дается форму-
лой (4.191).] Поэтому мы снабдили параметр (5.11) индексом, указывающим
на его связь с осцилляторными частотами.
При диагонализации одночастичного гамильтониана можно исходить из
осцилляторного представления ng, в котором не зависящая от I часть
гамильтониана Н имеет диагональный вид (5.12). В этом представлении опе-
ратор 1 определяется соотношениями (5.26), из которых видно, что у него
имеются как члены, сохраняющие полное число осцилляторных квантов
(ДМ —0), так и члены с ДМ = 2. Последние имеют порядок 6 по отношению
к первым и поэтому не учитываются (см. в этой связи замечание на стр. 206
относительно пересечения уровней с ДМ = 2).
На фиг. 5.1—5.5 приведены спектры, полученные путем численной диаго-
нализации гамильтониана (5.10). Здесь представлены собственные значения
в единицах Йо как функции параметра деформации 60СЦ. С точностью до чле-
нов порядка средняя частота со равна осцилляторной частоте <оо, полу-
ченной для сферических ядер (т. 1, стр. 206):
йй«= Й(00 =414“,/з МэВ.	(5.14)
Это приближенное значение величины йсоо найдено подгонкой к фактиче-
скому среднеквадратичному радиусу распределения ядерной плотности. Энер-
гетический интервал между главными ядерными оболочками в окрестности
уровня Ферми, получаемый при такой подгонке, согласуется с интервалом,
получаемым из потенциала Вудса — Саксона (см., например, т. 1, стр. 235,
фиг. 2.30). При переходе от осцилляторного потенциала к модификации
вида (5.10) это согласие не нарушается.
Первичные экспериментальные данные о деформациях ядер — это главным
образом измеренные значения матричных элементов £2-переходов, так что
экспериментально определяется параметр деформации 6 [формула (4.72)].
Выше же говорилось, что он отличается от 6ОСЦ членами более высокого
порядка. При проведении анализа с учетом этих членов необходимо было бы
учитывать и ряд других эффектов того же порядка, таких, как угловая зави-
симость структуры ядерной поверхности и конечный радиус действия меж-
нуклонных сил, которые могут приводить к расхождению между деформа-
циями плотности и потенциала.
Поэтому правильнее было бы, пожалуй, считать одинаковыми величины
характеризующие смещение ядерной поверхности под влиянием деформа-
ции (см., например, табл. 6.2, стр. 309). Это означало бы, что для потенциала
198
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
величина б на 10—20% меньше, чем для плотности. Поскольку же спектры,
представленные на фиг. 5.1—5.5, не меняются при столь малых изменениях 6,
практически в настоящей главе мы будем исходить из того, что' параметр 50СЦ
приблизительно равен параметрам деформации, определяемым по значениям^,
которые приведены в табл. 4.15 и на фиг. 4.25.
Фиг. 5.1. Спектр одночастичных состояний в сфероидальном потенциале при
2<iV, Z< 20 [853].
Уровни с положительной четностью изображены сплошными, а с отрицательной —штрихо-
выми линиями.
Как уже отмечалось выше (стр. 193), основные закономерности в энерге-
тических уровнях, изображенных на фиг. 5.1—5.5, можно объяснить на основе
приближенных решений при малых и больших деформациях. Среднее значение
оператора Н в представлении NljQ, отвечающее малым 6, определяется соот-
ношением (5.4), тогда как в представлении цилиндрического осциллятора
оно дается выражением
(п3п^М1 | Н | n3nj_AQ) = Нш (а + у —	60СЦ (Зп3 — N) —
-vii [у ( 2n3-V—Л2-у] + г^Л£} (5.15)
(W=n8+nx> а=л+Е).
§ 1. Связанные состояния частиц
199
Деформацию, при которой происходит переход к асимптотике (5.15), можно
приближенно оценить, сравнив сдвиги энергии, обусловленные деформацией,
со сдвигами, связанными с членами иц и v/s. Первые имеют порядок N/zcd06,
О 0,1	0,2	0,3	о,4
&оси,
0,5	0,6
Фиг 5.2. Протонные орбиты
Уровни с положительной четностью
в потенциале вытянутой формы при 50 < Z <
< 82 [526].
изображены сплошными, а о отрицательной — штрихо-
выми линиями.
вторые растут с увеличением I и становятся одного порядка с интервалом
между главными оболочками для состояний с наибольшими значениями пол-
ных угловых моментов Поэтому при типичных значениях деформации (6^-*
~ А~~	/V'1) для большинства орбит допустимо асимптотическое прибли-
жение, но для орбит с очень большими значениями j оно может оказываться
200
Гл. 5, Одночастичное движение в несферических ядрах
неадекватным [например, последовательность протонных орбит [бЗО1^], [5413/г]»
[532б/21 и т- Д- на Фиг- 5.2 довольно хорошо описывается как сферическое
состояние /гП/2 даже при 6	0,3 (что можно видеть из табл. 5.2); аналогично
^5
?,0
»з
со
0,2	0,3	0,4
$осц
0,5	0,6
Фиг. 5.3. Нейтронные уровни в потенциале вытянутой формы при 82<?V <
< 126 [526].
Уровни с положительной четностью изображены сплошными, а с отрицательной —штрихо-
выми линиями.
нейтронные орбиты [ббО1^], [6513/2] и т. д. на фиг. 5.3 довольно хорошо
описываются как состояние ц3/ ].
Выражение (5.10) для деформированного потенциала является упрощен-
ным в том отношении, что зависимость потенциала от А приближенно учи-
тывается в нем лишь путем изменения единицы энергии. Это выражение спе-
§ 1. Связанные состояния частиц
201
циально построено так, чтобы описывать энергетические уровни вблизи поверх-
ности Ферми. Но в случае более высоких уровней оно может оказаться
менее адекватным из-за продолжающегося возрастания потенциала вне поверх-
ностной области. Относительно вычислений на основе других выражений для
7,0
13
с
<0
6,0
о
0,2	0,3	0,4	0,0	0,6
5оси,
Фиг. 5.4. Протонные уровни в потенциале вытянутой формы при Z >- 82 [526].
Уровни с положительной четностью изображены сплошными, а с отрицательной — штрихо-
выми линиями.
деформированного потенциала, в том числе и потенциала Вудса—Саксона,
см. работу [895].
Схемы уровней на фиг. 5.1—5.5 могут служить основой для интерпрета-
ции спектров деформированных ядер с нечетным А. Это подробно показывается
в примерах к § 3. Для удобства на схемах в некоторых точках спектров ука-
заны числа частиц, получающиеся при заполнении всех орбит до заданного
Уровня.
202
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Одночастичные спектры в сильно деформированных потенциалах значи-
тельно сложнее и обнаруживают более равномерное распределение уровней,
чем в сферических потенциалах. Отметим, однако, ряд довольно простых зако-
номерностей, систематически проявляющихся в спектрах на фиг 5.1—5.5.
8,0
7,0
О
0,1	0,2
0,3
$осц
0,5	0,0
Фиг. 5.5. Нейтронные орбиты в потенциале вытянутой формы при /V > 126 [526].
Уровни с положительной четностью изображены сплошными, а с отрицательной — штрихо-
выми линиями.
1.	Уровни заданной главной оболочки в сферическом потенциале довольно
равномерно расходятся с увеличением деформации. Этим объясняется ход из-
менения равновесных деформаций на фиг. 4.25. В начале области деформации
при 2V 90 нейтронные уровни при 6^0,3 имеют отрицательный наклон, и
поэтому с ростом числа нейтронов равновесная деформация увеличивается,
достигая максимума при N 100, Протонные же уровни при Z > 62 имеют
§ 1. Связанные состояния частиц
203
положительный наклон, и поэтому равновесные деформации в данной области
уменьшаются с ростом числа протонов. В области тяжелых ядер из тех же
соображений следует ожидать увеличения деформации до максимума при
Z^ 100 по протонам и 150 по нейтронам.
2.	Расхождением уровней из главных сферических оболочек под влиянием
деформации обусловлена сравнительно низкая плотность олночастичных уров-
ней при равновесных деформациях в середине оболочек. Мерой средней плот-
ности одночастичных уровней вблизи поверхности Ферми могут служить пар-
ные корреляции, поскольку степень конфигурационного смешивания за счет
сил спаривания существенно зависит от расстояния между одночастичными
уровнями (см., например, формулу (6.616) для параметра парной корреля-
ции Д). Уменьшение плотности уровней в деформированных ядрах прояв-
ляется в уменьшении величин четно-не четных разностей масс (т. 1, стр. 169,
фиг. 2.5).
3.	В случае потенциала анизотропного гармонического осциллятора сте-
пень вырождения одночастичного спектра (оболочечная структура) максимальна,
когда отношения осцилляторных частот равны (малым) целым числам (стр. 521,
фиг. 6.48). Отношению (0± : со3 = 2 : 1 соответствует величина 6ОСЦ = 0,6 [фор-
мула (5.11)], а магические числа для чистого потенциала гармонического
осциллятора при этом таковы: 60, 80, 110, 140, Члены 1s снимают
вырождение в этих оболочках и так же, как и в сферических ядрах, сдвигают
в нижнюю оболочку несколько уровней, отвечающих наибольшим значениям Л
и Й = Л+1/г (см. по этому поводу гл. 6, стр. 526). Из фиг. 5.2—5.5 можно
усмотреть указания на наличие минимумов плотности уровней при числах
нуклонов 66, 86, 116, 148,	, возникающих благодаря отмеченному эф-
фекту (при таких больших деформациях необходимо учитывать влияние дефор-
мации на члены I2 и I • s, стр. 523).
Одночастичные волновые функции в сфероидальном потенциале
(табл. 5.2)
Волновые функции одночастичных состояний в деформированном потенци-
але получаются путем диагонализации гамильтониана (5.10). Волновые функ-
ции состояний, изображенных на фиг. 5.2 и 5.3, приведены в табл. 5.2, Б
в представлении n3n±AQ цилиндрического осциллятора. Эта таблица иллю-
стрирует структуру рассматриваемых состояний и дает основу для анализа
экспериментальных данных по нижним состояниям ядер с нечетным А в обла-
сти 150 < А < 190. Приведенные в таблице волновые функции отвечают де-
формации д —0,3 и обозначены соответствующими им асимптотическими кван-
товыми числами [Ап3ЛЙ]. О вычислении матричных элементов одночастичных
операторов в представлении п3п±ЛЙ говорится в следующем примере (стр. 207).
Ряд других характеристик волновых функций деформированных состояний
можно выявить, перейдя к сферическому базису /V/AQ. Такой переход можно
провести в два этапа. Первый этап —переход к изотропному осциллятору,
осуществляемый изменением масштаба в ((о3/соо)1/а и (со L/соо)1/г раз в направле-
ниях, параллельном и перпендикулярном оси симметрии. Второй этап —пере-
ход от представления изотропного цилиндрического осциллятора к представ-
лению сферического осциллятора. (Переходы от одного осцилляторного пред-
ставления к другому рассматриваются в работе [1107].)
Масштабное преобразование волновых функций приводит к значительному
увеличению числа существенных компонент в сферическом базисе. Поэтому
часть преобразования удобно включить в определение операторов, а в волно-
вых функциях учесть только второй этап преобразования. Таким путем полу-
чены из волновых функций, представленных в табл. 5.2, Б, волновые функ-
ции, приведенные в табл. 5.2, А. При вычислении матричных элементов one-
204
Гл, 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Таблица 5.2
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ПОТЕНЦИАЛЕ
ВЫТЯНУТОГО ЯДРА
А. Цилиндрический базис
А = 4 [АГ«з АЙ]		п3 = 4 л = о		л3 = 3 Л= 1		П, = 2 Л = 0. 2		«3 — 1 Л = 1, 3		«3 = о Л = 0, 2, 4
Протоны 413*/» 411% 41IV» 404’/» 402% 402% 400V, Нейтроны 404’/, 400V, 402%		0,130 0,026 0,010		-0,250 —0,255 0,061 0,051 0,047 0,048		-0,342 —0,223 -0,310 —0,151 —0,156 —0,179 —0,123 —0,115		0,938 0,926 0,900 —0,219 —0,111 —0,203 -0,168 -0,219 —0,213 -0,218		0,054 0,174 0,108 0,976 0,982 0,965 0,968 0,976 0,968 0,968
N = 5 [Nn3 AQJ	п3 = 5 Л = 0		«з = 4 Л= 1		«З = 3 Л= 0,2		«з = 2 Л= 1, 3		«3 = 1 Л = 0, 2, 4	«з = 0 Л = 1, 3, 5
Протоны 5327г 5237г 5147г 541V, Нейтроны 5301/, 505И/, 5213/, 523% 521% 5123/. 514’/; 510V, 5123/г	—0,669 —0,107 0,181 0,022		0,605 —0,618 —0,152 —0,234 0,110 0,110		0,861 —0,158 0,702 -0,475 —0,452 —0,453 —0,141 —0,207 —0,199		0,397 0,934 0,396 0,160 0,826 0,850 0,797 —0,330 —0,331 —0,337 —0,335		0,310 0,312 0,978 0,022 0,291 0,189 0,204 0,184 0,919 0,932 0,898 0,901	0,075 0,177 0,211 0,063 0,055 1,000 0,184 0,178 0,197 0,166 0,151 0,157 0,156
N = 6 INn, ЛЯ]	п3 = 5 Л= 1		«3 = 4 Л = 0, 2		«з = 3 *Л ~ 1, з		«з = 2 Л = 0, 2, 4		«3 = 1 Л == 1, 3, 5	«з = 0 Л = 0, 2, 4,
Нейтроны 6513/, 6423/, 633’/, 624*/,	0,698		0,489 0,811		0,463 0,435 0,889		0,218 0,368 0,371 0,943		0,107 0,126 0,263 0,296	0,026 0,045 0,058 0,151
ft 1. Связанные состояния часпщ
205
Б. Сферический базис
N = 4 [Nn3 АЙ]	S = + V2	Л — й — V 2				S = - У2		Л = Q + %	
	1 = 4	1 = 2		/ = 0		/ = 4		1 = 2	
Протоны 413% 411% 411% 404% 402% 402% 400% Нейтроны 404% 4001/2 402%	—0,296 0,418 —0,163 —0,218 0,232 -0,086 0,147 —0,219 0,186 —0,106	0,179 0,864 —0,099 0,966 —0,193 0,539 0,563 —0,196		0,297 0,811 0,775		0,938 —0,140 0,396 0,976 —0,111 0,221 -0,072 0,976 —0,104 0,259		0,246 0,848 0,952 —0,160 —0,192 0,940	
N = 5 [Nn3 Лй]	Е = 4~ !/2	| Л — Q 1/2				S	*/2		Л = й V2		
	2 = 5	1 = 3	1 = 1		/ = 5		1 = 3		1 = 1
Протоны 532V2 523% 514% 54В/2 Нейтроны 5301/2 505»% 521% 523% 521% 512^/2 514% 510% 512%	0,882 0,939 0,978 —0,354 0,663 1,000 0,571 —0,251 —0,207 0,415 —0,262 0,281 -0,151	—0,244 -0,144 0,485 0,179 0,575 0,427 0,081 0,832 0,252 0,672 —0,150	—0,335 —0,342 —0,287 0,471 0,565 0,321		0,399 0,312 0,211 0,686 —0,249 —0,278 0,861 0,501 —0,255 0,932 —0,153 0,358		—0,062 —0,232 0,552 0,429 —0,116 0,629 0,267 —0,151 0,850		0,040 —0,212 —0,287 0,323
N = 6 [ЛГп3ЛЙ]	S = + »/2	Л = Q — */г			S = - V2		Л = Q ~ ’А		
	1 = 6	/ = 4	|	/ = 2		1 = 6		1 = 4		1 = 2
Нейтроны 6513/2 642% 6337/2 624%	0,746 0,829 0,895 0,945	—0,377 —0,324 —0,240 —0,141	0,120 0,055		0,497 0,437 0,371 0,296		-0,199 -0,120 —0,056		0,034
В таблице представлены собственные состояния гамильтониана (5.10) в области
50 < Z < 82, 82 < N < 120. вычисленные при деформации б 0,3 с использованием пара-
метров из табл. 5.1. В табл. А указаны коэффициенты разложения рассматриваемых вол-
новых функций по базису [ЛГп3ЛЙ], а в табл. Б — по базису [7V/AQ]. Приведенные здесь
волновые функции такие же, как и в более обширной работе [881], если не считать не-
больших изменений в параметрах потенциала. Фазы компонент волновых функций в табл. А
выбраны в соответствии с условием, рассмотренным на стр. 208 [формула (5.27)], а общая
фаза выбрана так, чтобы максимальный коэффициент (Ап3ЛЙ I [Art3Ai2J> был положи-
тельным. Фазы состояний сферического базиса отвечают стандартному условию для угло-
вых волновых функций	и положительности радиальных волновых функций при
г -* оо (т. 1, стр. 349). Таблица подготовлена д-рами Дамгордом, Ламмом и Нильсоном.
206
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
раторов между волновыми функциями табл. 5.2, Б проводится следующее
преобразование операторов координат и импульсов:
Pi-’-Pi — ^Pi 1+т 6 ,
\ (Оо /	\ О / 1
В общем случае масштабное преобразование приводит к поправкам порядка 6
в матричных элементах. При этом, однако, поправки к матричным элементам
операторов углового момента между состояниями одной и той же осциллятор-
ной оболочки (AW = 0) имеют порядок 62.
Разложение волновых функций по состояниям с заданным полным угло-
вым моментом частицы можно получить из табл. 5.2, А с помощью преобра-
зования
у, q|v)> = 2</a12|/Q>(MAZ|v) =
Л2
_	/	1	11\
— -\ 2/4-1 / О 2. 2 IV
Л + Q 4-	t
+Н+Н <>й+т.-
(5.17)
где через v обозначено рассматриваемое состояние [Мп3Л5]. Волновые функ-
ции одночастичных состояний ($с?)-оболочки в представлении NljQ приведены
в табл. 5.9.
Из табл. 5.2, А видно, что деформация приводит к очень сильному смеши-
ванию компонент с разными значениями I. В то же время из табл. 5.2, Б
можно усмотреть приближенное сохранение асимптотических квантовых чисел:
для большинства состояний вклад основной компоненты в волновую функцию
составляет 80% и более. Однако состояния, имеющие при нулевой деформации
большие /, стремятся к асимптотическому пределу медленнее и при 6 = 0,3
имеют значительные примеси. Этот вывод совпадает с заключением, сделанным
на основе зависимости энергий от деформации 6 (стр. 198).
Как уже отмечалось (стр. 197), при диагонализации гамильтониана (5.10)
не учитывались матричные элементы операторов I2 и Is, отвечающие ДА/= 2.
Этим упрощением обусловлено пересечение уровней с разными W и одинако-
выми йл (так, например, уровни йл = 3/2 + на фиг. 5.3 с квантовыми числами
[4023/2] и [6513/г] пересекаются при 6^0,3). Взаимодействие между такими
почти вырожденными уровнями с ДМ =2 должно быть малым, поскольку ве-
лика разница в значениях квантовых чисел п3 и п, Расчеты соответствующей
энергии взаимодействия дают величины порядка 100 кэВ и меньше. Отметим,
однако, что для результатов таких расчетов существенны радиальная зависи-
мость потенциала и наличие деформаций более высокого порядка мультиполь-
ности [873, 30, 31]. В узкой области значений 6, в которой расстояние между
невозмущенными уровнями сравнимо с их взаимодействием, соответствующие
орбиты оказываются сильно смешанными. Такое смешивание орбит наблюда-
лось в реакциях одночастичной передачи; экспериментальные значения матрич-
ных элементов взаимодействия между «пересекающимися» орбитами, получен-
ные в таких измерениях, составляют 50—100 кэВ [1029, 1122, 520]. Малая
§ 1, Связанные состояния частиц
207
величина этих матричных элементов убедительно свидетельствует о допустимо-
сти приближенного разделения движения частиц в деформированном потен-
циале на колебания в направлениях, параллельном и перпендикулярном оси
симметрии ядра.
Матричные элементы операторов в представлении
цилиндрического осциллятора (табл, 5,3)
При вычислении матричных элементов движение частиц в потенциале гар-
монического осциллятора удобно рассматривать исходя из представления о ко-
лебательных квантах. В случае одномерного осциллятора операторы & и с
рождения и уничтожения одного такого кванта выражаются через координаты
и импульсы следующим образом:
Р= )Vi (cf-c),	(5.18)
где co —частота осциллятора. Отличные от нуля матричные элементы опера-
тора ft таковы:
<л+1 |ct |я) = (п+1)4	(5.19)
а нормированные волновые функции можно записать в виде
|	= (п!Г1/" (ct)" | п = 0).	(5.20)
Для трехмерного осциллятора мы выберем, как это делается обычно, фазы
состояний так, чтобы выполнялось равенство = +1, где —оператор
поворота на 180° вокруг оси 2. При этом матричные элементы операторов ръ
х2 и рз вещественны и выбираются положительными в базисе (И1П2пз)’ а мат-
ричные элементы р2 и х3 мнимы [фаза матричного элемента х в формуле
(2.154) отвечает одномерному осциллятору, как и в (5.18)]. Выбрав матричные
элементы операторов с'н вещественными и положительными [как в формуле
(5.19)], получим
1 “ \ 2ft )
В пределе сферической симметрий (e>i — ®2 — о>з) величины cj, ic[, обра-
зуют декартовы компоненты вектора.
В случае сфероидального осцилляторного потенциала можно использовать
цилиндрическое представление, в котором состояния частицы характеризуются
числом квантов колебаний п3 в направлении оси симметрии и числом кван-
тов п+ колебаний в плоскости (12), несущих одну единицу (со знаком плюс
или минус) углового момента вдоль оси 3. Суммарное число Квантов N и сум-
марная проекция Л углового момента на ось 3 при этом равны
N = пз + +п->
Д=П+-П_.
(5.22)
208
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
В цилиндрическом базисе мы выберем фазы так, чтобы операторы с*, cj и с2
имели положительные матричные элементы и в пределе сферической симметрии
переходили в сферические компоненты векторного оператора [формула (1,149)]:
*	1/ / *	— /Мш.у/гГ	p\±ipz
= J (ciь \	i (Xi ± iх2) ч—,
'	7 L	1 J (5.23)
ct /Л1ш3у/Д ! р3 \
3\ 2Й ) V з + Мсо3/‘
Соотношения, обратные соотношениям (5.23), имеют вил
x1±1x2 = ±t(?r-J (4+^),
Pi ± «Р2= + (йЛ4а1)1/2 (4—с-),	(5.24)
•! V/s / t \	/ЛМсозУ/? / *	%
*3 = “Ч2Ш^	(С* + Сз)-
В табл. 5.2, А волновые функции даны в представлении, в котором мат-
ричные элементы координат таковы [формула (5.24)]:
(N'n3, Л ± 1 |	± ix2 | Мп3Л) =
= ±^2^уЛ1^-Пз±Л+2)1/26(^, W+l) +
+ (7V-n3 + A),M(2V', W-l)],	(5’25)
(N ± 1, п3 ± 1, Л | х3 | Ап3Л) = + i (злУ1/2 (п3 + ± I)7*
Орбитальный угловой момент представляет собой билинейную форму опе-
раторов ct и с:
11 ± ,72 = (2Ш3Ш±) ,/е [(“з + Ш1)(С3С+ + С±Сз)+(®3-“±) (C3C± + C3CT-)L
^з = с+с+ —clc_
(5.26)
и имеет следующие матричные элементы:
<Nn', Л± 1 ,1Z1±^2|Nn3A> =
+	г	I/	1/
=	[("3+ О /г + Л)1/’ 6(4 п3 + 1) +
2(“зш±)/2	(5.27)
+ 42(Л'-п3±Л+2),М(4 п3-1)],
<^зЛНз| ^п3Л) = Л.
Кроме того, компоненты ± il2 имеют матричные элементы с AN = 2, связан-
ные со вторым членом в формуле (5.26). Но они в 6 раз меньше матричных
элементов с AN = 0. Это соответствует тому, что в случае сферического потен-
циала орбитальный угловой момент становится интегралом движения.
Приведенные выше соотношения удобны для вычисления матричных эле-
ментов операторов различных мультипольностей.
Правила отбора для операторов £1- и М 1-переходов указаны в табл. 5.3;
соответствующие матричные элементы легко выводятся из соотношений
(5.25)—(5.27). Правила же отбора и матричные элементы мультипольных опе-
раторов более высокого ранга можно находить, представляя эти операторы
в виде полиномиальных функций координат и угловых моментов (правила
§ 1, Связанные состояния частиц
209
отбора для мультипольных операторов у- и 6-переходов выведены в работе
1853]).
Таблица 5.3
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ Е1- и Af 1-ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ ОДНОЧАСТИЧНЫМИ
СОСТОЯНИЯМИ В СФЕРОИДАЛЬНОМ ОСЦИЛЛЯТОРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Мульти ПОЛЬ- ность	V= Д2	Оператор	ДА	1 ДПа |	ДА	Д2
£1	+1	zt ix2	1	0	±1	0
	0	*з	1	1	0	0
Ml	±1	1} zt	0,2	1	Ztl	0
	±1	$i zt is2	0	0	0	±1
	0	/3» s3	0	0	0	0
Силовая функция медленных нейтронов в деформированных
ядрах (фиг. 5.6)
Чтобы проиллюстрировать влияние деформации ядра на одночастичную
силовую функцию в резонансной области, мы рассмотрим модель медленных
нейтронов, взаимодействующих с комплексной прямоугольной ямой сферо-
идальной формы, без спин-орбитальной связи [791]:
И(г)={
v-НГ при г<Я(е) = /?о[1+-|бР2(соз0)
0 при г > R (б).
(5.28)
Угол б отсчитывается от оси симметрии ядра, ориентация которого в течение
процесса рассеяния предполагается фиксированной (адиабатическое приближе-
ние, см. ниже). При нулевой энергии падающих частиц разложение волновой
функции по сферическим гармоникам имеет вид
^(r) = ^s^z(r)^0(6).
I
при г</?(б),
Szr_<z+l’ при Z>0]	(5 29)
1-£ при /=0 | ПрИ
где — сферическая функция Бесселя, коэффициенты Л/, В[ и длина рассея-
ния а — комплексные константы, определяемые из условия непрерывности вол-
новой функции и ее производной на несферической границе R (б). Рассматри-
ваемые в формуле (5.^9) граничные условия справедливы в пределе очень
малых энергий, когда можно пренебречь рассеянием с I 0; в этом пределе
амплитуда рассеяния сводится к длине рассеяния (/ = —а, см. формулы
210 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
(2.183) и (3.304)]. Сечение поглощения (образования компаунд-ядра) в этом
случае дается выражением [формула (3.343)]
^комп = —4лй Iгп а,	(5.30)
и его можно выразить также через силовую функцию s-нейтронов [формула
(2.159)]:
Гп____ /^комп\ ____________1гп а____	Q.4
D ’\2л2Х2/1эВ	7,2. 103 ферми *	** '
где Гп0) — средняя нейтронная ширина s-резонансов, приведенная к энергии
нейтрона 1 эВ, a D —среднее расстояние между этими резонансами.
А
Фиг. 5.6. Силовая функция s-нейтронов с нулевой энергией в деформирован-
ной прямоугольной потенциальной яме [791].
На фиг. 5.6 представлены рассчитанные с потенциалом (5.28) силовые
функции в зависимости от массового числа. Указанные на этом графике пара-
метры соответствуют величине
|W?oj=2,05XI/j,	(5.32)
где #•—волновое число во внутренней области [формула (5.29)]. Пик силовой
функции для сферических ядер с А 150 соответствует 45-резонансу (| KRq | =
= 7/2^).
Из фиг. 5.6 видно, что деформация приводит к расщеплению 45-резонанса
на несколько компонент. Этот эффект можно объяснить взаимодействием с близ-
лежащими резонансами в каналах с / = 2, 4 и т. д. Он аналогичен такому же
эффекту для связанных орбит, когда под влиянием деформации интенсивность
s-состояния фрагментирует по всем орбитам с Ля = 0 4-. Поэтому силовую
функцию в области 45-резонанса легко оценить, рассмотрев взаимодействие
между состояниями оболочки с N = 6(4s, 3d, 2g и Н). Положение этих состоя-
ний в отсутствие деформации можно характеризовать значениями Ro, при ко-
торых они имеют нулевую энергию. Для их нахождения можно использовать
условие существования резонансов с нулевой энергией в действительном сфе-
рическом потенциале [см., например, формулу (5.29)], так как мнимая часть
потенциала мало влияет на положение рассматриваемых резонансов. Это усло-
вие имеет вид
Ro [J h	= ~ V+1) h (W.	(5.33)
§ 1. Связанные состояния частиц
211
т. е. эквивалентно соотношению
/z-i(Wo) = O.	(5.34)
Следовательно, собственные значения для четырех рассматриваемых резонан-
сов таковы:
	' 11,00	4s,
	10,90	3d,
KRq — <	10,42	2g,	(5.35)
	9,36	lj.
Отсюда можно найти энергетические интервалы между этими резонансами по
формуле
Д£ ъ KR<>& (KR0) «= 220Л-2/’Д (KRo) МэВ,	(5.36)
что соответствует значениям Л'/?о=11 и 7?0 = 1,45Л''3 ферми.
В первом порядке по 6 гамильтониан деформационного взаимодействия
имеет вид [формула (5.2)]
= - VR<fi (г -/?0) Р2 (cos б),	(5.37)
о
а его матричные элементы даются выражением [формулы (1.135) и (1.137)]
(/', Л=О|ЯС |Z, л = о> =
= ™ il~l'VR^i (Ro) (Ro) (1020 | I'oy (^pr),/2	(5.38)
Для их вычисления мы возьмем радиальные волновые функции резонансов при
нулевой энергии. Это допустимо, если превышение энергии рассматриваемых
состояний над нулевой удовлетворяет условию	При этом значе-
ние радиальных волновых функций на поверхности можно найти из нормиро-
вочного интеграла. Таким путем получим
Яо
) (e^l(r))2^dr=~Ri(^l(R0))\	(5.39а)
О
Ro	(	1 при I = О,
f (<^i(r))2r2dr = l 21—1 ,п	(5.396)
J	12ГПпРиг=#0-
Соотношение (5.39а) следует из обычного выражения для интеграла от функ-
ции Бесселя и граничного условия (5.33). Соотношение (5.396) вытекает из
условия нормировки; при I =£ 0 в нормировочный интеграл дает вклад наруж-
ная область [формула (3.327)]. Для s-волн эта область не дает вклада из-за
сильного отражения на поверхности ядра r = RQ’, в самом деле, проникнув
внутрь ядра, s-нейтрон остается там бесконечно долго (при нулевой энергии
налетающих частиц). В то же время частицы с I Ф 0 удерживаются в окрест-
ности ядра центробежным барьером, но сравнительно легко проходят туда и
обратно через поверхность ядра г = /?0. Нетрудно сообразить также, что квад-
рат волновой функции в точке г — Rq можно прямо связать с одночастичной
шириной для резонансного рассеяния, так как поток в расходящейся волне
равен плотности (5.39), умноженной на проницаемость центробежного барьера
Vi и на скорость во внешней области [формула (3.322), а также т. 1, гл. 3,
приложение 6, п. 2].
В табл. 5.4 представлены собственные значения и интенсивности s-волны,
найденные путем диагонализации гамильтониана, диагональные элементы кото-
212
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Таблица 5.4
СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ НЕЙТРОНОВ С НУЛЕВОЙ
ЭНЕРГИЕЙ В ДЕФОРМИРОВАННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
[Vn3A]	KRo	<1 = 0 I [Nn3A]>2
[600]	11,29	0,62
620	10,60	0,34
640	10,11	0,04
660	(9,01)	(6- 10-5)
Использованные здесь параметры потенциала приведены
на фиг. 5.6.
рого определяются формулами (5.35) и (5.36), а недиагональные—формулами
(5.38) и (5.39). Соответствующие собственные состояния обозначены в таблице
асимптотическими квантовыми числами /Уп3А, Изменение величины KRq можно
связать с изменением атомного веса А соотношением
Д^_ = 3 А<™.= 1,464-'/з Д (К/?о).	(5.40)
АЛО
и тогда величины, приведенные в табл. 5.4, довольно хорошо описывают распре-
деление силовой функции s-волны, показанное на фиг. 5.6. Ширины отдельных
резонансов определяются абсорбционным потенциалом W, и поэтому деформа-
ция влияет на них очень слабо. Выше уже отмечалось, что все сказанное
справедливо при A (KRq) < л. Это условие довольно хорошо выполняется для
двух главных компонент силовой функции, но очень сильно нарушается для
весьма слабо возбуждаемого состояния с KRq 9.
Экспериментальные данные о силовой функции s-нейтронов в области
140 <zA < 180 намного отклоняются от кривой, рассчитанной для сферического
потенциала (т. 1, стр. 214, фиг. 2.26). Из результатов рассмотренной выше
простой модели ясно, что при интерпретации этих данных следует учитывать
эффекты ядерной деформации. Но при количественном анализе существенную
роль должны играть диффузность потенциала и спин-орбитальная связь.
Диффузность уменьшает отражение нейтронов от поверхности ядра, тем
самым существенно увеличивая одночастичную ширину и соответственно общую
площадь кривой силовой функции (ср. результаты для сферического потенциала
на фиг. 5.6 с аналогичными результатами на фиг. 2.26; см. также т. 1, стр. 429;
расчеты силовой функции нейтронов в диффузном сфероидальном потенциале
проведены в работе [250]).
Спин-орбитальная связь приводит к смешиванию состояний с А = 0,
Е = х/2 и Л = 1, Е —— 1/2 и тем самым к дополнительному размытию силовой
функции s-волны. Для иллюстрации в табл. 5.5 приведены силовые функции
состояний с N = 6, Q=V2» вычисленные с использованием гамильтониана (5.10).
Из этой таблицы видно, что при 6 = 0,15 (т. е. при такой же деформации, как
и на фиг. 5.6) фрагментация интенсивности s-состояния в основном опреде-
ляется спин-орбитальной связью и что даже при 6 = 0,3 (т. е. при наибольших
деформациях в рассматриваемой области) этот эффект остается существенным.
В последнем столбце табл. 5.5 приведена фрагментация интенсивности s-состоя-
ния в сфероидальном осцилляторном потенциале. Это соответствует асимпто-
тической ситуации, когда эффекты деформации велики по сравнению как со
спин-орбитальной связью, так и с интервалами между уровнями с одинаковыми
N в сферическом потенциале.
Выше мы не учитывали вращательную энергию ядра-мишени. Так же как
и в задаче о связанных состояниях, рассмотренной выше, это допустимо,
§ 2, Классификация спектров ядер с нечетным А
213
Таблица 5.5
ФРАГМЕНТАЦИЯ S-ВОЛНЫ ПО НЕЙТРОННЫМ ОРБИТАМ Ctf = 6
[Wn3AQ]	<[ЛГп,АЙ = */»] 1 1 = 0>»		
	6 = 0,15	6=0,3	асимптотика
[6001/2] [611%] [620%] 631%] [640%] [651%] (660V2]	0,59 0,17 0,08 0,14 1,2- 10’3 0,02 3- 10’4	0,55 0,08 0,15 0,11 0,03 0,07 0,01	16/Э5 0 8/з5 0 6/35 0 е/85
Приведенные здесь коэффициенты разложения при 6 = 0,15 и б = 0,3 взяты из работы
[881]. Коэффициенты в последнем столбце отвечают сфероидальному потенциалу гармони-
ческого осциллятора (в пределе малых деформаций).
поскольку вращательная частота мала по сравнению с частотами, характерными
для внутренних состояний. В общем случае рассеяния частиц с малой энергией
вращательную энергию необходимо учитывать в области вне ядра, ибо там она
может оказывать решающее влияние на распространение частиц. В нашем слу-
чае эта поправка несущественна, так как она не влияет на канал с / = 0, а
в других каналах вращательная энергия мала по сравнению с центробежным
барьером (об использовании адиабатического приближения в задачах рассеяния
в общем виде см. в приложении).
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ СПЕКТРОВ ЯДЕР С НЕЧЕТНЫМ А
Схема последовательного заполнения
Наличие несферической компоненты в одночастичном потенциале
снимает вырождения, имеющиеся в сферическом ядре, оставляя
только двукратное вырождение, связанное с -инвариантностью.
Таким образом, наинизшее состояние независимого движения в чет-
но-четном ядре можно рассматривать как результат попарного за-
полнения сопряженных орбит, и поэтому оно невырождено. Такая
конфигурация основного состояния характеризуется выстраива-
нием орбитального движения нуклонов относительно ориентации
поля деформации (схема выстраивания). В аксиально-симметричном
потенциале попарному заполнению орбит соответствует равенство
6 = 1
Последняя заполненная орбита в такой конфигурации называется
уровнем Ферми. Возбужденные конфигурации возникают при пере-
ходе частиц из заполненных уровней на незаполненные орбиты
над уровнем Ферми. Незаполненные орбиты под уровнем Ферми
214
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
отвечают состояниям дырок, а заполненные орбиты над уровнем
Ферми — состояниям частиц (о частично-дырочном представлении
см. гл. 3, приложение 2).
Наинизшее состояние ядра с нечетным А таково: одна частица
(или одна дырка) находится на какой-либо из орбит, а все низшие
орбиты попарно заполнены остальными нуклонами. Значения Кя
для такой конфигурации совпадают с квантовыми числами Qa
частицы или дырки. Более сложные конфигурации соответствуют
возбуждению одной или нескольких частиц из спаренного «остова».
Парные корреляции, квазичастицы
Характер одночастичного движения существенно меняют взаимо-
действия, приводящие к эффекту спаривания в ядрах. В самом деле,
энергия спаривания в ядрах с А > 100, измеряемая четно-нечетной
разностью масс в этих ядрах, по порядку величины равна 1 МэВ
(т. 1, стр. 169, фиг. 2.5), т. е. в несколько раз превышает интервал
между одночастичными состояниями в деформированном потенциале
(фиг. 5.2—5.5). Несмотря на довольно сильное конфигурационное
смешивание, которое должно быть в такой ситуации, характерные
черты одночастичного движения могут при этом сохраняться, по-
скольку спаривание связано только с переходами Ь^) -> (v2v2)
между состояниями двух частиц на сопряженных орбитах, точно
так же как и в спаренных двухчастичных состояниях /л == 0+
сферических ядер (анализ эффекта корреляции в спаренном двух-
частичном состоянии см. на Ар. 563, где говорится о ядре 206РЬ),
Конфигурационное смешивание в основном состоянии деформи-
рованного четно-четного ядра, обусловленное взаимодействием спа-
ривания [матричными элементами переходов (vjvJ -> (v2v2)l, гене-
рирует когерентную суперпозицию компонент, содержащих только
пары частиц на сопряженных орбитах Наинизшие состояния ядра
с нечетным А содержат одну неспаренную частицу на одной из
орбит вблизи уровня Ферми. На эту частицу спаривание не действует,
а остальные частицы находятся в коррелированном состоянии, по-
добном основному состоянию четно-четного ядра. Поэтому такие
состояния ядер с нечетным А можно классифицировать по кванто-
вым числам неспаренной частицы.
Таким образом, систему с парными корреляциями можно рас-
сматривать как совокупность обобщенных одночастичных возбуж-
дений, называемых квазичастицами (число их обозначается через v).
Основное состояние четно-четного ядра представляет собой квази-
частичный вакуум (v = 0), а наинизшие состояния ядра с нечетным
А — одноквазичастичные состояния (v = 1).
Парные корреляции обусловлены сильным конфигурационным
смешиванием всех уровней (vv), лежащих на расстоянии порядка А
от уровня Ферми. Если число таких уровней велико, то парные
§ 2. Классификация спектров ядер с нечетным А
215
корреляции можно характеризовать обобщенным одночастичным
потенциалом, учитывающим процессы рождения и аннигиляции
пар частиц на сопряженных орбитах. Коллективные степени сво-
боды, связанные с таким «полем спаривания», рассматриваются
в гл. 6, а квазичастицы, возникающие при одночастичном движении
с учетом поля спаривания, рассмотрены в примере на стр. 568.
Хотя состояния квазичастиц и характеризуются квантовыми чис-
лами одночастичных орбит, поле спаривания существенно меняет
их свойства, и в данной главе мы будем это учитывать.
Идентификация одноквазичастичных состояний
Экспериментальные спектры деформированных ядер с нечетным А
дают обширный материал для проверки рассматриваемой схемы
связи Низколежащие состояния этих ядер образуют вращательные
1499------гз/г
1285------21/г
Ю53------------!9/г
862------------!7/г
^!280\-----
КТГ~72+
[411 f/21
668-----f5/2
5/О-----!3/г
362------п/г
24!------9/2
137-----7/2
58-----5/2
О-----3/2
KV-3/2^
/4// Ы
А =11,6 кэВ
В=~6,4эВ
А3=7}7эВ
674------5/г
617------3/2
580------'/2
А = 12,0 кэВ
а=-0,81
429-----7/2
348-----5/2
КЛ~5/г+
[4135/г1
А=11,6кэВ
,	К7(=1/2 +
364-------5/2 (L4ll3/2l2-p)1/2+
КЯ=5/г-	11,8 кэВ
[532 5/21	а=+0,05
Фиг. 5.7. Спектр ядра 159ТЬ.
Экспериментально установленные уровни ядра 159Т1- сгруппированы во вращательные
полосы. Для каждой полосы указаны значения параметров А, В, Д3 и т. д , а также
классификация соответствующего внутреннего состояния. Этот спектр основан на экспери-
ментальных данных, приведенных в работе [736], и дополнительных данных, полученных
в опытах по кулоновскому возбуждению [320, 508].
полосы с квантовыми числами Кл, соответствующими расчетным
значениям Qn для одночастичных орбит в сфероидальном потен-
циале [см. примеры на фиг. 5 7 (159ТЬ), фиг. 5.9 (175УЬ), фиг. 5.12
(237Np), фиг 5.14 (2S5U) и фиг. 5.15 (25Mg и 25А1), а также в гл. 4:
фиг 4.15 (1С9Тт), фиг 4.16 (177Lu и 177Hf), фиг 4.19 (239Ри) и фиг. 4.28
(175Lu)J. Анализ различных характеристик таких полос подтверж-
216
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
дает рассматриваемую классификацию и позволяет детально срав-
нить их с расчетными характеристиками соответствующих одноча-
стичных орбит (§ 3). Сводка результатов систематической класси-
фикации низколежащих полос и ядер с нечетным А в области
150 <Z А <190 содержится в табл. 5.12 и 5.13. Классификация
спектров ядер с нечетным А в области 19 А 25 приведена
в табл. 5.8.
Наблюдающаяся на опыте последовательность одночастичных
орбит подтверждает предположение о приближенном равенстве
между деформацией потенциала и соответствующей величиной,
определяющейся вероятностями £2-переходов. Данные о наличии
(^-деформаций (табл. 4.16) также подтверждаются эксперименталь-
ными соотношениями энергетических интервалов между одноча-
стичными уровнями (стр. 260).
Удивительной особенностью экспериментальных спектров дефор-
мированных тяжелых ядер с нечетным А является то обстоятель-
ство, что ниже энергий возбуждения порядка 0,5 МэВ существуют
только такие состояния, которые можно связать с одночастичными
конфигурациями. При энергиях же возбуждения от 0,5 и примерно
до 1 МэВ имеются дополнительные состояния, которые можно
интерпретировать как суперпозиции колебательных возбуждений
и конфигураций cv - 1 (см. пояснения к табл. 5.12 и 5.13). При
более высоких энергиях возбуждения сильно возрастает плот-
ность уровней, многие из которых идентифицируются как конфи-
гурации трех неспаренных частиц (см., например, изомеры с боль-
шими спинами на фиг 4.16). Отсутствие трехквазичастичных
состояний в нижней части спектров ядер с нечетным А можно
объяснить эффектом парных корреляций: для разрыва пары тре-
буется энергия порядка 2Д (по той же причине в четно-четных
ядрах не наблюдаются двуквазичастичные состояния при энер-
гиях возбуждения, меньших примерно 1 МэВ; см., например, спектр
ядра 168Ег на фиг. 4.7, стр. 69, и ядра 234U на фиг 6.39).
Систематическая идентификация одночастичных состояний в де-
формированных ядрах с нечетным А дает возможность установить
абсолютную энергетическую шкалу для одночастичного спектра
и тем самым исследовать возможность существования зависимости
одночастичного потенциала от скорости (эффективная масса; т. 1,
стр. 149). При таком сравнении необходимо учитывать эффект пар-
ных корреляций, приводящий к систематическому сокращению
интервалов между нижними квазичастичными состояниями. После
введения поправок на этот эффект экспериментальные интервалы
между одночастичными уровнями оказываются в согласии с резуль-
татами вычислений для статического потенциала (стр. 236).
Представление нижних состояний деформированных ядер с не-
четным А как одноквазичастичных аналогично обобщенной одно-
частичной модели для сферических ядер, рассмотренной в гл. 2,
ft 3. Моменты и переходы
217
§ 4 (т. 1, стр. 209). Основной эффект, нарушающий одночастичную
схему, — это взаимодействие одночастичных состояний с квадру-
польными колебаниями формы ядра. Из-за большой амплитуды
и низкой частоты таких колебаний в сферических ядрах одноча-
стичный подход дает для них лишь качественные результаты.
[Мерой силы взаимодействия частиц с колебаниями может служить
параметр /2, определяемый соотношением (6.212); на основании
квадрупольных параметров, приведенных на фиг. 6.28 и 6.29, можно
сказать, что /2 — величина порядка единицы.] В деформированных
же ядрах основная часть этого эффекта включена в деформацию
среднего поля, и поэтому амплитуды колебаний относительно
деформированной равновесной формы гораздо меньше соответст-
вующих величин для большинства сферических ядер. Так, типич-
ные амплитуды нулевых 0- и у-колебаний составляют Д0 ~ 0,05
и 0оДу 0,05 [см., например, формулы (4.263) и (4.248)], тогда
как соответствующая величина для квадрупольных колебаний
в сферических ядрах обычно в 2—5 раз больше. Поэтому в дефор-
мированных ядрах одночастичное приближение имеет гораздо
более широкую область количественной применимости, чем в сфе-
рических ядрах.
При определении числа возбужденных конфигураций некоторые
их комбинации следует считать ложными в том смысле, что из них
формируются вращательные степени свободы. Последние форми-
руются главным образом из внутренних возбуждений с энергиями
порядка Йсоо6, которые интенсивно возбуждаются силами Корио-
лиса (гл. 4, стр. 85, и гл. 5, стр. 247).
В ядрах с нечетным А ложные возбуждения строятся главным
образом из трехчастичных конфигураций. В более тяжелых же
ядрах ложные состояния содержат в основном конфигурации,
энергия возбуждения которых велика по сравнению с интервалами
между одночастичными уровнями, вследствие чего они не играют
никакой роли в классификации состояний, рассмотренной в
табл. 5.12 и 5.13.
В легких ядрах наличие ложных состояний может сильно ска-
зываться даже при анализе наинизших возбужденных уровней
(см. пример — спектр ядра с А = 19, стр. 254).
§ 3. МОМЕНТЫ И ПЕРЕХОДЫ
1. Одночастичная передача
Реакции однонуклонной передачи необычайно ценны для иссле-
дования одночастичной структуры ядерных состояний, поскольку
соответствующие амплитуды пропорциональны одночастичным ге-
неалогическим коэффициентам (гл. 3, приложение 5). Для дефор-
мированных ядер эти амплитуды выводят путем преобразования
218
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
к внутренней системе координат с использованием тензорных
свойств оператора сГ (j) [1022] [см также формулу (3.256)] Таким
образом, для генеалогического коэффициента, отвечающего пере-
ходу из полосы основного состояния четно-четного ядра (v = 0)
на одноквазичастичное состояние (v = l,v), получим [формулы
(4.92) и (6.599)1
<v = l, v; К =	МаЧ/)||7 = 0; К = 0, Л> =
= /2" (2?! + l)V. </x0/Q | /2Й> <//Й | v) и (V).	(5.42)
Множитель <//Q|v) — это коэффициент разложения одночастич-
ного состояния v по сферическим компонентам. Последний мно-
житель и (v) — амплитуда вероятности того, что орбита v не запол-
нена в основном состоянии четно-четного ядра-мишени. В отсут-
ствие спаривания множитель и (у) был бы равен единице для всех
орбит выше уровня Ферми (частичных орбит) и нулю для дыроч-
ных орбит. Парные же корреляции приводят к тому, что ампли-
туда и (у) постепенно увеличивается от нуля до единицы при уве-
личении энергии орбиты относительно уровня Ферми. Этот переход
происходит в энергетическом интервале порядка Д. В случае по-
стоянного поля спаривания зависимость и от одвочастичной энер-
гии определяется формулой (6.601); см. также фиг 6.63, а. Сече-
ние реакции подхвата из четно-четного ядра, переводящей его
в одночастичное состояние ядра с нечетным Д, содержит матрич-
ный элемент оператора уничтожения а (/), имеющий тот же вид,
что и матричный элемент оператора a* (j), но с заменой и (v) на
амплитуду v (у) вероятности того, что орбита v заполнена в основ-
ном состоянии четно-четного ядра-мишени (и2 + v2 = 1).
По экспериментальным сечениям реакций передачи, заселяю-
щих нижние состояния ядер с нечетным Д, можно непосредственно
проверить качественную применимость рассматриваемой одноква-
зичастичной классификации (см. пример на стр. 231). Относитель-
ные интенсивности переходов на разные уровни соответствующих
вращательных полос определяются коэффициентами <//Q|v>, что
дает своего рода «репер» для идентификации различных внутрен-
них состояний и проверки соответствующих им расчетных волно-
вых функций [1146, 366] (примеры см на фиг. 5.10 и в табл. 5.11).
Обусловленный парными корреляциями постепенный переход
от состояний частичного к состояниям дырочного типа отчетливо
прослеживается при изучении реакций одночастичной передачи
на одно и то же состояние в последовательности ядер с увеличи-
вающимся числом нуклонов (фиг 5.10) Анализ соответствующих
сечений дает для А значения, согласующиеся с данными о четно-
нечетных разностях масс (см примеры на фиг 5 11).
В случае переходов на несвязанные состояния одночастичные
генеалогические коэффициенты можно определить по эксперимен-
тальным значениям парциальных ширин в сечениях резонансного
$ 3. Моменты и переходы
219
рассеяния (гл. 3, приложение 6). Благоприятную возможность
для такого рода исследований дают реакции, индуцируемые про-
тонами и идущие через состояния с изоспином Т = Мт + 1 (изо-
бар-аналоговые резонансы; см. примеры на стр. 231). Такие иссле-
дования дают возможность находить амплитуды перехода между
возбужденными состояниями начального и конечного ядра, которые
нельзя изучать непосредственно в реакциях однонуклонных пере-
дач.
2. Одночастичные моменты и переходы
Матричные элементы переходов между одноквазичастичными
состояниями
По измеренным моментам и вероятностям у- и |3-переходов
можно найти внутренние матричные элементы	(Xv) |/О,
которые водят в формулы гл. 4, § 4. В случае переходов между
одноквазичастичными состояниями эти матричные элементы равны
соответствующим одночастичным матричным элементам, умножен-
ным на коэффициент, зависящий от парных корреляций. [В случае
диагональных матричных элементов (переходы внутри полосы)
возможен дополнительный коллективный вклад, соответствующий
среднему значению оператора (X, v = 0) в состоянии v = 0.]
Для электромагнитных переходов имеем [формула (6.610)]
<v = 1, Q3|e<,(Xv)|v = l, Й1> =
= <й21 (Xv) |	(hxu2 + cVxVz). (5.43)
Последний множитель в формуле (5.43) можно вывести исходя
из того, что квазичастица представляет собой суперпозицию состоя-
ний частицы с амплитудой и и дырки с амплитудой v [формула
(6.599)]. Фазовый множитель с (равный ±1) описывает преобра-
зование оператора (v) при частично-дырочном сопряжении
[формула (3.14)]; таким образом, с=—1 для операторов ЕХ,
матричные элементы которых * имеют разные знаки для частиц
и дырок, и с +1 для операторов MX, матричные элементы кото-
рых в обоих случаях имеют одинаковый знак.
Ослабление интенсивностей одночастичных переходов за счет
парных корреляций связано с появлением переходов, которые
в некоррелированной системе запрещены законом сохранения числа
частиц. В самом деле, в отсутствие парных корреляций одночастич-
ный переход Q2 иДет либо только между состояниями частиц,
либо только между состояниями дырок, т. е. только между состоя-
ниями, лежащими по одну сторону от уровня Ферми. Если же рас-
сматриваемые орбиты лежат по разные стороны от уровня Ферми,
то такой переход приводит к частично-дырочному возбуждению
0->(Qjl)Q2.B системах с парными корреляциями оба типа пере-
ходов (Av = 0 и Av = 2) идут между любой парой одночастичных
220 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
орбит с суммарным весом, равным полному одночастичному зна-
чению [формула (6.610)1.
Если оператор перехода содержит зарядовый обмен, как в слу-
чае 0-распада, то вклад в матричный элемент дают либо только
частичные, либо только дырочные компоненты, откуда получаем
[формула (6.5996)1
<v„=l, Q„|0^(pt=+1, kv)|vp=l, йр> =
= (йл | (|iT = -|-1, Xv) | £2р) untip,
<v„ = l, Й„|®^(Ит = -1, Xv)|vp= 1, Qp) =
= <йр I <гМ (цт = — 1, Xv) I йл> vnvp.
При выводе этих выражений предполагалось, что парные корре-
ляции осуществляются независимо в системах протонов и нейтро-
нов. Эффектами протон-нейтронного спаривания можно пренебречь,
если параметр парных корреляций А мал по сравнению с разностью
между энергиями Ферми протонов и нейтронов. В деформирован-
ных ядрах с А > 150 это условие выполняется.
Что касается операторов MX, то парные корреляции не влияют
на статические моменты и лишь слабо меняют матричные элементы
переходов с малой энергией. В случае же операторов ЕХ парные
корреляции должны существенно уменьшать интенсивности одно-
частичных переходов между низколежащими состояниями. Но
имеющиеся данные не позволяют количественно проверить это
заключение. В самом деле, Е1-переходы между нижними состоя-
ниями сильно подавлены другими правилами отбора [см. ниже,
а также пример, рассматриваемый на стр. 230 (159ТЬ)]; Е2-переходы
очень чувствительны к взаимодействию с коллективными степе-
нями свободы (см., например, 235U, стр. 243). Для p-переходов между
состояниями, близкими к уровню Ферми, парные корреляции при-
водят к ослаблению интенсивностей переходов примерно в 4 раза
(см. анализ p-переходов, стр. 268).
Асимптотические правила отбора и распределение интенсивно-
стей одночастичных переходов
Из факта приближенного сохранения асимптотических кванто-
вых чисел 2Vn3XS вытекают довольно далеко идущие следствия,
относящиеся к правилам отбора для матричных элементов одно-
частичных переходов [12]. Интерпретация измеренных интенсив-
ностей р- и у-переходов на основе этих правил отбора имела важ-
нейшее значение для установления классификации внутренних
состояний ядер [см. примеры на стр. 229 (Е1, 159ТЬ), стр. 108
(El, 177Hf), стр. 143 (£2175Lu), стр. 234 (М3, 176Yb), стр. 230 ф-рас-
пад GT и первого порядка запрета, 159Gd), стр. 234 ф-распад GT,
176Yb)]. При этом оказалось, что переходы, идущие с нарушением
§ 3. Моменты и переходы
221
асимптотических правил отбора, систематически заторможены в 10—
100 раз по сравнению с разрешенными «облегченными» переходами.
Существование асимптотических правил отбора приводит также
к довольно простому характеру спектра одночастичных интенсив-
ностей для операторов различных мультипольностей. Например,
разрешенные «облегченные» £1-переходы с Д7< (=АЙ) — 0 имеют
ДА 1, Дя3 = 1, ДА = 0 и Д5 — 0, и, следовательно, энергии Де
таких переходов группируются около значения Йсо3; £1-переходы
с Д^ 1 имеют ДА = 1, Д/г3 — 0, ДА = ± 1 и Д2 0, откуда
Де « (табл. 5.3). Поскольку эти энергии в тяжелых ядрах
составляют по порядку величины 5—10 МэВ, при малых энергиях
все £1-переходы должны быть затрудненными. Этот вывод согласу-
ется с имеющимися экспериментальными данными.
«Облегченными» по асимптотическим квантовым числам матрич-
ными элементами оператора, пропорционального спину нуклона s
(например, оператора перехода Гамова — Теллера, а также глав-
ного члена оператора А41-перехода), оказываются только диаго-
нальные элементы (в случае Д7< = 0), описывающие статические
магнитные моменты и ЛИ-переходы внутри вращательных полос
(а также P-переходы между изобар-аналоговыми полосами). Анализ
магнитных моментов, приведенных в табл. 5.14, показывает, что
систематику значений ^-фактора можно объяснить на основе
квантовых чисел S. Матричные элементы оператора спина с Д7< = 1
имеют ДА ~ Дя3 = ДА = 0, Д2 = ± 1, т. е. связывают спин-
орбитальные партнеры, разделенные энергиями от 1 до 5 МэВ
[формула (5.9)]. «Облегченные» переходы Гамова — Теллера систе-
матически изучались (табл. 5.15), но количественных данных
о наличии предполагавшихся интенсивных М 1-переходов пока
что нет.
Спектр интенсивностей одночастичных переходов для операто-
ров различных мультипольностей необходим не только для класси-
фикации внутренних квазичастичных состояний; он служит также
отправной точкой при анализе коллективных вибрационных состоя-
ний на основе представлений о корреляциях в движении независи-
мых частиц. Качественные выводы, вытекающие из асимптотических
правил отбора, дают возможность простым путем устанавливать,
каким образом оболочечная структура будет влиять на коллектив-
ные состояния деформированных ядер (см., например, систематику
Р- и у-колебательных состояний на стр. 484 и 487).
Эффекты поляризации
Количественный анализ экспериментальных внутренних матрич-
ных элементов может дать информацию об эффективных одночастич-
ных моментах. В гл. 3 показано, что в конфигурациях, содержащих
одну частицу сверх заполненных магических оболочек, поляриза-
222 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
ция остова внешней частицей может приводить к перенормировке
эффективных моментов.
Матричные элементы затрудненных переходов могут оказаться
очень чувствительными к небольшим неопределенностям в одно-
частичных волновых функциях, а также к эффектам взаимодействия
Кориолиса. Поэтому наиболее надежные данные о поляризацион-
ных эффектах вытекают из анализа матричных элементов облегчен-
ных переходов. Основным источником таких данных являются
ЛИ-переходы внутри вращательных полос и 0-переходы Гамова —
Теллера между спин-орбитальными партнерами. Анализ этих
данных приводит к величине порядка 0,7 (gs) сноб для перенорми-
рованного g-фактора для М 1-переходов с ДА = 0 в ядрах с А > 150
(табл. 5.14, стр. 265) и к величине порядка 0,5 (£д)СВОб Для эффек-
тивной аксиально-векторной константы в переходах Гамова —
Теллера с ЛК = 1 (табл. 5.15, стр. 268). Такое уменьшение спино-
вых моментов — того же порядка величины, что и наблюдающиеся
в сферических ядрах (т. 1, стр. 334). Более сильный эффект для
зарядово-обменного момента, полученный на основе измерений
переходов Гамова — Теллера, можно объяснить влиянием нейтрон-
ного избытка, благодаря которому увеличивается амплитуда коле-
баний соответствующих спиновых полей в четно-четном остове
(стр. 267). Так как при больших деформациях 2 становится при-
ближенным интегралом движения, эффекты перенормировки для
Л41 -переходов с ДА 1 должны быть сильнее, чем аналогичные
эффекты для магнитных моментов (ДА == 0), проявляющиеся
в ^-факторах [стр. 266; предварительные данные такого рода
о матричных элементах Л41-переходов с ДА = 1 следуют из чле-
нов (gK — Sp) b в полосах с А = В ядрах с А = 25 изовек-
торный спиновый g-фактор и оператор перехода Гамова — Тел-
лера связаны условием изобарической инвариантности. Имеющиеся
данные согласуются с перенормировочным множителем порядка 0,8,
одинаковым для обоих процессов.
3. Передача пары частиц и интенсивности а-распада
Очень ценный метод определения квантовых характеристик
и исследования деталей структуры внутренних состояний ядер —
по интенсивностям а-распада в области тяжелых ядер (А > 220).
В процессе формирования а-частицы внутри ядра участвуют пара
нейтронов и пара протонов, пространственное распределение кото-
рых тесно скоррелировано, и поэтому данный процесс чувствителен
к спариванию в протонной и нейтронной системах. Спаривание при-
водит к возникновению коллективных a-переходов, при которых
а-частица образуется из нуклонов на спаренных орбитах (Q, Q)
без изменения конфигурации остальных квазичастиц. Такого рода
особый класс составляют переходы между основными состояниями
§ 3. Моменты и переходы
223
четно-четных ядер и облегченные переходы в ядрах с нечетным Л,
при которых конфигурация квазичастиц остается неизменной. При-
веденные вероятности таких переходов оказываются на 2—3 порядка
больше вероятностей затрудненных переходов, при которых кон-
фигурация квазичастиц меняется. Примеры, иллюстрирующие пре-
обладание облегченных переходов при а-распаде ядер с нечетным Л,
рассматриваются в связи с фиг. 4.19, стр. НО, и фиг. 5.13, стр, 238.
Сравнение с переходами между основными состояниями четно-
четных ядер показывает, что облегченные переходы в ядрах с нечет-
ным А заторможены по сравнению с ними примерно в 2 раза.
По-видимому, в основном этот эффект обусловлен ослаблением спа-
ривания из-за наличия нечетной частицы (оценку этого эффекта
см. на стр. 241).
В интенсивностях затрудненных а-переходов, связанных с изме-
нением конфигурации квазичастицы, отражается главным обра-
зом перекрывание соответствующих орбит [структура соответствую-
щего матричного элемента определяется выражением (5.58); см.
также формулы (5.63) — (5.66)]. При этом оказывается, что в рас-
сматриваемом процессе могут фигурировать довольно большие
угловые моменты (L «5—8). Отчасти это объясняется тем, что
центробежный барьер малоэффективен для а-частиц, а отчасти —
правилами отбора для амплитуд формирования а-частицы внутри
ядра, которые зачастую сильно подавляют интенсивности компо-
нент с малыми L. По этой причине несколько уровней вращатель-
ной полосы могут заселяться со сравнимыми приведенными вероят-
ностями (фиг. 5.13). Вычисления, проведенные на основе одно-
в частичных орбит в деформированном потенциале, качественно вос-
производят закономерности экспериментально наблюдаемого изме-
нения интенсивностей и поэтому имеют важное значение с точки
зрения определения одночастичных конфигураций [931], (см. также
фиг. 5.13).
Реакции двухнуклонных передач дают весьма перспективный
метод изучения матричных элементов того же типа, что и входя-
щие в а-распад. Имеющиеся данные действительно показывают
ожидаемое коллективное усиление переходов без изменения кон-
фигурации квазичастиц и в принципе могут обеспечить исследова-
ния детальной информацией о структуре внутренних состояний
того же характера, что и рассмотренная выше (см. например,
[208]).
4. Взаимодействие одночастичных состояний с вращением
На вращательное движение в ядрах с нечетным А существенно
влияет последняя нечетная частица. Изучение взаимодействия
этой частицы с вращением дает дальнейшие подтверждения одно-
частичного характера движения в деформированных ядрах и, кроме
224
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядра*
того, позволяет установить взаимосвязь между одночастичным
движением и вращением ядра как целого.
Во вращающейся системе координат на частицы действуют
силы Кориолиса, связывающие одночастичные состояния с враще-
нием. Соответствующий этому взаимодействию гамильтониан
имеет вид [см. формулу (4.107), а также приложение к гл. 4]
(5.45)
где /0 — момент инерции четно-четного остова. Величина
должна быть близкой к моментам инерции полос основных состоя-
ний соседних четно-четных ядер, но наличие нечетной частицы
может до некоторой степени изменять характер вращения четно-
четного остова.
Если одночастичный потенциал меняется при вращении, то воз-
никают дополнительные механизмы взаимодействия между одно-
частичными и вращательными состояниями. При наличии в потен-
циале членов, зависящих от скорости, появляются члены, линей-
ные по вращательной частоте (члены с эффективной массой и поле
спаривания, стр 83 и 246). Роль соответствующих вкладов пред-
стоит еще выяснить, но главным источником сведений о таких
эффектах остается анализ различных явлений, обусловленных
взаимодействием между одночастичными состояниями и вращением.
Эффекты первого порядка, параметры развязывания и пере-
ходы с Д/С = 1. Взаимодействие Кориолиса в первом порядке
приводит к появлению члена, зависящего от сигнатуры, в энер-
гиях полос с К = V2 1см. формулу (4.61)]. Пренебрегая разли-
чием между/0 и моментом инерции р ядра с нечетным А и усред-
няя (5.45) по одночастичному состоянию с й = 1/2t для параметра
развязывания получаем
а = — <v = l. v|/+| v = l, v> = — <v|/+|v> =
= 2 (-1 У-1/2 (/ +1)	11 v>2 =
JV//
=(-1)л’Жм, л=0’ s=|Iv>2+2(/(/+i)),/2 x
/V/ '
Л = 0, S=l| v^^Nl, Л=1, S = -y|v>), (5.46)
где v — индекс одночастичного состояния с Q ~ */2 Так же как
и в случае магнитных моментов, спаривание не влияет на диаго-
нальный матричный элемент оператора /+ [формула (5.43)].
3. Моменты и переходы
225
Теоретические оценки параметра развязывания по формуле
(5.46) сравниваются с опытом при анализе спектров ядер 1б9Тт
(фиг. 4.15) и 159 ТЬ (фиг. 5.7). Сводка данных о параметрах развя-
зывания приведена в табл. 5.16 (150 < А < 180) и табл. 5.8 (19
< А < 25). Параметр развязывания можно использовать как
характеристику орбиты, поскольку его значения для разных орбит
с /< V2 сильно различаются. При этом теоретические оценки
довольно хорошо согласуются с экспериментальными значениями.
Недиагональные элементы взаимодействия Кориолиса между
полосами с A^ = 1 дают поправки к матричным элементам пере-
ходов между этими полосами, вычисляемым в статическом пределе.
Особенно четко этот эффект проявляется в ^-переходах между
полосами с ЛК = 1, главный вклад в которые дает смешивание
между ними за счет взаимодействия одночастичных состояний
с вращением. Соответствующие примеры рассмотрены при анализе
спектров ядер 175Lu (стр. 143) и 235U (стр. 243). Особый интерес
в этой связи представляет последний пример, где смешиваемые
орбиты связаны большим незаторможенным матричным элементом
взаимодействия Кориолиса. В этом случае оказывается, что выра-
жение (5.45) приводит к примерно двукратному завышению матрич-
ного элемента взаимодействия. (Указания на такое же завышение
матричных элементов взаимодействия с вращением в модели вза-
имодействия Кориолиса (5.45) дает также анализ переходов между
другими состояниями, связанными большими матричными элемен-
тами этого взаимодействия; см., например, работы [1225, 242 ].)
Вклад второго порядка во вращательную энергию. Во вто-
ром порядке взаимодействие Кориолиса дает вклад в энергию,
пропорциональный / (/ + 1), который можно рассматривать как
перенормировку вращательного параметра А:
м (V)=- w 2<<! /± I v>!• <5-47»
V'
Первый член в формуле (5.47) описывает эффект взаимодей-
ствия Кориолиса между одноквазичастичными состояниями v = 1,
v и v = 1, v'; множитель, учитывающий парные корреляции,
имеет в этом случае вид (5.43). Второй член в формуле (5.47) учи-
тывает то обстоятельство, что благодаря наличию нечетной ча-
стицы в состоянии v двуквазичастичные конфигурации у' не дают
вклада в момент инерции соответствующего четно-четного остова;
фактор парных корреляций для таких переходов с Av = 2 может
быть получен из соотношения (6.6106) [перенормировку момента
инерции можно рассматривать как вклад взаимодействия с вра-
щением в собственную энергию (массовый оператор) квазичастицы;
при этом первый и второй члены в формуле (5.47) соответствуют
8 О. Бор, Б.
226 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
первой и второй диаграммам фиг. 6.11, б для массового оператора
квазичастицы, обусловленным взаимодействием квазичастицы с ко-
лебаниями].
Выражение (5.47) принимает простой вид для орбиты, энергия
которой близка к уровню Ферми [и (v) » v (v) « 2'1/г, Е (v) & А;
см. формулы (6.601) и (6.602)]. В этом случае
V (v' I / . I v\2
6 Л (V) = — Ло2Д 7 -г\ ~-z	(5.48)
4 7	[8 (v) — е (v')]2	v '
Vх
В пределе при А ->- 0 оба члена в формуле (5.47) взаимно уничто-
жаются, так что перенормировка (5.48) дает нуль. Это соответ-
ствует тому обстоятельству, что в отсутствие спаривания момент
инерции ядра с нечетным А равен среднему значению по соседним
четно-четным ядрам.
Экспериментально определенные моменты инерции в ядрах
с нечетным А систематически превышают моменты инерции полос
основных состояний соседних четно-четных ядер (фиг. 4.12 и табл.
5.17). При интерпретации этого расхождения необходимо учиты-
вать, что свойства остова изменяются благодаря наличию нечетной
частицы, в частности за счет эффекта блокировки. Анализ этого
эффекта (стр. 274) показывает, что при его учете моменты инерции
нижних одноквазичастичньГх состояний могут увеличиваться при-
мерно на 15% Хотя для всех низколежащих орбит этот эффект
должен быть примерно одинаковым, вклад (5.48) существенно зави-
сит от рассматриваемой орбиты и становится особенно большим для
орбит с большими / и малыми Q (таких, как орбиты протонов с N = 5
и нейтронные орбиты с N 6 в области 150 < Л < 180). В самом
деле, экспериментальные значения момента инерции этих орбит
систематически больше, чем в соседних состояниях (табл. 5.17).
Но количественный расчет наталкивается здесь на ту же трудность,
что и в рассмотренном выше случае эффектов первого порядка:
а именно в данном случае имеет место почти двукратное завышение
возрастания моментов инерции при переходе к ядру с нечетным
Л (см. пример ядра 235U на стр 247). Для возбужденных конфигу-
раций частичного или дырочного типа, связанных большими матрич-
ными элементами взаимодействия Кориолиса, обнаруживаются еще
более значительные расхождения (стр. 275).
Члены более высокого порядка. Дальнейшие сведения о взаи-
модействии Кориолиса дают многочисленные эффекты высших
порядков, наблюдающиеся в энергиях вращательных полос. Но
в настоящее время интерпретация этих эффектов носит лишь каче-
ственный характер (см. например, о члене Л7 в полосе основного
состояния и о сильном возрастании члена В в полосе возбужден-
ного состояния [6335/21 в ядре 235U, стр. 248).
§ 3. Моменты и переходы
227
Резюме по данным о взаимодействии одночастичных состоя-
ний с вращением. Выше уже говорилось, что экспериментальные
значения матричных элементов взаимодействия Кориолиса сильно
расходятся с теоретическими оценками, полученными на основе
представления о квазичастицах в постоянном статическом поле
спаривания (это впервые отметил Стивенс [1075]). Причина таких
расхождений в настоящее время не известна, но нужно учитывать
следующее:
1.	Этот эффект надежно установлен во многих случаях, когда
в задачу входят большие матричные элементы взаимодействия
Кориолиса, не очень чувствительные к величине параметров дефор-
мации и к другим деталям одночастичного потенциала.
2.	Вклад спина в матричные элементы взаимодействия Корио-
лиса, должен, по-видимому, уменьшаться за счет эффектов поля-
ризации того же типа, что и в случаях М 1-переходов и |3-распада
Гамова — Теллера (предварительные данные о наличии такого
эффекта вытекают из анализа параметров развязывания, стр. 269).
Но главный вклад в матричные элементы взаимодействия Корио-
лиса дает орбитальный момент.
3.	Существование в одночастичном потенциале членов, завися-
щих от скорости (эффективная масса), могло бы приводить к соот-
ветствующему изменению орбитальной части взаимодействия Корио-
лиса. Но этот эффект должен, по-видимому, почти полностью ком-
пенсироваться эффектами, которые обусловлены взаимодействиями,
требуемыми условием галилеевой инвариантности (стр. 84). Кроме
того, экспериментальные значения матричных элементов взаимодей-
ствия Кориолиса не согласуются с предположением об общем
уменьшении всех матричных элементов, отвечающих переходам
с малой энергией (ср. довольно малую перенормировку параметров
развязывания с большими поправками, необходимыми для неко-
торых недиагональных матричных элементов).
4.	Источником данных о матричных элементах взаимодействия
Кориолиса с Ду = 2 являются моменты инерции полос основных
состояний четно-четных ядер. Теоретические оценки в рамках
квазичастичной модели качественно согласуются с имеющимися
данными (стр. 85). Было бы очень интересно сравнить эти данные
с результатами теоретического исследования свойств уровней
Кп — 1+в четно-четных ядрах (стр. 249).
5.	Наибольшее завышение матричных элементов взаимодей-
ствия Кориолиса в ядрах с нечетным А имеет место в случае взаи-
модействия между квазичастичными состояниями частичного и ды-
рочного типа, которое обращается в нуль в отсутствие спарива-
ния (стр. 275). Для диагональных же матричных элементов (пара-
метры развязывания) и для матричных элементов переходов между
состояниями, лежащими по одну сторону от уровня Ферми (см.
член А7 в случае ядра 235U, стр. 247), расхождение либо мало, либо
8*
228
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
вообще отсутствует. Все это, может быть, указывает на другие
эффекты взаимодействия, обусловленные зависимостью поля спари-
вания от вращательного движения (стр 246).
ПРИМЕРЫ К § 3
Спектр ядра 15еТЬ (фиг. 5.7 и 5.8)
Внутренние конфигурации. Ядро 159ТЬ имеет вытянутую форму с 6^0,3
(фиг. 4.25); поэтому исходя из спектра протонных уровней (фиг. 5.2) можно
сказать, что основное состояние этого ядра (Z = 65) должно иметь конфигура-
цию [4113/2], а конфигурации [4133/2], [5325/2] и [5237/3] должны проявляться
как нижние возбужденные состояния. Наинизшие полосы экспериментального
спектра ядра 159ТЬ имеют как раз такие значения /<л; единственное исключе-
ние-конфигурация [5237/2], которая еще не обнаружена в реакциях, изучен-
ных до настоящего времени (в спектре ядра 161ТЬ, весьма сходном с рассматри-
ваемым, конфигурация [5237/2] идентифицирована при энергии возбуждения
417 кэВ, см. табл. 5.12, стр. 261).
Анализ реакции кулоновского возбуждения показывает, что выше 500 кэВ
в ядре 159ТЬ существуют три полосы положительной четности, возбуждаемые
из основного состояния с В (Е2) порядка В W(E2).
Полоса с энергией 972 кэВ предварительно идентифицирована как состоя-
ние [41 Р/г], которое теоретически должно быть в этой области спектра
(табл. 5.12). Правильность такой идентификации подтверждается тем, что пара-
метр развязывания в этой полосе очень близок к наблюдающемуся для орбиты
[41 Р/г] в соседних ядрах и довольно хорошо согласуется с теоретической
оценкой (5.46) (табл. 5.16).
Две другие полосы, интенсивно заселяемые в кулоновском возбуждении
(Кл = 1/2+ при 580 кэВ и /Сп = 7/2+ при 1280 кэВ), предварительно интерпре-
тируются как суперпозиции коллективного колебания ул = 2 + (у-колебание)
и конфигурации [4113/2] основного состояния. Такая интерпретация объясняет
довольно большие величины В (Е2) для этих состояний [сравнимые с величи-
нами В (Е2) для у-колебаний в соседних четно-четных ядрах] и малый параметр
развязывания в полосе Кл = 1/г + (гл« 6, § 3). Из теоретической величины
взаимодействия одночастичных состояний с колебаниями (гл. 6, § 5) следует, что
существенную роль в рассматриваемом ядре может играть смешивание двух
полос сКл = 1/2 + . Но имеющихся данных недостаточно, чтобы решить этот
вопрос окончательно [113, 1053].
Магнитные моменты в полосе основного состояния. Измеренные значения
матричных элементов Ml-переходов внутри полосы основного состояния [149]
вместе с его магнитным моментом (табл. 5.14) дают
= 1,83 ± 0,04,
gR = 0,42 + 0,06.	(5‘49)
Взяв волновую функцию орбиты [4113/2], получим [формула (5.86) и табл. 5.2]
gK = 0,73 + 0,27 (^)эфф.	(5.50)
Как уже говорилось в связи с табл. 5.14, систематика в рассматриваемой
области ядер дает (£5)9фф	0,7 (^воб^4*0* откуда для получаем значение,
хорошо согласующееся с (5.49)»
§ 3. Моменты и переходы
229
Величина g# в этом ядре заметно больше вращательных g-факторов, най-
денных экспериментально для полос основных состояний соседних четно-четных
ядер (фиг. 4.6, стр. 61). Перенормировка g# в этом ядре обусловлена взаимо-
действием Кориолиса в первом порядке с полосами Кл = 1/2-(- и /Ог = 5/2-|_
[формула (4.354)]. В данном случае вклад взаимодействия с низколежащими
одночастичными состояниями (с энергиями 348 и 972 кэВ) не должен быть
большим, поскольку соответствующие матричные элементы взаимодействия
Кориолиса довольно малы. Вклад более удаленных орбит можно оценить исходя
из связи между g# и моментом инерции jz. Если предположить, что момент
инерции связан главным образом с орбитальным движением, то g# равен отно-
шению момента инерции протонов ур к полному моменту инерции
Sr
(5.51)
Экспериментальные значения момента инерции в ядрах с нечетным А
систематически больше, чем в соседних четно-четных ядрах. Если такое увели-
чение момента инерции в ядрах с нечетным Z связывать только с орбитальным
движением протонов (либо за счет взаимодействия Кориолиса, либо за счет
ослабления спаривания благодаря наличию нечетной частицы, стр. 269) и то же
самое принять для ядер с нечетным N, то из формулы (5.51) получим
bsR
-j- (1 —gR) при Z нечетном,
-—при N нечетном.
(5.52)
Для основной полосы в ядре 159ТЬ имеем б^/^я-0,2 (табл. 5.17), и так как
gR 0,3, мы получаем 0,15, т. е. величину порядка экспериментальной.
Вращательные энергии в полосе основного состояния. В процессе много-
кратного кулоновского возбуждения тяжелыми ионами заселяются члены полосы
основного состояния с большими спинами. В энергиях этих состояний наблю-
дается небольшая зависящая от сигнатуры компонента, которую можно описать
кубическим членом разложения (4.62). На фиг. 5.8 эти энергии представлены
графически, так что формула (4.62) с учетом трех главных членов с коэффи-
циентами Л, В и Л3 дает две прямые с наклонами 2В ± 43, отвечающими
разным значениям сигнатуры а(/) = (— 1)/+3/2 = ± 1 (точка пересечения этих
прямых имеет ординату
Член А3 возникает в третьем порядке по взаимодействию Кориолиса
[формула 4.335)]. Он вычисляется аналогично возрастанию момента инерции
в ядрах с нечетным А (стр. 225). Но при этом возможно взаимное уничтожение
вкладов разных промежуточных состояний с /< = 1/2- Количественно экспери-
ментально наблюдающиеся члены 43 еще не интерпретированы.
Затрудненные El-переходы. Период полураспада состояния с энергией 364 кэВ
в ядре 15УТЬ равен =1,6- 10-10 с, что отвечает торможению порядка 10&
по отношению к одночастичной оценке для El-переходов. Торможение в данном
случае и должно быть сильным, так как, согласно одночастичной классификации
рассматриваемых состояний, величина Дп3 = 2. Это означает, что рассматривае-
мый переход идет с нарушением асимптотических правил отбора, приведенных
в табл. 5.3. Расчет вероятности данного Е1-перехода с использованием волновых
230	Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
функций табл. 5.2. дает значение, близкое к экспериментальному. Но коли-
чественное согласие здесь следует рассматривать как случайное, поскольку
торможение может быть на порядок величины больше из-за наличия парных
корреляций [формула (5.43)] и еще на порядок — из-за эффектов поляризации
в £1-переходах [формула (6.329 ]. Кроме того, при количественном анализе
нужно учитывать взаимодействие Кориолиса. В данном случае оно может играть
очень существенную роль, поскольку не зависящий от / член в матричном
элементе сильно заторможен, а кориолисово взаимодействие в первом порядке
Фиг. 5.8. Вращательные энергии в полосе основного состояния ядра 139ТЬ.
Приведенные на фиг. 5.7 энергии анализируются с учетом трех главных членов (Д, В, Д3)
разложения вращательной энергии для полосы Х = 3/8.
примешивает орбиты с большими матричными элементами £1-переходов
(орбиту [5213/2] к начальному состоянию и орбиту [4225/2] к конечному состоя-
нию). Действительно, относительные интенсивности £1 -переходов на члены
полосы основного состояния с угловыми моментами 3/2, 5/2 и 7/2 аномально
сильно отклоняются от правила интенсивностей нулевого порядка, демонстрируя
тем самым существенную роль взаимодействия Кориолиса в рассматриваемом
случае (см анализ аналогичной ситуации в схеме распада ядра
фиг. 4.14).
Правила отбора для Р-распада. Основное состояние ядра l39Gd имеет кон-
фигурацию [5213/2] (табл. 5.11). Поэтому для Р-распада на уровни ядра 133 ТЬ
орбита [4113/2] (lg/ f = 6,7) значительно выгоднее орбиты [4133/2] (lg ft = 8,2).
Это различие согласуется с асимптотическими правилами отбора для р-пере-
ходов первого порядка запрета, оператор которых линейно зависит от координат
или импульсов [формула (3.222)] Согласно этим правилам, переход в состоя-
ние [4135/2], для которого Ад = 2, запрещен, а переход в состояние [4113/2]
разрешен (АД/ = Аи3 = 1, Ад = AS = 0).
$ 3. Моменты и переходы
231
Распад ядра 159Gd с переходом в состояние [5325/2] представляет собой
разрешенный переход Гамова — Теллера (Д7 = 1, четность не меняется); для
него экспериментальное значение 1g// = 6,6 отвечает торможению порядка 102
по сравнению с незаторможенными разрешенными переходами (табл. 5.15,
стр. 268). Такое торможение можно объяснить на основе рассматриваемой
классификации внутренних состояний, согласно которой в этом случае Дп3=1,
ДА = 1, что отвечает нарушению асимптотических правил отбора для переходов
Гамова —Теллера (табл. 5.3).
Спектр ядра 175 Yb и данные по реакциям однонуклонной
передачи (фиг. 5.9 — 5.11)
«Реперы», даваемые процессами (d, р) и (J, t). На фиг. 5.9 представлена
данные о спектре нижних состояний ядра 175Yb. Важнейшим источником инфор-
мации об этом спектре явились реакции 174Yb (d, р) и 176Yb (d, /). Как покы-
зано в § 3, относительные интенсивности реакций передачи, заселяющих
1765----- 7/2
1677-----5/2
1616-----3/2
[5213/2]	f460-----/1/2
/ = П.8 кэВ	..
1336-----,3/2
(1202)—
1088
(995)------7г
[6337г!
^^^977— "П
LOUJ/2J	913	 9/ъ
А-!0,3 кэВ [5217г] 337
/*!3,7кэВ 723----72
а=0,7! ЯЗ--------72
[5125/г1
/=/2,9 кэВ
517—13^52—
378--п/г
____10 260-3/2
'2 Г .Qi 0-0,17
tot____»/г
О____АЧ0’7кзВ
[5147/21
А» 11,2 кэВ
1632_____П/г
1619-----*2
1464 _	%
1456-----5/2 /420-----7/г
1365-----С/23/г)
[651 (/21	[5037/21
/--9,5 кэВ
I0SI------3/г a~'°-aa
954------7/г
868------
773 ----- 9/г809
694------7/г [512 3/г1
/=11,9838
Фиг. 5.9. Спектр ядра 175Yb.
На схеме представлены известные нижние уровни ядра 176Yb. Уровни частичного типа
изображены справа от полосы основного состояния, а уровни дырочного типа — слева.
Соответствующие экспериментальные данные взяты из работы [224] по изучению реакций
(d, р) и (d, t). Данные об уровнях [G51 */г] и [5037/2] взяты из работы [1181], Нижние
компоненты некоторых вращательных полос не наблюдались, по-видимому, из-за малой
интенсивности соответствующих групп частиц (фиг. 5.10). В этих случаях пунктиром ука-
зано предполагаемое положение соответствующих уровней.
различные уровни вращательной полосы, простым образом связаны со струк-
турой волновой функции соответствующего одночастичного состояния [фор-
мула (5.42)]. На фиг 5.10 слева представлены интенсивности заселения нижних
состояний ядра l^Yb105, рассчитанные по данным фиг 5?3. Соответствующие
сечения рассчитаны по формуле (3.256) в предположении, что одночастичные
генеалогические коэффициенты имеют вид (5.42) с и (у) = 1, причем должны
быть взяты волновые функции табл. 5.2. Расчеты проведены в приближении
искаженных волн (не учитывающем многоступенчатые процессы). Рассчитанные
таким путем относительные интенсивности применимы для описания реакций (d, р)
и (d, /) (при этом требуются лишь небольшие поправки на различие в вели-
чинах Q).
232
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Справа на фиг. 5.10 представлены экспериментальные интенсивности
процессов (d> р) и (d, t). Нетрудно видеть, что результаты теоретических
расчетов удивительно хорошо согласуются с экспериментальными интенсивно-
стями переходов на различные уровни каждой из полос (отметим, что они
представлены в логарифмическом масштабе). Такое согласие подтверждает
~ $) ьпнрдэзъН дпнаьдэ aoHWvn'nHadacbdmff
Теория	d,t	d,p
Фиг. 5.10. Интенсивности реакций (d, р) и (d, t), заселяющих уровни ядра 175Yb.
Экспериментальные сечения реакций 174Yb(d, р) и 176Yb(d, t) (Е^=12МэВ) взяты из
работы [224]. На графике представлены относительные сечения, нормированные на интен-
сивность группы основного состояния [5147/2, / = 7/г]. Теоретические интенсивности, взя-
тые из той же работы, вычислены по методу искаженных волн для реакции 1?eYb(</, t)
,75Yb под углом 90° и при Q = 0 [для перехода на основное состояние в реакции 176Yb(d, t)
175Yb величина Q=—0,62 МэВ]. Распределение относительных интенсивностей, вычислен-
ное методом искаженных волн для реакций (d, р) и (d, t), практически одинаково. График
подготовлен д-ром К- Нибо.
правильность классификации рассматриваемых состояний и обеспечивает каче-
ственную проверку волновых функций, представленных в табл. 5.2. При
количественном анализе интенсивностей одночастичной передачи следует учиты-
вать многоступенчатые процессы, в том числе неупругое рассеяние с возбуж-
дением вращательных состояний во входном и выходном каналах [395, 242],
а также влияние взаимодействия Кориолиса на структуру внутренних состояний
(см., например, [47]).
Одпочастичные амплитуды, изученные в реакции (d, р), измерены также
в резонансном рассеянии протонов на ^JYb, идущем через состояния ядра
4$Lu с =	Г^з.5/2> которые являются изобарическими аналогами ниж-
$ 3. Моменты и переходы
233
них состояний ядра 175Yb [1181, 425] (аналогичный анализ в сферическом ядре
см. на фиг. 1.9 и в табл. 1.2, т. 1, стр. 54 и 55). Данные по протонным резо-
нансам подтверждают заключения, сделанные на основе данных по одночастич-
ной передаче. Аналоговые резонансы в данном случае имеют довольно большие
ширины (Г 100 кэВ), вследствие чего оказывается довольно затруднительным
выделять вклады' разных уровней в столь сложном спектре, как спектр
ядра 175Yb. Но в силу своей простоты процесс резонансного рассеяния дает
ряд преимуществ. В частности, первая идентификация полосы положительной
четности [65IV2] в яДре 176Yb была основана на обнаружении сильной интер-
ференции с кулоновским рассеянием под углом 90°. Точное измерение энергий
изобар-аналоговых состояний открывает возможность измерения малых сдвигов
кулоновских энергий, величины которых могут быть характеристиками раз-
ных состояний нечетной частицы (см. о кулоновских энергиях в изобариче-
ском дублете с 4=25, стр. 259).
Другие данные по классификации внутренних состояний. Дополнительные
подтверждения правильности рассматриваемой классификации внутренних состо-
яний ядра 175Yb могут быть получены из экспериментальных вращательных
энергий и вероятностей перехода. Экспериментальные значения параметров а
для трех полос с К = 1/2 приблизительно согласуются с величинами, рассчи-
танными на основе волновых функций табл. 5.2:
( 0,9 для [521VJ,
атеор = | _0 2 для (5101/2]_
(5.53)
Возможно, что положительное экспериментальное значение параметра развя-
зывания в полосе [ЗЮ1/^] (а = ^0,17) обусловлено уменьшением спинового
вклада за счет эффектов поляризации (стр. 269). Величина а для орбиты
[ббР/г] весьма чувствительна к деталям структуры ядерного потенциала.
В частности, взяв значения параметров из табл. 5.1, получим а = -|-0,9 при
6 = 0,3 и а = —0,5 при 6 = 0,4. Такая сильная зависимость от 6 объясняется силь-
ным взаимодействием между двумя орбитами с й = 1/г> которые в сферическом
случае переходят в состояния g9^ и (отрицательное значение величины а
при 6	0,3 можно также получить путем незначительного изменения пара-
метров оц и vis). Преобладание вклада компоненты над вкладом компо-
ненты в наблюдаемой орбите [ббР/г] (главная причина отрицательного
значения величины а) прямо подтверждается экспериментально определенными
интенсивностями одночаа и чной передачи, из которых следует, что
х/2! [651Vd>2^0,3 и <^/2,Q = V21 (65P/2]2^0,I [1181].
Другая характерная особенность рассматриваемых состояний— это то, что
вращательный параметр Д для трех полос с Х = 6 несколько меньше, чем
для остальных полос. Увеличение момента инерции в этих состояниях, кото-
рое можно отнести за счет большого орбитального момента последнего нечет-
ного нейтрона, систематически наблюдается для всех таких орбит (табл. 5.17).
Основное состояние ядра lJ5Yb распадается на состояние /л = е/2 —(Е =
== 396 кэВ) ядра |75Lu в результате разрешенного облегченного р-перехода
[lg/7 = 4,7 (табл. 5.15)]. Состояние °/2— ядра l75Lu классифицируется как
[514®/2] (табл. 5.12), и поэтому наблюдающийся переход подтверждает клас-
сификацию [5147/2] для основного состояния ядра 175Yb. Такая классификация
практически однозначна, поскольку разрешенные облегченные р-переходы
наблюдаются крайне редко из-за жестких ограничений, накладываемых асимп-
тотическими правилами отбора (ДА = Дп3 = ДА = 0, Д2 = 0; 1). (Об абсолют-
ных величинах наблюдающихся матричных элементов разрешенных облегченных
P-переходов говорится в связи с табл. 5.15.)
Экспериментально установленному времени жизни уровня с энергией
511 кэВ (7\, ==б7мс [736]) соответствует величина В (М3;	> т/2—) =
234
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
~ 1,8 • 102 (eft/2Mc)2 ферми4 = 0,11Ви„(МЗ) в единицах Вайскопфа, определяе-
мых формулой (3.168). Такое торможение можно отнести за счет асимптоти-
ческих правил отбора, посколько данному переходу [бЮЪД[5147/2] отвечает
ДД = 4. Волновые функции табл. 5.2 дают для В (/ИЗ) значение, приблизи-
тельно равное экспериментальному. Но рассматриваемый матричный элемент
могут заметно уменьшить эффекты поляризации, аналогичные тем, которые
наблюдаются для ЛП-переходов и переходов Гамова — Теллера х), хотя в на-
стоящее время нет почти никаких данных относительно этого эффекта в случае
/ИЗ-переходов.
Порядок следования внутренних состояний. Порядок следования орбит,
изображенных на фиг. 5.10, соответствует фиг. 5.3 при 6^0,3. Поэтому кон-
фигурации, которые мы должны рассматривать как состояния частичного типа
на фиг. 5.10, помещены над конфигурацией [5147/2] основного состояния,
а уровни дырочного типа — под ней.
Как видно из этой схемы, экспериментально установленный порядок сле-
дования внутренних состояний во всем согласуется с одночастичным спектром
фиг. 5.3 при деформации 6^0,3, кроме положения уровня [ббР/г!- Этот
уровень наблюдается при несколько большей энергии, чем следовало бы ожи-
дать на основе фиг. 5.3. Но расчетное положение этого уровня зависит от
интервала между главными оболочками, который, по-видимому, занижается
при расчете фиг. 5.3 (ср. со спектрами на фиг. 3.3, т. 1, стр. 316, изображаю-
щими одночастичные уровни нейтронов в области N = 126). Единственное
недостающее состояние в области энергий, исследованной в изложенных экспе-
риментах, — дырочная конфигурация [5235/2], наблюдающаяся во всех ядрах
с числом нейтронов от 93 до 99 (табл. 5.13, стр. 262). В ядре 175Yb это состо-
яние должно лежать при энергиях, несколько больших 1 МэВ, но пока что
оно еще не обнаружено экспериментально.
Влияние парных корреляций. Тот факт, что в реакциях срыва и подхвата
заселяются одни и те же одноквазичастичные состояния, является следствием
парных корреляций. Последние приводят к тому, что в основных состояниях
четно-четных ядер орбиты вблизи уровня Ферми частично заполнены. Норми-
ровка данных на фиг. 5.10 соответствует одинаковой скорости заселения
основного состояния в реакциях (d, р) и (d, t). Но, как видно из фиг. 5.10,
при удалении от уровня Ферми в реакциях (d, р) преимущественно заселяются
состояния частичного типа, а в реакциях (d, t) — дырочного типа.
Это легко объяснить влиянием парных корреляций. Влияние парных
корреляций на сечения реакций однонуклонной передачи можно исследовать
количественно, сравнивая сечения заселения одного и того же состояния
в последовательности изотопов. Отношения сечений дают относительные значе-
ния коэффициентов и2 или v2 [формула (5.42)]. Данные, полученные в резуль-
тате измерения сечений для двух наиболее интенсивно заселяемых состояний
в нечетных изотопах Yb, представлены на фиг. 5.11 При этом вариацию
величин и2 и v2 можно объяснить изменением положения уровня Ферми К
относительно фиксированного положения одночастичных уровней. Предполагая,
что Л линейно меняется с изменением числа частиц /V, из соотношения (6.601)
получаем
v2 (N) = 1 - (JV) = 1 (1 -|-----— у	(5,54)
2l	[(/V-AM2 + Y2i/2J
где
./Л'Г1 2Д	,_„ч
____________ <5’55)
1) См., однако, примечание на стр. 230 о влиянии эффектов поляризации
на затрудненные переходы. — Прим, перев.
§ 3. Моменты и переходы
235
Здесь Д —параметр щели, d —среднее расстояние между одночастичными
уровнями, a /Vo —число нейтронов, при котором X совпадает с энергией рас.
сматриваемого уровня. Сплошные линии на фиг. 5.11, на которые довог!ЬНО
хорошо ложатся экспериментальные точки, соответствуют формуле (5.54) при
у = 3,8. Среднее расстояние d в окрестности уровня Ферми можно найти из
фиг. 5.3, откуда получим d ^==0,4 МэВ (приняв йсо0 41 Л'1,/з МэВ). Т^ким
образом, экспериментальному значению у отвечает Д^0,8 МэВ, что сравнимо
с величиной Д = 0,7 МэВ, найденной по четно-нечетным разностям \1а^с
в изотопах Yb (см. формулу (2.92) и энергии отделения нейтронов, приведен.
ные в работе [224]).
Фиг. 5.11. Влияние парных корреляций на интенсивности однонуклоцной
передачи.
График построен по экспериментальным данным работы [224]. Экспериментальные значения
сечений приведены к одному и тому же значению Q на основе теоретической зависцМости
от Q, рассчитанной в борновском приближении с искаженными волнами. Темные кружки —
величина и2 для реакции (d, р); светлые кружки — величина v2 для реакции (d, t). вели.
чины и2 и v2 — это отношения экспериментальных сечений к предполагаемым одночастцчным
значениям:
da (dp; 52 PA, / = 1/г)/^Я = 144 мкб/ср,
da (dp; 5125/2, 7 = 7/2)/JQ = 247 мкб/ср,
da (dt; 5211/2. 7 = V2)/dQ=575 мкб/ср,
da(dt; 5126/2, 7 = 7/2)/dQ = 495 мкб/ср.
Эти значения соответствуют ф = 4МэВ для реакций (d, р) и Q = -l,5MaB ппа
реакций (d, /).	Д
Энергии квазичастичных состояний. Благодаря тому что одночастцчные
уровни в ядре 175Yb наблюдаются в широкой области энергий, а теоретический
порядок следования уровней согласуется с экспериментальным, можно Ввести
абсолютную энергетическую шкалу для спектра одночастичных состоянид
Сравнение с фиг. 5.3 (при деформации 6^0,3, определяемой по квадруП0Ль1
ному моменту, фиг. 4.25) показывает, что экспериментальные уровни в Ядре
175Yb лежат в энергетическом интервале, который теоретически составляет
около О,6/?со0 (т. е. примерно 4,4 МэВ). Фактически же интервал, полученный
как сумма энергий частичных и дырочных уровней, составляет около 3 /цэВ.
Такое уплотнение абсолютной энергетической шкалы систематически Наблю-
дается во всех спектрах деформированных нечетных ядер ([59]; см. также
236
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Уплотнение энергетической шкалы для одночастичных состояний является
простым следствием эффекта парных корреляций. В самом деле, благодаря
наличию нечетного нуклона на орбите Vi конфигурации (vp vt) выпадают из
процесса спаривания, что приводит к потере в корреляционной энергии. Соот-
ветствующий энергетический сдвиг совпадает с четно-нечетной разностью масс А
для орбит вблизи уровня Ферми и убывает по мере удаления от него.
В постоянном поле спаривания энергия квазичастицы дается выражением
(формула (6.602)]
Е (v) = {[е (v) — Л]2 + А2}1'	(5.56)
где е (v) —одночастичная энергия в отсутствие парных корреляций, а Л —энер-
гия Ферми. Из формулы (5.56) следует, что в достаточно широкой области
энергий, содержащей как частичные, так и дырочные состояния, эксперимен-
тальный интервал энергий возбуждения должен быть примерно на 2А меньше
интервала, в котором лежат соответствующие одночастичные уровни е (v)
(см. также фиг. 6.63, б). Найденная по четно-нечетным разностям масс вели-
чина А составляет ~ 0,7 МэВ. Если ввести эту поправку, то эксперименталь-
ная энергетическая шкала оказывается в согласии со шкалой на фиг. 5.3.
Отметим, что при вычислении одночастичных спектров использовался потен-
циал, не зависящий от скорости; поэтому в представленных данных не обна-
руживается растяжение энергетической шкалы одночастичных состояний, кото-
рое должно бы быть, если судить по экспериментально наблюдающейся
энергетической зависимости оптического потенциала (см., например, т. 1,
стр. 233, фиг. 2.29).
Из формулы (5.56) для энергии квазичастичных состояний следует, что
вблизи основного состояния ядра с нечетным А должно наблюдаться сильное
возрастание плотности уровней. Данные же, представленные на фиг. 5.9, не
указывают на наличие такого эффекта. Его отсутствие в каком-либо одном
спектре могло бы быть связано с особенностями спектра одночастичных энер-
гий в этом ядре, но отсутствие эффекта подтверждается систематикой внутренних
состояний во всех ядрах. Согласно данным табл. 5.13, средняя энергия воз- j
буждения первого уровня в ядрах с нечетным N составляет около 140 кэВ.
Эта величина сравнима со средним интервалом между внутренними состояниями »•
ядра 175Yb при энергиях возбуждения до 1 МэВ и в несколько раз больше, ;
чем можно было бы ожидать исходя из (5.56). Рассматриваемая сингулярность ' 1
в плотности квазичастичных уровней при е (v) связана с предположением
о постоянстве потенциала спаривания А для всех орбит [формула (6.601)]. j *
Такое предположение может быть справедливо в ситуации, когда вклад г
в потенциал спаривания дает большое число одночастичных состояний, равно-  ,
мерно распределенных по объему ядра. Но величина А в деформированных Г.
ядрах всего в несколько раз превышает среднее расстояние между одночастич-
ными уровнями и поэтому может быть разной для разных орбит. Эксперимен-
тально установленные расстояния между нижними уровнями указывают,
по-видимому, на вариации А от орбиты к орбите порядка 200 кэВ.
Спектр ядра 237Np и интерпретация тонкой структуры
а-распад а (фиг. 5.12 и 5.13)
Развитие а-спектроскопии привело к тому, что стало возможным наблю-
дать очень слабые компоненты в тонкой структуре а-спектров (с относительной
интенсивностью менее 10е, благодаря чему появилось большое количество
данных об энергетических спектрах и структуре ядерных уровней в тяжелых
элементах. Для примера на фиг. 5.12 показан спектр уровней ядра 237Np,
заселяемых при а-распаде ядра 241 Ат. Классификация этих состояний была
проведена на основе анализа интенсивностей компонент тонкой структуры
а-распада [735]. О правильности такой классификации свидетельствуют также
§ 3. Моменты и переходы
237
результаты изучения у- и p-переходов, параметров вращательной энергии
и особенно реакций 236U (3Не, d) и 236U (а, /), которые можно интерпретиро-
вать таким же образом, как и аналогичные данные по 175Yb (фиг. 5.10). Из
фиг. 5.12 видно, что ниже 700 кэВ наблюдаются как раз те внутренние
состояния, которые и должны быть, согласно фиг. 5.4, при Z = 93 и 6	0,25
(фиг. 4.25). Уровень /Cjt = 5/2 — с энергией 722 кэВ нельзя объяснить как
одночастичное состояние на основе фиг. 5.4, но можно рассматривать как
P-колебание, наложенное на конфигурацию [5235/г] (см. ниже).
755,8--------Ч
721,9---------5/г
([523s/2l,0+)5/2-
459.8 _
452,7------*/2
370.9______3/2
368,6-------5/2
332,4-------f/z
[4ОО1/21
А * 6,19 кэВ
а = 1,08
485 ------ 9/г
438 ------"/2
713 -------!%
-------(9/2)
589 ------- 7/2
545 --------5/г
514 --------3/2
[521 3/г1
А-6,2 кэВ
357------5/2
327 -----7/г
281,4-----’/г
267,5 ----3/2
[530%]
А-6,63 кэВ
а^-1,70
130--------,f/2
75,9--------9/2
33,2--------7/г
О---------5/г
[Б425/г]
А =4,74 кэВ
395,2---------f5/2
304,8--------13/2
226,0--------f,/2
158,5-------9/г
103,0--------7/г
59,5--------5/2
[5235/г1
А =6,21 кэВ
Фиг. 5,12. Схема уровней ядра 237Np.
Схема основана частично на данных по а-распаду ядра 241 Ат [70, 735] и частично на дан-
ных по реакциям однонуклонной передачи [381].
Матричный элемент формирования «-частицы. Интенсивности наблюдаю-
щихся компонент тонкой структуры а-спектра представлены на фиг. 5.13.
График дает обратные факторы торможения Г*1, равные вероятностям перехода
в единицах Т (Еа; ZA), описывающих переходы между основными состояниями
четно-четных ядер [формула (4.146)]. Как показано на стр. 112, амплитуду
перехода в случае а-распада можно представить в виде произведения двух
множителей, один из которых описывает формирование а-частицы на поверх-
ности ядра, а другой —прохождение кулоновского барьера. Первый множитель
можно найти, обобщив оператор двунуклонной передачи [формула (3.265)] на
случай образования четырех частиц:
Ла(г) = 12	।	(5'57)
ЧЧ
VP^P2
где множитель (vn1'vn2'vp1'vp21 а» г) представляет собой коэффициент преобра-
зования, описывающий перекрытие волновой функции а-частицы в точке г
238	Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
с произведением волновых функций четырех нуклонов, антисимметризованным
по координатам двух протонов и двух нейтронов [суммирование в формуле (5.57)
может быть ограничено условиями v < vn^ и vp < при этом мН°житель 1/4
следует опустить]. Амплитуда формирования а-частицы пропорциональна мат.
Фиг. 5.13. Факторы торможения в распаде 211 Am (a) ^"Vp.
Темные кружки — теоретические данные; треугольники — экспериментальны* данные; гори.
зонтальные черточки — экспериментальный верхний предел.
Экспериментальные данные взяты из работ [70, 381, 735]. Соответств)Ю1Дие Факторы
торможения содержатся в работе [823] (см. также [736]). Теоретические ве^ятности ^Рас-
пада взяты из работы [930] (см. также [931]). Полоса [6513/2] пока еще не обнаружена, и
поэтому значимость энергий возбуждения этой полосы, указанных на графике, невелика.
ричному элементу оператора А& между начальным и конечным состояниями,
вычисляемому на поверхности ядра (метод расчета процесса формирования
частицы из конфигураций индивидуальных нуклонов был специально разработан
Мангом [789] и Мангом и Расмуссеном [790]). При этом теоретическое значение
абсолютной скорости а-распада содержит неопределенности, связанные как
с методом рассмотрения поверхностной области ядра, так и с мносочастичными
$ 3. Моменты и переходы
239
аспектами проблемы кластеризации. Поэтому мы будем рассматривать лишь
приведенные амплитуды, равные отношениям вероятностей распада к соответ-
ствующим вероятностям переходов между основными состояниями четно-четных
ядер.
Вследствие несферичности ядерной поверхности движение а-частицы
в классически запрещенной области потенциального барьера анизотропно отно-
сительно ориентации ядра. Это обстоятельство приводит к обмену угловыми
моментами между а-частицей и дочерним ядром. Кроме того, обмен угловым
моментом обусловлен и несферичностью кулоновского поля ядра. Приближенно
взаимодействие между а-частицей и ядерным вращением можно учесть, осно-
вываясь на том, что обмен угловым моментом происходит главным образом
в узкой области вблизи поверхности ядра, за время прохождения которой
вращением ядра можно пренебречь (гл. 4, стр. 113). В таком приближении
приведенная амплитуда вероятности найти а-частицу вне области несферич-
ности в состоянии с угловым моментом /. дается коэффициентами
\{KflAa(R-, 0. у)\Ki) В (6)iLYL=	(6, <p)dQ
f(L,	!----}--------. (5.58)
’	$<У=0|Ла(Я; 6, <p)|v=O>P(0)rOoda
Интегрирование в формуле (5.58) проводится по различным направлениям 0, ф
относительно оси симметрии ядра, причем множитель В (0) учитывает зависи-
мость волновой функции а-частицы от 9, обусловленную несферичностью потен-
циального барьера ядра. Коэффициенты (5.59) представляют собой приведен-
ные амплитуды, измеряемые в единицах амплитуды распада основного состоя-
ния четно-четного ядра.
Прохождение а-частицы через трехмерный потенциальный барьер можно
приближенно описать одномерным радиальным интегралом, если центробежный
потенциал мал по сравнению с (отрицательной) кинетической энергией (L <С
<х/?0, гДе х—абсолютная величина волнового числа а-частицы вне ядерной
поверхности; величина х/?0 в ядре 237Np составляет около 20). Таким образом,
в приближении WKB [446]
В (0) = ехр	£а)р | /?„6Р2 (cos 0)-
_ j	р2 (cos 0)))*z ~(2->	ч,
KoL
(5.59)
т. е.
В (0) =« exp	Я?,у/2 А 6Р2 (cos 0)},	(5.60)
где Ма —масса, a Za~заряд a-частицы. Первый член в интеграле (5.59)
описывает преобразование ядерной поверхности в поверхность сферы со сред-
ним радиусом /?0, а второй член — эффект несферичности кулоновского поля ядра;
при этом учитывается только квадрупольная компонента ядерной деформации.
В выражении (5.60) мы пренебрегаем энергией a-частицы Еа по сравнению
с высотой барьера (~ 30 МэВ) и используем соотношение Qo = 4/5 ZR'ft для
квадрупольного момента [формула (4.72)]. При типичных значениях деформа-
ции в тяжелых ядрах коэффициент при Р2 (cos 0) в формуле (5.59) по порядку
величины равен единице. Поэтому при прохождении несферической части
барьера имеется заметная вероятность обмена несколькими единицами углового
момента между a-частицей и ядром.
Вероятности переходов на различные уровни вращательной полосы
конечного ядра выражаются через приведенные амплитуды (5.58) соотноше-
240
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
нием [формула (4.167)]
Т (L, I-K. /fKf) = то (Еа, Z, A) PL I	| IfKf> f (L,	+ Kf) +
+ (-l)//+x/ {hKiL-Kf-Kt' If-Kf) f (L, Ki-Kf)?, (5.61)
где множитель pL описывает влияние центробежного барьера на движение
а-частицы. В приближении WKB он дается выражением
„	С R2Ma /ZaZe2 F \ , L (£ + 1) \'!‘ (2Ма (Z^Ze*
Pi-exp^- Ц-й2-^— ha) + —------------------)
Здесь окончательное выражение мы получили, положив Еа = 0 и сохранив
только главные члены по	в подынтегральном выражении.
Влияние парных корреляций. На генеалогические коэффициенты, входящие
в формулу (5.58), существенно влияют парные корреляции [790, 1052]. Для
переходов между основными состояниями четно-четных ядер получим [формулы
(5.57) и (6.599)]
(v=0|<(r)|v=0> =
5 <vnv„vpvp | А& (г) I 0) и (v„) v (v„) и (Vp) v (vp),	(5-63)
vn>°
vp>°
Эффект когерентности в матричном элементе (5.63) носит такой же характер,
как и вклад разных одночастичных орбит в поле спаривания [формула (6.612)],
В самом деле, если пренебречь тем, что размеры a-частицы конечны, то Д^(г)
будет содержать произведение локальных полей спаривания для протонов и
нейтронов, определяемых соотношением (6.141). В этом пределе все матричные
элементы (г), описывающие рождение пар нуклонов на сопряженных орби-
тах, имеют одинаковый знак, так как волновые функции ф и ф- в одной
V V
точке пространства комплексно-сопряжены. Таким образом, матричный эле-
мент перекрытия для антисимметризованного двухчастичного состояния w
дается выражением
(Г1 = г2 = г; S = 0|vv\=- 5	| <rm5|v> |2.	(5.64)
^ = 172
Когерентность рассматриваемых матричных элементов не должна сильно
нарушаться из-за того, что размеры a-частицы конечны, так как ее размеры
ненамного больше длины волны нуклонов на поверхности Ферми. Численные
расчеты подтверждают это [790].
В сумму (5.63) дают вклад все орбиты, близкие к уровню Ферми, которые
не являются ни полностью заполненными, ни совершенно пустыми, т. е. те же
орбиты, которые дают вклад в парные корреляции. Мерой рассматриваемого
усиления служит величина
9= 2 «(v)v(v),	(5.65)
v > 0
которую можно найти по экспериментальной величине парных корреляций.
В приближении постоянного статического поля спаривания параметр А равен
произведению q на среднее значение G матричного элемента спаривателыюго
взаимодействия [формула (6.613)], в тяжелых ядрах равное ~ 100 кэВ [см.
§ 3. Моменты и переходы
241
например, формулу (6,617)]. Величина А в ядре Np составляет около 0,7 МэВ
(т. 1, стр. 169, фиг. 2.5), откуда для усиления вероятности а-распада получим
~ 103.
Облегченные переходы. Матричный элемент a-перехода между одноквази-
частичными состояниями ядер с нечетным Z и четным А можно получить
с помощью канонического преобразования (6.602). Имеем
<v=l, Vp| Л^(г) I V=l, vp> = (v = 0| Л^(г) I v = 0) 6(vp, v')~
—«(vp)v(vp) 2 <v«vrtvpvp | A'a (r) | 0) и (v„) v (v„).	(5.66)
v»>0
В случае облегченных переходов (vp=-=v') основной вклад в матричный эле-
мент (5.66) дает первый член, описывающий когерентный эффект остова и
имеющий такой же вид, как и для переходов между основными состояниями
четно-четных ядер. В случае же затрудненных переходов вклад в матричный
элемент дает только второй член в формуле (5.66). В этом члене не про-
водится суммирование по протонным орбитам, и поэтому он в qp раз меньше
матричного элемента облегченного перехода (сверх рассматриваемого ниже
эффекта, обусловленного асимптотическими правилами отбора).
При сравнении вероятностей облегченных переходов в ядрах с нечетным А
и в соседних четно-четных ядрах следует учитывать как отсутствие вклада
в матричный элемент от орбиты, занятой последней нечетной частицей [этот
эффект описывается вторым членом формулы (5.66)], так и ослабление спари-
вания благодаря наличию нечетной частицы (эффект блокировки). Оба эффекта
приводят к уменьшению суммы (5.65), являющейся мерой интенсивности поля
спаривания: в состояниях с v=l соответствующая сумма пробегает по всем
орбитам, участвующим в спаривании, так что уровень v, занятый неспаренной
частицей, в нее не входит.
Облегченные переходы при а-распаде ядра 241Ат идут примерно вдвое
медленнее, чем переходы между основными состояниями в соседних четно-
четных ядрах. Анализ вероятностей переходов в ядре 2ЯАт на основе формулы
(4.167) дает со = 0,6, с2 = 0,3 и с4 = 0,003, что сравнимо с величинами с0=1»
с2—0,6 и с4 = 0,01 для распада ядра 240Pu [Со= 1 (норм.), С2 = 0,6 и С4==0,01].
Исследование реакций (pt) приводит к заключению об аналогичном уменьше-
нии вероятностей формирования динейтрона в облегченных переходах в ядрах
с нечетным А по сравнению с четно-четными ядрами [901].
Запаздывание в 2 раза интенсивностей облегченных переходов можно
объяснить примерно 30%-ным уменьшением параметра поля спаривания А
в ядрах С нечетным А по сравнению с основными состояниями четно-четных
ядер. Уменьшение такого порядка можно объяснить на основе условия само-
согласования (6.615) для А [см. также (6.602)]. Действительно, рассматривая
изменение величины А как малое возмущение, получаем, что блокировка
орбиты вблизи уровня Ферми приводит к уменьшению А на величину l/2d,
где d — среднее расстояние между одночастичными уровнями. Из фиг. 5.4 и
5.5 видно, что d 0,3 МэВ, а это соответствует уменьшению А примерно
на 20%.
Затрудненные переходы. Если в случае облегченных переходов относи-
тельные интенсивности переходов на разные уровни вращательной полосы
отражают коллективный характер процесса формирования а-частицы в четно-
четном остове [формула (4.167)], то в случае затрудненных переходов соотно-
шение этих интенсивностей существенно зависит от конфигураций квазичастиц
в материнском и дочернем ядрах. Поэтому, как видно из фиг. 5.13, соответ-
ствующие интенсивности могут служить «реперами» для идентификации внут-
ренних состояний и проверки необходимых волновых функций. Представлен-
242
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
ные на фиг. 5.13 расчетные значения —это относительные интенсивности,
вычисленные по формуле (5.65) с использованием собственных функций одно-
частичного гамильтониана (5.10).
Из фиг. 5.13 видно, что экспериментальные факторы торможения для
затрудненных переходов по порядку величины составляют 103. Для описания
таких интенсивностей приходится допустить, что амплитуды f (L) при больших L
достигают значений порядка 10-1, приблизительно отвечающих фактору
При малых L факторы торможения в большинстве случаев гораздо больше
из-за правил отбора, связанных с одночастичными квантовыми числами.
Например, переход [5235/2]-> [6425/2] идет с переворотом спина, и поэтому
главный вклад в него даюг амплитуды f (L; Ki К/) [формула (5.60)]. Такие
амплитуды соответствуют разности ДК = 5, так что L 5. При этом оказы-
вается, что амплитуда с L — 5 также подавлена и наибольшие матричные эле-
менты связаны с L — 7 и £ = 9 (такое дополнительное торможение может быть
обусловлено тем, что в рассматриваемом переходе Дп3 = 2, помимо ДЛ = 5).
Представленные на фиг. 5.13 интенсивности обнаруживают довольно замет-
ную зависимость от сигнатуры (--1) J откуда следует, что интерференция
между двумя членами в формуле (5.61) играет существенную роль. Наличие
такой зависимости дает ценный способ идентификации различных внутренних
конфигураций; из графика явствует, что теория позволяет качественно рассчи-
тывать этот эффект. Но в настоящее время нет простого правила, которое
позволяло бы по квантовым числам одночастичных орбит предсказывать знак
интерференционного эффекта.
Расхождение между теоретическими и экспериментальными значениями
интенсивности компонент тонкой структуры максимально для полосы [4001/г]«
В этом случае теоретические значения на порядок величины меньше экспери-
ментальных, хотя относительные интенсивности воспроизводятся неплохо.
Причиной такого расхождения может быть то, что в модели гармонического
осциллятора неверно воспроизводится зависимость радиальных волновых функ-
ций от квантового числа К.
Полоса Кл —5/2 —в спектре ядра 237Np, начинающаяся при 722 кэВ, резко
выделяется как единственная полоса, относительные интенсивности а-переходов
на которую на три порядка отличаются от интенсивностей облегченных пере-
ходов. Это дает основание интерпретировать данную полосу как 0-колебание
(ул = 0 + ), накладывающееся на конфигурацию [532 5/2]; соответствующая
интенсивность сравнима с интенсивностью, наблюдающейся в распаде §J2Cm (а)
J?8Pu, где переходу на состояние па=1, /л = 0+ с энергией 943 кэВ отвечает
£-1 = 0,14 [736].
Спектр ядра и анализ эффектов взаимодействия Кориолиса
(фиг. 5.14 и табл. 5.6 и 5.7)
Спектр ядра 235U изучался в самых разнообразных реакциях, в том числе
таких, как а-распад, кулоновское возбуждение, однонуклонная передача и
процесс (пу). Данные подобных исследований (фиг. 5.14) указывают на нали-
чие более 50 уровней при энергиях возбуждения по 1 МэВ. Несмотря на всю
сложность спектра, специфические особенности распределения интенсивностей,
наблюдающихся в различных реакциях, дают возможность сгруппировать эти
уровни во вращательные полосы и идентифицировать соответствующие им
внутренние состояния. Найденные таким путем одночастичные конфигурации
хорошо согласуются с тем, что должно соответствовать фиг. 5.5 при К 143
и при деформации 6^0,25, определенной по экспериментальным значениям
В (£2) для переходов внутри вращательных полос (фиг. 4.25).
Среди уровней, которые должны существовать, согласно данным фиг. 5.5,
в изображенном на фиг. 5.14 спектре ядра 235U отсутствует только конфигу-
§ 3. Моменты и переходы
243
рация [624 7/2]; предварительные данные о наличии соответствующей враща-
тельной полосы при энергии около 500 кэВ приведены в работе [190].
Помимо одноквазичастичных состояний в спектре ядра при энергиях
возбуждения выше 600 кэВ содержится большое число внутренних состояний,
классифицируемых как суперпозиция колебательных возбуждений и наинизших
одноквазичастичных конфигураций (фиг. 5.14). Для р- и у-колебаний, нало-
женных на конфигурацию основного состояния, такая классификация под-
тверждается довольно большими экспериментальными значениями В (Е2) [1080].
1053	7/2
927	15/г
850,5 }3/г
777,7 и/2
720,7 9/2
671,1 7/г
633,1 5/г
[752 5/27
А-5,43
([77(3 7/г10 +) 7/2g87 5 f3/2
920,7 /2
([7437/г12+)"/2
804,9 ^/г А'5>№
961,4 f3/2
885,8 11/2
821,6 9/г
[734 9/г1
670,9 23/г
608,1 И/2	637'9
---------- ([7437/г]2^)3/2 „п.
533,3 9/г	А*5,34
474,3 7/2
426.7 5/г 4/4 8	9/2	438.5J9/2
393t2, ЗБ70	7/2
[6313/21 332.8	5/г	338J 17/?
/1*5,84
А~6'7915з[6335/2]
BS-1,8-1O_3А = 423
А3*-6[М0 В=26'103
249,10 15/г
170,67,3/2
357,2 15/2 388‘8 13/2
294,7 ,3/2 291,1 "/2
103,00 11/2
46,22 9/2
О т/г
197,1 11/2
150,5 9/2
[743 7/г1
А=5>08 -3
1,4-10
А7^ 10’7
5[,7 572
13,0	&
0,08	1/2
[631 1/г1
А=6,05
225,4 9/2
171,3 7/2
129,3 5/г
[622 5/г]
А* 6,03 ,
B--Q[7-1Q~*
Фиг. 5.14. Спектр ядра 235U.
Схема построена на основе экспериментальных данных по кулоновскому возбуждению
ядра 235 U [1080], распаду 239Pu [267], одночастичной передаче [380] и реакции 234U (пу)
[660]. Все энергии указаны в килоэлектронвольтах. Уровни частичного типа изображены
справа от полосы основного состояния, а уровни дырочного типа —слева.
Особое внимание при рассмотрении настоящего примера мы уделим дан-
ным о взаимодействии Кориолиса. Имеющиеся в спектре ядра 235U орбиты
с М = 7 с хорошей точностью описываются как компоненты состояния / = 15/2,
и поэтому они связаны между собой большими матричными элементами взаимо-
действия Кориолиса. Сведения о величине этих матричных элементов можно
извлечь из экспериментальных значений вращательных энергий и из вероят-
ностей £2-переходов (табл. 5.6) [1080].
Оценка взаимодействия Кориолиса по матричным элементам £2-перехо-
дов. Эффекты первого порядка по взаимодействию Кориолиса можно рассчитать
непосредственно по экспериментальным матричным элементам £2-переходов
между вращательными полосами с ДАТ = 1. В первом порядке влияние сил
Кориолиса на такие переходы сводится к не зависящей от / перенормировке
внутреннего оператора Е2-перехода [формулы (4.203) и (4.221)]:
е^(£2, v=± 1) = е^(£2, v=± 1)+ eQoSj-p (5.67)
244
Г л. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
где 8। — оператор, описывающий смешивание взаимодействующих полос
[формулы (4.198) и (4.199)]. Матричные элементы оператора 8Ч 1 между одно-
квазичастичными состояниями выражаются через матричные элементы опера-
тора углового момента, входящего в гамильтониан взаимодействия Корио-
лиса [формулы (4.199) и (4.197)]:
<v=l, Й±1 i/\| v=l, Q> t?
<V=1, Q + 1 I E±1 I V=l, Q>= -Ло £(Q+1)_£(Q)	’ Ло = 2?о’
(5.68)
где y0 —момент инерции вращающегося остова.
Оценка каждого из членов эффективного оператора (5.66) показывает,
что вклад от взаимодействия с вращением примерно на порядок величины
превышает вклад от внутреннего момента. Об относительной величине этих
вкладов подробно говорится в последнем разделе данного примера, где
показывается, что эффект взаимодействия Кориолиса можно рассматривать
как поляризационный заряд, возникающий за счет взаимодействия одночасти-
чных состояний с вращением 11
Таблица 5.6
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОРИОЛИСА
ДЛЯ СОСТОЯНИЙ ЯДРА 235U С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЧЕТНОСТЬЮ
[JVn3AQ]	<й 1 /+ 1 я - 1>	[Аи3ЛЙ]	<й | /+ | Я - 1>
[770%]	7,37	[734%]	6,72
[76Р/2]	7,36	[725н/2]	6,13
[752%]	7,30	[7161%]	5,24
[743%]	7,10	[7071%]	3,86
Матричные элементы оператора /+ = ц + z/г рассчитаны с использова-
нием волновых функций Мэттельсона и Нильсона [853] при деформации
6 = 0,25 и параметрах потенциала t'^ = —0,02 и =—0,1.
Экспериментальные значения В (£2) для возбуждения полос с Кл = 5/2 —
и /<л=9/2 —в ядре 235U приведены в табл. 5.7. Там же приведены значения
8+1, вычисленные по экспериментальным значениям матричных элементов
£2-переходов на основе соотношения (5.66). Значения величины е+. j содер-
жат поправки порядка 10%, обусловленные наличием внутренних моментов
оМ у=±1) (стр. 248). Вычисления величины 8+1 проводились при
значении Qo = 98O ферми2, полученном в результате ц-атомных измерений [318].
В четвертом столбце табл. 5.7 приведены результаты теоретической оценки
матричных элементов е+1 по формуле (5.67). Для их вычисления использованы
одночастичные матричные элементы оператора приведенные в табл. 5.G,
и инерционный параметр Ло = 7,4 кэВ, равный среднему значению по полосам
основных состояний 234U и 236U. В теоретические матричные элементы табл. 5.7
введены небольшие поправки на спаривание [формула (5.43)]; если предполо-
п Данные о довольно существенном усилении ^-переходов с ДК = 1
собраны в работе [766], а оценки соответствующих матричных элементов
с учетом сил Кориолиса проведены в работе [401].
§ 3. Моменты и переходы
245
жить, что основное состояние лежит близко к уровню Ферми, то
и тогда [формула (6.601)]
^1^2	^1^2
£2-Е14-2Л
е2—Е1-\- а
(5.69)
Это приводит к уменьшению рассматриваемых матричных элементов примерно
в 1,3 раза (при А ^0,7 МэВ). Из табл. 5.7 видно, что теоретические значе-
ния 8Н 1 примерно в 2 раза превышают значения, вычисленные по экспери-
ментальным значениям В (Е2).
Таблица 5.7
АМПЛИТУДЫ КОРИОЛИСОВА СМЕШИВАНИЯ ДЛЯ ПОЛОСЫ [7437/2]
В ЯДРЕ 23Ш
Переход	В (£2),	ферм	(Ку 1 е .	±11кр
		экспер.	теор.
in to to и и to	(4,3+1,0) 102 (3,2+1,0) 102	3,2 • IO”2 2,7 10~2	6,8 • IO"2 5,5 • 1(Г2
Значения В (Е2), представленные в таблице, — это суммы по переходам на уровни
соответствующих вращательных полос: В (£2) ~ £ В (£2;	Данные взяты из
работы [1081].
В модели квазичастица —ротатор взаимодействие Кориолиса содержит два
параметра: момент инерции ротатора и матричный элемент оператора
между одноквазичастичными состояниями. При вычислении е+1 вместо у0
была взята соответствующая величина для полос основных состояний соседних
четно-четных ядер. Но эффекты, обусловленные наличием нечетной частицы,
приводят к увеличению момента инерции четно-четного остова (см. о влиянии
эффекта блокировки на парные корреляции и о роли члена четвертого порядка
во вращательной энергии четно-четного остова, стр. 275). Количественные
оценки этих эффектов содержат известную неопределенность, но, как показы-
вает анализ экспериментальных данных о моменте инерции полосы основного
состояния 235U (см. ниже), в данном случае увеличение jz0, по-видимому, не
может превышать 20%.
Приведенная выше оценка одночастичных матричных элементов сравни-
тельно мало чувствительна к деталям одночастичного потенциала, поскольку
рассматриваемые одночастичные орбиты с хорошей точностью описываются как
состояние /15/2. Кроме того, поправка на парные корреляции в данном случае
мала и поэтому нечувствительна к параметрам поля спаривания.
Ввиду довольно сильного взаимодействия Кориолиса для рассматриваемых
орбит возникает вопрос о том, не могут ли оказаться существенными эффекты
более высокого порядка по этому взаимодействию. Такие эффекты могут быть
особенно значительными в полосах с К = 5/г и ^ = е/2> если остальные орбиты
/15/2, которые пока не наблюдались (орбиты с Й = т/2, 3/2, п/г и т* Д-), имеют
довольно близкие энергии. Но матричные элементы взаимодействия Кориолиса
между этими орбитами составляют всего несколько сотен килоэлектронвольт
(при 1	п/2). Поэтому основная часть интенсивности сил Кориолиса, не про-
246 Гл. 5. Одночастичное движение в несфепических ядрах
являющаяся в экспериментально установленных переходах, должна прояв-
ляться в переходах на другие возбужденные состояния, лежащие в пределах
0,5 МэВ выше обнаруженных. Такие переходы могли бы проявляться в опытах
по кулоновскому возбуждению и, кроме того, мощи бы давать вклад в эффек-
тивный момент инерции полосы основного состоу1иия, хотя проводимый ниже
анализ, по-видимому, исключает такую возможное-^
Выше уже отмечалось, что анализ взаимодействия одночастичных состояний
с вращением указывает, по-видимому, на наличие, помимо взаимодействия
Кориолиса, также и других эффектов, линейны^ по частоте вращения. Их
можно записать в виде
Нс = A0F+/_ + е^-сопр.	(570)
где — одночастичный оператор, обладающий рак же как и эрмитово-сопря-
женный оператор F_) той же самой симметрией относительно обращения вре-
мени и ^-сопряжения, что и операторы /±. Взаимодействия вида (5.70) обу-
словлены силами, зависящими от скорости. Например, если одночастичный
потенциал в невращающейся системе содержит зависящую от скорости компо-
ненту V (р), то при переходе к вращающейся системе координат возникает
взаимодействие ^вида (5.70), причем оператор F+ здесь пропорционален как
и во взаимодействии Кориолиса. Но вклад этого члена оказывается в значи-
тельной мере фиктивным, поскольку зависимость потенциала от скорости сле-
дует рассматривать относительно коллективного тока (СТр. 84).
Взаимодействие вида (5.70) возникает также за счет парных корреляций.
Спаривание в невращающейся системе действует между орбитами v и v, свя-
занными между собой обращением времени. Одна^о во вращающемся ядре нук-
лоны на спаренных орбитах должны двигаться ц противоположных направле-
ниях относительно коллективного тока. Этот эффект можно рассматривать как
результат действия поля спаривания, имеющего симметрию К21 во внутренней
системе координат (в предположении, что деформация ядра имеет симметрию /2о):
f+=J(P2('') — р._а («)]/(г) Г21(9> <р)	(5.71)
где р±2 (г) —конденсатные матрицы плотности, определяемые соотношениями
(6.141)" и (6.142), /(г) —вещественная функция. Квадрупольное поле спарива-
ния (5.71) имеет следующие матричные элементы;
(V=l, V2|F+| v = 1, v1> = (v2|/(r)yM|V1>(Ult,2_t,1M2),
(v = 2, vjv21F+ 1 v = 0) = <v2 j f (r) ?8l 1 V1) (u1u2-\-v1v2).
Из вида матричных элементов оператора F+ перехода между одноквазичастич-
ными состояниями следует, что F+ не связываеТ между собой! вырожденные
одночастичные орбиты (V2 = vj и поэтому не влияет на параметры развязывания
в полосах с К=-г/2- В то же время матричные элементы оператора F+ с Av = 0
наиболее велики для состояний, лежащих по рэзЯые стороны от уровня Ферми.
Возможно, что эти особенности взаимодействия (571) и проявляются в экспе-
риментальных данных так, как говорилось на СТр' 227. Но вопрос о том,
может ли поле спаривания вида (5.71) устранцть количественно расхождение
между взаимодействием Кориолиса и наблюдаемым взаимодействием с ДК=1,
пока остается открытым. Отметим в этой связи, что следует также учитывать
влияние квадрупольного спаривания на момент инерции четно-четного остова
(за счет матричных элементов с Av = 2) и на внутренние возбуждения с Кл= 1
Вклад взаимодействия Кориолиса в момецт инерции. Большое различие
между параметрами А вращательной энергии ДЛя ядра 235U (Л = 5,1 кэВ) и
для соседних четно-четных ядер (Л0 = 7,4 кэВ) является характерной особен-
ностью полос в ядрах с нечетным А, основацных на орбитах с большими j
(табл. 5.17), Существенный вклад в это разливе дает взаимодействие Корио-
§ 3. Моменты и переходы
247
лиса с рассмотренными выше полосами Кл = 5/2— и Лдт=9/2—:
м = -	2]	<v'|e±1|v)2[£(v')-£(v)].	(5.73)
V'
ft(v')=Q(v)±)
Если в формулу (5.73) подставить теоретические значения приведенные
в последнем столбце табл. 5.7, то получим 64 = — 5,4 кэВ, что более чем
вдвое превышает наблюдающийся эффект. Это в какой-то мере компенсируется
тем обстоятельством, что наличие нечетной частицы блокирует вклад от неко-
торых конфигураций в момент инерции четно-четного остова. Данный эффект
описывается вторым членом формулы (5.47). Оценка этого эффекта в том же
приближении, что и принятое в соотношении (5.69), приводит к уменьшению
64 примерно на 10%. Таким образом, экспериментальные значения инерционных
параметров также указывают на завышение взаимодействия Кориолиса в ядре
23-5U. Если в (5.73) подставить экспериментальные значения е+1, при-
веденные в третьем столбце табл. 5.7, то получим 64 =«—1,1 кэВ, что состав-
ляет меньше половины наблюдающегося эффекта. Дополнительный отрицатель-
ный вклад в 64 возникает за счет других орбит с Qn = 5/2 — и 9/2“ • Однако
соответствующие оценки, проведенные на основе спектра фиг. 5.7, показывают,
что этот вклад намного меньше рассмотренного.
Вклад в 64 дают также эффекты, упомянутые выше при анализе матрич-
ных элементов взаимодействия Кориолиса (фрагментация интенсивности одно-
частичного перехода по другим уровням и уменьшение 40). Поэтому по экспе-
риментальному значению величины 64 можно найти количественный предел
для этих эффектов. Если сначала взять параметр 40 равным среднему значению
для соседних четно-четных ядер, то экспериментально наблюдающимся взаимо-
действием с полосами К = 5/2 и ^ = 9/2 (табл. 5.7) можно объяснить лишь около
четверти теоретической величины интенсивности операторов j+ для рассматри-
ваемых одночастичных состояний. Если остающаяся интенсивность распреде-
ляется по более высоколежащим состояниям, то энергии возбуждения этих
состояний должны быть выше 2 МэВ, чтобы полный вклад в 64 не превышал
экспериментального значения. Еще большие энергии возбуждения этих состо-
яний требуются, чтобы объяснить наблюдающийся эффект уменьшением 40
из-за наличия нечетной частицы. Для величины 40мы получим нижний предел,
если всю часть величины 64, остающуюся после вычитания члена (5.73)
(вычисленного с экспериментальными значениями	считать разностью
величин 40 для четно-четных и нечетных ядер. Тогда величина 40 в ядре 235U
оказывается на 20% меньше, чем в соседних четно-четных ядрах (это согласу-
ется со значениями 4 для низколежащих полос ядра 235U с положительной
четностью, фиг. 5.14).
Замечание. Инерционный параметр, необходимый при вычислении матрич-
ных элементов взаимодействия Кориолиса для нечетной частицы, должен учи-
тывать изменение вращательных свойств четно-четного остова, обусловленное
ее наличием, но не инерцию самой частицы [формула (5.73)]. Как показано
в модели частица — ротатор (гл. 4, приложение), влияние, оказываемое части-
цей на свойства ротатора, учитывается комбинацией кориолисова члена и члена
отдачи, в каждый из которых входит момент инерции ротатора [формула (4.327)
и стр. 184]. Наличие отдачи означает, что необходимы поправки к одночастич-
ным энергиям. Но в рассмотренном примере эти энергии взяты из опыта, и
поэтому указанные поправки в них учтены. Кроме того, эффект отдачи изме-
няет волновые функции частицы, уменьшая амплитуду компоненты /15/2. Но
из-за этого эффекта матричные элементы взаимодействия Кориолиса могут изме-
ниться не более чем на несколько процентов, так как энергии возбуждения
состояний, которые могут примешиваться за счет больших матричных элемен-
тов оператора + превышают 5 МэВ (фиг. 5.5).
248 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Член Л7 в полосе основного состояния. Еще одна характерная особенность
полос, основанных на одночастичных состояниях с большими j, — наличие во
вращательной энергии довольно больших членов, зависящих от сигнатуры.
Для зависящего от сигнатуры члена нулевого порядка в полосе основного
состояния ядра 235U анализ энергий экспериментального спектра дает значение
Л7==(1,0	0,4). 10~4 эВ. Указанная ошибка измерения довольно велика, так
как величина Л7 должна определяться по энергиям состояний с малыми угло-
выми моментами, где разложение (4.62) быстро сходится; члены более высоких
порядков становятся существенными уже при
Главный вклад в Л7 должен возникать в седьмом порядке по взаимодей-
ствию Кориолиса за счет состояний [7437/2]	[752%]	[761%]	[770%] ->
-> [770%] -> I76TV2]	[752%]	[743%], откуда
л _ /Л V <’/г I ' + 1 6/г>2 <5/г 1 i+ 3/г>2 <3/* 1 ' + 1 1/г>2 <1/s 1 '+ /Ч 741
Энергии промежуточных состояний с К = % и К = % не известны, но их можно
вычислить по данным фиг. 5.5, пользуясь формулой (5.56). Взяв 6 = 0,25,
Д = 0,7 МэВ и ([743%]), получим Е3^ — £,^1,05 МэВ и —Е^,
1,4 МэВ. Одночастичные матричные элементы /+ приведены в табл. 5.6. Спа-
ривание существенно только для матричного элемента перехода %->% [соот-
ветствующая поправка определяется выражением (5.68)]. Взяв эти энергии и
матричные элементы и положив ^0=7,4 кэВ, получим Л7^10“3 эВ, что при-
мерно в 10 раз больше экспериментального значения. Таким образом, экспери-
ментальное значение величины Д7 также подтверждает вывод о завышении
взаимодействия одночастичных состояний с вращением в модели, учитывающей
только силы Кориолиса. Если же исходить из экспериментального значения
амплитуды взаимодействия между полосами /< = % и К = %, то для вели-
чины Д7 получим значение, превышающее экспериментальное примерно в 2 раза.
Поэтому создается впечатление, что матричные элементы взаимодействия между
возбужденными полосами лучше согласуются с моделью сил Кориолиса, чем
матричный элемент перехода %	%, хотя этот вывод нельзя считать оконча-
тельным ввиду неопределенности в энергиях полос К = % и /<=%.
Инерционные параметры в полосе [633%]. Увеличение моментов инерции
в нижних полосах ядра 235U с положительной четностью (по сравнению с момен-
тами инерции в соседних четно-четных ядрах) составляет примерно 20%. Такое
увеличение типично для конфигураций, не имеющих чрезвычайно больших
одночастичных угловых моментов (табл. 5.17). Очень большой момент инерции
в полосе [633%] может быть обусловлен довольно сильным взаимодействием
с полосой [624%], которая (как предполагается) идентифицирована при энер-
гии около 500 кэВ [190]. Такое объяснение подтверждается и большой поло-
жительной величиной члена четвертого порядка в этой полосе (В «== + 25 эВ).
В случае когда взаимодействие имеет место только между двумя полосами,
справедливо соотношение б£ = (6/11)3 (£2 — £i)-1, которое в данном случае
приблизительно выполняется при значениях (£2 — Ej^lSO кэВ и	1,8 кэВ,
соответствующих разности величин А для полосы [633%] и для более низко-
лежащих полос с положительной четностью. Отметим, что при такой интерпре-
тации следует ожидать, что будет соответствующий положительный вклад
в коэффициент А и большой отрицательный вклад в коэффициент В для
полосы [624%].
Влияние взаимодействия Кориолиса на матричные элементы £2-переходов,
выраженное через поляризационный заряд. Оператор квадрупольного момента
для переходов с = 1 равен сумме внутреннего момента ^//'(£2; v = ±l)
И вклада от взаимодействия Кориолиса [формула (5.66)] Для чисто нейтронных
§ 3. Моменты и переходы
249
состояний внутренний момент равен нулю, но взаимодействие Кориолиса при-
водит к поляризационным поправкам, обусловленным взаимодействием между
внутренними состояниями с ДК = 1. Поляризационный вклад за счет высоко-
частотных квадрупольных возбуждений (ДМ = 2) можно вычислить на основе
модели, излагаемой в гл. 6. Для нейтрона это дает &пол^0,бе ([формула (6.386)];
если пренебречь поправками порядка 6, то вклад в поляризационный заряд,
обусловленный высокочастотными возбуждениями, не зависит от ДК и совпа-
дает с аналогичным эффектом в сферических ядрах). Дополнительные вклады
в поляризационный заряд дают низкочастотные внутренние возбуждения
(ДМ = 0). Основная часть интенсивности квадрупольных возбуждений с ДМ = 0
и ДМ — 1 связана с вращательным квадрупольным моментом и поэтому не
проявляется как внутреннее возбуждение (см. анализ соответствующего ложного
состояния в гл. 6, стр. 397). Если бы все возбуждения с ДК=1 имели оди-
наковую энергию, то на вращательное состояние приходилась бы вся интен-
сивность соответствующих £2-переходов. Но в отсутствие такого вырождения
внутренние состояния с ДМ=1 сохраняют некоторую долю этой интенсивности;
вычисления дают для соответствующего вклада в поляризационный заряд 6епол
около 0,2е [542]. Таким образом, полный вклад епол(внутр) в поляризационный
заряд, даваемый внутренними возбуждениями, должен составлять примерно
0,8е. [Поскольку же матричные элементы £2-переходов завышены (табл. 5.7),
можно предполагать, что внутренний поляризационный заряд сильно занижается.
Этот заряд был бы больше, если бы спектр возбуждений	в четно-
четных ядрах содержал сравнительно низколежащие уровни с усиленными £2-
переходами на основное состояние.]
Второй член в операторе (5.66) можно рассматривать как вклад в полный
эффективный заряд, даваемый взаимодействием с вращением. Это можно пока-
зать, используя соотношение между матричными элементами /+ и У2 +1
обусловленное симметрией У20 деформации среднего поля ядра [формула (5.1)]:
/± = « [Я, /±]=« [Fs (г) Р2 (cos 6), /±]=-	ЗДГ2. ±1 (6, ф), (5.75)
ш где // — внутренний гамильтониан, который может содержать взаимодействия,
ответственные за монопольные парные корреляции [в соотношении (5.75) мы
пренебрегаем влиянием деформации на спин-орбитальную связь]. Вычислив
матричные элементы оператора (5.75), на основании формул (5.66) и (5.67)
получим
(v = l, Q ± 1 |^(£2, v=± 1)| v = l, =
= (v = l, Q ± 11 r2K2>+i | v= 1, Q) (^эфф(ВнуТр)+епол(Вращ))>	(5.76)
где
_	3&q*	<а±-1р2('П2>±1|й)
пол,вращ,_2^0[Е(й + 1)-Е(й)]2 (Й ± 1 | г2Г2>±11 й) '	'
Знак и зависимость от частоты величины епол(Пра1Ц}, даваемой выражением (5.77),
характерны для поляризационного заряда, обусловленного взаимодействием
с коллективным состоянием, имеющим нулевую частоту [формула (6.216)].
Качественно величину епол<вращ) можно оценить на основе модели деформиро-
ванного потенциала гармонического осциллятора [формула (5.5)]. В этом слу-
чае, пользуясь соотношениями (4.72) и (4.104) для Qo и £тв, получаем
_	____ о ^тв ! ,_____________\2
^полсвращ)—	\Е (Q ± 1)-£ (Й)/	k >
Поскольку для ядра 235U мы имеем h(D06=^l,6 МэВ, £ (й + 1)-£ (Q)^
«^0,7 МэВ и утв^2у0, величина е(Пол)вращ Поэтому взаимодействие
250 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
с вращением должно давать основной вклад во все низкочастотные /^-пере-
ходы с ДК = 1.
Структура эффекта поляризации за счет взаимодействия с вращением
станет ясней, если заметить, что входящая в формулу (5.78) энергия h(D06
равна энергии возбуждения Де основных одночастичных переходов с АК — 1,
из которых формируется вращательное движение (см. о моменте инерции
в модели принудительного вращения, стр. 85). Если бы все одночастичные
переходы имели эту частоту (как в модели чистого гармонического осцилля-
тора), то, как отмечено выше, в отсутствие парных корреляций вся интенсив-
ность ^2-переходов с Д/< = 1 сосредоточилась бы во вращательной степени
свободы, так что на одночастичные переходы ее бы не оставалось. Такая пол-
ная экранировка одночастичных переходов является следствием из всего ска-
занного выше. В этом проще всего убедиться, рассмотрев аналогичное (5.78)
соотношение для изоскалярного квадрупольного момента ядра с N = Z; в этом
случае коэффициент поляризуемости хвращ, Т. е. отношение индуцированного
момента к моменту «голой» частицы, равен —2 (поскольку в отсутствие спа-
ривания ^тв = у0). Это приводит к полной экранировке момента частиц с уче-
том поляризуемости за счет высокочастотных возбуждений [согласно соотноше-
нию (6.370), хВНутр — 1]. Большая величина епол(вргШ1), полученная для пере-
ходов с АК = 1 в ядре 235U, соответствует своеобразной «переэкранировке»
внутреннего момента, обусловленной частично тем, что фактическая энергия
Де одночастичных возбуждений гораздо меньше h(D06, а частично—парными
корреляциями, увеличивающими энергии возбуждений с Ду = 2, из которых
формируется вращательное движение, и в то же время уменьшающими энергии
переходов с Ду = 0, имеющихся в спектре нижних состояний ядер с нечет-
ным А,
Одночастичные состояния ядер s — d-оболочки, спектры ядер
25Mg и 25А1 (фиг, 5,15 и табл, 5,8—5.11)
Классификация спектров нечетных ядер с 19 А 25. Качественно форму
экспериментальных спектров широкого класса легких ядер можно сразу же
объяснить на основе схемы последовательного заполнения орбит в сфероидаль-
ном потенциалеХ). На фиг. 5.15 представлены особенно хорошо изученные
спектры ядер 26Mg и 25А1. Нетрудно видеть, что энергии и квантовые числа
/л состояний спектра согласуются с классификацией этих уровней как враща-
тельных полос с определенными значениями /<л. Правильность такой интер-
претации подтверждается и большими измеренными значениями матричных
элементов Е2-переходов внутри полос, а также тем, что приблизительно
выполняются правила интенсивностей нулевого порядка для Е2 - и Ml-перехо-
дов (табл. 5.10).
Указанные на фиг. 5.15 экспериментальные значения квантовых чисел
Кл внутренних состояний соответствуют теоретическим (фиг. 5.1) для случая
вытянутых деформаций при 6^0,4 (табл. 5.14, стр. 2G5). Как показано
в табл. 5.8, такую классификацию можно распространить и на все другие
спектры с Т = 1/2> кроме случая А — 17, когда низколежащие состояния соот-
1) Схема последовательного заполнения в легких ядрах установлена в рабо-
тах, перечисленных в примечании на стр. 189. Важное значение при установ-
лении связи между движением независимых частиц и коллективным вращением
имело сравнение волновых функций в схеме последовательного заполнения и
функций, вычисленных на основе оболочечной модели для легких ядер ([375,
958]; см. также гл. 7). Смешивание конфигураций, приводящее к схеме после-
довательного заполнения, можно проанализировать путем вывода деформиро-
ванного потенциала среднего поля ядра в рамках метода Хартри —Фока [670]
(см. также обзор [970]).
§ 3. Моменты и переходы
251
ветствуют движению одной частицы сверх дважды магического остова 16О (т.
стр. 311, фиг. 3.26).
Так же как и в тяжелых ядрах, деформации здесь столь велики, что
орбиты из смежных главных оболочек могут одновременно проявляться в низ-
коэнергетических спектрах одного и того же ядра. Примером такого рода
в табл. 5.8 служит полоса [lOl1^], наблюдающаяся в начале s — d-оболочки, и
полоса [3301 2] в ядрах вблизи А = 25. (Поразительный эффект такого типа
в легких ядрах —положительная четность основного состояния ядра пВе [13],
5.74 (”/г)
5.45 ("/г)
5.005 7/2
4.704 9/2
4,277 1/2
3gOS 1/гШ21.74^
£9/2+
4,877 7/г
4,507 9/2
4,038 9/г
3414 3/2
КЛ~ 1/2-
7/ 2 ЯЛ! 3/, 13301/2]
2,736 7/г 2,80! 42 А^0113
--------- ^24 АГ-^400
Kjc= 1/2+
1,960 5/г 12 О О 1/21
а‘ А = 0,150
1,614 7/2	Аг-0,071
3.405 9/2
3,422 9/г
3,059 3/2
2,723 7/2 2 671 3/2 КЯ= '/2~
Ъж-Т2[ззо</2]
—777 л» 0,115
КГЯ ^-0,370
с/ [200 1/2] ' '
1,790 5/г A^Qtf50
ША{=-0,087
0,975 3/2
0,585 1/2
КЛ= 1/2+
п_____5/2 [211 1/2]
, _с, " А = 0,163
К7С А/=- 0,033
[202 5/2]
А=0,231
0,945 3/2
0,451 1/2
п . КЯ*1/2+
-----[211 1/21
К5/2+ А - 0,167
[202 5/2] А/= ~О,ОО2
А=0,231
25 At
13^12
2l2^Sl3
Фиг. 5.15. Спектры ядер 23Mg и 25А1.
Вращательная структура в системах с Л =25 была выявлена в результате обширной серии
экспериментов [763]. Представленные спектры построены на основе экспериментальных
данных, изложенных в работах [383, 762]. Состояниям с энергией 5,45 и 5,74 МэВ ядра
26Mg приписан момент 7 = п/г на основании данных работы [597]. Все энергии указаны
в мегаэлектронвольтах.
обусловленная, по-видимому, сильным опусканием орбиты [2201/2] при вытяну-
тых деформациях.)
Кроме одноквазичастичных состояний, представленных в табл. 5.8, име-
ются предварительные данные о существовании коллективных колебательных
состояний при энергиях возбуждения, равных 3—4 МэВ. Примером может слу-
жить состояние /<л = 9/2 + в ядре 25Mg с энергией возбуждения 4,05 МэВ
(фиг. 5.15). Энергия этого состояния близка к энергии полосы с Кп — 2 -|-
в ядре 24Mg, равной 4,23 МэВ. Дополнительным доводом в пользу интер-
претации этого состояния как коллективного у-колебания является относи-
тельно большая вероятность Е2-перехода [В (Е2; 5/2-|—>9/2 + ) = 34е2х
X ферми4 = (1,0 it 0,2) Bw (Е2)], сравнимая с величиной В (Е2\ К = / =
= 0->К = /=2) — 1,4 Bw для ядра 24Mg [5] (у-колебательные состояния
в ядрах с нечетным А проявляются в виде двух полос с К = Й ± 2, на
каждую из которых приходится половина полной интенсивности у-колебания).
252
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Таблица 5.8
КЛАССИФИКАЦИЯ ВНУТРЕННИХ СОСТОЯНИЙ ДЕФОРМИРОВАННЫХ
НЕЧЕТНЫХ ЯДЕР В ОБЛАСТИ 19 < А < 25
Ядро	Одночастичная конфигурация							
	[1014г] (а = 0,8)	[220»/2] (а = 2,0)	[211з/2]	[202\/2]	[211V2] («= -0,1)	[20Ш/2] (а= —0,0)	[202з	[3301/2] (а= -2.5)
19 F 21Ne 23Na 2?Mg	0,11 (а=1,1) 2,79 (а = 0,7) 2,64 (а = 0,8)	0 (а = 3,2) 4,43	0 0	0	2,80 2,39 (а = 0,0) 0,58 (а=-0,2)	2,56 (а——0,5)		(4,73) 3,41 (а=—3,5)
Здесь приведены энергии возбуждения в мегаэлектронвольтах наинизших членов
полос, связанных с одночастичными орбитами [7Ул3ЛЙ]. Классификация основана на ана-
лизе экспериментальных данных [6] для >»F, [613, 924] для 2Фе, [338] для 23Na и фиг.
5.15 для 26Mg.
В табл. 5.8 включены только состояния с Т —1/2. Имеющиеся же
в настоящее время данные, о состояниях с Т = 3/2 далеко не столь подробны.
Однако они показывают, по-видимому, что в этом случае тенденция к уста-
новлению схемы последовательного заполнения менее выражена, чем для
состояний с Т = 1{2. Так, например, в спектре ядра 1£)О в отличие от JPF не
обнаруживается простых вращательных закономерностей (см. обзор [5]). То
обстоятельство, что в состояниях с Т = 3/2 ослаблена тенденция к установле-
нию деформированной равновесной формы, можно объяснить отчасти как след-
ствие принципа Паули и отчасти как результат изовекторного взаимодействия.
В силу принципа Паули для увеличения избытка нейтронов в рассматрива-
емых конфигурациях требуется перенос частиц с орбит, в которых деформа-
ция энергетически выгодна, на другие орбиты, где деформация не столь
выгодна. В то же время изовекторные силы носят характер отталкивания (т. 1,
стр. 150) и это приводит к уменьшению несферической части потенциала сред-
него поля ядра при увеличении нейтронного избытка (см. также гл. 6, стр. 461).
Форма ядер s — d-оболочки. Сильную тенденцию к вытянутой деформации
в начале s — d-оболочки можно объяснить тем, что орбита [220\2] при вытяну-
той деформации понижается сильнее, чем любая из нижних орбит в потен-
циале сплюснутой формы (фиг. 5.1). Величину равновесной деформации нетрудно
вычислить, пользуясь соотношением (4.115) для потенциала гармонического
осциллятора. Таким путем для ядра 20Ne, имеющего конфигурацию [2201,2]4 сверх
заполненных оболочек, взяв для среднеквадратичного радиуса значения (г2) =
= 3/5(1, 2 Л1/з ферми)2, из соотношения (4.186) получим
Qo = 42 ферми2.	(6.79)
Это сравнимо с величиной, вычисленной по данным о В (£2) для вращатель-
ных состояний [табл. 4.15; квантовые поправки на нулевые колебания ориен-
тации внутренней системы координат приводят к увеличению Qo примерно на
20%, формула (4.145)]. Имеются также экспериментальные данные, указыва-
ющие на довольно большой гексадекапольный момент ядра 20Ne, что можно
объяснить, учитывая форму орбиты [2201('2] (гл. 4, стр. 130).
В случае потенциала гармонического осциллятора должна была бы наблю-
даться тенденция к сплюснутой деформации в конце оболочки с N 2, свя-
§ 3. Моменты и переходы
253
занная с наличием дырочных орбит, также имеющих асимптотические кванто-
вые числа [2201'2], но относящихся к потенциалу сплюснутой формы. Однако
спин-орбитальные силы, стремящиеся установить подоболочечную структуру
при N или Z, равном 16, сильно ослабляют тенденцию к установлению дефор-
мации во второй половине s — d-оболочки. Поэтому спектры ядер в этой обла-
сти не имеют столь отчетливо выраженного вращательного характера, как
в области 19^ Л 25. О наличии сплюснутых деформаций в области А = 28,
возможно, свидетельствует квадрупольный момент уровня 2 + в ядре 2®Si (Q =
= + 17 ферми2 [529]), соответствующий значениям Qo = — 60 ферми2
—0,4. Разительным доводом в пользу сплюснутой формы в области ядер
явилось обнаружение хорошо сформированной вращательной полосы с /Сл =
= ’.•2 в ядре 29Si. Из фиг. 5.1 видно, что такая полоса соответствует состоянию
[3037/2], которое должно быть при сплюснутых деформациях, тогда как при
вытянутой деформации для наинизшей полосы с отрицательной четностью мы
имеем /<л = i/2—, как и в спектрах ядер с А = 25 (фиг. 5.15).
Из структуры уровней, показанных на фиг. 5.1, видно, что вблизи А = 24
возможна тенденция к установлению эллипсоидальных деформаций, поскольку
орбиты [2113/2] и [2111/2] сильно смешиваются полем симметрии Y22. Наиниз-
шей конфигурацией сверх заполненных оболочек в потенциале гармонического
осциллятора при А = 24 является конфигурация [nA = 0, п2 = 0, п3 = 2]4,
[rti=I, п2 = 0, п3=1]4. Отсюда в силу соотношений (4.113) и (4.115) для
равновесной формы имеем
<xf> (х2) = 202 : 162: 282,	(5.80)
что соответствует внутренним моментам
А
Qo —	2 <2xs— *1 ~х$ = 55 ФеРми2>
А	\	(5.81)
Qi = (у)	2 (*‘—**)* /=11 ферми4
\ *=1	/
и параметру асимметрии
tg? = /2-^- = 0,27.	(5.82)
Соответствующее значение величины Qo согласуется с экспериментальными
данными (табл. 4.15), а значение величины ф2 сравнимо с тем, что получается
из вероятности £2-перехода для возбуждения второго уровня 2+ с энергией
4,23 МэВ [см. формулу (4.245) и значение В (£2), указанное на стр. 251]. Од-
нако имеющиеся данные о спектре ядра 24Mg оставляют открытым вопрос,
соответствует ли полоса с К = 2 вращательному состоянию неаксиального ядра
или колебательному возбуждению (то же самое относится к спектру ядра
шЕг, стр. 151).
Для решения вопроса о наличии или отсутствии аксиальной симметрии
можно попытаться также привлечь данные о спектрах ядер с нечетным А
вблизи Л =24 (см., например, [255]). В отсутствие аксиальной симметрии
каждая полоса в ядре с нечетным А должна содержать состояния I = 1/2, (3/2)3>
(5/2)3 [формула (4.294)]. Поэтому наличие трех состояний с I = 1/2 в низкоэнерге-
тическом спектре ядер с Д=25 означает, что в данном случае имеются по
крайней мере три разные внутренние конфигурации. Такая интерпретация свя-
зана с введением большого числа параметров и поэтому не привела пока ни
к каким соотношениям, которые были бы специфичны для асимметричного
ротатора.
254 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Исключение ложных состояний, связанных с вращением. Вращательные
степени свободы в легких ядрах связаны с движением сравнительно малого
числа частиц, и поэтому вопрос об избыточности полного числа степеней сво-
боды приобретает здесь особую остроту. Мы поясним некоторые стороны этой
проблемы на примере наинизших состояний трех частиц в $ — d-оболочке.
О влиянии конечного числа частиц на ядерное вращение говорится также в
гл. 4 (стр. 87).
Во вращательное движение дают вклад те внутренние состояния, которые
получаются из конфигурации основного состояния действием операторов
генерирующих инфинитезимальные повороты. Например, если взять конфигу-
рацию [220l/2]3 основного состояния ядра ]9F, то операторы поворота генери-
руют главным образом линейные комбинации конфигураций [220V2]2, [2113/2]
и [2201/2]2, [21 Р/г]- Эти конфигурации давали бы наинизшие состояния поло-
жительной четности в приближении независимых частиц. Учитывая вырождение
каждой из орбит по знаку Q и разные возможные варианты распределения
протонов и нейтронов по различным орбитам, мы получаем из этих конфигу-
раций пять состояний с /С = 1/2» четыре сК=3/2 и одно с	Из них одно
состояние с /С = 1/г и °ДН0 с ^=3/2 имеют Т = 3/2, а остальные имеют T = i/2.
Вращательная степень свободы отвечает изоскалярной ветви спектра с Д/<=1,
и поэтому в нее входит одна линейная комбинация состояний с /< = 1/2, Т==1/г
и одна линейная комбинация состояний с К = 3/2, Т = 1/2. Таким образом, оста-
ются три истинных внутренних состояния с К — T = i/2, два с К = 3/2,
7 = 1/2 и одно с /< = 5/2, T = V2 вдобавок к двум состояниям с Т = 3/2.
Энергия возбуждения всех этих физических состояний должна быть доволь-
но большой из-за наличия остаточных межнуклонных сил. Такие силы делают
энергетически более выгодными состояния с малым полным изоспином (что
проявляется, например, в существовании потенциала симметрии в среднем поле
ядра). Это обстоятельство можно рассматривать как частный случай ситуации,
в которой энергетически более выгодны состояния, симметричные относительно
обмена пространственными координатами взаимодействующих частиц (т. 1,
стр. 255). Основное состояние ядра 19F в асимптотическом пределе имеет пол-
ностью симметричную орбитальную волновую функцию [220]3, связанную
с полностью антисимметричной спин-изоспиновой волновой функцией ([/] = [3]
в орбитальном пространстве и [/] = [111], (S, Т) = (1/2, V2) в спин-изоспиновом
пространстве; см. т. 1, стр. 136, табл. 1.10). В возбужденной орбитальной
конфигурации [220]2 [211] имеется единственное полностью симметричное состоя-
ние ([/] = [3]). Это как раз то состояние, которое получается из основного
действием оператора поворота J+. Отсюда мы можем заключить, что все истин-
ные внутренние состояния, перечисленные выше, принадлежат более низкой
орбитальной симметрии [/] = [21]. [Эта конфигурация дает одну полосу с А=1.
Связав ее со спин-изоспиновыми состояниями (S, Т) = (1/21/2), С/^/г) и (3/2 х/2)
(т. 1, стр. 136, табл. 1.10), получим перечисленные выше полосы.] Разделение
на вращательные и одночастичные степени свободы в случае частиц, движу-
щихся в потенциале гармонического осциллятора, достигается путем классифи-
кации состояний такой системы по представлениям группы SU3 [375] (для
состояний р-оболочки такая классификация представлена в табл. 1.9, т. 1,
стр. 134); соответствующие методы для потенциалов более общего вида рас-
сматриваются в гл. 6 (стр. 397).
Помимо уровней основной полосы единственными состояниями в спектре
ядра 19F, принадлежащими конфигурации (sd)3, являются уровни с Т = 3/2,
представляющие собой изобарическае аналоги нижних состояний ядра 19О.
Энергия возбуждения этих состояний составляет 7,5 МэВ, что значительно
превышает энергетический интервал между орбитами [2201/2] и [2113/2]
(фиг. 5.1). Они не обнаруживают вращательных свойств, характерных для
схемы последовательного заполнения (стр. 252).4 Наинизшие внутренние воз-
буждения ядра 19F с Т=^/2, не принадлежащие, конфигурации (sd)3, образуют
полосу /<л = 1/а__| связанную с конфигурацией р'1 (sd)4 (табл. 5.8), а также
§ 3. Моменты и переходы
255
полосу Кл = 3/2+ (по предварительной идентификации), начинающуюся при
энергии 3,91 МэВ [325]; сравнительно малая энергия и систематически про-
являющаяся вращательная структура возбужденных состояний с положительной
четностью показывают, что они связаны в основном с конфигурациями p~2(sd)$
или р-4 (sd)7.
Другой тип ложных состояний связан с движением центра тяжести. Так
как генератором трансляций является полный импульс системы Р, соответ-
ствующие ложные состояния имеют Д/С = О или 1 и л = — 1. Возбужденные
состояния с отрицательной четностью в табл. 5.8 обладают такой симметрией,
но им отвечают очень малые матричные элементы оператора Р, поскольку
последний подчиняется правилам отбора Дп3=1, ДА = 0 или Дп3 = 0, ДД = 1.
Поэтому на свойства данных состояний вряд ли окажет существенное влияние
исключение степени свободы, связанной с движением центра тяжести.
Параметры развязывания. Представленная в табл. 5.8 классификация
подтверждается и измерениями различных характеристик рассматриваемых
состояний. Измеренные значения параметров развязывания полос с К = 1/2
представлены в табл. 5.8. Их можно сравнить с теоретическими значениями,
указанными для каждой конфигурации. Эти значения рассчитаны по формуле
(5.46) с использованием волновых функций табл. 5.9. Из табл. 5.8 видно, что
они описывают характерные различия между параметрами развязывания разных
полос, наблюдающиеся на опыте. Для орбит [220х/2] и [ЗЗО1^]» имеющих осо-
бенно большие моменты инерции, существенную роль могут играть эффекты
более высокого порядка по взаимодействию с вращением. Наличием таких
эффектов может объясняться занижение теоретических параметров развязывания
для данных полос (стр. 269).
Таблица 5.9
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЯДРАХ 19 < А < 25
[ЛГлзЛЙ]						
	[1ор/2]		0,920	0,392		
	[2201/г]		0,532	-0,285	0,803	
	[2113/2]			—0,236	0,972	
	[202%] [21 1%				1,000	
			—0,419	0,735	0,533	
	[200%		0,743	-0,615	0,236	
	[202%			0,972		
	[330%		—0,279	—0,646	—0,188	0,685
Здесь представлены коэффициенты разложения (NljQ ] v) волновых функций одно-
частичных орбит v, обозначаемых асимптотическими квантовыми числами [Ап3ЛЙ]. Эти
волновые функции получены путем диагонализации гамильтониана (5.10) с параметрами
из табл. 5.1 при деформации 6=0,4. Фазы состояний [А/ЛЙ] совпадают с использован-
ными в табл. 5.2 и в формуле (5.17).
Матричные элементы М 1-переходов и переходов Гамова — Теллера при
Д = 25. В табл. 5.10 представлены экспериментальные данные по Ml-переходам
внутри полос [202б/2] и [21 Р/г] в ядрах 25Mg и 25А1 и результаты их анализа
на основе формул (4.87) и (4.88). Постоянство величины gK~gR, вычисленной
по разным матричным элементам переходов внутри полос с /<=5/2, подтвер-
ждает правильность предположения о вращательном движении в рассматривае-
мых ядрах.
256	Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Таблица 5.10
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Е2- и М 1-ПЕРЕХОДОВ В ЯДРАХ С А = 25
Измеренная величина	“Mg	!	25Д1
		
	К = б/2 [202 »/2]	
Q (6/2)	Q0^60	
В (£27/2-+5/2)	Qo = 55 ± 6	Qo 5=^50
В (£2 ’/2->’/г)	Q0 = 42 ± 15	Qo = 45+ 15
В (£2 »/2-+5Л)		Qo = 40 ± 15
Н (%)	gK= -0,68+0,4 fe-0,5)	
В (Ml ’/2-*6/2)	gR Sr~ 1>3+z0, 1	gK-gR = l,4 + 0,2
В (Ml 3/2 + ’/2)	—1’5±0>3	g/C-gR = 1-4 ± 0,4
	fckop =-°-76 x	fc)reop = 0,8 ±1,11 *
К = ’/2 [211 1/г]
В(Е2
В (Е2 5/2-+3/2)
В (Е2 V2->V2)
В (£2 ’/2^3/2)
В (Ml 3/2->-1/2)
В(М1%->3/2)
В (Ml ?/2-> 3/2)
Qo 60
Qo^75
Qo^65
Qo 60
(	£я = 1,2 + 0,3
1 ь (Гк~8р) = 0,2 ±°>3
(£/<) теор = 2,5 X
Р (§К~^)]теор = -0,03+0,7 X
Qn«=55
Qo^75
Qo«= ИО
Qo^6O
J gK-gR = —1,4+ 0,3
\bpK-gR) = -°a±0,3
fe)Teop = 1.6-3,6 x
[b(grt)]Teop=0.2-b0x
Величины Qo (в ферми2) и магнитные g-факторы вычислены по измеренным значениям,
указанным в первом столбце. Теоретические значения найдены с использованием волновых
функций из табл. 5.9. Величина х есть отношение эффективного й5-фактора к g^-фактору
свободного нуклона. Соответствующие экспериментальные данные взяты из работ [762,
1025, 38, 19] и из статей, цитируемых в работе [19].
Экспериментальные значения параметров gK и b можно сравнить с теоре-
тическими, найденными по формулам (5.86) и (5.87а) с использованием волно-
вых функций из табл. 5.9. Теоретические значения в таблице получены при
£/ = (£/)своб>	и выражены через параметр х, равный отношению
(^)эфф к (Ss)cbo6- Экспериментальное значение g^ для полосы К = 5/2 можно
получить, положив х^0,9.
Однако столь малое значение спиновой поляризации не согласуется с ин-
формацией, извлеченной из данных о вероятности перехода Гамова— Теллера
в ядре 25А1. Исходя из приведенного времени жизни (// = 3900) для перехода
между основными состояниями, пользуясь соотношениями (3.46), (3.50) и (4.91),
получаем
<(к=4’ м7=4|1>а|*=4’ мт=--5> =о’75> <5-8з>
а волновые функции из табл. 5.9 для орбиты [202ь/3] дают для этого матрич-
ного элемента значение 1,0. Матричный элемент (5.83) связан с изовекторным
спиновым вкладом в g& условием инвариантности относительно поворота в изо-
§ 3. Моменты и переходы
<257
топическом пространстве, и экспериментальному значению скорости Р-распада
соответствует х 0,75. Такое расхождение между величинами спиновой пере-
нормировки, вытекающими из данных о магнитных моментах и о Р-распаде,
аналогично расхождению в случае орбиты db^ в ядрах с А = 17(т. 1, стр 337).
В обоих случаях это расхождение может быть устранено путем перенормиров-
ки орбитального g-фактора, меняющей его на величину порядка <5^/—0,Itz
(данные об аналогичном эффекте в магнитных моментах в области 208РЬ при-
ведены на стр 431).
Экспериментальное значение gK согласуется со значением х^0,7. Но
точность измерения в данном случае недостаточна для проверки предположе-
ния о перенормировке glt Имеющиеся данные о параметре b свидетельствуют,
по-видимому, о большей величине эффекта спиновой поляризации. Такое умень-
шение эффективных моментов для поперечной компоненты спина необходимо
как общее следствие приближенного сохранения асимптотических квантовых
чисел, приводящего к уменьшению флуктуации спина в продольном направле-
нии по сравнению с флуктуациями в поперечном направлении. В случае остова
24Mg поперечные спиновые флуктуации особенно сильны, поскольку велики
матричные элементы взаимодействия между заполненной орбитой [2113/2]
и незаполненной орбитой [2111^].
В p-распаде ядра 25А1 имеется слабый переход на член полосы основного
состояния 25Mg с	Опубликованная для этого перехода интенсивность
порядка 0,1% [383] отвечает времени жизни ft^<2- 105. Отсюда для соответ-
ствующего внутреннего матричного элемента получаем значение, примерно
втрое меньшее, чем (5.83). Столь сильное нарушение вращательных соотноше-
ний интенсивности вызывает удивление, особенно если учесть согласие, отме-
ченное для матричных элементов ЛИ-переходов.
Замечание. Противоречивый характер данных о матричных элементах пере-
хода из состояния с /=5/2 в состояние с / = 7/г» полученных из магнитных
переходов и из p-распада, можно еще более четко выявить, если использовать
выражение (1.65) для оператора магнитного момента и инвариантность относи-
тельно поворотов в изотопическом пространстве. Действительно, тогда мы
получим
'“г-4|2И''4’	=
т':" i ' \'~i	2-’	+
+	Л'Г=_Т/-
«г—2ISvl'-J. =
>..8-0.2, //_!,	м,.= 1\	(58<)
В это соотношение мы подставили экспериментальные значения матричных
элементов ЛИ-переходов в ядрах 25Mg и ,25А1, взятые из табл. 5.10. Экспери-
ментальное значение матричного элемента (5.84) составляет около 0,35. Таким
образом, из соотношения (5.84) следует, что матричный элемент оператора
изовекторного орбитального момента должен равняться ~ 7. Это слишком
большая величина, поскольку в данный матричный элемент не дает вклада
четно-четный остов ядра 24Mg (для которого 71 = 0), а вклад нечетного нейтрона
в рассматриваемой схеме связи составляет 2,6.
Одночастичная передача в ядрах с А = 25. Интерпретация нижних уровней
ядра 25Mg как состояний, отвечающих движению одной частицы в поле остова
9 О. Бор, Б. Моттельсон
258	Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
24Mg, подтверждается их интенсивным заселением в реакции 24Mg (d> р).
Амплитудами этой реакции определяются генеалогические коэффициенты, зная
которые можно найти коэффициенты {lj Q | v) разложения одночастичных вол-
новых функций [формула (5.42)]. Вероятности (// Q у)2, полученные таким
путем, в табл. 5.11 сравниваются с теоретическими значениями, отвечающими
волновым функциям табл. 5.9. Спаривание здесь не учитывается, поскольку
наличие статического поля спаривания в этих ядрах представляется маловеро-
ятным. В самом деле, энергетический интервал между заполненными и неза-
полненными одночастичными уровнями на фиг 5.1 почти вдвое превышает
параметр А, определенный по четно-нечетным разностям масс (т. 1, стр. 169,
фиг. 2.5). Это обстоятельство подтверждается отсутствием дырочных уровней
в экспериментальном спектре реакции (d, р) при энергиях возбуждения ниже
4 МэВ.
Таблица 5.11
ДАННЫЕ ОБ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЯХ ЯДРА “Mg, ПОЛУЧЕННЫЕ
ИЗ РЕАКЦИИ 24Mg (d, р)
		<0'Я I				Примечание
		/ — 1/з	/ = 8/г	i = •/« I	/ —7/г	
[202VJ	эксп.			(1,0)		а
	теор.					
(21В/2]	эксп.	0,23	0,44	0,19		а
	теор.	0,18	0,54	0,28		
[200«/2]	эксп.	0,08	0,40	0,02		
	теор.	0,55	0,38	0,07		
|3301/21	эксп.	0,2	0,6		1,4	
	теор.	0,08	0,42	0,04	0,47	
а Слабые группы с почти изотропными угловыми распределениями, интенсивность
которых меньше 10% интенсивности перехода на основное состояние.
В таблице даются квадраты коэффициентов разложения (Z/Q [ у), вычисленные по
экспериментальным дифференциальным сечениям реакции 24Mg (d, р) под углом 25е при
энергии дейтронов 15 МэВ. Экспериментальные данные и результаты их анализа по методу
искаженных волн взяты из работы [282]. Соответствующие одночастичные сечения норми-
рованы на переход в основное состояние, для которого предполагается (db/ Q == 5/2 | v)==i
Представленные в табл. 5.11 теоретические значения качественно согласу-
ются с экспериментальными. При количественном же сравнении необходимо
учитывать многоступенчатые процессы, а также взаимодействие Кориолиса.
Необходимость учета многоступенчатых процессов следует из того, что сечения
неупругого рассеяния протонов и дейтронов с возбуждением вращательной
полосы основного состояния всюду, кроме области малых углов, имеют такой
же порядок величины, как и для упругого рассеяния (см., например, [1013]).
Изучение эффектов многоступенчатых процессов в реакции 24Mg(d, р) прово-
дилось в работах [1013, 781, 192]. Прямым указанием на наличие таких
процессов можно считать заселение в рассматриваемой реакции члена полосы
§ 3. Моменты и переходы
259
основного состояния ядра 26Mg с 1 — Уъ [824, 614]. Наличие примеси компо-
нент с М==4 к одночастичной волновой функции приводит к малой амплитуде
рассматриваемого перехода. Величину этой примеси можно оценить, взяв
деформированный потенциал (5.5) [формулы (3.71) и (2.154)]:
/n = 4, g,/t. О = || f ЬМ^Р21 N = 2,d,/s, Й = .|\ =
=	(5.85)
При 6 0,4 и Де J5» 2faoo для амплитуды примеси состояния g,^ получим при
мерно 0,06. Отвечающее такой примеси сечение прямой реакции (d, р) более
чем на три порядка меньше сечения перехода на основное состояние. Между
тем экспериментальное сечение меньше последнего всего лишь на один поря-
док. Отсюда следует, что основным механизмом заселения уровня / —?/2
являются скорее всего многоступенчатые процессы.
Взаимодействие Кориолиса особенно велико для полосы [330 1/2], содержа-
щей большую компоненту состояния По-видимому, этим объясняется
большое экспериментальное значение интенсивности заселения члена данной
полосы с / = 7/2- В предельном случае, когда взаимодействие Кориолиса велико
по сравнению с энергетическими интервалами между всеми орбитами /7,
вся интенсивность уровня (равная четырем единицам, используемым в табл.
5.11) концентрируется на наинизшем состоянии с I (сферическая схема
связи). Расчет величины матричного элемента взаимодействия Кориолиса между
орбитами [3301/2] и [321 3/2] при /=7/2 дает значение, равное нескольким
мегаэлектронвольтам, т. е. сравнимое с энергетическим интервалом между
рассматриваемыми полосами. Вытекающее из такого значения матричного эле-
мента заключение о наличии промежуточной связи согласуется с экспери-
ментально определенной интенсивностью процесса одночастичной передачи на
орбиту /7/
Кулоновские энергии. Детальное соответствие между уровнями ядер 25Mg
и 25А1, показанное на фиг. 5.15, необычайно убедительно свидетельствует о заря-
довой симметрии ядерных сил (т. 1, гл. 1, § 3). Количественное сравнение
обнаруживает небольшие различия, которые можно объяснить зависимостью
распределений заряда (и магнитного момента) от квантовых чисел состояний.
Благодаря богатству имеющихся данных и простоте схемы связи в деформи-
рованных ядрах анализ этих эффектов в принципе^ может дать ценную инфор-
мацию о структуре внутренних состояний. Но соответствующий детальный
анализ пока еще никем не проводился, и поэтому мы ограничимся некоторыми
замечаниями качественного характера.
Энергии уровней в спектре ядра 25А1 смещены относительно соответствую-
щих уровней в ядре 25Mg на величины порядка 100 кэВ. Знак смещения
соответствует тому, что кулоновская энергия орбиты, вытянутой вдоль оси
симметрии (н3 А). меньше, чем у орбиты, расположенной в экваториальной
плоскости (rzj_ А). Таким образом, знак смещения такой же, как и для
разности кулоновских полей на полюсе и экваторе равномерно заряженного
сфероида. Но при количественном подходе оказывается, что он определяется
довольно тонким балансом между средним значением квадрупольной компоненты
кулоновского поля, в которой больший вес имеют экваториальные орбиты, и
противоположным эффектом изотропной компоненты кулоновского поля, в кото-
рую больший вклад дают вытянутые орбиты, имеющие несколько более сильное
радиальное размытие благодаря деформации ядерного потенциала.
Существенное влияние на кулоновские сдвиги должны оказывать эффекты
поляризации, аналогичные рассмотренным выше для случая одночастичных
9*
260 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
переходов [49, 290] В частности, взаимодействие с коллективными монополь-
ными изовекторными состояниями остова может заметно уменьшать изовектор-
ную плотность в точке локализации частицы, те*м самым распределяя ее более
равномерно по объему ядра. [Этот эффект аналогичен поляризационному
заряду, о котором говорится в гл. 6 (стр. 431) в связи с дипольными и квад-
рупольными изовекторными состояниями].
Внутренние состояния деформированных нечетных ядер в обла-
сти 150 < А < 188 (табл. 5.12 и 5.13)
Спектры, рассмотренные нами выше, иллюстрируют классификацию уров-
ней ядер с нечетным А на основе внутренних состояний, приведенных на
фиг. 5.1—5.5. В табл. 5.12 и 5.13 представлена последовательная классифи-
кация этих состояний для нечетных ядер в области 150 < А < 188. В этих
таблицах собраны экспериментальные данные по энергиям внутренних состо-
яний рассматриваемых ядер. Соответствующие таким состояниям одночастичные
орбиты обозначены асимптотическими квантовыми числами Nn3AQ. В табли-
цах даются энергии возбуждения (в килоэлектронвольтах) оснований полос,
отвечающих этим орбитам (уровней с 1 — К). Идентификация внутренних состо-
яний основывалась отчасти на соответствии с теоретическими значениями йл,
а отчасти —на более детальном изучении различных характеристик соответству-
ющих полос. Особо важную роль среди таких характеристик играют интенсив-
ности одночастичной передачи (см. пример на сгр. 231). Кроме того, как
показано в рассмотренных выше примерах, здесь используются эксперименталь-
ные вращательные энергии, статические моменты и вероятности переходов
(см. также систематику параметров развязывания в табл. 5.16, параметров g#
в табл. 5.14, значений ft для p-распада в табл. 5.15 и моментов инерции
в табл. 5.17).
Последовательность экспериментально установленных орбит в табл. 5.12
и 5.13 приблизительно соответствует теоретическим спектрам на фиг. 5.2 и 5.3
при 6 ~ 0,3, т. е. при типичном значении равновесной деформации в рассмат-
риваемой области (фиг. 4.25, стр. 125). При таких деформациях	*/’)
имеет место пересечение орбит, соответствующих разным главным оболочкам
в сферическом потенциале (пример такого рода —наличие нейтронных орбит
[4001/2], [402з/2] и [50511/21 в начале рассматриваемой области и протонной
орбиты [5411/2], а также нейтронной орбиты [боР/г] в конце ее).
Изменения величины 6, а также параметров деформации более высокого
порядка мультипольности приводят к систематическим вариациям энергий
наблюдаемых идентифицированных состояний от ядра к ядру Например,
уменьшение 6 при А 170 приводит к повышению энергий орбит из следую-
щей сферической оболочки (протонной орбиты [5411/2] и нейтронной орбиты
[ббВ/г]) относительно остальных орбит. Основные изменения формы ядер
в середине рассматриваемой области выражаются в том, что уменьшается пара-
метр (при возрастании А), тогда как параметр 6 почти не изменяется
(табл. 4.16, стр. 130). При таком изменении орбиты, лежащие вне эквато-
риальной плоскости, оказываются энергетически более выгодными, чем лежа-
щие в ней орбиты, для которых ц3 = 0 [см. формулу (4.192) и соответствующий
текст]. Этот эффект сказывается на положении протонных орбит [41 Р/г] и
[5149/г] относительно орбит [4047/2] и [4025/2] (вопрос о влиянии деформации
р4 на последовательность уровней в изотопах Тш и Lu рассмотрен в работе
[362, 363]).
Возможности количественного описания спектров нечетных ядер как
одночастичных орбит в статическом деформированном потенциале ограни-
чиваются взаимодействием с вращением и другими внутренними степенями
свободы. В большинстве случаев взаимодействие Кориолиса приводит лишь
к малым возмущениям (при не слишком больших угловых моментах /). Но
для некоторых орбит с большими / (и малыми й) оно столь велико, что
§ 3. Моменты и переходы
261
соответствующие состояния уже нельзя рассматривать как чистые внутренние
конфигурации с определенным значением К. Так обстоит дело в случае ней-
тронных орбит, снабженных в табл. 5.13 примечаниями „г“ и „д“- Связанные
с ними полосы обнаруживают существенные отклонения от нормальных враща-
тельных спектров. Но экспериментально установленную схему уровней можно,
по-видимому, объяснить взаимодействием Кориолиса в пространстве одноквази-
частичных состояний (см. например, [366, 602]).
Таблица 5.12
КЛАССИФИКАЦИЯ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ ЯДЕР
С НЕЧЕТНЫМ Z (63 Z < 75)
Ядро	[532V,]	[413*/,]	[41P/J	[5237/,]	[411»/2]	[404’/,]	[5l4’/2]	[4028/,]	[54P/,]	Приме чание
^fEu 155EU	97 104	0 0	103 246							
>^ть шть 159ТЬ uiTb	227 326 364 480	271 348 315	0 0 0 0	417	(970)					a a
‘«JHo U3Ho 165Но	827	995	362	0 0 0	211 298 429	440 716				a a
107 Т m оо 1111 169ТШ 171Тт				293 379 425	0 0 0	179 316 636			(175)	a a
l?JLu 173Lu 175Lu 177Lu				662	208 425 570	0 0 0 0	470 396 150	296 357 343 458	71 128 358	
177Тя 731 а 179Та i8iTa 18зуа					520 615	0 0 0 0	74 31 6 73	70 239 482 459	(217) 750	
183Re 185Re 187Re					826 880 626	851 872	262 496 387 206	0 0 0 0	432 702 1045	a a
а —данные о низколежащих
(Е < 700 кэВ) у-колебательных состояниях:
|&7ТЬ: (4118/,. 2+) i/2+, 598 кэВ,
159ТЬ: (411«/2, 2+)	581 кэВ,
1в1Но: (523’/,, 2+) з/2—, 593 кэВ,
----	---- л . . ..	515 кэВ. (523’/,, 2+) и/,—, 689 кэВ,
571 кэВ,
676 кэВ,
646 кэВ,
185Но: (523’/,, 2+) «/,-
1в’Тт: (41Р/2, 2+) */2-
”Чт: (41 li/2, 2+) */2-
185Re: (4024/2, 2+) »/а-г, ™
187 Re: (4024/2, 2-|-)	512 кэВ, (514®/2, 2+) 5/,—, 686 кэВ
В таблице перечислены внутренние состояния, идентифицируемые как преимущест-
венно одночастичные конфигурации. Для каждой из орбит приведена (в кэВ) энергия
возбуждения нижнего уровня соответствующей полосы (уровня с I = К = Й). Для несколь-
ких полос, в которых уровень с / — К пока не обнаружен, в скобках приведены значения,
полученные экстраполяцией энергий обнаруженных уровней этой полосы. Соответствующие
экспериментальные данные взяты из обзора [220]; данные о полосе [541*/2] в ядре 187Тш
взяты из работы [655].
Гаолица b.l 3
КЛАССИФИКАЦИЯ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЯДРАХ С НЕЧЕТНЫМ Z (91 Z < 111)
Ядро	530V«	532»/2	4001/2	660i/a	402«/2	651з/2	5051 >/2	521з/2	642‘/г	5235/2	633’/2	521i/2	5l25/2	514’/2	624V2	510»/2	S12»/s	503’/2	Приме- чание
153Smel 165Gd„ ’W91	422 (500)	127 399	415 368 388		321 269 307	0 105 235	98 121 199	36 0 0		321 344		696 560 463	(900)						г а, г, e г
1S7Gd93 16*Dye3 lelEr93	(809) (735)	700 627	684 564 481		475 418 369	549 463	425 354 396	0 0 0	64 178 (230)	435 310 172		704 538	(1000)			(1440)			a г, д г, д
16*Gd86 шОу.5 le3Ere5	(1120) (825) (815)	1109	973 608 541	780 774	744 550 463	679	681 486 444	0 75 104	68 0 69	146 26 0		507 367 346	873 799 609			1602 (1276) 1074			а, б, г а, г д
*eiGd97 ie3Dy97 le5Er97	(1250) (990)		1057 746	736 507	857 534	1084	495 591	313 422 243	251 47	0 0 0	446 (417)	356 351 297	809 719 478		800	1309 1159 920			б а, г г
165Dy96 167Er99 169Yb99			1135		1086		1052	574 753 660	812 591	534 668 570	0 0 0	108 208 24	184 346 191	960		570 763	1258 1354		е д, е б
le9Ert01 I7IYb101							1394	714 902		850	244 95	0 0	92 122	823 835	935	562 945	1082		б
l7lEr103 173Yb103 i75Hf103								1224			351 207	195 399 126	0 0 0	531 637 348	378	706 1031	906 1340		б
						1						1	1			1	1		
											1	1		1	1	1		1	
,;6уь105 K’Hf105								1620			(995) 746 478	920 .560 222	639 509 430	0 0 0	265 321 309	514 590	811 804	1058	6
,77Yb10, ,79HfI07 18iw„)7											(954)	614 385	518 366	104 214 409	0 0 0	332 375 458	709 720 726	1226 872 662	6
,83Wloe												936	905	1072	623	0	209	453	в
185Wln 187Osul												1013	888	1058	716	24 0	0 10	244 100	в в
a — данные о наличии орбиты [4047/2]:
i^Gd — 1295 кэВ, I57Gd — 1825 кэВ, 150Gd — 1960 кэВ, i01Dy — 1416 кэВ, 163Dy — 1840 кэВ.
б — данные о наличии орбиты [6511/г]:
ib»Gd — 1977 кэВ, lftlGd — 1489 кэВ, 16eYb — 1590 кэВ, i71Yb — 1610 кэВ, i73Yb — 1630 кэВ, 17&Yb — 1366 кэВ, ,77Yb — 1380 кэВ.
в — данные о наличии орбиты [61511/а1:
18з\у — 310 кэВ. 185 W — 198 кэВ, I87Os — 257 кэВ.
г — взаимодействие Кориолиса между орбитами [ббО^г] и [6513/2] приводит к сильному смешиванию соответствующих полос. Состоя-
ние /л = Va + было идентифицировано по сечению одночастичной передачи с Z = 0. Основная часть этого сечения обусловлена примесью
компоненты [400V2] за счет взаимодействия A/V = 2. Матричный элемент этого взаимодействия имеет порядок 100 кэВ (стр. 206). Состоя-
ния /л = 3/2+ идентифицированы по сечению передачи с I = 2, идущей за счет примеси компоненты [4023/2].
д _ экспериментальные вращательные энергии в полосе [6425/2] свидетельствуют о сильном взаимодействии Кориолиса с полосами
[65Р/2] и [6601/3].
е —данные о низколежащих (£ < 700 кэВ) (3- или у-колебательных состояниях:
155Gd (52Р/2, 0+) 3/2—, 593 кэВ,
105Dy (6337/2, 2+) 3/2+, 539 кэВ,
167Ег (6337/2, 2+) 3Л+, 531 кэВ,
Табл. 5.13 подобна табл. 5.12. Она также составлена на основе данных обзора [220]. Дополнительные данные по одночастичной пере-
даче и рассеянию взяты из следующих работ: по изотопам Gd—[1123], по изотопам Dy — [520]; данные о конфигурации [ббР/г] в изо-
топах Yb взяты из работы [1181].
264 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
В обширном материале, лежащем в основе рассматриваемой классификации,
нет данных о наличии уровней с энергиями ниже 500 кэВ, которым нельзя
приписать определенную однпчастичную конфигурацию. Несколько выше 500 кэВ
обнаружен ряд внутренних состояний, которые можно рассматривать как супер-
позицию квадрупольных колебаний и наинизшего одноквазичастичного состо-
яния (см. примечания к табл. 5.12 и 5.13). При более высоких энергиях воз-
буждения наблюдается возрастание плотности уровней. Здесь имеются как
трехквазичастичные состояния, так и суперпозиции колебаний и одночастичных
состояний. Систематическая интерпретация экспериментально измеренных спек-
тров при энергиях возбуждения выше 1 МэВ носит пока в какой-то мере
предварительный характер, поскольку возможны взаимодействия между самыми
разнообразными элементарными возбуждениями. Но на основе изучения про-
цессов одночастичной передачи удалось идентифицировать большое число состо-
яний с энергиями от 1 до 2 МэВ, которые содержат основную часть интенсив-
ности некоторых одночастичных конфигураций (см., например, работы, указан-
ные в табл. 5.13; предварительные данные по одночастичной силовой функции
при еще больших энергиях возбуждения см. например, в работе [55]).
Магнитные g-факторы одночастичных состояний (130 < А < 190,
табл. 5.14)
Магнитные g-факторы gK и g# для вращательной полосы с /< =# х/2 можно
вычислить по измеренным значениям магнитного момента и матричного элемента
Ml-перехода [формула (4.87)]. Для полос с К = 1/2 матричные элементы
Ml-перехода содержат еще параметр b [формула (4.88)], так что в этом случае
требуется знать еще один статический момент или вероятность перехода
(см., например, анализ матричных элементов Ml-перехода в полосе /< = 1/2
ядра 167Тт, табл. 4.7, стр. 103). В табл. 5.14 приведены имеющиеся данные
о магнитных параметрах вращательных полос нечетных ядер с 150	< 190.
Из табл. 5.14 видно, что g^-фактор является характерной величиной,
которую можно использовать для идентификации конфигураций Вариации зна-
чений gK — gR от орбиты к орбите непосредственно проявляются в отношениях
разветвления Е2/М1 для переходов между вращательными состояниями с Д/ =
= 1. Например, очень малые значения gK — gR для нейтронных орбит [5235/2]
и [5147/2] приводят к тому, что переходы с Д/= 1 внутри соответствующих
полос содержат большие примеси Е2 (порядка 50% и более). Этот эффект
является характеристическим для данных орбит во всех ядрах, в которых они
наблюдаются (см., например, разительное различие в отношениях М1/Е2 для
переходов внутри полос [5147/2] и [624%] в ядре l77Hf, иллюстрируемое
в табл. 4.8, стр. 106).
Факторы gK для одноквазичастичных состояний даются выражением [см.,
например, формулу (4.351)]
(Я | gss3+gll31 й) =1	+ &S - gt) (О I s8 | £2>],	(5.86)
где gs и gi — спиновый и орбитальный g-факторы последнего нечетного нуклона.
Для диагональных матричных элементов Ml-фактор спаривания равен единице
[формула (5.43)]. Магнитный параметр развязывания b для полос с Q=1/2
определяется выражением [формула (4.351)]
(SK~gR)b= <^Q=y|(gz-gR)/+ + (gs-gR)s+ |я=4/ =	(5.87а)
= -(#-£/?) * + (£s-£z) \Я = у |	| Q =	=	(5.876)
= -(gi-8R)	'(Ss+g^-2gi).	(5.87в)
§ 3. Моменты и переходы
265
Таблица 5.14
МАГНИТНЫЕ g-ФАКТОРЫ ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ЯДЕР (150 < А < 190)
Ядро	[ЛГ/ЬЛЙ]	sr	)эксп	(&К )теор	(^)эфф (£$)своб
is3Eu	c [413’/,]	Состояния неч 0,47	етного протоь 0,67	ia 0,30	„	0,57
159ТЬ	[411%]	0,42	1,83	2,28	0,71
165НО	[5237,1	0,43	1,35	1,53	0,72
169ТГП	[411%]	0,41	—1,57	—2,44	0,79
i?5Lu	[4047,1	0,31	(0,32)* 0,73	(—0,05)* 0,41	0,47* 0,55
l8ITa	(4047,1	0,29	0,78	0,41	0,48
i85Re	4025/d	0,42	1,61	1,90	0,74
187Re	4026/2]	0,41	1,63	1,90	0,76
155Gd	C [521721	остояния нечс 0,32	етного нейтро -0,48	на —0,61	0,79
157Gd	5213/2]	0,26	-0,53	-0,61	037
шоу	[642%]	0,21	—0,34	—0,45	0,76
ieiDy	523V2]	0,32	0,17	0,39	0,44
163Qy	523%]	0,27	0,25	0,39	0,64
167Er	[6337J	0,18	-0,26	—0,39	0,67
171 Yb	[52U/2]	0,28	1,43	1,75	0,82
пзуь	512*/,]	0,28	(—0,48)* —0,49	(—0,79)* -0,56	0,71* 0,87
177Hf	[51472]	0,26	0,21	0,40	0,52
179Hf	[624’/2]	0,22	—0,22	-0,35	0,63
Экспериментальные данные взяты из работы [149]. Дополнительные значения g% для
изотопов Eu, Dy, ,77Hf, l79Hf и Re получены иэ отношений разветвления и магнитных
моментов, приведенных в работах [972, 736]. Статические моменты ядер 177Hf и 17BHf
взяты из работы [228а]; соответствующие параметры для ядра 1<50Тш приведены на
стр. 101. В скобках указаны экспериментальные и теоретические значения (g^ —gj^jb
для полос К = J/2 В последнем столбце приведены эффективные g^-факторы, вычисленные
по этим экспериментальным данным (эффективные g^-факторы, вычисленные по магнитным
параметрам развязывания в полосах с /( = 1/2. отмечены звездочками). Таблицу подгото-
вил д-р Ламм.
Соотношения (5.876) и (5.87в) между магнитным параметром развязывания
и вращательным параметром а, который определяется соотношением (5.46), спе-
цифичны для одночастичных состояний. При выводе соотношения (5.87в) исполь-
зовано тождество
<(q=1|s+|q=|>=
где (Л=0,£=1/2| Й=1/2)2 — вес состояния с s3 = S=V2 в состоянии |Й = 1/2)
а (—\)1 — квантовое число г в состоянии |Л = 0), равное пространственной
четности одночастичной орбиты.
266 Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Экспериментальные значения g^ и b сравниваются в табл. 5.14 с теорети-
ческими, найденными по формулам (5.86) и (5.87а) с использованием волновых
функций табл. 5.2 и факторов gs и gi д,ля свободных нуклонов. Эксперимен-
тальные значения gK систематически расходятся с теоретическими. Расхожде-
ние можно приближенно объяснить эффектом спиновой поляризации того же
типа, что и в случае конфигураций, содержащих одну частицу сверх запол-
ненных оболочек (т. 1, стр. 327). В последнем столбце табл. 5.14 приведены
значения отношения (£5)Эфф/fe)cBo6> при которых волновые функции табл. 5.2
дают экспериментальные значения gK. Эти данные указывают на наличие эффекта
спиновой поляризации
(&$)эфф	(£$)своб-	(5.89)
Данные о параметрах Sr) b в полосах с К = 1/2, представленные в табл.
5.14, также указывают на существенное уменьшение эффективного ^-фактора.
В табл. 5.14 предполагается, что gz = (g/)cBo6- Перенормировка величины g[ на
6gz^ —0,1тг, необходимость которой следует из других данных (стр. 257 и
431), привела бы к изменению факторов перенормировки gs на величины
порядка 0,1 для орбит с наибольшими значениями Л.
Эффект спиновой поляризации можно рассматривать как результат взаимо-
действия одночастичных состояний с возбуждениями четно-четного остова, инду-
цируемыми полями, зависящими от спина (гл. 6, § 3). При таком подходе пере-
нормировка продольного g-фактора gK обусловлена возбуждениями с ДК = 0,
а поперечный фактор (gK — gR)b связан с возбуждениями, имеющими ДК=1.
Поскольку в асимптотическом пределе спиновые флуктуации с АК = 0 отсут-
ствуют, продольный фактор (£5)Эфф должен перенормироваться слабее, чем
поперечный ([145]; данные о различии в перенормировке для продольных и
поперечных g-факторов рассматриваются в работе [148]). Однако продольные
g-факторы ^$)Эфф в деформированных ядрах сравнимы (хотя, по-видимому, и
несколько больше) с экспериментальными значениями g-факторов в сферичес-
ких ядрах (т. 1, стр. 344). Это показывает, что характерное для асимптотичес-
кого предела затухание спиновых флуктуаций с ДК = 0 при реальных ядер-
ных деформациях происходит лишь частично. (Ослабление эффекта спиновой
поляризации в деформированных ядрах по сравнению с ядрами вблизи запол-
ненных оболочек может быть обусловлено также парными корреляциями. Они
увеличивают вероятность нахождения нуклонов в состоянии относительного
движения и поэтому уменьшают амплитуду спиновых флуктуаций.)
Отметим, что приведенное выше описание эффектов перенормировки опе-
ратора М\ следует рассматривать лишь как качественное приближение, пос-
кольку эффективный оператор может содержать члены другой структуры,
отсутствующие в операторе магнитного момента свободного нуклона. В частности,
при включении эффектов спиновой поляризации в эффективном операторе ЦЭфф
(входящем в задачу о вычислении g^) появляются члены вида
(Нэфф)д/(=0=£/о^ + £$05з+£$0 (S3^2o) + SsO	(S+1^2-l + S-1^21)» (5.90)
где индекс 0 в g-факторах отвечает значению ДК. В сферических ядрах эффек-
тивный оператор магнитного момента содержит только один дополнительный
член с У2 [формула (3.44)]. В деформированных ядрах этот оператор может
содержать и более высокие сферические гармоники, но в выражении (5.90)
мы этим пренебрегаем. Поперечный оператор рЭфф» входящий в задачу о ЛИ-пере-
ходах с М = 1 и в магнитный параметр развязывания b в полосах с /< = 1/2,
содержит члены вида
^Фф)дх = 1 = £/?+1 + £$15-н~1~£$1 (s+i/2o) +*£si (s3^2i) +е^?-с°пр.	(5.91)
§ 3. Моменты и переходы
267
При феноменологическом анализе все g-факторы, входящие в формулы (5.90)
и (5.91), рассматриваются как независимые параметры, описывающие эффек-
тивный оператор Ml. Определение этих параметров из опыта могло бы дать
ценную информацию о структуре ядерных полей, зависящих от спина. Самое
удивительное в значениях g%, приведенных в табл. 5.14,—то, что в ядрах
с нечетным числом протонов они всегда больше, чем в ядрах с нечетным числом
нейтронов. Значения g# в полосах основных состояний четно-четных ядер при-
ведены на фиг. 4.6; они лежат между значениями для ядер с нечетными Z и
нечетными N Увеличение вращательных g^-факторов при переходе к ядрам
с нечетным А можно объяснить тем, что моменты инерции этих ядер система-
тически превышают моменты инерции четно-четных ядер. Это означает, что
последняя нечетная частица дает большой вклад в полный ток, связанный
с коллективным вращением ядра с нечетным А (о приближенном соотношении
между изменениями g^-факторов и моментами инерции говорится в связи
с ядром 159ТЬ, рассмотренным в примере на стр. 228).
Матричные элементы разрешенных облегченных переходов
Гамова—Теллера (табл. 5.15)
Единственными разрешенными p-переходами в асимптотическом пределе
являются переходы между членами изобарических мультиплетов и переходы
Q = Л —> Q =Л + г/2 между компонентами спин-орбитальных дублетов.
Пример переходов первого типа рассмотрен в связи с фиг. 5.15 (25А1-> 25Mg).
Для ядер с нейтронным избытком такие переходы энергетически запрещены.
В тяжелых ядрах протонные и нейтронные уровни Ферми лежат в разных
главных оболочках. Поэтому переходы между спин-орбитальными партнерами
в таких ядрах идут только между орбитами с большими /, для которых энер-
гия спин-орбитального расщепления сравнима с интервалом между главными
оболочками. Естественно, что такие переходы довольно редки, а потому факт
существования разрешенного облегченного p-перехода является весьма специ-
фическим указанием на характер орбит, участвующих в переходе (см. пример
ядра 175Yb, стр. 233).
В табл. 5.15 представлены величины ft для переходов между спин-орби-
тальными партнерами в ядрах с 150 < А < 185. Из нее видно, что они груп-
пируются около значения 1g ft^ 4,7. Для разрешенных p-переходов, идущих
•с нарушением асимптотических правил отбора, величина 1g// равна 6 — 8
Хсм. пример перехода 159Gd -> 159ТЬ, стр. 230, а также работы (853, 736]).
Величины ft в табл. 5.15 относятся к переходам между основаниями полос
/==/<^t/<+l, / = /<-]-1). Соответствующие им вероятности перехода
даются выражением [формулы (3.46), (3.50) и (4.91)]
2Л4-1	8,3 • 103
<К+1 I М+ | Ку г=—,	(5.92)
тде 7 > —наибольшее из и Iпричем ft — в секундах. Таким образом, внут-
ренние матричные элементы, вычисленные по экспериментальным значениям //,
лежат в пределах
| <К+ 1 | /±а+ | К) | ^0,4.	(5.93) В * * * * *
В асимптотическом пределе этот матричный элемент равен 2. Матричные же
элементы оператора вычисленные для приведенных в табл. 5.15 орбит
с использованием волновых функций табл. 5.2, примерно на 10% меньше
этого предела.
Поправка на парные корреляции в данном случае определяется выраже-
нием (5.44). Если орбиты начального и конечного состояний близки к уровню
268
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Ферми, то эта поправка уменьшает внутренний матричный элемент примерно
вдвое [при е(у)^ЕЛ мы имеем и^и «^2_t/2]. В некоторых случаях, приве-
денных в табл. 5.15, переходы идут на возбужденные состояния, и тогда
поправка на парные корреляции ближе к единице (см., например, [1051, 1226]).
После введения такой поправки теоретические значения матричных элементов
переходов Гамова — Теллера остаются примерно в 2 раза больше эксперимен-
тальных.
Таблица 5.15
РАЗРЕШЕННЫЕ ОБЛЕГЧЕННЫЕ 0-ПЕРЕХОДЫ В ДЕФОРМИРОВАННЫХ
ЯДРАХ С НЕЧЕТНЫМ А (150 < А < 185)
Переход	Начальное ядро	Конечное ядро	Igf/
	159Но	‘^Dy (310)	~ 4,8
	i°iGd (И'-Ju	>&Tb (418)	4,85 ± 0,04
	19}Но	‘SIDy (26)	4,8 ± 0,2
	юзрг	‘S?Ho (0)	4,83 ± 0,01
[523’/2Ъ~1523%]я	‘^Ег	‘SIHo (0)	4,64 ± 0,02
	‘?§Yb	‘eijTm	4,8 ± 0,1
		'?’Er (668)	4,8 ± 0,2
	*»’Yb	i"Tm (293)	4,55 ± 0,05
	'•’Но	'g’Er (850)	
	>’*Yb	>HLu (396)	4,7
(514*/2Jp — [5147/г1п		>HTa (31)	4,6
	‘HOs	fJRe (262)	4,4
В таблице представлены 0-переходы, которые, согласно классификации состояний
в табл. 5.12 и 5.13, должны быть «разрешенными облегченными». В скобках указаны энер-
гии возбуждения дочерних ядер (в килоэлектронвольтах). Значения 1g ft взяты из крити-
ческого обзора [1226].
Существенное уменьшение матричных элементов переходов Гамова—Теллера
может быть обусловлено поляризационными эффектами, аналогичными спиновой
поляризации для М1 -переходов (стр. 266; см. также об эффектах поляризации
для переходов Гамова—’Теллера в сферических ядрах, т. 1, стр. 337). Приве-
денные выше данные показывают, что эффект спиновой поляризации для пере-
ходов Гамова —Теллера примерно вдвое сильнее, чем для факторов g^. Эту
разницу можно качественно объяснить влиянием нейтронного избытка и дефор-
мации. Если в остове ядра N = Z, то изовекторная часть спинового магнит-
ного момента связана с оператором перехода Гамова —Теллера поворотом
в изотопическом пространстве (т. 1, стр. 336; см. также пример А =25, рас-
смотренный выше). С увеличением нейтронного избытка интенсивность зарядово-
обменных спиновых флуктуаций растет Поэтому для оператора перехода
Гамова —Теллера перенормировка должна быть сильнее, чем для All-перехода.
Кроме того, деформация ослабляет перенормировку продольного (Д/< = 0) маг-
нитного момента (стр. 266).
§ 3. Моменты и переходы
269
Параметры развязывания вращательных полос с К=г!г
(табл. 5.16)
В табл. 5.16 представлена систематика экспериментальных параметров
развязывания для низколежащих (Е < 500 кэВ) одноквазичастичных состояний
в области 150 < А < 190. Соответствующие данные для ядер в области
19 ^А 25 приведены в табл. 5.8. [Параметры развязывания в актинидах
приведены в табл. 4.19 (239Ри), 5.12 (237Np) и 5.14 (235U).] Из табл. 5.16
видно, что параметры развязывания для заданной орбиты в разных ядрах
приблизительно одинаковы. Поэтому их можно использовать для идентификации
орбит с
Приведенные в таблице теоретические значения а найдены по формуле (5.46)
с использованием волновых функций табл. 5.2 при 6 = 0,3. В асимптотическом
пределе мы имеем д = 0 при Д=1 и c = (-l)iV = n при А = 0. Как экспери-
ментальные, так и теоретические значения а заметно отличаются от этих пре-
дельных значений. Отсюда видно, что рассматриваемые параметры чувстви-
тельны к более тонким деталям одночастичных волновых функций. В случае
орбит с большими а доминирующий вклад дает одно значение j для орбиты
[ЗЗО1^] и h9/it для орбиты [5411/2]). В этом случае Д (/) = (—1У 1/2 (/ +г/г)
[формула (5.46)].
Наличие линейного по / члена во вращательной энергии —самое прямое
проявление взаимодействия между внутренним и вращательным движением.
Поэтому приближенное согласие между теоретическими и экспериментальными
значениями параметров развязывания, демонстрируемое в табл. 5.16, может
служить сильным доводом в пользу предполагаемой нами структуры этого
взаимодействия. При более детальном анализе параметров развязывания следует
учитывать как поляризационные эффекты, так и различие между моментами
инерции четно-четных и нечетных ядер.
В выражении (5.46) для а предполагается, что инерционный параметр А
в полосе с К = 1/2 совпадает с параметром Ао для четно-четного остова. Если же
А и Ао не совпадают, то в выражении для а появляется дополнительный мно-
житель Aq/A [формулы (4.61) и (5.45)]. Для большинства орбит в табл. 5.16
эта поправка довольно мала. В самом деле, значения А лишь на 10—20% меньше
значений Ао для полос основных состояний четно-четных ядер (табл. 5.17),
причем основную часть этой разницы можно объяснить изменением Ао из-за
наличия нечетной частицы (стр. 274).
Однако для протонной орбиты [541 х/2] величина А особенно мала (табл. 5.17).
Увеличение момента инерции этой орбиты может, по-видимому, объясняться
сильным взаимодействием Кориолиса с орбитами [5323/2] и [5301/г]* энергия
которых должна быть близкой к рассматриваемой (фиг. 5.2). Тогда теорети-
ческое значение а увеличивается примерно на 30%, что существенно улучшает
.согласие с экспериментом [601]. При этом нужно иметь в виду, чао величина а
для орбиты [5411/2] довольно чувствительна к ядерной деформации. Приве-
денное в табл. 5.16 теоретическое значение относится к 6 = 0,3, но при этом
da/db^—10. Поэтому, как видно из фиг. 4.25, вариации 6 от ядра к ядру
дают существенный вклад в изменение экспериментальных значений а для этой
орбиты.
На вклад спина нуклона в параметр развязывания могут влиять эффекты
поляризации типа рассмотренных для магнитных моментов. Поскольку соответ-
ствующий оператор пропорционален s+, его перенормировка связана с поляри-
зуемостью поперечной составляющей изоскалярного спинового поля (ДК=1,
л =	т = 0). Этим она отличается от перенормировки оператора Л41-перехода,
которая связана главным образом с изовекторными спиновыми полями. В на-
стоящее время нет почти никаких данных об эффективном взаимодействии для
изоскалярных спиновых полей.
270
Таблица 5.16
ПАРАМЕТРЫ РАЗВЯЗЫВАНИЯ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ
В ОБЛАСТИ 150 < А < 190
Ядро	E, кэВ	%ксп	Орбита
	429	—0,44	
штт 171Тт	0 0 0	—0,72 —0,77 —0,86	Атеор “ —0,9
	208	—0,71	(Аорб =—1,0)
пзщ	425	—0,75	
1в7Тт	(175)	3,6*	
i?iLu 173Lu	71 128	4,0* 4,2	[54P/2]p
176LU	358	4,2	Атеор = 3,0
i75Ta	(80)	5,1 *	(^ор б =3,5)
i7?Ta	(230)	5,7*	
leiGd	356	0,31	
163Dy	351	0,26	
165ЕГ	297	0,56	
165Dy	108	0,58	
167Ег	208	0,70	(52B/Jn
1беуь	24	0,80	
169ЕГ	0	0,83	^тсор “ 0,9
inYb	0	0,85	(Аорб — 1,2)
173Hf	0	0,82	
171Ег	195	0,62	
изуь	399	0,73	
L75Hf	126	0,75	
177Yb	332	0,24	
17&Hf	375	0,16	151042b
181W	458	0,59	
183^	0	0,19	Атеор — —0,2
185QS 185\V	0 24	0,02 0,10	(Аорб ^Ч-ОД)
187W	146	-0,00	
В таблице представлены энергии возбуждения оснований полос (уровней с — »/2)
н параметры развязывания, вычисленные по энергиям уровней с / = */2, V2 и 5Д для
некоторых полос, основанных на состоянии [5411/г], соответствующие данные отсут-
ствуют В таких случаях параметры развязывания (отмеченные звездочками) и экстрапо-
лированные энергии оснований полос (приведенные » скобках) вычислены по наинизшим
из известных уровней соответствующей полосы. Экспериментальные данные взяты из па-
бот [220, 520 655, 1123].
Таблица 5.17
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ДЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ПОЛОС ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЯДРАХ С 150 < А < 190
А. Протоны
Ядро		[5325/2]	[4135/2]	[41P/d	[523’/2]	[41П/2]	[4О4’/2]	[514»/2]	[40272]	[541>/2]
‘^Еи	20,4	7,7	11,9	13,9						
155EU	14,3	9,2	11,2	12,3						
'^ТЬ	21,8			13,1						
167ТЬ	15,7	4,5		12,2						
158ТЬ	13,8		11,6	11,6		12,0				
ШТЬ	13,0	15,1	11,4	11,2						
SJHo	15,7				11,0	(12,5)				
1бзно	14,3				10,2					
165 Но	12,8			11,6	10,5	11,7	11,7			
	14,0				10,1	12,4	12,9			-'ll
169Тт	13,7				10,4	12,4	13,0			
171Тт	13,2					12,0				
,7;lu	14,9				14,0	13,2	13,6	,3	14,2	(10,8)
173Lu	14,1					12,7				8,6
l75Lu	13,7						12,6		12,8	10,0
177Lu	14,6					14,2	13,5	12,6	13,4	
,77Ta	16,5						14,6	13,5	14,5	(12,5)
i79Ta	16,4						14,9			
шТа	16,1						15,1	13,9		
183Та							15,9		16,2	
'«‘Re	19,2							14,9	16,8	
183Re	18,3						16,8	15,3	16,3	
18ftRe	20,7							15,3	17,9	
187Re	23,1							16,6	19,2	
Ядро	e —c	о to	[532»/,]	Ю о Ю	CM m	CM
	16,9		11,1		11,0	
156Gd91	17,7	8,3		12,4	12,0	
167DyM	19,7	(8,7)	11,0		12,2	
,57Gd93	14,1	(7,7)	10,2		10,9	7,4
159Dy93	15,5	(7,4)	12,6		11,3	
wlEr93	19,0			14,0	11,9	
l69Gd95	12,9	(7,7)	9,8		10,1	(7,3)
w,Dy95	13,9	(7,5)			11,4	6,3
l63Er95	16,1	(8,9)		13,1	12,0	
1MGd97					(10,4)	
W3Dy97	12,8	7,0			10,7	5,0
16SEr97	14,3	(10,2)			10,6	
le5Dy99						
l67Er99	13,6				11,5	
le9Yb90	14,3				12,4	
16вЕгю1	13,3				11,0	
171Yb101	13,6				(14,8)	
Продолжение табл. 5.17
Б. Нейтроны
3 Л СО S	16337/2 J	СМ ю	см ш		[6247 8]	о LO	[5123/И	о ш	[615172]	1 ГЛтеэТ
		13,6								
		13,5								
11,3		12,8	(12,9)							
11,7		12,2						10,4		
12,2		12,6	11,1			(12,4)				
13,5										
11,6		Н,5	10,7			11,6				7,3
Н,1		11,8	11,6			(Н,3)				
12,0		13,3	12,8			11,3				
10,4	(7,1)	10,5	Н,4			11,4				7,6
10,5	(9,2)	10,2	11,7			13,0				
11,0		12,6	13,9			13,1				
	9,3	10,6	П,1			Н,1	12,0			
11,0	8,8	11,2	11,9			11,6	11,9			
11,1	7,9	11,7	12,5			12,4				
12,4	8,4	11,8	12,1	12,0		11,7	12,6			
	8,0	12,0	12,2	12,6		14,0				
Продолжение табл. 5.17
Ядро	e — e	о in		LO О in	04 in	о	co 04 in		04 in	04 in	(5l4’/2] —		о in	CN in	о iQ	in S	[65P/2]
П1Ег103 173Yb103 l75Hf103 l75Yb105 *”Hf105 t7*wl03 l”Yb107 178HfI07 181W10, 183w109 *Wln l8’Osm	12,9 14,9 13,2 15,1 17,8 15,5 16,8 17,6 19,5 24,4				10,8 12,2		9	6,9 (10,3) li,4 10,6	12,0 12,1 13,5 13,7 15,0 13,1 14,6 18,2 16,7	10,0 11,2 11,6 12,7 13,8 14,3 13,8 15,8 13,9 14,0	12,7 12,5 14,1 11,6 12,6 13,3 12,3 13,6 13,3 16,2 17,9	10,0 (10,7) 9,6 11,2 11,2 10,3 14,0 12,7	11,5 11,7 11,6 12,3 13,2 15,1 13,0 21,1 23,7	13,2 12,8 12,0 14,8 12,8 13,5 16,2 16,6 13,2 13,1	15,8 16,4	13,7 14,3	
В таблице представлены константы вращательной энергии А — Л2/2^ (в килоэлектронвольтах), вычисленные по экспериментальным
интервалам между двумя (в случае полос cK = */2 между тремя) наинизшими членами полосы. В тех случаях, когда наинизшие члены
полосы экспериментально не определены, константы А вычислены по более высоким членам полосы и приводятся в скобках. Значения А
для полос основных состояний набраны жирным шрифтом. Приведенные данные взяты из работ [220, 520, 655, 1123]. Полосы, отмеченные
в табл. 5.13 как сильно искаженные взаимодействием Кориолиса, не очень хорошо описываются разложением вращательной энергии по
степеням 1(1 + 1) и поэтому в данную таблицу не включены (в качестве критерия для включения в таблицу мы требовали совпадения
в пределах 20% моментов инерции, определяемых по двум наименьшим энергетическим интервалам в полосе) Во втором столбце приве-
дены средние значения параметров А по двум соседним четно-четным ядрам, взятые из работы [736]; см. также табл. 4.12.
274
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
В табл. 5.16 указаны относительные вклады орбитальной и спиновой части
в расчетные параметры развязывания; в ней приведены значения аорб —
=— (q=i/2 Q = 1/2). Для большинства рассматриваемых орбит основной
вклад в а дает орбитальный момент. Но для орбиты (бЮ1^] существенный вклад
в а дает спин. Экспериментальные данные для этой орбиты указывают, по-види-
мому, на наличие эффекта поляризации, уменьшающего этот вклад примерно
вдвое.
Перенормировка матричных элементов орбитального углового момента может
быть обусловлена зависимостью взаимодействия от скорости (см. стр. 266, где
говорится об этом в связи с интерпретацией орбитальных g-факторов). Но ана-
логичные эффекты перенормировки для изоскалярного момента должны быть
слабее ввиду приблизительной локальной галилеевой инвариантности (стр. 84).
Особенно информативны в этом отношении данные о матричных элементах /+,
содержащиеся в экспериментальных параметрах развязывания орбит [41 Р/г] и
[5211/г]- Данные табл. 5.16 указывают на некоторое уменьшение матричных
элементов /+ для этих орбит (с учетом того, что теоретические значения а для
этих орбит могут быть увеличены за счет эффектов спиновой поляризации и
различия между А и До).
Моменты инерции для вращательных полос в нечетных ядрах
с 150 < А < 190 (табл. 5.17)
В табл. 5.17 представлены данные об инерционных параметрах fi2/2j? для
одноквазичастичных состояний в ядрах с нечетным А. В ней приведены также
средние значения инерционных параметров в соседних четно-четных ядрах. Мы
видим, что моменты инерции в ядрах с нечетным А примерно на 20% (хотя и
с большим разбросом) превышают моменты инерции в четно-четных ядрах
(см. также фиг. 4.12).
Увеличение моментов инерции при переходе от четно-четных ядер к ядрам
с нечетным А обусловлено парными корреляциями. Как показано выше (гл. 4,
стр. 85), последние ответственны за уменьшение моментов инерции полос
основных состояний четно-четных ядер примерно в 2 раза по сравнению с твер-
дотельными значениями. Наличие нечетной частицы приводит к уменьшению
корреляционного параметра А и, следовательно, к уменьшению параметра А.
Кроме того, момент инерции увеличивается за счет взаимодействия Кориолиса
между одноквазичастичными состояниями.
Данные об интенсивностях реакций двухчастичной передачи и а-распада
указывают на то, что в нижних полосах ядер с нечетным А параметр А2 при-
мерно вдвое меньше, чем в полосах с v = 0 четно-четных ядер Такое умень-
шение А можно приближенно объяснить эффектом «блокировки», обусловленным
наличием нечетной частицы (стр. 241). Согласно оценке (4.128), уменьшение А2
в 2 раза (для протонов или нейтронов) приводит к увеличению момента инерции
примерно на 15%.
Увеличение момента инерции во втором порядке по взаимодействию Корио-
лиса для последней нечетной частицы определяется выражением (5.47). В этом
выражении учитывается также, что наличие нечетной частицы приводит к исклю-
чению некоторых возбуждений с v==2 из момента инерции четно-четного остова.
Для самых нижних орбит можно пользоваться формулой (5.48) и тогда простую
качественную оценку величины рассматриваемого эффекта можно получить
с помощью асимптотических выражений для внутренних волновых функций.
В этом пределе взаимодействие Кориолиса индуцирует переходы с Дп3= + 1,
Ап^ = ±1, одночастичные энергии возбуждения которых равны Ае = ±
± й (со^ — (Оз) = ± йсооб. Отсюда получим [см выражение (5.27) для матричных
элементов 1^.]
Ы = -	[2пэ (N - ns) + N + п3].	(5.94)
§ 3. Моменты и переходы
275
При выводе формулы (5.94) мы пренебрегли малыми вкладами спина нуклона
и переходов с ДМ = 2. Для величины — &А/А0 эта формула дает значения
5-20%.
В случае низколежащих протонных орбит с М = 5 и нейтронных орбит
с N =6 асимптотическая формула (5.94) занижает величину 6Л. В самом деле,
эти орбиты можно приближенно рассматривать как состояния hil/z и
Матричные элементы взаимодействия Кориолиса для этих состояний, равные
(/, Q +1 !/+|/Q) = [/(/ +1) — Q (Q +ijjVe, заметно превышают оценку (5.27)
при Q<C/« Кроме того, как видно из формулы (5.4), энергетические знамена-
тели в этом случае меньше асимптотического предела примерно в Q// раз
(малость соответствующих энергетических интервалов при Q<C/ непосредственно
видна из фиг. 5.2 и 5.3). Поэтому формула (5.48) для протонных орбите N =5
и нейтронных орбите М = 6 дает значения, которые в ряде случаев сравнимы с Яо.
Экспериментальные значения момента инерции в нижних, состояниях ядер
с нечетным А отчетливо показывают, что в протонных орбитах с N = 5 и ней-
тронных орбитах с М=6 имеет место особенно большое увеличение моментов
инерции. Этот эффект можно объяснить тем, что для данных орбит существенно
взаимодействие Кориолиса. Для других низколежащих орбит, приведенных
в табл. 5.17, влияние взаимодействия Кориолиса проследить труднее, так как
поправка в моменте инерции этих орбит на изменение Д сравнима с оценкой
(5.94) и даже превышает ее.
Количественно вклад взаимодействия Кориолиса в % можно рассчитать
в тех случаях, когда энергии соответствующих одночастичных состояний опре-
делены по другим данным. В нескольких случаях для состояний с большими j
такая информация имеется. Проведенные в этих случаях вычисления показали,
что учет взаимодействия Кориолиса приводит к величинам 6Л, примерно вдвое
превышающим экспериментальные значения (см. о ядре 235U, стр. 247).
Для орбит с большими / существенное увеличение момента инерции воз-
можно также за счет члена четвертого порядка во вращательной энергии четно-
четного остова. Этот член имеет вид В (1 — j)4 (см. аналогичный чЛен второго
порядка (4.325) в модели частица — ротатор]. Соответствующий ему вклад в коэф-
фициент при члене с / (/+1) во вращательной энергии таков:
6Л=4Вр(/+1)--| №].	(5.95)
При вычислении этого вклада следует использовать коэффициент В, описываю-
щий энергию четно-четного остова при наличии нечетной частицы.
То, что в модели взаимодействия Кориолиса завышается связь одночастич-
ных состояний с вращением, подтверждают данные табл. 5.17, касающиеся
возбужденных конфигураций. Энергетический интервал между состояниями, свя-
занными большими матричными элементами оператора (Дп3 = ± 1, Дп^ = йР 1),
обычно составляет примерно 2 МэВ. Но в случаях, когда уровень Ферми лежит
примерно посредине между соответствующими орбитами, эти состояния могут
стать почти вырожденными с энергией возбуждения ~ 0,5 МэВ. В отсутствие
спаривания матричные элементы взаимодействия Кориолиса между такими состоя-
ниями обращаются в нуль. При наличии же спаривания они остаются конеч-
ными, хотя и уменьшенными в u1u2A~^iv2^ раз, где Е — квазичастичная
энергия [формула (5.57)]. В табл. 5.17 много примеров таких сильно связанных
близколежащих конфигураций, для которых выражение (5.47) дает очень боль-
шой вклад в момент инерции. Теоретическое значение величины 6Л/Л0 превы-
шает ± 50% (плюс для верхнего и минус для нижнего из взаимодействующих
состояний) в случае орбит [532б/2] и [5237/2] в 161ТЬ, [5323/2] и [5235/2] в 167Dy,
(6337/2] и [624»/2] в l70W, [52P/2J и [бЮ1/*] в 177НГ и	[52В 2] и [5123/2]
в 170Hf. Но приведенные в табл. 5.17 экспериментальные моменты инерции
соответствующих полос не обнаруживают ожидаемых для них сильных эффектов
взаимодействия Кориолиса. В некоторых случаях из экспериментальных данных
276
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
вытекают пределы для 6А которые по крайней мере на порядок величины
меньше теоретических. Исследование других закономерностей для рассматри-
ваемых уровней во многих случаях подтверждает заключение о сильном ослаб-
лении взаимодействия Кориолиса в этих состояниях (см., например, обсуждение
разрешенного незаторможенного p-перехода на 161ТЬ в работе [1225], а также
анализ реакций одночастичной передачи в изотопах W в работе [242]. Эффекты,
ответственные за ослабление взаимодействия Кориолиса, пока еще не иденти-
фицированы. В этой связи отметим, что сильное уменьшение матричных элемен-
тов взаимодействия с вращением между состояниями, лежащими по разные
стороны от уровня Ферми, является характерной особенностью поля спаривания,
индуцированного вращением (стр. 246). Влияние взаимодействия Кориолиса
на последнюю нечетную частицу обнаруживается в данных, представленных
в табл. 5.17 не только по вкладу в инерционные параметры, рассмотренному
выше в связи с орбитами с большими /, но и по многим другим характери-
стикам.
1.	Большие матричные элементы взаимодействия Кориолиса между близ-
кими состояниями связаны с наинизшими одночастичными орбитами, опускаю-
щимися из следующей сферической оболочки под влиянием деформации. В тех
случаях, когда эти орбиты проявляются как возбужденные состояния, в них
наблюдаются очень большие моменты инерции. (Примеры такого рода —про-
тонная орбита [5411/2] и нейтронная орбита [6511/2]. Точно так же большой
экспериментальный момент инерции для нейтронной дырочной орбиты [530г/2]
можно объяснить взаимодействием с близколежащим состоянием [5411^].
2.	Для возбужденных состояний взаимодействие с квазичастичными орби-
тами, лежащими ниже, дает отрицательный вклад в момент инерции. Рази-
тельным примером такого рода является орбита [5325/2] в ядре 161ТЬ (возникаю-
щая из уровня й11/г), аномально малый момент инерции которой обусловлен,
по-видимому, взаимодействием с низколежащей орбитой [5237/2] (хотя наблю-
дающийся эффект в этом случае довольно велик, он все же заметно меньше
теоретической оценки для одноквазичастичных состояний; см. выше).
3.	Одночастичный спектр в рассматриваемой области содержит много близ-
ких уровней с AQ = 1, таких, как протонные орбиты [4025/2] и [4047/2], а также
нейтронные орбиты [бЮ1/^] и [5123/2]. Отвечающие им матричные элементы
взаимодействия Кориолиса не удовлетворяют асимптотическим правилам отбора
и обычно порядка единицы или меньше. Но когда соответствующие им энергии
очень близки, взаимодействие Кориолиса может давать существенный вклад во
вращательную энергию. Примером такого рода является большое различие
между моментами инерции состояний [бЮ1^] и [5123/2] в изотопах l83W, 185W
и 1870s. Интерпретация этих экспериментальных данных на основе выражения
(5.47) дает для соответствующего матричного элемента величину (5123/21	| X
ХбКХ/г)»»!, довольно хорошо согласующуюся с результатами теоретических
вычислений на основе волновых функций табл. 5.2.
ПРИЛОЖЕНИЕ
РАССЕЯНИЕ НА НЕСФЕРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
При рассеянии на несферическом ядре деформация приводит к взаимо-
действию между вращательными степенями свободы мишени и орбитальным
движением налетающей частицы. В данном приложении мы изложим общий
метод анализа такой обобщенной оптической модели. Это даст основу для
решения широкого класса задач о рассеянии, в которых ^явно учитываются
внутренние степени свободы мишени. (Обобщение оптической модели на случай
учета как вращательных, так и колебательных степеней свободы ядра см., на-
пример, в обзоре [604].)
/7риложение. Рассеяние на несферических системах	277
Гамильтониан, описывающий потенциальное рассеяние на несферическом
объекте, можно записать в виде
Я = Т+1/ + #вращ,	(5.96)
где Т —кинетическая энергия частицы, а И —деформированный потенциал,
который может содержать абсорбционные члены, описывающие образование
компаунд-ядра. Вращательная энергия описывается оператором Явращ, собствен-
ные состояния которого характеризуются полным угловым моментом R ядра-
мишени [и дополнительными квантовыми числами т в случае неаксиальных
ротаторов, формула (4.9)]. Как видно из формулы (5.96), рассматриваемая модель
представляет собой обобщение модели частица — ротатор (гл. 4, приложение) на
случай рассеяния.
Метод связанных каналов. Общий метод решения задач о рассеянии на
потенциалах вида (5.96) состоит в том, что волновую функцию системы пред-
ставляют в виде
= S &IJRl	®IJRIM>	(5'97)
где различные каналы характеризуются орбитальным моментом / и полным
угловым моментом / налетающей частицы, вращательным угловым моментом R
ядра-мишени и полным угловым моментом системы I = R4-j. Если мишень
симметрична относительно операции пространственного отражения, то значение I
при данном j определяется пространственной четностью, и поэтому при фикси-
рованных значениях /л суммирование в формуле (5.97) производится только по
двум переменным j и R. Зависимость от спиновых и угловых переменных нале-
тающей частицы и от ориентации мишени описывается волновыми функциями Ф.
При этом уравнение Шредингера для волновой функции (5.97) сводится к системе
связанных дифференциальных уравнений для радиальных функций
{“ [Hr* ~ ft ) + £вРаш (Я) —	r&ijri (г) +
+ 2 H’i'R'l I V I 4RO r^l4,R,, (г) =0, (5.98)
I’i’R'
где £вра1Ц (R) — собственные значения оператора 7/вращ, а Е — полная энергия
системы.
Матричный элемент оператора V в уравнении (5.98) зависит от радиальной
переменной г Его можно найти, разложив потенциал I/ по сферическим гар-
моникам. Например, не зависящая от спина часть потенциала аксиально-
симметричного ядра имеет вид
V(r, e') = 2vx(r)PHcos0').	(5.99)
X
где О' —полярный угол частицы относительно оси симметрии. Матричные эле-
менты оператора Р\ (cos О') вычисляются обычным методом пересвязки угловых
моментов [см. формулы (1.165), (1.136) и (1.139), а также волновые функции (4.7)
аксиально-симметричного ядра]:
{l'i'R'/М I Рк (cos 6') I IjRIM) =
= (_!)/+/+«' (4n)’/« (2Х +1)’/. (2/? +1 )*/»	। R'Kr> x
X	(('/'ПлII (/>. (5.100)
278
Гл. 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
где —проекция углового момента R на ось симметрии ядра (для четно-
четной мишени К^ = 0). Приведенный матричный элемент шаровой функции Y\
определяется выражением (3.69).
Матрица рассеяния в представлении (///?) / получается путем решения
системы (5.98) при заданных значениях /иле граничными условиями, отве-
чающими наличию падающей волны только во входном канале (обозначаемом
индексом 1):
- (W I S | IdiRJ) exp {i	, (5.Ю1)

~[т)'г (l*Rf \S yexp{‘ (Йг—Т я/)| п₽и £p>0’
alJRI у exP (~ xr)	ПРИ £P < °’
где Ep — энергия частицы в рассматриваемом канале, равная
Е — Е — Е (/?) — I k2 ПРИ	(5 102)
^BpamW- 2М Ux2 при Ер<0.
Коэффициенты характеризуют асимптотические волновые функции в закры-
тых каналах (Ер < 0), а амплитуды расходящихся волн в открытых каналах
определяются матричными элементами S-матрицы.
Амплитуду рассеяния при заданных направлениях падающих и рассеянных
частиц можно выразить через матричные элементы S-матрицы (5.101), перейдя
к представлению с определенными значениями импульса р = и поляризации
частицы h и угловых квантовых чисел R и ядра-мишени [формулы (3.275)
и (1.259)]:
f [(phRM^ (рЛ/?Л1я)2]=-2л« АГ’/г X
X 2	I (IjR) IM) I IS (JiRyj)-
-f>((liR\, (IjR^) {(ljR\ IM | (i>hRMR\), (5.103a)
(phRMR j = 2 (JmRMR | IM) x
m
X (io ± h | /й\	^L(p)- (5-Ю36)
Соответствующее дифференциальное сечение определяется выражением
[см. выражение (1.262), которое в представлении спиральности приобретает
дополнительный множитель 2л, как это поясняется в т. 1, стр. 105]
do ((phRM^-* (phRMR)2) = 2ji-^ | /(1 ->2) |Мй, (5.104)
где dQ — 2л sin 0d0d(p.
Полное сечение можно найти исходя из оптической теоремы [см выраже-
ние (2.90), которое в представлении спиральности тоже приобретает дополни-
Приложение. Рассеяние на несферических системах
279
тельный множитель 2л]:
<7полн= Im / ((Р^), ->	=
= Т 2 ^hRM^ Ч1ум)(б((1П, (ijJ)-
-Re (//R/ I S i /^R,/»	| (phRMR\\ (5.105a)
((pAR^IZ/R, /Л4) = (2^У'2х
X <^/0 у hx | jh^ (jhlR1MRt | IM), (5.1056)
Ось квантования в выражении (5.1056) совпадает с направлением падающего
пучка. В этом случае (pj) =	h). Полное сечение (5.105а) учитывает
прямые процессы и образование компаунд-ядра. Полное сечение прямых про-
цессов (с учетом и упругого рассеяния) получается путем интегрирования выра-
жения (5.104) по конечным состояниям. Таким образом, при фиксированных
начальной спиральности hv и поляризации мишени (RM^ получим
апрям= 2 2л1уРЙ2|/((рЛЛЛ1л)1’>(Р/гЯМ/?)2)'2 =
(ЛЛА<Л)2
- -ДГ 2 2	<(РhRM^ I	I St 1-
P2 ijiiiihi2^м
- fi WRx) Ш (<WI«i hhRif) -6 ((hJiRi). W,))) x
X </1/1R1^|(^RMr)1). (5.106)
Часть сечения (5.106) c R2^=Rr отвечает процессам прямого возбуждения вра-
щательных состояний. Разность между сечениями (5.105) и (5.106) представляет
собой сечение образования компаунд-ядра. Его можно выразить через отклоне-
ние S-матрицы от унитарности, обусловленное наличием абсорбционного сла-
гаемого в оптическом потенциале:
^КОМП= ^ПОЛН ^Прям=	I	X
х (« ((//), ^-{IjR,! I S+S I i^RJ'i) {IJ'R'IM I (pARM₽),>.	(5.107)
Адиабатическое приближение. Если за время столкновения вращательным
движением можно пренебречь, то можно получить приближенное решение,
рассматривая рассеяние при фиксированной ориентации мишени1’, как это
делается в задаче о связанных состояниях (гл. 4, приложение). Обозначив
через f ((р/г)г -► (рЛ)2; ш) амплитуду рассеяния при фиксированной ориентации
мишени со, для амплитуды перехода мишени из начального состояния (Л4/?)1
в конечное состояние /?2 (А4^)2 получим
f ((phRMR)x -> (phRMR)2) = (R2 (Mr)2 I f ((ph), -> (pft)2; <o) | R, (MR),). (5.108)
Адиабатическое приближение в задаче о рассеянии предложено Дроз-
довым [336, 337] и Инопиным [639]. Для частиц, имеющих большое сечение
поглощения, такое рассмотрение приводит к простым соотношениям между
сечениями упругого и неупругого рассеяния [133, 135, 51].
230 Гл, 5. Одночастичное движение в несферических ядрах
Рассеяние при фиксированной ориентации представляет собой одночастич-
ную задачу (хотя и трехмерную), и поэтому соответствующее уравнение Шре-
дингера сводится к классической задаче о рассеянии электромагнитных и аку
стических волн (см., например, [1137]) Состояние частицы в аксиально-сим-
метричном потенциале характеризуется квантовым числом Й, представляю-
щим собой проекцию углового момента на ось симметрии, и поэтому рассея-
ние удобно рассматривать во внутренней системе координат.
Одночастичную задачу, к которой мы приходим в адиабатическом прибли-
жении, можно решать методом связанных каналов подобно тому, как это
делается в рассмотренном выше общем случае. Но в данном приближении
задача существенно упрощается благодаря уменьшению числа связанных кана-
лов. [В потенциалах, обладающих аксиальной симметрией и симметричных
относительно пространственного отражения, число связанных каналов при фик-
сированных Йл определяется возможными значениями единственной перемен-
ной / (для частиц с$ = 0 или s — г/г)» тогда как при неадиабатическом подходе
рассматривается связь между каналами, характеризующимися двумя перемен-
ными /7? при фиксированных /л. В случае рассеяния на неаксиальном ядре
в адиабатическом приближении рассматривается связь между каналами, харак-
теризующимися квантовыми числами Ijm, тогда как при неадиабатическом
подходе взаимодействующие каналы характеризуются четырьмя квантовыми
числами: lj частицы и /?т ротатора.]
Волновая функция задачи о рассеянии на аксиально-симметричном потен-
циале в представлении //й имеет вид
(r) (*Z^X)(/i/2)/q,	(5.109)
li
где второй множитель представляет собой шаровую функцию со спином [фор-
мула (3.56)]. Взаимодействие с ядерной деформацией содержит матричный эле-
мент оператора (cos 9'), который можно вычислить по формуле (3.69). Соот-
ветствующую матрицу рассеяния можно найти, решив аналогичную (5.98)
систему радиальных уравнений с граничными условиями:
^ijar =ю7	6 УМ ех₽ {“ ‘ '\kr ~ 4 я/)} ~
— (//Q | S | /1/1Й) exp ^kr—(5’ НО)
где k~волновое число, в рассматриваемом приближении одинаковое во всех
каналах.
Амплитуду рассеяния при фиксированной ориентации мишени можно
записать в виде [формулы (1.259) и (3.275)]
f ((P^)i -> (рЛ)2; <о) = — 2л1 (Мг)~,/!	2	<(рй)2 i (//m)2) X
X«(Z//n)2 | S (co) | W/nh) —6((Z/m)v (?/m)2)) ((Z//n), | (p^)i>, (5.111a)
(ph | Ijm) = <^/0~ h\ihj}	^mh (P)-	(5.1116)
Фигурирующие здесь матричные элементы S-матрицы в представлении Ijm
можно найти, перейдя от внутренней к пространственно-фиксированной системе
координат:
(1мп21 S «о) I = 2 (&пгй (<*>))* <^Q 1 S 1	“)• (5-112)
Выполнив интегрирование no to в формуле (5.108), где амплитуда f(l->2; св)
определяется формулами (5.111) и (5.112), для амплитуды рассеяния получим
Приложение. Рассеяние на несферических системах	281
выражение вида (5.103), в котором матричные элементы S-матрицы таковы:
/н'О\ /I 9 1 (ПР\	((2^1+ 0 (2^?г4" О)/* /i о Р К I / К u~O\ v
((//а)э'1^1 UPvi 7) — /,-------27’^'1-------| 7Ад + U) X
й
X (/2/2^ | S | Z1/1Q) (JiQRiKr	(5.113)
Являющийся следствием адиабатического приближения результат (5.113) можно
также получить непосредственно, заметив, что полная волновая функция
системы в этом приближении равна произведению внутренней волновой функ-
ции (5.109) на вращательную функцию	где K =	+ преобразова-
ние этой функции к представлению (IjR)JM дается соотношением (4.324а).
Выше отмечалось, что адиабатическое приближение допустимо, если вра-
щательная энергия мала по сравнению со всеми другими энергиями. Если же
мала энергия падающих или рассеянных частиц или вероятность прохождения
через центробежный и кулоновский барьер чувствительна к изменениям энер-
гии порядка Е'вращ, то рассмотренное выше приближение требует модифика-
ции. Но наиболее существенные результаты при этом сохраняются, если адиа-
батическое приближение применимо к движению частицы внутри ядра и
в области несферичности потенциального барьера. Тогда адиабатическую вол-
новую функцию во внутренней области, где происходит обмен угловым момен-
том, можно сшивать с волновой функцией во внешней области. В этой обла-
сти движение в разных каналах (IjR) I не связано, и поэтому вращательная
энергия может быть легко учтена (см., например, рассеяние медленных нейт-
ронов, стр. 209, и а-распад, стр. 112).
6
ВИБРАЦИОННЫЕ СПЕКТРЫ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Коллективные колебания в ядре
Спектры весьма разнообразных систем многих тел можно теоре-
тически анализировать, основываясь на понятии элементарных
возбуждений, представляющих собой различные приблизительно
независимые флуктуации около положения равновесия *). Харак-
тер флуктуаций зависит от внутренней структуры системы. Так,
элементарные возбуждения могут быть связаны с возбуждениями
отдельных частиц; они могут представлять собой коллективные
колебания плотности, формы или какой-то другой характеристики,
относящейся к равновесной конфигурации.	1
При подходе, основанном на представлении о нормальных р
возбуждениях, спектр получается в виде суперпозиции отдельных
квантов, связанных с данным типом возбуждения. В первом при- Г
ближении кванты рассматриваются как невзаимодействующие к
объекты, а отклонения от этой идеализированной картины можно
учесть, вводя взаимодействия между нормальными типами воз- 1
буждений. Эти взаимодействия естественным образом ограничивают
возможность такого описания.
*) Понятие элементарных возбуждений было введено Ландау [719] в связи
с анализом спектра возбуждений сверхтекучего жидкого гелия.
§ 1. Введение
283
Примеры коллективных колебаний в квантовых системах хо-
рошо известны из молекулярной физики. Атомы в молекуле обра-
зуют довольно жесткую структуру, причем внутренние возбужде-
ния малой энергии соответствуют нормальным колебаниям такой
структуры. В макроскопических твердых телах колебания равно-
весной кристаллической решетки представляютсобой упругие волны.
В системах, которые в первом приближении подчиняются
законам движения независимых частиц в среднем поле (ядра
и электроны в металлах и др.), коллективные колебания также
могут иметь место благодаря взаимодействию между частицами;
взаимодействие приводит к согласованному движению частиц
и соответствующим колебаниям плотности и поля. Примером могут
служить колебания плотности (плазмоны) в электронном газе.
Степень разделения флуктуаций на коллективные возбуждения
и возбуждения отдельных частиц может зависеть от деталей формы
одночастичного спектра, а также от силы и характера взаимодей-
ствия. Следовательно, к элементарным типам возбуждений могут
относиться и резко выраженные коллективные колебания, т. е.
согласованное движение большого числа частиц, и возбуждения,
охватывающие лишь одну частицу или несколько степеней свободы
движения частиц.
На возможность коллективных колебаний формы в ядре весьма
определенно указывает то обстоятельство, что некоторые ядра
обладают несферической равновесной формой (гл. 4), тогда как
другие, например ядра с замкнутыми оболочками, имеют в равно-
весии сферическую форму Таким образом, можно представить себе
и промежуточный случай, когда ядро испытывает довольно боль-
шие флуктуации относительно равновесной формы.
Действительно, замечательной особенностью энергетических
спектров почти всех ядер является существование низколежащих
состояний, которые интенсивно возбуждаются в электрических
квадрупольных процессах (см., например, фиг. 4.5, стр. 55)
В области несферических ядер такие состояния относятся к основ-
ной вращательной полосе, а в остальных ядрах мы, по-видимому,
имеем дело с коллективными колебаниями формы ядра.
При более высоких энергиях возбуждения был обнаружен
ряд других типов вибрационных состояний. Часть их соответствует
колебаниям формы разной мультиплетности, а часть — флуктуа-
циям, при которых нейтроны коллективно движутся относительно
протонов. Кроме возбуждений, имеющих классический аналог,
в спектрах ядер наблюдаются вибрационные возбуждения, связан-
ные с обменом зарядом или поворотом спина нуклонов (спин-флип),
а также с колебаниями парного поля, соответствующими рожде-
нию или уничтожению двух нуклонов.
Богатство возможных видов вибрационных возбуждений и проб*
лемы, связанные с взаимодействием квантов возбуждений, порож-
284
Гл. 6. Вибрационные спектры
дают множество вопросов относительно структуры квантовой си-
стемы многих тел. Чтобы помочь читателю разобраться во всем
этом, мы скажем ниже несколько слов о расположении материала
в настоящей главе и об основных ее темах.
Основные вопросы, связанные с колебаниями ядра
Исходным моментом при анализе колебаний является опреде-
ление общих закономерностей, которые следуют из симметрии
равновесной конфигурации и природы взаимодействий. Эта проб-
лема аналогична феноменологическому анализу вращения в гл. 4.
Однако влияние оболочечной структуры одночастичного движения
на колебания столь глубоко, что мы сочли необходимым с самого
начала ввести представление связи коллективного движения со сте-
пенями свободы индивидуальных частиц. Поэтому в настоящей
главе содержится не только макроскопическое, а и микроскопиче-
ское описание колебаний. При микроскопическом описании основ-
ное внимание будет сосредоточено на исследовании качественных
характеристик вибрационных возбуждений и связи между ними.
Вопрос о том, в какой степени такая схема пригодна для количе-
ственного описания ядерных возбуждений, еще предстоит выяс-
нить, и он выходит за рамки настоящей главы.
В качестве первого шага при изучении вибрационных возбужде-
ний ядра мы рассмотрим в § 2 основные простейшие закономер-
ности для колебаний в квантовой системе. В § 2, пп. 1 и 2, рас-
смотрено соотношение дополнительности между двумя феномено-
логическими подходами — одним, основанным на понятии ампли-
туды, и другим, основанным на понятии оператора рождения
колебательного кванта. В § 2, п 3, анализируется механизм воз-
буждения коллективных колебаний за счет возбуждения отдельных
частиц. Возникновение когерентного движения многих нуклонов
можно объяснить наличием осциллирующего потенциала, который
в данном случае обусловлен соответствующими коллективными
колебаниями нуклонной плотности. Чрезвычайно упрощенная
модель для степеней свободы частиц позволяет сосредоточить
внимание на важнейших физических эффектах и пояснить рас-
сматриваемое явление.
Классификация ядерных колебаний на основании свойств сим-
метрии составляет содержание § 3 Поскольку ядро может коле-
баться во многих измерениях, эта классификация содержит целый
ряд различных квантовых чисел симметрии: мультипольность,
внутренний спин и орбитальный угловой момент, изоспин и число
нуклонов. Некоторые из этих возбуждений можно сравнить с коле-
баниями в классической системе, и,- действительно, модель жид=
кой капли до последнего времени использовалась при разработке
данного вопроса Анализ нормальных возбуждений жидкой капли
§ 1, Введение
285
проводится в приложении 1. В § 3 указаны область применимости
и ограничения этих классических представлений о ядерных коле-
баниях; более подробный анализ влияния оболочечной струк-
туры дан на отдельных примерах в конце главы. В § 3 рассма-
тривается также процесс деления с точки зрения обобщения явле-
ний, связанных с малыми колебаниями формы. Большие деформа-
ции, характерные для деления, рассматриваются с учетом зависи-
мости от объемных характеристик ядра и микроскопических эффек-
тов, обусловленных оболочечной структурой.
Вибрационные возбуждения, кванты которых состоят из кор-
релированных пар нуклонов (§ 3, п. 6), тесно связаны с эффектом
спаривания в ядре; как указывалось в предыдущих главах, этим
эффектом в значительной мере определяются свойства ядра при
малой энергии возбуждения. Подобно сверхтекучей макроскопи-
ческой ферми-системе, парные корреляции в ядре можно рассма-
тривать на основе представления о конденсате парных квантов
(деформация спаривательного поля). В присутствии такого конден-
сата об одночастичных степенях свободы можно говорить как
о квазичастицах, свойства которых исследуются в примере на
стр. 568.
Из алгебраических тождеств для мультипольных моментов
вытекают правила сумм для соответствующих вероятностей пере-
хода; эти вопросы составляют тему § 4. Правила сумм дают довольно
общий метод анализа сложных систем в разных областях кванто-
вой физики. Включение их в данную главу мотивируется тем,
что облегченным переходам с возбуждением вибрационных состоя-
ний ядра часто соответствует заметная доля полной суммы сил
осцилляторов для простых мультипольных полей.
Если в § 2 и 3 мы основывались на приближении независимых
гармонических колебаний, то в § 5 и 6 рассматривается взаимо-
действие нормальных возбуждений. Главный вопрос здесь — влия-
ние колебаний на движение отдельных частиц. Связь возбуждений
возникает благодаря среднему потенциалу, который обусловлен
колебаниями; о такой связи уже говорилось в § 2, п. 3, как о меха-
низме, ответственном за возникновение самого коллективного
движения. Более систематически вопрос о связи частиц с колеба-
ниями исследуется в § 5 с целью обосновать интерпретацию целого
ряда эффектов, связанных с взаимодействием степеней свободы
отдельных частиц и колебаний; сюда относятся эффективные заряды
и моменты одночастичных состояний, а также энергия взаимодей-
ствия между частицей и вибрационным квантом. В достаточно высо-
ком приближении связь частицы с колебанием приводит к взаимодей-
ствию между вибрационными квантами. Феноменологическому
анализу ангармоничностей в вибрационных возбуждениях и соот-
ветствующим вопросам взаимодействия между различными кол-
лективными возбуждениями посвящен § 6.
286
Гл. 6. Вибрационные спектры
Примеры, поясняющие свойства вибрационных возбуждений,
собраны в конце главы, а не в конце каждого параграфа. Это поз-
воляет разбирать разные свойства данного типа возбуждения
в одном месте. Процесс деления рассматривается с более общей точки
зрения на оболочечную структуру в одночастичном спектре, чем
в гл. 2; методы анализа, которые можно использовать при такой
обобщенной трактовке, рассматриваются в ряде примеров на
стр. 509
§ 2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Колебания квантовой системы можно описывать, пользуясь
коллективными координатами, представляющими собой амплитуды
флуктуаций плотности около положения равновесия. Тогда урав-
нения движения имеют ту же самую форму, что и в классической
теории, а квантовые соотношения могут быть получены путем
канонической процедуры квантования Но можно также непосред-
ственно исходить из понятия о кванте возбуждения. Тогда основ-
ными динамическими переменными будут операторы рождения и
уничтожения квантов.
1. Операторы рождения квантов возбуждения
Вибрационное возбуждение характеризуется тем, что оно может
быть повторено большое число раз. Таким образом, n-е возбужден-
ное состояние можно считать состоящим из п отдельных квантов.
Эти кванты подчиняются статистике Бозе, поскольку при данном
числе квантов имеется только одно состояние, так же как в слу-
чае системы тождественных частиц с полностью симметричной вол-
новой функцией. Такую систему бозонов можно рассматривать
на основе представления об операторах cf и с, которые рождают
и уничтожают квант возбуждения
Если возбуждения могут образовывать суперпозиции без изме-
нения типа возбуждения, то такие кванты можно считать невзаимо-
действующими. В этом приближении бозонные операторы определя-
ются соотношением
Ct|n> = (n+l)‘A|n+l>,	(6.1)
где | п) — состояние с п квантами возбуждения. Множитель
(п + 1)!/‘ в формуле (6.1) означает, что вероятность перехода
(n + 1 I с* |«)2 равна п + 1. Физический смысл «бозонного мно-
жителя» можно пояснить, рассмотрев распад | п + 1) -» | п);
если кванты, участвующие в этом процессе, не взаимодействуют
между собой, то полная вероятность распада пропорциональна
числу квантов «4-1.
§ 2. Квантовая теория гармонических колебаний 287
Из исходного уравнения (6.1) вытекает коммутационное соот-
ношение
[с, 0=1,	(6.2)
а число квантов представляется оператором
поп = с'с.	(6.3)
Возбужденное состояние | п) можно получить из основного состоя-
ния \п = 0), подействовав на него п раз оператором рождения:
I п) = («!)-/, (с*)Л|п = О>.	(6.4)
В случае невзаимодействующих квантов, каждый из которых
обладает энергией Йсо, гамильтониан имеет вид
H = C‘ch(i)-{-E (п=^0),	(6.5)
а уравнение движения для с’
[Я, с*] = tW.	(6.6)
Таким образом, бозонные операторы являются гармоническими
функциями времени:
(/) = ct (/ = о) е™.	(6.7)
Ангармонические эффекты в колебаниях можно рассмотреть
исходя из представления о взаимодействии между квантами (§ 6).
В случае некоторых вибрационных возбуждений ядра такие эффекты
существенны даже для самых нижних состояний спектра.
2. Амплитуды колебаний
Изменение плотности, связанное с вибрационным возбуждением,
можно характеризовать амплитудой а смещения из положения
равновесия. В настоящем разделе мы рассматриваем колебания
с действительными (эрмитовыми) амплитудами, такие, как стоя-
чие волны в деформируемой системе. Неэрмитовыми же амплиту-
дами описываются возбуждения, кванты которых характеризуются
отличными от нуля определенными квантовыми числами, напри-
мер, зарядом, числом нуклонов или компонентой углового момента.
Обобщение всего сказанного здесь на случай неэрмитовых воз-
буждений будет проведено в § 3.
При малых значениях а энергию колебаний можно разложить
по степеням а и производных по времени а В низшем порядке
мы имеем
£ (а, а) = уСа2+| Da?.	(6.8)
288
Г л. 6. Вибрационные спектры
(При колебаниях около равновесия отсутствуют члены, линейные
по а; более того, члены, пропорциональные а или аа, нарушают
симметрию относительно обращения времени и не могут присут-
ствовать, если мы предполагаем равновесие инвариантным при
обращении времени.)
Выражение (6.8) соответствует гармоническому осциллятору
Первый член представляет собой потенциальную энергию дефор-
мации V, а коэффициент С называется коэффициентом жесткости.
Второй член в формуле (6.8) — кинетическая энергия Т, а вели-
чина D — массовый коэффициент х). Вводя переменную импульса
л = 4-(Т-V) = Da,	(6.9)
да
мы получаем гамильтониан
Я = ^-л24-1Са2.	(6.10)
Соотношения (6.8) — (6.10) — такие же, как и в случае класси-
ческого осциллятора. В случае квантовой системы эрмитовы опе-
раторы аил удовлетворяют каноническому коммутационному
соотношению
[л, а] = — itl,	(6.11)
а энергетический спектр дается обычным соотношением для гармо-
нического осциллятора
Е (n) = f/z + Йо)	(6.12)
с классической частотой
® = (т)1/2	(6.13)
Вибрационная волновая функция (а) имеет вид
<р„ (а) = (2л)- V. (2«п!а0)- 7. нп (,2~ -2-) ехр /-	(6.14)
где Нп — полином Эрмита [Но (х) = 1,	(х) = 2х, Н2 (х) =
= 4х2 — 2, ...], а а0 — амплитуда нулевых колебаний:
а0 == (п = 0 | а21 п = 0)7. = (n = 1 | а | п = 0) =
- I й У/г _ (й(0	_ ( и* у/.
\2DwJ — \2С / ~\2CD)	(6.15)
(В формулах (6.14) и (6.15) матричные элементы а предпола-
гаются действительными; в случае состояний с обычным выбором
г) Массовый коэффициент колебаний обычно обозначают через В. Но нам
показалось, что лучше принять другое обозначение, чтобы избежать путаницы
с приведенной вероятностью перехода.
§ 2. Квантовая теория гармонических колебаний
289
(6.16)
фаз (1.39), для того чтобы матричные элементы были действитель-
ными, величина а должна быть инвариантной относительно пре-
образования Если а меняет знак под действием оператора
то обычное соотношение фаз обеспечивается добавлением
множителя in в волновую функцию (6.14), причем матричные эле-
менты а становятся чисто мнимыми; тогда в преобразовании (6.16)
также появляется дополнительный множитель *• см., например,
формулы (5.21) и (6.51).]
В гармоническом приближении преобразование от переменных
а, л к переменным с\ с, введенное в § 2, п. 1, имеет вид
а«=а0 (г 4-с),
.	1 ИХо 1 t
ft = _---а-----о я = ----
2а0 й 2а0 \
Это преобразование соответствует разложению амплитуд аил
на части с положительными и отрицательными частотами, т. е. с вре-
менной зависимостью ехр {—гео/} и ехр {fcof}, формула (6.7) [Соот
ношения (6.16) совпадают с соотношениями (5.18) для случая
движения частицы в потенциале гармонического осциллятора.]
Для системы с многими степенями свободы полную волновую функцию
можно выразить через вибрационную координату а и дополнительные коорди-
наты q, описывающие остальные степени свободы (другие вибрационные и
одночастичные возбуждения и пр.). В приближении независимых нормальных
возбуждений полную волновую функцию можно написать в виде
<?) =Фа (д) <р„ (а),	(6.17)
где Фа(<?) следует рассматривать как внутреннее состояние, которое характе-
ризуется совокупностью квантовых чисел о. Вибрационная волновая функция
фл (а) будет, вообще говоря, зависеть от внутренних квантовых чисел о. Напри-
мер, в молекуле колебательная потенциальная энергия сильно зависит от элек-
тронного состояния, поскольку молекулярная связь определяется немногими
валентными электронами. В ядрах вибрационные свойства могут определяться
большим числом нуклонов, порядка числа частиц в заполненной оболочке
(§ 2, п. 3), ив этом случае они должны быть менее чувствительными к кван-
товым числам последних нескольких нуклонов.
Функциональное соотношение между коллективными координатами а и
переменными частиц (координаты, импульсы и спины) зависит от особенностей
динамики системы и определяется тем критерием, что волновая функция может
быть приближенно представлена в факторизованном виде (6.17), когда она
выражена через переменные q, а. Вибрационные координаты а могут при-
ближенно совпадать с простыми мультипольными моментами системы (или
в случае молекул —с расстояниями между ядрами), но для разделения движе-
ния, вообще говоря, важны флуктуации истинной координаты а около этих
макроскопических величин. [См. о коллективных углах ориентации для вра-
щающихся ядер в гл. 4, § 3, п. 3, а также анализ коллективных вибрацион-
ных переменных с точки зрения одночастичных возбуждений в § 5, п. 8. В при-
мере на стр. 451 рассматриваются условия, при которых коллективные коор-
динаты можно выразить через пространственные координаты частиц (точечное
преобразование).]
10 О. Бор, Б. Моттельсон
290
Гл. 6. Вибрационные спектры
3. Коллективное движение, обусловленное вибрационным
одночастичным потенциалом
Существование коллективных вибрационных возбуждений в си-
стеме, которая подчиняется законам движения независимых частиц,
можно объяснить, рассматривая изменение среднего одночастич-
ного потенциала, связанное с колебаниями плотности нуклонов.
Такое изменение одночастичного потенциала приводит к возбужде-
ниям в движении нуклонов; если при этом изменение плотности
достигает величины, необходимой для генерации осциллирующего
потенциала, то устанавливается самоподдерживающееся коллек-
тивное движение.
При малых амплитудах колебания изменение одночастичного
потенциала пропорционально амплитуде а и может быть записано
в виде
6V = xaF(x),	(6.18)
где F (х) — одночастичный оператор, выражающий зависимость
потенциала от нуклонных переменных х (пространство, спин,
изоспин; F может также зависеть от скорости, как, например,
в случае деформации спин-орбитального потенциала и в случае
нелокальных одночастичных потенциалов). Оператор F, который
мы часто будем называть вибрационным полем, частично характе-
ризуется квантовыми числами симметрии вибрационных возбужде-
ний, такими, как мультипольность, изоспин и др (§ 3). Полная
структура оператора F в конечном счете определяется требованием
самосогласованности, как и в случае статического ядерного потен-
циала. Параметр х в формуле (6.18) — это константа связи, кото-
рая входит в соотношение между потенциалом и плотностью для
рассматриваемого типа возбуждений.
Влияние осциллирующего потенциала вида (6.18) на движе-
ние частиц можно охарактеризовать спектром одночастичных
возбуждений, вызванных полем F Примеры таких одночастичных
функций отклика для полей различной мультипольности приве-
дены на фиг. 6.16 и 6.17 Для таких спектров типично то, что интен-
сивность перехода концентрируется в довольно узких областях
энергии возбуждения. Это связано с тем, что движение в ядерном
потенциале (в отличие от движения электронов в атомах или метал-
лах) характеризуется определенным периодом, одинаковым для
всех частиц в последних заполненных оболочках.
В данном параграфе мы рассмотрим коллективное движение,
обусловленное связью через поле в системе с вырожденным одно-
частичным возбуждением. Эта простая модель позволяет полу-
чить основные соотношения, необходимые для микроскопического
описания коллективных возбуждений с точки зрения степеней сво-
боды частиц, и ее нетрудно обобщить.
§ 2. Квантовая теория гармонических колебаний 291
Далее нам, пожалуй, проще всего будет говорить о возбужде-
нии относительно основного состояния, в котором мы имеем замк-
нутые оболочки. Возбуждения, вызванные полем F, содержат
частицу и дырку Результаты, полученные при таком подходе,
непосредственно применимы к конфигурациям с частично запол-
ненными оболочками, поскольку парные корреляции приводят
к невырожденному основному состоянию (v = 0), возбуждения
которого можно рассматривать как состояния, содержащие дву-
квазичастичные конфигурации (v = 2). (О свойствах квазичастич-
ных возбуждений говорится в примере на стр. 568.)
Действие поля F на основное состояние | v = 0> одночастич-
кого движения вызывает возбуждение
F|V = o> = £l*X‘Vlv=o>	<6-19)
;	L k J
где i обозначает отдельные частично-дырочные (или двуквазичастич-
ные) конфигурации. В том случае, когда состояния вырождены,
возбуждение (6.19) является собственным состоянием одночастич-
ного гамильтониана. Если это возбуждение содержит много раз-
личных одночастичных возбуждений |Z>, то оно может быть повто-
рено большое число раз и получающаяся совокупность состояний
может быть связана с гармоническим колебанием (§ 2, п. 1). Кванты
возбуждения обладают свойствами почти не взаимодействующих
бозонов и могут описываться операторами рождения и уничтоже-
ния с(0) f и с(0) и гамильтонианом
//(0) = с<0) t f(0) й(0(0) = п(0) й(0(0)э	(6 20)
где Й(о(0) — общая энергия возбуждения вырожденных частично-
дырочных состояний |/), а п (0) — число квантов этого возбуждения.
Индекс вверху (0) указывает на то, что рассматриваемые нами
кванты соответствуют когерентному движению независимых частиц
без учета взаимодействия через поле. Как подчеркивалось выше,
мы имеем право оперировать понятием бозонных квантов лишь при
условии, что в когерентном состоянии (6.19) много отдельных ком-
понент |0. К ним относятся такие состояния, как
(и24/2т2)» причем они полностью характеризуются квантовыми чис-
лами частицы и дырки; поэтому, вообще говоря, связанное состоя-
ние 1 содержит ряд различных компонент I.
Коллективное возбуждение, связанное с бозонным оператором
с(о> , можно характеризовать также координатой деформации а,
как в§ 2, п. 2. Нормировку а удобно выбрать таким образом, чтобы
амплитуда нулевых колебаний а о ’ равнялась соответствующей
амплитуде поля F:
|а|/г01 = 0> = </г°'=1 |F|n,o, = 0> =
= /S<t|F|v = 0^v*.	(6.21)
10*
292
Гл. 6. Вибрационные спектры
Состояние \п (0) = 0) — это основное состояние | v = 0) одноча-
стичного движения, тогда как \п (0) = 1) — нормированное состоя-
ние, получаемое умножением возбуждения (6.19) на нормировоч-
ный множитель (ао')"1 [В выражении (6.21) предполагается, что
матричные элементы F (или а) действительны; см. стр. 288, после
формулы (6.15).]
Будучи выражен через амплитуды а, гамильтониан (6.20) при-
нимает вид
Н<0) = 4 (О0)-1 л2 + 4- с(о) а2 - 4- W°>,	(6.22)
Z	Z	Z
л = £)(°) а,
где С (0) — коэффициент жесткости, a D (0) — массовый коэффи-
циент [формулы (6.13) и (6.15)]:
^(0)
~ 2 (а'<»)2 ’
(6.23)
ft
2со(О) (а<0’)2

В пространстве состояний, характеризуемых квантовым числом
п (0), поле F имеет матричные элементы, связывающие состояния
с Дп <°) = 1, причем в рассматриваемом приближении все они
равны матричным элементам а; эти матричные элементы носят
коллективный характер и дают вероятности перехода, которые
равны одночастичной вероятности, умноженной приблизительно
на число компонент i, дающих вклад в возбуждение (6.19) [фор-
мула (6.21)]. Поле F может иметь дополнительные матричные эле-
менты в пространстве п (0), а также матричные элементы, которые
связывают это пространство с другими возбуждениями в одно-
частичном движении; эти дополнительные матричные элементы
соответствуют ангармоническим эффектам в колебаниях, а также
взаимодействию с другими степенями свободы, и мы будем ими
пренебрегать в этом разделе.
В приближении, когда матричные элементы F и а совпадают,
связь через поле (6.18) можно учитывать, вводя еще один член
в вибрационном гамильтониане вида
Н' = Y У xaF (xk) = 4- xF2 = — ха2,	(6.24)
k
где множитель */2 возникает потому, что потенциал (6.18) обус-
ловлен двухчастичным взаимодействием, которое учитывается
дважды, когда потенциал суммируется по всем частицам.
§ 2. Квантовая теория гармонических колебаний
293
Полный	гамильтониан получается сложением частей (6.22)
и (6.24):	Н = Н^ + Н' = ~п2 + -[ Саг-|й©«”(	(6.25а) Я =	+ у (Йсо-Йю'0»),	(6.256)
где	С = С(°> + х, D = D(o)	<6-26>
И
tld) = h I	(6.27а)
Йоо Wo) + х = 1 IF I = О)2 при IX I < С<0)). (6.276)
Таким образом, наличие связи через поле приводит к изменению
жесткости для вибрационного возбуждения, тогда как массовый
коэффициент не меняется.
Квантовое число п в формуле (6.256) есть число квантов во вза-
имодействующей системе. Энергия основного состояния (п — 0)
дается последним членом формулы (6.256). Если произвести раз-
ложение по степеням интенсивности взаимодействия х, то член
наинизшего порядка в энергии основного состояния дает среднее
значение энергии взаимодействия Н' в невозмущенном основном
состоянии = 0 [формула (6.276)]; члены более высокого
порядка связаны с модификацией основного состояния благодаря
взаимодействию. Эта модификация находит свое выражение в изме-
ненной амплитуде нулевых колебаний:
a0 = (n=l [ сс j n = 0> = <n = I\F\ti-G) —
\ 2С /	\ ш	у* £ч0) j (Ь.2о)
Из формулы (6.28) видно, что взаимодействие не влияет на силу
осцилляторов Йсо | (п = 1 | F | п — 0) | 2 для поля F, (Сохранение
прежней силы осцилляторов есть прямое следствие того обстоя-
тельства, что взаимодействие коммутирует с полем F\ см. об осцил-
ляторных правилах сумм, § 4, п. 1.)
При х > 0 связь через поле соответствует такому влиянию
взаимодействия, которое препятствует изменению плотности; в этом
случае связь через поле приводит к тому, что коллективная частота
оказывается больше одночастичной частоты (со > со (0)) Взаимо-
действие, благоприятствующее изменению плотности, соответствует
х <0 и приводит к уменьшению коллективной частоты. При боль-
ших отрицательных значениях х, приближающихся к величине
(0), частота колебаний обращается в нуль, что соответствует
294
Гл. 6. Вибрационные спектры
неустойчивости состояния, которое предполагалось равновесным,
относительно деформаций рассматриваемого типа. При еще боль-
ших отрицательных х благодаря взаимодействию устанавливается
равновесие с а 0. Схематический вид функции потенциальной
энергии V (а) при различных значениях х относительно С(о) пред-
ставлен на фиг. 6.1. Когда константа связи приближается к кри-
тическому значению, соответствующему неустойчивости (х ж—С(о)),
вообще говоря, должны наблюдаться колебания с большой ангар-
моничностью.
Фиг. 6.1. Функция потенциальной энергии.
Схематически представлена зависимость потенциальной энергии ядра от параметра дефор-
мации а. Различные кривые соответствуют разным значениям константы связи через поле х.
В колебаниях ядер встречаются эффекты взаимодействия как
положительного, так и отрицательного знака. Колебания формы
представляют собой пример возбуждений с притягивающим взаимо-
действием (стр 459); в наблюдаемом низкочастотном квадруполь-
ном возбуждении проявляется неустойчивость, соответствующая
существованию ядер со статическими деформациями. Нейтрон-
протонные поляризационные колебания (стр. 427) и изовекторные
спиновые возбуждения (стр. 560) представляют собой пример
возбуждений с отталкивающим взаимодействием.
Диагонализацию гамильтониана, учитывающего взаимодейст-
вие через поле, можно рассматривать как преобразование от бозон-
ных переменных c(0)t , с (0) к новым переменным с\ с, которые
§ 2. Квантовая теория гармонических колебаний
295
связаны с вибрационными квантами во взаимодействующей си-
стеме. Гамильтониан (6.25) представляет собой квадратичную
форму по переменным б(0) f, с(0) :
И = Й со' °>	* с<°> + у х (а<°>)2 (с«>)♦ + с(0>)2,	(6.29)
и его можно диагонализировать путем линейного преобразования
с новым бозонным переменным cf, с:
= ХсО) t _ ус(0>,
(6.30)
Требование, чтобы преобразование (6.30) сохраняло бозонные
соотношения коммутации (6.2), приводит к условию нормировки
Х2-У2=1	(6.31)
для действительных амплитуд X и Y Условие диагональности
гамильтониана в новых переменных по числу квантов означает, что
у__ ХСХ|(СС00,	ул___ХСС1}СС1}°'	zn qq.
й((0-ш'«’)’	й (со4-<о'0’)	1 ,о >
и
/7=1 (Йи-Йш^ + Йю^с.	(6.33)
Присутствие амплитуды Y в преобразовании (6.30) отражает
изменение в основном состоянии, о котором мы говорили выше,
рассматривая модифицированные нулевые колебания Выраженное
в бозонных переменных, соотношение между основными состоя-
ниями принимает вид
| П = 0> = (1 - №)*/< ехр (у Kcw f с(0> j | n(0) = 0>
№|n«» = O) + 2-,/2X|n(o) = 2>+	(6.34)
„____Y __ cofQ) —co
X	co(O) + co *
в чем нетрудно убедиться, подействовав на | я == 0) гамильтониа-
ном (6.29).
Хотя в этом разделе были использованы такие переменные, как
амплитуда колебаний и бозонные операторы, подход можно считать
полностью микроскопическим, поскольку коллективные перемен-
ные выражаются через степени свободы отдельных частиц. Так,
оператор с рождающий квант исходного возбуждения (6.19),
можно записать в виде
=	=	(6.35)
296
Гл. 6. Вибрационные спектры
где А*— оператор, рождающий частично-дырочное состояние \i)f
когда он действует на основное состояние |v = 0> одночастичного
движения. Для операторов нормального возбуждения из формул
(6.30), (6.32) и (6.35) получаем
i
у _xa0(t |F| у = 0) у __ ха0 [ F | у — 0}
CD^O)) ’	/j((D + (D'O>)	’	IO.OOJ
Исходя из этих соотношений, различные характеристики коллек-
тивных состояний можно выразить через матричные элементы для
одночастичных состояний.
Взаимодействие (6.24), обусловленное связью через поле, можно
также интерпретировать как эффективное двухчастичное взаимодей-
ствие:
Г(1, 2) = xF(l)F(2).	(6.37)
Следовательно, анализ в данном параграфе эквивалентен изуче-
нию тех эффектов корреляции в системе многих тел, которые обус-
ловлены таким факторизуемым взаимодействием. Взаимодействие
(6.37) представляет собой лишь одну компоненту полного эффектив-
ного взаимодействия между нуклонами в ядре. Таким образом,
нуклонное взаимодействие малого радиуса V (|гх — г2|) может гене-
рировать целый ряд различных коллективных типов возбуждений,
каждое из которых можно описывать взаимодействием вида (6.37).
В этом томе мы попытаемся определить свойства взаимодействия
через поле на основании эмпирических данных для статического
потенциала ядра и типов возбуждения. Проблема соотношения меж-
ду эффективным взаимодействием, которым обусловлены коллек-
тивные типы возбуждений, и взаимодействием свободных нукло-
нов включает в себя много тонких корреляций, которые необхо-
димо учитывать при анализе соотношения между двухчастичными
силами и статическими потенциалами в ядре (гл. 2, § 5) Информа-
ция же, которую может дать анализ этого соотношения, весьма
неоднозначна из-за недостатка данных о структуре и интенсивности
различных полей, связанных с коллективными возбуждениями
ядра.
Представленный выше анализ микроскопической структуры
коллективных возбуждений удалось упростить благодаря тому,
что мы сделали предположение о вырождении в одночастичной
функции влияния, а также пренебрегли ангармоническими эффек-
тами. Такой упрощенный подход допустим в качестве первого
приближения во многих приложениях Обобщение на случай
невырожденной одночастичной функции влияния производится
в § 5, п. 8. Вопрос об ангармоничности, которая обусловлена раз-
нообразными эффектами, рассматривается в § 6,
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений	297
§ 3. НОРМАЛЬНЫЕ ТИПЫ ВИБРАЦИОННЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ В ЯДРЕ
Различные типы вибрационных возбуждений в ядре можно ха-
рактеризовать квантовыми числами симметрии вибрационных кван-
тов, а также соответствующими свойствами симметрии, которые
относятся к изменениям плотности и поля при колебаниях. Нуклон-
ные взаимодействия лишь частично удовлетворяют некоторым из рас-
смотренных типов симметрии; кроме того, равновесная конфигура-
ция, на которую накладываются колебания, вообще говоря, не обла-
дает полной инвариантностью гамильтониана. Таким образом,
существенным элементом в классификации ядерных колебаний
оказывается анализ разнообразных форм нарушения симметрии
1. Колебания формы, сферическая равновесная форма
Амплитуды колебаний, изменение плотности
В случае сферической равновесной формы вибрационные типы
возбуждений можно характеризовать квантовым числом мульти-
польности X, которое представляет собой угловой момент вибраци-
онного кванта. Каждое такое возбуждение (2Х + 1)-кратно вырож-
дено, что соответствует разным значениям проекции вибрацион-
ного углового момента р Совокупность операторов рождения с*(Лр)
с р = —%, —А +1, ., +Х образует сферический тензор (т. 1,
стр. 84). Амплитуды колебаний с соответствующими тензор-
ными свойствами описывают разложение флуктуаций плотности
по сферическим гармоникам. Теория колебаний жидкой капли
представляет собой классический пример такой процедуры (прило-
жение 1) х).
В данном параграфе мы рассматриваем вибрационные возбуж-
дения, связанные с изменением полной плотности частиц (просум-
мированной по спиновым и изоспиновым переменным):
А
р(г) = 2 6 (г-г*).	(6.38)
6 = 1
Для возбуждения с симметрией К изменение плотности в низшем
порядке линейно по и с учетом вращательной инвариантности
мы имеем
SP(r) = fx(r)Sy^(°- <р)%1 = (-1)Ч2^+1),ЧНг)(ГхаЛ. (6.39)
и
Радиальный формфактор fx (И зависит от внутренней структуры ко-
леблющейся системы и будет рассмотрен ниже (стр. 298). Оператор
11 О квантовании колебаний в модели жидкой капли см. работы [417, 420]
плотности является функцией внутренних переменных, а также
коллективных амплитуд и формулу (6.39) следует рассматри-
вать как результат усреднения изменения плотности по внутрен-
нему движению [определяемому волновой функцией Фст (q) в фор-
муле (6.17)].
Оператор плотности (6.38) эрмитов, и, следовательно, сфериче-
ский тензор является самосопряженным При подходящем вы-
боре полной фазы имеем
aL = (—l)gax.-и-	(6.40)
Тогда радиальная функция в формуле (6.39) действительна.
Если состояние равновесия инвариантно относительно простран-
ственного отражения и обращения времени, то преобразование
под действием операторов и еТ' дается формулами
^а^1 = (—1)4-	,б41)
= 1)цах, ц=а!ц.
Эти соотношения следуют из того, что плотность р (г) под действием
оператора переходит в р (—г) и инвариантна по отношению к опе-
рации (Отклонение состояния равновесия, на которое наклады-
ваются колебания, от симметрии SP и означало бы дублетную
структуру энергетических уровней, которая в ядерных спектрах
не наблюдается; см. гл. 4, § 3, п. I.)
В наинизших вибрационных возбуждениях плотность должна
изменяться без радиальных узлов, поэтому их можно назвать коле-
баниями формы. Простая модель такого типа колебаний получа-
ется, если рассматривать деформации, при которых изменяется
радиус R, а диффузность поверхности остается не зависящей от угла
[формула (4.189)]:
Р (Г. Ро (Г) - Яо 2 YUxg,	(6.42)
И
где р0 (г) — равновесная плотность. Изменение плотности, давае-
мое формулой (6.42), имеет вид (6.39) с радиальным формфактором
А(г) = -/?о^-.	(6.43)
При X = 1 деформация (6.42) соответствует трансляции без изме-
нения формы, и, следовательно, при X = 1 колебания формы пред-
ставляют собой движение центра массы Для системы с постоянной
плотностью и резкой поверхностной границей искажение плотности
(6.42) эквивалентно деформации поверхности, которая описывается
формулой (6.619) [Подчеркнем, что в настоящее время нет экспери-
ментальных данных, прямо указывающих на наличие или отсутствие
зависимости диффузности поверхности от угла.]
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
299
Гама лътониан
В гармоническом приближении гамильтониан является квадра-
тичной функцией амплитуд колебаний и канонически сопряженных
импульсов, подобно формуле (6.10). Для вибрационного возбужде-
ния X требование инвариантности относительно вращения приводит
к выражению
W == 2 Dk	2	=
= y (—0х (2?1 + 1 )'/2 [А' (яхл?.)о + Ск (а?>а?.)0].	(6.44)
Уравнения движения дают [см. соотношение эрмитовости (6.40)]
ялн = А«М* = А (—1 )%i, -н.	(6.45)
и частота колебаний
оН-вВ''’	(6-46)
Гамильтониан (6.44) описывает независимые колебания 2X4 1
вырожденных возбуждений, связанных с деформацией формы
порядка X. Колебания можно представить в виде бегущих или стоя-
чих волн, как в классическом анализе колебаний жидкой капли
(приложение 1, п. 3).
Квантовые характеристики колебаний можно выразить через
операторы рождения и уничтожения ct (Xjui) и с (X|i), которые удовлет-
воряют бозонным коммутационным соотношениям [формула (6.2)]
[с Ар), с (Хр')] = [с4 Ар). С* Ан')] = 0,
[сАр), С*Ар')] = 6(р, р').	<• '
Число квантов с определенными Хр дается оператором [формула
(6.3)]
Ахи)оп — & Ан) с Ар),	(6.48)
а гамильтониан представляет собой сумму членов вида (6.5) [см
также формулу (6.12)]
Ар) С Ар)+4].	(6.49)
А
Амплитуды а?41 и сопряженные им подчиняются канониче-
ским коммутационным соотношениям
[ахи, аМ»'] = [я>-ю ямЛ = °’	~
[лли, а^] = -/Й6(р, И');	(	'
300
Гл. 6. Вибрационные спектры
они линейно связаны с операторами с* (Хр), с (Хр), подобно выра-
жениям (6.16):
= 1~к («До к (Хр) + с (Хр)]>
я?^ = lV1 -с'
Ct -iK+1 <-1)И =
= Ж)?(а?-и
(6.51)
Здесь (а?.)0 — амплитуда нулевых колебаний для индивидуальных
возбуждений, а полная амплитуда нулевых колебаний |3Л мульти-
плетности X определяется выражением
= (2Х + 1) (ах)? = /пк = 0 У, а1цаХ|Л | пк = 0\ =
Ч<Дь=1Ы1«х = 0>|2 = (2Х4Ч)^ =
=<а+1)$"(2Х+1>ет^	(6-Б2>
где | п}_ = 0) — основное состояние. В формуле (6.51) мы приняли
обычное соотношение фаз для операторов рождения [формула
(1.181)]
cf (Хр) = eT'ft (Хр) — (—1 )х+ц cf (X — р).
(6.53)
При таком выборе фаз условие эрмитовости и обращение времени
для а?.ц [формулы (6.40) и (6.41)] определяют фазы в формулах
(6.51) с точностью до множителя ~:1.
Из формулы (6.51) видно, что амплитуда а>д связана с рождением
кванта с компонентой углового момента рис аннигиляцией кванта
— р. Вообще если кванты характеризуются отличными от нуля зна-
чениями аддитивных квантовых чисел из любого набора у, то ампли-
туда ау представляет собой комбинацию с1 (у) и с (—у). Для колеба-
ний, связанных с плотностью (6.38), кванты имеют равные нулю
значения всех аддитивных квантовых чисел, кроме р, в соответствии
с тем обстоятельством, что амплитуды а>.ц являются самосопряжен-
ными сферическими тензорами.
Угловой момент колебаний можно представить в виде билиней-
ной формы по амплитудам аЛ|Л и а?41 или по операторам с* (Хр) и с (Хр).
Эта форма однозначно определяется векторным характером опера-
тора углового момента [см. аналогичное выражение (1.189) для тен-
зорных операторов фермионов и формулу (1.157) для приведенного
ft 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений 301
матричного элемента углового момента]:
_Г1х(Х+ 1) (2Л-+ !)]' У <Л.Н'ЛИ'| ln)cW)c(V')- (6.54)
ц'ц"
Если в качестве переменных взять амплитуды (а, л), то получается
каноническое выражение (6.615) для углового момента колебаний.
Кванты колебаний плотности с симметрией X имеют четность
л = (—1)\	(6.55)
Квантовое число л следует из преобразования (6.41) для аЛр1,
которое в силу линейных соотношений (6.51) применимо также к опе-
раторам (Х|а).
Спектр
В гармоническом	приближении	энергия возбуждения равна
Е	(пк)	-E(nK = 0) = nKh<aK,	(6.56)
где — число квантов,
=	(6.57)
И
При данном значения полного вибрационного углового момента
можно найти, связав угловые моменты отдельных квантов с учетом
Таблица 6.1
состояния с БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ КВАДРУПОЛЬНЫХ ФОНОНОВ
статистики Бозе. Так, при пк ~ 2 для симметричных состояний
имеем
/ = 0, 2,	2%.	(6.58)
302
Гл. 6. Вибрационные спектры
Значения / при данном можно найти простым счетом числа состоя-
ний с разными значениями компоненты полного углового момента:
М = У, 1ЛПЛЦ.	(6.59)
И
Для квадрупольных колебаний (X = 2) состояния с п2 6 перечис-
лены в табл. 6.1. При п2 > 3 может быть несколько состояний с од-
ними и теми же квантовыми числами п2, / (и /И); эти состояния можно
различать по квантовому числу сеньориты v (стр. 604). Относительно
конструирования многофононных состояний с помощью генеалоги-
ческих коэффициентов см. приложение 2, п. 4.
Переход от колебательных к вращательным и внутренним
степеням свободы
Деформацию мультипольности X можно задать набором (2Х — 2)
параметров, которые характеризуют форму во внутренней системе
координат, и трех угловых переменных (углов Эйлера), которые ха-
рактеризуют ориентацию деформированной формы относительно не-
подвижной системы координат. Таким образом, 2Х + 1 вибрационные
степени свободы можно рассматривать как 2Х — 2 внутренних воз-
буждений, представляющих собой колебания этой формы, и три вра-
щательных возбуждения, связанных с изменением ориентации при
фиксированной внутренней форме. При таком подходе вращательные
степени свободы оказываются своего рода суперпозицией вибрацион-
ных возбуждений. Для квадрупольных колебаний преобразование
амплитуд и гамильтониана к переменным формы и углам дано в при-
ложении 2. В этом случае форма имеет эллипсоидальную симметрию
и ее можно характеризовать параметром (3. который дает величину
полной деформации, и параметром у, который служит мерой откло-
нения от аксиальной симметрии.
Переход к переменным формы и угловым переменным дает осо-
бенно простые результаты в тех случаях, когда внутренняя форма
совершает малые колебания около несферической равновесной фор-
мы. Тогда движение разделяется на вращение и колебания внутрен-
ней формы и в спектре появляются вращательные полосы, о чем
говорилось в гл. 4. Так обстоит дело, если потенциальная энергия
содержит ангармонические члены, которые приводят к резко выра-
женному минимуму для деформированной формы. Анализ ангармо-
ничности на основе такого представления выявляет связь между виб-
рационными спектрами сферических ядер и вращательно-вибрацион-
ными спектрами деформированнььх ядер [См стр. 398 (ангармо-
ничность) и стр. 595.]
Даже тогда, когда сферическая форма выгоднее с точки зрения
потенциальной энергии, как в случае гармонических колебаний,
равновесная форма становится несферической при достаточно боль-
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений	303
ших значениях углового момента в результате действия центробеж
ных сил.
Этот эффект особенно резко выражен в области вибрацион-
ного спектра, соответствующего ираст-уровням, т. е. уровням с мак-
симальным значением углового момента при данной энергии. (См.
приложение 2, п 4; структура вращательных полос и классифика-
ция внутренних возбуждений в области ираст-уровней (при К = 2)
поясняется на фиг 6.68, стр 599). Простой характер уровней в этой
области можно объяснить также тем, что выстраивание угловых
моментов индивидуальных квантов означает существование конден-
сата многих тождественных квантов. (Ср. аналогичный случай пары
квантов, стр. 346.)
Моменты Ек
Колебание формы порядка X с изменением плотности (6.39) харак-
теризуется большими значениями соответствующего мультиполь-
ного момента
®^(Х|л) = р (г)	(6. фИт = $	(г) dr а^.	(6.60)
Момент (6.60) соответствует полной плотности частиц; электриче-
ский момент е^(ЕХ, р) получается заменой р (г) и (г) соответст-
вующими функциями для плотности заряда.
Для колебаний формы предполагается, что отношение протонной
и нейтронной плотностей остается приблизительно постоянным
(стр. 336); тогда
(6.61)
/1
Если мы далее предположим, что радиальный формфактор имеет
вид (6.43), то момент ЕК можно представить в виде
м (ЕА, р) ъ - - J Ro J dro^ =
=	(6.62)
где радиальный момент соответствует сферически-симметричному
распределению р0. Можно также выразить электрический мульти-
польный момент в виде
И) =AZe^aX(ij	(6.63)
где эффективный радиус R определяется соотношением
3^ = (Х+2)/?0<г^>.	(6.64)
Та же самая формула (6.63) имеет место для случая деформации
поверхности в системе с постоянной плотностью и резкой поверх-
304
Г л. 6. Вибрационные спектры
ностной границей [формула (6.620)1. Диффузность поверхностной
границы ядра означает, что параметр R, определяемый формулой
(6.64), несколько зависит от величины X. О вычислении моментов
(гп) говорилось в т. 1, гл. 2, стр 161, в случае распределения плот-
ности в форме Вудса—Саксона.
Несмотря на то что изменение плотности, связанное с колеба-
ниями ядра, может отличаться от соотношения (6.42), часто удобно
использовать соотношение (6.63) в качестве нормировки амплитуды
колебаний. Для этой цели выбираются электрические моменты, по-
скольку моменты перехода этого типа измеряются с наибольшей точ-
ностью. [При аксиально-симметричной квадрупольной деформации
амплитуда а20 равна параметру полной деформации (3, который в
свою очередь связан соотношением (4.191) с эксцентриситетом 6,
определяемым формулой (4.72).]
При нормировке (6.63) вероятность перехода с возбуждением
вибрационного кванта дается выражением [формулы (6.51) и (6.52)]
В (Ek, nx=0->nx=l)=f^Ze^j2₽l =
= (2Х + 1)	ZeR>'\ =
= (2X+1)(-|-Ze^)2-^-.	(6.65)
В гармоническом приближении матричные элементы момента
(jEX, р) подчиняются правилу отбора Аих = ±1 и отношения
всех матричных элементов переходов вполне определены. Приведен-
ный матричный элемент дается выражением
(пх+1,	=
х<пк+1,	(6.66)
в котором вибрационные состояния характеризуются числом фоно-
нов Ил, полным угловым моментом 1п и дополнительными кванто
выми числами которые позволяют различать состояния с одина
ковыми и 7Л. Приведенный матричный элемент оператора рожде
ния представляет собой генеалогический коэффициент, который рас
смотрен в приложении 2, п. 4.
Для независимых квантов полная вероятность распада равна
сумме вероятностей распада отдельных квантов:
2 В (EK} fy&nlп Пк 1, п-11 п-1) ~
= пкВ(Ек, пь=1->/1ь = 0).	(6.67)
Это соотношение можно также рассматривать как выражение пра-
вила сумм для генеалогических коэффициентов, которое следует из
формулы (6.48).
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
305
Существование колебаний формы
При изучении низколежащих уровней четно-четных ядер систе-
матически обнаруживаются состояния с /л = 2 + и 3—, характе-
ристики которых указывают на их вибрационную природу. Коллек-
тивный характер этих возбуждений подтверждают большие вероят-
ности переходов и то обстоятельство, что их параметры довольно
плавно меняются с Л7 и Z. Систематика энергий возбуждений уров-
ней 2+ и 3— показана на фиг 2.17 (т. 1, стр. 194) и фиг 6.40
(стр. 490). Вероятности переходов на порядок больше одночастич-
ной единицы, и если их интерпретировать на основании представле-
ния о колебаниях формы, согласно формуле (6.65), то они соответст-
вуют амплитудам нулевых колебаний |32 и с характерной величи-
ной порядка 0,2 [величины В (£2) приводятся на фиг. 4.5, стр. 55,
а величины В (£3) — в табл. 6.14] Имеющиеся данные относительно
радиального формфактора для момента перехода указывают на его
сильное возрастание у поверхности ядра, что соответствует колеба-
ниям формы (см., например, работу [571]).
Имеются также некоторые данные о коллективных колебаниях
плотности с 1л = 4+ и 5—. [См., например, возбуждения состоя-
ния в изотопах Cd (hco4 = 2,3 МэВ) с сечениями примерно в 10 одно-
частичных единиц [693] и в ядре 208Pb (h(o4 — 4,3 МэВ, В (Е4;
4->0) ^25BW [1223]).]
Данные относительно мультипольных возбуждений в настоящее
время ограничены квадрупольным типом возбуждения. Оказалось,
что спектры содержат состояния с /л -= 0+, 2+ и 4+ [формула
(6.58)] и качественно соответствуют двойным возбуждениям (п2 =
= 2). Количественные же значения энергий и матричных элементов
£2 весьма сильно отклоняются от соотношений (6.56) и (6.66) для
гармонических колебаний. (Об интерпретации таких ангармониче-
ских эффектов говорится на стр. 478; см. также § 6, п. 1). Данные о
состояниях с большим числом квантов пока что ограничиваются
возбуждениями с I = 2п2, и поэтому еще не было возможности про-
верить ожидаемый вид спектра в области ираст-уровней.
Возбуждения с Кл 2+ и 3— как наинизшие коллективные
типы возбуждения характерны для системы, обладающей сфериче-
ской равновесной формой, если ее жесткость относительно сжатия
велика по сравнению с жесткостью относительно деформации формы.
Модель жидкой капли является прототипом такой системы (прило-
жение 1). Однако в количественном отношении свойства наблюдае-
мых возбуждений ядра сильно отличаются от тех свойств, которые
следуют из такого макроскопического описания. В частности, на
свойства квадрупольных колебаний глубокое влияние оказывает
оболочечная структура. В ядрах с большим числом частиц вне
замкнутых оболочек квадрупольное возбуждение имеет очень низкую
частоту и большую амплитуду, что связано с неустойчивостью,
306
Гл. 6. Вибрационные спектры
которая проявляется в существовании ядер несферической равновес-
ной формы. По мере приближения к замкнутым оболочкам это воз-
буждение становится все более слабым, и в ядрах с замкнутыми обо-
лочками нейтронов и протонов уже не существует никакого низко-
частотного квадрупольного возбуждения Колебаниями формы
с наинизшей частотой в таких ядрах являются колебания октуполь-
ного типа.
Количественное сравнение с моделью жидкой капли можно про-
вести, основываясь на коэффициенте жесткости (\ и массовом коэф-
фициенте которые вычисляются по экспериментально измерен-
ным величинам и В (EZ) [формулы (6.46) и (6.65)]. Для квадру-
польных возбуждений эти параметры представлены на фиг. 6.28,
стр. 467, и 6.29, стр. 468. Нетрудно видеть, что коэффициент жест-
кости С2 на порядок величины больше, чем для жидкой капли, вблизи
замкнутых оболочек, но он становится значительно меньше, чем для
жидкой капли, в той области, где ядра обладают стабильными квад-
рупольными деформациями. Массовый коэффициент D2 на порядок
величины больше, чем дает модель жидкой капли в предположении
о безвихревом течении жидкости.
Неадекватность модели жидкой капли можно объяснить большой
длиной свободного пробега для движения индивидуальных нукло-
нов в ядре. Коллективные возбуждения такой системы нельзя анали-
зировать, оперируя понятием плотности энергии, которая опреде-
ляется такими локальными величинами, как изменение плотности
и коллективный ток. Анализ структуры коллективных возбуждений
в системе с независимым движением частиц можно проводить исходя
из представления о связи нуклонов с осциллирующим потенциа-
лом, который порождается коллективной деформацией (§ 2, п. 3).
Тогда удается объяснить основные качественные особенности наблю-
даемых квадрупольных (стр. 460) и октупольных (стр. 493) возбуж-
дений. Существование коллективных возбуждений очень низкой
частоты и соответствующая неустойчивость формы ядра связаны
с приблизительным вырождением в спектре одночастичного движе-
ния в сферическом потенциале. Общие условия такого вырождения
рассматриваются на стр. 509; преобладание квадрупольной неустой-
чивости, наблюдаемое в ядрах, можно считать следствием того, что
приближенно справедлив потенциал гармонического осциллятора
для одночастичного движения.
Низкочастотные квадрупольные колебания в основном связаны
с переходами частиц в пределах частично заполненных оболочек,
но возможны также и квадрупольные возбуждения, связанные с пере-
ходами между оболочками. Вывод о наличии такого дополнитель-
ного высокочастотного квадрупольного перехода можно непосред-
ственно сделать из осцилляторного правила сумм (§ 4, п 1), посколь-
ку экспериментально наблюдающееся низкочастотное возбуждение
объясняет лишь 10% осцилляторной суммы (фиг. 6.29). О свойствах
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
307
таких высокочастотных колебаний формы и имеющихся эксперимен-
тальных данных говорится на стр 450 (О теоретической интенсив-
ности высокочастотного октупольного перехода см. стр. 491).
Типы возбуждений, рассмотренные выше, имеют радиальные
формфакторы без узлов, что соответствует колебаниям формы.
Изменение плотности с радиальными узлами соответствует модам
сжатия; в настоящее время нет никаких экспериментальных данных
относительно таких коллективных возбуждений в ядре. Моды сжа-
тия могут иметь Хл = 0+, 1—, 2+, но благодаря радиальным
узлам эти возбуждения приводят к довольно слабым мультиполь-
ным моментам (приложение 1, п. 3); однако они могут возбуждаться
в процессах неупругого рассеяния, которые связаны с передачей
большого импульса или с сильным поглощением частиц. (Экспери-
ментальное изучение этих возбуждений дало бы информацию о ядер-
ной сжимаемости.)
При анализе коллективного движения в макроскопической квантовой жид-
кости различают гидродинамический и бесстолкновительный режимы в зависи-
мости от того, мало или велико время релаксации для квазичастиц по срав-
нению с периодом коллективного колебания (см., например, [926]). Релаксация
обусловлена взаимодействием с тепловыми возбуждениями и исчезает в пре-
деле низких температур. Таким образом, ядерные возбуждения, рассматривае-
мые в настоящей главе, относятся к бесстолкновительному режиму и их сле-
дует сравнивать с «нулевым звуком», а не с «первым звуком», который харак-
терен для гидродинамического режима с локальным термодинамическим равно-
весием. Ядро дает возможность изучать коллективные возбуждения в квантовой
жидкости, длины волн которых сравнимы с размерами системы, а также иссле-
довать те свойства возбуждений, на которые сильно влияет квантование дви-
жения частиц в системе в целом. Подобные же явления могут, по-видимому,
встретиться в плазменных колебаниях в атомах (см., например, [29, 405, 1173]).
Вибрационное поле
Изменение плотности, характеризующееся мультипольностью
X, вызывает изменение ядерного потенциала, которое в первом по-
рядке по деформации обладает той же мультипольностью и, следова-
тельно, имеет вид
6V = - kK (г) 2 Пи (0, ф) ал,,.	(6.68)
И
В случае колебаний формы можно приближенно полагать, что пол-
ный потенциал V + 6V получается в результате деформации сред-
него статического потенциала. Как говорилось в гл. 5, с таким пред-
положением довольно хорошо согласуется потенциал, наблюдаю-
щийся в сильно деформированных ядрах. Деформация централь-
ного потенциала той же самой формы, что и искажение плотности
(6.42), приводит к величине
=	(6-Ь9)
Для формфактора в формуле (6.68)
Фиг. 6.2. Неупругое рассеяние протонов с энергией 17,8 МэВ на ядрах 120Sn.
Представлен энергетический спектр протонов, рассеянных под углом 65° мишенью 120Sn и зарегистрированных крем-
ниевым детектором. Малоинтенсивная группа ниже 1 МэВ, а также интенсивные группы, помеченные символами 12С
и 16О, соответствуют упругому рассеянию на различных примесях. Широкая группа вблизи 1,9 МэВ обусловлена
испусканием у-кванта вслед за возбуждением состояния 2 в ядре 28Si детектора. Для групп, соответствующих низ-
шим состояниям ядра 120Sn, указаны энергия возбуждения (в МэВ), спин и четность, если они известны. Большинство
наиболее заметных пиков выше 2,5 МэВ также соответствуют возбужденным состояниям ядра ,20Sn. Данные взяты
из экспериментальной работы (649]. Дополнительная информация относительно этого эксперимента была предоставлена
Нам Б. Гарви (В. G. Harvey).
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений 309
Деформированное поле (6.68) означает, что колебания формы
могут интенсивно возбуждаться при неупругом рассеянии нуклонов
и других ядерных частиц (d, а, л, К и т. д.). Действительно, в энер-
гетических спектрах неупруго рассеянных частиц преобладают не-
сколько весьма заметных групп, которые можно однозначно связать
с наинизшими возбуждениями колебаний формы (см. пример на
фиг. 6.2 х)).
Таблица 6.2
ВИБРАЦИОННЫЕ АМПЛИТУДЫ ДЛЯ ЯДРА «"Sn, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ
РАЗНЫМ ПРОЦЕССАМ ВОЗБУЖДЕНИЯ
	02^0, ферми	|ЗзЯо Ферми	Ro, ферми
В(£Х)	0,64	0,87	5,9
a(d, d'-, 15 МэВ)	0,69	0,80	5,8
a (a, a'; 34 МэВ)	0,82	0,90	7,5
a(p, p'; 18 МэВ)	0,74	0,86	6,2
a (n, n'; 14 МэВ)	0,74	1,05	6,2
В таблице сведены воедино амплитуды, найденные для ряда разных процессов, при-
водящих к возбуждению низкочастотных квадрупольных и октупольных мод в ядре 120Sn
(Псо2 = 1,17 МэВ и Д(о3 = 2,39 МэВ). Неупругое рассеяние нейтронов исследовалось на
природной смеси изотопов олова. В последнем столбце указан радиус Ro, принятый при
анализе каждого процесса. Экспериментальные данные и результаты их обработки взяты
из следующих работ: [23,1073] (кулоновское возбуждение), [657] [(d, бГ)-рассеяние],
[711] [(а, а')-рассеяние], [649] [(р, р')-рассеяние], [1070] [(п, п')-рассеяние].
В табл. 6.2 приведены значения матричных элементов перехо-
дов р2 и р3, вычисленные по сечениям неупругого рассеяния (фиг.6.2).
Они сравниваются со значениями, вычисленными по сечениям дру-
гих неупругих процессов, а также по моментам переходов Не-
трудно видеть, что параметры деформации довольно хорошо согла-
суются между собой. Правда, их сравнивать не вполне правомерно,
поскольку параметры среднего радиуса для разных процессов воз-
буждения несколько различаются. Эти различия связаны с нелиней-
ным соотношением между потенциалом и плотностью, а также с силь-
ным поглощением составных частиц. Таким образом, если величиной,
имеющей физический смысл, является смещение поверхности 6/? =
=	то для различных процессов следует сравнивать
произведения (Зл/?0 [134], приведенные в табл. 6.2.
х) Селективное возбуждение этих уровней впервые наблюдалось при рас-
сеянии протонов [268, 271] и затем при рассеянии дейтронов и а-частиц
[451, 1216] Оказалось, что амплитуды колебаний, вычисленные по экспери-
ментальным значениям сечений неупругого рассеяния, довольно хорошо согла-
суются с амплитудами, вычисленными по измеренным вероятностям переходов
[216, 807, 1004]. Таким образом, указанные данные подтверждают толко-
вание этих состояний как колебаний формы.
310
Гл. 6. Вибрационные спектры
Более подробное изучение процессов неупругого рассеяния мо-
жет осветить важные вопросы, касающиеся структуры вибрацион-
ных полей; сюда относятся радиальная зависимость и зависимость
полей от скорости, а также их зависимость от спиновых и изоспи-
новых переменных нуклонов. Вопрос об изоспиновой зависимости
рассматривается на стр. 334 Что касается спиновой зависимости, то
здесь должен быть, по-видимому, член, связанный с искажением
спин-орбитального потенциала. Если этот потенциал выбирается
в форме (2.144), то деформация того вида, который предполагается
формулой (6.42), дает [формула (3.81) и ср. соответствующий член
формулы (5.3) для аксиально-деформированных ядер]
Wl$ = - (2Х + 1)'/. VlsrnV [я0 £ (У?..а,)0] (Р X S) =
= - (2% + I)1'*Vlsr0 A	_ А {укак)0 (1 • s) +
+	(2Х + 1 )’/•	(р х s))x ах)0}. (6.70)
Данные, подтверждающие наличие такой компоненты вибрацион-
ного поля, были получены в результате исследования эффектов по-
ляризации при неупругом рассеянии (см. например, [1031]).
Потенциал, генерируемый колебанием, может также содержать
члены, пропорциональные соответствующее одночастичное поле
меняет знак при обращении времени (вместе с эрмитовым сопряже-
нием). Члены такого типа появляются вследствие того, что средний
одночастичный потенциал зависит от скорости, и их можно найти,
если ввести скорости нуклонов относительно локального коллектив-
ного тока (локальная галилеева инвариантность [95]). Члены такого
взаимодействия рассматриваются в связи с анализом высокочастот-
ного квадрупольного возбуждения (стр. 452) и возбуждения, свя-
занного с движением центра масс (стр 261)
Вибрационное поле можно также изучать по взаимодействию
между колебаниями и движением отдельных частиц в связанных со-
стояниях ядра. Разнообразные эффекты связи частиц с колебанием
будут рассмотрены в § 5. Экспериментальные данные показывают,
что интенсивность взаимодействия приближенно описывается фор-
мулой (6.69); см., например, об эффективных зарядах для моментов
Е2 в ядрах с нечетным Д, стр 474 (In, Sb), а также о связи частицы
с октупольным колебанием в ядрах 209Bi и 209РЬ, стр 457, 497
Анализируя эффекты взаимодействия в колебаниях в § 2, п. 3,
связь с колебанием выражают в форме (6.18), что в случае возбужде-
ния мультипольности X соответствует
6У=хх£а?4Ли(х),	(6.71)
если произвести
рованного вида
с формфактором
$ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений	311
.——---------
где х> _ константа связи, а оператор F}fl нормирован так, что
/ У, Рщ(х„)\ ( 6pF?4i dx = aXg,	(6.72)
\ k / з
усреднение по распределению плотности деформи-
В случае когда взаимодействие имеет вид (6.68)
(6.69), можно использовать безразмерное поле
=	(6.73)
Соответствующую константу связи получим, вычислив среднее
(6.72), где нужно взять 6 р, которое дается формулой (6.42):
d г. dpfl 9 »	Fn С 1 I 9 d \ j I С “7 Л'\
dr~	4л J 72“ dr V	(6-74)
(Заметим, что х и V отрицательны в случае притягивающих полей.)
Качественное представление о влиянии оболочечной структуры на колеба-
ние можно составить, рассмотрев вибрационные поля с оператором равным
мультипольному оператору а также взяв в качестве среднего потенциала
потенциал гармонического осциллятора. При такой модели спектр одночастич-
ных возбуждений и коллективные возбуждения имеют особенно простой и
прозрачный характер. В случае осцилляторного потенциала
P =	(6.75)
деформацию поля стандартного вида (6.71), когда
=	(6.76)
можно записать следующим образом:
(6'771
При X = 2 деформационный потенциал соответствует анизотропному осциллятору
[формула (5.5)]. Если поверхности равной плотности и равного потенциала
испытывают одинаковые деформации, то изменение плотности 6р выражается
формулой (6.77), где V следует заменить на р0. Тогда условие нормировки
(6.72) дает
4л
2Х+1 А (Г2Х-2) *
(6.78)
Квадрупольные возбуждения для осцилляторной модели с константой связи
(о.78) анализируются на стр. 450, а октупольные — на стр. 491.
Моменты Ml
Магнитный дипольный момент, связанный с возбуждением коле-
баний формы X, в низшем порядке пропорционален ак и что еле’
Дует из симметрии относительно обращения времени и вращатель-
ной симметрии. Единственный вектор, который можно образовать
312
Гл. 6. Вибрационные спектры
из и <хх, совпадает с вектором, связанным с угловым моментом
колебаний [формулы (6.54) или (6.615)]; таким образом, имеем
И =	(6.79)
где gK — величина, постоянная для данного вибрационного возбуж-
дения. Поэтому в низшем порядке теории возмущений все состоя-
ния в вибрационном спектре имеют один и тот же статический g-фак-
тор. Кроме того, поскольку полный угловой момент / является ин-
тегралом движения, переходы ЛИ отсутствуют.
Для квадрупольных колебаний имеются многочисленные экспе-
риментальные данные, позволяющие проверить запрещенность мат-
ричных элементов ЛИ при переходе (п2 — 2, 1 == 2) -> (и2 = 1,
/ = 2). Величины В (ЛИ) в большинстве случаев оказались меньше
10-2 (ей/2Л4с)2; см. примеры на фиг 6.30, стр. 469, и 6.32, стр. 472.
(Данные о смешивании ЛИ — Е2 при таких переходах собраны
в работе [703].) х)
Величина — это характеристика коллективного тока, связан-
ного с колебанием. При колебаниях формы основной вклад в ток
должно давать орбитальное движение частиц, а отношение заряда
к массе в токе должно быть приблизительно таким же, как и для
статической плотности. Поэтому
7
(6.80)
как для равномерно заряженной жидкой капли. Основные экспе-
риментальные данные относятся к квадрупольному возбуждению
с п2 = 1, /л — 2+, для которого значения g оказываются прибли-
зительно равными величине (6.80), хотя наблюдаются значитель-
ные отклонения (фиг. 4.6, стр. 61). В нескольких случаях была из-
мерена величина g для возбуждений сп3 = 1, /л = 3— (16О, йсо3 =
— 6,1 МэВ, g-0,55 ±0,03 1954]; 2o8Pb, hw3 = 2,6 МэВ, g =
- 0,58 ±0,14 [189]).
Момент ЕО
Электрические моменты мультипольного порядка, отличного от
мультипольности колебания, должны содержать вторую или более
высокие степени вибрационных амплитуд Так, момент £0:
т (£0) = $ г2рэ;1 (г) dr,	(6.81)
в низшем порядке квадратичен по амплитуде колебаний и может со-
держать два члена, пропорциональные (а?ах)0 и (а^а^о- Если ча-
1) Сильное уменьшение матричного элемента Mi для переходов между
первым и вторым состояниями 2+ было одной из первых закономерностей,
обнаруженных в спектрах четно-четных ядер [705].
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений	313
стота колебаний мала по сравнению с частотами одночастичных
возбуждений (адиабатический случай), то распределение плотности
нуклонов при данном ак оказывается приблизительно таким же,
как и при статической деформации, и, следовательно, можно счи-
тать, что tn (£0) лишь слабо зависит отах. (Об адиабатическом при-
ближении см. §6, п. 1.) При таких условиях в выражении для tn (£0)
имеется единственный член низшего порядка
m(E0) = tn(EQ, а = +	I2.	(6.82)
ц
и все матричные элементы можно выразить через один параметр k.
Так, например,
(пУМ | m (Е0) | п},1М> -	= 0 | m (Е0) | пк = 0) = knK , (6.83а)
<пЛ = 2, 7=О|/п(ЕО)|пх = О> = ^(х+4У/!(6.836)
Можно попытаться вычислить коэффициент k приближенно,
рассматривая деформацию в виде смещения поверхности внутрь
или наружу без изменения внутренней плотности или диффузности
по нормали к поверхности [формула (4.188)1. Разложение (4.189)
распределения плотности с точностью до членов второго порядка
по амплитудам дает момент £0 с
k = -A ZeRl\z - ~	+ | Х(%+ 1) (1 — 4<г'1>/?<»)]’ <6-84a>
k Ze/?02[l	(X- 1) (Х+ 2) (-J)2],	(6.846)
причем в формуле (6.846) мы воспользовались выражением (2.65)
для радиальных моментов, соответствующих формфактору Вудса—
Саксона Подчеркнем, однако, что монопольный момент, связан-
ный с колебаниями формы, чувствителен к возможным изменениям
радиального распределения плотности и поэтому результат (6.84)
должен давать лишь порядок величины эффекта. Коэффициент k
можно вычислить по матричному элементу £0, измеренному для
перехода п = 2, I = 0 -> п 0 в ядре 114Cd (фиг. 6.30, стр. 469);
величина fe, даваемая формулой (6.836), оказывается примерно вдвое
меньше приближенной оценки (6.84) Для деформированного ядра
174Hf наблюдаемая величина k для монопольного колебания Дл =
= 0+ довольно хорошо согласуется с выражениями (6.84).
(Косвенным образом монопольные моменты, связанные с квадру-
польной деформацией, были вычислены также по изотопическому
смещению в атомных спектрах; они оказались порядка оценки
(6.84), но несколько меньше; см., например, данные о ядре 152Sm,
т. 1, стр. 164.)
314
Гл. 6. Вибрационные спектры
Члены второго порядка по деформации в распределении плот-
ности дают также вклад в электрические моменты мультиполыюсти
2, 4, 2Х ^формула (4.189)] Таким образом, для квадрупольных
колебаний получается вклад второго порядка в момент £2, который
приводит к матричным элементам с Дп2 — 0 и Дп2 “ ±2. Правда,
подобные эффекты могут иметь место и вследствие ангармонич-
ности колебаний; поэтому анализ тех членов в моментах, которые
выходят за рамки низшего порядка, должен производиться одновре-
менно с учетом членов более высокого порядка в гамильтониане
(§ 6, п. 1).
Суперпозиция, колебаний и движения частиц1)
Если внутреннее состояние характеризуется конечным угловым
моментом J (как в случае ядер с нечетным Л, нечетно-нечетных ядер
или возбужденных конфигураций четно-четных ядер), то вибрацион-
ное возбуждение с угловым моментом R приводит к мультиплету
состояний с полным угловым моментом
/ = [ J —	|	+ J + R.	(6.85)
Связь частиц с колебанием вызывает расщепление энергии мульти-
плета (6.85) и смешивание состояний с разными квантовыми числами
J и R; указанные эффекты связи будут рассмотрены в § 5.
В пределе слабой связи различные ядерные моменты можно пред-
ставить в виде суммы вкладов, соответствующих вибрационным
и внутренним степеням свободы, а матричные элементы можно вычис-
лить по общей формуле (1.163) для мультипольных операторов в
слабо связанных системах.
Большие коллективные матричные элементы соответствуют
переходам ЕХ с Дп^ — ±1 и без изменения внутреннего состояния.
В случае слабой связи вклад в такие переходы дает только вибрацион-
ный момент и величина В (ЕХ) оказывается прямо связанной с ве-
роятностью вибрационного перехода:
В (EX; nKRJI-+nK±\, /?'//') = (2/'+ 1)(2/?+1)х
(R J I V
XГ, . J В(£Х;	/?'). (6.86)
(/ Л л '
Сумма вероятностей перехода на различные компоненты Г конеч-
ного мультиплета равна В (ЕХ\ nKR -> п^± 1,/?'), в чем можно
формально убедиться, пользуясь соотношением полноты (1.110).
0 Спектры и моменты, соответствующие суперпозиции приблизительно
независимого движения частиц и колебаний, рассматривались на ранней ста-
дии изучения коллективного движения ядра [161, 428] (см. работу [16] и
литературу, цитированную в пей). В работе [311] подчеркивается общий харак-
тер такой схемы связи (модель возбуждения остова).
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
315
Состояния внутри мультиплета связаны матричными элементами
(Ml) и/?J/> = (А)’/г	(/ + 1) (2/ + 1 )]•/.х
Хб(/, /') + (-!)«+•' + ' + * (gx-gj)(2/ + l)‘/2 (2/' + 1),/2Х
x[/?(/?+l)(2/?+l)]4f, '	(6.87)
V * К)/
Мы видим, что переходы Л11 характеризуются одночастичными вели-
чинами, поскольку g-факторы для движения частиц обычно заметно
отличаются от g-факторов для коллективного движения.
Примером спектра, соответствующего слабой связи частицы с ко-
лебанием, может служить мультиплет состояний, содержащий супер-
позицию октупольного кванта и основного состояния ядра 209Bi
(фиг 6.42). Данные, позволяющие проверить правило интенсивно-
стей (6.86) при возбуждении мультиплета в результате неупругого
рассеяния, приведены в табл. 6.16. В других случаях связь оказы-
вается гораздо сильнее и выражается в заметном смешивании внут-
реннего движения с колебаниями (см., например, квадрупольные
возбуждения в нечетных изотопах Cd, представленные на фиг. 6.30,
стр. 469).
2. Колебания около сфероидальной равновесной формы
Схема вибрационных возбуждений в значительной мере опреде-
ляется симметрией равновесного состояния. В данном разделе мы
рассмотрим колебания в случае, когда равновесная форма обладает
аксиальной симметрией и инвариантна относительно отражения
в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (такие деформации
преобладают в ядрах).
Классификация симметрии
В случае аксиально-симметричной равновесной формы нормаль-
ные возбуждения можно характеризовать квантовым числом v,
представляющим собой компоненту вибрационного углового мо-
мента вдоль оси симметрии. Симметрия относительно отражения
дает дополнительное квантовое число л. Кроме того, форма с осевой
симметрией и симметрией относительно отражения инвариантна
относительно поворота <& на угол 180° вокруг оси, перпендикуляр-
ной оси симметрии (о ^-симметрии см. гл. 4, стр. 17). Симметрия
относительно операции & означает вырождение возбуждений с оди-
наковым значением | v | (что также следует из инвариантности отно-
сительно операции JT'); при v = 0 возбуждения можно классифици-
ровать по квантовому числу
г = ±1,	(6.88)
316
Гл. 6. Вибрационные спектры
которое связано с (^-преобразованием для вибрационного возбуж-
дения. В случае колебаний формы с v = 0 мы имеем г = л, так как
аксиально-симметричная форма инвариантна относительно преоб-
разования && (отражение в плоскости, содержащей ось симметрии).
Если в отсутствие колебаний внутренний угловой момент имеет
значение /<0 = 0, подобно основной конфигурации четно-четных
ядер, то возбуждение кванта с v = 0 приводит к полосе с К = О,
причем (—1)' = г [формула (4.14)]. При v 0 сопряженные воз-
буждения (±v) вместе дают одну полосу с К = I v | и / = /С,
/С + 1, [формула (4.19)].
Для внутренних состояний с /<0 #= 0 возбуждение кванта с v О
приводит к двум полосам с /С = |/С0 + v | и | /Со — v ]. Вырождение
между этими двумя полосами снимается за счет связи частиц с коле-
банием, а также за счет связи с вращением. Для полос с К = 1/2
вращательный параметр развязывания а обращается в нуль для виб-
рационных возбуждений (nv = 1) с v =/= 0, тогда как при v = О
[формула (4.6Q)] этот параметр выражается через квантовое число
г вибрационного возбуждения:
а = 1, К = Ко = у)= га (nv-o = °’ Ко = 4) •	(6.89)
На фиг. 6.3 схематически поясняется геометрия простейших
колебаний формы положительной четности и приводятся соответст-
вующие спектры. Деформации относительно равновесной формы
выбираются квадрупольного типа (X = 2). Амплитуды деформации
в собственной системе координат обозначаются через причем
для квадрупольных деформаций они обычным образом выражаются
через параметры деформации р и у [формулы (6.702) и фиг 6.67].
Сфероидальной равновесной форме соответствуют у = 0 (вытяну-
тая) и у = л (сплюснутая) формы и параметр полной деформации
Ро. При малых колебаниях около вытянутой равновесной формы
мы имеем
#20 = Р cos у ро + (Р — ро),
1 □ •	1 а	(6.90)
«22=	’
При колебаниях с v = 0 сохраняется аксиальная симметрия, и они
называются p-колебаниями. Колебания с v = ±2 (у-колебания)
нарушают аксиальную симметрию и соответствуют эллипсоидальной
форме ядра.
Квадрупольная деформация с | v | = 1 эквивалентна вращению
вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии, без изменения формы
(фиг. 6.3). Следовательно, это «ложное» возбуждение, ложное в том
смысле, что оно не проявляется как внутреннее (невращательное)
возбуждение. Отсутствие возбуждения с X = 2, ] v | = 1 аналогично
отсутствию колебаний формы с X = 1, степени свободы которых соот-
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
317
ветствуют движению центра массы (стр 297). (Об устранении лож-
ного возбуждения с | v | = 1 в деформированных ядрах см. стр. 396.)
V-О, J3-колебание
6R^(3 cos 2 в -Г) cos art
У = / , вращение
SR sin О cos О costy^cot)
»--2,^- колебание
SR ~ sin2в cos (2tart)
г
о
К-0,г=+!
пр^п^О
Фиг. 6.3. Квадрупольные колебания формы в сфероидальном ядре.
Вверху изображены проекции формы ядра d двух направлениях — перпендикулярном и
параллельном оси симметрии. Внизу представлены спектры, связанные с возбуждением
одного или двух квантов. Относительная величина и зависит от внутренней струк-
туры; спектры вычерчены схематически, без соблюдения масштаба. В случае полос с двумя
квантами предполагалось, что колебания являются гармоническими и взаимодействие между
квантами |3- и ^колебаний отсутствует, а вращательная энергия пропорциональна
В спектрах многих деформированных ядер были эксперимен-
тально обнаружены низколежащие возбуждения с /<лг = О Н—|-
и Кл = 2-ф, которые можно приближенно рассматривать как 0-
318	Гл. 6. Вибрационные спектры
и у-колебания [См примеры на стр. 146 (у-колебание в ядре ,66Ег) •
и на стр. 153 ф-колебание в ядре 174Hf), относительно си тематики
таких возбуждений см стр 484.1 Суперпозиция р- и у-вибрационных ]
возбуждений и квазичастичных степеней свободы встречается во <
многих спектрах деформированных ядер с нечетным А (см примеча-
ния к табл. 5 12 и 5.13).
В спектрах четно-четных деформированных ядер также система-
тически наблюдались низкочастотные коллективные возбуждения j
отрицательной четности, соответствующие октупольным колебаниям ;
формы (см. данные, приводимые на стр. 493). Существование колеба- •
ний формы отрицательной четности в спектре вблизи седловой
точки играет важную роль в интерпретации асимметрии и анизотро- 1
пии процесса деления (гл. 4, стр. 120).
Расщепление частоты благодаря статической деформации
При классическом описании колебаний системы с малым равновес- i
ним эксцентриситетом влияние деформации в уравнениях, опреде-
ляющих собственные возбуждения, можно рассматривать как малое
возмущение (см. о модели жидкой капли, приложение 1, п. 4). Каж-
дое возбуждение мультипольного порядка X расщепляется на компо-
ненты сv = 0, ±1, ..., ±Х. Относительная величина расщепления —
порядка эксцентриситета, а характер спектра определяется симмет-
рией деформации. Таким образом, в случае сфероидальной формы
сдвиги частоты пропорциональны квадрупольному моменту колеба-
ний относительно оси симметрии, т. е. 3v2 — X (X + 1). При колеба-
ниях формы знак сдвига таков, что возбуждение с v 0 является
наинизшим для вытянутой формы и наивысшим для сплюснутой
формы.
Такое макроскопическое описание, по-видимому, обеспечивает
основу для объяснения эмпирических данных о влиянии деформации
на высокочастотное дипольное возбуждение (стр. 434). Но в случае
низкочастотных возбуждений, которые чувствительны к схеме связи
частиц в частично заполненных оболочках, влияние деформации
нельзя рассматривать как малое возмущение. Действительно, хотя
деформации ядра численно довольно малы (S < 0,3), они глубоко
влияют на движение нуклонов в частично заполненных оболочках.
Низкочастотным возбуждениям в деформированных ядрах можно .
приписать мультипольное квантовое число X, характеризующее^
основную компоненту осциллирующей плотности. Но возбуждения^
с одним и тем же X и разными v, вообще говоря, будут весьма не оди-lj
наковыми; они могут не иметь простой аналогии с возбуждениями, Я
наблюдающимися в сферических ядрах.	Я*
£ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
319
Матричные элементы переходов
Колебания формы Xv характеризуются большой вероятностью
перехода ЕК с возбуждением вибрационного кванта. При той же
нормировке, что и в формуле (6.63), момент Е\ и величина В (ЕХ)
принимают вид [формулы (4.91) и (4.92)]
М (ЕХ. ц) = A Ze& 2	(<о),	(6.91 а)
В(ЕХ; Ко, «xv = О, Л-* Ко, n?.v = l, К = | Ко± v|, /2) =
= (-i ZeR’-)’ | (»x, = 11	| n,_, - 0) |« (7ЛЛ ± v I l,K„ ±v)‘x
x( 2 "P" K’ = °' V*°'	(6.916)
[ 1 в других случаях,
где амплитуда нулевых колебаний обычным образом связана с ча-
стотой и массовым коэффициентом:
I = 1 I I nKv = 0) |2 = 2d •	(6.92)
Выражение (6.91) представляет собой правило интенсивностей в низ-
шем порядке, что соответствует не зависящим от I моментам; о зави-
сящих от / поправках к моментам, возникающих благодаря связи
между вращением и колебанием, говорится в § 6, п. 3.
Экспериментальные значения вероятности Е2-переходов с воз-
буждением [3- и у-колебаний обычно составляют 5—10 соответствую-
щих одночастичных единиц (стр. 486). Несмотря на такое усиление,
вероятности этих переходов значительно меньше, чем в случае квад-
рупольных колебаний в сферических ядрах. Так, амплитуды коле-
баний |3 — ро и роу, вычисленные по матричным элементам /^-пере-
ходов, оказываются порядка 0,05. При столь малых амплитудах
в колебаниях принимает участие сравнительно малое число частиц.
3. Коллективное движение при делении
В предыдущих разделах мы говорили о возбуждениях, связан-
ных с колебаниями формы при малых амплитудах. В отличие от
таких возбуждений с делением связано коллективное движение
с большими амплитудами Существование делительного типа воз-
буждения как спонтанного процесса или как реакции, вызванной
частицами малой энергии, отражает близость тяжелых ядер к не-
устойчивости, обусловленной дальнодействующим кулоновским от-
талкиванием между протонами [176, 443, 816]. Процесс деления
сыграл особую роль в развитии ядерной физики, но это всего лишь
одно из многих явлений, связанных с ядерными деформациями
большого масштаба и коллективным током; такие явления теперь
320
Гл. 6. Вибрационные спектры
стало возможным исследовать в реакциях, вызванных ускорен-
ными тяжелыми ионами.
На ранних этапах изучения деления внимание было сосредото-
чено на макроскопических закономерностях, которые можно уста-
новить, рассматривая ядро как жидкую каплю. Позже открытие
делящихся изомеров показало, что многие закономерности процесса
деления определяются оболочечной структурой ядра.
Макроскопические свойства поверхности потенциальной энергии,
барьер деления
При ядерных деформациях большого масштаба многие величины
качественно определяются объемными характеристиками ядра.
Эти величины плавно изменяются в зависимости от числа частиц
(N и Z) и параметров деформации а, как и в модели жидкой капли.
Если при деформации ядра его объем остается приблизительно посто-
янным, то основные члены в «макроскопической» части энергии
ядра I (а) можно разбить на поверхностную и кулоновскую энергии:
+	(6.93)
где величина §пов пропорциональна приращению поверхности,
причем коэффициент пропорциональности можно связать с пара-
метром Ьпов в полуэмпирической массовой формуле (2.12) [см. фор-
мулу (6.637)]. Слагаемое &кул дает уменьшение кулоновской энер-
гии, связанное с деформацией.
При малых деформациях относительно сферической формы как
поверхностная, так и кулоновская энергии являются квадратич-
ными функциями параметров деформации. Отношение коэффициен-
тов в ёкул и @лов пропорционально Z2/A и в случае квадрупольной
деформации дается выражением [формула (6.631)]
(г0 = 1,25 ферми; &пов = 17 МэВ). (6.94)
Величина х называется параметром делимости. Величины г0 и &пов,
использованные в формуле (6.94), взяты из полуэмпирической мас-
совой формулы [формула (2.14)]. При х < 1 объемная энергия
I (а) минимальна в случае сферической формы, но при критическом
значении Z2M, которое соответствует х = 1, сферическая форма ста-
новится неустойчивой относительно квадрупольных деформаций;
параметры формулы (6.94) дают
При х < 1 энергия g (а) растет с деформацией при малых а,
но в конечном итоге достигает седловой точки в пространстве дефор-
$ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений 321
маций (барьер деления), за которым энергия уменьшается по мере
того, как система приближается к разделению на два или более оскол-
ка. Расчет функции потенциальной энергии и соответствующих
барьеров деления на основе модели жидкой капли приводится в при-
ложении 1, п. 2. На фиг. 6.65 показаны полученные в результате
расчета высоты барьеров и формы в седловой точке в зависимости
от параметра делимости х Для системы, обладающей угловым мо-
ментом, барьер понижается вследствие центробежных сил и в сед-
ловой точке форма становится трехосевой; при достаточно больших
значениях углового момента система не имеет устойчивой равновес-
ной формы (стр. 582).
На фиг. 6.56, стр. 542, экспериментальные значения барьеров
деления сравниваются с результатами вычислений на основе модели
жидкой капли. Поскольку барьеры деления тяжелых ядер представ-
ляют собой малые разности больших величин поверхностной и куло-
новской энергии, качественное согласие данных фиг. 6.56 озна-
чает, что при таких больших деформациях жесткость, обусловлен-
ная ядерными взаимодействиями, довольно хорошо характери-
зуется поверхностным натяжением, которое определяется по массам
ядер. [Например, для ядра 238U (х «0,73) теоретический барьер
деления составляет около 10 МэВ, тогда как прирост поверхностной
энергии равен примерно 100 МэВ.]
Экспериментальные данные о форме в седловой точке были полу-
чены в результате анализа угловых распределений осколков деле-
ния (см. пример на стр. 543). Деформации, найденные при этом,
уменьшаются с ростом отношения Z2/A и тоже качественно согла-
суются с выводами, сделанными на основе модели жидкой капли,
но экспериментальные данные могут указывать на увеличение чис-
ленного коэффициента в формуле (6.94) примерно на 10% и на соот-
ветствующее уменьшение (И2М)крит в формуле (6.95).
Влияние оболочечной структуры на поверхность
потенциальной энергии, изомеры формы
Существенный вклад в потенциальную энергию ядра может дать
оболочечная структура *). Неравномерности в спектре одночастич-
ных собственных значений, связанные с оболочечной структурой,
9 Вопрос о возможном влиянии оболочечной структуры на процесс деле-
ния рассматривался еще в самом начальном периоде развития оболочечной
модели ядра, в частности в связи с асимметрией деления по массе (см., напри-
мер, первоначальный анализ в работе [594] и замечания к нему [804, стр. 37]).
Удачная классификация одночастичных орбит в деформированных равновесных
конфигурациях обеспечила основу для распространения анализа на очень
большие деформации, связанные с делением [526, 1093].
Важнейшим результатом этого анализа было разделение в сумме одно-
частичных энергий [859, 1093] на плавную зависимость от объемных характе-
ристик ядра и на более специфические эффекты оболочечной структуры ядра.
11 О. Бор. Б. Моттельсон
322
Гл. 6. Вибрационные спектры
означают, что энергия ядра не должна меняться плавно в зависи-
мости от числа частиц, как при анализе, основанном на объемных
характеристиках, но должна обнаруживать вполне определенные
вариации в зависимости от степени заполнения оболочек. Такие эф-
фекты уже встречались нам, когда речь шла о возникновении несфе-
рической равновесной формы (см., в частности, гл. 4, стр. 127),
а также при изучении свойств низкочастотных колебаний формы
(стр. 304).
Вклад оболочечной структуры в потенциальную энергию (оболо-
чечную энергию) можно найти путем анализа относительных энер-
гий нуклонных конфигураций в потенциале заданной формы Эти
относительные энергии даются одночастичными энергиями запол-
ненных состояний; следовательно, оболочечная энергия содержится
в сумме
£нез.ч S	(6.96)
/г = 1
Подчеркнем, что энергию независимых частиц ^нез>част нельзя
считать приблизительно равной полной энергии ядра. Отклоне-
ние же величины ^нез>част от плавной функции числа частиц при-
близительно равно оболочечной энергии, причем это приближенное
равенство, по-видимому, должно быть справедливым в той степени,
в какой заполнение орбит соответствует заполнению в приближении
независимых частиц. Более строгий вывод этого результата в при-
ближении самосогласованного поля дан ниже мелким шрифтом.
Влияние парной корреляции можно учесть, заменив сумму (6.96)
для независимых частиц полной энергией движения независимых
квазичастиц при наличии спаривательного потенциала [формула
(6.603)].
Для системы, содержащей много частиц, основная часть
^нез.част меняется плавно в зависимости от числа частиц. Эту
плавную часть ^нез.част можно выделить, рассматривая асимптоти-
ческое поведение tHe3<qacT в пределе большого числа частиц. Тогда
оболочечная энергия воб получается как разность
^об = ^нез. част ^нез. част	(6.97)
между ^нез.част И ЭСИМПТОТИЧеСКОЙ функцией $нез. част-
В случае насыщенной системы (такой, как ядро), для которой
линейный масштаб потенциала в пространстве растет асимптоти-
чески как Л1/з, функцию §не3фЧаст можно представить в виде разло-
жения того же типа, как и в полуэмпирической массовой формуле
(2.12). Коэффициенты в различных членах можно найти, например,
путем численного расчета §нез.част в зависимости от числа частиц
при любой заданной форме потенциала; это было бы аналогично
определению параметров Ьобъемн, Ьпов и др в формуле (2.12) поэмпи-
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
323
рическим массам. Асимптотическую часть £нез.част тоже можно
найти аналитическими методами. Так, основные члены по числу
частиц (объемные члены) даются квазиклассическим приближением,
или приближением ферми-газа [формула (6.511)]. Следующие члены,
пропорциональные А2/з, соответствуют энергии на единицу поверх-
ности потенциала; их можно вычислить, рассматривая решения
непрерывного спектра, определяемые бесконечной плоской поверх-
ностью [1038, 1101].
Другой возможный способ определения асимптотического вида
^нез.част—исходить из асимптотического выражения g (б) для
плотности одночастичных уровней в определенном потенциале (см.
пример на стр. 533). (Плавную функцию #нез част обычно находят
по усредненной по энергии плотности одночастичных уровней
[1093]. В случае бесконечного потенциала усреднение по энергии
эквивалентно выделению формы, асимптотической по числу частиц;
см. стр. 533. В случае же конечного потенциала для такой эквивалент-
ности нужно, чтобы расстояние между подоболочками было мало
по сравнению с энергетическим интервалом между оболочками.)
По порядку величины энергия §об равна энергетическому рас-
стоянию между соседними оболочками, умноженному на кратность
вырождения подоболочек. Расстояние между оболочками в общем
порядка основной одночастичной частоты е/? А~'\ а кратность вы-
рождения оболочек отражает симметрию потенциала (см. пример
на стр. 509, где говорится о характеристиках подоболочек в одно-
частичном спектре и о тесной связи оболочечной структуры с суще-
ствованием замкнутых классических орбит).
В случае сферического потенциала большие эффекты оболочеч-
ной структуры выражаются в наличии вкладов в энергию ядра, кото-
рые можно оценить по массам, соответствующим основным состояниям
ядер (§об^ —10 МэВ в тяжелых ядрах с замкнутыми оболочками;
см. пример на стр. 526); большие барьеры деления, наблю-
дающиеся для ядер в области 208РЬ (фиг. 6.56), можно также объяс-
нить с учетом большой отрицательной оболочечной энергии в ос-
новном состоянии этих ядер.
В случае деформированных потенциалов оболочечные эффекты
особенно велики тогда, когда потенциал имеет сходство с потен-
циалом анизотропного гармонического осциллятора, для которого
отношения частот равны рациональным числам (см. стр. 514 и
табл. 6.17). Потенциал с симметрией со^ со3 = 2 1 соответствует
Деформации в области барьера деления для тяжелцх ядер (Z ^92);
большим влиянием оболочечной структуры, связанным с такой сим-
метрией, по-видимому, объясняется существование изомеров формы,
обнаруженных при делении. Экспериментальные данные, касаю-
щиеся изомеров формы, рассматриваются в примере на стр. 548.
Более подробный анализ оболочечной структуры в ядерном потен-
11*
циале с отношением осей 2 : 1 проводится в примере на стр. 520;^
конфигурация замкнутой оболочки с числом нейтронов Af — 148?
в этом потенциале соответствует области наибольшей устойчивости*
для делящихся изомеров	;
Замечательной особенностью деления является асимметрия^
в массах осколков, наблюдающаяся в случае деления ядер при ма-:
лой энергии в области 90 <С Z 100 (см. обзор экспериментальных
данных [632]). Модель жидкой капли не обьясняет этого явления
(приложение 1, п. 2); асимметрию масс, вероятно, следует при-'
писать влиянию оболочечной структуры; при рассматриваемом
числе нуклонов благодаря оболочечной структуре на соответствую-^
щей стадии процесса деления более выгодными оказываются дефор*
мации, которые не обладают симметрией относительно отражения
1839, 908].
Оболочечную энергию просто выделить из суммы одночастичных энергий
в случае системы, в которой взаимодействие можно рассматривать в прибли-
жении Хартри —Фока [1096]. В этом приближении полную энергию можно
записать в виде [формула (3.120)]
^^^кин + ^пот,
е	А
&кин= \ dxdx' (х' \Т |х) <х| р|*')о= У (V/1 T\vt),	j
J	4=1	1
^пот = у j dXi dx{ dx2 dx', (x'tx'2 | V | х1х2>а | р |	(х2 | р | xJ>0= <6-98'
А
=4 jdx dx> ।и 1 । р । х^о==4 2 'и । v/'>’
1=1
где самосогласованный потенциал
(х'\и\х)=\ dXi dx{ (х'х; I V | ХХ^а <Х! | р I х[)0.
(6.99)
Энергии в формуле (6.98) выражаются через одночастичную матрицу плотно-
сти р [формула (2.267)], а индекс нуль указывает среднее значение для основ-
ной конфигурации, в которой частицы занимают А наинизших одночастичных
орбит V/ в самосогласованном потенциале U.
Плотность (х | р | х')о и соответствующий одночастичный потенциал можно
записать в виде
<х I р I ЛГ')О=Р (X, Х') + 6р (X, X'),
(О. ЦДЛ
где р (аг, аг') — плавная функция числа частиц, которая получается в пределе
при большом числе частиц. Потенциал 0 получается из соотношения (6.99)
заменой плотности в приближении Хартри —Фока | р | лг^>0 плавной частью
Р(хь аг[). Пренебрегая членами порядка (6р)2, полную энергию (6.98) можно
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений	325
— —1— --- '	—	—
записать в виде
= — ^пот ^нез. чаьт»
^пот = ”2	(х {U | я) р (х, X )t
£нез.Част= dx dx' {x'\T^U\x) (х\ р| х')0 =	<vi(C7)|7’ + U Ыи))^6Л°1}
J	1 = 1
А	А
~ 5 <v; (U) I Т + и jvf ((/)) = 5 е,- (U),
1 = 1	1 = 1
где Vi (U) и Vi (U) — одночастичные состояния в потенциалах U и 0. Для замены
состояний Vi(U) на V/ (U) в последней строке формулы (6.101) достаточно пре-
небречь лишь членами второго порядка, так как средние значения гамильто-
ниана Т + 0 стационарны относительно малых вариаций волновой функции.
Поскольку $пот в формуле (6.101) является плавной функцией числа частиц,
оболочечная энергия содержится в сумме одночастичных собственных значений,
рассчитанных для потенциала U. Изложенное выше доказательство аналогично
доказательству того, что в приближении независимых частиц разность энергий
двух соседних конфигураций равна разности сумм одночастичных энергий,
рассчитанных в одном и том же среднем потенциале.
Температурная зависимость оболочечной энергии
При конечных температурах влияние оболочечной структуры
на энергию ядра и плотность уровней можно исследовать, вычислив
термодинамические функции на основе спектра уровней независимых
частиц. (Методы такого статистического анализа изложены в гл. 2,
приложение 2). Термодинамические функции зависят от среднего
расстояния между одночастичными уровнями в энергетическом
интервале порядка температуры в обе стороны от уровня Ферми.
Поэтому оболочечные эффекты должны быстро уменьшаться при
приближении температуры к величине, сравнимой с энергетическим
расстоянием между оболочками. Примеры такого изменения приво-
дятся на стр. 534. Экспериментальные данные о влиянии оболочеч-
ной структуры на плотность уровней ядра рассматриваются на
стр. 537
При температурах, отличных от нуля, движущая сила в процессе
деления определяется не потенциальной энергией, а более общей
термодинамической функцией — свободной энергией
F (a, T) = £(a)-TS,	(6.102)
где S — энтропия, а Т — температура. Примеры, поясняющие
вклад оболочечной структуры в свободную энергию как функцию
температуры, приводятся нафиг. 6.54, стр. 537; влияние оболочеч-
ной структуры на барьер деления должно очень сильно уменьшаться
при температурах порядка 1 МэВ, что соответствует энергии воз-
буждения около 30 МэВ в тяжелых ядрах (стр. 546).
326
Гл. 6. Вибрационные спектры
Чтобы показать, какова роль свободной энергии, мы воспользуемся обыч-
ным приемом термодинамики и рассмотрим обратимый процесс, при котором
ядро изменяет свою деформацию и в связи с этим совершает работу р da над
некоторой другой системой, например внешним электрическим полем. Вели-
чина р — это сила, с которой ядро действует на внешнюю систему. При таком
процессе изменение энергии ядра равно
d% = dQ + р da,	(6.103)
где dQ — тепло, передаваемое ядру. Изменение энтропии дается формулой
dS~^ = у (dg-pda,),	(6.104)
и поэтому, согласно формуле (6.102),
dF = — S dT —pda.	(6.105)
Следовательно, сила р удовлетворяет соотношению
” — Шт’	<6'№>
которое показывает, что свободная энергия играет роль обобщенной потен-
циальной энергии. Из формулы (6.104) также видно, что
<6jo7>
и поэтому система стремится к равновесному значению а, при котором энтро-
пия S максимальна при данной энергии, или, что эквивалентно, свободная
энергия F минимальна при постоянной температуре.
Движение относительно седловой тонки, каналы деления
Вероятность деления можно анализировать, рассматривая про-
хождение через имеющиеся делительные каналы, так же как вероят-
ности молекулярных реакций [176]. Делительные каналы — это
состояния с определенными квантовыми числами для всех степеней
свободы, кроме движения через барьер. Спектр каналов должен
обладать структурой вращательной полосы с квантовыми числами,
которые определяются симметрией деформации в седловой точке
(гл. 4, стр. 45). Квантовые числа, которыми различаются каналы,
охватывают как вибрационные, так и квазичастичные типы возбуж-
дений (см., например, о каналах малой энергии, дающих вклад
в фотоделение, стр. 119).
Если коллективное движение в направлении к седловой точке
можно отделить от внутренних степеней свободы, как при адиабати-
ческом процессе, то коэффициент прохождения можно найти из
одномерного уравнения колебаний по делительной переменной а.
Решение оказывается простым в «гармоническом» приближении,
в котором форма барьера считается параболической и принимается,
что массовый коэффициент не зависит от а:
Н = ~ D Саа,	(6.108)
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений 327
где а — величина, отсчитываемая от седловой точки неустойчивого
равновесия. В случае гамильтониана (6.108) коэффициент прохож-
дения Р дается формулой [594] (см. также [1179])
Р=(1+ехр{-2л^-})'1	(6.109)
где Е — энергия, измеряемая относительно седловой точки. Вывод
формулы (6.109) дан ниже мелким шрифтом.
Коэффициент прохождения характеризует постепенное открыва-
ние делительного канала при приближении энергии к барьеру деле-
ния. Экспериментально наблюдающиеся зависимости сечений деле-
ния от энергии в области порога можно приближенно представить
в виде коэффициентов прохождения вида (6.109) со значениями Йсо
порядка от 0,5 до 1 МэВ; таким образом, эти величины близки к энер-
гиям квадрупольных колебаний формы в сфероидальных ядрах.
Примером могут служить сечения фотоделения ядра 238L (фиг 4.23,
стр. 121). На стр. 556 проводится анализ деления ядра 241Ри, вызван-
ного нейтронами. Следует, однако, подчеркнуть, что остается откры-
тым вопрос о степени справедливости адиабатического приближения,
которое лежит в основе одномерного рассмотрения (см. по этому
поводу экспериментальные данные относительно связи между де-
формацией формы и спаривательными степенями свободы, которая
проявляется в свойствах [3-колебаний, стр. 461).
Если ядро колеблется с энергией ниже порога деления (так что
Р 1), то вероятность деления равна произведению Р на частоту,
с которой ядро приближается к седловой точке. Следовательно,
делительная ширина равна
=	(6.110)
где ^кол — частота колебаний (обратный период, умноженный
на 2л).
При энергии возбуждения, сравнимой с барьером деления, дели-
тельные широты, соответствующие отдельным каналам, оказыва-
ются распределенными подобно силовым функциям в плотном спектре
состояний составного ядра. Ширина силовой функции определяется
вероятностью затухания колебаний при делительном возбуждении;
в том случае, когда время затухания мало по сравнению с периодом
колебаний, средние делительные ширины можно найти статистиче-
ским методом [176], так же как вычисляются средние нейтронные
ширины для черного ядра (т. 1, стр. 178);
(6Л11)
328
Гл, 6. Вибрационные спектры
гдеР — среднее расстояние между уровнями сданными /п, а сумми-
рование проводится по всем делительным каналам с такими кванто-
выми числами. Соотношение (6.111) берется за основу при анализе
экспериментальных данных о делительных ширинах с точки зрения
спектра каналов. (Относительно данных, полученных из резонансов
на медленных нейтронах, см., например, работу [171]; относительно
более высоких возбуждений см., например, работу [1139].)
Собственные функции гамильтониана (6.108) можно выразить через функ-
ции параболического цилиндра Dv (см., например, [387, т. 2, стр. ИЗ]); тогда
собственное состояние, соответствующее движению в направлении положитель-
ных значений а, имеет вид
ф (а) = const	f а ехр J— i -5-1^,
\ «о I 4 ' /
/ П \Чг	/С\1/2	. Е 1
а0 = ———	cd = — v = I----------.
0 \ 2D(o)	\D)	fao 2
(6.112)
При больших | а | справедлива асимптотическая форма
При а<0 второй член в формуле (6.113) списывает падающую волну, бегу-
щую в направлении положительной оси, а первый —отраженную волну. Отно-
шение интенсивностей прошедшей и падающей волн дает коэффициент ппохож-
дения (6.109).	Е
Выражение (6.109) для проницаемости барьера можно вывести также на
на основе ВКБ-приближения. При Е < 0 проницаемость содержит фазовый
интеграл
|2E/C|Vs
S = S’ij| ne|da= ^2r>y/s	j (|£|
о
$ CaA /sda = —л Д
*	/	Л(0 *
(6.114)
и в низшем порядке вероятность прохождения определяется величиной
ехр {—2S}. Когда энергия близка к вершине барьера, более тщательный ана-
лиз с учетом следующих членов более высокого порядка в ВКБ-приближении
дает для проницаемости выражение (1+exp {2S})-1; это выражение, если его
рассматривать как функцию энергии Е, оказывается справедливым и при поло-
жительных значениях Е. (См., например, [447, стр. 90J.)	г
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений 329
4. Изоспин колебаний, поляризационные и зарядово-обменные
типы возбуждений
Колебания в ядрах с N = Z (То = О)
Для основной конфигурации четно-четного ядра с N = Z внут-
реннее движение инвариантно относительно вращения в изопро-
странстве, если мы пренебрегаем влиянием кулоновского поля.
Тогда вибрационные возбуждения можно классифицировать по зна-
чениям квантового числа т, характеризующего изоспин кванта
возбуждения. Для вибрационного кванта, построенного из частично-
дырочных возбуждений или коррелированных пар, мы имеем т = О
или т = 1.
Собственное значение оператора хг обозначим через рт. Возбу-
ждения с р,х = 0 можно характеризовать собственным значением гх
оператора зарядовой симметрии е^х, который заменяет нейтроны
протонами. Операцию <?^х можно представить в виде поворота на
180е вокруг оси у в изопространстве [формула (1.59)], и для кванта
с их = 0 мы имеем
/Ч = (-1)т.	(6.115)
[Если мы ограничимся возбуждениями т = 0 и т = 1 (и рх = 0),
то квантовые числа гх и т идентичны.] Изоскалярные возбуждения
зарядово-симметричны и содержат нейтроны и протоны, движу-
щиеся в фазе, как при колебаниях формы (§ 3, п. 1). Изовекторные
возбуждения с рх = 0 зарядово-антисимметричны по изоспиновым
переменным и содержат колебания нейтронов и протонов в проти-
вофазе.
Возбуждения ст = 0 и т = 1 поясняются на фиг. 6.4: возбужде-
ния с цт¥=0 возникают в процессах зарядового обмена, которые
приводят к состояниям соседних ядер. Для данного возбуждения
с т —- 1 состояния с разными компонентами рх принадлежа! изо-
барическому триплету (аналоговые состояния). Кулоновская энер-
гия вызывает расщепление вибрационных частот:
Йй)(т, рг)^Й(О(т, = 0) — цх ДЕкул,	(6.116)
где ДЕкул — сдвиг кулоновской энергии на единицу Z, который
можно вычислить, например, по формуле (2.19). В случае зарядово-
обменных возбуждений частоты в формуле (6.116) соответствуют
разности энергий связи в состояниях с п = 1 и п = 0, причем эта
разность одновременно равна величинам Q для возбуждения вибра-
ционного кванта в реакции (пр) или (рп). Если частоты возбужде-
ний определяются разностью масс состояний си 1 и п — 0, то
к величине (6.116) необходимо прибавить рт (Мп — Мр)с2.
Состояния, содержащие несколько квантов одного и того же
возбуждения, должны быть совершенно симметричными по изо-
спиновым и спии-орбитальным переменным (статистика Бозе). Так,
330
Гл. 6. Вибрационные спектры
два кванта ст =* 1 мультипольностью 1, добавленные к ядру с /0 =
и То — 0, образуют состояния
/=0, 2,
1 = 1, 3,
Вырождение, которое должно
нии, снимается благодаря тому, что из-за нуклонных взаимодейст-
Г-1
с
2Х; Т = 0, 2,
2Х— 1; Т-1,
быть в гармоническом приближе-
(6.117)
Т~ f
-----Г'''
7'=/

7 = О

N = Z
Т= f

J'
.-V /’/,/-/
Мт~1
МГ = О
N-f,Z+i
мт--1
Фиг. 6.4. Изоспин вибрационных возбуждений в ядре с То = О.
Схематически показано возбуждение вибрационных состояний с т = 0 и т=1 в ядре с нуле-
вым изоспином в основном состоянии. Изобарические аналоговые состояния соединены
между собой тонким пунктиром. Основные состояния в соседних ядрах и их аналоговые
состояния в мишени изображены жирным пунктиром. Схема выполнена не в масштабе.
вий энергетически более выгодными всегда оказываются состоя-
ния с малыми Т. [См., например, влияние связи, выражаемое
формулой (6.129).]
При произвольном числе квантов совершенно симметричные состояния можно
классифицировать по представлениям [/] перестановочной симметрии отдельно
в изобарическом и орбитальном пространствах. Возможные представления и
соответствующие квантовые числа Т и 7 можно найти методами, изложенными
в гл. 1 (приложение 3), и они соответствуют классификации согласно симмет-
риям U3 и t/2x+i.

Изовекторные плотности и поля
В то время как колебания формы связаны с изменением полной
(или изоскалярной) плотности (6.38), нейтронно-протонные поляри-
зационные возбуждения содержат колебания изовекторной плот-
ности
pi(r) = pn(r)-pp(r),
(6.118)
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
331
которая представляет собой разность плотностей нейтронов и про-
тонов. Плотность (6.118) является компонентой изовектора с |лт = 0:
Рг.4,Мг) = £2/Цт(А)6(г-гД	(6.119)
k
причем она выражена через сферические компоненты
нуклонов:
f +2-v2	— Иу} при	= — 1,

tz	при
—2-V2 (tx + ity)	при
изоспина
(6.120)
цт = 0,
Цт = +1 •
Зарядово-обменные возбуждения связаны с колебаниями компонент
изовекторной плотности (6.119) с = ±1. [Можно объединить
также эти три функции плотности (6.119) с изоскалярной плотно-
стью Рт=о» которая определяется формулой (6.38), в матрицу плот-
ности р (г, t) размером 2 X 2 (т. 1, гл. 2, приложение 1, п. 7).]
Для возбуждения с квантовыми числами Хр,тр,х изменение плот-
ности ртгц. имеет вид
(Г) = Ат (Г) Иц (г)	(6.121)
где ахцтнт; — амплитуды, являющиеся тензорами в изопростран-
стве, а также в орбитальном пространстве. [Условие эрмитовости
для таких тензоров можно выразить с помощью оператора eF =
= o^t'qF, формула (3.100).]
Изменение плотности (6.121) приводит к мультипольным мо-
ментам
м (тИт> %и) == рТЦт (г)	(г) dr =
I	при т = 0,
=. k
2^2^. (/г) гЬТДг*) при т=1,
k
= OWT 5 ^Ат(г)^+2.	(6.122)
При т = 0 этот момент совпадает с моментом полной плотности ча-
стиц, которая определяется формулой (6.60).
Электрический мультипольный момент есть комбинация изоска-
лярного и изовекторного моментов:
Н)=$Рэл(г)г*МгИ =
= |[<^(т = 0, fyi)-0<(T=l, pt = 0, Ш (6.123)
Таким образом, поляризационные возбуждения (т = 1, рт = 0),
а также колебания формы (т = 0) могут порождать коллективные
колебания электрических мультипольных моментов.
332
Гл. 6. Вибрационные спектры
Изменение изовекторной плотности приводит к соответствую-
щему изменению изовекторного потенциала, которое можно найти
по изовекторной компоненте статического нуклонного потенциала.
Действительно, член симметрии в потенциале, приблизительно
линейный по N — Z, описывает влияние относительно малой изо-
векторной плотности, которая складывается с полной изоскаляр-
ной плотностью ро* Из выражения (2.26) для потенциала ядра при
ptT = 0 таким путем получаем
6У=-Ы~,	(6.124)
z Ро
где Vi — отталкивающий (положительный) потенциал симметрии
порядка 100 МэВ. Выражение (6.124) основано на предположении,
что статическое и вибрационное изовекторные поля носят в основ-
ном объемный характер; что касается связи между изовекторной
плотностью и потенциалом в поверхностной области, то здесь
имеется ряд важных нерешенных проблем. (Соответствующий эле-
мент неопределенности в описании изовекторного потенциала свя-
зан с тем, что анализ, приводящий к среднему статическому потен-
циалу не обеспечивает надлежащим образом наблюдаемого ра-
венства радиусов распределений плотности нейтронов и протонов;
см. стр. 457.) О возможной роли зависящих от скорости изовектор-
ных взаимодействий в изменении массового коэффициента изовек-
торных возбуждений говорится на стр. 429.
Предполагается, что при X #= 0 наинизшее векторное возбуждение не имеет
узлов. Простая модель для исследования этих возбуждений может основы-
ваться на вибрационном поле вида
т=1,	(6.125)
которое действует в объеме ядра. Если мы нормируем амплитуду так, чтобы
среднее значение F равнялось а [формула (6.72)], то изменение плотности бу-
дет даваться выражением
«Р1 =	т = 1, цх=о;	(6.126)
М-
тогда потенциал (6.124) принимает обычный вид (6.71), где
(6Л27)
Коллективные возбуждения, возникающие благодаря полю (6.125) с константой
связи (6.127), рассматриваются на стр. 427 (Х=1), стр. 453 (Х = 2) и стр. 492
(Х = 3).
Нейшрон-протонные поляризационные возбуждения
Важнейший пример колебания с т = 1 — это дипольный резо-
нанс (Хл = 1—), наблюдающийся при ядерном фотоэффекте
(стр. 422). Об изовекторном характере этого возбуждения можно
ft 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
333
заключить по большому электрическому дипольному моменту,
который означает, что протоны и нейтроны колеблются относи-
тельно друг друга. (При К = 1 изоскалярное возбуждение не обла-
дает дипольным моментом, так как изоскалярный дипольный мо-
мент пропорционален координате центра масс и поэтому внутренние
возбуждения на него не влияют.) Частоты резонансов и интенсив-
ностей Е1-переходов для изовекторного дипольного возбуждения
показаны на фиг. 6.19, стр. 424, и 6.20, стр. 426; нетрудно видеть,
что эти величины плавно меняются с N и Z,
Свойства дипольного возбуждения в ядрах с Д 50 довольно
хорошо описываются, если рассматривать изовекторное дипольное
поле (6.124) (стр. 427). Можно также описывать это возбуждение,
анализируя поляризационные колебания в модели жидкой капли,
состоящей из двух жидкостей (приложение 1, п. 4). Сходство ре-
зультатов, которые получаются при таких двух, очевидно, весьма
различающихся подходах, является характерной особенностью ди-
польного возбуждения; его можно объяснить тем, что основная часть
интенсивности одночастичных дипольных переходов концентри-
руется в одной, довольно узкой области спектра возбуждений.
(Описание дипольного возбуждения по модели жидкой капли срав-
нивается с микроскопическим описанием на стр. 433.)
Довольно высокая частота дипольного возбуждения (йсо
~ 10—25 МэВ) смещает его в область спектра с очень большой
плотностью уровней, и наблюдаемое коллективное движение оказы-
вается с довольно сильным затуханием (Г ^4—10 МэВ); таким
образом, экспериментальная резонансная линия соответствует си-
ловой функции. В настоящее время отсутствует подробное объяс-
нение экспериментально наблюдающихся ширин и структуры ли-
ний; о различных эффектах, которые могут быть существенными,
говорится на стр. 446.
Пока еще нет прямых данных о других изовекторных возбужде-
ниях, связанных с колебанием плотности; вт. 1, стр. 171, рассматри-
вается вопрос о значении возбуждения Ал = 0+ для нарушения
изобарической симметрии, а также исследуются (стр. 453) свойства
возбуждения Ал = 2+, которые вытекают из взаимодействия (6.127).
Влияние избытка нейтронов
В ядре с избытком нейтронов и соответствующим изоспином
основного состояния Tq = Мт0 — х/2 (М — Z) возникновение изо-
векторного возбуждения приводит к триплету состояний (То, nXs=1 —
1) ТМТ с Т — Tq — 1, То, Tq + 1. В отсутствие связи между Т
и колебанием компоненты триплета должны быть вырожденными,
если пренебречь различием в кулоновской энергии для изобариче-
ских аналоговых состояний; кроме того, мультипольный матрич-
ный элемент для возбуждения этих состояний получался бы за счет
334
Гл. 6. Вибрационные спектры
векторной связи в изопространстве [4031:
<(Т0, пг = 1) ТМт\(тМ I Томт,) = то <Т0Л1Готщ | ТМт), (6.128)
где т0 не зависит от Т, а также от компонент MTQ, рт и Мт-
Однако основные эффекты связи обусловлены изовекторными
полями в ядре. Так, избыток нейтронов приводит к статическому
изовекторному потенциалу, который действует на изоспин колеба-
ния таким образом, что энергетически выгодными оказываются
состояния с малым полным изоспином. Энергию связи можно вы-
числить по формуле (2.29):
Я'=^(т.То) = ^[7’(Т+1)-То(П+1)-т(т+1)].	(6.129)
Поскольку Vi — величина порядка 100 МэВ, энергия взаимодей-
ствия (6.129) весьма велика даже при умеренных значениях То.
Кроме того, наличие избытка нейтронов означает, что конфигу-
рации, связанные с зарядово-обменными возбуждениями, в силу
принципа Паули будут отличаться от конфигураций, связанных
с возбуждениями с — 0 (фиг. 6.22, стр. 438). Такое различие
можно выразить через взаимодействие между избыточными нейтро-
нами и осциллирующим изовекторным полем колебаний [в отличие
от взаимодействия (6.129) со статическим монопольным изовектор-
ным полем]; это взаимодействие приводит к изменению соотношений
(6.128) между интенсивностями, а также к изменению энергий
колебаний.
В общем случае сдвиг энергии в низшем порядке, обусловленный
избытком нейтронов, пропорционален То и, следовательно, имеет
вид
Я' = а(т«Т0),	(6.130)
как в формуле (6.129). Для дипольного возбуждения взаимодейст-
вие через изовекторное дипольное поле дает отрицательный вклад
в коэффициент а, что, по приближенной оценке, компенсирует
около половины положительного коэффициента в формуле (6.129);
см. формулу (6.349).
Для тензорного оператора (тр,г) матричный элемент (6.128)
с учетом поправок, линейных по То, имеет общий вид
<(Т0) nT = 1) ТМт (ТЦт) Т.М т>) =
= (ТаМт| ТМт) {m0 + [Т (Т + 1) - То (То +1) -т (т + 1)]}.
(6.131)
Действительно, поскольку (т = 1, (ыт) является вектором в изо-
пространстве, член, линейный по То и по оператору рождения
с* (т), должен быть пропорциональным произведению То х cf,
которое в свою очередь пропорционально (То *т) cf, если действовать
на состояние с пх =-- 0. (Заметим, что т —/с* х с.) Для диполь-
$ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
335
кого возбуждения величина гщ приближенно дается форму-
лой (6.359).
Если избыток нейтронов покрывает большую часть одночастич-
ных уровней, связанных с колебанием, то возбуждения, различаю-
щиеся ориентацией изоспина колебаний относительно То, совер-
шенно различны по своим свойствам (см., например, дипольные
возбуждения, приведенные на фиг. 6.23, стр. 440). Тогда следствия
\ То + !
N~1,Z + !	N,Z	N+f,Z-
Мт=Т0-1	Mt=T0 = -2(N-Z)	+ i
Фиг, 6.5. Изоспин вибрационных возбуждений в ядре с избытком нейтронов.
Представлена схема уровней, которая получается в результате добавления к ядру с избыт-
ком нейтронов вибрационного кванта с ДТ = +1, 0 или —1. Относительное расположение
возбуждений с разными Т показано чисто условно. Изобарические аналоговые состояния
соединены тонкими прерывистыми линиями. Основные состояния ядер с Mf~TQ± 1 пред-
ставлены пунктирными линиями.
изобарической инвариантности ограничиваются лишь теми из них,
которые связаны с существованием квантового числа полного изо-
спина Т Схема состояний с одним квантом возбуждения приведена
на фиг. 6.5, где возбуждения помечены квантовым числом ДТ
= Т - тп.
Матричные элементы операторов изобарического тензорного по-
рядка т, приводящие к различным компонентам изобарического
мультиплета, связаны между собой теоремой Вигнера — Эккарта
в изопространстве [формула (1.226)]:
<ТМг|^(тИт)1Т0Л170> =
<ТоМт^ j ТМт) (2Т+1)-'^ <Т\\^ (т) j TQ}, (6.132)
336
Гл. 6. Вибрационные спектры
где последний множитель представляет собой приведенный матрич-
ный элемент При 1 и (Л4г)0 = (как для основных состоя-
ний ядер) коэффициент векторного сложения в формуле (6.132)
имеет асимптотический вид
(ТоТо!]^ | Т = То + ДТ, To + pt)
т0> 1
1 при ДТ = рт,
7Т,/2 при ДТ = щ+1,	(6.133)
. 2-V27-1 при ДТ = рт + 2.
Таким образом, переходы, приводящие к полностью выстроенным
состояниям с Мт = Т (которые указаны стрелками на фиг. 6.5),
оказываются значительно более интенсивными, чем переходы, при-
водящие к изобарическим аналоговым состояниям. (Преобладание
переходов с ДТ = рт довольно просто объясняется на основании
классической картины изоспиновой связи.)
При наличии избытка нейтронов возбуждения с ДТ — 0 оказы-
ваются смесью возбуждения с т = 0 и т = 1, но сильное взаимо-
действие между нейтронами и протонами означает, что для кол-
лективных колебаний плотности выгодна макроскопическая сим-
метрия относительно т Таким образом, при заданной пространст-
венной симметрии можно полагать, что наинизшее возбуждение
приблизительно является колебанием формы с сохраняющимся
отношением плотностей нейтронов и протонов (т ^0, гх ^+1);
такое возбуждение порождает средние поля и моменты, которые
преимущественно являются изоскалярами. Ортогональное возбу-
ждение с большей частотой соответствует движению нейтронов
относительно протонов (т ж 1, гх »—1), и связанные с ним поля
и моменты являются преимущественно изовекторами. (О дипольном
возбуждении см. стр. 432, о квадрупольном — стр. 453 ). То, что
колебания формы преимущественно соответствуют т = 0, было про
верено путем сравнения рассеяния (а, а'), которым определяется
амплитуда изоскалярного поля, с электромагнитным возбужде-
нием, которым определяется амплитуда колебаний протонов (см.
табл. 6.2 и систематику данных в работе (1051).
Таким образом, изобарическая структура возбуждений с ДТ = 0
дает нам пример нарушения симметрии, которое оказывает весьма
различное влияние на макроскопическом и микроскопическом
уровне. Хотя изоспиновая симметрия приблизительно сохраняется
на макроскопическом уровне (при N — Z Л), эта симметрия
может полностью нарушаться на микроскопическом уровне инди-
видуальных возбуждений, из которых конструируется данный тип
возбуждения. Причиной нарушения симметрии является избыток
нейтронов в «вакуумном состоянии» (равновесная конфигурация),
а не взаимодействия, ответственные за коллективное возбуждение.
$ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
337
5. Коллективные возбуждения, содержащие спиновые
степени свободы х)
Спиновая зависимость колебаний плотности, связанных с коле-
баниями ядра, можно характеризовать квантовым числом о, кото-
рое представляет собой спиновый угловой момент вибрационного
кванта. Типы возбуждений, связанные с частично-дырочными воз-
буждениями или двухчастичными корреляциями, имеют а = 0 или
а=1. Полная мультипольность X следует из связи а с орбитальным
угловым моментом х вибрационного кванта.
Четность вибрационного кванта определяется орбитальной муль-
типольностью:
	л = (—!)*,	(6.134)
и при заданных 1л	возможные квантовые числа таковы:	
1 =/= 0 |	л = (—1)\	х = 1,	а = 0, 1, л = (—1)U1, х = 1±1,	а = 1,	(6.135)
1 = 0	|	л=4-1,	х = 0,	а = 0, л =—1,	х= 1,	а= 1.	
Следовательно, при к =/= 0 возбуждение с данными 1л может соот-
ветствовать двум разным комбинациям ха.
Если бы между нуклонами действовали только центральные силы
(приводящие к основному состоянию с S = L = 0), то вибрацион-
ные кванты имели бы определенные спиновое и орбитальное кван-
товые числа ха, а соответствующее поле колебаний имело бы те
же самые значения х и а, что и колебания плотности. Наличие же
нецентральных сил означает существование связи между плотно
стями и полями с двумя разными симметриями, которым соответст
вует один и тот же набор квантовых чисел 1л.
Довольно сильное спин-орбитальное взаимодействие в среднее
одночастичном потенциале уже указывает на существование такой
связи (нарушение симметрии, соответствующее вакуумному со-
стоянию). Действительно, колебания плотности, обусловленные от-
дельными одночастичными возбуждениями, 1^ -> l2j2i из которых
строится коллективное возбуждение 1л, содержат компоненты
с двумя значениями величин ха (и с относительной амплитудой,
которая определяется коэффициентом пересвязки от //- к LS-связи
<(4 *4) /„ (4 V2) /2; % | (44) х, е/2 Ч2) а; к».
Кроме того, взаимодействия, связанные с зависящими от спина
деформациями, могут содержать компоненты, недиагональные по
квантовым числам ха Связь каналов с х = 1 — 1, а = 1 и х =
0 Первоначальное исследование коллективных колебаний с учетом плот-
ности ядерного спина было проведено в работах [482, 1189] В работе [715]
было указано на то, что благодаря сильной спин-орбитальной связи возможны
возбуждения с Кл= 1 4-.
338
Гл. 6. Вибрационные спектры
=-- л + 1, а = 1 обусловлена эффективными нецентральными двух-
частичными силами. Эти силы билинейны по спинам нуклонов
(подобно тензорному взаимодействию). Силы же, линейные по спи-
нам нуклонов (подобно двухчастичному спин-орбитальному взаи-
модействию), связывают возбуждения с х = X, о = 0 и х = X,
о=1. Деформация спин-орбитального потенциала [формула (6.70)]
может служить примером взаимодействия последнего типа.
Эффективные взаимодействия и соответствующая схема коллек-
тивного движения в случае зависящих от спина полей еще довольно
плохо исследованы. Статическая деформация плотности с о = 1
нечетна относительно обращения времени (см. мелкий шрифт ниже).
Поэтому средний потенциал в ядре не позволяет вычислить потен-
циал, который оказывается при деформации с cr = 1, в отличие
от формул (6.74) и (6.124) для не зависящих от спина полей (ст = О
и т = 1).
Сведения о зависящих от спина взаимодействиях получаются
из эффектов поляризации, которые изменяют спиновый g-фактор
для моментов Ml (т. 1, стр. 326, т. 2, стр. 266), а также из констант
связи для |3-переходов типа Гамова — Теллера (т. 1, стр. 337,
т. 2, стр. 268). Анализ этих эффектов поляризации показывает,
по-видимому, что взаимодействие в канале х = 0, о = 1, т — 1
является отталкивающим и его интенсивность сравнима с интен-
сивностью взаимодействий с о = 0, которые рассматривались в пре-
дыдущих разделах.
Коллективные возбуждения, вызываемые полями с х = О,
о=1, рассматриваются в примере на стр. 558. Из имеющихся
данных о коллективных переходах М1 можно извлечь информацию
о взаимодействии в канале т = 1; это взаимодействие оказывается
сравнимым с взаимодействием, которое выводится из эффективных
g-факторов.
О взаимодействии в канале т = 0 в настоящее время имеются
лишь данные весьма предварительного характера (см., например,
указания на отталкивающий характер взаимодействия, которые
следуют из анализа параметров развязывания во вращательных
полосах с К = 1/2, стр. 269) На отсутствие сильных притягиваю-
щих полей, зависящих от спина, указывает то обстоятельство, что
в ядре не наблюдаются низколежащие коллективные спиновые воз-
буждения. (В жидком 3Не короткодействующее отталкивание, кото-
рое гораздо более эффективно в канале *S, чем в 3Р, можно предста-
вить в виде взаимодействия, которое делает энергетически выгодной
параллельную ориентацию ядерных спинов (см. аналогичный
эффект в ядре, т. 1, стр. 256) Такое притягивающее спин-спиновое
взаимодействие приводит к существенному изменению функции
отклика для полей, зависящих от спина; это явление называется
парамагнонным эффектом; см., например, обзор свойств жидкого
3Не в работе [1177].)
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
339
Взаимодействие между возбуждениями с х X, о 0 и х = %,
0 1 означает возможное существование полей с а = 1 в низко-
частотных коллективных возбуждениях с л = (—1)\ о чем гово-
рилось выше с точки зрения коллективных колебаний формы
с о = 0. Действительно, одночастичные возбуждения, из которых
строятся эти коллективные возбуждения, имеют энергии того же
порядка, что и спин-орбитальные расщепления, и поэтому пары
орбит с j = l^1/^ входят с совершенно разными амплитудами.
Таким образом, на микроскопическом уровне симметрия хо пол-
ностью нарушается, но взаимосвязь большого числа орбит может
привести к взаимной компенсации в плотности с большой длиной
волны и с о 1, что приведет к макроскопической симметрии
с а ^0 (ср. подобное же положение с симметрией относительно т
в ядрах с большим избытком нейтронов, стр 336). На преобладание
полей с а = 0 в низкочастотных колебаниях формы весьма опре-
деленно указывает тесная связь между этими возбуждениями и
вращательными возбуждениями в деформированных ядрах. Наблю-
даемые вращательные полосы подтверждают инвариантность ста-
тических деформаций ядра относительно обращения времени (гл. 4,
стр. 36); следовательно, деформации должны соответствовать кван-
товому числу а = 0, если отвлечься от членов, зависящих от ско-
рости, подобно спин-орбитальному потенциалу. О приблизительной
симметрии о = 0 в низкочастотных колебаниях формы свидетель-
ствуют также данные анализа связи частицы с колебанием в ядрах
с нечетным А (см. пример на стр. 498).
Деформацию с симметрией о=1 можно описать с помощью зависящих
от спина функций плотности, аналогичных тем, которые использовались для
описания деформаций, зависящих от изоспина [формулы (6.119) и (6.121)].
Деформированное распределение плотности удобно выразить, пользуясь мето-
дом матрицы плотности (т. 1, гл. 2, приложение 1, п. 7):
6p(r, s) = /	, , (г) (Y oV ' а _ Ъ|	(6.136)
L v	' X. O-Ь Z ' ' \ X /(XI) Хц Х’ а=1> ЛИ	v '
для возбуждения с квантовыми числами х, а=1, Хр. При обращении времени
Р (г, s) переходит в р (г, —s), поэтому амплитуды аХ) хц нечетны относи-
тельно обращения времени вместе с эрмитовым сопряжением [см. соответст-
вующую формулу (6.41) для амплитуд с о = 0].
6. Возбуждения, связанные с передачей двух нуклонов,
парные вибрации
Различные типы возбуждений ядра можно характеризовать еще
одним квантовым числом а — числом переданных нуклонов, кото-
рое равно изменению числа нуклонов, связанному с возбуждением
одного кванта *). В предыдущих разделах были рассмотрены коле-
х) Символ а выбран потому, что эта буква греческого алфавита соответ-
ствует латинскому .4, с учетом такой традиции и для других вибрационных
квантовых чисел о и т. Преимущества продолжения этой традиции, по-види-
мому, превышают риск спутать квантовое число а с амлитудой колебаний а.
бания, при которых число нуклонов сохраняется (хотя нейтроны
могут превращаться в протоны и наоборот) и, следовательно, для
которых а = 0; с точки зрения степеней свободы нуклонов эти
коллективные возбуждения построены из возбуждений частиц (§ 2,
п. 3). Коллективные возбуждения с а = ±2 связаны с корреля-
циями пар частиц или дырок. Тенденция нуклонов образовывать
коррелированные пары с угловым моментом и четностью 0+ ранее
уже встречалась; эта тенденция является важной особенностью
схемы связи нуклонов для конфигураций частиц в незаполненных
оболочках (см., например, т. 1, стр. 207, и т. 2, стр. 213).
Коррелированные пары нуклонов могут образовывать частицы
со свойствами, характерными для вибрационных квантов; в данном
разделе мы изложим общие результаты анализа, при котором в ка-
честве элементарного типа возбуждения рассматривается добавле-
ние (или удаление) пары J). При таком анализе необходимо разли-
чать ядра с замкнутыми оболочками (см. ниже) и конфигурации,
удаленные от замкнутых оболочек, где пары 0+ образуют кон-
денсат (стр. 344). Существование такого конденсата в ядрах при-
водит к большим аналогиям с теорией макроскопических сверхте-
кучих систем, хотя малый размер ядра исключает возможность
сверхтекучего тока (см. мелкий шрифт на стр. 349).
Парные вибрации в ядрах с замкнутыми оболочками
Спектры ядер, к которым добавлены или удалены из конфигура-
ции замкнутых оболочек две частицы, содержат низколежащие
состояния с существенной корреляцией в движении двух частиц.
В частности, это имеет место для основных состояний с In ~ 0+,
содержащих конфигурации с парами тождественных частиц или
дырок. Корреляцию можно истолковать как результат существо-
вания короткодействующих сил притяжения между нуклонами; эти
силы вызывают образование суперпозиции одночастичных конфигу-
раций такого характера, когда имеет место пространственное пере-
крывание двух частиц или дырок. (См., например, анализ основного
состояния ядра 2о6РЬ, стр. 563.) Когда корреляция включает в себя
суперпозицию большого числа различных конфигураций двух ча-
стиц, добавление или удаление коррелированной пары можно рас-
сматривать как элементарный тип возбуждения (парную вибра-
*) Коллективные типы возбуждения ядра, связанные с передачей частиц,
рассматривались в первоначальных вариантах нашей книги (см., например,
[159, 160]); эта тема разрабатывалась далее в статьях [112]; о существовании
возбуждения, связанного с добавлением пары, при фазовом переходе от сверх-
текучей к нормальной ферми-системе см. также [605]. Важным шагом в экспе-
риментальном изучении возбуждений с передачей пары явилось наблюдение
очень интенсивных переходов в основное состояние в реакциях (/, р) на сверх-
текучих ядрах [825]; в работе [126] были обнаружены возбужденные состояния
с парной вибрацией в области 209РЬ.
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений 341
цию); это возбуждение можно повторить несколько, раз, его можно
также объединить с другими типами возбуждений при описании
полного спектра.
Мы рассмотрим здесь пары с полным угловым моментом и четно-
стью Кл = 04-, но такой анализ легко обобщить и на другие каналы.
В тяжелом ядре, где нейтроны и протоны заполняют орбиты с раз-
ными значениями /л, кванты малой энергии с а — ±2 и Кл = 04-
могут образовываться только из пар тождественных частиц.
Схема нейтронных парных колебаний с Кл = 04- представлена
на фиг. 6.6. Спектр содержит два элементарных типа возбуждения
с числами переданных нейтронов а = 4-2 и а = —2, Что соответст-
вует образованию основных состояний ядер с числами нейтронов
Мо + 2 и No — 2, где No — число нейтронов в конфигурации
с замкнутой оболочкой. Для каждого состояния указаны числа
квантов обоих возбуждений па= _2 и па=+г- Если можно пренебречь
взаимодействием между квантами (гармоническое приближение),
то энергии вибрационных состояний можно записать в виде
Е = ЙСО-2^-2 4“	(6.137)
в энергетическом масштабе, который использован на фиг. 6.6.
Если замыкание оболочки при No связано с большой щелью
между одночастичными орбитами выше и ниже No, то кванты с
а = 4-2 в первом приближении содержат нуклонные орбиты выше
Л/о, тогда как кванты с а = —2 содержат орбиты ниже No. Однако
в количественном отношении свойства квантов могут сильно изме-
ниться даже за счет сравнительно слабых нулевых колебаний в со-
стоянии с замкнутой оболочкой, которые связаны с виртуальным
возбуждением нейтронных пар 04- через щель между оболочками
(см. о перенормировке спаривательного взаимодействия, стр. 565).
Поскольку кванты, связанные с добавлением пары, возникают
вследствие пространственной корреляции частиц, этот тип состоя-
ний интенсивно возбуждается в реакциях с передачей двух частиц,
например в реакции (/, р), в которой происходит Передача двух
нуклонов, тесно коррелированных в пространстве (т. 1, гл. 3, при-
ложение 5, п. 2). Следовательно, эти процессы играет в изучении
парных вибраций роль, подобную роли реакций неупругого рас-
сеяния в изучении колебаний формы при а = 0. В низшем порядке
по амплитуде колебаний (гармоническое приближение) оператор
перехода для процесса добавления двух нуклонов линеен по опера-
торам Са = 2 и са = -2, которые рождают квантса = 2 ц уничтожают
квант с а = —2, а матричные элементы можно получить с помощью
общих соотношений [формула (6.1)]
(/1-2, ^+2 4* 1 }£<Х=2|И— 2, ^+2^	(^4-2 4*1)/*, (g 138)
(П-2 “ 1 > П+2 । са--2 I П-2,	’ (И—г) •
342
Г л. 6, Вибрационные спектры
В примере на стр. 566 анализируются экспериментальные дан-
ные, касающиеся возбуждений в ядре 208РЬ, связанных с добавле-
нием и удалением одной нейтронной пары. Оказалось, что кванты
приближенно сохраняют свою индивидуальность, когда они комби-
нируются с квантами других возбуждений. Экспериментальный
спектр парных вибраций, показанный на фиг. 6.62, качественно
Фиг. 6.6. Нейтронные парные вибрации с Хя = 0-|-.
Для каждого состояния указаны квантовые числа _______2, ^а_+2)- Сплошными линиями
представлены основные состояния, а стрелками указаны интенсивные переходы из этих
состояний с передачей двух частиц. Величина Е — это полная энергия, отсчитываемая от
ее значения <?0 для конфигурации замкнутой оболочки (основное состояние при AT = /V0),
минус некоторая линейная функция числа нейтронов. Структура графика не зависит от
коэффициента пропорциональности Л, но для удобства лучше всего выбрать Л равным сред-
нему значению первых одночастичных уровней е(/>) и е (/<)• лежащих выше и ниже
щели для замкнутой оболочки. При таком выборе А, энергии квантов равны Лсо_|_2 =
= е(/>) — Е (/<)—Де^-г, гДе	— энергии связи пар частиц (или дырок), отсчитан-
ные от значений —2®(/>) [или 2е (/<)] для независимых частиц; график построен в пред-
положении, что Де^+ несколько больше Д<2^_, как и в области ядра 208РЬ, представлен-
ной на фиг. 6.62. Данный спектр соответствует гармоническому приближению, когда кванты
возбуждений рассматриваются как невзаимодействующие объекты.
совпадает со спектром, который был предсказан для случая гармо-
нических колебаний, но в этом спектре обнаруживается также влия-
ние ангармоничности. (Обзор данных, относящихся к парным вибра-
циям, см. в работе [208).)
Для конфигурации замкнутых оболочек с Af0 = Zo, TQ — 0
парные возбуждения, содержащие пп, рр и пр, связаны между
собой изобарической инвариантностью. Кванты с Хл = 0+ имеют
единичный изоспин т = Г, возбуждение п квантов одного и того
же типа (а = +2 и а = —2) приводит к появлению состояний со
значениями полного изоспина
. Т = п, п-2, ...» 0 или 1,	(6.139)
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
343
совпадающими со значениями I для трехмерного гармонического
осциллятора [см., например, формулу (2.150)]. Состояния (6.139)
можно также классифицировать по представлениям (Zp,) = (п0)
группы SU3, подобно симметричным состояниям конфигурации рп
(т. 1, стр. 132).
Относительные амплитуды переходов для реакций с передачей
двух частиц можно вычислить в гармоническом приближении по
генеалогическим коэффициентам
(п+1, Т'М'т
ct(T=l, Их) | п, ТМт) = (ТМт1ц(\Т'М'т)х
Г(Т+1)(п + Т+3)Т/а
L 2Т + 3 J
|~Т(п-Т + 2) ~|*/а
L 27-1 J
при 7'= 7+1,
при 7' =7 — 1,
(6.140)
которые являются коэффициентами Клебша — Гордана в SU3. Эти
генеалогические коэффициенты можно вывести так же, как для
трехмерного осциллятора, используя произведение радиального
матричного элемента [формула (2.154)] на угловой матричныйэле-
мент (I'm' | У1ц | 1пг). Фазы матричных элементов в формуле (6.140)
соответствуют обычному выбору фаз для гармонического осцилля-
тора (стр. 207).
Если имеется суперпозиция квантов с а = —2 и а = +2, то
возникает большое число состояний, которые можно пронумеро-
вать, например, квантовыми числами (п_2, 7_2; п+2, Т+2) 7, где
Т = Т+2 + 7_2, Т+2 +7-2—1,	,| Т+2 — Т-2 |. Состояния с оди-
наковым числом квантов, но разными значениями 7 разделены по
энергии благодаря довольно сильным взаимодействиям, которые
снижают энергию состояний с малым изоспином [см. например,
взаимодействие (6.129)].
В схеме возбуждений 0+, наблюдающихся в реакциях с пере-
дачей двух частиц в области около 56Ni, некоторые закономерности
можно объяснить парными вибрациями, но ангармонические эф-
фекты, по-видимому, также играют важную роль в этих спектрах
[549, 866].
Парные плотности и потенциалы
Рассмотренные выше закономерности спектров, обусловленные
парными вибрациями, являются прямым следствием существования
коррелированных пар как элементарных типов возбуждения. Как
и в случае возбуждений с а = 0, парные вибрации обнаруживают
и частичные, и полевые аспекты, что соответствует описанию с по-
мощью квантов и амплитуд. Амплитуды парных вибраций служат
мерой плотностей и потенциалов, которые действуют, рождая и
Уничтожая пары частиц, что соответствует элементарным процес-
сам при парной вибрации. Эти поля играют роль, подобную роли
344
Гл. 6. Вибрационные спектры
деформированной одночастичной плотности и потенциалов при воз-
буждениях с а — 0. Хотя более систематическое исследование
нуклонных корреляций, содержащихся в явлении спаривания,
является предметом гл. 8, парные поля кратко рассматриваются и
в настоящем разделе, поскольку они дают возможность одинаково
подходить ко всем разнообразным проявлениям парных корреля-
ций, которые встречаются в данном томе.
Плотность, которая связана с рождением двух тождественных
нуклонов в одной и той же точке пространства, определяется выра-
жением
Pa-2(r)=Ur>	^ = 4)
(г, ms = ~) = — a'(r, tns = —	(6.141Ц
где af — одночастичный оператор рождения (приложение 1). Опм
ратор плотности (6.141) и эрмитово-сопряженный ему оператоя
уничтожающий две частицы,	Я
Pa-2(r) = Pa=s(r)	(6.1411
соответствуют локальному одночастичному оператору плотности я
Ра-0 (г) = У, а’ (г, ms)a(r, ms) = £ 6 (r-r*),	(6.14»
ms	k	'
который был использован для описания влияния деформаций при
колебаниях формы. Операторы, билинейные по а* и а, как, напри-
мер, плотность с а = 0 (6.143) и соответствующий одночастичный
потенциал, связаны с переходами одной частицы (или дырки) и
рождением (или уничтожением) пары частица — дырка; обобщен-
ная одночастичная плотность с а — 2 (6.141) и соответствующие
потенциалы рождают пару частиц (или уничтожают пару дырок)
и обладают матричными элементами, которые связывают состоя-
ние с дыркой и состояние с частицей (рассеяние из канала дырки
в канал частицы).
Возбуждение, отвечающее парной вибрации с угловым момен-
том X, связано с деформацией плотностей р±2 той же мультиполь-
ности. Поскольку локальная плотность (6.141) рождает две тож-
дественные частицы в одной и той же точке пространства, пара
находится в спиновом синглетном состоянии (о = 0) и соответст-
вующие кванты имеют полный угловой момент, равный орбиталь-
ному (X — х). Четность равна л — (—1)\ так как при -преобра-5
зовании мы имеем р2 (г) -> р2 (—г).
Для монопольного возбуждения парная плотность пространст-
венно-изотропна. Относительно радиального формфактора имеется’
мало экспериментальных данных; мы рассмотрим возбуждение, свЯ'
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
345
занное с парной четностью, которая приблизительно постоянна по
объему ядра. Тогда амплитуду можно характеризовать монополь-
ным моментом
Л12 (= А4а_2, х-о) = р2 (г) dx.	(6.144)
Разлагая операторы рождения (rms) по операторам об (v), рож-
дающим частицу на оболочечной орбите v [формула (2.264)], преоб-
разуем момент (6.144) к виду
Л12 = £ ^(v)^(v),	(6.145)
V >0
где при суммировании берется только один член для каждой выро-
жденной пары уровней (v, v).
Амплитуда а2 (= aa=2,x=o) монопольной деформации парной
плотности зависит линейно от операторов 4 и с_2, которые рождают
и уничтожают кванты обоих возбуждений с числом переданных
нуклонов ±2 (стр. 298):
а2 = (а2)о4+ (а_2)0с_2,
(о. 14о)
а _2 = = (а2)0 с2 + (а_2)0 d2,
причем коэффициенты (а2)0 и (а_2)0 представляют собой амплитуды
нулевых колебаний, которые определяются матричными элемен-
тами Л42:
(а2)0 = <и2== 1 |М2|п2 = 0>,
/ I +| ч	(6.147)
(а_2)0 = (п_2 = 1 | М2 | и_2 = 0).
При обычном выборе фаз матричные элементы оператора М2 дейст-
вительны, так как он инвариантен при обращении времени, а также
при вращениях. Амплитуды нулевых колебаний, а также частоты
обоих возбуждений с а = ±2 различаются, поскольку отсутствует
какая-либо симметрия, связывающая эти два возбуждения с чи-
слом переданных нуклонов ±2. Поэтому амплитуды а2 и а_2 не
являются коммутирующими переменными.
Парная плотность создает соответствующий парный потенциал,
который действует на нуклонные степени свободы, рождая (и унич-
тожая) пары частиц. Предположение о том, что парное возбужде-
ние с X = 0 связано с простым полем М2, приводит к потенциалу
вида [формулы (6.71) и (6.72)]
е^пар = — Ga2 У (у) a* (v) эрм.-сопр. а2 = <М2>,	(6.148)
V >0
где G—константа связи. Взаимодействием (6.148) обусловлена
связь между колебанием и движением отдельных частиц; его роль
в создании коллективной парной корреляции аналогична роли связи
частицы с колебанием при колебаниях формы (см. пример на
стр 564).
346
Гл. 6. Вибрационные спектры
Статическая парная деформация, парные вращения
В ядрах с большим числом частиц сверх замкнутых оболочек
имеется большое число пар 0+. Такую совокупность тождествен-
ных квантов, называемую конденсатом, можно описывать статиче-
ской деформацией поля, которое рождает кванты. Деформация пар-
ного поля Л12 становится большой по сравнению с нулевыми флук-
туациями, когда матричные элементы М2 для добавления пары
к конденсату становятся большими по сравнению с другими матрич-
ными элементами М2; тогда величина М2 оказывается приблизи-
тельно постоянной, что можно установить, вычислив среднее зна-
чение величины /ИрИ.2 или его более высокие степени. В гармони-
ческом приближении матричные элементы для добавления пары
к конденсату возрастают пропорционально квадратному корню из
числа квантов [формула (6.138)], и поэтому они доминируют при
n2 1 (и п2 п_2). Величина этих матричных элементов может
сильно измениться за счет ангармонических эффектов. Но в том
случае, когда с корреляцией каждой пары связано большое число
одночастичных конфигураций, наличие конденсата должно, веро-
ятно, приводить к значительному усилению возбуждения, связан-
ного с добавлением пары, и матричных элементов, которые не
должны существенно меняться при переходе от ядра к ядру. В этом
случае мы можем представить М2 в виде
Л42 = | М21 ехр {нр},	(6.149)
где | Л42 | приблизительно постоянно (с-число), а <р представляет
собой фазу парного момента. Из соотношения коммутации
М2] = М2,	(6.150)
где N — число частиц, следует, что угол <р и число пар сопряжены
между собой:
[4’ ф] = -»-	(6.151)
Следовательно, мы можем считать <р углом ориентации парной
деформации в пространстве, в котором число пар играет роль угло-
вого момента. Такое пространство называется калибровочным г).
*) Представление о калибровочной переменной возникло в классической J
электродинамике, где электрические и магнитные поля инвариантны относи- ‘4
тельно преобразования, при котором к потенциалам прибавляется градиент Л
произвольной функции. В конкретных расчетах можно воспользоваться этой Ц
свободой для удобной «калибровки» потенциалов. В квантовой механике ка-
либровочное преобразование потенциалов сопровождается изменением на
zt (e/ft) А фазы полей, которые уничтожают частицы с зарядом е и рождают
соответствующие античастицы. В частном случае калибровочных преобразова-
ний, когда А не зависит от пространственных координат и времени, потен-
циалы не меняются, но требование калибровочной инвариантности гамильто-
ниана обеспечивает сохранение заряда; квантование заряда соответствует тому,
что калибровочную переменную qp можно рассматривать как угловую координату.
§ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений
347
Из существования статической парной деформации, большой
по сравнению с нулевыми флуктуациями, вытекают следствия, по-
добные тем, которые вытекают из наличия статической деформации
ядра. В частности, движение оказывается возможным приближенно
разделить на вращательную и внутреннюю компоненты. Угловой
переменной, характеризующей вращение, является фазовый угол <р
парной деформации, который описывает ориентацию в калибровоч-
ном пространстве. Внутреннее движение включает в себя колебания
величины парной деформации и дополнительные степени свободы,
которые описывают движение относительно вращающегося парного
поля. Такое разделение соответствует волновым функциям вида
Ул, а= Фа (?) (2n)-‘/>exp{i	ф|,	(6.152)
где Фа (q) — волновая функция внутреннего движения, a N —
«вращательное» квантовое число, которое принимает значения, раз-
нящиеся на четные числа:
=	Л\±2, Ni±4t	(6.153)
Разделение движения, выражаемое волновой функцией вида (6.152),
связано с наличием последовательности состояний с разными чис-
лами частиц W, но приблизительно с одной и той же внутренней
структурой о. В частности, основные состояния четно-четных ядер
образуют такую последовательность, когда структура парных кван-
тов в конденсате медленно меняется в зависимости от квантового
числа Af.
Правило отбора ДМ = 2 в спектре (6.153) соответствует усло-
вию А/ = 2 для полос с К = 0 в ядрах с деформациями, инвариант-
ными относительно операции [формула (4.12)1. При этом фор-
мальное основание для правила отбора по N можно усмотреть в сим-
метрии парной деформации относительно поворота на угол 2л в
калибровочном пространстве. (Калибровочный поворот на угол ср0
генерируется оператором [формула (1.10)]
^(сро) = ехр^— t-уфо).	(6.154)
Отсюда & (2л) = (—1)N и величина (—1)^ является собственным
значением этого оператора для внутреннего состояния.)
Существование большой статической парной деформации непо-
средственным образом проявляется в распределении интенсивностей
при передаче двух частиц. Так, в ядрах, далеких от замкнутых
оболочек, гораздо более интенсивными по сравнению с другими
оказываются переходы между состояниями парной вращательной
полосы, причем амплитуда перехода пропорциональна парной де-
формации. В области же замкнутых оболочек переходы, содержа-
ние разные типы возбуждений (Ди? = ±1 и Д/г_2 = ±1), имеют
348
Гл. 6. Вибрационные спектры
сравнимые интенсивности (фиг. 6.6), причем амплитуды переходов
по порядку величины равны амплитудам нулевых колебаний пар-
ного поля.
Статическая парная деформация вызывает большие изменения
в движении нуклонов. Возникающие одночастичные степени свободы
можно простым образом выразить через квазичастицы, представ-
ляющие собой гибриды частицы и дырки (стр. 566). Кроме того,
коллективные внутренние типы возбуждений также существенно
изменяются и более не обладают определенным значением числа
переданных нуклонов а (ср. нарушение мультипольной симметрии X
при вибрационных возбуждениях в несферическом ядре); в част-
ности, низкочастотные колебания формы могут содержать значи-
тельные примеси компонент поля с а = ±2, помимо деформации
потенциала с а — 0 (см. о (3-колебаниях, стр. 487).
Частота вращения деформированного парного поля дается кано-
ническим уравнением
ф П dN ~ й ’
(6.155)
где X — химический потенциал, т. е. средний прирост энергии на
одну добавленную частицу. При вращении в обычном пространстве
с относительно малым угловым моментом / частота вращения мала
по сравнению с внутренними частотами (адиабатическое условие),
и поэтому при анализе свойств системы можно пользоваться раз-
ложением по степеням углового момента. В калибровочном же
пространстве частота вращений никогда не бывает малой по срав-
нению с внутренними частотами, и эти вращения всегда оказывают
существенное влияние на внутреннее движение. Однако предполо-
жение о существовании статической парной деформации, большой
по сравнению с ее флуктуациями, означает, что свойства системы
не меняются заметным образом при изменении N на несколько
единиц, поэтому можно пользоваться разложением различных мат-
ричных элементов по степеням N — Л\. Дело обстоит так же, как
в случае вращения с очень большими угловыми моментами / (см.,
например, о квадрупольных колебаниях в ираст-области, стр. 597).
Выше предполагалось наличие скалярного парного поля. Если
бозон принадлежит выраженному мультиплету, то возникают но-
вые аспекты, связанные с наличием конденсата, так как его обра-
зование сопряжено с выбором направления (нарушением симмет-
рии) в соответствующем пространстве. Такое положение встречается
в ядре, когда нейтроны и протоны образуют пары, содержащие
эквивалентные орбиты. При этом парное поле является изотрип-
летом, и образование конденсата означает наличие деформации
в изопространстве с возникновением вращательной полосы по пере-
менным Т и А [343, 479]. Наличие анизотропного конденсата в жид-
ком 3Не при температурах порядка миллиградусов, по-видимому,
$ 3. Нормальные типы вибрационных возбуждений 349
связано со спариванием в 3Р-состоянии [744]. Спаривание в Р-со-
стоянии может иметь место в ядерном веществе при большой плот-
ности внутри нейтронных звезд [607].
Сверхтекучесть
Как уже указывалось, имеется близкая аналогия между эффектами парной
корреляции в ядрах и явлениями сверхтекучести (в том числе сверхпроводи-
мостью) в макроскопических системах. Именно представление о том, что сверх-
проводимость обусловлена корреляцией в движении электронов, дало ключ
к пониманию эффекта спаривания, который был известен уже на раннем этапе
развития ядерной физики [170], как коллективного явления. В этой связи мы
кратко остановимся на свойствах сверхтекучего тока в макроскопических си-
стемах.
Характерной особенностью сверхтекучей фазы является наличие большого
числа тождественных бозонов в одном квантовом состоянии, т. е. существова-
ние конденсата. В сверхпроводниках бозонами являются пары связанных
электронов, которые образуются у поверхности Ферми [277] и которые анало-
гичны парным квантам в ядре. В Не II конденсат содержит атомы 4Не с ну-
левым импульсом (когда жидкость покоится). Как и в ядре, наличие конден-
сата учитывается введением деформации поля, которое рождает или уничтожает
бозоны в конденсате [71, 151] (см. также обзор [892]). В теории сверхтекучего
тока центральное место занимает представление о фазовом угле ф поля кон-
денсата; этот угол указывает ориентацию в калибровочном пространстве, и он
сопряжен числу бозонов в конденсате. (Поле конденсата (параметр порядка)
было введено в феноменологической теории сверхпроводимости [481] до того,
как была предложена микроскопическая интерпретация этого поля; см., на-
пример, [36].)
Коллективное усиление процессов, приводящих к добавлению или удале-
нию бозонов из конденсата, особенно заметно обнаруживается в явлениях,
связанных с прохождением тока сверхпроводимости между двумя сверхпровод-
никами, разделенными тонким барьером [35, 659]. [В ядре процессы, с кото-
рыми связаны рождение и аннигиляция бозонов в конденсате, изучаются
в реакциях передачи двух частиц (парное вращательное возбуждение)]. Тун-
нельное прохождение электронных пар через барьер в таком соединении сверх-
проводников можно рассматривать как взаимодействие, приводящее к уничто-
жению одного бозона с одной стороны барьера и добавлению одного бозона
к конденсату с другой стороны. Оператор уничтожения бозона пропорционален
ехр {1ф} [см., например, формулу (6.149)], так что взаимодействие имеет вид
Н' = а cos (фх — Фг + 6),	(6.156)
где фх и ф2 —калибровочные фазовые углы для двух сверхпроводников, а б —
сдвиг фазы электрона при его прохождении через барьер. Величина а — кон-
станта, являющаяся мерой интенсивности туннельного прохождения электронов
сквозь барьер. При наличии взаимодействия (6.156) уравнения движения для
фаз ф1 и ф2 и операторов числа электронов Л^и#2 имеют вид [формула (6.155)]
2	2
Ф1 = ^-Х1,
JV,=--TV2 = —|^-=2й-1а sin (<Р1-ф2+6)=	(6.157)
= 2/T'asin
350
Гл. 6. Вибрационные спектры
гд£ и Х2 — химические потенциалы двух сверхпроводников, а V— электро-
статическая разность потенциалов на барьере, которой определяется разность
химических потенциалов (—^7 = ^ — Х2). Уравнения (6.157) описывают ток
между сверхпроводниками, который обусловлен разностью фаз двух конденса-
тов и частота которого, следовательно, равна разности частот парных враще-
ний по обе стороны от барьера. Прецизионные измерения частоты переменного
тока в таком соединении сверхпроводников дали самое точное в настоящее
время значение отношения е к h [1113].
В случае сверхпроводящего тока в сверхпроводнике и в случае сверхте-
кучести в Не II мы имеем конденсат, фазовый угол <р которого меняется по
объему сверхтекучей системы. Такое изменение связано с изменением химиче-
ского потенциала в соответствии с каноническим уравнением [формула (6.149)]
V<p=^-VXB=-1 FB1	(6.158)
где Хв —химический потенциал бозона (ХВ = 2Х для сверхтекучей ферми-си-
стемы), a FB —сила, действующая на бозоны в конденсате. Как показывает
формула (6.158), (р представляет собой потенциал скоростей, соответствующий
потоку
V = —	V<p(r).	(6.159)
где Мв — масса бозона (для фермионных конденсатов МВ — 2М). В случае
систем заряженных частиц ток содержит дополнительный член, пропорциональ-
ный векторному потенциалу [формула (6.162)]. В однородной системе при ну-
левой температуре ток (6.159) описывает движение, представляющее собой
трансляцию всей жидкости в окрестности точки пространства г, что соответ-
ствует волновой функции, в которой все одночастичные состояния стационар-
ной жидкости умножены на ехр {—i (М/Мв} ср (г)}; следовательно, все бозоны
в конденсате приобретают одну и ту же фазу, зависящую от точки в прост-
ранстве.
При стационарном течении в системе с постоянной средней плотностью
уравнение непрерывности дает
V2(p(r)=0.	(6.160)
Решения уравнения (6.160) содержат либо токи, входящие в области сверхте-
кучести или выходящие из них, либо токи в многосвязной области, подобные
току в сверхпроводящем торе или току вокруг области, в которой сверхтеку-
честь исчезла (вихревое движение). Для многосвязных областей из условия
однозначности поля конденсата вытекает соотношение
(^V(pds = 2rcv, v = 0,	1, zt 2,	(6.161)
где интеграл берется по любому замкнутому контуру, целиком лежащему
в области сверхтекучести. Условие (6.161) соответствует квантованию цирку-
ляции фу-ds в единицах ti/MB [414, 899]. В токе с коллективным циркуля-
ционным числом v каждый бозон конденсата движется в состоянии со средним
угловым моментом vh\ таким образом, изменение v связано с одновременным
изменением состояния макроскопического числа частиц. Следовательно, кван-
товое число v отмечает различные термодинамические фазы сверхтекучей си-
стемы; высокую устойчивость сверхпроводящего тока можно рассматривать
как макроскопическую изомерию [167].
В случае сверхпроводников каждый бозон несет заряд -^.е и фаза кон-
денсата ср переходит в ср-±-(2e/fic) Л при изменении калибровки электромагнит-
ных потенциалов (стр. 346, примечание). Следовательно, калибровочно-инва-
ft 4. Правила сумм для мультипольной силы осциллятора 351
риантная скорость сверхпроводящего тока получается из формулы (6.159)
прибавлением члена, содержащего векторный потенциал:
«—1Ь-(«-йА)-	<6162’
В этой формуле можно также усмотреть каноническое соотношение MBv =
^.-р —(^5/с)А между скоростью и импульсом (для частицы с массой МВ = 2Л4
и зарядом ев = —2е). В стационарном случае у А обращается в нуль и по-
этому формула (6.160) остается справедливой. Условие для многосвязной области
(6.161) теперь имеет вид
(£ v ds — Ф = v,	(6.163)
j Me 2М	v
где Ф = ф А • ds — магнитный поток, охватываемый контуром интегрирования.
В сверхпроводниках, размеры которых велики по сравнению с глубиной про-
никновения магнитного поля, ток внутри равен нулю и формула (6.163) озна-
чает, что квантуется поток Ф [770]. Экспериментально наблюдающееся кван-
тование потока в единицах (hc/2e) [302, 329] прямо подтверждает вывод, что
сверхпроводимость связана с наличием конденсата бозонов, каждый из которых
несет две единицы заряда [229, 900].
Сверхтекучесть изложенного выше типа возможна в том случае, если ве-
личина ф(г) приблизительно постоянна в областях пространства с размерами
порядка длины корреляции в сверхтекучей фазе. Тогда волновые функции всех
эффективно взаимодействующих частиц умножаются на приблизительно одина-
ковый фазовый множитель и структура корреляции приблизительно не меняется.
Характерный размер, который называется длиной когерентности, в Не II ока-
зывается порядка межатомного расстояния а0; это следует из того, что крити-
ческая температура сравнима с энергией Я2/(Ма^), как для невзаимодействую-
щего бозе-газа. В ферми-системах длина когерентности £ —порядка простран-
ственного размера коррелированной пары, и поэтому величина £ определяется
интервалом импульсов др одночастичных состояний, которые дают вклад в кор-
реляцию:
(6.164)
др А
где Vp— скорость у поверхности Ферми, а А —половина энергетической щели,
образующейся благодаря спариванию частиц.
В случае ядер нельзя локализовать пары в пределах, меньших радиуса
ядра R. Всякая более существенная локализация потребовала бы использо-
вания пространства одночастичных состояний, которое охватывало бы много
оболочек. Такой локализации можно было бы достичь только в том случае,
если энергия связи пары была бы велика по сравнению с расстоянием между
основными оболочками [А >> /ко0; ср. также формулу (6.164) для когерентной
Длины, которая дает £ R (/?со0/А)]. Поэтому удивительные явления квантован-
ной сверхтекучести, по-видимому, не имеют прямого аналога в ядрах. Но та-
кие явления могут играть важную роль в динамике ядерной материи в нейт-
ронных звездах (см., например, [991]).
§ 4. ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ МУЛЬТИПОЛЬНОЙ СИЛЫ ОСЦИЛЛЯТОРА
При анализе спектров сложных систем часто приходится поль-
зоваться общими соотношениями, которые вытекают из алгебраи-
ческих соотношений между операторами и могут быть представлены
в виде правила сумм. В данном параграфе собраны воедино различ-
ные сведения о таких соотношениях, которые могут пригодитьа
при анализе коллективных возбуждений Если угодно, читател!
может перейти к следующим вопросам динамики коллективных воз?
буждений, а к материалу данного параграфа вернуться, когда эт(
понадобится для конкретных приложений. (Об осцилляторно!
сумме как единице для силы осциллятора см. § 4, п. 2.)	:
1. Классические осцилляторные суммы
Моменты, зависящие только от пространственных координап
Сила осциллятора, связанная с моментом F, равна вероятност]
перехода, умноженной на энергию возбуждения, а сумму сил осцил
ляторов [предполагая, что F — действительный (эрмитов) оператор'
можно представить в виде
5(Г)^2(£в-£о)|<«^1°>12= ^ <0|[Л [Н, F]]|0>.	(6.165
а	5
где через а обозначена полная система возбужденных состояний
в которые можно перевести ядро, действуя оператором F на началь
ное состояние 0.	
Если F — одночастичный	момент, зависящий только от прост
ранственных координат,	i
F =	(6.166)
k
и если взаимодействие не зависит явным образом от импульсов
частиц, то коммутатор в формуле (6.165) отличен от нуля лишь бла-
годаря члену кинетической энергии и мы получаем формулу
(6.167)
k
в которой осцилляторная сумма выражена через среднее значение
одночастичного оператора.
Классический пример такого правила сумм мы имеем в случае
дипольных возбуждений в атомах, для которых момент перехода
линеен по пространственной координате rk. При F = г сумма (6.167)
зависит лишь от числа частиц и их масс. В атомной физике обычно
определяют силу осциллятора перехода 0 -> а в виде

k
(6.168а)
27^г2/оа = ^^(^-£о)й(£1; О^а),	(6.1686)
§ 4. Правила сумм для мультиполъной силы осциллятора
353
где m— масса электрона; в формуле (6.1686) сила осциллятора,
усредненная по различным ориентациям начального состояния,
выражена через вероятность перехода В (Е1) Нормировка силы
осциллятора в формулах (6.168) означает, что сумма ^оа равна
числу электронов в атоме. Реакцию атома на осциллирующее
длинноволновое электрическое поле можно описать, рассматривая
атом как систему гармонических осцилляторов (виртуальных ос-
цилляторов) с массой т, с частотами, соответствующими частотам
поглощения = h'1 (Еа — Ео), которые наблюдаются в спектре,
и с зарядом, равным (/0а)1/2 е х)-
=	Ф)	(6.169)
осцилляторную сумму (6.167) можно вычислить, пользуясь форму-
лой для градиента [формула (3.82)]:
V/ (Г) Пц = (^н Г [(*+ 1)	1) M +
+(МтГ ~ ®(Yuie)	(6-170)
которая дает
<p)]vp«r;4l(e, ф)]>
Таким образом, получаем
S (F,v) X (EaI - Eo) В (FK- 0-+aI) =
al
2 (Еа1-Е0)\(а1М^т =
al M|i
=/° °\=
\	11, k	/
= ^^.4<(Я+м).+1)(Д!>. (6,|72)
4л 2M \\dr/	' ' ' \ r j / '	'	'
где В (FK\ 0 -> a) — приведенная вероятность перехода в случае
поля FK, а последний множитель в окончательном выражении пред-
ставляет собой среднее значение, отнесенное к одной частице, в ос-
новном состоянии системы А частиц, каждая с массой М. В фор-
*) Правило /-сумм в случае виртуальных осцилляторов сыграло важную
роль в развитии квантовой механики, так как оно было получено в резуль-
тате классического анализа реакции атома па высокочастотное внешнее поле
[ПО, 1118]. На основании принципа соответствия было предсказано, что эти
асимптотические соотношения будут иметь область применимости, выходящую
за рамки их классического вывода. С появлением матричной механики было
Доказано, что правило сумм прямо следует из соотношения коммутации р и q,
Как в выводе, изложенном выше [572].
12 О. Бор, Б. Моттельсон
354
Гл. 6. Вибрационные спектры
муле (6.171) суммирование по р подразумевает скалярную связь
двух мультипольных моментов; правила сумм, содержащие тензор-
ную связь матричных элементов, рассматриваются в § 4, п. 3.
Особое значение правила сумм с линейным энергетическим весом
следует из того, что эту сумму можно представить в виде среднего
значения одночастичного оператора, и поэтому она оказывается
малочувствительной к особенностям корреляций в начальном со-
стоянии. Суммы с другим энергетическим весом тоже можно выра-
зить через средние значения в начальном состоянии, но они будут,
вообще говоря, содержать двухчастичные и многочастичные опе-
раторы и, следовательно, будут гораздо более чувствительными
к корреляциям. Например, сумму вероятностей переходов можно
представить в виде
2 |<а | F10>|а = р* (г) р0 (г, г') F (г') dr dr' 4-
а
+ $Po(r)jF(r)|MT, (6.173)
где ро (г) — одночастичная плотность в начальном состоянии О,
а ро (г, г') — среднее значение функции двухчастичной плотности
[формула (2.33)]. Хотя эти более общие суммы трудно рассчитать
теоретически, их можно определить экспериментально по реакции
системы на внешнее возмущение (сечения рассеяния, поляризуе-
мость и др.). Например, статическую поляризуемость в случае
возмущения, пропорционального F, можно выразить через сумму
(Еа - Во)"1 I (а | F | 0> |2 [см. формулу (6.238)].
Зависящие от скорости компоненты нуклонного взаимодействия
указывают на необходимость введения поправок к осцилляторным
правилам сумм, полученным выше. Но галилеева инвариантность
означает, что взаимодействие коммутирует с изоскалярным диполь-
ным полем F х\ следовательно, поправки к правилу сумм зависят
от второй пространственной производной F и оказываются порядка
(£а)2, где а — радиус взаимодействия, a k — волновое число поля F
Даже в отсутствие зависящего от скорости нуклонного взаимо-
действия средний самосогласованный одночастичный потенциал
будет, вообще говоря, зависеть от скорости (см., например, об
эффективной массе, гл. 2, стр. 254). В этом случае одночастичные
возбуждения оболочечной модели приводят к осцилляторной сумме,
противоречащей тождествам (6.167) и (6.172) Однако эта ошибка
будет компенсироваться эффективным взаимодействием, которое не
включено в средний одночастичный потенциал. Вопрос о построе-
нии этих дополнительных членов в случае изоскал я рных диполь-
ных возбуждений рассматривается на стр 395, а в случае квадру-
польных — на стр 452.
Существование статического парного потенциала также нару-
шает галилееву инвариантность в обобщенном одночастичном дви-
§ 4. Правила сумм для мультипольной силы осциллятора 355
жении Дополнительное взаимодействие, которое требуется со-
гласно правилу сумм, рассматривается на стр 396 в связи с анали-
зом модели движения центра массы. (См. также о модели прину-
дительного вращения, стр 86.)
Подчеркнем, что полученные выше правила сумм основаны на предполо-
жении, что частицы можно трактовать как элементарные и поэтому можно
пренебрегать вкладом внутренних степеней свободы частиц. Хотя моменты пере-
ходов для возбуждения таких внутренних степеней свободы будут малыми, если
размер частиц мал по сравнению с размерами системы, большая частота таких
возбуждений может привести к существенному вкладу в осцилляторную сумму.
Это можно пояснить, взяв гипотетическую модель, в которой каждый электрон
атома состоит из двух сильно связанных частиц, каждая примерно с половиной
электронной массы. Если предположить, что одна из этих составляющих нейт-
ральна, а другая несет полный электронный заряд, то сумма для электрического
дипольного момента удвоилась бы благодаря высокочастотным внутренним
возбуждениям.
В ядре внутренняя структура нуклонов проявляется в спектре возбуж-
денных барионных состояний и в возможности рождения мезонов (см., напри-
мер, т. 1, стр. 63, фиг. 1.11, и т. 1, стр. 68, фиг. 1.12). При энергиях, соответ-
ствующих этим возбуждениям, следует ожидать существенного вклада в правила
сумм, который не описывается приближенной формулой (6.172); поэтому необ-
ходимо точно указать энергетический интервал, на который распространяется
сумма. С полным основанием правилами сумм в представленной выше форме
можно пользоваться лишь в том случае, когда сила осциллятора, связанная
с движением самих нуклонов, исчерпывается при энергиях возбуждения, кото-
рые лежат значительно ниже энергий, связанных с внутренними возбуждениями
нуклонов. Сила осциллятора для одночастичного движения в среднем потенциа-
ле, а также для известных или предполагаемых коллективных возбужений
действительно соответствует энергиям, гораздо меньшим энергии, отвечающей
барионным возбуждениям. При этом, однако, остается открытым вопрос о влия-
нии нуклонных корреляций очень малого радиуса на распределение силы
осциллятора (см. в этой связи § 4, п. 4).
Моменты Ек
Электрический мультипольный момент системы нуклонов
= (6Л74)
k
зависит от изобарической переменной. Поэтому наличие зарядово-
обменных компонент в нуклонных взаимодействиях может оказы-
вать влияние на осцилляторную сумму. В данном разделе мы рас-
смотрим правило сумм ЕХ, полученное с учетом лишь членов кине-
тической энергии в гамильтониане, исходя из формулы (6.165).
Найденные таким образом величины называются классическими
осцилляторными суммами S (ЕХ)класс. Влияние зарядово-обменных
взаимодействий будет рассмотрено в § 4, п 4
В классических правилах сумм, рассмотренных в настоящем
разделе, не учитывается также влияние взаимодействия, завися-
щего от скорости В то время как вследствие галилеевой инвари-
антности (стр. 353) это взаимодействие довольно слабо влияет на
12*
356
Гл. 6. Вибрационные спектры
правила сумм для изоскалярных моментов, правила сумм для изо-
векторных моментов (и моментов Е\) могут существенно измениться.
(О влиянии эффективного взаимодействия, зависящего от скорости,
на интенсивность перехода £1 при дипольном возбуждении см.
стр. 429 )
Электрическое дипольное правило сумм для возбуждений ядра
содержит оператор £1, отнесенный к центру масс; этот оператор
можно представить в виде [формула (3.164)]
Н) = е2[(^-^)'-Лф	(6.175)
k L
Тогда из формулы (6.172) получаем
5 (£ 1 )класс = 4л £	*2 = 14’8 ¥ ФеРМИ2 • МЭВ- <6-176)
Множитель N/А в формуле (6 176) появился вследствие того, что
были исключены степени свободы центра инерции. Сила осцилля-
тора, связанная с движением центра инерции, проявляется в виде
вклада в атомную осцилляторную сумму, причем он соответствует
отдаче ядра; поскольку вклад каждой частицы в осцилляторную
сумму пропорционален квадрату ее заряда и обратно пропорцио-
нален ее массе, вклад ядра в атомную /-сумму равен Z2 (ml AM).
Из формулы (6.1686) видно, что этот вклад соответствует вкладу
центра инерции, причем он исключен из осцилляторной суммы
(6.176) для внутренних возбуждений ядра.
В случае более высоких мультиполей предполагается, что по-
правка на движение центра массы по порядку величины составляет
7А~К (или меньше), и в дальнейшем она отбрасывается (см. о влия-
нии отдачи на моменты £2, т. 1, стр. 242). Из выражения (6.174)
для момента £Х и соотношения (6.172) мы, таким образом, получаем
s (£Х)класс = Х(2Х4+1 )2 ~ Ze* (г*-2>прот,	(6.177)
где последний множитель представляет собой радиальное среднее
для протонов в начальном состоянии.
Для переходов £0 момент в низшем порядке пропорционален
г2 [формула (3.149)1, и соответствующее правило сумм мы получаем
в виде [формула (6.167)]
S (£0) « (Еа - £0) I <а IШ (£0) 10>2 =
S (£0)класс, —* Д] (^2)прот*	(6.1 786)
§ 4. Правила сумм для мультипольной силы осциллятора 357
Момент Е\ равен сумме изоскалярной и изовекторной частей.
Для моментов (6.122) с т = 0 и т = 1 получаются соответствующие
классические осцилляторные суммы:
S (Т = о, %)класс = S (т = 1,	= 0, 1)класс = М2-4+^г ~ А (г^) ъ
№^5(ЕХ)класс, 1^2,	(6.179а)
S(r = 0, к) = ^(Еа1-Ей)В(х = 0, 1; 0-^aZ),
а/
$(т=1, щ = 0, %) =	(6.1796)
^2(Еа/-Е0)В(т=1, цт = 0, к, 0-+а1).
а/
В последней строке формулы (6.179) мы предположили, что для
протонов и нейтронов величина (г2Х"2) одинакова.
2, Сила осциллятора вибрационного перехода в единицах
правила сумм
Сферические ядра
Осцилляторные суммы представляют собой естественные еди-
ницы для измерения интенсивности коллективных возбуждений.
Так, для колебаний формы в сферическом ядре мы получаем [фор-
мулы (6.65) и (6.177)1
Й(о*В(Е%; Пх = 0->	1) =
= (21+ 1) (A Ze&f	S	(6.180)
где
£>МбеЗВ.) =	(6.181)
массовый параметр поверхностных колебаний капли жидкости
с безвихревым полем скоростей [формула (6.649)]. В формуле (6.180)
мы воспользовались приближенным выражением (6.64) для ради-
ального среднего в S (ЕХ), пренебрегая диффузностью поверхности
ядра.
Если предположить, что отношение плотностей протонов и нейт-
ронов при колебаниях остается приблизительно постоянным, то
возбуждения характеризуются значением т ^0 и
В(т = 0, 1)^(^)2В(£Х).	(6.182)
В этом случае соотношение (6.180) эквивалентно следующему выра-
жению для силы осциллятора вибрационного перехода с т = 0
358
Гл. 6. Вибрационные спектры
(формула (6.179)1:	1
= X; „K = 0->nx=l)^^g^S(T = 0( Х)класс. (6.183)1
Из представленных выше выражений (6.180) и (6.183) видно, что 1
отношение вибрационного массового коэффициента к массовому ]
коэффициенту, который связан с безвихревым течением жидкости, i
является мерой того, в какой степени данное возбуждение исчерпы- 1
вает правило сумм. Модель жидкой капли представляет собой пре- |
дельный случай, когда вся осцилляторная сумма с т = 0 концент-J
рируется на одном возбуждении поверхностных колебаний. (Важ-И
ное значение безвихревого течения жидкости в классической си-И
стеме связано с тем обстоятельством, что при заданной зависимости
плотности от времени это поле скоростей дает наименьшую кинети-1
ческую энергию [717].)
Благодаря оболочечной структуре интенсивность перехода дан-
ной мультипольности может быть распределена среди нескольких
возбуждений (стр. 449). Тогда каждое возбуждение содержит лишь
часть осцилляторной суммы, и массовый коэффициент оказывается
больше, чем в случае безвихревого течения жидкости. Для низко-
частотных колебаний формы измеренная сила осциллятора соста-
вляет не более 10% величины S (£Х)класс [см. фиг. 6.29 (X = 2)
и табл. 6.13 (X = 3)]. Основная часть силы осциллятора должна
быть связана с высокочастотными возбуждениями (стр. 468 и 494),
Оказалось, что в случае изовекторных дипольных переходов основ-
ная часть силы осциллятора концентрируется на одном возбужде-
нии, которое приблизительно исчерпывает классическое правило
сумм (фиг. 6.20). Аналогичное положение, по-видимому, имеет
место и для высокочастотных квадрупольных возбуждений. Как
показывает формула (6.3736), коллективный ток, связанный с этими
возбуждениями, соответствует безвихревому течению.
Несферические ядра
В деформированном ядре сила осциллятора коллективных воз-
буждений связана частично с вращательными, а частично с вибра-
ционными возбуждениями. Сила осциллятора вращательного пере-
хода Е2 для четно-четного ядра с аксиальной симметрией дается
выражением [формула (4.68)]
(Е2-Е0)В(Е2; Ко = О, /о = О->Ко = О, /0 = 2) =
= 7 4? e2Q« = I	i S С^2)класс> (6.184)
где момент инерции
Лбезв.) =4 XW62 = 3D2(6e3Bja	(6.185)
J 4 Правила сумм для мулътипольной силы осциллятора
359
связан с вращением в случае безвихревого течения жидкости. [См
формулы (6.684) и (6.181), а также соотношения (4 72), (4.73) и
(4 191) для параметров деформации 6 и |3; в формуле (6.185) мы пре-
небрегли поправками на диффузность поверхности ядра, а также
членами высшего порядка по р.]
В случае ядра с нечетным А (или, вообще говоря, в случае про-
извольного начального состояния /0) можно вычислить осцилля-
торную сумму для вращательных переходов с помощью двойного
коммутатора гамильтониана и мультипольного оператора, как при
выводе формулы (6.165). Предполагая, что в соотношениях для
интенсивностей переходов £2 можно ограничиться членами наи-
низшего порядка и что вращательные энергии пропорциональны
/ (/ 4 1), мы получаем тот же самый результат, что и в формуле
(6.184) [формулы (4.637), (1.132) и (1.184)]:
2 [Е (Ко/) - Е (Ко/о)] В (Е2; К01 о Ко!) =
I
__ 1
~ 2
вращ»
р
5
32л с
•^^/Ко/оМо
ЦО
ц
„ [I2, ^Щ)]] KqIqMq
1	Й2
-sVWr (6-186»
При квадрупольных колебаниях формы типа р и X (фиг 6.3)
из формулы (6.91) для четно-четного ядра следует
Й<о&В(£2; нэ = 0, / = 0->пэ=1, / = 2) = |	| S (Е2)класс,
П^В(Е2- nY = 0, / = 0^nY=l, / = 2) = |^^-’45(Е2)класс,
(Е2; п = 0, / = 0—> п = 0, / = 2) =
= 1%^’ 4 З^класе (6.187)
Для сравнения мы добавили выражение вращательной силы осцил-
лятора (6.184), а вращательный массовый коэффициент DBpaui при-
няли равным
/ = ЗРвращр2.	(6.188)
Множители 1/5, 2/5 и 2/б в формулах (6.187) учитывают то обстоя-
тельство, что из пяти квадрупольных степеней свободы одна свя-
зана с колебаниями типа Р, две — с колебаниями типа у и Две —
с вращением (фиг 6.3).
Для начальных состояний с (ЛоА?) =/= (00) величины (6.187)
получаются в результате суммирования по переходам в различные
состояния вибрационных полос. Для у-возбуждений в ядрах с
360
Г л. 6. Вибрационные спектры
Ло #= 0 каждая из полос с А Ко ± 2 вносит вклад, равный
половине того значения, которое дает формула (6.187).
В деформационных ядрах квадрупольная сила осциллятора
в нижней части спектра оказывается связанной в основном с вра-
щательными возбуждениями. Экспериментальные значения момен-
тов инерции примерно в 5 раз больше J (безв.) (фиг 4 12) Так,
сила осциллятора вращательных переходов составляет около 5%
величины S (£2)класс, что сравнимо с соответствующей величиной
для низкочастотного квадрупольного вибрационного возбуждения
в сферических ядрах (фиг 6.29). Сила осциллятора, составляющая
несколько процентов S (£2)класс, связана с наблюдаемыми низколе-
жащими квадрупольными возбуждениями vn = 0+ и 2+ в дефор-
мированных ядрах. Таким образом, эти возбуждения характери-
зуются массовыми коэффициентами, которые не только оказываются
большими по сравнению с их значениями для случая безвихревого
течения жидкости, но также в несколько раз превышают враща-
тельный массовый коэффициент (стр 487 и 486).
3. Тензорные суммы
Правила сумм, рассмотренные в § 4, п. 1, выражаются через
скалярные моменты в основном состоянии. Для системы с ани-
зотропным распределением плотности в начальном состоянии сила
осциллятора зависит от направления углового момента возбужде-
ния относительно его направления в начальном состоянии. Эту
зависимость можно выразить через правила сумм, содержащие
тензорную связь мультипольных моментов. Более общие правила
сумм такого типа пока что редко применяются для анализа экспе-
риментальных данных, но ниже мы рассмотрим некоторые примеры,
поясняющие характер этих соотношений. Последний пример в дая-'
ном разделе касается следствий асимметрии в изопространстве,
которая возникает благодаря избытку нейтронов.
Обобщенное скалярное правило сумм (6 172) получается путем
связывания двух мультипольных операторов, содержащихся в двой-
ном коммутаторе, в тензор ранга Хо Для изоскалярных моментов
имеем
[[<^(т = 0, X), Н], ^(т=0, %)](AA)W,=
= 7Г Щ7* Vft =
/г
I ,хГ(2Х + Хо+1)(2Х+Ло)(2Х-Хо)(2Х-Ло-1)1^Т.
= — (2Л + 1) -----------4n(2X„+l)----------"J x
A
X<X-lOl-lO|XoO)~ 2 (r2V2y^)ft.	(6.189)
6=1
§ 4 Правила сумм для мультипольной силы осциллятора 361
Как и в формуле (6 172), мы учли только вклад кинетической энер-
гии. При выводе окончательного выражения в формуле (6.189)
можно воспользоваться соотношением
= [X (214-1 )]*'•	(6.190)
которое является частным случаем формулы (6.170).
Матричный элемент коммутатора в формуле (6.189) можно вы-
числить по общей формуле для произведения тензорных операторов:
(ШГММ) =S(-l)?‘+^+x’(2Xo + 1)‘4^2M X
X {I^FKi\\aI){aI\\GKUi>, (6.191)
которая получается при суммировании по полной системе проме-
жуточных состояний, характеризующихся квантовыми числами al
и пересвязкой /ь (М^)^; /2(ЛХ2)/,	/2 [формулы (1.102)
и (1.112)1. Для среднего значения в состоянии /0 получаются фор-
мулы (6.189) и (6.191), если воспользоваться соотношением (1.172)
для эрмитова сопряжения приведенного матричного элемента,
а также симметрией сн = (—1)х мультипольного момента (X):
/i 11	\
£(Еа/-£о)В(т = О; X; /0->а/) Г, (-(1 + (- 1)*») =
а/	1'0'0' )
“-W+T>WFTr!(a + x"+1)<2’'+W<2’'-x<'> х
X (21 —1о—1)]1/г (1—1 0 1-10 1100) (4л)-’/‘ х
А
х	2(г2Х~2у^По>.	(6.192)
В частном случае, когда X = %0 = 2, правило сумм связывает
статический квадрупольный момент в состоянии /0 с силой осцилля-
тора квадрупольных переходов из этого состояния. Для вибра-
ционного спектра обе части равенства (6.192) равны нулю в гармо-
ническом приближении. Действительно, статический квадруполь-
ный момент равен нулю во всех состояниях (что соответствует пра-
вилу отбора Дп = ±1 для квадрупольного оператора, см. стр. 301);
нетрудно убедиться, что гармонические соотношения, выражаемые
формулой (6.66), обеспечивают равенство нулю левой части формулы
(6 192). [Это видно также из того, что в гармоническом прибли-
жении момент М (Хр) и его производные по времени являются
линейными функциями операторов (Хр) и с (Хр); таким образом,
двойной коммутатор является с-числом, которое обращается в нуль
при Хо =/= 0.1 Таким образом, правило сумм (6.192) связывает стати-
ческий квадрупольный момент в вибрационном состоянии /0 с ангар-
моническими эффектами в вибрационных переходах и с дополни-
362
Гл. 6. Вибрационные спектры
тельными квадрупольными переходами, приводящими к состояниям
вне вибрационного спектра.
В случае несферического ядра правую сторону тензорного пра-
вила сумм при X == Хо = 2 можно связать с внутренним квадруполь-
ным моментом. Так, при К = 0 и /0 = 2 мы получаем (4л)-1 (h2/M) X
X Qo И/Z), причем последний множитель появляется в связи
с тем, что правило сумм было написано для изоскалярного момента,
тогда как Qo представляет собой электрический момент. В левой
части переходы в пределах полосы дают величину (3/28л) (QA/Z) X
X	если исходить из вращательного правила интенсивно-
стей низшего порядка (4.68). Например, в случае ядра 166Ег (Qo «
«756 ферми2, А2/2/ « 13,4 кэВ, стр. 148) вращательные переходы
учитывают около 26% тензорной суммы. Переходы на у-вибрацион-
ную полосу, которые указаны на фиг. 4.30, стр 147 вносят вклад,
равный примерно —13% полной суммы. Таким образом, около 90%
суммы связано с переходами, которые еще не наблюдались; основ-
ной вклад в тензорное правило сумм должны, по-видимому, давать
высокочастотные квадрупольные возбуждения с К = 0, 1 и 2
(стр 484), как в случае скалярного правила сумм для квадруполь-
ной силы осциллятора.
Другой тип тензорных правил сумм, которые можно рассчитать
с помощью одночастичных операторов, получается, если рассмот-
реть коммутатор производных по времени двух мультипольных
моментов [331]. В случае квадрупольного момента и при Хо =-• 1
коммутатор можно выразить через орбитальный угловой момент:
[0^(т = О, % = 2), ®^(т = 0, V = 2)](miu=—(6.193)
Если взять среднее значение в состоянии /0, то путем таких же рас-
суждений, как и при выводе правила сумм (6.192), приходим к вы-
ражению
2(£а/~£о)2В(т = О, Х = 2; /0->а/) х
а/
X [/ (/4-1)-/о(/о+1)-6] =
в 150 2L / // . в (МЛЦ	/с ,
4л М* °	[/о(/о+1)(2/0+1)]*/2 ’	(6.194)
В случае низколежащих коллективных возбуждений в четно-четных
ядрах можно полагать, что полный угловой момент связан в основ-
ном с орбитальным движением:
</о IIL || /о> </о II /1| /о> = [/о (/о + 1) (2/о +1 )]*/«;	(6.195)
в этом случае последний множитель в формуле (6.194) близок к еди-
нице.
В применении к вибрационному спектру правило сумм (6.194),
подобно соотношению (6.192), выражает ограничение, наложенное
§ 4. Правила сумм для мультипольной силы осциллятора
363
на ангармоничность в спектре. (В случае гармонического спектра
левая часть формулы (6.194) обращается в нуль, стр. 361.)
В случае деформированного ядра переходы в пределах полосы
дают вклад (225/л) (Q0/l/Z)2 (й2/2/)2 при К = 0 и /0 = 2 в пред-
положении, что можно пользоваться соотношением интенсивностей
низшего порядка. В рассмотренном выше примере ядра 166Ег этот
вклад составляет около 36% тензорной суммы (6.194). Переходы
на у-вибрационную полосу дают малый отрицательный вклад,
около—2%; следовательно, как и в других правилах сумм с энер-
гетическим весом, основной вклад должен быть связан с (еще не
обнаруженными) высокочастотными переходами. [Вклады в сумму
(6.194) за счет полос, основанных на возбужденных состояниях, —
того же порядка малости, что и вращательные энергии и отклоне-
ния от правил интенсивностей низшего порядка, но даже малые
отклонения оказываются значимыми из-за большого энергетиче-
ского веса.]
Операторы (т == О, X = 2, р) вместе с угловым моментом
замыкаются при коммутации и образуют генераторы неком-
пактной группы Ли SL (3,7?) [331]; среди представлений этой группы
есть наборы состояний, образующих одну вращательную полосу,
как для аксиально-симметричного ядра, а также наборы, соответ-
ствующие степеням свободы асимметричного волчка [1159]. Пред-
положение о том, что состояния ядра содержат представления ука-
занной группы, означало бы, что правила сумм типа (6.194) исчер-
пывались бы в пределах одного представления. На опыте же наблю-
дается, что основная часть правила сумм связана с переходами
в состояния более высокой энергии; это означает, что углы коллек-
тивной ориентации, которые порождают наблюдаемые полосы, яв-
ляются более сложными функциями нуклонных переменных, чем
ориентация тензора массы и его производной по времени.
Основной вклад в правила сумм с энергетическим весом (6.192)
и (6.194) вносят высокочастотные возбуждения, но можно получить
правила сумм, в которые переходы малой энергии давали бы более
существенный вклад, если рассматривать мультипольные моменты,
а не их производные по времени. Так, коммутативность различных
тензорных компонент р мультипольного момента М (Хр), завися-
щего только от пространственных координат частиц, приводит
к соотношению [97] [формула (6.191)]
[I _ {- 1)Ч 2 PM <z8 II М (1) || а/) <а/ II М	|| Д) = о. (6.196)
а/ l/i/VJ
Для вибрационного спектра правило сумм (6.196) означает допол-
нительное ограничение на эффекты ангармоничности, сверх рас-
смотренных выше. В случае деформированного ядра соотношение
(6.196) для переходов в пределах одной вращательной полосы экви-
364
Гл. 6. Вибрационные спектры
валентно условию справедливости правил интенсивности низшего
порядка; таким образом, предположение о наличии сильных мульти-
польных переходов только между состояниями одной полосы озна-
чает существование вращательной схемы связи, о которой говори-
лось в гл. 4 [97, 674].
Благодаря избытку нейтронов возникает некоторый элемент
асимметрии в изобарическом пространстве. Асимметрию возбужде-
ний, индуцированных различными компонентами изовекторных
моментов, можно характеризовать правилами сумм с тензорной
структурой в изопространстве. Примером такого рода может слу-
жить соотношение коммутации
И(Т= 1, m = -l, X), е^(т=1, щ = + 1, Ш.)0 =
= 1=^(2%+!)’/> £ (* А.	(6.197)
k
которое приводит к правилу сумм:
£В(т=1, Ht = — 1. Ь 0->а/)-
а/
-2JB(T=1, |ЛТ = + 1, X; 0->а/) =
а/
= ^(2Х+ 1) (N АеЙТр-2 <Опрот). (6.198)
Разность интенсивностей переходов с = +1 и = —1 стано-
вится большой в тяжелых ядрах; так, в случае дипольного воз-
буждения интенсивность перехода с +1 почти равна нулю
для (3-стабильных ядер далее 2о8РЬ.
4. Зарядово-обменный вклад в осцилляторную сумму ЕХ
Зависимость электрических моментов от изобарических пере-
менных означает существование вклада в правила сумм ЕХ за счет
зарядово-обменных компонет нуклонных во взаимодействии нукло-
нов [749, 750]. Таким образом, изовекторное взаимодействие
^обмен(1, 2) = (тл) V (ш, г2<т2)	(6.199)
вносит вклад в осцилляторную сумму 5 (£Х), равный
6S (£%) = е2	/0 2 РРп № +	- 2r’pr}nPf. (cos 9pn)] х
X V (rpop, r„0„) |0>.	(6.200)
В формуле (6.200) суммирование производится только по парам,
состоящим из нейтрона и протона, причем Ррп представляет собой
оператор, обменивающий пространственные и спиновые переменные
нейтрона и протона [Ррп =4-1 для симметричной пары (Т 0)
§ 4. Правила сумм для мулътипольной силы осциллятора
365
и Ррп = —1 для антисимметричной пары (Т — 1)] Множитель
в квадратных скобках в формуле (6 200) равен (гр — г„)2 при X 1
и обращается в нуль при гр = гп в соответствии с тем. что данный
эффект исчезает, когда радиус, на котором происходит обмен заря-
женными мезонами, равен нулю. С физической точки зрения появ-
ление дополнительной силы осциллятора (6.200) можно объяснить
тем, что зарядово-обменные взаимодействия подразумевают пере-
дачу заряда без перемещения самих нуклонов и поэтому изменяют
эффективную массу носителей заряда.
При суммировании по парам рп в формуле (6.200) в результате
действия обменного оператора Ррп происходят многочисленные
взаимные уничтожения. На расстояниях, малых по сравнению
с фермиевской длиной волны, относительно орбитальное движение
симметрично, а больший статистический вес состояний с S — 1 по
сравнению с их весом при S = 0 означает преобладание пар с Т = 0
(Ррп= 4*1)’ Но на расстояниях, намного превышающих фермиев-
скую длину волны, число симметричных и антисимметричных пар
становится приблизительно одинаковым (см., например, о двух-
частичной корреляционной функции для ферми-газа, гл. 2, § 1, п. 8).
Изовекторную компоненту среднего статического потенциала
ядра можно также представить в виде эффективного потенциала
двухчастичного взаимодействия [формула (2.29)]:
Vo6MeH = (Tl-Ts)^-.	(6.201)
В случае такого взаимодействия с разделяющимися переменными
обменный вклад (6.200) в дипольную сумму можно довольно легко
вычислить в приближении независимых частиц для состояния | 0).
Так, в случае монопольного взаимодействия (6.201) члены гр и гп
в формуле (6.200) дают вклад только тогда, когда нейтрон и протон
занимают одну и ту же орбиту, а член 2гр-гп дает вклад лишь
при условии, что частицы занимают разные орбиты. Взаимное
уничтожение этих двух членов означает, что величину 6S можно
выразить через матричные элементы переходов между занятыми
и незанятыми орбитами.
2 ^lrl< (6.202а)
Vi заполн.
v2 незаполн.

(6.2026)
6S(£1) = ^2B(£1;
а/
(6.202в)
где через v обозначены квантовые числа одночастичных состояний,
к которым относится и квантовое число mt\ предполагается, что
366
Гл. 6. Вибрационные спектры
N Z Поскольку сила осциллятора перехода £1 в основном кон-
центрируется в энергетической области, соответствующей расстоя-
нию между оболочками (ДЕ ~	~ 41Л“1/я Мэв), отношение об-
менного вклада (6.202) к полной дипольной сумме (6.176) равно
примерно А~г/з Формулу (6.202в) можно было бы также вывести,
исходя из того, что взаимодействие (6.201), просуммированное по
всем частицам, равняется 1/2V1A~1T (Т + 1). Такое взаимодействие
не оказывает никакого влияния на волновые функции и просто
увеличивает энергию изовекторного возбуждения (Т = 0-> Т = 1)
на величину в соответствии с формулой (6.202в).
Влияние изовекторного дипольного поля, играющего важную
роль при определении коллективных характеристик дипольного
возбуждения (стр. 427), можно рассмотреть подобно случаю моно-
польного взаимодействия (см. выше), что снова дает лишь малую
поправку к правилу сумм относительного порядка Л"2/*. То же самое
имеет место для зарядово-обменных компонент зависящего от ско-
рости изовекторного дипольного поля, рассмотренного на стр. 429.
(Эти результаты могут показаться странными, если учесть большое
влияние изовекторного дипольного взаимодействия на частоту ди-
польного возбуждения; но на самом деле этот коллективный эффект
обусловлен компонентой дипольного взаимодействия с = 0,
которая коммутирует с моментом Е1.)
Более существенный обменный вклад в осцилляторные правила
сумм может возникнуть благодаря влиянию короткодействующего
нуклонного взаимодействия типа (6.199). Этот вклад можно при-
ближенно оценить, используя волновые функции модели ферми-
газа [750]. Предполагая N = Z и одинаковое заполнение состояний
со спином вверх и вниз, вклад в дипольную сумму можно выра-
зить в виде
6S (Е1) = -g- АРо J [Vx (г) + 3 Vax (г)] r2C2 (kFr) dx, (6.203)
где С2 (kFr} — двухчастичная корреляционная функция (т. 1, гл. 2,
п 8); для пары нейтрон—протон двухчастичная плотность равна
рл рР (1 + лС2), где л — четность в относительном движении, а
рп = рр = 1/2 Ро- Пара пр имеет Т = 0 и Т — 1 с одинаковыми
весами, а исходя из статистического веса 2S + 1 спиновых кана-
лов можно получить относительный вес значений л — ±1. Обмен-
ные компоненты Vx и Vox центральных сил связаны с (S, ^-пара-
метризацией двухчастичного взаимодействия формулой (1.88); вклад
нецентральных сил учитывают в рассматриваемом приближении.
Величина (6.203) равна нулю, когда радиус действия сил стремится
к нулю, а также становится малой при очень большом радиусе
взаимодействия, ибо величина С2 стремится к нулю, как
(А/гг)"4. Указанное быстрое убывание функции С2 (kfr) является
§ 4. Правила сумм для мультипольной силы осциллятора 367
причиной малости обменного вклада, полученного за счет взаимо-
действия (6.201), рассмотренного выше.
В случае двухчастичного взаимодействия, представленного на
фиг. 2.35 (взаимодействие Хамады—Джонстона), вычисление вели-
чины (6.203) путем интегрирования от радиуса жесткой сердцевины с
дает 6S (£1) » 0,45 (£1)оасс. Едва ли нужно говорить, что такая
оценка носит лишь качественный характер. С одной стороны, взаимо-
действие сильно изменяет относительное движение нуклонов на
малых расстояниях. С другой стороны, дополнительный вклад
в 6S (£1) может возникнуть за счет тензорных сил, которые не ока-
зывают никакого влияния в приближении ферми-газа. Кроме того,
не вполне ясна структура взаимодействия, а также оператора £1
при очень малых расстояниях между нуклонами. Наконец, необхо-
димо подчеркнуть, что данный анализ основан на модели, в кото-
рой предполагается полное разделение нуклонных и мезонных сте-
пеней свободы Такая модель вряд ли будет адекватно описывать
силу осциллятора при энергиях возбуждения, сравнимых с энер-
гией, характеризующей внутренние степени свободы нуклонов.
Правило сумм £1 с учетом вклада за счет зарядово-обменного
и зависящего от скорости взаимодействия относится к полной ос-
цилляторной сумме, которая связана со всеми типами возбуждений,
возникающих за счет нуклонных степеней свободы. Отдельно стоит
вопрос о распределении силы осциллятора по частоте и, в частности,
проблема силы осциллятора, связанной с гигантским резонансом
£1 при фотопоглощении. В последнем случае силу осциллятора
можно связать с зависимостью от скорости эффективного взаимо-
действия между частицами на орбитах вблизи уровня Ферми
(стр. 428) Но связь этого эффективного взаимодействия с исход-
ными силами, действующими между нуклонами, плохо изучена.
Поскольку зарядово-обменный вклад в дипольное правило сумм можно
приписать степеням свободы заряженных мезонов, возникает вопрос о соотно-
шении между этим вкладом и сечениями фотомезонных процессов. Дипольную
осцилляторную сумму можно выразить через интеграл от сечения фотопогло-
щения [формула (6.310)]; поэтому можно попытаться найти искомую связь из
дисперсионного соотношения, которое связывало бы амплитуду рассеяния впе-
ред при нулевой частоте с полным сечением, проинтегрированным по всем
энергиям [476]. Полное ядерное сечение фотопоглощения, проинтегрированное
по всем энергиям, расходится; было высказано предположение, что можно
получить сходящийся интеграл, если рассмотреть разность — Zop— Non меж-
ду ядерным сечением и сечениями отдельных нуклонов (ар и oj. Но наличие
существенных эффектов когерентности при ядерном фотопоглощении, которые
простираются до очень высоких энергий (стр. 426), означает, что в указанную
разность дает вклад область энергий вплоть до 20 ГэВ; для тяжелых ядер
эта энергия более чем на порядок величины превышает энергию, дающую су-
щественный вклад в классическую дипольную сумму. Таким образом, указан-
ная выше разность, по-видимому, расходится, во всяком случае она не позво-
ляет установить связь между зарядово-обменным вкладом в ядерный фотоэф-
фект и фотомезонными процессами.
368
Гл. 6. Вибрационные спектры
§ 5. СВЯЗЬ ЧАСТИЦЫ С КОЛЕБАНИЕМ
Изменение среднего потенциала ядра, вызванное коллективными
колебаниями, приводит к появлению связи между колебательными
степенями свободы и степенями свободы отдельных частиц. В дан-
ном параграфе мы рассмотрим различные эффекты, обусловленные
наличием такой связи, например перенормировку свойств частиц
и вибрационных квантов и эффективные взаимодействия между
этими элементарными возбуждениями. Подобный анализ также
естественным образом приводит к самосогласованному описанию
колебаний посредством степеней свободы частиц и, следовательно,
обобщает схематическое рассмотрение, представленное в § 2, п. 3.
Взаимодействие частицы с колебанием в ядре аналогично допол-
нительным потенциалам, которые применяются для анализа разно-
образных атомных систем (электрон-фононное взаимодействие в ме-
таллах [925], взаимодействие частицы с фононом в смеси 3Не — 4Не
[72]). В случае систем взаимодействующих фермионов, таких, как
электронный газ в металлах, жидкий 3Не и ядерная материя, эле-
ментарные типы возбуждений можно рассматривать на основе
теории ферми-жидкости, развитой Ландау (см., например, [926]).
При такой формулировке теория оперирует феноменологическим
эффективным взаимодействием между квазичастицами, из которого
можно вывести взаимодействие между частицами и коллективными
возбуждениями. Опираясь на понятия, лежащие в основе теории
ферми-жидкости, Мигдал [829] разработал описание динамики ядра.
1.	Матричные элементы взаимодействия
В низшем порядке взаимодействие частицы с колебанием линейно
по амплитуде колебаний а В случае возбуждения с действительной
(эрмитовой) амплитудой взаимодействие можно выразить в виде
[формула (6.18)]
H' = uaF.	(6.204)
О структуре одночастичного поля F и о константе связи х для
различных типов возбуждения ядра говорится в § 3.
Взаимодействие (6.204) вызывает рассеяние частицы с испуска-
нием или поглощением кванта, и матричный элемент для этих про-
цессов дается выражением [формулы (6.16) и (6.1)1
<v2, n+l\H'\vlf ft) = ха0 (ft + 1)1/г (v21F |	(6.205)
где через и v2 обозначены состояния частицы, а через а0 —
амплитуда нулевых колебаний. [В формуле (6.205) матричные эле-
менты а (и F) предполагаются действительными; см замечание
на стр. 288.] Взаимодействие (6.204) вызывает также процессы,
§ 5. Связь частицы с колебанием
369
при которых поле рождает или уничтожает пару частица—дырка:
п = 0 । Н' п = 1) = (vf'va, n=l FT п = 0) =
= ха0 <Vj’lv2 \F 0) =ха0 <v21 F j Vi).	(6.206)
В последнем случае мы воспользовались соотношением (3.105)
(см. также диаграммы на фиг. 3.7, т. 1, стр. 361). [Матричные эле-
менты (6.205) и (6.206) относятся к полям с числом переданных
частиц а = 0; для спаривательных полей соответствующие матрич-
ные элементы связаны с рождением или уничтожением двух частиц;
см. взаимодействие (6.148).]
В ядрах с большим числом частиц вне замкнутых оболочек
влияние парных корреляций на матричные элементы взаимодей-
ствия можно учесть, если выразить поле F через квазичастичные
переменные [формула (6.610)]:
(v=l, v2; n = l 1 77' | v = 1, vi;=0> =
= ха0 (uxw2 + cv^) (v21F | v^,	(6.207a)
(v = 2, ViV2; n = 0 | FT | v = 0; n= 1) =
= xa0 (t>iU2 — си^2) (v21 F | vx>, (6.2076)
где c — фазовый множитель, равный —1 в случае полей, не зави-
сящих от спина и скорости, и 1 в случае полей, которые линейным
образом зависят от спина и скорости. Дополнительный множитель,
следующий из парных корреляций, можно рассматривать как
результат интерполяции между одночастичными конфигурациями
(и = 1, v = 0) и конфигурациями с одной дыркой (п = 0, v == 1)
В сферическом ядре взаимодействие содержит скалярное про-
изведение тензоров и F^ [формула (6.68) для колебаний формы]1):
(г) У, Иц (6, <р) а,.и =
= (- 1)^ (2Х + l)1^ (Г) (У;аД0,	(6.208)
гДе г, б, ср — сферические координаты частицы. Матричный элемент
взаимодействия (6.208) при рассеянии частицы с возбуждением
кванта дается выражением [формулы (1 165), (3.244) и (6.51)]
h(jt, = nx=l; / = /!,	=
= (_ ])/.-/, (2/, + 1)-*/» (2X+ 1)-*/. x
x (/AW) <«>.=	= =	X
X //4 xo | /2</21 (r) I /Д (6.209)
l) Вопрос о влиянии этого взаимодействия на смешивание частичных
и колебательных степеней свободы рассматривался в работах [155, 428] (см
тзкже литературу, цитируемую в примечании на стр. 314).
370
Г л. 6. Вибрационные спектры
причем в силу правила отбора по четности величина + X — /2
должна быть четной Матричный элемент (6.209) подчиняется соот-
ношению симметрии
h (Л, М) = (-	h (j2,	(6.210)
Для процессов, связанных с рождением пары частица—дырка,
мы получаем матричные элементы [формула (3.111)]
((/Г'Л)	I # W = 0 = - (1х$тУА h (Л, /А),	(6.211)
пх= 1; 7 = 0|Я'|0> = -(2/1+1)1/^(/1, М)-
Увеличение этих матричных элементов в (2/\ + 1)1/2 раз по срав-
нению с матричным элементом (6.209) объясняется тем, что взаимо-
действие с полем колебаний может возбуждать каждую из (2/\ + 1)
частиц в заполненной оболочке Диаграммы, представленные на
фиг 6.7, поясняют основные матричные элементы первого порядка
(6.209) и (6.211).
Когда /\ и /2 больше X или того же порядка величины, коэффи-
циент векторного сложения (//АЛО | ///^ в матричном элементе
взаимодействия (6.209) подчиняется приближенному правилу от-
бора, которое сильно подавляет переходы переворотом спина
(/\ = lx ± % -> /2 = /2 ± V2) по сравнению с переходами, в кото-
рых сохраняется относительная ориентация спина и орбиты. Это
правило отбора, имеющее простое квазиклассическое объяснение,
следует из предположения о том, что поле колебаний действует
только на пространственные координаты частицы; поэтому для малых
матричных элементов с поворотом спина могут быть существенными
возможные компоненты поля колебаний, зависящие от спина (§ 3,
п. 5).
Безразмерный параметр, которым можно характеризовать ин-
тенсивность взаимодействия частицы с колебанием, получается
делением обычного матричного элемента взаимодействия на
Так, в случае колебаний формы мы используем параметр [формула
(6.209)]
f __( + 1 у/2 (	У/2 (^х)	/с 9 1 q\
16л У \2СК) М •	(6.212)
При таком определении Д мы приняли, что коэффициент вектор-
ного сложения равен г/2, типичному значению для переходов без
переворота спина. (В случае X = 2 коэффициент (/1/220 | j1/2) при
больших / имеет асимптотическое значение г/2.)
Приближенное выражение (6.69) для формфактора kK (г) в слу-
чае колебаний формы приводит к радиальным матричным элемен-
там взаимодействия
</2 I Ъ. (Г) |	//21 Ко |/?>.	(6.2 13)
$ 5. Связь частицы с колебанием	371
Для состояний, лежащих вблизи поверхности Ферми, радиальные
волновые функции в области, прилегающей к поверхности ядра,
представляют собой величины порядка R~3/* [формула (3.22)1
Поэтому для матричных элементов (6.213) получаются значения
около 50 МэВ
Как показывает анализ типичных примеров, параметр Д для
высокочастотных возбуждений всегда мал по сравнению с единицей
+0'/2 hQft^X)
Фиг 6.7 Диаграммы, поясняющие в первом приближении взаимодействие
между частицей и колебанием.
Фазовые соотношения соответствуют взаимодействию с колебаниями формы.
так как СЛ~Л, а (ох ~ Л‘1/з [формулы (6.367) и
(6.369)]; заметим, что амплитуды, использованные в формулах
(6.208) и (6.365), различаются множителем порядка Л/?2, который
пропорционален Л5/з) Для низкочастотных колебаний формы
параметр /3 лежит в основном в интервале 0,1 — 0,5, тогда как f2
сильно зависит от оболочечной структуры и может быть больше
единицы В тех случаях, когда 1, взаимодействие можно
учитывать методом теории возмущений; правда, большие значения
константы /2 для низкочастотного квадрупольного возбуждения
говорят о наличии сильной взаимосвязи между частичными и виб-
рационными степенями свободы. При /2	1 частица вызывает
статическую деформацию формы, большую по сравнению с ампли-
372	Гл. 6 Вибрационные спектры
тудами нулевых колебаний; связанную систему можно рассматри-
вать, разделяя вращательные и внутренние степени свободы. [Для
низкочастотного квадрупольного возбуждения экспериментальные
значения частот собраны нафиг 2.17 (т 1, стр 194), а коэффициентов
жесткости — на фиг 6.28 В табл. 6.14 даны примеры значений
амплитуд нулевых колебаний для октупольной вибрации.]
2.	Эффективные моменты
Поскольку с вибрационными возбуждениями связаны большие
моменты, взаимодействие частицы с колебаниями вызывает важные
изменения в эффективных одночастичных моментах. Вследствие
взаимодействия одночастичные состояния одеваются облаком кван-
тов. В первом порядке по взаимодействию одетое (или перенорми-
рованное) состояние Vj дается выражением
п=|>' <6-214>
где ДЕ21 — одночастичная энергия возбуждения [равная е (v2) —
— f (vj в отсутствие парной корреляции]. Если мы рассмотрим
матричные элементы оператора F между одетыми одночастичными
состояниями, то включение вибрационного момента приводит к про-
стой перенормировке момента перехода
<v21 F | vx> = <v21F | vj> = (1 + xr) <v21F | V1>,	(6.215)
где Xf—коэффициент вида [формула (6.28)]
— 2xa° (Йсо)2—(ДЕг1)2 = ~ С (Йсо)2-(Д£,1)2 •	(6.216)
Тот же самый результат справедлив для матричных элементов F
в случае рождения пары частица—дырка, а также для матричных
элементов, содержащих квазичастицы. Перенормировка одночастич-
ных моментов поясняется диаграммами, представленными на фиг. 6.8.
Отношение Xf индуцированного момента к моменту отдельной
частицы называется коэффициентом поляризуемости. К моментам,
которые пропорциональны взаимодействию через поле, применима
простая формула (6.216) Вообще говоря, в коэффициент поляризуе-
мости входит отношение одночастичных матричных элементов взаи-
модействия через поле к моменту, и поэтому он может более явным
образом зависеть от соответствующих одночастичных состояний
[см., например, формулу (6.218)1.
В случае низкочастотных переходов (|ДЕ|<;/цо) поляри-
зуемость (6.216) приближается к статическому пределу, когда
ядерная деформация а следует за мгновенным значением момента
частицы Fp:
a=^—'cFp>	(6.217)
§ 5 Связь частицы с колебанием
373
что соответствует минимуму потенциальной энергии 1/2Са2 -j- naFp
Величина хг в статическом пределе оказывается порядка безраз-
мерной константы связи /, умноженной на отношение коллектив-
ного и одночастичного моментов перехода F, и поэтому может быть
порядка единицы или больше единицы даже при малых значениях f
(В случае высокочастотных колебаний формы константа f по порядку
величины равна Л’1/з, тогда как коллективный момент — порядка
А1' в одночастичных единицах; поэтому % оказывается порядка
единицы.)
Знак величины хл (ДЕ = 0) противоположен знаку х, поскольку
в случае притягивающего взаимодействия (х<0) поляризацш!
а	<7
Фиг. 6.8. Перенормировка одно частичного момента за счет взаимодействия
частицы с колебанием.
1й» момент; б — поляризационный эффект.
действует в фазе с одночастичным моментом, а при отталкивающем
взаимодействии (х > 0) она действует в противофазе (экранировка
одночастичного момента). Подобно известному случаю классических
вынужденных колебаний индуцированный момент меняет знак
относительно движущей силы при таких частотах, когда | ДЕ | > /гео.
IB § 2, п. 3, рассмотрена модель, в которой коллективное движение
представляет собой когерентную суперпозицию вырожденных воз-
буждений частиц с невозмущенными частотами со(0); как явствует
из формулы (6.216), а также из формул (6.26) и (6.27а), для такой
модели х/г (ДЕ21 = 4со (0)) = —1 (полное экранирование); это соот-
ветствует тому, что вся интенсивность перехода для поля F скон-
центрирована на коллективном возбуждении.]
Для электрических мультипольных моментов коэффициент поля-
ризуемости обычно выражается через поляризационный заряд
(гл. 3, § 3, п. 1). Поляризационный заряд, обусловленный взаимо-
действием с колебаниями формы (т »0), содержит отношение мат-
ричных элементов взаимодействия —kK	к матричным
элементам мультипольного момента rxY^', точно так же, как и при
выводе формулы (6.216), мы получаем [пользуясь формулой (6.63)
для нормировки амплитуды колебаний формы!
(р ч _ (hl^.WI/i) 3 ZeR'-
^полД,т-0- </2 Л /]} 4л С} (Й(ох)2_(Д£21)2 -
— 8л	0~>к) </2 fr.(r) I/1)	(Й<ох)2 /А 91й\
3(2Х+1) Ze/?Mo)X </2| Д|Л) (Й<ох)*-(ДЕ21)2 •
Во второй строке формулы (6.218) мы, пользуясь формулой (6.65),
выразили коэффициент жесткости С% через частоту колебаний и
вероятность перехода. [Для ядер с N > Z наличие изовекторной
компоненты у величины (г) означает, что поляризационный за-
ряд (6.218), который приближенно можно считать изоскаляром,
содержит малую изовекторную часть, стр. 454.]
Изовекторные возбуждения добавляют к эффективному заряду
компоненту ст = 1. В случае взаимодействия, которое описывается
формулами (6.124) и (6.121), содержащими радиальный формфактоп
Д (г), мы получаем [используя формулы (6.122) и (6.123) для электри!
ческого мультипольного момента]	1
(е к - / eV1 </2lfx(/)l/i>	(^х)2 С f ( х U2 dr
(полЪ-1-1 “ г 4рос?.	I /!>	(йШх)2-(Д£21)2 ] h (/•) Г dr.
(6.219|
В случае электрических дипольных переходов основной поляри-
зационный эффект связан с высокочастотным изовекторным воз-
буждением. Отталкивающее взаимодействие в этом возбуждении
приводит к уменьшению низкочастотных одночастичных моментов
перехода Е1 примерно в 3 раза; это, по-видимому, не противоречит
предварительным экспериментальным данным (стр. 432; соответ*
ствующие данные для зарядово-обменного дипольного момента
рассматриваются на стр. 444).
В случае переходов Е2 изоскалярный поляризационный эффект
сильно зависит от оболочечной структуры. Для ядер с дважды
замкнутыми оболочками вклад дает лишь высокочастотное возбуж-
дение и поляризационные заряды — порядка единицы (табл. 6.9).
Для ядер с частицами в незаполненных оболочках основной вклад
дают низкочастотные колебания формы с большой амплитудой, а
теоретические и экспериментальные значения эффективного заряда
колеблются в пределах от 5 до 20 (табл. 6.10, стр. 471, и фиг. 6.28,
стр. 467). Очень большие значения еэфф отражают близость сфери-
ческой формы к неустойчивости (стр. 460). Можно полагать, что
изовекторные поляризационные заряды Е2 связаны в основном
с высокочастотным коллективным возбуждением, которое, как по-
казывают приближенные оценки, уменьшает изовекторный заряд
примерно вдвое [формула (6.382)]. Предварительные данные при-
ведены в табл. 6.9.
В случае моментов £3 можно полагать, что основной поляриза-
ционный эффект возникает за счет колебаний формы довольно низ-
§ 5. Съязъ частицы с колебанием
375
кой частоты Приближенные оценки вклада этих колебаний в об-
ласти 208РЬ дают значения епол порядка Бе, что согласуется с имею-
щимися данными (табл 6.15, стр. 497) (О вычислении поляриза-
ционного заряда для переходов £4 см работу 1543] )
Общее выражение (6.216) для коэффициента поляризуемости
можно также применить к зависящим от спина полям, которые
связаны с перенормировкой моментов Ml (т. 1, стр. 326, и т. 2,
стр. 264). О связи между (^)эфф и возбуждением с Хл = 1 + , т = 1,
= 0 говорится в примере на стр 558.
Коэффициенты поляризуемости, рассмотренные выше, характе-
ризуют реакцию ядра на силу, действующую со стороны добавочной
частицы; те же самые коэффициенты можно использовать в случае
внешнего поля, пропорционального F (стр. 387). Поэтому коэффи-
циент поляризуемости можно определить по реакции на внешние
воздействия, например при рассеянии заряженных частиц, и по
сдвигам уровней в экзотических атомах Формула (6.292) описы-
вает потенциал взаимодействия, возникающий за счет статической
поляризуемости; эта формула содержит скалярный член, а также
тензорную компоненту, которая приводит к процессам неупругого
рассеяния.
3.	Матричные элементы передачи одной частицы
Процессы передачи одной частицы дают возможность прямо
измерять малые примесные амплитуды, обусловленные связью
частицы с колебанием. Так, смешивание состояния частицы Д
с однофононным состоянием (Д, пк = 1) при / = Д означает, что
последнее состояние можно заселить путем передачи одной частицы,
если исходить из конфигурации замкнутой оболочки [формулы
(6.209) и (6.214)]:
(/„ „х_|; / = /„ M-m,|^(№)|0>~	(6.220)
Здесь	— перенормированный оператор, матричные эле-
менты которого между невозмущенными состояниями учитывают
взаимодействие частицы с колебанием [формула (6,215)]. Пример
процесса передачи, содержащего взаимодействие с октупольным
возбуждением в ядре 209Bi, рассматривается на стр. 504.
В случае уровней jlt лежащих ниже поверхности Ферми [в (Д) <
<₽р], подобный эффект обусловлен матричным элементом (6.211),
который примешивает конфигурацию (/Г1^)^	= 1; / = 0 к ос-
новному состоянию:
<6-22»
/1/2
гДе разность е (/2) — е (/,) есть энергия, связанная с образованием
конфигурации частица—дырка (ji'/a) Соответствующий вклад в мат-
376
Гл. 6. Вибрационные спектры
ричный элемент передачи здесь тоже дается формулой (6.220).
[При выводе этого результата можно воспользоваться соотноше-
нием (1.115) вместе с частично-дырочным преобразованием (3 7).]
Следовательно, мы могли бы также получить этот результат, пре-
небрегая наличием частиц в замкнутых оболочках. Диаграммы,
представленные на фиг 6.9, поясняют тесную связь между обоими
вкладами в матричные элементы передачи при е (Д) > и при
8 (/1) < 8Л
В случае систем с парной корреляцией в матричный элемент
передачи, связанный с одноквазичастичным состоянием Д, вносят
вклад обе диаграммы фиг. 6.9; вклад первой диаграммы умножается
на величину и (Д) [формула (6.599)1, помимо множителя и =
= си (Д)о (Д), который связан с вершинной частью, соответствующей
рассеянию [формула (6.207а)]; вклад второй диаграммы приобре-
тает множитель v (Д), помимо множителя v (jju (Д) — си (Д)у (Д)
для вершины, соответствующей рождению пары [формула (6.2076)].
Кроме того, в энергетических знаменателях одночастичные энергии
заменяются квазичастичными.
Передача одной частицы, происходящая на ядре с нечетным А
(v — 1, п = 0) и ведущая к вибрационному возбуждению (v = 0,
п = 1), описывается диаграммами, подобными тем, которые пред-
ставлены на фиг. 6.9; они дают меру вклада конфигураций инди-
видуальных частиц в колебание (стр 472).
4.	Взаимодействие частицы с фононом
Во втором порядке связь частицы с колебанием генерирует эф-
фективное взаимодействие между частицей и фононом, которое сни-
мает вырождение мультиплета (/Д)/, образованного суперпозицией
частицы и вибрационного кванта. Во взаимодействии частицы с фо-
ноном имеются четыре члена, соответствующие разным типам про-
межуточных состояний (диаграммы а — г на фиг. 6.10):
V =	4- ]Л6) + Рв) 4- Рг\	(6.222)
Фиг. 6.10. Диаграммы для взаимодействия частицы с фононом.
Несвязанная диа1рамма д соответствует члену собственной энергии частицы, который не
должен входить во взаимодействие частицы с фононом.
378	Гл 6 Вибрационные спектры	.1
энергети-
(6.223а-
(6.2236)
Чтобы выяснить структуру разных членов в формуле (6.222),
мы сначала пренебрежем связью угловых моментов и обозначим
состояния частицы (или дырки) через 1 (=	2 и т. д., а вибра-
ционные кванты через у (= Хр), у' и т. д. Таким образом, четыре
члена взаимодействия второго порядка, ведущие из начального
состояния 1у в конечное состояние 1'у', содержат следующие произ-
ведения матричных элементов первого порядка (помимо
ческого знаменателя):
<lV|fl'|2> <2|/7'|1у>,
<	1Y I Н' I 2-4 Vly> <2'4'уЧ? | Н' 11у> =
= - <1YIН' 124у1 Y> <2'4'y'ly I Н' I 1у> =
= - <01 Н' 12-4у> <2- 4 Y I И' 10> =
= —<1'у'|/7'|2> <2| Н'\ 1у>,
<	1Y IН' 12у'у> <2?'т I Н' | 1Y = <1Y I H' 12-|Y> <2y'y | H' | ly> =
= <l'|/7'|2y><2y'|/7'| 1>,	(6.223b)
<	1Y I A'I 1 2-4') <1 2~4'|/У'|1Т) =
= —<lY|fl'| i'2-1 1><1 2-4' I /7'| ly) =
= -<T'|Z7'|2-’ 1> <2-i	=
= -<1'|/7'|2у><2у'|Я'|1>.	(6.223г)
В промежуточных состояниях мы переставили частицы (и дырки)
с квантами, учитывая, что состояния симметричны относительно
перестановки бозонов и антисимметричны по фермионам. В выра-
жениях для матричных элементов (6.2236) и (6.223г) мы использо-
вали кроссинг-симметрию, при которой дырку 2'1 в конечном (или
начальном) состоянии можно заменить состоянием частицы 2 в на-
чальном (или конечном) состоянии (т 1, стр. 361, фиг 3.7). Окон-
чательная форма матричных элементов (6.2236) и (6.223г) пока-
зывает их тесную связь с матричными элементами (6.223а) и (6.223в),
отражая топологию диаграмм, представленных на фиг 6.10.
Если частицы или кванты в конечном и начальном состояниях
одни и те же (1 = Г или у = у'), то некоторые из промежуточных
состояний содержат две тождественные частицы или два тожде-
ственных кванта. В таком случае использование состояний с соот-
ветствующей перестановочной симметрией изменяет расчет матрич-
ных элементов в формулах (6.223). Например, в выражении (6.223в)
матричные элементы перехода в симметризованные промежуточные
состояния с двумя тождественными квантами содержат дополни-
тельный множитель ]/*2 [формула (6-1)]; поэтому поправки второго
порядка к энергии умножаются на 2 (бозонный множитель). Мно-
житель 2 соответствует наличию двух диаграмм 6.10, в и 6.10, д,
которые содержат одно и то же промежуточное состояние и раз-
личаются только характером соединения вершин с тождественными
379
§ 5, Связь частицы с колебанием.
фононами в промежуточном состоянии. Обе диаграммы дают оди-
наковый вклад в полную энергию состояния с частицей и фононом
Но диаграмма 6.10, д, которая содержит несвязанные части и назы-
вается несвязанной диаграммой, описывает эффект взаимодействия,
который уже учитывается в конфигурации одной частицы (член
собственной энергии; § 5, п. 5). Этот член не следует включать
в энергию взаимодействия фонона с фононом, которая представляет
собой разность между полной энергией состояния частица — фонон
и энергиями состояний отдельной частицы и отдельного фонона.
Поэтому, чтобы найти вклад во взаимодействие частицы с фононом,
нужно опустить несвязанную диаграмму 6.10, <9, а диаграмму 6.10, в
учитывать с единичным весом, как в формуле (6.223в). Точно так же
матричный элемент (6.223г) при 1 — Г должен обращаться в нуль
для антисимметризованного промежуточного состояния (принцип
Паули). Тот же результат получается при анализе диаграмм, по-
скольку вклад диаграммы 6.10, г описывающей фонон-фононное
взаимодействие, противоположен вкладу диаграммы, на которой
в промежуточном состоянии имеются тождественные фермионы.
Последняя есть несвязанная диаграмма, и она дает вклад в собствен-
ную энергию фонона. (Все сказанное означает, что члены фонон-
фононного взаимодействия, содержащие тождественные частицы
или кванты в промежуточных состояниях, можно рассматривать
как модифицированные члены собственной энергии, возникающие
благодаря наличию дополнительной частицы или кванта и вслед-
ствие требований симметризации.)
Для анализа диаграмм, проиллюстрированного приведенными
выше примерами, можно указать следующие общие правила:
I.	Для диаграмм, содержащих тождественные частицы или фо-
ноны, необязательно вводить требование симметрии в промежуточ-
ных состояниях, если только роль тождественных квантов на диа-
грамме неодинакова (как на всех диаграммах фиг. 6.10). Учет бо-
зонных множителей и исключение состояний вследствие антисим-
метрии фермионов производится автоматически путем отбора раз-
личных диаграмм, каждая из которых берется с единичным весом.
Однако начальное и конечное состояния п тождественных фононов
обязательно требуют дополнительного множителя (п!)1/2 (см., на-
пример, фиг. 6.12). Диаграммы, содержащие тождественные кванты,
роли которых не различаются, также требуют дополнительных ве-
совых множителей, отражающих симметрию (множитель п!) в слу-
чае п неразличимых бозонов на фи]" 6.36, в и множитель V2 в случае
неразличимых фермионов на фиг. 6.61, а).
II.	Связанные диаграммы дают непосредственный вклад в дан-
ный матричный элемент, обусловленный взаимодействием элемен-
тарных возбуждений в отличие от эффектов, которые описывают
вклад составляющих частей рассмотренных состояний. Последние
эффекты проявляются в виде несвязанных диаграмм,
III.	При расчете членов высшего порядка необходимо учиты-
вать диаграммы, в которых начальное или конечное состояние вновь
появляется в качестве промежуточного состояния, причем послед-
нему соответствует знаменатель с нулевой энергией. Такие диаграм-
мы описывают перенормировку волновых функций начального или
конечного состояния и рассчитываются обычными методами теории
возмущений. (В качестве примера см. последнюю диаграмму на
фиг. 6.37.)
Эти правила систематического вычисления членов ряда теории
возмущений для эффектов взаимодействия хорошо известны из
полевой теории элементарных частиц и других систем многих тел
(см., например, работу [1183]). Как показывают примеры, рассмот-
ренные в этом разделе, формализм, основанный на взаимодействии
частицы с фононом, по-видимому, последовательно учитывает эф-
фекты, обусловленные тождественностью нуклонов, при рассмот-
рении степеней свободы частиц и коллективных возбуждений.
(Более систематически данный вопрос рассматривается в рамках
специальных моделей в работе [116].)
В случае состояний (^Х)/, связанных по угловому моменту,
матричные элементы, представленные на фиг. 6.10, а и б, очевидно,
пропорциональны 6 (/2, /). Матричные элементы, представленные
на фиг. 6.10, в и г, можно вычислить, производя пересвязку в про-
межуточных состояниях. Так, для энергетического расщепление
мультиплета мы получаем [формула (6.209)]	:
<(/1, nx=l)/M| у(а) + у(б)1(/1, пх=1)7М) =
У Т- -Г (/г;-7й\---6 (/2, Л. (6.224а)
8(/i)—е(/2)Н-й<оА	'• v
<0’1. nK=i)IM\ VW-fV*) (A,	=
= (62Ж
/2
В сумме по /2 состояния, лежащие выше поверхности Ферми, дают
вклад в и а состояния, лежащие ниже поверхности Ферми,-’
вклад в 0б) и У(г) Мы видим, что вклад состояний, лежащих ниже
поверхности Ферми, такой же, как и в отсутствие частиц в замкну-
тых оболочках. Следовательно, взаимодействие такое же, как и
в случае фонона, связанного с одной частицей, движущейся в ядер-
ном потенциале. (При наличии парной корреляции это неверно;
в случае квазичастицы во взаимодействие с фононом дают вклад
все четыре диаграммы для каждой одночастичной орбиты /2.)
Октупольные возбуждения в ядрах, примыкающих к ядру 2о8РЬ,
обеспечивают благоприятную возможность для изучения взаимодей-
§ 5. Связь частицы с колебанием
381
ствия между частицами и вибрационными квантами (стр. 501).
Обычно связь с низкочастотными квадрупольными колебаниями
довольно сильна, и в количественном описании спектров ядер с не-
четным А достигнуты лишь некоторые успехи. Но взаимодействие
частицы с колебаниями позволяет качественно интерпретировать
некоторые особенности этих спектров (см. в частности, о наблю-
даемых состояниях малой энергии с / = /— 1, где / — угловой
момент одночастичной орбиты; стр. 476).
5. Собственные энергии
Взаимодействие частицы с колебаниями во втором порядке тео-
рии возмущений вызывает также энергетический сдвиг в состоя-
ниях, содержащих одну частицу (или дырку) или один квант,
а также дает вклад в энергию конфигурации замкнутых оболочек
(«состояние вакуума»). Соответствующие диаграммы показаны на
фиг. 6.11.
Энергетический сдвиг для конфигурации замкнутых оболочек,
который связан с виртуальным возбуждением пары частица—
дырка (/Г1/^) и кванта X (фиг 6.11, а), можно получить с помощью
матричного элемента (6.211):
я %   (2/1+1) fl2 (/у М)
0	М/г) — eC/O + tox ‘
Собственная энергия одной частицы получает вклад двух диа-
грамм фиг. 6.11, б, которые учитывают связь с орбитами /2, лежа-
щими выше и ниже границы Ферми:
/ h2(л, i2M	,. ,
—... ц ’ A z— при е (/») > ef,
e(h) —в(/2)—н
Л2 (/], /2Х)	... .
----Ц— при е(/2) < е₽.
е(/2)-е(/г)—йй)Х н и2/	'
(6.225)
6е(/х) =
(6.226)
Знак минус во втором выражении связан с перестановкой частиц
в промежуточном состоянии так же, как в формулах (6.2236) и
(6.223г). Энергетические сдвиги (6.226) по порядку величины равны
если выражать их через безразмерный параметр взаимодей-
ствия fK [формула (6.212)] Так, для взаимодействия с высокоча-
стотными возбуждениями бе	но более существенные сдвиги
могут возникнуть за счет взаимодействия с низкочастотными квадру-
польными и октупольными возбуждениями (см., например, стр. 497).
Собственная энергия одной частицы уменьшает энергию наи-
низших одночастичных состояний, а также энергию наинизших
Дырочных состояний и поэтому приводит к уменьшению щели между
заполненными и незаполненными орбитами [545]. Этот эффект мо-
жет оказаться существенным при объяснении наблюдаемого рас-
стояния между уровнями вблизи поверхности Ферми. Дело в том,
382
Гл. 6. Вибрационные спектры
что это расстояние согласуется с теоретическим значением, полу-
чающимся в случае потенциала,
например, т. 1, фиг. 3.3 и гл. 5,
не зависящего от скорости (см.
стр. 236), тогда как эксперимен
тальные данные [оптический потенциал (см., например, т. 1, фиг.2.29)
и данные об энергии глубоких дырочных состояний (см. например,
т 1, фиг. 3.5)] указывают на заметную зависимость потенциала от
скорости.
ft 5. Связь частицы с колебанием
883
Собственная энергия фонона представляется диаграммами
фиг. 6.11, в:
IThH12 (Л. М) {е(/г)_8(/1) й(1)? + е {/2)_е(/1) + йсо? } =
_ 	 2/1 1 Л2 (;	: 1\	2 fg (/2) £ (/1)]_____997Ъ
-____________________________________________2Х+1 Ь (/ь М) [е(/2)_8(/1)]2_(^)2 •	(6.227)
Энергетический сдвиг (6.227) соответствует изменению частоты фо-
нона за счет взаимодействия с данной частично-дырочной конфигу-
рацией (/Г1, /2). Если учесть взаимодействие со всеми частичными
и дырочными степенями свободы, то можно получить условие само-
согласования для частоты колебаний (§ 5, п. 8).
При вычислении собственных энергий (6.226) и (6.227) мы сле-
довали правилам расчета диаграмм теории возмущений, изложен-
ным на стр. 379. Так, вторая из диаграмм фиг. 6.11,6 содержит
в промежуточном состоянии две частицы на одной и той же орбите
а при вычислении второй из диаграмм фиг. 6.11, в мы опу-
стили бозонный множитель для тождественных фононов След-
ствия статистики тождественных частиц учитываются корректно,
поскольку те же самые промежуточные состояния встречаются
в несвязных диаграммах, соответствующих собственной энергии
вакуума при наличии частицы или фонона.
6.	Поляризационный вклад в эффективное двухчастичное
взаимодействие
Во втором порядке связь частицы с колебанием приводит к взаи-
модействию между двумя частицами, которое можно рассчитать
подобно взаимодействию частицы с фононом, рассмотренному в § 5,
п. 4. Чтобы дать представление о величине поляризационных сил,
мы рассмотрим предельный случай, когда частота обменного фонона
велика по сравнению с разностями энергий состояний частиц.
В этом случае можно считать, что взаимодействие обусловлено
статической деформацией (6.217), вызванной действием одной ча-
стицы на другую. Так, для возбуждения мультипольности получаем
[формула (6.68)]
П(1, 2) = --^Г^(Г1)^(/-2)Л(со8 912).	(6.228)
Поляризационное взаимодействие (6 228) по порядку величины
равно (как для собственной энергии частицы) Для высоко-
частотных возбуждений имеем ~ tpA1 что сравнимо с го-
лым взаимодействием между нуклонами в ядре	К такому
же выводу можно прийти исходя из того, что деформации замкну-
тых оболочек, вызываемые одной частицей, приводят к поляриза-
ционным моментам, которые сравнимы с голыми моментами частиц
(стр. 451); поэтому соответствующий вклад в поляризационное!
взаимодействие (6.228) сравним по величине с прямыми силами.
Поляризационное взаимодействие, вытекающее из связи с низко-
частотными возбуждениями, может быть значительно больше, чем
голые силы; поскольку частоты этих возбуждений могут быть срав-
нимы с частотами частиц, может оказаться необходимым выйти
за рамки статического приближения (6.228), как при расчете взаимо-
действия частицы с фононом.
7.	Эффекты высших порядков
Члены первого и второго порядка, рассмотренные в § 5, пп. 2—6,
описывают влияние связи частицы с колебанием в низшем порядке.
Учет членов более высокого порядка частично дает поправки к этим
Фиг. 6.12. Взаимодействие между состояниями с одним и двумя фононами.
эффектам, а частично приводит к различным дополнительным взаимо-
действиям, таким, как эффект энгармонизма колебаний и взаимо-
действие между фононами, принадлежащими к разным типам воз-
буждений г).
В качестве примера эффектов высших порядков мы рассмотрим
взаимодействие между состояниями с одним и двумя фононами.
Это взаимодействие третьего порядка по связи частицы с колеба-
нием; его поясняют диаграммы фиг. 6.12, содержащие замкнутую
треугольную петлю линий частиц. Дополнительные диаграммы,
тоже дающие вклад в этот процесс, получаются при перестановке
J) Ангармонические эффекты, следующие из взаимодействия частиц с квад-
рупольными колебаниями, были рассмотрены в работах [957, 1008]. При изу-
чении состояний с п2 = 2 методом кулоновского возбуждения (см., например,
[809]) была обнаружена большая ангармоничность квадрупольного возбуждения,
которая также ярко проявилась в измерениях статических квадрупольных
моментов состояния с п2—1, причем по величине они оказались сравнимы
с моментами перехода [305]. Эти данные стимулировали разработку системати-
ческих методов теоретического анализа эффектов ангармоничности |10, 11, 96,
334, 713, 795, 797, 904, 1049, 1111]. О развитии подхода, основанного на взаи-
модействии частицы с колебанием, см. также работы, цитируемые в примечании
на стр. 504.
§ 5. Связь частицы с колебанием	385
частиц и дырок (с изменением направления стрелок в замкнутой
петле) и двух испущенных фононов.
Вклад первой диаграммы фиг 6.12 в амплитуду двухфононного
состояния, примешанного к однофононному состоянию, дается
обычным выражением третьего порядка теории возмущений:
11)_а|Я'|а2)<а2|Я';а1><а1|ЯМ0 __
с " (£i-w-^)(£/-£a.) -
=	(?' |Я' I 1~»3> <3Т” |Н'|2) (1-121 Я' |?)
(Ло)¥-йсог~йо)?//)	+	1	'
где i и f — начальное и конечное состояния, а ах и а2 — промежу-
точные состояния. Аналогичным образом можно получить вклад
дополнительных диаграмм.
Особый интерес представляет случай связи однофононного со-
стояния с состоянием двух фононов того же типа; этот случай может
иметь место для квантов положительной четности с четным значе-
нием углового момента X; тогда
j - 1 >	I = 1> + с I = 2, / = Х>.	(6.230)
Это взаимодействие представляет собой ангармонический эффект
наинизшего порядка для колебаний, и его следствия будут рассмот-
рены в § 6, п. 1. Из формулы (6.229) с учетом матричных элементов
(6.209) и (6.211) для колебаний формы, производя пересвязку
(/зХ")/2» X(Д/^Х'Х'^Х, получаем
г(1) (/71; / \ =________ft (/1Л/з)___________________
где	Iе (/з) ~ е (/1)) [е (/2) ~ е (/1) ~	'
К (/1/2/3) = 21/г (2Х + 1)- ‘/2 (2Д + 1)‘/2 (2/2 + 1)>/2 X
X (2/3 + 1 )*А (h аъ /2Л) h (j2, М) h (j3, ДА).
(ЛЛ/з )
Множитель 21/г связан с тождественностью двух фононов
ном состоянии [формула (6.722)].
Вторая и третья диаграммы фиг. 6.12 получаются перестановкой
операторов с* (Хр) и с (Хр) в двух вершинах и поэтому содержат
те же самые матричные элементы Н', что и в формуле (6.229) [фор-
мула (6.51)]. Связь угловых моментов также остается прежней
благодаря симметрии (1.104) коэффициентов векторного сложения.
Вклады этих диаграмм отличаются от выражения (6.231) только
энергетическими знаменателями, и амплитуда оказывается равной
з
X I Д^З! (Д£21—ЙЫ;) Afj, (Д£21 + ^шл)	(Д£з1 + 2^ШЛ> (Д^м + ^Их) ]
[ДЕ^8(Д)-е(Д)].	(6.233)
(6.231)
(6.232)
в конеч-
13 О. Бор, Б. Моттельсон
386
Г л. 6. Вибрационные спектры
При /2 =т^= /3 имеются две совокупности членов с переставленными
/2 и /3 [с (/Г/^/з) + с (/^/з/гЖ которые снова отличаются лишь энер-
гетическими знаменателями, так как множитель (/г/2/3) симметри-
чен относительно любой перестановки трех угловых моментов. Нако-
нец, имеется вклад в полную амплитуду с в формуле (6.230), давае-
мый промежуточными состояниями с одной частицей и двумя дыр-
ками; этот вклад имеет такой же вид, как и в формуле (6.233), нужно
лишь изменить знак перед всем выражением, поскольку знак
связи частицы противоположен знаку дырочной связи.
Расчет членов третьего порядка, изложенный выше, служит
иллюстрацией общего метода, которым можно вычислять члены
высших порядков теории возмущений. Взаимодействие Н' частицы
с колебанием можно также анализировать методом теории возму-
щений, рассматривая ряд канонических преобразований, приводя-
щих к диагонализации полного гамильтониана Яо + Н\ где Н9
описывает независимое движение частиц и вибрационных квантов.
(См. аналогичный анализ взаимодействия частицы с вращением
в гл. 4, стр. 136.)
8.	Нормальные возбуждения, генерируемые взаимодействием
частицы с колебанием
В предыдущих разделах § 5 мы рассмотрели некоторые из след-
ствий взаимодействия частицы с колебанием, которые выражаются
в перенормировке свойств элементарных типов возбуждения и в воз-
никновении взаимодействия между ними. Систематический анализ
взаимодействия частицы с колебанием составляет содержание поле-
вой теории ядра, которая логически охватывает все следствия,
вытекающие из того обстоятельства, что кванты строятся из тех же
самых степеней свободы, что и одночастичные возбуждения. Так,
антисимметрия между частицами, которые рассматриваются как
таковые, и теми частицами, которые содержатся в коллективных
возбуждениях, выражается через обменные взаимодействия, подоб-
ные показанным на фиг. 6.10, г (см. замечание на стр. 379); учет
этих обменных взаимодействий обеспечивает также ортогональность
состояний, построенных на различных элементарных возбуждениях.
Рассматривая следствия взаимодействия частицы с колебанием,
мы пока что встречались с эффектами, обусловленными взаимо-
действием с отдельными конфигурациями частиц. Если обобщить
такой анализ с учетом взаимосвязи всех степеней свободы частиц,
то мы получим теорию вибрационных возбуждений, основанную
на представлении о самосогласованных колебаниях плотности и
потенциала ядра х). В данном разделе будет изложен вывод нормаль-
1) Исследование колебаний ядра сточки зрения движения отдельных частик
первоначально проводилось путем вычисления потенциальной и кинетической
§ 5. Связь частицы с колебанием
387
ных возбуждений при таком подходе; этот вывод представляет
собой обобщение схематического анализа § 2, п. 3. Мы также кратко
укажем связь такого подхода с идеей об эффективном двухчастич-
ном взаимодействии.
Функция отклика и приближение случайных фаз
Анализ самосогласованных возбуждений ядра может быть осно-
ван на изучении функции отклика, которая описывает поляризацию
ядра во внешнем поле, зависящем от времени * 2 * * *). Такое поле, дей-
ствующее на момент ядра F, приводит к взаимодействию вида
//' = xaBHF,	(6.234)
где а0Н — амплитуда внешнего поля, которую можно нормировать
так, чтобы величина х была равна константе взаимодействия через
поле, использованной выше [формула (6.204)].
В случае слабого поля авп, периодически меняющегося со вре-
менем,
0&вн = (^вн)о COS О)вн/,	(6.235)
возмущенное состояние ядра имеет вид
| ) = |0) — 2^(авн)о 2 ( Г— +	I <*>,	(6.236)
а
Pa = {0,\F\ 0>, tltoa = Еа —
где а обозначает возбуждения ядра с энергией Лсоя, а | 0) — основ-
ное состояние системы. [Решение (6.236) соответствует адиабати-
ческому включению поля; вообще говоря, решение волнового урав-
нения содержит дополнительные члены, приводящие к индуциро-
ванному моменту, не зависящему от времени, однако эти члены
несущественны для дальнейшего.]
Индуцированный момент F, получающийся из выражения (6.236),
равен
~ X (wbh) *^вн — X (®вн) (^вн)о cos сов1/,	(6.237)
где
х («..) —	<6-238)
а
энергии в случае медленно меняющегося среднего поля ядра [39, 40, 94, 409,
511, 512, 638]. Общая теория нормальных возбуждении ядра, основанная на
приближении случайных фаз, развивалась в работах [44, 68, 410, 482, 494,
635, 687, 758, 796, 892, 926, 1105, 1120].
2) Реакция вещества на электрическое поле характеризуется диэлектрической
Проницаемостью, зависящей от частоты и волнового числа. Функция отклика
применялась при самосогласованном рассмотрении свойств электронного газа
в Работах [758, 892]. Вопрос о функции отклика как общем инструменте для
изучения квантовых жидкостей затрагивается, например, в работе [926].
13*
388
Гл. 6. Вибрационные спектры
Коэффициент поляризуемости х выражается через сумму по воз-
буждениям ядра, причем каждый член суммы описывается той ж|
самой формулой, которая была выведена выше для вибрационны!
возбуждений, связанных с полем F [формула (6.216), где AfJ
соответствует Л(ови и а0 = | Fa I; см. также соотношение (6.28|
для вибрационного матричного элемента!.
Состояния а в выражении (6.238) являются нормальными воз-
буждениями, которые учитывают влияние внутреннего поля ядра.
Таким образом, в случае возбуждения ядра, связанного с осцилли-
рующим полем Л, полное поле, действующее на нуклоны, равно
сумме внешнего поля с амплитудой авн и внутреннего поля с ампли-
тудой, которая определяется индуцированным моментом (6.237):
а = аВн + ^> = (1+Х)ави-	(6.239)
Условие самосогласования получается, если заметить, что поляри-
зацию ядра можно вывести, рассматривая полное поле с амплиту-
дой а, действующее на отдельные нуклоны:
(6.240)
причем
7(0)	____У 12(0*
i
Р^(у = 2, i\F\v = Q),
Пщ s £ (v = 2, i) - £ (v = 0).	(	'
Основное состояние движения независимых частиц, в котором воз-
можны парные корреляции, является состоянием квазичастичного
вакуума v — 0, тогда как состояния, возбуждаемые одночастичным
оператором F, представляют собой двуквазичастичные состояния
v = 2, L
Из соотношений (6.237), (6.239) и (6.240) получаем
Х = Х(0)(1+х),	(6.242)
т. е.
.	(6.243)
Здесь реакция системы взаимодействующих нуклонов выражена
через реакцию отдельных нуклонов.
Соотношением (6.243) определяются собственные частоты и мат-
ричные элементы, входящие в выражение (6.238) для х. Собственные
частоты (0о — это полюса функции х, т. е корни уравнения
(6.244)
i
§ 5. Связь частицы с колебанием
389
а матричные элементы переходов представляют собой вычеты:
ip |2 ггх_Л 17 А у(о)\	I”1 = А___1 Гу_1Л12^ I1 <6 245)
• а' X |_\ д(1)	/o = G)aJ	4х2 (Од {(От — (0-)2 I •	/
Мы видим, что соотношения (6.244) и (6.245) представляют собой
обобщения выражений (6.27) и (6.28), относящихся к частотному
случаю, когда все внутренние состояния i вырождены. Проведенный
выше анализ нормальных возбуждений часто называют приближе-
нием случайных фаз г).
Итак, взаимодействия не влияют на осцилляторную сумму:
=	(6.246)
a	i
в чем проще всего убедиться, рассмотрев предел соотношения (6.243)
при со -> оо. [См. в этой связи примечание на стр. 351. Нетрудно
также видеть, что тождество (6.246) есть следствие правил сумм,
выведенных в § 4, п. 1, так как взаимодействие через поле эквивалент-
но двухчастичному взаимодействию xF (1)F (2), которое коммути-
рует с моментом F.]
Собственные возбуждения, получаемые из соотношения (6.244),
частично соответствуют вибрационным возбуждениям, связанным
с полем F, а частично — спектру двуквазичастичных возбуждений,
модифицированному благодаря взаимодействию через поле. Харак-
тер модификации можно установить, рассмотрев влияние связи
частицы с колебанием, как в § 5, п. 2. Эта связь смешивает
одночастичные и коллективные степени свободы таким образом,
что интенсивность одночастичных переходов частично передается
коллективным возбуждениям. (Вырожденная модель, рассмотрен-
ная в § 2, п. 3, соответствует предельному случаю, когда вся интен-
сивность перехода проявляется в коллективном возбуждении.)
В проведенном анализе внимание было сосредоточено исключи-
тельно на эффектах, обусловленных связью с полем F; очевидно,
что при изучении свойств возбуждений, отличающихся от коллек-
тивных возбуждений, связанных с данным полем, могут быть
существенны дополнительные эффекты взаимодействия.
Подчеркнем, что в настоящем рассмотрении нормальных воз-
буждений для расчета реакции ядра используется первое прибли-
жение теории возмущений. Выражение (6.238) будет справедливо
всегда при достаточно слабом внешнем поле. Но в случае само-
поддерживающихся нормальных возбуждений осциллирующее поле,
ч Такое название объясняется тем, что первоначально данное приближение
применялось при анализе коллективных свойств электронного газа [ 153] и соот-
ветствовало пренебрежению (на основе предположения о случайных фазах)
корреляциями между компонентами плотности с длинами волн, которые отли-
чаются от длины волны коллективного поля.
390
Гл. 6. Вибрационные спектры
действующее на нуклон, имеет конечную амплитуду. Следовательно,
линейное приближение (6.240) допустимо только тогда, когда ампли-
туда нулевых колебаний достаточно мала. Как отмечалось в связи
с вырожденной моделью, в более высоких приближениях влияние
цоля на движение частицы приводит к появлению ангармонических
членов в вибрационном гамильтониане. (См., например, о таких
членах в случае низкочастотных квадрупольных колебаний формы,
стр. 462.)
Если (что всегда имеет место в случае высокочастотных колеба-
ний) коллективное возбуждение расположено в области спектра,
где уровни i образуют континуум или имеют большую плотность,
то интенсивность коллективного возбуждения оказывается распре-
деленной в конечном энергетическом интервале. Соответствующую
силовую функцию можно рассматривать с точки зрения взаимодей-
ствия коллективного возбуждения со степенями свободы частицы
с (Di ж (Da\ если это взаимодействие, отнесенное к единичному
интервалу энергии, можно считать приближенно постоянным на
ширине коллективного возбуждения, то силовая функция имеет
форму линии, которая описывается формулой Брейта—Вигнера
с шириной:
Га = ^<77аг>2 = 2л(х£а)2^,	(6.247)
где Hai= nFaFi — матричный элемент взаимодействия, D — сред-
нее расстояние между уровнями, a (F*) — средняя интенсивность
уровней I. Полученный результат (6.247) является следствием
соотношений (6.244) и (6.245), но самым прямым путем он выводится
на основе общего анализа явлений, связанных с силовой функцией,
в приложении 4 гл. 2 [формулы (2.375) и (2.376)].
В макроскопических системах затухание коллективного возбуждения с рас-
падом на частично-дырочные пары [формула (6.247)] называется затуханием
Ландау (см., например, [926]). Впервые такой вид затухания рассматривался
в связи с коллективными возбуждениями в классической плазме, где возбуж-
дения могут передавать энергию отдельным частицам даже в отсутствие стол-
кновений, если частицы обладают скоростью, равной волновой скорости коллек-
тивного возбуждения [266, 720].
Микроскопическое описание вибрационных квантов
При анализе нормальных возбуждений в предыдущем разделе
мы исследовали соотношение между переменными, описывающими
коллективные колебания, и степенями свободы отдельных частиц.
Подобно простой модели в § 2, п. 3, это соотношение можно пред-
ставить в явном виде путем преобразования, которое связывает
набор операторов А\у Аа, рождающих нормальные возбуждения,
С набором операторов Д!, Д., рождающих двуквазичастичные кон-
§ 5. Связь частицы с колебанием
391
(6.248а)
(6.2486)
фигурации v = 2, I. (Операторы рождения и уничтожения вибра-
ционного возбуждения обычно обозначаются через и с, но в дан-
ном разделе для полного спектра нормальных возбуждений, кото-
рый содержит также состояния, не обладающие коллективной
природой, мы используем обозначения Д*, Аа.)
Предположение о том, что влияние поля F на движение частиц
можно рассматривать в первом порядке теории возмущений, соот-
ветствует линейному преобразованию между операторами (Д*, Аа)
и (Д^, Д4), которое можно представить в вид
I
= YalA\ + XalA
i
A} = ^{XaiAlA-YalAa)
а
л=5(уа/л;+хо/яо)
а
Здесь амплитуды Xai и Yat действительны, если оба набора состоя-
ний а и i имеют обычные фазы и удовлетворяют соотношениям
ортогональности и нормировки
X(XaiXa4-YalYa4)=6(a, а'),
л	(6.249а)
i
(6.2496)
X(XalYar-YaIXaV)=0.
а
Если формулу (6.248а) рассматривать как определение матриц
преобразования X и У, то соотношение ортогональности (6.249а)
можно получить, выразив коммутаторы операторов Д*, Аа через
коммутаторы операторов А\, А. и усреднив по основному состоянию 0.
Применимость теории возмущений означает, что в этом состоянии
вероятность каждого квазичастичного возбуждения мала и поэтому
<0[Ль ЛР]|О)^6 (i, t')>	(6.250)
Коммутаторы [Л!, Л!,] и [ЛрЛг] тождественно равны нулю в силу
соотношений антикоммутации для операторов рождения (или
уничтожения) отдельных квазичастиц. Амплитуды X и У образуют
392
Гл. 6, Вибрационные спектры
эрмитовы коммутирующие матрицы, а формулы (6.2496) следуют
из формул (6.249а).
Амплитуды Xah Yat можно найти, рассматривая волновую
функцию независимых частиц, движущихся в поле F, которое
осциллирует с частотой соа. Возмущение волновой функции, вызван-
ное взаимодействием вида (6.234) через внешнее поле, можно опи-
сать посредством унитарного преобразования ехр {—hS) 1 — ZS,
где
s—i	'' +	+эр“-солР' <6-251>
L
[см. аналогичный вывод выражения возмущенной волновой функ-
ции (6.236) в представлении а]. Когда частота совн равна частоте
нормального возбуждения соа, движение нуклонов, индуцирован-
ное внешним полем, оказывается таким же, как и в случае само-
поддерживающихся колебаний, возникающих благодаря взаимодей-
ствию через поле. Поэтому оператор 3 (совн = cofl) можно выразить
через переменные А*, Ао, соответствующие данному возбуждению.
Часть S с положительной частотой рождает кванты, и она пропор-
циональна А*; часть S с отрицательной частотой пропорциональ-
на Аа. Соответствующие амплитуды определяются из условия
самосогласования (соа) » 1, которое дает
6<F> = t[S, F] = aBH IF = У,FaAra-|-эрм.-сопрА
. ln }	' (6.252)
S (<овн = a>„) = уАа exp {— ta>a/} + эрм.-сопр.
Используя в формуле (6.252) преобразования (6.248а) и сравнивая
результат с выражением (6.251), получаем
Амплитуды показаны на диаграммах фиг. 6.13.
Диаграммы, представленные на фиг 6.14, поясняют условие
самосогласования для собственных частот сод. Соотношения между
этими диаграммами выражают условие равенства момента F вибра-
ционного возбуждения тому моменту, который генерируют пере-
ходы отдельных частиц. Это условие соответствует соотношению
(6.252), которое вместе с выражениями (6.253) для амплитуд Хаь
Yai дает уравнение собственных значений (6.244).
Соотношение (6.248) между набором переменных AJ, А., кото-
рые описывают движение независимых частиц, и набором пере-
менных А*, Аа, которые описывают нормальные возбуждения,
можно рассматривать как каноническое преобразование между
§ 5. Связь частицы с колебанием
393
бозонными переменными. Неколлективные переменные, подобные
Л! и Лможно выражать через бозонные операторы, если состоя-
ния, на которые действуют эти операторы, характеризуются малыми
амплитудами заполнения любого квазичастичного состояния в соот-
ветствии с формулой (6.250). Для коллективных же возбуждений,
которые строятся из многих различных квазичастичных возбужде-
ний, это условие будет выполнено даже в случае состояний с несколь-
кими квантами, но собственные состояния а, которые приближенно
Фиг. 6.13. Амплитуды частичных конфигураций в нормальных возбуждениях.
Фиг. 6.14. Условие самосогласования для нормальных возбуждений
Fa^iX^Ft + YaiFi)}.
i	/
описываются одной конфигурацией v — 2, представляют собой
возбуждения, которые могут быть рождены лишь один раз.
Коллективные возбуждения, генерируемые взаимодействием че-
рез поле, можно также исследовать, рассматривая диагонализа-
цию эффективного двухчастичного взаимодействия вида (6.37).
В приближении, в котором квазичастичные операторы А\, At
трактуются как бозонные переменные, гамильтониан принимает
вид
'	(6.254)
394
Гл. 6. Вибрационные спектры
Этот гамильтониан диагонализируется путем канонического пре-
образования вида (6.248) с коэффициентами, даваемыми форму-
лами (6.253):
н == у 2	— 4 2 i + 2 fttoaA'aAa,
а	1	°	(6.255)
F = ^(FaAl + F*aAa),
а
где (Од — собственные частоты, a Fa — элементы матрицы поля
для нормальных мод, даваемые формулами (6.244) и (6.245). Энер-
гию основного состояния можно выразить через энергии нулевых
колебаний эффективных осцилляторов i и а так же, как в фор-
муле (6.33).
Трансляция
Представленный выше способ анализа нормальных возбужде-
ний можно применить также для исследования коллективных воз-
буждений, связанных с внутренним нарушением симметрии. При
таких возбуждениях структуру взаимодействия через поле можно
установить исходя из статического потенциала, если воспользо-
ваться инвариантностью полного гамильтониана.
Потенциал оболочечной модели нарушает инвариантность пол-
ного гамильтониана относительно трансляций, и поэтому поле,
пропорциональное координате общего центра масс, может вызы-
вать одночастичные возбуждения Трансляционную симметрию
можно восстановить, если учесть влияние коллективного поля,
обусловленное малым смещением ядра а. Смещение в направле-
нии оси х приводит к взаимодействию
Н' = -ад^,	(6.256)
где V — средний одночастичный потенциал Взаимодействие (6.256)
можно записать также в виде
Н' = хаГ,
где [формула (6.74)]
г. 1 dV
г =-----S-,
х дх ’
(6.257)
(6.258)
что соответствует нормировке а, при которой (F) = а. Спектр
нормальных возбуждений, порождаемых взаимодействием (6.252),
содержит возбуждение с нулевой частотой, что следует из фор-
§ 5. Связь частицы с колебанием
395
мулы (6.244) и соотношения
k
<6.259)
из которого следует, что
(6.260)
где v = 0 соответствует основному состоянию движения незави-
симых частиц. В появлении возбуждения с нулевой частотой отра-
жается то обстоятельство, что при включении взаимодействия (6.256)
трансляционная инвариантность полного гамильтониана восста-
навливается с точностью до членов высшего порядка по а.
Дополнительные корни уравнения нормальных возбуждений
(6.244) соответствуют состояниям ядра с Хл — 1—. Взаимодействие
через поле модифицирует эти состояния, благодаря чему они орто-
гональны «ложной» степени свободы, связанной с движением центра
инерции. В появлении возбуждения с нулевой частотой отража-
ется то обстоятельство, что включение взаимодействия (6.256)
восстанавливает трансляционную инвариантность полного гамиль-
тониана с точностью до членов низшего порядка по а.
Массовый коэффициент для трансляционного возбуждения, кото-
рый эквивалентен силе осциллятора [см., например, формулу (6.15)],
можно найти из соотношения (6.245):
De = 4(<oa|Fa|2)-1 =
* I Рж I у=о> I2
k
(6.261)
При выводе последней строки формулы (6.261) мы предположили,
что полный импульс Рх нуклонов равен произведению массы нукло-
на на сумму производных по времени от координат отдельных
частиц в соответствии с галилеевой инвариантностью [формула
(1.20)].
Наличие зависимости от скорости в одночастичном потенциале
нарушает галилееву инвариантность, предполагавшуюся выше.
Это нарушение нужно исправить, введя дополнительное взаимодей-
ствие через поле, соответствующее равномерному коллективному
396
Гл. 6, Вибрационные спектры
движению со скоростью а в направлении оси х:
Н' = -Ма^ = ~Ма[х, V];	(6.262)
это взаимодействие восстанавливает галилееву инвариантность
в низшем порядке. [Генератор галилеева преобразования дается
формулой (1.17).] Суммарный эффект двух взаимодействий (6.256)
и (6.262) можно исследовать, обобщив анализ нормальных воз-
буждений для одного поля; вследствие галилеевой и трансляцион-
ной инвариантности это дает возбуждение с нулевой частотой
и массовым коэффициентом Da = AM.
В случае зависящего от скорости одночастичного потенциала,
который описывается членом, соответствующим эффективной массе,
взаимодействие через поле (6.262) пропорционально импульсу
частицы. Квазичастичный гамильтониан, описывающий движение
частиц при наличии парного поля, также эффективно зависит
от скорости, поскольку частицы образуют пары состояний, взаимно
сопряженных относительно операции обращения времени в непод-
вижной системе координат. Взаимодействие (6.262), связанное
с этой зависимостью от скорости, получается из коммутатора
i [*> У пар] = у [ J Ро (Г) X dx, - A J (р2 (г') + р_2 (г')) dr'] =
9Л Г
= - т j i (р2 (г) - р-2 (Г)) X dx, (6.263)
гдеро—одночастичная, р±2—парная плотность [формулы (6.141)—
(6.143)] и Упар—спаривательный потенциал [формула (6.597),
см. также формулы (6.144) и (6.145)]. Очевидно, что поле в фор-
муле (6.263) пропорционально той части дипольного момента пары,
которая меняет знак при обращении времени вместе с эрмитовым
сопряжением. Возбуждения, вызываемые этим полем, связаны
с матричными элементами
<v = 2, V1v21 $ [р2 (г) - р-2 (г)] X dx I v = 0> =
= («i«2 + ^2)<V2|x|v1),	(6.264)
что вытекает из квазичастичных преобразований (6.599).
Как явствует из формул (6.248а), (6.253) и (6.259), оператор А*а
рождения возбуждения с нулевой частотой пропорционален пол-
ному импульсу Рх. Но коэффициент пропорциональности обраща-
ется в бесконечность, когда стремится к нулю, поскольку ампли-
туда возбуждения с нулевой частотой бесконечна. Несмотря на фор-
мальные проблемы, связанные с переходом к такому пределу,
можно, по-видимому, считать, что в проведенном выше анализе
правильно представлено отделение данного возбуждения от осталь-
ных степеней свободы, ибо можно взять и несколько меньшее зна-
§ 5. Связь частицы с колебанием
397
чение константы связи х, чем значение (6.258), которое соответ-
ствует трансляционной инвариантности. В отсутствие взаимодей-
ствия амплитуда сс<0) нулевых колебаний центра масс по порядку
величины ^равна Д-2/а /?; поэтому можно выбрать х таким образом,
чтобы амплитуда нулевых колебаний была велика по сравнению
с a но вместе с тем не настолько велика, чтобы нарушить при-
менимость теории возмущений при использовании приближения
случайных фаз.
Вращение
В случае деформированного ядра можно восстановить враща-
тельную инвариантность, рассматривая взаимодействие, которое
возникает за счет поворота на малый угол а вокруг внутренней
оси 1:
Н' = —	=	(6.265)
где
(6.266)
Здесь (pi — угол азимута, измеряемый относительно оси враще-
ния. В силу соотношения
""] (6'267)
k
где J± — компонента полного углового момента (деленная на Л),
сопряженная углу q?b уравнение случайных фаз (6.244) снова
имеет решение с нулевой частотой. Массовый коэффициент для
возбуждения с нулевой частотой оказывается равным
Da = 2h2 2!<V=2’ 'Ц1|У:=0) |2.	(6.268)
i
что согласуется с результатом, полученным на основе модели
принудительного вращения [формула (4.110)].Дополнительные корни
Уравнения случайных фаз (6.244) соответствуют внутренним воз-
буждениям с Kn = 1 + , которые модифицированы кориолисовым
взаимодействием таким образом, чтобы устранить ложную степень
свободы, соответствующую вращению. Если одночастичный потен-
циал зависит от скорости, то необходимо прибавить дополнительные
взаимодействия, пропорциональные частоте вращения, по анало-
гии с взаимодействием (6.262) для модели поступательного движе-
ния (стр. 85, 86 и 246).
398
Г л. 6. Вибрационные спектры
§ 6. ЭФФЕКТЫ АНГАРМОНИЧНОСТИ В КОЛЕБАНИЯХ.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
В данном параграфе мы займемся вопросами феноменологиче-
ского анализа свойств вибрационных возбуждений, выходящих
за рамки гармонического приближения. Взаимодействия, которые
рассматриваются ниже, иллюстрируют некоторые из методов,
пригодных для предварительного исследования широкого круга
проблем, касающихся взаимосвязи между различными возбужде-
ниями ядра. Микроскопический расчет параметров, появляющихся
при этом, можно провести на основе анализа взаимодействия ча-
стицы с колебанием, изложенного в предыдущем параграфе.
Ангармонические эффекты, рассматриваемые в настоящем пара-
графе, касаются низкочастотного квадрупольного возбуждения,
для которого имеется двольно много данных относительно мно-
гократных возбуждений. Эти данные указывают на большие откло-
нения от гармонического приближения, которые связаны с осо-
бенно большой амплитудой нулевых колебаний для этого коллек-
тивного возбуждения. Парные вибрации также обнаруживают
заметное влияние ангармоничности (стр. 566). Но в случае воз-
буждений, связанных с переходами частиц между разными оболоч-
ками (подобно высокочастотным дипольным и квадрупольным
возбуждениям или октупольному возбуждению сравнительно малой
энергии в ядрах с замкнутыми оболочками), можно полагать, что
ангармоничность довольно мала, ибо в эти возбуждения может
давать вклад большое число одночастичных конфигураций (см.,
например, о взаимодействии между октупольными квантами, стр.
500).
1. Ангармонические эффекты в низкочастотном квадрупольном
возбуждении
К анализу ангармонических эффектов в вибрационном возбуж-
дении можно подходить по-разному. В данном разделе мы рассмо-
трим два возможных подхода. Первый основан на феноменологиче-
ской параметризации эффективного воздействия между фононами,
а также на параметризации нелинейных членов в операторах пере-
ходов. При втором подходе пытаются охарактеризовать основные
ангармонические члены в гамильтониане, выраженном через ампли-
туду колебаний.
Эффективное взаимодействие между фононами
Феноменологический анализ ангармоничности можно проводить,
придав гамильтониану форму, в которой он диагоналей по числу
фононов. Тогда ангармонические эффекты можно представить в виде
разложения в ряд по степеням операторов рождения и уничтожения
§ 6. Эффекты ангармоничности в колебаниях
399
фононов [201]. Такой подход к анализу ангармонических эффектов
подобен феноменологическому исследованию связи вращения с внут-
ренним движением в гл. 4, § 3.
В случае квадрупольного возбуждения ангармонические члены
наинизшего порядка в вибрационном энергетическом спектре имеют
вид произведений с\с\с2с2 и описывают взаимодействие между
парами фононов. Это взаимодействие можно представить в виде
я
Н'= 2	2	(6.269)
/? —0,2,4 М=-Я
где R — полный угловой момент пары фононов. Здесь мы восполь-
зовались сокращенными обозначениями и с2 сферических тензо-
ров с* (к ~ 2) и с (X = 2) [формула (6.53)].
Взаимодействие (6.269) содержит три параметра VR, которые
описывают фонон-фононное взаимодействие на уровнях с п = 2
[формула (6.721)]:
VR = Е (п = 2, / = /?) — 2£ (п = 1)‘.	(6.270)
В случае уровней с п 3 взаимодействие (6.266) можно рассчитать
по генеалогическим коэффициентам (стр. 601); так, при п — 3
имеем
(м = 3, /Л4 I//' п = 3, /Л4> =
= (27+1)-12^^ = 3, /||ф = 2, R)\	(6.271)
R
причем однофононные генеалогические коэффициенты можно взять
из табл. 6.20 (стр. 604). Заметим также, что для состояний с мак-
симальным угловым моментом 1п = 2п выполняется простое соот-
ношение
<n, I = 2п, М\Н'\п, 1 = 2л, Л4> = ~ п (п - 1) VR^. (6.272)
Экспериментальные данные о квадрупольных вибрационных
уровнях с п 3 весьма неполны. Для ряда ядер была установ-
лена последовательность уровней с / = 2п вплоть до весьма боль-
ших значений п, и оказалось, что она аппроксимируется взаимо-
дей'твием вида (6.272) (фиг. 6.33, стр. 474). В некоторых случаях
были обнаружены уровни с 1л = ЗЦ-, но их положение заметно
отклоняется от теоретического положения уровней с п = 3, / = 3,
вычисленного по формулам (6.270) и (6.271) (табл. 6.13, стр. 479).
Можно попытаться отнести эти отклонения за счет ангармониче-
ских членов высших порядков, соответствующих взаимодействию
между тремя и более фононами. В разложении по степеням с\ и с2
следующий член описывает взаимодействие трех фононов вида
(^2^2^)/?)о, где R 0, 2, 3, 4, 6. Но пока не ясно, даст ли
такое разложение удовлетворительные результаты.
400
Гл. 6. Вибрационные спектры
Моменты Е2
С учетом инвариантности оператора (£2, |ш) относительно
обращения времени и эрмитова сопряжения момент Е2 можно
следующим образом разложить по степеням тензорных операто-
ров с[ и с2:
М (£2, р) = т10 (сзц + ^2ц) +772 п (^2^2)211 + 2~1/г/722о	+ (^2^2)2^]+
+ 2	2“х/’т21, р [((б^)/? c2)2g + {с\ (с2с2)J +
r = q, 2,4
+ 6“"1/2тзо	4* (^2^2^2)211]*	(6.273)
Закон преобразования операторов (£2, р) и cf (2р)при обраще-
нии времени [формула (6.53)] означает, что коэффициенты т
в формуле (6.273) действительны.
В гармоническом приближении момент £2 удовлетворяет правилу
отбора Д/г = ± 1; при учете же ангармонических членов низшего
порядка появляются матричные элементы с Ап = 0 и Д/г = 2.
К членам с Д/г = 0 относятся статические моменты, а также моменты
переходов между состояниями мультиплета с данным /г, причем
соответствующие матричные элементы оператора (с7с2) 2 даются
соотношением (6.727) Так, при п == 1 и п = 2 мы получаем отлич-
ные от нуля матричные элементы, представленные в табл. 6.3.
Экспериментальные данные о соотношении между матричными
элементами переходов с Д/г = 0 и статическими моментами приво-
дятся на стр. 478.
Таблица 6,3
АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЛЕНЫ В МОМЕНТАХ Е2 ДЛЯ КВАДРУПОЛЬНЫХ
ВИБРАЦИОННЫХ ПЕРЕХОДОВ
		n = 1 I = 2	n — 2		
			I = 0	1 = 2	/ = 4
/г= 1	/ = 2	51/г			
/г = 2	О СЧ Tf JI JI JI		2	2 (-%) 5*/г l2/7	12/7 (3/7) 1101/b
В таблице представлены приведенные матричные элементы квадрупольного оператора
Для переходов с Д/г = 2, обусловленных моментом (6.273),
матричные элементы, содержащие состояния с п = 0 и п = 1,
§ 6 Эффекты ангармоничности в колебаниях
401
имеют вид
{п = 2, I = 2II2-’/. (Ctct)21| п = 0) = 5*\
(п = 3, 7||2-1Чф’)2||п=1> = (-1)/<п = 3, /И||п=2,/?=2), (6,274)
причем генеалогические коэффициенты можно взять из табл. 6.20.
Члены третьего порядка по с* и с2 в выражении для эффектив-
ного момента (6.273) частично вызывают переходы с Д/г = 3, а ча-
стично изменяют соотношения интенсивностей, полученные в низ-
шем порядке, для переходов с Л/г — 1; так, для переходов с уровня
п = 1 на уровень п = 2 мы получаем
(п = 2, 7--=/?||<<(Е2)||п=1> =
= 2*/» (27? + 1 )V« щ10 + 5‘/зд21, R. (6.275)
По параметрам m21i найденным экспериментально с использова-
нием этого соотношения, можно вычислить вероятности переходов
с Д/г = 1 для состояний с /г 3. Но имеющиеся данные недоста-
точны, чтобы проверить правильность этого соотношения.
Выражение (6.273) всецело основано на симметрии оператора Е2 относи-
тельно вращения и обращения времени. Если бы можно было предположить,
что все существенные матричные элементы момента Е2 сосредоточены в преде-
лах вибрационного спектра, то возникли бы дополнительные ограничения на
коэффициенты разложения (6.273), вытекающие из операторных тождеств, кото-
рым удовлетворяет момент Е2. В частности, ограничения указанного типа сле-
довали бы из коммутативности различных компонент оператора e4Z (£2, р);
эго можно также выразить в виде требования, что правило сумм (6.196) должно
исчерпываться в пределах вибрационного спектра.
Потенциальная и кинетическая энергии, адиабатическое
приближение
Другой возможный подход к исследованию ангармонических
эффектов основан на анализе потенциальной и кинетической энер-
гий колебаний V (а2) и Т (а2, а2), выраженных через амплитуды а2
и их производные по времени а2 г).
В гармоническом приближении энергия является квадратичной
формой по амплитудам а и а; ангармонические эффекты в спектре
можно описать членами гамильтониана, кубичными, квадратич-
ными и т. д. по а2 и а2 (или л2). Большое число таких членов, раз-
решенных требованием инвариантности относительно вращений
и обращения времени, ограничивает эффективность подобного
общего разложения.
Чиспо существенных членов в разложении гамильтониана может
еще больше уменьшиться в тех случаях, когда частота колебаний
1) Исследование влияния ангармонических членов низшего порядка в квад-
рупольном вибрационном гамильтониане ядра было начато работами [96, 111,
402
Гл. 6. Вибрационные спектры
мала по сравнению с частотами квазичастичных возбуждений
При таких адиабатических условиях ангармонические члены в по
тенциальной энергии должны преобладать, поскольку колебани'
происходят медленно, но с большой амплитудой. [При микроско*
пическом анализе, основанном на гамильтониане взаимодействий
частицы с колебанием, адиабатическое приближение соответствует
пренебрежению частотой фонона в энергиях возбуждения промежу-
точных состояний, которые стоят в знаменателях выражений типа
(6.233). В таком приближении диаграммы, получающиеся одна
из другой путем замены в одной и той же вершине рождения фонона
уничтожением фонона, обращенного во времени, дают одинаковый
вклад в эффективный гамильтониан. Сумма этих двух членов
прогорциональна амплитуде а2; поэтому эффективное взимодей-
ствие есть функция V (а2) этой амплитуды.] Вывод о преобладании
ангармонических членов в потенциальной энергии согласуется
с тем, что при колебаниях кинетическая и потенциальная энергии
сравнимы по величине; действительно, адиабатические колебания
соответствуют случаю, когда гармонический член в потенциаль-
ной энергии (жесткость) близок к нулю и, следовательно, члены
высших порядков в потенциальной энергии сравнительно велики.
В адиабатическом случае момент Е2 также должен зависеть
лишь от амплитуды а2; поэтому можно воспользоваться свободой
в определении а2 и выбрать эту величину так, чтобы момент £2
был линейным поа2. [При более общих условиях координату дефор-
маьии а2 невозможно выбрать линейной по о/К (£2), так как опера-
тор £2, действующий в пределах состояний вибрационного спектра,
вообще говоря, не удовлетворяет алгебраическим соотношениям
(6.50), которые предполагались для амплитуд а2; см. замечания,
набранные петитом, на стр. 401.]
Члены третьей и четвертой степени в потенциальной энергии
анализируются методом теории возмущений на стр. 484. Получен-
ные там выражения сравниваются на стр. 479 с экспериментальными
данными об ангармоничности низкочастотного квадрупольного
возбуждения. По-видимому, влиянием указанных ангармонических
членов потенциальной энергии в низшем порядке невозможно
достаточно хорошо объяснить имеющиеся данные.
Плохие результаты анализа эффектов ангармоничности, про;
водимого путем исследования изменения функции потенциальной
энергии, разложенной в ряд по степеням амплитуды колебании,
объясняются, вероятно, тем, что при добавлении частиц к конфи-
гурациям замкнутых оболочек сферическая форма быстро прибли-
жается к неустойчивости (стр. 459). Действительно, амплитуды ква-
друпольных колебаний, определенные по вероятностям перехо-
дов £2, сравнимы со статическими деформациями ядер с вращатель-
ными спектрами. При таких обстоятельствах колебания должнь
быть связаны с существенными изменениями схемы связи нукл°
§ 6. Эффекты ангармоничности в колебаниях
403
которая влияет не только на потенциальную энергию, но также
н0В’ массовый коэффициент колебаний. Чисто феноменологический
И Нпиз таких спектров, промежуточных между спектрами гармо-
аНцрСКих колебаний и вращательно-вибрационными спектрами
НИ чучае статически деформированной формы, затрудняется боль-
В им числом параметров (приложение 2). В настоящее время много
. ичий затрачивается на то, чтобы найти какие-то предварительные
^ведения путем микроскопического анализа (гл. 9).
С В области ираст-уровней (/ /макс 2n > 1) колебания дол-
жны по-видимому, разделяться на вращательные и внутренние
компоненты; следовательно, качественная классификация спектра
должна в меньшей степени зависеть от точного вида ангармониче-
ских членов в гамильтониане (стр. 600). Поэтому эксперименталь-
ные данные об этой части спектра могут оказаться особенно цен-
ными при попытках разобраться в разнообразных ангармониче-
ских эффектах.
2. Взаимодействие между квадрупольными и дипольными
возбуждениями
Непосредственное отношение к ангармоническим эффектам
в спектре одного типа возбуждений имеют взаимодействия между
квантами различных возбуждений. В качестве примера такого рода
связи мы рассмотрим в настоящем разделе взаимодействие между
дипольными и квадрупольными колебаниями.
В низшем порядке взаимодействие между дипольным и квадру-
польным возбуждениями оказывается величиной третьего порядка
по амплитудам. Требованиями вращательной инвариантности и сим-
метрии относительно пространственного отражения и обращения
времени члены третьего порядка ограничиваются следующей ком-
бинацией:
Я' = kr (а^а^о + k2 (aiaia2)0 + k3	(6.276)
(Об эффектах, обусловленных взаимодействием более высокого
порядка, см. работу [616].)
Смысл коэффициентов k2, k3 в формуле (6.276) становится
ясным, если рассматривать взаимодействие Н' как меру влияния
вадрупольной деформации и ее производной по времени на диполь-
1е колебания. Поскольку частота квадрупольных колебаний
ла по сравнению с частотой дипольного возбуждения, зависимость
^РУпольной деформации от времени можно считать несущест-
ннои, и тогда последний член в формуле (6.276) должен быть
модЬ"М' ФИКсированных значениях а2ц два первых члена взаи-
ляе ИСтвия (6-276) означают, что дипольное возбуждение расщеп-
на тРи компоненты, связанные с тремя главными осями
псоидального ядра, а параметры и k2 характеризуют влия-
404
Гл. 6. Вибрационные спектры
ние деформации на жесткость и массовый коэффициент для тре
собственных возбуждений.	х
Экспериментальные данные о дипольном возбуждении всфепи
ческих ядрах показывают, что сила осциллятора довольно слабо
зависит от деформации. Действительно, в тяжелых ядрах диполь*
ное возбуждение приблизительно исчерпывает классическую суммС
сил осциллятора, которая оказывается не зависящей от размеров
системы [см. формулу (6.176) и экспериментальные данные фиг 6.20
стр. 426]. Сохранение силы осциллятора для каждой компоненты
дипольного возбуждения в деформированном ядре должно озна-
чать, что деформация не влияет на массовый коэффициент и поэ-
тому вторым членом в формуле (6.276) можно пренебречь.
Коэффициент можно приближенно оценить, исходя из того
что дипольная частота приблизительно обратно пропорциональна
радиусу ядра (со «Л‘,/з) (фиг. 6.19). Поэтому деформация, соот-
ветствующая приращениям 67?х главных осей (х = 1,2,3), вызы-
вает сдвиги частоты 6со1х и приводит к изменениям коэффициен-
тов жесткости 6С1Х вида
^1х р ficQix ___п
Сх О)!	z Я ’
(6.277)
где Сь сох и R — величины, относящиеся к сферическому ядру.
Оценке (6.277) для 6С1Х соответствует значение коэффициента
во взаимодействии [соотношение между 6/?х и а2 дается формулой
(6.689)]
fei=- 2-(^),/2С1 = -1>7С1.	(6.278)
Значение численного коэффициента в формуле (6.278) в некото-
рой степени зависит от модели. Так, согласно модели жидкой капли
для дипольных колебаний в эллипсоидальном ядре, величина 6colz
меньше оценки (6.278) в 1,1 раза [формула (6.693)] и соответствую-
щим образом уменьшается £х.
Расщепление дипольных частот, вызванное статической квадру-
польной деформацией, можно непосредственно наблюдать при фото-
поглощении деформированными ядрами (см. пример на фиг 6.21,
стр. 435). Расстояние между положениями резонансов оказывается
в согласии с оценкой (6.277); см. табл. 6.7, стр. 436.
В сферическом ядре взаимодействие (6.276) означает перепуты-
вание квадрупольного и дипольного движения, что приводит к суше‘
ственному изменению ширины и формы линии дипольного Рез°'
нанса [747], а также дипольной поляризуемости ядра (см. ниже).
Энергия взаимодействия (6.276) имеет порядок величины
что может быть больше Лсо2, но мало по сравнению с энергией диполь-
ного возбуждения. Поэтому в первом приближении достаточно
смотреть взаимодействие между состояниями с одним и тем
§ 6. Эффекты ангармоничности в колебаниях
405
ЧИСЛОМ
дипольных квантов [формула (6.51)], которое имеет вид
Н' = + (gf (ojc, (с! + с2))0.	(6.279)
л = 0 взаимодействие обращается в нуль, а при = 1 мат-
ручные элементы имеют вид [формула (1.165)]
Р„,+ 1, R'; «1 = 1; IM\H'\n2, R; ^=1; 1М) =
₽ (_!)«+/ + ’(^	И К,
г2)‘/2 (6.280)
е угловой момент квадрупольного колебания. Генеалоги-
ческие коэффициенты для квадрупольных квантов можно рас-
считать методами, изложенными в приложении 2, п. 4.
Интенсивность взаимодействия (6.279) можно характеризовать
безразмерным параметром т], приблизительно равным отношению
матричного элемента (6.280) к величине йсо2:
П (gf ~ 1,7 % (а2)о.	(6.281)
CiUJj \^2/	W2
где (а2)о — амплитуда нулевых колебаний для квадрупольных
колебаний формы [формула (6.52)]. В ядрах с большими амплиту-
дами квадрупольных колебаний параметр т] значительно больше
единицы (обычно порядка пяти), и поэтому при анализе взаимодей-
ствия мы, вообще говоря, выходим за пределы применимости теории
возмущений.
При больших значениях т] можно найти приближенное выраже-
ние для формы линии при фотопоглощении, рассматривая процесс
при фиксированных значениях а2м и усредняя затем по нулевым
колебаниям в начальном состоянии [675, 747, 1023]. Действительно,
при т) > 1 интенсивность перехода распределена по энергетиче-
скому интервалу, большому по сравнению с йсо2; поэтому мы можем
рассматривать падающий волновой пакет с временным разбросом,
малым по сравнению с периодом квадрупольного колебания. В столь
малом интервале времени можно пренебречь временной зависи-
остью величины а2и; тогда вероятность поглощения кванта £,
несенная к единице энергии, будет пропорциональна величине
з
P(£)sl2	Т)] М (sin3T I dy, (6.282)
польн° в°лновая функция основного состояния для квадру-
стве RbIX колебаний [формула (6.705); элемент объема в простран-
? определяется формулой (6.703)] Частоты
<МР, у) = (01[1 + (^g Р COS (у -%)]	(6.283)
406
Г л. 6, Вибрационные спектры
Е — Tutii
соответствуют трем дипольным резонансам для эллипсоида^
ядра с параметрами формы 0 и у [формулы (6.277) и (6.689)]. Вып°Г
няя интегрирование в формуле (6.279), получаем	0Jb
р	[(^? -1) ехр {-	+2 ехр {-
й<02 •	(6.284;
Величина Р (£) нормирована: интеграл от Р (Е) по Е равен еди
нице; таким образом, Р (£) dE представляет собой сумму интен
сивностей (nt = 1, л2 = 0 | i)2 для собственных состояний ( с = i
(при фиксированном значении М) в рассматриваемом интервале
энергии.
Вообще говоря, ширину дипольной силовой функции, связан-
ной с взаимодействием (6.279), можно найти, вычислив второй мо-
мент:
<(£ -	=	ЙЮ1)2 {nr = 1, п2 = 01 г)2 =
= <«1 = 1, п2 = 0|(£')2|п1=1, п2 = 0> =
= ^n2(^2)2 = 0,20PHW.	(6.285)
где — средний квадрат квадрупольной флуктуации в основном
состоянии [формула (6.52)]. Взаимодействие не влияет на среднее
положение интенсивности перехода, так как среднее значение Н'
обращается в нуль в состоянии пх = 1, п2 — 0.
Второй момент может служить удобной мерой уширения линии
в данном случае, поскольку сумма по i в формуле (6.285) довольно
слабо зависит от вклада далеких хвостов силовой функции. [Этим
данный случай резко отличается от случая лоренцевой формы
линии, в котором второй момент расходится и потому не может
служить мерой ширины линии (т. 1, стр. 296).] Действительно, все
высшие моменты ((Е — tfcoj п) при четных п имеют порядок вели-
чины (т|/2со2) ", что соответствует силовой функции, убывающей
быстрее любой степени энергии. (См. гауссову форму силовой функ-
ции [формула (6.281)] при больших тр)
Детальную структуру линии дипольного поглощения можно
установить путем численной диагонализации гамильтониана с У^'
том взаимодействия. Соответствующий пример приведен на фиг. 6. •
Нетрудно видеть, что приближение сильной связи позволяет вое
произвести в основном ход кривой формы линии на фиг. 6.15»
не воспроизводит более тонкие детали рассчитанного спектра
На фиг. 6.25 (стр. 446) представлена оценка (6.282) вкла^
диполь-квадрупольного взаимодействия в ширину дипольного ре
нанса в сравнении с экспериментальными ширинами. Влия
указанного взаимодействия, по-видимому, можно приписать
§ в. Эффекты ангармоничности в колебаниях
407
ную часть полной ширины, но в большинстве случаев срав-
чИТеЛтЙ вклад дают и другие взаимодействия
НИ Пиполь-квадрупольное взаимодействие можно изучать также,
процессы второго порядка, которые через виртуальное
ЛйМЬ1И
исследуя
Взаимодействие дипольного возбуждения с квадрупольными коле-
баниями.
фиг. 6.15.
нализована*аРактеРизУК>щая связанные дипольные и квадрупольные колебания, была диаго-
I = j, причем л состояний с одним дипольным квантом (гц = I) и полным угловым моментом
вертикальных °ЫЛИ учтены все компоненты с числом квадрупольных квантов до 14. Длина
Квад	линий, проведенных при разных собственных значениях Е пропорциональна
S ве?ояХЛтИЛДЫ для компоненты с п2 == 0 и, следовательно, дает относительную вели-
Сплошная кв ТИ ПеРех°Да Я(Е1; 0->t) для дипольного поглощения в основном состоянии.
Ривая соответствует приближению сильной связи {формула (6.284)]. График
заимствован из работы [747].
и°30биУб*деНИе Дипольного состояния приводят к вращательным
?-лучейЩоННЬ1м возбуждениям ядра (комбинационное рассеяние
квадр Ь2’ 7921 см. также обзор [454]; кулоновское возбуждение
Р) вольных колебаний при дипольных возбуждениях второго
108
Г л. 6 Вибрационные спектры
порядка [354, 776]; см также обзор [304]) В этом случае возбуж
ние вращательных и вибрационных состояний с частотами, маль^'
по сравнению с частотой дипольного возбуждения, можно’хапатЛ*1
ризовать дипольной поляризуемостью, рассматриваемой как фуЗ6'
ция формы и ориентации ядра	у к'
Если направление поляризующего электрического поля р
совпадает с направлением одной из главных осей х деформирован
ного ядра, то индуцированный дипольный момент d имеет то ж'
самое направление, и его можно рассчитать, рассматривая воз-
мущение, вызванное взаимодействием ЕГ = Предполагая*
что частота электрического поля равна со^, находим [см. ’
формулы (6.238)]
• ВЫВОД
Ех — (£х)о COS (Off,
<dx) = рх (со£) ~ (Ех) ехр {—	} + компл. сопр.,
(6.286а)
Рх (®г) = | <«1х = 1 I I 0) I2 х
X Г--------------j-----+------------i----j----‘ =
Й (<о1х-и£) - -2- (Г1х Й (ш1х + ш£) + у /г]х
_______2 I (^ix = М ^х I Q) |2	___ (6 2866)
(Йш1х)2+у Г1х—(ЙШе)2 —,ЙШ£Г1х ’
где затухание дипольных состояний представлено мнимой частью
—гГ1х/2 резонансной энергии. Очевидно, что комплексный коэф-
фициент поляризуемости удовлетворяет соотношению симметрии
рх (—со) — р* (со), поскольку поле Ех и момент dx действительны.
При Г1х = 0 формула (6.2866) эквивалентна выражению (6.216),
но отличается от него множителем —х, так как взаимодействие,
входящее в определение коэффициента поляризуемости х, равно
—xaF
Приближенно можно полагать, что сила осциллятора £1 для каж-
дой компоненты дипольного возбуждения не зависит от деформации
(стр. 403), и поэтому
— гсо£Й-1Г г
Р* = Р ®?х-шЬ-('шЕЙ“1Г1х ’
8ло/гч п	1ч	йач	(6.287)
Р—~7гВ(Е\\ ^1=0->И1= П-ТТ---------v
г 9 v ’	1	7 (^°1)2 — (^е)2— 1П(аЕГ1
NZe2
МА (со* —
где р — поляризуемость недеформированного ядра с резонансной
энергией — iT\/2. В выражении для р мы приняли для си
осциллятора дипольного возбуждения классическое значение (6-	7
$ 6. Эффекты ангармоничности в колебаниях
409
R случае произвольной ориентации электрического поля отно-
ьно ядра поляризуемость можно представить (в декартовых
сПТе*чинатах) в виде симметричного тензора второго ранга с соб-
К иными значениями рх и главными осями, совпадающими с осями
СТ^твенной системы координат ядра В разложении по сфериче-
ским тензорам поляризуемость содержит скаляр р(0) и квадруполь-
ный тензор р ц':
<^> = Р<ЧЕи-Мр(2)£)(21)1ц,	(6.288)
де и — сферические компоненты векторов d и Е [формула
И 148)]. Сферические тензорные компоненты поляризуемости свя-
заны с собственными значениями ри и углами ориентации <р, е, ф
обычным преобразованием
р(0) = у(р1 + р2 + Рз),
Рц’=—	[(^Рз — Pi — Рг) (ф» Ф) +
+(4Г	0>	9- w] • <6-289)
[Аналогичное соотношение связывает квадрупольную деформа-
цию а2ц с углами ориентации ядра и приращениями 6/?х осей ядра;
формулы (6.701), (6.702) и (6.704).]
В том случае, когда деформация оказывает малое влияние
на поляризуемость, можно воспользоваться разложением по сте-
пеням деформации ядра, что в первом порядке дает [формулы (6.287)
и (6.277)]
(6.291)
где мы пренебрегли затуханием. Соответствующая тензорная поля-
ризуемость такова:
Р(о) = Р>
Ри = —5 (2л)-*/« р _5±_а
“гн амплитуда квадрупольной деформации [формулы (6.688а)
и (о.704)].
Зависимость поляризуемости от ориентации и формы ядра озна-
ает наличие связи с вращательными и вибрационными степенями
воооды. Так, амплитуда рассеяния у-лучей на ядрах пропорцио-
льна индуцированному дипольному моменту; поэтому относитель-
а^е вероятности упругого и неупругого рассеяния определяются
фиц Ютными значениями квадратов матричных элементов коэф-
CKoi НТОВ поляРизуемости. (См. о рассеянии частицы на несфериче-
'' ядре в адиабатическом приближении, гл. 5, приложение 1,
410
Гл. 6. Вибрационные спектры
стр. 279). Экспериментальные данные о комбинационном
нии у-лучей на деформированных ядрах рассматриваются на сто
Дипольная поляризуемость приводит также к дипольному в
модействию между ядром и заряженной частицей, которое Мо^и‘
оказывать влияние на сечения рассеяния и энергетические упс)
связанных систем. Если период относительного движения вЛНи
по сравнению с периодом дипольного колебания, то это взаимоде^
ствие можно выразить через статическую поляризуемость. Из гь/*
мул (6.288) и (6.291) получаем	Р’
^пол=-4<Ф'Е =
(6.292)
где г, 0, ф — сферические координаты частицы с зарядом Z&
3. Связь колебания с вращением
В деформированных ядрах вибрационные типы возбуждений
мы рассматривали в первом приближении относительно статиче-
ского несферического положения равновесия (§ 3, п. 2). Конечная
частота вращения означает наличие взаимодействия между вибра-
ционными и вращательными степенями свободы, которое можно
проанализировать общим методом, изложенным в гл. 4.
В низшем порядке гамильтониан взаимодействия колебания
с вращением линеен по вращательному угловому моменту [ДК = 1,
формула (4.196)] Соответствующий член возникает благодаря
силе Кориолиса, действующей на внутренний угловой момент
[формула (4.197)]:
=	+	(6.293)
где	± iR2 — компоненты вибрационного углового мо-
мента. Если у ядра имеются типы возбуждения с разными значе-
ниями v, которые можно приближенно представить в виде разных
ориентаций возбуждения с мультипольностью X (стр. 318), то мат-
ричные элементы оператора /?+, соответствующие сдвигу кванта
от v до v + 1, можно выразить через X и v [формулы (1 97) и (1.18о)ь
<nv+1=l, K = v+1, IM\H'\nv=l, IM) =
Приближенное выражение (6.291) должно, вероятно, быть при^
менимым к высокочастотным возбуждениям, для которых влия
деформации можно считать малым возмущением. Но для этих в
q £ Эффекты ангармоничности в колебаниях
411
!Й кориолисово взаимодействие очень мало по сравнению
бужДеН1 чес^ими интервалами, соответствующими возбуждениям
с ^^ым v (Кориолисово взаимодействие по порядку величины
с Ра3\/£М^/9» тогда как указанные энергетические интервалы —
РавН0 /гшоб ₽М'2/’-) В случае дипольного возбуждения сла-
П°РЯД свЯЗи с вращением подтверждается тем обстоятельством,
б°сТЬтНОшение сил осцилляторов, соответствующих возбуждениям
ЧТ°^ 0 и v = 1, оказалось в согласии с величиной 1 2, которая
ручается, если пРене®Речь вращением (см. например, фиг. 6.21,
стр. 435).
ЕВ случае низкочастотных возбуждении энергетические интер-
ы п (cov +1 — wv) оказываются значительно меньшими (обычно
порядка нескольких сотен килоэлектронвольт). Поэтому взаимо-
действие такого порядка величины, как в формуле (6.294), может
привести к существенной развязке колебания и статической дефор-
мации, так что интенсивность переходов сконцентрируется на низ-
шем вибрационном возбуждении данной мультипольности, как
в сферическом ядре. Но на низкочастотные возбуждения существен-
ное влияние оказывает деформация (стр. 316), и поэтому выраже-
ние (6.294) следует, по-видимому, рассматривать лишь как каче-
ственный результат. О влиянии кориолисова взаимодействия на низ-
кочастотные октупольные полосы говорится на стр. 508. В случае
низкочастотного квадрупольного возбуждения в сфероидальных
ядрах связь с вращением в первом порядке вида (6.294) отсутствует,
поскольку возбуждение с v = 1 соответствует самому вращению
(стр. 314).
Взаимодействия второго порядка по вращательному угловому
моменту характеризуются значениями Д/< = 0 и ДАТ = 2 и имеют
вид (4.216) и (4.206). Когда колебание можно считать адиабатиче-
ским по отношению к внутреннему движению (/гсовиб <; ДЕВН),
внутренние операторы h0 и h2 можно выразить через момент инер-
ции, зависящий от амплитуд колебаний а:
h =^/J_____________1 Г1 s 1 (L ।
°	2\jj(a)	7 (aP0BH) I?’ 2 >JJ’
. _ й2 1__________1_',
2 “ 8' \7» (a)	7« (a)/' ’
(6.295)
ГД6 аРавв — аксиально-симметричная равновесная форма, а $ (а) —
омент инерции при статической деформации
° случае квадрупольных колебаний разложение параметров
имодействия (6.295) с точностью до членов первого порядка
амплитудам колебаний Р — ₽0 11 Y (формула (6.90)] дает нам
h
2	4 ’ /т-о
(6.296)
412
Гл 6. вибрационные спектры
(6.297а)
(6.2976)
(6.297в)
Здесь мы воспользовались соотношением^ (у)	(—у), КОто
следует из симметрии деформации [формула (6.715)1. Матричн
элементы операторов /г0 и h2 можно определить путем аналц'е
относительных интенсивностей £2 для переходов между вибрацц03а
ными возбуждениями и основной полосой. Для коэффициентов Н"
и аг в формулах (4.252) и (4.230) получаются соотношения |<ы
мулы (4.208), (4.211), (4.218), (4.220) и (4.231)1	w
п - ~fta ( 1 д?\
2?	ар/р=₽0’
'h = 2+S,-
2 г ? /tov ду /у-о
Здесь мы воспользовались выражением [формулы (6.90) и (6.91а)[
(6.298|
( 2 /2у при v = 2	}
для внутреннего £2-момента (3- и у-колебаний относительно стати-
ческого квадрупольного момента Qo.
Примеры анализа взаимодействия между вращением и р- и у-коле-
баниями приводятся на стр. 146 (у-колебания в ядре 16бЕг) и на стр.
155 (Р-колебания в ядре 174Н/). Величины/'1 и р/'1 (d//dfj)
оказываются порядка единицы. При жестком вращении эти лога-
рифмические производные — порядка параметра деформации ро,
но наблюдаемые большие значения производных согласуются с пред-
полагаемой сильной зависимостью момента инерции от деформа-
ции [см., например, формулы (4.249) и (4.267)].
Разложение эффективных моментов инерции в формуле (6.295)
дает нам множество членов взаимодействия высших порядков.
Среди членов второго порядка по амплитуде колебаний мы имеем
взаимодействие, диагональное по числу вибрационных квантов;
такие члены характеризуют изменение момента инерции за счет
увеличения (а2) в связи с вибрационным квантом. К членам вто-
рого порядка относится также взаимодействие, которое перемещает
квант между возбуждениями с Av = 0, dr 2, подобно связи между
(3- и у-вибрационными полосами. Инерционные члены второго
порядка такого типа должны быть на порядок величины меньше
членов первого порядка (6.293); но в случае [3- и у-колебаний экспе-
риментальные матричные элементы второго порядка во многи
случаях оказываются порядка 1 кэВ, как и для членов первог
порядка. [Моменты инерции для полос с пр = 1 и = 1 моЖпе,
заимствовать с графиков, о которых говорится на стр. 485) (V"K0"
бания) и стр. 486 ([3-колебания).] Экспериментальные данные от
сительно матричных элементов (пу = 1 | h2 |	= 1) представлю
Примеры к гл. б
413
, тЯХ [990] (152Sm и 154Gd), [54] (158Gd), [525] (182W и 184W),
ИОР?8[ (238U ” 232Th)’
1 To что классическое адиабатическое разложение дает неудов-
пительные результаты, можно объяснить тем, что эффектив-
ЛеТ" вклад в эти возбуждения вносит довольно малое число квази-
нь1ИиЧных конфигураций. Действительно, в случае двуквазичастич-
Ча« возбуждений соответствующее взаимодействие (Av = 0) должно
ь довольно большим (см., например, о приращении момента
нерции при квазичастичных возбуждениях; стр. 226). Возможно
"акже, что большие эффекты взаимодействия связаны с дополни-
тепьными степенями свободы, которые наблюдаются в каналах
с '%п = 0+ и Кп = 2+ (стр. 489).
ПРИМЕРЫ К ГЛ. 6
Функция отклика системы. Одночастичный спектр возбужде-
ний для полей мультиполей в ядре с Z=46, N = 60 (фиг. 616,
6.17, табл. 6.4 и 6.5)
Исходной точкой в микроскопическом описании колебательного движения
ядер служит анализ одночастичных спектров возбуждений в поле с интересу-
ющими нас характеристиками (гл. 6, § 2, п. 3). В рассматриваемом случае
нас интересует распределение силы переходов между одночастичными состояни-
ями сферического потенциала, связанное с полем мультипольности F~r^Y^
(поля со спиновой зависимостью и поля со спариванием рассмотрены ниже).
О'клик ядра на поле F характеризуется коэффициентом поляризуемости за-
висящим от частоты поля. Частоты возбуждения ядра являются полюсами этой
функции отклика, а интенсивностью, или силой переходов, определяются вы-
четы в полюсах [см. выражение (6.241) для функции отклика в случаях дви-
жения независимых частиц].
Одночастичные энергии. На фиг. 6.16 и 6.17 приведены спектры ядра
с А = 106, Z = 46, вычисленные на основе модифицированного потенциала гармо-
нического осциллятора, который приближенно воспроизводит расстояния меж-
ду одночастичными уровнями в окрестности поверхности Ферми [881]:
V = 1	vls^0 (Is) + vzzftcoo (P - <!a>jy)	(6.299
eo следующими параметрами:
йа>0=414-’/’=8,7 МэВ,
vis = ~ 0,10,
	' 0 0,0175	приУУ=±О, 2,_ при Af = 3,	(6.300)
	0,0225	при М = 4, 5, 6,	
0,020 при N = 7, 8.
Чл	'
потенци°ТеНЦИала (6.299), пропорциональный I2, описывает отклонение ядерного
^мониала’ облаДаюш>его хорошо определенной границей, от потенциала
Ния р ческого осциллятора со свойственными ему вырождениями (см. значе-
П ДЛЯ потенциала Вудса—Саксона на фиг. 6.49). Здесь /V — главное
414
Гл. 6. Вибрационные спектры
квантовое число осциллятора, <12>Аг — среднее значение для уровней рассмат
риваемой осцилляторной оболочки,
<|2>jv = |a/(V+3).	(6.30!)
Вычитание этого члена приводит к тому, что расстояние между центрами
тяжести двух соседних оболочек остается равным Йсо0 [526].
40
а
~ В(Л~/, т=О), (рерлш2
20
1д9/2-М”/г —
----1f5'2-l97/2
tf7/z ~lg9/z----
—2p3'2-2(t5/2
0
40
ho)0
20
80
40
B(Z-f 0)f (pepjuu2
!g9/2-lh"/2-
—2d5/2-2f7/i
y-if5/2 -tg7/z
— 1g7/2-1h9/2
I I y_1g9/z-2f7/2
*<*>0
B(X- /; r=f), (рерлш9
2hO)0 ЛЕ
fgfy-thtyz—
— !g9/2-th,,^2
^-2d5/2-2f7/z
|[-— Iffy ~!g 7/z
||—Igfy-fhfy.
---1fs/2-1g7/2 1f7/i ~lgs/2-~
hw0
2hU)0
ЛЕ
Фиг. 6.16. Одночастичные возбуждения с Л=1 для ядра с Z = 46 и N
Фиг. 6.16 и 6.17 подготовлены Вейе и Дамгордом.
^60-
a
0


в

28Epn ~ Of 90ho)g
Примеры к гл. 6
415
П’тендиал (6.299) приближенно воспроизводит экспериментальные значе-
еогии одночастичных состояний в окрестности поверхности Ферми.
нИЯ ЭНьку приведенные данные лишь качественно иллюстрируют форму одно-
Л°СКОной функции отклика, мы не пытались проводить подгонку параметров
чаСТИЧиала, которая могла бы детально воспроизвести одночастичный спектр,
потеки ^га’ется> что конфигурация основного состояния рассматриваемого ядра
ЛреДтс*я из заполненных оболочек Z = 40, /У = 50, а также из протонной
Дигуранни (W* и нейтронной конфигурации (2di/t)<>	(т. 1,
Ф|,г' Энергии зарядово-обменных переходов (цт = ± 1) на фиг. 6.16 сдвинуты
сравнению с переходами jnT = 0 на величину — 0,45ЛшоРл? Этот сдвиг равен
разности энергий 6ерл соответствующих уровней нейтронов и протонов:
6ерл = е(/, протон) — е (/, нейтрон),	(6.302)
которая определяется суммой вкладов кулоновской энергии и энергии от потен-
циала симметрии, связанного с нейтронным избытком. Поскольку рассматри-
ваемое ядро лежит близко к дорожке p-стабильности, поверхности Ферми
для нейтронов и протонов у него примерно одинаковы [е (£вд, протонная) %
^е(£7/, нейтронная)]. Поэтому
6ерл = е(^7/2, нейтронная) — е (g9/*, нейтронная)=
9
= —g- vish^Q = O,45fao0.	(6.303)
Вероятности переходов. Ординаты на фиг. 6.16 и 6.17 дают интенсивность
мультипольных возбуждений. Приведенная вероятность для переходов из пол-
ностью заполненной оболочки [формулы (3.111) и (1.160)] имеет вид
В (X; 0->(/\72)Х) = (2/] + 1)Зодн(Х; У1->/2),	(6.304а)
5одн(Ь; /1^/2) = (2/1 + 1)-1|</2||^Ъ.11/1)12-	(6.3046)
Одночастичный приведенный матричный элемент можно определить по фор-
муле (3.69). Множитель (2У1 + 1) в формуле (6.304а) указывает число частиц
заполненной оболочки, которые вносят вклад в амплитуду перехода.
В случае переходов, затрагивающих частично заполненные оболочки, мы
предполагали, что нейтроны и протоны основного состояния связываются по
отдельности в угловой момент, равный нулю, а приведенные на фигуре интен-
сивности мультипольных переходов определяются выражениями
s га. - (у г1/?+а+> -») а.
в (*• О ”). ’ (/ "W - 2РТ и +' - ”) (М - П-
(6.305а)
(6.3056)
(6.305в)
дав^а>КеНИе (6-305а) соответствует линейной интерполяции между результатом,
ПпиаеМЬ1м Формулой (6.304) при и = 0, и нулевым значением вероятности
инт? Л = Точно так же выражение (6.3056) соответствует линейной
ходаРП(АЛопЦИИ межДУ результатами при п = 0 и п = 2/14-1. Вероятность пере-
рати 5в) обращается в нуль при м = 0 и л = 2/4-1 и соответствует квад-
мУЛы7мАНТерполяции Результата при и = 2, который легко получить из фор-
Част U- 165а). Множитель 4 при этом отражает когерентность вкладов обеих
нов по В ВеЛИ-чинУ ^одн /-►/)• [Выражения (6.305) с точностью до чле-
(6.307)?ЯЛКа i 1 можно также вывести в схеме связи квазичастиц [формула
ляю-гро если Заметить, что для конфигурации jn парные амплитуды опреде-
Я величинами & = n(2j+l)~i и u2 = (2j + 1 - п) (2/+ I)'1.]
Фиг. 6.17а-
О
Ьор, ь. Мопельсон — ИЗО
Фиг. 6.176.
Фиг. 6.17. Одночастичные возбуждения нейтронов с Х = 2, 3, 4 для ядра с ;V=60.
д —Л = 2; б —Л = 3; я —Л = 4.
Примеры к гл. 6
419
Лигурах приведены функции отклика для нейтронов и протонов
поля с т = 0 или т=1 функция отклика получается суммиро-
лорознь. (А в недТрОнов и протонов.) Для зарядово-обменных переходов
ванием в приведены вероятности 5(т=1,	== it 1, Х=1), полученные
на фиг. • ВЬфаЖений (6.304) и (6.305) для соответствующих орбиталей
умножен т матричного элемента (п]т+11р), равный двум [формула (6.122)].
на иесТвеНяо форму спектров на фиг. 6.16 и 6.17 можно объяснить, если
з0Ваться правилами отбора с учетом осцилляторного квантового числа N
Х=1,
ДУУ=1,
AW = 0, 2,	Х = 2,
A2V= 1, 3, х=з,
(6,306)
Д/V = 0, 2, 4,	V-=4,
т ким образом, для дипольных переходов с |ыт = 0 частоты возбуждений при-
близительно равны осцилляторной частоте Йсо0. В случае же квадрупольных
переходов возбуждения формируют две группы с энергиями 0 и 2/го)0. При Х==3
из правила (6.306) явствует, что возбуждения группируются вблизи энергий
и 3й(о0. Эта тенденция видна также в спектре на фиг. 6.17, б. Спин-орби-
тальная связь и член с I2 в потенциале (6.299) порождают октупольный переход
^s/	с очень малой энергией, затрагивающий только состояния осцил-
ляторной оболочки 50 < N < 82. (Наличие этой низкочастотной компоненты
у октупольной функции отклика можно рассматривать как проявление систе-
матической тенденции к формированию новых типов оболочечной структуры
в тяжелых ядрах.)
Другое важное правило отбора для спектров на фиг. 6.16 и 6.17 связано
с тем, что оператор перехода не зависит от спина. Поэтому, когда мультиполь-
ность мала по сравнению с величиной j для одночастичных состояний, пере-
ходы с переворотом спина (д = lt ± V2 /2 = ^2 + V2) оказываются слабее
переходов, сохраняющих относительную ориентацию спина и орбитального
момента (Д = lY ± r/2	j2= 12 + !/2). Это правило отбора учитывается коэффи-
циентом Клебша —Гордана (j/MOlкоторый появляется при вычислении
приведенных матричных элементов в выражении (6.304) [формула (3.165)].
Волновая функция для коллективной моды. По одночастичной функции от-
клика можно определить, как показано в § 2, п. 3, и § 5, п. 8, структуру коллектив-
ной моды, возбуждаемой полем F. В рассмотренных ниже примерах мы восполь-
зуемся этим для вычисления частоты коллективных возбуждений и вероятно-
£еР^Х()д0В ДЛЯ коллективных мод, связанных с мультипольностями
Анализ функции отклика и ее связи с полем колебаний позволяет опре-
делять микроскопическую структуру коллективной моды, находя амплитуды X
> которые характеризуют возбуждение кванта на основе переменных одно-
16 движения [см. формулу (6.36) а также более общее выражение
дипо ^ЛЯ иллюстРаЦии такого анализа в табл. 6.4 приведены амплитуды
леннЛ“Н°И МОды’ вычисленные с использованием функции отклика, представ-
?а Фиг- 6.16. Связанное с дипольной модой поле в основном изовекторно
нуюХ * Н° содеРжит и малую изоскалярную компоненту, пропорциональ-
но неитРонн°му избытку, что гарантирует ортогональность данной моды
и QTo ыошению к движению центра тяжести [формула (6.328)]. В первом
°Дноча столбцах приведены значения и /2. Энергии соответствующих
В С1еастичных пореходов -> /2 даны в третьем столбце (в единицах йсоо),
нов\ДУЮ1ЦИх ст°лбцах приведены вероятности переходов (порознь для нейтро-
ПеРехоПР°Т°НОВ)’ отнесенные к вероятностям соответствующих одночастичных
на /• д°в- Символом (12) обозначены возбуждения с переходом частицы с fa
2‘ пользуемся такой схемой связи для частиц сверх заполненных
14*
420
Гл, 6. Вибрационные спектры
оболочек, которая приводит к выражению (6.305) для В(0->(12)). Одночаст
ные матричные элементы для оператора F можно найти, пользуясь форму
(2.154) и (3.69) [см. также формулу (3.111)]. Амплитуды Х(12) и у л?
в последних столбцах табл. 6.4 вычислены по формуле (6.253). Для оцен
коллективной частоты используется выражение (6.315), которое дает значецКИ
0>о== 1,92соо, неплохо согласующееся с экспериментальным значением часто**6
фоторезонанса в этой области ядер (фиг. 6.19). Поскольку матричные
менты F (12) и Fa мнимые, амплитуды X (12) и Y (12) вещественны. Нормио
вочные постоянные амплитуд Х(12) и Y (12) зависят от величины kFa, kotodv
можно найти из условия (6.249а). Величину k, необходимую для определени
коллективной частоты, можно найти, пользуясь формулой (6.244). Соответст
вующее значение k и сила осциллятора । Fa |2йсоа для коллективной молы
также приведены в таблице	д
Таблица 6.4
ОДНОЧАСТИЧНЫЕ АМПЛИТУДЫ В КОЛЛЕКТИВНОМ дипольном
ДВИЖЕНИИ
		t‘2 — C‘1	в (0 —»(12))		Нейтроны		Протоны	
			ВОДН(/’~/а'					
								
			П	p	X (12)	У (12)	X (12)	у (12)
2Р»Л	3s‘/2	1,09	2	2	—0,088	—0,024	0,114	0,032
	2^>/г	1,11	2	2	0,167	0,045	—0,218	-0,059
2рз/2	3sV2	1,24	4	4	0,152	0,033	—0,198	—0,043
»	2da/2	1,26	4	4	0,092	0,019	—0,120	—0,025
	2^s/2	1,01	—	4	—	—	—0,261	-0,081
‘А/2	М/2	1,18	6	6	0,132	0,031	—0,172	-0,041
>	2^‘/j	0,93	—	6	—	—	0,034	0,012
	^’/2	0,97	3	6	0,184	0,061	—0,039	-0,112
V’/,	2da/2	1,28		8	—	—	—0,238	—0,048
	*^’/2	1,32	4	8	0,056	0,010	—0,103	-0,019
		0,87	—	3,2	—	—	—0,221	—0,083
2^6/г	3₽’/2	1,28	6		0,213	0,043		
	2А/2	1,30	6		0,089	0,017		
	2А/,	0,95	6		0,255	0,086		
‘«’/г		1,26	4		0,126	0,026		
	2А/,	0,92	4		—0,015	—0,006		
»	lh>/, ^ft/г	0,96 1,36	4 10	6	0,229 0,238	0,077 0,040	—0,241	—0,041
»	Xh»/2 \hl'h	1,41 0,86	10 10	6 6	0,092 0,326	0,014 0,124	—0,093 —0,329	—0,014 -0,126
со	0= l,92®0;	z = 0,0244Afco5;			SX2 =	= 0,479	2X2 =	0,617 :0,055
	\Fa l2«c	о0=Ю2й2/2М			s/2=	= 0,042	sr2=	
Амплитуды X (12) и Y (12) компонент дипольной моды, связанных с одноча та^л)1Це
переходами -*> /2, получены путем анализа нормальных мод. Приведенные преД'
данные относятся к ядру Z = 46 и N — 60. Одночастичный спектр для такого Ди
ставлен на фиг. 6.16.	__
Примеры к гл. 6
421
Поскольку размытие для одночастичных частот, приведенных в табл. 6.4,
довольно мало по сравнению со сдвигом, связанным со взаимодействием, вол-
ювая функция коллективного состояния имеет такую же структуру, как
f( в случае вырожденного одночастичного спектра возбуждений. В частности,
коллективная мода содержит около 98% силы осциллятора, связанной с полем
с “[Наличие в потенциале (6.299) членов, зависящих от скорости, приводит
к тому, что полная сила осциллятора не равна в точности сумме сил клас-
сического осциллятора, т. е. величине 4NZ/A в единицах Й2/2М [формула
(6.167)], но разница составляет лишь доли процента. В этом можно убедиться,
вычислив величину £\F (12 I2 (в2 — ej. См. в связи с этим об эквивалентности
члена с I2 и возмущения, создаваемого потенциалом, пропорциональным г4.]
Влияние парных корреляций. Поведение функции отклика при низких
частотах существенно модифицируется парными корреляциями, которые не были
учтены на фиг 6.16 и 6.17. Сила парных корреляций характеризуется пара-
метром А, принимающим для рассматриваемого ядра (г = 46, М = 60) значения
Ал= 1,3 МэВ для нейтронов и = 1,4 МэВ для протонов (т. 1, фиг. 2.5).
При наличии парных корреляций одночастичное движение рассматривается
на основе представления о квазичастицах (стр. 568). В табл. 6.5 приведены
данные о квазичастичных состояниях для двух ближайших к поверхности
Ферми оболочек. В таблице приведены энергии квазичастиц Е (формула (6.602)1
и числа заполнения и2 [формула (6.601)]. Необходимый для расчетов химиче-
ский потенциал был вычислен по формуле (6.611).
Таблица 6.5
СВОЙСТВА КВАЗИЧАСТИЧНЫХ состояний
Уровень	МэВ	Z = 46,		У = 60	
		(^ = 1.4.	*р=-2,7)	(Дп=1,з.	л„=1,3)
		Е, МэВ	V2	Е, МэВ	!
2р3/	—8,1	5,5	0,98	9,4	0,99
	—7.4	4,9	0,98	8,8	0,99
2р,/г	—6,8	4,3	0,97	8,1	0,99
	—2,9	1,4	0,57	4,4	0,98
	0,7	3,7	0,04	1,4	0,71
	1,0	4,0	0,03	1,3	0,61
ft34	2,7	5,6	0,02	1,9	0,13
	2,9	5,8	0,02	2,0	0,11
^‘7г	4,6	7,4	0,01	3,5	0,03
Однэчастичная энергия, значения которой приведены во втором столбце, вычислялась
с использованием потенциала (6.299) и отсчитывается от энергии осцилляторного уровня
 — 4. Данные таблицы относятся к ядру с Z = 46, N — 60.
Основным результатом учета парных корреляций для функции отклика
является сдвиг низкочастотных переходов в область энергии квазичастичных
возбуждений Ех~\-Е^ т. е. в область энергий порядка 2Д. Интенсивность
переходов определяется [формула (6.6106)] выражением
В (X, v = 0-> V = 2, O'i^(^ + ViU2)2(2/i+ 1) водн(X; н — /а).	(6.307)
Нетрудно ВИдеть что парные корреляции приводят к появлению добавочных
переходов между состояниями, которые в отсутствие корреляции были либо
полностью заняты, либо полностью незаняты. Переходы эти сравнительно слабы
(исключение — когда состояния лежат вблизи поверхности Ферми).
422
Г л. 6. Вибрационные спектры
СВОЙСТВА ДИПОЛЬНЫХ МОД (Хл = 1—)
Резонансы фошоядерных реакций на сферических ядрах
(фиг. 6.18—6.20)
Систематика энергий. Первой колебательной модой, наблюдавшейся в ядрах
была мода, возбуждаемая в реакции фотопоглощения х’. Оказалось, что в сече
нии фотопоглощения на всех ядрах имеется сильный и довольно узкий мак-
симум, лежащий (в зависимости от массового числа) в области энергий
11 В первых экспериментах с у-лучами, испускаемыми в реакциях захвата
протонов, было установлено наличие сильного ядерного фотоэффекта [184]
После того как были созданы бетатроны — гораздо более мощные и удобные
для эксперимента источники у-лучей, —были обнаружены дипольные резонансы
часто именуемые «гигантскими резонансами» [63, 64].
Еще до открытия резонансов в фотопоглощении Мигдал [826] показал, что
среднюю частоту для дипольного поглощения можно рассчитать по поляризу-
емости ядра, которая связана с энергией симметрии полуэмпирической форму-
лой масс. После открытия же этих (довольно резких) резонансов были предло-
жены [490, 651, 1070] более детально разработанные модели коллективного
движения нейтронов ядра относительно протонов
О роли одночастичных степеней свободы в явлении фотоэффекта оказалось
возможным судить, когда обнаружилось, что отношение вероятностей процессов
(у, р) и (у, п) в тяжелых ядрах на много порядков больше теоретического,
вычисленного в рамках статистической модели [600]. Этот факт стимулировал
исследование процессов фотопоглощения с прямым выбиванием протонов [280].
Вслед за появлением новых подтверждений правильности оболочечного подхода
в ядре были предприняты попытки более детального описания дипольной моды
с помощью одночастичных возбуждений [1194]. Некоторое время считалось, что
коллективное описание и модель независимых частиц взаимно исключают друг
друга [1170,1193].
Существенный шаг в прояснении этой проблемы был сделан, когда ока-
залось, что коллективное движение в системе с вырождением по одночастич-
ным возбуждениям можно рассматривать, не вводя никаких корреляций между
частицами, кроме корреляций, связанных с принципом Паули. (Данное обсто-
ятельство и послужило отправной точкой для анализа, проведенного в § 2, п. 3.)
Впервые с этим столкнулись при исследовании движения независимых частиц
в потенциале гармонического осциллятора. Из-за полного вырождения по возбу-
ждениям, связанным с движением центра тяжести такой системы, даже
в отсутствие взаимодействий волновую функцию основного состояния системы
можно записать в виде произведения волновой функции, зависящей от отно-
сительных координат нуклонов, на волновую функцию центра тяжести системы,
описывающую нулевые колебания в потенциале гармонического осциллятора
[121, 376].
В случае относительного движения нейтронов и протонов аналогичные рас-
суждения показывают, что коллективную дипольную моду можно представить
в виде суперпозиции одночастичных возбуждений, по которым у системы
имеется вырождение [200]. Учет взаимодействий между нуклонами приводит
к тому, что дипольная сила для отдельных одночастичных возбуждений склады-
вается когерентно и сдвигается в область более высоких частот. Это был
продемонстрировано [377] вычислениями на основе оболочечной модели ДЛ^
ядра 16О. На систематический характер этого эффекта указали Браун и Боль-
стерли [212].
В рассматриваемом примере мы уделим основное внимание дипольным к°л
баниям и их связи с феноменологическим потенциалом симметрии. Аналогичн
связь была использована в работах, основанных на применении к ядру те0Р
ферми-жидкости [829].
Примеры к гл. 6
423
Фиг. 6.18. Полное сечение фотопоглощения для ядра l97Au.
Экспериментальные данные взяты из работы [458]. Сплошная кривая построена по резо-
нансной формуле Брейта — Вигнера:
/Г\2
=	\ 2 )	Е
ГДе £рез~13»9 МэВ, Г — 4,2 МэВ, °рез = 53 ферми2, причем
25 МэВ
С	М 7
) od£ = (300± 30) МэВ ферми2 = (1,1 ±0,1) 6-^- МэВ-ферми2.
8 МэВ
моя<ЬНО затРУдняет вылет заряженных частиц. Поэтому сечение фотопоглощения
стано° опРеделить> измеряя выход нейтронов. При энергиях выше 15 МэВ
де1итВИТСЯ ощУтимым вклад процесса (у, 2и), сечение которого удалось опре-
ь, измеряя выход двух нейтронов на совпадения.
°т пРеДставленном на фиг. 6.18 случае зависимость сечения поглощения
ной рРгии х°рошо передается резонансной формулой Брейта —Вигнера с шири-
Kdhbv ’ пропоРционадьной f3, как и должно быть для дипольного поглощения.
ф°рм^10/ сечения можно рассматривать и как резонансную линию лоренцевской
от маг СМ ниже)- Следует, однако, подчеркнуть, что форма линии зависит
ричных элементов взаимодействий, ответственных за затухание (см.
424
Гл. 6. Вибрационные спектры
например, стр. 465). Поэтому у нас нет оснований полагаться на форму*
Брейта —Вигнера вдали от резонанса.	‘
В резонансах сечения фотопоглощения на других ядрах видна дополнител
ная структура (фиг 6.21 и 6.26).	ь'
Когда волновое число фотона [£ = (200 ферми)-1 £ (МэВ)] мало по сравне
нию с обратным радиусом ядра, основной вклад во взаимодействие фотон
с ядром должен вносить электрический дипольный член. Дипольный харакгеа
Фиг. 6.19. Систематика частот дипольных резонансов.
Экспериментальные данные во всех случаях, кроме 4Не, взяты из работы [568]. Значения
резонансной частоты для 4Не приведены в обзорной статье [819]. В случае деформирован-
ных ядер с двумя резонансными максимумами на фигуре указано среднее взвешенное двух
резонансных энергий. Сплошная кривая построена по формуле (6.683), соответствующей
модели жидкой капли.
наблюдаемого фоторезонанса можно установить непосредственно по эксперимен-
тальному сечению, которое позволяет найти приведенную вероятность мульти;
польного перехода для наблюдаемой моды возбуждения. Так, из соотношении
(3.145) и (3.283) мы получаем
f <3(E)dE=(2K+ 1)Л!_Гу(Хл) =
J	Ярез
рез
0,40£резВ (£1; 0 -> рез.) МэВ • ферми2 при Хл= 1 —,
= . 3,1 10-7 (Ерез)3 В (£2; 0-> рез.) МэВ • ферми2 при Хл=2+,	(6-зо8)
4,4 10-3£реэВ (Ml; 0-> рез.) МэВ • ферми2 при = 1 +•
Здесь энергии измеряются в мегаэлектронвольтах, а приведенные вероятности
переходов —в единицах е2 • ферми2^ для £Х и в единицах (eti/2Mc)2 дЛЯ иЧ.
Если спин основного состояния ядра /о не равен нулю, то сечения и матр
Примеры к гл. 6
425
1
ементы в формуле (6.308) равны суммам по конечным состояниям со
нЫе Ложными угловыми моментами, которые можно получить при поглощении
всевозм ной Мультипольности. Сравнение формулы (6.308) с резонансными
ФотоН^траМИ фиг. 6.18 показывает, что если все сечение обусловлено поглоще-
параМ в сила ОСцИЛЛятора приблизительно совпадает с ее значением,
НИеМчаюЩИМСя из дипольного правила сумм (6.176). Если считать, что сечение
П°Д^яно поглощением Е2, то полученные значения для силы осциллятора
ВЫЗблизительно в 25 раз превышают величину, получающуюся из правила
П м для переходов Е2 (6.177). В случае Ml-перехода нам пришлось бы счи-
СУММ^О^(Д41; 0-» рез.) = 4.9 • 103 (ей/2Мс)2. Полная интенсивность Ml-пере-
таТа’ п0 порядку величины должна равняться произведению (eft/2Mc)2 на число
Х°поценных орбит j==l-\-1/2t для которых дополняющие компоненты спин-орби-
та иного дублета / = / —х/2 не заняты [число ненасыщенных спинов, см. фор-
мулы (3.168) и (6.304)]. В золоте это число порядка 20. Следовательно, наблю-
даемое сечение превышает ожидаемое поглощение Ml более чем в 100 раз.
Д Полное сечение рассеяния у-лучей на колеблющемся диполе с энергией
£ и затуханием Г имеет лоренцеву форму, как и в соответствующей клас-
сической задаче:
Зл г 1ГТ1 [__ !__________I_______!______ __
0= тг 1Y J	i Г	1 I ~
k	|Ерез —Е - у *Г	£рез + £ + у /Г
Зл (Гу)рез /	1
= ~9 Р F I	Г ”	i 1
^Рез^(£_£рез)2+^Г2	(£ + £рез)2 + ^Г2^
Е2Г2
=	(£2 —£2)2 + Е2Г2 •	(6.3°Э)
( Е \3	2	1	6л /Г?\
Ео=Ерез4-4 Р, <70 = а(Е0)—f(^)pe3.
Лоренцева форма есть результат суперпозиции двух членов типа Брейта —Виг-
нера в соответствии с тем, что электрическое поле фотона вещественно и
потому содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Поэтому
амплитуда рассеяния фотонного поля обладает симметрией f(—£)=/*(£).
[Такой же симметрией обладают коэффициенты поляризуемости для веществен-
ных полей, см., например, формулу (6.286).]
Сила осциллятора. Как указывалось выше при анализе фиг. 6.18, экспери-
ментальные сечения фотопоглощения свидетельствуют о том, что сила осцил-
лятора в дипольном резонансе сравнима с величиной 5(Е1)класс в классическом
правиле сумм (6.176). Количественное сравнение проводится на фиг 6.20.
Осцилляторная сумма S (Ё1), представленная здесь, была вычислена по полному
сечению фотопоглощения, проинтегрированному по энергии:
( °иОЛ dE=^S(EV) =	^1) МэВ-ферми2 (6.310)
v	Ч'1С	71	(Л1/класс
(S(E1) ^^(Еа-Ее)В(Е1-, О-э-а)).
Для одного узкого резонанса выражение (6.310) следует из выражения (6.308).
оскольку полное сечение линейно зависит от амплитуды рассеяния вперед
оптическая теорема, гл. 2), соотношение (6.310) справедливо для любой супер-
позиции резонансов.
т Подчеркнем, что формула (6.310) не учитывает фотопоглощения для кван.
вот С мУль™юльностью, отличной от £1. Кроме того, в случае, когда длина
*0T0Ha сравнима с радиусом ядра, вероятность Е1-перехода следует
считывать по формуле (3.141), которая учитывает эффекты запаздывания.
426
Гл. 6. Вибрационные спектры
Хотя сила осциллятора для дипольного резонанса примерно равна S (£1)
экспериментальные данные показывают, что сечение фотопоглощения, проин?^’
рированное до Еу 140 МэВ, превышает классическое значение примеру
вдвое (см. обзор [568] и более поздние данные [3]). При £y^=j 100 МэВ в Пп0
цессе фотопоглощения участвуют компоненты ядерных волновых функций
с импульсами, существенно превышающими величины, характерные для одно
частичного движения. Их появление связано с нуклонными корреляциями
Фиг 6.20. Полная сила осцилляторов для дипольного резонанса.
На фигуре приведены полные силы осцилляторов, вычисленные по экспериментальным
данным для энергий возбуждения ниже 30 МэВ За единицу взята величина, соответствую-
щая классическому правилу сумм. Для ядер с А > 50 полная сила осциллятора была
вычислена по данным о выходе нейтронов при облучении ядер монохроматическими у-лу-
чами [460]. Сечения фоторассеяния не принимались во внимание, так как они составляют
лишь очень малую долю полных сечений. В случае более легких ядер следует учитывать
вклад процессов (у, р). Данные для ядер *2С и 27А1 взяты из работы [459], а для ядра
1вО — из работы [327]. Для тяжелых ядер (А >50) имеются другие экспериментальные
данные (см например, [1148]), которым соответствуют полные силы осцилляторов, при-
мерно на 20% большие.
на малых расстояниях. Это непосредственно подтверждается тем, что в реакции
фотопоглощения с большой вероятностью испускаются коррелированные неи-
трон-протонные пары с большой энергией (см. работу [1069] и указанные в не
статьи). Наблюдаемые функции возбуждения и корреляции согласуются с пРедВ
ложением о том, что поглощение является таким же двухнуклонным проЦ
сом, как и фоторасщепления дейтрона [748].	е.
При энергиях фотонов порядка нескольких сотен мегаэлектронвольт с
ние фотопоглощения вновь нарастает [975] и основную роль начинает ИГР’
процесс фоторождения мезонов, идущий через возбуждение барионных Р
нансов отдельных нуклонов. При еще больших энергиях оказывается, что
ние поглощения на тяжелых ядрах значительно меньше величины, соответст
щей независимому поглощению на отдельных нуклонах [26, 232]. Такой э<₽^зИ,
«затенения» можно объяснить, представив физический фотон в виде суперп
Примеры к гл. 6
427
(|еоблаченного» фотона и слабых компонент адронных полей типа нейтраль-
ЦИИ векторных мезонов р, <р, со (т. 1, фиг 1.12), сильно взаимодействующих
нЫХ,К10нами. Взаимодействие на поверхности ядра может «обдирать» адронные
С и^оненты фотона быстрее, чем они восстанавливаются, и ослаблять таким
К^'язом способность фотона взаимодействовать с нуклонами внутри ядра. Если
энергия фотона велика по сравнению с массой ту векторного мезона (или
ой адронной компоненты), то время восстановления тВ0ССТ (АЕ)”1, где
ГЕ2 +	Для векторного мезона время столкно-
вения, приводящего к «обдирке» фотона, можно записать в виде Тстолки ~
где X —длина свободного пробега. Так как период тв{>сст увеличивается пропор-
ционально EY, он может превышать значение тСтолкн- В этом случае мезонная
компонента фотонной волны будет затухать на участке порядка (^=2 ферми <
для тяжелых ядер), а связанный с нею процесс фотопоглощения будет
поверхностным эффектом с сечением, пропорциональным Л2\ как в случае
взаимодействия адронов с ядрами [1084] (см. также [503, 1168]) п.
Анализ дипольной моды, учитывающий связь с одночастичными возбужде-
ниями. Основные закономерности ядерного дипольного резонанса можно объяс-
нить взаимосвязью нуклонных возбуждений с создаваемым ими изовекторным
потенциалом. Чтобы получить качественное описание, предположим, что такое
коллективное поле просто пропорционально дипольному моменту:
^=2 (™z)k-	(6.311)
6=1
Такое предположение согласуется с тем, что фотопоглощение при низких энер-
гиях сводится к одному гигантскому резонансу.
Спектр одночастичных возбуждений,возникающих в таком поле (6.311), приве-
ден на фиг. 6.16 (для случая Z = 46, W = 60). Мы видим, что дипольная сила груп-
пируется вокруг энергии fao0, которая характеризует переходы в потенциалы гар-
монического осциллятора. Такая форма одночастичного отклика на поле диполя
наблюдается и в экспериментальных одночастичных спектрах (т. 1, фиг. 3.2, б — е).
(Этот результат не очень сильно зависит от выбора ядерного потенциала, ибо
даже для потенциала с резким краем (бесконечной прямоугольной ямы) диполь-
ная сила по-прежнему концентрируется в довольно узком диапазоне частот [771].)
Такая концентрация одночастичной дипольной силы позволяет понять, почему
в дипольном поглощении участвует только одна коллективная мода.
Поскольку одночастичный отклик на поле диполя дает почти вырожденные
возбужденные состояния, можно весьма просто описать коллективную моду,
используя результаты § 2, п. 3, а также результаты вычислений силы связи
с изовекторным полем, проведенных с использованием экспериментально уста-
вленного потенциала симметрии в ядре (§ 3, п. 4). В отсутствие взаимодейст-
вуя можно определить массу и жесткость для когерентной дипольной моды
с помощью правил суммы (6.23) и (6.167):
й2	Й2
— =	<п<0> = 1 j F i =0)	(6.312)
Отсюда
D{
С(0) = ш2о10) = Д-1Л1(92 = 41Л-6/’ МэВ'ферми-2	(6.313)
__________ (йсоо = 41Д 1/з МэВ).
РивДЛопР0СЬ1 взаимодействия у-квантов высоких энергий с ядрами
ись В. н. Грибовым [ЖЭТФ, 57, 1306 (1969)]. — Прим. ред.
рассмат-
428
Гл. 6. Вибрационные спектры
в
(3/4 л)1/*
Константу взаимодействия для поля (6.311) можно найти из соотношения (6 |о?)
[нормировки формфактора F в формулах (6.125) и (6.311) различаются Л
раз]:
х =	2,8Л 1Mcd2	11 ЗА 5/з МэВ • ферми’2
4А (х2)	» о	t н
(х2)=»4-/?2=«4-(1,2Д,Л ферми)2, 130 Мэв).
□	О	/
(6.314)
Мы взяли здесь значение величины И,, найденное по разности энергий
связи протонов и нейтронов у поверхности Ферми [см. формулу (2.182), а также
данные, приводимые в т. 1, стр. 315]. Исходя из значений (6.313) и (6.314) для
энергии нормальной моды [формула (6.27а)], получим выражение
Й<o = ЙШo(^^^),/г«=80Д-^/^ МэВ,	(6.315а)
а»=1 <«=! f'°/2 ==2Ж = 0’26-4,/’ ферми2. (6.3156)
согласуется
Соответствующее значение дипольной частоты весьма хорошо согласуется
с экспериментальными значениями Ерез для тяжелых ядер (фиг. 6.19). Это
подтверждает возможность анализа взаимодействия в дипольной моде на основе
представления о связи с изовекторным полем, параметры которого определяются
из потенциала симметрии. Экспериментальное значение силы осциллятора для
дипольной моды приблизительно равно значению, вытекающему из классичес-
кого правила сумм (фиг. 6.20) в согласии с таким подходом. Этот результат
свидетельствует о том, что зависящие от скорости эффективные взаимодействия
сравнительно малы (см. ниже).
Для ядер с A 50 резонансные частоты на фиг. 6.19 систематически
меньше величины (6.315). Но в таких ядрах трудно характеризовать экспери-
ментальные сечения одной резонансной частотой, ибо на кривой сечения заме-
тен большой выброс при высоких энергиях, влияние которого ощущается и
ниже резонансного максимума [3]. Наличие для этих ядер заметного фотопогло-
щения в области энергий 30 МэВ <Еу< 50 МэВ приводит также к уменьше-
нию силы осциллятора вблизи максимума сечения (фиг. 6.20).
Несмотря на успех простой модели, использованной выше, следует подчерк-
нуть, что при количественном анализе дипольной моды многое нуждается
в более тщательном рассмотрении. Так, например, мы использовали объемную
изовекторную плотность и потенциал. Но нельзя исключить вероятность того,
что в поверхностной области ядра взаимодействие имеет другой вид. Это свя-
зано с тем, как обрезается поле (6.311) при г ?> R. Концентрация основной
части силы осциллятора у тяжелых ядер в одной, области частот, совпадающих
с приведенными выше оценками, может указывать на то, что средние радиаль-
ные матричные элементы для одночастичных переходов дипольной моды
не сильно зависят от этого обрезания. Добавочная дипольная сила осциллятора,
заметная при энергиях выше дипольного резонанса, вероятно, связана с межнук-
лонными корреляциями малого радиуса. Однако влияние этих корреляции на
коллективную дипольную моду пока что не изучено. Данный вопрос связан
с зависимостью от скорости для взаимодействия нуклонов вблизи поверх ноет
Ферми (см. ниже).
Существование сильного изовекторного поля, которое предполагало
в наших рассуждениях, можно было бы установить, непосредственно анализ -
руя сечение неупругого рассеяния нуклонов с возбуждением дипольного рез^
нанса. (Такие эксперименты с протонами высоких энергий были начаты Марис
и Тиреном [1129] При интерпретации их данных встает проблема отделен
изовекторной дипольной моды от изоскалярной квадрупольной моды с доволь
малой энергией [754].)
Примеры к гл. 6
429
ю информацию о поле диполя в ядре можно также получить, изучая
UeH нуего отдельных конфигураций нуклонов, например в прямых процессах
вклад & я нуклонов при распаде дипольной моды [706]. Микроскопическая
цспусКа мОцы, создаваемой полем F, характеризуется амплитудами X n У
структУРа лы (6.36) И примеры в табл. 6.4] Общая структура волновой функ-
[сМ поеделяется тем, что дипольная мода «вбирает в себя» основную часть
Ц,,И ° дипольных сил осциллятора. Более подробный анализ вкладов отдель-
суММконфигураций может дать добавочную информацию о поле диполя (его
радиальной и спиновой зависимости и т. п.).
Влияние взаимодействий, зависящих от скорости. Учет зависящих от ско-
взаимодействий приводит к изменению характеристик дипольной моды
P.°Qg 830]. Именно: изменяется массовый параметр —отчасти из-за влияния
ких взаимодействий на энергии одночастичных возбуждений, а отчасти из-за
^бавочной связи скоростей частиц с коллективным потоком.
Д° Когда зависимость одночастичного потенциала от скорости можно выразить
чеоез эффективную массу М* возбуждений у поверхности Ферми (т. 1, стр. 148),
дипольный массовый параметр D(0), характеризующий движение независимых
частиц, следует умножить на отношение М*/М [формула (6.312)]:
1 А А
1^=Л^=М(1+*о)’	<6-316)
ь = М _
М* ’
где ^ — безразмерный параметр, равный отношению потенциала, зависящего от
скорости, к кинетической энергии.
Добавочное взаимодействие, связанное с зависимостью от скорости, ана-
логично тому, с которым приходится столкнуться при анализе изоскалярной
дипольной моды. Структура взаимодействия для такой моды определяется тре-
бованием галилеевой инвариантности члена с эффективной массой. Если ввести
коллективную координату ат_0, равную изоскалярному дипольному моменту
[по аналогии с изовекторной дипольной координатной в формуле (6.311)], то
взаимодействие (6.262) можно записать в виде
Н'	(6.317)
„ Здесь величина =	= Л-1Мат_0 = Л-1Р есть импульс, сопряжен-
ный координате ат_0. (На связь между эффективным взаимодействием (6.317)
и эффективной массой указал Ландау [721].)
Для изовекторной моды можно по аналогии с (6.317) ввести зависящее от
скорости взаимодействие
Я'=--^Лг-о-РЪ.	(6.318)
К0нстантУ изовекторного взаимодействия kv Мы предполагаем при
к°ТОрЬ™сколлективная координата изовекторной моды имеет простой вид (6.311),
яг-1==т2(ртгЬ’	(6-319)
с мм	k
(л \2взаисодействия (6.318) по всем частицам дает величину, пропорциональную
мы полИ ПОЭТОМУ перенормирует массовый параметр. С учетом соотношения (6.316)
учаем для полного массового параметра формулу
1 А
(6.320)
430
Г л. 6. Вибрационные спектры
Итак, для системы частиц одного сорта взаимодействия не изменяют массов
параметра дипольной моды (галилеева инвариантность). Однако зависимо°Г°
взаимодействия от скорости меняет массовый параметр изовекторной диполь
моды для системы двух жидкостей. Это изменение определяется комбинацИ°!
параметров — klt учитывающих взаимодействие нейтронов и протоно**
(В теории Ландау [830) параметры k() и kL принято записывать в виде В‘
1	3
fi = у (f™ + W “ 2 (1 +
1	3
К- 2	2
Формула (6.320) означает, что для учета взаимодействий, зависящих от
скорости, силу осциллятора для дипольной моды надо умножать на величину
(1-|-&0 — kt). Отметим, что этот множитель учитывает эффективные взаимодейст.
вия частиц с энергиями вблизи поверхности Ферми и поэтому входит в харак-
теристики коллективной дипольной моды. Дополнительная же дипольная сила
осциллятора, обусловленная зависимостью от заряда и скорости нуклон-нуклон -
ного взаимодействия для свободных частиц [см., например, формулу (6.200)],
изменяет полное правило сумм для всей системы и включает в себя силу
переходов в фотопоглощении при энергии выше энергии дипольного резонанса.
Изменение тока, связанное с зависимостью эффективных взаимодействий
от скорости, влияет также на магнитные моменты, обусловленные орбитальным
движением частиц1)- Как и в случае дипольного массового параметра, следует
учесть вклад, связанный с эффективной массой в одночастичном потенциале,
а также вклад взаимодействий, зависящих от скорости. Учет эффективной массы
приводит к появлению в g-факторе, измеряемом в единицах eti/2Mc, добавки
=	(6.321)
которая учитывает изменение скорости квазичастицы (протона) с данным импуль-
сом. Взаимодействия (6.317) и (6.318) означают, что в присутствии частицы
с импульсом рх- другие частицы k получают добавку к скорости:
б., _ ?	—4 (р,. ех - т ь, (р,  ’Эт”,	<«-зя
Суммирование по всем частицам дает
2 бх*=— ~йрь
k	(6.323)
^zk^Xk =	ду’ p^zl-
k
Если считать, что зависящие от скорости взаимодействия имеют радиус,
меньший, чем радиус ядра, то добавочный ток (6.323) локализуется в окрести
стях частицы с моментом р/ и его можно включить в перенормировку локальн
х) Изложенный нами подход эквивалентен подходу Мигдала [828],
ванному на теории ферми-жидкости Ландау (см. также т. 1, гл. 3, пр ил
ние 3, п. 6). Вклад в орбитальный g-фактор от эффектов мезонного ° ые
исследовался в работе [837]; вопрос о влиянии этих эффектов на дипо.
правила сумм рассматривается в работе [450].
Примеры к гл. 6
431
(6.324)
(6.325)
вязанного с данной частицей. Это приведет к изменению орбитального
фактора на величину
^Sl‘ ~— ~2 (^0— ^1тг)>
а суммарная добавка в gz будет иметь вид
6£z = 6g/' + 6gz2 = - 2 (k<1 - kt) хг.
жормулу (6.325) входят лишь величины (kQ — kJ, связанные с нейтрон-про-
** ним взаимодействием. Это означает, что галилеево-инвариантные взаимодей-
Т°вия не изменяют полного тока при заданном импульсе в системе из частиц
Сдного сорта. Аналогичные рассуждения показывают, что в системе двух жид-
костей с N — Z влияние взаимодействия на gi должно быть изоскалярным
'пропорциональным TJ, поскольку изоскалярный ток, связанный с движением
центра масс, не изменяется под влиянием взаимодействий, зависящих от скорости.
Поскольку величина dgi обращается в нуль при усреднении по частицам,
для системы с нейтронным избытком множитель xz в формуле (6.325) следует
заменить множителем тг — (т2) — xz — (N — Z)/A, [Добавки к dgi от взаимодей-
ствий, зависящих от скорости, аналогичны поправкам к оператору Ml, связан-
ным со спин-орбитальными силами, см. т. 1, гл. 3, приложение 3, п. 6 (стр. 381),
где спин-орбитальный член в одночастичном потенциале получается усреднением
двухчастичных галилеево-инвариантных взаимодействий.]
В присутствии нейтронного избытка взаимодействия, зависящие от скорости,
приводят также к различию эффективных масс нейтронов и протонов, линейному
по (N —Z)/A Поэтому требование галилеевой инвариантности означает, что
взаимодействие (6.318) приводит к появлению в одночастичном потенциале
изовекторного члена, связанного с величиной (Af/Af*)T—1 = [(2V— Z)/A] xz.
Однако добавочный изовекторный член, линейный по (N — Z)/A, можно объяс-
нить взаимодействием л0 с лъ обусловленным различием эффективных взаимо-
действий п —п и р —р у поверхности Ферми.
Исходя из экспериментальных значений разности энергий одночастичных
состояний у поверхности Ферми, можно, вероятно, сделать вывод о малости
величины ko. Но такой вывод нельзя считать окончательным, поскольку зави-
симость от скорости может маскироваться собственно-энергетическими эффектами
(см. выше). Поэтому пока не ясно, какую величину k0 следует взять в нашем
случае.
Анализ экспериментальных значений магнитных моментов ядер вблизи
ядра 208РЬ свидетельствует о необходимости перенормировать gi приблизительно
на величину bgi 0,1тг [786, 865, 1213]. Это может означать, что &0 —£^0,2
[формула (6.325)] и, следовательно, что осцилляторная сила дипольного резо-
нанса примерно на 20% превышает классическую величину [формула (6.320)].
1акое значение осцилляторной силы согласуется с экспериментальными данными
0 дипольной моде для тяжелых ядер (см. подпись к фиг. 6.20).
Поляризационный заряд для £1-переходов. Связь дипольной моды с одно-
мо/ИЧНЬШ движением приводит к перенормировке изовекторного дипольного
[формул^Та пеРеноРмиРовка описывается коэффициентом поляризуемости
х (Лео)2
х = _ ~С (Яы)*-(ЛЕ)2 ’
X	X
~С ~ С(0>+х
Здесь лр
"Энергия перехода.
(6.326)
0,7.
432
Гл. 6. Вибрационные спектры
У электрического дипольного момента имеются изоскаляр на я и изовектоп
составляющие [формула (6.123)]. Но изоскалярный дипольный момент свя Я
со смещением центра масс и потому не дает вклада во внутренние возбужден3ан
Поэтому эффективный заряд для Е\-переходов имеет вид	ИЯ’
еэфф (£1)= ^z 0 Х)*	(6.327)
Из формулы (6.326) для х видно, что низшие частоты вносят значитель
меньший вклад в £1-переходы.	‘ Но
При энергиях переходов Д£, сравнимых с резонансной энергией Tzco
превышающих ее, взаимодействие приводит к усилению одночастичных вероя11
ностей переходов, которое может объяснить увеличение сечения прямого радиа*
ционного захвата нуклонов [210, 264]. (Прямой захват с учетом эффективного
заряда иногда называют «полупрямым захватом».) При Д£ /?со затухание
дипольной моды становится существенным. Это Затухание можно учесть, добавив
мнимую часть + (i/2) Г (где Г —резонансная ширина) к величине Йсо т ДЕ
в знаменателе формулы (6.326) [см. формулу (6.286)]. Существенный вклад
в дипольный переход при радиационном захвате может давать область вне ядра
Поэтому поляризационный эффект может быть чувствителен к радиальному
поведению формфактора поля диполя (см., например, [1223]).
Влияние нейтронного избытка. Выше мы рассматривали ядра с N = Z.
Из-за симметричности вклада нейтронов и протонов частота и осцилляторная
сила т=1 для дипольной моды являются четными функциями разности Az —Z.
Поэтому основные поправки должны быть порядка (TV —Z)2/H2, и ими можно
здесь пренебречь. Более того, в силу трансляционной инвариантности дипольная
мода, как и всякое внутреннее возбуждение, не содержит дипольного момента
с т = 0. Поэтому и момент £1 не содержит поправок первого порядка по X —Z.
(В отличие от этого зарядово-обменные моды сильно зависят от нейтронного
избытка, см. ниже.)
Наличие нейтронного избытка означает, однако, что дипольная мода сильнее
затрагивает протоны, чем нейтроны. Это отличие приводит к появлению
в эффективном заряде членов, линейных по (W— Z)/4. В схематической модели,
в которой поле диполя пропорционально координате х, из требования, что поле
должно зависеть лишь от координат, отсчитанных от центра инерции X, сле-
дует выражение
/7=2^-х)(тг)/г=2^(ь—(б-з28)
k	k
Поскольку (N — Z)lA есть среднее значение (т?) изоспина в ядре, поле
(6.328) определяется отклонением изоспина от его среднего значения и поэтому
при усреднении по плотности обращается в нуль.
Как уже указывалось, момент £1 и константа взаимодействия для дипольном
моды не содержат поправок первого порядка по нейтронному избытку, а поэтому
взаимодействие одночастичного движения с полем (6.328) дает поляризационным
заряд
е (Е\} —__-еу/т —	%	(6.329)
где % —величина, определяющаяся выражением (6.326).
Добавочный вклад в еЭфф, линейный по нейтронному избытку, вознИ^ ад
из-за эффекта отдачи (поправка на движение центра инерции). Этот вк«
определяется выражениями (3.166) и (6.329). С учетом его мы можем напи
выражение для полного эффективного заряда перехода £1:
+ (»«
Примеры к гл^Б
433
от отдачи можно рассматривать как поляризационный заряд, обуслов-
|ВклЦ взаимодействием одночастичного движения с «духовой» колебательной
•1еНН?Ицентра инерции. Это взаимодействие пропорционально величине —dV/dx=
модои„ц Следовательно, дипольному моменту одночастичного перехода, умно-
tv* на (AF)2. Поэтому мода, соответствующая движению центра инерции
жеНН°вой частотой, вносит в поляризационный заряд [формула (6.216)] вклад,
с НуЛвисящий от частоты и равный 6епол = —Ze/А. (Этот результат можно полу-
не 33из диаграмм фиг. 6.8, если учесть, что дипольный момент для моды,
ЧИТтветству!СШей движению центра масс, равен Zea.)]
С0°Т Анализируя экспериментальные данные по вероятностям низкоэнергетических
^-переходов в области 208РЬ, можно показать, что | (еэфф)Я1 |	0,15е для
нейтронов и | (еэфф)^ | 0,Зе для протонов [544]; формула же (6.330) дает
значения 0,12е и 0,18е.
Сравнение с описанием дипольной моды в модели жидкой капли. Свойства
„ипольной моды хорошо описываются и в модели жидкой капли, где рассмат-
риваются колебания нейтронной жидкости относительно протонной. Эти коле-
бания характеризуются изовекторной плотностью pi (г) = ря (г) —рр (г) (гл. 6,
ппиложение 1, п. 4). Низшая дипольная мода имеет следующие характеристики
[формулы (6.688) и (6.683)]:
Й<о = 2,08 (Ье„мму/г 78Л—'/з МэВ,
В (Е1; 0 + -> 1 -) fao = 0,865 (Е1 )класс
(/?= ферми; 6симм = 50 МэВ).
(6.331)
Здесь ЬСимм~ энергия симметрии ядра, найденная по полуэмпирическон фор-
муле масс.
Модель жидкой капли основана на предположении о локальной плотности
энергии и поэтому вряд ли может описать динамику системы с оболочечной
структурой. Дипольные колебания, однако, представляют особый случай; эта
единственная мода содержит в себе почти всю суммарную силу осциллятора,
ее свойства плавно изменяются с изменением W и Z. Поэтому такую моду
можно характеризовать макроскопическими параметрами.
Замечание. Сравнивая параметры модели жидкой капли с параметрами,
полученными из приведенного выше микроскопического описания, мы будем
вначале пренебрегать малыми эффектами, обусловленными тем, что в модели
жидкой капли радиальный формфактор пропорционален сферической функции
ьесселя^ (2,08 r/R) [формулы (6.680) и (6.682)], т. е. слегка отличается от
линейной зависимости
(6.332)
6oi =----л ах,
А <х2>
которая соответствует полю (6.311).
осц 'ассовый паРаметр дипольной моды непосредственно определяется силой
всю ‘ЛятоРа п поэтому модельно-независим, если только мода вбирает в себя
илу осциллятора.
изовектСТКОсть для Дипольной моды есть энергия, необходимая, чтобы создать
выра>кТ0РнУю Деформацию вида (6.332). В модели жидкой капли эта энергия
•Муда чеРез плотность энергии, пропорциональную величине (6рх)2 [фор-
' -Ъ79)], а параметр жесткости имеет вид
с = 	175Л~’/з МэВ  ферми-*
А (х2)
(6.333)
434
Гл. 6. Вибрационные спектры
В микроскопическом описании жесткость равна сумме двух членов: С = С(
Первый член связан с одночастичными энергиями возбуждения, а второй
тывает эффекты взаимодействий Такое разделение соответствует разбиению //Чи’
на члены с кинетической и потенциальной энергиями (т, 1). Потенциал ИМ|‘
часть ЬСИмм соответствует вкладу в энергию ядра от поля и соотноц?1*3*
(Ьекмм)пот = %V1 [формула (2.28)] приводит к тому, что потенциальная ч»Де
в формуле (6.333) равна х, как и в микроскопическом описании [формула (6 3
Приведенное выше значение кинетической части жесткости С<0) вычислено'
экспериментальным одночастичным спектрам возбуждений и несколько отл П°
ется от кинетической части выражения (6.333). Так, величина С'0) в форм43
(6.313) соответствует значению (йс,1мм)ки„ «= 12 МэВ. С учетом соотношение
(ЬсНММ)пот=«1/41/1с=32 МэВ это дает полную величину 6СИММ 44 МэВ т ,
несколько меньше величины /?спмм = 50 МэВ, даваемой эмпирической массово’
формулой. Поэтому жесткость, использованная в вышеприведенном микроско
пическом анализе, примерно на 12% меньше величины (6.333). Разница неве
лика, ибо основная часть величины С связана со взаимодействиями. Хорошее
согласие между резонансными частотами, определенными по формулам (6.315)
и (6.331), объясняется тем, что массовый параметр в модели жидкой капли
примерно на 15% больше величины (6.313), поскольку сила осциллятора рас-
пределена по большему числу нормальных мод.
Проведенное выше разделение Ьсимм на кинетическую и потенциальную
части несколько отличается от приведенного в т. 1 рассмотрения, основанного
на модели ферми-газа. Экспериментальные данные по одночастичным спектрам
позволяют уточнить оценку среднего расстояния между уровнями у поверхности
Ферми. Вычисления плотностей одночастичных уровней для нейтронов и про-
тонов, взятых по отдельности [см., например, фиг. 5.2 —5.6 и формулу (2.125а),
основанную на вырождении осцилляторных оболочек], дают значение gQ^
Поскольку (^СИММ)КИ11 = Л (goP, мы имеем
(^симм)кин 16 МэВ, откуда (^симм)пот = ^симм	(^симм)кин 34 МэВ. Последнее
значение хорошо согласуется с величиной 130 МэВ, которой мы пользо-
вались в проведенном выше анализе.
(6.334)
Расщепление резонанса в деформированных ядрах
(фиг. 6.21, табл. 6.6 и 6.7)
В деформированных ядрах с аксиальной симметрией дипольный резонанс
расщепляется на две компоненты с v = 0 и 1 [292, 896]. Расщепление в первом
порядке пропорционально деформации [формула (6,277)]:
(Е (v=1)-E(v=0))^6^^-.
Здесь Е —«средняя энергия резонанса. Коэффициент пропорциональности между
&Е/Е и 6 зависит от модели. Мода v = 0 соответствует колебаниям в напР
лении оси симметрии ядра, мода v = 1 —колебаниям в двух перпендикулярн
направлениях. Таким образом, если вся дипольная сила содержится в р
нансах v=0 и v=l, то 2/3 силы осциллятора должны приходиться на
с v=l, а 1/3—на моду с v = 0. В случае деформированного ядра, не оол
щего осью симметрии, линия фотопоглощения будет расщеплена на три к
ненты равной осцилляторной интенсивности.	яДРаХ
Было установлено, что сечение фотоэффекта на деформированных £н0
имеет два основных максимума с отношением интенсивностей, приблизи *
равным теоретическому [453]. На фиг. 6.21 приведен пример, показыв
сечение фотопоглощения для ряда изотопов Nd. Нетрудно видеть, чТ0 льНуХ
ние статической деформации у ядра l50Nd (как это следует из вРаЙапаМетры
спектров фиг. 4.3) приводит к расщеплению дипольного резонанса. НаР
Примеры к гл. 6
435
Таблица 6.6
пдрДМЕТРЫ ДИПО	ЛЬНОГО РЕЗОНАНС		А ДЛЯ ЧЕ	*ТНЫХ ИЗОТОПОВ НЕОДИМА		
	кг Nd	144NJ	14f»Nd	148Nd	15С	'Nd
£>. МэВ а0. ферми2 Г, МэВ В таблице указа! фиг. 6.21. Сечение для	14,9 36 4,4 1ы парамет । ядра t50Nd	15,0 32 5,3 ры резонан 1 аппроксим!	14,8 31 6 СНЫХ Крив! ировалось с	14,7 26 7,2 лх Лоренц? уммой двух	12,3 17 3,3 1, представ резонанснь	16 22 5,2 ленных на IX кривых.
3KCneD$Hr‘ Сечение фотопоглощения для четных изотопов неодима.
еНнянЬНЫе Данные взяты из работы [236]. Сплошные линии построены по резо-
ансной формуле Лоренца с параметрами, приведенными в табл. 6.6.
436
Гл. 6. вибрационные спектры
подгонки для резонансной кривой Лоренца (6.309) приведены
Сила осциллятора пропорциональна величине о dE, т. е. величине р
Поэтому отношение сил осциллятора для двух максимумов равно 2 | п
Акспрпиментялкномг пяспюп.прнию можно вычислить деформацию ядра А 0
ТЯ(5п А 7 ПЛ nvUOUTIRrn тп./...,’ J’b-
 Л путем
В настоящее время трудно сказать
расхождения, наблюдающиеся при двух ра3нЛ
nnVHnLtZV тппип UO UQDOrTlJLI ППППЛТТПТТА ~_
экспериментальному расщеплению можно i
зуясь формулой (6.334). Как видно из табл. 6.7, полученные таким
значения согласуются со значениями деформации, вычисленными по
ментальным значениям моментов £2.
насколько значимы малые (
способах определения о, поскольку точно не известны численные значени
коэффициента в формуле (6.277) и возможно влияние членов высшего пор ял/
по деформации. [Так, если предположить, что резонансные частоты точи
пропорциональны обратным величинам большой и малой полуоси, то формула
(6.334) дает для 6 выражение Д£/£ — (Д£)2/3/?2, тогда как из величины О
пользуясь формулой (4.72), получим Д£/£+ (Д£)2/6/?2 [формула [4.73)]. Оче-
видно, что разница за счет членов второго порядка по (Д7?/7?) равна при-*
мерно 15% величины 6, а это составляет значительную долю разностей
представленных в табл. 6.7.]	’
Таблица 6.7
Ядро	E (v = 0)	E (v = 1)	6 (£1)	«(Qo>
163Еи	12,3	15,8	0,24	0,34
159Tb	12,2	15,8	0,25	0,34
IGUGd	12,2	16,0	0,26	0,35
165Но	12,2	15,7	0,24	0,33
isiTa	12,5	15,2	0,19	0,26
186\V	12,6	14,9	0,16	0,22
232Th	H,1	14,1	0,23	0,24
235 (J	10,8	14,1	0,25	0,26
237Np	11,1	14,2	0,24	0,25
238(J	11,0	14,0	0,23	0,26
Энергии Е (v = 0) и Е (v = 1) двух резонансных максимумов взяты из следующих
работ: [103] (ядра «3Еи, пэуь, ieoGd> тНо, 1В1Та и >«eW), [186] (ядро 235U), [101] (ядра
159ТЬ, 165Но и 181Та), [1149] (ядра 232Th, 237Np и 238U). Параметры деформации о (Qo) ПРИ*
ведены на фиг. 4.25 и в работах [317] (ядро 2350) и [878] (ядро 237Np),
Прямым путем проверить предположение о зависимости расщеплени
фоторёзонанса от деформации можно, измерив экспериментально зависимост
сечения фотопоглощения от углов ориентации ядра по отношению к падаюше у
пучку фотонов. Такая проверка была проведена для ядра 165Но [28, 669].
Проверить применимость квантовых чисел К в случае фоторезонанс
можно, изучая отношения сечения упругого фоторасщепления к сече^ .
неупругого рассеяния с возбуждением вращательных состояний (комбинац
ное рассеяние). Так, для четно-четного ядра рассеяние, идущее через Рез° ци11
с/( = 0, может заселять основное и вращательное состояния 2+ в пропор
1 2, если исходить из соотношений (4.92) и пренебречь разностью 9Н^Рн11е
для рассеянных у-лучей. При рассеянии же через резонанс с К==1 °ТН°пЖДе'
сечения упругого рассеяния к неупругому равно 2 I. Более общее УтвеР уЛя
ние состоит в том, что упругое рассеяние пропорционально ^квадрату ?ст1<
скалярной поляризуемости р2, а неупругое —квадрату тензорной поляризу
Примеры к гл. 6
437
; 289)). Поэтому отношение сечений рассеяния имеет вид
аупр	Р1+Р2 + Р3 2
^неупр ^Рз Р\ Р2
^=У (/;!	1	( I i2 + l ^ц-l |2) =
( 3
(1 4-cos2 6) при /у = 0 (упругое),
3
—— (13 4-cos29) при If = 2 (неупругое).
1 \J w J L
(6.335а)
(6.3356)
• овые распределения (6.3356) возникают из-за того, что фотон может воз-
гЛ ть лишь состояния с / = 1, М = ± 1. В формуле (6.335а) рн — поляри-
'•’мости" по направлениям главных осей ядра, даваемые формулой (6.287),
г1ои оценке упругого рассеяния следует учитывать вклад томсоновского рас-
сеяния, обусловленный движением центра инерции ядра и эквивалентный
резонансному рассеянию на осцилляторе с нулевой частотой и силой, отличаю-
щейся от классического значения (6.176) в Z/N раз [см. текст после вывода
формулы (6.176)].
Комбинационное рассеяние моноэнергетически х у-лучей с энергиями
порядка 10 МэВ наблюдалось для ядер 232Th и гзву При этом отношение
интенсивностей неупругого и упругого рассеяния примерно согласуется с резо-
нансными параметрами, найденными путем анализа сечения фотопоглощения
[563, 642]. Так, в случае рассеяния протонов с энергией 10,8 МэВ под углом 90°
на ядре 238U формулы (6.335) дают отношение сечений неупругого и упругого
рассеяния, равное 1,0, а экспериментально измеренное отношение [642]
равно 0,8. При теоретической оценке мы взяли резонансные параметры для
ядра из работы [1149] (Ео = 11,0 МэВ, Г = 2,9 МэВ, ао = ЗО ферми2 при
v=0 и Ео= 14,0 МэВ, Г = 4,5 МэВ, а0 = 37 ферми2 при v=l) и учли томсо-
новское рассеяние, которое уменьшает сечение упругого рассеяния примерно
на 20%, (При интересующей нас энергии амплитуда томсоновского рассеяния
сравнима по величине с действительной частью амплитуды резонансного рас-
сеяния и противоположна ей по знаку. Но главный вклад в сечение упругого
рассеяния вносит мнимая часть амплитуды резонансного рассеяния.)
Квантовое число изотопического спина. Зарядово-обменные
моды (фиг. 6.22—6.24)
его (^°Ж“!0 взглянуть на фоторезонанс с более широкой точки зрения, считая
понен*Н°Н И3 компонент (с Нт = 0) изовекторных дипольных мод. Другие ком-
мудьтиЫ ^т==— 1) являются зарядово-обменными модами, а изучение
ьых с ПЛета Возбуждений позволяет объяснить широкий круг явлений, связан-
нзбытка ^1аимоДействием изоспина дипольных мод с изоспином нейтронного
ваетсо ~ ^вектР дипольных мод в ядрах с нейтронным избытком рассматри-
ТСЯ в Рвотах [360, 403, 504, 889, 921].)
ходов.Л^НИе нейтронного избытка на дипольные частоты и вероятности пере-
дний* Н/Драх с ^ = 2 и То = 0 зарядово-обменные моды дипольных возбуж-
(Фиг. 6 4) ^еАСТвенно связаны с модой цт = 0 изобарической симметрией
нзовектоп В присутствии нейтронного избытка (То 0) появление кванта
(фиг. 6.5) °Г0 П0Ля приводит к появлению состояний с Т = T0+U То и То—1
АТ^лияние нейтронного избытка на дипольные моды с разными значениями
легче всего объяснить, рассматривая основные переходы cpt =
438
Г л, 6. Вибрационные спектры
= ЛТ, приводящие к образованию полностью выстроенных состояний
= ЛТ (см. фиг. 6.5, где эти переходы обозначены стрелками). Характепи
возбужденных состояний с Мт<Т можно определить, зная характерйСТИК|!
полностью выстроенных состояний и пользуясь операцией вращения в йз
новом пространстве [формула (1.132)]. Переходы с |iT = A7 связаны с част*1115*
дырочными возбуждениями, изображенными на фиг. 6.22. Как вйдНлЧн°'
фиг. 6.22, нейтронный избыток приводит к уменьшению числа частично-лм 1,3
ных возбуждений с Щ = + 1 и соответствующему увеличению возбужд?04.'
с цт =—1. Вообще говоря, частично-дырочные возбуждения с цт = 0 и
являются собственными состояниями полного изоспина (см., например, ана Не
гичную ситуацию для частично-дырочных состояний, фиг. 3.1). Но при То^
компоненты с Т Г0+р,т малы (их амплитуда порядка Т~'/2 или меньще)
Фиг. 6.22 Частично-дырочные возбуждения, связанные с дипольными модами,
в ядре с избытком нейтронов.
Заштрихованы области одночастичных состояний, которые могут возбуждаться полем
диполя.
и ими можно пренебречь при анализе коллективных мод. (При малых значе-
ниях То эффект нейтронного избытка есть лишь малое возмущение. Тогда
проводимый ниже анализ дает правильные результаты в низшем порядке по То.)
Обобщая Г|поле диполя, которое мы рассматривали при р,т = 0 [формула
(6.311)], получим выражение для изотриплета
(6.336)
Здесь = 2/ц , а —-величина, даваемая формулой (6.120). Одночастичные
возбуждения в таких полях почти полностью вырождены (фиг. 6.16) и имеют
энергии [см. формулу (2.26) для потенциала симметрии]
ГТ	\ z/i	/
Здесь £кул —средняя кулоновская энергия одного протона. [Зарядово-обменны
частоты в формуле (6.337) определены через разность энергий связи, а не н
разность масс.]	код-
Сила одночастичных дипольных переходов, которые вносят вклад ясТ.
лективные моды, определяется матричными элементами переходов под Д
вием оператора F^ между невозмущенным основным состоянием <
Примеры к гл. 6
439
[формула
(6.338)
символом
F чисто
(6.339)
оГерентным одночастичным возбужденным состоянием I = 1)
дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями
\!v=0>.
□ амплитуды нулевых колебаний можно было бы обозначить
[Зги 1 В обычном представлении матричные элементы оператора
ые и потому величины f вещественны. В случае N— Z матричные эле-
МНИты f не зависят от цх. Нейтронный избыток приводит к усилению перехо-
дов п-^Р п0 сравнению с переходами р -> п (фиг. 6.22). Уменьшение ком-
пенсируется возрастанием	и в первом порядке по (N — Z)/A можно
написать [формула (6.312)]
Разность величин /2t и Д, можно найти, пользуясь коммутационными
соотношениями величин F_± и F ——Z7!,:
2i-ni==(v = 0|[/\1, F+1]!v = 0> =
= <v = 0 2£(тА! v = 0)=2(W-Z)(x2>„„36	(6.340)
k
Здесь величина (х3)пизб получена усреднением по избыточным нейтронам.
Выражение для взаимодействия теперь является обобщением выражения,
полученного для цх = 0 [ср с (6.24)]:
= 2к 2^AT=_7K(f+,f-i+f-if+i)+yxf§’ (6-341)
“г
где х—константа взаимодействия, определяющаяся формулой (6.314). Поле F+1
создает частично-дырочный квант с цх=4- 1 и уничтожает кванты с цх =— 1
Поэтому зарядово-обменные взаимодействия отчасти состоят из членов, диаго-
нальных по числу квантов п'^।, а отчасти из членов, содержащих взаимодейст-
вие между двумя зарядово-обменными модами и рождающих и уничтожающих
чары квантов с цх = +1 и |1т= — I. Наличие членов второго типа означает
наличие связи между двумя зарядово-обменными модами, но, поскольку кванты
рождаются и уничтожаются парами, разность числа квантов двух мод сохраняется:
ич-1 —	— n'$.	(6.342)
ниж^Ви”СТВа Н0Рмальных мод, порождаемых взаимодействием (6.341), описаны
е Частоты со ь j и вероятности переходов | (n+ j — 1 ’ F_^ j [ 0^ |2 определяются
'00ТНШ1НИЯМИ (®-355) и <6-358* (см- также (6.353)1.
+ । па Фиг 6.23 представлена схема распределения дипольных мод с рх = 0,
няЮтсВ зависимости от нейтронного избытка. Свойства моды цх = 0 не изме-
леннь.Я ° ПеРвом порядке по (/V — Z)[A. Для этой моды значения, представ-
одноча Н3 ФИГ ^-23, не отличаются от полученных выше. Разность между
стичными силами и на фиг 6.23 характеризуется параметром v:
f2±1=/“(l + v)	(6.343)
нальипйН0Сть оДночастичных зарядово-обменных частот считается пропор цио-
разности сил переходов:
=<о0 (1 + v)
(6.344)
440
Гл. 6, Вибрационные спектры
в соответствии с ситуацией вблизи от дорожки f-стабильности, когда
f+i пропорциональна разности энергий Ферми для нейтронов и ппо^Ность
(Для данного ядра величину j можно вычислить по данным, привед^0*'
на фиг. 6.23, если помнить, что в соответствии с законом сохранения m о**’1
изменение величины	— (d’J?; приводит к такому же изменению вели
со+1“-св_1.) Число v связывает нейтронный избыток с числом частиц в глЧИнЬ|
Фиг. 6.23 Свойства зарядово-обменных дипольных возбуждений в зависимости
от избытка нейтронов.
Изображена зависимость частот и дипольных матричных элементов М+ 1 для зарядово-
обменных возбуждений от параметра v, характеризующего нейтронный избыток. В случае
V > 1 мода, обозначенная индексом + 1, является возбуждением в канале 1. Матрич-
ные элементы и М определены соотношением ।	[ = 1 ]	11 0)и Равны
в единицах fQ амплитудам нулевых колебаний (а+ j)0. (Частоты-измеряются в единицах
частоты для невозмущенного осциллятора ©0 = ©^
осцилляторной оболочке. Поэтому, пользуясь формулами (2.151) и (2.152)1)»
можно написать	Q4t>
v = (3N),/3 — (3Z)’/з 0,76Л-2/я (М - 2).	(6’
Для ядер с А -^200, лежащих на линии f-стабильности, формула (6.345) ДаеТ
Пользуясь параметром v, можно записать зарядово-обменные частоты (6.355)
и вероятности переходов (6.358) в виде
»«±,=[т v < i + О+(I+2С+М’ '] »««.	|6,3<м
lx+1 I ±11 /I	(14-2^4-^2)1/2)
1) К сожалению, в последнем равенстве в формуле (2,152) была до11)111'
опечатка: опущен множитель Vg.
Примеры к гл. 6
441
(6.347)
Й(00‘
лиг 6.23 приведены величины, соответствующие значению £=1,35, ко-
На \ чается из значения (6.314) для х.
°Р°иЛиг 6.23 видно, что зарядово-обменные моды очень чувствительны
2ипю симметрии, связанному с нейтронным избытком. Так, например,
( нар^па изображенного на фиг. 6.16, Z = 46, W =60, v^0,48. При этом
для и М„1/Л1+1«й7. В случае v> 1 мода р,х = -|-1 заменяется другой
= —1, связанной с переходами, уменьшающими осцилляторное кван-
модои и ло н’а единицу. Частоту и вероятность перехода для второй моды
r0!2L-l можно найти, изменив знаки на обратные в формуле (6.346)
Ч-" g 23)
^иГЗарядово-обменные моды можно изучать в реакциях типа (р, п) (3Не, 3Н),
+ лЧ и т. д., а также в зарядово-обменных процессах, приводящих к обра-
зованию возбужденных состояний с |лт= + 1. В настоящее время, по-видимому,
Зет экспериментальных данных по дипольным возбуждениям, полученным в та-
ких процессах. Коллективные дипольные моды с р,т=±1 играют существенную
воль и в процессах со слабым взаимодействием, таких, как захват р~-мезонов
[61, 74, 429]. Разрешенный рЛзахват определяется в основном оператором (Гт4
и поэтому сильно заторможен в ядрах с «насыщенными» спинами, таких,
как 1вО и 40Са, а также в ядрах с большим нейтронным избытком. В таких
ядрах вероятность захвата может определяться запрещенными переходами.
Часть этих переходов, определяющаяся не зависимыми от спина моментами
Х=1), «Л/ (/v, х = 0, Х=1); см. формулу (3.222)], должна в основном
концентрироваться на коллективной дипольной моде р^. = -|-1. Эти матричные
элементы можно также изучать в Р-распаде нейтронно-дефицитных ядер, когда
величина Q реакции превышает энергию возбуждения моды |лт = 4-1. Но нужно
помнить, что запрещенный первого порядка p-захват и p-распад определяются
также и зависящими от спина матричными элементами, которые характери-
зуют возбуждение мод с о=1, х^1, Х = 0, 1, 2. (См. обзор [1131], где при-
ведены данные о ядерных зарядово-обменных матричных элементах, получен-
ные из рг-захвата.)
Дипольную моду с Т = Т0+1 можно также наблюдать в переходах
с цт=0 в изобар-аналоговые состояния с Л4Г=Т—1 = Т0. Эти переходы сла-
бее переходов с T~TQ отчасти из-за наличия множителя (Го)-1,
возникающего из коэффициентов Клебша — Гордана в формуле (6.128)
|см. также (6.133)J, а отчасти из-за ослабления, связанного с нейтрон-
ным избытком (фиг. 6.22) При не очень больших значениях нейтронного
избытка расщепление компонент Т = Т0 и Т = Т0+1 дипольных мод можно
рассчитать, пользуясь общим видом взаимодействия (6.130). Тогда
Е (Т= То+ 1) —£ (Т = 70) = п (То + 1),	(6.348)
причем коэффициент а можно получить из соотношений (6.355), (6.337) и (6.340):
a==/4'‘V1-2x{x2>rtll3	(6.349)
состпЫ^ "ЛеН Здесь связан с потенциалом симметрии, понижающим энергию
гИей°ЯНИИ с м?ньшим изоспином [формула (6.129)]. Второй член связан с энер-
стд Взаим°Действия для моды с Т = Т0+1- Его можно получить непосред-
рядКаН0 И3 закона сохранения (6.342), если вспомнить, что члены первого по-
в выпаП° во взаимодействии (6.341) [см. также (6.351)] уже содержатся
[Вто^ Жении ДЛя энергии, поскольку оно диагонально в представлении
ствце°И -ЧЛен Е формуле (6.349) можно также рассматривать как взаимодёй-
второг НеитР°нов избытка с дипольными квантами, обусловленное эффектами
МуЛу ^з^ядхо по взаимодействию частица —колебание, см. фиг. 6.24 и фор
442
Г л. 6. Вибрационные спектры
Если считать, что величина (х2) для нейтронов избытка совпадает о
ветствующей величиной для полного распределения плотности
(1,2Л~1/з ферми)2/5], то выражение (6.314) для х позволяет напиеятг
УХ/2Л 65Л~1 МэВ.	ь а =*=
Дипольная мода T = TQ+1 у большого числа ядер была обнаружена
топроцессах и в реакциях неупругого рассеяния электронов [52, 562
(см. также обзор [907]). Оказалось [907], что разность энергий для мод У С11
и Т=Т0+1 согласуется с выражением (6.348), если взять параметр
= (55 ±15) Л'».	₽0!=
Фиг. 6.24. Диаграммы, иллюстрирующие влияние избытка нейтронов на частоты
зарядово-обменных возбуждений.
Важные дополнительные сведения о дипольных зарядово-обменных полях
можно будет получить, определяя вероятность Е1 -возбуждения моды Т== *Q'O
Теоретическое уменьшение вероятности при р,х = -|-1 с ростом нейтронно
избытка (фиг. 6.23) объясняется отчасти уменьшением вероятности за с
принципа Паули, а отчасти взаимодействием между частично-дырочными
Суждениями с Цг= + « и щ=—1.	)И.
Замечание. Взаимодействие (6.341) можно выразить через операторы с^т Iй
тово-сопряженные им), которые уничтожают (и рождают) когерентные од
частичные возбуждения	Тогда поля будут иметь вид
F+1=i[f+1

443
Примеры к гл. 6
(И1Ьтониан можно записать так.
4гаМ	H = H0 + Vt
(6.351)
~-х {/+1	f+i<“i+Li (с'Л'Л - I х/2 [(4°’Г-С<°>]2.
гамильтониан является квадратичной формой операторов (сг0)У и с(0),
------------------- ------- —л---------	----а---------q с переходом
ЭТможно"диагонализовать путем линейного преобразования
" *Г0ВЫМ бозонным переменным с*, с:
(cL^ = Xcl, + Yc+l,
(4°' * = ХдС^ + Y аСй, )
где [формулы (6.337) и (6.339)]
X2 + Yз = К'1 (Ь<й0 + х/§), 2XY = -
К= [(teo + x/SP-xViJlJ7
Х5 + П’ = Ко' (йо>о + х/1), 2Х0Г0= K^fl,
Ко = [(йсоо + х/=)2 - х7^ = [Л<оо (йЮо + 2х/*)Л’.
Гамильтониан после преобразования будет иметь вид
Я=Е.+2^к
т т Т
Его собственные значения таковы:
_ к ± 1 ((»»'» - »»»;)+«(Д, -д,).
Простой результат (6.355), который получается для разности
частот o)ir является следствием соотношения (6.342). Энергия коррелирован-
ного основного состояния | 6) определяется выражением
£„=(К - йио) +1 (Л'о - Лшо).	(6.356)
Матричные элементы возбуждения квантов нормальных мод в полях F
но полУчить, перейдя в выражении (6 350) к новым переменным с:
Р+1 = - f\ = i [(Xf+l + Yf^)	+ (Yf+1 + XtJ c_J,
Так	^o==i (Xo	Yо) /о (cj co).
м °бразом, из соотношений (6.353) мы получаем
1<',±1==1 If±i I 0> !2= ± |й.-/-1)+ГМ+х(Й-Ш). ,fi
IvleOUOJ
вс,1у, <По=1!Л>!°)
^Цилля?оп°Д D !1^0 соотношения (6.358) выражают закон сохранения силы
Ра- В случае + 1 взаимодействие не коммутирует с оператором
(Х2_/2=1)1
 (Xj-l'S-l).
(6.352)
(6.353а)
(6.3536)
(6.354)
(6.355)
собственных
(6.357)
444
Гл. 6. Вибрационные спектры
поля. Поэтому для таких мод сила осциллятора не сохраняется и
видно из формулы (6.358), разница между интенсивностями переходов л
чаев рт = ±1 не зависит от взаимодействия. Этот результат можно п Ч-
и непосредственно, вычислив коммутаторы Е+1] для некоррелипп
и коррелированных основных состояний (О таких правилах сумм см § даНн^
данной главы.)	5 ’п 3,
Как отмечалось выше, мы пренебрегаем эффектами порядка T-i т
пользуемся понятием частично-дырочных возбуждений, которые не явГ
собственными функциями оператора Т=Т0 + Нт. При малых значениях
жет оказаться существенным вклад компонент с Т > То + (дт, но мы кДМо>
рассчитать поправки исходя из инвариантности по отношению к вращр0*^
в пространстве изоспина. Действительно, вплоть до первого порядка пНИт
влияние нейтронного избытка на частоты и матричные элементы определи * '
общими выражениями (6.130) и (6.131). Параметры в этих выражениях
определить, переходя к пределу при То>1, в котором справедливы резу'Г
таты данного раздела. Поэтому коэффициент а в формуле (6.130) принима
значение (6.349), а коэффициенты ш0 и пц в формуле (6.131) для (т= i ‘Л
= F принимают значения (формулы (6.358), (6.355) и (6.340)]	’ ™ ~
.<• / (Во ?/2
—
т0 ““
7
(*2)яизб
2 I т{
(6.359;
2 *
Влияние нейтронного избытка можно учесть, вводя взаимодействие ча-
стица-фонон между избыточными нейтронами и дипольными квантами (Н1 =
== хоС-цГ!.! +эрм. сопр.). Энергетический сдвиг из-за взаимодействия диполь-
ного кванта с избыточным нейтроном представлен графически на фиг. 6.24 и
равен
= х2а^ (т—Ц:------Н т—г*— X
1	°	— 7>а>0 Л(о + Й(оо /
х, s i<vp!F_1|vfl)|2+	v=0>H (6-360
\V ? незап	v? зап	/
для избыточного нейтрона на орбите vn. Поскольку формула (6.360) выведен*
в первом порядке по (N — Z), свойства колебательной моды можно взять
случая N — Z, т. е. не зависящими от цг. Суммирование по занятым и неза-
нятым протонным состояниям дает среднее значение (уп | 2х21 vn). Таким обра-
зом, пользуясь формулами (6.355) и (6.358), мы получаем результат, соотве
ствующий второму члену в формуле (6.349).
Эффективные моменты для зарядово-обменных дипольных переходов. В
модействие частицы с коллективными дипольными модами	ПРИпени<?
к перенормировке одночастичных зарядово-обменных моментов. Это яВ‘
аналогично введению эффективного заряда для моментов £1. Так, ДлЯ?{?кТИв-
еМ (рр Х== 1) Р-распада [формула (3.209)] мы получаем константу зфФе
ного векторного взаимодействия:
£и(Р1" .ит = —	^=,)эфф =
Г. ЛК"+1=1	(6.36D
~^L	\	Й®+1 + Д£ Й<о_,±Д£ /Г
еХОДаМ
Здесь ДЕ —энергия перехода. В случае ДЕ^О, соответствующем п^я<ите.1ь
между ядрами вблизи от линии p-стабильности, перенормировочныи ,м‘ дствИЯ
слабо зависит от нейтронного избытка и в случае контактного взаим д
Примеры к гл. 6
445
рн примерно 0,3. Эта величина согласуется с результатами анализа
(6,311ай ядра 2О’Т1 (Т. 1, стр. 343, вариант 2).
Р'.расп ^ово-обменные дипольные матричные элементы можно также опреде-
^руцая у-распад изобар-аналоговых состояний (7 = Мт + 1), так как
ЛИТЬ* инвариантности по отношению к вращениям в пространстве изоспина
в силу для такого процесса связан с моментом аМ (ру, Х=1) для [3-пере-
М°^ кЬоомула (3.214)]. Рассмотрим, например, протонный захват в ядре 140Се,
х°Да п? церез изобар-аналоговый резонанс, соответствующий основному состоя-
ИДУШ' уд== 7/2 — ядра 141Се [358; 361]. Известно, что этот резонанс распадается
ниЮоеХодом в основное состояние /л = 5/г + ядра 141Рг. Приведенный матрич-
ный элемент для такого распада равен
7’=7’о+-2- Л1г = 7’0-4р/(Е1)||/Л=® +,
Т=Тп-у= Л4г^> = (0,18 ± 0,04) е ферми (6.362)
Здесь То — изоспин ядра lj”Ce (70 = 12). Если бы основные состояния ядер
нц2е и 141Рг можно было рассматривать как состояния /7д нейтрона и про-
тона сверх замкнутой оболочки |W = 82, Z — 58 = 50 + (£?/2)8]» то из соотноше-
ния (3.214) с использованием волновых функций в потенциале Вудса— Саксона
с обычными параметрами мы получили бы
М — е (2Т0+ 1)~'/2 ( /7/г | г /j |] db/* }	0,85е ферми.	(6.363)
Это превышает экспериментальное значение (6.362) примерно в 5 раз. Следует
еще учесть поправки на парные корреляции, которые особенно сильны для
протонов. В результате этого матричный элемент уменьшится в и раз, где
и —амплитуда вероятности найти протонную орбиту dbl* в ядре 140Се незапол-
ненной.
Если распределить 8 протонов равновероятным образом по почти выро-
жденным конфигурациям d^,^ и g7/2, то и (6/14)1/г	0,65. Таким обра-
зом, уменьшение матричного элемента из-за эффектов поляризации оказывается
порядка 0,3, что согласуется с формулой (6.361).
Ширина резонанса (фиг, 6.25 и 6.26)
v Сила дипольного поглощения для фоторезонанса оказывается распределен-
°и по энергетическому интервалу шириной в среднем 5 МэВ (фиг. 6.25).
и бе21°Т°РЬ1Х ядРах это распределение имеет весьма простую форму (фиг. 6.18
doh В л™ же ядрах заметна более сложная структура С одной сто-
н ы’ Там наблюдается всплеск при больших энергиях, содержащий значитель-
на Д0ЛЮ СИЛЫ ОС11Нллятора. С другой стороны, в сечении поглощения при
энеР™ях видна тонкая структура с компонентами, имеющими ширину
При К3 долей мегаэлектронвольта (см., например, спектр ядра 16О нафиг. 6.26).
кает ИнтеРпРетаиии ширины и тонкой структуры дипольного резонанса возни-
низмь]МН0Г° Неяс;иостей. Здесь мы лишь кратко рассмотрим некоторые меха-
в пап Взаки°Действий, играющие, по всей видимости, существенную роль
Ол^ТрИВаемь1Х злениях.
Колебан И3 ПРИЧИН уширения дипольного резонанса связана с нулевыми
ний Виями Для квадрупольной моды. У многих ядер амплитуда этих колеба-
еколъку ВН"Ма с постоянным эксцентриситетом деформированного ядра. По-
п°ненть1 Деф°РМадия приводит к расщеплению дипольного резонанса на 2 ком-
Ния д с разностью энергий в несколько мегаэлектронвольт, нулевые колеба-
д ЛЖны приводить к существенному уширению резонанса. Этот эффект
446
Гл. 6. Вибрационные спектры
сразу виден на фиг. 6.21. Там изображены дипольные резонансы для по
вательности Nd, начиная с ядра l42Nd, где заполнена нейтронная обо?^0'
(N = 82) и поэтому наблюдается квадрупольная мода с малой амплитул°',Ка
большой частотой, и кончая ядром 150Nd, имеющим статическую Деформа°ц и
Влияние нулевых квадрупольных колебаний на дипольную моду Мо
объяснить, рассмотрев взаимодействие между дипольными и квадрупольн^0
колебаниями, как это было сделано в § 6, п. 2, данной главы. Сила эт1МИ
Фиг. 6.25. Систематика ширин дипольного резонанса.
Квадратики — экспериментальные значения; крестики — теоретический вклад низкочастот-
ного квадрупольного взаимодействия. Экспериментальные данные взяты из обзорной статьи
[454]. На фигуре приведены значения ширины Г резонансной кривой на половине высоты.
Во многих случаях точность экспериментальных данных невелика, и разные лаборатор»
часто приводят разные значения ширин.
Теоретические значения ширин взяты из работы [747] Но приведенные в ней зн
ния второго момента силовой функции были умножены на 1,4, чтобы получить ШИРИ^НК.
половине высоты для функции (6.284), а не величину 2Д [А —второй момент силовой ФУ
ции, который определяется формулой (6.285)].
взаимодействия определяется безразмерным параметром взаимодействия т], №
рый можно вычислить по экспериментальным значениям частоты и силы дип •
ных и квадрупольных колебаний [формула (6.281)]. В большинстве ядер
и дипольная сила распределяется по ряду компонент, лежащих в ИНТ?Р285)
энергий порядка Г]Йсо2> как это видно из фиг. 6.15 [см. также формулу ( •
для второго момента силовой функции].	efl.
Форма резонансной линии при учете диполь-квадрупольных взаим д.
ствий очень сложна, и поэтому не совсем ясно, какую величину следует_£оГ0
нивать с экспериментальной шириной линии. Величиной, выбранной для
сравнения на фиг. 6.25, является ширина на половине высоты теорет
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
Е^Мэй
Фиг. 6.26. Сечение фотопоглощения для ядра 16О.
Представлены данные о фотопоглощении, полученные в результате экспериментов по ослаблению пучка фотонов кислородом (в воде)
[327]. Большая часть ослабления пучка обусловлена атомными процессами (комптоновское рассеяние и рождение пар). Но эффективные
сечения этих процессов хорошо известны и могут быть учтены при обработке экспериментальных данных. Остальная часть ослабления
пучка связана с поглощением на ядрах.
448
Гл. 6. Вибрационные спектры
рассчитанной силовой функции (6.284) в модели сильной связи:
Г «=1,67 ЛЙ0),	(6 364)
Из фиг. 6 25 видно, что в большинстве ядер основной вклад в ширину дИп
ного резонанса вносит взаимодействие с низкочастотной квадрупольной
Однако добавочное уширение следует отнести на счет других взаимодейстп°*‘
(В работах [416, 616] была сделана попытка объяснить тонкую структуру пИИ’
нансов фотопоглощения наличием компонент, обусловленных диполь-квал°
польным взаимодействием.) Данные фиг 6.25 относятся к сферическим ядр
В деформированных ядрах аналогичные эффекты возникают из-за взаимол’
ствий с [3- и у-колебаниями [41, 1121].	деи’
Другой причиной сложной структуры дипольной СИЛОВОЙ функции МОЖ
быть разброс невозмущенных одночастичных дипольных частот. ОдночастичнГ
функция отклика, подобная изображенной на фиг. 6.16, не обладающая силой
в области энергий коллективной дипольной моды, не может уширять резонанс
соответствующий этой моде, а приводит лишь к очень небольшому увеличению
осцилляторной силы в области невозмущенных одночастичных частот. Сила осцил-
лятора в этом случае, как видно из формул (6.244) и (6.245), имеет вели-
чину (Г°/ДЕ)4, где Г° — разброс невозмущенных частот, а А£- сдвиг коллек-
тивной моды из-за дипольных взаимодействий. (См. также пример в табл. 6.4.)
Но при более детальном рассмотрении функции отклика с учетом конечной
глубины ядерного потенциала область дипольного резонанса оказывается на
участке сплошного спектра. Наличие сплошного спектра приводит к ушире-
нию коллективной моды, так как благодаря взаимодействию с полем диполя
возникает возможность распада дипольного колебания с прямым испусканием
нуклона [см. график на фиг. 6.7 и выражение (6.247) для соответствующей
ширины]. Изучение этого эффекта могло бы дать важную информацию о взаимо-
действии частица — колебание. Но соответствующий вклад в полную ширину
должен быть малым, поскольку в данной области энергий нет одночастичных
резонансов. Такой вывод отчасти подтверждается тем, что прямое испускание
нуклонов составляет лишь примерно 10% других видов распада фоторезонанса
(см., например, [706]).
Мы считаем, что рассматриваемое поле диполя не зависит от спина (х=И,
о = 0, %=1). Но благодаря зависящим от спина ядерным взаимодействиям
возникает связь поля такой симметрии с полем, зависящим от спина (х^1,
о=1, Х=1). Зависящее от спина поле приводит к появлению переходов
с переворачиванием спина типа /\ = +	/2=^2“1/2» энергия которых может
оказаться близкой к энергии дипольного резонанса. [См., например, возбужде-
ние	в ядре 16О. В соответствии с данными т. 1, фиг. 3.2, б, оно должно
иметь энергию примерно 23 МэВ,т. е. лежать в области сильного дипольного погло-
щения (фиг. 6.26).] Поэтому взаимодействия, приводящие к связи дипольных
полей о = 0 и о=1, могут играть важную роль в уширении и появлении
структуры дипольного резонанса, хотя в настоящее время нет прямых данных
о силе этой связи.
Связь дипольной моды с другими степенями свободы может приводи
к образованию очень сложных состояний, которые распадаютсяопреимуш^
венно с испусканием нейтронов. Небольшая часть испущенных нейтронов о -
дает весьма высокой энергией, и ее появление можно объяснить процессом Р
мого испускания (см. выше). Но распределение энергий для большие’
испускаемых нейтронов соответствует вычислениям на основе модели исваР ва.
из компаунд-ядра (см., например, [706]). Можно попытаться описать обРаи3.за
ние компаунд-ядра, рассматривая затухание одночастичного движения
мнимого члена W в оптическом потенциале [332]. Для каждой из двух ина
частиц ширина равна 2 W [формула (2.139)], а поэтому полная ini'
должна равняться 4 W i. Мнимая часть потенциала зависит от Лва-
частицы (т 1, фиг 2 29). Энергия, которую может иметь каждая из двУ еТОм
зичастиц, возникающих в поле диполя, равна полной энергии за в
Примеры к гл, 6
449
возбуждения другой квазичастицы, которая равна в среднем
эНергиИ наПример, в случае ядра 208РЬ (й(о^14 МэВ, йсоо^7 МэВ) затуха-
Г1оэт°м^»каждой из квазичастиц должно быть таким же, как и в случае пучка
ние ДЛиов с энергией в несколько мегаэлектронвольт (поскольку энергия
нейтрону
МэВ). Мнимая часть потенциала ядра 2о«РЬ для нейтронов таких
с0ЯЗИиГизвестна не очень хорошо, но существующие данные, по-видимому, не
эНеР вооечат экспериментальной ширине дипольного резонанса 4 МэВ, что
Пр0Петствует среднему значению W 1 МэВ. Для других ядер найденный из
с0°тВоимента потенциал поглощения значительно больше (см., например,
экспе^ у 2.29). Однако для этих ядер величина W содержит существенный
ФйГ‘ л взаимодействия частиц с низкочастотными квадрупольными колебаниями.
Случае дипольной моды это взаимодействие, существенно изменяющееся из-за
геоентности движения частиц, уже включено в дипольную ширину [фор-
мулаР (6.364)].
СВОЙСТВА КВАДРУПОЛЬНЫХ МОД В СФЕРИЧЕСКИХ ЯДРАХ
Основной закономерностью для спектров ядер при низких энергиях является
существование в этой области сильно коллективизированных квадрупольных
переходов. Энергии и вероятности Е2-переходов для первых возбужденных
состояний 2 + четно-четных ядер приведены на фиг. 2.17 (т. 1) и фиг. 4.5.
В ядрах с большим числом частиц вне замкнутой оболочки эти низколежащие
состояния 2+ являются первыми уровнями в основной вращательной полосе
(см., например, фиг. 4.4). В случае меньшего числа частиц вне замкнутой
оболочки квадрупольные возбуждения можно приближенно описывать как
колебания относительно сферической формы. Такой подход основан на том,
что в ядре существуют сложные возбуждения, характеристики которых качест-
венно совпадают с характеристиками состояний, построенных суперпозицией
независимых квантов1*.
Чтобы исследовать связь квадрупольных колебаний формы с оболочечной
структурой ядра, посмотрим, какие возбуждения частиц возникают в полях,
обусловленных деформацией статического потенциала. В нашем качествен-
ном анализе мы предположим, что поле пропорционально квадрупольному
моменту:
/?=Е[г2Г2о(6)Ь	(6.365)
k
Спектр возбуждений независимых частиц в таком поле представлен на
фиг. 6.17, а. Переходы можно приближенно характеризовать полным числом
квантов гармонического осциллятора JV. При этом мы получаем группу низко-
поря°ТНЫ2 ^пеРеходов с Д^ = 0, а также переходы с AN-—2 и энергиями
Появление двух различных характеристических частот у одночастичных
вздрупольных возбуждений свидетельствует о возможности существования
Д ух разных мод квадрупольных колебаний формы. Такое расщепление квадру-
яв^ЬНои колебательной моды, связанное с оболочечной структурой ядра,
в ‘ яется специфическим свойством ядерных колебаний формы, не возникающим
н «ало™чном случае колебаний жидкой капли. (В рамках картины движения
нийВИСИМЬ1Х частиц эти две частоты можно отождествить с частотами колеба-
ческо^^Р'ПОЛЬНОГО момента частицы, движущейся по классической эллипти-
и орбите в сферическом потенциале гармонического осциллятора. Ча-
*/°Ль кваДРУПольных колебаний поверхности как основной моды кол-
кОл *0го Движения в ядрах была признана в самом начале исследования
ментапТИВных свойств ядер на основе модели жидкой капли [175]. Экспери-
ских \.ЬНЫе данные по квадрупольным колебательным возбуждениям сфериче-
ДеР собраны и объяснены в работе [1008].
О. Бор, б. Моттельсон
450
Гл. 6. Вибрационные спектры
стота 2со связана с периодом орбитального движения, а нулевая часто?
зана со стационарностью орбиты.)	а свя.
Сила низкочастотных квадрупольных возбуждений существенно зави
числа частиц сверх замкнутой оболочки и обращается в нуль для зап^Ит 01
ных оболочек гармонического осциллятора. (Особые свойства квадруПо ЛНен-
колебаний ядер с заполненными оболочками отмечались в работах [462
Поэтому коллективная мода, связанная с переходами внутри одной обо-г
должна сильно меняться по мере заполнения оболочки, как это и наблюдаЧКИ’
в случае низких возбужденных состояний 2-j- в ядрах.	даеТся
Амплитуды переходов с ДМ = 2 мало зависят от степени заполнения пл
лочки. Свойства высокочастотных мод должны плавно меняться с А ка
в случае дипольной моды, рассмотренном выше. В настоящее время полуцК И
лишь предварительные данные по высокочастотным квадрупольным модам еНЫ
В приводимых ниже примерах мы рассмотрим вначале свойства высоко
частотных квадрупольных мод и их влияние (через взаимодействие частица —
колебание) на низкочастотные возбуждения. Затем мы перейдем к рассмотоГ
нию различных свойств низкочастотной квадрупольной моды»	р
Высокочастотные моды и эффективные заряды
(табл. 6Я и 6.9)
Высокочастотная изоскалярная мода. Поле (6.365) симметрично действует
на нейтроны и протоны и поэтому приводит к появлению коллективной моды
с т = 0. Поскольку эффекты взаимодействия должны быть весьма большими,
мы будем пренебрегать разбросом энергий возбуждений в невозмущенном слу-
чае и рассмотрим функцию отклика, соответствующую движению независимых
частиц в потенциале гармонического осциллятора. Полную силу одночастич-
ных переходов на вырожденные возбужденные состояния с со(0’=2(о0 можно
в этом случае получить из правила сумм для осциллятора. Переходы с ДМ = О
и й)(о>=О не вносят вклада в силу осциллятора, а поэтому для компоненты
с g = 0, которая вносит часть (2Х+1)1 в сумму (6.172), мы получим
5 Й2
S (F) = 2Й(00 w>)*=-др А (г*),	(6.366)
что соответствует следующим значениям массовых параметров и жесткости
для невозмущенных энергий возбуждений [формулы (6.21) и (6,23)]:
с,л, /Л 2M(Dg
5 Л ’	(6.367)
Константу взаимодействия х, связанную с колебаниями формы, можн
вычислить, считая, что эксцентриситет потенциала совпадает с эксцентрисит '
том плотности. Тогда в случае потенциала гармонического осциллятора
имеем [формула (6.78)}
4л А4со§ __	1 Г(0)	(6.368)
5 Л <г2> “	2 G •
Поэтому для энергии коллективного возбуждения мы получим [формула ( •
й<а=2йй,7£^±^у/* = /2	58Л-*/’ МэВ (т=0, %=2). M9)
гяА9 927,
В недавних опытах по неупругому рассеянию электронов [ooz, . квад.
и ядер [754, 838] удалось подтвердить существование высокочастотной
рупольной моды.
Примеры к гл. 6
451
непгия согласуется со значением (6.369), а сила Е2-перехода соответ-
Ее з'и всей величине суммы квадрупольной силы осциллятора для воз-
ствУеТ £ q.
Из проведенного выше анализа высокочастотной квадрупольной моды
что амплитуда нулевых колебаний должна быть порядка а0~Л1/зЯа.
^^яачение соответствует параметру деформации б~Л~2/з, так как
Эт0лр2б Эти деформации малы по сравнению со статическими деформациями
h	Соответствующая потенциальная энергия будет порядка
*ДеР 'т е> значительно больше энергии деформации, связанной с увеличе-
площади поверхности и равной дП0ВЛ2/зб2 [формулы (6.636) и (6.637)].
Соответствующая частота (6.369) пропорциональна Л*”1/з, тогда как частота
ебаний жидкой капли пропорциональна 1/2 Поэтому детали структуры
КОЛеоХностной области должны быть несущественными для описания высоко-
ПОВтотных мод. То же самое можно сказать и о влиянии кулоновского оттал-
кивания, которое следует учитывать при описании колебаний формы тяжелого
ядра в модели жидкой капли [см., например, формулу (6.642)].
Высокая частота колебаний формы, «вбирающих в себя» основную часть
силы осциллятора, есть следствие эффектов оболочечной структуры ядра. Эти
эффекты приводят к тому, что возбуждения ядра, формирующие эти колеба-
ния? имеют энергии того же порядка, что и возбуждения, приводящие к ко-
лебаниям плотности. Поэтому при более подробном анализе может оказаться
необходимым учитывать взаимодействия между поверхностными и объемными
колебаниями (см. по этому поводу приложение 1, п. 3).
Связь квадрупольной моды с одночастичными возбуждениями приводит
к перенормировке одночастичных квадрупольных операторов, которые описы-
ваются коэффициентами поляризуемости [формула (6.216)]:
(М2______________(ML— f6 370)
(йш)2-(Д£)2 •	(Ь,470)
X
х(т=0, Х=2)=—+ x (to)2_(A£)8
Поэтому из нашей приближенной формулы видно, что для низкочастотных
квадрупольных переходов (ДЕ /ко) квадрупольный момент с т = 0 удваи-
вается из-за взаимодействия с высокочастотной модой. (Этот результат можно
получить проще, если рассмотреть равновесную форму для конфигурации,
содержащей одну частицу сверх замкнутой оболочки Равновесная форма полу-
чается из условия самосогласования потенциала и плотности. В случае потен-
циала гармонического осциллятора оказывается, что половина полного квад-
рупольного момента возникает из-за вклада внешней частицы, а половина
из-за деформации замкнутых оболочек.) В этом можно убедиться, взяв фор-
мулу (4Л86) и сравнив значение б с соответствующим значением, полученным
осцип1*0^ Же конФигУРации Ех в потенциале сферического гармонического
Замечание Коллективная координата а как функция переменных отдель-
1Х частиц и коллективный поток, связанный с колебательным движением,
Иь.еют особенно простой вид для таких мод, как высокочастотные квадруполь-
в Д Колебания, на которые приходится основная доля силы поля F. Так,
д ‘УЧаец конфигураций внутри замкнутых оболочек квадрупольный оператор Е,
Мо *ем“и Формулой (6.365), возбуждает только коллективное движение данной
в J: 1 Гогда операторы а и F в пространстве вибрационных состояний имеют
Tej Руническом приближении одни и те же матричные элементы. Следова-
рупо?’ В таком Приближении коллективная координата а совпадает с квад-
подьз ЫМ М0Мент°м Е, а выделение коллективной моды можно провести,
КооплУЯСЬ ТОчечным преобразованием от координат частиц xk к новому набору
к а а Qi (xk) (под qi понимаются степени свободы, ортогональные
лючая и квадрупольные моды с и^О).
16*
452
Гл. 6. Вибрационные спектры
Соответствующее преобразование для импульсов имеет вид [156]
_ „ Й д , V
Й д
i dqi 
k
(6.371a)
(6-3716)
Условие (6.3716) на функции qi (xk)
ванном выражении для кинетической в	в	___,
нейных относительно коллективного импульса л и импульсов, сопряженных"
(условие сепарабельности). Из соотношений (6.371) можно получить
для коллективного момента:
для того, чтобы в преобразо.
наложено для того, чтобы в преобразо
энергии не содержалось членов, били-
—q..
выражение
П д D V п г
" “ i да~ М 2iPk' VkF’	(6,372а)
k
D-Ш = ^kF-VkF^~A <r*>.	(6.3726)
k
Последнее соотношение можно получить, используя формулу (6.171), Здесь
D — массовый параметр вибрационной моды [это видно из преобразования
(6.371а) для полной кинетической энергии], который определяется форму-
лой (6.367), выведенной ранее из других соображений
Для определения коллективного потока и (г), связанного с вибрационным
движением, можно воспользоваться выражением для плотности тока (2Л4)'1 х
X {р£, д(г —гЛ)}. Часть этого выражения, связанную с коллективным дви-
k
жением, можно привести к виду
Мр (г) и (г) = У VkF6 (г — г*) л = VF (г) л J 6 (г - гА), (6.373а)
k	k
u (г) = М’1 VF (г) л.	(6.3736)
Поле скоростей и (г) является безвихревым, как и следовало ожидать для
моды, «вобравшей в себя» всю мультипольную силу осциллятора [поэтому
выражение (6.3736) можно было бы вывести из уравнения неразрывности р +
4-V(pou) = O и выражения для вариации плотности, приведенного выше после
формулы (6.77)].
Анализ коллективных мод следует видоизменять в случае одночастичного
потенциала, зависящего от скорости Результаты для высокочастотной квадрУ'
польной моды можно представить в довольно простом виде, если воспользо-
ваться полученным выше выражением для коллективного потока. Если Уч^*ь
зависимость от скорости одночастичного потенциала, введя эффективную массу М »
то вибрационный массовый параметр Ё>(0) следует умножить на величину
М*/М [формула (6.367)]. Такое изменение величины D<0} изменяет осцилл
торную силу коллективной моды в М/М* раз и приводит к нарушению кл
сического правила сумм. Как уже указывалось, это правило должно вЫП '
няться в силу галилеевой инвариантности. Противоречия исчезнут,
вспомнить, что скорости нуклонов, входящие в зависящий от скорости од,
частичный потенциал V (р), следует измерять относительно скорости и кол,
тивного движения. Переходя к системе координат, движущейся со скорое
(локальная галилеева инвариантность), мы должны выполнить преобразо ..
одночастичных импульсов р->р — Ми [формула (1.16)]. Тогда одночасти
Примеры к гл. 6
453
тенниал в приближении эффективной массы примет вид
1/(р_Л1и)=у (>r-^)(p_'Mu)2:==*0W_(p’u)> (6,374)
b _ М
ko — ~м*- L
в окончательном выражении мы сохранили только линейный по и член,
тственный за связь коллективного движения с одночастичным. Если ис-
0ТВ]ЬЗОвать выражение (6.373) для коллективного потока, то эту связь можно
записать в виде
(6.375)
Суммируя выражение (6.375) для всех частиц [и учитывая множитель V2,
озникающий вследствие того, что связь (6.375) является результатом двух-
частичных взаимодействий], можно убедиться в том, что полная энергия про-
порциональна л2 [формула (6.372а)], а выражение для полного вибрационного
массового параметра имеет вид
5	А (г2>	( М h \	5	А {г2)
2л М	*°J	2л" М	’
(6.376)
т. е. определяется массой М, а не эффективной массой М*.
Хотя массовый параметр вследствие локальной галилеевой инвариантности
принимает классический вид (6.376), параметр жесткости видоизменяется при
переходе к одночастичному потенциалу с эффективной массой. Если подбирать
частоту осциллятора так, чтобы сохранить геометрические размеры (г2), то ее
нужно умножить на отношение М/М*. Поэтому жесткость С(0), константу
связи х и полную жесткость С следует также умножить на эту величину
[формулы (6.367) и (6.368)]. Следовательно, частоту коллективной моды нужно
умножить на величину (М/М*)^2.
Высокочастотная изовекторная мода. Высокочастотные квадрупольные воз-
буждения могут привести к появлению наряду с симметричной модой т = 0
моды т=1, в которой нейтроны и протоны движутся в противофазе. Эта мода
аналогична рассмотренной выше дипольной моде. Поэтому, как и при рассмот-
рении дипольной моды [формула (6.311)], будем считать, что поле пропорцио-
нально изовекторному мультипольному моменту:
k
(6.377)
Массовый параметр и жесткость для невозмущенных квадрупольных колебаний
1 такие же, как и у моды т = 0, а константу взаимодействия можно
каити из соотношения (6.127):
nV,
т	Л (г4) 
аким образом, получаем
х 5	У, (г2> _
С:0‘ ~‘8	(г4) ~ ’
Чтобы получить численное значение, мы взяли
(6.378)
(6.379)
(г2) =» 0,87Лг/’ ферми2, (г4> ==0,95Л</а ферми4,
Д1я	130 МэВ.	(6-380>
с паЛ?ределения радиальных моментов мы воспользовались формулой (2.65)
“Раметрами (2.69) и (2.70) для случая А ~ 100.
454
Гл. 6. Вибрационные спектры
Пользуясь формулами (6.27) и (6.379), найдем энергию коллективного
Суждения:	°3'
йсо=2/коо 1 4
«= 135Л-МэВ
(т—1, X—2).	(638))
Как и в случае дипольной моды, значения собственных частот, получр
ные в рамках когерентных возбуждений модели оболочек, очень близки к 3Л
чениям, полученным при гидродинамическом подходе [формула (6.683)]. а‘
Коэффициент поляризуемости, описывающий перенормировку изовекто
ного квадрупольного момента частицы, можно найти из соотношений (A
и (6.379):	V
Х(Т=1, Х==2)=—0,64	,
(6.382)
где ДЕ — энергия одночастичного перехода.
Замечание. В рассмотренной выше схематической модели радиальные форм-
факторы полей для изоскалярной и изовекторной моды считались одинаковыми
хотя сами моды сильно отличаются друг от друга. Изоскалярная форма счи-
тается колебанием формы с потенциалом, сосредоточенным в области поверх-
ности ядра, а изовекторная мода —объемным колебанием с плотностью и по-
тенциалом, сконцентрированными внутри ядра, Основным в подходе является
то, что моды строятся непосредственно из одночастичных возбуждений с ДМ =:
= 2. Различие в свойствах мод находит свое отражение в том, что отношение
констант эффективных взаимодействий (хг/х0^—3,6) существенно превышает
отношение (VX/4VO 0,6) среднего изовекторного и изоскалярного потен-
циалов.
Влияние нейтронного избытка на высокочастотные моды. Рассматривая
высокочастотные квадрупольные моды, мы полагали, что JV==Z. Частоты и
вероятности переходов при т = 0 и т=1 не зависят от знака разности N — Z,
а потому поправки к этим величинам должны быть порядка (М —7)2/Л2. Но
при рассмотрении интерференции матричных элементов с т = 0 и т = 1 возни-
кают члены, линейные по (Af —Z).
Влияние нейтронного избытка на коллективные моды зависит от таких
свойств средних полей, которые нельзя определить из соображений симметрии.
В дальнейшем мы дадим простое описание нормальных мод, считая, что изо-
спиновая структура их в основном определяется сильным взаимодействием
нейтронов и протонов в ядре.
В случае колебаний формы (т^0) нейтрон-протонные взаимодействия
стремятся сохранить отношение числа нейтронов к числу протонов в данной
точке. В этом случае мода связана с изовекторным моментом, пропорциональ-
ным нейтронному избытку,
е^(т=1,	Х = 2)=» Д^-^(т=0,	л=2)=-Ц^—ат..о (6.383)
/1 /1
Помимо этого, поскольку статическое поле ядра действует по-разному на ней-
троны и протоны [потенциал симметрии, формула (2.26)], в гамильтониане
взаимодействия полей появится изовекторный член, связанный с колебаниям
формы:
I. . 1 Vi N — Z	\	/6.384)
6V Я» Xt_0aT-0 ( 1 + “J- Д/у -д	^Zj Г ^20	'
Здесь Vi/Vo^s—’2,6 есть отношение изовекторной компоненты к изоскалярной
для статического потенциала ядра (мы считаем, что Иос=^ —50 МэВ,
130 МэВ).	етьно
В случае моды т^1, соответствующей колебаниям нейтронов относит »
протонов, рассмотрим, как и в случае дипольной моды, поле, действу
Примеры к гл. 6
455
переменную, равную отклонению изоспина от его среднего значения:
Fх-i = J [г2^	(т* ~	(6‘385)
k
Соответствующее выражение (6.328) в случае поля диполя было получено
ообоажений трансляционной инвариантности. В данном же случае требуется
И3 Сать добавочное предположение, равносильное требованию, чтобы поле не
сдеЛяло полную плотность в точке. Поэтому в записи (6.385) мы пренебрегаем
Мезможностыо взаимодействий с квадрупольными колебаниями плотности.
пе (6 385) характеризуется также тем, что такую коллективную моду нельзя
озбУДить частицами, у которых отношение массы к заряду такое же, как и
v ядра-мишени. (Но эту моду можно возбудить частицами с 7 = 0 благодаря
нейтронному избытку у мишени.)
Эффективный заряд для переходов Е2. Данные о взаимодействии одноча-
стичного движения с высокочастотными квадрупольными модами можно полу-
чить, рассматривая эффективные заряды для £2-переходов с малой энергией
(гл. 3, § 3, п. 1). Используя выражения (6.370) и (6.382) для изоскалярной и
изовекторной поляризуемости с учетом линейных по нейтронному избытку
членов, рассмотренных выше, мы получаем для полного поляризационного
заряда статического квадрупольного момента выражение
Снд(£2> Д£=0)=^Х(г = 0. Д£ = 0) (и4т7	-
-|х(т = 1, ДЕ=0)(тг--^-},	(6.386а)
е™нд(£2, Д£=0)=с[А_о,32-^-+(0,32-0,(6.3866)
Первый член в формуле (6.386а) дает вклад моды т^0 с учетом взаимодей-
ствия (6.384) для отношения электрического квадрупольного момента к изоска-
лярному, равного, согласно формуле (6.383), Ze/А. Второй член в фор-
муле (6.386а) дает вклад моды т 1 для взаимодействия, пропорционального
полю (G.385), и отношения электрического квадрупольного момента к массовому,
равного — е/2, в соответствии с предположением о том, что эта мода не при-
водит к изменению полной плотности и потому не дает момента с т = 0 [фор-
мула (6.123)].
Индекс «станд» означает, что выражение (6.386) дает стандартную величину,
которой не учитываются возможные различия в радиальных распределениях
омента перехода и взаимодействия полей. Различия могут быть особенно
«енными для слаб° связанных состояний с большой амплитудой волно-
ния / кции вне ядерной поверхности (это приводит к очень большим значе-
уз-М а также Для некоторых переходов с изменением числа радиальных
(ЭТО приводит к эффективному уменьшению (г2)). (Примеры такого рода
можно найти в т. 1, табл. 3.2). Столь резкие изменения вряд ли
в пп? ИМеть место для реального взаимодействия полей, которое существенно
близки°ВерХН°СТН0Й области’ где волновые функции одночастичных состояний
Маж П° величине (т- Ь фиг. 3.4). Поэтому более правильное приближенное
ричнь еНИе для впол м0жн0 получить, если учесть изменения радиальных мат*
1Х элементов мультипольного момента:
A R2
(И’ 4£ - о> »•«-«.32	+ ("•32 - °-3 V) ’] WTS) 
(6.387)
456
Г л. 6, Вибрационные спектры
При сравнении с экспериментальными данными следует учесть, что в я
с замкнутыми оболочками были обнаружены квадрупольные моды т==о сЯ^а*
гией, существенно меньшей, чем даваемая формулой (6.369). Даже несм^'
на то, что сила осциллятора для таких переходов составляет лишь неболь°Т^Я
часть (<; 10%) полной силы, эти переходы вносят существенный вклад в
ризуемость, которая обратно пропорциональна энергии возбуждения МпЛя’
(вопрос о конфигурациях, ответственных за эти низкочастотные моды
сматривается ниже). Данные о таких относительно низкоэнергетических’ к?ас*
рупольных возбуждениях в ядрах с заполненными оболочками собпя^
в табл. 6.8. Добавки 6епол к поляризационному заряду вычислялись в предпЫ
ложении, что они пропорциональны величине Е~гВ (Е2; 0 -> 2), как в ф0°'
муле (6.218), а также с учетом поправки на величину [г/А — 0,32 (N —
\A~h2]e для высокочастотных колебаний формы.
Таблица 6.8
ВКЛАД ВОЗБУЖДЕНИЯ Ст = 0 ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК
В ЭФФЕКТИВНЫЙ ЗАРЯД Е2
Ядро	Е, МэВ	В (Е2, 0 — 2), е2 ферми4	Е.В(Е2)(Л/2)2	(*С,НД);	S (ЧтоП
			$(А = 2, Г=0)Клп.с кд	е	е
16Q	6,92	37	0,11	0,62	
	9,85	0,7	0,003	0,01	
	11,52	19	0,09	0,19	
	(23)	(100)	(1)	(0,5)	1,32
4°Са	3,90	90	0,035	0,32	
	5,63	8	0,005	0,02	
	6,91	70	0,05	0,14	
	(17)	(600)	(1)	(0,5)	0,98
2озрь	4,07	3,0’ 10*	0,15	1 0,31 1 0,40	
	(Ю)	(8. 103)	(1)	1 0,34 1 0,44	0,65 (л) 0,84 (р)
Экспериментальные данные, приведенные во втором и третьем столбцах, взяты из
работ [7] (ядро 1вО), [775] (ядро 40Са) и [1222] (ядро 208РЬ). Использовавшиеся в чеТ®еР*
том столбце значения S (л = 2, т = 0) получены из классического правила сумм (6.179).
При этом для ядра 16О было взято значение (г2) = 7,0 ферми2, для ядра 40Са — 12,4 фер*
ми2, а для ядра 208РЬ — 31 ферми 2 [275]. В последней строке для каждого ядра приве*
дены теоретические оценки соответствующих величин для высокочастотной квадрупольно
моды т = 0. В случае ядра 208РЬ указаны два значения бе : для нейтронов и протоне .
Экспериментальные данные по поляризационным зарядам для Е2-переходо
в случае одной частицы сверх замкнутой оболочки приведены в табл. о«у-
Там же приведены значения, вычисленные по формуле
е (Е2) ~ - 5_______V/лстандч _ Е*________	(6.3 83)
пол( }	</а|г2|/1> пол Л£2-.(Д£)2-
При этом значения	для возбуждений т = 0 взяты из таблицы 6.8,
а величины (беполНД) Для моды считались равными 0,32тге [формула (6.
Использованные в расчете величины (/2 I f21 /1> радиальных матричн
ментов приведены в третьем столбце табл. 6.9 и совпадают с вели
Примеры к гл. 6
457
ованными в табл. 3.2. Значения среднего квадрата радиуса (r2)=3/bR2
иСпольз такИми же, как в примечании к табл. 6.8. В табл. 6.9 опущено
бы и ВменТальное значение матричного элемента Е2-перехода р3^ -» р для
экспеР^ . ,т табл. 3.2). Энергия этого перехода (6,3 МэВ) столь близка
яДРа (6,9*МэВ) возбуждения 2+ в ядре 16О (табл. 6.8), что следовало бы
к ^нее изучить взаимодействие двух этих мод.
Таблица 6.9
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЗАРЯДЫ ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Е2
В ОДНОЧАСТИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ
Ядро			(/2||<^(£2)||/1>2, ez ферми 4	ДЕ, МэВ	</2 1 r* | /t>, ферми 2	%?	
						эксп.	теор.
». — 1’0	^/2	d42	11	0	11,5	0,4	l,o
	s-/a	<A/a	13	0,9	12,0	0,4	1,0
17F	s4,	da/2	128	0,5	13,4	0,2	0,5
"К	^»/2	d’/a	160	0	13,0	0,7	0,6
41Са	^/2	А/,	264	1,9	13,9	1,3	1,3
«Sc	^2	A/a	440	1,7	13,9	0,7	0,7
iOTJI	da/,	S‘/a	— 800	0,35	26	0,9	0,7
20?pb	А/,	P‘/a	420 + 20	0,57	32	0,9	0,9
	Py,	P'h	244 + 10	0,89	37	0,8	0,8
“Pb	'A/,	8yt	1100 ± 270	1,57	40	0,8	0,7
	si/a	d‘/i	310 + 15	0,47	57	0,4	0,5
’“Bi	Л7а	h>/2	2600 + 200	0	35	0,5	0,5
	А/,	Л‘/а	200 + 70	0,89	17	2,3	1,1
	A/а	Л’/а	2900 + 1000	2,81	20	1,6	1,5
Дан”ые взяты из работ, перечисленных в примечании к табл. 3.2, а также из более
=ИХ работ по 2U7TI И98, 696], по 207РЬ [519, 530], по *®»РЬ [530], по квадрупольному
моменту для г**Bi [356], по переходам в 20«Bi [206, 530, 589, 704].
в т Экспериментальные значения поляризационных зарядов, приведенные
ВКпабл' 6*9» по порядку величины согласуются с теоретическими. Основной
м ‘ аД В поляРизаиионный заряд вносит изоскалярная компонента благодаря
0 *Ым частотам мод т 0. Но полученные результаты позволяют судить и
По Лиянии изовекторных сил. При количественном анализе изовекторного
с отРИЗаЦИ0НН0Г0 заРяДа могут оказаться существенными вклады, связанные
с Из^осительно малой разностью между взаимодействиями нейтронов и протонов
метрОскаляРн°й модой. В выражении (6.387) учтено влияние потенциала сим-
РимеяИ’ Н° РаДиальныеформ-факторы считаются одинаковыми, поскольку экспе-
яДРах ЗЛЬНЬ1е РаДиальные распределения нейтронов и протонов в тяжелых
для и аесьма сходны. [Приближенное равенство среднеквадратичных радиусов
рассе ИТронов и протонов следует из сравнений данных по электронному
янию (которые позволяют найти протонное распределение) и данных по
458
Гл. 6. Вибрационные спектры
разности кулоновских энергий для изобар-аналоговых состояний (Кот
позволяют определить распределение плотности нейтронов избытка).]
равенство противоречит результатам расчетов плотности для нейтронов и
тонов, движущихся в потенциалах с одинаковыми радиусами, поскольку пот^°
циал симметрии приводит к существенному уменьшению радиуса протонц6*1
распределения [887] (см. также об изотопических сдвигах, т. 1, Стр. [gj?
Анализ изовекторных взаимодействий, которые восстанавливают приближен 2 ‘
равенство радиусов нейтронной и протонной плотности, может многое дать Г*
понимания структуры изовекторных коллективных мод и их взаимодейств
с одночастичным движением.	Ия
Что касается более подробного сравнения, проведенного в табл. 6.9 то
отметим следующее:	* ’
а) наибольшее различие в области 208РЬ связано с переходом /
который очень ослаблен из-за переворота спина и поэтому чувствителен
к малым компонентам в потенциале, зависящим от спина;
б) весьма малые экспериментальные значения изоскалярных поляризацион-
ных зарядов в области 16О могут служить показателем того, что взаимодейст-
вие в этих легких ядрах было завышено.
Замечание. Низшие по энергии квадрупольные возбуждения в ядрах leg
и 40Са (табл. 6.8), вероятно, связаны с большими статическими деформациями.
Об этом свидетельствует существование в этих ядрах структуры вращательных
полос (К = 0, J = 0, 2, 4, ...) с резко усиленными £2-переходами между ком-
понентами полосы (изомерия формы). Эти квадрупольные возбуждения состоят
в основном из конфигураций две частицы—две дырки и четыре частицы —
четыре дырки.
Состояние 2+ с энергией 4,07 МэВ в ядре 208РЬ, вероятно, связано
с частично-дырочными возбуждениями ДХ =0 lj13/	(нейтроны) и
1Ли/2-2/1/2 (протоны). Энергии этих возбуждений равны 5,0 и 6,2 МэВ
[см. фиг. 3.3 и приближенную формулу (6.454) для кулоновского взаимодей-
ствия для конфигураций протон — протонная дырка]. Квадрупольные взаимо-
действия приведут к смешиванию этих двух возбуждений и появлению двух
новых состояний. Нижнее из них будет в основном изоскалярным, а верхнее—
изовекторным. Можно попытаться интерпретировать состояние 4,07 МэВ как
изоскалярное. Тогда сила осциллятора т=0, связанная с этими переходами,
равна 1,6-104 [1+ях(ДуУ = 2, т = 0)]‘2 (ферми)4 • МэВ [формулы (3.165) и
(6.304)]. Радиальные матричные элементы оператора г2 считались равными
3/б/?2, где /? = 1,2Д1/з ферми. Пользуясь формулой (6.370) для поляризуемости
т = 0, можно получить для силы осциллятора т = 0 значение 8,0 • 104
ферми4 • МэВ. Экспериментальное значение величины В (Е2) для состояния
4,07 МэВ ядра 208РЬ дает значение Й<оВ(т = О, Х = 2) (A/Ze)2 faoB (£2)«
с=«7,8 • 104 ферми4-МэВ, которое подтверждает наше предположение о роли
возбуждений Пз/2, ^п/2 в образовании данного состояния.
В правильности интерпретации возбуждения 2+ в ядре 208РЬ можно также
убедиться, сравнив экспериментальное значение энергии с тем, что дает модель
связи с квадрупольным полем. Поскольку энергетические сдвиги сравним
с разностью энергий для невозмущенных конфигураций, можно найти пРиОЛ ’
женные значения для случая чисто изоскалярной связи между вырождении
частично-дырочными конфигурациями с 7zo)<0) ^5,6 МэВ (это значение пол
усреднением энергий возбуждения протонов и нейтронов). Используя Ф°РМУ.
(6.68), можно записать [формула (6.253)] амплитуды X/ и У/ для части
дырочных конфигураций / = /у1/2 в виде
V «о<М(') rao I У=0>
1	й(<0'0'— ш)	’	(6.389)
v _а0 <« I k (г) У20 | v = 0)
Г<—	Й(и,о,+<о)
Примеры к гл. 6
459
нулевых колебаний а0 можно определить по экспериментальному
8'в>:
/О	^-1
a0 = i^-Z^ [В (Е2; 2-> О)]1^ rs 0,025.	(6.390)
матричных элементов оператора &(г)У2о по двум вышеупомянутым
частично-дырочным конфигурациям имеет вид
£(i \k(r) ^201 v = 0)2 =
^201/2 ^/2</г|й(г)|/1>55а0,64<^2' (б'391)
Здесь (fc) — среднее значение радиальных матричных элементов для двух кон-
фигураций	и	Из условия нормировки	еле-
ет что для получения экспериментального значения /гсо=^4,1 МэВ необхо-
димосреднее значение радиального матричного элемента {k)	75 МэВ. Это
значение величины (/г) примерно на 50% превышает значения радиальных
матричных элементов оператора RQdV/дг для рассмотренных конфигураций
(в потенциале Вудса—Саксона со стандартными параметрами). Это показывает,
что существенную часть взаимодействия для данного состояния невозможно
объяснить в рассмотренной схеме связи.
При более подробном рассмотрении квадрупольных возбуждений с ДМ =0
в ядре 208РЬ необходимо учитывать много различных эффектов, связанных
с нейтронным избытком. Поскольку энергии нейтронных и протонных возбуж-
дений различаются на величину, сравнимую с энергией взаимодействия, нор-
мальные моды определяются комбинацией изовекторного и изоскалярного
полей. Но при таком рассмотрении не изменяются основные результаты, полу-
ченные при упрощенном, подходе с чисто изоскалярным полем.
Качественное исследование низкочастотной моды.
Явление неустойчивости (фиг. 6.27)
Частота низкоэнергетической квадрупольной моды уменьшается при добав-
лении частиц в незаполненную оболочку. При достаточно большом числе
частиц сферическая форма становится неустойчивой и данная мода переходит
во вращательные возбуждения. В переходной области следует ожидать резкой
ангармоничности в колебательном движении.
Явление неустойчивости и связанную с ним ангармоничность можно рас-
сматривать как следствие квадрупольного взаимодействия между частицами
незаполненной оболочки. Количественный анализ низкоэнергетической квадру-
польной моды существенно зависит от деталей оболочечной структуры. Мы не
опираемся проводить его в настоящем разделе. Можно, однако, проиллюстри-
ровать многие качественные соотношения, руководствуясь простыми соображе-
яии о влиянии взаимодействия с полем в присутствии парных корреляций1’.
Коп ”астота колебаний, приближение к неустойчивости. В системе с парными
ногоеЛЯЦИЯМи возбуждения частиц, возникающие под действием квадруполь-
спап П0ЛЯ’ ответствуют возникновению двух квазичастиц. Поскольку энергия
обривания сравнима с энергией одночастичного перехода в пределах главной
•аочки [ср. фиг 6.17, а и формулу (2.94)] или немного превышает ее, энер-
и Кв Колебания, возникающие при одновременном учете парных корреляций
были 4Рупольных взаимодействий между частицами незаполненной оболочки,
рассмотрены в работах [94, 684].
460
Гл. 6. Вибрационные спектры
гии возбуждений равны примерно 2Д:
to1” 2Д «= 25Л“,/г МэВ.	(6 392
Если предположить, что мы имеем полное вырождение уровней bhvt
осцилляторной оболочки с главным квантовым числом М, то амплитуда цу?к
вых колебаний для квадрупольного поля будет иметь вид суммы нейтронно^
и протонного вкладов:	Го
(ai»r=2<v = 2- l’l^l v=0)«=
i
=[w(iP(;v+i)(v+2)^+3)^i-4+i-^ <6-393)
Вывод этого выражения мы дадим ниже [формула (6.411)]. Параметр f засе.
ленности оболочки определяется отношением числа частиц вне замкнутой обо-
лочки к степени вырождения 2Q для главной осцилляторной оболочки (<bon-
мула (2.151)]:	р
/=--
' 2й ’
й=1^ +1)^+2).
(6.394)
Множители в формуле (6.393), содержащие параметр заселенности Д можно
представить в виде произведений вероятности v2~f того, что данный уровень
в начальном состоянии заполнен, на вероятность и2 = (1—/) того, что конеч-
ное состояние не занято. Учет структуры подоболочек должен несколько
уменьшить величину (а(00>)2 в формуле (6.393). Так, в случае, представленном
на фиг. 6.17, а, заполненные состояния 1^9^ вносят очень малый вклад в силу
перехода ДМ = 0, а вклад нейтронов в величину (а^0’)2 приблизительно вдвое
меньше величины, вычисленной по формуле (6.393).
Хотя основными степенями свободы, формирующими низкочастотную квад-
рупольную моду, являются возбуждения с A;V = 0, свойства этой моды сильно
меняются из-за связи с возбуждениями ДМ = 2, ответственными за появление
высокочастотной квадрупольной моды. Взаимодействие с возбуждениями ДМ=2
можно учесть путем перенормировки возбуждений с ДМ = 0. Тогда квадруполь-
ный момент низкочастотных переходов приобретает множитель [1 4-%(ДМ==2)]~
^2, где х(ДМ = 2) есть вклад возбуждений ДМ = 2 в изоскалярную поляри-
зуемость в статическом пределе [формула (6.370) при ДЕ^О]. Так же пере-
нормируется и квадрупольное поле для квазичастотной моды. Поэтому кон-
станта эффективного взаимодействия для конфигураций с ДМ = 0 имеет вид
хэфф = х[1+%(ДМ = 2)], где х —неперенормированная константа, которою
можно вычислить по формуле (6.368).
Влияние взаимодействия с полем на коллективную частоту определяет
отношением константы хЭ(Ьф' к параметру жесткости С(0) [формула 6.27)]. н
ходя из выражения (6.23) для С(0) и формул (6.392) и (6.393), мы, сч^е.
нейтронный и протонный вклады в ajj0) примерно одинаковыми и взяв выраж
ние (2.157) для (г2) (при МмаКс^М —1/2), получим
<6JW
где
/крит (1 -Гмрит) ~	11 +х ==2)И ~ °’15Л-,/’'	(6’396)
Примеры к гл. 6
461
(6.397)
ие (6,395) совместно с формулой (6.27) для коллективной частоты
ВЬзво*яст написать соотношение
П°ЗВ	~ 9Л (1 _ Hl-f)
2Л\ /крит (1 —/крнт) /
е показывает, как уменьшается со при добавлении частиц в незамкнутую
и говорит о неустойчивости сферической формы в случае, когда f
питается к величине /крит. Выражение (6.396) позволяет получить для
значения от 0,05 до 0,1 в предположении о полном вырождении состоя-
^Твнутри осцилляторной оболочки. Учет подоболочек несколько уменьшит
НИ1йчину сс'оО) И, следовательно, увеличит величину /Крит- Уменьшение значе-
Вб я (а'"’)2 вдвое (см- выше) Дает значения /крит 0,2, что приблизительно
^впадает с экспериментальной величиной для числа частиц, которое может
приводить к устойчивой деформации ядра (фиг. 4.3). В проведенных выше
вычислениях мы считали, что величины f для нейтронов и протонов одинаковы.
Вообще говоря, на N-Z-диаграмме (фиг. 4.3) траектории неустойчивости
представляют собой эллипсы с центрами в точках, соответствующих наполо-
вину заполненным нейтронным и протонным оболочкам. В случае Гкрит = 0,2
эллипсы не пересекаются с прямыми, соответствующими заполненным протон-
ным и нейтронным оболочкам, и неустойчивость не возникает в ядрах с запол-
ненными нейтронными или протонными оболочками.
Подчеркиваем, что сделанные выше оценки носят качественный характер.
Помимо необходимости учитывать влияние подоболочек в случае низкочастот-
ных колебаний, следовало бы рассматривать взаимодействия, сильнее скон-
центрированные в поверхностной области, чем простое поле мультиполя (6.365).
[Такое поле типа (6.69) мы рассмотрим впоследствии при более точном ана-
лизе.] Кроме того, когда числа нейтронов и протонов вне заполненных оболо-
чек сильно различаются, в формирование низкочастотной моды может вносить
существенный вклад взаимодействие с квадрупольным полем т = 1. Так, в пре-
дельном случае частиц только одного сорта вне замкнутой оболочки константа
эффективного взаимодействия для низкочастотной моды будет xT_0[l-J-
+ X (ДУ==2) (т=0)]+	[1 + % (AN = 2) (т = 1)]. В соответствии с приведен-
ными выше оценками это дает величину порядка 1/3 взаимодействия т = 0
[формулы (6.368), (6.370), (6.379) и (6 382)].
Как явствует из соотношения (6.396), неустойчивость — прямое следствие
того, что энергия связи пар мала по сравнению с разностью энергий соседних
оболочек. Таким образом, неустойчивость сферической формы должна быть,
по-видимому, общим явлением в системах, в которых остаточные взаимодейст-
вия недостаточно сильны для того, чтобы разрушить оболочечную структуру.
Сила осциллятора. Сила осциллятора для низкочастотной моды не зависит
от взаимодействий для вырожденных возбуждений AW = 0 и потому равна
feS(T=o, X = 2)^2A(2X4-l)(a'»')2[l + x(A.V = 2, т = 0, Д£«=0)]2. (6.398)
Здесь мы учли перенормировку квадрупольного момента, обусловленную вза-
л°Деиствием с переходами AW = 2. Выражая величину (сс[)0))2 через С(0) и
напиЗУЯСЬ СОотношениями (6.368) и (6.395) при хЭфф = х [1 +% (A/V = 2)], можно
тпп?ать ДЛя отношения силы осциллятора к классической сумме сил осцилля-
Т0Р°в выражение (6.179):
=2 Ш2П+х (^ =2)]	~
^/класс \л<йо/	/крит U /Крит?
—г.	(6.399)
О?	/Крит!1 /Крит/
силаДп Видно’ что при подходе к неустойчивости (/^/крит) в ядрах с А ==100
мерно ]Сл0ИЛлятоРа для низкочастотной квадрупольной моды составляет при-
классической величины.
462
Гл. 6. Вибрационные спектры
Статический квадрупольный момент. Вблизи неустойчивости возмо
большие ангармоничности в колебательном движении. Мерой ангармоничн^1
служит отношение статического квадрупольного момента колебательного^™
стояния к амплитуде перехода. Чтобы оценить статический квадруПоль со;
момент, рассмотрим сначала вклад в него двуквазичастичных состояний
из которых строится фононное состояние:	и
Q,=—(ОХ (/' <JIQ(
Ч
|Q! 0Mv = 2,/ |Зг2-/-2| v = 2, «•).
(6.400)
Здесь амплитуды X (t) имеют вид [формула (6.36)]
v хэфф <n=l |а| n = 0) (v = 2, i [F | v =0>
X(l)~	2Д —Йсо	•	(6-401)
Знак минус в формуле (6.400) появляется в связи с тем, что Qj соответствует
обычному определению квадрупольного момента как матричного элемента для
состояния с / = Л4, а состояния I и j соответствуют полю с 7И = 0. В слу.
чае / = 2 средние значения квадрупольного оператора для состояний Л1 = о и
М = 2 различаются знаками.
Матричный элемент перехода для оператора а в формуле (6.401) можно
связать с амплитудой a(QQ) нулевых колебаний для квазичастичных возбужде-
ний [формула (6.28)]:
2Д
(П=1 | сс [ n =	=	.	(6.402)
Для определения можно воспользоваться соотношением [формулы
(6.23), (6.26) и (6.27)]
н,фф(аЛ2=(С-С'о>)(аП2=-А	(6-403)
С учетом соотношений (6.393), (6.394) и приведенной ниже формулы (6.413)
для суммы квадрупольных моментов двуквазичастичных состояний получим из
формул (6 400)—(6.403)
X(l-2/)(n=l |Q|n = 0).	(6.404)
Здесь квадрупольный момент перехода имеет вид [формула (3.30)]
(n=l iQ|n=O) = [l|iy/!(n=l |а[л=0).	(s-405)
\ О /
При выводе мы считали одинаковыми значения f для нейтронов и протоне .
Вклад Qi в статический момент соответствует графику / на фиг. 6.2/, ♦
В том же порядке по взаимодействию частица —колебание следует
5 других членов, соответствующих графикам II—VI на фиг. 6.27, а. Все
членов имеют одинаковые вершины и различаются лишь энергетическими
менателями. Это позволяет получить следующее выражение для их су
V	! 1	1	2	2 -W
Q* = <?1 (2Д — Йо»)2 ^2Д —Й<о)2 "* (2Д + ЙШ)2 + 2Д (2Д —Йю) + 2Д (2Д +
_	1-%(Йш/2Д)2	(б.40б)
“°41 [1+(Й<о/2Д)Г'
Фиг. 6.27. Диаграммы, дающие вклад в статический квадрупольный момент фонона.
Прямыми линиями обозначены квазичастицы. Шесть диаграмм а соответствуют вкладам в низшем порядке моментов невзаимодей*
ствующих квазичастиц. Четыре диаграммы б описывают перенормировку диаграммы а, 1, обусловленную взаимодействием с самим
квадрупольный возбуждением.
464
Гл. 6. Вибрационные спектры
Расчет статического момента аналогичен расчету взаимодействия
одно- и двухфононными состояниями, проведенному в § 5, п. 7 (фиг. $
В приведенных оценках мы пользовались лишь квадрупольными мом ,
тами для невзаимодействующих частиц. Такие моменты увеличиваются изИ
связи с самой квадрупольной модой. Это приводит к увеличению статичен33
моментов, приобретающих множитель [формулы (6.216) и (6.26)]	' 11х
1 . /АС 1 Хэфф С«>’	/2Д\2
* + х(д£ °) Q с	(6.407|
Поляризуемость % в этом выражении характеризует взаимодействие с низко
частотной модой (Д^ = 0). Поляризационный эффект описывается графиками
/—IV фиг. 6.27, б. Все эти графики возникают из диаграммы / на фиг 6.27,G
Очевидно, что их вклад равен величине уДДЕ=0), умноженной на вклад
диаграммы / фиг. 6.27, а.
Окончательное выражение для статического момента, получающееся
соотношений (6.404), (6.406) и (6.407), можно записать в виде
б
(п=1 | Q I п= 1>
<n=l |Q|n = 0>
1+х(Д£ =0) 2 Qk I <п= 11 <21 п = 0)
6=1

J_ (2А\ь/г
3 \2Д / J W/
(6.408)
Здесь мы не учитываем перенормировку квадрупольных матричных элементов,
обусловленную примесью возбуждений с ДМ = 2. [Поэтому матричные эле-
менты Q и а в выражениях типа (6.401), (6.405) являются лишь частью квад
рупольного оператора, соответствующей возбуждениям с ДМ = 0.] Такая пере-
нормировка приводит к появлению множителя [1 + х(ДМ = 2)] перед матрич-
ными элементами квадрупольного оператора и потому не изменяет отношений
матричных элементов, даваемых формулами типа (6.408).
При малом числе частиц вне заполненной оболочки (/ А<рит) энергия
коллективных возбуждений остается приблизительно равной 2Д [формула
(6.397)] и отношение (6.408) будет порядка (/Q)”1'2. Так, в случае двух частиц
статический момент и амплитуда перехода сравнимы друг с другом. С ростом
числа частиц статический момент остается равным моменту двухчастичной
конфигурации, а амплитуда перехода растет как [см., например, формулу
(6.305)]. Поэтому при f^> Q"1 колебания можно считать почти гармоническими.
Но когда f приближается к /крит, коллективная частота уменьшается [формула
(6.397)] и последний множитель в формуле (6.408) резко возрастает в основ-
ном вследствие поляризуемости, обусловленной связью с самой квадрупольной
модой [формула (6.407)]. В силу требования малости статического момента по
сравнению с амплитудой перехода гармоническое описание применимо лишь
в области Йсо/2Д Q~1/5. Поэтому для обычно встречающихся в ядрах оболо-
чек статический момент никогда не бывает значительно меньше амплитуды
перехода. В этом выводе мы опустили множитель (1 — 2f) в соотношении
(6.408), который связан с антисимметричностью квадрупольного момента п».
отношению к замене частиц на дырки. Этот множитель становится малым
в середине оболочки. Но в случаях, когда статический квадрупольный моМ®“
без учета этих поправок велик, возможно существенное влияние ангарм
ничности.	м
Замечание. Чтобы вычислить сумму по двуквазичастичным возбужДеНИ *
внутри осцилляторной оболочки, удобно выразить квадрупольный моМ ,
частицы через операторы с*т и ст рождения и уничтожения кванта колеоа
С компонентой углового момента т. Тогда для компоненты ц = 2 квадРУпоЛЬ
Примеры к гл. 6
465
чоГо момента мы получим
- т (аГ <*+'»>г - - (ь-У'' ми; «+'->'• <«««
гмы использовали здесь те же фазовые соотношения, что и в цилиндри-
ком представлении (5.24), необходимом для рассмотрения внутреннего дви-
жения в деформированных ядрах. В предельном случае сферической симметрии
ператоры с* и с! совпадают с операторами cj и которые фигури-
°овали в нашем анализе.] Момент (6.409) приводит к переходам с ДМ = 0
вида (n.v по> П-i)-*- (^1+ Ь «_!—1), где пт — число квантов типа т.
Вероятность таких переходов можно записать так:
1, ло. «-! - 1 I '^22 I «+1. «0. П-1> |2 = Й	(«+1+ «-!• <6-410)
г1	OJL \ZKlUJo/
Такие переходы вносят вклад, лишь если начальное состояние занято, а ко-
нечное свободно. В схеме со спариванием вероятность заполнения всех уров-
ней одинакова (v2 = f). Поэтому для полной силы перехода частиц одного
сорта (нейтронов или протонов) получается выражение
N N — п0
«,)2=41-Шг/(1-л 2 2 ^+|)л-1=
По=0 п+1 = 0
с f ti \ 2
= WЫ + ’И" + 2Н*+3)f(1 - л-	(6.411)
Множитель 4 в первой строке этого равенства связан отчасти с вырождением
по спинам (такое вырождение дает множитель 2), а отчасти (добавочный мно-
житель 2) с тем, что каждое возбужденное состояние i с квазичастицами на
уровнях 1_и 2 можно получить путем двух разных одночастичных переходов
1->2 и 2->1, где черта означает обращение времени. (Матричный элемент
^v = 2, i\F | v = 0) содержит множитель 2uv [формула (6.6106)], а сумма no i
ограничена наборами квазичастиц с /<2.) В представлении (п+1, п0, п_х) мат-
ричные элементы с Д2У —О квадрупольного оператора диагональны и статиче-
ский момент двуквазичастичных состояний имеет вид
(/IQ|«) = (v = 2, |3г2-г2| v=2, i> = -^-(3n0-^)(l-2f)6(t, /).	(6.412)
Множитель (1—2/) в этом выражении связан с тем, что квазичастица
д вероятностью 1—/проявляет себя как частица, а с вероятностью /—как
Те£Ка, 1ПРИ этом знак величины Q меняется на обратный). [См. также множи-
вычи U в Ф°РмУле (6.610а).] Поэтому суммирование, необходимое для
нитьСтакНИЯ статического момента квадрупольного возбуждения, можно выпол-
$! =2. i i г2Гй ] V = о>2 <i I q I 0 (= _£ <v = 2, i I г2У20 I V = О)2 (11QI «))=
l5 ,	N К-п0
по = 0 л+1 = 0
—	1 / Й \3	/ Я \
4л \м^) f(l-/)(l-2/)W(A^+l)^ + -2](W + 2)(V + 3).	(6.413)
466
Гл. 6. Вибрационные спектры
Систематика параметра упругости и массового параметра
для низкочастотной квадрупольной моды (фиг. 6.28 и 6.29)
Низкочастотная мода 2+ сильно возбуждается в электромагнитных
цессах и в неупругом рассеянии ядерных частиц (см., например, фиг
Сравнивая сечения этих процессов, мы видим, что мода в основном изоск
лярна (т % 0), как и должно быть в случае колебаний формы (табл. 6.2). Пп^*
положение о постоянстве локального отношения числа нейтронов к числу лп
тонов приводит к появлению изовекторного момента, пропорционально
(N — Z)/A. Но имеющиеся данные недостаточно точны для того, чтобы можн°
было судить о таких довольно малых эффектах. Несколько больше могут быт°
изовекторные моменты для низкочастотных квадрупольных мод в случае, коп?
числа нейтронов и протонов вне заполненных оболочек существенно разли
чаются. Особенно точно момент т = 1 колебательной моды можно определить
по возбуждению изобар-аналогового состояния с Л4т = Т0—1 в процессах с об-
меном зарядом, поскольку отношение матричных элементов разной мульти воль-
ности для переходов на разные состояния изотопического мультиплета равно
отношению коэффициентов векторного сложения [формула (6.132)].
Эксперименты такого типа проводились (см., например, работу [392]), Но
сделать на их основании определенные заключения об изовекторных моментах
вибрационных состояний трудно, ибо невозможно точно рассчитать вклады
двухступенчатых процессов.
Наиболее точные данные об амплитудах переходов получаются из экспе-
риментальных значений В (Е2) (фиг. 4.5). Поэтому мы будем пользоваться
нормировкой (6.63) для амплитуды колебаний в случае момента Е2. Зная вели-
чины энергий и В (Е2), можно определить параметры упругости С2 и массо-
вый параметр D2 [формула (6.65)]:
S / я \2
С2 = — fao2 (ZeR2 \ В (Е2-, 0 2)"\
Е>2 = со ~С2.
Параметры упругости С2, вычисленные по формуле (6.414), представлены
на фиг. 6.28. Там же приводятся значения С2, вычисленные на основе модели
жидкой капли [формула (6.642)]. Экспериментальные значения обнаруживают
отклонения более чем на порядок (в ту и другую сторону) от теоретических,
соответствующих модели жидкой капли. Это свидетельствует о том, что при
описании низкочастотной квадрупольной моды крайне важно учитывать оболо-
чечную структуру ядра. Основные закономерности в поведении величин С2
можно объяснить, учитывая растущую нестабильность формы ядра при увели-
чении числа частиц вне заполненных оболочек (см. выше, стр. 459).
Интерпретировать величину С2 на фиг 6.28 как параметр упругости можно
лишь в приближении гармонических колебаний. В общем же случае эту ве-
личину можно связать с вкладом возбужденной моды в статическую поляри-
зуемость для взаимодействия слабого поля с квадрупольным моментом. (Такой
подход допустим и в случае вращательных возбуждений, также включении
в данные фиг. 6.28.) Коэффициент поляризуемости х определяется отноШк
нием х к С2 [формула (6.216)], если амплитуда колебаний нормирована к
а—(г2У20). Пользуясь выражением (6.368) для х и учитывая, что нормиров
амплитуды в выражении (6.414) для С2 отличается от вышеуказанной, получа •
(6.414)
выражении (6.414) для С2 отличается от вышеуказанной, получа •
/ л г о ар ™	3 AMaiR* _	14Л	/6.415)
Х(т = 0, Л = 2, Д/Г = О) = ----------^~сг /А< рч .	1
4л С2 С2 (МэВ)
что (г2)=з/5/^2> /?==1,241/а ферми. Величины поляризуемо^*’
по формуле (6.415), отложены по правой оси ординат фиг- пе-
~	'	...... .амплитуде^.
Мы считаем,
вычисленные , t v___________,,
Поскольку величина С2 в формуле (6.414) определяется по
рехода, выражение (6.415) получено в предположении о постоянстве
Примеры к гл. 6
467
аоЯда к массе при деформации ядра [формула (6.61)]. В большинстве
ни* рв вклад низкочастотной моды в поляризуемость существенно превышает
сДУча возбуждения заполненных оболочек (табл. 6.8), и, таким образом, им
вКЛЗделяется полная квадрупольная поляризуемость.
Фиг. 6.28. Систематика коэффициентов жесткости С2 для низкочастотного
квадрупольного возбуждения.
Л?’Ия3/РаСсчитана по формуле (6.414), где R — 1,2 л1/» ферми. Частоты и зна-
данны? взяты из работы [1071] (см. также фиг. 2.17 и фиг. 4.5). Дополнительные
иие МоДля легких ядер взяты из табл. 4.15 и работы [1043]. Указанное на фигуре значе-
сферич2.Н0 ПРИНЯТЬ за параметр жесткости только в случае гармонических колебаний около
и еской равновесной формы. В более общем случае это квадрупольная поляризуемость,
вязанная с низшим возбуждением 2 + (см. правую ось ординат на фигуре).
Фиг ^а9о°вые параметры, вычисленные по формуле (6.414), указаны на
нИя Л29 в единицах массового параметра Л2 (безв.) для безвихревого движе-
вить 1-Ф°РмУЛа (6.181)]. Приведенную на фиг. 6.29 величину можно отождест-
9Тд Массовым параметром лишь в случае гармонических колебаний. Вообще
сят во аеличина показывает, какую долю классической силы осциллятора вно-
сравнен ЖДения 2+ [формула (6.183)]. Очевидно, что значения D2 велики по
кю с массовым параметром безвихревого движения. Это означает, что
468
Гл. 6. Вибрационные спектры
основная часть силы осциллятора вносится высокочастотной квадруПол
модой. Сила осциллятора для низкочастотной моды растет с увеличением
частиц вне заполненных оболочек и достигает ^10% классического значе^9
в области перехода к несферическим равновесным деформациям. Это значе1ИЯ
Фиг. 6.29. Систематика массовых коэффициентов D2 для низкочастотного
квадрупольного возбуждения.
Величины D2 рассчитаны по формуле (6.414) с использованием данных, приведении
в подписи к фиг. 6.28.
сравнимо со значениями, полученными в предыдущем разделе [формула (6.399)L
(В случае деформированных ядер величина, представленная на фиг. 6.29, ес
сила осциллятора, приходящаяся на вращательные возбуждения. В едини
вращательного массового параметра Рвращ, даваемого формулой (6.188)» оси
ляторная сила на фиг. 6.29 равна 2Р2 (безв.)/5£>вращ [формула (6.187)].)
Суперпозиция элементарных возбуждений
(фиг. 6.30—6.37, табл. 6.10—6.13)
Имеется довольно много данных о суперпозиции квадрупольных кв
описывающих высоковозбужденные состояния четно-четных ядер, и о СУП И д
зиции квадрупольных квантов и квазичастиц в спектрах ядер с нечетны?* е
Установлено, что состояние 2-|-п=1 в четно-четных ядрах имеет оо
Примеры к гл. 6
469
ичные элементы Е'2-переходов на возбужденные состояния, которые можно
ма- третировать как возбуждения с и = 2. Во многих случаях были обнару-
,lh‘eP gCe члены ожидаемого триплета (/л = 04-, 24-, 44-). В других случаях
ЖеНстны только некоторые члены триплета. Однако возможно, что недостаю-
изве члены пока что просто не удалось выявить в эксперименте. Примеры со-
^Ндний с п = 2 приведены на фиг. 6.30—6.32. Сведения о состояниях с п>2
СТ°ьма скудны. Но в реакциях с тяжелыми ионами во многих ядрах были
^йдены ираст-состояния вибрационной полосы (7 = 2п) с большими значе-
2иями П (фиг. 6.33).
Фиг. 6.30. Спектры изотопов Cd.
У стрелок, обозначающих переходы, указаны значения В (Е2) в одночастичных единицах
° IF (Е2) = 32е2 ферми4, соответствующих этим ядрам. Диагональный матричный элемент
2->2) связан со статическим квадрупольным моментом Q формулой В (Е2, 2-+2) =
(3/з2Л)(?2. Матричные элементы В(М\) даны в единицах (eft./2Mc)z, rn(EO) —(в случае
й^пада состояния 1,13 МэВ в ядре l4Cd) в единицах е-ферми2, энергии — в мегаэлектрон-
пТТа*; Ланные взяты из работы [808]. Дополнительные данные по ядру lllCd взяты из
₽ °°т [517. 810, 834], а по ядрам 112Cd и 114Cd —из работ [810, 834] (см. также [517]).
дено бНЭЧлНИе Ф = ферми2 квадрупольного момента состояния 2+ ядра 114Cd приве-
мо в °бзоРе [304]. Пока что, однако, существуют расхождения между значениями этого
2-*2) ’ опреДеленными в разных экспериментах (см., например, [100]). Значение В (Е2,
> Для ядра ll2Cd вычислено по экспериментальным данным [1067] об отношении
моментов ядер ll4Cd и U2Cd.
рЬ!/ НечетнЬ1Х яДРах обычно возможны Е2-переходы, энергия и сила кото-
(см сРавнимы с соответствующими значениями для соседних четно-четных ядер
бЛи’ НапримеР> Фиг- 6.30). Во многих случаях такие возбуждения можно при-
По *нно описать как суперпозицию квазичастицы со спином 1$ = ) и квадру-
= / °Г а Кванта» приводящую к образованию мультиплета состояний с / =
С21-	. /о+2.
щест спектрах как нечетных, так и четно-четных ядер заметны весьма су-
незавиННЫе отклонения от теоретических выводов, сделанных на основе модели
и матпи МЬ1Х элементарных возбуждений. Об этом свидетельствуют и энергии
ангапм0ЧНЬ1е элементы Е2-переходов (фиг. 6.30—6.33). Столь большие эффекты
ьзаи.модН“ИЧности мож*о объяснить, если проанализировать, как указано выше,
Действие частиц в незаполненных оболочках.
2323—з---6+
2191 —J---4+
1812
------6+
1908
1896
1660
1630
1734-------4+
?+ 1648---------2+ 1663--------2+
1382
748
—--------<7+
/44 o
«Sm
------0+
"ffSm
1453
1380
1181
П20
551
"eSm
1504-------3+
1449-------4+
1417-------2+
1278-------6+
1255-------0+
1193-------2 +
1615--------10+
1372--------4+
1670-------4 +
1522-------3+
1444 ------2 +
1371--------4+
777.
740-
334
1046-----r-r^^
4+
0+
1234-------3+
0+ 1110-----------0+
927-------8+
545-------6+
266-------4+
82—zn----2+
—ix /7У-
1178
1220
0+
Примеры к гл, б
471
следующем разделе мы исследуем вопрос о том, в какой степени наблю-
эффекты ангармоничности могут быть описаны в первом порядке по
ДаемЬ1одействию частица — колебание. В наиболее благоприятных случаях такой
взаЙ пл позволяет делать даже количественные выводы. Но во многих случаях
ПТкты ангармоничности столь велики, что для количественного описания их
^иходится учитывать члены высшего порядка.
Эффективный заряд. Прямые данные о взаимодействии частица — колеба-
можно получить, определив эффективный заряд для моментов и амплитуд
^переходов между одночастичными состояниями. В табл. 6.10 приведены
имеры матричных элементов Е2 для конфигураций с одной частицей или
Таблица 6.10
ЭФФЕКТИВНЫЕ ЗАРЯДЫ Е2 ДЛЯ ЯДЕР In И Sb
Ядро	Матричный элемент,	ферми 2	</2 1 Г2 1 /!>, ферми 2	(А 1 k | л>, МэВ	еэфф^	
				эксп.	теор.
115] П	0(^.7’,)=83	26	68	4,4	5,4
i21Sb	Q(de/s)=—53	24	58	3,9	5,0
123Sb	0(£т/2) = —68	23	58	4,4	5,2
	(*/f ||^Z(£2) II ds/i) 1=19	14	47	4,5	6,7
Экспериментальные данные, приведенные во втором столбце, взяты из сводки по мо-
ментам ядер [456] и из работы [76] по кулоновскому возбуждению ядра 123Sb. Для изото-
пов Sb взяты значения квадрупольных моментов, полученные из атомных спектров. Экс-
перименты с атомными пучками дают примерно вдвое меньшие значения [456]. Относи-
тельно квадрупольного момента ядра 1151п см. также работу [743].
дыркой сверх заполненной оболочки Z = 50. При анализе спектров оказы-
вается, что основное состояние /л==9/2+ в ядре In и низколежащие состояния
и /л = ’/2-(- в ядре Sb можно неплохо описать как состояния
с одной дыркой или частицей и g7/J. (См., например, данные по
Реакциям однонуклонной передачи на изотопах Sb [76].) Эффективные заряды,
приведенные в табл. 6.10, получаются, если разделить экспериментальное зна-
чение матричного элемента (второй столбец) на одночастичное значение [фор-
мулы (3.27) и (3.32)], Радиальный матричный элемент </2 г г2 | входящий
выражение для одночастичных моментов, приведен в третьем столбце. Для
0 оценки были использованы волновые функции в потенциале Вудса —Сак-
г 6.31. Спектры состояний положительной четности в четно-четных изото-
у пах Sm (уровни отрицательной четности см. на фиг. 6.44).
(£2?^<’ло0^03нача1ОЩ‘нх переходы, указаны значения В (Е2) в одночастичных единицах
По /~~48е2 ферми4, соответствующих данным ядрам. Значения В (Е2, 2 -»• 2) вычислены
квадрупольный моментам (см. подпись к фиг. 6.30). Для 1S2Sm и 150Sm
Спектп ЦаТелен‘ Все энергии даны в килоэлектронвольтах.
вРащатель Ы Ядер 152$т и 154Sm можно довольно хорошо описать как последовательность
вУющие1па Х ПОлос» соответствующую осесимметричной деформации. Уровни, соответст-
. Эксп^НЫм п°лосам на фигуре, размещены в разных столбцах.
(4iSm)- ге7%МеоТальные данные взяты из следующих работ: [701, 998] (144Sm); [227, 559]
На UoSmi. rin?44] [реакция (а, 2п) с образованием 162Sm и 1S4Sm]; [599] [реакция (/, р)
По tyJiOHnJ 25] (Реакция (/, р) на ‘«SmJ; [640] [реакции (р, /)]; [437, 532, 1041] (данные
некому возбуждению); [322] (измерения времен жизни в ядре 152Sm); [517]
[реакции (п, у) на 1PSm].
1762----------8 +
1514'-------------8 +
1389
1430
1005
1201
1195
1185
8 +
1271
1135
(4)
0 +
1002 -----------3 +
Примеры к гл. 6
473
обычными параметрами (т. 1, стр. 235). Матричный элемент оператора
:gHB олействия {jz\ k (r)\ ii) в четвертом столбце был вычислен по формуле
вЧи1о) с использованием тех же волновых функций и потенциала. Поляриза-
ый заряд, обусловленный взаимодействием с низкочастотными квадру-
иЙ°Нными колебаниями, был найден по формуле (6.218), в которой использо-
п0ЛЬгь экспериментальные значения энергии Йсо2 = 1,17 МэВ и В (£2) =
ваЛп 0-Ю3е2 ферми4) для ядра 120Sn [1073]. Поляризационный заряд, обуслов-
иый взаимодействием с высокочастотными модами, найден по формуле
Мвб) В полное значение эффективного заряда, приведенное в последнем
- пбце входит заряд невзаимодействующей частицы. Сравнение эксперимен-
с1°‘ных и теоретических значений эффективного заряда, приведенных
ТЗтабл. 6.10, показывает, что сила взаимодействия выбрана правильно. Но
В чность экспериментальных данных невелика. Отметим также, что взаимодей-
Ттвие оказывается весьма сильным: безразмерная константа взаимодействия
формула (6.212)] при {k)	60 МэВ будет/2^ 0,8. Таким образом, наведен-
ный квадрупольный момент, вычисленный в первом порядке теории возмуще-
ния, может оказаться несколько завышенным.
Приведенные в табл. 6.10 примеры весьма специфичны, ибо протонная
конфигурация описывается одной частицей сверх замкнутой оболочки. В слу-
чае когда конфигурация при нечетном числе частиц имеет вид нескольких
частиц сверх замкнутой оболочки, для описания одночастичного движения
пользуются понятием квази частиц. Матричные элементы £2-перехода между
одноквазичастичными состояниями могут быть значительно меньше соответст-
вующих одночастичных значений, поскольку квазичастицы представляют собой
комбинации частиц и дырок, которые вносят в момент £2 вклады с разными
знаками [множитель (uiU2 — в формуле (6.610а)]. В этом случае величина
момента £2 для низколежащих состояний может существенно зависеть от деталей
одночастичного спектра.
Реакции одночастичной передачи с возбуждениями колебательных состоя-
ний. Другая возможность изучения взаимодействия частица —колебание свя-
зана с анализом реакций одночастичной передачи, приводящих к образованию
колебательных состояний.
В реакцию передачи на нечетной мишени с возбуждением колебательного
состояния 2 -|- четно-четного конечного ядра вносят вклад две амплитуды
(фиг. 6.34). Вычислить их можно так же, как амплитуды реакций передачи,
рассмотренные в § 5, п. 3. Учитывая эффект парных корреляций [формулы
(6.599) и (6.610)], мы получаем выражение для генеалогического множителя:
||V = 1, /1> = (2/1+1)'/гЛ(/1, /2, Х=2) х
L ™ ЕШ+ЕЦЛ-Л» + V{!2) £(/2) —£(л) + йй) Г (	>
Если мишень находится в основном состоянии, то амплитуды имеют один и
состояв Знак- В слУчае м(/1)м(/2)~о (Л) ** (/г) > 0, когда переходы между
яниями ]\ и /2 носят «частичный» характер.
(d ^аКпРимеР применения формулы (6.416) рассмотрим интенсивность процесса
» Р) с возбуждением состояний n2 = 1 в ядре 112Cd (см. спектр состояний для
6.32. Спектры квадрупольных вибрационных состояний четно-четных
у	ядер в области А 190.
(£2)°^.’fi(-o6o3Haчающих переходы, указаны значения В (Е2) в одночастичных единицах
ницах~ At Ь5в2 ФеРми4> соответствующих этим ядрам. Величины В (М \) приведены в еди-
(спе*тр яУпЛмГ* Данные взяты из работы [736], а также из следующих работ: [386]
4енае изотп Pt>: [485] (квадрупольный момент ядра 180Pt); [835] (кулоновское возбуж-
ОПов Pt); [241] (кулоновское возбуждение изотопов Оз); [728] (квадрупольные
моменты изотопов Os).
ZE (I)
IE(2)
_________________I______________L
О	2	4
_i---------------1---------------1_______________i_________
6	8	10	12 I
Фиг. 6.33. Спектры наинизших уровней с данным моментом (ираст-спектры) для четно-четных ядер в области
180 < А < 190.
Экспериментальные данные взяты из работ [996, 998],
Примеры к гл. 6
475
ов на фиг. 6.30). При анализе будем пользоваться одночастичным спек-
h3°L° и соответствующими энергиями квазичастиц [формула (6.601)], приведен-
ном Tagq g if Параметр спаривания Д вычислен по экспериментальным
,1МЙ иям четно-нечетной разности масс (т. 1, фиг. 2.5). Величина X химиче-
__________тжопо шл^пяил той итпНм плттнлр ииолП НвЙТрОНОВ В ОСНОВНОМ
тром И '
•нЫМИ В
^ого” потенциала выбрана‘так, чтобы полное число
а
Фиг. 6.34. Амплитуды передачи одной частицы, приводящей к вибрационному
возбуждению.
Множители у вершин характеризуют влияние парных корреляций.
состоянии было N = 63 [формула (6.611)]. Использованный в расчетах одноча-
стичный спектр построен на основе систематики спектров нечетных ядер в области
Л/^60—70 и носит предварительный характер.
Таблица 6.11
ПАРАМЕТРЫ СПАРИВАНИЯ ДЛЯ НЕЙТРОННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
в ядре nicd
Уровень	МэВ	Е, МэВ	и	V
<4	0,2	1,73	0,39	0,92
?’/г	0,8	1,39	0,53	0,85
S	2,2	1,48	0,88	0,48
S.	2,8	1,88	0,93	0,36
	4,6	3,44	0,98	0,19
квазичастиц и параметры и и v рассчитаны при значениях химического по-
* U МэВ и щели Д = 1,25 МэВ.
экспеЛИЧИНа (6.416) генеалогического множителя сравнивается в табл. 6.12
)аДиальн М?нтальными значениями, вычисленными по сечению реакции (d, р).
испоЛк1И матРичный элемент </21 k (г) | Д) во втором столбце вычислен
°леба и3о?анием потенциала Вудса — Саксона (т. 1, стр. 235). Амплитуда
)Иг> 6 30* * Ий(й2/2С2)'/2«=8* 10~2] вычислена по данным, приведенным на
• Амплитуды, приведенные в третьем и четвертом столбцах, соответ-
476
Гл. 6. Вибрационные спектры
ствуют двум диаграммам фиг. 6.34. Теоретические значения интенсивностей пе
ходов согласуются с экспериментальными с точностью до множителя 2.
тывая неопределенности в параметрах Е, и, v, а также погрешности вычисле
ния приведенного матричного элемента оператора а* (/2) по экспериментальном
сечению, можно считать это согласие хорошим. В экспериментальном сечени^
невозможно различить состояния d3/2 и db^ переданной частицы, но теореТиИ
ческие оценки указывают на преобладающую роль состояния d3t ,
Таблица 6.12
ПЕРЕДАЧА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ, ПРИВОДЯЩАЯ К ОБРАЗОВАНИЮ
ВИБРАЦИОННОГО СОСТОЯНИЯ 2 + ядра 112Cd ИЗ ОСНОВНОГО
СОСТОЯНИЯ ЯДРА med (Л = Si/8)
Уровень	(/2 1 k 1 /1).	<П2 = 1 I! а* (/2) | v = 1, /1> (п2			= 1 а* (й)	V = 1, /,)3
(/«)	МэВ	l-й член	2-й член	теор.		ЭКСП.
d’/2 d»/«	45 45	—0,31 —0,40	-0,12 0,25	0,18 0,02		| 0,36
Экспериментальные значения генеалогических коэффициентов найдены путем анализа
сечения реакции mCd (d, р) 112Cd в работе [77]. В этой же работе дано объяснение экспе-
риментальных сечений на основе представления о взаимодействии частица — колебание.
Результаты анализа, проделанного в этой работе, почти совпадают с нашими результатами.
Матричные элементы £2 при Дл = 0 и Дп = 2. В гармоническом прибли-
жении матричные элементы £2-переходов для колебательных состояний подчи-
няются правилам отбора Ди = 1 (стр. 304). Запрет для переходов с Д/г = 2 типа
п=2, / = 2->/г = 0 систематически наблюдается в эксперименте (фиг. 6.30 — 6.32) 1‘.
Данные о матричных элементах при Дп = 0, приводящих к появлению стати-
ческого квадрупольного момента для первого возбужденного состояния 2-В
удалось получить в экспериментах по кулоновскому возбуждению [305]. Ока-
залось, что эти матричные элементы имеют обычно ту же величину, что и мат-
ричные элементы переходов с Дп=1. Это свидетельствует о существенном
нарушении правил отбора (фиг. 6.30 — 6.32).
Существование статических моментов того же порядка величины,^что и
у амплитуды перехода, является, как уже говорилось выше, характерной осо-
бенностью низкочастотной квадрупольной моды и связано с появлением нест •
бильности сферической формы при увеличении числа частиц в незамкнут
оболочках. Специфическое поведение матричных элементов переходов с
можно качественно объяснить влиянием поправки на ангармоничность в поТ"
циальной энергии колебаний. Эта поправка пропорциональна (а2а2а2)о и
водит к тому, что отношение приведенных матричных элементов \л=7/-х
/ = 2 ||е#(£2)|| п=1, / = 2> и (п = 2, Z = 2M/(£2)||n = 0> РавноппТвеДен-
[формула (6.425)]. Это соответствует значению 18 для отношения при
ных вероятностей переходов. Такое большое различие можно также ооъя
зависимостью квадрупольной поляризуемости от частоты. Поляризуемост
статического момента приблизительно равна % (Д£ = 0), а для перехода с ла
коэффициент поляризуемости равен % (Д£=2//(o2) = — х/зХ (ДЕ 9=6
ь Это правило отбора считалось удивительной закономерностью
четно-четных ядер еще на раннем этапе развития ядерной спектроскопи
Примеры к гл. 6
477
ciач Добавочный множитель К2 появляется при более тщательном учете
антисимметризации (фиг. 6.37, а).
Взаимодействие частица — фонон, энергетически выгодные состояния
/—/ — !• Известно, что энергии состояний с квантом колебаний в спектрах
С етных ядер и вероятности переходов для них существенно отличаются от
неЧ ветствующих значений для случая невзаимодействующих возбуждений
/°°Т примеры на фиг. 6.30). Взаимодействие частица —фонон, обнаруживаю-
тся при учете во втором порядке связи одночастичного движения с колеба-
ным, приводит к довольно большим сдвигам энергий. Однако ангармонич-
те\ самого колебательного движения может приводить к добавочным эффек-
Н м такой же величины, которые можно вычислять, учитывая члены высшего
порядка во взаимодействии частица —колебание. Так, если статический квад-
пупольный момент фонона сравним с амплитудой перехода, то следует учи-
тывать взаимодействие этого момента с моментом квазичастицы (см. о соот-
ветствующем члене для октупольного фонона, стр. 507).
Несмотря на сложность спектров квадрупольных возбуждений в нечетных
ядрах, в них можно заметить удивительную закономерность, которую удается
качественно объяснить, учитывая взаимодействие частица —колебание. В ядрах
с нечетным W (или Z), содержащих несколько нейтронов (или протонов) сверх
замкнутой оболочки, регулярно встречаются очень низколежащие состояния
c/=j—1 (/ — полный момент квазичастицы вблизи поверхности Ферми). (См.,
например, состояния /л==7/2-|- на фиг. 2.24 т. 1 для ядер с N или Z, рав-
ными 43, 45 и 47, т. е. в области, где начинает заполняться оболочка g9^.
Основные члены взаимодействия частица —фонон соответствуют диаграм-
мам фиг. 6.10. В случае j1 = j2 = j диаграммы а и б вносят вклад лишь для
состояния с / = / [формула (6.224)] и приводят к взаимодействию отталкива-
ния. Диаграммы в и г приводят к одинаковой последовательности состояний
при расщеплении мультиплета частица —фонон, но имеют разные знаки. Поль-
зуясь соотношением (6.224) и выражением (6.207) для квазичастичных множи-
телей, можно написать
+w+,) (2 /
где E (/) —энергия квазичастицы.
4а2 (/) у2 (/)
2£ (/) + Йсо
2Е (j)-tud
р ’ Систематическое появление таких «аномальных» состояний для конфигу-
посвИ И3 ноеск0льких эквивалентных частиц отмечалось еще в работе [491],
сыгоЯЩеННОЙ HCCJleA0BaHHi° «островов изомерии». Изучение этих состояний
них r° ВаЖнУю роль на первом этапе теоретического исследования возмож-
ны Заимодействий в ядрах, поскольку оказалось, что короткодействующие
рити ^2?1ЯЖения Резк° понижают энергию состояния с / = j [803] и с сеньо-
обнапухГ* [942] для конфигураций (/)". В случае конфигураций (/)3 с /^б/2
или дая<еН0’ ЧТ° состояние с / = /~1 может иметь энергию того же порядка
сДоста?е Меньше> чем состояние с / = j, если включить в рассмотрение силы
эФфекта°ЧН° большим радиусом взаимодействия [714]. Другое объяснение этого
ильных МоЖно Дать, рассматривая взаимодействие частиц с квантами квадру-
РУподьно^е^°Рмаций- В сферических ядрах это приводит к увеличению квад-
СОстояниИ компоненты эффективных взаимодействий и к понижению энергии
ими /43 я с Z = / — 1. в деформированных ядрах низшее состояние конфигура-
эффектмоИМееТ Z(=K) = /—1 [161, стр. 53; 164, примечание 11]. На то, что
в Работе р032°бъяснить взаимодействиями квазичастица —фонон, указывалось
478
Гл. 6. Вибрационные спектры
Первый и третий члены в выражении (6.417) соответствуют диагпам
а и в фиг. 6.10. Они описывают связь между одночастичным состояли Мам
деформацией и особенно существенны для состояния / = /-|-1, которое вем и
чае достаточно сильной связи превращается в первое вращательное возб*^'
денное состояние. (В случае / = 5/2 поправки второго порядка к энергии в^’
модействия в одинаковы при / = / —2 = V2 и / = /+1=7/2.) Второй и четв^’
тый члены в формуле (6.417) (соответствующие диаграммам в и г фиг 6
отражают то обстоятельство, что вибрационное возбуждение формируется 0 10
частичными степенями свободы. Эти члены максимальны для состояний /Н°*
= /—1. (В случае когда	6/-символ положителен только при / = ;
Диаграммы в и г фиг 6.10 существенны для конфигураций из нескольк
эквивалентных частиц. При достаточно большом числе частиц (дырок) на обо*
л очке их вклад превышает вклад диаграмм а и в. В этом случае связь колеба*
ние —частица приводит к тому, что основным состоянием делается уровень
Взаимодействие фононов и поправки к соотношениям интенсивностей д7Я
£2-переходов. Основные поправки на ангармоничность в колебательном спектпе
можно ввести, рассматривая взаимодействие фононных пар [формула (6.269)1
Тогда энергии состояний с п^З можно рассчитать, зная экспериментальные
энергии состояний с п— 1 и п = 2. Соотношение между этими энергиями выгля-
дит особенно просто, когда [формула (6.272)] / = 2п:
Е (п, / = 2п) = п£ (п= 1) + -^-n (n—1) [£ (п = 2, / = 4) — 2Е (п— 1)] =
[1 "1 /2
£ (n= 1) —-^-£ (n = 2, Z = 4)J + — [£ (п = 2, Z = 4)-2£ (n = 1)]. (6.418)
Имеющиеся сведения об энергиях таких состояний хорошо согласуются
с выражением (6.418). (См. примеры на фиг. 6.33, где соотношению (6.418)
соответствует прямая. О пригодности выражения типа (6.418) с линейной и
квадратичной зависимостью от Z для описания спектров состояний см. работу
[867].)
В случае других состояний с п^З имеется лишь очень мало данных,
позволяющих проверить энергетические соотношения для них. К ним отно-
сятся сведения об известных состояниях 3-|-. Если считать их возбуждениями
с п = 3, то, пользуясь формулой (6.271) и генеалогическими коэффициентами
табл. 6.20, можно получить соотношение
£(п = 3, /=3)=3£(и=1)+[-у-£(п = 2, / = 2) +
+ у£(п=2,/=4)-6£(л=1)]. (6-419)
Данные об энергиях состояний 3-|- для изотопов Sm, Os и Pt собраны
в табл 6.13. Очевидно, что соотношение (6.419) выполняется не очень хорош •
Если удастся наблюдать £2-переходы большой интенсивности из этих состо.
ний в состояния с п = 2, подтверждающие, что состояниям 3+ действитель
можно приписать п = 3, то придется сделать вывод, что трехфононные вза
действия могут быть очень большими.	тсЯ
Аналогичное рассмотрение матричных элементов £2-переходов св0^ера.
к разложению эффективных операторов £2-перехода в ряд по степеням о
торов ct и с2 [формула (6.273)]. Поэтому в первом порядке каждый и
ричных элементов Дп = 0 и Ап = 2 зависит от одного параметра Ri11 \
а поправки к матричным элементам Дп=1 зависят от трех параметров
Для проверки соотношения между матричными элементами Дп = 0 j
делить отношение матричного элемента £2-перехода с Дп = 0 вида ’
Примеры к гл. 6
479
^п = 2, / = 0 к статическому квадрупольному моменту состояния с п=1
a iHCd Взяв значения приведенных выше матричных элементов из табл. 6.3 г
ядра
ПОЛУчиМ
в(Е2; Л = 2, / =2->п = 2, 7=0) =
= А В (£2; n= 1, I = 2->n= 1, 7 = 2) = A_[Q(n = 1р.	(6.420)
л евидно, что экспериментальные данные для ll4Cd, приведенные на фиг. 6.30,
опасуются с этим соотношением. (Поиски переходов п = 2, / = 4-> п = 2,
j ^2 для ядер 108Pd и 134Ва позволили установить верхние пределы для веро-
ятностей Е2-переходов. Эти пределы на порядок меньше, чем можно было ожи-
ь Судя по значениям статических квадрупольных моментов для этих
ядер [Ю74].)
Таблица 6.13
АНАЛИЗ ЭНЕРГИЙ СОСТОЯНИЙ с /л = 3+, пг « 3
Ядро	n — 1 / = 2	n = 2		n = 3, / = 3	
		/ = 2	|	/=4	теор.	| ЭКСП.
tfoSm	0,334	1,047	0,777	1,91	1,50
i52Sm	0,122	0,811	0,366	1,69	1,23
188OS	0,115	0,633	0,478	1,30	0,79
I92QS	0,206	0,489	0,580	0,93	0,69
wept	0,316	0,612	0,785	1,04	0,92
wpt	0,356	0,689	0,878	1,16	1,00
Данные взяты из сводки [999]. См. также фиг. 6.31 и 6.32.
Можно рассматривать эффекты ангармоничности иначе, разлагая гамильто-
ниан для колебательного движения в ряд по степеням амплитуд колебаний и
их производных по времени. В адиабатическом случае (й<о 2Д) эффекты
ангармоничности для потенциальной энергии колебаний должны быть, по-види-
мому, особенно сильными. С учетом членов третьей и четвертой степени ангар-
моническая поправка к гамильтониану имеет вид
Н' = k3 (a2a2a2)0 + k4 (а2а2)0 (а2а2)0.
(6.421)
То что в гамильтониане имеется лишь по одному члену третьего и четвер-
то порядка, означает, что в спектре квадрупольных фононов существует лишь
одному состоянию с I = 0 при п = 3 и п = 4 (табл. 6.1).
в Инварианты в формуле (6.421) можно определить, зная параметры р и у
деФ°рмации [формула (6.703)]. Влияние ангармонической поправки
' * на энергии и вероятности Е2-перехода мы оценим ниже.
ющиГ1аЛИЧИе в выражении (6.421) лишь двух параметров накладывает следу-
[Ф°РмульР(б 426НИЯ Н3 характер энергетических сдвигов для триплета п = 2
£ (« = 2, 1 = 0) —2£ (Я = 1) = у [£ (л = 2, 7 = 4)-2£ (п = 1)1,
Е (п = 2, I = 2) > £ (п = 2, 1 = 4).	(6.422)
480
Гл. 6. Вибрационные спектры
Как видно из фиг 6.30 — 6.32, соотношения (6.422) часто нарушаются. Поппа
к матричным элементам Е2-переходов, соответствующие квадратичным и
ным членам в выражении для потенциальной энергии, даются выражением (6 49Q4
Большое число таких матричных элементов было найдено для ядра w*
(фиг. 6.30). Анализ этих матричных элементов, а также энергий состоя *
с п = 2 проведен на фиг. 6.35. Каждая из рассмотренных величин линей*^
зависит от kf и fc4. Поэтому экспериментальные значения лежат на ппямН°
в плоскости £2, k±. При правильной интерполяции все прямые должны пеп°И
секаться в одной точке. Помимо упомянутых выше расхождений для энергии
Фиг 6.35. Эффекты ангармоничности в спектре квадрупольных возбуждений
ядра 114Cd.
Экспериментальные данные взяты с фиг. 6.30. Матричные элементы Е2-переходов =
->п2 = 1 содержат вклады как основных (гармонических), так и ангармонических членов.
При этом считалось, что знак полного матричного элемента совпадает со знаком основного
члена. Если выбрать фазу иначе, то полученные значения (л|, &4) окажутся вне области,
представленной на фигуре.
[формула (6.422)], очевидно, что значения матричных элементов Е2-переход
плохо согласуются друг с другом и со значениями энергий. Это также свид
тельствует о недостатках подхода, основанного на учете эффектов ангармон
ности в потенциальной энергии по теории возмущения. (Более детальный фе^
менологический анализ эффектов ангармоничности в ядре 114Cd с УчеТ0М
дующих поправок ог кубического члена в гамильтониане показывает, что т
путем нельзя удовлетворительно описать энергии и матричные эле
Е2*переходов [114, 1048]. В настоящее время не ясно, в какой степен^^,
расхождения связаны с эффектами ангармоничности для квадрупольной мй>
а в какой—с пренебрежением другими степенями свободы и взаимодеис
существенными для описания спектра при низших энергиях.	«олеб2'
При другом подходе к задаче о высоковозбужденных состояниях
тельного спектра можно попытаться определить вращательные тР^меннЫ-4
Характерной особенностью ираст-области является разделение пер 3).
вращательного и внутреннего колебательного движения (приложение » аТЬ
Поэтому основную траекторию для состояний с / = 2л можно расС
Примеры к гл. 6
481
ащательную последовательность для аксиального ротатора с равновес-
на еформацией, которая плавно изменяется с /. Этим можно объяснить регу-
нои у1 характер поведения состояний на фиг. 6.33. Очень ценными были бы
лЯРНтнительные экспериментальные данные, подтверждающие вышеупомянутые
Д°^номерности спектра в этой области.
33 Возможно также, что эквипотенциальные поверхности для широкого класса
представляют собой нечто среднее между поверхностями для случая гар-
яде»ческих колебаний (V7 ^1/2Ср2) и для случая ядра со статической равновес-
ий деформацией. Тогда качественное представление о реальной картине можно
Н°пчить, интерполируя два предельных случая [299, 997, 1027]. Классифика-
п°’' спектров в переходной области может сильно зависеть от формы и ста-
бильности равновесного состояния, к которому приближается система. Так,
апример, при переходе к осесимметричным деформациям вторые состояния
Н/==0 и / = 2 будут принадлежать одной и той же вращательной полосе
л «1, К = если равновесная деформация будет более «мягкой» по отноше-
нию"к> p-колебаниям. В случае же «мягкости» по отношению к у-колебаниям
эти состояния будут принадлежать разным полосам (п^ = 1, К = 0 и 1,
/( = 2), причем состояние с / = 2 будет иметь меньшую энергию. По-видимому,
обе эти возможности и обнаруживаются в спектрах, представленных на фиг
6.31 и 6.32. (Анализ различных типов спектров, возникающих из-за таких
переходов от колебательной к вращательной схеме, можно найти в работах
[342, 486, 712].)
Следует также помнить, что массовые параметры для р- и у-колебаний
деформированных ядер намного больше массовых параметров для вращатель-
ного движения. Такая зависимость массовых параметров от формы движения
существенно влияет на структуру спектров в переходной области.
Замечание. Основная поправка на ангармоничность в потенциальной энер-
гия определяется членом, кубичным по взаимодействию:
Я' = — k3 (а2а2а2)0 = —[(4Ф^)о + 3 (сз |с2)э + эрм.-сопр.]. (6.423)
Здесь а0 — амплитуда нулевых колебаний [формулы (6.51) и (6.52)]. Основные
члены взаимодействия (6.423) изображены на фиг. 6.36, а. Тождественность
фононов в этом случае приводит к появлению множителя (и!)1'7 для началь-
ных и конечных состояний с п фононами. Каждая диаграмма представляет
собой сумму членов, соответствующих перестановкам различных фононов, вхо-
дящих и выходящих из вершины. Поэтому во второй диаграмме фиг. 6.36,а
появляется множитель 3, как и в члене с (cfctc2)0 в формуле (6.423)
Последний множитель 1/^5 для этой диаграммы появляется из-за связи
угловых моментов в формуле (6.423).
* Jвзаимодействие (6.423) в первом порядке приводит к вкладам с Дп = 0 и
К05Г,2 в мо^нт £2, изображенным диаграммами фиг. 6.37,а. Соответствующие
эФфициенты в выражении (6.273) для эффективного оператора имеют вид
12
11 Кб h<0 10
2К2 M.i
т20 “	~	т10-
У 5 йсо
Здесь т
В	но— матричный элемент £2-перехода, связанный с рождением фонона.
£2-праГРаММах Фиг- 6.37, а фононы, рождающиеся и уничтожающиеся при
отличаются от других фононов. Поэтому перестановочные соотно-
с дп_^ают множитель 6 для диаграмм с Дп = 0 и множитель 3 для диаграмм
пРевЬ*И?ие?Т члена с Дп = 0, кубичного по взаимодействию, существенно
ает коэффициент члена с Дп = 2. Так, например [табл. 6.3 и формула
16 О D
• Б. Моттельсон
(6.424)
482
Гл. 6. Вибрационные спектры
(6.274)]:
(n=l, Z = 2[|^Z(E2) !|п=1, / = 2>
<n = 2, Z = 2|| e/ZZ (Е2) Цп = О, Z = 0)
з/z
(6-425)
Большой статический квадрупольный момент состояния и малая амп
туда перехода с п = 2->п = 0 действительно характерны для эксперимента^*
ных спектров.	Ль*
а
-V5 k3o$$(R,0)
8(11.2)
Фиг. 6.36. Диаграммы, соответствующие эффектам взаимодействия, связанным
с кубическим ангармоническим членом в квадрупольном возбуждении.
Во втором порядке связь (6.423) приводит к фонон-фононным взаимо-
действиям (фиг. 6.36, б), которые имеют вид (6.269), где
у __Г я /р 2}__72-Р 211 (^заи)2 _
^“[б6^’2) 7212 2еН Йсо “
24 (MJ)2	_ ( 7? П₽И
~CR 35	,гДес/?-(+8
I —о
Я = 0,
Я = 2,
Е-4.
(6.426)
при
при
Кубичный член взаимодействия во втором порядке приводит также к пер^
нормировке энергии фонона и вакуумного состояния (см. диаграммы н ^и10
6.36, в). Тождественность фононов в замкнутых петлях приводит к поЯ ители
бозонных множителей 2, 2 и 6 для трех диаграмм фиг. 6.36, в. Эти мно^^н0.
включены в значения коэффициентов, приведенные на фигуре. [Соос мЫ
энергетические части и эффекты взаимодействия разделяются, поскол
рассматриваем лишь связанные диаграммы, как и в случае взаимоД

Фиг. 6.37 Диаграммы, соответствующие вкладу в матричные элементы переходов Е2, обусловленному кубической ангар-
моничностью в квадрупольном возбуждении.
484
Гл. 6. Вибрационные спектры
частица —колебание чсм. выше).] Члены вида
Н' ~ ^4 (а2аг)о (а2аг)о	№.427)
в первом порядке вносят в фонон-фонон ное взаимодействие вклад
г	4 "I	4	Г 7 при R = o,
V*=2 26(Я, 0) + у р4а' = сЛ-д £4aJ, где cR= I 2 при /? = 2, (6.428)
I 2 при R = 4
Первый множитель 2 —это произведение бозонных множителей для начально
и конечного состояний. Две из шести разных перестановок различных фоноцГ°
дают множитель 6 (/?, 0), а остальные четыре содержат коэффициенты пепВ
связки 1/5 = (2/?+1Г‘/я ((ХхХ2) 0, (Х3А4) 0; 0 (ХЛ>). R, (Х2Х4)/?; 0) при в^’
значениях R. [Множитель 1/5 соответствует тому, что входящий и уходящий
фононы связаны в полный угловой момент, равный нулю. Поэтому отсутствует
корреляция между угловыми моментами двух входящих (или уходящих) кван-
тов.]
Учет взаимодействия (6.427) в первом порядке и кубичных членов во вто.
ром порядке приводит к следующим изменениям интенсивностей £2-переходов
с Дп=1 [формула (6.273)]:
(j" >R- 0) + f(2S + l>"’] +
+ [ j (2S + Dp J- S (S. 2) + 36	У ].	<6.429)
Член, пропорциональный &4, можно найти так же, как и при выводе выраже-
ния (6.428) для поправки к энергии. Члены второго порядка по k3 в фор-
муле (6.429) изображены графически на фиг. 6.37, б. Каждой из первых двух
диаграмм можно сопоставить три другие, отличающиеся только энергетическими
знаменателями. Третья диаграмма описывает перенормировку волновой функции
конечного состояния (с двумя фононами), которая возникает из-за эффектов
второго порядка по взаимодействию с промежуточным состоянием (с пятью
фононами). Амплитуда конечного состояния перенормируется на величину
— V2(q)2, гДе ct— амплитуда примеси пятифононного состояния
в первом порядке. Поэтому вклад от диаграммы можно оценить, введя множи-
тель — 1/2 и положив оба энергетических знаменателя равными виртуальной
энергии возбуждения (—3fao) промежуточного состояния. Существуют еще три
добавочные диаграммы, связанные с перенормировкой волновой функции конеч-
ного состояния. Одна из них содержит множитель 6 (/?, 2), а две другие—те
же коэффициенты пересвязки, что и вторая диаграмма фиг. 6.37
СВОЙСТВА КВАДРУПОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДРАХ
Низкочастотные квадрупольные колебания формы в сфероидальном ядре
имеют две моды с v = 0 и v = 2 (фиг. 6.3). Во многих четно-четных ядрах
были обнаружены низколежащие полосы Кл — 0-}- и полосы /<л = 2 + В наши
примерах мы сравним свойства этих полос со свойствами, которые следует ож
дать у колебаний формы с малыми амплитудами. Следует ожидать, что выС<^ы
частотные (A/V== 2) квадрупольные колебания будут распадаться на м Д
с v = 0, 1 и 2 по аналогии с расщеплением дипольной моды (стр. 434).
Гамма-колебания (фиг. 6.38)
Характерной особенностью спектров четно-четных деформированных ял£
является наличие в них низколежащей полосы с Хл = 2 + (у-колебании).
робно о таких возбуждениях в случае ядра 1беЕг говорится в гл. 4. ДР
Примеры к гл. 6
485
имеры приведены на фиг 4.7 (ядро 1в8Ег), фиг. 6.31 (ядра l52Sm и 164Sm) и
ПРИМ 6 32 (ядро l880s\ Данные по энергиям возбуждения этой моды собраны
{а фиг’ 6-38-
Н В процессах неупругого рассеяния должно наблюдаться усиление вероят-
и возбуждения у-колебательных полос. Для Е2-перехода ^ = 0, / = 0->
Н к = 2, 7 = 2 соответствующей одночастичной единицей вероятности служит
^личина 2BW(Е2) [см. формулу (3.169) для величины ВЦ7(£2) и формулу (4.92)
Ля матричных элементов в случае связи с вращением]. Экспериментальные
значения вероятностей Е2-переходов приведены в перечисленных выше приме-
рах Все они на порядок больше этой одночастичной величины.
Фиг. 6.38. Систематика частот 0- и у-колебаний при 150^ A 192.
шихДСТаВАены энеРгии низших состояний Кл = 0-Н 1=0 иКл = 2+, 1 = 2, соответствую-
щ х возбуждению внутренних степеней свободы. Данные взяты из сводки [998], а также
из работ [109] ”«Hf) и [525J (182W,	180W).
в Аналогичное усиленное возбуждение рассматриваемой моды наблюдалось
реакции неупругого рассеяния дейтронов [370]. Эти данные говорят о суще-
ко ° «ании» коллективной моды с т 0, о 0, как и должно быть в случае
излебаний формы. Такие значения квантовых чисел симметрии вытекают также
ибоанали3а экспериментальных g-факторов для данных возбужденных состояний,
ДвижНИ оказываются близкими к g-факторам для коллективного вращательного
*ения« Величины g^,—g^, найденные из данных по Ml-переходам внутри
о Цельной полосы, оказываются порядка 0,1 (см., например, данные
ядре ieeEr> стр. 149)<
можнп экспериментальным значениям В (Е2) для у-вибрационных состояний
Оказ ОпРеДелить амплитуду колебаний для неаксиально-симметричных ядер.
ывается, что величина (у2) лежит в области значений от 0,02 до 0,1
На пр им ер, формулу (4,248)].
486
Гл. 6. Вибрационные спектры
Закономерности изменения частот колебаний (фиг. 6.38) можно объясн
исходя из представления об одночастичных уровнях в деформированном потИТЬ
циале. Приближенное сохранение асимптотических квантовых чисел N > п ен'
и S, введенных в гл. 5, позволяет использовать правила отбора для опеоа
ров r2Y2 +2, соответствующих полю у-колебаний. Так, в случае переходов
с ДА = 0, ответственных за появление низкочастотной квадрупольной моды
получаем Дп3 = 0, ДА = 2, Д£ = 0. Поскольку деформация стремится распредЫ
лить уровни в соответствии с квантовым числом п3, в случае переходов с Дд 2. А
возникают существенные эффекты от подоболочек. Например, из фиг. 5.3 и52
видно, что в области Z = 66 и А —98 нейтронная подоболочка с А =5, п
и протонная подоболочка с N = 4, я3=1 заполнены примерно наполовину.3Это
позволяет понять причину понижения энергии и возрастания силы у-колебаний
наблюдаемых в этой области ядер. Заполнение упомянутых подоболочек приво'
дит к росту энергии у-колебаний для ядер в области Z = 70, А =102. С ростом
числа нуклонов нейтронные подоболочки N = 5, п3=1 и А = 5, п3 = 0 и про-
тонные подоболочки А = 4, п3 — 0 частично заполняются. Это приводит к пони-
жению энергии у-колебаний для ядер в области Z = 76, А=112.
Сила осциллятора, приходящаяся на у-колебания, в 2 — 4 раза меньше
силы осциллятора, приходящейся на вращения [см., например, фиг. 4.30
(ядро 166Ег), фиг 6.31 (ядро 152Sm) и фиг. 6.32 (ядро lS8Os)]. Сила у-колеба-
ний /koYB (Е2; 0->nY=l) (A/eZ)2 составляет примерно 2% классической
суммы 5 (т = 0, А = 2)Класс (см. для сравнения данные о силе осциллятора для
вращений и колебаний в сферических ядрах, представленные на фиг. 6.29).
Силы осциллятора можно выразить также через коллективные массовые
параметры. Тогда из приведенных выше значений следует, что DY 3£)вращ
j^1,5D2, где D2 — массовый параметр для колебаний в сферических ядрах
с большим числом частиц сверх заполненной оболочки [формулы (6.180) и (6.187)].
Если влияние деформации на внутреннее движение можно считать малым воз-
мущением, то кинетическая энергия коллективного движения будет иметь вид
V2D2 S а2ц а2ц [Ф°РМУЛЫ (6.44) и (6.45)], что соответствует ^ = Евращ (=В2)
ц
[формула (6.717)]. Большие различия в экспериментальных значениях этих
параметров свидетельствуют о резком изменении взаимодействия, связанном
с деформацией. Величину DY можно приближенно рассчитать так же, как при
вычислении силы осциллятора для квадрупольных колебаний в сферических
ядрах [формула (6.399)]. Тогда оказывается, что массовый параметр обратно
пропорционален числу частиц, эффективно участвующих в коллективном движе-
нии. В деформированных ядрах с наполовину заполненными подоболочками
(А = 5, /г3 = 2 для нейтронов и А = 4, п3 — 1 для протонов) число частиц,
участвующих в у-колебаниях, равно ~8. Это примерно половина числа частиц,
участвующих в квадрупольных колебаниях сферических ядер в области неустой-
чивости по отношению к деформации. (См. фиг. 4.3, а также теоретические
оценки критического числа частиц, стр. 461. Вопрос о вращательном массовом
параметре рассматривается на стр. 360.)	>
По экспериментальным значениям энергии и величины В (Е2) для коле -
тельных состояний можно вычислить вклад этой моды в электрическую кв Д
рупольную поляризуемость при v = ДА = 2. При тех же допущениях, что
в формуле (6.415), для статической поляризуемости получаем выражение
6епол(Е2, АА = 2, ДЕ = 0)^ ~z(t = 0, Х = 2, ДА = 2, Д£ = 0)«^^ОГ
14Z В (Е2; пу = 0 пY — 1)	4ЗО)
-да
Примеры к гл. 6
487
взять экспериментальные значения частот и вероятностей В (Е2) для
Е^’ебаний в области редкоземельных ядер, то оказывается, что вклад в эффек-
?'К°,ий зап ЯД составляет примерно Зе.
Вета-колебания (фиг. 6.38)
Во многих ядрах были обнаружены низколежащие возбужденные состоя-
ла = напоминающие квадрупольные колебания формы cv-О (р-коле-
бания/. Систематика низших возбужденных состояний с /(л = 0+приведена
на фиг 6.38 (см. также фиг. 6.31). О полосе /<л = 0 + в ядре 174Hf подробнее
говорится в связи с фиг. 4.31. В указанных примерах вероятности Ё2-пере-
хода о (£2;	/ = 0->Л(з=1, / = 2) составляют примерно пять одночастич-
ных единиц. [За единицу взята величина Bu,z(£2), как и следует для перехода
/(^0, / = 0-> /С = 0, / = 2в деформированном ядре.] Такие значения ампли-
туды перехода показывают, что амплитуда колебаний (пр = 1 1 Р“₽о I яр = 0)
^0,12Ро0,04 [формула (4.263)]. Поскольку энергия p-колебаний примерно
в 10 раз превышает энергию вращательных возбуждений, сила осциллятора
для p-колебаний составляет примерно 1/5 силы осциллятора для вращений
Эго соответствует величине D$ ЗОвращ Dy [формула (6.187)].
Можно попытаться качественно объяснить влияние оболочечной структуры
на p-колебания, рассматривая одночастичные возбуждения, создаваемые полем
r2K2() = const (2х| —xf—xz2). В представлении асимптотических квантовых чисел
(гл. 5) все недиагональные матричные элементы этого поля соответствуют
ДМ = 2 и потому связаны с высокочастотной квадрупольной модой. Если же
учесть парные корреляции, то квадрупольное поле приводит к возбуждению
состояний (v = 2, vv). (Одночастичный индекс у означает набор квантовых
чисел, таких, как /V, /г3, A, S, а у означает обращение времени для v.)
Такое влияние парных корреляций можно объяснить, рассматривая двух-
частичные конфигурации для двух разных пар одночастичных состояний (VjVj)
и (v2v2). Из этих пар состояний можно построить 2 ортогональные линейные
комбинации:
| 0)=(^ + 6*)-^ {a I + I v2v2>},	(6 431)
|	=	Ь I vA) +а j v2v2>}.
Квадрупольный матричный элемент перехода между этими состояниями имеет
вид
(О' 12 (г2Г20)й |0) =	(<v2 I r*Ym I v2> - (Vx I г2Г20 I Vj>) (6.432)
k
Таким образом, низкочастотные квадрупольные колебания возможны при
аличии близких одночастичных состояний с разными квадрупольными момен-
ами. (в самом общем случае можно показать, что если все одночастичные
остояния имеют одинаковый квадрупольный момент, то квадрупольный опера-
Р становится пропорциональным с-числу и поэтому не вносит вклада в мат-
Рнчные элементы переходов.)
Раз ^со^енно сильные флуктуации поля г2У20 должны быть, когда уровни из
я НЬ1Х главнЬ1х оболочек пересекаются у поверхности Ферми. В представлен-
а 1 На Фиг. 6.38 диапазоне ядер такое пересечение происходит вблизи N 90,
ак&е в конце этой области деформаций (фиг. 5.2 и 5.3).
мои К°ЛЛективная М0Да = может также возникать под влиянием поля
сист°П°ЛЯ’ связанного с рождением или уничтожением пары. Для сверхтекучих
иИт?‘М Квантовое число переданных нуклонов а, вообще говоря, не является
МоД7аЛ°М ДВижения для внутренних возбуждений. Поэтому данная мода
ет Наряду с моментом а = 0 обладать большими моментами а — ±2 (см. о нару-
488
Гл. 6. Вибрационные спектры
(6.433)
шении калибровочной инвариантности во внутренней системе координат, стп 34?
Действительно, установлено, что низколежащие состояния Кл = 0 + с бп ’
шими моментами £2(а = 0) особенно хорошо заселяются в а-распаде Г129]ЛЬ
в реакциях (р, t) [785]. В примере, приведенном на фиг. 6.39 (238Pu -> 23-qj J и
фактор заторможенности Fa для а-распада в ^-колебательное возбужденное^^ ’
тонкие Fa^4. Для сравнения укажем, что факторы заторможенности для пе°С
ходов на двуквазичастичные состояния должны быть порядка 102—юз, J*’
для запрещенных переходов в нечетных ядрах. [Фактор заторможенности
равен отношению приведенного времени жизни a-частицы к соответствующе?
величине для перехода на основное состояние четно-четного ядра (гл. 4?
О влиянии парных корреляций на вероятности a-распада см. стр. 240.| Изу
чая р-колебательные возбуждения в различных реакциях передачи пары нейтро-
нов или протонов, можно детально анализировать взаимное влияние степеней
свободы с а=±2 и а = 0, а также вклады различных мультипольностей
X в моду v = 0.
Для распада ^-колебательных состояний характерны довольно сильные
£0-переходы [см., например, табл. 4.21 (ядро 174Hf), а также фиг 6.39
(ядро 234t/)J. При анализе монопольных матричных элементов низкоэнергетических
переходов у нас нет возможности сравнивать их величины с силами одночастичных
переходов, поскольку переходы такого рода внутри одной осцилляторной обо-
лочки не существуют. Переходы £0 с малой энергией возникают из-за парных
корреляций. Поэтому их скорее следует сравнивать с матричными элементами
переходов между двумя протонными состояниями типа (6.431):
(О' I m (ВО) I 0>	«V, I г2I v2) - (v, I г2 I V,».
Считая, что а = Ь, и взяв для расчета разности г2 величины, соответствующие
двум соседним оболочкам в потенциале гармонического осциллятора [фор-
мула (2.153)], получим для одночастичного эффективного матричного элемента
£0 выражение
<т (£0)>ода «= - Д-	1,0А'^е ферми г.	(6.434)
При этом мы использовали приближенное выражение /?со0 = 41А~~1,3 МэВ. Как
нетрудно видеть, экспериментально определенные матричные элементы £0-пере-
ходов для р-колебательных состояний несколько превышают величину (6.434).
Полезно также сравнить эти монопольные матричные элементы с теорети-
ческими значениями, полученными в предположении о деформации с сохране-
нием объема [формула (4.264)]. Такие теоретические значения т(£0) довольно
хорошо согласуются с экспериментальными. Имеющиеся же расхождения едва
ли можно назвать неожиданными, учитывая, что формула (4.264) выведена
в предположении о несжимаемости.
Данные о других коллективных модах с +
и 2 -|- (фиг, 6.39)
Свойства описанных выше р- и у-колебаний приблизительно совпадают
со свойствами квадрупольных колебаний формы с малой амплитудой. Но иногЛ
приходится сталкиваться с закономерностями спектров, необъяснимыми пр
таком модельном подходе.	и.
В связи с этим особенно важно отметить, что во многих деформир0
ных ядрах наблюдаются добавочные возбужденные состояния /<л = 04' ** ж
с энергией, намного меньшей порога образования двуквазичастичных в° У
дений (см. пример на фиг 6.39). В некоторых случаях, как и в случай
ставленном на фиг. 6.39, оказывается, что распад этих состояний пр'
преимущественно к образованию нижележащих состояний с возбуЖД
внутренних мод, а не состояний основной полосы. Это говорит о воЗМОпПрета-
заметной связи этих состояний с р- и у-модами Таким образом, интер и
/354
кл
'УУ743Ъ](501,/2])п
1276 -----4
/214 ------А
1166------с
1126----
Кя~2+^
Энергия воз5уведения, МэВ
4+,
3~
5~
А[6429/2Н3301/21)р 2Л
~\£7437/Я1631^)п J
5* _____________~(M33W7633fy>7)n
3/ ------------([6335/2116311/21)п
fs~	(17437/2716335/27)п

1,0
2+ --------
2----------
2+ --------
/?>

а
1262
1172
•6
1092
5
1023^
•4
1085-------;
1045^------1
Krt^O-h
927
4
F«=480
852
F-8000
F^-260
3 948 —
£ F^40
-u-----2
K(F-O^
Гл^70
497,08
298,06
143,34
43,49
КЛ-0 +
5
Фиг. 6.39. Спектр низко-
лежащих состояний в
ядре ‘^U.
а — состояния, соответствую-
щие возбуждениям внутрен-
них степеней свободы, ко-
торые удалось идентифици-
ровать к настоящему вре-
мени, и ориентировочные
квантовые числа колебаний
и квазичастиц (пока что
удалось идентифицировать
лишь одну конфигурацию с
двумя протонными квази-
частицами);
б — более подробные
данные по низколежащим
вращательным полосам с по-
ложительной четностью.
Указанные на фигуре пере-
ходы Е2 и ЕО являются ос-
новными модами распада со-
ответствующих полос. Вели-
чина EQ — фактор затормо-
женности [формула (5.107)j
для заселения соответствую-
щих состояний при а-рас-
паде ядра 238Ри. Данные
взяты из следующих работ:
[130] (однонуклонная пере-
дача); [131] (0-распад ядра
234Ра); [737] (а-распад ядра
238Ри).
490
Гл. 6. Вибрационные спектры
ция добавочных состояний с /Сл = 0+ и 2+ существенна для понимав
природы р- и у-колебаний. В настоящее время невозможно точно установи4
какие степени свободы участвуют в этих возбуждениях. Но можно попытат^’
ввести добавочные колебательные моды, связанные, например, с разнь**
полями спаривания, или допустить существование вторичных равновесии*1
деформаций с неаксиальной симметрией (чтобы объяснить близость энерги*
возбуждения мод 7< = 0 и ^ = 2). Дополнительные степени свободы МоГ¥И
существенно помочь в объяснении весьма сильной связи р- и у-колебаний
с вращениями (стр. 412).	и
СВОЙСТВА ОКТУПОЛЬНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
В спектрах четно-четных ядер систематически наблюдаются низколежащие
состояния /л = 3+ с вероятностями ЕЗ-переходов, на порядок превышающими
Фиг. 6.40. Систематика энергий коллективных октупольных колебаний.
На фигуре представлены экспериментальные значения энергий возбуждения
щих коллективных состояний /л = 3—. Темные точки соответствуют ядрам, в Мень-
были обнаружены октупольные возбуждения больших энергий с интенсивностью, н иЭ
шей, чем половина интенсивности представленных на фигуре состояний. Данные в
работ [105, 736].
одночастичные значения (фиг. 6.40; матричные элементы ЕЗ-переходов ДД^
этих мод приведены в табл. 6.141)). Эти состояния были тщательно изу
г) Такие состояния наблюдались впервые как “аномальные макс^^ь1х
в неупругом рассеянии (р, р') [268]. Было предложено много Р?^.* ьЯОй
объяснений их происхождения. Доказательства октупольной колеоа
природы этих состояний приведены в работе [726].
Примеры к гл. 6
491
еакииям неупругого рассеяния. Сечения возбуждения таких состояний
Л° Рпсь объяснить исходя из представления об октупольной деформации потен-
}’ДаЛ ядра. Величина этой деформации совпадает с деформацией плотности.
ЦИа’исленной по известным значениям матричных элементов ЕЗ-переходов (см.
ВЫЧ ео в табл. 6.2 и обзор [105]). Такое сравнение матричных элементов ЕЗ
"Р амплитуд процессов (р, р'), (а, а') позволяет приписать этим состояниям
И нтовьге числа т 0, о % 0, как и должно быть в случае колебаний формы.
^Наличие связи октупольных возбуждений с одночастичным движением, наблю-
вшейся в ядре 209Bi (стр. 497), позволяет проверить, присутствует ли ком-
Донента о=1 в возбуждениях такого рода.)
Структура октупольных мод для сферических ядер
(фиг. 6.40 и табл. 6.14)
Эффекты оболочечной структуры в потенциале гармонического осциллятора.
Влияние оболочечной структуры на октупольные моды можно качественно
объяснить исходя из упрощенной модели, в которой движение частиц проис-
ходит в потенциале гармонического осциллятора, а поле октуполя пропорцио-
нально моменту
(6.435)
k
Энергии возбуждения частиц в таком поле равны йсоо и 3/тсоо, и переходы
удовлетворяют правилам отбора ДМ =1,3. Для одной замкнутой оболочки
с квантовым числом N силы перехода даются [см. вывод соответствующего
выражения (6.411) при Х=2] выражениями
21 / ft \3
2 IWWI’ = wU N(N+{^
vN + 1
X(N+2)(^+3)^+4),
V	7 / ft \з	(6.436)
2	cv + ox
X(» + 2)(W+3)(« + 4><« + 5).
Здесь —набор квантовых чисел, необходимых для описания одночастичных
состояний в оболочке /V. В этих выражениях учтен множитель 4, связанный
по спину и изоспину Поскольку в полную силу перехода
чи ВН°СЯТ вклад ТРИ последние оболочки, в случае больших квантовых
н сел силы одночастичных переходов с энергиями /?соо и Зйсоо примерно сов-
(6 По?’ выразив эту силу перехода через классическую силу осциллятора
можно получить для вероятности перехода с т = 0 формулу
х=3; A.V= 1)^B'l" (т = 0, Х = 3; A/V=3)=«
»= 1 $ (т=у=ЗКласс = 147 Й А
4 йсоо	32л Л4соо
Поля°КТупольные флуктуации плотности приводят к появлению октупольного
’ ?АРаметР взаимодействия для которого можно найти из общего выра-
ния (6.78) Для классических колебаний:
х(т = 0, X = 3)=--^-^J-.	(6.438)
Такое п,	' '
н ДДТ _заимодействие связывает друг с другом одночастичные переходы ДА' = 1
3 и обеспечивает связь между двумя октупольными частотами. Возни-
492
Гл. 6, Вибрационные спектры
кающие при этом нормальные моды можно найти из общего выражения (6 244
справедливого при любой одночастичной функции отклика. Но в данном*
деле мы выведем их проще, обобщив подход, изложенный в § 2, п. 3, на
чай двух связанных осцилляторов.	’ СлУ'
Исходя из формулы (6.23) и учитывая, что сила перехода в ней соот
ствует одному значению р, и поэтому составляет 1/? величины В в фолм^’
(6.437), в случае несвязанных октупольных осцилляторов жесткости и ма
вые параметры можно записать в виде	ССо*
Г(0)— Мсоо £(0)______________3<7<0)
1 “ 21 А (г4) ’	3	* 1 ’
£)(о> __	___М----	J_ }
1	21 А {г4) ’	3	3 1
(6.439)
Здесь индексы 1 и 3 соответствуют значениям kN. Потенциальная энергия (6 241
определяется полной деформацией, равной сумме амплитуд cq и а3 отдельных
колебаний:
#'==у x(«i + a3)2 3.	(6.440)
Нормальные моды квадрупольных колебаний описываются амплитудами
вида
a==ciai + c2a3,	(6.441)
где и с2— константы, которые можно определить из условия
а = — со2а.
Собственные частоты являются корнями секулярного уравнения
х 1 х 1
cog —со2 ” D(30) (Зсо0)2 —со2
3 J 1	,	3	\
4 03 \ (oj-ы2 “г 9<о5-(о2 Л
Поэтому
1 °’
со (т = О, Х==3) = { г
IJ 7 о)0.
(6.442)
(6.443)
(6.444)
Соответствующую силу осциллятора в единицах, определяемых выражением
(6.437), можно найти, зная массовые параметры- для нормальных мод:
ЛсоВ(т = 0, Х = 3; п = 01) = S (т = 0, Х = 3)классх
3	п
при со = О,
х 7	(6.445)
соответственно двум корням (6.444) секулярного уравнения.
Появление собственной моды с нулевой частотой [формула (6.444)] о
чает, что система неустойчива по отношению к статическим октупольным ДеФ
мациям. Но этот результат был получен в предельном случае очень боль> 0
систем (/V	1). При конечных же значениях А из-за наличия членов вы ы
порядка в формуле (6 436) доля силы осциллятора, приходящаяся нзi пер <
с kN = 1, всегда меньше соответствующей предельной величины у Z*tcYTct*
ствительно, в случае оболочки N = 0 (а-частица) переходы с kN = 1 ° 2^
вуют. Поэтому в модели сохраняется устойчивость по отношению к ок у
Примеры к гл. 6
493
деформациям, но коллективная частота со убывает с ростом А быстрее,
нЫМ частота осциллятора (со^Д~1/г;	1/з). Такое поведение характерно
чеМ поверхностной моды [см. например, вычисления в-модели жидкой капли
ДЛЯ ложение 1, п. 1), которые в отсутствие кулоновских сил дают со ~ Л“1/2].
^Ри наша модель вряд ли может дать правильную амплитуду низкочастот-
ных колебаний, поскольку другие различные эффекты могут вносить добавоч-
й вклад в величину жесткости порядка	(поправки к поверхност-
но эНергии, более строгий учет оболочечной структуры).
Н° Октупольные моды т=1 можно исследовать по аналогии с модами т = 0,
еС1И рассмотреть поле вида
/7=2(г35/зоТг)А.
k
(6.446)
Невозмущенные значения параметров С и D совпадают с соответствую-
щими значениями для мод т = 0 [формула (6.439)]. Взяв формулу (6.127) для
константы взаимодействия, мы получим для частот
( 1,55соо»
<о(т=1,А = 3)=	’	°	(6.447)
I 4,76соо.
Силы осцилляторов теперь имеют вид
йаВ(т= 1, >-=3; п = 0-^п=1) =
_ л	( 0,032 при со=1,55со0,
— о (Т—1, Л, — ^)кяасс ‘ л г. пт?о	л -?п
( 0,968 при со = 4,76(о0,
(6.448)
причем величина S(t=1, Х==3)класс определяется выражением (6.179).
Систематика данных о низкочастотной моде. Экспериментально установ-
ленные низкоэнергетические октупольные состояния (фиг. 6.40) качественно
соответствуют моде т = 0, связанной с возбуждениями частиц при ДМ = 1.
Но, поскольку спектр одночастичных возбуждений отличается от спектра
использованной нами схематической модели, свойства этой моды сильно изме-
няются при заполнении оболочек.
Из-за наличия подоболочечной структуры в ядрах с замкнутыми оболоч-
ками возбуждения с ДМ — 1 распределяются в энергетическохМ интервале
порядка йсо0 [например, энергии возбуждений с Д^«1 в ядре 208РЬ, соответ-
ствующих переходам без переворота спина (Д/ = Д7), лежат в интервале при-
мерно от 4 до 9 МэВ; см. т. 1, фиг. 3.3]. Поэтому лишь часть низкочастотной
силы осциллятора должна приходиться на коллективную моду. Исходя из дан-
ных табл. 6.14 и приняв В(т = 0, Л = 3)	(Л/Z^)2 В (ЕЗ), нетрудно убедиться,
2™ экспериментальные значения силы осциллятора т = 0 для ядер 1вО, 40Са и
РЬ составляют 10, 13 и 21% полной силы. В схематической модели, рас-
ширенной выше, на низкочастотную моду приходится около 40% величины
^т==^)класс- Но с учетом поправки на конечность W [формула (6.436)] мы
ОлУчаем для ядер 16О, 40Са и 208РЬ значения 25, 33 и 39%. Таким образом,
0 всех трех случаях на коллективную моду приходится примерно половина
изкочастотной силы осциллятора. Это хорошо согласуется с тем, что экспери-
^льные значения октупольных частот отличаются от частот возбуждений
®=1 на величину порядка разброса частот этих возбуждений.
спи ° слУчае конфигураций частиц в незаполненной оболочке ядер с А > 60
м^орбитальное взаимодействие приводит к сильным октупольным переходам
ЖДУ состояниями: 2р3,	\g9^ для оболочки 28 — 50, 2d6/aU11/g для обо-
*°ЧчКи 50 — 82, 2f7/2-> h’*8/g для’оболочки 82—126 и 2ge/a ->\jib/z дл*я следую-
/.\°болочки. (Пример октупольной функции отклика для случая Z = 46,
oktv пРИвеДен на фиг. 6.17, б). Появление таких сильных низкочастотных
Упольных переходов характерно для одночастичного движения в потенциале
494
Гл. 6. Вибрационные спектры
Таблица 6,Ц
ИНТЕНСИВНОСТИ ПЕРЕХОДОВ ДЛЯ КОЛЛЕКТИВНЫХ
ОКТУПОЛЬНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Ядро	Д(03, МэВ	В (£3; 0 — 3), e2 ферми8	В (ЕЗ)		fooS (£3: 0 о.
			В <£3>одн		класс
160	6,13	1,5 -103	14	0,28	0,05
40Са	3,73	1,7 IO4	26	0,15	0,06
6»Ni	4,05	2,8- Ю4	19	0,09	0,06
H2Cd	1,97	1,0- IO5	20	0,057	0,03
l52Sm	1,04 (v = 0)	1,2-105	12	0,087	0,011
	1,58 (v = 1)	0,7 105	7	0,047	0,009
208pb	2,61	7,0-105	39	0,045	0,08
238[J	0,73 (v=0)	5,0- IO3	21	0,078	0,013
Представленные в таблице матричные элементы были определены по вероятностям
£3-переходов. Исключение составляет ядро 152Sm, для которого матричные элементы были
найдены путем анализа сечения неупругого рассеяния дейтронов. В четвертом столбце
экспериментальные значения В (£3) сравниваются с одночастичными величинами В =
~ 0,42А2ег ферми 6 В пятом столбце приведены амплитуды октупольных колебаний [с нор-
мировкой (6.63)], определенные по значениям В (£3) [см. формулу (6.65) для сферических
ядер и формулу (6.91) для деформированных]. В шестом столбце даны экспериментальные
значения силы осциллятора, отнесенные к классической сумме (6177). [Значение (г)4
в правиле сумм было взято из оценок (2.69) и (2.70).] Данные для таблицы взяты из сле-
дующих работ: [I8J (ядро 1вО), [1043] (ядро 40Са), [339] (ядро 60Ni), [810] (ядро U2Cd),
[1144] (ядро 152Sm), [1222] (ядро 208РЬ), [382] (ядро 288U).
с резким краем. Они обусловлены наличием классических периодических орбит
с треугольной симметрией (см. ниже). Такой подход позволяет качественно
объяснить наблюдаемые изменения октупольных частот (фиг 6.40). Например,
в области ядер от Zr до Ва частота вначале уменьшается при добавлении нейт-
ронов на уровни d5/2> а затем нарастает при заполнении уровней йп,2 в конце
оболочки. Уменьшение частоты октупольных колебаний с ростом Z в области
ядер легче Sn связано с существованием аналогичного перехода	->/гН/2 Для
протонов. Для ядер с числом нейтронов AZ > 82 видно, что заполнение
уровня приводит к резкому уменьшению октупольных частот у изотопов
Се и Sm. При сферической форме минимум частоты октупольных колебании
должен появляться в области Z 64, 90 /V 100 (см., например, схемы
уровней на фиг. 5.2 и 5.3). В этой области сферическая форма может стать
неустойчивой по отношению к октупольным деформациям. Но такую неустой-
чивость трудно обнаружить, поскольку при N— 90 у ядер появляется стат -
ческая квадрупольная деформация. В области ядер тяжелее 208РЬ добавлен
нейтронов на уровень может приводить к сильному уменьшению октупол
ной частоты и к появлению неустойчивости сферической формы. Интересную
с этой точки зрения область /V 130 очень трудно изучать, поскольку о
малы времена жизни ядер в этой области по отношению к а-распаду-
малые значения энергии возбуждения состояний с отрицательной четн°ное
в начале области деформированных ядер (А > 222, фиг. 6.40)1 и си
Эти состояния с Кл = 0+ и необычно малой энергией возбужден^
были первыми октупольными модами, обнаруженными в спектрах ядеРдСПаде
впервые наблюдались при изучении свойств тонкой структуры ® стНОе
[1076] и были отождествлены с октупольными модами (R. F- Christy,
сообщение).
Примеры к гл. 6
495
ппействие внешних нейтронов с октупольными колебаниями в ядре 209РЬ
в3аИ^ииже) свидетельствуют в пользу существования в этой области ядер силы
Vм- октупольных эффектов.
HbIX Как видно из фиг. 6.40, во многих случаях сила низкочастотного окту-
К распределяется между двумя или несколькими возбужденными состоя-
п°лЯи^со сравнимыми интенсивностями. Это можно объяснить связью окту-
НЙЯМцых моя с квадрупольными деформациями (см. ниже). Такую закономер-
П° ть можно наблюдать и в ядрах, в которых одночастичная октупольная
ж°нкция отклика содержит компоненту с очень малой частотой. (См., например,
тупольное возбуждение в ядре 210РЬ [373], обусловленное сильным взаимо-
°ействием октупольной моды с одночастичным возбуждением -> j^. Под-
робнее об этом говорится ниже в связи со спектром ядра 209РЬ.)
реакции передачи одного нуклона» приводящие к возбуждению октуполь-
ных состояний в ядре 208РЬ. Изучение реакций однонуклонной передачи или
^аналоговых резонансов позволяет получить сведения о структуре октуполь-
ных колебаний с точки зрения частично-дырочных возбуждений. Например,
установлено [806], что отношение сечения реакции 2o9Bi (d, 3Не) с образова-
нием состояния /, л = 3- в ядре 208РЬ к сечению реакции 208Pb (d, 3Не)
с образованием конфигурации ch/\ равно 4,5 • 10-2. Считая, что в реакции
происходит подхват протона d3/2, можно вычислить приведенный матричный
элемент оператора уничтожения частицы a (d3/2) [формула (3.257)]:
^(Ч^3~)_ 1 I<3HiQ(MilIM!2
da(O^) 10 I <rfs/‘|| a (d3/2) 0> |2
I <3-HMIIM МО-045. (6.449)
(Теоретически этот матричный элемент можно рассчитать, рассматривая взаи-
модействие частица —колебание по аналогии с амплитудой, соответствующей
первой диаграмме фиг. 6.34. В отсутствие парных корреляций вторая диаг-
рамма фиг. 6.34 не вносит вклада, если только пренебречь малым вкладом от
состояний б/3д более высоколежащих оболочек.) Таким образом, мы получаем
[формулы (6.210) и (6.211)]
<3-I«Й =«, + !)''	<««)
Здесь Я —матричный элемент взаимодействия частица —колебание, определяю-
щийся формулой (6.209). Взяв значение радиального матричного элемента
(/i0/2 I k (г) j J3/2) ^51 МэВ,	(6.451)
полученное на основе волновых функций в потенциале Вудса —Саксона с пара-
метрами, использованными для фиг. 3.3 (т. 1), а также значение амплитуды
нУлевых колебаний
(ёг),/2=0’045’	(6-452)
по формуле (6.65) исходя из значения В (£3; 0->3) в табл. 6.14,
Счисленное
п°лучэем
h СЧ’ ^3/23) ~ - 0,75 МэВ'	(6.453)
Знергия частично-дырочного возбуждения Е	в формуле (6.450),
опасно экспериментальным значениям энергии связи, приведенным на фиг. 3.3
)> Равна е — е (rf3/J^4,6 МэВ. Но это несколько завышенное значе-
496
Гл. 6. Вибрационные спектры
ние, не учитывающее кулоновского взаимодействия: энергии дырок соот
ствуют отделению протона от ядра Z = 82, а энергии частиц — отделещ!Т
ядра Z = 83. Поэтому следует ввести в частично-дырочное взаимодействие^ °Т
протонов кулоновский потенциал притяжения. Это приведет к появче^*
энергетического сдвига, приблизительно не зависящего от конфигурации часНИЮ
Сдвиг можно вычислить, считая постоянным распределение заряда
(2.19)]:	^рмула
6 е2	1/
бЕкул (част.-дыр.)— у —	1,44 13 МэВ.
(6.454)
Для ядра 208РЬ он составляет — 0,2 МэВ. Выбрав значения Е ) = 4д
и /йо3 = 2,6 МэВ (табл. 6.14), мы получим из формул (6.450) и (6.453):
(3 — IIа (б1’/2)|| Л’/2) = — 1 ’3.	(6.455)
Это значение согласуется с экспериментальным значением (6.449).
Можно считать, что приведенным матричным элементом (6.455) опреде-
ляется амплитуда частично-дырочной компоненты	в вогнэвой функ-
ции фонона [диаграмма фиг. 6.13 и формулы (6.210) и (6.211)]:
/ 10 у/2 h (h9/ , da/ 3)
г-0,50.
(6.456)
В реакции 209Bi (d, 3Не) октупольное состояние ядра может также возбуж-
даться при подхвате протона с уровней da/ или Но сечения таких про-
цессов должны быть гораздо меньше сечения подхвата для уровня d3
Используя оценки, аналогичные сделанным выше, можно получить X (d~,' hB,'^
^0,11 и Х(^;/2, Л9/2)^0,17
Эффективные заряды (табл, 6.15)
Малость частоты коллективной октупольной моды по сравнению с харак-
терными частотами частично-дырочных возбуждений, из которых она форми-
руется, указывает на значительную величину изоскалярной октупольной поля-
ризуемости. Экспериментальные данные по эффективным зарядам для одноча-
стичных октупольных переходов имеются для ядер в области 208РЬ. Они при-
ведены в табл. 6.15. Экспериментальные значения еЭфф можно получить, если
разделить экспериментальные значения матричных элементов на соответствую-
щие одночастичные значения (3.164), взяв при этом значения радиальных мат-
ричных элементов, приведенные в четвертом столбце. В ядре 208РЬ основн°и
вклад в эффективный заряд вносит октупольное состояние с энергией 2,61 МэВ-
Приведенные в седьмом столбце значения были найдены по формуле (6 Л о)
с использованием матричных элементов взаимодействия {/2 | k (г) ji), указан-
ных в шестом столбце, и значений величины В (ЕЗ; 0-^3), пРивед^^г
в табл. 6.14. Радиальные матричные элементы операторов г3 и k (г) =
вычислялись с волновыми функциями в потенциале Вудса— Саксона с оо
ными параметрами (т. 1, стр. 235, 315). Возможны также добавочные вКЛ дй
в поляризационный заряд, обусловленные взаимодействием с высоколежаШ
изовекторными и изоскалярными октупольными модами. Каждый из этих в
дов составляет несколько десятых величины е (см. ниже). Суммарный
этих взаимодействий приведен в восьмом столбце. В рассматриваемом ^коле-
жении (первый порядок теории возмущения по взаимодействию частица
бание) полный эффективный заряд равен сумме заряда невзаимодейству
частицы и поляризационных поправок, приведенных в седьмом и в
столбцах.
Примеры к гл. б
497
Таблица 6.15
ЭФФЕКТИВНЫЕ ОКТУПОЛЬНЫЕ ЗАРЯДЫ ДЛЯ ЯДЕР 20врь и 2овВ]-
с	Переход	Е (ЕЗ), 104*?2 ферми6	(/2 1 г8 1 ферми 3	(еэфф) эксп		(/*2 । k jt>, МэВ	6епол/е		(еэфф) теор	<w
							Д(|) = 2,6 МэВ	высоко- частотные возбуж- дения		
—										
2v9pb	1 *“/» g’;i (Д£=1,42 МэВ) Лз 2 —* (Д£=1,61 МэВ)	7±2	254	2.8 ±0,5		53	3,3	0,6	2,8	
209 Bi		i,5±0,5	238	6±	.1	68	5,0	0,2	5,6	
Экспериментальные значения В (ЕЗ), представленные в третьем столбце, для ядра
«онрь взяты из работы [372], а для ядра 2°*Bi — из работ [206, 589]. Во втором случае
в таблице указано среднее взвешенное двух экспериментальных значений. Эти значения
были взяты с такими весами, чтобы экспериментальное значение полной вероятности ЕЗ
перехода для мультиплета семи состояний (Ло/ 3—) согласовалось с принятым нами значе-
нием 7 105е2 ферми6 для возбужденного состояния 3— ядра 208РЬ.
Для некоторых низколежащих одночастичных конфигураций в ядрах 208РЬ
и 2MBi связь с октупольной модой настолько велика, что могут возникнуть
существенные поправки к поляризационному заряду, связанные с эффектами
высших порядков по взаимодействию частица — колебание. Так, для ядра
209РЬ матричный элемент для конфигураций /15/ и	—) имеет величину
—) —— 0,88 МэВ [численное значение получено по формуле (6.209),
радиальные матричные элементы (/2 k Д) взяты из табл. 6.15, а амплитуда
нулевых колебаний вычислялась по формуле (6.452)]. Это сравнимо с разно-
стью энергий двух невозмущенных конфигураций.
и Диагонализация этого взаимодействия в пространстве одночастичных состоя-
ний и состояний частица — фонон приводит к появлению перенормированных
одночастичных состояний
(6.457)
| &/,) =0,97 . g,.t) + 0,24 | (/1S/3 -) 9/2),
|7>./2) = 0,85 i /,s/2) + 0,52 (gf/3 -) 15/2).
Для вывода соотношений (6.457) мы взяли такое значение разности энергий
возмущенных состояний и g0^ (Де =1,7 МэВ), которое соответствует
фронтальному значению разности энергий (1.4 МэВ) для перенормиро-
Ных сост°*ний. Значение еЭфф, приведенное в последнем столбце табл. 6.15,
учено для состояний (6.457). При этом использовался одночастичный заряд
К0П&(ВЬ?ОКИе частоты) и значения матричного элемента ЕЗ для октупольных
на зло/111^ из табл. 6.14. Мы видим, что найденное таким путем значение еЭфф
у/о меньше значения, полученного в первого порядке теории возмущений,
днями Я ядРа 209В* связь между двумя указанными в табл. 6.15 конфигура-
нию И Г°Раздо слабее (*1з/2, М-) —0,25 МэВ] благодаря переворачива-
ПоэтоПИНЗ В °ДН0Частичных переходах. Поэтому поправками высшего порядка
ричн . В3аимодсйствию можно пренебречь. Более существенные поправки к мат-
рация\1У ЭЛементУ £3 в ядре 208Bi возникают из-за взаимодействия между конфигу-
И ЧэА и (Л/23 —)» матричный элемент которого велик: h	f7/3 —) =
МэВ. Диагонализация этого взаимодействия по аналогии со случаем
498
Гл. 6. Вибрационные спектры
яобрь приводит к переопределению состояния
| /13/2)=0,91 ।	-f-0.41 | (А/3-) 13/2).	(б458)
Значение (еЭфф)теор Для яДРа 209Bi, приведенное в табл. 6.15, получено va
жением значения 6.2, найденного по теории возмущений, на величину 0 а?*
характеризующую амплитуду компоненты iJS/ в переопределенном состоя ’
(6.458).	2	НИи
Хорошее согласие экспериментальных значений матричных элементов Гъ
перехода с теоретическими значениями (табл. 6.15) подтверждает правильное
подхода, учитывающего взаимодействие одночастичного движения с коллекти^
ной модой возбуждения 2,61 МэВ, /л = 3— в ядре 208РЬ. Для перехода i
->Л0/2 в ядре 209Bi матричный элемент взаимодействия очень мал и потому
чувствителен к полям, зависящим от спина, которые могут возникать пт
октупольных возбуждениях. Поэтому экспериментальное значение еЭфф позво
ляет считать, что зависящие от спина поля очень слабы.	Ф
Замечание. Высокочастотные добавки к эффективному октулольному заряду
можно выразить через изоскал ярные и изовекторные коэффициенты пол яри.
зуемости с помощью соотношения, аналогичного формуле (6.386) для эффек-
тивного заряда Е2. Наиболее существенным должен быть, по-видимому, вклад
следующих высокочастотных возбуждений:
1.	Мода ДМ =3, т^О. Взяв выражение (6.438) для величины взаимо-
действия, выражение (6.216) для % и значение жесткости из формул (6.444) и
(6.445), получим
я станд _1£.	/1 п	Z
Оепол ^49 4	b А
2.	Дополнительные моды ДМ = 1, т = 0. Об их существовании свидетель-
ствует тот факт, что состояние с энергией 2,6 МэВ содержит лишь примерно
половину силы осциллятора ДМ=1, т = 0 (см. выше). Поскольку оставшаяся
часть силы осциллятора должна быть сосредоточена в области й(о0^7 МэВ,
поляризуемость, которая обратно пропорциональна квадрату частоты для
постоянной силы осциллятора, будет на порядок величины меньше, чем поля-
ризуемость от моды с энергией 2,6 МэВ. Более точную оценку можно полу-
чить, пользуясь выражением (6.243) для функции отклика. Взяв значения
невозмущенных энергий, приведенные на фиг. 3.2, е, и значение константы х,
при котором энергия низшего коллективного состояния оказывается равной
/цо = 2,6 МэВ, находим
(6.459)
(6.460)
(Ч?лИД>(0-5-0,1тг)г.
3.	Моды т=1, AiV = l, 3. Значения (6.127), (6.447) и (6.448) дают
(б^тоалнд) ~0,4	е.	(6-461)
В случае ядра 208РЬ сумма этих трех добавок составляет величину &полНДда
(0,5 + 0,Зт2) е. Это стандартная величина, полученная со средними зна^
ниями радиальных матричных элементов одночастичных состояний. Величи^
6еПол» представленные в восьмом столбце табл. 6.15, содержат добавочн
множитель х/2^3 (/2 I f3 I ji)"1 [см. аналогичную формулу (6.387)].
Эффекты ангармоничности (фиг. 6.41)
Хотя пока что имеется очень мало данных об эффектах ангармон яч^и.
в октупольной моде, эти эффекты могут представить большой интерес. Ь _сТц
чие от случая низкочастотной квадрупольной моды, эффекты ангармони
Примеры к гл. 6
499
изкочастотной октупольной моде во многих случаях должны быть весьма
0 Н ши Поэтому их можно учитывать, вводя поправку теории возмущений
Гармоническому приближению.
Связь фононов, обусловленная октупольными взаимодействиями. Ангармо-
ческие поправки низшего порядка в спектре октупольных колебаний опре-
НИ яются взаимодействиями
£он — фонон. Эти взаимодей-
твия изображаются диаграм-
мами четвертого порядка та-
кими, как на фиг. 6.41. Поря-
док величины такого взаимо-
действия легко оценить в слу-
чае частиц, движущихся в
потенциале гармонического ос-
циллятора. Если, например,
рассмотреть диаграмму фиг.
6.41, а в случае, когда все
четыре октупольных фотона на-
ходятся в состоянии М = 3, то
для возбуждений Д/V = 1 во все
четыре вершины должна вхо-
дить одна и та же частично-
дырочная пара (с Дп+1 = + 2,
Д/1_г==— 1, Дпо = О). Поэтому
рассмотренная диаграмма дает
энергетический сдвиг Xj (7цо0 —
= й(о), где X/ —амплитуда
конфигурации i в октупольной моде. Эту амплитуду можно найти из условия
нормировки [формулы (6.249а) и (6.253)J:
S'
а
Фиг. 6.41. Диаграммы, иллюстрирующие
фонон-фононное взаимодействие для окту-
польного возбуждения.
<6-462)
i	i
Суммируя по различным конфигурациям, получим соответствующий энергети-
ческий сдвиг:
(6.463)
Здесь Q — число частиц в последней заполненной оболочке, соответствующее
ЧИслУ конфигураций i в сумме (6.462).
Мы вндИхМ, что во взаимодействии (6.463) отражена роль принципа Паули,
прбщающего строить второй фонон из конфигураций, которые одновре-
энеп° ВХ0дили бы в микроскопическую структуру первого фонона. Поэтому
поп Ия взаимодействия (Йсо — fao0) для фонона уменьшается на величину
Ции Ка Последний множитель в формуле (6.463) возникает из-за корреля-
в основном состоянии, приводящих к тому, что амплитуда нулевых коле-
пРеле В03Растает пропорционально величине ш-^2. В адиабатическом
йитед16 шо) вся зависимость выражения (6.463) от © заключена в мно-
® («з)$, как и должно быть в случае диаграммы четвертого порядка.
также °ЖИТель определяющий величину ангармоничности, характеризует
с(0) и^оправки к бозонным коммутационным соотношениям для операторов
ан и с \ описывающих невозмущенное движение (см. выше). Возникающая
>Кидко”)НИчность (порядка Я~2/з) значительно больше ангармоничности в модели
ские ц Капли- В макроскопическом описании колебаний формы ангармониче-
члены в гамильтониане имеют порядок (a3)J [если выбрать амплитуду
500
Гл. 6 Вибрационные спектры
с нормировкой (6.619) или (6.63)], что означает для рассматриваемой
порядок [см., например, формулу (6 437)]. Это показывает, что аМ°ДЬ1
моничность в формуле (6 463) есть квантовый эффект, связанный с микп*1^'
пической структурой коллективного движения.	Р°ско.
При количественной оценке фонон— фононных взаимодействий
учесть вклады многих добавочных диаграмм. Часть из них связана с
ными способами хронологического упорядочивания вершин, часть —с
ними способами соединения фононных линий с вершинами, а часть
следуй
разлиц.
с раздич.
можностыо замены рождения (уничтожения) частично-дырочной пары расс°3,
нием частицы или дырки, как на диаграмме б фиг. 6.41 Эта диаграмма ла*
вклад того же порядка величины, что и (6.463), но имеет другой знак. Д ет
Порядок величины полной энергии фонон-фононного взаимодействия можно
вероятно, по-прежнему оценивать по формуле (6.463). В случае ядра гоарС
(Q = 75, Йсо = 2,6 МэВ, Ц = 7 МэВ) она дает 6£'(4) ~0,1 МэВ. Аналогичная
оценка для низкочастотной квадрупольной моды в сферических ядрах приво-
дит к значительно большим величинам. Отчасти это объясняется меньшим чис^
лом частиц, участвующих в движении, отчасти — малостью квадрупольной
частоты по сравнению с частотой невозмущенного движения (co<^cor0)).
Замечание. В случае частиц, движущихся в потенциале гармонического
осциллятора, указанные выше диаграммы четвертого порядка компенсируют
друг друга так, что полная ангармоничность уменьшается в Q раз по сравне-
нию с (6.463) и становится сравнимой с ангармоничностью в модели жидкой
капли. Столь малая ангармоничность в модели гармонического осциллятора
связана с тем, что одночастичная функция отклика в этой модели не зависит
от степени заполнения оболочек и плавно меняется с А. Но, как известно,
октупольная мода в ядре существенно зависит от оболочечной структуры (это
может быть связано с треугольными орбитами, о которых будет сказано ниже).
Поэтому степень ангармоничности для нее должна, по-видимому, иметь тот же
порядок величины, что и в формуле (6.463).
Квадрупольный момент для октупольных фононов. Статический момент
состояния и3 = 1 соответствует диаграммам третьего порядка, аналогичным тем
диаграммам, которые рассматривались при оценке квадрупольного момента
состояния п2— 1 (фиг 6.27). В случае частиц, движущихся в потенциале гар-
монического осциллятора, легко оценить член, соответствующий диаграмме /
на фиг. 6.27, а, так как каждое частично-дырочное состояние i с /И =3 (A«+i==2,
А/г_1 = —1) имеет квадрупольный момент — ^/(Мсои) при т = 0. Поэтому из
соотношений (6.400) и (6.462) мы получим
_ (й)р4-Ц)2 h	(6.464)
1 4(i)(Jco А4(о0 ’
Вклады остальных диаграмм фиг. 6.27, а увеличат квадрупольный
момент не более чем вдвое (в диаграммы, аналогичные диаграммам /// и
на фиг 6.27, а, входят матричные элементы квадрупольного оператора
ДМ = 2; поэтому их вклад уменьшается из-за больших энергетических зн ‘ д
нателей). Изоскалярный момент невзаимодействующей частицы, принимаю
участие в октупольных колебаниях, увеличивается благодаря эффекту^ по раз.
зации (см. диаграммы на фиг 6.27, б) в [ 1 + / (т = 0, А,==2, A^^^LhhV
Для ядра 208РЬ это равно примерно трем (табл. 6.8). Умножив^эту вел
на отношение Z/А, мы получим электрический квадрупольный
который для состояния 3 — ядра говрь оказывается приблизительно р
— 10 ферми2.	_ . состав-
По этой оценке величина квадрупольного момента состояния	0.
ляет лишь примерно 4“,/3 Q04H, так как вклады частиц и дырок в коЛ^есрав-
ное состояние почти полностью взаимно уничтожаются. Эта величисс51атр#'
нима с квадрупольным моментом в модели жидкой капли. Там он ра
Примеры к гл. 6
501
как эффект второго порядка малости по амплитуде октупольной дефор-
ваеТСЯ и составляет для состояний с одним октупольным фононом величину
мациИ v> AD2 __ А~^Ю
—л ^одн’
ч деются экспериментальные данные [79] о существовании квадрупольного
нта порядка — 100 ферми2 для октупольного возбуждения с энергией
в ядре 208РЬ. Столь большое значение трудно объяснить исходя, как
делали, из микроскопической структуры октупольной моды (об эффек-
мЫ взаимодействия, которыми можно было бы объяснить такое большое значе-
ние квадрупольного момента, см ниже).
Квадрупольное взаимодействие октупольных фононов. Большой статический
вапрупольный момент состояния 3 — соответствует большому вкладу в эф-
фективное взаимодействие октупольных фононов [143]. Если нормировать ампли-
ШУ a2«i квадрупольной деформации к полному квадрупольному моменту всех
частиц ядра («2ц=	г2У2ц)), то квадрупольное взаимодействие двух октуполь-
ных фононов можно представить в виде 51/2х (aiF2M)0, где х —величина, давае-
мая формулой (6.368), а2ц — квадрупольная деформация, связанная с первым
фононом, а Е2ц — голый момент частиц, соответствующих второму фонону. Этот
голый момент меньше величины а2ц, отличаясь от нее множителем 1~Еу, где
у—изоскалярная поляризуемость при Х = 2. Среднее значение величины
в фононном состоянии связано с квадрупольным моментом соотношением
<?г-о(Пз= =	<3320 i 33) («,= 1||а2 II «3= l)~ £ Qynp («з = 1),
(6.465)
и поэтому вклад квадрупольного взаимодействия в фонон-фононное взаимодей-
ствие имеет вид
ТТ7'««<’='»• (зз/И
= — 1,6 (Qynp ('6, - I))2| 2| кэВ  ферми"2 (6.466)
при Д=208, Z = 82, Электрический квадрупольный момент порядка 102
ферми2 для состояния 3 —ядра 208РЬ должен приводить к энергетическому
расщеплению порядка нескольких мегаэлектронвольт в мультиплете я3 = 2.
Приведенная выше оценка величины Q (я3 = 1) была проведена для маги-
обоК°ГО Я/*Ра 208РЬ. Для ядер же с некоторым числом частиц сверх замкнутой
(Л °Г КваДРУпольная поляризуемость может быть на порядок больше
В 2$)’ что пРивеДет к существенному увеличению квадрупольных моментов.
^Сформированных ядрах низкочастотная октупольная мода существенно меняет-
ся иЛ:?а влияния квадрупольно-октупольных взаимодействий (см. ниже,
Р' и далее).
Мультиплет из семи состояний (й9/3—) в ядре 20fiBi
(*иг. 6.42 и 6.43, табл. 6.16)
Добавление октупольного кванта к основному состоянию fit/s ядра 20»Bi
с'Жно ириводить к появлению мультиплета из семи состояний (Л9/гЗ —) / со
с°ответИ /==3/2> 5/2>	, 1б/2. Исследования реакции неупругого рассеяния и
спектров у-распада, проведенные с высоким разрешением,
ЛИ;1И обнаружить семь близколежащих состояний с большими сечениями
Относительная интенсивность
Фиг. 6.42. Возбуждение октупольного колебания в ядрах 208РЬ (а) и ^Bi (б) при неупругом рассеянии дейтронов.
График построен по экспериментальным данным работы [1133].
504
Гл 6. Вибрационные спектры
октупольного возбуждения (см., например, спектры неупругого рассеяние
тронов на ядрах 2адРЬ и 20&Bi, фиг 6.42) *)-	Я
Малое расщепление мультиплета свидетельствует о слабости взаимодей
нечетного протона с октупольным квантом. Поэтому вероятности возбуж ТВИя
отдельных компонент мультиплета должны быть приблизительно пропор цИ01еН1,я
ными их статистическим весам [формула (6.86)]:	Наль*
В(£3; лх = 0. /->(пх=1, /') /) = (2\+1)"(2/+1) B(£3;n>-==0'*nX= 1). (6.467)
Аналогичное соотношение должно выполняться для сечений реакции Heynnvro
рассеяния В табл. 6.16 экспериментальные значения сечений сравниваются
Таблица 6.16
СЕЧЕНИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ДЕЙТРОНОВ С ВОЗБУЖДЕНИЕМ
СОСТОЯНИЙ МУЛЬТИПЛЕТА (Л^дЗ-) В ЯДРЕ 20*Bi
Энергия, МэВ	2,494	2,566	2,585	2.598	2,600	2,618	2,744	2,958
/л	3/2+	9/24-	7/2+	11/2+	13/2+	б/2+	16/24	3/2т
а(Л,А — In) cf (0 -+ 3-)	0,036	0,120	0,107	0,325	0,325	0,079	0,206	0,010
а	0,63	0,84	0,94	0,87	0,87	0,92	0,90	0,18
<?сл. связь								
В таблице представлено отношение сечения реакции 209Bi (d, d'}t идущей с возбуж-
дением состояний (Ла/2, 3—) /л ядра 209Bi, к сечению реакции 208Pb (d, d'), приводящей
к возбуждению октупольного состояния 3— с энергией 2,614 МэВ. В последней строке
указано отношение экспериментальных значений сечения к теоретическим, вычисленным
в приближении слабой связи [Ocj) связь = а	(2/ + 1)/70, формула (6.467)]. По-
правки на различие в величине Q, обусловленное сдвигом уровней мультиплета, не учи-
тывались. Эти поправки к сечениям, по приближенным оценкам, составляют примерно 7/0
на 100 кэВ энергии возбуждения.	„
Экспериментальные данные для таблицы взяты из работы [1133]. Энергии состоянии
’Vs 4- и ,3/г+ приведены в работе [206].
с теоретическими, полученными в модели слабой связи. Очевидно, что согласи
во всех случаях хорошее. Исключение составляет лишь слабый уровень /— /г*
интенсивность которого составляет около 2/3 теоретической интенсивност
х) Экспериментальные данные о наличии в ядре 209Bi октупольного в°3 У
дения с примерно той же энергией и вероятностью возбуждения, чТ°09п-ВСг/або
чае 208РЬ [25], указывали на возможность существования в ядре 2 Ь1 * с0.
расщепленного мультиплета (A9/j3 —). Экспериментальные исследования
ким разрешением реакции (р, р') позволили разрешить этот ^^ьТИ^енне
провести индентификацию состояний по правилу (2/4-1) [531]. ^бнару
этого мультиплета явилось стимулом для дальнейшего теоретического и1 у' мй
взаимодействия частицы с октупольным движением и другими элемен Р ц,
модами возбуждения остова 208РЬ [115, 207, 540, 541] (см. также Ра0°  йдНтаХ
где данный вопрос рассмотрен так же, как это было сделано в первых Р
рукописи данного тома).
Примеры к гл. 6
505
Диаграмма.
Фиг. 6.43.
представляющая связь
между конфигурация-
ми частица — квант
колебаний формы и
дырка —квант парных
вибраций
' овень 2,958 МэВ, приведенный в табл. 6.16, обусловлен конфигурацией
ониа я пара —протонная дырка (Лз’/О -р) 3/2 +, см. ниже.]
^Множество эффектов, связанных с различного рода взаимодействиями,
ит к небольшим отклонениям от предсказаний модели с независимыми
пРйВ возбуждений. Наиболее существенными могут оказаться эффекты взаимо-
М°*ствия с близкими по энергии конфигурациями. Из всех низколежащих одно-
Дастичных конфигураций только состояние i13/ обладает спином и четностью,
Спускающими взаимодействие с состояниями /льтиплета (Лв/а3 —) Но мат-
ый элемент такого взаимодействия сильно уменьшается из-за переворота
спина	\23—)==—0’25 МэВ; см. выше, где говорится об эффективном
заряде для перехода i19/* -> A3/J. Поэтому примесь состояния iJ3/2 к состояниям
составляет лишь около 6% и соответствующий сдвиг для состояний
V*3	1з/2 равен примерно 4 60 кэВ. (Экспериментальным подтверждением
такого смешивания служат данные по реакции одно-
частичной передачи 208Pb (3Не, d), в которой уровень
с энергией 2,60 МэВ заселяется с интенсивностью,
составляющей примерно 10% интенсивности перехода
на уровень i13 - с энергией 1,6 МэВ [371]. Но уровень
с энергией 2,60 МэВ представляет собой смесь ком-
понент мультиплета с / = и/2 и / = 13/2, которые не
удается разрешить в эксперименте. Поэтому пока что
не известно, как распределяется интенсивность реак-
ции одночастичной передачи между этими двумя ком-
понентами.)
Дополнительные низколежащие конфигурации
появляются из-за суперпозиции протонной дырки с
квантом парной вибрации (а = 2), состоящим из двух
протонов и соответствующим низколежащим уровням
ядра 210Ро. Низшей из этих конфигураций, способ-
ных взаимодействовать с мультиплетом (h9,3—
является конфигурация (^0 +) 3/2. Она возбуж-
дается с большой интенсивностью в реакции подхвата
протона 210Ро(/, а), причем 55% этой интенсивности
приходится на состояние 3/3 -f- с энергией 2,958 МэВ,
а 45% —на состояние 3/2 + с энергией 2,494 МэВ,
принадлежащее мультиплету ~~) [78]. Эти
Дзиные, свидетельствующие о сильном смешивании конфигураций (й9/3—) 3/2
" (^’/О +) 3/2, хорошо согласуются с данными о приведенной вероятности воз-
буждения в неупругом рассеянии для состояния (7?»/23—) 3/2 (табл. 6.16).
Стояние	3/2 с энергией 2,958 МэВ также возбуждается при неупругом
ва^е^Нии с заметной вероятностью (табл. 6.16), хотя и меньшей, чем следо-
ной° бЫ ОжиДать> судя по относительным интенсивностям реакции однонуклон-
передачи для двух состояний /л = 3/2 + .
г ЬЗаимодействие конфигураций (/z9/j3—) 3/2 и (J3-?0+) 3/2 описывается диа-
мущ?0^ Те°рии возмущений, приведенной на фиг. 6.43. Но метод теории воз-
ваемьГ111 В данном случае не применим из-за сильной связи между рассматри-
тИВй Ми состояниями. Поэтому мы проведем диагонализацию оператора эффек-
:1№неб° Взаим°Действия между двумя состояниями. При таком подходе мы
знерг»₽егаем члена*,и с относительной величиной порядка отношения разности
точны? ДВУХ состояний к энергиям возбуждения трехквазичастичных промежу
в°3ник Состояний> изображенных на фиг. 6.43. (См. соответствующее условие.
при анализе эффектов второго порядка на основе эффективного
"действия с ДК=2,стр 138.)
506
Гл. 6. Вибрационные спектры
Матричный элемент второго порядка
соответствующий графику фиг 6.43, дается
по эффективному взаимодейсть
выражением	итвию,
((\83“)3/2 1Я(2,1(^7й°+)
(6.468)
/10у/«Л(,/я. d./3)GAl(10),/>
/2>“ \7/	£о-£(^‘Л/г) ~Х
И-Ш3 1- II 3 9LU 3\
х \\ 2 2 / ' 2 ' 2 | 2' \ 2 2 / ’ ~2 / •
Здесь Ео —энергия начального (или конечного) состояния. Множитель
h (h^i^ ^з/23) в этом выражении есть матричный элемент оператора
действия для перехода между состояниями с октупольным фононом и частиц/
дырочной конфигурации	[формула (6.211)]. Его величина дается выра^
жением (6.453). Множитель (10)1/2 GM в формуле (6.468) определяется матричны\
элементом (6.148) перехода бозонной пары 0+ в конфигурацию двух разных
частиц h9/i (это явствует и из вида коэффициента пересвязки, в котором дВа
угловых момента / = е/2 различаются). Амплитуду Л/==(а2)о рождения бозонной
пары и константу спаривания G можно найти так же, как это будет сделано
для основного состояния ядра 206РЬ (стр. 563). Экспериментальное значение
энергии основного состояния ядра 210РЬ отличается от энергии конфигурации /г2,
на величину Е (0 +) — 2е (/i8/J	1,2 МэВ. Энергия связи пары превышает эту
энергию на величину, определяющуюся кулоновским отталкиванием двух про-
тонов. Мы считаем, что &Екул (рр) ^4-230 кэВ [ср. с формулой (6.454)]. Исходя
из одночастичного спектра, представленного на фиг. 3.2, е (т. 1), мы получим
с помощью формул (6.590), (6.592) и (6.593) значения G 0,14 МэВ и Мъ
«а—3,8. Соответствующая амплитуда примеси конфигурации (Ъ9/г) 0 + к основ-
ному состоянию ядра 210Ро [формула (6.592)] такова:
(5)'/sGM	_
£(0+)-Е(й,Ц) ~U,W
(6.469)
В матричный элемент, связанный с рождением двухчастичной конфигурации
[(5)1/г GM = 2“1/г (2/ + 1),/2 GM], входит множитель 2”1/2, обусловленный не-
различимостью двух частиц h9/i в бозоне.
Энергетический знаменатель в формуле (6.468) равен энергии возбуждения
промежуточного состояния две частицы —дырка. В рассматриваемом прибли-
жении эту энергию можно отсчитывать как от уровня (h9/3—), так и
уровня (*/0+). Средняя величина при этом будет Ео—Е^Мг^)^--1>7 э
(с учетом энергии —0,2 МэВ кулоновского взаимодействия в состоянии две
частицы—дырка). Взяв приведенные выше значения параметров в формуле ( •
и значение—(7/40)1/г для коэффициента пересвязки, мы получим для матР”яимо°
элемента взаимодействия величину Н(2> ^370 кэВ. Такая „величина
действия и экспериментальная разность энергий для состояний /л = '2 вавные
ляют сделать вывод, что собственные состояния содержат примерно'Р н0
примеси конфигураций (^‘0+) и (h9/3 —), что соответствует эксперим
измеренным интенсивностям реакции подхвата. Но, учитывая ^иУ^дЛдавать
данные при вычислении эффективного взаимодействия, не следует Р
слишком большое значение количественному согласию в этом случае- н0 из
Энергетическое расщепление компонент мультиплета (^»/83") личину»
табл. 6.16. В то время как большинство уровней сдвигаются на ^^^.ца
меньшую 50 кэВ, уровень / = 3/2 сдвинут на — 120 кэВ, а уровень
+ 130 кэВ. Сдвиг вниз уровня / = 3/2 определяется, вероятно, взаим д
с конфигурацией (^0+), упомянутой выше.
Примеры к гл. 6
507
Ппиведеиная нами оценка эффективного взаимодействия Hi2} дает значение,
большее, чем то, которое необходимо для сдвига уровней 1 = 2!2 на наблю-
вдйОе величину. Пока что неясно, связано ли это расхождение с тем, что
д3еМ^действие частица — колебание слабее, чем мы думаем, или оно обуслов-
вЗЗИМвзаимодействием с другими степенями свободы. Сравнительно большой
леН° вверх уровня / = 15/2 можно объяснить взаимодействием частица—фонон
сДвИГ„е октуполя. Наибольшие энергетические сдвиги возникают из-за промежу-
^чных состояний, содержащих конфигурацию типа d~h Это ближайшая одно-
томная конфигурация, которая может взаимодействовать с мультиплетом
3—j (помимо одночастичного состояния i13,2, о котором говорилось выше).
Такое взаимодействие описывается диаграммой г на фиг. 6.10. В соответствии
С формулой (6.224) оно равно
_	_ А2(А»у Чг3)
б£((Л.;3) h^-Ё
(44
4'
10
=	4—1/гН/±1/2)(/ + 3/г) 300 кэВ (6 470)
7 • о У
Мы здесь взяли значение (6.453) величины h , ^3/23) и положили энерге-
тический знаменатель равным —1,8 МэВ (стр. 496). Очевидно, что энергети-
ческий сдвиг (6.470) положителен и максимален для состояния / = 1б/2, хотя
численно и превышает экспериментальное значение сдвига для состояния / = 15/2
примерно вдвое.
При более детальном анализе расщепления мультиплета (й^З—) следует
учитывать вклады разных более далеких промежуточных состояний в члены
второго порядка по взаимодействию частица— колебание (четыре диаграммы
нафиг. 6.10). Поэтому в энергии каждого члена мультиплета появляется мно-
жестводополнительных поправок, достигающих 50— 100 кэВ [540]. Дополни-
тельные вклады могут появиться из-за взаимодействий с октупольными фоно-
нами с другими моментами. Так, например, статический квадрупольный момент
фонона может приводить к взаимодействию с квадрупольным моментом частицы
Это взаимодействие можно рассчитать так же, как и фонон-фонон ное взаимо-
действие [формула (6.466)]:
6£((Ч3)/)=xQynp(n3-1) 4 -ynpf,/a)w 1)/-,/!2(77)'/г
1-J- епол lUJL
' е
= l’4Qynp (n3=l)Qynp (*,,,) (—!)' + *'*
кэВ • ферми 4.
(6.471)
а^гак^1Ь1 Взяли значение (6.368) величины х и
Ппинат6 Ф°РмУлу (6.386) для изовекторных
—й
^плени?"1^
'Гневленное
елЬнОе
значение епол^0,5е [см. табл. 6.8,
вкладов]. Таким образом, если
электрический квадрупольный момент фонона равным —10 ферми2
—40 ферми2 (т. 1, табл. 3.2), то мы получим величину
порядка 100 кэВ. [Это расчетное значение и экспериментально
расщепление мультиплета (h9j3 —) показывают, что предвари-
ЭКспеРиментальн°е значение квадрупольного момента фонона, приве-
а Стр. 500, маловероятно.]
508
Гл. 6. Вибрационные спектры
Октупольные моды в деформированных ядрах (фиг. 6.44)
Октупольные колебания формы в деформированных ядрах должны
дить к модам с v = 0, 1, 2 и 3. Многочисленные данные свидетельствуют о ^В°'
ствовании в деформированных ядрах сильных октупольных возбуждений
гиями порядка 1 МэВ (см. табл. 6.14 и систематику данных по
(d, d') [370]). Сила осциллятора, приходящаяся на эти возбуждения,
лишь малую долю полной силы октуполя для переходов с = 1
/8/0——3~
с°ставляет
 Поэтому
/684-------3-
1381
— — 0+
/44-
e?Sm
1595-------5-
1465------1-
3-
1162
з-
/358-------3-
1196-------1-
1580
/530
1511
/226
/072——3-
1041
963
—I— 0+	.Л.1—0 +
Sm	Sm
3- 1584
2-
/- 1474
‘3 1012
922
’5 1182
/54Sm
Фиг. 6.44. Состояния отрицательной четности в четно-четных изотопах Sm.
У стрелок, обозначающих переходы, указаны интенсивности октупольных возбуждений,
найденные путем анализа неупругого рассеяния дейтронов [1144]. Сечения этих реакции
оказались примерно пропорциональными вероятностям переходов ЕЗ. На фигуре приве*
дены вероятности В (ЕЗ) в единицах Вц? (ЕЗ) = 1,3-10’е3 ферми®. Исследования кулонов-
ского возбуждения этих ядер проводились в работе [1016]. Схемы уровней взяты и3
сводки [998].
свойства таких состояний могут сильно изменяться при наличии в ядре низк ’
лежащих двуквазичастичных возбужденных состояний с соответствующими ква
товыми числами.
Переход от сферических ядер к деформированным виден на примере
топов Sm (фиг. 6.44). Тут видно постепенное изменение последователь»
возбужденных состояний с отрицательной четностью. В сферических ядрах в^,
за нижними состояниями п^-3=1 /л~3~ идут состояния с	идой
/л=1“, 2", ..., 5". В деформированных ядрах вслед	за 50CJ°т. Д1
n^3,v_o=l» /л = 1”,3“, 5“,	идут состояния с я31= 1, /л=1', 2", 3 ьН0
Октупольные состояния с разными значениями v должны быть ^’оЛЬ.
связаны друг с другом кориолисовым взаимодействием, так как при о* Мест-
ных колебаниях появляются большие внутренние угловые моменты [сМ< аЯНыХ
венный результат (6.294)]. Для низших октупольных полос в деформиро^оЖН0
ядрах характерны большие моменты инерции (см., например, фиг. 6-44>- ' мер
считать, что это также связано с кориолисовым взаимодействием. Так, на Р
Примеры к гл. 6
509
то Й2/2^ для полосы rtx_31v_0=l в ядре 164Sm равен 8,9 кэВ, а для
параМ* V полосы 13,7 кэВ (фиг 6.31). Если считать, что разность этих двух
°сН ин обусловлена взаимодействием Кориолиса, перемешивающим полосы
(/j(o3o = 922 кэВ) и п31 — 1 (/*(о31 = 1474 кэВ), то матричный элемент
П3°Содействия должен быть равен 51 [/ (/+ l)f'2 кэВ, тогда как формула (6.291)
/Я') = —67 [/(/+I)]*'2 кэВ. В пользу сильного кориолисова взаимо-
Да?т 'ия между низколежащими октупольными состояниями свидетельствуют
ДеИСТе даИные об относительных вероятностях ЯЗ-переходов на полосы с раз-
значениями v Эти данные особенно важны, так как учет взаимодействия
н,ыМполиса в первом порядке приводит к концентрации силы на октупольных пере-
k°P х с минимальной энергией [365, 871]. Этот эффект можно рассматривать
^переход к схеме связи для сферического ядра, где низкочастотная сила
каТУполя сосредоточена на одном состоянии /л = 3 —.
СТРУКТУРА ОБОЛОЧЕК В ОДНОЧАСТИЧНЫХ СПЕКТРАХ
Чтобы охарактеризовать оболочечную структуру в сильно деформированных
потенциалах, с которыми мы встречаемся при изучении деления ядер, нужно
провести более подробный, чем в гл. 2, анализ условий появления оболочек
в одночастичном спектре. Ниже излагаются основы методов, которые позволяют
оценить порядок величины оболочечных эффектов в различных потенциалах.
Случаи сферических и сильно деформированных ядер рассматриваются отдельно.
ОБОЛОЧЕЧНАЯ СТРУКТУРА (ФИГ. 6.45 И 6.46, ТАБЛ. 6.17)
Сферические потенциалы. Общие методы анализа оболочечных эффектов1)
можно проиллюстрировать на знакомом нам примере потенциала, обладающего
сферической симметрией, когда радиальное движение не зависит от углового.
Одночастичные энергии в этом случае определяются двумя квантовыми числами /
и и, где / — орбитальный момент, а п —радиальное квантовое число, которым
пронумерованы разные уровни с одним и тем же /. (В ядерной физике принято
нумеровать их так, чтобы п было на единицу больше числа узлов радиальной
волновой функции, т. е. я=1, 2, 3,	.) Каждый уровень с данными значе-
ниями п и / имеет (2/+ 1)-кратное вырождение по проекциям углового момента т.
Здесь мы не учитываем спин и спин-орбитальную связь, поскольку они не
влияют на качественные результаты.
Оболочки появляются в том случае, когда одночастичная энергия е (п, /)
обладает свойством стационарности относительно вариации квантовых чисел.
Условия стационарности просто получаются, если функцию е (n, I) можно раз-
ложить В ряд в (п, /)-плоскости вблизи точки (п0, /0):
п.) (^ )+(,-«(> +j (»о+
+ (п_„0) (/_/0) ( —+ - (/_/о)2 ( — ) +	(6.472)
оматп Индекс 6 означает, что производные вычисляются в точке (п0, /0). Рас-
г(п, I) как функцию непрерывных переменных (п, Z), мы как бы
^Ичны^610^151 оценки влияния оболочечной структуры на плотность одноча-
разлож УР°вней (развитые в работе [66]) основываются на асимптиточеском
между нии °ДНочастичной функции Грина. При этом выявляется тесная связь
Особая Оболочечной структурой и замкнутыми классическими траекториями
сичесКоР°ль ситуации, когда отношение радиальных и угловых частот клас-
Об ЭТо^Го Движения равно отношению целых чисел, отмечалась в работе [1180].
такхе упоминал Святецкий (Swiatecki, частное сообщение).
510
Гл. 6. Вибрационные спектры
обобщаем метод траекторий Редже, при котором е (n, Z) считается ана
скоп функцией I при заданном п [301] Отметим, что хотя для потемЛИТИЧе*
типа тех, с которыми мы обычно имеем дело при изучении ядерных я ^Иал°в
разложение (6.472), по-видимому, справедливо, все-таки необходимо дать еЛени^.
математическую формулировку условий справедливости этого разло^0^’10
В качестве примера ограниченной применимости разложения (6.472) ппиСНИЯ
случай, когда потенциал имеет два минимума, разделенных конечным баги?^'1
В этом случае радиальное движение меняет свой характер, когда эн Р°М
близка к энергии барьера (см., например, замечания по поводу атомного п^ГИя
циала на стр. 513).	* П0Тен'
Фиг. 6.45. Оболочки в случае сферических потенциалов.
Представлена оболочечная траектория на диаграмме (и, /). Рассматриваемые оболочки
соответствуют отношению первых производных от энергии по п и I, равному 3: 1. По-
скольку в точке пересечения с оболочечной траекторией контур постоянного значения NQ^
касателен к контуру постоянной энергии, он связывает между собой приблизительно вырож-
денные орбиты. Точка v = 0 имеет квантовые числа [п0]» 1УоЪ а точка пересечения оболо-
чечной траектории (жирная линия) с контуром постоянного значения характеризуется
координатами н0 —[м0] — vob и /o = [^o]+voa.
Последовательность приблизительно "вырожденных уровней в „спектре
(6.472) возникает тогда, когда отношение первых производных функций е по п
и по Z равно отношению (небольших) целых чисел а и Ь, т. е. когда
b
(6.473)
При этом энергии уровней с постоянным значением величины
различаются только членами, содержащими вторые и более высокие произв д
ные функции е.	, 10.
Точки (п0, Zo), удовлетворяющие соотношению (6.473), лежат на «ои0цКИ
чечной траектории» в (я, Z)-плocкocти (фиг. 6.45). Последовательные обол И)
с заданным отношением а: Ь, которые возникают в окрестности траект р
могут быть охарактеризованы квантовым числом:
No6=a(n-V) + bl.
При таком определении в случае потенциала гармонического осциЛЛл01^
оболочечное квантовое число Моб совпадает с осцилляторным квантовым ч
(в этом случае а 6 = 2: 1, см. ниже). Оболочки с разными значения
разделены энергетическими интервалами:
.	1 / де \	1 (де \
006 ~ а \ дп /о	6 \ д/ /0 ’
(6.47э)
Примеры к гл. 6
511
(6.476)
яния, принадлежащие оболочке с определенным значением можно
бактеризовать квантовым числом v, таким, что
/ = Ro]+va
п = Ы- vd
ем ([nob состояние в оболочке, ближайшее к точке пересечения
П^болочечной траекторией (фиг. 6.45). Энергии состояний с квантовыми числами,
Субранными согласно (6.476), приближенно даются выражением
е (v) е (п0, /0) + 0 (v - v0)2,
(6.477)
где
(6.478)
о	п J <Э2е
Р — а2 — lab -Ч--
\ dl2 Jo \ дп д1
Примеры оболочечных траекторий приведены на фиг. 6.46, где изображена
энергетическая поверхность е(п, Z) для бесконечно глубокой прямоугольной
ямы. Подробнее аналитическая функция е (n, Z) для такой модели рассматри-
вается ниже (стр. 516). Траектория с отношением a b — 2 1 совпадает с верти-
кальной прямой /== — V2 па Фиг- 6.46. При больших квантовых числах оболо-
чечная структура, связанная с этой траекторией, ввиду малости (2Z + 1)-кратного
вырождения по проекциям орбитального момента становится не очень суще-
ственной.
Оболочечные эффекты, связанные с данной траекторией, можно прибли-
женно оценить исходя из того, что для системы с большим числом частиц А
квантовые числа п и / — величины порядка Л1/з. Поэтому первые и вторые
производные от е в выражениях (6.475) и (6.478) —величины порядка е^Л~1//з
и грА~2' где е^—энергия Ферми. Отсюда следует, что расстояние между
оболочками Йо)0б ~ е^Л~1//з, а число уровней (n, Z) в оболочке, лежащей
внутри интервала энергии шириной ?7а)об, равно примерно (Р-1й(0Об)1/2 ~ Л1/в-
Полное же число Q одночастичных состояний в оболочке ввиду (2Z + ^-крат-
ного вырождения уровней всегда больше: Й~Л1/2 (поскольку £~Л1/з), за
исключением особого случая траекторий с /0 порядка единицы, в котором
й^4/з. Отметим, что собственно оболочки с определенными значениями а b
и А'об содержат в себе лишь небольшую долю полного числа одпочастичных
Уровней, лежащих в энергетическом интервале Лсо0б, по порядку величины
равного Д2/», поскольку полная плотность одночастичных уровней g0 Д/е^.
Асимптотически оболочки представляют собой модуляцию плотности однояз-
ычных уровней с относительной амплитудой А~~1/в (или Л”1/з).
Особая ситуация возникает, когда функция е (n, Z) определяется только
Днои комбинацией двух квантовых чисел, как, например, в случае потенциала
। фонического осциллятора [е = й(оо (2я + / — 1/г)] или кулоновского потенциала
и и (n + Z)’2]- В таких случаях условие (6.473) выполняется при всех
Z и оболочки содержат полностью вырожденные наборы уровней со значе-
ЯИями | v |, достигающими величины порядка Л1/з, в результате чего полное
одна° С°СТ0ЯНИЙ в кажД°н оболочке Й^Л2/з В этих случаях имеется только
а ВСе °ДночастичнЬ1е УРОВНИ принадлежат тем или иным
тураС^ЯЗь с периодическими классическими траекториями. Оболочечная струк-
°Прел Н° Связана с классическими траекториями. Производными де/дп и де/д1
делаются радиальные и угловые частоты орбит, а критерий стационарности
512
Гл. 6. Вибрационные спектры
(6.473) соответствует тому, что классическая орбита замыкается после ц
альных и Ь угловых осцилляций. Частота движения по такой замкнутой о^ДИ'
равна частоте со0б> даваемой выражением (6.475) (Квантовые числа поел ИТе
ляют собой значения действия в единицах постоянной Планка. Энергйу, Зв'
сматриваемая как функция квантовых чисел, соответствует гамильтони^’
выраженному через переменные действия. Такой анализ классических траек^’
рий явился основой рассмотрения периодических систем на заре квантл Т°«
теории [173, 1054, 1055].)	Вои
Л/
/7
Фиг. 6.46. Энергетические поверхности на диаграмме (и, Z) в случае бесконеч-
ной прямоугольной ямы, е (л, Z) = (Й2/2Л4) К2 Z).
Физическим состояниям соответствуют точки в области 1, I 0, образующие квадрат-
ную решетку. Тонкие линии представляют собой контуры равной энергии; они характер^
зуются величиной А'/? и при больших / асимптотически приближаются к прямой п 
Жирными линиями представлены оболочечные траектории. Для каждой из них Укаа т0.
отношение а : b и геометрическая фигура, соответствующая классической орбите. 1ра®не
рия с отношением а: b = 2 1 соответствует маятникообразному движению и лежи
физической области (Z = — 1/г).
Некоторые свойства оболочечных траекторий легко получить из сво
классических орбит. Так, если мы рассмотрим несингулярный в начале	е>
динат потенциал, то орбитам с нулевым значением момента количества Д	ат
ния будет соответствовать маятникообразное движение через центр коорд
с отношением радиальной и угловой частот сол (Оф = 2 1. Следовательн^^
таких потенциалах траектория оболочек с отношением а Ь — % * пРиспОдь-
тельно совпадает с осью Z = 0 [Из доказательств [147] необходимости чдене
зования множителя (Z + lz2)2 в качестве коэффициента при центробежн оТНО.
кинетической энергии может следовать, что траектория, соответствуют
шению 2 1, проходит по оси / = — V2 (фиг 6.46).]	моя<я?
Другой простой вывод относительно энергетической поверхнос име101дей
сделать, рассматривая круговые орбиты	Для такой орбиты,
Примеры к гл, 6
513
с угловая частота <оф дается выражением
Й2/2	1 [dV\
О) 2_______________
Ф M2r< Mrr
(SAW)
и стоту сог небольших радиальных колебаний относительно круговых орбит
Чажно найти, разложив полный радиальный потенциал, содержащий и центро-
бежный член, в ряд по степеням (г —z^):
1 r/<w\	ЗЙ2/21 г /1 ^V/dr^ri 1
Mr* J-(%L + (dV/dr)ri J“
= co^(2+p) при V=krP. (6.480)
В случае потенциала гармонического осциллятора (р = 2) мы получаем знако*
мый нам результат сд/. = 2со(р> справедливый для всех траекторий в этом потен-
циале и соответствующий движению частицы по эллипсу, фокус которого
совпадает с началом координат. При более крутом потенциале (р > 2) отноше-
ние (i)r <оф будет возрастать с увеличением I и контуры постоянной энергии
0 (Л> /)-плоскости станут вогнутыми (фиг. 6.46).
В предельном случае потенциала с резким краем из классического выра-
жения (6.480) следует, что отношение сог <оф бесконечно растет при прибли-
жении к круговой орбите в соответствии с уменьшением до нуля наклона
контуров постоянной энергии на фиг. 6.46 в пределе больших I и п «а 1. При
конечных I величина наклона при /г =1—порядка	/з, как это видно из
выражения (6.490) или (6.495).
В ньютоновском (или кулоновском) потенциале, имеющем особенность типа
г1, все траектории имеют одинаковые угловые и радиальные частоты (а — Ь ==
= 1), поскольку центр силы находится в центре кеплеровского эллипса и за
каждый угловой период происходит только одна осцилляция радиуса. В ато-
мах интересующей нас области в результате экранирования электронами поля
ядра средний потенциал меняется быстрее, чем по закону г-1. В таких усло-
виях угловая частота оказывается больше радиальной [формула (6.480)].
Замечание. При таком анализе оболочечной структуры атомов следует
иметь в виду, что во всех случаях, кроме s- и р — орбит, радиальный потен-
циал при учете центробежного члена имеет два минимума, разделенных довольно
[высоким потенциальным барьером [800]. На больших расстояниях комбинация
кулоновского поля иона и центробежного потенциала приводит к появлению
минимума снаружи от экранирующего электронного облака. По мере проник-
новения электрона внутрь атома электростатическое притяжение может до
некоторого расстояния возрастать быстрее центробежного потенциала, в связи
с чем внутри экранирующего облака появляется второй минимум. В этих
условиях аналитическая функция 8 (п, /) приобретает новые свойства, связан-
ные с существованием двух раздельных типов классических орбит при заданных
с и
Сепарабельные потенциалы более общего вида. Характерные свойства
Лоч*Чной структуры, рассмотренные выше для сферических потенциалов,
раз Н° ЭкстРапОлировать на случай любого потенциала, в котором возможно
Р Деление движения по трем разным осям координат. Примером потенциалов,
служ°^Ь1Х пеРеменные разделяются в декартовой системе координат, могут
и •/Кить знакомые нам потенциал анизотропного гармонического осциллятора
ров^леНЦИал прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками. Двухцент-
ьысо Ньют°н°вский потенциал и потенциал эллипсоидальной ямы с бесконечно
натахИпИ стенКами допускают разделение переменных в эллиптических коорди-
3°ват ^ОдР°бный анализ различных систем координат, которые можно исполь-
вЭТИу АЛя Разделения переменных, и исследование вида волнового уравнения
в с системах координат можно найти в книге [848]. Классические траектории
Рабел.ьных потенциалах рассматривались в работах [182, 905].
О. Бор, Б. Моттельсон
514
Г л. 6. Вибрационные спектры
Из сепарабельности потенциала следует, что собственные векторы
частичного движения можно характеризовать тремя квантовыми числами^/10'
н2, л3). Поступая так же, как в формуле (6.472), и разлагая энергию И
вблизи данной точки (пх, п2, л3)0, можно утверждать, что наибольшая вь ^Яд
денность состояний и связанная с ней оболочечная структура появля °Ж'
в том случае, когда отношение частных первых производных энергии по *°Тся
трем квантовым числам равно отношению целых чисел, т. е.	ВСе-м
/ де \	/ де \ . / де \
\dnjo \ди2/0 Ддп3	(6.481)
В формуле (6.481) а, b и с —небольшие по величине целые числа (или ну ил
а индекс 0 означает, что производные берутся в точке (пь п2, л3)0. ког ’
выполняется условие (6.481), энергия оказывается стационарной относитель^
двух линейных комбинаций vx и v2 трех квантовых чисел. Уровни оболочки
характеризуемые индексами vx и v2, имеют одинаковое значение квантового
числа:
^об = ян14-дп2 + спз,	(6.482)
которое равно номеру оболочки. Расстояние между оболочками при этом равно
что соответствует периоду классической траектории.
Поскольку все квантовые числа —порядка Л1/3, энергия Йсо0б есть величина
порядка 1/з. Энергия уровней в оболочке квадратично зависит от Vj и v2,
а коэффициенты при членах, отражающих эту зависимость, определяются
вторыми производными от 8 по nx, п2 и и3 и имеют, следовательно, порядок
8^ Л”?/з. Таким образом, каждая оболочка представляет собой набор уровней,
характеризуемый величинами | v± I и | v2 |, независимо пробегающими ряд зна-
чений вплоть до величин порядка Л1/в, а полное число уровней в оболочке
Q—величина порядка Л1/з. Вырождение более высокого порядка появляется
в том случае, когда энергия не зависит от vx или v2 (или представляет собой
линейную комбинацию vx и v2), как это имеет место в сферических потенци-
алах, где е не зависит от т.
Среди различных несферических потенциалов потенциал анизотропного
гармонического осциллятора
V = у м	(6.484)
занимает особое место, поскольку энергия частицы в таком потенциале
является линейной функцией всех трех квантовых чисел:
8 — %($! (П1 + —f П2. + ~2 j +	(?13 + "cf
(6.485)
Следовательно, если отношения частот есть отношения целых чисел, то энер
гия зависит только от квантового числа No6 [формула (6.482)], а каждая
лочка имеет вырождение того же порядка величины (&^/42/з), что и в
рическом осцилляторном потенциале. Если отношения частот не Рисел
отношениям целых чисел, то при больших значениях квантовых
оболочки не существуют
вырождения. Степень проявления обоЛ°^кнУ'
спектре можно связать с вырожденностью тСя
“ -	--------- орбиты характеризуй
Общие характеристики
структуры в одночастичном
тых классических траекторий. Близкие к замкнутым орбиты
Примеры к гл. 6
515
ю параметрами. В качестве первых двух можно выбрать энергию и начало
^еСТ а времени, а четыре оставшихся определяются смещениями и импуль-
°тсЧ поперечными по отношению к рассматриваемой орбите. В случае сепа-
ca‘xJ ’ьного потенциала смещение в любом из двух поперечных направлений
Р^нодит только к изменению относительной фазы движения по трем разным
П одинатам, а траектория остается замкнутой. Степень вырождения замкну-
К°х траекторий оказывается более высокой, когда имеется особая симметрия.
I?1 в сферическом потенциале классические траектории расположены в пло-
костп, перпендикулярной угловому моменту, а приращение импульса в направ-
С нии * перпендикулярном плоскости орбиты, приведет к наклону этой пло-
скости- Следовательно, замкнутые орбиты в сферическом потенциале трехкратно
вырождены в связи с тем, что ориентация плоской фигуры задается тремя
игловыми переменными (углами Эйлера). Особый случай представляют собой
проходящие через центр маятникообразные траектории, поскольку для них
момент количества движения равен нулю. Этим траекториям не свойственно
вырождение относительно приращений импульса в поперечном направлении.
В потенциале гармонического осциллятора (сферическом или с отношением
частот, равным отношению целых чисел), а также и в ньютоновском потен-
циале все классические траектории замкнуты в соответствии с четырехкратным
вырождением по координатам и импульсам, перпендикулярным орбите.
Вышесказанное суммируется в табл. 6.17, где приводятся различные
дву- и трехмерные потенциалы и соответствующие им степени вырождения.
Вырождение классических траекторий относительно поперечных смещений
Таблица 6.17
ВЫРОЖДЕННОСТЬ ОБОЛОЧЕК В СЕПАРАБЕЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛАХ
Потенциал	Орбитальное вырождение S9	SP	Вырожденность оболочек
Двумерные потенциалы		
Круговой Эллиптический Прямоугольный Гармонический осциллятор	1	0 1	0 1	0 1	1	Л1/4 А'1* A'ft л,/1
Трехмерные потенциалы		
Эллипсоидальный Прямоугольный Сферический Гармонический осциллятор Ньютоновский сепаЛ«Та^ЛИЦе приводятся макси ных к т?ЬНых потенциалах. Во в* *Дены ТРаектории Движений, othoi 		2	0 2	0 2	1 2	2 2	2 мальные кратности вырожде гором и третьем столбцах ука сительно которых замкнутые	Л*/з Л1/э Л,/а л2/» л2/’ ния оболочек в различных 1заны размерности попереч- классические орбиты выро-
17*
516
Гл. 6. Вибрационные спектры
и импульсов характеризуется степенью вырождения sq и sp. Кратность к и
дения оболочки Q по порядку величины дается выражением	ыРож-
(S=S17+sp),	(б48в)
где d — размерность пространства. Формулу (6.486) нетрудно понять: по
фазовое пространство имеет 2d измерений, а поэтому каждая единица стрЛНое
вырождения по поперечным координатам дает множитель A}'2d в кратн
вырождения оболочки Q. Отметим, что Q можно рассматривать как циС™
линейно-независимых волновых пакетов, которые можно связать с кдас^0
ческими замкнутыми траекториями с энергией в интервале порядка йш ' "Си‘
Соответствующие математические методы анализа степени регулярное
в спектре собственных значений в случае произвольных потенциалов, по-врп™
мому, не существуют, но связь между замкнутыми классическими траекториях?'
и вырожденностью квантовых оболочек носит весьма общий характер. Замк
нутые классические траектории возможны при любом потенциале и при любой
заданной энергии, поскольку число начальных условий равно числу условий
которые должны выполняться для обеспечения периодичности движения. Но
если потенциал не обладает особой симметрией, то замкнутые траектории не
будут в общем случае образовывать вырожденные семейства [1182, стр. 396].
Из соотношения (6.486) следует, что спектр одночастичных состояний очень
однороден и локальное изменение числа состояний на интервал энергии
меняется слабее, чем любая (положительная) степень А. (Следствия из распре-
деления одночастичных уровней, соответствующего собственным значениям
случайной матрицы (т. 1, гл. 2, приложение 3), рассматривались примени-
тельно к электронным свойствам мелких металлических частиц [496].)
В промежуточных случаях, когда переменные частично разделяются, как,
например, в случае аксиально-симметричного потенциала, замкнутые клас-
сические траектории однократно вырождены (s9= 1), чему соответствует Q Л1/в.
В случае движения в потенциале, где переменные не разделяются или разде-
ляются только частично, возникает вопрос, соответствуют ли замкнутые клас-
сические траектории определенным стационарным квантовым числам или же
такое соответствие имеет место только в смысле силовой функции. Показано [528],
что ответ на этот вопрос зависит от того, стабильны ли классические орбиты отно-
сительно небольших изменений в поперечных орбите направлениях.
Аналитическая функция е (п, I) для сферической ямы с бесконечно высо-
кими стенками. Энергию 8 (н, /) как аналитическую функцию переменной I
можно найти, решив радиальное волновое уравнение, в котором I рассматрива-
ется как непрерывная переменная. В случае потенциала типа прямоугольной
ямы такое продолжение в непрерывную область можно осуществить, обобщая
граничные условия для радиальной функции в начале координат (г = 0):
(г) = с [ii (Кг) cos /1л+ У1 (Кг) sin пл].	<6-487*
г->0
Здесь с—постоянный множитель, /< (б) —волновое число в области внутри ямы,
h и У1~~сферические функции Бесселя и Неймана, рассматриваемые как фуи '
ции аргумента Кг и непрерывного индекса /. Условие (6.487) вместе с обычн
граничным условием на бесконечности даст нам требуемое соотношение между
энергией и переменными п и /.	ое
В случае прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками грани
условие при радиусе г, равном радиусу ямы R, дает нам
(KR) cos пл.-\-У1 (О) SI’n пл = 0.	(6.48)
Отметим, что квантовым числом п, найденным из соотношения (6.488), ^п^но
ляется фазовый сдвиг (KR) при рассеянии на сфере радиусом R с бес
Примеры к гл, 6

сокими стенками [т. 1, формула (3.309)]i>:
вЬ	&(K7?)=-jui(/, KR).	(6.489)
1 можно воспользоваться асимптотическими выражениями для функций
высокого порядка (так называемые дебаевские разложения, см.,
^рйМер, [1])> и в результате приведем выражение (6.488) к следующему виду:
[п—л — KR (sin ф — ф cos ф).	(6.490)
□ сс —угол, определяемый условием
Здесь у j
l+^ = KR cos ф.
(6.491)
Асимптотическое соотношение (6.490) оказывается с довольно большой точ-
ностью применимым во всей физической области (п>=1, /^0).
Оболочечные траектории возникают, как мы видели, в том случае, когда
отношение частных производных функции е (или К) по и и Z равно отноше-
нию целых чисел а и Ь. В приближении (6.490) это дает нам
ф=-^-л,	(6.492)
что соответствует прямым линиям на (п, /)-диаграмме. Расстояние между
оболочками дается формулой (6.475). Комбинируя ее с соотношением (6.490),
получаем
/j2	jT
fao06 = KR	.	(6.493)
a sin л —)
\ а)
Распределение уровней по энергиям внутри каждой оболочки определяется
квантовым числом у, согласно формуле (6.477). Коэффициент р, определяемый
формулой (6.478) через вторые производные, можно в нашем случае, исполь-
зуя равенство (6.490), представить в виде
о	Й2 а2
Р	MR* . 2 Z Ь\'
81П2 -j
(6.494)
Использованные выше асимптотические соотношения эквивалентны прибли-
жению ВКБ для условий квантования:
/	, . гмакс
НЬ j
гмин
KR
С dx Г	1
J	(6,495)
+ 1/г
о3яв этот интеграл, мы получим выражение (6.490). В классическом пределе
определяемый из (6.491) угол 2ф есть просто угловой интервал между пос-
обп Сферические функции Неймана п», фигурирующие в формуле (3.302),
тич ТНЫ по знаку используемым в настоящем случае функциям yt. Асимпто-
введение функции yt при больших х таково: yt (х)	x'1 sin [х — V2 х
518
Гл. 6. Вибрационные спектры
ледовательными отражениями от стенок, а условие (6.492) следует
что отрезок траектории между отражениями соответствует полному
ному периоду.
из того
Радиаль
Оболочечная структура в сферических ядрах (фиг. 6.47)
В сферическом ядре центральная часть одночастичного ядерного потент
ала приближенно описывается функцией Вудса— Саксона	НЦи'
/(г)=(1 + ехр{4^})“\0,	(6>496)
где Ио и а приблизительно не зависят от числа частиц А, а радиус R возрас
тает с увеличением А по закону Л1/з. Спектр связанных состояний в таком
потенциале с параметрами
Vo =-50 МэВ,
а = 0,67 ферми	(6.497)
приведен на фиг. 6.47. (Вопрос о влиянии кулоновского поля и спин-орби-
тальной части потенциала будет рассмотрен ниже.) По оси ординат отложено
значение радиуса 7?, при котором состояния с заданными (и, Z) имеют энергию
связи 7 МэВ. Небольшие разности ординат на фиг. 6.47 можно пересчитать
на разности энергий, зная производную dzjdR. Эта производная имеет порядок
VqR-1, а ее численные значения можно найти по значениям R (дг/dR), приве-
денным отдельно на графике. Следовательно, фиг. 6.47 можно рассматривать
как такое представление энергетической поверхности е (и, Z), при котором
оболочечная структура вблизи поверхности Ферми определяется зависимостью
от числа частиц (или радиуса), а не от энергии для заданного ядра.
Наиболее важные оболочечные эффекты в представленном на фиг. 6.47
спектре связаны с отношениями угловых и радиальных частот, равными 2 1
и 3 1. Здесь жирными линиями изображены соответствующие траектории,
а тонкими линиями, форма которых определяется параболической зависимостью
второго члена в формуле (6.477), соединены уровни с одинаковыми значениями
^об- [Траектории получены путем численной интерполяции целочисленных
значений п и I. В случае прямоугольной ямы бесконечной глубины результаты
такой процедуры совпадают с результатами, представленными на фиг. 6.46,
которые получены аналитически согласно формуле (6.488).]
Поскольку проникновение частицы в классически запрещенные области и
эффекты, связанные с диффузностью края потенциала, приводят лишь к сдвигу
квантового числа п, при фиксированных £ и I достигающему долей единицы,
основные свойства спектра в случае потенциала Вудса — Саксона довольно
близки аналогичным характеристикам спектра в случае ямы с бесконечно высо-
кими стенками. Менее резкое отражение от стенок потенциала Вудса —Саксона
приводит к тому, что отношение радиальных частот к угловым при фиксиро-
ванной энергии возрастает с ростом I медленней, чем в случае прямоугольно
ямы бесконечной глубины [формула (6.480)].
Оболочки, характеризуемые отношением 2 1 на фиг. 6.47 (оболочки оси
ляторной структуры), имеют более высокую степень вырождения, чем аналог
ные оболочки в случае бесконечной прямоугольной ямы. Что касается ТР
тории с отношением 3:1, то она входит в физическую область в более
ленной, чем на фиг. 6.46, точке. (Схему фиг 6.46 можно преобразовать к _
же координатам, что и на фиг. 6.47, если принять волновое число К н рйИ
нице Ферми равным 1,43 ферми"1, что эквивалентно кинетической эН Р
43 МэВ.)	гобно^ть
Для протонов кулоновский барьер существенно подавляет сП0С ниХ
проникновения в классически запрещенную область пространства, и Д нОй
спектр больше, чем для нейтронов, напоминает спектр в случае прямоуг
Примеры к гл. 6
519
с бесконечно высокими стенками. Показано, что в области 50 г 100
мМлнмая траектория 3 1 довольно близка к аналогичной траектории в слу-
Фиг. 6.47 Одночастичный спектр в случае потенциала Вудса—Саксона (У„ -
= —50 МэВ, а ~ 0,67 ферми).
На графике представлены значения радиуса R, при кот°р°у ’”^™ЯцВ>Ната^о1о1)'1Я
Равна 7 МэВ. Подготовить график нам помогла д-р Хамамого
ж Влияние на энергетический спектр спин-орбитальной связи можно прибли-
Напри°ме^Че(бЬ299ДОбаВИВ К ЭНеРГИИ е член, пропорциональный 1-s [см.,
е(п,
/)==е (n, l) + vis1Ui)o •
1 , . , . 1
при / = / + -,
_Х(/ + 1) при / =
(6.498)
520
Гл. 6. Вибрационные спектры
Здесь Й(оо — разность энергий между осцилляторными оболочками, являют
удобной единицей измерения энергии, a v;s — отрицательный коэффиц7ЯСя
приблизительное значение которого приведено в табл 5.1 Из виражСНТ’
(6.498) следует, что угловая частота tr* (d&dl) частиц, имеющих/ = у =/^Н1Ия
уменьшается на величину l/2 j Vis 1 со0, а для частиц с /==/_==/-_. i/2+0Ha^
растает на ту же величину. Вследствие этого оболочечные траектории расцВ°3~
ляются таким образом, что /+-траектории на фиг. 6.47 сдвигаются влево, а ,П
траектории —вправо на величину порядка нескольких единиц по /. в резу^"
тате для оболочек 2 1 возрастает вырождение для случая /_ и уменьшает'
для случая /+, а траектория 3 1 входит в физическую область при меньшр*
квантовых числах. В самом деле, в спектрах ядер вблизи 208РЬ состояния
и (для протонов) и 2gQ,!2 и I/15 2 (для нейтронов) разделены энергетическими
интервалами, составляющими соответственно 0,7 и 1,4 МэВ (т. 1, фиг. 3.2
Поэтому сильные оболочечные эффекты в области ядер вблизи 2офЬ появля-
ются в результате совместного когерентного проявления траектории 2 ] ДЛя
уровней /_ и траектории 3 1 для уровней /+.
Анализ оболочечной структуры, проводимый с точки зрения периодических
классических траекторий, позволяет сделать прямые выводы о деформациях"
соответствующих конфигурациям с большим числом частиц сверх заполненных
оболочек. Максимальная пространственная локализация, которую можно достиг-
нуть суперпозицией приближенно вырожденных одночастичных состояний в пре-
делах оболочки, соответствует волновым пакетам, которые напоминают клас-
сические траектории. Силы притяжения, действующие между нуклонами, особенно
благоприятствуют появлению деформации с такой геометрией. Оболочки, свя-
занные с траекториями 2 1, включают в себя состояния с Д/ = 2, 4, 6,
из которых можно построить распределения плотности с большими квадруполь-
ными (и более высокими четного порядка) моментами. Таким образом, важная
роль равновесных эллипсоидальных деформаций ядер объясняется как проявле-
ние оболочечной структуры, связанной с траекторией 2 1.
Орбиты, связанные с траекторией 3:1, имеют симметрию равносторон-
него треугольника и являются суперпозицией состояний с Д/=3, 6, 9 и т. д.
В тяжелых ядрах возрастание роли такой структуры отражается в октупольной
нестабильности ядер тяжелее 208РЬ (стр. 494).
Оболочечная структура ядер при очень больших деформациях
(фиг, 6.48—6.50)
Явление изомерии формы в процессе деления может служить неопровер-
жимым доказательством наличия оболочечной структуры в ядерных потенциа-
лах при деформациях, намного превышающих те, с которыми мы встречаемся,
когда имеем дело с основными состояниями тяжелых ядер. Здесь мы рассмот-
рим те свойства оболочек, которые, по всей вероятности, ответственны за это
явление. Из сказанного выше (стр. 514) явствует, что при больших деформа-
циях оболочечная структура проявляется слабее, чем в сферическом случа
(исключение составляют лишь потенциалы, напоминающие своей формой гаР\
нический осциллятор). В последнем случае при отношении осей эллипсо
равном отношению небольших целых чисел, появляются оболочки с тон
кратностью вырождения (Q~A2/3), что и в случае сферического потении
[468, 1203i	потенциала
Одночастичный спектр аксиально-симметричного осцилляторного л на
представлен на фиг 6.48. Параметр деформации 60СЦ, фигурируют
графике, определяется соотношением (5.11), а энергии состояний, харак Р.ы
емых квантовыми числами п3 и приведены в единицах средней^ 4
[формула (5.13)]. В случае вытянутых деформаций порядок УРовне^..д
ческой осцилляторной оболочки соответствует возрастающим значения j.
Примеры к гл. 6
521
^Иг< 6.48. Одночастичный спектр в случае потенциала аксиально-симметричного
гармонического осциллятора.
Собственные значения измеряются в единицах <в = >/3 (2о± 4- g>3). а параметр деформации
осц определяется соотношением (5.11). Стрелками отмечены деформации, соответствующие
рациональным значениям отношения частот <£>3.
деф?ВУЮ1цие заполненным оболочкам, как в сферическом случае, так и в случае
армированного потенциала с отношением частот to3, равным 2 1 (вытя-
>Тая фОрМа) и 1 2 (сплюснутый эллипсоид),
еТсяиотепциал ядра имеет резкий край, а поэтому реальная картина отлича-
от представленной выше картины вырождения уровней для потенциала
522
Гл. 6. Вибрационные спектры
гармонического осциллятора. В сферическом случае влияние поверхности
можно приближенно учесть, вводя в выражение для энергии уровней, Пп 3
надлежащих одной осцилляторной оболочке, член, пропорциональный
6е(п, /) =и„Йсо0[ц/ + 1) — y (zn + l — у) j. (6.499,
Данное выражение отличается от соответствующего члена в гамильтониан
(5.10) только тем, что величина 2V (7V + 3) заменена величиной (N + 3/г)2. Благо-
Фиг. 6.49. Отклонения от осцилляторного вырождения в случае потенциала
Вудса —Саксона.
1 — бесконечная прямоугольная потенциальная яма; 2 — потенциал Вудса — Саксона. В слу-
чае потенциала Вудса — Саксона значения vопределены по спектру, приведенному
фиг. 6.47, а в случае потенциала прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками —
по спектру на фиг. 6.46.
даря тому, что здесь вычтен член, зависящий от полного осцилляторного кван-
тового числа Af = 2(n—!)-[-/, возмущение (6.499) не оказывает влияния
среднее расстояние между осцилляторными оболочками. (Отметим, что в кон
кретной области спектра зависящий от N член влияет только на шкалу энер
гии, и поэтому его действие эквивалентно перенормировке осциллятор*1
частоты со0.)
Коэффициент vji можно определить из спектра для случая потени
Вудса —Саксона (фиг. 6.47). На фиг. 6.49 величины иц выбраны так, д
правильно воспроизвести разности энергий уровней, принадлежащих
оболочке потенциала Вудса— Саксона и имеющих максимальное и минимал
значения /. Для сравнения на фиг. 6.49 приведены также значения иц,т0.
ветствующие прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.
нов значения иц заметно больше, чем для нейтронов, и в интервале 4 = -
Примеры к гл. 6
523
g они близки к соответствующим значениям для прямоугольной ямы
~бесконечно высокими стенками (стр. 519). Значения полученные путем
С пгонки к экспериментальным одночастичным уровням в деформированных
оах (табл. 5.1), качественно согласуются с результатами настоящего анализа.
Й<ЦР Анизотропный гармонический осциллятор можно получить из изотропного
осциллятора, изменив масштаб пространственных координат [формула (5.5)]
сЛедуюШим образом:
<ох
*1
хч yr- л>2»
(Од
со3
хз - х3-
(00
При этом операторы импульсов не меняются. Точно так же можно изменить
масштаб и в операторе I2, входящем в выражение (6.499). Тогда среднее зна-
чение этого выражения в состоянии, характеризуемом квантовыми числами п3,
п± И Л, будет равно
,. Й vu [ 1 [7	। 1 \	/ .is I2
«е(л3, «j,. А) = —Ц"з+Т)(’>3~("1 + 1) ®.1J —
(6.500)
-cd21A2 + cd3g)1}> (6.501)
Изменение масштаба члена в выражении (6.499), пропорционального —
— который также включен в (6.501), легко найти, если учесть, что вели-
чина (2n +1 — х/2) в сферическом случае есть невозмущенная энергия, кото-
рая для деформированной системы переходит в величину	(rz34-1/2) + ^Wj_X
Х(п±+1). Чтобы получить формулу (6.499), соответствующую сферическому
пределу, следует при малых деформациях учесть также дополнительные
эффекты, обусловленные недиагональными матричными элементами с Дп3 =
= —	При больших деформациях такие эффекты сравнительно малы
и лежат за пределами точности, с которой формула (6.499) описывает откло-
нения от потенциала осциллятора.
Можно считать, что расщепление осцилляторной оболочки, производимое
возмущающим членом (6.499), происходит в результате появления в потенциале
члена, пропорционального г4, среднее значение которого таково:
(n/|H[n/)=(1 У-1 /(Z-|-l)-f- 3-1.	(6.502)
Тогда формулу (6.501) для случая деформированного потенциала можно полу-
чить, изменив, согласно (6,500), масштаб в члене г4. При таком подходе мы
получаем деформацию, при которой все эквипотенциальные поверхности пред-
авляют собой эллипсы с одинаковым эксцентриситетом. [Масштабным преоб-
разованием сферического потенциала обеспечивается чрезвычайно простое
исание отклонений от потенциала деформированного осциллятора, но при
g м могут не воспроизводиться более тонкие детали одночастичного спектра.
дИ(к1СТН0СТИ’ ПРИ таком подходе к потенциалу возникает угловая зависимость
ские^ЗН°СТи кРая ядРа и> следовательно, появляются небольшие систематиче-
\ОТклояения от результатов лептодермической модели, формулы (4.188).]
Отн ь аксиально-симметричном осцилляторном потенциале с рациональным
Шением частот и со3, равным а : Ь\ оболочкам соответствует одинаковое
чение оболочечного квантового числа N[формула (6.482)]:
/Vo6s=anl+6n8-
(6.503)
524
Гл. 6. Вибрационные спектры
Если считать, что объем ядра при деформации не меняется, так
= 0)3, то расстояние между оболочками равно [формула (6.483)]
Й(О .	Й0)9
Л®об=— = -^- = ЙОо (<Я>Г‘'°.
Энергия состояния с учетом возмущающего члена (6.501) дается
е(Л\>б. пз> Л) =йшоб ^АОб + « + fej — vtt (а2Ь)~'/з X
X	+	—у (ЛГо6+а+—а2Л2 + а&|].	(6.505)
что “1<о8=8
(6.504)
выражением
Спектр, соответствующий этой формуле, приведен на фиг. 6.50, где изображены
уровни в случае вытянутой деформации с отношением a b = 2 1 и при зна-
чении ип = —0,019, которое, по-видимому, соответствует нейтронным состоя-
ниям в ядре с А % 240 (фиг. 6.49). Нетрудно видеть, что оболочки гармониче-
ского осциллятора распределены по энергетическому интервалу порядка Й(йоб,
Картина здесь примерно такая же, как и в случае сферических потенциалов,
где в отсутствие спин-орбитальной связи отклонения от потенциала осциллятора
в тяжелых ядрах приводят к размазыванию оболочек по энергетическому интер-
валу порядка йо)о [поскольку I уц j N (N +1)	1].
Снятие осцилляторного вырождения, обусловленное влиянием более резко
выраженной поверхностной области, приводит к тому, что максимальное прояв-
ление оболочечной структуры более не соответствует чисто эллипсоидальной
деформации с отношением размеров по осям 2 1. Возмущающий член, про-
порциональный Л2, в выражении (6.505) прямо отражает влияние поверхности
на движение в перпендикулярном поверхности направлении и не может быть
скомпенсирован изменением формы ядра (хотя он может изменяться в зависи-
мости от описания диффузности края), так же как и член с Z2 в сферическом
потенциале нельзя скомпенсировать деформацией, нарушающей сферическую
симметрию. Но наличие зависящего от п3 члена в выражении (6,505) говорит
о том, что переход к более резкой поверхности по-разному влияет на орбиты,
которые сконцентрированы в разных областях ядра. Так, орбитам с максималь-
ным и минимальным значениями п3 (и Л = 0) соответствует маятникообразное
движение вдоль большой и малой осей Для этих орбит момент количества
движения равен нулю, и они одинаково сильно искажаются под действием
возмущения, обусловленного отклонением потенциала от осцилляторного.
Орбиты с промежуточными значениями н3, классические точки поворота кото-
рых расположены не на осях, несут отличный от нуля угловой момент
в направлениях, перпендикулярных оси симметрии, и искажаются слаое; .
Поэтому деформация формы, при которой происходит относительное увеличен
размеров ядра по направлению к полюсам и экватору, приводит к компен
ции зависящего от п3 члена в формуле (6.505). Такая деформация приоли^
тельно имеет симметрию У40. При параметрах, соответствующих фиг, 6.^.»
максимальная вырожденность достигается при величине амплитуды Р4~ (д™
как это следует из выражений (4.192), (6.77), (6.78) и соотношения ( •
Влияние деформации на спин-орбитальную связь (6.498) можно
так же изменив масштаб, как и при рассмотрении члена I2. Вклад спи - н
тального члена в одночастичную энергию оказывается равным
6e(/Vo6, п3, Л. S) = v,>1AS.	(6.5°6)
где S —проекция спина на ось симметрии ядра. Одночастичный сП^ра0ки
деформации, соответствующей отношению частот 2 1, с учетом	X на
(6.506) и при значении параметра vls~ — 0,127 (табл. 5.1) ПР у^ень*
фиг. 6.50. Очевидно, что спин-орбитальная связь приводит к заметно* у /
Гар/ионический
осциллятор
W(_ 
Vt/ --0,0/9
(О!)
V/s -О,/27
Nplj-10
Np^9
N05^8
Иг- 6.50. Одночастичный спектр в случае модифицированного осцилляторного
потенциала с отношением осей 2 1.
топя^ пРедставлен спектр аксиально-симметричного потенциала гармонического осцилля-
п с ®±: w3 = 2: 1 ис квантовым числом ^об = 2гг± + n3 = 2Af — п3. Спектр в середине
с Лучен с учетом возмущающего члена (6.505) при —0,019. Справа представлен спектр
Учетом спин-орбитальной связи (6.506) при u/s = —0,127. Состояния с й = д^-1/г сме-
щены немного влево; в эту же группу включены и состояния с Д = 0.
526
Гл. 6. Вибрационные спектры
шению энергетического разброса уровней с Q = A — V2. Среди уровней с о
= А-Н/г спин-орбитальное взаимодействие сильнее всего сказывается
состояниях с большими А, среди которых нижними оказываются VD0RHa
с п±=А [см. выражение (6.505) и фиг. 6.50). При значении спин-орбитальной
константы, соответствующем реальной ситуации в ядре, уровни с большим
п± = А и QssA+Va присоединяются к нижней оболочке. Так, при Ao6=Lg
уровни с п±—А = 4, 3 и 2 соединяются с оболочкой, имеющей Аоб==;§
а уровни с /11=А = 5, 4, 3, 2 из оболочки с Аоб = 10 присоединяются
к оболочке с Аоб = 9. В результате этого числа частиц, соответствующие
заполненным оболочкам, меняются со ПО на 116 и со 140 на 148, а полный
эффект оболочечной структуры значительно усиливается. Отмеченные эффекты
обусловленные спин-орбитальной связью, полностью аналогичны эффектам*
рассмотренным ранее в случае сферического потенциала (стр. 520). При боль-
ших отклонениях от вырождения гармонического осциллятора, что свойственно
протонному спектру, оболочечные эффекты в потенциале 2 1 становятся
довольно малыми, если мы находимся в области актинидов, но при Z^86
должна заметно сказываться замкнутость оболочек.
Экспериментальные данные по делительным изомерам можно объяснить
образованием замкнутой оболочки при числе нейтронов N = 148 (как в ядре
L7JPu) с деформацией, приближенно соответствующей потенциалу с симметрией
2: 1 (стр. 557).
Замечание. Оболочечную структуру в деформированных ядерных потен-
циалах можно характеризовать геометрией замкнутых классических траекторий
(стр. 511). Частота поперечного радиального движения связана с квантовым
числом Пр, равным числу узлов радиальной функции:
п±=2(пр—1)+л-	(6.507)
В случае деформированного потенциала гармонического осциллятора с отноше-
нием размеров по осям 2 1 энергия состояния пропорциональна Аоб = л3 + 4х
Х(ир—1) + 2А, а отношение частот <о3 со0 соф=1 4 2. Соответствующие
орбиты, вообще говоря, не являются плоскими. Проекция орбиты на пло-
скость, перпендикулярную оси симметрии, представляет собой эллипс, для
которого отношение частот сор (оф равно 2 1, а проекция на плоскость, про-
ходящую через ось симметрии, характеризуется отношением сор со3 = 4 1 и меня-
ется от фигуры в виде восьмерки до бананообразной фигуры в зависимости
от относительной фазы составляющих движения в направлениях, параллельном
и перпендикулярном оси симметрии. Вырождение, обусловленное наличием
спин-орбитальной связи и сближающее уровни из соседних оболочек, соответ-
ствует постоянным значениям величины’ п34~5пр + 2А и, следовательно, отно-
шению частот 1 : 5 : 2. При проектировании на плоскость, перпендикулярною
оси симметрии, орбиты такого типа имеют форму розетки с пятью лепестками.
Геометрия классических орбит связана с формами далеких от симметрии
осциллятора деформаций, которые образуются частицами вне замкнутых обо-
лочек (стр. 520). Так, например, орбиты бананообразной формы в осциллятор
ном потенциале с отношением размеров по осям 2 1 могут привести к нестаои
ности относительно моды движения, соответствующей изгибу. Такая нестаои
ность должна проявляться в том, что в процессе деления система изоег
симметрии 2 1, например приобретая деформацию отрицательной четно
нарушающую аксиальную симметрию.
ВЛИЯНИЕ ОБОЛОЧЕЧНОЙ СТРУКТУРЫ НА ЭНЕРГИЮ ЯДРА
С оболочечной структурой одночастичного спектра связаны коллекти^нь^^
эффекты в полной энергии ядра. Эти эффекты можно выявить, суммируя а
частичные энергии занятых уровней (стр 322). Приводимые ниже пр * г
иллюстрируют зависимость оболочечной энергии от числа частиц, темпер j
и деформации.
Примеры к гл. 6
527
(6.508а)
Влияние оболочечных эффектов на массы ядер (фиг. 6.51)
Необходимость введения оболочечной поправки в энергию доказывается
пгочисленными данными о массах ядер1’ Главные члены в энергии связи
мН являются плавными функциями N и Z и описываются полуэмпирической
ядссовой формулой (2.12). Более подробный анализ величин масс ядер выяв-
ма отклонения от плавных зависимостей от Л/ и Z, которые коррелируют
; оболочечной структурой ядер (фиг 2.4).
С Сначала для качественной оценки влияния оболочечной структуры на
яссы основных состояний ядер рассмотрим движение частицы в потенциале
\ерического гармонического осциллятора. В этом случае одночастичные собст-
енные значения имеют простую аналитическую зависимость от квантовых
чисел и можно без труда разделить сумму одночастичных энергий §нез. част
на гладкую часть ^нез. част и оболочечную поправку [формула (6.97)].
Обозначив полное число частиц через (мы рассматриваем один тип
частиц: протоны или нейтроны), а осцилляторное квантовое число последней
заполненной оболочки через Мо, мы получим [т. 1, формулы (2.151) и (2.152)]
/Vo
2 (W + l)(W + 2)+z(7V0 + 2)(A0 + 3) =
N = 0
= 4 (Wo +1) (Wo + 2) (Wo+3) + X (Na + 2) (N„ + 3),
/Vo
£Вез.част= (W + 1) (W + 2) (w + |) to0 +
/V = 0
+x (JV0+2) (Wo+3) A) to0 =
=[1 (Wo -}- 1) (Wo+2)2 (We+3) + x (Wo+2) (^+3)	+ A
где x—степень заполнения оболочки с главным осцилляторным числом А/о +1,
имеющей вырождение кратности (No + 2) (М0 + 3). Выражения (6.508) учитывают
двукратное вырождение по спину. При больших значениях квантовых чисел
из формулы (6.508а) следует асимптотическое соотношение
Wo + 2 + х = (ЗаГ)1/3 + 4 (3®гГ)- ‘/з (1 - Зх + Зх2) +...
О
которое при больших позволяет выразить S нез. част в форме
^нез. част — ^нез. част + ^об»
1пез. част = «to [1 (3^)‘/з + ~ (3?,Г)г/;1,
L ч	о	j
£об Й<0» <3аГ’2/з [ - 1 + 12х (1 -х)].
В выражениях (6.510) член порядка (3s/K)2^ включен в ^нез. част» хотя
н того же порядка, что и и, следовательно, в приведенном рассмотрении
Го невозможно однозначно отделить от <£о$. Не зависящий от х член в
Он Ь Оболочечные поправки в массах ядер рассматривались в работе [859].
дачКи’ осн°ванные на одночастичном спектре среднего потенциала ядра, были
Ны в работах [1095, 1018, 883].
(6.509)
(6.510)
528
Г л. 6. Вибрационные спектры
оформи.
До высо-
выбран таким образом» что $об обращается в нуль, когда система,
руясь, теряет сферическую симметрию (стр. 531) или возбуждается
ких температур (стр. 536).
Главный член в энергии ^Нез. част в формуле (6.510), как нетрудно видет
по порядку величины равен	т. е. объемной энергии, и в модепи
ферми-газа выражается следующим образом:
1 /2М \а/2 Р ~	1 /	\3
\dX[^~V(r)]!2==~3\l^;i	(6.511а)
^неэ. част	j Л [ef- V || [ef- v (г)] + V (г)} =
1 / Ър V	1
4 \Й<^7	(3s^)/s ft“o. (6.5116)
где —плавно меняющаяся часть величины е^, определяемая моделью ферми.
газа. Отметим характерное свойство осцилляторного потенциала: коэффициент
в поверхностном члене, пропорциональном	равен нулю.
Фиг. 6.51. Зависимость оболочечной энергии от числа частиц в случае сфери-
ческого гармонического осциллятора.
"гнез.част = П<00 S < V + ’'' ^нез. част = fto0 <*/«	+ 1/1	' Крестиками
заполп
отмечены экспериментальные значения #об = <£нез. част-~ <?нез.част» а сплошная кривая
соответствует асимптотическому выражению (6.510) для 6>Qg.
По порядку величины оболочечная энергия (6.510) равна /гсоо^’ где
Q («^	(Зэ#3)2^3) —кратность вырождения оболочки. Коэффициент завися-
щего от х члена в можно найти, учитывая, что среднее отклонение °ДНi
частичных уровней от однородного спектра есть и что в заполненн
наполовину оболочке содержится х/2 Q частиц. На фиг. 6.51 представл
зависимость разности полной энергии (6.5086) и гладкой части энергии ёцез- част
от числа частиц (при четных ©/Л*)- Очевидно, что асимптотическое выраж
(6.510) для $об довольно хорошо применимо даже при средних значениях
Гармонический осциллятор представляет собой предельный случай поте:
ала с полным вырождением в пределах каждой главной оболочки. Разброс
ней в оболочке приводит к уменьшению оболочечной поправки в энергии.
Примеры к гл. 6
529
предположить, что одночастичные уровни в пределах каждой главной
^Лочки равномерно распределены по энергетическому интервалу шириной
!l!r и следовательно, плотность одночастичных уровней оболочки дается
выражением
№
2 ’
g(e) = j W при Iе \/V+ 2 )*
О в противном случае,
(6.512)
выражение (6.509) не изменится, но зависящий от к член в оболочечной
Сергии (6.510) приобретет множитель 1 —(1Г/йсоо).
9 ^Приведенные выше оценки влияния оболочечной структуры на энергии
ядер были сделаны для сферического случая. Для конфигураций с большим
числом частиц сверх заполненных оболочек ядро может изменить энергию
результате деформации, нарушающей сферическую симметрию, и соответст-
вующий анализ (стр. 530; см. также фиг. 6.52) показывает, что [если учесть
не зависящее от х слагаемое по формуле (6.510)] оболочечная энергия для
деформированной равновесной формы остается отрицательной даже для полу-
заполненных оболочек, но на порядок меньше, чем для заполненных оболочек.
Таким образом, изменение оболочечной энергии при заполнении оболочки
должно быть порядка оболочечной энергии для заполненных оболочек. В слу-
чае потенциала гармонического осциллятора и заполненных по протонам и
нейтронам оболочек мы получаем из формул (6.510)
go5(\v = xz=0)=-l/!Wo[(3.V)2''3 + (3Z)!/a]^-4,5/l’/3 МэВ. (6.513)
В последнем равенстве мы пренебрегли членами порядка [(/V — Z)/A]2 и взяли
для осцилляторной частоты соотношение йсоо = 414~‘ '3 МэВ.
Экспериментальные доказательства влияния оболочечных эффектов на массы
основных состояний ядер особенно убедительны в области ядра 208РЬ, где как
нейтроны, так и протоны образуют заполненные оболочки. Здесь наблюдаются
отклонения от гладкой кривой фиг. 2.4, достигающие 0,06 МэВ на частицу,
что соответствует увеличению энергии связи примерно на 13 МэВ.
Для ядра 203РЬ формула (6.513) дает величину ^ — 26 МэВ. На самом
Деле поправка меньше из-за того, что в ядерных оболочках нет полного выро-
ждения. Наблюдающееся уменьшение поправки примерно в 2 раза можно
объяснить тем, что одночастичные уровни каждой оболочки распределены
по энергетическому интервалу W порядка половины расстояния между обо-
дочками (см., например, т. 1, фиг. 2.30 и 3.3). Отклонение от полного
^рождения в пределах оболочки можно учесть также, если ввести одно-
плотность Уровней с гармонической зависимостью от е [формула
Ь^2)]. Экспериментальный одночастичный спектр в области 208РЬ соответст-
мипТ откуда следует, что в выражении (6.510) для $об добавляется
житель 6/л2 [см. формулу (6.5326) при т->-0 и t/ = x = 0, что следует
1,3 формулы (6.529а)].
О^щие свойства оболочечной энергии как функции деформации,
«замеры формы (фиг. 6.52)
,асти^°ЛОЧечнь,е эффекты могут проявляться при разных формах одно-
™Ого ПОтенциала, соответствующих различным типам симметрии класси-
осци* Лекторий. Это особенно относится к потенциалу гармонического
когда пТ°Ра’ В К0Т0Р0М высокая степень вырождения появляется всякий раз,
(с1рд отношения частот по различным осям равны отношению целых чисел
Чае ак ’ Фиг- 6-52 представлена зависимость оболочечной энергии в слу-
сиально-симметричного осцилляторного потенциала от числа частиц
530
Гл. 6. Вибрационные спектры
(6.514)
ЪаЬ (2а + Ъ)~\
между оболочками можно найти
что осцилляторная частота <оо про-
Jo6
и параметра деформации досц, определяемого через осцилляторные част
Величина ^об (©^, досц) определялась численным суммированием Са°ТЬ|-
нижних одночастичных собственных значений с последующим вычитани^
гладкой функции §нез. част (выражение для £нез. чаСт выводится ниже), в с
чае сферического потенциала (6ОСЦ = 0) величина Жоб изменяется с чис *
частиц примерно так же, как и на фиг. 6.51. На поверхности потенциальн^
энергии видны также заметные минимумы, соответствующие заполненн
конфигурациям для деформаций с неодинаковыми, но находящимися лпЫм
к другу в отношении небольших целых чисел значениями частот по осям. Эффек Г
особенно велики для форм потенциала с со j :со3=1 2 и 2 1; на фиг 652
указаны и числа частиц, соответствующие заполненным оболочкам в таки
потенциалах (см. также схему одночастичных уровней на фиг. 6.48). fin*
больших квантовых числах оболочечная энергия асимптотически ведет себя
одинаково вблизи всех точек симметрии (если соответствующим образом изме
нять масштаб). При отношении частот со^ : со3 = л : Ь масштабные множители
для различных величин таковы:
/гсооб: @/Г-1/з(а2&)_'/з,
Q: @Х/з(а2&)_1/з,
^об: @^1/з(а26Гг/%
боец: е/Г-,/з(а2&Г,/а
Масштабный множитель для расстояния
из формулы (6.504), если предположить,
порциональна . Кратность вырождения оболочек Q равна отношению йц
к среднему расстоянию между одночастичными уровнями, которое пропорцио-
нально Масштабный множитель для равен произведению масштаб-
ных множителей для йо)0б и Q. Наконец масштабный множитель для перемен-
ной деформации получается из отношения расстояния между соседними
оболочками к ширине энергетического расщепления оболочки, которая возни-
кает при уходе деформации от точки симметрии.
В асимптотическом пределе в окрестности каждой точки симметрии имеется
ряд возвышенностей и долин, что является следствием пересечения орбит
из соседних оболочек, которое возникает при уходе деформации из точки
симметрии. Так, например, в случае конфигурации с заполненными оболочками
оболочечная энергия возрастает с увеличением деформации вплоть до деформа-
ции [определяющейся масштабным множителем в формуле (6.514)], при кото-
рой одночастичные уровни пересекаются с уровнями верхней оболочки, что
приводит к уменьшению §об. Таким образом, с ростом деформации при задан-
ном числе частиц оболочечная энергия стремится к нулю, претерпевая затухаю-
щие колебания. (Образование холмов и долин, наклоненных к оси деформации,
является следствием асимметрии расщепления осцилляторной оболочки относи-
тельно сплюснутых и вытянутых деформаций.)
Масштаб для деформаций вблизи точки симметрии пропорционален mhojki*
телю @/Г“1/з [формула (6.514)], который при достаточно больших ПР^
небрежимо мал по сравнению с расстоянием между разными главными точк^ки
симметрии. Но при значениях указанных на фиг. 6.52, главные то
симметрии разделены лишь частично. Так, замкнутая оболочка при я0
для потенциала 2 1 (фиг. 6.48) появляется во второй долине относите
сферической симметрии. При малых значениях разделить локальн .
глобальные свойства	невозможно. Например, минимум для замк У
оболочки при <§/^=10 и а>3 = 2: 1 совпадает с первым минимум*
деформаций, нарушающих сферическую симметрию. Отклонения от асиМ1^наЧе-
ческого поведения приводят к модуляции оболочечной структуры ДлзНйые
ний а: Ь, отличных от 1:1. Так, для потенциалов 2: 1 максимумы, свя
Фиг. 6.52. Оболочечная энергия в случае потенциала аксиально-симметричного гармонического осциллятора.
Величина 6ОСЦ — параметр деформации росц = 3	— (£>3)/(2со± +<о3)]. Единицей энергии на графике служит величина ЧцИ (со^сод)1/’(Зо4°)2\
т. е. асимптотическое значение оболочечной энергии для замкнутой конфигурации в сферическом потенциале. Заштрихованы области с отрица-
тельными значениями <?og, а линии представляют собой контуры равной энергии проведенные с интервалом в четверть единицы энергии.
График подготовлен Дамгордом
532
Гл. 6. Вибрационные спектры
с частично заполненными оболочками с нечетными значениями /Уоб
22, 50, ...), систематически выше максимумов с четными значениями ’V»
сверхоболочечная структура связана с существованием особого семе"
замкнутых классических траекторий, характеризующихся частотой со v^09
,	J Лотя
большая часть классического фазового пространства заполнена траектоп
с характерной частотой о)0б = ^з, некоторое ограниченное семейство овбМИ
соответствующих движению в экваториальной плоскости, имеет удвоен Т’
частоту, что приводит к модуляции энергетического спектра с периодичное^10
7?со L Малостью объема фазового пространства, занимаемого этими специф^
скими траекториями, объясняется то, что соответствующие оболочки yV06—
кратно вырождены по отношению к главным оболочкам, характерным
этого потенциала (стр. 515). В общем случае для потенциала с отношение^
(О I <03=а 1 (а —целое) оболочки с /Vo6=an + p, где п — фиксированное
целое число, а р принимает значения 0, 1,	, а—1, имеют одинаковую крат-
ность вырождения Q = (n+1) (п-\-2). Поэтому вырожденность оболочки как
функция от МОб содержит члены, осциллирующие с основным периодом а
оболочек. Эта сверхоболочечная структура дает в относительный вклад
порядка	—(За<Гр1/з, который выражается следующим образом*
(з.г)'!	-1) [№)	-1' - зЦ=±>], (ЫВ)
где х —параметр заполнения частично заполненной оболочки, содержащей
xQ частиц, так что (р-\-х)/а — параметр заполнения сверхоболочек. Очевидно,
что при й = 2 вклад (6.515) равен нулю для замкнутых оболочек (х = 0) счет-
ными (р = 0) и нечетными (р=1) значениями Для полузаполненных обо-
лочек (х = 1/2) величина Д^об в единицах, используемых на фиг. 6.52, равна
(— 1)Р 3/2(3-гЖГ ‘/з-
Функция потенциальной энергии, представленная на фиг. 6.52, обнаружи-
вает сразу много качественных проявлений оболочечной структуры, найденных
в разных равновесных конфигурациях ядра. Самые большие эффекты, как го-
ворилось в предыдущем примере, имеют место для замкнутых оболочек в сфе-
рическом потенциале (стр. 527). В случае конфигураций с частицами вне
заполненных оболочек ядро может изменить свою энергию за счет деформации,
причем в середине оболочек минимуму энергии соответствует деформация
6^©^” 1/3 (стр. 127). Из фиг. 6.52 видно, что величина Й’об во всех слу-
чаях, кроме нескольких легких ядер, отрицательна в ближайшем к сфериче-
ской симметрии минимуме, но ее значение в этом минимуме резко умень-
шается при добавлении частиц к заполненным оболочкам. [Асимптотически
(опять-таки в единицах фиг. 6.52) минимальное значение ^об для полузапол-
ненной оболочки таково: ^об(х = 1/2) = —0,16.)
Существование оболочечной структуры, связанной с потенциалами РазЛ1* и
ной симметрии, приводит к возможности появления изомеров формы с самы
различными равновесными формами. Приводит ли тот или иной миниму_
в £об к изомеру формы, зависит от характера изменения основной, часТ1*йИ
энергии ядра [медленно меняющийся член в полной потенциальной энер
ядра, см. формулу (6.93)]. В общем случае S не стационарна в тех точка,
минимума $0б, которые лежат в стороне от сферической симметрии.	я
Для ядер с массовыми числами в области А 240 делительная сед.
точка энергии $ (вычисленной на основе модели жидкой капли) характер^
зуется деформациями порядка 6	0,6. Стационарный характер S в очеч-
приведет к появлению изомеров формы, связанных с заполненными о ' же
ными конфигурациями в потенциале 2 1. [Изомерия формы возможн
как следствие стационарности величины £ при отличных от нуля зна
Примеры к гл. 6
533
ого момента (см. приложение 1, п. 2, где £ рассматривается как функ-
углового момента).]
ци Замечание. Хотя вид оболочечной поправки в энергию специфичен для
сматриваемого потенциала, некоторые качественные закономерности вблизи
РаСрк симметрии носят, -по-видимому, весьма общий характер. Так, существо-
Т°мие системы возвышенностей и долин, связанных с постепенным исчезнове-
рм оболочечной энергии при деформациях, разрушающих симметрию, яв-
нИ тся общим свойством, вытекающим из пересечения уровней соседних обо-
к. Этот вопрос рассматривался нами выше [860, 1096]. В случае конфигу-
л ий с частицами вне заполненных оболочек особенно важное значение имеют
^формации, обладающие симметрией классических замкнутых траекторий,
Ответственных за образование оболочек (стр. 520).
Вообще говоря, масштабный множитель для деформации должен быть вели-
чиной порядка 1/а, соответствующей отношению йшоб и eF. Но —
величина порядка	и зависит от кратности вырождения Q, которая
может содержать различные степени числа частиц в зависимости от симметрии
рассматриваемого потенциала (стр. 515, табл. 6.17). Существование равновес-
ных деформаций порядка i/s, не зависящих от степени вырожденности Q,
может показаться удивительным, поскольку частицы вне заполненных оболо-
чек могут вызвать деформацию Q©^9"1, которая может быть меньше величины
в случае потенциалов с меньшей, чем осциллятор, кратностью выро-
ждения. Большие деформации возникают из-за частиц в заполненных оболоч-
ках, и это указывает на относительную легкость, с которой можно деформи-
ровать замкнутые оболочки, если нет высокого вырождения, свойственного
потенциалу гармонического осциллятора.
Вычисление ёиез. част для потенциала анизотропного
гармонического осциллятора
Выделение из суммы одночастичных собственных значений асимптотиче-
ской функции ^нез. част можно осуществить, анализируя плотность одноча-
стичных уровней:
(6.516)
?(e) = ^j6(e—ev),
V
где ev — одночастичное собственное значение, характеризуемое индексом v.
Ьсли параметры потенциала плавно изменяются с изменением числа частиц©^,
го можно ввести функцию g(z, которая при больших ©^ асимптоти-
чески приближается к числу уровней на единицу энергии в интервале энер-
гии вблизи е, большом по сравнению с шириной оболочки, но достаточно
'1?Лом’ так чтобы функция g в нем мало менялась. Для насыщенной системы,
*я которой параметры потенциала можно разложить в ряд по степеням
3> величину g можно представить в виде соответствующего ряда по убы-
Вающим степеням	главный член которого имеет порядок ©^
Функция £(8, @^) позволяет определить асимптотический вид полной
Ргии независимых частиц:
©#* = $ В (е>
о
eF
^нез.част = (©^)= $ £(е-
о
(6.517а)
(6.5176)
534
Гл. 6. Вибрационные спектры
где Е^©^) —величина, определяющаяся соотношением (6.517а) и описыв
щая асимптотическое поведение энергии Ферми.
В особом случае осцилляторного потенциала или прямоугольной
с бесконечно высокими стенками спектр одночастичных значений при pa3nMbl
ных значениях ©4^ получается путем простого изменения масштаба. Поэт*14
функцию g(e, ©^*) можно представить также и в виде ряда по степеням^
(или по степеням е^2 в случае прямоугольной ямы)! Такой степенной п 8
удобно получать, осуществляя преобразование Лапласа для плотности одноч
стичных уровней [122]. В случае анизотропного гармонического осциллятоп2*
имеющего спектр энергии (6.485), имеем	ра’
00 ( 3 1
f(P)= jg(e)exp {— 0e}de = 2 ехр]— 0^ ( их + у) =
О	П1П2П3 V	'
3
= Г П (sh У 1 <6'518)
х = 1
Член вида еп в плотности g(e) дает в f (fl) член вида и! fl (л+1). Поэтому
выражение для g(&) можно без особого труда получить из разложения /(f)
в окрестности нуля:
g (е) = й-з (со^гсоз)"11 е2 _ — (cof + со® + со|) j ,	(6.519)
причем зависимость от ©^ заключена в частотах (olt со2 и со3, меняющихся
при изменении числа частиц.
Из формул (6.517) и (6.519) можно получить
П (a>1W2<o3),/s Г(3©^),/з + — (°-+^ + (о| (3фГ)- >/.*] ( (б.520а)
|_	12 (сьцсооСОз)/з	J
£нез. част = ^(«1Шг<03),/’ Гу (3®^)’Л + ~ <*>+^ + “>1 (3^)’/Л	(6.5206)
L4	24 (COjGVDg) /з	J
В случае изотропного осциллятора приведенный результат для ^Нез. част с0*
гласуется с выражением (6.510), которое было получено путем прямого выде-
ления асимптотических членов в ^нез. част»
Оболочечная энергия как функция температуры
(фиг. 6.53—6.55)
Хотя в принципе эффекты оболочечной структуры при высоких теМП^е
турах могут явиться весьма широким полем исследования, эксперименталь
данные, имеющиеся в этой области, весьма скудны. Наиболее прямые Да
вытекают из изучения полных плотностей уровней, в особенности при у
гиях возбуждения, близких к энергии отделения нейтрона (т. 1, фиг. !• '
!) Влияние оболочечной структуры на плотность уровней ядра Расс^чного
валось в работах [390, 984] на основе схематических моделей одночаст
спектра. Расчеты, исходящие из экспериментальных одночастичных сп рнйя
проводились в обзоре [620]. Оценки, включающие вращательные возбу
в деформированных ядрах, можно найти в работах [326, 622].
Примеры к гл, 6
535
г увеличением температуры роль оболочечной структуры одночастичного
с / ослабевает ввиду того, что в игру вступает сразу множество конфигу-
гиеКТР можно ожидать, что при достаточно высоких температурах свойства
раЦИ прИ изменении числа частиц меняются плавно. Здесь мы исследуем тем-
ядеРтупную зависимость оболочечных эффектов, вычисляя термодинамические
11еРа5ции для простых одночастичных спектров.
Ф)Нр предельном случае оболочечная структура характеризуется одночастич-
сПектром, представляющим собой равномерно распределенные и п;
врожденные оболочки, каждая с кратностью вырождения Q, так что
g (е) = Й 2 6 (е—в0—пйш0б).
п
и полностью
(6.521)
д общем случае одночастичный спектр можно представить в виде разложения
Ь ряд Фурье. Ниже мы для примера рассмотрим случай, когда в таком раз-
ложении сохраняется только одна гармоника, так что
g(e)=£o+f cos (in	-°А
\ ™>об /
(6.522)
где go характеризует среднее расстояние между уровнями, а / — амплитуда
модуляции, соответствующая оболочечной структуре.
В случае независимых частиц термодинамические функции для любого
одночастичного спектра можно получить из статистической суммы для боль-
шого канонического ансамбля методом, изложенным в т. 1, гл. 2. Такое вы-
числение для одночастичных спектров (6.521) и (6.522) проводится ниже. При
заданной температуре термодинамические функции могут быть представлены
в виде суммы некоторой гладкой части и оболочечной поправки, зависящей от
числа частиц сверх заполненных оболочек. Так, в случае когда одночастичный
спектр имеет вид (6.522), а число частиц такое, что в основном состоянии мы
имеем дело с заполненной конфигурацией (х = 0), оболочечные поправки к пол-
ной энергии, энтропии и свободной энергии имеют следующий вид [см. также
(6.5326), (6.5346) и (6.5366)]:
ёоб (Т, х = 0) = - X. (й<»об)2 Т» -1~,	(6.523а)
(6.5236)
(6.523в)
(6.523г)
So6 (Г, X = 0) = - L й<ооб TCtsbhTT А
__ 2л2Т
~~ ^об
Параметр т —температура в единицах, равных расстоянию между оболочками
Л06' Нри Т 0 канонический ансамбль переходит в конфигурацию основного
тояния и величины (6.523) стремятся к значениям, которые можно найти
^«рованием по заполненным уровням, как делалось выше при рассмотре-
масс основных состояний ядер.
ненп И ВЫсоких температурах оболочечные поправки ^об, So6 и Л>б экспо-
Жит Иальн° стремятся к нулю. Поскольку параметр т содержит большой мно-
Гемпель оболочечные эффекты становятся пренебрежимо малыми уже при
оболеРатУРах> составляющих несколько десятых энергетического зазора между
очками.
с ^Ольш°й канонический ансамбль соответствует усреднению по системам
ЧюсНЬ1МИ числами частиц, и условием применимости сказанного выше является
^Флуктуаций числа частиц по сравнению с оболочечными эффектами
С^ойсооб)- Флуктуации возрастают с увеличением энергии возбуждения,
536
Гл. 6. Вибрационные спектры
но вплоть до температуры, при которой оболочечные эффекты начинают
ненциально убывать (т — 1), они остаются сравнительно малыми. [Г1ри
число возбужденных частиц есть пвозб £о^об и, следовательно, дХа^06
(^возб) /2	(§0^^об']
На фиг. 6.53 — 6.55 представлены различные термодинамические фУнк
для двух моделей распределения одночастичных уровней (6.521) и (6.522) ИЧ
числе частиц, соответствующем заполненным в основном состоянии (при гЛл!
оболочкам. Первоначальное уменьшение как функции температуры, вв
Фиг. 6.53. Зависимость оболочечной энергии от температуры.
График построен для случая, когда число частиц соответствует заполненным при т = 0
оболочкам. Одночастичные кривые 1 и 2 рассчитаны по формулам (6.539а) и (6.523а).
(')«(« = й0П<оо6 £ 6 (в - е0 - пл%б)- ]
п	I ер = е.+ ^-Л<в 6 (замкнутые оболочки).
(2) g(e) = g.(l + cos 2л 2—j
мое на фиг. 6.53, есть следствие пониженной в случае замкнутых конфигУР ‘
ций плотности одночастичных уровней в окрестности энергии Ферми. В сам
деле, при заданной температуре энергия возбуждения пропорциональна чИ * *
элементарных возбуждений с энергией порядка Т (т. 1, стр. 155). Поэт * >
полная энергия § = § + &об растет в рассматриваемом случае с температур0^
медленней, чем энергия соответствующая средней плотности уровней go
[Величина S меняется с температурой по закону Г2, а плотность УР0В^ну
соответствующая случаю 2 на фиг. 6.53, изменяется в зависимости от а п0 в ае
(е —е^)2, так что энергия возбуждения пропорциональна Т4, как в ‘^53
фотонного или фононного спектров. В одночастичнсм спектре 1 на Фя^ерГця
имеется щель вблизи энергии, равной энергии Ферми, и поэтому к
возбуждения содержит множитель ехр {—Йа>об/Г}.]
Примеры к гл. 6
537
g случае систем с конечной температурой роль потенциальной энергии
т более общая термодинамическая функция —свободная энергия (стр. 325).
^почечные поправки в свободную энергию, как видно из фиг. 6.54, монотонно
вмятой к нулю. В такой зависимости поправок выражается то обстоятельство,
особая стабильность, связанная с заполненными оболочками, оказывается
1ьнее всего в основном состоянии.
п‘ Полная плотность уровней ядер определяется экспоненциальной зависимо-
тью от энтропии [т. 1, формулы (2.287) и (2.230в)]. На фиг 6.55 приведены
Фиг. 6.54. Вклад оболочечной структуры в свободную энергию.
Одночастичлые кривые / и 2 рассчитаны по формулам (6.539в) и (6.523в).
(') g U) = g0ft®o6 £ б (€ - е0 - пПио6),
п
(J) g(e) = g„ Л + cos 2л
(	Й<йоб?
2 л2 Т
ftwo6
£/г = е0+ Ла>об (замкнутые оболочки).
исимости энтропии от энергии для случая спектров (6.521) и (6.522) и для
обо494 ПОСТОЯ11НОй плотности уровней в спектре. Экспоненциальное уменьшение
к Яочечного вклада в энтропию при высокой энергии возбуждения Е приводит
ЧТ0 в этих Условиях энтропия н, следовательно, плотность уровней
Р 1ятся к соответствующим величинам для системы без оболочечной структуры,
0 с энергией возбуждения, равной Е + §об(Т = 0) [629, 984].
Уровн"ПеРИМентальные Данные 0 влиянии оболочечной структуры на плотность
ядерИ ядеР особенно убедительны в области ядер вблизи 208РЬ. Для этих
НкяРпПараметР а> определенный по плотности уровней при энергии возбужде-
закОп°РЯдка ? МэВ, примерно втрое меньше величины, вычисленной на основе
°Дноча Плавной зависимости от А (т. 1, фиг. 2.12). Оболочечную структуру
с ^астичн°го спектра можно приближенно представить зависимостью (6.522)
(стр. 535). Влияние такой зависимости на энтропию характеризуется
538
Гл. 6. Вибрационные спектры
графиком 2 на фиг. 6.55. В ядре 208РЬ экспериментальная оболочечная поп
к энергии основного состояния §об (Г = 0) равна примерно — 13 МэВ (стр 59
Из фиг. 6.55 видно, что при энергии возбуждения, равной — 1/2 ! ^об(Т —
энтропия ядра с заполненными оболочками составляет примерно °о 6	’
пии системы без оболочечной структуры и с той же самой энеп^0*
возбуждения. Поскольку параметр а определяется соотношением 5 = 2(а£)^и
5
Эо^оВ
[e+6oS(t=o)]/ -±г д0
Фиг, 6.55. Влияние оболочечной энергии на зависимость энтропии от энергии
возбуждения.
Энтропия как функция температуры равна сумме гладкой части (6.534а) и оболочечного
члена, представляемого в случаях одночастичного спектра / и 2 формулами (6.5396, и
(6.5236). Связь4 между температурой и энергией возбуждения Е = <? — 8 (Т = 0) можно
найти из соотношений (6.531), (6.532) и (6.539а); см. также фиг. 6.53.
(/) б(е)-^(ооб^б(е-е0-пПшоб), >
П	>	= е0 4- i Лео б (замкнутые оболочки).
(2)	g (е) = g0 + cos 2п	J
#) g(e) = g0
наблюдаемое влияние оболочечного эффекта на плотность уровней, как м0
видеть, хорошо согласуется с этой оценкой. Отметим, что основанная на
стой интерполяции на фиг. 2.12 оценка плотности уровней в отсутствие •
чечной структуры довольно неопределенна. Так, сравнивая плотности УР .
в ядрах с заполненными оболочками с плотностями уровней в ядрах, с0А ^лу.
щих много частиц в незаполненных оболочках, нужно иметь в виду, чТ0 раща-
чае деформированных ядер на плотность уровней оказывают влияние
тельные возбуждения. Следует также учитывать парные корреляции, к
подавляют низкочастотные моды возбуждения. Теоретически плотность УРеНйТь
в отсутствие оболочечной структуры и коллективных корреляций можно ^аСхи
по значениям средних расстояний между одночастичными уровнями в
Примеры к гл.- 6
539
поверхности Ферми. Из оценки (2.125а), согласующейся с опытными
ми, следует, что величина а для ядер 2&8РЬ из-за влияния оболочечной
туры оказывается в 2,5 раза меньше оценочных.
ТР^Т увеличением энергии возбуждения оболочечный вклад в термодинамичес-
(Ьункции уменьшается. При значениях параметров, соответствующих области
K,ieD вблизи 2о8РЬ (Й(о0б/2л2	0,35 МэВ и ^0/гсооб к-90), оболочечные эффекты
Я овятся пренебрежимо малыми при температурах, больших 1,5 МэВ, что
^тветствует энергиям возбуждения порядка 50 МэВ (фиг. 6.53 и 6.55). Энер-
возбуждения, необходимая для полного «растворения» оболочечной струк-
г11й в точности та же, что и оболочечная энергия в случае полностью выро-
генных оболочек [формула (6.513)].
Д Замечание. Термодинамические функции можно получить из статистической
мЫ Z (а» Р) Для большого канонического ансамбля, представленной для
системы независимых частиц формулой (2.278):
оо
lnZ(a, Р) = $ g(e) In (1 Ч-ехр {a — ре}) de.
(6.524)
Вычисление интеграла в случае одночастичного спектра типа (6.522) дает
a/р	2	cosr^-(--e0)l
In Z (а, Р) = j (a - ре) g0 de + g0 - у /йооб sh	•
(6.525)
Член, содержащий gOi определяется формулой (2.282), а оболочечную поправку
можно найти, вычислив контурный интеграл в комплексной плоскости е. При
вычислении термодинамических функций в случае, когда температура р-1 и
расстояние между оболочками 7*<о0б малы по сравнению с энергией Ферми,
можно пренебречь вкладом от области интегрирования в (6.524), близкой
к нижнему пределу. [Это приближение вырожденного ферми-газа. Подчеркнем,
что выражение (6.522) для плотности уровней пригодно для описания плотно-
сти одночастичных уровней только в интервале, малом по сравнению с е^-,]
Величины аир определяются числом частиц и энергией через условия
стационарности (2.286). Первым из этих условий определяется энергия Ферми,
т. е, химический потенциал eF=a/p:
eF
®^ = AlnZ=	(т = яГ^-}>	(6-526)
да J P sh т \ Рй(ооб J1
о
— параметр, который характеризует положение уровня Ферми относительно
Уровня, соответствующего заполненным оболочкам:
eF= е0 + й<оо6 (у - уj.	(6:527)
®водя параметр заполнения оболочки х, определяющийся соотношением
= зап. об+	(6.528)
®^\ап. рб — число частиц в заполненных оболочках, а gotten — число час-
в одной оболочке, можно переписать формулу (6.526) в следующем виде:
(6'529а)
540
Г л. 6. Вибрационные спектры
или, что то же самое,
eF=EP+ • —-г-- sin 2nw,
г г 2л g0 sh т *
/	1	\	(6.529^)
eF=^e0—^обу + ^о1	зап.об)*
Здесь е^—та часть величины £р которая медленно меняется с изменением
Вторым из соотношений (2.286) определяется энергия (равная сумме одноча
тичных энергий) как функция температуры r = p	ас'
ег
о
М(о0б\2 г о сЬт Л
fT2sh^COs2^- (6.530)
Как и при анализе энергий основных состояний, можно представить функцию
(6.530) в виде суммы гладкого члена и оболочечной поправки, содержащей
зависимость от параметра заполнения оболочки, т. е.
. Р) + $о6,	(6.531)
где [формула (6.5296)]
I МЛ р)=$	(Г1 = 0) +251 g0	(6.532а)
И
/й(°об\2 Гх «>с11Т л , 1 w Osin22ni/1	/СМЯЛ
в°о=-^г) р2зТчсоз2яу+^г-7ьН’ <6532б)
Разделение полной энергии § на § и производится однозначно, если удов-
летворяется требование -» 0 при т -* оо и если температурная зависимость
величины такая же, как для ферми-газа со средней плотностью одночастич-
ных уровней g0 [формула (2.291)].
Энтропию можно найти из формулы (2.310в):
S = -a©/’ + p^+lnZ = S+So6,	(6-533)
sJgft,	(6.534а)
So6 = -l^o6/^^-(TcthT-l).	(6.5346)
Свободная энергия определяется из (6.102):
f = g-p-iS = F+Fo6,	(6’535)
где
с г/ //= о-i п\ д2	(6.536а)
р i^QJ-^go,
F __ ^о0б \2 Лт cos 2га/ 1 /2 2 sin2 2лУ \	(6.5366)
Г°б~ <2^/ VT"^hT"’b 2'go sh2т J*
Проведенный нами анализ роли оболочечных эффектов можно обобщить на^
чай любого одночастичного спектра, разложив плотность состояний g\e)
Примеры к гл, 6
541
А Так, спектр (6.521) можно представить в следующем виде:
фурь“.
S (е)=й 2 6 (е - е° “ п/Г“об)=
п
р = 1
е ~е0\ |
^об / J ’
(6.537)
ем вклад в величину In Z каждой фурье-компоненты дается выражением
6 525). Соответствующее формуле (6.529а) соотношение, связывающее число
Гастин*в незаполненной оболочке с положением уровня Ферми, принимает вид
оо
, т V /	,. _ sin 2яру
x=!/+7 2(-1)P^h7r’
Р = 1
а оболочечные поправки к термодинамическим функциям оказываются следу-
ющими:
^об
(6.538)

^cos2W- 2 <- Ор
\р = 1
X 2-1
sin 2лру \
sh рт 1
(6.539а)
0 = 1
Л>« =2^г Йй>об  Т
S..-B 2	7^-7
0=1
р оо
Jcos2nw_x2 у
р shpx	'
(6.5396)
2
sin 2пру
sh рх
р = 1
р = 1
(6.539в)
В пределе нулевой температуры сумма по р в формуле (6.538) представляет
собой разрывную функцию:
£
2 ’
(6.540)
2 s л 2, уsin 2лру= {	]
Р = 1	I 1- у при -j-
вследствие того что при заполнении всей оболочки от начала до конца энергия
Ферми остается постоянной и соответствующей значению у = 1/2, В этом же
пределе мы получим следующее выражение для оболочечной поправки к энер-
гии:
(°°
Ji coS{2^(y-i/2)} _ | [2 (y)]2 =
P = 1
= Q^o6[il-l(x-l)2].	(6.541)
вычислении первого слагаемого мы положили г/ = 1/2 и вместо суммы чле-
QooC2 п°Дставили ее значение, равное л2/6 [см., например, т. 1, формулы
Пол и	Второй член нетрудно получить, если в выражение (6.541)
(б5дс?\ВИть значение S (у), определенное из (6.540), что дает, согласно формуле
остар ’	— поскольку при изменении S (у) от 0 до 1 параметр у
* то^СЯ равным %• Очевидно, что результат (6.541) для еоб как функции от
гапГДествен Результату (6.510), полученному ранее для случая потенциала
Рунического осциллятора прямым суммированием занятых состояний.
542
Г л. 6. Вибрационные спектры
СВОЙСТВА ДЕЛИТЕЛЬНОЙ МОДЫ
карьеры деления (фиг. 6.56)
Процесс деления характеризуется резко выраженной пороговой энергией
именуемой барьером деления. Ниже порога сечение деления зависит от энергии
Фиг. 6.56. Барьеры деления.	£
Отдельными точками представлены измеренные значения пороговой энергии деления
отнесенные к поверхностной энергии <^пов = 17А2/з МэВ. Кружки — четно-четные яд •
треугольники — ядра с нечетным А, квадратики — нечетно-нечетные ядра. Сплошной
вой представлены результаты вычислений высоты барьера на основании фиг. „нь1е по
жидкой капли) Данные взяты из обзорных работ [631, 536]. Дополнительные дан й3
20,Т1 взяты из работы [225], а по Bi, Ро и At — из работы [621]. Значения Ер вз ниЯгиИ
работы [621], были увеличены на 2,6 МэВ для согласования с более точными измерь
[225] Одно деление по оси абсцисс равно 0,05.
экспоненциально. Такой характер изменения сечения есть следствие c00T^eJpC>TBce-
ющей зависимости проницаемости барьера деления от энергии [см., наПРи^преде-
чениеа(у, f) для ядра 2?8U на фиг. 4.21, стр. 121], а сам барьер можно г
Примеры к гл. 6
543
как такую анергию, при которой проницаемость в наинизшем по энергии
лНТдЛе деления достигает ^[формула (6.109)]. На фиг. 6.56 приведены экспери-
К тальные значения барьеров деления для тяжелых элементов, которые сравни-
меНтся с теоретическими, полученными в модели жидкой капли (фиг. 6.65) По
абсцисс на фиг. 6.56 отложены значения параметра делимости х, найденные
^формуле (6.94), а барьеры деления приведены в единицах величины поверх-
^стной энергии Z?I10B А2^3. Параметр 6П0В получен из анализа масс ядер и равен
Г МэВ [т. 1, формула (2.14)], откуда следует, что (22/Л)крит 49. Очевидно,
то экспериментальные барьеры деления по величине сравнимы с теоретическими.
Поскольку значения вычисленных барьеров деления представляют собой
овольно малую разность значительно больших по величине поверхностной
J куЛоновской энергий деформаций, качественное согласие теории с экспери-
ментом на фиг. 6.56 является сильным аргументом в пользу правильности опре-
деления энергии деформации из систематики масс ядер. Так, из фиг. 6.56
следует, что изменение параметра поверхностной энергии на 10% при х^ 0,75
приведет к изменению теоретического значения барьера деления в 2 раза.
Расхождения между экспериментальными и теоретическими значениями
барьеров деления, существующие на фиг. 6.56, обусловлены некоторыми общими
свойствами ядер и эффектами оболочечной структуры. Так, например, имеется
некоторая неопределенность в величине коэффициента эффективного поверх-
ностного натяжения в тяжелых ядрах, определенного по массам ядер. Эта
неопределенность обусловлена влиянием нейтронного избытка и кривизной
поверхности ядра. Действительно, данные о форме ядер в седловой точке,
полученные из угловых распределений, говорят о том, что (22/Я)крит 45
(стр. 547). Основным проявлением такого изменения общих свойств ядер будет
сдвиг экспериментальных точек на фиг. 6.56 вправо на величину порядка 0,05
(в единицах х). В этом случае в области ядер с Z > 90 теоретические данные
модели жидкой капли приблизительно совпадут с усредненными опытными дан-
ными, но в области вблизи свинца теоретические значения барьеров деления
будут примерно на 10 МэВ меньше экспериментальных. Исключительно большие
барьеры для ядер в районе свинца обусловлены эффектами оболочечной струк-
туры, которые приводят к тому, что массы основных состояний этих ядер с
почти заполненными оболочками примерно на 10 МэВ меньше средних значе-
ний (стр. 529).
Данные о форме седловой тонки, получаемые из изучения
деления на а-частицах (фиг. 6.57)
Информацию о форме седловой точки можно получить путем анализа угло-
вых распределений, осколков деления [537]. Направление вылета осколков
Доения относительно вектора полного углового момента определяется квантовым
числом /( [формула (4.178)], и в случае когда открыто множество каналов де-
ления, статистическое распределение значений К определяется разностью момен-
Тов инерции для вращения вокруг оси симметрии и в перпендикулярном
направлении [формула (4.63в)]:
р (К, /) «= Р (К = с, /) ехр {-	,	(6.542)
где
(6.543а)
(6.5436)
т = ( &Е
3	\ n2g0 !	\а)
чамЬ Ф°РмУла Для температуры соответствует ферми-газу с плотностью одно-
личных уровней g0 [формула (2.57)]; относительно экспериментальных данных
544
Гл. 6. Вибрационные спектры
о величине параметра а, входящего в выражение для температуры Ялп
см. т. 1, стр. 185. Существование квантового числа К предполагает на
аксиальной симметрии седловой точки. О следствиях отклонения от такой11*4*16
метрии говорится ниже (замечание на стр. 547).	СИм*
Можно считать, что при достаточно высоких энергиях возбуждения мом
инерции совпадают с их твердотельными значениями (стр. 45), и тогда разн НТЫ
моментов инерции и будет прямо связана с формой ядра в седловой точк^
Для оценки сопоставим форму ядра с эллипсоидом, имеющим эксцентриситет л
[формула (4.72)], для которого твердотельные моменты инерции таковы: °
Й2 Й2 Й2	6	2 л ял / ОХ 2
С ' я I	/	2 \ /	1 \ ’ ^СФ “ 3	~	(6.544)
^сф 1-4-6 1+1-6)
Здесь £Сф — твердотельный момент инерции шара радиусом /?0 с тем же объемом
что и эллипсоид.
Нас будут интересовать реакции, индуцированные быстрыми частицами,
когда компаунд-ядро образуется в состоянии с большим угловым моментом’
Поэтому в выражении (4.178) для углового распределения мы можем исполь-
зовать асимптотическое выражение для ^-функций, справедливое при />1
и /> М;
WKI^=^fL\^M=o. Л1'2^^(728т29-№)-,/г.	(6.545)
Я—По
1TK/(0)sin0d9=l.
во = arcs in К/1
Приведенный результат можно получить и из классической векторной модели.
Действительно, вероятность того, что ось симметрии займет положение в про-
странстве, характеризуемое проекцией полного углового момента на нее К и
М = 0, равна (2л)“х d(p, где ср — азимутальный угол оси симметрии относи-
тельно вектора углового момента. Угол же относительно оси z связан с qp
соотношением cos 6 = [1 — (Л7/)2]1/г cos ф и дважды перекрывает интервал %<
<0<л —0о. Отметим, что угол ф изменяется в пределах от 0 до 2л.
Из формул (4.178), (6.542) и (6.545) мы получаем, что угловое распреде-
ление осколков деления, испускаемых из компаунд-ядра в состоянии со спи-
ном /, имеет вид
/ sin 6
№,(6)~2 ( dtfexp |-2^l(/2sin4-A?)-*/2 =
Л J	\ о ’
0
|6'5,м
’ |6-и“
где функция Бесселя нулевого порядка, причем формула (6.54боМ^е
приближенное выражение для углового распределения, справедливое в
малой анизотропии (I Ко)-	леляше'
На фиг. 6.57 представлены экспериментальные данные о форм ^цам»1
гося ядра, полученные в результате изучения деления ядер а4оНд-ядра
с энергией 43 МэВ [965]. Поскольку энергия возбуждения комп цСпуска-
довольно велика, деление может происходить как прямо, так и поел
Примеры к гл. 6
545
одного или нескольких нейтронов. Но основной вклад в рассмотренных
нИЯ аях дает прямой процесс (Гу Гл). Кроме того, температура и полный
СЛУовой момент компаунд-ядра не сильно меняются при испускании нейтрона.
1гЛт0Му поправка, связанная с учетом эффекта деления после испускания
• йтрона, составляет лишь примерно 15% или меньше (учтено на фиг. 6.57).
Фиг. 6.57 Форма ядра в седловой точке в зависимости от отношения Z2/A.
Отдельными точками представлены экспериментальные данные о моментах инерции деля-
щегося ядра в седловой точке, полученные путем анализа угловой анизотропии осколков
?окпНИЯ компаунд-состояния, образующегося в реакции с а-частицами с энергией 42,8 МэВ
1965]. Точки соответствуют компаунд-ядрам. Поправки на деление, происходящее после
«спускания нейтрона, дают некоторую неопределенность (дополнительную к указанным
Th гР^1)Ике экспериментальным погрешностям), особенно большую в случае компаунд-ядер
п и и. Сплошная кривая — теоретическая для модели жидкой капли с (22М)крит = 48,4.
Угловое распределение зависит от отношения углового момента / к вели-
чине Ко [формула (6.546)]. Использовавшееся при построении графика фиг. 6.57
Рэспредедение ’ величин / было найдено вычислением вероятности образования
омпаунд-ядра на основе модели оптического потенциала. Эти вероятности
орошо воспроизводятся в классической картине, соответствующей полному
°глощению всех парциальных волн, имеющих угловой момент меньше /w,
Ри котором происходит касательно^ соударение. В этом случае
Г const (2/ Н- 1) при / < /т,
а^—1 о при 1>1т,
(6.547,
О. Бор, Б. Моттельсон
546
Г л. 6. Вибрационные спектры
где Zr и Z2—заряды а-частицы и ядра-мишени, а Л112, Е12 и /?12 — Ппив
ная масса, кинетическая энергия в системе центра масс и радиус взаим^-'
ствия, который можно приближенно записать в виде /?12 = 1,45 (л >/3 . °^е^*
ферми.	V 1 +V0
Приведем пример того, как можно по экспериментальным данным опп?
лить приведенные на фиг. 6.57 отношения моментов инерции относите
разных осей. Рассмотрим для этого реакцию 238U (а, /), для которой из экспеЬН°
ментальных значений выхода под углами 170 и 90° и формулы (6.546) следует «X
</2>~0 38
Ж'
(6.548)
Поскольку кулоновский барьер равен примерно 24 МэВ и (Z2)	220 [фОп.
мула (6,547)], из величины наблюдающейся анизотропии следует, что №^150
Энергия отделения а-частицы из компаунд-ядра есть величина порядка°5 МэВ
и поэтому энергия возбуждения компаунд-ядра составляет примерно 37 МэВ*
что на 32 МэВ превышает порог деления. Пользуясь соотношением
^(Л/8) МэВ-1 (т. 1, фиг. 2.12), находим, что температура равна npib
мерно 1,0 МэВ [формула (6.5436)]. Ротационный параметр ^2/^Сф для ядра 242Рц
равен 7,6 кэВ (если считать, что /?0=1,2 Л1/з ферми), и из формулы (6.543а)
можно сразу найти, что ^Сф 1 ““ «FjJ) 6»9» а это соответствует параметру
деформации 6«=;0,6 [формула (6.544)]. Следовательно, деформация ядра в сед-
ловой точке такова, что отношение размеров по осям равно примерно 2:1.
Это качественно согласуется с данными модели жидкой капли, согласно кото-
рой параметр делимости х для ядра 242Ри равен 0,75 (фиг. 6.65).
Выше мы пренебрегали влиянием спина на форму ядра в седловой точке
и на барьер деления. Упомянутые эффекты можно характеризовать парамет-
ром у [формула (6.653)]. При (/2)%220 и А ^240 величина ^1,3* 10"3.
Для сравнения укажем, что критическое значение у, даваемое формулой (6.659),
при котором барьер исчезает, при х^0,75 таково: г/крит 6,09. Влияние
углового момента на барьер и форму ядра в седловой точке есть (в относи-
тельных единицах) эффект порядка у/укрит [формулы (6.657) и (6.658)], и
в нашем случае им можно пренебречь.
На фиг. 6.57 проводится более подробное сравнение определенных из угло-
вых распределений отношений для различных компонент моментов инерции и
отношений, вычисленных для ядра в седловой точке в модели жидкой капли.
Нетрудно видеть, что экспериментальные значения компонент моментов инер-
ции соответствуют деформациям, несколько меньшим, чем теоретические
(в модели жидкой капли), если считать, что (Z2M)KpHT = 49 [формула (6.95)].
Частично эти расхождения можно объяснить влиянием оболочечных эффектов,
которые существенно меняют высоты барьеров деления (стр. 543). Однако дан-
ные, представленные на фиг. 6.57, получены в реакциях, где энергии возбужде-
ния довольно большие и где, как можно думать, существенна лишь небольшая
часть оболочечных поправок [949]. Важным параметром, харакгеризуюши
исчезновение оболочечных эффектов с увеличением энергии возбуждени ,
является отношение температуры к энергетическому интервалу, характеризу "
щему периодичность одночастичного спектра. Основные оболочечные
для ядра в седловой точке связаны, по-видимому, с вырождением осцилля
ного потенциала с отношением частот по осям 2 : 1 (стр. 525). Р^ст°авН0
между оболочками, определяемое по формуле (6.504), при А ^240 р
fi(D06 2—2^cd0	26 Л“~1/з МэВ ^4 МэВ. Поэтому из оценки на фиг
следует, что при Т 1 МэВ оболочечная поправка для свободной эн р
составляет всего лишь около 10% своего значения при нулевой темпер ^н0
Таким образом, данные, представленные на фиг. 6.57, по-видимому, * рй.
интерпретировать на основе «макроскопических» параметров ядра, как, эТим
мер, это делается в модели жидкой капли. Мы можем попытаться
Примеры к гл. 6
547
иым точнее определить параметр делимости х [формула (6.94)]. Очевидно,
ДаН с увеличением Z2/A данные на фиг. 6.57 экстраполируются к критическому
(6.549)
НН ~45'
\ Л /Крит
примерно на 10% меньше значения, получающегося при использовании
оаметров полуэмпирической формулы для масс ядер, приведенных в т. 1,
ч 2. Такое уменьшение эффективного коэффициента поверхностного натяже-
ния может объясняться зависимостью поверхностной энергии от нейтронного
избытка. По аналогии с объемной энергией симметрии в полуэмпирической
формуле (2.12) эту зависимость можно представить в виде
« -Ь Аг'’+±-Ь	(N~Z)2
0пов~Рпов'Ч -Г °пов.-симм д4/3
(6.550)
Но как отмечалось в гл. 2, имеющиеся данные о массах ядер не позволяют
определить величину Ьпов .симм. Опытные данные о форме ядер в седловой
точке можно объяснить, если принять ^Пов.-симм ^0 МэВ. Отметим, од-
нако, что такая интерпретация критического значения (6.549) не является
единственной, поскольку на делимость ядер могут оказывать влияние того же
порядка и другие общие свойства ядер (см., например, о влиянии на дели-
мость члена полной энергии ядра, пропорционального кривизне ядерной поверх-
ности [1092]).
Дополнительные данные, согласующиеся с результатами, представленными
на фиг 6.57, были получены при исследовании угловых распределений про-
дуктов деления, происходящего при бомбардировке ядер тяжелыми ионами,
когда образующееся компаунд-ядро имеет существенно больший угловой момент
[663] Имеются также данные по угловым распределениям продуктов деления
на а-частицах для ядер, имеющих Z^82 и обладающих значительно меньшей
делимостью [965], но эти данные не включены в фиг. 6.57, ибо из-за более
высоких барьеров деления (^ 15 МэВ) температура делящегося ядра оказы-
вается значительно меньшей, чем в случаях, представленных на фиг. 6.57,
а при малой температуре на процесс деления могут оказать существенное
влияние парные корреляции и оболочечные эффекты.
Замечание. Выше мы предполагали, что ядро в седловой точке обладает
аксиальной симметрией и каналы деления можно характеризовать квантовым
числом Д’. В общем случае каждый канал характеризуется суперпозицией раз-
ных значений К, представляющих собой проекцию углового момента на направ-
ление оси деления. При этом предполагается, что ось деления имеет вполне
определенное направление во внутренней системе координат, например совпа-
дает с осью наибольшего растяжения ядра. Плотность каналов имеет вид (4.65а)
и при больших I может быть представлена как интеграл по направлениям
вектора I относительно внутренних осей [см. текст, следующий за форму-
лой (4.65)]. Плотность распределения значений К, определяющая угловое
распределение осколков деления, получается интегрированием по азимуталь-
ному углу вектора углового момента относительно оси деления. При больших
энергиях вращения (сравнимых с Т) получающееся распределение значений К
имеет вид, отличный от распределения Гаусса [формула (6.542)]. Но в пределе
малой анизотропии всегда получается распределение вида (6.5466), где в выра-
жении для величины [формула 6.543)] величина Й2/©73 является инер-
чнальным параметром для вращения вокруг оси деления, а — усред-
ненный инерциальный параметр для вращения относительно направлений,
перпендикулярных оси деления. Таким образом, в принципе по угловым
^Определениям можно порознь определить все три момента инерции, но имею-
щиеся экспериментальные данные недостаточно полны, чтобы сделать это.
18*
548
Гл. 6. Вибрационные спектры
Изомерия формы в ядре м1Ри (фиг. 6.58 и 6.59, табл. 6.18)
Множество различных явлений, связанных с процессом деления, указып
на существование второго минимума в потенциальной энергии деформац^
/ОООь
800-
а
\>600
*
&оо
200
^U_L_
500
%0
/4 -
12 -
10 -
8 ~
Энергия, нейтрона, эВ
3
2
О

юоо
1500	2000	2500
Энергия нейтрона, эВ
Фиг. 6.58. Нейтронные сечения для ядра ^Ри.
а —полное сечение [694], б — сечение деления [831].

ядра (изомерия формы)1*. Для примера мы рассмотрим данные, полученные
в результате исследования деления компаунд-ядра 241Ри.
11 Первым указанием на это явление было открытие изомера ядра 242Ат,
который спонтанно делится со временем жизни, в 1020 раз меньшим, чем время
жизни для спонтанного деления соседних изотопов из основного состояния [934].
К 1968 г было установлено, что этот вид изомерии есть свойство, общее для
всех тяжелых элементов [821]. Данные по энергиям возбуждения и спинам
изомеров, полученные из изучения функции возбуждения для различных нале-
тающих частиц, указывают на то, что интерпретация этой метастабильности,
как связанной с большим спином, вряд ли верна [932]. Попытки объяснит
эту изомерию квазистационарными состояниями во втором минимуме функци
потенциальной энергии получили значительную поддержку при теоретическ _
изучении влияния оболочечной структуры на энергию деформации (см. Р
боту [1094] и примечание на стр. 321). Экспериментальным доказательс
того, что эту изомерию можно интерпретировать как изомерию формы, ^°леТ
служить поведение силовой функции при делении на нейтронах. Много„
было известно, что существует довольно заметная структура в энергетиче
зависимости сечений деления в пороговой области [1178]. При тщател
анализе этих сечений обнаружилось, что резонансную структуру нельзя пр
Примеры к гл. 6
549
результаты исследования на медленных нейтронах в реакции n + 240Pu
водятся на фиг. 6.58 Барьер деления в реакции 240Pu(n, /) соответствует
кэВ (см., например, [55]), и поэтому область нейтронов малой энер-
Находится намного ниже порога деления. Резонансы имеют квантовые
гиИ а /л ==72 + » а среднее расстояние D между ними, как это видно из
чИС‘к0энергетической части спектра, где все уровни хорошо разрешены, состав-
НЙрТ 15 эВ [694]. Из фиг 6.58 видно, что существуют очень большие вариа-
ля делительных ширин отдельных уровней. Большинство уровней имеют
аИчТОжно малые ширины деления, но есть группы резонансов, для которых
Учительная часть полного сечения связана с делительной модой. Эти вариа-
ции существенно больше, чем если бы они были обусловлены случайными
<х
Фиг. 6.59. Схематическая кривая потенциальной энергии с двумя минимумами.
флуктуациями (см. анализ случайных флуктуаций нейтронных ширин, т. 1,
стр. 180). Такая гросс-структура в распределении ширин деления согласуется
с представлением о резонансах, связанных в процессе деления с промежуточ-
ным состоянием.
Из фиг. 6.58 видно, что среднее расстояние между резонансами гросс-
структуры, которые мы будем называть состояниями типа II в отличие от
резонансов тонкой структуры, называемых в дальнейшем состояниями типа I,
D (II) 700 эВ.
(6.551)
Такое расстояние соответствует некоторому характерному периоду, большому
по сравнению с характерным периодом элементарных мод возбуждения в ядре
(Колебаний, вращений, одночастичных возбуждений), и поэтому указывает на
существование сложных состояний, напоминающих состояния компаунд-ядра,
0 слабо связанных с образующимися при захвате нейтрона компаунд-состоя-
^Ть конкуренции между каналами деления и испускания нейтрона, но ее
ожно объяснить, если, предположить существование вибрационных состояний
втором минимуме [773]. Особенно удивительным было обнаружение гросс-
/Руктуры делительных ширин для резонансов на медленных нейтронах ниже
сос°Га деления [831, 912], которую можно интерпретировать как резонансные
^ояния в области’второго минимума потенциальной энергии [773, 1162].
550
Гл. 6. Вибрационные спектры
минимум
...j”c7 1
представляют собой возбуждения во второй яме??11'
ппостпянстда vnonweft типа I потенциячкитп. ___ ** И
сначала образуется компаунд-состояние типа I^koto^*
через барьер связывается с лежащим рядом по энепг°е
II, что в конечном счете приводит к делению ялпИИ
мы рассмотрим в общих чертах механизм связи а‘
ниями. Существование двойного набора компаунд-состояний можно объяс
если предположить, что функция потенциальной энергии, используема ЙИТь’
описании процесса деления, имеет два минимума (фиг 6.59). Первый миниП^и
соответствует равновесной форме ядра в основном состоянии, а уровни ти
связаны с внутренними возбуждениями относительно этого равновесного — Па
ния. Уровни типа II i
отделены от фазового пространства уровней типа I потенциальным баоьеп И
В реакции (п, /) сначала обоазуется компзунл-состоянир типа т
за счет проникновения
состоянием в области
В следующем разделе мы расамиiуйм в иищпл чср^л MtAdMiuM связи меж
состояниями в областях I и II. Такой анализ на основе /?-матричной теоои^
был проведен в работе [773], причем в случае реакции п + 240Рц результата
его совпадают с результатами, изложенными ниже.
Анализ резонансов с включением связи между областями I и ц
Рассмотрим наборы состояний | 1а) и Па), которые, если не учитывать про-
никновение через барьер, являются стационарными состояниями в областях I
и II. Конечная высота барьера приводит к появлению связи между состояни-
ями, которую можно охарактеризовать матричными элементами {I la j И 1
[Подход здесь такой же, как в случае явлений, связанных с силовой функцией
(т. 1, гл. 2, приложение 4). То же самое мы имеем и при анализе распадных
состояний и резонансного рассеяния, т. 1, гл. 3, приложение 6, п. I.]
Эффекты связи между состояниями типа I и II имеют простой вид в пре-
дельных случаях, соответствующих узкой и широкой силовой функции.
а.	Узкая силовая функция. Если ширина уровня типа II в отсутствие
связи, а также средний матричный элемент связи (V) малы по сравнению
с расстоянием между уровнями D (I), то существенна лишь связь с несколь-
кими состояниями типа I, лежащими в окрестности каждого уровня типа II.
Пренебрегая редкими флуктуациями матричных элементов связи и средних
расстояний между уровнями, можно использовать метод теории возмущений
и представить функции резонансных состояний в виде
11а) <=» | 1а) + с (аа) | 11а),	(6.552)
I Hd)^| Па>-2с(аа)11а>.
а
где амплитуда связи дается выражением
С(аа)=-<!.1Д1У1?*>	(6-553)
’ £ (1а)—£ (На) ’
Из наличия связи между состояниями, описываемой формулами (6.552),
следует, что у состояний типа I возникает небольшая делительная ширина,
а состояния типа II приобретают соответствующую нейтронную ширину:
Гу (1а) = [с(аа)12Гу(11а),	(6.554)
Гп(1М) = |£С(аа)г„(1а) |2
где 15л (1а) |2=ГЯ (1а). Амплитуды gn (la) и с(аа) связаны с двумя' совер?®ать°
разными компонентами в компаунд-состояниях типа I, и поэтому можно ин3
что в результате интерференции между вкладами разных уровней а в
ГП(Ш) оказывается малой. .
Примеры к гл. 6
551
ВЫХОД деления на отдельном резонансе дается выражением
С	гпгг
\	=	(6.555)
г — полная ширина. Если полная ширина состояний типа I мала по срав-
гД< с полной шириной состояний II (\Г (I)) <<Г(П)>), то основной вклад
^каждый резонанс гросс-структуры дают уровни типа I. При (Г (I)) > (Г (II))
Наблюдается обратная картина.
б.	Широкая силовая функция. Если ширина уровня типа II или среднее
иачение матричного элемента связи намного превышает D (I), то силовая функ-
я охватывает большое число отдельных резонансов. В этом случае можно
использовать результаты общего анализа резонансов гросс-структуры, основан-
ного на усреднении по состояниям тонкой структуры типа I (гл. 3, приложе-
ние 6, п. 1). При анализе таких усредненных сечений связь V можно харак-
теризовать шириной ГС(П), т. е. скоростью распада состояния типа II по
каналу, связанному с компаунд-состояниями типа I. Предполагая, что матрич-
ные элементы связи не претерпевают каких-либо существенных изменений в пре-
делах резонансной гросс-структуры, мы получаем [см., например, формулу (2.376)]
Гс(П)=2л^,	(6.556)
где (V2) —среднее значение квадрата матричного элемента связи.
Полная ширина резонанса гросс-структуры имеет вид
Г (11) = Г/(П) + ГЙ (П) + Гс (II),
(6.557)
где Г,/ (II) — вероятность дополнительных мод распада, не связанных ни
с состояниями типа I, ни с каналом деления. Основной вклад в Г^(П) дают,
по-видимому, у-переходы в другие состояния типа II.
Сечение резонанса гросс-структуры можно найти, если рассмотреть обрат-
ный процесс (/, п). Для этого процесса сечение образования компаунд-ядра
дается формулой (3.297), а соотношение сечений прямого и обратного процес-
сов—формулой (1.43). Обозначив долю компаунд-ядер, распад которых состоит
в испускании нейтрона, символом F (сп), мы получим для среднего сечения
деления на s-волновых нейтронах в окрестности резонанса типа II выражение
Гг (II) Гс (II)
(Ол/) = гЛ2 [£_£ (Ц)]2 + 1/4 [Г (II)]2 F (с * '1>'	(б,558)
В примере, представленном на фиг. 6.58, сечения реакции (я, /) в промежут-
ках между резонансами типа II оказываются ниже порога чувствительности
регистрирующей аппаратуры, и поэтому мы пренебрегли нерезонансным вкла-
дом, содержащимся в более общем выражении (3.294).
Величина F(c-*-n) в формуле (6.558) представляет собой среднее по резо-
ансам типа I с весом, равным делительной ширине Гу (I), которая пропорцио-
зльна вероятности образования состояния типа I при распаде состояния
где
/Гу(1)Гл(1)\	1
Г(1)	/<Гу(1))’
(6.559)
Г(1) = Гу(1) + Гу(1) + Гп(1)	(6.560)
полная ширина резонанса тонкой структуры [в выражении
типДаа цКейш^ опускаем индекс а, характеризующий различные
(6.559) и
резонансы
552
Гл. 6. Вибрационные спектры
Среднее сечение (6.558) можно также представить в виде суммы
от резонансов типа I:	КЛаДов
, ч	1 /Г/ (I) Гл (1)\
<<тп/> 2л?. D(1)\ г(1) /.	(б561)
где D(I) —среднее расстояние между уровнями тонкой структуры. Сравн
формулы (6.558) и (6.559) с формулой (6.561), найдем выражение для средн^*
значения делительной ширины:	р днег°
/Г HP -P(I)	г/(11)Гс(11)
V/'1" 2л [£—f (П)]2-ЬА/4 [Г (П)]2 •	(6.562)
Выражение (6.562) можно было бы написать сразу из общих соображени’
о брейт-вигнеровской форме для такой силовой функции (т. 1, гл. 3, прило*
жение 6, п. 1), откуда следует и условие нормировки:	’ р
С /г _Г/(П)ГС(П)
\	Г(11)	•	(6.563)
II
Здесь интеграл берется в энергетических пределах, охватывающих вклады
одного резонанса типа II. В правиле сумм (6.563) выражается то обстоятель-
ство, что сумма делительных ширин резонансов типа I равна величине Г/(II),
умноженной на отношение Гс (П)/Г (II), т. е. на долю состояния типа II, при-
мешанную к резонансам тонкой структуры типа I.
Все сказанное выше относится к самым разнообразным типам связи, зави-
сящей от относительной величины ГС(П) и полной ширины Г (II). При
Гс(П)<СГ(П) (слабая связь) только небольшая часть свойств состояния
типа II, таких, как его делительная ширина, передается резонансам тонкой
структуры [формула (6.563)]. В основном же его свойства соответствуют един-
ственному широкому состоянию, которое, правда, практически не оказывает
влияния на выход реакции (и, /), так как в рассматриваемом случае Г(Н)>
>Г(1) [см. текст после формулы (6.555)]. Это широкое состояние типа II
должно, однако, сильно сказываться в гипотетической реакции (/, /). В случае
сильной связи, т. е. при Гс (II) Г (II), невозможно отличить отдельные
резонансы типа I от резонансов типа II. В этом случае свойства резонансов
типа II распределены по большому числу резонансов тонкой структуры.
Анализ гросс-структуры в реакции 24oPu (п, f)
Реакция 240Pu (n> сечение которой представлено на фиг. 6.58, по-види-
мому, соответствует промежуточному случаю между рассмотренными выше пре-
дельными случаями узкой и широкой силовой функции. Гросс-структура
в окрестности энергии нейтрона, равной 780 и 1400 МэВ, содержит толь^ Пп
нескольку компонент тонкой структуры, тогда как структура вблизи 1900 э
охватывает интервал, содержащий около 15 отдельных уровней. Возможн »
что структура вблизи 1900 эВ содержит два близколежащих резонанса типа »
но вероятность такого вырождения уровней —порядка всего лишь 1% 1Ф "
мула (2.59)].	н0
При исследовании довольно широкой структуры вблизи 1900 эВ м0
использовать результаты проведенного выше анализа средних значении и 0
делить параметры резонансов гросс-структуры, не вдаваясь в детальны ,
лиз резонансов тонкой структуры, который в настоящее время не дает
шенно определенных результатов. Сначала вычислим величину F(c~* ^^нса
мула (6.559)]. Поскольку даже при энергии, соответствующей центру ре qT0
типа II, выполняется соотношение (Гу (I)) < (Г (I)), мы, предполаг >
Примеры к гл. 6
553
рреляиия между Гп и Г/ отсутствует, получаем приближенное выражение
(6.564)
. ямие значения величин Гя (I) и Г (I) были найдены путем резонансного
Низа полных сечений [694, 1163]:
<Г„(1)>^50[Ея(кэВ)],/« мэВ,
<1\ (!)>==» 23 мэВ,	(6.565)
D(I)«sl5 эВ.
Флуктуации величины Гп (I) сильно влияют на среднее значение отношения Гл
я Г в формуле (6.564). Если значения Гл (I) распределены по закону Пор-
тера-Томаса (2.115), а величина Гу(1) постоянна, то имеем
f (с -> n)= 1 - (у пу^ '* ехр (у +
(у/2)‘А
+ (2у)*',г exp (-^- у\ ( ехр {—^2}4^я»0,52,	(5.565а)
о
Гу
*=(Г^0’33-
Таким образом, из-за флуктуаций величина F составляет всего лишь 0,7 отно-
шения (Гп) к (Г).
Если, как это предполагается в формуле (6.564), (Гу (I)) <С (Г (I)), то
величина F в пределах одного резонанса типа II не зависит от энергии,
а силовая функция (6.558) имеет простую брейт-вигнеровскую форму. К сожа-
лению, данные, представленные на фиг. 6.58, недостаточно полны, чтобы можно
было провести проверку теоретической формы линии.
Исходя из полного выхода реакции деления, представленного на фиг. 6.58
(см. также табл. 6.18), и найденного выше значения F для резонанса гросс-
структуры с энергией 1900 эВ, получим [соотношение (6.558)]
Гу(П)Гс(П)
- -р(И)— ЮО мэВ.	(6.566)
Полную ширину Г (II) можно приближенно оценить как интервал энергии
вблизи центра резонанса гросс-структуры, содержащий половину полного выхода
реакции деления в этом резонансе По данным фиг. 6.58, это составляет
Г (II)^50 эВ.	(6.567)
Поскольку радиационные ширины, связанные с возбуждениями порядка несколь-
Ких мегаэлектронвольт, составляют величины порядка 10—100 мэВ [см., напри-
иер, формулы (6.565)], величина Г^ (II), по-видимому, на несколько порядков
меныце Г (II). Поэтому мы пренебрежем вкладом Г^ (II) в полную ширину Г (II)
исходя из приближенных значений (6.566) и (6.567) получим
^(11)^50 эВ,
^(11)^0,! эВ,
(6.568)
(Ц)_большая, (И)— меньшая из величин Г/(II) и Гс (II). В про-
дином нами анализе сечения реакции (n, f) не учитывается то, что ширины
/11 Гс имеют разный физический смысл.
554
Гл. 6. Вибрационные спектры
Исходя из приближенных значений (6.568) и соотношения (6.562)
найти среднее значение делительной ширины состояний типа I при эне°ЖНо
соответствующей центру резонанса типа II:	РГии,
<Г/(1))макс^20 мэВ.	(6.569)
Мы видим, что эта величина мала по сравнению с полной шириной Г (В
мула (6.565)], как и было принято выше при выводе формулы (6.564)? '
В табл. 6.18 представлены делительные ширины отдельных уровней тон
структуры, найденные путем резонансного анализа сечений, приведенных^^
фиг. 6.58. Делительные ширины отдельных уровней должны, по-видимо
сильно флуктуировать, ибо это характерно для одноканального процесса
мула (2.363)]. Поэтому можно считать, что подробный анализ тонкой стг^
туры группы уровней в окрестности энергии 1900 эВ удовлетворительно согля
суется с выражением (6.562) и со значениями параметров, полученных путе?
анализа гросс-структуры.	у
Таблица 6J8
ПАРАМЕТРЫ РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ РЕАКЦИИ п + 2<°Ри
Еп , эВ рез’	г„, мэВ	г г, Л J 	Г— мэВ	Гу, мэВ
750	68+3	5,4	8+1
759	6+1		
778	1,2+0,8		
782	3,0+0,9	2,5	1зо?8„
791	24+2	5,1	13+2
810	213+11	8,3	10+1
820	110+6	0,8	1,0+0,1
1401 1409	5,2+1,01 11+6 )	10,5	110*и
1426	37+4	2,3	4,0+0,5
1841	126+10	8,0	10+1
1853	34+6		
1873	77+7		
1902	209+12		
1917	36+6	15,0	42+7
1943	8+5		
1949	82+8		
1956	260+18	20,7	24+3
1973	68+8		
1992	114+10		
1998	6+4		
2017	52+8		
2023	56+8		
2033	102+10	5,5	7+1 1,9+0,2
2056	68+7	1,4	
* Верхний предел не установлен.	явления.
Таблица основана на проведенном в работе [831] анализе кривой выхода д оЫЧИ.
представленной на фиг. 6.58. При этом энергии резонансов и нейтронные Л<же. что
слились по полным сечениям, определенным в работе [694]. Предполагалось
радиационные ширины постоянны и равны в среднем 23,2 мэВ [1163].	__.
Из анализа гросс-структуры выхода деления для группы уровней в
оне 780 и 1400 эВ следует, что ширины здесь примерно такие же, как
уровней вблизи 1900 эВ. Но такие ширины не согласуются с болыпи
Примеры к гл. 6
555
«ми величин Гу (I), полученными путем анализа тонкой структуры
чеН/?п 6 18). Поэтому данные группы уровней следует анализировать в рамках
Сближения узкой силовой функции. Уровни с большими значениями Гу,
nP\?JbIe в середине групп, могут быть либо уровнями типа I, расположенными
ВИпбенно близко к уровню типа II [если Г (II) > Г (I)], либо собственно уров-
°и типа II [если Г (II) <: Г (I)]. В последнем случае уровень с большой
ЯЯпиной Г/ должен иметь малую ширину Гп, и данные табл. 6.18 свидетель-
уЮТ в пользу такой интерпретации, если только указанный эффект не свя-
ин с флуктуациями.
Если считать, что уровни с большими Гу—это состояния типа II, то пред-
тавленный в табл. 6.18 анализ уровней тонкой структуры несколько видоиз-
сенится, так как ширина Гу определялась по экспериментальным значениям
’ухода деления в предположении, что величина Г¥ —одного порядка со сред-
ней радиационной шириной уровней типа I при малых энергиях. Для уровней
Же типа II величина Гу может быть несколько другой. Из имеющихся экспе-
риментальных данных можно заключить только, что ширина Гу (II) велика по
сравнению с Гл и меньше экспериментального разрешения. Из величин дели-
тельных ширин лежащих рядом уровней типа I [формулы (6.553) и (6.554)]
следует, что Гу (II) (V2) 2,5 эВ3. Эта оценка, однако, содержит большую
статистическую неопределенность. Если ввести сюда величину ГС(И) в соответ-
ствии с соотношением (6.556), то оценка силы связи будет означать, что
Г/(П)Гс(Н)^1 эВ2.
Мы видим, что значения произведения Гу (II) Гс (II) для разных резонан-
сов гросс-структуры в реакции 2iopu (п> различаются в 5 раз, в чем нет
ничего неожиданного, поскольку и деление, и связь с областью I должны
определяться единственным нижним каналом. Итак, имеющиеся эксперимен-
тальные данные можно согласовать, если принять следующие средние значения
параметров:
<Гу (II))	100 мэВ,
<ГС(П))^25 эВ.
Подчеркнем, однако, что имеющиеся экспериментальные данные недостаточно
полны и не исключена их другая интерпретация с другими наборами пара-
метров. В частности, вывод о том, что Гс есть главный вклад в Г (II), основан
лишь на данных весьма предварительного характера об очень больших отдель-
ных ширинах деления в анализе тонкой структуры.
(6.570)
Свойства функции потенциальной энергии для ядра 241Ри
Резонансный анализ реакции 240Ри (м, f) может дать информацию о форме
зависимости потенциальной энергии от связанного с делительной модой пара-
метра деформации а. Относительное положение минимумов в областях I и II
можно оценить по отношению средних расстояний между уровнями D (I) и
0(П). Предполагая, что плотность одночастичных уровней g0 одинакова для
возбуждений типа I и II, и используя формулу (2.57), получаем
1 и	~~ 9 1П £-£(П) д_
D(I)	ф Т
Т^а-'^ |е—L [Е (1) + Е	,	(6.571)
л2 А .
с== 5 go^-g МэВ ’
где Е —£ (/) —энергия связи нейтрона (5Л = 5,2 МэВ), а приближенное значе-
величины а взято с фиг. 2.12 (т. 1). Исходя из значений О(/)^ 15 эВ и
и (11)^ 700 эВ [формулы (6.565) и (6.551)], можно найти, что температура
656
Гл. 6. Вибрационные спектры
равна примерно 0,4 МэВ, а Е (II) — Е (1)^2 МэВ. Подчеркнем, что при исп
зовании формулы для плотности уровней ферми-газа мы пренебрегаем об°ЛЬ*
чечными эффектами и парными корреляциями, а это может сильно ловли Л°*
на вычисляемую энергию возбуждения изомера. Так, следствием большой (ДТЬ
лочечной энергии в области II (стр. 558) оказывается меньшая плотно°°
уровней при данной энергии возбуждения (фиг. 6.55). Правда, указан?^
эффект может быть в значительной мере скомпенсирован оболочечной энеоги1*
и влиянием парных корреляций в основном состоянии. В деформирований
ядрах из-за наличия вращательных степеней свободы плотность уровней силы?
возрастает (стр. 46), но если предположить, что в областях I и II деформаци°
ядра имеет одну и ту же симметрию, то ее влияние на плотность уровней
в областях I и II одинаково. Имеющиеся данные о вращательных состояниях
ядер в области II [1060] согласуются с выводом о том, что ядро обладает
аксиальной симметрией и симметрией относительно операции инверсии, выте-
кающим из интерпретации этого явления как оболочечного эффекта (стр\ 557)
Высоты барьеров можно оценить по значениям параметров ГС(П) и Г/(II)
найденных путем резонансного анализа. В своих качественных оценках при
рассматриваемых энергиях возбуждения мы будем пренебрегать гросс-структу-
рой вибрационной силовой функции. В этом случае мы имеем следующие
выражения для ширин [формула (6.111)]:
Гу (11) = -^-Р (II-> III),
где Р — вероятность проникновения через барьер. Поскольку эта вероятность
экспоненциально зависит от энергии порога, в формулах (6.572) учтен только
вклад в ширины от канала с наинизшей энергией.
Исходя из значения (6.551) для среднего расстояния между уровнями и
из ориентировочных значений (6.570) для ширин, мы получаем
Р(П -»1)^0,2,
P(II -> III) 10"3.
Поэтому из выражения (6.109) для вероятности проникновения через потен-
циальный барьер параболической формы следует, что высота барьера между
областями I и II в ядре 241 Ри (фиг. 6.59) лишь немного больше энергии отде-
ления нейтрона Srt = 5,4 МэВ. Барьер П->Ш соответствует порогу деления
на быстрых нейтронах. Пороговая энергия равна 4-700 кэВ, откуда, поль-
зуясь формулой (6.109), получим для параметра to, характеризующего энер-
гетическую зависимость подбарьерной проницаемости, приближенное значе-
НИе:	600 кэВ.	(6-574)
На самом деле частота со может быть несколько больше^ чем дается фо
лой (6.574), поскольку неизвестно, связан ли наблюдаемый порог при 70U	°
с s-нейтронами; возможно, поэтому, что порог для s-волны будет на несК0 че.
сотен килоэлектронвольт выше. Значение (6.574) для to сравнимо со 3
нием, найденным по экспериментально установленной энергетической за
мости функции возбуждения вблизи порога реакции 240Ри (и, /) [875]. етеЛЬ.
О правильности приведенных выше значений высоты барьера свИ^е241ри
ствуют также данные о времени жизни спонтанно делящегося изомер
(ту = й/Г/ = 4 • Ю^6 с [933]). Время жизни можно приближенно оиен,^.Ь/5 J09)
няв, что барьер имеет параболическую форму, откуда в силу соотношени
и (6.110) найдем
(6.572)
(6.573)
(6.575)
, Примеры к гл. 6
557
— частота коллективных колебаний вблизи минимума энергии в обла-
гДе ||0,1Л^Ь1 примем Й(околл 1 МэВ. Если взять значения Е (I) — Е (II) =«
сТИ_2 МэВ (стр. 556) и 5П = 5,2 МэВ, то высота барьера, разделяющего
власти II и III, будет равна 5(11, III) — Е (II) 4-0,7 МэВ4-Е(1) —
°Е (II) ~ 4 МэВ. Тогда из формулы (6 575) получаем, что параметр Асо,
^апактеризующий проницаемость барьера, разделяющего II и III области,
х примерно 700 кэВ Поскольку мы весьма приближенно учитываем форму
Еапьера, согласие между полученным значением и значением (6.574), найден-
ным по’экспериментальному значению Гу (II), следует считать хорошим.
Замечание. Данные об относительной величине высот барьеров можно
получить также, исследуя угловые распределения осколков деления в реак-
циях (п, /) и (?> /) [1097]. Проведенный в гл. 4 анализ угловых распределе-
ний в реакции (у, f) подтверждает, что квантовое число К сохраняется после
прохождения седловой точки, являющейся барьером деления. Такая картина,
приводящая к большой анизотропии в пороговой области, должна наблю-
даться в том случае, если наружный барьер II —> III выше, чем внутренний
барьер I II. Но если порог определяется барьером I —> II, движение системы
через область II может затухнуть из-за связи с плотным спектром компаунд-
состояний типа II. При таком затухании ядро „забывает” значение квантового
числа канала, которое оно имело у барьера I —> II, и угловое распределе-
ние осколков деления определяется распределением квантового числа К
в открытых каналах, лежащих выше барьера II -> III. При пороговой энер-
гии в угловое распределение может в таком случае вносить вклад множество
каналов, в результате чего угловая анизотропия окажется малой, но в под-
лороговой области, когда энергия примерно равна высоте барьера II -> III,
снова возникнет сильная анизотропия. Анализ реакции 23eU (у, f) на фиг. 4.22
указывает на то, что в этом случае более высоким является барьер 11->Ш,
но данные по реакциям 240Ри	/) и 242Ри интерпретировались как
указывающие на то, что барьер II -> III является низшим [662], что противо-
речит предварительным выводам, сделанным из проведенного выше анализа
гросс-структуры резонансов в реакции 240Ри (и, /). Эго расхождение до сих
пор не устранено.
Оболочечные эффекты, ответственные за изомерию формы
Второй минимум потенциальной энергии, который приводит к появлению
делящегося изомера, объясняется оболочечными эффектами при деформациях
в области барьера деления. (Обзор теоретических исследований вида потен-
циальной поверхности дается в работе [886]).
Действительно, у ядер с вытянутой формой и отношением размеров по
осям 2:1 появляется оболочечная структура (стр. 525). Модель жидкой капли
показывает, что ядро в седловой точке барьера деления при х 0,8 имеет
именно такую деформацию (фиг. 6.65). Оболочечная структура деформации 2:1
связана с приближенной применимостью потенциала гармонического осцилля-
т°ра, причем в данном случае замкнутые оболочки образуются при числах
частиц, равных 80, НО, 140, Из-за отклонений от потенциала гармони-
ческого осциллятора, которые для протонов значительно больше, чем для
нейтронов, в области тяжелых элементов для протонов при деформациях 2:1
Должны наблюдаться только второстепенные оболочечные эффекты. В случае
Же нейтронов из-за спин-орбитальной связи четыре двукратно вырожденных
состояния с 7Vo6= 10 присоединяются к оболочке с No5 = 9, которая в отсут-
ствие такого эффекта заполнилась бы при числе нейтронов N=;140, так что
заполнение главной оболочки происходит при числе нейтронов М= 148
(фиг. 6.50). Действительно, это число нейтронов соответствует области ядер,
где появление делящегося изомера является весьма характерной особенностью.
ИНТерпретация дает нам качественную оценку величины оболочечного
эффекта, которого можно ожидать в энергии этого изомера. В случае полного
558
Гл. 6. Вибрационные спектры
вырождения из выражений (6.510) и формул (6.514) для замкнутой нейтрон
ной конфигурации (a b = 2 1, М=148, Ла>0 = 41Л~1//з МэВ) получаем
(3«Гв-^=.-6М,В.	<6.376,
Как видно из фиг. 6.50, оболочки охватывают энергетический интерва
несколько больший, чем ^г^об- Поэтому оболочечная поправка должн’
составлять примерно —3 МэВ (о случае, когда отсутствует полное выпожп/
ние, см. стр. 529).	и де*
Приведенная оценка величины £зоб (П) согласуется с результатом преж-
ней оценки, согласно которой £*(!!) примерно на 3,5 МэВ ниже средней высота
двух барьеров [Е (II) —Е (I) 2 МэВ (стр. 556), В(1, П)-Е (I) 5,2 МэВ
В (II, III) — Е (I) 5,9 МэВ (стр. 557)]. Объясняя разницу между величинами
Е(П) и Е (I), следует учитывать вклады как величины $об, так и вели-
чины При (22/Л)крит = 45 (стр. 547), что в случае ядра~241Ри соответствует
значению х = 0,8, модель жидкой капли (6.651) дает нам S (II) % 4 МэВ ф =
= р/ = 0,7) и S(I)^1 МэВ (Р^0,23). При сферической форме оболочечная
энергия должна быть большой и положительной, но деформация снимает
такой „стресс” в ядерной структуре и должна, по-видимому, приводить к отри-
цательному, хотя и небольшому значению величины соб- Расчеты этого
эффекта, основанные на осцилляторной модели (стр. 532), дают ^об(0^
55»—4 МэВ, причем из-за того, что оболочки не полностью вырождены, это
значение нужно уменьшить примерно в 2 раза. Поэтому мы имеем Е(П) —
— Е (I) >(!!)-§ (1) + ^об (П) — ёоб (I) 2 МэВ. Подчеркнем, что хотя
путем таких простых рассуждений можно установить основные свойства функ-
ции потенциальной энергии ядра 241Ри, различные численные оценки при этом
носят лишь качественный характер.
СВОЙСТВА СПИНОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Коллективные моды с 1л = 1 + (фиг. 6.60)
Исследования коллективного движения в ядрах, охватывающего внутрен-
ние спиновые степени свободы, несмотря на очень важное значение этого
аспекта ядерной динамики, находятся еще в начальной стадии. Здесь мы рас-
смотрим некоторые свойства мод движения, возбуждаемых простыми полями,
не зависящими от пространственных координат:
р = Г <г при т = 0,	(6.577)
т I от, при т—1.
Зависящие от спина ядерные силы могут смешивать поля вида (6.577), харак-
теризующиеся пространственной и спиновой симметриями х==0, о=1,сполям ,
для которых х = 2, g=1, Хл==1+(стр. 337), но имеющиеся данные нед
статочно полны, чтобы установить, какова роль такого смешивания. Здесь
рассматриваем только диагональные взаимодействия с участием полей (о. о/
но подчеркиваем, что для более глубокого понимания спиновых возбужде
следует провести анализ недиагональной по х связи.
Одночастичный аспект возбуждений. В ядрах с заполненными оболочками
поля (6.577) могут вызывать только переходы вида / = + ^шеПЛе-
причем частота перехода определяется энергией спин-орбитального РзС^ ^0.
ния. Такие переходы возможны, если оболочка с	заполнен3’ иИ
лочка с / = / —1/а пустая. Поэтому замкнутые оболочечные конфигур
Примеры к гл. 6
559
Япрах 4Не, 160 и 40Са не имеют мод возбуждения, обусловленных полями
{д 577), чт0 согласуется с тем, что при таких конфигурациях полный спин
как Для протонов, так и для нейтронов. Замкнутые же конфигурации
Числами частиц, равными 28, 50, 82 и 126, в результате спин-орбитального
\аИмодействия имеют ненасыщенный спин, и для них должны существовать
коллективные спиновые возбуждения.
К В ядрах с /V = Z (То = О) нормальные моды представляют собой либо изо-
скалярные, либо изовекторные возбуждения. В ядрах с нейтронным избытком
ненасыщенные спины нейтронов и протонов соответствуют разным орбитам,
но если нейтроны и протоны имеют близкие спин-орбитальные частоты и силы
переходов (как в ядре 208РЬ), то в результате действия зависящих от спинов
сил протонные и нейтронные возбуждения должны комбинироваться в коллек-
тивные моды с т = 0 и т = 1.
В случае одночастичной функции отклика, имеющей одну частоту, эффекты,
обусловленные взаимодействием, можно исследовать методом, изложенным
в § 2, п- 3. Одночастичные возбуждения, обусловленные полями типа (6.577),
имеют полную силу перехода, равную
(О2=2 <* i I V = °)2 = S <z i "Л I v = 0)*=
где мы учли, что каждый из протонов и нейтронов дает вклад в единствен-
ный переход v = 0 ->(/ = / + V2)-1 (/ = / — V2)» матричные элементы которого
можно получить из соотношений (3.78) и (3.111). Мы также ввели среднее
значение орбитального момента 7 = х/2 (/л +/р) и пренебрегли членами, имею-
щими относительную величину /~2. Упругая сила для невозмущенного дви-
жения дается выражением [формула (6.23)]
с<о> ~ tof0)	А ^10>
~ 2(а<0))2	8 2/ + 1
(6.579)
где невозмущенная энергия равна энергии спин-орбитального расщепления
[Й(0(0) = е =	е (у =	и берется как среднее по нейтронам и
протонам. Параметры С°, /z(o° и невозмущенного движения одинаковы для
мод с т = 0 и т = 1.
Взаимодействия, соответствующие полям (6.577), характеризуются пара-
метрами хт, а частоты нормальных колебаний и силы переходов имеют вид
[формулы (6.27) и (6.28)]
йШт=й®<®>(1+-^гу/’	(6.580а)
(пт=1, Хл=1 + , g = 0|(Ft)J0)2=(ai»>)2^^.	(6.5806)
Коллективные возбуждения с пт=1 связаны с сильным зависящим от
спина полем, свойства которого можно изучать в процессах неупругого рас-
сеяния. Кроме того, изовекторное спиновое возбуждение характеризуется
коллективизацией Ml-перехода, причем приведенная вероятность перехода
имеет вид
В(М1; 0-»Л1=1, ^=1 + )=-^^-^=! (зЙг)2Х
3	/ - v йй)(0> / еН \2
х = 1 | (F^h I о>* ~	(4,21)3 (21 +1)	(6.581)
гДе и g/ —спиновый и орбитальный g-факторы (т. 1, формула (3.37)].
560
Гл. 6. Вибрационные спектры
Оценки силы связи. О силе связи для взаимодействий, связанных с
векторными спиновыми полями, можно судить по наблюдающейся на он*30'
перенормировке эффективного спинового g-фактора в одночастичных мат ЫТе
ных элементах типа Ml (т. 1, табл. 3.3). Комбинируя формулы (6.216) и (6^>щ*
мы получаем следующее соотношение для статического поляризационн ° ’
вклада 6gs в величину эффективного изовекторного спинового g-фактора: °Г°
МЛ	- Xt-1
\ gs A-i \ C A_1 O’ +	•	(6.582)
Экспериментальные значения магнитных моментов в районе 208РЬ дают дл
изовекторного спинового g-фактора соотношение 6gs/gs^s—0,5 (т. 1, Стр. ззи\Я
откуда вытекает, что хт_1АгС(0), и, следовательно, из соотношений (6.578) «
(6.579) мы имеем	; ‘
** С<0- ~ |	~ 0,18 МэВ	(6.583)
Здесь мы приняли значение невозмущенной частоты faof0> = 5,7 МэВ, что равно
среднему по протонным	-> Лв/а) и нейтронным (ма/2 iu/^ возбуждениям
(т. 1, стр. 316). Полагая, что связь имеет объемный характер и потому про-
порциональна Л"1, получаем
Кт-i 40Л"1 МэВ.	(6.584)
Данные о наличии коллективных Ml-возбуждений. Связь (6.583) приводит
к появлению в 208РЬ коллективной изовекторной моды со следующими значе-
ниями частоты и интенсивности перехода:
V2 «=?8,1 МэВ
В (Ml;	Хл=1+)^36
для 208РЬ. (6.585)
Ориентировочные данные о степени коллективизации М1-возбуждения
в ядре 2®8РЬ были получены при изучении реакции говрь (у, и) (фиг. 6.60).
В области энергий вплоть до 1 МэВ выше порога отделения нейтрона (Sn =
= 7,38 МэВ) при использовании методики, основанной на измерении времени
пролета нейтронов, можно разрешить вклады отдельных резонансов. В резуль-
тате измерения угловых распределений семь изображенных на фиг. 6.60 резо-
нансов были идентифицированы как имеющие квантовые характеристики
/л=1-]-, причем суммарная приведенная вероятность перехода в интервале
энергии возбуждения от 7,4 до 8,3 МэВ составляет 70% величины (6.585).
Данные о спиновом изовекторном возбуждении в ядре Се, полученные
в результате исследования электронного рассеяния, говорят о том, что сум-
марная приведенная вероятность коллективного Ml-перехода В (Ml; 0->1+)==
= (36±18) (e/z/2Mc)2, где энергия возбуждения йсо = 8,7 МэВ, а полная
ширина ГП0лн^2 МэВ [928]. Наиболее распространенный изотоп Се есть
ядро Ц°Се82, имеющее 82 нейтрона, которые вносят вклад в переход
Что касается вклада протонов в переход, то он, вероятно, такой же, как
и при переходе £»/2в замкнутой оболочке с Z = 50. Добавочные протоны
частично заполняют уровни gy , понижая тем самым вклад состояния
в переход, частично же они заполняют уровень d6/ , формируя новые нена-
сыщенные спины. Взяв то же самое значение 7kofO), что и в ядре 208РЬ, вели-
чину 7 = 4,5 и для силы связи значение (6.584), мы получим, что йсо = 8,6 МэВ
и В (МI; 01 +) = 29 (ей/2Мс)2,
Имеются также предварительные данные аналогичного характера и дл
более легких ядер с ненасыщенными спинами в основном состоянии. |НапР
мер, обнаружены [8] сильные Ml-возбуждения в ядре 12С, имеющие /iw= 15,1МЭ
Примеры к гл. 6
561
о/д11; 0-> 1 +)^3 (efi/2Mc)2. Такие же возбуждения [несколько линий
и *^«’11,5 МэВ и суммарным значением В (ЛИ; 0 -> 1 +)	7 (eh/2Mc)2]
с апужены в ядре 28Si [402] Если Ml-возбуждения в ядрах с заполненными
•{.схеме уровнями описываются изовекторной связью (6.577) с константой
5 ачи (6.584), то для ядра 12С, в котором й(о°==6МэВ (т. 1, фиг. 3.26), полу-
СБ м йо)=14 МэВ и В (Ml; 0-> 1 -J-) = 5,4 (eft/2Mc)2. Для ядра 28Si, имеющего
1уо> = 5 МэВ (т. 1, фиг. 3.26), имеем йсо = 11 МэВ и В(М1; 0->!+) =
^9 6(еИ/2Мс)2. Хотя качественно эти оценки верны, не нужно забывать,
^о’мы пренебрегли весьма важными типами связи. В частности, в рас-
смотренных ядрах существенную роль должны играть взаимосвязанные эффекты
деформации и спинового смешивания.
Фиг. 6.60. Магнитные дипольные переходы в ядре 208РЬ.
Пунктирными отрезками показаны энергии и силы осцилляторов для переходов сх = 0.
0—1 и т=1, вычисленные без учета эффектов взаимодействия. Экспериментальные значе-
ния интенсивностей переходов (сплошные линии) определены по измеренным ширинам
у-переходов ЛИ [186].
Переход от //- к £5-связи. Рассматриваемая модель проясняет природу
эффекта спиновой поляризации и связанной с ним коллективной спиновой моды,
показывая, что это—проявление тенденции к переходу от //- к LS-связи (т. 1,
329). Наиболее четко это видно, если рассмотреть систему, состоящую
только из частиц одного сорта. В такой системе связь с полем (6.577) может
ЫТь представлена как двухчастичное взаимодействие вида (6.24):
г 3 1
=2х S2-|n ,	(6.586)
кДе S'-оператор полного спина, а п —число частиц. В случае заполненной
конфигурацИИ (/ = /4-i/2)2^+2 среднее значение величины S2, как видно из вы-
ражения (6.578), есть величина порядка I при /> 1 и поэтому Н' есть вели-
чина порядка —х/. С увеличением х спин-спиновое взаимодействие делде^
562
Гл. 6. Вибрационные спектры
энергетически более выгодными состояния с малыми S, а это соответст
уменьшению (S2) для основного состояния [что и отражается в после
члене формулы (6.5806)]. При достаточно больших х основное состояние
ближается к состоянию с S = 0, а энергия взаимодействия (И'}	— ПРИ’
При переходе от //- к LS-связи из-за спин-спиновых сил получае
выигрыш в энергии связи порядка х на одну частицу, но в то же время ?СЯ
теряем в энергии связи из-за того, что спин-орбитальное взаимодействие
ляется на величину порядка	на частицу. Поэтому переход осущест
вляется при х Йсо(0) — /С(0), когда Йсо	и (S2) [формул
(6.579) и (6.580)]. Заметим, что при отрицательных х спин-спиновое взаим 1
действие делает энергетически более выгодными состояния с большим спино°
и при | х |	С(0) система переходит в ферромагнитную фазу. При этом энеп
гия коллективных спин-спиновых колебаний обращается в нуль.
В то время как х в зависимости от атомного номера изменяется по за-
кону А'1 [формула (6.584)], спин-орбитальное расщепление fao(0) для состояний
с максимальными имеющимися в ядре I приблизительно одно и то же по всей
периодической системе. Следовательно, применимость //-схемы связи повы-
шается по мере продвижения в область тяжелых ядер. В очень легких ядрах
(Л 10) величина х сравнима с Й(о(О), что говорит о наличии в данном слу.
чае связи промежуточного характера.
СВОЙСТВА ПАРНЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ
Ниже мы остановимся на некоторых простых явлениях, обусловленных
наличием связи между спаривательным полем и движением отдельных частиц.
Подробно вопрос о спаривательных модах и квази частичной схеме связи рас-
сматривается в гл. 8.
Замечание. Систематическое различие в свойствах четных и нечетных ядер,
связанное со спариванием, было подмечено еще на заре ядерной физики [574]
и позволило в значительной мере объяснить поразительную разницу делитель-
ных свойств нечетных и четных изотопов U [176]. Четно-нечетная разница масс
ядер отчасти обусловлена двукратной вырожденностью уровней одночастичного
потенциала (т. 1, стр. 145) и эффектами, возникающими при действии опера-
тора пространственной перестановочной симметрии на межнуклонное взаимо-
действие [1184]. Но указанным явлениям должна соответствовать зависимость
парной энергии от атомного номера вида А~*, тогда как накапливающиеся
опытные данные свидетельствуют о более слабой зависимости [505]. На пер-
вом этапе анализа корреляционных эффектов, проявляющихся в четно-нечет-
ных разностях масс, проводилось исследование оболочечных конфигурации
с учетом спаривательной связи эквивалентных нуклонов в состояния с нуле-
вым угловым моментом [803, 944, 945] (схема сеньорити). Изучение коллектив-
ных свойств ядер привело к появлению взгляда на парные корреляции ка
на систематический эффект, противодействующий выстраиванию одночастичны.
орбит в деформированном потенциале [164]. Когда были разработаны совре-
менные методы изучения электронных корреляций в сверхпроводниках [ 1^
стало ясно, что такие методы приложимы и к анализу парных корреляц
в ядрах [94, 170, 827]. Интерпретация ядерных явлений на такой основе в Р
вые была проведена в работах [684, 790, 1051, 1052, 1217, 1218]. Квазичаст^^
ную схему связи можно рассматривать как обобщение схемы ceHb0.q4ji’
а обозначение квазичастицы буквой v совпадает с обозначением Рака р »
которое исходит из древнееврейского слова «vethek» = seniority — старшинст
В русской литературе термин «старшинство» не принят, а обычно испол
зуется транскрибированное слово «сеньорити». —Прим, перев.
Примеры к гл, 6
563
Основное состояние ядра 206РЬ (фиг» 6.61 и табл. 6.19)
Многочисленные данные о свойствах основного состояния ядра 20GPb по.
Я10Т подробно проанализировать парные корреляции между двумя нейтрон-
дырками в замкнутой конфигурации ядра 208РЬ. Энергии отделения
нЫ г0 и двух нейтронов для 208РЬ равны 7,375 и 14,110 МэВ [799]. Поэтому
иЯ основного состояния ядра 206РЬ, имеющего квантовые характеристики
на 640 кэВ меньше энергии невозмущенного состояния	вко-
оОм имеются две дырки. Такая энергия связи сравнима с расстоянием между
Наличными конфигурациями (/~2)0 (табл. 6.19), и это указывает на то, что
Р.чет смешивания конфигураций может иметь важное значение.
Таблица 6.19
АНАЛИЗ КОНФИГУРАЦИЙ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ ЯДРА 20бРЬ
Конфигура- ция	Я = / + У2	8 (pi/2 — 8 (/)	эксп	с Штеор
₽/.	1	0	0,66	0,74
Д/2	3	0,57	0,51	0,46
рз/2	2	0,89	0,32	0,28
(1’/г	7	1,63	0,28	0,32
А/2	4	2,34	0,22	0,18
л./,	5	3,47	0,3	0,14
В таблице представлены значения амплитуд с (/) для конфигураций с двумя нейтрон-
ными дырками Л2 по отношению к основному состоянию ядра 208РЬ. Экспериментальные
значения амплитуд были найдены путем анализа сечений реакции 20fiPb (d, р), в которой
заселялись различные конфигурации типа /-1 в ядре 207РЬ [856], причем полученные отно-
сительные значения амплитуд были затем нормированы условием (/) = 1. Эксперимен-
тальные одночастичные энергии приведены в третьем столбце таблицы (см. также т. 1,
Фиг. 3.2, е).
В одночастичных реакциях передачи 206Pb (d, p)t в которых образуются
различные конфигурации типа /-1 ядра 207РЬ, непосредственно измеряется
квадрат амплитуды с(/), характеризующей структуру основного состояния
ядра 2°6РЬ:
| зовРЬ; 0 +>=£>(/) | (/-2)0>.	(6.да)
/
Результаты такого анализа приведены в табл. 6.19. Эти же величины могут
°ЫТь определены путем резонансного анализа упругого рассеяния протонов
коядре 2оврь, происходящего через возбуждение изобарных аналоговых состоя-
ии конфигураций типа /-1 ядра 207РЬ. Результаты такого анализа согласуются
Данными, представленными в табл 6.19 [968].
ц В упомянутых опытах не определяются относительные фазы амплитуд с (/).
0 из того, что в двухчастичной реакции передачи 208РЬ (р, гобрь основное
остояние заселяется с интенсивностью, на порядок большей, чем интенсив-
ны^ Заселения возбужденных состояний 0+ [619], следует, что относитель-
ij е ^азы соответствуют наибольшему пространственному перекрытию волновых
фикций двух нейтронов. Принимая обычное условие для фаз одночастичных
стояний, мы получаем, что амплитуда вероятности того, что координаты
4 ух частиц, описывающихся волновой функцией (/2)0, совпадают, есть [фор-
564
Гл. 6. Вибрационные спектры
мулы (3.60) и (1.136)]
<Г1 = г2 = г, S=01Л /=0> =	А- (г), (б 588)
где &пц— радиальная волновая функция (и где угловые функции норми
ваны к телесному углу 4л). Как нетрудно видеть, для конструктивной ин^°
ференции пространственно перекрывающихся функций необходимо, чтобы ко^ь'
фициенты с(/) были одного знака.
Смешивание конфигураций в основном состоянии ядра 208РЬ можно хап
теризовать величиной спаривательного поля. Для состояния О-|-спаривателК*
ная плотность пространственно изотропна и матричный элемент монопольное*
момента (6.145) дается выражением
М = (*РЬ; 0 + 1 М\ I208 РЪ; 0+> = -^ (/)(/+у У7’	(6.589)
Здесь множитель / + V2 есть число различных компонент (w) в связанном
состоянии (/~2)0.
Если предположить, что все с(/) положительны, то из табл. 6.19 следует,
что | М I —величина порядка 3,8. Это сравнимо со значением | М 1 = 1, кото-
рое получилось бы, если бы мы имели дело с чистой конфигурацией р-Д и
с максимальным значением, равным (22)1/г	4,7, которое можно получить на
уровнях последней заполненной нейтронной оболочки (82 <7/ < 126).
Значительное усиление спаривательного поля позволяет интерпретировать
основное состояние ядра 206РЬ как коллективный фонон с квантовыми числами
а = —2 и Хл = 04- (стр. 339). Одночастичную структуру такого возбуждения
можно найти, если рассмотреть связь между отдельными нейтронными конфи-
гурациями (vv) и коллективным возбуждением спаривательного поля. Такая
связь между отдельными частицами и колебаниями дается формулой (6.148)
(в предположении постоянства радиального формфактора), а из условия са-
мосогласования, представленного на фиг. 6.61, а, следует уравнение для
собственных значений
у —С(/+Уг)	j	(6.590)
L 2|е(/)| —Ясо	L	1
/
Здесь | е (j) | — энергии дырочных конфигураций у"1, a /zсо —энергия коллек-
тивной спаривательной моды. Исходя из экспериментального значения энергии
связи ядра 206РЬ и из экспериментальных значений одночастичных энергии,
представленных в табл. 6.19, можно, используя уравнение (6.590), найти зна-
чение спаривательной константы:
0 = 0,14 МэВ.	(6-591)
Амплитуды с (/), характеризующие микроскопическую структуру 0 + возбужде"
ния [формула (6.587)1, можно найти исходя из матричного элемента оператор
Л1 (Г2)0), который рождает нормированное состояние (/“2)0. Из первой Ди-
граммы на фиг. 6.13, представляющей матричный элемент перехода между
стоянием вакуума и однофононным состоянием, следует, что
_ GM(/ + V2)^	(6.592)
й(о-2|е(/)| ’
Можно также найти амплитуду с (j) исходя из одночастичного матричное^
элемента передачи, представленного на фиг 6.61, б. Приведенный матр
элемент этого процесса равен 21/а с(/), где множитель 21/2 учитывает то о^^
тельство, что мы имеем две эквивалентные дырки, каждая из которых
Примеры к гл. 6
565
быть заполнена добавленным нейтроном. Разница весов диаграммы на фиг 6.61,6
диаграммы, соответствующей оператору А* ((/~2)о), связана с тем, что два
И дсдественных нейтрона различимы в первом случае, но не различимы во втором,
условие нормировки
(6.593)
сочетании с формулой (6.592) для c(J) позволяет найти спаривательный мо*
мент, который оказывается равным М = —3,5, что хорошо согласуется с при-
веденным выше экспериментальным значением Мы выбрали для возбужде-
а = -2; ХЛ.-О +
а=-2;	=
Фиг. 6.61. Диаграммы, иллюстрирующие свойства квантов парных вибраций.
Диаграмма а соответствует условию самосогласования для спаривательного момента,
а именно: М2— У a* (v) а* Cv) ~ — У, (/4-(G’2)o), где Af ((/2)о) s 2~X
+	v > 0	j
х(° О')	(/))(//') о- Диаграмма б соответствует амплитуде одночастичной передачи, при ко*
торой система переходит из состояния с одним спаривательным квантом, соответствующим
удаленной паре частиц (п__= 1), в состояние с одной дыркой.
а

ния 0+ такую фазу, при которой величина с (/) положительна и соответственно
этому величина М отрицательна [формула (6.589)]. Вычисленные по формулам
£-592) и (6.593) амплитуды с (/) приведены в последнем столбце табл. 6.19.
очевидно, что они в целом правильно воспроизводят экспериментальные данные.
Выше при анализе парных корреляций мы ограничились конфигурациями,
включающими нейтронные дырки в оболочке (82<iN^126). Учет более уда-
ленных состояний может существенно изменить величину момента спариватель-
НОго поля и эффективную константу связи. Так, например, вклад матричных
Дементов, соответствующих процессам рождения и уничтожения спариватель-
полем пары частиц в следующей оболочке (126	184), можно учесть
ключением амплитуды, соответствующей второй диаграмме на фиг. 6.13. Тогда
Условие самосогласования будут входить члены, связанные с промежуточ-
ен состояниями, содержащими фонон и две частицы в верхней оболочке
корреляции в основном состоянии); см. фиг. 6,14. Если предположить, что
566
Гл. 6. Вибрационные спектры
спаривательное поле действует одинаковой силой в обеих оболочках
экспериментальное значение парной энергии связи в 206РЬ воспроизводится *
значении спаривательной константы связи G = 0,094 МэВ, существенно МП^'
шем оценки (6.591). Однако указанные процессы мало изменяют величину Gm
так что одночастичные амплитуды оказываются примерно такими же
в табл. 6.19.	* к и
Замечание. Связь с коллективным спаривательным полем (6.148) эквив
лентна учету двухчастичного взаимодействия следующего вида:
Яспар = —G У, aT(v')ar (v') У a(v) а (у)	(s 5д.
v'>0	v>0	‘	'
(так называемые спаривательные силы). В сферически-симметричном потен
циале такие силы действуют только на двухчастичные конфигурации, имеющие
J -0, так что
<(/')2; JM | Яспар | (у)2; JM)=-G(/ + iy/2(/' + iy/26(J, 0).	(6.595)
Нетрудно видеть, что диагонализация этого взаимодействия в пространстве
образованном конфигурациями с двумя дырками, приводит к секулярному
уравнению (6.590), определяющему энергии, и к уравнению (6.592), определя-
ющему волновую функцию.
Нейтронные парные вибрации в ядрах вблизи 208РЬ (фиг. 6.62)
Моды, связанные с добавлением и удалением из ядра пар частиц, пред-
ставляют собой элементарные кванты возбуждения, которые, как установлено,
сохраняют свою индивидуальность и при наложении других возбуждений того
же самого или другого типа. Это можно видеть из графика фиг. 6.62, где
представлены экспериментально наблюдающиеся состояния изотопов РЬ, воз-
никающие при суперпозиции различного числа элементарных квантов, связан-
ных с добавлением или изъятием из ядра 208РЬ пары нейтронов. В гармони-
ческом приближении энергия линейно зависит от числа элементарных квантов
[формула (6.137)]; соответствующие уровни энергии изображены на чертеже
редким пунктиром. Самые большие ангармонические поправки можно рассмат-
ривать как взаимодействие между квантами (так же, как при анализе ангармо-
ничности квадрупольных фононов, стр. 400), и соответствующий сдвиг энергии
будет
6£ (п_. «+)v—n- (rt- ~	у v++"+ ("+ - °'	(6‘596)
(Здесь через п_ и п+ обозначены величины па___2 и па-+2-)
Значения энергии, вычисленные при значениях параметров взаимодейст-
вия V__ = 710 кэВ, = —-130 кэВ и У++=170кэВ, определенных по экспе-
риментальным значениям энергий состояний (п_, л+) = (2, 0), (1, 1) и ’’
изображены на фиг 6.62 пунктиром. Очевидно, что вычисленные энеРгна
в основном правильно воспроизводят экспериментальные данные, несмотря
то, что взаимодействие между квантами с а = —2 по величине сравнимо с эн р
гией связи пары нейтронных дырок. Особенно большая ангармоничность У
занной моды связана со значительным весом в ней конфигурации с ДВУ
дырками на уровне pit , которая, как видно из табл. 6.19, играет домин р/
ющую роль.	^аК.
Изображенные на фиг 6.62 состояния взаимосвязаны усиленными ^дь1
циями двухнуклонной передачи. Наблюдающиеся экспериментально пеРннЫе
такого типа указаны стрелками и приведены их интенсивности, выра
Примеры к гл. 6
567
е3 экспериментальные сечения образования однофононных состояний пар-
их вибраций. Для сечения приблизительно выполняются соотношения (6.138),
ппаведливые в гармоническом приближении, но имеются и существенные
упущения этих правил, обусловленные ангармоничностью.
Н Р данные, представленные на фиг. 6.62, интерпретируются как суперпози-
я квантов парных вибраций. Но указанные кванты ведут себя как элемен-
t~ % (го8рв, осн. состп. ')'-Л(А -208), МэВ
200	202	204	206	208 2Ю 212 2М 216
А
Фиг. 6.62. Спектр парных вибраций нейтронов, основанный на 208РЬ.
Сплошной линией показаны экспериментальные данные, редким пунктиром — результаты
расчета в гармоническом приближении, пунктиром — результаты расчета с учетом взаимо-
действия между квантами; Х=’/2 [Е (2g«/2) + е ppiyj] = — 5,66 МэВ.
Для каждого уровня указаны два числа (n_, n+), которые представляют собой числа
спаривательных квантов, связанных одно с удалением, а другое — с добавлением пары
частиц; шкала энергии такая же, как и на фиг. 6.6. Стрелками обозначены усиленные
в реакциях двухчастичной передачи [(/, р) или (р, /)] переходы, а рядом со стрелкой ука-
зывается сечение в единицах или для процессов (0, 0) «->(!, 0) и (0. 0) «-* (0, 1) при
одинаковой энергии налетающей частицы (поправки на сравнительно небольшие различия
в величинах Q не вводились).
Экспериментальные значения энергий связи взяты из работы [799]. Энергии состоя-
ний, рассматриваемых как состояния парных вибраций, и сечения взяты из следующих
работ: 20<РЬ(р, /) и 2«СРЬ (р, /) [729] [несколько иное значение сечения для перехода
между основными состояниями 204РЬ и 200РЬ было получено в реакции (t, р) (Флинн,
Устное сообщение)]; 2°4РЬ(/, р) [423, 424], 208РЬ (/, р) и 21°РЬ(/, р) [633], 208РЬ(/, р) [422],
2i°Pb(t р) [374].
Тарпые моды и при наличии частичных или дырочных возбуждений. В каче-
0186 примера можно привести уровень с /я = ^'2+ при энергии £ = 2,71 МэВ
в ядре 2о?рь jсостояние, интерпретируемое как (n_=l, £»/г)9/2 + ] и уровень
/ ^л==1,2+ с энергией £ = 2,15 МэВ в ядре 2О0РЬ, который имеет структуру
Pi/D 1,2— (т- 1’ СТР- 314, фиг. 3.2, е).Эти уровни заселяются с прибли-
21опельно одночастичными вероятностями в реакциях 206Pb (d, р) [857] и
Рь(^, 0 [634]. Состояние (п+=1, рг/2) наблюдалось также и в реакции
’Pb (/, р), причем с вероятностью приблизительно такой же, как и в реак-
связывающей основные состояния ядер ^РЬ и 210РЬ [421].
568
Гл. 6. Вибрационные спектры
Одночастичное движение в потенциале со
деформацией; квазичастицы (фиг, 6.63 и 6.64)
спаРивателъно11
В ядрах с большим числом частиц сверх заполненных оболочек
установиться статическая деформация спаривательного поля (стр. 346). Ниже^
рассмотрим некоторые основные свойства системы нуклонов при нали Mbl
такого конденсата пар.	ии
Если предположить, что спаривательное поле приблизительно постояни
по объему ядра, то соответствующий ему потенциал, действующий на отлет °
ные нуклоны, имеет вид [формула (6.148)]	”ь'
1/спар = —А У R (v) а+ (v)+a (v) a (v)],
(6.597)
где -Д — константа, равная произведению константы связи Q на палией
момент М2: A = G(M2).	р ыи
Оператор (6.597) соответствует рождению и уничтожению пар частиц, ЧТо
связано с удалением или включением пар частиц в коллективное спариватель-
ное движение—конденсат. При анализе одночастичного движения в присут-
ствии спаривательного поля следует обязательно учитывать энергию, связан-
ную с переходом частиц в конденсат. Обозначив через X увеличение энергии
конденсата при добавлении одной частицы (химический потенциал), мы рас-
смотрим следующий гамильтониан, описывающий систему:
Н' = Н - Ь&Г = Нй + Vcnap -	= £ [е (v) - М ar (v) а (у) + 1/спар =
V
-= У {[8 (V) — Ь] [af (v) a (v) + af(v) a (v)] —Д [af (v) af (v) + a (v) a (v)]}.
v>0
(6.598)
Здесь ©/Г9— оператор числа частиц, а Н — оператор энергии нуклонов.
В отсутствие спаривательного потенциала одночастичные энергии е (у) харак-
теризуют движение нуклона в среднем (сферическом или деформированном)
потенциале.
Гамильтониан (6.598) не сохраняет числа частиц. Его собственные значе-
ния характеризуются распределением числа частиц, которые могут выпадать
в конденсат и рождаться из конденсата. Среднее значение	вычислен-
ное по собственному значению гамильтониана И', зависит от положения хими-
ческого потенциала X относительно уровней одночастичного спектра е (v). В то
же время можно рассматривать X как параметр, который следует выбрать
таким образом, чтобы получить состояние с заданным значением (©/К). Поэтому
можно считать, что X — множитель Лагранжа, связанный с существованием
ограничения на среднее число частиц. [Член — 'к©4/3 в гамильтониане (6.598)
можно также рассматривать как взаимодействие Кориолиса, связанное с вра-
щательным движением в градиентном пространстве. Из формулы (6.151) сле-
дует, что число частиц в градиентном пространстве является аналогом угло-
вого момента, а из формулы (6.155) вытекает, что X является аналогом угло-
вой частоты.]
Гамильтониан (6.598) представляет собой квадратичную форму по ферми-
евским операторам а* и а и, следовательно, линейным преобразованием этих
переменных может быть приведен к диагональному виду [152, 1136]:
(у) == и (у)	(у) + v (у) а (у), af (у) = и (у) a*	(v)	— и (у) a	(v),	(6.599а)
а* (у) = и (у) af (v) — d (у) а (у), а? (у) = и (у) af	(у)	+ и (у) а	(у)	(6.5996)
[заметим, что для фермиевских операторов а1 (у) =—at (у), см. формулу (3.87)1-
Из условия каноничности преобразования следует	лЛЧ
u4v) + ^(v)=l,	<6'600'
Примеры к гл. 6
569
3 условия диагональности преобразованного гамильтониана следует, что
/X	1 1 V (v)=-— V2I	+^Г П./	С6-60» . e(v)—Xl'A .	£(v) j ’
где 1/
£(v) = {[e(v)-XP+A2} /а.	(6.602)
Если коэффициенты преобразования имеют вид (6.601), то гамильтониан ста-
новится диагональным:
Н'~%+%Е(у)а' (v)a(v),	(6.603)
V
где
2 {2v2(v)[e(v)-X]-2u(v)v(v)A} = £ {[е(v)-Xl-E(v)}.	(6.604)
V > о	V > 0
Гамильтониан (6.603) описывает систему независимых «квазичастиц», пред-
ставленных новыми фермионными операторами (af, а). Число квазичастиц
равно V, а основное состояние есть вакуум по квазичастицам, так что для
нег0 v = 0 и выполняется соотношение
a(v)| v = 0) = 0,	(6.605)
справедливое при всех v. Волновая функция квазичастичного вакуума, выра-
женная через операторы частиц, имеет вид [формулы (6.599) и (6.605)1
| v = 0) =	[и (v) + v (v)	(v) af (v)l |	= 0),	(6.606)
v > о
где |	— 0) есть состояние вакуума по частицам. Поэтому v (v) представляет
собой амплитуду вероятности того, что пара частиц ^занимает одночастичные
уровни (vv) в состоянии v = 0. Для нормальной системы и (v) меняется скач-
ком от 1 до 0 при энергии уровня Ферми X, но в сверхтекучих системах
спаривательные корреляции приводят к размытию поверхности Ферми, причем
интервал размытия составляет величину порядка А (фиг. 6.63, а). Волновая
функция вида (6.606), учитывающая такие корреляции, впервые использовалась
в теории сверхпроводимости [71].
Одноквазичастичные состояния получаются действием на состояние с v = 0
оператора рождения квазичастиц:
v = l, v) =af (v) | v=0)	(6.607)
и имеют энергии возбуждения £ (v) [формула (6.602)]. На фиг. 6.63, б квази-
частичные энергии £ (v) сравниваются с энергиями возбуждения в системе без
корреляции, равными | e(v)—X [•
В ядрах с четным числом частиц основное состояние есть состояние
с v==0, а самые нижние внутренние возбужденные состояния характеризуются
и имеют энергии £ ^ 2А [формула (6.602)]. Поэтому 2А представляет
собой величину энергетической щели, обусловленной спариванием. В ядрах
нечетным низшие состояния имеют v = l, а величина А, как нетрудно
иДеть, представляет собой четно-нечетную разность масс.
Изменение одночастичных степеней свободы, обусловленное парными кор-
реляциями, можно непосредственно проверить в одночастичных реакциях пере-
Даци, которые дают информацию о матричных элементах от операторов а1 (у)
570
Гл. 6. Вибрационные спектры
и а (у). Если мишенью является четно-четное ядро в основном состоянии
эти матричные элементы определяются правилами отбора, согласно который
при действии оператора возникают состояния частиц, а при действии on
ратора а —состояния дырок. Из-за наличия парных корреляций квазичасти е*
(6.599) представляют собой смесь частиц и дырок. Поэтому сопоставление сецЫ
Фиг. 6.63. Вероятности заполнения (а) и энергии квазичастичных возбуЖДе
ний (б) для состояния с парной корреляцией.
ний реакций однонуклонного срыва и подхвата, ведущих к одному и тому
квазичастичному состоянию, дает нам прямой способ определения ФИГУРЙРУ t
щих в формулах (6.599) коэффициентов канонического преобразования и
Пример такого анализа, проведенного для ряда изотопов Yb, дается
фиг. 5.11.	стиЧ.
В общем случае можно вычислить матричные элементы между квазича
ными состояниями, осуществив преобразование операторов от перем
(а\ а) к переменным (а\ а). Так [формула (2.254)], одночастичный оператор
Примеры к гл. 6
571
можно представить в виде
‘ V <vg|F|v1>at(v2)a(v1)= £ (1-с) у2 (v) <v | F | v) +
f v>°
+ 2 (“i«2+«V2) <v2 F! v,> at(v2)a(v1)+ У (У1«2 —«V2)X
ViVe	Vi<V2
xKv2|F.Vi)at(v2)at(vi) + (v1 F | v2> a (vx) a (v2)],	(6.608)
e u^u (vi) и T* д- Фазовый множитель с характеризует свойства оператора F
JnH частично-дырочном сопряжении, которое представляет собой комбинацию
обращения времени с эрмитовым сопряжением [формулы (3.11) —(3.14)]:
(V1IF|v2> = -C(v2iF vx>,	(66о9)
(v, F! v2>=c<v2|F| V1>.
Второе соотношение (6.609) следует из первого, если учесть, что [v)=—|v).
При частично-дырочном сопряжении электрические мультипольные моменты
меняют знак (с = — 1), а магнитные моменты не меняются (с = + 1).
Фиг. 6.64. Диаграммы матричных элементов одночастичного оператора для
квазичастичных состояний.
Квазичастицы представляют собой гибриды частиц и дырок и поэтому изображаются без
стрелок. (Относительно диаграмм с участием дырок см. т. 1, стр. 361, фиг. 3.7.)

Из формулы (6.608) сразу получаются следующие соотношения:
(v = l, v21F | v = 1, v1)=(w1h2+cv1i/2)<v2|F|v1>,	(6.610а)
<v = 2, ViV21 F | v=0) =(^2 — cuiv2) <v21F | vi>. (6.6106)
Эти формулы поясняются схемами, представленными на фиг. 6.64. В них
отражается определение квазичастицы как гибрида частицы с амплитудой и
и Дырки с амплитудой v [формула (6.599а) и частично-дырочное преобразова-
ние (3.89)]. Диагональный матричный элемент (vj = v2) типа (6.610а) имеет
Дополнительный член от первого слагаемого в сумме (6.608), представляющий
обой среднее значение оператора F по состоянию конденсата.
На практике параметр Д можно определять по экспериментальным значе-
иям масс ядер (см., например, систематику четно-нечетных разностей масс
572
Гл. 6. Вибрационные спектры
Величину X также можно определить непосредственно по энергиям
ления двух частиц Однако такая процедура довольно чувствительна к от^'
сительному положению уровня Ферми и одночастичных состояний e(v) пН°‘
вильность выбора энергии Ферми можно проверить, определив X из услов^*
которое дает правильное число частиц в среднем. Так, для состояния с v^n
мы имеем условие:
(V=0 I I V=о>=2 ж (V) = 2 [>
v>0	v>0
(6.611)
из которого можно определить X, если известны А и е (v).
Можно также попытаться определить величину А по константе G, хапак
теризующей связь между спаривательной плотностью и потенциалом [формул-
(6.148)]. Для этого нужно воспользоваться условием самосогласования для
монопольного спаривательного момента М2 [формула (6.145)]. В состоянии
с v = 0 среднее значение М2 оказывается следующим [формулы (6.599) и (6.601)]-
<v = 0|M8| v=0)= и (VMV)= нГ(у)> (6.612)
v>0	v>0
где А — спаривательный потенциал [формула (6.598)], пропорциональный (ЛД)
[формула (6.148)]:
A = G(v = 0|Ma| v = 0) = G 2 «(v)f(v).	(6.613)
v > 0
Примеры, к гл. 6
573
формул (6.612) и (6.613) следует, что условие самосогласования для
X- ,
<6'614’
Аля заданного одночастичного спектра Е (v) и спаривательной константы G из
пспеднего соотношения мы находим Д.
П В сферических ядрах связь между Д и G, определяемая соотношением
/6 614)» сильно зависит от характера вырождения одночастичных уровней
я области вблизи поверхности Ферми. В деформированных ядрах, где плот-
ность одночастичных уровней более однородна, можно получить приближенное
соотношение между Д и G, если рассмотреть одночастичный спектр равномерно
распределенных уровней е (v), каждый из которых двукратно вырожден (v, v).
Если расстояние d между уровнями мало по сравнению с Д, то сумму в фор-
муле (6.614) можно заменить интегралом
Иг- 6.65. Форма седловой точки и барьер деления капли заряженной жид-
кости.
Мет^°^Ма И энеРгия деформации ядра Е^ в седловой точке при разных значениях пара-
Ра Делимости х в случае системы с угловым моментом, равным нулю [272]. Уравнение
5аИВ°й:	= 4л7?2,у£ (х) = 660 (Л/238)2/з £ (х) МэВ, причем х = 0,0205Z2M; б—высота
РЬера деления для вращающейся жидкой капли [273]. Для каждой кривой указано соот-
СлевТаВуюи^ее значение параметра у, характеризующего угловой момент Q/= 2,1Д~ 7/з/2).
е скРивые ограничены штриховой линией, которая указывает предел стабильности ядра
^тпиС°ВОЙ точке относительно деформаций нечетного порядка (асимметричное деление)
Рих-пунктирная линия —предел стабильности аксиально-симметричной сплюснутой
ф0Рмы ядра; ниже этой линии равновесной формой является трехосный эллипсоид.
574
Г л. 6. Вибрационные спектры
предположив, что спаривание постоянно и охватывает интервал энергии
стирающийся на S/2 по обе стороны от энергии уровня Ферми X Из а ’ ПР°-
(6.615) получаем	фОрмУлы
д=4 (sh 4) ^sexp {-4}-
(6.616)
где при написании последнего (приближенного) равенства мы приняли
что эквивалентно условию A <С S Например, в области А 160 нейтрон
спектр характеризуется параметрами d 0,4 МэВ (фиг 5.3, стр. 200) и А^ло
(т. 1, фиг. 2.5). Учитывая одночастичные уровни в пределах S = 2/7(o^~U’°
соответствует 15 МэВ, мы из соотношения (6.616) найдем, что 6^140 кЧг>°
Поскольку спаривание представляет собой объемный эффект и, следов
тельно, матричный элемент G можно считать пропорциональным Д-i, указан'
ная оценка величины G довольно хорошо согласуется со значением, получен
ным на стр. 564 для ядра 206РЬ, если только предположить, что интервал
энергии S одинаков в обоих случаях.	н
Из рассмотренного примера видно, что сумма (6.614), входящая в условие
самосогласования, должна быть обрезана при некотором конечном значении
энергии, поскольку вклад далеких уровней логарифмически расходится [фоп.
мула (6.615)]. Такая расходимость оказывается следствием предположения
о том, что спаривательное поле локально, и она исчезает, если учесть, что
эффективное взаимодействие имеет некоторый конечный радиус действия.
Вклад далеких уровней в структуру низкоэнергетического спектра квазичастиц
несуществен, ибо он имитируется перенормировкой эффективной константы
связи G (см. о влиянии далеких уровней на парную корреляцию в ядре 206РЬ,
стр 565).
Корреляционную энергию в состоянии с v = 0 можно найти, зная вели-
чину Gq в диагональном гамильтониане (6.603):
^Kopp(v = 0) = ^ + X(<^r> + -^--	2 2еМ-
v>0
e(v)^eF
(6.617)
Второй и третий члены в формуле (6.617) указывают на то, что корреляцион-
ная энергия отличается от энергии, представляемой гамильтонианом Я', как
наличием члена Х©^ [формула (6.598)], так и тем, что спаривательный потен-
циал (6.597), просуммированный по всем частицам, учитывает двухчастичное
взаимодействие дважды. Последний член формулы (6.617) представляет собой
энергию некоррелированной системы, в которой все одночастичные уровни
заполнены вплоть до уровня Ферми, энергия которого есть е^. В рассмотрен-
ной выше модели однородного спектра е/7=Х Используя выражение (6.604)
для имеем в этом случае:
S/2
#kopp(v=0) = 2 j	(Д<5). (6.618)
о
Здесь мы также использовали выражение (6.616) для А. В приведенном
ленном примере (Л ^160) парная нейтронная корреляционная энергия ( • 0.
равна i?KOpp = —0,8 МэВ, что, очевидно, составляет примерно только	ой
вину энергии связи пары, равной 2А. Такая малая величина корреляци	юТ
энергии свидетельствует о том, что сильные парные корреляции Деи
лишь на небольшое число одночастичных состояний. Поэтому на само' нйЯ
условие, при котором задачу можно рассматривать на основе предста
о статическом спаривательном поле, едва выполняется.
Приложение 1. Колебания и вращения ядер
575
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
КОЛЕБАНИЯ И ВРАЩЕНИЯ ЯДЕР
В МОДЕЛИ ЖИДКОЙ КАПЛИ
Здесь мы рассмотрим нормальные колебания однородной системы, описы-
емой такими макроскопическими характеристиками, как поверхностное натя-
Б?ение, электростатическая энергия, сжимаемость и поляризуемость. Описывае-
* в п. 2 делительная степень свободы появляется как обобщение малых
поверхностных колебаний, о которых идет речь в п. 1. Модам движения,
обусловленным сжимаемостью и поляризуемостью ядерного вещества, посвя-
щены пп. 3 и 4. Исследуемое в п. 5 вращение рассматривается как вид коле-
баний поверхности ядра 1>
1. Колебания поверхности относительно
сферически-симметричного равновесного состояния
Нормальные координаты
Поверхностные колебания жидкой капли можно характеризовать нормаль-
ными координатами появляющимися в разложении радиуса ядра как
функции углов по сферическим гармоникам:
R (0. Ф) = Ro Г1 + 5 ам Л и (0, ф)1,
L	J	(6.619)
аЛц = <-	_U = R^ $ dQ R (6, <p)	(0, <p),
где Ro—равновесный радиус, a R (9, q>) — расстояние от начала координат до
поверхности ядра. Величины представляют собой компоненты сферического
тензора и при вращении системы координат преобразуются как сферические
гармоники (т. 1, стр. 84). Член с Х = 0 в формуле (6.619) описывает сжатие
или расширение ядра без изменения его формы, а член с Х=1 соответствует
сдвигу ядра как целого. Поэтому поверхностными модами наинизшего порядка
являются квадрупольные колебания с 1 = 2.
Деформация типа Хц приведет к появлению у системы мультипольного
момента той же симметрии:
е<(Хц) = 5 р(г)	(6-620)
где р(Г)__плотность частиц в точке г, а р0 —ее равновесное значение. В по-
зднем соотношении мы пренебрегли членами более высокого порядка по откло-
нив от положения равновесия 6₽=7?— /?0.
в * Модель жидкой капли в применении к ядерной динамике была введена
Работе [175] для анализа следствий из сильной связи в движении отдельных
Уклонов, обнаруживаемой в резонансах на медленных нейтронах. Модель
81ГИла °^ъяснить основные закономерности процесса деления ядер [176,
п 1- В работе [1070] модель была расширена и в нее были включены сте-
Ни свободы, связанные с движением протонов относительно нейтронов, на-
ныуДаемь1е в Реакции ядерного фотоэффекта. Многие методы анализа нормаль-
х колебаний жидкой капли восходят к классической работе [955].
576
Гл. 6. Вибрационные спектры
их произ-
(6.621)
Гамильтониан
Для колебаний с малой амплитудой с точностью до главных членов
гия представляет собой квадратичную форму по амплитудам «хр, и
водным по времени а^:
£(«Лц, аХ|Л) = 7’ + У.
v=4 2Сх|	|2=4 2Сх (~1)Х (2х+1)1/2 <а^о-
Хц	Л,
т=4 2Dx 1	,2=4 2 D)S~ 1)Х(2Х+1)1/2 (“л“л)”
Хц,	К
где	параметры упругой	силы,	а	Г);—массовые	параметры,	зависящие от
свойств рассматриваемой	жидкости	(см.	ниже)	Величины	(ах«х)о	(а?а;)0
представляют собой скалярные произведения тензоров ах и ах [формула (1.164)1
а общий вид выражений (6.621) следует из соображений инвариантности отно-
сительно вращений. Члены вида (ахах)о не входят в (6.621) в силу инвариант-
ности относительно отражения времени.
Импульсы лхц, сопряженные координатам можно получить обычным
способом:
=	=	,«2,
4-1-
Величины (но не сами импульсы) являются сферическими тензорами. Из
(6.621) и (6.622) следует, что гамильтониан имеет вид
Я = 2{2бГ!^м!2+-2 C^a^l2}.	<6-623)
а соответствующее ему уравнение движения таково:
aXg+wxaM1 = 0.	=	(6'624)
Мы видим, что амплитуды адр совершают гармонические колебания с часто-
той (Ох-
Бегущие и стояние волны
Общее решение уравнения движения (6.624) имеет вид
®Лц (0 = “Лц+ехР {‘“^ + ‘е1н+} + а^-ехР {“ ’W+%p-b н>01
a> _ц(0=(-1)на^,	<6-625)
Л», |Л v 9	>	9
«Ло (О=«Ло COS (w;7 - 6?.о),
где амплитуды и Фазы	— действительные параметры,
явный вид общего решения и формулу (6.619), легко получить
Используя
выражеН1,е’
Приложение 1 Колебания и вращения ядер
577
сЫВаюш.ее форму поверхности:
=Яо У! |ало COS (ш^— б?л) Y-M (в) +
х	1
+2 X fa>-n+cos(W~~6>-н+) + aMi -cos(НФ+“х*“6Хц -)]уЛи(0> Ф = °)?-
11'	(6.626)
Очевидно, что амплитуды (при р > 0) описывают волны, бегущие вокруг
полярной оси.
Колебания поверхности можно представить также в виде стоячих волн,
амплитуды которых можно получить, разлагая при р^Она действитель-
ную и мнимую части:
а?.ц = -р— (“Хц. 1 + ('«Хц, г).
-и ~ (аХ)л. 1 ,аХц.г) (	1)^
ц > О
(6.627)
Действительные величины а^ц, t и а^ц, 2 соответствуют, как видно из формулы
(6.626), деформациям, пропорциональным cos рлр cos (со^ + бд^, J и sin ркр X
Xcos((o?,/4-6xm.,2)-
Такие суперпозиции амплитуд а^ц и ах, _ц, которые представляют собой
стоячие или бегущие волны, оказываются возможными благодаря вырождению
сопряженных мод движения, обусловленному сферической симметрией равно-
весной формы капли. [Вырождение мод, различающихся знаком проекции р.,
свойственно равновесным состояниям, обладающим аксиальной симметрией и
инвариантным относительно вращения на 180® вокруг оси, перпендикуляр-
ной оси симметрии (^-симметрия), или аксиально-симметричным состояниям,
инвариантным относительно обращения времени ] Если имеется возмущение,
нарушающее симметрию, то состояния оказываются вполне определенными
комбинациями сопряженных мод движения. Например, колебательные моды
вращающейся Земли представляют собой бегущие волны с определенными зна-
чениями pi (так как аксиальная симметрия не нарушается вращением), а моды
с противоположными значениями р, имеют несколько другие частоты. Из
опыта известно, что квадрупольные колебания земной поверхности, имеющие
период порядка часа, расщепляются на пять компонент, сдвиг частот в кото-
рых приблизительно пропорционален pi. При этом разница частот составляет
несколько процентов, что согласуется с отношением частоты вращения и
частоты колебаний [57, 1045}.
Угловой момент
Бегущие волны несут момент количества движения. С точностью до глав-
ных членов по амплитудам колебаний вектор углового момента /VI z= h\)
является билинейной комбинацией величин аил, вид которой определяется
на соображений инвариантности относительно поворотов в пространстве Так,
скобка Пуассона, составленная из сферической компоненты /Иц и амплитуды а^,
пРеДставляет собой классический аналог коммутационного соотношения (1.157)
и имеет вид
(Лл
=	==~Z [МЬ+Ч7’ (XpiHpi! Кр + рОа^
(6 628)
ОА дВ	дА	дВ
^аХц ^^Хц	^лХц (^аХц
19 О. Ьор, Ь. Мимельсии
М, 8( = У(
578
Гл. 6, Вибрационные спектры
Интегрируя это уравнение, мы получаем [формулы (1.103) и (1,104)]
2 [МЬ+ПГ'ЧАИНМО Мм*-=
Хц'ц"
‘ 2(-	1) (2Л+ 1)]‘/г ЫаДц (6>б29)
(в последней формуле величины и связываются в вектор).
Проекция вектора М на ось г может быть представлена в различна
формах:	1х
^^и-о=['И 2нОл(аи+-ам1-)=
Хц	, U > о
~	(аЛц» 2аЛц, 1 аЛ|л» г)*	(6.630)
х, ц>о	1
Отметим, что каждая бегущая волна несет угловой момент, а среднее
значение углового момента стоячей волны равно нулю.
Поверхностная энергия несжимаемой жидкости
Увеличение поверхностной энергии при деформации равно произведению
приращения площади поверхности на коэффициент поверхностного натяже-
ния В направлении, задаваемом углами (0, ф), плоскость, касательная
к поверхности R (б, ф), образует с плоскостью, касающейся сферы, угол, рав-
ный | yR и, следовательно, приращение поверхностной энергии дается чле-
нами второго порядка по параметрам деформации:
ИПОВ = ^
J d£i р?2-Я|= + 1 R* (VZ?)»] =

=	Г2 (4л)*/’ a0+2l а*И 1г+4 2Ш+ ° 1	12
(6.631)
Хц	Хц
В случае несжимаемой жидкости из условия сохранения объема следует соот-
ношение, связывающее а0 и коэффициенты с Л #= 0, которое можно полу-
чить, если записать плотность вещества в виде
p(r, е, <p) = PoS[r-R(9, ф)],	(6.632а)
где 5—ступенчатая функция:
е/И==/ 1 ПрИ *<0,	(6.6326)
( 0 при х> 0.
При малых деформациях, когда |/? —/?0 I < Яо» справедливо разложение
р(г, е, Ф)=p0[s(r-«0)^-(R-й0)д(r-/?o)-4(й-Л'>)26'('_Л<l)+]
L	(6.633)
Объем жидкости определяется интегралом от плотности (6.633), откудатн0.
ностью до главных членов разложения по деформациям мы получаем
шение:	_ cqai
а0 = —(4л)~ ,/г 21 аЛн I2,	'
Хр.
Приложение 1. Колебания и вращения ядер 579
н0 так же из условия, что центр масс остается неподвижным, возникает
1едУющее соотношение связи:
«1И= 2 (-1)Х+13(т-),/2 <a^+i)nv	(6.635)
Х>0
выражения (6.631) для поверхностной энергии и соотношения (6.634) для а0
1ДуеТ, что вклад поверхностного натяжения в коэффициент упругости равен
(Сх)пов==^_ 1) (Х + 2) R^	(6.636)
)И сопоставлении ядра с жидкой каплей коэффициент поверхностного натя-
,>ния связан с параметром 5П0В в массовой формуле (2.12):
4лг^==6П0В^ 17 МэВ,	(6,637)
,е ^—параметр радиуса (/?о = ''о^1/з)-
Кулоновская энергия
Если жидкость заряжена, то изменение кулоновской энергии при дефор-
мации равно
Укул = У j РЭЛ (Г) ФЭЛ (О dx - 4	РоЛ (г) С (г) dX =
= j <5рэл (О ФоЛ dT+ 2 § брЭЛ 5фЭЛ dx' <6-638)
де р^л (г) и (рэл (г) __ плотность заряда и кулоновский потенциал сферической
апли, а рэл = РдЛ + 6рэл и фэл = ф^л+ 6фэл—те же величины, но относя-
диеся к деформированной системе. Для вычисления кулоновской энергии
'6.638) с точностью до членов второго порядка по требуется вычислить 6р
с точностью также до членов второго порядка по и 6ф —с точностью только
до членов первого порядка. Если зарядке равномерно распределен по объему,
то мы имеем [формула (6.633)]
6рэл =	[(J? - К») е (г - Ro) ~-2-(R- Ro)* 6'(R- J?o)] ,
(6.639a)
(6.6396)

r<RQt
r> Ro
и, следовательно, получаем [формула (6.634)]
J 6рэл (г) <₽“ (г) л =
= ^^-(4я),/!ао 5 [б (Г~+	(r)r*dr~
о	,,	/ <5фол \	3 Z2e2 1У
(6-и0‘’
2 ( «р” (г) 6q>” (г) Л-	(»+ If11 «Лм I’.	<6.6406)
19*
580
Г л. 6, Вибрационные спектры
Поэтому вклад кулоновской энергии в упругий параметр равен
.3 1—1 72^2
(Сх)кул = —-2^2Х+]	(6.641)
(Существование у ядра диффузного края толщиной а приводит к относит
ному уменьшению полной кулоновской энергии на величину порядка
[формула (2.66)], но с точностью до членов такого порядка поправка не•
сит от формы ядра и, следовательно, не влияет на коэффициент vnnvraBH*
Ск [859].)	J ругости
Из (6.636) в (6.641) мы получаем для коэффициентов упругости с учет
кулоновских сил и поверхностного натяжения следующее выражение: У °‘м
Q =(Сл)кул + (Сх)пов = -^- (X - 1) (1 + 2)6повЛг/’ - A
(6.642)
Кулоновское расталкивание по своему действию противоположно поверхност-
ному натяжению и может привести к появлению отрицательных значений С '
Нестабильность такого рода в первую очередь появляется при квадрупольных
деформациях, и полученное критическое значение величины Z2/H равно [176]
(^повГ° 49	/е R4Q\
искрит- 3 е2 ~49	(6'643>
При численной оценке мы взяли значение (6.637) для коэффициента поверх-
ностного натяжения и приняли, что параметр радиуса г0, входящий в выра-
жение для кулоновской энергии, равен 1,25 ферми (т 1, стр. 147).
Массовый параметр для безвихревого течения жидкости
Входящий в формулы (6.621) массовый параметр зависит от потока,
связанного с колебаниями поверхности. В случае безвихревого движения жид-
кости поле скоростей v(r) определяется потенциалом у (г):
v(r) = —vx(r)	(6-644)
Если жидкость несжимаема, то уравнение непрерывности имеет вид
V v = 0,	(6.645а)
=	(6.6456)
Общее решение уравнения Лапласа (6.6456) можно представить в виде разло-
жения в ряд по мультиполям:
х(г, е, <р) = У (в, ф).	<6-646>
коэффициенты которого можно связать с введенными ранее величинами
ахц, если воспользоваться граничным условием, а именно vr — R при R=^Roi
откуда получим
(6>647)
Кинетическая энергия потока при малых осцилляциях имеет вид
Т=~ мРо J v’dT=l мРо/?г; J (х dQ •	(6,648)
где ро — равновесная плотность частиц, каждая из которых имеет маС5^ск^й
Из выражений (6.646) и (6.647) для х следует выражение для кинетич
Приложение 1, Колебания и вращения ядер
581
энергии вида (6.621), где массовый параметр дается выражением
ч	=	= AMR*,	(6.649)
где Л —полное число частиц в капле. (Аналогичным путем можно получить
для углового момента потока выражение (6.629) с массовым параметром (6.649)
вместо отношения л?*ц к а^).
2.	Деформации большой амплитуды, делительная мода
Выше мы ограничивались случаем деформаций с малой амплитудой (а<С 1).
При большей величине деформации следует оставить в гамильтониане также
и члены более высокого порядка по а, что приведет к появлению ангармонич-
ности колебаний и связи между модами разной мультипольности
Потенциальная энергия
невращающейся капли
Потенциальная энергия при больших деформациях изучалась в связи
с процессом деления. Заряженная капля, даже если она устойчива относи-
тельно небольших колебаний, становится неустойчивой при очень больших
деформациях. В самом деле, вследствие большого радиуса действия кулонов-
ского расталкивания энергия как функция деформации должна уменьшаться
при приближении к точке, соответствующей разделению на две капли
Потенциальную энергию V (а;^) можно выразить через безразмерную
функцию, зависящую от отношения между кулоновской и поверхностной энер-
гиями. Это отношение зависит от величины Z2/A и характеризуется парамет-
ром делимости:
Z2 / Z2 1
А \ А /Крит
0,0205 ~~,
А ’
(6.650)
где (Z2/4)KpHT — значение величины Z2M, при котором сферическое ядро стано-
вится нестабильным относительно квадрупольных деформаций [формула (6.643)].
При значениях х, близких к единице, форму ядра в седловой точке и
барьер деления можно найти, разложив потенциальную энергию в ряд с точ-
ностью до членов третьего порядка по переменным деформации. С точностью
до главных членов по параметру (1— х) ядро в седловой точке имеет квадру-
польную симметрию, и деформацию можно задать определенными в формулах
(6.701) и (6.702) переменными формы р и у. Члены второго порядка потен-
циальной энергии пропорциональны р2 [формула (6.703а)], а члены третьего
порядка комбинируют в единственный вращательный инвариант P3cos3y,
который может быть образован из кубического полинома по переменным а2р
[формула (6.7036)]. Вычисление поверхностной и кулоновской энергий с точ-
ностью до членов третьего порядка дает функцию потенциальной энергии сле-
дующего вида [176, 1102]:
^повН- VKyjl = ~ йП0ВЛ2/“ [(1-Х) р2-А (-А.у/г (14-2х) 03 cos 3VJ (6.651)
Нетрудно видеть, что в седловой точке капля имеет вытянутую форму (у=0),
а деформация р/ в этой точке и барьер деления Е/ = £(ру) с точностью до
главных членов по (1— х) таковы:

£/ = -§-(1-х)’ЬПОвЛ2/'.
(6.652)
582
Гл. 6. Вибрационные спектры
Вблизи седловой точки потенциальная энергия (6.651) имеет параболическ
зависимость, а коэффициент перед (р —Р/)* 2 такой же по величине (но другсГ°
знака), как и в случае малых квадрупольных деформаций вблизи сфепи°Г°
ской формы.	р че'
Хотя при 1— х << 1 деформация имеет главным образом квадрупольну
симметрию, возникает и небольшая аксиально-симметричная гексадекапольна
деформация, имеющая а40 порядка р2 и происходящая из кубического член*
((а2а2)4 «4)0 в потенциальной энергии. Однако седловая точка стабильна отНоа
сительно деформаций отрицательной четности, таких, например, как а
поскольку из-за симметрии потенциальной энергии относительно отражения
члены, линейные по амплитудам деформаций отрицательной четности, не
появляются. [При 1 член третьего порядка ((а3а3)2 а2)0 становится пре-
небрежимо малым по сравнению с членом, содержащим (а3а3)0, коэффициент
которого в этом пределе остается конечным и положительным.)
При произвольных значениях х вид функции потенциальной энергии иссле-
довался численно1’ Барьеры деления и форма ядра в седловой точке, полу-
ченные при таком анализе, приведены на фиг. 6.65, а. [Величина В(х)—это
барьер деления в единицах полной поверхностной энергии для ядра сфериче-
ской формы.] В области 0,75 <х<1, которая имеет наибольшее отношение
к делению тяжелых ядер, наилучшей для энергий является простая аппрок-
симация (6.652), которая справедлива с точностью до нескольких процентов.
Нормальные моды колебаний малой амплитуды вблизи седловой точки рас-
сматривались в работах [885, 1178].
Доказано, что капля в седловой точке остается стабильной относительно
деформаций отрицательной четности при х>0,4. При х^0,4 появляется не-
стабильность и семейство путей, по которым идет процесс деления на два
сравнимых по массе осколка, сливается с путями, ведущими к процессу ска-
лывания. При х<0,4 не существует хорошо выраженного барьера деления
[272]. Эффекты, обусловленные угловым моментом, повышают стабильность
относительно деформаций отрицательной четности (фиг. 6.65, б).
Влияние углового момента
До сих пор мы рассматривали систему, не имеющую углового момента.
При больших значениях углового момента на форму потенциальной поверхно-
сти могут оказать сильное влияние центробежные члены, в результате чего
изменяется барьер деления2? Центробежные эффекты зависят от коллектив-
його вращательного потока вещества, которым определяются моменты инерции.
Здесь мы примем для моментов инерции их твердотельные значения, что спра-
ведливо для состояний с достаточно большими энергиями возбуждения (стр. 82).
Для вещества, находящегося в сверхтекучем состоянии, моменты инерции
меньше их твердотельных значений и сильнее зависят от параметров дефор-
мации (стр. 85). Но при достаточно больших энергиях возбуждения (стр. 45)
или при больших угловых моментах (стр. 77) парные корреляции должны,
по-видимому, исчезать.
Как только появились ЭВМ с большим быстродействием, такой анализ
был проведен в работе [436]. Более подробные и более свежие результаты
такого анализа можно найти в работах [1072, 1098] и в цитируемых там
статьях.
2) Впервые вопрос о влиянии вращения на барьеры деления был рас-
смотрен в работе [923]. В дальнейшем он исследовался многими авторами
(см. в особенности работу [273], в которой дан обзор по этому вопросу). От
проблема родственна классической задаче о форме вращающихся тел, находя-
щихся в состоянии гравитационного равновесия [248].
Приложение 1. Колебания и вращения ядер
583
Роль вращательного углового момента удобно характеризовать парамет-
пом У* равным отношению вращательной энергии к поверхностной, вычислен-
ной для сферической формы:
т* I 2__1
2j«(a=0) &пов>Г/з
= ^-jSrJ—A-7/>I3^2,lA-’^(r0=l,2 ферми; hnoB = 17 МэВ). (6.653)
4 /KITq илов
Пользуясь параметрами х и у, можно выявить разнообразные структурные
изменения и нестабильности функции потенциальной энергии в модели жид-
кой капли. В системах с большой делимостью (х^ 1) равновесная форма как
в седловой точке, так и в основном состоянии характеризуется малой дефор-
мацией приблизительно квадрупольной симметрии, а потенциальная энергия
деформации дается выражением (6.651).
Моменты инерции можно определить по значениям полуосей, даваемым
формулой (6.704); в сегменте 0=Су<;60о (фиг. 6.67) нумерация осей такова,
что	и» следовательно, момент инерции максимален при враще-
нии вокруг оси 2, когда он с точностью до главных по параметру р членов
имеет вид
fipk(6'654)
При заданных параметрах формы ядра и значениях углового момента
полную энергию получим, прибавив поверхностную и кулоновскую энергии
(6.651) к энергии вращения вокруг оси, момент инерции относительно которой
максимален:
[<—> и-4 (г)' “Ч+
ЬповА /3 2л L	7 \4л/	J
А Р cos (т+у) , (6.655)
где принято, что 1—х<1, Равновесная форма определяется приравниванием
нулю производных по р и у:
(1 — х) р—у ( А-) /s Р2 cos Зу + я	) /г у cos (у 4- у) = 0,	(6.656а)
sin (у + у- (р2 ^cos2 (? + у ) ~	~ ЕГ 4 =	<6' 656б>
Уравнения (6.656) имеют два решения:
л
V = у,
I 15
п 7 /4л VA Г /	15 у V/И /5л у/г у
“w)	+(l+T(T-^J Нт)
„л	Г	15 у 1-'А	51/3 у
П 7 3	arCCOS [4 *	7(1—Л')2]	56 (1—х)2’
р = 1	(1_х) Г4_ >5 __у _ Т/г ^Z /4nVA (1 _х) Г1 _!! _Р_1
6 \ 5 / 1 'г 7 (1-х)2]	3\5/ '	’ L 56(1—x)2J‘
Здесь приближенные выражения соответствуют пределу малых у. Решению 1
соответствует сплюснутая равновесная форма, которая переходит в сферическую
нри у->о. Решение II соответствует седловой точке, и при у-ьО мы полу-
584
Гл. 6. Вибрационные спектры
чаем вытянутое ядро с деформацией (6.652). Для обеих стационарных точ
вращение уменьшает симметрию, так как оно приводит к увеличению момент*
инерции, линейному по отклонениям от симметричной формы.	а
Учет вращения приводит к уменьшению барьера деления (6.652), которое
с точностью до главных по у членов можно получить, оценивая величину
вращательной энергии для равновесных форм при t/ = 0:	*
f (I________. л Г1___________45 У 1
/"’135(	} 6пов [	28 (1-х)2]’
(6.658)
С увеличением у решения и II сближаются и совпадают при критическом
значении
7
4/крит=у О х)2»	(6.659)
которому соответствуют параметры формы:
л Q 7 Мл'1/,.
т=3-	₽=б(5'/ (1~х)	<ь-66°)
При # Эвкрит система не может находиться в равновесии.
На фиг. 6.65,6 представлены результаты численных расчетов барьера деле-
ния как функции параметров хи//. При произвольных значениях х и малых//
равновесная форма ядра оказывается сплюснутой. Это соответствует знакомой
картине сплющивания Земли под действием центробежных сил [формулы (6.657),
решение Ij. При увеличении углового момента сплюснутая форма оказывается
неустойчивой относительно трехосных деформаций. То же самое происходит и
с вращающейся жидкостью, удерживаемой гравитационными силами, где
наблюдается переход формы от сфероидов Маклорена к эллипсоидам Якоби.
Штриховая кривая на фиг. 6.65 дает значения величины //, при которых
равновесная форма становится трехосной. При значениях параметра х> 0,8
такая нестабильность возникает при значениях параметра у, превышающих
те, которые приводят к нестабильности относительно деления.
3.	Моды сжатия
Волновое уравнение
Наряду с колебаниями поверхности у жидкой капли есть еще нормальные
колебания, при которых происходит увеличение плотности (звуковые волны).
Если плотность р(г) мало отличается от равновесного значения р0,
Р(г) = Ро-Ьбр(г),	(6.661)
то добавочное давление др пропорционально бр и их отношение удобно
записать в виде
^=Л1и*ж,	(6-662)
Ор сж>
где параметр нсж, как будет видно из дальнейшего, представляет собой скорост
звука (М —масса отдельной частицы, р —плотность частиц). Производи
от давления по плотности есть коэффициент сжатия Ьсж [формула (2.207)1,
поэтому из (6,662) следует, что

(6.663)
Приложение /. Колебания и вращения ядер
585
Если сохранять только члены первого порядка по др, др и v (где v —
скорость потока), то уравнения гидродинамики имеют вид
6р (г, O+poV • V (Г, 0=0.	(6.664а)
57 = V = ~(г. О-	(6.6646)
Е уравнении (6.6646) мы пренебрегли кулоновскими силами, поскольку из-за
малой сжимаемости ядер они оказывают значительно меньшее влияние на
волны сжатия, чем на колебания поверхности.
Из линеаризованных уравнений гидродинамики (6.664) следует волновое
уравнение:
д2
V^P (г, о - «c~i — Ьр (Г,	(6.665)
При выводе уравнения (6.665) мы использовали также соотношение (6.662)
Вариациям плотности др соответствует безвихревой поток с потенциалом
скоростей %, удовлетворяющим соотношению х = Ро ^еждр
Частоты колебаний
Для системы со сферически-симметричным равновесным состоянием реше-
ние волнового уравнения соответствует вариациям плотности и полю скоростей
вида
6р=РоД(*л>/)	ф)ал>.ц(0.	(6.666а)
v = ftnlv ((/\ (*W) Ухц (6, ф)) ал?.и (t).
(6.6666)
где Я — сферическая функция Бесселя. Собственные значения kn^ определяются
из граничного условия, а именно из требования, что др на поверхности равно
нулю, так как на свободной поверхности не может быть избытка давления.
Поэтому
/Н^Л) = 0.	(6.667)
Амплитуды в формуле (6.666) представляют собой гармонические
функции времени с частотой
I 3,14 при Л = 0, /2=1,
<>«>= *п?«сж = “ъ- < 4,49 при Х=1, л = 1,	(6.668)
0 [ 5,76 при Х = 2, /2=1.
Сейчас еще мало опытных данных о сжимаемости ядер, но если предположить,
что Ьсж=15 МэВ (т. 1, стр. 253), то, считая, что Ro = 1,2Д1//з ферми, мы полу-
чаем, что энергии возбуждения таковы:

65.4 ~1/з МэВ при Х = 0, /2 = 1,
93Л““1/з МэВ при Х=1, /г = 1,
120Д“1/э МэВ при к = 2, /г=1.
(6.669)
Звуковые колебания не создают мультипольного момента, поскольку момент,
обусловленный изменением плотности при r<R, компенсируется моментом,
возникающим из-за небольшого смещения поверхности ядра. Это смещение
[формула (6.619)] можно найти, зная радиальную скорость волны сжатия на
поверхности:
= =	(6.670)
586
Гл. 6. Вибрационные спектры
Воспользовавшись формулами (6.666), получим
аЛ.и = ал?чх	(^zV)Jr==^	(6.671)
Полный мультипольный момент дается выражением
(М = j r*YЛцбр (г) dx + р0/?о + 3«Ац-	(6.672)
Если иметь в виду тождество
§ гЧь (.kr) гг dr = k~* [хЛ+Vz. (kr) - А+2 ~ (Д (kr)) j	(6.673)
и граничные условия (6.667), то можно доказать, что два члена в правой
части выражения (6.672) для е/Z/ (Хц) взаимно уничтожаются.
Связь с колебаниями поверхности
Отношение частот поверхностных колебаний и колебаний плотности есть
величина порядка [формулы (6.624), (6.636), (6.637), (6.649), (6.663) и (6.668)]
(^пов)?.	Мпов У^2 уЧгД— '/•
(^сжК	\ ^сж /
(6.674)
и, следовательно, медленно уменьшается с увеличением числа частиц. Для
капли воды радиусом /?0=1 см (^ = 75 дин ♦ см'1, исж^ 1500 м/с, что соот-
ветствует значениям 6П0В 3,5 • 10~13 эрг и 6СЖ = 6,8 - 10-13 эрг) мы имеем
(о>пов)х-2 = 24 с-1 и (шсж)л_1.7.-2 = 8-6 • Ю5 с-1. В этом случае >11/в = 7,2- Ж
Рост отношения (6.674) с увеличением мультипольности X связан с тем,
что скорость поверхностных (капиллярных) волн пропорциональна квадратному
корню из волнового числа Если параметры Ьпов и 6СЖ одного порядка, то
отношение (6.674) намного меньше единицы при Х<<Д1/з. При Л>Л,/з жид-
кость нельзя рассматривать как непрерывную среду.
Разделение колебаний на поверхностные и звуковые допустимо только
в первом приближении, когда сопов <^сосж или, чт° эквивалентно, когда скорость
поверхностных волн мала по сравнению со скоростью звука. При более стро-
гом подходе оба типа колебаний рассматриваются единообразно как решения
волнового уравнения (6.665) с модифицированными граничными условиями,
которые учитывают избыточное давление при г=/?0, создаваемое деформациен
поверхности (6.671). Это давление равно производной от деформационной энер-
гии на единицу поверхности по смещению поверхности:
Д (^/)]r=Ro (6'67б)
[формула (6.671)]. При г = /?о давление (6.675) должно уравновешиваться
давлением звукового колебания [формулы (6.662) и (6.666)]. Отсюда получается
уравнение для определения kn^:
Ик (Wo)r Г£ h (^)1	= # Э ’	(6'676)
\_ОГ	jr = Ro	Kq
где (ОпХ = иСж^пЛ» а со—частота поверхностных колебаний несжимаемой жид-
кости с массовым параметром (6.649), определяющаяся формулой (6.624).
Состояния с наименьшей энергией при данном Х(Х>2), найденные
уравнения (6 676), не имеют радиальных узлов (/2 = 0) и соответствуют повер
постным колебаниям. Если отношение (6.674) мало, то волновое число кл-оЛ
Приложение 1. Колебания и вращения ядер
587
ч0 по сравнению с и величина (kr) приблизительно пропорциональна А
п этом случае уравнение (6.676) сводится к обычному соотношению для частот
поверхностных колебаний. При л=1, 2, правая часть уравнения (6.676)
велика по сравнению с и граничное условие приблизительно то же, что
и (6.667). Отметим, что из-за наличия небольшой связи между колебаниями
поверхности й объемными колебаниями в мультипольный момент вносят вклад
не только поверхностные колебания (п=0).
4.	Поляризационные возбуждения двухкомпонентной жидкости
Энергия поляризации
Если жидкость состоит из двух компонент, например нейтронов и прото-
нов, то существует еще один тип колебаний, обусловленный относительным
движением компонент жидкости. К поляризационным модам можно подходить
так же, как к модам сжатия, с той разницей, что изменение плотности теперь
имеет вид
Р1(г) = 6р„(г)-6рР(г).	(6.677)
т. е. равно разности, а не изоскалярной сумме бр^ + брр изменений плотно-
стей нейтронов и протонов. Мы будем предполагать, что равновесные плот-
ности протонов и нейтронов одинаковы [(рл)0 = (рр)0; N = Z]. В этом случае
нормальные моды представляют собой симметричные (связанные со сжатием)
и антисимметричные (поляризационные) колебания.
Скорость распространения поляризационных волн равна
«поЛ = (тгГ	(6-678)
Энергия &СцММ представляет собой аналог коэффициента сжимаемости, и ею
определяется плотность энергии §Симм(г)> обусловленная поляризацией:
<^симм = 2р^ ^симм [Pi (г)12	(6.679)
Применительно к ядру ^симм называют энергией симметрии, а коэффициент
^симм можно определить по экспериментальным значениям энергий связи [6СИММ
^50 МэВ; см. формулы (2.12) и (2.14)].
Частоты колебаний
Поляризационные волны подчиняются волновому уравнению, аналогичному
(6.665), но с другими граничными условиями, а именно следует положить
уг = 0 при г = 7?о» поскольку для смещения протонов вовне из занятого ней-
тронами объема нужна очень большая энергия. Следовательно, для таких
колебаний поверхность не является свободной, а практически фиксирована.
Общее решение волнового уравнения имеет вид
Pi (г) = Ро/\ (W)	(9> <Р)	(6.680)
где р0 —полная плотность частиц, а граничное условие имеет вил
=0.	(6.681)
Jf = Ко
588
Гл. 6. Вибрационные спектры
Наименьшие частоты колебаний оказываются следующими:
	' 2,08	при	Х=1,	п = 0,	
„	А	“пол ®лХ — ^ПОЛ^лХ	 Rq *	5,94 3,34	при при	Х®1, Х==2,	п = 1, п = 0,	(6.682)
	. 4,49	при	Х = 0,	л = 1,	
а энергии возбуждения равны
	79Л_,/>	МэВ	при	Х=1,	л = 0,	
	225Л~1/з	МэВ	при	Х=1,	1,	
ЙсолХ = .	127Л_1/з	МэВ	при	Х = 2,	л = 0,	(6.683)
	170Л_,/з	МэВ	при	х=о,	п= 1.	
Здесь мы приняли ЬСимм = 50 МэВ [формула (2.14)] и /?0 = 1,2Л1/з ферми.
Силы осцилляторов
Связанный с поляризационными колебаниями изовекторный мультиполь-
ный момент есть
(т = 1, Ли) = j Р! (г)	л = тяхаяХц,
тл^р» j	(6б84)
о
При вычислении интеграла, содержащего сферическую функцию Бесселя, мы
использовали граничное условие (6.681).
Мультипольные моменты для различных мод движения можно характеризо-
вать силой осциллятора, подчиняющейся простому правилу сумм (§ 4). [Поня-
тие силы осциллятора относится к квантовой системе, но можно ввести
имеющую аналогичный смысл классическую величину, разделив силу осцилля-
тора на Й2.]
Сила осциллятора содержит матричный элемент от между основным
состоянием и состоянием с одним вибрационным квантом [формула (6.15)]
<пяхц = 1 I	I ”яХц = 0> I2 =	,	(6-685)
где Спх~упругая сила, которую можно выразить через плотность потенциаль-
ной энергии (6.679):
CfiK = Ро^симм J Ик )12 & в
= 4 Ро&симм^ [/х (Wo)l2 [khRo-K (X+1)]. (6.686)
Следовательно, сила осциллятора для колебания (пХ) дается выражением
[формулы (6.684) и (6.685J
Л; мях=0->«дх=1) = (2Л+1)	=
с hi AR2^-'2	(2^+1)^2	—Г ,5 (тд=1 Л),	(6.687)
4л М AR*	(
Приложение 1, Колебания и вращения ядер
589
гДе
г	2Х
ЗД-МХ + О
0,86 при Х = 1, п = 0,
0,06 при А,= 1, n = 1,
0,78 при ?i = 2, п = 0.
(6.688)
Величина tn\ — это сила осциллятора в единицах полной осцилляторной
мМы S (т = 1, X), даваемой выражением (6.179), где (г2*--2) =3 (2Х+ I)"1#2**”"2:
О'*
$(: = !,	= М 0->плХ=1) =
п
_ ЗЛ(2Л+1) *2 Лп2Л-2	,fi(Wh
-----4Н-----1ЛГЛ7?°	•	(6-689)
Применимость классического правила сумм (6.689) к модели жидкой капли
следует из его вывода в § 6, поскольку взаимодействие в этой модели пред-
полагается не зависящим от скорости. (Зависящие от скорости взаимодействия
привели бы к появлению дополнительного вклада в массовый параметр кол-
лективного потока.)
Влияние деформации
Если система не сферически-симметрична, то колебательное движение
более не разделяется на радиальную и угловую части. Но в случае малых
деформаций можно решить задачу методом теории возмущений, взяв в качестве
основы сферически-симметричные решения.
Проиллюстрируем сказанное на примере поляризационной моды для
системы с малой аксиально-симметричной деформацией1). При такой деформации
состояния можно классифицировать по мультипольной компоненте v, связанной
с проекцией углового момента на ось симметрии. Возмущенная мода с поля-
ризационной плотностью р{ и волновым числом k' удовлетворяет следующим
уравнениям:
V2pJ 4- /г'2р{ = 0,	(6.690а)
'<?РН
, дп /г = R(6)
= 0,
(6.6906)
где р (6) есть радиус деформированной поверхности, а производная от р{
берется в направлении нормали к поверхности. Умножив уравнение (6.690а)
на Р*, где рх — плотность, соответствующая невозмущенной моде, и вычтя из
него такое же уравнение, где, однако, 0! и р, поменялись местами, мы получим
№ - kh) Р?Р1 dx = 5 (Pl?2Р* “ Р*?2Р1) dx =
г<Я(б)	r<‘/?(6)
f fpi	( Pi “тр-do. (6.691)
J \ dn dnj j d/i	v '
R(0)	/?(0)
Два последних интеграла в формуле (6.691) берутся по деформированной
поверхности с учетом граничного условия (6.6906).
Воспользовавшись соотношением (6.691), можно показать, что при малых
Деформациях главная поправка 6kn^v = k' — knK выражается через разность
1) Вопрос о влиянии эллипсоидальной деформации на частоты дипольных
колебаний был рассмотрен в работах [292, 896],
590
Гл. 6. Вибрационные спектры
нормальных производных от pj для случаев сферической (dpt/dn = 0) и доЛ
мированной (п^г —V/?) поверхностей:
^nK^nky J | Pi |2 dx = Pi. £(/? /?о) ^2 j	(6.692)
r<R0	r = R0
Взяв интегралы в формуле (6.692) в случае, когда р2 имеет вид (6 68m
а деформация поверхности имеет мультипольность X' и амплитуду
получить следующее равенство:
(2V +1 У/» х
kra	\ 4л )
k*nKR* -М* -Н) + W (V +1)
X avo С**™1 Xv> (Ж'О I xo> ~ ~ ~ fe^SX(X+'l) *	(6-693)
Мы рассмотрели спектр частот в случае аксиально-симметричной дефор-
мации. Исходя из вращательной инвариантности гамильтониана, можно рас-
смотреть и общий случай произвольных деформаций. Сдвиг частоты моды пк
можно представить в виде матрицы в (2Х+1)-мерном пространстве, образуемом
невозмущенными модами nhv. При деформации мультипольности X' матрица бсо
в первом порядке по амплитудам a^,v, может быть представлена в виде
dco = 2aVv,^'v/’ где вслеДствие вращательной инвариантности матрица t
у*
является сферическим тензором порядка XV. Поэтому матричные элементы
{nkv216(01 rtXVi) можно получить из диагональных членов (6.693) заменой
aV0 I на S a£'v' (kv2XV | Xv2). Собственные значения находятся
у'
путем диагонализации матрицы бсо.
5. Вращательное движение безвихревой жидкости
Рассмотрим теперь такое движение безвихревой несжимаемой жидкости,
при котором она имеет несферическую вращающуюся форму. Свойства потока
при таком вращательном движении можно найти, рассматривая распределение
скоростей v' относительно вращающейся системы отсчета,
v' = v — (<о х г) = — V/ — (<о X г),	(6.694)
где о — угловая скорость вращательного движения, а %—потенциал скоростей.
Из условия, что поверхность жидкости неподвижна во вращающейся (внут-
ренней) системе координат, следует
(v' • n)r==^~0,	(6.695)
где п —нормаль к поверхности. Для любой заданной поверхности условие
(6.695) вместе с уравнением Лапласа (6.6456) однозначно определяет потенциал
скоростей.	«
Особенно простая структура потока получается при эллипсоидальной
форме поверхности
F (Л, х2( х3) =щ = 1.	<6’696)
выраженной через внутренние координаты хх. Нормаль к поверхности имеет
направление yFt а решение, удовлетворяющее граничному условию (Ь.оу )>
представляет собой потенциал квадруполя
, R$-Rl , Rl-Rl „ v „	(6.697)
Приложение L Колебания и вращения ядер
591
^—компоненты вектора <о во внутренней системе координат. Структура
гДтОка, следующая из потенциала скоростей (6.697), показана на фиг. 6.66,
п° представлены как поле скоростей v в лабораторной системе координат,
гД и поле скоростей v' во внутренней координатной системе. Для сравнения
* фиг. 6.66 изображено также распределение скоростей при вращении твер-
дого тела (у' =0; v = G)Xr).
Вращение
твердого тлела
Неподвижная система (у)	Внутренняя система (у1)
Фиг. 6.66. Распределение скоростей во вращающемся теле эллипсоидальной
формы.
Кинетическая энергия вращательного движения, соответствующего потен-
циалу (6.697), такова:
Т = 1 Мр0 j (VX)2 Л = Т	(6.698)
гДе ^2» моменты инерции, даваемые выражением
(D2__О2\ 2
к-г+-4) ^тв)1 (и цикл- пер,)‘ (6,699)
Моменты же инерции вращающегося твердого тела эллипсоидальной формы
Имеют вид
(348)1= Мро ( (x%+xl)dx = ±-AM (RI+RD (и цикл, пер.), (6.700)
где ЛМ —полная масса тела.
Вращательное движение, рассматриваемое в данном разделе, имеет те же
степени свободы, что и поверхностные колебания. Так, в случае эллипсоидаль-
ной деформации три из пяти квадрупольных колебательных мод комбинируют
таким образом, что образуют вращательные моды и только две колебательные
степени свободы можно считать „внутренними”, связанными с изменением формы
’Р’ и у-колебания). Связь между вращательными модами и колебаниями поверх-
592
Г л. 6. Вибрационные спектры
ности рассматривается ниже, в приложении 2. Моменты инерции, фигуои
ющие в формуле (6.717), где параметр D (= Т>2) определен формулой (6
с точностью до главных членов по деформации (3 совпадают с моментами им’
ции, определяемыми формулой (6.699). [Связь между величинами 6/?^ и n!?e Р'
метрами деформации |3 и у дается формулой (6.704). ]	Ра‘
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПЯТИМЕРНЫЙ КВАДРУПОЛЬНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
В данном приложении мы рассмотрим различные закономерности спектров
обусловленные деформацией формы, имеющей квадрупольную симметрию. Эти
степени свободы могут генерировать как вращательный, таи и колебательный
спектры, между которыми можно установить связь, осуществляя преобразова-
ние к системе координат, описывающей внутреннюю деформацию и ориентацию
системы (п.1) В п. 2 рассматриваются колебания малой амплитуды относительно
сферически-симметричной равновесной формы, а в п. 3 проводится классифи-
кация квадрупольных спектров в ираст-области. В п. 4 рассматриваются
способы построения многофононных состояний.
1.	Форма ядра и угловые переменные. Вращательные
и колебательные степени свободы
Определение координат
Деформация квадрупольного типа характеризуется пятью параметрами а211,
которые являются компонентами сферического тензора [формула (6.39)j1’. При
малых а2|1 деформация носит эллипсоидальный характер (в общем случае
ядро имеет симметрию О2 с тремя ортогональными плоскостями симметрии),
а главными осями эллипсоида определяется внутренняя система координат,
ориентация которой со = ((р, О, ф) задается равенствами
а2ц = S a2v(со),	(6.701)
V
О21	^2. —1 ==	@22 —“ @2t —
.л* отличные от нуля переменные л20 и а22 = а2, _2, характеризующие дефор-
мацию во внутренней системе координат, обычно выражают через параметры
р и у в соответствии с равенствами
а2О = (3 cosy,
а«г = -L р sin у-	(6.702)
К2
С помощью соотношений (6.701) и (6.702) осуществляется преобразование от
пяти тензорных переменных а2ц к тРем угловым переменным w и двум пере-
менным формы, р и у. Внутренние переменные р и у являются вращатель-
ными инвариантами и могут быть выражены через главные инварианты второг
*) Анализ квадрупольных колебаний с использованием переменных, хара
теризу гщих форму ядра и его ориентацию в пространстве, был проведен в р
боте [155). Такие переменные использовались также в работе [594J. СтрукОР
гамильтониана в этих переменных с учетом ангармоничности рассматривал
в работе [713].
Приложение 2. Пятимерный квадрупольный осциллятор
593
й третьего порядка, которые можно образовать из компонент тензора а2и:
(а2а2)о = ^₽3.	(6.703а)
(а2а2а2)0 = — I/ P3cos3y.	(6.7036)
у 00
Форму эллипсоида можно характеризовать приращениями его трех глав-
ных осей	__
Mx=l/4^coS(V-x^V х=1, 2,3,	(6.704)
f	\	О у
где /?о-радиус в случае сферической формы. Поскольку при квадрупольной
деформации объем ядра сохраняется (в первом порядке по амплитудам колеба-
Фиг. 6.67 Симметрия состояния в плоскости (р, у).
Представлена полярная диаграмма в переменных деформации Р и у. Проекции на изобра-
женные три оси пропорциональны приращениям радиуса 6/?^ вдоль этих осей. Точки,
лежащие на осях, соответствуют аксиально-симметричной форме. Шесть разных точек,
получаемых при отражении относительно прямых, соответствующих аксиально-симметрич-
ной форме, характерны тем, что форма ядра в них одинакова.
ний), выполняется условие J>J6/?X = O, так что имеются всего две независимые
X
переменные, задающие форму. На фиг 6.67 представлена зависимость формы
ядра от координат в плоскости (ру).
Набор угловых координат и координат формы (со, (3, у) не является
единственным. Деформацией, заданной компонентами а2и, определяются только
ТРН плоскости симметрии, а обозначения внутренних осей остаются произволь-
ными. Поскольку же новый набор координат связан с этими обозначениями,
гамильтониан ядра и волновые функции, выраженные через переменные (со, (3,
Y)> должны быть инвариантными относительно преобразований симметрии, соот-
594
Гл. 6, Вибрационные спектры
ветствующих переобозначению внутренних осей. (Такие преобразования обо
зуют группу октаэдра О, которая содержит 24 поворота, переводящих kv6 с
в себя.)	у сам
Преобразования симметрии, соответствующие переобозначению внутренни
осей, можно сконструировать из двух преобразований:	(л/2) и е^3(л/9\Х
представляющих собой повороты на угол л/2 вокруг осей 2 и 3. Оператор
(л/2) и е^3 (л/2) следующим образом изменяют координаты В, v и индекс/
цию осей [см., например, (6.704)]:
е%(у){0, V- Л. Л.	=	~? + т>
е^з (у) {0. У< '1, f2, Л} е^з1 (у) = {₽• -?• —'г. Л. /3},
(6.705)
где /lf /2 и /з-~С0СТавляюЩие углового момента по внутренним осям.
Симметрия волновой функции
Волновую функцию состояния с полным угловым моментом / и его проек-
цией М, зависящую от координат (о, р, у), можно записать в общем виде
1
^Л1 = (^Г-),/2 2 ф«(0> Т)Х1к(“).	(6.706)
K = -Z
где ^—функции, образующие ортогональный набор, по которому можно раз-
лагать функции угла поворота (т. 1, приложение 1, п. 1). Инвариантность
функции У относительно операций переобозначения осей во внутренней системе
координат налагает условия симметрии на функции Ф1К (р, у).
Сначала рассмотрим операции поворота на угол л вокруг внутренних
осей. При таких преобразованиях р и у остаются неизменными, а их влияние
на волновые функции типа (6.706) рассматривалось ранее, когда речь шла
о спектре собственных состояний асимметричного волчка (стр. 161). Из инва-
риантности относительно операции q^3 (л) следует, что К должно быть чет-
ным, а из инвариантности относительно (л) следует связь между компо-
нентами с К и —К. В результате волновая функция имеет вид
=(^),/S {т[1 ФЛ к-о v) (“) +
у-Ф/к(0. Y)[^/<(<o) + (-1)'^Vk(w)]V
(6.707)
+
4
При исследовании асимметричного волчка преобразования (л) были отож-
дествлены с группой Т?2» а волновая функция (6.705) соответствует тождест-
венному представлению (rlf г2, гз) = ( + + +) этой группы (стр. 160).
Преобразования симметрии <о^2 (л/2) и <о^3 (л/2) связывают волновые функ-
ции с разными значениями у, и из соотношений (6.705) мы получаем
Ф1К (₽• -Т+у) = У^/(о.р о)ф^(₽, т).
К'	(6.708)
Ф/К<0> — т) = ехр[т-у-]ф/А.(Р, V).
Отсюда мы видим, что если известна волновая функция в интервале (0~?^
^л/3), то состояние полностью определено. Симметрия функции в плоек
сти фу) иллюстрируется на фиг. 6.67.
Приложение 2. Пятимерный квадрупольный осциллятор
595
Потенциальная и кинетическая энергии
Потенциальная энергия деформации не зависит от ориентации ядра и опре-
деляется только переменными формы 0 и у:
K = V(p, у).	(6.709)
Далее из соотношений симметрии (6.705) имеем, что
V(p, Y) = V(P, -Т) = к	,	(6.710)
\ о /
откуда следует, что потенциальная энергия имеет вид
V = V (Р, cos3y).	(6.711)
Кинетическая энергия Т содержит производные по времени р и у и ком-
поненты угловой частоты фх по трем внутренним осям. Из инвариантности
относительно поворотов е^х(л) следует, что Г —четная функция по всем фх,
и если учитывать только квадратичные по временным производным члены,
то ее можно записать в виде
= Ткол + Т'вращ»	(6.712)
где 1 . ..1
Ткол=-2 D₽₽ (₽’ Т) Р8+^(р. Y)PY +-2 Dvv т) ?2 =
=	— ^Pv) 1	£\y^P —	(6.713)
и
1 VI	VI
твращ=2рх(₽’ ?)ф”=2,2кг	(6714)
X	X
Здесь рр и ру — импульсы, канонически сопряженные переменным Р и у, а /х
(сопряженные фх)— компоненты момента количества движения по внутренним
осям. [Из условия эрмитовости следует, что не коммутирующие друг с другом
члены в формуле (6.713) должны быть симметризованы; различия, зависящие
от порядка сомножителей, определяются более низкой степенью импульсов и,
следовательно, эквивалентны включению дополнительных членов в потенциаль-
ную энергию. Способ построения уравнения Шредингера в переменных (Русо)
на основе метрики, определенной видом кинетической энергии, дается в ра-
боте [909]; см. также ниже (п. 2).]
Инерциальные функции Dpp(p, у) и Dyy (Р, у) подчиняются тем же усло-
виям симметрии, что и V (Р, у), и поэтому зависят от у только через конст-
рукцию соэЗу [формула (6.711)]. Что касается функции Dpv(p, у), то она не-
четна по у и, следовательно, имеет вид произведения sin Зу на функцию от р
и cos3y. Наконец, эффективные моменты инерции удовлетворяют соотношениям
(—У) = 5?з (У)»
(У),
= + (6’7,5)
Ъ (Y+т) “ (Y)=л (v	’
которые непосредственно следуют из формулы (6.705).
Если ядро обладает аксиальной симметрией (у = 0, ± л/3, ± 2л/3, ...),
то азимутальный угол относительно оси симметрии не определен, а поэтому
момент инерции относительно этой оси равен нулю. Из соотношений (6.715)
следует, что при малых отклонениях от аксиальной симметрии момент инер-
5/6
Гл. 6. Вибрационные спектры
ции относительно оси симметрии пропорционален квадрату параметра, харак
теризующего отклонение формы от аксиальной. В области ядер, близких
к сферическим, все моменты инерции пропорциональны |32.
Квадрупольный гамильтониан Н = Т-\-V описывает множество различных
коллективных движений, зависящих от функции потенциальной энергии и
инерциальных параметров. В предельном случае гармонических колебаний
потенциальная энергия имеет вид V =^1е>С$2, а кинетическая энергия содержит
только один массовый параметр D [формула (6.717)]. Если функция потен-
циальной энергии имеет резко выраженный минимум ф0, у0), расположенный
не в начале координат, то движение в плоскости (|3, у) локализовано в окрест-
ности этого минимума. В этом случае квадрупольные степени свободы разде-
ляются на колебательные и вращательные компоненты. Колебательные моды
представляют собой осцилляции малой амплитуды вблизи равновесного поло-
жения, а вращение приближенно описывается формулой (6.714) для кинети-
ческой энергии, причем моменты инерции (р0, у0) вычисляются в точке
(Ро» То)- Если равновесная форма не обладает аксиальной симметрией, то мы
имеем дело с асимметричным волчком, вращающимся вокруг всех трех осей
а колебательное движение включает в себя два нормальных колебания в плсь
скости (р, у). Если же равновесная форма аксиально-симметрична, то враще-
ние включает две степени свободы, а колебательные моды представляют собой
как сохраняющие аксиальную симметрию колебания (p-колебания), так и
двукратно вырожденные колебания, нарушающие аксиальную симметрию
(у-колебания).
д2
2.	Колебания вблизи сферической равновесной формы
В случае малых колебаний вблизи равновесной сферической формы потен-
циальная и кинетическая энергии могут быть разложены в ряд по степеням а2ц
и азу,. Главные члены разложения имеют вид
~ 2Г	2 =	а2|1а2, -|1»
ц	ц
7' = у£’2'а2и ,2 = ~1D 2(~ 1)И да^да2,^ ’
Р	ц
В таком приближении гамильтониан соответствует набору пяти вырожденных
гармонических осцилляторов (спектр и собственные функции подобной системы
рассмотрены в § 3, п. 1). Построение многофонных состояний проводится ниже
(п. 4).
Кинетическая и потенциальная энергии (6.716) могут быть выражены
и через переменные со, (3, у. Тогда с точностью до главных членов разложения
они имеют следующий вид [155]:
Н — Т 4- V = Ткол TBpaiu 4- У»
й2Гдд	д п д 1
(6.716)
Ткол= -2-Я(₽2 + Р2?) = - 2D
'врат- 2
х	х
/ 2л \
j?H=4L>P2 sin2 ^У”"х~з“у*
Приложение 2. Пятимерный квадрупольный осциллятор
597
кое выражение для гамильтониана является частным случаем общего выра
^ния, рассмотренного нами в п. 1. Дифференциальные операторы в формуле
кинетической энергии соответствуют волновым функциям, нормированным
* единицу со следующим элементом объема:
dx = р4 dp | sin Зу | dy sin 6 d6 dtp dip,	(6.718)
e ф, б, ф — углы Эйлера
ГД Гамильтониан (6.717) разделяется по переменным р и (у, со), так что
Чг = ф(р)Ф(у, со).	(6.719)
для примера приведем выражения для волновых функций основного состояния
^.--0, 1 = 0) и одноквантового возбужденного состояния (л = 1, / = 2):
Ч'п-о, 1-о = (8"2Г,/г (2л)-,Лд-’Л ехр	,	(6.720а)
1-2. Л1 = (8«2)~1/= (2«Г,лй-’/2₽ ехр (соат^мо (<»+
+ —sin Ч1&М2 (®) + &'м, - 2	(6.7206)
К2	Г
где

(6.721)
есть среднеквадратичная амплитуда нулевых колебаний. Очевидно, что волно-
вые функции удовлетворяют требованиям симметрии, налагаемым условиями
(6.707) и (6.708).
3.	Ираст-область для гармонических колебаний
Спектр квадрупольного осциллятора имеет довольно простую структуру
в том случае, когда возбуждено много колебательных квантов, а полный момент
близок к своему максимальному значению /маКс = 2л (область ираст-линии).
В таких состояниях центробежные силы вызывают деформацию, среднее значе-
ние которой больше деформации, создаваемой нулевыми колебаниями. Поэтому
можно считать, что в системе происходит приближенное разделение движения
на две компоненты: вращение и колебания относительно равновесной формы.
В данном разделе рассматривается спектр гармонических квадрупольных
колебаний в ираст-области. При / /макс = 2п >> 1 главными членами гамиль-
тониана (6.717) являются потенциальная энергия V и энергия вращения Твращ.
При заданных / и (3 вращательная энергия имеет минимум при у = л/6, когда
принимает наибольшее значение, равное 4£>(32. С точностью до главных по /
членов, что соответствует классическому выражению для вращательной энергии,
сумма потенциальной и вращательной энергий имеет минимум в точке
Ро = (4&'),/,/,/2 = &/,/2’	(6.722)
где Ь— амплитуда, определяющаяся формулой (6.721). Равновесная деформация
соответствует неаксиальной форме ядра, характеризуемой приращениями
радиусов по осям:
6^ = 0,
&?2 = —6Я3,	(6.723)
598 Гл. 6. Вибрационные спектры
Сумма потенциальной и вращательной энергий имеет второй минимум при
соответствующий вытянутой форме, но при I > 8 более глубоким оказываете
минимум энергии V + TBpaiu, соответствующий трехосному эллипсоиду с
Когда форма ядра характеризуется параметрами (6.722), моменты инерции з
и одинаковы, так что вращательное движение можно характеризовать кван
товым числом Разлагая гамильтониан в ряд вблизи точки равновесия
мы получаем для него следующее выражение, справедливое для состояний
с ^макс 1*^1 макс’
//=//вРащ+Як + Яр+Яу.	(6.724)
77Враш = у	+ gppa 72 =	]’	(6.725а)
(6-725б)
^0 2D <Э|32 + 2£ (Р	Ро)2>	(6.725в)
Й2 д2 1
V	ду2"	^2 С05 (Y Vo)2-	(6.725г)
В этом разложении мы пренебрегли членами, вклад которых в энергию по
порядку величины равен
Главный член гамильтониана (6.724) Явра£Ц описывает энергию вдоль ираст-
линии, а члены Нк> Н$ и Ну описывают три нормальные моды возбуждения
относительно этой линии.
Член Нк связан с изменениями вращательного движения, приводящими
к состояниям с /(==/ —2, / — 4, При этом энергия возбуждения—линейная
функция разности I — K, и ее можно рассматривать как колебательное возбу-
ждение, соответствующее колебаниям углового момента относительно внутренней
оси 1 (см. об асимметричном волчке, гл. 4, §5, п. 5). Собственные значения
оператора Н% можно записать в виде
(6.726)
где Пдг —вибрационное квантовое число
(6.727)
Поскольку К есть четное целое число (стр. 594), возбуждения связаны с вра-
щательными полосами, для которых
/ четно, пк=0, 2, 4,	(б 728)
I нечетно, п^ = 1, 3, 5,
Членам и Ну в гамильтониане (6.724) соответствуют колебания вокруг
равновесной формы, имеющие собственные значения
£р = 2Й<о(п3 + |),	(6-729а)
£Y = ^(nv + l),	(6-729б)
характеризующиеся вибрационными квантовыми числами ng и Пу. ^0М^И^п?ст-
формулы (6.725а), (6.726) и (6.729), мы получаем, что спектр ядра в Р
[2np + nY+ | пк+ ~ Z + I).	(6.730)
Приложение2 Пятимерный квадрупольный осциллятор 599
уласти имеет вид
Е (п(з» S” пк’
На фиг. 6.68 изображены полосы уровней в окрестности ираст-линии. Как
нетрудн0 видеть, при I ^1/2/Макс = ^ рассматриваемый способ дает те же уровни,
чТо и точный метод (табл. 6.1, стр. 301). Такой же результат можно получить,
если рассмотреть возбуждения конденсата выстроенных бозонов (стр. 600).
1-10
_J_____I_____I_____I_____I____J_____L
-3	-2	-/	0	12	3
Фиг. 6.68. Ираст-область для квадрупольных колебаний.
На графике представлена часть спектра уровней гармонических квадрупольных колебаний,
имеющих значения углового момента	и энергии вблизи минимального значения
Для каждого I (ираст-область). Сплошными линиями изображены вращательные траекто-
рии. Представлены как траектория, связанная с внутренним состоянием, имеющим наи-
меньшую энергию и не содержащим внутренних вибрационных квантов, так и траектории,
построенные на одноквантовых внутренних колебательных состояниях. (Траектория с п^ = 2,
° совпадает с траекторией	но состояния траектории п^ = 2 на графике
не изображены.) Стрелками обозначены переходы с состояния 1 ~ /0 на ираст-линии, имею-
щие отличные от нуля матричные элементы типа Е2; у стрелок указаны значения В (£2)
для этих переходов в единицах Ь2 [(3/4 л) ZeR2]2.
Из схемы связи в ираст-области следуют простые соотношения для матричных
элементов типа Е2. Операторы внутренних моментов относительно оси 1 имеют
Следующий вид:
с^(£2. v=O)^(-|-Z^po(V-To),
/3	\ 1	<6’731>
гМ(Е2, v = 2)^-[— ZeR2 ~7^Р
v	\ 4л	) У 2
[см. формулы (6.63) и (6.702); следует учесть также, что внутренние моменты
относительно оси 1 можно выразить через внутренние моменты относительно
600
Г л. 6. Вибрационные спектры
оси 3, если произвести замену — 2л/3 по формулам (6.704)1 т
образом, статические внутренние квадрупольные моменты равны Ь 1аким
Qo — 0»
(6.732)
\ 16л /	У 2	' 4л
Отсюда получаются следующие значения матричных элементов £2-перехо
между состояниями одной вращательной полосы:	F Одов
Q = °’	,	,,	,2	(6-733)
В (£2;	Vy"/<' /-2)= ~2 ^2\~4n^eR)
Вибрационные переходы с \пк = + 1 имеют Д/( = ч=2 и Д/ = т 1, и из общего
правила для интенсивностей переходов между состояниями разных вращательных
полос (формула (4.91)] следует, что
В (£2; п^пупк! -> п^пупк — 11 +1) «а
%4P»(iZeR2)2</ 1~П« 221/ + 1	(6.734)
[Этот результат можно получить также и из формулы (4.314), которая
вает переходы для асимметричного волчка, стр. 175.] Переходы между
ционными состояниями с Дир = i-t I имеют ДК = Д/ + 2, а переходы с
= -ь 1 имеют ДК = Д/ = 0. Из формулы (6.731) и выражений для колебательных
частот гамильтониана (6.725в) и (6.725г) можно получить
в (£2; n^nytiKI	пупк, / + 2) = np62 Ze£2j (6.735)
7 .3 _	\2
описы-
вибра-
Диу =
В (£2; п^пупк1 -> Лр, пу - 1, пк/) = nyb* ( f-ZeR*)
Половину вклада в матричный элемент перехода с Дп^ = ± 1 дает зависимость р0
от / [формула (6.722)].
Мы видим, что вращательные переходы сильнее переходов, происходящих
с изменением вибрационных квантовых чисел п$, п^, п^ причем коэффициент
усиления по порядку величины равен полному угловому моменту /. (Схема
переходов представлена на фиг. 6.68.) Колебательные переходы типа (6.734)
и (6.735) — это лишь небольшая часть переходов, допускаемых правилом
отбора Дп=1, где п — полное число вибрационных квантов. При других таких
переходах одновременно изменяются несколько квантовых чисел п$,
и они ослаблены по сравнению с переходами (6.734) и (6.735) по меньшей
мере в / раз.
Изложенные выше результаты можно получить и иным путем. Именно,
следует учесть, что выстраивание угловых моментов квадрупольных фононов
в ираст-области означает существование конденсата тождественных бозонов.
В системе координат, в которой полный угловой момент направлен по оси г,
конденсат образуется из фононов с ц = Х = 2. Сильные переходы вдоль враЩ
тельных траекторий соответствуют добавлению в конденсат фононов, ПРИЧО
усиление переходов обусловлено наличием характерного для бозе-частии мн
жителя (п +1) в вероятности перехода [формула (6.1)]. Кроме переходов БД
вращательных траекторий, могут быть и другие возбуждения, соответствую а
добавлению в конденсат квантов с ц=1, 0, —1, —2. Добавление Ф°в
с ц=1 приводит к состоянию, в котором конденсат повернут вокруг о
(поскольку оператор Ix — ilу, действуя на состояние конденсата, изме
проекцию кванта с ц = 2 на р,= 1). Добавление фонона с р, = 0, —1 илИ
Приложение 2. Пятимерный квадрупольный осциллятор
601
0ОдИт к внутренним возбуждениям с А/==|л, которые можно отождествить
11 возбуждениями, характеризующимися числами n?=l, пк = 1 и
фИг. 6.68).
" Подученные в данном разделе спектр и вероятности переходов относятся
случаю гармонического движения, но качественная схема в ираст-области
общий характер, поскольку она вытекает прямо из предположения
й средней деформации, величина которой больше амплитуды колебаний вблизи
павновесного состояния, или, что то же самсе, из предположения о наличии
?онденсата. Ангармоничность гамильтониана может отразиться на величине
оавновесной деформации, равно как и на значениях параметров, связанных
стремя внутренними колебательными степенями свободы, но классификация
состояний и правила отбора для Е2-переходов останутся прежними при усло-
вии, что вибрационные квантовые числа	малы по сравнению с пол-
ным числом квантов, равным п.
4.	Многофононные состояния
В данном разделе мы укажем некоторые способы построения полного
набора состояний с заданным числом фононов и определенным угловым момен-
том. Такие способы пригодны не только в случае квадрупольных фононов, но
и в случае фононов любой мультипольности X.
Генеалогические коэффициенты
Состояние из двух фононов одной и той же мультипольности получается
непосредственным применением правил сложения угловых моментов. Норми-
рованная волновая функция состояния с полным угловым моментом / и его
проекцией М записывается в виде
пх=2, /М> = 2-А(? (X) г I о) =
= 2‘’/^(Хц'\и"| /Л4>?(Хц')?(Хц")|0>, / = 0,2,4,	2Х.	(6.736)
ц'ц"
Множитель 2~,/г появляется потому, что каждое подсостояние (п;/ = 1;	= 1)
встречается в сумме (6.736) дважды. [Если М четно, то в сумме имеется только
°дин член с |1' = ц" = 1/2М, но тогда следует учесть, что состояние с н^ц' = 2
имеет нормировочный множитель 2~1//г; см. формулу (6.4).]
При п\ > 2 можно продолжать эту процедуру, последовательно добавляя
фононы к состоянию (6.736). Но при этом нужно учитывать, что состояния
с одними и теми же и /, построенные по разным схемам связи (например,
с Разными значениями угловых моментов первых двух фононов), вообще говоря,
не ортогональны.
Последовательная процедура построения многофононных состояний и вычис-
лив матричных элементов может быть основана на рекуррентном вычисле-
иии генеалогических коэффициентов	(Х)[|	которые связывают
Ме>кДУ собой состояния с числами фононов, различающимися на единицу1).
х) Метод вычисления генеалогических коэффициентов, основанный на тех-
ннке пересвязок, был разработан Рака [941] применительно к многоэлектрон-
конфигурациям атомов. Фигурирующий в работе Рака генеалогический
коэффициент	{[ £л_1/дЛЛ1л_1, Х|х) в наших обозначениях равен
" 1/2 £п/лМ„|?(Х|.1)	а коэффициент (Сл/л (Хл..1/Л..1, X; /„>
Равен п~,/2(2/п+!)-*/» ^а/л|]с?(Х)[|Сл_1/л_1>. Фигурная скобка в генеалоги-
602
Гл. 6, Вибрационные спектры
Состояния с п фононами обозначаются квантовыми числами в лоп
к 1п и Мп. Поскольку сейчас рассматриваются состояния только с однимЛНеНИе
бозонов, мы упростили обозначения, опустив индекс X у квантового ч ТИп°м
Предположим, что мы построили ортогональный набор состояний ?*ИСЛ/ п*
си—1 фононами. Добавим к этим состояниям еще один фонон:
। n-V ^л^п^ненорм С	п~1\^IпМп.	(6.737)
Состояния (6.737) в общем случае не являются ни нормированными, ни on
тональными, но мы можем вычислить интегралы перекрытия между ни
если воспользуемся коммутационными соотношениями (6.47), которые мож**’
записать в виде	ЖНо
[с(Х), ?(X)](U)A = (2X+1)1^6 (Л, 0).	(6 738)
Проделывая соответствующие пересвязки [т. 1, гл. 1, приложение I, п 3
и формула (1.158) для скалярного произведения векторов], можно получить
следующее выражение для интеграла перекрытия двух состояний типа (6.737)-
X; IпМп \ Zn-11 п-1* М 7п^п)ненорм =
= (2/ л +	I с (X ) cf (X) | Cn-i^n-i) (/n_i>,) in, (/«-jV) in-. o =
= (2/„+1)-‘/2 <(/„_A) In, (/n-iX') In, о | (in-il'n-J о, (XX') 0; о) X
X (tn-iin-11 [с (X ), Cf (X)] I tn-lln-l^l^in J 0, (u') 0; o +
+ (2/„+l)-,/’ 2 {(In-M In, (I'n-tiVn, oKW')/^, (/n-iX)/„_2; 0) X
7/1-2
X	I cf (X) C (X ) I Zn-lln-l) (/„^x') In 2, (in^ in_j 0 =
= 6 Un-1, ?n-i) 6 Un-i, l'n-1) + D (S/n-a+nfr1 X /n|x
^Jn-2 Vя"1 X Zn-2J
X	I ct(^) I 'r>n-2^ n-2^ n-2) (/ ' а)/ Тм ~
X (C/i-2^71-2^71-2 I c (^) I ^n-2^
= 6 Un-1, ?n-i) 6 (/л-l, In-1) + -S (—l/"-1 /n-1/ "~l |x
^П-21 П-2	l/rt-1 X I n-2)
X ^n-iIn-1 II Cf (X) II ЪЛп-г) Un-i'n-i IIS (*) II	(6-739)
Здесь для указания схемы связи используются индексы X и X', когда нужно
различить два угловых момента равной величины. Мы использовали т
фазовое соотношение, аналогичное соотношению (1.178):
<С„_2/п-г II с (X) II Ul'n-l) = (- l/n-s+К~ 'п-1 ^п-11п-1 II (М II £п-2/п-2>- (6-740'
<2 и
Если генеалогические коэффициенты, связывающие состояния с ^739)
п—1 фононами, известны, то можно вычислить интегралы перекрытия bi •
и построить таким образом ортогональный базис | п) Для состоЯ
ческом коэффициенте, введенном Рака, указывает, что состояние сПР трИчно
метрично относительно перестановок первых (п— 1) фононов, но не си^метрично
при перестановках л-го фонона, а состояние слева полностью си
по всем п фононам.
Приложение 2. Пятимерный квадрупольный осциллятор
603
.нами. Разложением ненормированных состояний (6.737) по этому базису
>е\еляются генеалогические коэффициенты для состояний с п фононами:
In Р II Sn-lAi-l) = (2/л + 1) {^п1пМп £>П-11П-1’ ^п^п)ненорм- (6.741)
.еаЛОгические коэффициенты подчиняются условиям ортонормированности
У п IIW II K>n-J п-1)	п II (М li t>n-ll П-l) =
= п(2/л+1) б(?лЛл). (6.741а)
v II s м || WnJ (и II г (%) || t.n.jn-i)=
= (2X4-л) (2/„_, 4-1)6	,
вторые следуют из коммутационных соотношений (6.47) и выражения (6.48)
для чисел квантов. Соотношения (6.741а) являются аналогом соответствующих
формул (3.260) и (3.261) для фермионов.
Зная генеалогические коэффициенты, легко вычислить матричные элементы
различных операторов, зависящих от вибрационных переменных. Так, матричные
элементы от вибрационной переменной и связанных с ней мультипольных
операторов <гМ (X, Ц) пропорциональны генеалогическому коэффициенту [см.,
например, формулу (6.66)]. Квадратичные по вибрационным переменным опе-
раторы выражаются через произведения двух генеалогических коэффициентов:
fanII (cf (X') с (Q)(U') л кп/л> 2 (-I)'”-1 +Х-/" X (2X4- 1),/! X
^n-lfn-l
х I " , 711 II? II	IIW II (6.742)
Р In Л J
Чтобы продемонстрировать метод вычисления генеалогических коэффициен-
тов, рассмотрим состояния системы из трех квадрупольных фононов (и = 3,
^=2). Эти состояния, так же как и состояния с /г = 2, полностью опреде-
ляются полным угловым моментом / (табл. 6.1), и генеалогические коэффи-
циенты обозначаются символом (/3 || (А, = 2)(| /2). Сначала вычислим коэффи-
циенты для случая п = 2, которые легко находятся из (6.736):
</21| ? (X) IIЛ = х> = [2 (27* 4-1)]‘/!.	(6.743)
Коэффициенты для п — 3 можно теперь найти, воспользовавшись соотношениями
(6.739) и (6.741):
(2/з+ О-1 </3II	(X = 2) || /2) </3 И ? (X = 2) || Q =
= 6(Z2, /$) + 2(2/2+1),/г(27^4-1)*/2{^ g г}' (6’744)
Доложив /£ = /2, мы найдем из (6.744) абсолютную величину генеалогических
к°эффициентов; относительные фазы определяются из (6.744) при	Полу-
^нные таким образом генеалогические коэффициенты (/3||сг (Х, = 2) || /2) пред-
ъявлены в табл. 6.20. Каждое состояние с заданным /3 определено с точностью
J0 произвольной фазы. В табл. 6.20 эта фаза выбрана так, что генеалогические
КОэФфициенты с минимальными значениями /а положительны.
Сеньорити х)
Один из возможных способов классификации многофононных
по числу пар фононов с нулевым угловым моментом пары. Такие
оператор [формула (6.736)]:
Стояний
ПЭРЬ1 РОЖД;
% к — 2 /2	(^)W) (XX) о •	(5
Система состоит только из неспаренных фононов, если в результате дей
оператора уничтожения пары на волновую функцию состояния мы полуТВ
нуль, и число таких неспаренных фононов называют числом сеньорити v
состояния, в котором имеется v неспаренных фононов, можно построив цел]
ряд других состояний последовательным действием оператора рождения пары £
Таблица 6.20
ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ СОСТОЯНИЙ С ТРЕМЯ
КВАДРУПОЛЬНЫМИ ФОНОНАМИ
________________________________________________
О	2	|	4
О
2
3
4
6
(7)’/?
(3)*z*
(20/7)‘/г
(15)‘/г
(99/7)'/г
(36/7)*z«
-(6)’/г
(90/7)*z«
В таблице приведены коэффициенты (/3 || с + (X == 2) j| /2). Они были
впервые вычислены в работе [258]. Таблицы генеалогических коэффициен-
тов, включающих состояния системы с разными числами фононов вплоть до
п2 7, п3 < 6 и	приведены в работе [85].
Эти состояния характеризуются тем же сеньорити v и теми же квантовы
числами неспаренных фононов и отличаются только числом пар р — Ч» (п~~
Используя коммутационные соотношения
fo, «х] = (2А. + 1 Г1 2 [с (ХЮ с* (ХЮ + (ХЮ С (Х|Х)1 = 1 +	> (6J
ц
нетрудно убедиться, что состояния [ £v, образуют полный ортогональн
набор, а волновая функция нормированного состояния такого типа имеет
Г(2^+1)^(2Х + 2у-1)11-|У7 лр|, о) (6.?
1^’ Р/ [ Pl (2X,H-2vH-2p—1)!! ]	Р /
где используется следующее обозначение:
(2s+1)11 =(2s+1) (2s- 1)	3-1.	(6'
х) Классификация многочастичных состояний по числу
введена в работе [941]. Это понятие распространено на систему к
возбуждений ядра в работе [948].
Приложение 2. П ятимерный квадрупольный осциллятор
605
Число состояний g (nvl) с данными значениями и, v и углового момента /
аРно разности g (n = v, /) — g(n = v—2, /), где g(nl) есть число состояний
Данными значениями п и /. Пользуясь этим правилом, можно приписать
качения квантовых чисел сеньорити состояниям спектра квадрупольных фоно-
в табл. 6.1. Мы видим, что набор квантовых чисел и, v, / и М достаточен
классификации всех состояний сп<:5, но уже при п = 6 имеются два
^стояния с v = 6 и 1 = 6. Для полной классификации квадрупольного спектра
н\-я<но 5 квантовых чисел, таких, например, как /?2ц-
Зная свойства состояний с n = v, можно вычислить также и матричные
элементы, в которые входят состояния с дополнительными парами. Для этого
следует воспользоваться коммутационными соотношениями (6.746) и соотноше-
нием
fol, С< (М)] = (	)‘/г с (Мх).	(6.749)
В частности, таким методом можно вывести рекуррентные соотношения для
генеалогических коэффициентов:
(6.750)
P+4k ^hv P) = (w2rvt-1)‘/2<^1- P=0jC(X)hv. P = 0>-
Другие рекуррентные соотношения, а также классификацию состояний квадру-
польных фононов можно найти в работах [682, 1160].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Abramowitz М.у Stegun 1. A., Handbook of Mathematical Functions Natinr-i
Bureau of Standards, Washington., D. C., 1964.	’ 1Q
2.	Adler S. L,y Phys. Rev. 140, B736 (1965).
3.	Ahrens J., Borchert H., Eppler H B.y GitnmH., Gundrum H., Riehn P
RamG.S., Zieger A., Kroning M.y Ziegler B.y в книге Nuclear Structure
Studies Using Electron Scattering and Photoreactions, eds. K. Shoda, H. Ui
Tohoku Univ., Sendai, Japan, 1972, p. 213.	’ ’	’
4.	Ajzenberg-Selove	F.,	Nuclear Phys. A166,	1 (1971).
5.	Ajzenberg-Selove	F	Nuclear Phys., A190,	1 (1972).
6.	Ajzenberg-Selove	F.y	Lauritsen T, Nuclear	Phys., 11,	1	(1959).
7.	Ajzenberg-Selove	F.y	Lauritsen T.y Nuclear	Phys., 78,	1	(1966).
8.	Ajzenberg-Selove F.y Lauritsen T , Nuclear Phys. Al 14, 1 (1968).
9.	Alaga G. Phys. Rev., 100, 432 (1955).
10.	Alaga G.y в книге Cargese Lectures in Physics, vol 3, ed. M. Jean, Gordon
and Breach, New York, N Y, 1969, p. 579.
11.	AlagaG., IalongoG.y Nuclear Phys., A97, 600 (1967).
12.	Alaga G.y Alder К., Bohr A., Mottelson B. R.y Mat. Fys. Medd. Dan. Vid.
Selsk., 29, № 9 (1955) [имеется перевод: Проблемы современной физики,
№ 1, 80 (1956)].
13.	Alburger D. Е,у Chasman C.y Jones K- W., Olness J. W., Ristinen R A., Phys.
Rev., 136, B916 (1964).
14.	Alburger D. E.y Gallmann A.y Nelson J B., Sample J T Warburton E K-,
Phys Rev., 148, 1050 (1966).
15.	Alder K-, Winther A.y Coulomb Excitation, Academic Press, New York, N Y
16.	Alder K., Bohr A., Huus T., Mottelson B., Winther A., Rev. Mod. Phys., 28,
432 (1956) (имеется перевод в книге «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958).
17.	Alexander Р.у Boehm F,y Nuclear Phys., 46, 108 (1963).
18	Alexander T. К. Allen К. W Can. Journ., Phys., 43, 1563 (1965).
19.	Alexander T. K.y Hausser 0	McDonald A. B. Ewan G. T Can. Journ.
Phys., 50, 2198 (1972).	.	T
20.	Alexander T. K-, Hausser O.y McDonald A. B.y Ferguson A. J., Diamond w * •»
Litherland A E.y Nuclear Phys., A179, 477 (1972).
21.	Alfven H.y Rev. Mod. Phys., 37, 652 (1965).	_
22.	Алиханов А. И., Галатников Ю. В., Городков Ю. В., Елисеев Г П., м
мов В. А., ЖЭТФ, 38, 1918 (1960).	_ „	м,„
23.	Алхазов Д. Г., Гангрский Ю. IIЛемберг И. X., Удралов Ю И.,
АН СССР, сер.физ., 28, 232 (1964).	KI v.rk
24.	Aller L. Н., The Abundance of Elements, Wiley (Interscience), New
N. Y., 1961.
25.	Alster J., Phys. Rev., 141, 1138 (1966).	л it M
26.	Alvensleben HBecker U., Bertram W КChen M., Cohen К K.naseQ p q'
Marshall R.y Quinn D. J., Rohde M.y Sanders G. HSchubel H., Ting
Nuclear Phys., B18, 333 (1970).	Murleaire,
27.	AmatiD.y в книге Compt. Rend, du Congres Intern, de Physique
vol. 1, ed. P. Gugenberger, C. N. R S., Paris, 1964, p. 57.
Литература
607
ой Ambler h., Fuller E. G.y Marshak H.y Phys Rev., 138, Bl 17 (1965).
.то* Амусья M. Я. Черепков H А. Чернышева Л В. ЖЭТФ, 60, 160 (1971).
J/ Andersen B. L. Nuclear Phys., All? 443 (1968).
я Andersen В L.y Nuclear Phys., A196, 547 (1972).
Andersen В L., Bondorf J P.y Madsen B. S.y Phys. Letters, 22, 651 (1966).
03 Anderson J. D. Wong C.y Phys. Letters, 7, 250 (1961)
^ Anderson J. D., WongC.y McClure J W Phys. Rev., 138, B615 (1965).
35	Andersoj P W.y в книге Lectures on the Many-Body Problem, vol. 2, ed.
E R. Caianiello, Academic Press, New York, N Y., 1964, p. 113
36	Anderson P W., в книге Superconductivity, vol. 2, ed. R. D. Parks, Marcel
Dekker, New York, N Y., 1969, p. 1343.
37	Андреев Д. С., Гангрский Ю. П. Лемберг И. X. Набичвишвили В, АА
' Изв. АН СССР, 29, 2231 (1965).
38	. Anyas-Weiss Н.у Litherland А. Е.у Can. Journ. Phys., 47, 2609 (1969).
39* Araujo J M. Nuclear Phys. 1, 259 (1956).
40. Araujo J. M.y Nuclear Phys., 13, 360 (1959).
41, Arenhovel H.y Danos M.y Greiner W.y Phys. Rev., 157, 1109 (1967).
42* Arima A , HorieH.y Progr Theoret. Phys (Kyoto), 12, 623 (1954).
43.	Arndt R. A., MacGregor M. H., Phys. Rev., 141, 873 (1966).
44,	Arvteu R.y Veneroni M.y Compt. rend., 250, 992, 2155 (1960); 252, 670 (1961).
45.	Asaro F.y Perlman /., Phys. Rev 87, 393 (1952).
46.	Asaro F.y Perlman I. Phys. Rev., 91, 763 (1953).
47.	Ascuitto R. J., et al.y Nuclear Phys., A226, 454 (1974).
48.	Auerbach E. H.y Diver С. B., Kerman A. K- Lemmer R. H.y Schwarcz E. H.,
Phys. Rev. Letters, 17, 1184 (1966).
49.	Auerbach E. H., Kahana S., Weneser J., Phys. Rev Letters, 23, 1253
(1969)
50.	Austern AL, в книге Selected Topics in Nuclear Theory, ed. F. Janouch, Intern.
Atomic Energy Agency, Vienna, 1963, p 17
51.	Austern N., Blair J. S., Ann. Phys. 33, 15 (1965).
52.	AxelP.y Drake D. M. WhetstoneS Hanna S. S. Phys. Rev. Letters, 19,
1343 (1967).
53.	Azhgirey L. S., Klepikov N. P.y Kumekin Yu. P.y Mescheryakov M. G.y Nu-
rushev S. B.y Stoletov G. D., Phys. Letters, 6, 196 (1963).
54.	Baader H. A., диссертация, Techn. Univ. Miinchen, 1970.
55.	Back В, B.y Bang J., Bjernholm S., HattulaJ,, Keinheinz P LienJ.R.,
Nuclear Phys., A222, 377 (1974).
56.	Back В. B.y Britt H. C. Hansen O. Leroux B. Garrett J D.y Phys. Rev.,
CIO, 1948 (1974).
57,	Backus G.y Gilbert F.y Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 47, 362 (1961).
58.	Bahcall J. N.y Nuclear Phys., 75, 10 (1966).
59.	Bakke F H., Nuclear Phys., 9, 670 (1958).
60.	Balashov V. V., Eramzhyan R. A., Atomic Energy Review, 5, 3 (1967).
61.	Balashov V V.y Belyaev V B. Eramjian R. A., Kabachnik N. M., Phys.
Letters, 9, 168 (1964).
6Z Балдин A. M.y ЖЭТФ, 37, 202 (1959).
63.	Baldwin G.	C. KlaiberG. S.,	Phys.	Rev.	71, 3 (1947).
64.	BaldwinG.	C., KlaiberG. S.	Phys.	Rev.	73, 1156 (1948).
65.	BalianR.	Werthamer N. R.y	Phys.	Rev.,	131, 1553 (1963).
66.	Balian R.y	Bloch C.y Ann. Phys., 69, 76	(1971).
67.	Ballhausen C. J., Introduction to Ligand Field Theory, McGraw Hill, New
c York, N. Y„ 1962.
68.	Baranger M. Phys. Rev., 120, 957 (1960).
69.	Baranger M.y в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf., Gatlinburg, ed.-
in-chief R L Becker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p 659
'9. Baranov S A., Kulakov V. M,t Shatinsky V. M.t Nuclear Phys., 56,
252 (1964).
608
71
72.
73.
74.
75.
76.
77
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100
101
102.
103
104
105
106
107
108
Литература
Bardeen J., Cooper В. Schrieffer J R.t Phys. Rev. 106, 162; log
(1957) (имеется перевод второй статьи в книге «Теория сверхпроволи™\? ^
под ред Н. Н Боголюбова, ИЛ, 1960).	СТи*»
Bardeen J., BaymG., Pines D., Phys. Rev , 156, 207 (1967)
Bardin R. К. Gallon P J Ullman J D. WuC.S. Phys Letter*
112 (1967).	’
Barlow J., Sens J C., Duke P. J., Kemp M. A R., Phys. Letters, 9, 84 (1964A
Barnard E.> Ferguson A T G., McMurray W R. van Heerden / J
Phys., 80, 46 (1966)	1€ar
Barnes P.D., EllegaardC., Herskind B. Joshi M. C., Phys Letters
266 (1966).	’
Barnes P D. Comfort J R.t Bockelman С. K-, Phys. Rev., 155, 1319 (1967)
Barnes P. D., Romberg E. EllegaardC., Casten R F., Hansen O. Mul
ligan T J., Broglia R. A., Liotta R., Nuclear Phys., A195, 146 (1972),
Barnett A. R., Phillips W R., Phys. Rev., 186, 1205 (1969).
Bartholomew G. А., в книге Nuclear Spectroscopy, part A, ed. F Aizenberg-
Selove, Academic Press, New York, N Y., 1960, p. 304.	s
Batty C. J., Gillmore R. S., Stafford G. H Nuclear Phys. 75, 599 (1966)
Baumgartner E., ConzettH.E. Shield E. Slobodrian R J Phys Rev
Letters, 16, 105 (1966).
Bayman B. F., Groups and their Application to Spectroscopy, NORDITA
Lecture Notes, NOR DITA, Copenhagen, 1957 (имеется перевод 1-го издания:
Б. Ф. Бейман, Лекции по применению теории групп в ядерной спектро-
скопии, М., 1961).
Bayman В. F. Am Journ. Phys., 34, 216 (1966).
Bay man В. F.t Lande A., Nuclear Phys., 77, 1 (1966).
БазьА.И., Гольданский В. И., Зельдович Я. Б., УФН, 72, 211 (1960).
Bearse R С., Youngblood D. Н., Segel R E., Nuclear Phys., Alli, 678 (1968).
Becker J. A., Wilkinson D. H,, Phys. Rev., 134, B1200 (1964).
Beer G. A., Brix P., Clerc H -G., Laube B., Phys. Letters, 26, B506 (1968).
Beg M. A. B., Lee B. Pais A., Phys. Rev Letters, 13, 514 (1964).
Bell J. S., Nuclear Phys., 12, 117 (1959).
Bell R E., Bjornholm S Severiens J C. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid Selsk.,
32, №12 (1960).
BeloteT. A., SperdutoA., Buechner W. W , Phys. Rev , 139, B80 (1965)
BelyaevS. T., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 31, №11 (1959)
Belyaev S. T., в книге Selected Topics in Nuclear Theory ed F Janouch,
Intern. Atomic Energy Agency, Vienna, 1963, p. 291
BelyaevS. T , Zelevinsky V G., Nuclear Phys., 39, 582 (1962).
БеляевС. Г Зелевинский В. Г., ЯФ, 11, 741 (1970)
Bemis С. Е., Jr., McGowan F. К	Ford J L	C., Jr., Milner W	T	Stel-
son P H., Robinson R L., Phys	Rev., C8,	1466 (1973)
Benn J.. Dally E. B„ Muller H	H Pixley	R E., Winkler H.,	Phys.	Let-
ters, 20, 43 (1966).
Berant Z.f Eisenstein R A., Horowitz YSmilansky U., Tandon P N Green-
berg J S„ Kleinfeld A M., Maggi H G., Nuclear Phys , A196, 312 (19/4
Bergere R., Beil H Veyssiere A., Nuclear Phys. A121 463 (1968)
Berggren TJacob G., Nuclear Phys., 47, 481 (1963).	.
Berman B. L., Kelly M A., Bramblett R L.> Caldwell J T Davis n
Fultz S. C„ Phys Rev., 185, 1576 (1969).	. Глпг_е
Bernardini G., в книге Proc. Intern. School of Physics «Enrico Fermi», c
32, Academic Press, New York, N Y., 1966.	R nyer
Bernstein A M., в книге Advances in Nuclear Physics, vol 3, eds M t>a к
and E Vogt, Plenum Press, New York, N Y , 1969, p. 325^
Bernstein J., Feinberg G., Lee T D Phys Rev 139 В1650 (1 Эсь-) „д
Bernthal F M., UCRL-18651 University of California, Berkeley, Cai.,
Bernthal F M., Rasmussen J 0., Nuclear Phys., A101 513 (19o/).
Литература
609
□ Bernthal F Л4., Rasmussen J. 0., Hollander J M., в книге Radioactivity in
‘ Nuclear Spectroscopy, eds., J. H. Hamilton and J. C. Manthuruthil, Gordon
and Breach, New York, N. Y1972, p. 337.
.«л' Bertozzi W., Cooper T., EnsslinN., Heisenberg J., Kowalski S., Mills M.,
* Turchinetz W.> Williamson C., Fivozinsky S. P Lightb'ody J W., Jr,, Penner S.
Phys. Rev Letters, 28, Л711 (1972).
(I| BesD. R., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 33, №2 (1961).
2 BesD. R., Broglia R. A„ Nuclear Phys. 80, 289 (1966).
i3 BesD. R., Cho Yi-chung, Nuclear Phys., 86, 581 (1966).
/ BesD. R. DusselG.G., Nuclear Phys., A135, 1 (1969).
5’ BesD. R., Broglia R. A., Phys. Rev., 3C, 2349, 2389 (1971).
ng BesD. R., Dussel G. G., Broglia R. A , Liotta R., Mottelson B. R., Phys
1 ‘ Letters, 52B, 253 (1974).
(]7. Bethe H. A., Rev. Mod. Phys., 9, 69 (1937).
118* Bethe H А., в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf., Gatlinburg, ed.-
in-chief R. L. Becker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p. 625.
119.	Bethe H. А., в книге Proc. Intern. Conf, on Nuclear Structure, Journ. Phys
Soc. Japan, 24, SuppL, 56 (1968).
120	Bethe H A,, Bacher R. F., Rev. Mod. Phys., 8, 82 (1936).
121.	Bethe H. A„ Rose M. E„ Phys. Rev., 51, 283 (1937).
122.	Bhaduri R. K., Ross С. K., Phys. Rev. Letters, 27, 606 (1971).
123.	Biedenharn L, C., Brussaard P. J., Coulomb Excitation, Clarendon Press,
Oxford, 1965.
124.	Biedenharn L. C., van Dam H., Quantum Theory of Angular Momentum,
Academic Press, New York, N. Y., 1965.
125.	Bjerregaard J. H., Hansen 0., Nathan 0. Hinds S„ Nuclear Phys. 86, 145
(1966).
126.	Bjerregaard J. H., Hansen 0., Nathan 0., Hinds S., Nuclear Phys. 89, 337
(1966).
127	Bjerregaard J H., Hansen 0., Nathan 0., Stock R„ Chapman R., Hinds S.,
Phys. Letters, 24B, 568 (1967).
128.	Bjerrum N., в	книге Nernst Festschrift, Knapp, Halle, 1912, p. 90.
129.	Bjornholm S.,	Boehm F,,	Knutsen A. B., Nielsen О. B., Nuclear Phys. 42,
469 (1963).
130.	Bjornholm S.,	Dubois J.,	Elbek B., Nuclear Phys., A118, 241 (1968).
131.	Bjornholm S.,	Borggreen	J., Davies D., Hansen N.J S., Pedersen J., Niel-
sen H. L., Nuclear Phys., Al 18, 261 (1968).
132.	Bjornholm S., Bohr A., Mottelson B. R., в книге Physics and Chemistry of
Fission, vol. I, Intern. Atomic Energy Agency, Vienna, 1974, p. 367
133.	Blair J. S„ Phys. Rev., 115 , 928 (1959).
134.	Blair J S,, в книге Proc. Intern. Conf, on Nuclear Structure, eds. D. A. Brom-
ley, E. W Vogt, Univ, of Toronto Press, Toronto, Canada, 1960, p. 824.
<	35. Blair J S., Sharp D., Wilets L„ Phys. Rev., 125, 1625 (1962).
<	36. Blatt J. M„ Weisskopf V F., Theoretical Nuclear Physics, Wiley, New York,
N. Y., 1952 (имеется перевод: Д. Блатт, В Вайскопф, Теоретическая ядер-
ная физика, ИЛ, 1954).
<	37. Bleuler К., в книге Proc. Intern. School of Physics «Enrico Fermi», Course
,	36, 1966, p. 464.
38.	Blin-Stoyle R. J„ Phys. Rev., 118, 1605 (I960).
<39. Blin-Stoyle R. J., в книге Selected Topics in Nuclear Spectroscopy, ed. B. J
Verhaar, North-Holland, Amsterdam, 1964, p. 213.
J40. Blin-Stoyle R. J., Perks M. A., Proc Phys, Soc. (London), 67A, 885 (1954)
41.	Blin-Stoyle R. J., RosinaM., Nuclear Phys., 70, 321 (1965).
*2 Bloch C., Phys. Rev., 93, 1094 (1954)
;43 Blomqvist J Phys. Letters, 33B, 541 (1970).
44 Blomqvist J., Wahlborn S., Arkiv Fysik, 16, 545 (1960).
<45 Bochnacki Z.. OgazaS.. Nuclear Phys., 83, 619 (1966),
О, Бор, Б. Моттельсон
610
146.
147
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
Литература
Bodansky D., Eccles S. F., Farwell G. W Rickey M. E., Robinson P
Rev. Letters, 2, 101 (1959).	c•> Phys
Bodansky D., Braithwaite W. J., Shreve D. C., Storm D. W
Phys. Rev. Letters, 17, 589 (1966).	amp * G.
Bodenstedt E., Rogers J D. в книге Perturbed Angular Correlations
Karlsson, E. Matthias, K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1964 (и S
перевод: Возмущенные угловые корреляции, М., 1966).	’	' Меется
Boehm F., Goldring G., Hagemann G. В., Symons G. D., Tveier A Phv
ters, 22B, 627 (1966).	" ys- Let-
Boerner H., Representations of Groups, North-Holland, Amsterdam- ш-i
New York, N. Y., 1963.	’ W1{eY.
Bogoliubov N., Journ. Phys. (USSR), 11, 23 (1947).
Боголюбов H. H.r ЖЭТФ, 34, 58 (1958); Nuovo cimento, 7 794 (
BohmD., Pines D., Phys. Rev., 92, 609 (1953).	’ V
Bohr A., Phys. Rev., 81, 134 (1951).
Bohr A., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk, 26, №14 (1952) [имеется neoennn.
Проблемы современной физики, № 9, 9 (1955)].	р
Bohr A., Rotational States of Atomic Nuclei, Munksgaard, Copenhagen 1954
[имеется перевод: Проблемы современной физики, №1, 5 (1956)].
Bohr А., в книге Proc. Intern. Conf, on the Peaceful Uses of Atomic Enerav
vol. 2, United Nations, New York, N. Y., 1956.
Bohr А., в книге: Lectures in Theoretical Physics., vol. 3, eds. W. E. Brit-
ten B., W. Downs, J. Downs, Wiley (Interscience), New York, N. Y., 1961.
Bohr A., Compt. Rend, du Congres Intern, de Physique Nucleaire, vol.’ I ed.
P. Gugenberger, C. N. R. S., Paris, 1964, p. 487.
Bohr A., Nuclear Structure (Dubna Symposium), Intern. Atomic Energy
Agency, Vienna, 1968, p. 179.
Bohr A., Mottelson B. R., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 27, №16 (1953)
[имеется перевод: Проблемы современной физики, №9, 34 (1955)].
Bohr A., Mottelson В. R., Phys. Rev. 89, 316 (1953).
Bohr A., Mottelson B. R., Phys. Rev., 90, 717 (1953).
Bohr A., Mottelson B. R., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 30, №1 (1955)
[имеется перевод: Проблемы современной физики, №1, 173 (1956)].
Bohr A., Mottelson В. R., в книге Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy, ed.
К. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1955, p. 468.
Bohr A., Mottelson B. R., Kongel. Norske Vid. Selsk. Forhandl, 31, 1 (1958)
(см. также Proc, of the Rehovoth Conference on Nuclear Structure, ed. H. J.
Viuiuiu^oLun Б., Атомная энергия, 14, 41 (1963).
Froman P O., Mottelson B. R., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk.,
(1955) [имеется перевод: Проблемы современной физики, №1, 94
Mottelson В. R., Pines D.f Phys. Rev., 110, 936 (1958).
Damgaard JMottelson B. R., в книге Nuclear Structure, eds. A.
Harun-ar-Rashid, M. Islam, North-Holland, Amsterdam, 1967.
Studier over Metallernes Elektrontheori, диссертация, Thaning
Lipkin, North-Holland, Amsterdam, 1958).
Bohr A., Mottelson B. R. Phys. Rev , 125, 495 (1962).
Бор О., Моттельсон 6	.........
Bohr А.,
29, №10
(1956)].
Bohr А.,
Bohr А.,
Hossain,
BohrN., otuoier over meiauernes гнекггошлеоп, диссертации, x
Appel, Copenhagen; см. также Niels Bohr, Collected Works, vol. 1, ed. J. К
Nielsen, North-Holland, 1972, p. 291 (имеется перевод в книге п. ь
Избранные научные труды, т. 1,2, 1970—1971).
Bohr N., Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., Aid. 8, Raekke IV, 1 (1918) (имеете»
перевод в книге Н. Бор, Избранные научные труды, т. 1,2, 1970- -Z1
Bohr NNature, 137, 344 (1936) (имеется перевод в книге Н Бор, И р
ные научные труды, т. 1, 2, 1970—1971).	лг _мп мз7)
Bohr N., Kalckar F., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 14, №1 ( g,
(имеется перевод в книге Н. Бор, Избранные научные труды, т* ,
1970—1971),
Bohr N., Wheeler J A., Phys. Rev., 56, 426 (1939) (имеется перевод в книге
И. Бор, Избранные научные труды, т. 1,2, 1970—1971).
Bohr N., Peierls R., Placzek G., Nature, 144, 200 (1939) (имеется перевод
в книге Н. Бор, Избранные научные труды, т. 1,2, 1970—1971).
-g Bollinger L. М., Thomas G. Е., Phys. Letters, 8, 45 (1964).
Bollinger L. M., Thomas G. E., Phys. Letters, 32B, 457 (1970)
[gO, Bondorf J P., Lutiken H., Jagare S., Phys. Letters, 21, 185 (1966).
.of Borggreen J., Hansen N. J. S., Pedersen J., Westgard L., Zylicz J Bjarnholm
1 ' S., Nuclear Phys., A96, 561 (1967),
182. BornM., Vorlesungen fiber Atommechanik, Springer, Berlin, 1925.
133 BornM., Oppenheimer R., Ann. Physik, 84, 457 (1927).
84', Bothe W., Gentner W., Zs. Physik, 112, 45 (1939).
185	Bowen P. H., Scanlon J. P., Stafford G. H Thresher J. J Hodgson P E.,
’ Nuclear Phys. 22, 640 (1961).
186.	Bowman	C.	D.,	Auchampaugh G. F., Fultz S. C., Phys. Rev., 133, B676 (1964).
187	Bowman	C.	D., Baglan R. J Berman B. L.	Phillips T W Phys. Rev.
’ Letters, 25, 1302 (1970).
188.	Bowman	J	D.,	de Boer J,, Boehm F., Nuclear	Phys., 61, 682 (1965).
189	Bowman	J	D., Zawislak F. C. Kaufmann E.	N Phys. Letters, 29B, 226
(1969).
190,	Braid T H., Chasman R. R., Erskine J R., Friedman A. M., Phys. Rev.,
Cl, 275 (1970).
191.	Bransden В. H , в книге Advances in Atomic and Molecular Physics, vol. 1,
eds. D. R. Bates, I. Estermann, Academic Press, New York, N. Y., 1965, p. 85.
192.	Braunschweig D., Tamura T., Udagawa T Phys. Letters, 35B, 273 (1971).
193.	Breit G., Rev. Mod. Phys., 30, 507 (1958).
194.	Breit G., Wigner E., Phys. Rev., 49, 519 (1936).
195.	Breit G., Condon E. UPresent R. D., Phys. Rev., 50, 825 (1936).
196.	Breit G., Hull M. H., Jr., Lassila К- E., Pyatt K- D., Jr., Ruppel H. M.
Phys. Rev., 128, 826 (1962).
197.	Brene N., Veje L., Roos M., Cronstrom C., Phys. Rev., 149, 1288 (1966).
198.	Brenig W., в книге Advances in Theoretical Physics, vol. 1, ed. K. A. Bruec-
kner, Academic Press, New York, N. Y., 1965.
199.	Brentano P. von, Dawson W. K-, Moore C. F., Richard P Wharton W
Wieman H., Phys. Letters, 26B, 666 (1968).
200.	Brink D. M., Nuclear Phys., 4, 215 (1957).
201,	Brink D. M., De Toledo Piza A. F R., Kerman A. K-, Phys. Letters, 19,
413 (1965).
202.	Britt H. C., PlasilF Phys. Rev., 144, 1046 (1966).
203.	Britt H. C„ Gibbs W R., Griffin J J Stokes R. H., Phys. Rev. 139, B354
(1965).
204.	Brix P., Kopfermann H., Zs. Physik, 126, 344 (1949).
t05.	BrixP., Kopfermann HRev Mod. Phys., 30, 517 (1958).
|206	. Broglia R. A., Lilley J S., Perazzo R Phillips W R. Phys. Rev. Cl, 1508
I (1970).
507.	Broglia R. A. Paar V., Bes D. R., Phys. Letters, 37B, 159 (1971).
208.	Broglia R. A., Hansen O., Riedel С., в книге Advances in Nuclear Physics,
vol. 6, Plenum Press, New York, N Y., 1973, p. 287.
208a	. Bromley D. А., в книге Proc. Intern. Conf, on Nuclear Structure, ed. J. Sa-
o nada, Phys. Soc. of Japan, (1968, p. 251.
209	Brown G.E., Rev. Mod. Phys., 31, 893 (1959) (имеется перевод в книге
А. Лейн, Р. Томас, Теория ядерных реакций при низких и средних энергиях,
дополнение III, ИЛ, I960).
210.	Brown G. Е., Nuclear Phys., 57, 339 (1964).
211.	Brown G. E., Unified Theory of Nuclear Models, 2nd edition, North-Holland,
Amsterdam, 1967 (имеется перевод: Дж. Браун, Единая теория ядерных
моделей и сил, М., 1970).
V2 20
612
212.
213
214.
215.
216.
217
218
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
227
228.
228а
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
246.
247.
Литература
Brown G. Е., Bolsterli М., Phys. Rev. Letters, 3, 472 (1959).
Brueckner К. A., The Many-Body Problem (Ecole d’Ete de Physique Theori
Les Houches, 1958), Wiley, New York, N. Y 1959 (имеется перевод: /( 5 ^Ue
нер, Теория ядерной материи, М., 1964).	‘ рак'
Brueckner К. A., Eden R. J Francis N С., Phys. Rev. 99, 76 (1955).
Bryan R. А., в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf., Gatlinburg м
in-chief R. L. Becker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p 603^’ °*
Buck B., Phys. Rev., 130, 712 (1963).
Biihring W., Nuclear Phys., 61, 110 (1965).
Biittgenbach S., Herschel M., Meisel G.f Schrodl E., Witte W Phys LetUr
43B, 479 (1973).	' rs-
Bund G. W„ Wajntal W„ Nuovo cimento, 27, 1019 (1963).
Bunker M. E., Reich C. W., Rev. Mod. Phys., 43, 348 (1971).
BurbidgeG., Ann. Rev. Nuclear ScL, 12, 507 (1962).
Burbidge E. M., Burbidge G. R., Fowler W A., Hoyle F., Rev. Mod Phv*
29, 547 (1957).	‘ y ”
Burhop E. H S., Nuclear Phys., Bl, 438 (1967).
Burke D G., Zeldman B., Elbek B. Herskind B., Olesen M., Mat. Fys Medd
Dan. Vid. Selsk., 35, №2 (1966).
Burnett D. S., Gatti R. C.. Plasil F., Price P B., Swiatecki W J., Thomp-
son S. 6., Phys. Rev., 134, B952 (1964).
Burr W., Schutte D., Bleuler K., Nuclear Phys., A133, 581 (1969).
Buss D. J., Smither R Phys. Rev., C2, 1513 (1970).
Butler S. T., Proc. Roy. Soc. (London), A208, 559 (1951).
Buttgenbach S., Kerschel M., Meisel G., Schrodl E., Witte W Phys. Letters,
43B, 479 (1973).
Byers N , YangC. NPhys. Rev. Letters, 7, 46 (1961).
Cabibbo N., Phys. Rev. Letters, 10, 531 (1963).
Calaprice F P., Commins E D., Gibbs H. M., WickG.L., Dobson D. A.,
Phys. Rev. Letters, 18, 918 (1967).
Caldwell D. O., Elings V B., Hesse W. P., Jahn G. E., Morrison R. J Mur-
phy F V., Yount D. E., Phys. Rev. Letters, 23, 1256 (1969).
Cameron A. G. W., в книге Origin and Distribution of the Elements, ed. L.
H. Ahrens, Pergamon Press, Oxford, 1968, p. 125.
CarnpD. C., Langer L. M., Phys. Rev., 129, 1782 (1963).
Campbell E. J., Feshbach H., Porter С. E., Weisskopf V F M. I. T. Techn.
Rep. 73, Cambridge, Mass. (1960).
Carlos P , Beil H Bergere R., Lepretre A., Veyssiere A., Nuclear Phys.,
A172, 437 (1971).
Carlson В. C., Talmi I., Phys. Rev., 96, 436 (1954).
Carter E. B„ Mitchell G. E., Davis R. H., Phys. Rev. 133, B1421
(1964).
Casimir H. B, G., Rotation of a Rigid Body in Quantum Mechanics, Wolters,
Groningen, 1931.
Casimir H. B. G., On the Interaction Between Atomic Nuclei and Electrons,
Prize Essay, Teyler’s, Tweede, Haarlem, 1936.	A
CastenR.F., GreenbergS., Sie S. H., BurginyonG. A., Bromley D. A.>
Phys. Rev., 187, 1532 (1969).	n n
Casten R. F., Kleinheinz P., Daly P J Elbek B., Mat. Fys. Medd. Dan.
Vid. Selsk., 38, №13 (1972).
Cerny J.f Pehl R. H., Phys. Rev. Letters, 12,	619 (1964).	л
Cerny J Pehl R. H Rivet E., Harvey B. G.,	Phys.	Letters,	7,	67	(19W
Chakrabarti A., Ann. Institut Henri Poincare,	1, 301	(1964).	,
Chamberlain O., Segre E., Tripp R. D., Wiegand C.,	Ypsilantis	T	г У •
Rev., 105, 288 (1957).	, r Wil.
Chan L. H., Chen K. W., Dunning J R,, Ramsey N. F., Walker J. Am
son R., Phys. Rev., 141, 1298 (1966).
Литература
613
Chandrasekhar S., Ellipsoidal Figures of Equilibrium, Yale Univ. Press, New
Haven, Conn., 1969.
Chang T H Acta Phys. Sinica, 20, 159 (1964)
Chase D. M., Wilets L., Edmonds A. R., Phys. Rev., 110, 1080 (1958).
I Chasman R R., Rasmussen J 0., Phys. Rev., 115, 1257 (1959).
ChenC. T Hurley F W., Nuclear Data, Sec. Bl —13, p. 1 (1966).
'-3 Chen M—у, в книге Contributions to Intern. Conf, on Properties of Nuclear
States, Les Presses de I’Universite de Montreal, Montreal, 1969.
< Chesler R Boehm F., Phys. Rev, 166, 1206 (1968).
'55. Chi В. E., Davidson J P., Phys. Rev., 131, 366 (1963).
56	Chilosi G., Ricci R. A., Touchard J Wapstra A. H., Nuclear Phys., 53, 235
' ’ (1964).
57	Chilosi G., O' Kelley G. D.t Eichler E., Bull. Am. Phys. Soc., 10, 92 (1965).
”58. Choudhury D. C., Mat. Fys. Medd Dan. Vid. Selsk, 28, №4 (1954).
”59 Christensen C. JNielsen A., Bahnsen B., Brown W K-> Rustad В. M., Phys.
" Letters, 26B, 11 (1967).
•)60 Christensen J. H Cronin J W Fitch V L. Turlay R., Phys. Rev. Letters,
13, 138 (1964).
Christensen P. R., Nielsen О. B., Nordby H., Phys. Letters, 4, 318
(1963).
262.	Church E. L., Weneser J Phys. Rev., 103, 1035 (1956).
263.	Church E. L., Weneser JAnn. Rev. Nuclear Sci., 10, 193 (1960).
264.	Clement C. F., Lane A M., Rook J R., Nuclear Phys., 66, 273 (1965).
265.	Clementel E., Villi C., Nuovo cimento, 2, 176 (1955).
266.	Clemmow P C., Dougherty J P Electrodynamics of Particles and Plasmas,
Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969.
267.	Cline J. E., Nuclear Phys. A106, 481 (1968).
268.	Cohen B. L., Phys. Rev 105, 1549 (1957).
269.	Cohen B. L. Phys. Pev., 130, 227 (1963).
270.	Cohen В L., Phys. Letters, 27B, 271 (1968).
271	Cohen B. L„ Rubin A. G., Phys Rev. Ill, 1568 (1968).
272.	CohenS., Swiatecki W J., Ann. Phys., 22, 406 (1963).
273.	Cohen S., Plasil F Swiatecki W J., Ann. Phys., 82, 557 (1974).
274	Coleman S., Glashow S. L., Phys. Rev Letters, 6, 423 (1961).
275.	Collard H R.f Elton L R B., Hofstadter R., в книге Landolt-Bornstein,
Nuclear Radii, New Series, I, vol 2, Springer, Berlin, 1967, p. 1.
Condon E UShortley G. HThe Theory of Atomic Spectra, Cambridge
University Press, London, 1935 (имеется перевод: E. Кондон, Г tilopmAu,
Теория атомных спектров, ИЛ, 1949).
277	Cooper L. N., Phys. Rev., 104, 1189 (1956).
278.	Coor T., HillD. A., Hornyak W F Smith L. W Snow G., Phys. Rev., 98,
1369 (1955).
279.	Coulon T. W., Bayman B. F., Kashy E., Phys. Rev., 144, 941 (1966).
280.	Courant E. D., Phys Pev., 82, 703 (1951).
281.	Craig R. M., Dore J C., Greenlees G.W Lilley J S., Lowe J Rowe P. C.,
Nuclear Phys., 58, 515 (1964).
282.	Cujec B„ Phys. Rev., 136, B1305 (1964).
283.	Cziffra P., MacGregor M. H., Moravcsik M. J Stapp H. P., Phys. Rev.,
114, 880 (1959).
284	Dabrowski J Sobiczewski A., Phys Letters, 5, 87 (1963).
285.	Dalitz R. H., в книге Proc. Intern. Conf on Hyperfragments (St.Cergue,March
1963), CERN Report 64—1, CERN, Geneva, 1963, p. 147.
286.	Dalitz R H., в книге Proc. 13th Intern. Conf, on High-Energy Physics,
University of California Press, Berkeley, Cal. 1967
*87 Damgaard J Nuclear Phys., 79, 374 (1966).
288	. Damgaard J., Winther A., Nuclear Phys., 54, 615 (1964).
289	Damgaard J., Winther A., Phys. Letters, 23, 345 (1966).
20 О. Бор, Б. Моттельсон
614
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
297.
298.
299.
300.
301.
302.
303.
304.
305.
306.
307
308
309.
310
311.
312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.
321.
322.
Литература '
DamgaardJ., Scott C. K-, Osnes E., Nuclear Phys., A154, 12 (1970)
Daniel H. Schmitt H., Nuclear Phys., 65, 481 (1965).
Danos M., Nuclear Phys., 5, 23 (1958)
DanyszM. Garbowska K-, Pniewski J., Pniewski T., Zakrzewski J p,
cher E. R., Lemonne J., Renard P Sacton J., Toner W. T., O'Sullivan n
Shah T P., Thompson A., Allen P., Heeran Sr.M. Montwill A., Allen J p
Beniston M. J., Davis D H., Garbutt D A., Bull V A., Kumar P r
March P. V.t Nuclear Phys., 49, 121 (1963).
Darriulat P. IgoG. PughH.G., Holmgren H. D., Phys. Rev., 137 Rolt-
(1965).	’ 0615
Davidson J. P., Rev. Mod. Phys., 37, 105 (1965).
Davidson J. P., Feenberg E., Phys. Rev., 89, 856 (1953).
Davies D, W Hollander J M., Nuclear Phys., 68, 161 (1965).
DavisD. H., Lovell S. P., Csej they-Barth M., Sacton J Schorochoft a
O'Reilly M., Nuclear Phys., Bl, 434 (1967).
Давыдов А. С., Возбужденные состояния атомных ядер, М. 1967
Davydov A. S., Filippov G. F., Nuclear Phys., 8, 237 (1958).
De Alfaro V Regge T., Potential Scattering, North-Holland, Amsterdam
1965 (имеется перевод: В. де Альфаро, 7\ Редже, Потенциальное рассеяние’
изд-во «Мир», 1966).
Deaver В. S., Jr., Fairbank W. М., Phys. Rev. Letters, 7, 43 (1961).
de Boer J., в книге Progress in Low Temperature Physics, vol. 1, ed. C. J.
Gorter, North-Holland, Amsterdam, 1957, p. 381.
de Boer J., Eichler J., в книге Advances in Nuclear Physics, vol. 1, eds. M.
Baranger, E. Vogt, Plenum Press, New York, N. Y., 1968, p. 1.
de Boer J., Stoksiad R. G., Symons G. D., Winther A., Phys Rev Letters,
14, 564 (1965).
De Dominicis C., Martin P. C., Phys. Rev., 105, 1417 (1957).
De Forest T., Jr., Walecka J D., Advances in Physics, 15, 1 (1966).
de Groot S. R., Tolhoek H. A., Huiskamp W J в книге Alpha-, Beta- and
Gamma-Ray Spectroscory, vol. 2, ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam,
1965, p. 1199 (cm. [1036]).
Dehnhard D., Mayer-Bdricke C.t Nuclear Phys., A97, 164 (1967).
Depommier P Duclos J., Heitze J., Kleinknecht K>> Rieseberg H., Soergel V
Nuclear Phys., B4, 189 (1968).
de-Shalit A. Phys. Rev., 122, 1530 (1961).
de-Shalit A., Goldhaber M., Phys. Rev., 92, 1211 (1952).
de-Shalit A.,
N. Y., 1963
Desjardins J, S., Rosen J L., Havens W W Jr., Rainwater J., Phys. Rev.
120 2214 (1960).
Deutch B. Nuclear Phys., 30, 191 (1962).
Devons S., Duerdoth I., в книге Advances in Nuclear Physics, eds. M. Baranger,
E. Vogt, Plenum Press, New York, N. Y., 1969.
De Wit S. A., Backenstoss G., Daum C., Sens J C., Acker H. L., Nuclear Phys.
87, 657 (1967).	.	_
Dey W., Ebersold P., Leisi H. J., Scheck F., Boehm F., Engfer R., Link
Michaelsen R., Robert-Tissot B., Schellenberg L., Schneuwly H., Schroder W
Vuilleumier J. L., Walter H K., Zehnder A., Journ. Phys Soc. Japan, & >
Suppl. 582 (1973).
Diamond R. M., Stephens F. S., Arkiv Fysik, 36, 221 (1967).
Diamond R. M., Elbek B., Stephens F S., Nuclear Phys., 43, 560 (1963).
Diamond R. M., Stephens F S. Kelly W H WardD. Phys Rev Letters,
22, 546 (1969).	r ,ri.
Diamond R. M., Stephens F. S. Nordhagen R., Nakai К., в книге Lon
butions to Intern. Conf, on Properties of Nuclear States, Les Presses de 1 и
versite de Montreal, Montreal, 1969, p. 7,
Talmi 1 Nuclear Shell Theory, Academic Press, New York,
Литература
615
q23 Di Capua E. Garland R., Pondorm L., Strelzoff A., Phys. Rev 133, В1333
j ' (1964).
324	Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition, Clarendon
Press, Oxford, 1935 (имеется перевод: П Дирак, Принципы квантовой меха-
ники, М., 1960).
325.	Dixon W R., Storey R S., Aitken J H., Litherland A. E., Rogers D. W, 0.,
Phys. Rev Letters, 27, 1460 (1971).
326.	Dossing T Jensen A S., Nuclear Phys., A222, 493 (1974).
327	Долбилк&н Б. С., Корин В И., Лазарева Л Е Николаев Ф А., Письма
ЖЭТФ, 1, 47 (1965).
328.	Долгинов А. 3., в книге «Гамма-лучи», ред. Л. А. Слив, М., 1961, гл. 6,
стр. 524.
329.	Doll R., Nabauer M.f Phys. Rev. Letters, 7, 51 (1961).
330	Domingos J M., Symons G.D., Douglas A. C., Nuclear Phys. A180, 600
(1972).
331, Dothan Y Gell-Mann M He"eman Y неопубликованная рукопись (1965),
см. также [1159].
332.	Dover С В,, Lemmer R И., Hahne F J. IF., Ann. Phys. 70, 458 (1972)
333.	Dragt A., Journ. Math Phys., 6, 533 (1965).
334.	Dreizler R. M., Klein A., Wu С.-S., Do Dang G., Phys. Rev., 156, 1167 (1967)
335.	DrellS.D., Walecka J D.f Phys. Rev., 120, 1069 (1960).
336.	Дроздове. И ЖЭТФ, 28, 734, 736 (1955).
337 Дроздове. И„ ЖЭТФ, 34, 1288 (1958).
338.	Dubois JNuclear Phys., А104, 657 (1967).
339.	Duguay M. A., Bockelman С. K-, Curtis T H Eisenstein R. A., Phys. Rev.,
163, 1259 (1967).
340.	Dunaitsev A. F., Petrukhin V I., Prokoshkin Yu. D.> Rykalin V. в книге
Proc, of the Intern. Conf, on Fundamental Aspects of Weak Interactions,
BNL 837, Brooknaven, Upton, N. Y., 1963, (C-39).
341.	Durand L„ Phys. Rev. 135, B310 (1964).
342.	DusselG. G., BesD. R., Nuclear Phys., A143 , 623 (1970).
343.	Dussel G. G., Perazzo R. P J BesD. R., Broglia R. A., Nuclear Phys., A175,
513 (1971).
344.	Dyson F. J Journ. Math. Phys., 3, 140, 157, 166 (1962).
345.	Dyson F. J., Journ Math. Phys., 3, 1191 (1962).
346.	Dyson F. J., Journ. Math. Phys., 3, 1199 (1962).
347	Dyson F J., Symmetry Groups in Nuclear and Particle Physics, Benjamin,
New York, N. Y., 1966.
348.	Dyson F. J., Mehta M. L., Journ. Math. Phys., 4, 701 (1963).
349	Eccleshall D., Yates M. J L.f в книге Physics and Chemistry of Fission, vol.
1, Intern Atomic Energy Agency, Vienna, 1965, p. 77.
350	Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton
University Press, Princeton, N. J 1957 (имеется перевод в книге «Деформа-
ция атомных ядер», ИЛ, 1958).
351	Ehrenberg Н. F Hofstadter R., Meyer-Berkhout U.> Ravenhall D. G., Sobot-
ikaS. E., Phys. Rev., ИЗ, 666 (1959).
352.	E hr man J B., Phys. Rev., 81, 412 (1951).
353.	Eichler J., Zs. Physik, 171, 463 (1963).
354.	Eichler J Phys. Rev., 133, Bl 162 (1964).
355.	Eichler J., Tombrello T A., Bahcall J. N„ Phys. Letters, 13, 146 (1964).
356.	Eisele G.f Roniordos 1Muller G., Winkler R., Phys. Letters, 28B, 256 (1968).
357	Eisenbud L., Wigner E P., Proc. Nat. Acad. Sci. USA., 27, 281 (1941).
358.	Ejiri H. Nuclear Phys., A166, 594 (1971).
3.	59. Ejiri H., Hagemann G. B., Nuclear Phys., A161, 449 (1971).
360.	Ejiri H., Ikeda K,, Fujita J .-I., Phys. Rev., 176, 1277 (1968).
361.	Ejiri H., Richard P4 Ferguson 3, M4 Heffner R4 Perry D,t Nuclear Phys.,
A128, 388 (1969).
?Q*
616
Литература
362.	Ekstrom С., Olsmats М., Wannberg В., Nuclear Phys., A170, 649 (1971).
363.	Ekstrom C„ Ingelman S., Wannberg B., Lamm I.-L., Phys. Letters
199 (1972).	’
364.	Elbek B., Determination of Nuclear Transition Probabilities by Coulomb
Excitation, диссертация, Munksgaard, Copenhagen, 1963.
365.	Elbek В., в книге Proc. Intern. Conf, on Properties of Nuclear States, eds
Harvey, Cusson, Geiger, Pearson, Les Presses de I’Universite de Montreal
Montreal, 1969, p. 63.	’
366.	Elbek B., TjQtn P О., в книге Advances in Nuclear Physics, vol. 3, eds. M
Baranger, E. Vogt, Plenum Press, New York, N Y., 1969.
367	Elbek	B.,	Nielsen R.	0,, Olesen Л4 C., Phys.	Rev., 108,	406 (1957).
368.	Elbek	B.,	Olesen M	C., Skilbreid 0., Nuclear Phys., 10, 294 (1959).
369.	Elbek	B.	Olesen M.	C., Skilbreid 0., Nuclear	Phys., 19,	523 (1960).
370.	Elbek	B.,	Grotdal T„	Nybe R., Tjem P O.,	Veje E., в	книге Proc. Intern
Conference on Nuclear Structure, ed. J Sanada, Phys. Society of Japan, 1968
p. 180.
371.	Ellegaard C„ Vedelsby P Phys. Letters, 26B, 155 (1968).
372.	Ellegaard C., Rantele J., Vedelsby P., Phys. Letters, 25B, 512 (1967).
373.	Ellegaard C., Barnes P D., Flynn E. R., Igo G. J Nuclear Phys. A162
(1971).
374.	Ellegaard C., Barnes P. D., Flynn E R., Nuclear Phys., A170, 209 (1971)
375 Elliott J. P., Proc. Roy. Soc. (London), A245, 128, 562 (1958).
376.	Elliott J P Skyrme T H. R.> Pros. Roy. Soc. (London), A232, 561
(1955).
377	Elliott J. P,, Flowers В. HProc. Roy Soc. (London), A242, 57 (1957).
378.	Elliott J P Mavromatis H. A., Sanderson E. A., Phys. Letters, 24B, 358
(1967).
379.	Elton L. R. B., Nuclear Sizes, Oxford University Press, Oxford, 1961 (имеется
перевод: Л. Элтон, Размеры ядер, ИЛ, 1962).
380	ElzeTh.	Г.,	Huizenga	J	R.t	Nuclear	Phys.,	А133,	10 (1969).
381.	ElzeTh.	W.>	Huizenga	J	R.,	Phys. Rev., Cl, 328 (1970).
382.	Elze Th.	W	Huizenga	J.	R„	Nuclear	Phys.	A187,	545 (1972).
383.	Endt P	M.,	van der Leun	C.,	Nuclear	Phys.,	A105,	1 (1967).
384	Erb R. A., Holden J. E., Lee I Y Saladin J X., Saylor T R., Phys. Rev.
Letters, 29, 1010 (1972).
385.	Erba E., Facchini U., Saetta-Menichella E„ Nuovo cimento, 22, 1237 (1961).
386.	Erdal B. R., Finger M., Foucher R., Husson J. P., Jastrzebski J., Johnson A.,
Perrin N., Henck R., Regal R., Siffert P,, Astner G., Rjelberg A., Patzell P.,
Hoglund A., Malmskog S., в книге Proc, of the Intern. Conf, on Properties of
Nuclei Far from the Region of Beta-Stability, Geneva, 1970, p. 1031 (CERN
Report 70—30).
387.	Erdelyi A., Higher Transcendental Functions, vol. 2, McGraw Hill, New York,
N. Y., 1953 (имеется перевод: А. Эрдели, Высшие трансцендентные функции,
изд-во «Наука», 1973—1974).
388.	Ericson М., Ericson Т. Е. О., Ann. Phys., 36, 323 (1966).
389.	Ericson Т., Nuclear Phys., 6, 62 (1958).
390.	Ericson T., Nuclear Phys., 8, 265, 9, 697 (1958).
391.	Ericson T., Nuclear Phys., 11, 481 (1959).
392.	Ericson T., Advances in Physics, 9, 425 (1960).
393.	Ericson T., Mayer-Ruckuk T., Ann. Rev. Nuclear Sci. 16, 183 (1966).
394.	Erlandsson G., Arkiv Fysik, 10, 65 (1956).
395.	Erskine J R. Phys. Rev., 138, B66 (1965).
396.	Erskine J. R., Phys. Rev. 149, 854 (1966).
397	Erskine J R., Marinov A., Schiffer J. P., Phys. Rev., 142, 633 (1966).
398.	Euler H., Zs. Physik, 105, 553 (1937).
399.	Ewan G. T Geiger J, S Graham R, L4 MacRenzie D. R.t Phys. Rev.> 1 »
950 (1959).
Литература
617
400 Evans Н. D., Proc. Phys. Soc. (London), 63A, 575 (1950).
401.	Faessler A., Nuclear Phys., 85, 679 (1966).
402.	Fagg L. W Bendel IF L., Jones E. C., Jr., Numrich S., Phys. Rev., 187,
1378 (1969).
403.	Fallieros S., Goulard B., Venter R. H., Phys. Letters, 19, 398 (1965).
404.	Fano U., Phys. Rev., 124, 1866 (1961).
405.	FanoU., Cooper J. W., Rev. Mod. Phys., 40, 441 (1968).
406.	Favro L. D., MacDonald J F., Phys. Rev. Letters, 19, 1254 (1967).
407	Fe&erman P,, Rubinstein H. R., Talmi I., Phys. Letters, 22, 208 (1966).
408.	Fermi E., Zs. Physik, 88, 161 (1934).
409.	Ferrell R. A.t Phys. Rev. 107, 1631 (1957).
410.	Ferrell R. A., Fallieros S., Phys. Rev., 116, 660 (1959).
411.	Feshbach H., в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf., Gatlinburg, ed.-
in-chief R. L. Becker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p. 181.
412.	Feshbach H., Porter С E., Weisskopf V F., Phys. Rev., 96, 448 (1954).
413.	Feshbach H., Kerman A. K., Lemmer R. H., Ann. Phys., 41, 230 (1967).
414.	Feynman R. P., в книге Progress in Low Temperature Physics., vol. 1, ed.
J C. Gorter, North Holland, Amsterdam, 1955, p. 17.
415.	Feynman R. P., Gell-Mann M., Phys. Rev., 109, 193 (1958).
416.	Fielder D. S., Le TourneuxeJ Min K. Whitehead W D., Phys. Rev. Letters,
15, 33 (1965).
417	Fierz M., Helv. Phys. Acta, 16, 365 (1943).
418.	Fisher T R., Tabor S. L., Watson B. A., Phys. Rev. Letters, 27, 1078 (1971).
419-	FlerovG. N., Oganesyan Yu. Ts., Lobanov Yu. V., Kuznetsov V. /., Drain V. A.,
Perelygin V. P Gavrilov К A TretiakovaS. P Plotko V M., Phys Letters,
13, 73 (1964).
420.	Flugge <$., Ann. Physik, 39, 373 (1941).
421.	Flynn E. R.r IgoG., Barnes P D.. Kovar D., BesD., Broglia R., Phys. Rev.,
C3, 2371 (1971).
422	Flynn E. R., Igo G. J., Broglia R A., Landowne S., Paar V,, Nilsson B.,
Nuclear Phys., A195, 97 (1972).
423.	Flynn E. R., Igo G. J., Broglia R. A., Phys. Letters, 41B, 397 (1972).
424.	Flynn E. R.f Broglia R. A., Liotta R., Nilsson B. S., Nuclear Phys., A221,
509 (1974).
425	Foissel P., Cassagnou Y., Lamehi- Rachti M., Levi C., Mittig W Papineau L.,
Nuclear Phys., A178, 640 (1972).
426.	Foldy L. L., Phys. Rev., 92, 178 (1953)
427	Foldy L. L., Rev., Mod. Phys., 30, 471 (1958).
428.	Foldy L. L„ Milford F. J., Phys. Rev., 80, 751 (1950).
429.	Foldy L. L., Walecka J D., Nuovo cimento, 34, 1026 (1964)
430.	Foldy L. L., Walecka J. D., Phys Rev., 140, B1339 (1965).
431.	Ford J. L. C., Jr., Stetson P. H., Bemis С. E., Jr., McGowan F. K-, Robin-
son R. L., Milner W. T., Phys. Rev. Letters, 27, 1232 (1971).
432.	ForkerM., Wagner H. F., Nuclear Phys., A138, (13 (1969).
433.	Fowler W A., Hoyle F., Astrophys. Journ. SuppL, 91 (1964).
434.	Fox J D., MooreC. F., Robson D., Phys. Rev Letters, 12, 198 (1964).
435.	Franco V., Phys. Rev., 140, В1501 (1965).
436.	FrankelS., Metropolis N., Phys. Rev., 72, 914 (1947).
437	Fraser 1. A., Greenberg J S., Sie S. H., Stokstad R. G., Bromley D. А., в книге
Contributions to Intern. Conf, on Properties of Nuclear States, Les Presses
de I’Universite de Montreal, Montreal, 1969, p. 13.
438.	Frauenfelder H., Steffen R. M., в книге Alpha-, Beta- and Gamma-Ray
Spectroscopy, vol. 2, ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965,
p. 997 (cm. [1036]).
439.	Freeman J M Murray G., Burcham W E., Phys. Letters, 17, 317 (1965).
440.	Freeman J M., Jenkin J G., Murray G., Burcham W. E., Phys. Rev. Letters,
16, 939 (1966).
618
441
442.
443.
444
445
446
447
448
449
450.
451.
452.
453
454
455
456.
457
458.
459
460.
461.
462.
453.
464.
465.
466.
467
468
469.
470.
471.
472.
473.
474.
475.
476.
Литература
French J. В., Phys. Letters, 13, 249 (1964).
Frenkel J., Phys. Zs. Sowie tunion, 9, 533 (1936)
Frenkel J., Journ. Phys. (USSR), 1, 125; Phys. Rev., 55, 987 (1939).
Friedman F L., Weisskopf V F., в книге Niels Bohr and the Development
of Physics, ed. W Pauli, Pergamon Press, New York, N. Y 1955, p. 134
(имеется перевод: «Н. Бор и развитие физики», ИЛ, 1968).
Frisch R., Stern О., Zs. Physik, 85, 4 (1933)
Froman P. О,, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 1, № 3 (1957).
Froman NFroman P 0., JWKB Approximation, North-Holland, Amster-
dam, 1965 (имеется перевод: H Фреман, П. Фреман, В КБ-приближение
изд-во «Мир», 1967).	’
Fujita J Phys. Rev., 126, 202 (1962)
Fujita J, 1., Ikeda K>> Nuclear Phys., 67, 145 (1965).
Fujita J. I., Hirata M., Phys. Letters, 37B, 237 (1971).
Fulbright H. W., Lassen N 0., Poulsen N О R., Mat. Fys. Medd. Dan Vid
Selsk., 31, № 10 (1959).
Fulbright H. W., Alford W. P., Bilaniuk О. MDeshpande V K., Verba J U7
Nuclear Phys., 70, 553 (1965).
Fuller E. G., Hayward E., Nuclear Phys., 30, 613 (1962).
Fuller E. G., Hayward E., в книге Nuclear Reactions, vol 2, eds. P M. Endt
P. В Smith. North-Holland, Amsterdam, 1962, p. 713.
Fuller G. H., Cohen V W., Nuclear Moments, Appendix to Nuclear Data
Sheets, Oak Ridge Nat. Lab., Oak Ridge, Tenn., 1965.
Fuller G. H, Cohen V W., Nuclear Data, A5, 433 (1969).
Fulmer R H., McCarthy A. L. Cohen В L., Middleion R., Phys. Rev 133,
B955 (1964).
Fultz S. C., Bramblett R. L., Caldwell J T Kerr N. A., Phys. Rev. 127,
1273 (1962).
Fultz S. C., Caldwell J. T., Berman B. L., Bramblett R. L. Harvey R. R.,
Phys. Rev., 143, 790 (1966).
Fultz S. C. i Bramblett R. L., Berman B. L., Caldwell J. T., Kelly M. A.
в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf., Gatlinburg, ed.-in-chief R. L. Be-
cker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p. 397.
Gallagher C. J., Jr., Nielsen О. B., Sunyar A. W Phys. Letters, 16, 298
(1965).
Galione S., Salvetti C., Nuovo cimento, Ser. 9, 10, 145 (1953)
Gamba A., Malvano R., Radicati L. A., Phys. Rev., 87, 440 (1952).
Gamow G., в книге Rapports et Discussions du Septieme Conseil de Physique
de I’Institut Intern. Solvay, Gauthier—Villars, Paris, 1952, p. 231
Garg J. B., Rainwater J Petersen J S., Havens W W Jr.. Phys. Rev.
134, B985 (1964).
Gatto R., в книге High Energy Physics, vol. 2, ed. E. H S. Burhop, Academic
Press, New York, N. Y., 1967, p. 1.
Gaudin M., Nuclear Phys., 25, 447 (1961).
Geilikman В. T., в книге Proc. Intern. Conf, on Nuclear Structure (Kingston,
Canada), eds. D. A. Bromley, E. W Vogt, Univ, of Toronto Press, Toronto,
1960, p. 874.
Gell-Mann M., Phys. Rev., 92, 833 (1953).
Gell-Mann M., Phys. Rev., Ill, 362 (1958).
Gell-Mann M„ Cal. Inst. Tech. Rep. CTSL-20, Pasadena, Cal. (1961);
см. также [473].
Gell-Mann M., Phys. Rev., 125, 1067 (1962).
Gell-Mann M., Phys. Letters, 8, 214 (1964).
Gell-Mann M., Berman S M., Phys. Rev Letters, 3, 99 (1959).
Gell-Mann M., Ne'emen YThe Eightfold Way, Benjamin, New York, 1У •
Gell-Mann M., Goldberger M. L., Thirring W. E., Phys. Rev., 95,
(1954).
Литература
619
477.	Gerhoim Т. R.t Petterson В G., в книге Alpha-, Beta- and Gamma-Ray Spectro-
scopy, vol. 2, ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 981
(cm. [1036]).
478.	Giltinan D. A., Thaler R. M.t Phys. Rev., 131, 805 (1963).
479.	Ginocchio J. NWeneser J Phys. Rev., 170, 859 (1968).
4§0 Гинзбург В. Л., Распространение электромагнитных волн в плазме, М.,
1960.
481-	Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 20, 1064 (1950).
482	Glassgold А. Е., Heckrotte W Watson К М., Ann. Phys., 6, 1 (1959).
483.	Glauber R. J., в книге Lectures in Theoretical Physics, vol. l,eds. W. E. Brittin,
L. G. Dunham, Wiley (Interscience), New York, N. Y 1959.
484.	Glendenning N. K., Phys. Rev., 137, В102 (1965).
485.	Glenn J. E., Pryor R. J., Saladin J X., Phys. Rev., 188, 1905 (1969).
486.	Gneuss G., Greiner W., Nuclear Phys., A171, 449 (1971).
487	Goldberger M. L., Watson К. M., Collision Theory, Wiley, New York, N. Y.,
1964 (имеется перевод: M. Гольдбергер, К. Ватсон. Теория столкновений,
изд-во «Мир», 1967).
488.	Golden S., Bragg J К., Journ. Chem. Phys., 17, 439 (1949).
489.	Goldhaber G., в книге Proc. 13th Intern. Conf, on High-Energy Physics, Uni-
versity of California Press, Berkeley, Cal., 1967.
490.	Goldhaber M., Teller E., Phys. Rev., 74, 1046 (1948).
491.	Goldhaber M., Sunyar A. W., Phys. Rev , 83, 906 (1951).
492.	Goldhaber M., Hill R. D.f Rev. Mod. Phys., 24, 179 (1952).
493.	Goldstein H., в книге Fast Neutron Physics, Part 2, eds. J B. Marion, J. L. Fow-
ler, Wiley (Interscience), New York, N. Y., 1963.
494.	Goldstone JGottfried K.f Nuovo cimento, 13, 849 (1959).
495.	Gomez L. C., Walecka J. D., Weisskopf V. F., Ann Phys., 3, 241 (1958).
496.	Горьков Л. П., Элиашберг, ЖЭТФ, 48, 1407 (1965).
497	Gorodetzky S., Mennrath P.f Benenson W Chevallier P Scheibling F., Journ
phys. radium, 24, 887 (1963).
498.	Gorodetzky S. Beck F., Knipper A., Nuclear Phys., 82, 275 (1966).
499.	Gorodetzky S. Freeman R M. Gallmann A., Haas F Phys. Rev., 149, 801
(1966).
500.	Goshal S. N., Phys. Rev., 80, 939 (1950).
501.	Gottfried K., Phys. Rev. 103, 1017 (1956).
502.	Gottfried /<., Ann. Phys., 21, 29 (1963).
503.	Gottfried K., Yennie D. R., Phys. Rev., 182, 1595 (1969).
504.	Goulard B., Fallieros S., Can. Journ. Phys., 45, 3221 (1967).
505.	Green A. E. S., Rev. Mod. Phys., 30, 569 (1958).
506.	Green A. E. S., Engler N. A., Phys. Rev., 91, 40 (1953).
507.	Green A. E. S., Sharma R. D., Phys. Rev. Letters, 14, 380 (1965).
508.	Greenberg J. S., Bromley D. A., Seaman G C., Bishop E. V., в книге Proc,
of the Third Conf on the Reactions between Complex Nuclei, eds. A. Ghiorso
et al., University of California Press, Berkeley, Cal., 1963, p. 295.
509.	Greenlees G W Pyle G. J Phys. Rev 149, 836 (1966).
510.	Greenlees G. W., Pyle G. JTang Y C., Phys. Rev Letters, 17, 33 (1966).
511.	Griffin J J Phys. Rev., 108, 328 (1957).
512.	Griffin J. J„ Wheeler J A., Phys. Rev., 108, 311 (1957).
513.	Griffin J. J., Rich M„ Phys Rev., 118, 850 (1960).
514.	Гринь Ю. T., ЯФ, 6, 1181 (1967)
515.	Grin Yu. T Pavlichenkow I. M., Phys. Letters, 9, 249 (1964)
516.	Grodzins L., Ann. Rev Nuclear Sci., 18, 291 (1968).
517.	Groshev L. V., Demidov A. M., Pelekhov V I., Sokolovskii L. L., Bartholo-
mew G. A , Doveika A., Eastwood К. M., Monaro S.t Nuclear Data, A5, 1 (1968).
518.	Groshev L. V., Demidov A. M., Pelekhov V I., Sokolovskii L. L.> Bartholo-
mew G A., Doveika A., Eastwood K. M.e Monaro S.t Nuclear Data, A5, 243
(1969).
g20
519.
520.
521.
522.
523.
524.
525.
526.
527
528.
529
530.
531.
532.
533.
534
535.
536.
537.
538.
539.
540.
541.
542.
543.
544.
545.
546.
547.
548.
549.
550.
551
552.
553.
554.
555.
556.
557.
Литература
Grosse E., Dost M., Haberkant K., Hertel J W Klapdor H. V., Korner H
Proetel D., von Brentano P., Nuclear Phys., A174, 525 (1971).	'
Grotdal T Nybe K-> Elbek B., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 37
(1970).	’	12
Grotdal T., Leset L., Nybe K>> Thorsteinsen T F., Nuclear Phys. A211
(1973).	’
Grover J. R., Phys. Rev., 157, 832 (1967).
Gunther C., Parsignault D. R., Phys. Rev., 153, 1297 (1967).
Gunther C., Hubei H., Klugge A., Krien K>, Toschinski H., Nuclear Phvc
A123, 386 (1969).	ys’’
Gunther C., Kleinheinz P.t Casten R. F., Elbek B.t Nuclear Phys. A172 977
(1971).	’ 16
Gustafson C., Lamm I. L., Nilsson B., Nilsson S. G., Arkiv Fysik, 36 , 613 (19671
Gustafson C., Moller P., Nilsson S. G., Phys. Letters, 34B, 349 (1971)	'
Gutzwiller M. C., Journ. Math. Phys., 12, 343 (1971).
Hausser О. Hooton B. W PelteD., Alexander T КEvans H. C., Phys Rev
Letters, 23, 320 (1969).
Hausser 0., Khanna F. C., Ward D., Nuclear Phys., A194, 113 (1972)
Hafele J C., Woods R., Phys. Letters, 23B, 579 (1966).
Hagemann G. B., Herskind B., Olesen M. C., Elbek В., в книге Contributions
to Intern. Conf, on Properties of Nuclear States, Les Presses de 1’Universite
de Montreal, 1969, p. 29.
Hahn B., Ravenhall D. G., Hofstadter R., Phys. Rev., 101, 1131 (1956).
Halbert M. L., Zucker A., Phys. Rev., 121, 236 (1961).
Halbleib J A., Sr., Sorensen R. A. Nuclear Phys., A98, 542 (1967).
Halpern I., Ann. Rev. Nuclear Sci., 9, 245 (1959).
Halpern I., Strutinsky V. M., Proc. Second Intern. Conf, on the Peaceful
Uses of Atomic Energy 15, 408 P/1513, United Nations, Geneva (1958).
Hama YHoshizaki NCompt. Rend. Congres Intern, de Physique Nucleaire,
Paris, 1963, vol. 2, ed. P. Gugenberger, C. N. R. S., Paris, 1964, p. 195.
Hamada T., Johnston I. D., Nuclear Phys., 34, 382 (1962).
Hamamoto	I.,	Nuclear	Phys.,	A126,	545	(1969).
Hamamoto	I.,	Nuclear	Phys.,	A141, 1; A155, 362 (1970).
Hamamoto	I.,	Nuclear	Phys.	A177	484	(1971).
Hamamoto	L,	Nuclear	Phys.	A196,	101	(1972).
Hamamoto	I,,	Nuclear	Phys.,	A205,	225	(1973).
Hamamoto I., Siemens P., в книге Proc, of Topical Conf, on Problems of
Vibrational Nuclei, Zagreb, 1974.
Hammermesh M., Group Theory and its Application to Physical Problems,
Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962 (имеется перевод: Л4. Хаммермеш,
Теория групп и ее применение к физическим проблемам, изд-во «Мир»,
1966).
Hamilton JWoolcock W S., Rev. Mod. Phys., 35, 737 (1963).
Hand L. N„ Miller D. G., Wilson R., Rev. Mod. Phys., 35, 335 (1963).
Hansen 0., Nathan 0., Phys. Rev. Letters, 27, 1810 (1971).	ftn
Hansen 0., Olesen M. C„ Skilbreid 0., Elbek B., Nuclear Phys., 25 634 (1VO1L
Hansen P. G., Experimental Investigation of Decay Schemes of Deior
Nuclei, Rise Report 92 (1964).	/1959).
Hansen P. G., Nielsen О. B., Sheline R. K-> Nuclear Phys., 12, 389
Hansen P. G,, Wilsky K-> Baba С. V. K., Vandenbosch S E Nuclear rny*-,
45, 410 (1963).	z. iz Rhat-
Hansen P. G., Nielsen H. L., Wilsky K-> Agarwal Y K>> Baba С. V &•>
tacherjee S. K-, Nuclear Phys., 76, 257 (1966).	ipfters,
Hansen P. G., Nielsen H. L., Wilsky K-> Cuninghame J G., Phys.
24B, 95 (1967).	_ ЯН4Н 969).
Hansen P G., Hornshaj P., Johansen К H., Nuclear Phys., A12o, t
Harari H.t Rashid M. A., Phys. Rev., 143, 1354 (1966).
Литература
621
558
559.
560.
561.
562
58В.
564
565.
566.
567
568.
569.
570
571
572.
573.
574.
575.
576
577
578.
579
580.
581
582.
583.
584.
585.
586.
587
588.
589.
590
591
592
Harchol М., Jaffe A A., Miron J Unna /.. Zioni Z Nuclear Phys., A90,
459 (1967).
Harmatz B., Handley T H., Nuclear Phys., A121 481 (1968).
Harris S M„ Phys. Rev., 138, B509 (1965).
Harrison В К., Thorne К S.> Wakano M , Wheeler J A., Gravitation Theory
and Gravitational Collapse, University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1965.
H as i no if M., Fischer G. A,, Kuan H M., Hanna S. S., Phys. Letters, 30B,
337 (1969).
Hass M., Moreh R., Salzmann D., Phys. Letters, 36B, 68 (1971).
Haverfield A. J Bernthal F. M., Hollander J M., Nuclear Phys A94, 337
(1967).
Haverfield A. J., Bernthal F. M., Hollander J. M., Nuclear Phys., A94,
337 (1967).
Haxel 0. Jensen J H. D., Suess H E., Phys. Rev., 75, 1766 (1949).
Haxel 0., Jensen J H D., Suess H E,, Zs. Physik, 128, 295 (1950).
Hayward E., в книге Nuclear Structure and Electromagnetic Interactions,
ed. N MacDonald, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1965,p. 141.
Hecht К. T., Satchler G. R., Nuclear Phys., 32, 286 (1962).
Heestand G. M., Borchers R. R., Herskind B., Grodzins L.> Kelish R., Mur-
nick D. E., Nuclear Phys., A133, 310 (1969).
Heisenberg J. H., Sick I., Phys. Letters, 32B, 249 (1970).
Heisenberg W., Zs. Physik, 33, 879 (1925).
Heisenberg W., Zs. Physik, 77, 1 (1932).
Heisenberg W Zs. Physik, 78, 156 (1932).
Heisenberg W., в книге Rapports et Discussions du Septieme Conseil de Phy-
sique de 1’Institut Intern. Solvay, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 284.
Heitler W., The Quantum Theory of Radiation, 3rd edition, Clarendon Press,
Oxford, 1954 (имеется перевод: В. Гайтлер, Квантовая теория излучения,
ИЛ, 1956).
Helm R. Н., Phys. Rev., 104, 1466 (1956).
Helmer R. G., Reich C. W Nuclear Phys., A114, 649 (1968).
Helmers K., Nuclear Phys., 20, 585 (I960).
Hemmer P C., Nuclear Phys., 32, 128 (1962).
Hendrie D. L., Glendenning N K., Harvey B. G., Jarvis 0. N., Duhm H. H.,
Mahoney J., Saudinos J., Japan Journ. Phys. Suppl., 24, 306 (1968).
Hendrie D. L., Glendenning N. R., Harvey B. G., Jarvis 0. N Duhm H H.,
Saudinos J., Mahoney J., Phys. Letters, 26B, 127 (1968).
Henley E M., в книге Isobaric Spin in Nuclear Physics, eds. J. D. Fox,
D. Robson, Academic Press, Nev York, N. Y., 1966, p. 1.
Henley E. M., Jacobsohn B. A., Phys. Rev., 113, 225 (1959).
Henley E. M., Thirring W., Elementary Quantum Field Theory, McGraw-
Hill, New York, N. Y., 1962 (имеется перевод: Э. M. Хенли, В. Тирринг,
Элементарная квантовая теория поля, ИЛ, 1963).
Herczeg Р., Nuclear Phys., 48, 263 (1963).
Herman R., Hofstadter R., High Energy Electron Scattering Tables, Stanford
University Press, Stanford, Cal., 1960
Herring С., в книге Magnetism, vol. 4, eds. G. T Rado, H. Suhl, Academic
Press, New York, N. Y., 1966.
Hertel J W., Fleming D G.. Schiffer J P., Gove H E., Phys. Rev Letters,
23, 488 (1969).
Herzberg G., Molecular Spectra and Molecular Structure, vol. 2: Infrared and
Raman Spectra of Polyatomic Molecules, Van Nostrand, New York, 1945.
Herzberg G., Molecular Spectra and Molecular Structure, vol. 1: Spectra
of the Diatomic Molecules, 2nd edition, Van Nostrand, New York, N. Y., 1950.
Herzberg G., Molecular Spectra and Molecular Structure, vol 3: Electronic
Spectra and Electronic Structure of Polyatomic Molecules, Van Nostrand,
Princeton, N, J,, 1966.
622 Литература
593.	Hiebert J C., Newman E., Basset R. H., Phys. Rev., 154, 898 (19671
594	Hill D. L., Wheeler J A. Phys. Rev., 89, 1102 (1953).	h
595.	Hillman P., Johansson A., Tibell G , Phys. Rev., 110, 1218 (1958).
596.	Hinds S., Middleton R., Nuclear Phys., 84, 651 (1966).
597	Hinds S., Middleton R., Litherland A. E., в книге Proceedings of the Rut he
ford Jubilee Intern. Conf., ed J В Birks, Heywood and Co. LonHnJ?
1961.	on-
598.	Hinds S., Middleton R., Bjerregaard J H., Hansen 0., Nathan О phv?
Letters, 17, 302 (1965).	” ys
599.	Hinds S., Bjerregaard J H., Hansen 0., Nathan 0., Phys. Letters, 14, 48 '196S1
600.	Hirzel O„ Waffler H., Helv. Phys. Acta, 20, 373 (1947).	к л
601.	Hforth, S. A., Ryde H., Phys. Letters, 31B, 201 (1970).
602.	Hjorth S. A., Ryde H., Hagemann K- A., Levheiden G. Waddington J C
Nuclear Phys., A144, 513 (1970).
603.	Hodgson P. E., в книге Compt. Rend, du Congres Intern, de Physique Nucle-
ate, vol. 1, ed. P. Gugenberger, C. N. R. S., Paris, 1964, p. 257.
604.	Hodgson P. E., Nuclear Reactions and Nuclear Structure, Clarendon Press
Oxford (1971).
605.	Hogaasen-Feldman J., Nuclear Phys., 28, 258 (1961).
606.	Honl H., London F., Zs. Physik, 33, 803 (1925).
607.	Hoff berg M., Glassgold A. E., Richardson R. W Ruderman M., Phys Rev
Letters, 24, 775 (1970).
608.	Hofstadter R., Ann. Rev. Nuclear Sci., 7, 231 (1957).
609	Nuclear and Nucleon Structure, ed. Hofstadter R., Benjamin, New York,
N. Y., 1963.
610.	Holland G. E., Stein N., Whitten C. A., Jr., Bromley D. А., в книге Proc.
Intern. Conf, on Nuclear Structure, ed. J. Sanada, Phys. Soc. of Japan, 1968,
p. 703 (см. также [208a]).
611.	Horikawa Y., Torizuka Y., Nakada A., Miisunobu S. Kojima Y Kimura M.,
Phys. Letters, 36B, 9 (1971).
612.	Hosono K-, Journ. Phys. Soc. (Japan), 25, 36 (1968).
613.	Howard A. J Pronko J. G., Whitten C. A., Jr., Phys. Rev., 184, 1094.
614.	Hoyle F„ Fowler	W A., Nature, 197, 533 (1963).
615.	Huang K-, Yang	C. N„ Phys.	Rev., 105, 767 (1957).
616.	Huber M. G., Danos M., Weber H.	J., Greiner W., Phys. Rev., 155,	1073 (1967).
617.	Hubei H., Gunther	C., Krien K-,	Toschinski H., Speidel К.-H.,	Klemme	B.,
Kumbartzki G., Gidefeldt L., Bodenstedt E., Nuclear Phys., A127, 609 (1969).
618.	Huffaker J. N„ Laird C. E„ Nuclear Phys., A92, 584 (1967).
619.	Hughes V W., в книге Gravitation and Relativity, eds. H.-Y Chiu, W.F. Hoff-
mann, Benjamin, New York, N. Y., 1964, Ch. 13 (имеется перевод: Гравита-
ция и относительность, изд-во «Мир», 1965).
620.	Huizenga J R., Moretto L. G., Ann. Rev Nuclear Sci., 22, 427 (1972).
621.	Huizenga J. R., Chaudhry R., Vandenbosch R., Phys. Rev., 126, 210 (1962).
622.	Huizenga J R., Behkami A. N., Atcher R. W., Sventek J S., Britt H. C.,
Freiesleben H., Nuclear Phys., A223, 589 (1974).
623.	Hull M. H„ Jr., Lassila K- E„ Ruppel H M., MacDonald F. A., Breit G„
Phys. Rev., 128, 830 (1962).
624.	Hulthen L. M., Sugawara M., Handbuch der Physik, Bd. 39, Springer, Berlin,
1957 (имеется перевод в книге «Строение атомного ядра», под ред. А. С. Да-
выдова, ИЛ, 1959).	г
625.	Humblet J., в книге Fundamentals of Nuclear Theory, eds. A. de Shalit, ь.
Villi, Intern. Atomic Energy Agency, Vienna, 1967.
626.	Hund F., Zs. Physik, 42, 93 (1927).
627	Hund F., Zs. Physik, 105, 202 (1937).
628.	Hunt W E„ Mehta M. K-> Davis R. H„ Phys. Rev., 160, 782 (1967).
629.	Hurwitz H., Jr., Bethe H A., Phys. Rev., 81, 898 (1951).
630.	Huus T4 Zupancic Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 28, № 1 (1953).
Литература
623
Hyde E. К., Perlman F, Seaborg G. T., The Nuclear Properties of the Heavy
Elements, vol. 1: Systematics of Nuclear Structure and Radioactivity, Pren-
tice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964.
632.	Hyde E. K-, The Nuclear Properties of the Heavy Elements, vol. 3: Fission
Phenomena, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964.
633.	Igo G., Barnes P. D., Flynn E. R., Ann. Phys., 66, 60 (1971).
634.	Igo G. J., Flynn E. R., Dropesky B. J., Barnes P D., Phys. Rev. C3, 349
635	\/гы1а K-, Kobayasi M., Marumori T Shiozaki T Takagi S,, Progr. Theor.
Phys. (Kyoto), 22, 663 (1959).
636	Ikeda K., Marumori T Tamagaki R., Tanaka H., Hiura JHoriuchi H.,
Suzuki Y., Nemoto F., Bando H., Abe Y., Takigawa N., Kamimura M.,
Takada K., Akaishi Y Nagata S., Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), Suppl.
52 (1972).
637 Inglis D. R., Phys. Rev., 96, 1059 (1954) (имеется перевод: Проблемы совре-
менной физики, № 1. 139, 1956).
638.	Inglis D., Phys. Rev., 97, 701 (1955) (имеется перевод: Проблемы совре-
менной физики, № 1, 152, 1956).
639.	Инопин Е. В., ЖЭТФ, 30, 210 (1956); 31, 901 (1956).
640.	Ishizaki YYoshida Y., Saji Y., Ishimatsu T., Yagi K., MatobaM., HuangC. Y
Nakajima Yв книге Contributions to Intern. Conf, on Nuclear Structure,
Tokyo, 1967, p. 133.
641	Itzykson C., Naenberg M., Rev. Mod. Phys., 38, 121 (1966).
642.	Jackson H. E., Wetzel K. JPhys. Rev. Letters, 28, 513 (1972).
643	Jackson J D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, N. Y
1962.
644.	Jackson J.	D., Blatt	J.	M., Rev. Mod.	Phys., 22, 77	(1950).
645	Jackson К.	P., Ram	К.	B., Lawson P	G. Chapman N. G., Allen K. W.,
Phys. Letters, 30B, 162 (1969).
646.	Jacob G., Maris Th.	A	J., Rev. Mod.	Phys., 38, 121	(1966).
647.	Jacob M.,	Wick G, C.,	Ann. Phys., 7,	404 (1959).
648	Jacobsohn В A., Phys. Rev., 96, 1637 (1954).
649.	Jarvis O. N., Harvey B. G., Hendrie D L., Mahoney J Nuclear Phys., 102,
625 (1967).
650.	Jastrow R., Phys.	Rev., 79, 389	(1950).
651.	Jensen	J. H. D.,	Jensen P., Zs.	Naturforsch,	5a,	343 (1950).
652	Jensen	J, H. D.,	Mayer M, G.,	Phys. Rev.,	85,	1040 (1952).
653.	Jett J.	H., Lind D, A., Jones G.	D., Ristinen	R. A., Bull. Am. Phys. Soc.,
13, 671 (1968).
654.	Jargensen M., Nielsen О. B., Sidenius G., Phys. Letters, 1, 321 (1962).
655.	Johnson A., Rensfelt K.-G,, Hjorth S. A,, Annual Report AFI, Research
Institute of Physics, Stockholm, 1969, p. 23.
656.	Johnson A., Ryde H., Hjorth S. A„ Nuclear Phys. A179, 753 (1972).
657	Jolly R. K.f Phys. Rev., 139, B318 (1965).
658.	Jones K. W., Schiffer J P Lee L. L., Jr., Marinov A,, Lerner J L., Phys.
Rev., 145, 894 (1966).
659.	Josephson B, D., Phys. Letters, 1, 251 (1962).
660.	Jurney E. T., в книге Proc. Intern. Symposium Studsvik on Neutron Capture
Gamma-Ray Spectroscopy, Intern. Atomic Energy Agency, Vienna, 1969,
p. 431.
661.	Kallen G., Nuclear Phys., Bl, 225 (1967).
662.	Капица С. FL, Работное H. С., Смиренкин Г. Д., Солдатов А. С., Уса-
чев Л Н., Ципенюк ЮМ., ЖЭТФ 9, 128 (1969).
663.	Карамян С. А., Кузнецов И. В., Музычка Т, А., Оганесян Ю. Ц. Пенионж-
кевич Ю. Е., Пустыльник Б. И., ЯФ, 6, 494 (1967).
664.	Karnaukhov V. A.t Ter-Akopyan G, М.> Phys. Letters, 12, 339
(1964).
624
Литература
665.
666
Katz L., Baerg A. P Brown F в книге Proc. Second Intern Conf. On ik
Peaceful Uses of Atomic Energy, vol. 15, United Nations, Geneva, 1958, n 10J?
Kaufmann E. N Bowman J D., Bhattacherjee S. K-, Nuclear Phys’ Alin
417 (1968).	’’ aU9
667 Kavanagh R. WPhys. Rev., 133, B1504 (1964).
668.	Казаринов Ю. M., Симонов Ю. H., ЖЭТФ, 43, 35 (1962).
669.	Kelly Л4. A., Berman B. L.> Bramblett R. L., Fultz S. C., Phys. Rev 17a
1194 (1969).	’’
670 Kelson I., Levinson C. A., Phys. Rev., 134, B269 (1964).
671.	Kemmer N., Polkinghorne J C., Pursey D. L., Reports on Progress in Phv^n.
22, 368 (1959).	y cs‘
672.	Kerman	A.	K->	Mat. Fys.	Medd. Dan. Vid. Selsk., 30, № 15 (1956).
673	Kerman	A.	K.,	Shakin С.	M., Phys. Letters, 1, 151 (1962)
674.	Kerman	A.	K.,	Klein A.,	Phys. Rev., 132, 1326 (1963).
675.	Kerman	A	K-,	Quang H.	K., Phys Rev., 135, B883 (1964).
676.	Kerman	A.	K-> McManus H., Thaler	R. M., Ann Phys,, 8, 551	(1959).
677	Kerman	A.	K-, Svenne J P., Villars	F. M H., Phys. Rev., 147,	710 (1966)
678.	Khan A. M., Knowles J. W., Nuclear Phys., A179, 333 (1972).	h
679.	King G. W	Hainer R. M,, Cross P	C., Journ. Chem. Phys., 11, 27 (1943).
680.	King G.	IV., Hainer R. M Cross P.	C., Journ. Chem. Phys., 17 ,	826 (1949).
681.	Kirsten T., Schaeffer 0. A., Norton E., Stoenner R., W Phys. Rev. Letters
20, 1300 (1968).
682.	Kishimoto T Tamura T Nuclear Phys., A163, 100 (1971).
683.	Kisslinger L., Phys. Rev., 98, 761 (1955).
684.	Kisslinger L. S., Sorensen R. A. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk, 32, № 9
(1960).
685.	Kistner О. C., Phys. Rev. Letters, 19, 872 (1967).
686. Knowles J. W>, в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy, vol. 1,
ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 203.
687 Kobayasi M. Marumori T., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 23 , 387 (1960).
688.	Koch H. R., диссертация, Techn. Hochschule Munchen, 1965.
689.	Koch H. R„ Zs. Physik, 192, 142 (1966).
690	Korner H. J Auerbach K-, Braunsfurth J Gerday E., Nuclear Phys. 86,
395 (1966).
691.	Kofoed-Hansen О., в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy,
vol. 2.,ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 1517 (cm [1036]).
692.	Kohn W Luttinger J. M., Phys. Rev Letters, 15, 524 (1965).
693.	Koike M., Nonaka /., Kokame J., Kamitsubo H Awaya Y Wada T Naka-
mura H., Nuclear Phys., A125, 161 (1969).
694.	Kolar W., Bockhoff K. H., Journ. Nuclear Energy, 22, 299 (1968).
695.	Колесов В. E., Коротких В Л., Малашкина В. Г Изв. АН СССР, сер. физ.
27, 903, (1963).
696. Комар А. П., Воробьев А. А., Залите 10. К., Королев Г А,, ДАН СССР,
191, 61 (1970).	..
697 Konopinski Е. JThe Theory of Beta Radioactivity, Oxford University
Press, Oxford, 1966.
698. Konopinski E. J., Uhlenbeck G. E., Phys. Rev., 60, 308 (1941).
699. Konopinski E. JRose M,. E., в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectro-
scopy, vol. 2, ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 1^
(cm. [1036]).
700	Kopfermann H., Nuclear Moments, Academic Press, New York, N. Y.,
(имеется перевод: Г. Копферман, Ядерные моменты, ИЛ, 1960).
701.	Kownacki J Ryde Н., Sergejev V О., Sujkowski Z Nuclear Phys., A >
498 (1972).	_ /fQo0)
702.	Kramers H. A., Proc. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap 33, 959 (	1
703.
704.
Krane K. S., Phys. Rev., 10C, 1197 (1974).
Kratschmer W., Klapdor H. V„ Grosse E., Nuclear
Phys., A201, 179 (1973)
Литература
625
"05- Kraushaar J. J., Goldhaber Al., Phys. Rev 89, 1081 (1953).
;n6 Kuchnir F T„ Axel P., Criegee L., Drake D. M., Hanson A. 0., Sutton D. C.,
Phys. Rev 161, 1236 (1967).
Kuehner J. A„ Almqvist E., Can. Journ. Phys., 45, 1605 (1967).
708 Kugel H W., Kalish, R Borchers R. R., Nuclear Phys., A167, 193 (1971).
709 Ruhn H. G., Turner R., Proc. Roy. Soc (London), 265A, 39 (1962).
710. Kuhn W., Zs. Physik, 33, 408 (1925).
Kumabe /., Ogata H., Kim T H., Inoue M., Okutna Y Matoba M., Journ.
Phys. Soc. Japan, 25, 14 (1968).
712. Kumar f(.t Nuclear Phys., A92, 653 (1967).
713 Kumar K., Baranger M., Nuclear Phys., A122, 273 (1968).
714 Kurath D., Phys. Rev 80, 98 (1950).
715 Kurath D., Phys. Rev., 130, 1525 (1963).
716 Kurath D,, Pieman L., Nuclear Phys., 10, 313 (1959).
717 Lamb H., Hydrodynamics, 4th edition, Cambridge University Press, Cam-
bridge, 1916.
718.	Landau L., Physik. Zs. Sowjetunion, 11, 556 (1937).
719,	Landau L. D.t Journ. Phys. (USSR), 5, 71 (1941).
720.	Landau L., Journ. Phys. (USSR), 10, 25 (1946).
721.	Ландаи Л. Д ЖЭТФ, 30, 1058 (1956).
722.	Ландау Л. Д„ ЖЭТФ, 35, 97 (1958).
723.	Ландау Л. Д,, Лифшиц Е М., Квантовая механика, М., 1963.
724	Lane А. М., Nuclear Phys., 35, 676 (1962).
725.	Lane А. М., Thomas R. G., Rev Mod. Phys., 30, 257 (1958) (имеется пере-
вод: А. Лейн, P Томас, Теория ядерных реакций при низких энергиях,
ИЛ, 1960).
726.	Lane А, М., Pendlebury Е. D., Nuclear Phys., 15, 39 (1960).
727	Lane А, М, Thomas R. G., Wigner E. P., Phys. Rev., 98, 693 (1955).
728.	Lane S. A., Saladin J X., Phys. Rev., C6, 613 (1972).
729.	Lanford W. A., McGrory J B., Phys. Letters, 45B, 238 (1973).
730.	Lang J M B., Le Couteur K- J Proc. Phys. Soc. (London), 67A, 586
(1954).
731.	Lassila К. E., Hull M H., Jr,, Ruppel H M., MacDonald F, A., Breit G.
Phys. Rev., 126, 881 (1962).
732.	Lauritsen T„ Ajzenberg-Selove F в книге Landolt-Bornstein, Neue Serie,
vol. 1, Springer, Berlin, 1961.
733.	Lauritsen T., Ajzenberg-Selove F,, Nuclear Data Sheets, The Nuclear Data
Group, Oak Ridge Nat. Lab., Oak Ridge, Tenn., 1962.
734.	Lauritsen T., Ajzenberg-Selove F,, Nuclear Phys., 78, 10 (1966).
735.	Lederer С. M., Poggenburg J K-> Asaro F Rasmussen J 0,, Perlman L,
Nuclear Phys. 84, 481 (1966).
736	Lederer С. M,, Hollander J M., Perlman I., Table of Isotopes, 6th edition,
Wiley, New York, N. Y., 1967
737	Lederer С. ML, Asaro F., Perlman /., цитировано в журнале Nuclear Data,
B4, 652 (1970).
738.	Lee L. L„ Jr„ Schiffer J P„ Phys Rev., 136, B405 (1964).
739	Lee L. L., Jr., Schiffer J. P., Zeidman B., Satchler G, R., Drisko R. M. Bas-
set R. H„ Phys. Rev., 136, B971 (1964).
740.	Lee Г D. Yang C. Phys. Rev., 104, 254 (1956).
741.	Lee	T	D.,	Wu C.	S.,	Ann.	Rev Nuclear Sci., 15, 381 (1965).
742.	Lee	T.	D.,	Wu C.	S„	Ann.	Rev. Nuclear Sci., 16, 471, 511 (1966).
743.	Lee	W,	YBernow	S.,	Chen	M. YCheng S. C., Hitlin D Kast J W.,	Ma-
cagno E. R., Rushton A. M., Wu C. S. Budicky B., Phys. Rev Letters, 23,
648 (1969).
744.	Legeti A. J„ Phys. Rev. Letters, 29, 1227 (1972).
745.	Leisi H. J Dey W Ebersold P , Engter R.. ScheckF.i Walter H, K,t Journ.
Phys. Soc. Japan, 34, Suppl. 355 (1973).
626
746.
747.
748.
749.
750
751.
752.
753.
754.
755.
756.
757.
758.
759.
760.
761.
762.
763
764.
765.
766.
767.
768.
769.
770.
771.
772,
773.
774.
775.
776.
777.
778.
779.
780.
781.
782.
783.
Литература
Lemonne JMayeur C., Sacton J., Vilain P., Wilquet G.> Stanley D., Allen ь
Davis D H., Fletcher E. R., Garbutt D A., Shaukat M. A., Allen J p'
Bull V A., Conway A. P March P V., Phys. Letters, 18, 354 (1965)
Le Tourneux J,, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 34, № 11 (1965).
Levinger J S., Phys. Rev., 84, 43 (1951).
Levinger J S , Nuclear Photo-Disintegration, Oxford University Press, Oxford
1960 (имеется перевод: Д. Левинджер, Фотоядерные реакции, ИЛ IQrox
Levinger J S., Bethe H., Phys. Rev., 78, 115 (1950).	’
Levinger J S., Simmons L. M., Phys. Rev., 124, 916 (1961).
Levinson C. A., Lipkin H. J Meshkov S , Phys. Letters, 7, 81 (1963).
Levi-Setti R., в книге Proc. Intern. Conf, on Hyperfragments (St Сезанн
1963), CERN Rep. 64—1, ed W. O. Lock, CERN, Geneva, 1964. K ’
Lewis M. B., Bertrand F, E., Nuclear Phys., A196, 337 (1972).
Li A. C., Schwarzschild A., Phys. Rev., 129, 2664 (1963).
Lilley J S., Stein N„ Phys. Rev. Letters, 19, 709 (1967).
Lindgren I., в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy, vol. 2
ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 1621 (имеется пере-
вод: «Альфа-, бета- и гамма-спектроскопия», под ред. К. Зигбана, М., 1969).
Lindhard JMat. Fys Medd. Dan. Vid. Selsk., 28, № 8 (1954).
Lipkin H. J., Lie Groups for Pedestrains, North-Holland, Amsterdam, 1965.
Lipkin H J., в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf. (Gatlinburg), ед.-
in-chief R. L. Becker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p. 450.
Листенгартен M. А., в книге «Гамма-лучи», ред. Л. А. Слив, М., 1961.
Litherland А. Е,, в книге Proc, of the Third Symposium on the Structure of
Low-Medium Mass Nuclei, ed J P. Davidson, University Press of Kansas,
Lawrence, Kansas, 1968, p. 92.
Litherland A. E., McManus H., Paul E. B., Bromley D. A., Gove H. E., Can,
Journ. Phys., 36, 378 (1958).
Littlewood D. E., The Theory of Group Characters, Clarendon Press, Oxford,
1950.
Lobashov V. M., Nazarenko V. A.t Saenko L. F Smotritsky L. M., Kharke-
vitch G. I., Phys Letters, 25B, 104 (1967).
Lobner R. E. G., Gamma Ray Transition Probabilities in Deformed Odd-A
Nuclei, диссертация, University of Amsterdam, 1965.
Lonsjo 0., Hagemann G. B., Nuclear Phys, 88, 624.(1966).
Lowdin P О,, в книге Quantum Theory of Atoms, Molecules and the Solid
State, ed. P O. Lowdin, Academic Press, New York, N. Y., 1966.
Lomon E., Feshbach H., Rev Mod. Phys., 39, 611 (1967).
London F., Superfluids, vol. 1, Wiley, New York, N. Y., 1950, p. 152.
Lushnikov A. A., Zaretsky D. F., Nuclear Phys., 66, 35 (1965).
Lynn J. E., The Theory of Neutron Resonance Reactions, Clarendon Press,
Oxford, 1968
Lynn J E., в книге Nuclear Structure, Dubna Symposium, Intern Atomic
Energy Agency, Vienna, 1968.
MacDonald J R , Start D. F H., Anderson R., Robertson A. G,, Grace M A.,
Nuclear Phys., A108, 6 (1968).
MacDonald J. R , Wilkinson D. H., Alburger D. E., Phys. Rev C3, 219 (1971).
MacDonald N., Phys. Letters, 10, 334 (1964).
MacDonald W M„ Phys. Rev., 101, 271 (1956).
Macfarlane M. HFrench J. B.t Rev Mod Phys., 32, 567 (1960).
MacGregor M. H., Moravcsik M. J., Stapp H. P., Phys. Rev., 116, 1248 (19эУ)«
MacGregor M. H., Arndt R. A., Wright R. M Phys Rev. 169, 1128 (19oo),
173, 1272 (1968); 182, 1714 (1968).	r .
Mackintosh R. S.t диссертация, University of California, Berkeley, ”
UCRL-19529 1970
Macklin R. L. Gibbons J H., Rev. Mod. Phys., 37, 166 (1965).
Macklin R. L4 Gibbons J Н.< Astrophys. Journ., 149, 577 (1967).
Литература
627
784.	Mafethe М. Е., Hodgson Р. Е., Proc. Phys. Soc. (London), 87, 429 (1966).
785	Maher J. V Erskine J. R., Friedman A, M., Siemssen R. H Schiffer J P
Phis. Rev., C5, 1380 (1972).
786.	Maier R. HNakai R., Leigh J R., Diamond R. M., Stephens F. S., Nuclear
Phys., A183, 289 (1972).
787.	Majorana E., Zs. Physik, 82, 137 (1933).
788.	Malmfors R. G., в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy, vol. 2,
ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965„ p. 1281 (cm. [1036]).
789.	Mang H. J., Zs. Physik, 148, 582.
790.	Mang H. J., Rasmussen J 0., Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 2, № 3 (1962).
791,	Margolis B., Troubetzkoy E. S., Phys. Rev., 106, 105 (1957).
792.	Marie Z:} Mobius P., Nuclear Phys., 10, 135 (1959).
793.	Mariscotti M. A. JAcharf-Goldhaber G., Buck B. Phys. Rev., 1864 (1969).
794.	Marshak H., et al., Phys. Rev. Letters, 20, 554.
795.	Marshalek E. R., Phys. Letters, 44B, 5 (1973).
796.	Marumori T., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 24, 331 (1960).
797	Marumori T., Yamamura M„ Tokunaga A., Progr. Theor. Phys. (Kyoto),
31, 1009 (1964).
798.	Massey H. S. W., Burhop E. H. S., Electronic and Ionic Impact Phenomena,
Oxford University Press, Oxford, 1952 (имеется перевод: Г Месси, Е. Бар-
хоп, Электронные и ионные столкновения, ИЛ, 1958).
799.	Mattauch J. Н. Е., Thiele W., Wapstra А. Н„ Nuclear Phys. 67, 1 (1965).
800.	Mayer	М.	G.,	Phys.	Rev., 60,	184	(1941).
801.	Mayer	M.	G.,	Phys.	Rev.	75,	1969 (1949).
802.	Mayer	M.	G.,	Phys.	Rev.	78,	16	(1950).
803.	Mayer	M.	G.,	Phys.	Rev.,	78,	22	(1950).
804	Mayer M. G., Jensen J. H. D., Elementary Theory of Nuclear Shell Structure,
Wiley, New York, N. Y., 1955 (имеется перевод: M. Г Майер, И Йенсен,
Элементарная теория ядерных оболочек, ИЛ, 1958).
805.	Mayeur С., Sacton J., Vilain Р., Wilquet G., Stanley D., Allen P., Dauis
D. HFletcher E. R., Garbutt D. A., Shaukat M. A., Allen J. E., Bull
V. A., Conway A. P., March P V., Univ. Libre de Bruxelles, Bulletin № 24,
Presses Acad. Europ., Bruxelles, 1965.
806.	McClatchie E. A., Glashausser C., Hendrie D. L., Phys. Rev., Cl, 1828, 1970.
807.	McDaniels D. R.. Blair J. S., Chen S. W Farwell G. W Nuclear Phys.
17, 614 (1960).
808	McDonald J Porter D., Nuclear Phys., A109, 529 (1968).
809.	McGowan F. R., в книге Compt. Rend, du Congres Intern, de Physique
Nucleaire, ed. P. Gugenberger, Dunod, Paris, 1959, p. 225.
810	McGowan F. R., Robinson R L., Stelson P H., Ford J L., C., Jr Nuclear
Phys., 66, 97 (1965).
811.	McVoy R. W., в книге Fundamentals in Nuclear Theory, Intern. Atomic
Energy Agency, Vienna, 1967, p. 419.
812.	McVoy R. W Ann. Phys., 43, 91 (1967).
813.	Mehta M. L., Nuclear Phys , 18, 395 (1960).
814.	Mehta M. L., Random Matrices, Academic Press, New York, N. Y 1967.
815.	Mehta M. L., Gaudin M., Nuclear Phys., 18, 420 (1967).
816.	Meitner L., Frisch O. R., Nature, 143, 239 (1939).
817	Meldner H., Sussman G . Ubrici W., Zs. Naturforsch., 20a, 1217 (1965).
818.	Messiah A., Quantum Mechanics, North-Holland, Amsterdam, 1962.
819	Meyerhof W F., Tombrello T A., Nuclear Phys., A109 (1968).
820.	Miazawa H. (cm. [837]).
821.	Michaudon А., в книге Advances in Nuclear Physics, vol. 6, eds M. Baranger,
E. Vogt, Plenum Press, New York, N. Y., 1973, p. 1.
822.	Michel F C., Phys. Rev., 133, B329 (1964).
823.	Michel H. V., UCRL-17301, Radiation Lab., University of California, Bep
keley, Cal., 1966,
628
Литература
824 Middleton R. Hinds S., Nuclear Phys., 34, 404 (1962).
825 Middleton R.f Pullen D J., Nuclear Phys., 51, 77 (1964).
826.	Migdal	A.,	Journ. Phys. (USSR),	8, 331 (1944).
827	Migdal	A.	В	Nuclear	Phys. 13,	655 (1959).
828.	Migdal	A.	B.,	Nuclear	Phys., 75,	441 (I960).
829.	Мигдал	А	Б	Теория	конечных ферми-сисгем	и свойства атомных man
М. 1965.	Дер’
830.	Migdal А. В., Lushnikov A. A., Zaretsky D. F., Nuclear Phys., 66, 193 (196^
831.	Migneco E., Theobald J P., Nuclear Phys., A112, 603 (1968).
832.	Михайлов В M„ Изв. АН СССР, сер. физ., 30, 1334 (1966).
833.	Miller Р D., Dress W В. Baird J К,, Ramsey N F Phys. Rev ТеЧргс
19, 381 (1967).	FS>
834 Milner W. T., McGowan F. К , Stetson P. H., Robinson R. L., Sauer R 0
Nuclear Phys., A129, 687 (1969).	’ "
835. Milner W. T , McGowan F. K-> Robinson R L. Stetson P H,, Sayer R. О
Nuclear Phys., A177, 1 (1971).
836 Minor M. M„ Sheline R. K., Shera E. B., Jurney E. T Phys. Rev 187
1516 (1969).
837 Miyazawa H., Progr Theor Phys. (Kyoto), 6, 801 (1951).
838.	Moalem A. Benertson W., Crawley G. M., Phys Rev Letters, 31, 482 (1973)
839.	Moller P Nilsson S. G., Phys Letters, 31B, 283.
840.	Mdssbauer R. L., в книге Alpha-, Beta- and Gamma-Ray Spectroscopy,
vol 2, ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 1293 (cm. [1036])’
841.	Moore С. E., Atomic Energy Levels, Circular 467, vol 1, Nat. Bureau of Stan-
dards, Washington, D. C., 1949, p XL.
842.	Moravcsik M. J The Two-Nucleon Interaction, Clarendon Press, Oxford
1963.
843.	Morinaga H.t Phys. Rev., 101, 254 (1956).
844.	Morinaga H., Nuclear Phys., 75, 385 (1966).
845.	Morinaga H., Gugelot P. C., Nuclear Phys., 46, 210 (1963).
846.	Morpurgo G., Phys., Rev., 110, 721 (1958).
847	Morrison P., в книге Experimental Nuclear Physics, vol. 2, ed. E. Segre,
Wiley, New York, N. Y., 1953 (имеется перевод: Экспериментальная ядер-
ная физика, т. 2, ред. Э. Сегре, ИЛ, 1962).
848.	Morse Р М., Feshbach Н., Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill,
New York, N. Y., 1953 (имеется перевод: /7 Морз, Г Фешбах, Методы теоре-
тической физики, ИЛ, 1958—1960).
849.	Moszkowski S A., Phys Rev., 99, 803 (1955).
850.	Moszkowski S. А., в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy,
vol. 2, ed. K. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 863 (см. [1036]).
851.	Mottelson B. R., в книге Proc. Intern. Conf, on Nuclear Structure, ed.
J. Sanada, Phys. Soc of Japan, 1963, p. 87.
852	Mottelson B. R., Nilsson S. G., Phys. Rev., 99, 1615 (1955) (имеется пере-
вод: Проблемы современной физики, № 1, 80, 1956).
853	Mottelson В, R., Nilsson S G., Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 1, № 8
(1959).
854.	Mottelson B. R., Valatin J. G.. Phys. Rev Letters, 5, 511 (1960).
855.	Motz. H T	Jurney E T., Schult 0. W B., Koch H. R., Gruber U.,
Maier В. P., Baader H., Struble G. L., Kern J., Sheline R. K-,
Egidy T., Elze Th., Bieber B. Backlin A. Phys. Rev., 155, 1265 (1967).
856.	Moyer R. A. Cohen В L., Diehl R. C., Phys. Rev., C2, 1898 (1970).
857	Mukherjee P., Cohen В L., Phys Rev , 127, 1284 (1962)
858.	Myers W D„ Nuclear Phys., A204, 465 (1973).
859.	Myers	W	D.,	Swiatecki	W.	J.t	Nuclear Phys , 81, 1 (1966).
860.	Myers	W	D.,	Swiatecki	W	J	Arkiv Fysik, 36, 343 (1967).
861.	Myers	W.	D.,	Swiatecki	U7.	J.,	Ann. Phys., 55, 395 (1969).
862	Nagao	M., Torizuka Y.j	Phys	Rev. Letters, 30, 1068 (1973).
Литература
629
863	Nagatani К-, Le Vine M J Belote T A., Arima A., Phys. Rev. Letters,
27, 1071 (1971).
864.	Nagel J. G., Moshinsky M., Journ. Math. Phys.. 6, 682 (1965).
865.	Nakai K-, Herskind B., Blomqvist J., Filevich A., Rensfelt K.-G., Sztan-
kier J., Bergstrom I., Naganiiya S., Nuclear Phys., A189, 526 (1972).
866.	Nathan О., в книге Nuclear Structure, Dubna Symposium, Intern. Atomic
Energy Agency, Vienna, 1968, p. 191.
867	Nathan 0., Nilsson S. G., в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectros-
copy, vol. 1, ed. K- Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 601
(cm. [1036]).
868.	Neal W R., Kraner H. W., Phys. Rev., 137, BII64 (1965).
869	Nedzel V. A., Phys. Rev., 94, 174 (1954).
870.	Weman Y Nuclear Phys., 26, 222 (1961).
871.	Neergard K-, Vogel P., Nuclear Phys., A145, 33 (1970).
872	Nemirovsky P. E., Adamachuk Yu. V Nuclear Phys., 39, 551 (1962).
873.	Немировский П. Э., Чепурков В. А., ЯФ, 3, 998 (1966).
874.	Неудачин В. Г Смирнов Ю. Ф., Нуклонные ассоциации в легких ядрах,
М., 1969.
875.	Neutron Cross Sections, Sigma Center, Brookhaven Nat. Lab., BNL 325, Suppl.
2,	Brookhaven, N. Y., 1964.
876.	Newman E., Hiebert J C., Zeldman B., Phys. Rev. Letters, 16, 28 (1966).
877.	Newson H. W., в книге Nuclear Structure Studies with Neutrons, eds. N. de
Mevergies et al. North-Holland, Amsterdam, 1966, p. 195.
878.	Newton J O., Nuclear Phys., 5, 218 (1958).
879	Newton J. O., Stephens F S., Diamond R. M., Kelly W H., WardD Nuclear
Phys., A141, 631 (1970).
880.	Newton	T	D.,	Can. Journ. Phys., 38, 700 (1960).
881.	Nilsson	S.	G.,	Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 29, № 16 (1955) (имеется
перевод в книге «Деформация атомных ядер,» ред. Л. А. Слив, ИЛ, 1958).
882.	Nilsson	S.	G.	Prior О., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk, 32, № 16	(1961).
883.	Nilsson	S	G.,	Tsang C. F., Sobiczewski A., Szymanski Z., Wycech S.,	Gustaf-
son C., Lamm I.-L. Moller P., Nilsson B., Nuclear Phys., A131, 1 (1969).
884.	Nishijima K-, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 12, 107 (1954).
885.	Nix J	R Ann.	Phys., 41,	52 (1967).
886.	Nix J	R., Ann.	Rev. Nuclear Sci., 22,	65 (1972).
887	Nolen	J A. Jr„	Schiffer J.	P.t Phys. Letters, 29B, 396 (1969).
888.	Nordheim L. A.,	Rev. Mod.	Phys., 23,	322 (1951).
889.	Новиков В. M., Урин М. Г„ ЯФ, 3, 419 (1966).
890.	Nozieres Р Theory of Interacting Fermi Systems, Benjamin, New York, N. Y
1964.
891.	Nozieres P., в книге Quantum Fluids, ed. D. F Brewer, North-Holland
Amsterdam, 1966, p. 1.
892.	Nozieres P., Pines D., Phys. Rev., 109, 741, 762, 1062 (1966).
893.	Nuclear Data Sheets, Nuclear Data Group, Oak Ridge Nat. Lab. Oak Ridge
Tenn.
894.	Oehme R., в книге Strong Interactions and High Energy Physics, ed. R. G. Mo-
orhouse, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1963.
895.	Ogle W., Wahlborn S., Piepenbring R., Fredriksson S Rev. Mod. Phys.,
43, 424 (1971).
4 9 6. Okamoto K-, Phys. Rev., 110, 143 (1958); Progr Theor Phys. (Kyoto), 15,
75 (1958).
>7. Okubo S,t Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 27, 949 (1962).
'18. Olesen M. C., Elbek B., Nuclear Phys., 15, 134 (I960).
19. Onsager L,, в книге Proc. Intern. Conf, on Theoretical Physics, Kyoto and
Tokyo, Science Council of Japan, Tokyo, 1954, p. 935.
GO. Onsager L., Phys. Rev. Letters, 7, 50 (1961).
01. Oothoudt M. A., Hintz N. M., Nuclear Phys., A213, 221 (1973).
630
Литература
902.	Oppenheimer J R., Schwinger J., Phys. Rev., 60, 150 (1941),
903.	Osborne R. K., Foldy L. L., Phys. Rev., 79, 795 (1950).
904.	Ottaviani P L., Savoia M., Sawicki J Tomasini A., Phys. Rev 153
(1967).	’	’ 1138
905.	Pars L. A., A Treatise on Analitical Dynamics, Heinemann, London iqac
906.	Paul E. B„ Phil. Mag., 2, 311 (1957).	’
907	Paul P., в книге Intern. Conf, on Photonuclear Reactions and Application
vol. I, ed. B. L. Berman, US Atomic Energy Commission, Office of Informs’
tion Services, Oak Ridge. Tenn., 1973, p. 407.
908.	Pauli H. C., Ledergerber T Brack M., Phys. Letters, 34B, 264 (1971),
909.	Pauli W., в книге Handbuch der Physik, Bd. XXIV/I, Hsgb. Smeka! A
Springer, Berlin, 1933, p. 3.
910	Pauli W Dancoff S. M., Phys. Rev., 62, 85 (1942).
911.	Pauly FL, Toennies J P., в книге Advances in Atomic and Molecular Physics
vol 1, eds. Bates D. R., Estermann 1. Academic Press, New York N Y *
1965, p. 195.	’ ' ’
912.	Paya D., Bions J., Derrien H., Fubini A., Michaudon A., Ribon P., Journ.
phys. radium, Suppl., Cl, 159 (1968).
913.	Peierls R. E., Yoccoz J., Proc. Phys. Soc. (London), A70, 381 (1957).
914.	Peierls R. E., Thouless D. J,, Nuclear Phys., 38, 154 (1962).
915.	Пеккер Л. К., Изв. АН СССР, сер. физ. 24, 365 (1960).
916.	Perey F., Buck B.t Nuclear Phys., 32, 353 (1962).
917	Perey F. G., Schiffer J. P., Phys. Rev. Letters, 17, 324 (1966).
918.	Perlman I., Ghiorso A., Seaborg G. T., Phys. Rev., 77, 26 (1950).
919.	Perring J K-, Skyrme T R., Proc. Phys. Soc. (London), A69, 600 (1956).
920.	Persson B., Blumberg FL, Agresti D., Phys. Rev., 170, 1066 (1968).
921.	Petersen D. F., Veje C. J., Phys. Letters, 24B, 449 (1967).
922.	Peterson J M., Phys. Rev., 125, 955 (1962).
923.	Пик-Пичак Г А., ЖЭТФ, 34, 341 (1958).
924.	Pilt A. A., Spear R. H., Elliott R. V., Kelly D. T., Kuehner J A., EwanG. T,t
Rolfs C., Can. Journ. Phys., 50, 1286 (1972).
925.	Pines D., Elementary Excitations in Solids, Benjamin, New York, N. Y.
1963.
926.	Pines D., Nozieres P., The Theory of Quantum Liquids, Benjamin, New York,
N. Y., 1966 (имеется перевод: Д. Пайне, Ф. Нозьер, Теория квантовых
жидкостей, изд-во «Мир», 1967).
927.	Pitthan R., Watcher Т., Phys. Letters, 36В, 563 (1971).
928.	Pitthan R„ Watcher Th., Zs. Naturforsch, 27a, 1683 (1972).
929.	Pniewsky J., Danysz M., Phys. Letters, 1, 142 (1962).
930.	Poggenburg J. K>, Jr. UCRL-16187, диссертация, University of California,
Berkeley, Cal. (1965).
931.	Poggenburg J. K-, Mang H. J., Rasmussen J. O., Phys. Rev., 181, 1697
(1969).
932.	Поликанов С. M., УФН, 94, 46 (1968).
933.	Polikanov S. M., Sletten G., Nuclear Phys., A151, 656 (1970).
934.	Поликанов С. M., Друин В. А., Карнаухов В. А., Михеев В. Л., Плеве А. А.,
Скобелев Н. К., Субботин В. Г Тер-Акопян Г М., Фомичев В. А., ЖЭТФ»
42, 1464 (1962).
935.	Понтекорво Б. М., Смородинский Д. А., ЖЭТФ, 41, 239 (1961)
936.	Porter С. Е., Thomas R. G., Phys. Rev., 104, 483 (1956).
937	Porter С. E., Rosenzweig N., Ann. Acad. Sci. Finland., A6, № 44 (1960).
938.	Prowse D. J., Phys. Rev. Letters, 17, 782 (1966).	„
939.	Работное H. С., Смиренкин F. H., Солдатов A. C,f Усачев Л. FL, Ка-
пица С. П., Ципенюк Ю. M., ЯФ, 11, 508 (1970).
940.	Racah	G.,	Phys.	Rev.,	62,	438	(1942).
941.	Racah	G„	Phys.	Rev.,	63,	367	(1943).
942.	Racah	G„	Phys.	Rev.,	78,	622	(1950).
Литература
631
943.	Racah G., Group Theory and Spectroscopy, Lecture Notes, Inst, for Advanced
Study, Princeton N. J., 1951.
944.	Racah G., в книге Farkas Memorial Volume, eds. A. Farkas, E. P. Wigner,
Research Council of Israel, Jerusalem, 1952, p. 294.
945.	Racah G., Talmi I., Phys. Rev. 89, 913 (1953).
946.	Rainwater J., Phys. Rev. 79, 432 (1950).
947.	Rakavy G., Nuclear Phys. 4, 375 (1957).
948.	Rakavy G., Nuclear Phys., 4, 289 (1957).
949.	Ramamurthy V S., Kapoor S. S. Kataria S. K-, Phys. Rev. Letters, 25, 386
(1970).
950.	Ramsak V., Olesen M. C., Elbek B., Nuclear Phys., 6, 451 (1958).
951.	Ramsey N. F., Nuclear Moments, Wiley, New York, N. Y., 1953.
952.	Kamsey N. F., Molecular Beams, Clarendon Press, Oxford (1956) (имеется
перевод: H. Рамзей, Молекулярные пучки, ИЛ, 1960).
953.	Rand R. Е., Frosch R., Yearin М. R., Phys. Rev., 144, 859 (1966).
954.	Randolph W L., Ayres de Campos Beene J R., Burde J., Grace M. A.f
Start D. F, H., Warner R. E., Phys. Letters, 44B, 36 (1973).
955.	Rayleigh J. W. S., Theory of Sound, Mac Milan, London, 1877 (имеется пере-
вод: Д. Рэлей, Теория звука, М.—Л., 1940).
956.	Raynal J., Nuclear Phys., А97, 572 (1967).
957.	Raz В. J., Phys Rev., 114, 1116 (1959).
958.	Redlich M. G., Phys. Rev., 110, 468 (1958).
959.	Reich C. W Cline J. E., Phys. Rev., 137, 1424 (1965).
960.	Reich C. W Gline J E., Nuclear Phys., A159, 181 (1970).
961.	Reid R. V„ Jr., Ann. Phys. 50, 411 (1968).
962.	Reiner A. S., Nuclear Phys., 27, 115 (1961).
963.	Reines F., Cowan C. L., Goldhaber M., Phys. Rev., 96, 1157 (1954).
964.	Reines F., Cowan C. L., Kruse H. W., Phys. Rev., 109, 609 (1957).
965,	Reising R. F., Bate G. L., Huizenga J. R., Phys. Rev., 141, 1161 (1966).
966.	Ricci R. A., Girgis R. K-, van Lieshout R., Nuclear Phys. 21, 177 (1960).
967.	Richard P Moore C. F., Becker J. A., Fox J. D., Phys. Rev., 145, 971 (1966).
968.	Richard P., Stein N., Kavaloski C. D., Lilley J S., Phys. Rev. 171, 1308
(1968).
969.	Ridley B. W., Turner J F., Nuclear Phys., 58, 497 (1964).
970.	Ripka G., в книге Advances in Nuclear Physics, vol. 1, eds. M. Baranger,
E. Vogt, Plenum Press, New York, N. Y., 1968, p. 183.
971.	Robson D., Phys. Rev., 137, B535 (1965).
972.	Rogers J D., Ann. Rev. Nuclear Sci., 15, 241 (1965).
973.	Rojo O., Simmons L. M., Phys. Rev., 125, 273 (1962).
974.	Rood H. P. C., Nuovo cimento, Suppl. Ser. 1, 4, 185 (1966),
975.	Roos С. E., Peterson V. Z., Phys. Rev., 124, 1610 (1961).
976.	Roos P. G„ Wall. N. S., Phys. Rev., 140, B1237 (1965).
977.	Rose M. E., Multiple Fields, Wiley, New York, N. Y 1955 (имеется пере-
вод: M. Роуз, Поля мультиполей, ИЛ, 1957).
978.	Rose М. Е., Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York,
N. Y., 1957.
979.	Rose M. E., в книге Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy, vol. 2,
ed. Siegbahn, North-Holland, Amsterdam, 1965, p. 887 (cm. [1036]).
980.	Rosen L., Beery J G., Goldhaber A. S. Auerbach E. H., Ann. Phys., 34, 96
(1965).
981.	Rosenblum S., Valadares M., Compt. rend., 235, 711 (1952).
982.	Rosenfeld A. EL, Barbaro-Galtieri A., Podolsky W J., Price L. R., Soding P„
Wohl C. G., Roos M., Willis W J., Rev. Mod. Phys., 39, 1 (1967).
983.	Rosenfeld L., Nuclear Forces, North-Holland, Amsterdam (1948).
984.	Rosenzweig N., Phys. Rev., 108, 817 (1957).
985.	Rosenzweig N., в книге Statistical Physics, vol. 3, Brandeis Summer Insti-
tute, ed. K. W. Ford, Benjamin, New York, N. Y., 1963, p. 91.
632
Литература
986.	Rosenzweig N., Porter C. E., Phys. Rev., 120, 1968 (1960).
987.	Rosenzweig N., Monahan J. E., Mehta M L., Nuclear Phys A109
(1968).	’	’
988.	Ross A. A., Lawson R. D., Mark H., Phys. Rev., 104, 401 (1956)
989.	Rud. N., Nielsen K. B., Nuclear Phys., A158, 546 (1970).
990.	Rud N., Nielsen H. L., Wilsky %. Nuclear Phys. A167, 401 (1971).
991.	Ruderman M., Ann. Rev. Astron, and Astrophys., 10, 427 (1972)
992.	Rudolph H„ McGrath R. L„ Phys. Rev. C8, 247 (1973).
993.	Rutherford E., Chadwick J,, Ellis C. D., Radiations from Radioactive Sub-
stances, Cambridge University Press, Cambridge, 1930.
994.	Sahcs R. G., Phys. Rev., 74, 433 (1948).
995.	Sachs R. G., Nuclear Theory, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1953.
996.	Saethre Ф., Hforth S. A., Johnson A., Jagare S., Ryde H., SzymanskiZ., Nuclear
Phys., A207, 486 (1973).
997.	Sakai	M.,	Nuclear	Phys., A104, 301	(1967).
998.	Sakai	M.,	Nuclear	Data Tables, A8,	323 (1970).
999.	Sakai	M.,	Nuclear	Data Tables, A10,	511 (1972).
1000.	Salisbury S. R., Richards H. T., Phys. Rev. 126, 2147 (1962).
1001.	Sailing P., Phys. Letters, 17, 139 (1965).
1002.	Satchler G. R., Phys. Rev., 97, 1416 (1955).
1003.	Satchler R., в книге Lectures in Theoretical Physics, vol. VIIIC, eds. Kunz,
Lind, Britten, University of Colorado Press, Boulder, Colorado, 1966, p. 73
1004.	Satchler G. R., Basset R. H., Drisko R. M , Phys. Letters, 5 , 256 (1963).
1005.	Sayer R O., Stetson P. H., McGowan F. K., Milner U7. T Robinson R. L
Phys. Rev., 1C, 1525 (1970).
1006.	Scharff-Goldhaber G., Physica, 18, 1105 (1952).
1007.	Scharff-Goldhaber G., Phys. Rev., 90, 587 (1953).
1008.	Schaff-Goldhaber G., Weneser J., Phys. Rev., 98, 212 (1955).
1009.	Schaff-Goldhaber G., Takahashi К., Изв. АН СССР, сер. физ., 31, 38 (1967).
1010.	Schmorak M., Bemis С. E., Jr., Zender M. J Gove N. B., Dittner P F.,
Nuclear Phys. A178, 410 (1972).
1011.	Schneid E. J., Prakash A.. Cohen B. L., Phys. Rev., 156, 1316 (1967).
1012.	Schopper H. F., Weak Interactions and Nuclear Beta Decay, North-Holland,
Amsterdam, 1966.
1013.	Schulz H., Wiebicke H. J., Fulle R., Netzband D., Schlott K. Nuclear Phys.,
A159, 324 (1970).
1014.	Schwalm D., Bamberger A , Bizzeti P. G., Povh B., Engelbertink G. A. P
Olness J. W., Warburton E. K., Nuclear Phys., A192, 449 (1972).
1015.	Schwinger J., Phys. Rev., 78, 135 (1950).
1016.	Seaman G. C., Greenberg J. S., Bromley D A., McGowan F K., Phys. Rev.
149, 925 (1966).
1017.	Seaman G. G., Bernstein E. M Palms J M., Phys. Rev., 161, 1223
(1967).
1018.	Seeger P A.. Perisho R. C., Los Alamos Scientific Lab. Report (LA 3751),
Los Alamos, N. M., 1967.
1019	Seeger P. A., Fowler W A., Clayton D. D. Astrophys. Journ. Suppl., 97,
121 (1965).
1020.	Segel R E„ Olness J. W., Sprenkel E. L„ Phys. Rev. 123, 1382 (1961).
1021.	Segel R E. Olness J. W Sprenkel E. L., Phil. Mag., 6, 163 (1961).
1022.	Segel R. E.. Singh P P Allas R. G. Hanna S S., Phys. Rev Letters,
10, 345 (1963).
1023.	Semenko S. F., Phys. Letters, 10, 182; 13, 157 (1964).
1024.	Шапиро И С., Эспгулин И. В., ЖЭТФ, 30, 579 (1956).
1025.	Sharpey-Schafer J F. Ollerhead R W Ferguson A JLitherland A. B.t
Can. Journ. Phys. 46, 2039 (1968).
1026.	Shaw G L , Aqn. Phys., 8, 509 (1959)
1027.	Sheline R. K.< Rev. Mod. Phys., 32, 1 (1960),
Литература
633
1028.	Sheline R. К., Watson С. E., Maier В. P., Gruber UKoch R. H., Schult
0. W B., Motz H. T Jurney E, T., Struble G L.> Egidy T V Else Th.,
Bieber E., Phys. Rev., 143, 857 (1966).
1029.	Sheline R K. Bennett M. J Dawson J W Sluda Y Phys. Letters, 26B,
14 (1967).
1030.	Shenoy G. K.> Kalvius G. M., в книге Hyperfine Interactions in Excited
Nuclei, vol. 4, eds. G Goldring, R Kalish, Gordon and Breach, New York,
N. Y., 1971, p. 1201.
1031.	Sherif H., Nuclear Phys. A131, 532 (1969).
1032.	Sherwood A. I., Goswami A., Nuclear Phys., 89, 465 (1966).
1033a	Shirley D. A., Rev. Mod. Phys., 36, 339 (1964).
1034.	Shoda K., Sugawara M., Saito TMiyase H Phys. Letters, 28B, 30 (1969).
1035.	Shull C. G., Nathans R., Phys. Rev. Letters, 19, 384 (1967).
1036.	Siegbahn K., ed., Alpha-, Beta-, and Gamma-Ray Spectroscopy, North-
Holland, Amsterdam, 1965 (имеется перевод: Альфа-, бета- и гамма-спек-
троскопия, ред. К. Зигбан, М., 1969).
1037.	Siegert A. J. F., Phys. Rev. 52, 787 (1937).
1038.	Siemens Р J Sobiczewski A., Phys. Letters, 41B, 16 (1972).
1039.	Silverberg L., Arkiv Fysik, 20, 341 (1962).
1040.	Silverberg L., Nuclear Phys., 60, 483 (1964).
1041.	Simpson J. J., Eccleshall DYates M. J L., Freeman N J., Nuclear Phys.
A94, 177 (1967).
1042.	Singh P. P., Segel R. E., Siemssen R. H., Baker S., Blaugrund A. E„ Phys.
Rev., 158, 1063 (1967).
1043.	Skorka S. J Hartel JRetz-Schmidt T. W Nuclear Data, A2, 347 (1966).
1044.	Slater J. C., Phys. Rev., 34, 1293 (1929).
1045.	Slichter L. В., в книге Intern. Dictionary of Geophysics, vol. 1, ed. S.
K. Runcorn, Pergamon Press, Oxford, 1967, p. 331.
1046.	Sliv L. A., Kharitonov Yu. I Phys. Letters, 16, 176 (1965).
1047.	Smulders P J M., Broude C., Litherland A. E., Can. Jorn. Phys. 45, 2133
(1967).
1048.	Sorensen B., Phys. Letters, 21, 683 (1966).
1049.	Sorensen B., Nuclear Phys., A97, 1 (1967).
1050.	Soldatov A S., Smirenkin G. N Kapitza S. P Tsipeniuk Y M., Phys
Letters, 14, 217 (1965).
1051.	Soloviev V. G., Mat. Fys. Skr Dan. Vid. Selsk 1, № 11 (1961).
1052.	Soloviev V G., Phys. Letters, 1, 202 (1962).
1053.	Soloviev V. G., Vogel P., Nuclear Phys., A92, 449 (1967).
1054.	Sommerfeld А., в книге Sitzungsber Bayer Akad. Wiss. Munchen, 1915,
S. 425.
1055.	Sommerfeld A., Atombau und Spektrallinien, Vieweg, Braunschweig, 1922
(имеется перевод: А. Зоммерфелъд, Строение атома и спектры, М., 1956).
1056.	Sood Р С., Green А. Е. S. Nuclear Phys., 5, 274 (1957).
1057	Sorensen R., Phys. Letters, 21, 333 (1966).
1058.	Sosnovsky A. N., Spivak P E., Prokofiev Yu A., Kutikov / E., Dobri-
nin Yu. P., Nuclear Phys., 10, 395 (1959).
1059.	Spalding I J Smith К F., Proc Phys. Soc. (London), 79, 787 (1962).
1060	Specht H J	Weber J Konecny E., Heunemann D Phys Letters, 41B,
43 (1972).
Ю61 Spruch L„ Phys. Rev., 80, 372 (1950).
1062.	Stahelin P., Preiswerk P Helv. Phys. Acta, 24, 623 (1951).
Ю63. Stahl R. H.t Ramsey N F Phys. Rev., 96, 1310 (1954).
1064.	Stanford С. P Stephenson T E., Bernstein S., Phys. Rev. 96, 983
(1954).
1065.	Proc, of the Stanford Conference on Nuclear Sizes and Density Distribu-
tions Rev Mod Phys., 30, 412 (1958).
Ю66 Stapp H P Ypsilantis T J , Metropolis NPhys. Rev., 105 , 302 (1957)
21 О. Бор, Б Моттельсон
634
Литература
1067.	Steadman S. G., Kleinfeld A. M., Seaman G G.. de Boer J Ward D Mi,rt
lear Phys., A155, 1 (1970).	’ ” NUc'
1068.	Stech B., Schulke L„ Zs. Physik, 179, 314 (1964).
1069.	Stein P. C., Odian A. C., Watternberg A., Weinstein R., Phys. Rev liq
348 (1960).	’ 1У>
1070.	Steinwedel H., Jansen J. H. D., Zs. Naturforsch, 5a, 413 (1950).
1071.	Stetson P H., Grodzins L., Nuclear Data Al, 21 (1965).
1072.	Stetson P. H., Robinson R. L., Kim H. J Rapaport J Satchler G. P
Nuclear Phys., 68, 97 (1965).
1073	Stetson P. H., McGowan F K-, Robinson R L., Milner W T Phys Rev
C2, 2015 (1970).	’
1074	Stetson P H., Raman S. McNabb J. A., Lide R W Bingham C. R phvq
Rev., 8C, 368 (1973).	' y
1075.	Stephens F., cm. Hyde E., Perlman I., Seaborg G. T., в книге The Nuclear
Properties of the Heavy Elements, vol. 2, Prentice Hall, Englewood Cliffs
N J., 1964, p. 732.
1076.	Stephens F S., Jr., Asaro F., Perlman 1Phys. Rev., 100, 1543 (1955).
1077	Stephens F S.> Asaro F., Perlman I., Phys. Rev., 113, 212 (1959).
1078.	Stephens F S., Elbek В . Diamond R M., в книге Proc. Third Conf, on the
Reactions between Complex Nuclei, eds. A. Ghiorso, R. M Diamond, H E.
Conzett, Univ of California Press, Berkeley, Calif., 1963, p. 303.
1079.	Stephens F S., Lark N. L., Diamond Q. M., Nuclear Phys. 63, 82 (1965).
1080.	Stephens F. S., Holtz M. D. Diamond R. M„ Newton J O., Nuclear Phys
А115, 129 (1968).
1081	Stephens F S., Ward. D., Newton J 0., Japan Journ Phys. Suppl. 24,
160 (1968).
1082.	Stephens F S., Simon R. S., Nuclear Phys., A183, 257 (1972).
1083.	Stevens R. R„ Jr., Eck J S., Ritter E. T Lee Y /<., Walker J C., Phys
Rev., 158, 1118 (1967).
1084.	Stodolsky L., Phys. Rev. Letters, 18, 135 (1967).
1085	Streater R. F Wightman A. S., PCT, Spin and Statistics, and All That,
Benjamin, New York, N. Y 1964 (имеется перевод: P Ф. Cmpumep,
А. С. Вайтман, PCT, спин, статистика и все такое, М., 1966).
1086.	Stromgren В., NORDITA Lectures, NORDITA, Copenhagen (1968).
1087	Stroke H H., Blin-Stoyle R. J., Jaccarino K, Phys. Rev., 123, 1326 (1961).
1088.	Strominger D., Hollander J M., Seaborg G. T Rev. Mod Phys., 30, 585
(1958).
1089.	Struble G. L„ Kern J., Sheline R. K>, Phys. Rev. 137, B772 (1965)
1090	Струтинский В. M., ЖЭТФ, 30, 606 (1956).
1091 Strutinsky V М неопубликованные лекции, The Niels Bohr Institute,
Copenhagen, 1958.
1092.	Струтинский В	M., ЯФ,	1, 821	(1965).
1093.	Струтинский В.	М., ЯФ,	3, 614	(1966).
1094.	Strutinsky V М., Arkiv Fysik, 36, 629 (1967).
1095	Strutinsky V М.	Nuclear	Phys., A95, 420	(1967).
1096.	Strutinsky V M„	Nuclear	Phys.,	A122,	1	(1968).
1097	Strutinsky V M., Bjornholm S., в книге Nuclear Structure, Dubna Sympo-
sium, p. 431, Intern Atomic Energy Agency, Vienna, 1968.
1098.	Струтинский В. M., Лященко H. Я., Попов Н. А., ЖЭТФ, 43, 584 (1962).
1099.	Suess Н. Е., Urey Н. С., Rev. Mod. Phys., 28, 53 (1956).	о
1100.	Sugimoto K>, Mizobuchi A., Nakai K-> Matuda K>, Phys. Letters, 18, 3o
(1965).
1101.	Swiatecki W J.} Proc. Phys. Soc. (London), A64, 226 (1951).
1102.	Swiatecki W. J., Phys. Rev., 104, 993 (1956).
1103	Swift A. Elton L. R. В , Phys Rev Letters, 17, 484 (1966).
1104	Tabakin F Ann Phys., 30, 51 (1964).
1105.	Takagi S., Progr Theoret. Phys. (Kyoto), 21, 174 (1959)
Литература
635
1106.	Takeiani М., Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), Suppl., 3 (1956); см. также
статьи Iwadare J., Otsuki S., Tamagaki R., Machida S., Toyoda T., Watari W«,
Nishijima K., Nakamura S., Sasaki S.
1107	Talman J. D. Nuclear Phys., A141, 273 (1970).
1108.	Talman J D., Nuclear Phys., A161, 481 (1971).
1109.	Tamagaki R., Rev. Mod. Phys., 39, 629 (1967).
IMO. Tamura T., Phys. Letters, 22, 644 (1966).
1111.	Tamura T., Udagawa T., Nuclear Phys., 53, 33 (1964).
1112.	Tanaka S., Journ. Phys. Soc. Japan, 15, 2159 (I960).
1113.	rayol B. N„ Parker W H., Langenberg D. N., Rev Mod. Phys. 41, 375
(1969).
1114.	Teller E., Wheeler J. A., Phys. Rev., 53, 778 (1938).
1115.	Terasawa T., Prog. Theoret. Phys. (Kyoto), 23, 87 (1960).
1116.	Tewari S. NBanerjee M K., Nuclear Phys., 82, 337 (1966).
1117.	Thomas R, G., Phys. Rev., 88, 1109 (1952).
1118.	Thomas W Naturwiss., 13, 627 (1925).
1119.	Thouless D J., The Quantum Mechanics of Many-Body Systems, Academic
Press, New York, N Y., 1961 (имеется перевод: Д Таулес, Квантовая
механика систем многих частиц, ИЛ, 1963).
1120.	Thouless	D. JNuclear Phys., 22, 78 (1961).
1121.	Tipler P	A., Axel P., Stein	N., Sutton D. C.,	Phys. Rev.,	129	2096	(1963)
1122.	Tjom P.	0., Elbek В Mat	Fys. Medd Dan	Vid	Selsk.,	36,	№	8	(1967).
1123.	Tjom P.	O., Elbek B., Mat.	Fys. Medd. Dan.	Vid	Selsk.,	37,	№	7	(1969)
1124.	Townes С. H., Schawlow A L., Microwave Spectroscopy, McGraw-Hill, New
York, N. Y., 1955
1125.	Trainer L. E., H,, Phys. Rev., 85, 962 (1952).
1126.	Tsukada K„ Tanaka S.. Maruyama M. Tomita Y Nuclear Phys. 78, 369
(1966).
1127	Turner J. F., Ridley В W., Cavanagh P E., Gard G A. Hardacre A. G.,
Nuclear Phys., 58, 509 (1964).
1128.	Tveter A., Herskind В , Nuclear Phys., A134, 599 (1969).
1129.	Tyren H., Maris Th. A J Nuclear Phys., 7, 24 (1958).
1130.	Tyren H., Kullander S., Sundberg 0., Ramachandran R., Isacsson P Bergg-
ren T.} Nuclear Phys., 79, 321 (1966).
1131.	Uberall H., Springer Tracts	in Modern Physics,	vol. 71, 1974, p 1.
1132.	Uher R. A., Sorensen R A.,	Nuclear Phys., 86,	1 (1966).
1133.	Ungrin J., Diamond R. M.,	Tjotn P 0., Elbek	B., Mat Fys. Medd.	Dan.
Vid. Selsk., 38, № 8 (1971)
1134.	Urey H C., Rev Geophysics, 2, 1 (1964).
1135.	Valatin J G. Proc Roy Soc. (London), 238, 132 (1956).
1136.	Valatin J G., Nuovo cimento, 7, 843 (1958).
1137.	Van de Hulst H C., Light Scattering by Small Particles, Wiley, New York,
N Y., 1957 (имеется перевод: Г ван де Хюлст, Рассеяние света малыми
частицами, ИЛ 1961).
1138.	Vandenbosch R., Huizenga J R., в книге Proc. Second Intern. Conf, on the
Peaceful Uses of Atomic Energy, vol. 15, United Nations, Geneva, 1958,
p. 284.
1139.	Vandenbosch S. E., Day P., Nuclear Phys., 30, 177 (1962).
1140.	Van Leuwen H J., Journ. phys. radium, 2, 361 (1921).
1141	Van Oostrum R. J., Hofstadter R , Noldeke G. R., Yearian M. R., Clark В G.,
Herman R Ravenhall D G. Phys Rev Letters, 16, 528 (1966)
1142.	Van Vleck J. //., Phys. Rev 33, 467 (1929).
1143.	Van Vleck J H.t The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities,
Oxford University Press, Oxford, 1932
1144	Veje E., Elbek B., Herskind B., Olesen M. C., Nuclear Phys., A109, 489 (1968).
1145.	Veltman M., Phys Rev Letters, 17, 553 (1966).
1146	Vergnes M N., Sheline R. R,. Phys Rev., 132, 1736 (1963).
21*
636
1147
1148.
1149.
1150.
1151.
1152.
1153
1154.
1155.
1156.
1157
1158.
1159.
1160
1161
1162.
1163
1164
1165.
1166.
1167
1168.
1169.
1170
1171.
1172
1173.
1174.
1175.
1176.
1177
1178.
1179.
1180.
1181.
1182
1183.
1184.
1185.
1186
1187
Литература
Vergnes М. N.f Rasmussen J 0., Nuclear Phys., 62, 233 (1965),
Veyssiere A., Beil H., Bergere R., Carlos P Lepretre A.> Nuclear Phv
A159, 561 (1970).	nys-
Veyssiere A., Beil HBergere R., Carlos P Lepretre A., Kernbath К Nt.
lear Phys., A199, 45 (1973).	” Uc’
Vtggars D. A., Butler P A., Carr P E., Gadeken L. L., James A N. д/п
lan P JSharpey-Schafer J F., Journ. Phys., A6, L67 (1973)
Villars F., Helv Phys. Acta, 20, 476 (1947).
Villars F,, Ann. Rev. Nuclear Sci, 7, 185 (1957).
Vogt E., в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf., Gatlinburg, ed -in-
chief R. L. Becker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p. 74g ’
Wahl born S„ Phys. Rev 138, B530 (1965).
Wapstra A. H., Arkiv Fysik, 6, 263 (1953).
Warburton E K-> Parker P. D., Donovan P F Phys. Letters, 19, 397 (1965)
Watson R. E., Freeman A. J в книге Hyperfine Interactions, eds. A. J Free-
man, R В Frankel, Academic Press, New York, N. Y 1967, p 53
Way /<., Hurley F WNuclear Data, Al, 473 (1966).
Weaver L., Biedenharn L. C., Cusson R YAnn. Phys., 77, 250 (1973).
Weber H J Huber M G., Greiner W., Zs. Physik, 190, 25; 192, 182 (1966)
Weidenmuller HA., Nuclear Phys., 21, 397 (1960).
Weigmann H. Zs. Physik, 214, 7 (1968).
Weigmann H.t Schmid H Journ. Nuclear Energy, 22, 317 (1968).
Weinberg S., Phys. Rev. 112, 1375 (1958).
Weinberg S., Phys. Rev., 128, 1457 (1962).
Weinberg S., Nuovo cimento, 25, 15 (1962).
Weisberger W. Phys. Rev. Letters, 14, 1047 (1965).
Weise W., Phys. Letters, C13, 55 (1974).
Weisskopf V F Phys. Rev., 52, 295 (1937).
Weisskopf V. F., в книге Proc. Glasgow Conf, on Nuclear and Meson Physics,
eds. E. H. Bellamy, R. G. Moorhouse, Pergamon Press, London, 1955, p. 167.
Weisskopf V F., Nuclear Phys., 3, 423 (1957).
Weizsdcker von C. F,, Zs. Physik, 96, 431 (1935).
Wendin G., Journ. Phys В Atom, Molec. Phys. 6, 42 (1973)
Wentzel G„ Helv. Phys. Acta, 13, 269 (1940).
Wheatley J С., в книге Quantum Fluids, ed. D. F. Brewer, North-Holland,
Amsterdam 1966, p. 183
Wheatley J С., в книге Progress in Low Temperature Physics, vol 6, ed.
C. J. Gorter, North-Holland, Amsterdam, 1970, p. 77
Wheeler J А., в книге Niels Bohr and the Development of Physics, ed.
W Pauli, Pergamon Press, London, 1955 (имеется перевод: «Н. Бор и раз-
витие физики,» ИЛ, 1968).
Wheeler J. А., в книге Fast Neutron Physics, Part II, ed. J B. Marion,
J. L. Fowler, Interscience, New York, N. Y., 1963, p. 2051.
Wheeler J А., в книге Gravitation and Relativity,eds. H.-Y Chiu,W.F Hoff-
mann, Benjamin, New York, N Y., 1964, ch. 10 (имеется перевод: Грави-
тация и относительность, изд-во «Мир», 1965).
Wheeler J. А., в книге Atti del Convegno Mendeleeviano, ed. M. Verde,
Accademia delle Science di Torino, Torino, 1971, p. 189.
Whineray S., Dietrich F S., Stokstad R G., Nuclear Phys., A157 , 529 (1970).
Whittaker E. T., Analytical Dynamics, 4th edition, Cambridge University
Press, Cambridge, 1937
Wick C. G., Rev. Mod. Phys., 27, 339 (1955).
Wigner E. P., Phys. Rev. 51, 106 (1937).
Wigner E. Л, Phys. Rev., 56, 519 (1939).
Wigner E. P., Ann. Math 67, 325 (1958); 62, 548 (1955); 65, 203 (1957).
Wigner E. P., Group Theory and its Applications to the Quantum Mecha-
nics of Atomic Spectra, Academic Press, New York, N. Y., 1959 (имеется
Литература
637
перевод: Е. Вигнер, Теория групп и ее приложение к квантовомеханиче-
ской теории атомных спектров, ИЛ, 1961).
1188.	Wild W., в книге Sitzber Bayer. Akad. Wiss., Math.-Naturw KJasse, Bd. 18,
Munchen, 1955, S. 371.
1189.	Wildermuth K., Kanellopoulos Th., Th., Nuclear Phys., 7, 150 (1958).
1190.	Wilets L. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 29, № 3 (1954).
1191.	Wilets L., Hill D. L., Ford A. W., Phys. Rev., 91, 1488 (1953).
11^2.	Wilkins B. D., Unik J P., Huizenga J. R., Phys. Letters, 12, 243 (1964).
1193.	Wilkinson D H., в книге Proc. Glasgow Conf, on Nuclear and Meson Physics,
eds. E. H. Bellamy, R. G. Moorhouse, Pergamon Press, London, 1955, p. 161.
1194	Wilkinson D H., Physica, 22, 1039 (1956).
1195.	Wilkinson D. H., Mafethe M. E., Nuclear Phys., 85, 97 (1966).
1196	Williamson C. F., Ferguson S M., Shepherd B. J Halpern I., Phys Rev.,
174, 1544 (1968).
1197	Wilmore D., Hodgson P E., Nuclear Phys., 55, 673 (1964).
1198.	Wilson R.f The Nucleon-Nucleon Interaction, Wiley (Interscience), New
York, N. Y., 1963.
1199.	Winhold E. J Demos P T., Halpern I., Phys. Rev., 87, 1139 (1952).
1200	Winner D R., Drisko R. M., Techn. Rep. Univ of Pittsburgh, Sarah Mel-
lon Scaife Rad. Lab., Pittsburgh, Pa., 1965.
1201.	Winther A. On the Theory of Nuclear Beta-Decay, Munksgaard Copenhagen,
1962.
1202.	Witsch von W Richter A., von Brentano P Phys. Rev Letters, 19, 524
(1967).
1203.	Wong C. Y., Phys. Letters, 32B, 668 (1970).
1204.	Wood R. WBorchers R. R., Barschall H. H.} Nuclear Phys. 71, 529 (1965)
1205	Wu C. S., Rev. Mod. Phys., 36, 618 (1964).
1206.	Wu C. S., в книге Proc. Intern. Nuclear Physics Conf., Gatlinburg, ed.-in-
chief R. L. Becker, Academic Press, New York, N. Y., 1967, p. 409.
1207.	Wu C S., в книге Physics of the One and Two Electron Atoms, Arnold
Sommerfeld Centennial Meeting, eds. F Bopp, H. Kleinpoppen, North-Holl-
and, Amsterdam, 1968, p. 429.
1208.	Wu C. S., Moszkowski S. A., Beta Decay, Wiley (Interscience), New York,
N. Y., 1966.
1209.	Wu C. S., Wilets L., Ann. Rev. Nuclear Sci., 19, 527 (1969).
1210.	Wu C. S., Ambler E., Hayward R. W., Hoppes D D., Hudson R. F., Phys.
Rev., 105, 1413 (1957).
1211.	Wyatt P JWills J G., Green A. E. S„ Phys. Rev. 119, 1031 (1960).
1212.	Yamanouchi T., Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 19, 436 (1937).
1213.	Yamazaki T Nomura T Nagamiya S., Katou T Phys. Rev Letters, 25,
547 (1970).
1214.	Yennie D. R., Ravenhall D. G., Wilson R. N., Phys. Rev., 95, 500 (1954).
1215.	YntemaJ L., Zeidman B., Phys. Rev., 114, 815 (1959).
1216.	Yoccoz JProc. Phys. Soc. (London), A70, 388 (1957).
1217.	Yoshida A., Phys Rev., 123, 2122 (1961).
1218.	Yoshida S., Nuclear Phys., 33, 685 (1962).
1219.	YoungbloodD. H.t Aldridge J P., Class С. M., Phys. Letters, 18, 291 (1965)
1220.	Yule H. P„ Nuclear Phys., A94, 442 (1967).
1221.	Ze Ides N , Grill A., Simievic A., Mat. Fys. Skr. Dan. Vid., Selsk., 3, №5 (1967).
1222	Ziegler J. F., Peterson G. A„ Phys. Rev., 165, 1337 (1968).
1223.	Zimanyi JHalpern I., Madsen V. A., Phys Letters, 33B, 205 (1970).
1224.	Zweig A., CERN Reports TH-401 and TH-412, CERN, Geneva, 1965; cm.
также в книге Proc. Intern School of Physics «Ettore Majorana», ed. A Zic-
hichi, Academic Press, New York, N. Y., 1965.
1225.	Zylicz J., Hansen P G. Nielsen H. L., Wilsky Nuclear Phys., 84, 13 (1966).
1226.	Zylicz J., Hansen P. G., Nielsen H. L., Wilsky К Arkiv Fysik, 36, 643 (1967).
1227,	Зырянова Л, Н,г Уникальные бета-переходы, М,—Л., 1960.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
В данном сводном предметном
указателе охватываются вопросы, рас-
сматриваемые как в I, так и во II томах.
Содержание I тома здесь представлено
несколько шире, чем в указателе
I тома. В конце предметного указа-
теля помещен указатель ядер.
Адиабатическое приближение, а-рас-
пад II : 113
----вибрационные ангармонические
эффекты II 402, 479
-----вращательное движение II 13,
180
-----рассеяние II 209, 282
Адронные компоненты фотона II 427
Адронный ток для слабых взаимодей-
ствий I 384
--------------5£/3-симметрия I : 389
(см. также Ядерные силы)
Адроны I 9
— спектры I 62, 67, 70
Алгебра Грассмана I 270
а-распад, анализ интенсивностей241 Ат,
II 237
-----р-колебания II 488
-----затрудненные переходы II 241
----- несферичность потенциального
барьера ядра II 239
----- облегченные переходы II 112,
223, 241
----- ----- влияние парных корреля-
ций II 240
----- оператор перехода II 237
----- систематика, интенсивности пе-
реходов для четно-четных ядер
II---112
-----сохранение четности I	30
	фактор торможения II	:	112,	237
-----------------------------------центробежный барьер	II 240
Амплитуды вибрационных колебаний
II	287
—	рассеяния, определение I 105
Аналитичность, амплитуда рассеяния
I 417
--------прямоугольный сферический
потенциал II : 516
Аналоговое состояние в резонансных
реакциях I 53; II : 232, 233,
563
Ангармоничность в колебательных воз-
буждениях, квадрупольного возбуж-
дения анализ, 114 Cd II 480
--------------— моменты £2 II 400,
476
----------------- оценка II : 462
переход к вращению
II	473, 481	НИЮ
------- _ потенциальная эирп
in	II	401, 479	ер'
-------фонон-фононные
взаимодействия II 399, 478
----------октупольное возбуждение
квадрупольный момент фонона II ’
500
----------------фонон-фононные
взаимодействия II : 499
----- — — третий порядок по связи
частиц с колебанием II 384 (см.
также Фонон-фонон ное взаимодейст-
вие)
Антисимметричная волновая функция
I 117, 268
Антиунитарное преобразование I 25
Асимметричные деформации, анализ
данных II 151, 165, 169, 253
-----вызванные вращением II 152
----- оценка из оболочечной струк-
туры II 126, 253
Асимптотические квантовые числа, де-
формированные ядра II : 195
-------------правила отбора II 209,
220
Асимптотическое разложение (см. Энер-
гия, плавная часть функции)
Барион, сохранение I 13
—	спектр I : 62, 70
— траектории I : 70
Барьер деления II 542
-----второй минимум II 549
-----данные II 542
-----жидкая капля II 581
----------влияние углового мо-
мента II : 582
-----коэффициент прохождения II
326 (см. также Форма ядра в седло-
вой точке)
Безвихревое течение, вращение II 80,
590
----- колебания II 580
-----коллективные координаты, квад-
рупольные моды II 452
----- связь с осцилляторной суммой
II 357
Бесстолкновительный режим II 307
Р- и у-координаты (см. Форма ядра и
угловые переменные)
Бета-колебания II 487
—	— а-распад II ’ 488
—	— данные 174 HI II 157
-----£0-переходы II : 488
-----связь с у-колебаниями II ’•
Предметный указатель
639
-----систематика II 485
Р-распад, запрещенный I 399
-----моменты I 393
-------- обозначения 1 397
— — одночастичные конфигурации
запрещенные I 341
-----------разрешенные I : 335, 339
-----переходы типа 0	> 0 I 57
-----разрешенные облегченные пере-
ходы, деформированные ядра II 267
-----разрешенный I 398
3-стабильные ядра I 200
р-ток нуклонов, второй класс (см. (/-ин-
вариантность)
—-------G-инвариантность I 387, 400
--------зарядовая симметрия I 387
—-------константы взаимодействия
I 392
-----— мультипольные моменты I
393
-------- сохранение I 387, 388
--------З(73-структура I 389
--------симметрия отражения I 386
Большой канонический ансамбль I 282
Брейта — Вигнера резонанс I 416
-------- сравнение с лоренцевой фор-
мой II 425
Векторное поле I 97
-----разложение по мультиполям I
99
Векторные мезоны I 68
-----роль в фотопоглощении II : 427
Векторные функции на сфере I 98
Векторы, шаровые функции I 85
Величины ft I 398
Взаимодействие Кориолиса II 80, 134,
224
-----вибрационные возбуждения II
410 (см. также Связь вращательного
движения с внутренними состояни-
ями)
-----модель частица — ротатор II
182, 183
Взаимодействие частица — колебание
II 368
-----— зависящее от скорости II
395, 429, 452 (см. также Ангармонич-
ность в колебательных возбуждениях,
Поляризация и т. д.)
---------- константа связи (см. в
тексте Безразмерный параметр) II
370
----------матричные элементы II
368
•---------нормальные возбуждения,
генерируемые при этом II : 386
----------связь с эффективными
двухчастичными взаимодействиями
II 296
----------теория поля II 380
----------ферми-жидкости II : 368
—---------фононные взаимодействия
в конденсированных системах II 368
Взаимодействие частица — фонон II
376
--------анализ для 209Bi II 501
--------влияние на состояния J =
= / — 1 II 477
---------- нейтронного избытка на
колебательные моды II 444
Вигнеровские коэффициенты I 76
— силы I 71
Вигнеровское распределение I 158,
290
Внешнее произведение I 117
Внутреннее движение
-----вращение II : 14
-----колебания II 289 (см. также
Одночастичные конфигурации, де-
формированные ядра; Колебательные
степени свободы, колебания формы
в деформированных ядрах)
-----связь с вращением I : 116, 130
Внутренние Е2-моменты (см. £2-мо-
менты)
— ЛИ-моменты II 62
Внутренняя система координат, де-
формированные ядра I 91; II
: 15
--------калибровочное пространство
II 347
--------модель частица — ротатор II
174
-------- нуклоны II 29
Возбуждение, связанное с передачей
нуклонов (см. Колебательные сте-
пени свободы)
Волны, связанные с колебаниями по-
верхности II 577
Вращательные спектры и энергии,
асимметричный ротатор
----------почетные А II 170, 178,
179
-----— — обсуждение данных II
151, 165, 169, 253
--------— четные А II 163, 178
(см. также Параметр развязывания
и Момент инерции)
-------- зависимость от сигнатуры
уровня II 40
--------каналы деления II 45, 119
— — — матричные элементы (см. Пра-
вила интенсивности для вращатель-
ных состояний)
640
Предметный указатель
--------полосы в нечетно-нечетных
ядрах II 44
-------------четно-четных ядрах,
II 33, 34, 43
-------------ядрах нечетным А
II 42
--------разложение по угловому мо-
менту К = 0 II 31, 32
------------------------- частоте II
33, 71
Вращательные спектры молекул II
--------Л-удвоение II 26
-------------обусловленное спин-ор-
битальной связью II 41
--------симметрия II 20, 163
--------туннельный эффект II 26
Вращательные степени свободы, акси-
альная симметрия II 16
--------сводка симметрий II
26
--------влияние на плотность уров-
ней II 46
--------волновые функции аксиально-
симметричные II 16
-------------асимметричный рота-
тор II 160 (см. также Траектории
Редже и Статические деформации)
-------------с е^-инвариантностью
II 19
--------избыточность степеней сво-
боды II 20
--------калибровочное пространство
II 346
-------- коллективные координаты
II 188, 396
--------«молекулярные группы сим-
метрии» II 20, 163
--------неаксиальная симметрия II
158
-------------нечетные Л II 169
------------- ограничения, наклады-
ваемые дискретными симметриями
II 161
-----------— четные А II 160
--------нуклон I 70; II 29
--------обрыв полосы II 89, 98
--------е?- и ^-симметрии II 21
-------------------нарушение II
23
--------парные деформации II 346
-----— пространство изоспина II 28
--------^-симметрия II : 17
--------^-симметрия II 24
--------связь с деформацией II 11
--------связь с некомпактными сим-
метриями II 14, 636
--------связь с St/3-симметрией II :
14, 93
-----угловые переменные для кл
лебаний II 592, 599
----- условие адиабатичности И
13
Вращающийся потенциал поля спаои.
вания II 80, 246	F
-----связанный с нуклонным движе-
нием II 80
Временной сдвиг I 16
Вторичное квантование I 271
Второй минимум (см. Делительные мо-
ды)
«Входные» (door-way) состояния I :
297, 419 (см. также Силовая функция)
Выбор фазы из обращения времени
I 27
-----коэффициенты векторного сло-
жения II 76
-----состояния гармонического осцил-
лятора I 223; II 207
Выстраивание углового момента за счет
вращения II 51, 87
Вытянутые деформации, доминантность
II 127
Газ из твердых шаров I 250, 253
Галилеева инвариантность I 18
-----локальная, вращение II 84
--------осцилляторные правила сумм
для изоскал ярных моментов II
355, 356
-----трансляционное возбуждение
II 395
Гамильтониан внутреннего движения
II 14
--------симметрия (см. Вращательные
степени свободы)
у- и Р-координаты (см. Форма ядра и
угловые переменные)
у-колебания II 485
-----вклад в £'2-поляризуемость II
486
-----данные, 166 Er II 151
-----связь с P-колебаниями II 412
----- систематика II 485
Гамова — Теллера переходы, р-распад
I 335, 339
— —---------несферические ядра
11 267
—-------------— одночастичные I 335,
339 (см. также Поляризация)
Гауссов ансамбль I 288
Гексадекапольные колебания II 305
Генеалогический коэффициент, вибра-
ционные фотоны II 601
----------- квадрупольные фононы
— — — — правила сумм II : 603
Цредметный указатель
641
-----------рекуррентные вычисления
II 601
----------- сеньорити II 604
— нуклонов I :273
--------в реакции однонуклонной пе-
редачи I 409, II 218
--------правила сумм I 410
--------резонансные реакции I 345
Генеалогический фактор (см. Генеало-
гический коэффициент)
Гидродинамический режим II 307
Гиперзаряд I 46
ГиперъяДра I 47
----- энергия связи I 60
Гравитационный коллапс I 202
Градиентная формула, сферические гар-
моники I 355
Гросс-структура (см. Силовая функция)
функция I 80
— — вращательные волновые функции
I 93, II 16
-----групповые свойства I 83
----- ортогональность I 82
-----правила сложения I 83
Двойной 0-распад I 385
Двухчастичная плотность для ферми-
газа I 151, 175
Двухчастичные операторы I 272
-----мультипольное разложение I
367
----- частично-дырочное преобразова-
ние I 363
Делительные моды, асимметрия в мас-
сах осколков II 324
-----деление на а-частицах (а, /)
II 543, 546
----- деление на медленных нейтро-
нах (и, /) II 549
-----изомерия формы II 548
-----------анализ, 241 Pu II 548
-----------второй минимум потенци-
альной энергии II 549
-----------момент инерции II: 86
-----------связь с оболочечной струк-
турой II 557
-----коэффициент прохождения II
326
-----поверхность потенциальной энер-
гии II 320
—-------------влияние оболочечной
структуры II 321
--------------расчет для случая жид-
кой капли II : 58
-----спонтанное деление II : 202
-----фотоделение ядра (у, /) II 118
Делительные ширины, гросс-структура,
241 Pu II ; 552
Деформации (см. Статические деформа-
ции)
Деформация, параметры II 129,
303, 575
----- 0? II 130, 300
----- б II 56
----- босц II 197
-----соотношение между о и 02II 130
(см. также Статические деформации)
— формы и мультипольное разложе-
ние, лептодермические системы II
128
----------- модель жидкой капли II
575
Деформированные ядра, области су-
ществования II 34
Джозефсона эффект II 349
Диаграммы, правила I 361; II 379,
481
Диамагнетизм, связь с моментом инер-
ции II 83
Дипольные моды II 422
-----анализ, связь с одночастичными
возбуждениями II 427
-------------------- волновая функ-
ция II 419
----------- -------- одночастичная
функция отклика II 413
--------------------сравнение с опи-
санием модели жидкой капли II
433
-----взаимодействие, зависящее от
скорости II 429 (см. также Коле-
бательные степени свободы)
-----взаимодействие с квадрупольным
возбуждением II : 403, 446
----- влияние нейтронного избытка
II 432
-------------зарядово-обменные мо-
ды II 437
-------------на изоспин для фото-
процессов II 439, 440
-----возбуждение двухкомпонентной
жидкости II 587
-----деформированные ядра II 434
-----затухание в компаунд-ядре II
448
-----из взаимодействия частица —
колебание II 444
----- история развития II 422
-----поляризационный заряд для fl-
переходов II 431
-----прямое испускание нуклонов II
422, 448
— — сечение фотопоглощения 197 Au
II 423
___________ 16 О II 447
-----------четные изотопы Nd II : 435
642
Предметный указатель
-----систематика II : 424, 426, 446
Дипольный момент (см. ЕЛ- Ml- мо-
менты)
Длина когерентности парных корре-
ляций II : 351
Дублеты по четности II 23
Дырочные состояния, изоспин I 304,
359 (см. также Частично-дырочное
преобразование)
-----определение I 302, 357
Е0-момент (монопольный), колебания
формы II 312
--------одночастичный эффективный
матричный элемент II : 488
-------- определение I 372
--------параметр деформации а II
157, 488
Е\-момент (дипольный), асимптотиче-
ские правила отбора, деформирован-
ные ядра II 209, 221
--------влияние центра масс I 377
-------- изобарическое правило отбо-
ра I 51
--------нейтрона I 22, 23 (см. также
Дипольные моды и Поляризация)
fl-момент (квадрупольный) I 322
--------параметры деформации II
54, 303
--------влияние центра масс I 332
-------- внутренний, оценка II 126,
253
----------- связь с параметром 6 II
56
----------- систематика II 125, 126
-----------статические моменты II
124
--------вращательный II 52 (также
Правила интенсивностей для вра-
щательных состояний)
--------колебательный, ангармониче-
ские члены II 400, 476, 478
-----------гармоническое приближе-
ние II 304
-----— одночастичный I 322, 331,
376
--------октупольный фонон II 500
-------------- влияние на взаимодей-
ствие частица — фонон II 507
--------систематика для четно-четных
ядер 11 55
-----— трехосный ротатор II 150,
174
ЕЗ-момент (см. Октупольные моды
Поляризация)
Е4-момент (гексадекапольный) и пара-
метры деформации II : 130
ЕХ-моменты (см. Мультипольные мо-
менты)
Единица Вайскопфа I 378
g-фактор (см. М 1-момент)
Заполнение оболочек I 187, 302- II
526, 530
Зарядовая независимость (см. Изоспи-
новая инвариантность)
Зарядовая симметрия I 43
---- правила отбора I 51
Зарядовое сопряжение, применение к
частично-дырочному преобразованию
Зарядовый обмен, вклад в осцилля-
торную сумму El II 364, 365
----вклад в моменты Ml I 331
----возбуждение (см. Колебатель-
ные степени свободы)
---- оператор I 42
----плотности II 331
---- потенциал I : 150
Затухание Ландау II 390
Захват нейтронов, влияние оболочеч-
ной структуры, I 193
----у-спектры II 69
Земля, квадрупольные колебания II: 577
Изобарические мультиплеты I 42
----барионы и мезоны I 66
Изобарический спин (см. Изоспин)
Изовекторная плотность II 330 (см.
также Различие в распределении
плотностей между нейтронами и
протонами)
Изовекторные возбуждения (см. Коле-
бательные и Вращательные степени
свободы)
Изомерные состояния с большим спи-
ном, 178 Hf II : 78, 79
-------------177 Hf и 177 Lu II ЮЗ
--------— — спектр в ираст-области
II 50
Изомерный сдвиг во вращательном
возбуждении II 156
Изомеры деления (см. Делительные
моды)
—	формы II 36
Изоспин I 38
—	влияние на энергию связи I 145
—	колебательные возбуждения II 329
(см. также Аналоговое состояние
в резонансных реакциях и Изобари-
ческие мультиплеты)
—	одпочастичные конфигурации I 30о
—	парные возбуждения II : 342
Предметный указатель
643
— сильно взаимодействующие пион-
нуклон ные системы II 29
Изоспиновая инвариантность I 38
-----нарушение I 43, 57, 59, 147,
171, 404
-----правила отбора для El I 51
-------------М\ I 52
-----связь с перестановочной симмет-
рией I 44
-----фермиевские переходы I 57, 59,
175
-----экспериментальное доказатель-
ство I 42, 50, 53, 57
-----ядерные силы I 237
Изотопический сдвиг I 162
-----^влияние деформации I : 164
-----нечетно-четные скачки I 165
Импульсное приближение, средний по-
тенциал I 257, 266
— распределение, из реакции (р, 2р)
I 229
Инвариантность относительно обраще-
ния времени I 24, 100
-----------данные I 29, 35, 36
-----------кватернионное представ-
ление I 103
-----------нарушение в К°-распаде
I 29
-----------нарушение за счет дефор-
маций II 23, 29, 191
----------- процессы распада I 105
------------- столкновений I 104
-----------соотношения для враща-
тельного движения II 22
-----------теорема Крамерса I 28
-----------фазы I 27
Испарительные спектры I 181
/(-запрет II 66
-----экспериментальные данные II
67
/(-изомеры II 51
К-квантовое число II 16
--------доказательство существова-
ния II 68
--------каналы деления II 118
--------несохранепие при высоких
возбуждениях II 46
-------- правила отбора II : 65
Калибровочная переменная II 346
Каналы деления, вращательная струк-
тура II 45
-----/(-распределение II 119, 543
----- низкоэнергетический спектр II
119, 120
-----симметрия формы ядра в седло-
вой точке II : 119
-----фотоделение II 118
--------вклад в ширину деления II
327
-----------во второй минимум II
557
Квадрупольные моды II 449
-----в деформированных ядрах II :
317, 484 (см. также Р- и у-колебания)
-----высококачественные, изовектор-
ные II 453
----------- вклад в поляризуемость
II 454
----------- влияние нейтронного из-
бытка II 454
-----высокочастотные, изоскал яр ные
II 455
— --------- вклад в поляризуемость
II 450
-----------влияние зависимости от
скорости II 452
-------------- нейтронного избытка
II 454
--------------данные II 450
----------- коллективные координаты
II 451
-----------связь со сжатием II 451
-----Земля II 577
-----низкочастотные моды II 459
------------ангармонические	члены в
Е2-переходах II 476, 478
------------ангармонический	потенци-
ал и кинетическая энергия II 401,
479
----------- вклад в поляризуемость
II 467, 473
-----------ираст-спектры II 474,
597
-----------качественное исследование
II 459
-----------многофононные состояния
II 302, 601
-----------неустойчивость II 461
----------- одночастичная передача,
с возбуждением II 473
-----------переход к вращению II
47, 481
-----------систематика I 194; II
55, 467, 468
----------- спектры изотопов Cd II
469
-----------спектры четных изотопов
Os и Pt II 473
-----------спектры четных изотопов
Sm II 471
-----------сравнение с моделью жид-
кой капли II 466, 468
-----------статический квадруполь-
'Ный момент II : 462
644
Предметный указатель
-----------фопон-фононные взаимо-
действия II 398, 478
-----одночастичная функция отклика
II 416
-----пятимерный осциллятор II 592
-----форма ядра и угловые перемен-
ные II 592 (см. также Колебатель-
ные степени свободы)
Квадрупольный момент (см. £2-момент)
Квазидейтронный эффект в фотопогло-
щении II 426
Квазичастицы, система с парными кор-
реляциями II 214, 568
— ферми-газ, I 280
Квантование потока (см. Сверхтеку-
честь)
Квантовые числа симметрии (разбие-
ния), перестановочная симметрия I
108
Кванты вибрационных возбуждений
II 286
Кварковая модель адронов I 48, 63,
69
Кластерное представление II 98
Клебша — Горда на коэффициенты I 76
Колебания поверхности (см. Колеба-
тельные степени свободы, колебания
формы и Модель жидкой капли)
— углового момента, квадрупольный
осциллятор II 598
— формы (см. Колебательные степени
свободы)
Колебательные степени свободы (ви-
брационные)
-----------влияние потенциала, за-
висящего от скорости II 396
----------- генерируемые вибрацион-
ными полями II 290, 386
-----------зарядово-обменные воз-
буждения (моды) (см. Изовекторные
возбуждения)
-----------изовекторные возбужде-
ния II 329
----------------вибрационные поля
II 332
---------------- влияние избытка
нейтронов II 332
----------------£ А-моменты II 331
----------------модель жидкой кап-
ли II 587
-----------колебания формы II 297
----------------деформированные яд-
ра II 315
----------------£0-моменты II 312
----------------£Х-моменты II 303
-----М1 -моменты II : 311
----------------модель жидкой кап-
ли II : 575
---------------- поля, связанные с
колебаниями формы II 307
----------------симметрия амплиту-
ды II 297-------J
----------------форма ядра и угло-
вые переменные II : 302, 592
---------- коллективные координаты
II 293, 393, 451
----------многофононные состояния
II 302, 601
----------модель жидкой капли II
575
----------моды сжатия II 584
---------- парные вибрации II
339
---------------- изоспин II 342
----------------поля парных ви-
браций II 343
---------- понятие II 282
----------связанные с нарушением
симметрии II 394
----------спиновые возбуждения
II 337 (см. также Дипольные моды,
Квадрупольные моды, Октупольные
моды, Парные вибрации, Спиновые
возбуждения)
----------угловой момент II 300,
577
Коллективное движение I 7 (см. так-
же Вращательные и Колебательные
степени свободы)
Коллективные координаты вращения и
внутреннее возбуждение II 397
--------модель	частица — ротатор
II 188
----- колебания
-------- безвихревой поток II 452
--------и внутреннее возбуждение
II 293, 392
----- трансляции
--------галилеева инвариантность
1 18
--------и внутреннее возбуждение
II : 394
Комбинационное рассеяние II 436
Конденсация (см. также Сверхтеку-
честь), квадрупольные кванты II
600
— кванты парных вибраций II 345,
567
Константа связи л-мезона с нуклоном
I : 245
Конфигурации (f)3, «аномальные» состо-
яния II 477
Корреляции в основном состоянии,
колебания II 294
----------парные корреляции II :
574
Предметный указатель
645
Коэффициент поляризуемости II : 372
-----зависимость от формы II 408
-----полюса, соответствующие собст-
венным частотам II 388
Коэффициенты векторного сложения
(см. Клебша — Горда на коэффициенты)
I 76
— пересвязки I 77
— прохождения (проницаемости), а-
распад II 112
-----------деформированные ядра II
239
----- деление II 327
-----заряженные частицы I : 428
-----нейтронные резонансы I 425
Коэффициент Рака I 77
Кронекеровское произведение I 116
«Кроссинг-соотношение» для частично-
дырочных Диаграмм I 360
^-приближение в ^-распаде I 400
Кулоновская фаза рассеяния I 428
— энергия I 144, 146
----- обменный вклад I 153
-----поверхностные деформации II
579
-----частично-дырочная компонента
II 496
Кулоновское возбуждение I 372, II
12, 73
А-удвоение II 26
А-частица I 47, 62
-----для гиперъядра I 61
Лептодермические системы II 128
Лептонный ток I 385
Ложные состояния, связанные с вра-
щением II 254, 316
--------------анализ для 19 F II 254
------------------- случая связи
частицы с колебанием II 397
Лоренцева форма линии II 425
ЛП-момент внутренний II 62, 264
--------систематика II 265
-----вращательный магнитный момент
II 62
--------------систематика II 61,
265
-----одночастичные состояния I 325,
333, 376
----- параметр развязывания II 63
----- правила отбора по изобариче-
скому спину I 52
-----связанный с возбуждением ко-
лебаний II 311
-----------------систематика II 61
(см. также Поляризация и Спиновое
возбуждение)
-----тензорная составляющая I 329
— — члены, связанные с взаимодей-
ствием I 327, 380, 382
Л44-момент для одночастичных конфи-
гураций I 334
Магнитный момент (см. All-момент)
Макроскопическая симметрия, изоспин
II 335
-----спин II 339
Максимальный вес, состояние I 120
Максимум распространенности ядер в
районе железа I 197
Массовая формула для барионов I 64
----- для ядер I 142
Массовые коэффициенты для колеба-
ний II 288
----------безвихревой поток II 580
----------влияние взаимодействий,
зависящих от скорости II 395, 429,
452
------— трансляционное возбуж-
дение II 395
-------- — связь осцилляторной
суммой II 357
Массы ядер, влияние оболочечной
структуры II 527
-----квазиклассическая формула I
142, 168
-----область стабильности I 201
Матрицы вращений I 80
— плотности I 274
Матричные элементы с тройными чер-
точками I 99
Мезонные спектры I 68
Металлические частицы, распределе-
ние плотности одночастичных состо-
яний II 516
Метод Дарвина — Фаулера I 275
— связанных каналов, для рассея-
ния II 280
Микроскопический анализ, вращение
II 80, 397
-------- влияние парных корреляций
II 85
--------5(/3-симметрия II 93
— — — система независимых частиц
II 81
----- колебания II 290, 390
--------волновые функции для ди-
польной моды II 419
-----— коллективные переменные
II 295, 393
--------корреляции в основном со-
стоянии II 295
Многофононные состояния II 302, 601
Мода, связанная с движением центра
масс (см. Трансляционное возбуж-
дение)
646
Предметный указатель
Модель возбуждения остова II 314
— жидкой капли I 7; II 575
--------вращательное движение II
590
-------- деление II 581
-----— колебания поверхности II
575
-----— моды сжатия II 584
--------поляризационное возбужде-
ние II 587
— независимых кварков I 49
— независимых частиц (см. Одночас-
тичный потенциал)
— принудительного вращения II 80
--------из взаимодействия частица —
колебание II 397
— сильной связи для нуклона II :,29
— составного ядра в ядерных реакциях
I 183
— частица — ротатор II 179
Моды сжатия, модель жидкой капли
II 584
-----связь с колебаниями поверхности
II 586
Молекулярные силы I 264
Момент инерции, анализ (вращающийся
потенциал) II 80
----- аналогия с диамагнетизмом II
83
----- безвихревое течение II 80,
591
-----влияние парных корреляций II
85, 225, 274
-----вращение вокруг осей симметрии
II 84
-----делительные изомеры II 86
-----зависимость от амплитуды у-
колебаний II 151
----------- р II 158
-----квазиклассическое приближение
I 287; II 83
-----модель независимых частиц II
81
-----нечетно-нечетные ядра II 116
-----нечетные по А ядра II 138,
226, 274
-----систематика II 79, 271
----- спиновая зависимость плотности
уровней I 287
-----статистический анализ I : 287
-----твердотельное вращение II 80
Монопольный момент (см. Е0-момент)
Мультиплеты, соответствующие супер-
позиции колебаний и движения час-
тиц II 314
--------------------анализ 209 Bi II
501
-------------------- расщепление за
счет взаимодействия частица —
нон II 376
Мульти пол ьные моменты, Р-распад I
394
-----векторное поле I 97
-----одночастичные конфигурации I
352
-----одночастичный спектр возбужде-
ния для колебательного движения
II 413
----- скалярное поле I 96
-----схема связи вращательного и
внутреннего движений II 65
-----электромагнитный I 371, 372
--------для одпочастичного состояния
I 376
--------изменение формы II : 129
--------колебательный II 303
ц-захват I 393
----- роль дипольной моды II 441
Мюонные атомы, данные по Л'2-момен
там II 124, 125
-----------радиусу ядра I 165
Нарушение симметрии (см. нарушение
Изоспиновой инвариантности, Инва-
риантность относительно обращения
времени, Спонтанное нарушение сим-
метрии)
Насыщение ядерной материи I 140,
248
Нейтрино, двухкомпонентная теория
I 385
— космический поток I 386
— электронные и мюонные I 386
Нейтрон, свойства I 12
Нейтронные звезды I 202; II 351
— резонансы, данные для составных
ядер 1:7, 157
-----241 Ри п 548
-----2зз Th !	177
— ширины, влияние гросс-структуры
II 551
----- распределение I 180
-----силовая функция S-волны I 227
----------- влияние деформации II
210
----- средние I 178
Нестабильность по отношению к деле-
нию, влияние углового момента II
582
— — граница области стабильности
ядра I 202
-----параметр делимости II 320, 54'
-----расчет для случая жидкой капл!
II 321, 581
Неупругое рассеяние, возбуждение вра-
щательных состояний, II : 279
Предметный указатель
647
-----колебания формы II 309, 450,
451, 491, 502
-----спиновые возбуждения II 560
Неустойчивость у-колебаний, обуслов-
ленная вращением II 152, 153
-----сферической формы, квадруполь-
ное возбуждение II : 459
-----октупольное возбуждение II 494
-----связь с оболочечной структурой
II 520 (см. также Спонтанное на-
рушение симметрии)
Нечетно-четный массовый параметр
(см. Парная энергия)
-----скачок, изотопические сдвиги
I 165
Нормальные возбуждения, генериру-
емые взаимодействия частицы с коле-
банием II 386
Нуклонный взаимодействия (см. Ядер-
ные силы)
— передачи (см. Передача двух частиц
и Реакции с передачей одной час-
тицы)
----- квантовые числа II 339
Нуклонный форм-фактор, электромаг-
нитный I 374
Нуклоны, свойства I 13
— спектры I 63
Нулевой звук II 307
Облегченный а-распад II 112, 223,
241
Обмен (см. также Зарядовый обмен)
Обменная дырка I : 152
Обменные взаимодействия I 71
-----вклад в осцилляторную сумму
II 364 (см. также Ядерные силы)
— эффекты в случае двухчастичного
взаимодействия I 272
Обменный интеграл, кулоновское вза-
имодействие I 53
Оболочечная модель I 7, 186
— структура, атомы I 189; II 573
-----влияние геометрии деформации
II 520
— — влияние на плотность уровней
I 185; II 537
-----влияние на энтропию II 538
-----деформированные ядра (несфери-
ческие) II 198, 215
-----------большие деформации II
520, 529
-----доказательства из систематики
I 168, 186; II 55, 490
-----изомеры деления II 526, 557
----- квантовые числа II 509
-----связь с периодическими траек-
ториями II : 511
-----симметрия потенциала II : 515
-----степень вырождения II : 515
-----сферические ядра I 209
----------- бесконечно глубокая пря-
моугольная яма II 510, 511
-----------потенциал Вудса — Сак-
сона I 235; II 519
-----------потенциал гармонического
осциллятора I 206
-----траектории II : 510
----- энергия II 321, 527
--------зависимость от деформации
II 529
--------зависимость от температуры
II 325, 534
--------массы ядер I 168; II 529
Оболочки (sd), внутренние состояния
II 252
«Одетое», или перенормированное, со-
стояние I : 372
Однопионный обменный потенциал I
244
Одночастичная модель для ядер с нечет-
ным Л I 211
Одночастичное движение, условие су-
ществования I 252, 266
Одночастичные конфигурации, дефор-
мированные ядра I 7
----------- вклад в момент инерции
II 225, 274
-----------влияние р4-деформации
II 260
-----------£2-переходы, ДК 1
II 142, 243
-----------GT (Гамова — Теллера)
переходы II 267
-----------классификация, наблюда-
емые внутренние состояния II 216
----------------------Л > 230 II
236, 237, 243
----------------------систематика,
150 < А < 190 II 260
-----------ЛИ-переходы II 264
-----------матричные элементы в ре-
акции передачи II 218, 232
----------------------влияние пар-
ных корреляций II 234
-----------параметр развязывания
II 224, 269
-----------переходы, влияние парных
корреляций II 219
-----------тонкая структура а-рас-
пада II 237
----------- энергетические спектры,
влияние парных корреляций II 236
-----------эффективная масса, дан-
ные по расстоянию между уровнями
II : 236
648
Предметный указатель
Одночастичные конфигурации, сфери-
ческие ядра (заполненная оболочка),
(3-переход, запрещенный I 341
----------------разрешенный I 337,
339
-----------генеалогический коэффи-
циент, реакция (dp) I 346
----------------протонные резонан-
сы I 347
-----------£2-переходы I 322, 331;
II 457
-----------£3-переходы II 497
-----------классификация, наблю-
даемые спектры I 310
-----------Л41-переходы I 326, 333
-----------Л44-переходы I 334
----------- разности энергий между
оболочками I 192, 319
-----------расщепление по изоспину
I 320
----------- энергетические сдвиги в
зависимости от N и Z I : 319
--------------уровни I 309, 315
-----------эффект взаимодействия ча-
стица — колебания II 381
Одночастичные операторы I 271
-----влияние спаривательного поля
II 568
----- вычисление матричных элемен-
тов I 352
-----преобразование частица — дыр-
ка I 360
Одночастичный потенциал (см. Средний
потенциал)
Одночастичные состояния (см. Одноча-
стичные конфигурации)
— спектры, несферические	ядра,
асимптотические квантовые	числа
II 195
-----------большие	деформации
II 193
—----------взаимодействие между
уровнями с A/V—2	II 206
-----------волновые	функции, сфе-
роидальный потенциал II 203 (см.
также Оболочечная структура)
----------- квантовые числа II : 193
-----малые деформации II 192
-----------потенциал гармонического
осциллятора, модификация II 196
---------------------- волновые
функции II 204, 255
---------------------- энергетические
спектры II 198, 525
-----------процессы рассеяния II
209, 276
-----------силовая функция, нейт-
роны с 1=0 II : 209
----- сферические ядра, матричные
элементы, вычисление I 352
-----------матричные элементы маг-
нитного взаимодействия I 376
----------- плотность уровней, влия-
ние оболочечной структуры II 509
518
---------------плавная часть I 186
II 533
-----------потенциал Вудса — Саксо-
на I 233 (см. также Оболочечная
структура)
----------- радиальные волновые
функции I 208, 317
-----------резонансные параметры
I 422
----------- схема I 224
-----------/г-представление I 350
Октупольные моды II 491
-----в 209Bi п goj
-----в деформированных ядрах 11:508
-----в изотопах Sm II 508
-----квадрупольный момент фонона
II 500
-----• одночастичная функция отклика
II 417
----- поправки к поляризационному
заряду II 497
-----появление неустойчивости II :494
-----реакция однонуклонной .переда-
чи II 495
-----систематика II 490, 494 (см. так-
же Колебательные степени свободы)
----- структура II 491
-----фонон-фононное взаимодействие
II 499, 501
Оператор Казимира I 125
-----для энергии вращения II 96
Операторы аннигиляции, движение в
поле осциллятора II 207
-----кванты вибрационного возбуж-
дения II 286
-----фермионы I 269
— поля, преобразование относительно
вращения I 94
— рождения, в представлении гармо-
нического осциллятора II 207
-----кванты вибрационного возбужде-
ния II 286
-----фермионы I 269
Определитель Слэтера I 263
Оптическая теорема I : 166
Оптический потенциал I : 215 (см. так-
же Средний потенциал)
Орбитальное гиромагнитное отношение
(орбитальный g-фактор) I 326
--------влияние взаимодействий, за-
висящих от скорости II ; 430
Предметный указатель
649
-----данные для перенормировки
II 257
Осцилляторные суммы II 352
-----влияние зависимости от скорости
II 354
-----дипольное возбуждение в атомах
II 352
-----зарядово-обменный вклад II 364
------------связь	с фотомезонными
процессами II 367
-----классические величины для
ЕХ-моментов II 355
-----мультиполный момент II 353
-----сохранение, приближение слу-
чайных фаз II 389
-----тензорная сумма II 360
e^-симметрия (см. Пространственное от-
ражение, Сохранение четности, Дуб-
леты Йо четности)
аТ^-симметрия I 24
-симметрия I 29
Парамагнонный эффект II 338
Параметр асимметрии вращения II 164
— развязывания, ЛИ-переходы II 63
-----------одночастичные состояния
II 265
-----энергия вращения II 41
-----------вибрационное возбужде-
ние II 316
------------одночастичное	состояние
II 224
----------------- анализ,	19 < А <
< 25 II 252, 255
----------------------150	< А < 190
II 269
Парная энергия I 144
----- систематика I 170
-----энергетическая щель II 43,
569
Парные вибрации II 339
-----в 209Bi II 504, 506
----- изоспин II 342
-----нейтронов вблизи 208Pb II : 566
-----основное состояние 206Pb II 563
----------- константа связи II 564,
566
-----------парные моменты II 564
-----поля, связанные с ними II 343
Парные корреляции I 144; II 340,
562
----- анализ из реакции однонуклон-
ной передачи II 234, 563
-----влияние вращения II 77
--------на а-распад II 240
----------- момент инерции II 85
-----качественное обсуждение I : 211;
II : 214
-----ослабление, обусловленное увели-
чением числа квазичастиц II 45, 274
-----разрушение спаривания, обус-
ловленное вращательным движением
II 77
-----------при высоких энергиях воз-
буждения II 46
-----статические деформации спари-
вательного поля II : 568
---------------- влияние на одноча-
стичные операторы II 569
---------------- константа связи
II 574
---------------- одночастичные спект-
ры равномерно распределенных уров-
ней II 573 (см. также Парные виб-
рации и Сверхтекучесть)
— — — — — — энергия основного
состояния II 574
-----энергетическая щель II 43, 569
Парные поля, обусловленные враще-
нием II 346
--------трансляцией II 396
-----оценка константы связи II 574
-----связанные с парными вибрация-
ми II 345
-----статические деформации II 346
Первый звук II 307
Передача двух частиц I 411
--------влияние статической парной
деформации II 347
-----парные возбуждения в области
208Pb И 566
--------правила интенсивностей для
парных вибраций II 342, 567
-------- связь с а-распадом II 222
--------связь со сверхпроводимостью
II 349
Перенормировка операторов (см. По-
ляризация и Связь вращательного
движения с внутренними состояния-
ми)
Перестановочная симметрия I 107
-----внешнее произведение I : 117
-----внутреннее произведение I 116,
130
-----молекулы с тождественными яд-
рами II 20, 162
-----реконфигурации I 131, 133
-----проекционные операторы I 115
-----произведение одночастичных со-
стояний I 119
----- разбиение I 108
— — размерность представлений I :113
— — связь с унитарной симметрией
I 125
-----сопряженное представление I 116
—=	стандартное представление 1; 114
650
Предметный указатель
-----схема Юнга I 108, 129
-----таблицы Юнга I 111, 129
Периодические орбиты, связь с оболо-
чечной структурой II 512
— траектории, вырожденное семейство
II 516
-----связь с деформацией II 520
----- связь с оболочечной структурой
II 511
л-мезоатомы, данные по деформации
ядра II 128
Плотность уровней, вклад оболочечной
структуры II 537
-----влияние вращения II : 46
-----плавная часть функций II 323,
533
— — термодинамическая интерпрета-
ция I : 282
-----ферми-газ I 185
-----экспериментальные данные I
178, 181; II 547, 549
----------резонансы II типа II 549,
555
---------- систематика I 185
— ядра I 139
----- оценка I 248
Поверхностная энергия I : 143
-----деформация формы	II	578
-----симметричный член	II	547
Подавление орбитального момента
II 195
Подоболочки I 189
Показатель преломления для ампли-
туды рассеяния 1 257
«Полупрозрачность ядра» для нуклонов
I 140, 165, 223
-----для фотонов (см. в тексте «эф-
фект затенения») II 426
Полупрямой радиационный захват
II 432
Полуэмпирическая массовая формула
I : 142
Поля, связанные с вибрациями (коле-
баниями) II 290
-------зависимость от скорости II
395, 429, 452
-------изовектор на я модель II 332
-------колебания формы II 307,
369
----------— спин-орбитальное взаи-
модействие II 310
-----парное возбуждение II 345
-------спиновые возбуждения II 558
Поляризационные моды (см. Колеба-
тельные степени свободы, изовектор-
ные моды)
Поляризационный заряд (см. Поляри-
зация, влияние на ЕХ-моменты)
Поляризация, влияние на распределе-
ние заряда, обусловленное кулонов-
ским полем I 171
— двухчастичное взаимодействие II
383
— дипольный момент II 431, 432
---- влияние нейтронного избытка
II 434
----переходы с ДТ = 1 II 445
—	ЕХ-момент II 374
—	GT-момент (переходы Гамова — Тел-
лера) I 338
—	запрещенный p-распад I 343
z— квадрупольный момент I 325
----данные I 331; II 457, 471
--------из высокочастотных мод II
450, 454, 455
--------из у-колебаний II 484
--------из низкочастотных мод II
466
--------связь с вращением II 137
249
— Ml-момент I 327, 329, 334; II 559
------- — несферические ядра II 264
— октупольные моменты II 497, 498
--------данные II 497
— оператор поля 11 372
— спаривательное поле II 566
Потенциал Вудса — Саксона I : 224
--------радиальные моменты I 161
--------форм-фактор I 161; II 130
Потенциал гармонического осциллято-
ра (аксиально-симметричный) в пред-
ставлении цилиндрического базиса
II 207
---- оболочечная энергия II 531
--------операторы рождения II 207
--------правила отбора II 208
-------- спектры II : 197
--------(сферический), матричные
элементы I : 223
----оболочечная энергия II 528, 536
-------- спектры	II 193
-----------56/3-симметрия II 93
--------частоты	II 206
— зависящий от	скорости	(см.	Сред-
ний	потенциал и Эффективная	масса)
— ионизации (для атомов) I 189
— симметрии I 149
— Хартри — Фока I 309, 365
-------- оболочечные энергии II 324
— ядерный (см. Средний потенциал)
Правила интенсивностей для враща-
тельных состояний, а-распад, П 112,
239
-------------асимметричный ротатор
II 174
-----------0-распад II ; 131, 132
Предметный указатель
651
---------------- внутри полосы (обоб-
щение) II 57, 122, 123
----------------\К = О II 142, 153
----------------ДК - 1 II 137, 142,
243
----------------ЛК — 2 II 139, 147
----------------К-запрещенный II
133
-----	— £2 внутри полосы (нуле-
вого порядка) II 52, 54, 123
----------К-зап решенные переходы
II 66
--------— нулевого порядка II 65
----------общий вид II 65
---------- одночастичная передача
II 68, 116
------- переход £0 II 154, 156
----------переход £1 II 107, ПО
—---------переходы, зависящие от J
II 67, 187
----------переходы АН внутри по-
лосы II 62, 187
----------------ДК = 0 II 154
----------------Д/С = 1 II 143
----------------ЛАГ = 2 II 109
----------экспериментальные дан-
ные II 67
----------------£2-переходы внутри
полосы II 54, 122
----------------Л41-переходы внут-
ри полосы II 64
--------колебательных состояний для
£Х-перехода II 304
Правила сумм, зарядово-обменный опе-
ратор 11 364
— одночастичные моменты II 354
-----одночастичные передачи I : 409
----- тензорная структура II 362
—---------связь с некомпактными
группами (см. также Осцилляторные
суммы) П 363
-----фононные операторы II 603
Представление о числе заполнения (см.
Операторы рождения и операторы
уничтожения)
Представления группы S3 I 109, 131
----- S4 I 128
-----Sn I 112
-----t/3 I 135
-----U> I 137
-----Un I 125
Преобразования Галилея I 18
Приближение случайных фаз II 389
Приведенные вероятности переходов
I 87
— матричные элементы I 86
-----в изотоп-пространстве I : 99
--------связанные состояния I : 87
--------симметрии I 89
Принцип Паули, длина свободного
пробега I 218, 258
-----для частиц и фононов II 379
-----корреляции I : 151, 175
Проектирование на состояние с опре-
деленным угловым моментом II 91,
92
Происхождение элементов I 196, 203
Промежуточные бозоны в слабых взаи-
модействиях I : 384
Проницаемость барьера (см. Коэффи-
циенты прохождения)
Пространственное отражение I 20
-----нарушение за счет деформации
(см. также Четность) II 23, 494
Протоны, свойства I 12
Процесс подхвата (см. Реакции с пере-
дачей одной частицы и Передача двух
частиц)
Процессы распада I 105, 413
----- структура амплитуды I 414
-----унитарные преобразования
I 106, 418
— срыва (см. Реакции с передачей од-
ной частицы, Передача двух частиц)
Прямой радиационный захват, усиле-
ние за счет дипольной поляризации
II 432
Прямые процессы (см. Нёупругое рас-
сеяние, Реакции с передачей одной
частицы и т. д.)
г-процесс образования элементов I 199,
204
Радиус (параметр), кулоновская энер-
гия I 144, 162
----- ядерная плотность I 139
-----------влияние вращения II 156
Разделение переменных, вращательное
движение II 14
-----колебательное движение II 289
-----парные вращения II 347
Разложение по мультиполям, вектор-
ное поле I 97
-----двухчастичное взаимодействие
I 367
-----поверхностные деформации
II 575
----- скалярное поле I 96
-----ядерная плотность II 129
Разница в распределении плотностей
протонов и нейтронов, данные I 140;
II 458
------------------ из изовекторного
потенциала I 163; II 457
------------------ обусловленная ку-
лоновским полем I : 171
652
Предметный указатель
Разность кулоновских энергий I 49,
50, 54; II 259
Разрешенные, облегченные GT-nepexo-
ды 11 267
Распределение заряда, из изотопиче-
ских сдвигов I : 162
— — из мюонных спектров I 165
-----из рентгеновских спектров I 165
-----из электронного рассеяния I 159
-----«лептодермическая» модель
II 128
-----радиальные моменты (см. также
ТТЛ-моменты), I 161
— Портера — Томаса I 181, 293
— %2 для ширин уровней I 293
Распространенность ядер I 196, 203
Расстояние между уровнями, распре-
деление I 158
-----------влияние симметрии I 291
----------- дальний порядок I 180
-----------данные I 178
----------- распределение Вигнера
I 158, 290
-----------распределение Пуассона
I 158
-----------случайные матрицы I 289
-----------электронные свойства мел-
ких металлических частиц II 516
Реакции передачи (см. Реакции с пере-
дачей одной частицы и Передача двух
частиц)
— резонансные I 413
-----амплитуда рассеяния I 416
-----аналитическая структура ампли-
туды I 417
-----«гросс-структура» I : 419
-----------двухстадийный процесс
деления II 550
-----п + 240Рн (делительная «гросс-
структура») II : 548
-----и + 232Th !	177
-----одночастичное движение I 422
-----р + 16Q I 347
-----р + 116Sn (аналоговые состоя-
ния) I 54
----- связь с распадом I 414
-----соотношение унитарности I 418
— с передачей одной частицы I 344,
407
-----------влияние взаимодействия
частица — колебания II 375
-----------генеалогические коэффи-
циенты I 344, 407, 409
-----------деформированные ядра
II 217
----------------- влияние парных
корреляций II 235
-----------------24Mg (d, р) II : 258
-----------------17*Yb II 232
-----------квадрупольные возбужу
ния II 473	Д
-----------одночастичная амплитуда
I 408, 411
---------- — октупольные возбуждения
II 495
-----------правила сумм I 410
-------- — спектроскопический фак-
тор I 410
-----------40Са (J, р) I : 346
-----------ulCd (d, р) II 476
----------- 206Pb (d, р) II : 563
-----------116Sn (d, р) I 55
Рентгеновские спектры, данные для
зарядового распределения I 165
5-матрица I 104
5-процесс в образовании элементов
I 198, 204
5-симметрия II 25
SL(3,K) (некомпактная группа)
II:	363
Сверхоболочечная структура II 532
Сверхпроводимость (см. Сверхтеку-
честь)
Сверхтекучесть II 349
— возникающая за счет коррелиро-
ванных пар в состоянии Зр II 29
— 3Не II 348
— длина когерентности II : 351
— квантование циркуляций II 350
— конденсат II 349
— сверхпроводящий ток II 350, 351
— фазовый переход к нормальному
состоянию за счет вращения или маг-
нитного поля II 77
-----------за счет теплового возбу-
ждения II 45, 46
Свободная энергия II 325
----- влияние оболочечной структуры
II 537
Связь вращательного движения с внут-
ренними состояниями, вибрационные
типы возбуждений II 410
--------------вклад в массовый ко-
эффициент В II 38, 148, 156
----------------- в момент инерции
II 138, 225, 274
--------------вызванная моментами,
зависящими от / II 137, 139, 142, 186
---------------вызванное	полями	спа-
ривания II 246
--------------ЛК = 0 II 141
--------------ЛК = 1 II : 135
------------------- анализ 174Hf II : 155
____________________175Lu II 142
____________________23Ш II ; 248
Предметный указатель

- \К = 2 II 139
-------- - — — модель частица — ро-
татор II 182, 183
— — — — — одночастичные состоя-
ния II 223
— — —-------------влияние полей,
зависящих от скорости II 83,
246
------------------оценка из Е2-пере-
ходов 11 243
—-----------------резюме по данным
II 227, 276
— — — — — параметр развязыва-
ния II 224, 269
--------------перенормировка gK
II 187
------------------gR II 187, 229
Связь jj, переход к LS-связи I 339;
II 561
— колебания с вращением II 410
------p-вибрации, 174Hf II 155
------у-вибрации 166Ег II 147
7 ------ октупольные колебания в
154Sm II 508
Связь между сечениями прямых и об-
ратных реакций I 35, 105
Сеньорити II 562, 604
Сепарабельное (факторизуемое) взаи-
модействие, связанное с вибрацион-
ным полем II 296
— взаимодействие, связь с оболочеч-
ной структурой II 515
Сжимаемость I : 253
Сигнатура II 20
Силовая функция, второй момент I 296
------реакция (d, р) I 226
------делительные ширины 241Ри
II 548, 549
— El-резонанса II 446
— — изменение формы линии, благо-
даря дипольно-квадрупольному взаи-
модействию II 404
------ модельное описание I 294
------нейтронные резонансы I 227
------нестационарное описание I 296
------одночастичное движение I 211
------реакция (р, 2р) I 229
------S-волна для нейтронов, влияние
деформации II 209
-----------данные I 227
------ширина в модели частица — ко-
лебание II 390
Силы Бартлетта I 71
— Гейзенберга I 71
— Майорана I 71
— осциллятора II 352
------дипольный резонанс II : 425
— — квадрупольное возбуждение
II 468
----связь с вибрационным массовым
коэффициентом II 358
----октупольное возбуждение II 494
---- оценка для поляризационных
мод в модели жидкой капли II 558
----связь с безвихревым течением
II 357
----------вращательным массовым
коэффициентом II 359
— Сербера, обменные I 240
Символ 3/1 77
—	6/ I 78
—	9/ I 79
Симметричный волчок II 32, 162
Симметрия ^2» асимметричный рота-
тор II 161
— в орбитальном пространстве I 136
—	влияние на p-распад I 338
—	генераторы II 93
—	представления I 135
—	SU2 I 126
— связь с 7?з I 126 (см. также Изо-
спиновая инвариантность и Унитар-
ные группы)
— Sf73, адронный спектр I 64, 69
— структура вращательных полос
II : 93
----------анализ ложных состоя-
ний II 254 (см. также Унитарные
группы и Унитарная симметрия ад-
ронов)
— SI74 (см. Симметрия U4)
— SUe (см. Унитарная симметрия ад-
ронов)
— 6731 135 (см. также S ^-симметрия
и Унитарная симметрия адронов)
— U4 I 45, 138
Симметрия ядерной деформации,данные
II 36
Синтез элементов (см. Происхождение
элементов)
Система, связанная с телом (см. Внут-
ренняя система координат)
Скалярное поле I 96
----разложение по мультиполям
I 96
Скорость распада, а-распад II 112
----|3-процессы I 398
---в компаунд-ядрах I 214, 296
----------дипольное возбуждение
II	448
—	деление II 327
----радиационные процессы	I 371
Слабое взаимодействие I : 383
----между нуклонами	I	:	31, 384
---- ток I . 383
654
Предметный указатель
----промежуточные бозоны I 384
----унитарная симметрия I 389 (см.
также (3-ток нуклонов)
Слабый магнетизм I : 396, 401
Случайные матрицы I 287
— — анализ металлических частиц
II 516
----расстояния между уровнями
I 158, 180
----ширины уровней I 180
Собственные значения оператора
I 21 (см. в тексте квантовое число
л—четность)
--------вибрационные кванты II 301,
327
--------вращательные спектры II
26
— энергии, взаимодействие частицы
с колебанием II 381
Соотношение поляризационной асим-
метрии, упругое рассеяние I 36
Составное ядро I 7, 157, 181
----деление II 327
-------- угловое распределение II
119
---- испарение нейтронов I 182
— — распад за счет гамма-квантов
I 178; II 69
----связь с силовой функцией I 297
(см. также Плотность уровней и рас-
стояния между ними)
----сечение образования I 166, 231;
II 545
Сохранение векторного тока, (З-распад
I : 387, 395
-----------влияние кулоновского по-
ля I 389, 395
----------- проверка I 401
—	лептонов I : 385
—	четности, данные I 23, 30
----нарушение I 23, 31, 33
Спаривательные силы II 566
Спектроскопический фактор, реакции
передачи I 410
Спектры в ираст-области II 50
--------асимметричный ротатор
II 172
--------данные II 77
-------- квадрупольные колебания
11 597
---- в переходной области, осесим-
метричная деформация II 481
Спин-изоспиновые волновые функции
(1/4-симметрия) I 136
Спин-орбитальное взаимодействие (см.
Средний потенциал и Ядерные силы)
Спиновое возбуждение (мода 1---)1т .558
----данные о наличии II : 560
----- константа связи II 560
-----переход от jj- к LS-связи II 56]
Спиральность, волновая функция ос-
новного состояния I 301, 350
— импульсное представление I 415
— связь-с квантовым числом К II 16
Сплюснутые деформации II 253
-----вызванные вращением II 5]
583
Спонтанное нарушение симметрии за
счет деформации сфеонческой формы
II II, 459
-----коллективных возбуждений
II 394
------ неустойчивости колебатель-
ной моды II 294 (см. также Статиче-
ские деформации)
--------парных деформаций II 346,
348
Средний потенциал I 148, 206
-----вибрационный потенциал (см.
Парные поля и Поля, связанные с
вибрацией)
----- деформированные ядра II 191
-----------симметрия II : 190
--------спин-орбитальная связь II
192
----------- сфероидальная форма II
190
—----------эффекты ^-деформации
II 260
зависимость от скорости I 148
— --------- влияние дипольной моды
II 429
— —----------квадрупольной моды
II 452
—------------на орбитальный £-фак-
♦тор II 430 (см. также Эффективная
масса)
-------------трансляционных воз-
буждений II 395
-----------необходимость учета I
167, 233
-----------оценка, импульсное при-
ближение I 267
----- изовекторная часть I 150
-----мнимая часть 1 165
----- нейтронное полное сечение I
166
-----нелокальный I 219
----- оценка в импульсном прибли-
жении I 257, 266
-----параметры I 217, 232
-----поверхностные эффекты I 217
— — радиальная зависимость I 224
-----рассеяние л-мезонов на ядрах
I 221
-----рассеяние протонов I : 231
Предметный указатель
655
----- спин-орбитальная связь I 207,
220
--------------оценка I 256
-----эффективная масса I 149, 254
Средняя длина свободного пробега
нуклонов I 140, 216
-----------— оценка I 165
Стабильность нуклона I 13
— ядер I 193, 200 (см. также а-распад
и Нестабильность деления)
Статистическая сумма I 282
Статистический анализ, плотность у ров-
ней I 47, 275
-----расстояния между уровнями
I 289
-----ширина уровней I 293; II 553
Статистические деформации в изотопи-
ческом пространстве II : 28
----- гексадекапольная II 130
-----квадрупольные, влияние на ди-
польную моду II 434
------------ на	изотопический сдвиг
II 164
—----------па	квадрупольную моду
II 484
------------на	колебания II 316, 589
— ---------на	одночастичное движе-
ние (см. гл. 5)
------------на	октупольную моду
II 508
--------данные II 125, 126
-------- отклонения от аксиальной
симметрии II 51, 128
--------оценка на основе оболочечной
модели II 126
-------- проявление оболочечной
структуры II 520
--------сплюснутая форма II 252
-------- средний потенциал II 128
--------центробежные эффекты II
582
-----нарушение и df-симметрии
II 23, 191 (см. также Вращатель-
ные степени свободы)
-----октупольные II : 494
-----парные поля II 346, 568
-----симметрия, установленная из ин-
терпретации наблюдаемого враща-
тельного спектра II 36
Странность I 46
Супермультиплетная симметрия I 45
(см. также Симметрия t/4)
Сферический тензор, приведенные мат-
ричные элементы I 84
-----симметрия и эрмитовость I 89
Сфероиды Ма клорена II 584
Схема последовательного заполнения
(деформированные ядра) II : 213
djr-симметрия (см. Инвариантность от-
носительно обращения времени)
«Твердая сердцевина» I 24 (см. также
Ядерные силы)
Температура ядра I 155, 282
----- влияние оболочечной структуры
II 534
----- испарительные спектры I 181
Тензор поляризуемости для дипольного
поля II 408
-----связь с комбинационным рассея-
нием II 436
Тензорные операторы I 84
Теорема Вигнера — Эккарта I 86
— К ра мерса I : 27
Теория возмущений для колебаний,
условия II 371
---------- спектр II 313
— поля (см. Взаимодействие частица —
колебание)
Термодинамические концепции в стати-
стической модели ядра I 282
Толщина поверхностного слоя ядра
I 161
Траектории (см. Траектории Редже,
Вращательные спектры и энергии и
Оболочечная структура, траекто-
рии)
— Редже I 20
-----асимметричный ротатор II 176
-----барионный спектр I 70
----- связь с оболочечной структурой
II 510
Трансляционная инвариантность I 14
Трансляционное возбуждение, анализ
в модели частица — колебание II
394
-----галилеева инвариантность I 19
II 395
----- ограничения на внутренние воз-
буждения II 395
--------на колебательное возбужде-
ние II 298, 579
Туннелирование, молекулярные спект-
ры II : 26
[/-спин I 48, 57
Угловой момент I 75
-----внутренние компоненты	I	91;
II	15
-----матрицы I 75
•----проектирование внутренних	со-
стояний II 91
-----связь с вращением I 17
-----сложение I : 76
Углы	Эйлера I 80
Унитарная симметрия адронов, Р-рас-
пад I : 390
666
Предметный указатель
--------классификация I 48
--------массовая формула I 64
--------расщепление масс за счет
электромагнитного взаимодействия
I 66
--------SU2 (см. Изоспин)
--------SU3 I 63, 69
--------Sl^ I 67, 69
--------слабый ток I 389
--------(7-спин I 48, 67
-------- электромагнитный ток I 375
Унитарные группы I 123
-----инфинитезимальные преобразо-
вания I 125
-----оператор Казимира I : 125
— — операторы сдвига I 124
-----размерность представлений I
120
-----связь с перестановочной симмет-
рией I 124
----- специальная I 125
Уравнение непрерывности, гидродина-
мика II 580, 585
----- для электромагнитного тока
I 369
-----------обменный вклад I 380
-----слабый ток I 383
Усредненное сечение I 419
^-преобразование I 306, 362
Фазовый анализ нуклонного рассеяния
I 260
— переход (явление неустойчивости),
вызванный вращением II 77
— — — — — термическим возбуж-
дением II 45 (см. также Статиче-
ские деформации)
-----сферическая форма, деформация
II 459
Фактор торможения, а-распад II 237
Ферми-газ I 141
-----длина свободного пробега I 218,
258
-----корреляции I 152, 175
— — плотность уровней I 154
----- числа заполнения I 155, 279
Ферми-жидкость I 324; II 368, 430
Ферми-импульс I : 142
Ферми-переходы, Р-распад I 335, 398
Фонон-фононная связь, дипольно-квад-
рупольное взаимодействие II 403
---------------вклад в ширину фото-
резонанса II 445 (см. также Ангар-
моничность)
Фонон-фононное взаимодействие из вза-
имодействия частица — колебание
II : 384
— — — — — — оценка для окту-
польной моды II 499
--------феноменологический анализ
II 399 (см. также Ангармоничность)
Форма ядра в седловой точке (деление)
влияние углового момента II 582
------------данные II 543
-------------оценка в модели жид-
кой капли II 573
----ядра и угловые переменные, глав-
ные инварианты II 592
----------инвариантность гамильто-
ниана II 595
----------квадрупольные колебания
II 592
— — — — симметрия волновой функ-
ции II 592
Фотопоглощение II 422
— квазидейтронный эффект II : 426
— связь с силами осциллятора II 425
— эффект затенения при высоких энер-
гиях II 426 (см. также Дипольные
моды)
Функция отклика II 387
----иллюстрация для мультиполь-
ных полей II : 413
— потенциальной энергии II 294, 320
-------- макроскопические свойства
II 320
—-------модель жидкой капли II 581
--------с двумя минимумами II 549
Химический потенциал I 282
Центробежные деформации, вращатель-
ные спектры II 39, 50
----жидкая капля II 583
----квадрупольные колебания II
597
----модель гармонического осцилля-
тора II 87
Частично-дырочное преобразование,
двухчастичный оператор I 363
-------- одночастичный оператор I
303, 360
--------оператор сопряжения I 357
Черное ядро, делительная ширина
II 327
----нейтронная ширина I 227
----полное сечение I 165; II 545
Член отдачи в модели частица — рота-
тор II 181, 184
Шаровые функции, преобразования при
вращениях I : 83
—	— связь с ^-функцией I 82
—	— теорема сложения I : 83
Предметный указатель
657
Электромагнитное расщепление масс
адронов I 66
Электромагнитные мультипольные мо-
менты I 379
Электромагнитный ток, нуклонный
форм-фактор I 374
-----пространственно-временная сим-
метрия I : 369
----- свободные нуклоны I : 373
----- унитарная симметрия I 375
-----эффекты взаимодействия I 378
Электронное рассеяние, высокочастот-
ная квадрупольная мода II 450
----- распределение заряда ядра I
140, 159
-----спиновое возбуждение II : 560
-----форм-фактор, колебания формы
II 305
Элементарные типы возбуждений II
283
Эллипсоид Якоби II 584
Энергетическая щель II 43, 569
Энергия отделения нуклонов, система-
тика I 189
перестройки I : 319
— плавная часть функции II 322, 527
— связи I 142, 168
— симметрии I 143
-----поверхностный член II 547
— Ферми I 142
Энтропия I : 292
— вклад оболочечной структуры II
538
Эффект инверсии, молекулярные спект-
ры I 26
— Рамзауэра — Таунсенда I 165
— Яна — Теллера (см. Спонтанное на-
рушение симметрии)
Эффективная масса I : 149, 254
----- влияние на дипольную моду
II 429
------- квадрупольную моду
II 452
—----------момент инерции II 84
-------орбитальный магнитный
момент II 382
-----данные из одночастичных энер-
гий, в случае деформированных ядер
II 413
-------оптического потенциала
I 167, 233, 234
-----газ из твердых шаров I : 254
— — из взаимодействия частица —
колебание II 381
— — импульсное приближение I : 267
-----схематическая модель I 258 (см.
также Средний потенциал, зависи-
мость от скорости)
Эффективные взаимодействия (см. Ядер-
ные силы)
Эффективный радиус I 237
Юнга, схемы I 109, 129
Юнга, таблицы I 111, 129
Ядерная материя, насыщение I 248
----- плотность I 140
----- полупрозрачность для нуклонов
I 140, 165, 233
-----полупрозрачность для фотонов
(см. в тексте эффект затенения)
II 426
-----схематическая модель I 248
-----теория I 258 (см. также Сред-
ний потенциал)
----- энергия связи I 143
Ядерные силы I 236
-----зарядовый обмен, данные I 238
----- изоспиновая инвариантность,
данные I 237
-----нелокальные I 240
-----обменный потенциал I 71, 238
-----однопионный обмен I 244
-----приближение эффективного ра-
диуса I 237
----- рассеяние при низких энергиях
1 237
-----спин-орбитальное взаимодействие
I 63, 242
-------------- второй порядок I 262
-----тензорные взаимодействия I 72,
243
----- условия инвариантности I: 69
-----фазовый анализ I : 239, 260
-----феноменологический потенциал
1 262
— — эффективное взаимодействие, по-
ляризационный вклад II 383
-----------спаривательные силы II
566
--------— факторизуемое (сепара-
бельное) взаимодействие II : 296
УКАЗАТЕЛЬ ЯДЕР
Указываются страницы книги, где
наиболее полно рассматриваются свой-
ства отдельных ядер.
3,4’Ше, спектры I 311
?Li, спектр I 311
8Ве, а — а-рассеяние II 99
12В, 12С, 12N, проверка закона сохране-
ния векторного тока I 402
14С, 14N, 14О, изобарические мульти-
плеты I 50
^N, спектр I 311
— 16О (р, 2р) I : 228
15О, спектр I 311
1бО, фотопоглощение II 447
— спектр I 311
— проверка сохранения четкости I 30
17О, спектр I 311
17F, спектр I 311
— протонные резонансы I 348
20Ne, вращательные полосы II 97
2-А1, 25Mg, спектры II : 251
39К, 39Са, спектры I 312
40Са, спектр I 312
41Са, спектр I : 312
— 40Са (d, р) I : 346
41Sc, спектр I 312
47К, 47Са, спектры I 312
48Са, спектр 1:312
49Са, p-распад I 340
- спектр I 312, 340
£5Со, спектр I 314
36Ni спектр I : 314
60Ni (d, р) 61Ni I 213
юмо9Д£, испарительный спектр I : 182
117Sn, 117Sb, аналоговые состояния I 54
in.иг,из,inCd, спектры II 469
114Cd, ангармоничность II 480
120Sn, возбуждение протонами II 308
141Рг, Е1-эффективный заряд II 445
I42,i44,i46,i48.i5o]\jcj> фотопоглощение II
435
144,146,148,150.152,154 СПеКТрЫ II 470,
508
1ЭТЬ, спектр II : 215
166Но, вращательные полосы II 115
166Ег, у-колебания II 146
168Ег, вращательные полосы II 70
1G9Tm, основное состояние II 102
172Тт, p-распад II 132
172Hf, основное состояние II 73
174Hf, p-колебания II 153
]75Yb, спектр II 231, 232
175Lu, спектр II 143
17GLu, p-распад II 132
177Lu, 177Hf, спектры II 104
181Та, проверка закона сохранения чет-
ности I 32
188,192,19бр^ спектры II 472
190Os, спектры II 472
197Аи, электронное рассеяние I 160
— фотопоглощение II 423
206РЬ, парные корреляции II 563
207РЬ, спектр I : 314, 315
207Т1, Р-распад I 314
— спектр I 314, 315
208РЬ, спектр I 314
— (d, 3Не) на состояние 3— II 495
— спиновое возбуждение II : 560
— состояние 2+ (4,07 МэВ) II 458
209РЬ, p-распад I 342
— ЕЗ-эффективный заряд II 497
— спектр II 314, 315
209Bi, ЕЗ-эффективный заряд II 497
— спектр I : 314, 315
— (h9/2 3—) мультиплет из семи состоя-
ний II : 501
233Th, нейтронные резонансы I 177,
179, 181
234U, спектр II 489
235U, кориолисово смешивание II 245
— спектр II 243
237Np, a-интенсивности II 238
— спектр II 237
238U, делительные каналы II 118
— вращательная полоса основного со-
стояния II 73
239Ри, вращательные полосы II : 109
241Ри, делительный изомер II : 548
244Ст, изомер 6+ II : 133
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора	перевода	5
Предисловие авторов к	русскому изданию	6
Предисловие авторов к	английскому изданию.	7
4.
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ
§ 1. Коллективное вращательное движение
11
§ 2. Симметрия деформации и вращательные степени свободы	14
1.	Степени свободы, связанные с пространственным	вращением.	15
2.	Следствия из аксиальной симметрии	16
3.	(^-инвариантность.	17
4.	SP- и оУ-симметрии ...	21
5.	Деформации, нарушающие о?5- или &-симметрию	.	23
6.	Комбинации вращательной симметрии и симметрии отражения	24
7.	Вращение в пространстве изоспина	28
§ 3. Энергетические спектры и правила интенсивностей в аксиально-сим-
метричных ядрах	30
1.	Вращательные энергии	........... 31
Вращательные энергии полос с К = 0 (31). Вращательные полосы
основных состояний четно-четных ядер (33). Вращательные полосы
при К 0 (40). Вращательные полосы в ядрах с нечетным А (42).
Вращательные полосы возбужденных состояний четно-четных ядер
(43). Вращательные полосы в нечетно-нечетных ядрах (44). Враща-
тельная структура в каналах деления (45). Вращательное движе-
ние в конфигурациях с большим числом квазичастиц (45). Влияние
вращения на плотность ядерных уровней (46). Спектр в ираст-обла-
сти (50).
2.	Матричные элементы Е2-переходов внутри полосы .	.	52
Правила интенсивностей нулевого порядка (52). Параметры деформа-
ции (54). Обобщенные правила интенсивностей (57).
3.	Матричные элементы М 1-переходов внутри полосы ....	.	62
Полосы с К = 0, вращательный магнитный момент (62). Полосы
с К 0, внутренний магнитный момент (62).
4.	Общий вид матричных элементов	...	65
Правила интенсивностей для операторов, не зависящих от I (65).
К-запрещенные переходы (66). Поправки высших порядков (66).
Экспериментальные данные (67).
Примеры к § 3 (69). Спектр ядра 1С8Ег, установленный по реакции
(п, у) (фиг, 4.7 и 4.8 и табл. 4.1 и 4.2) (69). Вращательный спектр
660
Оглавление
ядра 823U, полученный методом кулоновского возбуждения тяжелыми
ионами (фиг, 4.9) (72). Вращательная полоса основного состояния
172Hf по данным о реакции 165Но (ПВ, 4л) (фиг. 4.10 и 4.11) (73).
Моменты инерции полос основных состояний в ядрах с 150 < А <188
(фиг. 4.12) (79). Влияние конечности числа частиц на ядерное враще-
ние; иллюстрация на примере модели гармонического осциллятора
(табл. 4.3) (87). Описание вращательных состояний методом проекти-
рования внутренних волновых функций на состояние с определенным
угловым моментом (91). Квадрупольные операторы как генераторы
вращательной полосы (S//-симметрия) (93). Вращательные полосы в
ядре 20Ne (фиг.4.13 и табл. 4.4) (96). Спектр ядра 8Ве по данным об
а—а-рассеянии (фиг. 4.14 и табл. 4.5) (99). Вращательная полоса ос-
новного состояния ядра 1СУТтп (фиг. 4.15 и табл. 4.6 и 4.7) (101). Вра-
щательные полосы, заселяемые при распаде изомера ядра 177Lurrt
(фиг. 4.16—4.18 и табл. 4.8 и 4.9) (103). Вращательные полосы в ядре
239Ри(фиг. 4.19 и табл. 4.10—4.13) (109). Вращательные полосы в не-
четно-нечетном ядре 166Но (фиг. 4.20 и табл. 4.14) (115). Делительные
каналы, наблюдающиеся при фотоделении ядра 238U (фиг. 4.21—4.23)
(118). Проверка правила интенсивностей для матричных элементов
Е2-переходов внутри вращательной полосы (фиг. 4.24) (121). Ядер-
ные деформации (фиг. 4.25 и табл. 4.15 и 4.16) (125). Бета-распад
ядра 176Lu (фиг. 4.26) (131). Бета-распад ядра 172Тш (табл. 4.17)
(132). /(-запрещенные £2-переходы в ядре 244Ст (фиг. 4.27 и табл. 4.18
(133).
§ 4. Взаимодействие между вращательным и внутренним движением в ак-
сиально-симметричных ядрах	134
Взаимодействие Кориолиса (134). Эффекты первого порядка по вза-
имодействию Кориолиса (135). Вклады второго порядка во враща-
тельную энергию (138). Эффективное взаимодействие с Д7< = 2
(138). Эффективное взаимодействие с Д/( = 0 (141).
Примеры к § 4 (142). Влияние взаимодействия Кориолиса на All- и
Е2-переходы в ядре 175Lu (фиг. 4.28 и табл. 4.19) (142). Анализ /^-пе-
реходов между уровнями полосы основного состояния и полосы с
Кл = 2 + (у-колебания) в ядре 166Ег (фиг. 4.29 и 4.30) (145).
Эффекты вращательного взаимодействия между полосой основного
состояния и возбужденной полосой с Кл = 0+ в ядре 174Hf
(фиг. 4.31, 4.32 и табл. 4.20, 4.21) (153).
§ 5. Вращательные спектры	неаксиальных систем	158
1.	Классификация состояний	системы с четным А	по	симметрии	159
2.	Энергетические спектры. .	164
3.	Системы с малой асимметрией	.	158
4.	Классификация состояний	по симметрии в ядрах	с	нечетным	А	169
5.	Состояния с большими /	172
Примеры к §5 (176).Траектории Редже для асимметричного ро-
татора (фиг. 4.34). (176).
Приложение. Модель частица — ротатор	179
1.	Связанная система .	179
2.	Адиабатическое приближение
3.	Неадиабатические эффекты ........................................
Оглавление
661
ОДНОЧАСТИЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ В НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЯДРАХ
§ 1. Связанные состояния частиц в сфероидальном потенциале	190
1.	Симметрия и форма равновесной деформации ядер	190
2.	Деформированный потенциал	.	.	191
3.	Структура одночастичных волновых функций	192
Примеры к § 1 (196). Спектры одночастичных состояний как функ-
ции деформации (фиг. 5.1—5.5 и табл. 5.1) (196). Одночастичные
волновые функции в сфероидальном потенциале (табл. 5.2) (203).
Матричные элементы операторов в представлении цилиндрического
осциллятора (табл. 5.3) (207). Силовая функция медленных нейтро-
нов в деформированных ядрах (фиг 5.6) (209).
§ 2. Классификация спектров ядер с нечетным А	213
Схема последовательного заполнения (213). Парные корреляции,
квазичастицы (214). Идентификация одноквазичастичных состояний
(215).
§ 3. Моменты и переходы	217
1,	Одночастичная передача	217
2.	Одночастичные моменты и	переходы	219
Матричные элементы переходов между одноквазичастичными состо-
яниями (219). Асимптотические правила отбора и распределение ин-
тенсивностей одночастичных переходов (220). Эффекты поляриза-
ции (221).
3.	Передача пары частиц и интенсивности а-распада	222
4.	Взаимодействие одночастичных состояний с вращением	223
Примеры к § 3 (228). Спектр ядра 159ТЬ (фиг. 5.7 и 5.8) (228). Спектр
ядра175УЬ и данные по реакциям однонуклонной передачи (фиг. 5.9—
5.11) (231). Спектр ядра 237Np и интерпретация тонкой структуры
а-распада (фиг. 5.12 и 5.13) (236). Спектр ядра 235U и анализ эффек-
тов взаимодействия Кориолиса (фиг. 5.14 и табл. 5.6 и 5.7) (242). Од-
ночастичные состояния ядер s—d-оболочки, спектры ядер 2&Mg и
2бА1 (фиг. 5.15 и табл. 5.8—5.11) (250). Внутренние состояния дефор-
мированных нечетных ядер с 150 < А < 188 (табл. 5.12 и 5.13)
(260). Магнитные g-факторы одночастичных состояний (150 < А <
< 190, табл. 5.14) (264). Матричные элементы разрешенных облег-
ченных переходов Гамова—Теллера (табл. 5.15) (267). Параметры
развязывания вращательных полос с К = 1/2 (табл. 5.16) (269). Мо-
менты инерции для вращательных полос в нечетных ядрах с 150 <
< Л < 190 (табл. 5.17) (274).
Приложение. Рассеяние на несферических системах	276
6.
ВИБРАЦИОННЫЕ СПЕКТРЫ
§ 1. Введение.	...	.	282
Коллективные колебания в ядре (282). Основные вопросы, связан-
ные с колебаниями ядра (284).
662
Оглавление
§ 2. Квантовая теория гармонических колебаний	286
1.	Операторы рождения квантов возбуждения	286
2.	Амплитуды колебаний .	.	.	287
3.	Коллективное движение, обусловленное вибрационным одночастичным
потенциалом	290
§	3. Нормальные типы вибрационных возбуждений в ядре	297
1. Колебания формы, сферическая равновесная форма . .	.	297
Амплитуды колебаний, изменение плотности (297). Гамильтониан
(299). Спектр (301). Переход от колебательных к вращательным и
внутренним степеням свободы (302). Моменты ЕХ (303). Существова-
ние колебаний формы (305). Вибрационное поле (307). Моменты Ml
(311). Момент Е0 (312). Суперпозиция колебаний и движения ча-
стиц (314).
2.	Колебания около сфероидальной равновесной формы .	315
Классификация симметрии (315). Расщепление частоты благодаря
статической деформации (318), Матричные элементы переходов (319).
3.	Коллективное движение при делении	.	319
Макроскопические свойства поверхности потенциальной энергии,
барьер деления (320). Влияние оболочечной структуры на поверх-
ность потенциальной энергии, изомеры формы (321). Температурная
зависимость оболочечной энергии (325). Движение относительно
седловой точки, каналы деления (326).
4.	Изоспин колебаний, поляризационные и зарядово-обменные типы воз-
буждений	........ .............. 329
Колебания в ядрах с М — Z (TQ = 0) (329). Изовекторные плотно-
сти и поля (330). Нейтрон-протонные поляризационные возбужде-
ния (332). Влияние избытка нейтронов (333).
5.	Коллективные возбуждения, содержащие спиновые степени свободы	337
6.	Возбуждения, связанные с передачей двух нуклонов, парные вибрации	339
Парные вибрации в ядрах с замкнутыми оболочками (340). Парные
плотности и потенциалы (343). Статическая парная деформация,
парные вращения (346). Сверхтекучесть (349).
§ 4. Правила сумм для мультипольной силы осциллятора	351
1. Классические осцилляторные суммы .	.	........... 352
Моменты, зависящие только от пространственных координат (352).
Моменты ЕХ (355).
2. Сила осциллятора вибрационного перехода в единицах правила сумм 357
Сферические ядра (357). Несферические ядра (358).
3.	Тензорные суммы .	. .	360
4.	Зарядово-обменный вклад в осцилляторную сумму ЕХ	364
§	5. Связь частицы с колебанием	368
1.	Матричные элементы взаимодействия	368
2.	Эффективные моменты	  372
3.	Матричные элементы передачи одной	частицы	375
4.	Взаимодействие частицы с фононом	376
5.	Собственные энергии .	. .	........... .	381
6.	Поляризационный вклад в эффективное	двухчастичное взаимодействие 383
7.	Эффекты высших порядков	.	384
8. Нормальные возбуждения, генерируемые взаимодействием частицы
с колебанием .................... ............................
Функция отклика и приближение случайных фаз (387). Микроскопи-
ческое описание вибрационных квантов (390). Трансляция (394).
Оглавление
663
§ 6. Эффекты ангармоничности в колебаниях. Взаимодействие различных
возбуждений
1. Ангармонические эффекты в низкочастотном квадрупольной возбуж-
дении	.	.	....
Эффективные взаимодействия между фононами (398). Моменты Е2
(400). Потенциальная и кинетическая энергии, адиабатическое
приближение (401).
2. Взаимодействие между квадрупольными и дипольными возбуждениями
3. Связь колебания с вращением
Примеры к главе 6(413). Функция отклика системы. Одночастич-
ный спектр возбуждений для полей мультиполей в ядре с Z = 46,
N — 60 (фиг. 6.16, 6.17, табл. 6.4 и 6.5)(413). Свойства дипольных
мод (Хл = 1—) (422) Резонансы фотоядерных реакций на сферических
ядрах (фиг. 6.18—6.20) (422). Расщепление резонанса в деформиро-
ванных ядрах (фиг. 6.21, табл. 6.6 и 6.7) (434) Квантовое число изо-
топического спина. Зарядово-обменные моды (фиг. 6.22—6.24) (437).
Ширина резонанса (фиг. 6.25 и 6.26) (445). Свойства квадрупольных
мод в сферических ядрах (449). Высокочастотные моды и эффективные
заряды (табл. 6.8 и 6.9) (450). Качественное исследование низкоча-
стотной моды. Явление неустойчивости (фиг. 6.27) (459). Система-
тика параметра упругости и массового параметра для низкочастот-
ной квадрупольной моды (фиг. 6.28 и 6.29) (466). Суперпозиция эле-
ментарных возбуждений (фиг. 6.30—6.37, табл. 6.10—6.13) (468).
Свойства квадрупольных колебаний в деформированных ядрах (484).
Гамма-колебания (фиг. 6.38) (484). Бета-колебания (фиг. 6.38) (487).
Данн’яе о других коллективных модах с Кя = 0-р и 2+ (фиг. 6.39)
(488). Свойства октупольных возбуждений (490). Структура окту-
польных мод для сферических ядер (фиг. 6.40 и табл. 6.14) (491).
Эффективные заряды (фиг. 6.15) (496). Эффекты ангармоничности
(фиг. 6.41) (498). Мультиплет из семи состояний (/г»/2 3—) в ядре
2oeBi (фиг. 6.42 и 6.43, табл. 6.16) (501). Октупольные моды в дефор-
мированных ядрах (фиг. 6.44) (508). Структура оболочек в одноча-
стичных спектрах (509). Оболочечная структура (фиг. 6.45 и 6.46,
табл. 6.17) (509). Оболочечная структура в сферических ядрах
(фиг. 6.47) (518). Оболочечная структура ядер при очень больших де-
формациях (фиг. 6.48—6.50) (520). Влияние оболочечной структуры
на энергию ядра (526). Влияние оболочечных эффектов на массы
ядер (фиг. 6.51) (527). Общие свойства оболочечной энергии как
функции деформации, изомеры формы (фиг. 6.52) (529). Вычисле-
ние <?нез. част для потенциала анизотропного гармонического осцил-
лятора (533). Оболочечная энергия как функция температуры
(фиг. 6.53—6.55) (534). Свойства делительной моды (542). Барьеры
деления (фиг. 6.56) (542). Данные о форме седловой точки, полу-
чаемые из изучения деления на а-частицах (фиг. 6.57) (543). Изо-
мерия формы в ядре 241Ри (фиг. 6.58 и 6.59, табл. 6.18) (548). Ана-
лиз резонансов с включением связи между областями I и II (550).
Анализ гросс-структуры в реакции 240Ри (п, /) (552). Свойства функ-
ции потенциальной энергии для ядра 241Ри (555). Оболочечные эф-
фекты, ответственные за изомерию формы (557), Свойства спиновых
возбуждений (558). Коллективные моды с Хл = 1+ (фиг. 6.60) (558).
Свойства парных корреляций (Хл — 0+; а — lL2) (562). Основное
состояние ядра 206РЬ (фиг. 6.61 и табл. 6.19) (563). Нейтронные пар-
ные вибрации в ядрах вблизи 208РЬ (фиг. 6.62) (566). Одночастичное
движение в потенциале со спаривательной деформацией; квазича-
стицы (фиг. 6.63, 6.64) (568).
398
398
403
410